ENSEÑAR ▸ Módulo 3 ▸ Multiplicación y división con unidades de 0, 1, 6, 7, 8 y 9
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
Al pintor suizo Paul Klee le interesaba usar el color para expresar las emociones. En esta obra creó una cuadrícula, o matriz, de 35 cuadrados de colores organizados en 5 filas y 7 columnas. Aprenderemos cómo una matriz nos ayuda a comprender una figura más grande. Lo haremos observando las figuras más pequeñas en el interior. Aprender más sobre las matrices nos ayudará a identificar patrones y estructuras, que es una habilidad importante para la multiplicación y la división.
En la portada
Farbtafel “qu 1,” 1930
Paul Klee, Swiss, 1879–1940
Pastel on paste paint on paper, mounted on cardboard Kunstmuseum Basel, Basel, Switzerland
Multiplicación y división con unidades de 2, 3, 4, 5 y 10
2
Conceptos de valor posicional mediante el uso de medidas del sistema métrico
3
4
Multiplicación y división con unidades de 0, 1, 6, 7, 8 y 9
Multiplicación y área
5 Fracciones como números
6
Geometría, medición y datos
Antes de este módulo
Módulo 1 de 3.er grado
En el módulo 1 de 3.er grado, la clase relaciona la suma repetida, los grupos iguales y las matrices con la multiplicación y la división. Concentrándose en las unidades de 2, 3, 4, 5 y 10, la clase aplica las propiedades conmutativa y distributiva como estrategias para multiplicar, dividir y escribir expresiones de tres factores como base de la propiedad asociativa. Sus estudiantes usan la comprensión de los conceptos de la multiplicación y la división para razonar y resolver problemas verbales de un paso. A lo largo del módulo 2 de 3.er grado, las actividades de fluidez les ayudan a desarrollar la competencia con estos factores.
Contenido general
Multiplicación y división con unidades de 0, 1, 6, 7, 8 y 9
Tema A
Conceptos de multiplicación y división con énfasis en las unidades de 6 y 8
El módulo 3 se inicia con una colección de conteo de objetos preagrupados que sus estudiantes usan para aplicar su comprensión de la multiplicación del módulo 1 y que proporciona datos formativos sobre sus estrategias de conteo. A lo largo del tema, sus estudiantes aplican conceptos de multiplicación y división, representaciones y estrategias del módulo 1 a las unidades de 6 y 8. Ven los seises como 2 treses, y los ochos como 2 cuatros. Usan las propiedades conmutativa, distributiva y asociativa como ayuda para multiplicar y dividir. Las representaciones progresan hacia matrices y diagramas de cinta más abstractos y sus estudiantes comienzan a usar una letra para representar una cantidad desconocida.
Tema B
Conceptos de multiplicación y división con énfasis en la unidad de 7
Enfocándose en el 7 como factor, sus estudiantes amplían su trabajo con las propiedades de las operaciones y usan distintas estrategias para multiplicar con eficiencia. Crean expresiones con operaciones conocidas para hallar productos y cocientes de operaciones desconocidas aplicando la propiedad distributiva de manera flexible y reagrupando factores usando la propiedad asociativa. Aplican su aprendizaje a medida que resuelven problemas verbales de un paso.
Tema C
Análisis de patrones usando unidades de 9, 0 y 1
Sus estudiantes exploran patrones con el fin de identificar y aplicar estrategias para multiplicar y dividir con 9, 0 y 1. Buscan y generalizan patrones en la tabla de multiplicación y en tablas de entrada y salida para resolver problemas. Sintetizan su comprensión de la multiplicación con factores de un dígito para escribir sus propios problemas verbales de un paso y evaluar si las soluciones de problemas verbales de dos pasos son razonables.
Después
de este módulo
Módulo 2 de 4.° grado
En el módulo 2 de 4.° grado, sus estudiantes aplican las estrategias de multiplicación y división de 3.er grado para multiplicar y dividir números de hasta 4 dígitos por y entre números de un dígito. Completan conversiones de medidas y resuelven comparaciones multiplicativas y problemas verbales de varios pasos. La clase progresa desde sus experiencias previas con las propiedades de las operaciones identificando factores, múltiplos y números primos hasta el 100.
Tema D
Multiplicación con múltiplos de 10 y aplicación adicional de conceptos
Para finalizar el módulo, sus estudiantes usan modelos de valor posicional, las propiedades de las operaciones y operaciones conocidas para multiplicar múltiplos de 10 por números de un dígito. Aplican su aprendizaje para resolver problemas verbales de dos pasos y comparten estrategias para hallar la solución. Vuelven a ver la colección de conteo del tema A y, esta vez, aplican sus nuevos conocimientos del módulo 3. Se presentan oportunidades para ampliar el conocimiento con una lección opcional sobre multiplicar por y dividir entre 11 y 12 y otra lección opcional sobre resolver problemas verbales en una tarea de varias partes.
Contenido
Multiplicación y división con unidades de 0, 1, 6, 7, 8 y 9
¿Por qué?
Criterios de logro académico: Contenido general .
Tema A .
Conceptos de multiplicación y división con énfasis en las unidades de 6 y 8
Lección 1 .
Organizar, contar y representar una colección de objetos
Lección 2
Contar salteado usando unidades de 6 para multiplicar y dividir usando matrices
Lección 3
Contar salteado usando unidades de 8 para multiplicar y dividir usando matrices
Lección 4
Descomponer matrices pictóricas para crear expresiones de tres factores
Lección 5
Usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar con unidades de 6 y 8
Lección 6
Usar la estrategia de separar y distribuir para dividir con unidades de 6 y 8
Tema B
Conceptos de multiplicación y división con énfasis en la unidad de 7
Lección 7
Contar salteado usando unidades de 7 para multiplicar y dividir usando matrices y diagramas de cinta
Lección 8
Usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar con unidades de 7
Lección 9
Representar la propiedad asociativa como una estrategia para multiplicar
Lección 10
Usar paréntesis en expresiones con operaciones diferentes
Lección 11
Usar la estrategia de separar y distribuir para dividir con unidades de 7
Lección 12
Resolver problemas verbales de un paso relacionados con la multiplicación y la división
Tema C
Análisis de patrones usando unidades de 9, 0 y 1
Lección 13
Contar salteado usando unidades de 9 para multiplicar
Lección 14
Aplicar estrategias e identificar patrones para multiplicar con unidades de 9
Lección 15
Razonar acerca de los patrones de multiplicación y división con unidades de 1 y 0 y explicar los patrones
Lección 16
Identificar patrones usando la tabla de multiplicación
Lección 17
Identificar y completar patrones con tablas de entrada y salida
Lección 18
Crear problemas verbales de multiplicación y división
Lección 19
Resolver problemas verbales de dos pasos usando las cuatro operaciones y evaluar si las soluciones son razonables
Tema D
Multiplicación con múltiplos de 10 y aplicación adicional de conceptos
Lección 20
Multiplicar por múltiplos de 10 usando la tabla de valor posicional
Lección 21
Multiplicar por múltiplos de 10 usando estrategias de valor posicional y la propiedad asociativa
Lección 22 .
Resolver problemas verbales de dos pasos que involucran la multiplicación de factores de un solo dígito y múltiplos de 10
Lección 23 . . .
Identificar patrones y aplicar estrategias para multiplicar con unidades de 11 y 12 (opcional)
Lección 24 . .
Organizar, contar y representar una colección de objetos
Lección 25
Aplicar conceptos de multiplicación y división para completar una tarea de varias partes (opcional)
Recursos
Estándares
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias . . .
Vocabulario
Las matemáticas en el pasado
Materiales
Obras citadas
Créditos
Agradecimientos
¿Por qué?
Multiplicación y división con unidades de 0, 1, 6, 7, 8 y 9
¿Por qué los diagramas de cinta que representan la multiplicación y la división en el módulo 3 se ven diferentes de los que aparecen en los módulos 1 y 2?
Sus estudiantes dibujan diagramas de cinta como parte del proceso Lee-Dibuja-Escribe porque les ayudan a entender qué información es conocida y desconocida en un problema verbal y a determinar una estrategia para hallar la solución.
En los módulos 1 y 2, vuelven a ver y completar diagramas de cinta después de resolver para confirmar y comprobar si sus respuestas son razonables. En el módulo 3, a medida que desarrollan la competencia con las operaciones de multiplicación y de división, aprenden a usar diagramas de cinta de forma más flexible y, a veces, se saltean la comprobación con el diagrama de cinta tras resolver el problema.
¿Por qué se consideran opcionales las lecciones 23 y 25?
En la lección 23, sus estudiantes aplican estrategias de multiplicación y usan patrones para contar salteado usando unidades de 11 y 12. Esta lección se agregó para proporcionar una aplicación más amplia de las estrategias y en reconocimiento de que algunos estándares estatales amplían la multiplicación para incluir los factores 11 y 12. Considere incluir la lección si los estándares estatales lo requieren o si sus estudiantes ya tienen suficiente preparación para aplicar sus estrategias con factores más grandes.
En la lección 25, sus estudiantes razonan, representan y resuelven un problema verbal de varias partes. Identifican y usan información dada en una tabla, en otro problema o en una solución previa para entender y resolver cada parte. Considere incluir la lección para ayudar a la clase a desarrollar destrezas de representación matemática y a determinar qué información es esencial cuando se usan las matemáticas para resolver problemas complejos y de la vida cotidiana. Los módulos 4 y 5 también incluyen lecciones con tareas de varias partes. Liz compra 4 paquetes de cajas de jugo. ¿Cuántas cajas de jugo compra en total?
Artículo
Barras de granola
Yogur
Refrigerios de fruta
Cajas de jugo
Número en cada paquete
Liz compra 32 cajas de jugo en total. ca
¿Cómo continúa la clase desarrollando fluidez con las operaciones de multiplicación después del módulo 3?
En el módulo 4, la clase usa sus destrezas de multiplicación y estrategias para hallar las áreas de rectángulos y matrices rectangulares. En los módulos 4, 5 y 6, las actividades de fluidez refuerzan los conceptos y las destrezas de multiplicación y división contando con el método matemático, relacionando la multiplicación y la división, y hallando los factores desconocidos. Las prácticas veloces también proporcionan práctica con la multiplicación y la división. Al final del módulo 6, se incluye una lección con actividades que refuerzan la fluidez. Estas actividades pueden implementarse en cualquier momento después del módulo 3 y pueden repetirse como ayuda para desarrollar fluidez con las operaciones.
Criterios de logro académico: Contenido general
Multiplicación y división con unidades de 0, 1, 6, 7, 8 y 9
Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo.
Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar.
Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de:
• observaciones informales en el salón de clases;
• los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones;
• Boletos de salida;
• Pruebas cortas de los temas y
• Evaluaciones de los módulos.
Este módulo contiene los catorce CLA que se indican.
3.Mód1.CLA1
Representan una situación de multiplicación con un modelo y convierten entre varias representaciones de multiplicación.
3.OA.A.1
3.Mód3.CLA3
Resuelven problemas de un paso que involucran la multiplicación y la división hasta el 100 usando una letra para el número desconocido.
3.OA.A.3
3.Mód3.CLA7
Aplican la propiedad asociativa de la multiplicación.
3.Mód3.CLA1
Representan un modelo con una situación de multiplicación.
3.OA.A.1
3.Mód3.CLA4
Determinan el número desconocido en una ecuación de multiplicación o división.
3.Mód1.CLA2
Representan una situación de división con un modelo y convierten entre varias representaciones de división.
3.OA.A.2
3.Mód3.CLA5
Aplican la propiedad distributiva para multiplicar.
3.Mód3.CLA2
Representan un modelo con una situación de división.
3.Mód3.CLA6
Aplican la propiedad distributiva para dividir.
3.OA.A.4
3.Mód1.CLA7
Representan y explican la división como un problema de factor desconocido.
3.OA.B.5
3.Mód3.CLA10
Identifican y extienden patrones aritméticos y los explican mediante las propiedades de las operaciones.
3.OA.B.6
3.Mód3.CLA11
Multiplican números enteros de un dígito por múltiplos de 10 dentro del rango del 10 al 90, usando estrategias de valor posicional y las propiedades de las operaciones.
3.OA.D.9
3.NBT.A.3
3.Mód3.CLA8
3.OA.B.5
Multiplican y dividen hasta el 100 con fluidez, recordando de memoria todos los productos de dos números de un dígito.
3.Mód3.CLA9
Resuelven problemas verbales de dos pasos. Representan estos problemas usando ecuaciones con una letra que representa el número desconocido. Evalúan si las soluciones son razonables.
3.OA.C.7
3.OA.D.8
3.OA.A.2
3.OA.B.5
La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente.
Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.
Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes:
• Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 3 de 3.er grado se codifica como 3.Mód3.CLA1.
• Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará.
• Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada.
• Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.
Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#
Texto del CLA
3.Mód3.CLA5 Aplican la propiedad distributiva para multiplicar.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.B.5 Aplican propiedades de operaciones como estrategias para multiplicar y dividir.² Ejemplos: Si se sabe que 6 × 4 = 24, entonces también se sabe que 4 × 6 = 24 (Propiedad conmutativa de la multiplicación). Se puede hallar 3 × 5 × 2 con 3 × 5 = 15, y luego 15 × 2 = 30, o con 5 × 2 = 10, y luego 3 × 10 = 30 (Propiedad asociativa de la multiplicación). Al saber que 8 × 5 = 40 y que 8 × 2 = 16, se puede hallar que 8 × 7 es como 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56 (Propiedad distributiva). 2No es necesario que los estudiantes utilicen los términos formales de estas propiedades.
Parcialmente competente
Aplican la propiedad distributiva para generar expresiones equivalentes.
¿Cada expresión es igual a 9 × 6?
Encierra en un círculo Sí o No.
(5 + 4) × 6 Sí No
(10 × 6) + (1 × 6) Sí No
(10 × 6) − (1 × 6) Sí No
(5 × 6) × (4 × 6) Sí No
Competente
Aplican la propiedad distributiva para multiplicar.
Separa el 7 en partes para hallar 7 × 8.
7 × 8 = ( × 8) + ( × 8) = + =
Estándar relacionado
Altamente competente
Explican la propiedad distributiva de la multiplicación.
Carla dice que puede hallar 16 × 5 usando la expresión (10 × 5) + (6 × 5). ¿Está en lo correcto? Explica.
Indicadores del CLA
Tema A Conceptos de multiplicación y división con énfasis en las unidades de 6 y 8
La clase aplica los conceptos de multiplicación y división del módulo 1 a las unidades de 6 y 8. Observan cómo se relacionan las tablas del tres y del cuatro con las del seis y el ocho, respectivamente, y usan esa relación como una estrategia que les ayuda a multiplicar y dividir. Usan grupos iguales, conteo salteado, matrices, diagramas de cinta y las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para representar relaciones y hallar productos, cocientes y factores desconocidos.
Al igual que en el módulo 1, la clase cuenta una colección de objetos como presentación del tema A. Cada colección consiste en imágenes de objetos empaquetados. Esto facilita el conteo eficiente por medio de la aplicación de los conceptos de multiplicación del módulo 1. La lección sirve como evaluación formativa de las estrategias que sus estudiantes usan para contar. El conteo se repasa al final del módulo, cuando cuentan otra colección.
A partir de la lección 2, la clase usa una letra para representar una cantidad desconocida, en lugar de usar un signo de interrogación o un espacio. Esta transición de reemplazar el signo de interrogación o el espacio brinda más flexibilidad para representar los números desconocidos y resolver problemas verbales de dos pasos con más de un número desconocido. La clase usa letras que tienen sentido en el contexto de cada problema.
A lo largo de este tema, sus estudiantes continúan desarrollando la capacidad de aplicar las propiedades de las operaciones a modo de estrategias para multiplicar y dividir. Identifican grupos iguales dentro de matrices y escriben expresiones para representar los grupos iguales usando tres factores y paréntesis. Esto prepara a sus estudiantes para la presentación formal de la propiedad asociativa en el tema B. La clase usa la estrategia de separar y distribuir para multiplicar con unidades de 6 y 8. Usan matrices, diagramas de cinta y notación escrita para mostrar cómo separar en partes el primer factor. Las matrices y los vínculos numéricos se usan para representar la estrategia de separar y distribuir cuando se divide.
En el tema B, se continúan formalizando los conceptos y estrategias de la multiplicación y la división con unidades de 7.
Progresión de las lecciones
Lección 1
Organizar, contar y representar una colección de objetos
Lección 2
Contar salteado usando unidades de 6 para multiplicar y dividir usando matrices
Lección 3
Contar salteado usando unidades de 8 para multiplicar y dividir usando matrices
Cuando formo grupos iguales, puedo multiplicar para contar de forma eficiente. A veces, el número de objetos del paquete representa el tamaño del grupo. Otras veces, combino el número de objetos de paquetes más pequeños para formar un grupo más grande.
Saber que 2 grupos de 3 es 6 me sirve como ayuda para multiplicar por y dividir entre 6. Contar salteado de tres en tres me sirve como ayuda para contar salteado de seis en seis. Puedo duplicar las operaciones de la tabla del tres para hallar operaciones de la tabla del seis. Identificar los grupos iguales en una matriz o pensar en la división como un problema de factor desconocido me sirve como ayuda para dividir entre 6.
Pensar en la tabla del cuatro me sirve como ayuda para multiplicar por y dividir entre 8, de la misma forma que pensar en la tabla del tres me sirve como ayuda con las operaciones de la tabla del seis. Puedo usar una matriz o pensar en dos grupos de un número de cuatros para hallar una operación de la tabla del ocho. Hallar factores desconocidos me sirve como ayuda para dividir.
Lección 4
Descomponer matrices pictóricas para crear expresiones de tres factores grupos de ( × ) × ( × ) ×
Hay diferentes formas de ver grupos iguales dentro de las matrices. Puedo representarlos con expresiones que tengan tres factores como ayuda para simplificar ecuaciones en las que se usan factores grandes que no conozco. Puedo descomponer un factor grande para formar factores más pequeños que conozco mejor.
Lección 5
Usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar con unidades de 6 y 8 9 5 × 93 × 9 8 × 9 = (5 + 3) × 9 = (5 × 9) + (3 × 9)
La estrategia de separar y distribuir me sirve como ayuda para multiplicar por unidades de 6 u 8 separando el número de grupos en una operación de suma que facilite la multiplicación. Generalmente uso una operación de la tabla del cinco o con números repetidos porque me las sé muy bien.
Lección 6
Usar la estrategia de separar y distribuir para dividir con unidades de 6 y 8
48 ÷ 8 = 3 + 3 = 6
La estrategia de separar y distribuir me sirve como ayuda para dividir separando el total en números que sé cómo dividir. Hay diferentes formas de separar en partes el total. Puedo usar una matriz o un vínculo numérico para mostrar mi razonamiento.
Organizar, contar y representar una colección de objetos
1. ¿Qué unidad usaste para contar tu colección? Explica por qué elegiste esa unidad.
Elegí las decenas. Contar de decena en decena es rápido. Hallé el total haciendo menos conteos que si hubiera contado usando otra unidad.
Vistazo a la lección
En esta lección, se brinda una oportunidad para repasar los conceptos de multiplicación y reunir datos de evaluación formativa mientras la clase trabaja con las colecciones de conteo. Cada estudiante decide cómo organizar, contar y representar los objetos de sus colecciones de conteo. Analiza el trabajo de sus pares y comenta las estrategias eficientes con toda la clase.
En esta lección, no se incluye Grupo de problemas. En cambio, use las observaciones de la clase y las representaciones escritas individuales para analizar el razonamiento de cada estudiante tras la lección. El Boleto de salida de esta lección les permite reflexionar acerca de sus estrategias de conteo.
Preguntas clave
2. Si volvieras a contar tu colección, ¿usarías la misma unidad? Explica tu razonamiento.
Usaría las decenas otra vez, pero me gustaría intentar lo que hicieron Amy y Pablo. Usaron las decenas de una forma diferente a la mía, y parecía fácil.
• ¿Cómo les ayuda el tamaño de cada grupo a contar?
• ¿Cómo puede ayudarles la multiplicación al contar?
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA5 Aplican la propiedad distributiva para multiplicar. (3.OA.B.5)
3.Mód3.CLA8 Multiplican y dividen hasta el 100 con fluidez, recordando de memoria todos los productos de dos números de un dígito. (3.OA.C.7)
EUREKA
Agenda
Fluidez 5 min
Presentar 10 min
Aprender 35 min
• Organizar, contar y registrar
• Compartir, comparar y conectar
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Colecciones de conteo (en la edición para la enseñanza)
• proyector*
• computadora o dispositivo para la enseñanza*
• libro Enseñar*
Estudiantes
• Colecciones de conteo (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• herramientas de organización
• tijeras (1 por pareja de estudiantes)
• marcador de borrado en seco*
• libro Aprender*
• lápiz*
• pizarra blanca individual*
• borrador para la pizarra blanca individual*
*Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.
Preparación de la lección
• Elija una colección de conteo por pareja de estudiantes. Considere si desea preparar las colecciones con antelación o pedir a sus estudiantes que retiren las páginas y las recorten durante la lección.
• Brinde a sus estudiantes herramientas que les ayuden a organizar sus conteos. Las herramientas pueden incluir sobres, tazas o vasos, bolsitas, bandas elásticas y papel cuadriculado.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta
La clase interpreta un diagrama de cinta que representa una división cuotativa y escribe una ecuación para adquirir la comprensión de las dos interpretaciones de la división.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el diagrama de cinta con un tamaño del grupo de 2 y un total de 10.
¿Cuál es el total?
10
Usemos el diagrama de cinta para hallar cuántos doses hay en 10.
¿Este diagrama de cinta muestra el número de grupos o el tamaño de cada grupo?
El tamaño de cada grupo
Escriban una ecuación de división que represente este diagrama de cinta en la que el cociente sea el número de grupos.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase trabaja en parejas para determinar qué expresión no representa el total en una imagen dada.
Muestre la imagen de los huevos y las expresiones. Forme parejas de estudiantes. Proporcione 5 minutos para que observen, comenten e identifiquen de qué forma las expresiones representan el número total de huevos.
Si algunas parejas terminan más rápido que otras, desafíelas a escribir otras expresiones que representen el número total de huevos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en el idioma.
• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.
De ser posible, intente formar las parejas con estudiantes que tengan el mismo idioma materno.
A. 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 3 + 3
B. 5 seises +2 seises
C. 7 seises
D. (5 × 6) + (4 × 3)
Cuando se acabe el tiempo, invite a las parejas de estudiantes a comentar de qué forma las expresiones representan el total.
Guíe a sus estudiantes para que usen lenguaje preciso, establezcan conexiones y hagan sus propias preguntas usando los siguientes planteamientos:
• ¿Dónde ven 5 seises? ¿2 seises? ¿4 treses?
• ¿En qué se parecen las expresiones A y D? ¿En qué se diferencian? ¿Y las expresiones B y C?
• ¿De qué forma la organización de los huevos les sirve de ayuda para relacionarlos con una expresión?
• ¿Qué expresiones representan formas eficientes de hallar el total? ¿Cómo lo saben?
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, trabajarán en parejas para organizar, contar y representar una colección de forma eficiente.
Aprender
Organizar, contar y registrar
Materiales: E) Colecciones de conteo, herramientas de organización, tijeras
Nota para la enseñanza
Las colecciones de conteo varían en niveles de complejidad (es decir, la Colección de conteo 1 es la más simple y la Colección de conteo 5 es la más compleja). Forme parejas de estudiantes 35
Cada estudiante elige una estrategia para organizar y contar objetos, y registrar el proceso.
El objetivo de esta lección es analizar la eficiencia con la que cuentan sus estudiantes. ¿Cuentan de la misma manera que al inicio del módulo 1? ¿Aplican alguno de los conceptos de multiplicación del módulo 1? La clase repasará esta colección de conteo al final de este módulo para tener la oportunidad de mostrar su avance con los conceptos enseñados a lo largo del módulo 3.
y asigne deliberadamente a cada pareja una colección de conteo. Pídales que retiren la página de Colecciones de conteo que se les asignó.
Indíqueles que trabajen en conjunto para predecir cuántos objetos hay en su colección y escribir una estimación. Es posible que las parejas consideren cantidades demasiado grandes o demasiado pequeñas como para ayudarles a hacer una estimación razonable.
Pida a sus estudiantes que busquen la página de registro en sus libros. Oriente brevemente a la clase sobre los materiales y el procedimiento para la actividad de colección de conteo.
Recorten las imágenes siguiendo las líneas punteadas y conversen sobre cómo prefieren contar y organizar su colección para hallar el total. En sus libros, registren cómo organizaron y contaron la colección.
Pida a las parejas que comiencen a contar su colección. Recorra el salón de clases y observe de qué manera se conducen en los siguientes puntos.
Organización: Las estrategias pueden incluir agrupar unidades semejantes, alinear objetos a medida que los cuentan y componer unidades más fáciles de contar combinando imágenes para formar una nueva unidad.
Conteo: Sus estudiantes pueden usar la suma repetida, el conteo salteado o la multiplicación para hallar el total. Tal vez haya estudiantes que usen estrategias de conteo menos eficientes, como contar de unidad en unidad.
Registro: Los registros pueden incluir dibujos, números, expresiones, ecuaciones y explicaciones escritas.
Componer para formar un factor conocido más simple
DUA: Participación
Para aumentar la participación, considere agrupar objetos del salón de clases con antelación y usarlos para el conteo. Algunas cosas que podría usar son bolsitas resellables de cubos, hojas de pegatinas o cajas de marcadores, lápices o crayones. Los objetos deben agruparse en unidades de 10 o menos y deben poder contarse de manera individual aun estando agrupados. Sus estudiantes no deben separar los objetos agrupados para contarlos de unidad en unidad.
Recorra el salón de clases y use preguntas y planteamientos como los siguientes para evaluar e incentivar el razonamiento matemático:
• Muestren y expliquen lo que hicieron.
• ¿Cómo pueden organizar su colección para que sea más fácil de contar?
• ¿Por qué la manera de organizar su colección hace que sea más fácil de contar?
• ¿Cómo pueden usar los factores que ya conocemos como ayuda para hallar el total?
• ¿Qué tan cerca estuvo su estimación del conteo real?
• ¿De qué forma podrían contar para que les resulte un desafío?
Seleccione dos o tres parejas de estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Los ejemplos muestran los tipos de estrategias que debe buscar y elegir. Demuestran cómo:
• componer unidades para formar un factor conocido más simple (p. ej., 6 y 4 forman 10);
• componer unidades para formar unidades semejantes (p. ej., los crayones están en paquetes de 4 y 8; 2 cuatros forman 1 ocho) y
Cuando las parejas compartan, considere mostrar sus registros junto a la colección de conteo para que la clase pueda ver la representación escrita que corresponde a cada colección. Al final de la lección, reúna las representaciones escritas a modo de evaluación informal. Se volverán a usar en la lección 24 para que sus estudiantes puedan ver cómo mejoraron sus estrategias.
Considere dar tiempo a las parejas que trabajaron con la misma colección de conteo para que comparen informalmente las estrategias antes de la conversación de toda la clase.
Invite a quienes terminen antes a contar otra colección y a registrar su estrategia.
Nota para la enseñanza
Para que la clase pueda tener a la vista las colecciones de quienes comparten, considere lo siguiente:
• Pedir a sus estudiantes que se reúnan alrededor de la colección.
• Tomar una fotografía del trabajo y proyectarla.
• Usar una cámara de documentos portátil para proyectar el trabajo.
Para esta colección de conteo, mi pareja es .
Estamos contando .
Estimamos que hay aproximadamente
Así es como organizamos y contamos la colección:
Contamos en total.
Una ecuación que describe cómo hallamos el total es:
Reflexión
Escribe algo que les haya funcionado bien cuando trabajaron en pareja. Explica por qué funcionó.
Combinamos dos paquetes más pequeños de objetos para formar una unidad más grande, así pudimos
Nota para la enseñanza
Los ejemplos de trabajo y razonamiento matemático de esta lección anticipan respuestas típicas. Busque trabajos similares en su salón de clases para generar conversaciones análogas auténticas.
Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione un trabajo de la clase para compartir. Destaque la manera en que ese trabajo contribuye a avanzar hacia el objetivo de la lección.
Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que mejor sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien contó la colección de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.
Escribe acerca de un desafío que hayan encontrado. ¿Cómo lo superaron?
Teníamos 20 ochos. No sabíamos cómo hallar 20 ochos, entonces, hallamos 10 ochos y 10 ochos y, contar grupos de 8 en lugar de grupos de 4. luego, los sumamos.
Compartir, comparar y conectar
La clase comenta estrategias de organización y multiplicación para hallar el total.
Reúna a la clase para ver y comentar los ejemplos de trabajo seleccionados. Invite a cada pareja seleccionada a que comparta sus registros junto con su colección o una fotografía de ella. Destaque sus estrategias de organización, como: organizar para componer unidades y formar un factor conocido más simple, organizar en grupos de una unidad en particular y organizar para usar las propiedades de la multiplicación. Después de que cada pareja comparta su trabajo, invíteles a que se reúnan y conversen acerca de preguntas como las siguientes:
• ¿En qué se parecen o en qué se diferencian esta estrategia de conteo y este dibujo de la estrategia y el dibujo que usaron ustedes?
• ¿De qué otra manera podríamos contar para hallar el total?
• ¿Qué conexión pueden establecer entre este trabajo y algo que hayamos hecho anteriormente?
Componer para formar un factor conocido más simple (método de Robin y Luke)
¿Cómo les ayudó su organización para hallar el total?
Juntamos paquetes para formar grupos de 10 porque nos resulta más fácil y más eficiente contar de decena en decena. Contamos las decenas y sumamos los números restantes.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables (MP3) registrando y compartiendo su trabajo con sus pares. Ofrece valoraciones sobre el razonamiento de sus pares al considerar sus trabajos y compararlos con el propio.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Por qué funciona su estrategia? Convenzan a la clase.
• ¿Qué preguntas pueden hacerle a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprenden su estrategia de conteo?
Nota para la enseñanza
Considere reservar tiempo para una conversación de toda la clase después de que las parejas hayan completado las preguntas para reflexionar en la hoja de registro. El desarrollo de estrategias metacognitivas ayuda a sus estudiantes a comprender de qué forma aprenden mejor y a evaluar su propio progreso.
Algunos desafíos típicos pueden incluir contar salteado usando una unidad que aún no conocen, como 7 u 8, saber qué hacer con factores grandes, como 9, 12, 13 o 15, y usar una estrategia poco eficiente, como contar de unidad en unidad.
¿Con qué desafíos se encontraron al organizar la colección? ¿Cómo los superaron?
Usamos paquetes de 6 y 4 para formar 10, pero nos quedamos sin paquetes de 4. Entonces, usamos paquetes de 2 para formar 4.
Componer para formar unidades semejantes (método de David y Oka)
¿Cómo les ayudó su organización para hallar el total?
Juntamos 2 paquetes pequeños de crayones para formar 8, como en las cajas de crayones; así, formamos 10 ochos y 10 ochos.
¿Cómo muestra su dibujo la forma en que organizaron las imágenes?
Muestra los 10 grupos de 8 y cómo usamos los paquetes de 4 crayones para formar 10 grupos de 8 más.
Propiedad distributiva (método de Eva y Shen)
¿Cómo les ayudó su organización para hallar el total?
Organizamos los paquetes de 7 borradores en 10 sietes y 12 sietes y usamos la estrategia de separar y distribuir para separar 12 sietes en 10 sietes y 2 sietes.
Vieron los borradores en paquetes de 7. ¿Hay otra forma de pensar en los paquetes de borradores?
Algunos de los paquetes tienen 2 borradores grandes y 5 borradores pequeños. Podríamos pensar en esos borradores como 12 doses y 12 cincos.
Si una pareja de estudiantes usó esta estrategia, invítela a explicar su trabajo. Si ninguna pareja usó esta estrategia, considere compartirla con sus estudiantes si ya son capaces de comprender este razonamiento.
Propiedad distributiva, 9 = 10 1 (método de Amy y Pablo)
¿Cómo les ayudó su organización para hallar el total?
Separamos los paquetes en 15 decenas y 13 nueves. 13 nueves es lo mismo que 13 decenas − 13 unidades.
¿De qué forma usaron las decenas como ayuda para pensar en los nueves?
Sumamos 1 a cada uno de los nueves para tener 13 decenas. Sumamos 13 unidades al total, entonces, necesitábamos restar 13 de 130.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Organizar, contar y representar una colección de objetos
Muestre ejemplos del trabajo de sus estudiantes de la sección Compartir, comparar y conectar. Guíe una conversación acerca de la organización y el conteo eficientes.
¿Cómo les ayudaron los paquetes de objetos a organizar su colección?
Los paquetes ya son grupos iguales, simplemente organizamos los grupos iguales para que contarlos fuera más fácil.
¿Cómo les ayuda el tamaño de cada grupo a contar?
Algunos factores, como 2, 5 y 10, son fáciles de multiplicar. Si podemos hallar una forma de usar esos factores con los grupos dados, es más fácil multiplicar.
¿Cuáles son las diferentes maneras en que se usó el 10 para contar de manera eficiente hoy?
Algunas parejas de estudiantes organizaron sus paquetes de objetos para formar 10 en cada grupo o para formar 10 grupos porque saben multiplicar por 10.
Eva y Shen separaron 12 sietes en 10 sietes y 2 sietes. Usaron la estrategia de separar y distribuir.
¿Vieron algo que les gustaría intentar la próxima vez que contemos colecciones? ¿Por qué quieren intentar eso?
Me gustaría intentar formar unidades que sean todas iguales porque trabajar con la misma unidad podría ser más fácil.
¿Cómo les ayuda multiplicar a contar de forma más eficiente?
Cuando hay grupos iguales, se puede multiplicar en lugar de contar de unidad en unidad para hallar el total. Es mucho más rápido.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Colección de conteo 1
Colección de conteo 2
7
Colección de conteo 3
Colección de conteo 4
Colección de conteo 5
Contar salteado usando unidades de 6 para multiplicar y dividir usando matrices
a. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. c 42
42 ÷ 6 = c c = 7
Hay 7 bellotas en cada fila.
b. Escribe una ecuación de factor desconocido para representar el problema.
6 × c = 42
Vistazo a la lección
La clase usa la relación entre los 3 y los 6 para multiplicar unidades de 6. Usan matrices y el conteo salteado para multiplicar y dividir. En esta lección se presenta el uso de una letra para representar el número desconocido.
Preguntas
clave
• ¿Qué estrategias se pueden usar para multiplicar por y dividir entre 6?
• ¿Cómo se puede usar una letra para representar el número desconocido?
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA3 Resuelven problemas de un paso que involucran la multiplicación y la división hasta el 100 usando una letra para el número desconocido. (3.OA.A.3)
3.Mód3.CLA4 Determinan el número desconocido en una ecuación de multiplicación o división. (3.OA.A.4)
3.Mód1.CLA7 Representan y explican la división como un problema de factor desconocido. (3.OA.B.6)
EUREKA MATH
Oka tiene 42 bellotas. Las coloca en 6 filas iguales. ¿Cuántas bellotas hay en cada fila?
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Contar salteado de seis en seis
• Usar una matriz para multiplicar y dividir
• Usar una letra para representar el número desconocido
• Hallar el valor del número desconocido
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• cubos interconectables de 1 cm (60)
Estudiantes
• cubos interconectables de 1 cm (60 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
Prepare 30 cubos interconectables de un color y 30 de otro color por pareja de estudiantes, y un set para la maestra o el maestro.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta
La clase interpreta un diagrama de cinta que representa una división partitiva y escribe una ecuación para adquirir la comprensión de las dos interpretaciones de la división.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el diagrama de cinta con 2 partes iguales y un total de 6.
¿Cuál es el total?
6
¿Este diagrama de cinta muestra el número de grupos o el tamaño de cada grupo?
El número de grupos
Escriban una ecuación de división que represente este diagrama de cinta en la que el cociente sea el tamaño de cada grupo.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Descomponer unidades
La clase completa un vínculo numérico como preparación para usar la propiedad distributiva a partir de la lección 5.
Muestre el vínculo numérico con una parte desconocida.
¿6 doses es igual a 5 doses y cuántos doses más?
Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 dos
Muestre el vínculo numérico completado.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de tres en tres con el método matemático
La clase usa el método matemático para hallar el producto de dos números de un dígito cuando uno de los números es 3 como preparación para aplicar la propiedad distributiva a partir de la lección 5.
Contemos de tres en tres con el método matemático. Cada dedo representa 3.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de tres en tres desde el 0 hasta el 30 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 3. ¿Comenzamos? (Dé la señal para que respondan).
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
8 × 39 × 37 × 3
Presentar
La clase se basa en su conocimiento de los treses para ver la relación entre los 3 y los 6.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen de los triciclos, los bagels, el hexágono y el diagrama de cinta. Invite a sus estudiantes a examinar cada parte de la imagen.
Diferenciación: Apoyo
Para apoyar a sus estudiantes en el desarrollo de la confianza y la metacognición, considere proporcionarles una tabla de multiplicación vacía para que puedan evaluar y reconocer qué operaciones se saben y cuáles aún tienen que aprender.
Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca.
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría.
Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento acerca de la relación entre los 3 y los 6. 5
Muéstreles cómo usar la tabla. Por ejemplo, considere decir: “Para ubicar el producto de 7 y 2, coloquen el dedo en la fila rotulada 7 y deslícenlo hacia la derecha hasta llegar a la columna rotulada 2. El número que está en el cuadrado dónde se cruzan la fila y la columna es el producto”.
Invite a la clase a completar todos los productos que sepan. Luego, demuestre cómo usar la conmutatividad para completar otros productos que se sepan. Muéstreles cómo pueden usar la tabla para dividir.
Considere volver a consultar la tabla a lo largo del módulo para completarla con las nuevas operaciones que hayan aprendido.
Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas. Considere hacer las siguientes preguntas para guiar la conversación.
Busquen treses en las imágenes. ¿Hay alguna imagen que no pertenezca al grupo?
Veo 3 ruedas en cada triciclo, 3 bagels en cada fila y 3 lados en las partes de arriba y de abajo del hexágono. Veo el 3 escrito en el diagrama de cinta, pero no hay 3 cosas que pueda contar, entonces, creo que el diagrama de cinta no pertenece al grupo.
Busquen seises en las imágenes. ¿Hay alguna imagen que no pertenezca al grupo?
El diagrama de cinta no pertenece al grupo porque puedo contar 6 cosas en las otras imágenes. Los triciclos no pertenecen al grupo porque las 6 ruedas no son del mismo tamaño.
El hexágono no pertenece al grupo porque veo 6 lados en el hexágono. Las otras imágenes tienen 2 grupos de 3 para mostrar 6.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué tienen en común las imágenes.
Muestre el siguiente esquema de oración: grupos de 3 es _______ .
Usen lo que las imágenes tienen en común para completar la oración.
2 grupos de 3 es 6.
Complete el esquema de oración y déjelo a la vista para el siguiente segmento. Pida a sus estudiantes que identifiquen dónde están los 2 grupos de 3 en cada imagen.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos diferentes estrategias para multiplicar por y dividir entre 6. Veamos cómo nos ayuda saber que 6 es 2 treses.
Aprender
Contar salteado de seis en seis
Materiales: M/E) Cubos
La clase relaciona las unidades de 3 con las unidades de 6 usando una matriz de cubos y el conteo salteado.
Forme parejas de estudiantes y dé a cada una 60 cubos. Invite a cada integrante de la pareja a usar cubos de un color para formar una matriz con 10 treses. Guíe a sus estudiantes en un conteo salteado de tres en tres para hallar el número total de cubos en la matriz.
¿Por qué número contamos?
3
¿Cuál es la unidad?
Tres
Cuando juntemos las matrices, ¿la unidad seguirá siendo tres?
¿Cómo lo saben?
No. Cuando las juntemos, habrá 6 en cada fila, entonces, la unidad será seis.
Pida a las parejas que compongan sus filas de 3 para formar filas de 6 en sus pizarras blancas.
Guíe a sus estudiantes para que cuenten de tres en tres en voz baja hasta el 30 como ayuda para contar de seis en seis. Haga énfasis en cada múltiplo de 6 diciéndolo en voz ligeramente más alta. A medida que cuentan, pídales que escriban el conteo salteado de seis en seis al lado de cada fila de sus matrices.
Invite a la clase a usar sus propias estrategias para terminar de contar y rotular el conteo salteado al lado de la matriz.
¿Qué ecuación de multiplicación representa nuestra matriz?
10 × 6 = 60
Pida a sus estudiantes que observen el siguiente esquema de oración: 2 grupos de 3 es 6. Invite a las parejas a que se reúnan y conversen acerca de cómo la oración se relaciona con la forma en que hallaron 10 × 6.
Las parejas pueden mantener el conteo salteado y la matriz a la vista para el siguiente segmento de la lección.
Usar una matriz para multiplicar y dividir
La clase usa una matriz, el conteo salteado y lo que sabe acerca de los 3 para multiplicar por y dividir entre 6.
Muestre la imagen de la matriz de 10 por 6.
¿Cómo representa esta matriz el trabajo que hicieron en parejas con los cubos?
Muestra cómo formamos dos matrices más pequeñas de 10 treses y, luego, las juntamos para formar 10 seises.
También muestra cómo contamos salteado para hallar el total.
Muestre las siguientes expresiones:
2 × 6 9 × 6 24 ÷ 6 48 ÷ 6
Invite a la clase a usar la matriz exhibida y la secuencia de conteo salteado de seis en seis para hallar el valor de cada expresión. Después de dar tiempo a sus estudiantes para que trabajen, comenten las estrategias que usaron para multiplicar por y dividir entre 6.
¿Cómo usaron la matriz o el conteo salteado de seis en seis para multiplicar?
Usé la matriz para ver 2 filas de 6 y, entonces, supe que la respuesta era 12.
Usé el conteo salteado de seis en seis, pero comencé desde abajo porque sé que 10 seises es 60.
Luego, resté 6 para hallar que 9 seises es 54.
DUA: Representación
Considere proporcionar a sus estudiantes papel cuadriculado en centímetros para brindar una experiencia concreta. Sus estudiantes pueden colocar los cubos sobre el papel cuadriculado y colorear las partes para que coincidan con los cubos.
También pueden cubrir partes de la matriz según sea necesario para concentrarse en la sección de la matriz que representa una operación en particular.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) al usar matrices concretas y pictóricas para hallar los valores de expresiones de multiplicación y de división.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué les indican las filas de la matriz para hallar el valor de 9 × 6?
• ¿De qué forma las unidades involucradas en la matriz les ayudan a multiplicar por y dividir entre 6?
¿Cómo usaron la matriz o el conteo salteado de seis en seis para dividir?
Para hallar 24 ÷ 6, pensé × 6 = 24. Puedo ver que 4 seises es 24.
Hallé el número 48 escrito al lado de la matriz y observé que 8 filas de 6 forman 48. Eso me sirvió de ayuda para saber que 48 ÷ 6 = 8.
Cubra el conteo salteado de seis en seis y las últimas 3 filas de la matriz de modo tal que queden visibles 7 filas de 6.
Sin los números escritos al lado de la matriz, ¿cómo podemos usarla para hallar 7 × 6?
Podemos contar salteado de tres en tres para hallar los seises.
Podemos contar salteado de seis en seis 7 veces.
Pida a la clase que cuente salteado de seis en seis a coro. A esta altura, es probable que la mayoría de sus estudiantes no sean capaces de contar salteado de seis en seis hasta el 42 de forma eficiente. Si hay quienes pueden contar hasta el 42, permita que lo hagan.
Necesitamos contar salteado de seis en seis con fluidez.
Observen la matriz. ¿Cuántos 6 ven?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los 3 pueden servir de ayuda para hallar 7 × 6.
Guíe una conversación de toda la clase. Preste atención a que sus estudiantes digan que podrían hallar 7 treses y, luego, sumar otros 7 treses para hallar 7 × 6.
Haga las siguientes preguntas mientras señala la matriz:
• ¿Cuánto es 7 × 3?
• ¿Cómo podemos hallar el valor de 2 grupos de 7 × 3?
• ¿Cuánto es 7 × 6?
Muestre la secuencia de conteo salteado de seis en seis al lado de la matriz.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo conocer las unidades de 3 puede servir de ayuda para multiplicar por 6.
Repita con 6 × 6, 8 × 6 y 9 × 6. A medida que la clase adquiere fluidez con el uso de los 3 para hallar los 6, quite el apoyo visual de la matriz y anime a sus estudiantes a usar el cálculo mental.
Diferenciación: Apoyo
Considere escribir la siguiente expresión debajo de la matriz en diferentes colores que coincidan con los colores de los cubos. Esto servirá de apoyo para que sus estudiantes entiendan el 6 como 2 treses.
(7 × 3) + (7 × 3)
Comente por qué 2 grupos de 7 × 3 es lo mismo que 7 × 6
Usar
una letra para representar el número desconocido
La clase resuelve un problema verbal de división con unidades de 6 y usa una letra para representar el número desconocido.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Guíe a la clase a lo largo del proceso Lee-Dibuja-Escribe para representar el número desconocido con una letra y resolver el problema.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
1. Hay 48 casillas de correos en la oficina. Las casillas están dispuestas en 6 filas iguales.
a. ¿Cuántas casillas de correos hay en cada fila?
c 48 ÷ 6 = c c = 8
Hay 8 casillas de correos en cada fila.
48
b. Escribe una ecuación de factor desconocido para representar el problema.
6 × c = 48
Lea el planteo del problema y el punto 1(a) a coro con sus estudiantes, luego, haga las siguientes preguntas para comentar lo que se conoce y lo que se desconoce.
¿Qué es lo que sabemos? ¿Cómo podemos representar lo que sabemos con un diagrama de cinta?
Dibuje un diagrama de cinta con 6 unidades iguales y rotule el total 48.
¿Qué se desconoce?
Rotule la primera parte del diagrama de cinta con un signo de interrogación.
En lugar de usar un signo de interrogación para representar el número desconocido, podemos usar una letra. Para este problema, podemos elegir la letra c para representar que el número desconocido es el número de casillas de correos en cada fila.
Nota para la enseñanza
El número desconocido también se puede rotular fuera del diagrama de cinta. Use el formato que sea más cómodo para sus estudiantes. Considere mostrarles ambos formatos para que usen el que mejor entiendan. ?
Borre el signo de interrogación y escriba la letra c en la primera parte del diagrama de cinta.
Escriban una ecuación de división para representar el problema. Usen la letra c para representar el número desconocido en su ecuación.
Escriba 48 ÷ 6 = c. Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar 48 ÷ 6.
¿Cuánto es 48 ÷ 6?
¿Cuál es el valor del número desconocido? ¿Cuál es el valor de c?
Escriba c = 8 e invite a la clase a hacer lo mismo.
¿Cuántas casillas de correos hay en cada fila?
Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado con la solución.
Indíqueles que vayan al problema 1(b). Lean el problema grupalmente y pida a la clase que use la letra c para escribir una ecuación de factor desconocido para representar el problema.
¿Qué representa la letra c en la ecuación de división? ¿Y en la ecuación de multiplicación?
¿Cuál es el valor de c en su ecuación de multiplicación? ¿Cómo lo saben?
El valor de c es 8 porque c representa lo mismo en ambas ecuaciones.
Sabemos que el valor de c es 8 en la ecuación de división, entonces, el valor de c también es 8 en la ecuación de multiplicación.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar una letra para representar el número desconocido en el diagrama de cinta y la ecuación se diferencia de usar un espacio o un signo de interrogación.
Nota para la enseñanza
Al elegir las letras, suele ser conveniente, pero no necesario, usar la primera letra de la palabra que representa el número desconocido. Por lo general, se evitan letras como b, e, i, l, o, q, s, t, x y z porque pueden confundirse fácilmente con números o símbolos. Por ejemplo, la l se parece al 1, la s se parece al 5, la t se parece al signo + y la x se parece al signo ×. Si la clase usa letras que se parecen a números o símbolos, señale la posible confusión.
El término variable se presenta en 4.° grado.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Anime a sus estudiantes a que usen letras a las que les encuentran sentido y que les sirvan como ayuda para entender el problema.
Hallar el valor del número desconocido
La clase halla el valor del número desconocido en una ecuación de multiplicación o división en la que el número desconocido está representado con una letra.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar los problemas del 2 al 6. Invite a la clase a usar la matriz y el conteo salteado de seis en seis, si es necesario, para hallar el valor de los números desconocidos.
Halla el valor de los números desconocidos.
2. 7 × 6 = k k = 42
3. 48 ÷ 6 = r r = 8
4. 6 × p = 36 p = 6
5. 54 ÷ h = 6 h = 9
6. w ÷ 3 = 6 w = 18
Después de dar tiempo a la clase para que trabaje, use la siguiente secuencia posible para comentar las estrategias que usaron al multiplicar por y dividir entre 6.
¿Cómo usaron la matriz o el conteo salteado de seis en seis para multiplicar?
Empecé en el 6 y conté hasta llegar al 36. Conté 6 seises para formar 36, entonces, el valor de p es 6.
Conté salteado para saber que 3 veces 6 da un total de 18, entonces, el valor de w es 18.
¿Cómo usaron la matriz o el conteo salteado de seis en seis para dividir?
Hallé el número 48 escrito al lado de la matriz y observé que 8 filas de 6 forman 48. Eso me sirvió de ayuda para saber que 48 ÷ 6 = 8. El valor de r es 8.
Pensé en la división como un problema de factor desconocido. Para hallar el valor de r, pensé 6 × r = 48. Luego, usé mi matriz para ver que 6 × 8 = 48, entonces, el valor de r es 8.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Contar salteado usando unidades de 6 para multiplicar y dividir usando matrices
Guíe una conversación acerca de las estrategias para multiplicar por y dividir entre 6 y el uso de una letra para representar un número desconocido.
Muestre la imagen de la matriz de 10 por 6 y las ecuaciones. Haga las siguientes preguntas.
¿Cuál es la relación entre los 3 y los 6? ¿Qué observan sobre el número de grupos y el tamaño de cada grupo?
2 grupos de 3 es 6 y el doble de 3 es 6.
Sé que 2 treses forman 1 seis. Hay el doble de 3 que de 6.
¿Qué estrategias usaron hoy para multiplicar por y dividir entre 6?
Usamos lo que sabemos acerca de los 3 como ayuda para multiplicar por 6.
Usamos las matrices y el conteo salteado para multiplicar por y dividir entre 6.
También escribimos una ecuación de factor desconocido con 6 para representar otra forma de pensar en la división entre 6.
¿Cómo se puede usar una letra para representar el número desconocido?
En lugar de usar un signo de interrogación o un espacio, podemos usar una letra para representar el número desconocido.
Cuando es un problema verbal, podemos elegir una letra que sirva de ayuda para pensar en qué representa el número desconocido. Por ejemplo, usamos una c para representar el número desconocido de casillas de correos en cada fila.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Halla el valor del número desconocido.
1. En cada grupo de globos hay 3 globos rojos y 3 globos morados.
a. Cuenta salteado de tres en tres para hallar el número total de globos.
11. Mía coloca un total de 42 canicas en 6 cajas. Cada caja contiene el mismo número de canicas. ¿Cuántas canicas hay en cada caja?
a. Dibuja y rotula un diagrama de cinta para representar el problema. Rotula el número desconocido con la letra c c 42
b. Completa los enunciados.
10 treses es 30
10 × 3 = 30 5 seises es 30 5 × 6 = 30
c. Usa las imágenes de los globos como ayuda para completar el enunciado.
2 grupos de 5 × 3 es lo mismo que 5 × 6
b. Escribe una ecuación de división para representar el problema. Usa la letra c para el número desconocido. Luego, halla el valor de c 42 ÷ 6 = c c = 7
12. El Sr. Davis planta bulbos de tulipanes en su jardín. Planta 3 filas con 6 bulbos en cada fila. ¿Cuántos bulbos de tulipanes planta el Sr. Davis?
a. ¿El siguiente diagrama de cinta representa el problema? Explica. p 666
Sí, el diagrama de cinta representa el problema. Hay 3 partes iguales en el diagrama de cinta que representan las 3 filas. El 6 en cada parte representa los 6 bulbos en cada fila. El número desconocido, el número total de bulbos que plantó, se representa con la letra p
b. Escribe una ecuación para representar el problema. Usa la letra p para el número desconocido. Luego, halla el valor de p
3 × 6 = p p = 18
Contar salteado usando unidades de 8 para multiplicar y dividir usando matrices
un modelo y cuenta salteado para hallar 6 × 8
Ejemplo:
Escribe una ecuación de división relacionada.
Ejemplo:
48 ÷ 8 = 6
Vistazo a la lección
La clase usa la relación entre los 4 y los 8 para multiplicar unidades de 8. Usan matrices, el conteo salteado y cálculos mentales para hallar productos y cocientes. Hallan el valor de números desconocidos en ecuaciones de multiplicación y división e identifican los beneficios de utilizar una letra para representar el número desconocido.
Preguntas clave
• ¿Qué estrategias se pueden usar para multiplicar por y dividir entre 8?
• ¿Cómo deciden qué estrategia usar para multiplicar por o dividir entre 8?
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA4 Determinan el número desconocido en una ecuación de multiplicación o división. (3.OA.A.4)
3.Mód3.CLA5 Aplican la propiedad distributiva para multiplicar. (3.OA.B.5)
Nombre
Dibuja
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Contar salteado de ocho en ocho
• Usar la tabla del cuatro para multiplicar por 8
• Multiplicar y dividir usando el 8 para hallar el número desconocido
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ábaco rekenrek de 100 cuentas
Estudiantes
• lápiz azul
• lápiz naranja
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta
La clase interpreta un diagrama de cinta que representa una división cuotativa o partitiva y escribe una ecuación para adquirir la comprensión de las dos interpretaciones de la división.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el diagrama de cinta con un tamaño del grupo de 5 y un total de 40.
¿Cuál es el total?
40
Usemos el diagrama de cinta para hallar cuántos cincos hay en 40.
¿Este diagrama de cinta muestra el número de grupos o el tamaño de cada grupo?
El tamaño de cada grupo
Escriban una ecuación de división que represente este diagrama de cinta en la que el cociente sea el número de grupos.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Descomponer unidades
La clase completa un vínculo numérico como preparación para usar la propiedad distributiva a partir de la lección 5.
Muestre el vínculo numérico con una parte desconocida.
¿7 doses es igual a 5 doses y cuántos doses más? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
2 doses
Muestre el vínculo numérico completado.
Nota para la enseñanza
Durante la secuencia en la que el cociente es el tamaño de cada grupo, omita la oración “Usemos el diagrama de cinta para hallar cuántos hay en ”. Las divisiones del diagrama de cinta ya muestran esto. Diga a sus estudiantes: “Escriban una ecuación de división para representar este diagrama de cinta en la que el cociente es el tamaño del grupo”.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de seis en seis en el ábaco rekenrek
Materiales: M) Ábaco rekenrek
La clase cuenta de seis en seis en forma unitaria y en forma estándar para adquirir fluidez con el uso de matrices al multiplicar y dividir.
Muestre el ábaco rekenrek a la clase. Comience la actividad con todas las cuentas colocadas a la derecha.
Digan cuántas cuentas hay a medida que las voy deslizando.
Deslice 6 cuentas en la fila superior, de una vez, hacia la izquierda.
6
La unidad es 6. En forma unitaria, decimos 1 seis. Digan 6 en forma unitaria.
1 seis
Deslice 6 cuentas en la siguiente fila, de una vez, hacia la izquierda.
¿Cuántas cuentas hay ahora? Díganlo en forma unitaria.
2 seises
Nota para la enseñanza
La tabla del seis se presentó en la lección 2. Por lo tanto, se espera un esfuerzo productivo y un ritmo más lento al contar de seis en seis. Preste atención a las respuestas de la clase para detectar errores, dudas y falta de participación. Si es necesario, limite el rango de números.
Continúe deslizando 6 cuentas en cada fila a medida que la clase cuenta.
Deslice todas las cuentas a la derecha nuevamente.
Ahora, practiquemos contar de seis en seis en forma estándar. Digan cuántas cuentas hay a medida que las voy deslizando.
Empecemos en el 0. ¿Comenzamos?
Deslice 6 cuentas, de una vez, en cada fila a medida que la clase cuenta.
0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
Presentar
La
clase dibuja y analiza modelos para mostrar la relación entre los 4 y los 8.
Muestre el siguiente enunciado: 2 grupos de 4 es 8.
Invite a la clase a dibujar un modelo para mostrar que este enunciado es verdadero. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para guiar su razonamiento:
• ¿Cómo pueden representar 1 grupo de 4? ¿Y 2 grupos de 4?
• ¿Cómo pueden mostrar que el total es 8?
Seleccione un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su trabajo con la clase. Considere ordenar de una determinada manera los trabajos que se compartieron con toda la clase, desde un modelo de representación (p. ej., un dibujo de grupos iguales) hasta un modelo más abstracto (p. ej., un diagrama de cinta). A medida que comparten su trabajo, invite a la clase a comentar cómo ese trabajo muestra que 2 grupos de 4 es 8. 5
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Anime a sus estudiantes a compartir su razonamiento en parejas. Pídales que consulten la Herramienta para la conversación, en la que las secciones Preguntar por el razonamiento y Estar de acuerdo o en desacuerdo pueden servirles como guía durante la conversación.
El trabajo de sus estudiantes puede incluir lo siguiente:
Grupos iguales
Vínculo numérico Matriz
44 Diagrama de cinta
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos diferentes estrategias para multiplicar por y dividir entre 8. Veamos cómo nos ayuda saber que 2 grupos de 4 es 8.
Aprender
Contar salteado de ocho en ocho
Materiales: E) Lápices de colores
La clase colorea una cuadrícula para formar una matriz y relacionar unidades de 4 con unidades de 8.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Indíqueles que usen un lápiz azul para colorear el lado izquierdo de la cuadrícula, formando una matriz de 10 filas de 4. Pídales que cuenten de cuatro en cuatro en voz baja a medida que colorean.
Luego, indíqueles que usen un lápiz naranja para colorear la parte restante de la cuadrícula, formando otra matriz de 10 cuatros. Pídales que cuenten de cuatro en cuatro en voz baja a medida que colorean. Luego, pídales que cuenten de cuatro en cuatro las matrices azul y naranja combinadas, en voz baja, pero elevando un poco la voz para los ochos. 35
DUA: Acción y expresión
Considere poner a disposición de sus estudiantes cubos interconectables y papel cuadriculado en centímetros. Si es necesario, invite a sus estudiantes a crear la matriz de dos colores con los objetos concretos sobre el papel cuadriculado. Luego, a medida que cuentan de cuatro en cuatro, pueden retirar una fila de cubos a la vez y colorear cada fila.
1. Colorea 10 cuatros de azul y 10 cuatros de naranja.
Deslice el dedo a lo largo de la fila superior de la matriz y diga lo siguiente:
La fila representa el tamaño del grupo. ¿Cuál es el tamaño del grupo en la matriz azul? ¿Y en la matriz naranja?
¿Cuál es la unidad en la matriz azul? ¿Y en la matriz naranja?
¿Cuál es la unidad en el total de la matriz? Contemos salteado para mostrar todos los ochos. Comencemos por la primera fila de la matriz.
Pida a sus estudiantes que escriban el conteo salteado de ocho en ocho al lado de cada fila en sus matrices. Recorra el salón de clases mientras trabajan y observe las estrategias que usan para escribir el conteo salteado. Permítales seleccionar y aplicar sus propias estrategias. Brinde únicamente la guía y el apoyo que necesiten. Cuando sus estudiantes hayan terminado, cuente salteado de ocho en ocho con toda la clase para confirmar su trabajo.
Nota para la enseñanza
La clase usa su fluidez con el conteo salteado de cuatro en cuatro para contar salteado de ocho en ocho. La matriz de dos colores y el patrón creado al susurrar y decir en voz alta el conteo de cuatro en cuatro sirve como apoyo para que observen y escuchen que 2 cuatros es 1 ocho.
Cada estudiante debe usar su propia estrategia para continuar contando salteado de ocho en ocho más allá del 40. Espere ver diversos niveles de complejidad:
• Estrategia de nivel 1: contar cada cuadrado de la matriz de unidad en unidad
• Estrategias de nivel 2: contar repetidamente de cuatro en cuatro hacia delante o sumar 8 repetidamente
• Estrategias de nivel 3: usar las propiedades asociativa o distributiva, como sumar 10 repetidamente y restar 2, o pensar en los ochos como 2 cuatros para multiplicar (p. ej., 7 × 8 = (7 × 4) + (7 × 4))
¿Qué estrategias usaron para contar salteado de ocho en ocho?
Conté salteado de cuatro en cuatro 2 veces en cada fila para hallar el total. Pude hacerlo hasta llegar a un total de 48. Luego, usé los cuadrados como ayuda para sumar 8 más cada vez.
Conté salteado de cuatro en cuatro 2 veces en cada fila para hallar el total. Pude hacerlo hasta llegar a un total de 48. Luego, sumé 4 dos veces y obtuve el nuevo total. Pensé 48 + 4 = 52 y 52 + 4 = 56.
Guíe una conversación de toda la clase acerca de la relación entre los 4 y los 8 mostrando la matriz coloreada. Deslice el dedo por la matriz a medida que comentan las siguientes preguntas posibles.
¿Cuánto es 1 cuatro + 1 cuatro?
Entonces, ¿cuál es el valor de 2 grupos de 1 cuatro?
¿Cuánto es 2 cuatros + 2 cuatros?
Entonces, ¿cuál es el valor de 2 grupos de 2 cuatros?
¿Cuántos 4 azules hay en total en la matriz?
¿Y naranjas?
Escriba 10 cuatros + 10 cuatros debajo de la matriz.
Mostremos cómo hallar el valor de 2 grupos de 10 cuatros. ¿Cómo escribimos 10 cuatros como una expresión?
10 × 4
Escriba (10 × 4) + (10 × 4) debajo de la matriz. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para hallar el valor de 2 grupos de 10 cuatros.
Sé que 10 × 4 es 40, entonces, 2 grupos de 10 × 4 es 80. 40 + 40 = 80.
Puedo ver en la matriz que 2 grupos de 10 cuatros es 80. Es lo mismo que 10 ochos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) al usar el modelo de matriz, la forma unitaria y expresiones de multiplicación para relacionar la multiplicación por 8 con la multiplicación por 4
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué les indican las matrices azul y naranja acerca de 3 × 8?
• ¿Cómo les ayudan las operaciones de la tabla del cuatro a pensar en las operaciones de la tabla del ocho?
Diferenciación: Apoyo
En lugar de deslizar el dedo por la matriz, considere dibujar recuadros alrededor de los grupos usando diferentes colores. Relacione cada par de grupos con una ecuación escribiendo el esquema de oración grupos de y la ecuación correspondiente al lado de la matriz en las primeras filas.
Muestre el siguiente esquema de oración completado y la expresión: 2 grupos de 10 cuatros y 2 × (10 × 4).
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el esquema de oración y la ecuación representan la matriz.
Entonces, ¿cuál es el valor de 2 grupos de 10 cuatros?
80
¿Cuánto es 80 en forma unitaria cuando 8 es el tamaño del grupo? 10 ochos
¿Cuál es el valor de 2 grupos de 10 cuatros, o 10 ochos?
80
Escriba 80 debajo de 2 × (10 × 4).
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué la matriz representa tanto 10 ochos como 2 grupos de 10 cuatros.
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a sus estudiantes que piensen si hay números para los que combinar dos matrices no serviría de ayuda. Nota para la enseñanza
Es posible que la clase observe la relación entre dividir a la mitad y duplicar en las ecuaciones con 4 y 8. Celebre el descubrimiento y reconozca el patrón.
Al relacionar expresiones con 4 con expresiones equivalentes con 8, el número de grupos se duplica porque el tamaño del grupo se divide a la mitad, de 8 a 4.
Usar la tabla del cuatro para multiplicar por 8
La clase usa una matriz, el conteo salteado y lo que sabe acerca de los 4 para multiplicar por y dividir entre 8.
Muestre la imagen de una estrategia para hallar la solución que sus estudiantes podrían usar para hallar 7 × 8.
Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar la estrategia para hallar la solución.
Observar y preguntarse
7 x 8 = 7 x (4 + 4) = (7 x 4) + (7 x 4)
2 x (7 x 4 )
2 x 28
56
+ 28 = 56
Esta es la estrategia que usó Adam para hallar 7 × 8. ¿Qué observan acerca de su trabajo?
Separó 8 en 4 y 4.
Escribió una expresión de 3 factores.
La estrategia usa la multiplicación y la suma.
¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?
Me pregunto por qué usó esa estrategia en lugar de dibujar una matriz o contar salteado.
Me pregunto por qué pensó en 2 grupos de 7 × 4.
Organizar
¿Qué pasos siguió Adam? ¿Cómo lo saben?
Pensó en 7 × 8 como (7 × 4) + (7 × 4). Lo sé porque primero reescribió el 8 como 4 + 4 y, luego, distribuyó el 7.
Vio que tenía 2 grupos de 7 × 4 y los reescribió como 2 × (7 × 4).
Halló el producto de 7 × 4, que es 28. Debajo de (7 × 4), veo 28.
Sumó 28 + 28 usando la estrategia de formar una decena y obtuvo 56.
Guíe la conversación para enfocarse en la relación entre los 4 y los 8. Fomente el razonamiento que conecta lo que sus estudiantes saben acerca de las operaciones con cuatro para multiplicar por 8.
Mostrar
Concentrémonos en lo que sabemos sobre la relación entre los 4 y los 8. ¿Dónde la ven en este caso?
Sabemos que 2 cuatros es 8. Usa eso para escribir 7 ochos como 7 cuatros 2 veces.
Lo veo en su trabajo donde sumó 28 más 28 porque 7 × 4 = 28.
Sintetizar
¿Por qué es importante para este trabajo saber que 2 × (7 × 4) es lo mismo que 7 × 8?
Es importante porque le ayuda a usar una operación que ya sabe, 7 × 4, para calcular una operación que no sabe, 7 × 8.
Es importante porque sabe que, si calcula el valor de 2 × (7 × 4), entonces, también sabe el valor de 7 × 8.
¿Por qué es útil saber que 2 cuatros es 8 al multiplicar por 8?
Es útil porque, si no puede contar salteado de ocho en ocho, puede usar algo que sabe para calcular el producto.
Es útil porque sabemos la tabla del 4, entonces, podemos usar la tabla del 4 como ayuda con las operaciones de la tabla del 8.
Comprender
¿De qué forma separar un factor grande en partes puede ser útil al multiplicar?
Es útil porque, si es un factor con el que llevaría mucho tiempo hacer el cálculo usando el conteo salteado, puede separarlo en factores más pequeños que conozca mejor para calcular el producto. Por ejemplo, puede separar el 8 en 4 y 4 o 5 y 3.
Si hay tiempo suficiente, pida a sus estudiantes que prueben esta estrategia con 6 × 8, 8 × 8 y 9 × 8. Anime a la clase a usar el cálculo mental para aplicar esta estrategia. Use las siguientes preguntas para comentar cuándo y por qué sus estudiantes elegirían usar esta estrategia.
¿Usarían esta estrategia para hallar 2 × 8? ¿Por qué?
No, me sé la tabla del 2, entonces, no necesitaría usar esta estrategia. No, puedo contar salteado de dos en dos o de ocho en ocho rápidamente para hallar 2 × 8.
¿Cómo deciden cuándo usar lo que saben acerca de la tabla del 4 como ayuda para multiplicar por 8?
Usaría lo que sé acerca de la tabla del 4 para multiplicar por 8 cuando no sé el producto y no puedo contar salteado rápidamente para calcularlo.
Usaría lo que sé sobre la tabla del 4 para multiplicar por 8 cuando no tengo una estrategia más eficiente.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para crear una lista de problemas de multiplicación en los que sería útil usar esta estrategia para hallar el producto.
Multiplicar y dividir usando el 8 para hallar el número desconocido
La clase halla el valor del número desconocido en una ecuación de multiplicación o de división en la que el número desconocido está representado con una letra.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 a 5. Pídales que hallen el valor de los números desconocidos.
Halla el valor de los números desconocidos.
2. c × 8 = 24 c = 3
3. 40 ÷ m = 8 m = 5
4. 8 × 4 = h h = 32
5. w ÷ 8 = 8 w = 64
Después de darles tiempo para que trabajen, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que usaron para resolver y hallar cada número desconocido.
Considere guiar una conversación acerca de cómo el uso de letras para representar los números desconocidos puede ser útil al resolver problemas.
Muestre la imagen del diagrama de cinta comparativo. Diga a la clase que este trabajo es de un problema verbal que resolvieron en el módulo 2. Invíteles a que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo usar una letra para representar un número desconocido puede ser útil al dibujar un diagrama de cinta en el que hay dos números desconocidos.
Cuando hay dos números desconocidos, podemos usar distintas letras para llevar la cuenta de las diferentes partes del problema.
Manzanas
Cerezas 670 g ? ?
Nota para la enseñanza
La conversación acerca del diagrama de cinta tiene como propósito brindar un contexto en el que cada estudiante reconozca el valor de usar una letra en lugar de un símbolo para rotular el número desconocido. En la imagen que se muestra, usar dos letras en lugar de signos de interrogación puede ayudar a sus estudiantes a entender y recordar qué representa cada número desconocido. 434 g
Si usamos letras en lugar de signos de interrogación, podríamos usar diferentes letras y hacer que la letra del diagrama de cinta coincida con la de la ecuación, así es menos confuso.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Contar salteado usando unidades de 8 para multiplicar y dividir usando matrices
Guíe una conversación acerca de las estrategias para multiplicar por y dividir entre 8.
¿Qué estrategias pueden usar para multiplicar por y dividir entre 8?
Podemos usar matrices y el conteo salteado para multiplicar por y dividir entre 8.
Lo que sabemos sobre la tabla del 4 puede ayudarnos a multiplicar por 8.
Podemos razonar la división entre 8 como una ecuación de factor desconocido.
¿Cómo deciden qué estrategia usar para multiplicar por o dividir entre 8?
Pienso en lo que ya sé y en cómo puedo usarlo como ayuda.
Si sé cómo contar salteado usando el otro factor, puedo hacer eso en lugar de contar salteado de ocho en ocho.
Pienso en usar la tabla del 4 como ayuda para multiplicar por 8.
Si no sé una operación de división, puedo usar una operación de multiplicación relacionada como ayuda.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Completa las partes (a) a (c) para mostrar la relación entre los cuatros y los ochos.
a. Cuenta salteado de cuatro en cuatro.
b. Completa los enunciados para hallar el total.
10 cuatros es 40 10 × 4 = 40 5 ochos es 40 5 × 8 = 40
c. Completa el enunciado para mostrar la conexión entre los cuatros y los ochos.
2 grupos de 5 × 4 es lo mismo que 5 × 8
Halla el valor de los números desconocidos.
2.
11. Escribe una ecuación para representar el siguiente diagrama de cinta. Luego, halla el valor del número desconocido.
88 m
Ecuación: 7 × 8 = m m = 56
12. El Sr. López agrupa a sus estudiantes para ir de excursión. Hay un total de 8 grupos de 4 estudiantes cada uno. ¿Qué cantidad de estudiantes irán a la excursión?
a. Dibuja un diagrama de cinta para representar el problema. Rotula el número desconocido con la letra c 4 c
b. Escribe una ecuación usando la letra c para representar el número total de estudiantes. Luego, halla el valor de c 8 × 4 = c c = 32
13. Luke hornea 72 galletas para vender. Las divide, en partes iguales, en 8 platos. ¿Cuántas galletas hay en cada plato?
a. Dibuja un diagrama de cinta para representar el problema. Rotula el número desconocido con la letra y 72 y
b. Escribe una ecuación de división usando la letra y para representar el número desconocido.
Luego, halla el valor de y.
72 ÷ 8 = y y = 9
c. Alguien dice que este problema también se puede representar con la ecuación 8 × y = 72.
¿Está en lo correcto? ¿Por qué?
Sí, está en lo correcto. Se puede pensar el problema como una división o como una multiplicación.
En cualquiera de las dos maneras, y es igual a 9.
Ejemplo:
Descomponer matrices pictóricas para crear expresiones de tres factores
Vistazo a la lección
La clase escribe expresiones de dos y tres factores para describir matrices y explica cómo diferentes expresiones pueden representar la misma matriz. Identifican distintas combinaciones de grupos iguales dentro de una matriz y escriben expresiones de tres factores.
Preguntas clave
• ¿Cómo se puede describir la misma matriz usando expresiones de dos factores y de tres factores?
• ¿Cómo nos ayuda una expresión de tres factores a hallar el producto de una expresión de dos factores?
Criterio de logro académico
3.Mód3.CLA7 Aplican la propiedad asociativa de la multiplicación. (3.OA.B.5)
Nombre
Encierra
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Relacionar los grupos iguales en una matriz con los paréntesis en una expresión de tres factores
• Describir una matriz previamente dividida como una expresión de tres factores
• Dividir una matriz y escribir expresiones de tres factores
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• marcadores fluorescentes (2) Estudiantes
• tarjetas numéricas de Eureka Math2 (1 juego por pareja de estudiantes)
• Plantilla de factor escondido (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Sus estudiantes necesitan los números del 2 al 10 del juego de tarjetas numéricas. Considere retirar las tarjetas 0 y 1 del juego.
• Prepare 2 marcadores fluorescentes, 1 de un color y 1 de otro.
Fluidez
Respuesta a coro: Redondear a la decena más cercana
La clase redondea un número de dos o tres dígitos a la decena más cercana para adquirir fluidez con la destreza del módulo 2.
Muestre 19 ≈ .
¿Cuánto es 19 redondeado a la decena más cercana? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
20
Muestre el número redondeado.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
4287126155703
Factor escondido
Materiales: E) Tarjetas numéricas, Plantilla de factor escondido
La clase halla un producto y dice una ecuación para adquirir fluidez con la multiplicación hasta el 100.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas numéricas a cada pareja de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase.
• Las parejas colocan el juego de tarjetas bocabajo sobre la Plantilla de factor escondido. Asígneles un factor para que practiquen (p. ej., 10) o permítales elegir un factor y pídales que lo escriban en el recuadro vacío al lado de la pila de tarjetas.
• Quienes participan como estudiantes A dan vuelta a la tarjeta que se encuentra en la parte de arriba y la colocan sobre la pila.
Nota para la enseñanza
Hasta ahora, la clase solo ha estudiado formalmente los factores 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 10. Considere limitar el juego al uso de estos factores o desafiar a sus estudiantes a usar otros factores, si están en condiciones de hacerlo.
• Cada estudiante, A y B, dice el producto. Consulte el diálogo de ejemplo debajo de la imagen.
• Quienes participan como estudiantes A dicen la ecuación de multiplicación comenzando con la tarjeta numérica. Quienes participan como estudiantes B dicen la ecuación de multiplicación relacionada cambiando el orden de los factores.
• Descartan la tarjeta que usaron en una pila separada.
Recorra el salón de clases durante la actividad para asegurarse de que las ecuaciones de multiplicación que dicen sean correctas.
Estudiantes A y B: “80”
Estudiante A: “ 8 × 10 = 80”
Estudiante B: “10 × 8 = 80”
Si alguna pareja se queda sin tarjetas antes de que finalice el tiempo, pueden colocar la pila de tarjetas descartadas bocabajo sobre la plantilla, intercambiar roles y seguir jugando. Pueden continuar usando el 10, un factor distinto asignado o elegir otro factor.
Contar de seis en seis con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para desarrollar la fluidez con el conteo de seis en seis y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Contemos de seis en seis con el método matemático. Cada dedo representa 6.
04248546 8 ×
Pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 0 hasta el 60 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Presentar
La clase usa lenguaje conocido de grupos de para escribir una expresión de tres factores que describa una matriz descompuesta.
Muestre la imagen de los 4 grupos de árboles y la expresión: grupos de ( × ).
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo completar la expresión para describir los grupos iguales.
Luego, invite a alguien a explicar dónde se ven 4 grupos de (2 × 3) en la imagen.
Muestre la imagen de los 4 grupos de árboles que están todos juntos y haga las siguientes preguntas.
Pensemos en cada fila como un grupo. ¿Cuántos grupos ven en esta matriz?
4 grupos
¿Cuántos árboles hay en cada grupo?
6 árboles
¿Esta matriz muestra 4 grupos de (2 × 3)? ¿Por qué?
Los 4 grupos de (2 × 3) siguen allí. Solo juntamos los 4 grupos, no cambiamos la cantidad de árboles que hay.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a describir los grupos iguales en matrices como expresiones de dos y tres factores.
Nota para la enseñanza
Es posible que la clase observe que algunas expresiones de la lección se escriben como grupos de ( × ) Escribir expresiones con este formato provee un soporte para la comprensión de las expresiones de tres factores escritas usando solo dígitos y símbolos.
Aprender
Relacionar los grupos iguales en una matriz con los paréntesis en una expresión de tres factores
Materiales: M) Marcadores fluorescentes
La clase describe los grupos iguales en una matriz como una expresión con paréntesis.
Muestre la imagen de la matriz de 6 por 4.
¿Dónde ven grupos de 2 doses, o 2 × 2?
Los diferentes colores en la matriz
Invite a sus estudiantes a contar los grupos a medida que los señala.
Escriba la expresión: grupos de (2 × 2).
¿Cuántos grupos de 2 × 2 hay en la imagen?
Complete la expresión: 6 grupos de (2 × 2).
Escriba × ( × ) debajo de la expresión anterior.
Hay 6 grupos iguales y el tamaño de cada grupo es (2 × 2). Usen lo que saben sobre la multiplicación para completar la expresión que solo tiene números y símbolos.
Invite a la clase a trabajar en parejas para completar la expresión. Luego, invite a un o una estudiante a compartir la expresión.
Invite a las parejas a comentar qué expresión de multiplicación de dos factores representa la matriz. Invite a un o una estudiante a compartir la expresión y, luego, complétela: 6 × 4.
Diferenciación: Apoyo
Considere usar cubos interconectables para crear las matrices. Esto brindará a sus estudiantes una experiencia concreta antes de pasar a las matrices pictóricas.
Nota para la enseñanza
Los paréntesis se usan intencionalmente alrededor de dos factores cuando se presentan las expresiones de tres factores. Ayudarán a sus estudiantes a observar qué factores agrupar en primer lugar hasta que quede establecido, en la lección 10, que los factores se pueden multiplicar en cualquier orden.
Invite a las parejas a que se reúnan y conversen acerca de cómo la matriz representa 6 × 4 y 6 × (2 × 2).
Considere relacionar la expresión de tres factores con la expresión de dos factores usando la siguiente secuencia:
Resalte los seises en ambas expresiones con el mismo color.
Veo 6 en ambas expresiones.
Señale el 4 de la segunda expresión.
Veo 4 en esta expresión. ¿Dónde está el 4 en la expresión de tres factores?
Está escrito como 2 × 2, que es igual a 4.
Resalte el 4 y 2 × 2 con un mismo color, diferente al que usó para el 6.
Los paréntesis muestran cómo se agrupan los factores. Podemos colocar paréntesis alrededor de 2 × 2 como ayuda para ver el 4 en la expresión de tres factores.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los paréntesis sirven como ayuda para mostrar la relación entre dos expresiones.
Describir una matriz previamente dividida como una expresión de tres factores
La clase describe los grupos iguales de una matriz como expresiones con paréntesis.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la expresión 4 × 8 representa la matriz.
1. Usa la matriz como ayuda para completar los espacios.
4 × 8
4 grupos de ( 4 × 2 )
4 × ( 4 × 2 )
Pida a sus estudiantes que observen la expresión: 4 grupos de ( × ).
¿Dónde observan 4 grupos en la matriz?
La matriz está separada en 4 matrices de diferentes colores de 4 × 2. Veo 4 grupos de 4 × 2.
Podemos ver cada grupo como 2 cuatros o 4 doses, según veamos como grupos las columnas o las filas. Para este ejemplo, consideremos que las filas son los grupos. ¿Cómo escribimos 4 grupos de 4 × 2 como una expresión de tres factores?
4 × (4 × 2)
Pida a sus estudiantes que completen las expresiones. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde ven 4 y 8 en cada expresión.
DUA: Representación
Considere codificar por colores las partes relacionadas para resaltar las relaciones entre las expresiones. Pida a sus estudiantes que resalten el primer 4 en cada expresión con un color, y el 8 y (4 × 2) con otro color para mostrar la relación entre las tres expresiones.
Luego, pídales que completen el problema 2. Brinde la guía y el apoyo que necesiten.
2. Usa la matriz como ayuda para completar los espacios.
8 grupos de ( 2 × 3 )
8 × ( 2 × 3 )
8 × 6
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde ven 8 y 6 en cada expresión.
Diferenciación: Apoyo
Si hay estudiantes que tienen dificultades para reconocer los 8 grupos, considere hacer una copia del problema 2 para que manipulen. Recorte la matriz en 8 grupos de modo que cada grupo pueda distinguirse fácilmente. Pídales que coloquen un grupo sobre una pizarra blanca y describan y rotulen lo que observan. Es posible que les resulte más fácil identificar (2 × 3) o un grupo de 6 cuando el grupo está aislado. Luego, ayúdeles a establecer la conexión con los 8 grupos.
Dividir una matriz y escribir expresiones de tres factores
La clase ubica grupos iguales en una matriz y escribe una expresión de tres factores para representar la matriz.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3.
¿Qué observan acerca de las matrices en los problemas 3 a 6?
Son iguales a la matriz en el problema 2.
Todas muestran 8 filas de 6.
¿Qué expresión de dos factores describe cada matriz?
8 × 6
¿Qué expresión de tres factores escribimos para describir la matriz en el problema 2?
8 × (2 × 3)
Me pregunto si hay otras formas en las que podríamos separar la matriz en grupos iguales.
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para hallar diferentes formas de representar la misma matriz con grupos iguales. Deben encerrar flores en un círculo en cada matriz para mostrar los grupos iguales y, luego, completar las expresiones.
Mientras las parejas trabajan, recorra el salón de clases y haga preguntas como las siguientes para promover el razonamiento estratégico:
• ¿Pueden formar 2 grupos iguales? ¿Y 3 grupos iguales? ¿Y 4 grupos iguales?
• ¿Cómo pueden usar los grupos encerrados en un círculo como ayuda para escribir una expresión de tres factores?
• ¿Cómo les ayuda pensar en grupos de a escribir una expresión de tres factores?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante busca estructuras (MP7) cuando descompone la matriz en matrices iguales más pequeñas y escribe las expresiones de dos y tres factores correspondientes. Comienzan a hacer uso de esa estructura cuando consideran cómo puede ayudarles la descomposición a hallar productos desconocidos usando operaciones conocidas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo puede ayudarles lo que saben sobre el número de filas y columnas de la matriz original para separarla en grupos iguales?
• ¿Cómo se relaciona cada matriz descompuesta con la matriz original? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar el producto?
Encierra en un círculo grupos iguales en cada matriz y, luego, usa la matriz como ayuda para completar los espacios.
Nota para la enseñanza
Con el fin de brindar a sus estudiantes un soporte para separar matrices en grupos iguales, considere pedirles que repitan los grupos iguales que se usaron en el problema 2 y encierren en un círculo 8 grupos de (2 × 3) como primer ejemplo.
Hay muchas respuestas que sus estudiantes pueden dar cuando descomponen la matriz. Acepte todas las respuestas que muestren grupos iguales.
2 grupos de ( 4 × 6 )
2 × ( 4 × 6 )
2 × 24
2 grupos de ( 8 × 3 )
2 × ( 8 × 3 )
2 × 24
Después de dar tiempo a la clase para que trabaje, agrupe a las parejas de estudiantes para formar grupos de cuatro. Invite a las parejas a compartir su trabajo con su grupo, haciendo énfasis en dónde se puede ver cada factor de las expresiones en las matrices. Luego, reúna a toda la clase para conversar.
¿Qué observaron acerca de las maneras de separar la matriz?
Había muchas maneras diferentes de separar la misma matriz.
Las expresiones de dos factores eran diferentes. No obtuvimos 8 × 6 en todas las matrices.
Pida a sus estudiantes que compartan expresiones de tres factores que representen la matriz. Escriba las diferentes expresiones y guíeles para que observen que cada expresión tiene el mismo valor que 8 × 6 porque es la misma matriz.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Invite a sus estudiantes a usar un esquema de oración para apoyar sus comentarios. Por ejemplo:
Me resultó más fácil pensar en grupos de ( × ) porque .
Muestre la imagen de la matriz de flores de 8 por 6 dividida en dos grupos iguales.
Si no sé cuánto es 8 × 6, ¿cómo me ayudaría separar el problema en tres factores para hacer el cálculo? Observemos esta matriz y esta expresión. ¿Por qué esta puede ser una manera más simple de hallar el producto?
No sé cuánto es 8 × 6, pero sé que 4 × 6 = 24. Entonces, pienso en 2 grupos de 24. Sé que 24 + 24 = 48, por lo tanto, el producto es 48.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuál o cuáles de las expresiones, si es que hay alguna, hacen más fácil pensar en 8 × 6.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos. 2 grupos de ( 4 × 6 )
× ( 4 × 6 )
× 24
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Descomponer matrices pictóricas para crear expresiones de tres factores
Guíe una conversación acerca de expresiones de dos y tres factores.
¿Cómo se puede describir la misma matriz usando expresiones de dos factores y de tres factores?
Se puede escribir una expresión de dos factores mirando el número total de filas y columnas.
También se pueden hallar grupos iguales más pequeños en la misma matriz y usarlos para escribir expresiones de tres factores. Depende de cómo se vea la matriz.
Muestre la imagen de la matriz de flores de 8 por 6 dividida en cuatro grupos iguales.
Esta es otra forma de escribir una expresión de tres factores para la matriz en el problema 3. ¿Esta expresión de tres factores hace más fácil pensar en 8 × 6? ¿Por qué?
No me ayuda, porque pensar en 4 grupos de 4 × 3 no me resulta más fácil que pensar en 8 × 6.
Me ayuda porque me resulta más fácil sumar 4 doces que hallar 8 seises.
¿Cómo nos ayuda una expresión de tres factores a hallar el producto de una expresión de dos factores?
Me ayuda a separar en partes un factor más grande, que aún no conozco o por el que no quiero contar salteado, y crear una operación más pequeña y sencilla.
Boleto de salida 5 min
4 grupos de ( 4 × 3 )
4 × ( 4 × 3 )
4 × 12
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1.
Encierra en un círculo grupos iguales en cada matriz. Luego, usa las matrices como ayuda para completar los espacios.
4 grupos de ( 3 × 4 ) 4 × ( 3 × 4 )
8. Dibuja una matriz para mostrar 4 × 6. Luego, encierra en un círculo grupos iguales en tu matriz para mostrar 4 × 6 = 4 × (2 × 3).
Usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar con unidades de 6 y 8
Vistazo a la lección
La clase demuestra la estrategia de separar y distribuir usando matrices, diagramas de cinta y factores conocidos. Usa expresiones escritas como ( + ) × para representar la estrategia.
Preguntas clave
• ¿Qué les ayuda a decidir cómo separar en partes un factor?
• ¿Cuándo les ayuda la estrategia de separar y distribuir a multiplicar?
Criterio de logro académico
3.Mód3.CLA5 Aplican la propiedad distributiva para multiplicar. (3.OA.B.5)
Agenda
Fluidez 15 min
Presentar 5 min
Aprender 30 min
• Separar y distribuir 8 grupos
• Separar y distribuir 6 grupos
• Separar y distribuir con un diagrama de cinta
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ábaco rekenrek de 100 cuentas
Estudiantes
• Práctica veloz: Redondear a la decena más cercana (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Redondear a la decena más cercana
EUREKA MATH2
Materiales: E) Práctica veloz: Redondear a la decena más cercana
3 ▸ M3 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear a la decena más cercana
La clase redondea números de dos y tres dígitos a la decena más cercana para adquirir fluidez con la destreza del módulo 2.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Redondea a la decena más cercana.
1. 54 ≈ 50
2. 138 ≈ 140
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos progresaron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 3 con los problemas 4 a 6?
• ¿Cambió su estrategia para los problemas 12 a 22? De ser así, ¿cómo cambió?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de cuatro en cuatro desde el 0 hasta el 40 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de cuatro en cuatro desde el 40 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Contar de ocho en ocho en el ábaco rekenrek
Materiales: M) Ábaco rekenrek
La clase cuenta de ocho en ocho en forma unitaria y en forma estándar para adquirir fluidez con el uso de matrices al multiplicar y dividir.
Muestre el ábaco rekenrek a la clase. Comience la actividad con todas las cuentas colocadas a la derecha.
Digan cuántas cuentas hay a medida que las voy deslizando.
Deslice 8 cuentas en la fila superior, de una vez, hacia la izquierda.
8
La unidad es 8. En forma unitaria, decimos 1 ocho. Digan 8 en forma unitaria.
1 ocho
Deslice 8 cuentas en la siguiente fila, de una vez, hacia la izquierda.
¿Cuántas cuentas hay ahora? Díganlo en forma unitaria.
2 ochos
Continúe deslizando 8 cuentas en cada fila, de una vez, a medida que la clase cuenta.
Deslice todas las cuentas a la derecha nuevamente.
Ahora, practiquemos contar de ocho en ocho en forma estándar. Digan cuántas cuentas hay a medida que las voy deslizando.
Empecemos en el 0. ¿Comenzamos?
Deslice 8 cuentas, de una vez, en cada fila a medida que la clase cuenta.
0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
Nota para la enseñanza
La tabla del ocho se presentó en la lección 3. Por lo tanto, se espera un esfuerzo productivo y un ritmo más lento al contar de ocho en ocho. Preste atención a las respuestas de la clase para detectar errores, dudas y falta de participación. Si es necesario, limite el rango de números.
Presentar
La clase determina el total en una matriz compuesta de matrices más pequeñas.
Muestre la imagen de las latas de sopa.
Liz ve latas de sopa de tomate y de sopa de pollo en los estantes del supermercado. Se pregunta cuántas latas de sopa hay en total. Trabajen en parejas para hallar el número total de latas de sopa.
Después de dar tiempo a las parejas de estudiantes para que trabajen, comenten las estrategias que usaron para determinar el número total de latas de sopa.
¿Cuál es el número total de latas de sopa?
¿Qué estrategia usaron para hallar el número total de latas de sopa?
Hay 6 latas de sopa en cada columna, entonces, contamos salteado de seis en seis.
Vimos la matriz como 2 grupos de 3 × 7. Sabemos que 3 × 7 = 21 y 21 + 21 = 42.
Muestre las siguientes expresiones: 6 × 7 y (3 × 7) + (3 × 7).
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué ambas expresiones describen la matriz.
¿Cuál es el nombre de la estrategia en la que separamos un factor en partes?
Es la estrategia de separar y distribuir.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, representaremos la estrategia de separar y distribuir de diferentes maneras.
Nota para la enseñanza
Se encuentra disponible un video de contexto para este problema verbal. Este video puede servir para eliminar barreras culturales e incentivar la participación de la clase. Antes de presentar el problema, considere mostrar el video y guiar una conversación acerca de lo que cada estudiante observa y se pregunta. Esta herramienta les ayuda a visualizar la situación antes de interpretarla de forma matemática.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando se comunica usando diferentes operaciones, de suma y multiplicación, en el mismo contexto o la misma ecuación.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Qué significan los signos de suma y de multiplicación en su ecuación en términos de las latas de sopa?
• ¿Cómo usan la suma y la multiplicación en conjunto cuando hallan el número total de latas de sopa?
• ¿Cómo usan los paréntesis en su trabajo?
Aprender
Separar y distribuir 8 grupos
La clase separa 8 para hallar 8 × 7 usando la estrategia de separar y distribuir.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Pídales que escriban una expresión para representar la matriz completando los primeros dos espacios.
1. Liz ve latas de guisantes en los estantes del supermercado. ¿Cuántas latas de guisantes hay?
Usa la estrategia de separar y distribuir para hallar el número total de latas de guisantes.
Hay 56 latas de guisantes.
¿Qué expresión escribieron para representar las latas de guisantes?
Escriba 8 × 7.
Para hallar 8 × 7, separemos el 8. ¿Qué operaciones de suma cuyo resultado es 8 podemos mencionar?
Mientras sus estudiantes mencionan formas de separar 8 en partes, registre su razonamiento con vínculos numéricos.
Estamos separando 8 en partes para formar operaciones que sabemos que podemos usar para multiplicar por 7. Pensemos en todas las maneras de formar 8. Observen los vínculos numéricos y piensen en los factores que conocemos bien.
Señale el vínculo numérico que muestra 8 descompuesto en 0 y 8.
Para usar esta combinación, necesitamos multiplicar 7 por 8 y por 0. ¿Simplificaría el problema multiplicar 7 por 8 y por 0?
¿Qué vínculo numérico tiene partes que son factores que conocemos bien?
Encierre en un círculo las descomposiciones de 8 que sus estudiantes identifiquen como factores que conocen bien. Señale el vínculo numérico que muestra 8 separado en 4 y 4.
Hemos estado pensando en 8 como 2 grupos de 4. Veamos si eso es útil cuando usamos la estrategia de separar y distribuir.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1.
Tenemos 8 grupos de 7. ¿Cómo podemos separar los 8 grupos en dos grupos más pequeños?
Podemos separar los 8 grupos en 2 grupos de 4.
¿Dónde podemos trazar una línea en la matriz para mostrar cómo separar 8 en 2 cuatros?
Trace una línea entre la cuarta fila y la quinta fila de la matriz. Invite a la clase a hacer lo mismo.
Mostremos que 8 × 7 = (4 + 4) × 7. Usamos paréntesis como ayuda para ver que estamos pensando en 8 como 4 + 4.
Complete la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Nota para la enseñanza
Es posible que sus estudiantes piensen en factores con un producto de 8 en lugar de sumandos con una suma de 8 debido a su trabajo en la lección 4. Guíe a la clase para que piense en operaciones de suma y apoye el uso de vínculos numéricos para representar las relaciones de parte-parte-total.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes tendrán niveles de fluidez variados con distintos factores. Guíe la conversación para seleccionar pares de factores con los que sus estudiantes puedan trabajar cómodamente y que muestren cómo puede ser útil la estrategia de separar y distribuir.
DUA: Representación
Considere resaltar el 8, el 4 y el 4 para conectar las partes de la ecuación.
× × ×
¿Qué observan sobre la matriz ahora?
Está separada en dos matrices más pequeñas.
¿Qué expresiones representan las dos matrices más pequeñas?
Escriba 4 × 7 al lado de cada matriz más pequeña.
¿Cómo pueden estas expresiones ayudarme a hallar 8 × 7?
Puede sumar los productos de las dos matrices más pequeñas para hallar el número total de latas.
Muestre cómo escribir la expresión (4 × 7) + (4 × 7) para representar la suma de las dos matrices más pequeñas. Invite a sus estudiantes a escribir la expresión en los espacios de la segunda fila del problema 1.
¿Dónde ven los factores originales, 8 y 7, en esta nueva expresión?
Veo el 8 separado en 4 y 4. El siete está en ambas expresiones, porque es la unidad. 4 sietes y 4 sietes forman 8 sietes.
Invite a la clase a hallar el producto de las dos matrices más pequeñas y sumar para hallar el número total de latas.
¿Cuál es el número total de latas de guisantes?
Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado para responder la pregunta.
Señale los cuatros en la expresión (4 + 4) × 7.
Separamos 8 en 4 y 4.
Señale los sietes en la expresión (4 × 7) + (4 × 7).
Luego, distribuimos el otro factor, 7, para multiplicarlo por las dos partes en las que separamos el 8.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo las expresiones (4 + 4) × 7 y (4 × 7) + (4 × 7) muestran la estrategia de separar y distribuir.
Si hay tiempo suficiente, guíe rápidamente a sus estudiantes para que usen 8 × 7 = (5 + 3) × 7. Luego, conversen brevemente sobre qué combinación fue más útil para hallar 8 × 7.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Como apoyo para el uso del término distribuir considere usar el sinónimo repartir. Represente el hecho de repartir, o distribuir, papeles u otros elementos. Cuando sea posible, reemplace un término por otro durante los procedimientos normales de la clase para que sus estudiantes se acostumbren a la palabra.
Separar y distribuir 6 grupos
La clase trabaja en parejas para aplicar la estrategia de separar y distribuir al multiplicar por 6.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que trabajen en parejas y usen la estrategia de separar y distribuir para hallar el número total de frascos de salsa. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Cuáles son algunas maneras de separar 6 grupos?
• ¿Qué factores que ya conocen pueden ayudarles a decidir cómo separar 6 en partes?
• ¿Cómo pueden usar la matriz para mostrar cómo separar 6 grupos?
• ¿Qué expresión nueva pueden escribir para mostrar cómo decidieron separar 6 en partes?
• ¿Qué expresiones pueden escribir para representar las matrices más pequeñas?
• ¿Cómo pueden usar las expresiones que representan las matrices más pequeñas para hallar 6 × 9?
2. Liz ve frascos de salsa en los estantes del supermercado. ¿Cuántos frascos de salsa hay?
Usa la estrategia de separar y distribuir para hallar el número total de frascos de salsa.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo con la estrategia de separar y distribuir porque eligen factores que no forman operaciones que se saben, considere guiar a la clase por medio de un razonamiento en voz alta como el siguiente:
“Puedo pensar en 6 nueves de otra manera. Puedo pensar en 3 nueves + 3 nueves, pero eso no me ayuda si no me sé 3 × 9.
Puedo pensar en 5 nueves + 1 nueve. Eso sí me ayuda, porque me sé 5 × 9 y puedo ver que 1 nueve es 9. Puedo sumar 45 más 9 usando la estrategia del cálculo mental”.
6 × 9 = ( 5 + 1 ) × 9 = ( 5 × 9 ) + ( 1 × 9 )
Hay 54 frascos de salsa.
Guíe una conversación de toda la clase acerca del uso de la estrategia de separar y distribuir para resolver el problema 2.
¿Cómo separaron 6 en partes? Expliquen por qué separaron 6 de esa manera.
Separamos 6 en 5 y 1 porque nos sabemos bien la tabla del cinco.
Decidimos separar 6 en 3 y 3 porque pensamos en 6 como 2 grupos de 3.
¿Qué factor se distribuyó en ambas partes de la expresión? ¿Cómo lo saben?
Se distribuyó el 9 porque, como separamos el 6 en partes, se distribuye el otro factor.
Sé que se distribuyó el 9 porque se puede ver en nuestra expresión, (5 × 9) + (1 × 9).
El 6 está separado en 5 y 1, y el 9 está distribuido.
Separar y distribuir con un diagrama de cinta
La clase analiza cómo se representa la estrategia de separar y distribuir en un diagrama de cinta.
Guíe a sus estudiantes a observar cómo se representa la estrategia de separar y distribuir en un diagrama de cinta.
Muestre la imagen de los frascos de salsa y el diagrama de cinta.
Nota para la enseñanza
Los ejemplos de soluciones muestran formas de usar la estrategia de separar y distribuir en estos problemas. Acepte todas las respuestas que utilicen esta estrategia correctamente.
Nota para la enseñanza
En lugar de usar la imagen dada para el problema 2, considere mostrar un ejemplo de trabajo de sus estudiantes que coincida con el trabajo del diagrama de cinta.
DUA: Representación
Como apoyo para hacer la transición de la matriz al diagrama de cinta, considere usar cubos interconectables. Represente la matriz de forma vertical como 6 nueves usando 5 cubos de un color y 1 cubo de otro color. Luego, rote la matriz horizontalmente para mostrar que se ve como el diagrama de cinta.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se representa la estrategia de separar y distribuir en el diagrama de cinta. Recorra el salón de clases mientras comparten su razonamiento y proporcione apoyo según sea necesario. Elija a algunas parejas para que compartan sus ideas con la clase. Anime a sus estudiantes a que señalen dónde ven 6 separado en 5 y 1 en la matriz y en el diagrama de cinta.
Vemos que 6 está separado en el diagrama de cinta igual que en la matriz. Hay 6 nueves y una línea trazada para mostrar 5 nueves y 1 nueve. Por lo tanto, se separó el 6 y se distribuyó el 9 en ambas partes de la expresión.
Observamos que el diagrama de cinta está rotulado con las mismas expresiones que la matriz, 5 × 9 y 1 × 9. Estas expresiones muestran cómo separar 6 en 5 y 1 y, luego, distribuir el 9 en ambas partes de la expresión.
Si hay tiempo suficiente, pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que dibujen un diagrama de cinta y usen la estrategia de separar y distribuir para hallar el número total de tomates.
3. Liz ve 8 filas de tomates en los estantes del supermercado. Hay 9 tomates en cada fila. ¿Cuántos tomates hay?
a. Dibuja un diagrama de cinta para representar los tomates. 9
5 × 93 × 9
b. Usa la estrategia de separar y distribuir para hallar el número total de tomates.
8 × 9 = ( 5 + 3 ) × 9 = ( 5 × 9 ) + ( 3 × 9 )
Hay 72 tomates.
Nota para la enseñanza
A lo largo del módulo, hay diversas oportunidades para que la clase domine la estrategia de separar y distribuir. La estrategia vuelve a aparecer en el módulo 4, en el contexto del área.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para determinar si la estrategia de separar y distribuir es eficiente para hallar el producto de cada expresión.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar con unidades de 6 y 8
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la estrategia de separar y distribuir.
¿Cuándo les ayuda la estrategia de separar y distribuir a multiplicar?
Me ayuda cuando no sé el producto, pero puedo separar uno de los factores en factores más pequeños de los que sí sé el producto.
Me ayuda cuando puedo usar la estrategia de separar y distribuir para reescribir el problema como operaciones que ya sé o que son más fáciles de calcular para mí por medio del conteo salteado.
¿Qué les ayuda a decidir cómo separar en partes un factor?
Observo los factores y pienso en las operaciones que sé.
Pienso en cómo puedo separar en partes el factor para usar operaciones conocidas.
Muestre la imagen de las latas de sopa de tomate y las latas de sopa de pollo, la expresión (3 × 7) + (3 × 7) y el esquema ( + ) × 7.
Anteriormente conversaron acerca de cómo esta expresión describe el grupo de latas de sopa. ¿Qué otra expresión aprendieron hoy que pueden usar para mostrar la estrategia de separar y distribuir?
Complete el esquema con (3 + 3) × 7.
¿Por qué ambas expresiones muestran el mismo razonamiento?
(3 + 3) × 7 muestra que estoy separando 6 en 3 + 3 y necesito multiplicar 7 por cada parte y, luego, hallar la suma.
(3 × 7) + (3 × 7) también muestra que estoy separando 6 en dos partes y que necesito hallar la suma de 3 sietes más 3 sietes.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
A1.
1. Dibuja la parte de la matriz para completar el vínculo numérico. Luego, úsalo como ayuda para completar los espacios y hallar el total.
las matrices como ayuda para completar los espacios y hallar los totales.
Rotula los diagramas de cinta. Luego, completa las ecuaciones.
4. 3021 2 6 (5 × 6)= × (6)=
7 × 6 = (5 + 2) × 6
= (5 × 6) + ( 2 × 6)
= 30 + 12
= 42
5. 6 × 6) = ( × 6) = 53(0424
9 × 6 = (5 + 4 ) × 6
= ( 5 × 6) + ( 4 × 6)
= 30 + 24 = 54
6. Adam camina 9 vueltas alrededor de la pista todos los días durante 8 días. ¿Cuántas vueltas camina en total?
a. Para hallar el total, Jayla separa 8 × 9 en 5 × 9 y 3 × 9. Luego, suma 45 y 27 y obtiene 72. Explica por qué su estrategia funciona.
La estrategia de Jayla funciona porque separó 8 en 5 y 3 y, luego, multiplicó 9 por 5 y 9 por 3 Sé que 8 nueves es la misma cantidad que 5 nueves + 3 nueves
b. Muestra otra forma de separar 8 × 9 en operaciones más pequeñas para hallar el producto.
Ejemplo:
8 × 9 = (4 + 4) × 9
= (4 × 9) + (4 × 9)
= 36 + 36 = 72
Usar la estrategia de separar y distribuir para dividir con unidades de 6 y 8
Usa la estrategia de separar y distribuir para hallar 48 ÷ 4
Sombrea la matriz para mostrar cómo separaste 48 en partes.
Ejemplo:
Vistazo a la lección
La clase aplica la estrategia de separar y distribuir a la división usando matrices y vínculos numéricos. Toma decisiones acerca de cómo separar el total en partes usando operaciones conocidas.
Preguntas clave
• ¿Cómo pueden usar las operaciones que ya saben como ayuda para dividir?
• ¿Cómo les ayuda usar un vínculo numérico cuando aplican la estrategia de separar y distribuir para dividir?
Criterio de logro académico
3.Mód3.CLA6 Aplican la propiedad distributiva para dividir. (3.OA.B.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Separar y distribuir para dividir entre 6
• Separar y distribuir usando vínculos numéricos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Afiches de vínculos numéricos (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• tarjetas numéricas de Eureka Math2 (1 juego por pareja de estudiantes)
• Plantilla de factor escondido (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Sus estudiantes necesitan los números del 2 al 10 del juego de tarjetas numéricas. Considere retirar las tarjetas 0 y 1 del juego.
• Haga una copia de los Afiches de vínculos numéricos y cuélguelos a la vista en el salón de clases.
Fluidez
Respuesta a coro: Redondear a la centena más cercana
La clase redondea un número de tres o cuatro dígitos a la centena más cercana para adquirir fluidez con la destreza del módulo 2.
Muestre 361 ≈ .
¿Cuánto es 361 redondeado a la centena más cercana? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
400
Muestre el número redondeado.
361 ≈ 400
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 12875050 96671,835
Factor escondido
Materiales: E) Tarjetas numéricas, Plantilla de factor escondido
La clase halla un producto y dice una ecuación para adquirir fluidez con la multiplicación hasta el 100.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas numéricas a cada pareja de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase.
• Las parejas colocan el juego de tarjetas bocabajo sobre la Plantilla de factor escondido. Asígneles un factor para que practiquen (p. ej., 3) o permítales elegir un factor y pídales que lo escriban en el recuadro vacío al lado de la pila de tarjetas.
Nota para la enseñanza
Hasta ahora, la clase solo ha estudiado formalmente los factores 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 10. Considere limitar el juego al uso de estos factores o desafiar a sus estudiantes a usar otros factores, si están en condiciones de hacerlo.
• Quienes participan como estudiantes A dan vuelta a la tarjeta que se encuentra en la parte de arriba y la colocan sobre la pila.
• Cada estudiante, A y B, dice el producto. Consulte el diálogo de ejemplo debajo de la imagen.
• Quienes participan como estudiantes A dicen la ecuación de multiplicación comenzando con la tarjeta numérica. Quienes participan como estudiantes B dicen la ecuación de multiplicación relacionada cambiando el orden de los factores.
• Descartan la tarjeta que usaron en una pila separada.
6 ×
3
Estudiantes A y B: “18”
Estudiante A: “ 6 × 3 = 18”
Estudiante B: “ 3 × 6 = 18”
Recorra el salón de clases durante la actividad para asegurarse de que las ecuaciones de multiplicación que dicen sean correctas.
Si alguna pareja se queda sin tarjetas antes de que finalice el tiempo, pueden colocar la pila de tarjetas descartadas bocabajo sobre la plantilla, intercambiar roles y seguir jugando. Pueden usar el mismo factor, un factor distinto asignado o elegir otro factor.
Contar de ocho en ocho con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para desarrollar fluidez con el conteo de ocho en ocho y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Contemos de ocho en ocho con el método matemático. Cada dedo representa 8.
Pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
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Presentar
La clase determina cómo se separa el total en matrices dadas.
Pida a sus estudiantes que observen las tres matrices en sus libros. Las matrices muestran diferentes formas de usar la estrategia de separar y distribuir para hallar 32 ÷ 4.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1. Pídales que trabajen en parejas para completar los vínculos numéricos y mostrar cómo se separa 32 en cada matriz. Después de dar tiempo a las parejas de estudiantes para que trabajen, muestre la imagen de los vínculos numéricos completados para confirmar sus respuestas.
Matriz C Matriz A
Matriz B
1. Completa los vínculos numéricos.
Matriz AMatriz BMatriz C
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que trabajen en parejas para sombrear la matriz y completar el vínculo numérico para mostrar una forma diferente de separar 32 en partes.
2. Sombrea la matriz y completa el vínculo numérico para mostrar una forma diferente de separar 32 en partes.
Ejemplo:
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué vínculo numérico de los problemas 1 o 2 usarían como ayuda para separar 32 en partes y hallar 32 ÷ 4.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos operaciones que ya sabemos y la estrategia de separar y distribuir para dividir.
Aprender
Separar y distribuir para dividir entre 6
Materiales: M) Afiches
La clase identifica y justifica cómo usaría la estrategia de separar y distribuir para hallar 48 ÷ 6.
Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes a los afiches colgados en el salón de clases.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que lean el problema y piensen en cómo separarían 48 en partes. Indíqueles que se ubiquen junto al afiche que mejor describa su razonamiento.
Nota para la enseñanza
La actividad digital interactiva de Separar matrices apoya la compresión de cada estudiante de cómo separar en partes una cantidad visualmente.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para apoyar a sus estudiantes cuando defienden las razones de su elección ante el resto de la clase, vea la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación.
Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 2 minutos para que los grupos comenten por qué lo eligieron.
A continuación, pida a cada grupo que comparta las razones de su elección. Anime a quienes cambien de opinión durante el debate a unirse a otro grupo. Invite a sus estudiantes a formar parejas dentro de su grupo para completar el problema 3.
3. Usa la estrategia de separar y distribuir para hallar 48 ÷ 6. Sombrea la matriz para mostrar cómo separar 48 en partes. 48 ÷ 6 = + = 448 2424
Pida a sus estudiantes que regresen a sus asientos. Reflexione con toda la clase sobre cómo decidieron separar 48 en partes y cómo la estrategia de separar y distribuir les sirvió de ayuda para hallar 48 ÷ 6.
Muestre un vínculo numérico con 48 descompuesto en 40 y 8. Use las siguientes preguntas para guiar una conversación que ayude a sus estudiantes a reconocer la necesidad de descomponer 48 en múltiplos de 6.
¿Elegirían separar 48 en 40 y 8, de esta forma, para hallar 48 ÷ 6? ¿Por qué?
No elegiría separar 48 de esa forma porque no sé cómo dividir 40 u 8 entre 6.
No, porque no sé cómo formar 40 u 8 usando seises.
Si bien 40 y 8 forman 48, esa no es una forma útil de separar 48. Estamos dividiendo entre 6 y no me sé ninguna operación con 6 que forme 40 u 8.
Lo que escucho es que me están diciendo que, cuando usan la estrategia de separar y distribuir, es importante pensar en la unidad entre la que se divide y en las operaciones que ya saben.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) durante la rutina Tomar una postura y al comentar y reflexionar sobre cómo decidió separar 48 en partes.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Por qué separar 48 en 24 y 24 es una estrategia eficiente? Convenzan a la clase.
• ¿Qué preguntas pueden hacer a los otros grupos para asegurarse de que entendieron sus argumentos?
Nota para la enseñanza
El uso de lenguaje específico es esencial durante esta conversación. Es posible que un o una estudiante responda incorrectamente, por ejemplo, “No podemos dividir 40 u 8 entre 6”. Guíe la conversación para que se enfoquen en separar los números en otros más pequeños que sepan dividir.
Separar y distribuir usando vínculos numéricos
La clase decide cómo separar en partes un total y cómo usar un vínculo numérico para representar la estrategia de separar y distribuir.
Escriba la expresión 72 ÷ 8.
Vamos a separar 72 en partes. ¿Cuáles son todas las maneras en que podemos separar 72 como una suma de dos números, en la que ambos números puedan dividirse entre 8?
Mientras sus estudiantes mencionan formas de separar 72 en partes, registre su razonamiento con vínculos numéricos.
Estamos separando 72 en partes más pequeñas para formar operaciones que sabemos que podemos dividir entre 8. Observen los vínculos numéricos y piensen en las operaciones que nos sabemos bien.
Señale el vínculo numérico que muestra 72 descompuesto en 64 y 8.
Para usar esta combinación, necesitamos dividir 64 entre 8 y 8 entre 8.
¿Son 64 ÷ 8 y 8 ÷ 8 operaciones que nos sabemos bien?
Haga preguntas similares acerca de las otras combinaciones. Encierre en un círculo las descomposiciones de 72 que sus estudiantes identifiquen como operaciones que se saben bien.
Señale el vínculo numérico que muestra 72 separado en 40 y 32. Pregunte por qué trabajar con esas operaciones es más simple, y posiblemente más fácil, que con las otras. Guíe una conversación de la clase acerca de por qué, en general, se puede calcular mentalmente cómo separar un total en una operación de la tabla del cinco y otra operación.
Pídales que hallen 72 ÷ 8 separando 72 en 40 y 32 y que usen un vínculo numérico para mostrar su trabajo. Brinde únicamente el apoyo que necesiten mientras trabajan.
Pida a sus estudiantes que completen los problemas 4 a 6 en parejas. Recuérdeles que necesitarán tomar decisiones sobre cómo quieren separar el total en partes.
Nota para la enseñanza
Enumerar los pares para separar un total en partes puede plantear un desafío. Considere contar 7 decenas y 2 unidades para representar un total de 72 en el ábaco rekenrek. Cubra las cuentas restantes. Mueva 8 cuentas a la vez a la derecha para mostrar formas de separar 72 en partes. Relacione el ábaco rekenrek con las partes en un vínculo numérico.
Usa la estrategia de separar y distribuir para dividir. Muestra tu trabajo con un vínculo numérico.
4. 28 ÷ 4 28 ÷ 4 = 5 + 2 = 7
5. 54 ÷ 6
÷ 6 = 5 + 4 = 9
6. 48 ÷ 8
Guíe una conversación de toda la clase acerca del uso de la estrategia de separar y distribuir para dividir, usando la siguiente secuencia posible:
¿Cómo decidieron separar el total en partes?
Pensamos en operaciones que ya nos sabíamos y que podían ayudarnos. Separamos 54 en 30 y 24 porque 30 es una operación de la tabla del cinco y nos sabemos bien la tabla del cinco.
Usar operaciones de la tabla del cinco nos ayudó a separar 54 y 28, pero pensamos en las operaciones de la tabla del tres para separar 48. Separamos 48 en 24 y 24.
¿Cómo usaron un vínculo numérico para mostrar su trabajo?
Escribimos 28 ÷ 4 y usamos un vínculo numérico para mostrar cómo separamos 28 en 20 y 8.
DUA: Acción y expresión
Considere tener papel cuadriculado a disposición de sus estudiantes para que representen la estrategia de separar y distribuir sombreando la matriz. La representación pictórica puede apoyar el trabajo con los vínculos numéricos.
Nota para la enseñanza
El ejemplo de trabajo muestra algunas formas posibles de dividir usando la estrategia de separar y distribuir. Acepte todas las respuestas que demuestren comprensión de cómo aplicar esta estrategia para dividir.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Usar la estrategia de separar y distribuir para dividir con unidades de 6 y 8
Reúna a la clase con sus libros y considere hacer las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la estrategia de separar y distribuir.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y muestre la imagen que representa la resta repetida como estrategia para hallar 32 ÷ 4.
Esta estudiante halló 32 ÷ 4 de una manera diferente. ¿Cómo hizo para obtener 8 como respuesta?
Restó 4 ocho veces.
¿Es esta estrategia más eficiente que separar 32 en partes? ¿Por qué?
No. Restar tantas veces agrega más pasos.
¿Sería útil separar 32 en 30 y 2? ¿Por qué?
No, porque no sé cómo formar 30 o 2 usando cuatros.
¿Cómo pueden usar las operaciones que ya se saben como ayuda para dividir?
Puedo separar el total en partes más pequeñas que formen operaciones que me sé.
3 2 - 4 = 28 28 - 4 = 24
- 4 = 20
- 4 = 16
¿Cómo les ayuda usar un vínculo numérico cuando aplican la estrategia de separar y distribuir para dividir?
Me ayuda a ver cómo separar el total en partes. Luego, uso el cálculo mental para hallar los cocientes de las operaciones más pequeñas.
Boleto de salida 5
min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa la estrategia de separar y distribuir para dividir.
9. Usa la estrategia de separar y distribuir para hallar 64 ÷ 8 Explica tu razonamiento.
64 ÷ 8 = 5 + 3 = 8
Separé 64 en 40 y 24 porque sé que 40 ÷ 8 = 5 Es una operación de la tabla del cinco. Luego, dividí 24 entre 8, que es igual a 3. Sumé 5 y 3 y obtuve 8. Entonces, 64 ÷ 8 = 8
48 ÷ 6 = 30 18
48 ÷
6 = 36 12
48 ÷
6 = 42 6 48 ÷ 6 = 24 24
Tema B
Conceptos de multiplicación y división con énfasis en la unidad de 7
La clase aplica las estrategias de multiplicación y división del tema A y del módulo 1 a las unidades de 7. Usa grupos iguales, conteo salteado, matrices y diagramas de cinta para representar operaciones de multiplicación, y usa las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de las operaciones para hallar productos, cocientes y factores desconocidos.
La clase avanza en el uso de las propiedades de las operaciones como estrategias para la multiplicación y la división. Aplican formalmente la propiedad asociativa para hallar productos simplificando operaciones de multiplicación que contienen factores que no conocen en operaciones más pequeñas conocidas. Descomponen un factor para formar una expresión de multiplicación de tres factores y, luego, cambian la forma de agrupar los números. La clase comprende que agrupar números de diferentes maneras puede cambiar el valor de la expresión cuando esta incluye resta, división o una combinación de operaciones. Observan que el valor no cambia cuando las expresiones incluyen únicamente sumas o multiplicaciones (porque la suma y la multiplicación son asociativas). Usan paréntesis para determinar el orden en el que deben calcular expresiones que incluyen una combinación de operaciones. La clase desarrolla flexibilidad para aplicar la propiedad distributiva como una estrategia de multiplicación al separar y distribuir el segundo factor (en lugar de separar en partes siempre el primer factor). Luego, aplican la propiedad distributiva como una estrategia de división al separar un total en partes más simples.
Al finalizar el tema, la clase aplica las destrezas de multiplicación y división para resolver problemas verbales de un paso usando una letra para representar el número desconocido. Cada estudiante elige y usa sus propias representaciones y estrategias para hallar la solución y, luego, la clase comparte, compara y conecta sus estrategias.
Tras completar el estudio de los factores de un solo dígito 0, 1 y 9 en el tema C, la clase repasa los factores aprendidos previamente al multiplicar factores de un solo dígito por múltiplos de 10 en el tema D.
Progresión de las lecciones
Lección 7
Contar salteado usando unidades de 7 para multiplicar y dividir usando matrices y diagramas de cinta
Lección 8
Usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar con unidades de 7
de Eva
de Luke
Puedo usar diferentes estrategias para completar operaciones de la tabla del 7. Usar la estrategia de formar una decena me ayuda a contar salteado de siete en siete. Las ecuaciones con factores desconocidos me ayudan a dividir entre 7.
Cuando uso la estrategia de separar y distribuir, puedo separar en partes cualquiera de los factores. Así como puedo separar una matriz de diferentes maneras, puedo descomponer factores de diferentes maneras como ayuda para pensar en factores conocidos y usarlos. Puedo usar paréntesis para mostrar mi razonamiento.
Lección 9
Representar la propiedad asociativa como una estrategia para multiplicar
16 × 3 = (8 × 2) × 3
16 × 3 = 8 × (2 × 3)
16 × 3 = 8 × 6
Puedo separar uno de los factores en una expresión de multiplicación para crear una expresión de tres factores. Cambiar la forma de agrupar los factores puede ayudarme a usar operaciones que me sé para hallar productos.
Método
Método
Lección 10
Usar paréntesis en expresiones con operaciones diferentes
Lección
11
Usar la estrategia de separar y distribuir para dividir con unidades de 7
Lección
12
Resolver problemas verbales de un paso relacionados con la multiplicación y la división
c
En las expresiones, los paréntesis muestran cómo se agrupan los números y me indican qué operación se resuelve primero. La colocación de los paréntesis en una expresión puede cambiar su valor.
La estrategia de separar y distribuir me ayuda a dividir al separar el total en operaciones de multiplicación que ya sé. En general, hay muchas maneras de descomponer el total. Puedo usar vínculos numéricos para mostrar mi razonamiento.
÷ 7 = c
÷ 7 = 5 + 2 = 7
35 14
Hay 7 filas de cartones de leche.
Para resolver problemas de multiplicación y división, necesito pensar si el número desconocido es el total o una de las partes. Luego, puedo decidir qué estrategia usar para multiplicar o dividir. Puedo usar una letra para representar el número desconocido en un dibujo y una ecuación.
Contar salteado usando unidades de 7 para multiplicar y dividir usando matrices y diagramas de cinta
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
Gabe coloca 63 manzanas en 7 cajas. Cada caja contiene el mismo número de manzanas. ¿Cuántas manzanas coloca Gabe en cada caja?
Ejemplo: 63 mm m mm m m
7 × m = 63
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 63
Gabe coloca 9 manzanas en cada caja.
La clase usa matrices y diagramas de cinta para representar problemas de multiplicación y de división con 7 como unidad. Evalúa estrategias conocidas para determinar cuáles pueden usarse para multiplicar por y dividir entre 7.
Preguntas clave
• ¿Cuáles son algunas de las diferentes estrategias que pueden ayudarles a hallar la respuesta a operaciones de multiplicación y de división usando unidades de 7?
• ¿Cómo eligen qué estrategia usar para hallar la respuesta a un problema de multiplicación o de división que incluye 7 como una unidad?
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA3 Resuelven problemas de un paso que involucran la multiplicación y la división hasta el 100 usando una letra para el número desconocido. (3.OA.A.3)
3.Mód3.CLA4 Determinan el número desconocido en una ecuación de multiplicación o división. (3.OA.A.4)
3.Mód1.CLA7 Representan y explican la división como un problema de factor desconocido. (3.OA.B.6)
EUREKA MATH
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Usar diferentes estrategias para multiplicar por 7
• Dividir entre 7 usando una matriz
• Problemas verbales con una unidad de 7
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o
maestra
• ninguno
Estudiantes
• tarjetas numéricas de Eureka Math2 (1 juego por pareja de estudiantes)
• Plantilla de factor escondido (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Sus estudiantes necesitan los números del 2 al 10 del juego de tarjetas numéricas. Considere retirar las tarjetas 0 y 1 del juego.
Fluidez
Factor escondido
Materiales: E) Tarjetas numéricas, Plantilla de factor escondido
La clase halla un producto y dice una ecuación de multiplicación o división relacionada para adquirir fluidez con la multiplicación y la división hasta el 100.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas numéricas a cada pareja de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase.
• Las parejas colocan el juego de tarjetas bocabajo sobre la Plantilla de factor escondido. Asígneles un factor para que practiquen (p. ej., 6) o permítales elegir un factor y pídales que lo escriban en el recuadro vacío al lado de la pila de tarjetas.
• Quienes participan como estudiantes A dan vuelta a la tarjeta que se encuentra en la parte de arriba y la colocan sobre la pila.
• Cada estudiante, A y B, dice el producto. Consulte el diálogo de ejemplo debajo de la imagen.
• Quienes participan como estudiantes A dicen la ecuación de multiplicación comenzando con la tarjeta numérica. Quienes participan como estudiantes B dicen una ecuación de división relacionada.
• Descartan la tarjeta que usaron en una pila separada.
8 ×
6
Estudiantes A y B: “48”
Estudiante A: “ 8 × 6 = 48”
Estudiante B: “ 48 ÷ 6 = 8”
Recorra el salón de clases durante la actividad para asegurarse de que las ecuaciones de multiplicación y de división que dicen sean correctas.
Si alguna pareja se queda sin tarjetas antes de que finalice el tiempo, pueden colocar la pila de tarjetas descartadas bocabajo sobre la plantilla, intercambiar roles y seguir jugando. Pueden usar el mismo factor, un factor distinto asignado o elegir otro factor.
Nota para la enseñanza
En el tema anterior, quienes participaban como estudiantes B debían decir una ecuación de multiplicación relacionada usando la conmutatividad. En este tema, quienes participan como estudiantes B deben decir una ecuación de división relacionada.
Contar de seis en seis y de ocho en ocho con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de seis en seis y de ocho en ocho y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Contemos de seis en seis con el método matemático. Cada dedo representa 6.
Pida a la clase que cuente de seis en seis desde el y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
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Ahora, contemos de ocho en ocho con el método matemático. Cada dedo representa 8.
Pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Presentar
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Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase. Luego, dé tiempo para que sus estudiantes trabajen. 5
La clase ve unidades de 7 en un calendario y cuenta salteado de siete en siete para resolver un problema.
1. David tiene práctica de basquetbol todos los lunes a partir de enero. Completa la tabla para mostrar qué días de enero tiene práctica.
Práctica 1 2 3 4
LMMJ
Días de enero 7 14 21 28 EN ERO DVS
Apoyo para la comprensión del lenguaje
1245 3
671112 8910
131819 14151617
202526 21222324
2728293031
Después de que la clase complete la tabla, guíe una conversación breve sobre el conteo saltado de siete en siete en el calendario.
¿Qué observan?
Podemos contar salteado de siete en siete los días en que David tiene práctica.
¿Qué se preguntan?
¿Podremos ver un conteo salteado de siete en siete en todos los meses del calendario?
¿Por qué los números del calendario muestran un conteo salteado de siete en siete?
Guíe una conversación acerca de por qué los números del calendario aumentan de siete en siete desde un día de la semana hasta el mismo día de la semana siguiente. Ocúpese brevemente de las observaciones y preguntas de la clase relacionadas con la multiplicación y la división con 7.
¿Cómo representa la tabla los días en que David tiene práctica?
David tiene práctica los lunes, y la tabla muestra las fechas de todos los lunes de enero.
El primer lunes es el 7 de enero y hay 7 días en una semana; entonces, el siguiente lunes es el 14 de enero.
Si David tuviera práctica todos los martes, ¿seguiríamos contando salteado de siete en siete?
Sí. Cada día suma 7 al mismo día de la semana anterior. 8 es 7 más que 1.
Sí, pero no podemos usar la multiplicación para describir el patrón.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a multiplicar por y dividir entre 7.
Para apoyar el contexto de este problema, primero brinde información sobre el formato del calendario. Asegúrese de que la clase conozca las abreviaturas de los días de la semana y la convención de empezar la semana por el domingo.
Nota para la enseñanza
Considere mostrar un calendario anual para que la clase pueda observar el conteo salteado de siete en siete en diferentes meses. Anime a sus estudiantes a explicar por qué el conteo salteado de siete en siete hasta el 28 se repite mensualmente. Guíe la conversación con preguntas como las siguientes:
• ¿Por qué en el calendario solo vemos el conteo salteado de siete en siete?
• ¿Cuántos días hay en 1 semana?
• ¿Cuántas semanas hay en 1 mes?
• ¿Qué unidad usaríamos para contar salteado si hubiera 8 días en una semana?
Aprender
Usar diferentes estrategias para multiplicar por 7
La clase usa la propiedad conmutativa y la estrategia de formar una decena para contar salteado de siete en siete.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Muestre la imagen de la matriz de flores. Guíe a la clase para que halle el total llevando la cuenta de cada fila mediante el conteo salteado usando la forma unitaria y una ecuación de multiplicación que coincida. Use las siguientes preguntas.
2. Gabe planta sus flores en filas. ¿Cuántas flores planta Gabe?
Forma unitaria
Ecuación de multiplicación
Ecuación de división
1 siete es 71 × 7=77 ÷ 7=1
2 sietes es 142 × 7=1414 ÷ 7=2
3 sietes es 213 × 7=2121 ÷ 7=3
4 sietes es 284 × 7=2828 ÷ 7=4
5 sietes es 355 × 7=3535 ÷ 7=5
6 sietes es 426 × 7=4242 ÷ 7=6
7 sietes es 497 × 7=4949 ÷ 7=7
8 sietes es 568 × 7=5656 ÷ 7=8
9 sietes es 639 × 7=6363 ÷ 7=9
Gabe planta 63 flores.
¿Cómo podemos hallar el número total de flores?
Podemos contar cuántas hay en cada fila y contar salteado hacia abajo en un lado de la matriz.
¿Cuántas flores hay en cada fila? ¿Contamos salteado de cuánto en cuánto?
Hay 7 flores en cada fila. Contamos salteado de siete en siete.
Hallemos una forma eficiente de contar salteado de siete en siete.
Pida a sus estudiantes que recuerden cómo usaron las unidades más pequeñas de 3 y 4 como ayuda para contar salteado de seis en seis y de ocho en ocho. Explique que no hay una unidad más pequeña parecida para contar salteado de siete en siete y que explorarán diferentes estrategias.
¿Cuánto es 1 siete?
Rotule la primera fila: 1 siete es 7. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus libros.
¿Cuánto es 2 sietes?
Rotule la segunda fila: 2 sietes es 14. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus libros.
¿Cuánto es 3 sietes?
Rotule la tercera fila: 3 sietes es 21. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus libros.
Indique a la clase que continúe contando salteado y rotulando cada fila con la forma unitaria. Haga lo mismo.
Invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las estrategias que usaron al contar salteado de siete en siete. Preste atención a quienes compartan que usaron la propiedad conmutativa o la estrategia de formar una decena. Invite a dos o tres estudiantes a que compartan sus estrategias. Si nadie comparte la propiedad conmutativa o la estrategia de formar una decena, inicie una conversación acerca de la estrategia de formar una decena mostrando la imagen de las ecuaciones de suma y los vínculos numéricos.
Amy contó de siete en siete usando esta estrategia.
¿Qué estrategia usó?
Usó la estrategia de formar una decena.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la estrategia que usó Amy. Pídales que trabajen en parejas y usen la estrategia de Amy para contar de siete en siete hasta llegar a 9 sietes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer preguntas como las siguientes para apoyar a la clase en el uso de la estrategia de formar una decena:
• ¿Cuántos más necesitamos para formar la siguiente decena?
• ¿Cómo podemos mostrar eso usando un vínculo numérico?
• ¿Cuáles son las dos partes del vínculo numérico?
• ¿Cuántos más tenemos que sumar? ¿Cómo lo saben?
Luego, invite a las parejas de estudiantes a trabajar de manera conjunta para decir y escribir una ecuación de multiplicación para cada enunciado. Escriba cada ecuación.
Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado con la solución.
Dividir entre 7 usando una matriz
La clase usa una matriz y una ecuación de factor desconocido para dividir entre 7.
Escriba la ecuación de división relacionada, 7 ÷ 7 = 1, junto a 1 × 7 = 7. Pida a la clase que haga lo mismo junto a las ecuaciones de multiplicación del problema 2.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la ecuación representa la matriz.
Escriba 14 ÷ 7 = 2. Invite a la clase a hacer lo mismo.
¿Cómo muestran las flores en las primeras dos filas 14 ÷ 7 = 2?
Hay un total de 14 flores y las 14 flores están en 2 filas de 7.
¿Qué ecuación podemos escribir para representar las primeras 3 filas de la matriz?
Escriba 21 ÷ 7 = 3. Invite a la clase a hacer lo mismo.
¿Cómo muestran las flores en las primeras tres filas 21 ÷ 7 = 3?
Hay un total de 21 flores. Hay 7 flores en cada fila y hay 3 filas.
Invite a la clase a escribir una ecuación de división relacionada junto a cada ecuación de multiplicación del problema 2. Luego, invite a sus estudiantes a que se reúnan y conversen en parejas acerca de la relación entre las ecuaciones de multiplicación y división.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3.
3. Gabe tiene 56 semillas que siembra en filas de 7. ¿Cuántas filas de semillas siembra Gabe?
Gabe siembra 8 filas de semillas.
DUA: Representación
Haga hincapié en la eficiencia de la estrategia de formar una decena comparándola con la estrategia menos eficiente de sumar 7 repetidamente. Muestre un registro de sumar 7 repetidamente (como se muestra en la imagen de abajo) y, luego, un registro de la estrategia de formar una decena. Haga las siguientes preguntas:
• ¿Por qué la estrategia de formar una decena es más eficiente que sumar repetidamente 7?
Comparar ejemplos correctos y ejemplos erróneos puede ayudar a sus estudiantes a reconocer la eficiencia de formar una decena.
La estrategia de formar una decena profundiza la experiencia previa de sus estudiantes al simplificar un problema con el objetivo de calcular mentalmente. El registro que se muestra se basa en el conocimiento de las operaciones relacionadas o en el conteo hacia delante de unidad en unidad.
¿Qué problema de factor desconocido representa el problema?
Pida a sus estudiantes que escriban _______ × 7 = 56.
¿Cómo puede la matriz de flores ayudarnos a hallar el número de filas de semillas que siembra Gabe?
Ambos problemas tienen filas de 7. Veo 8 × 7 = 56 junto a la matriz.
Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado con la solución.
Problemas verbales con una unidad de 7
La clase resuelve problemas verbales de división con una unidad de 7.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Lea el problema a coro con la clase.
4. Deepa tiene 42 naranjas. Coloca todas las naranjas en bolsas. Hay 7 naranjas en cada bolsa.
¿Cuántas bolsas usa?
7... n bolsas
42 ÷ 7 = n
n × 7 = 42
7, 14, 21, 28, 35, 42
Deepa usa 6 bolsas.
Considere guiar a la clase a través del proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema usando la siguiente secuencia.
¿Qué sabemos acerca de este problema?
El total es 42 naranjas.
Hay 7 naranjas en cada bolsa.
¿Qué información desconocemos?
Cuántas bolsas hay.
Nota para la enseñanza
Suele ser conveniente representar el número desconocido con la primera letra de la palabra que lo nombra (p. ej., n para naranja). Sin embargo, para algunos problemas, se puede considerar elegir una letra diferente, ya que una o, por ejemplo, puede confundirse con el número 0. Por lo general, se evitan letras como b, e, i, l, o, q, s, t, x y z porque pueden confundirse fácilmente con números o símbolos.
Considere demostrar un razonamiento en voz alta para apoyar a la clase en la elección de la letra para el número desconocido.
Comencemos con lo que sabemos. ¿Qué podemos dibujar para mostrar el total de 42 naranjas?
Podemos hacer un diagrama de cinta y rotularlo 42.
Dibuje un diagrama de cinta y rotule 42 como el total. Invite a la clase a hacer lo mismo.
¿Cuál es el valor de cada parte? ¿Cómo lo saben?
7. Hay 7 naranjas en cada bolsa.
Necesitamos rotular cada parte como 7. ¿Sabemos cuántas partes hay? No, no lo sabemos.
No sabemos el número de partes; entonces, no podemos dibujarlas en nuestra cinta. Podemos dibujar y rotular una parte para mostrar el valor de cada parte.
Dibuje una parte y rotúlela 7. Invite a la clase a hacer lo mismo.
Usamos 3 puntos para mostrar que sabemos que hay más grupos de 7.
Dibuje los 3 puntos y rotule el total n bolsas.
Sabemos que el total es 42 y cada parte es 7. No sabemos el número de partes.
Invite a la clase a escribir una ecuación con una letra para el número desconocido, resolver el problema y escribir un enunciado con la solución.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 5. Indíqueles que trabajen en parejas para resolver el problema usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe. Deben escribir una ecuación con una letra para el número desconocido como parte de su proceso de resolución.
Nota para la enseñanza
En este problema, la clase resuelve un problema verbal de división donde el número de grupos es desconocido. Dado que no terminan el diagrama de cinta, la notación en el diagrama es diferente de la usada en las lecciones anteriores.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes deben usar la representación que tenga más sentido para cada quien. Podrían usar cubos para construir matrices, si es necesario. Anímeles a usar con la mayor frecuencia posible las estrategias más abstractas, como el conteo salteado, la propiedad conmutativa y la propiedad distributiva. Pregunte: “¿Cómo eligen su estrategia para resolver?”.
5. Adam coloca 49 naranjas en 7 bolsas.
a. ¿Cuántas naranjas debería colocar en cada bolsa para que en todas haya el mismo número de naranjas? 49
n nn n nn n
7 × n = 49
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49
Adam debería colocar 7 naranjas en cada bolsa.
b. Adam le da 3 bolsas de naranjas a su hermana. ¿Cuántas naranjas le da Adam a su hermana?
7 d 77 3 × 7 = d
7, 14, 21
Adam le da su hermana 21 naranjas.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y observe las estrategias que usan para representar y resolver el problema. Brinde apoyo haciendo preguntas como las siguientes:
• ¿En qué parte de su dibujo ven el número de naranjas que hay en cada bolsa?
• ¿En qué parte de su dibujo ven el número de bolsas?
• ¿Qué representa el número desconocido? ¿En qué parte de su dibujo ven el número desconocido?
• ¿Cómo representa su ecuación el problema?
• ¿Hay otra ecuación que puedan usar para representar el problema?
• ¿Cómo hallaron el número desconocido?
• ¿En qué se parece su estrategia para hallar la solución a la estrategia que otra pareja usó? ¿En qué se diferencia?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige un tipo de modelo (p. ej., un diagrama de cinta o una matriz) y una estrategia para hallar la solución (p. ej., el conteo salteado o la conmutatividad).
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué tipo de dibujo sería útil?
• ¿Qué estrategia sería más eficiente para multiplicar 3 y 7? ¿Por qué?
• ¿Cómo podrían estimar el producto?
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Contar salteado usando unidades de 7 para multiplicar y dividir usando matrices y diagramas de cinta
Guíe una conversación acerca de cómo aplicar las estrategias aprendidas anteriormente para hallar productos y cocientes usando el 7 como unidad.
¿Cuáles son algunas de las estrategias que pueden ayudarles a hallar la respuesta a operaciones de multiplicación y de división usando unidades de 7?
Puedo contar salteado de siete en siete.
Puedo pensar en la división como un problema de factor desconocido.
¿Cómo eligen qué estrategia usar para hallar la respuesta a un problema de multiplicación o de división que incluye 7 como una unidad?
Si sé la operación con los factores en el otro orden, puedo usar la propiedad conmutativa.
Puedo contar salteado de siete en siete.
Puedo usar la estrategia de formar una decena como ayuda.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
el valor de los números desconocidos.
1. Usa la matriz para contar salteado de siete en siete. Luego, completa las ecuaciones.
Escribe una ecuación para representar el diagrama de cinta. m
2. Robin coloca manzanas en bolsas. Cada bolsa contiene 7 manzanas. En la tabla se muestra cuántas manzanas se necesitan para diferentes números de bolsas. Completa la tabla.
Número de bolsas 1
PROBLEMAS
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
13. La biblioteca de Pablo tiene 4 estantes. Hay 7 libros en cada estante. ¿Cuántos libros hay en la biblioteca?
4 × 7 = 28
Hay 28 libros en la biblioteca.
14. Carla recoge 35 bellotas. Las divide, en partes iguales, en 7 pilas. ¿Cuántas bellotas hay en cada pila?
35 ÷ 7 = 5
Hay 5 bellotas en cada pila.
Usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar con unidades de 7
En una banda hay 6 filas de trompetistas. En cada fila hay 7 trompetistas. ¿Cuántos trompetistas hay en la banda?
Usa la matriz como ayuda para completar las ecuaciones.
Hay 42 trompetistas en la banda.
6 × 7 = 6 × (5 + 2 )
= (6 × 5) + (6 × 2 )
= 30 + 12 = 42
Vistazo a la lección
La clase demuestra la estrategia de separar y distribuir separando en partes cualquiera de los factores de una expresión, según esté representado por las filas o las columnas de una matriz. Se presentan las expresiones en la forma de × ( + ) y se usan para representar la estrategia cuando se separa en partes el segundo factor.
Preguntas clave
• ¿En qué se parece el uso de la estrategia de separar y distribuir para separar en partes el segundo factor de una expresión al uso de la estrategia para separar en partes el primer factor? ¿En qué se diferencia?
• ¿Cómo deciden si deben separar en partes el primer o el segundo factor cuando usan la estrategia de separar y distribuir?
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA3 Resuelven problemas de un paso que involucran la multiplicación y la división hasta el 100 usando una letra para el número desconocido. (3.OA.A.3)
3.Mód3.CLA5 Aplican la propiedad distributiva para multiplicar. (3.OA.B.5)
EUREKA MATH
Nombre
Agenda
Fluidez 15 min
Presentar 5 min
Aprender 30 min
• Separar una matriz en filas y columnas
• Separar una matriz para resolver problemas con el 7 como un factor
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ábaco rekenrek de 100 cuentas
Estudiantes
• Práctica veloz: Redondear a la centena más cercana (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Redondear a la centena más cercana
EUREKA MATH2
Materiales: E) Práctica veloz: Redondear a la centena más cercana
3 ▸ M3 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear a la centena más cercana
La clase redondea números de tres y cuatro dígitos a la centena más cercana para adquirir fluidez con la destreza del módulo 2.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Redondea a la centena más cercana.
1. 379 ≈ 400
2. 309 ≈ 300
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. ¿Comenzamos?
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente.
Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 12? ¿Y acerca de los problemas 13 a 22?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de cuatro en cuatro desde el 0 hasta el 40 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de cuatro en cuatro desde el 40 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Contar de siete en siete en el ábaco rekenrek
Materiales: M) Ábaco rekenrek
La clase cuenta de siete en siete en forma unitaria y en forma estándar para adquirir fluidez con el uso de matrices al multiplicar y dividir.
Muestre el ábaco rekenrek a la clase. Comience la actividad con todas las cuentas colocadas a la derecha.
Digan cuántas cuentas hay a medida que las voy deslizando.
Deslice 7 cuentas en la fila superior, de una vez, hacia la izquierda.
7
La unidad es 7. En forma unitaria, decimos 1 siete. Digan 7 en forma unitaria.
1 siete
Deslice 7 cuentas en la siguiente fila, de una vez, hacia la izquierda.
¿Cuántas cuentas hay ahora? Díganlo en forma unitaria.
2 sietes
Continúe deslizando 7 cuentas en cada fila a medida que la clase cuenta.
Deslice todas las cuentas a la derecha nuevamente.
Ahora, practiquemos contar de siete en siete en forma estándar.
Digan cuántas cuentas hay a medida que las voy deslizando.
Empecemos en el 0. ¿Comenzamos?
Deslice 7 cuentas, de una vez, en cada fila a medida que la clase cuenta.
0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
Nota para la enseñanza
La tabla del siete se presenta en la lección 7. Por lo tanto, se espera un esfuerzo productivo y un ritmo más lento al contar de siete en siete. Preste atención a las respuestas de la clase para detectar errores, dudas y falta de participación. Si es necesario, limite el rango de números.
Presentar
La clase explora matrices que muestran diferentes maneras de separar 6 × 7.
Presente la imagen de la matriz de osos y la matriz de boletos y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé 2 minutos para que cada estudiante piense en silencio y halle el número total de objetos en cada matriz. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
El contexto de los problemas de esta lección se basa en el tema de las ferias o los parques de atracciones. Para apoyar el contexto y ampliar los conocimientos previos, muestre imágenes o videos de personas en las atracciones de una feria.
Nota para la enseñanza
Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Preste atención a las conversaciones que indiquen que sus estudiantes entienden que ambas matrices muestran 6 × 7: la matriz de los osos muestra 7 columnas divididas en 5 y 2, y la matriz de los boletos muestra 6 filas divididas en 3 y 3.
La experiencia previa de la clase con la propiedad distributiva hizo énfasis en separar las filas y las columnas de una matriz de varias formas para hallar operaciones conocidas. El razonamiento nuevo presentado en esta lección es que sus estudiantes pueden elegir si separan la matriz en filas o en columnas según sea más útil para hallar operaciones conocidas. Las imágenes de la sección Presentar apoyan este razonamiento al mostrar dos matrices que representan la misma operación: una, separada en filas, y la otra, en columnas.
Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija razonamientos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre el 7 como un factor y las estrategias para hallar el total.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y regístrelo.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que use las estrategias aprendidas para hallar totales con 7 como factor.
Hay 6 filas de 5 osos marrones y 6 filas de 2 osos grises. Sé que 6 × 5 = 30 y que 6 × 2 = 12. Luego, sumé 30 más 12. Hay 42 osos.
Hay 6 filas de 7 boletos. No sé cuánto es 6 sietes, pero sé que 3 sietes es 21. 21 + 21 = 42; entonces, 6 × 7 = 42. Hay 42 boletos.
Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos la estrategia de separar y distribuir para multiplicar con 7 como un factor.
Diferenciación: Apoyo
Dado que la matriz de los boletos parece más grande que la de los osos, es posible que la clase piense que las matrices no son iguales. Para apoyar las destrezas de estructura espacial, considere mostrar las dos formas en que se puede separar la matriz de 6 × 7 usando cubos interconectables de diferentes colores.
Apile las dos matrices para mostrar que son iguales y tienen el mismo total. Los colores muestran cómo las matrices se separan o descomponen de maneras diferentes.
Aprender
Separar una matriz en filas y columnas
La clase usa la estrategia de separar y distribuir para hallar 8 × 7.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase. Luego, pídales que observen el trabajo de Eva y tracen una línea para separar la primera matriz de forma que coincida con la descomposición que se muestra en el vínculo numérico de Eva.
1. En la cafetería, las cajas de palomitas de maíz están organizadas en 8 filas. Hay 7 cajas en cada fila.
¿Cuántas cajas de palomitas de maíz hay en la cafetería?
Diferenciación: Apoyo
En esta lección se usan representaciones pictóricas. Si sus estudiantes necesitan una experiencia más concreta, considere usar cubos interconectables y colocarlos sobre papel cuadriculado para ayudarles a comprender las representaciones más abstractas. Rotular las longitudes de los lados apoya la comprensión del modelo de área que se usa en el módulo 4.
Método de Eva
8 × 7 = (5 + 3) × 7
= (5 × 7) + (3 × 7) = 35 + 21 = 56
Método de Luke
8 × 7 = 8 × (5 + 2)
= (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56
Hay 56 cajas de palomitas de maíz en la cafetería.
¿Cómo separó la matriz Eva?
Separó las 8 filas en 5 filas y 3 filas.
Miren el vínculo numérico. ¿El número de filas está representado por 8 o por 7 en 8 × 7?
8
Como Eva descompuso el 8, podemos expresar el 8 como una expresión de suma que muestre
cómo separó las filas.
Escriba 8 × 7 = ( + ) × . Pida a sus estudiantes que escriban la ecuación y que completen el trabajo con usted mientras continúa.
¿Cómo separó Eva el 8?
Escriba 5 y 3, como se muestra en el ejemplo de solución.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando recontextualiza el trabajo de Eva y de Luke en el problema de las palomitas de maíz y examina cómo la estrategia de separar y distribuir puede simplificar una expresión de multiplicación.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Cómo representa el trabajo de Eva el problema original?
• ¿Qué les dice el trabajo de Luke sobre cómo multiplicó?
• ¿Qué información brinda la matriz separada acerca de 8 × 7 y 8 × (5 + 2)?
¿Cuántas hay en cada fila?
¿Hizo algo Eva para cambiar el 7?
Escriba 7, como se muestra en el ejemplo de solución.
Ahora, podemos distribuir el 7.
Escriba = (5 × 7) + (3 × 7), como se muestra en el ejemplo de solución.
¿Qué parte de la ecuación representa la matriz que está por arriba de la línea?
¿Qué parte de la ecuación representa la matriz que está por debajo de la línea?
Invite a sus estudiantes a completar el problema. Brinde únicamente el apoyo que necesiten.
Pida a sus estudiantes que observen el trabajo de Luke y tracen una línea para separar la segunda matriz de forma que coincida con la descomposición que se muestra en el vínculo numérico de Luke.
¿Qué tiene de diferente la forma en que Luke separó la matriz?
Separó las columnas.
¿El número de columnas está representado por 8 o por 7?
7
Como Luke separó el 7, podemos reemplazar el 7 con una expresión de suma que muestre cómo separó las columnas.
Escriba 8 × 7 = × ( + ). Pida a sus estudiantes que escriban la ecuación y que completen el trabajo con usted mientras continúa.
Nota para la enseñanza
Considere señalar cada parte de la matriz a medida que pide a la clase que establezca conexiones entre las ecuaciones y las matrices.
¿Cómo separó Luke el 7?
Escriba 5 y 2, como se muestra en el ejemplo de solución.
¿Cuántas cajas de palomitas de maíz hay en cada columna?
¿Hizo algo Luke para cambiar el 8?
Escriba 8, como se muestra en el ejemplo de solución.
Ahora, podemos distribuir el 8.
Escriba = (8 × 5) + (8 × 2), como se muestra en el ejemplo de solución.
¿Qué parte de la ecuación representa la matriz que está a la izquierda de la línea?
¿Qué parte de la ecuación representa la matriz que está a la derecha de la línea?
Invite a sus estudiantes a completar el problema. Brinde únicamente el apoyo que necesiten.
Pida a la clase que confirme en parejas que los métodos de Eva y de Luke llevan a la misma solución del problema y pídales que escriban un enunciado con la solución.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre los métodos de Eva y Luke, cuál elegirían y por qué.
Separar una matriz para resolver problemas con el 7 como un factor
La clase resuelve problemas verbales de multiplicación con el 7 como un factor usando la estrategia de separar y distribuir para multiplicar.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Lea el problema a coro con la clase. Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para resolver el problema.
DUA: Representación
Considere destacar las relaciones codificando con colores para apoyar la comprensión de cómo el 7 se descompone en 5 y 2.
2. Un juego de feria tiene un muro con globos. ¿Cuántos globos hay en el muro?
a. Traza una línea para separar las columnas en la matriz.
b. Usa la estrategia de separar y distribuir para multiplicar. Luego, escribe un enunciado con la solución.
9 × 7 = 9 × ( 5 + 2 )
= (9 × 5) + (9 × 2) = 45 + 18 = 63
Hay 63 globos en el muro.
Mientras las parejas trabajan, recorra el salón de clases y observe las representaciones y las estrategias que usan. Seleccione dos o tres parejas para que compartan su trabajo.
Invite a las parejas que eligió a que compartan su trabajo. Haga preguntas que ayuden a la clase a hacer conexiones entre las distintas representaciones y estrategias para hallar la solución. Anímeles a que hagan sus propias preguntas.
• ¿Cómo separaron la matriz? ¿Por qué?
• ¿En qué parte de su trabajo se ve representada la forma en que separaron la matriz?
• ¿En qué se parece su trabajo a los demás trabajos que se compartieron? ¿En qué se diferencia?
Use una secuencia similar para el problema 3.
3. Hay 6 bancos en el espectáculo de animales. En cada banco, pueden sentarse 7 personas. ¿Cuál es el número total de personas que pueden sentarse en los bancos?
a. Dibuja una matriz para representar el problema. Luego, traza una línea para separar la matriz.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes pueden separar en partes cualquiera de los factores. El ejemplo de solución muestra la separación del segundo factor porque ese es el nuevo nivel de complejidad de la lección, pero se aceptan ambos. Del mismo modo, también pueden elegir otra forma de separar en partes el factor, como usar una operación con números repetidos en lugar de una operación de la tabla del cinco.
b. Usa la estrategia de separar y distribuir para multiplicar. Luego, escribe un enunciado con la solución.
6 × 7 = 6 × (5 + 2)
= (6 × 5) + (6 × 2)
= 30 + 12
= 42
42 personas pueden sentarse en los bancos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo decidieron qué factor separar en partes.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar con unidades de 7
Guíe una conversación acerca de la flexibilidad en el uso de la estrategia de separar y distribuir.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 3 y 4 del Grupo de problemas.
¿En qué se parecen las maneras de usar la estrategia de separar y distribuir en estos problemas? ¿En qué se diferencian?
En ambos problemas, necesité reemplazar el factor que separé en partes con una expresión de suma que muestra cómo lo separé.
El orden en el que escribí el problema nuevo es diferente. Cuando separé el 6, escribí la suma antes de la multiplicación, pero cuando separé en partes el 7, escribí la multiplicación antes de la suma.
¿Cómo deciden si deben separar en partes el primer o el segundo factor cuando usan la estrategia de separar y distribuir?
Pienso en las operaciones que sé y en qué problemas me resultan más fáciles de resolver mentalmente.
A veces, la historia del problema me ayuda a pensar si debo separar las filas o las columnas de la matriz.
¿Cuándo es separar y distribuir una estrategia de multiplicación útil?
Es útil cuando no sé la respuesta, pero puedo separar el problema en dos operaciones que sé.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Nombre
Halla
8 × 7 usando la estrategia de separar y distribuir de dos maneras diferentes. Traza una línea en cada matriz para separarla.
5. Ejemplo:
Ejemplo:
Halla 9 × 7 usando la estrategia de separar y distribuir de dos maneras diferentes. Completa cada vínculo numérico como ayuda.
Halla
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
9. David organiza sus monedas en filas para que sea más fácil contarlas. Hay 7 filas con 7 monedas en cada una.
¿Cuántas monedas tiene David?
7 × 7 = 49
David tiene 49 monedas.
10. En la guardería, Casey guarda los juguetes en cestos. Hay 8 cestos, y ella guarda 7 juguetes en cada uno.
¿Cuántos juguetes guarda Casey?
8 × 7 = 56
Casey guarda 56 juguetes.
Representar la propiedad asociativa como una estrategia para multiplicar
Completa los espacios para que las ecuaciones sean verdaderas.
1. 3 × (2 × 7) = ( 3 × 2) × 7
2. (4 × 2) × 5 = 4 × ( 2 × 5)
Vistazo a la lección
La clase ve que mover los paréntesis en una expresión de tres dígitos cambia la forma en que se agrupan los factores, pero no cambia el producto. Descomponen el factor más grande en una expresión de dos factores para crear problemas con operaciones que ya conocen como una estrategia para multiplicar.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos descomponer dos factores en tres factores para simplificar una multiplicación?
• ¿Cómo afecta al producto mover los paréntesis en una expresión de multiplicación de tres factores?
Coloca paréntesis en las ecuaciones para simplificar y completa los problemas.
3. 14 × 4 = (7 × 2) × 4
= 7 × (2 × 4)
= 7 × 8
= (5 × 2) × 6
= 10 × 6
= 56 4. 5 × 12 = 5 × (2 × 6)
= 60
Criterio de logro académico
3.Mód3.CLA7 Aplican la propiedad asociativa de la multiplicación. (3.OA.B.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Mover los paréntesis: ¿Igual o diferente?
• Descomponer factores para simplificar problemas de multiplicación
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• lápices de colores (8)
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Estimar sumas o diferencias
La clase hace una estimación de una suma o una diferencia redondeando a la decena más cercana para adquirir fluidez con la estimación usando el redondeo del módulo 2.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 19 + 32 ≈ + .
Redondeen 19 y 32 a la decena más cercana para completar el enunciado.
Muestre los sumandos redondeados.
Cuando dé la señal, leamos el enunciado en grupo. ¿Comenzamos?
19 + 32 es aproximadamente 20 + 30.
Muestre 19 + 32 ≈ .
Usen los sumandos redondeados para escribir la suma estimada.
Muestre la suma estimada.
Cuando dé la señal, leamos el enunciado en grupo. ¿Comenzamos?
19 + 32 es aproximadamente 50.
19 + 32 ≈ + 2030
19 + 32 ≈ 50
Nota para la enseñanza
Cuando la clase resuelva los problemas de resta, cambie la indicación por “Usen los valores redondeados para escribir la diferencia estimada”.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Componer unidades
La clase completa vínculos numéricos para adquirir fluidez con el uso de la propiedad distributiva.
Muestre el vínculo numérico con el total desconocido.
¿5 treses y 1 tres es igual a cuántos treses? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
6 treses
Muestre el vínculo numérico completado.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de siete en siete con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para desarrollar la fluidez con el conteo de siete en siete y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Contemos de siete en siete con el método matemático. Cada dedo representa 7.
Pida a la clase que cuente de siete en siete desde el y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
04956637
Presentar
La clase usa paréntesis para escribir dos expresiones de tres factores que representan una situación.
Muestre la imagen de la matriz de libros.
Dé 1 minuto para que sus estudiantes observen la imagen. Anime a la clase a pensar en el número de estantes, pilas y libros. Desafíe a sus estudiantes a pensar en las diferentes maneras en que podrían describir cómo están organizados los libros. Pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que ven.
Veo 8 pilas de 3 libros.
Veo 2 estantes. En cada estante hay 12 libros.
Veo 2 estantes. En cada estante hay 4 pilas de 3 libros cada una.
A medida que sus estudiantes comparten, reconozca lo que ven y pídales que señalen los diferentes grupos.
¿Dónde ven 8 treses?
¿Dónde ven 2 doces?
¿Dónde ven 2 grupos de 4 treses?
Escriba la expresión: 2 grupos de (4 × 3).
¿Cómo podemos escribir esta expresión usando símbolos?
2 × (4 × 3)
Escriba 2 × (4 × 3).
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para explicar cómo se relaciona la expresión de multiplicación con la imagen.
¿Qué nos indican los paréntesis en la expresión?
Nos indican cómo se agrupan el 4 y el 3. Hay 4 pilas de 3 libros.
Nos indican cómo se organizan los libros en cada estante.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar esquemas de oración para apoyar a la clase en la interpretación de la imagen.
• Hay estantes.
En cada estante hay pilas de libros.
• Hay estantes de pilas de libros.
En cada pila hay libros.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, escribiremos expresiones de tres factores con paréntesis como ayuda para multiplicar.
Aprender
Mover los paréntesis: ¿Igual o diferente?
La clase analiza pares de expresiones para determinar que la posición de los paréntesis no cambia la respuesta en los problemas de multiplicación con tres factores.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 y 2 en sus libros.
Reescribe las expresiones como expresiones de dos factores. Luego, halla los productos. 1.
Guíe a la clase de manera interactiva en los problemas 1 y 2. Considere usar las siguientes preguntas.
¿Qué nos indican los paréntesis en la expresión?
2 y 4 están agrupados.
¿Cómo podemos escribir la expresión de tres factores como una expresión de dos factores?
Podemos reemplazar 2 × 4 por 8 y reescribir la expresión como 8 × 3.
Pida a la clase que reescriba la expresión y halle el producto.
Observen el problema 2. ¿Qué nos indican los paréntesis en la expresión 2 × (4 × 3)?
4 y 3 están agrupados.
¿Cómo podemos escribir la expresión de tres factores con dos factores?
Podemos reemplazar 4 × 3 por 12 y reescribir la expresión como 2 × 12.
Pida a la clase que reescriba la expresión como una expresión de dos factores y halle el producto.
Invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre las dos expresiones y los dos productos. Preste atención a que sus estudiantes establezcan conexiones entre las expresiones y la imagen de la sección Presentar.
Las expresiones tienen los mismos tres factores, pero agrupados de maneras diferentes.
Los paréntesis están en distintas posiciones.
Los factores son los mismos, pero los paréntesis se movieron.
Las expresiones de dos factores son diferentes, pero los productos siguen siendo iguales.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar los problemas 3 a 8.
Guíe una conversación como apoyo para que sus estudiantes reconozcan que, en cada problema, la posición de los paréntesis cambia el orden en que se multiplican los factores, pero el producto no cambia. Considere usar la siguiente secuencia.
¿Qué observaron sobre los productos en cada par de expresiones?
Los productos son iguales.
¿Cuál era la diferencia entre las expresiones?
Los paréntesis estaban en diferentes posiciones; entonces, los factores estaban agrupados de maneras diferentes.
¿Cambiar la posición de los paréntesis cambió el producto? ¿Por qué creen que es así?
No. Los factores son los mismos. Aunque los factores están agrupados de manera diferente, el total sigue siendo el mismo.
En los problemas 7 y 8, ¿qué expresión fue más fácil de resolver?
El problema 7 fue más fácil porque 4 y 2 estaban agrupados. Eso da 8, y sé que 8 × 2 es 16.
El problema 8 fue más fácil porque 2 y 2 estaban agrupados. Eso da 4, y sé que 4 × 4 es 16.
Usar paréntesis para agrupar factores de maneras diferentes nos ayuda a multiplicar de forma eficiente.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué agrupar los factores de maneras diferentes no cambia el producto.
Descomponer factores para simplificar problemas de multiplicación
Materiales: E) Lápices de colores
La clase descompone un factor y usa la propiedad asociativa para reagrupar los factores como una estrategia de simplificación al multiplicar.
Me pregunto si agrupar factores de maneras diferentes nos puede ayudar a multiplicar números más grandes.
Escriba 16 × 3.
¿Qué expresiones tienen un producto de 16?
4 × 4 y 8 × 2
Vamos a reescribir 16 como 8 × 2.
Escriba = (8 × 2) × 3.
¿Por qué piensan que 8 × 2 está entre paréntesis?
Los paréntesis muestran que, cuando se agrupan esos números y se multiplican, se obtiene 16.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando descompone y reagrupa los factores de una expresión de multiplicación para hacer que la multiplicación sea más simple.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿De qué otra manera podrían escribir el factor más grande como ayuda para multiplicar?
• ¿Cómo se relacionan (8 × 2) × 3 y 8 × (2 × 3)? ¿Cómo les ayuda esa relación a multiplicar?
• ¿Pueden separar 16 en dos factores más pequeños como ayuda para multiplicar? Expliquen.
¿Escribir el problema de esta manera lo hizo más fácil de resolver?
No. Todavía tenemos que multiplicar 16 y 3 para hallar la respuesta.
¿Cómo puedo reagrupar los factores para formar operaciones que sé cómo multiplicar?
Mueva los paréntesis para que estén alrededor del 2 y el 3.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 9 en sus libros. Escriba 16 × 3 = 8 × (2 × 3) y muestre la imagen de la matriz.
9. 16 × 3 = 8 × (2 × 3)
16 × 3 = 8 × 6
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la matriz muestra que 16 × 3 = 8 × (2 × 3).
La matriz entera muestra 16 × 3 y se descompone en 8 grupos de (2 × 3).
¿Qué expresión de dos factores podemos escribir para representar 8 grupos de (2 × 3)?
Escriba 16 × 3 = 8 × 6. Pida a sus estudiantes que coloreen 8 grupos de 6 en la matriz, usando un color diferente para cada grupo, y que completen la ecuación.
¿Es más fácil hallar 8 × 6 que 16 × 3?
¿Cuánto es 8 × 6?
DUA: Acción y expresión
Considere ayudar a sus estudiantes a expresar lo que aprendieron de manera flexible. Para hallar los factores de 16, pídales que piensen si dicen 16 cuando cuentan salteado usando grupos de 2, 3, 4, 5, y así sucesivamente, hasta que comiencen a observar que los pares se invierten.
Para una experiencia más concreta, proporcione 16 cubos con los que cada estudiante pueda formar grupos iguales. Nota para la enseñanza
La actividad digital interactiva de Matrices de propiedad asociativa brinda apoyo a sus estudiantes para separar una cantidad de forma visual.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 10. Descomponga 16 × 3 de una manera diferente usando la siguiente secuencia.
10. 16 × 3 = ( 4 × 4 ) × 3
16 × 3 = 4 × ( 4 × 3 )
16 × 3 = 4 × 12
Parte de la clase dijo que 4 × 4 es una expresión con un producto de 16. Veamos si reescribir 16 de esa manera nos ayuda a simplificar el problema.
¿Cuál es la nueva ecuación si remplazamos 16 por 4 × 4?
Escriba 16 × 3 = (4 × 4) × 3. Invite a la clase a hacer lo mismo.
¿Escribir el problema de esta manera lo simplificó?
No. Todavía tenemos que multiplicar 16 y 3 para hallar la respuesta.
Agrupemos los factores de una manera diferente.
Escriba 16 × 3 = 4 × (4 × 3). Invite a la clase a hacer lo mismo.
× ×
¿Qué expresión de dos factores nueva podemos formar ahora? ¿Es más simple el problema?
Podemos formar 4 × 12. No, no es más simple porque 12 sigue siendo un número grande para multiplicar.
No sé cómo hallar 4 × 12, pero puedo sumar 12 cuatro veces.
Escriba 16 × 3 = 4 × 12, mientras la clase hace lo mismo. Pida a la clase que coloree 4 grupos de 12 en la matriz, usando un color diferente para cada grupo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué sucedió al escribir 16 como 4 × 4 y 8 × 2 y qué les indica eso sobre el uso de esta estrategia.
No siempre hace que un problema sea más simple.
Hay que elegir con cuidado los números que se usarán; algunos números son útiles y otros, no.
A veces, necesitamos probar con más de un par de factores para hallar los números que nos ayudarán a formar un problema que sabemos resolver.
Muestre la matriz de 15 × 3 y pida a sus estudiantes que vayan al problema 11. Invite a la clase a trabajar en parejas para descomponer 15 × 3.
11. 15 × 3 = ( 3 × 5 ) × 3
15 × 3 = 3 × ( 5 × 3 )
15 × 3 = 3 × 15
Muestre la imagen de dos maneras en que sus estudiantes podrían haber escrito las ecuaciones. Junto con la clase, establezca que el orden de los factores puede hacer una diferencia en cuanto a que una expresión sea más simple (p. ej., cuando se reescribe 15 como 3 × 5 o 5 × 3).
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuándo esta estrategia de simplificación sería útil. × × × × × × 15 × × 3 = (5 × × 3) × × 3 = 5 × × (3 × × 3) = 5 × × 9
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Representar la propiedad asociativa como una estrategia para multiplicar
Guíe una conversación acerca de cómo la posición de los paréntesis en una multiplicación no cambia el producto, pero puede ser una estrategia de simplificación.
¿Por qué puede ser útil reescribir expresiones de dos factores como expresiones de tres factores?
Nos ayuda a pensar en operaciones más pequeñas que ya sabemos.
¿Cómo afecta al producto mover los paréntesis en una expresión de multiplicación de tres factores?
El producto se mantiene igual. Solo pensamos diferente sobre cómo se agrupan los factores. Muestre la imagen de las expresiones de dos y tres factores.
¿Qué expresión usarían para hallar 18 × 4?
¿Dónde moverían los paréntesis? ¿Por qué?
Usaría 9 × 2 × 4 y colocaría los paréntesis alrededor de 2 × 4.
Sé que 2 × 4 = 8 y me sé 9 × 8. Con las otras opciones, no obtengo una operación que sé para el segundo paso.
¿Cómo descompusieron dos factores en tres factores para simplificar la multiplicación?
Descompusimos 18 en 9 × 2 porque esos factores son más fáciles de multiplicar.
Descompusimos uno de los factores en dos factores más pequeños; entonces, pudimos usar operaciones que sabemos.
¿Cómo agruparon una expresión de tres factores para simplificar la multiplicación?
Agrupamos (2 × 4) para formar 9 × 8, que es una operación que sabemos.
Cuando tenemos tres factores, podemos mover los paréntesis para crear una operación que ya sabemos sin cambiar el producto.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Encierra en un círculo para mostrar los grupos iguales en cada matriz. Luego, encierra en un círculo la expresión que representa los grupos iguales.
1. 3 grupos de 2 × 4
Reescribe las expresiones con dos factores. Luego, halla los productos.
Coloca paréntesis en las ecuaciones para simplificar y completa los problemas. El primero ya está resuelto como ejemplo.
19. Gabe halla la respuesta de 16 × 4 pensando en 8 × 8. Explica su estrategia. La estrategia de Gabe es pensar en 16 × 4 como (8 × 2) × 4. Luego, puede mover los paréntesis para simplificar el problema a 8 × (2 × 4) Cuando halla 2 × 4, obtiene 8 × 8, que es un problema más sencillo que 16 × 4
16 × 4 = (8 × 2) × 4
= 8 × (2 × 4) = 8 × 8
98 GRUPO DE PROBLEMAS
Usar paréntesis en expresiones con operaciones diferentes
Vistazo a la lección
Usa paréntesis para hacer que las ecuaciones sean verdaderas.
1. (2 + 8) × 7 = 70
2. 2 + (8 × 7) = 58
3. Tanto Zara como Luke hallan el valor de 28 + (14 ÷ 7)
• Zara dice que el valor es 30
• Luke dice que el valor es 6
a. ¿Quién está en lo correcto? Explica cómo lo sabes. Zara está en lo correcto. Los paréntesis están alrededor de 14 ÷ 7, lo que hace que la expresión sea igual a 28 + 2. Sé que 28 + 2 = 30
b. ¿Qué error cometió el otro estudiante? Luke halló 28 + 14 primero. Luego, dividió esa respuesta entre 7
La clase ve que puede multiplicar los tres factores de una expresión en cualquier orden y obtener la misma respuesta. Determinan si sucede lo mismo cuando las expresiones incluyen otras operaciones. Llegan a la conclusión de que el orden en que se resuelven las operaciones es importante y que la posición de los paréntesis determina el resultado.
Pregunta clave
• ¿Por qué son importantes los paréntesis en una expresión o ecuación?
Criterio de logro académico
3.Mód3.CLA7 Aplican la propiedad asociativa de la multiplicación. (3.OA.B.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Mismo problema, diferentes soluciones
• Cambiar una expresión moviendo los paréntesis
• Usar paréntesis para hacer que una ecuación sea verdadera
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Estimar sumas o diferencias
La clase hace una estimación de una suma o una diferencia redondeando a la centena más cercana para adquirir fluidez con la estimación usando el redondeo del módulo 2.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 183 + 521 ≈ + .
Redondeen 183 y 521 a la centena más cercana para completar el enunciado.
Muestre los sumandos redondeados.
Cuando dé la señal, leamos el enunciado en grupo. ¿Comenzamos?
183 + 521 es aproximadamente 200 + 500.
Muestre 183 + 521 ≈ .
Usen los sumandos redondeados para escribir la suma estimada.
Muestre la suma estimada.
Cuando dé la señal, leamos el enunciado en grupo. ¿Comenzamos?
183 + 521 es aproximadamente 700.
183 + 521 ≈ + 200500
183 + 521 ≈ 700
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Componer unidades
La clase completa vínculos numéricos para adquirir fluidez con el uso de la propiedad distributiva.
Muestre el vínculo numérico con el total desconocido.
¿5 cuatros y 1 cuatro es igual a cuántos cuatros? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
6 cuatros
Muestre el vínculo numérico completado.
cuatros
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de seis en seis con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de seis en seis y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Contemos de seis en seis con el método matemático. Cada dedo representa 6.
Pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 0 hasta el 60 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Presentar
La clase reconoce que los factores se pueden multiplicar en cualquier orden, con o sin paréntesis.
Pida a sus estudiantes que usen los dígitos 3, 2 y 5 en cualquier orden para crear una expresión de multiplicación de tres factores y, luego, que hallen el producto. Anime a la clase a registrar su razonamiento en las pizarras blancas, incluidos los pasos que siguieron para hallar el producto. Observe el trabajo de sus estudiantes.
Pida a dos o tres estudiantes que hayan multiplicado en diferente orden que se turnen para compartir su trabajo con la clase.
Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan.
No importa cómo se escribieron o multiplicaron los factores, el producto sigue siendo el mismo.
Vemos que podemos multiplicar los factores en cualquier orden y obtener el mismo producto.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, hallaremos los valores de diferentes expresiones y determinaremos si el orden importa.
Nota para la enseñanza
Es posible que la clase escriba expresiones con o sin paréntesis. Existen varias maneras de multiplicar los tres números. Acepte cualquier expresión que tenga el producto correcto. Seleccione ejemplos que destaquen diferentes razonamientos para comentar durante la sección Presentar.
Aprender
Mismo problema, diferentes soluciones
La clase identifica la ecuación que representa una situación y justifica su elección.
Muestre el problema:
Amy tiene 2 cartones de huevos. Cada cartón contiene 6 huevos marrones y 4 huevos blancos. ¿Cuántos huevos tiene Amy en total?
Muestre los nombres y las ecuaciones mientras dice lo siguiente:
Estas son las ecuaciones que escribieron Iván y Mía y sus soluciones para el problema. ¿Qué observan?
Usaron los mismos números y las mismas operaciones, pero obtuvieron respuestas diferentes para el número total de huevos de Amy.
Diferenciación: Apoyo
Una parte de sus estudiantes puede beneficiarse de usar factores conocidos a medida que aprende el contenido de la lección. Considere reemplazar los números más grandes en las expresiones y ecuaciones por números que no sean mayores que 5
+
× 6 + 4 = 20
Invite a la clase a trabajar en parejas para determinar por qué Iván y Mía obtuvieron respuestas diferentes y qué respuesta representa correctamente el número total de huevos que tiene Amy. Las parejas deben prepararse para explicar su razonamiento con palabras o dibujos.
Dé tiempo para trabajar. Luego, invite a las parejas de estudiantes a compartir y justificar su razonamiento.
Iván multiplicó y, luego, sumó; obtuvo un total de 16. Mía sumó y, luego, multiplicó; obtuvo un total de 20.
20 es el número correcto de huevos. Dibujamos los huevos y vimos 2 cartones con 6 + 4 huevos en cada uno. Hay 20 huevos en total.
Con el método de Iván se cuentan 6 huevos marrones dos veces, pero 4 huevos blancos una sola vez.
Parece que Iván y Mía agruparon los números de manera diferente. ¿Qué podemos usar para mostrar cómo agrupar números?
Paréntesis
¿Dónde deberíamos colocar paréntesis para mostrar cómo agrupó los números Iván?
(2 × 6) + 4 = 16
Diferenciación: Desafío
Pida a sus estudiantes que extiendan su razonamiento para escribir expresiones equivalentes usando paréntesis. Alguien podría escribir (3 × 5) − 2 = 13 como (3 × 5) − 2 = (7 × 2) − 1.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Mientras sus estudiantes trabajan, considere pedirles que usen la sección Compartir tu razonamiento de la Herramienta para la conversación a fin de explicar cómo saben qué respuesta es la correcta.
¿Dónde deberíamos colocar paréntesis para mostrar cómo agrupó los números Mía?
2 × (6 + 4) = 20
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué la ecuación con paréntesis de Mía representa el problema.
Cambiar una expresión moviendo los paréntesis
La clase explora cómo mover los paréntesis cambia el valor de una expresión.
Veamos algunas expresiones más para analizar cómo los paréntesis afectan sus valores.
Escriba (25 − 10) ÷ 5 y 25 − (10 ÷ 5).
Invite a la clase a hacer una predicción mostrando los pulgares hacia arriba o hacia abajo para responder la siguiente pregunta:
¿Creen que estas expresiones tienen el mismo valor? Averigüemos si nuestra predicción es correcta.
Señale (25 − 10) ÷ 5 y haga las siguientes preguntas:
¿Qué hacemos primero? ¿Por qué?
Hallamos 25 10 porque está entre paréntesis.
Hallamos 25 10 porque esa parte de la expresión está agrupada.
¿Cómo podemos reescribir (25 − 10) ÷ 5?
Escriba = 15 ÷ 5.
¿Cuánto es 15 ÷ 5?
Escriba = 3 debajo de = 15 ÷ 5.
Use una secuencia similar para 25 − (10 ÷ 5).
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando explora por qué los paréntesis, la forma de agrupar y el orden son importantes para hallar el valor de una expresión.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Cómo usan los paréntesis en sus expresiones?
• Cuando hallan el valor de una expresión que involucra varias operaciones, ¿a qué pasos deben prestar más atención? ¿Por qué?
DUA: Representación
Considere presentar la información de otra manera, ya sea representando las ecuaciones de forma concreta con cubos o de forma pictórica con matrices.
( 25 - 10) ÷ 5 = 3 25 - ( 10 ÷ 5) = 23
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas.
Las expresiones originales tienen los mismos números y los mismos símbolos. ¿Por qué los valores de las dos expresiones son diferentes?
Los valores son diferentes porque las expresiones no son iguales. Están agrupadas de manera diferente. En la primera expresión, se agrupa 25 − 10, pero en la segunda expresión, se agrupa 10 ÷ 5.
Son diferentes porque el orden importa. Los paréntesis nos indican el orden para resolver los pasos, y un orden diferente nos da un valor diferente.
Hemos visto algunos ejemplos en los que la posición de los paréntesis, o la forma de agrupar los números, cambia el valor. ¿Por qué creen que es así?
Cuando solo multiplicábamos, podíamos agrupar los números de cualquier manera. Ahora que usamos diferentes operaciones, parece que la forma de agrupar los números sí importa.
Invite a la clase a completar los siguientes pares de ecuaciones y explicar en qué se parecen o en qué se diferencian las ecuaciones de cada par:
• (2 + 3) × 7 = y 2 + (3 × 7) =
• (3 × 4) ÷ 2 = y 3 × (4 ÷ 2) =
• (8 + 6) + 1 = y 8 + (6 + 1) =
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué mover los paréntesis cambia el valor a veces, pero no siempre.
Usar
paréntesis para hacer que una ecuación
sea verdadera
La clase coloca paréntesis para hacer que las ecuaciones sean verdaderas.
Escriba 16 − 4 + 7 = 19.
Invite a la clase a trabajar en parejas y determinar dónde colocar los paréntesis para hacer que las ecuaciones sean verdaderas. Luego, invite a las parejas de estudiantes a compartir su respuesta y su razonamiento.
¿Dónde colocaron los paréntesis?
Alrededor de 16 4
Nota para la enseñanza
En la mayoría de los casos, cuando una expresión contiene dos operaciones diferentes, mover los paréntesis cambia su valor.
(5 − 2) + 2 ≠ 5 − (2 + 2)
(2 + 3) × 4 ≠ 2 + (3 × 4)
(10 ÷ 2) + 3 ≠ 10 ÷ (2 + 3)
Sin embargo, con determinadas combinaciones de números u operaciones, es posible que los valores resulten ser los mismos.
(5 − 2) + 0 = 5 − (2 + 0)
(2 + 3) × 1 = 2 + (3 × 1)
(5 + 3) − 2 = 5 + (3 − 2)
(2 × 9) ÷ 3 = 2 × (9 ÷ 3)
Parte de la clase puede observar que, para las expresiones con la forma a + b − c o a × b ÷ c, los valores siempre resultan ser los mismos.
(6 + 6) − 3 = 6 + (6 − 3)
(10 × 4) ÷ 2 = 10 × (4 ÷ 2)
Se espera que la clase entienda que mover los paréntesis en expresiones que involucran solo sumas o solo multiplicaciones no cambia el valor de las expresiones. En cualquier otro caso, por lo general, no deberían esperar que el valor sea el mismo.
¿Cómo saben que hicieron que la ecuación fuera verdadera?
Sé que hice que la ecuación fuera verdadera porque, cuando resté 4 de 16, obtuve 12. Luego, sumé 7 y eso da 19. Primero, resuelvo lo que está entre paréntesis.
Si coloco los paréntesis alrededor de 4 + 7, eso da 11. Luego, 16 − 11 es 5; entonces, la ecuación no sería verdadera.
Si hay tiempo suficiente, invite a la clase a colocar paréntesis para hacer que las siguientes ecuaciones sean verdaderas: 4 × 7 − 2 = 26 y 3 + 7 × 6 = 45.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo determinaron dónde colocar los paréntesis.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Usar paréntesis en expresiones con operaciones diferentes
Guíe una conversación acerca de la función de los paréntesis en una ecuación. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 10 del Grupo de problemas.
¿Cómo afectaron los paréntesis su trabajo en estas dos ecuaciones?
Los paréntesis cambiaron lo que agrupé primero; entonces, obtuve respuestas diferentes.
En la ecuación de arriba, resté primero; en la ecuación de abajo, multipliqué primero.
¿Por qué son importantes los paréntesis en una expresión o ecuación?
Los paréntesis nos indican qué paso resolver primero.
Los paréntesis muestran cómo se agrupan los números.
¿Importa el orden de las operaciones en una expresión?
A veces, sí. Los paréntesis nos ayudan a saber qué hacer primero.
Si solo debemos sumar o solo debemos multiplicar, el orden no importa.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
26. Tanto Amy como Eva hallan el valor de 20 ÷ (2 + 3)
• Amy dice que el valor es 4
• Eva dice que el valor es 13.
a. ¿Quién está en lo correcto? Explica cómo lo sabes.
Amy está en lo correcto. El valor es 4. Lo sé porque los paréntesis muestran que, primero, debo hallar 2 + 3 2 + 3 = 5 y 20 ÷ 5 = 4
b. ¿Qué error cometió la otra estudiante?
Eva dividió primero y, luego, sumó. Debía sumar primero.
27. Ray dice que el valor de 3 × 8 ÷ 4 es 6 sin importar dónde coloque los paréntesis. ¿Está en lo correcto? Coloca paréntesis alrededor de diferentes números para explicar su razonamiento.
6 + (3 × 2) = 12 14. (12 ÷ 4) × 3 = 9
12 ÷ (4 × 3) = 1
Sí, Ray está en lo correcto. Cuando colocas paréntesis alrededor de 3 × 8, la expresión es (3 × 8) ÷ 4, lo que es igual a 24 ÷ 4, y 24 ÷ 4 = 6 Cuando colocas paréntesis alrededor de 8 ÷ 4, la expresión es 3 × (8 ÷ 4), lo que es igual a 3 × 2 , y 3 × 2 = 6. Entonces, de cualquier manera que se coloquen los paréntesis, el valor es 6
Usar la estrategia de separar y distribuir para dividir con unidades de 7
Vistazo a la lección
La clase usa la estrategia de separar y distribuir para dividir. Deciden en qué combinación de operaciones separar la operación, con énfasis en las operaciones de la tabla del cinco. Exploran la eficiencia de usar las operaciones de la tabla del diez para separar totales más grandes en partes.
Preguntas clave
• ¿Qué debemos tener en cuenta cuando elegimos números para dividir con la estrategia de separar y distribuir?
• ¿Cuándo es separar y distribuir una estrategia de división útil?
Criterio de logro académico
3.Mód3.CLA6 Aplican la propiedad distributiva para dividir. (3.OA.B.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Separar y distribuir para dividir entre 7
• Analizar ejemplos de trabajo con la estrategia de separar y distribuir
• Separar un total en partes usando una operación de la tabla del diez
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• tarjetas numéricas de Eureka Math2 (1 juego por pareja de estudiantes)
• Plantilla de factor escondido (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• papel de rotafolio (1 hoja por pareja de estudiantes)
• notas adhesivas (10 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
Sus estudiantes necesitan los números del 2 al 10 del juego de tarjetas numéricas. Considere retirar las tarjetas 0 y 1 del juego.
Fluidez
Factor escondido
Materiales: E) Tarjetas numéricas, Plantilla de factor escondido
La clase halla un producto y dice una ecuación de multiplicación o división relacionada para adquirir fluidez con la multiplicación y la división hasta el 100.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas numéricas a cada pareja de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase.
• Las parejas colocan el juego de tarjetas numéricas bocabajo sobre la Plantilla de factor escondido. Asígneles un factor para que practiquen (p. ej., 6) o permítales elegir un factor y pídales que lo escriban en el recuadro vacío al lado de la pila de tarjetas.
• Quienes participan como estudiantes A dan vuelta a la tarjeta que se encuentra en la parte de arriba y la colocan sobre la pila.
• Cada estudiante, A y B, dice el producto. Consulte el diálogo de ejemplo debajo de la imagen.
• Quienes participan como estudiantes A dicen la ecuación de multiplicación comenzando con la tarjeta numérica. Quienes participan como estudiantes B dicen una ecuación de división relacionada.
• Descartan la tarjeta que usaron en una pila separada.
8 ×
6
Estudiantes A y B: “48”
Estudiante A: “ 8 × 6 = 48”
Estudiante B: “4 8 ÷ 6 = 8”
Recorra el salón de clases durante la actividad para asegurarse de que las ecuaciones de multiplicación y de división que dicen sean correctas.
Si alguna pareja se queda sin tarjetas antes de que finalice el tiempo, pueden colocar la pila de tarjetas descartadas bocabajo sobre la plantilla, intercambiar roles y seguir jugando. Pueden usar el mismo factor, un factor distinto asignado o elegir otro factor.
Contar de ocho en ocho y de siete en siete con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de ocho en ocho, desarrollar la fluidez con el conteo de siete en siete y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Contemos de ocho en ocho con el método matemático. Cada dedo representa 8.
Pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Ahora, contemos de siete en siete con el método matemático. Cada dedo representa 7.
Pida a la clase que cuente de siete en siete desde el 0 hasta el 70 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Presentar
La clase compara diferentes formas de descomponer matrices usando la estrategia de separar y distribuir.
Presente la imagen de las matrices y los vínculos numéricos y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y busque semejanzas y diferencias en cómo se usa la estrategia de separar y distribuir para dividir en cada problema. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. 5
Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas durante 1 minuto. Recorra el salón de clases y preste atención a los comentarios sobre el vínculo numérico para la expresión del problema C. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.
Guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y regístrelo.
En los problemas A y E, la matriz está dividida en una operación de la tabla del cinco y otra operación.
En los problemas B y D, la matriz está dividida en operaciones con números repetidos.
En el problema C, la matriz está dividida en 3 partes.
Destaque la estrategia usada en el problema C. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del total, las tres partes del vínculo numérico y cómo las tres partes son útiles para hallar 42 ÷ 6.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos la estrategia de separar y distribuir para dividir.
Aprender
Separar y distribuir para dividir entre 7
La clase descompone un múltiplo de 7 en partes para simplificar la división y hallar el cociente.
Escriba 56 ÷ 7 y pida a la clase que use la estrategia de separar y distribuir para dividir.
¿Cómo podemos separar 56 en partes que se puedan dividir entre 7 usando operaciones que sabemos?
Haga vínculos numéricos para mostrar las distintas partes posibles mientras la clase las dice.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué números preferirían usar para separar 56 y por qué.
Nota para la enseñanza
Tenga en cuenta que sus estudiantes tendrán distintos niveles de dominio de las operaciones de división. Si prefieren usar una combinación distinta de 35 y 21, considere hallar el cociente de diferentes maneras con la clase. El objetivo es que cada estudiante pueda elegir según su nivel de competencia con la división.
Vamos a separar 56 en 35 y 21.
Haga un vínculo numérico con 35 y 21 como las partes.
¿Cuánto es 35 ÷ 7?
¿Cuánto es 21 ÷ 7?
¿Qué hacemos con el 5 y el 3?
Escriba = 5 + 3.
¿Cuánto es 56 ÷ 7?
Escriba = 8.
¿Por qué elegí separar 56 en 35 y 21?
Porque 35 es una operación de la tabla del cinco.
Deje el trabajo a la vista para el siguiente segmento de la lección.
Analizar ejemplos de trabajo con la estrategia de separar y distribuir
Materiales: E) Papel de rotafolio, notas adhesivas
La clase elige cómo descomponer un total usando la estrategia de separar y distribuir para dividir y evalúa las elecciones de sus pares.
Forme parejas de estudiantes. Asigne a las parejas una de las siguientes expresiones: 32 ÷ 4, 63 ÷ 7, 64 ÷ 8, 72 ÷ 9, 72 ÷ 8.
Usen la estrategia de separar y distribuir para hallar el cociente. Completen su trabajo en el papel de rotafolio. Deben incluir un vínculo numérico y el cociente.
Dé a las parejas 3 o 4 minutos para trabajar. Luego, exhiba el trabajo de sus estudiantes en el salón de clases.
Prepare a las parejas para que observen el trabajo de sus pares.
DUA: Acción y expresión
Deje a la vista el trabajo realizado en este segmento como un ejemplo típico que las parejas puedan usar al crear sus muestras en el siguiente segmento. Anime a sus estudiantes a evaluar su progreso comparando su trabajo con el ejemplo típico. Coloque las siguientes preguntas a la vista para ayudar a las parejas a recordar qué deben incluir en el papel de rotafolio:
• ¿Su trabajo incluye un vínculo numérico?
• ¿Su trabajo muestra el cociente?
Nota para la enseñanza
Decida si desea usar una señal para indicar a sus estudiantes que deben pasar a otro lugar o permitir que circulen a su propio ritmo. Decida también si seguirán un recorrido en particular, y si más de una pareja de estudiantes podrá trabajar con el mismo afiche a la vez. Después de haber visto algunos de los afiches, las parejas probablemente comiencen a completar la tarea en menos tiempo. No es necesario que las parejas vean todos los afiches antes de pasar a la conversación.
Examinen el trabajo de sus compañeras y compañeros mientras recorren el salón de clases. Asegúrense de que comprenden el trabajo y pueden explicar los pasos que se siguieron para hallar el cociente. Si tienen preguntas sobre el trabajo, escríbanlas en una nota adhesiva y péguenlas en el papel.
Luego, decidan si usarían las mismas partes para descomponer el total. Si usarían las mismas partes, dibujen una marca de verificación en una nota adhesiva y péguenla en el papel. Si usarían partes diferentes, escriban la descomposición que preferirían usar.
Muestre cómo usar la nota adhesiva en la operación de división 56 ÷ 7 del segmento anterior.
Distribuya las notas adhesivas. Dé a las parejas hasta 5 minutos para recorrer los afiches, comentar y dejar las notas donde expresan si están de acuerdo o en desacuerdo. Recorra el salón de clases mientras las parejas observan los afiches. Preste atención a las preguntas que se repiten sobre los trabajos y a los conceptos erróneos o las generalizaciones para abordarlos durante la conversación de toda la clase.
Al terminar el recorrido, reúna a sus estudiantes y pídales que tengan a mano sus afiches.
Dé 1 minuto para que las parejas revisen las preguntas que dejó el resto de la clase acerca de su trabajo.
Pida a los grupos de parejas que hallaron 32 ÷ 4 que muestren sus trabajos, uno al lado del otro. Guíe una conversación breve sobre las semejanzas y diferencias incluyendo preguntas como:
• ¿Hay preguntas que quieran responder sobre su trabajo?
• ¿Descompusieron 32 de la misma manera?
• ¿Por qué eligieron descomponer 32 en 20 y 12?
• En general, ¿la clase estuvo de acuerdo o en desacuerdo con su elección?
• Si el resto de la clase estuvo de acuerdo, ¿por qué creen que están de acuerdo con su elección?
• Si el resto de la clase estuvo en desacuerdo, ¿qué pares de números eligieron? ¿Por qué están en desacuerdo?
Anime a la clase a que haga preguntas.
Continúe con una conversación similar acerca de las otras operaciones.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
A medida que los grupos evalúan el trabajo de otros grupos, anime a la clase a usar la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación como apoyo para sus conversaciones.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando responde las preguntas que le dejaron sobre su trabajo y deja notas para expresar si está de acuerdo o en desacuerdo con el trabajo de sus pares.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Por qué funcionan sus estrategias? Convenzan a la clase.
• ¿Con qué partes del trabajo de sus pares no están de acuerdo? ¿Por qué?
• ¿Qué preguntas pueden hacerles a sus pares para asegurarse de que comprenden sus estrategias?
Separar un total en partes usando una operación de la tabla del diez
La clase simplifica la división al descomponer un total usando una operación de la tabla del diez.
Muestre 78 ÷ 6. Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen sobre cómo podrían separar 78 en partes para hallar 78 ÷ 6.
Muestre la imagen de los tres ejemplos de trabajo. Dé 1 o 2 minutos para que la clase analice los ejemplos.
¿Qué observan sobre cómo se separó 78 en estos ejemplos de trabajo?
En el ejemplo A, se usa una operación de la tabla del cinco.
78 ÷ 6 = 5 + 8 = 13
48 Es tudiante A 78 ÷ 6 = 5 + 5 + 3 = 13 30 18 30 Es tudiante B 78 ÷ 6 = 10 + 3 = 13
Es tudiante C
En el ejemplo B, se separa el total en 3 partes y se usa una operación de la tabla del cinco dos veces.
En el ejemplo C, se usa una operación de la tabla del diez.
¿En qué se diferencia la estrategia que se usó en el ejemplo C de las estrategias que se usaron en los ejemplos A y B?
Se usa una operación de la tabla del diez. Nunca hemos usado operaciones de la tabla del diez con esta estrategia antes.
Dé tiempo para que la clase halle 84 ÷ 7 usando una operación de la tabla del diez. Escriba el problema y haga el vínculo numérico. Brinde únicamente la guía que necesiten.
Si hay tiempo suficiente, use una estrategia similar para hallar 99 ÷ 9 y 91 ÷ 7.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo deciden la forma de descomponer un total para simplificar un problema de división.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Usar la estrategia de separar y distribuir para dividir con unidades de 7
Guíe una conversación acerca de cuándo es útil usar la estrategia de separar y distribuir para dividir.
¿Qué debemos tener en cuenta cuando elegimos números para dividir con la estrategia de separar y distribuir?
Necesitamos elegir números que ya sabemos y que sean fáciles de dividir mentalmente.
¿Usarían la estrategia de separar y distribuir para hallar 21 ÷ 7?
Podría usarla, pero el total es pequeño; entonces, me resulta más fácil contar salteado.
No, porque sé que 3 × 7 = 21; entonces, 21 ÷ 7 = 3.
¿Cuándo es separar y distribuir una estrategia de división útil?
Es útil cuando aún no sabemos la operación y podemos separar el total en totales de otras operaciones que ya sabemos.
Es útil cuando el total es grande y puedo separarlo en una operación de la tabla del cinco y otra operación.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
usando la estrategia de separar y distribuir.
1. Completa las ecuaciones en el vínculo numérico para hallar 56 ÷ 7. Usa cada parte de la matriz como ayuda para dividir.
6. Halla 56 ÷ 8 usando la estrategia de separar y distribuir de dos maneras diferentes.
Divide usando la estrategia de separar y distribuir.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
9. Robin tiene 96 pegatinas de gatos. Las coloca en filas de 8 ¿Cuántas filas de pegatinas de gatos tiene Robin?
96 ÷ 8 = 12
Robin tiene 12 filas de pegatinas de gatos.
Resolver problemas verbales de un paso relacionados con la multiplicación y la división
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar el número desconocido.
El Sr. Davis organiza 72 sillas en 8 filas iguales. ¿Cuántas sillas hay en cada fila?
Ejemplo:
a
÷ 8 = a
÷ 8 = 5 + 4 = 9
La clase escribe ecuaciones que representan problemas verbales usando una letra para mostrar el número desconocido. Sus estudiantes eligen sus propias estrategias para hallar la solución. Después de trabajar de manera independiente para resolver los problemas, cada estudiante comparte su trabajo para comparar y relacionar las estrategias.
Preguntas clave
• ¿Cómo se puede resolver el mismo problema usando estrategias diferentes?
• ¿Por qué es útil usar una letra para representar el número desconocido cuando escribimos ecuaciones?
Criterio
de logro académico
3.Mód3.CLA3 Resuelven problemas de un paso que involucran la multiplicación y la división hasta el 100 usando una letra para el número desconocido. (3.OA.A.3)
EUREKA
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Resolver un problema verbal de multiplicación
• Multiplicación: Compartir, comparar y conectar
• Resolver un problema verbal de división
• División: Compartir, comparar y conectar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• tarjetas numéricas de Eureka Math2 (1 juego por pareja de estudiantes)
• Plantilla de factor escondido (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Sus estudiantes necesitan los números del 2 al 10 del juego de tarjetas numéricas. Considere retirar las tarjetas 0 y 1 del juego.
Fluidez
Factor escondido
Materiales: E) Tarjetas numéricas, Plantilla de factor escondido
La clase halla un producto y dice una ecuación de multiplicación o división relacionada para adquirir fluidez con la multiplicación y la división hasta el 100.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas numéricas a cada pareja de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase.
• Las parejas colocan el juego de tarjetas bocabajo sobre la Plantilla de factor escondido. Asígneles un factor para que practiquen (p. ej., 6) o permítales elegir un factor y pídales que lo escriban en el recuadro vacío al lado de la pila de tarjetas.
• Quienes participan como estudiantes A dan vuelta a la tarjeta que se encuentra en la parte de arriba y la colocan sobre la pila.
• Cada estudiante, A y B, dice el producto. Consulte el diálogo de ejemplo debajo de la imagen.
8 ×
6
Estudiantes A y B: “48”
Estudiante A: “ 8 × 6 = 48”
Estudiante B: “4 8 ÷ 6 = 8”
• Quienes participan como estudiantes A dicen la ecuación de multiplicación comenzando con la tarjeta numérica. Quienes participan como estudiantes B dicen una ecuación de división relacionada.
• Descartan la tarjeta que usaron en una pila separada.
Recorra el salón de clases durante la actividad para asegurarse de que las ecuaciones de multiplicación y de división que dicen sean correctas.
Si alguna pareja se queda sin tarjetas antes de que finalice el tiempo, pueden colocar la pila de tarjetas descartadas bocabajo sobre la plantilla, intercambiar roles y seguir jugando. Pueden usar el mismo factor, un factor distinto asignado o elegir otro factor.
Contar
de seis en seis y de siete en siete con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de seis en seis, desarrollar la fluidez con el conteo de siete en siete y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Contemos de seis en seis con el método matemático. Cada dedo representa 6.
Pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 0 hasta el 60 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Muéstrenme 30.
(Muestran 30 con los dedos usando el método matemático).
Pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 30 hasta el 60 y, luego, hacia atrás hasta el 30 con el método matemático.
Ahora, contemos de siete en siete con el método matemático. Cada dedo representa 7.
Pida a la clase que cuente de siete en siete desde el 0 hasta el 70 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Presentar
5
La clase dibuja representaciones de ecuaciones que tienen una letra para el número desconocido.
Muestre las ecuaciones: 6 × 8 = k, 4 × m = 20 y 24 ÷ 3 = a.
Invite a la clase a trabajar en parejas para determinar si el número desconocido en cada ecuación representa el total, el número de grupos o el tamaño de cada grupo. Pida a las parejas que dibujen una representación de cada ecuación.
Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja y seleccione una o dos parejas para que compartan su dibujo de cada ecuación.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere mostrar las opciones de lo que puede representar el número desconocido (es decir, total, número de grupos y tamaño de cada grupo) para que sus estudiantes las usen como referencia mientras conversan en parejas sobre las ecuaciones.
¿En qué se parecen las representaciones?
¿En qué se diferencian?
En todas se usa una letra en lugar de un signo de interrogación para identificar el número desconocido.
Todas muestran la relación entre el total, el número de grupos y el tamaño de los grupos.
Algunas parejas dibujaron 3 como el número de grupos y otras dibujaron 3 como el tamaño de los grupos.
¿En qué se diferencia usar una letra de usar un signo de interrogación o un espacio?
En realidad, no hay diferencia. Es un símbolo que representa el número desconocido, igual que un signo de interrogación.
Cuando resolvemos problemas verbales, la letra que usamos para el número desconocido suele tener relación con lo que queremos hallar en el problema. Por ejemplo, si queremos hallar cuántas galletas hay, podemos usar la letra g.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos una letra para representar el número desconocido al resolver problemas verbales de multiplicación o de división, de un paso.
Aprender
Resolver un problema verbal de multiplicación
La clase elige modelos y estrategias para razonar y resolver un problema verbal de multiplicación.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Pídales que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe (LDE) para resolver el problema. Permítales elegir sus propias estrategias.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando utiliza el proceso Lee-Dibuja-Escribe con el objetivo de identificar los puntos de partida para una solución y analizar los valores y sus relaciones.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Qué cosas podrían probar para comenzar a resolver el problema?
• ¿Están funcionando sus estrategias?
¿Podrían intentar hacer algo diferente?
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar el número desconocido.
1. En el refrigerador, las cajas de jugo están ordenadas en 4 filas y 7 columnas. ¿Cuántas cajas de jugo hay?
Hay 28 cajas de jugo.
Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione dos o tres para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo aplicar las estrategias de multiplicación aprendidas para resolver el problema.
Los ejemplos de trabajo demuestran cómo usar la estrategia de separar y distribuir y la propiedad asociativa de la multiplicación.
La clase comparte las soluciones del problema 1 y razona acerca de sus conexiones.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el modelo que usó para representar el problema. Haga preguntas que ayuden a la clase a establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que son diferentes. Anime a la clase a que haga preguntas.
Diferenciación: Desafío
Considere aumentar la complejidad mostrando como desafío un problema que tome como base la solución del problema 1:
Hay 7 paquetes de 6 cajas de jugo sobre la mesa. ¿Cuántas cajas de jugo menos hay en el refrigerador que en la mesa?
Separar y distribuir (método de Mía)
Mía, cuéntanos cómo resolviste el problema de las cajas de jugo.
Dibujé una matriz. Luego, separé la matriz en 5 columnas y 2 columnas. Hay 4 filas; entonces, resolví 4 × 5 y 4 × 2. Luego, sumé esas respuestas y obtuve 28 cajas de jugo.
¿Qué se conoce en este problema?
¿Cómo representa esa información el dibujo de Mía?
Hay 4 filas y 7 columnas de cajas de jugo; entonces, Mía dibujó 4 filas y 7 columnas.
¿Qué se desconoce en este problema?
¿Cómo representa esa información el dibujo de Mía?
Se desconoce el número total de cajas de jugo. Está representado por el número de cuadrados en la matriz.
Mía, ¿cómo te ayudó el dibujo a resolver y hallar el número desconocido?
Me ayudó a ver que podía separar la matriz en 4 × 5 y 4 × 2, que son cálculos que me resultan más fáciles de resolver mentalmente que 4 × 7.
¿Cómo representa la ecuación de Mía el problema?
4 × 7 representa las 4 filas y las 7 columnas. La c representa el número total desconocido de cajas de jugo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre su trabajo y el de Mía.
Nota para la enseñanza
Los ejemplos de trabajo y razonamiento de cada estudiante muestran respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.
Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de sus estudiantes para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que mejor sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.
Propiedad asociativa (método de Pablo)
Pablo, cuéntanos cómo resolviste el problema de las cajas de jugo.
Dibujé un diagrama de cinta con 4 partes, porque hay 4 filas. Rotulé cada parte 7 para representar 7 en cada fila. Necesitaba hallar el total; entonces, supe que tenía que hallar el valor de 4 sietes.
¿Qué se conoce en este problema?
¿Cómo representa esa información el dibujo de Pablo?
Sabemos que hay 4 filas de 7. El diagrama de cinta muestra 4 grupos de 7.
Hay 28 cajas jas de jugo.
= 28 7 7 7 7
4 × 7 = c
4 × 7 = ( 2 × 2) × 7
= 2 × ( 2 × 7)
= 2 × 14 = 14 + 14
¿Qué se desconoce en este problema? ¿Cómo representa esa información el dibujo de Pablo?
Se desconoce el número total de cajas de jugo; entonces, el total está rotulado con una letra.
Pablo, ¿cómo te ayudó el dibujo a resolver y hallar el número desconocido?
La cinta muestra los 4 sietes. El número desconocido es el total. Sé que 2 × 2 = 4; entonces, escribí 4 sietes como (2 × 2) × 7. Luego, moví los paréntesis para que quedara 2 × (2 × 7).
Sé que 2 × 7 = 14, y, luego, solo dupliqué 14 y obtuve 28.
¿Cómo representa la ecuación de Pablo el problema?
4 × 7 representa las 4 filas de 7. La c representa el número desconocido de cajas de jugo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos, el de Mía y el de Pablo.
DUA: Acción y expresión
Después de que la clase compare las estrategias para hallar la solución, anime a sus estudiantes a evaluar su propio progreso pidiéndoles que evalúen si sus enfoques para resolver el problema funcionaron. Proporcione preguntas como guía para que se hagan sus estudiantes:
• ¿Cómo me fue?
• ¿Mostré mi razonamiento?
• ¿Funcionó mi estrategia?
• ¿Usaré la misma estrategia para resolver un problema parecido la próxima vez? Explica.
Resolver un problema verbal de división
La clase elige modelos y estrategias para razonar y resolver un problema verbal de división.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que usen el proceso LDE para resolver el problema. Permítales elegir sus propias estrategias.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar el número desconocido.
2. En una bandeja hay 49 cartones de leche organizados en 7 columnas. ¿Cuántas filas de cartones de leche hay?
Hay 7 filas de cartones de leche.
Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione dos o tres para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo aplicar las estrategias de división conocidas para resolver el problema.
Los ejemplos de trabajo demuestran la división como un problema de factor desconocido y el uso de la estrategia de separar y distribuir para dividir.
División como un problema de factor desconocido
7 × c = 49
,
Hay 7 filas de cartones de leche.
Separar y distribuir
7 filas de cartones de leche.
Diferenciación: Desafío
Considere aumentar la complejidad mostrando como desafío un problema que tome como base el problema 2:
Hay 2 cajas de cartones de leche. Cada caja contiene 8 columnas de 7 cartones de leche. ¿Cuántos cartones de leche más hay en las 2 cajas que en la bandeja?
División: Compartir, comparar y conectar
La clase comparte las soluciones del problema 2 y razona acerca de sus conexiones.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el modelo que usó para representar el problema. Haga preguntas que ayuden a la clase a establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que son diferentes. Anime a la clase a que haga preguntas.
División como un problema de factor desconocido (método de Shen)
Shen, cuéntanos cómo resolviste el problema de los cartones de leche.
Hice un diagrama de cinta con 7 partes para las 7 columnas. Las columnas representan el número de grupos. No sabía cuántos hay en cada grupo; entonces, escribí una ecuación con un factor desconocido. Luego, conté salteado de siete en siete hasta llegar al 49 para hallar el factor desconocido, que también es 7. Hay 7 filas de cartones de leche.
¿Qué se conoce en este problema? ¿Cómo representa esa información el dibujo de Shen?
Hay 7 columnas de cartones de leche, que están representadas por las 7 partes del diagrama de cinta. Hay un total de 49 cartones de leche; entonces, el total en el diagrama de cinta se rotula 49.
¿Qué se desconoce en este problema? ¿Cómo representa esa información el dibujo de Shen?
Se desconoce el número de cartones de leche en cada fila. Shen escribió una c en 1 de las partes para representar el número de cartones de leche en 1 fila.
Shen, ¿cómo te ayudó el dibujo a resolver y hallar el número desconocido?
Mi dibujo me ayudó a ver que necesitaba dividir, porque no sabía el número en cada columna. Usé mi dibujo para escribir una ecuación con un factor desconocido.
¿Cómo representa la ecuación de Shen el problema?
Shen sabía el total y el número de columnas; entonces, escribió una ecuación con un factor desconocido. Hay 49 cartones de leche en total y 7 columnas. La otra parte es lo que no se sabe; por eso, usó una letra para representarla.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre su trabajo y el de Shen.
Separar y distribuir (método de Adam)
Adam, cuéntanos cómo resolviste el problema de los cartones de leche.
Dibujé un diagrama de cinta. Muestra el total y el número de columnas, o grupos. Sabía que necesitaba dividir para hallar cuántas filas de cartones de leche hay. Usé la estrategia de separar y distribuir para formar operaciones que ya sé. Hallé que hay 7 filas de cartones.
¿Qué se conoce en este problema? ¿Cómo representa esa información el dibujo de Adam?
Hay un total de 49 cartones de leche; entonces, Adam dibujó un diagrama de cinta y rotuló el total 49. Hay 7 columnas de cartones de leche; entonces, Adam dividió la cinta en 7 partes.
¿Qué se desconoce en este problema? ¿Cómo representa esa información el dibujo de Adam?
El valor desconocido es el número de filas de cartones de leche, que es el número en cada parte del diagrama de cinta. Rotuló las partes con la letra c para representar los cartones.
Adam, ¿cómo te ayudó el dibujo a resolver y hallar el número desconocido?
Mi dibujo me sirvió para ver que sabía el total y el número de grupos; entonces, necesitaba dividir para hallar la otra parte.
¿Cómo representa la ecuación de Adam el problema?
El total es 49 y la parte que sabemos es 7; entonces, escribió 49 ÷ 7. El cociente es la parte que no sabemos; entonces, escribió c para representar el cociente.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre su trabajo, el de Adam y el de Shen.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas verbales de un paso relacionados con la multiplicación y la división
Guíe una conversación centrada en la aplicación de estrategias de multiplicación y división para resolver problemas verbales.
¿Cómo se puede resolver el mismo problema usando estrategias diferentes?
Podemos dibujar matrices o diagramas de cinta para representar el problema.
Podemos usar una estrategia, como separar y distribuir, de diferentes maneras, para formar problemas en los que se usen operaciones que sabemos.
¿Cómo aplicaron las estrategias que conocen para resolver problemas?
Pensé en lo que sabía y en lo que no sabía. Dibujé un diagrama de cinta y conté salteado para hallar el número en cada parte.
Escribí un problema de factor desconocido porque me es más fácil pensar en la multiplicación que en la división.
¿Por qué es útil usar una letra para representar el número desconocido cuando escribimos ecuaciones?
Al usar una letra para representar el número desconocido me resulta más fácil relacionar mi dibujo con una ecuación, ya que puedo ver la letra en los dos.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver los problemas. Usa una letra para representar el número desconocido en cada problema.
1. 7 equipos compiten en una carrera de relevos. Cada equipo tiene 5 integrantes. ¿Cuántas personas compiten en total?
7 × 5 = p
p = 35
Compiten 35 personas en total.
2. Shen coloca sus bandas elásticas en 6 pilas iguales. Tiene un total de 48 bandas elásticas. ¿Cuántas bandas elásticas hay en cada pila?
48 ÷ 6 = c
c = 8
Hay 8 bandas elásticas en cada pila.
3. Zara coloca las sillas para un concierto. Las coloca en 7 filas. En cada fila hay 9 sillas. ¿Cuántas sillas coloca en total?
7 × 9 = c
c = 63
Zara coloca 63 sillas en total.
4. La Sra. Smith organiza trenes de juguete. Organiza los vagones de tren en 6 filas y 7 columnas. ¿Cuántos vagones de tren hay?
6 × 7 = v
v = 42
Hay 42 vagones de tren.
5. En una tienda, los ladrillos están ordenados en 7 columnas iguales. Hay 56 ladrillos en total. ¿Cuántos ladrillos hay en cada columna?
56 ÷ 7 = c
c = 8
Hay 8 ladrillos en cada columna.
6. El entrenador Endo quiere colocar las pelotas de tenis, en partes iguales, en cajas. Hay 64 pelotas de tenis. En cada caja caben 8 pelotas. ¿Cuántas cajas necesita?
64 ÷ 8 = c
c = 8
El entrenador Endo necesita 8 cajas.
Tema C
Análisis de patrones usando unidades de 9, 0 y 1
En el tema C, la clase completa el estudio de los factores de un solo dígito concentrándose en las unidades de 9, 0 y 1. Usan patrones para identificar y desarrollar estrategias de multiplicación y de división con estas unidades.
La relación entre el 9 y el 10 da lugar a varios patrones que pueden servir como estrategias de multiplicación. Sus estudiantes suman 10 y restan 1 como estrategia para contar salteado de nueve en nueve y usan la ecuación 9 = 10 1 para multiplicar por 9 aplicando la propiedad distributiva. Usan patrones identificados en los dígitos de las unidades y de las decenas de los múltiplos de 9 para multiplicar y comprobar que sus respuestas son razonables.
La clase examina diferentes ecuaciones para identificar patrones al multiplicar y dividir con 0 y 1. La tabla de multiplicación les ayuda a generalizar los patrones de los productos de números pares e impares, y comienzan a ver las relaciones entre los factores y los múltiplos que se exploran en 4.° grado. También ven la tabla de multiplicación como una herramienta que puede usarse con la estrategia de separar y distribuir para multiplicar por unidades que no se encuentran en la tabla (p. ej., 16 × 7 = (10 × 7) + (6 × 7)).
Otra herramienta que se usa para identificar y aplicar patrones es la tabla de entrada y salida. Sus estudiantes usan patrones de multiplicación y de división para completar tablas y aplican las relaciones que hallan en las tablas para resolver problemas.
Sus estudiantes aplican su comprensión de la multiplicación y la división para escribir sus propios problemas verbales de un paso y resolver problemas verbales de dos pasos que involucran las cuatro operaciones. Evalúan si su solución es razonable comparándola con las estimaciones que hicieron antes de resolver.
En el tema D, la clase aplica las estrategias para multiplicar factores de un solo dígito a la multiplicación de factores de un solo dígito por múltiplos de 10.
Progresión de las lecciones
Lección 13
Contar salteado usando unidades de 9 para multiplicar
0 + 10 1 + 10 1 + 10 1
Lección 15
Razonar acerca de los patrones de multiplicación y división con unidades de 1 y 0 y explicar los patrones
La cercanía del 9 al 10 crea un patrón que me ayuda a multiplicar por 9. Puedo sumar 10 y restar 1 repetidamente para contar salteado de nueve en nueve. Hallar patrones con nueves también me permite ver si mis respuestas son razonables; por ejemplo, puedo comprobar que los dígitos del producto sumen 9.
9 cuatros = 1 0 cuatros s – 1 cuatro
9 × 4 = ( 10 × 4) – ( 1 × 4) = 40 – 4 = 36
Saber que 9 = 10 1 me ayuda a multiplicar por 9. Puedo multiplicar por 10 en vez de multiplicar por 9 y, luego, restar 1 vez el otro factor. También puedo multiplicar por 9 pensando en un patrón que ya me sé. En un múltiplo de nueve, hasta 10 nueves, el número de decenas es 1 menos que el número de nueves y los dígitos del múltiplo de nueve suman 9.
Los patrones me ayudan a ver cómo multiplicar y dividir con unidades de 0 y 1. Cualquier número multiplicado por o dividido entre 1 es igual a sí mismo. Cualquier número multiplicado por 0 es 0. Cualquier número (excepto 0) dividido entre sí mismo es 1. Cero dividido entre cualquier número excepto 0 es 0, y no se puede dividir entre 0.
Lección 16
Identificar patrones usando la tabla de multiplicación
6
Lección 17
Identificar y completar patrones con tablas de entrada y salida Entrada Salida
Lección 18
Crear problemas verbales de multiplicación y división
Puedo ver patrones en la tabla de multiplicación. Cuando se multiplica un número par por otro número par o por un número impar, el producto es un número par, pero el producto de dos números impares es un número impar. Para hallar el producto cuando uno de los factores es mayor que los que se muestran en la tabla de multiplicación, puedo descomponer el factor en operaciones que sí están en la tabla.
Las tablas de entrada y salida pueden mostrar relaciones y patrones de multiplicación y división. Puedo identificar y describir un patrón y usarlo para completar la tabla. Los patrones de las tablas de entrada y salida pueden ayudarme a resolver problemas.
Una matriz o una imagen de grupos iguales pueden proporcionar un contexto para escribir un problema verbal. Al pensar en la relación entre las partes y el total, puedo escribir mis propios problemas verbales de multiplicación y división.
Lección
19
Resolver problemas verbales de dos pasos usando las cuatro operaciones y evaluar si las soluciones son razonables
Después 88888888 m d 19
8 Antes
Cuando resuelvo un problema verbal de dos pasos, necesito pensar en cada paso y en cuál es el primero antes de estimar la respuesta. El proceso Lee-Dibuja-Escribe me ayuda a pensar en la información conocida y desconocida y a decidir una estrategia para hallar la solución. Usar letras para representar la información desconocida me ayuda a entender el problema.
1. 8 × 9 = 72
¿Cuánto es 10 más que 72? 82
¿Cuánto es 1 menos que eso? 81
9 × 9 = 81
2. 6 × 9 = 54
¿Cuánto es 10 más que 54? 64
¿Cuánto es 1 menos que eso? 63
7 × 9 = 63
Contar salteado usando unidades de 9 para multiplicar
Vistazo a la lección
La clase usa la relación entre el 9 y el 10 como base para las estrategias de multiplicación con unidades de 9. Para contar salteado de nueve en nueve, sus estudiantes suman 10 y restan 1 e identifican patrones en los múltiplos de 9. Aplican la propiedad conmutativa como apoyo para multiplicar por 9. En esta lección se formaliza el término múltiplos.
Preguntas clave
• ¿Cómo usamos las decenas como ayuda para contar salteado de nueve en nueve?
• ¿Cómo les ayudan los patrones a multiplicar con unidades de 9?
Criterio de logro académico
3.Mód3.CLA10 Identifican y extienden patrones aritméticos y los explican mediante las propiedades de las operaciones. (3.OA.D.9)
3. Describe el patrón que usaste en los problemas 1 y 2.
El patrón que usé fue sumar 10 y restar 1
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Sumar 10 y restar 1 para contar salteado de nueve en nueve
• Patrones en los múltiplos de 9
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• cubos interconectables de 1 cm (150)
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
Forme 10 barras de diez cubos interconectables; deje los 50 cubos restantes sueltos.
Fluidez
Contar de ocho en ocho y de siete en siete con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de ocho en ocho y de siete en siete y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Vamos a contar de ocho en ocho con el método matemático. Cada dedo representa 8.
Pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Muéstrenme 40.
(Muestran 40 con los dedos usando el método matemático).
Pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el 40 hasta el 80 y, luego, hacia atrás hasta el 40 con el método matemático.
Ahora, contemos de siete en siete con el método matemático. Cada dedo representa 7.
Pida a la clase que cuente de siete en siete desde el 0 hasta el 70 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la división y la multiplicación
La clase completa una ecuación de división usando una ecuación de multiplicación relacionada para adquirir fluidez con las unidades de 6, 7 y 8. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 18 ÷ 6 = ______ .
Nota para la enseñanza
En esta actividad de fluidez, la clase ha pasado de comenzar con el 0 a comenzar con números distintos de 0. En esta instancia, la clase comienza con cinco dedos y dice “40”, y continúa contando desde ese número. Saben por experiencia previa que si cada dedo representa una unidad de ocho, entonces, levantar cinco dedos representa 40.
Escriban una ecuación de multiplicación relacionada que les ayude a completar la ecuación de división.
Muestre la ecuación de ejemplo: 6 × 3 = 18.
Escriban la ecuación de división y complétenla.
Muestre la ecuación de división completada: 18 ÷ 6 = 3.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Nota para la enseñanza
Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado en la imagen. Por ejemplo, 3 × 6 = 18 es una ecuación de multiplicación relacionada que ayudaría a completar la ecuación de división 18 ÷ 6 = . 10
La clase usa la conmutatividad y la estrategia de separar y distribuir para multiplicar con unidades de 9.
Muestre la imagen de los dados que muestra 9 grupos de 6. Pida a sus estudiantes que hallen el número total de puntos.
Dé tiempo a sus estudiantes para trabajar. Recorra el salón de clases y observe mientras la clase trabaja. Identifique e invite a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Si es posible, elija a quienes hayan usado la estrategia de separar y distribuir.
Considere usar una secuencia como la siguiente:
Completen este enunciado: Veo grupos de .
Veo 9 grupos de 6.
¿Qué expresión de multiplicación representa la imagen? 9 × 6
¿Cómo hallaron el producto?
Separé 9 en 5 y 4 y usé la estrategia de separar y distribuir. 5 × 6 = 30 y 4 × 6 = 24.
Entonces, 30 + 24 = 54.
Sé que 10 seises es 60 y 9 seises es 1 seis menos. Entonces, 60 − 6 = 54.
¿Cuál es el producto de 9 y 6?
54
Muestre la imagen de los dados que muestra 6 grupos de 9. Use una secuencia similar para pedir a la clase que halle el número de puntos e invite a un grupo pequeño de estudiantes a que compartan su razonamiento. Si es posible, elija a quienes hayan usado la propiedad conmutativa.
Usé la propiedad conmutativa. Sé que 6 × 9 = 9 × 6. Entonces, 9 × 6 = 54 me ayuda a saber que 6 × 9 también es 54.
Use la misma secuencia con las imágenes que muestran 9 grupos de 8 y 8 grupos de 9.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo las estrategias pueden ayudarles a multiplicar con unidades de 9.
¿La estrategia de separar y distribuir es una estrategia eficiente para multiplicar unidades de 9?
A veces. La estrategia de separar y distribuir puede ser eficiente cuando el otro factor es grande. Sí. Como me sé muy bien las tablas del cuatro y del cinco, puedo separar 9 en partes rápidamente.
Nota para la enseñanza
Considere ordenar lo que comparten sus estudiantes de la siguiente manera. Comience con una representación pictórica, como grupos iguales o una matriz con un conteo salteado, y siga con las estrategias más abstractas, como usar las propiedades de las operaciones. Esta estructura valida el trabajo de sus estudiantes y brinda espacio para generar conexiones entre los diferentes enfoques.
¿Usar la conmutatividad es una estrategia eficiente para multiplicar por 9?
A veces. Si ya sé el producto cuando los factores se invierten, entonces, también sé el producto de la operación de la tabla del nueve.
Sí. Me sé la mayoría de las operaciones de las demás tablas, eso significa que sé la mayoría de las operaciones de la tabla del nueve.
Presente el trabajo del siguiente segmento para hacer una transición.
Hoy, usaremos estrategias y patrones para contar salteado y multiplicar usando unidades de 9.
Aprender
Sumar 10 y restar 1 para contar salteado de nueve en nueve
Materiales: M) Cubos
La clase identifica que, al sumar 10 y restar 1 repetidamente, se obtiene el mismo resultado que al contar salteado de nueve en nueve.
Coloque los cubos en una mesa o en el piso cerca de usted. Muestre sus manos vacías y haga las siguientes preguntas:
¿Cuántos cubos tengo en las manos?
0
Tome una barra de diez cubos y quite 1 cubo.
¿Cuántos cubos tengo ahora? 9
Diga a la clase que van a contar de nueve en nueve.
Pida a un o una estudiante que se acerque a las barras de diez.
Cada barra tiene 10 cubos. ¿Cómo podrías darme 9 cubos sin contarlos uno a la vez?
Puedo simplemente quitar 1 cubo de la barra de diez.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza estructuras (MP7) cuando usa el hecho de que 9 = 10 − 1 como ayuda para contar salteado de nueve en nueve.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relacionan los números 9 y 10?
¿Cómo podría ayudarles eso a contar salteado de nueve en nueve?
• ¿Cómo puede ayudarles saber cuánto es 9 × 5 a hallar 9 × 6?
Pídale que le dé una barra de 9 cubos.
¿Cuántos cubos estoy sosteniendo ahora en total?
18
Pida a otra u otro estudiante que se acerque a las barras de diez. Pídale que le dé una barra de 9 cubos.
¿Cuántos cubos estoy sosteniendo ahora?
27
Resalte lo eficiente que es dar 9 de una vez usando la siguiente secuencia posible.
Observé que algunos de ustedes conocían el total antes de que me dieran los cubos. ¿Qué estrategia están usando para sumar 9?
Sumo 10 y, luego, resto 1.
¿Por qué esa estrategia es más eficiente que sumar 9 unidades, una a la vez?
Puedo sumar 10 al total mentalmente y, luego, simplemente pensar cuánto es 1 menos.
Sumar 9 unidades de a una lleva mucho tiempo y necesitaría usar los dedos. Si perdiera la cuenta de las unidades que sumé, tendría que volver a contar desde el principio.
Continúen sumando 9 con los cubos hasta llegar a un total de 90.
Registremos el razonamiento que usamos con los cubos usando el método de flechas.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema en sus libros.
Represente cómo sumar 10 y restar 1 usando la siguiente secuencia. Invite a sus estudiantes a registrar el conteo con usted.
Comiencen en el 0. ¿Cuánto es 10 más que 0?
Registre la suma.
¿Cuánto es 1 menos que 10?
Registre la diferencia.
1 nueve es 9, por eso el 9 está encerrado en un círculo.
Guíe a sus estudiantes para completar algunos pasos más, hasta que puedan continuar con el patrón sin ayuda. Pídales que completen la tabla.
Los números encerrados en un círculo son múltiplos de 9. Los múltiplos de 9 son los números que decimos cuando contamos salteado de nueve en nueve. También son los productos que hallamos cuando multiplicamos 9 por otros números.
Usemos nuestro trabajo con el método de flechas para hallar 3 × 9.
Señale los números mientras dice lo siguiente.
Sé que 2 × 9 = 18, entonces, puedo comenzar en el 18 en vez de comenzar en el 0. Diez más que 18 es 28 y 1 menos que 28 es 27. Entonces, 3 × 9 = 27.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar 4 × 9. Luego, pídales que piensen en qué operación podrían usar como punto de partida para hallar 7 × 9 y 9 × 9.
Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de si sumar 10 y restar 1 es una estrategia eficiente para hallar múltiplos de 9.
DUA: Representación
Considere destacar los patrones para ayudar a sus estudiantes a reconocer que ambos pasos, sumar 10 y restar 1, son necesarios para llegar al siguiente 9. Establezca un código de colores al escribir con el método de flechas, resaltando +10 con un color y −1 con otro color, para que el par de pasos entre cada nueve sea más visible.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere apoyar a sus estudiantes para que asocien el término nuevo múltiplos con los múltiplos de 9 escribiendo la palabra múltiplos al lado de los números encerrados en un círculo. También podrían hacer una lista de los números encerrados en un círculo y rotularla Múltiplos de 9.
Patrones en los múltiplos de 9
La clase identifica patrones en una lista de múltiplos de 9 y usa los patrones para multiplicar con unidades de 9.
Pida a sus estudiantes que digan a coro las operaciones de multiplicación desde 1 × 9 = 9 hasta 10 × 9 = 90, consultando su trabajo del segmento anterior si fuera necesario. Registre los múltiplos de forma vertical para que los patrones queden visibles.
Luego, haga la siguiente pregunta.
¿Qué patrones observan en los múltiplos de 9?
Dé tiempo a la clase para que identifique y describa patrones en parejas. Mientras trabajan, recorra el salón de clases y escuche los patrones que describen. Considere hacer preguntas como las siguientes, si fuera necesario:
• ¿Qué observan sobre los dígitos en la posición de las decenas?
• ¿Qué observan sobre los dígitos en la posición de las unidades?
• ¿Qué observan sobre los dígitos en la posición de las decenas y de las unidades en cada producto?
• ¿Eso es verdadero para cada ejemplo de la lista?
• ¿Creen que es verdadero siempre?
Reúna a la clase. Invite a las parejas de estudiantes a compartir sus observaciones. Guíe una conversación para identificar los siguientes dos patrones, si no los mencionaron. Además de describir los patrones con palabras, considere representarlos con flechas.
• Cuando los productos están listados en orden, el dígito en la posición de las decenas aumenta en 1 (es decir, el valor de las decenas aumenta en 1 decena) y las unidades disminuyen en 1 (es decir, el valor de las unidades se reduce en 1 unidad) a medida que se desplazan hacia abajo en la lista.
• En cada producto, la suma de los dígitos es 9.
Deje las descripciones de los patrones a la vista durante el resto de la lección.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para apoyar a la clase en la descripción de los patrones, permita que primero los describan de forma numérica con pocas palabras. Considere proporcionar los siguientes esquemas de oración para que la clase los complete.
• Los dígitos en la posición de las decenas .
• Los dígitos en la posición de las unidades
• Se obtiene _______ cuando se _______ los dígitos en las posiciones de las decenas y las unidades.
Diferenciación: Desafío
Desafíe a la clase a predecir si los patrones serán verdaderos con factores mayores que 10. Luego, pídales que pongan a prueba sus predicciones.
Nota para la enseñanza
Es posible que sus estudiantes observen que, al multiplicar por 9, el número de decenas en cada producto es 1 menos que el número de grupos. Por ejemplo, 4 grupos de 9 es 36 y 3 es 1 menos que 4.
Este patrón se explora y aplica en la lección 14.
Sus estudiantes deberían reconocer cuándo el número de decenas en el producto es razonable (p. ej., 7 × 10 = 70, entonces, 7 × 9 es menor que 70 y está entre 60 y 69).
Carla dice que 7 × 9 = 62. ¿Está en lo correcto?
7 × 10 = 70, entonces, la respuesta está entre 60 y 69, pero 6 + 2 = 8, entonces, 62 no puede ser correcto.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen dos estrategias de esta lección para hallar 4 × 9 y 8 × 9.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para compartir las estrategias que usaron al multiplicar con unidades de 9. Preste atención a que la clase comparta la estrategia de sumar 10 y restar 1; los patrones en los productos de la tabla del nueve; la propiedad conmutativa o la estrategia de separar y distribuir.
Grupo de problemas
0 + 9 = 9
1 + 8 = 9
2 + 7 = 9
3 + 6 = 9
4 + 5 = 9
5 + 4 = 9
6 + 3 = 9
7 + 2 = 9
8 + 1 = 9
9 + 0 = 9
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Nota para la enseñanza
Considere demostrar cómo sus estudiantes pueden usar los dedos para representar la multiplicación de unidades de 9
• Muestren los 10 dedos levantados.
• Usando el meñique izquierdo como el 1, cuenten hasta el número de nueves que tienen (p. ej., 3 nueves). Bajen el tercer dedo.
• ¿Cuántos dedos tienen levantados en total?
• Piensen en sus dedos como el 9 que suman los dígitos del número.
• Cuenten el número de dedos a la izquierda del dedo que bajaron como el número de decenas en el producto.
• Cuenten el número de dedos a la derecha del dedo que bajaron como el número de unidades en el producto.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Contar salteado usando unidades de 9 para multiplicar
Guíe una conversación acerca de las estrategias de usar 10 para multiplicar con unidades de 9.
¿Cómo usamos las decenas como ayuda para contar salteado de nueve en nueve?
Podemos sumar 10 y restar 1 para contar salteado de nueve en nueve.
Podemos seguir pensando en 10 más y, luego, hallar 1 menos para decir todos los múltiplos de 9.
¿Qué patrones o estrategias para multiplicar con unidades de 9 vimos hoy?
La propiedad conmutativa y la estrategia de separar y distribuir
Sumar 10 y restar 1
Mientras el dígito de las decenas aumenta de a 1, el de las unidades disminuye de a 1, y los dígitos del producto suman 9.
¿Cómo les ayudan los patrones a multiplicar con unidades de 9?
Saber los patrones de la tabla del nueve me ayuda a ver si mi respuesta es razonable.
¿Qué patrones o estrategias hemos visto anteriormente para otros factores? ¿Cuáles son nuevos?
Hemos usado la propiedad conmutativa y la estrategia de separar y distribuir con otros factores.
Sumar 10 y restar 1, y los patrones en los dígitos del producto son nuevos.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Completa los espacios como ayuda para contar salteado de nueve en nueve.
2. ¿Cómo te ayuda sumar 10 y restar 1 a contar salteado de 9 en 9?
Sumar 10 y restar 1 me resulta más rápido para calcular mentalmente que sumar 9 Como 10 – 1 = 9 puedo sumar 10 y restar 1 en vez de sumar 9 cada vez para contar salteado de 9 en 9.
3. Oka escribe 8 × 9 = 71. 7 + 1 = 8 a. Comprueba su trabajo pensando en la suma de 7 y 1. Explica la estrategia de Oka.
Oka piensa en la suma de 7 y 1 para comprobar su trabajo porque sabe que, cuando se multiplica por 9, la suma de los dígitos en el producto es igual a 9.
b. ¿Multiplicó Oka 8 y 9 correctamente? ¿Cómo lo sabes?
Oka no multiplicó correctamente. Lo sé porque la suma de 7 y 1 es 8 no 9
Entonces, 8 × 9 = 72, no 71
Halla cada producto. Describe la estrategia que usaste.
4. 7 × 9 = 63
Sé que 7 decenas es 70; entonces, resté 7 de 70 porque necesitaba quitar 1 de cada decena para convertirlas en nueves. 70 − 7 = 63
5. 6 × 9 = 54
Sé que 5 × 9 = 45; entonces, sumé 10 a 45 y resté 1 y obtuve 54
6. 9 × 9 = 81
Sé que 10 nueves es 90 entonces, resté 1 nueve de 90 y obtuve 81
7. ¿Cómo pueden saber si sus respuestas a los problemas 4 a 6 son correctas?
Puedo mirar cada problema para ver si el número de decenas es razonable. Luego, puedo asegurarme de que la suma de los dígitos en cada producto sea 9.
Aplicar estrategias e identificar patrones para multiplicar con unidades de 9
1. David escribe 9 × 6 = 54. Muestra dos estrategias que podrías usar para comprobar su respuesta.
Ejemplo:
9 × 5 = 45
45 + 10 − 1 = 54
9 × 6 = (10 × 6) − (1 × 6) = 60 − 6 = 54
2. Encierra en un círculo las expresiones que son iguales a 9 × 6.
(9 × 5) + 9
(10 × 6) − (1 × 6)
(8 × 6) + 8 (5 × 6) + (4 × 6)
Vistazo a la lección
La clase aplica la estrategia de separar y distribuir para multiplicar por 9 hallando 10 unidades de un número y restando 1 unidad de ese número. También identifica otros patrones que proporcionan estrategias para multiplicar por 9. En esta lección se presenta el término aplicar.
Preguntas clave
• ¿Cómo usamos 10 como ayuda para multiplicar con unidades de 9?
• ¿Cómo puede ayudarnos el número de grupos en una operación con nueves a hallar el producto?
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA5 Aplican la propiedad distributiva para multiplicar. (3.OA.B.5)
3.Mód3.CLA8 Multiplican y dividen hasta el 100 con fluidez, recordando de memoria todos los productos de dos números de un dígito. (3.OA.C.7)
3.Mód3.CLA10 Identifican y extienden patrones aritméticos y los explican mediante las propiedades de las operaciones. (3.OA.D.9)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Estrategia de 9 = 10 − 1
• Otro patrón de las operaciones con nueve
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• sobres (12)
• juegos de Tarjetas de expresiones (12, en la edición para la enseñanza)
• ábaco rekenrek de 100 cuentas
Estudiantes
• sobre con Tarjetas de expresiones (1 por pareja de estudiantes)
• Problemas verbales y expresiones (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Imprima y recorte las Tarjetas de expresiones (en la edición para la enseñanza) y coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos como para tener 1 juego por pareja de estudiantes.
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Problemas verbales y expresiones de cada libro para estudiantes con antelación o pedir a la clase que retire la página durante la lección.
Fluidez
Emparejar: Problemas verbales y expresiones
Materiales: E) Sobre con Tarjetas de expresiones, Problemas verbales y expresiones
La clase empareja una expresión con un problema verbal como preparación para resolver problemas verbales de uno y dos pasos en la lección 19.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Pida a alguien de cada pareja que retire la página de Problemas verbales y expresiones de su libro. Distribuya un juego de tarjetas a cada pareja de estudiantes y pídales que completen la actividad usando el siguiente procedimiento:
• Coloquen todas las tarjetas bocarriba.
• Emparejen cada Tarjeta de expresiones con el problema verbal que representa y colóquenla en el recuadro.
• Continúen hasta emparejar todas las Tarjetas de expresiones con un problema verbal.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Anímeles a compartir su razonamiento con sus parejas de trabajo.
Contar de nueve en nueve en el ábaco rekenrek
Materiales: M) Ábaco rekenrek
La clase cuenta de nueve en nueve en forma unitaria y en forma estándar a fin de adquirir fluidez con el uso de matrices para multiplicar y dividir.
Muestre el ábaco rekenrek a la clase. Comience la actividad con todas las cuentas colocadas a la derecha.
Digan cuántas cuentas hay a medida que las voy deslizando.
Deslice 9 cuentas en la fila superior, de una vez, hacia la izquierda.
9
La unidad es 9. En forma unitaria, decimos 1 nueve. Digan 9 en forma
1 nueve
Deslice 9 cuentas en la siguiente fila, de una vez, hacia la izquierda.
¿Cuántas cuentas hay ahora? Díganlo en forma unitaria.
2 nueves
Continúe deslizando 9 cuentas en cada fila a medida que la clase cuenta.
Deslice todas las cuentas a la derecha nuevamente.
Ahora, practiquemos contar de nueve en nueve en forma estándar. Digan cuántas cuentas hay a medida que las voy deslizando.
Empecemos en el 0. ¿Comenzamos?
Deslice 9 cuentas, de una vez, en cada fila a medida que la clase cuenta.
0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90
Presentar
La clase identifica y corrige un error al usar la estrategia de sumar 10 y restar 1 para multiplicar por 9.
Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y muestre la imagen del ejemplo de trabajo que muestra la información incorrecta 4 × 9 = 40.
Dé a la clase 1 minuto para identificar el error en el trabajo que resultó en una respuesta incorrecta. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento.
La respuesta no puede ser correcta porque cuando se multiplica por 9, los dígitos del producto deberían sumar 9 y 4 + 0 = 4, no 9.
Se usó la estrategia de sumar 10 y restar 1, pero se comenzó a contar salteado desde el 4 en vez de comenzar en el 0.
Nota para la enseñanza
La tabla del nueve se presenta en la lección 13. Por lo tanto, se espera un esfuerzo productivo y un ritmo más lento al contar de nueve en nueve. Preste atención a las respuestas de la clase para detectar errores, dudas y falta de participación. Si es necesario, limite el rango de números.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere reducir la exigencia en cuanto al lenguaje usado para identificar el error proporcionando una representación visual de las relaciones de sumar 10 y restar 1. Puede pedir a sus estudiantes que consulten el problema de la lección 13 en sus libros o crear un afiche de referencia similar al del Grupo de problemas de la lección 13.
Dé a la clase 2 minutos para corregir el error basándose en su propia comprensión. Recorra el salón de clases e identifique a estudiantes que quieran compartir sus razonamientos. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre el uso de las estrategias de la lección 13: la estrategia de sumar 10 y restar 1 para contar salteado de nueve en nueve y la estrategia de comprobar el producto asegurándose de que el número de decenas es razonable y los dígitos suman 9.
Luego, guíe una conversación de toda la clase sobre la mejor manera de corregir la respuesta errónea. Pida a sus estudiantes que compartan su respuesta con todo el grupo.
Se debe empezar a contar desde el 0 para sumar 10 y restar 1 cuatro veces.
Podemos comprobar la respuesta pensando en cuántas decenas debería tener el producto y sumando los dígitos del producto: 3 + 6 = 9.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos más patrones para multiplicar por 9.
Aprender
Estrategia de 9 = 10 − 1
La clase usa la propiedad conmutativa y una operación de la tabla del diez para hallar el producto de un número y
35 4 × 9
Método de Zara
Muestre la imagen del método de Zara.
Esta es la estrategia de Zara para hallar ¿Qué observan?
Su matriz muestra 4 decenas.
Pensó en 9 × 4 en vez de 4 × 9.
Usó operaciones de la tabla del diez para hallar operaciones de la tabla del nueve.
9 cuatros = 1 0 cuatros – 1 cuatro
9 × 4 = ( 10 × 4) – ( 1 × 4) = 40 – 4 = 36
¿Cómo usó Zara 10 cuatros para hallar 9 cuatros?
Halló 10 cuatros y, luego, restó 1 cuatro y obtuvo 9 cuatros.
¿Por qué creen que eligió esta estrategia?
Tal vez se sabe muy bien la tabla del diez, pero todavía no se sabe todas las operaciones de la tabla del nueve.
¿Cómo muestra la matriz de Zara la operación de la tabla del diez que usó, 10 × 4?
La matriz completa tiene 10 columnas de 4.
¿Cómo muestra la matriz de Zara la operación de la tabla del nueve que quiere hallar?
Los cubos verdes de la matriz son 9 columnas de 4, que es 9 × 4.
¿Dónde ven la ecuación de resta 9 cuatros = 10 cuatros − 1 cuatro en la matriz de Zara?
Para obtener las 9 columnas de 4, se toma la matriz entera, que es 10 cuatros, y se resta 1 cuatro.
Ese 1 cuatro que restamos es azul.
Asegurémonos de que entendemos el método de Zara aplicándolo, o usándolo, para hallar 7 × 9.
Pida a sus estudiantes que consulten la matriz en sus libros.
9 sietes = 10 sietes − 1 siete
9 × 7 = (10 × 7) − (1 × 7) = 70 − 7 = 63
DUA: Representación
Considere presentar la información en otro ejemplo con un dibujo diferente de la matriz. Use la siguiente representación como otra manera de visualizar cómo se usan las operaciones de la tabla del diez y se resta lo que sobra:
• Dibujen o construyan una matriz con 10 cuatros.
• Resten o quiten las últimas 4 unidades de la matriz.
• Cuenten 3 decenas y 6 unidades, o 36
Apoyo para la comprensión del lenguaje
En este segmento se presenta el término aplicar. Considere enseñar el significado del término antes de pedir a sus estudiantes que apliquen en una situación nueva lo que aprendieron. Guíe una conversación de toda la clase sobre las maneras de describir usando lo que sabemos para resolver un problema.
¿Qué otra operación podemos pensar para hallar 7 × 9?
9 × 7
Pida a la clase que escriba 9 sietes y sombree 9 columnas de 7 en la matriz.
¿Cómo muestra nuestra matriz 9 sietes?
9 sietes están sombreados.
10 sietes − 1 siete = 9 sietes
Invite a la clase a escribir el resto de la ecuación.
¿Cómo escribimos 9 sietes = 10 sietes − 1 siete como una ecuación usando signos de multiplicación y paréntesis?
9 × 7 = (10 × 7) − (1 × 7)
Invite a la clase a escribir la ecuación y usarla para hallar 9 × 7.
¿Cuánto es 7 × 9?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo Zara usó el 10 como ayuda para multiplicar con una unidad de 9.
Deje a la vista la imagen del método de Zara y muestre la imagen del método de Gabe.
Esta es la estrategia de Gabe para hallar 4 × 9. ¿En qué se parece la estrategia de Gabe a la de Zara?
¿En qué se diferencia?
Él también pensó en 9 × 4 en vez de 4 × 9.
Gabe también usó una operación de la tabla del diez para hallar la operación de la tabla del nueve.
Hizo un diagrama de cinta en vez de una matriz. Su diagrama de cinta muestra 10 cuatros como 9 cuatros y 1 cuatro, igual que la matriz de Zara.
Gabe tenía la misma ecuación, el mismo trabajo y la misma respuesta que Zara.
¿Cómo muestra el diagrama de cinta de Gabe la operación de la tabla del diez que usó?
Hay 10 partes rotuladas 4.
Método de Gabe
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante busca y utiliza estructuras (MP7) cuando usa operaciones de la tabla del diez y la propiedad distributiva para hallar múltiplos de 9.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo puede ayudarles lo que saben sobre la tabla del diez a hallar operaciones de la tabla del nueve?
• ¿Cómo se relacionan el 9 y el 10? ¿Cómo podría eso ayudarles a pensar en 9 × 7?
Diferenciación:
Apoyo
Considere apoyar a sus estudiantes para que comprendan la estrategia de 9 = 10 − 1 usando el método matemático.
• Cada dedo es una unidad de siete. Muestren 10 sietes con el método matemático. ¿Cuál es el valor de 10 sietes?
Vista de sus manos desde la perspectiva de la clase
Vista de las manos de cada estudiante desde su propia perspectiva
• Muestren 9 sietes. ¿Cuánto es 7 menos que 70? ¿Cuál es el valor de 9 sietes?
Vista de las manos de cada estudiante desde su propia perspectiva V d d
Vista de sus manos desde la perspectiva de la clase
¿Cómo muestra el diagrama de Gabe la operación de la tabla del nueve que quiere saber?
9 cuatros están sombreados y rotulados con un signo de interrogación.
¿Dónde ven la ecuación de resta 9 cuatros = 10 cuatros − 1 cuatro en el diagrama de cinta de Gabe?
Para obtener 9 partes sombreadas de 4, se comienza con el diagrama de cinta entero, que representa 10 cuatros, y se resta 1 cuatro. La unidad de cuatro que se resta no está sombreada.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo tanto la matriz de Zara como el diagrama de cinta de Gabe representan 9 = 10 − 1.
Apliquemos la estrategia de Gabe usando una operación de la tabla del diez para hallar 3 × 9.
¿Qué operación tendrá el mismo producto, según la propiedad conmutativa?
9 × 3
¿Qué operación de la tabla del diez podemos usar para hallar 9 treses?
10 treses
Pida a sus estudiantes que dibujen un diagrama de cinta en sus pizarras blancas para representar 10 treses.
¿Cuántos treses debemos hallar?
9 treses
Muestre cómo sombrear 9 treses mientras sus estudiantes hacen lo mismo.
¿Qué ecuación representa nuestro diagrama de cinta?
9 treses = 10 treses − 1 tres
Pida a sus estudiantes que completen el problema.
¿Cuánto es 9 × 3? Entonces, ¿cuánto es 3 × 9?
Use una secuencia similar para hallar 9 × 9 y 6 × 9.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar una operación de la tabla del diez como ayuda para multiplicar por 9.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parece y en qué se diferencia usar una operación de la tabla del diez para multiplicar por 9 al patrón de sumar 10 y restar 1.
Cuando sumamos 10 y restamos 1, estamos sumando un 9. Cuando usamos una operación de la tabla del diez, estamos sumando 10 unidades del otro factor y restando 1 unidad del otro factor.
DUA: Representación
Considere resaltar la relación entre 9 cuatros y 10 cuatros (es decir, 9 cuatros = 10 cuatros − 1 cuatro) sugiriendo a la clase que dibuje una X sobre la décima parte del diagrama de cinta.
DUA: Representación
Considere presentar la información en otro formato si sus estudiantes necesitan experimentar más con la representación concreta antes de dibujar el diagrama de cinta. Guíe a sus estudiantes mientras construyen la matriz con cubos y usan la matriz para escribir la primera ecuación. Luego, use la matriz como un modelo para dibujar el diagrama de cinta y confirmar la ecuación.
Otro patrón de las operaciones con nueve
La clase identifica un patrón entre el número de nueves y el dígito en la posición de las decenas en el múltiplo de nueve.
Invite a la clase a decir a coro la lista de los múltiplos de 9 en forma unitaria y sus equivalentes en forma estándar, desde 1 nueve hasta 10 nueves. Registre los enunciados en una lista vertical. Asegúrese de que el número de nueves y los dígitos de los múltiplos estén alineados verticalmente para que el patrón sea visible.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el patrón que observan entre los dígitos de las decenas en los múltiplos y los números de nueves.
El número de decenas en el múltiplo es 1 menos que el número de grupos de nueve.
Usemos este patrón para hallar 8 × 9. ¿Cuánto es 1 menos que 8?
7
¿Cómo nos ayuda esto a hallar el producto?
Nos indica que el dígito de las decenas en el producto es 7.
Si el dígito de las decenas en el producto es 7, ¿cómo hallamos el dígito de las unidades?
Los dígitos suman 9. Como 7 + 2 = 9, el dígito de las unidades debe ser 2.
¿Cuánto es 8 × 9?
72
Pida a sus estudiantes que usen esta estrategia para hallar 2 × 9 y 3 × 9.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo este patrón les ayuda a hallar productos de 9.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Desafío
Considere desafiar a sus estudiantes a que exploren si los patrones para multiplicar por 9 son verdaderos para otros factores. Considere hacer preguntas como:
• ¿Por qué el 9 tiene tantos patrones de multiplicación?
• El 11 también está cerca del 10. ¿Tiene el 11 patrones similares?
• ¿Cómo pueden usar el 10 para multiplicar por 11? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian usar 10 para multiplicar por 11 y usar 10 para multiplicar por 9?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar estrategias e identificar patrones para multiplicar con unidades de 9
Guíe una conversación para resumir los patrones que pueden usarse como estrategias para multiplicar con unidades de 9.
¿Cómo usamos 10 como ayuda para multiplicar con unidades de 9?
Podemos hallar 10 unidades y, luego, restar 1 de las unidades. Podemos usar la propiedad conmutativa para cambiar el problema primero si lo necesitamos.
Podemos hacer una lista de los múltiplos de 9 sumando 10 y restando 1 una y otra vez.
¿Cómo puede ayudarnos el número de grupos en una operación con nueves a hallar el producto?
El número de decenas en el producto es 1 menos que el número de grupos. Las decenas y las unidades del producto suman 9, entonces, podemos restar el número de decenas de 9 para hallar el número de unidades en el producto.
Hemos explorado una variedad de estrategias y patrones para multiplicar con unidades de 9. ¿Cuándo es eficiente usar cada estrategia y patrón? ¿Cuándo elegirían aplicar una de las estrategias o patrones?
Usaría la propiedad conmutativa si conociera la otra operación.
Restaría 1 del otro factor para obtener el dígito de las decenas del producto y, luego, hallaría la pareja de número que suma 9 para el dígito de las unidades si necesito calcular el problema mentalmente.
Usaría la estrategia de separar y distribuir cuando el otro factor es grande, pero sumaría 10 y restaría 1 si el otro factor es pequeño.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Deepa tiene $6 Amy tiene $2 más que Deepa. ¿Cuánto dinero tiene Amy?
6 + 2
Gabe ahorra $4 cada semana. ¿Cuánto ahorrará en 8 semanas?
8 × 4
La señora Díaz compra 6 perritos calientes para su familia. Cada uno cuesta $2. ¿Cuánto paga por todos los perritos calientes?
8 personas van al cine. 4 de ellas son adultas. El resto son niñas y niños. ¿Cuál es el número de niñas y niños que van al cine?
Hay 6 personas en la mesa. 2 de ellas llevan sombrero. ¿Cuántas no llevan sombrero?
6 × 2
8 − 4
6 − 2
Liz guarda 8 limas en bolsas. Pone 4 limas en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas usa Liz?
8 ÷ 4
8 personas están en una tienda. Entran 4 personas más. ¿Cuántas personas hay ahora en la tienda?
8 + 4
Casey tiene 6 lápices. Coloca los lápices en partes iguales en 2 cajas. ¿Cuántos lápices hay en cada caja?
6 ÷ 2
1. Traza líneas para emparejar. Completa los espacios para completar las expresiones.
Completa los espacios para hallar el valor total de las partes sombreadas.
Usa la tabla para las partes (a) a (d).
Multiplica. Luego, suma el dígito de las decenas y el dígito de
b. Observa la posición de las decenas en cada producto. ¿Qué patrón observas?
El dígito en la posición de las decenas aumenta de a 1 cada vez.
c. Observa la posición de las unidades en cada producto. ¿Qué patrón observas?
El dígito en la posición de las unidades disminuye de a 1 cada vez.
d. ¿Cuál es la suma de los dígitos en cada producto? ¿Cómo puede ayudarte la suma de los dígitos a comprobar tu trabajo con las operaciones de la tabla del nueve?
La suma de los dígitos en cada producto es 9. Esto puede ayudarme a comprobar mi trabajo con las operaciones de la tabla del nueve porque puedo sumar los dígitos del producto para asegurarme de que la suma es igual a 9.
5. James compra una caja de tizas. Contiene 9 filas con 4 tizas en cada fila. James usa 10 cuatros para hallar el número total de tizas.
a. Dibuja un modelo para representar la estrategia de James.
4 ? 444444444
b. Explica la estrategia de James y halla el número total de tizas.
La estrategia de James es hallar 10 cuatros y, luego, restar 1 cuatro porque
La estrategia de Carla es la correcta. 9 × 8 es 9 ochos. Carla pensó en 10 ochos − 1 ocho y obtuvo 9 ochos. Deepa usó nueve como unidad, en vez de ocho.
7. Usa las expresiones para las partes (a) y (b).
a. Encierra en un círculo las expresiones que son iguales a 9 × 7.
(5 × 7) + (4 × 7) 10 nueves − 1 nueve
b. Elige una de las expresiones que encerraste en un círculo. Explica cómo sabes que es igual a 9 × 7
(10 × 7) − (1 × 7) es igual a 10 sietes − 1 siete 10 sietes − 1 siete = 9 sietes
9 sietes es igual a 9 × 7
Tarjetas de expresiones: Cada columna es un juego de Tarjetas de expresiones. Recorte un juego de tarjetas para cada pareja de estudiantes.
Razonar acerca de los patrones de multiplicación y división con unidades de 1 y 0 y explicar los patrones
Vistazo a la lección
La clase multiplica y divide con unidades de 1 y 0. En conjunto, analizan ecuaciones de multiplicación y división y generalizan patrones para multiplicar por y dividir entre 1 y 0.
Completa los espacios para que las ecuaciones sean verdaderas.
1.
Para cada enunciado, encierra en un círculo verdadero o falso.
6. Excepto 0, cualquier número dividido entre sí mismo es 1 Verdadero Falso
7. 0 dividido entre cualquier número excepto 0 es 0 Verdadero Falso
8. Cualquier número dividido entre 1 es 1 Verdadero Falso
Preguntas
clave
• ¿Cómo pueden ayudarnos los patrones a multiplicar por y dividir entre 1?
• ¿Cómo pueden ayudarnos los patrones a multiplicar por y dividir entre 0?
Criterios de logro académico
3.Mód1.CLA1 Representan una situación de multiplicación con un modelo y convierten entre varias representaciones de multiplicación. (3.OA.A.1)
3.Mód1.CLA2 Representan una situación de división con un modelo y convierten entre varias representaciones de división. (3.OA.A.2)
3.Mód3.CLA10 Identifican y extienden patrones aritméticos y los explican mediante las propiedades de las operaciones. (3.OA.D.9)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Multiplicar por y dividir entre 1
• Multiplicar por y dividir entre 0
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• sobres (12)
• juegos de Tarjetas de expresiones (12, en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• sobre con Tarjetas de expresiones (1 por pareja de estudiantes)
• Problemas verbales y expresiones (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Imprima y recorte las Tarjetas de expresiones (en la edición para la enseñanza) y coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos como para tener 1 juego por pareja de estudiantes. Las Tarjetas de expresiones de la lección 15 son diferentes de las de la lección 14.
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Problemas verbales y expresiones de cada libro para estudiantes con antelación o pedir a la clase que retire la página durante la lección.
Fluidez
Emparejar: Problemas verbales y expresiones
Materiales: E) Sobre con Tarjetas de expresiones, Problemas verbales y expresiones
La clase empareja una expresión con un problema verbal como preparación para resolver problemas verbales de uno y dos pasos en la lección 19.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Pida a alguien de cada pareja que retire la página de Problemas verbales y expresiones de su libro. Distribuya un juego de tarjetas a cada pareja de estudiantes y pídales que completen la actividad usando el siguiente procedimiento:
• Coloquen todas las tarjetas bocarriba.
• Emparejen cada Tarjeta de expresiones con el problema verbal que representa y colóquenla en el recuadro.
• Continúen hasta emparejar todas las Tarjetas de expresiones con un problema verbal.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Anímeles a compartir su razonamiento con sus parejas de trabajo.
litros de ponche hay en cada jarra?
James tiene 9 pelotas de tenis. Pone 3 en cada lata. ¿Cuántas latas usa? El mes pasado, el cachorro de Iván pesaba 8 kilogramos. Aumentó 2 kilogramos este mes. ¿Cuánto pesa el cachorro ahora?
Después de comer 9 uvas, al Sr. López le quedan 3 uvas. ¿Cuántas uvas tenía al principio? David compra 8 paquetes de borradores. Hay 2 borradores en cada paquete. ¿Cuántos borradores compra en total?
Carla tiene una soga de 8 metros de largo. Usó parte de la soga para un proyecto y le quedaron 2 metros. ¿Cuánta soga usó? Hay 9 niños niñas en el parque. 3 están en los columpios. ¿Cuál es el número de niños niñas que no están en los columpios?
Eva tiene 9 camisas con botones. Cada camisa tiene 3 botones. ¿Cuál es el número total de botones en las camisas de Eva?
Contar de nueve en nueve con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de nueve en nueve y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Vamos a contar de nueve en nueve con el método matemático. Cada dedo representa 9.
Pida a la clase que cuente de nueve en nueve desde el 0 hasta el 90 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Presentar
La clase escribe ecuaciones para representar problemas que involucran la multiplicación y la división con unidades de 1.
Forme parejas de estudiantes. Asigne a cada pareja un número del 2 al 9.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 a 5 en sus libros. Pida a las parejas que completen los recuadros con el número asignado y que completen los enunciados y las ecuaciones.
Completa los espacios con el número que te asignaron. Luego, haz un dibujo para representar los problemas y completar los enunciados y las ecuaciones.
1. 7 grupos de 1 es 7
× 1 = 7
1 grupo de 7 es 7
× 7 = 7 3. 7 dividido en grupos de 1 es 7 grupos.
7 dividido en 1 grupo es 7 .
÷ 1 = 7
÷ 1 = 7
Diferenciación: Apoyo
Asigne a cada pareja de estudiantes un número con el que tengan cierta competencia. Las parejas deben enfocarse en entender la situación e identificar los patrones, no en hacer un esfuerzo para hallar los productos o cocientes. Asegúrese de asignar cada número del 2 al 9 al menos a una pareja de estudiantes.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Los enunciados en esta lección son muy similares. Sus estudiantes deben interpretar correctamente cada enunciado y diferenciar entre unos y otros para generalizar los patrones. Considere resaltar las partes de los enunciados con diferentes colores para ayudar a la clase a interpretar los enunciados y describir los patrones.
grupos de es . 7 7 1
5. 7 dividido en 7 grupos iguales es 1 en cada grupo.
7 ÷ 7 = 1
Dé tiempo para que las parejas trabajen. Recorra el salón de clases y apoye su trabajo haciendo preguntas como estas:
• ¿Qué es lo que saben? ¿Saben el número de grupos o el tamaño de cada grupo?
• ¿Qué información se desconoce? ¿El número desconocido es el número de grupos o el tamaño de cada grupo?
Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de los patrones que observan en sus ecuaciones.
Las parejas necesitarán sus ecuaciones en el siguiente segmento de la lección.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, observaremos patrones en ecuaciones de multiplicación y de división como ayuda para aprender más operaciones.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando generaliza los patrones que observa en ecuaciones de multiplicación y de división con unidades de 1 y 0.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• Cuando observan las respuestas al problema 1, ¿hay algo que se repite? ¿Cómo podría eso ayudarles a multiplicar con 1 de manera más eficiente?
• ¿Qué es igual en los dibujos de la clase para el problema 5?
Aprender
Multiplicar por y dividir entre 1
La clase generaliza patrones para multiplicar y dividir una unidad de 1 y para dividir un número entre sí mismo.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema en voz alta e invite a las parejas a las que asignó el número 2 a compartir su ecuación. Continúe con los números 3 al 9. Haga una lista de las ecuaciones en orden a medida que las parejas las comparten.
Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de los patrones que ven.
Vamos a aplicar los patrones que ven para predecir el producto al multiplicar con un número más grande. ¿Cuál es el producto de 30 grupos de 1?
Escriba 30 × 1 = 30.
Haga la misma pregunta para 500 grupos y escriba 500 × 1 = 500.
Use una secuencia similar para el problema 2.
Observen los patrones. ¿Qué podemos decir sobre la multiplicación por 1?
Cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo.
1 multiplicado por cualquier número es el mismo número.
Escriba el siguiente enunciado: Cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo.
Lea el enunciado a coro con la clase.
Use una secuencia similar para los problemas 3 y 4. Mencione que los problemas 3 y 4 generarán ecuaciones idénticas. Converse con la clase sobre cómo puede ser que sean iguales.
Nota para la enseñanza
Considere crear un afiche de referencia con la descripción en palabras de cada patrón, un ejemplo con un número par y otro con un número impar, para todos los patrones de la lección.
Observen los patrones. ¿Qué podemos decir sobre la división entre 1?
Cualquier número dividido entre 1 es igual a sí mismo.
Escriba el siguiente enunciado: Cualquier número dividido entre 1 es igual a sí mismo.
Lea el enunciado a coro con la clase.
Use una secuencia similar para el problema 5.
Observen el patrón. ¿Qué podemos decir sobre la división de un número entre sí mismo?
Cualquier número dividido entre sí mismo es igual a 1.
Escriba el siguiente enunciado: Cualquier número dividido entre sí mismo es igual a 1.
Lea el enunciado a coro con la clase.
Multiplicar por y dividir entre 0
La clase generaliza patrones para multiplicar por 0 y dividir 0 entre un número.
Pida a las parejas de trabajo que vayan a los problemas 6 y 7. Indíqueles que completen los recuadros en los problemas 6 y 7 con el número asignado y que completen los enunciados y las ecuaciones. Pídales que hagan un dibujo o representen el problema para entenderlo.
Completa los enunciados y las ecuaciones.
6. 7 grupos de 0 es 0
7 × 0 = 0
7. 0 grupos de 7 es 0 .
0 × 7 = 0
Nota para la enseñanza
El enunciado “Cualquier número dividido entre sí mismo es 1” no es verdadero para el 0. Este tema se explora en el siguiente segmento de Aprender. Cuando sus estudiantes aprendan que el 0 es una excepción, considere cambiar el enunciado sobre la división de un número entre sí mismo a “Cualquier número, excepto 0, dividido entre sí mismo es 1”.
DUA: Representación
Considere presentar la información en otro formato. Proporcione a cada estudiante 10 cubos para representar las siguientes situaciones de manera concreta antes de comenzar con los problemas del libro:
• Muéstrenme 1 grupo de 0. ¿Cuántos son?
• Muéstrenme 2 grupos de 0. ¿Cuántos son?
• Muéstrenme 0 grupos de 1. ¿Cuántos son?
• Muéstrenme 0 grupos de 9. ¿Cuántos son?
Dé unos minutos para que las parejas trabajen y, luego, guíe una conversación breve sobre el problema.
En el problema 6, ¿importa el número de grupos que hay? Si hubiera más grupos, ¿cambiaría el número de objetos que están en grupos?
No. Si hay 0 objetos en cada grupo, de todos modos no habrá objetos en los grupos.
En el problema 7, ¿importa el número que hay en cada grupo? Si hubiera más objetos, ¿cambiaría el número de objetos en los grupos?
No. Si hay 0 grupos, de todos modos no habrá objetos en los grupos.
¿Qué podemos decir sobre la multiplicación por 0?
Cualquier número multiplicado por 0 es 0.
0 multiplicado por cualquier número es 0.
Escriba el siguiente enunciado: Cualquier número multiplicado por 0 es 0.
Lea el enunciado a coro con la clase.
Pida a las parejas que sigan el mismo proceso que usaron en los problemas 6 y 7 para completar el problema 8.
8. Completa el enunciado y la ecuación.
0 dividido en 7 grupos iguales es 0 en cada grupo.
0 ÷ 7 = 0
Dé a las parejas 1 minuto para trabajar y, luego, guíe una conversación breve sobre el problema.
¿Importa el número de grupos que hay? Si hubiera más grupos, ¿cambiaría el número de objetos en los grupos?
No. Si hay 0 objetos, no puede haber ningún objeto en los grupos.
¿Qué podemos decir sobre la división de 0 entre un número?
0 dividido entre cualquier número es 0.
Escriba el siguiente enunciado: 0 dividido entre cualquier número es 0.
Lea el enunciado a coro con la clase.
Analicemos un caso especial de división entre 0.
Escriba 2 × ? = 6 y 6 ÷ 2 = ? y pregunte lo siguiente.
¿Qué número va en lugar del signo de interrogación?
3
Escriba 5 × ? = 20 y 20 ÷ 5 = ? y pregunte lo siguiente.
¿Qué número va en lugar del signo de interrogación?
4
Escriba 0 × ? = 7 y 7 ÷ 0 = ? y pregunte lo siguiente.
¿Hay algún número que pueda ir en lugar del signo de interrogación?
No. 0 multiplicado por cualquier número es 0, no 7.
No hay un número que podamos escribir en lugar del signo de interrogación para hacer una oración de multiplicación verdadera, entonces, esto también es verdadero para una ecuación de división.
Señale el siguiente enunciado: 0 dividido entre cualquier número es 0.
Ahora sabemos que hay un caso en el que este enunciado no es verdadero.
Tache el enunciado y escriba lo siguiente: 0 dividido entre cualquier número, excepto 0, es 0.
Escriba el siguiente enunciado: No se puede dividir entre 0.
Lea los enunciados a coro con la clase.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para resumir lo que aprendieron sobre la multiplicación y la división con unidades de 0 y 1.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Razonar acerca de los patrones de multiplicación y división con unidades de 1 y 0 y explicar los patrones
Guíe una conversación para resumir y aplicar los patrones para multiplicar por y dividir entre 1 y 0.
¿Cómo nos ayudan los patrones a multiplicar con una unidad de 1 en un problema como 5 × 1?
Sabemos que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo. Entonces, si 1 es un factor, el producto es igual al otro factor. 5 × 1 = 5
¿Cómo nos ayudan los patrones a multiplicar con una unidad de 0 en un problema como 7 × 0?
Sabemos que cualquier número multiplicado por 0 es 0. Entonces, si 0 es un factor, el producto es 0. Eso significa que 7 × 0 = 0.
¿Cómo nos ayudan los patrones a dividir entre 1 en un problema como 6 ÷ 1?
Sabemos que cualquier número dividido entre 1 es igual a sí mismo. Entonces, al dividir entre 1, el cociente es el mismo número que el total. 6 ÷ 1 = 6
¿Cómo nos ayudan los patrones a dividir un número entre sí mismo en un problema como 9 ÷ 9?
Sabemos que cualquier número, excepto 0, dividido entre sí mismo es 1. Entonces, cuando el total y una de las partes son el mismo número, el cociente es 1. Eso significa que 9 ÷ 9 = 1.
¿Cómo nos ayudan los patrones a dividir 0 en un problema como 0 ÷ 8?
Si no tienes nada, no puedes dividir nada en grupos iguales. Entonces, si el total es 0 y estás dividiendo, el cociente es 0. Eso significa que 0 ÷ 8 = 0.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Shen prepara 8 litros de ponche. Vierte el ponche, en partes iguales, en 2 jarras. ¿Cuántos litros de ponche hay en cada jarra?
Hay 9 niños y niñas en el parque. 3 están en los columpios. ¿Cuál es el número de niños y niñas que no están en los columpios?
El mes pasado, el cachorro de Iván pesaba 8 kilogramos. Aumentó 2 kilogramos este mes. ¿Cuánto pesa el cachorro ahora?
8 ÷ 2
9 − 3
8 + 2
David compra 8 paquetes de borradores. Hay 2 borradores en cada paquete. ¿Cuántos borradores compra en total?
8 × 2
James tiene 9 pelotas de tenis. Pone 3 en cada lata. ¿Cuántas latas usa?
9 ÷ 3
Después de comer 9 uvas, al Sr. López le quedan 3 uvas. ¿Cuántas uvas tenía al principio?
9 + 3
Carla tiene una soga de 8 metros de largo. Usó parte de la soga para un proyecto y le quedaron 2 metros. ¿Cuánta soga usó?
Eva tiene 9 camisas con botones. Cada camisa tiene 3 botones. ¿Cuál es el número total de botones en las camisas de Eva?
8 − 2
9 × 3
Nombre
Usa las imágenes de grupos iguales para completar los espacios.
1. 4 grupos de 1 es 4
4 × 1 = 4
4 dividido en grupos de 1 es 4 grupos.
4 ÷ 1 = 4
2. 9 grupos de 1 es 9
9 × 1 = 9
9 dividido en 9 grupos iguales es 1 en cada grupo.
9 ÷ 9 = 1
3. 1 grupo de 3 es 3 1 × 3 = 3
3 dividido en grupos de 3 es 1 grupo.
3 ÷ 3 = 1
4. 1 grupo de 5 es 5
1 × 5 = 5
5 dividido en 1 grupo es 5 en cada grupo.
5 ÷ 1 = 5
5. Usa los problemas 1 a 4 para responder las partes (a) a (c).
a. ¿Qué patrón observas cuando multiplicas por 1?
Un número multiplicado por 1 es igual a sí mismo.
b. ¿Qué patrón observas cuando divides entre 1?
Un número dividido entre 1 es igual a sí mismo.
c. ¿Qué patrón observas cuando divides un número entre sí mismo?
Un número dividido entre sí mismo es igual a 1. Esta regla no funciona con el 0
6. Completa los enunciados.
a. 0 grupos de cualquier número es 0 b. Cualquier número de grupos de 0 es 0
c. ¿Qué nos dicen los enunciados sobre multiplicar cualquier número por 0?
Cuando se multiplica cualquier número por 0, el producto es 0
Escribe verdadero o falso para cada ecuación.
Ecuación Verdadero o Falso
7. 8 × 0 = 0 Verdadero
8. 7 ÷ 1 = 1 Falso
9. 1 × 6 = 6 Verdadero
10. 5 ÷ 5 = 1 Verdadero
11. 9 × 1 = 1 Falso
12. 0 × 10 = 0 Verdadero
13. 3 ÷ 0 = 0 Falso
EUREKA MATH2
EUREKA MATH
14. Elige una de las ecuaciones falsas de los problemas 7 a 13 y explica por qué es falsa.
9 × 1 = 1 es falso porque cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo.
Debería ser 9 × 1 = 9
15. Completa los enunciados.
a. 0 dividido entre cualquier número excepto el 0 es 0
b. No se puede dividir entre 0 .
Tarjetas de expresiones: Cada columna es un juego de Tarjetas de expresiones. Recorte un juego de tarjetas para cada pareja de estudiantes.
16
Identificar patrones usando la tabla de multiplicación
Vistazo a la lección
1. Usa la tabla de multiplicación para hallar 8 × 12
2. Carla dice que 3 × 233 = 626. Usa lo que aprendiste sobre la multiplicación de números impares por números impares para explicar por qué Carla está equivocada.
Sé que Carla está equivocada porque un número impar por un número impar siempre da como resultado un número impar, y 626 es un número par.
La clase explora patrones con factores y productos pares e impares y patrones en la tabla de multiplicación. Usa la tabla de multiplicación como una herramienta para aplicar la estrategia de separar y distribuir con factores más grandes.
Preguntas clave
• ¿Cómo les ayudan los patrones que descubrimos para los productos pares e impares cuando multiplican?
• ¿Cómo puede ayudarnos la tabla de multiplicación a hallar el producto de factores que son más grandes que los factores de la tabla?
Criterio de logro académico
3.Mód3.CLA10 Identifican y extienden patrones aritméticos y los explican mediante las propiedades de las operaciones. (3.OA.D.9)
Agenda
Fluidez 15 min
Presentar 5 min
Aprender 30 min
• Patrones con factores y productos pares e impares
• Otros patrones en la tabla de multiplicación
• Separar y distribuir con la tabla de multiplicación
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 3 (en el libro para estudiantes)
• lápiz naranja
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Contar de tres en tres y de seis en seis con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de tres en tres y de seis en seis y practicar una estrategia de multiplicación.
Vamos a contar de tres en tres con el método matemático. Cada dedo representa 3.
Mientras muestra el método matemático con sus dedos, pida a la clase que cuente de tres en tres desde el 0 hasta el 30 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 3. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 39 × 37 × 3
Ahora, contemos de seis en seis con el método matemático. Cada dedo representa 6.
Pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 0 hasta el 60 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Muéstrenme 30.
(Muestran 30 con los dedos usando el método matemático).
Pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 30 hasta el 60 y, luego, hacia atrás hasta el 30 con el método matemático.
Bajen las manos. Ahora, ustedes cuenten en voz alta mientras yo muestro el conteo con los dedos. ¿Comenzamos?
Guíe a la clase para que cuente de seis en seis, hacia delante y hacia atrás, haciendo énfasis en contar desde el 30.
Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 3
EUREKA MATH2
Materiales: E) Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 3
3 ▸ M3 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar por y dividir entre 3
La clase completa ecuaciones para adquirir fluidez con la multiplicación y la división con el 3.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Completa las ecuaciones.
1. 2 × 3 = 6
2. 6 ÷ 3 = 2
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. ¿Comenzamos?
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Cómo se relacionan los problemas 1 a 6?
• ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 18?
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de seis en seis desde el 0 hasta el 60 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de cuatro en cuatro desde el 40 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase explica cómo identificar si un número es par o impar.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el planteamiento a coro con la clase. Luego, invíteles a leer las respuestas de Ray, James y Jayla en parejas y completar el problema.
1. Lee sobre la clase del maestro Davis y, luego, responde la pregunta sobre la clase de la maestra Díaz.
El maestro Davis tiene 21 estudiantes en su clase. Organizó a sus estudiantes en parejas. Les preguntó si hay un número par o impar de estudiantes y pidió que expliquen cómo lo saben.
Ray dijo: “Hay un número impar. No importa cómo reorganicemos los grupos, siempre queda alguien sin pareja”.
James dijo: “Hay un número impar. Cuando cuento de dos en dos, no digo 21”.
Jayla dijo: “Hay un número impar. No puedo escribir una operación con números repetidos. Debo pensar en números repetidos más uno: 10 + 10 + 1 = 21”.
La maestra Díaz tiene 18 estudiantes en su clase. Organizó a sus estudiantes en parejas. ¿El número de estudiantes en la clase de la maestra Díaz es un número par o impar? Haz un dibujo y explica tu razonamiento.
Sé que la maestra Díaz tiene un número par de estudiantes porque todos tienen una pareja.
Sé que la maestra Díaz tiene un número par de estudiantes porque puedo contar sus estudiantes de dos en dos: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.
Sé que la maestra Díaz tiene un número par de estudiantes porque puedo usar una operación con números repetidos para mostrar que 18 es par: 9 + 9 = 18.
Dé tiempo para que las parejas trabajen. Recorra el salón de clases mientras trabajan y escuche sus razonamientos. Si algunas parejas terminan antes, anímelas a explicar la respuesta de otra manera.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Como apoyo para los términos conocidos par e impar, considere mostrar una representación visual. Complemente la descripción de que con un número par de objetos es posible armar parejas, pero que, con un número impar de objetos, siempre habrá un objeto que no tendrá pareja usando una referencia visual o pidiendo a sus estudiantes que se formen en parejas.
La palabra par también significa “dos”, por ejemplo, “un par de zapatos” = “dos zapatos”, “un par de tabletas de chocolate” = “dos tabletas de chocolate”. Destaque el hecho de que el dos es, precisamente, un número par. Considere mencionar este significado en la conversación de toda la clase, a la vez que especifica el significado matemático haciendo referencia a los apoyos visuales.
Reúna a la clase y guíe una conversación. Invite a las parejas de estudiantes a compartir sus explicaciones. Si es posible, elija a parejas que compartan razonamientos como los de Ray, James y Jayla. Si fuera necesario, vuelva a expresar cada razonamiento para formalizarlo.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, buscaremos patrones, que incluyen números pares e impares, cuando multiplicamos.
Aprender
Patrones con factores y productos pares e impares
Materiales: E) Lápiz naranja
La clase usa una tabla de multiplicación para sacar conclusiones sobre los factores de productos pares e impares.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.
Explique la organización de la tabla de multiplicación: los números que se encuentran en la columna izquierda sombreada y en la fila superior también sombreada son factores, y cada casilla sin sombrear representa el producto de una operación de multiplicación.
Represente de manera interactiva cómo localizar un cuadrado en la tabla.
Localicemos el cuadrado para 3 × 5 para poder completar el producto. Pongan el dedo en la fila rotulada 3 y deslícenlo hacia la derecha hasta llegar a la columna rotulada 5. El número que debemos completar en el cuadrado donde se cruzan la fila y la columna es el producto.
¿Cuál es el producto de 3 y 5?
Pida a sus estudiantes que escriban 15 en el cuadrado.
Guíe a sus estudiantes para que completen algunos ejemplos más según sea necesario. Luego, pídales que completen la tabla.
2. Escribe los productos en los cuadrados para completar la tabla.
Dé tiempo para trabajar. Mientras la clase trabaja, recorra el salón de clases y compruebe la precisión.
Cuando hayan completado los productos, guíe una conversación breve sobre lo que observaron. Luego, pida a sus estudiantes que coloreen en naranja todos los cuadrados con un producto par.
Cuando hayan terminado, pídales que hallen 2 × 1 en la tercera fila de la tabla de multiplicación.
¿El producto de 2 y 1 es par o impar?
Par
¿Los factores 2 y 1 son pares o impares?
2 es par y 1 es impar.
Multiplicamos un factor par y un factor impar y obtuvimos un producto par. Me pregunto si el producto de un factor par y un factor impar es siempre par.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar un método de respuesta alternativo, como usar un marcador fluorescente para resaltar rápidamente las filas y las columnas con productos pares, en vez de colorear las celdas con un lápiz de color.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando generaliza patrones sobre si el producto de dos factores será par o impar.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• ¿Qué patrones notaron en las filas de los números pares? ¿Y en las filas de los números impares?
• ¿El producto de 2 y cualquier otro número es siempre par? ¿Cómo lo saben?
Pida a sus estudiantes que usen la tabla para multiplicar otros factores pares por factores impares.
¿Qué sucede si cambiamos el orden de los factores? ¿Cambiará el producto?
No. Par por impar e impar por par siempre dan como resultado un producto par.
No cambia por la conmutatividad.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan sobre los productos.
Escriba el siguiente enunciado: Par multiplicado por impar es igual a par.
Veamos qué sucede si multiplicamos un factor par por otro factor par. Use 2 × 2 como ejemplo.
¿El producto es par o impar?
Par
Pida a sus estudiantes que usen la tabla para multiplicar otros factores pares por factores pares. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan en los productos.
Escriba el siguiente enunciado: Par multiplicado por par es igual a par.
Me pregunto qué sucede cuando multiplicamos un factor impar por otro factor impar.
Pida a sus estudiantes que usen la tabla para multiplicar factores impares por factores impares. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan en los productos.
Escriba el siguiente enunciado: Impar multiplicado por impar es igual a impar.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y observen los cuadrados sombreados en naranja y, luego, los cuadrados sin sombrear para buscar patrones en los productos y factores pares e impares.
Dé a las parejas 1 o 2 minutos para que observen los patrones. Luego, reúna a la clase y haga las siguientes preguntas.
Cuando el producto es par, ¿qué observan acerca de los factores?
Ambos factores son pares, o un factor es par y el otro, impar.
Cuando el producto es impar, ¿qué observan acerca de los factores?
Ambos factores son impares.
DUA: Acción y expresión
Considere ayudar a sus estudiantes a organizar la información. Anime a las parejas a hacer una tabla de tres columnas: un factor impar y otro par, ambos factores pares y ambos factores impares. Las parejas pueden escribir la operación en la columna apropiada y, luego, observar cada columna y comparar las columnas entre sí para identificar semejanzas y diferencias.
Par por impar Par por par Impar por impar
Pida a sus estudiantes que respondan los problemas 3 y 4 en sus libros.
3. Cuando el producto es par, ¿puede alguno de los factores ser impar? ¿Cómo lo sabes?
Sí, porque impar por par es igual a par.
4. Cuando el producto es impar, ¿puede alguno de los factores ser par? ¿Cómo lo sabes?
No, porque los productos impares solo pueden ser el resultado de dos factores impares.
Otros patrones en la tabla de multiplicación
La clase explora patrones que involucran las filas y las columnas de la tabla de multiplicación.
Pida a sus estudiantes que observen la tabla de multiplicación.
¿Dónde ven el conteo salteado de cinco en cinco?
En la fila rotulada con 5 y en la columna rotulada con 5
¿Por qué el conteo salteado se repite a lo largo de una columna y a lo ancho de una fila?
Al cambiar el orden de los factores, igualmente se obtiene el mismo producto. La fila muestra 5 × 1, 5 × 2, 5 × 3 y así sucesivamente. La columna muestra 1 × 5, 2 × 5, 3 × 5, y así sucesivamente.
¿Esto es verdadero solo para el 5? ¿Cómo lo saben?
No, es verdadero para todos los números. Puedo elegir cualquier número y ver el conteo salteado en la fila y en la columna que corresponden a ese número.
Nota para la enseñanza
El Buscador interactivo de patrones en la tabla de multiplicación es un apoyo para la exploración de patrones en la tabla.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Invite a sus estudiantes a mostrar uno o dos ejemplos a la clase.
La primera operación que escribimos en la tabla fue 3 × 5 = 15. Encierren en un círculo el 15 que muestra 3 × 5 = 15.
Como 3 × 5 = 15, ¿qué otra operación debe tener 15 como producto? ¿Cómo lo saben?
5 × 3 = 15. Podemos cambiar el orden de los factores y obtener el mismo producto.
Pida a sus estudiantes que hallen 5 × 3 en la tabla y encierren en un círculo el producto. Luego, pídales que busquen otros cuadrados que tengan 15 como producto.
¿Hay alguna otra operación con 15 como producto? ¿Cuántas veces aparece 15 en la tabla?
No. Aparece solo dos veces en la tabla.
Hay solo dos operaciones que tienen 15 como producto.
Pida a sus estudiantes que encierren en un círculo todos los cuadrados que muestran 63 como producto.
¿Cuántas veces aparece 63 en la tabla?
Dos
¿Qué operaciones tienen 63 como producto?
7 × 9 y 9 × 7
¿Por qué el 15 y el 63 aparecen dos veces en la tabla cada uno?
Una vez que encontré una operación con 15 como producto, supe que podía cambiar el orden de los factores para obtener una segunda operación con el mismo producto. Lo mismo sucede con 63.
Pida a sus estudiantes que encierren en un círculo todos los cuadrados que muestran 24 como producto. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué 24 está en la tabla 4 veces.
24 es el producto de 3 y 8 y el producto de 4 y 6. Está en la tabla dos veces por cada par de factores.
Pida a sus estudiantes que encierren en un círculo todos los cuadrados que muestran 25 como producto. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué 25 está en la tabla solo una vez.
La única forma de obtener 25 como producto con los números de esta tabla es 5 × 5, que es igual sin importar el orden de los factores; entonces, aparece una sola vez en la tabla.
Nota para la enseñanza
Considere demostrar cómo usa la tabla de multiplicación para dividir hallando un factor desconocido. Por ejemplo, para hallar 42 ÷ 6, deslice el dedo por la fila del 6 hasta el 42. Su dedo está en la columna del 7, entonces, 6 × 7 = 42 y 42 ÷ 6 = 7.
Separar y distribuir con la tabla de multiplicación
La clase halla productos usando la estrategia de separar y distribuir y una tabla de multiplicación.
Pida a sus estudiantes que observen la tabla de multiplicación.
Hallemos 16 × 7. ¿El producto de 16 y 7 aparece en esta tabla?
Podemos separar las operaciones más grandes que no se muestran en la tabla en operaciones más pequeñas que sí aparecen en la tabla.
¿Cómo podemos separar 16 × 7 en operaciones que aparecen en la tabla?
10 sietes y 6 sietes
2 grupos de 8 sietes
¿Cuánto es 10 sietes? ¿Cuánto es 6 sietes? ¿Cuánto es 10 sietes + 6 sietes?
Pida a las parejas que separen la operación más grande en operaciones más pequeñas para completar el problema 5.
5. Separa la operación más grande en operaciones más pequeñas para hallar 15 × 4.
Ejemplo:
15 × 4 = (10 × 4) + (5 × 4) = 40 + 20 = 60
Si hay tiempo suficiente, invite a la clase a hallar 6 × 12.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes podrían separar en partes 16 × 7 de muchas maneras. Podrían separar el primer factor o el segundo, o bien separar un factor en más de dos partes. Acepte todas las respuestas correctas, pero anime a sus estudiantes a pensar en la eficiencia cuando elijan una combinación para usar en el problema 5.
Diferenciación: Desafío
Considere invitar a sus estudiantes a compartir otros patrones que hayan observado en la tabla o las preguntas que tengan acerca de la tabla:
• Los productos de los números multiplicados por sí mismos forman la diagonal.
• No hay una fila ni una columna para el 0.
• ¿Se puede extender la tabla más allá del diez?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar patrones usando la tabla de multiplicación
Guíe una conversación sobre cómo nos ayudan los patrones cuando multiplicamos.
¿Cómo les ayudan los patrones que descubrimos para los productos pares e impares cuando multiplican?
Si multiplico dos factores impares y obtengo un producto par, sé que cometí un error.
Cada vez que multiplico por un factor par, el producto debe ser par.
¿Cómo puede ayudarnos la tabla de multiplicación a hallar el producto de factores que son más grandes que los números de la tabla?
Podemos usar la estrategia de separar y distribuir para hallar los productos de factores más pequeños que aparecen en la tabla y, luego, sumarlos para hallar el producto de los factores más grandes.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa tu tabla de multiplicación completada para responder los problemas 1 a 5.
1. Decide si cada patrón es verdadero o falso. Escribe una ecuación que apoye tu decisión.
Patrón Verdadero o Falso Ecuación
Par por par es igual a impar. Falso Ejemplo: 2 × 4 = 8
Impar por impar es igual a par. Falso Ejemplo: 3 × 5 = 15
Par por impar es igual a impar. Falso Ejemplo: 4 × 5 = 20
2. Encierra en un círculo el producto 28 en la tabla de multiplicación. Explica por qué el producto 28 está en la tabla más de una vez.
El producto 28 está en la tabla más de una vez porque 4 × 7 = 28 y 7 × 4 = 28
3. ¿Cómo te ayuda la tabla a ver que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo?
Los productos en la columna del 1 son todos iguales al otro factor. Lo mismo sucede con los productos en la fila del 1. Entonces, sé que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo.
4. Eva dice: “Puedo usar la tabla de multiplicación para hallar 7 × 14”.
David dice: “Pero es que 7 × 14 no está en la tabla”. Explica cómo Eva podría usar la tabla para hallar 7 × 14
Eva podría usar la tabla para hallar 7 × 14 separando la expresión en operaciones que sí están en la tabla. Podría separarla en 7 × 10 y 7 × 4 Luego, podría hallar esos productos y sumarlos para hallar 7 × 14
5. ¿Cómo puedes usar la tabla para hallar 48 ÷ 6 ?
Puedes usar la tabla para hallar 48 ÷ 6 deslizando el dedo por la fila del 6 hasta llegar al 48. Al llegar al 48, ves qué número está en la parte de arriba de esa columna y ese número es la respuesta.
EUREKA MATH
Identificar y completar patrones con tablas de entrada y salida
Vistazo a la lección
La clase identifica y describe patrones de multiplicación y división en tablas de entrada y salida. Usan los patrones para completar las tablas y los problemas relacionados.
Preguntas clave
• ¿Cómo les ayudan las tablas de entrada y salida a ver un patrón?
• ¿Cómo podemos usar patrones para hallar más números en una tabla de entrada y salida?
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA8 Multiplican y dividen hasta el 100 con fluidez, recordando de memoria todos los productos de dos números de un dígito. (3.OA.C.7)
3.Mód3.CLA10 Identifican y extienden patrones aritméticos y los explican mediante las propiedades de las operaciones. (3.OA.D.9)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Usar el contexto para identificar un patrón y completar una tabla de entrada y salida
• Completar una tabla de entrada y salida y describir un patrón
• Multiplicación egipcia
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la enseñanza de la sección Aprender.
Fluidez
Contar de seis en seis y de ocho en ocho con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de seis en seis y de ocho en ocho y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Vamos a contar de seis en seis con el método matemático. Cada dedo representa 6.
Pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 0 hasta el 60 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Muéstrenme 30.
(Muestran 30 con los dedos usando el método matemático).
Pida a la clase que cuente de seis en seis desde el 30 hasta el 60 y, luego, hacia atrás hasta el 30 con el método matemático.
Bajen las manos. Ahora, ustedes cuenten en voz alta mientras yo muestro el conteo con los dedos. ¿Comenzamos?
Guíe a la clase para que cuente de seis en seis en voz alta, hacia delante y hacia atrás, haciendo énfasis en contar desde el 30.
Repita el proceso con el conteo de ocho en ocho.
Intercambio con la pizarra blanca: Relacionar la división y la multiplicación
La clase completa una ecuación de división usando una ecuación de multiplicación relacionada para adquirir fluidez con las unidades de 6, 7 y 8.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 24 ÷ 6 = .
Escriban una ecuación de multiplicación relacionada que les ayude a completar la ecuación de división.
Muestre la ecuación de ejemplo: 6 × 4 = 24.
Escriban la ecuación de división y complétenla: 24 ÷ 6 = .
Muestre la ecuación de división completada: 24 ÷ 6 = 4.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase usa la multiplicación para completar una tabla y representar cantidades.
Muestre el problema y léalo a coro con la clase.
Mía va a la sala de videojuegos y pone billetes de un dólar en la máquina para obtener cambio.
Quiere saber cuántas fichas puede comprar con los 7 billetes de un dólar que tiene.
Esto es lo que observa:
Después de poner $1, recibe 8 fichas.
Después de poner $2, recibe 16 fichas.
Después de poner $3, recibe 24 fichas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan. Destaque las respuestas que hagan énfasis en el patrón.
El número de dólares se cuenta de uno en uno, mientras que el número de fichas se cuenta de ocho en ocho. Hay un patrón. Las fichas se cuentan salteado de ocho en ocho.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden organizar los números para que les sea más fácil identificar el patrón y hallar cuántas fichas puede comprar Mía con $7.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes conversan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
¿Hay alguna manera de organizar los números para que sea más fácil ver el patrón?
Podemos hacer una lista.
Podemos hacer una tabla.
¿Cómo puede Mía usar lo que ya sabe para calcular cuántas fichas obtendrá con sus 7 billetes de un dólar?
Mía puede contar salteado de ocho en ocho 7 veces para calcular cuántas fichas obtendrá.
Mía puede multiplicar 7 y 8.
Podemos usar las operaciones y las tablas de multiplicación como ayuda para hallar y organizar los patrones. 5
Diferenciación: Desafío
Considere dar a sus estudiantes la oportunidad de repasar este contexto al final de la lección y crear su propia tabla de entrada y salida para representar el patrón.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, identificaremos y describiremos patrones usando tablas.
Aprender
Usar el contexto para identificar un patrón y completar una tabla de entrada y salida
La clase usa un contexto del mundo real para identificar un patrón y completar una tabla de entrada y salida.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea los problemas 1(a) y (b) a coro con la clase. Ayude a sus estudiantes a identificar la estructura de cada tabla. Luego, pídales que trabajen en parejas para completar las dos tablas.
1. Liz empaca frutas en bolsas para vender en el mercado.
a. Liz pone 9 manzanas en cada bolsa. Completa la tabla para mostrar el número total de manzanas en las bolsas.
Número de bolsas 1 2 3 4 5
Número total de manzanas 9 18 27 36 45
b. Liz pone 5 peras en cada bolsa. Completa la tabla para mostrar el número de bolsas de peras.
Número total de peras 5 10 15 20 25
Número de bolsas 1 2 3 4 5
Dé tiempo para que las parejas trabajen. Luego, pídales que compartan los patrones que observaron.
El número total de manzanas es el número de bolsas multiplicado por 9.
El número de bolsas es el número total de peras dividido entre 5. 35
Invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las diferencias entre las estrategias que usaron para completar la tabla en el problema 1(a) y en el problema 1(b).
En 1(a), sabíamos cuántos grupos había y cuántas manzanas había en cada grupo, así que multiplicamos para hallar el número total de manzanas. En 1(b), sabíamos el número total de peras y cuántas había en cada grupo, así que dividimos para hallar el número de grupos.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Lea el problema a coro con la clase.
2. Liz llena bolsas con ciruelas. Pone el mismo número de ciruelas en cada bolsa. Completa la tabla para mostrar el número total de ciruelas en las bolsas.
Número de bolsas 1 2 3 4 5 6
Número total de ciruelas 4 8 12 16 20 24
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo hallar el número de ciruelas en cada bolsa.
La tabla muestra que en 1 bolsa hay 4 ciruelas, entonces, ese debe ser el número de ciruelas en cada bolsa. La tabla muestra que en 2 bolsas hay 8 ciruelas, entonces, 4 ciruelas en cada bolsa debe ser correcto.
Podemos multiplicar el número de bolsas por 4 para hallar el número total de ciruelas. Completemos la tabla. ¿Qué representa el primer número desconocido?
El número total de ciruelas en 3 bolsas
Invite a la clase a hallar el número total de ciruelas en 3 bolsas y escribir el número en la tabla.
Use una secuencia similar para guiar a sus estudiantes mientras completan la tabla.
Luego, invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pudo Liz hallar el número total de ciruelas en 9 bolsas sin continuar la tabla. Mientras las parejas conversan, recorra el salón de clases, escuche sus respuestas y elija a algunas parejas para que compartan sus respuestas. Si es posible, elija a parejas que hayan multiplicado y parejas que hayan usado la información de la tabla para componer con la suma. Si nadie compuso 9 bolsas usando la información de la tabla, guíe a sus estudiantes con una secuencia como la siguiente.
DUA: Representación
Considere agregar anotaciones a las tablas para que los patrones sean más visibles. Debajo de cada columna, escriba la ecuación de multiplicación o división que representa la relación o que se usa para hallar el número desconocido.
Nota para la enseñanza
Como el número de bolsas aumenta de a 1 en cada cuadrado de la primera fila de la tabla, es posible que sus estudiantes vean el número total de ciruelas como el resultado de contar salteado de cuatro en cuatro y piensen que el patrón es sumar 4 repetidamente.
Número de bolsas
Número total de ciruelas 123456 48
Sin embargo, el conteo salteado solo funciona si los números de la primera fila son consecutivos. Haga hincapié en la relación entre el número de bolsas y el número total de ciruelas.
Número de bolsas
Número total de ciruelas 123456 48
Veamos cómo podríamos usar la información de la tabla de otra manera. Liz planea llenar 9 bolsas. ¿Qué información de la tabla podría usar para hallar un total de 9 bolsas?
Puede sumar 5 bolsas y 4 bolsas o 6 bolsas y 3 bolsas.
¿Qué debería sumar Liz para hallar el número total de ciruelas en 9 bolsas? ¿Por qué?
Liz debería sumar 20 + 16 porque hay 20 ciruelas en 5 bolsas y 16 ciruelas en 4 bolsas.
Pida a las parejas que elijan una estrategia para hallar el número de ciruelas en 9 bolsas. Luego, invite a una o dos parejas a compartir su estrategia.
¿Qué pasaría si Liz tuviera 48 ciruelas para dividir en bolsas? ¿Necesita continuar la tabla para hallar el número de bolsas que puede llenar con las ciruelas? ¿Qué otra cosa puede hacer? ¿Por qué?
No necesita la tabla. Puede ver que con 24 ciruelas se llenan 6 bolsas. 24 × 2 = 48 y 6 × 2 = 12.
No. Puede sumar el número de ciruelas en la tabla hasta llegar a 48 ciruelas y, luego, sumar los números de bolsas que se corresponden con esos números de ciruelas.
No, no necesita continuar la tabla. Como multipliqué el número de bolsas por 4 para hallar el número total de ciruelas, puedo dividir el total entre 4 para hallar el número de bolsas. 48 ÷ 4 = 12, entonces, Liz puede llenar 12 bolsas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben si deben multiplicar o dividir para hallar un número desconocido en la tabla.
Completar una tabla de entrada y salida y describir un patrón
La clase identifica un patrón en una tabla de entrada y salida sin contexto dado, completa la tabla y describe el patrón.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3.
¿En qué se parece esta tabla a la del problema 1(b)? ¿En qué se diferencia?
En las dos tablas, se pueden dividir los números de la fila de arriba entre algo para obtener los números de la fila de abajo.
Los rótulos en la tabla del problema 3 son de entrada y salida y no describen la información de una situación. No hay una situación relacionada con esta tabla. En las dos tablas, hay algunos números ya completados, pero algunos números son desconocidos. En esta tabla, los números disminuyen en vez de aumentar.
Nota para la enseñanza
El término patrón se usa en lugar del término regla para describir el cálculo necesario para completar la tabla. El término patrón brinda a la clase flexibilidad a la hora de interpretar tablas. En esta lección, cada estudiante puede pensar en los patrones en cualquier sentido: de entrada a salida o de salida a entrada.
Las expertas y los expertos en matemáticas con frecuencia estudian patrones numéricos sin contexto. Esta tabla no está relacionada con ninguna situación, pero aun así podemos buscar patrones en ella.
Esta tabla se llama tabla de entrada y salida. Hay un patrón que podemos usar para llegar de los números en la fila de entrada a los de la fila de salida.
Observen las columnas en las que sabemos los dos números. ¿Qué observan?
12 ÷ 2 = 6, 24 ÷ 4 = 6 y 42 ÷ 7 = 6.
Todos los números de entrada pueden dividirse entre 6 para obtener los números de salida.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para buscar un patrón y completar la tabla. Deles tiempo para trabajar y, luego, invite a las parejas a compartir los números desconocidos.
3. Busca un patrón para completar la tabla.
Patrón: Dividir el valor de entrada entre 6
Invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo describir sus patrones usando palabras.
Dividir el valor de entrada entre 6
Pida a sus estudiantes que escriban el patrón en sus libros. Luego, pídales que vayan al problema 4.
¿En qué se parece esta tabla a la del problema 3? ¿En qué se diferencia?
Los títulos son entrada y salida en los dos problemas, pero esta tabla es vertical en vez de horizontal. Algunos números están completados y otros, no.
Las dos tablas tienen un patrón para completar los números desconocidos.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para identificar y describir un patrón y, luego, usen su patrón para completar la tabla. Si las parejas tienen dificultades para identificar un patrón, pídales que observen las filas donde se conocen los dos números y pregúnteles qué observan.
Nota
para la enseñanza
Aunque el término tabla de entrada y salida se usa en esta lección, no se espera que la clase use el término.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar un esquema de oración para ayudar a sus estudiantes a describir el patrón:
Multiplico (el número de entrada) por y obtengo (el número de salida).
Multiplico 2 por 8 y obtengo 16.
Patrón: Multiplicar el valor de entrada por 8
Proporcione a las parejas tiempo para trabajar y, luego, invítelas a compartir la descripción del patrón y los números desconocidos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hallar y describir un patrón les ayuda a completar la tabla.
Multiplicación egipcia
La clase usa una tabla para resolver un problema sobre historia de las matemáticas.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 5. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan y se preguntan sobre esta tabla.
No dice entrada ni salida en la parte de arriba y todas las casillas están completas. Me pregunto si será un tipo de tabla diferente.
Cada número de la segunda columna es el número de la primera columna multiplicado por 7, pero se saltea el 3, el 5, el 6 y el 7. Me pregunto por qué se saltean esos números.
5. Usa la tabla como ayuda para hallar 12 × 7.
× 7
28 + 56 = 84
12 × 7 = 84
¿Cuál es el patrón en esta tabla?
Multiplicar por 7
Esta tabla es un ejemplo de cómo los egipcios usaban patrones para multiplicar hace ya más de 4,000 años. Esta tabla los ayudaba a multiplicar por 7. La primera fila muestra que 1 × 7 = 7.
Señale cada número de la primera columna. Invite a la clase a compartir lo que observan sobre los números de la primera columna.
Las matemáticas en el pasado
El recurso de Las matemáticas en el pasado incluye más información sobre la multiplicación egipcia.
Considere invitar a la clase a que use la multiplicación egipcia para hallar otros productos.
Los egipcios siempre comenzaban con el 1 multiplicado por otro factor y, luego, duplicaban ambos factores hasta que tenían suficiente información para hallar el producto que necesitaban. Usemos esta tabla para hallar 12 × 7 al estilo egipcio.
Invite a la clase a escribir 12 × 7 encima de la tabla y a trabajar en parejas para hallar 12 × 7 usando la información de la tabla. Mientras las parejas trabajan, recorra el salón de clases y escuche sus estrategias. Repase la estrategia usada para hallar el número de ciruelas en 9 bolsas en el problema 2 si es necesario.
¿Cómo usaron la información de la tabla para hallar 12 × 7?
Usamos la fila del 4 y la del 8 y hallamos 28 + 56 = 84.
Represente y describa cómo hacer una marca a la derecha de 28 y 56 en la tabla para mostrar qué números se usaron para hallar el producto.
Usando números repetidos y la suma, los egipcios podían hallar cualquier producto. Esta estrategia me recuerda una estrategia de multiplicación que usamos. ¿A qué estrategia de multiplicación se parece la multiplicación egipcia?
Separar y distribuir
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre las semejanzas y diferencias entre la multiplicación egipcia y la estrategia de separar y distribuir.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas (MP1) cuando intenta comprender y aplicar el método egipcio de multiplicación. En particular, buscan maneras de usar la información limitada de la tabla para hallar 12 × 7
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Qué podrían intentar hacer para hallar múltiplos de 7 que no aparecen en la tabla?
• ¿Cómo planean obtener 12?
Diferenciación: Desafío
Desafíe a la clase a usar el método egipcio para hallar 7 × 64
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar y completar patrones con tablas de entrada y salida
Guíe una conversación acerca del uso de tablas de entrada y salida para identificar, describir y aplicar patrones.
¿Cómo les ayudan las tablas de entrada y salida a ver un patrón?
Las tablas me ayudan a ver qué se hizo con el número de entrada para obtener el número de salida.
¿Cómo podemos usar la multiplicación y la división para describir patrones?
Podemos describir por qué número se multiplicó o entre qué número se dividió el número de entrada para obtener el de salida.
¿Cómo podemos usar patrones para hallar más números en una tabla de entrada y salida?
Podemos buscar la relación entre los números dados y, luego, usar esa relación para completar los espacios.
Podemos usar los números de la tabla para hallar el patrón. A veces, se nos da el patrón, pero, otras veces, debemos descubrir la operación y el número que se está usando.
Podemos combinar números de la tabla para obtener otro número.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Un triángulo tiene 3 lados. Completa la tabla.
Número de triángulos 1 2 3 4 5 6 7
Número total de lados 3 6 9 12 15 18 21
2. Liz vende bolsas de duraznos. Cada bolsa tiene el mismo número de duraznos.
a. Completa la tabla.
Número de bolsas 1 2 3 4 5 6
Número total de duraznos 6 12 18 24 30 36
b. ¿Cuántos duraznos hay en 8 bolsas? ¿Cómo lo sabes?
Hay 48 duraznos en 8 bolsas. En cada bolsa hay 6 duraznos y 8 × 6 = 48
3. El Sr. Endo pone zanahorias en bandejas de almuerzo.
a. Completa la tabla.
Número de zanahorias 5 10 15 20 25 30 35
Número total de bandejas de almuerzo 1 2 3 4 5 6 7
b. ¿Cuántas bandejas necesita el señor Endo si tiene 45 zanahorias?
El señor Endo necesita 9 bandejas de almuerzo si tiene 45 zanahorias. 45 ÷ 5 = 9
Usa el patrón para completar las tablas.
4. Patrón: Multiplicar el valor de entrada por 4
Crear problemas verbales de multiplicación y división
Vistazo a la lección
La clase escribe problemas verbales de multiplicación y división relacionados con imágenes y expresiones dadas.
Preguntas clave
• ¿Cómo pueden usar una imagen y una expresión como ayuda para crear un problema verbal?
• ¿Cómo deciden qué pregunta hacer en un problema verbal?
Criterios de logro académico
Ejemplo:
Hay 18 luciérnagas en total. Cada uno de los 3 frascos contiene el mismo número de luciérnagas.
¿Cuántas luciérnagas hay en cada frasco?
3.Mód3.CLA1 Representan un modelo con una situación de multiplicación. (3.OA.A.1)
3.Mód3.CLA2 Representan un modelo con una situación de división. (3.OA.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Escribir problemas verbales de multiplicación
• Escribir problemas verbales de división
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Crear problemas verbales (en el libro para estudiantes)
• tijeras
Preparación de la lección
Considere si desea retirar y recortar la hoja extraíble de Crear problemas verbales de los libros para estudiantes con antelación o si la preparará con la clase durante la lección. Se necesita un juego para cada estudiante.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Propiedad asociativa
La clase usa paréntesis para hallar el producto de tres factores con el fin de adquirir fluidez en el uso de la propiedad asociativa del tema B.
Muestre 5 × 2 × 2 = .
Podemos usar paréntesis como ayuda para hallar el producto. ¿Dónde colocarían los paréntesis? Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
Alrededor del primer par de factores, 5 × 2
Alrededor del segundo par de factores, 2 × 2
Muestre los paréntesis de dos maneras diferentes: (5 × 2) × 2 o 5 × (2 × 2).
Escriban la ecuación y complétenla. Usen paréntesis para mostrar cómo agruparon los factores.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto: 20.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Es posible que no sea necesario pedir a sus estudiantes que compartan sus ideas en parejas para todos los problemas de la secuencia.
Contar de siete en siete y de nueve en nueve con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de siete en siete y de nueve en nueve y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Vamos a contar de siete en siete con el método matemático. Cada dedo representa 7.
Pida a la clase que cuente de siete en siete desde el 0 hasta el 70 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Bajen las manos. Ahora, ustedes cuenten en voz alta mientras yo muestro el conteo con los dedos. ¿Comenzamos?
Guíe a la clase para que cuente de siete en siete en voz alta, hacia delante y hacia atrás, haciendo énfasis en contar desde el 35.
Ahora, contemos de nueve en nueve con el método matemático. Cada dedo representa 9.
Pida a la clase que cuente de nueve en nueve desde el 0 hasta el 90 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Presentar
Materiales: E) Crear problemas verbales, tijeras
La clase crea problemas verbales relacionando imágenes, expresiones y enunciados.
Pida a sus estudiantes que vayan a Crear problemas verbales en sus libros. Pídales que retiren la página y recorten las tarjetas, si es necesario. Luego, pídales que clasifiquen las tarjetas para crear tres problemas verbales, cada uno relacionado con una imagen y una expresión. Cuando hayan terminado, pídales que lean sus problemas verbales completos en parejas y que comprueben que las respuestas sean correctas.
Use preguntas como las siguientes para conversar sobre las características de los problemas verbales.
¿En qué se parecen todos los problemas verbales?
Cada uno de ellos tiene dos oraciones y una pregunta.
¿Qué leyeron en el problema de los cascos que les hizo pensar que se relaciona con la expresión de multiplicación?
Dice cuántas pilas hay y cuántos cascos hay en cada pila. Es como grupos iguales.
Pregunta cuántos cascos hay en total.
Las flores están dispuestas en macetas con 8 flores en cada una.
¿Qué leyeron en el problema de las macetas que les hizo pensar que se relaciona con una expresión de división?
La oración y la expresión tienen el número total de flores.
El número total de flores se colocan en macetas. El número de macetas es como el número de grupos.
¿Cómo supieron qué expresión de división se relaciona con el problema de los osos de peluche?
Un enunciado decía que los osos estaban divididos de manera uniforme en 7 estantes.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, escribirán sus propios problemas verbales de multiplicación y división.
Aprender
30
Escribir problemas verbales de multiplicación
La clase escribe problemas verbales de multiplicación que coincidan con una imagen y una expresión dadas.
Muestre la imagen de los grupos de abejas.
Invite a sus estudiantes a usar la rutina
Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que ven en la imagen. Preste atención a que mencionen frases que incluyan el total, el número de grupos o el tamaño de los grupos.
Veo 5 grupos de abejas.
Hay 3 abejas en cada grupo.
Veo 15 abejas en total.
Nota para la enseñanza
Considere pedir a la clase que consulte los problemas verbales completados como ejemplos mientras escriben sus propios problemas.
Registre las palabras y frases importantes en una lista que sus estudiantes puedan consultar al escribir sus propios problemas. Agregue palabras y expresiones a la lista durante toda la lección.
• grupos iguales, filas, columnas, en cada
• en partes iguales, dividido en
• separado, organizado, dispuesto
Muestre la expresión 5 × 3. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la expresión se relaciona con la imagen.
La información en la expresión nos ayuda a decidir qué información dar en un problema verbal.
Escribamos la primera parte de un problema verbal que coincida con lo que vemos en la imagen. ¿Qué representa el 5 en la expresión?
El número de grupos
Escribamos eso como la primera oración de nuestro problema verbal.
Escriba el siguiente enunciado: Hay 5 grupos de abejas.
¿Qué representa el 3?
El número de abejas en cada grupo
Escriba el siguiente enunciado: Hay 3 abejas en cada grupo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si hay algo más que sepan a partir de la imagen.
Sabemos el número total de abejas. Vemos que es 15, pero el 15 no está escrito en la expresión.
El número total de abejas es desconocido. No está incluido en la expresión. Esa es la información que se pedirá en la pregunta de nuestro problema verbal. ¿Cómo sería la pregunta?
¿Cuántas abejas hay en total?
Escriba la pregunta para completar el problema verbal. Lean el problema a coro.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el problema verbal se relaciona con la imagen y la expresión.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para ayudar a la clase a usar el vocabulario apropiado para los problemas verbales, considere proporcionar una secuencia de esquemas de oración como soporte.
Para problemas verbales de multiplicación:
Hay grupos.
Hay en cada grupo.
¿Cuántos hay en total?
Para problemas verbales de división:
Hay en total.
Hay en cada grupo.
¿Cuántos grupos de hay?
Hay en total.
Hay grupos.
¿Cuántos hay en cada grupo?
Muestre la imagen de los autos en el estacionamiento.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la expresión se relaciona con la imagen. Preste atención a que mencionen frases que incluyan el número de filas, el número en cada fila o el total.
Esta vez, ustedes escribirán su propio problema verbal. ¿Qué palabras podrían usar en su problema verbal?
Autos, estacionamiento, filas, lugares para estacionar, cuántos, cada, en total y total
Registre las respuestas para crear un banco de palabras que sus estudiantes puedan consultar mientras escriben sus propios problemas.
Usemos algunas de esas palabras para relacionar la imagen y la expresión. ¿Qué partes de la imagen son conocidas en la expresión?
Hay 4 filas de autos.
Hay 5 autos en cada fila.
¿Qué información desconocemos?
Cuántos autos hay en total
4 × 5
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema 1 en sus libros.
1. Usa la imagen para escribir un problema verbal que pueda representarse con la expresión 4 × 5.
Hay 4 filas de autos. Hay 5 autos en cada fila. ¿Cuántos autos hay en total?
Invite a cada pareja de estudiantes a que se reúna y converse con otra pareja acerca de los problemas verbales que escribieron. Anime a sus estudiantes a conversar sobre las semejanzas y diferencias entre sus problemas y sobre cómo se relacionan con la imagen y la expresión.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando crea contextos matemáticos que describen imágenes y expresiones dadas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿De qué manera sus problemas verbales representan la imagen?
• ¿Qué les dice la expresión sobre el número desconocido en sus problemas verbales?
Diferenciación: Desafío
Si una parte de su clase está lista para un desafío, considere proporcionar una expresión como 4 × 6 y pedir que creen un contexto y escriban el problema verbal correspondiente.
Escribir problemas verbales de división
La clase escribe problemas verbales de división que coincidan con una imagen y expresión dadas.
Muestre la imagen de los grupos de peces.
Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que ven en la imagen. Preste atención a que mencionen frases que incluyan el total, el número de grupos o el tamaño de los grupos.
Veo 4 peceras.
Hay 6 peces en cada pecera y 24 peces en total.
Muestre la expresión 24 ÷ 4. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde ven el 24 y dónde ven el 4 en la imagen.
¿En qué se diferencia esta expresión de las expresiones que representan las abejas y los autos?
Es una expresión de división.
Esta vez escribiremos un problema verbal de división. Comenzaremos con lo que sabemos.
Miren el primer número de la expresión y la imagen. ¿Qué información sabemos?
Hay 24 peces en total.
Registre una respuesta de sus estudiantes como la primera parte del problema verbal.
¿Qué más sabemos por la expresión y cómo se muestra eso en la imagen?
Los peces están divididos en 4 peceras.
DUA: Acción y expresión
Ayude a la clase a organizar sus problemas verbales usando preguntas similares cada vez como soporte para su razonamiento. Considere usar un organizador gráfico como el que se muestra en el ejemplo como apoyo visual. Muestra preguntas para hacer al escribir un problema verbal con una expresión dada.
24 ÷ 4
¿Qué sabemos?
¿Cómo pueden escribirlo en forma de enunciado?
El total es 24
Hay 24 peces en total
Problema:
Hay 24 peces en total
¿Qué más sabemos?
¿Cómo pueden escribirlo en forma de enunciado?
Hay 4 peceras
Los peces están divididos en 4 peceras.
¿Qué es lo desconocido? ¿Cómo pueden escribirlo en forma de pregunta?
El número de peces en cada pecera
¿Cuántos peces hay en cada pecera?
Los peces están divididos en 4 peceras.
¿Cuántos peces hay en cada pecera?
Registre una respuesta de sus estudiantes como la siguiente parte del problema verbal.
¿Qué no está escrito en la expresión, pero sí se muestra en la imagen?
Cuántos peces hay en cada pecera
¿Cómo podemos escribir eso en forma de una pregunta?
¿Cuántos peces hay en cada pecera?
Registre la pregunta para terminar el problema verbal. Lean el problema completo a coro.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué escribir un problema verbal de división fue diferente a escribir un problema verbal de multiplicación.
Muestre la imagen de las bolas de boliche.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar de qué manera la imagen muestra una división.
Hay 18 bolas de boliche.
Las bolas de boliche están divididas en 3 estantes.
Las bolas de boliche están divididas en grupos de 6.
Podemos pensar en esta división de diferentes maneras.
La expresión nos ayudará a decidir cómo escribir un problema verbal.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Invite a la clase a trabajar en parejas para escribir un problema verbal que coincida con el contexto de la imagen, en el que usen lo que se conoce en la expresión y pregunten por lo desconocido en la expresión.
2. Usa la imagen para escribir un problema verbal que pueda representarse con la expresión 18 ÷ 6
Hay 18 bolas de boliche. Están divididas en filas de 6.
¿Cuántas filas de bolas de boliche hay?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los problemas verbales que escribieron. Anime a sus estudiantes a conversar sobre las semejanzas y diferencias entre sus problemas y sobre cómo se relacionan con la imagen y la expresión.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Crear problemas verbales de multiplicación y división
Guíe una conversación sobre cómo escribieron sus estudiantes sus propios problemas verbales en el Grupo de problemas.
¿Cómo les ayudaron las imágenes y las expresiones del Grupo de problemas a crear sus problemas verbales?
La imagen me mostró de qué se trataría el problema.
La expresión me mostró si era un problema de multiplicación o de división.
La expresión me mostró lo que se conocía y me ayudó a decidir qué pregunta hacer sobre el número desconocido.
¿Cómo decidieron qué pregunta hacer en cada problema verbal?
Pensé en lo que no estaba escrito en la expresión.
Me aseguré de que la respuesta a mi pregunta fuera el número desconocido y coincidiera con lo que mostraba la imagen.
¿Cómo escribirían un problema verbal si se les diera solo una expresión, sin ninguna imagen?
Tendría que decidir de qué trataría el problema.
Sabría las cantidades por la expresión. Tendría que decidir qué representan las cantidades.
Preguntaría por el número desconocido de una manera que funcionara para mi expresión y mi contexto.
¿Cómo escribirían un problema verbal si se les diera solo una imagen, sin ninguna expresión?
Sabría las cantidades por la imagen.
Tendría que decidir si la imagen representa una multiplicación o una división.
Boleto de salida 5
min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
2. Escribe un problema verbal que pueda representarse con la expresión 4 × 9. Usa la imagen como ayuda.
1. Escribe un problema verbal que pueda representarse con la expresión 5 × 9. Usa la imagen como ayuda.
Ejemplo:
Hay 5 vasos. Cada vaso contiene 9 lápices de colores. ¿Cuántos lápices de colores hay en total?
Ejemplo:
Hay 4 filas de cartones de leche. En cada fila hay 9 cartones. ¿Cuántos cartones de leche hay en total?
3. Escribe un problema verbal que pueda representarse con la expresión 27 ÷ 9 Usa la imagen como ayuda.
Ejemplo:
Liz puso 27 libros en estantes. En cada estante hay 9 libros. ¿Cuántos estantes con libros hay?
4. Escribe un problema verbal que pueda representarse con la expresión 18 ÷ 2 Usa la imagen como ayuda.
Ejemplo: 18 sillas están dispuestas en 2 filas iguales. ¿Cuántas sillas hay en cada fila?
Resolver problemas verbales de dos pasos usando las cuatro operaciones y evaluar si las soluciones son razonables
Vistazo a la lección
La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe con flexibilidad para estimar la solución a un problema verbal de dos pasos. Después de resolver el problema, comparan su solución con la estimación para ver si es razonable.
El libro de Amy tiene 96 páginas.
Ya ha leído 42 páginas.
¿Cuántas noches le llevará a Amy terminar su libro si lee 9 páginas cada noche?
a. Haz un dibujo para representar el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido. p 42 . . . 96 9 n noches
b. Estima cuántas noches le llevará a Amy terminar su libro.
100 − 40 = 60
60 ÷ 10 = 6
A Amy le llevará aproximadamente 6 noches terminar su libro.
c. Resuelve el problema. Escribe ecuaciones y un enunciado con la solución.
96 − 42 = p p = 54
54 ÷ 9 = n n = 6
A Amy le llevará 6 noches terminar su libro.
d. ¿Cómo sabes que tu solución es razonable? Explica usando tu estimación de la parte (b).
Mi solución y mi estimación son iguales; entonces, mi solución es razonable.
Preguntas clave
• ¿Cómo nos ayudan las representaciones de problemas verbales a hacer una estimación?
• ¿Cómo pueden usar las estrategias que conocen para hacer una estimación?
• ¿Por qué hacer una estimación en un problema de dos pasos es diferente de hacer una estimación en un problema de un paso?
Criterio de logro académico
3.Mód3.CLA9 Resuelven problemas verbales de dos pasos. Representan estos problemas usando ecuaciones con una letra que representa el número desconocido. Evalúan si las soluciones son razonables. (3.OA.D.8)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Estimar y resolver un problema de dos pasos con multiplicación
• Estimar y resolver un problema de dos pasos con división
• Compartir, comparar y conectar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Propiedad asociativa
La clase usa paréntesis para hallar el producto de tres factores con el fin de adquirir fluidez en el uso de la propiedad asociativa del tema B.
Muestre 5 × 2 × 3 = .
Podemos usar paréntesis como ayuda para hallar el producto. ¿Dónde colocarían los paréntesis? Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas compartan sus ideas.
Alrededor del primer par de factores, 5 × 2
Alrededor del segundo par de factores, 2 × 3
Muestre los paréntesis de dos maneras diferentes: (5 × 2) × 3 o 5 × (2 × 3).
Escriban la ecuación y complétenla. Usen paréntesis para mostrar cómo agruparon los factores.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto: 30.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de siete en siete y de nueve en nueve con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de siete en siete y de nueve en nueve y practicar una estrategia de multiplicación.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Vamos a contar de siete en siete con el método matemático. Cada dedo representa 7.
Pida a la clase que cuente de siete en siete desde el 0 hasta el 70 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Bajen las manos. Ahora, ustedes cuenten en voz alta mientras yo muestro el conteo con los dedos. ¿Comenzamos?
Guíe a la clase para que cuente de siete en siete, hacia delante y hacia atrás, haciendo énfasis en contar desde el 35.
Ahora, contemos de nueve en nueve con el método matemático. Cada dedo representa 9.
Pida a la clase que cuente de nueve en nueve desde el 0 hasta el 90 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Presentar
La clase compara estrategias de redondeo para estimar productos.
Muestre los enunciados y las ecuaciones sobre los marcadores en la caja de materiales.
Se pidió a tres estudiantes que estimaran el número total de marcadores en la caja.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan sobre la estimación de cada estudiante.
Hay 9 paquetes de marcadores en la caja de materiales. Cada paquete contiene 8 marcadores.
Estudiante A: : 10 × 10 = 100
Estudiante B: : 10 × 8 = 80
Estudiante C: : 9 × 10 = 90
¿Cómo obtuvo la estudiante B su estimación?
Redondeó el número de paquetes a la decena más cercana.
¿Redondeó el número de marcadores?
No.
¿Por qué creen que redondeó el número de paquetes, pero no el de marcadores en cada paquete?
Tal vez quería acercarse más al número real. Si redondeara los dos números, la estimación probablemente estaría más lejos del número real, como le sucedió al estudiante A.
¿Por qué la estimación del estudiante A es mayor que la respuesta exacta?
Redondeó los dos números hacia arriba cuando redondeó a la decena más cercana. Los números redondeados son más grandes que los números reales.
¿Cómo obtuvo una respuesta la estudiante C?
Redondeó el número de marcadores en cada paquete a la decena más cercana.
¿Qué estudiante hizo la estimación más cercana a la respuesta exacta?
El estudiante B
¿Cada estudiante estimó de una manera que tiene sentido? ¿Cómo lo saben?
Sí. Cada estudiante redondeó a la decena más cercana. Tiene sentido porque los números reales están cerca de la decena más cercana.
Sí. A veces, solo necesitamos redondear uno de los números y, otras veces, redondeamos los dos.
Presente el trabajo del siguiente segmento para hacer una transición.
Hoy, estimaremos las respuestas a problemas verbales de dos pasos para evaluar si las respuestas exactas son razonables.
Aprender
Estimar y resolver un problema de dos pasos con multiplicación
La clase dibuja para representar un problema verbal de dos pasos, estima la solución, resuelve el problema y usa la estimación para evaluar si la respuesta es razonable.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lean el problema a coro.
1. Hay 9 paquetes de marcadores en la caja de materiales.
Cada paquete contiene 8 marcadores.
Después de que un grupo de estudiantes toma algunos marcadores, quedan 19.
¿Cuántos marcadores tomó el grupo de estudiantes?
a. Haz un dibujo para representar el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
DUA: Acción y expresión
Considere pedir a sus estudiantes que hagan una pausa y reflexionen mientras completan la representación en el problema 1, para recordarles que deben tomarse tiempo para planear una estrategia. Por ejemplo, antes de que la clase use una letra para representar el número desconocido en la primera parte del problema, haga una pausa y pregunte:
• ¿Sabemos cuántos marcadores hay en la caja de materiales?
• ¿Cómo podemos representar el número desconocido de marcadores en el dibujo?
• ¿Qué letra tiene más sentido que usemos? Después de que sus estudiantes hayan dibujado para representar la información restante, haga otra pausa y pregunte:
• ¿Cómo podemos representar los marcadores que tomó el grupo de estudiantes en el dibujo?
• ¿Qué letra tiene más sentido que usemos?
b. Estima el número de marcadores que tomó el grupo de estudiantes.
10 × 8 = 80
80 − 20 = 60
60 marcadores
c. Resuelve el problema usando ecuaciones y escribe un enunciado con la solución.
9 × 8 = 72
72 − 19 = 53
El grupo de estudiantes tomó 53 marcadores.
d. ¿Cómo sabes que tu solución es razonable? Explica.
Nuestra estimación era 60 y la respuesta exacta es 53. Sé que 53 está cerca de 60; entonces, mi respuesta es razonable.
Pida a sus estudiantes que hagan un dibujo para representar el problema y que usen letras para representar los dos números desconocidos.
Seleccione uno o dos dibujos de sus estudiantes para que los compartan. Comente brevemente los dibujos y el uso de las dos letras para representar los números desconocidos.
Dijimos que la estimación más cercana del número de marcadores en la caja era 80. En parejas, estimen el número de marcadores que tomó el grupo de estudiantes.
Invite a las parejas a compartir sus estimaciones. Pida a sus estudiantes que escriban sus estimaciones y resuelvan el problema en parejas. Dé tiempo para que las parejas trabajen. Mientras trabajan, recorra el salón de clases y proporcione apoyo según sea necesario. Considere hacer preguntas como las siguientes:
• ¿Qué número desconocido necesitan hallar primero?
• ¿Qué ecuación pueden escribir para representar este paso?
• ¿Qué estrategia pueden usar para hallar 9 × 8?
Invite a una o dos parejas de estudiantes a compartir sus soluciones y estrategias. A medida que cada pareja comparte su trabajo, haga preguntas para que expliquen su razonamiento y ofrezcan aclaraciones sobre la estrategia que usaron. Al terminar de compartir, pregunte a la clase si la solución es razonable. Pida a las parejas de trabajo que resuelvan el problema 1(d). Anímeles a que consulten sus estimaciones al explicar por qué la respuesta es o no razonable.
Nota para la enseñanza
Estimar la solución de un problema de dos pasos es complejo, especialmente cuando un paso involucra la división o la multiplicación y el otro, la suma o la resta.
Dibujar antes de estimar puede ayudar a sus estudiantes a ver cómo se relacionan las cantidades, algo que necesitan comprender para estimar la respuesta. Es posible que parte de la clase esté lista para estimar sin hacer un dibujo primero, y esto puede variar en diferentes tipos de problemas.
Anime a la clase a estimar antes de escribir ecuaciones y a enfocarse en las relaciones dadas entre las cantidades. Esto evita que hallen la respuesta exacta y la redondeen como su “estimación”.
DUA: Participación
Esta lección ofrece oportunidades para que sus estudiantes experimenten el esfuerzo productivo. Por ejemplo, es posible que primero escriban una sola ecuación cuando se necesitan dos para resolver el problema.
Considere facilitarles estrategias y destrezas para afrontar los problemas. Mientras trabajan, recuérdeles: “Cuando nos esforzamos o cometemos errores, estamos aprendiendo”. Comenten estrategias para manejar la frustración y perseverar practicando el diálogo interno con enunciados como “Puedo hacer esto”, eligiendo un enfoque diferente o haciendo una pregunta a otra persona en la clase o al maestro o la maestra para entender.
Estimar y resolver un problema de dos pasos con división
La clase dibuja para representar un problema verbal de dos pasos, estima la solución, resuelve el problema y usa la estimación para evaluar si la respuesta es razonable.
Pida a las parejas que vayan al problema 2. Lea el problema a coro con la clase.
2. David tenía $173 en el banco.
Ganó $9 cada semana y depositó ese dinero en el banco también.
Ahora, David tiene $218 en el banco.
¿Durante cuántas semanas ganó dinero David?
a. Haz un dibujo para representar el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
Vea ejemplos de trabajo de la clase.
b. Estima cuántas semanas ganó dinero David. Usa las preguntas como ayuda.
¿Aproximadamente cuánto dinero tenía David al principio?
¿Aproximadamente cuánto dinero tiene ahora?
¿Aproximadamente cuánto dinero ganó David en total?
c. Resuelve el problema usando ecuaciones y escribe un enunciado con la solución.
Vea ejemplos de trabajo de la clase.
David ganó dinero durante 5 semanas.
d. ¿Cómo sabes que tu solución es razonable? Explica.
Mi solución y mi estimación son iguales o cercanas; entonces, mi solución es razonable.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para resolver el problema 2 en sus libros. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de las parejas. Seleccione un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de las estrategias que las parejas usaron para estimar la solución.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) mientras estima y resuelve problemas verbales de dos pasos usando ecuaciones, letras para los números desconocidos y modelos pictóricos. Para hallar sus estimaciones, cada estudiante hace suposiciones que simplifican los cálculos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Cómo representaron las ideas clave del problema 2 en sus modelos? ¿Y en sus ecuaciones?
• ¿Cómo podrían simplificar los números del problema como ayuda para estimar la respuesta?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Mientras la clase avanza en la lección, pida que vuelvan a consultar la sección Decirlo otra vez de la Herramienta para la conversación. Esta herramienta puede guiarles para comprender la estimación y cómo resolver problemas de dos pasos.
Los ejemplos de trabajo de la clase demuestran diferentes formas de estimar.
Redondear y restar y, luego, dividir
Redondear y restar y, luego, estimar el factor desconocido
ganó
Nota para la enseñanza
Compartir, comparar y conectar
La clase compara las estimaciones y estrategias para hallar la solución que usaron en el problema 2 y razona acerca de sus conexiones.
Reúna a la clase y pida a dos o tres parejas que compartan sus soluciones, una pareja a la vez. Considere ordenar los trabajos compartidos que muestran las distintas estrategias para hallar la solución aplicando algún criterio que pueda resultar útil.
A medida que cada pareja comparte su trabajo, haga preguntas para que expliquen su razonamiento y ofrezcan aclaraciones sobre la estrategia que usaron. Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones entre las distintas estrategias para hallar la solución. Anime a la clase a que haga preguntas.
Los ejemplos de trabajo y razonamiento de cada estudiante muestran respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.
Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que mejor sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué creen que hizo?”.
Redondear y restar y, luego, dividir (método de Mía e Iván)
¿Cómo representaron el problema, Mía?
Dibujamos dos diagramas de cinta.
¿Cómo los ayudó su diagrama de cinta a estimar, Iván?
Nos ayudó a ver los pasos. Antes de hallar la cantidad de semanas que David había ganado dinero, tuvimos que hallar cuánto dinero había ganado.
¿Cómo estimaron la respuesta Mía e Iván?
Primero, estimaron la cantidad de dinero que había ganado David redondeando la cantidad con la que comenzó y la que tiene ahora a la decena más cercana y restando. Luego, estimaron cuántas semanas había ganado dinero dividiendo la cantidad de dinero ganada, $50, entre 10.
Mía e Iván, ¿por qué dividieron entre 10 para estimar?
No sabíamos cuánto es 50 ÷ 9, pero sabemos que 50 ÷ 10 = 5, entonces, redondeamos 9 a 10 para obtener un problema que conocemos.
¿Qué hicieron Mía e Iván para hallar la solución exacta?
Restaron los números exactos usando el algoritmo convencional y, luego, dividieron entre 9.
¿Es razonable la respuesta de Mía e Iván? ¿Cómo lo saben?
Sí, su respuesta es razonable. Su estimación y la respuesta exacta son iguales.
Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de la estrategia para hallar la solución que eligieron y la de Mía e Iván. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian? Invite a las parejas de estudiantes a compartir sus observaciones.
Nota para la enseñanza
Considere invitar a las parejas que trabajaron juntas en una estrategia a que compartan su razonamiento juntas. Cuando las parejas comparten, adquieren confianza y validan el razonamiento de cada estudiante. Haga preguntas específicas a cada estudiante para asegurarse de que cada integrante de la pareja puede explicar la estrategia usada.
Redondear y restar y, luego, estimar el factor desconocido (método de Carla y Shen)
¿Cómo representaron el problema, Shen?
Dibujamos un diagrama de cinta para representar las dos partes del problema. El diagrama de cinta entero representa la cantidad de dinero que David tiene ahora en el banco. El lado izquierdo del diagrama representa el dinero que tenía David y el lado derecho representa el dinero que ganó. No sabemos en cuántas semanas ganó el dinero.
¿Cómo los ayudó su diagrama de cinta a estimar, Carla?
Nos ayudó a ver que debíamos estimar cuánto había ganado antes de que pudiéramos estimar en cuántas semanas había ganado dinero.
¿Cómo estimaron la respuesta Carla y Shen?
220 - 170 = 50
¿Cuántos grupos de 9 es 50?
5 × 9 = 45
6 × 9 = 54 David ganó dinero durante 5 semanas.
Primero, estimaron la cantidad de dinero que había ganado David redondeando la cantidad con la que comenzó y la que tiene ahora a la decena más cercana y restando. David ganó aproximadamente $50 en 9 semanas, entonces, pensaron en aproximadamente cuántos grupos de 9 necesitarían para obtener 50.
Carla y Shen, ¿cómo los ayudó el factor desconocido?
No hay un número exacto de grupos de 9 que dé 50, pero sabemos que 5 × 9 = 45 y 6 × 9 = 54, entonces, la respuesta debe ser aproximadamente 5 o 6.
¿Qué hicieron Carla y Shen para hallar la solución exacta?
Usaron una recta numérica abierta para seguir sumando 9 y llegar de la cantidad de dinero con la que comenzó a la cantidad de dinero que tiene en el banco al final.
¿Es razonable la respuesta de Carla y Shen? ¿Cómo lo saben?
Sí, estimaron 5 o 6 y la respuesta exacta es 5.
Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de la estrategia de estimación que usaron y las que compartieron otras parejas. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian? Invite a las parejas de estudiantes a compartir sus observaciones.
Nota para la enseñanza
Es posible que sus estudiantes elijan usar la recta numérica abierta como herramienta de cálculo para multiplicar o dividir cuando lo que se conoce es el tamaño del grupo. La recta numérica abierta es tan eficiente como el conteo salteado para la multiplicación y puede usarse de varias maneras.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas verbales de dos pasos usando las cuatro operaciones y evaluar si las soluciones son razonables
¿Cómo nos ayudan las representaciones de problemas verbales a hacer una estimación?
Nos ayudan a pensar en el orden de los pasos.
Nos ayudan a ver los números dados y los números desconocidos, entonces, podemos pensar en cómo hallar una estimación.
¿Qué estrategias conocidas usaron para estimar? ¿Cómo les ayudaron?
Redondeamos a la decena más cercana. Para mí es más fácil trabajar con decenas que con otros números, entonces, pude hallar una estimación más rápidamente que una respuesta exacta.
Pensamos en la división como un factor desconocido. Si no me sé una operación de división, puedo pensar en operaciones de multiplicación con factor desconocido que son cercanas. Pueden ayudarme a estimar más rápido.
¿Por qué hacer una estimación en un problema de dos pasos es diferente de hacer una estimación en un problema de un paso?
Podemos usar las mismas estrategias, pero necesitamos pensar qué paso haremos primero.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Deepa compra 4 paquetes de platos para una fiesta. En cada paquete hay 9 platos.
Deepa y sus amigos usan 27 platos durante la fiesta.
¿Cuántos platos quedan?
a. Haz un dibujo para representar el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
9999 p 27 n
b. Estima cuántos platos quedan. Usa las preguntas como ayuda.
¿Aproximadamente cuántos platos compra Deepa?
4 × 10 = 40
¿Aproximadamente cuántos platos usan Deepa y sus amigos?
30
Entonces, ¿aproximadamente cuántos platos quedan?
40 − 30 = 10
c. Resuelve el problema. Escribe ecuaciones y un enunciado con la solución.
4 × 9 = p p = 36
36 − 27 = n n = 9
Quedan 9 platos.
d. ¿Cómo sabes que tu respuesta es razonable? Usa tu estimación de la parte (b) como ayuda para explicar.
Mi estimación es 10 y mi respuesta es 9 Mi respuesta es razonable porque 9 está cerca de 10
2. 120 estudiantes participan del día de actividades al aire libre.
48 estudiantes juegan lanzar bolsas de frijoles y el resto juegan kickball
Cada equipo de kickball está formado por 9 estudiantes. ¿Cuántos equipos de kickball hay?
a. Haz un dibujo para representar el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
120 48 j 9 k equipos
b. Estima cuántos equipos hay. Usa las preguntas como ayuda.
¿Aproximadamente qué número de estudiantes juega kickball?
120 − 50 = 70
¿Aproximadamente cuántos estudiantes forman cada equipo?
10
Entonces, ¿aproximadamente cuántos equipos hay?
70 ÷ 10 = 7
c. Resuelve el problema. Escribe ecuaciones y un enunciado con la solución.
120 − 48 = 72
72 ÷ 9 = 8
Hay 8 equipos de kickball
d. ¿Cómo sabes que tu respuesta es razonable? Usa tu estimación de la parte (b) como ayuda para explicar.
Mi estimación es 7 y mi respuesta es 8. Mi respuesta es razonable porque 8 está cerca de 7
3. El maestro López compra 9 paquetes de 4 marcadores. Coloca un mismo número de marcadores en cada mesa.
Hay 6 mesas.
¿Cuántos marcadores coloca el maestro López en cada mesa?
a. Haz un dibujo para representar el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
4 n 44444444
b. Estima.
10 × 4 = 40
40 ÷ 10 = 4
Hay aproximadamente 4 marcadores en cada mesa.
c. Resuelve el problema. Escribe ecuaciones y un enunciado con la solución.
9 × 4 = 36
36 ÷ 6 = 6
El maestro López coloca 6 marcadores en cada mesa.
d. ¿Cómo sabes que tu respuesta es razonable? Usa tu estimación de la parte (b) como ayuda para explicar.
Mi estimación es 4 y mi respuesta es 6. Mi respuesta es razonable porque 6 está cerca de 4
4. Ray tiene $48 en su cartera y $33 en su alcancía. Usa todo su dinero para comprar libros. Cada libro cuesta $9. ¿Cuántos libros compra Ray?
a. Haz un dibujo para representar el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
4833 $9 f libros
b. Estima.
50 + 30 = 80
80 ÷ 10 = 8
Ray compra aproximadamente 8 libros.
c. Resuelve el problema. Escribe ecuaciones y un enunciado con la solución.
48 + 33 = d d = 81
81 ÷ 9 = f f = 9
Ray compra 9 libros.
d. ¿Cómo sabes que tu respuesta es razonable? Usa tu estimación de la parte (b) como ayuda para explicar.
Mi estimación es 8 y mi respuesta es 9. Mi respuesta es razonable porque 9 está cerca de 8
EUREKA MATH2
EUREKA MATH
Tema D
Multiplicación con múltiplos de 10 y aplicación adicional de conceptos
En el tema D, la clase aplica su conocimiento acerca del valor posicional, la multiplicación con factores de un solo dígito y las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación para multiplicar con múltiplos de 10 y otros factores, como 11 y 12.
Sus estudiantes usan distintas estrategias para resolver problemas que involucran la multiplicación de un múltiplo de 10 por un factor de un solo dígito. Hacen conexiones entre multiplicar por unidades y multiplicar por decenas. Separan en partes el múltiplo de 10 y aplican la propiedad asociativa para formar operaciones y expresiones conocidas. Resuelven problemas verbales de dos pasos que requieren planear una estrategia para hallar la solución.
Las últimas tres lecciones proporcionan oportunidades enriquecedoras para que sus estudiantes muestren un crecimiento y amplíen su comprensión. Dos de las tres lecciones son lecciones opcionales que pueden usarse como ampliación. La primera lección opcional se enfoca en la multiplicación con unidades de 11 y 12. Sus estudiantes determinan de qué manera las estrategias que usaron a lo largo de los módulos 1 y 3 se pueden aplicar para multiplicar con unidades más grandes. Después de la primera lección opcional, vuelven a ver la colección de conteo de la lección 1. Cuentan la misma colección de objetos para mostrar cómo ha progresado su aplicación de los conceptos de la multiplicación, o cuentan una colección más compleja para mostrar la aplicación de estrategias avanzadas. La segunda lección opcional pone fin al módulo con una tarea de varias partes. Sus estudiantes resuelven una variedad de problemas dentro de un mismo contexto que requieren recopilar información de lugares diferentes al enunciado del problema (p. ej., una tabla, otro problema o la solución a un problema resuelto anteriormente).
En el módulo 4, aplican su comprensión de las matrices y la multiplicación para hallar el área de rectángulos.
Progresión de las lecciones
Lección 20
Multiplicar por múltiplos de 10 usando la tabla de valor posicional
Lección 21
Multiplicar por múltiplos de 10 usando estrategias de valor posicional y la propiedad asociativa
Lección 22
Resolver problemas verbales de dos pasos que involucran la multiplicación de factores de un solo dígito y múltiplos de 10
Para multiplicar por múltiplos de 10, pienso en el múltiplo de 10 en forma unitaria.
Para hallar 4 × 20, pienso en 20 como 2 decenas. Luego, uso una operación que ya me sé, 4 × 2, para hallar el resultado de 4 × 2 decenas.
Separar factores en partes y mover los paréntesis para agrupar los factores de una forma diferente puede ayudarme a hallar los productos de múltiplos de 10. Cambio los problemas con factores que no conozco bien por operaciones que me sé bien.
Cuando resuelvo problemas verbales de dos pasos, planeo qué paso resolver primero. Usar el proceso Lee-DibujaEscribe me ayuda a pensar en las partes conocidas y desconocidas del problema, cómo se relacionan las partes y qué ecuaciones escribir para resolver el problema.
Lección 23
Identificar patrones y aplicar estrategias para multiplicar con unidades de 11 y 12 (opcional)
12 × 8 = 96
( 2 × 6) × 8
2 × ( 6 × 8)
Contar salteado de once en once y de doce en doce me ayuda a ver patrones que puedo usar como estrategias para multiplicar con 11 y 12. Las estrategias de multiplicación que ya conozco pueden usarse para multiplicar con factores más grandes también.
Lección 24
Organizar, contar y representar una colección de objetos
La multiplicación es una forma eficiente de contar una colección de grupos iguales. Pienso en las unidades y las operaciones que ya me sé y organizo mi colección de modo que pueda usar esas operaciones para hallar el total.
Lección 25
Aplicar conceptos de multiplicación y división para completar una tarea de varias partes (opcional)
Barras
Yogur
Refrigerios de fruta
Cajas de jugo 10 4 12 8 A veces, la información que necesito para resolver un problema no se encuentra en el problema en sí. A veces, se encuentra en otro problema que ya resolví o en una tabla. Miro toda la información de la página como ayuda para comprender el problema antes de resolverlo.
Multiplicar por múltiplos de 10 usando la tabla de valor posicional
Completa las ecuaciones. Usa las tablas de valor posicional como ayuda.
1. DecenasUnidades
2. DecenasUnidades
6 × 5 unidades = 30 unidades
6 × 5 = 30
6 × 5 decenas = 30 decenas
6 × 50 = 300
3. Cada página del libro de pegatinas de la maestra Díaz contiene 40 pegatinas. ¿Cuántas pegatinas hay en 9 páginas?
9 × 4 decenas = 36 decenas
9 × 40 = 360
Hay 360 pegatinas en 9 páginas.
Vistazo a la lección
La clase usa discos de valor posicional y matrices en la tabla de valor posicional para multiplicar por múltiplos de 10. Aplican su comprensión del valor posicional para hallar el producto de un problema como 3 × 60 al pensarlo como 3 × 6 decenas.
Preguntas clave
• ¿Cómo les ayuda saberse las operaciones de las tablas de multiplicación a multiplicar por múltiplos de 10?
• ¿Cómo les ayuda el valor posicional a multiplicar decenas?
Criterio de logro académico
3.Mód3.CLA11 Multiplican números enteros de un dígito por múltiplos de 10 dentro del rango del 10 al 90 usando estrategias de valor posicional y las propiedades de las operaciones. (3.NBT.A.3)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Multiplicar decenas con discos de valor posicional
• Multiplicar decenas en la tabla de valor posicional
• Multiplicar decenas en forma unitaria
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• set de discos de valor posicional
Estudiantes
• set de discos de valor posicional
Preparación de la lección
Reúna al menos 18 discos de unidades y 18 discos de decenas por estudiante y maestra o maestro.
Fluidez
Contar de cuatro en cuatro y de ocho en ocho con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de cuatro en cuatro y de ocho en ocho y practicar una estrategia de multiplicación.
Vamos a contar de cuatro en cuatro con el método matemático. Cada dedo representa 4.
Mientras muestra el método matemático con los dedos, pida a la clase que cuente de cuatro en cuatro desde el 0 hasta el 40 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 4. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Continúe el proceso con la siguiente secuencia:
7 × 94 × 84 × 4
Ahora, contemos de ocho en ocho con el método matemático. Cada dedo representa 8.
Pida a la clase que cuente de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 y, luego, hacia atrás hasta el 0 con el método matemático.
Bajen las manos. Ahora, ustedes cuenten en voz alta mientras yo muestro el conteo con los dedos. ¿Comenzamos?
Guíe a la clase para que cuente de ocho en ocho, hacia delante y hacia atrás, haciendo énfasis en contar desde el 40.
A la una, a las dos, ¡a multiplicar!
La clase halla el producto y dice una ecuación de multiplicación o una ecuación de división relacionada para adquirir fluidez con la multiplicación y la división hasta el 100.
Juguemos A la una, a las dos, ¡a multiplicar! Hoy usaremos ambas manos.
Pida a la clase que trabaje en parejas y que cada estudiante se ponga de pie, frente a frente con su pareja.
Demuestre el procedimiento. Forme dos puños y sacúdalos tres veces al mismo tiempo que pronuncia cada parte: “A la una, a las dos, ¡a multiplicar!”.
Cuando diga “¡a multiplicar!”, abra uno o ambos puños y muestre un número cualquiera de dedos.
Dígales que cada estudiante debe copiar esos movimientos. Cuando digan “¡a multiplicar!”, cada estudiante mostrará un número cualquiera de dedos a su pareja. Considere hacer una ronda de práctica con la clase.
Haga las siguientes aclaraciones:
Estudiantes A y B: “24”
Estudiante A: “6 × 4 = 24”
Estudiante B: “24 ÷ 4 = 6”
• Para mostrar cero, cierren las manos cuando digan “¡a multiplicar!”.
• Intenten usar números diferentes en cada ronda para sorprender a su pareja.
Cada vez que las parejas muestran los dedos, cada integrante debe decir el producto. Luego, cada estudiante A debe decir la ecuación de multiplicación empezando por el número de dedos que muestra con sus propias manos, y cada estudiante B debe decir una ecuación de división relacionada. Consulte el ejemplo de diálogo que acompaña la fotografía. Cambie los roles después de cada ronda.
Recorra el salón de clases mientras se desarrolla el juego para asegurarse de que cada estudiante trabaje con distintos números.
Presentar
La clase usa una estrategia de conteo eficiente para hallar un total representado en una imagen.
Muestre la imagen de los grupos de dados.
Dé 1 minuto para que la clase halle el número total de puntos en la imagen. Si hay estudiantes que terminan antes, pídales que intenten con una estrategia diferente. Anime a la clase a agrupar de forma eficiente.
¿Cómo contaron los puntos?
Sé que 2 dados tienen un total de 10 puntos, entonces, conté de diez en diez hasta 90.
Conté las primeras dos columnas de dados y obtuve 30. Luego, seguí sumando grupos de 30 hasta 90.
Muestre la imagen de las pilas de monedas y diga a sus estudiantes que cada moneda tiene un valor de 10. Dé tiempo para que hallen el valor total de las monedas.
¿Cómo hallaron el valor de las monedas?
Conté 8 monedas en cada pila. Sumé 80 y 80 y obtuve 160. Hay 16 monedas. 16 decenas es 160.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos lo que sabemos sobre multiplicar unidades para multiplicar decenas.
Nota para la enseñanza
Es posible que la clase tenga una variedad de estrategias de conteo. Use esta primera actividad como una evaluación formativa. Las imágenes pasan intencionalmente de objetos agrupables a objetos agrupados. Considere pedir a sus estudiantes que registren su razonamiento en las pizarras blancas individuales. Recorra el salón de clases y supervise su trabajo. Preste atención a quienes usen decenas en su estrategia.
Aprender
Multiplicar decenas con discos de valor posicional
Materiales: M/E) Discos
La clase usa discos de valor posicional y la forma unitaria para relacionar la multiplicación de unidades con la multiplicación de decenas.
Pida a sus estudiantes que construyan una matriz con discos de valor posicional para mostrar 2 × 4 unidades. Luego, pídales que construyan una matriz para mostrar 2 × 4 decenas.
Considere usar una secuencia como la siguiente y pida a sus estudiantes que respondan a coro. Muestre las matrices de discos y registre las ecuaciones.
Respondan en forma unitaria. ¿Cuánto es 2 × 4 unidades?
8 unidades
Digan la ecuación de multiplicación en forma estándar.
2 × 4 = 8
Respondan en forma unitaria. ¿Cuánto es 2 × 4 decenas?
8 decenas
¿Cuánto es 2 × 40?
80
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parecen y en qué se diferencian la matriz de 2 × 4 unidades y la matriz de 2 × 4 decenas.
Las dos muestran 2 filas de 4, pero la unidad es diferente.
La primera matriz es de 8 unidades. La otra matriz es de 8 decenas.
Repita la secuencia con lo siguiente:
• 3 × 2 unidades y 3 × 2 decenas
• 2 × 6 unidades y 2 × 6 decenas
Diferenciación: Apoyo
Parte de la clase podría beneficiarse de usar modelos agrupables, proporcionales y concretos, como grupos de palitos, y un esquema de oración, tal como grupos de, durante la primera parte de la sección Aprender.
A medida que sus estudiantes muestren competencia con estos modelos, haga una transición a las representaciones más abstractas con ecuaciones y discos de valor posicional.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando usa modelos abstractos y concretos (ecuaciones y discos de valor posicional, respectivamente) para explorar cómo se relacionan la multiplicación con decenas y la multiplicación con unidades. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué les dicen sus matrices de discos de valor posicional sobre la multiplicación con decenas?
• ¿Cómo les ayudan las unidades de las expresiones a pensar en la multiplicación con decenas?
• ¿Cómo representan las expresiones las matrices de discos de valor posicional?
A medida que sus estudiantes avanzan con los problemas, haga preguntas para resaltar que la unidad es la única parte del producto que cambia.
Multiplicar decenas en la tabla de valor posicional
La clase usa la tabla de valor posicional y la forma unitaria para relacionar la multiplicación de unidades con la multiplicación de decenas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se verían las expresiones 2 × 3 unidades y 2 × 3 decenas en una tabla de valor posicional.
Representemos la multiplicación por múltiplos de diez en la tabla de valor posicional.
Forme parejas de estudiantes y designe a cada integrante de la pareja como estudiante A o estudiante B. Pida a las parejas que dibujen una tabla de valor posicional de dos columnas en sus pizarras blancas. Rotule las columnas como decenas y unidades.
Pida a cada estudiante A que dibuje 2 × 3 unidades a la vez que cada estudiante B dibuja 2 × 3 decenas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y asegúrese de que están dibujando una matriz de 2 × 3 en la columna de valor posicional apropiada.
Invite a la clase a escribir el producto de su matriz en forma unitaria y estándar. Luego, pida a cada pareja que compare sus matrices.
¿Cómo se relacionan su matriz y producto con el de su pareja?
Estudiante A
Decenas Unidades
Nota para la enseñanza
El énfasis en el valor posicional y en expresar cada producto en forma unitaria es esencial para continuar viendo las conexiones. Por ejemplo, con las operaciones 2 × 6 unidades y 2 × 6 decenas, sus estudiantes ven que la parte numérica de la expresión es la misma y lo que cambia es la unidad de valor posicional.
6 unidades
6
Estudiante B
DecenasUnidades
6 decenas
60
Es la misma matriz. Solo se encuentra en una columna de valor posicional diferente.
Las dos muestran que 2 filas de 3 forman 6, pero la unidad es diferente. Tengo 6 unidades y mi pareja tiene 6 decenas.
Nota para la enseñanza
Al multiplicar por 10, evite enseñar trucos como agregar un cero al producto. Esta idea errónea no favorece la comprensión profunda del valor posicional y no es sostenible en grados posteriores, cuando la clase multiplica números decimales por 10.
9 × 10 = 90
0.9 × 10 = 9
0.09 × 10 = 0.9
En la lección 21, la clase descubre que, cuando un número se multiplica por 10, se desplaza un lugar a la izquierda en la tabla de valor posicional. Esta comprensión se aplica a los números enteros y los números decimales.
Muestre la imagen de las tablas de valor posicional que muestran 8 unidades y 8 decenas.
Comparen las dos tablas. ¿Qué observan sobre el número de puntos?
Las dos tablas tienen una matriz de puntos que muestra 4 × 2.
Veo 8 puntos en las dos tablas de valor posicional.
Escriba 4 × 2 unidades.
Veo 4 filas de 2 unidades. ¿4 × 2 unidades es igual a cuántas unidades?
8 unidades
Escriba = 8 unidades.
Digan la ecuación en forma estándar.
4 × 2 = 8
Escriba 4 × 2 = 8. Luego, debajo de la ecuación, escriba 4 × 2 decenas.
DecenasUnidades
DUA: Acción y expresión
Considere apoyar a sus estudiantes para que expresen lo que aprendieron con flexibilidad. Siga proporcionando discos de valor posicional para que sus estudiantes representen el problema y hallen el producto.
DecenasUnidades
Veo 4 filas de 2 decenas. ¿4 × 2 decenas es igual a cuántas decenas?
8 decenas
Escriba = 8 decenas.
Digan la ecuación en forma estándar.
4 × 20 = 80
Escriba 4 × 20 = 80.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se usó el valor posicional para hallar 4 × 20.
4 filas de 20 es la misma matriz que 4 filas de 2, pero en la posición de las decenas; entonces, son 8 decenas.
Sé que 4 × 2 = 8; entonces, puedo pensar que 4 × 2 decenas = 8 decenas.
Escriba 2 × 5 unidades. Pida a sus estudiantes que dibujen una matriz en la tabla de valor posicional para representar la expresión.
¿2 × 5 unidades es igual a cuántas unidades?
10 unidades
Escriba = 10 unidades.
Escriban y digan la ecuación en forma estándar.
2 × 5 = 10
Escriba 2 × 5 decenas. Pida a sus estudiantes que dibujen una matriz en la tabla de valor posicional para representar la expresión.
¿2 × 5 decenas es igual a cuántas decenas?
10 decenas
Escriba = 10 decenas.
Escriban y digan la ecuación en forma estándar.
2 × 50 = 100
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la forma unitaria les ayudó a hallar 2 × 50.
Multiplicar decenas en forma unitaria
Decenas Unidades
Decenas Unidades
Nota para la enseñanza
Otra razón para evitar el atajo convencional de agregar un cero cuando se multiplica por un múltiplo de 10 es la confusión que puede ocurrir cuando un producto ya tiene un cero (p. ej., 2 × 50 y 4 × 50).
Con el fin de apoyar la comprensión conceptual, pida a sus estudiantes que usen la forma unitaria para aislar los dígitos y ver una operación de multiplicación conocida.
2 × 5 decenas = 10 decenas 10 decenas = 100
Apoyo para la comprensión del lenguaje
La clase usa la forma unitaria para multiplicar decenas y aplicar la propiedad conmutativa.
Escriba las siguientes ecuaciones.
3 × 4 decenas = decenas
3 × 40 =
Imaginen cómo se ven 3 × 4 decenas con discos de valor posicional. Describan la matriz. La matriz tiene 3 filas de 4 decenas.
Considere ayudar a sus estudiantes permitiéndoles que construyan la matriz con discos de valor posicional o que dibujen la matriz en una tabla de valor posicional.
¿Cuántas decenas hay en total? ¿Cómo lo saben?
Hay 12 decenas. Lo sé porque 3 × 4 = 12; entonces, 3 × 4 decenas = 12 decenas.
¿Cómo puede ayudarles eso a hallar 3 × 40?
40 es lo mismo que 4 decenas. Entonces, el producto es 120, lo mismo que 12 decenas.
Escriba 3 × 60 = .
¿Cómo nos ayuda la forma unitaria a hallar 3 × 60?
Podemos pensar en 3 × 60 como 3 × 6 decenas primero.
Puedo pensar la respuesta como 18 decenas. Sé que 18 decenas es 180.
Escriba 60 × 3 = .
¿Cómo se relaciona la expresión 60 × 3 con 3 × 60?
Son los mismos factores, solo que están ordenados de diferente manera.
¿Cómo pueden hallar 60 × 3?
Puedo pensar en 60 como 6 decenas y multiplicar por 3. Será la misma respuesta.
Podemos usar la conmutatividad. Así como sabemos que 3 × 6 = 6 × 3, sabemos que 3 × 60 = 60 × 3.
Considere pedir a sus estudiantes que usen la forma unitaria para hallar 6 × 70 y 80 × 6.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo las operaciones de multiplicación que saben pueden ayudarles a hallar operaciones de multiplicación con múltiplos de 10.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Desafío
Una vez que sus estudiantes demuestren comprensión del uso de la forma unitaria para multiplicar múltiplos de 10, considere desafiarles a que multipliquen múltiplos de 100.
Presente una serie de problemas.
Pregunte a sus estudiantes cómo pueden multiplicar múltiplos de 100 usando el mismo proceso que usaron para multiplicar múltiplos de 10. ¿Qué sería igual? ¿Qué cambiaría?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar por múltiplos de 10 usando la tabla de valor posicional
Guíe una conversación sobre las estrategias útiles para multiplicar decenas. Si fuera necesario, la clase puede consultar los ejemplos del Grupo de problemas para apoyar su razonamiento.
¿Cómo les ayuda saberse las operaciones de las tablas de multiplicación a multiplicar por múltiplos de 10?
Si pienso en un problema en forma unitaria, puedo usar una operación de multiplicación que ya sé con unidades para hallar el número de decenas.
La operación de multiplicación sigue siendo la misma. La unidad es diferente.
¿Cómo les ayuda el valor posicional a multiplicar decenas?
Puedo pensar en las unidades del problema primero y, luego, en las decenas. Solo la unidad de valor posicional es diferente.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos
de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Completa las ecuaciones. Usa los discos de valor posicional como ayuda.
=
Completa las ecuaciones. Usa las tablas de valor posicional como ayuda. 3. DecenasUnidades
DecenasUnidades
DecenasUnidades 4 × 5 unidades = 20 unidades
× 5 = 20
DecenasUnidades
× 5 decenas = 20 decenas
× 50 = 200 Multiplica.
3 × 2 unidades = 6 unidades
3 × 2 = 6 5. DecenasUnidades
17. Un autobús escolar puede transportar 60 estudiantes. ¿Qué cantidad de estudiantes pueden transportar 4 autobuses escolares?
4 autobuses escolares pueden transportar 240 estudiantes.
5 × 3 unidades = 15 unidades
5 × 3 = 15
Multiplicar por múltiplos de 10 usando estrategias de valor posicional y la propiedad asociativa
Vistazo a la lección
La clase multiplica por 10 usando la forma unitaria y la tabla de valor posicional como una estrategia para multiplicar múltiplos de 10. Multiplican decenas descomponiendo y aplicando la propiedad asociativa.
1. Coloca paréntesis en las ecuaciones para hallar la operación relacionada. Luego, completa la ecuación para hallar el producto.
4 × 20 = 4 × (2 × 10)
= (4 × 2) × 10
= 8 × 10 = 80
2. Ray halla el resultado de 8 × 30 pensando en cuántas decenas hay en 30. Explica la estrategia de Ray.
Ray piensa en 30 como 3 decenas porque, entonces, puede hallar 8 × 3 decenas, que es igual a 24 decenas. Entonces, 8 × 30 = 24 decenas u 8 × 30 = 240
Preguntas clave
• ¿Cómo nos ayuda agrupar los factores a multiplicar decenas?
• ¿Cómo nos ayuda el valor posicional a simplificar problemas?
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA7 Aplican la propiedad asociativa de la multiplicación. (3.OA.B.5)
3.Mód3.CLA11 Multiplican números enteros de un dígito por múltiplos de 10 dentro del rango del 10 al 90 usando estrategias de valor posicional y las propiedades de las operaciones. (3.NBT.A.3)
EUREKA
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Descomponer y multiplicar decenas en la tabla de valor posicional
• Multiplicar decenas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 4 (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 4
Materiales: E) Práctica veloz: Multiplicar por y dividir entre 4
Multiplicar por y dividir entre 4
La clase completa ecuaciones para adquirir fluidez con la multiplicación y la división con el 4.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Completa las ecuaciones.
1. 2 × 4 = 8
2. 8 ÷ 4 = 2
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. ¿Comenzamos?
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Cómo se relacionan los problemas 1 a 6?
• ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 18?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de ocho en ocho desde el 0 hasta el 80 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de cuatro en cuatro desde el 40 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase analiza expresiones y representaciones de valor posicional relacionadas.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen de los modelos y las expresiones de valor posicional e invite a la clase a estudiar cada recuadro.
Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca.
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría. Destaque las respuestas que enfaticen el razonamiento sobre el valor posicional o cómo se muestra 120 usando la conmutatividad.
Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, establecer conexiones y hacer sus propias preguntas.
¿Cuál no pertenece al grupo?
Decenas Unidades
Nota para la enseñanza
Considere la posibilidad de flexibilizar la estructura de la rutina desafiando a la clase a pensar por qué dos elementos pertenecen y dos no, o por qué todos los elementos pertenecen al grupo:
• 4 × 30 y la tabla de valor posicional con la matriz no pertenecen porque representan 4 filas de 30 y los otros dos recuadros representan 3 × 40.
• Todos pertenecen al grupo porque todos representan 12 decenas, o 120, solo que de diferentes maneras.
La imagen de los discos de valor posicional de decenas no pertenece al grupo porque es el único grupo que muestra discos de valor posicional.
4 × 30 no pertenece al grupo porque no veo un factor de 3. Los otros grupos muestran 3 de alguna manera: las columnas de una matriz, las filas de la otra matriz y en la expresión 3 × 4 decenas. 3 × 4 decenas no pertenece al grupo. Es el único que no muestra 4 grupos de 3 decenas. La tabla de valor posicional con la matriz no pertenece. Es la única opción sin dígitos.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, multiplicaremos decenas usando lo que sabemos sobre el valor posicional y la descomposición, o separación, de factores.
Aprender
Descomponer y multiplicar decenas en la tabla de valor posicional
La clase descompone decenas y multiplica en la tabla de valor posicional.
Escriba la expresión 3 × 60.
Veamos cómo podemos descomponer un factor para multiplicar y representar la multiplicación en la tabla de valor posicional de una forma nueva.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo descomponer 60 en dos factores. Destaque las respuestas que usen 10.
Escriba la expresión de tres factores 3 × (6 × 10).
Los paréntesis muestran cómo agrupamos los factores. ¿Esta agrupación es útil?
No, todavía es 3 × 60.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían agrupar los factores de una forma que sea útil.
Podríamos mover los paréntesis para agrupar 3 y 6.
Escriba (3 × 6) × 10.
Demuestre cómo representar (3 × 6) × 10 en la tabla de valor posicional y hallar el producto con la siguiente secuencia posible.
Representemos esta expresión en una tabla de valor posicional. ¿Qué nos dice esta expresión que debemos hallar primero?
3 × 6
Dibuje 3 filas de 6 unidades en la tabla de valor posicional.
¿Cuántas unidades hay?
18 unidades
DUA: Representación
Considere activar los conocimientos previos. Antes de comenzar con el primer ejemplo, ayude a sus estudiantes a que recuerden que los paréntesis agrupan partes de una expresión y que deben hallar los valores de las partes que se encuentran entre paréntesis primero. Explique que el orden se representará en una tabla de valor posicional en esta actividad.
Nota para la enseñanza
La actividad digital interactiva de Multiplicador de valor posicional ayuda a la clase a usar una tabla de valor posicional para multiplicar por diez.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere escribir las expresiones que coinciden con el trabajo en la tabla de valor posicional. Esto ayuda a sus estudiantes a interpretar los elementos visuales sin depender tanto de la explicación verbal.
¿Qué nos dice esta expresión que debemos hallar a continuación?
18 unidades × 10
Observen a medida que muestro la multiplicación por 10 en la tabla. Dibujo una flecha para mostrar que las 18 unidades se desplazan hacia la izquierda cuando multiplicamos por 10. Volveré a dibujar los puntos en la posición de las decenas.
Dibuje una flecha rotulada × 10 y vuelva a dibujar las 3 filas de 6 en la posición de las decenas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo esto representa × 10.
Ahora, la unidad es decenas. En vez de 18 unidades, tenemos 18 decenas.
¿Cuál es el valor de 18 decenas?
180
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la tabla de valor posicional representa (3 × 6) × 10 = 18 × 10 y el producto, 180.
Considere repetir el proceso con 4 × 40, pero, esta vez, pida a sus estudiantes que completen el trabajo en sus pizarras blancas individuales mientras usted representa. Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar 5 × 60.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando usa el valor posicional para multiplicar múltiplos de 10 de manera eficiente relacionando las operaciones nuevas con operaciones que ya conoce.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿De qué otra forma podrían escribir 3 × 60 para que les ayude a hallar el producto?
• ¿Pueden separar 3 × 60 en operaciones más sencillas?
• ¿Cómo se relacionan 3 × 60 y 3 × 6? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar 3 × 60 de forma más eficiente?
Multiplicar decenas
La clase multiplica decenas simplificando una expresión de tres factores relacionada.
Escriba 4 × 20.
Vamos a hallar 4 × 20 con expresiones.
Pida a sus estudiantes que escriban 4 × 20. Reescriba 4 × 20 como una expresión de tres factores descomponiendo el 20.
¿Cómo podemos agrupar los factores en una forma útil?
Podemos mover los paréntesis para agrupar 4 y 2.
¿Qué expresión de dos factores nueva se crea?
¿Cuál es el producto?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo agrupar factores de forma diferente simplificó 4 × 20 a 8 × 10.
Considere invitar a las parejas de estudiantes a hallar 2 × 90 y 3 × 70 escribiendo expresiones de tres factores, moviendo los paréntesis y simplificando los problemas.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la operación relacionada simplificó los problemas originales, 2 × 90 y 3 × 70.
Movimos los paréntesis para crear (2 × 9) × 10 y (3 × 7) × 10. Para mí, eso es más simple porque solo tengo que pensar en 18 decenas y 21 decenas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar por múltiplos de y la propiedad asociativa
Muestre la imagen del último ejemplo de trabajo del problema 5 en el Grupo de problemas.
Guíe una conversación sobre agrupar factores de forma diferente para simplificar la multiplicación de decenas.
En la última parte del problema 5 del Grupo de problemas, alguien agrupó 5 × 10 con paréntesis, pero, luego, no supo cómo seguir porque 2 × 50 todavía aparece en el problema.
¿Qué estrategia podría usar?
Podría mover los paréntesis para agrupar la operación sea más simple.
Al agrupar 2 × 5, puede pensar en 10 decenas para hallar el producto.
¿Cómo nos ayudaron el valor posicional y la agrupación de factores a simplificar problemas hoy?
Escribimos expresiones de tres factores y, luego, agrupamos los factores para mostrar operaciones que nos sabemos. Después, pensamos en cuántas decenas había.
¿Por qué esta estrategia es útil para hallar el valor de operaciones como 60 × 7?
Podemos usar operaciones que ya sabemos.
Podemos pensar primero en (10 × 6) × 7. Podemos agrupar 6 y 7. Sabemos que 6 × 7 = 42.
Luego, podemos pensar en 42 decenas.
¿Cómo funcionaría esta estrategia con 2 × 500?
Tal vez es el mismo proceso, excepto que la unidad son las centenas. Podemos pensar en 500 como 5 × 100. Luego, podemos agrupar 2 y 5. Eso es 10, y, luego, la unidad son las centenas.
Obtenemos 10 centenas, que es igual a 1,000.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
5. Coloca paréntesis y completa los espacios para hallar cada operación relacionada y el producto. Los dos primeros ya están empezados como ejemplo.
6. Iván halla el resultado de 40 × 3 pensando en cuántas decenas hay en 40. Explica la estrategia de Iván.
Iván piensa en 40 como 4 decenas porque, entonces, puede hallar 4 decenas × 3, que es igual a 12 decenas. Entonces, 40 × 3 = 12 decenas o 40 × 3 = 120.
Resolver problemas verbales de dos pasos que involucran la multiplicación de factores de un solo dígito y múltiplos de 10
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
Adam tiene 4 bolsas de canicas. Cada bolsa contiene 30 canicas verdes y 40 canicas amarillas.
¿Cuál es el número total de canicas en todas las bolsas? c
3040
30 + 40 = c
30 + 40 = 70 n
4 × 70 = n
4 × 70 = 280
El número total de canicas en todas las bolsas es 280
La clase selecciona estrategias para representar y resolver problemas verbales de dos pasos. Después de trabajar de forma independiente para resolver los problemas, sus estudiantes comparten sus trabajos, un paso a la vez. Antes de compartir cada paso, el resto de la clase tiene tiempo para predecir cuál podría ser el siguiente paso.
Preguntas clave
• ¿Cómo deciden qué modelo usar cuando resuelven un problema verbal de dos pasos?
• ¿Cómo les ayuda pensar acerca de la relación entre los números a resolver problemas verbales de dos pasos?
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA9 Resuelven problemas verbales de dos pasos. Representan estos problemas usando ecuaciones con una letra que representa el número desconocido. Evalúan si las soluciones son razonables. (3.OA.D.8)
3.Mód3.CLA11 Multiplican números enteros de un dígito por múltiplos de 10 dentro del rango del 10 al 90 usando estrategias de valor posicional y las propiedades de las operaciones. (3.NBT.A.3)
Agenda
Fluidez 5 min
Presentar 5 min
Aprender 40 min
• Resolver un problema de matriz de dos pasos
• Problema de matriz: Predecir el siguiente paso
• Resolver un problema de grupos iguales de dos pasos
• Problema de grupos iguales: Predecir el siguiente paso
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• notas adhesivas
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar hasta el 1,000
La clase suma o resta hasta el 1,000 para adquirir fluidez con las operaciones.
Muestre 426 + 251 = .
Completen la ecuación.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta: 677.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Antes de que comiencen a resolver, anime a sus estudiantes a pensar con flexibilidad sobre qué estrategia puede ser la más eficiente según los números presentes en un problema. En algunos casos, podrían elegir formar la siguiente centena o usar la compensación para resolver. En otros casos, puede ser más eficiente usar el algoritmo convencional.
Presentar
La clase identifica y corrige el error en una estrategia para hallar la solución para un problema verbal de dos pasos que muestra operaciones en un orden incorrecto.
Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y muestre el problema junto con el trabajo de Pablo.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error. Invite a la clase a compartir sus respuestas.
Pablo multiplicó 8 por 10, pero hay solo 3 cajas de marcadores, no 8 cajas.
La maestra Wong tiene 5 marcadores.
Compra 3 cajas de 10 marcadores.
¿Cuántos marcadores tiene ahora la maestra Wong?
Trabajo de Pablo
5 + 3 = 8
8 × 10 = 80
La maestra Wong tiene 80 marcadores
Pablo sumó los marcadores que la maestra Wong ya tiene al número de cajas antes de multiplicar por el número de marcadores en cada caja.
Dé a la clase 2 minutos para resolver el problema, usando su propia comprensión. Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.
Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca del orden en que se realizan las operaciones.
Primero, debemos multiplicar el número de cajas por el número de marcadores en cada caja para hallar el número total de marcadores en las cajas. Luego, podemos sumar el número total de marcadores en las cajas a los marcadores que ya tiene la maestra Wong.
Guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir sus soluciones con todo el grupo. Guíe a la clase para llegar a un acuerdo sobre cómo corregir la respuesta errónea.
Primero, Pablo debe hallar 3 × 10 = 30. Luego, puede hallar 30 + 5 = 35. La maestra Wong tiene 35 marcadores.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la importancia de pensar e imaginar la situación, lo que les ayudará a decidir el orden de los pasos cuando resuelven un problema de dos pasos.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, resolveremos problemas verbales de dos pasos.
DUA: Representación
Considere proporcionar la información en otro formato para brindar un punto de partida para el análisis del error. Pida a la clase que represente la situación del problema tal como está escrito:
• Invite a alguien a que sostenga 5 cubos en una mano para representar los marcadores sueltos y 3 barras de diez cubos en la otra mano para representar las 3 cajas.
• Luego, diga lo siguiente: “Pablo escribió 5 + 3 = 8. ¿Coincide esto con cómo representamos el problema? ¿En qué se equivocó Pablo?”.
Aprender
Resolver
40
un problema de matriz de dos pasos
La clase razona, representa y resuelve un problema verbal de dos pasos que involucra una matriz.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lea a coro el problema con la clase. Pídales que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe (LDE) para resolver el problema. Permítales elegir por su cuenta las estrategias para hallar la solución.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
1. Hay 8 filas de 10 cuadrados de alfombra en cada salón de clases. ¿Cuántos cuadrados de alfombra hay en 4 salones de clases?
Hay 320 cuadrados de alfombra en 4 salones de clases.
Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione dos o tres para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca del uso de diferentes modelos de multiplicación, como matrices, diagramas de cinta, rectas numéricas abiertas y tablas de valor posicional.
Los ejemplos de trabajo demuestran cómo representar la multiplicación con una matriz y la propiedad distributiva, y con la propiedad asociativa.
Nota para la enseñanza
Se encuentra disponible un video de contexto para este problema verbal. Este video puede servir para eliminar barreras culturales e incentivar la participación en clase. Antes de presentar el problema a la clase, considere mostrar el video y guiar una conversación acerca de lo que cada estudiante observa y se pregunta. Esta herramienta les ayuda a visualizar la situación antes de interpretarla de forma matemática.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando usa diagramas de cinta, tablas de valor posicional y otros modelos pictóricos para representar y entender problemas verbales. El proceso LDE ayuda a sus estudiantes a avanzar del problema concreto a su representación abstracta.
Haga las siguientes preguntas para desarrollar el estándar MP4:
• ¿Qué pueden dibujar para entender mejor el problema 1?
• ¿Qué ideas clave del problema 1 necesitan asegurarse de incluir en sus modelos?
Matriz y propiedad distributiva Propiedad asociativa
Nota para la enseñanza
Los ejemplos de trabajo y razonamiento de cada estudiante muestran respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.
Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que mejor sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.
Hay 320 cuadrados de alfombra ra en 4 salones de clases.
Problema de matriz: Predecir el siguiente paso
Materiales: M) Notas adhesivas
La clase comparte soluciones para el problema de la alfombra prediciendo el siguiente paso en el proceso de resolución.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar los trabajos compartidos por sus estudiantes de la estrategia más conocida, como dibujar una matriz, al modelo menos conocido, como usar la propiedad asociativa.
Nota para la enseñanza
Esta lección usa la rutina Predecir el siguiente paso en vez de la rutina Compartir, comparar y conectar para estructurar la conversación sobre las estrategias de sus estudiantes. El trabajo de un o una estudiante se revela paso a paso y el resto de la clase predice lo que se hizo a continuación. Predecir el enfoque de otra u otro estudiante hace que el resto de la clase piense en una estrategia para hallar la solución que podría ser diferente a la suya. Sus estudiantes trabajan con estrategias que tal vez no hayan considerado y que podrían usar para resolver problemas en el futuro.
A medida que cada estudiante comparte su trabajo, muestre las partes o los pasos, uno a la vez. Use notas adhesivas para cubrir los pasos tanto como sea posible hasta que se hayan hecho las predicciones y se hayan mostrado. Haga preguntas que animen a la clase a predecir una estrategia para hallar la solución que sea eficiente y explicar su razonamiento. Anime a la clase a que haga preguntas.
El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.
Matriz y propiedad distributiva (método de Gabe)
Gabe, ¿qué hiciste primero?
Dibujé una matriz para representar 1 salón de clases.
Muestre la matriz.
¿Qué creen que Gabe hizo después? ¿Por qué?
Creo que multiplicó 8 y 10 para hallar el número de cuadrados de alfombra en 1 salón de clases. Necesita saber cuántos cuadrados de alfombra hay en cada salón de clases antes de hallar el total para 4 salones de clases.
Muestre la ecuación. Permita que sus estudiantes confirmen sus predicciones.
Invite a sus estudiantes a que predigan el próximo paso.
Probablemente halló 4 × 80, porque hay 4 salones de clases.
Muestre el dibujo de los 4 salones de clases y las ecuaciones y permita que sus estudiantes confirmen sus predicciones.
Gabe, ¿cuál es tu respuesta a la pregunta del problema?
Hay 320 cuadrados de alfombra en 4 salones de clases.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de Gabe. Hay 320 cuadrados de alfombra ra en 4 salones de clases
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar más tiempo para pensar que lo habitual cuando invite a sus estudiantes a predecir una estrategia de sus pares. Esto les permite procesar las pistas visuales y verbales de lo que ya se ha hecho y prepararse para explicar lo que podría seguir luego.
Nota
para la enseñanza
Es posible que sus estudiantes predigan que el siguiente paso es hallar 3 × 80 en lugar de 4 × 80 debido a que se enfocan en los 3 salones de clases adicionales en vez de los 4 salones de clases en total. Si lo hacen, dé tiempo para que observen el trabajo de Gabe de modo que puedan identificar y explicar su estrategia.
Reconozca que hay una variedad de estrategias que se podrían usar y determine cómo proceder en la conversación según las estrategias que sus estudiantes prefieran.
Propiedad asociativa (método de Oka)
Oka, ¿qué hiciste primero?
Dibujé un diagrama de cinta para representar las 8 filas de diez cuadrados de alfombra.
Muestre el primer diagrama de cinta.
¿Qué creen que Oka hizo después? ¿Por qué?
Creo que multiplicó 8 y 10 para hallar el número de cuadrados de alfombra en cada salón de clases. Necesita saber cuántos cuadrados de alfombra hay en cada salón de clases antes de hallar el total para 4 salones de clases.
Muestre la ecuación y permita que sus estudiantes confirmen sus predicciones.
Oka, ¿qué hiciste después?
× 80 = 4 × (8 × 10)
(4 × 8) × 10
Hay 320 cuadrados de alfombra.
Dibujé un diagrama de cinta para representar los 80 cuadrados de alfombra en cada uno de los 4 salones de clases.
Muestre el siguiente diagrama de cinta. Luego, invite a sus estudiantes a que predigan el próximo paso.
Probablemente halló 4 × 80.
Muestre la multiplicación y permita que sus estudiantes confirmen sus predicciones.
Oka, ¿cuál es tu enunciado de la solución?
Hay 320 cuadrados de alfombra.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Oka y el de Gabe y entre el trabajo de Oka y sus trabajos.
Resolver un problema de grupos iguales
de dos pasos
La clase razona, representa y resuelve un problema verbal de dos pasos que involucra grupos iguales.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea el problema a coro con la clase. Pídales que usen el proceso LDE para resolver el problema. Permítales elegir por su cuenta las estrategias para hallar la solución.
Nota para la enseñanza
Considere pedir a la clase que mencione más de una predicción para algunos pasos con el fin de promover la flexibilidad. Recuerde, sin embargo, pedir predicciones adicionales independientemente de si la predicción inicial es correcta y procurar que avance la conversación. Si solo pide predicciones adicionales después de una respuesta incorrecta, esto se vuelve una pista para sus estudiantes de que se ha dado una respuesta incorrecta, en lugar de promover la flexibilidad. Destaque las predicciones razonables con enunciados o preguntas como:
• Podría haberlo hecho de esa manera, pero hizo una elección diferente esta vez.
• Si hubiera hecho esa elección, ¿qué creen que habría hecho luego de ese paso?
Anime a sus estudiantes a que respondan y reflexionen sobre las predicciones y las explicaciones de cada estudiante.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
2. James quiere comprar un kit de arte que cuesta $200. Ahorra $40 cada mes durante 3 meses.
¿Cuánto dinero más necesita ahorrar James para comprar el kit de arte?
James necesita ahorrar $80 más para comprar el kit de arte.
Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione dos o tres para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca del uso de diferentes modelos de multiplicación, como matrices, diagramas de cinta, rectas numéricas abiertas y tablas de valor posicional.
Los ejemplos de trabajo demuestran el uso de un diagrama de cinta y una recta numérica abierta para representar el problema.
Diagrama de cinta
Recta numérica abierta
James necesita ahorrar a $80 más s para comprar el kit de arte.
James necesita ahorrar $ a 80 más para comprar el kit de arte.
Problema de grupos iguales: Predecir el siguiente paso
Materiales: M) Notas adhesivas
La clase comparte soluciones para el problema 2 prediciendo el siguiente paso en el proceso de resolución.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar los trabajos compartidos del modelo más conocido, como el diagrama de cinta, a un modelo menos conocido, como la recta numérica abierta.
A medida que cada estudiante comparte su trabajo, muestre las partes o los pasos, uno a la vez. Use notas adhesivas para cubrir los pasos tanto como sea posible hasta que se hayan hecho las predicciones y se hayan mostrado. Haga preguntas que animen a la clase a predecir una estrategia eficiente para hallar la solución y explicar su razonamiento. Anime a la clase a que haga preguntas.
El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.
Diagrama de cinta (método de Luke)
Luke, ¿qué hiciste primero?
Dibujé un diagrama de cinta para representar los $40 que James ahorró cada mes y el dinero que todavía necesita para llegar a $200.
Muestre el diagrama de cinta.
¿Cómo representa el problema el diagrama de cinta de Luke?
La cinta entera muestra los $200 que James necesita para comprar el kit de arte. Hay 3 partes rotuladas 40, por cada mes que ahorra $40. Esas partes muestran la cantidad total que ahorró, rotulada d. Pero d no es dinero suficiente para comprar el kit de arte, entonces, la última parte está rotulada n para representar cuánto dinero más necesita.
¿Qué creen que Luke hizo después? ¿Por qué?
3 × 40 = d 3 × 40 = 120
Creo que halló cuánto dinero ya había ahorrado James. Tal vez multiplicó 3 y 40. James necesita ahorrar a $80 más s para comprar el kit de arte.
Muestre la multiplicación y permita que sus estudiantes confirmen sus predicciones. Luego, invite a sus estudiantes a que predigan el siguiente paso.
Luke sabe cuánto ahorró James. Ahora, necesita saber cuánto dinero más necesita James, entonces, probablemente halló 200 − 120.
Muestre la ecuación y el vínculo numérico.
¿Cómo halló Luke 200 − 120?
Usó un vínculo numérico para hacer un problema que podía restar mentalmente.
Luke, ¿cuál es tu solución al problema?
James necesita ahorrar $80 más para comprar el kit de arte.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de Luke.
Recta numérica abierta (método de Robin)
Robin, ¿qué hiciste primero?
Dibujé una recta numérica con saltos para el dinero que ahorró cada mes y el dinero que todavía necesita ahorrar para llegar a $200.
Muestre la recta numérica abierta.
¿Qué creen que Robin hizo después? ¿Por qué?
La recta numérica de Robin muestra que halló cuánto dinero ahorró James. Ahora, necesita hallar cuánto dinero más necesita James.
Muestre la multiplicación y permita que sus estudiantes confirmen sus predicciones.
Luego, invite a sus estudiantes a que predigan el siguiente paso.
Probablemente, halló 200 − 120 para averiguar cuánto dinero más necesita James. 200 - 120 = n 3 × 40 = d 3 × 40 = 120
James necesita ahorrar $ a 80 más para comprar el kit de arte
Muestre las ecuaciones y la segunda recta numérica abierta.
¿Cómo halló Robin 200 − 120?
Contó hacia arriba desde 120 hasta 200.
Robin, ¿cuál es tu solución al problema?
Necesita ahorrar $80 más para comprar el kit de arte.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Robin y el de Luke y entre el trabajo de Robin y sus trabajos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas verbales de dos pasos que involucran la multiplicación de factores de un solo dígito y múltiplos de 10
Guíe una conversación sobre las estrategias para resolver problemas de dos pasos.
¿Cómo deciden qué modelo usar cuando resuelven un problema verbal de dos pasos?
Quiero usar un modelo que me ayude a comprender qué está sucediendo en el problema. Si comienzo a dibujar un modelo y no tiene sentido, puedo cambiar a un modelo diferente.
¿Cómo les ayuda pensar acerca de la relación entre los números a resolver problemas verbales de dos pasos?
Me ayuda a mostrar lo que sé y lo que no sé en mi modelo. Tienes que pensar en qué está sucediendo en el problema. Luego, usas esa información para responder la pregunta.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
1. Hay 30 estudiantes en la clase de la maestra Wong. Cada estudiante lee 5 libros durante el mes de marzo.
a. ¿Cuál es el número total de libros que sus estudiantes leen en marzo?
30 × 5 = w
El número total de libros que leen sus estudiantes en marzo es 150
b. La clase del maestro López lee un total de 95 libros en marzo.
¿Cuántos libros más leyó la clase de la maestra Wong que la clase del maestro López?
150 − 95 = m
La clase de la maestra Wong leyó 55 libros más en marzo que la clase del maestro López.
2. Shen compra 8 hojas de sellos. Cada hoja de sellos tiene 20 sellos.
a. ¿Cuántos sellos compra Shen?
8 × 20 = p
Shen compra 160 sellos.
b. Shen ya tenía 182 sellos. ¿Cuántos sellos tiene Shen ahora?
160 + 182 = a
Shen tiene 342 sellos ahora.
Nombre
3. Hay 7 filas de 10 baldosas en cada salón de clases. ¿Cuál es el número total de baldosas que hay en 6 salones de clases?
7 × 10 = r
6 × 70 = f
El número total de baldosas que hay en 6 salones de clases es 420
5. Jayla recicla 48 latas y 32 botellas. Obtiene 5 centavos por cada lata o botella que recicla.
¿Cuál es el número total de centavos que Jayla obtiene por reciclar sus latas y botellas?
48 + 32 = r
80 × 5 = c
El número total de centavos que Jayla obtiene por reciclar sus latas y botellas es 400
4. Hay 60 minutos en 1 hora. La clase está en la escuela durante 6 horas y 45 minutos.
¿Cuál es el número total de minutos que la clase está en la escuela?
6 × 60 = m
360 + 45 = n
El número total de minutos que la clase está en la escuela es 405
EUREKA
1. 9 × 12 = 108
Ejemplo:
Identificar patrones y aplicar estrategias para multiplicar con unidades de 11 y 12 (opcional)
Vistazo a la lección
La clase cuenta salteado de once en once para reconocer patrones en los múltiplos de 11. Analizan un patrón visual que cuenta salteado de doce en doce para reconocer patrones en los múltiplos de 12 hasta 4 × 12 y, luego, usan estrategias de multiplicación para hallar productos más grandes.
Preguntas clave
• ¿Cómo se pueden usar las estrategias de multiplicación de números de un dígito con números de dos dígitos?
• ¿Cómo nos ayudan las estrategias de multiplicación a explicar patrones en los múltiplos de 11 y 12?
2. 11 × 7 =
Ejemplo:
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA5 Aplican la propiedad distributiva para multiplicar. (3.OA.B.5)
3.Mód3.CLA7 Aplican la propiedad asociativa de la multiplicación. (3.OA.B.5)
3.Mód3.CLA10 Identifican y extienden patrones aritméticos y los explican mediante las propiedades de las operaciones. (3.OA.D.9)
Halla cada producto. Muestra tu trabajo.
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Contar doces
• Diferentes estrategias para multiplicar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta
La clase escribe y completa una ecuación para representar un diagrama de cinta como preparación para resolver problemas verbales en la lección 25.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el diagrama de cinta.
¿Qué se muestra en el diagrama de cinta? Díganselo a su pareja de trabajo.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
El total es desconocido. Las partes son 55 y 44.
Escriban una ecuación para representar el diagrama de cinta.
Muestre la ecuación de ejemplo: 55 + 44 = a.
Escriban el valor de a.
Muestre la respuesta: 99 = a.
5544 a 55 + 44 = a 99 = a
Nota para la enseñanza
Valide todas las ecuaciones correctas que no se hayan mostrado en la imagen.
Puede haber estudiantes que hayan escrito el total y las partes en un orden diferente. Por ejemplo, a = 44 + 55 puede usarse para representar el primer diagrama de cinta en la secuencia.
5544 a
En algunos casos, pueden haber elegido escribir una ecuación de suma o resta. Por ejemplo, 88 − c = 77 o c + 77 = 88 podrían usarse para representar el tercer diagrama de cinta en la secuencia. c 77 88
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de decena en decena y de dos en dos con el método matemático
La clase usa el método matemático para hallar el producto cuando un factor es 10 o 2 con el fin de adquirir fluidez con la multiplicación hasta el 100 y prepararse para multiplicar con unidades de 11 y 12.
Vamos a contar de decena en decena con el método matemático. Cada dedo representa 10.
Mientras muestra el método matemático con los dedos, pida a la clase que cuente de decena en decena desde el 0 hasta el 100 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 10. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 8 × 109 × 107 × 10
Ahora, contemos de dos en dos con el método matemático. Cada dedo representa 2.
Mientras muestra el método matemático con los dedos, pida a la clase que cuente de dos en dos desde el 0 hasta el 20 con el método matemático y, luego, hacia atrás hasta el 0.
Muéstrenme cómo pueden usar el método matemático para hallar 6 × 2. ¿Comenzamos?
(Dé la señal para que respondan).
Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 7 × 29 × 28 × 2
Presentar
10
La clase cuenta de once en once a coro y observa los patrones.
Reúna a la clase e invite a sus estudiantes a contar de once en once desde el 11 hasta el 99, a coro. Pídales que cuenten lentamente y al mismo tiempo. Si fuera necesario, dé unos segundos de tiempo para pensar en silencio antes de pedir el siguiente número en la secuencia.
A medida que sus estudiantes cuentan, registre la cuenta en dos columnas, desde el 11 hasta el 55 y desde el 66 hasta el 99. Deje un espacio considerable entre los números para registrar los patrones y las conexiones que sus estudiantes observen. Registre el conteo a coro con un color y considere usar distintos colores para destacar los patrones que observen sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere registrar el conteo a coro de una manera diferente para ayudar a sus estudiantes a razonar de forma flexible sobre los patrones repetitivos.
A medida que sus estudiantes cuentan, predicen y explican los patrones que observan, haga énfasis en el patrón que les ayude a multiplicar por 11 (es decir, sumar 10 y sumar 1).
Considere hacer una pausa en el conteo a coro después del 55 y, otra vez, después del 99 y hacer las siguientes preguntas que invitan a hacer observaciones:
• ¿Qué patrones observan con los dígitos en la posición de las decenas? ¿Y en la posición de las unidades?
• ¿Continuará el patrón? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué número será el siguiente? ¿Cómo lo saben?
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo el conteo salteado de once en once se relaciona con la multiplicación.
Contar salteado de once en once me muestra los múltiplos de 11. Puedo contar salteado como ayuda para multiplicar.
Los números en el conteo salteado son los productos: 1 × 11, 2 × 11 y así sucesivamente hasta 10 × 11.
Registre las ecuaciones de multiplicación correspondientes para los primeros cinco múltiplos.
¿Qué observan?
El factor por el que se multiplica el 11 es el dígito que se repite en el producto.
¿Por qué número multiplicaríamos 11 para obtener 66? ¿Cómo lo sabemos?
Multiplicaríamos por 6. Cuando contamos 6 onces, obtuvimos 66.
Sigue el patrón de las otras ecuaciones de multiplicación.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los patrones que ven en el conteo salteado.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, multiplicaremos con unidades de 11 y 12 y hallaremos patrones que nos ayuden.
Nota para la enseñanza
Considere registrar la multiplicación de 11 y 8 para ayudar a sus estudiantes a reconocer que al multiplicar un número por 11 se obtiene el mismo resultado que al multiplicar un número por 10 y sumar 1 unidad más de ese número.
11 × 8 = (10 × 8) + (1 × 8) = 80 + 8 = 88
El uso del valor posicional tiene un papel importante para ver al 11 como 10 y 1 más. La aplicación de la estrategia de separar y distribuir es fundamental para multiplicar usando productos parciales en 4.° grado.
Diferenciación: Apoyo
Considere mostrar una tabla de cien para ayudar a sus estudiantes a contar de once en once. Pida a la clase que sume 10 y, luego, sume 1 y resalte el múltiplo de 11. Después del 99, pida a sus estudiantes que determinen cuál es el siguiente múltiplo de 11 y expliquen cómo lo saben. Invite a sus estudiantes a que compartan las características del patrón que observan.
12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940 41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
91929394959697989910 0
Aprender
Contar doces
La clase observa las características de un patrón visual del conteo salteado de doce en doce.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 a 4 en sus libros. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que ven en el patrón.
Usa las imágenes como ayuda para completar la tabla.
Número de piezas triangulares pequeñas
Descripción del patrón
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a sus estudiantes que determinen qué número dirían si contaran de 11 en 11 diez veces. Pídales que escriban una ecuación para describir el conteo.
Anime a sus estudiantes a que determinen el número que dirían si contaran de 11 en 11 doce o quince veces.
Número de piezas triangulares pequeñas
Descripción del patrón
¿Qué observan sobre cada figura y el patrón?
Cada figura está formada por 12 piezas triangulares.
Cada vez se suman 12 piezas más.
El patrón es un aumento de 12.
¿Cuántas piezas triangulares pequeñas hay en el problema 1?
12 piezas
¿Cuántas hay en el problema 2? ¿Cómo lo saben?
La segunda imagen tiene 24 piezas. Sé que 2 doces es 24.
Veo 2 seises en cada figura. 4 seises es 24.
Invite a las parejas de estudiantes a completar la segunda columna de la tabla y registrar el número de piezas triangulares pequeñas en cada nuevo paso del patrón.
Escriba los primeros cuatro múltiplos de 12 en forma vertical. Use preguntas similares a las que usó con los onces y registre las observaciones de sus estudiantes acerca del patrón.
¿Qué observan sobre los dígitos en la posición de las decenas?
¿Qué observan sobre los dígitos en la posición de las unidades?
¿Por qué creen que se suman 10 y 2 cada vez?
Cada vez, sumamos 12, que es 1 decena y 2 unidades. Entonces, el número de decenas aumenta en 1 y el número de unidades aumenta en 2.
Pida a las parejas que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para determinar una ecuación de multiplicación que podría representar el número de piezas triangulares en el problema 1.
1 × 12 = 12
¿Cómo se relaciona la ecuación con la imagen?
La imagen muestra 1 grupo de 12 triángulos.
Invite a las parejas de estudiantes a que completen los enunciados de multiplicación y las ecuaciones en la tercera columna de la tabla.
¿Qué expresión de multiplicación podríamos usar para hallar el número de piezas triangulares si continuáramos el patrón y sumáramos 1 grupo más de 12?
5 × 12
¿Cuánto es 5 × 12? ¿Cómo lo saben?
5 × 12 = 60, porque 48 + 12 = 60.
¿El patrón de números en la posición de las decenas y en la posición de las unidades se mantuvo? Expliquen.
No, parece que no, porque cuando hallamos 8 + 2 en la posición de las unidades, eso forma otra decena.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las maneras en que podrían hallar cuántas piezas triangulares habría si continuara el patrón de sumar 12 cada vez.
DUA: Representación
Considere presentar la información en otro formato. Para ayudar a sus estudiantes a ver la suma repetida de decenas y unidades, muestre una matriz con filas de 12. Incluya un espacio después de las primeras 10 columnas y resalte las últimas dos columnas con otro color para destacar los grupos de decenas y unidades.
Diferentes estrategias para multiplicar
La clase selecciona por su cuenta estrategias para hallar 12 × 8 de tres maneras diferentes.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 5. Forme parejas de estudiantes y pídales que muestren tres maneras de hallar 12 × 8.
5. Muestra tres maneras de hallar 12 × 8.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y anímeles a aplicar cualquiera de las estrategias de multiplicación que aprendieron anteriormente con preguntas como las siguientes:
• ¿Cómo se vería esto en una matriz? ¿Cómo podrían contar eficientemente los objetos en la matriz?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando selecciona y aplica estrategias usadas en las lecciones anteriores para hallar 12 × 8
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué tipo de imagen sería útil?
• ¿Qué estrategias han usado en otras operaciones que podrían ayudarles a resolver esta operación?
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a sus estudiantes que determinen si los múltiplos de 12 siempre son pares. Anímeles a explicar su razonamiento.
• ¿Cómo podrían usar un diagrama de cinta para representar el problema?
• ¿Cómo se relaciona la multiplicación con la suma repetida? ¿Cómo pudieron hallar eficientemente el total?
• ¿Cómo les ayuda saber que 12 es la misma cantidad que 10 + 2?
• ¿Pueden separar uno de los factores en partes para simplificar la multiplicación? ¿Cómo?
Seleccione dos o tres estudiantes para que compartan su trabajo. Busque ejemplos de trabajo que usen estrategias eficientes que relacionen la suma y la multiplicación, y ejemplos que usen estrategias de simplificación. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de cómo aplicar las propiedades de la multiplicación con un factor de dos dígitos.
Los ejemplos de trabajos que se muestran exponen varias estrategias posibles.
Propiedad distributiva pictórica
Propiedad conmutativa
?
+ 16 = 96
Propiedad asociativa
Reúna a la clase y pida a dos o tres estudiantes que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar los trabajos compartidos empezando por los modelos visuales hasta llegar al trabajo con ecuaciones abstractas, o emparejar un modelo visual con ecuaciones relacionadas. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, considere hacer preguntas para establecer conexiones entre las diferentes estrategias. Anime a la clase a que haga preguntas.
Propiedad distributiva pictórica (método de Mía)
Mía, ¿por qué dividiste tu matriz de esta manera?
Podía contar rápidamente 10 ochos y 2 ochos.
¿Cómo vemos 10 ochos y 2 ochos en 12 × 8?
12 × 8 es 12 ochos, y 12 ochos es igual a 10 ochos y 2 ochos.
Propiedad distributiva (método de Zara)
Zara, ¿cómo muestra tu razonamiento el vínculo numérico?
El vínculo numérico muestra que pensé en 12 como 10 + 2 y en 12 ochos como 10 ochos y 2 ochos.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian los métodos de Zara y Mía?
Las dos separaron 12 en 10 y 2 y distribuyeron el 8.
Zara escribió dos nuevas ecuaciones de multiplicación, 10 × 8 y 2 × 8.
Propiedad conmutativa (método de Gabe)
Gabe, ¿por qué la propiedad conmutativa hizo que tu trabajo fuera eficiente?
En vez de sumar 12 ochos, solo tuve que sumar 8 doces.
¿Cómo sumó Gabe de manera eficiente?
Usó números repetidos. Duplicó el 12, luego, el 24, y, luego, el 48.
+ 16 = 96 12 × 8 = 96
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Anime a sus estudiantes a que usen esquemas de oraciones para explicar en qué se parecen y en qué se diferencian las dos estrategias.
Las estrategias se parecen porque .
Las estrategias son diferentes porque .
Considere mostrar palabras específicas para que sus estudiantes usen en su razonamiento: unidades, grupos, dividir, separar, distribuido y eficiente.
?
× 8 = 8 × 12
Propiedad asociativa (método de Iván)
Iván, ¿cómo hallaste 12 × 8?
Pensé en 12 como 2 × 6. Luego, agrupé 6 y 8 porque sé que 6 × 8 = 48.
Luego, sumé 48 y 48.
¿Cómo usó Iván factores conocidos para hallar una operación de la tabla del ocho que ya sabía?
En lugar de hallar 12 ochos, halló 6 ochos y, luego, lo duplicó.
¿En qué otras estrategias podemos ver 6 ochos duplicados?
Mía podría dividir su matriz por la mitad para formar 2 grupos de 6 ochos.
Al final del trabajo de Gabe, suma 2 grupos de 48. Eso es como (6 × 8) + (6 × 8).
12 × 8 = 96 ( 2 × 6) × 8
( 6 × 8)
DUA: Acción y expresión
Considere reservar tiempo para que sus estudiantes reflexionen sobre su experiencia general multiplicando con unidades de 11 y 12.
• ¿Qué estrategias me resultan útiles?
• ¿Cómo estoy mejorando como estudiante de matemáticas?
• ¿Qué me resulta confuso todavía? ¿Qué puedo hacer para ayudarme?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre las estrategias compartidas y las que usaron.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si las estrategias de multiplicación usadas con las unidades de 12 podrían funcionar también con las unidades de 11 y cómo funcionarían.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar patrones y aplicar estrategias para multiplicar con unidades de 11 y 12
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la multiplicación con unidades de 11 y 12.
¿Pueden usarse las estrategias de multiplicación de números de un dígito con números de dos dígitos? ¿Cómo?
Sí. El número de dos dígitos se puede sumar repetidamente.
Sí. Un número de dos dígitos se puede separar y distribuir, o simplificar en dos factores.
¿Qué patrones hay en los múltiplos de 11?
Los dígitos en los múltiplos de 11 son el otro factor, del 1 al 9. Por ejemplo, 11 × 6 = 66.
Sumar 10 y 1 cada vez hace que el número de decenas y unidades aumente en 1, excepto cuando las unidades forman una decena.
¿Qué patrones hay en los múltiplos de 12?
Sumar 1 decena y 2 unidades, por lo general, hace que el dígito de las decenas aumente en uno y el dígito de las unidades aumente en dos, excepto cuando las unidades forman una decena.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Cuenta salteado de 12 en 12. Completa los espacios como ayuda.
1. Cuenta salteado de 11 en 11 0 , 11 , 22 33 ,
Halla el valor de cada número desconocido.
2.
6. 11 × 8 = a
8. Ray sabe que 9 × 11 = 99. Usa 99 para hallar 10 × 11
a. Completa los espacios para mostrar la estrategia de Ray.
¿Cómo les ayuda sumar 10 y 2 más a contar salteado de 12 en 12? No puedo sumar 12 mentalmente con facilidad, pero puedo sumar 10 y 2 más mentalmente.
Sumar 10 y 2 más es como sumar 12
b. Completa la ecuación de multiplicación.
Halla el valor de cada número desconocido.
11. 3 × 12 = c c = 36
13. w = 12 × 8 w = 96
60 = n × 12 n = 5
y × 9 = 108 y = 12
15. Liz dibuja un diagrama de cinta para representar 12 × 7. Completa los espacios para hallar el total.
12 sietes = 10 sietes + 2 sietes = 70 + 14 = 84
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
16. 7 equipos de futbol tienen 11 integrantes cada uno. ¿Cuál es el número de integrantes de los equipos?
7 × 11 = 77
Hay 77 integrantes.
17. ¿Cuántos huevos hay en 6 docenas?
6 × 12 = 72 Hay 72 huevos en 6 docenas.
EUREKA MATH2
EUREKA MATH
Organizar, contar y representar una colección de objetos
1. ¿Qué estrategias nuevas usaste para contar?
Ejemplo:
Organicé mis objetos en grupos más grandes.
2. ¿De qué manera la estrategia que usaste para contar hoy es más eficiente que la estrategia que usaste para contar la última vez?
Ejemplo:
La estrategia que usé para contar hoy fue más eficiente que la estrategia que usé para contar la última vez porque combinar objetos para hacer grupos más grandes implica contar menos veces para hallar el total.
Vistazo a la lección
Esta lección es una oportunidad para que sus estudiantes muestren su progreso en la aplicación de los conceptos de multiplicación. Organizan, cuentan y representan objetos en una colección de conteo similar a la de la lección 1. Registran su trabajo, analizan el trabajo de sus pares y comentan las estrategias eficientes con toda la clase.
En esta lección, no se incluye Grupo de problemas.
Preguntas clave
• ¿Cómo les ayuda saber la cantidad en cada paquete a decidir de qué forma contar?
• ¿De qué manera puede ser útil la multiplicación cuando cuentan?
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA5 Aplican la propiedad distributiva para multiplicar. (3.OA.B.5)
3.Mód3.CLA7 Aplican la propiedad asociativa de la multiplicación. (3.OA.B.5)
3.Mód3.CLA8 Multiplican y dividen hasta el 100 con fluidez, recordando de memoria todos los productos de dos números de un dígito. (3.OA.C.7)
Nombre
Agenda
Fluidez 5 min
Presentar 5 min
Aprender 40 min
• Organizar, contar y registrar
• Compartir, comparar y conectar
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Colecciones de conteo para multiplicación (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Colecciones de conteo para multiplicación (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• herramientas de organización
• tijeras (1 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
• Elija una colección de conteo por pareja de estudiantes. Considere si desea preparar las colecciones con antelación o pedir a sus estudiantes que retiren las páginas y las recorten durante la lección.
• Muestre las herramientas que sus estudiantes pueden usar como ayuda para organizar los conteos. Las herramientas pueden incluir sobres, tazas o vasos, bolsitas, bandas elásticas y papel cuadriculado.
• Si guardó el trabajo de sus estudiantes, o imágenes del trabajo, de la lección 1 del módulo 3, reúna esos ejemplos de trabajo.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar y restar hasta el 1,000
La clase suma o resta hasta el 1,000 para adquirir fluidez con las operaciones.
Muestre 198 + 635 = .
Completen la ecuación.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta: 833.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Sus estudiantes eligen una expresión para representar un problema de multiplicación con un factor más grande que 10 y hallar el producto.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lea las instrucciones a coro con la clase. Luego, dé tiempo para que trabajen. A medida que sus estudiantes trabajan, recorra el salón de clases y observe qué estudiantes eligen cada expresión.
1. Completa los espacios de modo que cada expresión sea igual a 6 × 12. Luego, elige una expresión y úsala para hallar 6 × 12.
6 × 12
6 × ( 10 + 2)
6 × 12 = 6 × (10 + 2)
= (6 × 10) + (6 × 2)
= 60 + 12 = 72
6 × (5 + 7 )
6 × 12 = 6 × (5 + 7)
= (6 × 5) + (6 × 7) = 30 + 42 = 72
6 × (6 + 6 )
6 × 12 = 6 × (6 + 6)
= (6 × 6) + (6 × 6) = 36 + 36 = 72
6 × (5 + 5 + 2)
6 × 12 = 6 × (5 + 5 + 2)
= (6 × 5) + (6 × 5) + (6 × 2)
= 30 + 30 + 12 = 72
Invite a sus estudiantes, uno o una por expresión, para que compartan su solución y expliquen cómo ven la expresión en la imagen. Busque trabajos que destaquen que hay muchas maneras de usar la propiedad distributiva y, especialmente, trabajos que usen estrategias de este módulo para hallar los productos individuales en los pasos intermedios.
Resuma la conversación con la conclusión de que podemos representar la misma colección y hallar productos de muchas maneras.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, trabajarán en parejas para organizar, contar y representar una colección de forma eficiente.
Aprender
Organizar, contar y registrar
Materiales: E) Colecciones de conteo para multiplicación, herramientas de organización, tijeras
Cada estudiante elige estrategias para organizar y contar objetos y registra las estrategias para hallar el total.
Forme parejas de estudiantes y asigne una de las Colecciones de conteo para multiplicación a cada pareja. Pida a sus estudiantes que busquen la página de registro en sus libros. Oriente brevemente a la clase sobre los materiales y el procedimiento para la actividad de colección de conteo.
La colección que contarán se muestra en las imágenes de su página de colección.
Trabajarán en parejas para decidir cómo contar su colección. Cada quien registrará su estrategia de conteo. Tal vez se les pida que compartan su trabajo con la clase.
Invite a las parejas de estudiantes a trabajar en conjunto para estimar cuántos objetos hay en su colección. Pídales que registren las estimaciones en sus libros. Es posible que las parejas consideren cantidades demasiado grandes o demasiado pequeñas como para ayudarles a hacer una estimación razonable.
Anime a las parejas a conversar acerca de cómo organizarán su colección antes de comenzar a contar. 40
Nota para la enseñanza
Las colecciones para esta lección incluyen todas las colecciones de la lección 1 del módulo 3 y una colección nueva con combinaciones de factores más grandes.
Considere formar las mismas parejas de estudiantes que en la lección 1, especialmente, si guardó su trabajo, para que puedan comparar las estrategias.
El propósito de esta lección es proporcionar una oportunidad para que sus estudiantes muestren su progreso en el conteo. ¿Cuentan la colección y registran su razonamiento de la misma manera que al principio del módulo 3? ¿O están aplicando las estrategias y destrezas del módulo 3?
Mientras las parejas cuentan su colección, recorra el salón de clases y observe de qué manera se conducen en los siguientes puntos:
• Organización: Las estrategias pueden incluir separar las imágenes contadas y no contadas, alinear los objetos a medida que se cuentan, componer unidades que son más fáciles de contar salteado combinando objetos para formar una nueva unidad, crear grupos de 5 o de 10, formar matrices o agrupar por unidades semejantes.
• Conteo: Es posible que sus estudiantes sumen repetidamente para hallar el total, cuenten salteado, multipliquen usando las propiedades de las operaciones o usen una combinación de estas estrategias para hallar el total.
• Registro: Los registros pueden incluir modelos, como matrices, grupos iguales, rectas numéricas y diagramas de cinta; dibujos intuitivos; números; expresiones; ecuaciones y explicaciones escritas.
Recorra el salón de clases y use preguntas y planteamientos para evaluar e incentivar el razonamiento matemático:
• Muestren y expliquen lo que hicieron.
• ¿Cómo pueden organizar su colección para que sea más fácil de contar?
• ¿Por qué la manera de organizar su colección hace que sea más fácil de contar?
• ¿Cómo pueden usar los factores que ya conocen como ayuda para hallar el total?
• ¿Qué tan cerca estuvo su estimación del conteo real?
• ¿De qué forma podrían contar para que les resulte un desafío?
Seleccione dos o tres parejas de estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Los ejemplos muestran tipos de estrategias que podrían usarse para contar cada colección.
Cuando las parejas compartan, muestre sus trabajos junto con la colección de conteo para que la clase pueda ver la representación escrita que corresponde a cada colección de conteo. Después de la lección, reúna representaciones escritas para repasar como evaluación informal.
DUA: Participación
Considere despertar el interés de sus estudiantes usando objetos del salón de clases agrupados previamente para que los cuenten. Podrían ser cajas de marcadores, bolsitas resellables con cubos, hojas de pegatinas y cadenas de clips. Los objetos de los grupos deben poder contarse estando agrupados, o tener un rótulo con la cantidad. Sus estudiantes no deberían separar los grupos para contar los objetos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando considera y selecciona una estrategia de conteo que le sea útil para contar la colección eficientemente.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué tipos de estrategias de conteo serían útiles?
• ¿Podrían usar unidades más conocidas en su estrategia como ayuda para contar con eficiencia?
• ¿Por qué eligieron usar las unidades que usaron? ¿Les funcionó?
Colección 3
4
Colección 7 24 Eva
Para esta colección de conteo, mi pareja es .
Estamos contando .
Estimamos que hay aproximadamente .
Así es como organizamos y contamos la colección:
Nota para la enseñanza
Considere estas opciones para que las colecciones de sus estudiantes sean visibles para compartir:
• Pida a la clase que se reúna alrededor de la colección, como si fuera un paseo por la galería.
• Tome una fotografía del trabajo y proyéctela.
• Use una cámara de documentos portátil para proyectar el trabajo.
• Traslade con cuidado el tapete de conteo hacia un área central.
Nota para la enseñanza
Considere dar tiempo a los grupos de parejas que trabajaron con la misma colección de conteo para que comparen informalmente las estrategias antes de la conversación de toda la clase.
Contamos en total.
Una ecuación que describe cómo hallamos el total es:
DUA: Acción y expresión
Reflexión
Escribe algo que les haya funcionado bien cuando trabajaron en pareja. Explica por qué funcionó.
Teníamos unidades de 8, 9 y 12; entonces, hallamos el total para cada unidad y, luego, los sumamos.
Escribe acerca de un desafío que hayan encontrado. ¿Cómo lo superaron?
Intentamos juntar las unidades de 8 y 9 porque había 7 de cada una. Pero eso no nos ayudó porque nos dio 17, que sería difícil de multiplicar. Decidimos mantener las unidades más pequeñas.
Compartir, comparar y conectar
La clase comenta estrategias de organización y multiplicación para hallar el total.
Reúna a la clase para ver y comentar los ejemplos de trabajo seleccionados. Invite a cada pareja a que comparta sus registros junto con su colección o una fotografía de ella. Destaque sus estrategias de organización, como organizar en grupos de una unidad en particular y organizar para usar las propiedades de la multiplicación.
Después de que cada pareja comparta su trabajo, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de preguntas como las siguientes:
• ¿En qué se parecen o en qué se diferencian esta estrategia de conteo y este dibujo y la estrategia y el dibujo que usaron ustedes?
• ¿De qué otra manera se puede contar para hallar el total?
• ¿Qué otras relaciones hay en este trabajo?
Considere reservar tiempo para llevar a cabo una conversación de toda la clase después de que las parejas hayan tenido tiempo de completar las preguntas para reflexionar. El desarrollo de estrategias metacognitivas puede ayudarles a comprender de qué forma aprenden mejor y a evaluar su propio progreso.
Considere pedir a sus estudiantes que comparen su reflexión de la lección 1 con la reflexión de esta lección e invitar a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo progresaron como estudiantes.
Nota para la enseñanza
Los ejemplos de trabajo y razonamiento de cada estudiante muestran respuestas típicas. Busque trabajos similares en la clase que indiquen un progreso en el razonamiento de sus estudiantes. Haga énfasis en cómo sus estudiantes muestran que aplican las estrategias y los factores que aprendieron en el módulo 3. Apoyo para la comprensión del lenguaje
Mientras sus estudiantes reflexionan sobre el trabajo del resto de la clase, considere pedirles que usen la sección Decirlo otra vez de la Herramienta para la conversación con el fin de parafrasear la estrategia de conteo compartida y compararla con su trabajo.
El siguiente diálogo muestra un ejemplo de conversación:
Propiedad asociativa (método de David y Oka)
Dirija la atención de la clase a un ejemplo en el que la pareja haya formado grupos iguales y usado la propiedad asociativa para hallar el total.
¿Cómo les ayudó su organización a hallar el total?
Juntamos 2 paquetes pequeños de crayones para formar 8, como las cajas de crayones, así formamos 10 ochos y 10 ochos, o 2 grupos de 10 ochos.
¿Cómo les ayudó pensar de esa manera a usar su expresión para hallar el total?
Separamos en partes el factor más grande y usamos paréntesis para cambiar la forma en que agrupamos los factores para hallar el total.
Propiedad distributiva, 9 = 10 − 1 (método de Amy y Pablo)
Dirija la atención de la clase a una pareja que haya formado grupos iguales y usado la propiedad distributiva con 9 = 10 − 1 para hallar el total.
¿Cómo les ayudó su organización a hallar el total?
Separamos los paquetes en 15 decenas y 13 nueves. Luego, hallamos 15 decenas y 13 nueves y sumamos.
¿De qué forma usaron las decenas como ayuda para pensar en los nueves?
Sabemos que 10 − 1 = 9, entonces, hallamos 13 decenas y, luego, quitamos 13. Tuvimos que quitar 1 de cada 10 para obtener 9.
Hallar unidades semejantes (método de Robin y Luke)
Dirija la atención de la clase a una pareja que haya clasificado su colección en unidades semejantes para hallar el total.
¿Cómo les ayudó su organización a hallar el total?
Separamos los paquetes por unidades. Luego, hallamos el total para cada unidad y sumamos los totales.
¿Podrían haber combinado paquetes para formar otras unidades?
Podríamos haber formado 20 juntando un paquete de 12 y un paquete de 8, pero nos hubieran sobrado algunos ochos. Juntar los ochos y nueves no forma unidades que nos sean más fáciles de usar.
Descomponer para formar un factor conocido (método de Eva y Shen)
Dirija la atención de la clase a una pareja que haya descompuesto para formar un factor conocido para hallar el total.
¿Cómo les ayudó su organización a hallar el total?
Hallamos 8 sietes y 6 seises. Luego, pensamos en cada doce como 2 seises porque sabemos las operaciones de la tabla del seis, pero no las de la tabla del doce.
¿Qué problemas enfrentaron cuando organizaron su colección? ¿Cómo los superaron?
Intentamos combinar los 6 seises y los 8 seises, pero obtuvimos 14 seises. No sabemos cuánto son tantos seises, entonces, decidimos mantenerlos separados.
Si hay tiempo suficiente, invite a más estudiantes a que compartan su proceso de conteo.
Si guardó el trabajo de sus estudiantes de la lección 1, considere proporcionarles ese trabajo para que puedan ver cómo mejoraron sus estrategias. Invite a las parejas de estudiantes a que conversen y compartan las semejanzas y diferencias que ven en sus trabajos y a que reflexionen sobre el progreso en su aprendizaje. Destaque trabajos que muestren progreso en la representación y en la eficiencia.
siguiente diálogo representa un ejemplo de conversación:
Comparar contar salteado y la suma repetida con componer para formar unidades semejantes (métodos de Liz y Adam)
Describan la colección que contaron hoy. ¿Contaron la misma colección en la lección 1?
Sí, tuvimos la misma colección. Contamos paquetes de 2, 4 y 6 barras de pegamento.
Describan la estrategia que usaron en la lección 1.
Contamos salteado para llegar al número total de barras de pegamento en los paquetes de 2 y 4.
Sumamos para hallar cuántas barras de pegamento había en los paquetes de 6. Luego, sumamos los totales de cada tamaño de paquete.
¿En qué se parece eso a la estrategia que usaron hoy? ¿En qué se diferencia?
Hoy, combinamos paquetes de 2 con paquetes de 4 para formar 8 seises. Los paquetes grandes ya eran seises. Sabíamos que 10 seises es 60, y hallamos 8 × 6 = 48. Luego, los sumamos para obtener el total.
¿Es más eficiente la estrategia que usaron hoy? ¿Por qué?
Sí, fue mucho más eficiente combinar paquetes y formar grupos más grandes. Aunque tuvimos que resolver 8 × 6, fue más rápido que las sumas que hicimos en la lección 1.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Organizar, contar y representar una colección de objetos
Guíe una conversación mientras muestra un ejemplo del trabajo de sus estudiantes de la sección Compartir, comparar y conectar.
¿Cómo les ayudaron los paquetes de objetos a organizar su colección?
Los paquetes ya son grupos iguales. Simplemente organizamos los grupos iguales para que contarlos fuera más fácil.
¿Qué vieron que quisieran intentar la próxima vez que contemos colecciones? ¿Por qué quieren intentarlo?
Me gustaría intentar pensar en las decenas, porque puedo calcular con decenas mentalmente.
¿Cómo les ayuda multiplicar a contar de forma más eficiente?
Cuando hay muchos casos de la misma unidad, la multiplicación es más rápida que contar o sumar. 10
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Colección 1
Colección 2
Colección 3
Colección 4
2
Colección 5
Colección 6: Colección mixta
Colección 7: Colección mixta
Aplicar conceptos de multiplicación y división para completar una tarea de varias partes (opcional)
Vistazo a la lección
Gabe compra artículos de oficina. La tabla muestra el costo de cada artículo.
Artículo Costo
Lápices (Paquete de 15) $3
Bolígrafos (Paquete de 20) $4
Caja de grapas
Caja de clips
Grapadora
1. Gabe compra 8 paquetes de bolígrafos.
a. ¿Cuál es el costo total de los bolígrafos?
8 × 4 = c
8 × 4 = 32
$5
$6
$7
El costo total de los bolígrafos es $32
b. ¿Cuántos bolígrafos compra Gabe?
Gabe compra 160 bolígrafos.
8 × 20 = g
8 × 20 = 160
2. Gabe necesita 50 lápices. Compra 3 paquetes de lápices.
¿Compró suficientes lápices? ¿Cómo lo sabes?
3 × 15 = n
15 + 15 + 15 = 45
No, Gabe no compró suficientes lápices. La tabla me dice que hay 15 lápices en cada paquete, y Gabe compró 3 paquetes, que son 45 lápices. Necesita 50 lápices.
Sus estudiantes determinan si tienen suficiente información para resolver un problema dado. Para resolver el problema, hallan la información esencial en una tabla, en otro texto asociado al problema o en la solución de otro problema.
Preguntas clave
• ¿Cuándo podría ser necesario buscar información adicional para resolver un problema?
• ¿En qué es importante pensar cuando se busca información adicional para resolver un problema?
Criterios de logro académico
3.Mód3.CLA3 Resuelven problemas verbales de un paso que involucran la multiplicación y la división hasta el 100 usando una letra para el número desconocido. (3.OA.A.3)
3.Mód3.CLA9 Resuelven problemas verbales de dos pasos. Representan estos problemas usando ecuaciones con una letra que representa el número desconocido. Evalúan si las soluciones son razonables. (3.OA.D.8)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Resolver un problema usando información de una tabla
• Aplicar estrategias para resolver problemas de varios pasos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
A la una, a las dos, ¡a multiplicar!
La clase halla el producto y dice una ecuación de multiplicación o una ecuación de división relacionada para adquirir fluidez con la multiplicación y la división hasta el 100.
Juguemos A la una, a las dos, ¡a multiplicar! Hoy usaremos ambas manos.
Pida a la clase que trabaje en parejas y que cada estudiante se ponga de pie, frente a frente con su pareja.
Demuestre el procedimiento. Forme dos puños y sacúdalos tres veces al mismo tiempo que pronuncia cada parte: “A la una, a las dos, ¡a multiplicar!”. Cuando diga “¡a multiplicar!”, abra uno o ambos puños y muestre un número cualquiera de dedos.
Dígales que cada estudiante debe copiar esos movimientos. Cuando digan “¡a multiplicar!”, cada estudiante mostrará a su pareja un número cualquiera de dedos. Considere hacer una ronda de práctica con la clase.
Haga las siguientes aclaraciones:
Estudiantes A y B: “24”
Estudiante A: “6 × 4 = 24”
Estudiante B: “24 ÷ 4 = 6”
• Para mostrar cero, cierren las manos cuando digan “¡a multiplicar!”.
• Intenten usar números diferentes en cada ronda para sorprender a su pareja.
Cada vez que las parejas muestran los dedos, cada integrante debe decir el producto. Luego, cada estudiante A debe decir la ecuación de multiplicación empezando por el número de dedos que muestra con sus propias manos, y cada estudiante B debe decir una ecuación de división relacionada. Consulte el ejemplo de diálogo que acompaña la fotografía. Cambie los roles después de cada ronda.
Recorra el salón de clases mientras se desarrolla el juego para asegurarse de que cada estudiante trabaje con distintos números.
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta
La clase escribe y completa una ecuación para representar un diagrama de cinta como preparación para resolver problemas verbales.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el diagrama de cinta.
¿Qué se muestra en el diagrama de cinta? Díganselo a su pareja de trabajo.
El total es desconocido. Hay 4 grupos de 6.
Como hay grupos iguales, podemos decir que el producto es desconocido.
Escriban una ecuación para representar el diagrama de cinta.
Muestre la ecuación de ejemplo: 4 × 6 = w.
Escriban el valor de w.
Muestre la respuesta: 24 = w.
6666 w
4 × 6 = w
24 = w
Nota para la enseñanza
Valide todas las ecuaciones correctas que no se hayan mostrado en las imágenes.
Puede haber estudiantes que escriban el producto y los factores en un orden diferente. Por ejemplo, w = 6 × 4 puede usarse para representar el primer diagrama de cinta de la secuencia.
6666 w
En algunos casos, alguien puede elegir escribir una ecuación de multiplicación o división. Por ejemplo, h × 5 = 30 o 30 ÷ 5 = h puede usarse para representar el primer diagrama de cinta de la secuencia.
30 . . . 5 h gr upos
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase examina un ejemplo de trabajo para determinar que parte de la información que se necesita para resolver el problema no está dada en el problema verbal.
Muestre el problema y léalo a coro con la clase.
Díganme qué observan.
El problema trata sobre comprar 4 paquetes de cajas de jugo.
El número desconocido es el número total de cajas de jugo.
No sabemos cuántas cajas de jugo hay en cada paquete. 5
Liz compra 4 paquetes de cajas de jugo.
¿Cuántas cajas de jugo compra en total?
Muestre el problema con el ejemplo de trabajo.
Díganme qué observan.
Cada parte del diagrama de cinta es 8.
Multiplicó 4 por 8 para hallar que el número total de cajas de jugo es 32.
¿Qué se preguntan?
Me pregunto si hay 8 cajas de jugo en cada paquete.
¿Dónde encontró la información sobre el número de cajas de jugo en cada paquete?
¿Por qué el problema no dice cuántas cajas de jugo hay en cada paquete?
Liz compra 4 paquetes de cajas de jugo.
¿Cuántas cajas de jugo compra en total?
Liz compra 32 cajas de jugo en total. ?
× 8 = 32
Muestre la tabla junto con el problema y el ejemplo de trabajo.
Artículo
Barras de granola
Número en cada paquete
Liz compra 4 paquetes de cajas de jugo. ¿Cuántas cajas de jugo compra en total?
= 32
Liz compra 32 cajas de jugo en total. jas jugo
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué información de la tabla se necesita para resolver el problema.
A veces, la información que necesitamos para resolver un problema no está en el problema, sino que se encuentra en algún otro lugar de la página.
Presente el trabajo del siguiente segmento para hacer una transición.
Hoy, ubicaremos y usaremos la información que se necesita para resolver un problema.
Aprender
Resolver un problema usando información de una tabla
La clase resuelve problemas verbales usando el problema y la información de una tabla.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea la introducción del problema a coro con la clase.
Invite a la clase a examinar la tabla y, luego, a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que saben a partir de la introducción a la tarea.
Adam va de compras para una fiesta. Tiene $100 para comprar lo que necesita. La tabla muestra el costo de cada artículo.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. Adam compra 5 paquetes de servilletas. ¿Cuál es el costo total de las servilletas?
5 × 3 = 15 c 33333
El costo total de las servilletas es $15.
Artículo Costo
Paquete de platos pequeños
Paquete de platos grandes
Paquete de servilletas
Globos (Bolsa de 20)
Mantel
Lean el problema 1 a coro y guíe una conversación usando las siguientes preguntas.
¿De qué se trata el problema?
Servilletas
¿Qué nos dice el problema?
Adam compra 5 paquetes de servilletas.
¿Qué información desconocemos?
El costo total de las servilletas
¿El problema nos da toda la información que necesitamos? ¿Cómo lo saben?
No. Necesitamos saber cuánto cuesta cada paquete de servilletas.
¿Hay algo más en la página que nos dé esa información?
Sí. La tabla muestra que cada paquete de servilletas cuesta $3.
$4
$6
$3
$2
$5
Pida a cada estudiante que trabaje de forma independiente para resolver el problema 1.
Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Escoja estudiantes para que compartan su estrategia y su enunciado de la solución.
Diferenciación:
Apoyo
Considere proporcionar varias imágenes de los artículos de la tabla, rotuladas con su costo, para ayudar a la parte de la clase que se beneficiaría de representar la situación y manipular los artículos.
$4$6$3$2$5
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Dado que el contexto de los preparativos para una fiesta aparece a lo largo de la lección, considere aclarar este contexto con toda la clase.
• ¿Quién ha ayudado a preparar una fiesta?
• ¿Cuáles son algunas de las cosas que hacen para preparar una fiesta?
Comprar lo necesario para una fiesta suele incluir comprar paquetes y bolsas de diferentes artículos. Considere llevar a la clase paquetes de platos, bolsas de globos y un mantel para apoyar la comprensión de sus estudiantes sobre estos artículos.
Lea el problema 2(a) a coro con la clase.
2. Adam necesita 75 globos. Compra 4 bolsas de globos.
a. ¿Compró suficientes globos? ¿Cómo lo sabes?
Sí, compró suficientes globos porque compró 80 globos y solo necesita 75. La información de la tabla indica cuántos globos hay en cada bolsa.
b. ¿Cuál es el costo total de los globos?
4 × 2 = 8 c 2222
El costo total de los globos es $8.
Guíe una conversación usando las siguientes preguntas:
¿De qué se trata el problema 2(a)?
Globos
¿Qué nos dice el problema?
Adam necesita 75 globos.
¿Qué información desconocemos?
Si compró suficientes globos
¿El problema nos da toda la información que necesitamos? ¿Cómo lo saben?
No. Necesitamos saber cuántos globos hay en cada bolsa.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando determina qué información necesita para resolver un problema. Cuando parte de la información no está dada en el enunciado del problema, la busca en otra parte, como en un enunciado o la solución de un problema previo.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Qué información necesitan para responder esta pregunta?
• ¿Qué pueden comprender sobre este problema mirando problemas que ya resolvieron?
¿Hay algo más en la página que nos dé la información que necesitamos?
Sí. La tabla muestra que hay 20 globos en cada bolsa.
Invite a la clase a trabajar en parejas para resolver el problema 2(a). Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Escoja una o dos parejas para que compartan su estrategia y el enunciado de la solución.
Use un proceso similar para el problema 2(b). Cuando haga preguntas aclaratorias, preste atención a que sus estudiantes digan que la información necesaria para resolver el problema puede encontrarse en el problema y en la tabla.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la tabla les dio la información que necesitaban para resolver estos problemas.
Aplicar estrategias para resolver
problemas de varios pasos
La clase determina qué información adicional se necesita para resolver un problema, halla la información y la usa para resolver el problema.
Lea el problema 3 a coro con la clase.
3. Adam gasta $28 en platos. Muestra dos formas diferentes en que podría gastar $28 en platos.
$4, $8, $12, $16, $20, $24, $28
Adam puede comprar 7 paquetes de platos pequeños y 0 paquetes de platos grandes.
× 6 = 28
5 × 6 = 30
4 × 6 = 24, 4 paquetes de platos grandes cuestan $24
Adam puede comprar 1 paquete de platos pequeños y 4 paquetes de platos grandes.
Nota para la enseñanza
Considere compartir ideas con sus estudiantes sobre características del texto, como gráficas de barras, pictogramas y diagramas de puntos, que pueden proporcionar información necesaria para resolver un problema.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se diferencia este problema de otros problemas que hayan resuelto.
Sabemos el total, pero no sabemos cuántos paquetes de platos compró o qué tamaño de platos compró.
Necesitamos mostrar dos formas diferentes en que Adam podría gastar $28 en platos.
El problema no pide una sola respuesta. Podemos hallar diferentes respuestas, siempre y cuando muestren cómo gastar $28 en platos.
Pida a la clase que determine si el problema da toda la información necesaria para resolverlo. Pídales que ubiquen dónde pueden hallar la información adicional que se necesita.
Use la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé 2 minutos para que la clase piense en silencio acerca de cómo hallar al menos una forma en que Adam puede gastar $28 en platos. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas y que trabajen en conjunto para hallar una forma adicional de resolver el problema. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y regístrelo. Considere usar algunas de las siguientes preguntas para guiar la conversación:
• ¿Cuánto cuesta un paquete de platos pequeños? ¿Y un paquete de platos grandes? ¿Cómo lo saben?
• ¿Podría Adam comprar únicamente paquetes de platos pequeños y gastar $28? ¿Cómo lo saben?
• ¿Podría Adam comprar únicamente paquetes de platos grandes y gastar $28? ¿Cómo lo saben?
• ¿Podría Adam comprar 5 paquetes de platos grandes? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué estrategia usaron para hallar una combinación de paquetes de platos que sume $28?
• ¿Qué combinaciones intentaron y no funcionaron? ¿Qué aprendieron de las combinaciones que no funcionaron?
Nota para la enseñanza
A medida que sus estudiantes trabajan, permita que usen las estrategias que entienden mejor. Cuando sea posible, guíeles para que elijan estrategias más eficientes, como el conteo salteado o la multiplicación, en vez de estrategias como la suma repetida.
Hay tres soluciones posibles para el problema:
• 1 paquete de platos pequeños y 4 paquetes de platos grandes
• 4 paquetes de platos pequeños y 2 paquetes de platos grandes
• 7 paquetes de platos pequeños y 0 paquetes de platos grandes
Lea el problema 4 a coro con la clase.
4. ¿A Adam le queda suficiente dinero para comprar 6 manteles? ¿Cómo lo sabes? 15 + 8 + 28 = 51 c
DUA: Representación
Para ayudar a sus estudiantes a que reúnan la información necesaria para resolver este problema, considere pedirles que resalten la información relevante de las distintas fuentes (es decir, que resalten $100 en la introducción de la tarea; los costos de las servilletas, los globos y los platos en los problemas 1, 2 y 3; y el costo de cada mantel, que se puede hallar en la tabla).
Sí, Adam tiene suficiente dinero para comprar 6 manteles. Gastó $51 hasta ahora y le quedan $49
Solo necesita $30 para comprar 6 manteles.
Invite a la clase a trabajar en parejas para resolver el problema 4. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan. Use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Qué necesitan saber para resolver el problema?
• ¿El problema les da toda la información necesaria para resolverlo?
• ¿Qué otra información necesitan?
• ¿Hay algo más en la página que les dé esa información?
• ¿El problema y la tabla son los únicos lugares de la página que brindan información?
• ¿Ya resolvieron otro problema que pueda ayudarles a resolver este?
Escoja una o dos parejas para que compartan su estrategia y el enunciado de la solución.
¿En qué se diferencia este problema de los otros que hemos resuelto hoy?
Necesitamos respuestas de los otros problemas para poder resolver este.
Necesitamos información de más de una fuente para resolver el problema.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué deberían pensar y buscar cuando necesitan información adicional para resolver un problema.
A veces, la información está en una tabla.
A veces, hay una introducción antes del problema que proporciona información.
Cuando hay más de un problema sobre una situación, los otros problemas podrían tener información que necesitamos para resolver un problema nuevo.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar conceptos de multiplicación y división para completar una tarea de varias partes
Reúna a la clase y guíe una conversación sobre cómo hallar la información necesaria para resolver un problema.
¿Cuándo podría ser necesario buscar información adicional para resolver un problema?
Cuando no podemos resolver el problema porque nos falta información
¿En qué es importante pensar cuando se busca información adicional para resolver un problema?
Necesitas pensar en lo que ya sabes sobre el problema y en lo que todavía necesitas saber antes de poder resolver el problema.
Debes pensar en qué información necesitas y dónde puedes hallarla.
Necesitas pensar en observar una tabla, otros problemas u otra información importante en la página que pueda ayudarte a resolver el problema.
Nota para la enseñanza
Considere reservar tiempo en la Reflexión final para que sus estudiantes reflexionen.
• ¿Probaron estrategias nuevas? ¿Qué les parecieron?
• ¿Sintieron frustración en algún momento durante la lección de hoy? ¿Cómo lo manejaron?
¿Cómo se relacionan los problemas de hoy con otros problemas que han resuelto anteriormente? ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?
Estos problemas son similares a otros que hemos resuelto porque usé la multiplicación para hallar la respuesta.
Estos problemas son diferentes de otros que hemos resuelto porque algunos problemas no daban toda la información que necesitaba para resolverlos.
¿Qué estrategias usaron que ya conocían?
Dibujé diagramas de cinta como ayuda para comprender el problema.
Usé la multiplicación y el conteo salteado para hallar las respuestas.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
Comida Costo
Pizza
Bandeja de frutas
Helado
$10
$32
$4
Pastelitos (Paquete de 6) $9
Adam se prepara para una fiesta. 48 personas asistirán a la fiesta.
1. Adam compra 8 pizzas. ¿Cuál es el costo total de las pizzas?
8 × 10 = 80
El costo total de las pizzas es $80
2. Adam compra 10 paquetes de pastelitos.
a. ¿Compra suficientes pastelitos para que cada persona tenga 1 pastelito? Explica cómo lo sabes.
10 × 6 = 60
Sí, 48 personas asistirán a la fiesta y él compra 60 pastelitos.
b. ¿Cuál es el costo total de los pastelitos?
10 × 9 = 90
El costo total de los pastelitos es $90
c. Adam coloca los pastelitos en filas de 5. ¿Cuántas filas de pastelitos hay?
f × 5 = 60
f = 12
Hay 12 filas de pastelitos.
3. Adam gasta $48 en una bandeja de frutas y helado. ¿Cuántos recipientes de helado compra?
48 − 32 = 16
16 ÷ 4 = 4
Adam compra 4 recipientes de helado.
5. Adam prepara 6 mesas. ¿Cuántas sillas debería poner en cada mesa para que cada persona tenga una silla?
48 ÷ 6 = 8
Adam debería poner 8 sillas en cada mesa.
4. ¿Cuál es el costo total de la comida que compra Adam?
80 + 90 + 48 = 218
El costo total de la comida que compra Adam es $218.
6. Hay 2 floreros en cada mesa. En cada florero hay 7 flores. ¿Cuántas flores hay en total?
2 × 7 = 14
6 × 14 = 84
Hay 84 flores.
7. Adam prepara 3 filas de 9 sillas para que los niños y niñas vean un espectáculo de magia.
a. ¿Cuántas niñas y niños asistirán a la fiesta?
3 × 9 = 27
Habrá 27 niñas y niños en la fiesta.
b. ¿Cuántas personas adultas asistirán a la fiesta?
48 − 27 = 21
Habrá 21 personas adultas en la fiesta.
Estándares
Estándares de contenido del módulo
Representan y resuelven problemas relacionados a la multiplicación y a la división.
3.OA.A.1 Interpretan productos de números enteros, por ejemplo, interpretan 5 × 7 como la cantidad total de objetos en 5 grupos de 7 objetos cada uno. Por ejemplo, al describir un contexto en el que una cantidad total de objetos pueda expresarse como 5 × 7.
3.OA.A.2 Interpretan los cocientes de números enteros, por ejemplo, al interpretar 56 ÷ 8 como la cantidad de objetos en cada parte cuando se reparten 56 objetos entre 8 partes iguales, o como una cantidad de partes cuando se reparten 56 objetos en grupos iguales de 8 objetos cada uno. Por ejemplo, al describir un contexto en el cual una cantidad de partes o una cantidad de grupos se puede expresar como 56 ÷ 8.
3.OA.A.3 Utilizan operaciones de multiplicación y división hasta el número 100 para resolver problemas verbales en situaciones relacionadas con grupos iguales, matrices, y cantidades de medición, por ejemplo, al usar dibujos y ecuaciones con un símbolo para el número desconocido al representar el problema.
3.OA.A.4 Determinan el número entero desconocido en una ecuación de multiplicación o división relacionada con tres números enteros. Por ejemplo, al determinar el número desconocido que hace que la ecuación sea verdadera en cada una de las siguientes ecuaciones: 8 × ? = 48, 5 = ? ÷ 3, 6 × 6 = ?.
Entienden las propiedades de la multiplicación y la relación entre la multiplicación y la división.
3.OA.B.5 Aplican propiedades de operaciones como estrategias para multiplicar y dividir.² Ejemplos: Si se sabe que 6 × 4 = 24, entonces también se sabe que 4 × 6 = 24 (Propiedad conmutativa de la multiplicación). Se puede hallar 3 × 5 × 2 con 3 × 5 = 15, y luego 15 × 2 = 30, o con 5 × 2 = 10, y luego 3 × 10 = 30 (Propiedad asociativa de la multiplicación). Al saber que 8 × 5 = 40 y que 8 × 2 = 16, se puede hallar que 8 × 7 es como 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56 (Propiedad distributiva).
3.OA.B.6 Entender la división como un problema de factor desconocido. Por ejemplo, el hallar 32 ÷ 8 al determinar el número que al multiplicarse por 8 da 32.
2 No es necesario que los estudiantes utilicen los términos formales de estas propiedades.
Multiplican y dividen hasta el número 100.
3.OA.C.7 Multiplican y dividen hasta el número 100 con facilidad, a través del uso de estrategias como la relación entre la multiplicación y la división (por ejemplo, al saber que 8 × 5 = 40, se sabe que 40 ÷ 5 = 8), o las propiedades de las operaciones. Al final del Tercer grado, saben de memoria todos los productos de dos números de un solo dígito.
Resuelven problemas que relacionan las cuatro operaciones, e identifican y explican patrones aritméticos.
3.OA.D.8 Resuelven problemas verbales de dos pasos utilizando las cuatro operaciones. Representan estos problemas utilizando ecuaciones con una letra que representa la cantidad desconocida. Evalúan lo razonable que son las respuestas a través de cálculos mentales y estrategias de estimación, incluyendo el redondeo.³
3.OA.D.9 Identifican patrones aritméticos (incluyendo patrones en la tabla de suma o en la tabla de multiplicación), y los explican a través de las propiedades de las operaciones. Por ejemplo, observan que un número multiplicado por 4 siempre resultará en un par, y explican por qué este puede ser descompuesto en dos sumandos iguales.
Utilizan el valor posicional y las propiedades de las operaciones para realizar operaciones aritméticas con números de varios dígitos.⁴
3.NBT.A.3 Multiplican números enteros de un solo dígito por múltiplos de 10 en el rango del 10 a 90 (por ejemplo, 9 × 80, 5 × 60) usando estrategias basadas en el valor posicional y en las propiedades de las operaciones.
3 Este estándar se limita a problemas presentados con números enteros que tienen como respuesta números enteros; los estudiantes deberán saber el cómo realizar operaciones en el orden convencional cuando no existan paréntesis que especifiquen un orden particular (Orden de las operaciones).
4 Se puede utilizar un rango de algoritmos.
Estándares para la práctica de las matemáticas
MP1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.
MP2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.
MP3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.
MP4 Representan a través de las matemáticas.
MP5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.
MP6 Ponen atención a la precisión.
MP7 Reconocen y utilizan estructuras.
MP8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
3.Mód1.CLA1 Representan una situación de multiplicación con un modelo y convierten entre varias representaciones de multiplicación.
Nota: Esto excluye la creación de una situación de multiplicación a partir de una expresión, una ecuación o un modelo, lo cual aborda el criterio de logro académico 3.Mód3.CLA1.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.A.1 Interpretan productos de números enteros, por ejemplo, interpretan 5 × 7 como la cantidad total de objetos en 5 grupos de 7 objetos cada uno. Por ejemplo, al describir un contexto en el que una cantidad total de objetos pueda expresarse como 5 × 7.
Parcialmente competente Competente
Representan una situación de multiplicación usando grupos iguales o una matriz.
Liz organiza sus piedras en 3 filas de 10. Dibuja un modelo para representar las piedras de Liz.
Convierten entre varias representaciones de multiplicación, p. ej., de una situación a un modelo, una expresión o una ecuación.
Completa la ecuación para describir la imagen.
Iván tiene 4 bolsas de 6 bellotas. Escribe una expresión de multiplicación que podría usarse para hallar el número total de bellotas que tiene Iván.
Altamente competente
3.Mód3.CLA1 Representan un modelo con una situación de multiplicación.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.A.1 Interpretan productos de números enteros, por ejemplo, interpretan 5 × 7 como la cantidad total de objetos en 5 grupos de 7 objetos cada uno. Por ejemplo, al describir un contexto en el que una cantidad total de objetos pueda expresarse como 5 × 7.
Parcialmente competente Competente
Completan una situación de multiplicación para un modelo dado.
Completa el problema verbal que puede representarse con la expresión 4 × 7. Usa la imagen como ayuda.
Hay 4 frascos. Cada frasco contiene 7 luciérnagas.
Representan un modelo con una situación de multiplicación.
Usa la imagen para escribir un problema verbal que pueda representarse con la expresión 3 × 6.
Altamente competente
3.Mód1.CLA2 Representan una situación de división con un modelo y convierten entre varias representaciones de división.
Nota: Esto excluye la creación de una situación de división a partir de una expresión, una ecuación o un modelo, lo cual aborda el criterio de logro académico 3.Mód3.CLA2.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.A.2 Interpretan los cocientes de números enteros, por ejemplo, al interpretar 56 ÷ 8 como la cantidad de objetos en cada parte cuando se reparten 56 objetos entre 8 partes iguales, o como una cantidad de partes cuando se reparten 56 objetos en grupos iguales de 8 objetos cada uno. Por ejemplo, al describir un contexto en el cual una cantidad de partes o una cantidad de grupos se puede expresar como 56 ÷ 8.
Parcialmente competente
Representan una situación de división usando grupos iguales o una matriz.
Encierra en un círculo grupos de lápices para mostrar 20 lápices divididos, en partes iguales, en 5 grupos.
Competente
Convierten entre varias representaciones de división, p. ej., de una situación a un modelo, una expresión o una ecuación.
Completa la ecuación para describir la imagen.
÷ =
Luke organiza 15 crayones en 3 filas iguales. Escribe una expresión de división que podría usarse para hallar el número de crayones que hay en cada fila.
Altamente competente
3.Mód3.CLA2 Representan un modelo con una situación de división.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.A.2 Interpretan los cocientes de números enteros, por ejemplo, al interpretar 56 ÷ 8 como la cantidad de objetos en cada parte cuando se reparten 56 objetos entre 8 partes iguales, o como una cantidad de partes cuando se reparten 56 objetos en grupos iguales de 8 objetos cada uno. Por ejemplo, al describir un contexto en el cual una cantidad de partes o una cantidad de grupos se puede expresar como 56 ÷ 8.
Parcialmente competente
Completan una situación de división para un modelo dado.
Completa el problema verbal que puede representarse con la expresión 28 ÷ 4. Usa la imagen como ayuda.
Hay 28 luciérnagas en total. Cada uno de los 4 frascos contiene el mismo número de luciérnagas. ¿
Competente
Representan un modelo con una situación de división.
Usa la imagen para escribir un problema verbal que pueda representarse con la expresión 18 ÷ 6.
Altamente competente
3.Mód3.CLA3 Resuelven problemas de un paso que involucran la multiplicación y la división hasta el 100 usando una letra para el número desconocido.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.A.3 Utilizan operaciones de multiplicación y división hasta el número 100 para resolver problemas verbales en situaciones relacionadas con grupos iguales, matrices, y cantidades de medición, por ejemplo, al usar dibujos y ecuaciones con un símbolo para el número desconocido al representar el problema.
Parcialmente competente
Resuelven problemas verbales de un paso sobre grupos iguales de objetos que involucran la multiplicación y la división hasta el 100 usando una letra para el número desconocido.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar el número desconocido.
Para empezar un juego de naipes, el Sr. Davis reparte 42 naipes en partes iguales a 6 participantes. ¿Cuántos naipes recibe cada participante?
Competente
Resuelven problemas verbales de un paso sobre matrices de objetos que involucran la multiplicación y la división hasta el 100 usando una letra para el número desconocido.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar el número desconocido.
El maestro López organiza 28 escritorios en 7 filas iguales. ¿Cuántos escritorios hay en cada fila?
Altamente competente
3.Mód3.CLA4 Determinan el número desconocido en una ecuación de multiplicación o división.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.A.4 Determinan el número entero desconocido en una ecuación de multiplicación o división relacionada con tres números enteros. Por ejemplo, al determinar el número desconocido que hace que la ecuación sea verdadera en cada una de las siguientes ecuaciones: 8 × ? = 48, 5 = ÷ 3, 6 × 6 = ?.
Parcialmente competente
Determinan el número desconocido en una ecuación de multiplicación o división cuando el número desconocido es el producto o el cociente.
Multiplica o divide.
6 × 7 = 8 ÷ 8 =
Competente
Determinan el número desconocido en una ecuación de multiplicación o división cuando el número desconocido está en cualquier posición.
Completa los espacios para que las ecuaciones sean verdaderas.
× 6 = 48
35 ÷ = 5
Altamente competente
3.Mód3.CLA5 Aplican la propiedad distributiva para multiplicar.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.B.5 Aplican propiedades de operaciones como estrategias para multiplicar y dividir.² Ejemplos: Si se sabe que 6 × 4 = 24, entonces también se sabe que 4 × 6 = 24 (Propiedad conmutativa de la multiplicación). Se puede hallar 3 × 5 × 2 con 3 × 5 = 15, y luego 15 × 2 = 30, o con 5 × 2 = 10, y luego 3 × 10 = 30 (Propiedad asociativa de la multiplicación). Al saber que 8 × 5 = 40 y que 8 × 2 = 16, se puede hallar que 8 × 7 es como 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56 (Propiedad distributiva).
2No es necesario que los estudiantes utilicen los términos formales de estas propiedades.
Parcialmente competente
Aplican la propiedad distributiva para generar expresiones equivalentes.
¿Cada expresión es igual a 9 × 6?
Encierra en un círculo Sí o No.
(5 + 4) × 6 Sí No
(10 × 6) + (1 × 6) Sí No
(10 × 6) − (1 × 6) Sí No
(5 × 6) × (4 × 6) Sí No
Competente
Aplican la propiedad distributiva para multiplicar.
Separa el 7 en partes para hallar 7 × 8. 7 × 8 = ( × 8) + ( × 8) = + =
Altamente competente
Explican la propiedad distributiva de la multiplicación.
Carla dice que puede hallar 16 × 5 usando la expresión (10 × 5) + (6 × 5). ¿Está en lo correcto? Explica.
3.Mód3.CLA6 Aplican la propiedad distributiva para dividir.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.B.5 Aplican propiedades de operaciones como estrategias para multiplicar y dividir.² Ejemplos: Si se sabe que 6 × 4 = 24, entonces también se sabe que 4 × 6 = 24 (Propiedad conmutativa de la multiplicación). Se puede hallar 3 × 5 × 2 con 3 × 5 = 15, y luego 15 × 2 = 30, o con 5 × 2 = 10, y luego 3 × 10 = 30 (Propiedad asociativa de la multiplicación). Al saber que 8 × 5 = 40 y que 8 × 2 = 16, se puede hallar que 8 × 7 es como 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56 (Propiedad distributiva).
2No es necesario que los estudiantes utilicen los términos formales de estas propiedades.
Parcialmente competente
Aplican la propiedad distributiva para generar expresiones equivalentes.
Completa los espacios para que las ecuaciones sean verdaderas.
36 ÷ 6 = (30 ÷ ) + (6 ÷ )
Competente
Aplican la propiedad distributiva para dividir.
Completa las ecuaciones para hallar 48 ÷ 8.
48 ÷ 8 = (40 ÷ 8) + ( ÷ 8) = + =
Altamente competente
Explican cómo la propiedad distributiva puede aplicarse para dividir.
Ray dice que puede hallar 36 ÷ 3 usando la expresión (30 ÷ 3) + (6 ÷ 3). ¿Está en lo correcto? Explica.
3.Mód3.CLA7 Aplican la propiedad asociativa de la multiplicación.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.B.5 Aplican propiedades de operaciones como estrategias para multiplicar y dividir.² Ejemplos: Si se sabe que 6 × 4 = 24, entonces también se sabe que 4 × 6 = 24 (Propiedad conmutativa de la multiplicación). Se puede hallar 3 × 5 × 2 con 3 × 5 = 15, y luego 15 × 2 = 30, o con 5 × 2 = 10, y luego 3 × 10 = 30 (Propiedad asociativa de la multiplicación). Al saber que 8 × 5 = 40 y que 8 × 2 = 16, se puede hallar que 8 × 7 es como 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56 (Propiedad distributiva).
2No es necesario que los estudiantes utilicen los términos formales de estas propiedades.
Parcialmente competente
Aplican la propiedad asociativa de la multiplicación para generar expresiones equivalentes.
Completa los espacios para que las ecuaciones sean verdaderas.
Explican la propiedad asociativa de la multiplicación. Shen dice que 9 × (8 × 10) es igual a (9 × 8) × 10. ¿Está en lo correcto? Explica.
3.Mód1.CLA7 Representan y explican la división como un problema de factor desconocido.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.B.6 Entender la división como un problema de factor desconocido. Por ejemplo, el hallar 32 ÷ 8 al determinar el número que al multiplicarse por 8 da 32.
Parcialmente competente Competente
Reconocen ecuaciones de multiplicación y división relacionadas.
¿Qué ecuación se puede usar para hallar 30 ÷ 5?
A. 5 × = 30
B. ÷ 5 = 30
C. 30 × = 5
D. 30 × 5 =
Representan la división como un problema de factor desconocido usando ecuaciones.
Pablo tiene 18 peces. Los divide, en partes iguales, en 3 peceras. ¿Cuántos peces hay en cada pecera?
Escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división para describir el problema. Usa un espacio para representar el número desconocido.
Altamente competente
Explican la división como un problema de factor desconocido.
Eva usa la ecuación 5 × = 40 para hallar 40 ÷ 5. ¿Es correcto su razonamiento? Explica.
3.Mód3.CLA8 Multiplican y dividen hasta el 100 con fluidez, recordando de memoria todos los productos de dos números de un dígito.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.C.7 Multiplican y dividen hasta el número 100 con facilidad, a través del uso de estrategias como la relación entre la multiplicación y la división (por ejemplo, al saber que 8 × 5 = 40, se sabe que 40 ÷ 5 = 8), o las propiedades de las operaciones. Al final del Tercer grado, saben de memoria todos los productos de dos números de un solo dígito.
Parcialmente competente
Multiplican y dividen hasta el 100 con fluidez usando la relación entre la multiplicación y la división.
Usa las ecuaciones dadas para completar los espacios.
Parte A
8 × 5 = 40
40 ÷ 5 =
40 ÷ 8 =
Parte B
30 ÷ 3 = 10
3 × 10 =
10 × 3 =
Competente
Multiplican y dividen hasta el 100 con fluidez, recordando de memoria todos los productos de dos números de un dígito.
Multiplica o divide.
20 ÷ 4 =
7 × 3 =
Altamente competente
Multiplican y dividen hasta el 100 con fluidez, recordando de memoria todos los productos de dos números de un dígito y los cocientes de sus operaciones de división relacionadas.
Multiplica.
7 × 9 =
Escribe dos ecuaciones de división relacionadas.
3.Mód3.CLA9 Resuelven problemas verbales de dos pasos. Representan estos problemas usando ecuaciones con una letra que representa el número desconocido. Evalúan si las soluciones son razonables.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.D.8 Resuelven problemas verbales de dos pasos utilizando las cuatro operaciones. Representan estos problemas utilizando ecuaciones con una letra que representa la cantidad desconocida. Evalúan lo razonable que son las respuestas a través de cálculos mentales y estrategias de estimación, incluyendo el redondeo.³
3Este estándar se limita a problemas presentados con números enteros que tienen como respuesta números enteros; los estudiantes deberán saber el cómo realizar operaciones en el orden convencional cuando no existan paréntesis que especifiquen un orden particular (Orden de las operaciones).
Parcialmente competente
Resuelven problemas verbales de dos pasos que involucran tipos de problemas de suma o resta que se presentan en kindergarten y 1.er grado1 o tipos de problemas de multiplicación o división de grupos iguales de objetos. Representan estos problemas usando ecuaciones con una letra que representa el número desconocido. Evalúan si las soluciones son razonables.
El libro de Liz tiene 79 páginas. Ya ha leído 37 páginas. ¿Cuántas noches le llevará a Liz terminar su libro si lee 7 páginas cada noche?
Parte A
Haz un dibujo para representar el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
Parte B
Estima cuántas noches le llevará a Liz terminar de leer su libro.
Parte C
Resuelve el problema. Escribe ecuaciones y un enunciado con la solución.
Parte D
¿Cómo sabes que tu respuesta es razonable? Usa tu estimación de la parte B para explicar.
Competente
Resuelven problemas verbales de dos pasos que involucran tipos de problemas de suma o resta que se presentan en 2.° grado2 o tipos de problemas de multiplicación o división de matrices de objetos. Representan estos problemas usando ecuaciones con una letra que representa el número desconocido. Evalúan si las soluciones son razonables.
Luke y Amy organizan sus conchas en filas iguales. Luke organiza sus conchas en 7 filas de 8. Tiene 12 conchas más que Amy. ¿Cuántas conchas tiene Amy?
Parte A
Haz un dibujo para representar el problema. Usa una letra para representar cada número desconocido.
Parte B
Estima cuántas conchas tiene Amy.
Parte C
Resuelve el problema. Escribe ecuaciones y un enunciado con la solución.
Parte D
¿Cómo sabes que tu respuesta es razonable? Usa tu estimación de la parte B para explicar.
1 Common Core Standards Writing Team, Counting and Cardinality & Operations and Algebraic Thinking, pág. 9.
2 Common Core Standards Writing Team, Counting and Cardinality & Operations and Algebraic Thinking, pág. 9.
Altamente competente
3.Mód3.CLA10 Identifican y extienden patrones aritméticos y los explican mediante las propiedades de las operaciones.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.OA.D.9 Identifican patrones aritméticos (incluyendo patrones en la tabla de suma o en la tabla de multiplicación), y los explican a través de las propiedades de las operaciones. Por ejemplo, observan que un número multiplicado por 4 siempre resultará en un par, y explican por qué este puede ser descompuesto en dos sumandos iguales.
Parcialmente competente
Extienden patrones aritméticos, dada una regla.
Usa el patrón para completar la tabla.
Patrón: Dividir el valor de entrada entre 9
Entrada
Competente
Identifican y extienden patrones aritméticos.
Halla el patrón. Luego, completa la tabla.
Entrada 2 4 5 7 9 10
Salida 12 30 54
Patrón:
Altamente competente
Explican patrones aritméticos mediante las propiedades de las operaciones.
Oka dice que el producto de un número impar y un número par es siempre par. ¿Está en lo correcto? Explica.
Explica cómo puede usarse la tabla de multiplicación para hallar 15 × 4
1. Usa la tabla de multiplicación para hallar 8 × 12
Ejemplo:
2. Carla dice que 3 × 233 = 626. Usa lo que aprendiste sobre la multiplicación de números impares por números impares para explicar por qué Carla está equivocada.
Sé que Carla está equivocada porque un número impar por un número impar siempre da como resultado un número impar, y 626 es un número par.
3.Mód3.CLA11 Multiplican números enteros de un dígito por múltiplos de 10 dentro del rango del 10 al 90 usando estrategias de valor posicional y las propiedades de las operaciones.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
3.NBT.A.3 Multiplican números enteros de un solo dígito por múltiplos de 10 en el rango del 10 al 90 (por ejemplo, 9 × 80, 5 × 60) usando estrategias basadas en el valor posicional y en las propiedades de las operaciones.
Multiplican números enteros de un dígito por múltiplos de 10 dentro del rango del 10 al 90 usando estrategias de valor posicional.
Usa la tabla que se muestra para completar las ecuaciones.
Decenas Unidades
Multiplican números enteros de un dígito por múltiplos de 10 dentro del rango del 10 al 90 usando estrategias de valor posicional y las propiedades de las operaciones.
Completa los espacios para hallar 8 × 50.
8 × 50 = 8 × × 10)
= (8 × ) × 10 = × 10 =
Explican cómo multiplicar números enteros de un dígito por múltiplos de 10 dentro del rango del 10 al 90
Explica cómo 6 × 4 × 10 puede usarse para resolver 6 × 40.
6 × 4 decenas = decenas
6 × 40 =
Vocabulario
Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 3 de 3.er grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.
Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.
Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.
Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.
Nuevo
múltiplo
Un múltiplo de un número dado es el producto del número dado y otro número entero. Por ejemplo, el 56 es un múltiplo de 7 porque 56 = 8 × 7.
Los números que decimos cuando contamos salteado usando un número dado son múltiplos de ese número. Por ejemplo, 0, 7, 14, 21, 28, 35,… son múltiplos de 7. (Lección 13)
Conocido
cociente
columna
contar salteado diagrama de cinta distribuir
división, dividir, dividido entre, ÷ ecuación
estimación estimar
expresión
factor
fila
forma unitaria
grupos iguales matriz
multiplicación, multiplicar, × número desconocido número impar
número par paréntesis producto
propiedad conmutativa unidad valor
vínculo numérico
Verbos académicos aplicar
Las matemáticas en el pasado
Multiplicación egipcia
¿Cómo se multiplicaban los números en el Egipto antiguo?
¿Era diferente de la manera en que sus estudiantes aprenden a multiplicar hoy?
¿Todavía se usa el método egipcio?
¿Cómo calcularían sus estudiantes 5 × 20? Hay muchas formas de hacerlo.
Parte de la clase podría escribir 20 cinco veces y, luego, sumar.
20 + 20 + 20 + 20 + 20
Otra parte podría observar que el problema es lo mismo que 20 × 5, ya que la multiplicación es conmutativa. Podrían escribir 5 veinte veces y, luego, sumar.
Un grupo de estudiantes podría ver el 20 como 10 + 10 y usar la estrategia de separar y distribuir.
5 × (10 + 10) = (5 × 10) + (5 × 10)
Este grupo probablemente sepa cuánto es 50 + 50; entonces, saben que la respuesta a 5 × 20 es la misma.
Tal vez haya quienes vean el 20 como 2 × 10. Podrían pensar en la propiedad asociativa y escribir lo siguiente:
5 × (2 × 10) = (5 × 2) × 10
Este grupo de estudiantes probablemente sepa cuánto es 10 × 10; entonces, saben que la respuesta a 5 × 20 es la misma.
¿Todos obtuvieron 100?
Este mismo problema, 5 × 20, apareció en un antiguo papiro egipcio hace casi 4,000 años.
¿Cómo se hallaba 5 × 20 en aquella época? ¿El método egipcio era parecido a como multiplicamos en Eureka Math2? ¿O era muy diferente?
En Egipto se descubrió que se podía multiplicar duplicando y sumando números. Duplicar significa sumar a un número ese mismo número. El método egipcio redujo la multiplicación a las operaciones más básicas.
¿Les parece intrigante? Veamos cómo se multiplicaba 5 por 20 en el antiguo Egipto.
Escriban 1 debajo del 5. Escriban 20 debajo del 20.
5× 20 1 20
Dupliquen cada número (1 y 20) y escriban debajo las respuestas.
20
Dupliquen de nuevo.
Ahora, marquen el final de la primera y la última fila con una barra diagonal, /. Ese es el equivalente egipcio de nuestra marca de comprobación ✓.
20
Sumen los números marcados, 20 y 80. ¿Obtuvieron 100?
¡Parece un truco de magia! ¿Qué ha pasado?
Pida a sus estudiantes que conversen acerca de este método y haga preguntas. Por ejemplo, ¿por qué dejamos de duplicar? ¿Por qué sumamos 20 y 80, pero salteamos el 40? ¿Qué sucede con el 1, el 2 y el 4 en la primera columna?
Tómese tiempo para explorar las observaciones y las ideas de sus estudiantes antes de dar la siguiente explicación sobre cómo funciona la multiplicación egipcia.
La primera columna de la multiplicación egipcia siempre comienza con 1 y, luego, se duplica. Sigue el patrón 1, 2, 4, 8… Los números se detienen antes de volverse más grandes que el número que está en la parte superior de la columna (5, en nuestro problema).
Luego, se analiza cuáles son los números de la primera columna que, al sumarlos, darán como resultado el número de la parte superior. En nuestro problema, sumar 1 y 4 da 5. A continuación, se marca el final de esas filas con una barra diagonal. Por eso es que marcamos la primera y la última fila.
Las marcas indican qué números de la segunda columna se suman para obtener la respuesta. Este método funciona porque usa la estrategia de separar y distribuir. Así es como se aplica a nuestro problema.
Ahmes, el escriba egipcio que registró ese problema alrededor del año 1650 a. e. c., probablemente sonreiría si les viera aprender su método.
Anime a sus estudiantes a que prueben la multiplicación egipcia en otro problema. Sugiera la operación 9 × 13. Cuando terminen, debería verse así:
9× 13 1 13/ 2 26 4 52 8 104/
Las filas que comienzan con 1 y 8 se marcan porque 1 + 8 = 9. Sumar los números marcados, 13 y 104, da la respuesta, 117.
Tal vez, un grupo de estudiantes podría cambiar el problema a 13 × 9. Después de todo, ¡nadie dijo que el número más pequeño tenía que ir a la izquierda!
13 × 9
1 9/
2 18
4 36/ 8 72/
Esta vez, se deben marcar tres filas porque 1 + 4 + 8 = 13. Sumar los números marcados da 9 + 36 + 72 = 117. Obviamente, ¡obtuvimos la misma respuesta final! Es lo que se espera, ya que 9 × 13 = 13 × 9. La multiplicación es conmutativa.
Materiales
Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro.
1 ábaco rekenrek de demostración de 100 cuentas
25 borradores para las pizarras blancas individuales
1 computadora o dispositivo para la enseñanza
780 cubos interconectables de 1 cm
12 hojas de papel de rotafolio
1 libro Enseñar
24 libros Aprender
25 lápices
25 lápices de colores, paquete de 8
Visite http://eurmath.link/materials para saber más.
25 marcadores de borrado en seco
2 marcadores fluorescentes
150 notas adhesivas
25 pizarras blancas individuales
1 proyector
25 sets de discos de valor posicional de Eureka Math, unidades a millares
24 sobres
12 tarjetas numéricas de Eureka Math2™, set de 12
25 tijeras
Por favor, consulte la lección 1 para obtener una lista de herramientas de organización (tazas o vasos, bandas elásticas, papel cuadriculado, etc.) sugerida para las colecciones de conteo.
Obras citadas
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Créditos
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Agradecimientos
Kelly Alsup, Lisa Babcock, Cathy Caldwell, Mary Christensen-Cooper, Cheri DeBusk, Jill Diniz, Melissa Elias, Janice Fan, Scott Farrar, Krysta Gibbs, Julie Grove, Karen Hall, Eddie Hampton, Tiffany Hill, Robert Hollister, Rachel Hylton, Travis Jones, Liz Krisher, Courtney Lowe, Bobbe Maier, Ben McCarty, Maureen McNamara Jones, Cristina Metcalf, Melissa Mink, Richard Monke, Bruce Myers, Marya Myers, Geoff Patterson, Victoria Peacock, Marlene Pineda, Elizabeth Re, Meri Robie-Craven, Jade Sanders, Deborah Schluben, Colleen Sheeron-Laurie, Jessica Sims, Theresa Streeter, Mary Swanson, James Tanton, Julia Tessler, Saffron VanGalder, Jackie Wolford, Jim Wright, Jill Zintsmaster
Ana Álvarez, Lynne Askin-Roush, Trevor Barnes, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Jessica Dahl, Brandon Dawley, Julie Dent,
Delsena Draper, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Jen Forbus, Reba Frederics, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Dennis Hamel, Cassie Hart, Sagal Hasan, Kristen Hayes, Abbi Hoerst, Libby Howard, Elizabeth Jacobsen, Amy Kanjuka, Ashley Kelley, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Stephanie Maldonado, Siena Mazero, Alisha McCarthy, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Patricia Mickelberry, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Max Oosterbaan, Tara O’Hare, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Jeff Robinson, Gilbert Rodríguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Amy Schoon, Aaron Shields, Leigh Sterten, Rhea Stewart, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Karrin Thompson, Cherry dela Victoria, Tracy Vigliotti, Dave White, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Howard Yaffe
Exponencialmente mejor
Conocimientos2 Siguiendo con la tradición de ayudar a los maestros y maestras con todo lo que necesiten para que sus estudiantes desarrollen un conocimiento profundo y coherente de las matemáticas, Eureka Math2 ofrece colecciones de videos y recomendaciones hechas a medida de los y las profesionales con más y con menos experiencia.
Digital2 A través de una experiencia digital perfectamente integrada, Eureka Math2 incluye cientos de imágenes inteligentes, videos cautivadores y actividades digitales interactivas que encienden la chispa de la conversación y el asombro en su salón de clases.
Accesible2 Siempre con nuestros lectores y lectoras en mente, Eureka Math2 se ha diseñado cuidadosamente para que quienes tengan dificultades con la lectura puedan acceder a las lecciones, los problemas verbales, ¡y más!
Sonrisas2 Con Eureka Math2, usted y sus estudiantes se enamorarán de las matemáticas, o recordarán qué era lo que les hizo enamorarse de ellas.
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
Al pintor suizo Paul Klee le interesaba usar el color para expresar las emociones. En esta obra creó una cuadrícula, o matriz, de 35 cuadrados de colores organizados en 5 filas y 7 columnas. Aprenderemos cómo una matriz nos ayuda a comprender una figura más grande. Lo haremos observando las figuras más pequeñas en el interior. Aprender más sobre las matrices nos ayudará a identificar patrones y estructuras, que es una habilidad importante para la multiplicación y la división.
En la portada
Farbtafel “qu 1,” 1930
Paul Klee, Swiss, 1879–1940
Pastel on paste paint on paper, mounted on cardboard
