Método gráfico de Singapur®
Solución de problemas Edición anotada
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Método gráfico de Singapur®
Solución de problemas Edición anotada
El libro Método gráfico de Singapur®. Solución de problemas 5. Primaria Integral. Edición anotada, es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López. Coordinadores Marta Cabo Nodar Gabriel Moreno Pineda
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El libro Método gráfico de Singapur®. Solución fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:
de problemas. Primaria Integral. Edición anotada
Edición: Marta Cabo Nodar y Gabriel Moreno Pineda. Asistencia editorial: Laura Gabriela Hernández Cruz. Cuidado de la edición: Laura Milena Valencia Escobar y María de la Luz Macías Arvizu. Corrección de estilo: Enrique Paz Ochoa. Diseño de interiores y portada: Mauricio Gómez Morin Fuentes, Francisco Ibarra Meza y Rocío Echávarri Rentería. Ilustraciones: José Luis Briseño. Diagramación: Adrián Hernández Jiménez. Digitalización y retoque de imágenes: José Perales Neria, Gerardo Hernández Ortiz y María Eugenia Guevara Sánchez. Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Manuel Zea Atenco y Benito Sayago Luna.
Enunciados de los problemas, prácticas y textos de apoyo: Ana María Naves Ramos, Lilia Raull Ariza, María Guadalupe Rule Ruiz de Huidobro y Cecilia Videgaray Carvajal Ejercicios y autoevaluaciones: Marta Cabo Nodar
Editor en Jefe de Primaria: Gabriel Moreno Pineda. Gerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez Martínez. Gerencia de Innovación Educativa: Marta Cabo Nodar. Gerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia Escobar. Gerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin Fuentes. Coordinación de Arte y Diseño: Francisco Ibarra Meza. La presentación y disposición en conjunto y de cada página del libro Método gráfico de Singapur®. Solución de problemas Primaria Integral. Edición anotada, son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
5.
D. R. © 2007 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V. Av. Universidad 767 03100, México, D. F.
ISBN: 978-970-29-1337-5 Primera edición: enero 2007 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México.
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Presentación En el enfoque de la enseñanza de las Matemáticas del Plan y Programas de Estudio. Educación Básica. Primaria, publicado por la SEP, se expresa con claridad que la solución de problemas es el sustento de los programas de la asignatura en los seis grados de Educación Primaria. A pesar de su importancia, hasta ahora se ha hecho poco para que los docentes cuenten con los recursos metodológicos adecuados que contribuyan al cumplimiento de dicho fin. Para subsanar tal carencia, Editorial Santillana pone a la consideración de las maestras y los maestros de quinto grado de Educación Primaria el libro de trabajo Método gráfico de Singapur®. Solución de problemas 5. Primaria Integral, elaborado íntegramente por docentes e investigadores mexicanos. Este apoyo didáctico, más que un cuaderno de ejercicios para que los estudiantes sólo resuelvan problemas, es una propuesta metodológica encaminada a desarrollar las competencias lógico-matemáticas de los escolares mediante la práctica de un procedimiento gráfico que involucra la comprensión lectora, el análisis de situaciones, el diseño de estrategias y la toma de decisiones. Para lograr el propósito anterior, es indispensable que las profesoras y los profesores tengan a su alcance un auxiliar que les ayude a conocer la propuesta y les permita aplicarla con facilidad en el salón de clases. Tal auxiliar es, precisamente, este libro: Método gráfico de Singapur®. Solución de problemas 5. Primaria Integral. Edición anotada, el cual está compuesto por tres partes claramente distinguibles. • En la primera parte se describen las secciones que componen el libro del alumno y se mencionan las bondades del Método gráfico de Singapur®. También se explica con sencillez en qué consiste cada paso del proceso y se enuncian las competencias asociadas. • La segunda parte está constituida por la reproducción del libro del alumno, con la solución modelo de todos de los ejercicios preparatorios, de los problemas propuestos y de las autoevaluaciones. • En la tercera parte se encuentran las soluciones desarrolladas de los problemas planteados en la sección Practicamos en casa del libro del alumno. Confiamos en que estos materiales didácticos contribuirán a hacer competentes a las niñas y los niños de México y ayudarán a las profesoras y los profesores de Educación Primaria en la noble tarea de formar a las mujeres y los hombres del futuro.
Los editores
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Estructura del libro del alumno El libro Método gráfico de Singapur®. Solución de problemas 5. Primaria Integral, está compuesto por una historieta en la que se presenta el proceso metodológico y cinco unidades de trabajo. A su vez, cada unidad consta de cuatro secciones que responden a un propósito concreto, el cual describimos en las siguientes páginas.
La historieta
¡Me han robado mis problemas! Un día, Saúl fue a la casa de Sonia y la encontró muy ocupada… ¡Hola Sonia! ¿Qué haces?
¡Yo no sé para qué debo resolver problemas, si lo que quiero ser es detective!
¡Aquí hecha líos! Me dejaron de tarea resolver este problema y… ¡no sé cómo hacerlo!
Saúl sonrió y dijo… Pero… ¡si resolver un problema es casi lo mismo que hacen los detectives!
No lo creo. A ver, ¿por qué no?
Porque los detectives buscan pistas para descubrir delincuentes y en un problema no hay delincuentes.
Es cierto, en los problemas no hay delincuentes pero, para resolverlos, es necesario seguir varias pistas. Yo te diré un secreto para hacerlo.
1. Lee con atención el problema María y Juan fueron a la tienda y compraron galletas. Juan compró 6 galletas más que María. Si entre los dos compraron 20 galletas, ¿cuántas compró María?
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Comienza el libro con una historieta en la que dos personajes explican el método paso a paso de forma amena, divertida y adecuada al pensamiento de los escolares. Los protagonistas de la historieta tratan de reflejar la edad, los intereses y los gustos de las niñas y los niños de quinto grado. Sin mencionar aspectos teóricos, los personajes plantean un problema sencillo y lo resuelven de acuerdo con el procedimiento básico del Método gráfico de Singapur®. En este sentido, se muestra con imágenes el proceso para solucionar un problema en lugar de presentar explicaciones formales.
Historieta
En la medida en que aparecen los pasos del Método gráfico de Singapur®, cada instrucción va acompañada con un icono, el cual se repite en los problemas con el fin de que los escolares identifiquen los pasos que han de seguir.
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Ejercicios preparatorios Las unidades empiezan con una serie de ejercicios preparatorios que tienen dos finalidades principales: introducir a los estudiantes en la representación gráfica de ciertas situaciones matemáticas relacionadas con la vida cotidiana, y desarrollar destrezas nemotécnicas que potencian el cálculo mental.
Básicamente, los ejercicios preparatorios se enmarcan en el eje programático Los números, sus relaciones y sus operaciones.
Un componente importante de los ejercicios preparatorios es el correspondiente a las operaciones matemáticas. En estas páginas no se busca enseñar las cuatro operaciones básicas, sino poner en práctica relaciones entre ellas para potenciar la agilidad en el cálculo y plantear estrategias alternativas para realizar algunas operaciones.
3 53+21=5+2+3+2=7+ +1 4 2 4 4 1 2 + 3 1 + 4 2 + 3 = 4
¡Casi expertos!
Estos ejercicios responden a dos propósitos muy claros: preparar a los estudiantes para el conocimiento del método mediante la presentación de situaciones matemáticas que puedan ser ilustradas en su totalidad en un gráfico, y ofrecer a los educandos opciones alternativas para promover el cálculo mental.
entera y luego las fracciones.
1 = 2
3+1= 4 2
53+21= 4 2
35+53=3+5+5+3=8+5+3 6 4 6 4 6 4 + 5+3 6 4 + 5 = 6
3 = 4
5+3= 6 4 35+53= 6 4
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Unidad 3 • Ejercicios preparatorios
Los ejercicios preparatorios de cada unidad incluyen páginas en las que se pide representar una situación de manera gráfica o inventar la situación a partir de un gráfico; de esta forma, se aproxima a los escolares a la interpretación matemática de un diagrama compuesto por una barra unidad, base principal del Método gráfico de Singapur®.
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Problemas Una colección de problemas propuestos para su solución es la parte principal de cada unidad. A cada problema se le dedica una página completa; así, los escolares tendrán suficiente espacio para resolverlo de acuerdo con los pasos del método.
Todos los problemas se elaboraron a partir de los contenidos del Plan y Programas de Estudio. Matemáticas. Quinto grado, y responden al enfoque oficial de la asignatura.
Clavelitos, clavelitos 1. Lee con atención el problema
¡Cada vez mejor!
2. Decide de qué o de quién se habla
Carlos quiere sembrar 14 plantas de cla en su invernadero. Para hacerlo, excavó zanja de 16.10 m de largo. Si entre cad planta debe haber la misma separación, ¿a qué distancia debe sembrarlas?
3. Dibuja la barra unidad
Representa el largo de la zanja con una barra unidad y divídela entre la cantidad de plantas.
Claveles de Carlos
El diseño de las páginas permite identificar con claridad las partes en las que se da énfasis a la comprensión lectora y a la comunicación escrita, las cuales se identifican por el fondo azul.
Fíjate que el problema habla de los claveles de Carlos.
¡Son muchas plantas! Bueno, representa las primeras y las últimas e indica las demás con puntos suspensivos.
4. Lee el problema frase por frase o número por número
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema
Después de hacer la operación, anota en el gráfico la distancia que debe haber entre una planta y otra.
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Asimismo, se distinguen con un fondo cuadriculado las secciones en que se potencian las competencias lógico-matemáticas. Se destacan también las partes en las que se apoya a las alumnas y los alumnos, tanto para la comprensión integral del problema como para la aprehensión de los pasos del método.
Unidad 2 • Problema 7
Los apoyos que se brindan aparecen como intervenciones de los personajes de la historieta, los cuales comunican mensajes a las niñas y los niños para ayudarles a solucionar correctamente los problemas.
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En la medida en que el libro avanza, y las niñas y los niños se familiarizan con el método de solución, el grado de complejidad de los problemas aumenta; pero éste se orienta más a la representación gráfica que a la realización de operaciones aritméticas.
Las ayudas que los personajes ofrecen a los estudiantes se centran en cómo hacer la representación gráfica más que en las operaciones por realizar.
Una familia muy aguada Los miembros de una familia beben li medio de agua por la mañana, 2 4 po 8 3 tarde y por la noche. ¿Cuántos litros 4 consumen durante el día?
Poco a poco, las intervenciones de los personajes disminuyen en cantidad, según se avanza en la adquisición del método. Con el fin de que los escolares se familiaricen con la diagramación y los pasos del método, en las primeras unidades se incluyen partes resueltas de los problemas.
Además de los iconos, en las primeras unidades se incluyen las instrucciones que conforman los pasos del método.
¿Te diste cuenta de que el problema habla de litros de agua?
¿Cómo representarás la cantidad de agua que consumió la familia en un día?
Unidad 4 • Problema 12
Seguimos practicando
En todas las páginas dedicadas a la solución de problemas, los pasos del método aparecen acompañados por los iconos que se presentaron en la historieta.
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En la última unidad, los iconos se presentan sin el apoyo de las instrucciones. En conjunto, el trabajo con las unidades propicia el conocimiento y la aplicación de un método efectivo para solucionar problemas, el cual contribuye a desarrollar habilidades de comprensión lectora y destrezas lógico-matemáticas que harán competentes a los escolares en estos ámbitos.
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Practicamos en casa Después del último problema de cada unidad, se ofrece a las alumnas y los alumnos una lista con varios problemas para que los resuelvan de tarea.
Los problemas elegidos para ser resueltos de tarea son muy similares a los propuestos en cada unidad. Aurora ha trabajado 4 jornadas de 7 h 25 min cada una. ¿Cuánto tiempo trabajó en total?
Práctica 11
Bernardo colocó unos tubos entre las zanjas de su invernadero para abastecer de agua a sus plantas. Si pagó $599.30 por 26 tubos, ¿cuánto le costó cada uno?
Práctica 12
Mariana compró el CD de su cantante favorito; si el CD tiene un radio de 3 cm, ¿cuál es su área?
Práctica 13
1 Rosa tardó 3 días en redactar un relato. El lunes escribió 4 3 2 1 páginas, el martes 5 y el miércoles 6 . ¿Cuántas páginas 6 12
¡Cada vez mejor!
Práctica 10
Con esta semejanza, se pretende que los escolares afinen su capacidad de percepción, apliquen diversas estrategias de comprensión lectora y perciban las diferencias, a veces sutiles, pero que exigen otra forma de representación gráfica.
tiene el relato de Rosa?
Práctica 14
En un deportivo quieren construir una alberca que mida 50 m de largo por 25 m de ancho. ¿Cuál es el área del terreno que deben tomar en cuenta?
Práctica 15
Raquel corrió una carrera en 3 etapas. Hizo la primera etapa en 2 h 29 min 46 s; la segunda, en 3 h 29 min 50 s, y la tercera, en 1 h 40 min 10 s. ¿En cuánto tiempo corrió la carrera?
Práctica 16
Compré
Práctica 17
Un tinaco tenía 12 1 litros de agua. Si quedan 7 3 litros, 4 2 ¿cuántos litros se ocuparon?
Práctica 18
Para realizar un juego, la maestra va a pintar un hexágono en el patio de la escuela. Si ella sabe que cada triángulo que lo formará ha de medir 42 cm de base por 38 cm de altura, ¿cuál será el área que pintará la maestra?
4 3 de pizza y sólo me comí . ¿Qué porción de pizza 4 8 me sobró?
Unidad 2 • Prácticas 2
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Como se espera que cada estudiante diagrame y resuelva estos problemas en su cuaderno, es posible —y conveniente— que haya variantes en el proceso de solución, pues todo problema es susceptible de ser diagramado de varias formas para dar un resultado correcto. A pesar de su aparente rigidez, el método es tan flexible que permite a las niñas y los niños poner en práctica su pensamiento lógico y, de este modo, apliquen estrategias válidas para resolver problemas.
Los problemas de la sección Practicamos en casa aparecen resueltos en la parte final del libro del maestro. La diagramación elegida es la más sencilla y la más apegada a lo visto en el libro del alumno, pero no es la única.
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Autoevaluación Cada unidad concluye con dos ejercicios de autoevaluación, cuya finalidad consiste en que las niñas y los niños refuercen los aspectos del método que dominan, reflexionen acerca de sus puntos débiles para superarlos y valoren su aprendizaje.
Los ejercicios propuestos en estas páginas buscan desarrollar el pensamiento metacognitivo de las alumnas y los alumnos por medio de algunas prácticas, como aclarar ciertos pasos del método, completar la solución de un problema, finalizar unas diagramaciones o explicar la resolución completa de un problema.
Los problemas elegidos para las autoevaluaciones tienen un grado de dificultad mayor que el de los problemas de las unidades; esto se debe a que los estudiantes no deben saber resolverlos, sino explicar el proceso que se siguió para llegar a la respuesta.
María se pasó la tarde del sábado cocinando pastelitos. El domingo le llevó 2 3 del total de pasteles a su abuela Elvira. De los pastelitos que sobraron, guardó 3 4 para compartirlos con sus amigos del colegio el lunes. Luego, ella se comió los 2 pasteles que sobraron. ¿Cuántos pasteles hizo María el sábado?
? Pastelitos de María
Abuela 8
24
Abuela 8
Sobran 8 2 2 2 2 Amigos María
2×4=8 8 × 3 = 24
María hizo 24 pastelitos el sábado.
Seguimos practicando
Los ejercicios de autoevaluación intentan relacionar, de manera activa, los procesos del pensamiento lógicomatemático con las estructuras del pensamiento lógico-lingüístico, con el fin de que los escolares sean capaces de construir la explicación escrita de un procedimiento cognitivo.
Explica los pasos que se siguieron para resolver el siguiente problema.
Unidad 4 • Autoevaluación 2
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Para las maestras y los maestros, las autoevaluaciones brindan la oportunidad de valorar cuándo las niñas y los niños están listos para dar el salto de lo concreto a lo abstracto sin pasar por lo pictórico o, por el contrario, si ven la graficación como un obstáculo para resolver un problema.
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Competencias Principales competencias que se desarrollan con el trabajo propuesto en el libro Método gráfico de Singapur®. Solución de problemas 5. Primaria Integral.
Aprender a aprender
Lógica–matemática
Comunicación
EJES
COMPETENCIAS
INDICADORES
Los estudiantes serán capaces de:
Se advierte cuando las niñas y los niños:
Analizar y organizar las ideas de varios tipos de texto, comprendiendo su sentido.
Anticipan y localizan en un texto la información que necesitan. Utilizan algunas estrategias para comprender textos.
Escribir con seguridad y precisión diversos tipos de textos.
Hacen notar lo más importante en lo que escriben.
Anticipar resultados y resolver mentalmente problemas sencillos de medición y cálculo con números enteros y decimales.
Calculan el resultado de problemas de suma, resta, multiplicación y división. Construyen sus propias estrategias para resolver problemas. Comparan con sus compañeras y compañeros las estrategias para la solución de problemas y sugieren cómo mejorarlas.
Resolver problemas con las cuatro operaciones, y manejar la calculadora con distintos fines.
Resuelven problemas que requieren cualquiera de las operaciones básicas, utilizando diversos procedimientos. Al analizar un problema, reconocen qué operaciones necesitan realizar y pueden justificar su elección. Resuelven problemas de división con ayuda de material y con operaciones.
Calcular el resultado de problemas de suma y resta de fracciones y explicar cómo obtuvieron el resultado. Calcular y resolver problemas que implican el uso de medidas de longitud, superficie, capacidad, peso, tiempo y medidas angulares.
Resuelven y explican problemas de suma y resta de fracciones con diferente denominador. Resuelven problemas que implican el uso de medidas de longitud, superficie, capacidad, peso y tiempo.
Resolver problemas de variación proporcional directa e inversa.
Resuelven problemas en los cuales una cantidad depende directamente de otra (proporción directa) y otros en los que la relación es inversa.
Obtener, organizar, analizar y utilizar información numérica.
Encuentran la información que falta, y que es necesaria, para resolver un problema. Analizan información que obtienen en tablas y gráficas, y la organizan para resolver problemas.
Encontrar las causas de un problema o situación y pensar en posibles formas de resolverlo. Reconocer elementos importantes de un problema y plantear alguna forma de solucionarlo. Comparar, clasificar, analizar e integrar información para resolver problemas.
Exploran, reconocen y organizan los datos de un problema. Proponen diferentes estrategias para resolver problemas. Para entender un problema, lo comparan con otro que se les haya presentado. Encuentran estrategias para llegar a la solución de un problema. Revisan la información que tienen para determinar lo que hace falta. Buscan relaciones de causa-efecto a partir de la información que tienen.
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EJERCICIOS
PASOS DEL MÉTODO GRÁFICO DE SINGAPUR
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PRÁCTICAS AUTOEVALUACIÓN
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Propuesta de dosificación Método gráfico de Singapur®. Solución de problemas 5. Primaria Integral, es un libro de actividades que facilita el aprendizaje de las Matemáticas basado en competencias, refuerza el trabajo propuesto en los libros de texto y apoya el desarrollo de habilidades cognitivas de las alumnas y los alumnos. Elaborado especialmente para responder a los requerimientos del enfoque oficial de la enseñanza de las Matemáticas respecto a la solución de problemas, el libro está organizado en cinco unidades de trabajo, en consonancia con los cinco bimestres en que se divide el calendario escolar. A su vez, cada unidad está compuesta por cuatro secciones dedicadas respectivamente a la realización de ejercicios, problemas, prácticas y autoevaluaciones, las cuales pueden distribuirse de manera que los escolares trabajen con ellas a lo largo de ocho semanas. Debido a su flexibilidad estructural, Método gráfico de Singapur®. Solución de problemas 5. Primaria Integral, se adapta con facilidad a varias formas de trabajo. La primera es la sugerida por las autoras, en la cual se sigue el orden natural del texto. De este modo, se desarrollan gradualmente la práctica de procedimientos relacionados con las operaciones aritméticas, la adquisición y consolidación de los procesos metodológicos y la valoración del aprendizaje. Otra manera de sistematizar las actividades propuestas en este libro se muestra en la matriz de la página siguiente, donde se propone una organización vertical y horizontal orientada a la construcción paulatina de conocimientos y a la aplicación constante de los aprendizajes. Entre las ventajas de esta modalidad se encuentran las siguientes: •
•
•
El profesor o la profesora de grupo puede dedicar de 20 a 30 minutos diarios para que los estudiantes realicen una actividad específica: efectuar unos cuantos ejercicios preparatorios, resolver un problema, revisar una práctica hecha en casa o evaluar su dominio del método. Se brinda la oportunidad para que las niñas y los niños recuperen sus conocimientos y, a partir de ellos, construyan, apliquen y valoren sus aprendizajes sin que medie un lapso demasiado largo entre las etapas de adquisición, transferencia y evaluación. Se favorece la comunicación inmediata entre docentes y escolares para resolver dudas específicas sobre la aplicación del método o revisar los procedimientos aritméticos empleados en la solución de un problema.
Los números empleados en la matriz corresponden al orden de aparición de los contenidos de cada sección; por ejemplo, en la primera semana se sugiere que las niñas y los niños trabajen con la primera página de ejercicios de la unidad 1, los problemas 1 y 2, y resuelvan en casa las prácticas 1 y 2.
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Matriz de dosificación
1.er bimestre 2.º bimestre
Unidad 2
Unidad 1
Ejercicios
3.er bimestre 4.º bimestre
Unidad 3 Unidad 4
1
1, 2
1, 2
Semana 2
2
3, 4
3, 4
5, 6, 7
5, 6
Semana 3 Semana 4
3
8, 9
7, 8
Semana 5
4
10, 11, 12
9
13, 14
10, 11, 12
15, 16
13, 14
Semana 6 Semana 7
5
Semana 8
6
Semana 9
1
Semana 10 Semana 11
2
Semana 12 Semana 13
3
Semana 14 Semana 15
4
15, 16 1, 2
1, 2
3, 4, 5
3, 4
6, 7
5, 6
8, 9, 10
7, 8
11, 12
9, 10
13, 14, 15
11, 12, 13
16, 17
14, 15
18
16, 17, 18
Semana 17
1
1, 2
1, 2
Semana 18
2
3, 4
3, 4
5, 6, 7
5, 6
Semana 19 Semana 20
3
8
7, 8
Semana 21
4
9, 10
9, 10
11, 12, 13
11, 12
Semana 22 Semana 23
5
14, 15
13, 14
Semana 24
6
16
15, 16
Semana 25
1
1, 2, 3
1
4, 5
2, 3, 4
6, 7
5
8, 9
6, 7
10, 11
8, 9
12, 13
10, 11, 12
14, 15
13, 14
16
15, 16
1, 2, 3
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4, 5
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6, 7
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8, 9
6, 7
10, 11
8, 9
12, 13
10, 11
14
12, 13, 14
15, 16
15, 16
Semana 26 Semana 27
2
Semana 28 Semana 29
3
Semana 30 Semana 31
4
Semana 32 Semana 33
5.º bimestre
Prácticas
Semana 1
Semana 16
Unidad 5
Problemas
Semana 34
1
Semana 35 Semana 36
2
Semana 37 Semana 38
3
Semana 39 Semana 40
4
Autoevaluación
1, 2
1
2
1
2
1
2
1 2
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El método gráfico para la solución de problemas paso a paso Las Matemáticas mediante la solución de problemas En la actualidad, es muy difícil concebir la enseñanza competente de las Matemáticas sin actividades de solución de problemas porque éstas son las herramientas que, desde siempre, se han empleado para acercar dicha disciplina al mundo real. Casi nadie puede comprender el sentido de aprender sumas, restas, fracciones o Geometría si este aprendizaje no tiene una aplicación práctica; por eso, muchas veces se escucha a las niñas y los niños decir que las Matemáticas no sirven para nada o que es suficiente con saber hacer las operaciones básicas (sumar, restar, multiplicar y dividir). Concepciones erróneas como ésas se pueden paliar si se aproxima a las alumnas y los alumnos a las Matemáticas mediante la solución de problemas vinculados con su vida cotidiana. A pesar de su importancia, la enseñanza de las Matemáticas por medio de la solución de problemas es un tema poco desarrollado en nuestro país porque se piensa que éstos no son más que meras aplicaciones de los conceptos aprendidos y, en consecuencia, los estudiantes tienden a fijarse más en los conceptos que en el enunciado del problema para resolverlo. No es raro observar que, ante un problema propuesto después de haber practicado la multiplicación, los escolares se dispongan a efectuar multiplicaciones sin haber leído el enunciado. Esto se debe, entre otras causas, a los muchos consejos que se ofrecen a los educandos para resolver problemas, como proponerles buscar las palabras clave que remiten a una operación (cuánto falta, cuánto sobra, entre todos, a cada uno, en total…) y efectuarla, ignorando la comprensión del enunciado; esto permite que los
estudiantes escriban un número como respuesta, quizá resaltado, pero fuera de contexto, sin explicar qué quiere decir ni a qué se refiere. Actitudes como las anteriores refuerzan la idea de que los problemas son vistos en la escuela como otro tipo de ejercicios, en los que quizá haya que pensar un poco más, pero no como situaciones relacionadas con la vida cotidiana que se pueden presentar en cualquier momento y que no es suficiente responder con un simple número. Por otra parte, se puede observar que el temor de las niñas y los niños hacia los problemas matemáticos no radica, en la mayoría de los casos, en la falta de conocimientos para resolverlos, sino en una mala actitud ante ellos, en la carencia de habilidades de comprensión lectora para identificar lo que se pide y en la falsa creencia de que con una sola lectura se es capaz de resolver cualquier problema.
El método gráfico para la solución de problemas Con la finalidad de proporcionar a los docentes de Educación Primaria un apoyo eficaz para desarrollar las competencias lógico-matemáticas de los escolares, presentamos a continuación un método para la solución de problemas que ha dado excelentes resultados en Singapur y otros países de Oriente y que, debido a su efectividad, se está implantando en Estados Unidos de América y en el Reino Unido. Mediante unos cuantos pasos, muy sencillos de seguir, las alumnas y los alumnos serán capaces de aprender a leer un problema de manera comprensiva, deducir lo que pide el enunciado, plantear estrategias de solución, elegir y efectuar las operaciones aritméticas más adecuadas para
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resolverlo y concluir el problema sin desligarlo de su contexto significativo. En conjunto, estas acciones están encaminadas a desarrollar el pensamiento lógico de los estudiantes.
programático Los números, sus relaciones y sus operaciones. Después, veremos su aplicación para solucionar problemas de los ejes Geometría y Medición.
Para introducir el método, comenzaremos con los pasos básicos para resolver los problemas más comunes y a los que primero se enfrentan los educandos, los correspondientes al eje
Los pasos básicos del método gráfico, que hemos vinculado con unos iconos en nuestra propuesta, son los siguientes:
Leer con atención el problema completo. Decidir de qué o de quién se habla en el problema. Dibujar una barra unidad para cada sujeto del problema. Leer el problema de nuevo; esta vez deteniéndose en cada frase o en cada número, si hay más de uno por frase.
Ilustrar la barra o las barras unidad con la información que proporciona el problema. Identificar la pregunta del problema e ilustrarla. Realizar las operaciones correspondientes y escribir el resultado en el gráfico. Escribir la respuesta del problema como una oración completa.
Aplicados a un problema concreto, los pasos básicos se desarrollan de la siguiente manera: El procedimiento comienza con la lectura atenta del enunciado del problema.
Después, se decide de qué o de quién se habla en el problema. Si es necesario, se repite la lectura.
María y Juan fueron a la tienda y compraron galletas. Juan compró 6 galletas más que María. Si entre los dos compraron 20 galletas, ¿cuántas compró María?
¿De qué se habla?
¿De quién se habla?
Galletas Galletas
de María de Juan
Se dibuja una barra unidad para cada sujeto del problema. Por lo común, la barra unidad es un rectángulo muy sencillo.
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Luego, se lee el problema otra vez, deteniéndose en cada frase o en cada número, si hay más de uno por frase.
(1) María y Juan fueron a la tienda y compraron galletas. (2) Juan compró 6 galletas más que María. (3) Si entre los dos compraron 20 galletas, ¿cuántas compró María?
Al mismo tiempo que se lee el problema, se ilustran las barras unidad con la información que se obtiene del problema.
¿De qué se habla?
¿De quién se habla?
Galletas
de María
(1) Galletas
Galletas
de Juan
(2) Galletas
(3) 20 6
Según la representación gráfica, el problema dice que: (1) María compró galletas. (2) Juan compró 6 galletas más que María. (3) Entre los dos compraron 20 galletas. El siguiente paso consiste en identificar la pregunta del problema e ilustrarla con un signo de interrogación. En este caso, se pregunta sólo por las galletas que compró María.
Galletas
?
20 6
Galletas
A continuación, se realizan las operaciones pertinentes. En el ejemplo que nos ocupa, sabemos que Juan y María compraron 20 galletas, pero él compró 6 más que ella; entonces, importa saber cuántas galletas compró cada uno. Dicho de otro modo, se quiere saber, utilizando el gráfico, cuántas galletas representan las barras unidad que tienen la misma longitud. Para ello, se comienza por restar 20 – 6 = 14 y se representa el resultado en el gráfico:
¿De qué se habla?
¿De quién se habla?
Galletas
de María
Galletas
Galletas
de Juan
Galletas
?
14 20 6
XVI PL 0 EA.indd XVI
10/15/07 10:35:54 PM
De este modo, se tiene que las dos barras unidad del mismo tamaño suman 14. Las niñas y los niños emplearán alguna estrategia (encontrar dos números iguales que sumen 14 o dividir 14 en dos partes iguales) para saber que cada barra tiene valor de 7.
7 + 7 = 14
o
14 ÷ 2 = 7
¿De qué se habla?
¿De quién se habla?
Galletas
de María
Galletas 7
Galletas
de Juan
Galletas 7
?
14 20 6
De esta manera, el problema queda totalmente resuelto en el gráfico, pero esto no significa que se haya terminado. El último paso, y no por ello el menos importante, es contestar el problema con una oración completa:
María compró 7 galletas. Como se puede observar, el gráfico contiene información adicional que no se pregunta en el problema, como la cantidad de galletas que compró Juan. Se espera que todo el proceso se realice en un gráfico; sin embargo, algunos problemas proporcionan tanta información que se hace indispensable duplicar la barra unidad, o una parte de ella, para no saturarla, como se muestra en el siguiente ejemplo.
El papá de Miguel compró 12 chocolates para compartirlos con su familia. A la mamá de Miguel le dio 1 ; de los que 3
sobraron, 3 fueron para Miguel y él se comió el resto. 4
¿Cuántos chocolates le correspondieron al papá de Miguel? 12
¿De qué se habla? ¿De quién se habla?
Chocolates
del papá de Miguel
Mamá de Miguel
Sobraron
Miguel
Sobraron
? XVII
PL 0 EA.indd XVII
10/15/07 10:35:55 PM
En la graficación del problema, los datos numéricos son la cantidad de chocolates que compró el papá de Miguel y las partes en que los fue dividiendo para repartirlos. En este caso, se duplicó la barra unidad de los chocolates que sobraron para hacer comprensible la partición y se ilustró la pregunta con un signo de interrogación. El siguiente paso consiste en realizar las operaciones.
12 = 4 3
Primero, se debe saber cuántos chocolates corresponden a cada una de las divisiones de 1 . 3
4+4=8
Luego, se determina cuántos chocolates sobraron.
2 de 12 = 8 3
o
8 =2 4
El paso siguiente es saber cuántos chocolates corresponden a cada una de las divisiones de 1 . 4
Al papá de Miguel le correspondieron 2 chocolates.
Como el papá de Miguel se quedó con uno de esos cuartos, se obtiene la respuesta del problema.
La representación gráfica quedaría de la siguiente forma: 12
¿De qué se habla? ¿De quién se habla?
Chocolates
del papá de Miguel
Mamá de Miguel
Sobraron
Sobraron
4
4
4 8 2
2 Miguel
Se observa cómo el problema queda totalmente ilustrado con un gráfico sencillo que, en el momento de revisarlo, permite identificar con facilidad el procedimiento que se siguió. La aplicación continua de este método para resolver problemas permite que los estudiantes vayan de lo concreto (la situación del problema) a lo abstracto
2
? 2
(las operaciones aritméticas) pasando por lo pictórico (el gráfico); por tanto, en la medida que las niñas y los niños dominen el procedimiento y sean capaces de resolver cualquier tipo de problema graficándolo, es conveniente que ilustren sólo las partes difíciles y realicen las operaciones aritméticas tanto de forma explícita como empleando el cálculo mental.
XVIII PL 0 EA.indd XVIII
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Un recurso para evaluar cuándo un estudiante puede pasar a un ámbito más abstracto es la explicación escrita de la solución de un problema. En ella, el escolar tendrá que organizar su pensamiento para esclarecer el porqué de cada gráfico y de cada operación; asimismo, debe ser capaz de describir cómo llegar a la respuesta sin emplear demasiados números en su explicación. Si las alumnas y los alumnos realizan correctamente este ejercicio es porque comprenden el procedimiento para resolver problemas y pueden pasar al siguiente nivel de abstracción.
Aplicación del método gráfico para resolver problemas de Geometría Los pasos básicos para resolver problemas del eje programático Los números, sus relaciones y sus operaciones se aplican con pequeñas variantes a los problemas del eje Geometría, en los que se habla de una figura o de un cuerpo geométricos y se trabaja con sus lados, caras, perímetro, área o volumen.
Después de saber de qué o de quién se habla, es comprensible que en lugar de dibujar una barra unidad, se trace la figura geométrica o el cuerpo al que se refiere el problema, donde se ilustrará la información del enunciado. En los problemas que piden calcular el perímetro de una figura, dadas ciertas medidas, conviene que las niñas y los niños se acostumbren a “desdoblar” o “estirar” la figura geométrica, es decir, dibujarla como una línea recta con varios puntos de unión, como si estuviera hecha con las piezas de un juego de mecano a la que se ha eliminado un tornillo. Con este sencillo cambio se pretende lograr dos objetivos primordiales: por un lado, hacer un gráfico más simple del problema que permita identificar la pregunta con facilidad; por otro, reforzar el concepto de perímetro como la medida del contorno de una figura. Veamos un par de ejemplos de la aplicación del método gráfico a la solución de problemas de Geometría.
Manuel desea cubrir con papel tapiz una de las paredes de su casa. La pared tiene forma rectangular y mide 4 m de ancho y 2 m de alto. Si el papel que le gusta a Manuel cuesta $10 el m2, ¿cuánto dinero necesita para tapizar la pared?
¿De qué se habla? ¿De quién se habla?
La pared
de Manuel
$?
2m
4m
Es importante advertir a las alumnas y los alumnos que las medidas se dan en metros y el costo del papel tapiz en metros cuadrados (m2) para que ellos identifiquen con claridad que el costo se refiere a medidas de área y, como tal, primero se debe calcular el área de la pared.
XIX PL 0 EA.indd XIX
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El signo de interrogación se situó en el interior de la figura para indicar que se necesita calcular un área; el signo de pesos se incluyó para mostrar que en el problema se pregunta por la cantidad de dinero que cuesta tapizar esa área.
Área de la pared: 4 x 2 = 8 m2 Costo de 1 m2 de papel tapiz = $10 Costo de 8 m2 de papel tapiz = 8 x $10 = $80 Respuesta del problema:
Manuel necesita $80 para tapizar la pared.
En el siguiente ejemplo se muestra la representación gráfica de un problema de perímetro.
Paula practica para participar en la carrera de fin de curso en un parque que tiene forma hexagonal. Si cada lado del parque mide 30 m, ¿cuántos metros recorrerá Paula al final de dos vueltas completas? Como el problema habla sólo de una persona y no hace referencia a un sujeto inanimado, no se anota de qué se habla. De manera similar, es posible que un problema mencione sólo un qué y no incluya un quién.
¿De qué se habla?
¿De quién se habla?
30 m
Paula “Desdoblamos” o “estiramos” dos veces la figura porque Paula da dos vueltas.
30 m 30 m 30 m 30 m 30 m 30 m 30 m 30 m 30 m 30 m 30 m 30 m
A continuación, se realizan las operaciones y se escribe la respuesta.
Respuesta del problema:
1 vuelta = 6 × 30 = 180 m 2 vueltas = 180 × 2 = 360 m Paula recorrerá 360 metros al final de dos vueltas completas.
Una ventaja del método gráfico es que el procedimiento de solución se hace evidente, lo que favorece el desarrollo de la observación, del análisis y del cálculo mental.
XX PL 0 EA.indd XX
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Aplicación del método gráfico para resolver problemas de tiempo Para resolver problemas de tiempo tampoco es necesario dibujar una barra unidad, pues resulta más útil trazar una “línea del tiempo” donde se ubique la información del enunciado, como se puede apreciar en los siguientes ejemplos.
A Luis le regalaron una tortuga hace 3 años, 4 meses y 10 días. Si la tortuga ya tenía 1 año, 5 meses y 3 días cuando se la dieron, ¿qué edad tiene la tortuga ahora?
¿De qué se habla? ¿De quién se habla?
La tortuga
Nació
?
de Luis 3 años, 4 meses, 10 días
1 año, 5 meses, 3 días 1 año + 3 años 4 años
Para saber qué edad tiene la tortuga ahora, se suman ambas cantidades.
5 meses 4 meses 9 meses
3 días 10 días 13 días
Ahora, la edad de la tortuga es de 4 años, 9 meses y 13 días.
Respuesta del problema:
Rosita salió a pasear a su perro a las 3:30 de la tarde. Si regresó a las 6:00 de la tarde, ¿cuánto tiempo paseó a su perro?
?
¿De qué se habla? ¿De quién se habla?
El perro
Hoy
Regalaron
de Rosita
3:30
4:00
4:30
5:00
5:30
6:00
Cuando los estudiantes se enfrentan por primera vez con problemas de este tipo, es recomendable que dividan la línea de tiempo en fracciones de media hora y hagan los cálculos como sumas de medias horas, bien mentalmente, bien por escrito.
2 medias horas = 1 hora
5 medias horas = 2 horas y media
XXI PL 0 EA.indd XXI
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Aplicación del método gráfico para resolver problemas de conversión de medidas Los problemas que implican medidas de longitud, peso o volumen se resuelven como los del eje Los números, sus relaciones y sus operaciones si se omiten las medidas, aunque es importante que los escolares entiendan las conversiones de centímetros a metros, kilogramos a gramos, litros a mililitros, etcétera. En el siguiente ejemplo se muestra una forma de representar gráficamente un problema de ese tipo.
Un hospital compró 200 dosis individuales de vacuna. Si cada dosis viene en un frasco de 25 ml, ¿cuántos litros de vacuna compró el hospital?
litros ¿De qué se habla? ¿De quién se habla?
Vacunas de un hospital
?
25 ml 25 ml ... 25 ml 25 ml 200 frascos 1 frasco = 25 ml
200 frascos = 200 × 25 = 2 500 ml
Como 1 000 ml = 1 litro, entonces 2 500 = 2.5 litros 1 000 Respuesta del problema:
El hospital compró 2.5 litros de vacuna.
Como se puede observar, en el gráfico del problema no se dibujaron 200 barras unidad para ilustrar los frascos, sino unas cuantas al principio y al final, se añadieron puntos suspensivos en medio y se incluyó la indicación de que se trata de 200 frascos. Éste es el procedimiento adecuado para trabajar con cantidades grandes y requiere un grado de abstracción que los escolares adquirirán con la práctica. Por otra parte, en las barras dibujadas se indicó que cada una simboliza 25 ml y la pregunta está en litros. Esperamos que esta breve introducción permita advertir el potencial del método gráfico para resolver problemas no sólo en el desarrollo de las competencias lógico-matemáticas y comunicativas de las niñas y los niños, sino también en el perfeccionamiento de sus habilidades cognitivas.
Marta Cabo Nodar
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Método gráfico de Singapur®
Solución de problemas
El libro Método gráfico de Singapur®. Solución de problemas 5. Primaria Integral, es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López. Coordinadores Marta Cabo Nodar Gabriel Moreno Pineda
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Presentación Cuando alguien quiere andar en bicicleta, requiere subirse a una para aprender a mover los pedales y a mantener el equilibrio. Eso es suficiente para conducir el aparato sin caerse. Pero si lo que desea es dominar la bicicleta para moverse con agilidad, rapidez y precisión, entonces necesita aprender una serie de procedimientos que le ayuden a realizar estas actividades de la mejor forma posible, es decir, necesita conocer un método. Algo parecido ocurre con todas las actividades que realizas como, por ejemplo, comprender lo que lees, expresar tus ideas con claridad o resolver problemas matemáticos. De este modo, tú puedes efectuar acciones de ese tipo siguiendo un método que te facilite su realización y te haga cada vez más competente o, por el contrario, puedes complicarte la existencia tratando de hacer cada cosa como se te ocurra en el momento. Ya que un método es un buen recurso para hacer las cosas cada vez mejor, en este libro te enseñamos a trabajar con uno que emplean las niñas y los niños de Singapur para resolver problemas matemáticos y, al mismo tiempo, les ayuda a organizar su pensamiento y a ser más competentes en los aspectos lógico-matemáticos. Te preguntarás: ¿por qué un método de Singapur para resolver problemas? Pues por la sencilla razón de que es tan efectivo, claro y sencillo que los estudiantes de ese país son los que mejor utilizan las Matemáticas en el mundo. Y tú puedes lograr el mismo resultado con un poco de esfuerzo y disciplina. Aunque el libro Método Gráfico de Singapur®. Solución de Problemas 5 presenta bastantes problemas para que los resuelvas, éstos son sólo un medio para lograr que domines el método, lo utilices cada vez que lo consideres necesario y pierdas el temor a las Matemáticas. Esperamos que este libro cumpla con el propósito con el que fue creado y también formes parte de los mejores estudiantes del mundo.
Los editores
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Índice HISTORIETA ¡Me han robado mis problemas!
6
UNIDAD 1 ¡Empezamos! Ejercicios preparatorios
Ejercicios preparatorios 10
Problemas Sebastián a prueba 16 ¡Viva México! 17 Herramientas por si se descompone el tren 18 En el colegio no sólo se estudia 19 Una carrera muy igualada 20 Rosita adelanta trabajo 21 Nueces por kilos 22 Abuelito de museo 23 Mucho espacio para una cama y otras cosas 24 Un señor que tiene prisa 25 Gloria golosa 26 ¿Cuántos coches cabrán? 27 ¿Una fracción de costal o un costal entero? 28 Tren de tractores 29 ¡Midiéndolo todo! 30 Otro señor que se pone en forma 31 ¿Me puedo quedar con lo que sobra? 32 ¡Mayonesa para un regimiento! 33 Practicamos en casa Autoevaluación
UNIDAD 2 ¡Cada vez mejor!
34 36
Problemas ¡Que no se escape el conejo! ¿Se acordarán de celebrar? Un año de buenas cosechas Muchos niños en camiones Ayuda para el plomero Vamos de paseo Clavelitos, clavelitos Luis entre corrales Contando a la gente Muchas horas de trabajo Unas plantas muy mimadas Como chocolates mientras resuelvo el problema Una forma muy matemática de leer Mucha cancha para jugar futbol Raúl acabó cansado Comer por los ojos Mójate con este problema ¡Vamos, Roque, ayuda a tu mamá! Practicamos en casa Autoevaluación
38
42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 62
UNIDAD 3 ¡Casi expertos! Ejercicios preparatorios Problemas Lidia la costurera Pelea de jitomates Muchos pantalones, pero sólo dos piernas por pantalón Banderín y listón Gran alberca para Mario Arturo dio un gran estirón Familias bien informadas Continúo midiendo terrenos
64
70 71 72 73 74 75 76 77
4 PL 1 EA.indd 4
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Come una pizza antes de empezar la siguiente ¿A quién le regalará el collar? A vueltas con las edades ¡Hasta entrar en el parque es divertido! Leer también da problemas Bosques jóvenes Mi escuela es chiquita, pero bonita Germán rompe su cabeza Los huevos que sobran, los como revueltos Agua para todos Practicamos en casa Autoevaluación
78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 90
UNIDAD 4 Un poco más de práctica Ejercicios preparatorios
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92
Problemas Javier va lento pero seguro ¿Limitando a Juan? Un letrero con apotema, ¿estará enfermo? ¡Hay mujeres por cientos! ¡Qué lista la arista! Día de calificaciones Un problema desierto Una fuente para refrescarse Mi hermano el glotón Sandra ahorra y hace bien las cuentas ¡A contener el aire! Una familia muy aguada Felipe se sigue rompiendo la cabeza ¿Una superficie con volumen? El camionero promedio ¿Litros por metros? Un calendario con centímetros en lugar de meses ¿Capacidad o volumen?
112 113
Practicamos en casa Autoevaluación
114 116
96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111
UNIDAD 5 Un reto mayor Ejercicios preparatorios
118
Problemas Conejos promedio El costal cuesta ¡Hoy comen lentejas! Volumen de problemas ¿Cada cuándo llena el tanque Miguel? Laura y su primo tienen suerte Muchas horas de sol ¿A quién no le gusta la playa? ¿Un problema de prismáticos? ¿Clavo cientos? No, cientos de clavos Un gran viaje Me bebo el agua y ya no hay problema ¿Qué harías 10 días en el desierto? Un tubo que huele mal Quiero guayabas Espectáculo de juguetes Más gente, más diversión ¿La pipa de la paz?
122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139
Practicamos en casa Autoevaluación
140 142
10/15/07 10:37:21 PM
¡Me han robado mis problemas! Un día, Saúl fue a la casa de Sonia y la encontró muy ocupada… ¡Hola Sonia! ¿Qué haces?
¡Yo no sé para qué debo resolver problemas, si lo que quiero ser es detective!
¡Aquí hecha líos! Me dejaron de tarea resolver este problema y… ¡no sé cómo hacerlo!
Saúl sonrió y dijo… Pero… ¡si resolver un problema es casi lo mismo que hacen los detectives!
No lo creo. A ver, ¿por qué no?
Porque los detectives buscan pistas para descubrir delincuentes y en un problema no hay delincuentes.
Es cierto, en los problemas no hay delincuentes pero, para resolverlos, es necesario seguir varias pistas. Yo te diré un secreto para hacerlo.
1. Lee con atención el problema María y Juan fueron a la tienda y compraron galletas. Juan compró 6 galletas más que María. Si entre los dos compraron 20 galletas, ¿cuántas compró María?
6 PL 1 EA.indd 6
Historieta
10/15/07 10:37:22 PM
¿Ya leíste el problema?
¿De qué trata?
No estoy segura si de una suma o de una resta. ¡Sí!
¡Qué lata leerlo otra vez!
¡No, de eso no se trata! Léelo de nuevo.
2. Decide de qué o de quién se habla
Como toda buena detective, debes llevar un registro. Anota en una hoja lo que descubriste.
¡Tienes razón! El problema habla de María y Juan que fueron a comprar galletas.
Si no revisas todas las pistas con atención, no lograrás hacer una buena investigación…
3. Dibuja la barra unidad Vamos a representar las galletas de María con el dibujo de una barra. ¿Qué es eso?
Galletas de María Galletas de Juan Galletas de María Galletas de Juan
Historieta
PL 1 EA.indd 7
7 10/15/07 10:37:26 PM
Luego, representamos con otra barra las galletas de Juan. ¿Por qué las barras son del mismo tamaño si Juan compró más galletas que María? No te adelantes, apenas estamos dando los primeros pasos de la investigación.
Galletas de María Galletas de Juan 4. Lee el problema frase por frase o número por número
Para de leer porque ya encontraste un número.
Juan compró 6 galletas más que María…
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
Galletas de María 4. Lee el problema frase por frase o número por número
6
Galletas de Juan Si entre los dos compraron 20 galletas…
Aquí me detengo porque encontré otro número.
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
4. Lee el problema frase por frase o número por número
20
Galletas de María Galletas de Juan
8 PL 1 EA.indd 8
¿Cuántas galletas compró María?
6
Historieta
10/15/07 10:37:29 PM
¡Ajá! Lo que acabo de leer es la pregunta.
6. Identifica la pregunta
Galletas de María
?
Galletas de Juan
20
6
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
¡Sí, ya conozco las pistas de mi investigación! ¡Vamos a resolverla…!
Sé que María y Juan compraron 20 galletas y que Juan tiene 6 más que María. ¿Cuánto representan las dos barras iguales?
Como ya conoces el problema a fondo, ahora puedes resolverlo.
Las dos barras iguales representan 14 galletas. ¿Cuántas galletas representa cada barra?
Galletas de María
?
Galletas de Juan —
14 6
20 7 2 14 0
20 6 14
7 7
?
14 6
20
8. Responde el problema
María compró 7 galletas.
¡Bravo, Sonia! ¡Resolviste el caso que investigabas!
¡Sí, y también resolví mi problema!
¡Ahora lo veo muy claro!
Historieta
PL 1 EA.indd 9
9 10/15/07 10:37:32 PM
¡Empezamos!
Ejercicios preparatorios Comenzamos con un reto sencillo. Completa los siguientes gráficos a partir de lo que observes en el ejemplo. Después, justifica tu respuesta.
850 1 345
1 300 2 675
1 375
495
Porque 850 + 495 = 1 345
Porque 1 375 + 1 300 = 2 675
5 425
1450 7 390
4 820
1 965
3 370
Porque 1 450 + 3 370 = 4 820
Porque 5 425 + 1 965 = 7 390
564
2 745 995
9 305
431
6 560 Porque 2 745 + 6 560 = 9 305
Porque 564 + 431 = 995
342
5 638 789
12 166 6 528
Porque 5 638 + 6 528 = 12 166
10 PL 1 EA.indd 10
447
Porque 342 + 447 = 789
Unidad 1 • Ejercicios preparatorios
10/15/07 10:37:37 PM
¡Empezamos!
Anímate a sumar números que terminan en 9. Observa el modelo antes de hacer las operaciones. 76 + 49 = 76 + 50 – 1 = 126 – 1 = 125
38 + 79 =
38
+
80
−
1
= 118 −
1
= 117
35 + 29 =
35
+
30
−
1
=
65
1
=
−
64
Ahora, descubre un truco para restar números que terminan en 9 y haz las operaciones. 74 – 39 = 74 – 40 + 1 = 34 + 1 = 35
84 – 29 =
84
−
30
+
1
=
54
+
1
=
55
67 – 49 =
67
−
50
+
1
=
17
+
1
=
18
Practica un poco más este tipo de sumas y restas. 567 + 39 = 567
+
40
−
1
= 607 −
1
= 606
890 − 49 = 890 −
50
+
1
= 840 +
1
= 841
Piensa un poco y escribe una regla para sumar y otra para restar números que terminan en 9.
Respuesta modelo (R. M.) Para sumar números que terminan en 9, se aproxima el número a la decena más cercana y se
suma; luego, al resultado se resta 1. Para restar números que terminan en 9, se aproxima el número a la decena más cercana y se
resta; al resultado se suma 1. Unidad 1 • Ejercicios preparatorios
PL 1 EA.indd 11
11 10/15/07 10:37:37 PM
¡Empezamos!
Veamos qué tan hábil eres para ilustrar con un diagrama cada situación o para inventar la situación que sugiere el diagrama.
56.45
Mi papá me dio $56.45 para gastarlos el fin de semana y mi mamá $57.90. En total, tengo $114.35 para gastarlos el fin de semana.
57.90
114.35
104.50
En una carrera de relevos, el primer relevista corrió 104.50 m y el segundo 167.40 m. En total, los relevistas corrieron 271.90 m.
167.40
271.90
Respuesta libre (R. L.)
Un libro para colorear tiene 10 páginas. Mi hermano pintó 7 páginas y a mí me dejó 3 del libro. 10 3 10
7 10
4 de lo que me dieron 7 mis padres y me gasté 3 partes. 7 El fin de semana ahorré
4 7
12 PL 1 EA.indd 12
3 7
Unidad 1 • Ejercicios preparatorios
10/15/07 10:37:38 PM
¡Empezamos!
Observa qué sencillo es multiplicar por 9; luego, haz las operaciones. 56 x 9 = 56 x 10 – 56 = 560 – 56 = 504
45 x 9 = 450 −
45
=
405
75 x 9 = 750 −
75
=
675
32 x 9 = 320 −
32
=
288
34 x 9 = 340 −
34
=
306
Sabemos que 5 = 10. Mira cómo se aplica esto para multiplicar por 15; después, 2 resuelve las multiplicaciones. 56 x 15 = 56 x 10 + 56 × 10 = 560 + 560 = 560 + 280 = 840 2 2 45 × 15 = 450 + 450 = 450 + 2
225 = 675
52 × 15 = 520 +
520 2
= 520 +
260 = 780
68 × 15 = 680 +
680 2
= 680
+
340 = 1 020
30 × 15 = 300 +
300 2
= 300
+ 150
= 450
Si sabemos que 25 = 100, entonces podrás descubrir y poner en práctica otra forma 4 de multiplicar por 25. 74 x 25 =
74 × 100 7 400 = = 1 850 4 4
36 × 25 = 3 600 = 900 4
47 × 25 = 4 700 = 1 175
69 × 25 = 6 900 = 1 725
23 × 25 = 2 300 = 575
73 × 25 = 7 300 = 1 825
35 × 25 = 3 500 = 875
4
4 4
4
4
Unidad 1 • Ejercicios preparatorios
PL 1 EA.indd 13
13 10/15/07 10:37:38 PM
¡Empezamos!
Demuestra que puedes representar con un gráfico cada situación o inventar la situación que se puede derivar del gráfico. A pie 6 24 Bici 6
Bici 6
Bici 6
Comida 30 Cena 30
90
Cena 30
Félix recorrió 6 km a pie, y el triple en bicicleta. En total, recorrió 24 km.
Lucía bebió 30 cl de agua durante la comida y el doble en la cena. Lucía bebió 90 cl de agua en el día.
R. L.
5 5 3 Samuel se comió partes de un pastel y su 5 hermano 2 partes. Entre los dos se comieron 5 todo el pastel. Samuel
3 5
Hermano
2 5
3 4 1 de los puntos que hizo su 4 2 equipo de voleibol. Eva anotó de los puntos. 4 3 Entre las dos anotaron de los puntos que 4 hizo el equipo.
Sandra anotó
1 4
14 PL 1 EA.indd 14
2 4 Unidad 1 • Ejercicios preparatorios
10/15/07 10:37:39 PM
¡Empezamos!
En la actividad de la página 13 te diste cuenta de lo útil que es saber dividir bien entre 2 y entre 4. ¡Sigue practicando las divisiones entre 2 y entre 4!
7 2 8 4 ÷ 2 = Residuo
Residuos
Residuo
1
2
6
÷
2
= 2 8 6 3
2
4
8
÷
2
= 4 6 2 4
1
9
0
÷
2
= 4 0 9 5
1
1
5
7
1
1
9 1
8 Residuos
3642
¿Verdad que es fácil hacer multiplicaciones con base en divisiones? 100 Recuerda que 50 = y calcula estas multiplicaciones como divisiones. 2 45 × 50 = 4 500 = 2 250 2
93 × 50 = 9 300 =
82 × 50 = 8 200 = 4 100 2
39 × 50 =
3 900 = 1 950 2
28 × 50 = 2 800 =
73 × 50 =
7 300 = 3 650 2
2
1 400
2
4 650
Unidad 1 • Ejercicios preparatorios
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15 10/15/07 10:37:39 PM
¡Empezamos!
Sebastián a prueba 1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
Un día, Rebeca le preguntó a Sebastián: suma de dos números es 19 502 y uno es 3 578, ¿cuál es el otro número?
3. Dibuja la barra unidad La barra unidad representa el total de los dos números.
19 502 Números
3 578
?
15 924 Rebeca habla con Sebastián acerca de unos números.
4. Lee el problema frase por frase o número por número
Divide la barra unidad y escribe el número que conoces. Coloca un signo de interrogación al que desconoces.
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
6. Identifica la pregunta ¡Atención! El problema no se termina hasta que escribes una oración completa.
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
19 502 − 3 578 = 15 924
8. Responde el problema
El otro número que le pregunta Rebeca a Sebastián es 15 924.
19 502 − 3 578 15 924
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Unidad 1 • Problema 1
10/15/07 10:37:40 PM
¡Empezamos!
¡Viva México! Las alumnas y los alumnos de sexto grado regalaron moños con los colores de la bandera de México. Para hacerlos, cortaron 6 trozos de listón. Si cada trozo medía 4.5 ¿cuántos centímetros de listón utilizaron?
1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
3. Dibuja la barra unidad
¡Vamos! Puedes dibujar 6 barras unidad para representar los 6 trozos de listón.
?
27 cm
Moño 4.5 cm
Listón ¡Recuerda que es muy importante identificar la pregunta!
4. Lee el problema frase por frase o número por número
Moño 4.5 cm
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
Moño 4.5 cm
Moño 4.5 cm
Moño 4.5 cm
6. Identifica la pregunta Fue fácil, ¿verdad? Para terminar… ¡escribe una oración completa!
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
4.5 × 6 = 27
Moño 4.5 cm
8. Responde el problema No olvides escribir el resultado de la operación en el gráfico.
Para hacer 6 moños, se utilizaron 27 cm de listón.
4.5 ×6 27.0 cm de listón se utilizaron
Unidad 1 • Problema 2
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17 10/15/07 10:38:05 PM
¡Empezamos!
Herramientas por si se descompone el tren 1. Lee con atención el problema
Un tren debe transportar 120 cajas con herramientas repartidas en todos los va Si el tren lleva 8 vagones, ¿cuántas caj en cada vagón?
2. Decide de qué o de quién se habla
3. Dibuja la barra unidad
120 cajas
15
15
15
15
15
15
15
15
Vagón
Vagón
Vagón
Vagón
Vagón
Vagón
Vagón
Fíjate que el problema habla de un tren de 8 vagones.
? ? ? ? ? ? ? ? Vagón
Tren
Dibuja una barra unidad y divídela en 8 espacios para representar los 8 vagones.
4. Lee el problema frase por frase o número por número
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico Si ya que tienes la respuesta… ¡cópiala en el gráfico!
6. Identifica la pregunta Escribe tu respuesta con una oración completa y… ¡ahora sí, ya terminaste!
8. Responde el problema
En cada vagón irán 15 cajas.
120 ÷ 8 = 15 cajas en cada vagón 15 8 120 40 0
18 PL 2 EA.indd 18
Unidad 1 • Problema 3
10/15/07 10:38:09 PM
¡Empezamos!
En el colegio no sólo se estudia 1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
Para los bailables que se realizarán en el c se pidió una tarima de madera de forma rectangular con una orilla de plástico. ¿Qué cantidad de plástico se necesitará para la tarima si sus medidas son 8.4 m x 4.3 m?
3. Dibuja la barra unidad
8.4 m Tarima
4.3 m
Como el problema habla de una tarima rectangular, la barra unidad se convierte en un rectángulo.
4.3 m 8.4 m
4.3 m
8.4 m
4.3 m
8.4 m
?
¡Escribe aquí de qué habla el problema!
25.4 m Para saber cuánto plástico se necesita, “desdobla” la figura y podrás calcular el perímetro.
4. Lee el problema frase por frase o número por número
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
4.3 m × 2 lados 8.6 m
8.4 m × 2 lados 16.8 m
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema Escribe en las operaciones a qué se refiere cada cantidad.
Se necesitarán 25.4 m de plástico para la tarima.
16.8 m + 8.6 m 25.4 m Unidad 1 • Problema 4
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19 10/15/07 10:38:12 PM
¡Empezamos!
Una carrera muy igualada 1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
En una competencia de caminata, el prim lugar registró un tiempo de 1 h 30 min y el último lugar registró un tiempo de 2 h 35 min. ¿Qué diferencia hay entre los dos tiempos?
3. Dibuja la barra unidad
Como el problema habla de tiempo, la barra unidad se convierte en una línea del tiempo. ¡Qué fácil!
?
1 h 5 min er
1. lugar 1 h 30 min
35 min
Competencia de caminata 30 min
No olvides escribir de qué habla el problema.
0
30 min
1h
30 min
2h
3h
Último lugar 2 h 35 min
4. Lee el problema frase por frase o número por número
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema
La diferencia entre los dos tiempos es de 1 hora 5 minutos.
2 h 35 min − 1 h 30 min 1 h 05 min ¿Ya te fijaste que, en este caso, puedes resolver mentalmente la operación? ¡Anímate a hacerlo!
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Unidad 1 • Problema 5
10/15/07 10:38:15 PM
¡Empezamos!
Rosita adelanta trabajo 1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
Rosita debe hacer un ejercicio para entregarlo de tarea; si en clase hizo el 80% del ejercicio, ¿qué porcentaje le falta para terminarlo?
3. Dibuja la barra unidad
100%
Ejercicio de Rosita
¡Olvida que se habla de porcentajes y concéntrate en las cantidades!
?
80%
20%
¡Empieza por dibujar una barra unidad!
4. Lee el problema frase por frase o número por número
Identifica la pregunta, ¡es muy importante!
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
100 − 80 = 20
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema ¡Ojo, debes poner el resultado de la operación en la barra unidad!
A Rosita le falta el 20% para terminar el ejercicio.
100% − 80% 20%
Unidad 1 • Problema 6
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21 10/15/07 10:38:17 PM
¡Empezamos!
Nueces por kilos 1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
Si el kilogramo de nueces cuesta $60, ¿cuánto se pagará por 5 kg?
3. Dibuja la barra unidad
? Kilogramos de nueces
$60
$60
$60
$300
$60
$60 Dibuja una barra unidad para representar cada kg de nueces.
¿De qué habla el problema? ¡Muy bien!, de kilogramos de nueces.
¡Identifica la pregunta del problema!
4. Lee el problema frase por frase o número por número
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
60 × 5 = $300 se pagan por 5 kg de nueces
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema
¿Y la respuesta? No olvides que es una oración completa.
Por 5 kg de nueces se pagan $300.
$60 el kg × 5 kg $300 por 5 kg
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Unidad 1 • Problema 7
10/15/07 10:38:20 PM
¡Empezamos!
Abuelito de museo 1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
El abuelito de Juan trabaja en el Museo de Antropología y le pidieron que colocara ca en la explanada, que mide 650 m de largo Cuando fue a la tlapalería, le dijeron que sólo podían venderle rollos de cable. Si ca rollo mide 10 m, ¿cuántos rollos tendrá que comprar? 3. Dibuja la barra unidad
650 metros Explanada del museo Rollo 10 m Representa la explanada del museo con una barra unidad.
Rollo 10 m
...
?
Rollo 10 m
65
Divide la barra unidad en la cantidad de rollos que se necesitan; pero como no sabes cuántos son, indícalo con puntos suspensivos.
4. Lee el problema frase por frase o número por número
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
650 ÷ 10 = 65 rollos de cable
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
6. Identifica la pregunta Para terminar… ¡escribimos una oración completa!
8. Responde el problema
El abuelito de Juan tendrá que comprar 65 rollos de cable.
65 10 650 050 00
Unidad 1 • Problema 8
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23 10/15/07 10:38:23 PM
¡Empezamos!
Mucho espacio para una cama y otras cosas Lola quiere saber cuál es el área de su cuarto. Ella sabe que la habitación tiene forma de cuadrado y que cada lado mide 30 m.
1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
3. Dibuja la barra unidad
Como el problema habla de un cuarto cuadrado, la barra unidad se convierte en un cuadrado.
30 m Cuarto de Lola 30 m
?
30 m
900 m2
¿Ya viste que el problema habla del cuarto de Lola?
30 m
4. Lee el problema frase por frase o número por número
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico Recuerda que el área de un cuadrado se obtiene si multiplicas lado x lado.
6. Identifica la pregunta ¡Atención! En este caso, la unidad de medida de área es m2.
8. Responde el problema
El área del cuarto de Lola es de 900 m2.
30 m × 30 m = 900 m2
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Unidad 1 • Problema 9
10/15/07 10:38:25 PM
¡Empezamos!
Un señor que tiene prisa 1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
Horas que corre un señor
Si un señor corre diariamente 90 minutos, ¿cuántas horas correrá en 5 días?
3. Dibuja la barra unidad
Día 1
Día 2
90 min 90 min
Día 3
Día 4
Día 5
90 min 90 min
90 min
? Como el problema habla de tiempo, ya sabes en qué se convierte la barra unidad.
4. Lee el problema frase por frase o número por número
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
60 min = 1 h 90 min = 1.5 h
7.5 h
Si la línea de tiempo representa lo que corre el señor en un día, ¿cómo representas lo que corre en 5 días?
Identifica la pregunta y coloca el signo de interrogación donde corresponde.
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema Compara el resultado de la operación con el gráfico.
El señor corre 7.5 horas en 5 días.
1.5 ×5 7.5 h
Unidad 1 • Problema 10
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25 10/15/07 10:38:28 PM
¡Empezamos!
Gloria golosa 1. Lee con atención el problema
Gloria y su hermano compraron un pas y se comieron 3 partes. ¿Qué cantidad 4 pastel sobró?
2. Decide de qué o de quién se habla
Pastel de Gloria y su hermano
3. Dibuja la barra unidad
1 4
1 4
1 4
Una buena idea es dividir la barra unidad en la cantidad de cuartos que tiene un pastel.
1 4
?
Se comieron
1 4
La barra unidad representa el total del pastel.
4. Lee el problema frase por frase o número por número
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
4 − 3 = 1 quedó del pastel 4 4 4
Recuerda identificar la pregunta y dibujar un signo de interrogación para representarla.
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema
Del pastel que compraron Gloria y su hermano quedó 1. 4
¡Si observas el gráfico te darás cuenta de que puedes resolver este problema sin hacer operaciones!
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Unidad 1 • Problema 11
10/15/07 10:38:31 PM
¡Empezamos!
¿Cuántos coches cabrán? Se va a construir un estacionamiento con forma rectangular que medirá 19.23 m de ancho y 2.80 m de largo. ¿Cuá será el área del estacionamiento?
1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
3. Dibuja la barra unidad
?
Estacionamiento
53.8440 m
Si el problema habla de un estacionamiento rectangular, ¿sabes en qué se convierte la barra unidad?
4. Lee el problema frase por frase o número por número
b × h = 53.8440
19.23 m
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
2.80 m 2
Identifica la pregunta del problema y escribe el signo de interrogación. ¡Tú puedes!
Haz la operación que resuelve el problema y anota el resultado en el gráfico.
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema
El área del estacionamiento con forma rectangular es de 53.8440 m2.
19.23 × 2.80 0000 15 384 38 46 53.8440 Unidad 1 • Problema 12
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27 10/15/07 10:38:33 PM
¡Empezamos!
¿Una fracción de costal o un costal entero? 1. Lee con atención el problema
Se repartieron en partes iguales 56 costale de frijol entre 4 comerciantes. ¿Qué fracció le tocó a cada uno? ¿Cuántos costales representa la fracción?
2. Decide de qué o de quién se habla
3. Dibuja la barra unidad
56
Costales
?
?
?
?
14 14 14 14 comerciante comerciante comerciante comerciante ¡Atención, la barra unidad representa el total de costales!
¿Ya te fijaste que puedes dividir la barra unidad en la cantidad de comerciantes?
4. Lee el problema frase por frase o número por número
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
56 costales ÷ 4 comerciantes = 14 costales
6. Identifica la pregunta Responde con una oración completa y listo, ¡terminaste!
8. Responde el problema
A cada uno le tocó 1 que representan 4 14 costales.
14 4 56 16 0 ¡Copia el resultado de la operación en el gráfico!
28 PL 2 EA.indd 28
Unidad 1 • Problema 13
10/15/07 10:38:36 PM
¡Empezamos!
Tren de tractores 1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
Cada vagón de un tren transporta 15 caj con tractores desarmados. Si el tren lleva 7 vagones, ¿cuántas cajas transporta?
3. Dibuja la barra unidad
7 vagones
Vagones de tren
15 cajas
15 cajas
...
Puedes dibujar 7 barras unidad para representar los 7 vagones o dibujar unas cuantas y usar puntos suspensivos.
?
Lee con atención cada frase del problema para que lo comprendas mejor.
15 cajas
105
4. Lee el problema frase por frase o número por número
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico Escribe a qué se
refiere el resultado de la operación.
6. Identifica la pregunta ¡Y para terminar… escribe una oración completa en la respuesta!
8. Responde el problema
El tren transporta 105 cajas en total.
15 × 7 = 105 cajas en total 15 cajas en cada vagón × 7 vagones 105 cajas en total
Unidad 1 • Problema 14
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29 10/15/07 10:38:38 PM
¡Empezamos!
¡Midiéndolo todo! 1. Lee con atención el problema
Carlos sabe que cada lado de su terre que es cuadrangular, mide 50 m. ¿Le ayudas a calcular el área de ese mismo terreno?
2. Decide de qué o de quién se habla
3. Dibuja la barra unidad
50 m Terreno de Carlos 50 m ¡La barra unidad se convierte en un cuadrado! ¿Ya lo sabías?
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
2
50 × 50 = 2 500 m
30 PL 2 EA.indd 30
Identifica la pregunta y escribe el signo de interrogación en el lugar correspondiente.
2 500 m2
4. Lee el problema frase por frase o número por número
50 × 50 00 150 2500 m2
?
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema
No olvides que, en este problema, el resultado se expresa en m2.
El terreno de Carlos tiene un área de 2 500 m2.
Unidad 1 • Problema 15
10/15/07 10:38:41 PM
¡Empezamos!
Otro señor que se pone en forma Un señor corre diariamente 9 km. ¿Cuántos metros recorrerá en 5 días?
1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
3. Dibuja la barra unidad Acostúmbrate a escribir en el gráfico la información que obtienes del enunciado del problema.
?
45 000 m
Lo que corre un señor ¿Cuántas barras unidad debes dibujar? ¡Muy bien, una para cada día!
9 km
9 km
9 km
9 km
9 km
Día 1
Día 2
Día 3
Día 4
Día 5
4. Lee el problema frase por frase o número por número
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
¡Cuidado! El resultado que obtuviste se refiere a kilómetros y el problema pregunta por metros.
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema
Como sabes, el problema termina cuando escribes la respuesta completa.
El señor recorre 45 000 m en 5 días.
9 × 5 = 45 km 1 km = 1 000 m 45 km = 45 000 m recorre en 5 días
Unidad 1 • Problema 16
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31 10/15/07 10:38:44 PM
¡Empezamos!
¿Me puedo quedar con lo que sobra? 1. Lee con atención el problema
Un emir dejó al morir un rebaño para ser repartido entre sus tres hijos. Al primero le toc 1 4 2 , al segundo y al tercero . ¿Qué parte d 8 8 8 rebaño sobró?
2. Decide de qué o de quién se habla
3. Dibuja la barra unidad Ahora, representa en la barra unidad qué fracción del rebaño le tocó a cada hijo.
Rebaño del emir
1 8
1.er hijo
Dibuja la barra unidad y divídela en octavos.
1 8
1 8
1 8
2.o hijo
1 8
1 8
1 8
3.er hijo
1 8
? 1 8
¿Ya identificaste la pregunta del problema? ¡Muy bien!
4. Lee el problema frase por frase o número por número
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
1+4+2=7 8 8 8 8 8 − 7 = 1 sobró del rebaño 8 8 8
32 PL 2 EA.indd 32
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema Encuentra la solución del problema en la representación gráfica. ¡Suerte!
Sobró 1 del rebaño del emir. 8
Unidad 1 • Problema 17
10/15/07 10:38:47 PM
¡Empezamos!
¡Mayonesa para un regimiento! 1. Lee con atención el problema
La dueña de un puesto de hamburg compró 2 toneladas de mayonesa e $500 cada una. ¿Cuántos kg de mayonesa compró? ¿Cuánto pagó por ellos?
2. Decide de qué o de quién se habla
3. Dibuja la barra unidad
$1 000
?
Mayonesa Representa las 2 toneladas en una sola barra unidad.
Tonelada $500
Después de identificar cada pregunta, decide dónde colocarás los signos de interrogación.
Tonelada $500
?
2 000 kg
4. Lee el problema frase por frase o número por número
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico ¡Recuerda que 1 tonelada = 1 000 kg!
1 tonelada = 1 000 kg 2 toneladas = 2 000 kg $500 + $500 = $1 000 $ 500 + $500 $1 000
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema
¡Ya casi terminas, pero no olvides responder con una oración completa!
La dueña del puesto de hamburguesas compró 2 000 kg de mayonesa y pagó $1 000.
Unidad 1 • Problema 18
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33 10/15/07 10:40:15 PM
¡Empezamos!
Practicamos en casa
34 PL 3 EA.indd 34
Práctica 1
Un día, Daniela le preguntó a Francisco: Si la suma de dos números es 19 502 y uno de ellos es 15 924, ¿cuál es el otro?
Práctica 2
Los estudiantes de sexto grado regalaron pañuelos con los colores de la bandera de México. Para elaborarlos, cortaron 6 trozos de tela. Si cada trozo medía 4.5 cm, ¿cuántos centímetros de tela emplearon?
Práctica 3
Un tren debe transportar 120 botellas de agua distribuidas en todos los vagones. Si el tren lleva 8 vagones, ¿cuántas botellas irán en cada vagón?
Práctica 4
Para una representación teatral que se hará en el colegio, se pidió un escenario de madera de forma rectangular con una orilla de aluminio. ¿Qué cantidad de aluminio se necesitará para el escenario si sus medidas son 8.4 m x 4.3 m?
Práctica 5
En una carrera de automóviles, el primer lugar registró un tiempo de 1 h 30 min y el último lugar registró un tiempo de 2 h 35 min. ¿Qué diferencia hay entre los dos tiempos?
Práctica 6
Si Rosita ya hizo el 80% de su tarea, ¿qué porcentaje le falta para terminarla?
Práctica 7
Si 1 kg de almendras cuesta $60, ¿cuánto se pagará por 5 kg?
Práctica 8
El abuelito de Juan trabaja en el Museo de Antropología y le pidieron que colocara un listón en la explanada, que mide 650 m de largo. Cuando fue a la mercería, le dijeron que sólo podían venderle rollos de listón. Si cada rollo mide 10 m, ¿cuántos rollos tendrá que comprar?
Unidad 1 • Prácticas 1
10/15/07 10:40:19 PM
Lola quiere saber cuál es el área de su salón de clases. Ella sabe que el salón tiene forma de cuadrado y que cada lado mide 30 m.
Práctica 10
Un señor corre diariamente 60 minutos. ¿Cuántas horas correrá en 4 días?
Práctica 11
Gloria y su hermano compraron una pizza y se comieron 3 partes. ¿Qué cantidad de pizza sobró? 4
Práctica 12
Se va a construir una alberca con forma rectangular. Si la alberca medirá 19.23 m de ancho y 2.80 m de largo, ¿cuál será su área?
Práctica 13
Se repartieron en partes iguales 56 piñatas entre 4 personas. ¿Qué fracción le tocó a cada una? ¿Cuántas piñatas representa la fracción?
Práctica 14
Cada vagón de un tren transporta 15 perros. Si el tren lleva 7 vagones, ¿cuántos perros transporta?
Práctica 15
Carlos sabe que cada lado de su casa cuadrangular mide 50 m. ¿Le ayudas a calcular el área de su casa?
Práctica 16
Si un señor corre diariamente 20 km, ¿cuántos metros recorrerá en dos días?
Práctica 17
Un emir dejó al morir una herencia para ser repartida entre 1 4 sus tres hijos. Al primero le tocó , al segundo y al 8 8 2 tercero . ¿Qué parte de la herencia sobró? 8
Práctica 18
El encargado de un restaurante compró 2 toneladas de queso cottage en $500 cada una. ¿Cuántos kg de queso compró? ¿Cuánto pagó por ellos?
Unidad 1 • Prácticas 2
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¡Empezamos!
Práctica 9
35 10/15/07 10:40:20 PM
Ordena los pasos para resolver correctamente el siguiente problema. El profesor de Matemáticas repartió 32 ejercicios entre los 8 equipos que formó en la clase. ¿Cuántos ejercicios resolvió el equipo de Miguel?
4
Lee el problema frase por frase o número por número
8
Responde el problema
3
Dibuja la barra unidad
7
Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
1
Lee con atención el problema
6
Identifica la pregunta
El grupo de Miguel resolvió 4 ejercicios.
32 ÷ 8 = 4
?
Equipo de Miguel
¡Empezamos!
Autoevaluación
32 Decide de qué o de quién se habla
5
Ilustra la barra unidad con la información obtenida
Ejercicios de Matemáticas Equipo de Miguel
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Unidad 1 • Autoevaluación 1
10/15/07 10:40:20 PM
¡Empezamos!
Describe con tus palabras cómo se graficó la información del problema en la barra unidad. 1. Lee con atención el problema
2. Decide de qué o de quién se habla
Lavadoras
En una tienda de electrodomésticos se vendieron 4 lavadoras en un día. Si cada lavadora costó $7 498, ¿cuánto dinero recaudó la tienda ese día?
3. Dibuja la barra unidad
$7 498
$7 498
$7 498
? 4. Lee el problema frase por frase o número por número 7. Haz las operaciones y escribe el resultado en el gráfico
$7 498 × 4 = $29 992
5. Ilustra la barra unidad con la información obtenida
$7 498
$29 992
6. Identifica la pregunta
8. Responde el problema
Por la venta de 4 lavadoras, la tienda recaudó $29 992.
R. M. Después de dibujar la barra unidad, que representa una lavadora, leo el problema frase por frase o número por número. Como el problema dice que se vendieron 4 lavadoras en un día, copio la barra unidad 3 veces. El problema informa que cada lavadora costó $7 498, así que anoto esa cantidad en cada barra. La pregunta es; ¿cuánto dinero recaudó la tienda ese día?; entonces, agrupo las cuatro barras con una llave y coloco el signo de interrogación con el signo $ al lado para indicar que se pregunta por el total del dinero.
Unidad 1 • Autoevaluación 2
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Primaria 5
Metodo Singapur EA 5 prtd B.indd1 1
Edici贸n anotada
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