Unidades fraccionarias
APRENDER ▸ Módulo 6 ▸ Medidas angulares y figuras planas
Libro para estudiantes
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
En esta pintura, el pintor abstracto Frank Stella usó un compás para crear figuras curvas muy brillantes. Cada parte de esta cuadrícula tiene un arco que es parte de un diseño de semicírculos que parecen arcoíris.
Cuando Stella ubica estos patrones de arcoíris juntos, forman círculos. ¿Qué fracción de un círculo se muestra en cada cuadrado?
En la portada
Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969
Frank Stella, American, born 1936
Acrylic on canvas
Minneapolis Institute of Art, Minneapolis, MN, USA
Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Art, MN. Gift of Bruce B. Dayton/Bridgeman Images. © 2020 Frank Stella/Artists Rights Society (ARS), New York
Great Minds® is the creator of Eureka Math® , Wit & Wisdom® , Alexandria Plan™, and PhD Science®
Published by Great Minds PBC. greatminds.org © 2023 Great Minds PBC. All rights reserved. No part of this work may be reproduced or used in any form or by any means—graphic, electronic, or mechanical, including photocopying or information storage and retrieval systems—without written permission from the copyright holder.
Printed in the USA
Una historia de unidades®
Unidades fraccionarias ▸ 4
APRENDER
Módulo
1
2
3
4
5
6
Conceptos de valor posicional para la suma y la resta
Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división
Multiplicación y división de números de varios dígitos
Fundamentos para las operaciones con fracciones
Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales
Medidas angulares y figuras planas
Contenido
Medidas angulares y figuras planas
Tema A
Rectas y ángulos
Lección 1
Identificar y trazar puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas y ángulos
Lección 2
3
11
Identificar ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos
Lección 3 21
Dibujar ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos
Lección 4
29
Identificar, definir y trazar rectas perpendiculares
Lección 5
Identificar, definir y trazar rectas paralelas
Lección 6
Lección 12
Utilizar un transportador para dibujar ángulos de hasta 180°
Tema C
Determinar medidas angulares desconocidas
Lección 13
Descomponer ángulos utilizando bloques para hacer patrones
Lección 14
41
57
Relacionar figuras geométricas con un contexto del mundo real
Tema B
Medición de ángulos
Lección 7 .
Explorar los ángulos como giros fraccionarios en un círculo
Lección 8 .
Usar un transportador de 360° para reconocer que un ángulo de 1° representa un giro de 1 360 en un círculo
Lección 9
Identificar y medir ángulos como giros y reconocerlos en distintos contextos
Lección 10
65
71
83
89
Utilizar transportadores de 180° para medir ángulos
Lección 11
Estimar y medir ángulos con un transportador de 180°
111
125
137
Hallar medidas angulares desconocidas dentro de ángulos rectos y llanos
Lección 15
145
Hallar medidas angulares desconocidas dentro de un ángulo descompuesto de hasta 180°
Lección 16
Hallar medidas angulares desconocidas alrededor de un punto
Tema D
Figuras bidimensionales y simetría
Lección 17
Reconocer, identificar y trazar ejes de simetría
Lección 18
Analizar y clasificar triángulos a partir de las longitudes de los lados, las medidas angulares o ambas
Lección 19
Construir y clasificar triángulos a partir de atributos dados
153
165
175
187
Lección 20 195
Clasificar polígonos a partir de una regla dada
99
Créditos
Nombre Fecha
Término
Ejemplo
Notación punto
segmento de recta recta
semirrecta
ángulo
Nombre Fecha
Relaciona cada figura con las palabras y la notación que la describen. El primero ya está resuelto como ejemplo.
Dibuja y rotula la figura.
Punto M 1.
Semirrecta MN
Segmento de recta MN
5. Punto A
6. Segmento de recta EF
7. Semirrecta ZB
8. Recta TJ
9. Sigue las instrucciones de las partes (a) a (e). Usa una herramienta de borde recto. Los puntos A y B están dados.
a. Traza el segmento de recta AB.
b. Marca un punto que no esté en el segmento de recta AB. Rotúlalo C.
c. Traza la semirrecta AC.
d. Marca un punto que no esté en el segmento de recta AB ni en la semirrecta AC. Rotúlalo D.
e. Traza la recta BD.
10. Sigue las instrucciones de las partes (a) a (f ). Usa una herramienta de borde recto.
a. Marca los puntos P y Q.
b. Traza la ⟷ PQ
c. Marca un punto que no esté en la ⟷ PQ . Rotúlalo R.
d. Traza el PR .
e. Marca un punto que no esté en la ⟷ PQ ni en el PR . Rotúlalo S
f. Traza la ⟶ SQ .
11. Halla y rotula algunos puntos, semirrectas, rectas y segmentos de recta en la imagen. Luego, regístralos en la tabla. El punto A ya está hecho como ejemplo.
A
Puntos
Semirrectas
Rectas
Segmentos de recta
Punto A
12. ¿En qué se diferencian una recta, un segmento de recta y una semirrecta?
Dibuja y rotula un ejemplo de cada figura.
EF
AB
Segmento de recta CD
Punto G
Nombre Fecha
Figura
Dibujo de la figura
Semirrecta
Recta
Ángulo
Usa la herramienta de ángulo recto para clasificar el ángulo como recto, agudo u obtuso.
Identifica el tipo de ángulo.
Nombre Fecha
1.
2.
6. L D M
Nombre Fecha
Completa la tabla. Usa la herramienta de ángulo recto. El primero ya está resuelto como ejemplo.
Tamaño comparado con un ángulo recto (mismo tamaño, menor que, mayor que)
1. A BC
Tipo de ángulo (recto, agudo, obtuso)
Menor que Agudo
Figura
2. A BC
3. A BC
Figura
Tamaño comparado con un ángulo recto (mismo tamaño, menor que, mayor que)
Tipo de ángulo (recto, agudo, obtuso)
7. Usa la herramienta de ángulo recto como ayuda para identificar ángulos rectos, agudos y obtusos en la pintura Mi Egipto (My Egypt) de Charles Demuth. Remarca al menos dos de cada tipo de ángulo. Rotúlalos con puntos y un arco y, luego, nómbralos en la tabla.
Charles Demuth (1883–1935). My Egypt. 1927. Oil, fabricated chalk, and graphite pencil on composition board. Overall: 35 15/16 x 30 in. (91.3 x 76.2 cm). Purchase, with funds from Gertrude Vanderbilt Whitney. Inv. N.: 31.172 Digital image © Whitney Museum of American Art/ Licensed by Scala/Art Resource, NY
Ángulo recto
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
8. Amy dibuja dos ángulos del mismo tamaño. David dice que no pueden ser del mismo tamaño porque las semirrectas trazadas en el ∠QRX son más largas que las semirrectas en el ∠PWL Explica por qué los ángulos pueden ser del mismo tamaño.
Identifica cada ángulo como recto, agudo u obtuso. Usa la herramienta de ángulo recto.
Nombre Fecha
Figura
Tipo de ángulo (recto, agudo, obtuso)
Figura
Tipo de ángulo (recto, agudo, obtuso)
Nombre Fecha
Dibuja un ángulo con la semirrecta dada. Rotula el ángulo.
1. Usa la ⟶ LM para dibujar el ∠KLM.
2. Dibuja y rotula un ángulo obtuso PRS.
Nombre Fecha
Sigue las instrucciones para dibujar y nombrar el ángulo. Luego, encierra en un círculo el tipo de ángulo.
1.
2.
a. Marca un punto que no esté en la ⟶ CD . Rotúlalo X.
b. Traza la ⟶ CX .
c. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
d. Nombra el ángulo de tres maneras diferentes.
, ∠ , ∠
a. Traza la ⟶ KZ .
b. Traza la ⟶ KE .
c. Dibuja un cuadrado para mostrar el ángulo.
d. Nombra el ángulo de tres maneras diferentes.
3.
a. Traza la ⟶ LQ .
b. Traza la ⟶ LP .
c. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
d. Nombra el ángulo de tres maneras diferentes.
Recto
Agudo
Obtuso Llano
Recto
Agudo
Obtuso Llano
Recto Agudo Obtuso Llano
a. Dibuja el ∠HBT.
Recto Agudo Obtuso Llano 4.
b. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
c. Nombra el ángulo de tres maneras diferentes.
5. Completa la tabla.
Descripción del ángulo
Dibujo del ángulo
Tipo de ángulo
Recto
Menor que un ángulo recto
Mayor que un ángulo recto
2 semirrectas que tienen un extremo en común y que forman una recta
6. Usa la figura para completar las partes (a) a (d). Usa la herramienta de ángulo recto como ayuda.
a. Nombra un ángulo agudo.
b. Nombra un ángulo obtuso.
c. Nombra un ángulo recto.
d. Nombra un ángulo llano. Q S EF G W
1.
un ángulo agudo KLM. Explica cómo sabes que el ángulo es agudo.
2. Dibuja un ángulo obtuso XZY. Explica cómo sabes que el ángulo es obtuso.
Nombre Fecha
Dibuja
Polígono 1
Polígono 2
Polígono 3
Remarca al menos un par de segmentos de recta en cada objeto que parezcan ser perpendiculares. Marca el ángulo recto que comparten con un cuadrado pequeño.
5. ¿Cómo sabes si dos rectas o segmentos de recta son perpendiculares?
Nombre Fecha
1. 2.
Traza un segmento de recta perpendicular a cada segmento de recta dado. Usa una herramienta de borde recto y una herramienta de ángulo recto. Marca el ángulo recto con un cuadrado pequeño.
8. Usa la herramienta de ángulo recto y la herramienta de borde recto para trazar un par de semirrectas perpendiculares.
6. 7.
Usa la herramienta de ángulo recto para hallar y nombrar los lados perpendiculares. Si no hay lados perpendiculares, escribe la palabra Ninguno. Marca cada ángulo recto con un cuadrado pequeño. El problema 9 ya está empezado como ejemplo.
9. CD
VF
15. Usa el mapa para completar las partes (a) a (d).
a. Nombra una calle que sea perpendicular a la avenida Central.
b. Nombra una calle que sea perpendicular a la calle West.
c. Nombra dos calles que sean perpendiculares entre sí.
d. ¿La calle Home es perpendicular a la avenida River? Explica tu razonamiento.
16. Marca cada ángulo recto en la figura con un cuadrado pequeño. (Nota: No es necesario que el ángulo recto esté dentro de la figura).
¿Cuántos pares de lados perpendiculares tiene esta figura?
1. Traza y rotula un par de segmentos de recta perpendiculares, WX y YZ . Marca uno de los ángulos rectos con un cuadrado pequeño.
2. Usa una herramienta de ángulo recto para hallar cada ángulo recto en la figura. Marca cada ángulo recto con un cuadrado pequeño. Luego, nombra un par de lados perpendiculares.
Nombre Fecha
Práctica veloz
Convierte.
1. 3 m = cm
2. 4 km = m
3. 6 yd = pies
4. 3 pies = pulg
Convierte.
1. 1 m = cm
2. 2 m = cm
3. 5 m = cm
4. 7 m = cm
Número de respuestas correctas:
2 m 80 cm = cm
5 m 29 cm = cm
7 km 94 m = m 10. 7 km = m
9 km = m
10 km = m
13. 1 yd = pies
17. 10 yd = pies
18. 1 pie = pulg
19. 2 pies = pulg
20. 3 pies = pulg
21. 5 pies = pulg
22. 8 pies = pulg
9 km 6 m = m
4 m = cm
4 km = m
yd 2 pies = pies
1 pie 5 pulg = pulg
2 pies 8 pulg = pulg
4 pies 10 pulg = pulg
pulg
BConvierte.
1. 1 m = cm
2. 2 m = cm
3. 4 m = cm
Número de respuestas correctas:
Progreso:
2 km
m = m 8. 2 km = m
9. 4 km = m
4 km 602 m = m
6 km 84 m = m 10. 6 km = m
9 km = m
9 km 5 m = m
16. 6 yd = pies
17. 10 yd = pies
18. 1 pie = pulg
19. 2 pies = pulg
20. 3 pies = pulg
7 yd 2 pies = pies
11 yd 2 pies = pies
1 pie 4 pulg = pulg
2 pies 7 pulg = pulg
pulg = pulg 21. 5 pies = pulg
Polígono 1
Polígono 2
3
Polígono
Remarca al menos un par de segmentos de recta en cada objeto que parezcan ser paralelos. Marca los segmentos de recta como paralelos dibujando marcas de flecha.
5. ¿Cómo sabes si dos rectas o segmentos de recta son paralelos?
Nombre Fecha
1. 2.
3. 4.
Traza un segmento de recta paralelo a cada segmento de recta dado. Usa una herramienta de borde recto y una herramienta de ángulo recto. Marca cada segmento de recta con una marca de flecha.
8. Usa la herramienta de ángulo recto y la herramienta de borde recto para trazar un par de rectas paralelas. Marca cada recta con una marca de flecha.
6. 7.
Usa una herramienta de borde recto y una herramienta de ángulo recto para hallar y nombrar los lados paralelos. Si no hay lados paralelos, escribe la palabra Ninguno. Marca los lados paralelos con marcas de flecha. El problema 9 ya está empezado como ejemplo.
15. Usa el mapa para completar las partes (a) a (d).
a. Nombra una calle que sea paralela a la calle North.
b. Nombra una calle que sea perpendicular a la calle Broadway.
c. Nombra dos calles que sean paralelas entre sí.
d. ¿La calle Mountain es paralela a la calle River? Explica tu razonamiento.
1. Traza un par de segmentos de recta paralelos. Rotula sus extremos. Marca cada segmento con una marca de flecha.
2. Marca el par de lados paralelos con marcas de flecha. Luego, nombra el par de lados paralelos.
Nombre Fecha
1. Usa papel de puntos para crear el plano de planta de una casa. Sigue estas pautas:
Incluye solo un nivel. No incluyas escaleras.
Usa segmentos de líneas rectas.
Incluye pasillos.
Incluye al menos un ejemplo de cada figura que aparece en la tabla.
Rotula cada habitación.
2. Usa tu plano de planta para completar la tabla.
✓Figura
Segmento de recta
Segmentos de recta paralelos
Segmentos de recta perpendiculares
Ángulo recto
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
Ejemplo de la figura en el plano de planta
Nombre Fecha
1. Halla un ejemplo de cada figura en el plano de planta. Usa los números para completar la tabla.
Figura
Segmento de recta
de estar
Segmentos de recta paralelos
Segmentos de recta perpendiculares
Ángulo recto
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
Ejemplo en el plano de planta
Describe la figura. Usa un lenguaje preciso.
Descripción
Nombre Fecha
Figura
Patio
Cocina
1. La figura azul gira 1 4 de 1 giro entero cada vez. Cuenta de un cuarto en un cuarto para rotular la fracción de 1 giro entero. 1 4
2. La figura azul gira 1 8 de 1 giro entero cada vez. Cuenta de un octavo en un octavo para rotular la fracción de 1 giro entero.
3. ¿Qué giro fraccionario forma un ángulo llano? Usa los problemas 1 y 2 como ayuda.
cuartos: octavos:
Nombre Fecha
4. ¿Puedes formar un ángulo obtuso al girar de un cuarto en un cuarto? ¿Cómo lo sabes?
5. Dibuja y sombrea para mostrar las fracciones de 1 giro entero. Luego, escribe el tipo de ángulo. El primero ya está resuelto como ejemplo.
Tipo de ángulo
Recto
6. Carla dice que 3 4 y 6 8 de 1 giro entero son el mismo ángulo. ¿Estás de acuerdo? Usa los círculos como ayuda para explicar tu respuesta.
Figura
7. ¿Hay más giros de un cuarto o giros de un octavo en 1 giro entero? ¿Cómo lo sabes?
Completa la tabla.
Nombre Fecha
Figura
Fracción de 1 giro entero
Tipo de ángulo
1. Para hacer y medir cada ángulo de referencia, usa la herramienta para hacer ángulos y el transportador. Luego, completa la tabla.
Nombre Fecha
Usa el transportador para completar los espacios.
Fracción de 1 giro: 4
Medida angular: °
Tipo de ángulo:
Fracción de 1 giro: 4
Medida angular: °
Tipo de ángulo:
Nombre Fecha
1.
Fracción de 1 giro: 4
Medida angular: °
Tipo de ángulo:
Fracción de 1 giro: 8
Fracción de 1 círculo: 360
Medida angular:
Tipo de ángulo:
Fracción de 1 giro: 8
Fracción de 1 círculo: 360
Medida angular:
Tipo de ángulo:
Fracción de 1 giro: 8
Fracción de 1 círculo:
Medida angular: Tipo de ángulo:
Medida angular:
Tipo de ángulo:
Medida angular:
Tipo de ángulo:
10. ¿Cuántos ángulos de 1° forman 1 giro entero?
Medida angular: Tipo de ángulo:
11. Un ángulo recorre un giro de 3 4 de un círculo. ¿Cuál es la medida del ángulo en grados?
12. Zara dibuja un ángulo que recorre un giro de 55 360 de un círculo. ¿Qué tipo de ángulo dibuja Zara? ¿Cómo lo sabes?
13. ¿Cuántos ángulos de 30° forman 1 giro entero?
1. ¿Qué fracción de un giro entero es 1 grado?
2. Usa el ángulo que se muestra en el transportador para completar las partes (a) y (b).
a. ¿Cuál es la medida del ángulo?
b. ¿Qué fracción de un giro entero se muestra? Explica cómo lo sabes.
Nombre
Fecha
Nombre Fecha
1. ¿Cuántos grados gira el minutero desde las 2:15 hasta las 3:00?
2. Un avión despega hacia el oeste. El avión gira y ahora vuela hacia el este. ¿Cuántos grados gira el avión?
3. Adam está en el asiento de la parte de arriba de la rueda de la fortuna. La rueda de la fortuna gira 270° en el sentido de las manecillas del reloj.
a. Encierra en un círculo dónde está el asiento de Adam luego del giro.
b. ¿Qué giro lleva a Adam hasta la parte de arriba de la rueda de la fortuna nuevamente?
4. Liz participa de un juego. Quiere que la pieza verde quepa en el espacio blanco. ¿Qué botón debería presionar para que la pieza quepa? ¿Cómo lo sabes?
Girar 90˚ Girar 180˚
Botones
5. Luke, Mía y James están en el parque. Están sobre la estrella mirando hacia la cancha de basquetbol.
Estacionamiento
a. Luke gira 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿Hacia qué parte del parque está mirando?
b. Mía gira 180°. ¿Hacia qué parte del parque está mirando?
c. Ahora, James está mirando hacia la piscina. Usa los grados y las palabras “en el sentido de las manecillas del reloj” o “en sentido contrario a las manecillas del reloj” para describir cómo giró.
Jardín
Cancha de basquetbol
Piscina
1. David está haciendo una parada de manos. Describe cuántos grados girará el cuerpo para volver a estar parado derecho.
2. Gabe comienza a montar su bicicleta en el punto representado por la estrella. Va hacia el norte durante 3 manzanas, luego gira 90° en el sentido de las manecillas del reloj y avanza 2 manzanas. ¿Hacia qué sentido mira luego del giro?
a. Haz un dibujo de la ruta de Gabe en la cuadrícula. Cada cuadrado representa 1 manzana.
b. Gabe mira hacia el luego del giro.
Nombre Fecha
Identifica el tipo de ángulo. Luego, usa un transportador para medir el ángulo.
Nombre Fecha
1. Tipo de ángulo: Medida:
2. Tipo de ángulo: Medida:
3. Tipo de ángulo: Medida:
4.
Medida:
5. Tipo de ángulo: Medida:
Tipo de ángulo:
6. Tipo de ángulo: Medida:
7. Tipo de ángulo:
Medida:
Clasifica el ángulo como recto, agudo, obtuso o llano. Luego, escribe la medida angular.
Medida: °
Medida: °
Medida: °
Medida: °
Nombre Fecha
1. Tipo de ángulo:
2. Tipo de ángulo:
3. Tipo de ángulo:
4. Tipo de ángulo:
Usa un transportador para medir el ángulo. Registra la medida en grados.
5. Medida: °
Medida: °
7. Medida: °
Medida: °
9. Medida: °
10. Medida: °
11. Medida: °
13. Gabe dice que la medida del ángulo que se muestra es 75°. Usa un transportador para medir el ángulo. Luego, explica el error de Gabe.
Usa un transportador para medir los ángulos.
Nombre Fecha
1. grados
2. grados
grados
grados
a. Medida del ∠A:
b. Medida del ∠B:
c. Medida del ∠C:
d. Medida del ∠D:
e. Medida del ∠E:
Nombre Fecha
1. Halla la medida de cada ángulo.
2. Identifica el tipo de ángulo y estima la medida. Luego, usa un transportador para hallar la medida angular real.
Tipo de ángulo y estimación de la medida angular Ángulo
a. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
b. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
Medida angular real
Tipo de ángulo y estimación de la medida angular
c. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
d. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
Ángulo
Medida angular real
Completa la tabla.
Tipo de ángulo y estimación de la medida angular
1. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
2. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
3. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
Ángulo
Medida angular real
Nombre Fecha
Tipo de ángulo y estimación de la medida angular
4. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
5. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
6. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
Ángulo
Medida angular real
Tipo de ángulo y estimación de la medida angular
7. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
8. Tipo de ángulo:
Estimación de la medida angular: °
Ángulo
Medida angular real
9. Deepa dice que el ángulo que se muestra es un ángulo agudo. Iván dice que es un ángulo obtuso. Usa un transportador para medir el ángulo. Luego, explica quién está en lo correcto.
Completa la tabla.
Ángulo
Estimación de la medida angular Medida angular real
Aproximadamente
Aproximadamente
Aproximadamente
Aproximadamente
Nombre Fecha
Práctica veloz
Completa las ecuaciones.
1. 60 + = 90
2. + 45 = 90
ACompleta las ecuaciones.
1. 80 + = 90
2. 70 + = 90
3. 60 + = 90
4. 50 + = 90
5. 90 + = 90
6. + 20 = 90
7. + 40 = 90
8. + 10 = 90
9. + 30 = 90
10. + 0 = 90
11. 85 + = 90
12. 75 + = 90
13. 65 + = 90
14. + 55 = 90
15. + 45 = 90
16. + 15 = 90
17. 25 + = 90
18. 45 + = 90
19. 35 + = 90
20. + 5 = 90
21. + 65 = 90
Número de respuestas correctas:
76 + = 90
+ 66 = 90
+ 56 = 90
56 + = 90
57 + = 90
+ 67 = 90
+ 77 = 90
87 + = 90
88 + = 90
+ 70 = 90
+ 60 = 90
22. + 55 = 90 23. 86 + = 90
10 + 70 + = 90
30 + 10 + = 90
10 + + 50 = 90
10 + + 55 = 90
+ 55 + 20 = 90
+ 20 + 45 = 90
32 + 45 + = 90 42. 25 + + 32 = 90
+ 41 + 25 = 90 44. 33 + + 41 = 90
Completa las ecuaciones.
1. 80 + = 90
2. 70 + = 90
3. 60 + = 90
4. 50 + = 90
5. 90 + = 90
6. + 10 = 90
7. + 30 = 90
8. + 40 = 90
9. + 20 = 90
10. + 0 = 90
11. 85 + = 90
12. 75 + = 90
13. 65 + = 90
14. + 55 = 90
15. + 45 = 90
16. + 5 = 90
17. 15 + = 90
18. 45 + = 90
19. 55 + = 90
20. + 35 = 90
21. + 65 = 90
22. + 25 = 90
Número de respuestas correctas:
Progreso:
87 + = 90
77 + = 90
+ 67 = 90
+ 57 = 90
57 + = 90
58 + = 90
+ 68 = 90
+ 78 = 90
88 + = 90
89 + = 90
+ 80 = 90
+ 70 = 90
70 + 10 + = 90
10 + 30 + = 90
50 + + 10 = 90
55 + + 10 = 90
+ 20 + 55 = 90
+ 45 + 20 = 90
45 + 32 + = 90 42. 32 + + 25 = 90 43. + 25 + 41 = 90 44. 41 + + 33 = 90
1. Usa un transportador y una herramienta de borde recto para dibujar un ángulo de 40°
Crea un boceto de cada ángulo. Luego, usa un transportador y una herramienta de borde recto para dibujar el ángulo. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
preciso
Nombre Fecha
Ángulo
Boceto
Dibujo
2. 97°
Ángulo
Boceto
Dibujo preciso
3. 174°
4. 151°
5. 29°
Ángulo
Boceto
Dibujo preciso
6. 83°
Usa la semirrecta, un transportador y una herramienta de borde recto para construir el ángulo. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
Nombre Fecha
1. 40°
2. 75°
3. 125°
4. 165°
5. 63° 6. 148°
Construye el ángulo. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
7. 10° 8. 115°
9. 37° 10. 128°
13. Jayla coloca un transportador sobre una semirrecta. Muestra y explica cómo puede hacer un ángulo de 40°
11. 82°
12. 173°
Construye un ángulo de 130°. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
Nombre Fecha
1. Descompón cada ángulo para hallar su medida.
Nombre Fecha
Halla la medida angular representada por el arco.
La medida del ∠I es
medida
La medida del ∠K es .
5. Descompón el ∠L usando bloques para hacer patrones.
a. Escribe una ecuación para hallar la medida del ∠L.
b. La medida del ∠L es
Nombre Fecha
Completa los problemas 1 a 4 usando los bloques para hacer patrones.
1. Halla las medidas del ∠A y del ∠B. Luego, suma para hallar la medida del ∠C.
La medida del ∠A es
La medida del ∠B es . C
Ecuación de suma: + = 90
La medida del ∠C es .
2. Halla las medidas del ∠D y del ∠E. Luego, suma para hallar la medida del ∠F.
La medida del ∠D es = .
La medida del ∠E es . F
Ecuación de suma: + =
La medida del ∠F es .
3. Escribe una ecuación y halla la medida angular representada por el arco.
Ángulo
Ecuación
Medida
4. La medida del ∠Z es 120°. Describe dos maneras en las que podrías usar bloques para hacer patrones para descomponer el ∠Z
Nombre Fecha
Responde la pregunta usando los bloques para hacer patrones.
¿Cuál es la medida angular que muestra el arco?
Nombre Fecha
Completa las ecuaciones y halla la medida angular desconocida. Comprueba la medida usando un transportador.
El ∠ABC es un ángulo recto.
2. El ∠FQH es un ángulo recto.
40 + = 90 x =
La medida del ∠DBC es .
La medida del ∠SQH es .
1.
3. El ∠OTM es un ángulo recto.
4. El ∠LGJ es un ángulo recto.
La medida del ∠YTM es .
5. El ∠EFG es un ángulo llano.
La medida del ∠LGN es .
La medida del ∠BFG es . 6. El ∠UCR es un ángulo llano.
La medida del ∠DCR es .
La medida del ∠KVE es .
8. El ∠YJH es un ángulo llano.
La medida del ∠YJP es .
7. El ∠KVR es un ángulo llano.
9. Robin construye un gato con las piezas que se muestran en la imagen. Halla el valor de x. Explica tu razonamiento.
10. Un abanico está abierto como se muestra debajo. ¿Cuántos grados más necesita abrirse el abanico para formar un ángulo llano?
Escribe una ecuación para hallar la medida angular desconocida. Explica tu razonamiento.
45° x° 147°
El ∠ ABC es un ángulo llano. La medida del ∠ DBC es 53°.
Escribe y resuelve una ecuación para hallar la medida del ∠ ABD.
Ecuación:
Medida del ∠ ABD:
Nombre Fecha
Nombre Fecha
Escribe y resuelve una ecuación para hallar la medida angular desconocida.
El ∠LMN es un ángulo llano.
2. El ∠QLP es un ángulo llano.
La medida del ∠BMN es .
La medida del ∠JLT es .
1.
x°
4. El ∠SVM es un ángulo llano.
La medida del ∠WNT es
La medida del ∠SVY es
3. El ∠TNH es un ángulo llano.
6. El ∠EFG es un ángulo llano.
La medida del ∠UZW es .
La medida del ∠OFP es .
5. El ∠CZD es un ángulo llano.
7. La medida del ∠YJH es 75°.
8. La medida del ∠ENB es 150°.
La medida del ∠YJT es .
La medida del ∠VNB es
F
9. La medida del ∠HCE es 82°. 30°
13° x°
10. La medida del ∠RZU es 137°.
La medida del ∠FCG es .
La medida del ∠RZS es
11. Pablo dibuja un diseño. La parte de abajo de su diseño es un ángulo llano. Halla la medida angular desconocida.
La medida angular desconocida es . 20° 35° 35° 20° x°
Nombre Fecha
El ∠TUV es un ángulo llano.
Escribe y resuelve una ecuación para hallar la medida del ∠WUX.
Ecuación:
Medida del ∠WUX:
Práctica veloz
Completa las ecuaciones.
1. 140 + = 180
2. + 175 = 180
3. 100 + 50 + = 180
ACompleta las ecuaciones.
1. 80 + = 180
2. 100 + = 180
3. 110 + = 180
4. 170 + = 180
5. 160 + = 180
6. 60 + = 180
7. + 50 = 180
8. + 150 = 180
9. + 40 = 180
10. + 140 = 180
11. + 90 = 180
12. 105 + = 180
13. 175 + = 180
14. + 115 = 180
15. + 165 = 180
16. 125 + = 180
17. 155 + = 180
18. + 135 = 180
19. + 145 = 180
20. 85 + = 180
21. 95 + = 180
22. 94 + = 180
Número de respuestas correctas:
= 180
= 180
+ 0 + 90 = 180
178 + = 180
177 + = 180
5 + 100 + = 180
+ 65 + = 180
+ + 100 = 180
+ + 45 = 180
+ 25 + 90 = 180
+ 75 + 80 = 180
BCompleta las ecuaciones.
1. 100 + = 180
2. 80 + = 180
3. 170 + = 180
4. 110 + = 180
5. 160 + = 180
6. 60 + = 180
7. + 150 = 180
8. + 30 = 180
9. + 140 = 180
10. + 40 = 180
11. + 90 = 180
12. 175 + = 180
13. 105 + = 180
14. + 165 = 180
15. + 115 = 180
16. 155 + = 180
17. 125 + = 180
18. + 145 = 180
19. + 135 = 180
20. 95 + = 180
21. 85 + = 180
22. 84 + = 180
Número de respuestas correctas:
Progreso:
= 180
=
=
+ 60 =
+ 90 + 0 = 180
179 + = 180
178 + = 180
+ 5 + = 180
+ 100 + = 180
+ + 25 = 180
+ + 100 = 180
+ 90 + 25 = 180
1. Sigue las instrucciones de las partes (a) a (c) para dibujar la figura y hallar la medida de los ángulos.
a. Traza 2 rectas secantes usando la herramienta de borde recto.
b. Coloca un punto donde se intersecan las rectas.
c. Usa el transportador para medir los 4 ángulos. Rotula las medidas en el dibujo.
Nombre Fecha
El WX y el YZ son segmentos de recta. El WX y el YZ se intersecan en O.
=
medida del ∠UOZ es .
medida del ∠YOX es
La medida del ∠WOY es .
2. m°
La
3. n° =
La
4. k° =
Escribe y resuelve una ecuación para hallar la medida angular desconocida.
La medida angular desconocida es
La medida angular desconocida es .
La medida angular desconocida es .
La medida angular desconocida es .
Nombre Fecha
Escribe y resuelve ecuaciones para hallar las medidas angulares desconocidas.
5. El EF y el GH se intersecan en N.
a. La medida del ∠ENG es .
b. La medida del ∠GNF es .
6. El JK y el LM se intersecan en N.
a. La medida del ∠JNL es .
b. La medida del ∠JNM es .
c. La medida del ∠MNK es .
7. El UV , el XY y el AN se intersecan en N.
a. La medida del ∠UNX es .
b. La medida del ∠ ANY es .
c. La medida del ∠ XNV es .
8. Eva gira la tapa de un frasco 70°. Luego, la gira 195° más. ¿Cuánto más necesita girar Eva la tapa para hacer 1 giro entero?
Segundo giro 195° x°
Primer giro 70°
Nombre Fecha
El ∠ AEB y el ∠CED son ángulos llanos.
Escribe y resuelve ecuaciones para hallar las medidas del ∠ AEC, del ∠CEB y del ∠ DEB.
La medida del ∠ AEC es .
La medida del ∠CEB es .
La medida del ∠ DEB es .
Traza todos los ejes de simetría en cada figura.
Nombre Fecha
15.
La recta azul representa un eje de simetría. Traza la otra parte de la figura. 16. 17.
Encierra en un círculo las figuras que muestran un eje de simetría.
Traza todos los ejes de simetría en cada figura. Escribe el número de ejes de simetría de cada figura.
Nombre Fecha
5. Ejes de simetría: 6. Ejes de simetría: 7. Ejes de simetría:
La recta representa un eje de simetría. Traza la otra parte de la figura.
8. Ejes de simetría: 9. Ejes de simetría: 10. Ejes de simetría:
11. Ejes de simetría: 12. Ejes de simetría: 13. Ejes de simetría:
18. ¿El círculo muestra todos los ejes de simetría posibles? ¿Cómo lo sabes?
Nombre Fecha
¿Cada figura muestra un eje de simetría?
4. Traza todos los ejes de simetría de la figura que se muestra.
1. Completa la tabla para cada triángulo.
Triángulo Atributos
Ángulo
Clasificación
triángulo acutángulo
triángulo obtusángulo
triángulo rectángulo
Longitudes de los lados
triángulo escaleno
triángulo isósceles
triángulo equilátero
triángulo acutángulo
triángulo obtusángulo
triángulo rectángulo
triángulo acutángulo
triángulo obtusángulo
triángulo rectángulo
triángulo escaleno
triángulo isósceles
triángulo equilátero
triángulo escaleno
triángulo isósceles
triángulo equilátero
Nombre Fecha
Triángulo
Atributos
Clasificación
Ángulo
triángulo acutángulo
triángulo obtusángulo
triángulo rectángulo
triángulo escaleno
triángulo isósceles
Longitudes de los lados △MNO N M O
triángulo equilátero △ABC C B A
El ∠A es un ángulo recto.
Los lados
AB y AC tienen la misma longitud. △DEF E D F
El ∠E es obtuso.
Los lados
ED y EF tienen la misma longitud.
Usa los triángulos para completar los problemas 1 a 4.
1. Clasifica cada triángulo según la longitud de sus lados. Luego, clasifica cada triángulo según sus medidas angulares.
Equilátero Isósceles Escaleno Acutángulo Rectángulo Obtusángulo
2. ¿Qué triángulos son acutángulos isósceles, si es que los hay?
3. ¿Qué triángulos son obtusángulos escalenos, si es que los hay?
4. Casey dice que el triángulo C es un triángulo rectángulo equilátero. ¿Estás de acuerdo con Casey? ¿Por qué?
Nombre Fecha
5. El △STU tiene 1 eje de simetría. ¿Qué te indica esto acerca de las medidas del ∠S y del ∠T?
6. El △VWX tiene 3 ejes de simetría.
a. Completa los espacios con 3 pares de ángulos de la misma medida.
b. El perímetro del △VWX es 42 centímetros. ¿Cuál es la longitud de cada lado?
c. Clasifica el △VWX a partir de la medida de sus ángulos y lados.
7. Usa una regla para conectar 3 puntos y formar un triángulo.
a. Usa los puntos que conectaste para nombrar tu triángulo.
b. Clasifica tu triángulo a partir de sus ángulos y lados.
c. Oka conecta los puntos A, B y C. Dice: “Formé el △ ABC”. ¿Estás de acuerdo con Oka? ¿Por qué?
8. ¿Puede un triángulo tener 2 ángulos rectos? ¿Cómo lo sabes?
Completa la tabla para cada triángulo.
Triángulo
Clasificación
Tipo de ángulo
Acutángulo
Obtusángulo
Longitudes de los lados
Rectángulo Isósceles
Acutángulo
Obtusángulo
Equilátero Escaleno
Equilátero Escaleno
Rectángulo Isósceles
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo Isósceles
Equilátero Escaleno
Nombre Fecha
1. Dibuja un triángulo rectángulo isósceles.
Rotula cada vértice para nombrar el triángulo como △BDU.
Luego, mide y rotula cada ángulo y las longitudes de los lados.
Nombre Fecha
2. Dibuja un triángulo escaleno.
Rotula cada vértice para nombrar el triángulo como △TOP.
Luego, mide y rotula cada ángulo y las longitudes de los lados.
Usa un transportador y una regla para dibujar cada triángulo. Rotula las longitudes de los lados y las medidas angulares.
Nombre Fecha
1. Triángulo rectángulo isósceles
2. Triángulo rectángulo escaleno
3. Triángulo obtusángulo escaleno
4. Triángulo acutángulo isósceles
5. Traza todos los ejes de simetría en los triángulos de los problemas 1 a 4. ¿Trazaste al menos 1 eje de simetría en cada triángulo? Explica.
Haz una marca de verificación en verdadero o falso para cada enunciado sobre el △QRS, que es equilátero.
6. La longitud del RS es 4 cm.
7. El △QRS es un triángulo isósceles.
8. El △QRS tiene un ángulo obtuso.
9. La medida del ∠Q es igual a la medida del ∠S
10. El △QRS tiene 3 ángulos agudos.
11. El △QRS tiene exactamente 2 ejes de simetría.
Verdadero Falso
12. Encierra en un círculo un enunciado falso de los problemas 6 a 11. Explica por qué el enunciado es falso.
13. El maestro Endo traza el AB y el BC .
Shen dice que el maestro Endo puede usar los segmentos de recta para trazar el △ ABC rectángulo isósceles.
Zara dice que el maestro Endo puede usar los segmentos de recta para trazar el △ ABC obtusángulo isósceles.
¿Estás de acuerdo con Shen o con Zara? ¿Por qué?
1. Usa un transportador y una regla para dibujar un triángulo obtusángulo isósceles. Rotula las longitudes de los lados y las medidas angulares. Traza los ejes de simetría, si es que hay alguno.
2. Usa un transportador y una regla para dibujar un triángulo rectángulo escaleno. Rotula las longitudes de los lados y las medidas angulares. Traza los ejes de simetría, si es que hay alguno.
Nombre Fecha
Práctica veloz
Completa las ecuaciones.
1. 3 4 = 1 4 + 4
2. 9 6 = 6 6 + 6 + 1 6
ACompleta las ecuaciones.
Número de respuestas correctas:
BCompleta las ecuaciones.
1.
Número de respuestas correctas: Progreso:
No sigue la regla.
Sigue la regla.
Polígonos con al menos 1 ángulo recto
Polígonos con más de 1 ángulo recto
Polígonos con todos los ángulos de la misma medida
Polígonos con exactamente 1 par de ángulos de la misma medida
Polígonos sin ángulos rectos
Polígonos sin ángulos de la misma medida
Polígonos con al menos 1 ángulo agudo
Polígonos con al menos 1 ángulo obtuso
Polígonos con 2 pares de lados perpendiculares
Polígonos con al menos 1 par de lados paralelos
Polígonos con más de 1 par de lados paralelos
Polígonos sin lados paralelos
1. Iván clasifica los polígonos A a J según sus lados.
Exactamente 1 par de lados paralelos Al menos 2 pares de lados paralelos
a. Marca los pares de lados paralelos en cada polígono. El polígono B ya está resuelto como ejemplo.
b. ¿Qué polígonos son trapecios?
c. ¿Qué polígonos son paralelogramos?
d. Iván observa que ninguno de los polígonos es un triángulo. Explica por qué los triángulos no pertenecen a ninguna categoría.
Nombre Fecha
e. Iván quiere clasificar los polígonos según los tipos de ángulos que tienen. Escribe las letras de los polígonos que parecen pertenecer a cada categoría.
Ningún ángulo recto
Al menos 1 ángulo recto
2. Amy dibuja polígonos que tienen al menos 2 ángulos obtusos. Pablo dibuja polígonos que tienen al menos 2 ángulos agudos.
Polígonos de Polígonos de
a. Escribe los nombres Amy o Pablo en los espacios para indicar qué polígonos dibujan Amy y Pablo.
b. ¿El trapecio pertenece a un grupo o a ambos grupos? Explica cómo lo sabes.
c. ¿El rectángulo pertenece a uno de los grupos? Explica cómo lo sabes.
3. Luke y David clasifican los polígonos K a N. Luke dice que todos los polígonos parecen tener al menos 1 ángulo recto. David dice que todos los polígonos parecen tener al menos 1 par de lados perpendiculares. ¿Quién está en lo correcto? Explica cómo lo sabes.
Jayla clasifica los polígonos A a F según sus ángulos.
Exactamente 2 ángulos rectos Al menos 3 ángulos rectos
a. Marca los ángulos rectos en cada polígono. El polígono A ya está resuelto como ejemplo.
b. ¿Qué polígonos son cuadriláteros?
c. ¿Qué polígonos son rectángulos?
Nombre Fecha
Créditos
Great Minds® has made every effort to obtain permission for the reprinting of all copyrighted material. If any owner of copyrighted material is not acknowledged herein, please contact Great Minds for proper acknowledgment in all future editions and reprints of this module.
Cover, Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Arts, MN. Gift of Bruce B. Dayton/Bridgeman Images. © 2020 Frank Stella/Artists Rights Society (ARS), New York; page 17, Charles Demuth (1883–1935). My Egypt. 1927. Oil, fabricated chalk, and graphite pencil on composition board. Overall: 35 15/16 x 30 in. (91.3 x 76.2 cm). Purchase, with funds from Gertrude Vanderbilt Whitney. Inv. N.: 31.172 Digital image © Whitney Museum of American Art/Licensed by Scala/Art Resource, NY; page 166, (top row) Serafima Dashkevich/Shutterstock. com, Engineer studio/Shutterstock.com, (middle row), Nicole Kwiatkowski/Shutterstock.com, Andrew Mayovskyy/Shutterstock.com, (bottom row) Shanvood/Shutterstock.com, Sakchai.K/Shutterstock.com; All other images are the property of Great Minds.
For a complete list of credits, visit http://eurmath.link/media-credits.
Agradecimientos
Kelly Alsup, Lisa Babcock, Adam Baker, Reshma P. Bell, Joseph T. Brennan, Leah Childers, Mary Christensen-Cooper, Jill Diniz, Janice Fan, Scott Farrar, Krysta Gibbs, Torrie K. Guzzetta, Kimberly Hager, Eddie Hampton, Andrea Hart, Rachel Hylton, Travis Jones, Liz Krisher, Courtney Lowe, Bobbe Maier, Ben McCarty, Ashley Meyer, Bruce Myers, Marya Myers, Victoria Peacock, Maximilian Peiler-Burrows, Marlene Pineda, Elizabeth Re, Jade Sanders, Deborah Schluben, Colleen Sheeron-Laurie, Jessica Sims, Tara Stewart, Mary Swanson, James Tanton, Julia Tessler, Jillian Utley, Saffron VanGalder, Rafael Velez, Jackie Wolford, Jim Wright, Jill Zintsmaster
Ana Álvarez, Lynne Askin-Roush, Trevor Barnes, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Jessica Dahl, Brandon Dawley, Julie Dent, Delsena Draper, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Jen Forbus, Reba Frederics, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Dennis Hamel, Cassie Hart, Sagal Hasan, Kristen Hayes, Abbi Hoerst, Libby Howard, Elizabeth Jacobsen, Amy Kanjuka, Ashley Kelley, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Stephanie Maldonado, Siena Mazero, Alisha McCarthy, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Patricia Mickelberry, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Max Oosterbaan, Tara O’Hare, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Jeff Robinson, Gilbert Rodríguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Amy Schoon, Aaron Shields, Leigh Sterten, Rhea Stewart, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Karrin Thompson, Cherry dela Victoria, Tracy Vigliotti, Dave White, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Howard Yaffe
Herramienta para la conversación
Compartir tu razonamiento
Estar de acuerdo o en desacuerdo
Preguntar por el razonamiento
Decirlo otra vez
Sé que…
Lo hice de esta forma porque…
La respuesta es porque…
En mi dibujo, se ve…
Estoy de acuerdo porque…
Eso es verdadero porque…
No estoy de acuerdo porque…
Eso no es verdadero porque…
¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con ? ¿Por qué?
¿Por qué has…?
¿Puedes explicar…?
¿Qué podemos hacer primero?
¿Cómo se relacionan y ?
Te escuché decir que… dijo que…
Otra manera de decir lo mismo es…
¿Qué significa eso?
Herramienta para el razonamiento
Cuando resuelvo un problema o hago una tarea, me pregunto...
Antes
¿He hecho algo parecido a esto antes?
¿Qué estrategia voy a usar?
¿Necesito alguna herramienta?
Durante
¿Está funcionando mi estrategia?
¿Debería intentarlo de otra manera?
¿Tiene sentido esto?
Después
¿Qué funcionó bien?
¿Qué haría de otra manera la próxima vez?
Al final de cada clase, me pregunto...
¿Qué aprendí?
¿Sobre qué tengo dudas?
LAS MATEMÁTICAS ESTÁN EN TODAS PARTES
¿Quieres comparar qué tan rápido corren tú y tus amigos y amigas?
¿Quieres estimar cuántas abejas hay en un panal?
¿Quieres calcular tu promedio de bateo?
Las matemáticas están detrás de muchas cosas maravillosas, de muchos acertijos y de muchos planes de la vida.
Desde tiempos remotos y hasta nuestros días, hemos usado las matemáticas para construir pirámides, para navegar los mares, para construir rascacielos, ¡y hasta para enviar naves espaciales a Marte!
Con tu curiosidad para comprender el mundo como combustible, las matemáticas te impulsarán en cualquier camino que elijas.
¿Todo listo para arrancar?
Módulo 1
Conceptos de valor posicional para la suma y la resta
Módulo 2
Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división
Módulo 3
Multiplicación y división de números de varios dígitos
Módulo 4
Fundamentos para las operaciones con fracciones
Módulo 5
Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales
Módulo 6
Medidas angulares y figuras planas
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
En esta pintura, el pintor abstracto Frank Stella usó un compás para crear figuras curvas muy brillantes. Cada parte de esta cuadrícula tiene un arco que es parte de un diseño de semicírculos que parecen arcoíris.
Cuando Stella ubica estos patrones de arcoíris juntos, forman círculos. ¿Qué fracción de un círculo se muestra en cada cuadrado?
En la portada
Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969
Frank Stella, American, born 1936 Acrylic on canvas
Minneapolis Institute of Art, Minneapolis, MN, USA
Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Art, MN. Gift of Bruce B. Dayton/ Bridgeman Images. © 2020 Frank Stella/Artists Rights Society (ARS), New York