Ayudant´ıa C´alculo I F´atima Toro, Andr´es Varas Facultad de Ciencia Departamento de F´ısica Ingenier´ıa F´ısica
10 de abril de 2007 \Ã[
Inecuaciones 1
Introducci´ on
Hasta el momento se han visto relaciones entre numeros u objetos en donde se establece y demuestra que estos son iguales y para los cuales existen una gama de operaciones que nos permiten transformarlos (siempre manteniendo la igualdad) para poder sacar conclusiones de ellos, estas son las llamadas ecuaciones, en donde existe un valor desconocido y por medio de ciertos procedimiento se puede llegar al valor de esta variable desconocida, siempre y cuando esta exista, con la existencia de de soluciones nos referimos que estas est´en dentro del cuerpo de los n´ umeros reales (<), pero dentro de las soluciones antes mencionadas, las ecuaciones de primer grado, ´osea donde el mayor exponente de la variable desconocida es uno, la soluci´on es una sola y esta siempre existe, para el caso de las ecuaciones de mayor grado, el grado esta en relaci´on con el exponente mayor de la variable desconocida, esta soluci´on no siempre existe, y adem´as si existe la cantidad de soluciones son siempre menor o igual al grado de la variable, pero generalmente, ya sea en la naturaleza o en otros casos, uno busca determinar los elementos que conforman un conjunto de soluciones y adem´as que cumplan con alguna condici´on, por ejemplo los planetas que son m´as grandes que la tierra, para poder cuantificar y poder poner en lenguaje matem´atico ya no nos sirve la relaci´on de igualdad, pues esta establece exactamente los elementos que son id´enticos en la condici´on pedida, es por casos como este que aparecen las llamadas inecuaciones, esta relaciona elementos por medio de la desigualdad y en algunos casos tambi´en considera la igualdad dentro de los posibles resultados, las inecuaciones estan basados en los axiomas de orden como condicion primaria, al establecer estos un ordenamiento de los numeros para asi poder satisfacer las condiciones pedidas. Las inecuaciones entregan un conjunto de soluciones independiente del grado de la inecuaci´on.
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Teoremas de desigualdades
Para poder trabajar con inecuaciones es necesario manejar bien los conceptos e ideas de las desigualdades, dado que estas son su sustento te´orico. A continuaci´on se dan los teoremas fundamentales para el trabajo posterior de las inecuaciones: Definici´ on 1 : 1. a ≤ b, si y s´olo si (a < b) ´o (a = b) 2. a ≥ b, si y s´olo si (a > b) ´o (a = b) Teorema 1 la relaci´on ≤ es: 1. Reflexiva, para todo a ∈ <, a ≤ a 2. Antisim´etrica, si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b, ∀a, b ∈ < 3. Transitiva, si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c, ∀a, b, c ∈ < Teorema 2 ∀a, b, c ∈ < : a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c Teorema 3 : 1. ∀a, b ∈ < y c ∈ <+ , si a ≤ b entonces ac ≤ bc, 2. ∀a, b ∈ < y c ∈ <− , si a ≤ b entonces ac ≥ bc Teorema 4 : 1. Si a > 0, entonces −a < 0 2. Si a < 0, entonces −a > 0 3. Si a > 0, entonces a−1 > 0 4. Si a < 0, entonces a−1 < 0 Teorema 5 : 1. Si a · b > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) 2. Si a · b < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0) umero real no nulo es siempre positivo. De otra forma si a ∈ Teorema 6 El cuadrado de un n´ <, a 6= 0, entonces a2 > 0 Teorema 7 1 es un n´ umero real positivo. De otra forma, 1 ∈ <+ Teorema 8 Sean a, b ∈ <. si a < b, entonces a < y b es mayor que a y menor que b
a+b 2
< b, esto es, el promedio aritm´etico entre a
Definici´ on 2 Se dice que un conjunto A de n´ umeros reales es denso si y s´olo si entre dos elementos x e y de A, existe un elemento z ∈ A, tal que x < z < y
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Teorema 9 Sean a, b, c ∈ <, f (x) = ax2 + bx + c y α, β ra´ıces de f (x) = 0. Entonces: 1. Si a > 0, ax2 + bx + c > 0 tiene por soluci´on: (a) < − [α, β] (b) < si f (x) no tiene ra´ıces reales 2. Si a < 0, ax2 + bx + c > 0 tiene por soluci´on: (a) ]α, β[ (b) ∅ si f (x) no tiene ra´ıces reales Las demostraciones de los teoremas anteriores se dejan como ejercicios. Las inecuaciones en si son desigualdades, en las cuales aparecen una o m´as variables desconocidas, para el caso de este curso sera solamente una la variable independiente desconocida a las cuales es necesario encontrar el conjunto de soluciones. Un ejemplo sencillo de esta son los siguientes: 3x − 5 2a − 3a + 5 y2 − 4 (x − 5)2 2
3
> < ≤ ≥
10 a−5 0 0
(1) (2) (3) (4)
Resoluci´ on de inecuaciones
En esta seccion se mostrara alguno de los modos para resolver inecuaciones y de como se puede expresar el conjunto de soluciones: Partiremos desarrollando cada uno de los casos anteriores 3x − 5 ⇒ 3x − 5 + 5 ⇒ 3x ⇒ x
> 10 > 10 + 5 > 15 > 5
/
+5
/
· 31
El conjunto soluci´on son todos los valores reales mayores estricto que 5, esto es: sol : {x ∈ < | x > 5} Tambi´en podemos establecer esto gr´aficamente para poder visualizar mejor la soluci´on de la siguiente forma
0
5
x
En donde se indica con rojo y por la flecha de arriba cual es la direcci´on que toman los valores de la soluci´on, el circulo que esta sobre el cinco indica que parte de este numero el conjunto de ´ n, en el caso que hubiese tomado soluciones pero no toma el cinco como parte de la solucio
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el cinco como parte de la soluci´on el circulo se mostrar´ıa pintado, como se muestra en el siguiente ejemplo. ⇒ ⇒ ⇒
y2 − 4 (y − 2)(y + 2) (y − 2 ≥ 0 ∧ y + 2 ≤ 0) (y ≥ 2 ∧ y ≤ −2)
≤ ≤ ∨ ∨
10 0 (y − 2 ≤ 0 ∧ y + 2 ≥ 0) (y ≤ 2 ∧ y ≥ −2)
Es en casos como estos que la interpretaci´on gr´afica presta una mayor utilidad para establecer el conjunto soluci´on como veremos a continuaci´on:
-2
-2
2 x
0
x
2
0
En donde vemos primero que el circulo arriba de los n´ umeros esta pintado, esto es que dentro de la soluci´on toman en cuenta estos valores, el como saber cuando se toma o no se toma el valor esta establecido por el signo de desigualdad incluyendo la igualdad, hay que tener presente que no por aparece un signo de mayor igual o menor igual en el enunciado del problema necesariamente en la soluci´on se tiene que considerar los valores extremos de la soluci´on, hay que analizar seg´ un corresponda el caso. Otro punto importante de se˜ nalar es que en la soluci´on anterior se muestran dos gr´aficos, cada uno corresponde a la parte izquierda y derecha respectivamente de la soluci´on tomando como centro el s´ımbolo ”o”(∨), vemos que en el primer gr´afico los valores no se intersectan, lo cual establece que esta soluci´on es el conjunto vac´ıo (∅), esto es porque el conectivo l´ogico ”y”(∧) establece que necesariamente se deben cumplir ambas condiciones para que este sea verdadero o dicho de otro modo que en el gr´afico exista intersecci´on, la cual no se da, a diferencia del primer gr´afico, en el segundo gr´afico si existe intersecci´on de las soluciones. Pero estas no son las soluciones finales, son solo an´alisis de casos, la soluci´on final es la union de la soluci´on uno y dos, esto es porque aparece un ”o”dentro de la soluci´on, y este ”o”es el equivalente a la union de conjunto en teor´ıa de conjuntos, por lo tanto la soluci´on es: sol : {x ∈ < | −2 ≤ x ≤ 2}
o
[−2, 2]
En este caso particular la soluci´on solo considera la soluci´on dos, dado que la soluci´on uno es el vaci´o.
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Ejercicios: 1. 2x − 6 > x + 1 2. x − 5 > 11 − 7x 3. (x + 2)(x + 5) > (x + 1)(x − 2) 4.
2x−5 x2 −4
≤1 4
5.
3x2 −2x+1 x+1
−
3x−2 3x−81
<0
6. (x − 81)2 > 0 √ √ 7. 7x − 5 − x+ 1 > 0 p √ 8. 7x2 − 5x + 4 − 1 > 10 9. 5x3 − 15x2 + 21x ≤ 0
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Uso de valores cr´ıticos:
Un grupo importante de inecuaciones son en las que sus t´erminos son factores o se pueden expresar en t´erminos de factores, en estas se pueden utilizan tablas para determinar las soluciones, por ejemplo: x2 ⇒
x2 − 4 ≥0 + 8x + 16
(x + 2)(x − 2) ≥0 (x + 4)2
Una vez teniendo este factorizado procedemos a buscar los ceros de cada uno de los factores para poder construir la tabla, i.e. x+2 x−2 x+4 x+2 x−2 x+4 x+4
∞− − − − − +
à à Ã
−4
x = −2 x=2 x = −4 −2
− − + + +
2 + − + + −
∞+ + + + + +
En esta tabla se estudia el signo de cada factor en el determinado intervalo se˜ nalado por los puntos en donde se hacen cero los factores, y como lo que se pide es establecer para que valores es siempre positivo o cero vemos en la cuarta linea de signos en que valores es positivo, vale decir que el termino termino x + 4 se escribi´o dos veces dado que esta al cuadrado, si se considerara solo una vez afectar´ıa el signo, dado que este termino es siempre positivo, para terminar este an´alisis es necesario eliminar los posibles casos en que el denominador es cero, i.e. x + 4 6= 0 ⇒ x 6= −4 Por lo tanto el conjunto soluci´on es: n Sol : ]∞− , −2[
[
[2, ∞+ [
o − {−4}
Esta forma de resoluci´on de inecuaciones es muy sencilla y r´apida para encontrar las soluciones de estas, lo que si esta limitada por el hecho que solo sirve para poder encontrar soluci´on a las inecuaciones que son mayor o menor que cero (incluyendo los casos del igual) y que adem´as se puedan factorizar.
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Ejercicios: 1.
x2 +5x−6 x2 +3−10
2.
a2 −2a+1 √ x2 − 2−4x
3. 25x2 −
7
≥0
1 25
≤0 −
√
4.
x2 −5x+4 x−5
≤ −1
5.
x2 −2x+1 (x+4)2
≥
5x ≤ 0
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Valor absoluto
A cualquier numero, ya sea positivo o negativo que se le aplique el valor absoluto se obtiene el mismo numero pero positivo o a lo sumo cero si el numero ingresado es cero, para cuando se desconoce el signo del numero se define el valor absoluto de este como: Definici´ on 3 Se define la funci´on valor absoluto por: ½ | x |=
x, x ≥ 0 −x, x < 0
un teorema importante para el trabajo con valor absoluto es: Teorema 10 : 1. | x |≤ ε ⇔ −ε ≤ x ≤ ε, con ε > 0 y 2. | x |≥ ε ⇔ x ≥ ε ∨ −x ≥ ε, con ε > 0 Es importante se˜ nalar que el valor absoluto de un numero es siempre no negativo, i.e. |x| ≥ 0, ∀x ∈ <
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Inecuaciones con valor absoluto
Los valores absolutos sirven para representar en f´ısica el concepto de distancia, y en general en el c´alculo este concepto aparece de forma reiterada, ya sea de forma expl´ıcita o impl´ıcitamente, pues la definici´on formal de limite (que se estudiara mas adelante) se expresa en inecuaciones con valor absoluto y es este concepto quiz´as uno de los m´as importantes en el c´alculo infinitesimal, la forma de resoluci´on es similar a las inecuaciones ”normales”, pero es necesario tener muy presente el teorema 10 antes mencionado. Los siguientes son ejemplos de inecuaciones con valor absoluto: • |x2 − 5x| ≥ 3 • |x − 2| + |x2 + 3| ≤ |x + 1| ¯ ¯ ¯ ¯ • ¯ |x+16| 7+3x ¯ ≤ 25
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Resoluci´ on de inecuaciones con valor absoluto
Para resolver inecuaciones con valor absoluto es necesario eliminar primero los valores absolutos y luego se procede con la resoluci´on normal de las inecuaciones, por ejemplo: |x2 − 5x| ≥ 3 ⇒ x2 − 5x ≥ 3 ∨ −(x2 − 5x) ≥ 3 Para esto nos basamos en la segunda parte del teorema 10, luego la resoluci´on de las inecuaciones es como de costumbre, cabe se˜ nalar que al trabajar con valores absolutos la cantidad de casos se incrementa dependiendo de la cantidad de valores absolutos que aparezcan en la inecuaci´on.
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Ejercicios
1. ||x − 5| + 9| ≥ 3x + 5 2. |x − |x + 4|| ≤ −24 ¯ ¯ 3. ¯|x2 − 4| + 2¯ ≥ |x − 5| √ 4. |||x + 5| − 5| − 16| ≥ 125 ¯ 2 ¯ ¯ −16| ¯ √ 5. ¯ |x7+3x ¯ ≤ 2x + 1
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