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UNIVERSIDAD DE GRANADA

Grado en Ingeniería Informática ÁLGEBRA LINEAL Y ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS

Curso: 2011/2012 Clase: Primero - Grupo: B Aviso legal: los archivos están sujetos a derechos de propiedad intelectual y su titularidad corresponde a los usuarios que los han subido a SWAD. Esto es solo una recopilación de toda la asignatura impartida en la UGR.

TEORĂ?A

Curso: 2011/2012 Clase: Primero - Grupo: B

Capítulo 1

Conjuntos, aplicaciones y relaciones 1.1. 1.1.1.

Conjuntos Generalidades sobre conjuntos.

Comenzamos esta notas con una introducción de algunos conceptos básicos sobre conjuntos. La idea de conjunto es una de las más importantes en matemáticas, pues gran parte de ellas está escrita en lenguaje de teoría de conjuntos. Un conjunto va a ser para nosotros una colección de objetos. En principio, estos objetos pueden tener cualquier naturaleza, y pueden ser de cualquier tamaño, aunque esto podría dar lugar a algunas contradicciones. Nosotros no vamos a entrar en esos detalles, pues para ello habría que definir una axiomática que se escapa de los objetivos de estas notas. A los objetos que forman parte de un conjunto, los llamaremos elementos del conjunto. Relación de pertenencia. Cuando un elemento forma parte de un conjunto, diremos que ese elemento pertenece al conjunto, y lo representaremos mediante el símbolo ∈. Es decir, si tenemos un conjunto X, y a es un elemento que pertenece al conjunto X, escribiremos a ∈ X. Así, si llamamos X al conjunto de los números naturales menores que 10 tenemos que 5 es un elemento de X, luego 5 ∈ X (se lee 5 pertenece a X). Cuando tengamos que varios elementos a1 , a2 , · · · , an tal que todos ellos pertenecen a un conjunto X escribiremos a1 , a2 , · · · , an ∈ X. Por ejemplo, con el conjunto X que hemos descrito anteriormente, podríamos escribir 2, 3, 5, 7 ∈ X, en lugar de 2 ∈ X, 3 ∈ X, 5 ∈ X y 7 ∈ X. Si hay algún objeto que no pertenece a un conjunto, emplearemos el símbolo 6∈. De esta forma tenemos que 13 6∈ X. Informalmente, cuando un elemento pertenezca a un conjunto diremos que dicho elemento está en el conjunto. Entre los conjuntos consideramos uno formado por la colección de cero objetos, es decir, un conjunto que no tiene elementos. Dicho conjunto lo llamaremos conjunto vacío y será nombrado como ∅. Descripción de conjuntos. Un conjunto queda caracterizado por los elementos que tiene. Para determinar un conjunto entonces podemos hacerlo enumerando todos sus elementos. En tal caso, los elementos se escriben serparados por comas y entre llaves. Por ejemplo, el conjunto X que hemos nombrado antes sería X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Siguiendo esta notación, el conjunto vacío lo podemos representar como {} (aunque preferimos la notación ∅). Sin embargo, cuando el conjunto tiene muchos elementos, o bien cuando es un conjunto infinito, esta forma no es útil. Pensemos, por ejemplo, en el conjunto de números naturales menores que 100000. Una forma para describir este conjunto podría ser Y = {0, 1, 2, 3, · · · , 999998, 999999}. El siguiente conjunto 1

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CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES {0, 1, 2, · · · }

representa el conjunto de todos los números naturales, y es denotado como N. También podemos describir el conjunto de los números enteros, que denotaremos como Z Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · } Otros conjuntos infinitos con los que trabajaremos a lo largo del curso son, por ejemplo, el conjunto de los números racionales (Q), el conjunto de los números reales (R), el conjunto de los números complejos (C), etc. Hay otra forma de especificar un conjunto, y es a partir de una o varias propiedades que determinen de forma exclusiva los elementos de ese conjunto. Normalmente, en este caso, haremos referencia a un conjunto y especificaremos los elementos de este conjunto que verifican la propiedad. Por ejemplo, el conjunto X podemos describirlo: X = {n ∈ N|n < 10} Y se leería X es el conjunto de todos los n ∈ N tal que n es menor que 10, o si preferimos, el conjunto de todos los números naturales menores que 10. En este caso, hemos hecho referencia al conjunto de los números naturales. También podríamos haberlo descrito haciendo referencia a los números enteros como X = {n ∈ Z|0 ≤ n < 10} A esta forma de describir un conjunto la llamaremos implícita, en contraposición a la que consiste en enumerar los elementos, que llamaremos explícita. Por ejemplo, si P es el conjunto de los números pares, entonces podemos describirlo como sigue: P = {· · · − 6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, · · · } = {n ∈ Z|n es par } = {n ∈ Z|existe m ∈ Z : n = 2m} P = {n ∈ Z|n = 2m para algún m ∈ Z} Incluso, podríamos escribir: P = {2n : n ∈ Z} = 2Z Con la notación 2Z queremos decir el conjunto de todos los números que se obtienen de multiplicar por 2 los elementos de Z. No interpretar como el producto de un número por un conjunto. ¿Cómo podríamos entonces especificar el conjunto de los números impares? ¿y el de los números que dan resto 2 al dividirlos por 5? Igualdad e inclusión de conjuntos. Hemos dicho más arriba que un conjunto queda determinado por los elementos que tiene. No influye por tanto el orden en que estén dados esos elementos ni ningún otro factor. En tal caso, los conjuntos A = {3, 1, 5} y B = {1, 3, 5} son iguales, e iguales al conjunto {m ∈ N|m impar y m ≤ 6}. También el conjunto A es igual al conjunto C = {1, 3, 3, 5, 5, 5, 3, 5, 5} pues todos los elementos que pertenecen a C pertenecen a A y todos los elementos que pertenecen a A pertenecen también a C. La igualdad de conjuntos, por tanto, podría definirse así: Definición 1. Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A y B son iguales (A = B) si para cualquier x ∈ A se tiene que x ∈ B y viceversa, es decir, para cualquier x ∈ B se tiene que x ∈ A. Cuando todos los elementos de un conjunto A son también elementos de un conjunto B diremos que A es un subconjunto de B, y lo representaremos como A ⊆ B. También puede leerse esto como A está contenido en B o B contiene a A. Esto queda recogido en la siguiente definición: Definición 2. Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A es un subconjunto de B, que A está contenido en B, o que B contiene a A, y escribiremos A ⊆ B si para cualquier elemento x ∈ A se tiene que x ∈ B. Departamento de Álgebra

1.1. Conjuntos 3 Notemos que si X es un conjunto, es lo mismo decir a ∈ X que {a} ⊂ X. De acuerdo con lo que hemos dicho antes, dos conjuntos A y B son iguales cuando A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, pues en tal caso, todos los elementos de A están en B y todos los elementos de B pertenecen a A. Normalmente, para demostrar que dos conjuntos son iguales, probaremos que cada uno es subconjunto del otro. ¾ A⊆B =⇒ A = B B⊆A (de hecho, la anterior implicación es una equivalencia) Esta propiedad se conoce como antisimétrica Si A es un subconjunto de B distinto de B y queremos hacer notar esta relación escribiremos A ( B (algunos autores emplean la notación A ⊂ B). En tal caso, diremos que A está contenido propiamente en B. Obviamente, A ( B si, y sólo si, A ⊆ B y existe un elemento b ∈ B tal que b 6∈ A. Ejemplo 1.1.1. P ( Z, pues P ⊆ Z (todo elemento de P es un número entero) y existe un número entero (de hecho existen muchos), por ejemplo, 1 que no pertenece a P (recordemos que P denotaba el conjunto de los números pares). Dado cualquier conjunto X, el conjunto vacío es un subconjunto de X (es decir, ∅ ⊆ X), pues todos los elementos del vacío, absolutamente todos, sin excepción, son elementos de X. Por ejemplo, tomamos A = {m ∈ N|m < 0}. Es claro que A es un subconjunto de N, pues en A hemos tomado todos los números naturales que cumplen una propiedad. Además, es claro que A = ∅. Por tanto, ∅ ⊆ N. El conjunto vacío es el conjunto de todos los círculos cuadrados, luego ∅ es un subconjunto del conjunto de todos los círculos, y es un subconjunto del conjunto de todos los cuadrados. El conjunto vacío es el conjunto de todos los hombres con 7 manos (creo que no hay ninguno) por tanto, el conjunto vacío es un subconjunto del conjunto de todos los hombres. El conjunto vacío es el conjunto de todos los números racionales e irracionales, luego es un subconjunto de Q y del conjunto de todos los números irracionales. Hemos visto que la inclusión de conjuntos es antisimétrica. También es reflexiva (todo conjunto es subconjunto de sí mismo) y transitiva (si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C entonces A es subconjunto de C). Cuando hemos comenzado a hablar de conjuntos, hemos dicho que los elementos de un conjunto pueden ser de cualquier naturaleza. En particular pueden ser conjuntos. Por tanto, un conjunto puede ser elemento de otro conjunto (podría hasta ser elemento de sí mismo). Un conjunto, podría ser entonces A = {1, N, {0, 1, 2, 3}}. Este conjunto tendría tres elementos. Estos son: 1, el conjunto de los números naturales, y el conjunto {0, 1, 2, 3}. Si renombramos a los elementos de A, x1 = 1, x2 = N y x3 = {0, 1, 2, 3} tenemos entonces que A = {x1 , x2 , x3 }. Es decir, A, como conjunto tiene exactamente 3 elementos, que son x1 , x2 y x3 . A su vez, x1 ∈ x2 , x1 ∈ x3 y x3 ⊆ x2 . El conjunto vacío, como conjunto que es, puede ser elemento de otro conjunto. Así, el conjunto {∅} tiene exactamente un elemento: el conjunto vacío. Conjunto potencia. Definición 3. Dado un conjunto X podemos formar el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de X. Este conjunto será denotado como P(X), y lo llamaremos el conjunto partes de X. Es decir: P(X) = {A|A ⊆ X} Como ya sabemos, para cualquier X, el conjunto vacío es un subconjunto de X, luego ∅ ∈ P(X). También se tiene que ∅ ⊆ P(X). Otro subconjunto de X es el propio X, es decir, X ∈ P(X). Ejemplo 1.1.2. Sea X = {1, 2}. Entonces P(X) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. Por otra parte, P(∅) = {∅} (tiene un elemento). P(P(∅)) = {∅, {∅}} (tiene 2 elementos) P(P(P(X))) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}} (tiene 4 elementos) Jesús García Miranda

CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

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1.1.2.

Operaciones con conjuntos.

Vamos a ver a continuación cómo, a partir de algunos conjuntos podemos obtener otros nuevos. Unión de conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, podemos formar un nuevo conjunto reuniendo los elementos que, bien pertenecen a A, bien pertenecen a B. Obtenemos así el conjunto denominado unión de A y B, y que representaremos como A ∪ B. Definición 4. Sean A y B dos conjuntos. Definimos la unión de A y B como A ∪ B = {x|x ∈ A ó x ∈ B} Ejemplo 1.1.3. Si A es el conjunto de los números naturales pares menores que 15, y B el conjunto de los números primos menores que 15 entonces A ∪ B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14} Los elementos 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 pertenecen a A ∪ B pues todos ellos pertenecen a A, mientras que 2, 3, 5, 7, 11, 13 pertenecen a A ∪ B pues todos ellos pertenecen a B. De la misma forma, podría definirse la unión de tres o más conjuntos. Así, si llamamos ahora C al conjunto {1, 5, 7, 11} entonces A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14} Pues cada uno de los elementos que hemos indicado pertenece al menos a uno de los conjuntos A, B ó C. También podría haberse definido la unión de tres conjuntos A, B, C como A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C. Puede comprobarse fácilmente que (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Notemos que si A y B son dos conjuntos, entonces tanto A como B son subconjuntos de A ∪ B, y A ∪ B es el menor conjunto que tiene esa propiedad (tener a A y B como subconjuntos). Dicho de otra forma: A⊆A∪B B ⊆A∪B

y si

A⊆C B⊆C

entonces A ∪ B ⊆ C

es decir, A y B son subconjuntos de A ∪ B y si hubiera otro conjunto C que tuviera a A y a B como subconjuntos, entonces también tiene a A ∪ B como subconjunto (en este sentido decimos que A ∪ B es el menor conjunto con esa propiedad). Intersección de conjuntos. Definición 5. Dados dos conjuntos A y B se define la intersección de A y B como el conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B. Dicho conjunto se denota como A ∩ B. A ∩ B = {x|x ∈ A y x ∈ B} = {x ∈ A|x ∈ B} = {x ∈ B|x ∈ A} Cuando la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío se dice que esos conjuntos son disjuntos. Ejemplo 1.1.4. Para los conjuntos A, B y C del ejemplo anterior se tiene que A ∩ B = {2}

A∩C =∅

B ∩ C = {5, 7, 11}

De forma análoga a como se hizo con la unión puede definirse la intersección de tres o más conjuntos. La intersección de dos conjuntos A y B es un subconjunto de A y de B. De hecho es el mayor subconjunto común de ambos. A∩B ⊆A A∩B ⊆B

y si

C⊆A C⊆B

entonces C ⊆ A ∩ B

Departamento de Álgebra

1.1. Conjuntos

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Diferencia de conjuntos. Definición 6. Si A y B son dos conjuntos, se define el conjunto diferencia A \ B como el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B (es decir, para formar A \ B le quitamos a A los elementos que están en B). A \ B = {x ∈ A|x 6∈ B} Ejemplo 1.1.5. Para los conjuntos A y B del ejemplo anterior se tiene que A \ B = {0, 4, 6, 8, 10, 12, 14} (a A le quitamos el 2 que es el único elemento que pertenece a B), mientras que B \ A = {3, 5, 7, 11, 13}. Notemos que dados dos conjuntos cualesquiera A y B se tiene que A \ B = A \ (A ∩ B), pues al quitarle a A un elemento que está en B en realidad estamos quitando un elemento que está en A ∩ B (si no estuviera en A no habría que quitarlo). Veamos una demostración de esto. Como hemos dicho antes, para ver que dos conjuntos son iguales probaremos que uno está incluido en el otro y el otro en el uno. En primer lugar veamos que A \ B ⊆ A \ (A ∩ B), es decir, que todo elemento de A \ B pertenece a A \ (A ∩ B). Sea x ∈ A \ B. Entonces x ∈ A y x 6∈ B. Por tanto, x 6∈ A ∩ B (pues no pertenece a B). Tenemos entonces que x ∈ A y x 6∈ A ∩ B, luego x ∈ A \ (A ∩ B). Recíprocamente, si x ∈ A \ (A ∩ B) entonces x ∈ A y x 6∈ A ∩ B. Como x 6∈ A ∩ B, x no puede ser simultáneamente elemento de A y de B, luego o no es elemento de A o no es elemento de B, es decir, x 6∈ A ó x 6∈ B. La primera opción no puede darse, pues teníamos que x ∈ A, luego se da la segunda, es decir, x 6∈ B. Y lo que tenemos ahora es que x ∈ A y x 6∈ B, luego x ∈ A \ B. Diferencia simétrica. Definición 7. Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia simétrica de A y B como el conjunto A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A). Es decir, en A∆B están los elementos que pertenecen a uno de los dos conjuntos, A ó B, pero no a ambos. Podría entonces haberse definido como (A ∪ B) \ (A ∩ B). Queda como ejercicio demostrar que ambas definiciones son equivalentes. Para los conjuntos A y B de los ejemplos anteriores se tiene que A∆B = {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14}. Complementario. Normalmente, cuando estamos trabajando con conjuntos, fijaremos un conjunto de referencia al que llamaremos universo, y todas las operaciones que realicemos serán entre subconjuntos del mismo. Así, en los ejemplos que hemos visto, podríamos haber trabajado con N como universo. Todos los conjuntos que intervienen son subconjuntos de N. Definición 8. Si X es un universo, y A es un conjunto (un subconjunto de X), se define el complementario de A como el conjunto formado por todos los elementos (de X) que no pertenecen a A. El complementario de un conjunto A será denotado como A o A0 . Si X = N, y P es el subconjunto formado por los números pares, entonces P es el conjunto de todos los números impares. Notemos que el conjunto A es igual al conjunto X \ A, y que dados A y B dos subconjuntos de un conjunto X entonces A \ B = A ∩ B, pues A \ B son los elementos de A que no pertenecen a B, es decir, los elementos de A que pertenecen a B. Tablas de pertenencia. Si X es un conjunto que tomamos como universo, y A1 , A2 , · · · An son subconjuntos de X, para cada conjunto C que podamos formar a partir de los conjuntos A1 , A2 , · · · , An vamos a definir la denominada tabla de pertenencia. Esta tabla está formada por ceros y unos, y nos indica la posibilidad de que un Jesús García Miranda

CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES elemento pertenezca o no al conjunto C en función de que ese elemento pertenezca o no a cada uno de los conjuntos Ai . Un uno nos indica que el elemento pertenece, y un cero nos indica que no pertenece. Las tablas de pertenencia para las distintas operaciones que hemos definido serían: 6

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A∪B 0 1 1 1

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A∩B 0 0 0 1

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A\B 0 0 1 0

A B 0 0 0 1 1 0 1 1

A∆B 0 1 1 0

A 0 1

A 1 0

En la primera tabla, la primera fila nos dice que si un elemento no pertenece a A y no pertenece a B (eso está indicado con los dos ceros que hay debajo de A y B respectivamente), entonces no pertenece a A ∪ B (eso nos lo dice el cero que hay en la columna de A ∪ B). La segunda fila nos dice que si un elemento pertenece a B, pero no pertenece a A entonces pertenece a la unión de A y B. Y así, el resto. Vamos a calcular la tabla de pertenencia de (A∆B)∆C. Como partimos de tres conjuntos, esta tabla tendrá 8 filas, correspondientes a las 8 posibilidades que hay (que un elemento pertenezca o no a A, que pertenezca o no a B y que pertenezca o no a C). A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

A∆B 0 0 1 1 1 1 0 0

(A∆B)∆C 0 1 1 0 1 0 0 1

Las tres primeras columnas nos indican las 8 posibilidades que tenemos y que hemos dicho antes. La columna cuarta se obtiene a partir de las columnas primera y segunda, y la tabla de pertenencia de la diferencia simétrica. La columna quinta se obtiene a partir de las columnas tercera y cuarta y la tabla de pertenencia de la diferencia simétrica. Vamos a calcular la tabla de pertenencia de A∆(B∆C) A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

B∆C 0 1 1 0 0 1 1 0

A∆(B∆C) 0 1 1 0 1 0 0 1

Vemos que las columnas correspondientes a (A∆B)∆C y A∆(B∆C) coinciden. Eso significa que cualesquiera que sean los conjuntos A, B y C se tiene que (A∆B)∆C = A∆(B∆C). Esto que acabamos de hacer es una forma de demostrar igualdades o identidades entre conjuntos. A continuación enumeramos una serie de propiedades referentes a las operaciones que hemos visto entre conjuntos. Propiedades. Sea X un conjunto y A, B y C subconjuntos de X. Entonces: 1. A ∪ B = B ∪ A. 2. A ∩ B = B ∩ A. Departamento de Álgebra

1.1. Conjuntos 3. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C.

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4. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C. 5. A ∪ A = A. 6. A ∩ A = A. 7. A ∪ (A ∩ B) = A. 8. A ∩ (A ∪ B) = A. 9. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 10. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 11. A ∪ ∅ = A. 12. A ∩ ∅ = ∅. 13. Si A ⊆ B entonces A ∪ B = B (comparar con 7. y 11.). 14. Si A ⊆ B entonces A ∩ B = A (comparar con 8. y 12.). 15. A = A. 16. X = ∅. 17. ∅ = X. 18. A ∪ A = X. 19. A ∩ A = ∅. 20. A ∪ B = A ∩ B. 21. A ∩ B = A ∪ B. 22. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C). 23. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C). 24. A∆∅ = A 25. A∆A = ∅. 26. (A∆B)∆C = A∆(B∆C). 27. A∆B = B∆A. 28. A∆C = B∆C =⇒ A = B. 29. A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C). 30. A ∪ B ⊆ A ∪ C y A ∩ B ⊆ A ∩ C entonces B ⊆ C. Podríamos enumerar muchas propiedades más. Las dos técnicas de demostración vistas en esta sección pueden usarse para probarlas. Vamos a ver algunos ejemplos. Ejemplo 1.1.6. 1. Vamos a comprobar que A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) para cualesquiera conjuntos A, B, C. Jesús García Miranda

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CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES Doble inclusión. Demostremos que A \ (B ∪ C) ⊆ (A \ B) ∩ (A \ C). Para eso, veremos que todo elemento de A \ (B ∪ C) es un elemento de (A \ B) ∩ (A \ C). Sea x ∈ A \ (B ∪ C). Entonces, x ∈ A y x 6∈ B ∪ C. Puesto que x 6∈ B ∪ C entonces x no puede perteneces a B y x no puede perteneces a C; es decir, x 6∈ B y x 6∈ C. Por tanto, tenemos por una parte que x ∈ A y x 6∈ B, luego x ∈ A \ B; y por otra que x ∈ A y x 6∈ C, de donde x ∈ A \ C. Deducimos entonces que x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C) Demostremos ahora que (A \ B) ∩ (A \ C) ⊆ A \ (B ∪ C). Sea x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C). Entonces x ∈ A \ B y x ∈ A \ C. Es decir, x ∈ A, x 6∈ B y x 6∈ C. Por tanto, x ∈ A y x 6∈ B ∪ C (pues no pertenece a B ni a C). Entonces x ∈ A \ (B ∪ C), como queríamos. Tablas de pertenencia. A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

B∪C 0 1 1 1 0 1 1 1

A \ (B ∪ C) A \ B 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0

A\C 0 0 0 0 1 0 1 0

(A \ B) ∩ (A \ C) 0 0 0 0 1 0 0 0

Al ver que las columnas correspondientes a A \ (B ∪ C) y (A \ B) ∩ (A \ C) son iguales, concluimos que ambos conjuntos son siempre iguales. Identidades entre conjuntos. A \ (B ∪ C) = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ (B ∩ C) Propiedad 20. Ley de "de Morgan" = A∩B∩C Propiedad 4. Asociativa. = A∩B∩A∩C Propiedad 6. Idempotencia. = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) Propiedad 4. Asociativa = (A \ B) ∩ (A \ C) Supongamos que nos piden estudiar qué relación existe entre los conjuntos A ∪ (B \ C) y (A ∪ B) \ (A ∪ C). En primer lugar, tomamos tres conjuntos A, B y C y vemos si podemos encontrar alguna relación. Por ejemplo: Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 6, 7, 8} y C = {4, 7, 8, 9, 10}. Entonces B \C = {3, 6}, luego A∪(B \C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mientras que A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10} y (A ∪ B) \ (A ∪ C) = {6}. Vemos entonces que los conjuntos no son iguales. Pero podría darse el caso de que (A ∪ B) \ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B \ C). Vamos a comprobar que efectivamente, se tiene esa inclusión. Supongamos que x ∈ (A ∪ B) \ (A ∪ C). Entonces, x ∈ (A ∪ B) y x 6∈ A ∪ C. Por tanto, x no puede pertences a A y tampoco a C. Es decir, x 6∈ C, y claramente x ∈ B, de donde deducimos que x ∈ B \ C. Entonces se tiene que x ∈ A ∪ (B \ C). También podemos comprobarlo usando las tablas de pertenencia. A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

A∪B 0 0 1 1 1 1 1 1

A∪C 0 1 0 1 1 1 1 1

(A ∪ B) \ (A ∪ C) B \ C 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

Departamento de Álgebra

A ∪ (B \ C) 0 0 1 0 1 1 1 1

1.1. Conjuntos 9 Y vemos como en las filas en las que hay un uno en la columna correspondiente a (A ∪ B) \ (A ∪ C) (en este caso, sólo la tercera fila), también hay un uno en la columna a A ∪ (B \ C). Vamos a fijarnos un poco más en esta tabla, y en los conjuntos que hemos puesto como ejemplo. Vemos que el conjunto (A ∪ B) \ (A ∪ C) tenía un solo elemento, el 6. Este elemento se corresponde con el único elemento que pertenece a B, y que no pertenece ni a A y a C. Esto es así porque el único uno de la columna (A ∪ B) \ (A ∪ C) se encuentra en la tercera fila, en la que tenemos un cero en la columna A, un uno en la columna B y un cero en la columna C. En cambio, el conjunto A ∪ (B \ C) tiene seis elementos, que son el 1, el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6. El 1 y el 2 pertenecen sólo a A (no pertenecen ni a B ni a C, y se corresponden con el 1 que aparece en la quinta fila. El 5 se corresponde con el uno de la sexta fila (el 5 pertenece a A y a C, pero no a B). El 3 se corresponde con el uno de la séptima fila (pertenece a A y B, pero no a C. Y el 4 se corresponde con el uno de la última fila (pertenece a A, a B y a C).

1.1.3.

Producto cartesiano

Definición 9. Dados dos conjuntos A y B definimos el conjunto producto cartesiano A × B como el conjunto cuyos elementos son parejas, donde la primera componente pertenece a A y la segunda componente pertenece a B. Es decir: A × B = {(a, b) : a ∈ A; b ∈ B} Ejemplo 1.1.7. Por ejemplo, si A = {0, 2, 4} y B = {1, 2} entonces A × B = {(0, 1), (2, 1), (4, 1), (0, 2), (2, 2), (4, 2)} De forma análoga puede definirse el producto cartesiano de tres o más conjuntos. Incluso podría definirse el producto cartesiano de infinitos conjuntos. Normalmente, el producto cartesiano de un conjunto A por sí mismo será denotado como A2 ; el producto A × A × A como A3 , y Ak el producto cartesiano de A consigo mismo k veces. Por ejemplo: A2 = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (4, 0), (4, 2), (4, 4)} B 3 = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)} Si X = ∅ o Y = ∅ entonces X × Y = ∅. Si A es un conjunto, consideramos el producto cartesiano A2 = A × A. Definimos la diagonal como el subconjunto de A2 siguiente: ∆A = {(a, a) : a ∈ A} Es decir, ∆A es el conjunto de parejas de A donde las dos coordenadas son iguales. Por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 5, 7} entonces ∆A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (5, 5), (7, 7)}. Cuando no haya lugar a la confusión, escribiremos ∆ en lugar de ∆A . Algunas propiedades referentes al producto cartesiano de conjuntos: Propiedades: Sean X e Y dos conjuntos, y A, C ⊆ X, y B, D ⊆ Y . Entonces: 1. A × B ⊆ X × Y . 2. (A ∪ C) × Y = (A × Y ) ∪ (B × Y ) y X × (B ∪ D) = (X × B) ∪ (X × D). 3. (A × B) ∪ (C × D) ⊆ (A ∪ C) × (B ∪ Y ). 4. (A ∩ C) × Y = (A × Y ) ∩ (C × Y ) y X × (B ∩ D) = (X × B) ∩ (X × D) 5. (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D). La inclusión del apartado tercero puede ser estricta. Da un ejemplo en el que no se de la igualdad. Jesús García Miranda

CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

10

1.2.

Aplicaciones

1.2.1.

Definición y ejemplos.

Supongamos que tenemos dos conjuntos X e Y , y que para cada elemento x ∈ X, hemos elegido un elemento (y sólo uno) y ∈ Y . Eso es lo que vamos a llamar una una aplicación de X en Y . Definición 10. Una aplicación de X en Y es una forma de asignar, a cada elemento de X, un elemento (y sólo uno) de Y . Si llamamos f a una aplicación de X en Y , y x ∈ X, el elemento y ∈ Y que le asignamos a este elemento lo denotaremos como f (x), y leeremos f de x. Diremos que este elemento es la imagen por (la aplicación) f del elemento x. f

Cuando tengamos una aplicación f , de X en Y , escribiremos f : X → Y , o X −→ Y . Al conjunto X se le llama dominio de la aplicación, mientras que al conjunto Y codominio. Ejemplo 1.2.1. Cuando somos pequeñitos, y nos bautizan, o nos inscriben en el registro civil, nos asignan una (o más) palabras que dicen que es nuestro nombre (vamos a suponer que todos tenemos nombres simples). Esta asignación, salvo casos excepcionales, nos marca de por vida. Tenemos de esta forma una aplicación del conjunto de las personas en el conjunto de palabras. Más adelante, se nos asigna un número natural que será el que nos identifique. Así tenemos una aplicación del conjunto de los españoles mayores de 18 años en el conjunto de los números naturales. A cada número natural le vamos a asignar su doble. Vamos a llamar f a esta asignación. Tenemos entonces que f es una aplicación N → N. Para cada número natural n su imagen por f es 2n, es decir, f (n) = 2n. Podríamos haber descrito esta aplicación como sigue: Sea f : N → N la aplicación dada por (o definida por) f (n) = 2n (o definida por n 7→ 2n). Podemos ver entonces f como una regla, o como una máquina, que transforma cada elemento de X en un elemento de Y (en el ejemplo precedente cada número natural en un número natural). Sobre las posibles reglas no hay restricción alguna. Podemos elegir una regla, como la de asignar a cada número su doble, o simplemente, ir eligiendo una a una la imagen de cada elemento, sin ningún criterio aparente. Así, podemos tener la aplicación que asigne al cero el valor 35, al uno el valor 26, al dos el valor 99, al tres el valor 638, al cuatro el valor 2411. Y así podríamos seguir definiendo la imagen de cualquier otro número. Claro, que de esta forma únicamente tenemos definida la aplicación para aquellos valores de los que hemos dicho explícitamente su imagen. Podría decirse que la aplicación anterior es la que asigna a cada número natural n menor o igual que cuatro, el número 16n4 − 32n3 + 25n2 − 18n + 35. En tal caso, podríamos considerar la aplicación f N −→ N dada por f (n) = 16n4 − 32n3 + 25n2 − 18n + 35 o cualquier otra expresión que satisfaga las cinco condiciones dadas (habría en este caso que comprobar que si n ∈ N entonces 16n4 − 32n3 + 25n2 − 18n + 35 ∈ N). También podría haberse definido la aplicación como f (0) = 35, f (1) = 26, f (2) = 99, f (3) = 638, f (4) = 2411 y f (n) = n si n ≥ 5.

Para dar una aplicación X → Y , podemos, bien dar explícitamente la imagen de cada uno de los elementos X, bien dando una regla (o varias) que nos digan cómo calcular la imagen de cada elemento del dominio. Ejemplo 1.2.2. 1. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {1, 2, 3, 4, 5} y f : X → Y la aplicación dada por f (1) = 5, f (2) = 2, f (3) = 1, f (4) = 2 y f (5) = 5. En este caso, hemos dado explícitamente la imagen de cada uno de los elementos del dominio. También podríamos haberlo escrito diciendo que f es la aplicación definida por 1 7→ 5, 2 7→ 2, 3 7→ 1, 4 7→ 2, 5 7→ 5. 2. La misma aplicación que acabamos de dar, la podríamos haber descrito como la aplicación f : X → Y dada por f (x) = x2 − 6x + 10. En este caso, hemos dado la aplicación mediante una regla que nos permite calcular f (x) a partir de cualquier elemento x ∈ X. Departamento de Álgebra

1.2. Aplicaciones

11

3. Sea G : N → N la aplicación ½ g(n) =

n+1 n−1

si n es par. si n es impar.

Es decir, g(0) = 1, g(1) = 0, g(2) = 3, g(3) = 2, etc. En este caso, la aplicación la hemos definido mediante dos reglas. Una que nos permite calcular la imagen de los números pares, y otra que nos permite calcular la imagen de los números impares. Esta misma aplicación la podríamos haber definido mediante una única regla, que sería g(n) = n + (−1)n . Definición 11. Si f : X → Y es una aplicación, se define el grafo de f como el conjunto: G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ X} es decir, las parejas formadas por un elemento y su imagen. Notemos que G(f ) es un subconjunto de X × Y . Muchos autores definen una aplicación a partir de su grafo. Una aplicación de X en Y sería un subconjunto G de X × Y de forma que para cualquier x ∈ X existe un único elemento y ∈ Y tal que (x, y) ∈ G. Ejemplo 1.2.3. Por ejemplo, si X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c, d} y f : X → Y es la aplicación dada por f (1) = b, f (2) = c y f (3) = b, entonces G(f ) = {(1, b), (2, c), (3, b)}. Notemos que el conjunto {(1, b), (2, c), (3, b)} determina totalmente a la aplicación f . Para cualquier conjunto X tenemos una aplicación X → X dada por x 7→ x. Esta aplicación se conoce como aplicación identidad, y se denota como IdX o 1X . En este caso, el grafo de la aplicación es el conjunto diagonal ∆X . Si A es un subconjunto de un conjunto X, tenemos la aplicación i : A → X definida como i(x) = x. Esta aplicación se conoce como aplicación inclusión. Como caso especial, consideramos que para cualquier conjunto X hay una aplicación ∅ → X. Su grafo es el único subconjunto de ∅ × X = ∅. La siguiente regla ab 7→ a + b no define ninguna aplicación Q → Z, ya que no determina de forma única la imagen de un elemento. Por ejemplo, 12 podría tener como imagen a 3, a 6 (pues 12 = 24 ), a −3 y en general a cualquier múltiplo no nulo de 3. El único elemento que tendría determinada su imagen es −1.

1.2.2.

Imagen directa e imagen inversa.

Definición 12. Sea f : X → Y . Definimos entonces dos nuevas aplicaciones. f∗ : P(X) → P(Y ) ∗

f : P(Y ) → P(X)

f∗ (A) = {f (x) : x ∈ A} ∗

f (B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B}

Es decir, si A es un subconjunto de X, entonces f∗ (A) es el conjunto formado por todas las imágenes de los elementos de A, mientras que f ∗ (B) está formado por todos los elementos de X cuyas imágenes pertenecen a B. Las aplicaciones f∗ y f ∗ se conocen como aplicaciones imagen directa e imagen iversa respectivamente. Al conjunto f∗ (X) se le conoce como la imagen de f . Será denotado como Im(f ). Algunos autores escriben f (A) en lugar de f∗ (A) y f −1 (B) en lugar de f ∗ (B). Ejemplo 1.2.4. 1. Sea E el conjunto de todos los ciudadanos españoles, y f : E → N la aplicación que asocia a cada persona su edad en años. Sea B = {18, 19, · · · , 111}. Entonces f ∗ (B) es el conjunto de todos los españoles cuya edad está comprendida entre 18 y 111 años. Si suponemos que no hay nadie que tenga 112 años o más, entonces f ∗ (B) es el conjunto de todos los españoles mayores de edad, y por tanto que tienen derecho a voto. Jesús García Miranda

12

CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES 2. Sea g : Z → N la aplicación dada por g(x) = x2 . Sean A1 = {0, 1, 2}, A2 = {−3, −1, 0, 3}, B1 = {1, 2, 3, 4} y B2 = {3, 5, 7}. Entonces: g∗ (A1 ) = {0, 1, 4}, pues g(0) = 0, g(1) = 1 y g(2) = 4. g∗ (A2 ) = {0, 1, 9}, pues g(0) = 0, g(−1) = 1 y g(−3) = g(3) = 9. g ∗ (B1 ) = {1, −1, 2, −2} pues g(1) = g(−1) = 1 ∈ B1 , g(2) = g(−2) = 4 ∈ B1 , y no hay ningún otro número entero cuya imagen por g pertenezca a B1 . g ∗ (B2 ) = ∅, pues no hay ningún número entero cuyo cuadrado sea 3, 5 ó 7. Propiedades. Sean X e Y dos conjuntos, A1 , A2 ⊆ X y B1 , B2 ⊆ Y y f : X → Y una aplicación. Entonces: 1. f∗ (A1 ∪ A2 ) = f∗ (A1 ) ∪ f∗ (A2 ). 2. f∗ (A1 ∩ A2 ) ⊆ f∗ (A1 ) ∩ f∗ (A2 ). 3. f ∗ (B1 ∪ B2 ) = f ∗ (B1 ) ∪ f ∗ (B2 ). 4. f ∗ (B1 ∩ B2 ) = f ∗ (B1 ) ∩ f ∗ (B2 ). 5. f ∗ (B1 ) = f ∗ (B1 ). 6. A1 ⊆ f ∗ (f∗ (A1 )). 7. f ∗ (f∗ (B1 )) ⊆ B1 .

Vamos a demostrar, por ejemplo, la número 4. Como es una igualdad lo haremos por doble inclusión. Sea x ∈ f ∗ (B1 ∩B2 ). Entonces f (x) ∈ B1 ∩B2 , luego f (x) ∈ B1 y f (x) ∈ B2 . Ahora bien, si f (x) ∈ B1 entonces x ∈ f ∗ (B1 ) (pues su imagen está en B1 ), y de la misma forma x ∈ f ∗ (B2 ), luego x pertenece a la intersección de ambos, es decir, x ∈ f ∗ (B1 ) ∩ f ∗ (B2 ). Recíprocamente, si x ∈ f ∗ (B1 ) ∩ f ∗ (B2 ) entonces x ∈ f ∗ (B1 ) y x ∈ f ∗ (B2 ), luego f (x) ∈ B1 y f (x) ∈ B2 , es decir, f (x) ∈ B1 ∩ B2 lo que nos dice que x ∈ f ∗ (B1 ∩ B2 ). En los casos en que se ha puesto una inclusión es porque la otra inclusión no tiene porqué darse. Así, si consideramos la aplicación del ejemplo anterior, tenemos que

A1 ∩ A2 = {0};

f∗ (A1 ∩ A2 ) = {0} mientras que f∗ (A1 ) ∩ f∗ (A2 ) = {0, 1, 9} ∩ {0, 1, 4} = {0, 1}

Aunque vemos en el ejemplo que la inclusión es estricta, no podemos poner como propiedad que f∗ (A1 ∩ A2 ) ( f∗ (A1 ) ∩ f∗ (A2 ), ya que hay casos en los que sí se da la igualdad (toma el mismo ejemplo, pero incluyendo en A2 el elemento 1).

1.2.3.

Composición de aplicaciones.

Supongamos que tenemos una aplicación f : X → Y y otra aplicación g : Y → Z. Si tomamos un elemento x ∈ X, por la aplicación f le asignamos el elemento y = f (x). Como este elemento pertenece a Y , por la aplicación g se le asigna el elemento g(y) = g(f (x)) ∈ Z. Tenemos entonces una forma de hacerle corresponder a cada elemento de X un elemento de Z, es decir, tenemos una aplicación X → Z. Esta aplicación se conoce como la composición de f y g. Formalmente: Definición 13. Sean X, Y , Z conjuntos, y f : X → Y y g : Y → Z dos aplicaciones. Se define la aplicación composición de f y g como la aplicación g ◦ f : X → Z dada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Ejemplo 1.2.5. Por ejemplo. Sean f : N → N y g : N → N las aplicaciones dadas por f (n) = n + 1, y g(n) = n2 . Entonces (g ◦ f )(n) = g(f (n)) = g(n + 1) = (n + 1)2 , mientras que (f ◦ g)(n) = f (n2 ) = n2 + 1. Como en general n2 + 1 6= (n + 1)2 podemos concluir que g ◦ f 6= f ◦ g. Departamento de Álgebra

1.2. Aplicaciones 13 Vemos con el ejemplo anterior que la composición de aplicaciones no es conmutativa. De hecho, pudiera ocurrir que g ◦ f existiera, pero que f ◦ g no estuviera definida. Por ejemplo, si f : X → Y y g : Y → Z y X 6= Z, entonces la composición f ◦ g no tiene sentido. También puede ocurrir que existiendo ambas, dominio y codominio fueran diferentes. Por ejemplo, tenemos f : X → Y y g : Y → X. En tal caso, tenemos g ◦ f : X → X y f ◦ g : Y → Y . Si Y 6= X, el dominio y codominio de g ◦ f es distinto del dominio y codominio de f ◦ g. Pero aún en el caso de que existan ambas composiciones, y que dominio y codominio coincidieran, las dos composiciones pueden ser diferentes, como hemos visto en el ejemplo precedente. Propiedades. Para cualquier aplicación f : X → Y se verifica que f ◦ IdX = IdY ◦ f = f . La composición de aplicaciones es asociativa, es decir, si tenemos f : X → Y , g : Y → Z y h : Z → W entonces h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f . Ejemplo 1.2.6. Sean f : N → Z, g : Z → N y h : N → N las aplicaciones dadas por f (n) = n2 − 5, g(n) = n2 + 1 y h(n) = n + 1. Entonces: - (g ◦ f )(n) = g(f (n)) = g(n2 − 5) = (n2 − 5)2 + 1 = n4 − 10n2 + 25 + 1 = n4 − 10n2 + 26. - (h ◦ (g ◦ f ))(n) = h((g ◦ f )(n)) = h(n4 − 10n2 + 26) = n4 − 10n2 + 27. - (h ◦ g)(n) = h(n2 + 1) = n2 + 2. - ((h ◦ g) ◦ f )(n) = (h ◦ g)(f (n)) = (h ◦ g)(n2 − 5) = (n2 − 5)2 + 2 = n4 − 10n2 + 25 + 2 = n4 − 10n2 + 27. Dada una aplicación f : X → X, denotaremos como f 2 a la composición f ◦ f . Más en general, definimos: f 0 = IdX

f n+1 = f n ◦ f

Ejemplo 1.2.7. Si f : N → N es la aplicación dada por f (n) = 2n + 1, entonces f 2 (n) = f (f (n)) = f (2n + 1) = 2(2n + 1) + 1 = 4n + 3, f 3 (n) = f 2 (f (n)) = f 2 (2n + 1) = 4(2n + 1) + 3 = 8n + 7. En general, puede verse que f k (n) = 2k n + 2k − 1. Comprueba esta afirmación por inducción.

1.2.4.

Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

Aplicaciones inyectivas. Definición 14. Una aplicación f : X → Y se dice inyectiva cuando elementos distintos del dominio dan lugar a imágenes distintas. Es decir, dados x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ). O lo que es lo mismo, f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 . También podría haberse definido una aplicación inyectiva como aquella aplicación tal que para cada y ∈ Y el conjunto f ∗ ({y}) tiene a lo sumo un elemento. Ejemplo 1.2.8. 1. La aplicación f : N → N dada por f (n) = 2n es inyectiva, pues dos números distintos no pueden tener el mismo doble. Es decir, n 6= n0 =⇒ 2n 6= 2n0 . 2. La aplicación f : N → N dada por f (n) = n2 es inyectiva, mientras que g : Z → Z dada por g(n) = n2 no lo es, pues g(1) = g(−1) (es decir, dos elementos distintos tienen la misma imagen). 3. Sea B el conjunto de todos los estudiantes matriculados en la asignatura ALEM de 1o B del grado en Ingeniería Informática en la Universidad de Granada, y D el conjunto de los 366 días del año. Sea n : B → D la aplicación que a cada estudiante le hace corresponder el día que nació. Apostaría 20 euros a que la aplicación n no es inyectiva, es decir, hay dos estudiantes que han nacido el mismo día (aunque posiblemente de distinto año). Propiedades. Para cualquier conjunto X, la aplicación IdX es inyectiva. La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva. Si g ◦ f es inyectiva, entonces podemos asegurar que f lo es, pero g podría serlo o no. Jesús García Miranda

CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES Ejemplo 1.2.9. Sean X = {1, 2, 3}, Y = {a, b, c, d} y Z = {0, 2, 4, 6, 8}. Consideramos las aplicaciones f : X → Y dada por f (1) = a, f (2) = c y f (3) = d y g : Y → Z dada por g(a) = 0, g(b) = 4, g(c) = 4, g(d) = 8. Entonces g ◦ f es inyectiva (la imagen de 1 es 0, la imagen de 2 es 4 y la imagen de 3 es 8), mientras que g no lo es, ya que g(b) = g(c). 14

Aplicaciones sobreyectivas. Definición 15. Sea f : X → Y . Se dice que f es sobreyectiva si para cualquier y ∈ Y existe x ∈ X tal que f (x) = y (es decir, para cualquier y ∈ Y el conjunto f ∗ ({y}) tiene al menos un elementos - es distinto del conjunto vacío -). Ejemplo 1.2.10. 1. La aplicación f : Z → N dada por f (x) = |x| es sobreyectiva, pues para cualquier número natural n hay un número entero (el propio n, o −n) cuyo valor absoluto es n. Esta aplicación no es inyectiva, pues f (2) = f (−2). 2. La aplicación f : Z → Z x 7→ x + 1 es sobreyectiva, pues dado un número entero y, hay otro número entero x = y − 1 tal que f (x) = y. Sin embargo, la aplicación f : N → N dada por f (n) = n + 1 no es sobreyectiva, pues no hay ningún número natural que al sumarle 1 nos de 0. 3. La aplicación n : B → D definida en el ejemplo 1.2.8 no es sobreyectiva, pues al ser el número de estudiantes de primero B menor de 366, tiene que haber días del año en que no haya nacido ninguno de estos estudiantes. Propiedades. Para cualquier conjunto X, la aplicación IdX es sobreyectiva. La composición de aplicaciones sobreyectivas es sobreyectiva. Si f : X → Y , g : Y → Z son aplicaciones tales que g ◦ f es sobreyectiva, entonces también lo es g, pues dado z ∈ Z sabemos que existe x ∈ X tal que g(f (x)) = z. Basta tomar y = f (x) y se tiene que g(y) = z. Ejemplo 1.2.11. Tomamos, por ejemplo, f : N → N la aplicación n 7→ 2n, y g : N → N la aplicación n 7→ E(n/2) (donde E(x) denota la parte entera de x). Entonces (g ◦ f )(n) = g(f (n)) = g(2n) = E(2n/2) = E(n) = n, luego g ◦ f = IdN que es sobreyectiva. Es claro que f no lo es. Aplicaciones biyectivas. Aplicación inversa. Definición 16. Una aplicación f : X → Y se dice que es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. O lo que es lo mismo, para cada y ∈ Y , el conjunto f ∗ ({y}) tiene exactamente un elemento. Ejemplo 1.2.12. La aplicación f : Z → Z dada por f (x) = x + 2 es biyectiva, mientras que la aplicación f : N → N n 7→ n + 2 no lo es, pues no es sobreyectiva. La aplicación f : Q → Q definida como f (x) = 2x es biyectiva. La misma expresión, pero tomando como dominio y codominio Z define una aplicación que no es biyectiva (pues no es sobreyectiva). Propiedades. Para cualquier conjunto X la aplicación IdX es biyectiva. La composición de aplicaciones biyectivas es una aplicación biyectiva. Si f : X → Y y g : Y → Z son aplicaciones tales que g ◦ f es biyectiva, lo más que podemos asegurar es que f es inyectiva y que g es sobreyectiva. Definición 17. Sea f : X → Y una aplicación. Se dice que f tiene inversa si existe g : Y → X tal que g ◦ f = IdX y f ◦ g = IdY . Ejemplo 1.2.13. La aplicación f : Z → Z x 7→ x + 2 tiene como inversa la aplicación g : Z → Z x 7→ x − 2. Para cualquier conjunto X la aplicación IdX : X → X tiene como inversa a ella misma. Departamento de Álgebra

1.2. Aplicaciones 15 Propiedad. Dada una aplicación f : X → Y se tiene que f tiene inversa si, y sólo si, f es biyectiva. Vamos a demostrarlo. Supongamos que f tiene inversa. Sea g : Y → X una inversa. Entonces f ◦ g = IdY , luego f ◦ g es sobreyectiva. Vimos antes que en ese caso f es sobreyectiva. También g ◦ f = IdX , luego g ◦ f es inyectiva, lo que implica que f es inyectiva. Por tanto, f es inyectiva y sobreyectiva. Recíprocamente, supongamos ahora que f es biyectiva. Vamos a definir g : Y → X. Para esto, sea y ∈ Y . Por ser f sobreyectiva, f ∗ ({y}) es distinto del vacío, y por ser f inyectiva, f ∗ ({y}) tiene a lo sumo un elemento, luego f ∗ ({y}) tiene exactamente un elemento. Definimos g(y) como el único elemento que pertenece a f ∗ ({y}). Es fácil comprobar que g, así definida, es una inversa para f . Ejemplo 1.2.14. Consideramos f : N → N la aplicación definida como f (n) = 2n. Esta aplicación es inyectiva, pero no sobreyectiva (pues el 1 no pertenece a la imagen de f ). Vimos que si tomamos la aplicación g : N → N n 7→ E(n/2) se tiene que g ◦ f = IdN . Esta aplicación no es una inversa para f , aunque g ◦ f = IdN , ya que f ◦ g 6= IdN (por ejemplo, (f ◦ g)(3) = f (g(3)) = f (1) = 2). La aplicación g se dice que es una inversa por la izquierda de f . De la misma forma se dice que la aplicación f es una inversa por la derecha de g. Puede demostrarse que una aplicación f es inyectiva si, y sólo si, tiene inversas por la izquierda, y es sobreyectiva si, y sólo si, tiene inversas por la derecha. Una aplicación f : X → Y puede tener varias inversas por la izquierda o varias inversas por la derecha. Pero si tiene inversa por la izquierda y por la derecha, entonces ambas deben coincidir, pues si g : Y → X es una inversa por la derecha y h : Y → X es una inversa por la izquierda, se tiene que g = IdX ◦ g = (h ◦ f ) ◦ g = h ◦ (f ◦ g) = h ◦ IdY = h. De aquí deducimos que si una aplicación tiene inversa, entonces sólo puede tener una. A esta aplicación la denotaremos como f −1 . Ejemplo 1.2.15. Sean X = {1, 2} e Y = {a, b, c}, y f : X → Y la aplicación dada por f (1) = b, f (2) = a. Entonces f es inyectiva, y por lo dicho antes tiene inversa por la izquierda. En este caso tiene 2 inversas por la izquierda, que son: g1

Y −→ X a 7→ 2 b 7→ 1 c 7→ 1

g2

Y −→ X a 7→ 2 b 7→ 1 c 7→ 2

La aplicación g1 es sobreyectiva. Por tanto tiene inversa por la derecha. Una de ellas es f , pero tiene otra, que es la dada por 1 7→ c, 2 7→ a. También g2 tiene dos inversas por la derecha. Aparte de f , la dada por 1 7→ b, 2 7→ c. La aplicación f : N → N definida como f (n) = 2n tiene infinitas inversas por la izquierda (y por tanto no puede tener inversa por la derecha). Supongamos que f : X → Y y g : Y → Z son dos aplicaciones biyectivas. Sabemos entonces que tanto f como g tienen inversa. Sabemos también que la composición g ◦ f es biyectiva, luego tiene inversa. En tal caso se tiene que (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 Ejemplo 1.2.16. Sea f : Q → Q la aplicación f (x) = x − 2, y g : Q → Q la aplicación dada por g(x) = 3x. Tanto f como g son biyectivas, y sus inversas vienen dadas por f −1 (x) = x + 2 y g −1 (x) = x3 . Si realizamos la composición g ◦ f nos queda que (g ◦ f )(x) = g(x − 2) = 3x − 6. Esta aplicación es biyectiva, y su inversa es la aplicación x 7→ x+6 3 . Por otra parte, se tiene que (f −1 ◦ g −1 )(x) = f −1 (g −1 (x)) = f −1 ( x3 ) = x3 + 2 = x+6 3 es decir, f −1 ◦ g −1 es la aplicación inversa de g ◦ f . Si realizamos la composición en el otro sentido, nos queda (g −1 ◦ f −1 )(x) = g −1 (x + 2) = x+2 3 que no es la inversa de g ◦ f . Dado un conjunto X, definimos la aplicación f : P(X) → P(X) como f (A) = A. En ese caso, se tiene que (f ◦ f )(A) = f (f (A)) = f (A) = A = A. Por tanto, f ◦ f = IdP(X) , y por tanto f es una biyección cuya inversa es ella misma. Jesús García Miranda

CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES Si X es un conjunto y A un subconjunto de X, definimos la aplicación fA : P(X) → P(X) como fA (B) = A∆B. Entonces f es una biyección. Como ejercicio, encuentra su inversa.

16

1.2.5.

Cardinales.

Sea f : X → Y una aplicación inyectiva. Eso significa que dos elementos distintos de X dan lugar (por la aplicación f ) a dos elementos distintos de Y . Por tanto, el conjunto Y debe tener más elementos (o quizá los mismos) que X. De la misma forma, si f : X → Y es una aplicación sobreyectiva, entonces el número de elementos de X debe ser mayor o igual que el número de elementos de Y , pues por cada elemento y ∈ Y tenemos uno o más elementos de X (los que pertenecen a f ∗ ({y})). Por tanto, si f : X → Y es una aplicación biyectiva, el número de elementos de X debe ser igual al número de elementos de Y . Sea n un número natural. Vamos a llamar n al conjunto n = {0, 1, 2, · · · , n − 1} (el conjunto 0 es el conjunto vacío). El número de elementos de n es n. Definición 18. Sea X un conjunto. Diremos que X tiene cardinal n (es decir, que X tiene n elementos) si existe una biyección n → X. En tal caso escribiremos |X| = n. Notemos que cuando damos una biyección n → X lo que estamos haciendo es contar los elementos de X (empezando por cero) tal y como nosotros hemos contado siempre los elementos de un conjunto. Esta definición es coherente, en el sentido que si tuviéramos dos biyecciones m → X y n → X entonces m = n (es decir, a la hora de contar los elementos de un conjunto da igual por cual empecemos y el orden en que los contemos. Siempre llegaremos al mismo resultado). La afirmación anterior, aunque intuitivamente muy clara tiene una demostración un poco complicada. Cardinal de la unión de conjuntos. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, entonces |A ∪ B| = |A| + |B|. La idea está clara. Al contar los elementos de A ∪ B, y no haber ninguno en común, sale exactamente la suma del número de elementos de A y el número de elementos de B. Si m es el cardinal de A y n el cardinal de B, cuando contamos los elementos de la unión, primero contamos los de A (y llegamos hasta m − 1), y a continuación contamos los de B (pero siguiendo por m). LLegaremos entonces hasta m + n − 1. Luego |A ∪ B| = m + n = |A| + |B|. Más formalmente, si f : m → A y g : n → B son dos biyecciones. Entonces la aplicación h : m + n → A∪B ½ f (x) si x < m h(x) = g(x − m) si x ≥ m es una biyección. Vamos ahora a calcular cuando vale |A ∪ B| sin que necesariamente A ∩ B sea igual al conjunto vacío. Intuitivamente, si sumamos el cardinal de A y el cardinal de B, los elementos de A ∩ B los estamos contando dos veces, luego habrá que restarlos una vez para haber contado todos los elementos de A ∪ B exactamente una vez. Por tanto, |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Una demostración de esto podría ser como sigue. En primer lugar, se tiene que es fácil comprobar que A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), y que (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅. Por tanto, |A| = |A \ B| + |A ∩ B|, luego |A \ B| = |A| − |A ∩ B|. De la misma forma, |B \ A| = |B| − |A ∩ B|. Puesto que A ∪ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B) y la intersección de dos cualesquiera de estos conjuntos es el conjunto vacío se tiene que |A ∪ B| = |A \ B| + |B \ A| + |A ∩ B| = |A| − |A ∩ B| + |B| − |A ∩ B| + |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| Cardinal del producto cartesiano. En cuanto al producto cartesiano, se tiene que |A × B| = |A| · |B|. Si A = {a1 , · · · , am } y B = {b1 , · · · , bn }, por cada elemento ai ∈ A tenemos n elementos (ai , b1 ), · · · , (ai , bn ) de A × B. Por tanto, el cardinal del producto cartesiano debe ser el producto de cada uno de los factores, es decir: |A × B| = |A| · |B| Departamento de Álgebra

1.2. Aplicaciones Para comprobarlo, vamos a ver que existe una biyección f : m × n → p, donde p = m · n. Esta biyección viene dada por f (x, y) = x + m · y. f (0, 0) = 0 f (0, 1) = m ..................... f (0, n − 1) = mn − m

f (1, 0) = 1 f (1, 1) = m + 1 ......................... f (1, n − 1) = mn − m + 1

·········

17

f (m − 1, 0) = m − 1 f (m − 1, 1) = 2m − 1 ......................... f (m − 1, n − 1) = mn − 1

La inversa de f sería la aplicación g : p → m × n z 7→ (z mód m, z div m) Cardinal de un conjunto de aplicaciones. Por último vamos a calcular el número de aplicaciones de X en Y en función del número de elementos de X y de Y . Supongamos que X = {a1 , · · · , am } e Y = {b1 , · · · , bn }. Entonces, para dar una aplicación X → Y debemos elegir el valor de f (a1 ), para lo cual tenemos n posibilidades; el valor de f (a2 ), para lo cual tenemos otras n posibilidades, y así hasta f (am ), para lo cual volvemos a tener n posibilidades. En total, podemos hacer un total de n · n · · · n = nm posibles aplicaciones. Una forma de demostrar esto, sería dar una biyección entre el conjunto Z = {α : m → n|α es aplicación} y el conjunto p, donde p = nm . Esta biyección podría ser: h(α) = α(0) + α(1) · n + · · · + α(m − 1) · nm−1 La inversa vendría dada como sigue: para un elemento x tal que 0 ≤ x < p, calculamos su expresión en base n, y nos quedaría x = (am−1 · · · a1 a0 )n (donde am−1 podría valer 0). Al elemento x le haríamos corresponder la aplicación α : m → n dada por α(i) = ai . En base a esto, es usual, dado dos conjuntos X e Y , denotar como Y X al conjunto de todas las aplicaciones f : X → Y . Cardinal del conjunto potencia. Finalmente, vamos a calcular el cardinal del conjunto P(X) en función del cardinal de X. Sea X un conjunto de cardinal n. Supongamos que X = {a1 , a2 , · · · , an }. Para cada subconjunto A ⊆ X definimos la aplicación característica χA : X → {0, 1} como: ½ 1 si ai ∈ A χA (ai ) = 0 si ai 6∈ A Por ejemplo, χ∅ es la aplicación constante 0, mientras que χX es la aplicación constante 1. Se tiene que A ⊆ B si, y sólo si, para cualquier a ∈ X, χA (a) ≤ χB (a). De esta forma, hemos definido una aplicación P(X) −→ {0, 1}X A 7→ χA que es biyectiva. Es inyectiva pues dos subconjuntos de X diferentes dan lugar a aplicaciones características diferentes, y es sobreyectiva pues cualquier aplicación X → {0, 1} es la aplicación característica de algún subconjunto de X (basta tomar la imagen inversa de {1}). Por tanto, ambos conjuntos tienen igual cardinal. Como el cardinal del segundo conjunto es 2|X| deducimos que |P(X)| = 2|X| . Por ejemplo, vamos a tomar X = {a, b, c}. Vamos a escribir todas las aplicaciones X → {0, 1}, y el subconjunto de X con el que se corresponden: a 7→ 0 b 7→ 0 c 7→ 0

a 7→ 0 b 7→ 0 c 7→ 1

a 7→ 0 b 7→ 1 c 7→ 0

a 7→ 0 b 7→ 1 c 7→ 1

a 7→ 1 b 7→ 0 c 7→ 0

a 7→ 1 b 7→ 0 c 7→ 1

a 7→ 1 b 7→ 1 c 7→ 0

a 7→ 1 b 7→ 1 c 7→ 1

A=∅

A = {c}

A = {b}

A = {b, c}

A = {a}

A = {a, c}

A = {a, b}

A = {a, b, c}

Jesús García Miranda

CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

18

1.3.

Relaciones

Definición 19. Sea X un conjunto. Una relación en X es un subconjunto de X × X. Si R es una relación en X, y (x, y) ∈ R, escribiremos normalmente xRy, y diremos x está relacionado con y (con la relación R). Si el elemento (x, y) no pertenece a R, escribiremos x R 6 y. Para dar una relación en un conjunto X, podemos, bien enumerar las parejas de elementos que están relacionados, bien dar las condiciones que deben cumplir dos elementos para estar relacionados. Ejemplo 1.3.1. 1. Sea X = {0, 1, 2, 3, 4}, y la relación R = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (2, 1), (2, 3), (4, 0), (4, 2), (4, 4)}. Entonces 0R0, 2R1, 1 R 6 2, 3 R 6 2, 4R2, 4 R 6 3. En este caso que 0 está relacionado con 0, 2 está relacionado con 1, pero 1 no está relacionado con 2. También podríamos haber definido R como xRy si x + 2y es múltiplo de 4. De la primera forma hemos enumerado todas las parejas que están relacionadas, mientras que en la segunda hemos dicho la condición que deben cumplir dos elementos para estar relacionados. 2. En el mismo conjunto X, definimos la relación R0 como xR0 y si x ≤ y. O si queremos, R0 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} Definición 20. Si X es un conjunto, definimos la relación ∆ como ∆ = {(x, x) : x ∈ X}. O si preferimos: x∆y si, y sólo si, x = y. Si X es un conjunto y R una relación en X, definimos la relación inversa R−1 como xR−1 y si yRx. Si X es un conjunto, y R y S dos relaciones en X, definimos la relación R ◦ S como x(R ◦ S)Y si existe z tal que xRz y zRy. Ejemplo 1.3.2. 1. Si R es la relación del ejemplo anterior, entonces R−1 = {(0, 0), (2, 0), (4,0), (1, 2), (3, 2), (0, 4), (2, 4), (4, 4)} R ◦ R = {(0, 0), (0, 1), (0, 3), (0, 2), (0, 4), (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}. Por ejemplo, 0(R ◦ R)2 pues 0R0 y 0R2 (hemos tomado z = 0). 4(R ◦ R)1 ya que 4R2 y 2R1 (aquí hemos tomado z = 2). 2. En el caso de la relación R0 , se tiene que (R0 )−1 = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (3, 3), (4, 3), (4, 4)} Mientras que R ◦ R = R. Definición 21. Sea X un conjunto y R una relación en X. Para cada x ∈ X definimos la clase de x como [x] = {y ∈ X : xRy}. Ejemplo 1.3.3. 1. Para la relación R del ejemplo anterior tenemos que [0] = [4] = {0, 2, 4}. [1] = [3] = ∅. Departamento de Álgebra

1.3. Relaciones

19

[2] = {1, 3}. 2. Para la relación R0 , se tiene: [0] = {0, 1, 2, 3, 4}. [1] = {1, 2, 3, 4}. [2] = {2, 3, 4}. [3] = {3, 4}. [4] = {4}. 3. Si X es un conjunto, y consideramos la relación ∆, entonces, para cada x ∈ X, [x] = {x}. Definición 22. Sea X un conjunto. Una relación R sobre X se dice: Reflexiva: si para cualquier x ∈ X se tiene que xRx (o equivalentemente, ∆ ⊆ R). Simétrica: si siempre que xRy se tiene que yRx (es decir, R ⊆ R−1 ) Antisimétrica: si xRy e yRx implica que x = y (es decir, R ∩ R−1 ⊆ ∆). Transitiva: si xRy e yRz implica que xRz (es decir, R ◦ R ⊆ R). Ejemplo 1.3.4. 1. La relación R del ejemplo anterior no es reflexiva, pues 1 R 6 1 ((1, 1) ∈ ∆ pero (1, 1) 6∈ R). No es simétrica, pues 1R2 pero 2 R 6 1 ((1, 2) ∈ R pero (1, 2) 6∈ R−1 ) No es antisimétrica, pues 0R4 y 4R0 y sin embargo, 0 6= 4 ((0, 4) ∈ R ∩ R−1 y (0, 4) 6∈ ∆). No es transitiva, pues 0R2, 2R3 y sin embargo, 0 R 6 3 ((0, 3) ∈ R ◦ R pero (0, 3) 6∈ R). 2. Para cualquier conjunto X, la relación ∆ es una relación reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. 3. En N, la relación xRy si x + y es par es: - Reflexiva, pues para cualquier x, x + x = 2x es par. - Simétrica, pues si x + y es par también lo es y + x. - Transitiva, pues si x + y es par e y + z es par, entonces x + z = (x + y) + (y + z) − 2y, que es par. No es antisimétrica, pues 2R4 y 4R2. Podemos ver que [0] = {0, 2, 4, 6, · · · } = 2N, y esta clase es igual a la de cualquier número par, y si x es un número impar, entonces [x] = {1, 3, 5, 7, · · · }. 4. En N la relación xRy si x < y es transitiva y antisimétrica, pero no es ni reflexiva, ni simétrica. Para cualquier número natural x, la clase de x está formada por todos los números mayores que x. 5. Si X es un conjunto, la relación en P(X) definida como ARB si A ⊆ B es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Propiedad. Una relación que sea simétrica y transitiva es reflexiva, pues si xRy, por ser simétrica se tiene que yRx, y al ser transitiva deducimos que xRx. Ejemplo 1.3.5. En N definimos la relación mRn si m · n 6= 0. Esta relación es simétrica (pues si m · n 6= 0 entonces n · m 6= 0) y es transitiva (ya que si m · n 6= 0 y n · p 6= 0 entonces m 6= 0 y p 6= 0, luego m · p 6= 0. Sin embargo no es reflexiva. Cuestión: Este ejemplo no es coherente con lo que acabamos de decir. ¿Qué falla?. Vamos a centrarnos ahora en las llamadas relaciones de equivalencia. La relación de equivalencia es una generalización del concepto de igualdad. Jesús García Miranda

CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES Definición 23. Sea X un conjunto. Una relación de equivalencia en X es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. 20

Ejemplo 1.3.6. Para cualquier conjunto X, la relación de igualdad (xRy si x = y) es una relación de equivalencia. La relación xRy si x + y es par definida en N es una relación de equivalencia. Sea m un número natural. Definimos en Z la relación ≡m como: x ≡m y si m|(y − x) Esta relación es de equivalencia, pues es: Reflexiva. Ya que para cualquier x ∈ Z se tiene que x ≡m x, pues m|0. Simétrica. Pues si x ≡m y significa que m|(y − x), luego m| − (y − x), es decir, m|(x − y), y por tanto, y ≡m x. Transitiva. Si x ≡m y e y ≡m z significa que tanto y − x como z − y son múltiplos de m, luego también lo es (y − x) + (z − y) = z − x. Es decir, x ≡m z. Esta es la relación de congruencia módulo m. Si f : X → Y es una aplicación, definimos en X la relación Rf como sigue: xRf y si f (x) = f (y). Esta relación es una relación de equivalencia. En R2 se define la relación (x, y)R(x0 , y 0 ) si |x| + |y| = |x0 | + |y 0 |. Esta relación es de equivalencia. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5}. La relación R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5)} es de equivalencia. Si X es un conjunto y R una relación de equivalencia en X, a la clase de un elemento x ∈ X la llamaremos clase de equivalencia del elemento x. Una relación de equivalencia en un conjunto X clasifica a los elementos del conjunto X. Esta clasificación viene dada por las clases de equivalencia. Ejemplo 1.3.7. 1. Para cualquier relación de equivalencia en un conjunto X, la clase de equivalencia de un elemento es distinta del vacío (pues el propio elemento pertenece a su clase, al ser la relación reflexiva). 2. Consideramos la relación de igualdad en un conjunto X, que vimos que es de equivalencia. Entonces, para cualquier x ∈ X se tiene que [x] = {x}. 3. Vamos a calcular las clases de equivalencia para la relación de congruencia módulo m. Vamos a escribir [a]m para denotar la clase de equivalencia de a bajo la relación ≡m . Empezamos para m = 2. Tenemos que 0 ≡2 x ⇐⇒ 2|(x − 0) ⇐⇒ 2|x ⇐⇒ x es par Por tanto, [0]2 = {x ∈ Z : 0 ≡2 x} = {· · · , −4, −2, 0, 2, 4, 6, · · · }. De la misma forma se comprueba que [1]2 = {x ∈ Z : 1 ≡2 x} = {· · · , −5, −3, −1, 1, 3, 5, · · · }. Podemos ver que si x ∈ Z y x es par, entonces [x]2 = [0]2 , mientras que si x es impar entonces [x]2 = [1]2 . Departamento de Álgebra

1.3. Relaciones Si ahora lo hacemos para m = 3 tenemos que

21

0 ≡3 x ⇐⇒ 3|(x − 0) ⇐⇒ x = 3k para algún k ∈ Z Luego [0]3 = {· · · , −6, −3, 0, 3, 6, · · · }. De la misma forma se comprueba que [1]3 = {· · · , −8, −5, −2, 1, 4, 7, · · · } y que [2]3 = {· · · , −7, −4, −1, 2, 5, 8, · · · }. Para cualquier n ∈ Z, su clase de equivalencia coincide con alguna de estas tres. En general, se tiene que [0]m = {· · · , −3m, −2m, −m, 0, m, 2m, · · · } = {n ∈ Z|n mód m = 0} [1]m = {· · · , −3m + 1, −2m + 1, −m + 1, 1, m + 1, 2m + 1, · · · } = {n ∈ Z|n mód m = 1} [2]m = {· · · , −3m + 2, −2m + 2, −m + 2, 2, m + 2, 2m + 2, · · · } = {n ∈ Z|n mód m = 2} [m − 1]m = {· · · , −2m − 1, −m − 1, −1, m − 1, 2m − 1, 3m − 1, · · · } = {n ∈ Z|n mód m = m − 1} [n]m = [n mód m]m . 4. Si X = {1, 2, 3, 4, 5} y R la relación dada en el ejemplo 1.3.6 entonces se tiene que [1] = [2] = {1, 2} y [3] = [4] = [5] = {3, 4, 5}. Podemos considerar la aplicación f : X → X dada por 1 7→ 1, 2 7→ 1, 3 7→ 3, 4 7→ 3, 5 7→ 3. Entonces R = Rf . 5. Para la relación R definida en R2 como (x, y)R(x0 , y 0 ) si |x| + |y| = |x0 | + |y 0 |, la clase de equivalencia de un elemento (x, y) ∈ R2 es un cuadrado que tiene los vértices en los ejes coordenados, concretamente en los puntos (z, 0), (0, z), (−z, 0), (0, −z), donde z = |x| + |y|. Vemos en estos ejemplos que si tenemos un conjunto X y una relación de equivalencia en X, dados dos elementos de X, o sus clases de equivalencia no tienen ningún elemento en común, o los tienen todos (es decir, o son disjuntas o son iguales). Proposición 1.3.1. Sea X un conjunto, y R una relación de equivalencia en X. Sean x, y ∈ X. Entonces: 1. Si xRy se tiene que [x] = [y]. 2. Si x R 6 y entonces [x] ∩ [y] = ∅. Demostración: Para demostrarlo, vamos a ver, en primer lugar, que ocurre si xRy. Sea z ∈ [x]. Entonces xRz. Puesto que xRy y R es simétrica tenemos que yRx. Y al ser R transitiva, podemos deducir que yRz, es decir z ∈ [y]. Por tanto hemos probado que [x] ⊆ [y]. De la misma forma se prueba que [y] ⊆ [x]. En el caso de que x R 6 y, si hubiera un elemento z ∈ [x] ∩ [y] tendríamos xRz e yRz, luego zRy y por tanto xRy lo cual es imposible. Por tanto, ese elemento no existe y la intersección es vacía. ¥ Definición 24. Sea X un conjunto, y R una relación de equivalencia. Definimos el conjunto cociente X/R como el conjunto formado por las clases de equivalencia, es decir: X/R = {[x] : x ∈ X} Ejemplo 1.3.8. Vamos a llamar Zm al conjunto Z/ ≡m . Entonces: Z2 = {[0]2 , [1]2 }. Tiene exactamente 2 elementos. Z3 = {[0]3 , [1]3 , [2]3 }. Tiene exactamente 3 elementos. Zm = {[0]m , [1]m , · · · [m − 1]m }. Tiene exactamente m elementos. Puesto que [0]3 = [−12]3 , [1]3 = [25]3 y [2]3 = [50]3 , podemos escribir que Z3 = {[−12]3 , [25]3 , [50]3 }. En general, para abreviar la notación escribiremos a en lugar de [a]m . El contexto nos aclarará si estamos considerando a como un número entero o como un elemento de Zm . Con esta notación tenemos que Zm = {0, 1, 2, · · · , m − 1}. Jesús García Miranda

22

CAPÍTULO 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES En la relación definida sobre el conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5} que hemos visto en los ejemplos anteriores, se tiene que el conjunto cociente tiene cardinal 2. Sus dos elementos son [1] y [3]. Definimos en X = {0, 1, 2, 3, 4} la relación R = {(0, 0), (3, 0), (4, 0), (1, 1), (3, 1), (0, 2), (3, 2), (4, 2), (0, 4), (1, 4), (4, 4)} Esta relación no es de equivalencia. No es reflexiva pues (3, 3) 6∈ R, no es simétrica pues (3, 0) ∈ R pero (0, 3) 6∈ R, y tampoco es transitiva pues (3, 1) ∈ R, (1, 4) ∈ R pero (3, 4) 6∈ R. Las clases de los distintos elementos son: [0] = {0, 2, 4} [1] = {1, 4} [2] = ∅. [3] = {0, 1, 2}. [4] = {0, 2, 4}. Vemos como hay una clase que es vacía. Las clases [0] y [1] no son disjuntas ni iguales. Igual ocurre con [0] y [3], con [1] y [3], con [1] y [4] o con [3] y [4]. El 3 no pertenece a ninguna clase. Las clases [0] y [4] sí son iguales.

Si X es un conjunto, y R es una relación de equivalencia en X, tenemos una aplicación p : X → X/R definida como p(x) = [x]. Esta aplicación se conoce como la proyección canónica. Esta aplicación es siempre sobreyectiva Ejemplo 1.3.9. Consideramos en Z la relación de congruencia módulo 3. En tal caso, el conjunto cociente es Z3 . La proyección canóncia Z → Z3 es la aplicación x 7→ x mód 3. Para terminar el tema, vamos a ver la descomposición canónica de una aplicación. Sea f : X → Y una aplicación. Entonces f se escribe como composición de tres aplicaciones de la forma f = i ◦ b ◦ p, donde p es sobreyectiva, b es biyectiva e i es inyectiva. Veamos ahora cuales son estas aplicaciones. La aplicación p es la proyección p : X → X/Rf . La aplicación b tiene como dominio X/Rf y codominio Imag(f ). Esta aplicación viene dada por b([x]) = f (x). Es fácil comprobar que b está bien definida (si [x] = [x0 ], b([x]) = b([x0 ]), y que es una biyección. Por último, la aplicación i : Imag(f ) → Y es la inclusión (ya que Imag(f ) es un subconjunto de Y ). Ejemplo 1.3.10. Sea f : {0, 1, 2, 3, 4, 5} → {0, 1, 2, 3, 4, 5} la aplicación dada por f (x) = 2x mód 6. Vamos a dar la descomposición canónica de f . Podemos ver que f (0) = f (3) = 0, f (1) = f (4) = 2 y f (2) = f (5) = 4. Por tanto, X/Rf tiene tres elementos, que son: [0] = {0, 3};

[1] = {1, 4};

[2] = {2, 5}

Por otra parte, Imag(f ) = {f (0), f (1), f (2), f (3), f (4), f (5)} = {0, 2, 4}. Entonces, las tres aplicaciones que aparecen en la descomposición de f son: p : {0, 1, 2, 3, 4, 5} → {[0], [1], [2]} definida como p(0) = [0], p(1) = [1], p(2) = [2], p(3) = [0], p(4) = [1], p(5) = [2]. b : {[0], [1], [2]} → {0, 2, 4} definida como b([0]) = f (0) = 0, b([1]) = f (1) = 2, b([2]) = f (2) = 4. i : {0, 2, 4} → {0, 1, 2, 3, 4, 5} definida como i(0) = 0, i(2) = 2, i(4) = 4. Es fácil comprobar que f = i ◦ b ◦ p, que p es sobreyectiva, que b es biyectiva y que i es inyectiva.

Departamento de Álgebra

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012

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PRﾃ，TICAS

Curso: 2011/2012 Clase: Primero - Grupo: B

´ ´ ALGEBRA. PRACTICA 1 ´ A MAXIMA INTRODUCCION

El programa Maxima es de libre acceso y, tanto en lo que se refiere al c´odigo fuente como a los manuales, se puede conseguir trav´es de la p´agina web http://sourceforge.net/projects/maxima/files/ ´n Una primera sesio Una vez accedemos a Maxima, podemos empezar a demandar resultados. Pero vamos primero a introducir un texto, indicando, por ejemplo, autor, fecha, o algunos datos que identifiquen la sesi´ on. Para esto, en el men´ u Celdas, seleccionamos Nueva celda de texto y a˜ nadimos el texto que queramos. Por ejemplo: Antonio Mart´ınez Cegarra, DNI: 75145728 Algebra Lineal y Estructuras Matem´aticas. ´ PRACTICA 1. Fecha: 29/09/2010. y, una vez escrito el texto, pulsamos Ctrl+ Intro. Nos vamos ahora al men´ u de Celdas, y ah´ı elegimos Nueva celda de secci´on: Maxima como calculadora pulsamos Ctrl+ Intro, y comenzamos a trabajar, teniendo en cuenta que los operadores b´ asicos son: + para la suma − para la resta ∗ para multiplicaci´on / para la divisi´on ∧ o ∗ ∗ para potencia • Por ejemplo, si queremos calcular una simple suma tecleamos la operaci´on deseada seguida de un punto y coma (; ) y una pulsaci´on simultanea de las teclas Ctrl+ Enter (o May´ us+ Enter, o Intro, en el teclado num´erico) nos producir´a en pantalla: (%i1) 45 + 23; (%o1) 68 • Como observamos aparece la etiqueta (%i1), que ´ındica y da nombre para futuras referencias a nuestra primera pregunta (i de input), y el indicador (%o1) para la primera respuesta (o de output). Estas etiquetas (%) pueden ser utilizadas a lo largo de una sesi´ on a fin de evitar tener que volver a escribir expresiones. Por ejemplo: (%i2) 70-%o1; Date: Curso 2011-2012. 1

´ A MAXIMA INTRODUCCION

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(%o2) 2 Cuando se quiera hacer referencia al u ´ltimo resultado calculado por Maxima puede ser m´ as sencillo hacer uso del s´ımbolo %. Por ejemplo, si queremos restarle la x a la u ´ltima expresi´ on podemos hacer (%i3) −%; (%o3) −2 • El punto y coma act´ ua tambi´en como un separador cuando escribimos varias instrucciones en un mismo rengl´ on. Por ejemplo: (%i4) 1023 + 2347; 1023 ∗ 2347; (%o4) 3370 (%o5) 2400981 • Los n´ umeros fraccionarios son n´ umeros para Maxima, y nos los muestra como tales. Si ejecutamos, por ejemplo, (%i6) 13/5; (%o6) 13 5 vemos que aparentemente no ha hecho nada. Lo que ocurre es que para Maxima, 13 5 es un n´ umero, y como tal nos lo muestra. Para ver que efectivamente s´ı “hace algo”, probemos a introducir 14 8 . (%i7) 14/8; (%o7) 74 vemos que nos reduce la fracci´on. Realicemos alguna otra operaci´on, mezclando las operaciones b´ asicas: Ejemplo 0.1. Realizar los siguientes c´ alculos: 173 −

22 5 6

+ 2 − 31 ,

173−22 6 5

+ 2 − 31 .

(%i8) 173 − ((22/5) ∗ 6) + 2 − (1/3); (%o8) 2224 15 (%i9) ((173 − 22)/5) ∗ 6 + 2 − (1/3); (%o9) 2743 15 • Para que maxima nos muestre el valor num´erico de una operaci´on, podemos hacerlo a˜ nadiendo la instrucci´ on ‘numer’ a la operaci´on a realizar, separada de ´esta por una coma. (%i10) (%o10) (%i11) (%o11)

173 − ((22/5) ∗ 6) + 2 − (1/3),numer; 148.2666666666667 ((173 − 22)/5) ∗ 6 + 2 − (1/3),numer; 182.8666666666667

Tambi´en podemos forzar a Maxima a trabajar en coma flotante introduciendo las cantidades (o al menos una de ellas) en coma flotante. Probemos, por ejemplo, (%i12) (%o12) (%i13) (%o13)

173 − ((22.0/5) ∗ 6) + 2 − (1/3); 148.2666666666667 173.0 − ((22/5) ∗ 6) + 2 − (1/3); 148.2666666666667

´ ´ ALGEBRA. PRACTICA 1

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• Maxima trabaja con aritm´etica entera de precisi´on infinita. El l´ımite depende fundamentalmente del procesador. As´ı: (%i14) 2 ∧ 100; (%o14) 1267650600228229401496703205376 (%i15) 2 ∧ 1000; (%o15) 107150860718626732094842504906[242digits]429831652624386837205668069376 En el primer caso, nos devuelve el valor exacto de 2100 . En el segundo caso no nos lo muestra entero, pues es demasiado grande para mostrarlo en pantalla, pero lo ha calculado. Si queremos que nos lo muestre, introducimos set− display(’ascii); y a continuaci´ on le pedimos que nos realice nuevamente el c´alculo (%i16) set− display(’ascii); 2 ∧ 1000; (%o16) ascii (%o17) 107150860718626732094842504906000181056140481170553360744 3750388370351051124936122493198378815695858127594672917553 14682518714528569231404359845775746985748039345677748242309 8542107460506237114187795418215304647498358194126739876755 9165543946077062914571196477686542167660429831652624386837 205668069376 Con set− display(’xml); vuelve a mostrarnos los resultados abreviados. • El exponente de una potencia no tiene porqu´e ser un n´ umero natural. Por ejemplo, (%i18) 3 ∧ (−2); (%o18) 19 Si queremos su expresi´ on decimal, (%i19) 3 ∧ (−2), numer; (%o19) 0.11111111111111 Los exponentes tambi´en pueden ser n´ umeros racionales (%i20) √ 3 ∧ (1/2);3 ∧ (1/2),numer; 3 ∧ (0.5); (%o20) 3 (%o21) 1.732050807568877 (%o22) 1.732050807568877 Si introducimos (−1) ∧ (1/2); el resultado vemos que es %i que hace referencia a la unidad imaginaria. Vemos por tanto que Maxima puede trabajar con n´ umeros complejos. Constantes, variables y Funciones Abrimos una nueva secci´ on. Ya sabemos c´omo. Nos vamos al men´ u Celdas, y ah´ı elegimos Nueva celda de secci´ on. O simplemente pulsamos F8. Ciertas constantes matem´ aticas de uso frecuente tienen un s´ımbolo especial en Maxima: la base de los logaritmos naturales (e), el cociente entre la longitud de una circunferencia

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´ A MAXIMA INTRODUCCION

√ y su di´ ametro (π), la unidad imaginaria (i = −1), por ejemplo, que se representar´an por %e, %pi e %i, respectivamente. • En Maxima tambi´en podemos trabajar con variables. Los nombres de las variables deben comenzar por una letra (may´ uscula o min´ uscula). La forma de asignar un valor a una variable es con (:). Por ejemplo: Ejemplo 0.2. Realizar la operaci´ on de asignar el valor 34578 a la variable x y el 984003 a la y, solicitando luego su producto. (%i22) x : 34578; y : 984003; x ∗ y; x − y; (%o22) 34578 (%o23) 984003 (%o24) 34024855734 (%o25) −949425 • Es posible que no deseemos los resultados intermedios que Maxima va calculando o, como en este caso, las asignaciones a las variables que va haciendo; en tales situaciones conviene hacer uso del delimitador ($), en lugar del (;), que no devuelve los resultados que va calculando. Repitiendo el ejercicio anterior de la forma (%i26) x : 34578$ y : 984003$ x ∗ y; x − y; (%o28) 34024855734 (%o29) −949425 podemos conseguir una salida m´as limpia. • Insistamos en que los valores asignados a las variables se mantienen mientras dure la sesi´ on con Maxima: (%i30) x + y (%o30) 1018581 Esto tiene un riesgo; si queremos resolver la ecuaci´on x2 − 3x + 1 = 0, (%i31) solve(x ∧ 2 − 3 ∗ x + 1 = 0, x); A number was found where a variable was expected -solve – an error. Quitting. To debug this try debugmode(true); nos devuelve un mensaje de error, ya que donde se supone que hay una inc´ognita, lo que realmente encuentra es un n´ umero, en este caso 34578. Hay dos formas de resolver esta situaci´ on; la primera consiste en utilizar el operador comilla simple (’), que evita la evaluaci´ on de las variables: (%i32) solve(’x ∧ 2 − 3 ∗ ’x + 1 = 0, ’x); (%o32) √ √ 5−3 5+3 , x= ] [x = − 2 2 y x mantiene su valor original, como podemos comprobar: (%i33) x; (%o33) 34578 La segunda forma de evitar este problema consiste en vaciar el contenido de la variable x mediante la funci´ on ‘kill’,

´ ´ ALGEBRA. PRACTICA 1

(%i34) kill(x)$ (%i35) solve(x ∧ 2 − 3 ∗ x + 1 = 0, x); (%o35) √

5−3 , x= [x = − 2

√

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5+3 ] 2

(%i36) x; (%o36) x en este caso, x ha perdido su valor. • Maxima trae implementadas algunas funciones elementales. Por ejemplo, la funci´on ex : (%i37) exp(2);exp(2),numer; (%o37) %e2 (%o38) 7.38905609893065 Podemos probar con otras funciones, tales como el logaritmo neperiano (log(x)) o las funciones trigonom´etricas (sin(x), cos(x),etc.). • Lo mismo que podemos definir nuevas variables y asignarles el valor que creamos conveniente, tambi´en podemos hacerlo con las funciones. Para definir una funci´on usaremos el s´ımbolo (:=). Vamos a ver alg´ un ejemplo: (%i39) f (x) := x ∧ 2 + 3; (%o39) f (x) := x2 + 3 Ahora podemos trabajar con esta funci´on. (%i40) f (3); f (a); (%o40) 12 (%o41) a2 + 3 Si ahora le damos a a un valor, por ejemplo (%i42) a : 5$ f(a); (%o43) 28 Ahora mismo, la variable a toma el valor 5. Ese valor sabemos que podemos modificarlo, y darle a la variable a el valor que queramos. Pero si queremos dejar a la variable a libre, lo que tenemos que hacer es matarla. Esto se consigue mediante kill(a); Y si ahora ejecutamos a; vemos como la variable a no tiene asignado ning´ un valor. Podemos tambi´en dejar libre todas las variables, funciones, etc. mediante la sentencia (%i44) kill(all)$ Y si ahora quisi´eramos calcular f(3) vemos que no hace nada. • Las funciones podemos definirlas dependiendo de alg´ un par´ametro, o podemos definirlas de varias variables. Por ejemplo: (%i45) f (x) := x ∧ 2 + 2 ∗ a$ g(x, y) := x ∧ 3 + x ∗ y + y ∧ 2$ h(x) := x + 3$ Y ahora podemos probar a ejecutar f(3), g(2, 4) ´o h(-3), y obtendremos como resultados 2a+9, 32 y 0. • Las funciones pueden componerse. Por ejemplo: (%i48) f 1(x) := f (h(x)); f 2(x) := h(f (x)); f 3(x, y) := g(f (x), h(y)); (%o48) f 1(x) := f (h(x))

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´ A MAXIMA INTRODUCCION

(%o49) f 2(x) := h(f (x)) (%o50) f 3(x, y) := g(f (x), h(y)) Aunque aparentemente no ha hecho nada, podemos probar a ejecutar: f1(3); f2(4); f3(4,4); y nos devolver´ a 2a + 36, 2a + 19 y (2a + 16)3 + 7(2a + 16) + 49, respectivamente. Esto u ´ltimo podemos desarrollarlo mediante (%i51) expand(%); (%o51) 8a3 + 192a2 + 1550a + 4257 • Tambi´en podemos derivarlas, con el comando ‘diff’. Por ejemplo, si introducimos (%i52) diff(f(x),x); (%o52) 2x nos da como resultado 2x, que es la derivada de f con respecto a x. Para calcular la derivada segunda (o de cualquier otro orden), introducimos el orden al final de la expresi´on anterior. diff(f(x),x,2); Pero si queremos hacer una funci´on que sea la derivada de otra, no nos sirve g(x):=diff(f(x),x); Si probamos a ejecutar esto, y le pedimos que nos muestre g(x) nos dir´a que es efectivamente 2x, pero si le pedimos que lo eval´ ue nos da un mensaje de error. Tenemos que decirle que defina la funci´ on g(x) como la derivada de la funci´on f(x). Esto se hace as´ı: (%i53) define(g(x),diff(f(x),x))$ Y ahora, si introducimos g(4); nos devuelve 8. Listas Las listas (sucesiones ordenadas de elementos) son objetos muy potentes a la hora de representar estructuras de datos. Las se definen como a continuaci´on, siempre encerradas entre corchetes, (%i54) r:[1,[a,3],sqrt(3)/2,”manzana”]; √ (%o54) [1, [a, 3], 23 , manzana] Vemos que los elementos de una lista pueden a su vez ser tambi´en listas, expresiones matem´ aticas o cadenas de caracteres incluidas entre comillas dobles, lo que puede ser aprovechado para la construcci´on y manipulaci´on de estructuras m´as o menos complejas. • Extraigamos a continuaci´on alguna informaci´on de las listas anteriores, (%i55) first(r); second(r); third(r); last(r); (%o55) 1 (%o56) [a, 3] √ 3 (%o57) 2 (%o58) manzana • Con la orden ‘lista[n]’ demandamos el elemento de la lista que ocupa la n-´esima posici´on: (%i59) r[3]; r[2]; √ (%o59) 23 (%o60) [a, 3] • La funci´ on ‘length’ nos da la longitud de una lista. Por ejemplo (%i61) length(r);

´ ´ ALGEBRA. PRACTICA 1

7

(%o61) 4 • Tambi´en podemos construir listas sin necesidad de enumerar todos sus elementos, sino por alguna propiedad. Por ejemplo: (%i62) A : makelist(i ∧ 2, i, 1, 10); (%o62) [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100] construye una lista con los 10 primeros cuadrados, y la guarda con el nombre A. • Si queremos concatenar dos o m´as listas, usaremos el comando ‘append’. Por ejemplo: (%i63) B:makelist(2 ∗ i, i, 1, 8)$ C:makelist(2 ∗ i − 1, i, 1, 8)$ D:append(A, B, C); (%o63) [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15] • Si tenemos una funci´ on, podemos aplicarla a una lista. El resultado es una lista que resulta de aplicar la funci´ on a cada uno de los elementos de la lista. Por ejemplo: (%i65) f (x) := x ∧ 2$ (%i66 f (A); (%o66) [1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000] Ejemplo 0.3. Calcular la lista de im´ agenes por f (x) de la lista (de listas) [A, B, C] y de la lista D. (%i67) f ([A, B, C]); f (D); (%o67 [[1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000], [4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256], [1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225]] (%o68) [1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225] • • Para finalizar, vamos a guardar el archivo. Para esto nos vamos al men´ u archivo, la opci´ on Guardar o Guardar como. En el tipo de archivo, vamos a seleccionar la opci´ on documento wxMaxima. Esto nos guarda todas las instrucciones que hemos introducido. Si le di´eramos la opci´ on documento xml wxMaxima entonces nos guarda el archivo con todos los resultados. De todas formas, al abrirlo, todas las variables y funciones est´an vac´ıas (salvo las que trae Maxima por defecto). Podemos, en el men´ u Celdas, evaluar todas las celdas, y de esta forma ejecuta todas las instrucciones que tiene en el orden que est´an escritas. La ayuda en Maxima Vamos a explicar brevemente algunos aspectos de la ayuda de Maxima. • Podemos acceder a la ayuda, bien pulsando F1, bien y´endonos al Men´ u ayuda. Una vez abierta la ventana de ayuda, tenemos tres pesta˜ nas: Contenido, ´ındice y b´ usqueda. • En la pesta˜ na contenido podemos seleccionar un tema, y acceder al contenido del manual referente al tema seleccionado. Por ejemplo, puesto que la pr´actica siguiente es de conjuntos, podemos seleccionar el tema Conjuntos para ver las distintas formas que tenemos para trabajar con conjuntos. • En la pesta˜ na ´ındice tenemos un ´ındice con las distintas funciones, s´ımbolos, etc. Por ejemplo, si queremos informaci´on sobre el comando para calcular derivadas, podemos teclear diff y, una vez sobre dicho comando, le damos al bot´on Mostrar. En tal caso, nos muestra la sintaxis y las distintas opciones para usar dicho comando.

8

´ A MAXIMA INTRODUCCION

• Tambi´en podemos acceder a la ayuda, si tecleamos en la pantalla de Maxima ?? comando; posiblemente, tengamos varias opciones, pues puede haber varios comandos que contengan los caracteres que hemos escrito. Seleccionamos con el nmero correspondiente (seguido de ;) aquel del que queremos la informacin, o bien los seleccionamos todos o nos salimos. Por ejemplo, si escribimos ?? define; tenemos tres opciones, marcadas con 0, 1 y 2. Tecleamos 0; y nos muestra la sintaxis, junto con algunos ejemplos de esta funcin. • Maxima dispone tambi´en de la opci´on de autocompletar. Podemos escribir los primeros caracteres de alguna instrucci´on, y pulsando Control + K nos lo completa. En el caso de que haya varias opciones para completar nos despliega una lista de opciones para que seleccionemos la adecuada. Si escribimos dif y presionamos Control + K vemos como Maxima nos completa hasta diff Si hubi´eramos tecleado u ´nicamente di y pulsamos Control + K entonces vemos una serie de comandos que comienzan por di. Ahora s´olo nos queda seleccionar el que queramos. • Finalmente, en el caso de que se nos bloquee Maxima, (por ejemplo, prueba a calcular 21000000 ;) podemos interrumpir su funcionamiento yendo al Men´ u Maxima, y seleccionando la opci´ on de Interrumpir (o si preferimos, pulsando Control + G

´ ´ ALGEBRA LINEAL Y ESTRUCTURAS MATEMATICAS ´ PRACTICA 2. CONJUNTOS

1. Operaciones con conjuntos Los conjuntos en Maxima se pueden definir usando llaves o bien la funci´on ‘set’. Por ejemplo: (%i1) {a, a, b, c}; (%o1) {a, b, c} (%i2) set(a,[2,k],b,sqrt(2),a,set(a,b), 3,”Sancho”,set(),b,sqrt(2),a); √ (%o2) {3, 2, { }, [2, k], Sancho, a, {a, b}, b} Como se ve, se admiten objetos de muy diversa naturaleza como elementos de un conjunto: n´ umeros, expresiones, el conjunto vac´ıo ({ }), listas, otros conjuntos o cadenas de caracteres. Podemos “trabajar” con conjuntos. Como primera ilustraci´on, definimos a continuaci´on un par de conjuntos y vemos c´omo se pueden hacer operaciones con ellos: Ejemplo 1.1. Introduce los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5} y haz que Maxima de respuesta a las siguientes cuestiones: (1) ¿A ∪ B? (2) ¿pertenece el 5 al conjunto A? (3) ¿pertenece el 1 a A? (4) ¿es A = B? (5) ¿es A un subconjunto de B? ∩ (6) ¿qu´e elementos tiene el conjunto A B? (7) ¿qu´e elementos tiene el conjunto A \ B? (8) ¿qu´e elementos tiene el conjunto B \ A? ¿qu´e subconjuntos tiene el conjunto B? Lo que har´ıamos as´ı: (%i3) A : {1, 2, 3, 4}$ B : set(3, 4, 5)$ union(A, B); (%o5)] {1, 2, 3, 4, 5} (%i6)] elementp(5, A); (%o6) f alse (%i7)] elementp(1, A); (%o7) true (%i8)] is(A = B); Date: Curso 2011-2012. 1

2

´ ´ ´ ALGEBRA LINEAL Y ESTRUCTURAS MATEMATICAS PRACTICA 2. CONJUNTOS

(%o8) f alse (%i9) subsetp(A, B); (%o9) f alse (%i10) intersection(A, B); (%o10) {3, 4} (%i11) setdifference(A, B); (%o11) {1, 2} (%i12) setdifference(B, A); (%o12) {5} (%i13) powerset(B); (%o13) {{}, {3}, {3, 4}, {3, 4, 5}, {3, 5}, {4}, {4, 5}, {5}} Hagamos otro ejemplo: Ejemplo 1.2. Responde, usando Maxima, a las siguientes cuestiones: (1) ¿Cuantos subconjuntos tiene A? (2) ¿qu´e elementos tiene el conjunto A × B (3) ¿A × B = B × A? (4) ¿qu´e elementos de A son impares? ¿y pares? (5) ¿qu´e elementos tiene el conjunto resultante de multiplicar cada pareja de elementos en A × B? (%i14) cardinality(powerset(A)); (%o14)] 16 (%i15) cartesian− product(A, B); (%o15) {[1, 3], [1, 4], [1, 5], [2, 3], [2, 4], [2, 5], [3, 3], [3, 4], [3, 5], [4, 3], [4, 4], [4, 5]} (%i16) is(cartesian− product(A, B)= cartesian− product(B, A)); (%o16) f alse (%i17) subset(A, oddp); subset(A, evenp); (%o17) {1, 3} (%o18) {2, 4} Para la u ´ltima cuesti´on, usamos instrucci´on makeset. Esta funci´on tiene tres argumentos. Una expresi´on, una lista de variables, y un conjunto de listas. Por ejemplo: (%i19) makeset(a ∗ b, [a, b], cartesian− product(A, B)); (%o19) {3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 20} Cuando se trabaja con listas, puede ser de utilidad considerar sus componentes como elementos de un conjunto. La funci´on ‘setify’ nos transforma una lista en conjunto: (%i20) [[2,k],sqrt(2),set(b,a),[k,2],”Panza”];

´ ´ ALGEBRA LINEAL Y ESTRUCTURAS MATEMATICAS

(%o20) [[2, k],

√

´ PRACTICA 2. CONJUNTOS

3

2, {a, b}, [k, 2], Panza]

(%i21) setify(%); √ (%o21) { 2, [2, k], P anza, {a, b}, [k, 2]} el cambio en la naturaleza de estas dos colecciones de objetos se aprecia en la presencia de llaves en lugar de corchetes. De igual manera, podemos transformar un conjunto en lista. Por ejemplo: (%i22) listify(%o2); √ (%o22) [3 2, { }, [2, k], Sancho, a, {a, b}, b] Igual que se ha visto c´omo aplicar una funci´on a todos los elementos de una lista, podemos hacer lo mismo con los de un conjunto, por ejemplo (%i23) map(sin,set(1,2,3,4,5)); (%o23) {sin(1), sin(2), sin(3), sin(4), sin(5)} Ejemplo 1.3. Como ejemplo, vamos a construir el conjunto de los n´ umeros primos menores que 100. Para esto primero construimos una lista con los 100 primeros n´ umeros, a continuaci´ on la pasamos a conjunto y por u ´ltimo la filtramos, qued´ andonos u ´nicamente con los elementos que sean primos. (%ixx) x:makelist(i,i,1,100)$ D:setify(x)$ P:subset(D,primep); (%oxx) {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97} Y para un u ´ltimo ejemplo aqu´ı, hacemos un producto cartesiano de tres conjuntos: (%i24) cartesian− product(set(1,2),set(a,b,c),set(x,y)); (%o16) {[1, a, x], [1, a, y], [1, b, x], [1, b, y], [1, c, x], [1, c, y], [2, a, x], [2, a, y], [2, b, x], [2, b, y], [2, c, x], [2, c, y]} Si tenemos un conjunto X, podemos considerar el subconjunto formado por los elementos de X que satisfacen una determinada propiedad. Esto lo hacemos (ver Ejemplo 1.2) con la sentencia subset, que tiene dos argumentos: por una parte el conjunto de partida, y por otra la condici´on que deben cumplir los elementos para pertenecer al subconjunto (%ixx) f(x):=is(x>6)$ (%ixx) C:subset(A,f); (%oxx) {7,8,9} Para especificar la condici´on tambi´en es posible utilizar algunas funciones que nos trae Maxima, como por ejemplo primep, que nos dice si un n´ umero es o no primo, oddp o evenp, que nos dicen si un n´ umero es par o impar, etc. Ejercicio 1.4. Construye el conjunto formado por los n´ umeros comprendidos entre 100 y 500 que son suma de dos cuadrados an F (X, Y ) = (X \ Y ) ∪ (Y \ X), que nos Ejercicio 1.5. (i) Define en Maxima la funci´ calcula la diferencia sim´etrica de dos conjuntos. Calcula entonces la diferencia sim´etrica entre los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}.

4

´ ´ ´ ALGEBRA LINEAL Y ESTRUCTURAS MATEMATICAS PRACTICA 2. CONJUNTOS

(ii) Tambi´en puede definirse la diferencia sim´etrica como (X ∪ Y ) \ (X ∩ Y ). Define una funci´ on que calcule la anterior expresi´ on, y comprueba con A y B que las dos definiciones producen el mismo resultado. Ejercicio 1.6. (i) Define con Maxima la funci´ on G(X) = {x ∈ X tal que x es un primo}. Determina entonces G(A), donde A es el conjunto definido en el ejercicio anterior. (ii) Define con Maxima la funci´ on H(X) = {x ∈ X tal que x es par}. Determina entonces G(A), donde A es el conjunto definido en el ejercicio anterior. Ejercicio 1.7. Como ejercicio, toma x el n´ umero formado por 1 y las tres u ´ltimas cifras de tu DNI (por ejemplo, si tu DNI es 12345678, x ser´ıa igual a 1678), y construye el conjunto P , que va a estar formado por todos los n´ umeros naturales menores que x que son potencia de alg´ un n´ umero primo. 2. Relaciones de equivalencia. Con Maxima, dado un conjunto X y definida una relaci´on de equivalencia en ´el, podemos calcular el conjunto cociente. Para ello, utilizaremos el comando equiv_classes, que tiene dos argumentos. Un conjunto, y una expresi´on en dos variables que puede tomar los valores verdadero y falso. Ejemplo 2.1. Vamos a construir el conjunto formado por todos los n´ umeros enteros comprendidos entre −20 y 20, en dicho conjunto vamos a definir la relaci´ on xRy si ambos dan el mismo resto al dividir por 4 y vamos a construir el conjunto cociente. Para calcular el resto de una divisi´on podemos, podemos utilizar la funci´on mod como se indica a continuaci´ on. Prodecemos como sigue: (%ixx) f(x,y):=is(mod(x,4)=mod(y,4))$ (%ixx) z:makelist(i,i,-20,20)$ Z:setify(z)$ Coc:equiv_classes(Z,f); (%oxx) {{-20,-16,-12,-8,-4,0,4,8,12,16,20},{-19,-15,-11,-7,-3,1,5,9,13,17},{-18 ,-14,-10,-6,-2,2,6,10,14,18},{-17,-13,-9,-5,-1,3,7,11,15,19}} Y lo que nos devuelve es el conjunto cociente, que tiene cuatro elementos. En efecto, si preguntamos (%ixx) cardinality(Coc); (%oxx) 4 Ejercicio 2.2. Define en el conjunto P (obtenido en el Ejercicio 1.7) la relaci´ on de equivalencia xRy si x2 ≡ y 2 m´ od 10. Hay que calcular cuantos elementos tiene el conjunto cociente, y cu´ al es el cardinal de cada clase de equivalencia.

´ ´ ALGEBRA LINEAL Y ESTRUCTURAS MATEMATICAS

´ PRACTICA 2. CONJUNTOS

Operadores de Maxima utilizados • • • • • • • • • • • • • • • • • •

set union subset elementp subsetp intersection setdifference powerset cardinality cartesian− product makeset makelist setify listify map primep mod equiv− classes

5

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas Práctica 3: Aritmética entera y Modular.

Curso 2011-2012

1.1. ARITMÉTICA ENTERA

1.1.

ARITMÉTICA ENTERA

1.1.1.

Divisores y División

Maxima tiene implementados diversos comandos útiles en relación con la divisibilidad y factorización de números. Ilustramos a continuación los más usuales. El operador `primep' pregunta si un número es primo: ( %i-) primep(18); ( %o-)

f alse

( %i-) primep(3); primep(3 ( %o-)

true

( %i-)

f alse

∧

56 − 1);

Y la función `factor' nos factoriza un número en producto de primos: ( %i-) factor(18); factor(1540); factor(-1540); ( %o-)

2 32

( %o-)

22 5 7 11

( %o-)

−22 5 7 11

La función `divisors' nos permite conocer el conjunto de todos los divisores (positivos) de un número ( %i-) divisors(100); ( %o-)

{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}

Mencionemos también las funciones que nos permiten conocer los primos más próximos a un número dado: next− prime y prev− prime ( %i-) next− prime(20); ( %o-) 23 ( %i-) prev− prime(20); ( %o-) 19 Dados números enteros

a

y

b,

números (únicos) qτ r "tales que

b > 0, el cocienteτ el resto"de dividir a.entre b"son aquellos a = bq + r, donde 0 ≤ r < b. En el caso ordinario en que a es positivo, con

el cálculo del cociente y el resto se realiza mediante las funciones 'quotient', `remainder' y `divide'. Por ejemplo: ( %i-) quotient(5689,214); ( %o-) 26 ( %i-) remainder(5689,214); ( %o-) 125 ( %i-) divide(5689,214); ( %o-)

[26, 125].

Sin embargo, si

a es negativo, para el cálculo del resto y del cociente debemos usar las funciones `mod'

(que ya esta implementada) y que nos da el resto de dividir n entre m y `cociente' (que de nimos): ( %i-) cociente(n,m):=(n-mod(n,m))/m; ( %o-) cociente(n,m):=

n−mod(n,m) m

Así, por ejemplo: 2

1.1. ARITMÉTICA ENTERA

( %i-) mod(-150,17); ( %o-) 3 ( %i-) cociente(-150,17); ( %o-) -9 Para el cálculo del máximo común divisor entre dos números disponemos del operador `gcd' ( %i-) gcd(12,20); ( %o-) 4 y para el mínimo común múltiplo la función `lcm' ( %i-) lcm(12,20); ( %o-) 60 Si

d

es el máximo común divisor entre dos números

a

y

b,

para diversos problemas es útil conocer

aquellos números `u' y `v ' (llamados los coe cientes de Bezout) tales que

d = ua + vb.

Para su cálculo

disponemos del operador `gcdex', que nos devuelve los coe cientes y el máximo común divisor en una lista

[u, v, d],

a partir de

a

y

b.

Por ejemplo:

( %i-) gcdex(12,20); ( %o-) [2,-1,4] En efecto,

1.1.2.

2 × 12 + (−1) × 20 = 4.

Ecuaciones diofánticas

Se trata de encontrar soluciones enteras de una equación lineal de la forma y

c

ax + by = c,

donde

a, b

son números enteros dados. Para ello, se conoce que: 1) la ecuación diofántica tiene soluciones

si y solo si el término independiente números

a

y

b

, y 2) si

(x0 , y0 )

c

es un múltiplo del máximo común divisor,

es una solución, entonces

para todos los valores enteros de

k.

c = (nu)a + (nv)b,

y

de los

x = x0 + db k y = y0 − ad k (x0 , y0 ) a la d = ua + vb y c = nd,

El problema es entonces calcular una primera solución

ecuación, y para ello nos basamos en el cálculo de coe cientes de Bezout, pues si entonces

d,

todas las soluciones se obtienen como

(x0 = nu, y0 = nv)

es una solución particular.

Ilustramos esto en el siguiente ejemplo: Ejemplo.- Resolvamos la ecuación

40x + 15y = 30.

Usando gcdex obtenemos lo siguiente: ( %i-) gcdex(40,15); ( %o-)

[−1, 3, 5]

40 × (−1) + 15 × 3 = 5, esto es u = −1 30 = 5 × 6, entonces n = 6 y una solución particular es x0 = nu = 6 × (−1) = −6, y0 = nv = 6 × 3 = 18. Nótese ahora que, puesto que b/d = 15/5 = 3 y a/d = 40/5 = 8 todas las soluciones de 40x + 15y = 30 son x = −6 + 3k y = 18 − 8k. lo que signi ca que

y

v = 3.

5

es el máximo común divisor de 40 y 15 y

Como 5 divide a 30, la ecuación tiene solución. Como el cociente

Podemos automatizar todo este proceso, con una función que vamos a llamar tres argumentos.

diofantica,

y que tendrá

(%ixx) diofantica(a,b,c):=if mod(c,gcd(a,b))=0 then rest(gcdex(a,b),-1)*c/gcd(a,b) else print("No tiene solucion"); Aquí hemos usado la función rest Esta función tiene dos argumentos: una lista y un número. rest(lista,n) devuelve la lista que resulta de eliminar los n primeros elementos lista si n es positivo, y la lista que resulta de eliminar los −n últimos elementos de lista si n es negativo. En nuestro caso, al hacer rest(gcdex(a,b),-1) lo que hacemos es de la lista gcdex(a,b) eliminamos el último elemento, que es el máximo común divisor de a y b, y nos quedamos con los coe cientes u y v . 3

1.2. Aritmética modular.

Lo primero que la función

diofantica

hace es comprobar si la ecuación

esto, comprueba si el resto de la división de

c

ax + by = c tiene solución. Para a y b es cero. En caso

entre el máximo común divisor de

c mcd(a,b) . En caso negativo, nos dice que no tiene solución. Por ejemplo, vamos a buscar una solución de la ecuación 2475x + 7548y = 57. a rmativo, da una solución, multiplicando los coe cientes

Si

u

y

v

por

(%ixx) diofantica(2475,7548,57); (%oxx) [-9329,3059] nos planteamos ahora la ecuación 2465x + 7548y = 49. (%ixx) diofantica(2465,7548,49); (%oxx) No tiene solucion

pues

(%ixx) mod(49,gcd(2465,7548)); (%oxx) 15 La función diofantica, nos devuelve una solución particular de la ecuación. Recordemos que una vez encontrada una solución (x0 , y0 ) de la ecuación ax + by = c, todas las soluciones pueden calcularse a b mediante la expresión x = x0 + k · ; y = y0 − k · . d d Ejercicio 1.1.1. Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación

2x − 4y = 10.

Ejercicio 1.1.2. En un parking, cuya máquina expendedora solo admite importes exactos, tenemos que pagar 37 euros. Si sólo disponemos de monedas de 2 euros y billetes de 5 euros, razonar de cuantas formas podemos hacer el pago y cuales son éstas.

1.2.

Aritmética modular.

Recordemos que dos números enteros el mismo resto al dividirlos por

n.

a y b son congruentes módulo un entero n > 1 si tienen n divida a a − b.

Esto es equivalente a que

Vimos que la función `mod' nos calcula el resto de una división entera. Entonces, para calcular sumas, restas y productos módulo un número, no tenemos más que introducir la expresión como el primer argumento de la función `mod'. ( %ixx) mod(6*9-4*(5-2),11); ( %oxx) 9 Pues el resultado de la operación

6 · 9 − 4 · (5 − 2)

es

42,

que al dividirlo por

11

da resto

9.

También podemos calcular potencias ( %ixx)

mod(1231 , 47);

( %oxx) 34 aunque Maxima dispone de un comando especí co para el cálculo de potencias modulares. Este es `power− mod'

( %ixx) power− mod(12,31,47); ( %oxx) 34 Y es conveniente calcularlas usando esta función. Sobretodo si trabajamos con números grandes. Por ejemplo, podemos ejecutar ( %ixx) power− mod(13579,123456789,987654321); ( %oxx) 691505902

mod(13579123456789 , 987654321), Maxima probablemente se bloquearía, pues 123456789 calcular el número entero 13579 y luego trataría de reducirlo módulo

Pero si quisiéramos ejecutar en primer lugar intenta

987654321.

Pero el número anterior es un número de más de 510 millones de cifras.

El comando `power− mod' puede usarse también con exponentes negativos. ( %ixx) power− mod(5,-2,9); ( %oxx) 4 Tomando como exponente

−1

nos calcula el inverso de un número módulo otro.

( %ixx) power− mod(5,-1,9); 4

1.2. Aritmética modular.

( %oxx) 2 Y es que,

2·5 = 1

módulo 9, luego

5−1 = 2.

Por tanto,

5−2 = (5−1 )2 = 22 = 4,

como nos ha calculado

antes. Si quisiéramos calcular el inverso de

a módulo m, y tal inverso no existiera (pues mcd(a, m) 6= 1), Maxima

nos devuelve `false' ( %ixx) power− mod(6,-1,9); ( %oxx) false El exponente debe ser un número entero (positivo o negativo). No admite, por ejemplo, como exponente

1 2.

Para el cálculo de inversos modulares, Maxima dispone de una función exclusiva para ello. Esta es `inv− mod'

( %ixx) inv− mod(11,23); ( %oxx) 21 Maxima trae implementada la aritmética modular. Para ello dispone de una variable global, cuyo valor por defecto es

false,

modulus,

pero que podemos asignarle cualquier valor natural mayor que cero

(también admite el valor cero, pero luego da error al realizar los cálculos). Si introducimos un valor para

modulus

que no sea primo, Maxima nos da un aviso, pero admite ese valor.

Sin embargo, para que nos muestre el resultado como queremos, tenemos que decirle que nos simpli que la expresión, mediante el comando

(%ixx) modulus:11$ (%ixx) 6+7; (%oxx) 13 (%ixx) rat(6+7); (%oxx)/R/ 2 (%ixx) rat(7*8); (%oxx)/R/ 1

rat

La representación que trae Maxima de los enteros módulo m, comprende los números desde

m−1 2 , si

−m es impar, y desde 2

m hasta 2 si

−m+1 hasta 2

m +1 m es par. (%ixx) rat(8+9); (%oxx)/R/ -5 (%ixx) makelist(rat(i),i,0,20); (%oxx)/R/ [0,1,2,3,4,5,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,-5,-4,-3,-2] (%ixx) modulus:10$ warning: assigning 10, a non-prime, to 'modulus' (%ixx) makelist(rat(i),i,0,20); (%oxx)/R/ [0,1,2,3,4,5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,-4,-3,-2,-1,0]

La función rat lo que hace es simpli car expresiones racionales. Por ejemplo: (%ixx) (x^2-1)/(x+1); (%oxx)

x2 −1 x+1

Si ahora introducimos la misma expresión, pero precedida del comando rat, vemos como la simpli ca. (%ixx) rat((x^2-1)/(x+1)); (%oxx) x-1

Cuando dentro de la función rat introducimos una expersión numérica (por ejemplo, 4 ∗ 5), lo que entiende Maxima por simpli car es reducirla módulo el valor que tenga en ese momento la variable modulus. Cuando la variable

modulus

toma un valor distinto de

false,

Maxima realiza sus cálculos módulo ese

valor. De esta forma, puede ser que obtengamos resultados no esperados al llamar a ciertas funciones.

Si

(%ixx) gcd(6,27); (%oxx) 1 le damos a modulus su valor por defecto, (%ixx) modulus:false$ gcd(6,27);

entonces realiza el cálculo correctamente.

5

1.2. Aritmética modular.

(%oxx) 3 n, de nimos el conjunto U (Zn ) como el conjunto de todos los números n que tienen inverso módulo n. Este conjunto se denomina el conjunto de las Zn . Por ejemplo, para n = 28, este conjunto es {1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 27}.

Dado un número natural menores que unidades de

Vamos a ver cómo podemos obtenerlo con Maxima. En primer lugar tomamos el conjunto de todos los elementos menores que 28. ( %ixx) Z28:setify(makelist(i,i,0,27)); ( %oxx)

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27}

Y ahora nos quedamos con el subconjunto de los que son primos relativos con 28. Para introducir la condición de que el máximo común divisor del elemento y 28 valga 1, de nimos la función ( %ixx)

f (x) := is(gcd(x, 28) = 1);

( %ixx) UZ28:subset(Z28, f ); ( %oxx)

{1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 27}

Y ahora vamos a calcular los inversos de cada uno de ellos. ( %ixx) uz28:listify(UZ28); ( %oxx) [1,3,5,9,11,13,15,17,19,23,25,27] ( %ixx) inversos28:makelist(inv− mod(uz28[i],28),i,1,length(uz28)); ( %oxx) [1,19,17,25,23,13,15,5,3,11,9,27] Y vemos que son exactamente los mismos elementos, pero cambiando el orden. Ejercicio 1.2.1. Calcular el conjunto de las unidades de La función

ϕ

menores que

Z30

de Euler, aplicada a un número natural

n

que son primos relativos con

n.

n,

y sus respectivos inversos.

nos calcula el número de elementos

Maxima emplea para ello el comando `totient'

( %ixx) totient(28); totient(30); ( %oxx) 12 ( %oxx) 8 que son justamente los cardinales de los conjunto

U (Z28 )

y

U (Z30 )

respectivamente.

( %ixx) is(totient(28)=cardinality(UZ28)); ( %oxx) true Sabemos, por el teorema de Euler, que si

mcd(a, m) = 1

entonces

aϕ(m) ≡ 1

(mod

m).

Vamos

a hacer algunas comprobaciones con Maxima, de este hecho. ( %ixx) makelist(power− mod(uz28[i],12,28),i,1,length(uz28)); ( %oxx) [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1] Es decir, hemos elevado cada elemento de

U (Z28 )

a 12, y en todos los casos nos ha salido 1.

Vamos a calcular la décimosegunda potencia de todos los elementos de

Z28

(no sólo de las unidades).

( %ixx) makelist(power− mod(i,12,28),i,0,27); ( %oxx) [0,1,8,1,8,1,8,21,8,1,8,1,8,1,0,1,8,1,8,1,8,21,8,1,8,1,8,1]. Y vemos que sale 1 únicamente en los lugares que se corresponden con las unidades. El Teorema de Euler puede usarse para calcular potencias modulares. Así, si queremos calcular

347235 mod 5

procedemos como sigue:

347235 ≡ 2235 ≡ 24∗58 ∗ 23 ≡ 23 ≡ 3 mod 5 habiendo tenido en cuenta que: 1)

24 ≡ 1 mod 5

ya que

ϕ(5) = 4;

347 ≡ 2 mod 5; 2) que 235 = 4 ∗ 58 + 3; 23 ≡ 3 mod 5.

3) que por el teorema de Euler

y 4) que

Ejercicio 1.2.2. Proceder como anteriormente para calcular el resto de dividir probar la solución usando la función `power− mod'.

6

279323

entre 17 y com-

1.3. Sistemas de congruencias

1.3.

Sistemas de congruencias

Vamos a ver aquí como resolver sistemas de congruencias lineales con Maxima. Nos planteamos, en primer lugar, cómo resolver una congruencia de la forma

ax ≡ b(mód m) mcd(a, m)

Sabemos que esa congruencia tiene solución si, y sólo si, a rmativo, si

d

es el máximo común divisor de

a0 x ≡ b0 (mód m0 ) Y ahora, como

u,

mcd(a0 , m0 ) = 1

a

y

donde

m,

es un divisor de

b.

En caso

la congruencia anterior es equivalente a

a0 =

a 0 b , b = d d

podemos calcular el inverso de

a0

y

m0 =

módulo

m . d

m0 .

Si llamamos a este inverso

la congruencia es equivalente a

x ≡ u · b0 (mód m0 ) x = ub0 + k · m0 , con k ∈ Z. Entonces, dada una congruencia ax ≡ b(mód m), lo que tenemos que hacer es, en primer lugar, estudiar 0 0 si tiene o no solución, y en caso a rmativo, encontrar los números u · b y m , que nos dicen como es la

cuyas soluciones son todas de la forma

solución de la congruencia. Vamos a hacer un ejemplo con Maxima. Tomamos la congruencia

963x ≡ 291(mód 1578). Comprobamos si tiene solución: ( %ixx) is(mod(291,gcd(963,1578))=0); ( %oxx) true Como sí tiene solución, dividimos por 3, luego nos queda la congruencia el inverso de 321 en

321x ≡ 97(mód 526). Calculamos

Z526 .

( %ixx) inv− mod(321,526); ( %oxx) 195 Por tanto, la congruencia es equivalente a

x ≡ 97 · 195(mód 526).

Calculamos

97 · 195

módulo

526.

( %ixx) mod(97*195,526); ( %oxx) 505

x = 505 + 526 · k ,

Luego todas las soluciones son de la forma

con

k

un número entero.

Finalmente podemos diseñar una función que directamente nos proporcione la solución general de una congruencia

ax ≡ b(mód m).

Esta puede de nirse como sigue:

( %ixx) cong(a,b,m):=block(d:gcd(a,m), if mod(b,d)=0 then [mod(b/d*inv− mod(a/d,m/d),m/d), m/d] else "No tiene solución")

$

Ahora podemos decirle que nos resuelva la anterior congruencia. ( %ixx) cong(963,291,1578); ( %oxx) [505,526] Mientras que si cambiamos

291

por

290

por ejemplo,

( %ixx) cong(963,290,1578); ( %oxx) No tiene solución Nos ocupamos ahora de resolver sistemas de congruencias. Ilustramos la solución con el siguiente: Ejemplo.- Resolver el sistema: x ≡ 5495 (m´ od 7643) x ≡ 7569 (m´ od 8765)

7

1.3. Sistemas de congruencias

Para resolver este sistema, empezamos resolviendo la primera ecuación y sustituiremos el conjunto de soluciones obtenido en la segunda ecuación. Resolver x ≡ 5495 (m´ od 7643) es sencillo, pues x tiene que ser de la forma x = 5495 + 7643k con k ∈ Z. Ahora, sustituyendo x por 5495 + 7643k en la segunda ecuación tenemos: 5495 + 7643k ≡ 7569 (m´ od 8765), esto es 7643k ≡ 2074 (m´ od 8765) que tiene solución puesto que m.c.d.(7643, 8765) = 1 que divide a 2074. Para resolver esta ecuación en congruencias, utilizamos el hecho de que si u es el primer

(7643, 8765), entonces k0 = 2074u k = k0 + 8765t con t ∈ Z.

coe ciente de bezout del par general de la congruencia es

es una solución particular y la solución

Los coe cientes de Bezout de (7463,8765) ya sabemos que se obtienen usando la función gcdex, esto es: ( %ixx) gcdex(7463,8765) ( %oxx) [-653,556,1] así que

k0 = 2074 × (−653) ≡ 4253 (m´ od 8765)

puesto que

( %ixx) mod(-653*2074,8765); ( %oxx) 4253 y k = 4253 + 8765t. Entonces la solución general del sistema será por tanto de 7643k = 5954 + 7643(4254 + 8765t) = 32519276 + 66990895t con t ∈ Z puesto que

la forma

x = 5954 +

( %ixx) expand(5954+7643*(4254+8765*t)); ( %oxx) 66990895t+32519276 Veamos ahora un sistema con mas de dos ecuaciones. Ejemplo.- Supongamos que tenemos una manifestación que sabemos que ha congregado a menos de

un millón de personas, y queremos, desde la organización saber el número exacto de congregados. Les pedimos que se agrupen de 100 en 100, y quedan sin agrupar 30 personas. Si los agregamos de 99 en 99, sobran 25, y si los agrupamos de 97 en 97 quedan 13. ¾Podemos saber el número de congregados en la manifestación? La formulación de este problema es la siguiente:

x x x

≡ 30 ≡ 25 ≡ 13

 (mod 100)  (mod 99)  (mod 97)

Procederíamos como sigue:

x = 30 + 100k con k entero. Si sustituimos en la segunda 100k ≡ −5 (m´ od 99) y procediendo como arriba tenemos k ≡ 94 (m´od 99), cuya solución es k = 94 + 99t con t entero, luego la solución general de las dos primeras congruencias es x = 30 + 100(94 + 99t) = 9430 + 9900t Así, sustituyendo ahora en la tercera ecuación, tenemos: 9430 + 9900t ≡ 13 (m´ od 97), o equivalentemente 6t ≡ 89 (m´ od 97) puesto que Las soluciones de la primera ecuación son

ecuación nos queda:

( %ixx) mod(9900,97); ( %oxx) 6 ( %ixx) mod(13-9430,97); ( %oxx) 89 Resolvamos esta última ecuación en congruencias, utilizando los coe cientes de Bezout: ( %ixx) gcdex(6, 97); ( %oxx) [-16,1,1] Como

u = −16,

una solución particular sería

k0 ≡ −16 ∗ 89 (m´od 97).

( %ixx) k0:mod(-16*89,97); ( %oxx) 31 luego

t = 31 + 97s.

Asi tendríamos que

x

es:

( %ixx) t:31+97*s; k: 94 + 99*t; x:expand(30+100*k); 8

Como

1.3. Sistemas de congruencias

( %oxx) 97s+31 ( %oxx) 99(97s+31)+94 ( %oxx) 960300s+316330 Como el número de manifestantes es menor que 1 millón, de entre todas las soluciones la única posible es

x0 = 316330.

Podemos comprobar que la solución es correcta haciendo: sol:316330;

( %ixx) mod(316330, 100); mod(316330, 99); mod(316330, 97); ( %oxx) 30 ( %oxx) 25 ( %oxx) 13 Ejercicio 1.3.1. Resolver

x x x

 (mod 4)  (mod 5)  (mod 3)

≡ 3 ≡ 1 ≡ −1

Ejercicio 1.3.2. (Antiguo problema chino) Tres agricultores dividieron equitativamente el arroz que habían cultivado en común. Para venderlo fueron a mercados diferentes, donde se usaban diferentes medidas de peso, además todos ellos usaron carretas en las que podían transportar un máximo de 1000 libras. En el primer mercado la medida era de 11 libras, en el segundo de 14 y en el tercero de 15 libras. Cada agricultor vendió todo lo que pudo en medidas enteras y cuando volvieron al hogar, el primero llevaba 5 libras de arroz, el segundo 6 y el tercero 4. ¾Cuanto arroz habían cultivado entre los tres?

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ร lgebra Lineal y Estructuras Matemรกticas Prรกctica 4: Polinomios.

Curso 2011-2012

1.1. Operaciones con polinomios y factorización En esta práctica vamos a trabajar con polinomios. Los coe cientes pueden ser tanto racionales, como elementos de Zp . Por defecto, Maxima trabaja con polinomios con coe cientes racionales.

1.1. Operaciones con polinomios y factorización Consideremos los polinomios (%ixx) p:x^3+3*x^2+5*x-4$ q:x^2-6*x+8$

Y ahora podemos operar con ellos: (%ixx) p+q; p-q; p+2*q; (%oxx) x3 +4x2 -x+4 (%oxx) x3 +2x2 +11x-12

(%oxx) x3 +2(x2 -6x+8)+3x2 +5x-4

Y para que nos muestre el resultado como nos gusta (%ixx) expand(%); (%oxx) x3 +5x2 -7x+12

Podemos hacer también multiplicaciones y potencias, y si queremos que nos muestre el resultado desarrollado y simpli cado, utilizamos expand (%ixx) expand(p*q); expand(p^3); expand(2*p+q^2); (%oxx) x5 -3x4 -5x3 -10x2 +64x-32 (%oxx) x9 +9x8 +42x7 +105x6 +138x5 -3x4 -187x3 -156x2 +240x-64 (%oxx) x4 -10x3 +58x2 -86x+56

También podemos calcular el cociente y el resto de la división. Tenemos los comandos quotient que nos calcula el cociente, remainder que nos calcula el resto, y divide que calcula ambos. (%ixx) quotient(p,q); remainder(p,q); divide(p,q); (%oxx) x+9 (%oxx) 51x-76 (%oxx) [x+9,51x-76]

Tal y como hemos de nido los polinomios, no podemos considerarlos como funciones, es decir, no podemos evaluarlos. Para ello, podemos optar a de nirlos como funciones: (%ixx) p1(x):=x^3+3*x^2+5*x-4$ q1(x):=x^2-6*x+8$

Y ahora, igual que antes, podemos calcular sumas, restas, productos, cocientes, restos, y además podemos evaluarlos. (%ixx) p1(3); (%oxx) 65

También podemos emplear el comando subst. Este comando tiene 3 argumentos. Por ejemplo, subst(3,x,p(x)) sustituye en la expresión p la x por 3. (%ixx) subst(3,x,p1(x)) (%oxx) 65

Para factorizar polinomios tenemos el comando factor. La factorización la realiza en Q (o en Z), aunque los polinomios tengan coe cientes reales, e incluso complejos. (%ixx) factor(p); factor(q); (%oxx) x3 +3x2 +5x-4 (%oxx) (x-4)(x-2)

2

1.2. Máximo común divisor y coe cientes de Bezout √ √ Pero si le pedimos que nos factorice x2 −2 o x2 +1, cuyas factorizaciones sabemos que son (x− 2)(x+ √2) y (x + i)(x − i) respectivamente, Maxima no las hace, aunque puede evaluar ambos polinomios en x = 3 y x = i. (%ixx) factor(x^2-2); factor(x^2+1); (%oxx) x2 -2 (%oxx) x2 +1 (%ixx) subst(sqrt(3),x,x^2-2); subst(%i,x,x^2+1); (%oxx) 1 (%oxx) 0

De hecho, Maxima es capaz de encontrar raíces reales y complejas de polinomios, con el comando solve (%ixx) p:x2 +1$ q:x2 -2$ (%ixx) solve(p); solve(q); (%oxx) [x=-%i,x=%i] √ √ (%oxx) [x=- 2,x= 2]

Vimos en la práctica anterior que cambiando el valor de la variable modulus, podemos forzar a Maxima a que nos trabaje módulo un número entero. Entonces, lo que hemos hecho aquí para polinomios con coe cientes racionales, podemos hacerlo también para polinomios con coe cientes en Zp . Por ejemplo: (%ixx) (%ixx) (%oxx) (%ixx) (%oxx) (%ixx) (%oxx)

p:x^3+6*x^2-4*x+9$ factor(p); x3 +6x2 -4x+9 modulus:2$ factor(p); (x+1)(x2 -x+1) modulus:3$ factor(p); (x-1)x(x+1)

Recordemos que para Maxima, los enteros módulo p van desde − p−1 2 hasta Cuando queramos volver a trabajar en Q ponemos

p−1 2 ,

no desde 0 hasta p − 1.

(%ixx) modulus:false;

Recordando que una raíz de un polinomio es simple si su multiplicidad es 1 y es múltiple si su multiplicidad es ≥ 2 realizar el siguiente: Ejercicio 1.1.1.

Construye un polinomio en Q[x] y otro en Z5 [x] con las siguientes características:

1. Tiene dos raíces simples. 2. Tiene tres raíces múltiples de multiplicidades 2, 4 y 5. 3. Tiene un factor irreducible de grado 3 simple. 4. Tiene dos factores irreducibles de grado 2 múltiples ambos de multiplicidad 3. Factorizar en Q[x] los polinomio 3x6 + x5 + 3x2 + 4x + 1 y 3x5 − x4 − 4x3 − 2x2 + 2x + 1 y en Z3 [x] el polinomio x6 + x5 + 2x4 + x3 + x2 + x + 2. Ejercicio 1.1.2.

1.2. Máximo común divisor y coe cientes de Bezout Al igual que con los números enteros, podemos calcular el máximo común divisor de dos polinomios, así como los coe cientes de Bezout, usando las mismas funciones que en Z. (%ixx) gcd(x^5-3*x^4+3*x^3-5*x^2+8*x-4,x^6-5*x^5+10*x^4-11*x^3+x^2+16*x-12); (%oxx) x2 -3x+2 (%ixx) gcdex(x^5-3*x^4+3*x^3-5*x^2+8*x-4,x^6-5*x^5+10*x^4-11*x^3+x^2+16*x-12); (%oxx)/R/ [- 5x

3

−2x2 +20∗x−39 5x2 +8x+31 , ,-x2 +3x-2]. 264 264

3

1.3. Derivada y raices múltiples

(%ixx) gcdex(x^5+2*x^4+x^2+2*x+2,x^5+2*x^3+x^2+x+1); (%oxx)/R/ [x-1,-x,-x2 -1]

Cuando le pedimos a Maxima que aplique el algoritmo extendido de Euclides mediante el comando gcdex, toma como máximo común divisor el último resto no nulo, aunque no sea un polinomio mónico. Por tanto, el máximo común divisor de los polinomios x5 + 2x4 + x2 + 2x + 2 y x5 + 2x3 + x2 + x + 1 vale x2 + 1. No obstante, si usamos el comando gcd para calcular el máximo común divisor, sí nos devuelve un polinomio mónico. (%ixx) gcd(x^5+2*x^4+x^2+2*x+2,x^5+2*x^3+x^2+x+1); (%oxx) x2 +1

Calcular el máximo común divisor, los coe cientes de Bezout y el mínimo común múltiplo en Z5 [x] de los polinomios x7 +2x6 +3x5 +3x4 +3x3 +3x2 +2x+1 y 3x6 +4x4 +4x3 +4x2 +3x+1.

Ejercicio 1.2.1.

1.3. Derivada y raices múltiples También podemos calcular la derivada de un polinomio, lo cual, sabemos que nos sirve para calcular factores múltiples (recordemos que una raíz de un polinomio es múltiple si y solo si es también raíz del polinomio derivada). Por ejemplo: (%ixx) p:x^10+2*x^9+2*x^8+x^7+2*x^5+2$ (%ixx) q:diff(p,x); (%oxx) 10x9 +18x8 +16x7 +7x6 +10x4 . (%ixx) d:gcd(p,q); (%oxx) 1

así que p no tiene factores múltiples como polinomio de Q[x] pero si reducimos módulo 3 (%ixx) modulus:3$ d:gcd(p,q); (%oxx) x^5+x^3+x^2+1

Lo que nos dice que el polinomio tiene factores múltiples, pues el máximo común divisor no vale uno. El máximo común divisor de p y su derivada podríamos haberlo obtenido también sin más que escribir d:gcd(p,diff(p,x)). Vamos a comprobar que efectivamente p tiene factores múltiples. (%ixx) factor(p); factor(d); (%oxx) (x+1)4 (x2 +1)2 (x2 +x-1) (%oxx) (x+1)3 (x2 +1)

Vemos como en d tenemos los mismos factores que p pero elevados a una potencia menor. Por tanto, calculando p/d obtenemos el producto de todos los irreducibles que aparecen en la factorización de p pero elevados a exponente uno. Ejercicio 1.3.1.

tiene módulo 5?.

Estudiar si el polinomio x4 − 2x3 + 6x2 − 10x + 5 de Q[x] tiene raíces múltiples. ¾Las

4

1.4. Ecuaciones diofánticas

1.4. Ecuaciones diofánticas

Al igual que con los enteros, podemos plantearnos resolver ecuaciones diofánticas de la forma a(x) · X + b(x) · Y = c(x) .

La resolución es análoga y es como sigue: 1) la ecuación diofántica tiene soluciones si y solo si el término independiente c(x) es un múltiplo del máximo común divisor, d(x), de los polinomios a(x) y b(x) , y 2) si (p0 (x), q0 (x)) es una solución, entonces todas las soluciones se obtienen como (

X = p0 (x) + Y = q0 (x) −

b(x) d(x) k(x) a(x) d(x) k(x)

para todos los polinomios k(x) de K[x]. El problema es entonces calcular una primera solución (p0 (x), q0 (x)) de la ecuación, y para ello nos basamos en el cálculo de coe cientes de Bezout, pues si d(x) = u(x)a(x) + v(x)b(x) y c(x) = n(x)d(x), entonces (p0 (x) = n(x)u(x), q0 (x) = n(x)v(x)) es una solución. Ilustramos esto en el siguiente ejemplo: .- Resolvamos la ecuación (x2 + x − 2)X + (x2 − 2x + 1)Y = x2 + 4x − 5. En primer lugar vemos si la ecuación tiene solución. (\%ixx) is(remainder(x^2+4*x-5,gcd(x^2+x-2,x^2-2*x+1))=0);

Ejemplo

(\%oxx) true

Como existe solución, calculamos una. Usando gcdex obtenemos lo siguiente: (\%ixx) gcdex(x^2+x-2,x^2-2*x+1); (\%oxx) /R/ [1,-1,3*x-3]

lo que signi ca que el máximo común divisor es x − 1 y los coe cientes de Bezout son 1/3 y −1/3. Como (\%ixx) quotient(x^2+4*x-5,x-1); (\%oxx) x+5

una solución particular es p0 (x) =

x+5 3 ,

q0 (x) = − x+5 3 y como

(\%ixx) quotient(x^2-2*x+1,x-1);quotient(x^2+x-2,x-1); (\%oxx) x-1 (\%oxx) x+2

la solución general es

Ejercicio 1.4.1.

X = x+5 3 + (x + 1)k(x) Y = − x+5 3 − (x + 2)k(x).

Encuentra todas las soluciones de la ecuación diofántica (x3 − 2x2 + x − 2)X + (x3 + x2 + x + 1)Y = x4 − 1 .

Recordemos que para encontrar una solución en los enteros teníamos la función diofantica que habíamos de nido como sigue:

diofantica(a,b,c):=if mod(c,gcd(a,b))=0 then rest(gcdex(a,b),-1)*c/gcd(a,b) else "No tiene solución" Para que nos valiera para polinomios, habría que sustituir la función mod por remainder. Sin embargo, el máximo común divisor calculado con gcd(a, b) no tiene porqué ser el mismo que el calculado con gcdex(a, b) (el primero es mónico, el segundo no tiene porqué). Por tanto, también habría que modi car eso. Vamos a llamar d al resultado de gcdex(a, b) y tendríamos: (%ixx) diofantica(a,b,c):=block(d:gcdex(a,b), if remainder(c,d[3])=0 then rest(d,-1)*quotien(c,d[3]) else "No tiene solución")$

5

1.5. Congruencias Comprobemos con el ejemplo anterior: (%ixx) diofantica(x^2+x-2,x^2-2*x+1,x^2+4*x-5); (%oxx) /R/ [(x+5)/3,-(x+5)/3]

o también:

(%ixx) diofantica(x^5+2*x^3+2,x^5+2*x^4+2*x^3+1,x^4+2*x^2+2*x+2); (%oxx)/R/ [x4 +x3 +x2 -1,-x4 +x3 -x+1]

1.5. Congruencias Análogamente a como hacíamos en Z, nos planteamos ahora resolver congruencias en polinomios, esto es, de la forma a(x)X ≡ b(x)(mód n(x)) . Para ello procedemos de forma análoga: La congruencia tiene solución si y solo si d(x) = m.c.d.(a(x), n(x)) es un divisor de b(x). En caso a rmativo, la congruencia anterior equivale a la congruencia a1 (x)X ≡ b1 (x) (mod n1 (x)) b(x) n(x) con a1 (x) = a(x) d(x) , b1 (x) = d(x) y n1 (x) = d(x) donde ahora m.c.d.(a1 (x), n1 (x)) = 1. Precisamente por esto podemos calcular el inverso de a1 (x) módulo n1 (x) y si u(x) es el inverso entonces la congruencia última es equivalente a la congruencia

X ≡ u(x)b1 (x) (mod n1 (x))

cuyas soluciones son todas de la forma X = u(x)b1 (x) + k(x)n1 (x) con k(x) ∈ K[x]. Entonces de lo que se trata es, en primer lugar, de saber si la congruencia tiene solución, y en caso a rmativo encontrar los polinomios u(x), b1 (x) y n1 (x) que dan la solución. Ilustramos la solución con el siguiente ejemplo: (x3 − x2 + x − 1)X ≡ x2 − 2x + 1(mód x3 + x2 − 5x + 3),

Comprobamos si tiene solución (%ixx) a:x^3-x^2+x-1$ b:x^2-2*x+1$ n:x^3+x^2-5*x+3$ d:gcd(a,n)$ (%ixx) is(remainder(b,d)=0); (%oxx) true

Dividiendo por d nos queda (%ixx) a1:quotient(a,d); b1:quotient(b,d); n1:quotient(n,d); (%oxx) x^2+1 (%oxx) x-1 (%oxx) x^2+2*x-3

y tenemos la congruencia a1X ≡ b1(mod n1). Calculamos el inverso de a1 módulo n1 que es el primer elemento de la lista que nos da el algoritmo extendido (%ixx) gcdex(a1,n1); (%oxx)/R/ [(x+4)/10,-(x+2)/10,1]

Por tanto, la congruencia es equivalente a X ≡

x+4 10

· b1(mod n1). Como

(%ixx) expand(%[1]*b1); (%oxx) x^2/10+(3*x)/10-2/5

se tiene que todas las soluciones son X =

x2 +3x−4 10

+ k(x)n1, k(x) ∈ K[x] y como

(%ixx) remainder((x^2+3*x-4)/10, n1); (%oxx) (x-1)/10

6

la solución general es por tanto X =

x−1 10

+ k(x)n1, k(x) ∈ K[x].

1.5. Congruencias

Para congruencias en Z, ax ≡ b(mód m), teníamos una función que nos la resolvía directamente. Esta función era (%ixx) cong(a,b,m):=block(d:gcd(a,m), if mod(b,d)=0 then [mod(b/d*inv_mod(a/d,m/d),m/d), m/d] else "No tiene solución" )$ Para adaptar esta función a polinomios, tenemos, en primer lugar, que cambiar mod por remainder. Pero

esto no basta en este caso, pues no tenemos una función para calcular los inversos. Pero sabemos que el inverso se calcula usando el algoritmo extendido de Euclides. Por tanto, nos podría quedar (%ixx) cong(a,b,m):=block(d:gcdex(a,m), if remainder(b,d[3])=0 then [remainder(d[1]*b/d[3],m/d[3]), m/d[3]] else "No tiene solución" )$

Comprobemos con el ejemplo anterior

(%ixx) cong(x^3-x^2+x-1,x^2-2*x+1, x^3+x^2-5*x+3); (%oxx)/R/ [(x-1)/10,(x^2+2*x-3)/5]

Y ahora, si quisiéramos resolver, por ejemplo, en Z11 [x] la congruencia (x2 + 6x + 9)X ≡ 3x3 + 7x2 + 9x + 2(mód x3 + 5x2 + 10x + 3),

podemos hacerlo como sigue: (%ixx) modulus:11$ cong(x^2+6*x+9,3*x^3+7*x^2+9*x+2,x^3+5*x^2+10*x+3); (%oxx)/R/ [-3x2 +2x+5,x3 +5x2 -x+3]

lo que nos dice que todas las soluciones son de la forma 8x2 + 2x + 5 + (x3 + 5x2 − x + 33) · k(x) con k(x) ∈ Z11 [x]. Ejercicio 1.5.1.

Resolver en Q[X] la congruencia (x2 + x − 6)X ≡ x2 − 4(mód x3 − 2x2 + x − 2),

y comprobar la solución usando la función cong(a,b,m), de nida arriba. Hacer el mismo ejercicio trabajando en Z5 [X].

7

ร lgebra Lineal y Estructuras Matemรกticas Prรกctica 5: Cuerpos Finitos.

Curso 2011-2012

En esta práctica vamos a construir cuerpos nitos, esto es, con un número nito de elementos y vamos a operar con sus elementos. Recordemos previamente que:

Un cuerpo es un anillo conmutativo en el que todo elemento no nulo tiene inverso. Ejemplos de cuerpos son Q (los racionales), R (los reales), C (los complejos) y Zp con p primo (los enteros módulo p). Para cada número primo p y cada natural n ≥ 1 hay un cuerpo con pn elementos, denotado Zp [x]m(x) , que puede obtenerse como el conjunto de restos módulo m(x) en el anillo Zp [x], siendo m(x) ∈ Zp [x] un polinomio irreducible de grado n. En general, aunque m(x) no sea irreducible, podemos considerar Zp [x]m(x) y operar (sumar, multiplicar o calcular inversos si existen) con sus elementos. Recordemos que para trabajar módulo p tenemos que asignar el valor p a la variable modulus. Como queremos trabajar módulo m(x) creamos una variable a la que llamaremos por ejemplo M, en la que guardaremos este polinomio.

Ejemplo 1.0.1.

Consideremos Z5 [x]x3 +x2 +3x+2 . Ponemos:

p = 5 y el polinomio m(x) = x3 + x2 + 3x + 2. Veamos cómo trabajar en

(%ixx)modulus:5$ M:x^3+x^2+3*x+2$

De nimos las funciones suma y producto como sigue: (%ixx) suma(f,g):=remainder(f+g,M)$ (%ixx) producto(f,g):=remainder(f*g,M)$

Y ahora podemos probar a hacer algunos cálculos. Así si: (%ixx) (%ixx) (%oxx) (%oxx) (%oxx) (%oxx) (%oxx)

f1:3*x^2+4*x+1$ f2:x^4+2*x^3-3*x^2-2$ f3:2*x^2+x+3$ suma(f1,f2);suma(f1,f3);suma(f1,-f3);producto(f1,f2);producto(f2,2*f3); x^2-x+2 -1 x^2-2*x-2 x^2+2*x 2*x^2+x-2 Vamos a de nir la función que calcula el inverso. Recordemos que el inverso de f (x) en Zp [x]m(x) existe si y solo si m.c.d.(f (x), m(x)) = 1. En dicho caso el inverso es un polinomio u(x) que veri ca que f (x) · u(x) + m(x) · v(x) = 1 y por tanto puede calcularse con el comando gcdex Por tanto: (%ixx) inverso(f):= if gcd(f,M)=1 then block(d:gcdex(f,M),d[1]/d[3]) else "No existe el inverso"$ (%ixx) inverso(x^2+3); (%oxx)/R/ x+1 (%ixx) inverso(x^2+2*x+2); (%oxx) "No existe el inverso" Ya tenemos los ingredientes necesarios para la Aritmética en anillos de la forma Zp [x]m(x) .

Veamos dos ejemplos mas:

Ejemplo 1.0.2. Enn Z3 [x]x3 +x2 +x+1 vamos a calcular cuantos elementos tiene, quienes son sus unidades y realizar algunos cálculos. Lo primero que hacemos es identi car sus elementos. (%ixx) modulus:3$ M:x^3+x^2+x+1$

Para mayor simplicidad denotaremos A27 al conjunto buscado Z3 [x]x3 +x2 +x+1 (%ixx) Z3:{0,1,-1}$ A27:makeset(a*x^2+b*x+c,[a,b,c],cartesian_product(Z3,Z3,Z3));

2

(%oxx) {-1,0,1,-x-1,1-x,x-1,-x,x,x+1,-x^2-1,1-x^2,-x^2-x-1,-x^2-x,-x^2-x+1,-x^2+x-1, x-x^2,-x^2+x+1,x^2-1,-x^2,x^2,x^2+1,x^2-x-1,x^2-x,x^2-x+1,x^2+x-1,x^2+x,x^2+x+1}

Veamos cuales son sus unidades (es decir los elementos que tienen inverso). Serรก el conjunto de elementos U A27 formado por los p(x) que veri quen que m.c.d(p(x), m(x)) = 1. Entonces: (%ixx) f(a):=is(gcd(a,M)=1)$ (%ixx) UA27:subset(A27,f); (%oxx) {-1,1,1-x,x-1,-x,x,-x^2-x-1,-x^2-x+1,x-x^2,-x^2+x+1,-x^2,x^2, x^2-x-1,x^2-x,x^2+x-1,x^2+x+1}

que como vemos tiene 16 elementos. Este conjunto es cerrado para el producto, es decir, al multiplicar dos unidades sale otra unidad. Veamos algunos ejemplo. Para ello empezamos listando los elementos de U A27. (%ixx) ua27:listify(UA27); (%oxx) [-1,1,1-x,x-1,-x,x,-x^2-x-1,-x^2-x+1,x-x^2,-x^2+x+1,-x^2,x^2,x^2-x-1, x^2-x,x^2+x-1,x^2+x+1] (%ixx) producto(ua27[3],ua27[11]);producto(ua27[8],ua27[14]);producto(ua27[2],ua27[4]); (%oxx) x^2-x-1 (%oxx) -x^2-x-1 (%oxx) x-1 que como vemos pertenecen al conjunto U A27. Vamos a calcular los inversos de U A27. Tenemos: (%ixx)Inversos:makelist(inverso(ua27[i]),i,1,16); (%oxx)/R/ [-1,1,x^2-x,-x^2+x,x^2+x+1,-x^2-x-1,x,x^2-x-1,x-1,x^2+x-1, -x^2,x^2,-x^2-x+1,-x+1,-x^2+x+1,-x] que vemos que contiene exactamente los 16 elementos de ua27.

En el caso de que m(x) sea un polinomio irreducible de grado n, entonces Zp [x]m(x) es un cuerpo (es decir, todos sus elementos no nulos son unidades) con pn elementos. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 1.0.3.

Consideramos el siguiente polinomio

(%ixx)factor(x^3+x^2+2); (%oxx) x^3+x^2-1 que nos dice que Z3 [x]x3 +x2 +2

lo antes.

x3 + x2 + 2 en Z3 [x] que vemos que es irreducible

es un cuerpo que tiene 27 elementos en el que se puede operar como

Ejercicio 1.0.4.

Calcular las unidades de

Ejercicio 1.0.5.

.-De los siguientes polinomios en

Z3 [x]x3 +x2 +2 y sus inversos. Z2 [x] elige uno que sea irreducible:

x4 + x2 + 1; x4 + x3 + x + 1; x4 + x3 + x2 + x + 1 Utiliza ahora dicho polinomio para construir un cuerpo de 16 elementos. En dicho cuerpo calcula la suma, el producto y el inverso de polinomios que tu elijas.

Ejercicio 1.0.6.

De la siguiente lista de polinomios en

1.

x8 + x2 + x + 1 ; x8 + x5 + 1 ;

2.

x8 + x4 + x3 + x + 1;

3.

x8 + x6 + x4 + x2 + 1;

4.

x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1;

5.

x8 + x6 + 1; x8 + x5 + x3 + x2 + 1;

6.

x8 + x7 + 1;

3

Z2 [x]

7.

x8 + x + 1 ;

8.

x8 + x7 + x + 1

elige los que sean irreducibles. Si m(x) es el primer polinomio irreducible de esa lista, úsalo para construir un cuerpo con 256 elementos. En dicho cuerpo realiza los siguientes cálculos: a)

(x5 + x3 + x + 1) · (x7 + x2 + 1)

b)

(x6 + x2 + 1)−1 · (x3 + 1)

c)

(x−4 + x−3 + x−2 )−1

4

ร lgebra Lineal y Estructuras Matemรกticas Prรกctica 6: Matrices.

Curso 2011-2012

1.1. De niendo matrices.

1.1. De niendo matrices. En esta práctica vamos a trabajar con matrices. 1. 1.- Lo primero que tenemos que saber es cómo introducir una matriz. Para esto, usaremos el comando

matrix,

e introduciremos las las de la matriz como listas, separadas por comas.

( %ixx) A:matrix([1,2,3],[4,5,6]);

( %oxx)

1 4

2 5

3 6

( %ixx) C:matrix([2,3],[5,6]);

( %oxx)

2 5

3 6

2. También es posible de nir una matriz de forma interactiva, mediante el comando

entermatrix

tal

y como muestra el siguiente ejemplo: ( %ixx) entermatrix(2,3); Row 1 Column 1: 4/7; Row 1 Column 2: 0; Row 1 Column 3: %pi; Row 2 Column 1: sqrt(2); Row 2 Column 2: log(3); Row 2 Column 3: -9; Matrix entered.

"

4 7

√

( %oxx)

0

π

#

log 3 −9

2

3. Algunas matrices, como la matriz identidad, la matriz nula, una matriz diagonal, con todos los elementos de la diagonal iguales, podemos introducirlas directamente, como se muestra a continuación ( %ixx) ident(3); zeromatrix(2,3); diagmatrix(2,4);

 ( %oxx)

( %oxx)

( %oxx)

1  0 0 0 0 4 0

 0 0  1 0 0 0 0 0 4 0 1 0

4. Una vez de nida una matriz, para acceder a sus distintos elementos de la matriz, tenemos: ( %ixx) row(A,2); col(C,1); A[2];

4

( %oxx)

2 5

( %oxx)

[4, 5, 6]

( %oxx)

5

6

C[2][1]; C[2,1];

( %oxx) 5 ( %oxx) 5 Notemos como row(A,2) nos devuelve una matriz formada por la segunda la, mientras que A[2] nos devuelve una lista formada por los elementos de la segunda la. Por tanto, son objetos diferentes. 2

1.2. Operaciones con matrices

5. El tamaño de una matriz podemos obtenerlo con la función

matrix− size.

( %ixx) matrix− size(A); ( %oxx) [2,3] 6. A una matriz podemos añadirle una la y/o una columna, con las funciones

addrow

y

addcol.

Obviamente, si queremos que nos guarde la matriz con los cambios, hemos de decírselo. ( %ixx) addrow(A,[7,8,9]); A:addcol(A,[4,7]); A;

( %oxx)

( %oxx)

( %oxx)

1  4 7 1 4 1 4

2 5 8

 3 6  9

2 5

3 6

4 7

2 5

3 6

4 7

Vemos como la la

(7 8 9)

no la ha añadido a la matriz.

7. Dada una matriz, podemos cambiar uno de sus coe cientes, o una de sus las. ( %ixx) A[2,4]:8$ C[2]:[7,8]$ A; C;

1 4

2 5

2 7

3 8

( %oxx)

( %oxx)

3 6

4 8

8. También podemos, de una matriz, suprimir las y/o columnas. Tenemos el comando

minor, que de

una matriz A elimina la la y columna que le digamos: ( %ixx) A:matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9])$ minor(A,1,2);

( %oxx)

4 7

6 9

Vemos como ha eliminado la la 1 y la columna 2 de la matriz A 9. También con

submatrix podemos extraer una submatriz eliminando las y/o columnas. Para esto,

debemos especi car, la matriz de la que queremos extraer las submatriz, las las que queremos suprimir (que escribiremos delante de la matriz) y las columnas (que escribiremos después de la matriz). ( %ixx) submatrix(1,3,A,2); ( %oxx)

4

6

que ha eliminado las las 1 y 3 de la matriz A, y la columna 2 de la misma matriz.

1.2. Operaciones con matrices Maxima trae implementadas las operaciones usuales con matrices. 1. Comenzamos con la suma y el producto por escalares. ( %ixx) A:matrix([1,3,2],[4,1,3])$ B:matrix([2,-1,1],[0,3,-2])$ A+B; 3*A;

3 4

3 9 6 12 3 9

( %oxx)

( %oxx)

2 4

3 1

3

1.2. Operaciones con matrices 2. También podemos sumarle un número a todos los coe cientes de una matriz. ( %ixx) 2 + ident(3);

 ( %oxx)

3  2 2

 2 2  3

2 3 2

3. Para multiplicar matrices, podemos usar el operador ∗τ el operador .". Con el primero, lo que hacemos es multiplicar dos matrices elemento a elemento. Por tanto, para poder usarlo, las dos matrices deben tener el mismo tamaño. Con el segundo multiplicamos dos matrices como se multiplican usualmente. En tal caso, hace falta que el número de columnas de la primera coincida con el número de las de la segunda. ( %ixx) C:matrix([3,2],[-1,-2],[1,5])$ A*B; A.C; C.A;

2 0

2 14

( %oxx)

( %oxx)

 ( %oxx)

11  −9 21

−3 3 6 21

2 −6

 12 −8  17

11 −5 8

4. Para que nos calcule una potencia de una matriz debemos usar ∧∧". Escribiendo únicamente ∧"nos eleva cada coe ciente de la matriz al número que digamos. ( %ixx) D:matrix([1,-2],[-1,1])$ D∧3; D∧∧3;

1 −1

−8 1

7 −5

−10 7

( %oxx)

( %oxx)

Esto vale también para exponentes negativos, lo cual nos permite calcular la inversa de una matriz. Aunque para ello, también disponemos del comando

invert.

( %ixx) D∧(-1); D∧∧(-1); invert(D);

1 2

1 −1

1

−1 −1

−2 −1

−1 −1

−2 −1

( %oxx)

( %oxx)

( %oxx)

5. Con Maxima, podemos calcular el rango de una matriz (rank), la matriz traspuesta (transpose), y si es cuadrada, el determinante (determinant) y la matriz adjunta (adjoint). Aunque este último comando, en realidad calcula la adjunta de la matriz traspuesta. ( %ixx) A:matrix([2,-1,3],[3,0,2],[-1,1,4])$ ( %ixx) rank(A); ( %oxx) 3 ( %ixx) transpose(A);

 ( %oxx)

2  −1 3

 3 −1 0 1  2 4

( %ixx) determinant(A); ( %oxx) 19 4

1.3. Transformaciones elementales. ( %ixx) adjoint(A);

 ( %oxx)

−2  14 3

 −2 5  3

7 11 −1

Por supuesto que si multiplicamos A por su matriz adjunta (la calculada por Maxima) nos devuelve la identidad multiplicada por el determinate de dicha matriz. ( %ixx) A.adjoint(A);

 ( %oxx)

19  0 0

0 19 0

 0 0  19

6. Todas las operaciones que hemos visto podemos hacerlas módulo p. Pero para que nos muestre los cálculos módulo p debemos usar

rat.

Por ejemplo:

( %ixx) modulus:5$ rat(determinant(A)); rat(invert(A)); ( %oxx)/R/ -1

 ( %oxx) /R/

2  −1 2

 −2 2 −1 0  1 2

( %ixx) modulus:19$ rank(A); ( %oxx) 2

1.3.

Transformaciones elementales.

Recordemos que las transformaciones elementales sobre las las de una matriz pueden ser de tres tipos. Tipo I (intercambiar las) ; tipo II (multiplicar una la por un escalar no nulo); y tipo III (sumarle a una la otra previamente multiplicada por un escalar). Recordemos que para destacar la lista de los elementos de la la

k -ésima

de una matriz A, lo hacemos

mediante el comando A[k]. 1. Nos volvemos a situar en los racionales. Tomemos la matriz

A

( %ixx) ( %ixx) modulus:false$ A:matrix([3,1,-2,1],[2,-1,1,4],[-2,0,1,1])$

a)

Para intercambiar las las primera y tercera, procedemos como sigue: ( %ixx) C:A[1]$ A[1]:A[3]$ A[3]:C$ A;

 ( %oxx)

b)

−2  2 3

0 −1 1

 1 4  1

1 1 −2

Ahora vamos a multiplicar la tercera la por -2. ( %ixx) A[3]:(-2)*A[3]$ A;

 ( %oxx)

c)

−2  2 −6

 0 1 1 −1 1 4  −2 4 −2

Y ahora vamos a sumarle a la primera la, la segunda multiplicada por 3, ( %ixx) A[1]:A[1]+3*A[2]$ A;

 ( %oxx)

4  2 −6

−3 4 −1 1 −2 4

 13 4  −2

2. Maxima dispone de dos comandos para realizar transformaciones elementales por las en una matriz. Mediante

echelon

transformamos una matriz en una matriz escalonada que se obtiene realizando 5

1.4. Ejercicios. transformaciones elementales por las. Con el comando

triangularize

obtenemos un resultado

semejante al anterior, salvo que ahora los pivotes de las las no tiene porqué valer uno. ( %ixx) M:matrix([1,2,-1,1],[2,-1,2,3],[0,1,2,-1])$ ( %ixx) triangularize(M); echelon(M);

( %oxx)

( %oxx)

 1 2 −1 1  0 −5 4 1  0 0 −14 4   1 2 −1 1  0 1 −4 −1  5 5   0

0

1

− 27

3. Estos comandos también podemos utilizarlos módulo un número primo. ( %ixx) modulus:7$ triangularize(M); echelon(M);

( %oxx)

( %oxx)

1 2  0 2 0 0  1 2  0 1  0

0

−1 −3 0 −1 2 0

 1 1  −3  1 −3   1

( %ixx) modulus:2$ triangularize(M);

 ( %oxx)

4.

Nota.

1  0 0

0 1 0

 1 1  0

1 0 0

Para hacer transformaciones por columnas, podemos hacer la traspuesta, hacer la corres-

pondiente transformación por las, y luego volver a hacer la traspuesta.

1.4. Ejercicios. Ejercicio 1.4.1. Calcular la forma escalonada por las y el rango de la matriz A, vista como matriz con coe cientes racionales, con coe cientes en Z2 , y con coe cientes en Z5 , en cada uno de los siguientes casos.       1  2 1. A =   1 2

1 2 −1 1   1 2  1 0

1  1 2. A =   1 2

2 2 2 1

3 3   4  0

 3. A =  

1 1 0 −1

1 1 1 2 1 0   −1 1 1  0 1 0

Ejercicio 1.4.2. Calcular la forma escalonada por columnas de las matrices siguientes: 

1  0 A=  1 0

1 1 1 0

1 2 1 1

 0 1   0  1

2  0 A0 =   2 1

0 1 0 0

1 0 1 1

Ejercicio 1.4.3. Dada la matriz 

−λ  1 A=  0 1

1 1−λ 1 −1

0 −1 −λ −1

 1  3   1 −3 − λ

1. Determina los valores de λ para los que |A| = 0. 2. Para dichos valores, calcula la forma escalonada por las de A. 6

 1 0   1  0

ร lgebra Lineal y Estructuras Matemรกticas Prรกctica 7: Espacios Vectoriales.

Curso 2011-2012

En esta práctica vamos a trabajar con vectores del espacio vectorial K n donde K es un cuerpo (por ejemplo K = Q , K = R o K = Zp con p primo). Un vector de K n es una n-upla ordenada de elementos de K , (x1 , x2 , ..., xn ), que en Maxima se representa por [x1 , x2 , ..., xn ] así que, por ejemplo, si n=3, (%ixx)[x1,x2,x3]; (%oxx)[x1,x2,x3]

estando dada la suma componente a componente (%ixx) [x1,x2,x3]+[y1,y2,y3]; (%oxx) [y1+x1,y2+x2,y3+x3] y el producto por escalares (a ∈ K ) como sigue (%ixx)a*[x1,x2,x3]; (%oxx) [a x1,a x2,a x3]

Dado un espacio vectorial V , y un conjunto de vectores u1 , u2 , · · · , un , sabemos que son linealmente dependientes si existen escalares no nulos a1 , a2 , · · · , an tales que a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un = 0. Por tanto, comprobar si un conjunto de vectores es linealmente dependiente o independiente se reduce a resolver un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, vamos a ver si los vectores u1 = (3, −1, 4, 2), u2 = (2, 4, 3, −3), u3 = (1, 3, 2, 5) y u4 = (1, −5, 1, 5) son linealmente dependientes o independientes. Para ello, introducimos los vectores (%ixx) u1:[3,-1,4,2]$ u2:[2,4,3,-3]$ u3:[1,3,2,5]$ u4:[1,-5,1,5]$

y ponemos

(%ixx) solve(a1*u1+a2*u2+a3*u3+a4*u4,[a1,a2,a3,a4]);

dándonos por respuesta

solve: dependent equations eliminated: (4) (%oxx) [[a1=-%r,a2=%r,a3=0,a4=%r]] Donde %r hace referencia a un parámetro. Esto nos dice que hay in nitas soluciones (dependientes de un parámetro). Una podría ser a1 = 1, a2 = −1, a3 = 0, a4 = −1. Por tanto los vectores son linealmente

dependientes. Eso signi ca que uno de los vectores es combinación lineal del resto. Eso podemos comprobarlo a partir de la solución que nos ha dado (bastaría despejar el que tenga coe ciente no nulo). Pero también podemos proceder como sigue (buscando la expresión como combinación lineal de uno en función de los otros): (%ixx) solve(b2*u2+b3*u3+b4*u4-u1,[b2,b3,b4]); solve(c1*u1+c3*u3+c4*u4-u2,[c1,c3,c4]); solve(d1*u1+d2*u2+d4*u4-u3,[d1,d2,d4]); solve(e1*u1+e2*u2+e3*u3-u4,[e1,e2,e3]); solve: dependent equations eliminated: (4) (%oxx) [[b2=1,b3=0,b4=1]] solve: dependent equations eliminated: (4) (%oxx) [[c1=1,c3=0,c4=-1]] (%oxx) [] solve: dependent equations eliminated: (4) (%oxx) [[e1=1,e2=-1,e3=0]]

Y vemos como el primero, el segundo y el cuarto son combinación lineal del resto, mientras que el tercero no lo es.

También, para saber si son linealmente dependientes o independientes, podemos calcular el rango de la matriz cuyas las son los vectores. (%ixx) A:matrix(u1,u2,u3,u4)$ rank(A); (%oxx) 3

Esto nos dice que hay tres vectores linealmente independientes, y el cuarto es combinación lineal del resto. Pero con esto no sabemos cuales son los tres que son linealmente independientes. Ahora bien, sí sabemos, por lo que hemos hecho antes, que pueden ser primero, segundo y tercero, primero, tercero y cuarto, o segundo, tercero y cuarto. 2

Tomamos ahora los vectores u1 , u2 y u3 , que sabemos que son linealmente independientes. Vamos a comprobar si el vector v = (1, 2, 1, 3) es combinación lineal de estos tres vectores.

(%ixx) v:[1,2,1,3]$ solve(a1*u1+a2*u2+a3*u3-v,[a1,a2,a3]); (%oxx) [] Y como vemos que no lo es, tenemos que los vectores u1 , u2 , u3 , v son linealmente independientes. Como

tenemos cuatro vectores linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensión cuatro, tenemos una base de Q4 . Vamos a trabajar ahora en (Z5 )5 . Para eso, primero modi camos el valor de la variable modulus. (%ixx) modulus:5$

Tomamos los vectores u1 = (1, 2, 0, 1, 1), u2 = (3, 1, 2, 1, 0), u3 = (1, 1, 0, 1, 2), u4 = (3, 2, 4, 4, 1). (%ixx) u1:[1,2,0,1,1]$ u2:[3,1,2,1,0]$ u3:[1,1,0,1,2]$ u4:[3,2,4,4,1]$

Comprobamos si son linealmente dependientes o independientes.

(%ixx) solve(a1*u1+a2*u2+a3*u3+a4*u4,[a1,a2,a3,a4]); solve: dependent equations eliminated: (4 5) (%oxx) [[a1=2*%r,a2=-2*%r,a3=%r,a4=%r]]

Lo que nos dice que son linealmente dependientes, y que cualquiera es combinación lineal del resto. Nos quedamos entonces con u1 , u2 , u3 . Vamos a ampliar el conjunto {u1 , u2 , u3 } a una base de (Z5 )5 . Elegimos otro vector u4 . (%ixx) u4:[1,1,2,0,1]$ solve(a1*u1+a2*u2+a3*u3-u4,[a1,a2,a3]); (%oxx) [] Y como u4 = (1, 1, 2, 0, 1) no es combinación lineal de u1 , u2 , u3 tenemos que {u1 , u2 , u3 , u4 } son vectores

linealmente independientes. Probamos ahora con un quinto vector u5 .

(%ixx) u5:[2,1,0,3,0]$ solve(a1*u1+a2*u2+a3*u3+a4*u4-u5,[a1,a2,a3,a4]); (%oxx) [] Y, al igual que antes, u5 = (2, 1, 0, 3, 0) no es combinación lineal de u1 , u2 , u3 , u4 . Por tanto, el conjunto de vectores B = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } es linealmente independiente. Tenemos entonces que B es una base de (Z5 )5 . La matriz del cambio de base de B a la base canónica es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de B en la base canónica. (%ixx) A:transpose(matrix(u1,u2,u3,u4,u5))$ La matriz del cambio de base de la base canónica a B es entonces la inversa de A (%ixx) C:rat(invert(A));   0 2 1 1 1  -1 2 1 0 2     (%oxx)/R/  2 0 1 2 1    1 -2 2 0 -2  -2 2 -1 1 2 Recordemos que con el comando rat se simpli ca la expresión. Supongamos ahora que tenemos el vector cuyas coordenadas en la base B son (1, 2, 1, 1, 3) y nos pregun-

tamos de que vector se trata, es decir, cuales son sus coordenadas en la base canónica. Para calcularlo, podemos calcular el vector v = 1 · u1 + 2 · u2 + 1 · u3 + 1 · u4 + 3 · u5 . Alternativamente,  

1  2     podemos multiplicar la matriz del cambio de base de B a la base canónica por el vector columna   1 .  1  3 (%ixx) c:transpose(matrix([1,2,1,1,3]))$ (%ixx) rat(u1+2*u2+u3+u4+3*u5); rat(A.c); (%oxx)/R/ [0,-1,1,-2,-1]   0  -1     (%oxx)/R/   1   -2  -1

3

Y vemos como nos sale el vector v = (0, −1, 1, −2, −1) = (0, 4, 1, 3, 4) (no olvidemos que estamos en (Z5 )5 ). Si ahora quisiéramos calcular las coordenadas del vector (1, 1, 1, 1, 1) en la base B tendremos que multiplicar por la matriz del cambio de base de la base canónica a B . (%ixx) c:transpose(matrix([1,1,1,1,1]))$ rat(C.c);   0  -1     (%oxx)/R/   1   -1  2 Lo que nos dice que (1, 1, 1, 1, 1) = −u2 + u3 − u4 + 2 · u5 .

También podríamos haberlo calculado haciendo

(%ixx) solve(a1*u1+a2*u2+a3*u3+a4*u4+a5*u5-[1,1,1,1,1],[a1,a2,a3,a4,a5]); (%oxx) [[a1=0,a2=-1,a3=1,a4=-1,a5=2]] Sean ahora los vectores v1 = (1, 2, 1, 3, 3), v2 = (2, 1, 4, 0, 1), v3 = (3, 3, 4, 0, 0), v4 = (0, 4, 2, 2, 1) y v5 = (1, 2, 1, 1, 4). (%ixx) v1:[1,2,1,3,3]$ v2:[2,1,4,0,1]$ v3:[3,3,4,0,0]$ v4:[0,4,2,2,1]$ v5:[1,2,1,1,4]$ D:transpose(matrix(v1,v2,v3,v4,v5));   1 2 3 0 1  2 1 3 4 2     (%oxx)/R/   1 4 4 2 1   3 0 0 2 1  3 1 0 1 4 El conjunto B 0 = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } es una base de (Z5 )5 , pues (%ixx) rank(D); (%oxx) 5 Y C es la matriz del cambio de base de B 0 a la base canónica. El cálculo de la matriz del cambio de base de B 0 a B , M , lo realizamos teniendo en cuenta que MB 0 →B = MBc →B · MB 0 →Bc . Entonces (%ixx) M:C.D;   1 2 0 -2 0  0 1 2 2 2    2 -1 0 2 -1  (%oxx)/R/     -2 1 0 -1 1  0 1 1 0 0

Claro, que también puede obtenerse teniendo en cuenta que la primera columna está formada por las coordenadas del vector v1 en la base B . E igual con el resto de columnas. (%ixx) solve(a1*u1+a2*u2+a3*u3+a4*u4+a5*u5-v1,[a1,a2,a3,a4,a5]); (%oxx) [[a1=1,a2=0,a3=2,a4=-2,a5=0]] La matriz del cambio de base de B a B 0 , M 0 , es la inversa de la matriz del cambio de base de B 0 a B . (%ixx) M':M^^(-1);   -2 2 -2 -1 1  -1 -1 2 -1 2    1 -2 1 -1  (%oxx)/R/   1   0 0 1 1 0  2 0 0 1 0

Ejercicio 1. Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o linealmente independientes. En R2 {v1 = (2, 0), v2 = (4, 8), v3 = (0, 3)}. En R3 : 1. {v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 0, 1), v3 = (2, 0, 1), v4 = (1, 0, 2)}. 2. {v1 = (1, 3, 4), v2 = (0, 2, −5), v3 = (0, 0, 6)}. 3. {v1 = (2, 1, 2), v2 = (−1, 3, 4)}. 4

1.1. Subespacios vectoriales.

En R4 : {v1 = (2, 5, 6, 4), v2 = (0, −1, 2, 3), v3 = (0, 0, 1, 6)}.

Ejercicio 2. Sea B = {e1 , e2 , e3 } una base de R3 y consideremos los nuevos vectores u1 = 2e1 +e2 −3e3 , u2 = 3e1 + 2e2 − 5e3 y u3 = e1 − e2 + 3e3 . Se pide: 1. Comprobar que B 0 = {u1 , u2 , u3 } es otra base de R3 . 2. Escribir las ecuaciones del cambio de base de B a B 0 y las del cambio de B 0 a B . 3. Calcular las coordenadas del vector 6e1 + 2e2 − 7e3 en la nueva base B 0 .

Ejercicio 3. Se consideran los siguientes subconjuntos de R3 : B = {(2, 2, 1), (0, 2, 3), (0, 0, 9)} , B 0 = {(1, 6, 7), (6, 5, 1), (1, 1, 1)} .

Se pide: 1. Comprobar que B y B 0 son bases de R3 . 2. Escribir las ecuaciones del cambio de base de B a B 0 y las de B 0 a B . 3. Calcular las coordenadas del vector u = (1, 2, 4)B en la base B 0 y las del vector v = (1, 4, 3)B 0 en la base B .

Ejercicio 4. Para las bases de R3 B = {v1 = (4, 0, 7), v2 = (2, 1, 1), v3 = (3, 1, 3)}, B 0 = {v10 = (1, 0, 2), v20 = (4, 1, 5), v30 = (1, 0, 3)}

y la matriz

 0 −1 −1 −5  2 5

0 P =  −1 1

¾cuál o cuáles de las siguientes a rmaciones son verdaderas? 1. P es la matriz de cambio de base de B a B 0 . 2. P −1 es la matriz de cambio de base de B a B 0 . 3. P es la matriz de cambio de base de B a la base canónica. 4. P es la matriz de cambio de base de la canónica a B . 1.1.

Subespacios vectoriales.

Si V es un espacio vectorial y U es un subconjunto suyo (no vacío), decimos que U es un subespacio vectorial si U es cerrado para la suma y para el producto por escalares. Para dar un subespacio vectorial de V , podemos hacerlo básicamente de dos formas. Una primera sería dando un sistema de generadores del subespacio. Para esto necesitamos dar un subconjunto S de V , y el subespacio sería el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S . Cualquier subconjunto S valdría para determinar un subespacio vectorial. Una segunda es dando las condiciones que deben satisfacer los vectores de V para pertenecer al subespacio (serían las coordenadas de estos vectores, luego habría que referirlos a una base). Estas condiciones son en forma de ecuaciones que tienen que ser lineales (de grado uno) y homogéneas (los términos independientes son nulos). Vamos a tomar el subespacio de R4 generado por los vectores (1, 2, 1, −1), (2, 0, 0, −1), (1, −1, −2, 1), (0, 1, 3, −1). Llamemos a este subespacio U .

(%ixx) u1:[1,2,1,-1]$ u2:[2,0,0,-1]$ u3:[1,-1,2,1]$ u4:[0,1,3,1]$ A:matrix(u1,u2,u3,u4);

5

1.1. Subespacios vectoriales.

 1 2 1 -1  2 0 0 -1     1 -1 2 1  0 1 3 1 

(%oxx)

Ahora, para obtener un vector del subespacio, nos basta con realizar una combinación lineal de los vectores u1 , u2 , u3 , u4 . Por ejemplo: v = 2 · u1 − 3 · u2 + u3 − u4 = (−3, 2, 1, 1). (%ixx) v:2*u1-3*u2+u3-u4; (%oxx) [-3,2,1,1]

O si queremos:

(%ixx) c:matrix([2,-3,1,-1])$ v:c.A; (%oxx) [-3 2 1 1]

Para calcular la dimensión del subespacio que generan, no tenemos más que calcular el rango de la matriz cuyas las (o columnas) son los vectores que generan el subespacio. (%ixx) rank(A); (%oxx) 3

Puesto que la dimensión es tres, y tenemos un sistema de generadores formado por cuatro vectores, éstos son linealmente dependientes. Vamos a comprobarlo. (%ixx) solve(a1*u1+a2*u2+a3*u3+a4*u4,[a1,a2,a3,a4]); solve: dependent equations eliminated: (4) (%oxx) [[a1=-%r,a2=%r,a3=-%r,a4=%r]] Lo que nos dice que −u1 + u2 − u3 + u4 = (0, 0, 0, 0).

Si ahora lo que queremos es comprobar si un vector pertenece o no al subespacio U , lo que tenemos que ver es si es combinación lineal de los vectores que lo generan. Por ejemplo, vamos a ver si los vectores v1 = (7, 15, 10, −6) y v2 = (5, −11, 10, 7). (%ixx) solve: (%oxx) (%ixx) (%oxx)

v1:[7,15,10,-6]$ solve(a1*u1+a2*u2+a3*u3+a4*u4-v1,[a1,a2,a3,a4]); dependent equations eliminated: (4) [[a1=8-%r,a2=%r-1,a3=1-%r,a4=%r]] v2:[5,-11,10,7]$ solve(a1*u1+a2*u2+a3*u3+a4*u4-v2,[a1,a2,a3,a4]); [] Lo que nos dice que v1 ∈ U , pero v2 6∈ U .

También podríamos haberlo comprobado estudiando los rangos de las matrices.

(%ixx) B1:addrow(A,v1)$ B2:addrow(A,v2)$ is(rank(A)=rank(B1)); is(rank(A)=rank(B2)); (%oxx) true (%oxx) false Es decir, v1 ∈ U , y v2 6∈ U , como ya sabíamos. Si ahora quisiéramos calcular las ecuaciones para que un vector pertenezca a U , podemos utilizar esta

idea. En primer lugar, la dimensión del subespacio U es 3, y sabemos que el cuarto vector es combinación lineal del resto. Entonces, tomamos la matriz A que tiene como las (o columnas) a los tres primeros vectores. (%ixx) A:matrix(u1,u2,u3)$

Si v = (x, y, z, t) es un vector de R4 , para que pertenezca al subespacio U necesitamos que el rango de la matriz que resulta de añadirle a la matriz A la la (x, y, z, t) siga teniendo rango 3. Para que esto ocurra, el determinante de esa matriz tiene que valer cero.

(%ixx) v:[x,y,z,t]$ rat(determinant(addrow(A,v))); (%oxx) /R/ 5z-5x-5y-10t Luego los vectores de U cumplen todos la ecuación 5x + 5y − 5z + 10t = 0, que dividiendo por 5 nos queda x + y − z + 2t = 0. Supongamos ahora que U es el subespacio de R4 generado por los vectores (2, 1, 3, −1), (2, 4, 0, 2) y (1, 1, 1, 0). Y vamos a calcular las ecuaciones cartesianas. (%ixx) kill(all)$ u1:[2,1,3,-1]$ u2:[1,2,0,1]$ u3:[1,1,1,0]$ (%ixx) A:matrix(u1,u2,u3); rank(A);   2 1 3 -1 (%oxx)  1 2 0 1  1 1 1 0 (%oxx) 2

6

1.1. Subespacios vectoriales.

Luego la dimensión del subespacio vale 2. Al ser un subespacio de un espacio vectorial de dimensión 4, vendrá dado por 4 − 2 = 2 ecuaciones. Para encontrar esas dos ecuaciones, procedemos como sigue: Calculamos una base: (%ixx) B:echelon(A);   1 2 0 1 (%oxx)  0 1 -1 1  0 0 0 0

Luego una base del subespacio es B = {(1, 2, 0, 1); (0, 1, −1, 1)}. Formamos la matriz cuyas las son los vectores de la base, y le añadimos el vector (x, y, z, t). (%ixx) v:[x,y,z,t]$ A:matrix(B[1],B[2],v);   1 2 0 1 (%oxx)  0 1 -1 1  x y z t Para que el vector (x, y, z, t) pertenezca al subespacio, es necesario que el rango de la matriz A valga 2, luego todos los determinantes 3 × 3 que podamos formas deben ser nulos. Para ello, partimos de un determinante 2 × 2 (el formado por las dos primeras las y las dos primeras columnas), y le añadimos,

las columnas tercera y cuarta.

(%ixx) eq1:determinant(submatrix(A,4)) = 0; eq2:determinant(submatrix(A,3))=0; (%oxx) z+y-2x=0 (%oxx) -y+x+t=0 Que son las dos ecuaciones del subespacio U .

A partir de estas ecuaciones, resolviendo el sistema, podemos obtener las ecuaciones paramétricas de U y una base. (%ixx) linsolve([eq1,eq2],[x,y,z,t]); (%oxx) [x=%r2,y=%r2+%r1,z=%r2-%r1,t=%r1] Y una base la obtenemos dándole a r1 y r2 los valores 0, 1 y 1, 0 respectivamente.

Ejercicio 5:

Sean v1 = (2, 1, 5, 5, 6, 3, 1), v2 = (3, 2, 1, 2, 3, 4, 4), v3 = (1, 1, 4, 3, 5, 2, 6), v4 = (1, 0, 3, 0, 3, 3, 1) y v5 = (4, 3, 4, 1, 1, 1, 1) cinco vectores de Z77 . Sea U el subespacio generado por esos vectores. Calcula una base de U ,la dimensión, las ecuaciones cartesianas y las ecuaciones paramétrica de U .

7

PROBLEMAS

Curso: 2011/2012 Clase: Primero - Grupo: B

TEMA

1

Conjuntos, aplicaciones y relaciones

Ejercicio 1. Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e};

B = {e, f, g, h};

C = {a, e, i, o, u}

Determina los siguientes conjuntos: A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C, A\B, A\(B ∪ C), (A ∩ B) ∪ C, C ∩ (A\B), B × C, C × B, A × B × C Ejercicio 2. Dado el conjunto X = {a, b, c, d}, determina el conjunto P(X). Ejercicio 3. Demuestra que si A ∪ B ⊆ A ∪ C y A ∩ B ⊆ A ∩ C entonces B ⊆ C. Ejercicio 4. Da un ejemplo de conjuntos X1 , X2 , Y1 , Y2 que verifiquen que (X1 × Y1 ) ∪ (X2 × Y2 ) 6= (X1 ∪ X2 ) × (Y1 ∪ Y2 ). Ejercicio 5. Sean A y B dos conjuntos de cardinal finito tales que |A| ≤ |B|. Demuestra que el conjunto de aplicaciones inyectivas f : A → B tiene cardinal |B| · (|B| − 1) · · · (|B| − |A| + 1) =

|B|! (|B| − |A|)!

Ejercicio 6. Determina cuáles de las siguientes aplicaciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. 1.

2.

3.

4.

f:N→N f(n) = n2 f:Q→R f(x) = 2x f:Z→Z f(n) = n + 1 f:N→N f(n) = n + 1 1

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

5.

f:Q→Q f(x) = 3x+2 4

6.

f : R+ → R √ f(x) = + x

Ejercicio 7. Dada la aplicación f : N → N definida por f(n) = n2 , demuestra que tiene más de una inversa por la izquierda, pero que no tiene inversas por la derecha. Da dos inversas por la izquierda de f. Ejercicio 8. Dadas dos apliacaciones f : X → Y y g : Y → Z demuestra que: 1. Si f y g son inyectivas entonces g ◦ f es inyectiva. 2. Si g ◦ f es inyectiva entonces f es inyectiva. 3. Si g ◦ f es inyectiva y f es sobreyectiva entonces g es inyectiva. 4. Si f y g son sobreyectivas entonces g ◦ f es sobreyectiva. 5. Si g ◦ f es sobreyectiva entoces g también lo es. 6. Si g ◦ f es sobreyectiva y g es inyectiva entonces f es sobreyectiva. Ejercicio 9. Sean X = {1, 2, 3}, Y = {a, b} y f : X → Y la aplicación definida por f(1) = f(3) = a; f(2) = b. Calcula los siguientes conjuntos: f∗ ({1, 3});

f∗ ({1, 2});

f∗ ({a});

f∗ ({b});

f∗ ({a, b})

Ejercicio 10. Sean X y Y dos conjuntos, A y B subconjuntos de X e Y respectivamente y f : X → Y una aplicación. Demuestra que: 1. f∗ (f∗ (B)) ⊆ B, y se da la igualdad si f es sobreyectiva. 2. A ⊆ f∗ (f∗ (A)), y se da la igualdad si f es inyectiva. 3. f∗ (A ∩ f∗ (B)) = f∗ (A) ∩ B. Da un ejemplo en donde las inclusiones de los dos primeros apartados sean estrictas. Ejercicio 11. En el conjunto R definimos la siguiente relación: xRy si x − y ∈ Z 1. Prueba que R es una relación de equivalencia. 2. Describe el conjunto cociente. Ejercicio 12. En el conjunto Q definimos la siguiente relación: xRy si existe h ∈ Z tal que x =

3y + h 3

Departamento de Álgebra

Tema 1. Conjuntos, aplicaciones y relaciones

1. Demuestra que R es una relación de equivalencia. 2. ¿Están

2 3

y

4 5

en la misma clase?

3. Describe el conjunto cociente. Ejercicio 13. Sea el conjunto X = {0, 1, 2, 3}. En el conjunto P(X) definimos la siguiente relación: ARB si la suma de los elementos de A es igual a la suma de los elementos de B. Entendemos que la suma de los elementos del conjunto vacío vale 0.

1. Prueba que R es una relación de equivalencia. 2. Describe el conjunto cociente P(X)/R.

Curso 2011-2012

3

TEMA

1

Conjuntos, aplicaciones y relaciones (segunda parte)

Ejercicio 1. Dado el conjunto X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los subconjuntos P = {0, 2, 4, 6, 8} y T = {0, 3, 6, 9}, calcula los siguientes subconjuntos de X: P ∪ T ; P ∩ T ; P; T ; P ∩ T ; P ∩ T ; P ∩ T Ahora calcula los siguientes subconjuntos de X × X: P × T ; P × P; P × T ; P × T ; P × T (P × T ) ∩ (P × P); (P ∩ T ) × (P ∩ T ) Ejercicio 2. Consideramos el conjunto N de los números naturales, y los subconjuntos P = {n ∈ N : n es par} y T = {3n : n ∈ N}. Describe los siguientes subconjuntos de N. P ∪ T ; P ∩ T ; P; T ; P ∩ T ; P ∩ T ; P ∩ T Ejercicio 3. Sea X un conjunto. En P(X) tenemos definida la operación diferencia simétrica A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) Demuestra que para cualesquiera A, B, C ⊂ X se tiene: 1. A∆B = B∆A. 2. A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C). 3. A∆(B∆C) = (A∆B)∆C. 4. A∆A)∅. 5. A∆∅ = A. 6. A∆X = A. 7. A∆A = X. 8. A∆B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B). Ejercicio 4. Estudia si las siguientes identidades son verdaderas o falsas: 1. A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C), 2. A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ (A ∪ C), 1

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

3. A \ (B \ C) = (A \ B) \ (A \ C), 4. A \ (B \ C) = A \ (B ∪ C), 5. A \ B = A ∪ B, 6. A \ B = B \ A. Ejercicio 5. Comprueba las siguientes afirmaciones, 1. A ∪ B = B ∩ C si, y sólo si, A ⊆ B ⊆ C. 2. Si A ⊆ B, entonces C \ B ⊆ C \ A. 3. Si A ∪ B ⊆ A ∪ C y A ∩ B ⊆ A ∩ C, entonces B ⊆ C. Ejercicio 6. Da una aplicación biyectiva Z → N. Ejercicio 7. ¡ ¢ ¿Define la expresión f ab =

b a

una aplicación f : Q → Q?

Ejercicio 8. Calcula g ◦ f y f ◦ g cuando sea posible para cada uno de los siguientes pares de aplicaciones: g

f

1.

N −→ N n 7→ n + 1

N −→ N n 7→ n2

f

2.

Q −→ Q x 7→ 3x+2 4

Q −→ Q x 7→ x2

3.

R+ ∪ {0} −→ R √ x 7→ + x

f

g

g

R −→ R+ ∪ {0} x 7→ x2

Ejercicio 9. Para el conjunto A = {a, b, c, d} encuentra todas las aplicacines f : A → A tales que f ◦ f = IdA . Ejercicio 10. Dado un conjunto X no vacío, y A, B ⊆ X, se define χA : X → {0, 1} por la fórmula ¯ 0 si x ∈ /A χA (x) = 1 si x ∈ A Prueba que: 1. χA = χB si, y sólo si, A = B. 2. χA = 1 − χA . 3. χA∩B = χA · χB . 4. χA∪B + χA∩B = χA + χB . 5. χA\B = χA − χA · χB . 6. La aplicación χ : P(X) → {0, 1}X dada por χ(A) = χA es una biyección1 . 1

{0, 1}X denota el conjunto de todas las aplicaciones X → {0, 1}.

Departamento de Álgebra

Tema 1. Conjuntos, aplicaciones y relaciones (segunda parte)

3

Ejercicio 11. Sea f : X → X una aplicación biyectiva, e Y un subconjunto de X tal que f∗ (Y) ⊆ Y. ¿Es cierto que la aplicación Y → Y dada por y 7→ f(y) es biyectiva? Ejercicio 12. Estudia en que casos existe una aplicación satisfaciendo las condiciones que se exigen: 1. f : Z8 → Z4 , f([x]8 ) = [x]4 . 2. f : Z4 → Z8 , f([x]4 ) = [x]8 . 3. f : Z8 /Rg → Z4 , f([x]8 ) = [x]4 , donde g : Z8 → Z8 verifica g([x]8 ) = [x]28 . 4. f : Z4 → Z8 , f([x]4 ) = [x2 ]8 . 5. f : Z8 /Rg → Z2 , f([x]8 ) = [x]2 y g es la misma aplicación del apartado 3. 6. f : Q → Z, f( ab ) = a + b. 7. f : Zn → Zn , f([x]n ) = [E( x2 )]n , donde E es la función parte entera. 8. f : Z3 → Z6 , f([x]3 ) = [x2 ]6 . 9. f : Z3 → Z9 , f([x]3 ) = [x2 ]9 . Ejercicio 13. Para cada una de las relaciones de equivalencia siguientes definidas sobre R × R, da una interpretación geométrica del conjunto cociente. 1. (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + b = c + d. 2. (a, b)R(c, d) ⇐⇒ |a| + |b| = |c| + |d|. 3. (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a2 + b2 = c2 + d2 . 4. (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a2 + 2b2 = c2 + 2d2 . Ejercicio 14. Considera la aplicación f : Z → Z que a cada entero nle asocia el resto de dividir n por 7. 1. Calcula f(259). 2. Calcula Im(f). 3. Calcula f∗ ({1, 3, 5, 7}. 4. Calcula f∗ ({1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}.

Curso 2011-2012

TEMA

1

Conjuntos, aplicaciones y relaciones (test)

Ejercicio 1. Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6}. El cardinal del conjunto A × (A ∪ B) es a) 6

b) 12

c) 16

d) 24

Ejercicio 2. Dados los conjuntos A y B tales que |A × B| = 112 y |P(A)| = 256 , entonces |B| vale a) 12

b) 17

c) 9

d) 14

Ejercicio 3. Sean los conjuntos A, B ⊆ X. El subconjunto (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) es igual a a) ∅ b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) c) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) Ejercicio 4. Indica cuál de las siguientes afirmaciones sobre conjuntos es verdadera: a) Si A ⊆ B y B * C entonces A * C b) Si a ∈ A y A ∈ B entonces {a} ∈ B c) Si a ∈ A y A ⊆ B entonces {{a}} ⊆ P(B) d) Si A ∈ B y A ⊆ B entonces A = ∅ Ejercicio 5. La aplicación f : Z × Z → Z definida por f(x, y) = 2x + 3y es a) inyectiva y no sobreyectiva, b) sobreyectiva y no inyectiva, c) inyectiva y sobreyectiva, d) no inyectiva y no sobreyectiva. Ejercicio©6. ª Sea X = − 4, 0, 1, 2, 3, 4 . Para cada A ⊆ X llamamos ΣA a la suma de los elementos de © −3, −2, −1, ª A, es decir, Σ − 3, −2, 0, 4 = −1 por ejemplo. Convenimos también que Σ∅ = 0. Sea R la relación de equivalencia en P(X) definida por A R B si y sólo si ΣA = ΣB. El cardinal del conjunto cociente P(X)/R es a) 0

b) 9

c) 21

d) 512

1

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

Ejercicio 7. Sea f : X → Y una aplicación. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a) Si f es inyectiva, entonces f∗ es inyectiva. b) Si f es inyectiva, entonces f∗ es inyectiva. c) Si f es sobreyectiva, entonces f∗ es sobreyectiva. d) Si f es inyectiva, entonces f∗ es sobreyectiva. Ejercicio 8. La aplicación f : Z → Z definida por f(n) = n + (−1)n , a) no es inyectiva ni sobreyectiva, b) es biyectiva, c) es inyectiva, pero no sobreyectiva, d) es sobreyectiva, pero no inyectiva. Ejercicio 9. Sean f : R → R y g : R → R dos aplicaciones tales que (g ◦ f)(x) = 16x2 − 1 y f(x) = 2x + 3. Entonces g(x) es igual a a) 4x2 − 24x + 35 b) 8x2 − 2 c) 64x2 + 192x + 143 d) 32x2 + 1 Ejercicio 10. ¿Cuál de las siguientes definiciones de aplicación es incorrecta? a) f : N → N , f(x) = x2 − 80x + 1500 b) f : N → N , f(x) =

x(x+1)(x+2) 3

c) f : N → N , f(x) = (x + 7)2 − 13x d) f : N → N , f(x) =

x(x+5) 2

Ejercicio 11. Sea f : Z3 × Z6 → Z3 × Z6 la aplicación definida por f(a, b) = (b, 2a). El conjunto f∗ ({(2, 4)}) es igual a a) ∅ b) {(2, 2)} c) {(1, 4)} d) {(2, 2), (2, 5)} Ejercicio 12. Sea f : Z → Z definida por f(x) = x2 − 1. Entonces f∗ ({1, −1, 0, 3}) es igual a a) {0, 1, −1, 2, −2} Departamento de Álgebra

Tema 1. Conjuntos, aplicaciones y relaciones (test)

3

b) {0, 1, −1, 3, −3} c) {0, 1, 2, 3} d) {0, 1, 2} Ejercicio 13. Sean f y g dos aplicaciones de R en R tales que (g ◦ f)(x) = x para todo x ∈ R. Entonces √ a) f puede ser la aplicación f(x) = x + 2 b) g puede ser la aplicación g(x) = x2 c) f no es inyectiva d) (f ◦ g)(x) = x para todo x ∈ R Ejercicio 14. Cuántas aplicaciones existen de {a, b, c, d} en {1, 2, 3, 4, 5} a) 625

b) 20

c) 9

d) 256

Ejercicio 15. La aplicación f : Z × Z → Z × Z definida por f(x, y) = (x − 1, x + y + 1) a) es biyectiva b) es inyectiva pero no sobreyectiva c) es sobreyectiva pero no inyectiva d) no es inyectiva ni sobreyectiva Ejercicio 16. Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}, C = {1, 4} y D = {a}. El cardinal del conjunto (A × B) \ (C × D) es a) 8

b) 9

c) 10

d) 12

Ejercicio 17. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. El cardinal de P(P(A) × B) es 7

a) 25

b) 235

c) 212

d) 2224

Ejercicio 18. Sean A y B dos conjuntos tales que |A| = 8 y |B| = 9. De los siguientes cuatro conjuntos , ¿cuál tiene cardinal distinto de los restantes? a) P(A × B) b) El conjunto de todas las aplicaciones de A en P(B) c) P(A) × P(B) d) El conjunto de todas las aplicaciones de B en P(A) Curso 2011-2012

4

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

Ejercicio 19. En Z definimos la relación de equivalencia xRy si 9 | (x2 − y2 ). El cardinal de Z/R es a) 1

b) 4

c) 6

d) 9

Ejercicio 20. Sea f : {0, 1, 2, . . . , 14} −→ Z15 a 7−→ (2a m´od 15) El cardinal de im(f) es a) 1

b) 4

c) 10

d) 15

Ejercicio 21. Sea X = {0, 1, . . . , 31}. Definimos en X la relación de equivalencia a ∼ b si y sólo si el número de "1.en la representación binaria de a y b es el mismo. Por ejemplo, 000012 = 1 ∼ 2 = 000102 , pero 000102 = 2 6∼ 3 = 000112 . El cardinal del conjunto cociente X/ ∼ es igual a a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

Ejercicio 22. En el conjunto Z de los números enteros definimos la siguiente relación: x R y ⇔ el valor absoluto de x2 − y2 no es un número primo a) no es reflexiva b) es relación de equivalencia c) no es transitiva d) no es simétrica Ejercicio 23. Sea A = {f : {0, 1, 2} → {a, b}|f es aplicación} Entonces el cardinal de P(A) es a) 25

b) 62

c) 43

d) 28

Ejercicio 24. Sean los conjuntos A = {2k|k ∈ N \ {0, 1, 2}} y B = {2k + 1|k ∈ N \ {0, 1, 2}} Entonces el cardinal del conjunto ((N \ {0}) × (N \ {0})) \ (A × B) es a) infinito

b) 4

c) 9

d) 6

Ejercicio 25. Dado el conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los subconjuntos A = {1, 3, 5, 6}, B = {6, 7, 9} y C = {3, 8}, entonces el conjunto (A ∩ (B ∪ A)) ∪ C Departamento de Álgebra

Tema 1. Conjuntos, aplicaciones y relaciones (test)

5

es igual a a) {2, 4, 7, 9}

b) {1, 3, 5, 6, 8}

c) {1, 2, 4, 7, 8, 9}

d) {2, 3, 5, 8}

Ejercicio 26. Elige la respuesta correcta: La expresión f(x) = x3 − 2x2 + x a) define una aplicación f : Z → N que no es inyectiva ni sobreyectiva. b) define una aplicación inyectiva f : Z → N. c) define una aplicación sobreyectiva f : Z → N d) no define una aplicación f : Z → N. Ejercicio 27. Sean A y B dos conjuntos de cardinales 2 y 3 respectivamente. El cardinal del conjunto {f : P(A) → A × B/f es aplicación } es a) 64 . b) 28 . c) 46 . d) 312 . Ejercicio 28. Dado el conjunto X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los subconjuntos A = {1, 3, 5}, B = {0, 1, 2, 8, 9} y C = {0, 2, 4, 6, 8}, entonces el conjunto ((A ∩ (B ∪ A)) ∪ C) ∩ (A ∪ B) es igual a: a) {1, 3, 4, 5, 6}. b) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. c) ∅. d) {3, 5}. Ejercicio 29. Sea X un conjunto con 7 elementos y A un subconjunto de X tal que ∅ = 6 A 6= X. Entonces el cardinal del conjunto P(A × A) no puede ser: a) 26 . b) 27 . c) 210 . d) 212 . Ejercicio 30. Señala la respuesta correcta. La expresión f(x) = x2 − 4x + 4 a) define una aplicación f : Z → N que no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Curso 2011-2012

6

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

b) define una aplicación inyectiva f : Z → N. c) define una aplicación sobreyectiva f : Z → N. d) no define una aplicación f : Z → N. Ejercicio 31. Se considera la aplicación f : Z3 × Z6 → Z3 × Z6 dada por f(a, b) = (b, 2a). Entonces f∗ ({(0, 0)}) es a) {(0, 0)}. b) {(0, 0), (0, 3)}. c) ∅. d) {(0, 0), (0, 3), (0, 4), (0, 5)}. Ejercicio 32. La aplicación f : Z3 × Z6 → Z3 × Z6 dada por f(a, b) = (b, 2a) a) Es biyectiva. b) No es ni inyectiva ni sobreyectiva. c) Es inyectiva. d) Es sobreyectiva. Ejercicio 33. Se considera X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y la relación de equivalencia en X × X dada por (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + b = c + d Entonces el conjunto cociente tiene: a) 6 elementos. b) 36 elementos. c) 12 elementos. d) 11 elementos. Ejercicio 34. Dados los conjuntos X = {0, 1, 2, 3, 4} e Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, se considera D = {(a, b) ∈ X × Y/a = b} El cardinal de P(X × Y \ D) es a) 352 . b) 235 . c) 240 − 25 . d) 402 − 52 . Departamento de Álgebra

Tema 1. Conjuntos, aplicaciones y relaciones (test)

7

Ejercicio 35. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y P = {2, 3, 5, 7}. En P(X) definimos la relación de equivalencia A R B si, y sólo si, A \ P = B \ P Entonces el conjunto cociente P(X)/R tiene cardinal: a) 64 b) 4 c) 16 d) 10 Ejercicio 36. Dada la aplicación f : Z100 → Z100 definida como f(x) = 12x + 35 entonces: a) f es inyectiva pero no sobreyectiva. b) f no es ni inyectiva ni sobreyectiva. c) f es biyectiva. d) f no es inyectiva, pero sí es sobreyectiva. Ejercicio 37. Sea X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. En X × X definimos la relación: (a, b)R(c, d) si a + b = c + d Entonces: a) El conjunto cociente tiene cardinal 5. b) El conjunto cociente tiene 11 elementos. c) El conjunto cociente tiene 25 elementos. d) No podemos hablar de conjunto cociente ya que la relación no es de equivalencia. Ejercicio 38. Sea f : Z8 → Z8 la aplicación dada por f(x) = x2 + 1. Sea I = {1, 3, 5, 7} y P = {2, 3, 5, 7}. Entonces f∗ (f∗ (I) ∩ P) vale: a) I. b) P. c) I ∩ P. d) ∅.

Curso 2011-2012

TEMA

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Números naturales y números enteros

Ejercicio 1. Encuentra los sistemas de numeración, si existe alguno, para los que se verifica cada una de las siguientes igualdades: 1. 3 × 4 = 22, 2. 41 × 14 = 1224, 3. 52 × 25 = 1693, 4. 25 × 13 = 51, 5. 134 = 14641 Ejercicio 2. Da la expresión en base 8 de los naturales que en base 2 se escriben: 1. 101101100010011010111, 2. 10001000000100110, 3. 1011101111011111 Ejercicio 3. Prueba que dado un número entero cualquiera m se verifica una de las siguientes posibilidades: 1. m2 ≡ 0 (m´od 8), 2. m2 ≡ 1 (m´od 8), 3. m2 ≡ 4 (m´od 8) Concluye que si m es impar, entonces m2 − 1 es múltiplo de 8. Ejercicio 4. Resuelve las siguientes congruencias: 1. 3x ≡ 2 (m´od 5), 2. 7x ≡ 4 (m´od 10), 3. 6x ≡ 3 (m´od 4). Ejercicio 5. Encuentra un número entero cuyo resto al dividirlo entre 5 sea 3 y que al multiplicarlo por 3 y dividirlo entre 4 dé resto 1. Ejercicio 6. Determina el número de enteros entre 1500 y 2500 tales que (a) sus dos últimas cifras en base dos son 11, 1

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

(b) sus dos últimas cifras en base tres son 00 y (c) sus dos últimas cifras en base cinco son 12. Ejercicio 7. ¿Cuántos números naturales hay, menores que 10000, que acaben en 7, y que al dividirlos por 55 den resto 12? Ejercicio 8. Sean x = 48572)16 e y = 95883)16 . Expresa el valor de x + y en base 8. Ejercicio 9. Calcula el resto de dividir 42251850 entre 1234. Ejercicio 10. En Z300 realiza, si es posible, los siguientes cálculos: 25 · 60. 127 · (−100). 237−1 . 13 − 50 · 101−1 . Encuentra x 6= 0 tal que 111 · x = 0. Encuentra x tal que 13x + 25 = 32x − 50. Encuentra x tal que 11x − 100 = 45x + 12. Ejercicio 11. Calcula, si es posible, 1392−1 en Z7585 . Ejercicio 12. Enumera los divisores positivos de 120, y calcula cuántos divisores tiene el número 118800. Ejercicio 13. Calcula las soluciones enteras de cada una de las siguientes ecuaciones diofánticas: 1. 2x + 3y = 7. 2. 6x + 10y = 16. 3. 232x − 341y = 17. Ejercicio 14. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación diofántica 210x − 91y = 77 que verifiquen que −500 ≤ x, y ≤ 500? Ejercicio 15. Demuestra que: 1. Un número escrito en base 10 es par si, y sólo si, su última cifra es par. 2. Un número escrito en base 10 es un múltiplo de 3 si, y sólo si, la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 3. Un número escrito en base 10 es múltiplo de 4 si, y sólo si, su última cifra más dos veces la penúltima es múltiplo de 4. 4. Un número escrito en base 10 es un múltiplo de 9 si, y sólo si, la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. Departamento de Álgebra

Tema 2. Números naturales y números enteros

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5. Un número escrito en base 10 es un múltiplo de 5 si acaba en 0 o en 5. 6. Un número escrito en hexadecimal es multiplo de 4 si, y sólo si, termina en 0, 4, 8 ó C. 7. Un número escrito en base 10 es múltiplo de 11 si, y sólo si, la suma de las cifras que ocupan un lugar par menos la suma de las cifras que ocupan posiciones impares es un múltiplo de 11 8. Un número escrito en base 8 es un múltiplo de 7 si, y sólo si, la suma de sus cifras es un múltiplo de 7. Ejercicio 16. Determina la factorización como producto de números primos de 10! y 15!. ¿Cuántos divisores tiene cada uno de ellos?. Ejercicio 17. Sin realizar el cálculo, halla las cifras que faltan en los siguientes números: 1. 23 · 32 · 52 · 73 = 61 − 4 − 0 2. 25 · 33 · 53 · 73 · 11 = −07 − 84 − 00 3. 17! = 35 − 6874 − 8096000 Ejercicio 18. Encuentra el valor máximo de n tal que 2n divide a 25!. Ejercicio 19. Encuentra todas las parejas de números a, b tales que mcd(a, b) = 210 y mcm(a, b) = 840.

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TEMA

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Números naturales y números enteros (segunda parte)

Ejercicio 1. Demuestra que para B ≥ 3, los números (B − 1)2 y 2(B − 1) se escriben en base B como ab y ba respectivamente. Ejercicio 2. Un número escrito en base b tiene 64 cifras. ¿Cuántas cifras tiene el mismo número expresado en base b3 ?. Ejercicio 3. Sea x = 311315 . Calcula las dos últimas cifras de la expresión de x en base 6, Ejercicio 4. Sean a, b ∈ Z tales que mcd(a, b) = 1. Demuestra que: 1. mcd(a + b, ab) = 1, 2. mcd(a − b, ab) = 1. Ejercicio 5. Prueba que si x es un número entero e impar no divisible por 3 entonces x2 ≡ 1 (m´od 24). Ejercicio 6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones en congruencias: 1.

2.

3.

  x ≡ 1 (m´od 2) 6x ≡ 3 (m´od 9)  3x ≡ 3 (m´od 5) ¯

x ≡ 1 (m´od 2) x ≡ 2 (m´od 4)

  x ≡ 3 (m´od 6) x ≡ 1 (m´od 4)  2x ≡ 1 (m´od 5)

Ejercicio 7. ¿Cuántos números hay entre 60000 y 90000 que terminen en 45, y que su triple de resto 97 al dividirlos por 122? Ejercicio 8. Calcula 5 soluciones enteras de la ecuación 3761373923x + 472926384y = 382734927 1

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Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

Ejercicio 9. Un cocinero de un barco pirata relató cómo había conseguido las dieciocho monedas de oro que llevaba: Quince piratas atacaron un barco francés. Consiguieron un cofre lleno de monedas de oro. Las repartieron en partes iguales y me dieron las cinco que sobraban. Sin embargo, tras una tormenta murieron dos de ellos, por lo que los piratas juntaron todas sus monedas y las volvieron a repartir. A mí me dieron las diez que sobraban. Por último, tras una epidemia de peste murieron cinco de los piratas que aún quedaban en pie, por lo que los supervivientes repitieron la misma operación. Sabiendo que en el cofre no caben más de dos mil quinientas monedas, ¿cuántas monedas contenía el cofre? Ejercicio 10. Resuelve el sistema de ecuaciones en congruencias ¯ 5x − 7y ≡ 9 (m´od 12) 2x + 3y ≡ 10 (m´od 12) Ejercicio 11. 1. Calcula una solución entera de la ecuación 79257x + 78610y = 1 2. Encuentra el inverso (para el producto) de 79257 en Z78610 . 3. Encuentra 78610−1 en Z79257 . 4. Calcula todas las soluciones de la ecuación 79257x + 78610y = 10 Ejercicio 12. Calcula todas las soluciones en Z de las ecuaciones: 1. 6x + 9y + 15z = 7. 2. 6x + 10y + 15z = 7. 3. 35x + 45y + 55z = 60. Ejercicio 13. Resuelve en Z la ecuación 14x + 30y + 105z = 13. ¿Hay alguna solución en la que y valga 15?. ¿Y en la que y valga 17?. En caso afirmativo, da una. Ejercicio 14. Encuentra a, b, c ∈ Z tales que 31 sea múltiplo de 5a + 7b + 11c. Demuestra que si x, y, z son números enteros tales que 5x + 7y + 11z es múltiplo de 31, también lo son 21x + 17y + 9z y 6x + 27y + 7z. Ejercicio 15. Calcula una solución entera de

x 3

+

y 7

+

z 13

=

65 273 .

Ejercicio 16. Sean a, b ∈ Z tal que b es divisor de a y a + 2. Demuestra que b = 1 ó b = 2. Ejercicio 17. La suma de dos números es 60, y su máximo común divisor vale 12. ¿Cuáles son estos dos números? Ejercicio 18. Demuestra que si a y b son impares, entonces a2 + b2 es par pero no es múltiplo de 4. Departamento de Álgebra

Tema 2. Números naturales y números enteros (segunda parte)

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Ejercicio 19. Sean a, b ∈ Z primos relativos. Demuestra que si a|c y b|c entonces ab|c. Estudia que pasa si mcd(a, b) 6= 1. Ejercicio 20. Dado un número entereo n, demuestra que mcd(8n + 3, 5n + 2) = 1. Ejercicio 21. Sea a ∈ Z. Demuestra que el máximo común divisor de 35a + 57 y 45a + 76 vale 1 ó 19. ¿Para que valores de a es este máximo común divisor igual a 19?. Ejercicio 22. √ √ Demuestra que si p es un número primo, entonces p es un número irracional. Concluye que 75 es irracional. Ejercicio 23. Demuestra que si n es par, ϕ(2n) = 2ϕ(n), mientras que si n es impar, entonces ϕ(2n) = ϕ(n). Ejercicio 24. Sea n = 214 · 39 · 58 · 710 · 113 · 135 · 3710 (un número de 47 cifras). 1. ¿Cuántos divisores positivos tiene n? 2. ¿Cuántos de ellos son divisibles entre 23 · 34 · 57 · 112 · 372 ? 3. ¿Cuántos son cuadrados perfectos? 4. ¿Cuántos son cuadrados perfectos y divisibles por 23 · 34 · 53 · 372 ? 5. ¿Cuántos son cubos perfectos? 6. ¿Cuántos son cuadrados perfectos y cubos perfectos? Ejercicio 25. Un número entero n se dice que está escrito en forma ternaria equilibrada si lo tenemos expresado como n = en · 3n + en−1 · 3n−1 + · · · + e1 · 3 + e0 donde ei vale −1, 0 ó 1. 1. Calcula una expresión ternaria equilibrada de los números 5, −12, 35, 121, 123456. 2. Demuestra que todo número entero distinto de cero admite una única expresión ternaria equilibrada en la que en 6= 0. Ejercicio 26. Demuestra que si p es un número primo, entonces la congruencia x2 ≡ 1(mód p) tiene exactamente dos soluciones positivas menores que p. Estudia que pasa si p no es primo. Ejercicio 27. ¿Cuántos ceros tiene al final el número 100!?. Ejercicio 28. Sea n un número natural. Demuestra que n es un cuadrado perfecto si, y sólo si, el número de divisores positivos de n es impar. Ejercicio 29. Encuentra todas las soluciones enteras de x2 − y2 = 32.

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TEMA

2

Números naturales y números enteros (test)

Ejercicio 1. Un número escrito en base 3 es múltiplo de 2 si: a) Termina en 0 ó en 2. b) No hay un criterio de divisibilidad por dos en base 3. c) La suma de sus cifras es par. d) La suma alternada de sus cifras es par. Ejercicio 2. Un número escrito en binario es múltiplo de 3 si: a) El número de unos es par. b) El número de unos en posición par es igual al número de unos en posición impar. c) No existe un criterio de divisibilidad por tres en base 2. d) El número de unos en posición par es congruente con el número de unos en posición impar módulo 3. Ejercicio 3. Dado el sistema de congruencias ¯ 23x ≡ 54 (mód 60) 12x ≡ 21 (mód 35) a) Tiene una solución en el intervalo [1000, 2000]. b) Tiene más de una solución en el intervalo [1000, 2000]. c) Tiene infinitas soluciones, pero ninguna en el intervalo [1000, 2000]. d) No tiene solución, pues mcd(60, 35) 6= 1. Ejercicio 4. La ecuación 5x ≡ 6(mód 7) a) Tiene las mismas soluciones que x ≡ 4(mód 7). b) Tiene las mismas soluciones que 10x ≡ 6(mód 14). c) No tiene solución. d) Tiene tres soluciones positivas menores que 7. Ejercicio 5. La clase del 4 módulo 15 a) Tiene un inverso. 1

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

b) No tiene inverso porque ni 4 ni 15 son primos. c) Tiene dos inversos. d) Es un divisor de cero. Ejercicio 6. Las dos últimas cifras del número 37129373222227524525273010 son a) 27. b) 49. c) 91. d) 63. Ejercicio 7. Un número n se escribe en base b con 16 cifras. El número de cifras de n en base b2 es: √ a) 16 = 4. b)

16 2

= 8.

c) Depende del valor de b. d) 162 = 256. Ejercicio 8. ¿Cuál de los siguientes valores de n es solución de la ecuación 1211399 n ≡ 20(mód 17)? a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 Ejercicio 9. La ecuación 6x ≡ 4(mód 8) a) No tiene solución porque 6 no tiene inverso módulo 8. b) Tiene dos soluciones positivas menores que 8. c) Tiene exactamente una solución positiva menor que 8. d) No tiene solución pues el máximo común divisor de 6 y 8 vale 2. Ejercicio 10. Sea p un número primo. La congruencia ax ≡ 1(mód p2 ) a) No tiene solución, pues p2 no es primo. b) Tiene solución si, y sólo si, ax ≡ 1(mód p) tiene solución. c) Tiene solución, ya que mcd(a, 1)|p2 . d) Tiene solución salvo que a sea múltiplo de p2 . Ejercicio 11. ¿En qué sistema de numeración es cierta la igualdad 52 · 25 = 1693? Departamento de Álgebra

Tema 2. Números naturales y números enteros (test)

3

a) 5 b) 7 c) 11 d) Ninguna de las anteriores. Ejercicio 12. ¿Cuántos números hay entre 20000 y 30000 que, terminen en 39, y al escribirlos en base 4 acaben en 33, mientras que al hacerlo en base 8 acaben en 37? a) 3. b) Ninguno. c) 6. d) 1. Ejercicio 13. La ecuación 3x − 5y = 11 a) Tiene infinitas soluciones positivas. b) Tiene 8 soluciones enteras positivas. c) No tiene soluciones enteras. d) No tiene soluciones enteras positivas. Ejercicio 14. El resto de dividir 305401 entre 13 es: a) 6 b) 11 c) 2 d) 0 Ejercicio 15. Sea m un número entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podemos asegurar que es falsa? a) m ≡ 1(mód 4). b) m2 ≡ 0(mód 4). c) m2 ≡ 1(mód 4). d) m2 ≡ 2(mód 4). Ejercicio 16. El número de divisores positivos de 142 · 2190 es a) 25389 b) 273 c) 92 d) 2410 Ejercicio 17. El número de unidades de Z12 es Curso 2011-2012

4

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

a) 0 b) 4 c) 6 d) 11 Ejercicio 18. El número de soluciones del sistema   x ≡ 5(mód 4) 2x ≡ 11(mód 3)  4x ≡ 3(mód 5) que están comprendidas entre 1500 y 2500 es: a) 5 b) 9 c) 16 d) 0 Ejercicio 19. Sean a, b, c ∈ N \ {0}. Indica cual de las siguientes afirmaciones es falsa. a) a|b y a|c =⇒ a|(bc + cb ). b) a|b =⇒ a|(a + b). c) a|(b + c) y a|b =⇒ a|c. d) a|bc =⇒ a|b. Ejercicio 20. La solución general de la ecuación diofántica 307x + 421y = 12 es a) x = (48) · (12) + 421k, y = (−35) · (12) − 307k con k ∈ Z. b) x = 48 + 421k, y = −35 + 307k con k ∈ Z. c) x = 48 + 421k, y = −35 − 307k con k ∈ Z. d) x = 48, y = −35.

Departamento de Álgebra

TEMA

3

Anillos de polinomios.

Ejercicio 1. Calcula (2x3 + 3x2 + 1)(x2 + 2x + 3) en Z6 [x]. Ejercicio 2. Calcula el cociente y el resto de dividir 2x4 + 3x3 + x2 + 6x + 1 entre 3x2 + 1 en Z7 [x] y en Z10 [x]. Ejercicio 3. Comprueba que x4 + 1 es reducible en Zp [x] para p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. En general se tiene que x4 + 1 es reducible en Zp [x] para cualquier número primo. Si a es tal que a2 ≡ −1(mód p) entonces (x2 + a)(x2 − a) es una factorización de x4 + 1 en Zp [x]. Si a es tal que a2 ≡ 2(mód p) entonces (x2 + ax + 1)(x2 − ax + 1) es una factorización de x4 + 1 en Zp [x]. Si a es tal que a2 ≡ −2(mód p) entonces (x2 + ax − 1)(x2 − ax − 1) es una factorización de x4 + 1 en Zp [x].

Y se tiene que para cualquier primo p, hay en Zp una raíz cuadrada de −1, de 2 o de −2.

Ejercicio 4. Sean p(x) = x4 + 2x2 + 2x + 1, y q(x) = x3 + 2x2 + x + 2 dos polinomios con coeficientes en Z3 . Sean r(x) = p(x) mód q(x) y s(x) = q(x) mód r(x). Calcula todos los divisores de p(x) (hay 8 en total, cuatro de ellos mónicos), de q(x) (también hay 8) de r(x) (en total 6) y s(x) (hay 4). Calcula todos los divisores comunes de p(x) y q(x); de q(x) y r(x); y de r(x) y s(x). Calcula el mínimo común múltiplo de p(x) y q(x). Ejercicio 5. Calcula un máximo común divisor de a(x) y b(x) en los siguientes casos: 1. a(x) = x4 + 2x2 + 1, b(x) = x4 − 1 en Q[x]. 2. a(x) = x4 + 2x2 + 1, b(x) = x2 + 2 en Z3 [x]. Ejercicio 6. Calcula, si es posible, u(x), v(x) ∈ Z7 [x] tales que (x2 + 3x + 3) · u(x) + (x3 + 2x + 4) · v(x) = x + 2 Ejercicio 7. Demuestra que la ecuación (x4 + 2x2 + 1)X + (x4 − 1)Y = 3x3 + 3x tiene solución en Q[x], y halla una solución. Ejercicio 8. Calcula las raíces en Z5 del polinomio x2 + x + 4. Ejercicio 9. Calcula las raíces en Z del polinomio x4 − x3 + x2 − x − 10. Ejercicio 10. Calcula en Q[x] el resto de dividir 1. x7 + x2 + 1 entre x − 1, 1

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

2. xn + 1 entre x − 1. Ejercicio 11. Calcula en Z5 [x] el resto de dividir xn + 2 entre x + 4. Ejercicio 12. Demuestra que el polinomio xn + 1 no tiene raíces múltiples en R. Ejercicio 13. Determina cuáles de los siguientes polinomios tienen raíces múltiples en C. 1. x3 − 3x2 + 3x − 1, 2. x3 + x2 + 1, 3. x4 + x3 + x2 + x + 1. Ejercicio 14. Encuentra todas las raíces de x2 − 1 ∈ Z8 [x]. Da dos factorizaciones distintas de x2 − 1 como producto de polinomios mónicos. Ejercicio 15. Calcula un polinomio p(x) ∈ Q[x] tal que p(2) = 0, p(1) = −2, p(3) = 1 y p(−1) = 2. Ejercicio 16. Calcula un polinomio p(x) ∈ Z5 [x] tal que p(2) = 1, p(3) = 2 y p(4) = 1. Ejercicio 17. Calcula un polinomio p(x) ∈ Z7 [x] tal que p(2) = 3, p0 (2) = 5, p(4) = 1. Ejercicio 18. Comprueba que los polinomios x3 + x2 + x + 1 y x2 + 2x + 1 determinan la misma aplicación f : Z3 → Z3 . Ejercicio 19. Calcula un polinomio mónico, con coeficientes en Z5 , de grado 5, que tenga a 1 como raíz doble, y que al dividirlo por x2 + 2x + 3 de resto 3x + 1. Ejercicio 20 (Método de interpolación de Lagrange). Sea K un cuerpo, y a0 , a1 , · · · , am elementos distintos de K. Consideramos los polinomios: p0 (x) =

(x−a1 )(x−a2 )···(x−am ) (a0 −a1 )(a0 −a2 )···(a0 −an )

=

p1 (x) =

(x−a0 )(x−a2 )···(x−am ) (a1 −a0 )(a1 −a2 )···(a1 −an )

=

pm (x) =

m Q k=1 m Q k6=1

(x−a0 )(x−a1 )···(x−am−1 ) (am −a0 )(am −a1 )···(am −am−1 )

(x−ak ) (a0 −ak ) (x−ak ) (a1 −ak )

=

m−1 Q k=0

(x−ak ) (am −ak )

es decir, pi (x) es el producto de todos los polinomios de la forma (x−aj ), donde j toma todos los valores (salvo i) desde 0 hasta m, dividido todo por el resultado de evaluar ese producto en ai . • Comprueba que ¯ 0 si i 6= j pi (aj ) = 1 si i = j Sean ahora b0 , b1 , · · · bm ∈ K, y p(x) = b0 · p0 (x) + b1 · p1 (x) + · · · + bm · pm (x) = • Comprueba que p(ai ) = bi , para i = 0, 1, · · · , m.

m P k=0

bk · pk (x).

Ejercicio 21. Calcula las soluciones a los ejercicios 14 y 15 haciendo uso del método de Lagrange. Ejercicio 22. Sea A = Z2 [x]x3 +1 . 1. Calcula las unidades de A, y da, en cada caso, su inverso. ¿Es la suma de dos unidades una unidad? ¿Y el producto? Departamento de Álgebra

Tema 3. Anillos de polinomios.

3

2. Calcula los divisores de cero. Para cada uno de ellos, encuentra un elemento no nulo de A que al multiplicarlo por él de cero. ¿Es la suma de dos divisores de cero un divisor de cero? ¿Y el producto?. Ejercicio 23. Sea A = Z5 [x]x3 +3 , y α = [x] ∈ A. Comprueba que 3α2 + 4α + 1 y 2α + 3 son unidades y calcula sus inversos. Comprueba que 3α2 + 3 y 4α3 + α2 + 3α + 1 son divisores de cero. Multiplícalos por un elemento no nulo de A para que de cero. Ejercicio 24. Sean K1 = Z2 [x]x4 +x+1 y K2 = Z2 [x]x4 +x3 +x2 +x+1 . Sean α = [x] y β = [x], tomadas respectivamente en K1 y K2 . Calcula todas las potencias de α y β, y encuentra un isomorfismo K2 → K1 .

Curso 2011-2012

TEMA

4

Matrices, sistemas de ecuaciones y determinantes.

Ejercicio 1. Da un ejemplo de dos matrices A, B ∈ M2 (Z2 ), distintas de cero, tales que AB = 0 y BA 6= 0. Ejercicio 2. Da un ejemplo de tres matrices A, P, Q, con coeficientes en Z2 , de forma que P y Q sean regulares y distintas, A sea distinta de cero y PA = QA. Ejercicio 3. Comprueba que las matrices

 1 A = 0 0

0 1 0

  1 0 0 0 y B =  0 0 0 0 0

 0 0 1

son equivalentes, pero que no son equivalentes por filas ni equivalentes por columnas. Ejercicio 4. Calcula la inversa, cuando exista, de las siguientes matrices:   1 1 1 1. 0 1 1 ∈ M3 (K). 0 0 1   1 1 0 2. 1 0 1 ∈ M3 (Z2 ), M3 (Z3 ), M3 (Q). 0 1 1   1 1 2 3 0 1 1 2  3.  1 −1 0 1 ∈ M4 (Z3 ), M4 (Z5 ) 1 0 4 2 Ejercicio 5. ¿Cómo afecta a un sistema de ecuaciones si en la matriz de coeficientes intercambiamos dos columnas? ¿Y si multiplicamos una columna por un escalar no nulo?   2 1 3 0 Ejercicio 6. Sea A =  1 2 1 1  ∈ M3×4 (Z5 ). 3 4 2 1 1. Encuentra una matriz B tal que A · B = Id. 2. Encuentra todas las matrices B que cumplan la propiedad anterior. 3. ¿Existe una matriz C tal que C · A = Id? Ejercicio 7. Encuentra, si es posible, P ∈ M4 (Z3 ), regular, tal que PA = B, donde     1 1 0 2 1 1 1 0 1 2 2 1 1 2 0 1 2 2 1 0    A= B= 0 2 1 0 2 1 0 1 2 0  0 1 2 1 0 2 2 0 0 0 Ejercicio 8. Dado el sistema de ecuaciones x + 3y − 2z = 3 x + y + 2z = 0 3x − y − z = −1 discútelo considerando los coeficientes en Z5 , Z7 y Q. En el caso de que sea compatible, encuentra explícitamente todas las soluciones. 1

2

Álgebra Lineal y Estrucutras Matemáticas

Ejercicio 9. Calcula la forma normal de Hermite por filas y el rango de la siguiente matriz, vista con coeficientes en Z5 , Z7 y Q.   1 3 −2 3 1 1 2 0 3 −1 −1 −1 Ejercicio 10. Para los siguientes sistemas de ecuaciones lineales ( en R) se pide: 1. Transforma el sistema en un sistema escalonado reducido. 2. Discute el sistema. 3. Resuelve el sistema si tiene solución. 4. Escribe la matriz ampliada del sistema. 5. Calcula su forma escalonada reducida por filas (forma de Hermite por filas). 6. Compara en cada caso los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada. x2 +x2 −x2

x1 2x1 x x −x

x x x x x x

−2x3 −x3 +x3

−y +y −y

+z +z +z

x x 2x

+y −z −y +z −y +z

= = =

−4 0 3

+t +v +t −v +t −v

= 0 = 0 = 0

= 0 = 4 = 1

+y

+t = 0 +z +t = 0 y −z = 0 +y +z +t = 0

+y −y

−z +z

+t −v +t +v +t

= 0 = 1 = 1

Ejercicio 11. Repite el ejercicio anterior considerando los coeficientes de los sistemas en el cuerpo Z5 . Para los sistemas indeterminados calcular el número de soluciones.   1 2 1 1  5 0 a 2   Ejercicio 12. Sea A =   3 0 5 a + 1  ∈ M4 (Z7 ). Estudia para que valores del parámetro a la matriz A 2 1 1 1 tiene inversa para el producto.

Ejercicio 13. Calcula el rango de cada una de las matrices siguientes mediante operaciones elementales:     2 3 1 0 1 8 3 5 1 2 1 −2 −3 2 −1 −5    ∈ M4×5 (Q) y B = 4 4 2 10 7 2 ∈ M4×6 (Z11 ) A= 2 4 3 0 8 6 3 3 4 −1 −3 1 4 −1 2 0 6 4 1 7 1 9 Departamento de Álgebra

Tema 4. Matrices, sistemas de ecuaciones y determinantes.

3

Ejercicio 14. Dado el sistema de ecuaciones con coeficientes en Q x ax

− ay + + 2y +

(a + 1)z z

= 4 = −1

Discútelo según los valores del parámetro a, y resuélvelo para a = −1. Ejercicio 15. Dado el sistema de ecuaciones con coeficientes en Z5 : 2x + y + 4z x + 2y + az 3x + (a + 2)y + 2z Discútelo según el valor del parámetro a. Si para a = 4 es compatible, resuélvelo.

 = 1  = 4  = 2

Ejercicio 16. Calcula los siguientes determinantes (considerando las matrices con coeficientes en Q): 1.

2.

3.

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1 1 1 1

1 −1 1 1

¯ ¯ 1 1/2 ¯ ¯ −1 1/2 ¯ ¯ 1 1/2 ¯ ¯ 2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

25 75 75 25

4.

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

6.

¯ ¯ −4 1 ¯ ¯ 1 −4 ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ 1 1 1 2 3 4

17 53 54 20

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

43 132 134 48

¯ x x x ¯¯ a 0 0 ¯¯ 0 b 0 ¯¯ 0 0 c ¯

1 1 1 1

¯ ¯ 4 ¯ ¯ −4 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ 1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1 1 1 −1

¯ 1/3 1/5 ¯¯ −1/3 −1/5 ¯¯ 4/3 1/5 ¯¯ 2/3 11/5 ¯

31 94 94 32

5.

7.

1 1 −1 1

−2 1 1 0

12 23 34 41

¯ 5 1 ¯¯ 0 −1 ¯¯ −1 1 ¯¯ 1 −2 ¯

1 1 −4 1 1 123 234 341 412

1 1 1 −4 1

1 1 1 1 −4

1234 2341 3412 4123

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Ejercicio 17. Calcula el rango de la siguiente matriz, con coeficientes en Z3 , según los valores de los parámetros a y b.   1 a 0 1 2 1 1 b  0 a b a+b

Curso 2011-2012

TEMA

4

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones (segunda parte).

Ejercicio 1. Una matriz N ∈ Mn (K) se dice nilpotente si existe k ∈ N tal que Nk = 0. 1. Prueba que la matriz

0 0  0  Nn =  .  ..  0 0

1 0 0 1 0 0 .. .. . . 0 0 0 0

··· ··· ··· .. . ··· ···

 0 0 0 0  0 0  .. ..  . .  0 1 0 0

es nilpotente (puedes intentar hacerlo en primer lugar para n = 2, n = 3, n = 4, y luego ver el caso general). 2. Prueba que la matriz Id − Nn es una matriz regular. Busca una relación entre la inversa de Id − N y las distintas potencias de la matriz N. 3. Basándote en el apartado anterior, prueba que si N es nilpotente, entonces Id − N es regular. Ejercicio 2. Una matriz se dice idempotente si A2 = A. Prueba que si A es idempotente y regular entonces A = Id. Ejercicio 3. Sea A ∈ Mn (K) idempotente, y B = Id − A. Prueba que B es idempotente y que AB = BA = 0. Ejercicio 4. Encuentra A ∈ M3 (Z2 ), A 6= 0, A 6= Id que sea idempotente. Ejercicio 5. Sea E ∈ Mn (Z2 ) una matriz que en cada fila y en cada columna contiene un único 1. Demuestra que su forma de Hermite es la matriz identidad, y que para alcanzarla basta con realizar operaciones de tipo I (intercambiar dos filas) [Sugerencia: inducción sobre n]. Concluye que para implementar un algoritmo de ordenación basta con intercambiar los elementos de una lista de dos en dos. Ejercicio 6. Encuentra todas las matrices A ∈ M2 (R) tales que A2 = A. ¶ µ ¶ µ 1 a c 1 Ejercicio 7. Dadas A = yB = con coeficientes en Q, determina para que valores de b 1 1 d a, b, c, d se verifica que A · B = B · A. Ejercicio 8. Una imagen en blanco y negro se puede almacenar en una matriz A ∈ Mn×m (R) con 0 ≤ aij ≤ 1 donde el valor de aij determina el tono de gris del pixel i, j. Sea t un divisor común de n y m. Seleccionamos un cuadrado de la imagen de tamaño t × t al que llamamos C. Calcula el producto     1 ··· 1 c11 · · · c1t 1 ··· 1 1 . .  . ..   .. . . . .. . . ...  .   .. . . ..  .  . t2 . 1 ··· 1 ct1 · · · ctt 1 ··· 1 ¿Cómo interpretas el resultado? ¿Qué operación matricial podemos realizar sobre A para que cada pixel de la imagen resultante tenga tamaño t × t? Ejercicio 9. Un sistema de cifrado elemental puede obtenerse asignando a cada letra del alfabeto un valor entero positivo, y enviando un mensaje alfabético como una cadena de enteros1 , aunque este sistema no es difícil de romper. Sin embargo el sistema puede mejorarse usando multiplicación matricial. Sea A ∈ M3 (Z) invertible, tal 1 cifrado

monoalfabético general

1

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

que A−1 ∈ M3 (Z). Disponemos entonces el mensaje numérico anterior en una matriz B, de orden 3 × k, donde k es el menor entero tal que 3k es mayor o igual que el número de símbolos del mensaje, y disponemos la cadena numérica rellenando las filas de la matriz B de izquierda a derecha y de arriba a abajo, completando con ceros si fuera necesario. El mensaje cifrado se obtiene leyendo de igual forma los elementos de la matriz AB. Dada la asignación A 6

B 12

C 16

D 24

E 4

F 19

N 21

O 2

P 25

Q 10

R S 3 23

G 8

H 5

I 20

J 13

K 17

L 7

M 1

T U 14 11

V 22

W 15

X 26

Y 9

Z 18

2 −2 −1

 −2 3  1

y la matriz 

1 A= 5 −1

1. Calcula el cifrado a enviar correspondiente al mensaje INTENTALO DE NUEVO 2. Halla A−1 y descifra la cadena: 19, −18, 0, 33, −5, 20, 22, 11, 24, 36, 41, 45, 45, 151, 128, 119, 7, 96, −14, 8, −3, −22, −8, −22, −21, −7, −22 3. ¿Cómo puede obtenerse una matriz distinta, C, con entradas enteras, que pueda sustituir a A?. Ejercicio 10. Sea A la matriz

2  −3   0 0

3 1 0 0

0 −2 −3 1

 −2 0   ∈ M4 (Zp ) 1  1

Encuentra aquellos valores de p para los cuales la matriz A es singular. Ejercicio 11. Dados los números reales a, b, c, d, calcula los siguientes determinantes: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 ¯¯ ¯ 1 ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ a b c d ¯ ¯ a b c ¯ ¯ 2 ¯ ¯ 2 ¯ ¯ a b2 c2 d2 ¯ ¯ a b2 c2 ¯ ¯ 3 ¯ ¯ a b3 c3 d3 ¯ Ejercicio 12. ¿Para qué valores de a la matriz  4 2  7 4 a 10

 1 4  ∈ M3 (Z21 ) 11

es regular? (Observa que Z21 no es un cuerpo). Ejercicio 13. Encuentra matrices cuadradas X e Y de orden 2 con coeficientes en Q tales que  µ ¶ µ ¶ 1 0 0 2   X + Y =  µ ¶ µ −1 1 ¶ µ 0 4 ¶ −1 1 0 −1 −2 2   X + Y =  1 2 −1 0 0 4 ¿Cuantas soluciones distintas existen?

Departamento de Álgebra

TEMA

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones (test).

Ejercicio 1. Sea la matriz con coeficientes en R 

1  2   3 0

2 2 3 1

3 2 3 0

 4 2   3  1

Entonces el rango de A es igual a a) 2

b) 4

c) 1

d) 3

Ejercicio 2. Acerca del siguiente sistema con coeficientes en R x x

+ay +y

−z +z

= 1 = a

°

podemos afirmar que: a) Independientemente del valor de a, es compatible determinado. b) Independientemente del valor de a, es compatible indeterminado. c) Es siempre incompatible. d) La compatibilidad o incompatibilidad depende del valor de a. Ejercicio 3. El rango de la matriz con coeficientes en Z5  1 2  2 4   0 3 4 3

3 1 3 2

 4 3   0  1

es igual a a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Ejercicio 4. Acerca del siguiente sistema con coeficientes en R x x

+ay +(a − 1)z = +ay +az + 2at =

podemos afirmar que: a) Independientemente del valor de a, es compatible determinado. b) Independientemente del valor de a, es compatible indeterminado. c) Es siempre incompatible. d) La compatibilidad o incompatibilidad depende del valor de a. 1

a a

°

4

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

Ejercicio 5. Dadas dos matrices A y B en M2 (R) y tales que µ ¶ µ 3 0 −1 A+B= A−B= 2 1 0 entonces A2 − B2 es igual a µ ¶ µ −7 −2 −3 b) a) 6 3 −2

−6 −1

µ c)

2 2

−2 2

µ d)

−5 −4 2 1

−2 3

Ejercicio 6. Sea A ∈ M3 (Q) tal que  1 0 4 −2  −3 1

A−1 La matriz adjunta de A es    −1 1 0 1 4 −2  b)  3 a)  −3 3 −3 1 −3

−1 −4 3

−1 =  −3 3

 0 2  −1

1 3 c)  −1 −4 0 2

 −3 3  −1

Ejercicio 7. El sistema con coeficientes en R x

+ay +3az = a + 3 ay +2az = a + 1

°

podemos afirmar que: a) Independientemente del valor de a, es compatible determinado. b) Independientemente del valor de a, es compatible indeterminado. c) Es incompatible independientemente del valor de a. d) La compatibilidad depende del valor de a. Ejercicio 8. El determinante de la matriz 

2 1 0  −3 −2 3   −2 3 0 1 −1 0

 −1 3   ∈ M4 (Q) 0  0

vale a) −9

b) −3

c) 0

d) 3

Ejercicio 9. Dado el sistema de ecuaciones lineales en Z7 x+y−z=1 x + 2y + 2z = 2 2x + 3y + z = 3 ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) Es compatible determinado. b) Es incompatible. c) Es compatible indeterminado. d) Tiene exactamente 35 soluciones. Departamento de Álgebra

2 d)  3 3

 1 2 1 2  0 1

Tema 4. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones (test).

Ejercicio 10. El rango de la matriz

 1 3  4 2

0 2 2 4

 1 3  ∈ M4 (Q) 4 2

3 3 6 1

es a) 1

b) 2

c) 3

d) 4 µ

Ejercicio 11. Sean A =

2 0 4 2

  ¶ 1 1 0 1 y B = 1 3 0. Sea X ∈ M3 (R). Entonces −6 0 0 1

1. X = B es la única solución de la ecuación matricial AB = AX.   1 0 0 2. X = C = 1 11 0 es la única solución de la ecuación matricial AB = AX. 0 2 1 3. Tanto B como C son soluciones de la ecuación matricial AB = AX. 4. La ecuación matricial AB = AX no tiene solución. Ejercicio 12. Sea A la matriz

3  0   6 0

0 1 1 0 1 4 2 0

 2 −7   ∈ M4 (Zp ) 8  −1

La matriz A es singular (es decir, no tiene inversa para el producto) para el siguiente valor de p a) p = 2

b) p = 3

c) p = 5

d) p = 7

Ejercicio 13. El determinante de la matriz con coeficientes en Z7   4 1 1 1  1 4 1 1     1 1 4 1  1 1 1 4 a) es 0. b) es 4!. c) es congruente con 44 módulo 7. d) es congruente con 33 módulo 7. Ejercicio 14. El sistema con coeficientes en R ax + y + z = 0 x + ay + 2z = 3

°

a) es siempre compatible determinado. b) siempre es compatible indeterminado. c) es incompatible para algunos valores de a. d) es compatible, pero es determinado o indeterminado dependiendo de a. Ejercicio 15. El rango de la matriz sobre Z7 :

4  3   2 1

3 4 5 6

2 4 3 0

 3 1   2  5

Curso 2011-2012

3

4

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

a) no puede calcularse. b) es 4. c) es 3. d) es 2. Ejercicio 16. El determinante de la matriz 

1  2   3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

 4 1   2  3

cuyos coeficientes están en Z7 , es: a) 0

b) 2

c) 4

d) 6

Ejercicio 17. El sistema de ecuaciones  

ax + y + z = 1 −x + ay + z = 0  x − y + z = −1 con coeficientes en R, a) siempre es compatible determinado. b) siempre es compatible indeterminado. c) es incompatible para algunos valores de a. d) es compatible, aunque puede ser determinado o indeterminado dependiendo de a. Ejercicio 18. El rango de la matriz

1  1   1 2

4 1 3 0

2 4 1 1

 3 1   3  1

cuyos coeficientes están en Z5 : a) 1

b) 2

c) 3

d) 4 µ

Ejercicio 19. Sean A = a) No existe. µ 5 b) vale 6 µ 1 c) vale 4 µ 0 d) vale 7

2 1 2 0

1 6 2 4

µ yB=

2 4

5 3

¶ dos matrices con coeficientes en Z7 . Entonces (A · B)−1

¶ .

5 2 ¶ 1 . 0

¶ .

Ejercicio 20. Dado el sistema de ecuaciones con coeficientes en Z7 ¯ x + ay + 2z = 6 4x + 5y + az = 1 la respuesta correcta es: Departamento de Álgebra

Tema 4. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones (test).

5

a) El sistema es compatible indeterminado y tiene exactamente 7 soluciones. b) Es siempre compatible, pero depende del valor de a que sea compatible determinado o compatible indeterminado. c) Dependiendo del valor de a puede ser compatible o incompatible. d) Es compatible indeterminado, y el número de soluciones depende del valor de a. Ejercicio 21. Señala la afirmación verdadera. La matriz en M4 (Z3 )   1 0 1 1  0 1 0 2     1 1 1 1  a 0 0 a a) No tiene inversa para ningún valor de a. b) Tiene inversa para todo valor de a. c) Sólo tiene inversa para a = 1. d) Tiene inversa sólo cuando a 6= 0. Ejercicio 22. El sistema de ecuaciones en R  

x + az = −a y + bz = b  x + y + (a + b)z = b − a

a) Es siempre compatible indeterminado. b) Es compatible determinado para algunos valores de a y b. c) Es incompatible para algunos valores de a y b. d) Nunca es compatible indeterminado. Ejercicio 23. El valor del determinante ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1 0 0 1

¯ 0 0 1 ¯¯ 1 0 0 ¯¯ 0 1 −2 ¯¯ 0 −2 5 ¯

en R es a) 5. b) 1. c) No puede calcularse. d) 0. Ejercicio 24. En R el rango de la matriz 

1  0 1

0 a 1 b 1 a+b

 −a b  b−a

es a) Depende de los valores de a y b. b) 3. c) 2. Curso 2011-2012

6

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

d) 4. Ejercicio 25. Sea A ∈ M3 (Z2 ) tal que  1 1 A3 =  0 0 1 0 Entonces  1 a) A =  0 1  1 b) A =  0 1  1 c) A =  1 1

0 0 1 1 0 0 0 1 1

 0 1  1

y

 0 0 1 A5 =  1 0 0  1 1 0

 0 0  1  0 1  1  1 0  1

d) Los datos del enunciado no permiten calcular A. Ejercicio 26. Dado el sistema de ecuaciones con coeficientes en Z3 x 2x x

+ z + y + az + ay + z

= 1 = 1 , = 2

a) depende del valor de a que sea compatible determinado o incompatible, pero nunca es compatible indeterminado. b) según el valor de a puede ser compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. c) es siempre compatible. Depende del valor de a que sea compatible determinado o indeterminado. d) el rango de la matriz de coeficientes vale 2. Por tanto, o es compatible indeterminado o es incompatible. Ejercicio 27. Sea A ∈ M4 (R). Entonces: a) La matriz I − A + At es simétrica. b) La matriz I − (A · At ) es simétrica. c) La matriz I − A2 es simétrica. d) La matriz I − 2A es simétrica. 

1  1 Ejercicio 28. Sea A =   1 5

0 3 0 2

2 5 1 0

 0 0   con coeficientes en Zp es regular para 1  2

a) p = 5. b) p = 7. c) p = 3. d) p = 2.

Departamento de Álgebra

Tema 4. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones (test).

Ejercicio 29. 

1 a)  0 0  1 b)  0 0  1 c)  0 0  1 d)  0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

3 Dada la matriz A =  1 5  1 0 3 0 . 0 1  0 6 0 3 . 1 2  0 2 0 5 . 1 2  1 1 3 2 . 0 0

1 4 2

1 2 1

7

 2 1  ∈ M3×4 (Z7 ), su forma normal de Hermite por filas es: 3

Ejercicio 30. En el conjunto M2 (Z2 ) definimos la relación de equivalencia ARB ⇐⇒ A2 = B2 . Entonces: µ ¶ µ ¶ 0 1 1 1 (a) La matriz pertenece a la clase de equivalencia de la matriz . 1 0 0 1 (b) El conjunto cociente está formado por un solo elemento. µ ¶ ·µ ¶¸ 1 0 1 0 (c) ∈ . 0 0 1 0 ·µ ¶¸ 0 0 (d) La clase tiene cardinal uno. 0 0 Ejercicio 31. Dado el sistema de ecuaciones con coeficientes en Z7 ¯ 3x + y + 5z = 6 2x + 3y + z = a2 + 1 (a) El sistema es compatible indeterminado para cualquier valor de a, pero el número de soluciones depende de a. (b) El sistema es incompatible, independientemente del valor de a. (c) El sistema es compatible indeterminado para cualquier valor de a, y tiene 7 soluciones. (d) Según el valor de a el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible. 

1  0 Ejercicio 32. Sea la matriz A =   −1 0

1 1 1 2

 −2 0 a 1   ∈ M4 (R). Entonces 3 1  0 1

(a) Existe un número real a para el que el rango de A vale 1. (b) Existe a ∈ R para el que el rango de A vale 2. (c) El rango de A vale 4 para cualquier valor real del parámetro a. (d) Para cualquier a ∈ R, el rango de A vale 3.

Curso 2011-2012

8

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

Ejercicio 33. 

1 2 (a)  0 0 0 0  1 2 (b)  0 0 0 0  1 0 (c)  0 1 0 0  1 2 (d)  0 0 0 0

2 Dada la matriz  4 5  0 3 1 0 . 0 1  0 3 1 4 . 0 0  0 3 0 4 . 1 1  0 3 1 1 . 0 0

4 1 3

 0 1  ∈ M3×4 (Z7 ), su forma normal de Hermite por filas es: 5

1 3 4

Ejercicio 34. Si A ∈ M3 (R) verifica que     1 −1 1 1 1 2  0 1 1  · A =  −1 0 1  , 1 0 1 1 1 1 entonces A−1 es igual a:    0 1 1 0 a)  2 2 −3  . b)  1 −1 0 2 0

−2 3 −1

 −1 2 . 0

2 1 c)  0 0 −1 0

 −1 −1  . 2

Ejercicio 35. Di qué vale a ∈ Z11 para que los sistemas de ecuaciones  x + 2z + t = 0  x + 4y 3x + y + az + 2t = 5 2x + y  4x + 8z + t = 3 y sean equivalentes: (a) 4. (b) 10. (c) 2. (d) 1. Ejercicio 36. Sea X ∈ M2 (R) tal que µ X·

3 2 7 1

µ =

−5 4 −4 1

Entonces µ ¶ 3 −2 −1 a) X = . 1 −1  −25 −2  b) X−1 = 

11

11

−23 11

−3 11

.

Departamento de Álgebra

4 −2 1 d)  −1 2 −1

+ 8z + + + 7z +

 −5 2 . −2

 3t = 3  t = 5  2t = 2

Tema 4. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones (test).

µ c) X

−1

=

1 1

−2 −3

9

¶ .

d) La matriz X no es regular.  3 Ejercicio 37. Sea A =  2 3 cientes en Q.

6 1 4 1 6 1

  −1 2 2 0 −1  y B =  −1 −1 3 1

 2a 3 4 1 −a 3 7 3  dos matrices con coefia 2 3 1

(a) Para a = 2 las matrices A y B son equivalentes por filas. (b) Para a = −1 las matrices A y B son equivalentes por filas. (c) No existe ningún valor de a para el que las matrices A y B sean equivalentes por filas. (d) Para a = 1 las matrices A y B no son equivalentes por columnas. Ejercicio 38. Dado el sistema de ecuaciones 2x 4x

− y = 4 + 3y = 3

con coeficientes en Zp a) Para p = 2 el sistema tiene dos soluciones. b) Para p = 3 el sistema tiene tres soluciones. c) Para p = 5 el sistema tiene cinco soluciones. d) Para p = 7 el sistema tiene siete soluciones. µ ¶ µ 3 1 1 3 −1 Ejercicio 39. Sea P ∈ M2 (Q) tal que P · = 0 −1 3 −6 −4 ¶ µ 1 2 −1 . (a) P = −2 2 µ ¶ 2 −2 (b) P−1 = 16 . 2 1 (c) La matriz P no tiene inversa. µ ¶ 2 −2 −1 (d) P = . 2 1 

1 0  a 1 Ejercicio 40. Sea A =   3 a+1 0 2 Entonces la matriz A es regular:

 1 0 1 1   ∈ M4 (Z7 ). 2 0  1 4

a) Para cualquier valor de a ∈ Z7 . b) Para a = 1, 3, 4, 5, 6. c) Para a = 3, 4, 5, 6. d) Para a = 0, 2, 3, 5, 6.

Curso 2011-2012

7 4

¶ . Entonces:

TEMA

5

Espacios vectoriales

Ejercicio 1. Comprueba que los siguientes vectores de R3 son linealmente dependientes ¿Cuáles se pueden escribir en función de los demás? {v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 0, 1), v3 = (2, 0, 1), v4 = (1, 0, 2)} Ejercicio 2. Estudia si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes o linealmente dependientes: En M2 (R): ¯µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶° 1 1 0 1 0 0 0 0 1. , , , , 1 1 1 1 1 1 0 1 ¯µ ¶ µ ¶ µ ¶° 1 1 0 −1 2 3 2. , , . 0 1 −1 0 1 2 En R2 [x]: 1. {p(x) = x + x2 , q(x) = −x − x2 }, 2. {1 + 2x + 3x2 , 1 − x + x2 , 1 + x − x2 , x + 2x2 }, 3. {p1 (x) = x + 2x2 , p2 (x) = 1 + x + 2x2 , p3 (x) = 2 + 2x + x2 }. Encuentra en todos los casos un subconjunto con el mayor némero posible de vectores linealmente independientes. Ejercicio 3. Determina si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes. 1. En Q4 , Z42 , Z43 , Z45 y Z47 : (3, −1, −4, 0), (0, 1, 8, −1), (3, −1, 5, 4), (0, 0, 3, 3). 2. 1 − x y x en R2 [x]. 3. En Q3 [x] y (Z5 )4 [x]: −x, x2 − 2x, 3x + 5x2 . 4. En (Z3 )3 [x]: 2x, x3 − 3, 1 + x − 4x3 , x3 + 18x − 9. µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 −1 −1 0 1 1 0 1 5. En M2 (Z7 ): , , , . 0 6 3 1 −1 2 1 0 Ejercicio 4. En un espacio vectorial sobre R, los vectores e1 , e2 , . . . , en , x vienen dados por sus coordenadas en cierta base. Comprueba que {e1 , e2 , . . . , en } es una base y halla las coordenadas del vector x en dicha base para cada uno de los siguientes casos: 1.

2.

 e1 = (1, 0, 1)  e2 = (1, 2, 2) x = (1, 0, 2)  e3 = (0, 1, 1) e1 e2 e3 e4

= (1, 1, 1, 1) = (0, 1, 1, 1) = (0, 0, 1, 1) = (0, 0, 0, 1) 1

      

x = (1, 0, 1, 0)

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

Da también las matrices de cambio de base. Ejercicio 5. Para las bases de R3 B = {v1 = (4, 0, 7), v2 = (2, 1, 1), v3 = (3, 1, 3)}, B 0 = {v10 = (1, 0, 2), v20 = (4, 1, 5), v30 = (1, 0, 3)} calcula las matrices de cambio de base. Ejercicio 6. Sea B = {w1 , w2 , w3 , w4 } con w1 = (1, 0, 0, −1), w2 = (0, 1, −1, 0), w3 = (0, 1, 0, −1), w4 = (0, 1, 1, 1). Demuestra que B es una base de Z411 . Sea x = −3(1, 2, 0, 0) + 2(−1, 0, 1, 1) + (0, 0, −2, 1) − 2(−1, 0, −1, 0). Calcular las coordenadas de x respecto de la base B. Calcula las matrices de cambio de base MBC →B y MB→BC . Si B 0 = {(1, 2, 0, 0), (−1, 0, 1, 1), (0, 0, −2, 1), (−1, 0, −1, 0)}, demuestra que B 0 es una base de Z411 y calcula MB→B 0 . Ejercicio 7. Estudia si son o no subespacios los siguientes subconjuntos de R3 : 1. W = {(a, b, a + b) ∈ R3 / a, b ∈ R} 2. W = {(a, b, c) ∈ R3 / a + b + c = 1} 3. W = {(a, b, c) ∈ R3 / a2 + b2 + c2 = 0} 4. W = {(a, b, c) ∈ R3 / a2 − b2 = 0} Ejercicio 8. Determina si los siguientes conjuntos de Mn (R) son subespacios vectoriales: 1. H = {A ∈ Mn (R)/ A tiene inversa } 2. H = {A ∈ Mn (R)/ A = −2At } Ejercicio 9. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos H ⊆ V son además subespacios vectoriales? 1. V = R2 ; H = {(x, y) | y ≥ 0} 2. V = R3 ; H = el plano xy 3. V = Mn (Z5 ); H = {D ∈ Mn (Z5 ) | D es diagonal} 4. V = Mn (Z7 ); H = {T ∈ Mn (Z7 ) | T es triangular superior} 5. V = Mn (Q); H = {S ∈ Mn (Q) | S es simétrica} ¯ µ ¶° a b . 6. V = M2 (Z5 ); H = A ∈ M2 (Z5 ) | A = 4b c ¯ µ ¶° a 1+a 7. V = M2 (Z2 ); H = A ∈ M2 (Z2 ) | A = . 0 0 ¯ µ ¶° 0 a 8. V = M2 (R); H = A ∈ M2 (R) | A = . b 0 9. V = M2 (Z11 ); H = {A ∈ M2 (Z11 ) | rango(A) = 1} 10. V = (Z5 )4 [x]; H = {p ∈ (Z5 )4 [x] | gr(p) = 4}. 11. V = Q4 [x]; H = {p ∈ Q4 [x] | p(0) = 0}. 12. V = (Z2 )n [x]; H = {p ∈ (Z2 )n [x] | p(0) = 1}. Ejercicio 10. Sea A ∈ Mn×m (Q) y sea H1 = {x ∈ Qm | Ax = 0}; muestra que H1 es un subespacio de Qm . Sea H2 = {x ∈ Qm | Ax 6= 0}; muestra que H2 no es un subespacio de Qm . Ejercicio 11. Halla las ecuaciones implícitas y paramétricas del subespacio de Z35 generado por los vectores (1, 1, 0), (0, 1, 1). Departamento de Álgebra

Tema 5. Espacios vectoriales

3

Ejercicio 12. Completa {(1, 1, 0), (2, 1, 1)} a una base de Q3 . Ejercicio 13. Calcula las ecuaciones implícitas y paramétricas del subespacio U1 + U2 , donde ¡ ¢ ¡ ¢ U1 = L (1, 1, 0), (2, 0, 0) , U2 = L (0, 0, 1), (2, 1, 3) . ¿Es Z37 = U1 ⊕ U2 ? Ejercicio 14. Para cada una de las siguientes parejas de subespacios de R4 calcula U ∩ W y U + W. 1. U = {(a, b, −b, a)/ a, b ∈ R } W = {(a, b, 0, c)/ a, b, c ∈ R } 2.

 x1    x2 U≡ x3    x4  x1    x2 W≡ x3    x4

= λ = 0 = λ = λ = λ = λ = 0 = λ

+µ +µ +γ +µ +γ +µ

3. U = L((1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1))  −x4 = 0  x1 +x2 x2 +x3 =0 W≡  x1 −x2 −x3 −x4 = 0 Ejercicio 15. Encuentra la dimensión del subespacio generado por los siguientes conjuntos de vectores: 1. {(1, 2), (0, 1), (−1, 3)} en Z25 2. {1 + x + x2 , 2 − x2 + x3 , 1 − x − 2x2 + x3 , 1 + 3x + 4x2 − x3 } en Z5 [x]. Ejercicio 16. Dada la base B = {(1, 0, 1, 1); (0, 1, 1, 0); (1, 1, 1, 1); (0, 1, 0, 1)} de (Z2 )4 , calcula las coordenadas del vector (0, 0, 0, 1) en la base B. Ejercicio 17. Sea V = Z43 y sean los subespacios vectoriales ¯ ± ² ¯ x−y−z=0 ¯ U = (x, y, z, t) ∈ V ¯ ¯ t=0

W = h(1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1)i.

1. ¿Cuántos elementos hay en W? 2. Calcula bases de U + W y U ∩ W. 3. Calcula las ecuaciones paramétricas y cartesianas (o implícitas) de U + W y U ∩ W. 3 Ejercicio 18. Sea U el subespacio de (Z° 5 ) generado por los vectores (2, 3, 1) y (1, 4, 3), y W el subespacio de x + 2y + z = 0 (Z5 )3 de ecuaciones . 2x + y + 3z = 0 Calcula unas ecuaciones cartesianas o implícitas del subespacio U + W.

Curso 2011-2012

TEMA

5

Espacios vectoriales (segunda parte)

Ejercicio 1. En el conjunto Cn se considera la suma usual y se define el producto por números reales λ(z1 , z2 , . . . , zn ) = (λz1 , λz2 , . . . , λzn ) Estudia si Cn con estas operaciones tiene estructura de espacio vectorial sobre R. Ejercicio 2. En el conjunto Rn [x] de los polinomios en una indeterminada de grado menor o igual que n se considera la suma usual y se define el producto por escalares reales ¯ 0 si a 6= 1 ap(x) = p(x) si a = 1 Estudia si Rn [x] con estas operaciones tiene estructura de espacio vectorial sobre R. Ejercicio 3. Demuestra las siguientes afirmaciones: 1. Un conjunto de vectores que tiene dos vectores iguales es linealmente dependiente. 2. Un conjunto de vectores en el que un vector es múltiplo de otro es linealmente dependiente. Ejercicio 4. Determina si los siguientes conjuntos de vectores generan al espacio vectorial dado: 1. En (Z5 )2 [x]: 1 + 4x, 3 + 4x2 . 2. En (Z5 )2 [x]: 1 + 4x, 3 + 4x2 , x. µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 1 2 4 6 5 5 3. En M2 (Z7 ): , , , . 1 0 0 0 3 0 6 0 Ejercicio 5. Muestra que M2 (R) puede ser generada por matrices regulares. Ejercicio 6. Los siguientes subconjuntos y familias de vectores de algunos espacios vectoriales son subespacios y bases de estos. Verifica la verdad o falsedad de esta afirmación en los ejemplos siguientes: 1. {(a, b) ∈ Z23 | b = 1}; {(2, 1)} 2. {p(x) ∈ R3 [x] | (x − 1) divide a p(x)}; {x − 1, x2 − 1}. Ejercicio 7. ¿Cuántas bases hay en Z22 ? Ejercicio 8. Determina si los siguientes conjuntos de vectores generan el espacio vectorial dado: 1. V = (Z5 )2 [x]. {1 + 4x, 3 + 4x2 }. 2. V = (Z5 )2 [x]. {1 + 4x, 3 + 4x2 , x}. Ejercicio 9. En el espacio de las matrices simétricas de orden 2, consideramos las bases ¯µ ¶ µ ¶ µ ¶° 1 1 1 1 1 −1 B= , , 1 1 1 −1 −1 1 ¯µ ¶ µ ¶ µ ¶° 3 1 −1 −3 1 −1 B0 = , , 1 1 −3 1 −1 3 1. Calcula las matrices de cambio de base entre ambas. 1

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

2. Calcula las coordenadas de la matriz

µ

2 1 1 1

en las bases B y B 0 . Ejercicio 10. Sea V = Z47 , y sean U1 y U2 los siguientes subespacios vectoriales de V: U1 = L((1, 4, 4, 0), (2, 2, 1, 2), (0, 0, 3, 6)) © U2 ≡ 2x + 5y + t = 0 1. Calcula una base de U1 ∩ U2 . 2. ¿Cuáles son las coordenadas del vector (1, 1, 0, 0) en la base anterior? Ejercicio 11. Determina si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de Rn [x]: © ª 1. P1 = a + bx2 + cx3 ∈ Rn [x]/ a, b, c ∈ R 2. P2 = {p(x) ∈ Rn [x]/ p(x) + p(−x) = 0} 3. P3 = {p(x) ∈ Rn [x]/ p(x) + p 0 (x) = 0} Ejercicio 12. Para los subespacios de M3×2 (R) ¯ µ ¶ ° 1 1 U = A ∈ M3×2 (R)/ A =A 0 1 ¯ µ ¶ ° 1 1 W = A ∈ M3×2 (R)/ A =A 0 −1 calcular U ∩ W y U + W. Ejercicio 13.

1. Calcula la dimensión del subespacio de R4 generado por los vectores {(b, 0, 0, 0), (0, a, 1, 1 + a), (a, 1 + a, 1 + a, 2 + 2a), (b, 0, 0, 1 − a)}

según los valores de a y b. 2. ¿Cuál es el número máximo de vectores linealmente independientes en el conjunto {(b, 0, a, b), (0, a, 1 + a, 0), (0, 1, 1 + a, 0), (0, 1 + a, 2 + 2a, 1 − a)} según los valores de a y b?

Departamento de Álgebra

TEMA

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Espacios vectoriales (test)

Ejercicio 1. En Z47 consideramos los subespacios vectoriales de ecuaciones ± © x + 6z + t = 0 V1 = x + y + 6z + 6t = 0 y V2 = y + 5t = 0 Una base de V1 ∩ V2 es: a) {(1, 1, 5, 4), (3, 3, 1, 5)} b) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 6)} c) {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 4, 4)} d) {(1, 0, 1, 0), (1, 1, 5, 4), (0, 0, 0, 0)} Ejercicio 2. Sea U el subespacio vectorial de R4 generado por {(1, −1, 0, 0), (0, 0, 1, −1)}. Unas ecuaciones implícitas para U son: a) x1 + x2 + x3 + x4 = 0 ± x1 + x3 = 1 b) x1 + x2 + x3 + x4 = 0 ± x1 + x2 = 0 c) x3 + x4 = 0 ± x1 + x3 = 1 d) x1 + x2 + x3 = 0 Ejercicio 3. Sean B = {v1 , v2 , v3 } y B 0 = {v10 = v1 , v20 = v1 + v2 , v30 = v1 + v2 + v3 } dos bases de un espacio vectorial V sobre R. Si las coordenadas de x respecto de la base B 0 son (1, −1, 1), entonces las coordenadas de x respecto de B son a) (1, 0, 1)

b) (1, 0, −1)

c) (1, 2, −1)

d) (0, 0, 1)

Ejercicio 4. Sean B1 = {u1 , u2 } y B2 = {v1 , v2 } dos bases de R2 tales que v1 = −2u1 − u2 y v2 = 5u1 + 2u2 . Si w es un vector cuyas coordenadas respecto de B1 son (a, b), entonces las coordenadas de w respecto de B2 son a) (2a − 5b, a − 2b)

b) (3a, 2a − b)

c) (3a + b, a − 3b)

d) (b, −a)

Ejercicio 5. Consideremos los siguientes subespacios de (Z5 )4 : U1 = h(1, 1, 2, 0), (3, 1, 4, 1)i;

U2 = h(0, 1, 0, 3), (1, 0, 1, 3)i.

Una base de U1 ∩ U2 es a) {(2, 0, 2, 1)} b) {(1, 1, 2, 0), (3, 1, 4, 1), (0, 1, 0, 3), (1, 0, 1, 3)} 1

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Álgebra Lineal y Estructuras Matemticas

c) {(1, 1, 2, 0)} d) {(2, 0, 2, 1), (1, 0, 1, 3)} © ª Ejercicio 6. Sea V = a(x) ∈ Z3 [x] | el grado de a(x) es menor o igual que 2 . Entonces a) V es un espacio vectorial sobre Z3 de dimensión 3. b) V es un espacio vectorial sobre Z3 de dimensión 2. c) V no es un espacio vectorial sobre Z3 . d) V es un espacio vectorial sobre Z3 de dimensión infinita. Ejercicio 7. Sea U = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0}. Un subespacio vectorial W de R3 que verifica que R3 = U ⊕ W es a) W = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y − z = 0}. b) W = {0}. c) W = R3 . © d) W = (x, y, z) ∈ R3 |

x−y =0 x−z =0

ª

.

Ejercicio 8. Sea V = {A ∈ M2 (Q) | det(A) = 0}. Entonces a) V es un Q-espacio vectorial de dimensión 4. b) V es un Q-espacio vectorial de dimensión 0. c) V es un Q-espacio vectorial de dimensión 3. d) V no es un Q-espacio vectorial. Ejercicio 9. Consideremos los subespacios de (Z5 )4 definidos por las ecuaciones ± ± x + y + 2z = 0 y + 3t = 0 U1 = y U2 = 3x + y + 4z + t = 0 x + z + 3t = 0 Una base de U1 + U2 es a) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3), (0, 1, 0, 0)} b) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 1, 3)} c) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3), (1, 1, 1, 3)} d) {(1, 0, 4, 0), (1, 0, 0, 3)} Ejercicio 10. Sean B = {v1 , v2 , v3 } y B 0 = {v10 , v20 , v30 } dos bases de un espacio vectorial V sobre R tales que v10 = v1 + 2v2 + v3 , v20 = −v2 + v3 y v30 = −v1 + v2 − 5v3 . Si las coordenadas de x respecto de la base B son (1, −2, 3), entonces las coordenadas de x respecto de B 0 son: a) (3, 10, 2)

b) (−2, 7, −16)

c) (0, 5, −18)

d) (−9, 4, 2)

Ejercicio 11. Dados U y W subespacios vectoriales de R5 con dim U = 3 y dim W = 3, indica cuál de las siguientes situaciones no es posible. a) dim (U + W) = 6 y dim (U ∩ W) = 0 b) dim (U + W) = 5 y dim (U ∩ W) = 1 c) dim (U + W) = 4 y dim (U ∩ W) = 3 d) dim (U + W) = 3 y dim (U ∩ W) = 1 Departamento de Álgebra

Tema 5. Espacios vectoriales (test)

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Ejercicio 12. Si B es la base canónica de R2 y B 0 = {(1, 1), (1, 2)} es otra base de R2 , entonces el vector cuyas coordenadas respecto de B’ son (3, 2), es a) (2, 1)

b) (7, −4)

c) (4, 3)

d) (−3, 2)

Ejercicio 13. En Q4 se considera el subespacio vectorial generado por {(1, −1, 1, 1), (1, 1, −1, 1)}. Di cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones corresponde a unas ecuaciones cartesianas de dicho subespacio. a) x + y + z − t = 0. ¯ x+y−z+t=0 b) x+y+z−t=0 ¯ x + 2y + t = 0 c) y+z=0 ¯ x−y−z−t=0 d) x−t=0 Ejercicio 14. En R3 se consideran los subespacios vectoriales U = {(x, y, z)|x − y + 3z = 0}

W =< (3, 0, −1), (2, −1, −1) >

Una base de U ∩ W es a) {(1, 1, 0)} b) {(5, −1, −2), (1, 4, 1)} c) {(0, 0, 0)} d) {(−1, 2, 1), (2, −2, −1)} ¯ 3

Ejercicio 15. Sea U el subespacio vectorial de R de ecuaciones

2x 4x

− y − + y −

2z = 0 z = 0

Entonces R3 = U ⊕ V a) Si V es el subespacio generado por los vectores (1, 2, 1), (2, 1, 1), (−1, −1, 1). b) Si V es el subespacio de ecuación 2x + 2y + z = 0. c) Si V es el subespacio generado por los vectores (1, −2, 2), (2, 1, 3). d) Si V es el subespacio generado por (1, 1, 1), (2, −1, 1). Ejercicio 16. Sean en R3 los conjuntos B1 = {(1, 0, 1); Entonces:  1 a) La matriz del cambio de base de B2 a B1 es  −1 0  1 b) La matriz del cambio de base de B2 a B1 es  −1 0 c) No existe matriz del cambio de base de B2 a B1 . 

1 d) La matriz del cambio de base de B2 a B1 es  −1 0 µ Ejercicio 17. Sea A =

1 3 2 4

(0, 1, 1); (1, 1, 1)} y B2 = {(1, −1, 0); (2, 1, 1); (1, 1, 2)}.  2 1 1 1 . 1 2  0 1 −1 1 . 2 0  0 1 −1 1 . 2 0

¶ ∈ M2 (Z5 ), y sea U = {B ∈ M2 (Z5 ) : A · B = B · A}. Entonces: Curso 2011-2012

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Álgebra Lineal y Estructuras Matemticas

a) U es un subespacio vectorial de M2 (Z5 ) de dimensión 2. b) U es un subespacio vectorial de M2 (Z5 ) de dimensión 1. c) U es un subespacio vectorial de M2 (Z5 ) de dimensión 3. d) U no es subespacio vectorial. 3 Ejercicio 18. ¯ Dados U el subespacio de (Z5 ) generado por los vectores (3, 1, 4) y (4, 3, 2), y V el subespacio de x + y + 4z = 0 ecuaciones , una base de U + V es 3x + y + 3z = 0

a) {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)}. b) {(1, 2, 4); (4, 3, 2)}. c) {(1, 1, 2)}. d) {(4, 2, 1); (2, 3, 0)}. Ejercicio 19. Dados los siguientes vectores u1 = (1, 0, 1, 0), u2 = (1, 1, 1, 1), u3 = (1, 0, 0, 1), u4 = (0, 0, 1, 1) pertenecientes a (Z2 )4 (a) Son linealmente independientes. (b) Son linealmente dependientes, pues el segundo es combinación lineal de los restantes. (c) Generan un subespacio de dimensión 2. (d) Son linealmente dependientes, pues el tercero es combinación lineal de los restantes. Ejercicio 20. Sea B = {(1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 1)}. Las coordenadas del vector (1, 1, 0, 0) en la base B son: (a) (0, 1, 1, 0). (b) (1, 1, 0, 0). (c) (1, 1, 1, 1). (d) (1, 1, 0, 1). ¯ Ejercicio 21. Sean U1 = L[(1, 3, 1), (3, 4, 2)] y U2 ≡

x 3x

+ y + 2z + 3y + z

= 0 dos subespacios de = 0

(Z5 )3 . Entonces: (a) (Z5 )3 = U1 ⊕ U2 . (b) U2 ⊆ U1 . (c) U1 ∩ U2 tiene dimensión 1, y {(2, 1, 1)} es una base de este subespacio. (d) {(4, 2, 4), (1, 2, 3), (0, 4, 2)} es una base de U1 + U2 . ¯ Ejercicio 22. Sean U1 = L[(1, 1, 0, −1), (0, 1, 2, 1)] y U2 ≡

2x + y 2x − y

− 2z

+ t = + 2t =

subespacios de R4 , y u = (1, −1, 1, −1). Entonces: (a) u ∈ U1 + U2 y se expresa de forma única como suma de un vector de U1 y uno de U2 . (b) u 6∈ U1 + U2 , pues no pertenece ni a U1 ni a U2 . (c) u ∈ U1 + U2 y se puede expresar de muchas formas como suma de un vector de U1 y U2 . (d) u ∈ U1 pero u 6∈ U2 , por lo que no pertenece a la suma. Departamento de Álgebra

0 0

dos

Tema 5. Espacios vectoriales (test)

5

Ejercicio 23. Sean u1 , u2 , u3 , u4 cuatro vectores de un espacio vectorial V. Supongamos que el conjunto {u1 , u2 , u3 } es linealmente dependiente. Entonces: (a) El conjunto {u1 , u2 , u3 , u4 } es linealmente dependiente por contener a un conjunto de vectores linealmente dependientes. (b) Si u4 no es combinación lineal de {u1 , u2 , u3 } el conjunto {u1 , u2 , u3 , u4 } es linealmente independiente. (c) El conjunto {u1 , u2 , u3 , u4 } es linealmente dependiente sólo si contiene al vector cero. (d) Los datos no nos permiten saber si el conjunto {u1 , u2 , u3 , u4 } es linealmente dependiente o independiente. ¯ Ejercicio 24. Sean U = L[(3, 5, 2, 3), (1, 6, 3, 4), (6, 4, 4, 4)] y W ≡

2x + y x + 4y

+ 5z + 3t + 6z + 5t

= 0 = 0

dos subespacios de (Z7 )4 . Entonces una base de U ∩ W es: a) {(5, 2, 1, 6)}. b) {(6, 1, 1, 1)}. c) {(5, 2, 1, 6), (6, 1, 1, 1)}. d) {(1, 2, 1, 4), (1, 1, 1, 2)}.

Ejercicio 25. Sean B1 = {(1, 0, 1, 0); (0, 1, 0, 0); (1, 0, 0, 1); (1, 1, 1, 1)} y B2 = {(0, 1, 1, 1); (1, 0, 1, 0); (1, 0, 1, 1); (0, 0, 1, 1)} dos bases de (Z2 )4 . Sea u el vector cuyas coordenadas en la base B1 son (1, 0, 1, 1). Entonces, las coordenadas de u en la base B2 son: (a) (0, 0, 0, 1). (b) (1, 1, 0, 0). (c) (1, 0, 1, 0). (d) (1, 1, 1, 1).

Ejercicio 26. Sea u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (4, 2, 2, 1), u3 = (4, 0, 3, 0) y u4 = (0, 4, 4, 3) cuatro vectores de (Z5 )4 . Entonces: a) Son linealmente independientes, pues u3 no es combinación lineal de los restantes. b) Son linealmente independientes, pues u4 no es combinación lineal de los restantes. c) Son linealmente dependientes, pues u3 es combinación lineal de los restantes. d) Son linealmente dependientes, pues u4 es combinación lineal de los restantes.

Ejercicio 27. Sean U = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 0} y V = {(x, y, z) ∈ R3 : y + z = 0}. Entonces U + V es igual a: ¯ ° x+y=0 . a) (x, y, z) ∈ R3 : y+z=0 b) {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + z = 0}. c) R3 . d) {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}. Curso 2011-2012

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Álgebra Lineal y Estructuras Matemticas

Ejercicio 28. Sean U el subespacio de (Z7 )4 generado por los¯vectores u1 = (3, 5, 2, 3), u2 = (1, 6, 3, 4) y 2x + y + 5z + 3t = 0 u3 = (6, 4, 4, 4); y sea W el subespacio dado por las ecuaciones . x + 4y + 6z + 5t = 0 Entonces una base de U ∩ W es: a) {(5, 2, 1, 6)}. b) {(6, 1, 1, 1)}. c) {(5, 2, 1, 6), (6, 1, 1, 1)}. d) {(1, 2, 1, 4), (1, 1, 1, 2)}. Ejercicio 29. Sea el espacio vectorial V = (Z5 )3 y sea U el subespacio vectorial de V generado por por (1, 3, 2), (2, 1, 1). ¿Para cuál de los siguientes subespacios vectoriales W de V se verifica que V = U ⊕ W? a) W = h(3, 4, 3)i. b) W = h(2, 1, 3), (3, 4, 2)i. c) W = h(2, 3, 1), (4, 1, 2)i. ¯ ° 4x + 2y = 0 d) W = (x, y, z) ∈ V : . x + 4z = 0 Ejercicio 30. Sea U el subespacio de (Z3 )4 generado por los vectores (1, 0, 1, 0), (1, 1, 2, 1) y (2, 1, 0, 1); y V el subespacio de (Z3 )4 generado por (0, 1, 1, 1) y (2, 2, 1, 2). Entonces: a) U ⊆ V pero U 6= V. b) V ⊆ U pero U 6= V. c) U = V. d) dim(U ∩ V) = 1. Ejercicio 31. Sea v = (1, 0, 2) ∈ (Z5 )3 , y sea B = {(1, 1, 1); (0, 3, 1); (a, 1, 2)}. ¿Para que valor de a ∈ Z5 es B una base, y el vector v tiene coordenadas (3, 2, 1) con respecto a la base B?. a) a = 4. b) a = 1. c) a = 0. d) a = 3.

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Aplicaciones Lineales

Ejercicio 1. De las siguientes aplicaciones decide cuáles son lineales y cuáles no. 1. f1 : R3 → R3 dada por f1 (x, y, z) = (x + y, y + z, z − x) 2. f2 : R3 → R3 dada por f2 (x, y, z) = (xy, yz, −zx) 3. f3 : R2 → R3 dada por f3 (x, y) = (x + y, x − y, 2x + 2y) 4. f4 : R2 → R3 dada por f4 (x, y) = (x + 1, y, x) 5. f5 : R3 → R3 dada por f5 (x, y, z) = (x + 1, x + 2, x + 3) 6. f6 : R3 → R2 dada por f6 (x, y, z) = (x, z) 7. f7 : R → R3 dada por f7 (x) = (x, 2x, 3x) 8. f8 : R2 → R dada por

f8 (x, y) = x2 + y2

Ejercicio 2. Determina cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales: 1. f : Z23 → Z23 , f(x, y) = (x + 1, y + 2). 2. f : V → V 0 , f(v) = 0. 3. f : R → R, f(r) = r2 . 4. f : Z37 → Z27 , f(x, y, z) = (x + y + z, 28x + 92z). Ejercicio 3. Sea V un Q-espacio vectorial de dimensión 4 y V 0 un Q-espacio vectorial de dimensión 3. Sean B = {v1 , v2 , v3 , v4 } y B 0 = {v10 , v20 , v30 } bases de V y V 0 . Se considera la única aplicación lineal f : V → V 0 que verifica: f(v1 ) = 4v10 + 7v20 + 2v30 f(v2 ) = −v10 + 3v20 + 9v30 f(v3 ) = v20 + 2v30 f(v4 ) = 2v10 − v20 − 8v30 Se pide: 1. Escribe la matriz asociada a f respecto de las bases B y B 0 . 2. Calcula la dimensión de los subespacios núcleo e imagen de f. 3. ¿Es f una aplicación lineal inyectiva?¿Y sobreyectiva? Justifica las respuestas. 1

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Ejercicio 4. Sea la aplicación lineal f : R3 → R3 definida por f(x, y, z) = (3x + 2y − z, 5x − 2y, −9x + 10y − 2z) √ √ 1. ¿Pertenece el vector (1, 2, 3) a la imagen de f? 2. ¿Existe algún vector de la forma (2, 5, λ) que pertenezca al núcleo de f? 3. ¿Es f un isomorfismo de espacios vectoriales? Ejercicio 5. Sea f : Z35 → Z25 la aplicación lineal definida por f(x, y, z) = (x + 2y + z, 2z). Calcula las ecuaciones implícitas y paramétricas de N(f) y de im(f). Ejercicio 6. Calcula la matriz asociada respecto de las bases canónicas de la aplicación lineal f : R3 → R4 que lleva u1 = (1, 1, 2) u2 = (0, 1, 1) u3 = (1, 1, 0)

en en en

v1 = (1, 0, 1, 2) v2 = (0, 1, −1, 1) v3 = (0, 1, 1, 0)

Calcula el núcleo y la imagen. Ejercicio 7. Dada la aplicación lineal f : Z35 → Z35 que verifica (1, 1, 1) ∈ N(f) f(1, 2, 1) = (1, 1, 2) f(1, 2, 2) = (0, 1, 1) 1. Calcula la matriz de f en la base canónica. 2. Calcula las dimensiones del núcleo y la imagen de f. Ejercicio 8. Construye una aplicación lineal f : Q2 → Q2 de forma que f(0, 1) = (28, 92) y f(1, 0) = (92, 28). Ejercicio 9. Construye una aplicación lineal f : Z33 → Z43 de forma que ¡ ¢ im(f) = L (1, 2, 0, 2), (2, 0, 2, 0) . Ejercicio 10. Construye una aplicación lineal f : Z32 → Z32 de forma que el vector (1, 0, 1) pertenezca al núcleo de f y los ectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) a la imagen. Ejercicio 11. Sea f : Z35 → Z35 , f(x, y, z) = (x + y + z, 2x + y, 3x + 2y + z). Calcula una base de N(f) y una base de im(f). Ejercicio 12. Sea f : Z35 → Z35 dada por f(x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x3 , x1 + x3 ). Encuentra la matriz de f respecto de la base canónica y respecto de la base {(1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1)}. Halla la imagen mediante f de los siguientes subespacios de Z35 : 1. V1 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ Z35 | x1 + x2 + x3 = 0} 2. V2 = {(x1 , x2 , 0) | x1 , x2 ∈ Z5 } 3. V3 = {(x1 , x2 , x3 ) = t(1, −1, 1) | t ∈ Z5 } Ejercicio 13. Dada la aplicación lineal f : R3 → R4 definida por f(x, y, z) = (x + y + z, x − y − z, 2x, y + z) 1. Calcula una base del núcleo de f. 2. Calcula ecuaciones implícitas (o cartesianas) de la imagen de f. 3. Calcula la expresión matricial de f respecto de las bases B = {(1, 0, 0), (0, 1, −1), (1, 1, 1)} B 0 = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}

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Aplicaciones Lineales (segunda parte)

Ejercicio 1. Prueba que las siguientes aplicaciones son lineales. 1. D : R3 [x] → R3 [x] dada por

D(p(x)) = p 0 (x)

2. S : M2 (R) → M2 (R) dada por S(A) =

1 (A + At ) 2

T (A) =

1 (A − At ) 2

3. T : M2 (R) → M2 (R) dada por

4. I[0,1] : R3 [x] → R dada por

Z1 I[0,1] (p(x)) =

p(x)dx 0

5. P : M2 (R) → M3×2 (R) dada por P(A) = PA con P ∈ M3×2 (R) Ejercicio 2. Para las aplicaciones lineales del ejercicio anterior calcula: 1. La matriz asociada respecto de las bases estándar adecuadas. 2. El núcleo y la imagen. Ejercicio 3. Estudia cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios vectoriales dados. Halla las matrices respecto de las bases estándar de las que lo sean: µ ¶ 1 . 1. MB : M2 (Z3 ) → M2×1 (Z3 ) dada por MB (A) = AB con B = 2 2. SB : M2 (Q) → M2 (Q) dada por SB (A) = A + B con B ∈ M2 (Q) fija. µ ¶ 2 1 3. CB : M2 (Z5 ) → M2 (Z5 ) dada por CB (A) = AB − BA con B = . 0 2 4. A : R2 [x] → R4 dada por A(p(x)) = (p(0), p(1), p(2), p(3)) Ejercicio 4. Se considera la aplicación det : M2 (Q) → Q que asocia a cada matriz su determinante. Responde a las siguientes cuestiones y justifica la respuesta: 1. ¿Es det una aplicación lineal? 2. ¿Es f una aplicación inyectiva? 3. ¿Es f una aplicación sobreyectiva? Ejercicio 5. Sea la aplicación lineal f : R3 → R4 definida por f(x, y, z) = (x + y + z, x − y − z, 2x, y + z) 1. Calcula una base del núcleo de f 1

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Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

2. Calcula las ecuaciones cartesianas de la imagen de f 3. Calcula la expresión matricial de f respecto de las bases B y B 0 , donde B = {(1, 0, 0), (0, 1, −1), (1, 1, 1)} 0

B = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)} Ejercicio 6. Para la aplicación lineal fa : R3 → R3 dada por fa (1, 1, 1) = (a, a, a) fa (0, 1, 1) = (−a, 0, 0) fa (1, 0, 1) = (1, 1 − a, 0)

para un parámetro a ∈ R

se pide: 1. La matriz de fa respecto de la base canónica. 2. Según los valores de a, estudia las dimensiones del núcleo y la imagen de fa . 3. La matriz de fa respecto de la base B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}. Ejercicio 7. Dadas f : R3 → R3 mediante f(x1 , x2 , x3 ) = (x2 , x3 , 0) y g : R3 → R2 dada por g(x1 , x2 , x3 ) = n (x1 + x3 , x2 ) calcular fn = f ◦ · · · ◦ f y g ◦ f. [Sugerencia: calcula las matrices de f y g]. Ejercicio 8. Construye una aplicación lineal f : R3 → R3 de manera que (0, 1, 0) ∈ N(f) y que dim(Im(f)) = 2. Ejercicio 9. Se consideran los subespacios de (Z3 )4 ¯ x−y−z=0 U= t=0

W = h(1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1)i

1. Da una aplicación lineal no nula f de W en U y calcula f(1, 0, 1, 0). 2. ¿Cuántas aplicaciones lineales sobreyectivas hay de W a U + W ? Ejercicio 10. Sabiendo que la aplicación f lleva los vectores

de Z37 en los vectores

B1 = {u1 = (1, 0, 0),

, u2 = (1, 1, 0),

u3 = (1, 1, 1)}

B2 = {w1 = (2, 1, 2),

, w2 = (3, 1, 2),

w3 = (6, 2, 3)}

relativamente, encontrar las matrices M(f; Bc ), M(f; B1 B2 ), M(f; B1 ), M(f; B2 , Bc ), donde Bc es la base canónica. Ejercicio 11. Prueba que si dim(V) > dim(V 0 ), entonces no existe ninguna aplicación lineal inyectiva de V en V 0. Ejercicio 12. Dada la aplicación lineal f : (Z7 )4 → (Z7 )4 que, respecto de la base canónica, viene dada por la matriz   4 1 1 1  1 4 1 1   A=  1 1 4 1  1 1 1 4 1. Calcula la imagen del vector v = (1, 1, 1, 1) por f. ¿Es un vector propio de A? 2. Calcula las dimensiones del núcleo y la imagen de f, así como una base de cada uno de estos subespacios. 3. Calcula los valores propios de A.

Departamento de Álgebra

TEMA

6

Aplicaciones Lineales (test)

Ejercicio 1. Consideremos la aplicación lineal f : R3 → R3 definida por f(x, y, z) = (x + y, x + z, 2x + y + z). Entonces a) La dimensión de la imagen de f es 2. b) La dimensión del núcleo de f es 2. c) f es sobreyectiva. d) f es inyectiva. Ejercicio 2. Sea f : R3 → R2 la aplicación lineal definida por f(x, y, z) = (x + y, 2x + 2y). La dimensión del núcleo de f es a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

Ejercicio 3. Se considera la aplicación lineal f : Q3 → Q3 que tiene como matriz asociada en la base canónica   1 4 2  3 3 −3  0 2 2 entonces: a) una base de la imagen de f es {(1, 3, 0), (4, 3, 2)} y una base del núcleo de f es {(2, −1, 1), (−6, 2, 9)}. b) una base de la imagen de f es {(1, 4, 2), (3, 3, −3)} y una base del núcleo de f es {(2, −1, 1), (−6, 2, 9)}. c) una base de la imagen de f es {(1, 3, 0), (4, 3, 2)} y una base del núcleo de f es {(2, −1, 1)}. d) una base de la imagen de f es {(1, 3, 0), (4, 3, 2)} y una base del núcleo de f es {(−6, 2, 9)}. Ejercicio 4. Consideremos la aplicación lineal f : R2 → R3 definida por f(x, y) = (3x + 2y, x − y, x + 2y). Entonces la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas es ¶ µ 3 1 1 a) 2 −1 2   3 2 b)  1 −1  1 2 µ ¶ 1 1 3 c) 2 −1 2   2 3 d)  −1 1  2 1 Ejercicio 5. Sea la aplicación lineal f : (Z5 )2 → Z5 determinada por f(2, 0) = 3 y f(1, 3) = 1. Entonces a) f(1, 1) = 2, b) f(1, 1) = 3, 1

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemticas

c) para tener una aplicación lineal necesitamos que el dominio y el codominio sean espacios vectoriales, cosa que no ocurre con Z5 , d) las condiciones del enunciado no determinan ninguna aplicación lineal, así que no puede calcularse f(1, 1). Ejercicio 6. Consideremos la aplicación lineal f : Q2 → Q3 definida por f(x, y) = (x + y, −x − y, 0). Entonces la dimensión de la imagen de f es: a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

Ejercicio 7. Consideremos la aplicación lineal f : Q2 → Q3 definida por f(x, y) = (x + y, −x − y, 0). Entonces la dimensión del núcleo de f es: a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

Ejercicio 8. Sea f : V → V 0 una aplicación lineal inyectiva y {v1 , v2 , . . . , vn } una base para V. Entonces {f(v1 ), f(v2 ), . . . , f(vn )} a) es una base para V 0 . b) es un sistema de generadores para V 0 . c) es un conjunto de vectores linealmente independientes. d) es un conjunto de vectores linealmente dependientes. Ejercicio 9. Sea f : (Z3 )4 → (Z3 )2 una aplicación lineal no sobreyectiva tal que (1, 0, 0, 0) ∈ N(f), (0, 1, 2, 0) ∈ N(f) y (1, 1) ∈ Im(f). Indica cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente falsa. a) dimIm(f) = 1 b) dim(N(f)) = 3 c) (0, 0, 1, 1) ∈ N(f) y (0, 0, 0, 2) ∈ N(f) d) (2, 2, 1, 0) ∈ N(f) y (0, 0, 0, 1) ∈ N(f) Ejercicio 10. Consideremos la aplicación lineal f : R3 → R3 definida por f(x, y, z) = (x − y + 2z, x + y − z, 4x − 2y + 5z). Entonces a) los subespacios núcleo e imagen de f son iguales, b) f∗ ({(−1, 1, −2)}) = ∅ c) el subespacio núcleo de f tiene dimensión 0, d) el subespacio imagen de f tiene dimensión 2. Ejercicio 11. Consideremos la aplicación lineal f : R3 → R3 definida por f(x, y, z) = (x + y, x + z, 2x + y + z). Entonces una base de Im(f) es a) {(1, 1, 2), (0, 0, 1)} b) {(1, 0, 1), (0, 0, 1)} c) {(1, 1, 2), (2, 1, 3)} d) {(1, 1, 2)} Ejercicio 12. Sea f : R4 → R3 una aplicación lineal tal que dim(N(f)) = 1. Entonces: a) f es inyectiva, b) f es sobreyectiva, c) f es biyectiva, d) f es un isomorfismo.

Departamento de Álgebra

TEMA

7

Diagonalización

Ejercicio 1. Para las siguientes matrices con coeficientes en R calcula sus valores propios y los subespacios propios correspondientes: 1.

 0 1  2

1 0 A1 =  1 1 1 0 2.

1 0 C1 =  −1/2 1 1/2 0 3.

1 0 0  1 2 1 A2 =   −1 −1 0 2 2 2 4.

1  0 C2 =   0 0

 0 −1  2  0 0   0  −1

 0 2 2 1 −2 −2   0 −1 −2  0 0 1

Ejercicio 2. Encuentra A ∈ M3 (R) con autovalores 1,2 y -1 y autovectores (1, −1, 1), (4, −5, 3) y (−3, 5, 2). Ejercicio 3. En R4 se considera el endomorfismo que, respecto de la base canónica, viene dado por la matriz 

1  0 A=  0 1

0 0 1 0 0 1 0 −2

 1 0   −2  5

Se pide: 1. Prueba que es diagonalizable. 2. Calcula una base de R4 formada por vectores propios del endomorfismo. Ejercicio 4. Dada la matriz

 1 A = 0 3

 0 0 1 1 ∈ M3 (K), −3 5

1. Estudia si A es diagonalizable en los casos K = Z2 , Z3 , Z5 , calculando la matriz de paso cuando sea diagonalizable. 2. Calcula A227 en los casos en los que A es diagonalizable. 1

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

Ejercicio 5. Dada la matriz

 0 A = 0 3

 1 0 0 1 ∈ M3 (K), −3 3

Estudia si A es diagonalizable en los casos K = Z3 , Q, R, C. Ejercicio 6. Sea f : Z37 → Z37 es un endomorfismo con valores propios λ1 = 2 y λ2 = 4. Supongamos que la ecuación cartesiana de V2 es x + y + 4z = 0, y que V4 está generado por (1, 1, 0). Calcula la matriz de f en la base canónica. Ejercicio 7. Estudia para qué valores de los parámetros a y b es diagonalizable la matriz   1 a 2 −1  0 1 3 4   A=  0 0 2 b  0 0 0 2 Ejercicio 8. Calcula los valores propios de la matriz   p/2 (p − q)/4 q/2 1 −1  A =  −1 q/2 (q − p)/4 p/2 en función de los parámetros que aparecen. ¿Para qué valores de p y q la matriz tiene un único valor propio? Ejercicio 9. Calcula los valores propios de la matriz  a  (2b + a)/2  A= a/2 −a/2

0 a 0 0

 0 0 b b   a 0  0 a

y calcula para qué valores de los parámetros a y b la matriz es diagonalizable. Ejercicio 10. Sea f : (Z13 )3 → (Z13 )3 la aplicación lineal dada por: f(x, y, z) = (7x + 12y + 4z, x + 6y + 3z, 5x + 6y + 12z) 1. Halla la matriz de f en la base canónica. 2. Estudia si f es diagonalizable, y en caso afirmativo halla una base de vectores propios. 3. Calcula A2431 . 4. Calcula f2432 (1, 2, 3).

Departamento de Álgebra

TEMA Diagonalización (Segunda parte)

Ejercicio 1. Calcula los valores propios de la matriz   p/2 (p − q)/4 q/2 1 −1  A =  −1 q/2 (q − p)/4 p/2 en función de los parámetros que aparecen. ¿Para qué valores de p y q la matriz tiene un único valor propio? Ejercicio 2. Calcula los valores propios de la matriz  a  (2b + a)/2 A=  a/2 −a/2

0 a 0 0

 0 0 b b   a 0  0 a

y calcula para qué valores de los parámetros a y b la matriz es diagonalizable. Ejercicio 3. Sea f : (Z13 )3 → (Z13 )3 la aplicación lineal dada por: f(x, y, z) = (7x + 12y + 4z, x + 6y + 3z, 5x + 6y + 12z) 1. Halla la matriz de f en la base canónica. 2. Estudia si f es diagonalizable, y en caso afirmativo halla una base de vectores propios. 3. Calcula A2431 . 4. Calcula f2432 (1, 2, 3). Ejercicio 4. Dada la matriz

 1 1 A = 2 0 3 1

 1 1 ∈ M3 (Z5 ), 2

a) A tiene dos valores propio de multiplicidades algebraicas 1 y 2 respectivamente. b) A tiene tres valores propios. c) A tiene un único valor propio de multiplicidad algebraica 3. d) A tiene un único valor propio de multiplicidad algebraica 1. Ejercicio 5. La matriz

3

A =  −3 2 1 2

 0 0 1 0 ∈ M3 (Q) 0 1

representa un endomorfismo de Q3 en Q3 . Una base de Q3 formada por vectores propios de A es a) {(0, 1, 1), (0, −1, 1), (4, −3, 1)} b) {(0, 4, 1), (1, −1, 1), (4, −3, 1)} c) {(0, 1, 1), (0, −1, 1), (0, 0, 2)} 1

7

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

d) {(0, 1, 1), (0, −1, 1), (1, −1, 1)} Ejercicio 6. Los valores propios de la matriz  1 2  4  6 1

0 3 5 7 1

0 0 1 2 1

0 0 0 0 1

 0 0  0  0 1

son a) {1, 3, 0}

b) {1, 2, 3, 4, 5}

c) {0, 1, 2, 3}

Ejercicio 7. Sea

d) No tiene valores propios

 2 A = 1 0

1 2 0

 2 2 ∈ M3 (Z3 ) 1

una matriz cuyos valores propios son 0 y 1. Los espacios propios de A tienen por ecuaciones ­ ® © ª x + 2y = 0 y V1 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | x + y + 2z = 0 a) V0 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | z = 0 © ª © ª b) V0 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | x + 2y = 0 y V1 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | x + y + 2z = 0 ­ ® © ª x + 2y = 0 c) V0 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | x + y + 2z = 0 y V1 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | x + y + 2z = 0 ­ ® ­ ® x + 2y = 0 3 x+y=0 d) V0 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | y V = (x, y, z) ∈ (Z ) | 1 3 z = 0 z = 0 µ ¶ λ1 0 0 Ejercicio 8. Sea A = 0 λ2 0 ∈ M3 (Zp ) con λ1 6= λ3 (p es un número primo). Entonces 0

0 λ3

a) A es diagonalizable y la base canónica es una base de vectores propios. b) A es diagonalizable y todos los vectores de (Zp )3 son propios. c) A no es diagonalizable. d) A es diagonalizable si y sólo si λ21 + λ2 λ3 = 0. Ejercicio 9. Sea f : (Z5 )3 → (Z5 )3 la aplicación lineal dada por: f(x, y, z) = (4z, 2x + 2y + z, x) 1. Halla la matriz de f en la base canónica (llamémosla A) 2. Estudia si f es diagonalizable, y en caso afirmativo hallar una base de vectores propios. 3. Calcula A703 . 4. Halla f704 (1, 2, 3). Ejercicio 10. Sea A una matriz cuadrada con coeficientes en R y con determinante igual a cero. Entonces: a) A no es diagonalizable. b) A sólo es diagonalizable si es simétrica. c) El producto de los valores propios de A vale cero. d) λ = 0 es el único valor propio de A. Ejercicio 11. Sea A la matriz

 4 3 1

 3 0 0 1 ∈ M3 (Z5 ) 3 3

Sea α la multiplicidad algebraica y d la multiplicidad geométrica del valor propio 3. Entonces Departamento de Álgebra

Tema 7. Diagonalización (Segunda parte)

3

a) d = 2 y α = 2 b) d = 1 y α = 1 c) d = 1 y α = 2 d) d = 2 y α = 1 Ejercicio 12. Sea A la matriz asociada a una aplicación lineal f : R3 → R3 respecto de la base canónica. Supongamos que existe un número real a tal que f(2u + v) = a2 u + f(v) para cualesquiera u, v ∈ R3 . Entonces a) la matriz A es diagonalizable independientemente del valor de a. b) la matriz A no es diagonalizable, sea cual sea el valor de a. c) la matriz A es diagonalizable solamente para un número finito de valores de a. d) los datos del enunciado no permiten decidir si la matriz A es o no diagonalizable. Ejercicio 13. Sea A ∈ Mn (R) tal que A2 = 0. Entonces: a) A = 0 b) A es regular. c) 0 es el único valor propio de A. d) todos los valores propios de A son estrictamente positivos. Ejercicio 14. Los valores propios de la matriz en R 

 3 1  2

1 2  1 1 0 1

√ √ 1. son {0, 2 + 2, 2 − 2}. √ √ 2. son {0, 2, − 2}. √ √ 3. son {0, 2 + 2, 2 − 2}. 4. son {1, 2}. 5. no son números raeles. Ejercicio 15. De una matriz A de orden 4 sobre Z5 sabemos que tiene dos subespacios propios dados por ¯ x+y+z=0 V1 = t=0 ¯ x=z V2 = y=0 señalar la respuesta correcta: 1. No es diagonalizable puesto que sólo tiene dos subespacios propios y A es de orden 4. 2. No podemos asegurar que sea diagonalizable puesto que no conocemos los valores propios. 3. Es diagonalizable y una matriz de paso es

1  −1   0 0 4. Es diagonalizable y una matriz de paso es

1  0   1 0

 1 1 0 0 0 0   −1 1 0  0 0 1

1 0 0 1

1 0 −1 0

Curso 2011-2012

 0 0   0  0

TEMA Diagonalización (test)

Ejercicio 1. Dada la matriz

 1 1 A = 2 0 3 1

 1 1 ∈ M3 (Z5 ), 2

a) A tiene dos valores propio de multiplicidades algebraicas 1 y 2 respectivamente. b) A tiene tres valores propios. c) A tiene un único valor propio de multiplicidad algebraica 3. d) A tiene un único valor propio de multiplicidad algebraica 1. Ejercicio 2. La matriz

 0 0 1 0 ∈ M3 (Q) 0 1

3

A =  −3 2 1 2

representa un endomorfismo de Q3 en Q3 . Una base de Q3 formada por vectores propios de A es a) {(0, 1, 1), (0, −1, 1), (4, −3, 1)} b) {(0, 4, 1), (1, −1, 1), (4, −3, 1)} c) {(0, 1, 1), (0, −1, 1), (0, 0, 2)} d) {(0, 1, 1), (0, −1, 1), (1, −1, 1)} Ejercicio 3. Los valores propios de la matriz  1 2  4  6 1

0 3 5 7 1

0 0 1 2 1

0 0 0 0 1

 0 0  0  0 1

son a) {1, 3, 0}

b) {1, 2, 3, 4, 5}

Ejercicio 4. Sea

c) {0, 1, 2, 3}

d) No tiene valores propios

 2 A = 1 0

1 2 0

 2 2 ∈ M3 (Z3 ) 1

una matriz cuyos valores propios son 0 y 1. Los espacios propios de A tienen por ecuaciones ­ ® © ª x + 2y = 0 y V1 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | x + y + 2z = 0 a) V0 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | z = 0 © ª © ª b) V0 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | x + 2y = 0 y V1 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | x + y + 2z = 0 ­ ® © ª x + 2y = 0 c) V0 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | x + y + 2z = 0 y V1 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | x + y + 2z = 0 1

7

2

Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas

­ d) V0 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 | µ Ejercicio 5. Sea A =

®

x + 2y = 0

λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3

z = 0

­ y V1 = (x, y, z) ∈ (Z3 )3 |

®

x+y = 0 z = 0

¶ ∈ M3 (Zp ) con λ1 6= λ3 (p es un número primo). Entonces

a) A es diagonalizable y la base canónica es una base de vectores propios. b) A es diagonalizable y todos los vectores de (Zp )3 son propios. c) A no es diagonalizable. d) A es diagonalizable si y sólo si λ21 + λ2 λ3 = 0. Ejercicio 6. Sea f : (Z5 )3 → (Z5 )3 la aplicación lineal dada por: f(x, y, z) = (4z, 2x + 2y + z, x) 1. Halla la matriz de f en la base canónica (llamémosla A) 2. Estudia si f es diagonalizable, y en caso afirmativo hallar una base de vectores propios. 3. Calcula A703 . 4. Halla f704 (1, 2, 3). Ejercicio 7. Sea A una matriz cuadrada con coeficientes en R y con determinante igual a cero. Entonces: a) A no es diagonalizable. b) A sólo es diagonalizable si es simétrica. c) El producto de los valores propios de A vale cero. d) λ = 0 es el único valor propio de A. Ejercicio 8. Sea A la matriz

 4 3 1

3 0 3

 0 1 ∈ M3 (Z5 ) 3

Sea α la multiplicidad algebraica y d la multiplicidad geométrica del valor propio 3. Entonces a) d = 2 y α = 2 b) d = 1 y α = 1 c) d = 1 y α = 2 d) d = 2 y α = 1 Ejercicio 9. Sea A la matriz asociada a una aplicación lineal f : R3 → R3 respecto de la base canónica. Supongamos que existe un número real a tal que f(2u + v) = a2 u + f(v) para cualesquiera u, v ∈ R3 . Entonces a) la matriz A es diagonalizable independientemente del valor de a. b) la matriz A no es diagonalizable, sea cual sea el valor de a. c) la matriz A es diagonalizable solamente para un número finito de valores de a. d) los datos del enunciado no permiten decidir si la matriz A es o no diagonalizable. Ejercicio 10. Sea A ∈ Mn (R) tal que A2 = 0. Entonces: a) A = 0 b) A es regular. c) 0 es el único valor propio de A. d) todos los valores propios de A son estrictamente positivos. Departamento de Álgebra

Tema 7. Diagonalización (test)

Ejercicio 11. Los valores propios de la matriz en R 

 3 1  2

1 2  1 1 0 1

√ √ 1. son {0, 2 + 2, 2 − 2}. √ √ 2. son {0, 2, − 2}. √ √ 3. son {0, 2 + 2, 2 − 2}. 4. son {1, 2}. 5. no son números raeles. Ejercicio 12. De una matriz A de orden 4 sobre Z5 sabemos que tiene dos subespacios propios dados por ¯ x+y+z=0 V1 = t=0 ¯ x=z V2 = y=0 señalar la respuesta correcta: 1. No es diagonalizable puesto que sólo tiene dos subespacios propios y A es de orden 4. 2. No podemos asegurar que sea diagonalizable puesto que no conocemos los valores propios. 3. Es diagonalizable y una matriz de paso es 

1  −1   0 0

 1 1 0 0 0 0   −1 1 0  0 0 1

4. Es diagonalizable y una matriz de paso es 

1  0   1 0

1 0 0 1

1 0 −1 0

Curso 2011-2012

 0 0   0  0

3

EXAMENES

Curso: 2011/2012 Clase: Primero - Grupo: B

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