UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICE-RECTORADO ACADEMICO ESCUELA DE TELECOMUNICACIONES
Las Ecuaciones Diferenciales, Transformada de Laplace Y las Series de Fourier
INTEGRANTES: CHRISTIAN SUAREZ C.I. 25753609 EDWARD YEBAILE C.I. 26502682 JOSÉ DIAZ C.I. 26402752 SAIA “C”
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Una
vez
que
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Las Ecuaciones Diferenciales bargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.
se
construye el modelo en forma de ecuación diferencial,
lo
que
viene es solucionarla y
con
estas
soluciones, se hacen predicciones relativas al comportamiento del problema en cuestión.
En las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas diferentes, la mayoría concernientes al conjunto de las soluciones de las funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenUna ecuación diferencial es una ecuación que invo- ciales más simples se pueden resolver lucra derivadas (o diferenciales) de una función des- mediante fórmulas explícitas conocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin em-
Ejemplos Si la ecuación diferencial ordinaria es ,
ORDEN DE UNA La variable independiente (v. i) es x
Solución de una ecuación diferencial
La variable dependiente (v. d) es y Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es,
“Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad”
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ECUACIÓN DIFERENCIAL
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LA IMPORTANCIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES En las matemáticas, y especialmente sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas que se presentan a diario en la ciencia y la tecnología, se puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que req uiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectori as de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, o en las ingenierías donde se desarrollan modelos matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos, etc. todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales. sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una e! presión cuantitativa de dichas leyes.
La comprensión de la naturaleza y sus fenómenos necesita del auxilio de las matemáticas, y las Ecuaciones Diferenciales y en Diferencia constituye una herramienta esencial para matemáticos, físicos, ingenieros y demás técnicos y científicos, pues, sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones dife-
renciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc.
“Llamamos ecuación diferencial a toda ecuación que relacione una o
APLICACIONES Y USOS El estudio de ecuaciones diferenciales es un campo extenso en matemáticas puras y aplicadas, en física y en la ingeniería. Todas estas disciplinas se interesan en las propiedades de ecuaciones diferenciales de varios tipos. Las matemáticas puras se focalizan en la existencia y unicidad de las soluciones, mientras que las matemáticas aplicadas enfatiza la justificación rigurosa de los métodos de aproximación de las soluciones. Las ecuaciones de Maxwell son un
La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales y en diferencias para los Ingenieros, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción quími-
conjunto de ecuaciones en derivadas parciales que, junto con la ley de la fuerza de Lorentz , forman los fundamentos de la electrodinámica clásica, óptica clásica, y la teoría de los circuitos eléctricos. Estos campos se volvieron fundamentales en las tecnologías eléctricas, electrónicas y de comunicaciones. Las ecuaciones de Maxwell describen como los campos eléctrico y magnético se generan alterando uno y otro por cargas y corrientes eléctricas. Estas ecuaciones deben su nombre al
ca, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales que requieren de técnicas de gran desarrollo en la actualidad como la modelación y la simulación.
más variables independientes, una función de dichas variables y una o varias de sus derivadas con respecto a ellas”.
físico matemático escocés James Clerk Maxwell.
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TRANSFORMADA DE LAPLACE Es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los números positivos t ≥ 0, es la función
“Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827)
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integra-
matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. “
EJEMPLOS Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.
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les como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras.
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LA IMPORTANCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Las transformadas de Laplace sirven para transferir ecuaciones diferenciales hacia un dominio (dominio de Laplace) donde estas resultan ser operaciones simples.
de Laplace es que permite resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes (presentes en los circuitos eléctricos) de una manera simple y mecánica, ya que solo basta con seguir los pasos mencionados para encontrar una solución al problema. Por lo tanto la transformada de Laplace resulta ser una herramienta matemática muy útil al momento de resolver problemas relacionados a los circuitos eléctricos.
Resolver ecuaciones diferenciales, en telecomunicaciones es fundamental ya que todos los elementos que se utilizan en electricidad, responden conforme este tipo de ecuaciones y para resolver cualquier tipo de circuito eléctrico en CA tienes que plantear ecuaciones diferenciales y luego resolverlas.
“Hacia principios del siglo XX, la
la importancia de la transformada
transformada de
APLICACIONES
Laplace se convirtió en una herramienta común de la
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyacente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas.
La transformada de Laplace es de gran importancia en la ingeniería ya que permite reducir ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes a simples expresiones algebraicas de sencilla resolución.
teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido aplicada con más éxito”
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SERIE DE FOURIER es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph
HISTORIA
“Una función f(t) periódica
de
periodo
se
p
u
P, e
d
representar forma
de
e en una
suma infinita de f u n c i o n e s armónicas ”.
Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.
Las series de Fourier reciben su nombre en honor a JeanBaptiste Joseph Fourier (1768-1830), que hizo importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas, que previamente habían sido consideradas por Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli. Fourier introdujo las series con el propósito de resolver la ecuación de conducción del calor en una lá-
mina de metal publicando sus resultados en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ('Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos'), y publicando su Théorie analytique de la chaleur ('Teoría analítica del calor') en 1822. Ideas previas en descomponer una función periódica en la suma de simples funciones de oscilación datan desde el siglo III
EJEMPLO
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a.C., cuando astrónomos antiguos propusieron un modelo empírico de movimiento planetario con base en epiciclo.
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LA IMPORTANCIA DE LA SERIE DE FOURIER La idea principal de la transformada de Fourier es permitirte transformar una señal del domino del tiempo o el espacio al de la frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal como por ejemplo es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia. O su proceso inverso, de la frecuencia al dominio temporal, mediante su anti transformada. Si bien en sus inicios Fourier nació para los campos de la física y la
matemática con el paso del tiempo y el advenimiento de las tecnologías de la comunicación se les encontró utilidades en la descripción de estos fenómenos físicos propios de la comunicación, como son el comportamiento de ondas, dando así lugar a la transferencia de datos como la conocemos hoy en día. El proceso para hallar la Transformada de Fourier si bien era un cálculo pesado con la llegada de las computadoras y los diferentes software permitieron que esta desventaja no fuera más un limitante y logro así
que el uso de Transformadas realmente fuera una ventaja y no una tarea tediosa permitiendo sacar el potencial de la misma y dar crecimiento a estas teorías y permitir avances en la tecnología.
“Las series de fourier, sirven mucho en el
APLICACIONES Una serie de Fourier nos sirve igualmente para poder representar cualquier señal sumando únicamente senos y cosenos que deben de tener una frecuencia múltiplo de la primera. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Muchas ecuaciones de las ciencias
Las series de Fourier son de gran importancia ya que tienen muchas aplicaciones dentro de los campos de la física y de la matemática entre otros. La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T.
se formulan con derivadas parciales y se resuelven, en ocasiones, descomponiendo la incógnita en series (sumas infinitas). Las series más interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carácter periódico de tales sumas, las series de Fourier se aplican, por ejemplo, donde surgen procesos oscilantes, como ocurre en las series temporales de natura-
procesamiento digital de leza económica, en electrónica (se aplican por ejemplo en teoría de señales ), en acústica o en óptica.
señales”.
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BIBLIOGRAFIAS http://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos/ introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos.shtml https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial https://es.scribd.com/document/323483999/La-Importancia-de-Las-Ecuaciones-Diferenciales-en-LasMatematicas https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace#V%C3%A9ase_tambi%C3%A9n http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier http://anahileal7.blogspot.com/2011/02/analisis-de-fourier.html