Cinem谩tica en una dimensi贸n Ing. Diana Gallegos Zurita
Cinemática “Es el estudio del movimiento de los cuerpos sin considerarse que factor produce dicho movimiento”
Marco de referencia Es un cuerpo que junto a un sistema de coordenadas, permite la ubicaci贸n de otro cuerpo, en un instante dado. La descripci贸n del movimiento depende del sistema de referencia. En cada an谩lisis el sistema de referencia se considera fijo. De manera general, se hacen los estudios tomando como referencia la tierra, para un observador inm贸vil en la superficie de la tierra. y
Punto de referencia
xi
O
xf
x
Respecto a que se mide
Trayectoria Es la línea que resulta de unir las diferentes posiciones que ocupo la partícula al moverse de un lugar a otro. y Trayectoria de la partícula ∆r
P, ti
Q, tf
xi xf
x O
Vector Posición El vector posición es aquel que va desde el origen o punto de referencia hasta el punto donde se encuentra la partícula. La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
La posición de la partícula en cada instante está determinada por un vector que la señala. A medida que la partícula cambia de posición en el tiempo, el vector se desplaza con ella.
Desplazamiento La variación que experimenta el vector posición de una partícula, en un cierto intervalo de tiempo ∆t . Es aquel vector que va desde el punto de partida al punto de llega. El desplazamiento de la y Trayectoria de la partícula cuando se partícula mueve de P a Q en P, ti
∆t = tf -ti
∆x
es igual al vector:
Q, tf
xi
∆x = xf - xi.
xf
x O
A
t1
∆x
B 2
t
No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo.
Distancia total recorrida • Es la línea que resulta de unir las diferentes posiciones que ocupo una partícula al moverse de un lugar a otro. • En otras palabras es la trayectoria de una partícula entre dos puntos. • La distancia es una cantidad escalar.
Vector Velocidad El vector velocidad va a estar relacionado con la direcci贸n del vector desplazamiento: Si la part铆cula se mueve en direcci贸n x positiva el vector desplazamiento va ser positivo y por lo tanto la velocidad va a ser positiva, caso contrario el vector velocidad va a ser negativa. Las unidades de la velocidad son:
m s
Importante: Existe velocidad cundo hay un desplazamiento de la part铆cula en un intervalo de tiempo.
Diferencia entre Velocidad Y Rapidez. • La velocidad con que se desplaza un móvil es una cantidad vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige. Velocidad V=25km al ESTE Rapidez V=25km
El modulo o magnitud de la velocidad es la Rapidez
Rapidez Media Para un intervalo de tiempo ∆t mucho mayor que cero, la rapidez media de un cuerpo es la relación entre la distancia total recorrida y el intervalo de tiempo recorre dicha distancia. Rapidez media es una ∆d S= cantidad escalar
∆t
La rapidez media NO es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo).
Si la rapidez media de un carro es 80 km/h, esto quiere decir que el carro recorre una distancia de 80km en cada hora. Por ejemplo: Si un carro recorre 150 km en 3 horas, su rapidez media es: 150 km / 3h = 50 km/h
Velocidad Media Si el intervalo de tiempo ∆t es mucho mayor que cero, la velocidad media o promedio se define como la relación entre el desplazamiento realizado por la partícula y el intervalo de tiempo en que se efectuó dicho desplazamiento.
∆x V≡ ∆t La velocidad media es un vector paralelo al vector ∆x. La velocidad media es un vector.
∆x
V
Diferencia entre Velocidad Media Y Rapidez Media • Velocidad Media • Rapidez Media • • •
S
=
S
>
un vector un escalar
V
cuando desplazamiento es en línea recta y No hay cambio de dirección.
V
de dirección.
cuando el vector desplazamiento Cambia
Un atleta recorre 2 vueltas y ½ en una pista circular de 5m de radio en 1 minuto. Longitud de circunferencia C=2πr
Determinar la Rapidez y Velocidad Media. A
O R=5m
B
Una persona pasea desde A hasta B, retrocede hasta C y retrocede de nuevo para alcanzar el punto D. Calcula su rapidez media y su velocidad media con los datos del grรกfico
Rapidez Media
Velocidad Media
Velocidad Instantánea La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la velocidad promedio, ∆x/∆t, conforme ∆t tiende a cero. y
Dirección de v en P
Q’’
La velocidad instantánea tiene la dirección de la tangente a la trayectoria en el punto P.
∆x3
∆x2
Q’ Q
∆x1
P
∆x dx V ≡ lim = dt ∆t →0 ∆t
O
x
Rapidez Instantánea La rapidez instantánea es igual al modulo de la velocidad instantánea
∆r dr ~ v(t) = lim ∆t →0 = ∆t dt ~ v(t) = v ( t )
La aceleración de una partícula puede ocurrir de varias maneras. •La magnitud del vector velocidad (la rapidez) puede cambiar con el tiempo como en el movimiento en línea recta. •Sólo la dirección del vector velocidad puede cambiar con el tiempo cuando la magnitud permanece constante, como en una trayectoria curva. •Tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad pueden cambiar con el tiempo como en un péndulo.
Aceleración Media La aceleración media de una partícula se define como el cambio en velocidad ∆v dividido entre el intervalo Δt.
∆v v f − vi am = = ∆t t f − ti m Las unidades de la aceleración son: 2 s ∆v La aceleración instantánea es ∆t
medida en un ∆t sumamente pequeño
Aceleraci贸n media vs aceleraci贸n instant谩nea
Una partícula describe una trayectoria circular de 50 cm. de radio moviéndose con rapidez constante de 200 m/s. Se pide: Determinar el modulo de la aceleración entre los puntos a y b.
Resp: −3
t = 7.854 x10 s
am = 50929m / s
a 2
b
Movimiento rectilíneo Uniforme Rectilíneo cuando el móvil describe una trayectoria recta y es uniforme cuando su velocidad (V) permanece constante en el tiempo. • Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes. • La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez.
∆x V= = cte. ∆t
La función desplazamiento es el área bajo la curva de la función velocidad Los desplazamientos recorridos son directamente proporcionales a los tiempos transcurridos.
Por lo tanto la ecuación del desplazamiento será si t o= 0 x ( t ) = x0 + v . t Donde x0 será la posición inicial del móvil.
Definición de Encuentro “Dos cuerpos se encuentran cuando ocupan una misma posición en un mismo tiempo” vH v
X(m) XM
M
m = vM 0 Xo
Xe
d
Xe d
m = vH 0
te
t(s) 0
Ecuaciones cinemáticas X o Mujer
Xe - d= -vMte
(1)
Hombre
Xe = vHte
(2)
Xe te
d
Movimiento Rectilíneo Uniforme x = xo ± v(t − to )
Ecuación del MRU X
V m>0 V
V
Xo to
m<0
-V
Pendiente es igual a la Velocidad
m= m=
x2 − x1 =V t 2 − t1 x2 − x1 = −V t 2 − t1
a
to
t
t
t t
-V Área bajo la curva es igual al Desplazamiento
Area = V (t − to ) = x − xo Area = −V (t − to ) = −( x − xo )
Aceleración igual a cero
Movimiento Rectilíneo Uniforme Casos Particulares x = xo ± v(t − to )
• Si to=0 • Si Xo=0 • Particula en reposo No se mueve con respecto a un sistema de referencia en otras palabras la posicion de la particula es la misma en cualquier tiempo.
El gráfico adjunto representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si al tiempo t=0, la partícula se encuentra en la posición x= -100 m, ¿cuál es la posición de la partícula a los 15 s?
Las áreas representan los desplazamientos . Los desplazamientos tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas, indicando que el móvil regresó al mismo lugar, cuya posición inicial es x=-100m.
Ejercicio: El gráfico que se muestra representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si durante los 15 s que la partícula estuvo en movimiento la rapidez media fue el doble que la magnitud de la velocidad media, el valor de v1 es: Respuesta: 7.5 m/s
v(m/s) V
1
0 -5
10
15
t(s)
Movimiento rectilíneo Uniformemente Variado Es aquel movimiento rectilíneo que se caracteriza porque su aceleración a permanece constante en el tiempo (en módulo y dirección). →
→
V − V0 a= = cons tan te t − t0 Los cambios de velocidad son proporcionales al tiempo transcurrido.
∆V = a∆t
Ejemplo:
• Si cada segundo el valor de su rapidez aumenta en 2m/s. Debido a esto podemos decir que la aceleración de un cuerpo es constante y de valor de 2 m/s2. • En el ejemplo vemos que el móvil se mueve cada vez más rápido y por tanto las distancias recorridas por el móvil en cada segundo serán diferentes. En este caso:
Los cambios de velocidad son proporcionales al tiempo transcurrido, podemos construir la siguiente tabla:
De esta tabla concluimos que el cambio de velocidad es igual al producto de la aceleración por el tiempo transcurrido.
∆V = a∆t
Ecuación Fundamental del M.R.U.V Si t0=0
v = vo ± at
ECUACIONES DEL MRUV 2
v = v0 + 2a ( x − x0 ) 2
1 2 x − x0 = vot ± at 2
v0 + v f ∆X = Vm = ∆t 2
Todas estas ecuaciones son válidas sólo para
aceleración constante.
Ca铆da Libre En ausencia de la resistencia del aire, todos los objetos grandes o peque帽os , pesados o livianos que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra caen hacia ella con la misma aceleraci贸n constante bajo la influencia de la gravedad terrestre g . Direcci贸n del movimiento
Desplazamiento positivo
Velocidad positiva g=a
Y x
Desplazamiento negativo
Velocidad negativa
ECUACIONES CINEMATICAS PARA LA CAIDA LIBRE En lugar de x llamaremos y a las ecuaciones para m.r.u.v. (movimiento rectilíneo uniformemente variado)
v y = ± v0 y − gt 2
2
v y = voy − 2 gy
1 2 y − y0 = ±voy t − gt 2 voy + v y t y − y0 = 2
v = v0 + at 2
2
v y = vo + 2ax
1 2 x − x0 = vo t + at 2 vo + v y t x − x0 = 2
AnĂĄlisis del movimiento en CaĂda Libre
V=0 v Y
v
g=a x
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado 1 2 x = xo + vt − at 2 x
x
1 2 x = xo + vt + at 2
t t - Cuando la parábola se abre hacia arriba la aceleración es positiva; tiene un mínimo donde la velocidad es igual a cero. - Cuando la parábola se abre abajo arriba la aceleración es negativa; tiene un máximo donde la velocidad es igual a cero.
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado v = vo − at v = vo + at V
V
V V
Vo
m>0 a
Vo t
t m<0
-Vo
v − vo m= =a t − to
-a
v − vo m= = −a t − to
Pendiente es igual a la aceleración
to
t
t
Área bajo la curva es igual al Desplazamiento
v + vo )(t − to ) = 2 x − x0 = v(t − to ) Area = (
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado Para cualquier intervalo de tiempo la aceleración es constante a
Área bajo la curva es igual al cambio de velocidad
a to -a
t
t
Area = a (t − to ) = ∆v
v (m/s)
Calculo de distancia recorrida, desplazamiento, rapidez y velocidad media en un MRUA Distancia recorrida d =Σ Áreas (sin considerar signos)
v1 A1
A2
t2
t1
d= A1 + A2 + A3
t3 A3
t (s)
d= v1t1 + ½(t2 –t1)v1 +½(t3 –t2)v2 Desplazamiento resultante
-v2
D =Σ Áreas (considerar signos) D= A1 + A2 - A3 Rapidez media
D= v1t1 + ½(t2 –t1)v1 -½(t3 –t2)v2 r = d/t =Σ Áreas (sin considerar signos) t
Velocidad media
v = D/t =Σ Áreas (considerar signos) t
Un automóvil se mueve con una velocidad media de 10 km/h durante los primeros 30 min de su trayectoria recta; luego aumenta su velocidad de tal manera que, en los siguientes 30 s, su velocidad media es 12 km/h; pero encuentra un obstáculo, por lo que retrocede 100 m en 30 s y se detiene. Encontrar su velocidad media desde el inicio de su movimiento hasta que se detiene.
∆t1 = 30 min = 30 min ×
x = 100m = 100m × ∆t 2 = 30 s = 30 s × ∆t = 30 s = 30 s ×
1h 1 = h 60 min 2
1 km 1 = km 3 10 m 10
1h 1 = h 3600 s 120
1h 1 = h 3600 s 120
v=
∆x desplazamiento total = ∆t tiempo total
v 1 × ∆t 1 + v 2 × ∆ t 2 − x v= ∆t 1 + ∆t 2 + ∆ t
( 10 km h ) (1 / 2 h ) + (12 km h ) (1/120 h ) − (1 / 10 km ) v= 1 1 1 h+ h+ h 2 120 120
= 9.7 km / h
Ejercicio: Los gráficos mostrados representan el movimiento de una partícula en línea recta. ¿Cuál es la posición de la partícula a t=0?
Movimiento en dos Dimensiones
Movimiento en dos Dimensiones El movimiento en dos dimensiones o movimiento compuesto es aquel que se origina cuando intervienen dos movimientos simples los cuales se consideran independientes; el Movimiento RectilĂneo Uniforme y el Movimiento de CaĂda Libre.
LANZAMIENTO HORIZONTAL O TIRO SEMIPARABÓLICO • Se produce cuando un cuerpo es lanzado horizontalmente desde una altura o se lanza del piso deseando alcanzar una altura alejado a cierta distancia del punto de inicio del movimiento. • El movimiento de debe descomponer en un MOVIMIENTO HORIZONTAL y un MOVIMIENTO VERTICAL
Componentes de la Velocidad Inicial (Vo)
Ecuaciones Para este tipo de móviles el movimiento se descompone en sus componentes x y y. El movimiento en x no sufre aceleración, y por tanto sus ecuaciones serán:
Pero en cambio en el eje y se deja sentir la aceleración de la gravedad, por tanto sus ecuaciones serán:
Otras ecuaciones
V y =Vo y −2 g (Y −Yo) 2
2
Ecuación de la Trayectoria
Tiro Parabólico
v= vxî +vyĵ
v= voCosθ î +(vosenθ - gt) ĵ
Vector Posición r
r= rxî + ryĵ
r= voxt î + (voyt - ½gt2)ĵ r= (vocosθ)t î + (vosenθ t - ½gt2)ĵ
Altura máxima y tiempo de subida
Tiempo de subida y Altura maxima Vy =0 en el punto máximo
± V y = ±Vo y − gt
V y =Vo y −2 g (Y −Yo) 2
2
Alcance Máximo
X = vox tv Si la particula tiene un ΔY=0
Para una misma Vo y diferentes angulos de lanzamiento
90 = θ1 + θ 2
Ejercicio: Se dispara un proyectil con una velocidad de 240 m/s sobre un blanco B situado a 600 m por encima del arma A y a una distancia horizontal de 3600 m. Despreciando la resistencia del aire, determine el valor del ángulo de tiro α. Movimiento horizontal Vox = vo cos α= 240 cos α x = (240 cos α) t 3600=(240 cos α) t t= 3600 = 15 . 240 cos α cos α Y = voy t - ½gt2 ⇒ 600= 240sen α t - ½(9.81)t2
Movimiento vertical
⇒600= 240sen α (15) - ½(9.81) (15)2 cos α cos2 α ⇒ 1104 tg2 α - 3600tg α + 1704 = 0 , donde sec x=raiz(1 + tan2x) tg α = 0.575
y
α = 29.9º
tg α = 2.69 y
α = 69.6º
Problema
Problema
Taller
4. La altura máxima que alcanza el proyectil medida desde el punto donde fue lanzado es: • a) 186 m • b) 168 m • c) 148 m • d) 136 m • e) 126 m
5. La rapidez del proyectil al llegar al suelo es: • a) 104,5 m/s • b) 89,0 m/s • c) 84,5 m/s • d) 76,0 m/s • e) 68,5 m/s