ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΠΑΝΩ ΣΕ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Πρώτα θα θυμηθούμε κάποιες βασικές ταυτότητες με συνθήκες 1)Αν α3+β3+γ3=3αβγ τότε α+β+γ=0 ή α=β=γ 1
1
α
β
2)Αν (α + β + γ )( +
1 + ) = 9 τότε α=β=γ
γ
3)Αν α +β +γ =αβ+βγ+γα τότε α=β=γ 4)Γενικά όταν εμφανίζετε άθροισμα τετραγώνων ίσο με το 0 τότε όλοι οι όροι είναι ίσοι με το μηδέν 2
2
2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Να λυθεί το σύστημα χ +ψ +ω2=χψ+χω+ψω (1) χ+ψ+ω=3 (2) 2
2
ΣΚΕΨΗ:Μας έρχεται στο μυαλό η σχέση <<Αν α2+β2+γ2=αβ+βγ+γα τότε α=β=γ>> ΛΥΣΗ Από την (1) έχουμε ότι χ=ψ=ω λόγο της βασικής ταυτότητας 3) άρα η (2) γίνετε χ+χ+χ=3 ⇔ 3χ=3 ⇔ χ=1 άρα χ=ψ=ω=1 2)Να λυθεί το σύστημα χ+ψ+ω= 10 − 19 (1) 1
+
χ
1
ψ
+
1
ω
= 10 + 19 (2)
ΣΚΕΨΗ:Παρατηρόντας και τις δύο σχέσεις μας έρχεται στο μυαλό η σχέση 1
1
α
β
<<Αν (α + β + γ )( +
1 + ) = 9 τότε α=β=γ>> άρα για να την
γ
εμφανίσουμε θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τις (1) και (2) ΛΥΣΗ Πολλαπλασιάζω την (1) με την (2) και έχω ( χ + ψ + ω )(
1
χ
+
1
ψ
+
1
ω
) = 10 − 19 10 − 19 = 100 − 19 =
81 = 9 άρα ( χ + ψ + ω )(
1
χ
+
1
ψ
+
1
ω
(1) έχουμε 3χ= 10 − 19 άρα χ=
10 − 19 10 − 19 ⇔ χ=ψ=ω= 3 3
) = 9 ⇔ χ=ψ=ω με αντικατάσταση στην
3)Να λυθεί το σύστημα (α-1)3+(β-3)3+8(2-γ)3=0 (1) α+β=2γ (2) α=β+γ (3) ΛΥΣΗ Αφού έχουμε άθροισμα κύβων θα πρέπει να σκεφτούμε την ταυτότητα α+β+γ=0 τότε α3+β3+γ3=3αβγ Ισχύει ότι (α-1)+(β-3)+2(2-γ)=α-1+β-3+4-2γ=α+β-2γ άρα λόγω της (2) α+β-2γ=0 άρα ισχύει η ταυτότητα και έχουμε (α-1)3+(β-3)3+8(2-γ)3=3(α1)(β-3)2(2-γ)=0 άρα α=1 ή β=3 ή γ=2 α)Όταν α=1 έχουμε το σύστημα 1+β=2γ 1=β+γ 1 3
και παίρνουμε τις λύσεις α=1,β= ,γ=
2 3
β)Όταν γ=2 έχουμε το σύστημα α+β=4 α=β+2 και παίρνουμε τις λύσεις α=3,β=1,γ=2 γ)Όταν β=3 έχουμε το σύστημα α+3=2γ α=3+γ και παίρνουμε τις λύσεις α=9,β=3,γ=6
4)Να λυθεί το σύστημα 3 α − 1 + 3 β − 1 + 3 γ − 1 = 0 (1) α+β+γ=3 (2) αβγ=1 (3) ΣΚΕΨΗ:Η (1) είναι άθροισμα τριών αριθμών ίσον με το μηδέν άρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα α+β+γ=0 τότε α3+β3+γ3=3αβγ
ΛΥΣΗ Από την (1) έχουμε ότι 3 α − 1 + 3 β − 1 + 3 γ − 1 = 0 ⇔
( α − 1) + ( 3
3
3
) ( γ − 1) 3
β −1 +
3
3
= 33 (α − 1)( β − 1)(γ − 1)
⇔ α − 1 + β − 1 + γ − 1 = 33 (α − 1)( β − 1)(γ − 1) ⇔ 0 = (α − 1)( β − 1)(γ − 1) άρα
α=1 ή β=1 ή γ=1 α)Για α=1 έχουμε β+γ=2 και βγ=1 β=1 και γ=1 β)Για β=1 έχουμε α+γ=2 και αγ=1 α=1 και γ=1 γ)Για γ=1 έχουμε α+β=2 και αβ=1 α=1 και β=1 Άρα η λύση είναι (α,β,γ)=(1,1,1)
5)Να λυθεί το σύστημα χ+ψ+ω+ν=4 (1) χψ + ων = 2 (2) χω + ψν = 2 (3)
ΛΥΣΗ Πολλαπλασιάζω την (1) με το 2 και έχουμε 2χ+2ψ+2ω+2ν=8= 2 χψ + 2 ων + 2 χω + 2 ψν (χ- 2 χψ +ψ)+(χ- 2 χω +ω)+(ψ- 2 ψν +ν)+(ω- 2 ων +ν)=0 ( χ − ψ ) 2 + ( χ − ω ) 2 + ( ψ − ν ) 2 + ( ω − ν ) 2 = 0 χ=ψ=ω=ν Άρα η (1) γίνετε 4χ=4 χ=1 χ=ψ=ω=ν=1
6)Να λυθεί το σύστημα χ3-8ψ3-27ω3=18χψω (1) χ-2ψ-3ω=18 (2)
ΣΚΕΨΗ:Η πρώτη σχέση μας θυμίζει την ταυτότητα α3+β3+γ3=3αβγ α+β+γ=0 ή α=β=γ
ΛΥΣΗ Από την (1) έχουμε χ3+(-2ψ)3+(-3ψ)3=3χ(-2ψ)(-3ψ) χ-2ψ-3ω=0 (απορ 2 3
λόγω της 2) ή χ=-2ψ=-3ω άρα χ=-2ψ και ω= ψ και τις τιμές αυτές τις αντικαθιστούμε στην (2) και έχουμε -2ψ-2ψ-2ψ=18 ψ=-3 άρα χ=6 και ω=-2