SOMA DE ARCOS
1. (Mackenzie 98) I) sen£[(™/7) - x] + sen£[(5™/14) + x]=1, ¯ x Æ IR II) O maior valor real que 4 elevado ao expoente senx.cosx pode assumir é 2 III) No triângulo a seguir, não retângulo, tg ‘ + tg ’ + tg – = tg ‘ . tg ’ . tg –.
Dentre as afirmações cima: a) Todas são verdadeiras. b) todas são falsas. c) somente a III é falsa. d) somente a II é falsa.
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e) somente a I é falsa.
2. (Ufpr 2002) Com base nos estudos de trigonometria plana, é correto afirmar:
(01) O período da função f(x) = sen [x - (™/4)] é ™/4. (02) cos£x + (tg£x)(cos£x) = 1, qualquer que seja o número real x, desde que cos x · 0. (04) Existe número real x tal que 2sen£x + cos£x = 0. (08) Se os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm e 8 cm, então o menor dos ângulos desse triângulo tem co-seno igual a 4/5. (16) Se x, y e z são as medidas, em radianos, dos ângulos internos de um triângulo, então senz=(senx)(cosy)+(seny)(cosx).
Soma (
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3. (Fuvest 2003) Na figura a seguir, as circunferências têm centros A e B. O raio da maior é 5/4 do raio da menor; P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é tangente à circunferência menor no ponto Q.
Calcule: a) cos ABQ b) cos ABP c) cos QBP
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4. (Ufsc 2005) Sejam a e b os ângulos centrais associados, respectivamente, aos arcos AN e AM na circunferência trigonométrica da figura 1 e considere x na figura 2, a seguir. Determine o valor de y = 15x¥, sabendo que a + b = ™/2.
5. (Unicamp 95) Encontre todas as soluções do sistema:
ýsen (x+y) =0 þ ÿsen (x-y) =0
que satisfaçam 0 ´ x ´ ™ e 0 ´ y ´ ™.
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6. (Uff 2000) Dados os ângulos ‘ e ’ tais que ‘, ’ Æ [0, ™/2], cos‘=1/2 e cos’=(Ë3)/2, resolva a equação: sen(x-‘)=sen(x-’)
7. (Uel 2000) Se a medida x de um arco é tal que ™/2 < x < ™, então a) sen (x + ™) > 0 b) cos (x + ™) < 0 c) tg (x + ™) > 0 d) cos (x + 2™) > 0 e) sen (x + 2™) > 0
8. (Fuvest 94) a) Calcule sen15°. b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito no círculo de raio 1.
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9. (Pucsp 95) Um possível valor de x, que satisfaz a equação:
a) ™/3. b) ™/4. c) ™/6. d) ™/8. e) ™/12.
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10. (Unesp 95) a) Demonstre a identidade:
(Ë2).sen [x - (™/4)] = sen x - cos x.
b) Determine os valores de m Æ R para os quais a equação:
(Ë2)(sen x - cos x)=m£-2 admite soluções.
11. (Unesp 95) Determine todos os valores de x, 0´x´2™, para os quais se verifica a igualdade (senx+cosx)£ = 1.
12. (Unitau 95) Se sen(a-30°)=m, então cos(60°+a) é igual a: a) 2 m. b) 1 m. c) - 1 m. d) - 2 m. e) 3 m.
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13. (Fuvest 92) No quadrilátero ABCD onde os ângulos  e ð são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor de sen ï é:
a) (Ë5)/5 b) (2Ë5)/5 c) 4/5 d) 2/5 c) 1/2
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14. (Fuvest 96) Os números reais sen (™/12), sen a, sen (5™/12) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é: a) 1/4 b) (Ë3)/6 c) (Ë2)/4 d) (Ë6)/4 e) (Ë3)/2
15. (Fatec 97) Se x-y=60°, então o valor de (senx+seny)£+(cosx+cosy) £ é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
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16. (Mackenzie 97) A soma dos valores inteiros de k para que a equação (Ë3)sen x + cos x = k - 3 apresente soluções reais é: a) 7 b) 10 c) 13 d) 15 e) 20
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17. (Ufrs 98) No intervalo [0, 2™], dois possíveis valores para a soma x+y obtida da equação mostrada na figura adiante
são a) ™/6 e 11™/6 b) ™/3 e 5™/3 c) 4™/3 e 11™/6 d) ™/6 e 2™/3 e) ™/3 e ™/6
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18. (Ufes 99) Se x = 105°, então sen x é
a) [6(Ë2) - 2]/8 b) [(6Ë3) - 7]/4 c) [(7Ë3) - 5]/8 d) [(3 + Ë2) Ë3]/8 e) [(1 + Ë3) Ë2]/4
19. (Fuvest 2000) Determine os números reais x e y, com 0´x+y´™ e 0´y´™, tais que
ýsen x sen y = -1/4 þ ÿcos (x + y) + cos (x- y) = 3/2
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20. (Ita 2000) Considere f:IR ë IR definida por f(x)=2sen3x-cos[(x-™)/2]. Sobre f podemos afirmar que: a) é uma função par. b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4™. c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4™/3. d) é uma função periódica de período fundamental 2™. e) não é par, não é ímpar e não é periódica.
21. (Ita 2001) Considere as funções
f(x)= (5+7Ñ)/4, g(x)= (5-7Ñ)/4 e h(x)= arctg x
Se a é tal que h(f(a))+h(g(a))= ™/4, então f(a)-g(a) vale: a) 0 b) 1 c) 7/4 d) 7/2 e) 7
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22. (Uerj 2002) Considere o triângulo ABC a seguir, onde os ângulos A, B e C estão em progressão aritmética crescente.
Determine os valores de cada um desses ângulos, respectivamente, nas seguintes condições:
a) sen A + sen B + sen C = (3 + Ë3)/2
b) åæ = 2 æè.
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23. (Pucpr) Se simplificarmos a expressão
{sen[(™/2)+’]tg(™-’)} ______________________________
{sec[(™/2)-’]sen(™-’)cotg[(™/2)+’]}
obteremos: a) sen’ b) tg’ c) cos’ d) -cos’ e) -sen’
24. (Ufc 99) Expresse cos 3x em função de cos x. Use esse resultado para mostrar que cos 20° não é um número racional.
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25. (Ufrrj 2000) Os símbolos a seguir foram encontrados em uma caverna em Machu Pichu, no Peru, e cientistas julgam que extraterrestres os desenharam.
Tais cientistas descobriram algumas relações trigonométricas entre os lados das figuras, como é mostrado acima. Se a+b=™/6, pode-se afirmar que a soma das áreas das figuras é igual a a) ™. b) 3. c) 2. d) 1. e) ™/2.
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26. (Ufsm 2002) Considerando x · y, a expressão sen(x + y).sen(x - y) é equivalente a a) sen (x£ - y£) b) sen x£ + sen y£ c) sen x sen y + cos x cos y d) sen£ x cos£ y e) cos£ y - cos£ x
27. (Ita 2005) Obtenha todos os pares (x, y), com x, y Æ [0, 2™], tais que sen (x + y) + sen (x - y) = 1/2 sen x + cos y = 1
28. (Unifesp 2006) A expressão sen (x - y) cos y + cos (x - y) sen y é equivalente a a) sen (2x + y). b) cos (2x). c) sen x. d) sen (2x). e) cos (2x + 2y).
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29. (Pucrj 2006) Se sen š = - 1, então o valor de sen 3š é: a) -1/3 b) 0 c) 1 d) - 1 e) - 3
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30. (Ufrs 2004) Na figura abaixo, os ângulos u e v medem, respectivamente, ™/4 e 2™/3, OP = Ë2 e OQ = Ë3.
Então, (PQ)£ é a) 2 + Ë3. b) 3 + Ë2. c) 2 + Ë2. d) 3 + Ë3. e) (Ë2) + Ë3.
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31. (Uerj 2004) Para executar a rotação do vetor (figura 1) de um ângulo š no sentido anti-horário, um programa de computador multiplica-o pela matriz de rotação (figura 2). O vetor ¼ = Rš . « é o resultado desta rotação. a) Para quaisquer š e š‚, demonstre que Rš . Rš‚ = Rš +š‚. b) Determine o valor de š que torna verdadeira a igualdade R¤š = - I, na qual I é a matriz identidade 2x2.
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GABARITO
1. [A]
2. 02 + 08 + 16 = 26
3. a) 4/5 b) 2/5 c) (8 + 3Ë21)/25
4. y = 15x¥ = 60
5. V = { (0, 0), (0, ™), (™, 0), (™, ™), (™/2, ™/2) }
6. x = k™ - ™/4, k Æ Z
7. [E]
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8. a) sen 15° = (Ë6-Ë2)/4 b) A = 3 (Ë6 - Ë2) U. de área.
9. [E]
10. a) (Ë2) sen [x - (™/4)] = (Ë2) [sen x cos (™/4) - sen (™/4) cos x] = (Ë2) {[(Ë2)/2] sen x - [(Ë2)/2] cos x} = sen x - cos x
b) -2 ´ m ´ 2
11. V = {0, ™/2, ™, 3™/2, 2™}
12. [C]
13. [E]
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14. [D]
15. [D]
16. [D]
17. [B]
18. [E]
19. x = -™/6 e y = ™/6 ou x = -5™/6 e y = 5™/6
20. [B]
21. [D]
22. a) A = 30°, B = 60° e C = 90°
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b) A = 30°, B = 60° e C = 90°
23. [C]
24. Sabemos da trigonometria que: (I) cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) e (II) sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
tomando a = 2x e b = x, em (I) obtemos: cos(3x)=cos(2x+x)=cos(2x)cos(x)-sen(2x)sen(x) tomando a = b = x, em (I) e (II) obtemos: cos(2x) = cos£(x) - sen£(x) e sen(2x) = 2sen(x)cos(x).
Logo cos(3x) = [cos£(x) - sen£(x)]cos(x) - 2sen£(x)cos(x) = = cos¤(x) - sen£(x)cos(x) - 2sen£(x)cos(x) =
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= cos¤(x) - 3sen£(x)cos(x) = = cos¤(x) - 3[1 - cos£(x)]cos(x) = = cos¤(x) - 3cos(x) + 3cos¤(x) = = 4cos¤(x) - 3cos(x)
Fazendo x = 20° na igualdade acima obtemos: cos(60°) = 4cos¤(20°) - 3cos(20°) 4cos¤(20°) - 3cos(20°) - (1/2) = 0
Portanto cos(20°) é raiz da equação 4x¤-3x-(1/2)=0. Para as raízes racionais desta equação temos as seguintes possibilidades: •1; •1/2; •1/4; •1/8. Testando estes oito valores vemos que nenhum deles é raiz. Portanto a equação 4x¤-3x-(1/2)=0 não possui raiz racional e como cos(20°) é uma das raízes dessa equação, não pode ser racional.
25. [D]
26. [E]
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27. (™/6; ™/3), (™/6; 5™/3), (5™/6; ™/3), e (5™/6; 5™/3)
28. [C]
29. [C]
30. [A]
31. b) š = 60° ou ™/3 rad
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