OFFICIAL
DẠYKÈMQUYNHƠN
Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 3 PhongPhong HọcsinhgiỏiHuyện ThườngTín 2019HọcsinhgiỏiHuyện Thường Tín 20192020 HọcsinhgiỏiHuyệnBaVì2019HọcsinhgiỏiHuyệnBaVì2019 HọcsinhgiỏiHuyệnBa Thước 2019HọcsinhgiỏiHuyện Ba Thước202019 HọcsinhgiỏiHuyện Đan Phượng 2019HọcsinhgiỏiHuyện Đan Phượng 2019 HọcsinhgiỏiHuyệnThanh Xuân 2019HọcsinhgiỏiHuyệnThanh Xuân 2019 HọcsinhgiỏiHuyệnMỹ Đức 2019HọcsinhgiỏiHuyệnMỹ Đức2019 HọcsinhgiỏiHuyệnCầu Giấy 2019HọcsinhgiỏiHuyệnCầuGiấy2019 HọcsinhgiỏiHuyệnQuan Sơn 2019HọcsinhgiỏiHuyện Quan Sơn 2019 HọcsinhgiỏiHuyệnCẩm ThủyThanhHóa 2019HọcsinhgiỏiHuyệnCẩm ThủyThanhHóa 2020 HọcsinhgiỏiHuyện Đông HàQuảngTrị 2020HọcsinhgiỏiHuyện Đông Hà QuảngTrị 2020 HọcsinhgiỏiTPThanh Hóa 2020HọcsinhgiỏiTPThanhHóa2020
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 4 A. BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC Bài 1: Chuyên Bình Định vòng 2, năm học20192020 Rútgọnbiểuthức ( ) ( )235235 22352235 A +− = + ++−− Lời giải Tacó: ( ) ( ) 2235223582625262594 ++−−=−−++−− ( ) ( ) 22 82512512625225210 =−−++−=−+++= +) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2352235435356254353551 +−−=++−+−=+−+− 12452521025 =+−−=+ +) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2352235435356254353551 −++=+++++=−−−+ 12452521025 =−+−=− Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2352235235223510251025 2 2235223510 A +−−+−++ ++− = = = ++−− Vậy2 A = Cáchkhác: Tacó: ( ) 2356256254 2 223546255555 + ++ = ==− ++++++ +) ( ) 2356256254 2 223546255555 = ==− Do đó 442045204540 444422 555525520 A −++ =−+=−=−=−= +− Vậy2 A = . Bài 2: ChuyênTỉnhBạc Liêu, năm học20192020 Rútgọnbiểuthức ( ) ( ) 1343743820243243B =−+−++ Lời giải Tacó: ( ) 2 915232834881343743B =+−−−−++ ( ) ( ) ( ) 22 432438134374343243823123B =+−−++=+−−++ ( ) 4324382312335BB =+−−++⇒= Bài 3: ChuyênTỉnhBến Tre vòng 2, năm học20192020
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 5 Tínhgiátrị củabiểuthức 1515 1515 5 A −+ +− = Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 22 151512551255 :5:5 151515 A −−+ =−+−−− = +− Vậy 45 1 45 A == Bài 4: ChuyênTỉnh Gia Lai vòng 2, năm học20192020 Rútgọnbiểuthức 2 423625 53 A =++−+ + Lời giải Tacó ( ) ( ) ( )22253 2 31513525 532 A =++−+=++= + Vậy25 A = Bài 5: Chuyên KonTum vòng 2, năm học20192020 Tínhgiátrị củabiểuthức ( )3535 102 P −+ = + Lời giải Tacó ( ) ( ) ( )35353535.2.51 1028 P −+−+− = = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 625355355125251.2.51251 1 8888 P −+−−−+ −+ = = = == Vậy1 P = Bài 6: ChuyênTỉnhLâm Đồng vòng 2, năm học20192020 Tínhgiátrị củabiểuthức ( ) ( ) 2313211343.1962T =+−−+ Lời giải Ta tính được1343231 −=− và1962321 +=− Do đó ( ) ( ) 22 22 231321187T =−−= Vậy187 T = Bài 7: ChuyênTỉnhNam Định chuyên Toán, năm học20192020 Cho35233523 x =+++−+ .Tính ( )2 Pxx =− Lời giải Tacó ( ) 2 223523352362352362423x =+++−+=+−+=+−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 6 ( ) ( ) 2 623142331 =+−=+=+ Do ( ) 2 03113xxx >⇒=+⇒−= hay2222 xxP−=⇒= Vậy2 P = . Bài 8: ChuyênTỉnh Ninh Bình chuyên Toán, năm học20192020 Rútgọn 567331281 32 C −+− = Lời giải Tacó: ( ) ( ) ( ) ( )2 567331281:32566421:3256221:32C =−+−−=−−−=−−− ( ) ( )2 51162532532 5 323232 C = = == Vậy5 C = Bài 9: ChuyênTỉnh Sơn La vòng 2, năm học20192020 Cho ( ) 3 311063 21453 x −+ = ++ Tính ( ) 22019 42Bxx=+− Lời giải Tacó: ( ) ( ) 32 33 10633131;2145251251 +=+=++=+=+ ( ) ( ) 31312 52 254254 x −+ ⇒= ==− ++ Vậy ( ) ( ) 2201920194211Bxx=+−=−=− Bài 10: ChuyênTỉnh Thái Nguyên, chuyên Tin, năm học20192020 Cho33704901704901x =++− .Khôngsử dụngmáytínhbỏ túichứngminh x làsố nguyên tố Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) 333 333 1403704901704901704901704901140331400 xxxxx =++−++−⇔=−⇔+−= ( ) ( ) ( )22 552805055280 xxxxxxx ⇔−++=⇔−=⇔=++> Vậy x làsố nguyêntố Bài 11: ChuyênTinTiền Giang, năm học20192020 Rútgọn4102541025 A =+++−+ Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 7 Tacó ( ) ( ) ( )2 08241025410258216102582625AA>⇒=+++−+=+−+=+− ( ) ( ) ( ) 22 825182516255151 A =+−=+−=+=+⇒=+ Vậy51 A =+ Bài 12: ChuyênTiền Giang vòng 2, năm học20192020 Cho332232231x =++−− .Tính ( ) 323 39Pxxx=++ Lời giải Tacó ( ) ( ) 33332 12232231461393 xxxxxx +=++−⇒+=−+⇒++=− ( ) ( ) 3233 32 393927PxxxxxxP =++=++⇒=− Vậy27 P =− . Bài 13: TuyểnSinhchuyênQuảngTrị, năm học20182019 Rútgọnbiểuthức 351348 62 A +−+ = + Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( )2 351348:623423:62331:62A =+−++=+−+=+−+ ( ) ( ) ( ) 2 423311 2312312 ++ === ++ Vậy 1 2 A = Bài 14: TuyểnSinhchuyênTiền Giang, năm học20182019 Rútgọnbiểuthức 5 29125 525 A =−+ + Lời giải Tacó: ( ) ( ) 25 2532535252 552 A =−+=−+−= + Vậy2 A = Bài 15: Tuyển Sinh chuyên Bình Dương, năm học20182019 Tínhgiátrị củabiểuthức 1111 2112322343342005200420042005 P =++++ ++++ Lời giải Với* nN ∈ ,tacó ( ) ( ) ( ) 111 111..1 1..1 nn nnnnnnnn nnnn +− = = +++ +++++− 111 1.1 nn nnnn +− = =− ++ Ápdụngkếtquả, ta được:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 8 111111111144 ...11 1223342004200520054545 P =−+−+−++−=−=−= Bài 16: Tuyển Sinh chuyên An Giang, năm học20182019 Rútgọn ( ) ( ) ( ) ( )71113711137111371113A =++−++−+−− Lời giải Tacó: ( ) ( ) ( ) ( )2 71113711137111371113211.1317211.13 ++−++=−++=−+++=+ +) ( ) ( ) ( () ) ( () )71113711137111371113 −++−=−−+− ( ) ( )2 7111371113211.1317211.13 =−−=−+−=−+ Vậy ( ) ( ) 2 17211.1317211.13174.11.13289572283A =+−+=−+=−+= Vậy283 A = Bài 17: HọcsinhgiỏiTỉnh Hòa Bình, năm học20112011 Rútgọn 44 4 821821 821 A +−−−− = −+ Lời giải Đặt T A M = ,tacó2 0 TTT >⇒= Xét ( ) ( )244448212821.821821T =+−−+−−−+−− ( ) ( ) ( )4444 282821282821282212821 =−−−=−−−=−+=−+ ( )4 28212TA ⇒=−+⇒= Vậy2 A = . Bài 18: HọcsinhgiỏiPhúThọ, năm học20122013 Rútgọn 210302262 : 2102231 A +−− = Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) 2103022622251651312331 : 2102231222 2251 A +−−−+− +++ = = = 4233131311 .. 42222 +−+− = = = Vậy 1 2 A = . Bài 19: HọcsinhgiỏiTPBắc Giang, năm học20162017
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 9 Tínhgiátrị củabiểuthức 4343 27102 413 N ++− = +− + Lời giải Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 243432 24343 25102252 821343243.4343 N ++− ++− = +−+= +− + +++−++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2434324343 5252 43434343 ++− ++− = +−= +− ++−++− 2525=+−= Vậy5 N = Bài 20: Họcsinhgiỏi Long An, năm học2012 Tính ( )2341510 2.2335 A −+−+ = Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) 234151022341510423821525 2.23354665 22.2335 A −+−+−+−+ −+−+ = = = ( ) ( ) ( ) 22 2 315325315325351 1 351351351 −+−+ −+−+− = = == . Bài 21: HSGhuyện Nga Sơn Thanh Hóa, năm học20162017 Rútgọn 2323 223223 B +− = + ++−− Lời giải Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2323232323333323 233333333 24232423 B +−+−+−++− =+=+= +− ++−−+− 3333 1 6 ++− = = Vậy2 B = Bài 22: HSGTỉnhQuảng Nam, năm học20202021 Rútgọnbiểuthức13304942 A =++−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 10 Và ( ) ( ) 33 33 443443 23122312 2727 22 B +− = + Lời giải a)Tacó ( ) 2 13304942133042211330322A =++−=++−=++ ( ) ( ) ( ) 22 13302113302143302532532 =++=++=+=+=+ b) Đặt ( ) ( ) 33 33 443443 23122312 2727 ; 22 ab +− = = suyra ( ) ( )3 3 3 33 443 443231227232312. 272 abab+=⇒=+− ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 33 3 23 3 443 1212 443274343 2312 274273 ab ⇒=−−=== ( ) ( )33323323abababab +=⇔+−+= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33432343230ababababab ⇔+−−+=⇔+−+++−= ( ) ( ) ( ) ( )223020,0 ababababab ⇔+−++++=⇔+=>> Vậy2 B = Bài 23: HSGTỉnh Bình Dương, năm học20202021 Tínhgiátrị củabiểuthức ( ) 92021 2020Mxxx =+− với ( ) 3 279103710117 1091810 x +− = +− Lời giải Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 33 2 27910371011793101039103103 1 1091181010910 10910 x +−+− +− = = = = +−+− +− Thay1 x = vào M ta được: ( ) ( ) 92020202120212021 11111111M =+−=+−== Vậy1 M = với ( ) 3 279103710117 10911810 x +− = +− Bài 24: HSGTỉnh Đồng Tháp, năm học20202021 Tínhgiátrị củabiểu 2061115411 A 220611 −+ = + +
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 11 Lời giải 1.Tacó2061115411 A 220611 −+ = + + ( ) ( ) ( ) 22 2 113112 2113 −+ = + + 113112 2113 −+ =+ + ( ) ( ) ( ) ( ) 1131132112 2113 −+++ = + ( ) ( ) ( ) 11921142113 1 21132113 −+++ = == ++ Bài 25: HSGTỉnhQuảng Nam, năm học20202021 Rútgọncácbiểuthứcsau a)13304942 =++−A b) ( ) ( ) 33 33 443443 23122312 2727 22 +− = +B Lời giải a)13304942 =++−A ( ) 2 13304221 =++− 1330322=++ ( ) 2 133021 =++ ( )133021 =++ 43302=+ ( ) 2 532=+ ( )532=+ Đặt ( )3 3 443 2312 27 2 +− =a , ( )3 3 443 2312 27 2 =b Suyra3323 +=ab ( ) ( ) 33 3 443443 23122312 2727 22 +− =ab ( ) ( )32 2 3 443 2312 27 4 =ab ( )3 3 443 1212 27 . 4 =ab ( )3 3 4343 273 = =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 12 3323 +=ab ( ) ( ) 33a23⇔+−+= abbab ( ) ( ) ( ) 34323⇔+−−+= abab ( ) ( ) ( ) 343230 ⇔+−+++−= ababab ( ) ( ) ( ) 343230 ⇔+−+++−= ababab ( ) ( ) ( ) 2230 ⇔+−++++= ababab 2⇔+= ab (Vì0,0 >>ab ).Vậy2 =B Bài 26: HSGQuậnTâyHồ, năm học20202021 Tínhgiátrị biểuthức ( ) 32020 129Axx=++ ,biết ( ) ( )33451451x =−−+ Lời giải Tacó ( ) ( )33451451x =−−+ Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 33334514514514513451.451. xx =−−+=−−+−−+ Hay33381212801291xxxxxx =−−⇔++=⇔++= Vậy202011A == . Bài 27: HSGHuyện Ba Vì, năm học20202021 Chohàmsố ( ) 32020 ()22465. fxxx=+− Tínhgiátrị của() fa tại3316851685a =−++ Lời giải a)Hàmsố ( ) 32020 ()22465. fxxx=+− Tínhgiátrị của() fa tại3316851685a =−++ . Tacó3316851685a =−++ 333 3 323((1685)(1685))16851685a ⇒=+−+−++ 333323(4)[16851685]a ⇒=+−−++ 33212. aa⇒=− Khi đó ( )33123221264aaaa +=⇒+= . Do đó ( ) 2020 32020 ()21265(6465)1 faaa =+−=−= Vậy()1 fa = . Bài 28: HSGHuyệnThiệu Hóa, năm học20202021 Tínhgiátrị biểuthức ( ) ( ) 22021 5432021 5432021 3 1 2 xx Pxxx xxx +− =+−++ +−− với51 2 x = Lời giải Vì22 51 215444010 2 xxxxxx =⇒+=⇒+−=⇒+−=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 13 Do đó: 54332 22 54320213220212021 1(1)11 3122 2(1)22 xxxxxx xxxx xxxxxx +−+=+−+= +−=+−−=− +−−=+−−=− ( ) 2021 2021 2021 2 12 2 ⇒Ρ=+= . Bài 29: HSGThị Xã Hoài Nhơn, năm học20202021 Rútgọncácbiểuthức: a)5329125 A =−−− b)33704901704901B =−++ c)1111 22322343341009999100 C =+++…+ ++++ Lời giải a)Tacó:5329125 =−−−A 253(253)=−−− 53253=−−+ 25(51)=−− 551=−+ 1= b) Đặt3704901 =−x và3704901 =+y 33 33 33 704901704901xy ⇒+= + −+ 70490170 0049114= −++= 33 3 704901.70492017049011xy =−+ = = Tacó: ( ) ( ) 333331403.(1).1403 =+=+++=+−=− BxyxyxyBB 331400⇔+−= BB 31253150 ⇔−+−= BB ( ) ( )2 55280BBB ⇔−++= 2 50 5280 −= ⇔ ++= B BB 2 5 587 0 24 = ⇔ ++= B B 5B ⇔= (Vì 2 587 0 24 ++> B ) Vậy5 B = . c)Tacó: ( ) ( ) 11111 1111 11 nn nnnnnnnn nnnn +− = = =− +++ ⋅+++⋅++ . Ápdụng đẳngthứctrênlần lượtvới 1;2;3;4;...;99n = ta được:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 14 1111 22322343341009999100 C =+++…+ ++++ 111111111119 1 12233498999910010010 =−+−+−+…+−+−=−=C . Bài 30: HSGHuyện Tiên Du, năm học20202021 Tínhgiátrị biểuthức ( )333 Axyxy =+−+ ,biếtrằng 33322322x =++− và 33 1712217122y =++− Lời giải Tacó: ( ) ( )3 3333333 3223223223223322.322322322x =++−=++−++−++− ( ) ( ) 33 3 63322.322.6398. xxx =++−=+− 33633x6xxx=+⇒−= Tương tự 3334yy−= Vậytacókếtquả ( ) 333333x363440Axyxyxyy =+−+=−+−=+= .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 15 C: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CHỨA CĂN Bài 1: Rútgọncácbiểuthứcsau a)1111 ... 12233420182019 A =++++ ++++ b)111 .... 211232232020201920192020 B =+++ +++ Lời giải a)Với*, kN∀∈ tacó11 11 kk kk +− = ++ 1 21 12 ⇒=− + 1 32 23 =− + ………………. 1 1 1 nn nn =−− −+ Cộngvế vớivế ta được1 Mn=− Với201920191 nA=⇒=− b)Với*, kN∀∈ tacó ( ) ( ) 1111 11111 kk kkkkkkkkkk +− = =− +++++++ Hoặc ( ) ( ) ( ) 111111 111..11.1 1..1 kkkk kkkkkkkkkkkk kkkk +−+− = = = =− +++ ++−+ ++++ Tacó111 211212 =− +
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 16 111 322323 =− + ……………….. ( ) 111 111nnnnnn =− ++++ Với1 20191 2020 nB=⇒=− Bài 2: ChuyênVinhNghệ An Cho 33 33 322322 1712217122 x y =++− =++− .Tính ( ) 3332020Sxyxy=+−++ Lời giải Đặt 33 336 322;b322 1 ab a ab += =+=−⇒ = và xab =+ ( ) ( ) 33333336xababababxx ⇒=+=+++⇒−= Tương tự:3317122;d17122 cycd =+=−⇒=+ Và3334 yy−= 3333202063420202060Sxxyy ⇒=−+−+=++= *) Nhận xét: Ta có bài toán tương tự sau Cho2số m,nsaocho ( ) ( ) 1mnmn+−= Đề bài33 ; xmnymn =+=− Tính33Axx =− ,kếtquả ta được2 m Bài 3: Cho ( ) 3 4233 52.175382 x +− = +−− .Tính ( ) 42019 1Pxx=++ Lời giải Phântích: ( ) ( ) ( ) ( ) 332 3223 23 5317 17538553515, 1538 aab abaababbabZ abb += −=−=+−+⇒ ∈ += Chọn1cặpsố ( ) ( ) ( )3 ;1;21753852ab =⇒−=−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 17 Nhậnthấy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23313 42331;17538521 52522 x +− +=+−=−⇒= =− +−− Vậy1 P = Bài 4: Chứngminhrằng33 8484 11 99 x =++− làmộtsố nguyên Lời giải Đặt 33 33 33 2 8484 1;18411 991 81273 ab ab ab += =+=−⇒ =−== và xab =+ Tacó ( ) ( ) ( ) ( )333332 1 323..201201 3 xababababxxxxxxx =+=+++=+⇔+−=⇔−++=⇔= Vậy33 8484 11 99 x =++− làmộtsố nguyên. Bài 5: Cho33 12351323513 1 344 x +− =+− .Hãytínhgiátrị củabiểuthức 32 221Axx=++ Lời giải Đặt33 33 235132351323 ;31;;1 443 ababxabab +− = =⇒+=++== Thayvàobiểuthức ( ) ( )3333 abababab +=+++ tacó: ( ) ( )323 31331 2 xx +=++ Khaitriểnbiểuthức trên ta được323232 545427221221112. xxxxAxx +=⇔+=⇒=++=++ Bài 6: Chuyên An Giang, năm học20182019 Rútgọnbiểuthức ( ) ( ) ( ) ( )71113711137111371113A =++−++−++− Lời giải Tacó + ( ) ( ) ( ) ( )2 71113711137111371113211.1317211.13 ++−++=−++=−+++=+ + ( ) ( ) ( () ) ( () ) ( ) 2 7111371113711137111371113 −++−=−−+−=−− ( ) 71113211.1317211.13 =−+−=−+ .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 18 Bài 7: HọcsinhgiỏihuyệnThiệu Phong, năm học20192020 Chobiểuthức ( )41025410252231453D =−−−+−+++− .ChứngminhDlà nghiệmcủa phương trình 214440DD−+= Lời giải Tacó410254102542328103 D =−−−+−+++− 41025410253153 =−−−+−+++− ( )64102541025,60 DD −=−−−+−−< ( ) ( ) ( )22 68216102568251625DD ⇔−=−−+⇔−=−+=− ( ) ( ) 22 65161575 DDD ⇔−=−⇒−=−⇔=− Tacó ( ) ( )2 2144407514754405414598145440DD−+=⇔−−−+=⇔−−++= Vậy bài toán đượcchứngminh. Bài 8: Chuyên Bình Định, năm học20192020 Rútgọnbiểuthức ( ) ( )235235 22352235 A +− = + ++−− Lời giải Tacó ( ) ( ) 2235223582625262595 ++−−=−−+−−− ( ) ( ) 22 82512512625225210 =−−++−=−+++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2352235435356254353551 +−−=+−+−=+−+− 12452521025 =+−−=+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2352235435356254353551 −++=−+−+=−+−+ 12452521025 =−+−=− Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 235223523522351025102520 2 223522351010 A +−−+−++ ++− = = == ++−−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 19 Bài 9: ChuyênBạc Liêu, năm học20192020 Rútgọnbiểuthức ( ) ( ) 1343743820243243B =−+−++ Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) 2 1343743820243243915232834881343743B =−+−++=+−−−−++ ( ) ( ) ( ) 22 422438134374343243823123 =+−−++=+−−++ ( ) 4324382312335. =+−−++= Bài 10: ChuyênBến Tre vòng 2, năm học20192020 Tínhgíatrị củabiểuthức 1515 1515 5 A −+ +− = Lời giải Có ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1515 151512551255 1515151545151 55545 A −−+ −+ −+−−− +− +− = = = == Bài 11: Chuyên Lâm Đồng vòng 2, năm học20192020 Tínhgiátrị củabiểuthức ( ) ( ) 2313211343.1962T =+−−+ Lời giải Tacó1343231;1962321 −=−+=− Vậy ( ) ( ) 22 231321187TT =−−⇒= Bài 12: Chuyên Toán Nam Định, năm học20192020 Cho35233523. x =+++−+ Tínhgiátrị củabiểuthức ( )2 Pxx =− Lời giải Tacó ( ) 2 223523352362352362423x =+++−+=+−+=+− ( ) ( ) 2 623142331 =+−=+=+
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 20 -Do0 x > nên ( ) 2 3113xx=+⇒−= hay222 xx−= , do đó 2P =− . Bài 13: Chuyên Toán Ninh Bình, năm học20192020 Rútgọnbiểuthức 567331281 32 C −+− = Lời giải Tacó ( ) ( ) 22 567331281567421156221 566421 32323232 C −+− −+− = = = = ( ) 2 51162532 5 3232 = = . Bài 14: Biết21;21 −=+−=− abbc .Tínhgiátrị biểuthức 222 =++−−− Aabcabbcca Lời giải Tacó: ( ) ( ) ( ) 2222222222222 =++−−−=−+−+− Aabcabbccaabbcca Lạicó122122 −=−+−=−−−=− cacbba ( ) ( ) ( ) 222 221212232232287 ⇒=++−+−=++−+⇒= AA Vậy7. =A Bài 15: HọcsinhgiỏiHải Dương Tínhgiátrị biểuthức 32 2342 =+−+Axxx ,với555522351 22 ++ =++−−−−x Lời giải Tacó ( ) 12151 35.625.51 222 −=−=−= Đặt2255555535 22042442 2222 ++ +− =++−>⇔=+−⇔=+ aaa 246254513535 ⇔=+−=+−=+⇒=+ aa Từ đó 5151512 35112112212 222 −+− =+−−=−−=−⇔+=⇒++= xxxx
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 21 2210⇔+−= xx Từ đó ( ) ( ) ( )3222 24221122111 =+−−+−+⇒=+−+= AxxxxxAxxx Bài 16: Chohaisố thực,xy ,thỏamãn ( ) ( )22111 ++++=xxyy .Tính + xy Lời giải Tacó2210 +−>−=−≥ xxxxxx Nhânliênhợp2vế của ( ) ( )22111 ++++=xxyy với210 +−≠xx ( )22111⇒++=+− yyxx Nhânliênhợp2vế của ( ) ( )22111 ++++=xxyy với210 +−≠yy ( )22112⇒++=+− xxyy Cộng tương ứng(1)(2)tacó:0. +=−−⇔+= xyxyxy Bài 17: Họcsinhgiỏi Hà Tĩnh Tínhtổng1232015 ... ++++ aaaa ,biết ( ) 1 11 = +++ n a nnnn Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11111 11111111 +−+ = = = =− ++++− + +++++ n nnnn a nnnnnnnnnnnnnnnn 11 1 =− +nn (hiệusaiphân) Vậy122015 111111120161 1 12232015201620162016 +++=−+−++−=−=aaa Bài 18: ChuyênSPHN Gọi a lànghiệm dương của phương trình 2 210 +−=xx .Khônggiải phương trình hãy tính ( ) 42 23 22232 = −++ Ca aaa Lời giải Vì a lànghiệmcủa phương trình
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 22 222 42 1 21021021 212 ≤ +−=⇒+−=⇔=−⇔ =−+ a xxaaaa aaa Xét ( ) ( ) 42443 22232422341 2 −+=⇒−−=⇔=> aaaaaaa (loại) NhânliênhợpCvới ( ) 4222232 −+− aaa ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 42 22 42 2323222321 .212232 222322232 −−+− = == =−+−+− −++ aaaa CaCaaaa aaaa ( ) ( ) ( ) ( )222221121 .22222222121 2222 =−−=−−=−−=−+− aaaaaaaa 12 . 22 ⇒==− C Bài 19: HSGTỉnh Tuyên Quang, năm học20202021 Rútgọnbiểuthức2222 1111 12.132.352.520212.2021 S =++++ ++++ Lời giải a)Tacó: 2222 1111 12.132.352.520212.2021 S =+++⋅⋅⋅+ ++++ 1111 1.33.55.72021.2023 =+++⋅⋅⋅+ 2222 2 1.33.55.72021.2023 S ⇒=+++⋅⋅⋅+ 11111111 13355720212023 =−+−+−+⋅⋅⋅− 1 1 2023 =− 2022 2023 = 1011 2023 S ⇒= Bài 20: HSGTỉnh Bình Dương, năm học20202021 Rútgọnbiểuthức 1111 .... 1111121213120112021 N =++++ ++++ Lời giải Tacó:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 23 1111 .... 1111121213120112021 N =++++ ++++ 111211131212021201120211 ...... 1010101010 =++++ = D: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Bài 1: HSG Nam Định Cho x thỏamãn0;11 ≠−<<xx và112 11 ++− = +−− xx xx .Chứngminhrằng 1 12217 1 =− + x x Lời giải Từ giả thiếttacó ( ) ( ) ( )11211112121 ++−=+−−⇔−−=+− xxxxxx ( ) 121121 3223221221717122 12111 ⇔==−⇔=−=−+⇔=−+ ++++ xxx xxx (đpcm). Bài 2: Cho0 ++=abc và0 ≠abc .Chứngminhrằng222 111111 ++=++ abcabc . Lời giải Ta có đpcm 2 222222222 111111111111111 2 ⇔++=++⇔++=+++++ abcabcabcabcabbcca 0200 ++ ⇔=⇔= abc abc (luôn đúng do giả thiết). Bài 3: 1)Cho,,abc làcácsố hữutỉ đôi mộtkhácnhau.Chứngminhrằngbiểuthứcsaulàsố hữutỉ: ( ) ( ) ( ) 222 111 ++ abbcca 2)Chứngminhrằng ( ) ( ) ( )2222 4422 11111111 ,,0=++++=+−> ++ + + Pxyz xyxyxyxy xyxy Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 24 a)Ápdụngbài2tacó: Xét ( ) ( ) ( ) 0−+−+−= abbcca và ( ) ( ) ( ) 0−−−≠ abbcca ( ) ( ) ( ) 222 111111 ⇒++=++ abbccaabbcca b)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 44222222222222 222222 0 111111111111 > ++=++=+−=+− +++ xyxyxyxyxy xyxyxy ( ) ( ) ( ) 2222222222222 11111111111 =+++−=++=++ ++ + + P xyxyxyxyxy xyxyxy 111111 =+−=+− ++ xyxyxyxy (đpcm). Bài 4: HSGPhúThọ Chobasố dương ,, xyz thỏamãn100. =xyz Tínhgiátrị củabiểuthứcsau: 10 1011010 =++ ++++++ y Axz xyxyzyzxz Lời giải Đặt ( ) ,,,,010 ===>⇒= xaybzcabcabc +)1 101 = = ++++++ xa xyxabaabcbbc +)1 1 = ++++ yb yzybcb +)1010.10101010.1 = = = ++++++++ zcabccbc zxzaczacabccabcbcb Vậy 1 1 111 =++= ++++++ bbc A bbcbbcbbc Bài 5: Chobasố dương ,, abc và2 ++=++= abcabc .Chứngminhrằng: ( ) ( ) ( ) 2 111111 ++= +++ +++ abc abcabc Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 25 Đặt ( );;,,0 ===> axbyczxyz Từ giả thiếtta ( ) ( )2222222224 ⇒++=++=⇒++=+++++= xyzxyzxyzxyzxyyzzx 1⇒++= xyyzzx Chúý: ( ) ( )2 +++=++ xxyyzzxzxxy +) ( ) ( )12 = = ++++++ axx axyyzzxxxzxy Tương tự tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++ =++= +++++++++ VTxyzxyzyzxzxy xyxzyxyzzxzyxyyzzx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 111 = = +++++++++ xyyzyzzxxyzxabc (đpcm). Bài 6: Chobasố dương ,,,,,,, abcdABCD thỏamãn === abcd ABCD .Chứngminhrằng: ( ) ( +++=++++++) aAbBcCdDabcdABCD Lời giải Đặt,,, 0 ==== ====⇒ > abcdakAbkBckCdkD k ABCDk Tacó ( )2222 =+++=+++ VTkAkBkCkDkABCD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++++=++++++=+++= VPabcdABCDkAkBkCkDABCDkABCDVT Bài 7: HSGTỉnh Thái Bình, năm học20202021 Cho113 3 339 a =+− a)Chứngminhrằng292330 aa+−= b)Tínhgiátrị biểuthức 24 3327168Saaa =+++ Lời giải a)Tacó:113 3 339 a =+− 311 3 933 a ⇔+=+ 22 311 3 933 a ⇔+=+ 223131 927927 a a ⇔++=+ 22330 99 a a ⇔+−= 2 92330 aa ⇔+−= (điềuphảichứngminh) b)Tacó:292330 aa+−= (chứngminhtrên)
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 26 ( )231232312 9927 a aa a ⇔=== 22412144 2727 aaa a −−+ ⇒== 4227144 aaa⇔=−+ 42 27168144168 aaaaa ⇔++=−+++ 42 271684129 aaaa ⇔++=++ ( ) 42 2716823 aaa ⇔++=+ 24 3327168Saaa =+++ ( ) 223323 aa =++ 2 3323 aa =++ ( )2 33323 3 aa++ = 2 92333 3 aa++ = ( )2 923343 3 aa+−+ = 043 3 + = 43 3 = 4= Vậy4 S = E: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: HSG Nam Định 1)Chứngminhrằng22.....222 ++++< (2017chữ số 2) 2)Chứngminhrằng: 222221 22223 −+++ < −++ Lời giải 1)Tacó22.....2222.....24 ++++<++++ (2016chữ số 2) 22.....4=+++ (2015chữ số 2)242 =+= (đpcm) 2)Nhâncả tử vàmẫuvới22222 −+++ ta được: 2 22222 1 22222222222222 −+++ = = −++++++++++ VT Tacó11 2222223 22223 +++>+>⇒ < +++ Bài 2: 1)Chứngminhrằng1,∀≥∈nnN thì 1 212221 +−<<−− nnnn n
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 27 2)Ápdụng,chứngminhrằng: 111 200412005 231006009 <++++< Lời giải 1)Phântích:Tacó ( ) ( ) 122 212212. 112 +− +−=+−= =< ++++ nn nnnn nnnnn Ápdụngtacó: ( ) ( )22221 ;2121 2121 > <⇔+−<<−− ++ +− nnnn nnnnnnn 2)Tacó: 1 2221 1 −<= 1 2322222 2 −<<− 1 24232322 3 −<<− 1 21006001210060092100600921006008 1006009 −<<− Cộngtừngvế tương ứngtacó: ( ) 111 2100601011...210060091 231006009 −<++++<− 1 20041...2005 1006009 ⇔<++< (đpcm). Bài 3: Chứngminhrằng1,∀≥∈nnN thì ( ) 1111 2 232431 =++++< + A nn Lời giải Ta đưa về dạngtổngsaiphân:12231 .... −+−++− nn aaaaaa Tacó ( ) ( ) 111111 11111 + ==−=−>− +++++ nnn n nnnnnnnn nn ( ) 111111111 111111 =−=−+=−+ ++ ++++ nn nn nnnnnnnnnnnn 11 2 1 <− + nn
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 28 Ápdụngtacó:1111111 22...2 223341 <+−+−++− + A nn 1222 22 2211 <+−<−< ++ A nn (đpcm). Bài 4: Cho,,,abcd làcácsố dương. Chứngminhrằngtồntạimộtsố dương trong hai số 22 +− abcd và22 +− cdab Lời giải Xéttổnghaisố: ( ) ( )222222 +−++−=+−++−++ abcdcdabababcdcdac ( ) ( ) 22 0 =−+−++>⇒ abcdac đpcm. Bài 5: Tínhtổng123...24 =++++ A . Lời giải Tacó [ ] [ ] [ ]1,21;0,51; =−=− x với [ ) [ ] 0,10∈⇒=xx ( ) ( ) ( )12345...8910...15 =++++++++++ A ( )...1617...24 +++++ 32.53.74.9=+++A Bài 6: Tínhgiátrị biểuthức 22 + xy biết22111 −+−=xyyx Lời giải Tacóbất đẳngthứcCauchySchwars: ( ) ( ) ( )22222 ,,,,+≤++∀ axbyabxyabxy Dấu“=”xảyra ⇔= ab xy Ápdụngtacó: ( ) ( ) ( )2222222 111111 =−+−≤+−−+= xyxyxxyy Điềukiện:1;1 <<xy
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 29 Dấu“=”xảyra ( ) ( ) 2 22 2 1 11 1 ⇔=⇔=−− xx xyxy yy ( )22 222222 0 10. 1 ≥ ⇔ ⇔+=≥ =+− xy xyxy xyxyxy Bài 7: HSGHuyệnThanhOai Chứngminhrằngvớimọisố nguyên dương n tacó:111111 224364211 nnn +++++> ++ Lời giải Chứng minh đượccôngthứctổngquát: 11111 1(1)(1)(1)21 nn nnnnnnnnnn +− −== < ++++++ . Ápdụngbất đẳngthứctrênsuyra: 11111111 1;;...; 2224323211 nnnn >−>− >− ++ . Cộngvế vớivế củacácbất đẳngthức trên ta được: 11111 ...1 224364211 nnn ++++>− ++ suy ra đpcm Bài 8: HSGHuyện Tiên Du, năm học20202021 Cho1111 15599132125 A =++++ ++++ .Chứngminh2 A < Lời giải Tacó1111 .... 15599132125 A =++++ ++++ 15599132125 .... 15599132125 =++++ ( )1 1559913.....2125 4 =−+−+−+−−+ ( ) 11 ..125412 44 =−+==< Vậy2 A <
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 30 F: SỐ HỮU TỈ. SỐ VÔ TỈ Bài 1: Cho ( )2 0;4 2 + =≥≠ a Maa a a)Tìmcácsố nguyên a để M nguyên b)Tìmcácsố hữutỉ a để M nguyên Lời giải a)Tacó24 1 22 + ==+ a M aa Để ( ) { }241;2;4∈ ⇔−∈=±±± ∈ aZ aU MZ .Từ đó tìm đượccácgiátrị của a b) Đặt 42 4242 24 2 ++ =⇔−=⇔=⇔= nn nannaa ann Điềukiệncủa n là 4220 00 2 ++≥ ≥⇔≥⇔ ≤− nnn nnn Vậy 422 + = n a n ,với,0,2 ∈>≤−nZnn thì M nguyên. Bài 2: a)Chứngminhrằng3làsố vôtỉ b)Tổngquát,nếu a làsố nguyên dương không chính phương thì a làsố vôtỉ
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 31 c)Tínhchất:Nếu a làsố nguyên dương không chính phương, , AB hữutỉ và0 +=Aab thì 0==AB Lời giải *) Lưu ý: ,,,. ∈∈⇒ abZpPapap bp a)Gỉasử 3làsố hữutỉ 3 ⇒= a b với ( ) ( ),1,* =∈ ababN 222222 33.3393933 ⇔=⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ baaaaaabbb Vậy 3 3 ⇒ a b vôlí3 ⇒ làsố vôtỉ b)Taphântích ( )12 * 121...., ααα α =∈∈ k ki apppNPP Tổngquát:12..... = kabppp Ta đi chứngminh12 kppp làsố vôtỉ Phảnchứng:Giả sử 12 kppp làsố hữutỉ ( ) ( )* 12....,,,,1 ⇒=∈= k m pppmnNmn n ( )222 1211 ......1⇔=⇒⇒k npppmmpmp ( )222222 112121112⇒⇒⇒⇒⇒ kk mpnppppnpppnpnp Từ (1)(2) ⇒ vô lí (đpcm) c)Từ giả thiết ⇒ a làsố vôtỉ (chứngminhýb) Nếu00 =⇒=AB (đúng) 0 ≠⇒=−⇔=∈ B AAaBaQ A (vôlí) ⇒ đpcm. Bài 3: Chobasố ,, + xyxy làsố hữutỉ.Chứngminhrằng;xy đềulàcácsố hữutỉ Lời giải Đặt ( () ) 2 ,,0,,122 +=∈≠=⇔=−⇒=−+ mmmm xymnNnmnyxyxx nnnn 22 22 1 2 2 ⇔=+−⇔=+−∈ mmmmxxyxxyQ nnnn Mà =−∈ m yxQ n (đpcm).
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 32 Bài 4: Cho,,abc làbasố hữutỉ và n lànghiệmcủa phương trình 32+++ xaxbxc với n làsố nguyên dương không chính phương. Tìm các nghiệmcònlại Lời giải Theochứngminhtrên,* ∈ nN , n không là chính phương ⇒∈nI Giả thiết: n lànghiệmcủa phương trình 320 +++⇒+++= xaxbxcnnanbnc ( ) ⇔+=−− nbnanc Nếu0+≠⇒=∈ + anc nbnQ nb (vôlý) 00 ⇒+=⇒−−=⇒=− nbanccan Vậy;=−=− bncan thay vào phương trình ta có: ( ) ( ) ( ) ( )32222000 =± +−+−=⇔−+−=⇔−+=⇔ =− xn xaxnxanxxnaxnxnxa xa Vậycácnghiệmcònlạilà: =− xn và = xa .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 33 G: LUYỆN TẬP CĂN THỨC Bài 1: Hãylập phương trình ( ) 0=fx vớihệ số nguyêncómộtnghiệmlà3339=+x Lời giải Tacó: ( ) ( )3333 +=+++ abababab Có ( ) 333 333 39327391299120 =+++⇒=+⇔−−= xxxxx Đặt ( ) 3912=−−fxxx Phương trình ( )fx có3339=+x lànghiệm. Bài 2: TìmGTNNcủabiểuthức ( ) ( )3333 211211 =+++++−+ Axxxx Lời giải Điềukiện:1 ≥−x Nhắclại:, +≥+ abab dấu“=”xảyra0 ⇔≥ ab Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 333333 2112111111 =+++++−+=++++− Axxxxxx
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 34 3333 111111112 =++++−=+++−++≥ xxxx Dấu“=”xảyra ( ) ( ) ( ) 3333 1111011000. ⇔++−+≥⇔−+≥⇔−≥⇔≤ xxxxx VậyGTNNcủa210. =⇔−≤≤Ax Bài 3: SPHN, năm học2016 Cho,xy thỏa mãn điềukiện01;01;1 11 <<<<+= xy xy xy .Tínhgiátrị củabiểuthức 22=++−+ Pxyxxyy Lời giải Tacógiả thiết ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1111213 1111 −+− +=⇔ =⇔−+−=−−⇔+=+xyxyyx xxyyxyxyxyxy xyxy Từ đó ta có ( ) 22 22 2 1313131691313 3 222422 +++−++ =+−=+=+ xyxyxyPxyxyxyxy xy Vậy 1313 22 +− =+ Pxyxy +)Nếu 11313 1 322 +− ≤⇒=+= xyPxyxy +)Nếu 11331 3 322 +− >⇒=+= xyPxyxyxy . Bài 4: Chobiểuthức 33 33 11211 .: ? Axyxxyy xyxyxyxy +++ =+ ++ + + với0;0 xy>> a)RútgọnA b)Tìmx,ysaocho136xy = và5 A = Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21111 :. Axyxyxyxy xyxyxyxyxyxyxy +++ =++ = =+ ++ b)Theogiảithiếttacó 11111.62;3 36 111111553;2 xy xyxy xyxyxy === = ⇔⇔⇒ += +=== 2 trườnghợp.
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 35 Bài 5: Cho112 2 288 a =+− a)Chứngminhrằng: 2 4220 aa+−= b)Tính241 Saaa=+++ Lời giải a)Tacó22 21122 24220 82844 a aaaa +=+⇔+=⇔+−= b)Từ ( )22 )2.24122* aaaaa ⇒=−⇔=− Thay vào S ta được ( ) 2 2422422222 122122222 Saaaaaaaaaa =++−+=+−+=+−=+− Tachứngminh1120216222 288 a >⇔+>⇔+> (đúng) Từ ( ) 2221 *1220122.12 22 aaaa ⇒=−>⇒>⇒<<< 222022 aaa ⇒−>⇒−=− Vậy2222.Saa=+−= Bài 6: Chuyên Nam Định, năm học2017 Tìmtấtcả cácsố tự nhiênxthỏamãn: 121 .11 11xxx −≥ −+ Lời giải Điềukiện0;1 xx>≠ Tacó ( ) ( ) ( ) 12111 *. 111 xxx VTA xxxx −+ == = +− ( )1 11** 1 A x ≥⇔≥ Tacó10 x −> và2 xNx∈⇒≥ Với ( ) 2**1124 xxxx ≥⇒⇔≥−⇔≤⇔≤ Do { }22;3;4xx≥⇒∈ Bài 7: ĐạihọcNgoạiNgữ HàNội, năm học2017 Cho 2 2 11111 .1 11112 xxx P xxxx +−−+− =++ −+−+−+ a)RútgọnP b) Tìm x để 2 2 P ≤ Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 36 a) Đặt ( ) 1111111 1,011 xaab xbabQaabbabxx−= +− ≥⇒=+=−=− += +− −+ Với0;0;1 abb≠≠≠⇒ điềukiện 11 0 x x −<< ≠ ( ) 2 222 22 22 1112211 .1.11111 1212 xxxxx Pxx xx +−−−−−− ⇒= += +=−−−+=− b) ( ) 222 2 1 22112 11;001011 22222 1 2 x Pxxxxx x ≤< ≤−<<≠⇔<−≤⇔<−≤⇔≤<⇔ −<≤ Bài 8: Đạihọc Sư Phạm-HàNội, năm học2017 Giả sử , xy làhaisố thựcphậnbiệtthỏa mãn điềukiện22 112 111xyxy += +++ Tính22112 111 A xyxy =++ +++ Lời giải Điềukiện1 xy ≠− Theogiả thiếttacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 22 112 1111211 111 yxyxxyxy xyxy +=⇔+++++=++ +++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 222222222220xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy ⇔++=++⇔+−=−⇔−−−= ( ) ( ) 21012. 1 xy xyxyxyA xy = ⇔−−=⇔⇔=⇒= = Bài 9: Chuyên Sư PhạmHàNội Vòng 1, năm học2018 Cho ( ) 2 3 322 22 2 2 : 1 1 aabbaaababbPa babab aab aa +++ = + −+++ với ( )0;0;;2 abababa >>≠+≠ a)Chứngminh Pab =− b)Tìma,bbiếtrằng1 P = và337 ab−= Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 422 2242 2 2 :: 1 aaabb abaaaab Pabaab ababababab aabaabaab b ++ −+ =++ += −+− + −+++ −++ ( ) ( )22 22 aabaababab aabaab ++−− = =− −−++ b)11 Pab=⇔=+
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 37 Tacó: ( ) 333321 7173360 2 b abbbbb b = +=⇔+−=⇔+−=⇔ =− Vì0 b > nên12 ba=⇒= Vậy2;1 ab== Bài 10: Chuyên Toán Bình Định, năm học20182019 Chobiểuthức ( ) 2 33 :, abababab T ababab −+ = +− với,0,0 abab≠>> a)Rútgọnbiểuthức T b)Chứngtỏ 1T > Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 :. ababaabbabababababababab T ababab abababab +−+−−−++−−+ +− = = = ++ −+ Vậy ( ),0,0 abab Tabab ab +− =≠>> b)Tacó ( ) ( ) 22 11 ababababab T ababab +−−+− == =+> (vì0,0 abab>−≠ ). Bài 11: Chuyên Toán Hà Nam, năm học20182019 Chobiểuthức2 22 1111 121 11111 Qaaaa aaaa a +− = + −−−+ +−−−−+ với01 a << a)Rútgọnbiểuthức Q b)Sosánh Q và3 Q Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1111 .1 11111 a aa Qa aaaa aaa +− =+ +−− −+−− ( ) ( ) ( ) ( )1211 11 ..1 11111 aaaa a aaaa aaa +−+ =+ +−− −+−− ( ) ( ) ( ) ( )11111 ..1 1111 aaaa a aaa aa =+−−+− +− +−− +−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 11111111 .11 1122 aaaaaaaa aa aaaa −+−− ++−++− ++− = −=− +−− ( ) ( ) ( ) ( )112 111 22 aaa aaa aa +−− =− −=−−=−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 38 Do ( ) 2 10011110 aaa >>⇒>−>−⇒>−> Xét ( ) ( ) 321110.QQaa −=−−−> Vậy3. QQ > Bài 12: Chobiểuthức 125 : 2212 xxxxx P xxxxxx −−+− = −−+−− với01 a << a)Rútgọnbiểuthức P b)Sosánh P và4 c)Tìm x thỏa mãn điềukiện: ( ) 3 .2434 xxPxxx −++=+ Lời giải Điềukiện0;4 xx≥≠ a)Tacó ( ) ( ) ( ) 125145 :: 2212212 xxxxxxxxxx P xxxxxxxxxx −−+−−++−−+ =−−= −−+−− −+− ( ) ( ) ( ) ( ) 2 11 .12 2 xx xx xxx ++ = +−= b)Tacó ( ) ( ) 22 11 4404. xx PP xx +− −=−=≥⇒≥ Dấu“=”xảyrakhi1 x = c)Tacó: ( ) ( ) 2 322 1 24342434 x xxxxxxxx x + −++=+⇔++=+ Chicả haivế cho240 x +> ta thu được22 2 13. 44 xx xx += ++ Đặt24 x t x = + ,với0 t > tacó: ( ) ( )2 1 231021101 2 t tttt t = −+=⇔−−=⇔ = Với2 2 1140 4 x txx x =⇒=⇔−+= + (vônghiệm) Với ( ) 22 2 11 440202 242 x txxxx x =⇒=⇔−+=⇔−=⇔= + (thỏamãn) Bài 13: Chobiểuthức 21914 1 3232 xx P xxxx + =++ ++++ với0;1 xx≥≠ a)Rútgọnbiểuthức P b)Tínhgiátrị của P khi4 x = c)Tìmcácgiátrị của x để P làsố tự nhiên Lời giải a)Tacó:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 39 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 219142191421114 1 3232121212 xxxxxxx P xxxxxxxxxx ++ +++ =++=+= ++++++++++ ( ) ( ) ( ) ( ) 22727 121 xxx xxx ++ + = = +++ b)Với2.2711 42 213 xxP + =⇒=⇒== + c)Tacó ( ) 2155 2 11 x P xx ++ = =+ ++ Do500527. 1 xP x ≥⇒<≤⇒<≤ + VìPlàsố nguyênnên { }3;4;5;6;7P ∈ { } 5555321941 1;2;3;4;515;;;;14;;;;016;;;;0 12342344916 xxx x ⇔∈⇔+∈ ⇔∈ ⇔∈ + Đốichiếuvới điềukiệntathấy 941 16;;;;0 4916 x ∈ làcácgiátrị cầntìm. Cách khác: Để Plàsố nguyên thì điềukiệncần và đủ là5 1 m x = + (mlàsố nguyên dương 0x ≥ ) Tacó555, 1 m mmxmx xm =⇔+=⇔= + do0 x ≥⇒ điềukiện 5 0,m m ≥ do đó 0m > 505 mm ⇒−≥⇔≤ hay { } 321941 051;2;3;4;54;;;;016;;;;0 2344916 mmxx <≤⇒∈⇒∈ ⇒∈ . Bài 14: Chuyên Nam Định, năm học2018-2019 Chobiểuthức ( ) ( )3221 0;1 212 xxxx Pxx xxxx + ++ =−−≥≠ +−−+ a)Chứngminh3 2 x P x + = + b)Chứngminhrằngnếu0;1 xx≥≠ thì3 2 P ≤ Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32211 2136 212121212 xxxxx xxxx P xxxxxxxxxx + ++++−+ =−−=−− +−−+ −+−+−+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3644123133 1212122 xxxxxxxxxx xxxxxxx +−−−−++−−+ + = = = = −+−+−++ (đpcm) b)31 1 22 x P xx + ==+ ++ Với0;1 xx≥≠ ,tacó11133 221 22222 xP xx +≥⇒≤⇒+≤⇒≤ ++
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 40 Bài 15: Chuyên Nam Định, năm học20182019 Chobiểuthức ( ) ( ) 2 4 0;0; Pxyyxxyxyyxyxy xyxy ++− =− −>>≠ a)Rútgọnbiểuthức P b)Chứngminhrằng1 P ≤ Lời giải a)Tacó ( ) ( )2 42 xyyxxyxyxyxyxxyy Pyy xyxyxyxy +− ++ −+ =− −= ( ) ( ) 2 2 xy xyyxyxyyyy xy =+−−=+−−−=− b)Chứngminhrằng1 P ≤ Có ( ) 2 12121010 Pyyyyy ≤⇔−≤⇔−+≥⇔−≥ (luôn đúng vớimọiy) Bài 16: Chuyên Thái Bình, năm học20172018 Chobiểuthức ( ) 2 1351 1 114 xx A xxxxxx + + = +− −−+ ,với0;1 xx>≠ a)Rútgọnbiểuthức A b) Đặt ( ) 1.BxxA =−+ Chứngminhrằng1 B > với0;1 xx>≠ Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 135141 135 144 1111 xxxxAxx xxx xxxx ++− =−++ += 1 x = Vậy 1 A x = với0;1 xx>≠ b)với0;1 xx>≠ ,tacó ( ) ( ) 2 11 11. xxxxx BxxA xxx −+−+ =−+==>= Bài 17: ChuyênBắc Ninh vòng 2, năm học20192020 Tínhgiátrị củabiểuthức 432 2 23385 45 Axxxx xx −+−+ = −+ khi23 x =+ Lời giải Tacó ( ) 22 232323410 xxxxx =+⇒−=⇒−=⇒−+= Có22454142xxxx−+=−++= ; ( ) ( ) ( ) 4324323225 23385428210401055 2 xxxxxxxxxxxxA −+−+=−++−++−+−=−⇒= Bài 18: Pháttriển đề tuyểnsinhvào10TPHN
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 41 Chohaibiểuthức 7 8 = + A x và ( )224 0;9 39 =+≥≠ xx Bxx xx a)Tínhgiátrị củabiểuthức A khi25 =x b)Rútgọnbiểuthức B c)Tìm x nguyên để = PAB nguyên d)Tìm GLLN của P e)Tìm x để P nguyên. Lời giải a) Tính được 7 13 =A b)Rútgọn được 2248 9 33 −+ =+= −+ xxx B x xx c)Tacó787 . 833 + == = +++ PABx xxx Vì ( )37∈ ⇒+∈ ∈ xZ xU PZ Mà ( )333716 +≥⇒+=⇔= xxxtm Với161=⇒=∈ xPZ d)Vì77 33 33 +≥⇒≤ + x x ,dấu“=”xảyra0 ⇔= x e)Dễ thấy 71 0,2 3 = <<∈⇒ = P PPZ P +)Với ( )173416 =⇔=+⇔=⇔= Pxxxtm +)Với ( ) ( )1 2723 4 =⇔=+⇔= Pxxtm Vậy 1 ;16 4 ∈ x thì P nguyên. Bài 19: Chuyên Ngữ, năm 2014 Cho242112 :3 8121 ++++ =+++ −+ Axxxx xxxxx a)Rútgọn A b)Tìm x để 0>A c)Tìm x để 1>A Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL Website: Liênhệ tàiliệu word toán SĐT (zalo): 42 Điềukiện xác định:120;1;4;30 21 ≥≠≠++≠ −+ xxx xx Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1232112433 33 212121 −++++− ++= = ⇒≠ −+ −+−+ xxxxx x xxxxxx +) ( ) ( ) ( ) 2 2111 11 11 +++ + = = +− xxxx xx xx +) ( ) ( ) 24241242111 812242821 ++++ +++++ ==⇒+=+ −++ xxxxxxxxx xxxxxxxxxxx ( ) ( ) 3 21 = x xx Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 31 213331 −+ −+ = = xx Axx xxxx *)Chúý:Muốnbiếtkếtquả đúng hay sai ta sẽ thaymộtvàigiátrị bấtkỳ của x vàobiểuthứcban đầuvàbiểuthứcrútgọn,nếuhaikếtquả bằngnhauthìkếtquả rútgọn đúng 99,99%. b) ( ) ( ) ( )1 0031010101 31 + >⇔>⇔−>+>⇔−>⇔> Axxvìxxx x Vậy1;3;4 >≠≠xxx c) ( ) ( ) ( ) ( ) 11133422 1110000 313131311 + + +−+−−+ >⇔>⇔−>⇔ >⇔>⇔>Axxxxxx xxxxx +)TH1: 1024 14 2011 −>>< ⇔⇔⇔<< −+>>> xxx x xxx +)TH2: 104 201 −<> ⇔⇔ −+<< xx xx vônghiệm. Vậy14 << x và3 ≠x thì1 >A
RÚT G
N
C VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 1 B.
Ọ
BIỂU THỨ
DẠNG 1: RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIẾN Cách giải: Cần lưu ý mộtsố kiếnthứcsau Đặt điềukiện để biểuthức có nghĩa (nếu bài toán chưa cho) trướckhirútgọn Kiểmtraxemgiátrị củabiếncóphùhợpvới ĐKXĐ hay không trướckhithaygiátrị củabiến vàobiểuthứcthugọn Đôi khi có thể tính x hoặc x trướckhithayvàobiểuthứcrútgọn Kếtquả cuốicùngcủabiểuthứcrútgọnphảicómẫu dương và đã đượckhử mẫuhoặctrục căn thức ở mẫu. Bài 1: Chobiểuthức 212 1: 111 Aaa aaaaaa = + ++++ a)Rútgọnbiểuthức A b)Tínhgiátrị của A khi202122020 a =− Lời giải a)Tacó ( ) ( ) 2121212 1:: 111111 Aaaaaaa aaaaaaaaa +−+− = −−= ++ ++++ ++ Điềukiện xác định: 00 2101 aa aaa ≥ ≥ ⇔ −+≠≠ 1Aa ⇒=+ b)Lạicó ( ) ( ) 22 202122020202012020112020112020 aA =−=−⇒=−+=−+= Vậy2020 A = khi202122020 a =− Bài 2: Chobiểuthức ( ) ( ) 22332322 23 aaabbaba M aab +−+−− = + a) Tìm điềukiệncủa a, b để M xác địnhvàrútgọnM b)Tínhgiátrị củaMkhi132 a =+ và118 10 3 b =+ Lời giải a) Điềukiện xác định ( ) 0 0 0 0 230230 a a b b aabab ≥ > ≥⇔ ≥ +≠⇔+≠ b)Tacó ( ) ( ) ( ) 2233232222323 232323 aaabbabaabaab M aabaabaaab +−+−− = = = ++ +
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 2 ( ) ( ) ( ) 23233 2 23 aabaabb aaaba +− = =− + c)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33011830222302223212 42622 132132132321 b a +++− === =+=+ ++ +− ( ) 2 2222M ⇒=−+=− Vậy2 M =− khi132 a =+ và118 10 3 b =+ Bài 3: ChuyênQuảng Ninh, năm 2017 Chobiểuthức 23 333 1 33273 Ax xxxx =+++ ++− a)RútgọnA b)Tínhgiátrị củaAkhi35329125 x =+−−− Lời giải a) Điềukiện 0 3 x x ≠ ≠ Tacó ( ) ( ) ( ) 2 232 333333331 1. 3327333 333 xxxx A xxxxxx xxx −+ ++ =+ ++= = ++− −++ b)Tacó ( ) ( ) ( ) 222 291255....;....2912525332533253625 abab −=−⇒==⇒−=−⇒−−=−+=− ( ) 2 5131311. xxA =−⇒−=⇒=+⇒= Vậy1 A = khi35329125 x =+−−− Bài 4: ChuyênThừaThiênHuế, năm 2017 Chobiểuthức 432 2 22155324012 1020 Axxxx xx −+−− = −+ .Tínhgiátrị củaAkhi53 x =− Lời giải Cách1:Chiatử chomẫu Cách2:Tacó2535310220xxxx =−⇒−=⇒−+= ( ) ( ) ( )4322222 2215532401221022102210224034 TSxxxxxxxxxxxx =−+−−=−+−−++−+− 4034=− 210202MSxx=−+=− 2017 TS A MS ⇒==
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 3 Bài 5: HọcsinhgiỏihuyệnHằng Hóa, năm 2019 2020 Chobiểuthức 39312 221 xxxx P xxxx +−+− =−− +−+− a)RútgọnP b)Tínhgiátrị củabiểuthứcPkhi332014220142x =++− Lời giải a) Điềukiện0;1 xx≥≠ Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 333112233314 1212 xxxxxxxxxx P xxxx +−−+−−+− +−−+−+ = = −+ −+ ( ) ( ) ( ) ( ) 121 121 xxx P xxx ++ + ⇒= = −+ b)Tacó ( ) ( ) ( )3333 33 201422014240320142201422014220142xx =++−⇔=++−++− ( ) ( )332 4066400441004 xxxxxxxx ⇔=+⇔−−=⇔−++=⇔= (vì ( ) 22410260xxx++=++> Thay4 x = vàobiểuthứcthugọn ta được3. P = Bài 6: Họcsinhgiỏihuyện Quan Sơn và Thanh Xuân, năm 2019 2020 Chobiểuthức 32939 :1 2369 Axxxx xxxxx −+−− =+−− −++− a)RútgọnA b)Tínhgiátrị củabiểuthứcAkhi ( )3106331 6255 x +− = +− Lời giải a)Tacó ( ) 3293942 :1 23692 Axxxxxx xxxxxx xx −+−−−+ =+−−== −++− b)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 33 2 10633131313131 2 6255155 515 x +−+− +− = = = = +−+− +− Vậy 22 21 2 A + ==+ Bài 7: HọcsinhgiỏiBa Đình, năm 2019 2020 Chobiểuthức 111 4:2 11 Axxxx xxxx −+ =+−− −+− a)RútgọnA
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 4 b)Tínhgiátrị củabiểuthứcAkhi ( ) ( )23233535x =+−−+−− Lời giải a) Điềukiện0;1 xx>≠ Tacó ( ) ( ) 1111 4:2114.2 111 Axxxxxxxx xxxxxx −+ =+−−=+++−+− −+− ( ) ( ) 22212 22 1 xx xxxx + =−=−= b) ( ) ( ) 423423625625 23233535 2222 x +−+− =+−−+−−=− 3131515122 .2 222222 +−+− =−−== Thay2 x = vàobiểuthức A ta được2. A = Bài 8: HọcsinhgiỏiBắcTừ Liêm, năm 2017 2018 Chobiểuthức ( )3 111211 ..: 2 Axy xyxyxyxyxyxy xy =+++ ++ + a)RútgọnbiểuthứcA b)Tínhgiátrị củabiểuthứcAkhi35;35 xy=+=− Lời giải a) Điềukiện0;0;xyxy >>≠ Tacó ( ) ( ) ( ) ( )23 2 . . Axyxyxyxy xyxyxyxyxy ++ = + ++ ( ) 2 21 xyxyxyxyxyxyxy xyxyxyxyxyxy ++ = = = + b)Với35;35 xy=+=− tacó xy > do đó 0Axy xy => mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 35354 8 262.2 3535235 Axy xyxy +− = = == +− ++−−− Vậy822 A == Bài 9: ChuyênBắc Ninh, năm học20172018(HọcsinhchuyênToánTin) Chobiểuthức 232 2 xx P x = và 322 2 Qxxx x −+− = + với0;4 xx≥≠ a)RútgọnbiểuthứcPvàQ
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 5 b)Tínhtấtcả cácgiátrị của x để PQ = Lời giải a)Với0;4 xx≥≠ ta được21 Px=+ và1 Qx=− b) Khi đó ( ) 2 211210131331423PQxxxxxxxx =⇔+=−⇔−+=⇔−=⇔−=⇔=+⇔=+ Kếthợpvới điềukiện xác định ta được423 x =+ thỏa mãn điềukiện. Bài 10: ChuyênBắc Ninh, năm học20142015(HọcsinhchuyênToánTin) Chobiểuthức ( ) 2 11 1 11 xxx Pxx xx =−+ với0;1 xx≥≠ a)RútgọnbiểuthứcP b)Tínhsố chính phương x sao cho 2 P làsố nguyên Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 112111 11 1 1111 xxxxxxx Pxxxx x xxxx −++ =−+=−+ −+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 11 1111.1 11 xxxxxxx xx =−+++=−+=− ++ b)Tacó21 Zx P ∈⇔− là ướccủa2gồm1;2 ±± { }0;4;9x ⇒∈ Bài 11: HọcsinhgiỏiTỉnh Bình Phước, năm học20182019 Chobiểuthức ( ) ( ) 183111 : 311311 3131 xxx P xxxx xx + =−++− +− −−+− a)RútgọnbiểuthứcP b)Tínhgiátrị củaPkhi ( ) 32251322512x =+−+−+− Lời giải a) Điềukiện xác định:110 x <≠ Đặt1;03 axa=−<≠ Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 931139311 :: 3333333 aaaaaaa P aaaaaaaaaaa ++−++ + =+−= +−+−−+− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3931333333 24 ::. 3333333324 aaaaaaa a aaaaaaaaaaa + ++−++− + = = = −+−−+−−++
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 6 331 24214 ax ax == + −+ b)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 22 32251322512215121512x =+−+−+−=+−+−+− ( ) ( ) 215112512215121251221212 =+−+−+−=+−−−−+−=+−−= Vậy 3211 . 22142 P == −+ Bài 12: HọcsinhgiỏiTỉnh Thái Bình, năm học20182019 Chobiểuthức 11 1:1 1111 xyxxyx xx P xyxyxyxy ++ ++ =++−− +− −+ ,với0;0;1 xyxy≥≥≠ a)RútgọnbiểuthứcP b)Tínhgiátrị củaPkhi33426426x =−++ và26 yx=+ Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111111 : 11 xxyxyxxyxyxyxyxxyxxy P xyxy +−++++−−−++−+− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111211 11112 xxyxyxxyxyx xyxyxxyxxyxyxyxy +−++++− + = = = −+++++−+ Với0;0;1 xyxy≥≥≠ thì1 P xy = b)Tacó ( ) ( ) ( )3 3333333 42642683426426426.42686 xx =−++=+−++−+=− ( )3268688xxxxxy ⇒+=⇔+=⇔= (thỏa mãn điềukiện) Thay8 xy = vào P ta được 2 . 4 P = vậy 2 . 4 P = Bài 13: Chuyên Ninh Bình, năm học2017 Chobiểuthức ( )3152 0;4 224 aaa Paa aaa ++ =++≥≠ +− ,với0;0;1 xyxy≥≥≠ a)RútgọnbiểuthứcP b)Tínhgiátrị củaPkhi338484 11 99 a =++− Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( )3152321252 2244 aaaaaaaa P aaaa ++−+−+−+ =++= +− 363252484 442 aaaaaaaa P aaa −+++−−− = == +
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 7 b) Tính được ( ) 4 1. 3 atmP=⇒= Bài 14: Chuyên Trà Vinh, năm học20182019 Chobiểuthức 222222 1: Qxxy xyxyxxy =−+ với0 xy>> a)RútgọnQ b) Xác địnhgiátrị củaQkhi3xy = Lời giải a)Tacó 2222 2222222222 1: Qxxyxxxyxxy xyxyxxyxyxyy =−++−−− =− ( ) 2 22 22222222 xxxyxyxyxy xyyxyxyxyxyxyxy −+ =−=−== +−+ Vậy Qxy xy = + với0 xy>> b)Thay3xy = (thỏa mãn điềukiện)vàobiểuthức Q ta được: 322 342Qyyy yyy === + Bài 15: ChuyênToánBếnTre, năm học20182019 Chobiểuthức 1 ababab P ab +−− = + với,ab làhaisố thực dương a)Rútgọnbiểuthức ( ) ( ) 1 :P abab ++ b) Xác địnhgiátrị củabiểuthứcPkhi201922018 a =+ và202022019 b =+ Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 111 abababababababab Pab ababab +−−−+−−+ = = = =− ++ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 122 : Pabababababab abab =−++=−+=− ++ b) ( ) ( ) 22 20192201820181;20191201812019120182019 abP =+=+=+⇒=+−−=− . Bài 16: HọcsinhgiỏicấpTỉnhLạng Sơn, năm học20202021 Chobiểuthức 2 :1 111 Pxyxyxyxy xyxyxy −+ ++ =−+ +− với0;0;1. xyxy≥≥≠ a)Rútgọnbiểuthức P b)Tínhgiátrị củabiểuthức P với945 y =+ Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 8 a) Điềukiện0;0;1. xyxy≥≥≠ 2 :1 111 Pxyxyxyxy xyxyxy −+ ++ =−+ +− ( ) ( ) 12 : 111 Pxxyyyxxxyyyxxyxyxy xyxyxy −−+−−−− =−+++ +− ( ) ( ) ( ) 222111 11111 xyyyx Pxyxy xyxyxyxyxy −+ = = −+++−++ 2 1 Py y = + Vậy 2 1 Py y = + với0;0;1. xyxy≥≥≠ b)Với0;0;1 xyxy≥≥≠ ( ) ( ) 22 945525252yy =+=+⇒=+=+ (thỏamãn) Thayvàobiểuthức P ta được ( ) ( ) ( ) 25225215 19455 25525 P −+−+ = = == ++ + Vậy 5 5 P = khi945 y =+ Bài 17: HọcsinhgiỏicấpTỉnhBàRịa Vũng Tàu, năm học20202021 1)Rútgọnbiểuthức 125 : 2212 xxxxx P xxxxxx −−+− = −−+−− với0,4 xx≥≠ 2)Tínhgiátrị củabiểuthức392021 Mxx=−+ với331231312313x =−++ Lời giải 1)Với0,4 xx>≠ 125 : 2212 xxxxx P xxxxxx −−+− = −−+−− ( ) ( ) ( ) 145 : 212 xxxxx xxxx −++−−+ = −+− ( ) ( ) ( )12 11 . 21 xx xx xxx +− +− = = . 2)Ápdụngcôngthức: ( ) ( )3333 abababab +=+++ ( ) ( )3 33333 920211231312313912313123132021Mxx=−+=−++−−+++
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 9 ( ) ( ) 333 33 12313123133144117.1231312313 912313123132021 =−+++−−++ −−+++ ( ) ( )3333 243.312313123139123131231320212045. =+−++−−+++= Bài 18: HSGHuyện Gia Lâm vòng 1, năm học20202021 Chobiểuthức 4444 2323 xxxxxxxx xxxxxx A −−++−− = −++− a)Rútgọnbiểuthức A b)Tínhgiátrị của A khi ( ) 23743 31 x +− = Lời giải a)4444 2323 Axxxxxxxx xxxxxx −−++−− = −++− Đặt ( ) 02 txtxt =≥⇒= Như thế ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3232 3322 4444221221 32321212 tttttttttttt A tttttttt −−++−−−+−−++ =−=− −+−++ −++− 2 2 222424 1111 tttx tttx −+−− =+== −+−− b)Tacó ( ) ( ) ( ) ( )2 (23)74323232323131 312 313131 x +− +−+− + = = = == Vậy ( ) 314331.2 23 3131 2 A +− == =− b) Ta có các bđt phụ sau(rấtquenthuộcnêntakhôngchứngminhlại) Vớibasố thực dương ;; xyz ( ) 12 3 xyyzxzxyz ++≤++ (dấubằngkhi xyz == ) Và1119 xyzxyz ++≥ ++ (dấubằngkhi xyz == ) Ápdụngtacó 222222 120201112018 P xyzxyyzzxxyzxyyzxzxyyzxzxyyzxz =+=+++ ++++++++++++ ( ) ( ) ( ) 22222 2 9201860636063 6063 1 21 3 xyzxyyzxzxyz xyz ≥ +=≥= +++++ ++++ Vậymin 1 6063 3 Pxyz =⇔===
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 10 Bài 19: HSG Hà Đông, năm học2018-2019 Chobiểuthức 22 22 (1)(2)(1)(2)(2)2 . (1)(2)(1)(2)(2)2 aaaaaa P aaaaaa +−+−−+ + = −++−−+ a)Rútgọnbiểuthức P b)Chứngminhrằngnếubiểuthứcsaukhirútgọncủa P làsố nguyêntố và a làsố nguyênthì a cũng là số nguyêntố b)Tínhgiátrị củabiểuthức P biết2(5252)5 51 a ++− = + + Lời giải 1) ĐKXĐ: a2 > hoặc a2 <− 22 22 (1)(2)(1)(2)(2)2 . (1)(2)(1)(2)(2)2 aaaaaa P aaaaaa +−+−−+ + = −++−−+ Nếu a2 > thì (1)2(1)2(1)221 . (1)2(1)2(1)221 +−+−+−+++ = = −+−+++− aaaaaaaa P aaaaaaaa Nếu a2 <− thì (1)2(1)2(1)221 (1)2(1)2(1)221 −+−+−+−−−−−+ = =− −−−−−−−−+− aaaaaaaa P aaaaaaaa 2)Nếu a2 <− a P a + ⇒=−< 1 0 1 thì P khônglàsố nguyêntố Nếu a2 > a P a + ⇒= 1 1 nguyêntố khi P làsố nguyên Vì aZ ∈ nên P nguyênkhi a1 thuộc ướccủa2 Mà a2 > nên a11 −> aa ⇒−=⇒=123 Với a = 3 thì P = 2 làsố nguyêntố VậyPlàsố nguyêntố khi a = 3 cũng là số nguyêntố 3) Đặt2(5252) 51 ++− = + t 2 t4t2⇒=⇒= (do t0 > ) a ⇒=+=257 .Thay a = 7 vào P + == 714 713 Bài 20: HSGHuyện Nga Sơn, năm học20202021 Chobiểuthức 122 :1 111 Aaa aaaaaa = −+−−+ với01 a ≤≠ a)Rútgọnbiểuthức A b)Tínhgiátrị của A ,biết 223 42362 a = +− Lời giải a)Với0,1 aa≥≠ tacó:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 11 122 :1 111 Aaa aaaaaa = −+−−+ ( ) ( ) 1212 : 11 11 Aaaa aa aa =−+− +−+ ( ) ( ) ( ) 2 121 : 111 aaa A aaa +− = +−+ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 11 111 aa A aaa + = ⋅ +− 1 1 A a = Vậy 1 1 A a = với0,1 aa≥≠ b)Tacó:223 42362 a = +− ( ) ( )2 2423 13231 a ⇔= + ( ) ( ) 2 2 31 1331 a ⇔= + ( ) 2 31 1331 a ⇔= + ( ) 2 13a ⇔=+ Thay ( ) 2 13a =+ (thỏamãn0,1 aa≥≠ )vàobiểuthức 1 1 A a = ta được: ( ) 2 1113 13113133 A = === +− +− Vậy 3 3 A = khi223 42362 a = +− Bài 21: HSG Yên Định, năm học2020-2021 Chobiểuthức 232 1: 15623 Axxxx xxxxx +++ =−++ +−+−− a)Rútgọnbiểuthức A
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 12 b)Tínhgiátrị của A ,biết 3311 22 331111 22 x +− = + ++−− Lời giải a)Với0 x ≥ ,4 x ≠ ,9 x ≠ tacó: 232 1: 15623 Axxxx xxxxx +++ =−++ +−+−− ( ) ( ) 1232 : 123 23 xxxxx xxx xx +− +++ = +− + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 123322 : 123 xxxxx xxx +++−−+− = + ( ) ( ) 1294 : 123 xxx xxx ++−−+ = + ( ) ( ) 13 : 123 x xxx = + 11 : 12xx = +− 12 11 x x = + 2 1 x x = + . Vậy 2 1 Ax x = + khi0 x ≥ ,4 x ≠ ,9 x ≠ b)Khi 33232311 2222 33423423111111 2244 x +− +− =+=+ +− ++−−+− ( ) ( ) 22 2323 22 231231 22 +− = + ++−− 2323 3333 +− =+ +− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23332333 3333 +−+−+ = +− 623333623333 1 93 −+−++−− = = (thỏa mãn ĐKXĐ).
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 13 Tacó2121 1112 Ax x === ++ Vậy 1 2 A = .
DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 14
A. Kiến thức cần nhớ 1.Xétbàitoán: ( )Px a)Rútgọn ( )Px b)Tìm x để ( ) Pxm = (mlàhằngsố)hoặc ( ) ( )PxQx = 2.Giảibàitoán a)Rútgọn Đặt điềukiện để ( )Px có nghĩa Thựchiệnrútgọn ( )Px b)Tìm x :Giải phương trình B. Bài tập Bài 1: ChuyênLêHồng Phong Nam Định, năm 2015 Chobiểuthức 121 1 11 Qxxx xxxxx +− =−− −+− a)Rútgọnbiểuthức Q b)Tìmcácgiátrị của x để 1Q =− Lời giải a) Điềukiện 0 100 101 0 x xx xx xx ≥ −≠> ⇔ −≠≠ −≠ Tacó ( ) 121111 11 xxxxxx Qx xxx xxx +− =−=== b)111 111 24Qxxxxx x =−⇔=−⇔−=−⇔=⇔= (thỏa mãn điềukiện) Vậy 1 . 4 x = Bài 2: Chuyên Lào Cai, năm 2017 Chobiểuthức ( ) 1 . 11 xx Pxx xxx =+− +− a)Rútgọnbiểuthức ( )Px b)Tìm x để ( ) 1Pxx=+ Lời giải a) Điềukiện0 x > và1 x ≠ Tacó ( ) ( ) ( ) ( )1111 1 .2 1 xxxxxxx x Pxx xxx −++ −++ = = =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 15 b) ( ) ( ) 2 12121010101 Pxxxxxxxxx =+⇔=+⇔−+=⇔−=⇔−=⇔= (loại) Vậykhôngcógiátrị nào để ( ) 1Pxx=+ . Bài 3: Chobiểuthức ( )39312 0;1 221 xxxx Pxx xxxx +−+− =−+≥≠ +−+− a)Rútgọnbiểuthức P b)Tìmtấtcả cácgiátrị x nguyên dương để pnhậngiátrị nguyên Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 393123331122 221212121 xxxxxxxxxx P xxxxxxxxxx +−+−+−+−−+ =−+=−− +−+− +−+−+− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33314321 21211 xxxxxxx xxxxx +−−−−− +++ = = = +−+− b)12 1 11 x P xx + ==+ 2 1 PZZ x ∈⇔∈ Vì;1xZxxZ ∈≠⇒∈++ và2 x ≥ Để ( ) 2114 19 1212 xZxx Z xx xUx ∈ −== ∈⇔ ⇔⇔ −∈= −= (thỏamãn) Vậy { }4;9x ∈ Bài 4: Chuyên Sư PhạmHàNội, năm 2017 Chobiểuthức ( ) ( ) 2 1 21 111111 11 x x Px xxxx xx −+ = +++−− −+ a)Rútgọnbiểuthức P b)Tìmcácgiátrị của x để 1Px=− Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) 33 221.11.1 11111 xxxxx P xxxxx −+− +− = ++−−+−− ( ) ( ) ( ) ( ) 221.121 ..11 1121.11111 xxxx xx xxxxxxxxx −+− + = +==+ ++−−+−+−−+−− b)Tacó111 Pxxx =−⇔+=− (điềukiện1 x > )
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 16 ( ) ( ) ( ) 1120 3 xloai xx xtm = ⇔+=−⇔ = Vậy3 x = làgiátrị cầntìm. Bài 5: Họcsinhgiỏihuyện Chương Mỹ vòng 2, năm học2020 Cho 1 Hxyxy xyxyyxxyxyxxyy =−− +−−++++−− Tìm,xy nguyên để 20.H = Lời giải Điềukiện,1;,0 xyxy≠> Tacó ( ) ( ) ( ) ( )1 xyxyyxyyxyxyy +−−=+−+=+− ( ) ( )1xyxyxxyx +++=++ ; ( ) ( )111 xxyyxy +−−=+− Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1111 Hxxxyyyxyxxyyxyxyxxyyxy xyyxxyyx +−+−−+−+−+− = = +−++−+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1111 Hxyxxyyxyxxyxyyxx yxyx −+−+−+−++−+ = = −+ −+ ( ) ( )1 1 11 Hxyyxxyyyxxyyxxyxy yy −+− −+− = = =+−=+− Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) 20201119111919.11.19 Hxxyyxyyyx =⇒+−=⇒+−+=⇒+−=== ( ) ( ) ( ) ( )1919.11.191.1919.1 ====−−=−− TH1: 11400 1190 yx xy += = ⇒ −== TH2: 1194 11324 yx xy += = ⇒ −== TH1: 11 119 y x +=− ⇒ −=− loại TH1: 119 11 y x +=− ⇒ −=− loại Vậyvới400;0 xy== hoặc4;324 xy== thì20. H = Bài 6: Họcsinhgiỏihuyện Đức Cơ, năm học2019 Cho 232322 ;. 22 xxxxxAB xx −−+++ = = −+ Tìm x saocho AB = Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 17 Tacó232 2 Axx x = xác địnhkhi0;4 xx≥≠ ( ) ( )232221 21 22 xxxx Ax xx −+ = = =+ Lạicó 322 2 xxx B x +++ = + xác địnhkhi0 x ≥ ( ) ( )321 22 1 22 xxxxx Bx xx +++++ = = =+ ++ Tacó ( ) 00 2112020 24 xx ABxxxxxx xx == =⇔+=+⇔−=⇔−=⇔⇔ = = Kếthợpvới điềukiện ta được0 x = Vậy0 x = khi AB = Bài 7: Họcsinhgiỏihuyện Như Thanh, năm học2019 Chobiểuthức 211 : 1112 Axxx xxxxx +− =++ −++− a) Tìm điềukiệncủa x để A có nghĩa và rút gọn A b) Tìm x để biểuthức A nhậngiátrị bằng2 c)Tínhgiátrị củabiểuthức A tại ( ) 3 3321321. 3 x =++ Lời giải a) Điềukiện0;1 xx≥≠ Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 2112111 :: 11122 11 xxxxxxxxx A xxxxxxxx ++−−++ +− =++= −++− −++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 222121122 . 1111 1111 xxxxxxxx xxxxxx xxxxxx ++−−−−−+ = = = = −++++ −++−++ Vậy 2 1 A xx = ++ với0;1 xx≥≠ b)Tacó ( )2 221110200 1 Axxxxxx xx =⇒=⇔++=⇔+=⇔=⇔= ++ (thỏamãn) (vì10 x +> vớimọix) c)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 333 3 333 33 212121 321.321.321 333 xxx =++⇔−=+⇔−=+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 33333333 21 33322132122121 3 xx ⇔−=++⇔−=−++− ( ) ( ) ( ) 33 3332 32122131314 xxxx ⇔−=−+−⇔−=⇔−=⇔= (thỏamãn)
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 18 Thay4 x = vào A ta được: 22 4417 A == ++ Bài 8: HọcsinhgiỏihuyệnMỹ ĐứcvàTỉnhLaiChâu(2018 2019), năm học20192020 Cho211 : 1112 xxx P xxxxx +− =++ −++− với0;1 xx≥≠ a)Rútgọn P b)Tìmcácgiátrị của x để 2 7 P = c)Sosánh2 P và2 P Lời giải a)Tacó ( )3 21121 : 111211 1 xxxxx P xxxxxxxx x + =++=+−−+ −++− ++− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21112122 :. 11211 11 xxxxxxxx xxxxxx xxx ++−−++ −−+ = = = −++−++ −++ b)Với0;1 xx≥≠ Tacó ( ) ( )222 1760230 77 1 Pxxxxxx xx =⇔=⇔++=⇔+−=⇔−+= ++ Vì30204 xxx +>⇒−=⇔= (thỏamãn) Vậy 2 7 P = khi4 x = c)Vì ( ) 011022 20220202 1 xxxPPPPPPP xx ≥⇒++≥⇔<≤⇔<≤⇔−≤⇔−≤⇔≤ ++ Dấu“=”xả rakhi20 Px=⇔= Vậy22PP ≤ Bài 9: HSGTỉnh Sóc Trăng, năm học20202021 Cho1120211 1 20212022202112021 xxx Px xxxxx −++ =−+ ++ +−+−− a)Rútgọn P b)Tìmcácgiátrị của x để 2024P = Lời giải a) Điềukiện xác định:2 0;1;2021xxx≥≠≠ 1120211 1 20212022202112021 xxx Px xxxxx −++ =−+ ++ +−+−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12021112021202111 202112021 xxxxxxx xxx −++−++−−−+ = ⋅ +
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 20202020120211 202112021 xxxxx xxx +−−+−−− = ⋅ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 220202020.2021 202112021 xxx xxx +−− = +−− 20202020 1 xx x +− = b)Tacó:2024 P = 20202020 2024 1 xx x +− ⇔= 2020202020242024 0 1 xxx x +−−+ ⇔= 44 0 1 xx x −+ ⇔= 440xx ⇒−+= ( ) 2 20x ⇔−= 20x ⇔−= 2x ⇔= 4x ⇔= (thỏa mãn điềukiện) Vậyvới4 x = thì2024 P =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 1 DẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH A. Kiến thức cần nhớ 1.Xétbàitoán:Chobiểuthức ( )Px a)Rútgọn ( )Px b)Tìmgiátrị của x saocho ( ) Pxm > (mlàhằngsố)hoặc ( ) ( )PxQx > 2.Giảibàitoán a)Rútgọn Đặt điềukiện để ( )Px có nghĩa Thựchiệnrútgọn ( )Px b)Tìm x :Giảibất phương phương trình Kiểm tra điềukiệnvàkếtluận B. Bài tập Bài 1: Chobiểuthức 37107 : 224824 Axxxx xxxxxxx −++ =−− −++−++ a)Rútgọnbiểuthức A b)Tìm x saocho2 A < Lời giải a) Điềukiện0 x ≥ và4 x ≠ Đặt:ABC = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 243271024236710 224224 xxxxxxxxxxxxxxx B xxxxxx ++−−−−+ ++−++−−− = = −++ −++ ( ) ( ) ( )41642 22424 xx B xxxxx + = = −++++ ( )42 : 7 x ABC x + ⇒== + b) ( ) ( ) ( ) ( )42 2242272273 7 x Axxxxx x + <⇔<⇔+<+⇔+<+⇔< + 09 x ⇔≤< .Vậy 09 4 x x ≤< ≠ Bài 2: Chobiểuthức ( ) 432 : 222 xxx P xxxxx −+ =+− a)Rútgọnbiểuthức P b)Tìm m để có x thỏamãn ( ) 1.xPxm+>+
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 2 Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 432414 :: 22222 xxxx P xxxxxxxxx −+− =+−= Điềukiện: 0 4 x x > ≠ ( ) ( ) ( ) 414 :1 22 x Px xxxx = =− b) ( ) ( ) ( ) 1.1.11xPxxx +=+−=− Theo đầubài11xxmxxm −>+⇔+<− Nhậnthấy00101 xxxmm >⇒+>⇒−>⇔< Ngượclạivới1 m < thì 2 151551 1 242442 xxmxmxmxm +<−⇔+<−⇔+<−⇔<−− 2 51 0 42 xm ⇔<<−− Vậy1 m < làcácgiátrị cầntìm Bài 3: HọcsinhgiỏihuyệnTriệu Phong, năm học20192020 Chobiểuthức ( ) 2 . xyxxyyBxy xxyyxyxy + = +− a)Rútgọnbiểuthức B b)Sosánh B và B Lời giải a) Điềukiện,0;xyxy >≠ Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . xyxyxyxyxxyy B xyxxyyxyxyxy + −+−++ = +−+ −+ 2 .. xyxxyyxyxxyyxxyy xy xxyyxyxxyyxy ++++++−−− = +−= −++−++ xyxyxy xxyyxyxxyy + = = −++−+ b)Vì,00 xyxy>⇒> và 2 3 0,,0 24 yy xxyyxxy −+=−+>∀> nên0 B > vớimọi,xy thỏa mãn điềukiện đã cho Lạicó: ( ) 211 01 xyxy xyxyxyxy xyxyxyxyxyxy −≥⇔+−≥⇒≤⇒≤= +− +− Dấu“=”khôngxảyravì xy ≠ Vậy01BBB<<⇒>
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 3 Bài 4: Họcsinhgiỏihuyện Thường Tín, năm học2019-2020 Chobiểuthức 11212 : 1 11 xxxxxx P xxxxx +−+− =−+ −+ a)Rútgọnbiểuthức P b)Chứngminh1 P > Lời giải a) Điềukiện P có nghĩa 0;1xx>≠ Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21121211 : 11111 xxxxxx P xxxxxxx +−−+ = + −−++−+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21212121211 :: 111111 xxxxxxxx P xxxxxx xxxxx −−−+ =+= = −−+ −−−+ b)11112.11xx Pxx xxx −+ ==+−≥−= (bất đẳngthứcCôsi) Vì đẳngthứcxảyra 1 1xx x ⇔=⇔= (khôngthỏa mãn điềukiện) Vậy1 P > Bài 5: Họcsinhgiỏihuyện Ba Vì, năm học20192020 Chobiểuthức 2 2322 3831 1: 56483122 xxx P xxxxxx + =+ ++−−+ a)Rútgọnbiểuthức P b)Tìmcácgiátrị của x để 0;1PP== c)Tìmcácgiátrị của x để 0P > Lời giải a) Điềukiện:2;3;0;2 xxxx ≠−≠−≠≠ Rútgọn được 4 6 x P + = b)04 Px=⇔=− (thỏamãn) 12Px=⇔= (khôngthỏa mãn điềukiện) c)0404 Pxx >⇔+>⇔>− và2;3;0;2 xxxx ≠−≠−≠≠ Bài 6: Họcsinhgiỏihuyện Ba Thước, năm học20192020 Chobiểuthức ( )214 4;0 112 xxx Pxxx xxxxx +− =−−>≠ +−+− a)Rútgọnbiểuthức P b)Tìmcácgiátrị của x để 10Px −< Lời giải a)Tacó
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 4 ( ) ( ) 2142124 11212 11 xxxxxxxxx Px xxxxxxxx xxx + + −−+=−−= +−+− −−+−+− ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21124 112 xxxxxx P xxxx +−−−−− = −−+ ( ) ( ) ( ) ( )124 112 xxxxx P xxxx −+ = −−+ ( ) ( )122 .2 12 xxx Px xx = =− +− b)Tacó ( ) 204 10210 101 xx Pxxx xx −<< −<⇔−−<⇔⇔ −>> Vậykhôngcógiátrị nàocủa x thỏamãnbàitoán. Bài 7: ChuyênCaoBằng vòng 2, năm học20192020 Chobiểuthức 122 :1 111 xx p xxxxxx = −+−−+ ,với0;1 xx≥≠ a)Rútgọnbiểuthức P b)Tìmtấtcả cácgiátrị của x để 1P ≥ Lời giải a)Tacó ( ) ( ) 1212 11111 xx xxxxxxxx −=− −+−−− −+ ( ) ( ) ( ) ( ) 1212212 ;1 111 1111 xxxxxx xxx xxxx +− +− −= −= −+−+++ Vậy 1 1 P x = b) 12 110 11 x P xx ≥⇔≥⇔≥ TH1: 2024 14 1011 xxx x xxx −≥≤≤ ⇔⇔⇔<≤ −≥>> TH2: 2024 1011 xxx xxx −≤≥≥ ⇔⇔ −<<< (vôlý) Vậycácgiátrị x cầntìmlà14 x <≤
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 5 Bài 8: Chuyên Toán Ninh Bình, năm học2019-2020 Với0, x > xéthaibiểuthức 2 Ax x + = và 329 3 xx B xxx −+ =+ + .Tìmtấtcả cácgiátrị của x để 5 3 A B > . Lời giải Tacó ( ) ( ) 32992922 33 33 xxxxxxx B xxxx xxxxx −+−++++ =+=== ++ ++ Với0 x > ,tacó522535:395 333 3 Axxx xx Bxxx +++ >⇔ >⇔>⇔+> + (vì30,0 xx>∀> ) 81 290 4 xx ⇔<⇔<< Bài 9: HSGTỉnh Yên Bái, năm học20202021 Chobiểuthức ( ) 1233 11 :.. 111 xxxx Bxx xxx −+ =+− + −+ Với0;1 xx≥≠ .Chứngminhrằng 1 .0 2 MxB =−≤ Lời giải 2)Với0;1 xx≥≠ ,tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )121111 :.. 111 xxxxxxxx Bxx xxx −+++−− =+− + −+ ( ) ( ) ( )12 :1.1 1 xx Bxxxxxx x = +++−+− + ( ) ( ) ( ) 2 122 :1.1 1 xx Bxx x =+− + ( ) ( ) 2 12 :1 1 xx Bx x = + 1 x B x = + *Chứngminhrằng 1 .0 2 MxB =−≤ (Với0;1 xx≥≠ ) Tacó:1 . 2 MxB =− 1 . 12 x Mx x ⇒=− + ( ) 21 . 21 xx Mx x ⇒=⇒ + ( ) ( ) 2 1 21 xx M x = + Với0,1 xx≥≠ tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 100 21 210 x xx x x x −≤ −>⇒≤ + +> 0M ⇒≤
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 6 Vậy:Với0,1 xx≥≠ thì0 M ≤ Bài 10: HSGHuyện Hoài Đức, năm học20192020 Chobiểuthức ( ) ( ) 3211 : 21111 xxxx P xxxxx +++ =−+ +−+− ,với0;1 xx>≠ . a)Rútgọnbiểuthức P b)Tínhgiátrị của P với44322322 22 322322 x +− =− −+ c)Vớigiátrị nàocủa x thì 11 1 8 x P + −≥ Lời giải a)Với0;1 >≠xx tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3211 : 21111 21111 : 21111111 12 : 1111 111 12 1 2 xxxx P xxxxx xxxxxx xxxxxxxx xxx xxxx xx xx x x +++ =−+ +−+− +++ −+ = −+ +−+−−+−+ + =− −+ −+ =⋅ + = Vậyvới0;1 >≠xx thì1 2 x P x + = b)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 22 444422 32232221212121 222222 3223222121 2121 xxx +−+− +− =−⇔=−⇔=− −+ −+−+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 212122 22221221221221 2121 xxx +− ⇔=−⇔=+−−⇔=+−− 2222224xx ⇔=+−+⇔= Thay4 x = (thỏa mãn ĐK)vàobiểuthức P ta được 41213 24224 P ++ === ⋅ Vậyvới44322322 22 322322 x +− =− −+ thì3 4 P = c)Tacó
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 7 111121 1110 888 11 2 xxxx Pxx x +++ −≥⇔−≥⇔−−≥ ++ ( ) ( ) 16218869 00 8181 xxxxxx xx −−−−−−+− ⇔ ≥⇔≥ ++ ( ) ( ) ( ) ( ) 22 33 00 8181 xx xx ⇔≥⇔≤ ++ Với ( ) 0,10810xxxx >≠⇒>⇒+> và ( ) 2 30x −≥ ( ) ( ) 2 3 0 81 x x ⇒≥ + mà ( ) ( ) 2 3 0 81 x x ≤ + Dấu“=”xảyra3039 xxx ⇔−=⇔=⇔= (tmđk).Vậy để 11 1 8 x P + −≥ thì9 x = Bài 11: HSGTânKỳ, năm học20182019 Chobiểuthức +−++ =−−− +−+−− Axxxxx xxxxx 316717 :2 23311 a) Tìm điềukiện xác địnhcủa A b)Tínhgiátrị của A khi + = + x 22775 9 1072 c)Cho = + x PA x 2 . 2 .Tìm x để <P 0 Lời giải a) ĐKXĐ ≥x 0 ; ≠x 1 ; ≠x 4 +−++ =−−− +−+−− Axxxxx xxxxx 316717 :2 23311 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−+−++− =−− −+−+−+ xxxxx xx Ax xxxxxxxx 347117321 : 13131311 ( ) ( ) +−−+−−−−− = −+ Axxxxxxx xxx 3471102122 : 131 ( ) ( ) = −+ Axxx xxx 6272 : 131
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 8 ( ) ( ) ( ) ( ) +− = = +− xx Axx xxxx 39 19 3122 . b)Tathấy ( ) ( +++++) = = = = = + +++ x 2 227752.54145492.7.5575 1 9 1072 2.577575 ⇔= x 9 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Thay =x 9 vàobiểuthức A , ta tính được ===−A 9939 6 9232 c) ĐKXĐ ≥x 0 ; ≠x 1 ; ≠x 4 Tacó: == = ++−+ PAxxxx xxxx 2299 .. 2222 . Khi đó, <⇔<⇔−< + x Px x 9 0090 2 (vì +>x 20 ) ⇒≤< x 081 Kếthợpvới ĐKXĐ ta được ≤< x 081 ; ≠x 1 ; ≠x 4 thì <P 0
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 9 BÀI 4: RÚT GỌN VÀ TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: + Đốivớicácbiểuthức B PA C =+ với,AB làsố nguyên, C nhậngiátrị nguyênhoặcvôtỷ thì P nhậngiátrị nguyênkhivàchỉ khi C làsố nguyênvà C là ướccủasố B. + Đốivớicácbiểuthức B PA C =+ với,AB làsố hữutỷ, C nhậngiátrị thực. Ta thườngtìmcách đanh giá P ,tứclàchặn P theokiểu MPN ≤≤ từ đó suy ra các giá trị cóthể của P .Hoặctìm ra điềukiệncủa P để tồntạibiến,,... xy thỏamãnyêucầubàitoántừ đó suy ra các giá trị nguyêncóthể của P - Đốivớicácbàitoántổnghợphọcsinhcần chú ý điềukiện ban đầu để loạicácgiátrị không thỏamãn Bài 1: Họcsinhgiỏihuyện Đan Phượng, năm học20192020 Chobiểuthức 2 Ax x = và29 39 xxx B xx + =− với0;4;9 xxx>≠≠ a)Tínhgiátrị củabiểuthức A khi100 x = b)Rútgọnbiểuthức B c)Tìmgiátrị nguyêncủa x để biểuthức:MAB = cógiátrị nguyên Lời giải a) Điềukiện0;4;9 xxx>≠≠ Khi100 x = (thỏa mãn điềukiện)thì 10105 10284 A === b) ( ) 292393 999 33 xxxxxxxxxx B xxx xx +−− +− =−= == −+ c)Tacó 33255 :.1 2222 MABxxxx xxxxx ++−+ == ===+ Để M nguyênthì ( )25xU −∈ và22 x −>− { } { } { }21;1;51;3;71;9;49 xxx ⇒−∈−⇔∈⇔∈ Bài 2: HọcsinhgiỏiTỉnh Thanh Hóa, năm học20172018 Chobiểuthức 2 21122 , 1 xxxxx P xxxxxxxx −++− =++ −++− với0;1 xx>≠ a)Rútgọnbiểuthức P b)Tìmtấtcả cácgiátrị của x saochogiátrị của P làmộtsố nguyên Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2112212 1111 xxxxxxxxxx P xxxxxxxx −++−+−+++ = = −++ −++ ( ) ( ) ( ) ( ) 122 111 xxx xxxxx −+ + = = −++++
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 10 Ta có điềukiện 221 0;1111012 111 xx xxxxxP xxxx ++ >≠⇒++>+>⇒<=<=+< ++++ Do P nguyênnên2111 1 x Px xx + ⇒=⇔=⇔= ++ (loại) Vậykhôngcógiátrị nàocủa x để P nguyên. Bài 3: HọcsinhgiỏiTỉnh Điện Biên, năm học20182019 Chobiểuthức 12 1:1 111 x P xxxxxx = +−− + −+−− a)Rútgọnbiểuthức P b)Tìmcácgiátrị của x để QxP =− nhậngiátrị nguyên Lời giải a) Điềukiện ( ) ( ) 112 0;1:1 1111 xx xxP xxxx ++ ≥≠⇒= + +− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11111 :1.1 111111 xxxxxxx xxxxxx +− ++ ++ = −= ++ +− +− 1 1 11 xxx xx ++ =−= ++ 11 1111 QxPxxxx xxxx + =−=−==− ++++ b) Để QZ ∈ thì1 x + là ướccủa1 ( ) ( ) 110 112 xxtm xxloai = += ⇔⇔ +=−=− Vậy0 x = thì QZ ∈ Bài 4: Chuyên Điện Biên, năm học20182019 Chobiểuthức ( )23345 ,0;25 1545 xxxx Pxx xxxx +++− =−− ≥≠ +−−− a)Rútgọnbiểuthức P .Tìmcácsố thực x để 2P >− b)Tìmcácsố tự nhiên x làsố chính phương sao cho P làsố nguyên. Lời giải a)Tacó233452 15455 xxxxx P xxxxx +++−+ =−−=− +−−−− 225 2220 5512 xxx P xxx ++< >−⇔−>−⇔−>⇔ > Với5025 xx<⇔≤< Với12144 xx>⇔> b)Tacó x làsố chính phương nên xN ∈ và55 x −≥−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 11 Khi đó { } { }27 151;1;716;36;144 55 x PZxx xx + =−=−−∈⇒−∈−⇒∈ Bài 5: ChuyênBắc Giang, năm học2018-2019 Chobiểuthức ( )4411 :0;1 2111 Axxxxxx xxxxx +++ =+−>≠ +− +− a)Rútgọnbiểuthức A b)Cóbaonhiêugiátrị nguyêncủa x để 12018 2018 A + ≥ Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4421 211211 xxxxxxx xxxxxxx +++++ +=− +− −+−+ 22 111 xx xxx + =−= +) ( ) ( ) 112 1111 x xxxx −= +− +− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222111 :0;1 11112 xx Axxxx xxxxxx −+ + ⇒= = =>≠ −−+− b)12018111111201802018 201820182018 Axx xx + ≥⇔+≥+⇔≥⇔≤⇒<≤ Vì0;1 xx>≠ và x nguyênnên { }2;3;4....;2018x ∈ Vậycó2017giátrị ngyêncủa x thỏamãnbàitoán. Bài 6: ChuyênToánCần Thơ, năm học20182019 Chobiểuthức ( ) ( ) ( )2 41411 .1 411 xxxx A xxx −−++− = , trong đó 1;2xx>≠ a)Rútgọnbiểuthức A b)Tìmcácgiátrị nguyêncủa x để giátrị biểuthức A làsố nguyên Lời giải a)Tacó2 2121211112 44121 xxxxxxxx A xxxxx −−++−−−−++− = = −+ Nếu 2 12 1 xA x <<⇒= Nếu 2 2 1 xA x >⇒= b) Nếu12 x << thìkhôngcógiátrị nguyên.
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 12 Nếu2 x > thì2 1 A x = +112 xx−=⇔= (loại) +125 xx−=⇔= (thỏamãn) Bài 7: HọcsinhgiỏiTỉnh Thanh Hóa, năm học20162017 Chobiểuthức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1111 Pxyxy xyyxyxxy =−− +−+++− với0;1 xx>≠ a)RútgọnbiểuthứcP b)Tìmcácgiátrị , xy nguyênthỏamãn2 P = Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1111 xyxxyyxyxyxyxyxxyyxy P xyxyxyxy −++−++−+−+− = = ++− ++− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 111 xxyxyxxxyyyx xyy +−+++− −+− = = +− ( ) ( ) ( )111 1 xyyyy xxyy y −+−− = =+− b)22 Pxxyy =⇔+−= ,với0;0;1;0 xyyxy ≥≥≠+≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 111111 xyyyx ⇔+−+=⇔+−= Tacó1111040;1;2;3;4 yxxx +≥⇒−≤⇔≤≤⇒= ThayvàoPtacócáccặpgiátrị ( ) ( ) 4;0;2;2thỏamãn. Bài 8: Họcsinhgiỏihuyện Chương Mỹ, năm học20192020 Chobiểuthức 11 224 Ax xxx =+− −+ a)Tìm x để 1A < b)Biết ( )1 .198319831, 2 A =++−− hãytínhgiátrị của ( )3 :2 2 x BA x + = c)Tìmgiátrị x nguyên để P nhậngiátrị nguyên,khi3 : 2 PAx x = d)Tìm x để ( ) .254169 Axxxxx −+=++++− Lời giải a) Điềukiện0;4 xx≥≠ Rútgọn được 2 Ax x = ,do2110204 22 Axxx xx <⇒<⇔<⇒−<⇔< Kếthợpvới điềukiện ta được:04 x ≤< b) Tính được339 2 x Ax x =⇒=⇔= (thỏa mãn điềukiện)
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 13 Thayvàobiểuthức 61 :6 77 B == c)Tacó33 :1 233 PAxx xxx ===−+ Để P nhậngiátrị nguyênthì { }3 0;4;16;36 3 Zx x ∈⇒∈ ,kếthợpvới điềukiện ta được { }0;16;36x ∈ d) ( ) ( ) 2 .25416953169 Axxxxxxxx −+=++++−⇔−−=++− Tacó5;5 VTVP≤≥ vớimọi x thuộc điềukiện xác định ⇒ dấu“=”xảyra9 x ⇔= Bài 9: HSGTỉnh Lào Cai, năm học20202021 Chobiểuthức 329131 : 1323277 xxxxx P xxxxxxx +++ =−− −+−−− (0;1 xx>≠ ) a)Rútgọnbiểuthức P b)Tìm x saocho P nhậngiátrị làmộtsố nguyên Lời giải a)Tacó 329131 : 1323277 xxxxx P xxxxxxx +++ =−− −+−−− 3(32)2(1)917(1) (1)(32)31 xxxxxxx xxx +−−−−−− = −+ + 317 . 3231 xx xx + = ++ 7 32 x x = + b)70,100 32 x xxxP x ∀>≠⇒>⇒=> + 771477 0,0,1 333323(32) x PPxx xx ==−<⇒<<∀>≠ ++ P nhậngiátrị làmộtsố nguyên{1;2} P ⇒∈ 11 1 24 Pxx =⇔=⇔= (tmđk) 2416Pxx =⇔=⇔= (tmđk) Vậy 1 ;16 4 x ∈ thì P nhậngiátrị làmộtsố nguyên.
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 14 Bài 10: HSGTỉnhBắc Giang, năm học2020-2021 Chobiểuthức 39312 221 Axxxx xxxx +−++ =−+ +−+− (0;1 xx≥≠ ) a)Rútgọnbiểuthức A b)Tìmcácgiátrị nguyêncủa x để A nhậngiátrị nguyên. Lời giải 1. a)Với0,1 xx≥≠ ,tacó: 39312 221 Axxxx xxxx +−++ =−+ +−+− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 333112 21 xxxxx A xx +−−+−−+ ⇒= +− ( ) ( ) 6 21 Axx xx ⇒= ⇒ +− ( ) ( ) ( ) ( ) 23 21 xx A xx +− = ⇒ +− 3 1 Ax x = Vậyvới0,1 xx≥≠ thì3 1 Ax x = . b)Tacó32 1 11 Ax xx ==− . Với x ∈ , để A ∈ thì ( )1x là ướccủa2 Suyra { }12;1x −∈±± Lậpbảng 1x 2211 x 1 (loại) 302 x 904 Kếthợpvới điềukiện0,1 xx≥≠ thì { }0;4;9x ∈ thỏamãnyêucầubàitoán. Bài 11: HSGTỉnhQuảng Ninh, năm học20202021 Chobiểuthức 512121 212 Axxx xxxx −−+ =+− +−+− (0;1 xx≥≠ ) a)Rútgọnbiểuthức A b)Tìmgiátrị của x để 2 A nhậngiátrị nguyên. Lời giải a)Tacó: 512121 212 Axxx xxxx −−+ =+− +−+− với0 x ≥ và1 x ≠ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 51121221 21 xxxxx xx −−+−+−+ = +−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 15 ( ) ( ) 56123221 21 xxxxx xx −+++−−− = +− ( ) ( ) 752 21 xx xx = +− ( ) ( ) ( ) ( ) 172 21 xx xx −+ = +− 72 2 x x + = + Vậy 72 2 Ax x + = + b)Với0 x ≥ và1 x ≠ Tacó720 224 Ax x + => + Để 2 A nhậngiátrị nguyên2 A⇔ và A ∈ Tacó ( ) 72721212 77 222 xx A xxx ++− ===−< +++ Mà07 A << ,2, A A ∈ { }2;4;6A ⇒∈ Với2 A = 72 27224 2 x xx x + ⇔=⇒+=+ + 4 52 25 xx ⇔=⇒= (thỏamãn) Với4 A = 72 47248 2 x xx x + ⇔=⇒+=+ + 3624 xxx ⇔=⇔=⇒= (thỏamãn) Với6 A = 72 672612 2 x xx x + ⇔=⇒+=+ + 10100xx ⇔=⇒= (thỏamãn) Vậy 4 25;4;100x ∈ thì 2 A nhậngiátrị nguyên. Bài 12: HSGTỉnh ĐồngTháp, năm học20202021 Chobiểuthức 2 44442 1816 Axxxx xx +−+−−− = −+ (48 x <≤ ) a)Rútgọnbiểuthức A b)Tìm x để A cógiátrị nguyên. Lời giải a)Với48 x <≤ tacó 2 444444442 4 1 Axxxx x −+−++−−−+− = ( ) ( ) 22 2 42422 4 1 −++−−− = xx x |42||42|2 4 1 xx x −++−−− = 42242 4 xx x x −++−−− = do420 x −−≤ và410 −> x 2 4 x x =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 16 b)Với48 x <≤ tacó 28 2 44 Ax xx ==+ A nguyênkhivàchỉ khi4 x là ướccủa8 Suyra: 41 42 44 48 x x x x −=± −=± −=± −=± Kếthợpvới điềukiệntacó: 5 6 8 x x x = = = Bài 13: HSGTỉnh Sơn La, năm học2020-2021 Chohaibiểuthức 21311 339 +− =++ +− Axxx xxx và3 1 = + x B x với0;9 xx≥≠ a)Tínhgiátrị của A tại ( ) ( ) 22 54520215452021 x = + −+ b)Rútgọn A c)TÌmtấtcả cácsố nguyên x để PAB = nhậngiátrị nguyên. Lời giải a)Tacó: 22 5(452021)5(452021) = + −+ x 2(452021)2(452021) 5(452021)(452021) ++− = −+ 90220219022021 5(20252021) ++− = 180 20 = 9= Thay9 =x vàobiểuthức B ta được: 39333 0 19131 ==== +++ x B x b)21311 339 +− =++ +− Axxx xxx 2(3)(1)(3)113 (3)(3) −++++− = +− xxxxx xx 2633113 (3)(3) −+++++− = +− xxxxxx xx 39 (3)(3) + = +− xx xx 3(3) (3)(3) + = +− xx xx 3 3 = x x với0,9 ≥≠xx c)33 Tacó: 31 =⋅=⋅ −+ PABxx xx 3 1 = + x x 3(1)3 1 +− = + x x 3 3 1 =− +x ⇒ P làsố nguyên3 1 ⇔ +x làsố nguyên3:(1) ⇔+ x ⇔+∈=±± (1)(3){1;3} xÖ mà11 x +≥ với0 x ≥
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 17 { } 11;3{0;4}xx ⇒+∈⇒∈ Bài 14: HSGQuậnTâyHồ, năm học20202021 Chohaibiểuthức 273211 : 32113222 xxx P x xxxx −+−+ = +− +− với2;11 xx≥≠ a)Rútgọnbiểuthức P c)Tìmtấtcả cácsố thực x để biểuthức P đạtgiátrị nguyên. Lời giải 1)Rútgọnbiểuthức P Điềukiện xác định:2;11 xx≥≠ Đặt2xa −= ,0;3 aa>≠ 2 22 9311 : 393 aaa P aaaaa ++ =+−⇒ +−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 33 931 : 33933 aaa aa P aaaaaaa ++ =+− +−−−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3322 : 333 aa P aaaa ++ ⇒= ⇒ +−− ( ) 3 22 a P a =− + Thay2xa −= vào P ta được: ( ) 32 222 x P x =− −+ b)Tìmcácsố thực x để biểuthức P đạtgiátrị nguyên. ( ) ( )32 2234 222 x PxPP x =⇒−+=− −+ P nguyênnên230 P +≠ Từ đó 4 2 23 P x P −= + Do20 x −≥ nên40 23 P P ≥ + .Suyra30 2 P <≤ Do P nguyênnên { }1;0P ∈− Với1 P =− thì2418 xx−=⇔= Với0 P = thì202 xx−=⇔= Bài 15: HSGHuyện Ba Vì, năm học20202021 Chohaibiểuthức 2 111xxxxxxx P xxxxxx ⋅ +−−+− =++ a)Rútgọnbiểuthức P b)Chứngminhrằng4 P > c)Vớinhữnggiátrị nàocủa x thìbiểuthức 6 P nhậngiátrị nguyên. Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 18 a)Rútgọnbiểuthức P . Điềukiện0 x > ;1 x ≠ . Tacó1(1)(1)1 (1) xxxxxxx xxxxx −−++++ = = 21(1)(1)1 (1) xxxxxxxxx xxxxxx −+−−−+−+− = =⋅ Thayvào P ta được: 1111 2xxxxxx P xxxx +++−+−+ =++=+ . b)Chứngminhrằng4 P > . Tacóvới0;1 xx>≠ thì ( ) 2 10x −> . Suyra12xx +> Do đó, 12 22xx P xx + =+>+ . Suyra4 P > c)Vớinhữnggiátrị nàocủa x thìbiểuthức 6 P nhậngiátrị nguyên? Tacó63 40. 2 P P >⇒<< Do đó 6 P nhậngiátrị nguyênbằng1 . Khi đó 141 6260 xxx P xx +−+ =⇔+=⇔= . 223(2)3 23 x x x =+ ⇔−=⇔ =− Vậyvới 743 743 x x =+ =− thì6 P nhậngiátrị nguyên. Bài 16: HSGHuyệnMỹ Đức, năm học20202021 Chohaibiểuthức 235723 : 221232105 xx P xxxxxx −+ =+− −+−−+ a)Rútgọnbiểuthức P b)Tínhgiátrị củabiểuthức P khi1312281636 x =+−++ c)Chobiểuthức 2 2 x B xx = + .Tìm x để MPB = cógiátrị nguyên. Lời giải a)Tacó235723 : 221232105 xx P xxxxxx −+ =+− −+−−+ Với0,4 xx>≠
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 42365723 : 221221521 2323 : 221521 23521 22123 5 2 xxxx xxxxxx xx xxxx xxx xxx x x ++−− =+ −+−++ ++ = −++ ++ = −++ = b)Tacó: ( ) 2 13234236x =+−++ 13234236969(TM) 59 15 92 x P ⇒=+−−+=+= ⇒== c) ( ) 525 .. 22 2 xx MPB xx xx == = −+ + Với0,4 xx>≠ tacó11 22 22 x x +>⇒< + 55 22 M x ⇒=< + Màdễ thấy 5 00 2 MM>⇒<< Nênvới { }1;2MM∈⇒∈ +Với511259(TM) 2 Mxx x =⇒=⇔+=⇔= + +Với551222(TM) 224 Mxx x =⇒=⇔+=⇔= + Vậy 1 ;9 4 x ∈ Bài 17: HSGHuyện Hưng Hà, năm học20192020 Chohaibiểuthức 2 111xxxxxxx P xxxxxx +−−+− =++ (với01 x <≠ ) a)Rútgọnbiểuthức P vàchứngminhrằng4 P > b)Vớinhữnggiátrị nàocủa x thìbiểuthức 6 QP = nhậngiátrị nguyên Lời giải a)Với01 x <≠ tacó:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 20 2 111xxxxxxx P xxxxxx +−−+− =++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11111 111 xxxxxxxx xxxxxx +−++−+− = +− −−+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111111 111 xxxxxxxx xxxxxx +−++−+−+ = +− −+ 111xxxxx xxx +++−+ =+− 11121 xxxxxxx xx ++++−+−++ = = Vậyvới01 x <≠ ,tacó21 xx P x ++ = Tacó:2112 xx Px xx ++ ==++ Vì100;0xx x >⇒>> .Ápdụngbất đẳngthứcAMGMtacó: 111 2.224xxx xxx +≥=⇒++≥ Dấu“=”xảyrakhi: 0 11 x x x x > ⇔= = Vì01 x <≠ do đó 4P > b)Tacó:6 QP = xác địnhkhi01 x <≠ Chỉ raP>0suyra60 QP=> Vì663 4 42PQP>⇒=<= 63 0 2QP ⇒<=< Mà6 1 ∈⇒=⇒=QZQP 21 6216410xx Pxxxxx x ++ ⇒==⇒++=⇔−+= ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2323 2323 2323 xx xx xx =+ −= ⇔−=⇔−=⇔ ⇔ −=− =− (thỏamãn) Vậy ( ) ( {) }22 23;23x ∈−+ .
RÚT G
N BI
TH
C VÀ TÌM GTLN, GTNN
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 1 DẠNG 5:
Ọ
ỂU
Ứ
A. Kiến thức cần nhớ 1.Xétbàitoán:Chobiểuthức ( )Px a)Rútgọn ( )Px b)TìmGTNN,GTLNcủa P hoặcmộtbiểuthức có liên quan đến P Vídụ:TìmMin(max)của ( ) ( )1. xPx 2.Giảibàitoán TìmTập xác định Rútgọn P Chỉ ra đượcsố m saocho ( ) Pxm ≤ (hoặc ( ) Pxm ≥ ). Chira0 x saocho ( )0 Pxm = 3.Chúý:Vớisố thực,0 AB ≥ thì 0A ≥ 2 ABAB +≥ (bất đẳngthức AMGM ).Dấu“=”xảyrakhivàchỉ khi AB = ( ) ( ) 222222 ABCDACBC +++≥+++ ,vớicácsố thực,,,0 ABCD ≥ ( ) ( ) ( ) ( )2322332,4 ABABABAB +≤++≤+ ,với,0 AB ≥ B. Bài tập Bài 1: ChuyênLêHồng Phong, năm 2018 Chobiểuthức 111 : xx Px xxxx =−+ + a)Rútgọnbiểuthức P b)Vớimọigiátrị của x để biểuthức P có nghĩa. Chứngminhrằng4 P > Lời giải a) Điềukiện:0;1 xx>≠ Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 11111111 ::: 11 xxxxxxxxx Px xxxxxxxxxx −++− =−+= = + ++ ( ) 2 1x P x + ⇒= b)Với0;1 xx>≠ Tacó ( ) 2 14.1 4 xx P xx + =≥= Dấu“=”xảyra11 xx ⇔=⇔= Do1 x ≠ nên4 P > (đpcm).
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 2 Bài 2: Chuyên Hưng Yên, năm 2017 Chobiểuthức ( )2121 0;1 11 xx Pxx xx −+ =−≥≠ −+ a)Rútgọnbiểuthức P b)TìmGTNNcủabiểuthức ( ) ( ) 41. AxxP =−− Lời giải a) ( )21212 0;1 111 xxx Pxx xxx −+ =−=≥≠ −+ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 41.24242288 1 x Axxxxxxx x =−−=−=−=−−≥− Dấu“=”xảyra2024 xxx ⇔−=⇔=⇔= (thỏamãn) Bài 3: HọcsinhgiỏihuyệnCầuGiấy, năm học20192020 Chobiểuthức 21 . 112121 xxxxxxxx P xxxxxx +−+− =−+ +−− a) Tìm điềukiệncủa x để P có nghĩa và rút gọn P b)TìmGTNNcủabiểuthức P Lời giải a) Điềukiện ( ) 3 000 1010 1 1011 1 21011 21 10 242104 1 2 xxx xxxxx x xxx x xx xxx x x x ≥≥≥ −≠ ≠ ≥ ≠ −≠⇔≠ ⇔⇒≠ ≠ +−≠ −+≠≠≠ −≠ ≠ Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2111 1111121 21 2 xxxxxxxxx P xxxxxx xx ++− +− =−+ −+++−−+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2121 .. 1 111212121 211 2 xxxxxxxxxxxx P xxxxxxx xxxx +− = −+= + −++ −++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1221 2121211 211211 xxxxxxxxxxx xxxxx xxxxxx −+ + =+= += = −++++ −++
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 3 b)Tacó111 1 111 xxxx P xxxxxx +++− == =− ++++++ P đạtGTNNthì1 1xx++ đạtGTLN1 xx ⇒++ đạtGTNN Lạicó10;1;11 4 xxxxx ≥≠≠⇒++≥ ⇒ Giátrị nhỏ nhấtcủa110 xxx ++=⇔= ⇒ Giátrị nhỏ nhấtcủa00 Px=⇔= Vậyvới0 x = thì P cógiátrị nhỏ nhấtbằng0. Bài 4: Họcsinhgiỏihuyện Quan Sơn, năm học20192020 Chobiểuthức 2222 3232 xxxxxxxx P xxxxxx −−++−− = + −−−+ a)Rútgọn P .Vớigiátrị nàocủa x thì1 P > b)Tìmxnguyênbiết P đạtgiátrị nguyênlớnnhất Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22222121 32322121 xxxxxxxxxxxx P xxxxxxxxxx −−++−−−++− =+=+ −−−+ −++− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 11111111 111111 xxxxxxxx xxxxxx −+−+ −+ =+=+=+ +−+−+− ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1122 111 xxx xxx −++ + = = −+ b)Tacó ( ) 222244 2 111 xx P xxx +−+ == =+ Pcógiátrị lớnnhấtkhi4 2 1x + cógiátrị lớnnhất1 x ⇔− làsố nguyên dương nhỏ nhất 112xx ⇔−=⇔= Bài 5: HọcsinhgiỏihuyệnCẩmThủy Thanh Hóa Vòng 2, năm học20192020 Chobiểuthức 22 : 11 xxx P xxxxxx =+− −+ a)Rútgọn P b)Tìmgiátrị nhỏ nhấtcủa P Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 4 a) Điềukiện0;1 xx>≠ Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 221212 :: 11111 xxxxxxxx P xxxxxxxxxx +++−+ =+−= −+ −++ ( ) ( ) ( )21 112 xxxx xxxx ++ = −++ 1 x P x ⇒= b)Có1111111221.24 11111 xx Pxxx xxxxx −+ ===++=−++≥−+= Dấu“=”xảyrakhi ( ) ( ) ( ) 24111 111 10 11 xxtm xx xxloai x −== −=⇔−=⇔⇔ −=−= Vậy44 min Px=⇔= . Bài 6: Họcsinhgiỏihuyện Đan Phượng, năm học20182019 Chobiểuthức 261923 2313 xxxxx P xxxx +−− =−+ +−−+ a)RútgọnP b)Tìmgiátrị nhỏ nhấtcủaP Lời giải a) Điềukiện0;1 xx≥≠ Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2619232619213 131313 xxxxxxxxxxx P xxxxxx +−−+−−+−− =−+= −+−+ −+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 26192643116161616 133 1313 xxxxxxxxxxxxxx xxx xxxx +−−−+−+−+−−+ + = = = = −++ −+−+ b)Tacó ( ) 16252525 33623.61064 3333 x Pxxx xxxx + ==−+=++−≥+−=−= ++++ Vậy44. min Px=⇔= Bài 7: HọcsinhgiỏiTỉnhLạng Sơn, 23/03/2019 Chobiểuthức ( ) ( ) ( )23 33 1313 xxxx A xxxx −+ =−− +−+− ,với0;9 xx≥≠ a)Rútgọnbiểuthức A b)Tìmgiátrị nhỏ nhấtcủabiểuthức A Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 5 a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 233233133 131313 xxxxxxxxAx xxxxxx −+−−−−++ =−−= +−+− +− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3824388 13131 xxxxxxx xxxxx −+−−+ + = = = +−+−+ b)Tacó8912 11 x Ax xx + ==++− ++ Vì10,0;9 xxx +>∀≥≠ nênápdụngbất đẳngthứcCôsitacó ( ) 99 1221.24 11 Axx xx =++−≥+−= ++ Đẳngthứcxảyra 9 14 1 xx x ⇔+=⇔= + (thỏamãn) Vậy4 minA = khi4 x = . Bài 8: HọcsinhgiỏiTỉnhQuảngBình,23/03/2019 Chobiểuthức ( ) ( ) 132 11 11 A xxx xxx = −+ + +−+−+ ,với0 x ≥ Rútgọnvàtìmgiátrị lớnnhấtcủaA Lời giải Tacó ( ) ( ) ( )11 321322 11111 11 xxxxxx A xxxxxxxxx xxx −+−+++ =−+= == + −+ + +−++−+ Tacó 2 13 10,0 24 0,0 xxxx xx −+=−+>∀≥ ≥∀≥ Và ( ) 2 10,0210,01,01,0 1 x xxxxxxxxxx xx −≥∀≥⇔−+≥∀≥⇔−+≥∀≥⇔≤∀≥ −+ 1,0Ax ⇔≤∀≥ 11Ax=⇔= .Vậygiátrị lớnnhấtcủaAbằng1khi1. x = Bài 9: ĐạihọcNgoaị Ngữ hànội, năm học2010 Chobiểuthức 2 11 : x P xxxxxx + = ++− và42715Qxx=−+ a)RútgọnP b)Vớigiátrị nàocủaxthì ( )4 QP đạtGTNN
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 6 Lời giải a) Điềukiện0;1 xx>≠ Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1..1111 1 11 xxxxxxxx Px xxxxx +−+−++ = = =− ++++ b) ( ) ( ) ( ) ( )4242422 4715417419816441 QPxxxxxxxxxx −=−+−−=−−+=−++−+− ( ) ( ) ( )2224210011xx =−+−−≥++−=− Dấu“=”xảyra 240 2 20 x x x −= ⇔⇔= −= Vậy2. x = Bài 10: Chuyên Hưng Yên, năm học20182019 Chocácbiểuthức 2 11 :Ax xxxxxx +− = ++−+ và42582025Bxxx=−−+ với0;1 xx>≠ a)RútgọnbiểuthứcA b)Tìmcácgiátrị của x để biểuthức2 2 TBA =− đạtgiátrị nhỏ nhất. Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) 2 11111 :.1 11 xxxxxx Ax xxxxxxxxx +−+−++ = = =− ++−+ ++ b)2422422582025242742023TBAxxxxxxxx =−=−−+−+−=−−+ ( ) ( ) ( ) ( ) 42222 2 8164420034220032003, xxxxxxx =−++−++=−+−+≥∀ Vậy20032. min Tx=⇔= Bài 11: Chuyên Thái Bình, năm học20182019 Chocácbiểuthức ( )41 1:0;1;4 32231 x Pxxx xxxx =+≥≠≠ −+−+ a)RútgọnbiểuthứcP b)Tìmcácgiátrị của x saocho2019 P = c)Với5, x ≥ tìmGTNNcủa 10 TP x =+ Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2221 1.211.21141 121 xxx Pxxxxx xxx −+ =+ +−−= −−=−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 7 b)2019412019505 Pxx =⇔−=⇔= (thỏamãn) c)101010218102184112.121 5555 xxx TPx xxxx =+=+−=++−≥+−= (do5, x ≥ vàápdụngCôsi) VậyTcógiátrị nhỏ nhấtbằng21khi5 x = Bài 12: Chuyên Toán Hà Nam, năm học20192020 Chobiểuthức 24322 : 22356 Axxxx xxxxxx ++++ = ++ −−−−−+ ,với0;4;9 xxx≥≠≠ a)Rútgọnbiểuthức A b)Tìm x để biểuthức A đạtgiátrị nhỏ nhất Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2433222 : 223 xxxxxx A xxxx ++−−+−++ = −+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24942 : 1223 Axxxx xxxx =+−−−++ +−−− ( ) ( ) ( ) ( ) 24324 : 12231 Axxx xxxxx +−+= = +−−−+ b)241252525112 1111 xx Axx xxxx +−+ ===−+=++− ++++ Ápdụngbất đẳngthứcCauchycho2số tacó25110 1 x x ++≥ + Do đó 8A ≥ , đẳngthứcxảyrakhi ( ) 2 1251516xxx +=⇔+=⇔= Vậygiátrị nhỏ nhấtcủaAbằng 8, đạt đượckhi16 x = Bài 13: Chuyên Phú Yên, năm học20192020 Chobiểuthức 3222 :1 23562 Axxxx xxxxxx +++− =++ −−−+−− a)Rútgọnbiểuthức A b)Tìm x để 1 2 PA x =− đạtgiátrị lớnnhất Lời giải a) Điềukiện0;4;9 xxx>≠≠
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 8 Tacó ( ) ( ) 322322 23562323 xxxxxx xxxxxxxx ++++++ ++=++ −−−+−− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 332229421 232 23 xxxxxxxx xxx xx +−−+−++−−−++ = = ( ) ( ) ( ) 222 1 22212 xxxxxx xxxxxxxx −= == +− Do đó ( ) ( ) 11 : 212 Axx xx xx + = = +− b)Tacó 2 221211 2133x P xx xxx + =−=+−=−−+≤ ,dấu“=”xảyrakhi111 x x =⇔= Vậy31. max Px=⇔= Bài 14: ChuyênQuảng Ngãi, năm học20192020 Chobiểuthức 2312 xxxxx P xxxxxx +−+ =+− −+ ,với0;1 xx>≠ a)Rútgọnbiểuthức A b)Tìmgiátrị lớnnhấtcủa A Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 231112233 22 11 xxxxxxxxx Px xxx xxxx +−+++ ++ =+ −==++ −+ Ápdụngbất đẳngthứcCauchy,tacó3226226 xP x +≥⇒≥+ Dấu“=”xảyrakhi3 2 x = (thỏa mãn điềukiện) Bài 15: ChuyênQuảng Ninh, năm học20192020 Chobiểuthức 493121 3212 Axxxx xxxx −−+−− =+− ++++ ,với0 x ≥ a)Rútgọnbiểuthức A b)Tìmgiátrị lớnnhấtcủa A Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4931221115215 321 121212 xxxxxxxxx A xxx xxxxxx −−+−+−+−+ =+−== ++ +++++++
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 9 b)1565. 11 Ax xx ==−+ ++ Với0 x ≥ tacó11 x +≥ nên66 1x ≤ + Do đó 6 5110 1 max AAx x =−+≤⇒=⇔= + . Bài 16: Chuyên Thái Bình vòng 1, năm h ọc20192020 Chobiểuthức ( )211 . Pxyxyxy xyxyxxyy +−=++ + ,với0;0 xy>> a)Rútgọnbiểuthức P b)Biết16. xy = Tìmgiátrị nhỏ nhấtcủa P Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 2112 .. xyxyxyxyxyxyPxyxy xyxyxyxxyyxyxyxy +− +− ++ =++= + ++− ( ) 2 xyxy xy xyxyxy + + = = + ,với0;0 xy>> b)Ápdụngbất đẳngthứcCachy,tacó:4221641 16 xyxyP +≥==⇒≥= Dấu“=”xảyra4 xy ⇔== Vậy1 minP = tại4 xy== Bài 17: HọcsinhgiỏiTỉnh Thanh Hóa, năm học20132014 Chobiểuthức 11 1:1 1111 xyxxyx Axx xyxyxyxy ++ ++ =++−− +− −+ ,với0;0 xy>> a)Rútgọnbiểuthức A b)Cho116 xy += .Tìmgiátrị lớnnhấtcủa A Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11111 11 xxyxyxxyxyxy A xyxy +−+++++− = +− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11111 : 11 xyxyxyxxyxxy xyxy +−+++−+− +− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111111 11111 xxyxyxxyxyxyx xyxyxyxxyxxyxyxyxy +−+++++− + = = = +−+++−+−+
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 10 Theobất đẳngthứcCôsitacó1111629 xyxyxy =+≥⇒≤ Dấu“=”xảyra 111 9xy xy ⇔=⇔== Vậy 1 9 9max Axy=⇔== Bài 18: SPHN, năm 2015 Cho 2 22 22 11 1 ++− = +−+ ab Pbaab abab baba ,với0,0;0 >>≠aba a)Chứngminhrằng 1 =P ab b)Giả sử , ab thay đổithỏamãn41 ++=abab .Tìm GTNN của P Lời giải a)Tacó 2222 2 2 2 1 1 12 =++− +++− = ab T b S b b ab abaaba a b aab ( ) ( )422422224422 3333 22 ++−+−+−+ = = aabbabababababab abab 224433 2222 +−− =+−+= ababababba MS babaab Vậy 1 =P ab b)Tacó: ( ) 11 4244515 525 +≥−⇔++≥⇔≥⇔≤⇔≥ ababAMGMabababababab 1 25⇔≥ ab .Vậy25 ≥P Dấu‘=”xảyra 1 4110 42 5 = ++= ⇔⇔ = = a abab abb Bài 19: HSGTỉnh Hà Nam, năm 2020 2021 Cho26139 . 421310Qxxxxxxx xxxxxx −−−++ =−+ +−−+− ,với0;1;4). xxx≥≠≠ a)Rútgọn Q
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 11 b)Tìm x để Q đạtgiátrị nhỏ nhất Lời giải a)Với0;1;4 xxx≥≠≠ tacó: 26139 421310 −−−++ =−+ +−−+− Qxxxxxxx xxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .26139 2.22.112.5 6139 . 22.112.5 .161.239 2.12.5 63239 2.12.5 4439 . 2.1 −−++ =−− −++−−+ −−++ =−− ++−−+ −−++−++ + = +− −+ −−++−−−+ = +−−+ −−++ = +− xxxxxxx x xxxxxx xxxxxx x xxxxx xxxxxxxx xxxx xxxxxxxx xxxx xxxxx xxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.5 4.139 2.12.5 39 5 −+ + = +−−+ + = + x xxx xxxx x x Vậyvới0;1;4 xxx≥≠≠ thì39 5 Qx x + = + b)Tacó ( ) 39646464 551025.106 5555 x xxx xxxx + =−+=++−≥+−= ++++ Dấu"" = xảyra 64 5 5 09 1 4 x x xx x x += + ⇔≥⇔= ≠ ≠ Vậy69 MinQx=⇔= Bài 20: HSGQuậnNamTừ Liêm, năm 2020 -2021 Cho 33 33 11211 : Axyxxyy xyxyxyxyxy +++ =+⋅++ + + ,với0,0 xy>> a)Rútgọnbiểuthức A b)Cho4 xy+= .Tìmgiátrị nhỏ nhấtcủabiểuthức A Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 12 1.a)Rútgọnbiểuthức A 33 33 11211 : Axyxxyy xyxyxyxyxy +++ =+⋅++ + + với0,0 xy>> ( ) ( ) ( ) 33 2 .: xyxxyyxy xy xyxyxyxyyx +++ + + = + ++ ( ) ( ) ( ) 2 : xyxxyyxy xyxyxyxy +++ + =+ + ( ) ( ) ( ) 2 : xyxyxyxy xyxyxy ++++ = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 xyxyxy xyxyxy + + = ++ xy xy + = Vậy Axy xy + = với0,0 xy>> b)Cho4 xy+= .Tìmgiátrị nhỏ nhấtcủabiểuthức A . Với0,0 xy>> tacó:11 Axy xyxy + ==+ Ápdụngbất đẳngthứcCôSitacó:11111 2.2 xyxyxy +≥= Mặtkhác:4111122.2.2 2222 xy xy xyxy + ≤==⇒≥⇔≥= Hay111112.22 xyxyxy +≥=≥ Do đó: 2A ≥ .Dấu“” = xảyra2 4 xy xy xy = ⇔⇒== += . Vậy2 MinA = tại2 xy== . Bài 21: HSGHuyện Chương Mỹ, năm 2020 -2021 Chobiểuthức 137 326 xxxx P xxxx −−+− =+− +−+− ,với0;4 xx≥≠ a)Rútgọnbiểuthức P b)Tínhgiátrị củabiểuthức P khi2134821348 x =+−−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 13 c)Tìmtấtcả cácgiátrị nguyêncủa x để 1 P nhậngiátrị nguyên d)Tìmgiátrị nhỏ nhấtcủa 12 . QPxx x = Lời giải 1)RútgọnbiểuthứcP 137 326 xxxx P xxxx −−+− =+− +−+− (1)(2)(3)(3)(7) (2)(3) xxxxxx xx −−−−+−+− = −+ 3297 (2)(3) xxxxx xx −+−+−−+ = −+ 2 44(2)2 (2)(3)(2)(3)3 xxxx xxxxx −+−− = = = −+−++ Vậyvới0 x ≥ và4 x ≠ thì2 3 x P x = + 2)Tínhgiátrị củabiểuthứcPkhi2134821348 x =+−− Tacó:22 213.43213.43(233)(233)x =+−−=++− 2332336 =+−−= (tmđk 0x ≥ và4 x ≠ ) Thay6 x = vàobiểuthứcP,tacó:621256 633 P −−+ == + Vậykhi2134821348 x =+−− thì1256 3 P −+ = 3)Tìmtấtcả cácgiátrị nguyêncủa x để 1 P nhậngiátrị nguyên Tacó:13255 1 222 xx Pxxx +−+ ===+ 1 P nguyên5 2x ⇔ nguyên ( ) { }522(5)1;5 xx ⇔−⇔−∈=±± Ö Bảngtìm x 2x 1155 x 1337 x 19 Ο 49 Nhận định Tmđk Tmđk Tmđk Với { }1;9;49x ∈ thì1 P cógiátrị nguyên 4)Tìmgiátrị nhỏ nhấtcủa 12 . QPxx x =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 14 Tacó: ( ) ( ) ( ) ( )24.32.4 3 xxxxx Q xxx −+−− = = + 6888 66xx Qxx xxx −+ ==−+=+− 8 2.6426Qx x ≥−=− Dấu“=”xảyrakhi8 x = (tmđk) VậyGTNNcủa:426 Q =− khi8 x = Bài 22: HSGHuyện Ứng Hòa, năm 2020 2021 Chobiểuthức ( )121 0,1 111 xxx Pxx xxxxx +++ =−− >≠ −++ a)Rútgọnbiểuthức P b)Tínhgiátrị lớnnhấtcủabiểuthức 2 Qx P =+ c)Tínhgiátrị của P khicho33750750x =−++ Lời giải 1)Rútgọn ( )121 0,1 111 xxx Pxx xxxxx +++ =−− >≠ −++ ( ) ( ) 121 11 11 xx P xxx xxx ++ = −++++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1211 11 xxxxx P xxx ++−+−−+ = −++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1111 xxxx P xxxxxx −+ = = −++−++ 1 x P xx = ++ 2)222222 Qxxxxxx Pxxx ++++ =+=−= 2 2Qx x =−++ Theo BĐT Cauchy ta có 2 22x x +≥ . Nên22222 x x ++≥+
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 15 Suyra ( )max222 Q =−+ dấu"="xảyrakhi22 xx x =⇔= . 3)Từ 33750750x =−++ Tacó3 327507503750xx =−+++− ( ) ( )3231402270xxxxx ⇔+−=⇔−++= 2x ⇔= (Do2270 xx++> ) Thay2 x = (Thỏa ĐKXĐ ), ta tính được 2 32 P = + . Bài 23: HSGHuyện Vĩnh Lộc, năm 2019 2020 Chobiểuthức 21310 3256 Axxx xxxx ++− =+− −−−+ a)Rútgọnbiểuthức A b)Tìmcácgiátrị của x saocho2 A < c)Tìmgiátrị nhỏ nhấtcủabiểuthức B biếtrằng ( ) 420 2 xx B Ax −+ = Lời giải a) Điềukiện xác định:0;4;9 xxx≥≠≠ . Khi đó: ( ) ( ) 2131021310 32563232 ++−++− =+−=−− −−−+−− Axxxxxx xxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 212331023 3232 xxxxxxx xxxx +−−+−−+ = = ( ) ( ) ( ) ( ) 131 322 xxx xxx +− + = = b) Để 115 22200 222 Axxx xxx ++− <⇒<⇔−>⇔> TH1:Khi 50525 25 2024 xxx x xxx −>>> ⇔⇔⇔> −>>> TH2:Khi 505025 04 20204 xxx x xxx −<<≤< ⇔⇔⇔≤< −<<≤< Đốichiếuvới điềukiện xác định ban đầu ta đượcgiátrị cầntìmcủaxlà:04 x ≤< hoặc25 x > c) Ta có: B xác địnhkhi0;4;9 xxx≥≠≠ ( ) 4202420420 . 2121 2525 516 11 −+−−+−+ = = = +−+ =−+=++− ++ xxxxxxx B Axxxx xx xx Ápdụngbất đẳngthứcAMGMcho2số 1x + và25 1+x , ta được
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 16 2525 12.5110 11 xx xx ++≥⇔++≥ ++ 25 1644 1 xB x ⇔++−≥⇒≥ + Dấu“=”xảyrakhi:25115416 1 xxxx x +=⇔+=⇔=⇔= + (t/m) Vậygiátrị nhỏ nhấtcủabiểuthứcBlà:4 =MinB khi16 x = .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 1 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ 1.Giải phương trình: ( )01axb+= Nếu ( )01a =⇒ trở thành0 b = +Nếu ( )01b =⇒ cóvôsố nghiệm +Nếu ( )01b ≠⇒ vônghiệm -Nếu ( )01 baaxbx a ≠⇒⇔=−⇔= trở thành0 b = 2.Giải phương trình: ( )202axbxc++= Nếu ( )02a =⇒ trở thành0 bxc+=⇒ quaytrở về dạng1 Nếu ( )02a ≠⇒ là phương trình bậchai Tính24bac∆=− hoặc2 ' bac∆=− rồitìmnghiệmcủabàitoán. 3 ĐịnhlíViét Giả sử phương trình ( )202axbxc++= cónghiệm12 , xx thì 12 12 b xx a c xx a += = 4.Vi ét đảo Nếu12 , xx thỏamãn:12 12 xxS xxP += = thì12 , xx lànghiệmcủa phương trình: 20xSxP−+= Bài 1: Giảivàbiệnluận phương trình: ( ) ( )223101mmxm+−+−= ,vớimlàthamsố Lời giải Phương trình ( ) ( ) ( ) 11310 mmxm ⇔−++−= Nếu1 m = , phương trình (1) trở thành011000 xx =−=⇔=⇒ phương trình (1) có vô số nghiệm Nếu3 m =− , phương trình (1) trở thành040 x += (vôlý) ⇒ phương trình vô nghiệm Nếu1,3 mm≠≠−⇒ phương trình (1) có nghiệmduynhất ( ) ( ) 11 133 m x mmm = = −++
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 2 Bài 2: Chosố thực dương a thỏamãn: ( )361aa=+ .Chứngminhrằng phương trình sau vô nghiệm ( )22601xaxa++−= Lời giải Tacó: ( ) ( )2222 4624338 aaaa ∆=−−=−=− Theogiả thiết: ( ) ( ) ( )332 61660662aaaaaa =+⇔−−=⇔−= Giả sử 22 0808022 aaa ∆≥⇔−≥⇔≤⇒<≤ ( ) 2 686226426 022 a aa a −≤−= ⇒ ⇒−≤<⇒ <≤ mẫuthuẫnvới(2) Vậy0∆<⇒ phương trình (1) vô nghiệm Bài 3: Giả sử , ab làhainghiệmcủa phương trình 210xpx++= và,cd làhainghiệmcủa phương trình210 xqx++= .Chứngminh ( ) ( ) ( ) ( ) 22acbcadbdqp −−++=− Lời giải Ápdụng địnhlítacó:;11 abpcdq abcd +=−+=− == Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )acbcadbdacbdbcadadadbcadabcdcabd −−++=−+−+=+−−+−− ( ) ( ) 22222222 adbcbdacabdacdbcdcabdabc =−−=−=+=−−+ ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 cdabcdabqp =+−+=+−+=− (đpcm) Bài 4: Chuyên Toán Vĩnh Phúc, năm học 2017 Cho phương trình ( ) 22212310xmxmm−−+−+= (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b)Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm12 , xx .Chứngminhrằng1212 9 8 Pxxxx=++≤ Lời giải a) Để phương trình (1) có nghiệm ( ) ( )22 '012310 mmm ⇔∆≥⇔−−−+≥
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 3 2001mmm ⇔−≥⇔≤≤ Theo địnhlíViéttacó: ( )12 2 12 21 231 xxm xxmm +=− =−+ ( ) ( ) 22 00 2112112 Pmmmmmm ≤≥ ⇒=−−=−+=+− Tachứngminh 2 22 9911 21200 8884 Pmmmmm ≤⇔−++≤⇔−+≥⇔−≥ (luôn đúng) 9 8 P ⇒≤ . Bài 5: Giả sử 12 , xx lànghiệmcủa phương trình 2410xx−+= .Chứngminhrằng1010 12xx + làmộtsố nguyên Lời giải Đặt ( )12,1 nn n SxxnNn =+∈≥ Theo địnhlíViéttacó124;14SS== Vì12 , xx làhainghiệmkhác0của phương trình 2410xx−+= nên: 22 11111 414nnn xxxxx + =−⇒=− (nhânvới1n x ) 221 22222 414nnn xxxxx ++ =−⇒=− (nhânvới2n x ) 21 4 nnn SSS ++ ⇒=− (với1 n ∀≥ ) Nếu n S làsố nguyên,1 n S + làsố nguyên2 n S ⇒+ làsố nguyên 1S⇒ làsố nguyên,2 S làsố nguyên10 S⇒ làsố nguyên. Bài 6: Chuyên Lê Hồng Phong TP HCM, năm học 2003 Chứngminhrằngnếu2 ab+≥ thìítnhấtmột trong hai phương trình sau có nghiệm 220xaxb++= và220 xbxa++= Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 4 Tasử dụng phương pháp phảnchứng Giảisử cả hai phương trình đã cho đềuvônghiệm. Khi đó: '2 10 ab ∆=−< và'220 ba ∆=−< ( )''22 120 abab ⇒∆+∆=+−+< (1) Mặtkhácdễ chứng minh được: ( ) ( ) 2222 abab +≥+ và ( ) ( )22 abab +≥+ do2 ab+≥ Vậy ( ) ( ) ( )222222 220 abababababab +≥+⇔+≥+⇔+−+> (2) Từ (1)và(2)tathấymâuthuẫn, nên điềugiả sử làsai Vậyítnhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm. Bài 7: NK Trần Đại Nghĩa TP HCM, năm học 2001 Cho phương trình ( )200axbxca++=≠ cóhainghiệm12 , xx thỏamãn2 12xx = .Chứngminh 3223 bacacabc ++= Lời giải Theohệ thứcViéttacó:12 c xx a = vàdo2 12xx = nên3 2 c x a = lànghiệmcủa phương trình đã cho.Thay3 2 c x a = vào phương trình ta được:33220bacca++= *) Lưu ý: ( ) ( ) ( ) ( )33333 xyzxyzxyyzzx ++=++++++ vớimọi,,xyz Nếu33303 xyzxyzxyz ++=⇒++= Ápdụngcho3322 ,, xbyaczca === ta có điềuphảichứngminh. Bài 8: NK Trần Đại Nghĩa TP HCM, năm học 2001 Giả sử các phương trình 20axbxc++= và20 cydxa++= (0,0 ac≠≠ )cócácnghiệm tương ứnglà12 , xx và12 , yy .Chứngminhrằng222212124 xxyy+++≥ Lời giải Ápdụngbất đẳngthứcCôsitacó:22 22 12121212 22 xxxxxxxx +≥+≥= 2222 12121212 22 yyyyyyyy +≥+≥=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 5 Theo địnlíViéttacó:12 c xx a = và12 a yy c = Vậy2222121212122222.2.4 caca xxyyxxyy acac +++≥+=+≥= (đpcm) Bài 9: Chứngminhrằngnếu50 abc++= thì phương trình bậchai ( )200axbxca++=≠ cóhai nghiệmphânbiệt Lời giải Tacó505 abcbac ++=⇒=−− ( ) ( ) 222222 4546253160 bacacacaaccacc ∆=−=+−=++=++≥ Giả sử 300 0 00 aca cc ∆=⇒⇔+== = = mâuthuẫnvớigiả thiết0 a ≠ Vậy0 ∆> nê phương trình có hai nghiệmphânbiệt. Bài 10: ĐHKHTN HN, năm học 2015 Giả sử , ab làhaisố thựcphânbiệtthỏamãn22332aabb+=+= a)Chứngminhrằng3 ab+=− b)Chứngminhrằng3345 ab+=− Lời giải a)Nhậnthấy,ab làhainghiệmphânbiệtcủa phương trình ẩn x sau: 2232320 +=⇔+−=xxxx Theo địnhlíViéttacó3 +=−ab b) Theo Viét ta cũng có 2=−ab Có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33333332345 +=+−+=−−−−=− abababab
ếu,,,abcd làcácsố
lànghi
phương trình
thì
là ướccủa d và n là ướccủ
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 6 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA A. Kiến thức cần nhớ 1) Phương trình bậcba: ( )3200axbxcxda +++=≠ (*) 2)Cáchgiải a) Phân tích đa thứcthànhnhântử Nhẩmnghiệm: Đa thức ( )Px cóngiệm xa = thì ( ) ( )Pxxa Sử dụng máy tính để xác địnhnghiệm b)Biến đổi đa thứcvề dạng ( ) ( )33 AxBx = Trong đó: ( ) ( ); AxBx cóthể làcácbiểuthứcchứa x hoặclànhữnghằngsố Khi đó phương trình ( ) ( )AxBx⇔= 3)Chúý: N
nguyênvà m x n =
ệmhữutỉ của
(*)
m
a a Đặcbiệtkhi1 a = thì phương trình (*) có nghiệmhữutỉ thì nghiệm đó là nguyên và là ướccủa d Nếu0 abcd+++= thì phương trình (*) có mộtnghiệmlà1 x = Nếu0 abcd−+−= thì phương trình (*) có mộtnghiệmlà1 x =− B. Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau a)3760 xx−+= b)3320 xx−+= c)3261040xxx−+−= d)3233310 xxx+++= Lời giải a) Dùng phương pháp nhẩmnghiệmtathấy1 x = làmộtnghiệmcủa phương trình nên có 1 nhântử là1 x Tacó: ( ) ( )33222 760660160 xxxxxxxxxx −+=⇔−+−−+=⇔−+−= { }2 10 3;1;2 60 x x xx −= ⇔ ⇔∈− +−= b) Dùng phương pháp nhẩmnghiệmtathấy1 x =− làmộtnghiệmcủa phương trình nên có 1nhântử là1 x +
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 7 Tacó: ( ) ( )33222 320333322013320 xxxxxxxxxx −+=⇔+−−++=⇔+−+= { }2 10 ..... 3320 x x xx += ⇔ ⇔∈ −+= c) Dùng phương pháp nhẩmnghiệmtathấy2 x = làmộtnghiệmcủa phương trình nên có 1 nhântử là2 x Tacó: ( ) ( ) { }323222 610402482402420... xxxxxxxxxxxx −+−=⇔−−++−=⇔−−+=⇔∈ d) ( ) ( ) ( ) ( ) 333233333 333102102112. xxxxxxxxx +++=⇔++=⇔=−+⇔+=− 3 1 12 x ⇔= + . Bài 2: Giải các phương trình sau a)32812650 xxx−+−= b)3233310 xxx−−−= Lời giải a)Tacó: ( ) ( ) ( ) 32333333418126502140214214 2 xxxxxxx + −+−=⇔−−=⇔−=⇔−=⇔= b)Tacó: ( ) 32333 3 1 333104141 41 xxxxxxxx −−−=⇔=+⇔=+⇔= Bài 3: Giải các phương trình sau a)38410 xx−+= b)32610560 xxx−−+= c)322520xxx+−+= Lời giải a)Tacó:8;1 ad== nêntanhẩmcácnghiệmcódạng 1 m với m là ướccủa8,tathấy 1 2 x = lànghiệmcủa phương trình Phương trình ( ) ( )2 2 1 115 214210; 2 24 4210 x xxxx xx = −± ⇔−+−=⇔ ⇔∈ +−= Vậytậpnghiệmcủa phương trình 115 ; 24 S −± =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 8 b)Tacó:6 ad== nêntanhẩmcácnghiệmcódạng m x n = với,mn là ướccủa6 Tanhậnthấy 2 3 x = lànghiệmcủa phương trình Phương trình ( ) ( )2 2 2 2 3222303 3 2317 2 x x xxx xxx = = ⇔−−−=⇔⇔ ± = Vậytậpnghiệmcủa phương trình 217 ; 32 S ± = c)Vìcáchệ số xuấthiện2nêntanhẩmnghiệmcódạng2. xa = Thay vào phương trình tacó:32322222522022510 aaaaaa+−+=⇔+−+= (*) Vìtổngcáchệ số của(*)bằng0nên(*)cónghiệm1 a = hay phương trình đã cho có nghiệm2 x = Có: ( ) ( ) 32222 252022210 221023 xx xxxxxx xxx = = +−+=⇔−+−=⇔ ⇔ +−==−± Vậytậpnghiệmcủa phương trình { }2;23S =−± Bài 4: Giải các phương trình sau a)323340xxx−+−= b)3233910 xxx−+−= Lời giải a)Nhẩmcácnghiệm xa = với a là ướccủa4,tathấy phương trình không có nghiệm nguyên Tathấycáchệ số xuấthiện1;3;3 nên ta nghĩ tớihằng đẳngthức như sau: ( ) ( ) 32333 33130131313 xxxxxx −+−−=⇔−=⇔−=⇔=+ Vậytậpnghiệmcủa phương trình { }3 13S =+ b)Bằngcáchnhẩmnghiệm,tathấy phương trình đã cho không có nghiệmhữutỉ.Tabiến đổi phương trình như sau:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 323333 32 3331233101210121 xxxxxxxxxx ++++−+−=⇔++−=⇔+=− ( ) 3 3 3 21 121 21 xxx ⇔+=−⇔= + Vậy phương trình có tậpnghiệm 3 3 21 21 S = + Bài 5: Cho đa thức ( ) 322222Pxxmxxm =−−+ a) Phân tích đa thứcthànhnhântử b) Tìm m để đa thức ( )Px có3nghiệmphânbiệtsaochocómộtnghiệmlàtrungbình cộngcủahainghiệmcònlại Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )322222222222 Pxxmxxmxxmxxxm =−−+=−−=−+− b) ( )Px cóbanghiệm1232;2;2xmxx===− ( )Px cóbanghiệmphânbiệt1 m ⇔≠± , ta xét các trườnghợpsau: TH1:Nếu23100 2 xx xm + ==⇒= -TH2:Nếu13 2 22 23 22 xxm xm + =⇔=⇔= -TH3:Nếu11 3 22 23 22 xxm xm + + =⇔−=⇔=− Vậy { }0;3m ∈± làcácgiátrị cầntìm. Bài 6: Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 33 3 3323220 xxx −+−+−−= (1) Lời giải Đặt33;2;c3220 axbxxabc =−=−=−−⇒++= *)Nhậnxét: Nếu33303 abcabcabc ++=⇒++=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 10 Nhậnthấy: ( ) ( ) ( ) 3323220 xxx −+−+−−= Nên ( ) ( ) ( ) ( ) 330 332 133323220202;; 32 3220 x VTxxxxx x −= =−−−−=⇔−=⇔∈ −−= Bài 7: Cho phương trình 3210 xaxbx++−= (1) a)Tìmcácsố hữutỷ a, b để phương trình (1) có nghiệm23 x =− b)Vớigiátrị a, b vuwà tìm được.Gọi123 ,, xxx là3nghiệmcủa phương trình (1) và đặt 123 111 nnnn S xxx =++ với* nN ∈ .Tính5 S vàchứngminh n SZ ∈ Lời giải a)Thay23 x =− vào phương trình (1) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 23232310257215430 ababab −+−+−−=⇔++−++= 41505 722505 aba abb ++==− ⇔⇔ ++== (doa,blàsố hữutỷ) b) Phương trình ( ) ( ) ( )2 11410 xxx ⇔−−+= Đặt3121;23;23xxx==−=+ Tacó12 123123 1111 nn nnnnnnn Sxx xxxxxx + =++=+ TheoViéttacó:1212 12 4 1 1 nn n xx Sxx xx += ⇒=++ = Đặt ( ) 2 121212124;214nn QxxQQxxxx =+⇒==+−= ( )214,1 nnnnnn QQQQZnSQZ ++=−⇒∈∀⇒=+∈ Có:3214325434;4;4...724QQQQQQQQQ =−=−=−== 5725.S =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 11 Bài 8: Biếtrằng2làmộtnghiệmcủa phương trình 320 xaxbxc+++= vớicáchệ số hữutỉ.hãy tìmcácnghiệmcònlại Lời giải Thay2 x = vào phương trình, ta được: ( ) ( )222 bac +=−+ -Nếu ( )2 202 2 ac bQ b −+ +≠⇒=∈ + (vôlý) Từ đó 22 bca⇒=−⇒=− thay vào phương trình Vậynghiệmcònlạicủa phương trình là 2; xxa =−=− Lưu ý: aQ ∈ nên2 a ≠± Bài 9: Xác địnhcácsố nguyên a , b saochomộttrongcácnghiệmcủa phương trình 332120 xaxbx+++= là13 + Lời giải Thay13 + vào phương trình ta đượchệ thức: ( ) ( ) 44218230 abab +++++= Do,ab nguyênnên:442012 18206 aba abb ++==− ⇔ ++== Vậy12;6 ab=−=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 12 Bài 3: NHẢM NGHIỆM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO A. Kiến thức cần nhớ 1) Định lí Bơzu: Nếu phương trình ( ) 0=fx cónghiệm2 =x thì ( ) ( ) ( =−α) fxxqx *)Nhậnxét1:Cho ( ) 0=fx với ( ) 1 10=+++ nn nn fxaxaxa Nếu phương trình có nghiệm 0 / / =⇒ npqa x qpa *)Nhậnxét2:Sử dụng lược đồ hoocne để chia đa thức B. Bài tập Bài 1: Giải phương trình sau 32 23310 −+−=xxx Lời giải *)Phântích:Sử dụng máy tính ta tìm đượcnghiệm 1 2 =⇒x phương trình có 1 nhân tử là 1 221 2 −=− xx Ta có phương trình ( ) ( )322 2 2101 233102110. 102 −= −+−=⇔−−+=⇔ ⇔= −+= x xxxxxxx xx Bài 2: Giải phương trình sau 422320−−−=xxx Lời giải Phântích: -Nếu phương trình có nghiệmnguyênthìnghiệm đó là ướccủa2,từ đó tìm đượcnghiệm 1 =−⇒x cómộtnhântử là1. +x Tổngcáchệ số bằng 0 nên phương trình có nghiệm1 =x Tổngcáchệ số của x mũ chẵnbằngtổnghệ số x mũ lẻ thì phương trình có nghiệm 1=−x Tacó: ( ) ( )4232 2320120 −−−=⇔+−−= xxxxxx
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 13 ( ) ( ) ( )2 2 1 1 12102 2 13 0 24 =− ⇔+−++=⇔=⇔=− = ++= x x xxxxx x x Vậy phương trình có tậpnghiệm { }1;2=−S Bài 3: Giải phương trình sau 42680 +−−=xxx Lời giải Phương trình có tổngcáchệ số bằng0nêncómộtnghiệm1 =x ,tứclàcómộtnhântử là 1x ,tacó: ( ) ( ) ( ) ( )42433226822880 ++−⇔−+−+−+−= xxxxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32322 1280122480 ⇔−+++=⇔−+−++−= xxxxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 1224201240* ⇔−+−+++=⇔−+−+= xxxxxxxxxx Vì ( ) 2 21 115 40,*2 24 −+=−+>∀⇒⇔= =− x xxxx x Vậy phương trình có hai nghiệm1;2 ==−xx Bài 4: Giải phương trình sau 4325180−−−=xxx Lời giải Nhậnthấy2 =x làmộtnghiệmcủa phương trình, nên phương trình có nhân tử 2x Tacó43243322518022369180 −−−=⇔−+−−++−= xxxxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3232 22329202390 ⇔−+−−−+−=⇔−+−+= xxxxxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2323330232301 ⇔−+−+++=⇔−+−+= xxxxxxxxxx Vì ( ) ( ) ( ) ( ) { }2223120,12302;3 −+=−+>∀⇒⇔−−=⇔∈ xxxxxxx Vậy phương trình có nghiệm2;3 ==xx
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 14 Bài 5: Giải phương trình sau 32 371750 −+−=xxx Lời giải Nhẩmnghiệm 1 3 =x lànghiệmcủa phương trình nên có nhân tử là31 x Tacó ( ) ( ) ( )32322 3717503621550 −+−=⇔−−−+−= xxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 312315310312501 ⇔−−−+−=⇔−−+= xxxxxxxx Vì ( ) ( ) 221 251401310 3 −+=−+>⇒⇔−=⇔= xxxxx . Vậy phương trình có nghiệm 1 3 =x Bài 6: Giải phương trình sau 54322 =++++ xxxxx Lời giải Tacó ( ) ( )543254322110 =++++⇔−−++++= xxxxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1432432432110210 ⇔−++++−++++=⇔−++++= xxxxxxxxxxxxxx +)TH1:202 −=⇔=xx +)TH2: ( ) ( ) ( ) ( ) 43243232 1010110 ++++=⇔++++=⇔+++= xxxxxxxxxxx ( ) ( ) ( )222 11001⇔+−+=+= xxxx Tacó: 2 21310, 24 −+=−+>∀ xxxx và ( ) 22 10;0, +≥≥∀ xxx ( ) ( ) 222 110, ⇒+−++>∀⇒ xxxxx phương trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệmduynhất2. =x Bài 7: Giải phương trình sau 422012200920100 +++=xxx
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 15 Lời giải Tacó424220122009201002012201020100 +++=⇔++−+= xxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( )423220102010201001201010 ⇔−+++=⇔−+++= xxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 11201010120100* ⇔−+++++=⇔++−+= xxxxxxxxxx Vì 2 21310, 24 ++=++>∀ xxxx và 2 211201020100, 24 −+=−+−>∀ xxxx nên phương trình (*)vônghiệm. Bài 8: Giải phương trình sau ( ) ( )2 24131 ++=++ xxxx Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( )22 24241311310 ++=++⇔++−++= xxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 12311011310 ⇔++−++−+=⇔++++−−+= xxxxxxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( )2222124201210 ⇔++−+−=⇔++−+= xxxxxxxx ( ) ( ) ( )221102⇔++−= xxx Vì ( ) 2 213102101 24 ++=++>⇒⇔−=⇔= xxxxx Vậy phương trình có nghiệmduynhất1. =x C. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC Mẫu 1: Phương trình đẳngcấpbậchai.
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 16 Vídụ:Tìmmốiliênhệ giữa a và b ,biết22 10110 +−=aabb Phântích:Taxét00 =⇒=ba Với0 ≠b ,chiacả haivế cho2 b ta được: 2 10110 +−= aa bb Đặt2 11 101101111 11 1010 10 = == =⇒+−=⇔⇒⇔ = = = a tab abttt batab b Bài 1: Giải phương trình sau 222 2 224 10110 111 −+− +−= +−− xxx xxx Lời giải Điềukiện:1 ≠±x Đặt 2 2 224 ; 111 −+− ==⇒= +−− xxxabab xxx Phương trình ( ) ( )2222 1011010100 ⇒+−=⇔−−−= ababaababb ( ) ( ) 100 10 = ⇔−−=⇔ = ab abab ba +)TH1:22 11 −+ =⇔= +− abxx xx +)TH2:22 1010 11 +− =⇒= −+ baxx xx Giải 2 trườnghợp và đốichiếu điềukiện ta tìm đượcnghiệmcủa phương trình. Bài 2: Giải phương trình sau 22112 12 233 ++− += xxx xxx Lời giải Đặt 121 ; 233 +−+ ==⇒= xxx uvuv xxx Ta có phương trình: ( ) ( ) 2230 12340 40 −= +=⇔−+=⇔ += uv uuvvuvuv uv
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 17 +)TH1:2 12 3030210150 23 +− −=⇒−=⇔−+−= xx uvxx xx (phương trình vô nghiệm) +)TH2:2 1 12 404051813013 23 5 = +− +=⇔+=⇔−+=⇔ = x xx uvxx xxx Vậy phương trình có hai nghiệm 13 1; 5 ==xx Bài 3: Giải phương trìnhsau ( ) ( )2 22213120 ++++=xxxx Lời giải Tacó: ( ) ( ) ( )2 222131201 ++++=xxxx Đặt ( ) ( ) ( ) ( )22222 132022020 +=⇒++=⇔+++=⇔++= xyyxyxyxyxyxyxyx 0 20 += ⇔ += xy yx +)Nếu2010 +=⇔=−⇒++= xyyxxx (phương trình vô nghiệm) +)Nếu ( ) 22 202210101 +=⇔=−⇒++=⇔+=⇔=− yxyxxxxx Vậy phương trình có nghiệmduynhất1 =−x Mẫu 2: Sử dụng hẳng đẳng thức ( ) ( )3333 +=+−+ abababab ( ) ( ) ( ) ( )33333 ++=++++++ abcabcabbcca
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 18 Bài 1: Giải phương trình sau ( ) ( ) ( ) 333 1221 ++−=− xxx Lời giải Ápdụnghẳng đẳngthức ( ) ( )3333 +=+−+ abababab ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )333 122131221 ⇒++−=−−+−− xxxxxx ( ) ( ) ( ) 101 031221202 2101 2 +==− ⇔=+−−⇔−=⇔= −= = xx xxxxx x x Vậy phương trình có nghiệm 1 1;;2 2 =−==xxx . Bài 2: Giải phương trình sau ( ) ( ) ( ) 333 21332 ++−=− xxx Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )333333 213322133201 ++−=−⇔++−+−+= xxxxxx Sử dụnghẳng đẳngthức ( ) ( )333222 3 ++−=++++−−− abcabcabcabcabbcca Nhậnxét:Nếu33303 ++=⇒++= abcabcabc Ápdụngvàobàitoán: Tacó:213320 ++−−+=xxx Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 132133203 2 3 = ⇔+−−+=⇔= = x xxxx x Vậy phương trình có ba nghiệm 12 ;;3 23 ∈ x BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG A. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình bậc 4 trùng phương: ( )4200axbxca++=≠ (*) 2.Cáchgiải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 19 Vớimột phương trình cụ thể:42230xx+−= +Ápdụngcáchgiảitổngquát +Sử dụngmáytính Với phương trình chứathamsố taápdụngcáchgiảitổngquát *) Phương pháp giải: Đặt ( ) ( )20*txt=≥⇒ trở thành20 atbtc++= (**) ( )22 4'' bacbac∆=−∆=− Nếu0∆<⇒ phương trình (**) vô nghiệm ⇒ phương trình (*) vô nghiệm -Nếu0∆=⇒ phương trình (**) có nghiệmkép122 b tt a == +Nếu 12 34 02 2 2 b xx ba ab xx a ==≥⇒ ==− +Nếu ( )0* 2 b a <⇒ vônghiệmvì0 t ≥ Nếu0∆>⇒ phương trình (**) có nghiệm12 ; 22 bb tt aa −+∆−−∆ = = Căn cứ vàodấucủa12 ; tt để tìm. x Vídụ: Giả sử 11121 0; txtxt >⇒==− ;23242 0; txtxt >⇒==− Nếu10 t <⇒ loại *)Chúý:Nếu ( )0**abc++=⇒ có12 1; c tt a == Nếu ( )0**abc−+=⇒ có12 1; c tt a =−=− B. Bài tập Bài 1: Tìmmột phương trình bậc 4 trùng phương để 6323223x =−+−++ Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 20 Tacó63232233.223223 x =−+−++=−+−++ ( ) ( ) ( ) 232232.3.223223223x =−+−−++++++ ( )2 822323238223323 x =−+−−⇒−=−++− ( ) 224283216320xxx ⇒−=⇔−+= (đpcm) Bài 2: Cho phương trình ( )4216320 xxxR −+=∈ .Chứngminhrằng6323223 x =−+−++ Làmộtnghiệmcủa phương trình đã cho. Lời giải Tacó ( ) ( )422 2 1632083201xxx−+=⇔−−= Với63232233.223223 x =−+−++=−+−++ 282232323x ⇒=−+−− Thay2 x vàovế tráicủa (1) ta được: ( ) ( ) ( ) ( )222 8328223232383242343122332x −−=−+−−−−=+++−− 8438324123320 =+++−−= Vậy6323223 x =−+−++ làmộtnghiệmcủa phương trình đã cho (đpcm). Bài 3: Cho phương trình 42240xmx++= (1).Tìmgiátrị của m để phương trình trên có 4 nghiệm phânbiệt1234 ,,, xxxx thỏamãn4444123432Sxxxx=+++= Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 21 Đặt ( )20txt=≥ , phương trình (1) trở thành: ( )22402tmt++= Để phương trình (1) có 4 nghiệmphânbiệt thì phương trình (2) phảicó2nghiệm dương phânbiệt12 12 0 2 40 02ttmm tt ∆> ⇔+=−>⇔ = <− > Vậyvới2 m <− thì phương trình(2)cóhainghiệm dương phân biệt12,.tt Khi đó phương trình(1)có4nghiệm:11213242 ;;; xtxtxtxt ==−==− ( ) ( ) ( ) 2222222 12121212 2321621628164246 Sttttttttmmm =+=⇔+=⇔+−=⇔−−=⇔=⇔=± Do26 mm<−⇒=− làgiátrị cầntìm Bài 4: Cho phương trình ( ) 4210xmxm−++= a)Chứngminhrằng phương trình trên luôn có nghiệm b)Tìmgiátrị của m để phương trình có 4 nghiệmphânbiệt1234 ,,, xxxx thỏamãn 4444 123420Sxxxx=+++= Lời giải a) Đặt ( ) 20,txt=≥ phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) ( ) 21 1010 t tmtmttm tm = −++=⇔−−=⇔ = Dễ thấy phương trình đã cho luôn có nghiệm1 x =± b)Với0;1 mm>≠ thì phương trình đã cho có 4 nghiệmphânbiệt: 1234 1;1;; xxxmxm ==−==− Vậy 4444 1234209Sxxxxm =+++=⇔= (thỏa mãn điềukiện) Bài 5: Chuyên Hà Nam, năm học2012 Cho phương trình ( ) 42242350xmxm−+++= (vớimlàthamsố) a)Chứngminhrằng phương trìnhluôncó4nghiệmphânbiệtvớimọim
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 22 b) Tìm m để ( )2222 21234123428Qxxxxxxxx =−+++= Lời giải a) Đặt ( )20txt=≥ , phương trình đã cho trở thành ( ) ( )22423501tmtm−+++= Tacó ( ) ( )2 '24235640tmmm ∆=+−+=+> vớimọim Vậy phương trình (1) có hai nghiệmphânbiệt1 t và2 t Theo địnhlíViéttacó: ( )2 121 4 122 2300 500 ttmt ttmt +=+> > ⇒ =+>> Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệmphânbiệt b)Giả sử 4 11213242123412;;;5 xtxtxtxtxxxxttm ==−==−⇒==+ và ( ) ( )22222 123412243xxxxttm +++=+=+ Thayvàobiểuthức Q ta đượcgiátrị củamcầntìm. Bài 6: Chuyên Vũng Tàu, năm học 2018 Giải phương trình ( )4222 523241 xxxx−−+= Lời giải Điềukiện: xR∀∈ Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 222 52402 05232452432 524323 tt txttttttttt tttt =≥⇒−−+=⇔−−=+⇔−−≥ −−=+ Phương trình (3) ( )42322 2541620401692 ttttttt ⇔++−−+=+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )432322 252954161601255416012254804 ttttttttttt ⇔−−++=⇔+−+=⇔+−−−= Do010 tt≥⇒+> Tacó ( )222 0 0 25481525240 ttttt ≥ ≥ −−=+−−> do(2) Từ ( ) 42 t ⇒= (thỏa mãn điềukiện(2)) Vậy222. xx=⇔=±
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 23 BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN DẠNG ĐỖI XỨNG VÀ HỒI QUY A. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình bậcbốndạng đốixứng ( )43200 axbxcxbxaa ++++=≠ (*) Cáchgiải:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 24 Nếu ( )0*x =⇒ trở thành:0 a (vôlýdo0 a ≠ ) Nếu0, x ≠ chiacả haivế của phương trình (*) cho 2 x , ta được: ( ) 22 22 11 *00 axbxcbaaxbxc xxxx ⇔++++=⇔++++= Đặt ( ) 2222 2 2 11 2422020 ptb txtxtatbtcatbtca xx =+⇒=++≥⇒≥⇒−++=⇔++−=⇒ tìm được tvàsosánhvới điềukiện2 t ≥ 2. Phương trình bậcbốndạnghồiquy ( )4320,0 axbxcxmxnab ++++=≠ (**)và 2 2nm abq == Cáchgiải: -Nếu ( )0**x =⇒ trở thành:0 n = +Có1nghiệm0 x = +Vônghiệm Nếu0, x ≠ chiacả haivế của(**)cho2 x ta được:22 11 ..0axbxcmn xx ++++= Đặt ( ) 22 222 22001mnbqaqqq qqaxbxcaxbxc baxxxx =⇒=⇒++++=⇔++++= Đặt 2 2222qq xtxtq xx +=⇒+=− Từ ( ) ( ) 22 2 12020 ptb atqbtcatbtcaq ⇒−++=⇔++−= *)Chúý: Nếu ( )1** an qbm = =⇒⇒ = là phương trình dạng đốixứng -Nếu ( )1** an qbm =− =−⇒⇒ =− là phương trình dạngphản đốixứng Bài 1: Giải phương trình sau: ( )432498401xxxx−−++= Lời giải Nhận xét:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 25 Cách1: Dùng máy tính tính đượcnghiệmcủa phương trình là 1;2xx==− sau đó phân tích đa thứcthànhnhântử vàtìmnghiệmcủa phương trình, ta được: ( ) ( ) ( )4322 49840120 xxxxxxaxbxx −−++=⇔−+++= Cách2: Nhậnthấytổngcáchệ số của phương trình bằng 0, nên phương trình có 1 nghiệm 1x =⇒ có1nhậntử là1 x Cách3: Nhậnthấy 482 14 =⇒ phương trình dạnghồiquy Nếu ( )01x =⇒ trở thành:40 = (vôlý) Nếu0, x ≠ chiacả haivế của phương trình (1) cho 2 x ta được:22 84 490xx xx −−++= ( )2 2 42 4902xx xx ⇔+−−−= Đặt ( ) 22 2 24 *4txtx xx =−⇒=+− , phương trình (2) trở thành:224490450tttt +−−=⇔−−= 1 5 t t =− ⇔ = Nếu { }222 112202;1 txxxxxx x =−⇒−=−⇔−=−⇔+−=⇔∈− Nếu22533 55520 2 txxxx x ± =⇒−=⇔−−=⇔∈ Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệmphânbiệt 533 2;1; 2 x ± ∈− . Bài 2: SPĐN, năm học2006 Giải phương trình sau: ( )432424101xxxx−−++= Lời giải Cách1: ( ) ( ) ( ) ( )43242222 42410214101410 xxxxxxxxxxx −−++=⇔−+−−=⇔−−−= { } 2 2 10 1;25 410 x x xx −= ⇔ ⇔∈±± −−= Cách2: Nhậnthấy phương trình (1) có dạngphản đốixứng -Nếu ( )01x =⇒ trở thành10 = (vôlý)
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 26 Nếu0, x = chiacả 2vế cho2 x ta được:2222 4111 420420xxxx xxxx −−++=⇔+−−−= Đặt 1 tx x =−⇒ ta được: 22 1 001 242040 4125 4 x txttttx tx x x −= ==± +−−=⇔−=⇔⇔⇔ = =± −= Vậy phương trình có 4 nghiệmphânbiệt { }1;25x ∈±± Bài 3: Giải các phương trình sau: a) ( )432 1027110271001 xxxx−−−+= b) ( )432 2353202 xxxx+−++= Lời giải a)Nhậnthấy0 x = khônglànghiệmcủa phương trình (1) Với0 x ≠ ,chiacả haivế của phương trình cho 2 x ta được 2 2 11 10271100 xx xx +−+−= Đặt222 11 2txtx xx =+⇒=++⇒ phương trình đã cho trở thành:2 5 102713002 26 5 t tt t = −−=⇔ = Với11251 2; 22 txx=⇒=−= Với234261 5; 55 txx=⇒== b)Dễ thấy0 x = khônglànghiệmcủa phương trình (2) Với0 x ≠ ,chiacả haivế của phương trình cho 2 x ta được: 22 22 3311 23502350 xxxx xxxx +−++=⇔+++−= Đặt22 2 11 2txxt xx =+⇒+=−⇒ phương trình đã chotrở thành: ( )2 22350 tt−+−= 2 3 23903 2 t tt t =− ⇔+−=⇔ =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 27 Với2 1 35 1233310 35 2 x txxx x x −+= =−⇒+=−⇔++=⇔ = Với2 1 313 2320 22 txxx x =⇒+=⇔−+= (vônghiệm) Vậy phương trình đã cho có tậpnghiệm 35 2 S −± = Bài 4: Giải các phương trình sau: 432 6538320 xxxx+−−+= Lời giải Dễ thấy0 x = khônglànghiệmcủa phương trình Với0 x ≠ ,chiacả haivế của phương trình cho 2 x ta được:22 56 65380 xx xx +−++= 2 2 11 65380 xx xx ⇔+++−= , đặt22 2 11 2txxt xx =+⇒+=− , ta được phương trình: ( ) 22 5 625380656002 10 3 t tttt t = −+−=⇔+−=⇔ = Với25151 25202; 222 txxxx x =⇒+=⇔−+=⇔∈ Với2101101 310303; 333 txxxx x =−⇒+=−⇔++=⇔∈− Bài 5: Giải phương trình sau: ( ) 2 2 16104 1 933 xx xx +=− Lời giải Điềukiện0 x ≠ Đặt 2 2 2 4168 393 xx tt xx =−⇒=+− Phương trình (1) trở thành:22 2 810 310804 33 3 t tttt t = +=⇔−+=⇔ =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 28 Với21,2 4 226120321 3 x txxx x =⇒−=⇔−−=⇔=± -Với23,4 444 41206;2 333 x txxx x =⇒−=⇔−−=⇔=− Vậy phương trình có tậpnghiệm { }321;2;6S =±− Bài 6: Giải phương trình sau: 43 242210 xxx−−−= Lời giải Nhậnxét: Phương trình trên không phảidạng đốixứnghayhồiquy Dùng phương pháp phân tích đa thứcthànhnhântử, ta được: ( ) 43434322 24221048422048444220 xxxxxxxxxxx −−−=⇔−−−=⇔−+−−−= ( ) ( ) ( ) ( ) 2222222422 22220222420420 2 xxxxxxxxx ±+ ⇔−−+=⇔+−−=⇔−−=⇔= Bài 7: Chuyên Vũng Tàu, năm học2018 Giải phương trình sau: 4222 523124 xxxx−−+= (1) Lời giải Điềukiện: xR∀∈ Đặt ( ) ( ) 22201:5232452432 txttttttttt =≥⇒−−+=⇔−−=+ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 5242 524323 tt tttt ⇔ −−=+ ( ) ( ) 42322432 3254162040169225295416160 ttttttttttt ⇔++−−+=+⇔−−++= (tổnghệ số bậcchẵnbằngtổnghệ số bậclẻ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )322 1255416012254804 ttttttt ⇔+−+=⇔+−−−= Do010 tt≥⇒+> và 222 00 25481525240 ttttt ≥ ≥ −−=+−−> (do2) Từ ( ) 42 t ⇒= (thỏa mãn điềukiện2)222. xx ⇒=⇒=± BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 29 Giảicác phương trình sau: a)432102711027100 xxxx−−−+= b)432235320 xxxx+−++= Lời giải a)432102711027100 xxxx−−−+= Dễ thấy0 x = khôngphảilànghiệmcủa phương trình Với0 x ≠ chiacả haivế của phương trình đã cho cho 2 x ta được: 2 2 11 10271100 xx xx +−+−= Đặt222 11 2txtx xx =+⇒=++⇒ phương trình đã cho trở thành:2 5 102713002 26 5 t tt t = −−=⇔ = Với11251 2; 22 txx=⇒=−=− Với234261 5; 55 txx=⇒== b)432235320 xxxx+−++= Dễ thấy0 x = khôngphảilànghiệmcủa phương trình Với0 x ≠ chiacả haivế của phương trình đã cho cho 2 x ta được: 22 22 3211 23502350 xxxx xxxx +−++=⇔+++−= Đặt222 11 2 txtx xx =+⇒−=+⇒ phương trình đã cho trở thành: ( )2 22350 tt−+−= 2 3 23903 2 t tt t =− ⇔+−=⇔ = Với2 1 135 33310 2 txxxx x −± =−⇒+=−⇔++=⇔= -Với2 2 313 2320 22 txxx x =⇒+=⇔−+= (phương trình vô nghiệm) Vậy phương trình có hai nghiệmlà:35 2 x −± = Bài 2: Giảicác phương trình sau: 432 6538560 xxxx+−++=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 30 Lời giải Dễ thấy0 x = khôngphảilànghiệmcủa phương trình Với0 x ≠ chiacả haivế của phương trình đã cho cho 2 x ta được: 22 22 5611 6538065380 xxxx xxxx +−++=⇔+++−= Đặt22 2 11 2txxt xx =+⇒+=+⇒ phương trình đã cho trở thành: ( )2 625380 tt−+−= 2 51 2; 6550022 101 33;3 tx tt tx ∈ = ⇔+−=⇔⇒ = ∈− Bài 3: Giảicác phương trình sau: 432495840xxxx−−++= Lời giải Dễ thấy0 x = khôngphảilànghiệmcủa phương trình Với0 x ≠ chiacả haivế của phương trình đã cho cho 2 x ta được: 22 22 8442 490490xxxx xxxx −−++=⇔+−−−= Đặt2222 22 244 44txtxxt xxx =−⇒=+−⇒+=+⇒ phương trình đã cho trở thành: { } 22533 44904501;51;2; 2 tttttx ± +−−=⇔−−=⇔∈−⇒∈− Bài 4: Giảicác phương trình sau: 43245250xxxx++++= Lời giải Dễ thấy0 x = khôngphảilànghiệmcủa phương trình Với0 x ≠ chiacả haivế của phương trình đã cho cho 2 x ta được: 22 22 525255 4040xxxx xxxx ++++=⇔++++= Đặt22 2 525 10txxt xx =+⇒+=−⇒ phương trình đã cho trở thành: { }221040603;2 tttttx −++=⇔+−=⇔∈−⇒∈∅
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 31 Bài 5: Giảicác phương trình sau: 43 242210 xxx−−−= Lời giải Tacó ( ) 43434322 24221048422048444220 −−−=⇔−−−=⇔−+−−−= xxxxxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222222 222202224202420220 ⇔−−+=⇔+−−=⇔−−=+> xxxxxxxxx 2422 . 2 ±+ ⇔= x Vậy phương trình có nghiệm 2422 2 ±+ ∈ x .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 1 BÀI 6: MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ĐẶC BIỆT A. Kiến thức cần nhớ -Nguyêntắc:Biến đổi phương trình bậc4về phương trình bậc hai đơn giản hơn Mộtsố dạng phương trình bậc 4 đặcbiệtkhác: a)Dạng: ( ) ( ) ( )2 2200,0 AaxbxcBaxbxcCAa ++++++=≠≠ (1) Cáchgiải: Đặt22 2 0 ptb taxbxcAtBtc =++⇒++= b)Dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44 44 2 3 xaxbc xaxbc −+−= +++= Cáchgiải: - Đốivới phương trình (2), đặt 2 ab tx + =−⇒ thay vào phương trình đã cho, biến đổivề phương trình bậchai Đốivới phương tình (3), đặt 2 ab tx + =+⇒ thay vào phương trình đã cho, biến đổivề phương trình bậchai c)Dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4xaxbxcxdm ++++= với adbc +=+ Cáchgiải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 xaxbxcxdmxadxadxbcxbcm ++++=⇔++++++= Đặt ( ) ( )22 txadxxbcx =++=++ ( ) ( ) ( ) 2 4: ptb tadtbcm⇒++= Hoặc đặt ( )2 2 txadxadbc + =+++ , sau đó biến đổi phương trình về phương trình bậchai ẩn t và tìm t, sau đó tìm x d)Dạng: ( ) ( )22 12 axbxcaxbxcm ++++= (5) Cáchgiải: Đặt 2 212 2 taxbx taxbxcc =+ +⇒ =++ tìm t ⇒ tìm x Bài 1: Giải các phương trình sau: a) ( ) ( ) 44 3182xx−+−= (1)b) ( ) ( ) 44 3516xx+++= (2) Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 2 a) Cách1: Dùngcôngthức ( ) n xy để khaitriển ( ) 34x và ( ) 14x Cách2: Đặt 31 2 11 xt tx xt −=− =−⇒ −=+ Phương trình (1) trở thành: ( ) ( ) 44 1182tt−++= ( ) ( ) ( )4324324242 464146418221228264002 tttttttttttt ⇔−+−++++++=⇔++=⇔+−= 24 20 tx tx == ⇔⇔=−= Vậy phương trình có tậpnghiệm { }0;4S = b) Đặt4, yx=+ ta có phương trình ( ) ( ) 44 1116yy−++= { } 2 4242 2 1 2121467015;3 7 y yyyyyx y = ⇔+=⇔+−=⇔⇒=±⇒∈−− =− Bài 2: Giải các phương trình sau: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 5623180xxxx −−++= b) ( ) ( ) ( ) ( ) 76541680xxxx −−−−= Lời giải a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 56231805263180 xxxxxxxx −−++=⇔−+−+= ( ) ( )22310318180xxxx ⇔−−−−= Đặt2310 txx=−− ta có phương trình ( ) 28818081800 10 t tttt t = −=⇔−−=⇔⇒ =− { }x ∈ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7654168074651680 xxxxxxxx −−−−=⇔−−−−= ( ) ( )22112811301680xxxx ⇔−+−+= Đặt21128 yxx=−+ , ta có phương trình ( ) 21680yy += { }240 216800 42 y yyx y = ⇔+−=⇔⇒∈ =− Bài 3: Chuyên Khánh Hòa, năm học2011 Giải phương trình ( ) ( )2234624xxxx+−+−= Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 3 Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2234624142324134224 xxxxxxxxxxxx +−+−=⇔−+−+=⇔−++−= ( ) ( ) ( )222328241xxxx ⇔+−+−= Đặt223 txx=+− phương trình (1) trở thành { }252403;8 ttt−−=⇔∈− Từ đó ta tính được { }2;0;123x ∈−−± Bài 4: Sư PhạmNgoạiNgữ, năm học2004 Giải phương trình ( ) ( )223271224xxxx++++= Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )223271224142324 xxxxxxxx ++++=⇔++++= ( ) ( ) ( )225456241xxxx ⇔++++= Đặt254 txx=++ phương trình (1) trở thành: { } { }22505;55;0 ttx −=⇔∈−⇒∈− Bài 5: Giải phương trình sau: a) ( ) 2 22 231101590 xxxx+−−−+= b) ( ) ( ) 22262381xxx−−−= Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( )22 2222 231101590231523140 xxxxxxxx +−−−+=⇔+−−+−+= Đặt2231,txx=+− ta có phương trình: { } { }25404;1.... tttx −+=⇔∈−⇒∈ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2222 222 623816812306969230 xxxxxxxxxxx −−−=⇔−−−−=⇔−+−−−−= ( ) ( )22 2 303 36110 611325 xx xxx xxx −== ⇔−−−=⇔⇔ =± Bài 6: Giải phương trình sau: ( ) ( ) 22242220xxx+−++= (1) Lời giải Phương trình ( ) ( ) ( ) ( )2 22 14244202 xxxx ⇔+−+++= Đặt ( ) 224244txxx =+=+−≥−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 4 ( ) 2trở thành ( ) 2217 2420260 17 t tttt t =+ −++=⇔−−=⇔ =− Nếu ( ) 22 1,2 17417257257 txxxx =+⇒+=+⇔+=+⇔=−±+ Nếu23,417417257 txxx =−⇒+=−⇒=−±− Vậy phương trình có tậpnghiệm { }257;257S =−±+−±− Bài 7: Giải các phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 124521230 xxxxxx ++++=++ (1) Lời giải Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 115242615 xxxxxx ⇔++++=++ ( ) ( ) ( )22265682615xxxxxx ⇔++++=++ Đặt265 txx=++⇒ ta được phương trình: ( ) ( ) 2 3210200ttttt+=+⇔+−= { }5 38 4 t x t =− ⇔⇔∈−± = Vậy phương trình có tậpnghiệm { }38S =−± Bài 8: Cho phương trình ( ) ( ) ( ) ( )1234 xxxxm ++++= (1).Biếtrằng phương trình (1) có 4 nghiệm 1234 ,,, xxxx .Tínhgiátrị củabiểuthức1234 ... Sxxxx = theo m Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 114235456 xxxxmxxxxm ⇔++++=⇔++++= Đặt254 txx=++⇒ ta được phương trình ( ) ( )2 2202ttmttm +=⇔+−= Để phương trình (1) có 4 nghiệm thì phương trình (2) phảicóhainghiệmphânbiệt12 , tt thỏamãnhệ thứcViét12 12 2tt ttm +=− =− Giả sử 12 , xx làhainghiệmcủa phương trình: 2 541 xxt ++= 34 , xx làhainghiệmcủa phương trình: 2 542 xxt ++= Khi đó 121 342 .4 .4 xxt xxt =− =− (hệ thứcViét)
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 5 Tacó ( ) ( ) ( ) ( )123412 ...44164.224 Sxxxxttmm ==−−=−−+−=− .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 6 BÀI 7: MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ĐẶC BIỆT (tiếp) A. Kiến thức cần nhớ 1)Dạng: ( )433080xaxbxcab +++=+= Cáchgiải: ( () )433 32 888808880 xaxbxcxxaxac +++=⇔++−+= ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 2428022280 xxaxaxacxaxxaxac ⇔++−+=⇔++−+= Đặt ( ) 2222 2280280 ant txaxttactatctx =+⇒−+=⇔−+=⇒⇒ 2)Dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 xaxbxcxdmxadbc ++++== Cáchgiải: Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 adbcxaxdxbxcmx =⇒⇔++++=⇒ chuyển thành phương trình dạng (2) Dạng: ( ) ( ) ( )222122axbxcaxbxcmx ++++= Cáchgiải: Nếu00 xc=⇒= (vôlý) -nếu0, x ≠ chiacả 2vế của phương trình (2) cho 2 x ta được: 12 cc axbaxbm xx ++++= Đặt c tax x =+⇒ ta được: ( ) ( )12 ant tbtbmtx ++=⇒⇒ 3)Dạng: ( ) ( )22 12 0,0,0,03mxnx axbxcaxbxcpmnpa +=≠≠≠≠ ++++ Nếu ( ) 03:0 xp =⇒= (vôlý) Nếu 12 0 mn xp ccaxbaxb xx ≠⇒+= ++++ Đặt c axt x +=⇒ ta được: 12 mn tbtbp += ++ ⇒ biến đổi phương trình về phương trình bậchai ẩnt
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 7 Bài 1: Giải phương trình sau: 434830xxx−++= Lời giải Cách1: Nhẩmnghiệm(tổngcáchệ số bậcchẵnbằngtổngcáchệ số bậclẻ nêncó1nhân tử là1 x + ) Cách2: ( ) ( )4332322 483048302244830 xxxxxxxxxxxx −++=⇔−++=⇔−−+−++= ( ) ( ) ( ) ( )222 2243022430xxxxxxxx ⇔−−−+=⇔−−−+= Đặt ( ) { }221 243043012;1;3 3 t txxttttx t = =−⇒−+=⇔−+=⇔⇔∈±− = Bài 2: Chuyên Lam Sơn, năm học2012 Giải phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1236122 xxxxx −−++= Lời giải Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 12361256612* xxxxxxxxxx −−++=⇔+−+−= Dễ thấy0 x = khônglànghiệmcủa phương trình (*) Khi0 x ≠ ,chiacả haivế của phương trình (*) cho 2 x ta được: 22566 .12xxxx xx +−+− = ( )66 5112**xx xx ⇔+−+−= Đặt ( ) ( ) ( ) 64773 3**:22122;3;42 t txttx xt = −± =−+⇒+−=⇔⇒∪− =− Bài 3: Giải phương trình: ( )22 231 1 4384686 xx xxxx += ++−+ Lời giải Điềukiện: ( ) 2 2 4380 * 4680 xx xx ++≠ −+≠ Nhậnthấy0 x = khônglànghiệmcủa phương trình (1) Khi ( ) ( )231 012 8864346 x xx xx ≠⇒⇔+= ++−+
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 8 Đặt888444232txtxx xxx =+⇒=+=+≥ (do4 x và8 x cùngdấu) ( )82**t ⇒≥ ( ) 231 2: 366tt += +− , điềukiện:3;6 tt≠−≠− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 12618336330 33 tl tttttt ttm = ⇒−++=+−⇔−=⇔ = Với33 t = ,tacó: ( )2 8 8 433433801 4 x xxxtm xx = +=⇔−+=⇔ = Vậy 1 8; 4 x ∈ Bài 4: Giải phương trình: ( ) ( )2424982230xxxx++−+= Lời giải Tacó ( ) 2249255xxx++=++≥ ,dấu“=”xảyra2 x ⇔=− ( ) ( )42228224662xxx−+=−+≥ ,dấu“=”xảyra2 x ⇔=± Từ ( ) ( ) ( ) ( )242 12498225.630 xxxx ⇒++−+≥= Vậy để ( ) ( )2424982230xxxx++−+= ,dấu“=”xảyratại(1)và(2)2 x ⇔=− Vậy2 x =− .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 9 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình sau: 434850xxx+−−= Lời giải Phương trình đã cho tương đương: ( ) ( )3232 4850841650xxxxxx ⇔+−−=⇔++−−= ( ) ( )2 22450xxxx ⇔++−−= Đặt ( ) { }2224504501;5txxttttt =+⇒−−=⇔−−=⇔∈− Nếu21211txxx =−⇔+=−⇔=− Nếu252516txxx =⇔+=⇔=−± Bài 2: Sư PhạmNgoạiNgữ, năm học2005 Giải phương trình sau: ( ) ( ) 222 33232 xxxxx −+−+= (1) Lời giải Đặt233 txx=−+ Phương trình đã cho trở thành: ( ) ( ) ( )2 220ttxxtxtx +=⇔−+= Nếu { }2331;3txxxxx =⇔−+=⇔∈ Nếu22233230txxxxxx =−⇔−+=−⇔−+= (vônghiệm) Vậy phương trình có tậpnghiệm { }1;3S = Bài 3: Giải phương trình sau: 22 317 4116 xx xxxx −= −+++ (1) Lời giải Rõràng:0 x ≠ Chiacả tử vàmẫucủamỗiphânthứccho x ta được: 3117 116 41xx xx −= +−++ Đặt 1 tx x =+ , ta có phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 3117222 181641741176311005; 41617 ttttttt tt −=⇔+−−=−+⇔−−=⇔∈ −+ Với21521 55510 2 txxxx x ± =⇒+=⇔−+=⇔=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 10 Với22122 1717 tx x =⇒+= (vônghiệm) Bài 4: Trần Đại Nghĩa TPHCM, năm học 2003 Giải phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 456101232 xxxxx ++++= Lời giải Nhậnthấy0 x = khônglànghiệmcủa phương trình Với0 x ≠ ,chiacả haivế của phương trình cho 2 x ta được: 22176016603 4 xxxx xx ++++ = Đặt ( ) 1 6032 161 43 2 t txttx x t = =++⇒+=⇔⇒ = Bài 8: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I.Kiếnthứccầnnhớ
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 11 1.Giátrị tuyệt đối Với AR∀∈ thì,0 ,0 AA A AA ≥ = −< 2.Cáctínhchất +0,AAR ≥∀∈ +,AAAR ≥∀∈ +2,AAAR =∀∈ +,,ABABABR +≥+∀∈ +00 ABAB+=⇔== + ABAB = + ( ),,0 AA ABRB BB =∀∈≠ +22 AA = 3.Cácdạngtoán Dạng1: ( ) ( ) ( ) Axk Axk Axk = =⇔ =− Dạng2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 AxBx AxBxAxBx AxBx = =⇔=− = Dạng3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 0 0 Bx Bx AxBxAxBc AxBx AxBx ≥≥ =⇔⇔= = =− Dạng4: ( ) ( ) ( )0AxBxcc+=≥ Dạngtoán này ta đi lậpbảngxétdấu GTTĐ Dạng5: ( ) ( ) ( ) ( )AxBxCxDx ++= Do ( ) 0Dx ≥⇒ tìm được x ⇒ phá đượcdấugiátrị tuyệt đối Nếugiả thiết không tìm được x thì ta đi lậpbảngxétdấugiátrị tuyệt đối. Dạng6: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 Ax AxBx Bx = +=⇔ = (dạng đặcbiệtcủadạng4).
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 12 Dạng7: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0AxBxAxBxAxBx +=+⇔≥ Dạng8: ( ) ( ) ( ) ( )22 AxBxAxBx =⇔= II.Bàitập Bài 1: Giải các phương trình sau a)542 xx−=+ b)312 xx−=− c)2265 x −= Lời giải a)Tacó ( ) 3 5425422 5421 3 x xx xx xx x −=+= −=+⇔ ⇔ −=−+ = b) ( ) 2 201 312() 3122 3123 4 x x xktm xxxx xxxktm ≥ −≥ −=−⇔= −=−⇔ −=− = Vậy phương trình vô nghiệm. c)Tacó 2 2 2 2 2 11 2651112652; 265122 2 x x xx x x =−= −=⇔⇔⇔∈±± −=− = Bài 2: Giảicác phương trình sau a)22698167xxxx−++++= b)1234 xxxx +++++= c)23220 xxy −+−= Lời giải a)Tacó22698167347347 xxxxxxxx −++++=⇔−++=⇔−++= ( ) ( ) 343434043 xxxxxxx ⇔−++=−++⇔−+≥⇔−≤≤ b) Điềukiện010,20,30 xxxx ≥⇒+>+>+> Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) *12346 xxxxx ⇔+++++=⇔= (thỏamãn)
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 13 c)Tacó22 3 32203202 209 8 x x xxy xyy −== −+−=⇔⇔ −= = Bài 3: Giải phương trình sau 2211xxx−+−= Lời giải Talậpbảngxétdấu x −∞ 01 2 1 +∞ 2 xx ++ 21 x ++ +TH1:Nếu0 x < , phương trình 20 121 3 x xxx x = ⇔−+−=⇔ = (loại) +TH2:Nếu 1 0 2 x ≤< , phương trình ( ) ( ) 2 0 121 1 xtm xxx xktm = ⇔−+−=⇔ =− +TH3:Nếu 1 1 2 x ≤< , phương trình ( ) ( ) 2 1 211 2 xktm xxx xktm = ⇔−+−=⇔ = +TH2:Nếu1 x ≥ , phương trình ( ) ( ) 2 1 211 2 xtm xxx xktm = ⇔−+−=⇔ =− Vậy { }0;1x ∈ Bài 4: Xác định m để phương trình sau có nghiệm: ( )222101xxmxm−−−+= Lời giải Phương trình ( ) ( ) 22 11110 xmxm ⇔−−−+−= Đặt ( )10txt=−≥ Phương trình ( )22102 tmtm ⇔−+−= Phương trình (1) có nghiệmkhivàchỉ khi phương trình (2) có nghiệm0 t ≥ + TH1: Phương trình (2) có nghiệm01 tm=⇔=± + TH2: Phương trình (2) có hai nghiệmtráidấu21011 mm ⇔−<⇔−<<
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 14 +TH3:Tấtcả cácnghiệmcủa phương trình (2) đều dương ( ) 222 22 0410430 000 0101 −−≥ ∆≥ −≥ ⇔>⇔>⇔> > −> > mmm Smm Pmm (vônghiệm m ) Vậy11 m −≤≤ Bài 5: Giải các phương trình sau: a)72532 −=−++ xxx b) ( ) 211 1 2 −++ = xx xx c)211 −+=xx Lời giải a)Tacó53253253272 −++=−++≥−++=− xxxxxxx Vậy ( ) ( ) 5 7253253202 3 −=−++⇔−+≥⇔−≤≤ xxxxxx b) Điềukiện:0;2 ≠≠x Xétvới0;2 >≠xx thì phương trình đã cho trở thành: ( ) 222 1121120 −++=−⇔−++=−⇔= xxxxxxxxx (loại) Xétvới10 −≤< x thì phương trình đã cho trở thành: ( ) 222 0 1121121 2 = −++=−⇔−++=−+⇔ = x xxxxxxxx x (loại) Xét1 <−x thì phương trình đã cho trở thành: ( ) 2222 2 11211223201 2 = −++=−⇔−−−=−+⇔−−=⇔ = x xxxxxxxxxx x (loại) Vậy phương trình vô nghiệm. c)Nhậnthấy2222 101111 −≥⇒≤⇔≤⇒−=− xxxxx Vậy phương trình đã cho viếtthành ( ) 22011010 1 = −+=⇔−+=⇔−=⇔ =± x xxxxxx x Thử lạithấythỏamãn.
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 15 Bài 6: Giải các phương trình sau: a)22221−=−xxx b)225131 −+=−xxx Lời giải a)Tacó ( ) ( ) ( ) ( )22 22222222 2212212212210 −=−⇔−=−⇔−−+−+−= xxxxxxxxxxxx ( ) ( ) 2 22 2 210 213210 321 +−= ⇔−−+−−=⇔ xx xxxx xx Xét 2 trườnghợpgiải phương trình bậc hai, đốichiếu điềukiệnvàkếtluận. b)Tacó ( ) ( ) 2222 2513125131 −+=−⇔−+=− xxxxxx ( ) ( ) ( ) ( )2222 25131251310282220 ⇔−+−+−++−=⇔−+−= xxxxxxxxxx ( ) ( ) 2 2 282 2822100 1 −+ ⇔−+−=⇔= = xx xxxxx x Bài 7: Giảivàbiệnluận cácc phương trình sau a)222112 −+−=+++ xmxmxmxm b)211+=−+mxxx Lời giải a)Tacó: ( ) 22 22 22 2112 2112 2112 −+−=+++ −+−=+++⇔ −+−=−+++ xmxmxmxm xmxmxmxm xmxmxmxm ( ) ( )2 3301 2202 += ⇔ −++= mxm xmxm +)Giải phương trình (1) Nếu0 =m thì phương trình (1) có nghiệmvớimọi x Nếu0 ≠m thì phương trình (1) có nghiệm1 =−x +)Giải phương trình(2) Tacó2816 ∆=−− mm
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 16 -Nếu 442 0 442 >+ ∆>⇔ <− m m thì(2)cónghiệm 2 1,2 816 4 ±−− = mmm x Nếu 442 0 442 =+ ∆=⇔ =− m m thì(2)cónghiệmkép1,2 1,2 12 12 =+ =− x x tương ứng. Nếu0442442 ∆<⇔−<<+ m thì(2)vônghiệm. Khi phương trình (2) có nghiệm1 =−x thì2202 +++=⇔=− mmm . Khi đó, nghiệmcònlại là0 =x Kếtluận: Với2 =−m thì phương trình đã cho có hai nghiệm11 =−x và20 =x Với 2 2442 442 <− −<<− >+ m m m phương trình đã cho có 3 nghiệm 2 1,23 816 ;1 4 ±−− = =− mmm xx -Với442 =−m phương trình đã cho có hai nghiệm.1212;1 =−=−xx Với4420 0442 −<< <<+ m m phương trình đã cho có 1 nghiệm11 =−x Với442 =+m phương trình đã cho có 2 nghiệm1212;1 =+=−xx Với0 =m phương trình đã cho có nghiệmvớimọi x b)Chúýrằng210,−+>∀ xxx nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 11101 11 111202 −+= +=−+ +=−+⇔ ⇔ −+=−+ +−+= mxxxxmx mxxx mxxxxmx Làm tương tự câua). Bài 8: Định a để phương trình sau có 4 nghiệmphânbiệt ( ) 2 121−=−xx Lời giải Tacó: ( ) 2 10, −≥∀ xx nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 12 12 12 −=−⇔−=− −=−− xxa xxa xxa ( ) ( ) 22 22 212242101 21221202 −++= −+=− ⇔⇔ −+=−++−= xxxaxxa xxxaxa
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 17 Để phương trình đã cho có 4 nghiệmphânbiệtthì phương trình (1) và (2) đềuphảicó2 nghiệmphânbiệt, đồngthời 2 phương trình này không có nghiệmchung. Xét phương trình (1): ( ) 3 '421320 2 ∆=−+=−>⇔< aaa Xét phương trình (2): 1 '210 2 ∆=−>⇔> aa Giả sử phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệmchung0 x khi đó: 2 0000 222 00 4210440 1 120120120 −+=−++== ⇔ ⇔ ⇒= +−= +−=+−= xxaxaxa a xaxaaa Vậy để phương trình có 4 nghiệmphânbiệtthì 1 1 2 3 1 2 << << a a Bài 9: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I.Kiếnthứccầnnhớ
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 18 *) Phương trình nghiệm nguyên là phương trìnhcónghiệmlàcácsố nguyên *) Phương pháp giải + Đưa phương trình về dạngtổnghoặctích Vídụ: ( ) ( ) 217xy++= +Dùngcáctínhchấtchiahết,số dư, chữ số tậncùng +Dùngbất đẳngthức +Sử dụngtínhchất cơ bảncủa ∆ trong 1 phương trình bậchai (chẳnghạn: x là1nghiệm, xZ ∈ thì ∆ làsố chính phương và 0∆> ) +Sử dụngcáctínhchấtcủasố chính phương, số nguyêntố + Phương pháp đánh giá + Phương pháp hạ bậc. II.Bàitập Bài 1: Tìmnghiệmnguyêncủa phương trình 22211xy−= Lời giải Từ giả thiết222 112 xyx⇒=+⇒ làsố lẻ x⇒ làsố lẻ Đặt ( )21 xnnZ =+∈ ( ) 222222 212214412212210 nynnyynn ⇒+=+⇔++=+⇔=+− 2 y⇒ chẵn y⇒ làsố chẵn Đặt ( )2 ymmZ =∈ ( ) ( ) ( )2222 2 222102515* mnmnnnn ⇒=+−⇔=+−=+− Tacó VT của(*)làsố chẵn,VPcủa(*)làsố lẻ,nên(*)vônghiệm. Bài 2: Chứngminhrằngkhôngtồntạicácsố nguyên,,xyz thỏamãn 3332019 2020xyzxyz ++=+++ Lời giải Ta có phương trình ( )33320192020*xxyyzz ⇔−+−+−=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 19 Nhậnthấy ( ) ( ) ( ) 3211..13 xxxxxxx −=−=−+ Tương tự tacó ( ) 33yy và ( ) 33zz ( ) *3VT⇒ và201920203 VPdpcm =⇒ Bài 3: ChuyênNgoạiNgữ, ĐHQGHN, năm học2010 Tìmtấtcả cáccặpsố nguyên,xy thỏamãn24 41 xxy ++= (đưa về dạngtích) Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( )2 24422 4123223* xxyxyxyxy ++=⇔+−=⇔+−++= Nhậnthấy ( ) 2 22 22 2 22 21220 2311 22* 23224 2111 xyxx xyyy xyxy xyxx xyyy +−=+= = ++===± +−<++⇒⇔ ⇔⇔ +=−=− +−=− =± = ++=− VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( {)} ;0;1;0;1;4;1;4;1xy ∈−−−− Bài 4: Chuyên ĐắcLắc, năm 2010 Tìmnghiệmnguyêncủa phương trình ( ) ( )22272100*xxyxyy+++++= (Dùng ∆ ) Lời giải Phương trình ( ) ( ) ( ) *227160xyxyy ⇔+++++= Đặt ( ) ( )227100*txytZtty =+∈⇔+++= Để phương trình (*) có nghiệm nguyên thì (**) cũng phảicónghiệmnguyên ẩn t Khi đó 0∆≥ và ∆ làsố chính phương Tacó ( ) { }22222 9 4109400;1 4 tyyyy ∆=−+=−≥⇔≤⇒∈ +215 y =⇒∆= (loại) +209 y =⇒∆= (thỏamãn)0 y ⇒= Thay vào (*) ta được22 7100 5 x xx x =− ++=⇔ =− VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) ( {)};2;0;5;0xy ∈−− Bài 5: ChuyênPhanBội Châu, năm học2011 Tìmnghiệmnguyêncủa phương trình ( )22 524400* xxyyx+++−−=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 20 (Dạng2222 abcd +=+ ) Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) *22214116252516xyx ⇔++−==+=+ + ( ) ( ) 2 2 16 2125 xy x += −= + ( ) ( ) 2 2 25 2116 xy x += −= Hoặctacónhậnxétsau:Rõràng ( ) 212 x làsố lẻ nêntacó ( ) ( ) 2 2 164 2125215 xyxy xx += +=± ⇔ −=−=± +) 43 2151 xyx xy +== ⇔ −== +) 45 2156 xyx xy +==− ⇔ −=−= +) 43 2157 xyx xy +=−= ⇔ −==− +) 42 2152 xyx xy +==− ⇔ −=−=− Bài 6: ChuyênPhanBội Châu, năm học2011 Tìm,xy nguyên dương thỏamãn ( )22 310884* xxyy++= (Dạngtích) Lời giải Phương trình (*) ( ) ( ) ( )22 36488434284** xxyxyyxyxy ⇔+++=⇔++= Tacó2842.3.7 = Do,xy nguyên dương 1 342 1 x xyxy y ≥ ⇒⇒+>+ ≥ Phântích84thànhtíchcủa2thừasố nguyêntố,mỗithừasố lớn hơn hoặcbằng 3, ta được 8428.321.414.612.7 ==== Nhậnthấy ( ) ( ) 34284 xyxy++= chẵn,34246 xyxyxy +++=+ chẵn,nêntacó34;2xyxy ++ đềulàcácsố chẵn
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 21 ( ) ( )34142 262;2;2xyx xy xyy +== ⇒⇔⇒= +== Bài 7: PhúThọ, năm học2017 Tìmnghiệmnguyêncủa phương trình ( ) ( )221.52*xxyx−=− (Dạngtích) Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 *1.513153 xxyxxxy ⇔−=−+⇔−−= Tacó ( ) ( ) ( ) ( )2211,1531.31.43.1xxxxy −≥−∀⇒−−==−−== +)TH1: ( )20 1 5353 xx vn xy = =− ⇔ −=−−=− +)TH2: ( ) 2212 538 xx ktm xyxy = = ⇔ −== +)TH3: 2 2 1323 5162 3 x xxy xyxyx y = =±=− −= ⇔⇔ −== =− =− Bài 8: ChuyênBắcGiang, năm học2018 Chứngminhrằngkhôngtồntạisố tự nhiên n để 20182 n+ làsố chính phương (Phảnchứng) Lời giải Giả sử tồntại nN ∈ saocho2 2018 n+ làsố chính phương Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2018222220182018* nmmNmnmnmn +=∈⇔−=⇔+−= Nhậnthấy ( ) ( ) 2 mnmnm +−= làsố chẵn Từ (*),mn⇒ làsố chẵn 2 4 2 mn VT mn ⇒⇒ + Nhưng 20184VP = Vậy phương trình vô nghiệm. Bài 9:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 22 Tìmsố tự nhiênnthỏamãn ( )4591 nnn += (đánh giá) Lời giải Tacó ( )45 45912 99 nn nnn +=⇔+= +TH1:0 n = (khôngthỏamãn) +TH2:1 n = (thỏamãn) +TH3:1 n > ,tacó ( )4455;21(2)9999 nn VTVP <<⇒<= Vậy1 n > khôngthỏamãn Vậy1 n = lànghiệmduynhấtcủa phương trình. Bài 10: Chuyên Tuyên Quang, năm học2018 Tìmnghiệmnguyêncủa phương trình ( )2 32520* xxyyx−+−+= Lời giải Cách1: Phương trình (*) ( )2 32520 xyxy ⇔−+++= ( ) ( ) 22 254.32481 xyyyy ∆=+−+=++ ( ) ( ) ( ) ( )2 2222322223 xmmNymymym ∆=∈⇔+−=⇔+−++= Do2222ymym +−<++ nên ta có các trườnghợp + 2210 2231 ymy ymm +−== ⇔ ++== + 2232 2211 ymy ymm +−=−=− ⇔ ++=−= +Với203520yxx=⇒−+= +Với2230yxx=−⇒−= Cách2: ( ) ( )222 32520352221352 xxyyxxxxyyyxxx −+−+=⇔−+=−⇔−=−+ 22 352122081 210467 212121 xxxx xZxyyx xxx −+ −+ ∈⇒−≠⇒=⇔= =−+
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 23 10 211 211 x Zx xx = ⇒∈⇒−=±⇒ = +02 xy=⇒=− +10 xy=⇒= Bài 11: Tìmcácsố nguyêntố ,, pqr saocho ( )*qp pqr += Lời giải Do,pq có vai trò như nhau, giả sử pq ≥ Nếu2,qpq >⇒ lẻ r⇒ chẵnvà2 r > nênkhôngtồntạisố nguyêntố r Vậy ( ) ( )2 2*:2** p qpr =⇒+= +Nếu2pr =⇒ chẵn,2 r >⇒ loại +Nếu ( )23 33217 ptm =⇒+= chẵn,2 r >⇒ loại +Nếu3pp >⇒ làsố lẻ và3 p Đặt ( ) 21 21224.2 pkkNpkk + =+∈⇒== chia cho 3 dư 2 Dopkhôngchiahếtcho3nên2 p chia cho 3 dư 1 Từ đó 22 pp⇒+ chiahếtcho33 r⇒ và3 r >⇒ loại Vậy3;2;17 pqr=== hoặc2;3;17. pqr=== BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 24 Bài 1: Tìmcácnghiệmnguyêncủa phương trình 22++=+ xyxyxy Lời giải Viết phương trình đã cho thành phương trình bậcnhấtbậc hai đốivới x ( ) ( )22101−++−=xyxyy Điềukiệncần để (1)cónghiệmlà0 ∆≥ ( ) ( ) ( ) 2222 2 1436103634314 ∆=+−−=−++≥⇔−+≤⇔−≤ yyyyyyyy Do ( ) 2 10∈⇒−=yZy hoặc ( ) 2 11−=y Từ đó ta tìm đượccácnghiệmcủa phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0;0,1;0,0;1,2;1,1;2,2;2 =xy Bài 2: Tìmcácsố nguyên,xy thỏamãn ( ) ( )222220 −−−+=yxxxx Lời giải Đặt ( ) 2 1;0=−≥txt phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) 21101 −−+=⇔−+=− yttytyt Phântích1thànhtíchcủahaisố nguyên,vàchúýrằng −≤+ ytyt tacóduynhấtmột trườnghợp: 0 10 0 11 2 =−=−= ⇔⇔ = +== = y yty x ytt x Bài 3: Chuyên Lam Sơn, năm học2011 Tìmnghiệmnguyêncủa phương trình 222223 +++=++ xxyyxyxy Lời giải Phương trình đã cho tương đương 22211221 −+−−++−= xxxyyyxy ( ) ( )2 11211 ⇔−+−−+= xxyy Phântích1thànhtíchcủacácsố nguyên ta được 2 trườnghợp: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1122 22112301 1100 22112301 = −= = −−+=−+= = ⇔⇔ = −=−= −+==−−+=− xxx xyyyyy xxx xyyyyy
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 25 Bài 4: Chuyên Lam Sơn, năm học2011 Tìmnghiệmnguyêncủa phương trình 222223 +++=++ xxyyxyxy Lời giải Phương trình đã cho 22222222311221 +++=++⇔−+−−++−= xxyyxyxyxxxyyyxy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1122 22112301 11211 1100 22112301 = −= = −−+=−+= = ⇔−+−−+=⇔ ⇔ ⇔ = −=−= = −−+=−−+= xxx xyyyyy xxyy xxx xyyyyy Bài 5: ChuyênBắcGiang, năm học2012 Tìmnghiệmnguyêncủa phương trình 222222−=+ xyxyxy Lời giải Phương trình đã cho ( ) ( )2222222 2221201 −=+⇔−−−= xyxyxyxyxyx ∈ xZ nên2210 −≠x .Vậy (1) là phương trình bậchai ẩn y có ( )22167∆=− xx Để (1)cónghiệmnguyênthì ∆ phảilàsố chính phương Với0 =x từ ( ) 10 ⇒= y thỏamãn Với0 ≠x , để ∆ làsố chính phương thì tồntạisố tự nhiên n saocho: ( ) ( ) ( )22 411 473 167447 471 413 −== +== −=⇔−+=⇔⇔−=−=− +=−=− xnx xnn xnxnxn xnx xnn Từ đó ta tính được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );0;0,1;1,1;2,1;1,1;2 =−−−xy Bài 6: ChuyênHàNam, năm học2012 Tìmnghiệmnguyêncủa phương trình 323350 −+−−=xxyxy Lời giải Phương trình đã cho tương đương ( ) ( ) 235 +−=xxy Từ đó suy ra 23 +x phải là ước nguyên dương của5,vậy: 231 +=x hoặc235 +=x Vậy phương trình đã cho không cso nghiệmnguyên. Bài 7: ChuyênBắcGiang, năm học2013
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 26 Tìmnghiệmnguyêncủa phương trình ( ) 2235 −+=−xxyx Lời giải Vớimọi x thì220 −+>xx ,từ phương trình đã cho 2 35 2 ⇒=∈ −+ x yZ xx Do ( )2 350012351 ∈⇒−≠⇒≠⇒≥⇒−+≤− xZxyyxxx Với2 5 470 3 ≥⇒−+≤xxx (vônghiệm) Với2 5 23031 3 <⇒+−≤⇔−≤≤ xxxx (thỏamãn) Từ đo thử cácgiátrị của x để tìm y . Bài 8: Chuyên Hùng Vương, năm học2013 Tìmcácsố tự nhiênthỏa mãn phương trình 2222340 +++−=xyxyy Lời giải Biến đổi phương trình đã cho thành ( ) ( ) 22340 +++−= xyyy Do ( ) ( )22034041 +≥⇒+−≤⇒−≤≤ xyyyy Mà y làsố tự nhiênnênhoặc0 =y hoặc1 =y Với02 =⇒=yx Với11=⇒=−∉ yxN (loại) Vậy phương trình đã cho có nghiệmduynhất ( ) ( );2;0 =xy
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 1 CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Hệ bậc nhất hai ẩn A.Kiếnthứccầnnhớ Bàitoán:Giảihệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ;01 ;02 fxy gxy = = Trong đó ( ) ( );,; fxygxy làcácbiểuthứcchứa x và y a) Phương pháp thế: + Đặt điềukiện(nếucó) +Biểudiễnmột ẩnsố theo ẩnsố cònlạitừ 1 phương trình + Thay vào phương trình còn lại, ta được phương trình 1 ẩnsố +Giải phương trình 1 ẩnsố này ta tìm đượcnghiệm +Sosánhvới điềukiệncủabàitoánrồikếtluận. b) Phương pháp cộng đạisố ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;0;;0 ;00 fxyfxygxy gxygx =±= ⇔ = = + Đặt điềukiện +Nhânhoặc chia các phương trình vớihệ số thíchhợp +Cộng đạisố các phương trình trên, giải phương trình này + Tìm đượcnghiệm +Sosánhvới điềukiệnrồikếtluận. Bài 1: Xác địnhcáchệ số , ab củahàmsố yaxb =+ để: a. Đồ thị của nó đi qua hai điểm ( ) ( );,;AB1324 . b. Đồ thị củanócắttrụctungtại điểm có tung độ bằng4vàcắttrụchoànhtại điểmcó hoành độ bằng2. Lời giải: a.Thaytọa độ các điểm,AB vào phương trình của đườngthẳng ta được:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 2 abbaa abaaba =+=−= ⇔⇔ =+=+−=−= 331 4242332 Vậy,ab==12 b. Tương tự phần(1)tacóhệ: . abba ababb −=+=−= ⇔⇔ =+=−+=− 4042 02244 Vậy,ab==−24 . Bài 2: Giảicáchệ phương trình sau: a. xy xy += −=− 11 3 32 1 b. xy xy xy xy −= +− +=− +− 3 11 3 1 11 c. x xy x xy −+= −−= 1 212 1 2211 Lời giải: a. Đặt,uv xy == 11 . Theo đề bàiratacóhệ phương trình: ( ) uvvuuu uvuuvuv +==− == ⇔⇔⇔ −=−−−=− =−= 33 551 3213231 32 Từ đó suy ra: ; xy uv ==== 111 1 2 . b. Đặt,xy uv xy == +−11 . Theo đề bàiratacóhệ phương trình: uvuvuvu uvvvvv −==+=+= ⇔⇔⇔ +=−++=−=−=− 3332 31331441 Từ đó suy ra: . x x xxx yyyy y = =− +=+ ⇔⇔ =− = =− 2 1222 111 12 c. Điềukiện,xxy≥−> 1 0 2 . Đặt ax b xy =− = 21 1 tacóhệ phương trình mới x abax abby xy −= +== = ⇔⇔⇔ −=== = 211 21 1 1 2111 0 . Vậyhệ cónghiệmduynhất;xy==10 .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 3 Bài 3: Giảicáchệ phương trình sau: a. xy xy xy += −=− 5 56 109 1 56 b. x y x y −+= −−=− 1 211 21 2 3212 21 c. xy xy −= −+ += −+ 745 763 5313 766 Lời giải: a. Điềukiện:;xy≠≠56 .Taviếtlạihệ phương trình thành: xy xyxyxyxy xyxyxyy −+−+ +=+=+=+= ⇔⇔⇔ −=−−=−−=−= 556656 1012 1012 5366 56565656 109 109 109 21 1 117 56 56566 Từ yy y =⇒=−⇒= 21 7639 6 thay vào ta tìm được x = 10 .Vậyhệ phương trình có nghiệmlà ( ) ( );;xy = 109 . b. Điềukiện,xy≥≠ 11 22 . Ta nhân phương trìnhthứ nhấtcủahệ với 2 thì thu được: x y x y −+= −−=− 2 2212 21 2 3212 21 ,cộng hai phương trình củahệ mớitacó: xx −=⇔−= 5210210 x ⇔= 1 2 .Với x = 1 2 thay vào phương trình ban đầucủahệ tacó: yy y yyy −== =⇔−=⇔⇔ −=−= 12111 1211 212110 Vậyhệ phương trình đã cho có 2 nghiệmlà: ( ) ;;,;xy = 11 01 22 c. Điềukiện,xy>>−76 ,taviếtlạihệ thành: xy xy −= −+ += −+ 2112 5 76 201226 763 Cộng 2 phương trình củahệ ta thu được: xxx x =⇒−=⇔−=⇒= 4141 737916 73 thay Vào ta tìm được: yyy yy −=⇔=⇒+=⇔+=⇒= ++ 74542 6663630 333 66 thỏamãn điềukiện.Vậyhệ cónghiệm ( ) ( );;xy = 1630 .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 4 Bài 4: Giảicáchệ phương trình sau: a. x y x y x +=− + += + 2 1 1 1 24 1 b. y x y x y ++= + +−= + 2 12 1 13 44 12 c. xy xy xy xy +++= += 119 2 15 2 Lời giải: a. Điềukiện,yx≥≠−01 .Taviếtlạihệ phương trình thành: x yy xx yy xx +− +=−−+=− ++ ⇔ += += ++ 222 2 13 11 12 24 48 11 ,cộng 2 phương trình củahệ thu được: ( ) ( ) ( ) ( ) yTM yyyyyy yL = +=⇔+−=⇔−+=⇔ =− 1 454501450 5 4 Suyra y = 1 thay vào phương trình thứ 2 ta tìm được: x =− 1 2 . Vậyhệ cónghiệmlà ( ) ;;xy =− 1 1 2 . b. Điềukiện:;xy≥−≠−11 ,taviếthệ lạidạng: y xxx yyyy xxxx yyyy +− ++=+−=+−== ++++ ⇔⇔⇔ +−= +−=+−=+−= ++++ 222 2 433 1210210 1 1 112 13 131313 21 212121 12 12 12 12 Suyra x y = = 0 1 thỏa mãn điềukiện. Vậyhệ cónghiệm ( ) ( ),;xy = 01 . c. Đặt;xyuxyv +== (với v ≠ 0 ).Hệ đã cho trở thành ( ) ( ) u u v v v += += 9 1 2 15 2 2 Phương trình (2) có dạng v vv v = −+=⇔ = 2 2 2520 1 2 +Với v = 2 thay vào PT (1) tìm được u = 3 .Tacóhệ phương trình xy xy += = 3 2 nên , xy lànghiệmcủa phương trình, tứclà ( ) ( ) ( ),;,;xy = 1221 . 3u =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 5 +Với v = 1 2 thay vào PT (1) tìm được u = 3 2 .Tacóhệ phương trình xy xy += = 3 2 1 2 nên,xy lànghiệmcủa phương trình XX−+=2 31 0 22 ,tứclà ( ) ,;,;xy = 11 11 22 . Từ đó suy ra hệ đã cho có tấtcả bốnnghiệm. Bài 5: Giảicáchệ phương trình sau: a. xy xy x xy + += −+ −= −+ 22 5 11 13 112 b. x xy x xy −−= −+= 1 441 2 7 18 2 Lời giải: a. Điềukiện:;xy≠≠−11 .Tabiến đổihệ phương trình đã cho thành: xy xyxyxyx xy xy xyxyxyx −++− +=−=−= −= −+−+−+= −+ ⇔⇔⇔⇔ −+ = −=−=−= = −+−+−+ 13222323252232 2 1111112 11 111311122 111 1 11211211 1 Vậyhệ phương trình có nghiệmlà ( ) ( ),;xy = 21 . b. Điềukiện: x xy ≥ −≠ 1 20 ,hệ phương trình đượcviếtlạithành: xx xyx xyx xxyy xyxy −−=−−= −== ⇔⇔⇔ −== −+= = 11 211211 222 212 14 15 2116213 15 22 (TMĐK) Vậyhệ cónghiệmlà ( ) ( ),;xy = 23 . Bài 6: Chohệ phương trình: ( ) ( ) xy mxy −= −= 251 42 a.Giảihệ phương trình với m = 2 . b.Tìm m để hệ phương trình có nghiệmduynhất ( ), xy trong đó xy tráidấu. c.Tìm m để hệ phương trình có nghiệmduynhất ( ), xy thỏamãn xy = . Lời giải: a.Với m = 2 tacóhệ phương trình: ( ) xyxyxyx xyyyyy −==+ =+= ⇔⇔⇔ −=+−= =−=− 2525 251 242254 362
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 6 b.Từ phương trình (1) ta có xy=+25 .Thay xy=+25 vào phương trình (2) ta được: ( ) ( ) ( )myymym +−=⇔−=− 25421453 Hệ cónghiệmduynhấtkhivàchỉ khi(3)cónghiệmduynhất. Điều này tương đương với: mm−≠⇔≠ 1 210 2 .Từ đó ta được:; m yxy mm ==+= 45 523 2121 . Tacó: ( ) ( ) m xy m = 2 345 21 . Do đó xymm <⇔−<⇔> 4 0450 5 (thỏa mãn điềukiện). c.Tacó: ( )m xy mm =⇔= 345 4 2121 Từ (4)suyra mm−>⇔> 1 210 2 .Với điềukiện m > 1 2 tacó: ( ) ( )mL m m m m −== ⇔−=⇔⇔ −=− = 1 453 44535 4537 5 .Vậy m = 7 5 Bài 7: ChuyênToánQuảng Nam, năm học2012 Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 2 2 461 12 xxyx yxy +−=− +=− Lời giải +Nếu0 y =⇒ khôngthỏa mãn phương trình (2) (loại) +Nếu ( ) 21 02: y yx y + ≠⇒=− Thay vào phương trình (1) ta được: ( ) ( ) ( ) 2 2222 1112222 .4611.41.6yyy yyyyyyy yyy +++ −+−−−=−⇔+−+++=− ( ) ( )322 4741014310 yyyyyy ⇔+++=⇔+++= +)TH1:12 yx=−⇒=± +)TH2: ( )22 431034.40 yy++=∆=−< nên phương trình vô nghiệm. Vậyhệ phương trình có hai nghiệm ( ) ( ) ( {)};2;1,2;1xy ∈−−−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 7 Bài 8: ChuyênToánBắc Ninh, năm học2011 Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 2 2 321 9882 xy yx −= −= Lời giải Tacóhệ phương trình 22 222 324128 988412980 xyxy yxxyyx −=−= ⇔ −=−−+= ( ) ( ) 2 22 321 4981202 xy xyxy −= ⇔ −+−= Giải phương trình (2): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 223234230232340 xyxyxyxyxy ⇔−++−=⇔−++= +)TH1: ( ) ( ) ( ) 2 213 230321:220133 13213 3 xy xyyxxx x y += =+ −=⇔=⇒−−=⇔⇒ =− = +)TH2: ( ) ( )2 23403421220 xyyxxxptvn ++=⇒=−−⇒⇔++= VậyHPTcóhainghiệm ( ) ( ) ( )213213 ;13;,13; 33xy +− ∈+ Bài 9: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 4322 2 2291 2662 xxyxyx xxyx ++=+ +=+ Lời giải HPT ( ) ( ) ( ) 422 2 44.228363 2664 xxxyxyx xyxx ++=+ ⇔ =+− Thế (4) vào (3) ta được ( ) ( ) 4222 2 446666836 xxxxxxx ++−++−=+ ( ) ( ) 3230 124864040 4 x xxxxxx x = ⇔+++=⇔+=⇔ =− +)TH1: ( )04x =⇒ vôlý +)TH2: ( ) ( ) ( ) 42.4.6.464217 4xyy =−⇒−=−+−−⇔=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 8 VậyPHTcónghiệm ( ) 17 ;4; 4xy =− Bài 10: Chuyên KHTN, năm học2018 Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 2 22 11 2242 xyyy xyxyx +=+ ++=+ Lời giải TacóHPT ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 113 21424 2 xyyyxyyy xx xyxy +=+ +=+ ⇔⇔ +− ++=+ = Thế (4) vào (3) ta được: 2 222 22243214640 222 xxxxxx xxxxx +−+−+− +=+⇔−++−= ( ) ( ) ( ) ( ) 32221 132401240 15 x xxxxxxx x = ⇔−−−+=⇔−−−=⇔ =−± +)TH1: ( ) 141xy=⇒⇔= +)TH2:35 15 2xy=−±⇒= Vậyhệ phương trình có 3 nghiệm ( ) ( ) 3535 ;1;1,15;,15; 22xy −+ ∈−+ Bài 11: Thế ẩn Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 11 21 2 13 42 2 −=− + −= + xy xy Lời giải Điềukiện:0;2;0;2 ≠≠−≠≠− xxyy Từ ( ) ( )111242 123 2223 −−+ ⇒=−=⇔=− +++ yy x xyyy ( ) ( ) ( ) ( )32 243642 2 −+ ⇔=⇔−−=+ + yx yxyx xy Thay vào (3) ta được: ( ) ( )222336623 3.642 232323 +++++−+ +−=−⇔ +++ yyyyyy yy yyy
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 9 ( ) ( ) 428232222612121651160 23 −+++ = ⇔−−=−⇔++= + yyyy yyyyyy y 11 64 53 =−⇒=− ⇔ =⇒= yx yx Vậyhệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) ( ) 46 ;1;1;;; 55 =−= xyxy . Bài 12: HSGTPHN Giảihệ phương trình sau ( ) 22 32 812 , 2120 += ∈ ++= xyxyR xxyy (thế hệ số) Lời giải Thế 22128 =+xy vào phương trình (2) ta có: ( ) 32223223 280280 +++=⇔+++= xxyyxyxxyxyy (*) +)Xét00 =⇒=yx (khôngthỏamãn) +)Xét0 ≠y ,chiacả 2vế của phương trình (*) cho 3 y ta được: 32 280 +++= xxx yyy Đặt ( ) ( )322 0 2802402 > =⇒+++=⇔+−+=⇔= x tttttttt y Với22 =−⇒=− txy thay vào phương trình (1) 22 48121 ⇒+=⇔=± yyy Vậyhệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) ( ) ( );2;1;;2;1 =−=−xyxy Bài 13: HSG TPHCM, năm học2015 Giảihệ phương trình sau ( ) ( )2 211 2 =− +=− yx xyxy Lời giải Điềukiện:1;≥≥− xxy (Điềukiệnchặt210 =−⇒≥yxy ) Thế (1) vào (2) ta được:222121121121 +−=−−⇔−+−+=−− xxxxxxxx ( ) 2 222 112111211121 ⇔−+=−−⇔−+=−−⇔−+=−− xxxxxxxxx
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 10 22 3110311 ⇔−−−=⇔−=− xxxx Điềukiện:22101−≥⇔≥xx Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 3119111112190 −=−⇔−=−+⇔−−++−= xxxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )322 0 110012350 ∆< ⇔−+−−=⇔−−++= xxxxxxxx 10 22 =⇒= ⇔ =⇒= xy xy (thỏamãn). Bài 14: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 22 332 301 22502 +−−= +−+−−= xyxy xyxxyxy Lời giải Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) 22222225032250 ⇔+−+−+−−=⇔+−+−−= xyxxyyxxyxyxyxxyxy ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2201210120 2 = ⇔−+−−=⇔−−+−=⇔−−=⇔ = x xxyxyxxyxxyx xy +)Với1 =x thayvào(1)221 13020 2 =− ⇒+−−=⇔−−=⇔ = y yyyy y +)Với2 = xy thayvào(1)22222 4230331 2 = +−−=⇔=⇔=±⇒ =− x yyyyy x VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );1;1;;1;2;;2;1;;2;1 =−===−−xyxyxyxy .
phương trình:
a.Khônggi
nghi
ih
mduynh
b.Giảivàbiệnlu
phương trình trên,
nh
phương trình trên theo
c.Tìmsố nguyên m saochohệ phương trình có nghiệmduynh
d.Chứngminhrằngkhihệ cónghi
mduynh
phương trình
ulà số nguyên.
OFFICIAL
xy mà,xy
DẠYKÈMQUYNHƠN
11 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Chohệ
( ) ( ) xmym mxym +=+ +=− 11 312
ả
ệ
cho biếtvớigiátrị nàocủa m thìhệ
có
ệ
ất?
ậ
ệ
m .
ất ( ),
đề
ệ
ất ( ), xy thì điểm ( ), Mxy luônchạytrên một đườngthẳngcố định. e.Tìm m để hệ trêncónghiệmduynhấtsaocho,xy đạtgiátrị nhỏ nhất. Lời giải: a.Từ phương trình (2) ta có ymmx =−− 31 . Thay vào phương trình (1) ta được: ( ) ( ) ( )xmmmxmmxmm +−−=+⇔−=−− 22 31113213 Hệ cónghiệmduynhấtkhivàchỉ khi phương trình (3) có nghiệmduynhất,tứclà mm−≠⇔≠±2 101 . Ta cũng có thể lậpluậntheocáchkhác:Hệ cónghiệmduynhấtkhivàchỉ khi: m mm m ≠⇔≠⇔≠±12 11 1 . b.Từ phương trình (2) ta có ymmx =−− 31 . Thay vào phương trình (1) ta được: ( ) ( ) ( )xmmmxmmxmm +−−=+⇔−=−− 22 31113213 Trường hợp 1: m ≠±1 . Khi đó hệ cónghiệmduynhất ( ) ( ) ( ) ( ) . mmmmm x mmmm mm ymm mm −+ + = = =−−++ +− =−−=++ 2 2 321131 31 1111 311 31 11 Trường hợp 2: m = 1 . Khi đó phương trình (3) thành: . x = 00 .Vậyhệ cóvôsố nghiệm dạng ( ) ;, xxx−∈2 . Trường hợp 3: m =−1 khi đó phương trình (3) thành: . x = 04 (3)vônghiệm, do đó hệ vônghiệm. c.Hệ đã cho có nghiệmduynhấtkhivàchỉ khi m ≠±1 .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 12 Tacó: m x mm m y mm + ==− ++ ==−++ 312 3 11 12 1 11 .Vậy,xy nguyênkhivàchỉ khi m + 2 1 nguyên. Do đó m + 1 chỉ cóthể là;;;2112 .Vậy;; m =−−320 (thỏamãn)hoặc m = 1 (loại). Vậy m nhậncácgiátrị là;;320 . d.Khihệ cónghiệmduynhất ( ), xy tacó: xy mm −=−−−= ++ 22 312 11 Vậy điểm ( ), Mxy luônchạy trên đườngthẳngcố định có phương trình yx=− 2 e.Khihệ cónghiệmduynhấttheo(d)tacó: . Do đó: ( ) ( )xyxxxxx =−=−+=−−≥− 22 221111 Dấubằngxảyrakhivàchỉ khi: xmm mm =⇔−=⇔=⇔+=⇔= ++ 22 1312110 11 . Vậyvới m = 0 thì,xy đạtgiátrị nhỏ nhất. Chú ý: Ta cũng có thể tìmquanhệ xy−= 2 theocáchkhác:Khihệ phương trình ( ) ( ) xmym mxym +=+ +=− 11 312 cónghiệmduynhất ( )m ≠±1 lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1)củahệ ta thu được: ( ) ( ) ( ) mxmymxy −−−=−⇒−= 11212 Bài 2: Chohệ phương trình: xmym mxym −=− +=+ 24 31 .Chứngminhrằngvớimọimhệ phương trình luôncónghiệm.Gọi ( ); xy00 làmộtcặpnghiệmcủa phương trình. Chứngminh: ( )xyxy+−++=22 00005100 . Lời giải: Từ phương trình (2) củahệ phương trình ta có ymmx =+− 31 thay vào phương trình (1) củahệ tacó: ( ) mxmm +=−+ 221332 .Do m +≠2 10 vớimọi m nên phương trình này luôn cónghiệmduynhất x 0 .Suyrahệ luôncónghiệmvớimọi m Gọi ( ); xy00 làmộtnghiệmcủahệ:Từ hệ phương trình ta có: ( ) ( ) xmy ymx −=− −=− 00 00 24 13 .Nhâncả haivế phương trình thứ nhấtvới ( )x 30 , phương trình thứ haivới ( )y0 4 rồitrừ hai phương trình cho nhau ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxyyxyxy −−−−−=⇔+−++= 22 0000 3241000005100 . Ngoài ra ta cũng có thể giải theo cách khác như sau: 312 3 11 12 1 11 m x mm m y mm + ==− ++ ==−++ (;) xy 2yx=−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 13 ( ) ( ) :,': dxmymdmxym−+−=+−−= 420 310 .Tadễ dàngchứng minh được đườngthẳng ( )d luôn đi qua điểmcố định: ( );A 24 và đườngthẳng ( )'d luôn đi qua điểmcố định: ( );B 31 .Mặt khác ta cũng dễ chứng minh đườngthẳng ( )d và đườngthẳng ( )'d vuông gócvới nhau nên hai đườngthẳngnàyluôncắtnhau.Gọi ( ); Mxy00 là giao điểmcủa hai đườngthẳngthìtamgiác MAB vuôngtại M .Gọi I là trung điểmcủa AB thì ;, IAB = 55 10 22 suyra: ( )IMABIMABxyxyxy =⇔=⇔−+−=⇔+−++= 22 22 22 0 0 0000 1 55 4 4 10 5100 2 22 Bài 3: Chohệ phương trình: ( ) ( ) xmy mxym += +=+ 31 212 Hệ cónghiệmduynhất ( ); xy ,hãytìmgiátrị nhỏ nhấtcủacácbiểuthức sau đây: a. ( )Pxy =+2231 b. ( )Qxy =+44 2 Lời giải: Từ phương trình (2) ta suy ra: ymmx =+− 21 . Thay vào phương trình (1) ta được: ( ) ( ) ( )xmmmxmxmm ++−=⇔−=+− 22 2131233 Hệ cónghiệmduynhấtkhivàchỉ khi phương trình (3) có nghiệmduynhất, điều đó xảy rakhivàchỉ khi: mm−≠⇔≠±2 101 . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) mmmmm x mmmmm m ymm mm +−−+ + = = ==+ −−+++ +=+−= ++ 2 2 23123 231 2 11111 231 21 11 a.Tacó: ( ) ( )Pxxxxx =+−=−+=−+≥ 2222 32412122333 P = 3 khi m xmmm m + =⇔=⇔+=+⇔=− + 3233 46333 212 Vậygiátrị nhỏ nhấtcủa P bằng3. b.Tacó: ( )Qxyxx =+=+−4444 2 Đặt tx=− 1 Khi đó ( ) ( ) Qtttttttttttt =++−=+++++−+−+=++≥ 44 432432 42 114641464121222 Qtxmmmm m + =⇔=⇔=⇔=⇔+=+⇔=− + 23 20112312 1 Vậygiátrị nhỏ nhấtcủa Q bằng2.
và
suyra
+Nếu
m
}
thì đườngthẳng
suyra.aa =− 12 1 do đó ( ) ( )dd ⊥ 12 .
Tómlạivớimọi m m thì hai đườngthẳng ( )d1 luônvuônggócvới ( )d 2 . Nên hai đường thẳngluônvuônggócvớinhau.
Xét hai đườngthẳng ( ) ( ) ( ) ( ):;:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 14 Bài 4: Chohệ phương trình: ( ) ( ) mxmy mxmym ++= +−=+ 11 183 . Chứngminhhệ luôncónghiệmduynhất ( ), xy vàtìmGTLNcủabiểuthức ( ) Pxyy =+++ 22 423 (Trích đề tuyểnsinhvàolớp10chuyêntoán ĐHSP Hà Nội 2015). Lời giải: Xét hai đườngthẳng ( ) ( ) ( ) ( ):;: dmxmydmxmym++−=+−−+= 121101830 +Nếu m = 0 thì ( ) : dy −= 1 10 và ( ) : dx −= 2 50 suyra ( )d1 luônvuônggócvới ( )d 2 . +Nếu m =−1 thì ( ) : dx +=1 10
( ) : dy +=2 110
( )d1 luônvuônggócvới ( )d 2 .
{
;
≠ 01
( ) ( ), dd12 lần lượtcóhệ số góclà:,mm aa mm + =−= + 12 1 1
dmxmydmxmym++−=+−−+= 121101830 luônvuông gócvớinhaunênnócắtnhau,suyrahệ cónghiệmduynhất.Gọi giao điểmlà ( ), Ixy đườngthẳng ( )d1 đi qua ( );A 11 cố định, đườngthẳng ( )d 2 luôn đi qua ( );B 35 cố định suyra I thuộc đường tròn đườngkính AB .Gọi ( );M 12 là trung điểm AB thì ( ) ( ) ( )*AB MIxy=⇔−++= 22 1213 2 . ( ) ( ) ( ) ( )Pxyxyxyxy =−++++−=++=+−+++− 22 12223582382132123 Hay ( )Pxy =−+−++ 10432132 .Ápdụngbất đẳngthứcBunhiacopxkitacó: Bài 5: ThiHSGToánlớp9,tỉnh Trà Vinh, năm 2009 2010 Giảihệ phương trình: yx yxxy −= −++−= 45 2217 Lời giải: Từ phương trình (1) ta có: yx=+45 thế vào phương trình (2) ta được: ( ).*xxxxxx +−+++−=⇔+++= 24524517225547 • Trường hợp 1. Xét x <− 5 2
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 15 Phương trình ( ) ( ) ( )* xx ⇔−+−+= 225547 xxx ⇔−−−−=⇔=− 7 410547 3 (thỏamãn) Từ (1),suyra: y =−+=− 45713 53 • Trường hợp 2. Xét x −≤≤− 54 25 Phương trình ( ) ( ) ( )* xxxxx ⇔+−+=⇔+−−=⇔=− 2255474105471 Từ (1),suyra: ( )y =−+=4151 • Trường hợp 3. Xét x >− 4 5 Phương trình ( ) ( )* xx ⇔+++= 225547 xxx ⇔+++=⇔=− 7 410547 9 (thỏamãn) Từ (1)suyra y =−+= 717 45 99 Vậyhệ phương trình đã cho có nghiệm ( ), xy là: Bài 6: Tuyểnsinhlớp 10, THPT chuyên, Đạihọc Vinh, năm học20152016 Giảihệ phương trình: xxyy xy +=+ += 22 22 5 Lời giải: Tacó: ( ) ( )xyxyxyxy xyxy −++= −+−= ⇔ += += 22 22 22 010 5 5 Trường hợp 1. Xét xyxy xy xyxy −== ⇔⇔==± +=+= 2222 0 10 552 Trường hợp 2. Xét ( ) ( ) xy xy ++= += 22 101 52 Từ phương trình (1) ta có yx =−− 1 thế vào phương trình (2), ta được: ( ) ( ) ( ) x xxxxxx x = +−−=⇔+−=⇔−+=⇔ =− 2 22 1 1520120 2 Với xy=⇒=−−=− 1112 Với ( )xy=−⇒=−−−= 2121 Vậytậpnghiệm ( ), xy củahệ phương trình là: ( ) ( );,;,;,;S = 10101010 1221 2222 ( ) ;;;;; 713 717 11 3399
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 16 Dạng 2: Hệ đối xứng loại 1 A.Kiếnthức *) Định nghĩa: Hệ đốixứngloại1làhệ khi đổichỗ x và y chonhauthìmỗi phương trìnhvẫn không thay đổi Xétbàitoán:GiảiHPT ( ) ( ) ,0 ,0 fxy gxy = = Hệ đốixứngloại1làhệ thỏamãn ( ) ( ) ( ) ( ) ,, ,, = = fxyfyx gxygyx Vídụ: ( ) ( )22 ,;, fxyxygxyxy xy =+= + Cáchgiải: + Đặt điềukiện(nếucó) + Đặt ( )2 ;4 SxyPxySP =+=≥ ,tabiến đổihệ phương trình về HPT ẩn S và P +GiảiHPT ẩn S và P ,từ đó tìm được S và P +Tìm x và y theo Viét đảovàkếtluận. *) Lưu ý: +Thựchiện1số phépbiến đổi + ( ) ( ) ,; uuxvvxSuvPuv ==⇒=+= + Đặt ẩnphụ Bài 1: Giảihệ phương trình sau 22 5 30 += += xy xyxy Lời giải Đặt ( )24+= ≥ = xySSP xyP Thayvàohệ phương trình ta được: 55523 .306632 ==+==⇒= ⇔⇔⇔ ====⇒= SSxyxy PSPxyxy Thử lạitathấythỏamãnhệ phương trình Vậyhệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) ( {)};2;3,3;2 ∈xy
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 17 Bài 2: Giảihệ phương trình sau 22 33 30 35 += += xyyx xy Lời giải TacóHPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 33222 303030 3535335 +=+= += ⇔⇔ +=+−+=++−= xyyxxyxyxyxy xyxyxxyyxyxyxy Đặt ( )24+= ≥ = xySSP xyP ta được: ( ) 23 3 3030305 3356 335125 = == = ⇔⇔⇔ −= −== = SPSPSPS SSPP SPSS 5523 6632 =+==⇒= ⇔⇔ ===⇒= Sxyxy Pxyxy Vậyhệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) ( {)};2;3,3;2 ∈xy Bài 3: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 2230 1172 +++= ++= xyxy xyxy Lời giải TacóHPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 22 3018 117272 +++= +++= ⇔ ++= ++= xyxyxxyy xyxyxxyy Đặt2218612 ;72126 +==⇒==+=+⇒⇔==⇒= abab axxbyyabab +)TH1: 2 2 2 663 123 12 4 = =+== ⇒⇔ = +== =− x axxx by yy y Vậytậpnghiệm ( ); xy là ( ) ( ) ( ) ( {)} 2;3,2;4,3;3,3;4 +) TH2: Tương tự trườnghợp1. Bài 4: ChuyênPBCNghệ An, năm học2011 Giảihệ phương trình sau 22 3 112 223 xyxy xxyy ++= += ++ Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 18 Điềukiện2220;20xxyy+≠+≠ HPT ( ) ( ) ( ) ( ) 22 114 112 11113 xy xy ++= ⇔ += +−+− Đặt ( ) ( )22 41 1;1112 2 113 uv uxvyHPT uv = =+=+⇒⇔ += Từ phương trình (2) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222222222 31121136222 uvuvuvuvuv −+−=−−⇔+−=−++ ( ) 22222 22 4 52.488 8 uv uvuv uv = ⇔+=+⇔+=⇒ += Đặt22;28164SuvPuvSPSS =+=→⇒−=⇒=⇒=± +) ( )42 41 42 uvu Sxytm uvv == =⇒⇔⇔== +== +) ( )423 Suvxytm =−⇒==−⇔==− VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) ( {)};1;1,3;3xy ∈−− Bài 5: Giảihệ phương trình sau ( ) 33 2 2 xyxy xy −=− −= Lời giải Đặt ( ) 33 2 2 xtxt ty xt += =−⇔ += Đặt ( ) ( ) ( )23 33 ;43 SxtPxtSPxyxyxyxy =+=≥⇒+=+−+ HPT 33 22211 328111 SPSPSxx SSPSPty = = === ⇔⇔⇔⇔⇔ −=====− VậyHPTcónghiệmduynhất ( ) ( );1;1xy =− Cáchkhác:Cóthể đặt;axybxy ==−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 19 Bài 6: Chuyên Hưng Yên, năm học2018 Giảihệ phương trình sau ( ) ( )22 22 11 1 11 xyxyxy xy yx +++=++ += ++ Lời giải Điềukiện1;1 xy≠−≠− HPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 222 2 22 1111111 11 111 111111 xy xyxyxyxxyyxy yx xyxyxy yxyxyx += +++=+++++=++ ++ ⇔⇔ +=+= +++++= ++ Đặt; 11 xy uv yx == ++ HPT 22 0 11 1 101 0 u uvv uv uvuvu v = +==+= ⇔⇔⇔ +== = = +) ( ) 0 00 1 11 1 1 x uxytm vy y x == = + ⇔⇔ = = = + +) ( )11 00 ux tm vy == ⇔ == VậyHPTcóhainghiệm ( ) ( ) ( {)};0;1;1;0xy ∈ Bài 7: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 222821 42 xyxy xy ++= += Lời giải Điềukiện0;0 xy≥≥ Đặt ( ) ( ) 2 02162 txytxyxyxyt =≥⇒+=+−=− ( ) ( ) 22222221622264256xyxyxytttt +=+−=−−=−+
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 20 Phương trình ( ) 222 1264256282321288321288 ttttttttt ⇔−++=⇔−++=⇔−+=− ( )08 t ≤≤ 22.424 3212816644 424 xyxx ttttt xyyy = = = ⇔−+=−+⇔=⇔ ⇔⇔ +=== (T/M) Bài 8: Chuyên Bình Phước, năm học2018 Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 221110 13 xy I xyxy ++= +−= Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 1111 xyxyxyxyxy ++=+++=++− Đặt ( ) 224 10 13 3 uxyuv uv HPTI vxyuv uv =+ +=± += ⇒⇔⇔ = −= = +)TH1: 431 ; 313 uvuu uvvv +=== ⇔ ===1 3332 11122 1 x uxyxyy vxyxyx y = =+=+== ⇔⇔⇔ =−== = = 11 34 uxy vxy =+= ⇔ == (vônghiệm) +)TH2: 413 ; 331 uvuu uvvv +=−=−=− ⇔ ==−=− 1 112 322 1 x uxyy vxyx y = =−+=−=− ⇔⇔ =−=− =− =− 0 333 103 0 x uxyy vxyx y = =−+=−=− ⇔⇔ =−= =− = VậyHPTcó6nghiệm.
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 21 *) Ứng dụng của HPT đối xứng loại 1 Đặt ẩnphụ đưa phương trình về HPT đốixứngloại1 Phương trình dạng: ( ) ( ) −±+=nmafxbfxc Cáchgiải: Đặt ( ) ( ); =−=+ nm uafxvbfx TacóHPT ±= +=+ nm uvc uvab Bài 1: Giải phương trình sau 3312122 −++= xx Lời giải Đặt3312;12 =−=+ uxvx 3 3 12 12 =− ⇔ =+ ux vx TacóHPT ( ) ( )333 222 2862 32 +=+= += ⇔⇔⇔ +=−= +−+= uvuvuv uvuv uvuvuv ( ) ( ) 221 6612 +=+= ⇔⇔ = = uvuv uvuv 1 1120 1 = ⇔⇒=−⇔= = u xx v Vậy0 =x lànghiệmcủa phương trình. Bài 2: Giảihệ phương trình sau 14 7 ++= += xy xy Lời giải Điềukiện1;0 ≥−≥xy TacóHPT 1414 718 ++=++= ⇔ += ++= xyxy xyxy Đặt ( ) ( ) ( ) 222 44 10;0 828 +=+==+≥=≥⇒⇔ += +−= abab axabybababab 42 42 +==⇔⇔== aba abb ( )123 24 += =⇒⇔ == xx tm yy VậyHPTcónghiệm ( ) ( );3;4 =xy
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 22 BÀITẬPTỰ LUYỆN Bài 1: Giảicáchệ phương trình sau a)33 22 8 xyxy xy ++= += b) ( ) ( ) 3319 82 xy xyxy += ++= c) ( ) ( )2233 33 23 6 xyxyxy xy +=+ += d) 3 114 xyxy xy +−= +++= Lời giải: a) Đặt Sxy Pxy =+ = điềukiện24SP ≥ Hệ phương trình đã cho trở thành: ( )2 2 2 222 38638 2 S SPP SSPS SS +== ⇔ −= −= ( ) ( )322 2361602278020 SSSSSSSP ⇒+−−=⇔−++=⇔=⇒= Suyra,xy làhainghiệmcủa phương trình: 2200,2 XXXX −=⇔== 02 20 xx yy == ∨ == b) Đặt Sxy Pxy =+ = điềukiện24SP ≥ hệ phương trình đã cho trở thành: ( ) ( ) ( ) 2 33 319881 3281968224250 SSPSPSSPSS SSPSPSS −==−=−= ⇔⇔⇔ −−==−+=+−= . Suyra,xy làhainghiệmcủa phương trình: 2 12 603;2XXXX−−=⇔==− Vậyhệ đã cho có hai cặpnghiệm ( ) ( ) ( );2;3,3;2xy =−− c) Đặt33 , axby == hệ đã cho trở thành: ( ) ( )332223 6 ababba ab +=+ += . Đặt Sab Pab =+ = điềukiện24SP ≥ thìhệ đã cho trở thành. ( ) ( )3 233236336 668 SSPSPPPS SSP −=−= = ⇔⇔ === . Suyra,ab là2nghiệmcủa phương trình: 2 12 28464 6802;446428 axax XXXX byby =⇒==⇒= −+=⇔==⇒ ∨ =⇒==⇒=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 23 Vậyhệ đã cho có hai cặpnghiệm ( ) ( ) ( );8;64,64;8xy = d) Điềukiện: 0 ,1 xy xy ≥ ≥− . Đặt Sxy Pxy =+ = điềukiện24SP ≥ Hệ phương trình đã cho trở thành: ( ) ( ) 2 2 33;3 2211623114 SPSPS SSPSSS ≥=− −= ⇔ ++++= +−+=− ( ) ( ) ( )2 222 314;3314;3 48101962830520 SPSSPS SSSS SS ≤≤=− ≤≤=− ⇔⇔ ++=−++−= 6 93 S Pxy = ⇔ =⇒== . Vậyhệ đã cho có nghiệm ( ) ( );3;3xy = . Bài 2: Giảicáchệ phương trình sau a) 22282 4 xyxy xy ++= += b) 22 2 2 1xy xy xy xyxy ++= + +=− c) ( ) ( )22 22 1 15 1 19 xy xy xy xy ++= ++= d) ( ) ( ) ( ) 3223 22 12300 1110 xyyxyyxy xyxyyy ++++−= ++++−= Lời giải a) Đặt,xayb == điềukiện,0 ab ≥ . Hệ phương trình trở thành: 44282 4 abab ab ++= += . Taviếtlạihệ phương trình thành: 4222 ()4()2282 4 ababababab ab +−+++= += Đặt Sab Pab =+ = điềukiện 24 ,0 SP SP ≥ ≥ thìhệ đã cho trở thành. 2 256646282424 4 PPPSPabxy S −−+= ⇔==⇔==⇔== = Ngoài ra ta cũng có thể giảingắngọn hơn như sau: ( )22 2216 216 xyxy xyxy ++= ++= ( ) 2222()0244 xyxyxyxyxx ⇔+=+⇔−=⇔=⇔=⇔= Vậyhệ cómộtcặpnghiệmduynhất ( ) ( );4;4xy = b) Điềukiện:0 xy+> .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 24 Biến đổi phương trình (1): ( ) 22222 1120xyxy xyxyxy xyxy ++=⇔+−+−= ++ Đặt,xySxyP +== ta có phương trình: 22210 P SP S +−−= 322 220(1)2(1)0(1)(2)0 SPSPSSSPSSSSP ⇔+−−=⇔−−−=⇔−+−= . Vì24,0 SPS>> suyra220 SSP+−> . Do đó 1S = Với1 xy+= thay vào (2) ta được: ( ) 1120,3 yyyy =−−⇔== Xét2222 2 1110 xy xyxyxyxyxy xy ++=⇔++=−−⇔+++= + (khôngthỏamãn điềukiện). Vậyhệ đã cho có nghiệm ( ) ( ) ( );1;0,2;3xy =− . c) Điềukiện:0 xy ≠ . Hệ đã cho tương đương: 22 22 22 11115 5 111199 xyxy xyxy xyxyxyxy +++= +++= ⇔ +++= +++= . Đặt 11 11 . xyS xy xyP xy +++= ++= Hệ trở thành: 229 5,6 5 SP SP S −= ⇔== = 11 2;3 11 3;2 xy xy xy xy +=+= ⇔ +=+= . 35 1; 2 35 ;1 2 xy xy ±== ⇔ ± == . Vậyhệ đã cho có nghiệm: ( ) 3535 ;1;,;1 22xy ±± = . d)Hệ tương đương với: ( ) ( ) ( ) 30 11 xyxyxyxy xyxyxyxy +++= ++++= . Đặt ( ) ; xyxyaxyxyb +=++= . Ta thu đượchệ: ( ) ( ) 5 305;66 116;56 5 xyxy ababxyxy ababxyxy xyxy += ===++= ⇔⇔ +=== += ++= .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 25 TH1: ( ) 2 632;1 531;2 2() xy xyxyxyxy xyxyxyxy L xy = +=+= == ⇔⇔ ++==== += TH2: ( ) 5521521 (); 5122 61521521 5;22 xyLxyxyxyxy xyxyxy xy xy = −+ +=+=== ⇔⇔ ++== +− == += . Vậyhệ cónghiệm: ( ) ( ) ( ) 521521 ;1;2,2;1,; 22xy ± = .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 26 Dạng 3: Hệ đối xứng loại 2 A.Kiếnthức *) Định nghĩa: Hệ đốixứngloại2làhệ gồm2 phương trình mà khi ta thay x bởiyvày bởi x thì phương trình trên trở thành phương trình dưới và phương trình dướitrở thành phương trình trên Bàitoán:Giảihệ phương trình đốixứngloại2 ( ) ( ) ( ) ( ) ,01 ,02 fxy fyx = = Vídụ: 222 222 2302323 2302323 xyxyxy yxyxyx −+==−−=− ⇔⇔ −+==−−=− Giảibàitoán: + Tìm điềukiện (Đốivớibiểuthứcchứa căn, chứaphânthức,.....) +Lấy phương trình (1) trừ theovế cho phương trình (2), khi đó ta sẽ đượckếtquả: ( ) ( ) .,0xygxy−= + Xét các trườnghợp: Nếu xy=⇒ thayvào phương trình (1) hoặc phương trình (2) +Nếu ( ) ;0gxy = .Kếthợpvới (1) và (2) ta tìm được điềukiện +Sosánhvới điềukiệnvàkếtluận. B.Bàitậpápdụng Bài 1: Giảihệ phương trình sau 2 2 23 23 += += xy yx Lời giải Trừ vế tương ứngcủa 2 phương trình trên, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22202020 −+−=⇔−+−−=⇔−+−= xyyxxyxyxyxyxy ( ) ( ) 01 222 −== ⇔⇔ += =− xyxy xyyx +)TH1:21 230 3 = =⇒+−=⇔ =− x xyxx x +)TH2: ( )2 222301 =−⇒+−−=⇔= yxxxx
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 27 Vậyhệ phương trình có nghiệm ( ) ( );1;1 =xy hoặc ( ) ( );3;3 =−xy Bài 2: Giảihệ phương trình sau 974 794 ++−= −++= xy xy Lời giải Điềukiện:7;7 ≥≥xy Trừ từngvế hai phương trình cho nhau ta được: ( ) ( ) 9779099770 ++−−−−+=⇔+−+−−−−= xyxyxyxy +)Nếu9909 +++=⇔==− xyxy (khôngthỏamãn) +)Nếu7707 −+−=⇔== xyxy (thỏamãn) Với770 −+−≠xy ,liênhợptacó: ( ) ( ) ( ) ( )9999 0 9977 +−+−−− −= +++−+− xyxy xyxy ( ) 11 0 9977 ⇔− = +++−+− xy xyxy ( ) ( ) 1 99772 = ⇔ +++=−+− xy xyxy +)TH1:Với = xy , thay vào phương trình (*) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 9749729716977 ++−=⇔++−++−=⇔+−=− xxxxxxxxx Vì ( ) ( ) 970707 +−≥⇒−≥⇔≤ xxxx ,mà77 ≥⇒=xx Thử lạitathấythỏamãn +)TH2:Tacó ( ) ( )97 22 97 +>− ⇒>⇒ +>− xx VTVP yy phương trình (2) vô nghiệm. Vậy7. ==xy Bài 3: Giảihệ phương trình sau 2 2 1 2 1 2 =+ =+ xy y yx x
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 28 Lời giải Điềukiện0 ≠xy Trừ từngvế hai phương trình ta được: ( ) ( ) 11 2 −+=−+− xyxyyx yx ( ) ( ) ( ) 1 211 221 =⇔−+=−−+⇔ +=−+ xy xyxyxy xyxy xy +)TH1: ( ) ( ) ( )23222 1 2021012101210 =⇒−−=⇔−−=⇔−++=⇔=++> xyxxxxxxxxxx x 1⇒= y +)TH2:12210 ++−=xy xy Có ( )122000 +=>≠⇒> yxxy y Tương tự tacó0 >x và ( )222 11 22.2221110 =+≥=⇒≥⇒≥⇒≥⇒≥> xyyxxxxx yy Tương tự tacó 0 0 11 112210 > ≥ ≥⇒≤⇒++−> yxy xyxy Vậy 1 221++−xy xy vônghiệm. Vậy1. ==xy Bài 4: Chuyên Bình Phước, năm học2018 Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 23 1 23 2 x yx y xy += += Lời giải Điềukiện0;0 xy≠≠ Lấy(1)(2)theotừngvế ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2233235 1.10xyxyxyxy yxxyxyxyxy −+−=−⇔−+=−⇔−+=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 29 +Nếu ( ) 231 011xyxyxxx xxx −=⇔=⇒⇔+=⇔=⇔=± +Nếu ( ) 55235 105155 5 x xyyxxxy xyxxx +=⇔=−⇒=⇒⇔−=⇔=⇔=±⇒= VậyHPTcó4nghiệm. Bài 5: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 3 3 351 352 xxy yyx =+ =+ Lời giải Lấy(1) (2) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3322223535220*xyxyyxxyxxyyxyxyxxyy −=+−+⇔−++=−−⇔−+++= Nhậnthấy 2 222 3 220 24 y xxyyxy +++=+++> Từ đó ( )* xy⇔= , thay vào (1) ta được3 0 8 8 x xx x = =⇔ =± VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) ( ) ( {)} ;0;0;8;8;8;8xy ∈ Bài 6: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 4 4 111 112 xy yx +−= +−= Lời giải Điềukiện41;11101xyxy ≥≥⇒+−≥+= Từ (1)11 101 xx yy == ⇒⇔⇒ −== thỏa mãn phương trình (2) Vậy ( ) ( );1;1xy = Cách2: Đặt ( ) 44 44 11 0,0 11 uxxu uv vyyv =− =+⇒≥≥ =−=+ Ta được 4 4 0 0, 0 uv uvxy vu += ⇒==⇒ +=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 30 Cách3: Đặt ( ) ( ) 333 333 103 1 1104 uxuv xu vyyvvu =−+= =+ ⇒⇒ =−=++= Ta được 4 4 0 0, 0 uv uvxy vu += ⇒==⇒ += Lấy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3322 0 34:010uvuvuvuuvvuv > ++++=⇔+−++=⇒= ( ) 3003:0 11 uv uu uv == −=⇔⇒=±=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 31 *) Ứng dụng của hệ đối xứng loại 2 1. Đặt ẩnphụ đưa phương trình về hệ phương trình đốixứngloại2 Xét phương trình dạng: +=−nn xbaaxb Cáchgiải: Đặt =−⇒ n yaxb tacóhệ phương trình += += n n xbay ybax Bài 1: Giải phương trình sau: 1)331221xx+=− 2)226145 −−=+xxx Lời giải 1) Đặt321 tx=− Từ giảithiết ( )3121xt⇒+= Có ( )3321122txtx =−⇒+= Từ (1)và(2)tacóHPT ( ) ( ) 3 3 123 124 xt tx += += Lấy(3) (4) ta được: ( ) 3322 0 2220 xttxxtxxttxt > −=−⇔−+++=⇔= Thay xt = vàp phương trình (1) ta được ( ) ( )332 1 1221011015 2 x xxxxxxx x = +=⇔−+=⇔−+−=⇔−± = 2)Taphải đưa đượcvề dạng: ( ) ( )2 ++=++ mxnbaamxnb Điềukiện: 5 4 ≥x Ta có phương trình 22 261454122245 −−=+⇔−−=+ xxxxxx ( ) ( ) ( ) ( )22 22.2.391124523112223111 ⇔−+−=+⇔−−=−+ xxxxx ( ) ( ) ( ) ( )2 223110112232 =−+≥⇒−=− yxyyx
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 32 Thay vào (1) ta được: ( ) ( )2 231123 −−= xy Trừ (2) cho (3) ta được: ( ) ( ) ( ) ( )222322323210 −−=−−⇔−++−= yxxyyxyx Xét 2 trườnghợpvàthử lại ta đượcnghiệmcủa phương trình. 2.Hệ gần đốixứng(tronghệ phương trình có 1 phương trình đốixứng, phương trình còn lại không đốixứng) Bài 2: Giảihệ phương trình sau: ( ) ( )3 11 1 212 −=− =+ xy xx yx Lời giải Điềukiện0 ≠xy Phương trình ( ) ( ) ( ) 111 1:0010 −−+=⇔−+=⇔−+= xy xyxyxy xyxyxy ( ) ( ) 3 14 = ⇔ = xy xy +) Thay (3) vào (2) ta được: ( ) ( )332 2 1 21210110 10 = =+⇔−−=⇔−+−=⇔ +−= x xxxxxxx xx +)Từ ( ) 1 4 ⇒= y x thayvào(2): ( ) 342 2221201210 =+⇔++=⇔−+++= xxxxxx x ( ) ( ) 2 2222211717 122.0120 416848 ⇔−++++=⇔−+++= xxxxx (vônghiệm). Bài 3: Giảicáchệ phương trình sau: a) 2 2 2 2 xxy yyx += += b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 161 161 xyyx yxxy −+=+ −+=+ c) 3 3 3121 3121 xxxy yyyx +−++= +−++= Lời giải: a) Điềukiện:,0 xy ≥ .Trừ hai phương trình củahệ cho nhau ta thu được: ( ) ( )222 xxyyyx +−+=−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 33 ( ) ( ) ( ) ( ) 120xyxyxyxy ⇔−+++++= Vì ( ) ( ) ( ) 120xyxyxy +++++> nên phương trình đã cho tương đương với: xy = . Hay ( ) ( )22 0 2021101 35 2 x xxxxxxxxxxx x = −+=⇔+=⇔−+−=⇔= = Vậyhệ có3cặpnghiệm: ( ) ( ) ( ) 3535 ;0;0,1;1,; 22xy = b)Hệ đã cho 222 222 66 66 xyxyyxy yxyxxyx +−−=+ ⇔ +−−=+ Trừ vế theovế hai phương trình củahệ ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 270270 xyyxxyxyxyxyxyxy −+−+−+=⇔−+−+= 270 xy xyxy = ⇔ +−+= +Nếu xy = thayvàohệ tacó:22 560 3 xy xx xy == −+=⇔ == +Nếu ( ) ( ) 270121215xyxyxy +−+=⇔−−= . Mặtkháckhicộng hai phương trình củahệ đã cho ta được: ( ) ( ) 2222 5512025252xyxxxy +−−+=⇔−+−= . Đặt25,25 axby=−=− Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) 222 0 21 22 44158 41 31 ab abab abab abab abab ab += =− += +−= ⇔⇔ ++= ++=−+=− = Trườnghợp1: ( ) ( ) ( )0 1;3;2,2;3 ab abxy += ⇔= =− Trườnghợp2:8 31 ab ab +=− = vônghiệm. Vậynghiệmcủahệ đã cho là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( );2;2,3;3,2;3,3;2xy = c) Điềukiện: 11 ; 22xy≥−≥− Để ýrằng 1 2xy==− khôngphảilànghiệm. Ta xét trườnghợp1 xy+≠−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 34 Trừ hai phương trình củahệ cho nhau ta thu được: ( )3331213121 xxxyyyyx +−++−+−++=− ( )222 ()4()0 2121 xy xyxxyyxy xy ⇔−+++−+= +++ 222 ()40 2121 xyxxyyxy xy ⇔−++++=⇔= +++ Khi xy = xét phương trình: 332121022110xxxxxx +−++=⇔+++−= 2222 (1)0100 211211 x xxxxx xx ++=⇔++=⇔= ++ ++ Kếtluận:Hệ phương trình có nghiệmduynhất:0 xy==
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 1 Dạng 4: Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp A.Kiếnthức Bàitoán:Giảihệ phương trình ( ) ( ) , , fxyA gxyB = = Hệ phương trình đẳngcấplàhệ phương trình thỏa mãn điềukiện ( ) ( ) ( ) ( ) ,., ,., n m fkxkykfxy gkxkykgxy = = Vídụ: ( ) ( ) 22 22 ,36 ,4328 fxyxxyy gxyxxyy =++= =−−+= (tổngsố mũ củaxvày ở mỗisố hạngbằngnhau) *) Đẳngcấp ở đây có thể hiểulàcùngcấp độ hoặcsố mũ bằngnhau. Chứngminh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 ,3.3., fkxkykxkxkykykxxyykfxy =++=++= Bàitoáncụ thể: 22 22 axbxycyA dxexyfyB ++= ++= Lờigiải + Đặt điềukiện +Xétvới0 x = xemthỏamãnkhông + Đặt ytx = ,thayvàocả 2 phương trình trong HPT +Với0 x ≠ ,chiacả 2vế của phương trình cho x ta được phương trình ẩn t +Giải phương trình ẩn t +Tính,xy vàsosánhvới điềukiện. +Kếtluận Bài 1: Tìmmốiliênhệ giữa,xy thỏamãn: a)22213150 −+=xxyy b)32232320 −+−=xxyxyy Lời giải a)Tacó: ( ) ( )22 5 21315052303 2 = −+=⇔−−=⇔ = xy xxyyxyxy xy b)Tacó: ( ) ( )322322 22 232020 20 = −+−=⇔−−+=⇔ −+= xy xxyxyyxyxxyy xxyy
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 2 Tacó: 22 222700. 42 −+=+−=⇔== xx xxyyyxy Vậy = xy Bài 2: Giảihệ phương trình sau ( ) 22 22 239 * 455 xxyy xxyy −+= −+= Lời giải Cách1: Với ( ) 2 2 39 0* 55 y x y = =⇒⇔⇔ = HPTvônghiệm Với0 x ≠ , đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 222 22 222222 23932191 45554552 xtxtxxtt ytx xtxtxxtt −+= −+= = ⇒⇔ −+= −+= ( ) ( ) 1 222 2 1 532195411513205 2 3 t tttttt t = ⇒−+=−+⇔−+=⇔ = +)213218 3211 525525 ttt =⇒−+=−+= ( ) 2185221.9 2522 xxytx ± ⇒=⇔=⇒==± +)2244 3213.11 393 ttt =⇒−+=−+= ( ) 2 1932 xxytx ⇒=⇔=±⇒==± VậyPHTcónghiệm ( ) ( ) ( )522522 ;;;;;3;2;3;2 2222xy ∈−− Cách2:Tacó ( ) ( )5.19.2 ptpt ,tacó:2222 51015936450 −+−+−= xxyyxxyy 2222 426300213150 ⇔−+−=⇔−+= xxyyxxyy ( ) ( ) 5 23502 3 = ⇔−−=⇔ = xy xyxy yx +)TH1:5 = xy , thay vào (1) ta được:22221 251039189 2 −+=⇔=⇔=± yyyyy
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 3 52 2 52 2 = ⇒ =− x x (thỏamãn) +) TH2: Tương tự Bài 3: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 5 1 2 62 += −=− x xy y y xy x Lời giải Điềukiện0 ≠xy TacóHPT 32 22 5 2 6 += ⇔ −=− xxyy xyxyx ( ) ( ) 3223422224 555 6660 222 ⇒−+=−⇔++−= xxxyyxyyxxyxyy *) Hướngdẫnphântíchthànhnhântử: Đặt 2 21515121750; 4343 =⇒+−=⇔==⇒−+ x ttttttt y Vậy ( ) ( ) 2 4222242222222 555 66004350 2243 ++−=⇔−+=⇔−+= y xxyxyyxxyxyxy 2242 ⇔=⇔=±yxyx +) ( ) ( )22 15 21:412 22 =⇒+=⇔=±⇒=± yxxxxy +) TH2: Tương tự Bài 4: Vòng2,ChuyênSPHN Giảihệ phương trình nghiệmhữutỉ sau: ( ) ( ) 33 22 241 61915212 −=+ −+= xyxy xxyy Lời giải Từ HPTtacó: ( ) ( ) ( ) 3322333223 2.14619152656160 −=+−+⇔−=+−+ xyxyxxyyxyxxyxyy ( )3223 5561620*⇔+−+= xxyxyy +)Xét30500 =⇒=⇔= yxx ,thay0 ==xy vào(2)khôngthỏamãn.
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 4 +)Xét0 ≠y ,chiacả haivế của(*)cho3 y và đặt325561620 =⇒+−+= x tttt y ( ) ( )2 2 2 2515310 515310 = ⇔−+−=⇔ +−= t ttt tt +)TH1:22 =⇒= txy , thay vào (2) ta được:22222438151112 −+=⇔=⇔=±⇒=± yyyyyx +)TH2:2515310 +−=tt ,845135 ∆=⇒∆=∉ Q Vậycácnghiệm ∉⇒tQ phương trình không có nghiệm. VậynghiệmcủaHPTlà ( ) ( ) ( ) ( );2;1;;2;1 ==−−xyxy Bài 5: Giảihệ phương trình nghiệmhữutỉ sau: 12 12 3 12 16 3 −= + += + x yx y yx Lời giải Điềukiện:30,0,0 +≠>> yxxy Nhậnxét:0 ≠xy HPT ( ) 122 1 32613 211 126 1 3 −= + ⇔ ⇒+=⇔+= += + yxx xyxy yxy ( )262.121312 2 33 −=−⇒−=− ++ yxyxxyxy Lấy(1).(2)22 1912912 627120 33 ⇒−=⇔=⇔−−+= ++ yx yxyxxy xyyxxyyx ( ) ( ) 229 2760930 3 =− ⇔−−=⇔+−=⇔ = yx xxyyxyxy yx Thay vào (1) và (2) ta tìm đượcnghiệmcủaHPT. Bài 6: ĐH NgoạiNgữ, năm 2014 Giảihệ phương trình sau 22 22 1 24 xxyy xxyy −+= ++= Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 5 +)TH1: 2 2 1 0 24 y xptvn y = =⇒⇒ = +)TH2:0 x ≠ , đặt ( ) ( ) ( ) 22 222 22 11 41212530 14 xtt ytxtttttt xtt −+= =⇒ ⇔−+=++⇔−+= ++= 1 3 2 t t = ⇔ = 22 111111 tttxxy =⇒−+=⇔=⇔=±⇒=± 3229374237 11 242477 7 tttxxy =⇒−+=−+=⇒=⇔=±⇒=± Cáchkhác:Nhânhaovế của(1)với(4)vàtrừ (2) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 4222222320 203520320 xy xxyyxxyyxxyyxyxy xy −= −+−++=⇔−+=⇔−−=⇔ = Bài 7: ĐH NgoạiNgữ, năm 2007 Giảihệ phương trình sau 32 32 224 224 xyx yxy += += Lời giải Với0 x =⇒ HPTvônghiệm Với ( ) ( ) ( ) ( ) 32 3322 33 2124 02211101 224 xt xytxttttttt xtt += ≠⇒=⇔ ⇒+=+⇔−−+=⇔= += Với12. txyxy =⇒=⇒== Cáchkhác:Tacó ( ) ( )323222 22 220 00 xyxy xyxyxyxyxxyy xxyyxy = = +−+⇔−−+=⇔ ⇔ −+=== Bài 8: Vớigiátrị nàocủamthìHPTsaucónghiệm 2 2 12 26 xyy xxym −= −=+ Lời giải +) ( ) 2 01:12 xyptvn =⇒−=⇒ +) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 121 0 1262 xtt xytx xtm −= ≠⇒=⇔ −=+
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 6 Rõràng260 m +≠ Lấy (3) chia cho (4) ta được 12 26 t m = + thayvào ( ) ( ) 2214 4:126.26 26 m xtmxm m + −=+⇔=+ + ( ) ( ) 22 1426xmm ⇔+=+ Để HPTcónghiệm thì phương trình (5) có nghiệm Phương trình (5) có nghiệm0 x ≠ thì 140 14. 260 m m m +> ⇒>− +≠ Vậy14 m >− làcácgiátrị cầntìm. Ví dụ 1: Giảicáchệ phương trình sau: a) ( ) 33 22 82 331 xxyy xy −=+ −=+ b) ( ) ( ) ( ) ( ) 223 222 54320 , 2 xyxyyxy xy xyxyxy −+−+= ∈ ++=+ Lời giải: a)Tabiến đổihệ: 33 22 82 36 xyxy xy +=+ += Để ýrằngnếu nhân chéo 2 phương trình củahệ tacó: 3322 6()(82)(3) xyxyxy +=++ đây là phương trình đẳngcấpbậc3:Từ đó ta có lờigiải như sau: Vì0 x = khônglànghiệmcủahệ nên ta đặt ytx = . Khi đó hệ thành: ( ) ( ) ( ) 333233 22 2222 8212814 331133 136 xxtxtxxtttt xtxt xt −=+ −=+ −+ ⇔⇒= −=+ −= ( ) ( ) ( ) 322 1 3141312103 1 4 t ttttt t = ⇔−=+−⇔−−=⇔ =− . * ( )22 11363 31 3 xt x txy y −= =± = ⇒⇔ ==± * 478 113 478 13 x t y =± =−⇒ = Suyrahệ phương trình có các cặpnghiệm:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 7 (;) xy = ( ) ( ) 4787847878 3,1;3,1;,;, 13131313 b). Phương trình (2) củahệ códạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222222 22 221210 120 xyxyxyxyxyxyxy xyxy ++=++⇔+−−−= ⇔−+−= 22 1 2 xy xy = ⇔ += TH1: ( ) 2231 54320 11 xyxyyxyx xyy −+−+== ⇔ == và 1 1 x y =− =− . TH2: ( ) ( )223223 2222 543205432 22 xyxyyxyxyxyyxy xyxy −+−+=−+=+ ⇔ += += (*) Nếutathay222 xy+= vào phương trình (*) thì thu được phương trình đẳngcấpbậc3: ( ) ( )22322543 xyxyyxyxy −+=++ Từ đó ta có lờigiải như sau: Tathấy0 y = khônglànghiệmcủahệ. Xét0 y ≠ đặt xty = thayvàohệ tacó: ( )2333 222 5432 2 tytyytyy tyy −+=+ += Chia hai phương trình củahệ ta được: 2 32 2 5431 4520 11 ttt ttt t −++ =⇔−+−= + 2222 11155 111122 22 55 txyxx xx txyyy yy ====− ==− ⇔⇔⇔∨∨∨ ====− ==− . Ví dụ 2: Giảicáchệ phương trình sau: a) ( ) ( ) ( ) 2 332 23230 22316120 xyy yxyxxx +++−= ++++++= b) ( ) 2 12 332 2226 xxy xyxy xyxy ++= + +=+− Lời giải: a) Điềukiện:2230 xy++≥ . Phương trình (2) tương đương: ( ) ( ) ( ) ( ) 3323223 22316620213140 yxyxxxxyxy ++++++=⇔++++= Đây là phương trình đẳngcấpgiữa y và1 x + .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 8 +Xét0 y = hệ vônghiệm +Xét0 y ≠ . Đặt1xty += ta thu được phương trình: 32 2340 tt++= Suyra212 txy =−⇔+=− Thay vào phương trình (1) ta được:2145 24 918xxxxy −+=+⇔=−⇒= . Vậyhệ cómộtcặpnghiệm: ( ) 145 ;; 918xy =− . b)Dễ thấy phương trình (1) củahệ là phương trình đẳngcấpcủa x và y Điềukiện:0;30 yx>−≤≠ . Đặt22 ytxytx =⇒= thay vào (1) ta được:22222 12 332 xxtx xtxxtx + += + Rútgọnbiến x ta đưa về phương trình ẩn t : ( ) ( )22 210220 ttttyx −++=⇔=⇔=≥ . Thay vào (2) ta được: 22251 48264102626 44 xxxxxxx +=+⇔++=++++ 2251 226 22 xx ⇔+=++ . Giải ra ta được 17313317 42xy=⇒= . Vậynghiệmcủahệ ( ) 17313317 ;; 42xy = . Ví dụ 3: Giảicáchệ phương trình sau: a) 33 22 1 3 1 xy xy xy −= + += b) 2 3 1221 336 xyxyx xxxy +−−= −−= Lời giải: a)Tacóthể viếtlạihệ thành: ( ) ( )33 22 31 1 xyxy xy −+= += (1) Tathấyvế tráicủa phương trình (1) là bậc 4. Để tạo ra phương trình đẳngcấptasẽ thay vế phảithành222 () xy + . Như vậytacó: ( ) ( ) ( ) 332 32243223423220xyxyxyxxyxyxyy −+=+⇔+−−−=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 9 22 22 ()(2)(2)02 20 xy xyxyxxyyxy xxyy = ⇔−+++=⇔=− ++= +Nếu 2 222 7 2000 42 y xxyyxxxy ++=⇔++=⇔== khôngthỏamãn. +Nếu xy = tacó22 21 2 xx=⇔=± +Nếu25 251 5xyyy =−⇔=⇔=± Tómlạihệ phương trình có các cặpnghiệm: ( ) 2222255255 ;;,;,;,; 22225555xy =−− b) Điềukiện1 y ≥− .Taviếtlạihệ thành: 2 3 12(1)1 3(1)6 xyxy xxy +−+= −+= Tathấy các phương trình củahệ đều là phương trình đẳngcấpbậc 3 đốivới,1 xy + Dễ thấy1 y =− khôngphảilànghiệmcủahệ phương trình. Xét1 y >− . Đặt1 xty=+ thayvàohệ tacó: ( ) ( ) 32 32 33 1210 13636(2)03 yttt tttt yttt +−= = ⇔−−−=⇔ = +−= +Nếu0 t = thì0 x = .Khôngthỏamãnhệ +Nếu ( ) ( ) 333 3 1 327191619 9 tyyyx =⇔+−+=⇔=−⇒= Vậyhệ có1cặpnghiệmduynhất3 3 1 (;)9;1 9 xy =− Ví dụ 4: Giảicáchệ phương trình sau a) 2 233 2 2(23)3 xyxy xyxxyx += ++−+= b) ( ) 2 22 30 (1)3(1)220 xxyx xyxyxyy +++= ++++−+= Lời giải: a) Điềukiện:0 y ≥ . Phương trình (2) củahệ códạng: 3 3 1 2(1)(1)3(1) 23 y xyyxyy xyx =− +++=+⇔ +=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 10 Trườnghợp1 y =− khôngthỏa mãn điềukiện Trườnghợp323 xyx+= tacóhệ: 3 2 23 2 xyx xyxy += += . Vế tráicủa các phương trình trong hệ là phương trình đẳngcấpbậc3 đốivới,xy .Dễ thấy0 y > . Ta đặt xty = thì thu đượchệ: 332 2 32 (2)31 23 ()21223101 2 t yttt tt ytttt = += + ⇔=⇔−+=⇔ + +== +Nếu1 t = thì11 xyxy =⇔=⇒= +Nếu 1 2 t = thì3 33 1114 4 2339 xyyxxxy =⇔=⇔=⇔=⇒= Tómlạihệ cócácnghiệm: ( ) ( ) 33 14 ;1;1,; 39 xy = b) Điềukiện:2200 xyyy+≥⇔≥ . Từ phương trình thứ nhấttacó:23 xyxx=−−− thay vào phương trình thứ haitathu được: 222 22 (1)3(1)2262(2)0 232(2)0 xyxxyx xyyx +++−−−−+= ⇔+−++= Đây là phương trình đẳngcấpbậc 2 đốivới y và22 x + Đặt ( )22ytx=+ ta thu được:2 1 32101 3() t tt tL = −−=⇔ =− Khi1 t = tacó:22 yx=+ thay vào phương trình thứ nhấtcủahệ ta thu được: 13xy=−⇒= Tómlạihệ phương trình có mộtcặpnghiệm(;)(1;3) xy =− Ví dụ 5: Giảicáchệ phương trình sau a) 22 232 8 16 2 83342 xy xy xy xxxxy yy ++= + +=+− b) 23 22 313(11) 8344 xyxxyx xxyyxyy −−=−− −++= Lời giải:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 11 a) Điềukiện: 32 0,0,0 34 xx yxy y ≠+≠+≥ Phương trình (2) tương đương: 23222 434343 22. 86121686866 xxyxxxxyxxy yyyy ++ +=+⇔+=+ . Đây là phương trình đẳngcấp đốivới 2 8 x y và43 6 xy + Tathấy phương trình có nghiệmkhivàchỉ khi 2 8 x y và43 6 xy + cùngdấuhay 243 0,0 86 xxy y + ≥≥ . Đặt 2 8, x a y = 43 6 xyb + = suyra222ababab +=⇔= 26 43 2 86 3 xy xxy yxy = + ⇔=⇔ =− . TH1: 6 xy = thayvào(1)tacó: 22 428168() 16163737 9424 77 yxL yyy yx =−⇒=− +−=⇔ =⇒= TH2: 2 3 xy =− thayvào(1)tacó: 22 12 4() 161613 9128() yL yyy yxTM +−=⇔=− =⇒=− . Vậyhệ cónghiệm ( ) ( )244 ;;,8;12 77xy =− . b) Điềukiện: 0 1,0 1 0 xy xy x x y ≥ ≥ ≤⇔ ≤ ≥ Để ýrằng phương trình thứ haicủahệ là phương trình đẳngcấp đốivới,xy .Tathấy nếu0 y = thìtừ phương trình thứ haicủahệ tasuyra0 x = ,cặpnghiệmnàykhôngthỏa mãnhệ Xét0 y > . Ta chia phương trình thứ haicủahệ cho y ta thu được: 2 8344 xxx yyy −++= . Đặt x t y = ta thu được phương trình
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 12 42 42242 44 8344 834816848120 tt ttt ttttttt ≤≤ −+=−⇔ ⇔ −+=−+−+−= 4232 44 1 2230(1)(223)0 tt t ttttttt ≤≤ ⇔ ⇔ ⇔= −+−=−+++= Khi1txy =⇒= . Phương trình thứ nhấtcủahệ trở thành:33 313(11)xxxx −−=−− . Điềukiện:01 x ≤≤ .Tathấy0 x = khôngthỏa mãn phương trình. Taxét01 x <≤ .Chiabất phương trình cho 30x > ta thu được phương trình: 3 23 3111 131 xxxx −−=−− . Đặt11 tt x =⇒≥ phương trình trở thành: ( ) ( ) ( ) 33 3232 31313113 tttttttt +−=−−⇔+−+−= Xét ( ) ( )3 32 ()311 fttttt =+−+− Dễ thấy ( ) ( ) 13ftf≥= suy ra phương trình có nghiệm duynhất11 tx=⇔= Tómlạihệ phương trình có nghiệm ( ) ( );1;1xy = Chú ý: Ta cũng có thể tìmquanhệ , xy dựa vào phương trình thứ haicủahệ theocách: Phương trình có dạng: 22 22 83430()(85)()0 8343 xyxyxyy xxyyyxyy xxyyyxyy −+− −+−+−=⇔ += −+++ 22 85(3) 0 8343 xy xyy xxyyyxyy = ⇔+ += −+++ .Vì,0 xy > nêntasuyra xy =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 13 Dạng 5: Hệ các đại lượng chung A. Kiến thức Dạngtổngquát: ( ) ( ); +== += = += = xyaxya IyzbIIyzb zxczxc Phương pháp: Tasẽ tạoramộtthànhphầnchungcủa các phương trình trong hệ phương trình, sau đó kếthợpthànhphần chung đó và mỗi phương trình trong hệ phương trình ta sẽ thu đượcnghiệmcủahệ phương trình. Tacó ( )2 2 += ++ +=⇔++=++⇒++= += xya yzbxyzabcxyzabc zxc ( ) ( ) 20,, = =⇒=⇒=≥⇒ = xya yzbxyzabcxyzabcabcxyz zxc Bài 1: Giảihệ phương trình: 2 6 3 = = = xy yz zx Lời giải Nhậnxét0 ≠xyz Nhânvế tương ứngcủa 3 phương trình ta được:2226 36 6 = =⇒ =− xyz xyz xyz +)TH1: 1 62 3 = =⇒= = x xyzy z +)TH2: 1 62 3 =− =−⇒=− =− x xyzy z VậynghiệmcủaHPT ( ) ( ) ( ) ( );;1;2;3;;;1;2;3 = =−−−xyzxyz Bài 2: Giảihệ phương trình: 1 2 5 ++= ++= ++= xyxy yzyz yzyz
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 14 Lời giải TacóHPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1112 21131116 5116 ++=++= ++=⇔++=⇔+++=± ++= ++= xyxyxy yzyzxzxyz yzyzyz +)TH1: ( ) ( ) ( ) 132 1116121 110 +=⇔= +++=⇒+=⇔= +=⇔= zz xyzyy xx +)TH2: ( ) ( ) ( ) 134 1116123 112 +=−⇔=− +++=−⇒+=−⇔=− +=−⇔=− zz xyzyy xx VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) ( ) ( );;0;1;2;;;2;3;4 = =−−−xyzxyz Bài 3: Giảihệ phương trình: 12 5 18 5 36 13 = + = + = + xy xy yz yz xz xz Lời giải Điềukiện ( ) ( ) ( ) 0;0+++≠≠ xyyzzxxyz TacóHPT ( ) ( ) ( ) 12115 1 512 18115 2 518 361113 3 1336 =+= + =⇔+= + =+= + xy xyxy yz yzyz xz xzzx Từ (1)(2)(3) ( )1111911119 24 1836 ⇒++=⇒++= xyzxyz Lấy(4) (1) ta được: 14 9 36 =⇒= z z Lấy(4) (2) ta được: 19 4 36 =⇒= x x Lấy(4) (3) ta được: 16 6 36 =⇒= y y
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 15 VậyHPTcónghiệm ( ) ( );;4;6;9 =xyz
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 16 Dạng 6: Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài 1: Giảihệ phương trình: 238 251 xy xy ++−= +−= Lời giải Cách1: Ta xét các trườnghợp TH1:2;3 xy≥−≥ TH2:2;3 xy≥−< TH3:2;3 xy<−≥ TH4:2;3 xy<−< Cách2:TacóHPT ( ) ( ) 2382381 2512512 xyxy xyxy ++−=++−= ⇔ +−=+=+ Từ ( ) 128 x ⇒+≤ Từ ( ) 7 2158333 5 yyyy ⇒+≤⇔≤<⇒−=− VậyHPT 4 2526 8 2511 1 x xyx x xyy y =+−= += ⇔⇔⇔ =− +=+ = = VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) ( {)};4;1,8;1xy =− Bài 2: Giảihệ phương trình: 22230 2 xxyy xxyy +−= +=− Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 22301 230 222 xxyyxyxy xxyyxxyy −+= +−= ⇔ +=− +=− ( )1 3 xy xy = ⇔ =− +TH1:Với xy = , thay vào phương trình (2) ta có 2 0 22111 1 x xxxxxy x < =−⇔=−⇔⇔=−⇒=− −=−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 17 +TH2:Với3xy =− , thay vào phương trình (2) ta có 2332 yyyy −−+=− 2 0 113 92821422 4 y yyyyyyyyyx y > ⇔−+=−⇔−=−⇔=⇔⇔=⇒=− = VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) 31 ;1;1,; 24xy − ∈−− . Bài 3: Giảihệ phương trình: ( ) ( ) 22 4123 1249 xyy xxyy +−=− −+= Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 412341231 1249129432322 xyyxyy xxyyxxyyyy +−=−+=− ⇔ −+=−=−=−+ +Nếu 3 320 2yy +=⇔= , thay vào HPT ta được ( ) ( )2 2 .6166 5 .180.180 xx ptvn xx xx −+=− = ⇔ += += +Nếu320 y +≠ .Nhânhaivế của phương trình (1) với32 y+ ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 4123493 12944 xyyy xxyy ++=− −=− Lấy (3) + (4) ta được: ( ) ( ) ( )2 41231205 P xyyxy +++−= Có2222228122312814312823 Pyyyxyyyxyxyy =++++−≥+++−=+++ ( ) 22271200xyyP =++++>⇒> Vậy ( ) 50, x ⇔= thay vào PHT ta được ( )3 2 ytm = VậyHPTcónghiệm ( ) 3 ;0; 2xy = Bài 4: Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng, năm học2012 Giảihệ phương trình: ( ) 2 2 *xxy yyx =+ =+ Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 18 TH1:0;0 xy≥≥ HPT ( ) ( ) 2 222 2 *20;2 xxy xyxyxxxyxytm yyx =+ ⇔⇒=⇒=⇒=⇒==== =+ TH2:0;0 xy<< HPT ( ) 2 22 2 *00 xxy xyxy yyx =−+ ⇔⇒+=⇔== =−+ (loại) TH3:0;0 xy<≥ HPT ( ) ( ) ( ) 22 22 1 * 2 xxyyxx yyxxyy =+ =−+ ⇔⇔=+=− Từ ( ) 2 2:2111110110 24444xyyyxx =−=−−≥⇒≤<⇒+≥+> ( ) 100xxy ⇒+<⇒< (do(1))(loại) TH4:0;0 xy≥< (tương tự TH3)(vônghiệm) VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) ( {)};0;0,2;2xy ∈ Bài 5: Giảihệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 32 4 1 21522 xxxyy xxy −=− +−++ Lời giải Điềukiện;0 xRy ∀∈≥ Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 11110 xxyxxxy ⇔−=−⇔−−= TH1:Với221011xxx−=⇔=⇔=± ( ) ( ) 2:21151201 yy +−++=⇔= -TH2:Với00 xyxy −=⇔=≥ ( ) ( ) ( ) ( )44 2:2152021420* xxxxx +−++=⇔+−+= Tacó42120xx+≥≥ ,dấu“=”xảyra ( ) 2421212.22 xxxx ⇔=⇒+≥= ( ) ( ) 2 4 2142242210 xxxxx ⇒+−+≥−+=−≥
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 19 ( ) 21 *11 1 x xy x = ⇔⇔=⇒= = VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) ( {)};1;1,1;1xy ∈−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 20 Dạng 7: Hệ phương trình chứa ba ẩn Bài 1: Chuyên Khánh Hòa, năm học2011 Với,,xyz làcácsố dương, giảiHPT: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 187 154 238 xyyz yzzx zxxy ++= ++= ++= Lời giải Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18711.17 15411.1411.14.17 23814.17 xyyzxyyz yzzxyzzxxyyzzx zxxyzxxy ++=++= ++=⇔++=⇒+++= ++=++= ( ) 1410 17721 114 xzx xyyxyz yzz +== ⇒+=⇔=++= +== Bài 2: PTNK, HCM, năm học2013 Giảihệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 321221 321222 321223 xyzx yzxy zxyz ++=+ ++=+ ++=+ Lời giải Lấy (1) + (2) + (3) ta được: ( ) ( ) ( ) ( )32222324 xyzxyzxyyzzxxyz ++++++=+++++ ( ) ( ) ( ) 32222230 xyzxyzxyyzzx ⇔++−++−+++= ( ) ( ) ( ) ( )222222 22230 xyzxyyzzxxyzxyyzzx ⇔++−+++++−+++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222211101 xyyzzxxyzxyz ⇔−+−+−+−+−+−=⇔=== Thử lại vào HPT đã cho, ta thấythỏamãn VậyHPTcónghiệm ( ) ( );;1;1;1xyz = Bài 3: Giảihệ phương trình ( ) ( ) ( ) 32 32 32 4211 4212 4213 xyy yzz zxx =++ =++ =++ Lời giải
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 21 Nhậnxét:DạngcủaHPTlà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fxgy fygz fzgx = = = làdạng đốixứng, để giảidạngnàycóthể giả sử xyz ≤≤ vàchứngminh xyzx ≤≤≤ Từ ( ) 2 3223 13 1421000 24 xyyyyxx ⇒=++=+++>⇒>⇒> Từ ( ) ( ) 23,0 yz ⇒> Khôngmấttínhtổngquát,giả sử ( )04 xy<≤ ( )2233 2121445 xxyyzxzx ⇒++≤++⇔≤⇔≤ ( )2233 2121446 zzxxyzyz ⇒++≤++⇔≤⇔≤ Từ (4)(5)(6)tacó zxyzxyz ≤≤≤⇔== Thay xyz == vào (1) ta được: ( ) ( )32322 4214210142101 xxxxxxxxxxyz =++⇔−−−=⇔−++=⇔=== Bài 4: Giảihệ phương trình ( ) ( ) ( ) 2 222 41 273142 353 xzx yxzx xzy =+ =−− +=− Lời giải Từ (1)tacó4 xxz=− Từ (2)tacó ( ) ( )22 27341442214 yxzxzxzyxz =−−−=−⇔=− Từ (3)tacó ( ) 222235212366xzxzxzxzxz +=−−⇔++=⇔+=± +TH1: ( ) ( ) 153 661:64 425 xzy xzzxxxx xzy ===± +=⇒=−⇒−=+⇔⇒⇒ == =± +TH2: ( ) ( ) 4 733533 661:642233 733533 22 xz xzzxxxxy xz −+−− = = +=−⇒=−−⇒−−=+⇔ ⇒ ⇒=± −−−+ = = VậyHPTcó6nghiệm.
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 22 Bài 5: Tìmtấtcả cácsố nguyên,,xyz thỏamãn ( ) ( )222 21 32132 xyz xyz ++= +−= Lời giải Từ (1)2zxy⇒=−− , thay vào phương trình (2) ta được: ( ) ( ) ( ) 22222 22 3221322.22.2.2172437 xyxyxyxyxyyxx +−−−=⇔+++−=⇔−+++= +TH1: 212 461 yxx xy −+== ⇔ +== +TH2: 212 461 yxx xy −+=−= ⇔ +==− +TH3: 2110 4611 yxx xy −+==− ⇔ +=−=− +TH4: 2110 4613 yxx xy −+=−=− ⇔ +=−=− +TH5: 263 411 yxx xy −+==− ⇔ +== +TH6: 265 411 yxx xy −+==− ⇔ +=−=− +TH7: 265 4113 yxx xy −+=−=− ⇔ +=−=− +TH8: 263 411 yxx xy −+=−=− ⇔ +==− VậyHPTcó8nghiệm.
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 1 B. Một số phương pháp giải hệ phương trình Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 1. Phương pháp biến đổi tương đương: 1.1. Phương pháp: Biến đổi tương đương là phương pháp giảihệ dựatrênnhữngkỹ thuật cơ bản như: Thế,biến đổicác phương trìnhvề dạngtích,cộngtrừ các phương trình trong hệ để tạo ra phương trình hệ quả códạng đặc biệt… 1.2. Một số ví dụ: Ví dụ 1. Giảicáchệ phương trình sau a) 2 4232 14252(1)5 3() ) 6 (1 (2) xyyx xxyxyy ++−++−−= +−=+ b) 332 22 12616 4690 xxyy xyxyxy −=−+ ++−−+= c)332 223 4364 xyxy xyxy −+= +=+− d) 23 2 76(6)1 2()6241 yxyx xyxyyx −−−−= −+−+−=+ Lời giải: a). Điềukiện 2 1 2 52(1) x y yx ≥− ≤ +≥− Xuấtpháttừ phương trình (2) ta có: 4322 36()0 xxyxyy−+−−= 320 3(2)(2)0(2)(31)02 x xxyxxyxxyx xy = ⇔−+−=⇔−+=⇔ = Với0 x = thayvào(1)tacó:14242542424 yyyy +−++=⇔−++= Theobất đẳngthứcCauchySchwarztacó ( ) 2 42422(4242)1642424 yyyyyy −++≤−++=⇔−++≤ Dấu=xảyrakhi:42420 yyy −=+⇔= Hệ cónghiệm:(0;0) Với:2xy = . Thay vào phương trình trên ta được 2 145(1)514(1)(4)5 xxxxxxxx ++−++−−=⇔++−++−= (*) Đặt 25 1401.4 2 t txxxx =++−>⇒+−= . Thay vào phương trình ta có: 2 525 52150 23 tt ttt t =− +=⇔+−=⇔ = .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 2 Khi20 1.4230 3 3t x xxxx x = =+−=⇔−+ = = ⇒ ⇔ Tómlạihệ cónghiệm ( ) ( ) 3 ;0;0,3; 2xy = Nhận xét: Điềukiện0 t > chưa phải là điềukiệnchặtcủabiến t Thậtvậytacó:22 1452(1)(4)5txxtxxt =++−⇒=++−⇒≥ Mặtkháctheobất đẳngthứcCôsitacó 2 2(1)(4)5105;10 xxtt +−≤⇒≤⇔∈ b)Hệ viếtlại dướidạng 33 22 12(2)12(2) (4)(3)0 xxyy xxyy −=−−− +−+−= Đặt2 ty=− .Tacóhệ : 3322 2222 1212()(12)0(*) (2)(1)02()10(2*) xxttxtxtxt xxttxtxtxt −=− −++−= ⇔ +−+−=++−++= Từ (*)suyra 22120(3*)xtxt xt ++−= = Với xt = thayvào(2*) ta có phương trình 2 3410 xx−+= Từ đây suy ra 2 nghiệmcủahệ là ( ) ( ) 17 ;1;3,; 33xy = Với(3*)kếthợpvới(2*)tacóhệ 2 2 13 ()1202() ()2()100121 4 xt xtxt VN xtxtxt xt += +−−= ⇔ +−−++== = .Do ( ) 24 xtxt +< Vậyhệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: ( ) ( ) 17 ;1;3,; 33xy = c) Đưa hệ phương trình về dạng:332 (1)(21)2 13 (1)(21)3(1)(21)5 22 xy xyxy +−= ++−=++−− Đặt:ax1;b2y1. =+=− Khi đó ta thu đượchệ phương trình: 332332 22 1326310 35 22 abab abababab = = ⇔ +=+−+=+− Từ hệ phương trình ban đầutanhẩm đượcnghiệmlà1 xy== nêntasẽ cóhệ nàycónghiệmkhi: 2;1ab== Do đó ta sẽ phântíchhệ về dạng:22 (2)2(1) (2)(1)(1)(2) abb aabb −=− −+=−+
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 3 Vìtaluôncó:0 b ≠ nêntừ phương trình trên ta rút ra 22(1) b a b −= Thế xuống phương trình dưới ta được: 2 222 2 4(1)(1)(1)(2)(1)4(1)(2)0 babbbabb b +=−+⇔−+−+= 2 1 4(1)(2) b abb = ⇔ +=+ Với:12 ba=⇒= ,suyra:1 xy== Với24(1)(2) abb+=+ .Talạicó:2 2(1)21.abbabab b + =⇔+=+⇔+= Thế lên phương trình trên ta có: 2 3 1 4(2)212;(2)2 4(KhôngTM) bbaxy bb bb +=−⇒=−⇔=−=− =+⇔ = Vậyhệ đã cho có 2 nghiệmlà: ( ) 1 ;(1;1)2; ,2xy = d) Điềukiện: 1 0 x y ≥− ≥ .Taviếtlạihệ phương trình thành: 2 2()6241 xyxyyx −+−+−=+ 2 2()6241 xyxyyx ⇔−+−+=++ . Bình phương 2 vế ta thu được: 22 24262412(1) xxyyxyxyyx −++−+=++++ 22 2(1)2(1)(1)2(1) xyxyxyyx ⇔+−+++++=+ 22 1 2(1)(1)01 1 xy xyxyxy xy += ⇔+−++−=⇔ ⇔+= += Thay vào phương trình (2) ta có: 2233 71(7)171(7)1 yyyyyyyy −+−−=⇔−+=−+ . Đặt3(7) ayy=− ta có phương trình: 3 32 1 10 11 201 2 a aa aa aaaa a ≥− ≥−= +=+⇔ ⇔ −−==− = Với 01 0 76 yx a yx =⇒=− =⇒ =⇒= Với2 735535 171022 735535 22 yx ayy yx =⇒= =−⇒−+=⇔ ++=⇒=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 4 Với21(L) 2780 87 y ayy yx =− =⇒−−=⇔ =⇒= Hệ phương trình đã cho có nghiệmlà: ( ) 535735535735 ;(1;0),(6;7),;,;;,(7;8) 2222xy −−++ =− Ví dụ 2: Giảicáchệ phương trình sau a) 22 2232 (22)30 2(3)2610 xyxy xxyyxyy −+−= +−+−−+= b) 22 322 2220 2220 xxyyy xxyyyx −++= −++−= c). 2322 22 3430 3310 xyxyyxyx xyyxy −−−+= −++= Lời giải: a) Cách 1: Lấy phương trình thứ haitrừ phương trình thứ nhấttheovế ta được: 2322 2(3)261(22)30 xyyxyyyxy −+−−++++ = ( ) 232232 22310123210xyyyxxyxyyyy+− ⇔+ −+−= ⇔−−+−= (1)(21)(1)0. yyxy ⇔+−−−= +Nếu1 y =− thay vào phương trình (1) ta có: 233xx=⇔=± +Nếu 1 2y = thay vào phương trình (1) ta có: 232341230 2 xxx ± −−=⇔= +Nếu1 yx=− thay vào phương trình (1) ta có: 222223(1)04630xxxxx −−−=⇔−+−= .Vônghiệm. Kêtluận: ( ) 32213221 ;(3;1),(3;1),;,; 2222xy −+ =− * Cách 2: Phương trình thứ hai phân tích được: 2 (2)(3)10 yxxy+−−+= Phương trình thứ nhất phân tích được: 22 ()2(2)0 xyxy + −= Đặt2 ,2 axybxy =−=+ tacóhệ: 220 (3)10 ab ab −= −+= b)Lấy phương trình thứ haitrừ phương trình thứ nhất,ta được: 322220, xxxyxyx −−+−= hay322(2)(2)0. xxxyxx−−−−= Do3222(1)(2) xxxxxx −−=+− nêntừ trên,tacó2(2)(1)0. xxxy−+−= +Nếu 0 0 2 y x y = =⇒ =− +Nếu 0 24 3 y x y = =⇒ = +Nếu1 yx=+ thay vào phương trình (1) ta thu được: 2 1220 yy ++= vônghiệm.
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 5 Kếtluận: Hệ phương trình có các cặpnghiệmlà: ( ) ( ) 4 ;(0;0),(0;2),2;0,2;3xy =− c)Hệ đượcviếtlại như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 223222 2222 33434 33103310 xyyxxyxyxyyyxxy xyyxyxyxy −+−=−−= −++= −++= ⇔ Xétvới0 y = thayvàotathấykhônglànghiệmcủahệ. Với0 y ≠ tabiến đổihệ thành: ( ) 22 2 1 34 1 330 xyxx y xyx y −−= −++= ⇔ ( ) 22 2 1 34 1 34 xyxx y xyxx y −−= −+−=− Đặt: 2 1 3 ax y byx =− =− Khi đó hệ trở thànhhệ : 42 4 abx abx = += TheoVietsthìtacó2số avàblànghiệmcủa phương trình : 222 22 11 2 44(2)021 2323 xxyx txtxtxtxy xyxxx x =−=− −+⇔−=⇔=⇔ ⇔ =−=−− 232 11 1 11 233210 yyx x x y xxxx x =− =− =− ⇔ = =−− ++= Vậyhệ có1nghiệm ( ) ( );1;1xy =− Ví dụ 3: Giảicáchệ phương trình sau a) ( ) 3 243 112 99 xy xyyxyy ++−= −+=+− b) 32 232 2156(254) 2 83342 xxyxyxy xxxxy yy −−=−− +=+− c)3222 36244392 632446 xxyy xxyxyyxx −−=−− −++=++ d) 342 2 834 22 xyyxy xyyy −+=− +−= Lời giải: a)Từ phương trình (2) củahệ tacó: ( ) ( ) ( )2433 3 9990 90 xy xyyxyyxyxy xy = −+=+−⇔−+−=⇔ +−= Vì1 y ≤ và3112 xy ++−= nên3127 xx +<⇔< Do đó 3910xy+−<−< nên390 xy+−= vônghiệm.
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 6 Tachỉ cầngiải trườnghợp xy = .Thế vào phương trình ban đầu ta được:3112 xx ++−= . Đặt ( )31;10axbxb =+=−> thì ( ) ( ) ( )32322 32 2 224201220 2 ab aaaaaaaa ab += ⇒+−=⇔+−+=⇔−+−= += Từ đó suy ra nghiệmcủa phương trình ban đầu 0;1163;1163xxx ==−+=−− Vậyhệ đã cho có 3 nghiệmlà0;1163;1163 xyxyxy ====−+==−− b) Phương trình thứ nhấtcủahệ ⇔ ( ) 22 2 (2)1215015 12 yx yxxyx y = −−−=⇔ = TH1: 215 12 x y = thay vào phương trình thứ haicủahệ ta được: ( ) 2322 22 32415 215315424 xxxxx xx +=+− ( ) ( ) 22 22 22 36 12161516150 1515 xx xxxx xx ⇔−+−++−= ( ) 22 22 22 22 1615016150 6361615 1615 1515 xxxx xx xxxx xx +−≥ +−≥ ⇔⇔ =+−=+− ( ) ( ) 2 222 16150 36151615(*) xx xxxx +−≥ ⇔ =−+− Xét phương trình (*) ( ) ( )222 36151615 xxxx =−+− Vìx=0khôngphảilànghiệm.Tachiahaivế phương trình cho 2 x tacó: 1515 3616 xx xx =−+− Đặt22 15 16360 18 t xttt xt = −=⇒+−=⇔ =− +Nếu 1525 2221505 3 x txxxx xx = =⇔−=⇔−−=⇔⇔= =− +Nếut=18 1529461818150946 946 x xxxx xx =−− ⇔−=−⇔+−=⇔ ⇔=−− =−+ Nghiệmcủahệ đã cho là: ( ) 527126 ;5;,946; 62xy + =−− TH2:2xy = Thay vào phương trình thứ haicủahệ tacó: 2322 22711 0 43344612 xxxxxx xx xx ⇔+=+−⇔=⇔= (loại) (do điềukiện0 y ≠ )
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 7 KL:Nghiệmcủahệ đã cho là: ( ) 527126 ;5;,946; 62xy + =−− c) Điềukiện 2 3 x y ≥ ≥ Phương trình (2) củahệ tương đương với: 2 2 22 (22)(32)023 yx xyxy yx =− −−+−=⇔ =− +Với22 yx=− thế vào phương trình (1) ta được: (1)7624461540(3) xxx ⇔−−−−−= Đến đây sử dụngbất đẳngthứcCôsitacó: 6243.22(2)3624461574 46152.23(25)2(22) xxx xxx xxx −=−≤ ⇒−+−≤− −=−≤− Dấu'''' = xảyrakhichỉ khi4 x = Từ (3)suyra4 x = lànghiệmduynhất.Vậyhệ cónghiệm(;)(4;6) xy = Với2232yx=−≤ hệ vônghiệm do điềukiện3 y ≥ Vậyhệ đã cho chỉ có1nghiệm(;)(4;6) xy = d)Thế phương trình 2 vào phương trình 1 củahệ ta được phương trình : ( ) ( )3422332 832(2)83422 xyyxyxyyyxyxyxyy −+=−+−⇔−+=−−+ Vì0 y = khônglànghiệmcủahệ.Chiacả haivế cho y ta được phương trình 332323 8342234822 xyxxyxxxyy −+=−−+⇔++=+− Đặt:11 zxxz=+⇒=− . Khi đó ta có phương trình : ( ) ( ) ( )332222822420do420 zzyyzyzyzyzyzy +=+⇔−++=++> 21221zyxyxy ⇔=⇒+=⇒=− Thế vào phương trình 2 củahệ ta được phươngtrình: 2 11 32027 33 yx yy yx =⇒= −−=⇔ =⇒= Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm 72(;)(1;1);;33xy = Ví dụ 4: Giảicáchệ phương trình sau a) ( ) ( ) 22 3121421 33 yyxyxy yyxy +++=++ −=− b) ( ) 2 2322 2323 2276 xxyy xxyxyxy +−= −=−+
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 8 c) ( ) 42 23 26729 210 xxyyyx yxx ++−+=− −= Lời giải: a) Điềukiện: 2210xy++≥ . Phương trình (1) tương đương: 22222 4421212 yyxyxyxxyy −+++++=−+ ( ) ( ) 22 22 2 213 221 21 xyyx yxyxy xyxy ⇔−++=−⇔++=− ++=+ TH1: 2213 xyyx ++=− . Bình phương hai vế phương trình ta được: 2 222 2 331;1() 692141517 2196;() 33513 yxyxxyTM xyyxyxxyyyxyTM xyyy ≥ ≥== ⇔ ⇔=−−⇔ ++=−+== =+− TH2: 221 xyxy ++=+ . Bình phương hai vế phương trình: 2 222 2 001;1 221417 212;() 33213 xyxyxy xyxxyyxyyyxyL xyyy +≥ +≥== ⇔=−++⇔ ++=++==− =+− . Vậyhệ cónghiệm ( ) ( ) 41517 ;1;1,; 513xy = . b)Từ phương trình (1) ta thấy: ( ) ( )322131 xyy −=− . TH1:1 y = thayvào(2)tacó:37601;3;2 xxxxx −+=⇔===− . TH2:Kếthợpvới(2)tacóhệ mới: 2 2322 22233 2276 xxyxyy xxyxyxy ++=+ −=−+ . (*) (3) Phương trình (3) tương đương với: ( ) ( )2 2230xyxyx−+−= +Nếu:2 xy = thayvào(*)tacó: ( )1 2443314 2 y xyyxyy ++=+⇒=⇒+=− . Phương trình này vô nghiệmnênhệ vônghiệm. +Nếu 232 xyx =− thayvào(*)tacó: ( ) 222 233331 xxyxyy x +−+−=+⇒=− 22 2131;1 xxxy x ⇒−=−⇔== Vậyhệ cónghiệm ( ) ( ) ( ) ( );1;1,3;1,2;1xy = . c) Phương trình (1) tương đương: ( ) ( ) ( ) ( )422222 7923033230 xxyxxxxxxyxx −+−−−=⇔−−+−−−−=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 9 TH1:2 1137913 30236 1137913 236 xy xx xy −+=⇒= −−=⇔ +−=⇒= . TH2:2223 yxx=+− thayvào(2)tacó: ( ) 223 5 51 3102 5 51 2 xy xxxx xy =⇒=− +−−=⇔ =−⇒=+ . Vậyhệ cónghiệm ( ) 1137913113791355 ;;,;,5;1,5;1 23623622xy −++− = −−+ Ví dụ 5: Giảicáchệ phương trình sau a)323 1 412967 xyxy xxxyy −−= −+=−++ b)323 24 42445620 xyxy xxxyy −+= ++=−+− c) ( ) 23 3 2 2 2 13 2 14 22 x xyy x xyy xx ++= ++=+ d) 22 22 3 2 41 1 xyx xy xy xy ++= −+=− +− Lời giải: a)Hệ tương đương: 323 3333 412967 xyxy xxxyy −−= −+=−++ . Trừ hai phương trình cho nhau ta được: ( )33 4133 xyxyy −=−++ ( )333 414333 xyyxyy⇔−+=++ ( ) ( ) ( ) ( )222 411131 xyxxyyyyx ⇔+−−−−+=++ ( ) ( ) ( ) ( )222 4111311 xyxxyyyyxyy ⇔+−−−−+=+−−+ ( ) ( ) ( ) ( )222 411131 xyxxyyyxy ⇔+−−−−+=+− ( ) ( ) 2 1220xyxy ⇔+−−−= Với1yx =− thay vào (1) ta được: 220xx−+= (vônghiệm). Với22 yx=− thay vào (1) ta được: 2 517 25104 517 4 x xx x = −+=⇔ += Vậyhệ cónghiệm ( ) 517117517117 ;;,; 4242xy −−++ =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 10 b)Hệ tương đương: 323 633120 42445620 yxxy xxxyy −+−= ++=−+− . Trừ hai phương trình trên cho nhau ta được: 323 4244832312 xxxyxyy +++=−++ ( )333 4243312 xyyxyy⇔++=++ ( ) ( ) ( ) ( )222 422234 xyxxyyyyx ⇔+++−++=++ Thế 24xxyy=+− vào VP ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 4222324432 xyxxyyyyyxyyxy +++−++=++−+=++ ( ) ( ) ( () )22 242420xyxxyy ⇔+++−++= . Với2 yx=−− thay vào (1) ta được: 2580xx−+= (vônghiệm). Với22 yx=+ thay vào (1) ta được: 2 177 27404 177 4 x xx x = −+=⇔ +=− Vậyhệ cónghiệm ( ) 177117177117 ;;,; 4242xy −++− = c) Điềukiện:0 x ≠ . Phương trình (2) tương đương: 2 2 1112 202 yxyy xxxx +−=⇔=−⇔=− Thay vào (1) ta được: ( ) ( ) 33 3322 22 111121 112 22 tttt xxxx −+−=−⇔−+−=− ( ) ( )432 216122430 ttttt ⇔−−+++= . TH1:13 2 24txy =⇒=⇒=− . TH2:4326122430 tttt−+++= 2 6221 33 tt ⇔−−=− (vôlý) Vậynghiệmcủahệ ( ) 3 ;2; 4xy =− . d) Điềukiện:1 xy+≠ . Phương trình (2) tương đương: ( ) ( ) ( )224121 xyxyxyxy −+−+=−+− . Phântíchnhântử ta được: ( ) ( )22 21210xyxyxyy +−−−++= . TH1:210 xy+−= thayvào(1)dễ dàng tìm được:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 11 ( ) 12143142141314 ;;,; 5552xy −−+ = TH2:Kếthợpvới(1)tacóhệ mới: 22 22 21 3 xyxyy xyx −−++ ++= Giảibằngcách: ( ) ( ) (1)(2)32401340 PTPTyxyxyyxy−⇔++−−=⇔++−= . Vậynghiệmcủahệ ( ) ( ) ( ) ( )121431421413141017 ;;,;,;,1;1,1;1,2;1 55521110xy −−+ = Ví dụ 7: Giảihệ phương trình vớinghiệmlàsố thực: a) 22 2 22860 410 xyxy xxyyx ++++= ++++= b) 2 2 2250 570 xxyy yxyx ++−= ++−= Lời giải: * Cách 1: Đặt xua yvb =+ =+ thay vào phương trình (1) củahệ tacó: 22 ()2()2()8()60 uavbuavb ++++++++= ⇔ 2222 22(1)4(2)22860 uvauvbabab ++++++++++= Tamongmuốnkhôngcósố hạngbậcnhất trong phương trình nên điềukiệnlà: 10 20 a b += += 1 2 a b =− ⇔ =− Từ đó ta có các h đặt ẩnphụ như sau: Đặt 1 2 xu yv =− =− thayvàohệ tacó: 22 2 23 2 uv uuv += += đây là hệ đẳngcấp. Từ hệ tasuyra ( ) ( ) 22222 223340 4 uv uvuuvuuvv uv = +=+⇔+−=⇔ =− Côngviệccònlại là khá đơn giản. * Cách 2:Tacộng phương trình (1) với k lần phương trình (2). 2222286410xyxykxxyyx +++++++++= 22 (1)(24)2860 kxkkyxyykyk ⇔+++++++++= Tacó 22 (24)4(1)(286) kkykyykyk ∆=++−+++++ ( ) 2222 88(43232)121220 kkykkykk =−−+−−+−− . Tamongmuốn ∆ códạng 2() AyB + 0⇔∆= cónghiệmkép:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 12 ( ) ( ) ( )2 2223 432324881212200 2 kkkkkkk ⇔−−−−−−−=⇔=− . Từ đó ta có cách giải như sau: Lấy2lần phương trình (1) trừ 3lần phương trình (2) củahệ tacó: ( ) ( )222 222863410 xyxyxxyyx ++++−++++= ⇔ ( ) ( )2222 38413903841390 xxyxyyxyxyy −−−+++=⇔++−++= Tacó ( ) ( ) ( ) 22 22 384413925100100510 yyyyyy ∆=++++=++=+ Từ đó tính được: 38(510)1 2 38(510)49 2 yy xy yy xy +−+ = =−− +++ = =+ Phầnviệccònlạilà khá đơn giản. b)Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta thu được: ( ) ( ) 2222 22557025120 xxyyyxyxxyxyy ++−−++−=⇔+−−++= 1 2 2 y x xy + ⇔= =−+ Nhận xét: Khigặpcáchệ phương trình dạng: 22 123456 22 123456 0 0 axaxyayaxaya bxbxybybxbyb +++++= +++++= + Ta đặt,xuayvb =+=+ sau đó tìm điềukiện để phương trình không có số hạngbậc1hoặckhôngcó số hạngtự do. +Hoặctacộng phương trình (1) vớiklần phương trình (2) sau đó chọn k saochocóthể biễudiễn được x theoy. Để có đượcquanhệ nàytacầndựavàotínhchất. Phương trình 2 ax bxc++ biểudiễn được thànhdạng: 2 ()0 AxB+⇔∆= Đối với các hệ đại số bậc 3: Tacóthể vậndụng các hướnggiải +Biến đổihệ để tạothànhcáchằng đẳngthức + Nhân các phương trình vớimộtbiểuthức đạisố sau đó cộng các phương trình để tạoraquanhệ tuyến tính. Ví dụ 8: Giảihệ phương trình vớinghiệmlàsố thực: a) 32 22 349 8817 xxy xxyyyx +=− −+=− b) 33 22 35 2349 xy xyxy −= +=− c) 32 22 36349 610259 xxyxyx xxyyyx +=−− −+=−−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 13 d) ( ) ( ) ( )3 34 71131(1) xyxy xxyxy += +=+++ Lời giải: a)Phântích:Taviếtlạihệ như sau: 32 22 3490 8(1)170 xxy yxyxx ++= ++++= Nhậnthấy1 x =− thìhệ trở thành: 2 2 3480 4 160 y y y −+= ⇔=± −= Từ đó ta có lời giải như sau: Lấy phương trình (1) cộngvới3lần phương trình (2) củahệ tacó: ( )3222349388170xxyxxyyyx +++−+−+= ( ) 22 1(1)3(4)0xxy ⇔+++−= Từ đó ta dễ dàng tìm đượccácnghiệmcủahệ: ( ) ( ) ( );1;4,1;4xy =−−− b) Làm tương tự như câu a Lấy phương trình (1) cộngvới3lần phương trình (2) thì thu được: ( ) 22 1(1)3(5)0xxy +++−= . Từ đó dễ dàng tìm đượccácnghiệmcủahệ c)Lấy phương trình (1) trừ 3lần phương trình (2) ta thu được: 33 (2)(3)5 xyxy −=+⇔=+ Thay vào phương trình (2) ta có: 2223 2(5)34(5)95253002 y yyyyyy y =− ++=+−⇔++=⇔ =− Vậyhệ phương trình có các nghiệmlà: ( ) ( ) ( );2;3,3;2xy =−− d)Lấy2lần phương trình (2) trừ đi phương trình (1) ta thu được: ( ) 22 1(3)20xyxyxx −−++−−= Trườnghợp1:1 x = hệ vônghiệm Trườnghợp2: 22 32 (3)20 ()(1) yxyxx xyxyxy −++−−= +=−− Lấy2lần phương trình (2) trừ đi phương trình (1) ta thu được: ( ) 22 21(1)20 xyxyxx +−−+−+= +Nếu 1335 24xy ± =−⇒= +Nếu 22(1)20yxyxx−−+−+= tacóhệ: 22 22 (1)20 (3)20 yxyxx yxyxx −−+−+= −++−−= . Trừ hai phương trình cho nhau ta có: 1y =− thayvàothìhệ vônghiệm KL:Nghiệmcủahệ là: ( ) 13351335 ;;,; 2424xy +− = d).
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 14 Tacó:(1) ( ) ( ) ( )3 733131 xxyxyxyxy ⇔++=++++ ( ) ( ) ( )3 7342131 xxyxyxyxyxy ⇔++−−=++++ ( ) ( ) ( ) ( )3333 8623311 xyxyxyxyxyxyxyxy ⇔+++=++++++++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 333233111 xyxyxyxyxy ⇔+=++++++=++ 211 xyxyx ⇔+=++⇔= Vậyhệ phương trình đã cho tương đương với: ( ) 111 3414 xxx yyyy = == ⇔∨ += ==− Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ A.Kiếnthức Đề bài:Giảihệ phương trình có 2 ẩnsố hoặc3 ẩnsố Cáchgiải: Tìm điềukiệncủa ẩnsố để phương trình có nghĩa -Thựchiệnmộtsố phépbiến đổi HPT đơn giản Đặt ẩnphụ:Vídụ ( ) ( ), afxbgx == - Đặt(hoặc tìm) điềukiệncủaavàb ChuyểnthànhPHTvới ẩnmới,ab GiảiHPTmớitìm,ab -Tìm,xy Bài 1: Chuyên Bình Định, năm học2018 Giảihệ phương trình sau 44 3 6 5 xy xy xy xy +−−= ++=− + Lời giải Điềukiện0;0;0 xyxy≠≠+≠ HPT ( ) ( ) ( ) 4 3 6 5 xy xy xy xy xy + +−= ⇔ ++=− +
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 15 Đặt ( )2 ;0;4 axybxyaab =+=≠≥ Từ ( ) 62225560 3 a aaa aa =− ⇒+=−⇔++=⇔ =− Phương trình (1): 4 3a a b −= +)TH1:8 2 5 ab=−⇒= .Do24ab<⇒ loại +)TH2:32 ab=−⇒= .Tacó 1 32 22 1 x xyy xyx y =− +=−=− ⇔ = =− =− (thỏamãn). Bài 2: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 141 122 xyxyy xxyy +++= ++−= Lời giải Nếu0 y = ,HPTtrở thành ( ) ( ) 2 2 10 120 x xx += +−= (vônghiệm) Nếu0 y ≠ ,chiacả haivế của phương trình (1) và (2) cho y ta được: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 * 1 21 x xy y x xy y + ++= + +−= Đặt 21x a y + = và2 bxy=+− Phương trình (*) 21 11 aba abb +==⇔⇔== Từ đó ta có: 222 22 1 1112 32 1320 5 x xyxyyxy xyx xxxx y = =+==+ += ⇔⇔⇔ +=++=+−==− = VậyHPTcóhainghiệm ( ) ( ) ( {)};1;2,2;5xy ∈−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 16 Bài 3: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) ( ) ( ) 41 21 23 4127232 xyxy xyxyxy += +− +=+− Lời giải Điềukiện 20 30 xy xy +≠ −≠ Phương trình (2) ( ) ( ) ( ) ( ) 84 82437237 32xyxyxyxy xyxy ⇔+−−=+−⇔−= −+ HPT 41 2321 4 481 7 23 xyxya b xyxy += +− = ⇔⇔ −+== +− Vậy ( )241 312 xyx tm xyy +== ⇔ −== VậyHPTcónghiệmduynhất ( ) ( );1;2xy = Bài 4: Giảihệ phương trình sau 2 2 1 3 1 3 x x yy x x yy ++= ++= Lời giải Điềukiện0 y ≠ PHT 2 2 22 2 1133 31 1;;4 3133 3 xx xx yyabxyyaxbab xyyxxabba x yyyy ++= +−= −= ⇔ ⇔ =+=≥ +=⇒=− ++= ++= ( ) ( ) ( ) 22 21 3360 36 abtm aaaa abktm == ⇒−−=⇔+−=⇔⇒ =− = Với 1 21 1 1 11 x ax by y = = = ⇒⇔ == = VậyHPTcónghiệmduynhất ( ) ( );1;1xy =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 17 Bài 5: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 22 2 3 447 1 23 xyxy xy x xy +++= + += + Lời giải Điềukiện0 xy+≠ HPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 3 37 1 3 xyxy xy xyxy xy ++−+= + ⇔ ++−+= + Đặt ( );0axybxya =+=−≠ HPT 2 222 2 31 37313 1133 abab aa abab aa ++= ++= ⇔⇔ ++= ++= Đặt ( ) ( ) ( ) 2221313 21 3 2 ttm tb tat atbtktm = += =+≥⇒⇔ += =− Với11 1 2121 10 tbaaxyx axyy +===⇒=⇒+=⇒=⇒⇔−== VậyHPTcónghiệmduynhất ( ) ( );1;0xy = Bài 6: Giảihệ phương trình sau 324 211 += ++−+= xy xyxy Lời giải Điềukiện: 210 0 ++≥ +≥ xy xy Đặt ( ) ( ) 2 22 2 21021 321 0 ++=≥ ++= ⇔ ⇒+=+− +=≥+= xyaaxyaxyab xybbxyb
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 18 Tacóhệ phương trình ( ) ( ) 22141 12 +−= −= ab ab Từ phương trình (2) 1⇒=+ ab , thay vào phương trình (1) ta có: ( ) 22 114++−=bb ( ) ( ) 2 122142 2240 2111 =⇒= ++== ⇔+−=⇔ ⇒ ⇔ =−⇒=−+==− bbbatmxyx baktmxyy Vậyhệ phương trình có nghiệm ( ) ( );2;1 =−xy *)Chúý:Nếugặpdạng khó hơn, ví dụ: 435 211 += ++−+= xy xyxy Tacóthể đặt 2 2 2121 =++ ++= ⇒ =++= axyxya bxyxyb Dùng phương pháp hệ số bất định để mớiliênhệ giữa43 + xy vớiavàb Tacó: ( ) ( )432222434321 ++=+⇔+=+−⇔+=++++− xypmanbxymanbpxymxynxyp 22 421 324312 01 =+= ⇔+=⇔=⇒++=+ −== mnm mnnxyab mpp Bài 7: Giảihệ phương trình sau 22 422 23150 2450 ++−= +−−−= xyxy xyxy Lời giải *)Phântích:Tatìmcáchbiến đổihệ phương trình về dạng ( ) [ ] ( ) [ ] += = HPT ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 3221 1210 ++= ⇔ −+−= xy xy Đặt221;234;24 =−=−⇒+=++=+ axbyxayb TacóHPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 4421451 102102 ++= ++= ⇔ += +−= ababab ababab Thế ( )54 =−+ abaab vào ( ) ( ) ( ) 2210810 ⇒+−++= abab
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 19 ( ) ( ) 22 8200 10 += ⇔+++−=⇔ +=− ab abab ab +)TH1:13 23 31 =−⇒= +=⇒=−⇒ =⇒=− ab abab ab +)Với ( ) 2 10 11 35 23 = −= −=− ⇒⇔ = −== ax x tm by y +)Với 22 32 134 11 211 = =± −== ⇒⇔⇔ = −= −=−= ax xx by yy +)TH2:10 +=ab làm tương tự TH1. Bài 8: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 22 22 11 12 11 +=+ += ++ xyxy xy yx Lời giải Phântích: Đặt ( ) ( ) 2222 ,1 11111 ++++++ ==⇒+= = = ++ +++++ xyxyxyxyxyabab yxxyxyxy Giải: Ta có phương trình (1) ( ) ( )2211 ⇔+++=++ xyxyxy Điềukiện1;1 ≠−≠−xy ( ) ( ) ( ) ( )1111 ⇔+++=++ xxyyxy ,chiacả haivế cho1 +x ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 1111 +++ =⇔+= ++++ xxyyxy xyyx Đặt ( ) 22 22 101 ;1110111 += =⇒= ==⇒⇒+−=⇔ ++=⇒= += xyabab abaa yxab ab +)Với 0 00 1 11 1 1 == = + ⇒⇔ = = = + x ax y by y x (thỏamãn) +)Với 1 11 1 00 0 1 == = + ⇒⇔ = = = + x ax y by y x (thỏamãn) VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) ( ) ( );0;1;;1;0 = =xyxy
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 20 Bài 9: Giảihệ phương trình sau ( ) ( ) 2 22 2611 72 ++−= ++= xxy xxyy Lời giải Tacó: ( ) 2226150, ++=++>∀ xxxx Phương trình (1) ( )222 26126211 ⇔++=+⇔++=++>− xxyxxyyy ( ) 22250 ⇔−+−+= xyxy , ta đượchệ phương trình mới: ( ) ( ) ( )22 2222 2525 77 −+−=−−++=− ⇔ ++=++= xyxyxyxy xxyyxxyy *) Nháp: Ta dùng phương pháp hệ số bất định để phântích22 ++ xxyy theo ( ) 2 + xy và ( ) 2 xy Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 2 ++=++−⇔++=++−++ xxyymxynxyxxyymnxmnxymny ( ) ( ) 2222 13 431 1144 24 += = ⇔⇔⇒++=++− −= = mnm xxyyxyxy mn n Tacólờigiảitiếp:Tacó ( ) ( ) 2222 31 44 ++=++− xxyyxyxy Đặt ( ) ( ) ( )22 251 31 72 44 +=−+= ⇒ −= += ba xya xybab Từ phương trình (1) ( )5 20, 2 ⇒=+≠ + ba a thế vào phương trình (2) ta được: ( ) ( ) 22 22222 3155 73283225282 4422 +=⇔+=⇔+++=+ ++ aaaaa aa 4322432 31212252811211231216112870 ⇔+++==+⇔+−−−= aaaaaaaaa ( ) ( ) ( ) 23131318290 15 =⇒=− ⇔−+++=⇔ =−⇒=− ab aaaa ab (vì231829 ++aa vônghiệm) +)TH1:Với331 112 =+== ⇒⇔ =−−=−= axyx bxyy (thayvàoHPTthỏamãn) +)TH2:Với113 552 =−+=−=− ⇒⇔ =−−=−= axyx bxyy (thayvàoHPTthỏamãn)
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 21 VậyHPTcónghiệm ( ) ( ) ( ) ( );1;2;;3;2 = =−xyxy . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Ví dụ 1: Giảicáchệ phương trình sau a) 22 3223 222 23310 xxyy xxxyy −−= −−−+= b) 422 22 4690 2220 xxyy xyxy −+−+= ++−= Lời giải a)Taviếtlạihệ phương trình thành: 22 3232 3()2 33()31 xxy xxyxyx −+= +−+−=− 22 232 3()2 3()()31 xxy xxyxyx −+= ⇔ +−+−=− . Đặt23, axbxy ==+ ta thu đượchệ phương trình: 2 3 2 1 ab abba −= ⇔ −−=− . Từ phương trình (1)suyra22 ab=+ vào phương trình thứ haicủahệ ta thu được: ( ) ( ) 232222121013 bbbbbbba +−−+=−⇔−+=⇔=⇒= Khi 2 1 30 1 111 2 x ay x bxyx y = == = ⇒⇔ = += =− = Tómlạihệ phương trình có 2 cặpnghiệm: ( ) ( ) ( );1;0,1;2xy =− b)Taviếtlạihệ phương trình thành: ( ) ( ) 222 22 234 2220 xy xyxy −+−= ++−= Đặt22;3 axby=−=− .Tacóhệ phương trình sau: 2222244()24 (2)(3)22(3)224()84()8 abababab abababababab +=+=+−= ⇔⇔ ++++++=++=++= 2 2 ()8()2000 4()810() 48 ab ababab ababab L ab += = +++−= ⇔⇔ ++= +=− = Xét22,0 00,2 abab abab +=== ⇔ === +Nếu: 2 0,2 5 abx y =± ==⇒ =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 22 +Nếu 2 2,03 x ab y =± ==⇒ = Tómlạihệ cócáccặpnghiệm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( );2;5,2;5,2;3,2;3xy =−− Ví dụ 2: Giảicáchệ phương trình sau a) ( ) ( ) ( )22 22 1251 289 xyxyy xxyyxy +++=+ +++−= b) ( ) 22 2 19 60 8 15 20 4 xyxy xy y xy ++−+= −+= Lời giải a) Để ýrằngkhi1 y =− thìhệ vônghiệm Xét1 y ≠− .Taviếtlạihệ thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 222 1251 11101 xyxyy xyxyyy +++=+ +++++=+ Chia hai phương trình củahệ cho1 y + ta thu được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 22 222 12512511 11101110 1 xyxyxy yxyy xy xyxyyyxy y + + ++=++=+ + ⇔ + +++++=++++= + . Đặt 22 ;1 1 xyaxyb y + =++= + .Tacó: ( ) 25223;1 51 105311 4; 22 abxy abxyy abxy xy ===+=+ ⇔==⇔ ⇔ += +==−= Vậyhệ cónghiệm ( ) ( ) 311 ;3;1,; 22xy =− . b) Điềukiện: xy ≠ . Hệ đã cho tương đương: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 2 19125 2020 88 1515 00 44 xyyxxyyx yxyx yxxyyxxy yxyx +−−−+=+−−++= ⇔ −++++= −++++= . Đặt 1 ;;2xyayxbb yx +=−+=≥ hệ thành:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 23 22 5 4 5133 52; 488 4 255573 2; 84288 1 2 yx abyxxy a abyxbxy yx += −=− +=−==− = ⇔⇔⇔ += −=− = −== −=− Vậyhệ cónghiệm ( ) 73133 ;;,; 8888xy = Ví dụ 3: Giảicáchệ phương trình sau a) 22 22 1741993 1741991023 xxyy xyxy −+−= −+−=−− b) ( ) ( ) 222 2233 410 140 xxyyy xyxyxy +−++= ++−−= Lời giải a) Điềukiện: 17171919 ; 2233 xy −≤≤−≤≤ . Để ý2 174 xx liên quan đến2 x và22 174,199xyy liên quan đến3 y và2 199 y .Và tổng bình phương củachúnglànhữnghằngsố Đặt22 2174;3199 xxaxyyb +−=+−= .Hệ đã cho tương đương: 22 10 5;5 17193;7 3 46 ab ab abab += == ⇔ +=== TH1: 2 2 1 217452 2 31995513 6 x xx x yy y = +−= ⇔= +−= ± = TH2: 2 2 21743 31997 xx yy +−= +−= (loại). Vậyhệ cónghiệm ( ) 15131513513513 ;;,;,2;,2; 262666xy +−+− = b)Taviếtlạihệ như sau: ( ) 222 22333 14 14 xxyyy xyxyxyy +++= +++=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 24 Tathấy0 y = khôngthỏamãnhệ. Chia phương trình đầucho2 y , phương trình thứ 2cho3 y ta được: ( )2 2 2 3 2 1 4 14 y xx y xx x yy + ++= +++= Viếtlạihệ dướidạng: 22 22 2 2 11142 1112 4 xy xx yyy xxyx yyy +++= += ⇔ + +=+= . Đặt2211 , xy xab yy + +== tacóhệ mới 4 2 4 ab ab ab += ⇔== = 2 2 1 2 1 2 x y x y += ⇔ += 21 122 2 1 11 2 x xx yyyxy x x yy +−=+= ⇔⇔⇔== +== Vậyhệ cómộtcặpnghiệmduynhất1 xy== Ví dụ 4: Giảicáchệ phương trình sau a) ( ) ( ) ( ) 4322 2 4222 6126 51.115 xxxyyx xxyx −−−+=− −−−=− b) 22 22 5 4 5 55 xy xyxy xy xy xy += −+ ++= Lời giải a)Nhậnthấy0 x = khônglànghiệmcủahệ. Chiahaivế phương trình cho 2 x tacó: 2 222 2 222 222 2 6611112060 55111110510 xxyyxxyy xxxx xxyxxy xxxx +−−−−=−−−−= ⇔ +−−−=−−−−= Đặt 1 xa x −= .Hệ thành: 22 222 60 510 aayy aay −−= −−= . Chiahaivế cho2 a và đặt 1 , y yXY aa +== giải ra ta được
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 25 11117 24 111 ,1 2 1,2115 1 2 22 xx x ayyy ayxx x yy ± −= = = === ⇔⇔⇔ ==±−= = = = Vậyhệ cónghiệm ( ) 11715 ;;1,;2 42xy ±± = b). Điềukiện: 22,0;; xyxyyx ≠≠−≠ Phương trình (2) tương đương: 522 555.5xyxyxy yx yxxx +− ++−=⇔+= Đặt 22 , xyxyab xx −+ == Hệ thành: ( ) ( ) 2 2 3 ,3 152 42151 ,1, 2225525 33 , 22 xy xyx ababxy baxyy xy =−= +=−= ⇔==⇔⇔== += += == . Vậyhệ cónghiệm ( ) 3133 ;;3,1;,; 2222xy =− Ví dụ 5: Giảicáchệ phương trình sau a) ( ) ( ) 22 22 38 1 114 xyxy xy xy +++= +=− ++ b) 22 2 924 2 1918 yx xy xy xy yx +++= −−= Lời giải a)Triển khai phương trình (1) (1)22222222692818 xyxyxxyyxyxyxy ⇔+++++=⇔+++=− ( ) ( )22118 xyxy⇔++=− Nhậnthấy0,0 xy== khônglànghiệmcủahệ. Phương trình (1) khi đó là: 2211 .8xy xy ++ =− . Đặt22 ; 11 xyab xy == ++ .Hệ đã cho tương đương với:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 26 2 2 2 2 11 212 1111 441423 11123 8 4141 11 212 x a x yx abb yy xx a abxy by y =− =− + =− = +=−= +=± ⇔⇔⇔ =+± =− = = + =− =− =− + . Vậyhệ cónghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( );1;23,1;23,23;1,23;1xy =−−−+−−+− . b) Phương trình (2) tương đương: ( ) ( ) 22222233 29189182 xyyxxyxyxyxy −−=⇔++= 223322 91818 2924xyxyxy xy xyyx ++ ⇔ =⇔+++= 222 9494 xyxyx xyyxy yxyxy ⇔+++=⇔++= Đặt 2 9;yxaxby xy =+=+ .Hệ thành: 2 2 94 2494 22;122 1 y x abxyx abx abxyxy y y += += += ⇔==⇔⇔ = += += ( ) 2 2 22 490() 11 49249 93 yxxxL xxxxxxy = =− ⇔ −+=−=⇒= . Vậyhệ cónghiệm ( ) 11 ;; 93xy = Ví dụ 6: Giảicáchệ phương trình sau a) 22 2222 637 362 xxyxxy xxyyxy +++= +++=++ b) ( ) ( ) 2346 2 22 211 xyyxx xyx +=+ ++=+ Lời giải Giảihệ:. Hệ phương trình tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 22 22 639639 362 362 xyyyxxxyyyxx yx xxxyyy xxxyyy ++ +++++=++ += ⇔ +−++−= +−++−=
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 27 ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 63 9 63 362 yyyxxx xxxyyy += +−+− ⇔ +−++−= Đặt ( ) ( )223;6 xxxayyyb +−=+−= Hệ thành: 631;1 92 124 ; 33 ab ba abab == += ⇔ += == . TH1: ( ) ( ) 2 2 311 1 612 xxxx yyyy +−== ⇔ = +−= TH2: ( ) ( ) 2 2 22 3 315 642 2 315 xxxx yyyy +−== ⇔ +−= = . Vậynghiệmcủahệ ( ) 122 ;1;,;2 215 15 xy = .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 1 Phương pháp 3: Dùng hẳng đẳng thức 1. Phương pháp dùng hằng đẳng thức: 3.1 Phương pháp: Điểmmấuchốtkhigiảihệ bằng phương pháp là biến đổitheocáchằng đẳngthức: 3.2 Một số ví dụ: Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Giảicáchệ phương trình sau a) ( ) 3 322210 2225 xxyy xy −−−−= +++= b) ( ) ( ) 2346 2 22 211 xyyxx xyx +=+ ++=+ Lời giải a) Điềukiện: 1 2, 2xy≤≥ . Phương trình (1) tương đương: ( ) ( ) 222212121 xxxyyy −−+−=−−+− Đặt2,21 axby =−=− . Ta có phương trình: 33 aabb +=+ ( ) ( ) 2210abaabb ⇔−+++= .Do 22223110 24 aabbabb +++=+++> suy ra phương trình cho ta ab = 21232 yxxy −=−⇔=− thayvàotacó:352225 yy −++=⇔ Đặt352;2 ayby =−=+ ta cóhệ phương trình sau: 32 1;2 253652365 ; 2948 6532365 ; 48 ab ab ab ab ab == += ⇔==−−+ += == 2 2332365 32 2332365 32 y y y = ⇔=+ = . Vậyhệ cónghiệm ( ) ( ) 2365185233236523651852332365 ;1;2,;,; 16321632xy −−++ = b) Điềukiện:1 y ≥− . Taviếtlại phương trình (1) thành: ( )362220yxxyx−+−= ( ) ( ) 2 2224220 0 yx yxyyxxx xy = ⇔−+++=⇔ == Dễ thấy0 xy== khôngphảilànghiệm.Khi2 yx = thay vào (2) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 224 223,3211211 3,3 xy xxxxxx xy == ++=+⇒++=+⇔ =−= (thỏamãn).Vậyhệ cónghiệm ( ) ( );3;3xy =± . Ví dụ 2: Giảicáchệ phương trình sau
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 2 a) 54106 2 4586 xxyyy xy +=+ +++= b) ( )323 3 24312232 214321 xxxxyy xxy −+−=−− +=−−+ Lời giải a) Điềukiện: 5 4 x ≥− Tathấy0 y = khônglànghiệmcủahệ.chiahaivế của(1)cho5 y ta được: 5 5xx yy yy +=+ . Đặt x a y = ta có phương trình: 55 aayy +=+ suyra ( ) ( ) 432232 10 ayaayayayyaxy −++++=⇔=⇔= 458611 xxxy +++=⇔=⇒=± .Từ đó tính được1 y =± Vậyhệ đã cho có nghiệm ( ) ( );1;1xy =± . b) Điềukiện: 3 2; 2xy≥−≤ .Tathấykhi0 x = thìhệ khôngcónghiệm. Chia phương trình (1) cho 20x ≠ : ( ) ( )23 431 124232yy xxx ⇔−+−=−− ( ) 3 113 113232yy xx ⇔−+−=−+− Đặt 1 1,32 aby x =−=− .Tacó33aabb +=+ ab⇒= 1 321 y x ⇔−=− Thay vào (2) ta được: 3332 215111534140 xxxxxxx +−−=⇔+=−⇔++−= . 111 7 98xy ⇔=⇒= .Vậyhệ cónghiệm ( ) 111 ;7; 98xy = Ví dụ 3: Giảicáchệ phương trình sau a)2 (173)5(314)40 22533211613 xxyy xyxyxx −−+−−= +++++=+ + (1) (2) b) ( ) ( ) ( ) 3 223 221 57461 xxyxyyy xyxxyxyx +++=+ −++−=−+ Lời giải a) Điềukiện: 5 4 250 32110 x y xy xy ≤ ≤ ++ ≥ ++ ≥
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 3 Biến đổi phương trình (1) ta có: ( ) ( ) 35253424 xxyy −+−=−+− Đặt5,4 axby =−=− tacó” ( ) ( )3322 323233320 aabbabaabbab +=+⇔−+++=⇔= 541 xyyx ⇔−=−⇔=− Thayvào(2)tacó:2613234359(4) xxxx ++=+++ Điềukiện xác địnhcủa phương trình (4) là: 4 3 x ≥− ( ) ( )2 (4)223433590 xxxxxx ⇔+++−+++−+= ( ) ( )22 2 23 0 234359 xxxx xx xxxx ++ ⇔++ + = ++++++ ( ) 22310 234359 xx xxxx ⇔+++= ++++++ 20 23 10 234359 xx xxxx += ⇔ ++= ++++++ (*)20 xx+= 01 12 xy xy =⇒=− =−⇒=− ⇒ Tacó2310 234359xxxx ++> ++++++ do điềukiện 4 3 x ≥− Kếtluận: ( ) ( ) ( );0;1,1;2xy =−−− b) Điềukiện:0,0 yxy≥+≥ Nhậnthấy0 y = thìhệ vônghiệm.Taxétkhi0 y > Từ phương trình (1) ta sử dụng phương pháp liên hợp: PT(1) ( ) ( ) ( )22222 2 xy xxyyyxyxyxy yxy ⇔+−=−+⇔−+= ++ Rõràng 1 20;0 2 xyxyy yxy +=++> < ++ ,từ đó suy ra xy = Thay vào (2) ta được: 3232514461xxxxx −+−=−+ . Biến đổi phương trình đã cho tương đương: 32322 3648883888 xxxxxxx +++=−++−+ ( ) ( ) 3322 1318883888 xxxxxx ⇔+++=−++−+ . Đặt321,888axbxx =+=−+ suyra 3333 aabb +=+ ( ) ( ) 2230 abaabbab ⇔−+++=⇔= 32 18881;1xxxxy +=−+⇔== Vậyhệ cónghiệm ( ) ( );1;1xy = . Dạng 4: Phương pháp phân tích thành nhân tử để giải hệ phương trình
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 4 A.Kiếnthức Bàitoán:Giảihệ phương trình ( ) ( ) ,0 ,0 fxy gxy = = + Phân tích 1 trong 2 phương trình trên, hoặctổ hợpcủa 2 phương trìnhtrênthànhnhântử (kếthợpcả 2 phương trình để tạo ra phương trình mới) Giả sử: ( ) ( ) ( )12 ,,., fxyfxyfxy = Thông thường ( )1, fxy và ( )2, fxy làhàmsố bậcnhấthoặcbậchai. Vídụ: ( ) ( ) ( )111 ,;,;,;..... fxyaxbycfxyxyfxyxy =++=+=− ( ) 22 2, fxyaxbxycyd =+++ + HPT đã cho ( ) ( ) 1,0 ,0 fxy gxy = ⇔ = hoặc ( ) ( ) 2,0 ,0 fxy gxy = ⇔ = *)Chúý:Dạngtoánnàytacóthể sử dụng Delta để phân tích đa thứcthànhnhântử: Bài 1: Giảihệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 342 48 −=+ −+= xxyy xyxy Lời giải Ta có phương trình (1) ( ) ( )2222 348348048 ⇔−=+⇔−−−=⇔+−= xxyyxxyyxyxy Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44440 +−=−+⇔+−−+= xyxyxyxyxyxyxy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1401 4 =− ⇔+−+=⇔= =− xyktm xyyxytm xtm Xét 2 trườnghợp và tìm đượcnghiệmcủahệ phương trình. Bài 1: Giảihệ phương trình: ( ) ( )3 11 1 212 xy xy yx −=− =+ Lời giải Điềukiện0;0 xy≠≠
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 5 Phương trình ( ) ( ) ( ) 111 1010 xyxy xyxy ⇔−−−=⇔−+= +TH1:0xyxy −=⇔= , thay vào phương trình (2) ta được:23321210 xxxx=+⇔−+= ( ) ( )2 1 11015 2 x xxx x = ⇔−+−=⇔−± = +TH2: ( )11 10,0 yxy xyx +=⇔=≠ , thay vào phương trình (2) ta được: ( ) 22 2342113 10200 222 xxxxxx x =+≠⇔++=⇔−+++= (vônghiệm). Bài 2: Chuyên TPHN, năm học2018 Giảihệ phương trình: ( ) ( ) 22 232 28611 812 −=−+ =+−+ yxyxx yxxx Lời giải Tacó(1) ( ) ( ) ( ) ( )22222 29613121410 xxyyxxxyxxyxy ⇔−+=−+⇔−=−⇔−−+−−= +TH1:21021 xyyx −−+=⇔=−+ , thay vào phương trình (2) ta được ( ) ( )232322 01 218144043013 37 xy xxxxxxxxxxxy xy == −+=+−+⇔++=⇔++=⇔=−⇒= =−= +TH2:41 yx=− , thay vào phương trình (2) ta được ( ) 23232 01 418187013 727 xy xxxxxxxxy xy ==− −=+−+⇔−+=⇔=⇒= == Bài 3: ChuyênTrầnPhúHải Phòng, năm học2013 Giảihệ phương trình: ( ) ( ) 22 22 2321 42 xxyyy xy +=−+ −= Lời giải Tacó ( ) ( ) 22 13220 ⇔−++−= yxyx ( ) ( ) ( ) 222 342231 22y yx xxx yx ∆=+−−=+⇒=− =+ + ( ) 2 22 1133870yxxxxx =−+⇒−−+=⇔++= (phương trình vô nghiệm).
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 6 Cáchkhác:Tacó ( ) ( ) ( ) 11220 yxyx ⇔+−−−=⇒ xét 2 trườnghợp. Bài 4: Giảihệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 33 11 1 424362 xy xy xyxy −=− −−+=− Lời giải Điềukiện0;0 xy≠≠ Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3333 11 1010* xxyy xyxy xyxy ++ ⇔−−+=⇔−+= +TH1:, xy = thay vào (2) ta được222 4120 66 xy xx xy == −−+=⇔⇒=−=− +TH2: 22 33 10 xxyy xy ++ += .Tacó 2 222 3 0,,0 24 y xxyyxyxy ++=++>∀≠ 3300 xyxy ⇒<⇒< Phương trình (2): ( ) ( ) ( ) ( )22 4243622443690 xyxyxxyyxy −−+=−⇔++−+−= ( ) ( ) ( ) ( )22 000 21421890**** xyxy ≥≥> ⇔++−+−=⇒ vônghiệm. Vậy ( ) ( ) ( {)};2;2;6;6xy ∈−− Bài 5: HSG TPHN, năm học2011 Giảihệ phương trình: ( ) ( ) 22 22 201 62 ++−−= −++= xxyxyy xyxy Lời giải Phân tích: Ta có phương trình ( ) ( ) ( )22 1:120 ++−+=xyxyy ( ) ( ) ( ) 22 22 1429613131 ∆=+++=++=+⇒∆=+ yyyyyyy ( ) ( ) 131131 2221 131131 22 −−−+−−−+ = = =−− ⇒⇔⇔ −−++==−−++ = yyyy xx xy yyxy xyy x Với hướngphântíchtrêntacólờigiải: HPT ( ) ( ) ( ) ( )222020 ⇔+−+−=⇔−++−= xxyyxyxyxyxy
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 7 ( ) ( ) 210 21 = −++=⇔ =−− xy xyxy xy +)TH1: = xy thay vào phương trình (2) ta được:2633 =⇔=⇒= xxy +)TH2:21 =−−xy tương tự như TH1. Bài 6: Đạihọckhối D, năm học2012 Giảihệ phương trình: ( ) ( )3222 201 2202 +−= −++−−= xyx xxyxyxyy Lời giải Tacó ( ) ( ) 223 22120 ⇔−++++= yxxyxx ( ) ( ) ( ) 2223423222 142414242121 ∆=+−+=++−−+=−++⇒∆=−++ y xxxxxxxxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2121 2 212121 2 ++−−++ = = ⇒⇔ +++−++=+ = xxxx y yx xxxxyx y +)TH1:2 = yx thay vào phương trình (1) ta được:320 +−=xx ( ) ( )2 12011 ⇔−++=⇔=⇒= xxxxy +)TH2:21 =+yx thay vào phương trình (1) ta được: 22 15 220102 15 2 =⇒ ++−=⇔+−=⇔ −+ =⇒ xy xxxxx x Bài 7: ĐạihọckhốiA, năm học2011 Giảihệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 223 222 543201 22 −+−+= ++=+ xyxyyxy xyxyxy Lời giải Ta có phương trình (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222222201210 ⇔++−+−=⇔−++−= xyxyxyxyxyxyxy ( ) ( )22 22 1 120 2 = −−−=⇔ += xy xyxy xy +)TH1:1 1 =⇒=xyy x . Thay vào phương trình (1) ta được:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 8 ( ) 422 2 3 43111 522363010 11 =⇒= −+−+⇔−+=⇔−=⇔ =−⇒=− xy xxxx xxxxy +)TH2:222 +=xy . Thay vào phương trình (1) ta được: ( ) ( )22322 5430 −+−++= xyxyyxyxy ( ) ( )322322 4520320 ⇔−+−+=⇔−−+−= xxyxyyxyxxyy ( ) ( ) ( ) 2 1 202 252 5 =⇒==± ⇔−−−+=⇔ =⇒=⇒=± xyxy xyxyxy xyyy Kiểmtravàkếtluậnnghiệmcủahệ phương trình. Bài 8: Giảihệ phương trình: ( ) ( ) 22 2720 8410 −+−= ++−−+= xxyy xyxyxy Lời giải Hệ phương trình ( ) ( ) 22 2222 27207220 84108410 −+−= +−−= ⇔ ++−−+=++−−+= xxyyxyxy xyxyxyxyxyxy Cộngvế tương ứng ta được: ( ) ( ) ( )222 2883210223210 ++−++=⇔+−++= xyxyxyxyxy ( ) ( ) 12 2124101 2 2 =− ⇔+−+−=⇔ =− xy xyxy xy +)TH1:12 =− xy thế vào phương trình (1) ta được: ( ) ( )22 12721220 −+−−−= yyyy 2 11210.⇔−−= yy Giải phương trình tìm được y sau đó tìm được. x +)TH2:12 2 =− xy làm tương tự. Dạng 5: Phương pháp đánh giá giải hệ phương trình I. Kiến thức Giảihệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ,01 ,02 fxy gxy = = Sử dụng phương pháp đánh giá Từ (1)(2) ta rút ra được ( ) ,0hxy = , nhưng đồngthờichỉ ra được ( ) ,0,, hxyxyTXÐ ≥∀∈ Từ đó tính đượcnghiệm,xy Cụ thể:
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 9 +Giả sử xy ≥ vàchỉ ra được yxxy ≥⇒= +Sử dụng điềukiệncủa phương trình bậchaicónghiệm +Ápdụngcácbất đẳngthức cơ bản ( ) 22220,, xyxyxyxy +≥⇔−≥∀ 2,,0xyxyxy +≥∀≥ Bài 1: Giảihệ phương trình: 42 42 xy yx ++= ++= Lời giải Điềukiện:0;0 xy≥≥ Do0;04042 xyxy ≥≥⇒++≥+= ,dấu“=”xảyra 0 0 x y = ⇔ = Tương tự tacó:4042 yx++≥+= ,dấu“=”xảyra 0 0 x y = ⇔ = VậyHPTcónghiệm ( ) ( );0;0xy = Bài 2: Giảihệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 x y x x x y = + = + Lời giải Cách1:Giảisử xyyxxy ≥⇒≥⇒= Tương tự tacó xyyxxy ≤⇒≤⇒= Cách2:Chứng minh được xy = Cách3:Lấy ( ) ( )12 xy−⇒= Từ ( ) ( ) 120;0 xy ⇒≥≥ Nếu00 xy=⇒= Nếu00 xy≠⇒≠ Với0;0 xy≠≠ ,tacó 2222 2 22 2222 120; 1212 xxyy xxyxxy xxyy +≥>⇒=≤==≤= ++
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 10 Vậy xy = Thay xy = vào phương trình (1) ta có: ( ) ( ) 22 222 221 10.010101 111 xxx xxxxxxy xxx =⇔−=⇔−=⇔−=⇔=≠⇒= +++ Vậy ( ) ( ) ( {)};0;0;1;1xy ∈ Bài 3: Chuyên Hòa Bình, năm học2017 Giảihệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 35201 52 xyy xyx +−=− =+ Lời giải Điềukiện35 xy+≥ Từ ( ) ( )2 1203 y ⇒≤ Từ ( ) 2 250 xxy ⇒−+= Phương trình trên có nghiệm ( )22200204xyy ⇔∆=−≥⇔≥ Từ (3)(4)220 y ⇒= Mặtkháctacó 2 3500 2025 500 xyx y xyxy +≥>> ⇒⇒== =+>> Thay25 y = vàp HPT, ta được ( ) 2 2 2535050 5 .25550 xx x xxx +−=−= ⇔ ⇔= =+−= Vậy ( ) ( );5;25xy = Bài 4: Giảihệ phương trình: 2 22 10 2210 yxy xxyy −+= ++++= Lời giải Phương trình (1) là phương trình bậchai ẩn y ,nên ( )2224043 2y x xx x ∆=−≥⇔≥⇔≥ ≤− Phương trình (2) ( ) ( ) ( ) ( )22 222 21021020204 xxyxxyxxx ⇔+++=⇔+=−+≤⇒+≤⇔−≤≤ Từ (3)(4)2 x ⇒=−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 11 Thay2 x =− vàp HPT ta được 2 1 x y =− =− Bài 5: Giảihệ phương trình: ( ) ( ) 2 32 2 32 2 1 29 2 2 29 xy xxy xx xy yyx yy +=+ −+ +=+ −+ Lời giải Điềukiện,xyR∀∈ Cộngtừngvế của (1) và (2) ta được ( )22 322 3 22* 2929 xyxy xy xxyy +=+ −+−+ Từ ( ) *0 xy ⇒≥ Tacó ( ) ( ) ( )323 32 2 18823 18 xy xxy x −+≥=⇒≤ −+ Tương tự tacó ( ) ( )32 2 4 18 xy xy y ≤ −+ Cộngvế vớivế của (3) và (4) ta được: ( ) ( ) ( )222 *2205 VTxyxyxyxyxy ≤⇒+≤⇔−≤⇔= Vậy phương trình (*) tương đương các bất đẳngthức ở (3)(4)(5)xảyradấu“=”1 xy ⇔== Thử lạivế HPT đã chothấythỏamãn VậyPHTcónghiệm ( ) ( );1;1xy = Ví dụ 1: Giảicáchệ phương trình sau a) 22 2 2122 xyxyxy xyyxxy ++=− −−=− (1) (2) b) 22 22 233210 4424 xyxyxy xyxxyxy +−+−+= −++=+++ Lời giải Xét phương trình (1) củahệ tacó: 22222(1)20xyxyxyxxyyy ++=−⇔−+−−= . Ta coi đây là phương trình bậc2của x thìtacó: 222 (1)84(31) yyyy ∆=+++=+ .Từ đó suy ra
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 12 1(31) 2 1(31)21 2 yy xy yy xy +−+ = =− +++ = =+ Trườnghợp1: xy =− .Từ phương trình (2)củahệ ta có điềukiện: 1 0 x y ≥ ≥ suy ra phương trình vô nghiệm Trườnghợp2:21 xy=+ thay vào phương trình thứ haitacó: (21)2222222(1) yyyyyyyyy +−=+⇔+=+ ( ) (1)22025 yyyx ⇔+−=⇔=⇒= Vậyhệ cómộtcặpnghiệm:(;)(5;2) xy = b) Xét phương trình (1) củahệ tacó: 2222 2332102(33)210 xyxyxyxxyyy +−+−+=⇔+−+−+= . Coi đây là phương trình bậc2của x tacó: ( ) 2222 (33)82121(1) yyyyyy ∆=−−−+=−+=− Suyra 33(1)1 42 33(1)1 4 yyy x yy xy = = −+− = =− Trườnghợp1:1 yx=+ thay vào phương trình (2) ta thu được: 2 333154 xxxx −+=+++ 2 33(131)(254)0 xxxxxx ⇔−++−+++−+= ( ) 21130 131254 xx xxxx ⇔−++= ++++++ Do 1 3 x ≥− nên 11 30 131254xxxx ++> ++++++ 20 0 1 x xx x = ⇒−=⇔ = Trườnghợp2:21 yx=+ thay vào phương trình (2) ta thu được: 3341544154330 xxxxxx −=+++⇔++++−= Giải tương tự như trên ta được0 x = Kếtluận:Hệ phương trình có 2 cặpnghiệm:(;)(0;1),(1;2) xy = Ví dụ 2: Giảicáchệ phương trình sau a) ( ) ( ) ( ) ( ) 32311 5 32222 2 xyxy x yxyy +=−+ + −−=−− b) ( )2 2710311 3 12 1 yyxyyx yxy x −+−+++=+ ++=+ +
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 13 c) 4341 234(5)(4)1 xyyx yxyxyxxy −−−= −+−=+− Lời giải Điềukiện: 2 ;3;3 3 yxyx ≥≥−≥ Phương trình (1) tương đương 2 (3)4(1)(3) xyyx +=+− 2222 691212442(52)121290 xxyyxyxxxyyy ⇔++=+−−⇔++−−+= Coi đây là phương trình bậc2của x tacó: ( ) 222 '(25)1212944 yyyy ∆=+++−=+ suyra 52(44)69 52(44)21 xyyy xyyy =−−−+=−− =−−++=− Trườnghợp1:69 xy=−− . Do36931 xyy ≥−⇒−−≥−⇔≤− suy ra phương trình vô nghiệm. Trườnghợp2:21 xy=− thay vào phương trình 2 củahệ tacó: ( ) ( ) ( )222 322232212 322 y yyyyyy yy −−+=−−⇔ =+− −++ Tacó: 237 ;21 32223 y yy ≤+≥ −++ . Nghĩa là VPVT > ,suyra21 yx=⇒= . Vậyhệ cónghiệm ( ) ( );1;2xy = . b) Điềukiện: ( )2 10 10 271030 x y yyxy +≠ +≥ −+−+≥ . Từ phương trình dễ thấy để phương trình có nghiệmthì:101 xx+≥⇔≥− Taviết phương trình thứ nhất dướidạng: ( )2 2710311 yyxyxy −+−+=+−+ Để bình phương đượctacần điềukiện: 112 xyxxy +≥+⇔+≥ . Ta bình phương hai vế được: ( ) ( )22 28832211 yyxyxxxy −+−+=+−++ (1). Ta đưa phương trình (2) về dạng: ( ) 2 11223xyxxxyy ++=+++− (2). Thế (2) vào (1) ta được: ( ) ( )222 288322223 yyxyxxxxxyy −+−+=+−+++− 22 242330 yyxyxx ⇔−+++−= ( ) ( ) ( ) ( ) 2210 312101220 220 xy xxyyxyxy xy +−= ⇔+−+−=⇔+−+−=⇔ +−= .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 14 *Với101xyyx +−=⇔=− ,tacóthêm2 x ≤ thay vào phương trình (2) ta có: ( ) ( ) 121221120 xxxxxxxx +−=−+−⇔−+++−= Vì12 x −≤≤ ,tadễ thấy:0 VT > , nên suy ra phương trình vô nghiệm. *Với2 220 2 x xyy +−=⇔= , thay vào phương trình (2) ta được: 43 2 21 x x += + . Đặt1 ux=+ khi đó ta thu được phương trình: 32324180 53 232023 2 uuu u uxy uu +−+= =−⇔ ⇔=⇔=⇒= ≥ Hệ cómộtcặpnghiệmduynhất:2;0 xy== c). Điềukiện 3 44 yy x ≤≤ . Taviết phương trình (1) thành: 4134 xyyx −=+− . Bình phương 2 vế ta thu được: 234841 yxxy−=−− . Thay vào phương trình (2)củahệ tacó: 22 44(2)40 xxyyy −+++= . Ta coi đây là phương trình bậc2của x thì ( ) 22 '424()16 yyy ∆=+−+= suyra 2(2)4 42 2(2)44 42 yy x yy x +− = = +++ = = Trườnghợp1:2yx = thay vào phương trình (1) ta có: 212 x =− vônghiệm Trườnghợp2:24 yx=− thay vào phương trình (1) ta thu được: 273257 221215, 84xxy −=⇔== Vậyhệ phương trình có 1 cặpnghiệm: ( ) 273257 ;; 84xy =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 15 Bài 10: LUYỆN TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: ĐHKHTN Hà Nội, năm học2014 Giảihệ phương trình ( ) ( ) 22 22 23121 61262 xyxy xxyyyx −+= +=++ Lời giải Tacó ( ) ( ) 2222 2222 231223123 612666124 xyxyxyxy xxyyyxxyxyxy −+= −+= ⇔ +=++−+−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 23626 xyxyxyxyxyxyxyyyxxyxyxy ⇒−+=−+−⇔−+−−=−+− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 236230xyxyxyxyxyyx ⇔−+=−+⇔−−−= +TH1:0, xy== thayvào(3)vônghiệm. +TH2:3 x = thay vào (3) ta được:221 33181220 2 y yyyy y =− −++=⇔−−=⇔ = +TH3:2 y = thay vào (2) ta được: 3 4 x x = =− VậyHPTcó4nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( {) };3;1,3;2,4;1,4;2xy ∈−−−− Bài 2: ChuyênBàRịa Vũng Tàu, năm học2018 Giảihệ phương trình ( ) ( ) 2221 22 xyxyx xyxy +=+ +=− Lời giải Điềukiện0 xy+≥ Tacó ( ) ( ) ( ) 22122020 x xxyxyxxy xy = ⇔−+−=⇔−−=⇔ =
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 16 +TH1: ( ) ( ) 22 11 22:2222 2224920 yy xyyy yyyy ≥ ≥ =⇒+=−⇔ ⇔ ⇔= +=−−+= +TH2: ( ) ( ) ( ) 22 42 20 2:222 2443 yy xyyyyyy yyy ≥≥ =⇒+=−⇔=−⇔ =−+ Tacó ( ) ( ) ( )422 0 3424022202 yyyyyyy > ⇔−−+=⇔−+−=⇔= VậyHPTcónghiệm ( ) ( );2;2xy = Bài 3: Chuyên LHP Nam Định, năm học2018 Giảihệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2412142321 852324322522 xyxyxyxy xxyxyxx +−−−=−−+ ++−+−=++ Lời giải Điềukiện ( ) 2 210 20 * 430 2520 xy xy xy xx −−≥ +≥ −≥ ++≥ Đặt ( ) 2 21042321axyaxya =−−≥⇒−−=− ( ) 2 2024121bxybxyb =+≥⇒+−=− Phương trình (1) trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 21.21.220210,0210 baabbaaabbbaabababab −=−⇔−−+=⇔−+=⇔=>⇒+> 2122123131 xyxyxyxyxyyx ⇔−−=+⇔−−=+⇔−=⇔=− Thay vào phương trình (2) ta được ( ) ( ) ( ) ( )285213122123 xxxxxx ++−++=++ Với điềukiện 1 210;20 3 xxx ≥⇒+>+> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 32121313121221220 xxxxxxxxx ⇔++−++++++−++++= ( ) 22131 131212010 212 xx xxxxxy xx +=+ ⇔+−+++−+=⇔ ⇔=⇒= +=+ Thay vào điềukiện ban đầu,thảo mãn điềukiện(*). Bài 4: ChuyênBến Tre, năm học2018
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 17 Giảihệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 22421 21242 xy xyxy += −−= Lời giải Cách1:Tacó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 422422212 212421242124 xyxyxyxyxy xyxyxyxyxyxy += −+=−=− ⇔⇔ −−= −−=−−= Cách2:Từ ( ) ( ) ( ) ( ) 23 2241216128 xyxyxy ⇒−−=⇔−= Cách3:Từ ( ) ( ) ( ) ( )22248* xyxy ⇒−−= Thay22 24xy=+ vào (*) ta được ( ) ( ) 2 2.282222 xyxyxyxy −−=⇔−=⇒=+ Thay vào phương trình (1) ta được: ( ) 222222 22424844288204410 yyyyyyyyy ++=⇔+++=⇔++=⇔++= ( ) 21 2101. 2 yyx ⇔+=⇔=⇒= VậyHPTcónghiệmduynhất ( ) 1 ;1; 2xy = 1) ( ) 22 33 2 11 xyx xy += −+= (Trích đề tuyểnsinhvòng1lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội2008). 2) 22 33 21 87 xyyx xy −= −= (Trích đề tuyểnsinhvòng2lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội2008). 3) 22 2 1 33 xyxy xyy −+= +=+ (Trích đề tuyểnsinhvòng1lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội2009). 4) 22 22 381223 2 xyxy xy ++= += (Trích đề tuyểnsinhvòng1lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội2010) 5) ( ) ( ) 22 52226 3211 xyxy xxyxy ++= +−−= (Trích đề tuyểnsinhvòng2lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội2010). 6) ( ) ( ) 2222 22 2 14 xyxy xyxyxy += ++= (Trích đề tuyểnsinhvòng2lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội2011). 7) 2224 24 xyy xyxy ++= ++= (Trích đề tuyểnsinhvòng2lớp10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội2012). 8) 22 22 1 24 xyxy xxyy +−= ++= (Trích đề tuyểnsinhvòng1lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội2014).
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 18 9) 22 22 2312 6126 xyxy xxyyyx −+= +=++ (Trích đề tuyểnsinhvòng2lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội2014). 10) 222 235 45 xyxy xyxy += += (Trích đề tuyểnsinhvòng1lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội2015). 11) ( ) 332 225 27726279 xyxy xyyxxx ++= +++=++ (Trích đề tuyểnsinhvòng2lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội2015). 12) ( ) ( ) 222 4123 1249 xyy xxyy +−=− −+= . (Trích đề thituyểnsinhvàolớp 10 chuyên Amsterdam và Chu Văn An năm 2014) 13) ( ) ( ) 22 22 1 112 31 xy yx xyxy += ++ =++ (Trích đề thituyểnsinhvàolớp10chuyênPhanBộiChâuNghệ An2014) 14) 3 3 24 622 xyxy xy +=−− ++= (Trích đề thituyểnsinhvàolớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2014) 15) ( )22 22 232520 23150 xxyyxy xxyy +−−−= −−+= (Trích đề thituyểnsinhvàolớp10chuyênTháiBình2014). 16) ( ) ( ) ( )3 34 71131 xyxy xxyxy += +=+++ 17) 2222 22 2 8357 xyxy yxyxxxy += ++=+ 18) 22 3 1 2 xxyy yxy −+= =+ 19) ( ) ( )22 4 15xyxy yyx ++= += 20) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 44225 2 22 xyxy xyxyxyx ++= +++−= I. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP: 1) Taviếtlạihệ phương trình thành: ( ) ( ) 22 33 11 11 xy xy −+= −+= Đặt1 ax=− tacóhệ mới 22 33 1 1 ay ay += += Suyra1,1 ay −≤≤
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 19 Mặt khác ta cũng có: ( ) ( )332111001 ayyyya =−=−++≥⇒≤≤ Tương tự ta cũng có 23 2233 23 011 aa yayay yy ≥ ≤≤⇒⇒+≥+= ≥ . Dấubằngxảyrakhivàchỉ khi1,0 ay== hoặc0,1 ay== . Từ đó suy ra các nghiệmcủahệ là: ( ) ( ) ( );1;1,2;0xy = 2) Hệ phương trình có dạnggần đốixứngtừ hệ tasuyra: ( ) ( ) ( ) ( )33223223 87281470420 xyxyyxxxyxyyxyxyxy −=−⇔−+−=⇔−−−= 2 4 yx yx yx = ⇔= = thay vàomột phương trình ta tìm đượcnghiêmlà: ( ) ( ) 1 ;1;1,;2 2xy =−− Tacóthể giải nhanh hơn như sau: Lấy phương trình (2) trừ 6lần phương trình (1) thì thu được: ( )3 212121 xyxyyx −=⇒−=⇔=− 3) Từ hệ phương trình suy ra 22 22 2 1 133(3)20 33 xxyy xxyxyxyxy xyy −+= ⇒−+=+−⇔+−−+= +−= . Đây là phương trình bậc2của x có ( ) ( ) 22 69421yyyy ∆=−+−−+=− Từ đó tính được1 x = hoặc2xy =− thay vào ta tìm đượccácnghiệmlà ( ) ( ) ( ) ( );1;0,1;1,5;3xy = Chúýtacóthể giảicáchkhác: ( ) ( ) ( )22 1331320120 xxyxyyxxxxyx −+=+−⇔−+−+=⇔−+−= . 4) Nhậnxét:Cóthể đưa hệ về dạng đẳngcấp:Từ hệ tasuyra ( ) ( ) ( ) ( )222222 23812231724701770 xyxyxyxxyyxyxy ++=+⇔−+=⇔−−= 7 17 xy xy = ⇔ = .Giải hệ với 2 trườnghợptasuyra ( ) ( ) ( ) 717717 ;1;1,1;1,;,; 13131313xy =−−−− . Cáchkhác:Cộng hai phương trình củahệ ta thu được: ( ) 22352325 235 xy xy xy += +=⇒ +=− rồi thay vào để giải như trên. 5) Taviếtlạihệ đã cho thành: 22 22 52226 3211 xyxy xxxyy ++= +−−= Nhânhaivế của phương trình: (2) với2rồicộngvới phương trình (1) ta được: ( ) 22 2 964831488 3 x xxx x = +=⇔+=⇔ =− thay vào ta tìm được1 y = hoặc3 y =− .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 20 Cáchkhác:Taviếtlạihệ thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222222626 211 211 xyxyab xyxyxyxyabab ++−= += ⇔ ++−++−=++= đây là hệ đốixứngloại1. 6) Nhậnxét0 xy== lànghiệmcủahệ.Xét,0 xy ≠ . Ta chia 2 phương trình cho 22 xy 2 22 1111222 1121122828 xyxyxy xyxyxyxy += +−= ⇔ ++= ++= . Đặt 112 ;2 ab xyxy +=+= thu được 3 2 8 82;4 0 ab aab ab = ⇒=⇒== −= Từ đó tìm đượcnghiệmlà ( ) ( );1;1xy = . 7) Taviếtlạihệ phương trình thành: ( ) ( ) 2222155 1155 xyab xxyyabab ++= += ⇔ ++++=++= đây là hệ đối Xứngloại1,tadễ tìm được2,1 ab== hoặc1,2 ab== Từ đó giải được1 xy== hoặc2;0 xy== . Cáchkhác:Taviếtlạihệ thành: ( ) ( ) ( ) 22 2422224124120 4228 xyy xyxyxyxyxy xyxy ++= ⇒++++=⇔+++−= ++= 8) Từ hệ tasuyra ( ) ( ) ( )222222243520320 xxyyxyxyxxyyxyxy ++=+−⇔−+=⇔−−= . Giảihệ ứngvới 2 trườnghợptacó:1;1 xyxy====− , 27372737 ;;; 7777xyxy ===−=− 9) Taviếthệ đã cho thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2312 236 612 xyxy xyxyxyxy xyxy −+= ⇒−+=−+ −+= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2360320xyxyxyxyxy −+−−=⇔−−−= . Giải 3 trườnghợp ta thu được: ( ) ( ) ( ) ( );3;1,3;2,4;2xy =−− . 10) Từ hệ tasuyra: ( ) ( ) 22 22222 222 235 2344220420 45 xyyxy xyyxyxxyyxyxy xyxy += ⇔+=+⇔−−=⇔−+= += Giải 2 trườnghợp ta thu được ( ) ( ) ( ) 24 ;0;0,1;1,; 55xy = . 11) Taviếtlạihệ đã cho thành: ( ) ( ) ( ) ( ) 333 229 27831 xy xyyxx ++= ++++=+ Chúýrằng: ( ) ( ) ( )27322 xyxy +=++
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 21 suyra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33332733831322831 xyyxxxyxyxyx ++++=+⇔++++++=+ ( ) ( ) 33 23123121 xyxxyxyx ⇔++=+⇔++=+⇔=− thay vào ta tìm được: ( ) ( ) 7 ;1;1,;8 2xy =−− . 12) Hệ đã cho tương đương với: ( ) ( ) 2 222 4123 1294 xyy xxyy +=− −=− ( ) ( ) ( ) 22 222 412349 1294 xyyy xxyy ++=− ⇔ −=− Cộngtheovế hai phương trình ta được: ( )2228230xxyy+++= ( ) 22223 71200 2xxyyxy ⇔++++=⇔=⇒= (tm) Vậyhệ cónghiệm ( ) 3 ;0; 2xy = . Điềukiện:1;1 xy≠−≠− . 13) Hệ phương tình đã cho tương đương: ( ) ( ) 22 22 1 112 1 114 xy yx xy yx += ++ = ++ . Đặt; 11 xy uv yx == ++ ,hệ thành: 221 2 1 4 uv uv += = ( ) ( ) 222 222 211 200 uvuvuv uvuvuv += ++= ⇔⇔ +−= −= Suyra 1 2 uv== hoặc 1 2 uv==− . Nếu 1 2 uv== thì1 xy== (tm). Nếu 1 2 uv==− thì1 3xy==− (tm). 14) Điềukiện 20 0 xy y +≥ ≥ . Đặt20 txy=+≥ Từ phương trình ( ) 1suyra2340121 tttxy +−=⇒=⇒+= Thay vào phương trình (2)tacó:38422 yy −+= . Đặt2 202yaya =≥⇒= . Thay vào phương trình ta có: 3232 0 82281202 6 a aaaaaa a = −=−⇔−+=⇔= = Từ đó tìm đượccácnghiệmcủahệ là ( ) ( ) ( ) ( );1;0,3;2,35;18xy =−− 15) Phương trình (1) củahệ cóthể viếtlại như sau: ( ) ( ) 2 2250 52 yx xyxy xy = −+−=⇒ =−
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 22 Thay vào phương trình (2) củahệ ta tìm đượccácnghiệmlà ( ) ( ) ( ) ( );1;2,1;2,3;4xy =−−− 16) Từ phương trình ( 2) ta có: ( ) ( ) ( )3 733131 xxyxyxyxy ++=++++ Hay ( ) ( ) ( )3 7342131 xxyxyxyxyxy ++−−=++++ Hay ( ) ( ) ( ) ( )3333 8623311 xyxyxyxyxyxyxyxy +++=++++++++ Hay ( ) ( ) 33 21211 xyxyxyxyx +=++⇒+=++⇒= . Thay vào phương trình đầu tìm đượcnghiệm củahệ là: ( ) ( ) ( );1;1,1;4xy =− 17) Dễ thấyhệ cónghiệm ( )0;0 Nếu ( ),0;0xy ≠ hệ phương trình tương đương với: 22 2 11 2 1375 8 xy xxyxy += +−−=− Đặt 11 ; uv xy == vàcộng hai phương trình củahệ ta thu được: 22 2 2 3758 uv uuvuv += +−+=− ( ) ( )22 2375602230 uvuvuvuvuv ⇒++−++=⇔+−+−= .Ta được: 22 22 2 2 23 2 uv uv uv uv += += += += 18) Tacó: ( ) ( ) ( ) 32233332.1yxyxyxxyyxyyxxy =+=+−+=+⇒=⇔= . Hệ tương đương với 22 1 11 xyxy xxyyxy = == ⇔ −+===− 19) Hệ tương đương: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 4224 1515 151515 xyxyxyxy xyyxyxyxyy ++=++= ⇔ −=++−= ( ) ( ) ( ) ( )2222 444 1515 152 xyxyxyxy xyyx ++= ++= ⇔⇔ −==± +) ( ) ( ) 3 22 2 1515151;2 xy yyx xyxy = ⇒=⇔== ++= +) ( ) ( ) 333 22 2 155153;23 xy yyx xyxy =− ⇒−=⇔=−= ++= Vậynghiệmcủahệ:2;1 xy== , 33 23;3xy==− .
DẠYKÈMQUYNHƠN OFFICIAL 23
HSG
20202021HSG
HSGGiaLâm20202021HSGTânK
HSGLongBiên20202021HSG
HSGNamT
Đình
Liêm20202021HSG Vĩnh
HSG Ba Đình 20202021HSG
HSGTâyH
20202021
c20202021
Sơn 20202021
20202021HSG Hưng Hà 20192020
HSGThanhOai20202021HSG Thăng Bình 20202021
HSG Chương Mỹ 20202021HSG Nghĩa Đàn Tỉnh vòng2 20182019;20202021
HSGMỹ Đức20202021HSGTânYên20202021
