Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
Nível
8º e 9º anos do Ensino Fundamental 2ª FASE – 5 de novembro de 2011
2
Nome completo do aluno Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº) Complemento
Bairro
Cidade
UF
CEP
Endereço eletrônico (email)
DDD
Telefone
DDD
Telefone (outro)
Assinatura
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática. Um abraço da Equipe da OBMEP! INSTRUÇÕES 1. Verifique se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. Caso as informações não estejam corretas, comunique o erro ao fiscal imediatamente.
ha Preenc e confira s os dad o m o c a acim tenção! muita a
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na folha de rascunho.
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro acima. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho e deixando um espaço em branco entre cada palavra.
7.
3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença.
8. Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção.
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer fonte de consulta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova, entregue-a ao aplicador.
Correção Regional
Correção Nacional
SBM
Na correção serão considerados todos os raciocínios que você apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas as questões.
10. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador. 11. Não escreva nos espaços sombreados.
1
2
3
4
5
6
Total
Correção Regional
Correção Regional
Correção Regional
Correção Regional
Correção Regional
Correção Regional
Correção Regional
1
2
3
4
5
6
Total
Correção Nacional
Correção Nacional
Correção Nacional
Correção Nacional
Correção Nacional
Correção Nacional
Correção Nacional
2
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
1. Sara recortou três tiras retangulares diferentes de papel. a) Ela recortou a primeira tira em três retângulos iguais, como na figura abaixo. Com esses retângulos, formou um quadrado de 36 cm2 de área. Encontre as medidas dos lados dos retângulos que ela recortou.
Correção Regional
Correção Nacional
b) Ela recortou a segunda tira em seis retângulos de mesma largura e com eles formou um quadrado de 36 cm2 de área, como na figura. Encontre o perímetro e a área do retângulo indicado com .
*
*
Correção Regional
Correção Nacional
c) As medidas da terceira tira eram 4,5 cm e 2 cm. Sara recortou essa tira em três pedaços e com eles formou um quadrado, como na figura. Qual é a área do triângulo indicado com ?
*
*
*
*
TOTAL
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
3
2. Otávio mostrou para Gabriela um truque com três dados, cujas faces estão numeradas de 1 a 6. Ele fica de costas, pede a ela que jogue um dado de cada vez e que, em seguida: • dobre o número obtido no primeiro dado, some 3 e multiplique por 5; • some ao resultado encontrado o número obtido no segundo dado e multiplique por 10; • some ao último resultado o número obtido no terceiro dado; • anuncie o resultado final. Otávio então dirá, em ordem, quais foram os números obtidos nos dados. a) Se Gabriela obtiver os números 4, 6 e 1, nessa ordem, qual resultado ela anunciará?
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
b) Se Gabriela anunciar o resultado 273, o que Otávio vai dizer?
c) Explique por que Gabriela não pode anunciar o resultado 432.
TOTAL
4
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
3. O múltiplo irado de um número natural é o menor múltiplo do número formado apenas pelos algarismos 0 e 1. Por exemplo, o múltiplo irado de 2, bem como de 5, é 10; já o múltiplo irado de 3 é 111 e o de 110 é ele mesmo.
a) Qual é o múltiplo irado de 20?
U m nú m e ro natural é divisíve l por 3 se e somente se d e s e us a a s o m a lgarismos é divisíve l po divisível p r 3; e é or 9 se e somente se a som a de seus alga rism divisível p os é or 9.
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
b) Qual é o múltiplo irado de 9?
c) Qual é o múltiplo irado de 45?
d) Qual é o menor número natural cujo múltiplo irado é 1110?
TOTAL
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
5
4. Começando com qualquer número natural não nulo é sempre possível formar uma sequência de números que termina em 1, seguindo repetidamente as instruções abaixo: • se o número for ímpar, soma-se 1; • se o número for par, divide-se por 2. Por exemplo, começando com o número 21, forma-se a seguinte sequência: 21→22→11→12→6→3→4→2→1 Nessa sequência aparecem nove números; por isso, dizemos que ela tem comprimento 9. Além disso, como ela começa com um número ímpar, dizemos que ela é uma sequência ímpar. a) Escreva a sequência que começa com 37. Correção Regional
Correção Nacional
b) Existem três sequências de comprimento 5, sendo duas pares e uma ímpar. Escreva essas sequências.
Correção Regional
Correção Nacional
c) Quantas são as sequências pares e quantas são as sequências ímpares de comprimento 6? E de comprimento 7?
Correção Regional
Correção Nacional
d) Existem ao todo 377 sequências de comprimento 15, sendo 233 pares e 144 ímpares. Quantas são as sequências de comprimento 16? Dessas, quantas são pares? Não se esqueça de justificar sua resposta.
TOTAL
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
6
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
5. João vai pintar figuras compostas por quadrados e triângulos. Cada quadrado pode ser
pintado de azul, vermelho ou verde e cada triângulo de azul, vermelho ou amarelo, de modo que polígonos com um lado comum não tenham a mesma cor. Em cada um dos itens abaixo, determine de quantas maneiras João pode pintar a figura correspondente. a)
b) Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
c)
TOTAL
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
6. Em todas as figuras desta questão, vemos um triângulo ABC dividido em quatro partes; nesses triângulos, D é ponto médio de AB, E é ponto médio de AC e FG mede
A
1 BC . 2
D
E
I
a) Os quadriláteros DJMA e ELNA são obtidos girando de 180º os quadriláteros DHFB e EIGC em torno de D e E, respectivamente. Explique por que os pontos M, A e N estão ^ é igual a 180º. alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo MAN M
A
7
H B
G
F
C
N
J L D
E
I H
B
F
C
G
Correção Regional
Correção Nacional
b) Na figura, o ponto K é a interseção das retas JM e LN. Explique por que os triângulos FGI e MNK são congruentes. K M
A
N
J L D
E
I H
B
F
Correção Regional
C
G
Correção Nacional
Os itens acima mostram que HJKL é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo ABC foi dividido. c) Mostre que LH = EF .
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
Correção Regional
Correção Nacional
d) Na figura o triângulo ABC tem área 9 e HJKL é um quadrado. Calcule o comprimento de EF. K A N
M J
L D
I
E
H B
F
G
C
TOTAL
O H N U C S A R Operacionalização: