¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
A Wassily Kandinsky, un pintor abstracto y músico con formación en piano y chelo, le fascinaban el color y la música. Algunas de sus pinturas parecen estar “compuestas” de una manera que nos permite ver el arte como una composición musical. En matemáticas, componemos y descomponemos números para familiarizarnos con el sistema numérico. Cuando miras un número, ¿puedes ver las partes que forman el total?
Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros
2 Suma y resta con fracciones
3 Multiplicación y división con fracciones
4
Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales
5 Suma y multiplicación con área y volumen
6 Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas
Antes de este módulo
Módulo 4 de 4.° grado
En el módulo 4 de 4.° grado, la clase desarrolla una comprensión conceptual de las fracciones al dividir y sombrear modelos de área. Sus estudiantes aprenden que las fracciones pueden descomponerse en partes de la misma manera que los números enteros. Usan modelos de área para formar fracciones equivalentes y mostrar cómo expresan con otro nombre numéricamente. Al aplicar la comprensión de las fracciones equivalentes, aprenden a comparar fracciones creando un numerador común o un denominador común.
Contenido general
Suma y resta con fracciones
Tema A
Fracciones y división
La clase usa la distribución en partes iguales para entender una fracción como el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Usan modelos y la forma vertical para dividir y representar residuos como fracciones. Luego, resuelven problemas verbales que involucran la división.
Tema B
Suma y resta de fracciones usando unidades semejantes
El Sr. Evans vierte 11 litros de agua, en partes iguales, en 4 recipientes
¿Cuántos litros de agua hay en 1 recipiente? Hay 2 litros de agua en 1 recipiente. 3 4
La clase usa modelos y ecuaciones para formar unidades semejantes antes de sumar y restar fracciones. Analizan expresiones para determinar si las unidades en las fracciones están relacionadas o no están relacionadas, lo que indica si una o más fracciones deben expresarse con otro nombre para formar unidades semejantes.
Tema C
Suma y resta de fracciones, números enteros y números mixtos
La clase aplica el conocimiento de la suma y resta de números enteros como ayuda para sumar y restar números mixtos. Usan modelos conocidos como un vínculo numérico, una recta numérica y el método de flechas para mostrar su razonamiento.
Después de este módulo
Módulo 3 de 5.° grado
El estudio de las fracciones continúa en el módulo 3 de 5.° grado, cuando la clase aprende a multiplicar con fracciones y a dividir con números enteros y fracciones unitarias. Sus estudiantes aplican lo que saben sobre la suma de fracciones para entender la multiplicación de fracciones y comprobar sus respuestas.
Tema D
Resolver problemas y diagramas de puntos con medidas fraccionarias
Distancias que caminó la Sra. Song
La clase crea diagramas de puntos a partir de un conjunto de datos dado. Consideran todos los datos para decidir cuánto debe mostrarse de la recta numérica y cómo rotular la recta numérica para presentar los datos para que puedan leerse, analizarse y entenderse con facilidad. La clase halla la suma de las medidas en un conjunto de datos y usa modelos para redistribuir la suma, en partes iguales, entre todos los datos.
(millas)
Distancia
Contenido
Suma y resta con fracciones
¿Por qué?
6
Criterios de logro académico: Contenido general . . . . . . 8
Tema A
Fracciones y división
Lección 1 .
Interpretar una fracción como división
Lección 2
Interpretar una fracción como división al escribir los residuos como fracciones
Lección 3
Representar fracciones como división usando modelos
Lección 4
Resolver problemas verbales sobre la división y las fracciones
Tema B
Suma y resta de fracciones usando unidades semejantes
Lección 5 . .
Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas usando modelos pictóricos
Lección 6 . . .
Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas usando modelos de área para expresar las fracciones con otro nombre
Lección 7 . .
Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas hallando fracciones equivalentes numéricamente
11
Lección 8
Sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas hallando fracciones equivalentes de forma pictórica
Lección 9 .
Sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas hallando fracciones equivalentes numéricamente
14
34
50
68
Tema C
Suma y resta de fracciones, números enteros y números mixtos
Lección 10
Sumar números enteros y números mixtos, y sumar números mixtos con unidades relacionadas
Lección 11
Sumar números mixtos con unidades no relacionadas
Lección 12
85
88
108
Restar números enteros de números mixtos y números mixtos de números enteros
Lección 13
Restar números mixtos de números mixtos con unidades relacionadas
Lección 14
Restar números mixtos de números mixtos con unidades no relacionadas
126
Tema D
Resolver problemas y diagramas de puntos con medidas fraccionarias
Lección 15 .
Representar datos en un diagrama de puntos
Lección 16 .
Resolver problemas utilizando datos de un diagrama de puntos
Lección 17
Resolver problemas al redistribuir una cantidad total en partes iguales
Recursos
Estándares
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
Vocabulario
Las matemáticas en el pasado
Materiales
Obras citadas
Créditos
Agradecimientos
¿Por qué?
Suma y resta con fracciones
¿Cuándo debería la clase poner las fracciones en su forma más simple? ¿Por qué?
Hacer referencia a la forma más simple de algo puede ser complicado porque lo que es simple para una persona podría no parecer simple para otra. Además, en algunos casos, lo que se conoce como la forma más simple puede ser más difícil de interpretar si hay un contexto involucrado. Por ejemplo, 54 60 es una forma más simple que 9 10 si un problema pide hallar cuántas horas trabaja alguien en un proyecto.
No se espera que la clase exprese fracciones con otro nombre de una forma u otra a menos que lo exija el contexto de un problema. Por ejemplo, un número como 30 20 es una respuesta aceptable para una suma o una diferencia. Sin embargo, si 30 20 es el resultado cuando se pregunta cuántos kilómetros más corrió una persona que otra, se espera que la clase exprese su respuesta como un número mixto, como 1 10 20 . Un número mixto suele ser más fácil de interpretar que una fracción mayor que 1 en problemas basados en el contexto.
¿Por qué a veces se le pide a la clase que exprese su respuesta en la unidad más grande en lugar de pedirle que reduzca la fracción o escriba su respuesta en su mínima expresión?
Gran parte del lenguaje tradicional involucrado en las fracciones, como reducir y mínima expresión, podría causar confusión o malinterpretarse. Consideremos primero el término reducir. Reducir significa hacer algo más pequeño en cantidad o tamaño. No es correcto decir “reducir una fracción” porque lo que se reduce no es la fracción, sino que el numerador y el denominador se reducen proporcionalmente para formar una fracción con el mismo valor. Para evitar el concepto erróneo de que reducir una fracción genera una fracción de menor valor, no se indica a la clase que reduzca fracciones.
Ahora, considere la frase mínima expresión. El uso matemático de término no se presenta a la clase hasta 6.° grado, que es cuando pueden entender términos como único número, variable o producto de números y variables en una expresión. En 4.° grado, la clase usa término, pero solo para referirse
a cualquier elemento de una lista ordenada en un patrón. Dado que mínima expresión es una frase que la clase aún no puede entender matemáticamente, no se le pide que escriban fracciones en su mínima expresión.
En lugar de pedirles que reduzcan o escriban fracciones en su mínima expresión, se les pide a sus estudiantes que expresen su respuesta usando la unidad más grande. Esta es una descripción más precisa porque cuando se “reduce” una fracción, en realidad se escribe con una unidad fraccionaria más grande. Por ejemplo, la fracción 30 100 es 30 centésimos en forma unitaria. 10 centésimos tiene el mismo valor que 1 décimo, entonces 30 centésimos tiene el mismo valor que 3 décimos y 30 100 es equivalente a 3 10 . Los décimos son una unidad más grande que los centésimos, entonces, la fracción 30 100 escrita en la mayor unidad posible es la fracción 3 10 . La clase comienza 5.° grado con una comprensión sólida del término unidad.
Cuando la clase halla fracciones equivalentes, ¿por qué en 5 . ° grado escribe los factores en el orden opuesto que en 4 . ° grado?
En 3.er grado, la clase interpreta los factores en la expresión 3 × 4 como 3 grupos de 4. Por lo tanto, en 4.° grado, la clase halla fracciones equivalentes al escribir una expresión como 3 × 4 3 × 5 .
Esto se interpreta como triplicar el número de unidades seleccionadas y triplicar el número total de unidades, especialmente al usar un modelo de área para formar una fracción equivalente.
En 5.° grado, la clase desarrolla una comprensión más profunda de la multiplicación y comienza a alejarse de modelos pictóricos y del razonamiento de grupos iguales. La clase se siente tan cómoda trabajando con las expresiones de multiplicación que les es más natural escribir los factores de la fracción original primero (p. ej., 4 y 5) seguidos de los factores que usan para expresar la fracción con otro nombre (p. ej., 3 y 3), en lugar de viceversa. En 5.° grado, la clase sigue usando el modelo de área para hallar fracciones equivalentes, pero avanza hacia expresar las fracciones con otro nombre de forma numérica. Por estas razones, las fracciones equivalentes se presentan con una expresión como 4 × 3 5 × 3 , la cual respeta el conocimiento que la clase adquirió con los años y le permite atender las necesidades del problema en lugar de enfocarse en ordenar los factores de una forma en particular.
Criterios de logro académico: Contenido general
Suma y resta con fracciones
Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo.
Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar.
Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de:
• observaciones informales en el salón de clases;
• los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones;
• Boletos de salida;
• Pruebas cortas de los temas y
• Evaluaciones de los módulos.
Este módulo contiene los once CLA que se indican.
5.Mód2.CLA1
Resuelven problemas de varios pasos, incluidos problemas verbales, que involucran la suma y la resta de fracciones y números mixtos y la división de números enteros con cocientes fraccionarios.
5.Mód2.CLA2
Razonan acerca del proceso de sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes.
5.Mód2.CLA3
Representan la formación de fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes.
5.Mód2.CLA4
Suman y restan fracciones y números mixtos con unidades diferentes.
5.NF.A
5.Mód2.CLA5
Resuelven problemas verbales que involucran la suma y la resta de fracciones y números mixtos con unidades diferentes.
5.Mód2.CLA6
Representan problemas verbales que involucran la suma o resta de fracciones o números mixtos que se refieren al mismo entero.
5.NF.A.2
5.Mód2.CLA9
Representan problemas que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios.
5.NF.B.3
5.Mód2.CLA10
Resuelven problemas verbales que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios.
5.Mód2.CLA7
Estiman mentalmente sumas o diferencias de fracciones o números mixtos y evalúan si las respuestas a los problemas verbales son razonables.
5.NF.A.2
5.Mód2.CLA8
Interpretan fracciones como la división del numerador entre el denominador.
5.NF.B.3
5.Mód2.CLA11
Hacen diagramas de puntos para representar un conjunto de datos en unidades fraccionarias ( 1 2 , 1 4 , 1 8 ) y utilizan diagramas de puntos para analizar datos y resolver problemas.
5.MD.B.2
La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente.
5.NF
5.NF.A
5.NF.A.1
5.NF.A.2
5.NF.B.3
Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.
Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes:
• Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 2 de 5.° grado se codifica como
5.Mód2.CLA1.
• Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará.
• Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada.
• Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.
Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#
Texto del CLA
5.Mód2.CLA5 Resuelven problemas verbales que involucran la suma y la resta de fracciones y números mixtos con unidades diferentes.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.A.2 Resuelven problemas verbales de suma y resta de fracciones que se refieran a un entero, incluyendo casos de denominadores distintos, por ejemplo, al emplear modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema. Utilizan las fracciones de referencia y el sentido numérico para hacer cálculos mentales y evaluar la lógica de las respuestas. Por ejemplo, reconocen como incorrecto el resultado 2 5 + 1 2 = 3 7 , observando que 3 7 < 1 2
Resuelven problemas verbales que involucran la suma o la resta de dos fracciones con unidades relacionadas.
Jada mezcla 1 4 de taza de té sin endulzar con 1 2 taza de té endulzado. ¿Cuántas tazas de té mezcla Jada en total?
Resuelven problemas verbales que involucran la suma o la resta de dos fracciones o números mixtos con unidades no relacionadas.
Una jarra contiene 3 1 2 cuartos de galón de té. Jada vierte 1 2 3 cuartos de galón. ¿Cuánto té queda en la jarra?
Resuelven problemas verbales que involucran la suma y la resta de tres o más fracciones o números mixtos con unidades no relacionadas.
Jada mezcla 2 1 2 libras de papas con 1 3 4 libras de queso. Pone 2 2 3 libras de la mezcla en una bandeja para horno. ¿Qué cantidad de la mezcla no se coloca en la bandeja?
Estándar relacionado
Indicadores del CLA
5 ▸ M2
EUREKA MATH2
Tema A
Fracciones y división
En el tema A, la clase amplía su comprensión de las fracciones para incluirlas como cocientes de expresiones de división de números enteros.
Sus estudiantes usan un modelo de repartir en partes iguales para comprender por qué el cociente de una división de números enteros puede expresarse como una fracción. Pasan de realizar la distribución en partes iguales usando objetos concretos a realizarla usando modelos pictóricos. Distribuyen unidades de igual tamaño en grupos y escriben el tamaño de la parte igual como una fracción. Luego, sus estudiantes distribuyen unidades de diferente tamaño en grupos, lo que hace que expresen el tamaño de la parte igual como un número mixto. Dividen modelos y usan colores para apoyar su razonamiento sobre repartir en partes iguales.
A partir de lo que saben sobre la división de números enteros del módulo 1, sus estudiantes aprenden a expresar los residuos como fracciones. Luego, hacen conexiones entre la expresión de división de números enteros, el cociente como una fracción y el cociente como un número mixto.
Sus estudiantes usan diagramas de cinta para resolver problemas verbales que involucran la división y, luego, expresan las respuestas como fracciones, números enteros o números mixtos. Llegan a la conclusión de que usar un modelo es útil para entender un problema, pero usar el modelo para hallar el producto puede ser difícil debido a los números involucrados. Consideran sus soluciones y deciden que, a veces, es más fácil entender una respuesta cuando está escrita como un número mixto que cuando está escrita como una fracción mayor que 1.
En el tema B, la clase usa lo que sabe sobre la relación entre la división de números enteros y las fracciones para formar unidades semejantes y así poder hallar sumas y diferencias de fracciones.
Progresión de las lecciones
Lección 1
Interpretar una fracción como división
1 ÷ 3 = 3 1
Puedo usar un modelo de repartir en partes iguales para dividir números enteros y escribir el cociente como una fracción. Dada una fracción, puedo escribirla como una expresión de división.
Lección 2
Interpretar una fracción como división al escribir los residuos como fracciones
Puedo usar un modelo de repartir en partes iguales para dividir números enteros y puedo registrar mi razonamiento en forma vertical. Cuando el cociente tiene un residuo, puedo usarlo para escribir una fracción y expresar el cociente como un número mixto.
Lección 3
Representar fracciones como división usando modelos 5 ?
La Sra. Song vierte 5 litros de agua, en partes iguales, en 4 recipientes. ¿Cuántos litros de agua hay en 1 recipiente?
5 ÷ 4 = 1
Hay 1 litros de agua en 1 recipiente. 1 4 1 4
Puedo usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para entender los problemas verbales y un diagrama de cinta puede ayudarme a ver si necesito dividir. Puedo usar un diagrama de cinta para ayudarme a dividir y registrar mi razonamiento en forma vertical. Puedo usar el contexto para decidir si tiene más sentido escribir mi respuesta como una fracción o como un número mixto.
Lección 4
Resolver problemas verbales sobre la división y las fracciones
Lacy tiene 10 galones de agua. Vierte el mismo número de galones de agua en cada una de sus 3 peceras. Su pecera de peces azules ya tenía de galón de agua. ¿Cuántos galones de agua hay en su pecera de peces azules ahora?
Ahora, hay 3 galones de agua en su pecera de peces azules.
Puedo representar y resolver problemas verbales y hacer conexiones entre los modelos que uso y los modelos que usaron mis pares. A veces, uso el modelo como ayuda para resolver el problema. Otras veces, uso el modelo como herramienta para entender un problema y, luego, hallo el cociente usando un método diferente.
Interpretar una fracción como división
1. Dibuja un modelo para mostrar el cociente. Luego, completa la ecuación.
2 ÷ 3 Ejemplo:
2. Escribe cada expresión de división como una fracción.
a. 15 ÷ 6 = 15 6
b. 9 ÷ 19 = 9 19
3. Escribe cada fracción como una expresión de división.
a. 3 8 = 3 ÷ 8
b. 13 12 = 13 ÷ 12
Vistazo a la lección
La clase descompone números enteros en partes para emparejar problemas de repartir en partes iguales. Pasan de usar objetos concretos a dibujar modelos para representar cada situación donde deben repartir y escriben ecuaciones de división para emparejar. A medida que analizan cada ecuación de división, sus estudiantes observan el patrón del dividendo que se empareja con el numerador y el divisor que se empareja con el denominador. Determinan que las ecuaciones de división pueden representarse con fracciones. En esta lección se presenta el verbo académico concluir.
Pregunta clave
• ¿Cómo se relacionan las fracciones con la división?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA8 Interpretan fracciones como la división del numerador entre el denominador. (5.NF.B.3)
5.Mód2.CLA9 Representan problemas que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios. (5.NF.B.3)
5.Mód2.CLA10 Resuelven problemas verbales que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios. (5.NF.B.3)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Representar repartir en partes iguales de forma concreta
• Representar repartir en partes iguales de forma pictórica
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• papel de rotafolio, 1 hoja
• marcadores (5)
• computadora o dispositivo*
• proyector*
• libro Enseñar*
Estudiantes
• Porciones de pizza (en el libro para estudiantes)
• notas adhesivas (4)
• tijeras
• marcadores (5)
• marcador de borrado en seco*
• libro Aprender*
• lápiz*
• pizarra blanca individual*
• borrador para la pizarra blanca individual*
* Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Porciones de pizza de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
• Reúna 5 marcadores de diferentes colores para cada estudiante y para usted.
• Use el papel de rotafolio para registrar y mostrar ecuaciones de división durante la lección. Deje las ecuaciones a la vista durante la Reflexión final.
Fluidez
Contar de un medio en un medio en la recta numérica
La clase cuenta de un medio en un medio y expresa las fracciones como números enteros o números mixtos como preparación para interpretar una fracción como una división.
Muestre la recta numérica.
¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Medios
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un medio en un medio hasta 10 medios. Empiecen diciendo 0 medios. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 2 , 1 2 …, 9 2 , 10 2
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un medio en un medio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 2 , 1…, 9 2 , 5
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un medio en un medio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Nota para la enseñanza
En grados anteriores, sus estudiantes han usado la expresión “una mitad” para referirse a 1 2 . En 4.o grado, se introdujo el uso de “un medio”. Vuelva a señalar a sus estudiantes que “medios” y “mitades” es lo mismo y que pueden usarse de manera indistinta en muchos contextos, por ejemplo, en el de las figuras geométricas, pero que, en el trabajo con fracciones, el término correcto es “medios”.
Nota para la enseñanza
Considere hacer una pausa, antes de que sus estudiantes expresen los números mixtos con otro nombre, para repetir cómo se dicen los números mixtos, como “cuatro y un medio”.
Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 _ 2 , 1…, 4 1 _ 2 , 5
Respuesta a coro: Partes iguales
La clase identifica el número de partes iguales, la unidad fraccionaria y la cantidad de unidades que se necesitan para formar 1 entero como preparación para interpretar una fracción como una división.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el círculo dividido en mitades.
¿En cuántas partes iguales está dividido el modelo?
2
¿Qué unidad fraccionaria muestra el modelo?
Medios
¿Cuántos medios forman 1 entero?
2 medios
Continúe el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar fracciones
La clase suma fracciones con unidades semejantes como preparación para sumar fracciones con unidades relacionadas o diferentes a partir del tema B.
Muestre 1 3 + 1 3 = .
Escriban la ecuación y complétenla. Cuando sea posible, expresen la suma como un número entero.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
No se espera que sus estudiantes expresen las sumas con otro nombre usando unidades más grandes o como números mixtos. Por ejemplo, pueden escribir la suma 3 10 + 9 10 como 12 10 , y no reescribirla como 6 __ 5 , 1 2 10 o 1 1 5
Presentar
Materiales: E) Porciones de pizza
La clase mira un video que apoya la conversación sobre repartir en partes iguales.
Reúna a la clase y presente el contexto del video Un problema de pizza. Diga a la clase que el video mostrará a personas que comparten una pizza en partes iguales. Reproduzca el video y, cuando haga una pausa, haga la siguiente pregunta.
Si cada persona recibe una de estas porciones, ¿qué piensan que sucederá?
Dos personas se enojarán porque recibieron una porción más pequeña que otra persona que recibió una porción más grande.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Porciones de pizza de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas.
Pida a sus estudiantes que dividan la pizza para mostrar cómo 3 personas pueden compartir la pizza en partes iguales.
Invite a la clase a que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para describir cómo dividieron la pizza.
Tracé dos líneas verticales para dividir el rectángulo en 3 partes iguales.
Dividí la pizza en tercios con líneas horizontales para mostrar 3 partes iguales.
¿Qué fracción de la pizza recibe cada persona si se reparte en partes iguales? ¿Cómo lo saben?
Cada persona recibe 1 tercio de la pizza porque la pizza entera se divide en 3 porciones del mismo tamaño.
Reproduzca el resto del video.
¿Cuál es el nuevo problema ahora?
Llegaron 2 personas más. Ahora, hay 5 personas.
Tienen que determinar cómo compartir la pizza, en partes iguales, entre 5 personas.
Nota para la enseñanza
Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.
• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.
Pida a sus estudiantes que borren sus pizarras blancas y, luego, dividan la pizza para mostrar cómo pueden compartir la pizza en partes iguales las 5 personas.
¿Qué fracción de la pizza recibe cada persona si se reparte en partes iguales?
Cada persona recibe 1 quinto de la pizza.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las relaciones o los patrones que observan entre la cantidad de pizza que tienen al principio, el número de personas y la cantidad de pizza que recibe cada persona.
Dividimos la pizza en el mismo número de partes iguales según la cantidad de personas que hay.
Cuantas más personas haya para compartir la misma pizza, más pequeña será la porción que reciba cada persona.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, exploraremos una nueva forma de razonar acerca de la división.
Aprender
Nota para la enseñanza
La noción de que, cuanto más grande es la unidad, menor es el número de partes necesarias para formar un entero es un concepto conocido en los contextos de valor posicional y fracciones. La clase debe comprender que se necesitan menos 100 que 1 para formar 1,000,000. De forma similar, se necesitan menos tercios que quintos para formar una pizza entera. 35
Representar repartir en partes iguales de forma concreta
Materiales: M) Papel de rotafolio; E) Notas adhesivas, tijeras
La clase representa situaciones de repartir en partes iguales con ecuaciones de división.
Asegúrese de que cada estudiante tenga cuatro notas adhesivas y su pizarra blanca frente a sí.
Imaginen que 4 personas quieren compartir 4 waffles en partes iguales. ¿Cuántos waffles recibe cada persona?
Podemos usar nuestra pizarra blanca y las notas adhesivas para representar esta situación.
Pida a sus estudiantes que dibujen 4 círculos en sus pizarras blancas para representar el número de personas.
Cada círculo en sus pizarras blancas representa 1 persona. Cada nota adhesiva representa 1 waffle.
Pida a sus estudiantes que coloquen las notas adhesivas de modo que muestren 4 waffles repartidos, en partes iguales, entre 4 personas.
¿Cuántos waffles recibe cada persona?
Cada persona recibe 1 waffle.
Muestre la siguiente ecuación: 4 ÷ 4 = 1.
¿Qué representa el dividendo?
El número de waffles que se reparten en partes iguales
¿Qué representa el divisor?
El número de personas
¿Qué representa el cociente?
El número de waffles que recibe cada persona
Pida a sus estudiantes que retiren las cuatro notas adhesivas de sus pizarras blancas y que borren los círculos.
Ahora imaginen que hay 2 personas que quieren compartir 1 waffle en partes iguales.
¿Qué fracción del waffle recibe cada persona?
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se diferencia este problema del anterior y cómo podrían representar esta situación nueva.
No hay suficientes waffles para que cada persona reciba 1 waffle entero, así que tenemos que dar menos de 1 waffle a cada persona.
Debemos cortar el waffle por la mitad para que cada persona reciba una parte.
Podemos cortar la nota adhesiva en 2 partes iguales y colocar 1 parte en cada círculo.
Pida a sus estudiantes que corten una nota adhesiva y representen esta situación en sus pizarras blancas.
¿Qué fracción del waffle recibe cada persona?
Cada persona recibe 1 medio de un waffle.
Empezando con el cociente, ¿qué ecuación de división podemos escribir para representar 1 waffle repartido, en partes iguales, entre 2 personas?
1 _ 2 = 1 ÷ 2
¿Qué representan el cociente, el dividendo y el divisor?
El cociente 1 2 representa el número de waffles que recibe cada persona.
El dividendo 1 representa el número de waffles que se reparten en partes iguales.
El divisor 2 representa el número de personas.
Pida a sus estudiantes que retiren las notas adhesivas y los círculos de sus pizarras blancas. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo representarían 4 personas que comparten 1 waffle. Dé tiempo a sus estudiantes para que representen la situación nueva.
¿Qué fracción del waffle recibe cada persona?
Cada persona recibe 1 cuarto de un waffle.
Empezando con el dividendo, ¿qué ecuación de división podemos escribir para representar 1 waffle repartido, en partes iguales, entre 4 personas?
1 ÷ 4 = 1 4
¿Qué representan el cociente, el dividendo y el divisor?
El dividendo 1 representa el número de waffles que se reparten en partes iguales.
El divisor 4 representa el número de personas.
El cociente 1 4 representa la parte del waffle que recibe cada persona.
En nuestro último ejemplo, representamos cómo repartir 1 waffle entre 2 personas. En esta situación, podemos representar cómo repartir 1 waffle entre 4 personas. ¿Qué observan sobre el tamaño del cociente?
En este problema, el cociente es menor. 4 personas reciben una parte más pequeña del waffle que 2 personas.
¿Por qué el cociente es menor?
Más personas comparten la misma cantidad, por eso la cantidad que reciben es menor.
Muestre las siguientes ecuaciones.
÷ 4 = 1 4 1 2 = 1 ÷ 2
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para responder las siguientes preguntas.
¿Observan algún patrón en las ecuaciones? ¿Qué patrones observan?
La clase podría observar que el numerador y el dividendo son el mismo número y que el denominador y el divisor son el mismo número. Este descubrimiento ocurre formalmente luego de algunos ejemplos más. Permita a sus estudiantes que se tomen su tiempo para pensar y hacer observaciones hasta que puedan llegar a una conclusión más formal.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando observa las relaciones entre el dividendo y el divisor de una expresión de división y entre el numerador y el denominador de su cociente fraccionario.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relacionan
¿Cómo puede ayudarles eso a hallar el cociente de 1 ÷ 7?
• ¿Cómo pueden usar lo que tienen en común la expresión de división 1 ÷ 5 y la fracción 1 5 para hallar el cociente de 2 ÷ 5?
• ¿Cómo puede ayudarles la solución al problema 1 para hallar la solución al problema 2?
Invite a sus estudiantes a registrar el patrón que observaron en una de las notas adhesivas que quedó sin usar. La clase vuelve a consultar este enunciado durante la lección mientras adquieren más claridad y revisan el enunciado hasta que puedan llegar a la conclusión de que una fracción puede representarse con una expresión de división.
Representar repartir en partes iguales de forma pictórica
Materiales: M) Papel de rotafolio, marcadores; E) Marcadores
La clase dibuja para representar repartir en partes iguales de forma pictórica y descubre la relación entre la división y las fracciones.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que lean el planteamiento en silencio.
1. Completa el modelo para representar 1 waffle repartido, en partes iguales, entre 5 personas.
En situaciones anteriores, usamos las notas adhesivas para representar los waffles. No siempre tenemos notas adhesivas que podemos cortar para mostrar nuestro razonamiento, así que exploremos cómo dibujar un modelo para mostrar cómo repartir en partes iguales.
El cuadrado representa 1 waffle. ¿Cada persona recibe más o menos waffle que cuando lo compartieron entre 4 personas? ¿Por qué?
Cada persona recibe menos porque más personas comparten la misma cantidad.
¿Cómo podemos dividir el cuadrado para mostrar cómo repartir 1 waffle, en partes iguales, entre 5 personas?
Podemos hacer líneas para dividir el cuadrado en 5 partes iguales.
¿Cómo sabemos con nuestro modelo cuántos waffles recibe cada persona si no estamos distribuyendo ni cortando notas adhesivas?
Cada parte representa 1 persona.
Podemos rotular cada parte: persona 1, persona 2 y así sucesivamente como hicimos con las notas adhesivas.
Si sus estudiantes no sugieren usar marcadores (o crayones o lápices de colores), comparta que también pueden representar cada persona con un color diferente.
Pida a sus estudiantes que completen el problema 1. Distribuya marcadores a sus estudiantes.
Observen su modelo. ¿Qué fracción del waffle recibe cada persona? ¿Cómo lo saben?
Sé que cada parte representa una persona, así que cada persona recibe 1 5 del waffle.
Usé cinco marcadores diferentes para representar cada una de las personas, así que puedo ver que cada persona recibe 1 5 del waffle.
¿Qué ecuación de división podemos escribir para representar esta situación?
1 5 = 1 ÷ 5
1 ÷ 5 = 1 5
Afirme que las ecuaciones de división son equivalentes y ambas representan la situación.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué representan el cociente, el dividendo y el divisor.
Imaginemos que las 5 personas quieren más de 1 waffle. ¿Cuántos waffles tendría que haber para que cada persona reciba más de 1? ¿Cómo lo saben?
Tendría que haber al menos 6 waffles. 5 waffles significa que cada persona recibe 1 waffle porque
5 ÷ 5 = 1. Entonces, si cada persona quiere más de 1 waffle, tiene que haber al menos 6 waffles.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que lean el problema en silencio.
¿Qué observan?
Ahora, hay 6 waffles y 5 personas. Cada persona recibe más de 1 waffle.
Los waffles son de diferentes sabores y cada persona quiere probarlos todos.
Dé tiempo a sus estudiantes para que trabajen en parejas y representen la situación. Recorra el salón de clases para hallar ejemplos de trabajo que muestren 6 cuadrados, cada uno dividido en quintos usando cinco marcadores de colores diferentes para representar cada persona.
2. 6 waffles se comparten, en partes iguales, entre 5 personas. Cada waffle es de un sabor diferente y cada persona quiere probar todos los sabores. Usa el modelo para hallar cuántos waffles recibe cada persona. Expresa tu respuesta como una fracción.
DUA: Representación
Es probable que entre sus estudiantes haya alguien que sombree las unidades de forma similar a este ejemplo:
Cada persona recibe 6 5 de waffle.
Reúna a la clase para conversar.
Muestre el trabajo de sus estudiantes:
Si alguien lo hace, podría estar pensando en que hay 30 quintos en total, y si hay 5 personas, significa que cada una recibe 6 quintos, porque 30 quintos ÷ 5 = 6 quintos. Esta es otra forma de pensar en repartir en partes iguales. Confirme que es una estrategia viable.
¿Cómo está dividido cada cuadrado? ¿Por qué?
Cada cuadrado está dividido en quintos porque 5 personas comparten cada waffle.
¿Qué representan los colores?
Hay un color diferente por cada persona.
Observemos las partes azules para ver cuántos quintos recibe esa persona. ¿Cuántos quintos recibe esa persona?
6 quintos
¿Qué representa 6 quintos?
Cada persona recibe 6 5 de waffle.
Si cada persona recibe 6 _ 5 de waffle, ¿qué ecuación de división podemos escribir para que coincida con la situación?
6 ÷ 5 = 6 5
6 5 = 6 ÷ 5
Muestre las siguientes ecuaciones.
1 ÷ 5 = 1 5 1 5 = 1 ÷ 5
6 ÷ 5 = 6 5 6 5 = 6 ÷ 5
Pida a sus estudiantes que vuelvan a leer el enunciado sobre el patrón que registraron anteriormente en una nota adhesiva. Pídales que consideren las dos ecuaciones nuevas y sus observaciones originales. ¿El enunciado sobre el patrón coincide con lo que observaron en las ecuaciones nuevas? ¿Pueden revisar sus enunciados?
Invite a la clase a conversar con su pareja de trabajo para que agreguen algo, reescriban o revisen los enunciados sobre el patrón. Mientras las parejas trabajan, recorra el salón de clases para hallar estudiantes que hayan observado que el numerador coincide con el dividendo y el divisor coincide con el denominador. Si alguien llega a esa conclusión, permita que la comparta con la clase. Se realiza una conclusión final y formal después del siguiente ejemplo.
Imaginemos una nueva situación.
Muestre el problema de la barra de granola.
Ryan y Jada quieren repartir 5 barras de granola en partes iguales. Cada barra de granola es de un sabor diferente: fresa, arándano, mantequilla de cacahuate, manzana y canela o chispas de chocolate. Si cada persona quiere probar todos los sabores, ¿cuántas barras de granola recibe cada persona? Expresen la respuesta como una fracción.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo representar este problema y qué fracción de las barras de granola creen que recibirá cada persona.
Muestre el siguiente trabajo.
¿Qué observan sobre cómo representaron repartir en partes iguales?
No usaron colores.
Distribuyeron las partes en grupos, como hicimos con las notas adhesivas.
Rotularon una parte de cada grupo 1 2 .
¿Qué representan los cuadrados?
Las 5 barras de granola
¿Qué representan los círculos?
A Ryan y a Jada
Dos grupos
¿Por qué cada barra está dividida por la mitad?
Porque tanto Jada como Ryan quieren probar cada uno de los sabores.
Observen que podemos mostrar nuestro razonamiento de diferentes formas cuando representamos repartir en partes iguales. Hoy, practicamos representar con notas adhesivas, dibujar modelos con colores y dibujar modelos sin colores. Mientras representemos la situación con precisión, podemos representarla de formas diferentes.
Pida a sus estudiantes que vuelvan a leer el enunciado sobre patrones que escribieron y revisaron.
Volvamos a ver los patrones que observamos en cada una de nuestras ecuaciones el día de hoy.
¿Qué relación observan entre cada expresión de división y cada cociente?
El dividendo es el mismo número que el numerador y el divisor es el mismo número que el denominador.
¿Pueden usar esa relación para determinar cuántas barras de granola reciben Ryan y Jada? ¿Cómo?
Repartimos en partes iguales 5 barras de granola entre Ryan y Jada, lo que significa dividir 5 barras de granola entre 2 personas. Si sabemos que la expresión es 5 ÷ 2, entonces, eso significa que el cociente es 5 2 .
Observamos ese patrón en cada una de nuestras ecuaciones. A veces, observamos un patrón que puede ayudarnos a formar una conclusión, un enunciado que creemos que es verdadero a partir de nuestras observaciones. Consideremos qué podemos concluir, o decidir, sobre la relación entre la división y las fracciones.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la respuesta a la siguiente pregunta. Recorra el salón de clases y brinde apoyo para guiar a sus estudiantes a la conclusión de que las fracciones pueden representarse con expresiones de división.
¿Qué pueden concluir sobre la relación entre la división y las fracciones?
Una fracción puede representarse con una expresión de división.
Invite a la clase a volver a leer los enunciados y revisarlos para llegar a la conclusión sobre la relación entre la división y las fracciones. La clase debe conectar su conclusión con la observación de que el numerador es el mismo número que el dividendo y el denominador es el mismo número que el divisor.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
DUA: Representación
Considere usar un código de colores para cada parte de la ecuación de división y, de ese modo, resaltar el patrón para la clase.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
En este segmento, se presenta el término concluir. Considere comentar el significado del término antes de pedir a la clase que razone sobre la relación entre la división y las fracciones. Presente una situación como la de llegar a una tienda y observar que las luces están apagadas y la puerta está cerrada con llave. Pregunte a sus estudiantes qué determinarían sobre la tienda dada esta información. Converse con la clase acerca de que, para concluir algo, una persona razona y toma una decisión a partir de la información.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Interpretar una fracción como división
Guíe una conversación de toda la clase sobre la relación entre las fracciones y la división usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 del Grupo de problemas. Muestre el trabajo de sus estudiantes.
¿Este modelo se relaciona con la ecuación? ¿Cómo?
Sí. Hay 3 enteros, ese es el dividendo.
Sí. Los 3 enteros se dividen en medios y los medios se distribuyen entre 2 grupos. 2 es el divisor.
Sí. Cada grupo recibe 3 mitades, o 3 2 , que es el cociente.
Describan la relación entre 3 _ 2 y 3 ÷ 2.
3 2 y 3 ÷ 2 son iguales.
3 2 = 3 ÷ 2 y 3 ÷ 2 = 3 2 .
¿Por qué 3 _ 2 y 3 ÷ 2 son iguales?
Son iguales porque las fracciones pueden representarse con una expresión de división.
¿Cómo se relacionan las fracciones con la división?
Las fracciones puede representarse con expresiones de división.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos
de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Dibuja un modelo para mostrar cómo repartir las pizzas en partes iguales. Luego, completa la ecuación.
2. 3 pizzas pequeñas se reparten, en partes iguales, entre 4 personas.
1. Traza una línea para emparejar la expresión con el modelo. Cada círculo representa 1
3. 3 pizzas pequeñas se reparten, en partes iguales, entre 2 personas. Cada pizza tiene una cobertura diferente: hongos, olivas o piña. Cada persona quiere probar todas las pizzas
Dibuja un modelo para representar la expresión de división. Luego, completa la ecuación.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
16. El Sr. Evans tiene 3 litros de agua. Vierte la misma cantidad de agua en 4 recipientes distintos. ¿Cuántos litros de agua hay en cada recipiente?
÷ 4 = 3 4
Cada recipiente tiene 3 4 de litro de agua.
Escribe cada expresión de división como una fracción.
Escribe cada fracción como una expresión de división.
MATH
Interpretar una fracción como división al escribir los residuos como fracciones
Vistazo a la lección
1. Divide. Expresa el residuo como una fracción.
5 ÷ 2 = 21 2
2. Una cocinera vierte 9 galones de sopa, en partes iguales, en 4 recipientes. ¿Cuántos galones de sopa vierte en cada recipiente? Expresa el número de galones como una fracción y como un número mixto.
La cocinera vierte 9 4 de galón o 21 4 galones de sopa en cada recipiente.
La clase halla cocientes de problemas de división usando dos métodos diferentes. Sus estudiantes pueden distribuir tantos enteros como sea posible y, luego, dividir el residuo; o pueden dividir todos los enteros y, luego, distribuir todas las partes. La clase registra los cocientes como números mixtos y fracciones mayores que 1, según el método que elijan para dividir. Determinan que estas dos representaciones del cociente son iguales. Sus estudiantes hacen conexiones entre los modelos concretos y la misma división registrada en forma vertical, y se dan cuenta de que pueden expresar el residuo como una fracción.
Pregunta clave
• ¿Cómo podemos escribir ecuaciones de división que incluyan un residuo? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA9 Representan problemas que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios. (5.NF.B.3)
5.Mód2.CLA10 Resuelven problemas verbales que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios. (5.NF.B.3)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Igualar números mixtos y fracciones mayores que 1
• Seleccionar una estrategia y dividir
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• notas adhesivas (5)
• tijeras
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Contar de un tercio en un tercio en la recta numérica
La clase cuenta de un tercio en un tercio y expresa las fracciones como números enteros o números mixtos para desarrollar fluidez con la interpretación de una fracción como una división.
Muestre la recta numérica.
¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Tercios
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un tercio en un tercio hasta 12 tercios. Empiecen diciendo 0 tercios. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un tercio en un tercio.
Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 3 …, 11 3 , 4
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un tercio en un tercio.
Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 _ 3 …, 3 2 _ 3 , 4
Respuesta a coro: Partes iguales
La clase identifica el número de partes iguales, la unidad fraccionaria y la cantidad de unidades que se necesitan para formar 1 y 2 enteros para desarrollar fluidez con la interpretación de una fracción como una división.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre un círculo dividido en mitades.
¿En cuántas partes iguales está dividido el modelo?
2
¿Qué unidad fraccionaria muestra el modelo?
Medios
¿Cuántos medios forman 1 entero?
2 medios
¿Cuántos medios forman 2 enteros?
4 medios
Muestre dos círculos divididos en mitades.
Continúe el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar números mixtos
La clase suma números mixtos con unidades semejantes como preparación para sumar números mixtos con unidades relacionadas o diferentes a partir del tema C.
Muestre
Escriban la ecuación y complétenla. Cuando sea posible, reescriban la suma como un número entero.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase observa y se pregunta sobre los modelos que representan la misma operación de repartir en partes iguales.
Presente los siguientes modelos. Invite a la clase a analizarlos.
Modelo A
Modelo B
Guíe una conversación sobre los modelos con preguntas como las siguientes.
¿Qué observan?
Observo que cada modelo muestra 7 enteros.
Observo que el modelo A tiene 2 enteros divididos en quintos, y el modelo B tiene los 7 enteros divididos en quintos.
Observo que el modelo A tiene 5 enteros que no están divididos.
Observo que los dos modelos muestran la misma cantidad de cada color, pero organizada de forma diferente.
Observo que ambos representan 7 ÷ 5.
¿Qué se preguntan?
Me pregunto por qué estamos comparando los dos modelos.
Me pregunto por qué algunos de los enteros en el modelo A no están divididos.
Me pregunto si una de las formas de dividir es mejor que la otra.
Me pregunto si 12 5 y 7 5 son iguales.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Los modelos muestran diferentes formas de pensar en cómo repartir unidades en partes iguales. Hoy, relacionaremos repartir unidades en partes iguales con la división con residuos.
Aprender
Igualar números mixtos y fracciones mayores que 1
Materiales: E) Notas adhesivas, tijeras
La clase muestra diferentes formas de distribuir enteros para determinar si los números mixtos son iguales a fracciones mayores que 1.
Distribuya cinco notas adhesivas y un par de tijeras a cada estudiante.
Imaginen que 4 personas quieren compartir 5 brownies en partes iguales. ¿Cada persona recibe más o menos que 1 brownie?
Cada persona recibe más que 1 brownie.
¿Qué expresión de división podemos escribir para representar 4 personas que comparten 5 brownies en partes iguales?
5 ÷ 4
¿Cómo sabemos que la expresión que representa la situación es 5 ÷ 4 y no 4 ÷ 5?
Ya sabemos que cada persona recibe más que 1 brownie porque hay más brownies que personas.
El cociente 4 ÷ 5 es menor que 1, así que no puede ser correcto.
La expresión 4 ÷ 5 significa que las 4 personas son los enteros que se dividen entre 5 grupos, lo que no tiene sentido. No podemos dividir a las personas.
Como hicimos antes, podemos usar nuestra pizarra blanca y las notas adhesivas para representar la situación.
Cada nota adhesiva representa 1 brownie. Usen sus materiales para mostrar cómo 4 personas podrían compartir 5 brownies en partes iguales.
Recorra el salón de clases y supervise el trabajo de sus estudiantes. Busque estudiantes que aborden los modelos de formas diferentes. Es esperable que haya quienes dibujen círculos para representar a las personas y, luego, dividan cada nota adhesiva en cuartos, mientras que puede haber quienes primero distribuyan 4 notas adhesivas enteras entre las personas.
Seleccione dos estudiantes que aborden los modelos de forma diferente para que compartan cómo distribuyeron los brownies. Mientras sus estudiantes comparten, muestre o dibuje sus representaciones para que las vea toda la clase. Si nadie sugiere alguna de las siguientes representaciones, preséntela como una idea suya.
Sasha, ¿cómo dividiste los brownies?
Di 1 brownie a cada persona y, luego, dividí el brownie que quedaba en cuartos y di a cada persona 1 cuarto. Cada persona recibe 1 brownie entero y 1 4 de otro brownie.
Podemos escribir cuántos brownies recibe cada persona como un número mixto: 1 1 __ 4 .
¿Qué ecuación de división podemos escribir para representar el método de Sasha para repartir los brownies?
5 ÷ 4 = 1 1 4
Escriba 5 ÷ 4 = 1 1 4 .
Lacy, ¿cómo dividiste los brownies?
Dividí cada brownie en cuartos. Di 1 cuarto de cada uno de los 5 brownies a cada persona. Hice esto hasta que todos los cuartos estuvieran repartidos entre las personas. Cada persona recibe 5 cuartos.
¿Qué ecuación de división podemos escribir para representar el método de Lacy para repartir los brownies?
5 ÷ 4 = 5 4
Escriba 5 ÷ 4 = 5 4 .
4 Persona 1
4
2 Persona 3
Diferenciación: Apoyo
• Si 20 cuartos de brownie se reparten, en partes iguales, entre 4 personas, ¿cuántos cuartos recibe cada persona? Persona 1 Persona 3
Si sus estudiantes necesitan apoyo para reconocer que, en este modelo, el número de brownies que recibe cada persona es 5 4 , considere hacer las siguientes preguntas:
• ¿Cuántos cuartos de un brownie hay en 5 brownies enteros?
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si 5 4 es igual a 1 1 4 y cómo lo saben.
Sí, son iguales porque el número de brownies que se distribuyeron no cambió, los dividimos de forma diferente.
Sí, son iguales. Tanto 5 4 como 11 4 son iguales a 5 ÷ 4, así que deben ser iguales entre sí.
Sí, son iguales. Si ponemos 5 cuartos de los brownies sobre 11 4 brownies, coinciden.
Sí son iguales. 5 4 es igual a 4 4 + 1 4 y 4 4 es igual a 1, así que 5 4 = 1 + 1 4 .
Si no lo sugieren como una explicación posible de cómo saben que 5 4 y 1 1 4 son iguales, considere pedirles que corten dos notas adhesivas cada una en cuatro tiras iguales y pongan 5 tiras de notas adhesivas, o 5 4 , arriba de 1 entero y 1 tira de notas adhesivas, o 1 1 4 , para mostrar concretamente que son iguales.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere brindar un comienzo de oración y enumerar las fracciones en forma escrita para ayudar a la clase a comunicar si 5 4 es igual a 1 1 4 .
Son (o no son) iguales porque .
Mostremos cómo 5 brownies pueden repartirse, en partes iguales, entre 4 personas usando la forma vertical.
Registre 5 ÷ 4 de manera vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus pizarras blancas. Pídales que continúen con el registro mientras usted demuestra cómo dividir en forma vertical.
¿Cuántos brownies enteros puede recibir cada persona si se reparten 5 brownies entre 4 personas?
Cada persona recibe 1 brownie entero.
Registre 1 en el cociente.
¿Cuántos brownies se distribuyen si se da 1 brownie a cada una de las 4 personas?
4 brownies
Registre 4 debajo del dividendo.
¿Cuántos brownies quedan para repartir?
1 brownie
Registre 1 para la diferencia 5 − 4.
¿Se puede repartir 1 brownie, en partes iguales, entre las 4 personas? ¿Cómo?
Sí, el brownie que queda puede dividirse en 4 partes iguales para repartir a cada una de las 4 personas.
Cada persona recibe 1 cuarto del brownie restante.
5 4 = cinco cuartos
1 1 4 = uno y un cuarto
Nota para la enseñanza
Observe que es intencional pedir a la clase que registre el cociente final debajo del trabajo en forma vertical, como se muestra en la versión de la izquierda del siguiente trabajo. Sin embargo, registrar el cociente en la forma vertical es correcto desde el punto de vista matemático, como se muestra en la versión de la derecha del trabajo. En 6.o grado, la clase aprende a dividir más allá del valor posicional del dividendo para escribir los residuos como decimales.
Persona 1
¿Cuál es el número total de brownies que recibe cada persona?
Cada persona recibe 1 1 4 brownies.
Escriba 1 1 4 debajo de la forma vertical.
Entonces, sabemos que 5 ÷ 4 = 1 1 _ 4 . ¿Pero cómo obtenemos 1 _ 4 a partir del trabajo en forma vertical?
Antes, ¿cuál hubieran dicho que es el cociente de 5 ÷ 4 según la forma vertical de trabajo?
El cociente es 1 con un residuo de 1.
Señale las partes de la forma vertical para el siguiente planteamiento según lo crea necesario.
En nuestro modelo y nuestro trabajo en forma vertical, podemos ver que se pueden compartir 5 brownies entre 4 personas si se da a cada persona 1 brownie. Como estamos repartiendo brownies y no un objeto como un libro, podemos repartir 1 brownie restante, en partes iguales, entre 4 personas. ¿Cómo podemos repartir el brownie restante?
Podemos dividir 1 brownie en 4 pedazos iguales, o cuartos.
¿Cuánto brownie más recibe cada persona del brownie restante?
Cada persona recibe 1 4 más.
Como cada persona recibe otro 1 _ 4 de un brownie, podemos expresar el residuo como 1 _ 4 . Cada persona recibe un total de 1 1 4 brownies.
Como sabemos la relación que hay entre las fracciones y la división, podemos expresar los residuos como fracciones y completar las ecuaciones de división como 5 ÷ 4 = 1 1 4 .
Si hay tiempo suficiente, continúe con la práctica con el siguiente ejemplo.
Imaginen que 4 personas quieren repartir 10 brownies en partes iguales.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parece y en qué se diferencia esta situación de la situación anterior de repartir brownies.
El número de brownies es el doble del que había en la situación anterior.
El número de personas es el mismo.
Esta vez, cada persona recibe más brownies porque hay más brownies para repartir.
Nota para la enseñanza
La clase también puede aplicar lo que sabe sobre la relación entre la división y las fracciones para entender cómo se expresa el residuo como una fracción. La expresión
1 ÷ 4 representa la distribución en partes iguales del brownie restante entre las 4 personas. Dado que 1 ÷ 4 = 1 4 , el residuo se puede expresar como 1 4 .
DUA: Representación
Considere crear y exhibir un organizador gráfico para mostrar las diferentes representaciones de números mixtos y fracciones mayores que 1 que representan la misma expresión de división. (El diagrama de cinta se puede agregar en la próxima lección).
¿Qué expresión de división representa 4 personas que comparten 10 brownies en partes iguales? 10 ÷ 4
Como el dividendo en esta expresión es el doble de la cantidad en la situación anterior, ¿qué pueden concluir sobre el número de brownies que recibe cada persona?
Cada persona recibe el doble de lo que recibió cuando repartieron 5 brownies.
Seleccionar
una estrategia y dividir
La clase usa estrategias de división para mostrar que un número mixto y una fracción mayor que 1 son iguales.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea el planteamiento en voz alta y pida a sus estudiantes que sigan la lectura.
1. Adesh entrena para una carrera de relevos de 22 millas. Compite en un equipo formado por 4 personas. Cada integrante corre el mismo número de millas. ¿Cuántas millas correrá cada integrante?
DUA: Representación
Considere pedir a sus estudiantes que dibujen un diagrama de cinta (o brinde uno usted) que ayude a entender la relación entre las cantidades del problema.
22 ? ? ? ?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada integrante del equipo correrá 5 2 4 millas.
Luego, haga las siguientes preguntas para ayudar a sus estudiantes a entender el problema.
¿Cuál es el número de integrantes que tiene el equipo?
El equipo tiene 4 integrantes.
¿Qué sabemos sobre las 4 personas que integran el equipo?
Cada integrante del equipo corre el mismo número de millas.
¿Cuál es el número total de millas de la carrera?
El número total de millas de la carrera es 22.
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige usar un modelo visual, notas adhesivas o la forma vertical como ayuda para resolver un problema de división.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué tipo de dibujo sería útil?
• ¿Por qué eligieron utilizar este modelo o esta estrategia? ¿Funcionó bien?
• ¿Qué materiales podrían ayudarles a resolver este problema?
Queremos dividir 22 millas, en partes iguales, entre 4 integrantes. ¿Qué expresión de división representa esta situación?
22 ÷ 4
¿Qué estrategias podemos usar para resolver este problema?
Podemos dibujar 1 rectángulo para representar cada milla y, luego, determinar cómo dividir y distribuir los rectángulos en 4 grupos en partes iguales.
Podemos usar 1 nota adhesiva para representar cada milla y, luego, determinar cómo cortar y distribuir las notas adhesivas en 4 grupos en partes iguales.
Podemos hacer la división en forma vertical.
Pida a sus estudiantes que resuelvan el problema de forma independiente usando sus propias estrategias. Recorra el salón de clases y busque estudiantes que usen diferentes estrategias.
Confirme la respuesta. Seleccione dos estudiantes que abordaron el problema de forma diferente para explicar sus razonamientos. Luego, use los siguientes planteamientos.
Cuando dividen rectángulos o cortan notas adhesivas, ¿tiene sentido distribuir millas enteras entre los 4 integrantes primero? ¿Por qué?
Sí, tiene sentido distribuir primero millas enteras. Es más fácil y más eficiente distribuir rectángulos enteros o notas adhesivas entre 4 grupos que dividir o cortar cada rectángulo o nota adhesiva. Si distribuyes primero los enteros, quedan solo 2 rectángulos o notas adhesivas para dividir o cortar.
Sí, tiene sentido distribuir primero millas enteras. Si cada uno de los 22 rectángulos o notas adhesivas están divididos en 4 pedazos, tardaríamos más tiempo en distribuir todos esos pedazos entre los 4 grupos.
Cuando muestran la división en forma vertical, ¿cuál es el cociente y el residuo de 22 ÷ 4? ¿Qué representan en la historia?
El cociente es 5 y representa el número de millas enteras que corre cada integrante. El residuo es 2 y representa la parte de la carrera de relevos que se debe repartir entre los 4 integrantes.
¿Cuál es la ecuación de división completa que coincide con la historia?
22 ÷ 4 = 5 2 4
Nota para la enseñanza
Parte de la clase puede decir que cada integrante del equipo correrá 22 4 de milla. Reconozca que esa respuesta es matemáticamente válida y anime a sus estudiantes a escribir la respuesta como un número mixto haciendo las siguientes preguntas:
• ¿ 22 __ 4 de milla es mayor que 1 milla? ¿Y que 2 millas?
• ¿Cuántas millas enteras hay en 22 4 de milla?
• ¿Cuál es la representación más útil para comprender la distancia que corre cada integrante del equipo: 22 4 o 5 2 4 ?
Diferenciación: Desafío
Pida a sus estudiantes que muestren que 22 4 = 5 2 4 numéricamente o con un modelo.
¿Por qué podemos escribir la respuesta como 5 2 4 ?
Podemos escribir la respuesta de 22 ÷ 4 como 5 2 4 porque cada integrante (4) correrá 5 millas, lo que suma 20 millas, y quedan 2 millas. Luego, dividimos las 2 millas restantes entre los 4 integrantes para obtener 2 4 , entonces 5 2 4 representa el número de millas que correrá cada integrante en la carrera de relevos.
¿Podemos escribir la respuesta como 5 1 _ 2 ? ¿Por qué?
Podemos escribir 5 2 4 como 5 1 2 porque 2 4 = 1 2 , así que 5 2 4 = 5 1 2 .
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Interpretar una fracción como división al escribir los residuos como fracciones
Guíe una conversación de toda la clase sobre interpretar una fracción como división usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre los dos modelos e invite a sus estudiantes a observarlos.
¿Cuál es la ecuación que se empareja con el modelo A y cuál se empareja con el modelo B?
Modelo A: 4 ÷ 3 = 11 3
Modelo B: 4 ÷ 3 = 4 3
¿A qué conclusiones pueden llegar sobre estos modelos según lo que aprendimos hoy?
Hay más de una forma de mostrar 4 ÷ 3.
Puedo distribuir 3 enteros primero y, luego, dividir el resto de los enteros en tercios, o puedo dividir 4 enteros en tercios y distribuir los tercios en partes iguales.
1 1 3 = 4 _ 3
En el modelo A, el entero (1) que queda después de distribuir 1 entero entre cada grupo representa el residuo de 4 ÷ 3.
¿Cómo podemos escribir ecuaciones de división que incluyan un residuo? ¿Por qué?
Podemos escribir el cociente como un número mixto donde la fracción es el residuo, porque podemos representar expresiones de división con fracciones.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. 4 barras de granola se reparten, en partes iguales, entre 3 personas.
a. Encierra en un círculo para mostrar la cantidad de barras de granola enteras que recibe cada persona. Cada cuadrado representa 1 barra de granola.
Completa la ecuación y el enunciado usando números mixtos. Dibuja un modelo como ayuda. Luego, divide.
2. 3 cajas de papel se reparten, en partes iguales, entre 2 maestras.
Ejemplo:
b. ¿Cuántas barras de granola quedan para repartir en partes iguales?
c. Marca sobre el cuadrado restante en la parte (a) cómo puede repartirse la barra de granola que queda, en partes iguales, entre las 3 personas.
d. ¿Qué fracción de la barra de granola que queda recibe cada persona?
÷ 2 = 11 2
Cada maestra recibe 11 2 cajas de papel.
5 golosinas se reparten, en partes iguales, entre 3 perros.
Ejemplo:
e. ¿Cuántas barras de granola recibe cada persona en total?
f. Completa la ecuación de división.
=
Cada perro recibe 1 2 3 golosinas.
Divide y expresa el cociente como un número mixto. Usa la forma vertical como ayuda.
8. Blake y Kayla hallan 13 ÷ 5
Método de BlakeMétodo de Kayla
¿Quién halló el cociente correcto? ¿Cómo lo sabes?
Tanto Blake como Kayla hallaron el cociente correcto, porque sus cocientes tienen el mismo valor. El cociente de Blake está escrito en forma fraccionaria, y el cociente de Kayla está escrito como un número mixto.
9. Halla 43 ÷ 8. Expresa el cociente como un número mixto.
43 ÷ 8 = 5 3 8
Representar fracciones como división usando modelos
Vistazo a la lección
La clase hace la transición de usar representaciones pictóricas para hallar cocientes de expresiones de división a usar diagramas de cinta para representar y resolver problemas de división del mundo real. Practican dibujar diagramas de cinta para representar problemas verbales de división usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe. La clase determina si un cociente es mayor que 1 o menor que 1 y decide si su respuesta tiene sentido. Luego, usan el contexto para razonar acerca de expresar cocientes como fracciones mayores que 1 o como números mixtos.
Pregunta clave
• ¿Son útiles los diagramas de cinta para representar la división? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA9 Representan problemas que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios. (5.NF.B.3)
5.Mód2.CLA10 Resuelven problemas verbales que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios. (5.NF.B.3)
Cada cuerda mide
largo.
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Representar un problema verbal con un cociente entre 1 y 2 usando un diagrama de cinta
• Representar un problema verbal con un cociente menor que 1 usando un diagrama de cinta
• Representar un problema verbal con un cociente mayor que 2 usando un diagrama de cinta
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Respuesta a coro: Convertir unidades métricas
La clase convierte litros a mililitros, metros a milímetros o gramos a miligramos para adquirir fluidez en la conversión de medidas del sistema métrico expresadas en unidades más grandes en términos de unidades más pequeñas del módulo 1.
Muestre 1 L = mL.
¿1 litro es igual a cuántos mililitros? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1,000 mililitros
Muestre la ecuación completada.
Cuando dé la señal, lean la ecuación. ¿Comenzamos?
1 litro es igual a 1,000 mililitros.
Continúe el proceso con 2 L = ___ mL y 2 L 649 mL = ___ mL.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de un cuarto en un cuarto en la recta numérica
La clase cuenta de un cuarto en un cuarto y expresa las fracciones como números enteros o números mixtos para desarrollar fluidez con la interpretación de una fracción como una división.
Muestre la recta numérica.
¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Cuartos
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un cuarto en un cuarto hasta 12 cuartos. Empiecen diciendo 0 cuartos. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un cuarto en un cuarto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta. 0, 1 4
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un cuarto en un cuarto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
Intercambio con la pizarra blanca: Restar fracciones
La clase resta fracciones con unidades semejantes como preparación para restar fracciones con unidades relacionadas o diferentes a partir del tema B.
Muestre 2 3 1 3 = .
Escriban la ecuación y complétenla. Cuando sea posible, expresen la diferencia como un número entero.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
No se espera que sus estudiantes reescriban las diferencias usando una unidad más grande. Por ejemplo, sus estudiantes pueden escribir la diferencia 10 8 − 4 8 como 6 8 , y no como 3 4 . Acepte todas las formas equivalentes de la respuesta que se muestra.
Presentar
La clase razona sobre los diferentes modelos usados para representar un problema verbal.
Muestre el problema:
8 golosinas se reparten, en partes iguales, entre 3 perros. ¿Cuántas golosinas recibe cada perro?
Muestre el ejemplo de trabajo y, luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan sobre el trabajo de Ryan y Kelly.
Ambos hallaron 8 ÷ 3.
Usaron modelos diferentes, pero obtuvieron el mismo resultado.
Ryan dibujó cada golosina por separado, pero Kelly dibujó un diagrama de cinta para representar todas las golosinas juntas.
El método de Ryan muestra cómo usar un modelo para resolver el problema. El método de Kelly muestra cómo usar un modelo para comprender el problema.
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cuándo podría ser más útil usar cada método.
Usaría el método de Kelly si necesitara comprender el problema y, luego, usaría la forma vertical para hallar el cociente.
Usaría el método de Ryan para resolver el problema si ya supiera que necesito dividir.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos diagramas de cinta para representar y resolver problemas verbales de división.
Aprender
Representar un problema verbal con un cociente entre 1 y 2 usando un diagrama de cinta
La clase usa un diagrama de cinta para representar un problema verbal con un cociente entre 1 y 2.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Anime a sus estudiantes a registrar su razonamiento en forma vertical cuando hallan los cocientes.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. La Sra. Song vierte 5 litros de agua, en partes iguales, en 4 recipientes. ¿Cuántos litros de agua hay en 1 recipiente?
5 ÷ 4 = 1 1 _ 4
Hay 1 1 4 litros de agua en 1 recipiente.
Lea el problema a coro con la clase y anime a sus estudiantes a visualizar la situación mientras escuchan. Pida a sus estudiantes que lean el problema otra vez. Pídales que dejen de leer y dibujen cada vez que se proporciona nueva información. Mientras demuestra cómo dibujar y rotular, pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Lea la primera parte del problema con la clase y deténgase en la palabra agua.
¿Podemos dibujar algo? ¿Qué podemos dibujar?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas y, luego, invite a quienes se ofrezcan a compartir su razonamiento.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando interpreta problemas de división del mundo real, usa diagramas de cinta como ayuda para resolverlos y estima las respuestas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué les indica el diagrama de cinta acerca del contexto?
• ¿Qué situaciones del mundo real se pueden representar con un diagrama de cinta?
• ¿La solución que hallaron tiene sentido en términos matemáticos?
Habrá quienes sugieran representar con un dibujo 5 objetos que representen 5 litros y, luego, dividir cada objeto en 4 partes iguales. Señale que pueden intentar el método de Kelly de la sección Presentar y dibujar un diagrama de cinta para comprender el problema. Luego, ayude a la clase a representar 5 litros con un diagrama de cinta.
¿Qué sabemos hasta ahora?
Hay 5 litros de agua.
Entonces, dibujaré y rotularé un diagrama de cinta para representar 5 litros de agua.
Dibuje y rotule un diagrama de cinta. Continúe leyendo la primera oración del problema.
Ahora tenemos más información. ¿Qué otra información conocemos?
El agua se vierte, en partes iguales, en 4 recipientes.
¿Podemos dibujar algo para representar la información adicional? ¿Qué podemos dibujar?
Sí. Podemos dividir el diagrama de cinta para que muestre 4 partes que representen los 4 recipientes.
Divida el diagrama de cinta en 4 partes iguales.
Sabemos que estas 4 partes son iguales a 5 litros. ¿Qué representa 1 parte?
Cada parte representa 1 recipiente.
Lea el resto del problema en voz alta.
¿Qué nos pide la pregunta que hallemos?
Tenemos que hallar cuántos litros de agua hay en 1 recipiente.
Cada parte del diagrama de cinta representa 1 recipiente. Si hallamos el valor de 1 parte, sabremos cuántos litros de agua hay en 1 recipiente. Rotulemos 1 parte con un signo de interrogación para representar la parte desconocida del problema.
Rotule la primera parte del diagrama de cinta con un signo de interrogación.
El problema nos pide que hallemos cuántos litros de agua hay en 1 recipiente. ¿Cómo podemos hallar esa cantidad?
Podemos dividir 5 entre 4 para hallar cuántos litros de agua hay en 1 recipiente.
Ahora, escribamos una ecuación para representar lo que vemos en el diagrama de cinta.
Escriba 5 ÷ 4 = 5 4 debajo del diagrama de cinta.
¿Cada recipiente tiene más de 1 litro de agua o menos de 1 litro de agua? ¿Cómo lo saben?
Cada recipiente tiene más de 1 litro de agua porque hay más litros de agua que recipientes.
Estimemos entre qué dos números enteros está nuestro cociente. El cociente está entre el 1 y el 2.
¿Cómo sabemos que el cociente no es mayor que 2?
Tiene que haber más de 8 litros de agua para que el cociente sea mayor que 2 porque 4 × 2 = 8.
¿Qué número mixto es igual a 5 _ 4 ?
5 _ 4 = 1 1 _ 4
¿Es razonable el cociente? ¿Cómo lo saben?
Sí, el cociente es razonable porque 1 1 4 está entre el 1 y el 2. ?
¿Tiene más sentido expresar nuestra respuesta como 5 4 o como 1 1 4 ? ¿Por qué?
1 1 4 , porque tiene más sentido pensar en 1 1 4 litros de agua en un recipiente que en 5 4 de litro.
Pida a la clase que escriba una oración completa para responder la pregunta. Recuérdeles que deben incluir la unidad litros en el enunciado.
Representar un problema verbal con un cociente menor que 1 usando un diagrama de cinta
La clase usa un diagrama de cinta para representar un problema verbal con un cociente menor que 1.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que lean el problema y trabajen en parejas para dibujar un diagrama de cinta que represente el problema.
Mientras dibujan, recorra el salón de clases y anímeles a que piensen qué cantidad es el total y qué cantidad representa el número de grupos iguales.
2. El Sr. Pérez vierte 3 litros de agua, en partes iguales, en 4 recipientes. ¿Cuántos litros de agua hay en 1 recipiente?
Nota para la enseñanza
Después de hallar el número desconocido, puede suceder con frecuencia que sus estudiantes no reconozcan a qué hace referencia la cantidad dentro del contexto del problema.
Cuando escriben una oración para responder la pregunta, sus estudiantes desarrollan el hábito de volver a contextualizar su trabajo. Volver a contextualizar ayuda a sus estudiantes a pensar si la respuesta tiene sentido en términos del problema y las unidades.
3 ÷ 4 = 3 4
Hay 3 4 de litro de agua en 1 recipiente.
Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, muestre el diagrama de cinta. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar de qué manera las cantidades y la parte desconocida están representadas en el diagrama de cinta.
La cinta tiene un valor de 3. Eso representa el número total de litros de agua.
La cinta muestra 4 partes. Esas partes representan los 4 recipientes. Cada parte representa 1 recipiente.
Pida a sus estudiantes que corrijan sus modelos según sea necesario.
Pida a la clase que use el diagrama de cinta para escribir y resolver una ecuación. Anime a sus estudiantes a estimar entre qué dos números enteros está el cociente. Mientras la clase termina, invite a sus estudiantes a conversar sobre el cociente.
¿Cuál es el cociente y qué representa en este problema?
El cociente es 3 4 . Representa el número de litros de agua que hay en 1 recipiente.
¿Cómo saben que el cociente es razonable?
El cociente es razonable porque estimé que el cociente estaba entre el 0 y el 1.
¿Tiene sentido que el cociente sea menor que 1? ¿Por qué?
Sí, tiene sentido porque hay menos litros de agua que recipientes. Si el Sr. Pérez tuviera 4 litros de agua, cada recipiente tendría 1 litro. Tiene 3 litros, así que tiene sentido que cada recipiente tenga menos de 1 litro.
DUA: Participación
Durante toda la lección, considere ofrecer retroalimentación que enfatice el esfuerzo individual, que anime a fijar objetivos para progresar y que reconozca el valor de hallar errores y corregirlos. Use retroalimentación como la siguiente:
• Realmente se nota que te esforzaste cuando rotulaste correctamente el total en tu diagrama de cinta.
• Dividiste el diagrama de cinta correctamente e identificaste la parte desconocida con un signo de interrogación. Eso realmente muestra que te esforzaste.
• Hablemos de lo que puedes hacer la próxima vez para asegurarte de que muestras el número de partes correcto en tu diagrama.
• Hablemos de lo que puedes hacer la próxima vez para rotular el total con precisión en tu diagrama de cinta.
• Cuando aprendes algo nuevo, es normal que cometas errores. Lo importante es aprender de los errores y aplicar lo que aprendiste la próxima vez.
Representar un problema verbal con un cociente mayor que 2 usando un diagrama de cinta
La clase usa un diagrama de cinta para representar un problema verbal con un cociente mayor que 2.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que lean el problema y trabajen en parejas para resolver el problema usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe.
3. El Sr. Evans vierte 11 litros de agua, en partes iguales, en 4 recipientes. ¿Cuántos litros de agua hay en 1 recipiente?
÷ 4 = 2 3 4
Hay 2 3 4 litros de agua en 1 recipiente.
Reúna a la clase y conversen sobre la solución.
¿Cómo organizaron el diagrama de cinta?
Dibujé un diagrama de cinta para representar el total de 11 litros de agua. Luego, dividí el diagrama para mostrar 4 partes iguales para los 4 recipientes.
¿Qué expresión de división pueden usar para resolver el problema?
11 ÷ 4
¿Dejaron el cociente como una fracción mayor que 1 o lo escribieron como un número mixto? ¿Por qué?
Escribí el cociente como un número mixto. Tiene más sentido hablar sobre 2 3 4 litros de agua que de 11 4 de litro de agua.
Diferenciación: Desafío
Considere brindar preguntas adicionales a quienes puedan enfrentar un desafío.
• Si el número de recipientes se mantiene igual, ¿cuántos litros de agua tendremos si el cociente es mayor que 10?
• Si el número de recipientes se mantiene igual, ¿cuántos litros de agua tendremos si el cociente es menor que 1?
¿Cuántos litros de agua hay en 1 recipiente?
Hay 2 3 4 litros de agua en 1 recipiente.
¿Cómo saben que el cociente es razonable?
Estimé que el cociente está entre el 2 y el 3. Si el Sr. Pérez tuviera 8 litros de agua, cada recipiente tendría 2 litros. Si el Sr. Pérez tuviera 12 litros de agua, cada recipiente tendría 3 litros. Como tiene 11 litros, tiene sentido que cada recipiente tenga entre 2 y 3 litros.
Muestre las siguientes ecuaciones:
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere brindar esquemas de oraciones que sus estudiantes puedan consultar cuando conversen sobre el cociente.
• Mi cociente es (o no es) razonable porque está entre y .
• Estimé que mi cociente estaría entre y .
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias que observan en las ecuaciones.
El número de partes, o el divisor, es el mismo en cada ecuación. El total, o el dividendo, es diferente en cada ecuación.
Cada cociente tiene cuartos.
Guíe a sus estudiantes para que reconozcan cómo cambiar el total y mantener igual el número de partes cambia el cociente.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las siguientes preguntas:
• Si el número de partes se mantiene igual, pero la cantidad de agua se duplica, ¿qué sucede con el cociente?
• Si el número de partes se mantiene igual, pero la cantidad de agua se divide por la mitad, ¿qué sucede con el cociente?
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Apoyo
Si hay estudiantes que necesitan apoyo adicional para hallar cocientes en problemas de división, permita que continúen dibujando modelos que les sirvan como ayuda para entender y resolver los problemas, como hacían en las lecciones anteriores.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Representar fracciones como división usando modelos
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre cómo los diagramas de cinta pueden ser útiles para resolver problemas de división usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Son útiles los diagramas de cinta para representar la división? ¿Por qué?
Sí. En los diagramas de cinta puedo ver el total, el número de grupos y el número desconocido.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 8 del Grupo de problemas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la diferencia entre las preguntas que se hicieron en la parte (a) y en la parte (b).
Reúna a la clase y muestre el diagrama de cinta para 1 ÷ 4.
¿Cómo representa este diagrama de cinta la parte (a)?
Muestra el total de 1 carrera. Cada una de las 4 partes representa 1 integrante del equipo. El número desconocido representa la fracción de la carrera que corrió 1 integrante.
¿Podemos usar el mismo diagrama de cinta para representar la parte (b)? ¿Cómo lo saben? No, lo que se pregunta en la parte (b) es cuántos kilómetros corre cada integrante. El diagrama muestra 1 carrera.
¿Qué podrían hacer para representar la parte (b)?
El total del diagrama para la parte (b) debe ser 6, porque ese es el número total de kilómetros de la carrera. Entonces, podemos dibujar otro diagrama que muestre 4 partes iguales con un total de 6. O podemos revisar el diagrama de cinta que muestra 1 carrera para mostrar el total de 6 kilómetros.
¿Expresaron el cociente en la parte (b) como un número mixto o como una fracción mayor que 1? ¿Por qué?
Expresé el cociente como un número mixto porque tiene más sentido pensar en 1 2 4 kilómetros que en 6 4 de kilómetro.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Completa la ecuación y el enunciado. Expresa las fracciones como números enteros o números mixtos cuando sea posible.
1. 1 metro de listón se corta en 4 partes iguales.
metro
1 ÷ 4 = 1 4
Cada parte del listón mide 1 4 de metro de largo.
2. 3 metros de listón se cortan en 4 partes iguales.
metros
÷ 4 = 3 4
Cada parte del listón mide 3 4 de metro de largo.
Cada parte del listón mide 2 metros de largo. 4. 5 metros de listón se cortan en 4 partes iguales.
metros
Cada parte del listón mide 1 1 4 metros de largo.
Dibuja un diagrama de cinta para representar la expresión. Estima entre qué dos números enteros está el cociente. Luego, divide. Expresa el cociente como un número mixto.
5. 7 ÷ 6 7
El cociente está entre 1 y 2 Divide: 1 1 6
9 ÷ 5 9
El cociente está entre 1 y 2 Divide: 1 4 5
El cociente está entre 2 y 3
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
8. El equipo de relevos tiene 4 integrantes. Corren un total de 6 kilómetros en una carrera. Cada integrante corre el mismo número de kilómetros.
a. ¿Qué fracción de la carrera corre cada integrante?
1 ÷ 4 = 1 4
Cada integrante corre 1 4 de la carrera.
b. ¿Cuántos kilómetros corre cada integrante en la carrera?
6 ÷ 4 = 6 4
Cada integrante corre 1 2 4 kilómetros.
4
Resolver problemas verbales sobre la división y las fracciones
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Lacy usa 5 libras de plastilina para hacer 6 jarrones idénticos. ¿Cuántas libras de plastilina usa para cada jarrón?
5 ÷ 6 = 5 6
Lacy usa 5 6 de libra de plastilina para cada jarrón.
2. Yuna usa 23 pulgadas de hilo para hacer 3 pulseras idénticas. ¿Cuántas pulgadas de hilo usa para hacer cada pulsera?
23 ÷ 3 = 23 3 = 7 2 3
Yuna usa 72 3 pulgadas de hilo para hacer cada pulsera.
La clase usa modelos para representar y resolver problemas verbales que involucran divisiones y fracciones. La clase compara representaciones pictóricas y abstractas y describe en qué se parecen y en qué se diferencian. Razonan sobre si sus respuestas tienen sentido en el contexto.
Preguntas clave
• ¿Dibujar un modelo les ayuda a resolver problemas verbales con división y fracciones? ¿Por qué?
• ¿Resolver problemas verbales con división les ayuda a comprender la relación que hay entre las fracciones y la división? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA1 Resuelven problemas de varios pasos, incluidos problemas verbales, que involucran la suma y la resta de fracciones y números mixtos y la división de números enteros con cocientes fraccionarios. (5.NF)
5.Mód2.CLA9 Representan problemas que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios. (5.NF.B.3)
5.Mód2.CLA10 Resuelven problemas verbales que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios. (5.NF.B.3)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Representar y resolver problemas de división
• Compartir, comparar y conectar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Respuesta a coro: Convertir unidades métricas
La clase convierte litros a centilitros, metros a centímetros o gramos a centigramos para adquirir fluidez en la conversión de medidas del sistema métrico expresadas en unidades más grandes en términos de unidades más pequeñas del módulo 1.
Muestre 1 L = cL.
¿1 litro es igual a cuántos centilitros? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
100 centilitros
Muestre la ecuación completada.
Cuando dé la señal, lean la ecuación. ¿Comenzamos?
1 litro es igual a 100 centilitros.
Continúe el proceso con 2 L = cL y 2 L 538 cL = cL.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de un quinto en un quinto en la recta numérica
La clase cuenta de un quinto en un quinto y expresa las fracciones como números enteros o números mixtos para desarrollar fluidez con la interpretación de una fracción como una división.
Muestre la recta numérica.
¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Quintos
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un quinto en un quinto hasta 10 quintos. Empiecen diciendo 0 quintos.
¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un quinto en un quinto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 5 …, 9 5 , 2
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un quinto en un quinto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 5 …, 1 4 5 , 2
Intercambio con la pizarra blanca: Restar números mixtos
La clase resta números mixtos con unidades semejantes como preparación para restar números mixtos con unidades relacionadas o diferentes a partir del tema C.
Muestre
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase razona sobre si un diagrama de cinta representa correctamente un problema del mundo real.
Muestre el problema:
Toby corre 7 millas en 5 días. Corre el mismo número de millas cada día. ¿Cuántas millas corre Toby cada día?
Muestre el ejemplo de trabajo y dé a la clase 1 o 2 minutos para analizar los diagramas.
Luego, haga la siguiente pregunta.
Aquí están los modelos que usaron Leo y Mara para resolver el problema. ¿Qué observan?
Usaron diagramas de cinta para representar el problema.
Usaron los mismos números, pero obtuvieron respuestas diferentes.
Método de Leo:
Método de Mara:
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para comentar por qué Leo y Mara obtuvieron respuestas diferentes y para determinar cuál es la solución correcta. Mientras conversan, recorra el salón de clases y anímeles a que piensen qué cantidad es el total y qué cantidad representa el número de grupos iguales.
Reúna a la clase y elija a estudiantes que se ofrezcan a compartir y justificar su razonamiento.
¿Cómo dispuso Leo su diagrama de cinta?
Leo dispuso su diagrama para representar el número total de millas que corre Toby. El diagrama tiene 5 partes iguales para representar los 5 días.
¿Cómo dispuso Mara su diagrama de cinta?
Mara dispuso su diagrama para representar el número total de días que corre Toby. El diagrama tiene 7 partes iguales para representar las 7 millas.
¿Qué estudiante está en lo correcto? ¿Cómo lo saben?
Leo está en lo correcto porque su diagrama de cinta muestra que Toby corre 7 millas, que es la longitud total del diagrama de cinta. Corre esas millas en el transcurso de 5 días, que son las 5 partes del diagrama de cinta.
Leo está en lo correcto porque cuando pienso en que Toby corre 7 millas en el transcurso de 5 días, sé que eso significa que corrió más de 1 milla cada día. El método de Mara muestra que Toby solo corrió 5 7 de milla cada día.
Para evitar errores como el que cometió Mara, es importante leer los problemas verbales con atención e identificar qué cantidad representa el dividendo y qué cantidad representa el divisor.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos modelos para representar y resolver problemas verbales que involucran divisiones y fracciones.
Aprender
Representar y resolver problemas de división
La clase razona, representa y resuelve problemas verbales del mundo real que involucran divisiones y fracciones.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que lean el problema de forma independiente.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. La Sra. Chan usa 13 yardas de tela para hacer 4 edredones idénticos. ¿Cuántas yardas de tela usa la Sra. Chan para cada edredón?
13 ÷ 4 = 13 4 = 3 1 4
La Sra. Chan usa 3 1 4 yardas de tela para cada edredón.
Lea la primera oración del problema a coro con la clase.
¿Qué información conocemos?
La Sra. Chan usa 13 yardas de telas en total. Hace 4 edredones idénticos.
¿Qué podemos dibujar para representar esa información?
Podemos dibujar un diagrama de cinta para representar el total de 13 yardas de tela. Luego, podemos dividir el diagrama en 4 partes iguales para representar los 4 edredones.
Demuestre cómo dibujar un diagrama de cinta y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Lea el resto del problema con la clase.
¿Qué nos pide la pregunta que hallemos?
Tenemos que hallar cuántas yardas de tela usa la Sra. Chan para cada edredón.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando interpreta y resuelve problemas del mundo real en los que divide números enteros y trabaja con fracciones y números mixtos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Qué pueden calcular sobre la situación de este problema observando el diagrama de cinta?
• ¿La respuesta que dan tiene sentido? ¿Por qué?
• ¿Cómo pueden explicar este problema con sus propias palabras?
Rotule una parte con un signo de interrogación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué pueden concluir sobre el diagrama de cinta hasta ahora?
Sé que las 4 partes del diagrama son iguales al total 13.
Sé que tengo que dividir 13 entre 4 para hallar el valor de 1 parte.
Antes de resolver el problema, hagamos una estimación. ¿Entre qué números enteros está el cociente? ¿Cómo lo saben?
El cociente está entre el 3 y el 4. Si la Sra. Chan tuviera 12 yardas de tela, usaría 3 yardas para cada edredón. Si la Sra. Chan tuviera 16 yardas de tela, usaría 4 yardas para cada edredón. Como tiene 13 yardas, que está entre 12 y 16 yardas, usa entre 3 y 4 yardas para cada edredón.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para resolver el problema.
¿Cuántas yardas de tela usa la Sra. Chan para cada edredón?
La Sra. Chan usa 3 1 4 yardas de tela para cada edredón.
¿Es razonable nuestra respuesta? ¿Cómo lo saben?
Nuestra respuesta es razonable porque estimamos que el cociente está entre el 3 y el 4.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 a 4. Pida a una de las parejas que dibuje el modelo mientras la otra resuelve el problema. Pida a las parejas que intercambien los roles después de cada problema. Dé a sus estudiantes 10 minutos para trabajar. Recorra el salón de clases y busque diferentes formas de representar los problemas. Habrá quienes usen diagramas de cinta, pero quizás haya quienes todavía usen representaciones de lecciones anteriores. Seleccione dos o tres estudiantes para que compartan el trabajo del problema 2 en el siguiente segmento. Busque ejemplos de trabajo en los que se usen modelos diferentes para apoyar las soluciones.
DUA: Acción y expresión
Considere exhibir preguntas de guía como las siguientes, que animan a las parejas a supervisar y evaluar su propio progreso a medida que completan los problemas 2 a 4. Supervisar
• ¿Es razonable nuestra respuesta?
• ¿Deberíamos intentarlo de otra manera?
Evaluar
• ¿Qué funcionó bien?
• ¿Qué podríamos hacer de otra manera la próxima vez?
Los ejemplos de trabajo de sus estudiantes demuestran cómo representar el problema 2 con un diagrama de cinta y un modelo de área.
Diagrama de cinta
Modelo de área pizzas 5
Pizzas
40 estudiantes
5 ÷ 40 = 5 40
Cada estudiante recibe de pizza.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan más apoyo para empezar a resolver un problema, use los siguientes planteamientos como guía:
• ¿Qué información conocen?
• ¿Qué pueden dibujar para representar esa información?
• ¿Qué necesitan averiguar?
• ¿Cuál es la cantidad que representa el dividendo? ¿Y el divisor?
2. 40 estudiantes comparten 5 pizzas en partes iguales. ¿Cuánta pizza recibe cada estudiante?
5 ÷ 40 = 5 40 = 1 8
Cada estudiante recibe 1 8 de pizza
3. El Sr. Evans corta 17 pies de alambre en 6 partes iguales. ¿Cuál es la longitud de cada parte de alambre?
17 ÷ 6 = 17 6 = 2 5 6
Cada parte de alambre mide 2 5 6 pies de largo. 5 pizzas 40 estudiantes
4. Lacy tiene 10 galones de agua. Vierte el mismo número de galones de agua en cada una de sus 3 peceras. Su pecera de peces azules ya tenía 1 3 de galón de agua. ¿Cuántos galones de agua hay en su pecera de peces azules ahora?
Ahora, hay 3 2 3 galones de agua en su pecera de peces azules.
Compartir, comparar y conectar
La clase comparte las soluciones y razona acerca de sus conexiones.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y el modelo que usó para representar el problema. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre las diferentes soluciones y el trabajo de cada estudiante.
Anime a sus estudiantes a que hagan sus propias preguntas. El siguiente diálogo representa un ejemplo de conversación.
Dibujar un diagrama de cinta (Método de Kayla)
Kayla, ¿cómo resolviste el problema?
Dibujé un diagrama de cinta para representar 5 pizzas.
Pensé en dividirlo en 40 partes iguales, pero son muchas partes para dibujar, así que dibujé 1 de las 40 partes para representar a la clase. Sé que 5 pizzas deben repartirse, en partes iguales, entre 40 estudiantes, así que sé que 1 parte es igual a 5 dividido entre 40. Hallé 5 dividido entre 40, que es 5 40 .
Cada estudiante recibe 5 40 de pizza.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de Kayla.
Diferenciación: Desafío
Proponga a sus estudiantes el desafío de crear sus propios problemas de división para que los resuelvan sus compañeras y compañeros. Anime a sus estudiantes a analizar primero los problemas dados para identificar la cantidad que representa el total, la cantidad que representa el número de grupos iguales y la pregunta que hay que responder. Pídales que incluyan esos mismos componentes en sus problemas. También deben brindar ejemplos de trabajo en una hoja aparte que muestre al menos dos formas diferentes de resolver los problemas.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere invitar a sus estudiantes a utilizar la Herramienta para la conversación mientras comparten su trabajo, realizan preguntas sobre el trabajo del resto de la clase y comparan su trabajo con el de sus pares.
• La sección Compartir tu razonamiento puede ayudarles a compartir sus estrategias para hallar la solución.
• La sección Preguntar por el razonamiento puede ayudarles a formular preguntas sobre las soluciones que compartieron.
Dibujar un modelo de área (Método de Tyler)
Tyler, ¿cómo resolviste el problema?
Dibujé 5 rectángulos para representar las 5 pizzas. Sé que hay 40 estudiantes, así que pensé en cómo podía hacer 40 partes iguales con 5 pizzas. Sabía que si corto cada pizza en 8 porciones, tengo un total de 40 porciones, porque 5 × 8 = 40. Dividí cada rectángulo en octavos para mostrar 40 partes iguales. Sé que 40 partes es igual a 40 octavos, así que 1 parte es igual a 1 octavo. Cada estudiante recibe 1 8 de pizza.
Cada estudiante recibe de . pizza.
8 octavos 8 8 8 8 8 8 8 8 1 8
Nota para la enseñanza
Los ejemplos de trabajo y razonamiento de cada estudiante muestran las respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian el trabajo de Tyler y el trabajo de Kayla?
Kayla dibujó un diagrama de cinta para representar el problema. Tyler dibujó 5 rectángulos individuales para representar las pizzas.
Kayla dijo que cada estudiante recibe 5 40 de pizza, pero Tyler dijo que cada estudiante recibe 1 8 de pizza.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el papel que tiene cada modelo en el trabajo de Kayla y de Tyler.
El diagrama de cinta de Kayla la ayudó a entender el problema. Dibujó el diagrama de cinta y, luego, usó una división para hallar que cada parte representa 5 40 de pizza.
Tyler usó su modelo para resolver el problema. Dibujó 5 rectángulos para representar cada pizza y, luego, dividió cada rectángulo en 8 partes iguales para obtener un total de 40 partes. Cada parte es 1 8 , así que cada estudiante recibe 1 8 de pizza.
¿Quién está en lo correcto: Kayla o Tyler?
Ambos están en lo correcto. 5 40 es equivalente a 1 8 .
¿Tiene más sentido decir que cada estudiante recibe 5 40 o 1 8 de pizza? ¿Por qué?
Tiene más sentido decir que cada estudiante recibe 1 8 de pizza porque la pizza no suele servirse en cuarentavos.
Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.
Pizzas
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación entre las fracciones y las expresiones de división.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas verbales sobre la división y las fracciones
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre resolver problemas verbales de división usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Dibujar un modelo les ayuda a resolver problemas verbales con división y fracciones?
¿Por qué?
Sí. Puedo dibujar y rotular el diagrama de cinta cada vez que releo el problema. El diagrama de cinta me ayuda a entender cómo resolver el problema.
Sí. Cuando leo sobre el número total de pizzas, la longitud del alambre o los galones de agua, sé cómo rotular la parte de arriba del diagrama de cinta. Luego, puedo volver a leer el problema para ver cuántas divisiones tengo que hacer. Puedo usar la división para hallar la parte desconocida y resolver el problema.
¿Resolver problemas verbales con división les ayuda a comprender la relación que hay entre las fracciones y la división? Expliquen.
Sí. Mientras resolvía los problemas de división, entendí que una fracción es otra forma de representar la división y que puedo representar la división con una fracción.
Sí. Cuando veo una fracción, puedo pensar que es una parte de un entero o que es una expresión de división.
Sí. Los problemas verbales que resolvimos me ayudaron a comprender que puedo representar la división con una fracción y que la fracción es el cociente del problema de división.
Pida a sus estudiantes que vuelvan a ver el Grupo de problemas y guíe una conversación sobre comprobar que las soluciones tengan sentido en el contexto.
¿Hay problemas en el Grupo de problemas para los que tiene más sentido expresar el cociente como una fracción equivalente? Den ejemplos.
Sí, en los problemas 2 y 3, tiene más sentido escribir el cociente original como una fracción equivalente.
En el problema 2, es más fácil imaginar 1 3 de un litro de jugo que imaginar a cada estudiante recibir 8 24 de litro de jugo.
En el problema 3, es más fácil imaginar 1 6 de tarta que imaginar a cada persona recibir 5 30 de una tarta.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Lisa corta una tabla que mide 1 metro de largo en 5 partes iguales. ¿Cuántos metros de largo mide cada parte?
a. Dibuja un diagrama de cinta para representar el problema. 1 ?
b. ¿El cociente es menor que 1 o mayor que 1?
Menor que 1
c. Escribe una ecuación para hallar la longitud de cada parte. Luego, escribe un enunciado con la solución.
1 ÷ 5 = 1 5
Cada parte mide 1 5 de metro de largo.
d. Usa tu respuesta de la parte (b) para explicar cómo sabes que tu respuesta de la parte (c) es razonable.
Mi respuesta de 1 5 de metro es razonable porque 1 5 es menor que 1
2. El maestro Pérez compra 8 litros de jugo para su clase. Sus 24 estudiantes comparten el jugo en partes iguales.
a. Dibuja un diagrama de cinta para representar cuántos litros de jugo recibe cada estudiante. 8 litros ? 24 estudiantes
b. Completa la ecuación para hallar cuántos litros de jugo recibe cada estudiante.
8 ÷ 24 = 8 24
c. Expresa tu respuesta de la parte (b) como una fracción unitaria equivalente.
1 3
d. ¿Qué fracción te ayuda a comprender mejor cuántos litros de jugo recibe cada estudiante? ¿Por qué?
1 3 me ayuda a comprender mejor cuántos litros de jugo recibe cada estudiante porque me resulta más fácil imaginarme 1 3 de litro de jugo que 8 24 de litro de jugo.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
3. Eddie cocina 5 tartas para una fiesta. Las 30 personas que hay en la fiesta comparten las tartas en partes iguales. ¿Cuánta tarta recibe cada persona?
5 ÷ 30 = 5 30 = 1 6
Cada persona recibe 1 6 de tarta.
4. Mara practica futbol un total de 9 horas en 4 días. Practica el mismo número de horas cada día.
¿Cuántas horas practica Mara cada día?
9 ÷ 4 = 9 4 = 2 1 4
Mara practica futbol 2 1 4 horas cada día.
5. Un equipo de estudiantes de quinto grado limpia la basura de 15 kilómetros de carretera. Tardan 7 días en terminar. El equipo limpia el mismo número de kilómetros de carretera cada día.
¿Cuántos kilómetros de carretera limpian cada día?
15 ÷ 7 = 15 7 = 2 1 7
El equipo de quinto grado limpia 2 1 7 kilómetros de carretera cada día.
6. El Sr. Sharma coloca 33 libras de alimento para aves en partes iguales en 8 comederos para aves. El comedero amarillo ya tenía 5 8 de libra de alimento para aves. ¿Cuántas libras de alimento para aves hay ahora en el comedero amarillo del Sr. Sharma?
33 ÷ 8 = 33 8
33 8 + 5 8 = 38 8 = 4 6 8 = 4 3 4
El comedero amarillo ahora tiene 4 3 4 libras de alimento para aves.
EUREKA
Tema B
Suma y resta de fracciones usando unidades semejantes
En el tema B, la clase usa su comprensión de las fracciones como una división para estimar sumas y diferencias y, luego, usan las estimaciones para comprobar si sus respuestas son razonables.
Sus estudiantes comienzan con la suma y resta de fracciones con unidades relacionadas. Utilizan modelos conocidos, como diagramas de cinta y modelos de área, para expresar una fracción con otro nombre de modo que las fracciones de una expresión tengan unidades semejantes. Mientras componen y descomponen modelos de área para hallar fracciones equivalentes, registran su razonamiento numéricamente.
Dada una expresión, la clase determina si tiene que expresar una o más fracciones con otro nombre antes de sumar o restar. Cuando se encuentran con fracciones con unidades no relacionadas, vuelven a usar los modelos concretos y pictóricos como ayuda para comprender por qué tienen que expresar más de una fracción con otro nombre. Usan lo que saben acerca de los factores y los múltiplos para determinar qué unidad van a usar como denominador común en expresiones de suma y resta. Por ejemplo, reconocer que 12 es un múltiplo de 4 y 6 significa que las fracciones con denominadores de 4 y 6 pueden expresarse como doceavos.
A lo largo del tema, se anima a la clase a analizar expresiones de suma y resta para guiar su razonamiento acerca de cómo hallar fracciones equivalentes. Tal vez parte de la clase elija expresar las fracciones con la mayor unidad posible, y otra parte no. No se espera que expresen las respuestas con una unidad en particular; más bien, se hace hincapié en que formen unidades semejantes antes de sumar o restar fracciones. Por esa razón, deben aceptarse todas las formas equivalentes de una respuesta.
En el tema C, la clase usa su comprensión de cómo formar unidades semejantes para sumar y restar fracciones, y aplican esa comprensión a la suma y resta de números mixtos.
Progresión de las lecciones
Lección 5
Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas usando modelos pictóricos
Cuando sumo o resto fracciones con unidades relacionadas, puedo usar diagramas de cinta para hallar fracciones equivalentes con unidades semejantes. Luego, puedo representar la suma o la diferencia en una recta numérica.
Lección 6
Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas usando modelos de área para expresar las fracciones con otro nombre
Lección 7
Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas hallando fracciones equivalentes numéricamente
Cuando sumo o resto fracciones con unidades relacionadas, puedo usar modelos de área para hallar fracciones equivalentes con unidades semejantes. Cuando compongo unidades pequeñas para formar unidades más grandes, puedo registrar mi razonamiento usando la división. Cuando descompongo unidades grandes en unidades más pequeñas, puedo registrar mi razonamiento usando la multiplicación.
Cuando sumo o resto fracciones con unidades relacionadas, puedo visualizar un modelo de área como ayuda para pensar en cómo formar fracciones equivalentes. Puedo multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción para formar fracciones equivalentes con unidades semejantes antes de sumar o restar.
Lección 8
Sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas hallando fracciones equivalentes de forma pictórica
Método de Mara
Método de Noah
Lección 9
Sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas hallando fracciones equivalentes numéricamente
Cuando sumo o resto fracciones con unidades no relacionadas, puedo usar modelos de área para hallar fracciones equivalentes con unidades semejantes.
Cuando sumo o resto fracciones con unidades no relacionadas, puedo componer o descomponer unidades para hallar fracciones equivalentes con unidades semejantes. Puedo mostrar mi razonamiento acerca de las fracciones equivalentes numéricamente y escribir ecuaciones para hallar sumas o diferencias.
Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas usando modelos pictóricos
Vistazo a la lección
La clase utiliza un diagrama de cinta para expresar fracciones con otro nombre y formar unidades semejantes para así poder sumar y restar fracciones con unidades relacionadas. Sus estudiantes estiman para determinar si la suma o la diferencia en una expresión es menor que 1, está entre 1 y 2 o es mayor que 2. Luego, hallan sumas y diferencias numéricamente o usando una recta numérica.
Preguntas clave
• ¿Son importantes las unidades semejantes cuando suman y restan fracciones? ¿Por qué?
• ¿Qué significa decir que las unidades están relacionadas?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA2 Razonan acerca del proceso de sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A)
5.Mód2.CLA3 Representan la formación de fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A)
Agenda
Fluidez 15 min
Presentar 5 min
Aprender 30 min
• Diagramas de cinta
• Rectas numéricas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Práctica veloz: Sumar y restar fracciones o números mixtos (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Contar de un sexto en un sexto en la recta numérica
La clase cuenta de un sexto en un sexto y expresa fracciones como números enteros o números mixtos como preparación para representar la suma y la resta de fracciones con unidades semejantes en la recta numérica.
Muestre la recta numérica.
¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Sextos
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un sexto en un sexto hasta 12 sextos. Empiecen diciendo 0 sextos. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 _ 6 , 1 _ 6 …, 11 __ 6 , 12 __ 6
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un sexto en un sexto.
Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un sexto en un sexto. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
Práctica veloz: Sumar y restar fracciones o números mixtos
Materiales: E) Práctica veloz: Sumar y restar fracciones o números mixtos
EUREKA MATH2 5 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Sumar y restar fracciones o números mixtos
La clase suma o resta fracciones o números mixtos con unidades semejantes como preparación para sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades relacionadas o diferentes a partir de la lección 6.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Suma o resta. Cuando sea posible, escribe la suma o la diferencia como un número entero.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 6? ¿Y de los problemas 7 a 12?
• ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 6 con los problemas 13 a 17?
• ¿Cómo se comparan los problemas 7 a 12 con los problemas 18 a 22?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de un quinto en un quinto desde el 0 hasta el 2, expresando con otro nombre los números enteros y los números mixtos, para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de un cuarto en un cuarto desde el 3 hasta el 0, expresando con otro nombre los números enteros y los números mixtos, para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase analiza modelos que muestran unidades semejantes, unidades relacionadas y unidades diferentes.
Muestre la actividad digital interactiva de Soltar bloques verticalmente. Comience mostrando 2 7 en el modelo superior y 3 7 en el modelo inferior. Luego, suelte los bloques.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observaron antes de soltar los bloques y lo que observaron después de soltarlos.
Luego, muestre 3 5 en el modelo superior y 1 5 en el modelo inferior.
¿Qué expresión de suma podemos escribir para representar lo que vemos en el modelo?
3 5 + 1 5
¿Qué esperan ver cuando suelte los bloques?
Espero ver que las 3 partes del modelo superior caen sobre el 1 del modelo inferior y se muestra un total de 4 5 .
Suelte los bloques para confirmar lo que sus estudiantes esperaban ver y mostrar la suma en quintos.
El modelo representa una manera de sumar fracciones con unidades semejantes. En este caso, las unidades semejantes son quintos y nuestra suma también está en quintos. Analicemos otro modelo.
Muestre 1 3 en el modelo superior y 3 6 en el modelo inferior.
¿Qué expresión de suma ven representada en este modelo?
1 3 + 3 6
¿Qué esperan ver cuando suelte los bloques? ¿Cuál creen que es el total?
Espero ver que el 1 del modelo superior cae sobre las 3 partes del modelo inferior. Creo que el total es 5 6 .
Suelte los bloques para confirmar lo que sus estudiantes esperaban ver y mostrar la suma en sextos.
Este modelo representa dos fracciones con unidades diferentes pero relacionadas. Las unidades tercios y sextos están relacionadas porque 6 es un múltiplo de 3 y 3 es un factor de 6. Cuando suelto los bloques, podemos ver la suma en sextos. 5
Nota para la enseñanza
La secuencia de problemas de la sección Presentar hace que sus estudiantes pasen de lo que ya conocen de 4.o grado, sumar fracciones con unidades semejantes, a lo que aprenden en esta lección y en las siguientes: sumar fracciones con unidades diferentes que están relacionadas y que no están relacionadas. No se espera que toda la clase pueda determinar cuál es la suma que se muestra con unidades relacionadas, y tampoco con unidades no relacionadas. Si hay tiempo suficiente, considere mostrar más de un ejemplo de cada tipo de expresión de suma.
Muestre 2 7 en el modelo superior y 1 3 en el modelo inferior.
¿Qué expresión de suma ven representada en este modelo?
2 7 + 1 3
¿Qué esperan ver cuando suelte los bloques? ¿Cuál creen que es el total?
Espero ver que las 2 partes del modelo superior caen sobre el 1 del modelo inferior. No sé con certeza cuál es el total.
Suelte los bloques para confirmar lo que sus estudiantes esperaban ver y mostrar la suma que no se puede identificar con claridad en el modelo.
Este modelo representa dos fracciones con unidades diferentes que no están relacionadas. Al soltar los bloques, vimos que 2 7 no llenó por completo uno de los tercios del modelo inferior, así que no podemos determinar la suma con solo ver el modelo.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
A lo largo de las siguientes lecciones, aprenderemos a sumar y restar fracciones con unidades diferentes. Hoy, vamos a enfocarnos en la suma y la resta de fracciones con unidades diferentes pero relacionadas usando modelos pictóricos.
Aprender
Diagramas de cinta
La clase utiliza un diagrama de cinta para expresar fracciones con unidades relacionadas como fracciones equivalentes con unidades semejantes y, luego, sumar o restar las fracciones.
Muestre la imagen con el ejemplo de trabajo donde se usa un diagrama de cinta para formar fracciones equivalentes y hallar 3 4 3 16 .
Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el trabajo.
Observar y preguntarse
¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?
Observo que el diagrama de cinta muestra que 12 16 y 3 4 son fracciones equivalentes.
Observo que la expresión de resta no tiene unidades semejantes y que se reescribió usando unidades semejantes.
Me pregunto por qué se usó un diagrama de cinta para hallar la fracción equivalente.
Me pregunto cómo se restó.
Organizar
¿Qué pasos se siguieron para restar? ¿Cómo lo saben?
Se dibujó un diagrama de cinta para mostrar 3 4 . Puedo ver 3 4 con las líneas continuas, el sombreado y el rótulo debajo del diagrama de cinta. Se dividió cada cuarto en 4 partes iguales con las líneas punteadas para formar dieciseisavos y, luego, se rotularon los dieciseisavos sombreados en el diagrama de cinta con 12 16 . Se expresó 3 4 como 12 16 en la expresión de resta y, luego, se restó.
Guíe la conversación de modo que la clase se concentre en el uso del diagrama de cinta para hallar una fracción equivalente e incentive el razonamiento que establezca conexiones con la formación de unidades semejantes.
Mostrar
Enfoquémonos en el uso del diagrama de cinta para expresar fracciones con otro nombre. ¿Dónde ven eso en este caso?
Se dibujó un diagrama de cinta para mostrar 3 4 . Luego, se dividió cada cuarto en 4 partes iguales para mostrar dieciseisavos.
Se rotuló el diagrama de cinta con 3 4 y 12 16 .
Sintetizar
¿Por qué se usó un diagrama de cinta en este caso?
El diagrama de cinta mostró con qué otro nombre expresar 3 4 en la expresión de resta para que tuvieran unidades semejantes. Luego, estaba todo listo para restar.
Comprender
No veo que se haya dibujado nada que ayude a restar 3 __ 16 de 12 __ 16 . ¿Por qué creen que no se hizo?
Probablemente se sabía que, cuando las unidades son iguales, se puede restar el número de unidades para hallar la diferencia.
Muestre la expresión 2 3 + 6 9 .
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si la suma es menor que 1, está entre 1 y 2 o es mayor que 2, y por qué.
La suma está entre 1 y 2 porque 2 3 está más cerca de 1 y 6 9 es mayor que 1 2 , así que la suma está entre 1 y 2.
La suma está entre 1 y 2 porque las dos fracciones son mayores que 1 2 , así que la suma es mayor que 1, pero las dos fracciones son menores que 1, por lo que la suma es menor que 2.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las siguientes preguntas: ¿Qué unidad fraccionaria tiene sentido usar para sumar las fracciones? ¿Por qué?
Dé tiempo para que las parejas de estudiantes dibujen un diagrama de cinta para expresar las fracciones con otro nombre y hallar la suma. Recorra el salón de clases e identifique si hay estudiantes que dibujan un diagrama de cinta para expresar 2 3 como 6 9 y estudiantes que dibujan un diagrama de cinta para expresar 6 9 como 2 3 . Lo ideal es mostrar el trabajo auténtico de sus estudiantes, pero se proporcionan ejemplos de diagramas de cinta de ser necesarios.
Valide todas las respuestas equivalentes que hayan hallado para la suma.
¿Cuánto es la suma de 2 _ 3 y 6 _ 9 ?
¿Es una suma razonable? ¿Por qué?
Es razonable porque la suma está entre 1 y 2, que coincide con nuestra estimación.
Muestre los diagramas de cinta. Si hay estudiantes que dibujaron diagramas de cinta como estos, muéstrelos.
DUA: Acción y expresión
Considere apoyar y proveer soportes para la práctica de sus estudiantes mostrando el ejemplo de trabajo de la rutina Cinco preguntas estructuradas mientras las parejas trabajan.
Nota para la enseñanza
El primer diagrama de cinta muestra 2 3 expresado como 6 __ 9 . Se dibujó un diagrama de cinta, se dividió en 3 partes iguales y se sombrearon 2 partes para representar 2 __ 3 .
Luego, se usaron líneas entrecortadas para dividir cada tercio en 3 partes iguales y así identificar la fracción equivalente, 6 9
El segundo diagrama de cinta muestra 6 9 expresado como 2 3 . Se dibujó un diagrama de cinta, se dividió en 9 partes iguales y se sombrearon 6 partes para representar 6 9 .
Luego, se marcó con resaltador para mostrar 3 grupos de 3 9 y así identificar la fracción equivalente, 2 3 .
¿Qué observan?
2 3 = 6 9
2 3 se puede expresar con otro nombre usando novenos.
6 9 se puede expresar con otro nombre usando tercios.
En este ejemplo, cualquiera de las dos fracciones se puede expresar con otro nombre usando la unidad de la otra fracción. ¿Por qué?
Las fracciones son iguales.
Podemos descomponer cada tercio de 2 3 en 3 partes iguales para expresar la fracción con otro nombre usando novenos.
Teníamos suficientes novenos, así que pudimos componer 2 grupos de 3 novenos para expresar la fracción con otro nombre usando tercios.
Volvamos a pensar en la expresión anterior: 3 4 3 16 . ¿Se podría haber usado el diagrama de cinta para expresar 3 __ 16 como cuartos? ¿Por qué?
No, 3 16 no es igual a un número entero de cuartos.
Se podría usar un diagrama de cinta para intentar expresar 3 16 como cuartos, pero el diagrama muestra que 3 16 no es igual a un número entero de cuartos, así que en este caso no funciona.
¿Por qué es útil usar un diagrama de cinta para hallar fracciones equivalentes cuando sumamos o restamos fracciones?
El diagrama de cinta me ayuda a ver cómo descomponer o componer una fracción en unidades diferentes, y, así, poder hallar una fracción equivalente y tener unidades semejantes para tener todo listo para sumar o restar.
Muestre la expresión 17 15 + 2 5 . Invite a la clase a trabajar en parejas y usar un diagrama de cinta para hallar una fracción equivalente para formar unidades semejantes y, luego, hallar la suma. Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja y haga las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es la suma estimada?
• ¿Qué unidad fraccionaria tiene sentido usar para expresar las fracciones con otro nombre? ¿Por qué?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando suma o resta fracciones con unidades diferentes usando un diagrama de cinta para hallar una fracción equivalente con unidades semejantes.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Cuándo podrían cometer errores al sumar fracciones con unidades diferentes?
• ¿Cómo pueden hallar una fracción equivalente con unidades semejantes usando un diagrama de cinta?
Nota para la enseñanza
En la actividad digital interactiva de Diagrama de cinta con fracciones equivalentes, se divide un diagrama de cinta para representar fracciones equivalentes.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
• ¿Cómo puede ayudarles el diagrama de cinta a hallar unidades semejantes?
• ¿Tienen pensado dibujar el diagrama de cinta para mostrar quinceavos y componer para hallar quintos, o mostrar quintos y descomponer para hallar quinceavos? ¿Por qué?
• ¿Cuál es la expresión de suma con unidades semejantes?
• ¿Es razonable su respuesta? ¿Cómo lo saben?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la utilidad de usar un diagrama de cinta al hallar fracciones equivalentes para formar unidades semejantes.
Rectas numéricas
La clase utiliza una recta numérica para mostrar la suma o la diferencia de fracciones con unidades relacionadas.
Muestre la expresión 3 4 + 5 8 . Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si la suma es menor que 1, está entre 1 y 2 o es mayor que 2.
¿Qué observan acerca de las unidades fraccionarias?
Son diferentes. Hay cuartos y octavos.
¿Están relacionadas las unidades? ¿Cómo lo saben?
Sí, están relacionadas. Lo sé porque puedo descomponer cuartos para formar octavos.
Sí, están relacionadas. Lo sé porque puedo componer octavos para formar cuartos.
Sí, están relacionadas. Lo sé porque 4 es un factor de 8 y 8 es un múltiplo de 4.
¿Tenemos todo listo para sumar? ¿Por qué?
No, porque las unidades no son iguales.
Tenemos que expresar al menos una de las fracciones como una fracción equivalente para que las dos tengan la misma unidad fraccionaria, o denominador. Esta vez, representemos la suma en una recta numérica.
¿Qué intervalo debemos mostrar en la recta numérica? ¿Por qué?
Una recta numérica con un intervalo del 0 al 2, porque nuestra estimación de la suma está entre 1 y 2, ya que tanto 3 4 como 5 8 son mayores que 1 2 .
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Al describir fracciones, pueden utilizarse los términos unidad, unidad fraccionaria, numerador y denominador. Considere usar estos términos a lo largo de la lección y replantear las respuestas de sus estudiantes cuando sea necesario. En general, use unidad o unidad fraccionaria para describir los números representados por las fracciones y sus relaciones, y use numerador o denominador para describir los procedimientos.
¿En qué unidad fraccionaria debemos dividir los intervalos de números enteros en la recta numérica? ¿Por qué?
En octavos, porque no podemos expresar 5 octavos como un número entero de cuartos, pero podemos expresar 3 cuartos como un número entero de octavos.
Dibuje una recta numérica del 0 al 2, divida cada intervalo de números enteros en octavos, y rotule 3 4 . Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuántos octavos es igual a 3 _ 4 ?
6 _ 8
Rotule la marca de graduación con 6 8 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuál es nuestra expresión de suma con unidades semejantes? ¿Ahora tenemos todo listo para sumar?
La expresión con unidades semejantes es 6 8 + 5 8 . Sí, tenemos todo listo para sumar porque tenemos unidades semejantes.
Escriba = 6 8 + 5 8 .
Pida a sus estudiantes que sumen y, luego, representen la suma en la recta numérica.
¿Cuánto es 3 _ 4 + 5 _ 8 ? 11 8
¿Es 11 8 una respuesta razonable? ¿Cómo lo saben?
Sí. Estimé que la suma estaba entre 1 y 2, y 11 8 está entre 1 y 2.
Sí. Estimé que la suma era cerca de 1 1 2 , y 11 8 es 1 3 8 , que es aproximadamente 1 1 2 .
Nota para la enseñanza
Para la representación de la recta numérica, se asume que la clase ya comprende las fracciones equivalentes. Aquí, representan la suma o la diferencia. Si sus estudiantes necesitan apoyo para expresar las fracciones con otro nombre, anímeles a usar un diagrama de cinta.
Diferenciación: Apoyo
La actividad digital interactiva de Combinar dos rectas numéricas ayuda a sus estudiantes a hallar fracciones equivalentes ya que combinan dos rectas numéricas divididas en diferentes unidades en una sola.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase. Es probable que sus estudiantes reconozcan esta actividad digital interactiva de 3.er y 4.o grado.
Escriba = 11 8 .
Muestre la expresión 7 12 1 3 .
Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar la diferencia. Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja y haga las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es su estimación de la diferencia?
• ¿Qué unidad fraccionaria tiene sentido usar para expresar las fracciones con otro nombre? ¿Por qué?
• ¿Cuál es la expresión de resta con unidades semejantes?
• ¿Cómo pueden mostrar la resta en la recta numérica?
• ¿Es razonable su respuesta? ¿Cómo lo saben?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué es importante recordar cuando suman o restan fracciones.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Desafío
Considere desafiar a sus estudiantes a evaluar expresiones como las siguientes, que combinan suma y resta y tienen más de 2 unidades relacionadas.
• Hallen 7 __ 12 − 1 3 + 5 3 .
• Hallen 5 16 + 3 2 + 7 8 .
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas usando modelos pictóricos
Guíe una conversación de toda la clase acerca de la estimación y el uso de una recta numérica para sumar o restar fracciones con unidades semejantes usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Son importantes las unidades semejantes cuando suman y restan fracciones? ¿Por qué?
Sí, porque podemos sumar y restar cuando se puede representar lo que juntamos o separamos con la misma unidad.
Sí. Podemos sumar y restar fracciones cuando tienen el mismo denominador.
¿En qué se parece sumar y restar fracciones con unidades semejantes a sumar y restar números enteros? Den un ejemplo.
Sumar y restar fracciones con unidades semejantes se parece a sumar y restar números enteros porque en ambos casos podemos usar una recta numérica para hallar la suma o la diferencia.
Cuando sumamos 5 8 a 6 8 , comenzamos en 6 8 y saltamos 5 8 en la recta numérica para llegar a 11 8 . Es como sumar 5 a 6 empezando en el 6 y saltar 5 en la recta numérica hasta llegar al 11.
Sumar y restar fracciones con unidades semejantes es parecido a sumar y restar números enteros cuando pienso en forma unitaria. Puedo sumar 4 decenas y 3 decenas para formar 7 decenas porque las unidades son las mismas. Es como sumar 4 décimos y 3 décimos para formar 7 décimos.
¿Qué tienen en común todas las expresiones que evaluamos hoy?
Hallamos la suma o la diferencia.
Solo tuvimos que expresar una fracción con otro nombre para tener unidades semejantes.
Pudimos expresar una fracción con otro nombre usando las unidades de la otra.
Cuando podemos expresar una fracción con otro nombre usando una de las unidades que ya aparecen en la expresión, podemos decir que las unidades están relacionadas.
Invite a sus estudiantes a que elijan algunas de las expresiones y conversen en parejas acerca de cómo se relacionan las unidades. Por ejemplo, ¿cuál es la relación entre doceavos y tercios?
¿Cuál es la relación entre cuartos y octavos?
Los doceavos y los tercios están relacionados. Lo sé porque podemos expresar tercios como doceavos.
Sé que los doceavos y los tercios están relacionados porque 12 es un múltiplo de 3 y 3 es un factor de 12.
Los cuartos y los octavos están relacionados. Lo sé porque podemos expresar cuartos como octavos.
Sé que los cuartos y los octavos están relacionados porque 8 es un múltiplo de 4 y 4 es un factor de 8.
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos
de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
A1.
Número de respuestas correctas:
o resta. Cuando sea posible, escribe la suma o la diferencia como un número entero.
Número de respuestas correctas:
Progreso:
Completa el modelo para formar unidades semejantes. Luego, suma o resta. Cada diagrama de cinta representa 1
Considera la expresión. Estima mentalmente la suma o la diferencia. Encierra
un círculo
mostrar tu estimación.
Dibuja un modelo para formar unidades semejantes. Luego, suma o resta.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
13. Noah traza una línea de 13 16 de pulgada de largo. Borra 3 8 de pulgada de la línea. ¿Cuántas pulgadas tiene de largo la línea ahora?
13 16 3 8 = 7 16
Ahora, la línea tiene 7 16 de pulgada de largo.
Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas usando modelos de área para expresar las fracciones con otro nombre
Vistazo a la lección
La clase utiliza modelos de área para expresar con otro nombre fracciones con unidades relacionadas en problemas de suma y resta. Descomponen para expresar una fracción como una unidad más pequeña y componen para expresar una fracción como una unidad más grande. En algunas expresiones, pueden elegir expresar con otro nombre cualquiera de las fracciones para formar unidades semejantes antes de sumar o restar. Luego, relacionan la experiencia de expresar fracciones con otro nombre usando el modelo de área con expresar fracciones con otro nombre numéricamente.
Preguntas clave
• ¿Cómo puede ayudarles un modelo de área a expresar fracciones con otro nombre?
• ¿Es útil observar primero si las unidades están relacionadas? ¿Por qué?
• ¿Es útil observar si pueden expresar con otro nombre cualquiera de las fracciones de la expresión? ¿Por qué?
Criterio de logro académico
5.Mód2.CLA2 Razonan acerca del proceso de sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Expresar fracciones con otro nombre para sumar y restar usando un modelo de área
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Fracciones equivalentes (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Fracciones equivalentes de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Contar
de un séptimo en un séptimo en la recta numérica
La clase cuenta de un séptimo en un séptimo y expresa fracciones como números enteros o números mixtos como preparación para representar la suma y la resta de fracciones con unidades relacionadas en la recta numérica.
Muestre la recta numérica.
¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Séptimos
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un séptimo en un séptimo hasta 14 séptimos. Empiecen diciendo 0 séptimos. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 7 , 1 7 …, 13 7 , 14 7
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un séptimo en un séptimo. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 7 …, 13 7 , 2
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un séptimo en un séptimo. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 7 …, 1 6 7 , 2
Respuesta a coro: Más cerca de 0, 1 _ 2 o 1
La clase determina si una fracción está más cerca de 0, 1 _ 2 o 1 para desarrollar
fluidez con el uso de números de referencia para estimar sumas y diferencias.
Muestre 5 6 y la recta numérica rotulada con 0, 1 2 y 1.
Piensen dónde se ubica 5 6 en la recta numérica. ¿ 5 _ 6 está más cerca de 0, 1 _ 2 o 1? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Más cerca de 1
Muestre 5 6 en la recta numérica.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes
Materiales: E) Fracciones equivalentes
La clase usa un modelo de área para generar una fracción equivalente a una fracción unitaria como preparación para sumar y restar fracciones con unidades relacionadas.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el cuadrado.
El área del cuadrado representa 1 entero.
Usen una línea vertical para dividir el entero en mitades y, luego, sombreen y rotulen 1 _ 2 .
Muestre el modelo dividido, sombreado y rotulado.
Luego, muestre la ecuación 1 2 = 1 × 2 2 × 2 = .
Usen la información que conocen de la ecuación como ayuda para trazar líneas horizontales y dividir el modelo de área en unidades más pequeñas.
Muestre el modelo de área dividido en cuartos.
Rotulen la fracción equivalente a 1 _ 2 . Luego, escriban la ecuación y complétenla.
Muestre 2 4 rotulado debajo del modelo de área y la ecuación completada.
Nota para la enseñanza
En 4.o grado, la clase usa líneas horizontales para descomponer unidades fraccionarias en un modelo de área. Las líneas horizontales entrecortadas pueden ayudar a sus estudiantes a identificar las dos unidades fraccionarias que se representan, pero no se espera que tracen líneas entrecortadas. Trazar líneas verticales hace que sea más difícil diferenciar las unidades fraccionarias, en particular cuando el modelo de área se divide para obtener tres o cuatro veces la cantidad de unidades fraccionarias. Por ejemplo, el siguiente modelo de área muestra cuartos divididos en doceavos usando líneas verticales.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase analiza cuatro maneras de representar un número e identificar en qué se diferencia cada representación.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre cuatro representaciones de 3 5 y pida a la clase que las analice.
Nota para la enseñanza
Al comienzo de 3.er grado, la clase interpreta los factores de la expresión 3 × 2 como 3 grupos de 2. Por lo tanto, en 4.o grado, sus estudiantes hallan fracciones equivalentes escribiendo una expresión como 3 × 2 ____ 3 × 3 . Esto se interpreta como triplicar el número de unidades seleccionadas y triplicar el número de unidades. En 5.o grado, la manera sistemática que se usa para expresar fracciones con otro nombre es con el numerador y el denominador de la fracción dada como el primer factor de cada expresión (p. ej., 2 × 3 3 × 3 ). Ambas maneras de multiplicar son formas válidas de expresar fracciones con otro nombre numéricamente y ambas se deben aceptar como correctas.
Dé a la clase 2 o 3 minutos para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no.
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría.
Destaque las respuestas que enfatizan el razonamiento acerca de cómo interpretar cada representación para identificar su valor.
Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, a establecer conexiones y a hacer sus propias preguntas.
¿Cuál no pertenece al grupo? ¿Por qué?
A no pertenece porque es la única que muestra un punto en la recta numérica para representar 3 5 .
B no pertenece porque es la única que muestra 3 enteros divididos en 5 partes iguales.
C no pertenece porque es la única que está escrita como un número y no como un modelo.
D no pertenece porque es la única que muestra décimos.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aprenderemos a usar un modelo de área para expresar fracciones con otro nombre y así sumar y restar fracciones que tengan unidades relacionadas.
Aprender
35
Expresar fracciones con otro nombre para sumar y restar usando un modelo de área
La clase usa un modelo de área para expresar fracciones con unidades relacionadas como fracciones equivalentes con unidades semejantes y, luego, sumar o restar las fracciones.
Muestre la expresión 2 3 + 8 9 . Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para estimar la suma.
¿Tenemos todo listo para sumar? ¿Por qué?
No. Las unidades no son iguales.
Diferenciación: Apoyo
Proporcione una plantilla que muestre cada fracción representada en un modelo de área y pida a sus estudiantes que la coloquen en sus pizarras blancas. Luego, pida que usen un marcador de borrado en seco para dividir los modelos y que estos muestren unidades semejantes.
¿Qué tenemos que hacer antes de poder sumar?
Tenemos que expresar una de las fracciones con otro nombre para tener unidades semejantes.
¿Están relacionadas las unidades? ¿Cómo lo saben?
Sí. Las unidades están relacionadas porque solo tenemos que expresar con otro nombre una de las fracciones para hacer que las unidades sean iguales.
Sé que las unidades están relacionadas porque 3 es un factor de 9 y 9 es un múltiplo de 3.
¿Qué fracción debemos expresar con otro nombre?
Debemos expresar los tercios como novenos.
Antes, expresamos las fracciones con otro nombre usando un diagrama de cinta. Esta vez, usaremos un modelo de área para expresar 2 _ 3 como novenos.
Demuestre cómo crear un modelo de área mientras sus estudiantes hacen lo mismo en sus pizarras blancas.
Dibuje un modelo de área cuadrado. Diga a la clase que el modelo representa 1. Divida el modelo de manera vertical en tercios. Sombree y rotule 2 3 .
Para expresar 2 _ 3 como novenos, debemos mostrar 9 partes iguales en nuestro modelo de área. Ya tenemos 3 partes porque nuestro
modelo muestra tercios. ¿En cuántas partes iguales tenemos que dividir cada tercio para mostrar novenos?
Tenemos que dividir cada tercio en 3 partes iguales.
Divida el modelo de manera horizontal en tercios para crear novenos.
¿Cuánto es 2 _ 3 expresado como novenos?
6 9
Rotule 6 9 .
Cuando trazamos las líneas horizontales para dividir el modelo, ¿cómo cambió el número de unidades en el modelo entero?
La cantidad de unidades en el modelo entero es 3 veces la cantidad que había antes. El número de unidades se triplicó.
DUA: Acción y expresión
Considere reducir las exigencias de motricidad fina que puede implicar la tarea usando la hoja de Fracciones equivalentes en lugar de hacer que sus estudiantes dibujen sus propios modelos de área cuadrados.
Nota para la enseñanza
En la actividad digital interactiva de Modelo de área con fracciones equivalentes, se divide un modelo de área de manera vertical y horizontal para representar fracciones equivalentes.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
DUA: Representación
Pida a sus estudiantes que creen un organizador gráfico que muestre los diversos modelos que se pueden usar para crear fracciones equivalentes. El organizador gráfico puede mostrar un diagrama de cinta, un modelo de área o una representación numérica.
¿Cómo cambió el número de unidades sombreadas?
La cantidad de unidades sombreadas es 3 veces la cantidad que había antes. El número de unidades sombreadas se triplicó.
Escriba 2 3 = . Pida a la clase que haga lo mismo.
Registremos el razonamiento que hicimos cuando usamos el modelo de área para expresar la fracción con otro nombre. Empezamos con 3 unidades y las descompusimos en 3 veces esa cantidad de unidades.
Escriba 3 × 3 como el siguiente denominador de la ecuación.
Empezamos con 2 unidades sombreadas y las descompusimos en 3 veces esa cantidad de unidades.
Escriba 2 × 3 como el siguiente numerador de la ecuación.
Luego, escriba = 6 9 para completar la ecuación.
En 6 _ 9 hay 3 veces la cantidad de unidades que hay en 2 _ 3 . ¿Por qué 6 _ 9 tiene el mismo tamaño que 2 _ 3
en nuestro modelo de área?
Las unidades son más pequeñas, así que necesitamos más novenos para tener un número equivalente de tercios.
Las unidades de tercios son 3 veces tan grandes como las unidades de novenos.
Pida a sus estudiantes que escriban la expresión de suma con unidades semejantes, la evalúen y, luego, comprueben si sus respuestas son razonables.
Muestre la expresión 4 5 6 10 . Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para estimar la diferencia.
¿Tenemos todo listo para restar? ¿Por qué?
No. Las unidades no son iguales.
¿Están relacionadas las unidades? ¿Cómo lo saben?
Sí. Las unidades están relacionadas porque solo tenemos que expresar con otro nombre una de las fracciones para hacer que las unidades sean iguales.
Sé que las unidades están relacionadas porque 5 es un factor de 10 y 10 es un múltiplo de 5.
Nota para la enseñanza
Al formar fracciones equivalentes numéricamente, es importante escribir las expresiones como 2 × 3 3 × 3 , y no 2 3 × 3 3
Escribir el numerador y el denominador como una expresión de multiplicación mantiene la conexión con el modo en que cambian el número y el tamaño de las unidades, tal como se observa en el modelo de área.
Además, sus estudiantes saben hallar el producto de dos números enteros. La expresión 2 3 × 3 __ 3 es una multiplicación de dos fracciones, algo que sus estudiantes aprenden en el módulo 3.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué fracción van a expresar con otro nombre.
Podemos expresar los quintos como décimos, pero veamos si podemos expresar los décimos como quintos.
Dibuje un modelo de área cuadrado. Diga a la clase que el modelo representa 1. Para mostrar los décimos, divida el modelo en 5 partes de manera horizontal para representar quintos y en 2 partes de manera vertical para representar décimos. Sombree 6 décimos.
Observen que dividí el modelo de área en 5 filas y 2 columnas. ¿Por qué creen que elegí dividir el modelo de área de esta manera?
Porque estamos intentando expresar décimos como quintos. Para expresarlos como quintos, necesitamos un modelo que muestre 5 grupos. Hubo que usar 2 columnas porque, al dividir el modelo en quintos, la única manera de mostrar décimos es dividiendo cada quinto en 2 partes.
Cuando expresamos una fracción con otro nombre, tenemos que pensar cuántos grupos iguales necesitamos. Como queremos expresar décimos como quintos, tenemos que componer grupos iguales de décimos y, luego, usar los grupos como ayuda para expresarlos como quintos. ¿Cómo se ven los quintos en este modelo?
Hay 5 filas, así que cada fila puede representar 1 quinto.
¿Hay un número igual de unidades sombreadas en cada grupo?
Sí.
Resalte o encierre en un círculo cada fila de quintos.
¿Cuántas unidades hay en cada grupo?
2
¿Cuántos quintos es igual a 6 __ 10 ?
3 quintos es igual a 6 10 .
3 _ 5 = 6 __ 10
Nota para la enseñanza
Anime a sus estudiantes a dibujar un modelo que les parezca que tiene sentido. Por ejemplo, parte de la clase podría ver que 6 __ 10 = 3 5 con más claridad si divide el modelo en 5 partes de manera vertical y en 2 partes de manera horizontal. Considere compartir con la clase los distintos modelos que se dibujen para que quede claro que no hay una única manera correcta de usar un modelo de área para expresar una fracción con otro nombre. 6 10 3 5
Nota para la enseñanza
En la actividad digital interactiva de Modelo de área para componer y descomponer, se divide un modelo de área de manera vertical y horizontal con unidades sombreadas y sin sombrear para representar la expresión de fracciones con otro nombre usando unidades más grandes o más pequeñas.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
En el modelo de área, compusimos décimos para expresarlos con unidades más grandes, como quintos. ¿Qué expresión podemos escribir en el denominador para mostrar esa composición?
10 ÷ 2
Escriba 6 10 = 10 ÷ 2 .
¿Qué expresión podemos escribir en el numerador para mostrar lo que pasó con las unidades sombreadas cuando las compusimos para formar la unidad más grande?
6 ÷ 2
Registre 6 ÷ 2 como el numerador.
Cuando expresamos 6 décimos como quintos, teníamos 2 unidades en cada grupo, por lo que había 3 grupos sombreados y 5 grupos en el modelo entero.
Escriba = 3 5 para completar la ecuación.
Ahora que tenemos unidades semejantes, podemos restar.
Pida a sus estudiantes que escriban la expresión de resta con unidades semejantes, la evalúen y, luego, comprueben si sus respuestas son razonables.
¿Cuál es la diferencia? 1 _ 5
Consideren la expresión 4 _ 5 7 __ 10 .
Muestre el siguiente modelo de área.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si pueden expresar 7 décimos como quintos y por qué.
No podemos expresar 7 décimos como quintos porque cada quinto en 7 décimos no tiene un número igual de unidades sombreadas.
Nuestro modelo de área puede mostrar quintos, pero no hay un número igual de unidades sombreadas en cada grupo. 1 grupo tiene solo 1 unidad sombreada y los demás tienen 2.
Para hallar 4 _ 5 − 7 _ 10 , ¿qué pueden hacer?
Puedo expresar 4 5 como décimos descomponiendo cada quinto en 2 partes iguales.
Cuando hallamos la suma o la diferencia de fracciones, a veces tenemos la opción de expresarlas con otro nombre descomponiendo en unidades más pequeñas o componiendo para formar unidades más grandes. Antes de hallar la suma o la diferencia, analicen la expresión para ver si pueden expresar alguna de las fracciones con otro nombre.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 a 4 de sus libros. Pida que trabajen en parejas para completar tantos problemas como puedan en 5 minutos.
Mientras las parejas trabajan, recorra el salón de clases y apoye su comprensión haciendo cualquiera de las siguientes preguntas para guiar su razonamiento.
• ¿Tienen todo listo para sumar (o restar)? ¿Por qué?
• ¿Creen que la suma (o la diferencia) es menor que 1, está entre 1 y 2 o es mayor que 2? ¿Por qué?
• ¿Están relacionadas las unidades? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué fracción van a expresar con otro nombre? ¿Por qué?
• ¿La suma (o la diferencia) es razonable?
Suma o resta. Muestra tu trabajo.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión de las unidades relacionadas para decidir, al sumar o restar fracciones, si expresa una fracción con otro nombre descomponiéndola en unidades más pequeñas o componiéndola para formar unidades más grandes.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7.
• ¿Cómo están relacionadas las unidades? ¿En qué puede ayudarles eso a evaluar la expresión?
• ¿Cómo pueden usar lo que 7 6 y 2 3 tienen en común como ayuda para restar?
Diferenciación: Apoyo
Si hay estudiantes que necesitan apoyo adicional para hallar fracciones equivalentes antes de sumar o restar, considere la posibilidad de que intenten hacerlo con un modelo diferente que les resulte más conocido. Antes, sus estudiantes hallaban fracciones equivalentes usando un diagrama de cinta. Ambos modelos son útiles para desarrollar la comprensión conceptual de las fracciones equivalentes, que es necesaria antes de avanzar hacia las representaciones numéricas.
Diferenciación: Desafío
Considere proponer a sus estudiantes el desafío de escribir un problema verbal que coincida con la expresión del problema 4.
Reúna a la clase para conversar.
¿En qué expresiones observaron que podían descomponer o componer para expresar con otro nombre? ¿Cómo lo saben?
En los problemas 2 y 3, podíamos descomponer o componer.
En el problema 2, podíamos expresar 6 15 como quintos porque podíamos formar 5 grupos iguales en nuestro modelo de área. O podíamos expresar con otro nombre 4 5 descomponiendo cada quinto en 3 partes iguales para formar quinceavos.
En el problema 3, podíamos expresar 1 7 como catorceavos descomponiendo cada séptimo en 2 partes iguales. O podíamos expresar 18 14 como séptimos porque podíamos componer catorceavos para formar séptimos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si trataron de expresar 15 6 como tercios y, si es así, cuál fue el resultado. Anime a sus estudiantes a dibujar modelos de área para justificar su razonamiento.
Muestre los siguientes ejemplos de trabajo:
Nota para la enseñanza
El modelo A es incorrecto porque muestra 3 grupos que usan solo las unidades del numerador. Se formaron 3 grupos de 5 unidades usando solo las unidades sombreadas.
El modelo B es incorrecto porque muestra 3 grupos que usan cada entero como un grupo. Se formaron 3 grupos de 6 unidades, pero 1 grupo tiene tanto unidades sombreadas como unidades sin sombrear.
El modelo C representa correctamente la composición de sextos para formar tercios porque muestra cómo formar 3 grupos, o tercios, en cada entero. Se formaron 3 grupos de 2 unidades en cada entero. Sin embargo, esto también resalta que 15 6 no puede expresarse como un número entero de tercios, ya que no todos los grupos tienen todas las unidades sombreadas o sin sombrear.
¿Qué observan en el ejemplo de trabajo?
En cada uno de los modelos, hay 3 enteros y cada entero está dividido en 6 partes iguales.
En cada uno de los modelos, hay 3 sextos que no están sombreados.
En el modelo A, hay 3 grupos y cada grupo tiene 5 unidades sombreadas. Hay 3 unidades sin sombrear que no son parte de un grupo.
En el modelo B, hay 3 grupos, pero 2 grupos tienen todas las unidades sombreadas y el tercer grupo tiene 3 unidades sombreadas y 3 unidades sin sombrear.
En el modelo C, hay 3 grupos en cada entero. En los primeros 2 enteros, todas las unidades de cada grupo están sombreadas. En el tercer entero, 1 grupo tiene todas las unidades sombreadas, 1 grupo tiene todas las unidades sin sombrear y 1 grupo tiene 1 unidad sombreada y 1 unidad sin sombrear.
¿Alguno de los modelos muestra cómo expresar 15 __ 6 como un número entero de tercios? ¿Cómo lo saben?
No, cada uno de los 3 grupos debe tener el mismo número de unidades, y todas las unidades de cada grupo deben estar sombreadas o sin sombrear, sin unidades de más que no sean parte de un grupo.
No, para expresar sextos como tercios, debemos tener 2 unidades en cada grupo. El modelo C muestra 2 unidades en cada grupo, pero hay un grupo con 1 unidad sombreada y 1 unidad sin sombrear, así que no muestra un número entero de tercios. Cada grupo debe tener todas las unidades sombreadas o sin sombrear.
Cuando expresamos una fracción con otro nombre usando un modelo de área, debemos asegurarnos de que el modelo representa cómo intentamos expresarla. En este ejemplo, cada fila representa un tercio. Ninguno de los modelos muestra cómo expresar 15 __ 6 como un número entero de tercios porque los tercios de los modelos no tienen 2 unidades en cada grupo que estén todas sombreadas o sin sombrear.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas usando modelos de área para expresar las fracciones con otro nombre
Guíe una conversación de toda la clase acerca del uso de modelos de área para expresar fracciones con otro nombre usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Cómo puede ayudarles un modelo de área a expresar fracciones con otro nombre? Un modelo de área puede ayudarme a descomponer una fracción en unidades más pequeñas o componer una fracción para formar unidades más grandes.
¿Es útil observar primero si las unidades están relacionadas? ¿Por qué?
Sí, es útil porque significa que solo tenemos que expresar una de las fracciones con otro nombre.
Sí, es útil porque a veces podemos usar las unidades de alguna de las fracciones.
¿Es útil observar si pueden expresar con otro nombre cualquiera de las fracciones de la expresión? ¿Por qué?
Sí, porque entonces puedo elegir. Puedo decidir si quiero descomponer y expresarla como una unidad más pequeña. O puedo decidir componer y expresarla como una unidad más grande.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Dibuja un modelo de área para formar unidades semejantes. Luego, suma o resta.
Completa el modelo de área para formar unidades semejantes. Luego, suma o resta. Cada modelo de área representa 1
Suma o resta. Muestra tu trabajo.
13. Jada y Scott usan diferentes estrategias para hallar unidades semejantes para
Las dos respuestas son correctas. Método de Ja da
Método de Scott
Explica por qué las respuestas de Jada y Scott se ven diferentes, pero son equivalentes.
Jada expresó 1 5 como 2 10 . Luego, sumó décimos, así que su respuesta está en décimos.
Scott expresó 4 10 como 2 5 Luego, sumó quintos, así que su respuesta está en quintos.
Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas hallando fracciones equivalentes numéricamente
Vistazo a la lección
La clase reconoce que los modelos no siempre son una forma eficiente de hallar fracciones equivalentes, en especial cuando se trabaja con fracciones con unidades que no conocen o que son muy pequeñas. Utilizan lo que saben acerca de la multiplicación y la división de números enteros para formar fracciones equivalentes con unidades semejantes antes de sumar o restar fracciones. Comparan distintas maneras de hallar fracciones equivalentes, lo que incentiva el razonamiento flexible acerca de cómo sumar y restar fracciones.
Preguntas clave
• ¿Cómo saben cuándo componer o descomponer al sumar y restar unidades relacionadas?
• ¿Es útil expresar fracciones con otro nombre numéricamente? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA2 Razonan acerca del proceso de sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A)
5.Mód2.CLA4 Suman y restan fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Formar unidades semejantes usando la multiplicación
• Formar unidades semejantes usando la división
• Expresar con otro nombre mediante la composición o descomposición
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• papel (2 hojas)
Estudiantes
• Fracciones equivalentes (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Fracciones equivalentes de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.
• Prepare dos afiches en papel. Rotule uno Descomponer para formar unidades semejantes y, el otro, Componer para formar unidades semejantes. Cuelgue los afiches en diferentes lugares del salón de clases.
Fluidez
Contar de un octavo en un octavo en la recta numérica
La clase cuenta de un octavo en un octavo y expresa fracciones como números enteros o números mixtos como preparación para representar la suma y la resta de fracciones con unidades relacionadas en la recta numérica.
Muestre la recta numérica.
¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Octavos
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un octavo en un octavo hasta 16 octavos. Empiecen diciendo 0 octavos. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un octavo en un octavo. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un octavo en un octavo. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 _ 8 …, 1 7 _ 8 , 2
Respuesta a coro: Más cerca de 0, 1 2 o 1
La clase determina si una fracción está más cerca de 0, 1 — 2 o 1 para desarrollar fluidez con el uso de números de referencia para estimar sumas y diferencias.
Muestre 1 6 y la recta numérica rotulada con 0, 1 2 y 1.
Piensen dónde se ubica 1 6 en esta recta numérica. ¿ 1 6 está más cerca de 0, 1 2 o 1? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Más cerca de 0
Muestre 1 6 en la recta numérica.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes
Materiales: E) Fracciones equivalentes
La clase usa un modelo de área para generar una fracción equivalente a una fracción unitaria como preparación para sumar y restar fracciones con unidades relacionadas.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar.
Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el cuadrado.
El área del cuadrado representa 1 entero.
Usen líneas verticales para dividir el entero en tercios y, luego, sombreen y rotulen 2 3 .
Muestre el modelo dividido, sombreado y rotulado.
Luego, muestre la ecuación 2 3 = 2 × 2 3 × 2 =
Usen la información que conocen de la ecuación como ayuda para trazar líneas horizontales y dividir el modelo de área en unidades más pequeñas.
Muestre el modelo de área dividido en sextos.
Rotulen la fracción equivalente a 2 3 . Luego, escriban la ecuación y complétenla.
Muestre 4 6 rotulado debajo del modelo de área y la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase elabora estrategias para hallar la suma de las unidades relacionadas que son ineficientes para dibujar en un modelo de área.
Muestre el problema: 15 17 + 27 51
Forme parejas de estudiantes para hallar la suma. Dé tiempo para que realicen un esfuerzo productivo. Es posible que intenten hallar fracciones equivalentes para formar unidades semejantes con una recta numérica, un diagrama de cinta o un modelo de área. Estas herramientas no son las más convenientes para sumar unidades como diecisieteavos y cincuentaiunavos, lo que hace que sea necesario usar una forma numérica de hallar las fracciones equivalentes.
Después de 2 o 3 minutos, o cuando el esfuerzo ya no sea productivo, guíe una conversación haciendo las siguientes preguntas.
¿Qué experimentaron cuando intentaron hallar la suma?
Las unidades son difíciles de dibujar.
Fue difícil dividir mi modelo de área en 51 partes.
Fue difícil dividir mi diagrama de cinta en 51 partes.
Intenté componer cincuentaiunavos en la unidad más grande, pero había demasiadas unidades en el modelo de área como para ver si en verdad podía hacerlo.
¿Están relacionadas las unidades? ¿Cómo lo saben?
Sí. Las unidades están relacionadas porque 17 es un factor de 51 y 51 es un múltiplo de 17.
¿Cómo saben que 17 es un factor de 51?
Sé que 17 es un factor de 51 porque 17 × 3 = 51.
51 ÷ 17 = 3
Cuando entendemos que las unidades están relacionadas, podemos usar lo que sabemos sobre cómo están relacionadas para expresar las fracciones con otro nombre. Luego, podemos usar esa relación para mostrar nuestro razonamiento numéricamente, solo con números y no con modelos.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a sumar y restar fracciones con unidades relacionadas hallando fracciones equivalentes numéricamente.
Aprender
35
Formar unidades semejantes
usando la multiplicación
La clase usa la multiplicación para formar fracciones equivalentes y, luego, sumar o restar las fracciones.
Muestre la expresión 5 — 6 + 8 12 . Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar si la suma es menor que 1, está entre 1 y 2 o es mayor que 2, y por qué.
Sé que 5 6 está cerca de 1 y que 8 12 es mayor que 1 2 . Por lo tanto, la suma está entre 1 y 2,
porque 1 + 1 2 = 1 1 2 .
Las dos fracciones son mayores que 1 2 , así que su suma tiene que ser más que 1.
¿Están relacionadas las unidades? ¿Cómo lo saben?
Sí. Lo sé porque podemos descomponer sextos para formar doceavos.
Sí. Lo sé porque podemos componer doceavos para formar sextos.
Sí. Lo sé porque 6 es un factor de 12 y 12 es un múltiplo de 6.
Nota para la enseñanza
La clase no multiplica ni divide fracciones formalmente hasta el módulo 3. Las referencias a la multiplicación y la división que se hacen en esta lección están relacionadas con lo que se realiza con los números enteros en el numerador y el denominador de las fracciones que se expresan con otro nombre.
La clase utiliza la multiplicación para expresar las fracciones con unidades más pequeñas (descomponer) y la división para expresar las fracciones con unidades más grandes (componer).
Si hace referencia a la multiplicación o división con sus estudiantes, asegúrese de que comprendan que estas operaciones se pueden utilizar porque ya saben cómo resolver operaciones con números enteros de esta forma.
Tenemos que expresar las fracciones como fracciones equivalentes con la misma unidad fraccionaria, o denominador. ¿Podemos expresar cualquiera de las fracciones en esta expresión con otro nombre? ¿Cómo lo saben?
Podemos expresar cualquiera de las fracciones con otro nombre porque podemos descomponer los sextos para expresar 5 6 como doceavos. También podemos expresar 8 12 como sextos porque podemos formar grupos iguales de sextos en 8 doceavos.
Comencemos descomponiendo los sextos para expresar 5 6 como doceavos.
Invite a sus estudiantes a visualizar un modelo de área para 5 6 y considerar si se puede expresar 5 6 como doceavos.
Cuando pensamos en dividir cada sexto en 2 partes iguales, ¿cómo cambia el número de unidades? ¿Por qué?
Hay 2 veces la cantidad de unidades sombreadas que había y 2 veces la cantidad de unidades que había en el entero. Hay 2 veces la cantidad de unidades que había porque los doceavos son 2 veces menores que los sextos.
Usemos lo que sabemos acerca de expresar unidades con otro nombre para registrar nuestro razonamiento numéricamente. Como tenemos 2 veces la cantidad de unidades sombreadas que había y 2 veces la cantidad de unidades que había en el entero, podemos reescribir 5 6 como 5 × 2 6 × 2 .
Escriba la ecuación 5 6 + 8 12 = 5 × 2 6 × 2 + 8 12 y pida a sus estudiantes que hagan
lo mismo en sus pizarras blancas.
¿Cuánto es 5 6 expresado como doceavos?
10 __ 12
Escriba = 10 12 + 8 12 debajo de la ecuación.
Invite a la clase a sumar y, luego, a comprobar si la respuesta es razonable.
¿Cuánto es 5 — 6 + 8 12 ?
18 12
Diferenciación: Apoyo
Es posible que a parte de la clase le resulte beneficioso utilizar paréntesis en la ecuación como ayuda para reconocer que 5 6 = 5 × 2 6 × 2
Por ejemplo, la ecuación de suma que se muestra con paréntesis enfatiza que el primer sumando se reemplaza con una fracción equivalente:
5 6 + 8 12 = ( 5 × 2 6 × 2 ) + 8 12 .
Escriba = 18 12 debajo de la segunda línea.
¿ 18 12 es razonable? ¿Cómo lo saben?
Sí, estimé que la suma estaría entre 1 y 2, y 18 — 12 está entre 1 y 2.
Sí, estimé que la suma sería 1 1 2 . La suma real que hallamos es 18 12 , que es equivalente a 1 1 2 .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si prefieren hallar una fracción equivalente usando un modelo o si prefieren hallarla numéricamente.
Formar unidades semejantes usando la división
La clase usa la división para formar fracciones equivalentes y, luego, sumar o restar las fracciones.
Volvamos a hallar 5 6 + 8 12 , pero de una manera diferente. Esta vez, expresemos 8 12 como sextos.
¿Cómo podemos componer doceavos para expresar 8 12 como sextos?
Podemos componer 2 doceavos para formar 1 sexto, por lo que 8 doceavos forman 4 sextos.
Cuando expresamos 8 doceavos como sextos, tendremos 6 grupos, y cada grupo tendrá 2 unidades. De los 6 grupos, ¿cuántos deberíamos sombrear si usáramos un modelo de área?
¿Cómo lo saben?
4 de los grupos deberían estar sombreados en un modelo de área. Puedo pensar en las 6 filas con 2 unidades en cada una, lo que hace un total de 12 partes. Luego, puedo pensar en 8 de esas partes sombreadas como 4 filas, que son los 4 grupos.
Escriba la ecuación 5 6 + 8 12 = 5 6 + 8 ÷ 2 12 ÷ 2 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuánto es 8 12 expresado como sextos?
4 6
Escriba = 5 6 + 4 6 debajo de la ecuación.
¿Cuánto es 5 6 + 8 12 ?
9 6
DUA: Representación
Considere crear un organizador gráfico cuando sus estudiantes lleguen a la conclusión de que las fracciones se pueden expresar con otro nombre para formar unidades semejantes utilizando la multiplicación y división de números enteros.
Escriba = 9 6 .
Esta vez, hallamos la suma 9 6 . Antes, habíamos hallado la suma 18 12 . ¿ 9 6 es igual a 18 12 ? ¿Cómo lo saben?
Sí, son fracciones equivalentes.
Cuando expresan cualquiera de estas dos fracciones con otro nombre, ¿importa si las expresan con la unidad más grande o con la más pequeña? ¿Cómo lo saben?
No, no importa. Obtendremos la respuesta correcta de cualquier manera.
Pida a la clase que complete los problemas 1 a 4 de los libros en parejas.
Descompón para formar unidades semejantes. Luego, suma o resta.
1.
Diferenciación: Apoyo
Considere hacer las siguientes preguntas para apoyar a sus estudiantes mientras toman decisiones acerca de cómo formar unidades semejantes.
• ¿Qué fracción pueden expresar con otro nombre? ¿Cómo lo saben?
• ¿Cómo pueden descomponer o componer unidades fraccionarias para formar una fracción equivalente?
Compón para formar unidades semejantes. Luego, suma o resta.
3. 15 8 − 9 24
Expresar con otro nombre mediante la composición o descomposición
Materiales: M) Afiches
La clase identifica y justifica su elección para hallar unidades semejantes y determina que usar la división no siempre es útil para formar unidades semejantes.
Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de la clase a los afiches colgados en el salón de clases: Descomponer para formar unidades semejantes y Componer para formar unidades semejantes.
Muestre la expresión 2 5 + 4 10 .
Pida a sus estudiantes que piensen si elegirían descomponer o componer para formar unidades semejantes. Pídales que se ubiquen junto al afiche que represente su razonamiento.
Una vez que toda la clase esté de pie cerca de un afiche, dé 1 o 2 minutos para que conversen con una pareja de trabajo las razones por las que eligieron ese afiche.
A continuación, pida a cada grupo que comparta las razones de su elección. Dígales que pueden unirse a otro grupo si cambiaron de opinión durante la conversación.
Repita el proceso con las expresiones 9 12 1 6 y 3 8 + 3 4 .
Pídales que vuelvan a sentarse. Haga las siguientes preguntas para reflexionar con toda la clase acerca de las razones por las que elegirían componer o descomponer para formar unidades semejantes.
Para sumar 2 5 y 4 10 , ¿elegirían descomponer o componer para formar unidades semejantes?
Elegiría componer para expresar 4 10 como 2 5 y, luego, sumaría.
Elegiría descomponer para expresar 2 5 como 4 10 y, luego, sumaría.
Elegiría componer porque se forma una unidad más grande, que me resulta más sencilla para sumar.
Para este problema, podría descomponer o componer, pero, en general, creo que es más sencillo descomponer y expresar con el nombre de la unidad más pequeña.
Para restar 1 6 de 9 12 , ¿qué fracción expresarían con otro nombre? ¿Por qué?
Expresaría los sextos como doceavos porque puedo duplicar el número de unidades en el numerador o denominador.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Durante la rutina Tomar una postura, pida a sus estudiantes que utilicen la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación como apoyo para comentar las razones por las que eligieron el afiche.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando decide si debe descomponer o componer para formar unidades semejantes para sumar o restar fracciones.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5.
• ¿Por qué eligieron descomponer? ¿Funcionó bien?
• ¿Cómo pueden estimar la suma? ¿Su estimación es razonable?
Descompondría para expresar 1 6 como doceavos porque, si trato de componer para expresar 9 12 como sextos, no obtendría un número entero de sextos.
¿Siempre se puede descomponer para formar unidades semejantes? ¿Por qué?
Sí, siempre se puede descomponer porque siempre se pueden formar más partes iguales.
¿Siempre se puede componer para formar unidades semejantes? Den un ejemplo para apoyar su razonamiento.
No, no siempre se puede componer para formar unidades semejantes. Depende de la relación que haya entre los denominadores, además de si se pueden formar grupos iguales con el numerador. Por ejemplo, si se quieren expresar sextos como tercios, es necesario tener grupos iguales de 2, porque 6 ÷ 2 = 3, lo cual expresa los sextos como tercios. Si se pueden formar grupos iguales de 2 con el numerador, se podría componer para formar unidades semejantes, pero, de no ser así, entonces no se puede componer para formar unidades semejantes.
¿Recuerdan alguna vez que hayan podido componer para expresar con el nombre de una unidad más grande? ¿Cómo supieron que podían componer?
Para el problema 2 5 + 4 10 , compuse para expresar 4 10 como quintos. Sabía que podía componer porque expresar décimos como quintos significa que hay 5 grupos de 2 unidades, y podemos formar grupos iguales de 2 unidades sombreadas cuando el numerador es 4.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la relación entre las unidades fraccionarias les ayuda a decidir si deben descomponer o componer para hallar unidades semejantes.
Destaque aquellas respuestas en las que se reconozcan los papeles que desempeñan los factores y los múltiplos al hallar unidades semejantes.
Observo los denominadores para ver si uno es un factor del otro.
Observo los denominadores para ver si uno es un múltiplo del otro.
Cuando decido qué fracción expresar con otro nombre, compruebo que tanto el numerador como el denominador sean divisibles entre un factor común. Luego, compruebo que el factor común signifique que puedo expresar la fracción con otro nombre en una unidad que pueda usar para sumar o restar.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Sumar y restar fracciones con unidades relacionadas hallando fracciones equivalentes numéricamente
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación acerca de la suma y resta de fracciones con unidades relacionadas usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Pida a sus estudiantes que consulten sus Grupos de problemas.
¿Qué observan acerca de los problemas del Grupo de problemas?
Observé que los problemas 1 y 5 son iguales, el 2 y el 6 son iguales, y el 3 y el 7 son iguales.
¿Por qué creen que los problemas 4 y 8 no son iguales?
Creo que los problemas 4 y 8 no son iguales porque, en el problema 4, no podemos componer para formar unidades semejantes. Para expresar 37 28 como séptimos, necesitamos formar 7 grupos de 4 unidades, pero no podemos agrupar el numerador 37 en un número entero de grupos iguales de 4.
¿Cómo saben cuándo componer o descomponer al sumar y restar unidades relacionadas?
Cuando las unidades están relacionadas, siempre podemos descomponer la unidad más grande para formar unidades semejantes.
A veces, podemos componer para formar unidades semejantes cuando las unidades están relacionadas y el numerador y el denominador de la fracción con la unidad más pequeña tienen un factor común.
Muestre la expresión de la sección Presentar: 15 17 + 27 51
¿Intentarían resolver este problema de la misma manera que antes? ¿Por qué?
No. En vez de intentar dibujar un modelo con tantas unidades, podría usar lo que sé acerca de la relación entre el 17 y el 51 para hallar la suma numéricamente.
¿Es útil expresar fracciones con otro nombre numéricamente? ¿Por qué?
Sí, porque dibujar un modelo es difícil cuando hay unidades como 17 y 51.
Sí, porque cuando conozco la relación entre las unidades, hallar la suma o diferencia numéricamente lleva menos tiempo que intentar dibujar un modelo.
No, porque dibujar un modelo me ayuda a ver las fracciones equivalentes con más facilidad cuando tengo unidades diferentes.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Forma unidades semejantes. Luego, suma o resta.
17. Leo y Tyler, por separado, hallaron correctamente 32 56 + 6 7 . Observa el trabajo que realizaron. ¿Qué método usarías? Explica por qué.
Método de Leo
de Tyler
Usaría el método de Tyler porque los números son más pequeños y me resultan más sencillos para trabajar.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
18. Dana gastó 3 5 de su dinero en un par de zapatos, 1 5 de su dinero en un par de pantalones y 1 10 de su dinero en una camisa. ¿Qué fracción de su dinero gastó Dana? 3 5 + 1 5 + 1 10 = 9 10
Dana gastó 9 10 de su dinero.
EUREKA MATH
EUREKA MATH
Sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas hallando fracciones equivalentes de forma pictórica
Vistazo a la lección
Dibuja un modelo de área para representar cada fracción. Usa los modelos de área para formar unidades semejantes. Luego, suma o resta. 1.
La clase compara una expresión que involucra fracciones con unidades relacionadas con una expresión que involucra fracciones con unidades no relacionadas. A través de una actividad de plegado de papel, ven que las fracciones con unidades relacionadas pueden sumarse o restarse cuando una fracción se expresa con otro nombre, mientras que las fracciones con unidades no relacionadas requieren que ambas fracciones se expresen con otro nombre. Usan modelos de área para representar cada fracción en una expresión y, luego, dividen los modelos de área para expresar cada una de las fracciones resultantes como unidades semejantes. Luego, registran el razonamiento que utilizaron con los modelos de área para expresar las fracciones numéricamente.
Preguntas clave
• ¿Cómo saben si es necesario expresar con otro nombre más de una fracción?
• ¿Son útiles los modelos de área cuando deben expresar con otro nombre?
¿En qué manera son útiles?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA3 Representan la formación de fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A)
5.Mód2.CLA4 Suman y restan fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas
• Sumar y restar fracciones mayores que 1 con unidades no relacionadas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• papel (4 hojas)
Preparación de la lección
Reúna 4 hojas de papel para cada estudiante. En lo posible, que 1 de las hojas sea de un color diferente de las otras 3.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros de varios dígitos
La clase multiplica un número de cuatro o cinco dígitos por un número de un dígito para adquirir fluidez con la multiplicación de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional.
Muestre 3,212 × 3 = .
Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes
La clase usa la multiplicación para generar una fracción equivalente a una fracción unitaria como preparación para sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas.
Muestre 1 2 = 1 × 2 × = 4
Escriban y completen la ecuación para hallar una fracción que sea equivalente a 1 2 .
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación completada.
Continúe el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Materiales: E) Papel
La clase compara fracciones con unidades relacionadas con otras con unidades no relacionadas y determina cuándo más de una fracción en una expresión se debe expresar con otro nombre.
Muestre las expresiones 3 4 + 3 8 y 3 4 + 1 6 .
¿Qué observan en estas expresiones?
Observo que las dos expresiones tienen 3 4 .
Observo que 3 4 + 3 8 tiene unidades relacionadas.
Observo que 3 4 + 1 6 no tiene unidades relacionadas.
Antes, usamos modelos y expresiones numéricas para formar fracciones equivalentes.
Hoy, vamos a plegar papel para representar la expresión con unidades relacionadas y ver si podemos usar el mismo método para ayudarnos con la expresión que tiene unidades que no están relacionadas.
Distribuya dos hojas de papel a cada estudiante.
Pídales que comiencen con una de las hojas.
Expresemos nuestros cuartos como octavos para representar 3 4 + 3 8 .
Primero, plieguen el papel para mostrar cuartos, como si dibujaran un modelo de área. Luego, sombreen 3 cuartos.
Ahora, plieguen el papel para mostrar octavos, como si dibujaran un modelo de área.
Nota para la enseñanza
Para hacer que el número de unidades sea más evidente, pida a la clase que use un marcador para hacer trazos sobre los pliegues del papel.
Pida a sus estudiantes que levanten el papel plegado que representa los octavos para confirmar que toda la clase lo haya plegado correctamente.
¿ 3 4 es igual a cuántos octavos?
3 4 + 1 6
Plegamos papel para descomponer 3 4 y formar 6 8 , como si dibujáramos un modelo de área. Ahora que tenemos unidades semejantes, podemos hallar 6 8 + 3 8 , que es 9 8 .
Muestre la expresión 3 — 4 + 1 6 .
Veamos si podemos usar este mismo método con 3 — 4 + 1 6 . Tomen una nueva hoja de papel y, como hicieron antes, pliéguenla y sombréenla para representar 3 4 . Luego, vuelvan a plegarla para expresar cuartos como sextos.
Recorra el salón de clases y dé tiempo para que sus estudiantes realicen un esfuerzo productivo.
La actividad está pensada para ayudarles a darse cuenta de que necesitan un método nuevo para formar unidades semejantes cuando las fracciones tienen unidades no relacionadas.
¿Por qué no podemos formar sextos?
No pude hallar una forma de plegar el papel para formar sextos.
Cuando plegué el papel, observé que podía formar octavos, doceavos, dieciseisavos y veinticuatroavos, pero no sextos.
No podemos formar sextos a partir de cuartos porque 6 no es un múltiplo de 4 y 4 no es un factor de 6.
Los cuartos y los sextos no son unidades relacionadas. Es decir, 6 no es un múltiplo de 4 y 4 no es un factor de 6. Nos referimos a este tipo de unidades como unidades no relacionadas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas hallando fracciones equivalentes.
Aprender
Sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas
Materiales: E) Papel
La clase determina cuáles son unidades semejantes para sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas.
Distribuya dos hojas de papel de colores diferentes a cada estudiante. Pida a sus estudiantes que representen 3 4 con una hoja de papel y 1 6 con la otra.
Ahora que representamos cada fracción en papeles diferentes, trabajen en parejas para formar unidades semejantes y hallar 3 4 + 1 6
Dé tiempo para que las parejas colaboren. De ser necesario, anime a sus estudiantes a plegar los dos papeles para hallar unidades semejantes. Cuando la mayoría haya terminado, pídales que compartan cómo hallaron las unidades semejantes.
Plegué el papel que representa 3 4 para formar veinticuatroavos y también doblé el papel que representa 1 6 para formar veinticuatroavos.
Plegué el papel que representa 3 4 para formar doceavos y también doblé el papel que representa 1 6 para formar doceavos.
Nota para la enseñanza
La clase puede utilizar cualquier unidad al formar fracciones equivalentes. Lo importante es que la elección dé como resultado unidades semejantes. Por ese motivo, no es necesario hallar el mínimo común denominador para sumar o restar fracciones.
El enfoque de esta lección es hallar unidades semejantes para dos fracciones que no están relacionadas.
Diferenciación: Apoyo
Los modelos de papel que muestran doceavos pueden ser confusos para parte de la clase. Es posible que piensen erróneamente que las unidades tienen diferentes tamaños. De ser así, anime a sus estudiantes a colocar los modelos de papel uno arriba del otro para demostrar que los modelos tienen el mismo tamaño. Como tienen el mismo tamaño y ambos están plegados en doce partes iguales, las unidades tienen el mismo tamaño también.
¿Podemos usar doceavos para hallar la suma o necesitamos usar veinticuatroavos? ¿Cómo lo saben?
Necesitamos unidades semejantes para sumar fracciones, así que no importa si usamos doceavos o veinticuatroavos.
La diferencia entre doceavos y veinticuatroavos es el número de partes que conforman el entero. Podemos usar cualquiera de estas unidades para sumar siempre que sean unidades semejantes.
¿En qué se diferenciaba 3 4 + 1 6 de otras fracciones que hemos sumado?
Los cuartos y los sextos son unidades no relacionadas, así que tuvimos que expresar las dos fracciones con otros nombres. Para otros problemas, solo era necesario expresar una fracción con otro nombre, porque las unidades estaban relacionadas.
Muestre el problema 1. Pídales que registren su razonamiento en los libros mientras guía a sus estudiantes por el problema.
Suma o resta.
DUA: Representación
Considere crear una tabla de dos columnas que muestre las unidades relacionadas y las unidades no relacionadas. Anime a sus estudiantes a agregar elementos a la lista durante esta lección y las próximas lecciones a medida que reconozcan nuevas unidades relacionadas o no relacionadas. Considere incluir un ejemplo en cada columna como referencia para sus estudiantes.
¿Las unidades de este problema son semejantes, relacionadas o no relacionadas?
¿Cómo lo saben?
Son unidades no relacionadas. 5 no es un múltiplo de 3 y 3 no es un factor de 5.
¿Tener unidades no relacionadas significa que debemos expresar una de las fracciones o las dos fracciones con otro nombre?
Debemos expresar las dos fracciones con otro nombre cuando tenemos unidades no relacionadas.
Pida a sus estudiantes que dividan, rotulen y sombreen 1 3 en el primer modelo de área usando líneas verticales. Luego, pídales que dividan, rotulen y sombreen 1 — 5 en el segundo modelo de área usando líneas horizontales. Si es posible, conviene usar colores diferentes.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar si la suma es menor que 1, está entre 1 y 2 o es mayor que 2.
Creo que la suma es menor que 1 porque 1 3 y 1 5 son menores que 1 2 .
Pida a sus estudiantes que tracen líneas horizontales para mostrar 1 5 en el modelo de área de 1 3 y que tracen líneas verticales para mostrar 1 3 en el modelo de área de 1 5 .
¿Cuántas unidades hay ahora en cada modelo de área?
15
Así que expresamos cada fracción como quinceavos.
Señale el modelo de área que muestra 1 3 = 5 15 .
¿Cómo cambió el número de unidades en el modelo de área?
Hay 5 veces la cantidad de unidades que había en el modelo de área.
¿Cómo cambió el número de unidades sombreadas?
Hay 5 veces la cantidad de unidades sombreadas que había.
¿ 1 3 es igual a cuántos quinceavos?
1 3 = 5 15
Registre
1 3 = 1 × 5 3 × 5 = 5 15 .
Señale el modelo que muestra 1 5 mientras hace las siguientes preguntas.
¿Cómo cambió el número de unidades en el modelo de área?
Hay 3 veces la cantidad de unidades que había en el modelo de área.
¿Cómo cambió el número de unidades sombreadas?
Hay 3 veces la cantidad de unidades sombreadas que había.
¿ 1 5 es igual a cuántos quinceavos?
1 _ 5 = 3 __ 15
Registre 1 5 = 1 × 3 — 5 × 3 = 3 — 15 .
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan acerca de las unidades y los denominadores.
Las líneas verticales descomponen cada quinto en 3 partes iguales y las líneas horizontales descomponen cada tercio en 5 partes iguales.
Descompusimos tercios en quinceavos y quintos en quinceavos. Tanto los tercios como los quintos pueden expresarse como quinceavos.
15 es un múltiplo tanto de 5 como de 3.
3 y 5 son factores de 15.
Cuando hallamos 3 × 5, obtenemos 15.
¿Tenemos todo listo para sumar? ¿Cómo lo saben?
Sí, tenemos todo listo para sumar porque tenemos unidades semejantes: quinceavos.
Pida a sus estudiantes que escriban la expresión usando las fracciones equivalentes y, luego, sumen para hallar el total.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si las fracciones tienen unidades semejantes, relacionadas o no relacionadas, y qué les dice eso acerca de poder comenzar a restar.
Las fracciones tienen unidades no relacionadas, por lo que debemos expresarlas con otro nombre antes de restar.
6 no es un múltiplo de 4 y 4 no es un factor de 6. Por lo tanto, las unidades no están relacionadas y no podemos comenzar a restar.
Pida a la clase que trabaje en parejas para dividir, rotular y sombrear los modelos de área para hallar fracciones equivalentes y, luego, hallar la diferencia. Anime a sus estudiantes a registrar su razonamiento acerca de las fracciones equivalentes numéricamente, como hicieron en el problema 1. Recorra el salón de clases y proporcione apoyo según sea necesario con las siguientes preguntas:
• ¿Cómo están dividiendo el modelo de área? ¿Por qué?
• ¿Cómo decidieron usar los doceavos? ¿Cómo decidieron usar los veinticuatroavos?
• ¿Cómo cambió el número de unidades en el entero?
• ¿Cómo cambió el número de unidades sombreadas?
Diferenciación: Apoyo
Es posible que parte de la clase observe que los numeradores son el mismo número y concluyan entonces que hay unidades semejantes. Apoye la comprensión de sus estudiantes acerca de las unidades semejantes en las fracciones con las siguientes preguntas:
• Cuando vimos que las dos fracciones del problema 1 también tenían el mismo número en el numerador, ¿expresamos esas fracciones con otro nombre o llegamos a la conclusión de que teníamos unidades semejantes?
• ¿Cuál es la unidad de la fracción 2 4 ? ¿Y la unidad de la fracción 2 6 ? ¿Son iguales?
• Cuando dibujan un modelo para representar 2 4 , ¿dividen el modelo en 2 partes o en 4 partes? ¿Qué número representa el entero, o la unidad?
Cuando la clase termine el problema 2, muestre los trabajos que presenten dos maneras diferentes de expresar con otro nombre e invite a sus estudiantes a analizar esas maneras.
¿En qué se parecen estos modelos de área?
Los dos muestran cómo formar unidades semejantes. La parte sombreada en cada modelo de área cubre la misma cantidad de espacio. 2 4 = 6 12 = 12 24 y 2 6 = 4 12 = 8 24 .
¿En qué se diferencian estos modelos de área?
En uno, se descomponen los modelos de área en doceavos.
En el otro, se descomponen los modelos de área en veinticuatroavos.
Los doceavos son unidades de mayor tamaño que los veinticuatroavos.
Haga la siguiente pregunta a alguien que haya expresado con otro nombre usando doceavos.
¿Por qué decidiste expresar con otro nombre usando doceavos?
Pensé en formar unidades equivalentes con cada fracción. Sé que puedo expresar cuartos como octavos, doceavos y dieciseisavos. Sé que puedo expresar sextos como doceavos y dieciochoavos. Vi que puedo expresar los dos como doceavos, por lo que dividí cada modelo de área para mostrar doceavos.
Sé que 12 es un múltiplo tanto de 4 como de 6, por lo que dividí cada modelo de área para mostrar doceavos.
Haga la siguiente pregunta a alguien que haya expresado con otro nombre usando veinticuatroavos.
¿Por qué decidiste expresar con otro nombre usando veinticuatroavos?
Tracé las líneas verticales de uno de los modelos de área en el otro modelo de área, e hice lo mismo con las líneas horizontales. Así se formaron veinticuatroavos.
Hallé 4 × 6 y obtuve 24 y, luego, dividí cada modelo de área para que mostraran veinticuatroavos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando suma y resta fracciones con unidades no relacionadas usando un modelo pictórico para hallar unidades semejantes y observa que, para lograr tener unidades semejantes, es necesario expresar con otro nombre ambas fracciones.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• ¿Qué tienen en común la suma y la resta de fracciones con unidades no relacionadas?
• ¿Este patrón siempre es verdadero?
Nota para la enseñanza
Es probable que parte de la clase observe que 2 4 se puede expresar como 1 2 , lo que resulta en una unidad que está relacionada con 2 6 .
De esta forma, se necesita expresar una sola fracción con otro nombre, ya que 2 4 = 1 2 = 3 6 .
Considere compartir esta solución con la clase.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar acerca del enfoque que prefieren usar para formar unidades semejantes.
Prefiero dibujar modelos de área y, luego, usar las líneas verticales y horizontales para formar unidades semejantes.
Prefiero pensar en unidades equivalentes, como cuartos y octavos.
Prefiero pensar qué múltiplo tienen en común las fracciones.
Cuando las unidades en las fracciones no están relacionadas, es necesario expresar las dos fracciones con otro nombre para formar unidades semejantes antes de sumar o restar. Podemos pensar en una unidad fraccionaria que cada fracción tenga en común y expresarla con otro nombre usando esa unidad fraccionaria. O podemos hallar el producto de los denominadores y usarlo como unidad semejante. También podemos pensar en múltiplos de cada denominador para hallar una unidad semejante.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué fue necesario expresar las dos fracciones con otro nombre y no solo una.
Sumar y restar fracciones mayores que 1 con unidades no relacionadas
La clase determina cuáles son unidades semejantes para sumar y restar fracciones mayores que 1.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3.
Diferenciación: Desafío
Considere permitir que una parte de sus estudiantes halle la suma numéricamente y, luego, pida que dibujen los modelos para mostrar que la suma es correcta.
Antes de hallar la suma, vamos a estimar. ¿Creen que la suma es menor que 1, está entre 1 y 2 o es mayor que 2? ¿Por qué?
Sé que 5 4 es mayor que 1, y estamos sumando 3 5 , que es menor que 1, así que creo que la suma está entre 1 y 2.
5 4 tiene un valor mayor que 1. ¿Cómo podemos mostrar 5 4 usando un modelo de área?
Podemos dibujar 2 modelos de área.
¿Es necesario expresar una o las dos fracciones con otro nombre? ¿Cómo lo saben?
Es necesario expresar las dos fracciones con otro nombre porque 5 no es un múltiplo de 4 y 4 no es un factor de 5.
Debemos expresar las dos fracciones con otro nombre cuando las unidades no están relacionadas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar acerca de qué unidad deben usar cuando expresan las fracciones con otro nombre. Preste atención a quienes compartan que usarán veinteavos.
¿Por qué quieren expresar con otro nombre usando veinteavos?
Podemos expresar con otro nombre tanto los cuartos como los quintos usando veinteavos.
4 × 5 = 20
20 es un múltiplo tanto de 4 como de 5.
¿Hay alguna unidad más grande que puedan usar?
No, los veinteavos son la unidad más grande que podemos usar para expresar con otro nombre tanto los cuartos como los quintos.
¿Hay alguna unidad más pequeña que puedan usar? ¿Cómo lo saben?
Sí, podemos usar cuarentavos. 40 es un múltiplo de 4 y de 5.
Dibuje, divida, rotule y sombree 5 4 mientras la clase hace lo mismo. Considere pedirles que completen el problema por su cuenta. O continúe guiando el proceso de dibujar, dividir y rotular 3 5 , y hallar la suma como hizo en problemas anteriores.
Asegúrese de que la clase registre su razonamiento acerca de las fracciones equivalentes numéricamente y, luego, halle la suma.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema, incluyendo la estimación de la respuesta.
Recorra el salón de clases para identificar a quienes expresen las fracciones con otro nombre con unidades diferentes. Considere invitar a quienes haya identificado a compartir su trabajo.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
4. Blake compra 2 bandejas de brownies para una fiesta. Corta el contenido de cada bandeja en quintos. Al final de la fiesta, quedan 6 5 de una bandeja de brownies. Les da 2 3 de la bandeja de brownies restantes a quienes están todavía en el lugar. ¿Con qué fracción de una bandeja de brownies se queda Blake?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere pedir a sus estudiantes que replanteen el problema con sus propias palabras. Pídales que digan qué información se conoce y qué información se desconoce. Luego, pídales que replanteen la pregunta como un enunciado de solución con un espacio para el número desconocido.
Blake se queda con 8 15 de una bandeja de brownies.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas hallando fracciones equivalentes de forma pictórica
Guíe una conversación de toda la clase acerca de la suma y resta de fracciones con unidades no relacionadas usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre las expresiones 3 6 + 5 12 y 2 9 + 6 4 .
¿Qué observan en estas expresiones?
Todavía no podemos comenzar a sumar estas expresiones porque no tienen unidades semejantes.
3 6 y 5 12 tienen unidades relacionadas porque 12 es un múltiplo de 6 y 6 es un factor de 12.
2 9 y 6 4 tienen unidades no relacionadas porque 9 no es un múltiplo de 4 y 4 no es un factor de 9.
¿Cómo saben si es necesario expresar con otro nombre más de una fracción?
Sé que es necesario expresar más de una fracción con otro nombre cuando las unidades no están relacionadas.
Si uno de los denominadores no es un múltiplo del otro, sé que es necesario expresar más de una de las fracciones con otro nombre.
¿Son útiles los modelos de área cuando deben expresar con otro nombre? ¿En qué manera son útiles?
Sí, los modelos de área son útiles cuando debemos expresar con otro nombre porque me ayudan a visualizar unidades semejantes.
Muestre la expresión 18 26 + 37 35 .
¿Preferirían usar un modelo de área para expresar estas fracciones con otro nombre o mostrar la expresión con otro nombre numéricamente? ¿Por qué?
Preferiría mostrar la expresión con otro nombre numéricamente porque es difícil mostrar veintiseisavos y treintaicincoavos en un modelo de área.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Diferenciación: Desafío
Pida a sus estudiantes que consideren por qué no utilizaron la división para expresar las fracciones con otro nombre en esta lección cuando formaron fracciones equivalentes.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Dibuja un modelo de área para representar cada fracción. Usa los modelos de área para formar unidades semejantes. Luego, suma o resta.
Completa los modelos de área para formar unidades semejantes. Luego, suma o resta. Cada modelo de área representa 1
Dibuja modelos de área para formar unidades semejantes. Completa la ecuación para sumar o restar.
Estima mentalmente la suma o la diferencia y encierra en un círculo para mostrar tu estimación. Luego, suma o resta. Muestra tu trabajo.
Estimación:
Menor que 1 Entre 1 y 2 Mayor que 2
Estimación:
Menor que 1 Entre 1 y 2 Mayor que 2
Estimación:
Menor que 1 Entre 1 y 2 Mayor que 2
Estimación:
Menor que 1 Entre 1 y 2 Mayor que 2
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada parte del problema.
13. La botella de agua de Kelly contiene 3 4 de litro de agua. Kelly bebe 1 2 litro de agua después de su caminata y 1 5 de litro de agua cuando come un refrigerio.
a. ¿Cuántos litros de agua bebe en total?
Kelly bebe 7 10 de litro de agua en total.
b. ¿Cuántos litros de agua quedan en la botella de Kelly?
A Kelly le queda 1 20 de litro de agua en la botella.
Sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas hallando fracciones equivalentes numéricamente
Vistazo a la lección
La clase visualiza el modelo de área mientras expresa fracciones con otro nombre para hallar unidades semejantes numéricamente. Determinan que contar salteado usando los denominadores de las fracciones hasta hallar un múltiplo común puede servirles para expresar fracciones con unidades semejantes. Suman y restan hasta tres fracciones y consideran diferentes maneras de utilizar fracciones equivalentes para formar unidades semejantes. En esta lección también se explora un problema histórico que involucra la suma de fracciones con unidades no relacionadas.
Pregunta clave
• ¿Cómo les ayuda pensar en los denominadores de las fracciones para formar unidades semejantes?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA2 Razonan acerca del proceso de sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A)
5.Mód2.CLA4 Suman y restan fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Sumar y restar fracciones no relacionadas
• Sumar más de dos fracciones
• Usar fracciones equivalentes para hallar unidades semejantes
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la enseñanza de la sección Presentar.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros de varios dígitos
La clase multiplica un número de cuatro o cinco dígitos por un número de un dígito para adquirir fluidez con la multiplicación de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional.
Muestre 1,307 × 5 = .
Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
1,307 × 5 = 6,535 13 × 5 6, 535
Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical.
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 5,009 × 6 = 30,054 3,060 × 8 = 24,480
Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes
La clase usa la multiplicación para generar una fracción equivalente a una fracción no unitaria para desarrollar fluidez con la suma y la resta de fracciones con unidades no relacionadas. Muestre 2
Escriban y completen la ecuación para hallar una fracción que sea equivalente a 2 _ 3 .
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación completada.
Continúe el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase considera una situación histórica del mundo real que requiere hallar la suma de tres fracciones no relacionadas.
Cerca de 3,400 años atrás, en Egipto, un escriba llamado Ahmes escribió problemas de matemáticas en papiros. En general, Ahmes registraba problemas que ocurrían en la vida cotidiana. Por ejemplo, cómo dividir 9 barras de pan, en partes iguales, entre 10 personas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían dividir 9 barras de pan, en partes iguales, entre 10 personas.
Nota para la enseñanza
El recurso Las matemáticas en el pasado incluye más información sobre Ahmes y por qué su técnica para hallar la solución pasó a conocerse como algoritmo voraz.
Una manera de dividir el pan en partes iguales es cortar cada barra en 10 partes iguales, lo que da un total de 90 pedazos de pan. Cada persona recibiría 9 pedazos pequeños de pan como su parte igual.
Muestre la siguiente imagen que presenta otra manera en la que se podría haber cortado una barra de pan.
Otra manera de dividir el pan en partes iguales es cortar 1 __ 10 de cada barra. Así, 9 de las personas recibirían 9 10 de una barra, y 1 persona recibiría los 9 pedazos de 1 __ 10 que se cortaron de cada barra. ¿Todas las personas reciben la misma cantidad de pan?
Sí. Cada persona recibe 9 10 de una barra de pan.
Sí, pero 9 personas reciben 1 pedazo grande, que es 9 10 de una barra de pan, y 1 persona recibe 9 pedazos pequeños que son 1 10 de una barra de pan.
Ahmes pensó una solución que consideró una mejor forma de compartir el pan en partes iguales. Escribió la siguiente solución al problema en el papiro.
Escriba: Cada persona recibe 2 3 y 1 5 y 1 30 .
¿Qué observan acerca de la solución de Ahmes?
Observo que le da pedazos de pan de tamaño diferente a cada persona.
Observo que su solución tiene tres fracciones con unidades diferentes.
Observo que su solución significa que 1 persona no recibirá todos los pedazos pequeños.
¿Qué se preguntan?
Me pregunto cómo se le ocurrió esa solución.
Me pregunto por qué su solución no incluye los números 9 o 10, porque esos son los números que aparecen en el problema.
Me pregunto si la suma de esas fracciones en verdad es 9 10 .
Aunque no se sabe cómo se le ocurrió esta solución a Ahmes, sí se sabe que él nunca escribió nada acerca de cómo cortar las barras de pan, solo que encontró una manera de compartir el pan de forma tal que cada persona recibiera el mismo número de pedazos de igual tamaño. Regresaremos a la solución de Ahmes más adelante en la lección.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas.
Aprender
Sumar
y restar fracciones no relacionadas
La clase halla unidades semejantes para sumar y restar fracciones no relacionadas numéricamente.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.
Suma o resta. Muestra tu trabajo.
1. 1 4 + 1 _ 6 = 5 __ 12
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para estimar el total.
¿Las unidades de este problema están o no relacionadas? ¿Cómo lo saben?
Las unidades no están relacionadas. 6 no es un múltiplo de 4 y 4 no es un factor de 6.
¿Es necesario expresar una o las dos fracciones con otro nombre?
Es necesario expresar las dos fracciones con otro nombre.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar acerca de cómo formarían unidades semejantes.
Haría dos modelos de área y usaría líneas verticales para mostrar 1 4 y líneas horizontales para mostrar 1 6 . Luego, trazaría líneas verticales en el modelo de área para mostrar 1 6 y líneas horizontales en el modelo de área para mostrar 1 4 .
Pensaría en unidades equivalentes. Sé que puedo expresar cuartos como octavos, doceavos o dieciseisavos. Sé que puedo expresar sextos como doceavos.
Multiplicaría los denominadores para obtener una unidad que tengan en común. Pensaría en un múltiplo que tanto 4 como 6 tengan en común.
Afirme que cada uno de estos enfoques es válido. Anime a sus estudiantes a continuar considerando qué enfoque prefieren para formar unidades semejantes.
Hoy, vamos a practicar cómo formar unidades semejantes hallando un denominador común. Podemos hacerlo contando salteado, sin usar un modelo de área. Contemos salteado usando el denominador 4.
4, 8, 12, 16…
Ahora, contemos salteado usando el otro denominador, 6. Deténganse cuando oigan que un múltiplo es igual a uno de los múltiplos que dijimos cuando contamos salteado de 4 en 4.
6, 12
¿Por qué dejamos de contar salteado en el 12?
Porque 12 es un múltiplo tanto de 4 como de 6.
Hallamos que un múltiplo común de 4 y 6 es 12. Por lo tanto, podemos decir que 12 es un denominador común para las dos fracciones. Eso significa que los doceavos son una unidad semejante para los cuartos y los sextos.
Piensen en un modelo de área. ¿En cuántas partes iguales podemos dividir cuartos para formar doceavos?
3 partes iguales
Por lo tanto, vamos a tener 3 veces esa cantidad de unidades. ¿Cómo podemos mostrarlo numéricamente?
1 × 3
4 × 3
Nota para la enseñanza
A medida que cuentan salteado, considere registrar los múltiplos para que sus estudiantes puedan ver cuándo repiten un número.
Cuando cuenten salteado de 4 en 4, considere detener la cuenta en el 16.
Nota para la enseñanza
Es probable que sus estudiantes reconozcan el término denominador común de 4.o grado, pero el uso del término en ese grado se limita a la comparación de fracciones.
Cuando use el término denominador común con la clase, haga a continuación una asociación del término con el concepto de unidades semejantes. Así, sus estudiantes pueden hacer la conexión entre contar salteado para hallar un múltiplo común, que usan como denominador común, y expresar fracciones con unidades semejantes para poder sumar o restar.
Registre 1 × 3 4 × 3 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿En cuántas partes iguales podemos dividir sextos para formar doceavos? 2 partes iguales
Por lo tanto, vamos a tener 2 veces esa cantidad de unidades. ¿Cómo podemos mostrarlo numéricamente?
1 × 2
6 × 2
Registre 1 × 2 6 × 2 . Luego, pida a sus estudiantes que hallen la suma.
¿Los doceavos son la única unidad que podemos usar para formar unidades semejantes?
¿Qué otra unidad podríamos usar?
No, podríamos usar veinticuatroavos.
No, podríamos usar cualquier múltiplo de 4 y 6.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.
¿Cómo podemos hallar unidades semejantes para las fracciones del problema 2 sin usar un modelo de área?
Podemos contar salteado usando cada denominador, 9 y 6, hasta hallar un número que sea múltiplo de los dos.
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si contarían salteado primero de 9 en 9 o primero de 6 en 6 y por qué.
Contaría salteado de 6 en 6 porque conozco los múltiplos de 6.
Contaría salteado de 9 en 9 porque ese número representa la unidad más pequeña.
Pida a la clase que complete los problemas 2 y 3 en parejas. Anime a las parejas a contar salteado usando diferentes denominadores y, luego, a comparar para ver si uno de los números fue más eficiente que el otro para hallar unidades semejantes.
Considere proporcionar planteamientos o representaciones para apoyar a sus estudiantes en el control de su propio progreso antes, durante y después de comenzar una tarea.
Antes:
• ¿Ya resolví antes algún problema como este?
• ¿En qué se parece este problema a otros problemas?
Durante:
• ¿Está funcionando esta estrategia?
• ¿Hay algo que pueda hacer de otra manera?
Después:
• ¿Qué funcionó o no funcionó?
• ¿Qué puedo hacer de otra manera la próxima vez?
Sumar más de dos fracciones
La clase suma y resta expresiones que involucran tres fracciones.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Pregúnteles en qué se diferencia el problema 4 de otros problemas de fracciones que han visto. Obtenga las siguientes observaciones por parte de la clase:
• El problema tiene tres sumandos.
• El problema incluye tres unidades diferentes.
Pida a la clase que complete el problema 4 en parejas. Recorra el salón de clases para identificar estudiantes que hallen la suma de diferentes maneras.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando halla la suma de tres fracciones con unidades no relacionadas eligiendo primero qué denominador usar para contar salteado y así hallar unidades semejantes.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué tipo de estrategia puede ser útil para resolver este problema?
• ¿Cómo puede servirles usar el conteo salteado para hallar unidades semejantes?
Pida a quienes haya identificado que compartan su trabajo con la clase o, de ser necesario, use el ejemplo proporcionado.
Eddie, cuéntanos cómo hallaste la suma.
Miré todos los denominadores y observé que la unidad más pequeña son los veinteavos, así que conté salteado de 20 en 20 para hallar un denominador común, 60. Expresé todas las unidades como sesentavos. Luego, sumé las tres fracciones para hallar el total, 75 60 .
Kayla, cuéntanos cómo hallaste la suma. Expresé con otro nombre para formar cuartos componiendo 5 20 y 3 12 . Luego, sumé unidades semejantes y obtuve 5 4 .
Muestre la suma que usa 960 como denominador común.
Invite a la clase a usar la rutina
Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si hallar el producto de los denominadores, 20 × 12 × 4, es una manera eficiente de hallar unidades semejantes, y por qué.
No, multiplicar los denominadores significa usar una unidad de novecientos sesentavos, que es una unidad que no resulta conocida y es difícil para trabajar.
Sería difícil sumar y restar después de hallar unidades semejantes con un denominador de 960 porque los números serán mucho más grandes que con otros denominadores.
Multiplicar los denominadores para hallar unidades semejantes no siempre es la forma más eficiente de hallar unidades semejantes para sumar y restar fracciones. Cuando razonamos con flexibilidad acerca de los números en las fracciones, podemos hacer que la suma y la resta sean más manejables.
Nota para la enseñanza
Los ejemplos de soluciones muestran maneras comunes de formar unidades semejantes para sumar varios sumandos. Busque ejemplos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre sus soluciones con toda la clase.
Si la clase no produjo soluciones variadas, seleccione al menos uno o dos trabajos para compartir y comentar. Luego, seleccione aquellos ejemplos de soluciones que se muestran en esta lección que funcionen para incentivar el razonamiento matemático.
Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien halló la suma de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar comienzos de oración para apoyar a sus estudiantes mientras comparten su trabajo.
La suma que hallaron para el problema 5 representa la solución que Ahmes brindó para poder compartir 9 barras de pan entre 10 personas. No sabíamos con seguridad si su solución
resultaría en la división en partes iguales que esperábamos, que era que cada persona recibe 9 10 de barras de pan. ¿La solución de Ahmes es correcta? ¿Cómo lo saben?
Sí. La solución de Ahmes es correcta porque mi respuesta de 27 30 es equivalente a 9 10 .
Usar fracciones equivalentes para hallar unidades semejantes
La clase analiza un ejemplo de solución que demuestra otra manera de hallar unidades semejantes.
Muestre la expresión 12 9 2 6 .
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué unidad usarían para formar unidades semejantes y por qué.
Expresaría cada fracción como cincuentaicuatroavos, porque 9 × 6 = 54 y esta es la forma más eficiente que tengo de hallar unidades semejantes.
Expresaría cada fracción como dieciochoavos, porque conté salteado de 9 en 9 y, cuando llegué a 18, lo reconocí como un múltiplo de 6.
Compondría para expresar cada fracción como tercios, porque pensé en modelos de área y supe que tendría el mismo número de unidades sombreadas y no sombreadas en cada grupo de tercios.
Diferenciación: Apoyo
Si parte de la clase todavía no puede expresar fracciones con otro nombre numéricamente o visualizar el modelo de área, permita que sigan dibujando un modelo de área para formar una fracción equivalente.
Dibujar el modelo de área también puede ayudarles a ver 2 6 como 1 3 .
Muestre la imagen del trabajo de Scott.
Pida a la clase que analice el trabajo de Scott. Guíe una conversación acerca de la estrategia de Scott utilizando la rutina Cinco preguntas estructuradas.
Observar y preguntarse
Trabajo de Scott
¿Qué observan sobre el trabajo de Scott? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?
Observo que Scott expresó 2 6 como 3 9 y, luego, sumó.
Me pregunto de qué manera expresó Scott 2 6 como 3 9 .
Organizar
¿Qué pasos siguió Scott?
Scott formó unidades semejantes. Una vez que tuvo unidades semejantes, restó y obtuvo la diferencia 9 9 .
Mostrar
Enfoquémonos en por qué Scott piensa que 2 6 y 3 9 son fracciones equivalentes. ¿Dónde ven el razonamiento flexible en el trabajo de Scott?
Scott sabe qué fracciones son iguales a 1 3 . Pudo expresar 2 6 como 3 9 porque las dos son iguales a 1 3 .
Scott no multiplicó por el otro denominador. En cambio, vio una relación entre sextos y novenos usando tercios.
Sintetizar
¿Cómo se vería el trabajo de Scott si hubiera multiplicado 9 y 6 para hallar un denominador común?
Sé que 9 × 6 = 54, por lo que Scott estaría sumando cincuentaicuatroavos.
Nota para la enseñanza
Es probable que la clase necesite más soporte para comentar las características de la solución de Scott. Considere hacer las siguientes preguntas para apoyar las observaciones de sus estudiantes:
• Scott expresó 2 6 como un número de novenos. ¿Cómo lo hizo? ¿Multiplicó? (No, porque 9 no es un múltiplo de 6).
• ¿Scott dividió? (No. Dividir 6 entre un número entero da como resultado un número menor que 9).
• Observen con atención la fracción que Scott expresó con otro nombre. ¿Es verdad que 2 __ 6 es igual a 3 __ 9 ? (Sí, son iguales. Tanto 2 __ 6 como 3 9 son iguales a 1 3 .)
• ¿Eso nos da alguna pista acerca de cómo hizo Scott para expresar 1 3 con otro nombre? (Sí. Scott usó lo que sabe sobre las fracciones para expresar con otro nombre mentalmente. Parece que conoce varias fracciones que son iguales a 1 __ 3 , así que expresó 1 3 como 3 9 para sumar).
Diferenciación: Desafío
Si sus estudiantes pueden ir más allá para aplicar las estrategias de esta lección a denominadores menos conocidos e instancias en las que ambas fracciones deben expresarse con otro nombre, considere pedir a sus estudiantes que formen unidades semejantes para sumar:
¿Qué diferencia hace el razonamiento flexible en el trabajo de Scott?
Parece más eficiente. En lugar de expresar las dos fracciones como dieciochoavos, treintaiseisavos o cincuentaicuatroavos, Scott expresó una de las fracciones con otro nombre. Para mí, cincuentaicuatroavos es una unidad difícil para trabajar. Razonar con flexibilidad le permitió a Scott usar una unidad más conocida al sumar.
Comprender
¿Por qué es útil razonar con flexibilidad acerca de las unidades semejantes al sumar y restar fracciones?
Usar la multiplicación para hallar unidades semejantes a veces puede hacer que las unidades sean más difíciles para trabajar. Si razono con flexibilidad, puedo evitar las unidades más complicadas.
Quiero hallar una relación entre las fracciones para poder formar unidades semejantes que sean manejables.
Escriba la expresión 8 10 + 2 4 .
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si se puede usar la estrategia de Scott para hallar la suma.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Sumar y restar fracciones con unidades no relacionadas hallando fracciones equivalentes numéricamente
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de la suma y resta de fracciones con unidades relacionadas usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. 10
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 7 del Grupo de problemas.
¿Qué eligieron como denominador común para las fracciones en el problema 7?
Usé 40.
Usé 20.
¿Cómo es posible usar veinteavos como la unidad semejante?
Podemos expresar 2 8 como 1 4 y, luego, expresar 1 4 como 5 20 porque son fracciones equivalentes.
Luego, podemos expresar 2 5 como 8 20 para tener unidades semejantes.
¿Cómo les ayuda pensar en los denominadores de las fracciones para formar unidades semejantes? Den un ejemplo.
Puedo contar salteado usando los denominadores de las fracciones para hallar un múltiplo común. Luego, puedo expresar las fracciones con unidades semejantes. Si los denominadores son 4 y 6, tienen un múltiplo común de 12. Por lo tanto, sé que debo expresar las fracciones como doceavos.
Cuando no se me ocurre un múltiplo común de los denominadores, simplemente multiplico los denominadores. Si los denominadores son 7 y 12, expreso las fracciones como ochentaicuatroavos porque 7 × 12 = 84.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar lo que saben sobre los números enteros como ayuda para sumar y restar fracciones.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Estima mentalmente la suma o la diferencia y encierra en un círculo para mostrar tu estimación. Luego, suma o resta. Muestra tu trabajo.
Estimación:
Estimación:
Estimación:
Estimación:
5.
Estimación:
Forma unidades semejantes para sumar o restar. Muestra tu trabajo.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
16. Riley tiene 3 4 de galón de limonada en un puesto de venta de limonada. Yuna lleva 2 3 de galón de limonada más al puesto. En conjunto, venden 1 2 galón de limonada. ¿Cuántos galones de limonada les quedan?
(3 4 + 2 3) − 1 2 = 11 12
A Riley y a Yuna les quedan 11 12 de galón de limonada.
15. Toby sumó correctamente 11 12 y 7 8
a. Explica cómo eligió Toby las unidades que usó y por qué podría haber usado otras unidades. Toby multiplicó los denominadores para hallar unidades semejantes, pero podría haber hallado un múltiplo común diferente para 12 y 8, como 24
b. Halla 11 12 + 7 8 usando unidades diferentes a las que usó Toby.
En el tema C, la clase aplica su comprensión de cómo formar unidades semejantes con fracciones a la formación de unidades semejantes para sumar y restar números mixtos.
La clase halla sumas y diferencias en expresiones que incluyen números mixtos. Para sumar, sus estudiantes usan diferentes métodos, como formar el siguiente entero, sumar unidades semejantes (es decir, números enteros con números enteros y fracciones con fracciones) y expresar fracciones mayores que 1 como números mixtos. Para restar, descomponen el minuendo para restar de 1 o descomponen el sustraendo. Representan su trabajo usando una recta numérica, el método de flechas y un vínculo numérico. A lo largo del tema, se invita a la clase a probar diferentes métodos para que pueda tomar una decisión apropiada en base a los números en una expresión dada. Aunque todos los métodos son validados y aceptables, sus estudiantes deben observar que algunos métodos pueden ser más eficientes que otros. Continúan estimando una suma o una diferencia para comprobar si sus respuestas son razonables.
En el tema D, la clase aplica su comprensión de sumar y restar números mixtos para resolver problemas que incluyen diagramas de puntos con medidas fraccionarias.
Progresión de las lecciones
Lección 10
Sumar números enteros y números mixtos, y sumar números mixtos con unidades relacionadas
Lección 11
Sumar números mixtos con unidades no relacionadas
Lección 12
Restar números enteros de números mixtos y números mixtos de números enteros
Puedo sumar unidades semejantes o formar el siguiente número entero para sumar números mixtos. Puedo mostrar mi razonamiento usando una recta numérica, el método de flechas o un vínculo numérico.
Puedo usar lo que sé sobre la suma de números enteros y la suma de fracciones para sumar números mixtos con unidades no relacionadas. Puedo expresar fracciones con otro nombre para formar unidades semejantes y así hallar la suma de número mixtos con unidades no relacionadas.
Puedo usar diferentes métodos para restar una fracción o un número entero de un número mixto. Puedo mostrar mi razonamiento en una recta numérica y sumar usando el método de flechas o descomponiendo un número mixto en partes.
Lección 13
Restar números mixtos de números mixtos con unidades relacionadas
Puedo restar números mixtos expresando las partes fraccionarias de los números mixtos con unidades semejantes. Puedo restar usando diferentes métodos y elegir la estrategia que considero más eficiente para el problema.
Lección 14
Restar números mixtos de números mixtos con unidades no relacionadas
Puedo usar lo que sé sobre restar fracciones con unidades no relacionadas para restar números mixtos con unidades no relacionadas. Puedo usar varios métodos de resta para resolver problemas del mundo real que incluyan la resta de números mixtos con unidades no relacionadas.
Sumar números enteros y números mixtos, y sumar números mixtos con unidades relacionadas
1. Suma. Usa el método de flechas o un vínculo numérico como ayuda para formar el siguiente número entero.
4
2. Suma. Muestra tu trabajo.
3
Vistazo a la lección
La clase analiza diferentes formas de sumar números enteros para poder comparar la suma de números enteros con la suma de números mixtos. Estiman sumas antes de sumar números mixtos y, luego, comprueban si sus respuestas son razonables. Determinan que hay varias formas de sumar números mixtos y comparten soluciones que incluyen sumar unidades semejantes y formar el siguiente número entero. La clase reconoce que, aunque la suma de números mixtos puede hallarse de diferentes maneras, la suma es la misma, al igual que cuando hallan la suma de números enteros.
Preguntas clave
• ¿Cómo deciden qué método usar cuando suman números mixtos?
• ¿Cómo aplican lo que saben sobre la suma de números enteros a la suma de números mixtos?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA4 Suman y restan fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A.1)
5.Mód2.CLA7 Estiman mentalmente sumas o diferencias de fracciones o números mixtos y evalúan si las respuestas a los problemas verbales son razonables. (5.NF.A.2)
Agenda
Fluidez 15 min
Presentar 5 min
Aprender 30 min
• Sumar números mixtos
• Formar unidades semejantes para sumar
• Formar el siguiente número entero para sumar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestra o maestro
• ninguno
Estudiantes
• Práctica veloz: Fracciones equivalentes (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Respuesta a coro: Descomponer números mixtos
La clase determina cuál es el número desconocido de una ecuación descomponiendo un número mixto en el número entero y la fracción como preparación para sumar con números mixtos.
Muestre el vínculo numérico y la ecuación con una parte desconocida.
¿Cuál es la parte desconocida? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 _ 3
Muestre la respuesta en el vínculo numérico y la ecuación.
Cuando dé la señal, digan la ecuación completada.
¿Comenzamos?
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: ¿Más cerca de 1 o de 2?
La clase determina si un número mixto está más cerca de 1 o de 2 como preparación para usar números de referencia para estimar sumas de ecuaciones de suma con números mixtos.
Muestre 1 1 3 y la recta numérica rotulada con 1, 1 1 2 y 2.
Piensen dónde se ubica 1 1 _ 3 en la recta numérica. ¿1 1 3 está más cerca de 1 o de 2? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Más cerca de 1
Muestre 1 1 3 en la recta numérica.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Aunque la clase debe pensar si una fracción está más cerca de 1 o de 2, se proporciona la ubicación de 1 1 2 como punto de referencia. Este punto de referencia puede ayudar a sus estudiantes a determinar si cada número mixto está más cerca de 1 o de 2.
La clase completa cada ecuación y genera una fracción equivalente como preparación para sumar y restar números mixtos con unidades relacionadas.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Escribe el numerador o denominador desconocidos.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Nota para la enseñanza
Considere pedir a sus estudiantes que escriban el numerador o denominador desconocido en el recuadro, en lugar de hacerlo en la columna de respuestas, para mantener completa la fracción. Si no pueden escribir la respuesta en el recuadro, considere reforzar la idea de que el número que escriben en la columna de respuestas sigue siendo parte de la fracción y que no deben pensar en él como un número entero.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente.
Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 5?
• ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 10 con los problemas 11 a 20?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de un sexto en un sexto desde el 0 hasta el 2, expresando con otro nombre los números enteros y los números mixtos, para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de un quinto en un quinto desde el 2 hasta el 0, expresando con otro nombre los números enteros y los números mixtos, para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase analiza diferentes formas de hallar una suma con números enteros.
Presente cuatro maneras de hallar la suma 97 + 223.
+ 22 3 = 32 0 A
97 + 22 3 = 32 0
+ 7 + 90 310 31 + 10 = 320
9 decenas + 7 unidades + 22 decenas + 3 unidades
9 decenas + 22 decenas = 31 decenas
7 unidades + 3 unidades = 10 unidades
Nota para la enseñanza
La clase debe conocer de grados anteriores los métodos que se muestran en la sección Presentar.
• Formar una decena
6 + 19 = 25
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias que se muestran en el ejemplo de trabajo.
En A, C y D, suman para formar la siguiente decena. En A y D, se usa el método de flechas. En A, 90 se suma de una vez, pero en D, 90 se descompone en 70 y 20. En C, se muestra una recta numérica y comienzan con 97 y, luego, suman 223 en lugar de comenzar con 223 y, luego, sumar 97.
En B, las unidades semejantes se agrupan y, luego, se suman. Las decenas se suman, y las unidades se suman. Luego, se combinan al final para obtener el total.
C es el único trabajo que incluye una recta numérica.
En A y D, el trabajo empieza con 223 y, en C, el trabajo comienza con 97.
19 + 1 = 20
20 + 5 = 25 51
• Sumar unidades semejantes
14 + 23 = 37
10 4 20 3
10 + 20 = 30
4 + 3 = 7
30 + 7 = 37
¿Qué nos ayudan a comprender sobre la suma estos métodos?
Podemos sumar en cualquier orden que queramos.
Podemos descomponer los sumandos en dos o más partes y, luego, sumar las partes en cualquier orden.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos lo que comprendimos acerca de sumar números enteros como ayuda para sumar números mixtos.
Aprender
Sumar números mixtos
La clase halla la suma de un número entero y un número mixto.
Escriba la expresión 2 4 5 + 3.
Estimemos la suma. ¿Entre qué dos números enteros está la suma? ¿Por qué?
La suma está entre 5 y 6. Sé que 2 + 3 = 5 y que 4 5 es menor que 1. Entonces, la suma es mayor que 5 y menor que 6.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían hallar la suma usando lo que observaron acerca de sumar números enteros en la sección Presentar.
Muestre las siguientes rectas numéricas.
Observen las rectas numéricas. ¿Cuánto es la suma?
5 4 5
Apoyo para la comprensión del lenguaje
El término número mixto se presenta por primera vez en 4.o grado para hacer referencia a un número que se compone de un número entero y una fracción menor que 1. Considere repasar el término con anticipación y comentar que 2 4 5 es un ejemplo de un número mixto. Rotule o resalte el número entero 2 y la fracción 4 5 en el número mixto 2 4 __ 5 para distinguir ambas partes.
Comente que un número entero es un número de conteo (1, 2, 3…) o 0. Considere usar la tabla para dar ejemplos de un número entero, una fracción y un número mixto.
¿Qué comprenden sobre la suma con números enteros a partir de lo que se ve en estas rectas numéricas? ¿Cómo lo saben?
Podemos comenzar con cualquier sumando. En la primera recta numérica, se empezó con 2 4 5 . En la segunda, se empezó con 3. Se obtuvo la misma suma.
Muestre el siguiente trabajo.
¿Qué comprenden sobre la suma con números enteros a partir de lo que se ve en estos métodos? ¿Cómo lo saben?
En el trabajo en que se muestra un vínculo numérico, se empieza con el 2. En el trabajo en que se muestra el método de flechas, se empieza con el 3.
Podemos descomponer un sumando en partes. Ambos métodos muestran 2 4 5 como 2 + 4 5 .
Podemos sumar unidades semejantes. En el primero, se muestra sumar las unidades, 2 + 3 y, luego, sumar la fracción. En el segundo, se muestra sumar las unidades, 3 + 2 y, luego, sumar la fracción.
Cuando analizamos los cuatro trabajos de ejemplo, observamos que podemos sumar de diferentes maneras, como con rectas numéricas, vínculos numéricos o con el método de flechas. Podemos usar lo que sabemos acerca de cómo sumar números enteros y cómo sumar fracciones como ayuda para sumar números mixtos.
Formar unidades semejantes para sumar
La clase suma números mixtos formando unidades semejantes y, luego, sumando.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.
Suma. Muestra tu trabajo.
1. 12 12 30 + 3 1 5 = 15 3 _ 5
12 + 3 = 15
2 5 + 1 5 = 3 5
15 + 3 5 = 15 3 5
¿Entre qué dos números enteros está la suma? ¿Por qué?
La suma está entre 15 y 16 porque 12 + 3 = 15 y ambas fracciones son menores que 1 2 . Entonces, la suma es mayor que 15 y menor que 16.
¿Tenemos todo listo para sumar? ¿Por qué?
No, porque las fracciones tienen diferentes unidades.
¿Las unidades están o no relacionadas? ¿Cómo lo saben?
Las unidades están relacionadas. Lo sé porque 30 es un múltiplo de 5 y 5 es un factor de 30.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué fracción quieren expresar con otro nombre y por qué.
Permita a sus estudiantes elegir su propio método para hallar la suma 12 12 30 + 3 1 5 . Pueden elegir usar una recta numérica, un vínculo numérico o el método de flechas.
Recorra el salón para identificar estudiantes cuyo trabajo muestra la suma de unidades semejantes, como en los siguientes ejemplos:
+ 3 = 15
¿Cuánto es la suma? ¿Es razonable?
La suma es 15 3 5 . Es razonable porque estimamos que la suma está entre 15 y 16.
Invite a quienes haya identificado a compartir las soluciones que muestran la suma de unidades semejantes, o muestre los ejemplos dados.
¿Qué observan en este trabajo?
Se sumaron 12 y 3 y, luego, se sumaron las partes fraccionarias.
Podemos denominar este método sumar unidades semejantes. ¿En qué se asemeja a como sumamos números enteros?
Cuando sumamos números enteros, sumamos unidades semejantes. Por ejemplo, sumamos decenas a decenas y unidades a unidades.
¿Qué es nuevo o diferente ahora?
Ahora, tenemos dos números mixtos.
Podemos sumar unidades semejantes cuando sumamos números mixtos. Podemos sumar números enteros a números enteros y podemos sumar fracciones a fracciones siempre que tengan la misma unidad.
Nota para la enseñanza
En el problema 1, sus estudiantes pueden expresar con otro nombre usando treintavos para hallar una suma de 15 18 30 . Cualquier respuesta equivalente es aceptable.
Haga la siguiente pregunta a quienes hayan compartido sus soluciones.
¿Por qué decidieron sumar unidades semejantes?
Cuando expresé las fracciones con otro nombre, observé que la suma de las fracciones es menor que 1. Entonces, creí que sería más eficiente sumar los números enteros y, luego, las fracciones, porque no necesitaría reagrupar ni expresar con otro nombre.
Valide otros métodos que puedan haber elegido, reconociendo que existen muchas maneras de sumar. Por ejemplo, hay quienes pueden haber descompuesto uno de los sumandos como
12 2 5 + 3 + 1 5 antes de hallar la suma. Invite a sus estudiantes a reflexionar sobre sus elecciones de cómo sumar en el problema 1, y pídales que continúen reflexionando sobre sus elecciones mientras avanzan por esta lección y las siguientes.
Formar el siguiente número entero para sumar
La clase suma números mixtos formando el siguiente entero y, luego, sumando.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.
2. 2 3 _ 4 + 8 7 _ 8 = 11 5 8
2 6 8 + 8 7 8 = 2 6 8 + 2 8 + 8 5 8 = 3 + 8
¿Entre qué dos números enteros está la suma? ¿Cómo lo saben?
La suma está entre 11 y 12. Sé que 8 7 8 está cerca de 9 y 2 3 4 está cerca de 3 y 9 + 3 = 12. La suma real es un poco menor que 12 porque 8 7 8 es menor que 9 y 2 3 4 es menor que 3.
La suma está entre 11 y 12. Sé que 2 + 8 = 10 , y que 7 8 + 3 4 es mayor que 1 porque ambas fracciones son mayores que 1 2 . Un número mayor que 1 sumado a 10 significa que la suma está entre 11 y 12.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué fracción quieren expresar con otro nombre y cómo.
Permita a sus estudiantes elegir su propio método para hallar 2 3 4 + 8 7 8 . Pueden elegir usar una recta numérica, un vínculo numérico o el método de flechas. Recorra el salón para identificar estudiantes cuyo trabajo muestra cómo formar el siguiente número entero, como en los siguientes ejemplos:
¿Cuánto es la suma? ¿Es razonable?
La suma es 11 5 8 . Es razonable porque estimamos que la suma estaría entre 11 y 12.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige entre modelos visuales como rectas numéricas, vínculos numéricos o el método de flechas como ayuda para hallar la suma de dos números mixtos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué modelos visuales podrían ayudarles a hallar la suma?
• ¿Por qué eligieron una recta numérica como ayuda para hallar la suma? ¿Funcionó bien?
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo al comienzo para formar el siguiente número entero, considere hacer las siguientes preguntas:
• ¿Qué saben acerca de los sumandos?
• ¿Tenemos todo listo para sumar?
• ¿Qué sumando está más cerca del siguiente número entero?
• ¿Cuánto debemos sumar al sumando para formar el siguiente número entero?
Invite a quienes haya identificado a compartir las soluciones que muestran cómo formar el siguiente número entero, o muestre los ejemplos dados.
¿Qué observan sobre este trabajo?
Las fracciones se expresaron con otro nombre para tener unidades semejantes.
En algunos trabajos se empieza con 2 6 8 y en otros se empieza con 8 7 8 .
En uno de los ejemplos de trabajo, se empezó con 8 7 8 , luego se sumó 1 8 para formar 9.
Se descompuso 2 6 8 en 1 8 + 2 + 5 8 .
En uno de los ejemplos de trabajo, se empezó con 2 6 8 , luego se sumó 2 8 para formar 3.
Se descompuso 8 7 8 en 2 8 + 8 + 5 8 .
Podemos denominar este método formar el siguiente número entero. ¿Por qué creen que podemos llamarlo así?
Descompusimos uno de los sumandos para poder sumar y formar el siguiente número entero.
¿En qué se asemeja este método a como sumamos números enteros?
Cuando sumamos números enteros, descomponemos cualquier sumando para poder formar la siguiente decena, centena o millar.
Cuando sumamos números enteros, podemos empezar con cualquier sumando y sumar en cualquier orden.
Observen una vez más cómo se descompuso cada número mixto. Consideren por qué se eligieron aquellas partes y no otras. ¿Qué pueden haber pensado esas personas?
Pueden haber pensado cuánto necesitaban para formar el siguiente número entero.
Haga la siguiente pregunta a quienes hayan compartido sus soluciones.
¿Por qué decidieron formar el siguiente número entero?
Cuando expresé las fracciones con otro nombre, observé que 8 7 8 está muy cerca de 9.
Cuando expresé las fracciones con otro nombre, observé que 2 6 8 está cerca de 3.
Descompuse el segundo sumando de una forma que me ayudaría a llegar al siguiente número entero para poder usar más cálculo mental. Formar el siguiente número entero significaba que solo tenía que sumar dos números enteros y, luego, sumar la fracción para hallar la suma.
DUA: Representación
Considere preparar cubos Unifix® para representar 2 6 8 + 8 7 8 . Haga una representación concreta con los cubos para ayudar a sus estudiantes a reconocer cuánto más necesita una parte para que se forme el siguiente número entero. Permita que quienes necesitan acceso a herramientas concretas usen los cubos con otros ejemplos.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes necesitan tres destrezas esenciales para formar el siguiente número entero con eficacia.
• Necesitan saber la cantidad que se debe sumar a cualquier fracción dada para formar 1.
• Necesitan ser capaces de sumar cualquier número entero a una fracción.
• Necesitan ser capaces de determinar cuánto queda cuando descomponen un número.
Valide otros métodos que puedan haber elegido, reconociendo que existen muchas maneras de sumar. Invite a sus estudiantes a reflexionar sobre sus elecciones de cómo sumar en el problema 2, y pídales que continúen reflexionando sobre sus elecciones mientras avanzan por esta lección y las siguientes.
Escriba 2 3 4 + 8 7 8 = 2 6 8 + 8 7 8 . Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las siguientes preguntas.
¿Podemos hallar la suma sumando unidades semejantes? ¿Por qué?
Sí, porque podemos sumar unidades y después fracciones, siempre que las fracciones tengan la misma unidad.
¿Qué sería diferente si halláramos la suma sumando unidades semejantes?
La suma de las fracciones sería mayor que 1.
¿Qué deberían hacer para hallar la suma de los números mixtos si sumaran unidades semejantes?
Necesitaríamos expresar la fracción mayor que 1 como un número mixto y, luego, sumar unidades semejantes una vez más para hallar la suma de los números mixtos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferentes formas en las que pueden sumar números mixtos y por qué obtendrán el mismo total incluso si usan diferentes métodos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Nota para la enseñanza
Un número mixto representa la suma de un número entero y una fracción. Evite escribir un número mixto cuando la parte fraccionaria es mayor que 1 (p. ej., 10 13 8 ). En cambio, brinde apoyo a sus estudiantes en la comprensión de los números mixtos escribiendo primero 10 + 13 8 .
Luego, exprese la fracción mayor que 1 con otro nombre antes de hallar la suma.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Sumar números enteros y números mixtos, y sumar números mixtos con unidades relacionadas
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre sumar números mixtos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Pida a la clase que elija un problema del 9 al 16 en el Grupo de problemas y que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
¿Cómo decidieron qué método usar cuando sumaron números mixtos?
Sumé unidades semejantes en el problema 9. Elegí ese método porque hay solo una fracción en el problema, así que pude sumar los números enteros y, luego, sumar la fracción.
Formé el siguiente número entero para el problema 13. Después de formar unidades semejantes, observé que 2 6 8 está cerca de 3, así que descompuse 5 3 8 en 2 8 + 5 + 1 8 porque una vez que formé un número entero, pude resolver el resto de la suma mentalmente.
Muestre el trabajo y pídales que lo observen.
¿Están de acuerdo con que el total es 3? ¿Por qué?
No estoy de acuerdo. La parte 1 1 9 no se incluyó en el total.
No estoy de acuerdo. La suma de los números enteros es 3, así que la suma de los números mixtos debe ser mayor que 3.
¿Cómo podemos evitar cometer este error?
Podemos estimar la suma primero y, luego, comprobar para ver si el total que obtenemos es razonable.
Podemos comprobar nuestro trabajo para asegurarnos de que sumamos todas las partes.
¿Cómo aplican lo que saben sobre la suma de números enteros a la suma de números mixtos?
Para sumar números mixtos, podemos usar los mismos métodos que usamos para sumar números enteros.
Podemos descomponer números mixtos de diferentes maneras para sumar mentalmente, al igual que lo hacemos con los números enteros, e igualmente obtener la misma suma.
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Progreso:
Forma unidades semejantes y, luego, suma.
1. Considera la expresión.
1 + 1 2 5
a. Estima la suma. Encierra en un círculo para mostrar tu estimación.
Entre 1 y 2 Entre 2 y 3 Mayor que 3
b. Usa la recta numérica para hallar la suma
2. Considera la expresión.
1 5 6 + 2
a. Estima la suma. Encierra en un círculo para mostrar tu estimación.
Entre 1 y 2 Entre 2 y 3 Mayor que 3
b. Usa la recta numérica para hallar la suma
Suma. Usa el método de flechas o un vínculo numérico como ayuda para formar el siguiente número entero.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
16. Jada recorre en bicicleta 2 3 10 kilómetros desde su casa hasta la tienda. Luego, recorre en bicicleta 3 4 5 kilómetros desde la tienda hasta el parque. ¿Cuántos kilómetros recorre Jada en bicicleta en total?
Jada recorre 6 1 10 kilómetros en bicicleta en total.
Sumar números mixtos con unidades no relacionadas
Vistazo a la lección
La clase expresa con otro nombre números mixtos que tienen unidades no relacionadas para poder sumar. Aplican conocimientos previos de suma de números enteros y de suma de fracciones para hallar la suma de diferentes maneras. En una actividad de estaciones, la clase expresa con otro nombre las unidades no relacionadas en los números mixtos antes de sumar, escribe ecuaciones para representar el trabajo que se muestra en una recta numérica y genera problemas verbales que coincidan con una expresión. La clase participa en un paseo por la galería y en una conversación en la que observa semejanzas y diferencias entre los trabajos de cada pareja.
Preguntas clave
• ¿Cómo deciden qué método usar cuando suman números mixtos con unidades no relacionadas?
• ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre sumar números mixtos con unidades no relacionadas y sumar números mixtos con unidades relacionadas?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA4 Suman y restan fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A.1)
5.Mód2.CLA5 Resuelven problemas verbales que involucran la suma y la resta de fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A.2)
5.Mód2.CLA6 Representan problemas verbales que involucran la suma o resta de fracciones o números mixtos que se refieren al mismo entero. (5.NF.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Suma y aplicación de números mixtos
• Paseo por la galería
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• papel de rotafolio (15 hojas)
• Problemas para trabajar en estaciones (en la edición para la enseñanza)
• cinta
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
• Prepare tres afiches en papel de rotafolio. Rotule un afiche Estación 1, otro, Estación 2 y otro, Estación 3. Cuelgue los afiches en lugares diferentes del salón de clases.
• Imprima o copie los Problemas para trabajar en estaciones y recorte cada página a la mitad. Prepare suficientes para que cada pareja de estudiantes tenga una copia de todos los problemas.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Formar el siguiente número entero
La clase determina la parte desconocida para formar el siguiente número entero y escribe la ecuación para desarrollar fluidez con la suma y la resta con números mixtos.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 1 2 + = 1.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la ecuación completada y, luego, muestre 1 1 2 + = 2.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Considere usar vínculos numéricos durante esta actividad para brindar apoyo a sus estudiantes en el razonamiento de parte-entero.
Respuesta a coro: ¿Más cerca de 2 o de 3?
La clase determina si un número mixto está más cerca de 2 o de 3 para desarrollar fluidez con el uso de números de referencia para estimar sumas de ecuaciones de suma con números mixtos.
Muestre 2 1 4 y la recta numérica rotulada con 2, 2 1 2 y 3.
Piensen dónde se ubica 2 1 4 en la recta numérica. ¿2 1 __ 4 está más cerca de 2 o de 3? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Más cerca de 2
Muestre 2 1 4 en la recta numérica.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Formar unidades semejantes
La clase determina cuáles son las unidades semejantes de una expresión de suma con unidades relacionadas, expresa con otro nombre una de las fracciones y reescribe la expresión como preparación para sumar números mixtos con unidades relacionadas.
Muestre 1 2 + 1 4 .
¿Qué fracción puede expresarse con otro nombre para que las unidades fraccionarias sean iguales? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 _ 2
Cada vez que haga una pregunta, dé tiempo a sus estudiantes para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Expresen 1 __ 2 con otro nombre para formar unidades semejantes. Muestren su método.
Muestre el ejemplo de método.
Reescriban la expresión de suma de modo que muestre ambas fracciones con la misma unidad.
Muestre la expresión equivalente con unidades semejantes.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
En esta actividad, sus estudiantes se concentran en formar unidades semejantes. No se espera que hallen la suma.
Presentar
La clase resuelve un problema verbal que incluye números mixtos con unidades no relacionadas.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Dé a sus estudiantes 2 o 3 minutos para que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
1. En la receta de muffins de banana, se usan 2 1 3 tazas de harina. En la receta de muffins de arándanos, se usan 2 3 4 tazas de harina. ¿Cuántas tazas de harina se necesitan para preparar ambas recetas? ?
Se necesitan 5 1 12 tazas de harina para preparar ambas recetas.
¿Qué expresión usaron para hallar cuántas tazas de harina se necesitan?
2 1 3 + 2 3 4
¿Las unidades están o no relacionadas? ¿Cómo lo saben?
Los tercios y los cuartos no están relacionados porque 3 no es un factor de 4 y 4 no es un múltiplo de 3.
¿Cómo decidieron qué unidad usar cuando expresaron las fracciones con otro nombre?
Pensé en una unidad que pudiera usar para expresar tercios y cuartos con otro nombre. Para los tercios, pensé en expresarlos como sextos, novenos o doceavos. Para los cuartos, pensé en expresarlos como octavos, doceavos o dieciseisavos. Los cuartos y los tercios pueden expresarse como doceavos.
Empecé con la unidad de menor tamaño, cuartos, y pensé en expresarla como octavos, doceavos o dieciseisavos. Me di cuenta de que también podía expresar los tercios como doceavos.
Multipliqué los denominadores y obtuve 12, así que decidí expresar ambos como doceavos.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, formaremos unidades semejantes para sumar números mixtos con unidades no relacionadas.
Aprender
Suma y aplicación de números mixtos
Materiales: M) Afiches, Problemas para trabajar en estaciones, papel de rotafolio, cinta
La clase suma números mixtos con unidades no relacionadas, escribe ecuaciones con unidades no relacionadas usando ejemplos de trabajo y escribe problemas verbales que coincidan con una expresión.
Diga a la clase que trabajarán con una pareja y visitarán tres estaciones, rotando de una a la siguiente aproximadamente cada 3 minutos. Las estaciones están organizadas de simples a complejas.
Al asignar las estaciones a las parejas de estudiantes, considere diferenciar el trabajo haciendo que quienes necesiten práctica adicional con expresar con otro nombre comiencen en la estación 1.
• Estación 1: Expresar con otro nombre para sumar
• Estación 2: Escribir una ecuación que coincida con un modelo
• Estación 3: Crear un problema verbal que coincida con una expresión
Pida a sus estudiantes que vayan a sus estaciones asignadas y comiencen a trabajar. Pida a la clase que rote hacia la siguiente estación cuando usted dé la señal.
Recorra el salón y supervise el trabajo de sus estudiantes. Se brindan ejemplos de trabajos de estudiantes para cada estación.
Estación 1
Sumen. Si tienen tiempo, hallen la suma de una manera diferente.
5 7 _ 9 + 3 2 _ 4 =
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Anime a sus estudiantes a colaborar en cada estación. A diferencia del Grupo de problemas, no se espera que completen estos problemas de forma independiente. El objetivo es incentivar el diálogo entre estudiantes.
Pida a sus estudiantes que consulten la Herramienta para la conversación como apoyo para una conversación significativa. También puede proporcionar comienzos de preguntas que sean específicos para la tarea, como los siguientes:
• ¿Cómo podemos expresar con otro nombre ?
• ¿Qué problemas que resolvimos antes podrían coincidir con ?
Diferenciación: Apoyo
Es probable que para algunas parejas de estudiantes sea beneficioso colaborar con otra pareja. En este caso, considere formar un grupo de cuatro estudiantes que puedan reunirse, según sea necesario, durante la actividad en las estaciones.
Estación 2
Escriban una ecuación con unidades no relacionadas que coincida con el trabajo que se muestra. Si tienen tiempo, escriban otra ecuación con unidades no relacionadas diferentes.
Nota para la enseñanza
Hay muchas ecuaciones que pueden coincidir con el trabajo que se muestra. Anime a sus estudiantes a pensar con flexibilidad acerca de las unidades.
Estación 3
Creen un problema verbal que coincida con la expresión. Si tienen tiempo, escriban un segundo problema verbal que coincida con la expresión.
7 1 3 + 6 11 16
La clase de 5.o grado llena cajas con donaciones de comida enlatada
cajas. ¿Cuál es el número total de cajas jas l 1 3 7 11 16 6 La clase de 4.o grado llena a de donaciones de comida enlatada que llenan las clases de e 4 o y 5 o grado?
El equipo Ve rde y el equipo Azul llenan globos de agua para sus globos. El equipo Azul usa
llenar sus globos. ¿Cuántos galones de agua usan en uántos
total el equipo Ve rde y el equipo Azul? rd e y el equipo Azul ? galones de agua para galones de agua para llenar a 11 16 6 1 3 7 un juego. El equipo Ve rde us a rd e usa
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando usa su comprensión de la suma y de los números mixtos para crear un problema verbal a partir de una expresión de suma.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué situaciones del mundo real se pueden representar con la suma?
• ¿Qué cantidades del mundo real se pueden representar con estos números mixtos?
• ¿De qué manera 7 1 3 + 6 11 16 representa el problema verbal que escribieron?
Luego de que cada estudiante visite las tres estaciones, pídales que adhieran su trabajo de las estaciones a una hoja de papel de rotafolio. Luego, cuelgue las exposiciones en el salón como preparación para el paseo por la galería.
Considere dar tiempo a sus estudiantes para reflexionar después de completar las estaciones. Haga las siguientes preguntas:
• ¿Probaron algún método nuevo que les funcionó bien?
• ¿Qué desafío tuvieron y qué aprendieron de él?
• ¿Sobre qué tema aún tienen preguntas?
Paseo por la galería
Diga a sus estudiantes que darán un paseo por la galería. Dé instrucciones sobre cómo deben rotar sus estudiantes por la sala (p. ej., desplazarse en el sentido de las manecillas del reloj por la sala o esperar una señal para pasar a otra exposición). Invite a sus estudiantes a buscar semejanzas y diferencias entre los trabajos que se muestran en las exposiciones.
Dé tiempo para que los grupos roten por las exposiciones. No es necesario que cada grupo vea e interactúe con todas las exposiciones.
Reúna a la clase e invite a sus estudiantes a compartir las semejanzas y diferencias que hayan observado en los trabajos en cada estación. Luego, guíe una conversación de toda la clase haciendo las siguientes preguntas.
Estación 1
¿En qué se diferencia el trabajo de otros grupos del suyo?
Formamos el siguiente número entero a partir de 5 28 36 porque está más cerca del siguiente número entero que 3 18 36 . Algunos de los otros grupos empezaron con 3 18 36 en su lugar.
Expresamos las fracciones con otro nombre y, luego, sumamos unidades semejantes. Algunos de los otros grupos expresaron las fracciones con otro nombre al igual que nuestro grupo, pero luego formaron el siguiente número entero.
Expresamos las fracciones como treintaiseisavos, pero otros lo hicieron como dieciochoavos.
DUA: Acción y expresión
Dar tiempo a sus estudiantes para reflexionar les ayuda a desarrollar hábitos metacognitivos y puede servirles como apoyo para comprender de qué manera aprenden mejor y para supervisar su progreso sin necesidad de pedirles que lo hagan.
Estación 2
¿Cómo determinaron una ecuación con unidades no relacionadas que coincidiera?
Sé que el primer número en la recta numérica, 9 24 30 , es uno de los sumandos. Sumé cada uno de los
números en los saltos para hallar el otro sumando, 8 25 30 . Luego, compuse para expresar 24 30 como 4 5 y 25 30 como 5 6 . Los sextos y los quintos son unidades no relacionadas.
¿Qué observaron sobre las ecuaciones que escribieron otros grupos?
Observé que los grupos escribieron diferentes ecuaciones.
Observé que los grupos usaron diferentes unidades para expresar las fracciones con otro nombre.
Por ejemplo, algunos grupos expresaron 9 24 30 como 9 8 10 .
Observé que algunos grupos escribieron primero 8 5 6 , mientras otros escribieron 9 4 5 primero.
Estación 3
¿Fue difícil escribir un problema verbal que coincidiera con la expresión? ¿Por qué?
No. Solo tuve que pensar en una situación en la que se usara la suma o en la que dos elementos se agruparían juntos.
Sí. Fue difícil pensar en una unidad de medida que tuviera sentido con los números del problema, así que, en su lugar, pensé en barras de pan. Esos elementos pueden dividirse en tercios y en dieciseisavos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Sumar números mixtos con unidades no relacionadas
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre la suma de números mixtos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 9 a 13 de su Grupo de problemas. Pídales que elijan 2 o 3 problemas y que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué eligieron el método que usaron.
En el problema 9, formé unidades semejantes, luego, sumé los números enteros y sumé las fracciones. Como la suma de las fracciones es menor que 1, solo tuve que sumar la suma de los números enteros a la suma de las fracciones para obtener la respuesta.
En el problema 10, formé unidades semejantes, luego, sumé los números enteros y sumé las fracciones. Aunque expresé con otro nombre una fracción mayor que 1 para hallar la suma final, la unidad era décimos, así que pude expresarlo con otro nombre mentalmente.
En el problema 12, formé el siguiente número entero a partir de 8 18 20 porque está cerca de 9.
¿En qué se parecen o se diferencian la suma de números mixtos con unidades no relacionadas y la suma de números mixtos con unidades relacionadas?
Sumar números mixtos con unidades relacionadas o no relacionadas es lo mismo porque podemos descomponer las partes de cualquier forma para sumarlas, y podemos sumar en cualquier orden. Una vez que expresamos con otro nombre para formar unidades semejantes, podemos sumar unidades semejantes o formar el siguiente número entero. Podemos mostrar nuestro razonamiento de distintas maneras usando el método de flechas, una recta numérica o un vínculo numérico.
Lo que es diferente de la suma de números mixtos con unidades no relacionadas es que tenemos que expresar ambas fracciones con otro nombre para formar unidades semejantes, y no solo una fracción como cuando tenemos unidades relacionadas.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Forma unidades semejantes. Luego, representa la ecuación con unidades semejantes en la recta numérica y suma.
Forma unidades semejantes y, luego, suma.
Suma. Usa el método de flechas o un vínculo numérico como ayuda para formar el siguiente número entero.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
13. Adesh pasa 5 3 4 horas en la escuela. Pasa 1 1 3 horas en su lección de piano. ¿Cuántas horas pasa Adesh en la escuela y en su lección de piano en total?
Adesh pasa 7 1 12 horas en la escuela y en su lección de piano en total.
Estación 1 Sumen. Si tienen tiempo, hallen la suma de una manera diferente.
Estación 1 Sumen. Si tienen tiempo, hallen la suma de una manera diferente.
Estación 2
Escriban una ecuación con unidades no relacionadas que coincida con el trabajo que se muestra. Si tienen tiempo, escriban otra ecuación con unidades no relacionadas diferentes.
Estación 2 Escriban una ecuación con unidades no relacionadas que coincida con el trabajo que se muestra. Si tienen tiempo, escriban otra ecuación con unidades no relacionadas diferentes.
Estación 3
Creen un problema verbal que coincida con la expresión. Si tienen tiempo, escriban un segundo problema verbal que coincida con la expresión.
7 1 _ 3 + 6 11 __ 16
Estación 3
Creen un problema verbal que coincida con la expresión. Si tienen tiempo, escriban un segundo problema verbal que coincida con la expresión.
7 1 3 + 6 11 16
Restar números enteros de números mixtos y números mixtos de números enteros
Vistazo a la lección
La clase analiza diferentes maneras de restar números enteros para poder comparar la resta de números enteros con la resta que incluye números mixtos. Usan métodos conocidos para hallar diferencias, incluidos restar de 1, hacer una suma y descomponer la parte para restar del total. Reconocen que pueden restar usando diferentes métodos y el resultado es el mismo, al igual que cuando hallan una diferencia de números enteros. En esta lección, se presentan los términos minuendo y sustraendo.
Preguntas clave
• ¿Cómo deciden qué método usar cuando restan números mixtos y números enteros?
• ¿Cómo aplican lo que saben sobre la resta con números enteros a la resta con números mixtos?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA2 Razonan acerca del proceso de sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A)
5.Mód2.CLA4 Suman y restan fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A.1)
5.Mód2.CLA7 Estiman mentalmente sumas o diferencias de fracciones o números mixtos y evalúan si las respuestas a los problemas verbales son razonables. (5.NF.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Restar números mixtos
• Descomponer el minuendo para restar de 1
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• cubos Unifix® (12)
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
Reúna 8 cubos Unifix del mismo color y 4 de otro color.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Formar el siguiente número entero
La clase determina la parte desconocida para formar el siguiente número entero y escribe la ecuación para desarrollar fluidez con la suma y la resta con números mixtos.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 2 3 + = 1.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la ecuación completada y, luego, muestre
1 2 3 + = 2.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Descomponer números enteros
La clase determina cuál es el número desconocido de una ecuación descomponiendo un número entero en un número entero y una fracción igual a 1 como preparación para restar con números enteros y números mixtos.
Muestre el vínculo numérico y la ecuación con un numerador desconocido.
¿Cuál es el número desconocido? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
3
Muestre la respuesta en el vínculo numérico y la ecuación.
Cuando dé la señal, digan la ecuación completada.
¿Comenzamos?
2 = 1 + 3 _ 3
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Formar unidades semejantes
La clase determina cuáles son las unidades semejantes de una expresión de resta con unidades relacionadas, expresa con otro nombre una fracción y reescribe la expresión como preparación para restar números mixtos con unidades relacionadas a partir de la lección 13.
Muestre 3 4 1 2 .
¿Qué fracción puede expresarse con otro nombre para que las unidades fraccionarias sean iguales? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 2
Cada vez que haga una pregunta, dé tiempo a sus estudiantes para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Expresen 1 _ 2 con otro nombre para formar unidades semejantes. Muestren su método.
Muestre el ejemplo de método.
Reescriban la expresión de resta que muestre ambas fracciones con la misma unidad.
Muestre la expresión equivalente con unidades semejantes.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase analiza diferentes formas de hallar una diferencia con números enteros.
Presente cuatro formas de hallar la diferencia 320 − 97.
320 – 97 = 223 320 – 90 = 23 0
+ 3 + 200 + 20
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias que se muestran en el ejemplo de trabajo.
Los cuatro métodos muestran 320 − 97 = 223.
A, B y C son similares porque usan la descomposición. A y C descomponen 97, mientras que B descompone 320. 5
Nota para la enseñanza
La clase debe conocer de grados anteriores los métodos que se muestran en la sección Presentar.
Los ejemplos A y C muestran la resta de partes del total de diferentes maneras.
El ejemplo B muestra la descomposición del total en dos partes para restar 97 de 100. Después de descomponer 320 en 100 y 220, sus estudiantes pueden restar fácilmente 97 de 100 y sumar la diferencia a la parte que queda.
El ejemplo D muestra el uso de la suma para hallar la parte desconocida.
A y C descomponen 97. En A, 97 se descompone en 20, 70 y 7. En C, 97 se descompone en 90 y 7.
En B, se muestra restar 97 de 100 en lugar de restar del total, 320.
D muestra la diferencia como una parte desconocida. Sumaron a 97 para llegar a 320.
¿Qué nos muestran estos métodos sobre cómo podemos restar?
Podemos restar la parte del total. Podemos descomponer la parte de cualquier manera para restar del total.
Podemos sumar desde la parte para llegar al total.
Escriba 5 − 2 3 4 . Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué método usarían para hallar la diferencia y por qué.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, exploraremos cómo aplicar estos métodos como ayuda para restar cuando las expresiones tienen números enteros, fracciones y números mixtos.
Aprender
35
Restar números mixtos
La clase resta un número entero de un número mixto restando primero los números enteros y, luego, sumando la fracción a la diferencia.
Escriba 43 5 − 2 cerca de 5 − 23 4 , la expresión de la sección Presentar.
¿En qué se parecen estas expresiones? ¿En qué se diferencian?
Ambas expresiones tienen un número mixto y un número entero.
43 5 − 2 muestra un número entero que se resta de un número mixto. 5 − 23 4 muestra un número mixto que se resta de un número entero.
DUA: Representación
Considere presentar el problema usando un vínculo numérico para ayudar a sus estudiantes a recordar la estructura de la resta.
Pida a la clase que considere si se puede usar uno de los métodos de la sección Presentar para hallar la diferencia.
¿Cómo hallarían la diferencia 4 3 5 − 2?
Restaría 2 de 43 5 para obtener 23 5 .
Sumaría a partir de 2. Sumaría 2 para llegar a 4 y, luego, sumaría 3 5 a 4 para llegar a 4 3 5 . Entonces, la diferencia es 2 3 5 .
Descompondría 4 3 5 como 4 y 3 5 . Luego, restaría las unidades semejantes (unidades) para hallar la diferencia. Entonces, 4 − 2 = 2, y dado que no hay quintos para restar de 3 5 , la diferencia es 2 3 5 .
¿Por qué podríamos considerar que 4 3 _ 5 − 2 es una diferencia que podemos hallar mentalmente?
Porque podemos restar las unidades mentalmente y no hay nada más para restar. Solo tenemos que poner la diferencia entre los números enteros junto con la fracción.
Es probable que los problemas como este, en los que restamos un número entero de un número mixto, puedan resolverse mentalmente. Siempre debemos considerar la expresión antes de empezar a hacer cualquier trabajo, porque algunos problemas, como este, pueden resolverse mentalmente.
Escriba la expresión 325 6 − 17.
¿Hallarían esta diferencia mentalmente? ¿Por qué?
Tal vez. Quizá tenga que mostrar el trabajo para hallar la diferencia de los números enteros.
Sí. Descompondría 325 6 como 32 y 5 6 . Luego, hallaría 32 − 17 y sumaría 5 6 a la diferencia.
Invite a sus estudiantes a hallar la diferencia y, luego, a comprobar sus respuestas en parejas.
¿Cuál es la diferencia?
La diferencia es 15 5 6 .
Ayude a sus estudiantes a recordar que hay muchos métodos válidos para restar. Anímeles a continuar considerando la expresión dada antes de elegir un método para hallar la diferencia.
Descomponer
el minuendo para restar de 1
Materiales: M) Cubos Unifix
La clase resta un número mixto de un número entero descomponiendo el total para poder restar de 1.
Muestre 5 − 23 4 , la expresión de la sección Presentar.
Antes, pensaron en un método que usarían para hallar esta diferencia. ¿Podemos usar el mismo método que usamos en la expresión anterior para hallar la diferencia para esta expresión, 32 5 _ 6 − 17? ¿Por qué?
No podemos usar el mismo método porque, esta vez, el número mixto se está restando del número entero.
No creo que podamos usar el mismo método porque no tengo certeza de cómo quitar un número mixto de un número entero.
La expresión 5 − 2 3 _ 4 es un poco diferente de la anterior, así que probemos un nuevo método para restar. Descompongamos el minuendo, o el valor de inicio, 5.
Muestre el siguiente vínculo numérico:
¿Qué observan?
23 4 se muestra como dos partes, 2 y 3 4 .
Hay una tercera parte rotulada con un signo de interrogación.
Hay dos números enteros. El minuendo es un número entero.
Una de las partes es un número entero.
Nota para la enseñanza
En 4.o grado, la clase usa el método de restar de 1 para restar fracciones de números enteros y de números mixtos. En 5.o grado, se aumenta la complejidad al restar un número mixto de un número entero.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Muestre una expresión con rótulos para brindar apoyo a sus estudiantes en el uso de lenguaje preciso cuando se refieran a las partes de una oración de resta. Sus estudiantes también pueden referirse al minuendo como el total y al sustraendo como la parte, relacionando así los términos con la relación de parte-total.
El sustraendo, o el número que se resta del valor de inicio, puede descomponerse de cualquier manera y en tantas partes como necesitemos. Aquí, el sustraendo 2 3 _ 4 se descompone en un número entero y una parte fraccionaria. Podemos restar esas partes en cualquier orden.
¿Cuál restarían primero? ¿Por qué?
Primero, haría 5 − 2, porque eso es cálculo mental.
Haría 5 − 2 porque son unidades de valor posicional semejantes: unidades.
¿Cuánto es 5 − 2?
3
Registre 5 − 2 = 3.
¿Qué queda por restar?
3 − 3 _ 4
Use cubos Unifix para mostrar 3 unidades, cada una compuesta de cuartos. Use 2 unidades del mismo color y 1 de otro color.
¿Qué observan?
3 unidades se muestran como 2 y 1.
Cada unidad se compone de 4 cubos.
Haga un vínculo numérico debajo de 3, que muestre 3 descompuesto en 2 y 4 4 .
Podemos expresar 1 usando 4 _ 4 o cualquier otra fracción equivalente a 1.
¿Debemos usar 4 _ 4 o alguna otra fracción? ¿Por qué?
Debemos usar 4 4 porque necesitamos restar 3 4 y, para restar fracciones, necesitamos tener unidades semejantes.
En lugar de restar 3 4 de 3, podemos restar 3 4 de 1, o 4 4 .
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando incorpora vocabulario matemático y usa términos como minuendo, sustraendo, parte, total, diferencia, descomponer, número entero, unidades y cuartos para explicar el método de resta usado para hallar 5 − 2 3 4
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Cómo podemos describir la expresión de resta 5 − 2 3 4 usando las palabras minuendo y sustraendo?
• ¿Qué significa la palabra parte en el vínculo numérico? ¿Y total? ¿Y sustraendo? ¿Y minuendo? ¿Y diferencia?
Nota para la enseñanza
Al registrar el trabajo de manera numérica, considere usar marcadores de los mismos colores que los cubos. Esto puede ayudar a la clase a relacionar la representación concreta de las partes en el problema con la representación abstracta en las ecuaciones.
Aunque en la edición para la enseñanza se muestran cubos azules y rojos, el kit de materiales contiene cubos amarillos y rojos.
Quite tres cubos de 1 entero, o 4 4 , para representar restar 3 4 de 1.
Registre 4 4 3 4 = 1 4 .
¿La respuesta es 1 _ 4 ? ¿Por qué?
No. 1 4 es la diferencia cuando se resta 3 4 de 1. Pero aún quedan 2 unidades.
¿Cuál es la respuesta? ¿Cómo lo saben?
2 1 4 , porque quedan 2 unidades y tenemos que componer eso con la parte fraccionaria, 1 4 .
Registre 2 + 1 4 = 21 4 .
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo restar de 1 se relaciona con la resta de números enteros.
Sabemos que podemos descomponer un sustraendo en partes y restar del total. Cuando restamos fracciones, podemos restar de 1 en lugar de restar de 10 o 100.
Cuando restamos de 1, hacemos un problema de resta más simple. Cuando restamos números enteros, también intentamos hacer problemas más simples.
Cuando restamos primero los números enteros, pudimos reescribir la expresión original como 3 − 3 _ 4 . ¿Eso hace que el problema sea más simple? ¿Por qué?
Sí, lo hace más simple porque sabemos cómo restar una fracción de un número entero.
Sí, lo hace más simple porque ahora estamos restando una fracción menor que 1 y no un número mixto.
Entonces, podemos restar primero la parte de número entero del minuendo. Hacer esto nos proporciona un problema más simple. Una vez que tenemos el problema más simple, podemos restar de 1 para hallar la diferencia.
Analicemos otros dos métodos para hallar la diferencia
Muestre el siguiente trabajo de sus estudiantes.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere brindar apoyo a las respuestas de la clase con la Herramienta para la conversación.
Invite a sus estudiantes a usar la sección
Compartir tu razonamiento para explicar por qué es útil descomponer el total para poder restar de 1.
Trabajo de RileyTrabajo de Leo
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que ven en cada ejemplo de trabajo.
¿Qué observan sobre el trabajo de Riley?
Observo que Riley usó una recta numérica.
Observo que Riley empezó con 23 4 y sumó a esa cantidad hasta que llegó al 5.
Observo que Riley escribió un problema de suma con uno de los números para formar un total de 5, que es el otro número en el problema de resta.
Riley usó el método de sumar para hallar la diferencia, que es el mismo método que podríamos usar cuando restamos números enteros.
¿Qué observan sobre el trabajo de Leo?
Observo que Leo también usó una recta numérica.
Observo que Leo comenzó con 5, restó 2 y, luego, restó 3 4 para hallar la diferencia. Este método es similar a lo que hicimos cuando restamos de 1.
Leo eligió descomponer el sustraendo 2 3 _ 4 como 2 y 3 _ 4 . Luego, restó la parte de número entero del total, 5, y restó 3 4 de la diferencia. Con su método, Leo descompuso las partes y restó cada parte del total.
Hay muchos métodos que podemos usar para restar. Podemos restar unidades semejantes, restar de 1, sumar o descomponer las partes a restar del total. Siempre debemos considerar la expresión dada y, luego, elegir un método que tenga sentido para restar.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 a 3 de sus libros. Pídales que completen los problemas de forma independiente, pero que comparen las respuestas en parejas.
Recorra el salón y anime a sus estudiantes a restar usando diferentes métodos.
Resta. Muestra tu trabajo.
1. 285 7 − 6 = 225 7
28 − 6 = 22
22 + 5 7 = 22 5 7
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar cubos o cubos de un centímetro para brindar apoyo a sus estudiantes cuando tengan que restar de 1.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las siguientes preguntas:
• ¿Qué método prefieren?
• ¿Pueden pensar en dos problemas de resta para los cuales usarían métodos diferentes? ¿Por qué?
• ¿Qué podría hacer que prefirieran un método por sobre otro?
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a sus estudiantes que hallen cada diferencia usando más de un método.
Diferenciación: Apoyo
Si hay estudiantes que necesitan apoyo adicional mientras completan los problemas de forma independiente, proponga dibujar un modelo como ayuda para llevar la cuenta de cómo descompusieron un número mixto en partes. Por ejemplo, podrían hacer un vínculo numérico como ya hicieron con anterioridad en esta lección.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Restar números enteros de números mixtos y números mixtos de números enteros
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre la resta de números enteros y de números mixtos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Escriba las expresiones 8 − 5 3 8 y 8 3 8 − 5.
¿Qué observan acerca de estas expresiones?
Tienen las mismas partes de número entero, 8 y 5. Tienen la fracción 3 8 .
En la primera expresión, estamos restando un número mixto de un número entero. En la segunda expresión, estamos restando un número entero de un número mixto.
¿Ambas expresiones tienen el mismo valor? ¿Por qué?
No lo creo. En la primera expresión, 5 3 8 se resta de 8. En la segunda expresión, menos se resta de más. 5 es menor que 5 3 8 y 8 3 8 es mayor que 8.
No, porque en la primera expresión tenemos que restar 5 de 8 y, luego, tenemos que restar 3 8 más.
En la segunda expresión, después de restar 5 de 8, aún tenemos que sumar 3 8 para obtener el valor.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 10 a 15 de su Grupo de problemas. Invite a sus estudiantes a elegir un problema para usar como ayuda para responder la siguiente pregunta.
¿Cómo deciden qué método usar cuando restan números mixtos y números enteros?
En el problema 10, use el cálculo mental porque puedo restar fácilmente 4 del total.
En el problema 11, empecé con 7 − 2 = 5. Luego, para hallar 5 − 5 12 , resté 5 12 de 1 para obtener 7 12 y compuse 7 12 con la otra parte, 4. Elijo restar de 1 porque es más simple para mí hacerlo mentalmente que restar 5 12 de 5.
En el problema 12, sumé 5 7 a 12 7 para obtener 2 y, luego, sumé 1 más para obtener 3. Sumé porque me di cuenta de que los números 3 y 12 7 no están tan lejos uno del otro y sería fácil para mí sumar para hallar la diferencia.
¿Cómo aplican lo que saben sobre la resta con números enteros a la resta con números mixtos? Podemos usar los mismos métodos que usamos con los números enteros. Cuando restamos, estamos quitando una parte de un total. A veces, esa parte es un número mixto. A veces, el total es un número mixto.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el método de flechas para hacer una suma y así hallar la parte desconocida.
Resta unidades semejantes para hallar la diferencia. 1.
Descompón la parte que hay que quitar del total. Usa la recta numérica para mostrar tu trabajo.
Resta las partes que son números enteros. Luego, descompón el
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
16. Noah compra 3 kilogramos de harina. Usa 1 3 10 kilogramos de la harina para hacer pan. ¿Cuántos kilogramos de harina le quedan a Noah?
A Noah le quedan 1 7 10 kilogramos de harina.
Restar números mixtos de números mixtos con unidades relacionadas
Vistazo a la lección
La clase resta números mixtos con unidades relacionadas expresando primero las fracciones como fracciones equivalentes con unidades semejantes. Exploran diferentes maneras de restar números mixtos, en base a lo que entienden sobre la resta con números mixtos de las lecciones anteriores.
Consideran varios métodos y comentan cuándo un método podría ser más eficiente de usar que otro.
Preguntas clave
• ¿Cómo deciden qué método usar para restar números mixtos con unidades relacionadas?
• ¿Alguna vez deciden cambiar a un método diferente luego de haber comenzado a trabajar? ¿Cuándo?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA4 Suman y restan fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A.1)
5.Mód2.CLA7 Estiman mentalmente sumas o diferencias de fracciones o números mixtos y evalúan si las respuestas a los problemas verbales son razonables. (5.NF.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Restar unidades semejantes
• Descomponer para restar
• Restar usando diferentes métodos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar la división como una fracción
La clase escribe una expresión de división como una fracción y, cuando es posible, como un número entero, para adquirir fluidez con las fracciones y la división del tema A.
Muestre 1 ÷ 4 = .
Escriban el cociente como una fracción. Luego, si es posible, expresen el cociente como un número entero.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el cociente.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Descomponer números mixtos
La clase determina cuál es el número desconocido de una ecuación descomponiendo un número mixto en un número mixto y 1 como preparación para restar con números mixtos.
Muestre el vínculo numérico y la ecuación con una parte desconocida.
¿Cuál es la parte desconocida? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 1 3
Muestre la respuesta en el vínculo numérico y la ecuación.
Cuando dé la señal, digan la ecuación completada.
¿Comenzamos?
2 1 3 = 1 + 1 1 3
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Formar el siguiente número entero
La clase determina la parte desconocida para formar el siguiente número entero y escribe la ecuación para desarrollar fluidez con la suma y la resta con números mixtos.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Nota para la enseñanza
Más allá de que cada parte desconocida pueda expresarse como una fracción, anime a sus estudiantes a expresar la parte desconocida como un número mixto o un número entero.
Muestre 3 4 + = 1.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la ecuación completada y, luego, muestre 4 3 4 + = 5.
Escriban la ecuación y complétenla.
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase analiza expresiones para hacer conexiones entre la resta de números enteros y la resta de números mixtos.
Muestre la expresión 86 − 34.
¿Pueden restar mentalmente? ¿Por qué?
Sí, puedo restar mentalmente porque no se necesita reagrupar ni expresar con otro nombre.
Puedo restar decenas de decenas y unidades de unidades.
Muestre la expresión 8 6 10 − 3 4 10 .
¿En qué se parece y en qué se diferencia en comparación con la expresión previa?
Ambas muestran resta.
Las unidades son diferentes. La primera expresión tiene decenas y unidades. Esta expresión tiene unidades y décimos.
Puedo ver una relación entre el número de unidades en las dos expresiones. Por ejemplo, hay 8 decenas y 6 unidades en el minuendo de la primera expresión, y hay 8 unidades y 6 décimos en el minuendo de la segunda expresión.
¿Pueden restar mentalmente? ¿Por qué?
Sí, puedo restar mentalmente porque no se necesita expresar con otro nombre. Puedo restar unidades de unidades y décimos de décimos.
Muestre la expresión 82 − 47.
¿Pueden restar mentalmente? ¿Por qué?
Tal vez, pero no hay suficientes unidades para restar unidades de unidades, así que tendría que expresar con otro nombre.
Si usan lo que saben sobre la resta, ¿qué podrían planear hacer para restar 47 de 82?
Podría descomponer 47 en partes y, luego, restar las partes de 82.
Sumaría a partir del 47.
Expresaría 82 como 7 decenas 12 unidades.
Muestre la expresión 8 2 10 − 4 7 10 .
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
Si usan lo que saben sobre la resta, ¿qué podrían hacer para restar 4 7 __ 10 de 8 2 __ 10 ?
Puedo restar 4 unidades de 8 unidades, pero no hay suficientes décimos para restar 7 décimos de 2 décimos. Entonces, podría descomponer 4 7 10 en partes y, luego, restar las partes de 8 2 10 .
Sumaría a partir de 4 7 10 .
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Antes, restamos números mixtos de números enteros y números enteros de números mixtos. Hoy, usaremos lo que sabemos sobre unidades relacionadas para restar números mixtos.
Aprender
Restar unidades semejantes
La clase identifica cuándo puede restar unidades semejantes para hallar la diferencia de números mixtos.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.
Resta. Muestra tu trabajo.
1.
Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comparar la expresión 4 5 8 − 2 3 16 con la expresión 8 2 10 4 7 10 .
Ambas muestran resta.
Cada total, o minuendo, es un número mixto, y cada sustraendo, o parte, es un número mixto.
Una expresión tiene partes fraccionarias con unidades semejantes. La otra expresión tiene partes fraccionarias con unidades diferentes.
En el problema 1, ¿las unidades fraccionarias están o no relacionadas? ¿Cómo lo saben?
Las unidades fraccionarias están relacionadas porque 8 es un factor de 16 y 16 es un múltiplo de 8.
Para estimar la diferencia, primero comparemos las partes fraccionarias.
¿ 5 _ 8 es menor que, igual a o mayor que 3 __ 16 ? ¿Cómo lo saben?
5 8 es mayor que 3 16 porque 5 8 es más que 1 2 y 3 16 es menos que 1 2 .
¿Entre qué dos números enteros está la respuesta? ¿Cómo lo saben?
La respuesta está entre 2 y 3. Cuando resto los números enteros, la diferencia es 2. Entonces, la respuesta es un poco mayor que 2 porque 5 8 es mayor que 3 16 .
DUA: Acción y expresión
Considere crear junto con sus estudiantes un afiche de referencia de los métodos usados para restar números mixtos con unidades relacionadas. Registre un ejemplo de cada método mientras se avanza en esta lección. Deje el afiche de referencia a la vista de modo que sus estudiantes puedan consultarlo mientras trabajan.
¿Tenemos todo listo para restar? ¿Por qué?
No, porque las partes fraccionarias no tienen unidades semejantes.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para compartir qué unidad fraccionaria elegirían para formar unidades semejantes. Luego, pida a sus estudiantes que expresen cada número mixto con otro nombre.
Escriba la ecuación 4 5 8 − 2 3 16 = 4 10 16 − 2 3 16 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué observan?
Tenemos unidades semejantes. Tenemos unidades y dieciseisavos.
Tenemos suficientes dieciseisavos para restar 3 16 de 10 16 .
Usaría este método cuando observo que puedo restar las partes fraccionarias sin tener que hacer nada más que expresarlas como unidades semejantes.
Cuando el minuendo tiene una parte fraccionaria mayor que el sustraendo, podemos restar unidades semejantes.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué otros métodos podrían usar para restar.
Reconozca que hay varios métodos válidos para restar y anime a sus estudiantes a considerar cada expresión para que puedan elegir un método eficiente que pueda hacer más simple su trabajo.
Descomponer para restar
La clase muestra diferentes maneras en las que pueden descomponer para restar números mixtos.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.
Para ayudarnos a estimar la diferencia, primero comparemos las fracciones. ¿ 1 _ 6 es menor que, igual a o mayor que 10 __ 12 ? ¿Cómo lo saben?
1 6 es menor que 10 12 porque 1 6 es menos que 1 2 y 10 12 es más que 1 2 .
¿Entre qué dos números enteros está la respuesta? ¿Cómo lo saben?
Creo que la diferencia está entre 4 y 5. Cuando resto los números enteros, la diferencia es 5.
Entonces, la respuesta es un poco menor que 5 porque 1 6 es menor que 10 12 .
¿Tenemos todo listo para restar? ¿Cómo lo saben?
No, porque las partes fraccionarias no tienen unidades semejantes.
¿Las partes fraccionarias están o no relacionadas? ¿Cómo lo saben?
Las unidades están relacionadas porque 12 es un múltiplo de 6 y 6 es un factor de 12.
Diferenciación: Desafío
Pida a sus estudiantes que construyan un problema verbal que pueda resolverse hallando la diferencia para la expresión dada en el problema 2.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para compartir qué unidad fraccionaria usarán para formar unidades semejantes. Luego, pídales que expresen cada número mixto con otro nombre. Es esperable que sus estudiantes expresen con otro nombre usando sextos o doceavos.
Haga la siguiente pregunta a quienes expresan con otro nombre usando sextos.
¿Cómo supieron que podían expresar 10 __ 12 con otro nombre usando sextos?
Pensé en dibujar un modelo de área para mostrar 10 12 y me di cuenta de que podía componer unidades para expresar 10 12 como 5 6 .
Vi que podía dividir el denominador entre 2 para formar sextos y, luego, comprobé si obtendría un número entero al dividir el numerador entre 2.
Confirme que el resultado de expresar 1 6 como doceavos es una expresión equivalente.
¿Cuál es la diferencia sobre este problema en comparación con el problema 1?
No hay suficientes sextos para restar sextos de sextos.
No tenemos suficientes unidades fraccionarias para restar unidades semejantes.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían descomponer para restar las unidades fraccionarias.
Practicamos descomponer como ayuda para restar cuando el minuendo o el sustraendo es un número mixto. Probemos ese método cuando tanto el minuendo como el sustraendo sean números mixtos.
Pida a sus estudiantes que usen la descomposición como ayuda para restar. Recorra el salón para brindar apoyo a sus estudiantes si lo necesitan. Considere usar las siguientes preguntas para brindar apoyo al razonamiento de sus estudiantes:
• ¿Cuál es el sustraendo?
• ¿Qué parte del sustraendo restan del total?
• ¿Pueden restar unidades semejantes? ¿Por qué?
• ¿Cómo podrían descomponer el sustraendo para poder restar del minuendo?
• ¿Cómo podrían descomponer para restar de 1?
• ¿Cómo podrían hacer que el problema sea más simple?
• ¿Cómo mostrarán su razonamiento: en una recta numérica, con un vínculo numérico o con el método de flechas? ¿Por qué?
Reúna a sus estudiantes y muéstreles el siguiente trabajo. Si el trabajo de alguien es similar, muestre ese trabajo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar su trabajo con el ejemplo de trabajo y para compartir lo que observan.
¿Qué observan acerca de cómo descompusieron el sustraendo?
¿Por qué creen que hicieron eso?
Descompusieron 4 5 6 en tres partes: 4 y 1 6 y 4 6 . Luego, restaron 1 6 de 9 1 6 y obtuvieron 9, un número entero. Luego, restaron la parte de número entero y obtuvieron 5.
Por último, restaron 4 6 y obtuvieron la respuesta.
Muestre el siguiente trabajo. Si el trabajo de alguna persona es similar, compártalo.
Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comparar el trabajo en el que se usan sextos con el trabajo en el que se usan doceavos para identificar las semejanzas y las diferencias.
Descompusieron el sustraendo de la misma manera.
Descompusieron el sustraendo como 4 y 2 12 y 8 12 , que es equivalente a usar 4 y 1 6 y 4 6 .
Restaron las partes en un orden diferente. Primero, restaron 4 de 9 2 12 y obtuvieron 5 2 12 , y, luego, restaron 2 12 y obtuvieron 5, un número entero. Por último, restaron 8 12 y obtuvieron la respuesta.
En este ejemplo, descompusieron 5 en 4 + 1 para poder restar de 1 cuando se resta 8 12 de 5. En el primer ejemplo, mostraron restar 4 6 de 5 en la recta numérica.
¿Por qué creen que restaron 4 primero y no una parte fraccionaria?
Tal vez creyeron que era más simple restar la parte de número entero primero.
Quitar la parte de número entero primero significa quitar la parte más grande, entonces, tal vez quisieron hacer eso antes de restar las partes fraccionarias.
¿Creen que importa el orden en el que restan las partes del minuendo?
No importa, siempre que no cometas errores al descomponer.
¿Restarían 8 12 de 9 2 12 primero? ¿Por qué?
No. Tendría que descomponer 8 12 o restar de 1 porque aún no hay doceavos suficientes para restar la parte fraccionaria.
Entonces, el orden en el que restamos las partes del minuendo no importa, pero queremos asegurarnos de tener una razón para el orden en el que elegimos restar las partes. Queremos razonar cómo descomponer los números para restar.
¿Cuándo podrían usar la descomposición para restar?
Podría usar este método cuando resto números mixtos y no tengo suficientes partes fraccionarias para restar unidades semejantes.
Usen la rutina Cabezas numeradas para practicar cómo usar la descomposición para restar en el problema 3. Organice a la clase en grupos de 3 y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3.
3. 8 1 4 − 5 7 12 = 2 8 __ 12
Dé a la clase 3 minutos para hallar la diferencia como grupo usando la descomposición para restar. Recuerde a la clase que cualquiera podrá responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder. Es esperable que sus estudiantes muestren su trabajo de diferentes maneras, como con vínculos numéricos, rectas numéricas o con el método de flechas.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere dejar a la vista los términos diferencia, restar, descomponer, sustraendo, expresar con otro nombre y minuendo para animar a sus estudiantes a usar lenguaje preciso mientras se preparan para compartir las conclusiones del grupo.
Diga un número del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan las conclusiones del grupo. Es esperable que sus estudiantes produzcan trabajo y usen explicaciones como las siguientes:
La diferencia es 2 8 12 . Primero, expresamos 8 1 4 como 8 3 12 . Luego, restamos 5 de 8 3 12 . Luego, descompusimos 3 3 12 en 2 3 12 y 1 para restar 7 12 de 1.
Expresamos 8 1 4 como 8 3 12 y, luego, restamos la parte de número entero, 5, del total. Luego, descompusimos 7 12 en 3 12 y 4 12 para restar 3 12 de 3 3 12 .
Expresamos 8 1 4 como 8 3 12 . Luego, descompusimos el sustraendo en tres partes: 5 y 3 12 y 4 12 . Primero, restamos 3 12 del total y obtuvimos 8. Luego, restamos la parte de número entero y obtuvimos 3. Por último, restamos 4 12 de 3 y obtuvimos la respuesta.
Restar usando diferentes métodos
La clase resta usando diferentes métodos y evalúa la eficiencia y la preferencia.
Pida a la clase que vaya al problema 4. Invite a sus estudiantes a considerar todos los métodos de resta que exploraron y a intentar restar usando la mayor cantidad de estrategias que puedan en 4 minutos. Anime a sus estudiantes a estimar primero y, luego, a usar sus estimaciones para comprobar si sus respuestas son razonables.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando forma unidades semejantes y piensa en diferentes maneras de usar la descomposición para simplificar un problema de resta.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relacionan 1 4 y 7 12 ? ¿Cómo puede ayudarles eso a resolver el problema?
• ¿Pueden descomponer 8 3 12 − 5 7 12 en problemas de resta más simples?
Nota para la enseñanza
Es probable que parte de la clase use el método de restar de 1 como se muestra en el primer ejemplo de trabajo y elija expresar 1 como 12 __ 12 , mientras que otra parte de la clase probablemente use lo que sabe sobre restar una fracción de un número entero y reste de 1 sin expresar con otro nombre.
Recorra el salón de clases para identificar a quienes estén usando diferentes métodos para restar. Espere ver trabajos similares a los ejemplos proporcionados.
Restar la parte de número entero del minuendo y descomponer la parte para hacer un problema más simple.
para hallar la parte desconocida.
Restar la parte de número entero del minuendo y descomponer para restar de 1.
Descomponer el sustraendo, restar una parte fraccionaria para obtener un número entero, restar los números enteros y, luego, restar cualquier parte fraccionaria restante.
Invite a sus estudiantes a compartir su trabajo con una pareja para comparar los métodos. Luego, haga la siguiente pregunta.
¿Qué método creen que es el más eficiente para hallar la diferencia?
Creo que sumar es el más eficiente porque, para mí, la suma es más rápida que la resta.
Cuando descompongo el sustraendo para restar del minuendo, es más eficiente quitar una parte fraccionaria primero para obtener un número entero, luego, restar el número entero y, luego, restar la otra parte fraccionaria. Creo que formar números enteros y restarlos es más rápido.
Creo que es más eficiente restar de 1 cuando el número al que le restamos 1 es un número entero y no un número mixto. Creo que es más rápido porque hay menos partes fraccionarias.
Muestre el siguiente trabajo. Diga a la clase que el resultado de este trabajo es la respuesta correcta.
¿Cómo restó esta persona?
Expresó cada número mixto como una fracción mayor que 1 y, luego, restó unidades semejantes.
¿Hubieran elegido este método para restar? ¿Por qué?
No, porque parecería que toma más tiempo expresar los números mixtos como fracciones mayores que 1 que el que toma descomponer y restar de la forma en que lo hicimos antes.
Sí, porque me gusta multiplicar, y solo tienes que restar una vez con este método.
Aunque el resultado de este método es la respuesta correcta, siempre es una buena idea considerar primero la expresión para poder elegir el método que tenga más sentido para ustedes y que, incluso, pueda hacer sus trabajos más simples.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuándo podrían usar este método de expresar números mixtos como fracciones mayores que 1 como ayuda para restar.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Nota para la enseñanza
Este método se muestra en último lugar intencionalmente, y con números mixtos más grandes que los de algunos otros problemas, para resaltar dos características importantes: que es una manera válida de hallar la diferencia, pero que no siempre es la manera más eficiente de hacerlo.
A veces, se piensa en el método de expresar un número mixto como una fracción mayor que 1 como un método más simple que otros. Es importante que sus estudiantes desarrollen el hábito de analizar cada expresión dada y así poder considerar cuáles son sus opciones antes de evaluar la expresión.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Restar números mixtos de números mixtos con unidades relacionadas
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca del uso de varios métodos para restar números mixtos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Luego de expresar las partes fraccionarias como fracciones equivalentes con unidades semejantes, ¿cuáles son algunos de los métodos que pueden usar para restar números mixtos?
Si la parte fraccionaria en el minuendo es suficiente para restar la parte fraccionaria en el sustraendo, podemos restar unidades semejantes.
Podemos restar la parte de número entero del minuendo y descomponer para restar de 1 cuando no hay suficientes partes fraccionarias para hacer la resta.
Podemos restar la parte de número entero del minuendo y descomponer la parte para hacer un problema más simple.
Podemos descomponer el sustraendo y restar una parte fraccionaria para obtener un número entero, restar la parte de número entero y, luego, restar cualquier parte fraccionaria restante.
Podemos sumar desde la parte para llegar al total.
Podemos expresar los números mixtos como fracciones mayores que 1 y restar unidades semejantes.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 4 a 13 de su Grupo de problemas. Invite a sus estudiantes a elegir un problema como ayuda para responder las siguientes preguntas.
¿Cómo deciden qué método usar para restar números mixtos con unidades relacionadas?
En el problema 4, resté unidades semejantes porque observé que había suficientes veintiochoavos en el minuendo para restar los veintiochoavos en el sustraendo.
En el problema 5, descompuse 2 9 10 en 2 y 2 10 y 7 10 . Resté 2 10 primero para obtener 15, luego resté
la parte de número entero y, luego, resté 7 10 . Elegí este método porque 15 2 10 no está tan lejos de 15 y quería obtener rápidamente un número entero.
En el problema 6, expresé cada número mixto como una fracción mayor que 1 y resté. Como las unidades eran décimos, fue fácil expresar 4 3 10 como 43 10 y 3 8 10 como 38 10 .
En el problema 8, sumé a partir de 7 11 12 y obtuve 18 8 12 porque prefiero sumar y 7 11 12 ya está muy cerca de 8. Usar una recta numérica para sumar me ayuda a llevar la cuenta de la parte desconocida para no cometer errores.
¿Alguna vez decidieron cambiar a un método diferente luego de haber comenzado a trabajar? ¿Cuándo?
En el problema 5, descompuse 2 9 10 en 2 y 9 10 . Resté 2 y obtuve 13 2 10 . Iba a descomponer 13 2 10 en 12 2 10 + 1, pero era difícil restar de 1 con un número mixto. En vez de eso, descompuse 9 10 en 2 10 + 7 10 y resté para obtener un número entero antes de restar de 1.
En el problema 10, pensé que podía restar unidades semejantes porque ambas partes fraccionarias están cerca de 1 2 . Pero luego de expresar con otro nombre, no podía restar 8 20 de 7 20 , así que decidí descomponer para restar.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Considera la expresión 9 5 6 − 4 4 18 . ¿Entre qué dos números enteros estimas que está la diferencia? Explica tu razonamiento. La diferencia está entre 5 y 6
5 6 es mayor que 4 18 porque 5 6 es más que 1 2 y 4 18 es menor que 1 2 . Cuando resto los números enteros, la diferencia es 5. Entonces, la respuesta es mayor que 5 porque 5 6 es mayor que 4 18
Expresa los números mixtos con otro nombre para que las partes fraccionarias tengan unidades semejantes.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
12. Un arce medía 6 2 3 pies de alto cuando lo plantaron. Ahora, el árbol mide 13 5 12 pies de alto.
¿Cuántos pies ha crecido el arce desde que lo plantaron?
El arce ha crecido 6 3 4 pies desde que lo plantaron.
13. Lacy corrió 7 2 5 kilómetros el sábado y 5 7 10 kilómetros el domingo. Su objetivo era correr 10 1 2 kilómetros durante el fin de semana. ¿Cuántos kilómetros más que su objetivo corrió Lacy?
Lacy corrió 2 3 5 kilómetros más que su objetivo.
Restar números mixtos de números mixtos con unidades no relacionadas
Vistazo a la lección
La clase resta números mixtos con unidades no relacionadas usando métodos conocidos como sumar, descomponer para restar de 1 y descomponer para restar del total. Resuelven problemas del mundo real que incluyen la resta de números mixtos y comparan sus métodos con sus pares. Después de que la clase analiza y comenta el trabajo de cada estudiante que muestra muchas maneras de hallar la diferencia entre números mixtos, llegan a la conclusión de que todas las maneras son válidas porque el resultado es el mismo.
Pregunta clave
• ¿Eligen usar siempre el mismo método cuando restan números mixtos? ¿Por qué?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA4 Suman y restan fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A.1)
5.Mód2.CLA5 Resuelven problemas verbales que involucran la suma y la resta de fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A.2)
5.Mód2.CLA6 Representan problemas verbales que involucran la suma o resta de fracciones o números mixtos que se refieren al mismo entero. (5.NF.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Seleccionar un método para restar
• Compartir, comparar y conectar
• Aplicar un método diferente para restar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar la división como una fracción
La clase escribe una expresión de división como una fracción y un número entero o un número mixto para adquirir fluidez con las fracciones y la división del tema A.
Muestre 3 ÷ 3 = = .
Escriban el cociente como una fracción. Luego, expresen el cociente como un número entero o mixto.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el cociente como una fracción y un número entero.
Continúe el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Descomponer números enteros o mixtos
La clase determina cuál es el número desconocido de una ecuación descomponiendo un número entero o un número mixto para desarrollar fluidez con la resta con números mixtos.
Muestre el vínculo numérico y la ecuación con un número desconocido.
¿Cuál es el número desconocido? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
3
Muestre la respuesta en el vínculo numérico y en la ecuación.
Cuando dé la señal, digan la ecuación completada. ¿Comenzamos?
2 = 1 + 3 _ 3
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Formar unidades semejantes
La clase determina cuáles son las unidades semejantes de una expresión de suma o de resta con unidades relacionadas, expresa con otro nombre una fracción y reescribe la expresión para desarrollar fluidez con la suma y la resta de números mixtos.
Muestre 1 2 + 3 10 .
¿Qué fracción puede expresarse con otro nombre para que las unidades fraccionarias sean iguales? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 _ 2
Cada vez que haga una pregunta, dé tiempo a sus estudiantes para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Expresen 1 2 con otro nombre para formar unidades semejantes. Muestren su método.
Muestre el ejemplo de método.
Reescriban la expresión de modo que muestre ambas fracciones con la misma unidad.
Muestre la expresión equivalente con unidades semejantes.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase identifica un error de resta común.
Muestre el siguiente ejemplo de trabajo.
Riley trabaja para hallar la diferencia 5 2 _ 6 − 2 4 __ 10 . Riley sabe que la respuesta correcta es 2 28 __ 30 y no 1 22 __ 30 . Riley está segura de que la primera parte del trabajo está correcta.
Señale el trabajo que está encima de la línea negra continua.
¿Están de acuerdo? ¿Por qué?
Sí. Riley halló correctamente fracciones equivalentes para ambos números mixtos, restó los números enteros y descompuso 3 10 30 .
Eso significa que el error de Riley debe estar en el trabajo que se muestra debajo de la línea. Intentemos hallar el error de Riley analizando el trabajo.
Invite a la clase a trabajar en parejas para identificar el error. Luego de dos minutos, invite a sus estudiantes a compartir sus conclusiones.
Riley restó 3, pero solo debía restar 2 12 30 .
Riley restó demasiadas veces. Solo tenía que restar 12 30 de 1, pero restó 12 30 de 1 y, luego, restó 10 30 y 8 30 .
Podemos ver que Riley debería haber dejado de restar luego de restar 12 __ 30 de 1. ¿Qué debería haber hecho Riley después?
Riley debería haber sumado 18 30 a 2 10 30 .
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aplicaremos nuestro conocimiento de restar números mixtos para restar números mixtos de números mixtos que tienen unidades no relacionadas.
Aprender
Seleccionar un método para restar
La clase aplica métodos de resta para resolver un problema verbal de un paso.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea el problema a coro con la clase. Pida a sus estudiantes que trabajen de forma independiente con el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Anímeles a seleccionar las herramientas y las estrategias de su preferencia.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
1. Para un viaje en auto, Yuna conducirá 9 2 3 horas. Se detiene a descansar después de 5 4 5 horas.
¿Cuántas horas aún debe conducir Yuna después de su descanso?
conducidoAún por conducir
2 _ 3 − 5 4 _ 5 = 3 13 __ 15
Yuna aún debe conducir 3 13 15 horas.
Recorra el salón y observe el trabajo de sus estudiantes. Busque ejemplos de trabajo que ayuden a avanzar con el objetivo de la lección de mostrar varias maneras de restar. Use las siguientes preguntas para que sus estudiantes expliquen su razonamiento.
• Cuéntenme cómo su dibujo se relaciona con la historia.
• Cuéntenme acerca de su método.
• ¿Qué representa este número? (Señale un número que se muestre en el ejemplo de trabajo).
• ¿Cómo se relaciona el trabajo con la oración numérica (o expresión o ecuación)?
Seleccione dos o tres estudiantes para que compartan en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de conexiones que existen entre
Nota para la enseñanza
Use esta lección como una evaluación formativa para analizar cómo aborda cada estudiante los problemas de resta. El propósito de esta lección no es presentar nuevas estrategias de resolución, sino desarrollar las estrategias enseñadas previamente.
DUA: Acción y expresión
Considere remitirse al afiche de referencia de métodos que se creó en las lecciones anteriores para brindar apoyo a sus estudiantes mientras restan números mixtos.
los ejemplos de trabajo. Cuando hable con sus estudiantes, procure que expliquen su razonamiento mientras evalúa informalmente su comprensión.
Los ejemplos de trabajo de la clase que se muestran demuestran varios métodos de resta.
Descomponer para restar del total
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo para hallar unidades semejantes, propóngales que dibujen un modelo de área.
oner
Nota para la enseñanza
El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.
Si la clase no produce ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente al presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.
Compartir, comparar y conectar
La clase comparte y compara métodos y razona acerca de sus conexiones.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar con criterio el trabajo de sus estudiantes que muestre estrategias para hallar la solución, de las más simples a las más complejas.
A medida que cada estudiante comparte su trabajo, hágale preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el método que usó. Haga preguntas que inviten a la clase a establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones demostradas. Anime a la clase a que haga preguntas.
El siguiente ejemplo de conversación demuestra preguntas que incentivan el razonamiento e invitan a establecer conexiones.
Sumar (método de Julie)
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan del trabajo de Julie.
Julie dibujó un diagrama de cinta que muestra el sustraendo 5 4 5 y el minuendo 9 2 3 . Su diagrama de cinta muestra una parte desconocida.
Usó quinceavos para expresar las fracciones con otro nombre.
Sumó a partir de 5 12 15 . Primero, sumó 3 15 y obtuvo 6, sumó 3 más y obtuvo 9 y sumó 10 15 más y obtuvo el minuendo.
Julie, ¿por qué elegiste sumar?
Me gusta más la suma que la resta y sé que puedo usar este método en cualquier momento sin importar qué números estoy restando.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando analiza un problema del mundo real usando modelos visuales como ayuda para escribir una expresión de resta y resolver el problema.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Cómo pueden estimar una respuesta a la pregunta?
• ¿Qué pueden dibujar como ayuda para entender mejor este problema?
• ¿Qué expresión pueden escribir para representar lo que dibujaron en su modelo?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere pedir a las parejas que observen la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación como apoyo para comentar las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y los de sus pares en este segmento.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de Julie.
Descomponer para restar de 1 (método de Kayla)
Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar qué observan sobre el trabajo de Kayla. Anímeles a establecer conexiones con el trabajo de Julie.
Kayla dibujó un vínculo numérico que muestra el sustraendo 5 4 5 y el minuendo 9 2 3 . Su vínculo numérico muestra una parte desconocida.
Usó quinceavos cuando expresó las fracciones con otro nombre, como lo hizo Julie.
Primero, halló 9 10 15 − 5. Luego, restó la parte restante de 4 10 15 .
Usó el método restar de 1 para restar 12 15 de 4 10 15 .
Obtuvo la misma respuesta que Julie.
Kayla, ¿por qué hallaste 9 10 __ 15 − 5 primero?
aún debe conducir horas. 3 13 15
Si primero restaba 5 del minuendo, tenía que restar una fracción de un número mixto más pequeño y no un número mixto de un número mixto.
¿Por qué usaste el método restar de 1 para restar 12 __ 15 de 4 10 __ 15 ?
Vi que no había suficientes quinceavos para restar unidades semejantes. Entonces, supe que tenía que usar otro método y decidí restar 12 15 de 1.
Descomponer para restar del total (método de Toby)
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan sobre el trabajo de Toby. Anímeles a establecer conexiones con el trabajo de Kayla y de Julie.
Toby dibujó un diagrama de cinta como Julie. El diagrama muestra una parte desconocida.
Toby también usó quinceavos cuando expresó las fracciones con otro nombre. Obtuvo la misma respuesta que Julie y Kayla.
Descompuso 5 12 15 en 5 + 10 15 + 2 15 .
Restó el sustraendo en varias partes.
Primero, restó 10 15 , luego 5 y, luego, 2 15 .
Toby, ¿por qué descompusiste 5 12 15 en 5 y 10 15 y 2 15 ?
No había suficientes quinceavos para quitar del minuendo. Entonces, descompuse la parte para restar 10 15 de 9 10 15 , que es 9. Eso lo hizo
más fácil para mí porque significaba que podía quitar la parte de número entero y, luego, quité la parte fraccionaria.
Cada estudiante eligió los quinceavos como la unidad fraccionaria para expresar las fracciones con otro nombre. ¿Podrían haber usado otra unidad? De ser así, ¿qué otras unidades podrían haber usado?
Sí, podríamos haber usado otras unidades. Podríamos haber usado treintavos, cuarentaicincoavos o sesentavos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
¿Por qué alguien podría elegir quinceavos en vez de otras unidades?
Los quinceavos son las unidades más grandes que podríamos haber usado. Es más eficiente expresar con otro nombre usando la unidad semejante más grande porque entonces el denominador es un número más pequeño, y la multiplicación suele ser más simple.
Escriba 9 40 60 5 48 60 .
¿Qué sucedería si expresáramos las fracciones en la expresión como sesentavos?
¿Podríamos hallar la diferencia usando esta expresión? ¿El resultado sería el mismo?
Sí. El resultado sería el mismo si usáramos esta expresión.
Sí. La única diferencia en el resultado es que la parte fraccionaria de la respuesta estaría en sesentavos y no en quinceavos, pero las partes fraccionarias seguirían siendo fracciones equivalentes.
Valide que podrían usarse otras unidades y el resultado sería el mismo. Anime a sus estudiantes a que continúen reflexionando sobre su elección de métodos y su elección sobre qué unidad usar para sumar o restar.
Hoy, vimos tres maneras diferentes de restar: sumar, descomponer para restar de 1 y descomponer para restar del total. Aunque podríamos elegir diferentes métodos para restar y mostrar nuestro trabajo de diferentes maneras, siempre que no cometamos un error en el proceso, nuestro resultado será siempre el mismo.
Escriba 9 2 3 5 4 5 = 9 10 15 5 12 15 .
Luego de expresar las fracciones con otro nombre para que tengan la misma unidad fraccionaria, ¿por qué elegiríamos uno de estos métodos para restar en lugar de restar unidades semejantes?
No hay suficientes quinceavos en el minuendo para restar unidades semejantes. Entonces, tenemos que elegir otro método.
¿Estos métodos son útiles? ¿Por qué?
Sí, son útiles porque puedo pensar acerca de qué necesito para restar y, luego, elegir un método que crea que es el más eficiente para utilizar y hallar la diferencia.
¿Estos métodos son efectivos? ¿Por qué?
Son efectivos porque obtenemos respuestas equivalentes incluso si resolvemos el problema de diferentes maneras.
Aplicar un método diferente para restar
La clase selecciona un método diferente para restar.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Dé a la clase 2 minutos para restar usando un método diferente del que usaron para el problema anterior. Anime a sus estudiantes a mostrar su razonamiento.
Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja. Elija estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que permitan la reflexión sobre las diferentes formas en las que pueden restar.
2. 20 5 _ 6 − 14 8 _ 9 = 5 17 18
Ejemplo:
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué método usaron para restar y por qué.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Desafío
Desafíe a sus estudiantes a hallar la diferencia cuando hay dos sustraendos, como en la siguiente expresión:
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Restar números mixtos de números mixtos con unidades no relacionadas
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre la resta de números mixtos con unidades no relacionadas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2, 8 y 10 de su Grupo de problemas.
¿Qué unidad fraccionaria eligieron para expresar las fracciones con otro nombre? ¿Por qué?
En el problema 2, elegí cuarentavos para expresar las fracciones con otro nombre porque sé que 40 es un múltiplo de 8 y de 10.
En el problema 8, multipliqué 8 por 6 para hallar el denominador común 48 y, luego, expresé cada fracción con otro nombre usando cuarentaiochoavos.
En el problema 10, expresé cada fracción usando treintaiseisavos porque fue la unidad más grande que pude hallar para restar doceavos de novenos.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 5 y 10.
¿Usaron el mismo método para restar en los problemas 5 y 10? ¿Por qué?
Sí. Luego de expresar cada fracción con otro nombre, me di cuenta de que podía restar unidades semejantes.
¿Eligen usar siempre el mismo método cuando restan números mixtos? ¿Por qué?
No. Si puedo restar unidades semejantes luego de expresar las fracciones con otro nombre, entonces uso ese método.
No, luego de expresar las fracciones con otro nombre, decido qué método creo que será el más eficiente. Si puedo descomponer mentalmente la fracción en el sustraendo para restar del total, entonces elijo ese método porque solo tengo que sumar la parte restante al total para hallar la diferencia.
Nota para la enseñanza
En el problema 2, sus estudiantes podrían usar cuarentavos u ochentavos.
En el problema 8, sus estudiantes podrían usar octavos, veinticuatroavos o cuarentaiochoavos.
En el problema 10, sus estudiantes podrían usar treintaiseisavos o setentaidosavos.
Cualquier unidad semejante es aceptable. Considere conversar sobre por qué podría ser de ayuda elegir la unidad semejante más grande.
Sí. Creo que restar de 1 es el método más eficiente para restar números mixtos. Luego de expresar las fracciones con otro nombre, descompongo el total en partes para poder restar de 1.
Sí. Prefiero sumar en vez de restar, así que siempre uso el método de sumar para restar números mixtos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo decidieron qué método usar para cada problema en el Grupo de problemas. Anime a sus estudiantes a comentar si creen que eligieron el mejor método.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
12. Ryan necesita leer durante 6 1 2 horas el fin de semana. Lee 1 3 5 horas el sábado y 2 1 3 horas el domingo. ¿Cuánto tiempo más necesita leer Ryan para alcanzar su objetivo?
Ryan necesita leer durante 2 17 30 horas más para alcanzar su objetivo.
11. Kelly comete un error al hallar la diferencia entre
a. ¿Cuál es el error que comete Kelly? Después de restar 21 28 de 1 y obtener 7 28 , Kelly debería haber sumado 7 28 a 8 8 28 en lugar de restarlo.
b. Muestra a Kelly una manera correcta de hallar la diferencia. Ejemplo:
Tema D
Resolver problemas y diagramas de puntos con medidas fraccionarias
En este tema, la clase crea diagramas de puntos que representan datos de longitud, tiempo y peso en unidades fraccionarias. Determinan la escala y la unidad según el mayor valor y el menor valor en el conjunto de datos. La clase pone atención a la precisión al rotular la escala del diagrama de puntos y ponerle un título.
Aplican estrategias del tema C para sumar y restar fracciones y números mixtos al interpretar los datos. Determinan qué tipos de preguntas se responden mejor al analizar el diagrama de puntos en vez de los datos en una tabla. Cuando analizan un conjunto de datos representados en un diagrama de puntos, determinan si las afirmaciones sobre los datos son verdaderas.
en la panadería
en la panadería
Concluyen el trabajo del tema y del módulo cuando aprenden a redistribuir en partes iguales una cantidad total. La lección 17 brinda una ampliación natural al trabajo con diagramas de puntos y presenta el concepto de media, que no se aborda formalmente hasta 6.o grado. A pesar de que no usan el término media ni promedio, se involucran con el concepto al representar y redistribuir en partes iguales los datos de un diagrama de puntos. Después de redistribuir, observan que todos los datos están sobre una sola medida y, como los valores de datos fueron redistribuidos en partes iguales, el valor más frecuente es la única medida del conjunto de datos.
(libras)
En el módulo 3, la clase amplía su conocimiento sobre las fracciones al aprender cómo multiplicar y dividir fracciones.
Mantequilla
Mantequilla (libras)
Mantequilla
Progresión de las lecciones
Lección 15
Representar datos en un diagrama de puntos
Distancias que caminó la Sra. Song
Lección 16
Resolver problemas utilizando datos de un diagrama de puntos
Peso de las calabazas vendidas
Distancia (millas)
Al mirar las unidades y los valores de datos mayores y menores en una tabla, puedo determinar una escala para usar en un diagrama de puntos. Luego, puedo representar los datos en un diagrama de puntos.
(libras)
a. ¿Cuántas calabazas vendió el Sr. Sharma?
b. ¿Cuál es el peso de la calabaza más pesada?
c. ¿Cuál es el peso más frecuente de las calabazas vendidas?
d. ¿Cuál es el peso total de las dos calabazas más livianas?
e. ¿Cuántas calabazas pesan al menos 12 libras? 1 4
Puedo preguntar y responder preguntas y resolver problemas en función de los datos presentados en un diagrama de puntos. Puedo determinar si una afirmación acerca de datos es verdadera al interpretar los datos representados en un diagrama de puntos.
Lección 17
Resolver problemas al redistribuir una cantidad total en partes iguales
Peso del arroz en los recipientes
Peso (libras)
Con datos dados, puedo hacer un diagrama de puntos y redistribuir en partes iguales las medidas. Para redistribuir en partes iguales el total, puedo usar un modelo pictórico o descomponer fracciones para hallar la suma de las medidas y, luego, dividir entre el número de medidas.
Representar datos en un diagrama de puntos
Vistazo a la lección
La clase usa los datos presentados en una tabla o un calendario para construir un diagrama de puntos. Usan los datos para determinar la longitud del intervalo que deben usar para el diagrama de puntos. Rotulan la recta numérica y escriben un título para el diagrama de puntos. Responden preguntas acerca de los datos y reconocen que algunas preguntas pueden responderse de forma más eficiente usando el diagrama de puntos.
Preguntas clave
1. Crea un diagrama de puntos para los datos que se muestran en la tabla. Titula y rotula el diagrama de puntos. Luego, marca los datos.
Caminatas de Eddie
Distancia (millas)
2. Eddie dice que, en general, camina al menos 1 milla por día. ¿Es correcto su enunciado? ¿Por qué?
El enunciado de Eddie es correcto porque camina al menos 1 milla 8 de cada 10 veces, es decir, casi todas las veces.
• ¿Son una herramienta útil los diagramas de puntos para examinar datos? ¿Por qué?
• ¿Cómo determinamos cuándo usar los datos de un diagrama de puntos y cuándo usar los datos de otra representación para responder preguntas de manera eficiente?
Criterio de logro académico
5.Mód2.CLA11 Hacen diagramas de puntos para representar un conjunto de datos en unidades fraccionarias (1 2 , 1 4 , 1 8 ) y utilizan diagramas de puntos para analizar datos y resolver problemas. (5.MD.B.2)
Nombre Fecha
Eddie registra la distancia que camina cada día durante 10 días. Las distancias que se muestran están en millas.
Agenda
Fluidez 15 min
Presentar 10 min
Aprender 25 min
• Crear un diagrama de puntos
• Interpretar un diagrama de puntos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Práctica veloz: Interpretar la división como una fracción (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Interpretar la división como una fracción
Materiales: E) Práctica veloz: Interpretar la división como una fracción
EUREKA MATH2 5 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Interpretar la división como una fracción
La clase escribe una expresión de división como una fracción, un número entero o un número mixto para adquirir fluidez con las fracciones y la división del tema A.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Escribe el cociente de cada expresión. Usa un número entero o un número mixto cuando sea posible.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica Veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Pida a sus estudiantes que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar fracciones
La clase forma unidades semejantes en una ecuación de suma con unidades relacionadas y halla la suma como preparación para resolver problemas usando los datos de un diagrama de puntos a partir de la lección 16.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 9?
• ¿Cómo pueden usar el problema 10 como ayuda para resolver los problemas 11 a 13?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de un quinto en un quinto desde el 0 hasta el 2, expresando con otro nombre los números enteros y los números mixtos, para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de un cuarto en un cuarto desde el 3 hasta el 0, expresando con otro nombre los números enteros y los números mixtos, para la actividad de conteo de ritmo lento.
Muestre 1 2 + 1 4 = .
Observen las unidades fraccionarias. ¿Hay unidades semejantes? No.
¿Están relacionadas las unidades? Sí.
¿Qué fracción puede expresarse con otro nombre para que las unidades fraccionarias, o denominadores, sean iguales?
1 2
Expresen 1 _ 2 con otro nombre para formar unidades semejantes y hallar la suma. Muestren su método.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el ejemplo de método y la suma.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase comenta cómo usaron los datos en un calendario para responder preguntas.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea el problema a coro con la clase. Luego, haga la siguiente pregunta.
¿Qué observan acerca de los datos?
Las distancias están en millas.
La mayoría de las distancias son números mixtos.
Las unidades fraccionarias son medios, cuartos y octavos.
Pida a la clase que complete los problemas 1(a) a (f) en parejas.
1. La Sra. Song registra el número de millas que camina cada día durante un mes.
Se muestran los resultados en el calendario.
a. ¿Cuántas millas caminó la Sra. Song el primer lunes del mes?
2 1 _ 2 millas
b. ¿Cuál es la distancia más larga que caminó la Sra. Song?
2 7 8 millas
c. ¿Cuál es la distancia más corta que caminó la Sra. Song?
1 1 _ 8 millas
d. ¿Qué día caminó 1 3 4 millas la Sra. Song?
Caminó 1 3 4 millas el primer viernes del mes.
e. ¿Cuántos días caminó al menos 1 3 4 millas la Sra. Song?
23 días
f. ¿En general caminó más o menos de 1 3 4 millas la Sra. Song?
En general, caminó más de 1 3 4 millas.
Elija una o dos parejas de estudiantes para que compartan sus respuestas.
¿Pudieron hallar algunas respuestas más rápido que otras? ¿Cuáles?
Sí, hallamos respuestas para las partes (a) y (d) más rápido que para las partes (b), (c), (e) y (f).
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué tardaron más en hallar algunas respuestas que otras al usar los datos presentados en un calendario.
En las partes (b) y (c), tuvimos que observar todas las distancias registradas en el calendario y comparar unas con otras para hallar la distancia más larga y la más corta.
En la parte (e), tuvimos que observar todas las distancias registradas en el calendario para llevar la cuenta de cuántos días caminó al menos 1 3 4 millas.
En la parte (f), tuvimos que observar todas las distancias registradas en el calendario para llevar la cuenta de cuántos días caminó más de 1 3 4 millas.
En las partes (a) y (d), hallamos rápidamente las respuestas porque nos preguntaban acerca de ciertos días y distancias. No tuvimos que observar todos los datos ni comparar las distancias.
Los datos se pueden presentar de muchas formas y es importante considerar cuál es la mejor forma de presentarlos para que sean fáciles de leer, analizar y entender.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a crear diagramas de puntos para representar datos.
Aprender
Crear un diagrama de puntos
La clase usa datos de medidas presentados en un calendario para crear un diagrama de puntos.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1(g) y lean a coro el problema.
g. Usa los datos del calendario para crear un diagrama de puntos.
Distancias que caminó la Sra. Song
DUA: Acción y expresión
Considere brindar papel cuadriculado a sus estudiantes para que hagan diagramas de puntos. La cuadrícula puede servirles de ayuda para que los números queden equidistantes en la recta numérica y para alinear las X cuando las dibujan para representar los datos.
Distancia (millas)
Nota para la enseñanza
La clase ya conoce los diagramas de puntos de grados anteriores. En 2.o grado, sus estudiantes muestran medidas en números enteros usando diagramas de puntos y, en 3.er grado, muestran medidas fraccionarias. En 4.o grado, resuelven problemas que involucran la suma y la resta de medidas fraccionarias usando la información presentada en diagramas de puntos.
Empecemos por crear una recta numérica para nuestro diagrama de puntos. ¿Cuál es la distancia más corta que caminó la Sra. Song?
1 1 8 millas
¿Cuál es la distancia más larga que caminó?
2 7 _ 8 millas
¿Qué números enteros debemos usar para empezar y terminar la recta numérica de nuestro diagrama de puntos? ¿Por qué?
Debemos usar 1 y 3. Todos los valores de datos del calendario están entre 1 y 3.
Dado que los diagramas de puntos empiezan en 0, pero todos los datos están entre 1 y 3, nuestra recta numérica empieza con una barra doble que indica un salto. De esa manera, no hace falta que hagamos el intervalo entre 0 y 1 igual a los otros intervalos.
Dibuje y rotule las marcas de graduación para representar 1, 2 y 3. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿En qué longitud del intervalo, o unidad, debemos dividir cada número entero? ¿Por qué?
En octavos, porque los datos del calendario tienen números mixtos con medios, cuartos y octavos como las unidades fraccionarias, y podemos expresar todas las fracciones como octavos.
¿Entre qué unidad fraccionaria más grande podemos dividir cada número entero primero para formar octavos?
Podemos formar medios y, luego, dividir cada mitad, o medio, en partes iguales para formar cuartos. Luego, podemos dividir cada cuarto en dos partes iguales para formar octavos.
Divida cada intervalo de número entero en octavos y rotule cada marca de graduación con un número mixto. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes ya conocen de grados anteriores la notación de barra doble para indicar un salto en la recta numérica y también el término intervalo, o espacio entre las marcas. En 5.o grado, la frase longitud del intervalo se usa específicamente para referirse a la longitud del espacio que hay entre las marcas de graduación.
DUA: Representación
La actividad digital interactiva de Herramienta de diagramas de puntos ayuda a la clase a crear y analizar una visualización de datos.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Tenemos que representar cada dato con una X. ¿Cuántas X habrá en nuestro diagrama de puntos? ¿Por qué?
Habrá 30 X porque hay 30 días con valores de datos en el calendario de la Sra. Song.
Invite a la clase a marcar los datos del calendario en el diagrama de puntos.
Cuando la clase haya terminado, señale la recta numérica mientras hace las siguientes preguntas.
¿Qué representan los números en nuestra recta numérica?
Los números representan distancias medidas en millas.
¿Cómo podemos mostrar esa información en el diagrama de puntos?
Podemos rotular el diagrama de puntos.
Escriba Distancia (millas) debajo del diagrama de puntos y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando define la longitud de un intervalo y rotula y pone un título a un diagrama de puntos para representar los datos del calendario y responder preguntas acerca de los datos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Qué detalles es importante tener en cuenta cuando determinan la longitud del intervalo de un diagrama de puntos?
• Cuando marcan datos en un diagrama de puntos, ¿con qué pasos hay que tener más cuidado? ¿Por qué? 0
¿Necesitamos rotular algo más en nuestro diagrama de puntos? Si alguien mira nuestro diagrama de puntos, ¿entendería lo que representa nuestro conjunto de datos?
Entendería que el conjunto de datos representa distancias en millas, pero no entendería que alguien caminó esas distancias.
Escribamos un título para nuestro diagrama de puntos para mostrar que las distancias representadas por los datos son las distancias que caminó la Sra. Song.
Diferenciación: Desafío
Pida a sus estudiantes que consideren qué sería diferente en el diagrama de puntos si se hubieran incluido los siguientes datos.
¿Qué debería cambiar, si es que hay algo que debería cambiar, para representar estos datos de manera precisa en el diagrama de puntos? 0
Escriba Distancias que caminó la Sra. Song sobre el diagrama de puntos y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Interpretar un diagrama de puntos
La clase interpreta los datos representados en un diagrama de puntos.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1(h).
Ahora que completamos el diagrama de puntos para representar los datos del calendario, interpretemos los datos del diagrama para responder algunas preguntas más acerca de las distancias que caminó la Sra. Song.
Invite a la clase a completar los problemas 1(h) a (k) en parejas.
h. ¿Cuál es la distancia que la Sra. Song caminó con más frecuencia?
2 1 2 millas
i. ¿Cuántas millas caminó la Sra. Song el tercer sábado del mes?
2 1 2 millas
j. ¿Cuál es la diferencia, en millas, entre la distancia más larga y la más corta que caminó la Sra. Song?
1 6 _ 8 millas
k. ¿Cuántos días caminó menos de 2 millas la Sra. Song?
10 días
Cuando la clase haya terminado, use los siguientes planteamientos para guiar una conversación acerca de usar los datos presentados en el calendario y en el diagrama de puntos para resolver los problemas.
• ¿Qué problemas pueden responder usando solamente los datos presentados en el calendario?
• ¿Qué problemas pueden responder usando solamente los datos presentados en el diagrama de puntos?
• ¿Qué problemas respondieron con más eficiencia usando los datos en el diagrama de puntos?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué es útil representar los datos de medidas en un diagrama de puntos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Representar datos en un diagrama de puntos
Guíe una conversación de toda la clase acerca de representar datos en un diagrama de puntos usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere poner a la vista esquemas y comienzos de oración para brindar apoyo en la conversación.
• Los datos presentados en el calendario me ayudan a resolver el problema .
• Los datos presentados en el diagrama de puntos me ayudan a resolver el problema
• El diagrama de puntos es más eficiente para resolver los problemas porque .
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo para crear el diagrama de puntos y representar los datos de Adesh en el Grupo de problemas, haga preguntas como las siguientes:
• ¿Qué han intentado hasta ahora?
• ¿Qué hicimos primero cuando creamos nuestro diagrama de puntos para los datos del calendario?
• ¿Qué preguntas nos hicimos para determinar una longitud del intervalo adecuada?
• Deben representar cada dato con una X. ¿Cuántas X habrá en sus diagramas de puntos? ¿Por qué?
Cuando construyen un diagrama de puntos, ¿qué es importante tener en cuenta?
Debes observar los datos para calcular el número más grande y el más pequeño que hay que incluir en el diagrama de puntos.
Si hay fracciones, debes asegurarte de que la recta numérica esté dividida en las unidades fraccionarias correctas.
Debes rotular las unidades e incluir un título para que, si alguien observa tu diagrama de puntos, sepa qué representa el conjunto de datos.
Hay que llevar la cuenta de los datos a medida que los marcas, para no olvidar ninguno ni usar alguno más de una vez.
¿Son una herramienta útil los diagramas de puntos para examinar datos? ¿Por qué?
Cuando se organizan los valores de datos en un diagrama de puntos, puedo ver fácilmente qué valor es el más común.
También puedo ver rápidamente cuál es el dato más grande y cuál es el dato más pequeño.
Los diagramas de puntos también son útiles porque no tienes que buscar y llevar la cuenta de la información como con una tabla.
¿Cómo determinamos cuándo usar los datos de un diagrama de puntos y cuándo usar los datos de otra representación para responder preguntas de manera eficiente?
Debemos pensar acerca de lo que nos están preguntando. Si nos preguntan sobre la medida más frecuente, podemos usar un diagrama de puntos para hallar rápidamente esa información.
Podemos usar un diagrama de puntos para responder con eficiencia las preguntas acerca de cuántas veces aparece cierta medida.
Podemos usar el calendario cuando nos preguntan acerca de información que no podemos hallar en el diagrama de puntos. Por ejemplo, si nos preguntaron acerca de la distancia que caminó la Sra. Song en un día específico, podemos usar el calendario porque el diagrama de puntos no muestra qué medida es de cada día.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
AEscribe el cociente de cada expresión. Usa un número entero o un número mixto cuando sea posible.
1.
1. Adesh reúne semillas de arce para un proyecto de ciencias. Mide la longitud de cada semilla al octavo de pulgada más cercano. Adesh registra los datos en una tabla.
Longitud de las semillas de arce (pulgadas)
a. Crea un diagrama de puntos para representar los datos de Adesh.
Longitudes de las semillas de arce
b. Explica cómo determinaste la longitud del intervalo para tu diagrama de puntos. Hallé la medida más corta y la medida más larga. Luego, observé las unidades fraccionarias en los datos. Hay medios, cuartos y octavos, entonces supe que podía usar octavos.
c. ¿Cuál es la longitud de semilla de arce más frecuente?
1 7 8 pulgadas
d. ¿Cuántas semillas de arce miden menos de 2 1 8 pulgadas de largo?
8 e. ¿Cuál es la longitud total de las semillas de arce que miden 1 3 4 pulgadas de largo?
3 1 2 pulgadas
f. ¿Cuál es la diferencia entre la longitud de la semilla más larga y la de la semilla más corta?
6 8 de pulgada
g. Adesh dice que la mayoría de las semillas de arce miden entre 1 3 4 y 2 1 8 pulgadas de largo.
¿Estás de acuerdo con Adesh? ¿Por qué?
Sí. Estoy de acuerdo porque hay 9 semillas de arce que miden entre 1 3 4 y 2 1 8 pulgadas de largo. 9 es más que la mitad del número de semillas de arce, así que Adesh puede decir que la mayoría de las semillas de arce miden entre 1 3 4 y 2 1 8 pulgadas de largo.
h. La hermana de Adesh halla otra semilla de arce. Mide la semilla y observa que es 1 2 pulgada más larga que la semilla más corta de Adesh. ¿Cuál es la longitud de la semilla de arce que halla la hermana de Adesh?
2 1 8 pulgadas
Resolver problemas utilizando datos de un diagrama de puntos
Dana mide la longitud de un tipo de insecto para un proyecto de clase. Empieza a organizar los datos en un diagrama de puntos, pero no puede terminar su trabajo. Insecto 1
Longitud (pulgadas)
a. Usa los valores de datos de la tabla que no están tachados para completar el diagrama de puntos de Dana.
Longitud de cada insecto × ××
0 1 2
Longitud (pulgadas) ud (pulgada
b. ¿Cuánto más largo que el insecto más corto, en pulgadas, es el insecto más largo?
8 de pulgada
Vistazo a la lección
La clase responde preguntas y resuelve problemas en función de los datos presentados en diagramas de puntos. Suman y restan números mixtos que incluyen unidades fraccionarias de medios, cuartos y octavos para resolver problemas. También escriben preguntas que pueden responderse con los datos que se muestran en un diagrama de puntos.
Preguntas clave
• ¿Qué preguntas podemos responder usando los datos de un diagrama de puntos?
• ¿Es importante saber leer y comprender los datos que se presentan en un diagrama de puntos? ¿Por qué?
Criterio de logro académico
5.Mód2.CLA11 Hacen diagramas de puntos para representar un conjunto de datos en unidades fraccionarias (1 2 , 1 4 , 1 8 ) y utilizan diagramas de puntos para analizar datos y resolver problemas. (5.MD.B.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Resolver problemas con medidas con números mixtos
• Escribir y resolver problemas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la suma repetida con la multiplicación
La clase escribe ecuaciones con números enteros para representar un diagrama de cinta como preparación para multiplicar un número entero por una fracción a partir del módulo 3.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el diagrama de cinta que representa 2 unidades de 3.
Escriban una ecuación de suma repetida para representar el diagrama de cinta.
Muestre la ecuación de suma.
Escriban una ecuación de multiplicación para representar el diagrama de cinta.
Muestre la ecuación de multiplicación.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Aunque no es incorrecto registrar la ecuación de multiplicación como 3 × 2 = 6, en esta actividad es preferible que la clase piense en el primer factor como el número de grupos y en el segundo factor como el tamaño del grupo (es decir, 2 grupos de 3). Esta forma de razonamiento ayudará a sus estudiantes en futuros casos de este tipo de actividad, en los que el tamaño del grupo sea una fracción en lugar de un número entero.
Contar de un medio en un medio, de un cuarto en un cuarto y de un octavo en un octavo en la recta numérica
La clase cuenta de un medio en un medio, de un cuarto en un cuarto y de un octavo en un octavo en una recta numérica como preparación para resolver problemas al redistribuir una cantidad total en partes iguales en la lección 17.
Muestre la recta numérica.
Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de un medio en un medio hasta el 1. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
Repita el proceso con cuartos y octavos.
Intercambio
con la pizarra blanca: Restar fracciones
La clase forma unidades semejantes en una ecuación de resta con unidades relacionadas y halla la diferencia como preparación para resolver problemas usando los datos de un diagrama de puntos.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre 3 4 − 1 2 = .
Observen las unidades fraccionarias. ¿Hay unidades semejantes?
No.
¿Están relacionadas las unidades?
Sí.
¿Qué fracción puede expresarse con otro nombre para que las unidades fraccionarias, o denominadores, sean iguales?
1 2
Expresen 1 2 con otro nombre para formar unidades semejantes y hallar la diferencia.
Muestren su método.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el ejemplo de método y la diferencia.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase usa datos de un diagrama de puntos para determinar si una afirmación es verdadera.
Muestre la imagen del diagrama de puntos y la primera afirmación de Mara.
Mara afirma que la mayor parte de estudiantes de la clase de música practican con su instrumento durante más de 1 1 _ 2 horas por día.
Invite a la clase a usar la rutina
Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si la afirmación de Mara es verdadera según los datos que aparecen en el diagrama de puntos.
Tiempo de práctica con el instrumento
Tiempo (horas)
Afirmación de Mara: La mayor parte de estudiantes de la clase pasa más de horas practicando con su instrumento. 1 2 1
Según los datos del diagrama de puntos, la afirmación de Mara no es verdadera. Solo 9 de 20 estudiantes pasan más de 1 1 2 horas practicando por día. No tiene sentido decir que la mayoría lo hace.
La afirmación de Mara es falsa. 9 estudiantes pasan más de 1 1 2 horas practicando con su instrumento por día y 11 estudiantes pasan 1 1 2 horas o menos practicando con su instrumento por día. Mara podría decir que la mayoría pasa 1 1 2 horas o menos practicando con su instrumento por día.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere brindar apoyo a las respuestas de la clase con la Herramienta para la conversación. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento mientras conversan acerca de si la afirmación de Mara es verdadera y también durante el resto de la lección mientras conversan sobre formas de resolver problemas usando los datos de un diagrama de puntos.
¿Cuál creen que fue el error que cometió Mara cuando interpretó los datos en el diagrama de puntos?
Puede haber incluido a quienes practican 1 1 2 horas por día. Si incluyó a esos estudiantes, podría decir que la mayoría practica 1 1 2 horas o más por día.
Si Mara incluye el número de estudiantes que pasan 1 1 _ 2 horas practicando por día, ¿cómo podría reformular su afirmación para que sea verdadera?
En vez de decir que la mayoría practica más de 1 1 2 horas por día, podría decir que la mayoría practica al menos 1 1 2 horas por día. Al menos 1 1 2 horas significa 1 1 2 horas o más.
Muestre la imagen del diagrama de puntos y la segunda afirmación de Mara.
Mara afirma que el número de horas más frecuente que las y los estudiantes practican con su instrumento por día es 1 3 4 horas. ¿Están de acuerdo? ¿Por qué?
No, no estoy de acuerdo porque
3 4 de hora también es una de las cantidades más frecuentes. Hay 5 estudiantes que practican durante 3 4 de hora y también hay 5 estudiantes que practican por 1 3 4 horas.
Tiempo de práctica con el instrumento
Tiempo (horas)
Afirmación de Mara: El número de horas más frecuente que las y los estudiantes practican con su instrumento por día es horas. 3 4 1
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, resolveremos problemas usando los datos presentados en un diagrama de puntos.
Aprender
Resolver problemas con medidas con números mixtos
La clase responde preguntas y resuelve problemas según los datos en un diagrama de puntos.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase. Luego, haga las siguientes preguntas.
¿Qué representa cada X en el diagrama de puntos?
Cada X representa una calabaza que vendió el Sr. Sharma.
¿Qué observan acerca de la recta numérica para el diagrama de puntos?
Representa el peso de las calabazas en libras.
Hay medidas de números enteros rotuladas en el diagrama de puntos.
Hay medidas fraccionarias representadas porque hay marcas entre los números enteros.
¿Qué longitud del intervalo, o unidad, está representada con las marcas entre los números enteros?
Octavos
Invite a la clase a trabajar en parejas usando números mixtos para rotular las marcas que quedaron sin rotular.
Pida a las parejas que resuelvan los problemas 1(a) a (d).
1. El Sr. Sharma pesa cada calabaza que vende en su granja. Registra los datos en un diagrama de puntos.
Peso de las calabazas vendidas
a. ¿Cuántas calabazas vendió el Sr. Sharma?
15
b. ¿Cuál es el peso de la calabaza más pesada?
12 3 _ 4 libras
c. ¿Cuál es el peso más frecuente de las calabazas vendidas?
11 7 8 libras
d. ¿Cuál es el peso total de las dos calabazas más livianas?
23 5 8 libras
e. ¿Cuántas calabazas pesan al menos 12 1 4 libras?
9
Nota para la enseñanza
Continúe animando a sus estudiantes a elegir un método cuando completen los problemas 1(d), (f) y (g) que les sirva como ayuda para hallar una suma o una diferencia de manera eficiente, como hicieron en el tema anterior.
f. Eddie compró las dos calabazas más pesadas. Jada compró la calabaza más liviana. ¿Cuál es la diferencia en peso entre la calabaza de Jada y el peso total de las calabazas de Eddie?
13 5 _ 8 libras
g. Julie compró dos calabazas que tienen un peso total de 25 libras. Según los datos del diagrama de puntos, ¿cuál podría ser el peso de cada una de las calabazas de Julie?
Ejemplo:
25 = 12 1 2 + 12 1 2
Cada una de las calabazas de Julie podría pesar 12 1 2 libras.
Invite a dos o tres parejas de estudiantes a compartir sus respuestas a los problemas 1(a) a (d).
Lea el problema 1(e) a coro con la clase.
¿Qué significa la frase al menos?
Significa que incluye ese número y los números mayores que ese número.
Significa que hay que contar todas las calabazas que pesan 12 1 4 libras o más.
Pida a sus estudiantes que hallen y registren la respuesta a la parte (e).
Lea el problema 1(f) a coro con la clase.
¿Cuál es el peso de las dos calabazas más pesadas?
12 5 8 libras y 12 3 4 libras
¿Cuál es el peso de la calabaza más liviana?
11 3 4 libras
DUA: Representación
A medida que las parejas de estudiantes comparten sus respuestas a los problemas 1(a) a (d), considere mostrar el trabajo y resaltar o hacer anotaciones en las partes relacionadas con las medidas de las preguntas, así como en los datos correspondientes en el diagrama de puntos, como se muestra en el siguiente ejemplo.
a. ¿Cuántas calabazas vendió el Sr. Sharma?
b. ¿Cuál es el peso de la calabaza más pesada?
c. ¿Cuál es el peso más frecuente de las calabazas vendidas?
d. ¿Cuál es el peso total de las dos calabazas más livianas?
e. ¿Cuántas calabazas pesan al menos 1 4 12 libras?
Anime a sus estudiantes a comparar su trabajo e identificar errores. Pida a quienes hayan encontrado errores a conversar con sus parejas sobre por qué cometieron ese error y sobre qué harán diferente cuando vean una pregunta parecida en el futuro.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo resolver el problema 1(f).
Necesitamos hallar la suma de los pesos de las dos calabazas más pesadas y, luego, hallar la diferencia entre ese número y el peso de la calabaza más liviana.
Necesitamos hallar 12 5 8 + 12 3 4 y, luego, restar 11 3 4 de la suma.
Dé a la clase 2 minutos para hallar la respuesta. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Considere hacer preguntas como las siguientes:
• ¿Tienen todo listo para sumar?
• ¿Pueden formar unidades semejantes si expresan un sumando con otro nombre?
• ¿Cuáles son algunos métodos que pueden usar para sumar números mixtos?
• ¿Tienen todo listo para restar?
• ¿Cuáles son algunos métodos que pueden usar para restar números mixtos?
Pida a las parejas que lean el problema 1(g). Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían resolver el problema.
Creo que cada calabaza debe pesar más de 12 libras porque 12 + 12 = 24, y eso es menos que 25.
Puedo elegir dos calabazas que pesen al menos 12 libras y usar lo que sé acerca de descomponer 1 para elegir números mixtos con fracciones que sumen 1.
Dé a las parejas 2 minutos para hallar la solución.
¿Cuáles podrían ser los posibles pesos de las calabazas de Julie? ¿Por qué?
Cada una podría pesar 12 1 2 libras porque 12 1 2 + 12 1 2 = 25.
Una podría pesar 12 3 8 libras y la otra 12 5 8 libras porque 12 3 8 + 12 5 8 = 25.
¿Podrían pesar 12 1 _ 8 libras y 12 7 _ 8 libras? ¿Por qué?
No. Aunque 12 1 8 + 12 7 8 = 25, no hay una X sobre 12 7 8 , así que Julie no pudo haber comprado una
calabaza que pese 12 7 8 libras.
Muestre la afirmación del Sr. Sharma.
El Sr. Sharma usa los datos de su diagrama de puntos para hacer una afirmación acerca de las calabazas que vendió. ¿Es verdadera la afirmación del Sr. Sharma? ¿Por qué?
calabazas que vendí pesa más de libras.
Afirmación del Sr. Sharma: La mayoría de las 12 1 4
No. El diagrama de puntos no muestra que la mayoría de las calabazas pesa más de 12 1 4 libras.
Solo hay 7 calabazas de 15 que pesan más de 12 1 4 libras.
¿Cómo podemos reescribir la afirmación del Sr. Sharma para que sea verdadera?
Podemos decir que la mayoría de las calabazas que vendió pesa al menos 12 1 4 libras.
Escribir y resolver problemas
La clase se turna para completar diagramas de puntos, escribir preguntas acerca de los diagramas de puntos y responder preguntas usando los datos presentados en un diagrama de puntos.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 a 4. Pida a la clase que forme grupos de tres. Luego, use el siguiente planteamiento para explicar cómo trabajarán en grupos para completar cada problema.
Para cada problema, hay tres tareas que deben completar y cada integrante debe turnarse para hacer una de las tres tareas. Integrante uno: completará el diagrama de puntos. Integrante dos: escribirá preguntas. Integrante tres: responderá las preguntas. Cuando se completen las tres tareas, cada integrante debe comprobar el trabajo del resto del grupo.
Responda las preguntas que puedan tener acerca de cómo trabajarán en grupos; luego, use el siguiente planteamiento.
Luego de completar un problema y comprobar los trabajos, intercambien roles. Al final, habrán tenido la oportunidad de completar un diagrama de puntos, escribir preguntas y responderlas.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando se reúne y conversa en parejas acerca de si la afirmación de que la mayoría de las calabazas vendidas pesa más de 12 1 4 libras es verdadera según los datos del diagrama de puntos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Es verdadera la afirmación acerca de que la mayoría de las calabazas vendidas pesa más de 12 1 4 libras? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué partes cuestionan de la afirmación del Sr. Sharma?
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
2. Una clínica veterinaria mide el peso de 10 gatitos. Los pesos se registran en la tabla.
Diferenciación: Desafío
Desafíe a los grupos que terminen primero a generar su propia tabla de datos, crear un diagrama de puntos parcialmente completo y escribir tres preguntas que puedan responderse usando el diagrama de puntos.
Si necesitan apoyo para crear contextos, anime a sus estudiantes a repasar los problemas que han completado para encontrar ejemplos de contextos:
a. Usa los valores de datos de la tabla que no están tachados para completar el diagrama de puntos.
Peso de los gatitos
• número de horas que alguien practica con un instrumento,
• peso de calabazas o gatitos,
• longitud de lápices y
• cantidad de tiempo que se lee por semana durante 10 semanas.
Si hay tiempo suficiente, considere dar la oportunidad de que los grupos presenten el problema a la clase.
Peso (libras)
b. Escribe tres preguntas que puedan responderse usando el diagrama de puntos.
Ejemplo:
Pregunta 1: ¿Cuál es el peso más frecuente de los gatitos?
2 1 2 libras
Pregunta 2: ¿Cuál es la diferencia de peso entre el gatito más pesado y el gatito más liviano?
1 1 8 libras
Pregunta 3: ¿Cuál es el peso total de los dos gatitos más pesados?
5 libras
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo para generar preguntas que puedan responderse con el diagrama de puntos, haga primero esta pregunta:
• ¿Qué saben acerca de este diagrama de puntos?
Luego, pida a sus estudiantes que observen el problema 1 y haga las siguientes preguntas:
• ¿Cuáles fueron algunas de las preguntas que respondimos acerca de las calabazas?
• ¿Qué preguntas parecidas pueden hacer acerca de los gatitos?
3. La clase de la maestra Chan mide la longitud de 10 lápices. Las longitudes se registran en la tabla.
a. Usa los valores de datos de la tabla que no están tachados para completar el diagrama de puntos.
Longitud de los lápices
Longitud (pulgadas)
b. Escribe tres preguntas que puedan responderse usando el diagrama de puntos.
Ejemplo:
Pregunta 1: ¿Cuál es la longitud más frecuente de los lápices?
5 3 _ 8 pulgadas
Pregunta 2: ¿Cuál es la diferencia entre la longitud del lápiz más largo y la longitud del lápiz más corto?
1 6 8 pulgadas
Pregunta 3: ¿Cuál es la longitud total de los dos lápices más cortos?
10 4 8 pulgadas
4. Tyler registra la cantidad de tiempo que lee cada semana durante 10 semanas. Los valores de datos se registran en la tabla. Semana 1 2
a. Usa los valores de datos de la tabla que no están tachados para completar el diagrama de puntos.
Lectura semanal de Tyler
Tiempo (horas)
b. Escribe tres preguntas que puedan responderse usando el diagrama de puntos.
Ejemplo:
Pregunta 1: ¿Cuál es la cantidad de tiempo más frecuente que leyó Tyler?
2 1 2 horas
Pregunta 2: ¿Cuál es la diferencia entre la mayor cantidad de tiempo y la menor cantidad de tiempo que leyó Tyler?
1 1 4 horas
Pregunta 3: ¿Cuál es el número total de horas que leyó Tyler en 10 semanas?
28 7 8 horas
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué tipo de preguntas pueden hacer sobre los datos dados en un diagrama de puntos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas utilizando datos de un diagrama de puntos
Guíe una conversación de toda la clase acerca de resolver problemas verbales con datos de diagramas de puntos usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Qué preguntas podemos responder usando los datos de un diagrama de puntos?
Podemos decir cuál es la medida más frecuente.
Podemos hallar la diferencia entre la medida más grande y la más pequeña.
Podemos hallar la suma de todas o de algunas medidas.
Podemos establecer cuántas medidas están representadas en un diagrama de puntos.
¿Es importante saber leer y comprender los datos que se presentan en un diagrama de puntos? ¿Por qué?
Sí. Podemos responder preguntas y resolver problemas cuando sabemos leer los datos de un diagrama de puntos.
Sí. Podemos decidir si una afirmación hecha acerca de los datos es verdadera cuando podemos leer y comprender los datos en un diagrama de puntos.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
e. ¿Cuál es la cantidad total de agua que hay en los 3 recipientes con menor cantidad de agua?
16 1 2 tazas
1. Sasha mide la cantidad de agua que hay en varios recipientes, rotulados de la A a la J. Registra los datos en una tabla.
a. Sasha empieza a crear un diagrama de puntos para representar los datos. Usa los valores de datos de la tabla que no están tachados para completar el diagrama de puntos.
Cantidad de agua en los recipientes de Sasha cipien
0 5 6 7
Cantidad de agua (tazas) idad (tazas)
b. ¿Cuántos recipientes tienen al menos 6 5 8 tazas de agua?
Recipiente Cantidad de agua (tazas)
2. El Sr. Evans pesa cada sandía que vende en su puesto de frutas. El diagrama de puntos muestra el peso de las sandías.
Peso de las sandías vendidas
c. Halla la diferencia entre la cantidad de agua que hay en el recipiente con la menor cantidad de agua y en el recipiente con la mayor cantidad de agua.
1 5 8 tazas
d. Sasha dice que la cantidad más frecuente de agua que hay en los recipientes es 6 5 8 tazas. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?
No, no estoy de acuerdo porque 6 5 8 tazas de agua es una de las cantidades más frecuentes. Hay 2 recipientes que tienen 6 5 8 tazas de agua y también hay 2 recipientes que tienen
6 7 8 tazas de agua.
Peso (libras)
a. ¿Cuántas sandías vendió el Sr. Evans? ¿Cómo lo sabes?
Vendió 15 sandías. Lo sé porque conté las X en el diagrama de puntos.
b. ¿Cuál es el peso más frecuente de las sandías vendidas?
11 3 8 libras
c. ¿Cuál es el peso total de las 2 sandías más pesadas?
23 5 8 libras
d. ¿Cuál es la diferencia de peso entre la sandía más pesada y la sandía más liviana?
1 3 8 libras
e. El Sr. Evans les dice a sus clientes que la mayoría de las sandías que vendió hoy pesan al menos 11 3 8 libras. ¿Estás de acuerdo con el Sr. Evans? ¿Por qué?
No, no estoy de acuerdo con el Sr. Evans. Solo 7 sandías pesan al menos 11 3 8 libras, y 8 sandías pesan menos de 11 3 8 libras.
f. El Sr. Evans vende 2 sandías que tienen un peso total de 23 libras. Según los datos del diagrama de puntos, ¿cuál podría ser el peso de cada sandía?
Ejemplo:
23 = 11 3 4 + 11 1 4
El peso de las 2 sandías podría ser 11 3 4 libras y 11 1 4 libras.
Resolver problemas al redistribuir una cantidad total en partes iguales
En el diagrama de puntos, se muestra el número de tazas de arena que un científico recolectó en 8 recipientes diferentes.
Cantidad de arena
Cantidad (tazas)
Para una prueba, la arena se redistribuye, en partes iguales, entre los 8 recipientes. ¿Cuántas tazas de arena hay en cada recipiente después de la redistribución?
Vistazo a la lección
La clase usa modelos concretos y pictóricos para mostrar cómo redistribuirían en partes iguales una cantidad total. Representan y analizan diagramas de puntos antes y después de redistribuir. Cuando se redistribuye en partes iguales una cantidad total, la clase observa que todos los valores de datos están sobre un solo valor en el diagrama de puntos.
Pregunta clave
• ¿Cómo cambia la medida más frecuente al redistribuir en partes iguales una cantidad total?
Criterios de logro académico
5.Mód2.CLA5 Resuelven problemas verbales que involucran la suma y la resta de fracciones y números mixtos con unidades diferentes. (5.NF.A.2)
5.Mód2.CLA11 Hacen diagramas de puntos para representar un conjunto de datos en unidades fraccionarias (1 2 , 1 4 , 1 8 ) y utilizan diagramas de puntos para analizar datos y resolver problemas. (5.MD.B.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Redistribuir en partes iguales datos fraccionarios
• Redistribuir en partes iguales datos en números mixtos
• Compartir, comparar y conectar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• cubos Unifix® (32)
Estudiantes
• Diagrama de puntos de líquido (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Reúna 32 cubos Unifix de un color para el maestro o la maestra.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Diagrama de puntos de líquido de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la suma repetida con la multiplicación
La clase escribe ecuaciones con fracciones unitarias para representar un diagrama de cinta como preparación para multiplicar un número entero por una fracción a partir del módulo 3.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el diagrama de cinta con 2 unidades de 1 3
Escriban una ecuación de suma repetida para representar el diagrama de cinta.
Muestre la ecuación de suma.
Escriban una ecuación de multiplicación para representar el diagrama de cinta.
Muestre la ecuación de multiplicación.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de un medio en un medio, de un cuarto en un cuarto y de un octavo en un octavo en la recta numérica
La clase cuenta de un medio en un medio, de un cuarto en un cuarto y de un octavo en un octavo en una recta numérica como preparación para resolver problemas al redistribuir una cantidad total en partes iguales.
Muestre la recta numérica.
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un medio en un medio hasta el 1. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 2 , 1
Repita el proceso con cuartos y, luego, muestre la recta numérica siguiente.
Ahora expresemos los cuartos como medios, si es posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 4 , 1 2 , 3 4 , 1
Muestre la recta numérica con cuartos y medios y, luego, muestre la recta numérica dividida en octavos.
Cuenten hacia delante de un octavo en un octavo hasta 1. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 _ 8 …, 7 _ 8 , 1
Muestre la siguiente recta numérica.
Ahora, cuando sea posible, expresemos los octavos con una unidad más grande. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 8 , 1 4 …, 3 4 , 7 8 , 1
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar y restar fracciones
La clase forma unidades semejantes en una ecuación de suma o de resta con unidades relacionadas y halla la suma o la diferencia para adquirir fluidez con la suma y la resta de fracciones del tema B.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre 1 2 + 3 10 = .
Observen las unidades fraccionarias. ¿Hay unidades semejantes?
No.
¿Están relacionadas las unidades?
Sí.
¿Qué fracción puede expresarse con otro nombre para que las unidades fraccionarias, o denominadores, sean iguales?
1 _ 2
Expresen 1 2 con otro nombre para formar unidades semejantes y hallar la suma. Muestren su método.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el ejemplo de método y la suma.
Continúe el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Materiales: E) Diagrama de puntos de líquido
La clase representa medidas de líquidos en un diagrama de puntos y estima la cantidad que hay en cada taza si el líquido se redistribuye en partes iguales.
Reproduzca la parte 1 del video Nivelar que muestra 8 tazas medidoras llenas de diferentes cantidades de líquidos. Pause el video en el final de la parte 1 que muestra las tazas medidoras llenas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan y qué se preguntan.
Pida a la clase que retiren la hoja extraíble de Diagrama de puntos de líquido de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas.
Hagan un diagrama de puntos para representar los datos que se muestran acerca de cuánto líquido hay en cada taza medidora.
Cuando la clase haya terminado, reproduzca la parte 2 del video que muestra a alguien visualizando el líquido distribuido, en partes iguales, entre las tazas medidoras. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente.
Líquido en las tazas medidoras
Nota para la enseñanza
Esta lección amplía el trabajo con los diagramas de puntos, ya que se pide a la clase que nivele, o redistribuya en partes iguales, datos numéricos como elemento precursor para hallar el promedio, o media, en 6.° grado. No se espera que la clase use los términos promedio o media, sino que participe en la experiencia que sienta las bases para hallar el promedio, o media, de un conjunto de datos.
Líquido (tazas)
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de un método para redistribuir el líquido, en partes iguales, entre todas las tazas medidoras.
Espere que la clase comente cómo verter una pequeña cantidad de líquido en cada taza medidora y, luego, repita el proceso hasta que cada taza medidora contenga aproximadamente la misma cantidad de líquido.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, determinaremos cómo redistribuir en partes iguales los datos que se muestran en un diagrama de puntos.
Aprender
Redistribuir en partes iguales datos fraccionarios
Materiales: M) Cubos Unifix
La clase redistribuye octavos en partes iguales usando objetos concretos.
Señale el diagrama de puntos de la sección Presentar mientras hace las siguientes preguntas.
¿Cuántas medidas representamos en nuestro diagrama de puntos?
8
Nuestro objetivo es redistribuir en partes iguales el líquido para que cada taza medidora contenga la misma cantidad de líquido. Usemos los cubos para representar cada medida.
¿Por qué piensan que usaremos cubos?
Porque si usamos líquido, podríamos volcarlo y no obtendríamos datos precisos.
Porque podemos mover los cubos más fácilmente que el agua.
¿Qué unidad debemos usar para representar las medidas? ¿Por qué?
Debemos usar octavos porque es la unidad más pequeña del conjunto de datos.
Debemos usar octavos porque los cuartos y los medios se pueden expresar como octavos.
Le damos a cada cubo el valor de 1 8 .
Use un marcador de borrado en seco para rotular un cubo 1 8 .
Construya cada medida usando cubos. Pregunte a sus estudiantes cuántos cubos se necesitan para representar cada dato del diagrama de puntos, uno a la vez, hasta que todos los datos estén representados.
Ahora, tenemos todos los datos de nuestro diagrama de puntos representados en pilas de cubos. Cada pila representa una taza medidora, y el número de cubos nos indica la cantidad de líquido que hay en la taza.
Nuestro objetivo es redistribuir el líquido en partes iguales para que cada recipiente contenga la misma cantidad de líquido.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué harían para formar el mismo número de cubos en cada pila.
Podríamos mover algunos cubos de la pila más grande a las pilas que tienen menos cubos.
Podríamos desarmar todos los octavos y armarlos de nuevo, uno a la vez, en cada una de las 8 pilas.
Podríamos contar cuántos cubos hay en total y dividir ese número entre 8 para hallar cuántos cubos debe haber en cada pila.
Represente la redistribución de los cubos usando uno de los métodos identificados por sus estudiantes. Reproduzca la parte 3 del video Nivelar que muestra a una persona que redistribuye el líquido en partes iguales entre todas las tazas medidoras.
¿Cómo piensan que se ve un diagrama de puntos con los datos redistribuidos? ¿Por qué?
Líquido en las tazas medidoras
DUA: Acción y expresión
Considere mostrar 8 tazas para ayudar a sus estudiantes a recordar el número de tazas entre las que deben distribuir los cubos.
Diferenciación: Apoyo
Si hay estudiantes que dudan a la hora de responder o necesitan apoyo para visualizar el diagrama de puntos con los datos redistribuidos, considere pedirles que borren lo que tengan en sus pizarras blancas y que hagan un diagrama de puntos nuevo para mostrar los datos redistribuidos.
Pienso que todas las X estarán sobre 1 2 porque ahora todas las tazas medidoras tienen 1 2 taza de líquido.
Muestre el diagrama de puntos con las medidas redistribuidas.
Nuestro objetivo era redistribuir el líquido para que cada recipiente contuviera la misma cantidad de líquido. ¿Qué piensan que significa la palabra redistribuir?
Pienso que significa repartir en partes iguales.
Líquido (tazas)
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Contextualice los términos distribuir y redistribuir distribuyendo hojas de papel a la clase. Dé a cada estudiante una cantidad desigual de hojas. Recoja las hojas y redistribúyalas en partes iguales.
Muestre los diagramas de puntos antes y después de la redistribución.
Líquido en las tazas medidoras
Líquido en las tazas medidoras
1 8 1 4 3 8 1 2 5 8 3 4 7 8 1
Líquido (tazas)
¿Cuál es la medida más frecuente antes de la redistribución?
La medida más frecuente es 1 4 de taza.
¿Cuál es la medida más frecuente después de la redistribución?
La medida más frecuente es 1 2 taza.
Líquido (tazas)
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué la medida más frecuente
cambió de 1 4 de taza a 1 2 taza.
Redistribuir en partes iguales datos en números mixtos
La clase redistribuye octavos en partes iguales usando modelos pictóricos.
Muestre el diagrama de puntos e invite a la clase a analizarlo.
Mantequilla en la panadería
Mantequilla (libras)
¿Qué observan acerca de este diagrama de puntos?
Observo que hay 8 X para representar 8 datos.
Observo que las medidas son números mixtos.
Observo que todas las medidas tienen octavos como sus unidades.
Este diagrama de puntos representa el número de libras de mantequilla que hay en 8 recipientes diferentes.
¿En qué se diferencia redistribuir la cantidad de mantequilla en este problema de redistribuir el líquido en el último problema?
Esta vez, necesitamos redistribuir libras enteras de mantequilla y fracciones de libras de mantequilla. En el último problema, solo había fracciones.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué podrían dibujar para mostrar la redistribución de la mantequilla en 8 recipientes. Permita que la clase trabaje de forma independiente o en parejas para representar la redistribución de la mantequilla. Anímeles a seleccionar las herramientas y las estrategias de su preferencia.
Recorra el salón de clases para evaluar la comprensión de sus estudiantes sobre la redistribución de los datos en partes iguales.
Nota para la enseñanza
La complejidad de este problema aumenta al pedirles a sus estudiantes que descompongan números mixtos en partes antes de redistribuir y al brindar menos apoyo mientras completan el problema. Dado que la complejidad es mayor, el diagrama de puntos muestra medidas en unidades semejantes para que sus estudiantes puedan enfocar su atención y energía en cómo redistribuir en partes iguales las medidas.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo para determinar qué dibujar, considere ofrecer cubos para representar las libras de mantequilla. Muestre 1 libra entera con un color diferente al de las partes fraccionarias. Por ejemplo, la siguiente imagen muestra 2 2 8 libras de mantequilla:
Busque diferentes métodos que sus estudiantes pueden usar para redistribuir el total. Use los siguientes planteamientos para que sus estudiantes expliquen su razonamiento.
• Cuéntenme cómo su dibujo se relaciona con la historia.
• Cuéntenme acerca de su método.
Seleccione dos o tres estudiantes para que compartan en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de conexiones que existen entre los ejemplos de trabajo de sus estudiantes.
Los ejemplos de trabajo de la clase que se muestran usan diferentes métodos de redistribución: descomponer para distribuir; distribuir los enteros y, luego, las partes fraccionarias; y hallar el total y dividir.
Descomponer para distribuir
Distribuir los enteros y, luego, las partes fraccionarias
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige un método para mostrar la redistribución de la mantequilla en 8 recipientes a partir de las medidas dadas en un diagrama de puntos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5.
• ¿Qué método sería útil?
• ¿Qué herramientas pueden servirles como ayuda para resolver este problema?
• ¿Cómo pueden estimar la cantidad de mantequilla que habría en cada recipiente? ¿Les parece razonable su estimación?
Compartir, comparar y conectar
La clase comparte y compara los métodos de solución y razona acerca de sus conexiones.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar el trabajo de sus estudiantes de forma que se muestren las estrategias para hallar la solución, de las más simples a las más complejas.
A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el método que usó. Haga preguntas que inviten a la clase a establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones demostradas. Anime a la clase a que haga sus propias preguntas.
Descomponer para distribuir (método de Sana)
Observen el dibujo de Sana.
¿Cómo redistribuyó la mantequilla?
Sana descompuso toda la mantequilla en octavos. Luego, distribuyó 1 octavo en cada uno de los recipientes hasta que todos los octavos estuvieron distribuidos.
Sana, ¿por qué decidiste descomponer cada libra en octavos?
Sabía que iba a redistribuir la mantequilla en ocho recipientes, así que descompuse la mantequilla en octavos para distribuirla en partes iguales.
¿Cuántas libras de mantequilla hay en cada recipiente después de la redistribución? ¿Cómo lo saben?
Hay 2 libras de mantequilla en cada recipiente porque cada uno muestra 16 8 , que es equivalente a 2.
Distribuir enteros y, luego, las partes fraccionarias (método de Noah)
Noah, ¿cómo redistribuiste la mantequilla?
Distribuí primero 1 libra de mantequilla en cada tazón. A continuación, descompuse el resto, 1 libra, en octavos, así que todas las partes restantes eran octavos. Luego, distribuí esos octavos.
¿Cuántas libras de mantequilla hay en cada recipiente después de la redistribución?
¿Cómo lo saben?
Cada recipiente tiene 1 libra entera y 8 octavos que equivalen a otra libra. Entonces, hay 2 libras de mantequilla en cada recipiente.
¿En qué se parecen o en qué se diferencian los dibujos de Noah y Sana?
Noah y Sana distribuyeron 2 libras de mantequilla en cada recipiente.
Noah distribuyó la cantidad de 1 libra de mantequilla primero y, luego, distribuyó los octavos.
Sana descompuso toda la mantequilla en octavos y, luego, distribuyó cada octavo.
Hallar el total y dividir (método de Leo)
Leo, ¿cómo redistribuiste la mantequilla?
Conté todos los unos, luego, conté todos los octavos. El total de los unos es 12 y el total de los octavos es 32 8 , que expresé como 4. En total, hay 16 libras de mantequilla. Sé que 16 ÷ 8 = 2, así que hay 2 libras de mantequilla en cada recipiente.
Cada recipiente tendrá 2 libras de mantequilla.
¿Cómo se relaciona el método de Leo con el método de Sana?
Tanto Sana como Leo redistribuyeron la cantidad total de mantequilla, 16 libras, en 8 recipientes.
¿Cuál es el peso más frecuente antes de la redistribución?
El peso más frecuente es 2 2 8 de libra.
¿Cuál es el peso más frecuente después de la redistribución?
El peso más frecuente es 2 libras.
¿Cómo piensan que se ve un diagrama de puntos con los datos redistribuidos? ¿Por qué?
Pienso que todas las X estarían sobre 2 porque, ahora, cada recipiente tiene 2 libras de mantequilla.
Muestre el diagrama de puntos que muestra los pesos redistribuidos.
¿Qué observan?
Observo que todas las X están sobre el mismo peso, 2 libras.
Observo que la medida más frecuente ahora es 2 libras.
¿Por qué piensan que la medida
más frecuente disminuyó de 2 2 8 a 2?
Mantequilla en la panadería
Pienso que disminuyó porque había 2 recipientes que tenían solamente 1 1 2 libra, así que el contenido del recipiente que tenía mucha mantequilla se redistribuyó entre esos recipientes.
Mantequilla (libras)
Pienso que disminuyó porque cuando redistribuí en partes iguales la mantequilla, observé que 2 8 y 6 8 que había en los recipientes con más mantequilla pasaron a los recipientes que tenían menos mantequilla.
Diferenciación: Desafío
Invite a sus estudiantes a conversar sobre qué ocurriría con la medida más frecuente antes y después de redistribuir si se agregara un noveno recipiente con 5 libras de mantequilla al conjunto de datos.
Observe que la medida más frecuente antes de la redistribución permanecería igual: 2 2 8 libras. Pero la medida más frecuente después de la redistribución sería 2 1 3 libras.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían usar un método del segmento Compartir, comparar y conectar cuando resuelven el Grupo de problemas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas al redistribuir una cantidad total en partes iguales
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de redistribuir datos usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Intentaron un nuevo método para redistribuir los datos en alguno de los problemas del Grupo de problemas? Expliquen.
Sí. Pensé que el método de Leo era una forma eficiente de redistribuir los datos de números mixtos. Entonces, en el problema 2, en vez de dibujar toda el agua en las botellas, hallé la cantidad total de agua y la dividí entre la cantidad de botellas.
En el problema 1, sombrear los modelos para mostrar cuántas libras de arroz hay en cada recipiente me recordó a cuando usamos los cubos para redistribuir. Usar el modelo me resultó más fácil para redistribuir los datos que hallar el total y dividir. 10
¿Cómo cambia la medida más frecuente al redistribuir en partes iguales una cantidad total?
Redistribuir en partes iguales la cantidad total hace que la medida más frecuente sea la única medida del conjunto de datos.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
c. Cada modelo representa 1 y está dividido en octavos. Sombrea los modelos para mostrar cómo se puede redistribuir el arroz, en partes iguales, entre los 6 recipientes.
Peso del arroz en los recipientes
1. En el diagrama de puntos, se muestra el peso del arroz que hay en 6 recipientes. ×× × ×× ×
Peso (libras)
a. Cada modelo representa 1 y está dividido en octavos. Sombrea los modelos para mostrar cuántas libras de arroz hay en cada recipiente. de libra 1 8 de libra 3 8 de libra 3 8 libra 1 2 de libra 3 4 de libra 7 8
b. ¿Cuántos octavos están sombreados en total? 24 octavos
d. ¿Cuántas libras de arroz hay en cada recipiente ahora?
1 2 libra
e. Completa el diagrama de puntos para representar el peso del arroz que hay en cada recipiente cuando el arroz se redistribuye, en partes iguales, entre los recipientes.
Peso del arroz en los recipientes
Peso (libras)
f. ¿Cómo cambia el peso más frecuente al redistribuir las libras de arroz, en partes iguales, entre los recipientes?
Antes de que el arroz se distribuyera, en partes iguales, entre los recipientes, el peso más frecuente era 3 8 de libra. Ahora, el peso más frecuente es 1 2 libra.
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2. El diagrama de puntos muestra la cantidad de agua que hay en 8 botellas.
Cantidad de agua en las botellas
Cantidad de agua (tazas)
a. Descompón la cantidad de agua que hay en cada botella en un número entero y una fracción con octavos. Luego, halla el número total de tazas de agua que hay en las botellas.
c. Completa el diagrama de puntos para representar la cantidad de agua que hay en cada botella cuando el agua se redistribuye, en partes iguales, entre las botellas.
Cantidad de agua en las botellas
Cantidad de agua (tazas)
d. ¿Cómo cambia la cantidad de agua más frecuente cuando las tazas de agua se redistribuyen, en partes iguales, entre las botellas?
Antes de distribuir el agua, en partes iguales, entre las botellas, la cantidad más frecuente era 1 7 8 tazas. Ahora, la cantidad más frecuente es 1 5 8 tazas.
El número total de tazas de agua que hay en las botellas es 13 porque
b. ¿Cómo puedes redistribuir el agua, en partes iguales, entre las 8 botellas? Dibuja un modelo como ayuda si lo necesitas.
Puedo hacer que cada botella contenga 1 5 8 tazas de agua.
Estándares
Estándares de contenido del módulo
Utilizan las fracciones equivalentes como una estrategia para sumar y restar fracciones.
5.NF.A.1 Suman y restan fracciones con denominadores distintos (incluyendo números mixtos) reemplazando las fracciones dadas por fracciones equivalentes de tal forma que produzcan una suma equivalente o una resta con denominadores comunes. Por ejemplo, 2 3 + 5 4 = 8 12 + 15 12 = 23 12 . (En general, a b + c d = (ad + bc) bd ).
5.NF.A.2 Resuelven problemas verbales de suma y resta de fracciones que se refieran a un entero, incluyendo casos de denominadores distintos, por ejemplo, al emplear modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema. Utilizan las fracciones de referencia y el sentido numérico para hacer cálculos mentales y evaluar la lógica de las respuestas. Por ejemplo, reconocen como incorrecto el resultado 2 5 + 1 2 = 3 7 , observando que 3 7 < 1 2 .
Aplican y extienden conocimientos previos de multiplicación y división para multiplicar y dividir fracciones.
5.NF.B.3 Interpretan una fracción como la división del numerador por el denominador ( a b = a ÷ b). Resuelven problemas verbales relacionados a la división de números enteros que resulten en fracciones o números mixtos por ejemplo, emplean modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema. Por ejemplo, al interpretar 3 4 como el resultado de la división de 3 entre 4, notando que 3 4 multiplicados por 4 es igual a 3, y que cuando se comparten igualmente 3 enteros entre 4 personas, cada persona termina con una parte de 3 4 de tamaño. Si 9 personas quieren compartir, por igual y en base al peso, un saco de arroz de 50 libras, ¿cuántas libras de arroz debe recibir cada persona? ¿Entre qué números enteros se encuentra la respuesta?
Representan e interpretan datos.
5.MD.B.2 Hacen un diagrama de puntos para mostrar un conjunto de medidas en unidades fraccionarias ( 1 2 , 1 4 , 1 8 ). Efectúan operaciones con fracciones apropiadas a este grado, para resolver problemas relacionados con la información presentada en los diagramas de puntos. Por ejemplo, dadas diferentes medidas de líquido en vasos idénticos de laboratorio, hallan la cantidad de líquido que cada vaso contiene si la cantidad total en todos los vasos fuera redistribuida igualmente.
Estándares para la práctica de las matemáticas
MP1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.
MP2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.
MP3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.
MP4 Representan a través de las matemáticas.
MP5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.
MP6 Ponen atención a la precisión.
MP7 Reconocen y utilizan estructuras.
MP8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
5.Mód2.CLA1 Resuelven problemas de varios pasos, incluidos problemas verbales, que involucran la suma y la resta de fracciones y números mixtos y la división de números enteros con cocientes fraccionarios.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF Números y operaciones con fracciones
Parcialmente competente
Resuelven problemas de varios pasos que involucran la suma y la resta de fracciones con denominadores distintos y la división de números enteros con cocientes fraccionarios.
Evalúa
(3 ÷ 8) + (2 ÷ 5)
Competente
Resuelven problemas verbales de varios pasos que involucran la suma y la resta de fracciones y números mixtos con denominadores distintos y la división de números enteros con cocientes fraccionarios.
Tyler vierte 1 2 taza de jugo de manzana en cada uno de 6 vasos. Vierte un total de 8 tazas de jugo de uva en los mismos vasos, dividiendo el jugo, en partes iguales, entre ellos. ¿Cuántas tazas de jugo hay en cada vaso?
Altamente competente
5.Mód2.CLA2 Razonan acerca del proceso de sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.A Utilizan las fracciones equivalentes como una estrategia para sumar y restar fracciones.
Parcialmente competente
Reconocen la necesidad de unidades semejantes durante la suma y la resta de fracciones.
¿Qué expresión muestra dos números que pueden sumarse en un paso?
A. 2 3 + 8 6
B. 5 9 + 5 11 C. 7 3 + 3 __ 7 D. 2 9 + 8 9
Competente
Justifican los pasos al resolver problemas que involucran suma y resta de fracciones y números mixtos con denominadores distintos.
Explica cada paso en el trabajo que se muestra. Si hay un error, explica el error y corrígelo.
2 3 + 3 4 = 8 12 + 9 12 = 17 24
Altamente competente
5.Mód2.CLA3 Representan la formación de fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.A Utilizan las fracciones equivalentes como una estrategia para sumar y restar fracciones.
Parcialmente competente
Emparejan representaciones pictóricas con representaciones numéricas de suma y resta de fracciones con unidades diferentes.
Cada círculo en el modelo representa 1 entero.
Competente
Crean modelos para representar fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes.
Crea un modelo para mostrar cómo hallar la diferencia.
3 4 1 3
Altamente competente
Crean y comparan dos o más modelos que representan fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones y números mixtos con unidades diferentes.
Usa la expresión para responder la parte A y la parte B
3 4 + 1 3
Parte A
Crea dos modelos diferentes que muestren cómo hallar la suma.
Parte B
Explica de qué manera cada modelo representa la expresión y la suma.
Selecciona la expresión que representa la cantidad total sombreada.
5.Mód2.CLA4 Suman y restan fracciones y números mixtos con unidades diferentes.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.A.1 Suman y restan fracciones con denominadores distintos (incluyendo números mixtos) reemplazando las fracciones dadas por fracciones equivalentes de tal forma que produzcan una suma equivalente o una resta con denominadores comunes. Por ejemplo, 2 3 + 5 __ 4 = 8 __ 12 + 15 __ 12 = 23 __ 12 . (En general, a b + c __ d = (ad + bc) _______ bd ).
Parcialmente competente
Suman o restan dos fracciones con unidades relacionadas.
Suma. 1 2 + 11 12
Competente
Suman o restan dos fracciones o números mixtos con unidades no relacionadas.
Resta. 6 9 10 3 9 11
Altamente competente
Suman y restan tres o más fracciones o números mixtos con unidades no relacionadas.
Evalúa. (6 3 5 4 1 2 ) + 2 2 3
5.Mód2.CLA5 Resuelven problemas verbales que involucran la suma y la resta de fracciones y números mixtos con unidades diferentes.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.A.2 Resuelven problemas verbales de suma y resta de fracciones que se refieran a un entero, incluyendo casos de denominadores distintos, por ejemplo, al emplear modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema. Utilizan las fracciones de referencia y el sentido numérico para hacer cálculos mentales y evaluar la lógica de las respuestas. Por ejemplo, reconocen como incorrecto el resultado 2 5 + 1 2 = 3 7 , observando que 3 7 < 1 2 .
Parcialmente competente
Resuelven problemas verbales que involucran la suma o la resta de dos fracciones con unidades relacionadas.
Jada mezcla 1 __ 4 de taza de té sin endulzar con 1 __ 2 taza de té endulzado. ¿Cuántas tazas de té mezcla Jada en total?
Competente
Resuelven problemas verbales que involucran la suma o la resta de dos fracciones o números mixtos con unidades no relacionadas
Una jarra contiene 3 1 2 cuartos de galón de té. Jada vierte 1 2 3 cuartos de galón. ¿Cuánto té queda en la jarra?
Altamente competente
Resuelven problemas verbales que involucran la suma y la resta de tres o más fracciones o números mixtos con unidades no relacionadas.
Jada mezcla 2 1 __ 2 libras de papas con 1 3 __ 4 libras de queso. Pone 2 2 3 libras de la mezcla en una bandeja para horno. ¿Qué cantidad de la mezcla no se coloca en la bandeja?
5.Mód2.CLA6 Representan problemas verbales que involucran la suma o resta de fracciones o números mixtos que se refieren al mismo entero.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.A.2 Resuelven problemas verbales de suma y resta de fracciones que se refieran a un entero, incluyendo casos de denominadores distintos, por ejemplo, al emplear modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema. Utilizan las fracciones de referencia y el sentido numérico para hacer cálculos mentales y evaluar la lógica de las respuestas. Por ejemplo, reconocen como incorrecto el resultado 2 5 + 1 2 = 3 7 , observando que 3 7 < 1 2 .
Parcialmente competente
Emparejan problemas verbales con modelos que representan la suma o la resta de fracciones o números mixtos que se refieren al mismo entero.
Yuna carga la mochila durante 4 7 __ 8 millas. Ryan carga la mochila durante 2 1 4 millas. ¿Qué distancia cargan la mochila en total?
¿Qué expresión representa la situación?
Competente
Crean modelos con base en problemas verbales para representar la suma o la resta de fracciones o números mixtos que se refieren al mismo entero.
Yuna carga la mochila durante 4 7 8 millas. Ryan carga la mochila durante 2 1 4 millas. ¿Qué distancia cargan la mochila en total?
Crea un modelo visual para representar la situación.
Altamente competente
Explican o comparan modelos que representan la suma o la resta de fracciones o números mixtos que se refieren al mismo entero en problemas verbales.
Yuna carga la mochila durante 1 5 8 millas. Ryan carga la mochila durante 2 1 4 millas. ¿Qué distancia cargan la mochila en total?
Parte A
Explica de qué manera el modelo representa el problema
Parte B
Escribe una expresión para representar el problema. Luego, explica por qué usaste esa expresión.
5.Mód2.CLA7 Estiman mentalmente sumas o diferencias de fracciones o números mixtos y evalúan si las respuestas a los problemas verbales son razonables.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.A.2 Resuelven problemas verbales de suma y resta de fracciones que se refieran a un entero, incluyendo casos de denominadores distintos, por ejemplo, al emplear modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema. Utilizan las fracciones de referencia y el sentido numérico para hacer cálculos mentales y evaluar la lógica de las respuestas. Por ejemplo, reconocen como incorrecto el resultado
Parcialmente competente
Estiman un rango para sumas o diferencias de dos fracciones o números mixtos.
Para cada expresión, estima la suma o la diferencia. Luego, arrastra cada expresión al recuadro correcto.
Menor que 1 2 Entre 1 2 y 1 Mayor que 1 3 __ 8 + 1 3
observando que
Competente
Resuelven problemas verbales que involucran sumas y diferencias de fracciones o números mixtos y evalúan si las respuestas son razonables usando la estimación.
Lacy está preparando dos recetas diferentes que llevan frijoles. Para la primera receta, se
necesitan 5 1 __ 4 tazas de frijoles. Para la segunda receta, se necesitan 2 4 5 tazas de frijoles.
Lacy tiene 8 tazas de frijoles. Sin evaluar, explica si Lacy tiene suficientes frijoles para ambas recetas.
Altamente competente
5.Mód2.CLA8 Interpretan fracciones como la división del numerador entre el denominador.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.3 Interpretan una fracción como la división del numerador por el denominador ( a __ b = a ÷ b) Resuelven problemas verbales relacionados a la división de números enteros que resulten en fracciones o números mixtos por ejemplo, emplean modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema. Por ejemplo, al interpretar 3 4 como el resultado de la división de 3 entre 4, notando que 3 4 multiplicados por 4 es igual a 3, y que cuando se comparten igualmente 3 enteros entre 4 personas, cada persona termina con una parte de 3 4 de tamaño. Si 9 personas quieren compartir, por igual y en base al peso, un saco de arroz de 50 libras, ¿cuántas libras de arroz debe recibir cada persona? ¿Entre qué números enteros se encuentra la respuesta?
Parcialmente competente
Escriben fracciones como expresiones de división y expresiones de división como fracciones.
Completa cada ecuación.
2 ÷ 8 =
1 __ 3 = ÷
Competente
Interpretan una fracción a b como el tamaño de una parte cuando el número de enteros, representado por a, se reparte en partes iguales de b formas.
4 personas comparten en partes iguales una bolsa de 3 libras de arroz. ¿Qué te dice el número 3 4 sobre la situación?
Altamente competente
Razonan sobre el cociente de a ÷ b usando la relación entre las fracciones y la división.
Noah afirma que 5 ÷ 7 es menor que 5 ÷ 8 porque 7 es menor que 8. Usa fracciones para explicar si estás de acuerdo o en desacuerdo.
5.Mód2.CLA9 Representan problemas que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.3 Interpretan una fracción como la división del numerador por el denominador ( a __ b = a ÷ b) Resuelven problemas verbales relacionados a la división de números enteros que resulten en fracciones o números mixtos por ejemplo, emplean modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema. Por ejemplo, al interpretar 3 4 como el resultado de la división de 3 entre 4, notando que 3 4 multiplicados por 4 es igual a 3, y que cuando se comparten igualmente 3 enteros entre 4 personas, cada persona termina con una parte de 3 4 de tamaño. Si 9 personas quieren compartir, por igual y en base al peso, un saco de arroz de 50 libras, ¿cuántas libras de arroz debe recibir cada persona? ¿Entre qué números enteros se encuentra la respuesta?
Parcialmente competente
Emparejan representaciones de división de números enteros con cocientes fraccionarios.
El siguiente modelo representa 5 ÷ 4. Cada cuadrado en el modelo representa 1 entero
¿Cuál de las siguientes opciones representa correctamente la cantidad total sombreada?
Competente
Representan problemas que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios.
Dibuja un modelo para representar la ecuación.
3 ÷ 5 = 3 5
Altamente competente
Explican la división de números enteros con cocientes fraccionarios usando modelos visuales de fracciones.
Usa el modelo como ayuda para explicar por qué la expresión 5 ÷ 4 es equivalente al número 5 4 .
A. 5 4 de cuadrado
B. 5 15 de cuadrado
C. 5 __ 20 de cuadrado
D. 15 20 de cuadrado
5.Mód2.CLA10 Resuelven problemas verbales que involucran la división de números enteros con cocientes fraccionarios.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.3 Interpretan una fracción como la división del numerador por el denominador ( a b = a ÷ b). Resuelven problemas verbales relacionados a la división de números enteros que resulten en fracciones o números mixtos por ejemplo, emplean modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema. Por ejemplo, al interpretar 3 __ 4 como el resultado de la división de 3 entre 4, notando que 3 __ 4 multiplicados por 4 es igual a 3, y que cuando se comparten igualmente 3 enteros entre 4 personas, cada persona termina con una parte de 3 4 de tamaño. Si 9 personas quieren compartir, por igual y en base al peso, un saco de arroz de 50 libras, ¿cuántas libras de arroz debe recibir cada persona? ¿Entre qué números enteros se encuentra la respuesta?
Parcialmente competente
Resuelven problemas verbales que involucran la división de dos números enteros con un cociente fraccionario usando un modelo proporcionado.
Se reparten en partes iguales 3 sabores diferentes de barras de granola entre 4 personas. Todas las barras de granola son del mismo tamaño. Usa el modelo que se muestra para determinar cuántas barras de granola recibe cada persona.
Competente
Resuelven problemas verbales que involucran la división de números enteros con un cociente fraccionario.
Se usan 4 cubetas para que contengan un total de 10 libras de arena. Cada cubeta contiene una parte igual de arena. ¿Cuántas libras de arena hay en cada cubeta?
Altamente competente
Explican o comparan representaciones de la división de números enteros que dan como resultado cocientes fraccionarios.
Hay 3 sabores diferentes de barras de granola. Todas tienen el mismo tamaño. Cada barra de granola se corta en 4 pedazos iguales. Riley toma 1 pedazo de cada barra de granola. ¿Qué fracción de una barra de granola entera toma Riley?
Sasha y Leo crean modelos relacionados con la situación. Compara sus modelos y explica por qué cada modelo es correcto o incorrecto.
Selecciona la ecuación que muestra cuántas barras de granola recibe cada persona
Modelo de Sasha
Modelo de Leo
5.Mód2.CLA11 Hacen diagramas de puntos para representar un conjunto de datos en unidades fraccionarias ( 1 2 , 1 4 , 1 8 ) y utilizan diagramas de puntos para analizar datos y resolver problemas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.MD.B.2 Hacen un diagrama de puntos para mostrar un conjunto de medidas en unidades fraccionarias ( 1 2 , 1 4 , 1 8 ). Efectúan operaciones con fracciones apropiadas a este grado, para resolver problemas relacionados con la información presentada en los diagramas de puntos. Por ejemplo, dadas diferentes medidas de líquido en vasos
idénticos de laboratorio, hallan la cantidad de líquido que cada vaso contiene si la cantidad total en todos los vasos fuera redistribuida igualmente.
Parcialmente competente
Competente
Hacen diagramas de puntos para representar un conjunto de datos en unidades fraccionarias ( 1 __ 2 , 1 __ 4 , 1 __ 8 ) y utilizan diagramas de puntos para analizar datos y resolver problemas.
El diagrama de puntos muestra la longitud de 11 senderos diferentes en un parque.
Longitud de los senderos
Longitud (millas)
Eddie decide caminar los 3 senderos más largos. ¿Cuál es el número total de millas que camina Eddie?
Altamente competente
Vocabulario
Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 2 de 5. ° grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.
Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.
Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.
Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.
Nuevo
minuendo
El minuendo es el valor de inicio, es decir, el total en una relación de parte-total. (Lección 12)
sustraendo
El sustraendo es el número que se resta del valor de inicio, es decir, la parte en una relación de parte-total. (Lección 12)
Conocido
denominador
denominador común
forma fraccionaria
fracciones equivalentes numerador
número mixto
Verbo académico
concluir
Las matemáticas en el pasado
Distribuir en partes iguales con fracciones egipcias
¿Qué son las fracciones egipcias?
¿Quién demostró cómo funcionaban las fracciones egipcias?
¿Cómo ayudan las fracciones egipcias con la distribución en partes iguales?
Hace aproximadamente 3,400 años, en Egipto, un escriba llamado Ahmes tomó su pluma de junco y, mojándola a menudo en tinta, escribió 84 problemas matemáticos en una hoja de papiro grande. Transcribió cuidadosamente los escritos de anteriores escribas para poder transmitir el conocimiento matemático egipcio a escribas de su generación. En Egipto, las personas que se desempeñaban como escribas eran quienes sabían matemáticas y quienes sabían escribir. Probablemente, Ahmes se hubiera sorprendido mucho si alguien le hubiera dicho que su papiro permanecería intacto por milenios y sería admirado hasta el día de hoy.
Ahmes introdujo su escrito con las siguientes palabras.
Cálculo preciso. La entrada al conocimiento de todas las cosas que existen y todos los secretos oscuros. 1
¿Secretos? Definitivamente, eso tiene un aire de intriga. Sin embargo, Ahmes no estaba escribiendo una novela de misterio: estaba escribiendo para explicar los secretos. ¿Cuáles fueron los problemas que transcribió Ahmes? Fueron problemas de la vida real.
Por ejemplo, las autoridades egipcias solían pagar el trabajo de las personas con barras de pan, y estas barras debían distribuirse en partes iguales. La idea de distribuir en partes iguales existe hace mucho tiempo.
Este es uno de los problemas que planteó Ahmes.
Problema 6: Divide 9 barras entre 10 personas. 2
Antes de compartir la respuesta de Ahmes, pregunte a sus estudiantes cómo repartirían las barras en partes iguales. Por supuesto que todas las personas deben obtener la misma cantidad de pan, que es 9 10 de una barra. Pero la pregunta interesante es: ¿Cómo deben cortarse en pedazos las barras? Hay muchas maneras de hacerlo.
Las barras egipcias solían ser redondas, como el pan pita. Una parte de la clase podría sugerir cortar cada barra en 10 pedazos iguales y dar 9 pedazos a cada persona. La cantidad es igual, y todos obtienen pedazos del mismo tamaño.
¿Pero qué ocurre si intentamos no hacer pedazos tan pequeños? Por ejemplo, supongamos que cortamos 1 10 de cada barra, como en el dibujo. Así, la mayoría de las personas obtienen pedazos de 9 10 y solo una persona obtiene 9 pedazos pequeños restantes de 1 10 .
9 10 1 10
Comente con sus estudiantes si esto es distribuir en partes iguales. Ayúdeles a distinguir la igualdad de la cantidad de pan que obtiene cada persona de la igualdad del tamaño de los pedazos. ¿Importa si las personas obtienen pedazos grandes o pequeños? Después de todo, las personas se comerán el pan, ¿verdad?
1 Traducido de Arnold Buffum Chace, Rhind Mathematical Papyrus, 49.
2 Traducido de Chace, Rhind Mathematical Papyrus, 62.
¿Hay un acuerdo posible? ¡Ahmes descubrió uno! Escribió la siguiente solución.
Cada persona recibe3
2 _ 3 y 1 5 y 1 __ 30 .
Pida a la clase que compruebe si la cantidad es igual a 9 10 sumando las fracciones. Deben hallar 2 3 + 1 5 + 1 30 = 27 30 = 9 10 .
¡Éxito! Cada persona obtiene una cantidad igual, los pedazos son del mismo tamaño para cada una, y los pedazos no tienen todos el mismo tamaño pequeño. Todas las personas están igualmente felices (esperamos) con el resultado.
Ahmes no dijo nada en realidad acerca de cómo cortar las barras. Eso no era parte de la solución del problema de matemáticas. Pero es interesante para nosotros, así que veamos si podemos descubrirlo.
Ayude a sus estudiantes a determinar si hay suficientes barras para que cada una de las 10 personas obtenga un pedazo de 2 3 . No, no hay suficientes. Pero pueden hacer pedazos del tamaño 1 3 y darle 2 de ellos a cada persona. Pida a la clase que imagine cortar cada una de las 7 barras en pedazos de 1 3 . Cada persona obtiene dos pedazos de 1 3 y queda un pedazo de 1 3 .
Por último, tomen el pedazo restante de 1 3 y córtenlo en 10 pedazos iguales. Cada pedazo es 1 30 de la barra original. Así lo logramos. (¡Con mucho esfuerzo!) 1 30
Aún quedan 2 barras enteras. Pida a la clase que imagine que se cortan las barras restantes en pedazos de 1 5 hasta que haya un pedazo para cada persona. Así se usan ambas barras.
Volviendo a Ahmes. ¿Cómo llegó a la respuesta de cómo dividir las barras? No lo sabemos: ¡no mostró ningún trabajo! Afortunadamente, otras partes del papiro de Ahmes explican cómo trabajaban los egipcios con fracciones.
Cuando las personas que estudiaban en el Antiguo Egipto aprendían sobre fracciones, primero trabajaban con fracciones unitarias: aquellas que tenían 1 como numerador. Supongamos que comienzan con 1 10 . Cuando una persona suma 4 de estas, obtiene 1 10 + 1 10 + 1 10 + 1 10 = 4 10 . El numerador se vuelve más grande a medida que sumamos de manera repetida la misma fracción unitaria. Cuando llegamos a 4 10 hoy en día nos parece natural reescribir esta fracción en su forma equivalente, 2 5 .
¡Pero los egipcios no hubieran hecho eso! No hubieran dado la respuesta como 4 10 o 2 5 . Hubieran dado la respuesta 1 3 + 1 15 .
Invite a sus estudiantes a sumar 1 3 y 1 15 para confirmar que es igual a 2 5 .
¿Por qué los egipcios hubieran usado 1 3 y 1 15 ? Porque daban respuestas a los problemas solo en forma de fracciones unitarias. Pero había una excepción notable. También permitían que apareciera 2 3 en una respuesta. Tal vez, esa fracción aparecía tan a menudo que hicieron una excepción con ella. ¡Pero todas las demás fracciones en sus respuestas tenían
3 Traducido de Chace, Rhind Mathematical Papyrus, 62.
que ser 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , y así sucesivamente sin que se repitieran! Nadie sabe realmente por qué los egipcios restringían sus fracciones de esta forma.
Aunque no sabemos cómo llegó Ahmes a su respuesta, podemos descomponer 9 10 usando una técnica llamada algoritmo voraz. ¡El nombre es bastante descriptivo!
Pida a la clase que se “vuelva voraz” y reste de 9 10 la mayor cantidad posible, siempre que sea una fracción unitaria o la fracción excepcional, 2 3 . Pida a la clase que compruebe que puede restar 2 3 y que es mayor que cualquier fracción unitaria.
¿Qué queda de 9 10 luego de restar 2 3 ? La clase debe determinar 9 10 2 3 = 7 30 .
Si la respuesta fuera una fracción unitaria, habrían terminado. Pero 7 30 no es una fracción unitaria, así que la clase debe volverse voraz otra vez.
No pueden restar 2 3 porque no puede haber repeticiones. En cualquier caso, la fracción es demasiado grande. Entonces, la clase debe intentar restar fracciones unitarias en orden según su tamaño. No pueden restar 1 2 , 1 3 ni 1 4 porque esas fracciones son más grandes que 7 30 . Pero pueden restar 1 5 .
¿Cuánto queda? La clase debe hallar 7 30 1 5 = 1 30 . ¡Ajá! Esta es una fracción unitaria. El algoritmo voraz está completo.
Las partes fraccionarias que restó la clase, 2 3 , 1 5 y 1 30 , son las mismas partes fraccionarias que en la respuesta de Ahmes. Pero el problema de Ahmes tiene muchas otras respuestas. Simplemente resten cualquier fracción unitaria primero y, luego, usen el algoritmo voraz para el resto. Por ejemplo, en lugar de restar 2 3 , resten 1 2 . Luego, sigan usando el algoritmo voraz para obtener 1 2 , 1 3 y 1 15 .
Puede que la clase disfrute de descubrir cómo cortar las 9 barras para esta nueva combinación. ¡Es un poco complicado! Corten 5 barras en pedazos de 1 2 . Luego, corten 3 barras en pedazos de 1 3 y tomen 1 3 de la barra restante. Corten los 2 3 restantes de la barra en 10 pedazos iguales, que son 1 15 de la barra original. ¡Ahora disfruten de su pan!
Materiales
Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de
24 estudiantes y una maestra o un maestro.
25 borradores para las pizarras blancas individuales
1 computadora o dispositivo para la enseñanza
32 cubos Unifix®
101 hojas en blanco
25 lápices
1 libro Enseñar
24 libros Aprender
125 marcadores
Visite http://eurmath.link/materials para saber más.
25 marcadores de borrado en seco
216 notas adhesivas
15 papel de rotafolio, hojas
25 pizarras blancas individuales
1 proyector
1 rollo de cinta
24 tijeras
Obras citadas
Boaler, Jo, Jen Munson, and Cathy Williams. Mindset Mathematics: Visualizing and Investigating Big Ideas, Grade 3. San Francisco, CA: Jossey-Bass, 2018.
Carpenter, Thomas P., Megan L. Franke, and Linda Levi. Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic and Algebra in Elementary School. Portsmouth, NH: Heinemann, 2003.
Carpenter, Thomas P., Megan L. Franke, Nicholas C. Johnson, Angela C. Turrou, and Anita A. Wager. Young Children’s Mathematics: Cognitively Guided Instruction in Early Childhood Education. Portsmouth, NH: Heinemann, 2017.
CAST. Universal Design for Learning Guidelines version 2.2. Retrieved from http://udlguidelines.cast.org, 2018.
Chace, Arnold Buffum and Henry Parks Manning. The Rhind Mathematical Papyrus. Volume 1. Oberlin, OH: Mathematical Association of America, 1927.
Clements, Douglas H. and Julie Sarama. Learning and Teaching Early Math: The Learning Trajectories Approach. New York: Routledge, 2014.
Common Core Standards Writing Team. Progressions for the Common Core State Standards in Mathematics. Tucson, AZ: Institute for Mathematics and Education, University of Arizona, 2011–2015. https://www.math.arizona.edu/~ime/progressions/.
Danielson, Christopher. Which One Doesn’t Belong?: A Teacher’s Guide. Portland, ME: Stenhouse, 2016.
Danielson, Christopher. Which One Doesn’t Belong?: Playing with Shapes. Watertown, MA: Charlesbridge, 2019.
Empson, Susan B. and Linda Levi. Extending Children’s Mathematics: Fractions and Decimals. Portsmouth, NH: Heinemann, 2011.
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Créditos
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¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
A Wassily Kandinsky, un pintor abstracto y músico con formación en piano y chelo, le fascinaban el color y la música. Algunas de sus pinturas parecen estar “compuestas” de una manera que nos permite ver el arte como una composición musical. En matemáticas, componemos y descomponemos números para familiarizarnos con el sistema numérico. Cuando miras un número, ¿puedes ver las partes que forman el total?
