Spanish Teacher Edition | Level 5 Module 5 | EM2 National by General

Una historia de unidades®

Las fracciones son números ENSEÑAR ▸ Módulo 5 ▸ Suma y multiplicación con área y volumen

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas? A Wassily Kandinsky, un pintor abstracto y músico con formación en piano y chelo, le fascinaban el color y la música. Algunas de sus pinturas parecen estar “compuestas” de una manera que nos permite ver el arte como una composición musical. En matemáticas, componemos y descomponemos números para familiarizarnos con el sistema numérico. Cuando miras un número, ¿puedes ver las partes que forman el total? En la portada Thirteen Rectangles, 1930 Wassily Kandinsky, Russian, 1866–1944 Oil on cardboard Musée des Beaux-Arts, Nantes, France Wassily Kandinsky (1866–1944), Thirteen Rectangles, 1930. Oil on cardboard, 70 x 60 cm. Musée des Beaux-Arts, Nantes, France. © 2020 Artists Rights Society (ARS), New York. Image credit: © RMN-Grand Palais/ Art Resource, NY

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Una historia de unidades®

Las fracciones son números ▸ 5 ENSEÑAR

Módulo

1 2 3 4 5 6

Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros

Suma y resta con fracciones

Multiplicación y división con fracciones

Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales

Suma y multiplicación con área y volumen

Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas

Antes de este módulo

Contenido general

Módulo 2 de 3.er grado

Suma y multiplicación con área y volumen

Sus estudiantes usan unidades métricas para medir volumen líquido y relacionan dichas unidades con las relaciones de valor posicional.

Módulo 4 de 3.er grado Módulo 6 de 4.o grado Sus estudiantes identifican atributos de diferentes figuras que incluyen el número y la longitud de los lados, el número y el tipo de ángulos y la presencia de pares de lados paralelos. Además, dibujan ejes de simetría en figuras bidimensionales. En 3.er grado, sus estudiantes reconocen el área como un atributo de las figuras bidimensionales y hallan el área de rectángulos con longitudes de los lados en números enteros cubriéndolos con fichas cuadradas y, con el tiempo, multiplicando las longitudes de los lados.

Módulo 3 de 5.o grado Sus estudiantes usan un modelo de área y rectas numéricas para multiplicar fracciones por fracciones.

Tema A Dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales La clase construye, analiza y clasifica trapecios, cometas, paralelogramos, rectángulos, rombos y cuadrados. Identifican propiedades de cuadriláteros que involucran pares de lados paralelos, medidas angulares, longitudes de los lados, diagonales y ejes de simetría, y las usan para crear una jerarquía de cuadriláteros. Con esta jerarquía, determinan el nombre más específico de cualquier cuadrilátero y todos los nombres que se le pueden dar a ese cuadrilátero.

Tema B Áreas de figuras rectangulares con longitudes de los lados fraccionarias

Cuadriláteros Trapecios

Cometas

Paralelogramos Rectángulos

Rombos Cuadrados

La clase halla el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias cubriéndolos, primero, con fichas cuadradas con longitudes de los lados en fracciones unitarias y, luego, con fichas rectangulares con longitudes de los lados fraccionarias. Sus estudiantes razonan y determinan que se puede hallar el área de cualquier rectángulo, incluso uno con longitudes de los lados fraccionarias, multiplicando la longitud por el ancho del rectángulo. Usan un modelo de área para multiplicar números mixtos y, luego, resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran la multiplicación de números mixtos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

Tema C

Después de este módulo

Conceptos de volumen En su primer estudio formal del volumen, la clase cuenta el número de cubos unitarios con los que se rellena un prisma rectangular recto. A continuación, construyen un prisma rectangular recto con unidades improvisadas para hallar el volumen del prisma usando elementos que no son cubos unitarios. Componen y descomponen en capas un prisma rectangular recto de diferentes maneras. Hallan el volumen de cada capa y, luego, multiplican el número de capas por el volumen de cada capa a fin de hallar el volumen del prisma. Exploran ideas conceptuales sobre volumen y capacidad haciendo una distinción entre rellenar con cubos y llenar con un líquido.

Tema D El volumen y las operaciones de multiplicación y suma La clase resume el trabajo del tema C determinando que se puede calcular el volumen de cualquier prisma rectangular recto multiplicando el área de la base por la altura, V = B × h, o multiplicando las tres dimensiones del prisma, V = l × a × h. Usan estas dos fórmulas para hallar volúmenes y dimensiones desconocidas de un prisma rectangular recto en problemas matemáticos y del mundo real. Sus estudiantes hallan el volumen de una figura que se compone de prismas rectangulares rectos descomponiéndola en prismas rectangulares rectos y hallando el volumen de cada uno para, luego, sumar sus volúmenes.

Módulo 6 de 5.o grado Sus estudiantes representan cuadriláteros gráficamente en el plano de coordenadas y usan la estructura de dicho plano para nombrar cada cuadrilátero e identificar sus propiedades.

Módulo 3 de 6.o grado Sus estudiantes dibujan polígonos en los cuatro cuadrantes del plano de coordenadas y usan las coordenadas de los vértices para resolver problemas matemáticos y del mundo real, como hallar el área y el perímetro.

Módulo 5 de 6.o grado Sus estudiantes hallan el volumen de prismas rectangulares rectos con longitudes de las aristas fraccionarias rellenándolos con cubos con longitudes de las aristas en fracciones unitarias y aplicando las fórmulas del volumen.

Contenido Suma y multiplicación con área y volumen ¿Por qué? ��6 Criterios de logro académico: Contenido general ��8

Lección 9 ��174 Organizar, contar y representar una colección de fichas cuadradas

Lección 10 �� 196

Tema A ��12 Dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales

Hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias relacionando el rectángulo con un cuadrado unitario

Lección 1 ��18 Analizar jerarquías e identificar las propiedades de cuadriláteros

Hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias usando la multiplicación

Lección 2 ��36

Lección 12 ��238

Lección 11 �� 218

Clasificar trapecios según sus propiedades

Multiplicar números mixtos

Lección 3 ��56

Lección 13 ��258

Clasificar paralelogramos según sus propiedades

Lección 4 �� 76 Clasificar rectángulos y rombos según sus propiedades

Lección 5 ��98

Resolver problemas matemáticos sobre áreas de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos

Lección 14 �� 278 Resolver problemas del mundo real sobre áreas de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos

Clasificar cometas y cuadrados según sus propiedades

Lección 15 ��294

Lección 6 �� 116

Resolver problemas verbales de varios pasos que involucran la multiplicación de números mixtos

Identificar cuadriláteros a partir de propiedades dadas

Lección 7 �� 136 Clasificar cuadriláteros en una jerarquía según sus propiedades

Tema C �� 309 Conceptos de volumen

Tema B ��152 Áreas de figuras rectangulares con longitudes de los lados fraccionarias

Lección 16 ��312

Lección 8 �� 158

Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos rellenándolos con cubos unitarios y contando

Hallar el área de fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias relacionando la ficha con un cuadrado unitario

Identificar los atributos y las propiedades de prismas rectangulares rectos

Lección 17 ��334

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

Lección 18 ��354

Lección 26 �� 506

Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos rellenándolos con unidades improvisadas

Resolver problemas verbales sobre el perímetro, el área y el volumen

Lección 19 �� 374

Aplicar conceptos y fórmulas del volumen para diseñar una escultura usando prismas rectangulares rectos, parte 1

Componer y descomponer prismas rectangulares rectos para hallar su volumen usando capas

Lección 20 ��394 Interpretar el volumen como llenar con líquido

Lección 21 �� 412 Relacionar el volumen de sólidos y el volumen líquido

Tema D ��426 El volumen y las operaciones de multiplicación y suma Lección 22 ��432 Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos usando el área de la base

Lección 23 ��452 Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos multiplicando las longitudes de las aristas

Lección 24 ��470 Resolver problemas verbales sobre el volumen de prismas rectangulares rectos

Lección 27 ��524

Lección 28 ��542 Aplicar conceptos y fórmulas del volumen para diseñar una escultura usando prismas rectangulares rectos, parte 2

Recursos Estándares ��554 Criterios de logro académico: Indicadores de competencias ��556 Vocabulario ��570 Las matemáticas en el pasado �� 572 Materiales �� 576 Obras citadas �� 577 Créditos ��579 Agradecimientos ��580

Lección 25 �� 490 Hallar el volumen de figuras sólidas compuestas de prismas rectangulares rectos

¿Por qué? Suma y multiplicación con área y volumen En el tema A se incluyen muchas más actividades digitales interactivas que en cualquier otro tema de 5.o grado. ¿Por qué? El uso de actividades digitales interactivas proporciona representaciones pictóricas que apoyan el marco concreto-pictórico-abstracto y profundizan la comprensión de sus estudiantes acerca de los cuadriláteros. Cada estudio de un nuevo cuadrilátero en el tema A presenta a sus estudiantes una representación concreta, como la construcción de un cuadrilátero usando papel, lápices, herramientas de ángulo recto y reglas. Una actividad digital interactiva proporciona una representación pictórica que muestra distintas figuras que se ven diferentes, pero que tienen el mismo nombre que los cuadriláteros que construyen sus estudiantes. Estas actividades son una manera ideal de hacer comparaciones entre figuras bidimensionales ya que las medidas de los ángulos, de los lados y de las diagonales cambian visualmente mientras se manipula la figura. Luego, sus estudiantes trabajan con la representación abstracta de la jerarquía haciendo generalizaciones sobre las propiedades de los cuadriláteros y registrándolas en las categorías correctas. La repetición de esta secuencia para cada cuadrilátero proporciona una estructura para comparar y manipular dichas figuras, invitando a sus estudiantes a hacer generalizaciones acerca de las propiedades en cada actividad digital interactiva nueva, lo que significa que, en el tema A, hay más actividades de este tipo que en cualquier otro tema de 5.o grado.

118°

62°

118°

En el tema A se tratan las propiedades de las figuras bidimensionales y en los temas C y D, el volumen de las figuras tridimensionales. ¿Por qué se incluye el tema B, áreas de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias, en este módulo? Este módulo es un estudio de los atributos y las propiedades de las figuras bidimensionales y tridimensionales. Como presentación del módulo, el tema A comienza con un análisis de las propiedades de las figuras bidimensionales, incluyendo sus lados, ángulos, diagonales y simetría. Este estudio de propiedades y atributos se conecta con el enfoque del tema B, el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias, ya que el área es un atributo de las figuras bidimensionales. En los temas C y D se hace énfasis en el volumen, un atributo de las figuras tridimensionales.

1 de unidad 6 3 de unidad 5 © Great Minds PBC

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

¿Por qué sus estudiantes aprenden a multiplicar fracciones otra vez en el módulo 5 cuando ya lo habían hecho en el módulo 3? Se debe hacer una sutil distinción entre el uso de un modelo de área para

Tema B del módulo 3 ¿Cuánto es 4 × 2 ? 5

multiplicar fracciones y hallar el área de un rectángulo. En el módulo 3, sus estudiantes usan un modelo de área para hallar el producto de fracciones antes

_a _c __  ac , dado que b y d de aprender que para los números enteros a, b, c y d,  b × d  = bd

sean diferentes de cero, pero no se les pide que hallen el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias hasta el tema B del módulo 5.

4 5

Incluso entonces, no pueden aplicar de manera inmediata la fórmula conocida

A = l × a porque solo aprendieron a usarla cuando l y a son números enteros. Por lo tanto, cada estudiante debe desarrollar la comprensión conceptual de lo que

2 3

significa hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias. Para esto, en el tema B, se pide que repliquen su trabajo con las longitudes de los lados en números enteros de 3.er y 4.o grado: cubren una superficie con fichas cuadradas con longitudes de los lados en unidades fraccionarias

Tema B del módulo 5

¿Cuál es el área del rectángulo que se muestra?

y cuentan las fichas para darse cuenta de que el área de la región es igual al número de fichas que se usaron para cubrirla. Entonces, llegan a la conclusión

2 de unidad 3

de que la fórmula del área también se puede aplicar cuando l y a son fracciones.

1 de unidad 4

Área de 1 ficha rectangular: 1 de unidad 12 cuadrada

2 de unidad 3 1 de unidad 4

Área del rectángulo sombreado: 1 2 2 x 12 de unidad = de unidad cuadrada 12 cuadrada

Criterios de logro académico: Contenido general Suma y multiplicación con área y volumen Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo. Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar. Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de: • observaciones informales en el salón de clases; • los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones; • Boletos de salida; • Pruebas cortas de los temas y • Evaluaciones de los módulos. Este módulo contiene los 14 CLA que se indican.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

5.Mód5.CLA1

5.Mód5.CLA2

5.Mód5.CLA3

5.Mód5.CLA4

Multiplican números mixtos por números enteros, fracciones y números mixtos.

Hallan y representan el área usando fichas cuadradas con longitudes de los lados en fracciones unitarias.

Hallan el área de rectángulos y figuras compuestas de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias o en números mixtos.

Representan los productos de fracciones y números mixtos usando áreas rectangulares.

5.NF.B.4

5.NF.B.4.b

5.Mód5.CLA5

5.Mód5.CLA6

5.Mód5.CLA7

5.Mód5.CLA8

Resuelven problemas del mundo real relacionados con la multiplicación de números mixtos.

Reconocen que se puede medir el volumen usando cubos unitarios y que un sólido relleno con n cubos unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un volumen de n unidades cúbicas.

Miden volúmenes contando cubos unitarios que representan centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos y unidades improvisadas.

Determinan los atributos desconocidos de prismas rectangulares rectos dado el volumen.

5.MD.C.3, 5.MD.C.3.a, 5.MD.C.3.b

5.MD.C.4

5.NF.B.6

5.MD.C.5

5.Mód5.CLA9

5.Mód5.CLA10

5.Mód5.CLA11

5.Mód5.CLA12

Explican la relación entre la multiplicación y el volumen rellenando prismas rectangulares rectos con cubos unitarios.

Representan y explican los productos de tres números enteros como volúmenes.

Calculan el volumen de prismas rectangulares rectos usando V = l × a × h y V = B × h.

Hallan el volumen de figuras compuestas de prismas rectangulares rectos para resolver problemas matemáticos y del mundo real.

5.MD.C.5.b

5.MD.C.5.c

5.MD.C.5.a

EUREKA MATH2

5 ▸ M5

5.Mód5.CLA13

5.Mód5.CLA14

Explican que las propiedades que pertenecen a una categoría de figuras bidimensionales también pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría.

Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía según sus propiedades.

5.G.B.3

5.G.B.4

La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente. Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias. Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes: • Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 1 de 5.o grado se codifica como 5.Mód1.CLA1. • Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará. • Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada. • Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#

Texto del CLA EUREKA MATH2

5 ▸ M5

5.Mód5.CLA7 Miden volúmenes contando cubos unitarios que representan centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos y unidades improvisadas.

Estándar relacionado

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.MD.C.4 Miden volúmenes contando unidades cúbicas, utilizando centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos, y otras unidades improvisadas.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Miden volúmenes contando cubos unitarios en un prisma rectangular recto con un modelo proporcionado, usando centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas y pies cúbicos.

Miden volúmenes contando cubos unitarios en una figura que se compone de prismas rectangulares rectos con un modelo proporcionado o en un prisma rectangular recto descrito, usando centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos y unidades improvisadas.

Dibujan, describen o comparan figuras creadas con un número dado de cubos unitarios usando centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos y unidades improvisadas.

Determina el volumen del prisma rectangular recto que se muestra.

representa 1 pulgada cúbica.

La Sra. Carter llena una caja para envíos con cajas que tienen forma de cubo. La caja de envíos contiene 4 capas de cajas con forma de cubo. Cada capa es de 2 cajas por 4 cajas. ¿Cuántas cajas con forma de cubo contiene la caja de envío?

Cada cubo en el prisma rectangular recto que se muestra representa 1 centímetro cúbico.

Indicadores del CLA

Parte A Dibuja o describe las dimensiones de un prisma rectangular recto que tiene un volumen de 24 centímetros cúbicos más que el volumen del prisma que se muestra.

Parte B Explica cómo determinaste las dimensiones del nuevo prisma rectangular recto.

562

Tema A Dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales En el tema A, la clase construye, analiza y clasifica cuadriláteros. Identifican propiedades de cuadriláteros que involucran medidas angulares, longitudes de los lados, diagonales, pares de lados paralelos y ejes de simetría. Luego, utilizan estas propiedades para crear una jerarquía de cuadriláteros. Antes de 5.o grado, la clase identifica atributos de diferentes figuras. Estos atributos incluyen el número y la longitud de los lados, el número y el tipo de ángulos y la presencia de pares de lados paralelos. Sus estudiantes identifican las longitudes de los lados, las medidas de los ángulos y los lados perpendiculares y paralelos en figuras bidimensionales. Clasifican dichas figuras según la presencia o ausencia de lados paralelos o perpendiculares, o según la presencia o ausencia de ángulos de una medida específica. Además, dibujan ejes de simetría en figuras bidimensionales. En el tema A, se presentan las jerarquías y se invita a la clase a interpretar cómo pueden ser útiles para identificar las propiedades de los objetos. Sus estudiantes aprenden más sobre la clasificación y comprenden que todos los elementos en una jerarquía comparten las propiedades de los elementos que se encuentran arriba de ellos. Después de determinar una propiedad de los cuadriláteros, que las medidas de los ángulos en cualquier cuadrilátero suman 360º, comienzan a crear una jerarquía de cuadriláteros que continúan desarrollando a lo largo del tema. A lo largo de varias lecciones, exploran las propiedades de los trapecios, paralelogramos, rombos, rectángulos, cometas y cuadrados. Usan herramientas de borde recto y otras de ángulo recto para construir figuras. Luego, usan transportadores y reglas para sacar conclusiones acerca de las relaciones entre las longitudes de los lados, las diagonales y las medidas angulares en sus construcciones. También doblan figuras y sacan conclusiones sobre los ejes de simetría. A partir de estas construcciones, actividades digitales interactivas, conversaciones de toda la clase y actividades, sus estudiantes identifican las propiedades de cada tipo de cuadrilátero. Usan estas propiedades con el propósito de construir una jerarquía de cuadriláteros y así comprender las relaciones entre los diferentes tipos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA Por último, cada estudiante usa esta jerarquía para completar diferentes tareas. Usan las propiedades de los cuadriláteros para dibujar diferentes cuadriláteros que pertenezcan a una descripción dada. Identifican todos los nombres de un cuadrilátero dado y explican por qué, en general, se los denomina por su nombre más específico. Por ejemplo, nombran un rectángulo como un paralelogramo, trapecio y cuadrilátero, pero se dan cuenta de que lo llamamos rectángulo para transmitir tanta información acerca de la figura como nos sea posible. En el módulo 6, sus estudiantes representan cuadriláteros gráficamente en el plano de coordenadas. Usan la estructura del plano de coordenadas para identificar las propiedades de un cuadrilátero y nombrarlo.

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA

Progresión de las lecciones Lección 1

Lección 2

Lección 3

Analizar jerarquías e identificar las propiedades de cuadriláteros

Clasificar trapecios según sus propiedades

Clasificar paralelogramos según sus propiedades

Trapecios D

No trapecios

Puedo interpretar y crear jerarquías. Sé que los cuadriláteros son figuras bidimensionales con 4 lados y medidas angulares que suman 360°.

Todos los trapecios son cuadriláteros. Tienen al menos 1 par de lados paralelos y al menos 2 pares de ángulos suplementarios.

Todos los paralelogramos son trapecios, pero no todos los trapecios son paralelogramos. Los paralelogramos tienen 2 pares de lados paralelos, lados opuestos de la misma longitud, ángulos opuestos de la misma medida, al menos 2 pares de ángulos suplementarios y diagonales que se intersecan en sus puntos medios.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA

Lección 4

Lección 5

Lección 6

Clasificar rectángulos y rombos según sus propiedades

Clasificar cometas y cuadrados según sus propiedades

Identificar cuadriláteros a partir de propiedades dadas

Descripción

Cuadriláteros

• 2 pares de lados opuestos que son paralelos

Todos los rectángulos son paralelogramos y trapecios, pero no todos los paralelogramos y trapecios son rectángulos. Todos los rombos son paralelogramos y trapecios, pero no todos los paralelogramos y trapecios son rombos. Las diagonales de un rectángulo siempre tienen la misma longitud, pero las diagonales de un rombo no siempre tienen la misma longitud. Tanto los rombos como los rectángulos tienen al menos 2 ejes de simetría.

• 2 pares de

lados opuestos que tienen la misma longitud

Las cometas son cuadriláteros con al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud. Todos los rombos son cometas, pero no todos los rectángulos son cometas. Un cuadrado es un rectángulo, un rombo y una cometa.

Puedo usar las propiedades de los cuadriláteros para dibujarlos e identificarlos. Algunos tienen propiedades en común, así que, a veces, puedo dibujar más de un cuadrilátero a partir de la misma descripción.

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA

Lección 7 Clasificar cuadriláteros en una jerarquía según sus propiedades Cuadriláteros D

Trapecios

Paralelogramos

E I

Rombos

Cometas

J C

Rectángulos G

Cuadrados B

Puedo usar diferentes tipos de diagramas para clasificar cuadriláteros según sus propiedades. Sé que muchos cuadriláteros tienen más de un nombre.

LECCIÓN 1

Analizar jerarquías e identificar las propiedades de cuadriláteros

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Nombre

Fecha

1. Considera la jerarquía que se muestra.

Triángulos

a. ¿Todos los triángulos acutángulos son equiláteros? No. b. ¿Todos los triángulos equiláteros son acutángulos?

Acutángulos

Rectángulos

Obtusángulos

La clase aprende cómo interpretar una jerarquía. Comprenden que un objeto puede tener diferentes nombres y que, cuanta más información se tenga acerca de un objeto, más específica es la manera en que se lo puede nombrar. Después de clasificar figuras geométricas e identificar las propiedades de los cuadriláteros, sus estudiantes construyen una jerarquía de figuras geométricas. En esta lección se formalizan los términos plano y propiedad.

Preguntas clave

Sí. c. Todos los triángulos equiláteros tienen 3 ejes de simetría. ¿Eso significa que todos los triángulos tienen 3 ejes de simetría? Explica.

Vistazo a la lección

Equiláteros

• ¿Cuándo una característica de una figura es una propiedad? • ¿Por qué usamos jerarquías?

No. Solo sabemos que tener 3 ejes de simetría es una propiedad de los triángulos equiláteros. No sabemos si es una propiedad de las figuras que se encuentran arriba de ellos en la jerarquía.

• ¿Cuáles son las propiedades de los cuadriláteros?

Criterios de logro académico 5.Mód5.CLA13 Explican que las propiedades que pertenecen a una categoría

de figuras bidimensionales también pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría. (5.G.B.3)

2. Nombra dos propiedades de los cuadriláteros. Todos los cuadriláteros tienen 4 lados.

5.Mód5.CLA14 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía

Las medidas angulares en todos los cuadriláteros suman 360°.

según sus propiedades. (5.G.B.4)

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• computadora o dispositivo*

• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Colección de figuras de los libros para estudiantes y recortar un juego de figuras por pareja de estudiantes con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 35 min • Explorar una jerarquía • Clasificar figuras • Crear una jerarquía • Propiedades de los cuadriláteros • Grupo de problemas

Concluir 10 min

• proyector* • libro Enseñar*

Estudiantes • Colección de figuras (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

• Guarde los recortes de cuadriláteros para usarlos en la lección 2.

• tijeras • marcador de borrado en seco* • libro Aprender* • lápiz* • pizarra blanca individual* • borrador para la pizarra blanca individual* *E stos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Fluidez

EUREKA MATH2

Contar con el transportador La clase cuenta salteado usando unidades de 20° en un transportador de 180° como preparación para clasificar cuadriláteros según sus propiedades. Muestre el transportador de 180° con una semirrecta que señala 0° en la escala externa. Observen la escala externa del transportador. ¿Por qué marca de graduación pasa la semirrecta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

0° Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante de 20° en 20°. La primera medida que dicen es 0°. ¿Comenzamos? Muestre la medida angular aumentando en intervalos de

20° hasta 180°. 0°, 20°…, 160°, 180°

Muestre la imagen del transportador de 180° con una semirrecta que señala 0° en la escala interna. Ahora, observen la escala interna del transportador. ¿Por qué marca de graduación pasa la semirrecta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

0° Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante de 20° en 20°. La primera medida que dicen es 0°. ¿Comenzamos? Muestre la medida angular aumentando en intervalos de

20° hasta 180°. 0°, 20°…, 160°, 180°

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Respuesta a coro: Clasificar y medir ángulos La clase clasifica un ángulo y estima y determina la medida del ángulo usando un transportador de 180° como preparación para clasificar cuadriláteros según sus propiedades. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre el ángulo agudo. ¿Cómo clasificarían el ángulo? Agudo Muestre la respuesta. Estimen la medida del ángulo. Comenten su estimación en voz baja con su pareja.

Agudo 50°

Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.

45°. Parece que es el punto medio entre 0 y 90. 60°. Parece ser mayor que el punto medio hasta 90. Muestre el transportador. ¿Cuál es la medida del ángulo?

50° Muestre la medida del ángulo.

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Obtuso 130°

Recto 90°

Obtuso 145°

Agudo 35°

Obtuso 135°

Obtuso 157°

Respuesta a coro: Atributos de los polígonos La clase identifica polígonos con un atributo específico como preparación para clasificar cuadriláteros según sus propiedades. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre los atributos: 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos. ¿Cuál es el nombre de un polígono con 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos? Triángulo

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1 Muestre la respuesta y, luego, muestre los triángulos. Cuando dé la señal, digan la letra o las letras para responder cada pregunta.

Atributos: 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos Triángulo

¿Qué triángulos tienen al menos 2 lados de la misma longitud?

3 in

8 cm

3 in

10 cm

4 cm 3 cm C 5 cm

6 cm

Muestre el triángulo A encerrado en un círculo. ¿Qué triángulos tienen al menos 1 ángulo recto?

ByC Muestre los triángulos B y C encerrados en un círculo. Repita el proceso con la siguiente secuencia: Atributos: 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos Cuadrilátero

2 cm

6 cm D 6 cm

2 cm

5 cm 3 cm

4 cm

2 in

10 cm

Atributos: 6 lados, 6 vértices y 6 ángulos Hexágono 2 in 2 in 2 in

2 in

G 2 in

2 in 2 in

1 in 3 in 1 in

1 in H

3 in 1 in

3 cm 5 cm

4 cm K

4 cm

5 cm

3 cm

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Presentar

La clase explora cómo usar e interpretar una jerarquía.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Muestre el diagrama de los instrumentos musicales.

Instrumentos musicales Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.

Cuerda

Pulsada

De arco

Viento

Metal

Madera

Percusión

Tambores

• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas. • Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en el idioma. • Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.

Guitarra

Violín

Trompeta

Clarinete

De ser posible, intente formar las parejas con estudiantes que tengan el mismo idioma materno.

Pida a la clase a que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para determinar qué representa el diagrama. El diagrama muestra diferentes tipos de instrumentos ubicados en grupos. El diagrama muestra categorías de instrumentos con ejemplos de cada una de ellas. El diagrama representa tipos de instrumentos musicales. Úsenlo para determinar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Muestre y lea los siguientes enunciados. Compruebe la comprensión de sus estudiantes pidiendo que indiquen, por ejemplo, con pulgares hacia arriba o pulgares hacia abajo, si cada enunciado es verdadero o falso. Si es necesario, haga una pausa para comentar la respuesta correcta con sus estudiantes.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1 • Todos los instrumentos musicales son instrumentos de cuerda. Falso • Todos los instrumentos de percusión son instrumentos musicales. Verdadero • Todos los instrumentos de metal son de viento. Verdadero • Todos los instrumentos de viento son de metal. Falso ¿Cómo se dan cuenta a partir del diagrama de que no todos los instrumentos de viento son de metal? Los instrumentos de viento también pueden ser de madera. Este diagrama representa una jerarquía. Una jerarquía agrupa objetos según sus características. En una jerarquía, los objetos se pueden ubicar por encima o por debajo de otros objetos. Una trompeta es un tipo de instrumento de metal, así que se ubica debajo de los instrumentos de metal en la jerarquía. Podemos llamar a la trompeta instrumento de metal, pero usamos trompeta porque es un nombre más específico. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo una jerarquía ayuda a comprender las relaciones entre objetos. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, interpretaremos y construiremos jerarquías.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Aprender

Explorar una jerarquía La clase explica e interpreta la estructura de una jerarquía. Continúe mostrando la jerarquía de los instrumentos. Señale la palabra guitarra. Mientras brinda la siguiente explicación, señale las secciones relevantes de la jerarquía. Según esta jerarquía, el nombre más específico para la guitarra es guitarra. Pero también podríamos llamarla un instrumento de cuerda pulsada, un instrumento de cuerda o simplemente un instrumento musical. Según la jerarquía, ¿qué otros nombres se pueden dar al clarinete? Un instrumento de viento madera Un instrumento de viento Un instrumento musical Una propiedad de los instrumentos musicales es que producen sonidos musicales. Cada objeto mencionado debajo de esa categoría en la jerarquía debe producir, por lo tanto, sonidos musicales.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Los instrumentos de cuerda están hechos de madera. ¿El violín está hecho de madera? ¿Cómo lo saben?

Para apoyar a sus estudiantes con el término propiedad, invíteles a compartir propiedades de objetos que conozcan.

Sí. El violín está hecho de madera porque es un instrumento de cuerda, y todos los instrumentos de cuerda están hechos de madera. Si todo instrumento de cuerda está hecho de madera, entonces, estar hecho de madera es una propiedad de los instrumentos de cuerda. Una propiedad es algo que es verdadero acerca de todos los elementos en esa categoría. Dado que estar hecho de madera es una propiedad de los instrumentos de cuerda, cada uno de ellos está hecho de madera, así como también lo está cada instrumento en las categorías debajo de los instrumentos de cuerda. ¿Todos los instrumentos musicales están hechos de madera? ¿Cómo lo saben? Es posible que todos los instrumentos musicales sean de madera, pero no lo sabemos. Solo sabemos que todos los instrumentos de cuerda son de madera. Hay instrumentos musicales que no son de cuerda.

• Una propiedad del agua es que puede disolver muchas sustancias. • Una propiedad de cualquier objeto es que tiene un tamaño. • Una propiedad de todos los números es que se pueden sumar en cualquier orden. • Una propiedad de las piedras es que no son seres vivos. A medida que se avanza en el tema, cada estudiante desarrolla su comprensión de las propiedades de los cuadriláteros.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1 El violín de Sasha tiene una estrella pintada. ¿Creen que todos los violines tienen estrellas pintadas? ¿Por qué? Probablemente no. Parece improbable que la mayoría de las personas pintaran estrellas en sus instrumentos. ¿Es una propiedad de los violines tener estrellas pintadas? ¿Cómo lo saben? No. Para que una característica sea una propiedad, debe ser verdadera acerca de todos los violines, y solo sabemos que el violín de Sasha tiene una estrella pintada. Tener una estrella pintada no es una propiedad de los violines. Tener una estrella pintada es un atributo de un violín en particular. Tener una estrella pintada es a veces, pero no siempre, una característica de un violín. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de otro atributo que puede tener un instrumento musical. ¿Esta jerarquía les dice todo acerca de los instrumentos musicales? ¿Por qué? No. Hay instrumentos electrónicos que no están en la jerarquía. No. Hay varios instrumentos que no están en la jerarquía. ¿Cómo puede ser útil esta jerarquía para elegir un instrumento musical o aprender sobre ellos? Si sabemos que queremos tocar un instrumento que no involucre soplar en él, podemos elegir un instrumento de cuerda o uno de percusión. Si sabemos que queremos tocar un instrumento de arco, podemos hallar la sección instrumentos de arco en la jerarquía. En matemáticas, construimos jerarquías porque tenemos definiciones precisas y podemos hacer enunciados que sean verdaderos. Por ejemplo, ¿qué es verdadero acerca de todos los triángulos?

Todos los triángulos tienen 3 lados.

Diferenciación: Desafío

Todos los triángulos tienen 3 lados, entonces, una propiedad de los triángulos es tener 3 lados.

Considere pedir a estudiantes que necesiten un desafío adicional que creen una jerarquía de triángulos.

Muestre el triángulo rectángulo ABC.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre los atributos y las propiedades de los triángulos rectángulos. Pídales que recuerden que las propiedades son verdaderas acerca de todos los triángulos rectángulos y los atributos son características de un triángulo rectángulo en particular. El triángulo ABC tiene un ángulo recto. Tener un ángulo recto es una propiedad de los triángulos rectángulos, porque todos ellos tienen un ángulo recto. Un atributo del triángulo ABC es que es más alto que ancho. Esto no es una propiedad, porque no es verdadero acerca de todos los triángulos. Un atributo es que tiene vértices llamados A, B y C.

Clasificar figuras Materiales: E) Colección de figuras, tijeras

La clase clasifica una colección de figuras. Forme parejas de estudiantes. Invite a cada una a retirar una hoja extraíble de Colección de figuras de sus libros. Pídales que trabajen en parejas y recorten las figuras. Mientras avanza con los siguientes planteamientos, dé tiempo a sus estudiantes para clasificar.

Apoyo para la comprensión del lenguaje A sus estudiantes les resultan conocidos los nombres de los polígonos que se enseñan en grados anteriores (es decir, triángulo, cuadrilátero, pentágono, trapecio, paralelogramo, rombo, rectángulo, cuadrado). Considere preguntar a sus estudiantes qué saben sobre los polígonos a fin de activar los conocimientos previos. Haga una lista con los nombres de los polígonos que conocen, comente la definición de cada uno y proporcione ejemplos.

I DUA: Representación

A partir de 4.o grado, sus estudiantes ya conocen los signos que se usan para hacer la notación de los lados paralelos y de los lados cuyas longitudes son iguales. Antes de clasificar las figuras de la Colección de figuras, considere mostrar solo la figura B y hacer que sus estudiantes participen en una lluvia de ideas sobre qué significan los signos usados para hacer la notación de lados paralelos. Repita la actividad con la figura I y los signos usados para hacer la notación de los lados de la misma longitud.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1 Clasifiquen sus figuras en bidimensionales y tridimensionales. ¿Cómo saben si una figura es bidimensional o si representa una figura tridimensional? Una figura bidimensional es plana, y una figura tridimensional es sólida. Las figuras bidimensionales se ubican en un plano. Un plano es una superficie sin grosor, o plana, y bidimensional que se extiende sin fin. La superficie de una hoja de papel es plana y, por lo tanto, se ubica en un plano. Un lápiz no se ubica en un plano porque tiene grosor, es decir, no es plano. Clasifiquen las figuras bidimensionales en polígonos y no polígonos. ¿Cómo saben si una figura es un polígono? Un polígono es una figura cerrada. Un polígono tiene 3 o más lados rectos. Clasifiquen los polígonos en triángulos, cuadriláteros, pentágonos y hexágonos. A medida que avanzamos, ¿qué pasa con el número de figuras que clasificamos? El número de figuras se hace cada vez más pequeño. Comenzamos clasificando 15 figuras y dejamos a un lado las 4 que no son polígonos. Luego, clasificamos los 11 polígonos en 1 triángulo, 7 cuadriláteros, 2 pentágonos y 1 hexágono. Muestre la figura N mientras dice el siguiente enunciado. Clasificamos nuestras figuras en distintas pilas, pero algunas de ellas pertenecen a más de un grupo. Por ejemplo, la figura N está en el grupo de los polígonos y en el grupo de los cuadriláteros. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de otra figura que pertenezca a más de un grupo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje En este segmento, se introduce el término plano. Ayude a sus estudiantes a desarrollar la comprensión del uso del término plano en este módulo y de cómo se diferencia de los otros significados de la palabra. • Una hoja de papel se parece a un plano, pero tiene grosor y no se extiende sin fin en todas las direcciones. • Cada estudiante también puede pensar en planos como mapas o dibujos de una construcción. • Algo que es plano puede ser considerado liso o llano.

DUA: Representación El objeto que se muestra en esta imagen tiene 4 lados, pero no es un cuadrilátero porque no se ubica en un plano.

Crear una jerarquía La clase clasifica figuras en una jerarquía. Usemos nuestra clasificación de figuras parar crear una jerarquía de figuras. Escriba la palabra Figuras para comenzar la jerarquía. Invite a sus estudiantes a compartir cómo separaron las figuras, agregándolas a la jerarquía a medida que explican su clasificación. Mientras usted crea la jerarquía, haga referencia a las figuras recortadas con anterioridad en la lección o considere pegar figuras de cada conjunto a modo de ejemplo.

Considere crear un objeto similar con palillos y plastilina u otros materiales parecidos a fin de compartir este ejemplo erróneo con sus estudiantes.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Nota para la enseñanza La jerarquía no pretende mostrar una lista completa de todos los tipos de polígonos. De ser necesario, recuerde a sus estudiantes que hay otros tipos de polígonos que no se encuentran representados aquí (p. ej., octágonos y heptágonos). En este tema, sus estudiantes se enfocan en un tipo de polígono, los cuadriláteros.

Esta jerarquía comienza en la parte arriba con la categoría general de figuras. Cada nivel por debajo muestra una categoría más específica. Según esta jerarquía, ¿cuáles son algunos ejemplos de tipos especiales de polígonos? Triángulos, cuadriláteros, pentágonos y hexágonos Cada categoría en la jerarquía comparte los nombres y las propiedades de los tipos que están por encima de ella. Por ejemplo, un cuadrilátero es un polígono y una figura bidimensional. Lea los siguientes enunciados. Pida a sus estudiantes que indiquen, por ejemplo, con pulgares hacia arriba o pulgares hacia abajo, si cada enunciado es verdadero o falso. Una vez que lo hagan, use la jerarquía para explicar por qué. Por ejemplo, todos los pentágonos deben ser figuras bidimensionales porque estos se encuentran debajo de esta categoría en la jerarquía. Todos los pentágonos son polígonos, y todos los polígonos son figuras bidimensionales. Entonces, todos los pentágonos también deben ser figuras bidimensionales. • Todos los pentágonos son figuras bidimensionales. Verdadero • Todos los cuadriláteros son polígonos. Verdadero • Todos los polígonos son cuadriláteros. Falso

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1 Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. A continuación, vamos a explorar las propiedades de los cuadriláteros.

Propiedades de los cuadriláteros Nota para la enseñanza

La clase descubre que las medidas de los ángulos dentro de un cuadrilátero suman 360°. Muestre el cuadrilátero ABCD.

La figura ABCD es un cuadrilátero. ¿Cómo sabemos que es un cuadrilátero?

Tiene 4 lados. ¿Tener 4 lados es una propiedad de los cuadriláteros? ¿Cómo lo saben? Tener 4 lados es una propiedad de los cuadriláteros. Lo sé porque la propiedad es verdadera para todos los cuadriláteros.

Busquemos más propiedades de estas figuras.

Abra y muestre la actividad digital interactiva de Mundo geométrico: Explorador de ángulos. Muestre un cuadrilátero. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan sobre los ángulos en el cuadrilátero. Ajuste los vértices del cuadrilátero para mostrar que las medidas de los 4 ángulos en él siempre suman 360°.

85° 85°

71° 119°

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar la relación entre los ángulos del cuadrilátero y los grados de un círculo. Los ángulos en un cuadrilátero suman el mismo número que los grados en un círculo. Se pueden juntar todos los ángulos para formar 360°.

En el tema A se usan diferentes actividades digitales interactivas a fin de mostrar las propiedades de los cuadriláteros. Para familiarizarse con su funcionamiento, considere tomarse un tiempo para explorar la actividad digital interactiva de Mundo geométrico: Explorador de cuadriláteros. Muestre esta actividad digital interactiva y permita a sus estudiantes dirigir el movimiento de los vértices para crear cuadriláteros que les resulten interesantes.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando, de manera repetida, manipula cuadriláteros para determinar que la suma de las medidas angulares de un cuadrilátero es 360°. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8: • ¿Qué patrones observan cuando hacen diferentes cuadriláteros? ¿Cómo puede ayudarles eso a determinar un ángulo desconocido de manera más eficiente? • ¿Qué tienen en común los ángulos de cada cuadrilátero?

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1 Las medidas de los 4 ángulos dentro de un cuadrilátero suman 360°. ¿Es esta una propiedad de los cuadriláteros? ¿Cómo lo saben? Es una propiedad de los cuadriláteros. Lo sé porque la propiedad es verdadera para todos los cuadriláteros.

49° 131°

68°

112°

Si las medidas angulares de una figura suman 540°, ¿puede esta figura ser un cuadrilátero? ¿Cómo lo saben? No. Una propiedad de los cuadriláteros es que las medidas angulares suman 360°. Tres medidas angulares de un cuadrilátero suman 300°. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cuál debe ser la medida del cuarto ángulo y por qué.

Grupo de problemas Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Analizar jerarquías e identificar las propiedades de cuadriláteros Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre jerarquías y cuadriláteros usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cuándo una característica de una figura es una propiedad? Usen un ejemplo del Grupo de problemas. Una característica es una propiedad si es siempre verdadera para ese tipo de figura. Por ejemplo, en el problema 2, una propiedad de cualquier rectángulo es que las medidas de sus ángulos suman 360°. ¿Por qué usamos jerarquías? Las jerarquías nos ayudan a clasificar objetos en grupos. Las jerarquías nos ayudan a ver cómo se relacionan los grupos de objetos. ¿De qué manera la jerarquía de instrumentos nos mostró más detalles sobre un instrumento específico, como la guitarra? La jerarquía muestra que la guitarra comparte propiedades con todos los instrumentos por encima de ella, como los instrumentos pulsados y los de cuerda. ¿Cuáles son las propiedades de los cuadriláteros? Los cuadriláteros son polígonos con 4 lados. Las medidas de los ángulos dentro de un cuadrilátero suman 360°.

Boleto de salida 5 min Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Ejemplos de soluciones Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase. EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

3. Encierra en un círculo cada nombre que describe correctamente la figura.

L 73°

1. Considera las figuras bidimensionales que se muestran para completar las partes (a) a (c) .

75°

122° J Figura bidimensional

Figura tridimensional

Cuadrilátero

K Polígono

Triángulo

No polígono

a. Encierra en un círculo cada figura bidimensional que es un polígono. b. Usa el color azul para colorear cada polígono que es un triángulo. c. Usa el color rojo para colorear cada polígono que es un cuadrilátero.

2. Completa el diagrama de Venn escribiendo las propiedades de las figuras en la sección correcta. Triángulos

3 ángulos 3 lados

Rectángulos

Polígono Figura bidimensional

Los ángulos suman 360°

4 lados 2 pares de lados paralelos 4 ángulos rectos

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Seres vivos

Árboles

Pinos

Musgos

Sasha está en lo correcto. Todos los cuadriláteros son figuras bidimensionales y cerradas, por lo tanto, todos ellos son polígonos. No todos los polígonos tienen exactamente 4 lados, por eso, no todos los polígonos son cuadriláteros.

Animales

Mamíferos

Arces

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5. Sasha dice que todos los cuadriláteros son polígonos. Ryan dice que todos los polígonos son cuadriláteros. ¿Quién está en lo correcto? Explica.

4. Luis creó una jerarquía para clasificar algunos seres vivos.

Plantas

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 1

Aves

Pingüinos

Gaviotas

a. Encierra en un círculo verdadero o falso para cada enunciado. Todos los arces son árboles.

Verdadero

Falso

Todos los árboles son arces.

Verdadero

Falso

Todos los seres vivos son animales.

Verdadero

Falso

Todas las gaviotas son animales.

Verdadero

Falso

Todas las plantas usan el sol para producir energía, entonces, todos los musgos usan el sol para producir energía.

Verdadero

Falso

Todas las aves ponen huevos, entonces, todos los pingüinos ponen huevos.

Verdadero

Falso

b. Todas las aves tienen exactamente dos patas. ¿Eso significa que todos los animales tienen exactamente dos patas? Explica. No. Solo sabemos que tener dos patas es una propiedad de las aves. Como los animales se encuentran arriba de las aves en la jerarquía, las propiedades de las aves no siempre son propiedades de los animales. © Great Minds PBC

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 2

Clasificar trapecios según sus propiedades

EUREKA MATH2

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2

Fecha

1. Haz un boceto de un trapecio que tenga exactamente 1 par de lados paralelos. Rotula los lados paralelos. Ejemplo:

Vistazo a la lección La clase aprende que los trapecios son un tipo especial de cuadrilátero. Cada estudiante construye su propio trapecio y, luego, la clase usa estas construcciones para identificar sus atributos y propiedades. Cortan sus trapecios en cuatro partes con el propósito de explorar las relaciones entre los ángulos en cada vértice. Luego, comienzan a construir una jerarquía de cuadriláteros.

Preguntas clave • ¿Cuáles son algunas de las propiedades de los trapecios? • ¿Por qué trapecio es un nombre más específico para una figura geométrica que cuadrilátero?

Criterios de logro académico 5.Mód5.CLA13 Explican que las propiedades que pertenecen a una categoría

de figuras bidimensionales también pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría. (5.G.B.3)

2. Nombra una propiedad de los trapecios. Ejemplo: La suma de las medidas angulares es 360°.

5.Mód5.CLA14 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía

según sus propiedades. (5.G.B.4)

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• papel en blanco

Reúna los recortes de cuadriláteros de la Colección de figuras utilizados en la lección 1 y téngalos listos para distribuir a cada pareja.

Aprender 30 min • Construir un trapecio • Explorar la medida angular • Jerarquía de cuadriláteros • Grupo de problemas

Concluir 10 min

• herramienta de borde recto • tarjeta de índice • transportador de 4ʺ

Estudiantes • recortes de cuadriláteros (1 conjunto por pareja de estudiantes) • hojas en blanco • herramienta de borde recto • tarjeta de índice • tijeras • transportador de 4ʺ

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2

Fluidez

EUREKA MATH2

Contar con el transportador La clase cuenta salteado usando unidades de 30° en un transportador de 180° para desarrollar fluidez con la clasificación de cuadriláteros según sus propiedades. Muestre el transportador de 180° con una semirrecta que señala 0° en la escala externa. Observen la escala externa del transportador. ¿Por qué marca de graduación pasa la semirrecta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

0° Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante de 30° en 30°. La primera medida que dicen es 0°. ¿Comenzamos? Muestre la medida angular aumentando en intervalos de 30° hasta 180°.

0°, 30°…, 150°, 180° Muestre la imagen del transportador de 180° con una semirrecta que señala 0° en la escala interna. Ahora, observen la escala interna del transportador. ¿Por qué marca de graduación pasa la semirrecta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

0° Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante de 30° en 30°. La primera medida que dicen es 0°. ¿Comenzamos? Muestre la medida angular aumentando en intervalos de

30° hasta 180°. 0°, 30°…, 150°, 180°

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2

Respuesta a coro: Clasificar y medir ángulos La clase clasifica un ángulo y estima y determina la medida angular usando un transportador de 180° para desarrollar fluidez con la clasificación de cuadriláteros según sus propiedades. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre el ángulo agudo. ¿Cómo clasificarían el ángulo? Agudo Muestre la respuesta. Estimen la medida del ángulo. Comenten su estimación en voz baja con su pareja.

Agudo 40°

Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.

45°. Parece que está cerca del punto medio entre 0 y 90. 40°. Parece ser menor que el punto medio hasta 90. Muestre el transportador. ¿Cuál es la medida del ángulo?

40° Muestre la medida del ángulo.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Recto 90°

Obtuso 165°

Agudo 75°

Llano 180°

Obtuso 112°

Agudo 68°

Respuesta a coro: Propiedades de los polígonos La clase identifica polígonos con una propiedad específica para desarrollar fluidez con la clasificación de cuadriláteros según sus propiedades. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Propiedades: 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos Cuadrilátero

Muestre las propiedades: 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos. ¿Cuál es el nombre de un polígono con 4 lados, 4 vértices y 4 ángulos? Cuadrilátero

2 14 in

1.5 cm 4.5 cm

7.5 cm

3 12 in

5 cm

6.5 cm

9.5 cm

10.5 cm 4 cm

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2 Muestre la respuesta y, luego, los cuadriláteros. Cuando dé la señal, digan la letra o las letras para responder cada pregunta. ¿Qué cuadriláteros tienen al menos 2 lados de la misma longitud?

E Muestre el cuadrilátero E encerrado en un círculo. ¿Qué cuadriláteros tienen al menos 1 ángulo recto?

EyF Muestre los cuadriláteros E y F encerrados en un círculo. ¿Qué cuadriláteros tienen al menos 1 par de lados paralelos?

D, E y F Muestre los cuadriláteros D, E y F encerrados en un círculo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Propiedades: 6 lados, 6 vértices y 6 ángulos

Propiedades: 5 lados, 5 vértices y 5 ángulos

Hexágono

Pentágono

2 cm 5 cm

5 cm

G 5 cm

5 cm 2 cm

2 2 in 1 in 1 in

H 1 2 2 in

1 in 1 in

J 10.3 m

2.5 m 4.1 m

3.4 m 4.5 m

3.8 m

4.1 m

2 2 in 3

2 4 in

7.3 m 2.5 m

1 in

5 cm

2 34 in 1 in

5 cm

M 5 cm

5 cm

Nota para la enseñanza En el caso del hexágono G, sus estudiantes pueden observar que hay tres marcas de flecha en un conjunto de lados paralelos. A sus estudiantes, las marcas de flecha simples o dobles les resultan conocidas de 4.o grado. Anímeles a inferir qué pueden representar las tres marcas de flecha. Considere explicar que hay tres pares de lados paralelos en esta figura en particular.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2

Presentar

Materiales: E) Recortes de cuadriláteros

La clase clasifica cuadriláteros. Invite a sus estudiantes a formar parejas con la misma persona con la que trabajaron en la lección anterior. Asegúrese de que cada una de ellas tenga los cuadriláteros de la actividad de clasificación de la lección 1. En la lección anterior, clasificaron un grupo de figuras geométricas en bidimensionales y tridimensionales. Luego, clasificaron las figuras bidimensionales en polígonos y no polígonos. Y, por último, clasificaron los polígonos en triángulos, cuadriláteros, pentágonos y hexágonos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para definir trapecio e identificar esa figura. Clasifiquemos los cuadriláteros en figuras que son trapecios y figuras que no lo son. ¿En qué se diferencia un trapecio de otros cuadriláteros? Los cuadriláteros que son trapecios tienen al menos 1 par de lados paralelos. Los cuadriláteros que no son trapecios no tienen ningún par de lados paralelos. ¿Qué significa que un cuadrilátero tenga al menos 1 par de lados paralelos? Significa que tiene 1 o más pares de lados paralelos. Quiere decir que tiene 1 o 2 pares de lados paralelos. Invite a sus estudiantes a clasificar los cuadriláteros como trapecios o no trapecios. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes clasifican las figuras y haga las siguientes preguntas: • ¿Cómo saben que este cuadrilátero es un trapecio? • ¿Cómo saben que este cuadrilátero no es un trapecio? • ¿Cuántos pares de lados paralelos tiene ese cuadrilátero? ¿Cómo lo saben? • ¿Cuáles son los pares de lados paralelos en ese cuadrilátero?

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2 Cuando sus estudiantes hayan terminado de trabajar, muestre la siguiente tabla con los cuadriláteros clasificados.

Trapecios

No trapecios

N J

Nota para la enseñanza En todos los grados se usa la definición inclusiva del trapecio como un cuadrilátero con al menos 1 par de lados opuestos paralelos. Es decir, los trapecios pueden tener más de 1 par de lados paralelos. En las próximas lecciones, sus estudiantes aprenden que los paralelogramos (y consecuentemente los rectángulos, los rombos y los cuadrados) son tipos especiales de trapecios.

¿Qué propiedades comparten las siete figuras de este diagrama? Todas son polígonos. En cada figura, la suma de las medidas angulares es 360°. Cada una tiene 4 lados. ¿Qué observan acerca de las figuras en la columna de los trapecios? ¿Qué se preguntan? Observo que uno de los trapecios tiene solo 1 par de lados paralelos y algunos trapecios tienen 2 pares. Observo que algunos trapecios tienen ángulos rectos y otros no. Me pregunto si una figura puede tener dos nombres. Para mí, la figura A parece un rectángulo. Las figuras D, B, J y A parecen paralelogramos. ¿Por qué se encuentran en la columna de los trapecios? Tienen 2 pares de lados paralelos, así que tienen al menos 1 par de lados paralelos. Eso los convierte en trapecios.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2 ¿Cuál es una propiedad de todos los trapecios? Tienen al menos 1 par de lados opuestos que son paralelos. ¿Cuál es un atributo de las figuras A y J? Tienen 4 ángulos rectos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre otros atributos de cualquiera de los otros cuadriláteros en la tabla. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a construir trapecios e identificar sus propiedades.

Aprender

Construir un trapecio Materiales: M/E) Papel en blanco, herramienta de borde recto, tarjeta de índice

La clase usa una herramienta de ángulo recto y una herramienta de borde recto para construir un trapecio. Vamos a construir trapecios para identificar sus propiedades. ¿Qué debe incluir un trapecio? ¿Cómo lo saben? Debe tener 4 lados porque todos los cuadriláteros tienen 4 lados. Debe tener al menos 1 par de lados paralelos porque esa es la definición de trapecio.

Nota para la enseñanza En 4.o grado, sus estudiantes usan la herramienta de ángulo recto para identificar ángulos agudos, rectos y obtusos. También usan esa herramienta para trazar e identificar rectas perpendiculares y paralelas y segmentos de recta.

DUA: Acción y expresión Considere ofrecer papel de cuadrícula isométrica con el propósito de ayudar a sus estudiantes a construir el trapecio. Pueden usar una herramienta de borde recto para trazar las rectas en la cuadrícula a fin de crear lados paralelos.

¿Qué herramientas nos pueden ayudar a dibujar lados rectos y paralelos? Podemos usar una herramienta de borde recto y una tarjeta de índice como herramienta de ángulo recto. Guíe a la clase en la construcción. A medida que usted completa cada parte, pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. • Use una herramienta de borde recto para trazar un segmento de recta. • Alinee un lado de la herramienta de ángulo recto, o la tarjeta de índice, con el segmento de recta. • Alinee la herramienta de borde recto con la herramienta de ángulo recto de modo que la herramienta de borde recto sea perpendicular al segmento de recta.

Nota para la enseñanza Pida a sus estudiantes que sigan sus indicaciones para la construcción, pero anímeles a usar su propia creatividad al determinar qué tan separadas deben estar las rectas paralelas y dónde ubicar el tercer y el cuarto lado. Es importante que construyan diferentes trapecios.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2 • Deslice la herramienta de ángulo recto a lo largo de la herramienta de borde recto hasta la ubicación deseada en el segmento de recta paralelo. • Marque el segmento de recta paralelo dibujando a lo largo del lado de la herramienta de ángulo recto. • Retire la herramienta de ángulo recto y extienda el segundo segmento de recta con la herramienta de borde recto, si es necesario. • Complete el trapecio dibujando un tercer y un cuarto lado. Use la notación para marcar cualquier par de lados paralelos.

Nota para la enseñanza Sus estudiantes pueden crear ángulos rectos, pero no es necesario que lo hagan. Para evitarlo, deslice la herramienta de borde recto alejándola del final del primer segmento de recta antes de deslizar la herramienta de ángulo recto hacia arriba o hacia abajo para crear el segundo segmento de recta paralelo. Anime a sus estudiantes a que hagan lo mismo.

Comparen sus trapecios con el de su pareja de trabajo. Reúnanse y conversen en parejas para analizar las semejanzas y diferencias.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2 Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes conversan. Espere las siguientes respuestas: • Los dos trapecios tienen 1 par de lados paralelos. • Mi trapecio es más alto que el de mi pareja. • El trapecio de mi pareja es más pequeño que el mío. • Mi trapecio tiene 2 pares de lados paralelos, pero el de mi pareja solo tiene 1. Mientras la clase comparte su razonamiento, busque entre tres y cinco ejemplos de trabajo. Seleccione una variedad de trapecios (p. ej., un trapecio con 2 pares de lados paralelos, trapecios cuyos lados tengan longitudes más largas y más cortas, trapecios que incluyan ángulos rectos). Luego, muestre estos ejemplos a la clase. Si sus estudiantes no crean trapecios con ángulos rectos o con 2 pares de lados paralelos, considere mostrar las siguientes figuras:

DUA: Representación Mientras sus estudiantes comentan las características de los cuadriláteros en este tema, considere crear una tabla de cuadriláteros donde se muestren las propiedades de cada figura. Haga anotaciones en la tabla a medida que sus estudiantes aprendan las propiedades de otras figuras.

•

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2 Dibujamos trapecios. Hay cosas que nuestras figuras tienen en común y cosas que son diferentes. ¿Qué propiedad tienen en común todas ellas que las hace ser cuadriláteros? Todas las figuras tienen 4 lados y 4 ángulos. ¿Qué propiedad tienen todos los cuadriláteros que nos permite clasificarlos como trapecios? Todos tienen al menos 1 par de lados paralelos. Identifique atributos de los diferentes trapecios que se muestran. Por ejemplo, alguno puede tener ángulos rectos, y otro puede tener 2 pares de lados paralelos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre las diferencias entre los atributos de un trapecio específico y las propiedades de todos los trapecios.

Explorar la medida angular Materiales: E) Tijeras, transportador, tarjeta de índice

La clase recorta y manipula los trapecios con el propósito de descubrir las relaciones entre las medidas de los ángulos en cada vértice. Observemos con más detalle los ángulos de nuestros trapecios. ¿Qué sabemos acerca de la suma de las medidas de los ángulos dentro de nuestros trapecios? Expliquen. La suma de las medidas de los ángulos dentro de cada uno de nuestros trapecios es 360° porque la suma de las medidas de los ángulos en cualquier cuadrilátero es 360°. Devuelva los ejemplos de trabajo a sus estudiantes. Pídales que recorten sus trapecios. Pida a sus estudiantes que rotulen el vértice superior izquierdo de los trapecios con A, el vértice superior derecho con B, el vértice inferior derecho con C y el vértice inferior izquierdo con D. Luego, pídales que usen un transportador para medir cada ángulo y que escriban las medidas angulares junto al nombre del ángulo.

Diferenciación: Apoyo Puede haber estudiantes que necesiten apoyo adicional con el uso del transportador. Considere demostrar cómo medir un ángulo mientras piensa en voz alta: • Necesito alinear el transportador con una de las semirrectas del ángulo. También debo asegurarme de que el vértice del ángulo esté en el punto en el que se juntan la línea del cero y la línea de 90°. Por último, necesito comprobar que la semirrecta de abajo está alineada con la línea del cero y que pasa por la marca de graduación de 0°. • Como alineé la semirrecta de abajo con el 0° de la escala externa del transportador, debo usar esta escala para hallar la medida del ángulo. La medida del ángulo es 40°.

Muestre el trapecio ABCD como ejemplo para sus estudiantes. Dividan el trapecio en cuatro partes de modo que cada una tenga solo un ángulo rotulado.

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2 Muestre la versión del trapecio ABCD dividido en partes. ¿Qué son los ángulos suplementarios? Los ángulos suplementarios suman 180°. Los ángulos suplementarios crean un ángulo llano cuando se ubican semirrectas en cada ángulo una al lado de la otra.

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Apoyo para la comprensión del lenguaje Para apoyar el término conocido ángulos suplementarios, considere rotular un ejemplo con el término luego de repasar su definición.

Cambien de lugar las partes con los ángulos para determinar cuáles son los ángulos suplementarios de su trapecio. ¿Cómo saben que los ángulos son suplementarios? Suman 180°. Forman un ángulo llano. ¿Cuántos pares de ángulos suplementarios crearon?

2 Tenga en cuenta que sus estudiantes pueden decir 2, 4 o 6 pares dependiendo del trapecio que hayan construido. Muestre el trapecio ABCD original. Piensen en dónde se ubican los ángulos A, B, C y D en el trapecio. ¿Qué pares de ángulos son suplementarios? Los ángulos de la izquierda son suplementarios y los ángulos de la derecha también lo son. Los ángulos A y D son suplementarios, y los ángulos B y C también lo son. Los ángulos opuestos son suplementarios (si la figura es un rectángulo o un cuadrado).

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2 Muestre la versión del trapecio ABCD recortado junto con las piezas reorganizadas.

Nota para la enseñanza Si hay estudiantes que dibujan un trapecio que también es un paralelogramo, pueden hallar más de 2 pares de ángulos suplementarios al emparejar los ángulos de diferentes maneras. Como las propiedades de los trapecios también se aplican a cualquier categoría que esté debajo de ellos en la jerarquía, los trapecios deben tener al menos 2 pares de ángulos suplementarios.

Si bien todos sus trapecios son diferentes, cada persona encontró al menos 2 pares de ángulos suplementarios en ellos. Creemos que cada trapecio tiene al menos 2 pares de ángulos suplementarios, pero observemos más ejemplos. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Mundo geométrico: Explorador de ángulos. Cree un trapecio. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan acerca de los ángulos del trapecio.

71°

109° 118°

Muestre varios trapecios diferentes para demostrar que los trapecios siempre tienen al menos 2 pares de ángulos suplementarios.

Por ejemplo, un rectángulo con ángulos A, B, C y D tiene 6 pares de ángulos suplementarios: El ∠A y el ∠B, el ∠A y el ∠C, el ∠A y el ∠D, el ∠B y el ∠C, el ∠B y el ∠D, y el ∠C y el ∠D.

DUA: Representación

118° 62°

62°

Observo que 2 pares de ángulos son suplementarios. 2 de los ángulos forman un ángulo llano y los otros 2 ángulos también forman un ángulo llano.

Cree también paralelogramos. Comente que los paralelogramos son trapecios y muestre todos los pares de ángulos suplementarios posibles.

Dado que los cuadriláteros solo tienen 4 ángulos, puede haber estudiantes que se pregunten cómo pueden tener más de 2 pares de ángulos suplementarios. En este módulo, pares significará pares posibles.

62° 118°

Si usted creó una tabla de cuadriláteros para mostrar las propiedades y atributos de las figuras, agregue el enunciado “Tienen al menos 2 pares de ángulos suplementarios” a la columna Propiedades de los trapecios.

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2

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Escriba el siguiente enunciado: Todos los trapecios tienen al menos 2 pares de ángulos suplementarios. ¿Este enunciado describe una propiedad de los trapecios? ¿Cómo lo saben? Este enunciado describe una propiedad. Lo sé porque es verdadero acerca de todos los trapecios. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre qué hace a los trapecios un tipo de cuadrilátero especial.

Jerarquía de cuadriláteros La clase identifica trapecios y comienza a clasificar los cuadriláteros en una jerarquía. Muestre la jerarquía de figuras de la lección anterior.

En la lección anterior, creamos una jerarquía de figuras. Podríamos ampliar cualquiera de estas categorías de polígonos, pero estamos estudiando los cuadriláteros. Entonces, hoy, comenzaremos una jerarquía de cuadriláteros que forme parte de la jerarquía de figuras. Comience la jerarquía de cuadriláteros escribiendo Cuadriláteros. Invite a sus estudiantes a ayudarle mientras agrega las propiedades de los cuadriláteros a la jerarquía.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2 Como los trapecios son cuadriláteros, podemos clasificarlos debajo de esta categoría en la jerarquía. Esto significa que dos propiedades de los trapecios son que son polígonos de 4 lados y que sus medidas angulares suman 360°. ¿Cuáles son otras propiedades de los trapecios? Una propiedad de los trapecios es que tienen al menos 1 par de lados paralelos. Una propiedad de los trapecios es que tienen al menos 2 pares de ángulos suplementarios.

Cuadriláteros • Polígonos con 4 lados • Medidas angulares que suman 360°

Trapecios • Al menos 1 par de lados paralelos • Al menos 2 pares de ángulos suplementarios

Agregue los trapecios y sus propiedades a la jerarquía. Usen la jerarquía para determinar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Muestre y lea los siguientes enunciados. Compruebe la comprensión de sus estudiantes pidiendo que indiquen, por ejemplo, con pulgares hacia arriba o pulgares hacia abajo, si cada enunciado es verdadero o falso. • Todos los trapecios son cuadriláteros. Verdadero • Todos los cuadriláteros se pueden clasificar como trapecios. Falso • Todos los trapecios tienen exactamente 1 par de lados paralelos. Falso • Todos los cuadriláteros tienen al menos 2 pares de ángulos suplementarios. Falso Tómese tiempo para comentar los conceptos erróneos y asegurarse de que sus estudiantes comprenden por qué cada enunciado es verdadero o falso.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica lo que sabe acerca de jerarquías para determinar si los enunciados sobre trapecios y cuadriláteros son verdaderos o falsos. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿De qué manera les puede ayudar lo que conocen sobre jerarquías para determinar si todos los trapecios tienen medidas angulares que suman 360 grados? • ¿Cómo se relacionan los trapecios y los cuadriláteros? ¿Cómo les puede ayudar conocer esta relación para determinar las propiedades de los trapecios?

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2

Concluir

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Reflexión final 5 min Objetivo: Clasificar trapecios según sus propiedades Guíe una conversación de toda la clase acerca de las propiedades de los trapecios usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cuándo se puede clasificar una figura como cuadrilátero, pero no como trapecio? Si una figura tiene 4 lados, pero ningún par de lados es paralelo, entonces, es un cuadrilátero, pero no un trapecio. ¿Cuáles son algunas de las propiedades de los trapecios? Un trapecio tiene exactamente 4 lados rectos, al menos 1 par de lados paralelos, medidas angulares que suman 360° y al menos 2 pares de ángulos suplementarios. ¿Qué hace que el trapecio sea un tipo especial de cuadrilátero? Un trapecio es un polígono de 4 lados, es decir, un cuadrilátero que tiene al menos 1 par de lados paralelos. ¿Por qué trapecio es un nombre más específico para una figura geométrica que cuadrilátero? Trapecio es un nombre más específico porque nos brinda más información que el nombre cuadrilátero. Cuadrilátero solo nos indica que una figura tiene 4 lados rectos, pero trapecio nos indica que también tiene al menos 1 par de lados paralelos.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2

Nombre

Fecha

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2

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3. Considera el trapecio.

1. Encierra en un círculo los cuadriláteros que son trapecios.

a. Kelly dice que una propiedad de los trapecios es que tienen 1 par de lados opuestos de la misma longitud. Toby no está de acuerdo. Dice que el enunciado de Kelly describe un atributo de este trapecio, pero no una propiedad de todos los trapecios. ¿Quién está en lo correcto? Explica. Toby está en lo correcto. Una propiedad de los trapecios debe ser verdadera para todos ellos. Como no todos los trapecios tienen 1 par de lados opuestos de la misma longitud, el enunciado de Kelly describe un atributo de este trapecio, no una propiedad de todos los trapecios. 2. Considera el trapecio.

b. Haz un boceto de un trapecio que no tenga 1 par de lados opuestos de la misma longitud.

126°

54° a. ¿Cuál es la suma de las medidas angulares en un trapecio?

c. Escribe un ejemplo de una propiedad de los trapecios.

360°

Los trapecios tienen al menos 2 pares de ángulos suplementarios.

b. ¿Es esto verdadero para todos los trapecios? Explica. Sí. Una propiedad de todos los cuadriláteros es que sus ángulos suman 360°. Como los trapecios son cuadriláteros, también tienen esta propiedad.

GRUPO DE PROBLEMAS

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 2

4. Marca si cada enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Enunciado

Siempre verdadero

Un trapecio tiene 2 pares de lados paralelos.

A veces verdadero X

Un trapecio puede tener más de 4 lados. Un trapecio es un cuadrilátero.

X X

Un cuadrilátero es un trapecio. La suma de los ángulos de un trapecio es 360°. Un trapecio tiene exactamente 1 par de ángulos suplementarios.

Nunca verdadero

X X

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 3

Clasificar paralelogramos según sus propiedades

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3

Nombre

Fecha

1. Considera los polígonos que se muestran.

T T

T P

Vistazo a la lección La clase construye paralelogramos y determina que son un tipo especial de trapecio. Exploran la longitud de los lados, las medidas angulares, las diagonales y los ejes de simetría para describir las propiedades de los paralelogramos. También continúan su trabajo con la jerarquía de cuadriláteros al clasificar los paralelogramos como trapecios. En esta lección se formaliza el término punto medio.

Pregunta clave a. Encierra en un círculo cada polígono que es un cuadrilátero.

• ¿Qué información adicional sobre un cuadrilátero nos brinda el nombre paralelogramo que el nombre trapecio no nos brinda?

b. Escribe la letra T en cada polígono que es un trapecio. c. Escribe la letra P en cada polígono que es un paralelogramo.

Criterios de logro académico 5.Mód5.CLA13 Explican que las propiedades que pertenecen a una categoría

2. ¿Cuándo se puede clasificar un trapecio como un paralelogramo? Un trapecio se puede clasificar como un paralelogramo cuando los dos pares de lados opuestos son paralelos.

de figuras bidimensionales también pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría. (5.G.B.3) 5.Mód5.CLA14 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía

según sus propiedades. (5.G.B.4)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• papel (3 hojas)

• Prepare tres afiches: uno que diga Muy de acuerdo, otro que diga Muy en desacuerdo y otro que diga Sin decidir. Cuelgue los afiches en tres lugares diferentes del salón de clases.

Aprender 35 min • Construir un paralelogramo • Explorar diagonales y simetría

• papel en blanco • tarjeta de índice • regla

• Jerarquía de cuadriláteros

Estudiantes

• Grupo de problemas

• papel en blanco

Concluir 10 min

• Asegúrese de que sus estudiantes tengan a su disposición una regla para el Grupo de problemas.

• tarjeta de índice • regla • transportador de 4ʺ • tijeras

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Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros de varios dígitos La clase multiplica un número de dos dígitos por un número de tres dígitos para adquirir fluidez con la multiplicación de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. Muestre 34 × 416 =

Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.

3 4 × 4 1 6 = 1 4 ,1 4 4

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

1664 1

12 480 1 1

1 4,1 4 4

Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical. Repita el proceso con el siguiente problema: 42 × 857 =

416 34

35,994

Contar salteado usando gramos y kilogramos en la recta numérica La clase cuenta salteado usando unidades de 500 gramos y expresan gramos como kilogramos para adquirir fluidez con la conversión de medidas del módulo 1. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante usando una unidad de 500 gramos hasta

3,000 gramos. La primera medida que dicen es 0 gramos. ¿Comenzamos? Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 g, 500 g…, 2,500 g, 3,000 g

500 g

1,000 g 1,500 g 2,000 g 2,500 g 3,000 g

0 kg

500 g

1 kg

0 kg

500 g

1 kg 1 kg 500 g 2 kg 2 kg 500 g 3 kg

1,500 g

2 kg

2,500 g

3 kg

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3 Ahora, cuenten nuevamente hacia delante usando una unidad de 500 gramos. Esta vez, expresen cada 1,000 gramos como un número de kilogramos. La primera medida que dicen es 0 kilogramos. ¿Comenzamos? Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 kg, 500 g…, 2,500 g, 3 kg Ahora, cuenten nuevamente hacia delante usando una unidad de 500 gramos. Esta vez usen unidades mixtas, kilogramos y gramos, cuando sea posible. La primera medida que dicen es 0 kilogramos. ¿Comenzamos? Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 kg, 500 g…, 2 kg 500 g, 3 kg

Respuesta a coro: Ejes de simetría La clase determina si una recta dada es un eje de simetría para una figura a fin de desarrollar fluidez con la clasificación de cuadriláteros según sus propiedades. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre la figura. ¿Es la recta que se muestra un eje de simetría para la figura? Sí. Muestre la recta desapareciendo. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura en total?

Nota para la enseñanza

Muestre todos los ejes de simetría. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

En 4.o grado, sus estudiantes aprenden que un círculo tiene un número infinito de ejes de simetría y que cada uno de ellos pasa por el centro del círculo. Aprenden más sobre las propiedades del círculo en 7.o grado.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3

Presentar

Materiales: M) Afiches

La clase hace una conjetura sobre si todos los paralelogramos son trapecios. Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes a los afiches colgados en el salón de clases: Muy de acuerdo, Muy en desacuerdo y Sin decidir. Lea el siguiente enunciado. Todos los paralelogramos son cuadriláteros, pero no todos los paralelogramos son trapecios. Invite a que cada estudiante se ponga de pie junto al letrero que mejor describa su razonamiento. Cuando todos sus estudiantes estén junto a un letrero, dé 2 minutos para que los grupos comenten por qué lo eligieron. Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección. Anime a quienes cambien de opinión durante la conversación a unirse a otro grupo. Pida a sus estudiantes que regresen a sus asientos. Si el enunciado solo dijera que todos los paralelogramos son cuadriláteros, elegir entre estar de acuerdo o en desacuerdo podría haber sido más sencillo. Todos los paralelogramos tienen 4 lados y sus medidas angulares suman 360°, entonces, todos los paralelogramos son cuadriláteros. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, exploraremos la segunda parte de este enunciado. Aprenderemos propiedades de los paralelogramos y las compararemos con las propiedades de otros cuadriláteros.

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Aprender

Construir un paralelogramo Materiales: M/E) Papel en blanco, tarjeta de índice, regla, transportador

La clase construye un paralelogramo e identifica sus propiedades. Construyamos un paralelogramo para identificar las propiedades de los paralelogramos. ¿Que deben incluir las figuras? ¿Cómo lo saben? Las figuras deben incluir 2 pares de lados paralelos. Los lados opuestos en un paralelogramo son paralelos. Guíe a la clase en la construcción. A medida que usted completa cada parte, invite a sus estudiantes a hacer lo mismo. • Use una herramienta de borde recto para trazar un segmento de recta. • Alinee un lado de la herramienta de ángulo recto, o la tarjeta de índice, con el segmento de recta. • Alinee la herramienta de borde recto con la herramienta de ángulo recto de tal manera que la primera sea perpendicular al segmento de recta. • Deslice la herramienta de ángulo recto a lo largo de la herramienta de borde recto hasta la ubicación deseada en el segmento de recta paralelo. • Marque el segmento de recta paralelo dibujando a lo largo del lado de la herramienta de ángulo recto. • Retire la herramienta de ángulo recto y extienda el segundo segmento de recta con la herramienta de borde recto, si es necesario. • Dibuje otro par de lados paralelos que crucen el primer par. • Rotule los lados paralelos con marcas de flecha.

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3

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Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y compruebe que sus construcciones sean correctas. Cuando hayan terminado, use los siguientes planteamientos. En la lección anterior, algunos de los cuadriláteros que construimos tenían solo 1 par de lados paralelos mientras que otros tenían 2. Pero los clasificamos a todos como trapecios. Hoy, todos los cuadriláteros que construimos tienen 2 pares de lados paralelos, entonces, se pueden clasificar como paralelogramos. ¿Cuándo se puede clasificar un trapecio como un paralelogramo? Se puede llamar paralelogramo a un trapecio si tiene 2 pares de lados paralelos. Midan los lados de sus paralelogramos y rotulen sus longitudes. Forme parejas de estudiantes. Invite a sus estudiantes a comparar paralelogramos y a comprobar mediciones con sus parejas de trabajo. Luego, pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre los tamaños y las longitudes de los lados de los paralelogramos. Nuestros paralelogramos no son del mismo tamaño. Mi paralelogramo es más ancho que el de mi pareja. Mis lados paralelos están más cerca uno del otro que los de mi pareja. Mi paralelogramo es un rectángulo, pero el de mi pareja no lo es. Mi paralelogramo tiene 4 lados de la misma longitud, y el paralelogramo de mi pareja tiene 2 pares de lados diferentes de la misma longitud. En las dos figuras, los lados opuestos tienen la misma longitud.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3 Elija entre tres y cinco ejemplos de trabajo de la clase. Seleccione distintos paralelogramos (p. ej., uno con 4 lados de la misma longitud y otro que incluya ángulos de 90°). Luego, muestre los trabajos que haya seleccionado. O considere mostrar los siguientes ejemplos.

2 in 1 in

1 in 2 in

3 in

6 cm

5 cm

6 cm

3 in

Dibujamos distintos paralelogramos. Hay cosas que nuestras figuras tienen en común y cosas que son diferentes. ¿Qué propiedad tienen en común todas ellas que las hace ser paralelogramos? Tienen 2 pares de lados paralelos. ¿Qué observan acerca de las longitudes de los lados de los paralelogramos? Los lados opuestos tienen la misma longitud.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3 Creemos que los lados opuestos de un paralelogramo siempre tienen la misma longitud, pero observemos más ejemplos. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Mundo geométrico: Explorador de longitudes de los lados. Cree un paralelogramo. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan acerca de las longitudes de los lados de un paralelogramo. Observo que los lados opuestos tienen la misma longitud. Muestre varios paralelogramos para demostrar que los lados opuestos siempre tienen la misma longitud. Cree además algunos rectángulos. Comente que los rectángulos son paralelogramos y muestre que sus lados opuestos también tienen la misma longitud.

DUA: Representación Si usted creó una tabla de cuadriláteros en la lección anterior, considere agregar ejemplos de paralelogramos específicos e incluir sus propiedades.

• •

Escriba el siguiente enunciado: Todos los paralelogramos tienen lados opuestos que tienen la misma longitud. ¿Este enunciado describe un atributo de algunos paralelogramos o una propiedad de todos ellos? ¿Cómo lo saben?

•

Es una propiedad. Lo sé porque la propiedad es verdadera para todos los paralelogramos.

•

Sabemos que los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud. Observemos las medidas angulares en ellos. Muestre las cuatro figuras mientras hace cada una de las siguientes preguntas.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3 Si un paralelogramo tiene ángulos rectos, ¿es eso un atributo del paralelogramo o una propiedad de todos ellos? ¿Por qué? Es un atributo. No todos los paralelogramos tienen ángulos rectos. ¿Qué sabemos acerca de los ángulos de cada cuadrilátero? Las medidas de todos los ángulos dentro de cualquier cuadrilátero suman 360°. ¿Qué sabemos acerca de los ángulos de cada trapecio? Las medidas de todos los ángulos dentro de cualquier trapecio suman 360°. Los trapecios tienen al menos 2 pares de ángulos suplementarios. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre si creen que los paralelogramos también tienen al menos 2 pares de ángulos suplementarios. Rotulen los ángulos de su paralelogramo dentro de la figura. Rotulen el ángulo de arriba a la izquierda con A y el ángulo de arriba a la derecha con B. Continúen en el sentido de las manecillas del reloj rotulando el ángulo de abajo a la derecha con C y el ángulo que está directamente debajo del ángulo A con D. Luego, usen un transportador para medirlos y escriban las medidas dentro de cada ángulo. Muestre el paralelogramo de ejemplo ABCD.

Invite a la clase a comparar sus paralelogramos y a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre los ángulos de los paralelogramos. En los dos paralelogramos tenemos los ángulos A y C con la misma medida.

B 63°

117°

63° D

117° C

En los dos paralelogramos tenemos los ángulos B y D con la misma medida. Nuestros paralelogramos se ven diferentes, pero en ambos los ángulos opuestos tienen la misma medida.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3 Los ángulos opuestos de los paralelogramos tienen la misma medida. En los trapecios, ¿los ángulos opuestos tienen la misma medida? Describan su razonamiento. No necesariamente. Depende de cómo se vea el trapecio. Si el trapecio es un paralelogramo, entonces, los ángulos opuestos tienen la misma medida. ¿En qué parte de su paralelogramo observan que los ángulos son suplementarios? Los ángulos de la parte de abajo del paralelogramo son suplementarios. Los ángulos de la parte de arriba del paralelogramo son suplementarios. Los ángulos de la izquierda son suplementarios. Los ángulos de la derecha son suplementarios. Creemos que un paralelogramo tiene ángulos suplementarios y que sus ángulos opuestos siempre tienen la misma medida, pero observemos más ejemplos. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Mundo geométrico: Explorador de ángulos. Cree un paralelogramo. Invite a la clase a usar la rutina PensarTrabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan acerca de los ángulos del paralelogramo. Los ángulos opuestos tienen la misma medida. Algunos ángulos son suplementarios.

Nota para la enseñanza

118°

62°

118°

La suma de la medida de los ángulos que están uno junto al otro es 180°. Ajuste los vértices del paralelogramo a fin de mostrar que los ángulos opuestos miden lo mismo. Muestre qué ángulos son suplementarios.

En un paralelogramo, sus estudiantes pueden observar que cualquier par de ángulos ubicados uno junto al otro es un par de ángulos suplementarios, o pueden hallar más de 2 pares de este tipo de ángulos. Sin embargo, el énfasis debe estar en comprender que los ángulos opuestos en un paralelogramo miden lo mismo y que todos los paralelogramos son trapecios, entonces, deben tener al menos 2 pares de ángulos suplementarios.

Escriba el siguiente enunciado: Todos los paralelogramos tienen ángulos opuestos con la misma medida. ¿Este enunciado describe una propiedad de los paralelogramos? ¿Cómo lo saben? Es una propiedad. Lo sé porque la propiedad es verdadera para todos los paralelogramos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3 Tener ángulos opuestos de la misma medida es una propiedad de los paralelogramos porque es verdadera para todos los paralelogramos. No es una propiedad de los trapecios porque no es verdadera para todos los trapecios. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y hagan un boceto en sus pizarras blancas, o en el aire con los dedos, de un trapecio que sea un paralelogramo y de un trapecio que no sea un paralelogramo.

Explorar diagonales y simetría Materiales: M/E) Regla, tijeras

Diferenciación: Desafío Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, considere presentar el siguiente problema:

En el paralelogramo ABCD, la medida del ∠ A es   1  de la medida del ∠B. Halla las medidas de 3 todos los ángulos del paralelogramo.

La clase descubre que las diagonales de un paralelogramo se intersecan en sus puntos medios. ¿Qué es la diagonal de un cuadrilátero? Un segmento de recta que conecta las esquinas opuestas de un cuadrilátero. Pida a sus estudiantes que dibujen las diagonales de los paralelogramos que construyeron. Observemos las propiedades especiales de las diagonales de los paralelogramos. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Mundo geométrico: Explorador de diagonales. Muestre un cuadrilátero y señale las diagonales. Estas son las diagonales de un cuadrilátero. Son segmentos de recta que conectan vértices opuestos. Ajuste los vértices del cuadrilátero. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan acerca de las diagonales de un cuadrilátero. Las diagonales parecen tener siempre distintas longitudes. Las diagonales siempre se intersecan en algún punto que cambia según la ubicación del vértice. Cree un paralelogramo y ajuste los vértices.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3 Pregunte a sus estudiantes qué observan acerca de las diagonales del paralelogramo. Las diagonales no tienen la misma longitud. Una de ellas es más larga que la otra. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar los segmentos que forman las diagonales. Algunos de los segmentos diagonales parecen tener la misma longitud. Dos de los segmentos tienen la misma longitud, y los otros dos también. Parece que las diagonales se cortan a la mitad entre sí. Muestre varios paralelogramos diferentes, incluidos cuadrados y rectángulos. Guíe a sus estudiantes para que observen las diagonales de cada nuevo paralelogramo y, luego, invíteles a que se reúnan y conversen en parejas a fin de analizar si sus observaciones sobre las diagonales del primer paralelogramo son verdaderas para todos los paralelogramos. Cada diagonal divide a la otra en 2 segmentos de la misma longitud. Podemos decir que las diagonales de un paralelogramo se intersecan en sus puntos medios. Un punto medio es el punto que divide un segmento de recta en 2 segmentos de la misma longitud. Escriba el siguiente enunciado: Las diagonales de los paralelogramos se intersecan en sus puntos medios.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Es una propiedad. Lo sé porque la propiedad es verdadera para todos los paralelogramos.

Considere relacionar el nuevo término punto medio con experiencias del mundo real. Por ejemplo, pida a sus estudiantes que identifiquen alguno de los siguientes:

¿Las diagonales de los trapecios se intersecan en sus puntos medios? Expliquen.

• El punto medio entre un escritorio y la puerta

No necesariamente. Depende del trapecio.

• El punto medio de la longitud de la pared

¿Este enunciado describe una propiedad de los paralelogramos? ¿Cómo lo saben?

Use la Actividad digital interactiva para mostrar trapecios con diagonales que no se intersecan en sus puntos medios.

• El punto medio de una regla

Tener diagonales que se intersecan en sus puntos medios es una propiedad de los paralelogramos porque es verdadera para todas estas figuras, pero no es una propiedad de los trapecios ya que no es verdadera para todos ellos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3 ¿Las diagonales de los paralelogramos tienen la misma longitud? Expliquen. No necesariamente. Si el paralelogramo es un cuadrado o un rectángulo, entonces, las diagonales parecen tener la misma longitud. Use la Actividad digital interactiva para mostrar un paralelogramo con diagonales de la misma longitud y otro cuyas diagonales no tienen la misma longitud.

Pida a sus estudiantes que recorten los paralelogramos que construyeron. Indíqueles que los doblen a fin de determinar si tienen algún eje de simetría. Luego, invíteles a que se reúnan y conversen en parejas acerca de si encontraron ejes de simetría y cuáles son. Invite a la clase a compartir sus respuestas. Mi paralelogramo no tiene ningún eje de simetría y el de mi pareja tampoco. Mi paralelogramo tiene muchos ejes de simetría porque hice un cuadrado. Hay ejes de simetría que pasan por las diagonales y por los puntos medios de los lados. Mi paralelogramo tiene 2 ejes de simetría porque hice un rectángulo. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Mundo geométrico: Explorador de simetría. Cree un paralelogramo. Luego, halle los ejes de simetría en la figura. Muestre diferentes paralelogramos, incluyendo al menos uno que no tenga ningún eje de simetría. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan respecto a los ejes de simetría. ¿Podemos decir que es una propiedad de los paralelogramos tener al menos 1 eje de simetría? ¿Por qué? No. No todos los paralelogramos tienen un eje de simetría. Invite a las parejas a comentar y a hacer un boceto de un paralelogramo que tenga un eje de simetría.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3

Jerarquía de cuadriláteros La clase usa la jerarquía de cuadriláteros para clasificar y analizar enunciados sobre paralelogramos. Haga referencia a la jerarquía de cuadriláteros que sus estudiantes crearon en la lección anterior.

Cuadriláteros

Presente el siguiente enunciado: Un paralelogramo es un trapecio.

• Polígonos con 4 lados • Medidas angulares que suman 360°

Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas. Dé un momento para que cada estudiante piense en silencio y evalúe si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.

Trapecios • Al menos 1 par de lados paralelos • Al menos 2 pares de ángulos suplementarios

Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Anímeles a proporcionar ejemplos y ejemplos erróneos para apoyar su afirmación. Concluya llegando al consenso de que el enunciado es siempre verdadero porque un paralelogramo es un tipo especial de trapecio cuyos lados opuestos son paralelos. Como los paralelogramos son trapecios, podemos clasificarlos debajo de la categoría de trapecios en la jerarquía. Agregue a la jerarquía de la clase los paralelogramos y la propiedad que indica que los lados opuestos son paralelos. Invite a sus estudiantes a resumir las propiedades de los paralelogramos que aprendieron en la lección de hoy. Después, agregue todas esas propiedades a la jerarquía. • Lados opuestos que son paralelos • Lados opuestos que tienen la misma longitud • Ángulos opuestos que tienen la misma medida

Nota para la enseñanza Anticipe que, al interpretar la jerarquía de cuadriláteros, puede haber estudiantes a quienes les resulte confusa la idea de que un paralelogramo es un trapecio. Por lo general, sus estudiantes prefieren dar a una figura un solo nombre, en vez de reconocer que muchas figuras pueden clasificarse de varias maneras. Un paralelogramo se puede clasificar como un polígono, un cuadrilátero y un trapecio, pero su nombre más específico es paralelogramo.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando justifica su razonamiento y responde al razonamiento de sus pares durante la rutina Siempre, a veces, nunca. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3: • ¿Es lo que dijeron una suposición, o lo saben con seguridad? ¿Cómo pueden saberlo con seguridad? • ¿Pueden hallar una situación en la que el enunciado no sea verdadero? • ¿Qué preguntas pueden hacer a sus pares para asegurarse de que comprenden su razonamiento?

• Diagonales que se intersecan en los puntos medios

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3 Si hay tiempo suficiente, repita la rutina Siempre, a veces, nunca usando los siguientes enunciados: • Los paralelogramos tienen 4 ángulos rectos. Esto es verdadero a veces. Algunos paralelogramos también son rectángulos, y los rectángulos tienen 4 ángulos rectos. • Los paralelogramos solo tienen 1 par de lados opuestos paralelos. Esto no es verdadero nunca. Todos los paralelogramos tienen 2 pares de lados opuestos paralelos. • Los paralelogramos tienen diagonales de la misma longitud. Esto es verdadero a veces. Algunos paralelogramos también son rectángulos, y los rectángulos tienen diagonales que tienen la misma longitud. Mostramos que las diagonales de los paralelogramos se intersecan en sus puntos medios. ¿De qué manera la jerarquía nos muestra que esto es verdadero para todos los paralelogramos, pero no para todos los trapecios?

Cuadriláteros • Polígonos con 4 lados • Medidas angulares que suman 360°

Trapecios • Al menos 1 par de lados paralelos • Al menos 2 pares de ángulos suplementarios

Paralelogramos • Lados opuestos que son paralelos • Lados opuestos de la misma longitud • Ángulos opuestos de la misma medida • Diagonales que se intersecan en sus puntos medios

Los paralelogramos se encuentran debajo de los trapecios en la jerarquía. Como esta es una propiedad de los paralelogramos, no siempre se aplica a los cuadriláteros que se encuentran por encima de ellos en la jerarquía.

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3

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¿Todas las propiedades de los paralelogramos también son propiedades de los trapecios? ¿Cómo lo saben? No. Los paralelogramos se clasifican como trapecios en la jerarquía, entonces, todas las propiedades de los trapecios son propiedades de los paralelogramos, pero no todas las propiedades de los paralelogramos son propiedades de los trapecios. Lea el siguiente enunciado de la sección Presentar. Todos los paralelogramos son cuadriláteros, pero no todos los paralelogramos son trapecios. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre su postura original, si la cambiarían y por qué.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Clasificar paralelogramos según sus propiedades Guíe una conversación de toda la clase acerca de las propiedades de los paralelogramos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Continúe mostrando la jerarquía de cuadriláteros. ¿Qué hace que los paralelogramos sean un tipo especial de trapecio? Un paralelogramo es un trapecio que tiene 2 pares de lados paralelos. ¿Qué tipo de trapecio tiene diagonales que se intersecan en sus puntos medios? Un paralelogramo

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3 ¿Qué información adicional sobre un cuadrilátero nos brinda el nombre paralelogramo que el nombre trapecio no nos brinda? Cuando se clasifica una figura como un paralelogramo, sabemos que sus lados opuestos son paralelos. Cuando se clasifica una figura como un paralelogramo, sabemos que sus lados opuestos tienen la misma longitud. Cuando se clasifica una figura como un paralelogramo, sabemos que sus ángulos opuestos tienen la misma medida. Cuando se clasifica una figura como un paralelogramo, sabemos que sus diagonales se intersecan en sus puntos medios.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3

2. Marca cada enunciado como verdadero o falso. Si el enunciado es falso, haz un boceto de un ejemplo que muestre por qué es falso.

1. Considera los polígonos que se muestran.

Enunciado

a. Encierra en un círculo cada trapecio. b. Usa el color rojo para colorear cada paralelogramo.

Verdadero

Un paralelogramo solo tiene 1 par de lados paralelos.

Un paralelogramo no puede tener ningún eje de simetría.

Las diagonales de un paralelogramo se intersecan en sus puntos medios.

La suma de las medidas de los ángulos en un paralelogramo es 360°.

Todas las longitudes de los lados de un paralelogramo son iguales.

Falso

Los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo.

Un paralelogramo tiene al menos 2 pares de ángulos suplementarios.

GRUPO DE PROBLEMAS

Boceto

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 3

3. Sana dice que, como todos los paralelogramos son trapecios, todos los trapecios también deben ser paralelogramos. ¿Está en lo correcto? Explica tu razonamiento con palabras y un dibujo. Sana no está en lo correcto. Todos los paralelogramos son trapecios, pero no todos los trapecios son paralelogramos. Algunos trapecios solo tienen 1 par de lados paralelos, entonces, no son paralelogramos. Los paralelogramos tienen 2 pares de lados paralelos. Este dibujo muestra un trapecio que no es un paralelogramo.

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 4

Clasificar rectángulos y rombos según sus propiedades

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Nombre

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4

Fecha

1. Considera los cuadriláteros que se muestran. a. Encierra en un círculo cada cuadrilátero que es un rombo. b. Haz una X en cada cuadrilátero que es un rectángulo.

Vistazo a la lección La clase aprende que los rectángulos y los rombos son tipos especiales de paralelogramos. Exploran la longitud de los lados, las medidas angulares, las diagonales y los ejes de simetría para describir las propiedades de los rectángulos y los rombos. Continúan su trabajo con la jerarquía de cuadriláteros al clasificar ciertos paralelogramos como rectángulos y rombos.

Preguntas clave • ¿Qué hace que un rectángulo sea un tipo especial de paralelogramo? • ¿Qué información adicional sobre un cuadrilátero nos brinda el nombre rombo que el nombre paralelogramo no nos brinda? • ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las diagonales de los rectángulos y de los rombos?

Criterios de logro académico 5.Mód5.CLA13 Explican que las propiedades que pertenecen a una categoría

de figuras bidimensionales también pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría. (5.G.B.3) 5.Mód5.CLA14 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía

según sus propiedades. (5.G.B.4)

2. ¿Cuándo se puede clasificar un paralelogramo como un rombo? Se puede clasificar un paralelogramo como un rombo si tiene 4 lados de la misma longitud.

3. ¿Cuándo se puede clasificar un paralelogramo como un rectángulo? Se puede clasificar un paralelogramo como un rectángulo si tiene 4 ángulos rectos. © Great Minds PBC

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• papel en blanco (5 hojas)

Prepare cuatro afiches: dos rotulados Rectángulos y dos rotulados Rombos. Cuelgue los afiches en diferentes lugares del salón de clases.

Aprender 35 min • Construir un rombo • Analizar un rectángulo • Jerarquía de cuadriláteros • Grupo de problemas

Concluir 10 min

• regla • tarjeta de índice • transportador de 4ʺ • tijeras

Estudiantes • hojas en blanco • regla • tarjeta de índice • transportador de 4ʺ • tijeras

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Redondear números decimales La clase redondea un número a la decena y a la unidad más cercanas para adquirir fluidez con el redondeo de números decimales del módulo 4. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 8.7 ≈

Redondeen 8.7 a la decena más cercana.

Muestre el valor redondeado y, luego, muestre 8.7 ≈

Redondeen 8.7 a la unidad más cercana.

Muestre el valor redondeado.

8.7 ≈

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Nota para la enseñanza Considere mostrar, o pedir a sus estudiantes que dibujen, una recta numérica vertical para cada unidad a la que redondean como un apoyo visual que ayude a la comprensión.

10 8.7

9 8.7

12.1 ≈

35.06 ≈

164.83 ≈

160

12.1 ≈

35.06 ≈

164.83 ≈

165

8.5

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Contar salteado usando mililitros y litros en la recta numérica La clase cuenta salteado usando unidades de 500 mililitros y expresa los mililitros como litros para adquirir fluidez con la conversión de medidas del módulo 1. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante usando unidades de 500 mililitros hasta 3,000 mililitros. La primera medida que dicen es 0 mililitros. ¿Comenzamos? Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 mL, 500 mL…, 2,500 mL, 3,000 mL Ahora, cuenten nuevamente hacia delante usando unidades de 500 mililitros. Esta vez, expresen cada 1,000 mililitros como un número de litros. La primera medida que dicen es 0 litros. ¿Comenzamos?

0 mL

500 mL 1,000 mL 1,500 mL 2,000 mL 2,500 mL 3,000 mL

500 mL

1,500 mL

2,500 mL

500 mL

1 L 500 mL

2 L 500 mL

Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 L, 500 mL…, 2,500 mL, 3 L Ahora, cuenten nuevamente hacia delante usando unidades de 500 mililitros. Esta vez, usen unidades mixtas, litros y mililitros, cuando sea posible. La primera medida que dicen es 0 litros. ¿Comenzamos? Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 L, 500 mL…, 2 L 500 mL, 3 L

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4

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2 Muestre todos los ejes de simetría. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

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Presentar

La clase examina y compara cuatro cuadriláteros. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen de las cuatro figuras. A.

Invite a sus estudiantes a analizar las figuras. Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca. Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría.

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4

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Destaque aquellas respuestas en las que se hace énfasis en el razonamiento acerca de las propiedades y la jerarquía de los cuadriláteros. La figura A no pertenece a la categoría porque tiene 4 lados de la misma longitud. La figura B no pertenece a la categoría porque tiene 4 ángulos rectos. La figura C no pertenece a la categoría porque tiene 2 ángulos rectos. La figura D no pertenece a la categoría porque no es un trapecio. Si hay estudiantes que sugieren que la figura C no pertenece a la categoría porque es un trapecio, recuérdeles que las figuras A y B también son trapecios. Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones entre trapecios y paralelogramos. • ¿Qué figuras son cuadriláteros? ¿Cómo lo saben? • ¿Qué figuras son trapecios? ¿Cómo lo saben? • ¿Qué figuras son paralelogramos? ¿Cómo lo saben? Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas. ¿Alguna de las figuras es un rectángulo? ¿Cómo lo saben? Sí. La figura B es un rectángulo. Lo sé porque tiene 4 ángulos rectos. ¿Alguna de las figuras es un rombo? ¿Cómo lo saben? Sí. La figura A es un rombo. Lo sé porque tiene 4 lados de la misma longitud. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a aprender acerca de las propiedades de dos tipos especiales de paralelogramos, los rectángulos y los rombos.

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Aprender

Construir un rombo Materiales: M/E) Papel en blanco, regla, tarjeta de índice, transportador, tijeras

La clase construye un rombo e identifica sus propiedades. Vamos a construir rombos y a identificar sus propiedades. ¿Que deben incluir estas figuras? Las figuras deben tener lados opuestos paralelos y 4 lados de la misma longitud. Guíe a la clase en la construcción. A medida que usted completa cada parte, invite a sus estudiantes a hacer lo mismo.

Diferenciación: Desafío

• Dibuje un ángulo que no sea llano. • Con la regla, marque en las semirrectas del ángulo puntos que estén a la misma distancia del extremo. Estos puntos le ayudarán a formar dos de los lados de su rombo que sean de la misma longitud.

Invite a estudiantes que necesitan un desafío adicional a escribir instrucciones diferentes para la construcción de un rombo usando las mismas herramientas.

• Rotule el vértice del ángulo con B y los puntos que marcó en las semirrectas con A y C. Estos tres puntos serán tres de los vértices del rombo. • Use una herramienta de borde recto y una herramienta de ángulo recto para trazar una recta paralela a uno de los lados del ángulo, asegurándose de que pase por el punto que marcó en la otra semirrecta. • Repita el procedimiento con el otro lado del ángulo original. • Rotule el vértice con D. • Rotule los lados paralelos con marcas de flecha. • Mida los lados y los ángulos y escriba las medidas en la construcción.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y compruebe que sus construcciones sean correctas. Cuando hayan terminado, use los siguientes planteamientos. Algunos de los paralelogramos que creamos en la lección anterior tenían 4 lados de la misma longitud, y otros no. Sin embargo, clasificamos a todos como paralelogramos. Hoy, todos los paralelogramos que creamos tienen 4 lados de la misma longitud. ¿Cuándo se puede clasificar un paralelogramo como un rombo? Se puede llamar también rombo a un paralelogramo cuando tiene 4 lados de la misma longitud. Elija entre tres y cinco ejemplos de trabajo de la clase. Seleccione una variedad de rombos. Luego, muestre los trabajos que haya seleccionado. O considere mostrar los siguientes ejemplos.

5 cm 5 cm

5 cm

5 cm 5 cm 5 cm

5 cm

Nota para la enseñanza Asegúrese de que haya un cuadrado entre los ejemplos de construcciones que reunió para su exposición. Considere preparar la construcción de un cuadrado para incluirlo en los ejemplos en el caso que ningún estudiante lo haya hecho.

5 cm

¿Los rombos son paralelogramos? ¿Cómo lo saben? Sí. Los rombos tienen 2 pares de lados paralelos. Si se clasifica a los rombos como paralelogramos, ¿son verdaderas para todos los rombos las propiedades de que sus lados opuestos son paralelos y que sus ángulos opuestos tienen la misma medida? ¿Cómo lo saben? Sí. Los rombos son paralelogramos, y estas propiedades son verdaderas para todos los paralelogramos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4 ¿Qué diferencia a los rombos de otros paralelogramos? Todos sus 4 lados deben tener la misma longitud. Pida a sus estudiantes que recorten sus rombos. Luego, invíteles a doblarlos para determinar si tienen ejes de simetría y, si es así, cuántos son. Invite a sus estudiantes a que se reúnan y conversen en parejas acerca de cuántos ejes de simetría tienen sus rombos y dónde están ubicados. Las 2 diagonales de un rombo son ejes de simetría. ¿Las diagonales de todos los paralelogramos son ejes de simetría? No necesariamente. Depende de la apariencia del paralelogramo.

DUA: Representación Si usó una tabla de cuadriláteros en las lecciones anteriores, considere agregar ejemplos de rombos y rectángulos específicos e incluir sus propiedades.

Creemos que las 2 diagonales de un rombo son ejes de simetría, pero observemos más ejemplos. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Mundo geométrico: Explorador de simetría. Cree un rombo y ubique un eje de simetría. Este eje de simetría pasa por los vértices opuestos de este rombo. Eso significa que la diagonal de este rombo es un eje de simetría.

• •

Muestre diferentes rombos para demostrar que sus diagonales son ejes de simetría. ¿Podemos decir que es una propiedad de los rombos tener al menos 2 ejes de simetría? ¿Por qué? Sí. Todos los rombos tienen 2 diagonales y ambas son ejes de simetría. Cree paralelogramos que no sean rombos a fin de mostrar que, en esos casos, las diagonales no son ejes de simetría.

• •

Escriba el siguiente enunciado: Todos los rombos tienen al menos 2 ejes de simetría. ¿Este enunciado describe una propiedad de los rombos? ¿Cómo lo saben? Sí. Es una propiedad porque es verdadera para todos los rombos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta.

• •

¿Las diagonales en sus rombos se intersecan en sus puntos medios? ¿Cómo lo saben? Sí. Los medí. Sí. Las diagonales de todos los paralelogramos se intersecan en sus puntos medios.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4 Pida a sus estudiantes que midan los cuatro ángulos alrededor del punto de intersección de las diagonales. Invite a sus estudiantes a que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observan. ¿Las diagonales de un rombo son perpendiculares? ¿Cómo lo saben? Sí. Las diagonales se intersecan en ángulos rectos. Invite a las parejas a que se reúnan y conversen sobre las propiedades que diferencian a los rombos de otros paralelogramos.

Analizar un rectángulo Materiales: E) Regla, transportador

La clase analiza un rectángulo e identifica sus propiedades. Muestre el rectángulo del problema 1.

¿Es esta figura un rectángulo? ¿Cómo lo saben? Sí. Es un cuadrilátero con

4 ángulos rectos.

¿Todos los rectángulos son paralelogramos? ¿Cómo lo saben? Sí. Los lados opuestos de los rectángulos son paralelos.

Determinamos que los rombos son un tipo especial de paralelogramo cuyas diagonales son ejes de simetría. Considerando que los rectángulos también son paralelogramos, veamos qué observamos acerca de sus ejes de simetría.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4 Forme parejas de estudiantes. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y completen las partes (a) a (e) en parejas. 1. Considera el rectángulo ABCD.

60°

120° 120°

60°

a. Usa una regla para dibujar las diagonales del rectángulo. b. Mide las diagonales y escribe sus longitudes.

5  __21 

pulgadas

5  __21 

pulgadas

c. ¿Qué observas acerca de la longitud de las diagonales del rectángulo? Las diagonales tienen la misma longitud. d. Mide los cuatro ángulos alrededor del punto de intersección de las diagonales. Registra las medidas en la figura. e. ¿Son perpendiculares las diagonales? ¿Cómo lo sabes? No. No se intersecan en ángulos rectos.

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4

EUREKA MATH2

Reúna a la clase cuando hayan terminado. El rectángulo del problema 1 tiene diagonales que tienen la misma longitud. ¿Cómo se ve un paralelogramo con diagonales de diferentes longitudes? No es un rectángulo. No tiene ningún ángulo recto. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que las 2 diagonales de un rectángulo siempre tienen la misma longitud. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Mundo geométrico: Explorador de diagonales. Cree un rectángulo. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan acerca de las diagonales del rectángulo. Las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud. Muestre varios rectángulos diferentes para demostrar que sus diagonales siempre tienen la misma longitud. Tener diagonales de la misma longitud es una propiedad de los rectángulos porque es verdadera para todos los rectángulos, pero no es una propiedad de los paralelogramos porque no es verdadera para todos los paralelogramos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4 Pida a sus estudiantes que completen las partes (a) y (b) del problema 2 en parejas. 2. Se muestra otra copia del rectángulo ABCD. a. Usa tu regla para dibujar los ejes de simetría del rectángulo.

b. Haz un boceto de un paralelogramo sin ejes de simetría.

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4

EUREKA MATH2

Reúna a la clase cuando hayan terminado. ¿Cuántos ejes de simetría tienen sus rectángulos? Expliquen.

2. Los ejes de simetría son las rectas que pasan por los puntos medios de los lados opuestos. Las 2 rectas que pasan por los puntos medios de los lados opuestos de un rectángulo son ejes de simetría. ¿Todos los paralelogramos tienen 2 ejes de simetría que pasan por los puntos medios de sus lados opuestos? No necesariamente. Depende de la apariencia del paralelogramo. Creemos que cada rectángulo tiene al menos 2 ejes de simetría y que 2 de esos ejes pasan por los puntos medios de los lados opuestos. Observemos más ejemplos. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Mundo geométrico: Explorador de simetría. Cree un rectángulo. Luego, use las rectas para hallar los ejes de simetría en la figura. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan acerca de los ejes de simetría. Un rectángulo tiene al menos 2 ejes de simetría. Hay 2 ejes de simetría en un rectángulo. Los ejes de simetría pasan por los puntos medios de los lados opuestos del rectángulo. Muestre varios rectángulos diferentes para demostrar que todos tienen al menos 2 ejes de simetría. También muestre un cuadrado como ejemplo de un rectángulo con más de 2 ejes de simetría. Escriba el siguiente enunciado: Todos los rectángulos tienen al menos 2 ejes de simetría. ¿Este enunciado describe un atributo o una propiedad de los rectángulos? ¿Cómo lo saben? El enunciado describe una propiedad. Lo sé porque es verdadero acerca de todos los rectángulos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre qué hace que los rectángulos sean un tipo especial de paralelogramo.

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Jerarquía de cuadriláteros

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Materiales: M) Afiches

La clase usa la jerarquía de cuadriláteros a fin de clasificar y analizar enunciados sobre rectángulos y rombos. Muestre la jerarquía de cuadriláteros que sus estudiantes crearon en la lección anterior. ¿Todos los rombos son paralelogramos? ¿Cómo lo saben?

Cuadriláteros • Polígonos con 4 lados • Medidas angulares que suman 360°

Trapecios • Al menos 1 par de lados paralelos • Al menos 2 pares de ángulos suplementarios

Sí. Los lados opuestos de un rombo son paralelos. ¿Todos los rectángulos son paralelogramos? ¿Cómo lo saben? Sí. Los lados opuestos de un rectángulo son paralelos.

Si creó una tabla de cuadriláteros en la lección anterior, considere repasar los términos conocidos (lados paralelos, ángulos suplementarios, punto medio, ángulos rectos, y ejes de simetría) mientras señala los apoyos visuales correspondientes antes de comenzar la conversación.

Paralelogramos • Lados opuestos que son paralelos • Lados opuestos que tienen la misma longitud • Ángulos opuestos que tienen la misma medida • Diagonales que se intersecan en sus puntos medios

¿Todos los rectángulos son rombos? ¿Cómo lo saben? No. Los rectángulos no necesariamente tienen 4 lados de la misma longitud. ¿Todos los rombos son rectángulos? ¿Cómo lo saben? No. No todos los rombos tienen ángulos rectos. Los rombos y los rectángulos son paralelogramos, entonces, podemos colocarlos debajo de los paralelogramos en la jerarquía. Pero los rombos no siempre son rectángulos, así que no podemos ubicarlos debajo de los rectángulos. Asimismo, tampoco podemos ubicar los rectángulos debajo de los rombos, porque los rectángulos no siempre son rombos.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando comunica las definiciones para las categorías de figuras usando sus propiedades y sus relaciones con otras figuras de la jerarquía de cuadriláteros. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • ¿Cómo podemos describir un tipo especial de paralelogramo usando la palabra rombo? • ¿Es correcto decir que todos los paralelogramos son rectángulos? ¿Qué podemos agregar o cambiar para decirlo con más precisión? • ¿De qué manera están usando la jerarquía cuando determinan las propiedades de los rectángulos?

Agregue los rectángulos y los rombos a la jerarquía de la clase.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4 Invite a sus estudiantes a resumir las propiedades de los rectángulos que aprendieron en esta lección. Luego, agregue esas propiedades a la jerarquía. • 4 ángulos rectos • Diagonales que tienen la misma longitud • Al menos 2 ejes de simetría Invite a sus estudiantes a resumir las propiedades de los rombos que aprendieron en esta lección. Luego, agregue esas propiedades a la jerarquía. • 4 lados de la misma longitud • Al menos 2 ejes de simetría

Cuadriláteros • Polígonos con 4 lados • Medidas angulares que suman 360°

Trapecios • Al menos 1 par de lados paralelos • Al menos 2 pares de ángulos suplementarios

Rectángulos • 4 ángulos rectos • Diagonales que tienen la misma longitud • Al menos 2 ejes de simetría

Rombos • 4 lados que tienen la misma longitud • Al menos 2 ejes de simetría

Pida a sus estudiantes que observen los afiches de los rombos y rectángulos distribuidos en el salón de clases. Voy a leer y mostrar un enunciado. Si el enunciado describe todos los rectángulos, párense cerca de un afiche que diga rectángulos. Si describe todos los rombos, párense cerca de un afiche que diga rombos. Si el enunciado describe todos los rectángulos y todos los rombos, párense cerca de su asiento. Si no describe ni un rectángulo ni un rombo, siéntense.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4 Dé a la clase un minuto para realizar preguntas y aclarar dudas sobre las indicaciones. Después, lea y muestre tantos de los siguientes enunciados como le sea posible según el tiempo disponible. Si sus estudiantes no se ponen de acuerdo sobre algún enunciado, invíteles a que se reúnan y conversen en parejas. Anímeles a usar la jerarquía para justificar su razonamiento. • Tengo 4 lados. (Indican ambos). • Todos mis lados tienen la misma longitud. (Indican rombos). • Todos mis ángulos tienen la misma medida. (Indican rectángulos). • Tengo ángulos opuestos que tienen la misma medida. (Indican ambos). • Tengo lados opuestos que tienen la misma longitud. (Indican ambos). • Tengo al menos 2 ejes de simetría. (Indican ambos). • Todos mis lados tienen la misma longitud y todos mis ángulos tienen la misma medida. (No indican ninguno).

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4

Concluir

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Reflexión final 5 min Objetivo: Clasificar rectángulos y rombos según sus propiedades Guíe una conversación de toda la clase acerca de las propiedades de los paralelogramos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Continúe mostrando la jerarquía de cuadriláteros. En una lección anterior, mostramos que las diagonales de los paralelogramos se intersecan en sus puntos medios. ¿Es eso verdadero para los rombos? ¿Es eso verdadero para los rectángulos? ¿Cómo lo saben? Sí. Puedo ver en la jerarquía que los rombos y los rectángulos son tipos especiales de paralelogramos. Eso significa que todas las propiedades de los paralelogramos también son propiedades de los rombos y los rectángulos. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las diagonales de los rectángulos y de los rombos? Las diagonales de los rectángulos y los rombos se intersecan en sus puntos medios. Las diagonales de los rectángulos tienen la misma longitud, pero no se intersecan en ángulos rectos. Las diagonales de los rombos no tienen la misma longitud, pero se intersecan en ángulos rectos. Las diagonales de los rombos son ejes de simetría pero las de los rectángulos no lo son. ¿Qué hace que un rectángulo sea un tipo especial de paralelogramo? Un rectángulo es un paralelogramo que tiene 4 ángulos rectos. ¿Qué información adicional sobre un cuadrilátero nos brinda el nombre rombo que el nombre paralelogramo no nos brinda? Cuando se clasifica a un cuadrilátero como un rombo, sabemos que este es un cuadrilátero que tiene 4 lados de la misma longitud. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar qué apariencia tendría una figura que es tanto un rombo como un rectángulo.

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Nombre

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Fecha

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2. Identifica cada enunciado como una propiedad de los rombos y de los rectángulos, solo de los rombos o solo de los rectángulos. Enunciado

1. Considera los paralelogramos que se muestran.

Solo rombos

Solo rectángulos

Los lados opuestos son paralelos. Todos los lados tienen la misma longitud.

X X

Hay al menos 2 ejes de simetría.

Las diagonales tienen la misma longitud.

Los ángulos opuestos tienen la misma medida.

a. Encierra en un círculo cada rombo. b. Usa el color rojo para colorear cada paralelogramo.

Tienen

4 ángulos rectos. Las diagonales son ejes de simetría.

GRUPO DE PROBLEMAS

Rombos y rectángulos

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 4

Para los problemas 3 a 6, dibuja una figura con las propiedades que se enumeran, si es posible. Si no lo es, explica por qué. 3. Dibuja un rectángulo con 4 lados de la misma longitud.

4. Dibuja un rectángulo que no sea un paralelogramo. Esto no es posible. Todos los rectángulos tienen lados opuestos de la misma longitud y 2 pares de lados paralelos. Todos los rectángulos también son paralelogramos.

5. Dibuja un rombo con exactamente 1 par de lados paralelos.

6. Dibuja un rombo que también sea un rectángulo.

Esto no es posible. Todos los rombos son paralelogramos con 2 pares de lados paralelos.

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 5

Clasificar cometas y cuadrados según sus propiedades

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Nombre

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5

Fecha

1. Considera los cuadriláteros que se muestran.

Vistazo a la lección La clase construye una cometa y describe sus propiedades. Usan estas propiedades para determinar que los rombos son cometas, pero los rectángulos no. Al construir un cuadrilátero que es tanto un rectángulo como un rombo, descubren que ese cuadrilátero también es un cuadrado, y que los cuadrados son cometas. Cada estudiante agrega cuadrados y cometas a la jerarquía de cuadriláteros. Descubren que las cometas son únicas, porque solo se pueden clasificar como trapecios cuando también se clasifican como cuadrados o rombos. En esta lección se presenta el término cometa.

Preguntas clave a. Encierra en un círculo cada cuadrilátero que se puede clasificar como una cometa.

• ¿Cuándo un cuadrilátero se clasifica como una cometa?

b. Escribe la letra C en cada cuadrilátero que se puede clasificar como un cuadrado.

• ¿Por qué un cuadrado es también un rectángulo, un rombo y una cometa?

Criterios de logro académico 2. ¿Cuándo se puede clasificar un cuadrilátero como una cometa?

5.Mód5.CLA13 Explican que las propiedades que pertenecen a una categoría

Un cuadrilátero se puede clasificar como una cometa si tiene al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud.

de figuras bidimensionales también pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría. (5.G.B.3) 5.Mód5.CLA14 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía

según sus propiedades. (5.G.B.4) 3. ¿Cuándo se puede clasificar un rombo como un cuadrado? Un rombo se puede clasificar como un cuadrado cuando todos sus ángulos son rectos.

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• papel en blanco

Aprender 35 min • Construir una cometa • Construir un cuadrado

• regla • transportador de 4ʺ • tijeras

• Jerarquía de cuadriláteros

Estudiantes

• Grupo de problemas

• papel en blanco (2 hojas)

Concluir 10 min

• regla • transportador de 4ʺ • tijeras • tarjeta de índice

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5

Fluidez

Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.

45 × 367 = 16,515

3 3

1 835 2 2 + 14 680 1 1 1 6,5 1 5

Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical. Repita el proceso con el siguiente problema: 35 × 602 =

21,070

367 45

Intercambio con la pizarra blanca: Redondear números decimales La clase redondea un número a la unidad y al décimo más cercanos para adquirir fluidez con el redondeo de números decimales del módulo 4. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 2.93 ≈

Redondeen 2.93 a la unidad más cercana.

Muestre el valor redondeado y, luego, muestre 2.93 ≈

2.93 ≈

2.9

Redondeen 2.93 al décimo más cercano.

100

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5 Muestre el valor redondeado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

4.167 ≈

15.55 ≈

4.167 ≈

4.2

15.55 ≈ 15.6

Presentar

30.458 ≈

30.458 ≈ 30.5

La clase hace un boceto de una cometa. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Hagan un boceto de lo que se les viene a la mente cuando digo la palabra cometa. Dé a sus estudiantes aproximadamente 1 minuto para que hagan un boceto de una cometa.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

1. Haz un boceto de una cometa. Ejemplo:

La palabra cometa tiene diversos significados. La definición matemática de la palabra cometa se formalizará a medida que se avance con la lección. Para apoyar el uso de la palabra cometa en esta lección señale sus diferentes significados: • Una cometa es un cuadrilátero que tiene al menos 2 pares de lados adyacentes que tienen la misma longitud. • Una cometa es un juguete que se puede hacer volar en un día de viento. • Un cometa es un astro con cola que se mueve en el espacio.

101

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5 Cuando se acabe el tiempo, pida a sus estudiantes que comparen sus cometas con las de sus pares y que comenten las semejanzas y diferencias que encuentran. Luego, muestre la imagen de personas haciendo volar una cometa. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre las semejanzas y diferencias que observan entre las cometas que dibujaron y la que se muestra en la imagen. No todas las cometas que hacemos volar se parecen a las de la imagen. Algunas parecen aves, aviones u otras figuras. Describan la figura que representa la cometa de esta imagen. Tiene 4 lados. Tiene 4 ángulos. Tiene forma de diamante.

DUA: Acción y expresión Considere ofrecer medios alternativos para construir la cometa. Para minimizar las exigencias de motricidad fina, proporcione una plantilla como la siguiente.

Se compone de 4 triángulos.

Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entra la forma de la cometa de la imagen y la de los polígonos clasificados en lecciones anteriores. Sé que esta cometa es un cuadrilátero porque tiene 4 lados.

Parece que esta cometa tiene un eje de simetría que va desde la esquina de arriba hasta la de abajo. Los dos lados de arriba parecen ser de la misma longitud, y los dos de abajo también. La cometa no parece tener lados paralelos. En matemáticas, hay un tipo de cuadrilátero llamado cometa. Si una cometa es un cuadrilátero, ¿qué debe ser verdadero sobre ella? Una cometa debe tener 4 lados y sus ángulos deben sumar 360°. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, aprenderemos las propiedades de una cometa y las compararemos con las propiedades de otros cuadriláteros.

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I Pida a sus estudiantes que usen una herramienta de borde recto para conectar el punto I con los puntos K y T, y así formar un ángulo. Luego, pídales que dibujen un cuarto punto, E, en algún lugar de la línea entrecortada. Por último, pídales que conecten los puntos K y T con el punto E para formar la cometa.

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Aprender

Construir una cometa Materiales: M/E) Papel en blanco, regla, transportador, tijeras

La clase construye una cometa e identifica sus propiedades. Construyamos una cometa. Guíe a la clase en la construcción. A medida que usted completa cada parte, invite a sus estudiantes a hacer lo mismo. • Con una regla, dibuje un ángulo agudo, obtuso o recto. Marque un punto en cada semirrecta para crear dos lados de la misma longitud, entre 3 y 4 pulgadas de largo, para cortar con mayor facilidad.

Nota para la enseñanza Para asegurarse de que sus estudiantes construyan una cometa y no un triángulo, pídales que los puntos K, T y E no sean colineales.

• Rotule el vértice del ángulo con I y los extremos de los segmentos de recta con K y T. Escriba los rótulos dentro del ángulo para que sean visibles al recortarlo. • Use tijeras para recortar el ángulo por sus lados.

DUA: Representación

• Doble el ángulo a la mitad, alineando el punto K con el punto T. • Desdoble el ángulo. Marque un punto en el pliegue y rotúlelo con E.

La actividad digital interactiva de Construcción de cometas ayuda a sus estudiantes a visualizar distintas cometas de manera eficiente y precisa. Pueden ver un ángulo de cualquier medida, doblarlo a la mitad y mover puntos a lo largo del pliegue para observar diferentes cometas. Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5 Complete la construcción de la cometa, razonando en voz alta mientras lo hace. Puedo dibujar los otros dos lados usando la regla para conectar los puntos K y T con el punto E. Dibujo la recta desde el punto en el borde hasta el punto en el pliegue.

Nota para la enseñanza Cuando marcan un punto en la línea del pliegue, es probable que la representación de sus estudiantes sea parecida a la que usted realizó. Sin embargo, puede haber estudiantes que marquen un punto que creará una figura llamada flecha. Esta también es una construcción correcta de una cometa.

Pida a sus estudiantes que completen sus dibujos. Luego, recorte la cometa e invite a la clase a hacer lo mismo. Pídales que comparen la cometa que construyeron con la del boceto que hicieron antes y que compartan las semejanzas y diferencias que encuentren. Luego, haga las siguientes preguntas. ¿Los ángulos de las cometas suman 360°? ¿Cómo lo saben sin realizar ninguna medición? Sí. Sabemos que las cometas son cuadriláteros porque tienen 4 lados, y todos los ángulos de un cuadrilátero suman 360°.

No es necesario que mencione la flecha a sus estudiantes, simplemente reconozca que la figura es una cometa porque tiene dos pares de lados adyacentes de la misma medida.

Invite a sus estudiantes a medir las longitudes de los lados de sus cometas y a usar la rutina PensarTrabajar en parejas-Compartir para analizar lo que hallen. Dos de los lados tienen la misma longitud, y los otros dos también. Los lados que tienen la misma longitud son aquellos que están uno junto al otro, no los lados opuestos como en el caso de los paralelogramos.

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Nota para la enseñanza Si sus estudiantes construyen una cometa que también es un rombo, pueden hallar más de 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud al agrupar los lados de diferentes maneras. Dado que un rombo también es una cometa, decimos que una cometa tiene al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5 Sí, una cometa tiene al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud. Adyacente significa “junto a”. Los lados adyacentes son los que están uno junto al otro. Comparen sus cometas con las de sus parejas. ¿Qué observan acerca de la simetría en cada una? Cada cometa tiene al menos 1 eje de simetría. Una cometa tiene 1 eje de simetría que pasa por una diagonal. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre una cometa y el resto de los cuadriláteros.

Construir un cuadrado Materiales: E) Papel en blanco, tarjeta de índice, transportador, regla

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere brindar apoyo con el uso del término cometa pidiendo a sus estudiantes que peguen las cometas que construyeron al lado del problema 1 en sus libros. Pídales que rotulen su cometa con la palabra cometa. Invite a sus estudiantes a usar resaltadores de diferentes colores para marcar cada par de lados adyacentes de la misma longitud y pídales que hagan un boceto del eje de simetría y que lo rotulen.

La clase construye un cuadrado e identifica sus propiedades. Veamos cómo se relaciona la cometa con otros cuadriláteros en nuestra jerarquía. Muestre el rombo y el rectángulo.

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5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5

EUREKA MATH2

Pida a sus estudiantes que recuerden las propiedades de los cuadriláteros guiando su atención a la jerarquía creada en las lecciones anteriores. Cree una lista mientras la clase responde las siguientes preguntas. ¿Cómo pueden clasificar el cuadrilátero de la izquierda? Se puede clasificar como un trapecio, un paralelogramo y un rectángulo. ¿Cuál es el nombre más específico que se le puede dar al cuadrilátero de la izquierda? ¿Cómo lo saben? Rectángulo. Tiene 4 ángulos rectos. Escriba rectángulo a fin de identificar el cuadrilátero de la izquierda con el nombre más específico. Luego, haga las siguientes preguntas. ¿El cuadrilátero de la derecha también es un trapecio? ¿Es un paralelogramo? ¿Es un rectángulo? Se puede clasificar como un trapecio y como un paralelogramo, pero no como un rectángulo. ¿Cuál es el nombre más específico que se le puede dar a esta figura? ¿Cómo lo saben? Rombo. Todos sus lados tienen la misma longitud. Escriba rombo a fin de identificar el cuadrilátero de la derecha con el nombre más específico. Luego, continue la conversación. Describan la simetría de los rombos. Los rombos tienen 2 ejes de simetría que pasan por sus diagonales. Describan la simetría de los rectángulos. Los rectángulos tienen 2 ejes de simetría que pasan por los puntos medios de sus lados. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas. ¿Alguno de estos polígonos es también una cometa? Es decir, ¿alguno de ellos tiene al menos

2 pares de lados adyacentes de la misma longitud y al menos 1 eje de simetría que pasa por

una diagonal?

Sí, el cuadrilátero de la derecha también es una cometa.

106

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5 ¿De qué manera nos ayuda conocer las propiedades de los rectángulos y los rombos para decidir si estas figuras son cometas? Todos los rombos tienen al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud y al menos 1 eje de simetría que pasa por una diagonal. Todos los rombos son también cometas. No todos los rectángulos tienen lados adyacentes de la misma longitud. No todos los rectángulos tienen un eje de simetría que pasa por una diagonal. Entonces, no todos los rectángulos son cometas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las siguientes dos preguntas. ¿Puede alguna vez un rectángulo ser un rombo? ¿Puede alguna vez un rombo ser un rectángulo? Forme parejas de estudiantes. Pídales que construyan un cuadrilátero que sea un rectángulo y un rombo a la vez usando, por ejemplo, una herramienta de borde recto, una regla, un transportador y una herramienta de ángulo recto. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Brinde apoyo a sus estudiantes haciendo las siguientes preguntas, según sea necesario: • ¿Cuáles son las propiedades de los rectángulos? • ¿Cuáles son las propiedades de los rombos? • ¿Tiene su cuadrilátero 2 pares de lados opuestos que son paralelos? • ¿Tiene su cuadrilátero 4 ángulos rectos? • ¿Tienen la misma longitud los 4 lados de su cuadrilátero? • ¿Tienen la misma longitud las diagonales de su cuadrilátero? Una vez que la clase haya terminado de dibujar un cuadrilátero que se pueda clasificar como un rectángulo y como un rombo, haga las siguientes preguntas. ¿Cuál es el nombre más específico del cuadrilátero que construyeron? ¿Cómo lo saben? Un cuadrado. Todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos son rectos. Los cuadrados son cuadriláteros que son, a la vez, rectángulos y rombos. ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos de un cuadrado? ¿Cómo lo saben?

360°. Lo sé porque los cuadrados tienen 4 ángulos rectos y 4 × 90 = 360. 360°. Lo sé porque los cuadrados son cuadriláteros y las medidas de los ángulos de estas figuras suman 360°.

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Si los cuadrados son cuadriláteros que son a la vez rectángulos y rombos, ¿cuántos ejes de simetría tienen? ¿Por qué? Los cuadrados tienen 4 ejes de simetría. 2 de ellos pasan por los puntos medios de los lados del cuadrado, porque todos los cuadrados son rectángulos. Los otros 2 ejes de simetría son las diagonales del cuadrado, porque todos los cuadrados son rombos. Considere pedir a cada estudiante que compruebe que el cuadrado que construyó tiene 2 ejes de simetría que pasan por los puntos medios de sus lados y 2 ejes de simetría que pasan por sus diagonales. ¿Todos los cuadrados son cometas? ¿Por qué? Sí. Los cuadrados tienen al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud. Sí. Los cuadrados son rombos y los rombos son cometas. Entonces, los cuadrados son cometas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre un cuadrado y otros cuadriláteros.

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Jerarquía de cuadriláteros La clase razona sobre dónde ubicar los cuadrados y las cometas en la jerarquía de cuadriláteros. Cuadriláteros

Muestre la jerarquía de cuadriláteros que sus estudiantes crearon en la lección anterior. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar dónde colocar las cometas en la jerarquía. Las cometas, ¿son trapecios? ¿Por qué? No todas las cometas tienen al menos 1 par de lados paralelos. Una cometa no tiene ningún par de lados paralelos a menos que sea un rombo o un cuadrado.

• Polígonos con 4 lados • Medidas angulares que suman 360°

• Al menos 1 par de lados paralelos • Al menos 2 pares de ángulos suplementarios

• Al menos 2 pares de lados adyacentes que tienen la misma longitud • Al menos 1 eje de simetría

No todas las cometas son trapecios, entonces, no podemos ubicar las cometas debajo de los trapecios. Todas las cometas tienen al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud. Eso las convierte en un tipo especial de cuadrilátero. © Great Minds PBC

Cometas

Trapecios

Rectángulos

Rombos

• 4 ángulos rectos • Diagonales que tienen la misma longitud • Al menos 2 ejes de simetría

• 4 lados que tienen la misma longitud • Al menos 2 ejes de simetría

Cuadrados • 4 ejes de simetría

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Agregue las cometas y sus propiedades a la jerarquía como una ramificación desde los cuadriláteros. ¿Existen otros cuadriláteros que se pueden clasificar como cometas? ¿Cuáles? ¿Por qué? Sí. Todos los rombos son cometas porque tienen al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud. Conecte las cometas con los rombos en la jerarquía. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar dónde ubicar los cuadrados en la jerarquía. Los cuadrados son rectángulos y rombos, así que deberían ir debajo de rectángulos y de rombos. ¿Todos los cuadrados son paralelogramos? ¿Cómo lo saben? Sí. Lo sé porque los lados opuestos de un cuadrado son paralelos. Sí. Lo sé porque los cuadrados son rectángulos y los rectángulos son paralelogramos. Entonces, los cuadrados son paralelogramos. Sí. Lo sé porque los cuadrados son rombos y los rombos son paralelogramos. Entonces, los cuadrados son paralelogramos. ¿Todos los cuadrados son trapecios? ¿Por qué? Sí. Los cuadrados tienen al menos 1 par de lados paralelos. Sí. Los cuadrados son paralelogramos, y los paralelogramos son trapecios. Entonces, los cuadrados son trapecios. ¿Todos los cuadrados son cometas? ¿Por qué? Sí. Los cuadrados tienen al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud. ¿Qué otras propiedades de los cuadrados que no se encuentran ya en la jerarquía deberíamos mencionar? Los cuadrados tienen 4 ejes de simetría. 2 ejes de simetría pasan por los puntos medios de los lados y 2 ejes de simetría pasan por sus diagonales. Agregue los cuadrados y sus propiedades a la jerarquía debajo de los rectángulos y de los rombos.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5 Luego, muestre los cuatro cuadriláteros. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar de qué manera la jerarquía de cuadriláteros puede ser útil para identificar los nombres de dichas figuras. Diga los siguientes enunciados. Pida a sus estudiantes que muestren los pulgares hacia arriba si están de acuerdo con el enunciado y pulgares hacia abajo si están en desacuerdo. Elija a estudiantes para que compartan su razonamiento con la clase acerca de por qué están de acuerdo o no. Los cuadriláteros B y C son paralelogramos.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando usa las definiciones y propiedades de los tipos de cuadriláteros para determinar dónde ubicar las cometas y los cuadrados en la jerarquía. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

Estoy de acuerdo. Los dos cuadriláteros tienen lados opuestos que son paralelos.

• ¿Qué detalle es importante considerar cuando se ubican las cometas en la jerarquía? • ¿Cómo usan la definición de cuadrado para determinar dónde colocar los cuadrados en la jerarquía?

El cuadrilátero A es una cometa porque tiene 2 ángulos de la misma medida. No estoy de acuerdo. El cuadrilátero A no tiene 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud. No estoy de acuerdo. El cuadrilátero A es un trapecio.

DUA: Acción y expresión Considere dar tiempo a sus estudiantes para que reflexionen sobre preguntas como las siguientes. Sus estudiantes pueden reunirse y conversar en parejas o anotar ideas en una nota adhesiva. • ¿Qué aprendieron? • ¿Qué les sorprendió aprender? • ¿Sobre qué tema aún tienen preguntas?

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El cuadrilátero B no es una cometa. No estoy de acuerdo. El cuadrilátero B tiene al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud. No estoy de acuerdo. El cuadrilátero B es un cuadrado, y todos los cuadrados son cometas. El cuadrilátero D no es un trapecio. Estoy de acuerdo. El cuadrilátero D no tiene al menos 1 par de lados paralelos. Estoy de acuerdo. El cuadrilátero D es una cometa, y las cometas solo son trapecios cuando son rombos o cuadrados.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Clasificar cometas y cuadrados según sus propiedades Guíe una conversación de toda la clase acerca de las propiedades de las cometas y los cuadrados usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Pida a sus estudiantes que observen la jerarquía de cuadriláteros. ¿Cuándo un cuadrilátero se clasifica como una cometa? Un cuadrilátero es una cometa cuando tiene al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud.

112

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5 ¿Por qué todos los cuadrados son también rectángulos, rombos y cometas? Los cuadrados son rectángulos porque tienen 4 ángulos rectos. Los cuadrados son rombos porque tienen 4 lados de la misma longitud. Los cuadrados son cometas porque tienen al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud. ¿Cuándo se puede clasificar como trapecio una cometa? Si todos los 4 lados de una cometa son iguales, entonces, es un rombo. Todos los rombos son trapecios porque tienen al menos 1 par de lados paralelos. Si los 4 lados de una cometa tienen la misma longitud y tiene 4 ángulos rectos, entonces, es un cuadrado. Los cuadrados son trapecios porque tienen al menos 1 par de lados paralelos.

113

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5

Ejemplos de soluciones Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

114

Cometa Rombo

Rectángulo

2. Una cometa con 4 lados de la misma longitud 3. Una cometa que no es un trapecio y ningún ángulo recto Ejemplo: Ejemplo:

Haz un boceto de la figura que se describe.

b. Encierra en un círculo cada cuadrado.

a. Usa el color rojo para colorear cada cometa.

Paralelogramo

1. Considera los cuadriláteros que se muestran.

Trapecio

Cuadrilátero

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5

Polígono

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5

4. Considera los polígonos que se muestran. Marca cada nombre que se puede usar para clasificar el polígono. Puedes marcar más de un nombre.

EUREKA MATH2

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 5

5. Scott sabe que todos los rombos y cuadrados también son cometas. Como todos los rombos y cuadrados también son trapecios, Scott cree que todas las cometas también deben ser trapecios. ¿Está en lo correcto? Explica. Scott no está en lo correcto. Una cometa puede tener lados paralelos, pero tener lados paralelos no es una propiedad de las cometas. Dado que tener al menos 1 par de lados paralelos es una propiedad de los trapecios, pero no una propiedad de las cometas, entonces, no todas las cometas son trapecios.

GRUPO DE PROBLEMAS

115

LECCIÓN 6

Identificar cuadriláteros a partir de propiedades dadas

EUREKA MATH2

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6

Fecha

Escribe todos los nombres para cada figura que se muestra.

Cuadrilátero Trapecio Paralelogramo Rectángulo

Vistazo a la lección La clase compara tres cuadriláteros similares e intenta identificarlos. Cuando ven los mismos tres cuadriláteros con marcas que muestran ángulos rectos y lados de la misma longitud, se dan cuenta de que estas marcas les ayudan a identificar las propiedades de los cuadriláteros y a clasificarlos. En parejas, hacen bocetos de cuadriláteros según descripciones dadas. Identifican las propiedades que tienen en común los cuadriláteros de sus bocetos y de los bocetos de sus pares. Cada estudiante identifica cómo puede clasificar un grupo de cuadriláteros según lo que estos tienen en común.

Preguntas clave

Cometa Rombo

• ¿Por qué podemos dibujar diferentes tipos de cuadriláteros a partir de la misma descripción?

Cuadrado

• ¿Qué propiedades nos ayudan a clasificar los cuadriláteros?

Criterios de logro académico 5.Mód5.CLA13 Explican que las propiedades que pertenecen a una categoría

de figuras bidimensionales también pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría. (5.G.B.3)

Cuadrilátero Trapecio

5.Mód5.CLA14 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía

Paralelogramo

según sus propiedades. (5.G.B.4)

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Tarjetas de cuadriláteros (en la edición para la enseñanza)

• Imprima o copie las Tarjetas de cuadriláteros y recórtelas. Prepare la cantidad necesaria para que cada pareja de estudiantes tenga las tarjetas de los cuadriláteros del 1 al 6 o los cuadriláteros del 7 al 12.

Aprender 35 min • Hacer bocetos de cuadriláteros • Clasificar cuadriláteros • Grupo de problemas

Concluir 10 min

• papel (12 hojas)

Estudiantes • notas adhesivas (6 por pareja de estudiantes) • Tarjetas de cuadriláteros (6 por pareja de estudiantes) • tarjeta de índice • regla

• Prepare 12 afiches con los títulos Cuadrilátero 1, Cuadrilátero 2, Cuadrilátero 3…, Cuadrilátero 12. Cuélguelos alrededor del salón de clases. • Proporcione herramientas para dibujar cuadriláteros, como reglas, tarjetas de índice, herramientas de borde recto y herramientas de ángulo recto, para que sus estudiantes puedan elegir por su cuenta.

117

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6

Fluidez

Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.

43 × 809 = 34,787

809 43 2

2427 3 + 32360 3 4,7 8 7

Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical. Repita el proceso con el siguiente problema: 54 × 760 = 41,040 .

118

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6 Muestre 3.84 ≈

Redondeen 3.84 a la unidad más cercana.

Muestre el valor redondeado y, luego, muestre 3.84 ≈ Redondeen 3.84 al décimo más cercano.

3.84 ≈ 4 3.84 ≈ 3.8

Muestre el valor redondeado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

5.279 ≈ 5

18.55 ≈ 19

50.456 ≈ 50

5.279 ≈ 5.3

18.55 ≈ 18.6

50.456 ≈ 50.5

Presentar

La clase razona sobre los nombres más específicos de los cuadriláteros. Muestre los cuadriláteros A, B y C.

Estos tres cuadriláteros tienen pequeñas diferencias en tamaño y forma. Según sus nombres más específicos, son un cuadrado, un rectángulo y un rombo.

119

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar qué cuadrilátero es un cuadrado, cuál es un rectángulo y cuál es un rombo. Pídales que escriban en sus pizarras blancas qué cuadrilátero creen que es cada uno. ¿Qué les ayudaría a identificar qué cuadrilátero es cada uno? Necesitamos saber qué cuadriláteros tienen ángulos rectos. Necesitamos saber qué cuadriláteros tienen las mismas longitudes de los lados. ¿Pueden identificar el cuadrado si solo saben qué cuadriláteros tienen 4 ángulos rectos? No. Podemos identificar el cuadrado y el rectángulo, pero todavía necesitaríamos saber si sus lados tienen la misma longitud para saber cuál es cada uno. ¿Pueden identificar el cuadrado si solo saben qué cuadriláteros tienen 4 lados de la misma longitud? No. Podemos identificar el cuadrado y el rombo, pero todavía necesitaríamos saber si sus ángulos son rectos para saber cuál es cada uno. Muestre los tres cuadriláteros con las marcas que identifican los ángulos rectos y las longitudes de los lados que son iguales.

120

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar qué cuadrilátero es un cuadrado, cuál es un rectángulo y cuál es un rombo ahora que tienen las marcas que identifican los ángulos rectos y las longitudes de los lados que son iguales. Pida a sus estudiantes que comparen lo que piensan ahora con lo que escribieron en sus pizarras blancas. Identifiquen cada uno de estos cuadriláteros con su nombre más específico. ¿Cómo saben cuál es cuál? Sé que el cuadrilátero A es un cuadrado porque tiene 4 ángulos rectos y 4 lados de la misma longitud. Sé que el cuadrilátero B es un rombo porque tiene 4 lados de la misma longitud. Sé que el cuadrilátero C es un rectángulo porque tiene 4 ángulos rectos. Al dibujar un cuadrilátero, ¿qué deben incluir para asegurarse de que se pueda identificar qué tipo de cuadrilátero es? Debemos agregar las medidas angulares y marcar los ángulos rectos. Debemos medir y rotular las longitudes de los lados. Debemos marcar qué lados tienen la misma longitud y cuáles son paralelos. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a hacer bocetos de cuadriláteros e identificarlos a partir de propiedades dadas.

121

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6

Aprender

Hacer bocetos de cuadriláteros Materiales: M) Afiches; E) Notas adhesivas, Tarjetas de cuadriláteros, tarjeta de índice, regla

La clase hace bocetos de cuadriláteros a partir de descripciones dadas. Muestre la descripción y los cuadriláteros:

Descripción

Cuadriláteros

• Paralelogramo • 2 longitudes de lado diferentes

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué cuadrilátero del A al F se puede dibujar a partir de la descripción dada y cuáles no. Anime a sus estudiantes a compartir su razonamiento. A partir de la descripción, se pueden dibujar los cuadriláteros C y D. Los dos son paralelogramos con 2 longitudes de lado diferentes. No se pueden dibujar los cuadriláteros A y B a partir de la descripción. No son paralelogramos. No se pueden dibujar los cuadriláteros E y F a partir de la descripción. No tienen

2 longitudes de lado diferentes.

122

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6 Muestre los cuadriláteros C y D. ¿Podemos clasificar el cuadrilátero C y el cuadrilátero D como rectángulos? ¿Por qué?

No. El cuadrilátero D es un rectángulo, pero el cuadrilátero C no lo es. El cuadrilátero C no tiene 4 ángulos rectos. Solo uno de estos cuadriláteros es un rectángulo, así que no podemos clasificar los dos como rectángulos. ¿Podemos clasificar el cuadrilátero C y el cuadrilátero D como paralelogramos? ¿Por qué? Sí. Tanto el cuadrilátero C como el cuadrilátero D son paralelogramos. Los dos tienen lados opuestos que son paralelos y de la misma longitud. ¿Podemos clasificar los cuadriláteros C y D como otro tipo de cuadrilátero? Expliquen. Sí. Tanto el cuadrilátero C como el cuadrilátero D son trapecios. ¿Por qué podemos clasificar estos cuadriláteros como trapecios a pesar de que no todos los trapecios son paralelogramos, y no todos los trapecios tienen 2 longitudes de lado diferentes? Todos estos cuadriláteros son paralelogramos, y todos los paralelogramos son trapecios. Como el cuadrilátero C y el cuadrilátero D son paralelogramos, y los dos son trapecios, podemos clasificar estos dos cuadriláteros como paralelogramos y como trapecios.

123

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6 Forme parejas de estudiantes. Dé a cada una 6 notas adhesivas y un juego de 6 Tarjetas de cuadriláteros, ya sea el juego de los cuadriláteros del 1 al 6 o el de los cuadriláteros del 7 al 12.

Cuadrilátero 1

Cuadrilátero 2

Cuadrilátero 3

Cuadrilátero 4

• 4 ángulos rectos

• 2 pares de lados opuestos que son paralelos

• Un paralelogramo

• 2 pares de lados opuestos que son paralelos

• 4 lados de la misma longitud

• Al menos 2 ángulos rectos

• 2 pares de lados opuestos de la misma longitud

Cuadrilátero 5

Cuadrilátero 6

Cuadrilátero 7

Cuadrilátero 8

• Al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud

• Un trapecio

• Al menos 1 par de lados paralelos

• Un rombo

Cuadrilátero 9

Cuadrilátero 10

Cuadrilátero 11

Cuadrilátero 12

• 4 ángulos rectos

• 4 lados de la misma longitud

• Un paralelogramo

• Al menos 2 pares de lados de la misma longitud

• 2 pares de lados opuestos de la misma longitud

• Al menos 1 ángulo recto

• Ningún ángulo recto

• 4 ángulos de la misma medida

• Ningún lado paralelo

Invite a sus estudiantes a comentar los tipos de cuadriláteros que se describen según las propiedades y atributos en su juego de Tarjetas de cuadriláteros asignado. Luego, pida a las parejas que hagan un boceto de un cuadrilátero por cada nota adhesiva. Pídales que marquen los ángulos rectos, los lados que tienen la misma longitud y los lados paralelos según sea necesario en base a la descripción del cuadrilátero. Invite a la clase a seleccionar sus propios materiales como reglas, herramienta de borde recto y herramienta de ángulo recto para que sus dibujos sean precisos.

124

DUA: Acción y expresión Anime a sus estudiantes a consultar la jerarquía de cuadriláteros de las lecciones anteriores como ayuda para hacer bocetos, rotular e identificar los tipos de cuadriláteros.

DUA: Participación Puede que sus estudiantes hagan suposiciones acerca de los atributos y propiedades dados y que se frustren al ver que estas suposiciones no funcionan bien o al encontrarse con una propiedad desconocida. Por ejemplo, pueden suponer que el enunciado al menos 2 ángulos rectos para el cuadrilátero 3 significa que este se puede dibujar solo con exactamente 2 ángulos rectos; sin embargo, un paralelogramo con al menos 2 ángulos rectos en realidad requiere 4 ángulos rectos. Las descripciones para los cuadriláteros 11 y 12 incluyen propiedades que no se han comentado con anterioridad. Considere comentar estrategias para afrontar la frustración y perseverar, como las siguientes: • Practiquen el diálogo interno con enunciados como “¡Puedo hacerlo!”. • Tengan una mentalidad de crecimiento. En lugar de pensar “No lo entiendo”, piensen: “Todavía no lo entiendo”. • Hagan una pausa para respirar profundamente y tranquilizarse antes de volver a trabajar. • Elijan un enfoque diferente. • Hagan una pregunta aclaratoria a otra persona de la clase o al maestro o la maestra.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6 Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan. Compruebe que hagan bocetos de los cuadriláteros que se describen y que incluyan las marcas apropiadas. Asegúrese de que sus estudiantes tengan un boceto de un cuadrilátero en cada nota adhesiva y que no escriban el nombre de ningún cuadrilátero en ellas. Cuando las parejas terminen sus bocetos, pídales que coloquen cada nota adhesiva en el afiche que muestra el número de tarjeta de ese cuadrilátero. Mientras tanto, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que observan en los otros dibujos del afiche.

Diferenciación: Apoyo Para ayudar a sus estudiantes, pídales que primero escriban los nombres de los cuadriláteros que tienen las propiedades o atributos que se mencionan en la tarjeta antes de intentar hacer un boceto del cuadrilátero.

En la tabla se muestran los tipos de cuadriláteros que se pueden dibujar para cada descripción. Si alguno de ellos todavía no aparece en un afiche en particular, haga un boceto del cuadrilátero en una nota adhesiva y agréguelo al afiche correspondiente. Cuadrilátero 1

Cuadrilátero 2

Cuadrilátero 3

Cuadrilátero 4

Cuadrilátero 5

Cuadrilátero 6

Nota para la enseñanza Cuadrilátero 7

Cuadrilátero 8

Cuadrilátero 9

Cuadrilátero 10

Cuadrilátero 11

Cuadrilátero 12

A continuación, pida a sus estudiantes que escriban en sus Tarjetas de cuadriláteros los nombres de cuadrilátero con los que se pueden clasificar todas las figuras del afiche.

Mientras sus estudiantes clasifican los cuadriláteros en los afiches, recuérdeles que deben seleccionar nombres que sean correctos para todas las figuras en la tarjeta. Por ejemplo, si la descripción en la tarjeta dice 4 ángulos rectos y 2 pares de lados opuestos de la misma longitud, el afiche debe incluir dibujos de rectángulos y de cuadrados. Sin embargo, cuadrados no describiría todos los cuadriláteros del afiche. Todos los cuadriláteros del afiche para esa descripción se pueden clasificar como rectángulos, paralelogramos y trapecios, por lo tanto, sus estudiantes deben escribir esos nombres en la tarjeta.

125

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6

Clasificar cuadriláteros Materiales: M) Afiches

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

La clase identifica cuadriláteros según propiedades en común. Invite a cada pareja de estudiantes a dirigirse al afiche de un cuadrilátero del que no hayan hecho un boceto. Por ejemplo, pida a quienes dibujaron cuadriláteros del 1 al 6 que vayan al afiche de uno de los cuadriláteros del 7 al 12. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre los dibujos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Pídales que usen la hoja de registro para mencionar entre 1 y 3 cosas que todos los dibujos del afiche tienen en común. Pídales que nombren los tipos de cuadriláteros que describen a todos los cuadriláteros del afiche según lo que tienen en común los dibujos. Luego, pídales que vayan al afiche de otro cuadrilátero del que no hayan hecho un boceto. Dé 2 o 3 minutos para que completen la actividad en cada afiche antes de pasar a otro afiche. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Haga las siguientes preguntas para brindar apoyo al razonamiento de sus estudiantes: • ¿Qué diferencias observaron en los dibujos de este afiche? • ¿Qué tienen en común todos los dibujos de este afiche? • ¿Cómo pueden clasificar todos los cuadriláteros en él?

126

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando hace bocetos de cuadriláteros a partir de propiedades y atributos dados y los clasifica en grupos de cuadriláteros según lo que estos tienen en común. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿De qué pueden darse cuenta acerca de las propiedades de estos cuadriláteros al mirar todos los dibujos? • ¿Qué información o datos necesitan para clasificar un grupo de cuadriláteros?

DUA: Acción y expresión En vez de pedir a sus estudiantes que hagan una lista de lo que tienen en común los dibujos, considere invitarles a identificar los cuadriláteros que dibujaron sus pares. Haga un segundo juego de Tarjetas de cuadriláteros pero recorte el número de la descripción. Dé las Tarjetas de cuadriláteros 7 a 12 a quienes dibujaron los cuadriláteros del 1 al 6, y viceversa. Pida a sus estudiantes que emparejen cada Tarjeta de cuadriláteros con el afiche correcto buscando los dibujos de cuadriláteros que comparten las propiedades y atributos que se mencionan en la tarjeta. Cada estudiante debe escribir los tipos de cuadriláteros que describen a todos los cuadriláteros en la tarjeta.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6 1. Para cada cuadrilátero: • Escribe el número del cuadrilátero. • Escribe de 1 a 3 cosas que todos los dibujos tienen en común. • Escribe los nombres de los cuadriláteros que describen a todos los cuadriláteros en la tarjeta.

Número de cuadrilátero: Cosas que tienen en común los dibujos: 1. 2. 3. Nombres que describen a todos los cuadriláteros en la tarjeta:

127

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6 Cuando la mayor parte de la clase haya visitado los 6 afiches, pídales que regresen a sus asientos. Considere elegir diferentes afiches e invitar a la clase a compartir lo que tienen en común todos los dibujos en cada afiche y los nombres que describen a todos los cuadriláteros en él.

Cuadrilátero 1

Cuadrilátero 2

Cuadrilátero 3

Cuadrilátero 4

• Cuadrados

• Rombos

• Rectángulos

• Paralelogramos

• Rectángulos

• Paralelogramos

• Trapecios

• Rombos

• Trapecios

• Paralelogramos

• Cometas

• Trapecios • Cometas

Cuadrilátero 5

Cuadrilátero 6

Cuadrilátero 7

Cuadrilátero 8

• Cometas

• Trapecios

• Cuadrados • Rectángulos • Rombos • Paralelogramos • Trapecios • Cometas

Cuadrilátero 9

Cuadrilátero 10

Cuadrilátero 11

Cuadrilátero 12

• Rectángulos

• Rombos

• Paralelogramos

• Cometas

• Paralelogramos

• Trapecios

• Trapecios • Cometas

128

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6 Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas. ¿Por qué podemos hacer un boceto de más de un tipo de cuadrilátero para la misma descripción? Diferentes tipos de cuadriláteros tienen algunas de las mismas propiedades. ¿Por qué en el afiche 6 hay tantos tipos diferentes de cuadriláteros, pero solo podemos clasificarlos como trapecios? Las propiedades de los trapecios son las únicas propiedades que tienen en común todos los cuadriláteros del afiche 6. ¿Por qué, si todos los cuadriláteros del afiche 1 son cuadrados, podemos clasificarlos en tantos tipos diferentes de cuadriláteros? Los cuadrados tienen las propiedades de los rectángulos, los rombos, los paralelogramos, los trapecios y las cometas. Por eso, los cuadrados se pueden clasificar como cualquiera de esos tipos de cuadriláteros.

129

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Identificar cuadriláteros a partir de propiedades dadas Use los siguientes planteamientos para guiar una conversación de toda la clase sobre la identificación de cuadriláteros a partir de propiedades dadas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Muestre la descripción de la Tarjeta de cuadrilátero 4 y sus respectivos cuadriláteros.

Descripción

Cuadriláteros

• 2 pares de lados opuestos que son paralelos • 2 pares de lados opuestos de la misma longitud

¿Por qué podemos dibujar diferentes tipos de cuadriláteros a partir de la misma descripción? Diferentes tipos de cuadriláteros pueden tener algunas de las mismas propiedades, por ejemplo, ángulos rectos, lados paralelos y lados que tienen la misma longitud. Describan algunas de las estrategias que usaron al clasificar cuadriláteros a partir de los dibujos de sus pares. Buscamos cosas que tuvieran en común todos los cuadriláteros del afiche. Buscamos lados que estuvieran marcados como paralelos o de la misma longitud. Buscamos ángulos rectos.

130

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6 Los cuatro cuadriláteros en la tabla tienen cada uno 2 pares de lados opuestos que son paralelos y de la misma longitud. ¿Por qué no podemos clasificar todos los cuadriláteros como rectángulos si uno de ellos es un rectángulo? No todos los cuadriláteros son rectángulos, entonces, no podemos clasificarlos como rectángulos. No todos los rombos ni todos los paralelogramos son rectángulos, así que no podemos clasificarlos como rectángulos. ¿Por qué podemos clasificar estos cuadriláteros como trapecios aunque no todos los trapecios tienen 2 pares de lados opuestos que son paralelos y tienen la misma longitud? Todos estos cuadriláteros son paralelogramos, y todos los paralelogramos son trapecios.

131

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6

Ejemplos de soluciones Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6

Nombre

Fecha

2. Escribe todos los nombres del banco de palabras que se pueden usar para clasificar cada figura que se muestra.

1. Marca cada figura con la propiedad dada.

Banco de palabras

Propiedad

Trapecio

Paralelogramo

Rectángulo

Rombo

Cuadrado

Al menos 1 par de lados opuestos son paralelos.

2 pares de lados opuestos son paralelos.

Cuadrilátero

Trapecio

Paralelogramo

Cuadrado

Rombo

Cometa

a. X

Cuadrilátero

Trapecio

Paralelogramo

Rectángulo X

Las diagonales se intersecan en sus puntos medios.

Rectángulo

b. Cuadrilátero

Los lados opuestos tienen la misma longitud.

Cuadrado

Rombo Cometa

Cuadrilátero

Trapecio

Las diagonales se intersecan en un ángulo recto.

Todos los lados tienen la misma longitud.

X e.

Todos los ángulos son ángulos rectos.

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6

Cuadrilátero

Trapecio

Cuadrilátero Cometa

Paralelogramo Rombo Cometa

132

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6

3. Considera los cuadriláteros que se muestran.

a. ¿Qué propiedades tienen en común las figuras? Ejemplo: Los lados opuestos son paralelos. Todos los lados tienen la misma longitud. Las diagonales se intersecan en sus puntos medios.

b. ¿Cuál es el nombre más específico que puede describir a las tres figuras? Rombo

GRUPO DE PROBLEMAS

133

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 6 ▸ Tarjetas de cuadriláteros

Cuadrilátero 1

Cuadrilátero 2

Cuadrilátero 3

Cuadrilátero 4

Cuadrilátero 5

Cuadrilátero 6

• 4 ángulos rectos

• Un paralelogramo

• 2 pares de lados opuestos que son paralelos

• Al menos 2 pares de lados adyacentes de la misma longitud

• Un trapecio

• 4 lados de la misma longitud

• 2 pares de lados opuestos que son paralelos

Cuadrilátero 7

Cuadrilátero 8

Cuadrilátero 9

Cuadrilátero 10

Cuadrilátero 11

Cuadrilátero 12

• Al menos 1 par de lados paralelos

• Un rombo

• 4 ángulos rectos

• 4 ángulos de la misma medida

• 2 pares de lados opuestos de la misma longitud

• 4 lados de la misma longitud

• Un paralelogramo

• Al menos 2 pares de lados de la misma longitud

134

• 4 lados de la misma longitud

• Al menos 2 ángulos rectos

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• 2 pares de lados opuestos de la misma longitud

• Ningún ángulo recto

• Al menos 1 ángulo recto

• Ningún lado paralelo

LECCIÓN 7

Clasificar cuadriláteros en una jerarquía según sus propiedades

EUREKA MATH2

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7

Fecha

Escribe todos los nombres para cada cuadrilátero que se muestra. Encierra en un círculo el nombre más específico para cada figura.

Trapecio Paralelogramo Rectángulo

Vistazo a la lección La clase analiza un diagrama de Venn de triángulos y reconoce cómo se clasifican los triángulos en categorías según sus propiedades. Después de analizar un diagrama de Venn similar para los cuadriláteros, lo comparan con la jerarquía de cuadriláteros y clasifican un conjunto de cuadriláteros y no cuadriláteros según sus propiedades. Mediante la rutina Analizar una respuesta errónea, sus estudiantes se dan cuenta de que, si bien se suele identificar a los cuadriláteros con sus nombres más específicos, muchos de ellos también se pueden clasificar como otro tipo de cuadriláteros. En esta lección, no se incluye Grupo de problemas. En su lugar, hay actividades para que la clase complete en parejas.

Cuadrado Cometa

Preguntas clave

Rombo

• ¿De qué manera nos ayudan los diagramas a clasificar los cuadriláteros según sus propiedades? • Si un cuadrilátero puede tener más de un nombre, ¿cómo sabemos qué nombre darle? Trapecio

Criterios de logro académico 5.Mód5.CLA13 Explican que las propiedades que pertenecen a una categoría

de figuras bidimensionales también pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría. (5.G.B.3) 5.Mód5.CLA14 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía

Cometa

según sus propiedades. (5.G.B.4)

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• ninguno

• Considere retirar las páginas extraíbles de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 30 min • Diagrama de Venn de cuadriláteros • Organizar cuadriláteros según sus características • Clasificar cuadriláteros

Concluir 10 min

Estudiantes • Práctica veloz de Redondear a la unidad más cercana (en el libro para estudiantes) • Diagrama de Venn de cuadriláteros (en el libro para estudiantes) • Polígonos (en el libro para estudiantes) • tijeras

• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Diagrama de Venn de cuadriláteros de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección. • Considere si desea retirar la hoja extraíble de Polígonos de los libros para estudiantes y recortarlos con antelación o si los preparará con la clase durante la lección.

• pegamento

137

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7

Fluidez

Práctica veloz: Redondear números decimales

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear a la unidad más cercana Materiales: E) Práctica veloz de Redondear a la unidad más cercana

La clase redondea un número a la unidad más cercana para adquirir fluidez con el redondeo de números decimales del módulo 4.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Redondea a la unidad más cercana. 1. 2.

4.7 ≈

24.19 ≈

5 24

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea. No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo. En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.

138

Nota para la enseñanza Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A: • ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 5? ¿Y en los problemas 12 a 22? • ¿Cómo se compara la estrategia para redondear que usaron en el problema 5 con la que usaron en el problema 6? ¿Cambiaron su estrategia a medida que aumentaba el número de valores posicionales en la Práctica veloz?

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7 Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico. Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Pida a sus estudiantes que vayan a la Práctica veloz B. En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!

Nota para la enseñanza Cuente hacia delante usando unidades de 5 décimos en forma decimal del 0 al 5 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás usando unidades de 5 décimos en forma decimal del 5 al 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.

Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

Presentar

• Un triángulo acutángulo es un triángulo que tiene los tres ángulos agudos.

Muestre el triángulo E.

• Un triángulo obtusángulo es un triángulo que tiene un ángulo obtuso.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo clasificarían la figura. Es un triángulo. Es un triángulo rectángulo. Es un triángulo isósceles.

Sus estudiantes clasifican triángulos en 4.o grado. Active los conocimientos previos sobre triángulos repasando sus diferentes tipos con apoyos visuales para cada uno de ellos antes de presentar el diagrama de Venn de triángulos. • Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto.

La clase razona sobre triángulos organizados en un diagrama de Venn.

Es un polígono.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

• Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene al menos 2 lados de la misma longitud. Los triángulos equiláteros también son triángulos isósceles. • Un triángulo equilátero es un triángulo que tiene todos los lados de la misma longitud.

139

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7 Muestre el diagrama de Venn de triángulos.

Rectángulo

Triángulos Isósceles Acutángulo

D E

A Equilátero

C Obtusángulo Pregunte a sus estudiantes qué observan y qué se preguntan. Observo que el triángulo E está en la sección rotulada con Rectángulo y en la sección rotulada con Isósceles. Observo que el diagrama tiene muchas secciones. Observo que todos los triángulos están rotulados con una letra y clasificados en categorías. Observo que algunos triángulos están marcados para mostrar los ángulos rectos, los lados que tienen la misma longitud y los ángulos que tienen la misma medida. Observo que las categorías son de diferentes colores.

140

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7 Observo que un triángulo puede estar dentro de más de una sección porque se puede clasificar como más de un tipo. Me pregunto por qué los triángulos están clasificados de esta manera. Me pregunto si se pueden clasificar todos los triángulos en al menos una de las secciones. Me pregunto si podemos clasificar los cuadriláteros usando un diagrama similar. Señale la sección rotulada con Rectángulos. Los triángulos B y E son triángulos rectángulos. ¿En qué se diferencia el triángulo E del triángulo B?

El triángulo E es un triángulo isósceles. También se encuentra en la sección rotulada con Isósceles. El triángulo B no es un triángulo isósceles.

El triángulo E tiene 2 lados de la misma longitud y 2 ángulos de la misma medida; el triángulo B, no. Señale el triángulo F. ¿Qué pueden decir sobre el triángulo F?

El triángulo F es un triángulo isósceles.

El triángulo F es un triángulo obtusángulo. El triángulo F tiene 2 lados de la misma longitud y 2 ángulos de la misma medida. El triángulo F tiene un ángulo obtuso. Señale el triángulo G. ¿Qué tipo de triángulo es el triángulo G? ¿Cómo lo saben?

El triángulo G es un triángulo equilátero. Lo sé porque se encuentra en la sección rotulada con Equilátero. El triángulo G es un triángulo equilátero. Lo sé porque todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos tienen la misma medida. ¿Podemos decir que el triángulo G es isósceles? ¿Por qué? Sí. La sección de los triángulos equiláteros se encuentra dentro de la sección de los triángulos isósceles. Sí. Los triángulos equiláteros tienen al menos 2 lados que tienen la misma longitud y al menos 2 ángulos de la misma medida.

141

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7

EUREKA MATH2

¿Podemos decir que el triángulo G es un triángulo acutángulo? ¿Por qué? Sí. La sección de los triángulos equiláteros se encuentra dentro de la sección de los triángulos acutángulos. Sí. Todos los ángulos de un triángulo equilátero tienen medidas menores que 90°. ¿Todos los triángulos isósceles son también triángulos equiláteros? Hay triángulos isósceles que no están en la sección rotulada con Equiláteros, entonces, no todos los triángulos isósceles son triángulos equiláteros. La sección rotulada con Equiláteros está completamente dentro de la sección rotulada con Isósceles, entonces, todos los triángulos equiláteros también son isósceles, pero solo algunos triángulos isósceles también son equiláteros. ¿Tendría sentido poner un cuadrilátero en este diagrama? ¿Por qué? No. Un cuadrilátero no es un triángulo, entonces, no pertenece a este diagrama. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que se puede usar un diagrama parecido para clasificar cuadriláteros. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a clasificar y organizar cuadriláteros en un diagrama de Venn.

142

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7

Aprender

Diagrama de Venn de cuadriláteros La clase analiza un diagrama de Venn de cuadriláteros y lo compara con la jerarquía de cuadriláteros. Muestre el diagrama de Venn de cuadriláteros.

DUA: Representación

Cuadriláteros

Considere analizar una parte del diagrama de Venn de cuadriláteros antes de mostrarlo en su totalidad. Invite a sus estudiantes a que se reúnan y conversen en parejas para analizar qué enunciado es verdadero: Todos los paralelogramos son rectángulos o Todos los rectángulos son paralelogramos. Muestre la parte del diagrama con las secciones de los paralelogramos y los rectángulos.

Trapecios

Paralelogramos Rombos

Rectángulos

Cuadrados

Cometas

Paralelogramos Rectángulos

Pregunte a sus estudiantes cómo muestra el diagrama que todos los rectángulos son paralelogramos. Invíteles a hacer un boceto de un cuadrilátero que se ubicaría en la sección de los rectángulos y un cuadrilátero que se encontraría en la sección de los paralelogramos, pero no en la de los rectángulos.

143

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7 ¿Qué observan acerca de este diagrama? Observo que este diagrama de Venn es para cuadriláteros. Observo que el diagrama es grande. Observo que la sección rotulada con Cuadrados se encuentra dentro de las secciones rotuladas con Rectángulos, Rombos y Cometas. Observo que una parte de la sección rotulada con Cometas se encuentra dentro de la sección rotulada con Paralelogramos y otra parte no. Pida a sus estudiantes que vayan a la jerarquía de cuadriláteros que crearon en la lección 5. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas a fin de comparar el diagrama de Venn de cuadriláteros con la jerarquía de cuadriláteros. Señale la sección de los trapecios en el diagrama de Venn de cuadriláteros que se muestra. Guíe una conversación de toda la clase acerca del diagrama usando las siguientes preguntas. ¿La sección de los trapecios se encuentra dentro o fuera de la sección de los cuadriláteros? Adentro La sección de trapecios está dentro de la sección de cuadriláteros porque todos los trapecios son cuadriláteros. ¿Eso significa que todos los cuadriláteros son trapecios? ¿Por qué?

DUA: Representación Para ayudar a sus estudiantes a establecer conexiones entre el diagrama y la jerarquía de cuadriláteros, considere pedirles que escriban las propiedades de cada cuadrilátero en el diagrama de Venn de cuadriláteros. O proporcione una copia del diagrama que ya tenga las propiedades escritas en cada sección.

No. Algunos cuadriláteros no tienen ningún par de lados paralelos. Señale la sección de los paralelogramos. Todos los paralelogramos son cuadriláteros, pero no todos los cuadriláteros son paralelogramos. ¿Cómo se muestra esto en el diagrama? La sección de los paralelogramos se ubica dentro de la sección de los cuadriláteros. Hay un espacio fuera de la sección de los paralelogramos para aquellos cuadriláteros que no son paralelogramos. ¿Por qué la sección de los paralelogramos está dentro de la sección para los trapecios? Todos los paralelogramos son trapecios. ¿Qué secciones se encuentran completamente dentro de la sección de los paralelogramos? ¿Por qué? Los cuadrados, los rectángulos y los rombos se encuentran todos dentro de la sección de los paralelogramos porque todos ellos son paralelogramos.

144

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7 Señale la sección de los rombos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan sobre la sección de los rombos. ¿Todos los rombos son cuadrados? ¿Cómo lo saben mirando el diagrama? No. Algunos rombos son cuadrados, pero otros no lo son. Solo parte de la sección para los rombos incluye los cuadrados. ¿Por qué la sección de los cuadrados se encuentra dentro de la sección de los rectángulos y de los rombos? Los cuadrados son rectángulos y también son rombos. Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar por qué una parte de la sección de las cometas está dentro de la sección de los paralelogramos y otra parte no lo está. Todos los rombos son cometas y paralelogramos. Entonces, las cometas que son rombos también son paralelogramos. No todas las cometas son rombos. Entonces, no todas las cometas son paralelogramos. Si un polígono está en la sección rotulada con Rectángulos, pero no en la sección rotulada con Cuadrados, entonces, el nombre más específico para ese polígono es rectángulo. ¿De qué otra forma podemos clasificar un rectángulo? ¿Cómo saben eso al mirar el diagrama? Los rectángulos son paralelogramos, trapecios y cuadriláteros. La sección de los rectángulos está dentro de las secciones de los paralelogramos, trapecios y cuadriláteros. No es posible que una figura esté en la sección de los rectángulos sin estar dentro de la sección de los paralelogramos, que está dentro de la sección de los trapecios, que está dentro de la sección de los cuadriláteros. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo puede ayudarles el diagrama de Venn de cuadriláteros a clasificar cuadriláteros.

145

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7

Organizar cuadriláteros según sus características Materiales: E) Diagrama de Venn de cuadriláteros, Polígonos, tijeras, pegamento

La clase clasifica cuadriláteros y no cuadriláteros. Forme parejas de estudiantes. Pídales que retiren las hojas extraíbles de Diagrama de Venn de cuadriláteros y de Polígonos de sus libros. Pídales que recorten los polígonos y que trabajen en conjunto para ubicar cada uno en la sección correcta del Diagrama de Venn de cuadriláteros. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Anímeles a usar las propiedades mencionadas en la jerarquía de cuadriláteros como ayuda para clasificar los polígonos, según sea necesario. Cuando las parejas hayan completado la actividad, invite a sus estudiantes a compartir la sección en la que colocaron cada polígono. A medida que comparten, considere aclarar dudas mediante las siguientes preguntas: • ¿Por qué colocaron el polígono en esa sección? • ¿Cómo supieron que el polígono es un paralelogramo, pero no un rombo? • ¿Cómo supieron que el polígono no es una cometa? • ¿Cómo supieron que el polígono no es un cuadrilátero? Si sus estudiantes no pueden ponerse de acuerdo sobre la ubicación de un polígono, pídales que justifiquen su razonamiento usando las propiedades de los cuadriláteros. Una vez que hayan identificado la sección correcta para cada polígono, pídales que los peguen en el diagrama de Venn. ¿Qué tuvieron en cuenta cuando pensaron en dónde colocar un polígono?

DUA: Acción y expresión No es necesario que los polígonos estén recortados con precisión, pero entrarán mejor en el Diagrama de Venn de cuadriláteros si están recortados cerca de la imagen. Si esto presenta un desafío para la motricidad fina de sus estudiantes, ofrezca un método alternativo para completar el Diagrama de Venn de cuadriláteros. Pida a sus estudiantes que escriban la letra de cada polígono en la sección correcta del diagrama.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere brindar apoyo a las respuestas de sus estudiantes con la Herramienta para la conversación. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento para explicar cómo ubicaron los polígonos en las diferentes secciones del Diagrama de Venn de cuadriláteros.

Pensé en los atributos del polígono. Pensé en las propiedades de los cuadriláteros. Pensé en cuántos pares de lados paralelos tiene un cuadrilátero o si tiene ángulos rectos. Observé qué lados de un cuadrilátero tienen la misma longitud. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar cómo pueden usar el Diagrama de Venn de cuadriláteros a fin de identificar todos los nombres de un cuadrilátero y cuál es el nombre más específico de un cuadrilátero.

146

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7

Clasificar cuadriláteros La clase nombra todas las clasificaciones posibles para cuadriláteros dados.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Muestre el diagrama de Venn con los cuadriláteros clasificados.

Cuadriláteros D

Trapecios

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

Paralelogramos

E I

Rombos

Cometas

J C

Rectángulos G

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión de la jerarquía de cuadriláteros como ayuda para ubicar polígonos en el Diagrama de Venn de cuadriláteros.

• ¿Cómo se relacionan el Diagrama de Venn de cuadriláteros y la jerarquía de cuadriláteros? ¿Cómo puede esto ayudarles a organizar los polígonos? • ¿Cómo pueden usar lo que tienen en común estos cuadriláteros como ayuda para clasificarlos?

Cuadrados B

Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y presente el siguiente problema: Tyler dice que hay dos trapecios en el diagrama de Venn: el polígono A y el E. Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error o la ambigüedad. Invite a la clase a compartir sus respuestas. Tyler cree que un polígono solo puede pertenecer a una categoría de cuadriláteros. Puede que Tyler crea que un trapecio solo puede tener 1 par de lados paralelos. Dé a la clase 2 minutos para corregir el enunciado de Tyler basándose en su propia comprensión. Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de las propiedades de los cuadriláteros.

147

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7

EUREKA MATH2

Un trapecio es un cuadrilátero con al menos 1 par de lados paralelos. Los paralelogramos, los rombos, los rectángulos y los cuadrados tienen 2 pares de lados paralelos, entonces, todos son trapecios. Hay siete trapecios en el diagrama. Los paralelogramos, los rombos, los rectángulos y los cuadrados también son trapecios porque son cuadriláteros con al menos 1 par de lados paralelos. Los trapecios en el diagrama son A, E, H, I, J, G y B. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a sus estudiantes que compartan su respuesta con todo el grupo. Guíe a la clase para llegar a un consenso sobre cuál es la mejor manera de corregir la respuesta errónea. Hay siete trapecios en el diagrama. Son los polígonos A, E, H, I, J, G y B. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros y que continúen trabajando en parejas para resolver el problema. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Haga las siguientes preguntas para brindar apoyo a sus estudiantes según sea necesario: • ¿Cómo saben si se puede clasificar un cuadrilátero en otra categoría usando el Diagrama de Venn de cuadriláteros? • ¿Cómo saben si se puede clasificar un cuadrilátero en otra categoría usando la jerarquía de cuadriláteros? • ¿Cómo saben cuál es el nombre más específico de un cuadrilátero usando el Diagrama de Venn de cuadriláteros? • ¿Cómo saben cuál es el nombre más específico de un cuadrilátero usando la jerarquía de cuadriláteros?

148

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7 1. Marca cada nombre del polígono con una X. Luego, encierra en un círculo la X correspondiente al nombre más específico del polígono. Polígono

Cuadrilátero

Trapecio

Paralelogramo

Rectángulo

Rombo

Cuadrado

Cometa

Invite a las parejas de estudiantes a comparar y comentar su trabajo con otra pareja. Luego, haga las siguientes preguntas. ¿Qué cuadrilátero se puede clasificar como cualquiera de los tipos de cuadriláteros? ¿Dónde se encuentra en el Diagrama de Venn de cuadriláteros? El polígono B puede clasificarse como cualquier tipo de cuadrilátero. El polígono B está en la sección de los cuadrados, que se encuentra dentro de todas las demás secciones. ¿Por qué tiene sentido que un cuadrado pertenezca a todas las categorías de cuadriláteros? Tiene sentido porque un cuadrado tiene las propiedades de todos los demás cuadriláteros. Si un cuadrilátero está en una sección que se encuentra dentro de otra sección, entonces, a este le corresponden los nombres de ambas secciones. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si prefieren el Diagrama de Venn de cuadriláteros o la jerarquía de cuadriláteros como ayuda para clasificar cuadriláteros.

149

5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Clasificar cuadriláteros en una jerarquía según sus propiedades Guíe una conversación de toda la clase sobre la clasificación de cuadriláteros usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Qué propiedades nos ayudan a clasificar los cuadriláteros? Los lados que son de la misma longitud, si los hubiera El número de pares de lados paralelos El número de pares de ángulos suplementarios El número de ángulos rectos Dónde se intersecan las diagonales y si tienen la misma longitud El número de ejes de simetría ¿De qué manera nos ayudan los diagramas a clasificar los cuadriláteros según sus propiedades? Den un ejemplo. Un cuadrilátero puede tener propiedades de más de un tipo de cuadrilátero. Y un diagrama muestra qué propiedades de cuadriláteros se incluyen en el nombre de otro cuadrilátero. Todos los paralelogramos son trapecios, entonces, los paralelogramos se encuentran debajo de los trapecios en la jerarquía de cuadriláteros y dentro de la sección para los trapecios en el diagrama de Venn. Si un cuadrilátero puede tener más de un nombre, ¿cómo sabemos qué nombre darle? Por lo general, le damos a un cuadrilátero el nombre más específico. De esta manera, podemos identificar todas las propiedades de ese cuadrilátero. Llamamos a un polígono por su nombre más específico, así está claro qué propiedades tiene sin tener que usar muchas palabras para describirlas.

150

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TA ▸ Lección 7

5 ▸ M5 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear a la unidad más cercana

Número de respuestas correctas:

Redondea a la unidad más cercana. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

23.

3.1 ≈

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

6.1 ≈ 5.4 ≈

5.48 ≈ 7.62 ≈ 8.62 ≈ 3.57 ≈ 5.57 ≈ 9.57 ≈

32.

33.

14.4 ≈

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

14.2 ≈ 26.8 ≈ 26.6 ≈ 61.6 ≈

61.62 ≈ 37.28 ≈ 37.45 ≈ 49.36 ≈ 49.91 ≈ 49.55 ≈

Número de respuestas correctas: Progreso:

Redondea a la unidad más cercana.

2.9 ≈ 4.9 ≈

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear a la unidad más cercana

3.816 ≈

13.168 ≈

57.902 ≈

76.574 ≈

64.308 ≈

30.016 ≈

10.

2.7 ≈

11.

12.

13.

7.092 ≈ 6.457 ≈ 4.803 ≈ 3.006 ≈

80.601 ≈ 7.2 ≈

55.529 ≈

255.259 ≈

14.

255

15.

579.980 ≈

16.

580

17.

199.794 ≈

18.

200

19.

699.005 ≈

500

20.

699

21.

1,000

22.

79.809 ≈ 99.479 ≈

499.506 ≈ 999.609 ≈

1.9 ≈

23.

2.1 ≈

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

3.9 ≈ 5.1 ≈ 4.4 ≈

4.48 ≈ 6.62 ≈ 7.62 ≈ 2.57 ≈ 4.57 ≈ 9.57 ≈

32.

33.

13.4 ≈

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

13.2 ≈ 25.8 ≈ 25.6 ≈ 51.6 ≈

51.62 ≈ 27.28 ≈ 27.45 ≈ 39.36 ≈ 39.91 ≈ 39.55 ≈

2.816 ≈

12.168 ≈

56.902 ≈

75.574 ≈

63.308 ≈

20.016 ≈

1.7 ≈

6.092 ≈ 5.457 ≈ 3.803 ≈ 2.006 ≈

70.601 ≈ 7.1 ≈

55.529 ≈

7 56

155.259 ≈

155

479.980 ≈

480

199.794 ≈

200

599.005 ≈

599

79.809 ≈ 99.479 ≈

399.506 ≈ 999.609 ≈

400

1,000

151

Tema B Áreas de figuras rectangulares con longitudes de los lados fraccionarias En el tema B, la clase halla el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias, primero, cubriéndolos con fichas, y, luego, multiplicando la longitud de un rectángulo por su ancho. Multiplican números mixtos y resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran números mixtos. En 3.er grado, reconocen que el área es un atributo de las figuras planas. Cubren con fichas cuadradas y multiplican las longitudes de los lados para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados en números enteros. Dividen rectángulos en partes con áreas iguales y expresan el área de cada parte como una fracción del entero. En 4.o grado, aplican la fórmula del área para los rectángulos con el fin de resolver problemas matemáticos y del mundo real. En el módulo 3 de 5.o grado, multiplican una fracción o un número entero por una fracción usando modelos como rectas numéricas o modelos de área. En la primera parte del tema B, sus estudiantes hallan áreas de rectángulos con longitudes de los lados que son fracciones menores que 1 y longitudes de los lados que son fracciones mayores que 1. Razonan acerca del número de fichas con longitudes de los lados en fracciones unitarias que caben en un cuadrado unitario. Cubren un cuadrado unitario con fichas cuadradas y, luego, rectangulares, e identifican el área de 1 ficha como una fracción de 1 unidad cuadrada. A partir del trabajo de cubrir con fichas realizado en grados anteriores, sus estudiantes entienden que el área de un rectángulo es el producto del número de fichas que se usan para cubrirlo y el área de 1 ficha. Descubren que el área del rectángulo es la misma, independientemente del tamaño de la ficha que se use. Al reconocer que pueden determinar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias de la misma manera que cuando trabajan con rectángulos con longitudes de los lados en números enteros, multiplican la longitud de un rectángulo por el ancho para determinar el área. En la segunda parte de este tema, multiplican números mixtos. Primero, descomponen los factores que son números mixtos en el número entero y la parte fraccionaria. Crean un modelo de área para representar y sumar los productos parciales. Después de establecer conexiones entre el modelo de área y la propiedad distributiva, hacen una transición hacia la multiplicación de números mixtos

152

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB sin un modelo visual. Profundizan su comprensión de la multiplicación de números mixtos al usar y comparar una variedad de métodos para determinar el área de figuras compuestas y resolver otros problemas matemáticos y del mundo real de varios pasos. Comparan estrategias para hallar la solución y usan la estimación para determinar si sus respuestas son razonables. En el tema C, sus estudiantes amplían su comprensión de cómo cuantificar la cantidad de espacio que ocupa un objeto para incluir una tercera dimensión, la altura. Además, hallan el volumen de sólidos, en especial de prismas rectangulares rectos con longitudes de los lados en números enteros. En el módulo 6, determinan el área de rectángulos en el plano de coordenadas, incluidos rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias.

153

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB

Progresión de las lecciones Lección 8

Lección 9

Lección 10

Hallar el área de fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias relacionando la ficha con un cuadrado unitario

Organizar, contar y representar una colección de fichas cuadradas

Hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias relacionando el rectángulo con un cuadrado unitario

1 2

1 1 2

1 3

1 1 3

Puedo cubrir un cuadrado unitario con cuadrados que tienen longitudes de los lados en fracciones unitarias. El área de cada ficha cuadrada es 1 del número total de fichas cuadradas que se necesita para cubrir el cuadrado unitario.

Puedo cubrir un cuadrado unitario con fichas rectangulares que tienen longitudes de los lados en fracciones unitarias. Puedo usar el área de las fichas rectangulares para determinar el área de un rectángulo con longitudes de los lados que son fracciones menores que 1 y longitudes de los lados que son fracciones mayores que 1.

Puedo cubrir un rectángulo con fichas cuadradas que tienen longitudes de los lados fraccionarias. El área del rectángulo es el producto del área de cada ficha cuadrada y el número de fichas cuadradas.

154

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB

Lección 11

Lección 12

Lección 13

Hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias usando la multiplicación

Multiplicar números mixtos

Resolver problemas matemáticos sobre áreas de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos

2 3

4 3

3 4

6 12

7 de unidad 3 3 de unidad 2

Puedo determinar el área de cualquier rectángulo, sin importar si tiene longitudes de los lados en números enteros o longitudes de los lados fraccionarias, multiplicando la longitud y el ancho del rectángulo.

Los rectángulos pueden tener lados con longitudes en números mixtos. Puedo multiplicar números mixtos usando un modelo de área y la estrategia de separar y distribuir, o convirtiendo números mixtos en fracciones mayores que uno.

Puedo usar una variedad de métodos para hallar el área de rectángulos y figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos y el área de regiones sombreadas y no sombreadas de figuras.

155

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB

Lección 14

Lección 15

Resolver problemas del mundo real sobre áreas de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos

Resolver problemas verbales de varios pasos que involucran la multiplicación de números mixtos

20 ft 12 1 ft 2

Estacionamiento

Isla

24 ft Huerto

Kayla Calzada

Cuarto de baño

Sala de estar y cocina

Dormitorio

16 1 ft

12 ft

Sana

8 1 ft

6 1 ft 2

11 3 ft 4

Tyler Puedo resolver problemas verbales de varios pasos que involucran el área y la multiplicación con números mixtos. Puedo usar la estimación para determinar si mis respuestas son razonables.

Puedo usar una variedad de estrategias para resolver problemas del mundo real sobre áreas de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos.

156

LECCIÓN 8

Hallar el área de fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias relacionando la ficha con un cuadrado unitario

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

Nombre

Fecha

¿Cuál es el área de una ficha cuadrada con longitudes de los lados de 5 de unidad? Haz un boceto para mostrar cómo lo sabes.

1 unidad

Vistazo a la lección La clase razona acerca del número de fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias que se necesitan para cubrir cuadrados unitarios. Reconocen patrones en el número de fichas que se necesitan y hallan el área de cuadrados con longitudes de los lados en fracciones unitarias. Concluyen que el área de un cuadrado unitario es la misma, independientemente del tamaño de la ficha cuadrada que se use para cubrir el cuadrado unitario.

Preguntas clave • ¿Cómo pueden hallar el área de una ficha cuadrada con longitudes de los lados en fracciones unitarias cubriendo un cuadrado unitario con fichas cuadradas?

1 unidad

• ¿El tamaño de la ficha cuadrada que usan para cubrir un cuadrado unitario afecta el área del cuadrado unitario? Expliquen.

Criterio de logro académico 5.Mód5.CLA2 Hallan y representan el área usando fichas cuadradas con

__1

longitudes de los lados en fracciones unitarias. (5.NF.B.4.b)

El área es 25 de unidad cuadrada.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• ninguno

Prepare cuadrados de 2ʺ x 2ʺ doblando y cortando una hoja de papel encerado de 4ʺ x 4ʺ de manera vertical y horizontal. Prepare la cantidad suficiente para que cada grupo de tres estudiantes tenga al menos 8 cuadrados pequeños.

Aprender 30 min

Estudiantes

• Áreas de fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias

• papel encerado de 4ʺ x 4ʺ (1 por grupo de estudiantes)

• Cubrir cuadrados unitarios con fichas cuadradas

• papel encerado de 2ʺ x 2ʺ (8 por grupo de estudiantes)

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

159

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

Fluidez

Contar salteado usando centímetros y metros en la recta numérica La clase cuenta salteado usando unidades de 50 centímetros y expresan centímetros como metros para adquirir fluidez con la conversión de medidas del módulo 1. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar salteado hacia delante usando unidades de 50 centímetros hasta 300 centímetros. La primera medida que dicen es 0 centímetros. ¿Comenzamos? Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 cm, 50 cm…, 250 cm, 300 cm Ahora, vuelvan a contar salteado hacia delante usando unidades de 50 centímetros. Esta vez, expresen cada 100 centímetros como un número de metros. La primera medida que dicen es 0 metros. ¿Comenzamos?

0 cm

50 cm 100 cm 150 cm 200 cm 250 cm 300 cm

50 cm

1 m 1 m 50 cm 2 m 2 m 50 cm 3 m

150 cm

250 cm

Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 m, 50 cm…, 250 cm, 3 m Ahora, vuelvan a contar salteado hacia delante usando unidades de 50 centímetros. Esta vez, usen unidades mixtas, metros y centímetros, cuando sea posible. La primera medida que dicen es 0 metros. ¿Comenzamos? Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 m, 50 cm…, 2 m 50 cm, 3 m

160

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar números decimales La clase determina la suma para adquirir fluidez con la suma de números decimales del módulo 4. Muestre 0.5 + 0.8 =

Escriban la ecuación y complétenla. Muestren su método. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

0.5 + 0.8 = 1.3 0.5

0.3

Muestre la suma y el ejemplo de trabajo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

0.63 + 0.29 = 0.92

2.7 + 9.63 = 12.33

7.14 + 4.87 = 12.01

161

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar una fracción por un número entero La clase determina el producto como preparación para usar la multiplicación para hallar el área de rectángulos a partir de la lección 10. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 3 × _ 1  = 2

Escriban la ecuación y complétenla. Escriban el producto como una fracción.

3 × 2 = 2 = 12

Muestre el producto. Reescriban el producto como un número entero o mixto. Muestre el número entero o mixto. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

4 × 2 = 2 = 2 4 × 3 = 3 = 1 3 7 × 3 = 3 = 4 3 9 × 4 = 4 = 6 4 10 × 5 = 5 = 6

162

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

Presentar

La clase identifica que es necesario dividir un cuadrado unitario para hallar el área de cuadrados con longitudes de los lados fraccionarias. Muestre la imagen de distintos tipos de pisos. La imagen muestra ejemplos de pisos alfombrados y de madera. Imaginen que pueden elegir el tipo de piso para un dormitorio de una casa nueva. ¿Cuál elegirían? ¿Por qué elegirían ese tipo de piso? Elegiría la alfombra porque tiene colores divertidos. Elegiría la alfombra porque me da una mejor sensación al pisarla que la madera. Elegiría la madera porque me puedo deslizar por el piso. ¿Qué otros materiales que no se muestran en esta imagen podrían usar para el piso de un dormitorio? Baldosas, piedra, hormigón, bambú o linóleo ¿Qué podría influir en su decisión de usar uno de estos pisos? El costo del piso El color de la alfombra La apariencia del piso El tamaño del área que se debe cubrir con el piso La duración del material

163

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8 Muestre el plano de la casa sin las medidas. ¿Qué observan? ¿Qué se preguntan?

Estacionamiento

Calzada

Observo que el dibujo parece mostrar diferentes habitaciones de una casa. Observo que la casa tiene un dormitorio y un cuarto de baño. Observo que no hay ninguna medida en el dibujo. Observo que las habitaciones parecen rectángulos.

Isla Cuarto de baño Huerto

Sala de estar y cocina

Dormitorio

Me pregunto qué tan grandes son las habitaciones. Reproduzca el video Colocar baldosas. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a la clase que tome nota de los detalles. Dé 1 minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron. Converse brevemente con toda la clase acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes. Considere la siguiente secuencia posible de preguntas. ¿Qué observaron? Observé que ella quería colocar baldosas en el cuarto de baño. Observé que la longitud y el ancho del cuarto de baño son números mixtos. Observé que no cabía una baldosa entera en la esquina. ¿Qué se preguntan? Me pregunto cuál es el área del cuarto de baño. Me pregunto cuál es el área del cuadrado pequeño. Me pregunto cuántos cuadrados pequeños forman una baldosa entera. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían hallar el área del cuadrado con longitudes de los lados de _ 1  unidad. 2

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a hallar el área de cuadrados con longitudes de los lados fraccionarias.

164

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

Aprender

Áreas de fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias Materiales: E) Papel encerado

La clase razona acerca del número de fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias que se necesitan para cubrir cuadrados más grandes. Muestre la imagen del cuadrado unitario. ¿Qué observan acerca de este cuadrado? Todos los lados tienen longitudes de 1 unidad.

1 unidad

¿Cómo saben que todos los lados tienen longitudes de 1 unidad? Un cuadrado tiene 4 lados de la misma longitud, así que, si un lado es 1 unidad, cada uno de los otros tres lados también debe ser 1 unidad. Como cada lado tiene una longitud de 1 unidad, podemos decir que esto es un cuadrado unitario. ¿Qué saben acerca del área de un cuadrado unitario?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere proporcionar un apoyo visual rotulado que muestre la diferencia entre cuadrado unitario y unidad cuadrada. La clase debería recordar de grados anteriores que un cuadrado unitario es un cuadrado con lados que miden 1 unidad cada uno. Una unidad cuadrada es una unidad de medida que describe el espacio cubierto por un cuadrado unitario.

Cuadrado unitario

El área de un cuadrado unitario es 1 unidad cuadrada. Muestre el cuadrado dividido en cuartos. ¿Qué podemos decir acerca de cada parte del cuadrado? Cada parte tiene el mismo tamaño.

1 unidad

Unidad cuadrada

Cada parte tiene la misma área. Cada parte es _ 1 del cuadrado. 4

Sabemos que el área es la cantidad de espacio plano que ocupa una figura. ¿Por qué se mide el área en unidades cuadradas? Cuando medimos el área, llenamos el espacio dentro de la figura con cuadrados. Cuando medimos el área, queremos hallar cuántas fichas cuadradas cubren la figura sin que haya espacios ni superposiciones.

165

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8 Señale un cuarto del cuadrado mientras dice lo siguiente.

Si cada uno de estos cuadrados más pequeños es _ 1 del cuadrado unitario, me pregunto cuál 4 es la longitud de un lado de cada cuadrado más pequeño.

Muestre la imagen del cuadrado con longitudes de los lados de  _1 unidad y el cuadrado con longitudes 2 de los lados de 1 unidad.

1 unidad 2

1 unidad

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuántos cuadrados con longitudes de los lados de _ 1 unidad creen que cabrán en el cuadrado unitario o lo 2 cubrirán sin que haya espacios ni superposiciones. Sé que cabrá al menos 1 cuadrado pequeño porque es más pequeño que el cuadrado unitario. Creo que cabrán 2 cuadrados más pequeños porque la longitud de los lados del cuadrado más pequeño es la mitad de la longitud de los lados del cuadrado unitario. Creo que 4 cuadrados más pequeños cubrirán el cuadrado unitario porque habrá 2 cuadrados pequeños en cada mitad y _2 1  + _ 1 = 1. 2

Nota para la enseñanza Para esta lección, el tamaño de un trozo de papel encerado (4 pulgadas por 4 pulgadas) es una unidad. El papel encerado para 1 hamburguesas (5 __   pulgadas por 5 __21  pulgadas), 2 disponible en cajas de 1,000, también se puede usar en esta lección. Si no hay papel encerado disponible, se puede usar cualquier tipo de papel.

Divida a sus estudiantes en grupos de tres. Dé trozos de papel encerado de los dos tamaños a cada grupo. Muestre uno de los cuadrados más grandes de papel encerado. Este es un cuadrado unitario con longitudes de los lados de 1 unidad. ¿Cuál es el área del cuadrado?

1 unidad cuadrada Muestre uno de los cuadrados más pequeños de papel encerado.

Este es un cuadrado con longitudes de los lados de _ 1 unidad. Llamaremos “ficha cuadrada” 2 a este cuadrado más pequeño que vamos a usar para cubrir el cuadrado unitario. Hallemos cuántas fichas cuadradas más necesitamos para cubrir 1 cuadrado unitario sin que haya espacios ni superposiciones.

Invite a sus estudiantes a trabajar con sus grupos para hallar el número de fichas cuadradas que se necesitan para cubrir 1 cuadrado unitario. ¿Cuántas fichas cuadradas se necesitan para cubrir 1 cuadrado unitario?

DUA: Representación Considere usar la actividad digital interactiva de Cubrir con fichas cuadradas para cubrir el cuadrado unitario y confirmar que se necesitan

4 fichas cuadradas con longitudes de los lados 1 de  __  unidad para cubrir 1 unidad cuadrada. 2 La clase seguirá explorando con la actividad

digital interactiva en el siguiente segmento.

4 166

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8 Si se necesitan 4 fichas cuadradas para cubrir 1 cuadrado unitario, o para formar 1 cuadrado unitario, ¿cuál es el área de cada ficha cuadrada? ¿Cómo lo saben?  _1 de unidad cuadrada. Cada ficha cuadrada es 1 de las 4 partes iguales que forman 4

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

la unidad cuadrada. El cuadrado unitario tiene un área de 1 unidad cuadrada, por lo que cada ficha cuadrada tiene

un área de  _1  de 1 unidad cuadrada, o _ 1 de unidad cuadrada. 4

_ 1 de unidad cuadrada. Lo sé porque 1 unidad cuadrada ÷ 4 = _ 1 de unidad cuadrada. 4

Use la rutina Cabezas numeradas para continuar la conversación. Divida a la clase en grupos de tres y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3. Muestre el siguiente problema.

¿Cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 unidad necesitan para cubrir 2 2 unidades cuadradas? Hagan un dibujo para mostrar su razonamiento.

Dé a sus estudiantes 2 minutos para responder la pregunta en grupo. Invite a la clase a registrar su razonamiento en las pizarras blancas individuales. Si es necesario, proporcione papel encerado a sus estudiantes para ayudarles a hallar el número de fichas cuadradas que necesitan. Recuérdeles que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder. Diga un número, del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan las conclusiones del grupo.

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando usa la relación entre un cuadrado unitario y fichas cuadradas más pequeñas con longitudes de los lados fraccionarias para determinar el área de las fichas. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relacionan las fichas cuadradas y el cuadrado unitario? ¿Cómo les puede servir esa relación para hallar el área de cada ficha cuadrada? • ¿Cómo pueden usar lo que saben acerca del área de un cuadrado unitario para determinar el área de las fichas cuadradas?

1 unidad 1 unidad

Descubrimos que necesitamos 8 fichas

1 unidad

cuadradas con longitudes de los lados de

1  _1 unidad para cubrir 2 unidades cuadradas. 2 unidad 2

Sabíamos que 1 cuadrado unitario tiene

un área de 1 unidad cuadrada, por lo que dibujamos 2 cuadrados unitarios para

1 unidad 2

1 unidad

mostrar un área de 2 unidades cuadradas. Dividimos cada cuadrado unitario para mostrar 4 fichas cuadradas con longitudes de los lados

de  _1 unidad. Luego, contamos el número total de fichas cuadradas. 2

Sabíamos que se necesitan 4 fichas cuadradas con longitudes

de los lados de  _1 unidad para cubrir 1 unidad cuadrada, por lo que

1 unidad

multiplicamos 2 y 4 para hallar el número de fichas que necesitamos para cubrir 2 unidades cuadradas. Como 2 × 4 = 8, necesitamos

2 x 4 = 8

8 fichas cuadradas con longitudes de los lados de _2 1 unidad para cubrir 2 unidades cuadradas.

167

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8 Si hay tiempo suficiente, repita el proceso con el siguiente problema.

¿Cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 unidad necesitan para cubrir 2 3 unidades cuadradas? Hagan un dibujo para mostrar su razonamiento.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los patrones que observan.

Cubrir cuadrados unitarios con fichas cuadradas La clase cubre un cuadrado unitario con fichas cuadradas para determinar el área de cuadrados con longitudes de los lados fraccionarias. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Cubrir con fichas cuadradas. Cubra el cuadrado unitario con fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1  unidad. 2

¿Cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de  _1  unidad 2 se necesitan para cubrir 1 cuadrado unitario?

1 2

1 1 2

4 Invite a sus estudiantes a pensar si, para cubrir el cuadrado unitario, se necesitarán más o menos

fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 de unidad que las que se necesitaron para cubrir 3

el cuadrado con fichas con longitudes de los lados de _ 1  unidad. 2

Cubramos el cuadrado unitario para ver cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1  de unidad se necesitan para cubrirlo. Cuenten conmigo. 3

Cubra el cuadrado unitario con fichas cuadradas con longitudes de los lados de  _1 de unidad. Cuente en voz alta el número de fichas que se necesitan. 3

¿Cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de  _1  de unidad 3

necesitamos para cubrir el cuadrado unitario?

1 3

1 1 3

Para cubrir 1 unidad cuadrada, ¿por qué se necesitan más fichas cuadradas con longitudes de los lados de_ 1 de unidad que fichas cuadradas con longitudes de los lados 3 de _ 1 unidad? 2

Las fichas cuadradas con longitudes de los lados de  _1 de unidad son más pequeñas que las 3

fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 unidad, por lo que se necesitan más fichas con 2

longitudes de los lados de _ 1 de unidad para cubrir la misma cantidad de espacio. 3

168

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8 Señale una de las fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 de unidad. Invite a sus 3

estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden hallar el área de una ficha cuadrada con longitudes de los lados de _ 1 de unidad y pídales que expliquen 3

cómo lo saben.

_ 1 de unidad cuadrada. Cada una de las fichas cuadradas con longitudes de los lados de 9 _ 1 de unidad es 1 de las 9 partes que forman la unidad cuadrada. 3

El cuadrado unitario tiene un área de 1 unidad cuadrada, por lo que cada parte tiene un área de

 _1  de 1 unidad cuadrada, o _ 1 de unidad cuadrada.

9 9 1    de unidad cuadrada. Lo sé porque 1 unidad cuadrada ÷ 9 =  1 de unidad cuadrada. 9 9

Nota para la enseñanza Es posible que parte de la clase reconozca que se pueden multiplicar las longitudes de los lados para hallar el área de la ficha cuadrada. Aunque este método es correcto, destaque el uso de fichas cuadradas de diferentes tamaños con longitudes de los lados en fracciones unitarias para establecer conexiones con el significado de área.

Use la rutina Cabezas numeradas para continuar la conversación. Divida a la clase en grupos de tres y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3. Muestre el siguiente problema.

¿Cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1  de unidad se necesitan para cubrir 4 el cuadrado unitario?

Dé a sus estudiantes 2 minutos para responder la pregunta en grupo. Invite a la clase a hacer un boceto de su razonamiento en las pizarras blancas. Recuérdeles que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder. Diga un número, del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan las conclusiones del grupo.

1 unidad

Descubrimos que necesitamos 16 fichas cuadradas. Cada lado del cuadrado

unitario es 1 unidad. Como  _1  + _ 1  + _ 1  + _ 1 = 1, sabíamos que caben 4 fichas 4

cuadradas con longitudes de los lados de  _1 de unidad a lo largo y que caben 4 4

a lo ancho. 4 × 4 = 16.

Si es necesario, confirme la respuesta usando la actividad digital interactiva para cubrir el cuadrado unitario con fichas cuadradas con longitudes de los lados de  _1 de unidad. 4

¿Cuál es el área de un cuadrado con longitudes de los lados de _ 1 de unidad? ¿Cómo lo saben? 4

1  de unidad cuadrada. Cada una de las fichas cuadradas es 1 parte de las 16 partes que forman  _ 16

la unidad cuadrada. El cuadrado unitario tiene un área de 1 unidad cuadrada, por lo que cada ficha cuadrada tiene

1   de 1 unidad cuadrada, o _  1  de unidad cuadrada. un área de  _ 16

169

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8 Repita este proceso con fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 de unidad. 5

Cuando sus estudiantes hayan terminado, pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar si observan patrones. A medida que la longitud de los lados de las fichas cuadradas disminuye, necesito más fichas para cubrir el cuadrado unitario. El número de fichas cuadradas que necesito para cubrir el cuadrado unitario es igual al producto de los denominadores. El área de una ficha cuadrada es igual al producto de las longitudes de sus lados.

170

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Hallar el área de fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias relacionando la ficha con un cuadrado unitario Guíe una conversación de toda la clase acerca del área de cuadrados con longitudes de los lados fraccionarias usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cómo pueden hallar el área de una ficha cuadrada con longitudes de los lados en fracciones unitarias cubriendo un cuadrado unitario con fichas cuadradas? Podemos hallar el número de fichas cuadradas que se necesitan para cubrir un cuadrado unitario y, luego, dividir 1 unidad cuadrada entre ese número. Si se necesitan 9 fichas cuadradas del mismo tamaño para cubrir un área de 1 unidad cuadrada, cada ficha debe tener un área de 1 unidad cuadrada ÷ 9, o _ 1 de unidad cuadrada. 9

¿El tamaño de la ficha cuadrada que usan para cubrir un cuadrado unitario afecta el área del cuadrado unitario? Expliquen. No, un cuadrado unitario siempre tiene un área de 1 unidad cuadrada. No. Puedo usar fichas cuadradas con longitudes de los lados en fracciones unitarias diferentes para cubrir un cuadrado unitario. Aunque el número de fichas cuadradas cambia, el área del cuadrado unitario es la misma, independientemente del tamaño de la ficha que se use para cubrirla. No. Cuando las fichas cuadradas son más pequeñas, se necesitan más para cubrir el cuadrado unitario, pero el área del cuadrado unitario sigue siendo 1 unidad cuadrada.

171

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

Nombre

Fecha

2. Traza una línea para emparejar cada ficha cuadrada con la imagen que muestra 1 unidad cuadrada cubierta con esa ficha.

1. Usa la imagen del cuadrado unitario para completar las partes (a) y (b).

172

1 de unidad 5

1 unidad

1 de unidad 6

1 unidad

fichas cuadradas para dividir el cuadrado unitario en novenos.

b. Los lados de cada ficha cuadrada tienen una longitud de

1 unidad cuadrada

Ficha cuadrada

1 unidad

a. Se usan

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

_1 3

de unidad.

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

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5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 8

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

3. Usa la imagen de la ficha cuadrada y el cuadrado unitario para responder las partes (a) y (b).

5. Julie decora una mesa cubriéndola con fichas cuadradas con longitudes de los lados de

_1 de unidad. El área de la mesa es 1 unidad cuadrada. 8

a. ¿Cuántas fichas cuadradas usa Julie para cubrir la mesa? Julie usa 64 fichas cuadradas para cubrir la mesa.

1 unidad

1 de unidad 10

1 de unidad para a. Se necesitan 100 fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 10 cubrir el cuadrado unitario.

1 de unidad? b. ¿Cuál es el área de un cuadrado con longitudes de los lados de _ 10

1 de unidad cuadrada ___ 100

b. ¿Cuál es el área de una ficha cuadrada con longitudes de los lados de _1 de unidad?

4. Usa la imagen del cuadrado unitario para responder las partes (a) y (b).

1 1 unidad cuadrada ÷ 64 = __ de unidad cuadrada

1 de unidad cuadrada 64

1 unidad

a. Se necesitan 49 cuadrados con longitudes de los lados de un cuadrado unitario.

_1 7

de unidad para cubrir

b. ¿Cuál es el área de una de las fichas cuadradas que se usan en este caso para cubrir 1 unidad cuadrada?

_1 de unidad cuadrada 49

GRUPO DE PROBLEMAS

173

LECCIÓN 9

Organizar, contar y representar una colección de fichas cuadradas

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9

Nombre

Fecha

1. ¿Cuál es el área total de 25 fichas cuadradas si los lados de cada ficha tienen una longitud de

_1 de unidad? 3

_7 El área total es 2 unidades cuadradas.

_1 × _1 = 1 3 3 9 1 25 25 × 9_ = __ 9

Vistazo a la lección La clase determina cómo cubrir un área rectangular con fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias. Sus estudiantes continúan su trabajo con el área contando una colección de fichas cuadradas. Deciden cómo organizar, contar y representar las fichas. Luego, analizan el trabajo de sus pares y comentan estrategias eficientes de organización y conteo. Use las observaciones y el trabajo en clase para analizar el razonamiento de sus estudiantes después de la lección. El Boleto de salida de esta lección permite a la clase reflexionar acerca de las estrategias de conteo.

Preguntas clave 2. Los lados de un rectángulo tienen longitudes de 3 pies y 5 pies. ¿Cuántas fichas cuadradas con

• ¿Cómo pueden hallar el área total de un rectángulo cuando saben el número de fichas cuadradas que se necesitan para cubrir el rectángulo?

longitudes de los lados de 6 de pie se necesitan para cubrir el rectángulo?

__1

El área de 1 ficha cuadrada es 36 de unidad cuadrada.

• ¿Qué estrategias pueden usar como ayuda para contar su colección?

Se necesitan 36 fichas cuadradas para cubrir 1 pie cuadrado. El área del rectángulo es 15 pies cuadrados porque 3 × 5 = 15.

Criterio de logro académico

Se necesitan 540 fichas cuadradas para cubrir el rectángulo porque 36 × 15 = 540.

5.Mód5.CLA2 Hallan y representan el área usando fichas cuadradas con

longitudes de los lados en fracciones unitarias. (5.NF.B.4.b)

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 5 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• sobres (12)

• Retire las hojas extraíbles de Colección de conteo de fichas cuadradas del libro para estudiantes, recorte las fichas y coloque un conjunto de fichas en cada sobre. Prepare suficientes colecciones para que haya una por pareja de estudiantes.

Aprender 40 min • Cubrir rectángulos con fichas cuadradas • Organizar, contar y registrar • Compartir, comparar y conectar • Grupo de problemas

Concluir 10 min

• Colección de conteo de fichas cuadradas (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

Estudiantes • herramientas de organización • sobre con Colección de conteo de fichas cuadradas (1 por pareja de estudiantes)

• Brinde a sus estudiantes herramientas que les ayuden a organizar sus conteos. Las herramientas pueden ser vasos, pizarras blancas o bolsitas.

175

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9

Fluidez

Contar salteado usando centilitros y litros en la recta numérica La clase cuenta salteado usando unidades de 50 centilitros y expresa los centilitros como litros para adquirir fluidez con la conversión de medidas del módulo 1. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar salteado hacia delante usando unidades de 50 centilitros hasta 300 centilitros. La primera medida que dicen es 0 centilitros. ¿Comenzamos? Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 cL, 50 cL…, 250 cL, 300 cL Ahora, cuenten nuevamente hacia delante usando unidades de 50 centilitros. Esta vez, expresen cada 100 centilitros como un número de litros. La primera medida que dicen es 0 litros. ¿Comenzamos?

0 cL

50 cL 100 cL 150 cL 200 cL 250 cL 300 cL

50 cL

150 cL

50 cL

1L 50 cL

2 L 2 L 50 cL 3 L

250 cL

Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 L, 50 cL…, 250 cL, 3 L Ahora, cuenten nuevamente hacia delante usando unidades de 50 centilitros. Esta vez, usen unidades mixtas, litros y centilitros, cuando sea posible. La primera medida que dicen es 0 litros. ¿Comenzamos? Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.

0 L, 50 cL…, 2 L 50 cL, 3 L

176

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar una fracción por un número entero La clase determina el producto como preparación para usar la multiplicación para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias a partir de la lección 10. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 4 × _ 1  = 3

Escriban la ecuación y complétenla. Escriban el producto como una fracción.

Nota para la enseñanza

Muestre el producto.

4 × 1 = 4 = 11 3

Reescriban el producto como un número entero o mixto.

Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, para el 5 problema 9 ×  __   , puede haber estudiantes que 6 3 elijan escribir 7  __   o 7  __21  . 6

Muestre el número entero o mixto. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3× 2 =6 =2 3

5 × 1 = 5 = 11 4

7 × 3 = 21 = 5 1 4

10 × 4 = 40 = 8 5

9 × 5 = 45 = 7 3 6

177

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9

Presentar

La clase razona sobre cómo hallar el número de fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias que se necesitan para cubrir un área rectangular. Muestre el plano de la casa. La dueña de la casa quiere colocar azulejos sobre la isla de la cocina.

Estacionamiento

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre qué es una isla y para qué se usa en una casa. ¿Qué información necesitamos antes de poder hallar cuántos azulejos se necesitan para cubrir la parte superior de la isla?

Calzada

Isla Cuarto de baño Huerto

Sala de estar y cocina

Dormitorio

Necesitamos saber qué tan grandes son los azulejos. Necesitamos saber el área de la isla. Necesitamos saber la longitud y el ancho de la isla. Muestre el siguiente enunciado: La isla de la cocina mide 3 pies por 7 pies. ¿Tenemos suficiente información para hallar cuántos azulejos cubrirán la isla? ¿Por qué? No. Todavía necesitamos saber la longitud y el ancho de los azulejos.

1 pie

Muestre la ficha cuadrada con longitudes de los lados de 1 pie. ¿Y si la dueña de la casa usara estos azulejos? ¿Cuántos de estos azulejos necesitaría para cubrir la isla? ¿Cómo lo saben? Necesitaría 21 azulejos. El área de la isla es 3 × 7, o 21 pies cuadrados. Cada uno de esos azulejos mide 1 pie cuadrado, y 21 ÷ 1 = 21.

178

1 pie

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Muestre la ficha cuadrada con longitudes de los lados de _ 1  pie.

1 pie 2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo podrían

hallar el número de fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 pie que 2

se necesitarían para cubrir la isla.

1 pie 2

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos fichas cuadradas para cubrir una región y hallar el área.

Aprender

Cubrir rectángulos con fichas cuadradas La clase determina el número de fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias que se necesitan para cubrir un rectángulo. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. 1. ¿Cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1  unidad se necesitan para cubrir el 2 rectángulo sin que haya espacios ni superposiciones?

4 unidades 2 unidades

32 fichas cuadradas

179

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían

hallar el número de fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 unidad que se necesitan para 2

cubrir el rectángulo. Podríamos dibujar líneas para dividir el rectángulo.

Podríamos dividir el rectángulo en cuadrados unitarios y, luego, dividir cada cuadrado unitario en cuadrados con longitudes de los lados de _ 1  unidad. 2

¿Cómo podemos dividir el rectángulo para mostrar cuadrados unitarios? Dado que la longitud es 4 unidades, necesitamos dibujar 4 cuadrados unitarios que quepan a lo largo de la longitud. Dado que el ancho es 2 unidades, necesitamos dibujar 2 cuadrados unitarios que quepan a lo largo del ancho. Podemos dibujar para hacer una matriz de 2 por 4 dentro del rectángulo. Divida el rectángulo para mostrar cuadrados unitarios. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Podemos usar lo que dibujamos hasta ahora para hallar cuántas fichas cuadradas con

longitudes de los lados de _ 1 unidad necesitamos 2

para cubrir el rectángulo? ¿Cómo lo saben? No. Solo dibujamos suficientes cuadrados para mostrar cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de 1 unidad se necesitan para cubrir el rectángulo.

Sí. Sé que se necesitan 4 cuadrados con longitudes de los lados de _ 1 unidad para cubrir 2

un cuadrado unitario, así que puedo multiplicar el número de unidades cuadradas por 4. Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar el número de fichas cuadradas que se necesitan para cubrir el rectángulo si los lados de cada ficha tienen una longitud de  _1  unidad. 2

Cuando hayan terminado, comente los métodos que usaron para hallar la solución.

¿Cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 unidad se necesitan para cubrir 2 el rectángulo que se muestra?

DUA: Representación Considere usar la actividad digital interactiva de Cubrir con fichas cuadradas para confirmar el número de fichas que se necesitan para cubrir los rectángulos en este segmento.

1 2 1 2

180

2 4

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Muestre el plano de la casa y presente el problema de la sección Presentar.

Estacionamiento

Si la isla de la cocina mide 3 pies por

Calzada

7 pies, ¿cuántos azulejos cuadrados con

longitudes de los lados de _ 1 pie necesita 2

Isla

la dueña para cubrir la isla?

Cuarto de baño

Sabemos que se necesitan 21 azulejos cuadrados si los lados de los azulejos

Huerto

tienen una longitud de 1 pie. ¿La dueña necesita más o menos de 21 azulejos

Sala de estar y cocina

Dormitorio

con longitudes de los lados de  _1 pie para cubrir la isla? ¿Cómo lo saben?

Necesita más de 21 azulejos. Los azulejos

cuadrados con longitudes de los lados de  _1 pie ocupan menos espacio que los azulejos cuadrados 2

con longitudes de los lados de 1 pie, así que se necesitan más azulejos con longitudes de los lados

de  _1 pie para cubrir la isla. 2

Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar el número de azulejos que se necesitan para cubrir la isla. Mientras la clase trabaja, recorra el salón y brinde apoyo según sea necesario. Cuando hayan terminado, comenten la solución.

¿Cuántos azulejos cuadrados con longitudes de los lados de _ 1 pie necesita la dueña para cubrir 2 la isla? ¿Cómo lo saben? La dueña necesita 84 azulejos. El área de la isla es 21 pies cuadrados. Cada pie cuadrado puede cubrirse con 4 azulejos cuadrados con longitudes de los lados de _ 1  pie, y 21 × 4 = 84. 2

La dueña necesita 84 azulejos. Sé que el área de 1 azulejo cuadrado con longitudes de los lados

de _ 1  pie es _ 1 de unidad cuadrada. El área de la isla es 21 pies cuadrados, así que pensé en cuántos 2

1 ÷ _ 1 = 84. cuartos hay en 21. 2 4

181

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 ¿Y si la dueña usara azulejos cuadrados con longitudes de los lados de _ 1 de pie? ¿Necesitaría 3 más o menos de 84 azulejos? ¿Cómo lo saben?

Necesitaría más de 84 azulejos. Los azulejos cuadrados con longitudes de los lados de  _1  de pie 3

ocupan menos espacio que los azulejos cuadrados con longitudes de los lados de _ 1  pie, así que 2

se necesitan más azulejos con longitudes de los lados de  _1 de pie para cubrir la isla. 3

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo puede hallar el número de cuadrados con longitudes de los lados fraccionarias que caben en un rectángulo.

Organizar, contar y registrar Materiales: E) Sobre con Colección de conteo de fichas cuadradas, herramientas de organización

Cada estudiante usa sus propias estrategias para organizar y contar una colección y registrar el proceso.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Forme parejas de estudiantes y distribuya una colección de conteo a cada una. Pida a sus estudiantes que busquen la página de registro en sus libros. Oriente brevemente a la clase acerca de los materiales y el procedimiento para la actividad de colección de conteo: • Trabajarán en parejas para contar una colección.

• La colección consiste en fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 unidad. La clase debe 2 contar para hallar el área total que puede cubrirse con su colección. • Las parejas elaborarán sus propios registros para mostrar cómo contaron. • Las parejas pueden usar herramientas de organización. Las herramientas de organización pueden incluir objetos del salón de clases, como vasos y pizarras blancas. Antes de comenzar a contar, invite a las parejas de estudiantes a trabajar en equipo para estimar el área total que puede cubrirse con las fichas cuadradas de su colección. Pídeles que escriban sus estimaciones. Luego, anime a las parejas a conversar acerca de cómo organizarán su colección para contarla.

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando selecciona sus propias estrategias para organizar y contar el área total de su colección de fichas cuadradas. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5: • ¿Qué estrategias pueden usar como ayuda para contar su colección de forma eficiente? • ¿Por qué eligieron organizar su colección de esta manera? ¿Funcionó bien?

Invite a sus estudiantes a seleccionar las herramientas de organización que les gustaría usar, teniendo en cuenta que pueden intercambiar las herramientas a medida que perfeccionan sus planes. Pida a las parejas que comiencen a contar sus colecciones. Recorra el salón de clases y observe de qué manera se conducen en los siguientes puntos.

182

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Organización: Las estrategias pueden ser agrupar las fichas cuadradas, formar 1 cuadrado unitario con 4 fichas, y escribir expresiones o ecuaciones. Asimismo, la clase puede organizar sus colecciones usando atributos que no resultan útiles para el conteo eficiente, como el conteo salteado de un cuarto en un cuarto. Conteo: Sus estudiantes pueden contar subgrupos y, luego, sumar para hallar el total. También pueden usar una combinación de multiplicación y suma para hallar el total. Registro: Los registros pueden incluir dibujos, números, expresiones, ecuaciones y explicaciones escritas. Recorra el salón de clases y use preguntas y planteamientos como los siguientes para evaluar e incentivar el razonamiento de cada estudiante:

Nota para la enseñanza

• Muestren y compartan lo que hicieron.

Durante el conteo, cada estudiante exhibe diferentes niveles de complejidad en sus estrategias de conteo. Al momento de compartir su trabajo, quienes usen estrategias de conteo más simples tienen la oportunidad de escuchar ideas nuevas. Si hay tiempo suficiente, agregue o quite algunas fichas cuadradas de la colección y pida a sus estudiantes que cuenten la nueva colección usando la estrategia que escucharon de otro grupo. Asegúrese de que el número de fichas cuadradas de la nueva colección no sea divisible entre 4 de modo que el área total no sea un número entero.

• ¿Cómo pueden organizar sus colecciones para que les resulte más fácil contarlas? • ¿Por qué la forma en que organizaron sus colecciones les hizo más fácil contar? • ¿Cómo llevaron la cuenta de lo que ya habían contado y de lo que les faltaba contar? • ¿Cómo supieron cómo debían escribir sus totales? • ¿Qué tan cerca estuvo su estimación del área real? Seleccione dos o tres parejas de estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. De ser posible, tome fotografías para mostrar a la clase en el siguiente segmento. Cuando las parejas compartan su trabajo, considere la posibilidad de que muestren sus registros junto a las colecciones de conteo para que puedan ver la representación escrita que corresponde a cada colección. En los ejemplos se muestran posibles estrategias. Demuestran cómo • dividir;

Nota para la enseñanza

• formar cuadrados unitarios y • hallar el área de 1 ficha cuadrada y multiplicar.

Elabore un plan que establezca qué deberán hacer sus estudiantes al finalizar de contar la colección y registrar cómo contaron. Por ejemplo, podrían • probar otro modo de organizar y contar o • explicar su método de registro a otra pareja de estudiantes.

183

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Dividir Luis

Para esta colección de conteo, mi pareja es Estamos contando

fichas cuadradas de

1 1 unidad por unidad . 2 2

Creemos que cubren un área total de 1 5 unidades cuadradas . Así es como organizamos y contamos la colección

1 unidad cuadrada

Contamos un área total de

1 unidad 2 cuadrada

1 1 = 82 2

1+1+ 1+1+1+1+1+1+ Área: 8

1 unidad cuadrada

1 unidades cuadradas 2

8 2 unidades cuadradas

Esta es una ecuación que describe cómo contamos. 1

1+1+1+1+1+1+1+1+ 2 = 82

184

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Formar cuadrados unitarios Para esta colección de conteo, mi pareja es Estamos contando

1 1 unidad por unidad . 2 2

fichas cuadradas de

Creemos que cubren un área total de

Julie

7 unidades cuadradas .

Así es como organizamos y contamos la colección: 1 unidad cuadrada

1 unidad cuadrada

1 unidad 2 cuadrada 1 unidad cuadrada

1 unidad cuadrada

8 ×1= 8 8+

1 1 =8 2 2

Área: 8 1 unidades cuadradas 2 Contamos un área total de

8 2 unidades cuadradas

Esta es una ecuación que describe cómo contamos.

8×1+

1 1 =8 2 2

185

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Hallar el área de 1 ficha cuadrada y multiplicar Para esta colección de conteo, mi pareja es Estamos contando

fichas cuadradas de

Ryan

1 1 unidad por unidad . 2 2

7 unidades cuadradas

Creemos que cubren un área total de

Así es como organizamos y contamos la colección:

10 10 10 4 1 unidad

1 unidad

Área de 1 ficha cuadrada: 1 de unidad cuadrada 4

34 fichas cuadradas en total 1

34 × 4 =

34 2 =84 4

Área de todas las fichas cuadradas: 8

Contamos un área total de

2 unidades cuadradas 4

8 4 unidades cuadradas

Esta es una ecuación que describe cómo contamos.

34 ×

186

1 4

= 84

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Para esta colección de conteo, mi pareja es

Estamos contando

Creemos que cubren un área total de

Así es como organizamos y contamos la colección:

Contamos un área total de

Esta es una ecuación que describe cómo contamos. .

Reflexión Escribe algo que les haya funcionado bien cuando trabajaron en parejas. Explica por qué funcionó. Formar cuadrados de 2 por 2 con 4 fichas cuadradas nos ayudó porque sabíamos que cada cuadrado de 2 por 2 era igual a 1 cuadrado unitario. Luego, pudimos contar todos los cuadrados unitarios para hallar el área total.

187

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Escribe acerca de un desafío que hayan encontrado. ¿Cómo lo superaron? Al principio, no sabíamos con seguridad qué hacer con las 2 fichas cuadradas adicionales. Las juntamos para formar parte de un cuadrado y calculamos qué fracción del cuadrado representan.

Compartir, comparar y conectar La clase comenta las estrategias de organización y compara su eficiencia. Reúna a la clase para analizar las muestras de trabajo seleccionadas y guíe una conversación al respecto. Invite a las parejas seleccionadas a compartir sus procesos de conteo. El siguiente diálogo representa un ejemplo de conversación.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Dividir (Método de Kayla y Luis) Luis

Para esta colección de conteo, mi pareja es Estamos contando

fichas cuadradas de

1 1 unidad por unidad . 2 2

Creemos que cubren un área total de 1 5 unidades cuadradas . Así es como organizamos y contamos la colección

1 unidad cuadrada

Contamos un área total de

1 unidad 2 cuadrada

• La sección Compartir tu razonamiento puede ayudar a la clase a compartir sus estrategias para hallar la solución. • La sección Preguntar por el razonamiento puede ayudar a la clase a formular preguntas sobre las soluciones que compartieron.

1 1 = 82 2

1+1+ 1+1+1+1+1+1+ Área: 8

1 unidad cuadrada

Considere invitar a sus estudiantes a utilizar la Herramienta para la conversación mientras comparten su trabajo, realizan preguntas sobre el trabajo del resto de la clase y comparan su trabajo con el de sus pares.

1 unidades cuadradas 2

8 2 unidades cuadradas

Esta es una ecuación que describe cómo contamos. 1

1+1+1+1+1+1+1+1+ 2 = 82

188

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Examinen el trabajo de Kayla y Luis. ¿Cómo organizaron sus fichas cuadradas? Hicieron filas largas de fichas cuadradas. Dividieron la fila en grupos de 4 fichas cuadradas. Kayla y Luis, ¿por qué decidieron alinear las fichas cuadradas y, luego, dividirlas en grupos de 4? Alineamos las fichas cuadradas para poder verlas todas a la vez. Sabíamos que cada ficha tiene

un área de  _1 de unidad cuadrada, así que dividimos la fila en grupos de 4 porque _ 1  + _ 1  + _ 1  + _ 1 = 1. 4

Es más fácil contar de uno en uno que contar de un cuarto en un cuarto.

¿Cómo supieron que las 2 fichas cuadradas que quedaban tienen un área total de 1 _ unidad cuadrada? 2 Dado que cada ficha cuadrada tiene un área de  _1 de unidad cuadrada, sabemos que las 2 fichas

tienen un área de  _1  + _ 1 , o _ 1 unidad cuadrada. 4

¿Cómo determinaron el área total que cubre la colección? Sumamos todas las unidades cuadradas enteras y la media unidad cuadrada para obtener un área total de 8  _1 unidades cuadradas. 2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de Kayla y Luis.

189

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Formar cuadrados unitarios (Método de Adesh y Julie) Para esta colección de conteo, mi pareja es Estamos contando

1 1 unidad por unidad . 2 2

fichas cuadradas de

Creemos que cubren un área total de

Julie

7 unidades cuadradas .

Así es como organizamos y contamos la colección: 1 unidad cuadrada

1 unidad cuadrada

1 unidad 2 cuadrada 1 unidad cuadrada

1 unidad cuadrada

8 ×1= 8 8+

1 1 =8 2 2

Área: 8 1 unidades cuadradas 2 Contamos un área total de

8 2 unidades cuadradas

Esta es una ecuación que describe cómo contamos.

8×1+

190

1 1 =8 2 2

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Examinen el trabajo de Adesh y Julie. ¿En qué se parecen su trabajo y el de Kayla y Leo? ¿En qué se diferencian? Las dos parejas formaron grupos de 4 fichas cuadradas. Adesh y Julie no alinearon todas las fichas cuadradas. Formaron grupos de 4 fichas para formar cuadrados unitarios. Adesh y Julie, ¿pueden decirnos por qué agruparon 4 fichas cuadradas para formar cuadrados?

Sabíamos que los lados de cada ficha cuadrada tienen una longitud de  _1 unidad, así que, cuando 2

juntamos 4 fichas para formar un cuadrado, sabíamos que era un cuadrado unitario porque todos los lados tenían una longitud de 1 unidad. Es más fácil contar de uno en uno que contar de un cuarto en un cuarto. ¿Cómo supieron que las 2 fichas cuadradas que quedaban tenían un área total de  _1   unidad cuadrada? 2

Vimos que 2 fichas cuadradas formaban la mitad de un cuadrado unitario. Un cuadrado unitario

tiene un área de 1 unidad cuadrada, así que _ 1  de 1 unidad cuadrada es _ 1 unidad cuadrada. 2

¿Cómo determinaron el área total que cubre la colección? Vimos que podíamos formar 8 cuadrados unitarios. Cada cuadrado unitario tiene un área de

1 unidad cuadrada, así que teníamos 8 unidades cuadradas. Luego, sumamos la _2 1  unidad

cuadrada para obtener 8  _1 unidades cuadradas. 2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el trabajo de Adesh y Julie.

191

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Hallar el área de una ficha cuadrada y, luego, multiplicar para hallar el total (Método de Sasha y Ryan) Para esta colección de conteo, mi pareja es Estamos contando

fichas cuadradas de

Creemos que cubren un área total de

Ryan

1 1 unidad por unidad . 2 2

7 unidades cuadradas

Así es como organizamos y contamos la colección:

10 10 10 4 1 unidad

1 unidad

Área de 1 ficha cuadrada: 1 de unidad cuadrada 4

34 fichas cuadradas en total 1

34 × 4 =

34 2 =84 4

Área de todas las fichas cuadradas: 8

Contamos un área total de

2 unidades cuadradas 4

8 4 unidades cuadradas

Esta es una ecuación que describe cómo contamos.

34 ×

192

1 4

= 84

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9 Examinen el trabajo de Sasha y Ryan. ¿Qué observan sobre cómo organizaron las fichas cuadradas? Hicieron tantas filas de 10 fichas cuadradas como pudieron. No formaron grupos de 4 como hicieron las otras parejas. Sasha y Ryan, ¿pueden decirnos cómo hallaron el área total que cubre la colección?

Sabíamos que cada ficha cuadrada tiene un área de _ 1 de unidad cuadrada, así que sabíamos 4

que podíamos multiplicar el número total de fichas por _ 1 para hallar el área total. Organizamos 4

las fichas cuadradas en filas de 10 porque nos pareció fácil contar de diez en diez para hallar el número total de fichas.

¿Cómo supieron que podían multiplicar el número total de fichas cuadradas por  _1 para obtener 4 el área total?

Dado que cada ficha cuadrada tiene la misma área, es como si tuviéramos 34 grupos de _ 1 , o 3 4 × _ 1 . 4

DUA: Acción y expresión

¿Sasha y Ryan obtuvieron la misma respuesta que las otras parejas? ¿Cómo lo saben? Sí. 8  _2 es equivalente a 8  _1 . 4

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el trabajo de Sasha y Ryan. ¿Y si la colección tuviera fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 de unidad? 4

¿El área total sería la misma? ¿Cómo lo saben?

No. El área de un cuadrado con longitudes de los lados de  _1 de unidad es menor que el área 4

de un cuadrado con longitudes de los lados de _ 1 unidad, así que el área total de la colección 2

de cuadrados con longitudes de los lados de _ 1 de unidad sería menor que el área total de una 4

colección de cuadrados con longitudes de los lados de _ 1  unidad. 2

Grupo de problemas

Después de compartir los trabajos, considere reservar tiempo para que la clase reflexione. Primero, pida a cada estudiante que revise sus respuestas de reflexión. Luego, pregunte a las parejas si escucharon alguna estrategia de otro grupo que podrían intentar usar la próxima vez. Pida a la clase que participe de una conversación sobre las razones para intentar un enfoque diferente. La parte de la actividad de colecciones de conteo en la que se comparte sirve como una oportunidad de retroalimentación formativa. Luego de compartir múltiples ejemplos de trabajos comentados de sus pares, dé tiempo a sus estudiantes para que reflexionen sobre si modificarían su enfoque en el futuro.

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

193

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Organizar, contar y representar una colección de fichas cuadradas Guíe una conversación de toda clase acerca del uso de fichas cuadradas para cubrir un rectángulo y hallar su área usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿El área de un rectángulo en unidades cuadradas siempre es igual al número de fichas cuadradas que caben en el rectángulo? ¿Por qué? No, no siempre. Cuanto más pequeñas son las fichas cuadradas, más fichas se necesitan para cubrir el rectángulo. Si las fichas son cuadrados unitarios, entonces sí, el área de un rectángulo en unidades cuadradas es igual al número de fichas cuadradas unitarias que caben en el rectángulo. Si las fichas no son cuadrados unitarios, entonces el área de un rectángulo en unidades cuadradas no es igual al número de fichas cuadradas que caben en el rectángulo. ¿Cómo pueden hallar el área total de un rectángulo cuando saben el número de fichas cuadradas que se necesitan para cubrir el rectángulo? Podemos multiplicar el número de fichas cuadradas que se necesitan para cubrir el rectángulo por el área de 1 de esas fichas. ¿En qué tuvieron éxito al contar? ¿Qué estrategias fueron de ayuda para contar su colección? Pensar en el número de fichas cuadradas que forman 1 unidad cuadrada me ayudó a contar el área total. Sabía que podía hallar el área total si multiplicaba el área de 1 ficha cuadrada por el número total de fichas.

194

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 9

3. ¿Cuál es el área total que puede cubrirse con 100 cuadrados como los que se muestran en las partes (a) y (b)? a.

1. Se muestra un rectángulo que tiene una longitud de 5 unidades y un ancho de 3 unidades.

1 de pie 4

1 de pie 3

6 _1 pies cuadrados

3 unidades

11 _1 pies cuadrados

5 unidades a. Traza líneas para dividir el rectángulo a fin de mostrar cuadrados unitarios. b. Se necesitan el rectángulo.

cuadrados con longitudes de los lados de 1 unidad para cubrir

c. ¿Cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de _1 unidad se necesitan para cubrir 2 el rectángulo?

4. El rectángulo que se muestra representa las medidas de un lavadero.

60 fichas cuadradas 2. Se necesitan 48 fichas cuadradas con longitudes de los lados de _1 unidad para cubrir 2 el rectángulo que se muestra.

8 ft

10 ft

6 unidades

a. ¿Cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de 1 pie se necesitan para cubrir el piso del lavadero?

2 unidades

80 fichas cuadradas

a. Kayla dice que se necesitarían más de 48 fichas cuadradas con longitudes de los lados de _1 de unidad para cubrir el rectángulo. ¿Estás de acuerdo? Explica. 3

Estoy de acuerdo. Las fichas cuadradas con longitudes de los lados de _1 de unidad ocupan

b. ¿Cuántas fichas cuadradas con longitudes de los lados de _1 pie se necesitan para cubrir 2 el piso del lavadero?

menos espacio que las fichas cuadradas con longitudes de los lados de _1 unidad, así que 2

se necesitan más fichas con longitudes de los lados de _1 de unidad para cubrir el rectángulo.

320 fichas cuadradas

b. ¿Cuántas fichas cuadradas se necesitan?

108 fichas cuadradas © Great Minds PBC

GRUPO DE PROBLEMAS

195

LECCIÓN 10

Hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias relacionando el rectángulo con un cuadrado unitario

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10

Nombre

Fecha

Halla el área del rectángulo con longitudes de los lados de 2 unidad y 8 de unidad. Haz un boceto para mostrar cómo lo sabes.

Vistazo a la lección La clase halla la parte de un cuadrado unitario que está cubierta por un rectángulo con longitudes de los lados en fracciones unitarias pensando en el rectángulo como una ficha rectangular. Luego, sus estudiantes usan el número de partes iguales en las que se divide el cuadrado unitario para hallar el área de 1 ficha rectangular, que también es el área del rectángulo. Amplían su comprensión para hallar el área de rectángulos con una longitud del lado que es una fracción unitaria y otra longitud del lado que es una fracción menor que 1.

Preguntas clave • ¿Dibujar un cuadrado unitario les sirve como ayuda para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias? ¿Por qué? 1 unidad 2

• ¿Por qué saber el área de un rectángulo con longitudes de los lados en fracciones unitarias sirve como ayuda para hallar el área de un rectángulo con una longitud del lado que no es una fracción unitaria? 7 de unidad 8

Criterio de logro académico

__7

5.Mód5.CLA2 Hallan y representan el área usando fichas cuadradas con

El área es 16 de unidad cuadrada.

longitudes de los lados en fracciones unitarias. (5.NF.B.5.b)

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Relacionar rectángulos con longitudes de los lados en fracciones unitarias con un cuadrado unitario

Estudiantes • ninguno

• Dibujar cuadrados unitarios para hallar el área de rectángulos • Grupo de problemas

Concluir 10 min

197

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Restar números decimales La clase determina diferencias para adquirir fluidez con la resta de números decimales del módulo 4. Muestre 1.4 − 0.5 =

1.4 − 0.5 =

0.9

14 décimos − 5 décimos = 9 décimos

Muestre la diferencia y el ejemplo de trabajo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

0.9 – 0.27 = 0.63

198

7.5 – 2.28 = 5.22

4 – 1.36 = 2.64

8.23 – 2.75 = 5.48

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10

Respuesta a coro: Multiplicar fracciones La clase determina productos como preparación para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias usando la multiplicación. Muestre _ 1  × _ 1  = 3

¿Cuál es el producto? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

__   1  

Nota para la enseñanza

1 ×1= 1 3 4 12

En esta actividad, no se espera que sus

estudiantes digan el producto usando la 3 unidad más grande (p. ej., __  1  en vez de  __ ) o un 12 4 9 64 __ número mixto (p. ej., 1  __ 55  en vez de  55 ).

Muestre el producto. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1 ×3= 3 3 4 12

5 ×1= 5 7 7 49

5 × 4 = 20 7 7 49

3 ×3= 9 6 4 24

4 × 6 = 24 6 4 24

4 × 7 = 28 5 10 50

8 × 8 = 64 5 11 55

Respuesta a coro: Sumar números enteros y fracciones La clase determina la suma de un número entero y un número mixto o una fracción mayor que uno como preparación para sumar productos parciales a partir de la lección 12. Muestre 1 + 1  _1  = 3

¿Cuánto es la suma? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1+ 11 = 21 3

2 1  3

Muestre la suma.

199

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

4 3+2 = 6

10 6+ = 10

Presentar

4 5 6

3 1 +2= 4

3 3 4

5 2+ = 5

13 4+ = 10

3 5 10

8 +3= 4

7 2+ = 5

2 3 5

9 +1= 4

1 3 4

Nota para la enseñanza Empezando por la ecuación 2 +  __55  = , considere pedir a sus estudiantes que expresen la fracción como un número entero o mixto antes de determinar la suma. Para esta ecuación, deberían pensar: “2 + 1 = 3”.

La clase determina el área de un cuadrado que es parte de un cuadrado unitario. Muestre la imagen del cuadrado unitario y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y determine el área de la región sombreada. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.

200

1 unidad

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10 Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y regístrelo. Mientras la clase conversa, destaque el razonamiento que muestre estrategias que involucren la división del cuadrado unitario en cuadrados más pequeños.

Creo que el área es __  1  de unidad cuadrada. Podría dibujar líneas para dividir el cuadrado unitario 16

 1   del en 16 cuadrados que sean del mismo tamaño que el cuadrado sombreado. Dado que __ 16

1  de unidad cuadrada. cuadrado unitario está sombreado, la región sombreada tiene un área de  __ 16

Podría extender la línea vertical del medio para dividir el cuadrado unitario por la mitad. El

 1  del cuadrado unitario. Entonces, el área cuadrado sombreado es _ 1  de _ 1 del cuadrado unitario, o __ 4

1  de unidad cuadrada. es  __

Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. Muestre la imagen e invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo pueden usar lo que saben sobre el área del cuadrado sombreado para hallar el área del rectángulo sombreado. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

1 unidad

Hoy, vamos a hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias.

201

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10

Aprender

Relacionar rectángulos con longitudes de los lados en fracciones unitarias con un cuadrado unitario La clase forma un cuadrado unitario para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en fracciones unitarias. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pida que lean el problema y dé tiempo para que piensen en silencio y consideren cómo resolverlo. Halla el área del rectángulo. 1.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando halla maneras de formar cuadrados unitarios usando las repeticiones de fichas cuadradas o rectangulares. Hallan el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias relacionando esas áreas con el área de un cuadrado unitario. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relacionan la ficha rectangular y el cuadrado unitario? ¿Cómo puede ayudarles esto a hallar el área del rectángulo? • ¿Cómo puede ayudarles lo que saben sobre el área de un cuadrado unitario a hallar el área de este rectángulo?

1 de unidad 4 1 unidad 2

• ¿Cómo pueden separar el rectángulo en partes más pequeñas de forma que les ayude a compararlo con un cuadrado unitario?

_ 1 de unidad cuadrada 8

¿Qué observan sobre este rectángulo? Los lados tienen longitudes fraccionarias. Los lados tienen longitudes menores que 1 unidad. ¿Creen que el área de este rectángulo es mayor que 1 unidad cuadrada o menor que 1 unidad cuadrada? ¿Por qué? Creo que el área del rectángulo es menor que 1 unidad cuadrada porque los dos lados tienen una longitud menor que 1 unidad.

202

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10 Creo que el área del rectángulo es menor que 1 unidad cuadrada porque, cuando tuvimos cuadrados con longitudes de los lados fraccionarias menores que 1, necesitamos varios de los cuadrados pequeños para formar 1 cuadrado unitario. Cuando las dos longitudes de los lados de un rectángulo son menores que 1, el área del rectángulo es menor que 1 unidad cuadrada. En lugar de pensar en cuántas unidades cuadradas se necesitan para cubrir el rectángulo, pensamos en cuánto de 1 cuadrado unitario está cubierto por el rectángulo. Pensemos en este rectángulo como parte de un cuadrado unitario. ¿Cuál es el área de un cuadrado unitario?

1 unidad cuadrada ¿En qué nos ayudó saber el área de un cuadrado unitario a hallar el área de fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias, como  _1  unidad? 2

Sabíamos que 4 fichas cuadradas con longitudes de los lados de _ 1 unidad cabrían en un cuadrado 2 unitario, así que sabíamos que el área de cada ficha debe ser 1 unidad cuadrada ÷ 4.

Diferenciación: Apoyo Considere usar la actividad digital interactiva de Cubrir con fichas cuadradas o mostrar un diagrama para ayudar a sus estudiantes a determinar el área de cuadrados con longitudes de los lados en fracciones unitarias hallando el número de estos cuadrados que caben en un cuadrado unitario.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo creen que podrían usar lo que saben acerca del área de un cuadrado unitario para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados de  _1  de unidad y _ 1  unidad. 4

Tal vez podríamos juntar los rectángulos para formar un cuadrado unitario.

Tal vez podríamos sumar otro rectángulo con longitudes de los lados de _ 1 de unidad y 4

 _1 unidad al lado del rectángulo para que las longitudes de los lados de _ 1 unidad formen una 2

longitud del lado de 1 unidad.

Creo que podríamos poner 3 rectángulos más con longitudes de los lados de _ 1  de unidad y 4

 _1 unidad arriba del rectángulo para que las longitudes de los lados de _ 1 de unidad formen una 2

longitud del lado de 1 unidad. Dibujemos para hallar cuántos rectángulos con

Nota para la enseñanza

longitudes de los lados de  _1  de unidad y _ 1  unidad caben en un cuadrado unitario.

Represente el dibujo para empezar a formar un cuadrado unitario alrededor del rectángulo del problema 1 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuántos rectángulos con una longitud del lado de

_ 1 de unidad se necesitan para formar 1 unidad? 4

4 © Great Minds PBC

1 de unidad 4 1 unidad 2

En el módulo 3, sus estudiantes usan modelos de área para hallar el producto de dos fracciones. Dividen los modelos de área y, luego, sombrean la región para hallar el producto. En esta lección, la clase recibe un rectángulo sombreado y debe crear el modelo de área para hallar el producto.

203

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10 Dibuje 3 rectángulos adicionales arriba del rectángulo dado para extender la longitud del lado a 1 unidad.

¿Cuántos rectángulos con una longitud del lado de _ 1 unidad se necesitan para formar 1 unidad? 2

Dibuje 1 rectángulo a la derecha del rectángulo dado para extender la longitud del lado a 1 unidad. Ahora tenemos 1 unidad por 1 unidad. Terminemos de dibujar los lados del cuadrado. Termine de dibujar el cuadrado y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Formamos un cuadrado unitario? ¿Cómo lo saben? Sí. Dibujamos un cuadrado con longitudes de los lados de 1 unidad. ¿Nuestro cuadrado unitario muestra partes iguales? No, todavía no. Hay una parte más grande que no está dividida en partes del mismo tamaño.

1 de unidad 4 1 unidad 2

¿Podemos formar partes iguales? ¿Cómo? Sí. Podemos terminar de dividir el resto del cuadrado unitario.

Divida el resto del cuadrado unitario en partes iguales y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué observan acerca del cuadrado unitario ahora? Está dividido en 8 partes iguales. Cada parte es una ficha rectangular con longitudes de los lados de  _1  unidad y _ 1  de unidad. 2

El cuadrado unitario parece estar cubierto con fichas rectangulares. ¿Podemos hallar el área del rectángulo sombreado? Expliquen su razonamiento. No lo sé. Solo pusimos fichas cuadradas. Ahora parece que nuestro cuadrado unitario está cubierto con fichas rectangulares.

1 de unidad 4

DUA: Representación

1 unidad 2

Considere usar la actividad digital interactiva de Cubrir con fichas cuadradas para confirmar la solución.

Sí. El cuadrado unitario está dividido en 8 fichas rectangulares que tienen todas el mismo tamaño, así que cada ficha rectangular ocupa la misma cantidad de área.

204

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10 Dado que dividimos el cuadrado unitario en partes iguales, podemos hallar el área de las partes. ¿Cuál es el área del rectángulo sombreado? ¿Cómo lo saben?

_ 1  de unidad cuadrada. Hay 1 parte sombreada de 8 partes en total. El cuadrado unitario tiene 8 un área de 1 unidad cuadrada, y _ 1  de 1 unidad cuadrada es _ 1  de unidad cuadrada. 8 8 _ 1  de unidad cuadrada. Lo sé porque 1 unidad cuadrada ÷ 8 = _ 1 de unidad cuadrada. 8

Estimaron que el área del rectángulo sería menor que 1 unidad cuadrada. ¿Tenían razón? ¿Por qué? Sí. Hay más partes iguales en el cuadrado unitario que en el rectángulo, y el área del cuadrado unitario es 1, así que el área del rectángulo tenía que ser menor que 1. Muestre el ejemplo de trabajo. ¿Qué observan sobre este ejemplo de trabajo en comparación con el trabajo que acabamos de hacer? En este trabajo hay más partes iguales en el cuadrado unitario que las que teníamos. Se dividió el rectángulo sombreado en dos cuadrados con longitudes de los lados de _ 1  de unidad y se formó 4

un cuadrado unitario que está dividido en 16 fichas

cuadradas con longitudes de los lados de _ 1  de unidad. 4

¿Se obtuvo la misma respuesta que en nuestro trabajo? ¿Por qué?

1 4 de unidad

Apoyo para la comprensión del lenguaje

1 2 unidad

2 de unidad 16 cuadrada

Sí, la respuesta es igual a la nuestra porque __  2   es 16 equivalente a _ 1  . 8

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre los dos modelos y que comente a qué otro trabajo de 5.o grado les recuerda. Estos modelos son parecidos a los modelos que se usaron para multiplicar fracciones en el módulo 3.

Considere brindar comienzos de oración para ayudar a sus estudiantes a comentar los dos modelos y por qué podrían parecerles conocidos: • El cuadrado unitario que está dividido en 8 fichas rectangulares del mismo tamaño me recuerda a . • El cuadrado unitario que está dividido en 16 fichas cuadradas del mismo tamaño me recuerda a . • Estos modelos me recuerdan al trabajo que hicimos antes en la clase de matemáticas, como .

205

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10

Dibujar cuadrados unitarios para hallar el área de rectángulos La clase forma un cuadrado unitario para hallar el área de un rectángulo que tiene una longitud del lado que es una fracción unitaria y otra longitud del lado que no es una fracción unitaria. Muestre el problema y el ejemplo de trabajo.

Halla el área del rectángulo.

2 de unidad 3 1 de unidad 4

Área de 1 ficha rectangular: 1 de unidad cuadrada 12 2 de unidad 3 1 de unidad 4

206

Área del rectángulo sombreado: 2 x 12 de unidad = 12 de unidad cuadrada cuadrada 1

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10 Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el trabajo.

Observar y preguntarse ¿Qué observan en este trabajo? Observo que una longitud del lado no es una fracción unitaria. Observo que se formó un cuadrado unitario como hicimos en clase. Observo que las fichas son rectangulares. Observo que dos fichas rectangulares en el cuadrado unitario están sombreadas. ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? Me pregunto por qué primero se dividió el rectángulo sombreado en dos partes iguales. Me pregunto por qué no se formaron fichas cuadradas. Me pregunto si la respuesta es correcta.

Organizar ¿Qué pasos se siguieron? ¿Cómo lo saben? En el primer dibujo, se dividió el rectángulo sombreado en dos fichas rectangulares con longitudes de los lados de _ 1  de unidad y  _1  de unidad. 4

En el primer dibujo, se sumaron más rectángulos con longitudes de los lados de _ 1  de unidad y

 _1  de unidad para formar longitudes de los lados de 1 unidad.

En el segundo dibujo, se completó el dibujo para formar un cuadrado unitario. En el tercer dibujo, se dividió el cuadrado unitario en partes iguales dibujando el resto de las líneas. Luego, se halló el área de una ficha rectangular y se escribió una ecuación para hallar el área del rectángulo sombreado que muestra la multiplicación del área de una ficha rectangular por 2. Guíe la conversación para enfocarse en la división del rectángulo sombreado en fichas rectangulares con longitudes de los lados en fracciones unitarias e incentive el razonamiento de la clase que permita establecer conexiones con cubrir el cuadrado unitario con fichas rectangulares con longitudes de los lados en fracciones unitarias.

207

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10

Mostrar Vamos a concentrarnos en cómo se cubrió el cuadrado unitario con fichas rectangulares con longitudes de los lados en fracciones unitarias. ¿Dónde ven eso en este trabajo? El cuadrado unitario se cubrió con fichas rectangulares con longitudes de los lados de

_ 1  de unidad y _ 1  de unidad. 3

Sintetizar ¿Por qué primero se dividió el rectángulo sombreado en dos fichas rectangulares? Las longitudes de los lados de un cuadrado unitario son 1 unidad, así que se necesitaba una ficha rectangular que cupiera de manera uniforme en 1 unidad. Era necesario dibujar más rectángulos para extender la longitud del lado de  _2  de unidad para 3

formar 1 unidad. Se dividió el rectángulo sombreado en dos fichas rectangulares con longitudes de los lados en fracciones unitarias para que fuera más fácil formar un cuadrado unitario.

_ 2  = _ 1  + _ 1 , así que se dividió el rectángulo sombreado en dos fichas rectangulares con una longitud 3 3 3 del lado de _ 1  de unidad para que fuera más fácil formar un cuadrado unitario. 3 _ 1  y _ 1 son fracciones unitarias. ¿Por qué es útil formar fichas rectangulares con longitudes de los 4

lados en fraccionares unitarias? Las fracciones unitarias nos ayudan porque podemos formar 1 unidad. Si tuviéramos fichas con

longitudes de los lados de  _2  de unidad, no podríamos formar 1 unidad exacta. 3

Cuando los lados de la ficha tienen longitudes en fracciones unitarias, es fácil usar repeticiones de la ficha para formar longitudes de los lados de 1 unidad a fin de formar un cuadrado unitario. ¿Por qué se multiplicó el área de una ficha rectangular por 2 para hallar el área del rectángulo sombreado? El rectángulo sombreado está formado por 2 fichas rectangulares, así que se multiplicó el área de una ficha por 2 para hallar el área del rectángulo sombreado.

208

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10

Comprender ¿Por qué dibujar un cuadrado unitario les sirve como ayuda para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias? Si puedo dibujar un cuadrado unitario con fichas del mismo tamaño, puedo hallar el área de cada ficha dentro del cuadrado unitario. Una vez que sé el área de cada ficha, puedo hallar el área del rectángulo sombreado si multiplico el número de fichas sombreadas por el área de cada ficha. Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 a 4. Tenemos que hallar el área de los rectángulos de los problemas 2 a 4. Antes de empezar, ¿qué observan acerca de las longitudes de los lados del rectángulo del problema 2? El rectángulo tiene una longitud del lado que es una fracción unitaria y otra longitud del lado que no es una fracción unitaria. Dado que _ 2  no es una fracción unitaria, resulta útil dividir el rectángulo sombreado en 3

fichas rectangulares con longitudes de los lados en fracciones unitarias antes de dibujar un cuadrado unitario. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo piensan dividir el rectángulo del problema 2. Una vez que el rectángulo sombreado se divide en fichas rectangulares con longitudes de los lados en fracciones unitarias, podemos usar los denominadores de cada una de las fracciones para determinar cuántas más fichas rectangulares tenemos que dibujar para formar un cuadrado unitario. Tengan en cuenta esto mientras dibujan cuadrados unitarios para hallar el área de los rectángulos sombreados de los problemas 2 a 4. Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar el área de los rectángulos de los problemas 2 a 4.

209

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10

EUREKA MATH2

1 unidad 2 2 de unidad 3

_ 2 de unidad cuadrada 6

3 de unidad 4

1 de unidad 5

__   3  de unidad cuadrada 20

210

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10 4.

1 de unidad 6

3 de unidad 5

__   3  de unidad cuadrada 30

Recorra el salón mientras la clase trabaja y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático: • ¿Pueden dividir el rectángulo sombreado en fichas rectangulares con longitudes de los lados en fracciones unitarias? • ¿Pueden extender las longitudes de los lados del rectángulo sombreado para formar un cuadrado unitario? ¿Cómo? • ¿Pueden dividir el cuadrado unitario en partes iguales? • ¿Cuál es el área de una de las partes iguales? • ¿Cuántas partes iguales están sombreadas? • ¿Cómo pueden usar el área de una de las partes iguales para hallar el área del rectángulo sombreado? Cuando hayan terminado, comenten las soluciones. Vuelva al problema de la rutina Cinco preguntas estructuradas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hallar el área de un rectángulo que tiene una longitud del lado que es una fracción unitaria y otra longitud del lado que es una fracción menor que 1.

211

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5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10 Muestre el ejemplo de trabajo. ¿Qué observan sobre este ejemplo de trabajo en comparación con 2 de unidad 3 el trabajo que acabamos de ver?

Área de 1 ficha cuadrada:

1 de unidad 144 cuadrada

Área del rectángulo sombreado: 24 ×

1 de unidad 24 de unidad = 144 cuadrada 144 cuadrada

En este ejemplo 1 de unidad hay muchas más 4 partes iguales en el cuadrado unitario que en el otro ejemplo. Aquí se dividió el rectángulo sombreado en fichas cuadradas con longitudes de los lados de

__   1   de unidad y se formó un cuadrado unitario que está dividido en 144 fichas cuadradas con 12 1   de unidad. longitudes de los lados de  __ 12

¿Se obtuvo la misma respuesta que en el otro ejemplo? ¿Por qué?

 2  . Sí, la respuesta es igual a la del otro ejemplo porque ___  24   es equivalente a __ 144

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre qué método prefieren. Prefiero el primer método porque no tengo que dibujar tantas fichas para cubrir el cuadrado unitario. Prefiero el primer método porque es más eficiente dibujar fichas rectangulares con longitudes de los lados fraccionarias que dibujar fichas cuadradas con longitudes de los lados fraccionarias. Prefiero el segundo método porque me gusta más trabajar con fichas cuadradas que con fichas rectangulares.

212

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias relacionando el rectángulo con un cuadrado unitario Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre cómo hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Dibujar un cuadrado unitario les sirve como ayuda para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias? ¿Por qué? Sí. Dibujar un cuadrado unitario y, luego, dividirlo en partes iguales me ayuda a ver cuántas unidades sombreadas del número total de unidades ocupa el rectángulo. Sé que el área del rectángulo es el número de partes sombreadas del número total de partes iguales. Sí. Dibujar un cuadrado unitario y, luego, dividirlo en partes iguales me ayuda a hallar el área de una de las partes. Sé que el área del rectángulo es el número de partes sombreadas multiplicado por el área de una de las partes. Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 3 y 4 del Grupo de problemas. ¿Por qué saber el área de una ficha rectangular con longitudes de los lados en fracciones unitarias sirve como ayuda para hallar el área de un rectángulo con una longitud del lado que no es una fracción unitaria? En el problema 3, dividí el rectángulo sombreado en fichas rectangulares con longitudes de los lados de _ 1  de unidad y _ 1 de unidad para formar un cuadrado unitario y hallar el área de una 6

ficha. Cada ficha rectangular tiene un área de __  1   de unidad cuadrada. Dado que el rectángulo 24

sombreado está formado por 3 fichas rectangulares, puedo multiplicar el área de una ficha por

3 para hallar el área del rectángulo sombreado.

213

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5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 10 En el problema 4, dividí el rectángulo sombreado en fichas rectangulares con longitudes de los lados de _ 1  unidad y _ 1 de unidad para formar un cuadrado unitario y hallar el área de una 2

ficha. Cada ficha rectangular tiene un área de __  1  de unidad cuadrada. Dado que el rectángulo 10

sombreado está formado por 2 fichas rectangulares, puedo multiplicar el área de una ficha por 2 para hallar el área del rectángulo sombreado.

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Nombre

Fecha

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2. Se muestra un rectángulo con longitudes de los lados de _1 de unidad y _1 de unidad. Usa el rectángulo para completar las partes (a) a (c).

1. Usa este cuadrado unitario, que está dividido en rectángulos del mismo tamaño, para responder las partes (a) y (b).

1 de unidad 3

1 unidad

1 de unidad 5

a. Crea un cuadrado unitario. Divide el cuadrado unitario en partes iguales. b. ¿Cuántas partes iguales necesitaste para crear un cuadrado unitario? a. Los lados de la ficha rectangular tienen longitudes de

_1 4

c. ¿Cuál es el área de la ficha rectangular con longitudes de los lados de _1 de unidad y

de unidad

_1 de unidad? ¿Cómo lo sabes?

de unidad.

1 de unidad cuadrada. Hay 15 partes iguales El área de la ficha rectangular es __ 15

1 de unidad cuadrada. en el cuadrado unitario, así que 1 parte tiene un área de __ 15

b. El área de la ficha rectangular sombreada es

__1 24

de unidad cuadrada porque hay

fichas rectangulares del mismo tamaño y 1 está sombreada.

GRUPO DE PROBLEMAS

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4. Se muestra un rectángulo con longitudes de los lados de _2 de unidad y _1 unidad.

3. Se muestra un rectángulo con longitudes de los lados de _3 de unidad y _1 de unidad. Usa el rectángulo para completar las partes (a) a (c).

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Usa el rectángulo para completar las partes (a) a (c).

1 unidad 2 2 de unidad 5

1 de unidad 6

a. Crea un cuadrado unitario. Divide el cuadrado unitario en partes iguales.

3 de unidad 4

b. ¿Cuántas partes iguales necesitas para crear un cuadrado unitario?

a. Crea un cuadrado unitario. Divide el cuadrado unitario en partes iguales.

c. ¿Cuál es el área del rectángulo con longitudes de los lados de _2 de unidad y _1 unidad?

b. ¿Cuántas partes iguales necesitaste para crear un cuadrado unitario?

c. ¿Cuál es el área del rectángulo con longitudes de los lados de _3 de unidad y _1 de unidad?

__3 de unidad cuadrada

__2 de unidad cuadrada

5. ¿Cuál es el área del rectángulo que se muestra?

3 de unidad 5

1 unidad 2

__3 de unidad cuadrada 10

216

GRUPO DE PROBLEMAS

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6. Sana hace un dibujo para determinar el área de un rectángulo con longitudes de los lados de

_5 de unidad y _1 de unidad. 4

1 de unidad 4 5 de unidad 6 Sana dice que el área del rectángulo es _1 de unidad cuadrada. 8

¿Está en lo correcto? ¿Por qué? No, Sana no está en lo correcto. El cuadrado unitario no está dividido en fichas rectangulares del tamaño correcto. La longitud de uno de los lados de la ficha rectangular de su dibujo

es _1 de la longitud del lado del cuadrado unitario, pero la longitud del otro lado de la ficha 4

rectangular no es _5 del cuadrado unitario. No puede usar ese dibujo para hallar el área del 6

rectángulo sombreado.

GRUPO DE PROBLEMAS

217

LECCIÓN 11

Hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias usando la multiplicación

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Nombre

Fecha

11 __

Halla el área de un rectángulo con longitudes de los lados de 4 de unidad y 9 de unidad. 33 11 __ _3 × __ = 36 4 9 33 __

El área es 36 de unidad cuadrada.

Vistazo a la lección La clase razona acerca de modelos para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados que son fracciones mayores que 1 y los dibuja. Descubren que dibujar un modelo no es un método eficiente para hallar el área de estos rectángulos. Después de analizar longitudes, anchos y áreas, concluyen que pueden hallar el área de cualquier rectángulo multiplicando su longitud por su ancho.

Preguntas clave • ¿Por qué la relación que hay entre las longitudes de los lados y el área de un rectángulo es la misma sin importar si las longitudes de los lados están en fracciones o en números enteros? • ¿En qué se parecen y en qué se diferencian hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias y hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros?

Criterio de logro académico 5.Mód5.CLA3 Hallan el área de rectángulos y figuras compuestas

de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias o en números mixtos. (5.NF.B.4.b)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Rectángulos en los que una longitud del lado es una fracción mayor que 1

Estudiantes • ninguno

• Rectángulos en los que ambas longitudes de los lados son fracciones mayores que 1 • Multiplicar para hallar un área • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Redondear números decimales La clase redondea un número al décimo y centésimo más cercanos para adquirir fluidez con el redondeo de números decimales del módulo 4. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 0.826 ≈

Redondeen 0.826 al décimo más cercano.

Muestre el valor redondeado y, luego, muestre 0.826 ≈ Redondeen 0.826 al centésimo más cercano.

0.826 ≈

0.8

0.826 ≈ 0.83

Muestre el valor redondeado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

7.1

21.493 ≈ 21.5

90.604 ≈ 90.6

7.057 ≈ 7.06

21.493 ≈ 21.49

90.604 ≈ 90.60

7.057 ≈

220

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11

Respuesta a coro: Multiplicar fracciones La clase determina productos para desarrollar fluidez con la destreza de hallar el área de figuras rectangulares con longitudes de los lados fraccionarias mediante la multiplicación. Muestre _ 1  × _ 1  = 3

¿Cuál es el producto? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1 1 × = 3 5

1 15

__   1   15

Muestre el producto. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1 ×4= 4 3 5 15

7 ×1= 7 8 8 64

7 × 5 = 35 8 8 64

3 ×3= 9 7 4 28

4 × 7 = 28 7 4 28

5 × 7 = 35 6 10 60

9 × 9 = 81 6 11 66

Respuesta a coro: Sumar números enteros y fracciones La clase determina la suma de un número entero y un número mixto o fracción mayor que uno como preparación para sumar productos parciales a partir de la lección 12. Muestre 1 + 1 _ 1  = 4

¿Cuánto es la suma? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1 4

1+1 =

1 4

_ 1 4

2   Muestre la suma. © Great Minds PBC

221

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3+2 =

3 8

6 6

4+ =

222

3 8

2 5

2+ =

3 3

2+ =

5 3

1 6

16 +5= 8

19 +1= 8

1 +2=

7 6

3+ =

2 3

3 8

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11

Presentar

La clase razona acerca de cómo hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias mayores que 1. Muestre los tres rectángulos y el ejemplo de trabajo.

1 de unidad 3 4 de unidad 5

3 de unidad 3

2 de unidad 3

4 de unidad Área: 15 cuadrada

4 de unidad 5

8 de unidad Área: 15 cuadrada

Área:

12 de unidad 15 cuadrada

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan y se preguntan. Observo que, en cada rectángulo, una longitud del lado se mantiene igual y la otra aumenta en

_ 1 de unidad. 3

Observo que, cuando la longitud del lado aumenta en _ 1 de unidad, el área aumenta en 3

4  de unidad cuadrada.  __ 15

Observo que el producto de cada longitud y ancho es igual al área del rectángulo. Me pregunto si podemos multiplicar la longitud y el ancho para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias en lugar de cubrirlo con fichas. Me pregunto si este patrón continúa.

Me pregunto cómo dibujar un rectángulo que sea _ 4 de unidad por _ 4 de unidad. 3

Nota para la enseñanza Es posible que haya estudiantes que observen un patrón. El área es el producto de las longitudes de los lados, incluso cuando esas longitudes son fracciones. El trabajo de esta lección consiste en observar esto repetidamente hasta que sus estudiantes puedan responder con seguridad la pregunta: “¿Podemos hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias multiplicando las longitudes de los lados?”. Por lo tanto, permita que esta observación surja de forma natural durante la lección y se consolide hacia el final.

223

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11 Señale el primer rectángulo.

¿Cuántas fichas rectangulares con lados de _ 1 de unidad por _ 1 de unidad forman 5 3 1 unidad cuadrada?

15 ¿Cuál es el área de 1 ficha rectangular?

1  de unidad cuadrada  _ 15

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados de _ 4  de unidad y _ 4 de unidad. 5

Podemos continuar el patrón. Como estamos incrementando una longitud del lado  4  de unidad cuadrada, por lo que el área en _ 1 de unidad, el área aumentará en __ 3

será __  16  de unidad cuadrada.

Si continuamos el patrón, tendremos que sumar otro cuadrado unitario dividido en fichas rectangulares y habrá 16 fichas sombreadas. Como cada ficha tiene un área de

1  de unidad cuadrada, podemos multiplicar 16 y __   1   para obtener __  16 de unidad cuadrada.  __ 15

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias, incluidas longitudes que son fracciones mayores que 1.

224

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11

Aprender

Rectángulos en los que una longitud del lado es una fracción mayor que 1 La clase halla el área de rectángulos en los que una longitud del lado es una fracción mayor que 1. Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y el ejemplo de trabajo para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados de _ 5  de unidad y _ 4 de unidad. 5

Dé a sus estudiantes 2 minutos para identificar el error o la ambigüedad. Invíteles a compartir sus respuestas.

5 de unidad 3

Veo 20 partes sombreadas de 30 partes en total, pero no creo que el denominador deba ser 30 porque cada cuadrado unitario muestra 15 partes iguales.

20 de unidad 4 de unidad Área: cuadrada 30 5

Cada cuadrado unitario muestra 15 partes iguales, por lo que la respuesta debería estar en quinceavos.

El área del rectángulo con longitudes de los lados de  _4  de unidad y _ 4 de unidad era 3

16 de unidad cuadrada. El área de este rectángulo debería ser mayor que __  16 de unidad cuadrada  __

porque este rectángulo es más grande que el rectángulo con longitudes de los lados de

 4  de unidad y  4 de unidad. 5 3

225

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11 Dé a la clase 2 minutos para resolver el problema, basándose en su propia comprensión. Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca del número total de rectángulos que hay en el modelo en comparación con el número que hay en el denominador de la solución. El área es __  20 de unidad cuadrada. Si continuamos el patrón de antes, cada vez que 15

incrementamos una longitud del lado en _ 1 de unidad, el área aumenta en 3

4  de unidad cuadrada.  __ 15

El área es __  20 de unidad cuadrada. Cada ficha rectangular sombreada tiene un área de 15

__ 0 × __   1  ,   1   de unidad cuadrada. Hay 20 fichas rectangulares sombreadas, por lo que el área es 2 15 15 20 de unidad cuadrada. que es  __ 15 El área es __  20 de unidad cuadrada. El entero es 1 cuadrado unitario y está dividido en 15

15 fichas rectangulares. Hay 20 fichas rectangulares del entero sombreadas, entonces el área es __  20 de unidad cuadrada. 15 Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a una persona que comparta su respuesta con todo el grupo. Guíe a la clase para acordar cuál es la mejor manera de corregir la respuesta incorrecta. El área de un rectángulo con longitudes de los lados de _ 5  de unidad y _ 4 de unidad es

20 de unidad cuadrada.  __

Muestre el ejemplo de trabajo.

Área de 1 ficha:

¿Qué observan en este ejemplo de trabajo en comparación con el trabajo que acabamos de ver?

5 de unidad 3

1 1 1 × = de unidad 3 5 15 cuadrada

Área del rectángulo: 20 ×

20 de unidad 1 de unidad = 15 cuadrada 15 cuadrada

4 En lugar de de unidad 5 dibujar cuadrados unitarios, se cubrió el rectángulo con fichas rectangulares con longitudes de los lados de _ 1 de unidad y de _ 1 de unidad. 5

Parece que se usó la multiplicación para hallar el área de 1 ficha. En el ejemplo de trabajo anterior, se usaron 15 fichas para cubrir un cuadrado unitario, y así

se descubrió que el área de cada ficha era __  1  de unidad cuadrada. Creo que aquí se multiplicó

15 _ 1  y _ 1 y también se obtuvo __  1  de unidad cuadrada. 3

226

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar por qué creen que se usó la multiplicación para hallar el área de 1 ficha. Al igual que en el ejemplo de trabajo anterior, necesitaríamos 3 filas de 5 fichas para cubrir

 1   de 1 unidad cuadrada, entonces un cuadrado unitario. 3 × 5 = 15 fichas, y cada ficha sería __ 15

tendría un área de __  1  de unidad cuadrada. Creo que multiplicar los denominadores siempre nos 15

indicaría cuál es el número de fichas y el área de cada ficha. Observé un patrón: El área de 1 ficha rectangular es igual al producto de la longitud y el ancho de la ficha rectangular. Tal vez eso siempre sea verdadero. Sabemos que, para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros, podemos multiplicar la longitud y el ancho del rectángulo. Tal vez eso sea verdadero para las longitudes de los lados fraccionarias. La fórmula para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros es A = l × a. Tal vez la fórmula también sirva para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias, y por eso se usó la fórmula. Cuando corregimos el ejemplo de trabajo anterior, hallamos el área de 1 ficha usando la ficha rectangular para dibujar cuadrados unitarios. ¿Cuál hallamos que era el área de 1 ficha rectangular al dibujar el cuadrado unitario?

_   1  de unidad cuadrada 15

¿Ambos métodos nos dieron la misma área para la ficha rectangular? Sí. Podemos hallar el área de 1 ficha rectangular con longitudes de los lados en fracciones unitarias de más de una manera. Podemos usar la ficha rectangular para dibujar cuadrados unitarios o multiplicar las longitudes de los lados en fracciones unitarias de la ficha rectangular. ¿Cómo usó esta persona lo que sabía acerca del área de cada ficha para hallar el área de todo el rectángulo? 1  de unidad cuadrada. Como se necesitan 20 fichas para Sabía que cada ficha tiene un área de  __ 15

  1   para obtener __  20 de unidad cuadrada. cubrir el rectángulo, multiplicó 20 y __ 15

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y las diferencias entre los dos métodos.

227

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11

Rectángulos en los que ambas longitudes de los lados son fracciones mayores que 1 La clase usa fichas rectangulares para hallar el área de rectángulos en los que ambas longitudes de los lados son fracciones mayores que 1. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Halla el área del rectángulo. 1.

6 de unidad 5 3 de unidad 2

__  18 de unidad cuadrada 10

¿Qué observan acerca de este rectángulo? Las longitudes de sus lados son fracciones. Las dos fracciones son mayores que 1.

Diferenciación: Apoyo

¿Qué tamaño de fichas podríamos usar para cubrir este rectángulo? ¿Cómo lo saben?

Podríamos usar fichas rectangulares con longitudes de los lados de  _1  de unidad y _ 1  unidad. 5

Cuando dividimos _ 6  y _ 3 en fracciones unitarias, obtenemos _ 1  y _ 1 . 5

1  porque cuando dividimos Podríamos usar fichas cuadradas con longitudes de los lados de  __ 10

quintos y medios en cuadrados, las longitudes de los lados de los cuadrados son __  1  .

Puede haber estudiantes que necesiten crear y cubrir un cuadrado unitario con fichas para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados de __  1  de unidad y __  1  unidad. 5 2

Divida el rectángulo y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuáles son las longitudes de los lados de cada ficha rectangular?  _1  de unidad y _ 1  unidad 5

¿Cuál es el área de cada ficha rectangular? ¿Cómo lo saben?

_   1  de unidad cuadrada. El área de un rectángulo con longitudes de los lados de _ 1  de unidad 5 10   1  de unidad cuadrada. y _ 1  unidad es _ 1  × _ 1  = __ 2

228

1 de unidad 5 1 de unidad 2

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11 ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca del área de cada ficha para hallar el área del rectángulo? Expliquen su razonamiento. El rectángulo está cubierto con 18 fichas rectangulares con longitudes de los lados de _ 1  de 5   1  para hallar el área de todo unidad y _ 1 unidad, por lo que podemos multiplicar 18 × __ 10

el rectángulo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Proporcione comienzos de oración para apoyar a sus estudiantes cuando compartan sus observaciones y comenten cómo hallar el área:

¿Cuál es el área del rectángulo?

__  18 de unidad cuadrada 10

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan sobre la relación entre las longitudes de los lados del rectángulo y su área. Pida a cada pareja que comente cómo pueden hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias sin cubrirlo con fichas.

• Las longitudes de los lados del rectángulo . • El área del rectángulo

• Para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias sin cubrirlo con fichas, .

Multiplicar para hallar un área La clase concluye que puede hallar el área de un rectángulo con lados de cualquier longitud multiplicando la longitud por el ancho. Podemos hallar el área de una ficha rectangular con longitudes de los lados que son fracciones unitarias multiplicando la longitud y el ancho. Me pregunto si esto es verdadero para cualquier rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias. Muestre los rectángulos y sus áreas. Use las siguientes preguntas para guiar una conversación que ayude a la clase a llegar a la conclusión de que se pueden multiplicar las longitudes de los lados para hallar el área de cualquier rectángulo. Los rectángulos pertenecen a esta lección y a lecciones anteriores.

3 de unidad 4 2 de unidad 3

1 de unidad 3

2 9

6 de unidad 5

• ¿Qué patrones reconocen cuando observan las longitudes de los lados y las áreas de estos rectángulos?

3 de unidad 2

Área:

6 de unidad cuadrada 12

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando observa que la relación multiplicativa entre las longitudes de los lados fraccionarias y el área de un rectángulo se repite para una variedad de rectángulos. Hacen la transición al uso de esta relación como un atajo para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

2 de unidad 3

Área: de unidad cuadrada

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Área:

• ¿El área siempre será igual al producto de las longitudes de los lados? Expliquen.

18 de unidad cuadrada 10

229

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11 Antes, habíamos hallado el área de todos estos rectángulos cubriéndolos con fichas. Registremos sus longitudes, anchos y áreas en una tabla. Dibuje una tabla con las longitudes, anchos y áreas de los rectángulos. Registre las longitudes de los lados y las áreas de los rectángulos en la tabla. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la longitud, el ancho y el área de cada rectángulo. ¿Qué observan acerca de la longitud, el ancho y el área de cada rectángulo?

DUA: Representación

El área de cada rectángulo es el producto de su longitud y ancho. Cuando las longitudes de ambos lados son menores que 1 unidad, el área es menor que 1 unidad cuadrada.

Considere escribir comentarios en la tabla para resaltar los factores y el producto.

Escriba la ecuación de multiplicación para cada fila de la tabla. Haga preguntas como las siguientes para lograr que la clase llegue a la conclusión de que pueden multiplicar la longitud y el ancho de cualquier rectángulo para determinar su área, incluso cuando las longitudes de los lados son fracciones. ¿Qué observan acerca de los denominadores de la longitud, el ancho y el área? El denominador del área es el producto de los denominadores de la longitud y el ancho. ¿Qué nos dice esta relación acerca del tamaño de las fichas que podemos usar para cubrir el rectángulo? Usen uno de los rectángulos representados en la tabla para explicar su razonamiento. Podemos cubrir el rectángulo con fichas que tienen lados en fracciones unitarias con los mismos denominadores que la longitud y el ancho del rectángulo. Podemos cubrir un rectángulo con

longitudes de los lados de _ 1  de unidad y _ 2 de unidad con fichas rectangulares con longitudes 3

de los lados de _ 1  de unidad y _ 1 de unidad. 3

230

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11 Podemos multiplicar los denominadores de la longitud y el ancho del rectángulo para hallar el denominador del área de la ficha que se puede usar para cubrir el rectángulo. Podemos usar

una ficha con un área de __  1  de unidad cuadrada para cubrir un rectángulo con longitudes de los 12

  1  . lados de _ 2  de unidad y _ 3 de unidad porque _ 1  × _ 1  = __ 3

¿Qué observan acerca de los numeradores de la longitud, el ancho y el área? El numerador del área es el producto de los numeradores de la longitud y el ancho. ¿Qué nos dice esta relación acerca del número de fichas que necesitamos para cubrir el rectángulo? Usen uno de los rectángulos de la tabla para explicar su razonamiento. Cuando cubrimos el rectángulo con fichas que tienen lados en fracciones unitarias con los mismos denominadores que la longitud y el ancho del rectángulo, el producto de los numeradores nos dice cuántas fichas necesitamos para cubrir el rectángulo. Si cubrimos el rectángulo con longitudes

de los lados de _ 6  de unidad y _ 3 de unidad con una ficha rectangular con longitudes de los lados 5

de _ 1  de unidad y _ 1 unidad, necesitamos 18 fichas porque 6 × 3 = 18. 5

Cuando cubrimos el rectángulo con fichas que tienen un área en la que el denominador es el producto de la longitud y el ancho del rectángulo, el producto de los numeradores nos dice cuántas fichas necesitamos para cubrir el rectángulo. Si cubrimos el rectángulo con longitudes de los lados de _ 1  de unidad y _ 2 de unidad con un rectángulo que tiene un área de _ 1 de unidad 3

cuadrada, necesitamos 2 fichas para cubrir el rectángulo porque 1 × 2 = 2.

¿Podemos hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias multiplicando las longitudes de los lados? ¿Cómo lo saben? Usen uno de los rectángulos de la tabla para explicar su razonamiento. Sí. Sabemos que el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias es el número de fichas multiplicado por el área de cada ficha. El rectángulo con longitudes de los lados

de  _6  de unidad y _ 3 de unidad se puede cubrir con 18 fichas que tienen un área de __  1  de unidad 5

  1   = __  18 , lo que es igual a multiplicar _ 6  × _ 3  . cuadrada. Por lo tanto, el área del rectángulo es 1 8 × __ 10

¿En qué se parecen hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias y hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros? Hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias es igual que hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros porque se pueden multiplicar las longitudes de los lados.

231

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11 Sabemos que la fórmula para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros es A = l × a. ¿Creen que podemos usar la misma fórmula para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias? ¿Por qué? Sí. Para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias, podemos multiplicar la longitud y el ancho del rectángulo. Podemos usar la fórmula A = l × a para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados en números enteros o fraccionarias. Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 a 5. Pídales que hallen el área de los rectángulos con las longitudes de los lados dadas. Pídales que comprueben su trabajo en parejas. Halla el área de cada rectángulo con las longitudes de los lados dadas. Longitud (unidades)

Ancho (unidades)

_ 2 3

_ 3 2

_ 5 6

5   6

7   6

3   3

Área (unidades cuadradas)

10   18

15   12

21   12

15   18

Cuando hayan terminado, comenten las soluciones. ¿Por qué el área del problema 4 es mayor que 1 unidad cuadrada? Estamos multiplicando un número mayor que 1 por otro número mayor que 1, así que la respuesta también será un número mayor que 1.

232

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11 ¿Por qué el área del problema 2 es menor que _ 2  de unidad cuadrada? 3

Estamos multiplicando _ 2 por una fracción menor que 1, así que el área es menor que _ 2 de unidad cuadrada. 3 3

¿Por qué el área del problema 2 es menor que _    de unidad cuadrada? 5 6

Estamos multiplicando _ 5 por una fracción menor que 1, así que el área es menor que _ 5 de unidad cuadrada. 6 6

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias usando la multiplicación Guíe una conversación de toda la clase acerca del uso de la multiplicación para hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Por qué la relación que hay entre las longitudes de los lados y el área de un rectángulo es la misma sin importar si las longitudes de los lados están en fracciones o en números enteros? Un rectángulo ocupa un espacio plano sin importar qué tan largos o cortos sean los lados ni que las longitudes de los lados sean partes de unidades en lugar de unidades enteras. El área de un rectángulo es la cantidad de espacio plano que ocupa el rectángulo. Podemos hallar el área multiplicando las longitudes de sus lados, ya sea que estén en fracciones o números enteros.

233

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¿En qué se parecen y en qué se diferencian hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias y hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros? Hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias es igual que hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números enteros porque, en ambos casos, podemos multiplicar la longitud y el ancho para hallar el área. Si las longitudes de los lados están en números enteros, siempre podemos usar cuadrados unitarios para cubrir un rectángulo y hallar el área. Si las longitudes de los lados son fraccionarias, debemos hallar la ficha del tamaño correcto que hay que usar. ¿Les parece que hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números decimales es igual o diferente que hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias o en números enteros? Es igual. Los números decimales son otra manera de expresar fracciones, por lo que los métodos que usamos para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias también deberían servir para hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números decimales. Es igual. Los números decimales, las fracciones y los números enteros son maneras de expresar números. La relación entre las longitudes de los lados y el área es la misma, independientemente de cómo estén escritos los números.

234

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Nombre

Fecha

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2. Usa los cuadrados unitarios divididos para completar las partes (a) a (d).

1. Usa los modelos para completar las partes (a) a (d).

1 unidad

2 de unidad 3

6 de unidad 5

a. ¿En cuántas partes iguales está dividido el cuadrado unitario?

1 unidad

12 b. ¿Cuál es el área de cada parte igual?

a. Cada cuadrado unitario que se muestra está dividido en

_1 de unidad cuadrada

partes iguales.

c. b. ¿Cuál es el área de cada parte igual?

_1 de unidad cuadrada 15

c. Colorea de azul las partes iguales de los cuadrados unitarios para representar el rectángulo azul que se muestra. El rectángulo representado por la parte verde de los dos cuadrados unitarios tiene longitudes de los lados de d. ¿Cuál es el área del rectángulo azul?

de unidad y

_2 3

de unidad.

14 de unidad cuadrada __

d. ¿Cuál es el área del rectángulo representado en la parte (c)?

12 de unidad cuadrada __

GRUPO DE PROBLEMAS

235

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5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 11

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3. Usa este modelo, que muestra cuatro cuadrados unitarios divididos en novenos, para completar las partes (a) a (d).

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Halla el área de los rectángulos que se muestran. Muestra cómo lo sabes. 4.

1 unidad 2

7 de unidad 3

3 de unidad 2

6 de unidad 5 7_ 3_ 21 × = __ 3 2 6

a. ¿En cuántas partes iguales está dividido cada cuadrado unitario?

21 de unidad cuadrada __ 6

6 _1 × 6_ = __ 2 5 10

__6 de unidad cuadrada 10

b. Colorea de naranja las partes iguales de los cuadrados unitarios para representar

6. Halla el área de los rectángulos con las longitudes de los lados dadas.

un rectángulo con longitudes de los lados de _5 de unidad y _4 de unidad. 3

c. ¿Cuál es el área del rectángulo? 20 de unidad cuadrada __ 9

Longitud (unidades)

Ancho (unidades)

Área (unidades cuadradas)

_9 8

6_ 5

54 __

10 __ 9

11 __ 10

110 ___ 90

d. Muestra cómo hallar el área usando la multiplicación. 5_ × 4_ = 20 __ 9 3 3

236

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 12

Multiplicar números mixtos

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Nombre

Fecha

Dibuja un modelo de área para hallar 2 5 × 3 2 .

1 2

Vistazo a la lección La clase determina el área de rectángulos con longitudes de los lados en números mixtos. Usan un modelo de área para descomponer factores que son números mixtos en números enteros y partes fraccionarias y, luego, representan y suman los productos parciales. Relacionan el modelo de área y la estrategia de separar y distribuir antes de hacer la transición a la multiplicación de números mixtos sin modelos visuales, aplicando la estrategia de separar y distribuir o convirtiendo números mixtos en fracciones mayores que 1.

Preguntas clave • ¿Por qué los modelos de área pueden ser útiles cuando multiplicamos números mixtos?

3 5

3 10

9 5

• ¿Cómo podemos usar la estrategia de separar y distribuir cuando multiplicamos números mixtos?

__ 2 5_ × 3 2_ = 6 + 1 + 5_ + 10 3

• ¿En qué se parece multiplicar números mixtos a multiplicar números decimales? ¿En qué se diferencia?

__ + __ = 7 + 10 10 18

__ = 7 + 10

Criterios de logro académico

__ = 7 + 2 10 1

1 = 9 __

5.Mód5.CLA1 Multiplican números mixtos por números enteros, fracciones y números mixtos. (5.NF.B.4)

5.Mód5.CLA4 Representan los productos de fracciones y números mixtos usando áreas rectangulares. (5.NF.B.4.b)

101

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Explorar modelos de área

Estudiantes • ninguno

• Multiplicar dos números mixtos • Grupo de problemas

Concluir 10 min

239

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Fluidez

Redondeen 0.738 al décimo más cercano.

Muestre el valor redondeado y, luego, muestre 0.738 ≈ Redondeen 0.738 al centésimo más cercano.

0.738 ≈ 0.7 0.738 ≈ 0.74

Muestre el valor redondeado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

240

8.056 ≈ 8.1

31.572 ≈ 31.6

80.504 ≈ 80.5

8.056 ≈ 8.06

31.572 ≈ 31.57

80.504 ≈ 80.50

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Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar números decimales La clase determina sumas y diferencias para adquirir fluidez con la suma y resta de números decimales del módulo 4. Muestre 0.54 + 0.39 =

0.54 + 0.39 = 0.93 0.53 0.01

Muestre la suma y el ejemplo de trabajo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3.6 + 8.82 = 12.42

0.8 − 0.26 = 0.54

5 − 1.47 = 3.53

9.04 − 3.86 = 5.18

241

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12

Presentar

La clase relaciona la estrategia de separar y distribuir y el modelo de área. Muestre el rectángulo con longitudes de los lados de 2 unidades y 3.8 unidades. Sabemos que podemos hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias multiplicando las longitudes de los lados. ¿Cómo podemos hallar el área de este rectángulo?

DUA: Representación

3.8 unidades 2 unidades

Active los conocimientos previos repasando la comprensión que cada estudiante ya tenía acerca de los modelos de área y estableciendo conexiones con la información nueva. Considere presentar el modelo de área y hacer las siguientes preguntas:

Podemos multiplicar la longitud por el ancho. Podemos multiplicar 2 por 3.8. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden determinar el producto de 2 y 3.8. Puedo registrar mi trabajo en forma vertical.

180

600

Puedo multiplicar 2 por 38 décimos. Puedo usar la estrategia de separar y distribuir. Muestre el trabajo en el que se usa la estrategia de separar y distribuir para hallar 2 × 3.8. El trabajo en el que se usa la estrategia de separar y distribuir muestra productos parciales de 2 × 3.8. ¿Cuáles son los productos parciales?

6 y 1.6 ¿Cuánto es 2 × 3.8? ¿Cómo lo saben?

2 × 3.8 = 2 × (3 + 0.8) = (2 × 3) + (2 × 0.8) = 6 + 1.6 = 7.6

• ¿Cuáles son los productos parciales de 34 × 26? • ¿Cuál es el producto de 34 y 26? ¿Cómo lo saben?

7.6. Lo sé porque la suma de los productos parciales es 7.6. 7.6. Lo sé porque 6 + 1.6 = 7.6. 7.6. Lo sé porque 2 × 3 = 6 y 2 × 0.8 = 1.6 y 6 + 1.6 = 7.6.

242

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían usar un modelo de área para mostrar los productos parciales. ¿Por qué usaríamos un modelo de área para registrar nuestro trabajo con la estrategia de separar y distribuir? El modelo de área nos ayuda a organizar los factores y los productos. El modelo de área muestra los productos parciales con claridad. El modelo de área nos ayuda a llevar la cuenta de los diferentes valores posicionales de los factores y los productos.

Escriba 2 × 3  _5  . 4

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían usar los productos parciales para multiplicar números mixtos. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, multiplicaremos números mixtos.

Aprender

Explorar modelos de área La clase usa un modelo de área para multiplicar un número mixto por un número entero. Muestre el modelo de área que representa 2 × 3  _5  . 4

¿Qué expresión de multiplicación representa este modelo de área?

_ 4 5

2 × 3   Forme grupos de 2 o 3 estudiantes. Pídales que hallen 2 × 3  _5  y que

4 5

muestren su razonamiento en las pizarras blancas. Permita que sus estudiantes usen cualquier método para determinar el producto.

243

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12 Cuando hayan terminado, pídales que compartan su razonamiento, destacando que hay más de una manera de determinar el producto correctamente. Espere cualquiera de las siguientes respuestas. Suma:

2 × 34 = 34 + 34 5

5 4 4 = 3+ 3+ 5 + 5 = 6+8 5 = 6+ 1 3 5 3 =7 5

Vínculo numérico:

(

3 54 3

) = (2 × 3) + (2 × 54)

2 × 3 54 = 2 × 3 + 54 4 5

= 6 + 58

= 6 + 1 35 = 7 35 Separar y distribuir:

(

2 × 3 4 = (2 × 3) + 2 × 4 5

244

=6+8 5 = 6 + 13 5 = 73 5

)

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12 Modelo de área:

2 × 34 = 6 + 5 5

= 6+ 1 3 = 73

4 5

8 5

Muestre el modelo de área de 2 × 3  _5  . 4

3 2

4 5

3 2

DUA: Representación

Considere usar un código de colores para conectar el modelo de área y la estrategia de separar y distribuir.

Una manera de hallar 2 × 3  5 es con un modelo de área. ¿El modelo de área de la derecha representa la misma expresión que el modelo de área de la izquierda? ¿Cómo lo saben? Sí. Los dos modelos de área tienen un lado rotulado con 2 y otro lado rotulado con 3  _5  . 4

Lo sé porque 3 + _5    = 3  _5  . 4

¿En qué se diferencia el modelo de área de la derecha del modelo de área de la izquierda?

4 En el modelo de área de la derecha se descompone 3  _5 en un número entero y una fracción. _4 ¿Por qué 3  5 se descompone en un número entero y una fracción? 4 Se descompone en 3 y _5   para que podamos multiplicar y obtener productos parciales. Puedo hallar 2 × 3 y 2 × 5_ 4 y sumar los productos. 4 Muestre los productos parciales en el modelo de área de 2 × 3  5_  . 4 3 5 4 _ ¿Cuánto es 2 × 3  5 ? ¿Cómo lo saben? 3 3 8 7  _  . Lo sé porque 6 + _    = 7  _ . 5

4 5

8 5

4 5

8 5

245

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12 ¿Cómo se muestra la estrategia de separar y distribuir en el modelo de área?

El modelo de área muestra la descomposición del factor 3  _5 en una unidad entera y una unidad 4

fraccionaria y, luego, la multiplicación de cada unidad por 2.

El modelo de área muestra la descomposición de 3  _5 en dos partes diferentes y, luego, la multiplicación de cada parte por 2. 4

Escriba el siguiente trabajo. Mientras lo hace, señale el modelo de área y razone en voz alta acerca de la relación entre cada paso y el modelo de área: • La longitud del rectángulo en el modelo de área se descompone en 2 partes. • El 2 se multiplica por las longitudes de los dos rectángulos más pequeños para determinar sus áreas. • Las áreas de los rectángulos más pequeños, los productos parciales, se suman para determinar el área total. Muestre los cuatro modelos de área.

4 5

8 5

3 6

4 5

8 5

4 5

8 5

¿Se puede usar alguno de estos modelos de área para representar 2 × 3  5 ? ¿Cómo lo saben? Sí. Cada modelo de área muestra 2 × 3 y 2 × _5    . 4

Sí. Las áreas de las partes son las mismas en cada modelo de área.

246

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12 Cuando dibujan un modelo de área, ¿pueden dibujarlo de cualquiera de estas formas? ¿Por qué?

DUA: Acción y expresión

4 Sí. En cada modelo, el 2 se multiplica por 3  _5  . 3 2 Muestre el modelo de área para 2  _  × 1  _  . 4

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo se puede usar un modelo de área para descomponer los números mixtos y, así, determinar el producto. Puedo descomponer 1  _3  en 1 y _3   . Puedo descomponer 2  _4  en 2 y _4    . 2

Considere mostrar una plantilla que explique cómo descomponer números mixtos. Hay estudiantes que podrían escribir el número entero de uno de los factores como un número mixto con la fracción del otro factor. Considere invitar a quienes cometan este error a usar un código de colores para los números enteros y las fracciones.

23 4

Muestre el modelo de área con los números mixtos descompuestos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Invite a la clase a dibujar el modelo de área con los números mixtos descompuestos. Pídales que completen el problema 1 en parejas.

Número entero

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga las siguientes preguntas:

2 3

Fracción

Número entero

• ¿Qué producto parcial representa este rectángulo? ¿Cómo lo saben?

• ¿Cómo pueden determinar el producto?

Fracción

• ¿Qué deben hacer antes de sumar las fracciones? • ¿Cómo pueden escribir la fracción mayor que 1 como un número mixto? 1. Usa un modelo de área para multiplicar.

2 _ × 1 _  3 4

2 3

4 3

3 4

6 12

Número entero Fracción

Número entero

Fracción

_ 3 4

_ _4 __6   3 4

2 3

2  × 1  = 2 +  +   +

__ __ __

9 16 6 = 2 +    +   +     12 12 12 31 __

= 2 +  

__ = 2 + 2     __7  

7 12

2 3

2 4 × 13

3 4

= 4

247

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12 Cuando sus estudiantes hayan terminado, muestre los modelos de área y las primeras dos líneas de un trabajo que muestre la multiplicación con la estrategia de separar y distribuir.

2 3

4 3

3 4

6 12

Número entero Fracción

Número entero

Fracción

2 _  × 1_  = ( 2 + _  ) × ( 1 + _  ) 3 4

2 3

3 4

2 3

_ _

3 3 2 2 2 ×  ) + (  ×  ) = (2 × 1) + (  × 1) + ( 3 4 4 3

Diferenciación: Desafío Desafíe a sus estudiantes a predecir y, luego, 3 __1 determinar si 2  __ 5  × 3   8  tiene el mismo valor que 3 2  __81  × 3  __5  .

El trabajo de la estrategia de separar y distribuir muestra la suma de 4 productos parciales. ¿Dónde vemos esos 4 productos parciales en el modelo de área? Son las áreas de los 4 rectángulos más pequeños. Muestre las líneas del trabajo restantes.

23 4

3 4

2 3

4 3 6 12

2 _ × 1 _  = ( 2 + _  ) × ( 1 + _  ) 3 4

3 4

2 3

= _  × 1) + ( 2 × _  ) + ( _  × _  ) ( 2 × 1) + ( 3 4

_ _ __ 2 +  +   +     = 3 4

4 3

9 12

16 12

2 3

3 4

2 3

6 12

__ __ __ = 2 +    +   +     __

6 12

31 12

= 2 +  

__ = 2 + 2     = 4  __ 

7 12

248

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12

2 3

¿Cuánto es 2     × 1    ? ¿Cómo lo saben? 4

__7  . Lo sé porque esa es la suma de los 4 productos parciales. 4  12 _3

¿Es posible multiplicar 2    por 1    sin dibujar un modelo de área? Expliquen. 4

Sí. Puedo usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar sin dibujar un modelo de área.

 4  × _3    . Muestre el modelo de área para 2  4_  × 1  _3 y el modelo de área para __ 3

5 3

23 4

11 4

¿En qué se parecen estos dos modelos de área? ¿En qué se diferencian? Los rectángulos tienen las mismas longitudes y anchos. La longitud y el ancho se escriben como números mixtos para un rectángulo y como fracciones mayores que 1 para el otro rectángulo. 11 _5 __

¿Cómo pueden hallar  3  ×    sin descomponer los números? 4

Puedo multiplicar las fracciones.

Apoyo para la comprensión del lenguaje A lo largo de la lección, se usan los términos número mixto y fracción mayor que 1. Considere crear una tabla que incluya ejemplos para apoyar a sus estudiantes a medida que oyen y usan estos términos. Rotule las partes fraccionarias y en número entero de los números mixtos y escriba comentarios para mostrar que el numerador es mayor que el denominador en las fracciones mayores que 1.

  4 . Pida a sus estudiantes que determinen el producto y escriban la respuesta como Escriba  _3  × __ un número mixto en sus pizarras blancas. 5

11 _5 __

¿Cuánto es 3    ×    ? ¿Cómo lo saben? 4

 __ 12 . Lo sé porque 5 × 11 = 55 y 3 × 4 = 12. 55

249

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12 55 __

¿Cuánto es 12    escrito como un número mixto?

4  __ 

Nota para la enseñanza

Cuando usamos un modelo de área o la estrategia de separar y distribuir para multiplicar

Cuando la clase multiplique números mixtos escribiendo los factores como fracciones mayores que 1, es posible que escriban las respuestas como fracciones mayores que 1 o como números mixtos. Las dos formas son correctas, pero una convención común es escribir la respuesta como un número mixto porque los factores se habían dado como números mixtos.

7 12

7 1  _32  y 2  _43 , determinamos que el producto es 4  __  . Cuando escribimos los números mixtos como 12

fracciones mayores que 1 y multiplicamos para determinar el producto, también determinamos

__7

que el producto es 4     . 12

¿Cuáles son algunas de las ventajas de multiplicar números mixtos escribiéndolos como fracciones mayores que 1? Solo debo hallar el producto de una expresión de multiplicación. No es necesario que use la estrategia de separar y distribuir. ¿Cuándo no multiplicarían números mixtos escribiéndolos como fracciones mayores que 1? No multiplicaría fracciones mayores que 1 si los números son grandes o difíciles de multiplicar. ¿Cuáles son las ventajas de usar productos parciales para multiplicar números mixtos? No es necesario que escriba los números mixtos como fracciones mayores que 1. Puedo llevar la cuenta de mi trabajo con un modelo de área. No es necesario que escriba una fracción mayor que 1 como un número mixto después de multiplicar.

Multiplicar dos números mixtos La clase multiplica dos números mixtos usando dos métodos diferentes. Escriba 2  _5  × 3  _8  . 3

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar el producto y a usar una ecuación que apoye su razonamiento. Escriba las estimaciones a medida que sus estudiantes las comparten y deje que las estimaciones queden a la vista mientras sus estudiantes completan el problema 2. Estimé 6 porque 2 × 3 = 6. Estimé 9 porque 3 × 3 = 9.

250

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12 ¿Qué métodos pueden usar para determinar el producto?

Puedo dibujar un modelo de área que represente ( 2 + _5   ) × ( 3 + 8_   ). 3

Puedo usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar ( 2 + _5   ) por ( 3 + _8   ). 3

Puedo escribir los números mixtos como fracciones mayores que 1 y, luego, multiplicar las fracciones. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Lea las instrucciones en voz alta. Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga las siguientes preguntas: • ¿Qué métodos eligieron? ¿Por qué? • ¿Cómo pueden escribir el número mixto como una fracción mayor que 1?

• ¿Cómo pueden estimar el producto? ¿Les parece razonable su estimación?

• ¿Son correctas sus respuestas? ¿Cómo lo saben?

• ¿Qué tipo de modelo o estrategia podría ser útil?

2. Usa dos métodos diferentes para evaluar 2  5  × 3  8  .

• ¿Qué método o estrategia sería el más eficiente para multiplicar números mixtos? ¿Por qué?

Método 1:

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige entre utilizar un modelo de área, escribir números mixtos como fracciones mayores que 1, y utilizar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar números mixtos y explicar el razonamiento de sus elecciones. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:

• ¿Qué método prefieren? ¿Por qué?

Ejemplo:

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

2  × 3   = ( 2 +  ) × ( 3 +  )

3 5

1 8

3 5

1 8

= (2 × 3) + ( _  × 3) + ( 2 × _1  ) + ( _  × 1_  ) 3 5

_ 2_ __3   9 5

72 40

3 5

= 6 +  +   +

3 10 __ __ __   +    

= 6 +  +

85 __

= 6 +  

__5

= 6 + 2    

5 = 8     40

251

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12 Método 2: Ejemplo:

_ 3 5

13 __ 25 _ __ 1 8

2  × 3  =  ×  

325 ___

__5

= 8    

Invite a sus estudiantes a compartir los dos métodos que usaron y por qué. Luego, haga las siguientes preguntas.

__5

¿Por qué parece razonable una respuesta de 8    ? 40

5 Nuestras estimaciones eran 6 y 9, y 8  __ está cerca de esas estimaciones. 40

A veces, escribir números mixtos como fracciones mayores que 1 y multiplicar esas fracciones es más eficiente que usar un modelo de área, y a veces, no lo es. En este problema, ¿por qué escribir los números mixtos como fracciones mayores que 1 y multiplicar las fracciones podría ser menos eficiente que usar un modelo de área o la estrategia de separar y distribuir? Tengo que determinar cuánto es 13 por 25 y, luego, escribir ___  40 como un número mixto. 325

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué método para multiplicar números mixtos prefieren y por qué.

252

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar números mixtos Guíe una conversación de toda la clase acerca de la multiplicación de números mixtos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Presente el modelo de área y el trabajo que muestran 2  5_  × 3  _8  . 3

1 8

2 8

3 5

9 5

3 40

( 5) ( 8) = (2 × 3) +(3 × 3) + (2 × 1)+(3 × 1 ) 5 8 5 8

2 3 × 3 1 = 2+ 3 × 3+ 1 5

=6+9+2+ 3

5 8 40 = 6 + 72 + 10 + 3 40 40 40

= 6 + 85

40 = 6+ 2 5 40 5 =8 40

¿Por qué los modelos de área pueden ser útiles cuando multiplicamos números mixtos? El modelo de área nos ayuda a llevar la cuenta de todos los productos parciales para asegurarnos de que no nos falte hallar ninguno. Con un modelo de área, podemos hacer cuatro problemas de multiplicación más pequeños y, luego, sumar los productos.

253

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12

EUREKA MATH2

¿Cómo podemos usar la estrategia de separar y distribuir cuando multiplicamos números mixtos? Podemos descomponer cada número mixto en un número entero y una parte fraccionaria. Luego, podemos multiplicar cada parte por cada parte del otro factor. ¿En qué se parece multiplicar números mixtos a multiplicar números decimales? ¿En qué se diferencia? Puedo usar la estrategia de separar y distribuir o un modelo de área para multiplicar números decimales o números mixtos. Cuando uso la estrategia de separar y distribuir para multiplicar números decimales, descompongo el número decimal según el valor posicional. Cuando uso separar y distribuir para multiplicar números mixtos, descompongo un número mixto en un número entero y una fracción. No sé cómo usar la forma vertical para registrar mi trabajo de multiplicación de números enteros, pero sí sé cómo usarla para multiplicar números decimales.

254

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12

Nombre

Fecha

2. Escribe la expresión de multiplicación que representa el modelo de área.

_2 1. Encierra en un círculo los modelos de área que se pueden usar para hallar 4 × 8 . 3

4 2 3 8

4 3

8 32

2 3

8 3

2 3

Multiplica. 1 3. 3 _ × 8 = 4

32 8

1 2

2 _2

8 16 3

8 3

2 3

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12

2 4. 5 _ ×4= 5

21 _5 3

16 3

8 3

GRUPO DE PROBLEMAS

255

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12

5. Considera la expresión de multiplicación 4 2 × 2 5 .

a. Completa los espacios en el modelo de área.

4 5

b. Completa los espacios para mostrar la suma de los productos parciales.

16 __

__4

+1+ 5 +

c. El producto de 4 2 y 2 5 es

16 5

1 2

4 10

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 12

Multiplica usando un método de tu elección. 1 __ 1 4 13 20 7. 2 _ × 5 _ = 5 4

12 _5 . 3

6. Los dos modelos de área que se muestran representan 3 3 × 6 3 . Las longitudes de los lados

del primer modelo de área están rotuladas con números mixtos. Las longitudes de los lados del segundo modelo de área están rotuladas con fracciones mayores que 1. Usa los dos modelos

_1 _2 de área para determinar 3 × 6 . 3

EUREKA MATH2

3 1 8. 6 _ × 3 _ = 2 4

24 _8 3

20 3

10 3

= 22 __9 2

2 3

6 3

1 3

6 3

6 3 2 9

= 22 _9 2

256

GRUPO DE PROBLEMAS

100

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 13

Resolver problemas matemáticos sobre áreas de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

Nombre

Fecha

La figura que se muestra se compone de 5 cuadrados con longitudes de los lados de 2_1 pulgadas. 2 ¿Cuál es el área de la figura?

2_1 × 2_1 = _5 × _5 2

25 = __ 4

= 6_1 4

• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados en números mixtos para hallar el área de figuras compuestas?

= (5 × 6) + (5 × _1) 4

= 30 + _5 4

= 30 + 1_1 = 31_1 El área de la figura es 31 _1 pulgadas cuadradas. 4

La clase determina el área de tetraminós, figuras que se componen de cuatro cuadrados. Aplican su comprensión del área de los tetraminós para hallar el área de regiones de figuras que se componen de varios tetraminós. Usan la rutina Cinco preguntas estructuradas a fin de comparar diferentes métodos para determinar el área de figuras compuestas y comentan métodos para hallar el área de una figura compuesta con longitudes de los lados en números mixtos. En esta lección se formaliza el término figura compuesta.

Pregunta clave

5 × 6_1 = 5 × (6 + _1) 4

Vistazo a la lección

Criterio de logro académico

5.Mód5.CLA3 Hallan el área de rectángulos y figuras compuestas de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias o en números mixtos.

(5.NF.B.4.b)

113

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Considere retirar las páginas extraíbles de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 35 min • Área de un tetraminó • Figuras compuestas formadas por tetraminós

Estudiantes • Práctica veloz de Redondear al décimo más cercano (en el libro para estudiantes)

• Comparar métodos • Grupo de problemas

Concluir 10 min

259

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

Fluidez

Práctica veloz: Redondear al décimo más cercano Materiales: E) Práctica veloz de Redondear al décimo más cercano EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear al décimo más cercano

La clase redondea un número al décimo más cercano para adquirir fluidez con el redondeo de números decimales del módulo 4.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Redondea al décimo más cercano. 1. 2.

0.38 ≈

6.217 ≈

0.4 6.2

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea. No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.

Nota para la enseñanza

En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.

260

Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, sus estudiantes podrían elegir escribir 1 en lugar de 1.0 cuando redondean 0.957 en la Práctica veloz A. Cualquiera de las representaciones es correcta.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13 Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica Veloz B. Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales. Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico. Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

Nota para la enseñanza Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A: • ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 5? ¿Y en los problemas 12 a 22? • ¿Cómo se compara la estrategia que usaron para redondear en el problema 5 con la estrategia que usaron para redondear en el problema 6? ¿Cambiaron su estrategia a medida que aumentaba el número de valores posicionales en la Práctica veloz?

Pida a sus estudiantes que vayan a la Práctica veloz B. En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Nota para la enseñanza Cuente hacia delante de 5 centésimos en 5 centésimos en forma decimal del 0 al 1 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de 5 centésimos en 5 centésimos en forma decimal del 1 al 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.

Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

261

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

Presentar

La clase compara figuras compuestas. Muestre las cinco figuras sombreadas.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan y se preguntan. Observo que las cinco figuras sombreadas tienen la misma forma. Observo que cada una de las figuras sombreadas tiene un agujero en el medio. Observo que las figuras sombreadas están divididas en diferentes figuras. Sin embargo, las figuras que están dentro de cada figura son iguales. Observo que la parte sombreada de cada figura alrededor del agujero está formada por ocho figuras. Me pregunto si las diferentes figuras que forman la figura sombreada tienen la misma área.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Me pregunto si el área de cada figura sombreada es la misma. Cada una de estas figuras sombreadas está formada por copias de una figura llamada tetraminó. Un tetraminó es una figura geométrica que se compone de cuatro cuadrados. Muestre los diferentes tipos de tetraminós.

Para apoyar la comprensión de sus estudiantes del significado de la palabra tetraminó, considere mostrar una imagen de un dominó y preguntarles qué saben acerca de los dominós. Resalte que un dominó es una figura que se compone de dos cuadrados, mientras que un tetraminó es una figura que se compone de cuatro cuadrados. El prefijo tetra- es de origen griego e indica 4. Considere mostrar a sus estudiantes una imagen de un tetraedro, un sólido cuyos cuatro lados son todos triángulos equiláteros.

262

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13 Estos son los cinco tipos de tetraminós. Cada tetraminó es una figura compuesta porque se compone de, o está formada por, otras figuras. Estos tetraminós se componen de cuadrados. ¿En qué se parecen los tetraminós? ¿En qué se diferencian? Cada uno está formado por cuatro cuadrados, pero los cuatro cuadrados están organizados de diferentes maneras. Todos tienen la misma área. Tienen formas diferentes. Tienen perímetros diferentes. Muestre las figuras sombreadas compuestas de tetraminós y los diferentes tipos de tetraminós.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las conexiones que ven entre los tetraminós y las figuras sombreadas. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a determinar el área de figuras compuestas con longitudes de los lados fraccionarias y en números mixtos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere invitar a sus estudiantes a señalar cada una de las figuras individuales que se componen para formar el tetraminó así como las figuras que se componen de tetraminós. Considere agregar el rótulo figuras compuestas a las figuras.

263

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

Aprender

Área de un tetraminó La clase determina el área de un tetraminó. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea las instrucciones en voz alta. Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga las siguientes preguntas: • ¿Qué método pueden usar para determinar el área de todo el tetraminó? • ¿Cómo pueden determinar el área de un cuadrado? • Si saben cuál es el área de un cuadrado, ¿cómo pueden determinar el área del tetraminó?

DUA: Representación Considere proporcionar a sus estudiantes recortes de tetraminós que puedan usar a lo largo de la lección para construir figuras compuestas. Hay una plantilla disponible en la lección 11 del módulo 6 de 3.er grado.

1. Cada cuadrado del tetraminó que se muestra tiene una longitud del lado de 1  2 pulgadas. ¿Cuál es el área del tetraminó?

1  × 1   = ( 1 +  ) × ( 1 +  )

1 2

Diferenciación: Apoyo

1 2

_ _

1 1 1 1 = (1 × 1) + (  × 1) + ( 1 ×  )+ (  ×  ) 2 2 2 2

_ _1 _1 1 2

= 1 +  +  +  

Considere pedir a quienes necesiten apoyo adicional que completen el problema 1 con una longitud del lado que no sea un número 1 3 mixto, como __   2  o __   4 . Además, sugiera que sus estudiantes rotulen la longitud de al menos un lado de la figura y escriban el área de cada ficha en la ficha.

1 4

= 2  

4 × 2 _ = 4 × ( 2 + _  ) 1 4

1 4

= (4 × 2) + ( 4 × _  ) 1 4

=8+1 =9 El área del tetraminó es 9 pulgadas cuadradas.

264

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13 Cuando la clase haya terminado, haga la siguiente pregunta.

Para determinar el área de cada cuadrado, tuvieron que multiplicar 1    por 1    . ¿Qué método 2

usaron para multiplicar los números mixtos? ¿Por qué? Dibujé un modelo de área porque es la manera más sencilla de registrar mi trabajo.

Usé la estrategia de separar y distribuir para multiplicar 1 + _2   por 1 + _2   porque no quería dibujar 1

un modelo de área.

Reescribí 1  _2 como una fracción mayor que 1 y multipliqué _2    por _2   porque el numerador y el 1

denominador de las fracciones son pequeños y sencillos para trabajar. Invite a sus estudiantes a compartir los métodos que usaron para determinar el área del tetraminó. Destaque que hay muchos métodos que se pueden usar para determinar el área de una figura compuesta. • Sus estudiantes pueden haber determinado el área de 1 cuadrado y multiplicado por 4. • Sus estudiantes pueden haber determinado el área de 1 cuadrado y sumado las áreas de 4 cuadrados. • Sus estudiantes pueden haber determinado el área de la fila inferior y el área de la fila superior, y haberlas sumado. Muestre los cinco tipos diferentes de tetraminós. Todos estos tetraminós se componen de cuadrados que tienen el mismo tamaño. Si el área del último tetraminó de la imagen es 9 pulgadas cuadradas, ¿cuáles son las áreas de los otros tetraminós que se muestran? ¿Cómo lo saben? El área de cada tetraminó es 9 pulgadas cuadradas. Cada tetraminó se compone de cuatro cuadrados que tienen el mismo tamaño, por lo que el área de cada tetraminó tiene que ser la misma.

265

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

Figuras compuestas formadas por tetraminós La clase determina el área sombreada y no sombreada total de una figura. Muestre la figura del problema 2. Pregunte a sus estudiantes qué observan acerca de la figura. Hay 3 tetraminós en la figura. La figura forma un rectángulo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo determinarían el área de este rectángulo si supieran las longitudes de los lados de los cuadrados que componen los tetraminós. Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema 2. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga las siguientes preguntas: • ¿Qué método pueden usar para determinar el área del rectángulo? • ¿Cómo pueden descomponer el rectángulo, o cada tetraminó, en cuadrados? • ¿Cómo pueden determinar el área de un cuadrado? 2. El rectángulo que se muestra se compone de 3 tetraminós. Cada tetraminó se compone de

cuadrados con longitudes de los lados de 2    centímetros. ¿Cuál es el área del rectángulo? 4 Ejemplo:

4 × 2 _ = 4 × ( 2 + _  ) 1 4

1 4

9 cm

= (4 × 2) + ( 4 ×  )

1 4

=8+1

6 3 cm 4

266

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

3 × 2  = 3 × ( 2 +  )

1 4

= (3 × 2) + ( 3 × _  ) 1 4

_ 3 4

= 6 +  

_ = 6   3 4

6 +  ) 9 × 6  = 9 × ( 3 4

3 4

= 9 × _  ) (9 × 6) + ( 27 __

3 4

= 54 +  

_ 3 4

= 54 + 6  

_ = 60   _3

3 4

El área del rectángulo es 6 0  4 centímetros cuadrados. Cuando la mayor parte de sus estudiantes haya terminado, invíteles a compartir los métodos que usaron para determinar el área del rectángulo. Destaque que hay muchos métodos diferentes que se pueden usar para determinar el área, incluidos los siguientes: • Determinar el área de un cuadrado y, luego, multiplicar esa área por el número de cuadrados que hay en el rectángulo • Determinar el área de un cuadrado, multiplicar esa área por 4 para determinar el área de 1 tetraminó y, luego, multiplicar esa área por el número de tetraminós • Usar la longitud de 1 cuadrado para determinar la longitud y el ancho del rectángulo y, luego, multiplicar la longitud y el ancho del rectángulo

267

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13 Muestre el cuadrado grande con una región sombreada y otras regiones no sombreadas del problema 3. Este es un cuadrado grande que tiene una región sombreada y otras regiones no sombreadas. La región del cuadrado que está sombreada se compone de tetraminós. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los métodos que pueden usar para determinar el área total de la región sombreada que está dentro del cuadrado grande y el área total de las regiones no sombreadas que están dentro del cuadrado grande. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y lea las instrucciones en voz alta. Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema. Anime a sus estudiantes a dibujar los cuadrados pequeños de los tetraminós según sea necesario. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga las siguientes preguntas: • ¿Cuántos cuadrados pequeños forman el tetraminó?

EUREKA MATH2

Apoyo para la comprensión del lenguaje Para apoyar la comprensión de sus estudiantes del significado de la palabra región, considere señalar las regiones de color rojo, verde y azul en uno de los rectángulos del problema 2. Proporcione sinónimos que sus estudiantes podrían conocer, como sección, parte o trozo, para apoyar la comprensión.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

• ¿Cómo pueden determinar el área de cada uno de los cuadrados pequeños de un tetraminó? • ¿Cómo pueden determinar el área de cada tetraminó? • Si saben cuál es el área de un tetraminó, ¿cómo pueden determinar el área de la región sombreada que está dentro del cuadrado grande?

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando decide cómo determinar el área de la región sombreada usando lo que sabe acerca del área de rectángulos y tetraminós.

• ¿Qué necesitan saber para determinar el área del cuadrado no sombreado que está en el medio del cuadrado grande?

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

• ¿Qué métodos pueden usar para determinar el área total de las regiones no sombreadas que están dentro del cuadrado grande?

• ¿Cómo se relacionan el área de cada tetraminó y el área de la figura sombreada? ¿Cómo puede ayudarles esa relación a determinar el área de la figura sombreada? • ¿Qué otra manera de descomponer la figura podría ayudarles a determinar el área de la región sombreada? • ¿En qué se parece el problema a hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias como hicieron antes?

268

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13 3. Usa el cuadrado grande que se muestra para completar las partes (a) a (d).

10 2 in

a. Cada tetraminó de la región sombreada tiene la siguiente forma. Cada cuadrado pequeño del tetraminó tiene una

longitud del lado de 1  2 pulgadas. El área de este tetraminó se determinó en el problema 1.

10 2 in

¿Cuál es el área de este tetraminó? El área de este tetraminó es

9 pulgadas cuadradas. b. ¿Cuál es el área total de la región sombreada que está dentro del cuadrado grande?

8 × 9 = 72 El área total de la región sombreada que está dentro del cuadrado grande es 72 pulgadas cuadradas. c. ¿Cuál es el área del cuadrado no sombreado que está en el medio del cuadrado grande?

9 × 2  = 9 × ( 2 +  )

1 4

= (9 × 2) + ( 9 ×  )

1 4

_ 9 4

= 18 +  

Diferenciación: Apoyo Considere proporcionar la figura para el problema 3 en una cuadrícula o pedir a sus estudiantes que usen los tetraminós para descomponer el cuadrado grande en cuadrados pequeños.

_ 1 4

= 18 + 2  

_ 1 4

= 20   El área del cuadrado no sombreado que está en el medio del cuadrado grande es

20  4  pulgadas cuadradas.

269

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13 d. ¿Cuál es el área total de las regiones no sombreadas que están dentro del cuadrado grande?

7 × 1  = 7 × ( 1 +  )

1 2

= (7 × 1) + ( 7 × _  ) 1 2

_ 7 2

= 7 +  

_ = 7 + 3   _ = 10  

1 2

1 0 _ × 10 _  = ( 10 + _  ) × ( 10 + _  ) 1 2

1 2

= (10 × 10) + ( _  × 10)+ ( 10 × _  )+ ( _  × _  ) 1 2

_ = 100 + 5 + 5 +  

1 2

1 4

_ 1 4

= 110  

1 10 _ − 72 = 38 _  1 4

1 4

El área total de las regiones no sombreadas que están dentro del cuadrado grande es

3 8  _41 pulgadas cuadradas.

270

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13 Cuando la clase haya terminado, haga las siguientes preguntas.

Diferenciación: Desafío

¿Cómo determinaron el área total de la región sombreada que está dentro del cuadrado grande? Sé que cada tetraminó tiene un área de 9 pulgadas cuadradas. Hay 8 tetraminós, así que hallé 8 × 9 para obtener 72 pulgadas cuadradas.

Invite a quienes necesiten un desafío adicional a determinar qué combinaciones de tetraminós pueden usar para cubrir con fichas un rectángulo de 4 unidades por 10 unidades. Anime a sus estudiantes a registrar su razonamiento en papel cuadriculado.

¿Cómo determinaron el área del cuadrado no sombreado que está en el medio del cuadrado grande? Determiné que el cuadrado no sombreado esté formado por 9 cuadrados pequeños que tienen el mismo tamaño que los cuadrados pequeños que forman los tetraminós. Cada uno de los

× 2  _4  cuadrados pequeños del tetraminó tiene un área de 2  4_ pulgadas cuadradas, así que hallé 9 1

para determinar que el área del cuadrado no sombreado es 2 0  _4 pulgadas cuadradas.

Determiné que cada lado del cuadrado no sombreado tiene una longitud de 1  _2  + 1  _2  + 1  _2 , 1

 _2 por 4  _2 para determinar que el área del cuadrado o 4  _2 , pulgadas, por lo que multipliqué 4 1

no sombreado es 2 0  _4 pulgadas cuadradas.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar por qué hay más de una manera de determinar el área cuando se trabaja con figuras compuestas. Se puede usar un método diferente para determinar el área según la información dada. Cada persona tiene una mirada distinta acerca de las figuras y ve que están compuestas de maneras diferentes.

271

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

Comparar métodos La clase compara métodos para determinar el área total de las regiones no sombreadas que están dentro de un cuadrado grande. Presente los dos ejemplos de trabajos que muestran maneras de calcular el área de las regiones no sombreadas que están dentro del cuadrado grande del problema 3. Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar los ejemplos.

Método de Toby

Método de Lacy

7 unidades

9 + 8 = 17 cuadrados no sombreados

(

17 × 2 1 = 17 × 2 + 1 4

)

= 17 × 2 + 17 × 1

= 34 + 17 4

= 34 + 4 1 = 38 1

El área no sombreada

es 38 1 pulgadas cuadradas. 4

7 ×1 1 = 7 × 1 + 1 2

(

)

2 1 =7+3 2 = 10 1 2 1 1 10 × 10 = 10 + 1 × 10 + 1 2 2 2 2 1 = 10 × 10 + × 10 + 10 × 1 + 1 × 1 2 2 2 2 = 100 + 5 + 5 + 1 4 Área total = 110 1 4 de la figura

(

) (

)

110 1 – 72 = 38 1 4

El área no sombreada es 38 1 pulgadas cuadradas. 4

272

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

Observar y preguntarse Lacy y Toby usaron métodos diferentes para determinar el área de las regiones no sombreadas de la figura. ¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? Observo que Toby usó la resta y Lacy no. Observo que Lacy y Toby obtuvieron la misma respuesta. Observo que Lacy y Toby usaron la estrategia de separar y distribuir para multiplicar un número entero por un número mixto.

Organizar Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta. ¿Qué pasos siguieron Lacy y Toby? ¿Cómo lo saben? Lacy descompuso el cuadrado grande en cuadrados pequeños y determinó el número de cuadrados pequeños que no estaban sombreados. Luego, multiplicó el número de cuadrados pequeños por el área de cada cuadrado pequeño. Toby determinó el área total del cuadrado grande y restó el área de la región sombreada. Guíe la conversación para enfocarse en sumar o restar para hallar el área de las regiones no sombreadas e incentive el razonamiento que haga conexiones entre distintos métodos para determinar el área.

Mostrar Concentrémonos en sumar o restar para determinar el área de las regiones no sombreadas. ¿Dónde ven la suma o la resta en los dos métodos? Lacy sumó para determinar el número total de cuadrados pequeños que no están sombreados. Toby restó el área de la región sombreada del área del cuadrado grande para determinar el área total de las regiones no sombreadas.

273

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

EUREKA MATH2

Sintetizar ¿Cómo nos ayudan los trabajos de Lacy y Toby a ver las opciones que podemos usar para hallar el área de parte de una figura? Expliquen su razonamiento. Puedo elegir sumar o restar para hallar el área de parte de una figura según la manera en que vea la figura. A veces, me puede resultar más sencillo ver cómo juntar las partes, y a veces me puede resultar más sencillo ver el entero y quitar una parte. Puedo mirar las longitudes de los lados y otros números del problema y decidir si debo sumar o restar. Sumar las partes me permite trabajar con números más pequeños que la resta, pero, a veces, me puede resultar más sencillo trabajar con el área de toda la figura y restar el área de la parte que no necesito. Puedo decidir si debo sumar o restar según lo que ya sepa acerca de las longitudes de los lados o las áreas de las regiones de la figura. Si sé cuáles son las longitudes de los lados del rectángulo grande, podría hallar el área de la figura entera y restar. Si sé cuáles son las áreas de algunas de las regiones más pequeñas de la figura, podría sumar sus áreas.

Comprender ¿Cómo les ayuda hacer un plan cuando deben determinar el área de una figura compuesta? Determinar el área de una figura compuesta requiere varios pasos. Antes de comenzar, es útil planificar qué método vamos a usar. Si miramos una figura compuesta de varias maneras, veremos diferentes maneras de hallar el área y, luego, podremos elegir la manera que nos resulte más apropiada.

274

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas matemáticos sobre áreas de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos Guie una conversación de toda la clase acerca del área de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Trabajar con rectángulos con longitudes de los lados en números mixtos cambia los métodos que se pueden usar para determinar el área de figuras compuestas? Expliquen su razonamiento. No. Trabajar con rectángulos con longitudes de los lados en números mixtos no cambia los métodos que puedo usar. Cuando las longitudes de los lados están en números enteros o en números mixtos, puedo descomponer una figura en rectángulos más pequeños y, luego, hallar la suma de las áreas. O puedo formar un rectángulo más grande alrededor de la figura, hallar el área del rectángulo más grande, y restar el área de la región que no quiero. ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre hallar el área de rectángulos con longitudes de los lados en números mixtos para hallar el área de figuras compuestas? Sé cómo hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados en números mixtos. Puedo componer la figura en un rectángulo grande o descomponer la figura compuesta en rectángulos. Puedo usar un modelo de área para hallar el área del rectángulo entero con longitudes de los lados en números mixtos si compongo un rectángulo grande, o de cada uno de los rectángulos pequeños si descompongo la figura. Puedo usar la estrategia de separar y distribuir para hallar el área de los rectángulos con longitudes de los lados en números mixtos y, luego, sumar las áreas si las descompuse o restarlas si las compuse.

275

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

5 ▸ M5 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear al décimo más cercano

Número de respuestas correctas:

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 104

276

0.29 ≈

0.3

23.

0.31 ≈

0.5

24.

0.3

25.

0.6

26.

0.5

27.

0.5

28.

0.8

29.

0.9

30.

0.4

31.

0.6

32.

1.0

33.

1.4

34.

1.4

35.

2.7

36.

2.7

37.

6.2

38.

6.2

39.

3.7

40.

3.7

41.

4.9

42.

5.0

43.

5.0

44.

0.49 ≈ 0.61 ≈ 0.54 ≈

0.548 ≈ 0.762 ≈ 0.862 ≈ 0.357 ≈ 0.557 ≈ 0.957 ≈ 1.42 ≈ 1.44 ≈ 2.68 ≈ 2.66 ≈ 6.16 ≈

6.162 ≈ 3.728 ≈ 3.745 ≈ 4.936 ≈ 4.991 ≈ 4.955 ≈

Número de respuestas correctas: Progreso:

Redondea al décimo más cercano.

Redondea al décimo más cercano. 1.

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear al décimo más cercano

1.381 ≈

41.318 ≈

1.4

41.3

53.790 ≈

3.7

53.8

67.408 ≈

7.0

67.4

79.070 ≈

9.0

79.1

50.055 ≈

5.5

50.1

10.

0.27 ≈

60.0

11.

0.3

12.

3.709 ≈ 7.048 ≈ 9.007 ≈ 5.505 ≈

60.016 ≈ 0.72 ≈

0.7

13.

170.525 ≈

70.6

14.

170.5

15.

280.998 ≈

81.0

16.

281.0

17.

395.974 ≈

95.9

18.

396.0

19.

450.0

20.

599.9

21.

1,000.0

22.

70.552 ≈ 80.988 ≈ 95.947 ≈

449.950 ≈ 599.905 ≈ 999.959 ≈

106

0.19 ≈

0.2

23.

0.21 ≈

0.4

24.

0.2

25.

0.5

26.

0.4

27.

0.4

28.

0.7

29.

0.8

30.

0.3

31.

0.5

32.

1.0

33.

1.3

34.

1.3

35.

2.6

36.

2.6

37.

5.2

38.

5.2

39.

2.7

40.

2.7

41.

3.9

42.

4.0

43.

4.0

44.

0.39 ≈ 0.51 ≈ 0.44 ≈

0.448 ≈ 0.662 ≈ 0.762 ≈ 0.257 ≈ 0.457 ≈ 0.957 ≈ 1.32 ≈ 1.34 ≈ 2.58 ≈ 2.56 ≈ 5.16 ≈

5.162 ≈ 2.728 ≈ 2.745 ≈ 3.936 ≈ 3.991 ≈ 3.955 ≈

1.281 ≈

1.3

31.218 ≈

31.2

42.790 ≈

42.8

56.408 ≈

56.4

68.070 ≈

68.1

40.055 ≈

40.1

0.17 ≈

0.2

2.709 ≈ 6.048 ≈ 8.007 ≈ 4.505 ≈

50.016 ≈ 0.71 ≈

60.552 ≈

2.7

6.0

8.0

4.5

50.0

0.7 60.6

160.525 ≈

160.5

270.998 ≈

271.0

295.974 ≈

296.0

70.988 ≈ 95.947 ≈

349.950 ≈ 499.905 ≈ 999.959 ≈

71.0

95.9

350.0 499.9 1,000.0 © Great Minds PBC

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

Nombre

Fecha

de cuadrados con longitudes de los lados de 1_1 pulgadas. ¿Cuál es el área del rectángulo?

2. El rectángulo que se muestra se compone de 3 tetraminós. Cada tetraminó se compone 2

1. Un tetraminó es una figura que se compone de 4 cuadrados.

a. Dibuja líneas en cada figura para mostrar los 4 cuadrados que componen el tetraminó.

b. Los cuadrados que componen cada tetraminó tienen una longitud del lado de 2_1 centímetros. 1 centímetros cuadrados. El área de cada cuadrado es 5__

¿Cuál es el área de cada cuadrado? 16

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 13

El área es 27 pulgadas cuadradas.

de 4 cuadrados pequeños con longitudes de los lados de 2_1 centímetros. ¿Cuál es el área total

3. El cuadrado grande contiene 4 tetraminós sombreados. Cada tetraminó se compone 2

de las regiones no sombreadas que están dentro del cuadrado grande?

El área de un tetraminó es 20_1 centímetros cuadrados.

c. ¿Cuál es el área de un tetraminó? 4

El área total de las regiones no sombreadas es 56_1 centímetros cuadrados. 4

111

112

GRUPO DE PROBLEMAS

277

LECCIÓN 14

Resolver problemas del mundo real sobre áreas de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

Nombre

Fecha

¿Cuántos pies cuadrados de baldosas se necesitan para cubrir el piso que se muestra?

4 ft

La clase resuelve una variedad de problemas relacionados con el área de una casa y un huerto. A lo largo de la lección, sus estudiantes multiplican números mixtos y aplican distintos métodos para determinar el área de figuras compuestas. Después de trabajar en parejas para completar cada problema, comparten su trabajo y comparan métodos.

Preguntas clave

2 3 ft

• ¿Cómo eligen un método para determinar el área de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos en situaciones del mundo real?

3 4 ft

4 3 ft

• ¿Cómo pueden mantener la organización en su trabajo cuando determinan el área de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos?

2 ft 1

7 4 ft Ejemplo:

4 _3 × 4 = (4 + _3) × 4 1

Vistazo a la lección

Criterios de logro académico

3 _4 × 2 = (3 + _4) × 2

1 = (4 × 4) + (3_ × 4)

5.Mód5.CLA3 Hallan el área de rectángulos y figuras compuestas

= (3 × 2) + (_4 × 2) 1

= 16 + _3

de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias o en números mixtos. (5.NF.B.4.b)

= 6 + _4

= 16 + 1 _3

= 6 _4

= 17 _3

5.Mód5.CLA5 Resuelven problemas del mundo real relacionados con

la multiplicación de números mixtos. (5.NF.B.6) 17 _3 + 6 _4 = 17 __ + 6 __ 12 12 1

= 23 __ 12 10

23 __ pies cuadrados 12 10

125

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• sobres (12)

Retire las hojas extraíbles de Tarjetas para redondear, Juego 1, del libro para estudiantes y recórtelas. Coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos para que haya 1 por pareja de estudiantes.

Aprender 35 min • El huerto • Compartir, comparar y conectar • La casa • Grupo de problemas

• Tarjetas para redondear, Juego 1 (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

Estudiantes • sobre con Tarjetas para redondear (1 por pareja de estudiantes)

Concluir 10 min

279

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

Fluidez

Dar vuelta a las tarjetas: Redondear Materiales: E) Tarjetas para redondear, Juego 1

La clase redondea un número a la unidad o al décimo más cercano para adquirir fluidez con el redondeo de números decimales del módulo 4. Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un sobre de tarjetas a cada grupo de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase. • Coloquen todas las tarjetas en una pila, bocabajo. • Túrnense para dar vuelta a una tarjeta. Cada integrante dirá el número en voz alta. • Estudiante A: Dice el número redondeado a la unidad más cercana. Estudiante B: Dice el número redondeado al décimo más cercano.

0.53 Estudiantes A y B: “0.53”

Nota para la enseñanza En esta actividad, sus estudiantes deben enfocarse en la precisión y es posible que no se usen todas las tarjetas en diez minutos. Considere guardar los sobres con las Tarjetas para redondear y brindar varias oportunidades para que la clase realice esta actividad en el futuro.

Estudiante A: “0.53 redondeado a la unidad más cercana es 1”. Estudiante B: “0.53 redondeado al décimo más cercano es 0.5”.

• Continúen hasta que se hayan usado todas las tarjetas. Recorra el salón de clases y brinde apoyo durante la actividad según sea necesario.

Presentar

La clase examina el plano de planta de una casa. Reproduzca la parte 1 del video Plano de planta. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a sus estudiantes que tomen nota de los detalles. Conversen brevemente acerca del video. Guíe la conversación hacia el huerto. Muestre el plano de la casa. Diga a la clase que es el mismo diagrama que vieron en lecciones anteriores.

280

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

20 ft

¿Qué observan acerca del huerto? ¿Qué se preguntan? Observo que el huerto tiene forma de L.

12 1 ft 2

Observo que el huerto no tiene las dimensiones rotuladas. Me pregunto por qué el huerto tiene forma de L.

Isla

Me pregunto qué tan grande es el huerto. Me pregunto qué se plantará en el huerto.

Estacionamiento

24 ft Huerto

Sala de estar y cocina

Calzada

8 1 ft 2

Cuarto de baño

6 1 ft 2

3 Dormitorio 11 4 ft

En la lección anterior, trabajamos con las áreas de tetraminós y las áreas de figuras compuestas 16 1 ft 12 ft de tetraminós. Dado que 2 los tetraminós se componen de cuadrados, podemos determinar el área de cualquier tetraminó determinando el área de uno de los cuadrados y multiplicando por 4. Pero no es tan fácil descomponer todas las figuras compuestas en cuadrados. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre las estrategias que podrían usar para hallar el área del huerto. Pida a sus estudiantes que dibujen un diagrama para representar su razonamiento.

A B

Restar esta área

Podríamos dibujar una línea vertical para dividir el huerto en dos rectángulos y determinar el área de cada rectángulo. Luego, podríamos sumar las dos áreas.

281

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14 Podríamos dibujar una línea horizontal para dividir el huerto en dos rectángulos y determinar el área de cada rectángulo. Luego, podríamos sumar las dos áreas. Podríamos multiplicar las longitudes de los lados largos del huerto para obtener el área de un rectángulo que incluya el huerto y, luego, restar el área de la región que no es parte del huerto. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a determinar el área en situaciones del mundo real.

Aprender

El huerto La clase determina el área del huerto y el costo de cubrirla con compost. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pida que trabajen en parejas para resolver el problema usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe. Anime a sus estudiantes a seleccionar los métodos y materiales por su cuenta. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 1. El dibujo representa el huerto que hay detrás de la casa. La dueña de la casa planea cubrir el huerto con una capa de compost. Si el compost cuesta $2 por pie cuadrado, ¿cuánto costará cubrir el huerto con compost?

Diferenciación: Apoyo Considere brindar a quienes necesitan apoyo adicional un dibujo del huerto dividido en dos huertos rectangulares separados que tengan las mismas dimensiones que el huerto de la imagen del problema 1.

8 2 ft 1

Huerto

5 ft 6 ft

9 2 ft 1

3 2 ft

282

3 2 ft

9 2 ft

5 ft

3 2 ft

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

(

9 1 × 3 2 = (9 + 2 ×(3 + 2 2

= (9 × 3) +(9 × 1 + (1 × 3 + (1 × 1 (

(

= 27 + 9 + 3 + 1 2

= 27 + 6 1 4

= (5 × 3) + (5 × 1 2

= 15 + 2 1 2 1 = 17 2

(

5 × 3 1 = 5 × (3 + 1

(

= 33 1 4

1 1 3 El área total del huerto es 33 + 17 , o 50 , pies cuadrados. 4 2 4 4

= (2 × 50) + (2 × 3 4

(

2 × 50 3 = 2 × (50 + 3

= 100 + 1 2 4 2 = 101 4 El costo total del compost es $101.50.

283

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14 Recorra el salón de clases y observe los métodos de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajos en los que se usen una variedad de métodos para multiplicar números mixtos y para determinar el área del huerto. El siguiente ejemplo de trabajo demuestra distintos métodos para determinar el área del huerto. Descomponer en rectángulos más pequeños para sumar

Componer un rectángulo más grande y restar

1 2

3 2 ft

5 ft

Nota para la enseñanza

1 9 2 ft

6 ft

1 3 ft 2 1

El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.

5 ft

(

) (

)

9 2 × 32 = 9 + 2 x 3 + 2 1

)

(

)

) (

)

= 72 + 4 + 2 + 4

= 76 + 4 + 4

18 6 1 = 27 + 4 + 4 + 4 25 = 27 + 4 1 = 27 + 6 4 1 = 33 4

(

= 9 × 8 + 2 x 8 + 9 × 2 + 2 ×2

= 27 + 2 + 2 + 4

1 1 5×32 =5× 3 + 2 5 = 15 + 2 1 = 15 + 2 2 1 = 17 2 1 1 El área total del huerto es 33 4 + 17 2 , o 3 50 , pies cuadrados. 4 3 3 504 x 2 = 50 + 4 x 2 6 = 100 + 4 2 = 101 4

(

9 2 ×82 = 9 + 2 x 8 + 2

=9×3+9 x 2+ 2 x3+2 x 2 9

Considere brindar retroalimentaciones orientadas al dominio que enfaticen la estrategia elegida por cada estudiante. Haga un reconocimiento a sus estudiantes por elegir estrategias eficientes.

8 2 ft

9 ft

DUA: Participación

= 76 + 4

= 76 + 4 4 3

= 804

5 × 6 = 30 3

8 0 4 - 30 = 5 0 4

Si no produjeron ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de sus estudiantes para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.

El área total del huerto es 5 0 3 pies cuadrados. 4

(

)

2 × 50 4 = 2 × 50 + 4

= 2 × 50 + 2 × 4 6

= 1 00 + 4

= 1 00 + 1 4 2 = 1 01 4

El costo total del compost es $1 01 .5 0.

El costo total del compost es $101.50 $101.50..

284

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

Compartir, comparar y conectar La clase compara métodos para hallar el área de la figura compuesta del problema 1. Pida a dos o tres parejas que compartan sus soluciones. A medida que cada pareja comparte su trabajo, hágales preguntas para que expliquen su razonamiento y ofrezcan aclaraciones sobre la estrategia que usaron. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y las diferentes estrategias para hallar la solución. Anímeles a que hagan sus propias preguntas. Descomponer en rectángulos más pequeños para sumar (Método de Kayla y Adesh) Dígannos cómo resolvieron el problema.

Descompusimos el huerto en dos rectángulos. Hallamos el área de cada rectángulo y, luego, sumamos las áreas. Usamos el área total para hallar el costo del compost.

1 2

3 ft

Dibujamos una línea vertical para descomponer los rectángulos en un rectángulo izquierdo y un rectángulo derecho.

5 ft

9 ft

¿Cómo descompusieron los rectángulos? 1

(

) (

Después de dibujar una línea vertical para descomponer el huerto en dos rectángulos, vimos que el rectángulo a la

= 33 4

Multiplicaron el número de pies cuadrados que hay en el huerto por el costo de cada pie cuadrado de compost.

= 27 + 4 + 4 + 4

¿Qué método usaron para multiplicar números mixtos? ¿Por qué?

Resto de la clase, ¿cómo determinaron Kayla y Adesh el costo del compost?

)

= 27 + 2 + 2 + 4 = 27 + 4

Usamos la estrategia de separar y distribuir porque los números de los números mixtos son grandes.

=9×3+9 x 2+ 2 x3+2 x 2

1  _  pies. derecha tiene una longitud de 5 pies y un ancho de 3 2

9 2 × 32 = 9 + 2 x 3 + 2 9

¿Por qué multiplicaron 5 por 3     ?

3 2 ft

= 27 + 6 4 1

(

)

5×32 =5× 3 + 2 5

= 15 + 2

= 15 + 2 2 1 = 17 2

El área total del huerto es 33 4 + 17 2 , o 50 3 , pies cuadrados. 4 3 3 504 x 2 = 50 + 4 x 2 6 = 100 + 4 2 = 101 4

(

)

El costo total del compost es $101.50 $101.50.. © Great Minds PBC

285

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14 ¿Cómo les ayudó la planificación a resolver este problema? Cuando vimos el diagrama, supimos que queríamos descomponer el huerto en dos rectángulos. Una vez que tuvimos una estrategia, pudimos hacer los cálculos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de Kayla y Adesh. Componer un rectángulo más grande y restar (Método de Sana y Luis) ¿Cómo resolvieron el problema? Compusimos un rectángulo alrededor del huerto. Luego, restamos el área del rectángulo que no es parte del huerto. Usamos el área del huerto para hallar el costo del compost.

8 2 ft 1

9 2 ft

6 ft

¿Por qué eligieron ese método? Observamos que los lados del rectángulo que no es parte del huerto tienen longitudes en números enteros, así que pensamos que sería más fácil trabajar con esos números.

5 ft 1

La longitud y el ancho del rectángulo que no es parte del huerto son 5 pies y 6 pies. ¿Cómo les ayudó la planificación a resolver este problema?

Resto de la clase, ¿en qué se parece el método de Sana y Luis al método de Kayla y Adesh? ¿En qué se diferencia? Las dos parejas usaron métodos que involucran pensar en el huerto en términos de rectángulos. Kayla y Adesh descompusieron el huerto en dos rectángulos, y Sana y Luis compusieron un rectángulo alrededor del huerto.

) (

)

1 1 1 1 = 9 × 8 + 2 x 8 + 9 × 2 + 2 ×2 9 1 = 72 + 4 + 2 + 4 18 1 = 76 + 4 + 4 19 = 76 + 4

¿Por qué multiplicaron 5 por 6?

Nos dimos cuenta de que si dibujábamos un rectángulo que incluyera el huerto, los lados del rectángulo que no es parte del huerto tendrían longitudes en números enteros. Pensamos que nos sería más fácil determinar el área y restarla del área del rectángulo más grande.

(

9 2 ×82 = 9 + 2 x 8 + 2

= 76 + 4 4 3

= 804

5 × 6 = 30 3

8 0 4 - 30 = 5 0 4

El área total del huerto es 3 5 0 pies cuadrados. 4

(

)

2 × 50 4 = 2 × 50 + 4

= 2 × 50 + 2 × 4 6

= 1 00 + 4

= 1 00 + 1 4 2 = 1 01 4

El costo total del compost es $1 01 .5 0.

286

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Sana y Leo y sus propios trabajos.

La casa La clase determina el área de la casa donde se va a cubrir el piso. Reproduzca la parte 2 del video Plano de planta. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a la clase que tome nota de los detalles. Dé 1 minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron. Conversen brevemente acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes. Invite a la clase a trabajar en parejas para resolver el problema 2. Anímeles a seleccionar las estrategias de su preferencia.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere pedir a sus estudiantes que usen la Herramienta para la conversación mientras completan el problema 2. Invite a la clase a usar la sección Compartir tu razonamiento de la herramienta mientras comunican las ideas.

287

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14 2. Dada la siguiente información, ¿cuántos pies cuadrados de piso en rollo necesita la dueña? • El piso del dormitorio, del cuarto de baño y del estacionamiento no se va a cubrir con el piso en rollo. • El resto de la casa sí se va a cubrir con el piso en rollo. • La isla de la cocina mide 3 pies por 7 pies. No se va a colocar piso debajo de la isla.

20 ft 12 1 ft 2

Estacionamiento

Isla

24 ft Huerto

Sala de estar y cocina

16 1 ft 2

288

Calzada

8 1 ft 2

Cuarto de baño

6 1 ft 2

3 Dormitorio 11 4 ft

12 ft

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

12 × 11 4 = 12 × (11 + 3

= (12 × 11) + (12 × 3

(

24 × 28 2 = 24 × (28 + 2

(

= (24 × 28) + (24 × 1

= 132 + 36

= 672 + 12

= 132 + 9

= 684

= 141

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

(

16 2 + 12 = 28 2

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando resuelve un problema verbal de varios pasos.

(

6 1 × 8 1 = (6 + 1 × (8 + 1 2 2 2 2

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿Cuál es su plan para determinar cuánto piso se necesita?

3 × 7 = 21

• ¿Funciona su método? ¿Podrían intentar hacer algo diferente?

= (6 × 8) + (6 × 1 + (1 × 8 + (1 × 1 (

(

• ¿Su respuesta tiene sentido? ¿Por qué?

= 48 + 3 + 4 + 1 4

= 55 1 4

684 − 141 − 55 1 − 21 = 466 4 4

3 4

El área de la casa que necesita piso en rollo es 466 pies cuadrados. Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres estudiantes para que compartan su trabajo. Busque ejemplos de trabajos en los que se usen una variedad de métodos para multiplicar números mixtos y para determinar cuánto piso en rollo se necesita. Cuando hayan terminado, invite a algunas parejas a compartir su trabajo. Considere usar los siguientes planteamientos para ayudar a la clase a establecer conexiones entre los trabajos compartidos: • Expliquen cómo planificaron antes de empezar a hacer cálculos. • ¿Por qué sumaron o restaron esos números? • ¿Cómo supieron que debían multiplicar esos números?

DUA: Representación Considere escribir comentarios sobre el trabajo de sus estudiantes para mostrar qué representa cada cálculo. Por ejemplo:

16 2+ 12 = 28 2

(

1 1 24 × 28 2 = 24 × 28 + 2

)

(

)(

) 3

36 = 132 + 4

= 672 + 12 = 684 1

= 12 × 11 + 12 × 4

1 = 24 × 28 + 24 × 2

(

12 × 11 4 = 12 × 11 + 4

)

62× 8 2= 6 + 2 × 8 + 2 1

= 132 + 9 = 141

3 × 7 = 21 1

= 6 × 8 + 6 ×2 + 2 × 8 + 2×2 1

= 48 + 3 + 4 + 4 1 = 55 4

• ¿Qué método usaron para multiplicar números mixtos? ¿Por qué? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de sus pares y sus propios trabajos. © Great Minds PBC

289

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

EUREKA MATH2

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas del mundo real sobre áreas de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos Guíe una conversación de toda la clase sobre las áreas del mundo real usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cómo eligen un método para determinar el área de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos en situaciones del mundo real? Observo la figura compuesta y decido si veo dos o más rectángulos juntos o si veo un rectángulo grande al que se le han quitado algunas partes. Considero las longitudes de los lados y pienso si me será más fácil hallar las áreas de los rectángulos más pequeños y sumar, o hallar el área del rectángulo más grande y el área del rectángulo que no es parte del jardín y restar. ¿Cómo pueden mantener la organización en su trabajo cuando determinan el área de figuras compuestas con longitudes de los lados en números mixtos? Puedo hacer un plan. Puedo dibujar en un diagrama dado. Puedo volver a dibujar un diagrama o dibujarlo en partes, si me sirve. Puedo hallar el área de una parte a la vez y, luego, sumar o restar según sea necesario.

290

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

Nombre

Fecha

2. Sana está construyendo una casa de muñecas. La imagen muestra el plano del piso de la sala de estar. Halla el área del piso usando un método de tu elección. Sala de estar de la casa de muñecas

1. Cada expresión representa el área de una figura. Haz una línea para emparejar la figura con la expresión que representa la manera en la que está dividida. Figura

3 in 1 2

1 in

6 in

Expresión

1 2

4 in

1 2

3 in

4 cm 5 cm 8 cm

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

4 cm 3 cm

(8 2 × 3) + (5 × 4 2)

1 2

9 in 36 _1 pulgadas cuadradas

1 2

8 cm

1 2

4 cm 5 cm 8 cm

4 cm 3 cm

(8 × 8 2) − (5 × 4)

1 2

8 cm

1 2

4 cm 5 cm

8 cm 4 cm

3 cm

(4 2 × 8) + (4 × 3)

1 2

8 cm

121

122

GRUPO DE PROBLEMAS

291

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 14

3. El dibujo muestra el plano de un jardín con patio. Riley quiere colocar piedras en el patio, que está representado por el área sombreada.

Jardín

15 ft

9 ft

1 2

4 ft

Patio

1 2

11 ft

1 2

10 ft

Casa

a. ¿Cuál es el área del patio?

182 _1 pies cuadrados 4

b. Las piedras del patio son cuadradas y sus lados tienen una longitud de 1 _1 pies. Halla el área 2 de una piedra.

2 _1 pies cuadrados 4

c. Riley compra exactamente 80 piedras para el patio. ¿Tiene suficientes piedras para cubrir el patio? ¿Cómo lo sabes? No, Riley no tiene suficientes piedras para cubrir el patio. El área del patio es

182 _1 pies cuadrados, pero el área total de las piedras es solo 180 pies cuadrados. 4

292

GRUPO DE PROBLEMAS

123

LECCIÓN 15

Resolver problemas verbales de varios pasos que involucran la multiplicación de números mixtos

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15

Nombre

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

Para una tanda de la receta A, se usan 1 4 tazas de leche. Para una tanda de la receta B, se usan

4_4 tazas de leche. Noah prepara 4_2 tandas de la receta A y 2 tandas de la receta B. ¿Cuánta 3

leche usa Noah?

1_4 × 4_2 = (1 + _4) × (4 + _2) 3

• ¿Por qué es útil estimar la respuesta antes de resolver un problema verbal en el que hay números mixtos?

= 4 + _2 + 3 + _8 3

= 7 + _8 7

• ¿Por qué dibujar un diagrama puede servir como ayuda para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con números mixtos?

7 = 7_8

4_4 × 2 = (4 + _4) × 2 3

La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de varios pasos que involucran la multiplicación de números mixtos. Una actividad en estaciones permite a la clase trabajar en parejas y resolver problemas de varios pasos con diversos niveles de complejidad. Sus estudiantes usan la estimación para determinar si sus respuestas son razonables y comparan sus métodos para resolver los problemas.

Preguntas clave

= (1 × 4) + (1 × _2) + (4_ × 4) + (_4 × _2) 1

Vistazo a la lección

• ¿Cómo saben qué operaciones deben usar cuando resuelven un problema verbal de varios pasos relacionado con números mixtos?

= (4 × 2) + (4_ × 2) 3

= 8 + 1_4 2

Criterio de logro académico

= 9_4 2

5.Mód5.CLA5 Resuelven problemas del mundo real relacionados con

7 7 2 4 7_8 + 9_4 = 7_8 + 9_8

la multiplicación de números mixtos. (5.NF.B.6)

3 = 16 + 1_8

= 17_8 3

Noah usa 17 8 tazas de leche.

135

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• sobres (8)

• Retire las hojas extraíbles de Tarjetas para redondear, Juego 2, del libro para estudiantes y recórtelas. Coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos para que haya 1 por grupo de tres estudiantes.

Aprender 35 min • Estaciones de problemas de varios pasos • Comparar y conectar métodos

• Tarjetas para redondear, Juego 2 (1 por grupo de estudiantes, en el libro para estudiantes)

• Grupo de problemas

• Tarjetas de problemas de varios pasos (en la edición para la enseñanza)

Concluir 10 min

Estudiantes • sobre con Tarjetas para redondear (1 por grupo de estudiantes)

• Imprima o haga una copia y recorte las Tarjetas de problemas de varios pasos. Prepare suficientes tarjetas para organizar cuatro estaciones con algunas copias de un mismo problema en cada estación.

295

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15

Fluidez

Dar vuelta a las tarjetas: Redondear Materiales: E) Tarjetas para redondear, Juego 2

La clase redondea un número a la unidad, al décimo o al centésimo más cercano para adquirir fluidez con el redondeo de números decimales del módulo 4. Pida a la clase que forme grupos de tres. Distribuya un sobre de tarjetas a cada grupo de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase. • Coloquen todas las tarjetas en una pila, bocabajo. • Túrnense para dar vuelta a una tarjeta. Todo el grupo dice el número en voz alta. • Estudiante A: Dice el número redondeado a la unidad más cercana. • Estudiante B: Dice el número redondeado al décimo más cercano. Estudiante C: Dice el número redondeado al centésimo más cercano. • Continúen hasta que se hayan usado todas las tarjetas. Recorra el salón de clases y brinde apoyo durante la actividad según sea necesario.

296

0.581

Nota para la enseñanza Si no es posible agrupar a toda la clase en grupos de tres, considere pedir a las parejas que se turnen para decir el número redondeado al centésimo más cercano o concentrarse en solo dos valores posicionales (p. ej., redondear a la unidad y al décimo más cercano).

Estudiantes A, B y C: “0.581” Estudiante A: “0.581 redondeado a la unidad más cercana es 1”. Estudiante B: “0.581 redondeado al décimo más cercano es 0.6”. Estudiante C: “0.581 redondeado al centésimo más cercano es 0.58”.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15

Presentar

La clase interpreta un diagrama de cinta que representa una situación del mundo real con números mixtos y de varios pasos. Muestre el diagrama de cinta rotulado Kayla y Sana. ¿Qué información sabemos a partir del diagrama de cinta? ¿Cómo lo sabemos? Sabemos que Kayla tiene 2  _2  de 1

algo porque su diagrama tiene una unidad rotulada 2  _2 .

Kayla

Sana

Nota para la enseñanza Use esta lección como evaluación formativa para analizar cómo aborda cada estudiante los problemas verbales de varios pasos que involucran la multiplicación de números mixtos. El propósito de esta lección no es presentar nuevas destrezas aritméticas. Destaque las semejanzas y diferencias en la elección de cada estudiante para hacer sus cálculos.

Sabemos que Sana tiene 4 veces la cantidad que tiene Kayla porque el diagrama de Sana tiene 4 unidades del mismo tamaño que la unidad en el diagrama de Kayla. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para escribir una expresión que represente el diagrama de Sana. Muestre el diagrama de cinta que incluye un diagrama para Tyler. ¿Qué información adicional conocemos? ¿Cómo lo sabemos?

Kayla

Sabemos que Tyler tiene más que Kayla y Sana porque el diagrama de Tyler es más largo que los de Kayla y Sana.

Sana

Sabemos que Tyler tiene cerca de

Tyler

1 4  _ de la cantidad que tiene Kayla. El

diagrama de Tyler tiene 4 unidades

Nota para la enseñanza Dado un diagrama de cinta sin un contexto escrito que lo acompañe, no podemos

 _2 de la longitud de la unidad del diagrama de Kayla. 1

determinar con precisión que la unidad 1 parcial es exactamente __  2  de la unidad entera. Considere animar a la clase a usar vocabulario

A veces, usamos números mixtos para representar una relación de tantas veces una cantidad.

para la estimación como aproximadamente y

que son del mismo tamaño que la unidad del diagrama de Kayla y una unidad que parece ser

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para escribir una expresión que represente el diagrama de Tyler.

parece ser para describir la relación.

297

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15 Muestre el diagrama de cinta completado. ¿Qué información se desconoce?

Kayla

No sabemos cuál es la situación o qué es lo que tienen. No sabemos cuánto tienen Sana y Tyler.

Sana

No sabemos cuánto tienen en conjunto.

Tyler

Hagamos una estimación. Más allá de lo que sea que tengan, ¿aproximadamente cuánto tienen en total? ¿Cómo lo saben?

Tienen unas 20 unidades. Lo sabemos porque hay 9  _2 unidades en el diagrama de cinta y cada una 1

1 tiene un valor de 2  _ . 10 × 2 = 20. 2

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre lo que harían para determinar la cantidad que tienen en total. Determinaría cuánto tiene Sana multiplicando 4 por 2  _2 . Determinaría cuánto tiene Tyler 1

 _2 . Luego, sumaría la cantidad que tiene cada persona. multiplicando 4  _2 por 2 1

Veo 9 unidades que representan 2  _2 cada una, así que multiplicaría 9 por 2  _2 . Veo 1 unidad que 1

 _2 , así que multiplicaría _2   por 2  _2 . Luego, sumaría los productos. parece ser  _2 de 2 1

Veo unas 9  _2 unidades en total que representan 2  _2 cada una, así que multiplicaría 9  _2 por 2  _2 . 1

Forme parejas de estudiantes y use la rutina Construcción colaborativa para que las parejas creen un contexto que puedan aplicar al diagrama de cinta. Dé a las parejas 1 minuto para comparar con otros grupos los contextos que construyen. Pida a sus estudiantes que compartan sus ideas y expliquen la relación entre los diagramas de cinta y el contexto. Ejemplo de respuestas:

Kayla, Sana y Tyler están preparando ponche. Kayla usa 2  _2 tazas de jugo. Sana usa 4 veces 1

la cantidad de jugo que usa Kayla. Tyler usa 4  _2 de la cantidad de jugo que usa Kayla. ¿Cuánto 1

jugo usan en total?

298

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15 Kayla recorre 2  _2 millas en su bicicleta. Sana recorre 4 veces la distancia que recorre Kayla. Tyler 1

recorre 4  _2  de la distancia que recorre Kayla. ¿Cuánto recorren en total? 1

¿Por qué elegiríamos representar la situación con un diagrama de cinta? Un diagrama de cinta muestra lo que se conoce y lo que se desconoce. Un diagrama de cinta muestra cómo se relacionan las partes de un problema. Un diagrama de cinta me ayuda a asegurarme de que toda la información del problema está representada en mi plan para hallar la solución. Un diagrama de cinta me ayuda a ver si hay una manera de resolver el problema con eficiencia. Un diagrama de cinta es una forma de mostrar que algo es un número de veces la cantidad de otra cosa. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con la multiplicación de fracciones y números mixtos.

Aprender

Estaciones de problemas de varios pasos Materiales: M) Tarjetas de problemas de varios pasos

La clase resuelve problemas de varios pasos que involucran la multiplicación de números mixtos. Forme parejas de estudiantes. Presente la actividad con las Tarjetas de problemas de varios pasos y dé las siguientes instrucciones. Hay cuatro estaciones distribuidas en el salón de clases. En cada estación, hay un juego de tarjetas con un problema y hay un problema distinto en cada estación. Hagan una estimación y completen el problema usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe. Registren su trabajo en sus libros.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere mostrar imágenes o videos de los contextos de las estaciones para ayudar a sus estudiantes con los problemas verbales. Por ejemplo, podría mostrar un video de un recital de ballet o una fotografía de una bandeja de donas.

299

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15 Tarjetas de las estaciones:

Nota para la enseñanza Estación 1

Tara se prepara para un recital de ballet. La semana pasada, ensayó 2  _4 horas por día durante 1

3 4 días. Esta semana, ensayó 1   _4 horas por día durante 3 días. ¿Cuántas horas más que esta

semana ensayó Tara la semana pasada? Estación 2

El sábado, una panadería vende 2  _5  bandejas de donas de chocolate y 3  2_  bandejas de donas 4

glaseadas. El domingo, la panadería vende 2  2_ de la cantidad que vende el sábado. ¿Cuántas 1

bandejas de donas vende la panadería el domingo? Estación 3

Scott corre 1  _2 millas. Eddie corre 3 _2 de la cantidad de millas que corre Scott. Julie corre _4   de la 1

Las estaciones están ordenadas de menor a mayor complejidad, de la estación 1 a la 4. Decida si desea usar una señal para indicar a sus estudiantes cuándo deben rotar por el salón de clases o permitir que lo hagan a su propio ritmo. Decida también si seguirán un recorrido en particular, y cuántos estudiantes podrán trabajar en la misma estación a la vez. De ser necesario, considere hacer varias copias de las tarjetas y colocar más de una en cada estación para reducir el número de estudiantes que haya en cada estación a la vez. Si prefiere que sus estudiantes se queden en su lugar, considere formar grupos y darle a cada uno las cuatro tarjetas de las estaciones.

cantidad de millas que corre Eddie. ¿Qué distancia corre Julie? Estación 4

Una vidriería hace 12 ventanas que miden 4  _4 pies de largo por 3  _3 pies de ancho y 7 ventanas 3

que miden 2  _5 pies de largo por 5 pies de ancho. ¿Cuántos pies cuadrados de vidrio necesita 4

la vidriería para las ventanas?

Mientras recorre el salón de clases, considere usar los siguientes planteamientos: • Cuéntenme acerca de su método.

Diferenciación: Apoyo

• ¿Qué información saben? • ¿Pueden dibujar algo? ¿Qué pueden dibujar? ¿Cómo se relaciona su dibujo con la historia? • ¿Qué representa este número? • ¿Por qué usaron esa operación?

Considere dividir los problemas en partes diferenciadas. Invite a la clase a dibujar diagramas de cinta para representar cada parte.

• ¿Su respuesta parece razonable? ¿Por qué? • ¿Cómo pueden comprobar su respuesta?

300

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15 Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema en cada estación. Estima antes de resolver el problema. Registra tu trabajo para cada estación en la tabla.

Nota para la enseñanza

Estación 1

No se espera que la clase escriba fracciones

Estación 2

Semana pasada

Esta semana

1 4

4 Sábado 2 5

1 3 2

4 5

1 2

3 4

2 +3

? Estimación:

como números mixtos o con la unidad más grande. Es probable que parte de la clase 15 se dé cuenta, por ejemplo, de que 15  __ 20  es 3 __ equivalente a 15   4 , pero reconozca todas las respuestas correctas equivalentes.

Domingo

(2 × 4) − (2 × 3) = 2 Solución:

9 4 × 2 1 = 4 ×   4 4

= __ 

? Estimación:

(3 + 4) × 2 = 14 Solución:

36 4

2 4_ + 3 1_  = 2  __  + 3  __  5

=9 3 × 1 _ = 3 × _   3 4

7 4

__  = 21

5 10

3 10

   ) × (2 + 1_  ) 6  __ × 2 1_  = (6 + __ 3 10

3 10

= 12 +  __ + _   +  __ 

3 9 − 5 1 = 3   4 4

_3 Tara ensayó 3    horas más la semana pasada.

= 6  __ 

3 10

= 5 _1 

8 10

= ( 6 × 2) + (__    × 2) + (6 × 1_  ) + (__    × 1_  )

= 15 __  15 20

6 10

6 2

3 10

3 20

15 La panadería vende 1 5     bandejas de donas el domingo. 20

301

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15

Estación 4

Estación 3 Scott

1 2

Eddie

1 2

1 3

3 ft 12 ventanas 4 3 ft 4

Julie

(12 × 5 × 3) + (7 × 3 × 5) = 285

1×3×1=3

Solución:

1 1_ × 3 1_ = _  × _   3 2

7 2

10 12

3 3  × 5 1 =   × (5 + 1 ) 4 4 4 4

_  × _1  ) = (_  × 5)+ (

__ __

= 3 __  15 16

15 Julie corre 3     millas. 16

302

_ _

3 4

• ¿Qué se pide en el problema? • ¿Cómo les ayudan las unidades de la situación a pensar en el problema? • ¿Tiene sentido su respuesta en este contexto?

15 + __ ) 12 × 15 __ = 12 × (

15 3 =   +     4 16

= 15 __ 

= 5 1_ 

3 4

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

3 3 4 × 1  )+ (  × 1  ) (4 × 3) + ( =  × 3)+ ( 3 4 4 3

= 21  4

_ _

3 3 4  × 3 1  = (4 +  ) × (3 + 1 ) 3 3 4 4

Solución:

Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando determina el significado de cada problema del mundo real, estima una solución, la representa con una expresión y vuelve a contextualizar la solución teniendo en cuenta las unidades.

Estimación:

5 ft

7 ventanas 2 4 ft 5

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

10 12

= (12 × 15) + ( 12 × __ ) 10 12

= 190

2 4_ × 5 = ( 2 + 4_ ) × 5 5

= (2 × 5) + ( 4_  × 5)

= 14

7 × 14 = 98 190 + 98 = 288 La vidriería necesita 288 pies cuadrados de vidrio para las ventanas.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15 Cuando la mayoría de sus estudiantes hayan terminado o se haya acabado el tiempo, reúna a la clase para reflexionar sobre la actividad con las Tarjetas de problemas de varios pasos. Los métodos de la clase se comentarán en el siguiente segmento.

Comparar y conectar métodos La clase comparte y compara las soluciones y razona acerca de sus conexiones. Elija una estación para comentar con la clase. Invite a sus estudiantes a compartir con la clase las soluciones y los métodos. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento. Haga preguntas para ayudar a sus estudiantes a establecer conexiones entre sus trabajos y los métodos de solución demostrados. Anímeles a que hagan sus propias preguntas. Por ejemplo, puede usar las siguientes preguntas al comentar la estación 1: • ¿Qué números eligieron para su estimación? ¿Por qué? • Expliquen el dibujo que usaron para dar sentido al problema. • ¿Por qué multiplicaron 2  _4  por 4? 1

• ¿Por qué multiplicaron 1  _4  por 3? 3

• ¿Qué método usaron para multiplicar números mixtos? • ¿Por qué usaron una resta? Después de conversar sobre una de las estaciones en profundidad, guíe una conversación de toda la clase haciendo alguna de estas preguntas o todas: • ¿En qué se diferencian los métodos que usaron en la estación 1 y la estación 3? • ¿Qué tienen en común los problemas de la estación 2 y la estación 3? • ¿Qué estaciones les parecieron más fáciles? ¿Por qué? • ¿De qué manera les ayudó dibujar un diagrama? ¿Algunos de los diagramas les parecieron más útiles que otros? • ¿Qué situaciones les resultaron más fáciles de entender? ¿Por qué?

303

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre qué estación les pareció más difícil y por qué. La estación 4 fue la más difícil para mí porque involucraba muchos cálculos. Fue difícil llevar la cuenta de todos los cálculos. La estación 3 me pareció la más difícil porque había que razonar acerca de cómo se relacionaban las distancias. La estación 1 fue la más difícil para mí porque involucraba una resta.

Concluir

DUA: Acción y expresión Considere reservar tiempo para que la clase reflexione después de haber compartido todas las soluciones y terminado la conversación. Pida a sus estudiantes que consideren si harían algo diferente la próxima vez. La parte de la actividad en la que se comparte sirve como una oportunidad de retroalimentación formativa, ya que cada estudiante reflexiona sobre su propio trabajo en relación con los ejemplos de sus pares. La clase puede beneficiarse de una representación en voz alta sobre cómo determinar si el método de alguien más es más eficiente que el suyo.

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas verbales de varios pasos que involucran la multiplicación de números mixtos Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo resolver problemas verbales de varios pasos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Por qué es útil estimar la respuesta antes de resolver un problema verbal en el que hay números mixtos? La multiplicación de números mixtos involucra muchas partes y pasos. Comparar mi respuesta con mi estimación me ayuda a saber si me olvidé de alguna parte o paso. No puedo multiplicar números mixtos mentalmente, pero puedo redondear los números mixtos a números enteros y obtener una estimación que puedo usar para determinar si mi respuesta es razonable.

304

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15 ¿Por qué dibujar un diagrama puede servir como ayuda para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con números mixtos? Dibujar un diagrama puede servir como ayuda para asegurarme de leer el problema con atención y pensar en todo lo que se conoce y se desconoce antes de hacer un plan para resolverlo. Cuando el problema es sobre figuras y áreas, mi dibujo puede ayudarme a ver las figuras y pensar en cómo hallar el área. Un diagrama es útil para mostrar las relaciones de un problema. Una vez que tengo un diagrama, puedo escribir expresiones numéricas para sumar, restar o multiplicar. ¿Cómo saben qué operaciones deben usar cuando resuelven un problema verbal de varios pasos relacionado con números mixtos? Mi diagrama me ayuda a ver cómo están relacionados los números, lo que me dice qué operaciones usar para resolver el problema.

305

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15

Nombre

Fecha

23 de milla, recorre 3. En un triatlón de velocidad, cada participante nada una distancia de __ 50

1 una distancia de 12 _2 millas en bicicleta y corre una distancia de 3 __ millas. Ryan participó 5

de 4 triatlones de velocidad este año.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1. Luis caminó 2 millas el viernes. El sábado, caminó 3 _1 veces la distancia que caminó el viernes. a. Estima la distancia que caminó Luis el sábado.

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15

a. ¿Cuántas millas nadó Ryan en total en los 4 triatlones de velocidad? 42 Ryan nadó un total de 1 __ millas.

2×3=6

b. Determina la distancia real que caminó Luis el sábado. Luis caminó 6 _2 millas el sábado. 4

b. ¿Cuántas millas nadó, recorrió en bicicleta y corrió Ryan en total en los 4 triatlones de velocidad? 42 millas. Ryan nadó, recorrió en bicicleta y corrió un total de 63 __ 50

2. Noah usa 36 azulejos para cubrir una mesa. Cada azulejo mide 4 _1 pulgadas por 4 _1 pulgadas. a. Estima el área de la mesa.

4 × 4 = 16 16 × 36 = 576

c. Ryan completó su primer triatlón de velocidad en 2 _1 horas y completó el segundo triatlón 4

de velocidad en 1 _3 horas. ¿Cuánto más rápido que el primer triatlón completó Ryan 4

el segundo triatlón?

Ryan completó el segundo triatlón _1 hora más rápido que su primer triatlón.

b. Halla el área real de la mesa.

El área de la mesa es 650 4 pulgadas cuadradas. 16

306

133

134

GRUPO DE PROBLEMAS

la vidriería para las ventanas?

que miden 2  5 pies de largo por 5 pies de ancho. ¿Cuántos pies cuadrados de vidrio necesita

Una vidriería hace 12 ventantas que miden 4  4 pies de largo por 3  3 pies de ancho y 7 ventanas

Estación 4

 4 de la cantidad de millas que corre Eddie. ¿Qué distancia corre Julie?

Scott corre 1  2 millas. Eddie corre 3  2 de la cantidad de millas que corre Scott. Julie corre

Estación 3

bandejas de donas vende la panadería el domingo?

glaseadas. El domingo, la panadería vende 2  2 de la cantidad que vende el sábado. ¿Cuántas

El sábado, una panadería vende 2  5 bandejas de donas de chocolate y 3  2 bandejas de donas

Estación 2

semana ensayó Tara la semana pasada?

4 días. Esta semana ensayó 1  _4 horas por día durante 3 días. ¿Cuántas horas más que esta

Tara se prepara para un recital de ballet. La semana pasada, ensayó 2  4 horas por día durante

Estación 1

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TB ▸ Lección 15 ▸ Tarjetas de problemas de varios pasos

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307

Tema C Conceptos de volumen En el tema C, la clase desarrolla una comprensión fundamental de los conceptos de volumen y relaciona el volumen tanto con la suma como con la multiplicación. Al inicio del tema, sus estudiantes comparan figuras bidimensionales y tridimensionales. Después de identificar y comparar los atributos y las propiedades de figuras tridimensionales, explican cómo afectan a un prisma rectangular recto los cambios en su longitud, ancho y altura. Aprenden que, al ocupar espacio, los objetos tridimensionales tienen volumen. Para hallar el volumen de un prisma rectangular recto, sus estudiantes cuentan el número de cubos unitarios que rellenan el modelo de un prisma. Determinan que puede haber prismas con dimensiones diferentes que tengan el mismo volumen. Luego de rellenar el modelo de un prisma con cubos, sus estudiantes construyen prismas con unidades improvisadas y se dan cuenta de que pueden hallar el volumen usando otros elementos que no sean cubos unitarios. Basándose en su experiencia en rellenar modelos de prismas, la clase hace una transición hacia la composición y descomposición de prismas. Hallan el volumen de un prisma descomponiéndolo en capas, hallando el volumen de cada capa y multiplicando el número de capas por el volumen de cada capa. Comprenden que un prisma se compone de capas, que cada capa se compone de filas y que cada fila se compone de cubos individuales. Usan esta comprensión para explicar por qué hay diferentes maneras de descomponer un prisma en capas, y por qué se puede organizar un grupo de cubos de distintas maneras a fin de componer un prisma. Para concluir el tema, sus estudiantes exploran ideas conceptuales sobre volumen y capacidad. Diferencian entre rellenar con objetos sólidos y llenar con líquido e identifican situaciones en las que llenar un espacio con líquido es más apropiado que rellenarlo con objetos sólidos. Relacionan el volumen de sólidos con el volumen de líquidos, sabiendo que el volumen es igual sin importar si un espacio se rellena con objetos sólidos o se llena con líquido. Después de establecer que 1 centímetro cúbico tiene el mismo volumen que 1 mililitro, usan la relación entre el volumen de un sólido y el volumen líquido para resolver problemas del mundo real. En el tema D, la clase amplía su comprensión del volumen al aplicar las fórmulas V = l × a × h y V = B × h para resolver problemas matemáticos y problemas del mundo real que involucran prismas rectangulares rectos y sólidos compuestos por ellos.

309

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC

Progresión de las lecciones Lección 16

Lección 17

Lección 18

Identificar los atributos y las propiedades de prismas rectangulares rectos

Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos rellenándolos con cubos unitarios y contando

Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos rellenándolos con unidades improvisadas

Altura

Longitud

Ancho

Altura Ancho

Longitud

Sé que una figura tridimensional tiene altura, tiene grosor y no se ubica en un plano. Todo prisma rectangular recto tiene 6 caras rectangulares, 12 aristas y 8 vértices. Puedo describir el tamaño de un prisma identificando su longitud, su ancho y su altura.

310

Puedo hallar el volumen de un prisma rectangular recto rellenándolo con cubos unitarios y contando el número de unidades cúbicas. Sé que dos prismas con dimensiones diferentes pueden tener el mismo volumen.

Puedo usar prismas a fin de construir un prisma rectangular recto más grande. Puedo hallar el volumen del prisma más grande multiplicando el volumen de un grupo de cubos unitarios por el número de grupos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC

Lección 19

Lección 20

Lección 21

Componer y descomponer prismas rectangulares rectos para hallar su volumen usando capas

Interpretar el volumen como llenar con líquido

Relacionar el volumen de sólidos y el volumen líquido

1 centímetro cúbico = 1 mililitro 10 mL 9 8 7 6 5 4 3

Puedo descomponer un prisma rectangular recto en capas. Luego, multiplico el volumen de cada capa por el número de capas para hallar el volumen del prisma. Hay más de una manera de descomponer un prisma para formar las capas.

Sé que cada objeto tridimensional tiene volumen. Puedo hallar el volumen rellenando un recipiente con sólidos individuales o llenándolo con líquido. El volumen es el mismo sin importar si el recipiente se rellena con objetos sólidos o se llena con líquido.

2 1

Sé que el volumen de un sólido y el volumen líquido indican cuánto espacio ocupa el sólido o el líquido. Sé que el volumen de 1 centímetro cúbico es 1 mililitro.

311

LECCIÓN 16

Identificar los atributos y las propiedades de prismas rectangulares rectos

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

Nombre

Fecha

Indica si cada enunciado es verdadero o falso. Si es falso, corrígelo. Enunciado

Una figura tridimensional es plana.

Verdadero o falso

Verdadero

Falso

Enunciado correcto

Una figura tridimensional no es plana.

Vistazo a la lección La clase identifica las semejanzas y diferencias entre un cuadrado y un cubo y aprenden que el cubo es uno de los cinco sólidos platónicos. Determinan que las figuras tridimensionales no se ubican en un plano porque tienen altura. Mediante una actividad digital interactiva, sus estudiantes comparan los atributos y las propiedades de un rectángulo con aquellos de un prisma rectangular recto. Explican cómo se ven afectados los atributos y las propiedades de un prisma al hacer cambios en su longitud, ancho y altura. En esta lección se presentan los términos prisma rectangular recto y base.

Preguntas clave Una figura tridimensional tiene longitud, ancho y altura.

Verdadero

Falso

• ¿Qué hace que una figura sea tridimensional? • ¿Cómo podemos describir el tamaño de un prisma rectangular recto?

Una figura tridimensional no se ubica en un plano.

Verdadero

Falso

Todo prisma rectangular recto tiene 4 caras.

Verdadero

Falso

Todo prisma rectangular recto tiene 6 caras.

Criterio de logro académico 5.Mód5.CLA6 Reconocen que se puede medir el volumen usando cubos

unitarios y que un sólido relleno con n cubos unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un volumen de n unidades cúbicas. (5.MD.C.3)

Todo prisma rectangular recto tiene 12 aristas.

Verdadero

Falso

Todo prisma rectangular recto tiene 6 vértices.

Verdadero

Falso

• ¿Cómo cambian las caras, las aristas y los vértices de un prisma rectangular recto si se hacen cambios en su longitud, ancho o altura?

(5.MD.C.3.a) (5.MD.C.3.b)

Todo prisma rectangular recto tiene 8 vértices.

151

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min Aprender 30 min

• Tarjetas de números decimales, Juego 1 (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

• Longitud, ancho y altura

• sobres (12)

• Retire las hojas extraíbles de Tarjetas de números decimales, Juego 1 del libro para estudiantes y recórtelas. Coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos de modo que haya uno por pareja de estudiantes.

• Caras, aristas y vértices

• cubo de un centímetro

• ¿Rectángulo o prisma rectangular recto?

• Prisma rectangular recto (en la edición para la enseñanza)

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

• tijeras • cinta • papel (5 hojas)

Estudiantes • sobre con Tarjetas de números decimales, Juego 1 (1 por pareja de estudiantes) • Plantilla de sumandos escondidos (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes) • cubo de un centímetro • Prisma rectangular recto (en el libro para estudiantes) • tijeras

• Retire la hoja extraíble de Plantilla de sumandos escondidos del libro para estudiantes. Considere si desea preparar este material con antelación o si lo preparará durante la lección. Considere guardar estos materiales a fin de volver a usarlos en la lección 17. • Considere retirar la hoja extraíble de Prisma rectangular recto para sus estudiantes antes de comenzar la lección. • Prepare cuatro afiches en papel: Rectángulo, Prisma rectangular recto, Ambos y Ninguno. Cuelgue los afiches en diferentes lugares del salón de clases. Deje una hoja en blanco para usar en una demostración. • Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la enseñanza de la sección Presentar.

• cinta • marcador fluorescente

313

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

Fluidez

Conteo bip de 2 décimos en 2 décimos y de 6 décimos en 6 décimos La clase completa un patrón para adquirir fluidez con los números decimales. Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip. Escuchen con atención mientras cuento de 2 décimos en 2 décimos o de 6 décimos en 6 décimos. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos?

Muestre la secuencia 0, 0.2,

0, 0.2, bip. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

0, 0.2,

0.4

0.4 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1.0, 1.2 , 1.4 1.0, 0.8, 0.6

314

2.0, 1.8 , 1.6

0, 0.6, 1.2

3.0, 3.6 , 4.2 3.0, 2.4, 1.8

6.0, 5.4 , 4.8

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

Sumandos escondidos Materiales: E) Tarjetas de números decimales, Juego 1, Plantilla de sumandos escondidos

La clase determina la suma y, luego, escribe y dice una ecuación de suma o una ecuación de resta relacionada para adquirir fluidez con la suma y la resta de números decimales del módulo 4. Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de Tarjetas de números decimales a cada pareja de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase. • Las parejas colocan el juego de tarjetas bocabajo junto a la Plantilla de sumandos escondidos. • Dan vuelta a la tarjeta que se encuentra en la parte de arriba de la pila y la colocan en un cuadrado azul. • Cada estudiante, A y B, dice la suma.

0.5 + 0.3 Estudiante A y estudiante B: “0.8” Estudiante A: “0.5 + 0.3 = 0.8” Estudiante B: “0.8 − 0.5 = 0.3”

• Estudiante A: Registra una ecuación de suma en su pizarra blanca y, luego, la lee. Estudiante B: Registra una ecuación de resta relacionada en su pizarra blanca y, luego, la lee. Consulte el diálogo de ejemplo debajo de la plantilla de ejemplo. • Descartan las tarjetas que usaron en una pila separada. Recorra el salón de clases durante la actividad para asegurarse de que las ecuaciones que registran y dicen sean correctas. Si alguna pareja se queda sin tarjetas antes de que finalice el tiempo, pueden intercambiar roles, mezclar las tarjetas y seguir jugando.

315

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

Presentar

Materiales: M/E) Cubo de un centímetro, Prisma rectangular recto, tijeras, cinta adhesiva

La clase identifica las semejanzas y diferencias entre un cuadrado y un cubo. Muestre el cuadrado. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que saben acerca de un cuadrado, incluyendo sus propiedades y los otros nombres que se le puede dar.

Cuadrado

Un cuadrado tiene cuatro lados de la misma longitud. Un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos. Un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría. Un cuadrado también es un rectángulo, un rombo, un paralelogramo, un trapecio y una cometa. Un cuadrado es un cuadrilátero. Un cuadrado es un polígono. Un cuadrado en una figura bidimensional. Podemos cubrir el cuadrado con fichas cuadradas y, a la vez, usar los cuadrados para cubrir otras figuras. Un cuadrado tiene un área. Distribuya un cubo de un centímetro a cada estudiante. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre el cubo y el cuadrado. Un cuadrado es plano, pero un cubo no lo es. Un cubo tiene cuadrados en todos sus lados. El cubo y el cuadrado tienen ángulos rectos. Un cubo es una figura tridimensional y un cuadrado es una figura bidimensional. Un cuadrado tiene cuatro esquinas, pero un cubo tiene más de cuatro esquinas. Un cuadrado es un polígono, pero un cubo no lo es.

316

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16 Un cuadrado es una figura bidimensional y se ubica en un plano. Un cubo es una figura tridimensional, o sólido, y no se ubica en un plano. Muestre un cubo. Señale una de las caras del cubo. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué figura geométrica son las caras del cubo? Las caras de un cubo son cuadrados. ¿Cuántas caras tiene un cubo?

Nota para la enseñanza Considere proporcionar apoyo visual para el término plano. Pida a sus estudiantes que recuerden que un plano es una superficie sin grosor, o plana, que se extiende sin fin en todas las direcciones.

Un cubo tiene seis caras. Muestre los sólidos platónicos. Tetraedro

Octaedro

Cubo

Dodecaedro

Icosaedro

Plano

4 triángulos equiláteros

8 triángulos equiláteros

6 cuadrados

12 pentágonos 20 triángulos regulares

equiláteros

En la antigua Grecia, se estudiaron los sólidos, incluido un grupo de ellos llamado sólidos platónicos. Todas las caras de los sólidos platónicos son polígonos regulares idénticos, o polígonos idénticos cuyos lados tienen la misma longitud y sus ángulos miden lo mismo. ¿Todos los lados de un cuadrado tienen la misma longitud? ¿Todos los ángulos de un cuadrado miden lo mismo? Sí. Los lados de un cuadrado tienen la misma longitud, y sus ángulos miden lo mismo. Un cubo es uno de los sólidos platónicos porque sus caras son cuadrados que son polígonos regulares idénticos.

Nota para la enseñanza Sus estudiantes aprenden acerca de polígonos regulares en grados anteriores y los repasan en grados posteriores. No se espera que conozcan todos los nombres de los sólidos platónicos, a excepción del cubo. En cambio, ponga énfasis en las figuras de las caras de los sólidos platónicos.

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan y se preguntan con respecto a la forma y al número de caras de los sólidos platónicos.

Las matemáticas en el pasado

Luego, muestre los sólidos platónicos y la imagen del prisma rectangular recto.

Tetraedro

Octaedro

Cubo

Dodecaedro

Prisma rectangular recto

Icosaedro

Esta lección es el momento ideal para incorporar el material del recurso Las matemáticas en el pasado. En él se presenta más información acerca de la historia del estudio de los sólidos y una explicación más detallada de los sólidos platónicos, incluidos los vértices, las aristas y las caras de los sólidos. Si hay estudiantes que muestran interés en la información sobre la historia del estudio de los sólidos, incorpore otras actividades del recurso Las matemáticas en el pasado.

Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Prisma rectangular recto de sus libros. Recorte la figura, dóblela por las líneas y péguela formando un prisma. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Han formado un prisma rectangular recto. ¿Qué figuras forman las caras del prisma rectangular recto? Sus caras son rectángulos. Un prisma rectangular recto es un sólido en el que todas las caras son rectángulos. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta. ¿Un prisma rectangular recto es un sólido platónico? ¿Por qué? No. Las caras del prisma rectangular recto son rectángulos y no todos los rectángulos son polígonos regulares. No. Todos los ángulos del rectángulo miden lo mismo, pero no todos sus lados tienen la misma longitud. Un prisma rectangular recto es un sólido en el que todas sus caras son rectángulos. Sin embargo, este prisma rectangular recto no es un sólido platónico porque no todas sus caras son polígonos regulares idénticos. De hecho, hay solo cinco sólidos platónicos.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar qué sólido platónico también es un prisma rectangular recto. Pida a sus estudiantes que guarden el prisma rectangular recto que construyeron para usar más adelante en la lección. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, identificaremos las características de un prisma rectangular recto.

Aprender

Longitud, ancho y altura Materiales: M) Prisma rectangular recto construido

La clase predice y explica cómo se ve afectado el tamaño de un rectángulo y de un prisma rectangular recto al hacer cambios en la longitud, el ancho o la altura. Muestre la actividad digital interactiva de Prisma rectangular recto. Cree un rectángulo con una longitud de 5 unidades y un ancho de 3 unidades. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que saben acerca del rectángulo. La longitud del rectángulo es 5 unidades y su ancho, 3 unidades. El área del rectángulo es 15 unidades cuadradas. El rectángulo tiene cuatro ángulos rectos. El rectángulo tiene dos ejes de simetría que pasan por los puntos medios de sus lados. El rectángulo es un polígono, un cuadrilátero, un paralelogramo y un trapecio. El rectángulo es una figura bidimensional.

DUA: Representación La actividad digital interactiva de Prisma rectangular recto permite a sus estudiantes observar, en tiempo real, los efectos de hacer cambios en la longitud y el ancho de un rectángulo y en la longitud, el ancho y la altura de un prisma rectangular recto. Esta actividad también les permite observar el número de caras, aristas y vértices de prismas rectangulares rectos de diferentes tamaños. Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual.

Podemos cubrir el rectángulo con fichas cuadradas y podemos usar el rectángulo para cubrir otros rectángulos.

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16 Luego, cree un prisma rectangular recto con una longitud de 5 unidades, un ancho de 3 unidades y una altura de 1 unidad. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar las semejanzas y diferencias que observan entre el prisma rectangular recto y el rectángulo. Tanto el rectángulo como el prisma rectangular recto tienen una longitud de 5 unidades y un ancho de 3 unidades. El prisma rectangular recto tiene una altura de 1 unidad, pero el rectángulo no tiene altura.

Nota para la enseñanza En la actividad digital interactiva, la perspectiva podría hacer que parezca que el prisma rectangular recto está en una cuadrícula rectangular. Muestre otras perspectivas para que la clase vea que la cara inferior del prisma se apoya sobre una cuadrícula cuadrada.

El rectángulo es plano, pero el prisma rectangular recto no lo es. El prisma rectangular recto tiene rectángulos en todos sus lados. El prisma rectangular recto y el rectángulo tienen ángulos rectos. El prisma rectangular recto es una figura tridimensional, o sólido, pero el rectángulo es una figura bidimensional. El rectángulo tiene cuatro esquinas, pero el prisma rectangular recto tiene más de cuatro esquinas. El rectángulo es un polígono, pero el prisma rectangular recto no lo es. La base de un prisma rectangular recto es una de las caras del prisma. En general, se considera que esta es la superficie sobre la que se apoya el prisma. La longitud de la base de este prisma rectangular recto es 5 unidades y el ancho es 3 unidades. Cuando identificamos una cara como la base de un prisma rectangular recto, la longitud y el ancho de la base son iguales a las del prisma. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre lo que creen que pasará con el rectángulo y con el prisma rectangular recto si se hacen cambios en su longitud y en su ancho. A continuación, pida a sus estudiantes que observen las dos figuras mientras usted ajusta la longitud y, luego, el ancho de ambas. Lentamente, aumente la longitud de las dos figuras y, luego, disminúyala a 1 unidad. Repita el proceso varias veces hasta volver a una longitud de 5 unidades. Aumente, de a poco, el ancho de las figuras y, luego, disminúyalo a 1 unidad. Repita el proceso varias veces hasta volver a un ancho de 3 unidades.

320

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión de la longitud y el ancho de un rectángulo a fin de identificar la longitud, el ancho y la altura de un prisma rectangular recto. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relacionan los rectángulos y los prismas rectangulares rectos? ¿Cómo puede esa relación ayudarles a identificar la longitud, el ancho y la altura de un prisma rectangular recto? • ¿Cómo pueden usar lo que saben acerca de la longitud y el ancho de los rectángulos para identificar la longitud, el ancho y la altura de un prisma rectangular recto?

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16 ¿Qué observan acerca del prisma rectangular recto cuando se hacen cambios en su longitud y su ancho? Al cambiar la longitud, se alarga y se acorta la longitud del prisma, pero su altura y su ancho se mantienen iguales. Cuando cambiamos el ancho, se alarga y se acorta el ancho del prisma, pero su altura y su longitud se mantienen iguales. ¿Qué observan acerca del rectángulo cuando se hacen cambios en su longitud y su ancho? Al cambiar la longitud, se alarga y se acorta la longitud del rectángulo, pero su ancho se mantiene igual. Cuando se cambia el ancho, se alarga y se acorta el ancho del rectángulo, pero su longitud se mantiene igual.

Nota para la enseñanza Más adelante en la lección, la clase determina que puede llamarse base a cualquier cara de un prisma rectangular recto. En grados posteriores, aprenden que todo prisma recto tiene dos bases que son caras paralelas. Por ejemplo, un prisma triangular recto tiene dos bases que son triángulos. Cualquier cara de un prisma rectangular recto puede ser una base, pero no cualquier cara de un prisma triangular recto puede serlo.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre lo que creen pasará con el rectángulo y con el prisma rectangular recto si se hacen cambios en su altura. Luego, pida a sus estudiantes que observen las dos figuras mientras usted cambia la altura de ambas. Aumente de a poco la altura y, luego, vuelva a disminuirla a 1 unidad. Repita el proceso varias veces antes de volver a una altura de 1 unidad. ¿Qué observan acerca del prisma rectangular recto cuando se hacen cambios en su altura? El prisma se hace más alto y más bajo, pero su longitud y su ancho se mantienen iguales. ¿Qué observan acerca del rectángulo cuando se hacen cambios en su altura? El rectángulo no cambia. Se mantiene del mismo tamaño. ¿Por qué no cambia el tamaño del rectángulo al hacer cambios en su altura? Un rectángulo es plano. No tiene altura. Un rectángulo es una figura bidimensional. Tiene longitud y ancho, pero no tiene altura.

Nota para la enseñanza Mientras sus estudiantes describen el tamaño del prisma rectangular recto y cómo el prisma cambia cuando se modifica la longitud de una arista, pueden usar lenguaje que describe el volumen (p. ej., pueden decir que hay más capas o que hay más cajas pequeñas). El lenguaje para describir el volumen se presenta en la lección 17, y el lenguaje de esta lección es la base para comprender el volumen. Enfoque la conversación de esta lección en la longitud, el ancho y la altura.

Un rectángulo es plano, es decir, no tiene grosor porque se ubica en un plano. Las figuras que se ubican en un plano son bidimensionales. ¿Un prisma rectangular recto es bidimensional? ¿Por qué? No. Un prisma rectangular recto no es bidimensional porque no es plano y tiene altura. Un prisma rectangular recto es tridimensional. No. Un prisma rectangular recto no se ubica en un plano, entonces, no es bidimensional. Un prisma rectangular recto tiene longitud, ancho y altura. Es tridimensional y no se ubica en un plano.

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16 Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que rotulen el prisma rectangular recto con los términos longitud, ancho y altura. 1. Rotula la longitud, el ancho y la altura del prisma rectangular recto.

Altura

Longitud

DUA: Representación Considere dejar a la vista imágenes que muestren diferentes maneras de girar y rotular el mismo prisma rectangular recto. Destaque que hay muchas formas de rotular la longitud, el ancho y la altura.

Ancho Longitud

Altura

Ancho

Longitud

Muestre un prisma rectangular recto construido. Señale la parte inferior del prisma y deslice su dedo hacia arriba. ¿Esta es la longitud, el ancho o la altura del prisma? La altura Gire el prisma de manera que lo que sus estudiantes identificaron como la altura quede en la parte de abajo. ¿El prisma sigue siendo del mismo tamaño a pesar de que lo que identificaron como su altura cambió de lugar? Sí. ¿Podemos rotular la longitud, el ancho y la altura del prisma de diferentes maneras? ¿Por qué?

Nota para la enseñanza Puede haber estudiantes que tengan el concepto erróneo de que la figura que se muestra en el problema 1 debe ser transparente y que tiene una parte interior y una exterior. Explíqueles que las líneas entrecortadas muestran las aristas que no serían visibles al observar un sólido de frente.

Sí. Podemos girar un prisma de distintas maneras. El prisma se mantiene del mismo tamaño sin importar cómo lo giremos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden rotular la longitud, el ancho y la altura del prisma rectangular recto del problema 1 de manera diferente.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

Caras, aristas y vértices Materiales: M) Prisma rectangular recto construido; E) Prisma rectangular recto construido, marcador fluorescente

La clase compara un rectángulo con un prisma rectangular recto e identifica las caras, las aristas y los vértices de este último. Continúe mostrando la actividad digital interactiva de Prisma rectangular recto con un rectángulo de 5 unidades por 3 unidades y un prisma rectangular recto de 5 unidades por 3 unidades por 1 unidad. Sabemos que todos los rectángulos tienen cuatro lados. Los puntos en los que se juntan dos lados son los vértices. ¿Todos los rectángulos tienen el mismo número de vértices? De ser así, ¿cuántos? Sí. Todos los rectángulos tienen cuatro vértices. ¿Todos los prismas rectangulares rectos tienen cuatro lados y cuatro vértices como los rectángulos? No. Un prisma rectangular recto tiene caras, aristas y vértices. Muestre el prisma rectangular recto construido. Señale dos caras adyacentes. Luego, deslice su mano por la arista donde se juntan las dos caras.

Diferenciación: Apoyo

El segmento de recta donde se juntan dos caras se llama arista. Señale uno de los vértices del prisma. El punto donde se juntan tres aristas se llama vértice. Pida a las parejas que cuenten el número de caras de su prisma rectangular recto construido. ¿Cuántas caras tiene un prisma rectangular recto?

6 Pida a sus estudiantes que cuenten las caras mientras usted las señala e identifica cada una con la descripción correspondiente superior, inferior, del frente, de atrás, izquierda o derecha. Gire el prisma de manera que un nuevo lado quede en la parte de abajo y pida a la clase que identifique cada cara en la nueva orientación.

Considere preparar varios prismas rectangulares rectos de diferentes tamaños y, en cada uno, resalte una arista rotulada como la altura. Invite a sus estudiantes a girar cada prisma de diversas maneras a fin de observar cómo cambia la altura en las diferentes orientaciones. Esta experiencia concreta les ayuda a confirmar que la altura del prisma puede cambiar dependiendo de cómo se lo gire. Pídales que observen cómo los cambios en la altura afectan la longitud y el ancho del prisma.

323

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16 A menudo, se llama base a la cara inferior de un prisma rectangular recto. ¿Se puede llamar base a cualquier cara del prisma? ¿Por qué? Sí. Podemos girar un prisma de diferentes maneras, por lo tanto, se puede llamar base a cualquiera de las caras. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para identificar cada cara de su prisma rectangular recto construido. Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar qué caras son del mismo tamaño.

Nota para la enseñanza Considere dibujar una imagen o crear un afiche de referencia para repasar vocabulario conocido de grados anteriores.

Las caras superior e inferior tienen el mismo tamaño. Las caras del frente y de atrás tienen el mismo tamaño. Las caras de la izquierda y de la derecha tienen el mismo tamaño. Use la actividad digital interactiva con el propósito de crear prismas rectangulares rectos de diferentes tamaños (p. ej., alto y angosto y, luego, corto y ancho). Cuente el número de caras de cada prisma. A continuación, señale una arista del prisma rectangular recto. Pida a las parejas que cuenten el número de aristas que tiene su prisma rectangular recto. ¿Cuántas aristas tiene su prisma rectangular recto?

12 Pida a sus estudiantes que cuenten mientras usted señala cada una de las doce aristas del prisma rectangular recto construido: • las cuatro aristas donde la cara inferior se junta con la cara izquierda, la derecha, la del frente y la de atrás; • las cuatro aristas donde la cara superior se junta con la cara izquierda, la derecha, la del frente y la de atrás; • las cuatro aristas donde las caras del frente y de atrás se juntan con las caras izquierda y derecha. Use la actividad digital interactiva para crear prismas rectangulares rectos de diferentes tamaños. Cuente para confirmar el número de aristas en cada prisma. A continuación, señale un vértice del prisma rectangular recto. Invite a las parejas a contar el número de vértices que tiene su prisma rectangular recto construido.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16 ¿Cuántos vértices tiene su prisma rectangular recto?

8 Pida a sus estudiantes que cuenten mientras usted señala cada uno de los ocho vértices del prisma rectangular recto construido: • los cuatro vértices en las esquinas de la cara inferior y • los cuatro vértices en las esquinas de la cara superior. Use la actividad digital interactiva para crear prismas rectangulares rectos de diferentes tamaños. Cuente para confirmar el número de vértices de cada prisma. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre qué creen que pasa con las caras, las aristas y los vértices de un prisma rectangular recto cuando se hacen cambios en la longitud, el ancho y la altura de este. Luego, pida a sus estudiantes que observen el prisma rectangular recto en la actividad digital interactiva mientras usted cambia la longitud, el ancho y la altura del prisma. Lentamente, aumente la longitud y, luego, vuelva a disminuirla a 5 unidades. Aumente de a poco el ancho y, luego, disminúyalo hasta 3 unidades otra vez. Aumente lentamente altura y, luego, vuelva a disminuirla hasta 1 unidad. Repita el proceso tantas veces como sea necesario. ¿Cambia el número de caras, aristas y vértices de un prisma rectangular recto cuando se hacen cambios en su longitud, ancho o altura? ¿Por qué? No. Un prisma rectangular recto siempre tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. Tener 6 caras, 12 aristas y 8 vértices es una propiedad de los prismas rectangulares rectos. Todos los ángulos de un rectángulo son rectos. ¿Los ángulos de un prisma rectangular recto son rectos? ¿Por qué? Sí. Todas sus caras son rectángulos, por lo tanto, todos los ángulos son ángulos rectos. Una propiedad de los prismas rectangulares rectos es que todos sus ángulos son ángulos rectos. Pida a sus estudiantes que resalten las aristas y que rotulen los vértices del prisma rectangular recto en el problema 2.

325

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16 2. Resalta las aristas y rotula los vértices del prisma rectangular recto con una V.

V Vértice

Cara

Arista

V V

Diferenciación: Desafío Desafíe a sus estudiantes pidiéndoles que dibujen una pirámide e identifiquen cuántas caras, aristas y vértices tiene.

V V

Invite a sus estudiantes a que trabajen en parejas para señalar y contar cada una de las caras del prisma rectangular recto del problema 2. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas. Como ayuda para que sus estudiantes respondan las preguntas, use la actividad digital interactiva y ajuste la longitud, el ancho y la altura del prisma rectangular recto. ¿Qué caras del prisma rectangular recto cambian de tamaño cuando se hacen cambios en la longitud del prisma? ¿Qué caras mantienen el mismo tamaño? Al hacer cambios en la longitud del prisma, la cara superior, la inferior, la del frente y la de atrás se hacen más grandes o más pequeñas. Cuando se hacen cambios en la longitud del prisma, la cara izquierda y la derecha mantienen su tamaño. ¿Qué caras del prisma rectangular recto cambian de tamaño cuando se hacen cambios en el ancho del prisma? ¿Qué caras mantienen el mismo tamaño?

Nota para la enseñanza Considere representar cómo señalar las caras del prisma rectangular recto antes de pedir a sus estudiantes que realicen la actividad en parejas. Desplace el dedo por las aristas de una cara y, luego, deslícelo a través de la cara hacia abajo. Repita la actividad con cada una de las caras. Invite a sus estudiantes a nombrar las caras (es decir, cara del frente, cara de atrás, cara izquierda, cara derecha, cara superior y cara inferior) mientras usted las señala.

Cuando se hacen cambios en el ancho del prisma, la cara superior, la inferior, la izquierda y la derecha se hacen más grandes o más pequeñas. Al hacer cambios en el ancho del prisma, la cara del frente y la de atrás mantienen el mismo tamaño. ¿Qué caras del prisma rectangular recto cambian de tamaño cuando se hacen cambios en la altura del prisma? ¿Qué caras mantienen el mismo tamaño? Al hacer cambios en la altura del prisma, la cara izquierda, la derecha, la del frente y la de atrás se hacen más grandes o más pequeñas. Cuando se hacen cambios en la altura del prisma, la cara superior y la cara inferior mantienen su tamaño.

326

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

¿Rectángulo o prisma rectangular recto? Materiales: M) Afiches, papel

La clase razona sobre si una hoja de papel es un rectángulo o un prisma rectangular recto. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta. ¿Cómo saben si una figura es un rectángulo o un prisma rectangular recto? Un rectángulo es plano, y un prisma rectangular recto no lo es.

DUA: Representación Para ayudar a sus estudiantes con la idea de que el grosor de una hoja de papel es su altura, muestre una pila de papel y pida a la clase que razone acerca de ella antes de pensar en una hoja suelta.

Un rectángulo se ubica en un plano, pero un prisma rectangular recto no. Un prisma rectangular recto tiene altura, pero un rectángulo no tiene. Un prisma rectangular recto es tridimensional, pero un rectángulo es bidimensional. Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes a los afiches colgados en el salón de clases: Rectángulo, Prisma rectangular recto, Ambos y Ninguno. Muestre una hoja de papel. Presente los enunciados e invite a que cada estudiante se ponga de pie junto al afiche que mejor describa su razonamiento. • La hoja de papel es un rectángulo. • La hoja de papel es un prisma rectangular recto. • La hoja de papel es ambos, tanto un rectángulo como un prisma rectangular recto. • La hoja de papel no es ninguno, ni un rectángulo ni un prisma rectangular recto. Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 1 minuto para que los grupos comenten por qué lo eligieron. Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección. Anime a quienes cambien de opinión durante la conversación a unirse a otro grupo. Pida a sus estudiantes que regresen a sus asientos. Reflexione con toda la clase sobre por qué una hoja de papel es en realidad un prisma rectangular recto: Tiene altura, o grosor, y se puede apilar para crear un prisma rectangular recto más alto.

Nota para la enseñanza Un rectángulo tiene dos dimensiones: longitud y ancho. Un prisma rectangular recto tiene tres dimensiones: longitud, ancho y altura. Considere comparar un trozo de papel encerado y uno de cartulina. Muestre a la clase que los dos tienen grosor, o altura, lo que hace que ambos sean prismas rectangulares rectos.

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5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

EUREKA MATH2

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Identificar los atributos y las propiedades de prismas rectangulares rectos Guíe una conversación de toda la clase acerca de las propiedades y los atributos de los prismas rectangulares rectos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Qué hace que una figura sea tridimensional? Una figura tridimensional tiene una altura. Una figura tridimensional no es plana. Una figura tridimensional no se ubica en un plano. ¿Cómo podemos describir el tamaño de un prisma rectangular recto? Podemos identificar su longitud, ancho y altura. ¿Cambia el número de caras, aristas y vértices que tiene un prisma rectangular recto si se hacen cambios en su longitud, ancho o altura? Expliquen su razonamiento. No, el número de caras, aristas y vértices de un prisma rectangular recto no se ve afectado si se hacen cambios en su longitud, ancho o altura. No. Todo prisma rectangular recto siempre tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. Hacer cambios en la longitud, ancho o altura de un prisma no afecta el número de caras, aristas o vértices en él.

328

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16 ¿Qué cambios se producen en las caras, las aristas y los vértices de un prisma rectangular recto al hacer cambios en su longitud, ancho o altura? ¿Qué se mantiene igual? Cuando se hacen cambios en la longitud, el ancho o la altura de un prisma rectangular recto, algunas de sus caras cambian de tamaño. Al modificar la longitud, el ancho o la altura de un prisma rectangular recto, se producen cambios en la longitud de algunas de sus aristas. No hay cambios en los vértices de un prisma si se hacen cambios en su longitud, ancho o altura.

329

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

2. Encierra en un círculo los dos prismas rectangulares rectos que son idénticos.

3 in

4 in

1. Considera las figuras.

3 in

12 in 12 in

3 in

4 in

2 in 3 in

12 in 10 in

4 in

a. Colorea de rojo todas las figuras bidimensionales. b. Encierra en un círculo todas las figuras tridimensionales.

330

147

148

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16

Considera los rótulos de la longitud, el ancho y la altura en el prisma rectangular recto.

3. Considera el rectángulo y el prisma rectangular recto.

5 in

Altura

3 in

4 in

Longitud

Ancho

Completa los espacios. a. Un rectángulo tiene

lados.

b. Un rectángulo tiene

vértices.

Halla la longitud, el ancho y la altura de los prismas en los problemas 4 a 7.

c. Un prisma rectangular recto tiene

d. Un prisma rectangular recto tiene

e. Un prisma rectangular recto tiene

5 in caras.

5 in 4 in

aristas.

6 in

4 in

Longitud:

vértices.

2 in

3 in

6 in

Longitud:

Ancho:

2 in

Ancho:

3 in

Altura:

5 in

Altura:

5 in

7 in 7 in 6 in

8 in

3 in

6 in Longitud:

GRUPO DE PROBLEMAS

149

150

6 in

Longitud:

6 in

Ancho:

8 in

Ancho:

3 in

Altura:

7 in

Altura:

7 in

GRUPO DE PROBLEMAS

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5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 16 ▸ Prisma rectangular recto

EUREKA MATH2

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LECCIÓN 17

Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos rellenándolos con cubos unitarios y contando

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

Nombre

Fecha

Tara dibuja para representar un prisma rectangular recto relleno con cubos de un centímetro. Usa el prisma para completar las partes (a) a (c). a. ¿Con cuántos cubos de un centímetro está relleno el prisma rectangular recto?

24 cubos de un centímetro

b. Completa la tabla. Ejemplo: Longitud (centímetros)

Ancho (centímetros)

Altura (centímetros)

Volumen (centímetros cúbicos)

Vistazo a la lección La clase halla el volumen de un prisma rectangular recto contando el número de cubos de un centímetro que se necesitan para rellenar el prisma. Cuando comprenden que se necesita el mismo número de cubos para rellenar prismas con longitudes, anchos y alturas diferentes, se dan cuenta de que prismas con dimensiones diferentes pueden tener el mismo volumen. Cuando usan cubos de diferentes tamaños, sus estudiantes determinan que los prismas pueden tener diferentes volúmenes aun cuando están formados por el mismo número de cubos. En esta lección se presentan los términos cubo unitario, unidad cúbica, volumen, centímetro cúbico y pulgada cúbica.

Preguntas clave • ¿Cómo podemos medir la cantidad de espacio que ocupa un prisma rectangular recto? • ¿Es cierto que dos prismas rectangulares rectos que tienen diferentes dimensiones siempre tienen volúmenes diferentes? ¿Por qué?

c. El prisma rectangular recto de Blake tiene las dimensiones que se muestran.

• ¿Cómo es posible que prismas rectangulares rectos formados por el mismo número de cubos tengan volúmenes diferentes? 4 ft

2 ft

Criterios de logro académico 5.Mód5.CLA6 Reconocen que se puede medir el volumen usando cubos

3 ft

unitarios y que un sólido relleno con n cubos unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un volumen de n unidades cúbicas. (5.MD.C.3) (5.MD.C.3.a) (5.MD.C.3.b)

Blake dice que su prisma rectangular recto tiene el mismo volumen que el prisma rectangular recto de Tara. ¿Está Blake en lo correcto? Explica tu razonamiento. Blake no está en lo correcto. El volumen del prisma de Blake está medido en pies cúbicos. El volumen del prisma rectangular recto de Tara está medido en centímetros cúbicos. Los pies cúbicos ocupan más espacio que los centímetros cúbicos, entonces, el prisma rectangular recto de Blake tiene mayor volumen que el de Tara.

5.Mód5.CLA7 Miden volúmenes contando cubos unitarios que representan

centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos y unidades improvisadas. 171

(5.MD.C.4)

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min Aprender 35 min

• Tarjetas de números decimales, Juego 2 (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

• Rellenar prismas con objetos sólidos

• sobres (12)

• Comparar volúmenes

Estudiantes

• Retire las hojas extraíbles de Tarjetas de números decimales, Juego 2 del libro para estudiantes y recórtelas. Coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos de modo que haya uno por pareja de estudiantes. Considere si sus estudiantes usarán solo tarjetas con décimos o si usarán tarjetas con décimos, centésimos y unidades.

• Comparar unidades cúbicas • Grupo de problemas

Concluir 10 min

• sobre con Tarjetas de números decimales, Juego 2 (1 por pareja de estudiantes) • Plantilla de sumandos escondidos (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes) • set de prismas rectangulares (1 juego por pareja de estudiantes) • cubos de un centímetro (40 por pareja de estudiantes) • regla

• Retire la hoja extraíble de Plantilla de sumandos escondidos del libro para estudiantes. Considere si desea preparar este material con antelación o si lo preparará con la clase durante la lección. • Considere rotular los prismas del set de prismas rectangulares como A, B, C y D con marcador permanente para ayudar a sus estudiantes a identificarlos durante la lección. ▸ A: 4 cm × 3 cm × 2 cm ▸ B: 3 cm × 3 cm × 3 cm

▸ C: 5 cm × 4 cm × 1 cm

▸ D: 2 cm × 2 cm × 5 cm

335

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

Fluidez

Conteo bip de 3 décimos en 3 décimos y de 7 décimos en 7 décimos La clase completa un patrón para adquirir fluidez con los números decimales. Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip. Escuchen con atención mientras cuento de 3 décimos en 3 décimos o de 7 décimos en 7 décimos. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano

cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos? Muestre la secuencia 0, 0.3,

0, 0.3, bip. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

0, 0.3 ,

0.6

0.6 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1.5,

336

1.8 , 2.1 1.5, 1.2 ,

0.9

3.0,

2.7 , 2.4

0, 0.7 ,

1.4

3.5,

4.2 , 4.9 3.5, 2.8 ,

2.1

7.0,

6.3 , 5.6

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

Sumandos escondidos Materiales: E) Tarjetas de números decimales, Juego 2, Plantilla de sumandos escondidos

Nota para la enseñanza

0.5 + 0.3 Estudiante A y estudiante B: “0.8” Estudiante A: “0.5 + 0.3 = 0.8” Estudiante B: “0.8 − 0.5 = 0.3”

Considere si desea limitar el juego al uso de tarjetas de décimos o si también usará tarjetas con otros valores posicionales. Por ejemplo, sus estudiantes pueden jugar a sumar centésimos y centésimos, décimos y centésimos, o números enteros y décimos.

337

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

Presentar

La clase razona acerca de qué recipiente ocupa más espacio. Presente la pregunta y dos recipientes con forma de prisma rectangular recto. Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.

¿Qué prisma ocupa más espacio?

Nota para la enseñanza

Prisma rectangular recto A

Prisma rectangular recto B

Dé a la clase 1 minuto de tiempo para pensar en silencio y considerar si el prisma A o el prisma B ocupan más espacio, o si tanto el prisma A como el B ocupan la misma cantidad de espacio. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.

338

Un prisma rectangular recto es un sólido. Dado que es físicamente imposible rellenar un sólido, rellenamos con objetos sólidos recipientes con forma de prisma rectangular recto y usamos la capacidad de los recipientes para explorar el volumen de prismas rectangulares rectos con las mismas dimensiones. Como estos recipientes son un modelo del prisma, no se tiene en cuenta el grosor del plástico.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17 Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Busque estudiantes cuyas ideas den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo medir la cantidad de espacio que ocupa un prisma. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y regístrelo. Mientras la clase conversa, destaque el razonamiento sobre estrategias de medición y sus relaciones. No sé con certeza qué prisma ocupa más espacio. El prisma B es más alto, pero el prisma A es más ancho. Entonces, cualquiera de los dos puede ocupar más espacio, o los dos pueden ocupar la misma cantidad de espacio, dependiendo de sus medidas. Podríamos llenar los prismas con agua y ver cuál contiene más. Podríamos medir la longitud, el ancho y la altura de cada prisma con una regla y compararlos. Reflexione con toda la clase sobre cómo se puede medir la cantidad de espacio que ocupa una figura tridimensional. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. • ¿Cómo se puede medir la cantidad de espacio plano que ocupa una figura bidimensional? • ¿De qué manera razonan sobre cuánto espacio ocupa una figura tridimensional? • Un prisma se ve más alto, pero el otro se ve más ancho. ¿Cómo afectan la altura y el ancho de un prisma a la cantidad de espacio que este ocupa? Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a medir la cantidad de espacio que ocupa un prisma rectangular recto.

339

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

Aprender

Rellenar prismas con objetos sólidos Materiales: E) Prisma de 4 cm × 3 cm × 2 cm, cubos de un centímetro, regla, prisma de

3 cm × 3 cm × 3 cm

La clase usa cubos de un centímetro para rellenar recipientes con forma de prisma rectangular recto a fin de hallar el volumen de sólidos con las mismas dimensiones. Forme parejas de estudiantes y dé a cada una un prisma de 4 cm × 3 cm × 2 cm y 40 cubos de un centímetro. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar los materiales para determinar la cantidad de espacio que ocupa un prisma rectangular recto. Dé unos minutos a sus estudiantes para que trabajen con los materiales. Luego, invíteles a compartir lo que hayan observado.

Nota para la enseñanza En grados anteriores, sus estudiantes usan cubos de un centímetro en un contexto de peso, porque cada uno de ellos pesa 1 gramo; en este tema, se usan los cubos para medir la cantidad de espacio que ocupa un prisma rectangular recto. Señale que puede haber cubos del mismo tipo y tamaño que estén hechos de un elemento más liviano o más pesado y que, en este caso, el prisma igualmente se rellenaría con el mismo número de cubos.

Puse cubos en el prisma rectangular recto y hallé que entran 24 de ellos en el prisma. Junté 24 cubos para crear un prisma rectangular recto que fuera del mismo tamaño. Pude colocar 12 cubos en la parte de abajo y, luego, apilé otros 12 cubos encima de ellos. Podemos usar cuadrados unitarios para cubrir figuras bidimensionales y medir su área en unidades cuadradas. Una manera de medir la cantidad de espacio que ocupa una figura tridimensional es rellenarla con cubos. ¿Qué forma tienen las caras de un cubo? Las caras de un cubo son cuadrados. Como las caras de un cubo son cuadrados, y los lados de un cuadrado tienen la misma longitud, las aristas de un cubo también tienen la misma longitud. Cuando cada arista de un cubo mide 1 unidad, lo llamamos cubo unitario. Muestre uno de los cubos. ¿Es un cubo unitario? ¿Cómo lo saben?

Nota para la enseñanza De ser necesario, invite a sus estudiantes a confirmar que las aristas de cada cubo tienen la misma longitud colocando un cubo en una hoja de papel y dibujando marcas de graduación para indicar la longitud de una arista. Pídales que roten el cubo y confirmen que todas las aristas tienen la misma longitud. Más adelante en la lección, la clase mide las aristas y determinan que el cubo es un cubo de un centímetro.

Sí. Las caras son cuadrados, y las aristas tienen la misma longitud.

340

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17 Pida a aquellos estudiantes que aún no lo hicieron que rellenen el prisma por completo, sin espacios ni superposiciones, y que cuenten el número de cubos que utilizan. Asegúrense de que no haya espacios entre los cubos y que estos no sobrepasen la altura del prisma. No tenemos que preocuparnos por que los cubos se superpongan, porque son sólidos y mantienen su forma. Pida a sus estudiantes que completen el problema 1 de sus libros. 1. Haz un boceto para mostrar el número de cubos unitarios visibles en las caras del prisma rectangular recto. Escribe en el espacio el número total de cubos unitarios que se necesitan para rellenar el prisma.

DUA: Acción y expresión Considere ofrecer una herramienta de borde recto como ayuda para que sus estudiantes dibujen los cubos. Si hacer el boceto de un prisma rectangular recto relleno de cubos unitarios presenta un desafío para sus estudiantes, considere ofrecerles la opción de que escriban una descripción del aspecto del prisma.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere proporcionar un apoyo visual que acompañe la presentación de los términos cubo unitario y unidad cúbica. Un cubo unitario es un cubo cuyas aristas miden todas 1 unidad. Una unidad cúbica es una unidad de medida que describe el espacio tridimensional que ocupa un cubo unitario.

Número de cubos unitarios:

Cuando hayan terminado, use los siguientes planteamientos. Podemos usar cubos unitarios para medir la cantidad de espacio que ocupa una figura tridimensional. Podemos contar el número de cubos unitarios que se necesitan para rellenar una figura por completo, sin espacios ni superposiciones. Los cubos son las unidades, así que decimos unidades cúbicas. ¿Cuántas unidades cubicas de espacio ocupa el prisma rectangular recto del problema 1?

24 unidades cúbicas Dado que 24 unidades cúbicas rellenan el prisma, podemos decir que el volumen del prisma es 24 unidades cúbicas o que el prisma ocupa 24 unidades cúbicas de espacio. El volumen de una figura tridimensional es la cantidad de espacio que ocupa.

1 unidad

Considere sumar apoyos visuales para cubo de un centímetro, centímetro cúbico, cubo de una pulgada y pulgada cúbica a medida que se presentan los términos más adelante en la lección.

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5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17 Pida a sus estudiantes que escriban volumen y 24 unidades cúbicas junto al prisma del problema 1. Si alguien rellenó el prisma con solo 20 cubos, ¿podemos decir que el volumen del prisma es 20 unidades cúbicas? ¿Por qué? No. Si alguien rellenó el prisma con solo 20 cubos, entonces, no lo rellenó por completo. Para rellenar un prisma, no debe haber espacios ni superposiciones. Si alguien rellenó el prisma con 24 cubos y, luego, apiló 4 cubos más, ¿podemos decir que el volumen del prisma es 28 unidades cúbicas? ¿Por qué? No. Si alguien usó 28 cubos, entones, debe haber sobrepasado la altura del prisma. Serían demasiados cubos. Dé una regla a cada estudiante. Invíteles a medir la longitud, el ancho y la altura, en centímetros, de un cubo de un centímetro. Luego, haga la siguiente pregunta. Llamamos a esto un cubo de un centímetro. ¿Por qué creen que recibe este nombre? La longitud, el ancho y la altura miden 1 centímetro cada uno. Se lo denomina cubo de un centímetro porque cada una de sus aristas mide 1 centímetro. Un cubo de un centímetro ocupa 1 centímetro cúbico de espacio. ¿Cuántos centímetros cúbicos de espacio ocupa el prisma rectangular recto del problema 1? ¿Por qué?

24 centímetros cúbicos. Cada cubo de un centímetro ocupa 1 centímetro cúbico de espacio, y hay 24 cubos de un centímetro.

EUREKA MATH2

Apoyo para la comprensión del lenguaje La palabra volumen tiene varios significados en matemáticas y en el uso cotidiano. Considere destacar diferentes significados del término y activar los conocimientos previos de grados anteriores. • En 3.er grado, la clase aprende sobre el volumen líquido. Sabemos que galón, cuarto de galón, pinta y taza son las unidades de volumen líquido del sistema inglés. • Volumen también puede referirse a qué tan alto se puede escuchar algo. El volumen de la televisión estaba al máximo. • Volumen también puede hacer referencia a un libro en una serie. Estoy leyendo el volumen 2 de mi serie de libros favorita. Quedan 3 volúmenes más.

Como hay 24 cubos de un centímetro rellenando el prisma, podemos decir que el volumen del prisma es 24 centímetros cúbicos. Pida a sus estudiantes que escriban volumen y 24 centímetros cúbicos junto al prisma del problema 1. Luego, indíqueles que cuenten los cubos para ver qué tan largo, ancho y alto es el prisma en centímetros. ¿Cuánto mide el prisma de largo? ¿Cuánto mide de ancho? ¿Y de alto? El prisma mide 4 centímetros de largo, 3 centímetros de ancho y 2 centímetros de alto. Veo que la longitud es 3 centímetros, el ancho es 4 centímetros y la altura es 2 centímetros. La perspectiva de cada estudiante en cuanto a la longitud, el ancho y la altura puede variar. Acepte todas las respuestas correctas.

342

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17 Pida a la clase que rotule el prisma rectangular recto del problema 1 con su longitud, ancho y altura en centímetros. ¿Un clip ocupa espacio? Sí. Entonces, si bien no podemos rellenar un clip con objetos sólidos, este tiene volumen. ¿Creen que el volumen de un clip es más o menos de 24 centímetros cúbicos? ¿Por qué? El volumen de un clip es menos de 24 centímetros cúbicos porque ocupa menos de 24 centímetros cúbicos de espacio. ¿Una persona ocupa espacio? Sí. Por lo tanto, aunque no podamos rellenarla con objetos sólidos, una persona tiene volumen. ¿Creen que el volumen de una persona es más o menos de 24 centímetros cúbicos? ¿Por qué? El volumen de una persona es más de 24 centímetros cúbicos porque una persona ocupa más de 24 centímetros cúbicos de espacio. A continuación, muestre el prisma de 3 cm × 3 cm × 3 cm. ¿Qué observan acerca de este prisma? Es más alto que el otro prisma, pero no tan largo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar si el volumen de este prisma es mayor o menor que el volumen del prisma en el problema 1. ¿Cómo podemos medir la cantidad de espacio tridimensional que ocupa este prisma, su volumen, en centímetros cúbicos? Podemos rellenar el prisma con cubos de un centímetro y contar el número de centímetros cúbicos. Estimen el volumen de este prisma en centímetros cúbicos, o el número de cubos de un centímetro que se necesitan para rellenarlo. Escriban las estimaciones en sus pizarras blancas.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando halla el volumen de un prisma rectangular recto usando cubos de un centímetro para rellenar recipientes con forma de prisma rectangular recto. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Qué significa volumen en el mundo real? • ¿Qué les indica el número de cubos de un centímetro con los que rellenan un prisma rectangular recto acerca del volumen del prisma?

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17 Invite a diferentes estudiantes a compartir el razonamiento de sus estimaciones. Luego, dé a cada pareja un prisma de 3 cm × 3 cm × 3 cm. Pídales que rellenen el prisma por completo, sin espacios ni superposiciones, y que cuenten el número de cubos que se necesitan para hacerlo. Pida a la clase que complete el problema 2. 2. Haz un boceto para mostrar el número de cubos de un centímetro visibles en las caras del prisma rectangular recto. Luego, completa la tabla.

Longitud (centímetros)

Ancho (centímetros)

Altura (centímetros)

Volumen (centímetros cúbicos)

Nota para la enseñanza Puede haber estudiantes que empiecen a darse cuenta de que se puede multiplicar la longitud de las aristas de un prisma rectangular recto para hallar su volumen. Reconozca el patrón que observan. Sin embargo, ese no es el propósito de esta lección. En su lugar, guíe a la clase para que usen su razonamiento a fin de estimar y comprobar el número de cubos que se necesitan para rellenar un prisma rectangular recto por completo sin espacios ni superposiciones, reforzando la comprensión conceptual del volumen. Hallar el volumen multiplicando la longitud, el ancho y la altura de un prisma rectangular recto es una destreza que se presenta formalmente en el tema D.

Pida a sus estudiantes que comparen el volumen real del prisma con las estimaciones que escribieron en sus pizarras blancas.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17 ¿Qué observaron acerca del prisma rectangular recto del problema 2? Su volumen es 27 centímetros cúbicos. La longitud, el ancho y la altura son 3 centímetros cada uno. Sé que es un cubo porque su longitud, su ancho y su altura son iguales. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas a fin de comparar la longitud, el ancho, la altura y el volumen de los prismas del problema 1 y del problema 2.

Comparar volúmenes Materiales: E) Prisma de 5 cm × 4 cm × 1 cm, prisma de 2 cm × 2 cm × 5 cm, cubos de un centímetro

La clase compara el volumen de prismas rectangulares rectos. Dé a cada pareja de estudiantes un prisma de 5 cm × 4 cm × 1 cm y un prisma de 2 cm × 2 cm × 5 cm. Antes de pedirles que los rellenen, invíteles a escribir una de las siguientes opciones en sus pizarras blancas: • Más bajo si creen que el prisma más bajo tiene un mayor volumen. • Más alto si creen que el prisma más alto tiene mayor volumen. • Igual si creen que los dos prismas tienen el mismo volumen. Invite a quienes escribieron más bajo a compartir su razonamiento. Repita la actividad con quienes escribieron más alto e igual. Después, pida que cada estudiante de la pareja rellene uno de los dos prismas y que la pareja complete el problema 3.

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17 3. Completa la tabla para cada prisma rectangular recto.

Prisma rectangular recto

Diferenciación: Desafío

Longitud (centímetros)

Ancho (centímetros)

Altura (centímetros)

Volumen (centímetros cúbicos)

Desafíe a sus estudiantes proporcionándoles el volumen de un prisma rectangular recto y solo dos de sus tres dimensiones. Pídales que hallen la tercera dimensión. Por ejemplo, hallar la longitud de un prisma rectangular recto que mida 6 centímetros de ancho y 2 centímetros de alto y cuyo volumen es 36 centímetros cúbicos.

Cuando la mayor parte de la clase haya completado la tabla, pídales que hagan un boceto para mostrar el número de cubos de un centímetro visibles en las caras de cada prisma rectangular recto. Luego, haga las siguientes preguntas. ¿Qué observan acerca del volumen de los dos prismas? Los volúmenes son iguales.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17 ¿Son iguales las dimensiones (o la longitud, el ancho y la altura) de los dos prismas? No. ¿Qué prisma ocupa más espacio? ¿Cómo lo saben? Ocupan la misma cantidad de espacio. Lo sé porque tienen el mismo volumen. Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el siguiente planteamiento. Si duplicamos solo una dimensión de un prisma rectangular recto, ¿qué creen que sucederá con el volumen? El volumen aumentará. El volumen será el doble. Forme grupos de cuatro estudiantes uniendo dos parejas. Indíqueles que apilen sus dos prismas de 5 cm × 4 cm × 1 cm a fin de crear un nuevo prisma. ¿Cuáles son las dimensiones del nuevo prisma que crearon? La longitud es 5 centímetros, el ancho es 4 centímetros y la altura es 2 centímetros. ¿Cuál es el volumen del nuevo prisma? ¿Cómo lo saben? El volumen es 40 centímetros cúbicos. Lo sé porque 20 × 2 = 40. El volumen es 40 centímetros cúbicos. Lo sé porque 20 + 20 = 40. ¿Qué pasó con el volumen cuando duplicaron la altura? El volumen se duplicó. ¿Qué pasaría si duplicamos la longitud en vez de la altura? ¿Cómo lo saben? El volumen se duplicaría. Si ponemos los prismas uno al lado del otro, sigue habiendo

40 centímetros cúbicos.

Cada vez que duplicamos una dimensión de un prisma rectangular recto, el volumen se duplica. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar por qué el volumen de un prisma se duplica al duplicar una de sus dimensiones.

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5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

EUREKA MATH2

Comparar unidades cúbicas Materiales: E) Cubos de un centímetro

La clase compara el volumen de prismas rectangulares rectos. Muestre 1 cubo de un centímetro. ¿Cuál es la longitud, el ancho y la altura de 1 cubo de un centímetro? Su longitud es 1 centímetro, su ancho es 1 centímetro y su altura es 1 centímetro. ¿Cuánto espacio ocupa 1 cubo de un centímetro? ¿Por qué? Ocupa 1 centímetro cúbico de espacio, porque ese es su volumen. Invite a sus estudiantes a pensar en cómo se vería un cubo si se duplicara su longitud, ancho y altura, de manera que cada uno midiera 2 centímetros en vez de 1. Pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el volumen de un cubo cuyas aristas tienen longitudes de 2 centímetros en vez de 1 centímetro. El volumen sería 8 centímetros cúbicos porque se necesitan 8 cubos de un centímetro para construir un cubo con aristas de una longitud de 2 centímetros. Si duplicamos la longitud, eso duplica el volumen de 1 centímetro cúbico a 2 centímetros cúbicos porque 1 × 2 = 2. Entonces, si duplicamos el ancho, eso duplica el volumen a 4 centímetros cúbicos porque 2 × 2 = 4. Por lo tanto, si duplicamos la altura, eso duplica el volumen a 8 centímetros cúbicos porque 4 × 2 = 8. Pida a cada estudiante que construya un prisma rectangular recto que mida 2 centímetros de largo, de ancho y de alto para confirmar que su volumen es 8 centímetros cúbicos. Pida a cada estudiante que muestre con las manos el tamaño aproximado de 1 centímetro y, luego, de 1 pulgada.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17 Si construimos dos prismas rectangulares rectos con el mismo número de cubos, uno con 8 cubos de un centímetro y el otro con 8 cubos de una pulgada, ¿qué prisma ocupará más espacio? ¿Por qué? El prisma que está hecho con 8 cubos de una pulgada ocuparía más espacio porque las pulgadas son más largas que los centímetros. Un prisma construido con cubos de una pulgada ocupa más espacio y tiene mayor volumen que un prisma hecho con el mismo número de cubos de un centímetro. Una pulgada cúbica es el volumen de un cubo de una pulgada y es mayor que un centímetro cúbico. Pida a sus estudiantes que muestren con las manos el tamaño de 1 pie.

Diferenciación: Apoyo Para ayudar a sus estudiantes a visualizar las diferentes unidades cúbicas, muestre dibujos a escala de, por ejemplo, un centímetro cúbico, una pulgada cúbica, un pie cúbico y una yarda cúbica. 1 centímetro cúbico

Podemos medir volumen en otras unidades cúbicas, como pies cúbicos, yardas cúbicas y hasta millas cúbicas. ¿Cuál creen que ocupa más espacio: 1 pie cúbico u 8 centímetros cúbicos?

1 pulgada

1 pie cúbico

Si bien el número de cubos es menor, 1 pie cúbico ocupa más espacio que 8 centímetros cúbicos. Entonces, 1 pie cúbico tiene un volumen mayor que 8 centímetros cúbicos.

cúbica

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar cómo es posible que el volumen de dos prismas sea diferente cuando el número de cubos usados para construirlos es el mismo.

Grupo de problemas

1 yarda cúbica

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

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5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos rellenándolos con cubos unitarios y contando Guíe una conversación de toda la clase acerca del volumen de los prismas rectangulares rectos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cómo podemos medir la cantidad de espacio que ocupa un prisma rectangular recto? Podemos hallar el volumen del prisma rellenándolo con cubos y contando el número de unidades cúbicas. ¿Qué tamaño de cubo podemos usar para rellenar un prisma y hallar su volumen? Podemos usar cubos de cualquier tamaño si rellenan el prisma por completo sin espacios ni superposiciones. Podemos usar cubos de un centímetro, de una pulgada o, incluso, cubos de un pie si el prisma es lo suficientemente grande. ¿Es cierto que dos prismas rectangulares rectos que tienen diferentes dimensiones siempre tienen volúmenes diferentes? ¿Por qué? No. Dos prismas con dimensiones diferentes pueden tener el mismo volumen si ambos se rellenan con el mismo número de cubos del mismo tamaño. ¿Cómo es posible que dos prismas rectangulares rectos estén formados por el mismo número de cubos, pero tengan volúmenes diferentes? Den un ejemplo. Si cada prisma rectangular recto está formado por cubos de diferente tamaño, entonces, sus volúmenes serán diferentes. Por ejemplo, 1 centímetro cúbico ocupa menos espacio que 1 pie cúbico. Entonces, si bien los dos prismas están formados por 1 cubo, sus volúmenes son diferentes.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

9. La imagen representa un prisma rectangular recto relleno con cubos de un centímetro. Usa el prisma para completar las partes (a) y (b).

Completa los espacios en los problemas 1 a 3. 1. Un cubo unitario ocupa 2. Un cubo de un

centímetro

unidad cúbica de espacio.

ocupa 1 centímetro cúbico de espacio.

3. Un cubo de una pulgada ocupa 1

pulgada

a. ¿Con cuantos cubos de un centímetro está relleno el prisma rectangular recto?

cúbica de espacio.

30 cubos de un centímetro b. Completa la tabla. Ejemplo:

En los problemas 4 a 7, encierra en un círculo la medida de mayor volumen. 4. 1 pie cúbico o 1 pulgada cúbica

5. 1 pulgada cúbica o 1 centímetro cúbico

6. 1 centímetro cúbico o 1 pie cúbico

Longitud (centímetros)

Ancho (centímetros)

Altura (centímetros)

Volumen (centímetros cúbicos)

10. Un prisma rectangular recto mide 4 unidades de largo, 3 unidades de ancho y 3 unidades de alto. Está relleno con cubos unitarios. a. Haz un boceto para mostrar el número de cubos unitarios visibles en las caras del prisma rectangular recto.

7. 1 pie cúbico o 13 pulgadas cúbicas

8. Sara dice que un prisma rectangular recto cuyo volumen es 10 pulgadas cúbicas ocupa la misma cantidad de espacio que un prisma rectangular recto cuyo volumen es 10 centímetros cúbicos ya que ambos volúmenes son 10 unidades cúbicas. ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con Sara? ¿Por qué? Estoy en desacuerdo. 1 pulgada cúbica ocupa más espacio que 1 centímetro cúbico, entonces, el volumen de 10 pulgadas cúbicas ocupa más espacio que el volumen de 10 centímetros cúbicos.

b. ¿Cuántos cubos unitarios se necesitan para rellenar el prisma?

36 cubos unitarios © Great Minds PBC

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168

GRUPO DE PROBLEMAS

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 17

11. Usa el prisma rectangular recto A y el prisma rectangular recto B para completar las partes (a) a (c). Prisma rectangular recto A

Prisma rectangular recto B

3 in 4 in

2 in

6 in

2 in

a. ¿Cuál es el volumen del prisma rectangular recto A?

24 pulgadas cúbicas b. ¿Cuál es el volumen del prisma rectangular recto B ?

24 pulgadas cúbicas c. ¿Qué prisma ocupa más espacio? ¿Cómo lo sabes? Los prismas ocupan la misma cantidad de espacio porque tienen el mismo volumen.

12. Usa el prisma rectangular recto que se muestra para determinar si los enunciados son verdaderos o falsos. Enunciado Si se duplica la longitud del prisma, se duplica su volumen.

Verdadero X

Si se duplica el ancho del prisma, se reduce a la mitad su volumen. Si se triplica la altura del prisma, se triplica su volumen. © Great Minds PBC

352

Falso

X X GRUPO DE PROBLEMAS

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LECCIÓN 18

Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos rellenándolos con unidades improvisadas

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

Nombre

Fecha

Un prisma rectangular recto mide 4 unidades de largo, 1 unidad de ancho y 1 unidad de alto.

Vistazo a la lección La clase razona sobre cómo determinar el número de paquetes de gomas de mascar y de gomas de mascar que hay en una caja. Luego, usan cubos interconectables para formar un prisma rectangular recto. Usan los prismas a fin de construir un prisma rectangular recto más grande que sea del mismo tamaño que las cajas dadas y, así, hallar el volumen de las cajas. Sus estudiantes se dan cuenta de que pueden organizar de diferentes maneras los prismas más pequeños para construir los prismas más grandes y de que pueden usar diversas estrategias para hallar el volumen.

a. ¿Cuál es el volumen del prisma?

Preguntas clave

4 unidades cúbicas

• ¿Los prismas rectangulares rectos del mismo tamaño tienen el mismo volumen si se construyen organizando prismas más pequeños de diferentes maneras? ¿Por qué?

b. Se usan prismas como los de la parte (a) para rellenar una caja que mide 4 unidades de largo, 2 unidades de ancho y 3 unidades de alto. ¿Con cuántos prismas se rellena la caja?

• ¿Cómo hallan el volumen de un prisma rectangular recto que está compuesto de elementos que no son cubos?

Criterio de logro académico 5.Mód5.CLA7 Miden volúmenes contando cubos unitarios que representan

centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos y unidades improvisadas. (5.MD.C.4)

6 prismas

c. ¿Cuál es el volumen de la caja?

6 × 4 = 24 24 unidades cúbicas

185

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Construir un prisma con prismas • Construir un prisma más grande

Estudiantes • cubos interconectables de 1 cm (80 por pareja de estudiantes)

• Grupo de problemas

• Caja 1 (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

Concluir 10 min

• tijeras (1 por pareja de estudiantes) • cinta adhesiva (1 por pareja de estudiantes) • Caja 2 (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

355

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir números enteros La clase determina el cociente y el residuo para adquirir fluidez con la división de dividendos de dos y tres dígitos entre divisores de dos dígitos del módulo 1. Muestre 213 ÷ 40.

213 ÷ 40 5

Hallen el cociente y el residuo. Muestren su método. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

40 213 –200 13

Cociente: 5 Residuo: 13

Muestre el cociente y el residuo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

356

91 ÷ 22

425 ÷ 17

Cociente: 4

Cociente: 25

Residuo: 3

Residuo: 0

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

Intercambio con la pizarra blanca: Escribir y evaluar expresiones La clase escribe y evalúa una expresión para adquirir fluidez con los cálculos de dos pasos que involucran números decimales del módulo 4. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el enunciado: La suma de 1.2 y 1.8 duplicada. Escriban una expresión para representar el enunciado. Muestre el ejemplo de expresión. Escriban el valor de la expresión.

La suma de 1.2 y 1.8 duplicada

(1.2 + 1.8) × 2 6

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

La diferencia entre 1 y 0.1 dividida entre 3

Sumar 5 al producto de 0.2 y 4

(1 − 0.1) ÷ 3

(0.2 × 4) + 5

0.3

5.8

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

Presentar

La clase razona sobre cómo hallar el número de gomas de mascar que hay en un paquete y en una caja. Muestre el paquete de gomas de mascar.

¿Cuántas gomas de mascar hay en el paquete?

5 Muestre el paquete y la caja de paquetes de gomas de mascar.

358

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas. ¿Cuántas gomas de mascar hay en la caja? Creo que hay 50 gomas de mascar en la caja porque veo 10 paquetes de gomas de mascar y 10 × 5 = 50. Creo que hay 100 gomas de mascar en la caja. Puedo ver 10 paquetes de gomas de mascar y parece que puede haber 10 más debajo de ellos. 20 × 5 = 100. Creo que hay 150 gomas de mascar en la caja. Puedo ver 10 paquetes de gomas de mascar y parece que puede haber 2 grupos de 10 paquetes más debajo de ellos. 30 × 5 = 150. Si saben el volumen de 1 goma de mascar y el número de ellas que hay en un paquete, ¿cómo pueden hallar el volumen total de las gomas de mascar que hay en un paquete? Podemos sumar el volumen de cada goma de mascar en el paquete. Podemos multiplicar el volumen de 1 goma de mascar por el número de gomas de mascar que hay en el paquete. Si saben el volumen de 1 paquete de gomas de mascar y saben el número de paquetes que hay en una caja, ¿cómo pueden hallar el volumen total de los paquetes de gomas de mascar que hay en una caja? Podemos sumar el volumen de cada paquete de gomas de mascar en la caja. Podemos multiplicar el volumen de 1 paquete de gomas de mascar por el número de paquetes de gomas de mascar que hay en la caja. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a hallar el volumen de un prisma rectangular recto usando prismas rectangulares rectos más pequeños.

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

Aprender

Construir un prisma con prismas Materiales: E) Cubos, Caja 1, tijeras, cinta adhesiva

La clase construye prismas rectangulares rectos con una medida de 3 unidades × 1 unidad × 1 unidad y los usa para componer y hallar el volumen de un prisma rectangular recto más grande. Forme parejas de estudiantes y pídales que completen los problemas 1(a) y 1(b) de sus libros. 1. Un prisma rectangular recto mide 3 unidades de largo, 1 unidad de ancho y 1 unidad de alto. a. Dibuja el prisma. Ejemplo:

Nota para la enseñanza Considere mostrar un cubo de un centímetro y un cubo interconectable uno al lado del otro. Explique que uno de ellos es mejor para hallar el volumen que el otro: Si bien los cubos interconectables no son la mejor opción para rellenar, son una buena herramienta para construir. Cuando usamos cubos interconectables para representar unidades cúbicas, se asume que son cubos completos. No es necesario mostrar los conectores o los agujeros cuando dibujamos un prisma rectangular recto construido con ellos.

b. ¿Cuál es el volumen del prisma?

3 unidades cúbicas ¿Cuánto espacio ocupa el prisma rectangular recto del problema 1? ¿Cómo lo saben?

3 unidades cúbicas. Lo sé porque su volumen es 3 unidades cúbicas. 3 unidades cúbicas. Lo sé porque se necesitan 3 cubos unitarios para formar el prisma. Dé a cada pareja de estudiantes 80 cubos interconectables y pídales que formen el prisma del problema 1 conectando 3 cubos del mismo color. A continuación, indíqueles que retiren la hoja extraíble de Caja 1 de sus libros. Pídales que la recorten, que doblen sus lados hacia arriba y que los peguen para unir la caja.

360

Nota para la enseñanza En la lección 17, se proporciona el contorno del prisma, y sus estudiantes trazan segmentos de recta para indicar cubos individuales. Esta es la primera experiencia de la clase dibujando un cubo en papel de puntos isométricos. Considere mostrar cómo conectar los puntos para representar una figura tridimensional dibujando al menos el primer cubo del prisma. Proporcione a sus estudiantes herramientas de borde recto si tienen dificultad para dibujar líneas rectas entre los puntos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18 ¿Cómo se puede determinar la cantidad de espacio que ocupa la caja? Podemos hallar su volumen.

DUA: Participación

Podemos rellenarla con cubos de un centímetro y, luego, contarlos. Podemos construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño y contar el número de cubos que usamos. Para hallar el área de un rectángulo, podemos cubrirlo con fichas rectangulares más pequeñas. Una manera de hallar el volumen de la caja es usar prismas más pequeños para construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja y hallar su volumen.

Mientras sus estudiantes trabajan, ofrezca una retroalimentación que se enfoque en su esfuerzo y en el uso de una estrategia. Por ejemplo, señale buenos ejemplos de lo siguiente: • Organizar prismas en una manera única. • Dibujar una imagen precisa o escribir una buena explicación de cómo se organizaron los prismas.

Pida a sus estudiantes que borren las líneas internas que muestran los cubos individuales, dejando solo las aristas del prisma de la parte (a).

• Hallar el volumen de la caja usando el volumen de un prisma o grupos de prismas y, luego, multiplicar.

Luego, lea el problema 1(c) en voz alta. Pida a la clase que complete el problema 1(c) en parejas.

Si sus estudiantes no aplican estas estrategias, haga preguntas para incentivar su uso:

c. Estima cuántos prismas como los de la parte (a) se necesitan para construir un prisma rectangular recto que tenga el mismo tamaño que la caja 1.

10 prismas

• ¿En qué se parece hallar un volumen usando elementos que no son cubos unitarios y hallar un área cubriendo rectángulos con elementos que no son cuadrados unitarios?

Invite a diferentes estudiantes a compartir sus estimaciones y su razonamiento. Pida a sus estudiantes que usen cubos interconectables a fin de hacer más prismas rectangulares rectos que midan 3 unidades de largo, 1 unidad de ancho y 1 unidad de alto. Invíteles a hacer tantos prismas como sea necesario para construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja 1. Los prismas pequeños pueden ser de diferentes colores, pero pida a sus estudiantes, si es posible, que usen cubos del mismo color para formar cada uno de ellos.

361

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18 Permita a las parejas que seleccionen sus propias estrategias para completar las partes restantes del problema 1. Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Busque ejemplos de trabajos en los que se usen distintos métodos para construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja 1 y para hallar su volumen. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las diferentes maneras de determinar el volumen de la caja. d. Usa prismas rectangulares rectos que midan 3 unidades de largo, 1 unidad de ancho y 1 unidad de alto para construir un prisma rectangular recto que tenga el mismo tamaño que la caja 1. Explica o traza líneas en el prisma rectangular recto para mostrar cómo organizaste los prismas. Ejemplo:

Nota para la enseñanza En esta lección, no es importante que sus estudiantes usen términos como pilas, torres y capas. En su lugar, haga énfasis en el razonamiento sobre el uso de grupos de unidades para componer un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja, por ejemplo 12 grupos de 3 cubos o 4 grupos de 9 cubos.

Diferenciación: Apoyo Si las parejas necesitan ayuda para determinar cómo organizar sus prismas, haga preguntas para ayudarles a hacer conexiones entre los prismas rectangulares rectos y la caja.

e. ¿Cuántos prismas usaste para construir un prisma rectangular recto que tenga el mismo tamaño que la caja 1?

12 prismas

• ¿Qué dimensiones tienen en común el prisma rectangular recto y la caja? • ¿Qué intentaron y no funcionó? ¿Por qué no funcionó? ¿Qué más podrían intentar?

f. ¿Cuál es el volumen de la caja 1? Explica.

36 unidades cúbicas Usamos 12 prismas para construir un prisma rectangular recto que tenga el mismo tamaño que la caja 1. El volumen de cada prisma es 3 unidades cúbicas. El volumen de la caja es 36 unidades cúbicas porque 12 × 3 = 36.

362

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18 Los ejemplos de trabajo muestran posibles estrategias para construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja 1 y para hallar el volumen de la caja. Parar prismas y contar torres

Organizar en grupos y contarlos

Hay 12 prismas parados.

Hay 2 grupos de 6 prismas, es decir, 12 prismas.

Cada prisma es 3 unidades cúbicas.

Cada grupo tiene 6 prismas de 3 unidades cúbicas.

12 × 3 = 36 El volumen de la caja es 36 unidades cúbicas.

6 × 3 = 18 Cada grupo es 18 unidades cúbicas. Hay 2 grupos de 18 unidades cúbicas. 18 + 18 = 36 El volumen de la caja es 36 unidades cúbicas.

Organizar en capas y contarlas

Apilar prismas y contar pilas

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Hay 3 capas de 4 prismas, es decir, 12 prismas.

Hay 4 pilas de 3 prismas, es decir 12 prismas.

Cada capa tiene 4 prismas de 3 unidades cúbicas.

Cada pila tiene 3 prismas de 3 unidades cúbicas.

Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando determina la mejor manera de usar un prisma rectangular recto para construir un prisma del mismo tamaño que una caja, justifica cómo halló el volumen de la caja y escucha los argumentos de sus pares.

4 × 3 = 12

3×3=9

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

Cada pila es 9 unidades cúbicas. Hay 4 pilas de 9 unidades cúbicas.

• ¿Por qué funcionan sus estrategias? Convenzan a su pareja de trabajo.

4 × 9 = 36

• ¿Qué preguntas pueden hacerles a sus pares para asegurarse de que entienden cómo hallaron el volumen de la caja?

Cada capa es 12 unidades cúbicas. Hay 3 capas de 12 unidades cúbicas. 3 × 12 = 36 El volumen de la caja es 36 unidades cúbicas.

El volumen de la caja es 36 unidades cúbicas.

• ¿Cuándo funciona esta estrategia?

363

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18 Pida a quienes seleccionó que se turnen para compartir sus soluciones. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, hágale preguntas para que explique su razonamiento. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre las diferentes soluciones y el trabajo de cada estudiante. Anime a sus estudiantes a que hagan sus propias preguntas. Parar prismas y contar torres (método de Scott y Kayla) ¿Cómo organizaron Scott y Kayla los prismas para construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja? Pararon los prismas y los organizaron en 4 filas de 3 torres. ¿Por qué pararon los prismas, Scott? La longitud de los prismas es 3 unidades. Es decir, es igual a la altura de la caja.

Hay 12 prismas parados. Cada prisma es 3 unidades cúbicas. 12 × 3 = 36 El volumen de la caja es 36 unidades cúbicas.

¿Cómo usaron la multiplicación para hallar el volumen de la caja, Kayla? Usamos 12 prismas para construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja, el volumen de cada prisma es 3 unidades cúbicas. Así que multiplicamos 12 por 3 y hallamos que el volumen de la caja es 36 unidades cúbicas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Scott y Kayla y sus propios trabajos. Organizar en grupos y contarlos (método de Tyler y Tara) ¿Tyler y Tara usaron el mismo número de prismas que Scott y Kayla? ¿Organizaron los prismas de la misma manera? Usaron 12 prismas, pero formaron 2 grupos de 6. Pararon 1 grupo y acostaron el otro.

Hay 2 grupos de 6 prismas, es decir, 12 prismas. Cada grupo tiene 6 prismas de 3 unidades cúbicas. 6 × 3 = 18 Cada grupo es 18 unidades cúbicas. Hay 2 grupos de 18 unidades cúbicas. 18 + 18 = 36 El volumen de la caja es 36 unidades cúbicas.

364

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere proporcionar esquemas de oración para apoyar a sus estudiantes cuando explican cómo hallaron el volumen de la caja en la parte (f): • Hay

pilas.

• Hay

prismas.

• Cada pila tiene

• Cada grupo tiene • El volumen de la caja es

. .

Nota para la enseñanza Los ejemplos de trabajo muestran distintas maneras de construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja 1 y de hallar su volumen. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave. Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento de sus estudiantes. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien construyó un prisma del mismo tamaño que la caja de esta otra manera. ¿Qué piensan acerca de lo que hizo para hallar el volumen de la caja?”.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18 ¿Por qué formaron grupos de 6 prismas, Tyler? Formamos el mismo número de prismas, que resultó ser 6. Yo organicé los prismas parándolos, y Tara los organizó acostándolos para que supiéramos quién había organizado cada grupo de prismas. Tara, para hallar el volumen de la caja, ¿usaron la suma, la multiplicación o ambas? Usamos la suma y la multiplicación. Cada uno organizó 6 prismas, y el volumen de cada prisma es 3 unidades cúbicas. El volumen de cada grupo de 6 prismas es 18 unidades cúbicas, porque 6 × 3 = 18. Como construimos la mitad de un prisma, o medio prisma, cada uno, sumamos 18 y 18 y obtuvimos 36. Por lo tanto, el volumen de la caja es 36 unidades cúbicas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Tyler y Tara y sus propios trabajos. Organizar en capas y contarlas (método de Luis y Sasha) ¿Cómo organizaron los prismas Luis y Sasha? Acostaron los prismas sobre la parte inferior para formar una capa de 4 prismas. Luego, apilaron 3 capas de 4 prismas para construir un prisma del mismo tamaño que la caja. ¿Cómo supieron cuántos prismas colocar en cada capa, Luis? La longitud de la caja es 4 unidades y su ancho, 3 unidades. Como la longitud de los prismas es 3 unidades, necesitábamos 4 prismas en cada capa para que cada una tuviera el mismo ancho que la base de la caja. ¿Cómo hallaron el volumen de la caja, Sasha?

Hay 3 capas de 4 prismas, es decir, 12 prismas.

Diferenciación: Desafío Considere pedir a sus estudiantes que experimenten o que determinen mentalmente qué otro prisma rectangular recto, además de aquellos que miden 3 unidades de largo, 1 unidad de ancho y 1 unidad de alto, se pueden usar para construir un prisma del mismo tamaño que la caja 1.

Cada capa tiene 4 prismas de 3 unidades cúbicas. 4 × 3 = 12 Cada capa es 12 unidades cúbicas. Hay 3 capas de 12 unidades cúbicas. 3 × 12 = 36 El volumen de la caja es 36 unidades cúbicas.

Cada capa tiene 4 prismas, y cada prisma está formado por 3 unidades cúbicas, entonces, cada capa es de 12 unidades cúbicas. Se necesitaron 3 capas para llegar a la altura de la caja, y 3 × 12 = 36. Entonces, el volumen de la caja es 36 unidades cúbicas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Luis y Sasha y sus propios trabajos.

365

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18 Apilar prismas y contar pilas (método de Adesh y Riley) ¿Cómo organizaron los prismas Adesh y Riley? Apilaron 3 prismas y organizaron 4 pilas de 3 prismas una al lado de la otra. ¿Cómo supieron cuántos prismas colocar en cada pila, Adesh? La altura de la caja es 3 unidades, por lo tanto, necesitábamos pilas de 3 prismas para llegar a una altura 3 unidades. ¿Cómo hallaron el volumen de la caja, Riley? El volumen de cada prisma es 3 unidades cúbicas, por lo tanto, cada pila de 3 prismas es 9 unidades cúbicas. Usamos 4 pilas, y 4 × 9 = 36. Por lo tanto, el volumen de la caja es 36 unidades cúbicas.

Hay 4 pilas de 3 prismas, es decir 12 prismas. Cada pila tiene 3 prismas de 3 unidades cúbicas. 3×3=9 Cada pila es 9 unidades cúbicas. Hay 4 pilas de 9 unidades cúbicas. 4 × 9 = 36 El volumen de la caja es 36 unidades cúbicas.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Adesh y Riley y sus propios trabajos. Haga las siguientes preguntas a la clase. ¿En qué se parecen la forma en que Luis y Sasha organizaron los prismas y hallaron el volumen de la caja y el método que usaron Adesh y Riley? ¿En qué se diferencian? Las dos parejas acostaron los prismas y agruparon varios de ellos, en vez de contar cada prisma por separado. Luis y Sasha contaron 3 capas de 4 prismas, o 3 grupos de 12 unidades cúbicas. Adesh y Riley contaron 4 pilas de 3 prismas o 4 grupos de 9 unidades cúbicas. ¿Cuál es la longitud, el ancho y la altura de la caja? La longitud es 4 unidades, el ancho es 3 unidades y la altura es 3 unidades. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta. ¿Cambia el volumen de la caja según como se organicen los prismas? ¿Por qué? No. El volumen es 36 unidades cúbicas sin importar cómo se organicen los prismas porque se necesitan 12 prismas, cuyo volumen es 3 unidades cúbicas, para construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja.

366

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

Construir un prisma más grande Materiales: E) Caja 2, tijeras, cinta adhesiva, cubos

La clase construye prismas rectangulares rectos con una medida de 3 unidades × 2 unidades × 2 unidades y los usa para componer y hallar el volumen de un prisma rectangular recto más grande. Indique a las parejas que retiren la hoja extraíble de Caja 2 de sus libros. Pídales que la recorten, que doblen sus lados hacia arriba y que los peguen para unir la caja. Pida a sus estudiantes que usen cubos interconectables para hacer prismas rectangulares rectos que midan 3 unidades de largo, 2 unidades de ancho y 2 unidades de alto. Invíteles a hacer tantos prismas como sea necesario para construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja 2. Los prismas pequeños pueden ser de diferentes colores, pero pida a la clase que, de ser posible, usen cubos del mismo color para formar cada uno de ellos. Pida a las parejas que completen el problema 2. Anímeles a que seleccionen las estrategias de su preferencia. Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Busque ejemplos de trabajos en los que se usen distintos métodos para construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja 2 y para hallar su volumen. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las diferentes maneras de determinar el volumen de la caja. 2. Un prisma rectangular recto mide 3 unidades de largo, 2 unidades de ancho y 2 unidades de alto. a. Dibuja el prisma. Ejemplo:

b. ¿Cuál es el volumen del prisma?

12 unidades cúbicas

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5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

EUREKA MATH2

c. Borra las líneas internas que muestran los cubos individuales, dejando solo las aristas del prisma de la parte (a). Estima cuántos prismas se necesitan para construir un prisma rectangular recto que tenga el mismo tamaño que la caja 2.

5 prismas d. Usa prismas rectangulares rectos que midan 3 unidades de largo, 2 unidades de ancho y 2 unidades de alto para construir un prisma rectangular recto que tenga el mismo tamaño que la caja 2. Explica o traza líneas en el prisma rectangular recto para mostrar cómo organizaste los prismas. Ejemplo:

e. ¿Cuántos prismas usaste para construir un prisma rectangular recto que tenga el mismo tamaño que la caja 2?

6 prismas f. ¿Cuál es el volumen de la caja 2? Explica.

72 unidades cúbicas Usamos 6 prismas para construir un prisma rectangular recto que tenga el mismo tamaño que la caja 2. El volumen de cada prisma es 12 unidades cúbicas. El volumen de la caja es 72 unidades cúbicas porque 6 × 12 = 72.

368

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18 Cuando hayan terminado, invite a distintas parejas a mostrar su trabajo. Considere usar las siguientes preguntas para ayudar a la clase a hacer conexiones entre el trabajo de sus pares para el problema 2 y su propio trabajo: • ¿Cuál es el volumen de cada prisma pequeño que usaron para construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja 2? • ¿Cómo organizaron los prismas pequeños? • ¿Cuántos prismas pequeños se necesitaron para construir un prisma rectangular recto del mismo tamaño que la caja 2? • ¿Cuál es el volumen de la caja 2? ¿Cómo hallaron el volumen? Después de que la clase comparta, haga las siguientes preguntas. Cada prisma pequeño del problema 1 tenía 3 unidades de largo, 1 unidad de ancho y 1 unidad de alto. En el problema 2, cada prisma pequeño medía el doble de ancho y el doble de alto. ¿Cómo se compara el volumen de cada prisma pequeño del problema 2 con el de cada prisma pequeño del problema 1? El volumen de cada prisma del problema 2 es 12 unidades cúbicas. El volumen de cada prisma del problema 1 es 3 unidades cúbicas. El volumen de cada prisma del problema 2 es 4 veces el volumen de cada prisma del problema 1. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de sus pares en el problema 2 y sus propios trabajos.

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5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos rellenándolos con unidades improvisadas Guíe una conversación de toda la clase sobre hallar el volumen de un prisma rectangular recto usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Si construimos prismas rectangulares rectos de diferentes maneras, pero todos tienen el mismo tamaño, ¿los prismas tienen el mismo volumen? Explica tu razonamiento. Sí. Podemos construir prismas de distintas maneras, pero se necesita el mismo número de cubos para construir un prisma del mismo tamaño. Sí. El volumen se mantiene igual sin importar cómo construimos el prisma. ¿Cómo hallan el volumen de un prisma rectangular recto que está compuesto de elementos que no son cubos, por ejemplo, prismas rectangulares rectos más pequeños? Contamos el número de prismas que se usan para formar el prisma rectangular recto más grande y multiplicamos ese número por el volumen de uno de los prismas más pequeños. Si conocen el volumen de 1 goma de mascar, y saben que hay 5 gomas de mascar en cada paquete y que hay 30 paquetes de goma de mascar en una caja, ¿cómo pueden hallar el volumen de la goma de mascar que hay dentro de la caja? Se puede multiplicar el volumen de 1 goma de mascar por 5 para hallar el volumen de cada paquete de goma de mascar. Luego, multiplicamos el volumen de un paquete por 30 para hallar el volumen de goma de mascar en la caja.

370

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5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

Fecha

EUREKA MATH2

e. ¿Cuál es el volumen del prisma rectangular recto más grande?

140 unidades cúbicas

1. Usa el prisma rectangular recto para completar las partes (a) a (f).

Se organizan los prismas como el de la parte (a) de otra manera para construir otro prisma rectangular recto. Hay dos grupos. Un grupo tiene 5 pilas de 4 prismas y el otro grupo tiene 2 pilas de 4 prismas.

a. Traza líneas en el prisma para mostrar que mide 5 unidades de largo, 1 unidad de ancho y 1 unidad de alto. b. ¿Cuál es el volumen del prisma?

5 unidades cúbicas c. Se usan varios prismas como el de la parte (a) para construir un prisma rectangular recto más grande. Hay 7 pilas de 4 prismas cada una, como se muestra. Completa los espacios con las medidas desconocidas. Toby dice que, como este prisma rectangular recto está construido de manera diferente, su volumen es distinto del que se halló en la parte (e). ¿Está Toby en lo correcto? Justifica tu respuesta. Toby no está en lo correcto. El volumen es el mismo. La longitud del prisma rectangular recto más grande sigue siendo 7 unidades, el ancho sigue siendo 5 unidades y la altura sigue siendo 4 unidades. El número y el volumen de los prismas pequeños que se usaron para construir el prisma rectangular recto más grande son los mismos.

4 unidades

7 unidades

5 unidades

d. ¿Cuántos prismas se usan para construir el prisma rectangular recto más grande?

28 prismas © Great Minds PBC

181

182

GRUPO DE PROBLEMAS

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 18

2. Un prisma rectangular recto mide 5 unidades de largo, 3 unidades de ancho y 2 unidades de alto. a. Haz un boceto del prisma.

b. Completa los espacios. El prisma tiene la misma longitud que el prisma del problema 1(a), pero su ancho es el ancho y su altura es

veces

veces el alto.

c. ¿Cuál es el volumen del prisma?

30 unidades cúbicas

3. Se usan 12 prismas que miden 5 unidades por 3 unidades por 2 unidades para construir un prisma rectangular recto más grande. ¿Cuál es el volumen del prisma rectangular recto más grande?

360 unidades cúbicas

372

GRUPO DE PROBLEMAS

183

LECCIÓN 19

Componer y descomponer prismas rectangulares rectos para hallar su volumen usando capas

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

Nombre

Fecha

El prisma rectangular recto que se muestra se compone de cubos de un centímetro. Ejemplo:

Vistazo a la lección La clase determina el volumen de un prisma rectangular recto formado por una sola capa de cubos. Luego, agregan capas y hallan el volumen del prisma que crean multiplicando el número de capas por el volumen de cada una. Hallan el volumen de prismas descomponiéndolos en capas, calculando el volumen de cada una y, luego, multiplicando el número de capas por su volumen. Sus estudiantes explican por qué se pueden descomponer prismas en capas de diferentes maneras.

Preguntas clave • ¿Por qué descomponemos los prismas rectangulares rectos en capas?

a. Traza líneas para descomponer el prisma en capas.

• ¿Por qué hay más de una manera de descomponer los prismas rectangulares rectos en capas?

b. Usa las capas creadas en la parte (a) para completar las siguientes oraciones. Ejemplo: El prisma tiene Hay

capas.

Criterios de logro académico

cubos de un centímetro en cada capa.

El volumen del prisma es

5.Mód5.CLA6 Reconocen que se puede medir el volumen usando cubos

centímetros cúbicos.

unitarios y que un sólido relleno con n cubos unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un volumen de n unidades cúbicas. (5.MD.C.3) (5.MD.C.3.a) (5.MD.C.3.b)

c. ¿De qué manera descomponer un prisma en capas te ayuda a hallar su volumen? Puedo hallar el volumen de 1 capa. Luego, multiplico el volumen de 1 capa por el número de capas para hallar el volumen del prisma.

5.Mód5.CLA7 Miden volúmenes contando cubos unitarios que representan

centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos y unidades improvisadas. (5.MD.C.4)

193

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• cubos interconectables de 1 cm (30)

Aprender 35 min • Agregar capas para componer un prisma rectangular recto

Estudiantes • cubos interconectables de 1 cm (30)

• Descomponer prismas rectangulares rectos en capas • Grupo de problemas

Concluir 10 min

375

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5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir números enteros La clase determina el cociente y el residuo para adquirir fluidez con la división de dividendos de tres y cuatro dígitos entre divisores de dos dígitos del módulo 1. Muestre 318 ÷ 50.

318 ÷ 50

6 50 318 –300 18 Cociente: 6 Residuo: 18

Muestre el cociente y el residuo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

376

882 ÷ 21

2,493 ÷ 18

Cociente: 42

Cociente: 138

Residuo: 0

Residuo: 9

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

Intercambio con la pizarra blanca: Escribir y evaluar expresiones La clase escribe y evalúa una expresión para adquirir fluidez con los cálculos de dos pasos que involucran fracciones del módulo 3. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el enunciado: La diferencia entre 1 medio y 1 cuarto multiplicada por 3. Escribe una expresión para representar el enunciado. Muestre el ejemplo de expresión.

La diferencia entre 1 medio y 1 cuarto multiplicada por 3 1 2

Escriban el valor de la expresión. Muestre la respuesta.

3 4

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2 veces la suma de 3 décimos y 1 quinto 2×(

3 1 + ) 10 5

1 4

( − )× 3

La diferencia entre 2 tercios y 5 novenos dividida entre 3 2 3

5 9

( − )÷ 3 1 27

377

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

Presentar

La clase examina capas de figuras. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen de las cuatro figuras tridimensionales. Figura A

Figura B

Figura C

Figura D

Invite a sus estudiantes a analizar las figuras. Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca. Cuando se acabe el tiempo, invite a la clase a explicar la categoría que eligieron y a defender por qué un elemento no pertenece a esa categoría. Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento sobre la longitud, el ancho, la altura y el volumen. Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas. ¿Cuál no pertenece al grupo? La figura A no pertenece al grupo porque no es un prisma rectangular recto. La figura B no pertenece al grupo porque su altura no es 5 unidades. La figura C no pertenece al grupo porque su longitud no es 3 unidades. La figura D no pertenece al grupo porque su capa inferior, o base, no tiene 6 cubos.

378

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19 ¿Cuántos cubos hay en la base de la figura B? ¿Cómo lo saben? Hay 6 cubos en la base. Lo sé porque el ancho de la base es 2 unidades y la longitud es 3 unidades, y 2 × 3 = 6. Podemos pensar en la base del prisma como 1 capa del prisma. Cada capa en un prisma tiene 1 arista con una longitud de 1 unidad. La altura de la base en la figura B es 1 unidad, entonces, podemos referirnos a ella como una capa del prisma. Podemos decir que hay 6 cubos en la capa inferior de la figura B.

¿Cuántos cubos hay en la figura B? ¿Cómo lo saben? Hay 36 cubos porque tiene 6 capas horizontales de 6 cubos cada una. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a usar capas para hallar el volumen de un prisma rectangular recto.

Aprender

Apoyo para la comprensión del lenguaje El término capa tiene varios significados en matemáticas y en el uso cotidiano (p. ej., capas de un pastel, capas de ropa). En esta lección, capa se refiere a un prisma rectangular recto con una dimensión que es una unidad. Considere activar los conocimientos previos preguntando a sus estudiantes cuándo pueden haber usado la palabra capa.

Agregar capas para componer un prisma rectangular recto Materiales: M/E) Cubos

La clase compone un prisma rectangular recto a partir de capas. Muestre la imagen del prisma rectangular recto formado por 6 cubos. Diga a la clase que cada cubo representa 1 centímetro cúbico. Construyan esta figura con sus cubos. ¿Cuál es el volumen de esta figura? ¿Cómo lo saben?

DUA: Acción y expresión Considere formar parejas de estudiantes para construir las figuras si las exigencias de motricidad fina presentan un obstáculo para realizar la tarea.

El volumen es 6 centímetros cúbicos. Lo sé porque la figura está formada por 6 cubos.

379

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19 Esta figura muestra 1 capa porque su altura es 1 centímetro. Veamos qué pasa con el volumen cuando sumamos más capas a la parte de arriba. Agregue otra capa encima de la primera. Muestre la figura con la nueva capa encima. Describan las capas de este prisma. Hay 2 capas. En cada una, hay 2 filas de 3 cubos, por lo tanto, cada capa tiene 6 cubos. ¿Cuál es el volumen de esta figura ahora? ¿Cómo lo saben? El volumen es 12 centímetros cúbicos. Lo sé porque la figura está formada por 2 capas de 6 cubos cada una, y 2 × 6 = 12. Cree la siguiente tabla y complete las primeras dos filas. Agreguen 2 capas más encima de las primeras 2.

Nota para la enseñanza En esta actividad, se usan cubos interconectables, pero estos no son una representación perfecta de un centímetro cúbico. También se pueden usar cubos de un centímetro, pero como estos no se interconectan, pueden resultar difíciles de apilar. Elija el material que funcione mejor para sus estudiantes. Si los cubos que se usan no son de 1 cm × 1 cm × 1 cm, parafrasee el diálogo de ejemplo mencionando unidades y unidades cúbicas. Recuerde a sus estudiantes que, en cualquier caso, los prismas formados por los cubos sirven como modelos y no son sólidos en sí.

Describan las capas de este prisma. Hay 4 capas. En cada una, hay 2 filas de 3 cubos, por lo tanto, cada capa tiene 6 cubos. ¿Cuál es el volumen de la figura ahora? ¿Cómo lo saben? El volumen es 24 centímetros cúbicos. Lo sé porque hay 4 capas, y el volumen de cada una es 6 centímetros cúbicos. El volumen es 24 centímetros cúbicos. Lo sé porque sumé 12 centímetros cúbicos a los 12 centímetros cúbicos que ya tenía.

380

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19 Complete la tabla. Luego, muestre el prisma con 4 capas. Describan este prisma. El prisma mide 2 centímetros de ancho, 3 centímetros de largo y 4 centímetros de alto. La longitud del prisma es 3 centímetros, su ancho es 2 centímetros y su altura es 4 centímetros. El prisma tiene 4 capas, el ancho de cada una es 2 centímetros y la longitud, 3 centímetros. El ancho de la base del prisma es 2 centímetros y su longitud, 3 centímetros. Hay 4 capas. Pida a sus estudiantes que completen la tabla. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar cuál sería el volumen de la figura si tuviera 30 capas con un volumen de 6 centímetros cúbicos cada una. Creamos este prisma de 2 cm × 3 cm × 4 cm formando cuatro capas de 2 cm × 3 cm desde abajo hacia arriba. Podemos crear el mismo prisma comenzando por una capa que mida 2 centímetros de ancho y 4 centímetros de alto y agregando capas a un lado. Demuestre, comenzando por una capa que mida 2 centímetros de ancho y 4 centímetros de alto y sumando 2 capas adicionales a un lado. ¿Cuál es el volumen de este prisma? ¿Cómo lo saben? El volumen es 24 centímetros cúbicos. Lo sé porque hay 3 capas y el volumen de cada una es 8 centímetros cúbicos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros y que lo completen en parejas. 1. Usa 24 cubos para crear un prisma rectangular recto. Crea un prisma que sea diferente del que se creó en clase. a. Describe las capas del prisma rectangular recto que creaste. Ejemplo: Mi prisma tiene 6 capas que miden 2 centímetros de ancho y 2 centímetros de largo. b. ¿Cuál es el volumen del prisma? ¿Cómo lo sabes? El volumen del prisma es 24 centímetros cúbicos. Lo sé porque hay 6 capas y el volumen de cada una es 4 centímetros cúbicos.

381

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19 Reúna a la clase cuando hayan terminado. Invite a sus estudiantes a compartir sus descripciones y a mostrar sus prismas. Mientras lo hacen, cree una nueva tabla para representar estos prismas. No repita filas en la tabla para aquellos prismas que tienen el mismo número de capas y de cubos en cada capa, pero que tienen un aspecto diferente porque la longitud y el ancho están intercambiados (p. ej., 2 capas que miden 4 centímetros de largo y 3 centímetros de ancho y 2 capas que miden 3 centímetros de largo y 4 centímetros de ancho). Comente por qué el prisma ya está representado en la tabla. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los patrones que observan en la tabla. Observen que el número de cubos en cada capa no es el mismo. ¿Cómo determinan el número de cubos en cada capa de un prisma? Cuento los cubos en cada fila y multiplico ese número por el número de filas. ¿Cómo pueden hallar el volumen de un prisma rectangular recto si saben el número de capas y el volumen de cada una de ellas? Puedo multiplicar el número de capas por el volumen de cada una. Señale varias filas diferentes de la tabla mientras dice el siguiente enunciado.

Nota para la enseñanza La actividad digital interactiva de Construir prismas ayuda a ver que las capas se componen de filas que, a la vez, se componen de cubos individuales. Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.

Cuando observo esta fila de la tabla, puedo imaginarme un prisma que tiene 2 capas con 12 cubos cada una. Al ver esta fila, puedo imaginarme un prisma con 1 sola capa de 12 cubos.

382

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre los prismas que pueden imaginarse a partir de la tabla. Anímeles a usar las manos como ayuda para describir el prisma. Muchos prismas que se ven diferentes unos de otros tienen un volumen de 24 centímetros cúbicos. ¿Cómo es eso posible? Los prismas tienen diferentes números de capas de distintos tamaños, pero el número de capas multiplicado por el volumen de cada una sigue siendo 24 centímetros cúbicos. Todos los prismas están formados por 24 cubos cuyo volumen es 1 centímetro cúbico. Un cubo es un tipo especial de prisma rectangular recto. ¿Qué sabemos de un cubo? En un cubo, la longitud, el ancho y la altura son iguales. Invite a la clase a usar sus cubos a fin de crear un cubo más grande. Cuando hayan terminado, pídales que compartan sus cubos más grandes, describiendo su volumen y apariencia. Mi cubo mide 1 centímetro de ancho, 1 centímetro de largo y 1 centímetro de alto. Su volumen es 1 centímetro cúbico. Mi cubo mide 2 centímetros de ancho, 2 centímetros de largo y 2 centímetros de alto. Su volumen es 8 centímetros cúbicos. Mi cubo tiene 3 capas, cada una mide 3 centímetros de ancho y 3 centímetros de largo. Su volumen es 27 centímetros cúbicos.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando crea prismas con 24 cubos de manera repetida y observa el patrón de que el volumen de un prisma rectangular recto se puede hallar multiplicando el volumen de cada capa por el número de capas. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8: • ¿Qué es igual en todos los prismas construidos con 24 cubos? • ¿Qué patrones observan cuando construyen un prisma rectangular recto con capas? ¿Cómo puede ayudarles eso a determinar el volumen de manera más eficiente?

Considere preguntar a la clase si tienen suficientes cubos para formar un cubo de 4 cm × 4 cm × 4 cm. Kelly dice que su cubo tiene 5 capas y que cada una mide 4 centímetros de ancho y 4 centímetros de largo. ¿El cubo de Kelly es un prisma? ¿Cómo lo saben? No. Lo sé porque el número de capas de un cubo debe ser igual al número de centímetros de ancho y al número de centímetros de largo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo crear un prisma con un volumen de 20 centímetros cúbicos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere brindar apoyo a las respuestas de la clase con la Herramienta para la conversación. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento con el propósito de explicar cómo crear un prisma cuyo volumen sea 20 centímetros cúbicos.

383

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

Descomponer prismas rectangulares rectos en capas La clase descompone prismas rectangulares rectos en capas. Construya o muestre el prisma rectangular recto de 3 cm × 4 cm × 5 cm. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar cómo se ve la base del prisma. Luego, pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para construir el prisma con sus cubos. Anteriormente en la lección, creamos prismas rectangulares rectos componiéndolos a partir de capas. Determinamos que se podía multiplicar el volumen de cada capa por el número de capas para hallar el volumen del prisma. También podemos hallar el volumen de un prisma rectangular recto descomponiéndolo en capas y hallando el volumen de cada capa. Muestre el prisma dibujado a mano del problema 2. Esta imagen muestra un dibujo de lo que acaban de construir. Cortemos el prisma de manera horizontal para descomponerlo en capas. ¿Qué significa descomponer algo? Separar algo en partes Dividir algo en partes Separar algo Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cuántas capas horizontales tiene el prisma. Podemos trazar líneas en el dibujo del prisma para mostrar cómo cortarlo y así crear capas horizontales. Muestre el dibujo del prisma con las capas horizontales. Señale cada capa y cuente para mostrar que hay 5 capas. ¿Cuántos cubos hay en cada capa? ¿Cómo lo saben? Hay 12 cubos en cada capa. Lo sé porque cada capa mide 3 centímetros de ancho y 4 centímetros de largo.

384

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19 ¿Cuál es el volumen de cada capa? ¿Cómo lo saben? El volumen de cada capa es 12 centímetros cúbicos. Lo sé porque cada capa está formada por 12 cubos de un centímetro. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Para el primer prisma en la parte (a), pida a sus estudiantes que muestren las capas horizontales dibujando la descomposición que se muestra. 2. El prisma rectangular recto que se muestra se compone de cubos de un centímetro. a. Traza líneas en los prismas para mostrar cómo descomponerlos en capas de tres maneras diferentes.

Nota para la enseñanza La actividad digital interactiva de Modelo de volumen ayuda a mostrar cómo descomponer un prisma en capas. Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase. Por ejemplo, puede construir el prisma de este segmento de la lección y disminuir la altura una unidad a la vez para mostrar las capas.

b. Usa tu trabajo de la parte (a) para completar la tabla.

Número de capas

Número de cubos en cada capa

Volumen (centímetros cúbicos)

Además, considere mostrar el mismo prisma de tal manera que sus estudiantes puedan ver las capas, pero no cada cubo.

385

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19 Luego, pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema 2. Para completar el problema, anímeles a usar los prismas de 3 cm × 4 cm × 5 cm que crearon a partir de cubos. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga las siguientes preguntas: • ¿Cómo pueden representar los cortes para formar capas en el dibujo del prisma? • ¿De qué manera pueden usar su modelo del prisma con cubos para determinar cómo descomponer el prisma en capas? • ¿Cuál es el volumen de esa capa? ¿Cómo lo saben? • ¿Cómo pueden usar las capas para hallar el volumen del prisma? Reúna a la clase cuando hayan terminado y haga las siguientes preguntas.

Diferenciación: Desafío Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, considere presentar las siguientes preguntas: • ¿Cómo cambia el volumen del prisma en el problema 2 si está formado por cubos de 2 centímetros, en vez de cubos de 1 centímetro? • ¿Cómo cambia el volumen de un prisma si se triplican las dimensiones de los cubos que lo componen?

Describan las tres maneras diferentes en las que descompusieron el prisma. Lo descompuse en capas horizontales y en dos tipos diferentes de capas verticales. Lo descompuse de abajo hacia arriba, de izquierda a derecha y de adelante hacia atrás. ¿Creen que cada prisma rectangular recto se puede descomponer en capas de tres maneras diferentes? ¿Por qué? Sí, porque cada prisma rectangular recto tiene una longitud, un ancho y una altura. Sí. Cada prisma rectangular recto se puede descomponer de abajo hacia arriba, de izquierda a derecha y de adelante hacia atrás. ¿Tiene importancia cómo se corta un prisma rectangular recto para hallar su volumen? ¿Por qué? No. El número total de cubos es el mismo sin importar cómo estén divididos. No. La suma del número de cubos en las capas debería ser el mismo sin importar cómo se crearon las capas.

3 cm

Muestre el prisma del problema 3. ¿En qué se diferencia el dibujo de este prisma de otros prismas que vieron en esta lección? El dibujo no muestra los cubos individuales en el prisma.

386

4 cm

6 cm

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo pensar en un prisma formado por cubos de un centímetro a pesar de que no puedan ver los cubos. Describan este prisma rectangular recto. Es más largo que alto. Es el doble de largo que de alto. Mide 4 centímetros de ancho, 6 centímetros de largo y 3 centímetros de alto. Mide 4 cm × 6 cm × 3 cm. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre las maneras en las que se puede cortar un prisma para formar capas. Pida a sus estudiantes que completen el problema 3 en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga las siguientes preguntas: • ¿De qué tres maneras se puede cortar un prisma para formar capas? • ¿Cómo quieren cortar el prisma? ¿Por qué? • ¿Cuál es el volumen de una capa? ¿Cómo lo saben? • ¿Cómo pueden usar el volumen de una de las capas que crearon para hallar el volumen del prisma?

387

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19 3. El prisma rectangular recto que se muestra mide 4 centímetros de ancho, 6 centímetros de largo y 3 centímetros de alto.

Diferenciación: Apoyo

Ejemplo: Si hay estudiantes que necesitan apoyo con el problema 3, considere cualquiera de las siguientes modificaciones: • Pídales que creen el prisma con cubos antes de comenzar el problema 3.

3 cm

• Proporcione una versión del prisma que muestre que está formado por cubos individuales. • Brinde una versión dibujada a mano del prisma en la que se muestren las capas.

6 cm

4 cm

a. Traza líneas para mostrar cómo descomponer el prisma en capas. b. Usa las capas creadas en la parte (a) para completar las siguientes oraciones. Ejemplo: El prisma tiene

capas.

Cada capa tiene

centímetros cúbicos.

El volumen de este prisma es

centímetros cúbicos.

Cuando hayan terminado, invite a sus estudiantes a compartir sus estrategias para descomponer el prisma en capas.

388

DUA: Representación Si hay estudiantes que necesitan ayuda para visualizar el volumen de cada capa, considere realizar un dibujo con el fin de mostrar los cubos individuales en una capa para cada descomposición.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19 Muestre tres maneras diferentes de descomponer el prisma.

3 cm

4 cm

6 cm

3 cm

4 cm

6 cm

4 cm

6 cm

6 capas

4 capas

3 capas

El volumen de cada capa es 12 centímetros cúbicos.

El volumen de cada capa es 18 centímetros cúbicos.

El volumen de cada capa es 24 centímetros cúbicos.

Una vez que deciden de qué manera desean crear capas, por ejemplo, de izquierda a derecha o de abajo hacia arriba, ¿cómo determinan cuantas capas hay? Hay una capa por cada unidad de longitud. Por ejemplo, si un lado mide 4 centímetros de largo, puedo cortarlo en 4 capas.

Diferenciación: Desafío Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, considere presentar el siguiente problema: Las capas en el problema 3 tienen 1 unidad de grosor. ¿Deben tener las capas 1 unidad de grosor? ¿Por qué? ¿De qué otra manera se podrían hacer capas para este prisma?

¿Cómo hallan el volumen de cada capa? Determino el número de cubos que habría en cada capa multiplicando su longitud por su ancho. ¿Cómo hallan el volumen del prisma una vez que conocen el volumen de cada capa? Multiplico el número de capas por el volumen de cada una.

389

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19 Muestre el prisma con las dimensiones expresadas en pies. Hasta ahora, medimos los volúmenes que calculamos en centímetros cúbicos. ¿Cómo podemos usar las estrategias de la lección de hoy para hallar el volumen de este prisma rectangular recto?

3 ft

Podemos descomponer el prisma en capas, hallar el volumen de cada una de ellas y multiplicarlo por el número de capas. Podemos pensar en cómo se vería este prisma si estuviera formado por cubos. Luego, podríamos pensar en el volumen de cada cubo como un pie cúbico, en vez de un centímetro cúbico.

7 ft 2 ft

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para resumir el proceso que usan para calcular el volumen a partir de un prisma rectangular recto dado.

390

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Componer y descomponer prismas rectangulares rectos para hallar su volumen usando capas Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre la descomposición de prismas rectangulares rectos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Por qué descomponemos los prismas rectangulares rectos en capas? Den un ejemplo. Mediante la descomposición de un prisma en capas, podemos hallar el volumen de 1 capa. Luego, multiplicamos el volumen de 1 capa por el número de capas para hallar el volumen del prisma. Por ejemplo, en el problema 4, descompuse el prisma en 3 capas y determiné que cada una tenía 5 filas de 2 cubos, o 10 cubos. Como 3 × 10 = 30, el volumen del prisma es 30 centímetros cúbicos. ¿Por qué hay más de una manera de descomponer los prismas rectangulares rectos en capas? Sin importar cómo se gire el prisma, las capas siempre seguirán el ancho, la longitud o la altura. Hay más de una manera porque las capas pueden ir de adelante hacia atrás, de izquierda a derecha o de abajo hacia arriba.

391

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

2. Usa la imagen de la capa horizontal y del prisma rectangular recto para completar la tabla. Cada cubo representa 1 unidad cúbica.

1. Haz una línea para emparejar cada prisma rectangular recto con la imagen de una capa horizontal de ese prisma. Prisma rectangular recto

392

Capa horizontal

189

190

Número de capas

Número de cubos en cada capa

Volumen (unidades cúbicas)

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 19

4. El prisma rectangular recto que se muestra mide 2 centímetros de ancho, 5 centímetros de largo y 3 centímetros de alto. Usa el prisma para completar las partes (a) y (b).

3. Se muestran tres imágenes del mismo prisma rectangular recto. Cada cubo representa 1 centímetro cúbico.

Ejemplo:

a. Traza líneas para mostrar cómo descomponer el prisma en capas de tres maneras diferentes.

3 cm 2 cm 5 cm a. Traza líneas para descomponer el prisma en capas. b. Usa las diferentes maneras en las que descompusiste el prisma rectangular recto en la parte (a) para completar la tabla. Número de capas

Número de cubos en cada capa

Volumen (centímetros cúbicos)

140

GRUPO DE PROBLEMAS

b. Usa las capas creadas en la parte (a) para completar las siguientes oraciones. Ejemplo: El prisma tiene

capas.

Cada capa tiene

centímetros cúbicos.

El volumen de este prisma es

191

192

GRUPO DE PROBLEMAS

centímetros cúbicos.

393

LECCIÓN 20

Interpretar el volumen como llenar con líquido

EUREKA MATH2

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20

Fecha

1. Blake mide el volumen de un prisma rectangular recto. a. ¿Qué significa medir el volumen de un objeto? Medir el volumen de un objeto significa medir cuánto espacio ocupa ese objeto.

b. Blake tiene canicas, arroz y agua. ¿Qué debería usar Blake para llenar el prisma rectangular recto por completo? Explica. Blake debe usar agua. Las canicas y el arroz dejarán espacios y no llenarán el prisma rectangular recto por completo.

Vistazo a la lección La clase explora ideas conceptuales sobre volumen. Después de darse cuenta de que rellenar con cubos para hallar un volumen no siempre es posible, la clase aprende que puede hallar el volumen llenando un espacio con un líquido. Aprenden que todo objeto tridimensional tiene volumen y que el volumen es el mismo sin importar si un espacio se rellena con objetos sólidos o se llena con líquido. En esta lección, no se incluye Grupo de problemas. El Boleto de salida de esta lección permite a la clase reflexionar sobre la lección.

Preguntas clave • ¿Qué estamos midiendo cuando medimos el volumen de un líquido o un sólido?

2. Kayla mide el volumen de los pretzels que se muestran.

• ¿En qué se parecen rellenar un espacio con objetos sólidos y llenarlo con líquido? ¿En qué se diferencian?

Criterio de logro académico ¿El volumen del frasco es igual al volumen de los pretzels? Explica. No. Hay espacios entre los pretzels dentro del frasco. Hay aire entre los pretzels. El volumen del frasco es mayor que el volumen de los pretzels.

5.Mód5.CLA6 Reconocen que se puede medir el volumen usando cubos

unitarios y que un sólido relleno con n cubos unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un volumen de n unidades cúbicas. (5.MD.C.3,

5.MD.C.3.a, 5.MD.C.3.b)

203

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• sobres (12)

Retire las hojas extraíbles de Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego 1 del libro para estudiantes. Recorte las tarjetas y coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos de modo que haya 1 por pareja de estudiantes.

Aprender 30 min

• Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego 1 (en el libro para estudiantes)

• Rellenar prismas y cilindros con objetos sólidos

Estudiantes

• De rellenar con objetos sólidos a llenar con líquido

• sobre con Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego 1 (1 por pareja de estudiantes)

Concluir 10 min

395

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20

Fluidez

Conteo bip de 4 décimos en 4 décimos y de 8 décimos en 8 décimos La clase completa un patrón para adquirir fluidez con los números decimales. Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip. Escuchen con atención mientras cuento de 4 décimos en 4 décimos o de 8 décimos en 8 décimos. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos?

Muestre la secuencia 0, 0.4,

0, 0.4, bip. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

0, 0.4, 0.8

0.8 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2.0, 2.4, 2.8

396

2.0, 1.6, 1.2

4.0, 3.6, 3.2

0, 0.8, 1.6

4.0, 4.8, 5.6

4.0, 3.2, 2.4

8.0, 7.2, 6.4

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20

Emparejar: Expresiones equivalentes Materiales: E) Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego 1

La clase identifica expresiones equivalentes y crea ecuaciones para adquirir fluidez con la suma y resta de fracciones con unidades diferentes del módulo 2. Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas a cada pareja de estudiantes y pídales que completen la actividad usando el siguiente procedimiento: • Coloquen todas las tarjetas bocarriba. • Emparejen tarjetas que muestren dos expresiones equivalentes. Tengan en cuenta que hay dos tarjetas que no tienen pareja. • Coloquen cada grupo de tarjetas emparejadas una junto a la otra. Coloquen una tarjeta de signo igual entre las expresiones que son iguales para formar una ecuación.

1 1 − 3 6

2 1 − 6 6

• Continúen hasta que todas las tarjetas estén emparejadas, a excepción de aquellas dos que no tienen pareja. • Hallen unidades comunes para las expresiones sin pareja y úsenlas con el fin de escribir dos expresiones iguales en las tarjetas en blanco, y así formar dos ecuaciones adicionales.

4 1 − 6 3

−

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Anime a la clase a explicar su razonamiento a sus parejas de trabajo.

397

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20

Presentar

La clase compara el volumen de distintos objetos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta. ¿Todos los objetos tridimensionales, incluso los líquidos, tienen volumen? ¿Cómo lo saben? Sí. Todo objeto tridimensional ocupa espacio, y el volumen mide cuánto espacio ocupa un objeto. Creo que sí, pero no sé cómo calcular el volumen de la mayoría de los objetos. Todos los objetos tridimensionales, incluso los líquidos, tienen volumen porque cada uno de ellos ocupa espacio. Muestre la imagen con los objetos, las cantidades y la pregunta sobre el volumen. ¿Qué cantidad tiene el mayor volumen?

1 pie cúbico de palomitas de maíz

1 pie cúbico de cajas de jugo

1 pie cúbico de canicas

1 pie cúbico de agua

Nota para la enseñanza Esta lección está diseñada como una lección de exploración donde sus estudiantes analizan conceptos sobre volumen. Anímeles a visualizar los aspectos conceptuales del contexto, para conversar acerca de lo que observan y se preguntan y para responder preguntas. Ya que no hay Grupo de problemas, dé tiempo a sus estudiantes para que aborden los conceptos más complejos. El problema del video que se presenta en esta lección queda intencionalmente inconcluso hasta la próxima lección.

Nota para la enseñanza Apoye los contextos del elemento visual conversando con la clase sobre cada objeto y, de ser posible, mostrando un ejemplo. Puede mostrar un recipiente de palomitas de maíz, una caja de jugo y un frasco de canicas.

398

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20 Lea la pregunta en voz alta e invite a la clase a usar la rutina Pensar–Trabajar en parejas–Compartir para responder la pregunta. No indique si las respuestas son correctas o incorrectas. Permita a sus estudiantes dar cualquier respuesta siempre y cuando puedan justificarla. Anime a la clase a debatir de forma respetuosa. Todos tienen el mismo volumen porque todos ocupan 1 pie cúbico. Las cajas de jugo tienen el mayor volumen porque puedo usarlas para rellenar una caja. Las canicas tienen el mayor volumen porque hay espacios entre ellas que no se pueden llenar, entonces, ocuparán más espacio.

Nota para la enseñanza A medida que sus estudiantes comentan qué cantidad tiene el mayor volumen, anime a la clase a usar la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación para apoyar sus conversaciones.

El agua tiene el mayor volumen porque puedo llenar 1 pie cúbico sin espacios ni agujeros. Las palomitas de maíz tienen el mayor volumen porque puedo seguir presionándolas en 1 pie cúbico hasta que no queden espacios ni agujeros. Las palomitas de maíz no tienen el mayor volumen porque son más livianas que los otros materiales. Considere hacer las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático: • ¿Qué tan grande es 1 pie cúbico? Muéstrenme con las manos o busquen un objeto del salón que tenga un volumen de aproximadamente 1 pie cúbico. • ¿Qué significa rellenar con objetos sólidos un recipiente con la forma de un sólido? • ¿Cuál es la diferencia entre intentar rellenar una caja con palomitas de maíz e intentar rellenarla con canicas? • ¿Saben con certeza que las cajas de jugo se pueden usar para rellenar 1 pie cúbico? ¿Por qué? • ¿Pueden rellenar un espacio con un líquido, como agua?

Nota para la enseñanza La pregunta acerca de qué cantidad tiene más volumen es intencionalmente abierta, ya que esto permite a sus estudiantes considerar aspectos de una unidad de medida que tiene volumen propio y con la que se puede rellenar o llenar un recipiente a fin de indicar su volumen. Acepte todas las respuestas de sus estudiantes y anímeles a ser flexibles en su razonamiento. Antes de comenzar la lección, considere leer la conversación que se encuentra casi al final de la lección donde se repasa la sección Presentar.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a aprender la diferencia entre rellenar con objetos sólidos y llenar con líquido, y repasaremos la pregunta sobre qué cantidad tiene el mayor volumen.

399

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20

Aprender

Rellenar prismas y cilindros con objetos sólidos La clase determina por qué rellenar con cubos no siempre es útil para hallar un volumen. Reproduzca la parte 1 del video Cubos en un cilindro. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a la clase que tome nota de los detalles. Dé 1 minuto a la clase para que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observaron. Converse con toda la clase acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes que hagan sus estudiantes. Considere la siguiente secuencia posible. ¿Qué observan? Observo que los cubos encajan bien en un prisma, pero no en un cilindro.

Nota para la enseñanza En la lección 17, recipientes con forma de prisma rectangular recto sirvieron como modelo para los sólidos. En dicha lección, sus estudiantes rellenaron los recipientes con cubos unitarios a fin de determinar el volumen de un prisma rectangular recto. Asimismo, recipientes con forma de prisma rectangular recto y de cilindro sirven como modelos en esta lección.

Los cubos llenan todo el espacio en el prisma, pero en el cilindro no. Observo que alguien intenta meter partes de cubos para ver si se puede rellenar el espacio vacío que queda en el cilindro. ¿Qué se preguntan? Me pregunto cómo hallar el volumen de un cilindro si no se puede rellenar con cubos unitarios. Me pregunto por qué alguien intentaría rellenar algo con partes de cubos de un centímetro. Me pregunto si podemos usar cubos más pequeños para que no quede espacio entre ellos. Me pregunto si podemos, de alguna manera, apretar los cubos para rellenar el recipiente sin dejar espacios.

400

DUA: Representación Si tiene a mano los materiales del video, considere representar la situación en lugar de o además de mostrar el video. Invite a sus estudiantes a participar.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20 ¿Cuál es el volumen del prisma? ¿Cómo lo saben? El volumen es 20 centímetros cúbicos. Lo sé porque ese es el número de cubos de un centímetro con el que se rellena el prisma.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

¿Cuál es el volumen del cilindro? ¿Cómo lo saben? No lo sé. No es posible rellenar el cilindro con cubos de un centímetro. Creo que el volumen es más de 20 centímetros cúbicos. Parece que queda espacio entre los cubos que están dentro del cilindro. Dé a sus estudiantes varios minutos para que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo intentarían hallar el volumen de un cilindro. Invite a las parejas a compartir sus ideas con la clase. Reproduzca la parte 2 del video Cubos en un cilindro. Dé a sus estudiantes 1 minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron. Converse brevemente con toda la clase acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes que hagan sus estudiantes. Considere la siguiente secuencia posible. ¿Qué observan? Observo que la persona intentó rellenar el cilindro con arroz, en lugar de cubos. Observo que con el arroz no se crean tantos espacios como con los cubos, parece funcionar mejor para rellenar un cilindro.

Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando ve cómo se usan cubos de un centímetro para rellenar modelos de prisma rectangular recto o de cilindro y cuando comenta cómo determinar el volumen de aquellos objetos que no tienen forma de prisma rectangular recto. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Cómo les ayuda rellenar un espacio con cubos de un centímetro a pensar en el volumen? • ¿Qué les dice acerca del volumen intentar rellenar un cilindro con cubos de un centímetro? • ¿Qué significa volumen en esta situación?

¿Qué se preguntan? Me pregunto cómo se halla el volumen del arroz. Me pregunto si con el arroz realmente se rellena el cilindro. Me pregunto qué otra cosa podríamos usar para rellenar el cilindro sin que queden espacios. El arroz debe ocupar todo el espacio del cilindro para que los dos tengan el mismo volumen. ¿Creen que el arroz ocupa todo el espacio del cilindro? ¿Por qué? No. Creo que hay pequeñas cantidades de espacio vacío entre los granos de arroz.

401

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20 Reproduzca la parte 3 del video Cubos en un cilindro. Dé a sus estudiantes 1 minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron. Converse brevemente con toda la clase acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes que hagan sus estudiantes. Considere la siguiente secuencia posible. ¿Qué observan? Observo que la persona retiró el arroz del cilindro y, en su lugar, lo llenó con agua. Observo que cuando se llena el cilindro con el agua, no hay espacios ni agujeros. ¿Qué se preguntan? Me pregunto si podemos verter el agua en una probeta para hallar el volumen.

Nota para la enseñanza Si sus estudiantes no sugieren verter agua en una probeta, considere activar los conocimientos previos sobre las probetas. Considere mostrar probetas reales de diferentes tamaños, o imágenes de ellas, y comentar las unidades con las que están rotuladas. Además, muestre una imagen de una probeta con la palabra Probeta.

Me pregunto por qué se llena el cilindro con el agua, pero con los cubos y el arroz no. Me pregunto por qué no usamos agua para llenar prismas, en vez de rellenarlos con cubos. ¿Por qué el cilindro puede llenarse con el agua, pero no con los cubos y el arroz? Hay espacio vacío alrededor de los cubos y de los granos de arroz. Con el agua se llena todo el espacio en el cilindro. ¿Cuál es el volumen del cilindro? ¿Cómo lo saben? Todavía no sé el volumen del cilindro. Creo que es igual al volumen del agua que se vertió dentro del cilindro, pero no sé el volumen del agua. Dé a sus estudiantes varios minutos para que se reúnan y conversen en parejas para analizar cómo se puede hallar el volumen del agua que se vertió en el cilindro. Pídales que compartan su razonamiento con la clase. No ofrezca retroalimentación sobre las ideas de sus estudiantes aún. Dígales que resolverán este problema sobre cómo hallar el volumen de una figura que no es un prisma en la próxima lección.

402

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20

De rellenar con objetos sólidos a llenar con líquido La clase hace conexiones entre rellenar con objetos sólidos y llenar con líquido como métodos para hallar el volumen. Pause la parte 3 del video Cubos en un cilindro y muestre la imagen del cilindro lleno de cubos, el cilindro lleno de arroz y el cilindro lleno de agua. ¿Qué problema tenemos para hallar el volumen? Tenemos que hallar el volumen de algo que no se puede rellenar con cubos de un centímetro. Cuando rellenamos un prisma rectangular recto con cubos, no había espacios ni superposiciones. Con los cubos se llenó todo el espacio dentro del prisma. ¿Podemos también hallar el volumen de un recipiente con forma de prisma rectangular recto llenándolo con agua? ¿Por qué? Sí. Podemos llenar el espacio con agua y hallar el volumen del agua. Como vimos en el caso del cilindro, no todos los recipientes se pueden rellenar con cubos para hallar su volumen. Muestre la imagen de los recipientes de diferentes formas llenos de agua. Destaque que hay muchas otras formas y tamaños de recipientes además de prismas y cilindros.

Nota para la enseñanza En esta lección, se hace una distinción entre rellenar un espacio con objetos sólidos y llenarlo con líquido. Si bien se puede llenar cualquier recipiente con agua, solo algunos, por ejemplo aquellos con forma de prisma rectangular recto, se pueden rellenar con cubos. Se puede rellenar un espacio con objetos sólidos o llenarlo con líquido para hallar su volumen. En ambos casos, la sustancia con la que se rellena un recipiente o la sustancia con la que se lo llena ocupan todo el espacio en él. A medida que comenta diferentes recipientes y sustancias en esta lección, considere pedir a sus estudiantes que diferencien entre rellenar con objetos sólidos y llenar con líquido.

403

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20 ¿Qué estrategia podemos usar para medir el volumen de un recipiente cuando no podemos rellenarlo con cubos?

Nota para la enseñanza

Podemos llenar el recipiente con agua u otro líquido. ¿Por qué llenar un recipiente con agua u otro líquido es un método efectivo para hallar el volumen de un recipiente? El agua llena un recipiente sin espacios ni superposiciones, como los cubos cuando rellenamos un prisma. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta. ¿Qué diferencias hay entre medir el volumen con cubos de un centímetro y medirlo con agua? Podemos contar los cubos de un centímetro, pero no podemos contar el agua. Los cubos de un centímetro son sólidos, y el agua es un líquido. Medimos el volumen de cubos de un centímetro en centímetros cúbicos y el volumen del agua en mililitros o litros.

La clase estudia el volumen líquido y la capacidad en grados anteriores. Aprenden que la capacidad es la cantidad máxima que puede contener un recipiente y que el volumen líquido es la cantidad de espacio que ocupa un líquido. Si hay tiempo suficiente, considere pedir a sus estudiantes que comenten y registren todo lo que saben sobre volumen y capacidad antes de comenzar este segmento de la lección. Use esta conversación y la que aparece en la lección con el fin de abordar los siguientes conceptos erróneos comunes:

Se rellena un recipiente con cubos de un centímetro y se llena un recipiente con agua.

• Los objetos sólidos no tienen volumen porque no se los puede llenar.

El agua toma la forma del recipiente que la contiene, pero los cubos no cambian su forma.

• Volumen y capacidad son lo mismo.

Sabemos que podemos llenar un recipiente con agua para hallar el volumen del recipiente. Lo que no sabemos todavía es cómo se relaciona el volumen del agua en el recipiente con el volumen de los cubos de un centímetro. Exploraremos ese problema en la siguiente lección. Anteriormente, aprendieron que la capacidad es la cantidad máxima que puede contener un recipiente y que el volumen líquido es la cantidad de espacio que ocupa un líquido.

404

• Si un objeto no tiene capacidad, no puede tener volumen. • Los objetos delgados, como las hojas de papel, no tienen volumen. • El volumen solo se trata de líquidos o sólidos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20 Muestre las dos cajas.

Estas dos cajas son iguales, pero una de ellas tiene relleno adicional para proteger lo que va en su interior. Al cerrarlas, las dos cajas tienen las mismas dimensiones. ¿Tienen el mismo volumen cuando están cerradas? ¿Por qué? Sí. Si las cajas son del mismo tamaño, ocupan la misma cantidad de espacio y, por lo tanto, tienen el mismo volumen. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si las cajas tienen la misma capacidad y cómo lo saben. No. Las cajas no tienen la misma capacidad. Lo sé porque la caja de la izquierda tiene relleno adicional, entonces, no puede contener la misma cantidad. No. Las cajas no tienen la misma capacidad. Lo sé porque la caja de la derecha tiene menos relleno, entonces, puede contener más.

405

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20 Muestre y lea todos o algunos de los siguientes enunciados, uno a la vez, para animar a la clase a participar en una conversación sobre la comprensión conceptual del volumen y la capacidad. Pida a sus estudiantes que determinen si el enunciado es verdadero o falso, que escriban Verdadero o Falso en sus pizarras blancas y las muestren. Después de cada enunciado, anime a sus estudiantes a debatir respetuosamente si están en desacuerdo y a brindar explicaciones sobre por qué el enunciado es verdadero o falso. • Los líquidos y los sólidos tienen volumen. Verdadero. Cada sustancia y cada objeto tridimensional tiene volumen.

Diferenciación: Desafío Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, anímeles a que piensen sobre si el volumen de un globo desinflado es igual al volumen del globo inflado y que justifiquen su respuesta.

• Los sólidos ocupan más espacio que los líquidos. Falso. Los sólidos y los líquidos pueden ocupar la misma cantidad de espacio. • Cuando medimos el volumen de un líquido, estamos midiendo cuánto espacio ocupa. Verdadero. Esa es la definición de volumen. • Cuando medimos el volumen de un sólido, estamos midiendo cuánto espacio ocupa. Verdadero. Esa es la definición de volumen. • Los líquidos, como el agua, pueden cambiar de forma, pero los sólidos, como los cubos y el arroz, no pueden cambiar de forma. Verdadero. Los líquidos llenan un recipiente, y los sólidos lo rellenan. • Una regla no tiene volumen porque no se la puede llenar con líquido ni rellenar con objetos sólidos. Falso. Una regla tiene volumen porque ocupa espacio. • El volumen de una figura tridimensional es el mismo sin importar si la figura es un sólido o no. Verdadero. La figura ocupa la misma cantidad de espacio sin importar si es un sólido o no. • El volumen de un prisma es el mismo sin importar si pensamos en el prisma relleno de cubos o lleno de agua. Verdadero. La cantidad de espacio que ocupa el prisma es igual sin importar si lo llenamos o lo rellenamos. • Un prisma con una capacidad de 20 centímetros cúbicos puede contener la misma cantidad de agua que un cilindro con una capacidad de 20 centímetros cúbicos. Verdadero. El prisma y el cilindro pueden contener la misma cantidad de agua. • Todo objeto tridimensional tiene volumen, incluso el planeta Tierra. Verdadero. Todo objeto tridimensional ocupa espacio.

406

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20 Muestre el apoyo visual con los objetos, las cantidades y la pregunta sobre el volumen de la sección Presentar. ¿Qué cantidad tiene el mayor volumen?

1 pie cúbico de palomitas de maíz

1 pie cúbico de cajas de jugo

1 pie cúbico de canicas

1 pie cúbico

Nota para la enseñanza Considere crear un recipiente de cartón que mida un pie cúbico para usar en esta conversación.

de agua

Las siguientes preguntas son complejas y están diseñadas para incentivar el razonamiento matemático sobre volumen. Agregue u omita preguntas según las necesidades de la clase. Pensemos un poco más acerca de esta pregunta que vimos con anterioridad en la lección. Esta pregunta es más complicada de lo que parece a simple vista. Comencemos pensando en el agua. Supongan que tenemos un recipiente cuya capacidad es 1 pie cúbico. ¿Podemos llenarlo con 1 pie cúbico de agua exactamente? Expliquen. Sí. No habría espacios ni agujeros en el agua, entonces, podríamos llenar el recipiente con 1 pie cúbico de agua exactamente. Sí. El agua ocuparía todo el espacio en el recipiente, por eso, su volumen sería exactamente 1 pie cúbico de agua. Ahora, pensemos en las cajas de jugo. Imaginen que tenemos un recipiente cuya capacidad es 1 pie cúbico. ¿Podríamos rellenarlo con exactamente 1 pie cúbico de cajas de jugo? Expliquen. Tal vez. Depende de cómo entren las cajas de jugo en el recipiente. Tal vez. Podríamos rellenar el recipiente con las cajas de jugo si estas ocupan todo el espacio en el recipiente. Tal vez. Puede que el volumen de varias cajas de jugo nunca sume exactamente 1 pie cúbico. © Great Minds PBC

407

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20 Ahora, pensemos en las canicas. Supongan que tenemos un recipiente con una capacidad de 1 pie cúbico. ¿Podemos rellenarlo con exactamente 1 pie cúbico de canicas? Expliquen. No. Siempre habrá espacio vacío alrededor de las canicas. No. Siempre habrá espacios entre las canicas. ¿Es posible tener exactamente 1 pie cúbico de canicas? Expliquen. Depende de las canicas. Si conocemos el volumen de una canica, podemos multiplicarlo por el número de canicas necesarias para obtener el volumen total de 1 pie cúbico. Por ejemplo,

si el volumen de una canica es  _1 de pie cúbico, entonces, el volumen de 8 de esas canicas sería

exactamente 1 pie cúbico.

Ahora, pensemos en las palomitas de maíz. Supongan que tenemos un recipiente cuya capacidad es 1 pie cúbico. ¿Podríamos rellenarlo con exactamente 1 pie cúbico de palomitas de maíz? Expliquen. No. Por mucho que apretemos las palomitas de maíz, siempre habrá espacio entre ellas. El recipiente de palomitas de maíz tiene una capacidad. Cuando ponemos palomitas en un recipiente, el volumen de estas no es la capacidad del recipiente, porque hay espacio vacío entre las palomitas de maíz. Pero cuando llenamos el recipiente con agua, el volumen del agua sí es la capacidad del recipiente, ya que este no tiene ningún espacio vacío. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar qué sustancias, además de agua, se pueden usar con el fin de llenar un recipiente.

408

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Interpretar el volumen como llenar con líquido Guíe una conversación de toda la clase sobre llenar y rellenar recipientes usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Qué estamos midiendo cuando medimos el volumen de un líquido o un sólido? Estamos midiendo la cantidad de espacio que ocupan el líquido o el sólido. ¿Por qué podemos usar agua, pero no canicas para hallar el volumen de un prisma rectangular recto? El agua ocupa todo el espacio en un prisma, pero entre las canicas quedan espacios. Entonces, estas no ocupan todo el espacio dentro del prisma. ¿En qué se parecen rellenar un espacio con objetos sólidos y llenarlo con líquido? ¿En qué se diferencian? Al rellenar un espacio con objetos sólidos y al llenarlo con líquido, estamos poniendo algo en un recipiente a fin de hallar su volumen, o cuánto espacio ocupa. Cuando rellenamos un recipiente, usamos sólidos individuales, como cubos. Para rellenarlo, no debe haber espacios ni superposiciones. Cuando llenamos un recipiente con líquido, usamos una sustancia líquida, como el agua. Rellenar un espacio con objetos sólidos o llenarlo con líquido puede ayudarnos a hallar su volumen siempre y cuando la sustancia que usemos para rellenar o llenar ocupe todo el espacio en el recipiente.

409

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 20

Ejemplos de soluciones Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

_ _

2 1 − 6 6

_ _

4 1 − 6 6

_ _

4 1 + 8 8

_ _

6 1 + 8 8

_ _

__2 + __5

_ _

__4 + __5

_ _

Ejemplo:

1 3 + 4 4

_ _

Ejemplo:

4 2 − 6 6

1 1 − 3 6 2 1 − 3 6 2 1 + 4 8 3 1 + 4 8 1 1 + 5 2

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2 1 + 5 2 1 6 + 4 8

4 1 − 6 3

_ _ _ _ _ _ _ _ 10

_ _ _ _

410

LECCIÓN 21

Relacionar el volumen de sólidos y el volumen líquido

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

Nombre

Fecha

La caja de jugo de Eddie tiene forma de prisma rectangular recto, como se muestra.

11 cm

6 cm

Vistazo a la lección Al mirar un video y participar de una conversación de toda la clase, sus estudiantes aprenden que 1 centímetro cúbico tiene el mismo volumen que 1 mililitro. Saben que pueden determinar el volumen de cualquier recipiente en centímetros cúbicos llenándolo con agua, midiendo el volumen del agua en una probeta y convirtiendo el volumen en mililitros a centímetros cúbicos. La clase usa la relación entre centímetros cúbicos y mililitros con el propósito de resolver problemas del mundo real.

Preguntas clave • ¿Qué relación hay entre el volumen de los sólidos y el volumen de los líquidos?

4 cm

• ¿Qué relación hay entre los centímetros cúbicos y los mililitros?

a. Descompón el prisma en capas para hallar su volumen en centímetros cúbicos. Volumen de una capa: 6 × 4 = 24

Criterios de logro académico

24 centímetros cúbicos

5.Mód5.CLA6 Reconocen que se puede medir el volumen usando cubos

Volumen de la caja de jugo: 24 × 11 = 264

unitarios y que un sólido relleno con n cubos unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un volumen de n unidades cúbicas. (5.MD.C.3,

264 centímetros cúbicos

5.MD.C.3.a, 5.MD.C.3.b)

b. ¿Cuál es el volumen en mililitros de la caja de jugo de Eddie?

5.Mód5.CLA7 Miden volúmenes contando cubos unitarios que representan

El volumen de la caja de jugo de Eddie es 264 mililitros.

centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos y unidades improvisadas. (5.MD.C.4)

c. ¿Qué relación hay entre los centímetros cúbicos y los mililitros?

1 centímetro cúbico tiene el mismo volumen que 1 mililitro.

217

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• sobres (12)

Retire las hojas extraíbles de Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego 2 del libro para estudiantes. Recorte las tarjetas y coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos de modo que haya 1 por pareja de estudiantes.

Aprender 35 min • Relacionar centímetros cúbicos y mililitros • Resolver problemas que involucran centímetros cúbicos y mililitros • Grupo de problemas

• Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego 2 (en el libro para estudiantes)

Estudiantes • sobre de Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego 2 (1 por pareja de estudiantes)

Concluir 10 min

413

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

Fluidez

Conteo bip de 5 décimos en 5 décimos y de 9 décimos en 9 décimos La clase completa un patrón para adquirir fluidez con los números decimales. Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip. Escuchen con atención mientras cuento de 5 décimos en 5 décimos o de 9 décimos en 9 décimos. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos?

Muestre la secuencia 0, 0.5,

0, 0.5, bip. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

0, 0.5, 1.0

1.0 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2.5, 3.0, 3.5

414

2.5, 2.0, 1.5

5.0, 4.5, 4.0

0, 0.9, 1.8

4.5, 5.4, 6.3

4.5, 3.6, 2.7

9.0, 8.1, 7.2

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

Emparejar: Expresiones equivalentes Materiales: E) Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego 2

La clase identifica expresiones equivalentes y crea ecuaciones para adquirir fluidez con la suma y resta de números mixtos con unidades diferentes del módulo 2. Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas a cada pareja de estudiantes y pídales que completen la actividad usando el siguiente procedimiento: • Coloquen todas las tarjetas bocarriba. • Emparejen tarjetas que muestren dos expresiones equivalentes. Tengan en cuenta que hay dos tarjetas que no tienen pareja.

1 3

1 +3

2 9

3 9

1 +3

2 9

• Coloquen cada grupo de tarjetas emparejadas una junto a la otra. Coloquen una tarjeta de signo igual entre las expresiones que son iguales para formar una ecuación. • Continúen hasta que todas las tarjetas estén emparejadas, a excepción de aquellas dos que no tienen pareja. • Hallen unidades comunes para las expresiones sin pareja y úsenlas a fin de escribir dos expresiones iguales en las tarjetas en blanco, formando dos ecuaciones adicionales.

4 8

2 −1

1 2

−

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Anime a la clase a explicar su razonamiento a sus parejas de trabajo.

Presentar

La clase explora un método para hallar el volumen de un espacio que no se puede rellenar con cubos. Reproduzca las partes 1 a 4 del video Cubos en un cilindro. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a la clase que tome nota de los detalles. Anime a la clase a participar en una conversación breve acerca del video, haciendo énfasis en la parte 4. Comente las observaciones y las preguntas relevantes que hagan sus estudiantes. Considere la siguiente secuencia posible. © Great Minds PBC

415

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21 ¿Qué observan? Observo que el mismo prisma primero se rellena con cubos y, luego, se llena con agua.

DUA: Participación

Observo que la persona usa una probeta y mide el volumen del agua que había en el prisma. ¿Qué se preguntan? Me pregunto cuál es el volumen del agua. Me pregunto cuántos mililitros de agua caben en un cubo de un centímetro. ¿Qué unidad usó la persona cuando rellenó el prisma con cubos? Centímetros cúbicos

Si tiene a disposición los materiales, considere representar la actividad del video en persona. Invite a sus estudiantes a colaborar en la actividad, incluidas las acciones de verter el agua, medirla y colocar el cubo en la probeta. Además, considere activar los conocimientos previos sobre cuántos mililitros hay en 1 litro.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué la persona vertió el agua del prisma en una probeta. La persona intentó medir el volumen líquido con una probeta. Se puede usar la probeta para hallar el volumen del agua que había en el prisma. ¿Qué unidad usamos cuando medimos volumen en una probeta? Mililitros Queremos conocer el volumen de un cilindro en centímetros cúbicos, pero no podemos rellenar un cilindro con cubos de un centímetro. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre la siguiente pregunta. ¿Cómo nos ayuda verter el agua del prisma en una probeta a resolver el problema? Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a relacionar el volumen de los sólidos con el de los líquidos.

416

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

Aprender

Relacionar centímetros cúbicos y mililitros La clase determina que 1 centímetro cúbico tiene el mismo volumen que 1 mililitro. Reproduzca la parte 5 del video Cubos en un cilindro y páuselo cuando la persona sostiene el cubo de un centímetro por encima de la probeta. ¿Cuál es el volumen del prisma en mililitros? ¿Cómo lo saben? El volumen del prisma es 20 mililitros. Lo sé porque es la cantidad de agua que se vertió en la probeta. ¿Qué observan sobre el volumen del prisma en centímetros cúbicos y el volumen del prisma en mililitros? Son iguales. Un volumen de 20 centímetros cúbicos es igual a un volumen de 20 mililitros. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre lo que creen que pasará cuando se coloque el cubo en la probeta.

Nota para la enseñanza

Reproduzca el resto de la parte 5 del video Cubos en un cilindro. Converse brevemente con toda la clase acerca del video. ¿Qué observan? El cubo de un centímetro se hundió. Cuando se colocó el cubo de un centímetro en el agua, la graduación del volumen en la probeta cambió de 20 mililitros a 21 mililitros. Al principio, el volumen de agua en la probeta era 20 mililitros. No agregamos más agua y, aun así, el cubo hizo que el volumen en la probeta aumentara de 20 mililitros a 21 mililitros.

Cuando sus estudiantes observan cómo se coloca el cubo de un centímetro dentro de la probeta de agua, están presenciando el principio de Arquímedes. Arquímedes fue un matemático e inventor de la antigua Grecia. Su principio establece, en parte, que cuando se sumerge un objeto en un fluido, el volumen del fluido que se desplaza es equivalente al volumen del objeto.

417

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21 ¿Cuál es el volumen de 1 cubo de un centímetro en mililitros? ¿Cómo lo saben?

1 mililitro. Lo sé porque el volumen del agua y del cubo de un centímetro es, en total, 21 mililitros. Ya había 20 mililitros de agua, y 21 − 20 = 1. 1 mililitro. Lo sé porque el volumen del prisma era 20 centímetros cúbicos y también 20 mililitros, por lo tanto, 1 cubo de un centímetro tiene el mismo volumen que 1 mililitro. Sabemos que el volumen de un cubo de un centímetro es 1 centímetro cúbico. ¿De qué otra manera se puede describir el volumen de un cubo de un centímetro?

DUA: Representación Considere crear un afiche de referencia con el propósito de mostrar que 1 centímetro cúbico y 1 mililitro tienen el mismo volumen.

1 centímetro cúbico = 1 mililitro

1 mililitro Muestre la imagen de 1 centímetro cúbico y 1 mililitro de agua. ¿Cómo nos ayuda a resolver problemas saber que 1 cubo de un centímetro tiene el mismo volumen que 1 mililitro de agua? Nos puede ayudar cuando trabajamos con las dos unidades de medida. Nos puede ayudar cuando intentamos llenar recipientes que no son prismas rectangulares rectos.

10 mL 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Muestre una imagen del cilindro del video Cubos en un cilindro. Este es el cilindro que se rellenó con cubos de un centímetro en la lección anterior. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo hallar el volumen de este cilindro en centímetros cúbicos. Acepte todas las respuestas y razonamientos de sus estudiantes. Podemos llenar el cilindro con agua y, después, verter el agua en una probeta. Podemos usar la probeta para hallar el volumen del agua en mililitros. El número de mililitros es igual al número de centímetros cúbicos. Se puede llenar la probeta con un poco de agua y, luego, verterla en el cilindro. Podemos continuar haciendo eso y, después, sumar las cantidades de mililitros que vertemos hasta que el cilindro esté lleno. El número de centímetros cúbicos será el mismo número que el total de mililitros.

418

Diferenciación: Desafío Considere invitar a sus estudiantes a razonar sobre si existen relaciones parecidas entre otras unidades de volumen. Por ejemplo, pregunte si creen que un objeto cuyo volumen es 8 pulgadas cúbicas tiene un volumen de 8 onzas líquidas (o 1 taza), o si creen que el volumen de un objeto cuyo volumen es 1 pie cúbico tiene un volumen de 1 galón o 1 litro. Invíteles a diseñar un experimento que les permitiría confirmar su razonamiento.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

Resolver problemas que involucran centímetros cúbicos y mililitros La clase resuelve problemas del mundo real basándose en el hecho de que un objeto cuyo volumen es 1 centímetro cúbico también tiene un volumen de 1 mililitro. Usemos lo que aprendimos sobre llenar un espacio para determinar un volumen y resolver problemas del mundo real. ¿Cómo pueden hallar el volumen de un prisma rectangular recto? Puedo descomponerlo en capas y hallar el volumen de cada una de ellas. Luego, multiplico el número de capas por su volumen. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que completen el problema en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga las siguientes preguntas: • ¿Cómo pueden descomponer el prisma en capas? • ¿Cómo hallan el volumen de cada capa? • ¿Cómo hallan el volumen del prisma cuando ya saben el volumen de cada capa? • ¿Cuántos mililitros de agua hay en la probeta? • ¿Cuántos centímetros cúbicos hay en 10 mililitros? 1. Tyler planea verter el agua de la probeta en el recipiente con forma de prisma rectangular recto.

10 mL

Diferenciación: Apoyo Anime a quienes necesitan apoyo adicional para resolver el problema 1 a que usen cubos de un centímetro para crear el prisma con el que se rellena el recipiente.

3 cm 3 cm

1 cm 419

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21 a. Traza líneas en el recipiente para descomponerlo en capas. b. Determina el volumen del recipiente. El volumen de una capa es 3 centímetros cúbicos. Hay 3 capas.

3 × 3 centímetros cúbicos = 9 centímetros cúbicos El volumen del recipiente es 9 centímetros cúbicos. c. ¿Puede Tyler verter toda el agua de la probeta en el recipiente? Explica. No. El agua de la probeta no cabe en el recipiente. Reúna a la clase cuando hayan terminado. Invite a sus estudiantes a compartir cómo descompusieron el prisma en capas para hallar su volumen. Destaque las diferentes capas que crearon. Luego, haga la siguiente pregunta. ¿Cómo saben que toda el agua de la probeta no entra en el prisma? El volumen del agua en la probeta es 10 mililitros, lo que equivale a 10 centímetros cúbicos. El volumen del prisma es solo 9 centímetros cúbicos. Pida a sus estudiantes que completen el problema 2 en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga las siguientes preguntas: • ¿Cómo pueden descomponer el prisma en capas?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

• ¿Cómo hallan el volumen de cada capa? • ¿Cómo hallan el volumen del prisma cuando ya saben el volumen de cada capa? • ¿Cuál es la relación entre centímetros cúbicos y mililitros? • ¿Cuántos mililitros hay en un litro?

Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando usa capas para determinar el volumen de agua que puede contener un objeto con forma de prisma rectangular recto, usa la relación entre centímetros cúbicos y mililitros e interpreta el resultado en un contexto. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Qué se pide en el problema? • ¿Sus respuestas tienen sentido en este contexto? • ¿Cómo les ayudan las unidades de la longitud, el ancho y la altura del prisma a pensar en este problema?

420

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21 2. Una compañía promociona que su florero de vidrio, que tiene forma de prisma rectangular recto, puede contener 2 litros de agua. La base interior del florero es un cuadrado. Uno de los lados de la base mide 8 centímetros. a. Descompón el florero en capas para hallar su volumen. Volumen de 1 capa:

8 × 8 = 64 64 centímetros cúbicos

30 cm

Volumen del florero:

64 × 30 = 1,920

Nota para la enseñanza Objetos del mundo real, como el florero, tienen grosor, por lo tanto, para medir la cantidad de agua que puede contener es importante conocer el volumen del espacio interior del florero. Comente con sus estudiantes por qué medir la longitud, el ancho y la altura del exterior del florero no indicaría con precisión la cantidad de agua que puede contener.

1,920 centímetros cúbicos b. ¿Cuál es el volumen del florero en mililitros?

1,920 mililitros

8 cm

c. ¿Cuál es el volumen del florero en litros?

1,920 mL = 1,920 × 1 mL = 1,920 × 0.001 L = 1.92 L 1.92 litros d. ¿Es correcto el anuncio de la compañía? Explica.

Diferenciación: Apoyo Para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional con el problema 2, proporcione un dibujo del florero que ya esté descompuesto en capas o en cubos individuales.

No. La compañía dijo que el florero puede contener 2 L de agua, pero solo puede contener 1.92 L, entonces, el anuncio no es correcto.

421

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21 Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, reúna a la clase. Invite a sus estudiantes a compartir cómo descompusieron el prisma en capas a fin de hallar su volumen. Resalte las diferentes capas que crearon sus estudiantes. Luego, haga las siguientes preguntas. ¿Cómo hallaron el volumen del florero en mililitros? Sabía que, si el volumen de un objeto es 1 centímetro cúbico, también es igual a 1 mililitro. Entonces, 1,920 centímetros cúbicos equivalen a 1,920 mililitros. ¿Cómo hallaron el volumen del florero en litros?

  de 1 litro. Multipliqué el número de mililitros por 0.001 porque 1 mililitro es ____ 1 1,000

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar otra manera en la que podrían haber determinado si el anuncio de la compañía es correcto. Podría haber descompuesto el prisma en capas de otra manera. Podría haber determinado el número de centímetros cúbicos en 2 litros y, luego, comparado eso con el volumen del florero en centímetros cúbicos.

422

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Relacionar el volumen de sólidos y el volumen líquido Guíe una conversación de toda la clase sobre el volumen de sólidos y el volumen líquido usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿De qué manera pueden hallar el volumen de un objeto sólido, como un cubo? Puedo descomponer el cubo en capas y multiplicar el volumen de cada capa por el número de capas. Puedo colocar el objeto en una probeta con agua y determinar cuánto aumenta el nivel del agua. Por lo general, usamos centímetros cúbicos para medir el volumen de los sólidos y mililitros para medir el volumen de los líquidos. ¿Qué relación hay entre el volumen de los sólidos y el volumen líquido? Tanto el volumen de los sólidos como el volumen líquido indican cuánto espacio ocupa el sólido o el líquido. Se pueden usar centímetros cúbicos para expresar el volumen de los líquidos o los sólidos. Colocar un sólido en un líquido aumentará el volumen líquido, por lo tanto, se puede sumar el volumen de un líquido al volumen de un sólido para hallar el volumen total, si las dos unidades están en centímetros cúbicos. ¿Qué relación hay entre los centímetros cúbicos y los mililitros? El volumen de un objeto medido en centímetros cúbicos es igual al volumen del objeto en mililitros.

423

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

1 1_3 + 3 2_9

1 39_ + 3 2_9

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

Fecha

Usa los prismas rectangulares rectos para completar los enunciados.

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429

424

1 2_3 + 3 2_9

1 6_9 + 3 2_9

2 1_2 − 1 1_8

2 4_8 − 11_8

2 1_2 − 1 3_8

2 4_8 − 1 3_8

7 2_3 + 5 3_4

9 8 7 __ + 5 __ 12 12

7 3_4 + 5 1_6

9 2 7 __ + 5 __ 12 12

2 4_8 − 1 1_2

Ejemplo: 21_ − 11_

9 7 3_4 + 5__ 12

9 9 Ejemplo: 7__ + 5__

1. El prisma rectangular recto está formado por 12 cubos de un centímetro.

2. El prisma rectangular recto está formado por 45 cubos de un centímetro.

Un recipiente con la forma de este prisma rectangular recto puede contener exactamente 12 mL de agua.

Un recipiente con la forma de este prisma rectangular recto puede contener exactamente 45 mL de agua.

213

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

3. Los prismas rectangulares rectos que se muestran están formados por cubos de un centímetro. Haz una línea para emparejar cada prisma rectangular recto con la cantidad de agua en mililitros que puede contener un recipiente con la forma de ese prisma. Prisma rectangular recto

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TC ▸ Lección 21

4. ¿Cuántos mililitros de jugo caben en la caja de jugo?

Cantidad de agua

8 cm

4 cm

8 mL

6 cm

Entran 192 mililitros de jugo en la caja de jugo. 5. Jada tiene una pecera con forma de prisma rectangular recto. Se muestran la longitud, el ancho y la altura de la pecera.

24 mL

30 cm

20 cm 40 cm La pecera de Jada puede contener

24,000

centímetros cúbicos de agua.

La pecera de Jada puede contener

24,000

mililitros de agua.

La pecera de Jada puede contener

litros de agua.

27 mL

214

GRUPO DE PROBLEMAS

215

425

Tema D El volumen y las operaciones de multiplicación y suma En el tema D, la clase amplía su comprensión de conceptos relacionados con el volumen del tema C. Aprenden las fórmulas del volumen V = B × h y V = l × a × h y las usan para resolver problemas matemáticos y del mundo real. Al comienzo del tema, la clase desarrolla su experiencia con la descomposición de prismas rectangulares rectos en capas. Determinan que, cuando la altura de una capa es 1 unidad, el número de unidades cuadradas de la base es igual al número de unidades cúbicas de una capa, y que el número de unidades de la altura es igual al número de capas. Descubren que el volumen del prisma se puede determinar multiplicando el área de la base del prisma por la altura, y aprenden a representar este razonamiento con la fórmula V = B × h. Al aplicar la fórmula, sus estudiantes logran reconocer que cualquier cara de un prisma rectangular recto puede ser la base. Después de determinar que el área de la base de un prisma es la longitud del prisma multiplicada por el ancho, escriben la fórmula V = B × h como V = l × a × h, teniendo en cuenta que cualquiera de las longitudes de las aristas de un prisma se puede definir como la longitud, el ancho o la altura. Para hallar volúmenes o dimensiones desconocidas de prismas rectangulares rectos en situaciones matemáticas y del mundo real, sus estudiantes usan las fórmulas del volumen. Dado el volumen de un prisma, determinan las posibles dimensiones del prisma descomponiendo los números en factores y usando la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa de la multiplicación. Identifican la relación entre centímetros cúbicos y mililitros y resuelven problemas que requieren escribir cantidades en centímetros cúbicos, mililitros y litros.

426

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD Para concluir el estudio del volumen, la clase explora figuras sólidas compuestas de prismas rectangulares rectos. Hallan el volumen de prismas rectangulares rectos que componen una figura y suman los volúmenes. Resuelven problemas del mundo real que involucran no solo el volumen, sino también el perímetro y el área. En una actividad abierta, sus estudiantes diseñan y crean una escultura con prismas rectangulares rectos. Siguiendo una serie de pautas para crear la escultura, eligen las alturas de prismas con bases dadas, multiplican las longitudes de las aristas para hallar los volúmenes de prismas específicos, y hacen cálculos para hallar el volumen total de la escultura. En 6.o grado, la clase halla el volumen de prismas rectangulares rectos con longitudes de las aristas fraccionarias rellenando con cubos unitarios con longitudes de las aristas fraccionarias y aplicando las fórmulas V = B × h y V = l × a × h.

427

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD

Progresión de las lecciones Lección 22

Lección 23

Lección 24

Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos usando el área de la base

Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos multiplicando las longitudes de las aristas

Resolver problemas verbales sobre el volumen de prismas rectangulares rectos

Área de la cara superior: 6 centímetros cuadrados

Volumen de la capa superior: 6 centímetros cúbicos

25 cm 4 capas

Altura: 4 centímetros

V=6×4

Puedo usar la fórmula V = B × h para determinar el volumen de un prisma rectangular recto. Sé que cualquiera de las caras de un prisma rectangular recto puede ser su base.

428

(2 × 3) × 4

(3 × 4) × 2

(2 × 4) × 3

Puedo multiplicar la longitud, el ancho y la altura de un prisma para usar la fórmula V = l × a × h y determinar el volumen del prisma. Sé que las fórmulas siempre son verdaderas y que puedo usar una fórmula para resolver problemas acerca del volumen de cualquier prisma rectangular recto si tengo suficiente información.

20 cm

25 cm

Las fórmulas del volumen me ayudan a hallar volúmenes o dimensiones desconocidas de prismas rectangulares rectos en situaciones del mundo real. Cuando sé el volumen de un prisma rectangular recto, puedo determinar las posibles dimensiones del prisma.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD

Lección 25

Lección 26

Lección 27

Hallar el volumen de figuras sólidas compuestas de prismas rectangulares rectos

Resolver problemas verbales sobre el perímetro, el área y el volumen

Aplicar conceptos y fórmulas del volumen para diseñar una escultura usando prismas rectangulares rectos, parte 1

2m 4m 2m 6m

Puedo hallar el volumen de una figura que se compone de prismas rectangulares rectos hallando los volúmenes de los prismas rectangulares rectos que están dentro de la figura sólida y sumándolos.

Sé que la distancia alrededor de algo es su perímetro. La cantidad que se necesita para cubrir un espacio bidimensional es su área. La cantidad de espacio tridimensional que ocupa algo es su volumen. A veces, debo usar las tres medidas para resolver un problema.

Puedo crear una escultura con prismas rectangulares rectos y calcular el volumen total de la escultura. Puedo crear un prisma rectangular recto cuyo volumen sea una fracción del volumen de otro prisma.

429

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD

Lección 28 Aplicar conceptos y fórmulas del volumen para diseñar una escultura usando prismas rectangulares rectos, parte 2

C A E

B D

Puedo describir, analizar, interpretar y evaluar una escultura para comprobar que cumple las pautas dadas. Puedo determinar si los cálculos del volumen son correctos.

430

LECCIÓN 22

Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos usando el área de la base

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

Nombre

Fecha

Calcula el volumen de cada prisma rectangular recto. 1. El área de la base es 18 centímetros cuadrados y la altura es 2 centímetros.

V=B×h

2. El área de la base es 18 centímetros cuadrados y la altura es 4 centímetros.

= 18 × 2

= 18 × 4 = 72

36 centímetros cúbicos

La clase determina que puede calcular el volumen de un prisma rectangular recto multiplicando el área de la base del prisma por su altura. Escriben, definen y usan la fórmula V = B × h. Explican por qué cualquiera de las caras de un prisma rectangular recto puede ser su base.

Preguntas clave

V=B×h

= 36

Vistazo a la lección

• ¿Por qué podemos pensar en cualquiera de las caras de un prisma rectangular recto como su base?

72 centímetros cúbicos

• ¿Por qué podemos calcular el volumen de un prisma rectangular recto multiplicando el área de la base por la altura?

Criterios de logro académico 5.Mód5.CLA8 Determinan los atributos desconocidos de prismas

rectangulares rectos dado el volumen. (5.MD.C.5) 5.Mód5.CLA9 Explican la relación entre la multiplicación y el volumen

rellenando prismas rectangulares rectos con cubos unitarios. (5.MD.C.5.a) 5.Mód5.CLA11 Calculan el volumen de prismas rectangulares rectos usando

V = l × a × h y V = B × h. (5.MD.C.5.b)

231

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min Aprender 35 min

• Tarjetas de números decimales (1 juego por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

• Escribir una fórmula

• sobres (12)

• Usar el área de una base para hallar el volumen

• cubo de un centímetro

• Retire las hojas extraíbles de Tarjetas de números decimales del libro para estudiantes y recórtelas. Coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos para que cada pareja de estudiantes tenga uno. Considere guardar estos materiales para volver a usarlos en la lección 23.

• Hallar la altura o el área desconocidas de una base • Grupo de problemas

Concluir 10 min

Estudiantes • sobre con Tarjetas de números decimales (1 por pareja de estudiantes) • Plantilla de factores escondidos (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

• Retire la hoja extraíble de Plantilla de factores escondidos del libro para estudiantes. Considere si desea preparar este material con antelación o si lo preparará durante la lección. Considere guardar estos materiales para volver a usarlos en la lección 23.

433

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

Fluidez

Factores escondidos Materiales: E) Tarjetas de números decimales; Plantilla de factores escondidos

La clase determina el producto y, luego, escribe y dice una ecuación de multiplicación o una ecuación de división relacionada para adquirir fluidez con la multiplicación y la división de números decimales del módulo 4. Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de Tarjetas de números decimales a cada pareja de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase. • Las parejas colocan el juego de tarjetas bocabajo junto a la Plantilla de factores escondidos. • Estudiante A y estudiante B: Dan vuelta a la tarjeta que se encuentra en la parte de arriba de la pila y la colocan en un cuadrado azul.

0.5 × 0.3

• Cada estudiante, A y B, dice el producto. • Estudiante A: Registra una ecuación de multiplicación en su pizarra blanca individual y, luego, la lee. Estudiante B: Registra una ecuación de división relacionada en su pizarra blanca y, luego, la lee. Consulte el diálogo de ejemplo debajo de la plantilla de ejemplo.

Estudiantes A y B: “0.15” Estudiante A: “0.5 × 0.3 = 0.15” Estudiante B: “0.15 ÷ 0.5 = 0.3”

• Estudiantes A y B: Descartan las tarjetas que usaron en una pila separada. Recorra el salón de clases durante la actividad para asegurarse de que sus estudiantes estén registrando y diciendo las ecuaciones correctas. Si alguna pareja se queda sin tarjetas antes de que finalice el tiempo, pueden intercambiar roles, mezclar las tarjetas y seguir jugando.

434

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

Contar con cubos de un centímetro La clase determina cuántos cubos de un centímetro hay en una capa y, luego, cuenta para hallar el volumen de un prisma rectangular recto. Muestre el prisma rectangular recto y la capa de cubos de un centímetro. ¿Cuál es el volumen de la capa de cubos de un centímetro que está junto al prisma? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

3 centímetros cúbicos

= 1 centímetro cúbico

Muestre la capa de cubos que hay dentro del prisma. Los 3 cubos de un centímetro representan una capa del prisma. Contemos salteado usando 3 centímetros cúbicos para rellenar el prisma y hallar el volumen. La primera medida que dicen es 3 centímetros cúbicos. ¿Comenzamos? Muestre cada capa del prisma, una a la vez, mientras sus estudiantes cuentan hasta 15 centímetros cúbicos.

3 centímetros cúbicos, 6 centímetros cúbicos, 9 centímetros cúbicos, 12 centímetros cúbicos, 15 centímetros cúbicos ¿Cuál es el volumen del prisma? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

15 centímetros cúbicos Muestre el volumen.

El volumen es

15 centímetros cúbicos.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

El volumen es 16 centímetros cúbicos.

El volumen es 18 centímetros cúbicos.

435

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

Presentar

La clase compara métodos para hallar el volumen de un prisma rectangular recto. Muestre los tres prismas rectangulares rectos descompuestos. Diga a la clase que las capas están compuestas de cubos de un centímetro.

Yuna

Ryan

Jada

Yuna, Ryan y Jada usan capas que están compuestas de cubos de un centímetro para construir un prisma rectangular recto. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si los tres prismas tendrán el mismo volumen y por qué. Sí. Tendrán el mismo volumen porque 4 × 6 = 24, 2 × 12 = 24 y 3 × 8 = 24. Sí. Tendrán el mismo volumen porque hay 24 cubos en cada prisma. Sí. Tendrán el mismo volumen porque 4 capas de 6 centímetros cúbicos, 2 capas de 12 centímetros cúbicos y 3 capas de 8 centímetros cúbicos tienen un volumen de 24 centímetros cúbicos. ¿Los prismas tendrán las mismas dimensiones? Sí. ¿Cuáles son las dimensiones de los prismas?

2 centímetros por 3 centímetros por 4 centímetros En los prismas que compusieron Yuna, Ryan y Jada se usan diferentes capas, pero los prismas compuestos tienen las mismas dimensiones.

436

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22 Muestre los tres prismas y la tabla que representa sus volúmenes.

Yuna

Estudiante

Jada

Ryan

Número de cubos en cada capa

Número de capas

Volumen (centímetros cúbicos)

Yuna Ryan Jada

Registremos algo de información acerca de las composiciones que se muestran en la tabla. Invite a sus estudiantes a ayudar a completar las columnas para el número de cubos que hay en cada capa y el número de capas.

Estudiante

Número de cubos en cada capa

Número de capas

Yuna

Ryan

Jada

Volumen (centímetros cúbicos)

437

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para resumir cómo podrían usar la información de la tabla a fin de determinar el volumen de cada prisma. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a determinar otra manera de hallar el volumen de un prisma rectangular recto.

Aprender

Escribir una fórmula Materiales: M) Cubo de un centímetro

La clase determina que puede hallar el volumen de un prisma rectangular recto multiplicando el área de la base por la altura. Continúe mostrando los prismas y la tabla de la sección Presentar. Use las siguientes preguntas para comentar la composición de Yuna en mayor profundidad. ¿Cuál es el volumen del prisma de Yuna? ¿Cómo lo saben? El volumen es 24 centímetros cúbicos. Lo sé porque puedo multiplicar el volumen de cada capa, 6 centímetros cúbicos, por el número de capas, 4.

DUA: Representación Considere crear el prisma de Yuna con cubos interconectables, como se muestra, para ayudar a sus estudiantes a lo largo de la conversación. El prisma puede ser útil para comentar el significado del término base y cómo la base podría ser cualquier cara del prisma. Considere dejar los cubos en prismas de 1 por 3 que no estén conectados, de modo que el prisma se pueda descomponer y volver a componer fácilmente.

Podemos usar la estrategia de Yuna de otra manera para pensar en el volumen. Muestre un cubo de un centímetro. Sabemos que este cubo tiene un volumen de 1 centímetro cúbico. ¿Cuál es el área de una de las caras de este cubo? ¿Cómo lo saben? El área de una de las caras es 1 centímetro cuadrado. Lo sé porque la longitud es 1 centímetro, el ancho es 1 centímetro, y 1 × 1 = 1.

438

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22 Señale la cara superior de la capa superior de Yuna.

Nota para la enseñanza

¿Cuál es el área de esta cara? ¿Cómo lo saben? El área de la cara es 6 centímetros cuadrados. Lo sé porque tiene 6 cuadrados que tienen un área de 1 centímetro cuadrado cada uno. ¿Qué observan acerca del número de centímetros cuadrados que hay en esta cara superior y del número de centímetros cúbicos que hay en esta capa superior? Son iguales.

En la lección 19, sus estudiantes comienzan a descomponer prismas rectangulares rectos usando capas. Estas capas siempre tienen un grosor de 1 unidad, lo que les ayuda a hacer la transición hacia la fórmula V = B × h en esta lección.

El número de centímetros cuadrados que hay en esta cara es igual al número de centímetros cúbicos que hay en esta capa. ¿Cuántas capas hay?

4 ¿Qué observan acerca del número de capas y el número de centímetros de la altura del prisma? Son iguales. Muestre el diagrama con código de colores de la descomposición que hizo Yuna.

Área de la cara superior: 6 centímetros cuadrados

Volumen de la capa superior: 6 centímetros cúbicos

4 capas

Altura: 4 centímetros

V=6×4

439

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

EUREKA MATH2

Señale el prisma descompuesto mientras dice el siguiente enunciado. Podemos calcular el volumen de un prisma multiplicando el número de centímetros cúbicos de una capa, 6, por el número de capas, 4. Señale el prisma compuesto mientras dice el siguiente enunciado. También podemos calcular el volumen multiplicando el número de centímetros cuadrados de la cara superior, 6, por el número de centímetros de la altura del prisma, 4. En cualquiera de estos casos, estamos multiplicando 6 por 4. La cara superior del prisma tiene un área de 6 centímetros cuadrados. ¿Cuál es el área de la base, la cara inferior del prisma? ¿Cómo lo saben? El área de la base es 6 centímetros cuadrados. Lo sé porque las caras opuestas tienen la misma longitud y ancho, lo que significa que tienen la misma área. Dado que podemos multiplicar el área de la cara superior por la altura del prisma para determinar el volumen del prisma, también podemos determinar el volumen multiplicando el área de la base por la altura del prisma.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Ayude a sus estudiantes con el término calcular haciendo énfasis en que se usa la operación de multiplicación para hallar el volumen. Pida a sus estudiantes que consideren otras oportunidades en las que hayan hecho cálculos y qué operaciones debieron usar en cada caso. Podría resultarles útil, primero, compartir ideas acerca de casos en los que se usan las operaciones. • Multiplicamos la longitud y el ancho para determinar el área de un rectángulo. • Sumamos números decimales para determinar el costo total de varios artículos.

Escriba V = B × h. Esta fórmula es una manera de representar cómo podemos hallar el volumen de cualquier prisma rectangular recto. Nos dice que siempre podemos hallar el volumen de un prisma rectangular recto multiplicando el área de la base por la altura. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué representa cada letra de la ecuación V = B × h . La V representa el volumen. La B representa el área de la base. La h representa la altura.

440

Apoyo para la comprensión del lenguaje En esta lección se usa el término fórmula, que puede tener distintos significados. Sus estudiantes conocen la fórmula del área de un rectángulo y las fórmulas del perímetro de un rectángulo. Considere guiar una conversación de toda la clase que se enfoque en las experiencias previas de sus estudiantes con el uso de este término en matemáticas y con otros significados que tenga en la vida cotidiana. Por ejemplo, alguien podría decir que un chef tiene una fórmula especial para condimentar una receta.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22 Muestre el prisma que está compuesto de dos capas. Kelly compone el mismo prisma que Yuna y también usa capas horizontales, pero usa dos capas en lugar de cuatro. ¿Cuál es el volumen de cada una de las capas de Kelly?

12 centímetros cúbicos ¿Cuál es el área de la base del prisma de Kelly?

DUA: Representación Considere crear un afiche de referencia que muestre las maneras en que sus estudiantes ya saben cómo determinar el volumen de un prisma rectangular recto.

6 centímetros cuadrados ¿Puede Kelly calcular el volumen total de su prisma multiplicando el área de la base por el número de capas? ¿Por qué? No. Multiplicar el área de la base por el número de capas solo da la mitad del volumen. No. Kelly debe multiplicar el área de la base por la altura del prisma, que es 4, no 2. Cuando calculamos el volumen, multiplicamos el área de la base por la altura del prisma, no por el número de capas, porque el número de capas no siempre es igual a la altura.

Usar el área de una base para hallar el volumen La clase usa el área de una base para determinar el volumen de un prisma rectangular recto. Muestre los dos prismas. Imaginen que apoyamos el prisma con el que estuvimos trabajando de un lado diferente. ¿Los dos prismas tienen el mismo volumen? ¿Cómo lo saben? Sí. Son el mismo prisma, pero uno está apoyado de costado. Sí. Los dos prismas tienen las mismas dimensiones. Sí. Los dos prismas tienen el mismo número de cubos. Sí. Los dos prismas ocupan la misma cantidad de espacio.

441

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22 ¿Cuál es el área de la base del prisma que está a la derecha? ¿Cómo lo saben? El área es de la base es 8 centímetros cuadrados. Lo sé porque la longitud de la base es 4 centímetros, el ancho de la base es 2 centímetros, y 4 × 2 = 8.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

¿Cuál es la altura del prisma que está a la derecha?

3 centímetros ¿Cuál es la fórmula para hallar el volumen de un prisma rectangular recto?

V=B×h Guíe a sus estudiantes para que usen la fórmula, con 8 como el número para el área de la base y 3 como el número para la altura.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relaciona la multiplicación del volumen de cada capa por el número de capas con la fórmula V = B × h? ¿Cómo puede ayudarles esa relación a calcular el volumen?

Muestre los cálculos para el volumen del prisma y el volumen del prisma cuando está apoyado de costado.

V=B×h

=6×4

=8×3

= 24

El volumen es 24 centímetros cúbicos.

Señale el prisma más alto mientras dice el siguiente enunciado. Cuando calculamos el volumen de este prisma por primera vez, usamos como base la cara con longitudes de los lados de 2 centímetros y 3 centímetros. Usamos la arista que mide 4 centímetros como la altura.

442

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión del uso de capas para determinar el volumen de un prisma rectangular recto a fin de entender y utilizar la fórmula V = B × h.

• ¿Cómo puede ayudarles a usar la fórmula lo que ya saben acerca de las capas?

Nota para la enseñanza Estas ecuaciones aparecen escritas sin unidades a propósito (es decir, V = 8 × 3, y no V = 8 pulgadas cuadradas × 3 pulgadas). El producto de la altura y el área de la base, sin unidades, es el número total de cubos unitarios del rectángulo. El volumen, o el producto con la unidad, se escribe en el enunciado de la solución.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22 Señale el prisma más ancho mientras dice el siguiente enunciado. Luego, usamos como base la cara con longitudes de los lados de 4 centímetros y 2 centímetros. Usamos la arista que mide 3 centímetros como la altura. Determinamos que, sin importar cuál de las caras está en la parte inferior del prisma, su volumen es 24 centímetros cúbicos. ¿Pueden elegir cualquier cara del prisma para que sea la base? ¿Por qué? Sí. Un prisma rectangular recto se puede girar de modo que cualquier cara sea la base. Una vez que eligieron la base, ¿cómo saben cuál de las aristas es la altura? Si la base está en la parte inferior, la altura es la arista que va hacia arriba. La altura es una arista que no está en la base o la cara opuesta a la base.

Nota para la enseñanza Es verdadero que cualquier cara de un prisma rectangular recto puede ser su base porque todas las caras de un prisma rectangular recto son rectángulos. Sin embargo, esto no es verdadero para otros prismas, pirámides o cilindros. Por ejemplo, un prisma triangular recto tiene dos bases triangulares, pero las caras rectangulares restantes no son bases.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre si es necesario determinar las longitudes de las aristas de la cara superior antes de determinar el volumen del prisma. Pídales que completen el problema 1 en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga las siguientes preguntas: • ¿Pueden usar una fórmula para calcular el volumen del prisma? • ¿Cómo usan la fórmula? • ¿Su respuesta tiene sentido? ¿Por qué?

443

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22 1. El área de la base de un prisma rectangular recto es 28 pulgadas cuadradas y la altura es 6 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del prisma rectangular recto?

Diferenciación: Apoyo

V=B×h = 28 × 6 = 168 El volumen es 168 pulgadas cúbicas.

Para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional con el problema 1, considere proporcionarles la fórmula y ayudarles a determinar qué números deben usar para B y h.

Cuando sus estudiantes hayan terminado, haga las siguientes preguntas. ¿Cuáles son las longitudes y los anchos posibles de la base? Expliquen su razonamiento. La longitud y el ancho de la base podrían ser 7 pulgadas y 4 pulgadas, 14 pulgadas y 2 pulgadas o 28 pulgadas y 1 pulgada, porque 7 × 4 = 28, 14 × 2 = 28 y 28 × 1 = 28. 14 pulgadas y 2 pulgadas es el par de longitudes de los lados más razonable en base al dibujo. ¿Tuvimos que usar una fórmula para calcular el volumen del prisma? De no ser así, ¿qué otra estrategia podríamos haber usado? No. Podríamos haber descompuesto el prisma en 6 capas. Si el área de la base es 28 pulgadas cuadradas, entonces el volumen de cada capa es 28 pulgadas cúbicas. Podríamos haber multiplicado el volumen de cada capa por 6, el número de capas.

Nota para la enseñanza Pensar en las posibles longitudes y anchos correspondientes para la base con un área dada puede ayudar a sus estudiantes a relacionar la fórmula V = B × h con la fórmula V = l × a × h en la lección 23. No es necesario que determinen cada par de longitudes de los lados posibles.

¿Por qué usaríamos una fórmula en vez de la descomposición para hallar el volumen del prisma? La fórmula es más eficiente. Descomponer el prisma en capas lleva más tiempo.

444

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22 Pida a sus estudiantes que consideren un prisma rectangular recto en el que el área de la base es 28 pulgadas cuadradas y la altura es 12 pulgadas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta. ¿Cómo afectaría al volumen del prisma si se duplica la altura del prisma rectangular recto de

6 pulgadas a 12 pulgadas? ¿Cómo lo saben?

El volumen se duplicaría porque multiplicaríamos el área de la base por el doble de lo que mide. El volumen se duplicaría porque hallaríamos B × (2 × h) en lugar de B × h. Pida a sus estudiantes que consideren un prisma rectangular recto en el que el área de la base es 28 pulgadas cuadradas y la altura es 3 pulgadas. ¿Cómo cambiaría el volumen del prisma rectangular recto si la altura del prisma fuera 3 pulgadas en lugar de 6 pulgadas? ¿Por qué? El volumen sería la mitad porque multiplicaríamos el área de la base por la mitad de lo que mide.

_ 21 × h) en lugar de B × h. El volumen sería la mitad porque hallaríamos B × (

445

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

Hallar la altura o el área desconocidas de una base La clase determina la altura desconocida o el área desconocida de una cara de un prisma rectangular recto. Muestre los tres prismas.

Prisma A

DUA: Acción y expresión

Prisma B

Prisma C

El área de la cara sombreada es 6 centímetros cuadrados.

Considere proporcionar una copia de los prismas a estudiantes que necesiten apoyo adicional. Pídales que rotulen la base y la altura de cada prisma.

2 cm El área de la cara sombreada es 12 centímetros cuadrados. Volumen: 30 centímetros cúbicos

Volumen: 24 centímetros cúbicos

Volumen: 36 centímetros cúbicos

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la siguiente pregunta. Se muestran los volúmenes de los prismas rectangulares rectos. ¿Qué otra información pueden determinar acerca de cada prisma? Después de algunos minutos, invite a sus estudiantes a compartir sus razonamientos. Anime a sus estudiantes a justificar sus conclusiones. Para el prisma A, la cara sombreada es la base y el área es 6 centímetros cuadrados. La altura no es una arista de la cara sombreada. Sabemos que V = B × h, así que la altura del prisma es 5 centímetros, porque 6 × 5 = 30.

446

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22 Para el prisma B, la altura es 2 centímetros, y la altura no es una arista de la base. Sabemos que V = B × h, así que el área de la base del prisma es 12 centímetros cuadrados, porque 12 × 2 = 24. Puedo pensar en girar el prisma C para que la cara sombreada quede en la parte inferior, lo que me ayudaría a pensarla como la base. El área de la base es 12 centímetros cuadrados. La altura no es una arista de la cara sombreada, y V = B × h. Así que la altura del prisma C es 3 centímetros, porque 12 × 3 = 36. Mientras sus estudiantes comentan sus ideas, considere hacer las siguientes preguntas: • ¿Saben la longitud y el ancho de la cara sombreada? • ¿Cuáles son algunos valores posibles de la longitud y el ancho de la cara sombreada? • ¿Cuál es la altura del prisma? ¿Cómo lo saben? • ¿De qué cara pueden determinar el área? ¿Por qué? ¿Qué fórmula usamos hoy? ¿Qué significa la fórmula?

V = B × h. Podemos hallar el volumen de un prisma rectangular recto multiplicando el área de la base por la altura. Escriba V = B × h. Podemos usar esta fórmula para resolver muchos tipos de problemas. Si sabemos la altura y el área de la base de un prisma rectangular recto, podemos hallar el volumen. Si sabemos el área de la base y el volumen de un prisma rectangular recto, podemos hallar la altura. Si sabemos la altura y el volumen de un prisma rectangular recto, podemos hallar el área de la base.

447

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos usando el área de la base Guíe una conversación de toda la clase acerca del uso de la multiplicación para hallar el volumen de prismas rectangulares rectos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Por qué podemos pensar en cualquiera de las caras de un prisma rectangular recto como su base? Un prisma rectangular recto se puede girar de modo que cualquier cara sea la base. ¿Cómo hallamos el volumen de un prisma rectangular recto si sabemos la altura del prisma y el área de la base? Multiplicamos el área de la base del prisma por la altura. ¿Por qué podemos calcular el volumen de un prisma rectangular recto multiplicando el área de la base por la altura? El número de unidades cuadradas de la base es igual al número de unidades cúbicas de una capa con una altura de 1 unidad. El número de unidades de la altura es igual al número de capas. Entonces, el volumen se puede hallar multiplicando el área de la base del prisma por la altura.

448

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Nombre

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

2. El prisma rectangular recto que se muestra está formado por cubos de un centímetro. Usa el prisma para completar las partes (a) a (d).

1. Los prismas rectangulares rectos que se muestran están formados por cubos de un centímetro. Encierra en un círculo los dos prismas rectangulares rectos que tienen el mismo volumen.

a. La capa superior está formada por b. El área de la cara superior es c. El área de la base es

227

228

cubos.

centímetros cuadrados.

d. La altura del prisma rectangular recto es

e. El volumen del prisma rectangular recto es

140

GRUPO DE PROBLEMAS

centímetros. centímetros cúbicos.

449

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

Calcula el volumen del prisma rectangular recto. 3. El área de la base es 24 pulgadas cuadradas y la altura es 10 pulgadas.

240 pulgadas cúbicas

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 22

Considera cada prisma rectangular recto. 4. El área de la base es 48 pulgadas cuadradas y la altura es 5 pulgadas.

7. ¿Cuál es el área de la base si el volumen es 126 centímetros cúbicos?

240 pulgadas cúbicas

8. ¿Cuál es la altura si el volumen es 180 pulgadas cúbicas y el área de la base es 45 pulgadas cuadradas?

4 pulgadas 7 centímetros

18 centímetros cuadrados

5. El área de la base es 24 centímetros cuadrados y la altura es 4 centímetros.

96 centímetros cúbicos

450

6. El área de la base es 24 centímetros cuadrados y la altura es 8 centímetros.

192 centímetros cúbicos

GRUPO DE PROBLEMAS

229

230

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 23

Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos multiplicando las longitudes de las aristas

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

Nombre

Fecha

Halla el volumen del prisma rectangular recto.

Vistazo a la lección La clase determina que puede multiplicar la longitud, el ancho y la altura de un prisma rectangular recto para determinar su volumen. Sus estudiantes escriben, definen y utilizan la fórmula V = l × a × h, reconociendo que cualquiera de las aristas de un prisma se puede definir como la longitud, el ancho o la altura. Determinan la longitud desconocida de una de las aristas, como la altura, en un prisma rectangular recto dados el volumen y las otras dos dimensiones.

Preguntas clave • ¿En qué se parecen las fórmulas para hallar el volumen de un prisma rectangular recto?

10 unidades

• ¿Por qué es útil tener dos fórmulas para hallar el volumen de un prisma rectangular recto?

4 unidades 8 unidades

Criterios de logro académico

V=l×a×h = 8 × 4 × 10

5.Mód5.CLA9 Explican la relación entre la multiplicación y el volumen

= 32 × 10

rellenando prismas rectangulares rectos con cubos unitarios. (5.MD.C.5.a)

= 320

5.Mód5.CLA10 Representan y explican los productos de tres números enteros

El volumen es 320 unidades cúbicas.

como volúmenes. (5.MD.C.5.a) 5.Mód5.CLA11 Calculan el volumen de prismas rectangulares rectos usando

V = l × a × h y V = B × h. (5.MD.C.5.b)

245

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min Aprender 35 min

• Tarjetas de números decimales (1 juego por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

• Escribir otra fórmula

• sobres (12)

• Retire las hojas extraíbles de Tarjetas de números decimales (en el libro para estudiantes) y recórtelas. Coloque cada juego en un sobre. Prepare suficientes juegos para que cada pareja de estudiantes tenga uno.

• Usar las longitudes de las aristas para hallar el volumen

Estudiantes

• Hallar la longitud desconocida de una de las aristas • Grupo de problemas

• sobre con Tarjetas de números decimales (1 por pareja de estudiantes) • Plantilla de factores escondidos (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

• Retire la hoja extraíble de Plantilla de Factores escondidos (en el libro para estudiantes). Considere si desea preparar este material con antelación o durante la lección.

Concluir 10 min

453

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

Fluidez

Factores escondidos Materiales: E) Tarjetas de números decimales, Plantilla de factores escondidos

La clase determina el producto y, luego, escribe y dice una ecuación de multiplicación o una ecuación de división relacionada para adquirir fluidez con la multiplicación y la división de números decimales del módulo 4. Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de Tarjetas de números decimales a cada pareja de estudiantes. Pídales que usen el siguiente procedimiento para jugar. Considere hacer una ronda de práctica con la clase. • Las parejas colocan el juego de tarjetas bocabajo al lado de la Plantilla de factores escondidos. • Estudiante A y estudiante B: Dan vuelta a la tarjeta que se encuentra en la parte de arriba de la pila y la colocan en un cuadrado azul.

0.5 × 0.3

Estudiantes A y B: “0.15” Estudiante A: “0.5 × 0.3 = 0.15” Estudiante B: “0.15 ÷ 0.5 = 0.3”

• Descartan las tarjetas que usaron en una pila separada. Recorra el salón de clases durante la actividad para asegurarse de que sus estudiantes estén registrando y diciendo las ecuaciones correctas. Si alguna pareja se queda sin tarjetas antes de que finalice el tiempo, pueden intercambiar roles, mezclar las cartas y seguir jugando.

454

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

= 1 centímetro cúbico

¿Cuál es el volumen de la capa de cubos de un centímetro que está junto al prisma? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

5 centímetros cúbicos Muestre la capa de cubos que hay dentro del prisma. Los 5 cubos de un centímetro representan una capa del prisma. Contemos salteado usando 5 centímetros cúbicos para rellenar el prisma y hallar el volumen. La primera medida que dicen es 5 centímetros cúbicos. ¿Comenzamos? Muestre cada capa del prisma, una a la vez, mientras sus estudiantes cuentan hasta 25 centímetros cúbicos.

5 centímetros cúbicos, 10 centímetros cúbicos, 15 centímetros cúbicos, 20 centímetros cúbicos, 25 centímetros cúbicos ¿Cuál es el volumen del prisma? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

25 centímetros cúbicos Muestre el volumen. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

El volumen es 12 centímetros cúbicos.

El volumen es

25 centímetros cúbicos.

El volumen es 24 centímetros cúbicos.

455

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

Presentar

La clase determina si tiene suficiente información para hallar el volumen de un prisma rectangular recto. Muestre el prisma con una fila y una columna de cubos. Haga las siguientes preguntas y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. ¿Tienen suficiente información para determinar el volumen de este prisma rectangular recto? ¿Por qué? Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio sobre la pregunta y haga bocetos de sus ideas en su pizarra blanca si es necesario. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. Pídales que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija razonamientos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo hallar el volumen. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. ¿Qué observan en la imagen? ¿Qué se preguntan? Observo parte de una capa de cubos en un prisma rectangular recto. Me pregunto cuánto mide el prisma de alto. Me pregunto cuál es el volumen del prisma.

456

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23 ¿Qué saben acerca del prisma a partir de la imagen? Sé que tiene un ancho de 3 unidades y una longitud de 4 unidades. Sé que la capa inferior tiene un volumen de 12 unidades cúbicas. Sé que el área de la cara inferior es 12 unidades cuadradas. ¿Qué cambia si giramos el prisma de modo que la cara inferior sea otra? ¿Sabemos la misma información? Todavía sabemos que una de las aristas del prisma tiene una longitud de 3 unidades y otra arista tiene una longitud de 4 unidades. Todavía sabemos que una capa tiene un volumen de 12 unidades cúbicas, pero podría no ser la capa inferior. Todavía sabemos que el área de una cara es 12 unidades cuadradas. ¿Tienen suficiente información para determinar el volumen de este prisma rectangular recto? ¿Por qué? No. No sé la altura del prisma. No. No sé cuántas capas de cubos hay. Podemos estimar el volumen del prisma. ¿Cuál es una subestimación del volumen? ¿Por qué? Una subestimación es 24 unidades cúbicas. Parece que caben más de 2 capas de cubos en el prisma. ¿Cuál es una sobrestimación del volumen? ¿Por qué? Una sobrestimación es 120 unidades cúbicas. No parece que quepan 10 capas de cubos en el prisma. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a determinar otra manera de hallar el volumen de un prisma rectangular recto.

457

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

Aprender

Escribir otra fórmula La clase determina que puede calcular el volumen de un prisma rectangular recto multiplicando su longitud, ancho y altura. Muestre el prisma relleno con cubos. Imaginen que rellenamos el prisma con cubos unitarios como se muestra. ¿Cuál es el volumen del prisma? ¿Cómo lo saben?

DUA: Representación Considere crear el prisma con cubos interconectables, como se muestra, para ayudar a sus estudiantes durante la conversación.

El volumen es 60 unidades cúbicas. Lo sé porque determinamos que el volumen de la capa inferior es 12 unidades cúbicas, tenemos 5 capas y 12 × 5 = 60. El volumen es 60 unidades cúbicas. Lo sé porque el área de la base es 12 unidades cuadradas, la altura es 5 unidades y 12 × 5 = 60. Escriba la fórmula V = B × h y úsela para hallar el volumen: Sabemos que podemos calcular el volumen de un prisma rectangular recto multiplicando el área de la base por la altura. ¿Cómo saben que el área de la base de este prisma es 12 unidades cuadradas? La base es un rectángulo, así que puedo multiplicar la longitud por el ancho, o 3 por 4, para obtener 12, el área. Para determinar el área de la base, multiplicamos la longitud de la base, que también es la longitud del prisma, por el ancho de la base, que también es el ancho del prisma.

458

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23 Muestre el prisma con la longitud, el ancho y la altura rotulados.

DUA: Representación

Use la fórmula V = B × h y escriba el área de la base como (3 × 4) junto al cálculo del volumen ya escrito.

Altura

Longitud

Ancho

Si hizo un afiche de referencia para resumir las maneras de hallar el volumen en una lección anterior, agregue la fórmula V = l × a × h al afiche. Además, considere utilizar un código de colores en el afiche para mostrar que l × a tiene el mismo valor que B.

¿En qué se diferencia esta manera de calcular el volumen a como lo hicimos antes? Determinamos el área de la base en lugar de solo escribir el número que representa el área de la base. Hicimos el cálculo multiplicando tres números en vez de dos. Escriba las fórmulas V = B × h y V = l × a × h, una al lado de la otra. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y las diferencias entre las fórmulas. ¿Cómo es posible que se puedan usar las dos fórmulas para determinar el volumen de un prisma rectangular recto? Sabemos que podemos determinar el área de la base del prisma multiplicando la longitud y el ancho de la base, así que también podemos escribir la fórmula V = B × h como V = l × a × h. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué representa cada letra de la fórmula. La V representa el volumen. La l representa la longitud. La a representa el ancho. La h representa la altura. ¿Cómo sabemos que multiplicar la longitud y el ancho por la altura siempre nos dará el volumen de un prisma rectangular recto? Multiplicar la longitud y el ancho nos da el área de la base, y sabemos que siempre podemos multiplicar el área de la base por la altura para hallar el volumen.

459

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23 Muestre las composiciones del prisma de la lección 22. Composición de Yuna

Composición de Ryan

Composición de Jada

(2 × 3) × 4

(3 × 4) × 2

(2 × 4) × 3

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre las diferencias entre cómo pensaron en las capas Yuna, Ryan y Jada. Podemos relacionar las distintas maneras en que pensaron en las capas con la fórmula A = B × h. Señale los prismas correspondientes mientras dice los siguientes enunciados. En la composición de Yuna se usa la cara inferior como la base y 4 como la altura. En la composición de Ryan se usa la cara del frente como la base y 2 como la altura. En la composición de Jada se usa la cara derecha como la base y 3 como la altura. Miren las tres expresiones de multiplicación que representan las composiciones. ¿Qué patrones observan? Cada expresión representa el mismo volumen. Se multiplican los mismos tres números en cada expresión, pero en distintos órdenes. Los tres números que se multiplican son la longitud, el ancho y la altura del prisma. Multiplicar las longitudes de los lados da el mismo volumen que contar el número de cubos de cada capa.

460

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23 ¿Cuál es el volumen de este prisma?

24 unidades cúbicas ¿Cuáles son algunas de las ecuaciones de multiplicación que podemos usar para representar el volumen?

(2 × 3) × 4 = 24 2 × (3 × 4) = 24 (2 × 4) × 3 = 24 2 × (4 × 3) = 24 (3 × 4) × 2 = 24 Registre las ecuaciones. Señale los factores en las ecuaciones y haga la siguiente pregunta. ¿Qué representan los factores?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Las longitudes de las aristas del prisma El ancho, la longitud y la altura del prisma Señale los productos en las ecuaciones y haga las siguientes preguntas. ¿Qué representa el producto en cada ecuación? El volumen del prisma ¿Cambiar el orden en que se multiplican los factores o las longitudes de las aristas cambia el volumen? ¿Por qué? No. La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que podemos multiplicar en cualquier orden y obtener el mismo producto. No. La propiedad asociativa de la multiplicación establece que podemos agrupar los factores de cualquier manera y obtener el mismo producto. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre las diferentes estrategias que pueden usar para hallar el volumen de un prisma rectangular recto.

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión de la fórmula V = B × h para entender la fórmula V = l × a × h y la usa para determinar el volumen de un prisma rectangular recto. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relacionan las fórmulas V = B × h y V = l × a × h? ¿En qué puede ayudarles eso a determinar el volumen de un prisma rectangular recto? • ¿De qué otra manera pueden identificar la longitud, el ancho y la altura del prisma para que les ayude a determinar el volumen?

461

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

Usar las longitudes de las aristas para hallar el volumen La clase usa V = l × a × h para determinar el volumen de prismas rectangulares rectos. Muestre el prisma A del problema 1. ¿Por qué usar una fórmula podría ser un buen método para hallar el volumen de este prisma rectangular recto? Sabemos las medidas de las longitudes de las aristas, así que usar una fórmula podría ser más eficiente que descomponer el prisma en capas.

14 in

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.

3 in 6 in

Escriba V = l × a × h. Invite a sus estudiantes a escribir la fórmula en sus libros. Luego, guíeles para que identifiquen la longitud, el ancho y la altura del prisma rotulando una arista como l, otra arista como a y la otra como h. Forme parejas de estudiantes y pídales que completen el problema 1. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y haga las siguientes preguntas:

Diferenciación: Desafío

• ¿Qué estrategias pueden usar para determinar el volumen del prisma? • ¿Pueden usar una fórmula para determinar el volumen del prisma? ¿Qué fórmula pueden usar? ¿Por qué? • ¿Cómo usan la fórmula? • ¿Su respuesta tiene sentido? ¿Por qué?

Considere desafiar a sus estudiantes a identificar tres longitudes de las aristas que crearían un prisma cuyo volumen sea • 4 veces el volumen del prisma A del problema 1 o • la mitad del volumen del prisma A del problema 1.

462

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23 1. ¿Qué prisma rectangular recto tiene mayor volumen? Prisma A

Prisma B

El área de la base es 20 pulgadas cuadradas y la altura es 12 pulgadas.

3 in

14 in

6 in V = 14 × 6 × 3

V = 20 × 12

= 84 × 3

= 240

= 252

El volumen del prisma B es 240 pulgadas cúbicas.

El volumen del prisma A es 252 pulgadas cúbicas. El prisma A tiene mayor volumen.

Cuando la clase haya terminado, continúe mostrando el prisma A. ¿Qué métodos podemos usar para hallar el volumen del prisma A?

Podemos usar la fórmula V = l × a × h.

Podemos multiplicar la longitud y el ancho para determinar el área de la base. Luego, podemos multiplicar el área de la base por la altura. Podemos descomponer el prisma en capas, determinar el volumen de cada capa y, luego, multiplicar el volumen de cada capa por el número de capas. ¿Necesitan usar 14 para la longitud, 6 para el ancho y 3 para la altura del prisma A? Expliquen. No. Podemos multiplicar las longitudes de las tres aristas en cualquier orden y hallar el mismo volumen.

463

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23 No. Si giramos el prisma para que quede de costado, podríamos ver la longitud, el ancho y la altura de otra manera. ¿Qué método usaron para hallar el volumen del prisma B? Multipliqué el área de la base por la altura. Escriba las ecuaciones que muestran distintas maneras de hallar el volumen del prisma A. Al observar el prisma A del problema 1, se calculó el volumen de estas distintas maneras. ¿Se calculó el mismo volumen en todos los casos? ¿Por qué? Sí. Cada manera muestra la multiplicación de los tres mismos números, pero en distinto orden o agrupados de forma diferente. Escriba (14 × 6) × 3 = (3 × 6) × 14. Anime a la clase a señalar el prisma para apoyar su razonamiento. ¿Cómo podemos usar el prisma A para explicar que esta ecuación es verdadera?

Si pensamos en la base del prisma como la cara con dimensiones de 14 pulgadas y 6 pulgadas, entonces el área de la base del prisma es 14 × 6 pulgadas cuadradas y el volumen del prisma es (14 × 6) × 3 pulgadas cúbicas. Si pensamos en la base del prisma como la cara con dimensiones de 3 pulgadas y 6 pulgadas, entonces el área de la base del prisma es 3 × 6 pulgadas cuadradas y el volumen del prisma es (3 × 6) × 14 pulgadas cúbicas. Muestre el cubo de 5 pulgadas.

Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, considere presentar alguno de los siguientes problemas.

Este prisma rectangular recto es un cubo. ¿Creen que podamos usar la fórmula del volumen de un prisma rectangular recto para hallar el volumen de este cubo? ¿Por qué?

• La longitud del prisma A es 3 veces la

Sí. Un cubo es un prisma rectangular recto, así que la fórmula debería funcionar. ¿Cómo saben cuál de las aristas es la longitud, cuál es el ancho y cuál es la altura? Todas las aristas tienen la misma longitud, así que no importa cuál es cuál. La ecuación de multiplicación sería la misma sin importar el orden de los factores.

464

Diferenciación: Desafío

longitud del prisma B. La altura del prisma A es   1  de la altura del prisma B. El ancho del 2 prisma A es igual al ancho del prisma B.

5 in

Completen la siguiente oración: El volumen del prisma A es

veces el volumen

del prisma B. • La cara de un cubo tiene un área de 49 centímetros cuadrados. ¿Cuál es el volumen del cubo?

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23 Pida a sus estudiantes que completen el problema 2 en parejas. 2. Halla el volumen del cubo.

V=5×5×5 = 125 El volumen es 125 pulgadas cúbicas.

5 in ¿Cuál es el volumen del cubo?

125 pulgadas cúbicas Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo puede ser útil usar una de las fórmulas para hallar el volumen de un prisma rectangular recto.

Hallar la longitud desconocida de una de las aristas La clase escribe una ecuación para hallar la longitud desconocida de una de las aristas de un prisma rectangular recto. Muestre el prisma rectangular recto del problema 3 cuyas dimensiones son 5 pies por 4 pies por h pies. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre qué tiene de diferente este prisma.

h ft

¿Qué información se da sobre este prisma rectangular recto?

Diferenciación: Apoyo Para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional, escriba la fórmula y la ecuación debajo, alineando los números que se conocen y los números desconocidos. Luego, establezca una conexión con las capas para consolidar la compresión del significado de la fórmula.

El volumen es 100 pies cúbicos. Una arista mide 4 pies. Otra arista mide 5 pies. Escriba V = l × a × h y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus libros.

5 ft

4 ft

El volumen es 100 pies cúbicos.

• ¿Qué significa 5 × 4 en esta ecuación? • ¿Qué significa la h en esta ecuación? ¿Cómo se relaciona con el 100? • Usen la palabra capas para decirme cómo está relacionado el 100 con el 5 y el 4.

Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo usar la información dada para escribir una ecuación utilizando la fórmula del volumen. Podemos escribir 100 para V, 5 para l, 4 para a y h para h. La ecuación es 100 = 5 × 4 × h.

465

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23 Escriba 100 = 5 × 4 × h y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Pídales que trabajen en parejas para hallar la altura desconocida. 3. ¿Cuál es la altura del prisma rectangular recto?

V=l×a×h 100 = 5 × 4 × h 100 = 20 × h

h ft

h=5 La altura es 5 pies.

5 ft

4 ft

El volumen es 100 pies cúbicos. ¿Cuál es el valor de h?

¿Cuál es la altura del prisma?

5 pies ¿Qué método usaron para hallar la altura? Lo pensé como un problema de factor desconocido. Sé que 4 × 5 = 20 y 20 × 5 = 100. Entonces, 100 debe ser igual a 5 × 4 × 5. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar una de las fórmulas del volumen para hallar la longitud desconocida de una arista.

466

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Hallar el volumen de prismas rectangulares rectos multiplicando las longitudes de las aristas Guíe una conversación de toda la clase acerca del uso de la multiplicación para hallar el volumen de un prisma usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cuál es una fórmula para hallar el volumen de un prisma rectangular recto?

V=B×h V=l×a×h ¿Qué significa la fórmula V = l × a × h? El volumen de un prisma rectangular recto es igual al producto de su longitud, su ancho y su altura. ¿En qué se parecen las fórmulas? Las dos fórmulas representan el área de la base multiplicada por la altura. En la fórmula V = l × a × h, el área de la base está escrita como longitud por ancho. ¿Por qué es útil tener dos fórmulas para hallar el volumen de un prisma rectangular recto? No tengo que desarrollar una nueva estrategia para nuevos problemas. Puedo usar alguna de las fórmulas para resolver problemas sobre el volumen de cualquier prisma rectangular recto si tengo suficiente información. Puedo elegir qué fórmula usar según la información que tenga acerca del prisma rectangular recto.

467

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

Halla el volumen de cada prisma rectangular recto. 3.

2. 1. Se muestra un prisma rectangular recto que tiene una longitud de 5 centímetros, un ancho de 3 centímetros y una altura de 6 centímetros y su composición. Completa cada expresión de multiplicación para que coincida con la composición.

3 cm

7 in

27 centímetros cúbicos (5 × 3) ×

4 in

6 2 in

56 pulgadas cúbicas

b. 4.

(

)×3

5 ft

4m 6m 10 ft

150 pies cúbicos

(

468

)×

3 ft

5m 120 metros cúbicos

241

242

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

6. Usa el prisma rectangular recto que se muestra para completar las partes (a) y (b).

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 23

Halla la longitud de la arista desconocida de cada prisma rectangular recto. Muestra tu trabajo. 7.

5 cm

5 cm a cm 5 cm l cm

V=l×a×h

a. Completa los espacios para crear una ecuación que represente el volumen del prisma rectangular recto.

200 =

h in

4 cm El volumen es 140 centímetros cúbicos.

140 = 4 × a × 5

140 = 4 × 5 × a

b. ¿Cuál es el valor de l?

6 in 3 in El volumen es 90 pulgadas cúbicas.

140 = 20 × a

V=l×a×h

a=7

90 = 3 × 6 × h

7 centímetros

90 = 18 × h h=5 5 pulgadas

GRUPO DE PROBLEMAS

243

244

GRUPO DE PROBLEMAS

469

LECCIÓN 24

Resolver problemas verbales sobre el volumen de prismas rectangulares rectos

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

Nombre

Fecha

1. Un prisma rectangular recto tiene un volumen de 450 centímetros cúbicos. ¿Qué longitud, ancho y altura es posible que tenga el prisma? Ejemplo:

450 = 9 × 5 × 10 9 centímetros, 5 centímetros y 10 centímetros son posibles dimensiones del prisma.

Vistazo a la lección La clase trabaja en parejas para resolver problemas verbales sobre el volumen de prismas rectangulares rectos. Sus estudiantes usan las fórmulas del volumen para hallar el volumen o las dimensiones desconocidas de prismas. Dado el volumen de un prisma, determinan las posibles dimensiones del prisma descomponiendo los números en factores y usando la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa de la multiplicación.

Preguntas clave • ¿Cómo podemos usar las fórmulas del volumen de un prisma rectangular recto para resolver problemas del mundo real?

2. El interior de una pecera que tiene forma de prisma rectangular recto mide 20 centímetros de largo, 20 centímetros de ancho y 25 centímetros de alto.

• Si saben el volumen de un prisma rectangular recto, ¿cómo pueden determinar las dimensiones que posiblemente tenga el prisma?

a. ¿Cuál es el volumen del interior de la pecera en centímetros cúbicos?

V = 20 × 20 × 25 = 400 × 25

Criterios de logro académico

= 10,000 El volumen es 10,000 centímetros cúbicos.

5.Mód5.CLA8 Determinan los atributos desconocidos de prismas

rectangulares rectos dado el volumen. (5.MD.C.5) 5.Mód5.CLA12 Hallan el volumen de figuras compuestas de prismas

b. ¿Cuántos litros de agua contiene la pecera?

rectangulares rectos para resolver problemas matemáticos y del mundo real.

10,000 centímetros cúbicos = 10,000 mililitros

(5.MD.C.5.c)

10,000 mL = 10,000 × 1 mL = 10,000 × 0.001 L = 10 L La pecera contiene 10 litros de agua.

259

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 35 min • Llenar un acuario • Hallar las dimensiones de un acuario

Estudiantes • Práctica veloz: Multiplicar con números decimales (en el libro para estudiantes)

• Usar el volumen para resolver problemas • Grupo de problemas

Concluir 10 min

471

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

Fluidez

Práctica veloz: Multiplicar con números decimales 2 Materiales: Práctica veloz: Multiplicar con números decimales EUREKA E) MATH 5 ▸ M5 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar con números decimales

La clase escribe el producto para adquirir fluidez con la multiplicación con números decimales del módulo 4.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Escribe el producto. 1.

3×8=

0.3 × 0.8 =

0.24

0.3 × 0.08 =

0.024

Nota para la enseñanza Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, sus estudiantes pueden elegir escribir 0.04 en lugar de 0.040 al multiplicar 0.5 × 0.08 en la Práctica veloz A. Cualquiera de las representaciones es correcta.

Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

472

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24 Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.

Nota para la enseñanza

Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.

Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:

Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.

• ¿De qué manera pueden usar el problema 1 como ayuda para resolver el problema 2? • ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 12 con los problemas 13 a 21?

En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Nota para la enseñanza Cuente hacia delante de 3 décimos en 3 décimos en forma decimal del 0 al 3 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de 2 décimos en 2 décimos en forma decimal del 2 al 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.

Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

473

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

Presentar

La clase compara acuarios con diferentes dimensiones. Muestre los dos acuarios. Acuario A

Acuario B

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere activar los conocimientos previos conversando sobre las experiencias de sus estudiantes con acuarios. Muestre imágenes del mundo real mientras comparten lo que saben sobre acuarios domésticos o públicos.

¿Qué observan acerca de los dos acuarios? ¿Qué se preguntan? Observo que tienen diferentes anchos y alturas. Observo que tienen diferentes tipos de peces. Me pregunto si tienen el mismo volumen. Me pregunto cuál contiene más agua. Me pregunto cuál es la longitud del lado que no podemos ver de cada acuario. ¿Es posible que los dos acuarios contengan la misma cantidad de agua? ¿Por qué? Sí. Podrían tener diferentes longitudes, anchos y alturas con los que se obtenga el mismo número como producto.

474

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24 Definamos la longitud de cada acuario como la arista que se extiende alejándose de nuestra posición. No podemos ver la longitud en estas imágenes. Cada acuario tiene una longitud de 12 pulgadas. ¿Qué debe ser verdadero para que los acuarios tengan el mismo volumen? El producto del ancho y la altura del acuario A debe ser igual al producto del ancho y la altura del acuario B. Las áreas de las caras que podemos ver de los acuarios deben ser iguales. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar una fórmula del volumen para determinar la longitud, el ancho y la altura que posiblemente tenga cada acuario. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a resolver problemas del mundo real sobre el volumen de prismas rectangulares rectos.

Aprender

Llenar un acuario La clase usa una fórmula para hallar el volumen de un prisma rectangular recto con el objetivo de calcular capacidades y volúmenes líquidos. Como preparación para determinar el volumen de un prisma sin un diagrama del prisma, haga la siguiente pregunta: ¿Necesitan el diagrama de un prisma rectangular recto para determinar su volumen? ¿Por qué? No. Si sé la longitud, el ancho y la altura, puedo determinar el volumen usando la fórmula V = l × a × h. No. Si sé el área de la base y la altura, puedo determinar el volumen usando la fórmula V = B × h.

475

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24 Forme parejas de estudiantes. Pídales que completen los problemas 1 y 2 de sus libros. Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja y haga las siguientes preguntas: • ¿Cómo pueden calcular el volumen del acuario? • ¿Pueden usar una fórmula para determinar el volumen del acuario? ¿Qué fórmula? • Si saben el volumen de algo en centímetros cúbicos, ¿cómo pueden determinar el volumen en mililitros? • ¿Cuántos mililitros hay en 1 litro? 1. Kelly compra un acuario que tiene forma de prisma rectangular recto. El acuario mide 20 centímetros de largo, 25 centímetros de ancho y 30 centímetros de alto en el interior. a. ¿Cuál es el volumen de agua, en centímetros cúbicos, que puede contener el acuario?

V = 20 × 25 × 30 = 500 × 30 = 15,000 El volumen es 15,000 centímetros cúbicos. b. ¿Cuántos litros de agua puede contener el acuario?

15,000 centímetros cúbicos = 15,000 mililitros 15,000 mL = 15,000 × 1 mL = 15,000 × 0.001 L = 15 L El acuario puede contener 15 litros de agua.

476

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24 2. Kelly llena el acuario del problema 1 con agua hasta una altura de 25 centímetros, como se muestra. ¿Cuántos mililitros más de agua debe verter Kelly en el acuario para llenarlo por completo?

25 cm

V = 20 × 25 × 25 = 500 × 25 = 12,500 15,000 − 12,500 = 2,500 Kelly debe verter 2,500 mililitros de agua en el acuario.

25 cm 20 cm

Cuando la clase haya terminado, haga las siguientes preguntas. ¿Cómo hallaron el volumen del acuario? Usé la fórmula V = l × a × h. Multipliqué la longitud, el ancho y la altura del acuario, pero no estaba pensando en una fórmula. Hallé el área de la base del acuario y, luego, multipliqué ese número por la altura. ¿Cómo saben cuántos litros de agua contiene el acuario cuando las medidas del acuario están dadas en centímetros? Sé que medir el volumen en centímetros cúbicos y en mililitros me da el mismo número, así que pude escribir el volumen en centímetros cúbicos como el volumen en mililitros. Multipliqué el número de mililitros por 0.001 para determinar el volumen en litros.

477

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24 Supongamos que Kelly quita un poco de agua para que el acuario quede lleno hasta el punto medio de la distancia entre la base y el borde de arriba. ¿Cuál es el volumen de agua en el acuario en centímetros cúbicos? ¿Cómo lo saben? El volumen de agua es 7,500 centímetros cúbicos. Lo sé porque el volumen de agua va a ser la mitad del volumen del acuario. _  1 de 15,000 es 7,500. 2

El volumen del agua es 7,500 centímetros cúbicos. Lo sé porque el área de la base sigue siendo la misma, pero la altura es la mitad. 500 × 15 es la mitad de 500 × 30. Supongamos que Kelly quita un poco más de agua para que el acuario quede lleno hasta

_ 1de la distancia entre la base y el borde de arriba. ¿Cuál es el volumen de agua en el acuario 3

en centímetros cúbicos? ¿Cómo lo saben?

El volumen de agua es 5,000 centímetros cúbicos. Lo sé porque el volumen del agua va a ser _  1 del

volumen del acuario. _  1 de 15,000 es 5,000.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo calcularon las unidades de las medidas en los problemas 1 y 2.

Hallar las dimensiones de un acuario La clase determina las dimensiones que posiblemente tenga un prisma rectangular recto dado su volumen. Use los siguientes planteamientos para guiar una conversación sobre cómo determinar las dimensiones de un acuario cuando se sabe el volumen. Los peces son de diferentes tamaños. Algunos necesitan menos espacio en un acuario, y otros necesitan más espacio. Para el tipo de peces que quiere Kelly, necesita un acuario con un volumen de

30,000 mililitros. ¿Cuál es el volumen en centímetros cúbicos? 30,000 centímetros cúbicos

478

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas. Si sabemos que el volumen de un acuario con forma de prisma rectangular recto es

30,000 centímetros cúbicos, ¿podemos determinar la longitud, el ancho y la altura que posiblemente tenga el acuario? ¿Por qué?

Sí. Podemos hallar tres números que se pueden multiplicar para obtener 30,000. No lo sé. Creo que necesitamos saber dos de las dimensiones para poder dividir y hallar la tercera. No lo sé. Podríamos intentar multiplicar algunos números, pero podría llevarnos mucho tiempo calcularlo. Podemos hallar factores de 30,000 para determinar la longitud, el ancho y la altura de un acuario con un volumen de 30,000 centímetros cúbicos. Una manera de obtener 30,000 es multiplicar 1 por 1 por 30,000, ¿pero tiene sentido tener un acuario que mide 1 centímetro por 1 centímetro por 30,000 centímetros? ¿Por qué? No. El acuario sería demasiado largo y estrecho. No habría suficiente espacio para que los peces naden. Comencemos por hallar dos factores de 30,000. ¿Cuántas veces 100 es 30,000?

300 Necesitamos tres factores. ¿Podemos hallar dos factores de 100 o dos factores de 300? ¿Cómo? Sí. Podemos hallar dos números con los que se obtenga 100 como producto, o dos números con los que se obtenga 300 como producto. Descompongamos 300 en dos factores. ¿Cuáles son algunos pares de factores de 300?

5 y 60 30 y 10 15 y 20 Pensemos en 5 y 60. Sabemos que 100 × 5 × 60 = 30,000, lo que significa que un prisma rectangular recto que mide 100 centímetros de largo, 5 centímetros de ancho y 60 centímetros de alto tiene un volumen de 30,000 centímetros cúbicos. ¿Tiene sentido tener un acuario de ese tamaño? ¿Por qué? No. El acuario no sería lo suficientemente ancho para que los peces naden.

479

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24 Muestre la imagen del trabajo de Luis. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar los pasos que siguió Luis para escribir 30,000 como un producto de tres factores. Luis escribió 30,000 usando dos factores, 250 y120. Separó 250 y 120 y escribió cada uno como una expresión de multiplicación.

30,000 = 250 × 120 = (25 × 10 10)) × (30 (30 × 4) = 25 × 10 × 30 × 4 = 25 × 30 × 10 × 4 = 25 × 30 × (10 (10 × 4) = 25 × 30 × 40

Cambió el orden de los factores y los agrupó de otra manera para obtener 25 × 30 × 40. ¿Luis podría haber escrito 250 como un producto de factores que no sean 25 y 10? ¿Y 120? Sí. Hay otros pares de números que podemos multiplicar para obtener 250, y hay otros pares de números que podemos multiplicar para obtener 120. ¿Dónde usó Luis la propiedad conmutativa de la multiplicación en su trabajo? Luis cambió el orden de los factores 10 y 30. ¿Cómo usó Luis la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar que 40 es un factor de 30,000?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando halla factores de un número para determinar las posibles dimensiones de un prisma rectangular recto con un volumen dado. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Qué significan los factores de un número en una situación sobre el volumen de un prisma rectangular recto? • ¿Tiene sentido su respuesta para las dimensiones de un acuario? • ¿La solución que hallaron tiene sentido en términos matemáticos?

Agrupó los factores 10 y 4 para obtener 40. Entonces, un prisma rectangular recto que mide 25 centímetros de largo, 30 centímetros de ancho y 40 centímetros de alto tiene un volumen de 30,000 centímetros cúbicos. ¿Tiene sentido tener un acuario con esas dimensiones? ¿Creen que haya otros prismas que tengan un volumen de 30,000 centímetros cúbicos? ¿Por qué? Sí. Hay otros prismas que tienen un volumen de 30,000 centímetros cúbicos porque 30,000 tiene muchos factores.

480

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24 Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que trabajen en parejas para hallar la longitud, el ancho y la altura de al menos otros dos prismas rectangulares rectos con un volumen de 30,000 centímetros cúbicos. 3. Halla la longitud, el ancho y la altura de al menos dos prismas rectangulares rectos distintos que tengan un volumen de 30,000 centímetros cúbicos cada uno. Ejemplo:

30,000 = 100 × 300 = (20 × 5) × (50 × 6) = 20 × 5 × 50 × 6 = 20 × 50 × 5 × 6 = 20 × 50 × (5 × 6)

Diferenciación: Apoyo Considere brindar a quienes necesitan apoyo adicional con el problema 3 uno de los siguientes problemas, que les permite hallar factores de números más pequeños. • Halla la longitud, el ancho y la altura de dos prismas rectangulares rectos que tienen un volumen de 36 centímetros cúbicos. • Halla la longitud, el ancho y la altura de dos prismas rectangulares rectos que tienen un volumen de 200 centímetros cúbicos.

= 20 × 50 × 30 La longitud es 20 centímetros, el ancho es 50 centímetros y la altura es 30 centímetros.

30,000 = 200 × 150

DUA: Acción y expresión

= (40 × 5) × (50 × 3) = 40 × 5 × 50 × 3 = 40 × 50 × 5 × 3 = 40 × 50 × (5 × 3) = 40 × 50 × 15 La longitud es 40 centímetros, el ancho es 50 centímetros y la altura es 15 centímetros. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, cree una tabla para registrar las respuestas. Incluya 25 centímetros, 30 centímetros y 40 centímetros del trabajo de Luis en la fila superior de la tabla.

Ayude a sus estudiantes a monitorear su propio progreso pidiendo que las parejas se turnen para pensar en voz alta mientras completan el problema 3. Por ejemplo, cada estudiante A piensa en voz alta y explica cómo descompone 30,000, primero en dos factores y, luego, en tres factores, mientras cada estudiante B escucha y hace preguntas. Luego, cambian los roles y repiten el ejercicio.

481

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24 Invite a sus estudiantes a compartir las dimensiones posibles de prismas rectangulares rectos con un volumen de 30,000 centímetros cúbicos. Mientras comparten las dimensiones, regístrelas en la tabla para que la clase pueda verlas. Considere incluir algunas de las respuestas de ejemplo que se muestran si sus estudiantes no comparten estas dimensiones. Kelly no puede tener un acuario más alto que 25 centímetros porque no entraría en el estante. ¿Cómo afecta esto las opciones de Kelly? Eso significa que no puede tener un acuario con una longitud de 25 centímetros, un ancho de 30 centímetros y una altura de 40 centímetros porque es demasiado alto. No puede tener un acuario con una longitud de 20 centímetros, un ancho de 50 centímetros y una altura de 30 centímetros porque es demasiado alto. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo determinar las dimensiones posibles de longitud, ancho y altura de un prisma rectangular recto cuando se sabe el volumen.

Diferenciación: Apoyo

Usar el volumen para resolver problemas

Considere brindar a quienes necesitan apoyo adicional con el problema 4 un diagrama del acuario. Ayude a sus estudiantes a rotular el diagrama.

La clase halla la altura y el área de la base de un prisma rectangular recto dado su volumen. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema 4. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Haga las siguientes preguntas para apoyar su razonamiento:

Diferenciación: Desafío

• ¿Cómo saben cuánto espacio de una figura bidimensional está cubierto por algo?

Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, considere proporcionar el siguiente problema:

• ¿Cómo hallan el área de la base de un prisma rectangular recto?

Tres prismas rectangulares rectos tienen un

• Si sabemos el volumen y el área de la base, ¿cómo hallamos la altura? • ¿Cuántos mililitros hay en 1 litro? • ¿Qué relación hay entre los centímetros cúbicos y los mililitros? • Si sabemos el volumen de un prisma rectangular recto, ¿qué necesitamos saber para hallar la altura?

482

volumen combinado de 518 pies cúbicos. El prisma A tiene   1  del volumen del prisma B. 3 Los prismas B y C tienen el mismo volumen.

¿Cuáles son las posibles dimensiones de cada prisma?

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24 4. Para tener suficiente espacio para los peces, Blake necesita un acuario que ocupe un espacio de al menos 1,000 centímetros cuadrados. Compra un acuario que tiene forma de prisma rectangular recto y mide 40 centímetros de largo, 30 centímetros de ancho y 25 centímetros de alto. a. ¿El acuario ocupa un espacio de al menos 1,000 centímetros cuadrados? Muestra cómo lo sabes.

40 × 30 = 1,200 Sí. El área de la base del acuario es 1,200 centímetros cuadrados. 1,200 es más que 1,000. b. Blake vierte 24 litros de agua en el acuario. ¿Cuántos mililitros de agua vierte en el acuario?

24 L = 24 × 1 L = 24 × 1,000 mililitros = 24,000 mililitros Vierte 24,000 mililitros de agua en el acuario. c. ¿Cuál es la altura del agua en centímetros?

24,000 mililitros = 24,000 centímetros cúbicos V=B×h 24,000 = 1,200 × h 20 = h La altura del agua es 20 centímetros. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, pida a sus estudiantes que compartan sus respuestas y razonamiento. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas.

483

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

EUREKA MATH2

En la parte (c), determinamos que la altura del agua en el acuario de Blake es 20 centímetros. Blake coloca un pequeño castillo en el acuario y observa que sube el nivel de agua. ¿Por qué sube el nivel de agua? El nivel de agua sube porque el castillo ocupa algo del espacio que ocupaba el agua. El agua necesita un lugar a dónde ir, así que sube. ¿Cómo puede determinar Blake el volumen del castillo? Blake puede hallar el volumen total del acuario que ocupan el agua y el castillo. Luego, puede restar el volumen que solo ocupaba el agua.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas verbales sobre el volumen de prismas rectangulares rectos Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo resolver problemas verbales que involucran el volumen de prismas rectangulares rectos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cómo podemos usar las fórmulas del volumen de un prisma rectangular recto para resolver problemas del mundo real? Podemos usar la fórmula V = l × a × h para hallar el volumen de un objeto del mundo real si tiene forma de prisma rectangular recto y sabemos su longitud, su ancho y su altura. Podemos usar la fórmula V = l × a × h para hallar una dimensión cuando el objeto tiene forma de prisma rectangular recto y sabemos el volumen y las otras dos dimensiones.

484

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24 Podemos usar la fórmula V = B × h para hallar el volumen de un objeto del mundo real si tiene forma de prisma rectangular recto y sabemos la altura y el área de la base. Podemos usar la fórmula V = B × h para hallar el área de la base de un objeto cuando tiene forma de prisma rectangular recto y sabemos el volumen y la altura. O podemos usarla para hallar la altura del objeto cuando sabemos el volumen y el área de la base. ¿Puede haber prismas rectangulares rectos que tengan longitudes, anchos y alturas diferentes pero el mismo volumen? ¿Por qué? Sí. Los prismas rectangulares rectos pueden tener longitudes, anchos y alturas diferentes pero ocupar la misma cantidad de espacio si los productos de las longitudes, anchos y alturas son iguales. Sí. Podemos multiplicar distintos conjuntos de números y obtener el mismo producto. Así que podemos multiplicar longitudes, anchos y alturas diferentes y obtener el mismo volumen. Si saben el volumen de un prisma rectangular recto, ¿pueden determinar las dimensiones que posiblemente tenga el prisma? ¿Por qué? Sí. Podemos hallar tres números con los que se obtenga como producto el número de unidades cúbicas. Sí. Podemos separar el número de unidades cúbicas en dos factores. Luego, podemos separar uno de esos factores en dos factores. Sí. Podemos separar el número de unidades cúbicas en dos factores. Luego, podemos separar los dos factores y usar la propiedad conmutativa de la multiplicación y la propiedad asociativa de la multiplicación para reorganizar y reagrupar los factores como sea necesario para obtener tres factores.

485

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

5 ▸ M5 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar con números decimales

Número de respuestas correctas:

Número de respuestas correctas: Progreso:

Escribe el producto.

Escribe el producto. 1.

2×3=

23.

0.2 × 0.3 =

0.06

24.

0.6 × 0.8 =

0.2 × 0.4 =

0.08

25.

0.6 × 0.09 =

6×7=

2×2=

0.48

0.054

23.

6×6=

0.2 × 0.2 =

0.04

24.

0.6 × 0.7 =

0.42

0.2 × 0.3 =

0.06

25.

0.6 × 0.08 =

0.048

3×4=

26.

7×7=

3×3=

26.

7×6=

0.3 × 0.4 =

0.12

27.

0.7 × 0.8 =

0.56

0.3 × 0.3 =

0.09

27.

0.7 × 0.7 =

0.49

0.3 × 0.5 =

0.15

28.

0.7 × 0.09 =

0.063

0.3 × 0.4 =

0.12

28.

0.7 × 0.08 =

0.056

4×7=

29.

8×7=

4×6=

29.

8×6=

0.4 × 0.7 =

0.28

30.

0.8 × 0.8 =

0.64

0.4 × 0.6 =

0.24

30.

0.8 × 0.7 =

0.56

0.4 × 0.8 =

0.32

31.

0.8 × 0.09 =

0.072

0.4 × 0.7 =

0.28

31.

0.8 × 0.08 =

0.064

10.

5×6=

32.

9×7=

10.

5×5=

32.

9×6=

11.

0.5 × 0.6 =

0.30

33.

0.9 × 0.8 =

0.72

11.

0.5 × 0.5 =

0.25

33.

0.9 × 0.7 =

0.63

12.

0.5 × 0.7 =

0.35

34.

0.9 × 0.09 =

0.081

12.

0.5 × 0.6 =

0.30

34.

0.9 × 0.08 =

0.072

13.

3×6=

35.

2×8=

13.

3×5=

35.

2×7=

14.

0.3 × 0.06 =

0.018

36.

2×9=

14.

0.3 × 0.05 =

0.015

36.

2×8=

15.

0.3 × 0.07 =

0.021

37.

0.6 × 0.11 =

0.066

15.

0.3 × 0.06 =

0.018

37.

0.5 × 0.11 =

0.055

16.

4×8=

38.

0.12 × 0.6 =

0.072

16.

4×7=

38.

0.12 × 0.5 =

0.060

17.

0.4 × 0.08 =

0.032

39.

0.7 × 0.11 =

0.077

17.

0.4 × 0.07 =

0.028

39.

0.6 × 0.11 =

0.066

18.

0.4 × 0.09 =

0.036

40.

0.12 × 0.7 =

0.084

18.

0.4 × 0.08 =

0.032

40.

0.12 × 0.6 =

0.072

19.

5×8=

41.

0.8 × 0.11 =

0.088

19.

5×7=

41.

0.7 × 0.11 =

0.077

20.

0.5 × 0.08 =

0.040

42.

0.12 × 0.8 =

0.096

20.

0.5 × 0.07 =

0.035

42.

0.12 × 0.7 =

0.084

21.

0.5 × 0.09 =

0.045

43.

0.9 × 0.11 =

0.099

21.

0.5 × 0.08 =

0.040

43.

0.8 × 0.11 =

0.088

22.

0.09 × 0.5 =

0.045

44.

0.12 × 0.9 =

0.108

22.

0.08 × 0.5 =

0.040

44.

0.12 × 0.8 =

0.096

248

486

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar con números decimales

250

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

El prisma rectangular recto que se muestra representa una pecera. Usa el prisma para completar los problemas 2 a 6.

1. La caja de jugo que se muestra tiene forma de prisma rectangular recto. Empareja cada situación con la expresión que la representa.

30 cm 20 cm 40 cm

8 cm 2. ¿Cuál es el volumen de la pecera?

4 cm

Situación El volumen total de jugo que puede contener la caja de jugo El volumen de jugo que contiene la caja

de jugo cuando tiene 2 del contenido El volumen de jugo que contiene la caja

de jugo cuando tiene 4 del contenido

El volumen de la pecera es 24,000 centímetros cúbicos.

6 cm

3. ¿Cuántos mililitros de agua contiene la pecera?

Expresión

La pecera contiene 24,000 mililitros de agua.

6×4×4

4. ¿Cuántos litros de agua contiene la pecera? La pecera contiene 24 litros de agua.

6×4×2 5. Si la pecera solo está llena hasta una altura de 22 centímetros, ¿cuántos litros de agua hay en la pecera?

6×4×8

Hay 17.6 litros de agua en la pecera cuando está llena hasta una altura de 22 centímetros.

6. ¿Cuántos litros más de agua se necesitan para llenar la pecera si solo está llena hasta una altura de 22 centímetros? Se necesitan 6.4 litros para llenar la pecera.

255

256

GRUPO DE PROBLEMAS

487

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

7. Adesh tiene una pecera que es un prisma rectangular recto con un volumen de 25,000 centímetros cúbicos. Escribe una longitud, un ancho y una altura posibles de la pecera de Adesh.

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 24

9. Mara quiere colocar una pecera pequeña sobre un estante en su habitación. Se muestran las dimensiones de la pecera que quiere. Antes de comprar la pecera, quiere asegurarse de que sea lo suficientemente grande para sus peces.

Ejemplo:

100 centímetros, 10 centímetros y 25 centímetros son posibles dimensiones de la pecera de Adesh.

35 cm

25 cm

20 cm

a. Para ser lo suficientemente grande para los peces de Mara, la pecera debe ocupar un espacio plano de al menos 400 centímetros cuadrados. ¿Esta pecera es lo suficientemente grande para sus peces? Muestra cómo lo sabes. La pecera es lo suficientemente grande para los peces de Mara porque la base ocupa

8. Halla la longitud, el ancho y la altura de al menos dos prismas rectangulares rectos distintos que tengan un volumen de 20,000 centímetros cúbicos cada uno.

500 centímetros cuadrados, que es más de 400 centímetros cuadrados.

Ejemplo: Un prisma tiene una longitud de 50 centímetros, un ancho de 20 centímetros y una altura de 20 centímetros.

b. Mara vierte 15 litros de agua en la pecera. ¿Cuántos mililitros de agua vierte en la pecera?

Otro prisma tiene una longitud de 40 centímetros, un ancho de 25 centímetros y una altura de 20 centímetros.

Mara vierte 15,000 mililitros de agua en la pecera.

c. ¿Cuál es la altura del agua en centímetros? La altura del agua es 30 centímetros.

488

GRUPO DE PROBLEMAS

257

258

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 25

Hallar el volumen de figuras sólidas compuestas de prismas rectangulares rectos

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

Nombre

Fecha

La figura sólida que se muestra está compuesta de prismas rectangulares rectos. ¿Cuál es el volumen de la figura?

V = 16 × 4 × 8 = 64 × 8

6 in

V=6×6×8

8 in

= 36 × 8 = 288 512 + 288 = 800

16 in

La clase halla el volumen de figuras sólidas compuestas de prismas rectangulares rectos. Descomponen las figuras en prismas rectangulares rectos, hallan los volúmenes de los prismas y suman los volúmenes. Comparan las diferentes maneras en que se puede descomponer una figura.

Pregunta clave

4 in

= 512

Vistazo a la lección

• ¿Cómo podemos usar el volumen de prismas rectangulares rectos para hallar el volumen de una figura sólida compuesta de esos prismas?

Criterios de logro académico

10 in

5.Mód5.CLA11 Calculan el volumen de prismas rectangulares rectos usando

El volumen es 800 pulgadas cúbicas.

V = l × a × h y V = B × h. (5.MD.C.5.b)

5.Mód5.CLA12 Hallan el volumen de figuras compuestas de prismas

rectangulares rectos para resolver problemas matemáticos y del mundo real. (5.MD.C.5.c)

267

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Reúna 20 cubos de un color para cada estudiante. Proporcione un color diferente a cada estudiante en cada grupo de tres.

Aprender 35 min • Construir un sólido

Estudiantes • cubos interconectables de 1 cm (20)

• Hallar el volumen de un sólido compuesto de prismas rectangulares rectos • Grupo de problemas

Concluir 10 min

491

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Números decimales escritos de dos maneras La clase escribe un número en forma estándar y en forma desarrollada a partir de la forma escrita para adquirir fluidez con la lectura y escritura de números decimales hasta la posición de los milésimos del módulo 4. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre trescientos setenta y cinco milésimos en forma escrita. Escriban el número en forma estándar. Muestre la respuesta. Escriban el número en forma desarrollada usando números enteros y fracciones. Muestre la respuesta.

492

Trescientos setenta y cinco milésimos

0.375 1 1 1 3× +7× +5× 10 100 1,000

Nota para la enseñanza Considere pedir a sus estudiantes que usen paréntesis como apoyo para separar cada dígito. Por ejemplo:

___

_____

(3 ×  1  ) + ( 7 ×   1  ) + ( 5 ×   1  ) 10

100

1,000

La clase practicará la forma desarrollada con números decimales en la lección 26.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Cinco con doscientos ochenta y nueve milésimos

Setenta y cuatro con treinta y seis milésimos

5.289

74.036

5×1+2×

1 1 1 +8× +9× 10 100 1,000

7 × 10 + 4 × 1 + 3 ×

1 1 +6× 100 1,000

Dieciséis con ochocientos dos milésimos

Noventa con cincuenta y ocho milésimos

16.802

90.058

1 × 10 + 6 × 1 + 8 ×

1 1 +2× 10 1,000

9 × 10 + 5 ×

1 1 +8× 100 1,000

493

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar con números decimales La clase determina el producto para adquirir fluidez con la multiplicación con números decimales del módulo 4.

Nota para la enseñanza

Muestre 2 × 0.47 =

Valide todos los métodos correctos de multiplicación que no se hayan mostrado. Por ejemplo, sus estudiantes podrían elegir incluir el número decimal en forma vertical, en lugar de escribir el nombre de las unidades, o podrían usar un modelo de área.

2 × 0.47 = 0.94 47 × 2

centésimos

Muestre el producto y el ejemplo de método.

494

8 × 10.4 = 83.2

7 centésimos

8 décimos

14 centésimos

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

6 × 3.52 = 21.12

0.47 2

4 décimos

0.94

14 × 0.32 = 4.48

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

Presentar

La clase comenta métodos que se pueden usar para determinar el volumen de una figura sólida compuesta de prismas rectangulares rectos. Muestre la imagen del estanque con forma de L. En la lección anterior, hicimos cálculos sobre acuarios. Ahora, observemos un estanque. ¿Qué observan acerca de este estanque? ¿Qué se preguntan? Observo que la parte de arriba del agua tiene forma de dos rectángulos que se juntaron. Observo que tiene nenúfares. Me pregunto qué tan profundo es. Me pregunto cómo se puede hallar el volumen de algo que no tiene forma de prisma rectangular recto. Me pregunto cuántos peces viven en ese estanque. ¿Podemos usar la fórmula V = l × a × h para determinar el volumen de este estanque? ¿Por qué? No. No tiene forma de prisma rectangular recto. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a hallar el volumen de figuras sólidas compuestas de prismas rectangulares rectos.

495

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

Aprender

Construir un sólido Materiales: E) Cubos

La clase construye figuras sólidas a partir de prismas para determinar que el volumen se puede sumar. Muestre los cinco sólidos que están compuestos de seis cubos cada uno. ¿En qué se parecen estos cinco sólidos? ¿En qué se diferencian?

Nota para la enseñanza Los términos sólido, figura y figura sólida se usan para describir figuras tridimensionales.

Cada uno tiene seis cubos. Algunos de los sólidos son prismas rectangulares rectos y otros no. Aunque estos sólidos no se parecen, cada uno está compuesto del mismo número de cubos y ocupa la misma cantidad de espacio. ¿Qué podemos decir acerca de los sólidos que ocupan la misma cantidad de espacio? Tienen el mismo volumen. Forme grupos de tres estudiantes de modo que cada estudiante tenga un color diferente de cubos interconectables. Invite a sus estudiantes a usar sus cubos para construir un prisma rectangular recto de cualquier tamaño. No es necesario que usen todos los cubos. Pídales que registren el volumen de sus prismas en sus pizarras blancas.

Nota para la enseñanza No es necesario que quienes integran un grupo construyan prismas rectangulares rectos con dimensiones o volúmenes diferentes, como se muestra. Sus estudiantes pueden continuar con la actividad si dos o tres de los prismas construidos por el grupo tienen el mismo tamaño.

Cuando hayan terminado, pídales que combinen sus prismas para crear una figura sólida y, luego, determinen el volumen de la figura que crearon.

496

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25 Su grupo creó una figura sólida compuesta de prismas rectangulares rectos. ¿Cómo determinaron el volumen del sólido de su grupo? Sumamos el volumen de cada uno de los prismas individuales. Sumamos el número de cubos que usó cada integrante del grupo. Pida a los grupos que construyan una figura diferente usando los tres prismas y que hallen el volumen. ¿Cómo determinaron el volumen de la nueva figura de su grupo? Sumamos el volumen de cada uno de los prismas individuales. Sumamos el número de cubos que usó cada integrante del grupo. Cuando construyeron la segunda figura, ¿cambió el volumen? ¿Por qué? No. Usamos el mismo número de cubos las dos veces. No. No importa de qué manera juntemos los dos prismas. El volumen de cada prisma es el mismo cada vez, por lo que el volumen total es el mismo cada vez. No. El volumen total siempre será la suma de los volúmenes de los tres prismas, independientemente de la manera en que los juntemos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si siempre se puede hallar el volumen de una figura que está compuesta de prismas rectangulares rectos sumando el volumen de los prismas que componen la figura. Sí. La suma de los volúmenes de las partes es el volumen del sólido entero. Sí. El número de cubos unitarios es el mismo sin importar cómo están organizados.

497

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

Hallar el volumen de un sólido compuesto de prismas rectangulares rectos La clase determina el volumen de figuras compuestas de prismas rectangulares rectos.

DUA: Representación

Muestre la figura compuesta de cubos. Considere proporcionar una experiencia concreta pidiendo a sus estudiantes que construyan la figura que se muestra con cubos interconectables, lo que les ayudará a relacionar la figura y los prismas que la componen. Sus estudiantes pueden hacer el prisma inferior de un color y el superior de un color diferente y, luego, usar los colores para colorear el sólido del problema 1.

¿Cómo pueden describir esta figura? La figura está compuesta de cubos. Hay un prisma más pequeño arriba de un prisma más grande. La figura está compuesta de un prisma bajo unido a un prisma alto. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden hallar el volumen de esta figura. Puedo contar los cubos. Puedo descomponer la figura en capas, hallar el volumen de cada capa y sumar los volúmenes. Puedo descomponer la figura en dos prismas, hallar el volumen de cada prisma y sumar los volúmenes. Muestre la figura que tiene la misma forma pero no se ven los cubos.

Esta figura sólida tiene la misma forma, pero no se ven los cubos individuales. ¿Cómo pueden hallar el volumen de esta figura cuando los cubos no se ven?

Puedo hallar el volumen del prisma de la parte inferior y el volumen del prisma de la parte superior. Luego, puedo sumar esos volúmenes. ¿Cuál es la longitud, el ancho y la altura del prisma de la parte de abajo?

2m 6m

6 metros, 3 metros y 2 metros ¿Cuál es la longitud, el ancho y la altura del prisma de la parte de arriba?

2 metros, 3 metros y 2 metros

498

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25 ¿Cómo saben que la arista sin marcar del prisma de la parte de arriba mide 3 metros? Esa arista mide 3 metros porque tiene la misma longitud que la arista que está justo debajo, en el prisma de la parte de abajo.

Diferenciación: Apoyo

Los prismas se unen exactamente en esa arista. Eso quiere decir que la arista sin marcar del prisma de arriba tiene la misma longitud que la arista del prisma de abajo.

Considere pedir a sus estudiantes que dibujen y rotulen las dimensiones de cada prisma de manera separada de modo que puedan ver cada prisma por completo.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que rotulen la arista sin marcar del prisma superior. Luego, forme parejas de estudiantes y pídales que completen el problema con su pareja de trabajo.

1. La figura está compuesta de prismas rectangulares rectos. Calcula su volumen.

6 × 3 × 2 = 36 2 × 3 × 2 = 12

36 + 12 = 48 El volumen es 48 metros cúbicos.

Considere proporcionar el siguiente problema a los o las estudiantes que necesiten un desafío adicional.

Usé la fórmula V = l × a × h para determinar el volumen de cada prisma porque sabía la longitud, el ancho y la altura de cada prisma.

Muestre el prisma del problema 1 sin la descomposición. ¿En qué se diferencia esta figura sólida de la del problema 1?

El volumen combinado de dos prismas rectangulares rectos es 135 metros cúbicos. El prisma A tiene el doble del volumen del prisma B. Si la base del prisma A tiene un área de 10 metros cuadrados, ¿cuál es su altura?

No muestra cómo se descompone la figura.

Diferenciación: Desafío

¿Usaron una fórmula del volumen para hallar el volumen de la figura? De ser así, ¿cuál usaron y por qué?

Parece un sólido en lugar de dos.

Cuando la clase haya terminado, haga la siguiente pregunta.

No muestra que un prisma está arriba del otro.

2m 6m

499

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25 ¿Cuáles son las diferentes maneras en que se puede descomponer esta figura en dos prismas rectangulares rectos? Podría dividirla verticalmente para crear un prisma a la izquierda y uno a la derecha. Podría dividirla horizontalmente para crear un prisma abajo y uno arriba. Muestre las diferentes maneras de descomponer la figura.

4m 2m 6m

Diferenciación: Apoyo

2m 6m

Considere proporcionar copias impresas de los prismas cortados de ambas maneras para que sus estudiantes dibujen y rotulen. Si no hay copias a color disponibles, invite a sus estudiantes a colorear los prismas individuales para que coincidan con las figuras que se muestran.

¿Cuál de estas figuras se descompone de la misma manera que la figura del problema 1? La figura de la derecha Señale la figura de la izquierda. Esta es otra manera de descomponer la figura del problema 1 para hallar su volumen. ¿Cuál es la longitud, el ancho y la altura del prisma rojo?

2 metros, 3 metros y 4 metros Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la longitud, el ancho y la altura del prisma azul. Considere pedir a sus estudiantes que señalen la descomposición del sólido mientras explican su razonamiento. La altura del prisma azul es 2 metros. El ancho es 3 metros. Tiene el mismo ancho que el prisma rojo. La longitud total de la arista de la parte de abajo es 6 metros, y la longitud del prisma rojo es 2 metros, por lo que la longitud del prisma azul tiene que ser 4 metros.

500

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25 Pida a sus estudiantes que completen el problema 2 en parejas. Recorra el salón de clases mientras trabajan y haga las siguientes preguntas: • ¿Cómo pueden descomponer la figura?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

• ¿Las longitudes de qué aristas pueden rotular? Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando halla el volumen de una figura sólida compuesta de prismas rectangulares rectos determinando cómo descomponerla, hallando las longitudes de las aristas sin rotular, hallando el volumen de cada prisma, y luego, decidiendo si su respuesta tiene sentido.

• ¿Por qué eligieron descomponer la figura de esa manera? • ¿Cuáles son las dimensiones de ese prisma? ¿Cómo lo saben? • ¿Cómo pueden determinar el volumen de ese prisma? 2. La figura que se muestra está compuesta de prismas rectangulares rectos. a. Dibuja en la figura para descomponerla en prismas rectangulares rectos.

4m 3m

b. Halla el volumen de la figura.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿Qué pasos pueden seguir para comenzar a hallar el volumen?

Ejemplo:

V=7×4×3 = 28 × 3

= 84

• ¿Cómo piensan descomponer la figura? • ¿Qué información u operaciones necesitan para hallar el volumen?

V=2×2×3 =4×3 = 12 84 + 12 = 96 El volumen es 96 metros cúbicos. Cuando sus estudiantes hayan terminado, muestre la figura del problema 2.

Invite a sus estudiantes a compartir cómo descompusieron el sólido y cómo determinaron las dimensiones desconocidas que necesitaban para determinar el volumen de los prismas.

501

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

EUREKA MATH2

Considere usar las siguientes preguntas para guiar la conversación: • Señalen el sólido para mostrar cómo descompusieron la figura. • ¿Por qué eligieron descomponer la figura de esa manera? • ¿Qué información que no tenían era necesaria para hallar el volumen de ese prisma? ¿Cómo hallaron esa información? • ¿Cómo supieron qué aristas rotular? ¿Cómo determinaron la longitud de una arista que no estaba dada? • ¿Qué método usaron para hallar el volumen del prisma? ¿Por qué? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los métodos que pueden usar para determinar el volumen de una figura sólida compuesta de prismas rectangulares rectos.

502

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Hallar el volumen de figuras sólidas compuestas de prismas rectangulares rectos Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre hallar el volumen de figuras sólidas compuestas de prismas rectangulares rectos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

Muestre la figura sólida con forma de L. Esta figura está compuesta de prismas rectangulares rectos. ¿Podemos usar una fórmula del volumen para determinar el volumen de la figura? ¿Por qué? No. Solo tenemos una fórmula del volumen de un prisma rectangular recto y esta figura no es un prisma rectangular recto.

4m 2m 6m

¿Cómo podemos usar el volumen de prismas rectangulares rectos para hallar el volumen de esta figura? Podemos descomponer la figura en dos prismas rectangulares rectos. Luego, podemos determinar el volumen de cada prisma y sumar los volúmenes. Invite a sus estudiantes a compartir cómo descompusieron los sólidos en los problemas 4 a 7 del Grupo de problemas y por qué los descompusieron de esa manera.

503

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

Nombre

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

2. Se muestran dos prismas rectangulares rectos. Halla el volumen de cada prisma rectangular recto.

1. Cada figura sólida que se muestra está compuesta de cubos de un centímetro. Encierra en un círculo las figuras que tienen un volumen de 8 centímetros cúbicos.

4 cm

5 cm

2 cm 3 cm

2 cm 4 cm

24 centímetros cúbicos

40 centímetros cúbicos

3. Los dos prismas rectangulares rectos del problema 2 se combinan para formar una figura sólida. ¿Cuál es el volumen de la figura?

4 cm 3 cm

5 cm 4 cm

504

263

264

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

Las figuras sólidas que se muestran están compuestas de prismas rectangulares rectos. Calcula el volumen de cada figura.

10 in

12 cm

440 pulgadas cúbicas

2 in

4 cm

6 ft 4 ft 10 ft

9 cm

300 pies cúbicos

552 centímetros cúbicos

GRUPO DE PROBLEMAS

3 cm

2 ft

6 cm 15 in

2 cm

4 cm

8 in

11 cm

5 ft

8 cm

10 in

5 in

3 ft

7 cm

18 in

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 25

265

266

GRUPO DE PROBLEMAS

3 cm

6 cm

8 cm 5 cm

592 centímetros cúbicos

505

LECCIÓN 26

Resolver problemas verbales sobre el perímetro, el área y el volumen

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26

Nombre

Fecha

Una piscina tiene forma de L como se muestra.

5 ft

4 ft 3 ft

8 ft

Vistazo a la lección La clase trabaja en parejas para clasificar situaciones del mundo real en categorías basándose en si las situaciones requieren hallar el perímetro, el área o el volumen. Cuando sus estudiantes consideran la longitud de una madera que rodea una jardinera, la cantidad de césped que cubre la jardinera y la cantidad de tierra que se necesita para llenar la jardinera, reconocen que construir una jardinera requiere hallar las tres medidas: el perímetro, el área y el volumen. Eligen problemas del mundo real para resolver: uno que involucre el perímetro, uno que involucre el área y uno que involucre el volumen.

a. Un perro camina alrededor del borde de la piscina. ¿Qué distancia camina el perro?

Pregunta clave

8 + 8 + 5 + 4 + 3 + 4 = 32 El perro camina 32 pies.

• ¿Cómo saben si en una determinada situación se debe tener en cuenta el perímetro, el área o el volumen?

Criterios de logro académico

b. El fondo de la piscina está cubierto con baldosas. ¿Cuánto espacio cubren las baldosas?

4 × 8 = 32

5.Mód5.CLA11 Calculan el volumen de prismas rectangulares rectos usando

5 × 4 = 20

V = l × a × h y V = B × h. (5.MD.C.5.b)

32 + 20 = 52 Las baldosas cubren 52 pies cuadrados.

5.Mód5.CLA12 Hallan el volumen de figuras compuestas de prismas rectangulares rectos para resolver problemas matemáticos y del mundo real.

c. Julie llena la piscina con agua. Cuando la piscina está llena, el agua tiene una altura de 3 pies. ¿Cuánta agua se necesita para llenar la piscina?

(5.MD.C.5.c)

4 × 8 × 3 = 96 5 × 4 × 3 = 60 96 + 60 = 156 Se necesitan 156 pies cúbicos de agua para llenar la piscina.

281

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• ninguno

Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tarjetas de perímetro, área o volumen de los libros para estudiantes y recortar las tarjetas con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.

Aprender 30 min • Construir una jardinera • Perímetro, área y volumen • Grupo de problemas

Estudiantes • Tarjetas de perímetro, área o volumen (en el libro para estudiantes) • tijeras

Concluir 10 min

507

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Números decimales escritos de dos maneras La clase escribe un número en forma estándar y en forma desarrollada a partir de la forma escrita para adquirir fluidez con la lectura y escritura de números decimales hasta la posición de los milésimos del módulo 4. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre cuatrocientos ochenta y seis milésimos en forma escrita. Escriban el número en forma estándar. Muestre la respuesta. Escriban el número en forma desarrollada usando números enteros y números decimales.

Cuatrocientos ochenta y seis milésimos

0.486 4 × 0.1 + 8 × 0.01 + 6 × 0.001

Muestre la respuesta.

508

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Seis con trescientos noventa y ocho milésimos

Ochenta y cinco con cuarenta y siete milésimos

6.398

85.047

6 × 1 + 3 × 0.1 + 9 × 0.01 + 8 × 0.001

8 × 10 + 5 × 1 + 4 × 0.01 + 7 × 0.001

Doce con seiscientos tres milésimos

Cincuenta con cincuenta y dos milésimos

12.603

50.052

1 × 10 + 2 × 1 + 6 × 0.1 + 3 × 0.001

5 × 10 + 5 × 0.01 + 2 × 0.001

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar con números decimales La clase determina el producto para adquirir fluidez con la multiplicación con números decimales del módulo 4. Muestre 0.56 × 3 =

0.56 × 3 = 1.68

5 6 centésimos 3 1

1 6 8 centésimos

Muestre el producto y el ejemplo de método.

509

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

4.27 × 7 = 29.89

Presentar

10.5 × 9 = 94.5

5.08 × 32 = 162.56

Materiales: E) Tarjetas de perímetro, área o volumen, tijeras

La clase clasifica situaciones en distintas categorías basándose en si la situación requiere hallar el perímetro, el área o el volumen. Pida a sus estudiantes que retiren de sus libros la hoja extraíble de Tarjetas de perímetro, área o volumen y recorten las tarjetas. Forme parejas de estudiantes y pídales que clasifiquen las tarjetas en tres categorías basándose en si la situación requiere hallar el perímetro, el área o el volumen. Si bien sus estudiantes pueden clasificar las tarjetas de varias maneras y brindar explicaciones para apoyar su razonamiento, se espera que las clasifiquen de la siguiente manera:

Perímetro

Área

Volumen

Colocar una cerca alrededor de un patio de juegos

Pintar una pared

Llenar una piscina

Decorar con cintas de luces

Colocar azulejos en una ducha

Hornear un pastel

Construir una jardinera*

Colocar alfombra en un piso

Empacar una maleta

Construir una jardinera*

El asterisco (*) indica que sus estudiantes pueden colocar la tarjeta en cualquiera de las tres categorías.

510

Apoyo para la comprensión del lenguaje Presentar las situaciones en formato de imagen ayuda a sus estudiantes al eliminar las barreras asociadas con el lenguaje escrito y hablado. Use estas imágenes para desarrollar los conocimientos previos invitando a la clase a compartir sus experiencias anteriores con cada situación. Si sus estudiantes no recuerdan el significado del término conocido perímetro, anímeles a dejar a un lado las tarjetas que no representan el área o el volumen mientras clasifican. Después de clasificar, pídales que vuelvan a ver las tarjetas que dejaron a un lado, busquen qué tienen las situaciones en común y usen esos puntos en común para determinar el significado de perímetro.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 Cuando hayan terminado de clasificar las tarjetas, guíe una conversación usando los siguientes planteamientos. Den un ejemplo de una situación en la que necesitarían saber el perímetro. Expliquen su razonamiento. Colocar una cerca alrededor de un patio de juegos. La longitud de la cerca alrededor del patio de juegos es el perímetro del patio de juegos. Decorar con cintas de luces. Si las cintas de luces rodean toda la habitación, entonces la longitud de las cintas de luces es el perímetro de la habitación. Construir una jardinera. La longitud de la madera alrededor de la jardinera es el perímetro de la jardinera. Den un ejemplo de una situación en la que necesitarían saber el área. Expliquen su razonamiento. Pintar una pared. La pintura cubre la superficie de una pared, así que necesitamos hallar el área de la pared que se pinta. Colocar azulejos en una ducha. Los azulejos cubren la pared de la ducha, así que necesitamos hallar el área de la pared de la ducha en la que se colocan los azulejos. Colocar alfombra en un piso. La alfombra cubre el piso, así que necesitamos hallar el área del piso donde se va a colocar alfombra. Construir una jardinera. Una jardinera cubre parte de un patio, así que necesitamos hallar el área del patio donde está la jardinera. Den un ejemplo de una situación en la que necesitarían saber el volumen. Expliquen su razonamiento. Llenar una piscina. Una piscina tiene espacio para llenar con agua, así que necesitamos saber el volumen de la piscina. Hornear un pastel. Una bandeja tiene espacio para verter mezcla, así que necesitamos saber el volumen de la bandeja. Empacar una maleta. Una maleta tiene espacio para rellenar con ropa, así que necesitamos saber el volumen de la maleta. Construir una jardinera. Una jardinera tiene espacio para rellenar con tierra, así que necesitamos saber el volumen de la jardinera.

511

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 Si sus estudiantes no mencionaron que construir una jardinera requiere saber el perímetro, el área y el volumen, haga preguntas de sondeo para ayudarles a reconocer la necesidad de hacer cada cálculo: • ¿Necesitan saber el perímetro, el área o el volumen cuando construyen una jardinera? • ¿Por qué podría ser necesario saber el perímetro al construir una jardinera? • ¿Por qué podría ser necesario saber el área al construir una jardinera? • ¿Por qué podría ser necesario saber el volumen al construir una jardinera? • ¿Todas las jardineras tienen suficiente espacio para que crezca cualquier tipo de planta? • ¿Podría entrar una palmera en una jardinera? Invite a sus estudiantes a corregir cualquier error que hayan cometido en la clasificación y guarden las tarjetas, en sus categorías, para más adelante en la lección. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a resolver problemas verbales sobre el perímetro, el área y el volumen.

Aprender

Construir una jardinera La clase resuelve problemas del mundo real hallando el perímetro, el área y el volumen. Pida a las parejas que vayan al problema 1 de sus libros, que se correlaciona con la tarjeta sobre construir una jardinera de la sección Presentar. Pida a sus estudiantes que lean cada parte del problema en silencio mientras usted lee en voz alta. Muestre la jardinera sin rotular.

512

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 1. Considera construir una jardinera. Los 6 lados de la jardinera se construyen usando 6 tablas de madera que miden 2 pies de alto cada una. Las dos tablas más largas miden 12 pies de largo cada una. Las dos tablas más cortas miden 4 pies de largo cada una.

12 ft

2 ft 4 ft

12 ft

8 ft

2 ft 4 ft

a. ¿Cuál es la longitud total de las tablas de madera que se usan para construir la jardinera?

12 + 12 + 4 + 4 + 8 + 8 = 48 La longitud total de las tablas de madera que se usan para construir la jardinera es 48 pies. b. ¿Cuánto del patio cubre la jardinera?

12 × 4 = 48

Diferenciación: Desafío

8 × 4 = 32 48 + 32 = 80 La jardinera cubre 80 pies cuadrados del patio. c. ¿Cuánta tierra se necesita para llenar la jardinera?

48 × 2 = 96 32 × 2 = 64 96 + 64 = 160 Se necesitan 160 pies cúbicos de tierra para llenar la jardinera. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que saben sobre la jardinera. Luego, haga la siguiente pregunta.

Considere desafiar a sus estudiantes a hallar lo siguiente: • El perímetro de la jardinera en pulgadas • El perímetro de la jardinera en yardas • El área que cubre la jardinera en pulgadas cuadradas • El área que cubre la jardinera en yardas cuadradas • El volumen de la jardinera en pulgadas cúbicas • El volumen de la jardinera en yardas cúbicas

¿Qué podemos rotular? Podemos rotular los dos lados más largos como 12 pies. Podemos rotular los dos lados más cortos como 4 pies. Podemos rotular la altura como 2 pies.

513

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 Rotule los dos lados más largos, los dos lados más cortos y la altura. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Luego, señale los otros dos lados de la jardinera. Invite a la clase a usar la rutina PensarTrabajar en parejas-Compartir para analizar cómo hallar la longitud de las tablas. Podemos restar 4 de 12 para hallar que la longitud de cada una de las tablas de madera sin rotular es 8 pies. Rotule los dos lados que faltan. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. En una jardinera de verdad, las tablas tienen grosor, lo que significa que hay una ligera diferencia entre las medidas del interior y el exterior de la jardinera. Hoy, mientras hallamos el perímetro, el área y el volumen de la jardinera, vamos a simplificar el problema usando las medidas dadas en lugar de hallar y usar las medidas del interior y el exterior. Luego, pida a las parejas que completen el problema 1. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Busque estudiantes que sumen los números en un orden distinto para la parte (a) y estudiantes que descompongan la figura de diferentes maneras para las partes (b) y (c). Haga las siguientes preguntas para brindar apoyo al razonamiento de sus estudiantes: • ¿Cuál es la pregunta? • ¿Qué necesitan saber para responder la pregunta? • ¿Necesitan hallar el perímetro, el área o el volumen? ¿Cómo lo saben? • ¿La pregunta nos pide algo que se puede medir en pies, pies cuadrados o pies cúbicos?

Diferenciación: Apoyo Para ayudar a sus estudiantes con las partes (b) y (c), haga un boceto de la figura como dos rectángulos separados rotulados y, luego, como dos prismas rectangulares rectos separados rotulados. Como alternativa, considere construir los prismas con cubos.

• ¿Pueden descomponer la figura? ¿Por qué? Cuando la mayoría de la clase haya terminado, pregunte en qué parte del problema tuvieron que hallar el perímetro, en qué parte tuvieron que hallar el área y en qué parte tuvieron que hallar el volumen. Seleccione a estudiantes para que compartan sus respuestas y su razonamiento para cada parte del problema. Luego, haga las siguientes preguntas.

514

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 ¿Cómo supieron que debían hallar el perímetro de la jardinera en la parte (a)? La pregunta nos pedía la longitud total de las tablas de madera que se usan para construir la jardinera. La jardinera se construyó con 6 tablas de madera colocadas extremo con extremo. Así que tuvimos que sumar las longitudes de los lados de la jardinera para hallar la longitud total de las tablas. Las tablas forman los lados de la jardinera. Como necesitábamos saber la longitud total de los lados, hallamos el perímetro de la jardinera para hallar la longitud total de las tablas. ¿Cómo supieron que debían hallar el área de la jardinera en la parte (b)? Se preguntaba cuánto espacio del patio ocupaba la jardinera. La jardinera cubre parte del patio, lo que significa que necesitamos saber el área que cubre. ¿Por qué no usaron la altura de la jardinera para hallar la longitud total de las tablas? ¿Por qué no usaron la altura para hallar la cantidad de espacio que cubre la jardinera? No era necesario usar la altura porque la altura no afecta la longitud de las tablas ni la cantidad de espacio que cubre la jardinera. ¿Cómo supieron que debían hallar el volumen de la jardinera en la parte (c)? Se preguntaba cuánta tierra se necesita para llenar la jardinera. Necesitábamos saber cuánta tierra cabe dentro de la jardinera, por lo que teníamos que saber el volumen. ¿Por qué el número de pies cúbicos en el volumen es dos veces el número de pies cuadrados en el área? El área de la base de la jardinera es 80 pies cuadrados. La altura de la jardinera es 2 pies. Podemos hallar el volumen multiplicando el área de la base por la altura, y 80 × 2 = 160. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden saber si necesitan hallar el perímetro, el área o el volumen para resolver problemas del mundo real.

Perímetro, área y volumen Materiales: E) Tarjetas de perímetro, área o volumen

La clase resuelve problemas del mundo real sobre el perímetro, el área y el volumen. Pida a las parejas de estudiantes que examinen de nuevo las tarjetas que clasificaron. Construir una jardinera requiere hallar el perímetro, el área y el volumen.

515

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 Señale que cada situación del libro se correlaciona con una de las tarjetas de perímetro, área o volumen. En parejas, elijan tres situaciones: una situación que involucre el perímetro, una situación que involucre el área y una situación que involucre el volumen. En sus libros, hallen los problemas para las situaciones que elijan y completen los tres problemas. Coloque una hoja de respuestas para que la clase pueda comprobar sus respuestas mientras completa cada problema. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Según sea necesario, haga las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento de sus estudiantes: • ¿Qué información saben? ¿Cuál es la pregunta? • ¿Tienen suficiente información para responder la pregunta? • ¿Qué pueden dibujar? ¿Qué pueden rotular?

DUA: Acción y expresión Incluir una variedad de contextos de problemas del mundo real brinda la oportunidad para que sus estudiantes elijan. Permitir que sus estudiantes seleccionen los problemas que les parezcan interesantes y desafiantes les permite estar en control de su aprendizaje y fomenta el interés.

• ¿Pueden descomponer la figura? ¿Cómo? Invite a quienes terminen primero a elegir problemas adicionales para completar.

DUA: Acción y expresión

2. Considera decorar con cintas de luces. Mara decora su habitación con cintas de luces que cubren el techo y los bordes del espejo.

Su habitación es rectangular y mide 12 _12  pies por 10 _14  pies. Su espejo es rectangular y mide

4 _12  pies por 1 pie. ¿Cuántos pies de cintas de luces usa?

1 1 1 1 12 1  + 12 + 10 + 10 = 45 2 2 2 4 4 1 1 4 _ + 4 _ + 1 + 1 = 11 2 2

Mara usa 56 _12  pies de cintas de luces.

516

1 1 45 _ + 11 = 56 _ 2 2

Brindar una hoja de respuestas ayuda a sus estudiantes a monitorear su progreso. Haga las siguientes preguntas para pedirles que reflexionen después de comprobar su solución: • ¿Qué funcionó bien? • ¿Qué harían de la misma manera la próxima vez? ¿Qué harían de otra manera la próxima vez? • ¿Todavía tienen preguntas sobre algún tema? Considere representar las posibles respuestas o pedir a estudiantes que compartan sus reflexiones. Dé tiempo para responder las preguntas.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 3. Considera colocar una cerca alrededor de un patio de juegos. Una escuela primaria necesita una nueva cerca alrededor del patio de juegos. ¿Cuántas yardas de cerca necesita la escuela?

9 yd

1 4

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando resuelve problemas del mundo real relacionados con el perímetro, el área y el volumen descubriendo la información dada y lo que se pide cuando resuelve el problema, buscando puntos de partida y monitoreando su progreso.

6 yd

1 8 yd 2

6 yd

2 yd

1 2

8 yd

6 yd

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿Cómo pueden explicar este contexto con sus propias palabras? • ¿Cuál es su plan para resolver el problema? • ¿Cómo pueden simplificar el problema?

3 yd 4

3 1 1 1 8 _ + 9 + 6 + 6 + 8 _ + 12 _ + 6 + 2 _ = 59 2 2 4 4 La escuela necesita 59 yardas de cerca. 4. Considera pintar una habitación. Ryan pinta dos paredes de su habitación. Una pared mide 10 _12  pies por 8 pies. La otra pared mide

12 _34  pies por 8 pies. ¿Cuántos pies cuadrados pinta Ryan? 1 10 _ × 8 = 84 2

3 12 _ × 8 = 102 4

84 + 102 = 186 Ryan pinta 186 pies cuadrados.

517

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 5. Considera colocar alfombra en un piso. Una familia coloca alfombra en la sala de estar. ¿Cuántas yardas cuadradas de alfombra usan?

6 yd

1 2

7 yd

1 yd 1 yd

1 2

6 yd

Diferenciación: Desafío Para desafiar a sus estudiantes, pídales que hagan el boceto de un prisma rectangular recto y rotulen las dimensiones con los siguientes atributos: • El perímetro de al menos una cara es 18 unidades. • El área de al menos una cara es 18 unidades cuadradas.

7 yd

1 1 7 × 6 _ = 45 _ 2 2

• El volumen del prisma rectangular recto es 18 unidades cúbicas.

6×1=6

1 1 45 _ + 6 = 51 _ 2 2

La familia usa 51 _12  yardas cuadradas de alfombra. 6. Considera colocar azulejos en una ducha.

Dos de las paredes de una ducha necesitan azulejos. Una pared de la ducha mide 5 _12  pies por

8 pies. La otra pared de la ducha mide 6 _14  pies por 8 pies. El costo de colocar azulejos en las

paredes de la ducha es $7.99 por pie cuadrado. ¿Cuál es el costo total de colocar azulejos en las paredes de la ducha?

1 5 _ × 8 = 44 2 1 6 _ × 8 = 50 4

44 + 50 = 94 94 × 7.99 = 751.06 El costo total de colocar azulejos en las paredes de la ducha es $751.06.

518

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 7. Considera empacar una maleta. Una maleta tiene forma de prisma rectangular recto. La maleta mide 76 centímetros por 48 centímetros por 29 centímetros. ¿Cuál es el volumen de la maleta?

76 × 48 × 29 = 105,792 El volumen de la maleta es 105,792 centímetros cúbicos. 8. Considera llenar una piscina. Riley llena su piscina. Cuando la piscina está llena, el agua tiene 6 pies de profundidad. ¿Cuál es el volumen del agua en la piscina?

16 ft 6 ft 25 ft 41 ft 8 ft

6 ft

16 ft 24 ft 25 × 16 × 6 = 2,400 24 × 16 × 6 = 2,304 2,400 + 2,304 = 4,704 El volumen del agua en la piscina es 4,704 pies cúbicos.

519

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26 9. Considera hornear un pastel. Adesh hornea un pastel con tres capas que tienen forma de prisma rectangular recto cada una. La capa inferior mide 9 pulgadas por 13 pulgadas por 2 pulgadas. Las otras dos capas miden 8 pulgadas por 8 pulgadas por 2 pulgadas cada una. ¿Cuál es el volumen total del pastel?

9 × 13 × 2 = 234 8 × 8 × 2 = 128 234 + 128 + 128 = 490 El volumen total del pastel es 490 pulgadas cúbicas. Si hay tiempo suficiente, pida a sus estudiantes que compartan sus estrategias cuando la mayor parte de la clase haya terminado. Haga las siguientes preguntas a medida que la clase comparte: • ¿Cuántos lados tiene la figura? ¿Cómo afectó eso sus cálculos? • ¿Cuáles son las longitudes de los lados de la figura? • ¿Cuáles son las longitudes de las aristas del sólido? • ¿Cómo descompusieron la figura? ¿Podrían haberla descompuesto de otra manera? • ¿Cómo descompusieron el sólido? ¿Podrían haberlo descompuesto de otra manera? • ¿Por qué usaron una suma en este problema? • ¿Qué fue difícil del problema? ¿Cómo lo calcularon?

520

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas verbales sobre el perímetro, el área y el volumen Guíe una conversación de toda la clase acerca de resolver problemas que involucran el perímetro, el área y el volumen usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Den un ejemplo de una ocasión en la que usaron una suma en la lección de hoy. Cuando hallamos el perímetro, sumamos las longitudes de los lados. Cuando quisimos saber cuántos pies cuadrados se pintaron, hallamos el área de cada pared y las sumamos. Cuando quisimos saber el volumen total del pastel de Adesh, hallamos el volumen de cada capa y los sumamos. ¿Cómo saben si en una determinada situación se debe tener en cuenta el perímetro, el área o el volumen? Cuando necesitamos saber la longitud o la distancia alrededor de algo, eso es el perímetro. Cuando necesitamos saber la cantidad de espacio bidimensional que cubre algo, eso es el área. Cuando necesitamos saber la cantidad de espacio tridimensional que ocupa algo, eso es el volumen. ¿Hay situaciones que involucren las tres medidas: perímetro, área y volumen? Sí. Para construir una jardinera, necesitábamos saber el perímetro, o la longitud del borde. Necesitábamos saber el área para saber cuánto espacio ocupa la jardinera en el patio. Necesitábamos saber el volumen para saber la cantidad de tierra necesaria para llenar la jardinera. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si pueden pensar en otra situación que requiera las tres medidas: perímetro, área y volumen.

521

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26

2. En una ciudad se está construyendo un parque para perros. Se muestran las medidas.

8 ft

1. La Sra. Song está construyendo un arenero en su patio. Se muestran las medidas del arenero.

3 ft

1 2

7 ft

2 ft

1 10 ft 2

4 ft

3 ft

4 ft

2 ft

6 ft 6 ft

a. ¿Cuánto espacio ocupará el parque? El parque ocupará un espacio de 78 pies cuadrados.

b. ¿Cuántos pies de cerca se necesitan para rodear el parque para perros?

7 ft

Se necesitan 37 pies de cerca para rodear el parque para perros.

a. La Sra. Song usa una tabla por lado. ¿Cuál es la longitud total de tablas que usa la Sra. Song para construir los lados del arenero? La Sra. Song usa 26 pies de tablas para construir los lados del arenero. b. ¿Cuánto del césped cubre el arenero? El arenero cubre 34 pies cuadrados de césped.

c. ¿Cuánta arena se necesita para llenar el arenero hasta una altura de 1 2 pies?

Se necesitan 51 pies cúbicos de arena para llenar el arenero hasta una altura de 1 2 pies.

522

277

278

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 26

3. Se está construyendo un estanque alrededor de la esquina de un edificio. Se muestran las medidas. ¿Cuál es el volumen del agua en el estanque cuando está lleno por completo? 1 2

2 ft

10 ft

1 2

2 ft 12 ft

2 ft

El volumen del agua en el estanque es 97 2 pies cúbicos. 4. Se están reemplazando algunos de los desagües para agua de lluvia de la casa de Eddie. Se muestran las medidas de los desagües que se están reemplazando. ¿Cuántos pies de desagües se están reemplazando en la casa de Eddie? 6 ft 4 ft 1 2

24 ft

30 ft

1 2

20 ft

GRUPO DE PROBLEMAS

279

523

LECCIÓN 27

Aplicar conceptos y fórmulas del volumen para diseñar una escultura usando prismas rectangulares rectos, parte 1

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27

Nombre

Fecha

La tabla muestra las dimensiones de los prismas rectangulares rectos de una escultura. Escultura

Prisma rectangular recto

Dimensiones

2 cm por 2 cm por 5 cm

4 cm por 10 cm por 1 cm

8 cm por 3 cm por 3 cm

La clase diseña y crea una escultura inspirada en una obra de arte llamada Cubi VI. A medida que siguen las pautas para crear una escultura, eligen alturas para prismas rectangulares rectos con bases dadas y multiplican las longitudes de las aristas para calcular volúmenes. Trabajan en parejas para armar varios prismas y los usan para crear esculturas. Las parejas registran sus cálculos del volumen total de sus esculturas para usarlos en la siguiente lección. En esta lección, no se incluye Grupo de problemas. En cambio, la clase usa ese tiempo para completar sus esculturas y registrar sus cálculos.

A B

Vistazo a la lección

Pregunta clave

• ¿Cómo pueden crear un prisma rectangular recto que es una fracción del volumen de otro prisma?

a. ¿Cuál es el volumen de la escultura?

2 × 2 × 5 = 20

Criterios de logro académico

4 × 10 × 1 = 40 8 × 3 × 3 = 72

5.Mód5.CLA11 Calculan el volumen de prismas rectangulares rectos usando

20 + 40 + 72 = 132

V = l × a × h y V = B × h. (5.MD.C.5.b)

El volumen de la escultura es 132 centímetros cúbicos.

5.Mód5.CLA12 Hallan el volumen de figuras compuestas de prismas

rectangulares rectos para resolver problemas matemáticos y del mundo real.

b. Completa los espacios: El volumen del prisma

es la mitad del volumen del prisma

(5MD.C.5.c)

285

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Pautas para escultura (en la edición para la enseñanza)

• Imprima o copie Pautas para escultura y recorte una copia para cada pareja de estudiantes.

Aprender 35 min • Pautas para escultura

• Base de 6 cm por 3 cm (en la edición para la enseñanza)

• Crear una escultura

• tijeras

Concluir 10 min

• cinta adhesiva • Tapas con solapas (en la edición para la enseñanza)

Estudiantes • Hoja de registro de escultura (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes) • Base de 6 cm por 3 cm (3 por pareja de estudiantes, en la edición para la enseñanza) • Base de 5 cm por 5 cm (3 por pareja de estudiantes, en la edición para la enseñanza)

• Imprima o copie Base de 6 cm por 3 cm y Tapas con solapas. Prepare suficientes para que el maestro o la maestra tenga una copia y para que cada pareja de estudiantes tenga tres copias. • Imprima o copie Base de 5 cm por 5 cm y Base de 7 cm por 10 cm. Prepare tres copias para cada pareja de estudiantes. • Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Hoja de registro de escultura de los libros para estudiantes o si la retirará con la clase durante la lección. • Guarde las tarjetas de índice, Pautas para escultura, Hoja de registro de escultura y las esculturas creadas por sus estudiantes para volver a usarlas en la lección 28.

• Base de 7 cm por 10 cm (3 por pareja de estudiantes, en la edición para la enseñanza) • Tapas con solapas (3 por pareja de estudiantes, en la edición para la enseñanza) • tarjeta de índice (1 por pareja de estudiantes) • tijeras • cinta adhesiva

525

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Calcular el área La clase multiplica con números enteros y fracciones para adquirir fluidez con el cálculo del área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias del tema B. Muestre el rectángulo. Calculen el área del rectángulo. Cuando sea posible, reescriban el producto como un número entero o mixto. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

3 × 4 = 4 = 24

3 unidades

El área es 1

2 4 unidades cuadradas. 3 de unidad 4

Muestre la ecuación de ejemplo y el área. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3 × 2 = 2 = 42

3 unidades

El área es 1

4 2 unidades 3 de unidad 2

1 3 3 × = 2 4 8

1 unidad 2

cuadradas.

3 de unidad 4

El área es

3 de unidad 8 cuadrada.

3 de unidad 2

1 de unidad 3

3 1 3 × = 2 3 6

El área es 3 de unidad 6 cuadrada.

3 de unidad 2

3 5 15 3 × = =3 2 2 4 4

El área es 5 de unidad 3 2 3 4 unidades cuadradas.

Intercambio con la pizarra blanca: Comparar números decimales La clase compara dos números en forma estándar usando símbolos para adquirir fluidez con la comparación de números decimales del módulo 4. Muestre los números 0.05 y 0.005. Escriban una ecuación o desigualdad usando los signos mayor que, igual a o menor que para comparar los valores.

526

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27 Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la oración numérica. Cuando dé la señal, digan la desigualdad empezando con 0.05. ¿Comenzamos?

0.05 es mayor que 0.005. Cuando dé la señal, digan la desigualdad empezando con 0.005. ¿Comenzamos?

0.005 es menor que 0.05. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

0.27 > 0.027

0.346 < 0.364

12.63 > 1.263

5.789 < 5.79

74.81 = 74.810

30.9 < 30.901

8.102 < 8.2

0.05 > 0.005

Nota para la enseñanza Es posible que haya estudiantes que duden al momento de decir la oración numérica comenzando por el número de la derecha. Considere señalar con el dedo 0.005; luego, deslícelo hacia la izquierda mientras sus estudiantes dicen la desigualdad. Cuando las dos expresiones son iguales, como en 74.81 = 74.810, pídales que digan la ecuación en lugar de la desigualdad.

527

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27

Presentar

La clase observa y se pregunta acerca de una escultura que está compuesta de prismas rectangulares rectos. Muestre Cubi VI, 1963, de David Smith. Esta escultura se llama Cubi VI. El artista que la creó se llama David Smith. Use las siguientes preguntas para que la clase se interese en la obra de arte: • ¿Qué observan en esta escultura? • ¿Qué se preguntan? Guíe a sus estudiantes para que razonen acerca de la escultura en términos de sus experiencias con el volumen de prismas rectangulares rectos. ¿Qué observan acerca de las partes de la escultura? Son todos prismas rectangulares rectos hechos de metal. Algunos de los prismas tienen una longitud mucho mayor que el ancho. Parece que algunos de los prismas tienen el mismo volumen. ¿Qué piensan acerca del volumen de los prismas rectangulares rectos cuando observan esta obra de arte? Me pregunto cuál es el volumen de cada prisma. Me pregunto si algunos de los prismas tienen más volumen que otros. Me pregunto cuál es el volumen de la escultura entera. Me pregunto cuánto espacio ocupa la escultura entera.

528

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27 ¿Podemos hallar el volumen total de una figura tridimensional compuesta de prismas rectangulares rectos? ¿Cómo? Podemos hallar el volumen de cada prisma y sumar los volúmenes. Si hay tiempo suficiente, use las siguientes preguntas para que la clase profundice la exploración de la obra de arte: • Algunas personas podrían ver la figura de una persona cruzada de piernas con un brazo estirado hacia arriba. ¿Los prismas rectangulares rectos parecen formar la figura de una persona cuando se las mira en conjunto? • ¿Qué figura ven primero cuando miran esta escultura? ¿Qué observan a continuación? • ¿Cómo creen que el artista decidió juntar los prismas rectangulares rectos para que quedaran unidos y que la escultura tuviera el equilibrio suficiente para mantenerse de pie? Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, diseñarán y crearán una escultura usando un conjunto de prismas rectangulares rectos y calcularán el volumen de sus esculturas.

Aprender

Pautas para escultura Materiales: M) Pautas para escultura, Base de 6 cm por 3 cm, tijeras, cinta adhesiva, Tapas con solapas; E) Hoja de registro de escultura, Base de 6 cm por 3 cm, Base de 5 cm por 5 cm, Base de 7 cm por 10 cm, Tapas con solapas

La clase razona acerca de cómo crear un prisma rectangular recto con un volumen que sea una fracción del volumen de otro prisma. Forme parejas de estudiantes. Distribuya una tarjeta de Pautas para escultura a cada pareja. Pida a un miembro de cada pareja que retire la hoja extraíble de Hoja de registro de escultura del libro.

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5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27

Pautas para escultura

1. Cada escultura debe incluir entre 5 y 7 prismas rectangulares rectos con longitudes de las aristas en números enteros.

2. Rotula las dimensiones y el volumen de todos los prismas. Rotula cada prisma con una letra (comenzando con la A). 1

3. El prisma D debe ser 2 del volumen de otro prisma. 1

Diferenciación: Apoyo Es posible que parte de la clase se sienta abrumada por la cantidad de lectura e interpretación de instrucciones que requiere esta tarea. Considere leer las pautas con toda la clase y comentar cada una. También considere formar parejas con estudiantes que pueden leer con facilidad y estudiantes que necesitan apoyo.

4. El prisma E debe ser 3 del volumen de otro prisma. 5. El volumen total de la escultura debe ser 1,000 centímetros cúbicos o menos.

Dé tiempo a sus estudiantes para que lean las pautas y repasen la hoja de registro. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las pautas y comparta las ideas que tienen para diseñar las esculturas. Luego, pídales que compartan sus ideas. ¿Qué ideas tienen para diseñar sus esculturas? Queremos que nuestra escultura tenga prismas organizados de manera aleatoria, como las obras de arte moderno que hemos visto. Queremos que nuestra escultura parezca un animal. Queremos que nuestra escultura parezca un castillo. Para formar los prismas rectangulares rectos de sus esculturas, podrán elegir entre tres bases. Las recortarán y podrán cambiar el volumen cambiando la altura. Miren cómo recorto uno de los patrones de prisma y hago un prisma. Demuestre cómo recortar el patrón de Base de 6 cm por 3 cm. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta. El prisma tiene una base que mide 6 centímetros por 3 centímetros. Si quiero construir el prisma de forma tal que tenga un volumen de 36 centímetros cúbicos, ¿dónde debería cortar los lados? Debería cortarlos de forma tal que la altura sea 2 centímetros, porque 6 × 3 = 18 y 18 × 2 = 36. Cortaré los lados a 2 centímetros de la base porque 6 × 3 × 2 = 36.

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Nota para la enseñanza Si es posible, considere copiar los siguientes patrones en una cartulina: • Base de 6 cm por 3 cm (3 por pareja de estudiantes) • Base de 5 cm por 5 cm (3 por pareja de estudiantes) • Base de 10 cm por 7 cm (3 por pareja de estudiantes) • Tapas con solapas (3 por pareja de estudiantes) Es posible que las parejas no necesiten todos los patrones de prismas. Considere copiar algunos patrones adicionales para quienes podrían necesitarlos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27 Recorte el patrón de modo que la altura de los lados sea 2 centímetros, doble los lados para que el papel cuadriculado en centímetros quede en las caras externas del prisma, y pegue los lados con cinta adhesiva para formar una caja cuyo lado superior quede abierto. Luego, corte una tapa de 6 cm por 3 cm de Tapas con solapas. Rotule la tapa con las dimensiones, el volumen y la letra del prisma y, luego, péguela a la caja para formar un prisma rectangular recto. Hagan un boceto de sus ideas para el diseño que quieren crear. Dé tiempo a sus estudiantes para que hagan los bocetos de sus diseños en las pizarras blancas. Invite a sus estudiantes a consultar los patrones de prismas y tapas (Base de 6 cm por 3 cm, Base de 5 cm por 5 cm, Base de 7 cm por 10 cm y Tapas con solapas) mientras conversan y hacen los bocetos. No es necesario que construyan los prismas ahora. Reconozca que la escultura puede tener una forma diferente una vez que sus estudiantes hagan los prismas y empiecen a juntarlos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo harán el primer prisma y cómo pueden calcular su volumen. Luego, pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden crear el prisma D. Sabemos que si cortamos un prisma rectangular recto a la mitad, el prisma nuevo tendrá la mitad del volumen del original. Podemos hacer un prisma que tenga una de las tres bases. Luego, podemos usar la misma base para hacer un prisma nuevo que sea la mitad de alto que el primer prisma y llamarlo prisma D.

DUA: Acción y expresión Considere proporcionar cubos interconectables a sus estudiantes para que puedan construir modelos de los prismas antes de recortar los patrones de prismas. Esto ayuda a cada estudiante mientras planifica su diseño a la vez que expresa lo que aprendió de formas flexibles.

Podemos hacer el prisma más grande posible y dividir el volumen entre 2. Luego, podemos hacer otro prisma con dimensiones que tengan un producto igual a ese número. Podemos hacer un prisma que tenga una de las tres bases. Luego, podemos usar la misma base para hacer otro prisma, pero cortamos la altura a la mitad. Así, tendremos un prisma que tenga la mitad del volumen del prisma original. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden crear el prisma E. Podemos hacer un prisma que tenga una de las tres bases. Luego, podemos usar la misma base y reducir la altura del primer prisma para hacer que el segundo prisma tenga un tercio del volumen del primer prisma. Podemos llamar al segundo prisma E. Podemos hacer el prisma más grande posible y dividir el volumen entre 3. Luego, podemos hacer otro prisma con dimensiones que tengan un producto igual a ese número.

DUA: Acción y expresión Antes de pedir a las parejas que comiencen a trabajar en los diseños y creen las esculturas, proporcione 1 minuto para que piensen y comenten lo siguiente: • ¿Cuál es la tarea? • ¿Cuál es su plan? Pídales que usen señas visuales, como pulgares hacia arriba, para indicar que entendieron y tienen un plan para llevar a cabo la tarea. Configure un temporizador para la tarea.

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5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27

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Podemos hacer un prisma que tenga una de las tres bases. Luego, podemos usar la misma base para hacer otro prisma, pero dividimos la altura entre 3. Así, tendremos un prisma que tiene un tercio del volumen del prisma original. ¿Qué significa que el volumen total de la escultura debe ser 1,000 centímetros cúbicos o menos? Significa que la suma de los volúmenes de los prismas de nuestra escultura tiene que ser 1,000 centímetros cúbicos o menos. Significa que, cuando sumamos los volúmenes de los prismas de nuestra escultura, la suma no puede ser más de 1,000 centímetros cúbicos. Una vez que hayan terminado los prismas, cortarán una tapa para cada uno y la pegarán al prisma para crear un prisma rectangular recto. Así, sus prismas tendrán estabilidad y será más sencillo pegarlos con cinta adhesiva. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden limitar el volumen total de sus esculturas a 1,000 centímetros cúbicos.

Crear una escultura Materiales: E) Tarjeta de índice, Pautas para escultura, Base de 6 cm por 3 cm, Base de 5 cm por 5 cm, Base de 7 cm por 10 cm, Tapas con solapas, tijeras, cinta adhesiva, Hoja de registro de escultura

La clase crea esculturas con prismas rectangulares rectos y calcula el volumen total de la escultura. Asigne un número a cada pareja de estudiantes y proporcióneles una tarjeta de índice. Pídales que escriban sus nombres en un lado de la tarjeta y el número que se les asignó en el otro lado. Reúna las tarjetas y úselas en la lección 28. Invite a sus estudiantes a seguir las instrucciones de Pautas para escultura a fin de crear sus esculturas. Pídales que hagan un plan, que podría incluir calcular volúmenes antes de recortar y armar los prismas.

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Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando determina las longitudes de las aristas necesarias de prismas rectangulares rectos, diseña e implementa un plan para crear una escultura y ajusta la escultura para que cumpla las pautas dadas. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4: • ¿Qué ideas clave de Pautas para escultura deben asegurarse de incluir en la escultura? • ¿Cómo podrían mejorar la escultura para que disminuya su volumen total?

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27 Pida a sus estudiantes que escriban el número que se les asignó en el espacio para el número de la escultura que está en la parte superior de Hoja de registro de escultura y que completen la hoja a medida que crean sus esculturas. Dígales que, en la siguiente lección, sus pares comprobarán los cálculos, por lo que deben hacer lo posible por trabajar de forma ordenada y precisa. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Si es necesario, ayude a que los grupos avancen usando alguna de las siguientes preguntas, o todas: • ¿Cuáles son las dimensiones de ese prisma? ¿Cuál es el volumen? • ¿Rotularon la longitud, el ancho, la altura y el volumen del prisma? • ¿Qué unidades usan para las dimensiones de cada prisma? ¿Qué unidades usan para el volumen de cada prisma?

Diferenciación: Apoyo Toda la construcción y los cálculos deben hacerse durante esta lección, de modo que estén listos para la lección siguiente. Apoye a sus estudiantes pidiéndoles que usen solo tres prismas o dándoles más libertad en lo que respecta al volumen total o a las relaciones entre los prismas.

Diferenciación: Desafío

• ¿Cómo pueden crear el prisma D de modo que sea la mitad del volumen de otro prisma? • Muéstrenme cómo saben que el prisma es el doble del volumen del prisma D. • ¿Cómo pueden crear el prisma E de modo que sea un tercio del volumen de otro prisma? • Muéstrenme cómo saben que el prisma tiene 3 veces el volumen del prisma E.

Desafíe a quienes tengan destrezas espaciales bien desarrolladas brindándoles pautas adicionales para sus esculturas o pidiéndoles que usen más prismas en sus diseños.

• ¿Cómo pueden hallar el volumen total de su escultura? • ¿El volumen total de su escultura es 1,000 centímetros cúbicos o menos? De no ser así, ¿qué cambios pueden hacer? Unos 5 minutos antes de que se acabe el tiempo, pida a sus estudiantes que vayan terminando el trabajo. Pídales que guarden Pautas para escultura, Hoja de registro de escultura y sus esculturas para consultarlas en la lección 28 o indíqueles que guarden sus materiales en un espacio designado del salón de clases. Pregunte a sus estudiantes si siguieron el plan o si tuvieron que hacer cambios. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas junto con alguien que haya creado una escultura diferente acerca de los desafíos que encontraron al crear sus esculturas y cómo los superaron.

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5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27

Concluir

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Reflexión final 5 min Objetivo: Aplicar conceptos y fórmulas del volumen para diseñar una escultura usando prismas rectangulares rectos, parte 1 Guíe una conversación de toda la clase acerca de la creación de una escultura con prismas rectangulares rectos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cuál fue su proceso de razonamiento mientras diseñaban la escultura en parejas? Comenzamos haciendo cada uno de los 3 prismas y, luego, resolvimos lo que debíamos hacer para crear los prismas D y E. Probamos diferentes diseños sosteniendo los prismas uno al lado del otro. Después de tomar una decisión, pegamos los prismas con cinta adhesiva, hallamos los volúmenes y los sumamos para asegurarnos de que el volumen total fuera 1,000 centímetros cúbicos o menos. Comenzamos haciendo cálculos para hallar cuánto volumen podrían tener nuestros prismas sin superar los 1,000 centímetros cúbicos. Primero, hicimos el prisma A. Luego, hicimos los prismas D y E usando _   1 de la altura del prisma A y _  1 de la altura del prisma A. Después, hicimos los prismas B y C, 2 3 pegamos con cinta adhesiva los prismas de la manera que queríamos y completamos la hoja de registro. ¿Cómo pueden crear un prisma rectangular recto que es una fracción del volumen de otro prisma, como los prismas D y E? Nos aseguramos de que la altura de uno de los prismas originales fuera un número par, para poder dividir la altura entre 2. Luego, creamos el prisma D con la misma base y la mitad de la altura. Nos aseguramos de que la altura de uno de los prismas originales fuera un número divisible entre 3 para que fuera más sencillo dividir la altura entre 3. Luego, creamos el prisma E con la misma base y un tercio de la altura.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27 Cuando sumaron los volúmenes de los prismas de su escultura, ¿el volumen total fue 1,000 centímetros cúbicos o menos? De no ser así, ¿qué cambios hicieron? Sí. El volumen total de nuestra escultura fue menor que 1,000 centímetros cúbicos. No. Disminuimos la altura de uno de los prismas para reducir su volumen, lo que redujo el volumen total. ¿Cuál fue el desafío más grande al crear la escultura? ¿Cómo lo superaron? Al principio, tuvimos dificultades para calcular cómo hacer el prisma D, porque las alturas de los primeros tres prismas eran números impares. Cuando dividimos un número impar entre 2, obtenemos un número que no es un número entero. Así que redujimos la altura de uno de los prismas originales para que fuera un número par. De esa manera, cuando halláramos la mitad, la altura del prisma D sería un número entero. El volumen total de nuestra escultura fue más de 1,000 centímetros cúbicos, así que tuvimos que reducir las alturas de varios prismas, asegurarnos de que el volumen del prisma D siguiera siendo la mitad del volumen de otro prisma, y asegurarnos de que el volumen del prisma E siguiera siendo un tercio del volumen de otro prisma. Si alguna de las parejas tiene un desafío que no pudo resolver, anime a la clase a brindar soluciones posibles.

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5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27 ▸ Base de 5 cm por 5 cm

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27 ▸ Base de 7 cm por 10 cm

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5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27 ▸ Base de 6 cm por 3 cm

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27 ▸ Tapas con solapas

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540 This page may be reproduced for classroom use only.

5. El volumen total de la escultura debe ser 1,000 centímetros cúbicos o menos.

4. El prisma E debe ser  3  del volumen de otro prisma.

3. El prisma D debe ser  2  del volumen de otro prisma.

2. Rotula las dimensiones y el volumen de todos los prismas. Rotula cada prisma con una letra (comenzando con la A).

1. Cada escultura debe incluir entre 5 y 7 prismas rectangulares rectos con longitudes de las aristas en números enteros.

Pautas para escultura

5. El volumen total de la escultura debe ser 1,000 centímetros cúbicos o menos.

4. El prisma E debe ser  3  del volumen de otro prisma.

3. El prisma D debe ser  2  del volumen de otro prisma.

2. Rotula las dimensiones y el volumen de todos los prismas. Rotula cada prisma con una letra (comenzando con la A).

1. Cada escultura debe incluir entre 5 y 7 prismas rectangulares rectos con longitudes de las aristas en números enteros.

Pautas para escultura

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 27 ▸ Pautas para escultura EUREKA MATH2

LECCIÓN 28

Aplicar conceptos y fórmulas del volumen para diseñar una escultura usando prismas rectangulares rectos, parte 2

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Nombre

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28

Fecha

En esta actividad, hubo dos trabajos: artista y crítico o crítica de arte. Quien hizo de artista creó una escultura según una serie de pautas. Quien hizo la crítica de arte evaluó otras esculturas y comprobó que se cumplieran las pautas. ¿Te gustó más trabajar como artista o como crítico o crítica de arte? ¿Por qué? Ejemplo: Me gustó más trabajar como artista porque disfruté de crear una escultura, y me resultó más sencillo hacer cálculos cuando pude elegir las longitudes de las aristas. Me gustó más hacer la crítica del arte porque pude comprobar los cálculos del volumen de la escultura y asegurarme de que el volumen cumpliera con todas las pautas. Cuando trabajé como artista, tuve que calcular qué longitudes funcionarían antes de crear la escultura, por lo que tuve que hacer más cálculos.

Vistazo a la lección Toda la clase describe, analiza, interpreta y comenta una escultura para comprobar que cumpla con las pautas para la escultura dadas en la lección anterior. Luego, observan para revisar y ofrecer valoraciones sobre elementos de las esculturas de sus pares. Reflexionan acerca de si modificarían sus propias esculturas y, de ser así, cómo lo harían. En esta lección, no se incluye Grupo de problemas. En cambio, la clase usa ese tiempo para analizar y comentar las esculturas de sus pares.

Pregunta clave • ¿En qué se diferencia revisar la escultura y los cálculos hechos por otra persona de crear una escultura propia con pautas dadas?

Criterios de logro académico 5.Mód5.CLA11 Calculan el volumen de prismas rectangulares rectos usando

V = l × a × h y V = B × h. (5.MD.C.5.b)

5.Mód5.CLA12 Hallan el volumen de figuras compuestas de prismas

rectangulares rectos para resolver problemas matemáticos y del mundo real. (5.MD.C.5.c)

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Tarjetas de índice numeradas

• Reúna las tarjetas de índice con los números y nombres de sus estudiantes, las tarjetas de Pautas para escultura, Hoja de registro de escultura y las esculturas creadas por sus estudiantes usadas en la lección 27.

Aprender 35 min • Valoración de la escultura • Paseo por la galería

Concluir 10 min

Estudiantes • Valoración de la escultura (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes) • tarjeta de Pautas para escultura • Hoja de registro de escultura • esculturas creadas por sus estudiantes

• Asigne las mismas parejas de estudiantes y números en las tarjetas de índice de la lección 27. • Considere si desea rotular las esculturas creadas por sus estudiantes con el número asignado a cada pareja en la tarjeta de índice con antelación o si pedirá a la clase que las rotulen durante la lección.

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5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Calcular el área La clase multiplica con números enteros, fracciones y números mixtos para adquirir fluidez con el cálculo del área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias del tema B. Muestre el rectángulo. Calculen el área del rectángulo. Cuando sea posible, reescriban el producto como un número entero o mixto.

5 unidades

5 × 3 = 3 = 33 El área es 1 3 3 unidades cuadradas.

2 de unidad 3

Muestre la ecuación de ejemplo y el área. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3 unidades 1 1 3 unidades

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3 × 13 = 3 = 4 El área es 4 unidades cuadradas.

2 de unidad 3 2 de unidad 3

2 2 4 × = 3 3 9

El área es

4 de unidad 9 cuadrada.

3 de unidad 4

2 2 unidades

3 1 15 7 ×2 = =1 4 2 8 8 3 1 unidades 2

32 × 13 = 6 = 56

1 8 unidades

5 6 unidades

El área es 7

cuadradas.

1 3 unidades

El área es 5

cuadradas.

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28

Intercambio con la pizarra blanca: Comparar números decimales La clase compara dos números en formas diferentes usando símbolos para adquirir fluidez con la lectura, escritura y comparación de números decimales del módulo 4. Muestre los números 0.06 y 6 milésimos. Escriban una ecuación o desigualdad usando los signos mayor que, igual a o menor que para comparar los valores. Escriban los dos números en forma estándar antes de compararlos. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la oración numérica. Cuando dé la señal, digan la desigualdad empezando con 0.06. ¿Comenzamos?

0.06 es mayor que 6 milésimos.

0.06 > 6 milésimos

Cuando dé la señal, digan la desigualdad empezando con 6 milésimos. ¿Comenzamos?

6 milésimos es menor que 0.06. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

0.3 + 0.008 < 0.38

2 5 7 + + < 0.275 10 100 1,000

15.82 > 1 + 0.5 + 0.08 + 0.002

9.3 > Nueve con ciento tres milésimos

Cuatro con sesenta y tres centésimos < 4.639

80 + 7 + 0.9 + 0.01 = 80 + 7 +

9 1 + 10 100

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28

Presentar

La clase describe una escultura y la compara con las esculturas que crearon en la lección anterior. Muestre la imagen de la escultura. Describan la escultura.

La escultura está formada por 5 prismas rectangulares rectos. Los prismas están rotulados A, B, C, D y E. Los prismas A y C parecen tener el mismo tamaño. El prisma B parece tener el mayor volumen.

A B E

El prisma D parece tener el menor volumen. ¿En qué se parece esta escultura a la escultura que crearon en la lección anterior? ¿En qué se diferencia? Esta escultura tiene 5 prismas rectangulares rectos, al igual que nuestra escultura. En esta escultura, el prisma D parece tener el menor volumen, pero en nuestra escultura, el prisma E tiene el menor volumen. Los prismas A y C parecen tener el mismo volumen, pero todos los prismas de nuestra escultura tienen tamaños diferentes. En general, la forma de la escultura es diferente de la forma de nuestra escultura. ¿Saben si el volumen total de la escultura es 1,000 centímetros cúbicos o menos? ¿Por qué? No. No sé cuál es el volumen de la escultura porque no conozco las dimensiones de los prismas que forman la escultura.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28 Cuando analizan una obra de arte, los críticos y las críticas de arte piensan lógicamente. Describen lo que ven, analizan las relaciones entre lo que ven, interpretan el significado de lo que ven y comentan la calidad de la obra. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a describir, analizar, interpretar y comentar las esculturas de sus pares.

Aprender

Valoración de la escultura La clase ofrece valoraciones acerca de una escultura y comprueba que cumpla con las pautas dadas en la lección 27. Forme las mismas parejas de estudiantes de la lección anterior. Pídales que vayan al problema 1 de sus libros y muestre la tabla. Use los siguientes planteamientos para completar los problemas 1 a 6 con toda la clase.

Nota para la enseñanza Anime a sus estudiantes a consultar Pautas para escultura de la lección 27 mientras ofrecen valoraciones de las esculturas.

Ofrezcamos valoraciones acerca de la escultura del problema 1 describiéndola, analizándola, interpretándola y comentándola. Primero, ¿la escultura tiene entre 5 y 7 prismas rectangulares rectos? ¿Cuántos tiene? Sí. La escultura tiene 5 prismas rectangulares rectos. ¿Todos los prismas están rotulados correctamente con letras? Sí. Los prismas están rotulados con las letras A, B, C, D y E. En la lección anterior, rotularon las dimensiones y el volumen de cada prisma de su escultura. La tabla muestra las dimensiones y volúmenes de los prismas de esta escultura. Dé a sus estudiantes tiempo para pensar en silencio, leer y comprender la tabla. ¿Son correctas las unidades de las dimensiones y el volumen? De no ser así, ¿cuáles son las unidades correctas? Sí. Las longitudes, los anchos y las alturas están en centímetros, y los volúmenes están en centímetros cúbicos.

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5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28 Usa la escultura y la tabla para responder las preguntas 1 a 11.

Escultura

Prisma

Dimensiones

6 cm por 3 cm por 2 cm

10 cm por 7 cm por 6 cm

6 cm por 3 cm por 2 cm

6 cm por 3 cm por 1 cm

10 cm por 7 cm por 2 cm

Volumen

36 centímetros cúbicos

420 centímetros cúbicos

C A B E

36 centímetros cúbicos

18 centímetros cúbicos

140 centímetros cúbicos

Describir 1. El número de prismas que hay en la escultura es

2. ¿La escultura tiene entre 5 y 7 prismas rectangulares rectos? Sí o No 3. ¿Todos los prismas están rotulados con letras? Sí o No 4. Las letras usadas son

A, B, C, D y E

5. ¿Las dimensiones de cada prisma están escritas con las unidades correctas? Sí o No 6. ¿El volumen de cada prisma está escrito con las unidades correctas? Sí o No

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28 Pida a sus estudiantes que completen el problema 7 con sus parejas para comprobar que el volumen de los prismas sea correcto. Invite a sus estudiantes a compartir cómo saben que el volumen es correcto. Los prismas A y C tienen volúmenes de 36 centímetros cúbicos porque 6 × 3 × 2 = 36. El prisma B tiene un volumen de 420 centímetros cúbicos porque 10 × 7 × 6 = 420. El prisma D tiene un volumen de 18 centímetros cúbicos porque 6 × 3 × 1 = 18. El prisma E tiene un volumen de 140 centímetros cúbicos porque 10 × 7 × 2 = 140.

Analizar

Diferenciación: Desafío Desafíe a sus estudiantes pidiéndoles que dupliquen una o más de las dimensiones de uno o más de los prismas rectangulares rectos de la escultura. Pídales que hagan los cálculos para comprobar si la escultura sigue cumpliendo con las pautas. Pregúnteles cuántos litros de líquido se necesitarían para llenar la escultura.

7. ¿Los volúmenes son correctos? Sí o No Prismas A y C

V=l×a×h V=6×3×2 = 36

Prisma B

Prisma D

V=l×a×h V=l×a×h V = 10 × 7 × 6 V=6×3×1 = 420 = 18 36 centímetros cúbicos 420 centímetros cúbicos 18 centímetros cúbicos

Prisma E

V=l×a×h V = 10 × 7 × 2 = 140 140 centímetros cúbicos

¿El orden en el que multiplicamos la longitud, el ancho y la altura afecta el volumen de un prisma rectangular recto? Den un ejemplo. No. Podemos multiplicar en cualquier orden. Por ejemplo, podemos hallar el volumen del prisma B multiplicando 10 por 7 y, luego, 70 por 6, multiplicando 10 por 6 y, luego, 60 por 7 o multiplicando 7 por 6 y, luego, 42 por 10. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué otros elementos deben comprobar para asegurarse de que la escultura cumpla con las pautas de la lección anterior. Debemos comprobar que el prisma D sea _1   del volumen de otro prisma. 2

Debemos comprobar que el prisma E sea _1   del volumen de otro prisma. 3

Debemos comprobar que el volumen total de la escultura sea 1,000 centímetros cúbicos o menos.

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EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28 Pida a sus estudiantes que completen los problemas 8 a 11 con sus parejas. Interpretar 8. El volumen del prisma D es _1   del volumen del prisma

A, C

. Muestra cómo lo sabes.

9. El volumen del prisma E es _1   del volumen del prisma

. Muestra cómo lo sabes.

1   × 36 = 36 = 18 2 2

___

1   × 420 = 420 = 140 3 3

10. El volumen total de la escultura es 650 centímetros cúbicos . Muestra cómo lo sabes.

36 + 420 + 36 + 18 + 140 = 650 11. ¿El volumen total de la escultura es 1,000 centímetros cúbicos o menos? Sí o No Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, use los siguientes planteamientos.

El prisma D tiene un volumen de 18 centímetros cúbicos. ¿Eso es _1   del volumen de qué prisma? 2 ¿Cómo lo saben? El volumen del prisma D es _1   del volumen del prisma A y el volumen del prisma C porque 2

18 centímetros cúbicos es _21   de 36 centímetros cúbicos.

El volumen del prisma D es _1   del volumen del prisma A y el volumen del prisma C porque 2

36 centímetros cúbicos es 2 veces 18 centímetros cúbicos.

El prisma E tiene un volumen de 140 centímetros cúbicos. ¿Eso es _1   del volumen de qué prisma? 3 ¿Cómo lo saben?

Nota para la enseñanza A sus estudiantes podría resultarles confusa la escritura de más de un prisma, A y C, en el espacio para la pregunta 8, porque hay un solo espacio para esa respuesta. Recuérdeles que confíen en sus conocimientos y en las matemáticas en lugar de apoyarse en las pistas que hay en la página.

El volumen del prisma E es _1   del volumen del prisma B porque 140 centímetros cúbicos 3 es _1  de 420 centímetros cúbicos. 3

El volumen del prisma E es _1   del volumen del prisma B porque 420 centímetros cúbicos 3 es 3 veces 140 centímetros cúbicos. ¿El volumen total de la escultura es 1,000 centímetros cúbicos o menos? ¿Cuál es el volumen total de esta escultura? Sí. El volumen total es 650 centímetros cúbicos, que es menor que 1,000 centímetros cúbicos.

550

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar los dos planteamientos siguientes. La escultura cumplió con las pautas dadas en la lección anterior. ¿Qué les gusta de la escultura? ¿Cambiarían algo? Expliquen.

DUA: Acción y expresión

No. Me gusta cómo se ve la escultura y los cálculos son correctos. Por lo tanto, no cambiaría nada. Sí. Agregaría otro prisma para que el volumen estuviera más cerca de 1,000 centímetros cúbicos. Sí. Reduciría la altura del prisma C para que el volumen del prisma C fuera diferente del volumen del prisma A. ¿Qué otros elogios, o comentarios positivos, pueden decir acerca de esta escultura? Me gusta que los prismas se vean simétricos. Me gusta la manera en que los prismas están apilados con los prismas más grandes en la parte inferior de la escultura. Me gusta que haya un prisma estrecho en el medio. Hace que el diseño parezca representar edificios con senderos que los conectan.

Paseo por la galería

Además de hacer preguntas a sus estudiantes para guiar su razonamiento, considere proporcionarles los siguientes esquemas de oración como ayuda para la redacción de elogios. • Me gusta cómo están rotulados los prismas. Los rótulos hacen que sea más sencillo . • Me gusta cómo están organizados los prismas. La escultura me recuerda a . • Me gusta

de su escultura.

Materiales: E) Valoración de la escultura, escultura creada por sus estudiantes, Hoja de registro de escultura

La clase revisa esculturas y comprueba que cumplan con las pautas dadas. Pida a un miembro de cada pareja que quite la hoja extraíble de Valoración de la escultura del libro. Asigne a las parejas el mismo número de la lección anterior y pídales que escriban el número en el espacio para el número de la escultura en la parte superior de Valoración de la escultura. Asegúrese de que sus estudiantes no ofrezcan valoraciones sobre sus propias esculturas mientras completan las rotaciones. Invite a las parejas a colocar la Valoración de la escultura junto a sus propias esculturas. Luego, dígales que harán tres rotaciones para revisar las esculturas de sus pares antes de regresar a sus propias esculturas. La clase revisa cada escultura y completa las preguntas de una parte de Valoración de la escultura: Describir, Analizar o Interpretar. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes realizan las rotaciones y proporcióneles apoyo según sea necesario para cada parte del proceso. Anime a sus estudiantes a respetar las esculturas que revisan y dejar al menos un elogio para cada una.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando describe, analiza e interpreta las esculturas de sus pares y comenta su propia escultura respondiendo una serie de preguntas durante un paseo por la galería. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3: • ¿Es esto verdadero? ¿Cómo lo saben? • ¿Con qué partes de esta respuesta están en desacuerdo? ¿Por qué? • ¿Qué cambios le harían a la respuesta para que sea más precisa?

551

EUREKA MATH2

5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28 Para la primera rotación, pida a las parejas que comiencen con la escultura que esté tres lugares a la derecha de su propia escultura. Pídales que completen lo siguiente:

Nota para la enseñanza

• Escriban el número asignado en el espacio de la parte Describir de Valoración de la escultura. • Completen los problemas 1 a 6 para esa escultura. Entre 3 y 5 minutos más tarde, pida a las parejas que se muevan tres esculturas hacia la derecha para la segunda rotación. Pídales que completen lo siguiente: • Escriban el número asignado en el espacio de la parte Analizar de Valoración de la escultura.

Las instrucciones de Valoración de la escultura para el problema 7 son un poco diferentes de las instrucciones del libro para estudiantes para ese mismo problema. Considere repasar esas instrucciones nuevas con sus estudiantes.

• Completen el problema 7 para esa escultura. Entre 8 y 10 minutos más tarde, pida a las parejas que se muevan tres esculturas hacia la derecha para la tercera rotación y que completen lo siguiente: • Escriban el número asignado en el espacio de la parte Interpretar de Valoración de la escultura. • Completen los problemas 8 a 11 para esa escultura. Entre 5 y 7 minutos más tarde, pida a las parejas que regresen a sus propias esculturas. Invite a sus estudiantes a repasar las partes Describir, Analizar e Interpretar de la Valoración de la escultura que completaron sus pares y a comparar los cálculos con su Hoja de registro de escultura de la lección anterior. Luego, dé a sus estudiantes varios minutos para que completen el problema 12 de la parte Comentar de Valoración de la escultura.

Concluir

Nota para la enseñanza Si diferenció la tarea de la lección 27 variando las pautas para la escultura de alguna pareja, asegúrese de que los cambios estén anotados en la Valoración de la escultura antes del paseo por la galería. Además, considere decir a la clase que algunas parejas tenían pautas diferentes y que se deberían ofrecer valoraciones acerca de la escultura según lo que esté escrito en la hoja, y no necesariamente según las pautas que usaron para su propia escultura.

Reflexión final 5 min Objetivo: Aplicar conceptos y fórmulas del volumen para diseñar una escultura usando prismas rectangulares rectos, parte 2 Guíe una conversación de toda la clase acerca de la revisión de una escultura con prismas rectangulares rectos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

552

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 ▸ TD ▸ Lección 28 ¿Qué elogios dieron o recibieron? Alguien dijo que le gustó el diseño de nuestra escultura porque parece un castillo. Escribimos que una pareja hizo un excelente trabajo con los cálculos porque no había ningún error. Alguien dijo que rotulamos los prismas rectangulares rectos de forma correcta y ordenada. ¿En qué se diferencia revisar la escultura y los cálculos hechos por otra persona de crear una escultura propia con pautas dadas? No sabíamos qué hacer cuando comenzamos a trabajar en nuestras esculturas, pero cuando revisamos las esculturas de otras personas, sabíamos qué buscar, porque ya habíamos respondido las mismas preguntas acerca de nuestras propias esculturas. Al revisar el trabajo de otra persona, ya sabemos los volúmenes, lo que hace que sea más sencillo comprobar si el prisma D es _1   del volumen de otro prisma y si el prisma E es _1   del volumen 2 3 de otro prisma. Fue más difícil comprobar las dimensiones de los prismas rectangulares rectos al revisar el trabajo de otras personas porque los prismas estaban unidos entre sí. Pudimos ser creativos al crear nuestra propia escultura. Cuando revisamos el trabajo de otra persona, tuvimos que buscar algo que pudiéramos elogiar. Si pudieran volver atrás y cambiar su escultura, ¿lo harían? ¿Cómo? Sí. Crearía prismas más pequeños para mi escultura de forma tal que los números para los cálculos fueran más pequeños. Sí. Haría que algunos de mis prismas tuvieran el mismo tamaño para que hubiera que hacer menos cálculos. Sí. Haría que todos mis prismas tuvieran tamaños diferentes para que mi escultura sea más interesante. No. Me gustó mi escultura.

553

Estándares Estándares de contenido del módulo Aplican y extienden conocimientos previos de multiplicación y división para multiplicar y dividir fracciones. 5.NF.B.4

Aplican y extienden conocimientos previos sobre la multiplicación para multiplicar una fracción o un número entero por una fracción. a.

Interpretan el producto _  a × q como tantas partes a de la repartición de q en partes b

iguales de b; de manera equivalente, como el resultado de la secuencia de operaciones a × q ÷ b. Por ejemplo, al emplear un modelo visual de fracciones para

 3 , y crear un contexto para esta ecuación. Hacen lo mismo con representar _   2 × 4 = _ 3

_ 2 × _ 4 = __   8 . (En general, _ a × __   c = __   ac ). 3

5.NF.B.6

Hallan el área de un rectángulo cuyos lados se miden en unidades fraccionarias, cubriéndolo con unidades cuadradas de la unidad fraccionaria correspondiente a sus lados, y demuestran que el área sería la misma que se hallaría si se multiplicaran las longitudes de los lados. Multiplican los números fraccionarios de las longitudes de los lados para hallar el área de rectángulos, y representar los productos de las fracciones como áreas rectangulares.

Resuelven problemas del mundo real relacionados a la multiplicación de fracciones y números mixtos, por ejemplo, al usar modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema.

Medición geométrica: comprenden conceptos de volumen, y relacionan el volumen con la multiplicación y la suma. 5.MD.C.3 Reconocen el volumen como un atributo de las figuras sólidas y entienden los conceptos de la medición del volumen. a.

Se dice que un cubo con lados de 1 unidad, llamado “unidad cúbica”, tiene “una unidad cúbica” de volumen, y ésta se puede utilizar para medir el volumen.

Se dice que una figura sólida que se puede rellenar con la unidad cúbica n sin dejar espacios o superposiciones tiene un volumen de n unidades cúbicas.

5.MD.C.4 Miden volúmenes contando unidades cúbicas, utilizando centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos, y otras unidades improvisadas.

554

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 5.MD.C.5 Relacionan el volumen con las operaciones de multiplicación y suma para resolver problemas matemáticos y del mundo real relativos al volumen. a.

Hallan el volumen de un prisma rectangular recto con lados que se miden en números enteros, llenando el prisma con unidades cúbicas, y demostrando que el volumen es el mismo que se hallaría multiplicando la altura por el área de la base. Representan tres veces el producto de un número entero como un volumen, por ejemplo, para representar la propiedad asociativa de la multiplicación.

Aplican las fórmulas V = l × a × h y V = b × h de los prismas rectangulares para hallar los volúmenes de prismas rectangulares rectos cuyos lados se miden en números enteros, en el contexto de resolver problemas matemáticos y del mundo real.

Reconocen el volumen como una suma. Hallan el volumen de figuras sólidas compuestas de dos prismas rectangulares rectos que no se sobrepongan, sumando los volúmenes de las partes que no se sobreponen, y aplican esta técnica para resolver problemas del mundo real.

Clasifican figuras bidimensionales en categorías según sus propiedades. 5.G.B.3

Entienden que los atributos que pertenecen a una categoría de figuras bidimensionales también pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría. Por ejemplo, todos los rectángulos tienen cuatro ángulos rectos y los cuadrados son rectángulos; por lo tanto, todos los cuadrados tienen cuatro ángulos rectos.

5.G.B.4

Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía, según sus propiedades.

Estándares para la práctica de las matemáticas MP1

Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.

MP2

Razonan de forma abstracta y cuantitativa.

MP3

Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.

MP4

Representan a través de las matemáticas.

MP5

Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.

MP6

Ponen atención a la precisión.

MP7

Reconocen y utilizan estructuras.

MP8

Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.

555

Criterios de logro académico: Indicadores de competencias 5.Mód5.CLA1 Multiplican números mixtos por números enteros, fracciones y números mixtos. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NF.B.4 Aplican y extienden conocimientos previos sobre la multiplicación para multiplicar una fracción o un número entero por una fracción.

Parcialmente competente Multiplican un número mixto por una fracción o un número entero. Multiplica.

__ __

2   3 ×   5 7

556

Competente

Altamente competente

Multiplican dos números mixtos. Multiplica.

4   7 × 3   1 12

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

5.Mód5.CLA2 Hallan y representan el área usando fichas cuadradas con longitudes de los lados en fracciones unitarias. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NF.B.4.b Hallan el área de un rectángulo cuyos lados se miden en unidades fraccionarias, cubriéndolo con unidades cuadradas de la unidad fraccionaria correspondiente a sus lados, y demuestran que el área sería la misma que se hallaría si se multiplicaran las longitudes de los lados. Multiplican los números fraccionarios de las longitudes de los lados para hallar el área de rectángulos, y representar los productos de las fracciones como áreas rectangulares.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Hallan el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias usando fichas cuadradas dadas con longitudes de los lados en fracciones unitarias.

Interpretan áreas de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias usando fichas cuadradas con longitudes de los lados en fracciones unitarias.

Halla el área del rectángulo usando fichas cuadradas

Usa el rectángulo que se muestra para responder las partes A, B y C.

cuyos lados miden   1 de pie. 12

5 ft 12

3 ft 4

1 ft 12

3 ft 4 Parte A ¿Qué ficha cuadrada con longitudes de los lados en fracciones unitarias se puede usar para hallar el área del rectángulo?

Parte B Halla el área del rectángulo usando fichas cuadradas con longitudes de los lados en fracciones unitarias.

Parte C Compara tu respuesta con el producto de las longitudes de los lados.

557

EUREKA MATH2

5 ▸ M5

5.Mód5.CLA3 Hallan el área de rectángulos y figuras compuestas de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias

o en números mixtos.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Hallan el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias.

Hallan el área de rectángulos y figuras compuestas de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias o en números mixtos, donde todas las longitudes de los lados están dadas.

Hallan el área de figuras compuestas de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias o en números mixtos, donde falta una longitud del lado o más de una longitud del lado.

Halla el área.

Halla el área de la figura compuesta.

Halla el área.

1 ft 3

1 1

2 ft 3 3

1 ft 3

2 ft 3

1 ft 3 1

558

2 ft 3

1 ft 3

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

5.Mód5.CLA4 Representan los productos de fracciones y números mixtos usando áreas rectangulares. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente

Competente

Emparejan modelos de área con expresiones en las que se multiplica una fracción o un número mixto por un número entero.

Crean un modelo de área para la multiplicación de una fracción o un número mixto por un número entero o de dos números mixtos.

Considera el modelo de área que se muestra.

Dibuja un modelo de área para representar el producto que se muestra.

4 5

Altamente competente

2   1 × 4   5 6

Selecciona todas las expresiones que el modelo de área representa.

4 A. 2   × 3 5

4 B. 2 × 3   5

4 C. 3 × 2   5

4 D. 3   × 2 5

559

EUREKA MATH2

5 ▸ M5

5.Mód5.CLA5 Resuelven problemas del mundo real relacionados con la multiplicación de números mixtos. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NF.B.6 Resuelven problemas del mundo real relacionados a la multiplicación de fracciones y números mixtos, por ejemplo, al usar modelos visuales de fracciones o ecuaciones para representar el problema.

Parcialmente competente

Competente

Identifican una expresión numérica que se puede usar para resolver un problema del mundo real sobre la multiplicación de números mixtos.

Resuelven problemas del mundo real de uno y dos pasos que involucran la multiplicación de números mixtos.

Resuelven problemas del mundo real de varios pasos que involucran la multiplicación de números mixtos.

Lisa tiene un jardín rectangular. El jardín mide 10   pies

El jardín rectangular de Lisa mide 10   pies de ancho y

2 Lisa tiene un jardín rectangular. El jardín mide 10  __ pies 3 1 __ de ancho y 16   pies de largo. ¿Cuántos pies cuadrados 2

mide el jardín de Lisa? ¿Qué expresión se puede usar para resolver el problema?

__2 3 1 __ de ancho y 16   pies de largo. ¿Cuántos pies cuadrados 2

mide el jardín de Lisa?

Altamente competente

__2 3

16   1 pies de largo. Planta zanahorias en un cuadrado 2

__2

cuyos lados miden 3   pies cada uno. Planta tomates en 3

el resto del jardín. ¿Cuántos pies cuadrados de tomate planta Lisa?

1 2 A. 16   + 10   2 3 1 2 B. 16   − 10   2 3 1 2 C. 16   × 10   2 3 1 2 D. 16   ÷ 10   2 3

560

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

5.Mód5.CLA6 Reconocen que se puede medir el volumen usando cubos unitarios y que un sólido relleno con n cubos

unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un volumen de n unidades cúbicas. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADOS

5.MD.C.3 Reconocen el volumen como un atributo de las figuras sólidas y entienden los conceptos de la medición del volumen. 5.MD.C.3.a Se dice que un cubo con lados de 1 unidad, llamado “unidad cúbica”, tiene “una unidad cúbica” de volumen, y ésta se puede utilizar para medir el volumen. 5.MD.C.3.b Se dice que una figura sólida que se puede rellenar con la unidad cúbica n sin dejar espacios o superposiciones tiene un volumen de n unidades cúbicas.

Parcialmente competente Identifican el volumen como el atributo más relevante en una situación dada. Lacy quiere enviar una caja por correo a un amigo y necesita saber cuánto espacio ocupa. ¿Qué debe calcular Lacy? A. Área B. Longitud C. Perímetro

Competente

Altamente competente

Reconocen que se puede medir el volumen usando cubos unitarios y que un sólido relleno con n cubos unitarios, sin espacios ni superposiciones, tiene un volumen de n unidades cúbicas. representa 1 unidad cúbica. ¿Qué sólido tiene un volumen de 9 unidades cúbicas? A.

D. Volumen

561

EUREKA MATH2

5 ▸ M5

5.Mód5.CLA7 Miden volúmenes contando cubos unitarios que representan centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies

cúbicos y unidades improvisadas. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.MD.C.4 Miden volúmenes contando unidades cúbicas, utilizando centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos, y otras unidades improvisadas.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Miden volúmenes contando cubos unitarios en un prisma rectangular recto con un modelo proporcionado, usando centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas y pies cúbicos.

Dibujan, describen o comparan figuras creadas con un número dado de cubos unitarios usando centímetros cúbicos, pulgadas cúbicas, pies cúbicos y unidades improvisadas.

Determina el volumen del prisma rectangular recto que se muestra.

representa 1 pulgada cúbica.

Cada cubo en el prisma rectangular recto que se muestra representa 1 centímetro cúbico.

Parte A Dibuja o describe las dimensiones de un prisma rectangular recto que tiene un volumen de 24 centímetros cúbicos más que el volumen del prisma que se muestra.

Parte B Explica cómo determinaste las dimensiones del nuevo prisma rectangular recto.

562

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

5.Mód5.CLA8 Determinan los atributos desconocidos de prismas rectangulares rectos dado el volumen. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.MD.C.5 Relacionan el volumen con las operaciones de multiplicación y suma para resolver problemas matemáticos y del mundo real relativos al volumen.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Calculan la longitud de una arista o el área de una cara desconocidas de un prisma rectangular recto usando un volumen y longitudes de las aristas conocidos o usando un volumen y el área de una cara conocidos.

Determinan las dimensiones de un prisma rectangular recto que puede contener un volumen determinado.

El volumen de un prisma rectangular recto es 864 metros cúbicos. El ancho del prisma es 6 metros. La longitud del prisma es 8 metros. ¿Cuál es la altura del prisma?

Oliver necesita una pecera con forma de prisma rectangular recto que pueda contener entre 3,200 y 3,500 pulgadas cúbicas de agua. Quiere que los lados de la pecera midan al menos 12 pulgadas de largo. Describe las dimensiones de una pecera que Oliver podría comprar cuyo volumen fuera entre 3,200 y 3,500 pulgadas cúbicas.

563

EUREKA MATH2

5 ▸ M5

5.Mód5.CLA9 Explican la relación entre la multiplicación y el volumen rellenando prismas rectangulares rectos con cubos unitarios. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.MD.C.5.a Hallan el volumen de un prisma rectangular recto con lados que se miden en números enteros, llenando el prisma con unidades cúbicas, y demostrando que el volumen es el mismo que se hallaría multiplicando la altura por el área de la base. Representan tres veces el producto de un número entero como un volumen, por ejemplo, para representar la propiedad asociativa de la multiplicación.

Parcialmente competente Determinan los atributos de un prisma rectangular recto con longitudes de las aristas en números enteros rellenándolo con cubos unitarios. Arrastra cubos unitarios hasta el prisma más grande para responder las partes A y B.

Competente Explican que hallar el volumen de un prisma rectangular recto con longitudes de las aristas en números enteros rellenando el prisma con cubos unitarios arroja el mismo resultado que multiplicar las longitudes de las aristas o multiplicar el área de la base por la altura. Arrastra cubos unitarios hasta el prisma más grande para responder las partes A y B.

1 cm 1 cm 1 cm

1 cm 1 cm 1 cm Parte A

Parte A Escribe el valor de cada medida para el prisma más grande. Longitud:

Altamente competente

Ancho:

Altura:

Parte B ¿Cuál es el volumen del prisma más grande?

Escribe el valor de cada medida para el prisma más grande. Longitud:

Ancho:

Altura:

Parte B Multiplica los números que escribiste en la parte A. Parte C ¿Cuántos cubos unitarios se necesitan en total para rellenar el prisma más grande? Parte D Explica cómo se relacionan los resultados de la parte B y los de la parte C.

564

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

5.Mód5.CLA10 Representan y explican los productos de tres números enteros como volúmenes. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente Rotulan un modelo para representar los productos de tres números enteros como volúmenes de prismas rectangulares rectos. Rotula el prisma rectangular recto para representar la expresión.

10 × 3 × 9

Competente

Altamente competente

Explican las propiedades de la multiplicación usando el volumen de un prisma rectangular recto. Usa un prisma rectangular recto para explicar por qué la ecuación es verdadera.

(3 × 5) × 8 = (5 × 8) × 3

565

EUREKA MATH2

5 ▸ M5

5.Mód5.CLA11 Calculan el volumen de prismas rectangulares rectos usando V = l × a × h y V = B × h. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.MD.C.5.b Aplican las fórmulas V = l × a × h y V = B × h de los prismas rectangulares para hallar los volúmenes de prismas rectangulares rectos cuyos lados se miden en números enteros, en el contexto de resolver problemas matemáticos y del mundo real.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Calculan el volumen de un prisma rectangular recto con longitudes de las aristas en números enteros usando V = l × a × h o V = B × h.

Resuelven problemas verbales determinando el volumen de un prisma rectangular recto con longitudes de las aristas en números enteros usando V = l × a × h o V = B × h.

Resuelven problemas verbales con distintos prismas rectangulares rectos con longitudes de las aristas en números enteros usando V = l × a × h o V = B × h.

Calcula el volumen del prisma rectangular recto que se muestra.

1 cm 5 cm

566

Riley compra una pecera con forma de prisma rectangular recto. Su interior mide 72 pulgadas por 18 pulgadas por 24 pulgadas. Antes de colocar los peces, llena la pecera hasta que el nivel del agua queda a 4 pulgadas de la parte superior. ¿Cuánta agua pone Riley en la pecera?

Una caja mide 12 pulgadas por 8 pulgadas por 3 pulgadas. Otra caja tiene una base que mide 6 pulgadas por 6 pulgadas. Las dos cajas tienen forma de prisma rectangular recto. ¿Cuál debe ser la altura de la segunda caja para tener el mismo volumen que la primera?

2 cm

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

5.Mód5.CLA12 Hallan el volumen de figuras compuestas de prismas rectangulares rectos para resolver problemas

matemáticos y del mundo real. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.MD.C.5.c Reconocen el volumen como una suma. Hallan el volumen de figuras sólidas compuestas de dos prismas rectangulares rectos que no se sobrepongan, sumando los volúmenes de las partes que no se sobreponen, y aplican esta técnica para resolver problemas del mundo real.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Hallan el volumen de figuras compuestas de prismas rectangulares rectos para resolver problemas matemáticos y del mundo real. Determina el volumen de la figura compuesta de prismas rectangulares rectos

5 in

2 in 3 in 4 in

4 in

1 in 6 in

567

EUREKA MATH2

5 ▸ M5

5.Mód5.CLA13 Explican que las propiedades que pertenecen a una categoría de figuras bidimensionales también

pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.G.B.3 Entienden que los atributos que pertenecen a una categoría de figuras bidimensionales también pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría. Por ejemplo, todos los rectángulos tienen cuatro ángulos rectos y los cuadrados son rectángulos; por lo tanto, todos los cuadrados tienen cuatro ángulos rectos.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Explican que las propiedades que pertenecen a una categoría de figuras bidimensionales también pertenecen a todas las subcategorías de dicha categoría. Todos los paralelogramos tienen dos pares de lados paralelos. Noah dice que un rectángulo no tiene lados paralelos. ¿Cómo sabes que Noah no está en lo correcto?

568

EUREKA MATH2 5 ▸ M5

5.Mód5.CLA14 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía según sus propiedades. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.G.B.4 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía, según sus propiedades.

Parcialmente competente Identifican jerarquías de figuras bidimensionales según sus propiedades. Selecciona todos los enunciados verdaderos. A. Todos los cuadriláteros son trapecios.

Competente

Altamente competente

Clasifican figuras bidimensionales, incluidos los cuadriláteros, dentro de una jerarquía según sus propiedades.

Justifican la clasificación de figuras bidimensionales, incluidos los cuadriláteros, dentro de una jerarquía según sus propiedades.

Considera la figura que se muestra.

Luis afirma que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. Lisa afirma que el cuadrilátero ABCD es un trapecio.

B. Todos los paralelogramos son trapecios.

Parte A

¿Qué nombres describen la figura correctamente? Selecciona todas las opciones que correspondan.

¿Quién está en lo correcto? Explica tu respuesta.

C. Todos los paralelogramos son rectángulos. D. Todos los cuadrados son rectángulos. E. Todos los cuadrados son paralelogramos. F. Todos los rectángulos son cuadriláteros.

A. Paralelogramo B. Cuadrilátero C. Rectángulo D. Rombo E. Cuadrado F. Trapecio

Parte B ¿Qué nombre es la descripción más específica de la figura?

569

Vocabulario Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 5 de 5.o grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.

cometa

Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.

Un cubo unitario es un cubo cuyas aristas miden todas 1 unidad. (Lección 17)

Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.

plano

Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.

Una cometa es un cuadrilátero que tiene al menos dos pares de lados adyacentes que tienen la misma longitud. (Lección 5) cubo unitario

figura compuesta Una figura compuesta es una figura geométrica compuesta de dos o más figuras más pequeñas. (Lección 13)

Un plano es una superficie sin grosor, o plana, y bidimensional que se extiende sin fin. (Lección 1) prisma rectangular recto Un prisma rectangular recto es un sólido en el que todas las caras son rectángulos. (Lección 16)

Nuevo

propiedad

base

Una propiedad es una característica que es verdadera para todos los elementos de una categoría. (Lección 1)

La base de un prisma es una de las caras del prisma. En general, se considera que la base es la superficie sobre la que se apoya el prisma. (Lección 16) centímetro cúbico Un centímetro cúbico es una unidad para medir el volumen. Se define 1 centímetro cúbico como el volumen de un cubo con longitudes de los lados de 1 centímetro. (Lección 17)

570

pulgada cúbica Una pulgada cúbica es una unidad para medir el volumen. Se define 1 pulgada cúbica como el volumen de un cubo con longitudes de los lados de 1 pulgada. (Lección 17) punto medio El punto medio de un segmento de recta es el punto del segmento que lo divide en dos segmentos de recta de la misma longitud. (Lección 3)

EUREKA MATH2 5 ▸ M5 unidad cúbica

figura

Una unidad cúbica es una unidad para medir el volumen. Se define 1 unidad cúbica como el volumen de un cubo con longitudes de los lados de 1 unidad. (Lección 17)

figura bidimensional

volumen El volumen de un sólido es la cantidad de espacio tridimensional que ocupa. (Lección 17)

Conocido altura ángulo agudo ángulo llano ángulo obtuso ángulo recto ángulos suplementarios arista atributo capacidad cara cuadrado

figura tridimensional fórmula intersecarse trapecio triángulo acutángulo triángulo equilátero triángulo isósceles triángulo obtusángulo triángulo rectángulo paralelo, paralela paralelogramo perpendicular rectángulo rombo vértice volumen líquido unidad cuadrada

cuadrado unitario cuadrilátero

Verbos académicos

cubo

En el módulo 5 no se presenta ningún verbo académico de la lista de 5.o grado.

diagonal eje de simetría

571

Las matemáticas en el pasado La estructura escondida de los sólidos ¿Qué es un sólido platónico? ¿Cómo podemos mirar objetos conocidos de nuevas maneras? ¿Qué ejemplos de esto encontramos en las “matemáticas antiguas”? Al principio de este módulo, sus estudiantes clasifican diferentes cuadriláteros enfocándose en medidas específicas, como las medidas de los ángulos en sus vértices y la medida de las longitudes de sus lados. También estudian las medidas del área y el volumen: una propiedad de las figuras tridimensionales, o sólidos, que está ligada a las medidas. Pida a la clase que dé ejemplos de sólidos del mundo real. ¿Se les ocurre algún ejemplo de sólidos que había en el mundo antiguo? Si nadie menciona las pirámides del antiguo Egipto, hágalo usted. Las personas han estudiado los sólidos durante milenios. La antigua Grecia fue el primer lugar donde se escribió en profundidad sobre el estudio de estas figuras. Un grupo específico de sólidos que se estudió en detalle son los poliedros: sólidos compuestos en su totalidad de caras planas y poligonales. Muchas de las figuras tridimensionales que se abordaron en grados anteriores como los cubos, las pirámides cuadradas y diferentes tipos de prismas son poliedros. Los sólidos con partes redondeadas, como las esferas o los cilindros, no son poliedros. Como sus estudiantes ya han estudiado los polígonos, puede que observen la semejanza entre las palabras poliedro y polígono. Ambas comienzan con el prefijo poli-, que proviene del griego y significa “muchos/as”. Los sufijos -gono

y -edro, también de origen griego, significan respectivamente “esquina” y “asiento”. Entonces, un poliedro es un sólido que puede “sentarse” en cualquiera de sus numerosas caras. En la antigua Grecia sentían especial interés por los poliedros regulares. En la actualidad, suelen recibir el nombre de sólidos platónicos, en honor al filósofo griego Platón, que vivió alrededor del siglo IV a. e. c. Los sólidos platónicos son poliedros cuyas caras son polígonos regulares idénticos, como por ejemplo, un cubo, en el que todas sus caras son cuadrados de igual tamaño. Estos son los cinco sólidos platónicos.

Tetraedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

4 triángulos 8 triángulos 6 cuadrados 12 pentágonos

20 triángulos

equiláteros

Cubo

regulares

Muestre estas figuras a sus estudiantes y pregúnteles qué observan y qué se preguntan. Quizás observen que los sólidos son tridimensionales y que están formados por triángulos, cuadrados y pentágonos. También pueden notar que los sólidos platónicos tienen nombres largos y con pronunciaciones interesantes. Considere tomarse un tiempo para explorar estos nombres con toda la clase. Sus estudiantes deberían reconocer el prefijo octa- a partir de su experiencia con los octágonos. Pregúnteles por qué creen que octágono y octaedro comienzan de la

Estatua de Platón en Atenas, Grecia.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M5 misma manera. Los dos derivan de la palabra griega que significa “ocho”. El octágono tiene 8 lados, y el octaedro platónico está formado por 8 triángulos equiláteros. Los nombres de los demás sólidos también tienen prefijos correspondientes a palabras griegas que representan números: tetra- para cuatro, dodeca- para 12 e icosa- para 20. Pregunte a sus estudiantes por qué creen que estos números se corresponden con cada sólido. El único nombre que no sigue este patrón es cubo, pero estas figuras tienen otro nombre en griego. Invite a sus estudiantes a intentar adivinar cuál es ese nombre. Recuérdeles que un polígono de seis lados se denomina hexágono. Revele que un cubo también se llama hexaedro. Estos nombres centran nuestra atención en contar, en lugar de medir. Este cambio puede destacar diferentes tipos de estructura geométrica. Por ejemplo, un polígono siempre tiene el mismo número de lados y vértices. Pregunte a sus estudiantes por qué creen que esto es así. Pida a la clase que recuerde el vocabulario usado para describir las características de los sólidos: vértices, aristas y caras. Sus estudiantes pueden contar el número de vértices, aristas y caras de los sólidos. Hallarán que el número de vértices y aristas no es el mismo, como en los polígonos, pero hay un patrón escondido por descubrir en los poliedros. Un cubo tiene 8 vértices, 6 caras y 12 aristas. Cuente estas partes con toda la clase para confirmar. (De ser necesario, use se una caja de pañuelos cúbica en lugar de un cubo para que cada estudiante pueda verlo). Sume el número de vértices y caras: 8 + 6 = 14. Luego, reste el número de aristas: 14 − 12 = 2.

8 vértices

6 caras

12 aristas

Pregunte a sus estudiantes qué números creen que obtendrán si prueban esta suma y resta con otros sólidos. Pueden elegir entre los sólidos platónicos, o cualquier otro poliedro común como una pirámide cuadrada, un prisma triangular o un prisma hexagonal. Inténtenlo con tantos sólidos y tantas veces como desee. Pregunte a sus estudiantes qué observan. Deberían descubrir que la respuesta es siempre 2. Podemos realizar este cálculo con cualquier poliedro. El número que obtenemos es el número Euler de ese sólido. Este número recibe su nombre en honor al matemático suizo Leonhard Euler (1707–1783), que se pronuncia “oiler”, quien observó esta relación y la estudió Retrato de Euler en un billete de exhaustivamente. Euler parece 10 francos suizos. haber sido la primera persona en pensar que esta manera de considerar a los sólidos podría dar lugar a importantes nuevas ideas. La pregunta sería, entonces, si el número Euler de un poliedro nos proporciona algún tipo de información nueva. A diferencia del área o el volumen, este número no brinda una descripción acerca de cuánto espacio ocupa una figura, ni se ve afectado por cambios de tamaño en ella. Por ejemplo, si bien el volumen de un cubo cuyas aristas miden 3 cm de largo, y el volumen de un cubo cuyas aristas miden 10 cm de largo son muy diferentes (27 centímetros cúbicos contra 1,000 centímetros cúbicos), ambos tienen el mismo número Euler, 2. Inspirándose en el trabajo de Euler, las expertas y los expertos en matemáticas comenzaron a estudiar lo que entonces llamaron geometria situs (geometría de la posición), la rama de las matemáticas que explora aquellas características de los objetos geométricos que no cambian según el tamaño del objeto. En la actualidad, esta rama de las matemáticas se denomina topología, que no debe confundirse con el término más conocido topografía, proveniente de la palabra griega topos, que significa “lugar”. La topología es una de las áreas de estudio

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5 ▸ M5 de las matemáticas más activas y enriquecedoras. Quienes se dedican al estudio de la topología han ayudado a responder preguntas sobre biología, física, informática y más. ¿Existen poliedros con un numero Euler distinto de 2? Imaginen que tienen una esfera de plastilina. Si se aplanan sus lados, se le podría dar la forma de cualquiera de los sólidos que estuvimos comentando. Lo que aprendemos de la topología es que si se puede formar un sólido a partir de una esfera de esta manera, entonces el número Euler de este sólido será 2. Muestre a sus estudiantes este sólido con forma de dona y pregúnteles en qué se diferencia del resto de los sólidos que han estado comentando. Puede que observen el agujero en el centro. Para crear esta figura a partir de la esfera de plastilina, es necesario formar un agujero en ella.

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EUREKA MATH2 Desafíe a sus estudiantes a hallar el número Euler de este sólido. Deberían hallar que es 0. Si necesitamos hacer un agujero en la esfera de plastilina para formar un sólido, entonces, ¡el número Euler de esa figura puede ser un número distinto de 2! El trabajo de Euler, y el de las expertas y los expertos en matemáticas a quienes inspiró, demuestra que, en las matemáticas, siempre se puede ver a los objetos de nuevas maneras. Aun cuando, como en el caso de los sólidos platónicos, se haya estado estudiando ese objeto durante miles de años, una nueva perspectiva puede dar lugar a nuevas preguntas y nuevos problemas que resolver.

Materiales Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro. 24

barras de pegamento

notas adhesivas

borradores para las pizarras blancas individuales

148

papel en blanco, hojas

cinta transparente, rollo

papel encerado de 4ʺ x 4ʺ, 500 hojas

computadora o dispositivo para la enseñanza

pizarras blancas individuales

cubos de un centímetro, set de 1,000

proyector

960

cubos interconectables de 1 cm

reglas de plástico

lápices

104

sobres

libro Enseñar

135

tarjetas de índice

libros Aprender

tijeras

marcadores de borrado en seco

transportadores de 4” (180°)

marcadores fluorescentes

Visite http://eurmath.link/materials para saber más. Por favor, consulte la lección 9 para obtener una lista de herramientas de organización (vasos, pizarras blancas, bolsitas, etc.) sugerida para la colección de conteo.

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Créditos Great Minds® has made every effort to obtain permission for the reprinting of all copyrighted material. If any owner of copyrighted material is not acknowledged herein, please contact Great Minds for proper acknowledgment in all future editions and reprints of this module. Common Core State Standards Spanish Language Version © Copyright 2013. San Diego County Office of Education, San Diego, California. All rights reserved. For a complete list of credits, visit http://eurmath.link/media-credits. Cover, Wassily Kandinsky (1866–1944), Thirteen Rectangles, 1930. Oil on cardboard, 70 x 60 cm. Musee des Beaux-Arts, Nantes, France. © 2020 Artists Rights Society (ARS), New York. Image credit: © RMN-Grand Palais /Art Resource, NY.; page 102, Vasilyev Alexandr/Shutterstock.com; page 163, severija/Shutterstock.com; page 317, 318, kovalto1/Shutterstock.

com; page 327, Ase/Shutterstock.com; page 358, (top) Ksenia_designer /Shutterstock.com, (bottom) HQ3DMOD/Shutterstock.com; page 403, New Africa/Shutterstock.com; page 405, GO DESIGN/Shutterstock. com; page 421, Natalya Levish/Shutterstock.com; pages 429, 528, David Smith (1906-1965), Cubi VI, 1963. Credit: The Israel Museum, Jerusalem, Israel. Gift of Meshulam Riklis and Judith Stern-Riklis, New York, to American Friends of the Israel Museum/Bridgeman Images. © 2021 The Estate of David Smith/Licensed by VAGA at Artists Rights Society (ARS), NY; page 474, NotionPic/Shutterstock.com; page 495, ANI ROFIQAH/Shutterstock.com; page 572, (left) Richard Panasevich/ Shutterstock.com, (right) kovalto1/Shutterstock.com; page 573, Prachaya Roekdeethaweesab/Shutterstock; page 574, Public Domain via Wikimedia Commons; All other images are the property of Great Minds.

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Agradecimientos Kelly Alsup, Adam Baker, Agnes P. Bannigan, Reshma P Bell, Joseph T. Brennan, Dawn Burns, Amanda H. Carter, David Choukalas, Mary Christensen-Cooper, Cheri DeBusk, Lauren DelFavero, Jill Diniz, Mary Drayer, Karen Eckberg, Melissa Elias, Danielle A Esposito, Janice Fan, Scott Farrar, Krysta Gibbs, January Gordon, Torrie K. Guzzetta, Kimberly Hager, Karen Hall, Eddie Hampton, Andrea Hart, Stefanie Hassan, Tiffany Hill, Christine Hopkinson, Rachel Hylton, Travis Jones, Laura Khalil, Raena King, Jennifer Koepp Neeley, Emily Koesters, Liz Krisher, Leticia Lemus, Marie Libassi-Behr, Courtney Lowe, Sonia Mabry, Bobbe Maier, Ben McCarty, Maureen McNamara Jones, Pat Mohr, Bruce Myers, Marya Myers, Kati O’Neill, Darion Pack, Geoff Patterson, Victoria Peacock, Maximilian Peiler-Burrows, Brian Petras, April Picard, Marlene Pineda, DesLey V. Plaisance, Lora Podgorny, Janae Pritchett, Elizabeth Re, Meri Robie-Craven, Deborah Schluben, Michael Short, Erika Silva, Jessica Sims, Heidi Strate, Theresa Streeter, James Tanton, Cathy Terwilliger, Rafael Vélez, Jessica Vialva, Allison Witcraft, Jackie Wolford, Caroline Yang, Jill Zintsmaster

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Ana Álvarez, Lynne Askin-Roush, Trevor Barnes, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Jessica Dahl, Brandon Dawley, Julie Dent, Delsena Draper, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Jen Forbus, Reba Frederics, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Dennis Hamel, Cassie Hart, Sagal Hasan, Kristen Hayes, Abbi Hoerst, Libby Howard, Elizabeth Jacobsen, Amy Kanjuka, Ashley Kelley, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Stephanie Maldonado, Siena Mazero, Alisha McCarthy, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Patricia Mickelberry, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Max Oosterbaan, Tara O’Hare, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Jeff Robinson, Gilbert Rodríguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Amy Schoon, Aaron Shields, Leigh Sterten, Rhea Stewart, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Karrin Thompson, Cherry dela Victoria, Tracy Vigliotti, Dave White, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Howard Yaffe

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Módulo 1 Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros Módulo 2 Suma y resta con fracciones Módulo 3 Multiplicación y división con fracciones Módulo 4 Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales Módulo 5 Suma y multiplicación con área y volumen Módulo 6 Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas