MATEMÁTICA II Formas Indeterminadas II •Función Racional •Función Irracional
Prof. Carlos Deudor Gomez
FORMA ∞ ∞
Funciones Racionales Para levantar la indeterminación se factoriza el numerador y denominador en función de la variable independiente elevada a la mayor potencia que aparece en la expresión, se simplifica luego se evalúa. 2
Operaciones con ± ∞ Más infinito (+ ∞): Representa el concepto, no el número, de ser mayor que cualquier número. Menos infinito (– ∞): Representa el concepto, no el número, de ser menor que cualquier número. Sea a un número real cualquiera. a+∞
= + ∞ , a – ∞ =– ∞ + ∞ + ∞ =+ ∞ , – ∞– ∞=– ∞ Si a >0 a .(+ ∞) =+ ∞ , a.(– ∞) =– ∞ (+ ∞) / a =+ ∞ , (– ∞) / a =– ∞ Si a <0 a .(+ ∞) =- ∞ , a.(– ∞) =+ ∞ (+ ∞) /a =- ∞ , (– ∞) /a =+ ∞ (+ ∞).(+ ∞) =(+ ∞) , (– ∞).(– ∞)=(+ ∞) (+ ∞).(- ∞) =(- ∞) , (– ∞).(+ ∞)=(- ∞) 3
Teorema Si n, es un número entero positivo, entonces 1 1 lim n = 0 lim n = 0 x → −∞ x x → +∞ x Ejemplos 2010 lim =0 5 x → −∞ x
4 3 lim 5 + 10 ÷ = 0 + 0 = 0 x → +∞ x x
1 x =0 lim 11 = xlim 5 → −∞ x x → −∞ x 6
4
∞ 7x − 4x + 8 = Ejemplos xlim 2 →−∞ 4 x − 9 x + 4 ∞ dividimos entre x 2 2
7x 2 − 4x + 8 x2 4x 2 − 9x + 4 x2
7x 2 4x 8 − 2 + 2 2 x = x2 x 4x 9x 4 − + 2 2 2 x x x
4 7− + x = 9 4− + x
Reemplazando y tomando el límite 4 + x lim x →−∞ 9 4− + x 7−
5
8 x2 4 x2
7−0+0 = 4−0+0
7 = 4
Significa que cuando la variable x disminuye indefinidamente, el valor de la función se 7 aproxima cada vez más a = 4
8 x2 4 x2
Ejercicios del texto
Autoevaluación Página 51 – Ejercicios 8 , 10 , 12
Página 61 – Ejercicios 46 hasta 51
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FORMA ∞ ∞
Funciones Irracionales Para levantar la indeterminación se debe tener en cuenta + x si x > 0 x = x = − x si x < 0 2
3
7
x3 = x x4 = x2
si x → +∞ ⇒ x = x si x → −∞ ⇒ x = − x
Ejemplos xlim →−∞
5 x 2 + 11x − 4 = ∞ ∞ 8x + 7
11 4 11 4 2 = x 5 + − 5 x + 11x − 4 = x 5 + − 2 2 ÷ x x x x 2
recordando
si x → −∞ ⇒ x = − x
11 4 −x 5 + − 2 − x x = lim lim x →−∞ x →−∞ 7 x 8 + ÷ x
8
11 4 5+ − 2 x x = − 5+0−0 7 8 + 0) ( 8 + x ÷
Significa que cuando la variable x disminuye indefinidamente, el valor de la función se aproxima cada vez más a = − 5 8
Ejemplos xlim →−∞
∞ 36 x 2 − 7 x − 4 − 2 x = ∞ 10 x + 19
7 4 7 4 2 = x 36 − − = x 36 − − 2 36 x − 7 x − 4 2 ÷ x x x x 2
recordando
si x → −∞ ⇒ x = − x
7 4 7 4 − x 36 − − 2 + 2 ÷ − x 36 − − 2 − 2 x ÷ x x x x lim = lim x →−∞ x →−∞ 19 19 x 10 + x 10 + ÷ ÷ x x
9
7 4 − 36 − − 2 + 2 x x = lim x →−∞ 19 10 + x
− 36 − 0 − 0 + 2 = lim x→−∞ 10 + 0
−6 = 10
Ejemplos 3
lim
11 − 5 x
x →+∞ 3
∞ = ∞
8x3 − 7
7 7 3 3 3 x 8 − 3 ÷ = x 8 − 3 x x 3
7 = x. 8 − 3 x 3
reemplazando
11 11 x − 5÷ −5 x x = lim lim x →+∞ x →+∞ 7 7 3 8− 3 x.3 8 − 3 x x
10
=
Significa que cuando la variable x aumenta indefinidamente, el valor de la función se aproxima cada vez más a −5 = −2,5 2
0−5 3
8−0
Ejercicios del texto
Autoevaluación Página 51 – Ejercicios 13 hasta el 24
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