ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ 1ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ (ΠΓΠ) 1)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της ΑΓ.Αν στην προέκταση της ΒΜ πάρουμε τμήμα ΜΚ=ΒΜ να δειχθεί ότι ΑΚ=ΒΓ και ΚΑ Μ = Γ 2) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και στις πλευρές του ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ παίρνουμε τμήματα ΑΔ=ΒΕ=ΓΖ.Να δειχθεί ότι το ΔΕΖ ισόπλευρο 3) Δίνονται δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΚΛ με κοινή κορυφή Α και ίσες τις γωνίες της κορυφής.Να δειχθεί ότι ΒΚ=ΓΛ 4) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και φέρνουμε τις ημιευθείες Αχ ⊥ ΑΒ και Αy ⊥ ΑΓ έτσι ώστε κάθε μια να είναι εφεξής με την A .Στις Αχ,Αy παίρνουμε ΑΔ=ΑΒ,ΑΕ=ΑΓ,Να δειχθεί ότι ΒΕ=ΓΔ 5) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) και στις πλευρές κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΚ,ΒΓΛ,ΑΓΜ εκτός του τριγώνου ΑΒΓ.Να δειχθεί ότι ΚΛΜ ισοσκελές 6) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε Κ 1 3
1 3
τέτοιο ώστε ΑΚ= ΑΒ και στην ΒΓ σημείο Λ τέτοιο ώστε ΒΛ= ΒΓ.Να δειχθεί ότι ΚΛ ⊥ ΒΓ
7)Αν τα ύψη ενός οξυγωνίου τριγώνου είναι ίσα να δειχθεί ότι είναι ισοσκελές 8)Στη διχοτόμο ΑΔ της γωνίας A τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τα σημεία Μ και Ν τέτοια ώστε ΑΒ=ΑΜ και ΑΓ=ΑΝ να δειχθεί ότι ΒΝ=ΓΜ 9) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών ΒΓ,ΑΓ.Να δειχθεί ότι ΡΑ=ΡΒ=ΡΓ 10) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσο της ΒΓ.Αν στις προεκτάσεις των ∆ = ΓΜ Ε πλευρών ΑΒ,ΑΓ παρω σημεία Δ,Ε έτσι ώστε ΜΔ=ΜΕ και ΒΜ να δειχθεί ότι ΑΒΓ ισοσκελές 11) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) και προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ,ΑΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ=ΓΕ να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.
12) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ).Στη ΒΓ παίρνουμε Δ,Ε τέτοια ώστε ΒΔ=ΔΕ=ΕΓ.Να δειχθεί ότι α)ΑΔΕ ισοσκελές β) αν Μ μέσο της ΒΓ τότε ΑΜ διχοτόμος της ∆Α Ε 13)Δίδεται γωνία xO y και σημείο Μ πάνω στη διχοτόμο.Πάνω στις πλευρές Οχ,Οy παίρνουμε σημεία Α,Γ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=ΟΓ και Β,Δ έτσι ώστε ΟΒ=ΟΔ.Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΓΔ είναι ίσα 14) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και από τις κορυφές Α,Β,Γ υψώνω κάθετα τμήματα στις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ έτσι ώστε ΑΔ=ΑΒ,ΒΚ=ΒΓ,ΓΛ=ΑΓ αντίστοιχα.Να δειχθεί ότι α)ΔΚΛ ισόπλευρο β)ΓΔ=ΒΛ=ΑΚ 15)Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και Α,Β εσωτερικά σημεία του.Αν ΟΑ=ΟΒ και οι ΟΑ,ΟΒ τέμνουν τον κύκλο στα Λ,Κ αντίστοιχα να δειχθεί ότι α)η κάθετη από το Ο στην ΑΒ τέμνει το τόξο ΚΛ στο μέσο του β)ΑΚ=ΒΛ 16) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και δύο διάμετροι ΑΓ,ΒΔ τέμνονται κάθετα,παίρνουμε σημεία Κ,Λ στις ΒΔ,ΑΓ αντίστοιχα.Αν ΑΚ,ΒΛ τέμνονται στο Ζ τότε να δειχθεί ότι α)ΟΖ ⊥ ΑΒ β)ΔΖ=ΖΓ γ)να βρεθεί η γωνία Ο∆ Γ 17) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και σημεία του Α,Β,Γ έτσι ώστε ΑΒ=ΑΓ.Οι ΟΓ,ΟΒ τέμνουν τον κύκλο στα Λ,Κ αντίστοιχα.Να δειχθεί ότι α)Α μέσο του τόξου ΚΛ β)τα τόξα ΑΛ,ΑΚ είναι ίσα με 45° το κάθενα γ)το ΟΑ τέμνει το τόξο ΒΓ στο μέσο του δ)η κάθετη στη ΒΜ από το Ο τέμνει την ΓΝ στο μέσο της 18) Δίνεται κύκλος και Α το μέσο τόξου ΒΓ.Αν ΑΟ τέμνει τον κύκλο στο Δ να δειχθεί ότι ΔΒΓ ισοσκελές 19) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και Α,Β δύο σημεία της διαμέτρου έτσι ώστε ΟΑ=ΟΒ.Αν ΓΔ μια άλλη διάμετρος τότε να δειχθεί ότι ΒΓ=ΑΔ 20) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και Α,Β δύο σημεία της διαμέτρου έτσι ώστε ΟΑ=ΟΒ.Από το Ο υψώνουμε κάθετο στην ΑΒ που τέμνει τον κύκλο στο Γ,αν ΑΓ,ΓΒ τέμνουν τον κύκλο στο Κ,Λ αντίστοιχα να δειχθεί ότι ΑΚ=ΒΛ
21) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και ΟΑ ακτίνα του παίρνουμε σημείο Λ στον κύκλο έτσι ώστε ΑΛ=ρ και Β μέσο του ΟΑ.Αν ΛΒ τέμνει τον κύκλο στο Κ να βρεθεί η γωνία ΑΚ Ο 22) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και ΑΒ χορδή του.Πάνω στις ΟΑ,ΟΒ παίρνουμε σημεία Γ,Δ τέτοια ώστε ΟΓ=ΟΔ.Αν ΑΓ,ΒΔ τέμνονται στο Μ να δειχθεί ότι α)ΑΜΒ ισοσκελές β)ΟΜ ⊥ ΑΒ 23) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και σημεία του Α,Β,Γ,Δ διαδοχικά έτσι ώστε τα τόξα ΓΒ,ΑΔ να είναι ίσα.Αν ΑΓ,ΒΔ τέμνονται στο Ο τότε ΟΑΒ ισοσκελές 24) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΓΔ ύψος.Στην ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΑΕ=ΑΔ και από το Ε υψώνουμε κάθετο στην ΑΓ που τέμνει την ΓΔ στο Ο και τη ΑΒ στο Ζ.Να δειχθεί ότι α)ΑΖ=ΑΓ β)ΑΟ ⊥ ΖΓ 25) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ διχοτόμος.Ευθεία (ε) είναι κάθετη στην ΑΔ και διέρχεται από το Α.Πέρνουμε Κ,Λ σημεία στην (ε) εκατέρωθεν της Α έτσι ώστε ΑΚ=ΑΛ,αν οι ΚΔ,ΛΔ τέμνουν τις ΑΒ,ΑΓ στα σημεία Μ,Ν αντίστοιχα να δειχθεί ότι α)ΑΔ ⊥ ΜΝ β)ΜΔ=ΝΔ 26) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και χορδή ΑΒ,πάνω τις παίρνουμε Κ,Λ έτσι ώστε ΟΚ=ΟΛ και η ΟΚ,ΟΛ τέμνουν τον κύκλο στα Γ,Δ αντίστοιχα να δειχθεί ότι τα τόξα ΑΓ,ΔΒ έιναι ίσα 27)Δίνονται δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ που έχουν ΑΒ=ΔΕ,ΑΓ=ΔΖ και τις διαμέτρους ίσες.Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα είναι ίσα 28) Δίνονται δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ που έχουν ΑΒ=ΔΕ,ΑΓ=ΔΖ και = ∆ .Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα είναι ίσα Α 29)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) και γράφουμε εξωτερικά των πλευρων τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ,να δειχθεί ότι ΔΓ=ΒΕ 30) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) και σημείο Μ πάνω στο ύψος από το Α έστι ώστε Α,Μ εκατέρωθεν της ΒΓ.Αν Κ,Λ μέσα των ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα και ΚΜ,ΛΜ τέμνουν την ΒΓ στα Δ,Ε αντίστοιχα να δειχθεί α)ΒΔ=ΓΕ β) ΜΚ Β = ΜΚ Γ 31) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και τα σημεία του κύκλου Α,Β,Γ.Φέρνουμε τις διαμέτρους ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ,να δειχθεί ότι ΑΒ Γ = ΒΕ Ζ
32) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι εξωτερικοί διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται στο Ο,στην προέκταση τις ΑΒ προς το Β παίρνουμε τμήμα ΒΔ=ΒΓ+ΑΓ.Να δειχθεί ότι ΟΑΔ ισοσκελές 33) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) και προεκτύνουμε τις ίσες πλευρές του προς το μέρος της κορυφής Α και πάνω στις προεκτάσεις παίρνουμε τμήματα ΑΕ=ΑΖ.Αν ΑΔ η διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ να δειχθεί α)το τρίγωνο ΔΖΕ είναι ισοσκελές β)τα τρίγωνα ΕΒΔ και ΖΓΔ είναι ίσα γ)τα τρίγωνα ΒΖΔ και ΔΕΓ είναι ίσα 34) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) και προεκτείνουμε την βάση προς το μέρος του Γ και παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο Ε,επίσης προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ προς το μέρος του Β και παίρνουμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΒΔ=ΓΕ.Αν Ζ και Η είναι προβολές των Δ και Ε πάνω στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα να δειχθεί ότι α)τα τρίγωνα ΔΒΖ και ΕΓΗ είναι ίσα β)ΓΖ=ΒΗ 35)Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα ύψη του ΒΔ,ΓΕ και παίρνουμε σ’αυτά τμήματα ΒΗ=ΑΓ και ΓΘ=ΑΒ.Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΘΗ είναι ορθογώνιο ισοσκελές