ENSEÑAR ▸ Módulo 6 ▸ Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
A Wassily Kandinsky, un pintor abstracto y músico con formación en piano y chelo, le fascinaban el color y la música. Algunas de sus pinturas parecen estar “compuestas” de una manera que nos permite ver el arte como una composición musical. En matemáticas, componemos y descomponemos números para familiarizarnos con el sistema numérico. Cuando miras un número, ¿puedes ver las partes que forman el total?
Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros
2 Suma y resta con fracciones
3
4
Multiplicación y división con fracciones
Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales
5 Suma y multiplicación con área y volumen
6 Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas
Antes de este módulo
Módulo 4 de 5.o grado
En el transcurso de grados anteriores, la clase usa la recta numérica como una herramienta para contar, comparar y realizar operaciones con números enteros. Anteriormente, en 5.o grado, comparan y redondean números decimales de una manera similar a como comparan y redondean números enteros, usando la estructura de las rectas numéricas y marcando puntos para resolver problemas.
Módulo 2 de 4.o grado
En 4.o grado, la clase aplica su comprensión de los factores y los múltiplos para hallar un término desconocido en un patrón de figuras o de números. Reconocen que pueden usar lo que saben sobre los términos anteriores en una secuencia para hallar un término posterior sin tener que enumerar todos los términos.
Contenido general
Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas
Tema A
Sistemas de coordenadas
La clase desarrolla su comprensión de las rectas numéricas para construir un sistema de coordenadas que se compone de rectas numéricas horizontales y verticales que se intersecan. Marcan puntos e identifican pares ordenados para los puntos. Describen la ubicación de un punto en el plano de coordenadas como una distancia horizontal desde el eje y y una distancia vertical desde el eje x. La clase concluye el tema usando un mapa en un plano de coordenadas para identificar ubicaciones y describir distancias y direcciones entre esas ubicaciones.
Tema B
Patrones en el plano de coordenadas
La clase amplía su comprensión del plano de coordenadas identificando las propiedades de rectas horizontales y verticales en el plano de coordenadas. Luego, trabajan con dos patrones de números en simultáneo, generando términos cuando se les proporcionan reglas y números iniciales, usando los patrones para crear pares ordenados y marcando puntos que representan dichos pares ordenados. Hacen una transición al uso de tablas y gráficas para examinar las relaciones entre términos correspondientes en dos patrones de números. Identifican, describen y comparan relaciones numéricas de suma, resta, multiplicación y división en el plano de coordenadas. Al finalizar el tema B, la clase identifica y describe patrones de números de operaciones mixtas en una lección opcional.
Tema C
Resolver problemas matemáticos en el plano de coordenadas
Al inicio del tema C, la clase examina rectas en el plano de coordenadas. Desarrollan la comprensión de que las rectas tienen un número infinito de puntos. Se dan cuenta de que un punto tiene muchas rectas que pasan por él, pero dos puntos cualesquiera solo pueden tener una recta que pase por los dos. Luego, trabajan con figuras geométricas en el plano de coordenadas. Clasifican ángulos, identifican segmentos de recta paralelos y perpendiculares y usan esas observaciones para clasificar cuadriláteros representados gráficamente en el plano de coordenadas. La clase identifica ejes de simetría y busca patrones en las coordenadas de puntos simétricos. Como conclusión del tema, resuelven problemas dibujando rectángulos en el plano de coordenadas y determinando sus vértices, perímetros y áreas.
0510152030354045
Después de este módulo
Módulo 1 de 6.o
grado
La clase representa las relaciones de razones marcando pares de valores en el primer cuadrante del plano de coordenadas. Interpretan las coordenadas de los puntos en una gráfica y usan gráficas para resolver problemas que incluyen razones y tasas.
Módulos 3 y 5 de 6.o grado
La clase extiende los ejes del plano de coordenadas para incluir números racionales negativos. Identifican y marcan puntos en los cuatro cuadrantes del plano de coordenadas y hallan la distancia entre puntos que tienen la misma primera o segunda coordenada. Dibujan polígonos en el plano de coordenadas y usan la estructura del plano de coordenadas para resolver problemas del mundo real y problemas matemáticos.
Tema D
Resolver problemas del mundo real con el plano de coordenadas
En el tema D, la clase reconoce que el plano de coordenadas es una herramienta útil para representar datos y relaciones, así como para resolver problemas del mundo real. Comprenden que las gráficas pueden contar historias. Interpretan el significado de los puntos y de los segmentos de recta en una gráfica lineal que representa datos del mundo real. Tanto en una lección opcional como en una actividad de resolver un problema del mundo real, repasan las relaciones entre dos patrones de números. La clase resuelve problemas usando una gráfica para identificar y describir los patrones de números en las coordenadas x y y.
051015203040253545556065 50
Caminata de Luis Tiempo (minutos)
Contenido
Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas
¿Por qué?
Criterios de logro académico: Contenido general
Tema A
Sistemas de coordenadas
Lección 1
Construir un sistema de coordenadas en una recta
Lección 2
Construir un sistema de coordenadas en un plano
Lección 3
Identificar y marcar puntos usando pares ordenados
Lección 4
Describir la distancia y la dirección entre puntos en el plano de coordenadas
Tema B
Patrones en el plano de coordenadas
Lección 5
Identificar las propiedades de rectas horizontales y verticales
Lección 6
Usar las propiedades de rectas horizontales y verticales para resolver problemas
Lección 7
Generar patrones de números para formar pares ordenados
6
8
12
Lección 8
Identificar relaciones de suma y resta entre términos correspondientes en patrones de números
Lección 9
Identificar relaciones de multiplicación y división entre términos correspondientes en patrones de números
Lección 10
16
36
60
84
Identificar relaciones de operaciones mixtas entre términos correspondientes en patrones de números (opcional)
C
Resolver problemas matemáticos en el plano de coordenadas
Lección 11
Trazar rectas en el plano de coordenadas e identificar puntos en las rectas
Lección 12
98
146
Representar gráficamente y clasificar cuadriláteros en el plano de coordenadas
Lección 13
Dibujar figuras simétricas en el plano de coordenadas
Lección 14
Resolver problemas matemáticos con rectángulos en el plano de coordenadas
Lección 15
Usar el plano de coordenadas para razonar acerca de perímetros y áreas de rectángulos
166
290
�312
332
Tema
Tema D
Resolver problemas del mundo real con el plano de coordenadas
Lección 16
Interpretar gráficas que representan situaciones del mundo real
Lección 17
Marcar datos en el plano de coordenadas y analizar relaciones
Lección 18
Interpretar gráficas lineales
Lección 19
Razonar acerca de los patrones visuales usando tablas y gráficas (opcional)
Lección 20
Razonar acerca de patrones en situaciones del mundo real
352
Recursos
Estándares
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
470
356
374
398
418
Vocabulario
Las matemáticas en el pasado
Materiales
Obras citadas
Créditos
Agradecimientos
448
¿Por qué?
Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas
¿Por qué en el módulo del plano de coordenadas se comienza marcando coordenadas en rectas numéricas, incluidas rectas numéricas con distintas orientaciones?
Empezar marcando coordenadas en rectas numéricas activa los conocimientos previos acerca de marcar y determinar ubicaciones en una recta numérica como distancias desde 0. La clase comprende una recta numérica como un sistema de coordenadas que se puede usar para describir la ubicación de un punto cuando eligen la ubicación de 0 y una longitud del intervalo. Luego, se basan en este conocimiento para construir un plano de coordenadas al darse cuenta de que una sola recta numérica no es suficiente para describir la ubicación de puntos que no son colineales.
¿Por qué se trabaja con relaciones numéricas y problemas matemáticos antes de trabajar con problemas del mundo real en el plano de coordenadas?
Dado que la clase está aprendiendo qué es un plano de coordenadas, cómo usarlo y por qué es una herramienta útil, en los temas A, B y C se presenta una interpretación geométrica de los movimientos en el primer cuadrante. A fin de desarrollar un conocimiento de base, usan la estructura de los ejes del plano de coordenadas que se intersecan para describir y comparar ubicaciones, movimientos en el plano y la distancia desde el origen y entre los puntos, y para resolver problemas con polígonos. Este trabajo ayuda a la clase a desarrollar un conocimiento más profundo de la estructura del plano de coordenadas.
En las actividades con un contexto del mundo real, en el tema D, se presume la fluidez con el plano de coordenadas y una comprensión profunda de él, incluyendo la representación gráfica y la ubicación de puntos, para resolver los problemas.
La recta 𝓂 es una recta vertical que se interseca con el eje x en el punto (8,0).
Traza y rotula la recta 𝓂 en la gráfica de la parte (a).
Sombrea con azul la región del plano donde los puntos están a más de 8 unidades del eje y.
¿Por qué se consideran opcionales las lecciones 10 y 19?
Las actividades de las lecciones 10 y 19 están pensadas para ampliar el trabajo de la clase con relaciones de una sola operación. En la lección 10, trabajan con más de una operación en una relación numérica para obtener más experiencia identificando y describiendo relaciones entre dos patrones de números. En la lección 19, se expone a la clase a dos patrones de números con puntos que no se ubican en una recta cuando se representan gráficamente, pero sus estudiantes pueden razonar acerca de los patrones visuales para hallar pares ordenados adicionales. Este trabajo ofrece una vista previa del trabajo con expresiones y ecuaciones en grados posteriores, proporcionando mayor exposición a relaciones numéricas más complejas. Aunque haya estudiantes que reconozcan y apliquen las relaciones de varias operaciones entre las coordenadas x y y, en 5.o grado, solo se espera que sus estudiantes identifiquen relaciones numéricas de una sola operación, como: “La coordenada x es 4 más que la coordenada y”.
¿Cuál es el objetivo de la tarea de resolver un problema en la lección 20?
El objetivo de la tarea de la lección 20 es preparar a la clase para la resolución de problemas con tareas abiertas y el ciclo de representación matemática que encontrarán en grados posteriores. En la lección 20, aplican su conocimiento de patrones de números, relaciones entre coordenadas y representación gráfica a un problema complejo del mundo real y, además, eligen su propio modelo o su propia estrategia para resolver el problema. La primera lección del módulo 1 de 6.o grado es una tarea similar de resolución de problemas que involucra conversiones de medidas y amplía el razonamiento de la clase del problema de la lección 20 y, junto a esta, sienta las bases para que cada estudiante descubra las relaciones de razones. Un tema clave de las matemáticas que sus estudiantes aprenden entre 6.o y 8.o grado es la relación entre dos variables y cómo representar esas relaciones con ecuaciones, tablas, gráficas y descripciones. Por lo tanto, en la lección 20 se anticipa ese aprendizaje y el trabajo que harán en el futuro con relaciones proporcionales, relaciones lineales y funciones.
Monedas que se colocaron en el frasco cada día asco
Se colocaron 121 en el frasco el último día. nickels
Criterios de logro académico: Contenido general
Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas
Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo.
Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar.
Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de:
• observaciones informales en el salón de clases;
• los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones;
• Boletos de salida;
• Pruebas cortas de los temas y
• Evaluaciones de los módulos.
Este módulo contiene los siete CLA que se indican.
5.Mód6.CLA1
Describen patrones numéricos.
5.OA.B.3
5.Mód6.CLA2
Generan y representan patrones numéricos utilizando tablas y el plano de coordenadas.
5.OA.B.3
5.Mód6.CLA3
Marcan e interpretan puntos en un sistema de coordenadas bidimensional.
5.G.A.1
5.Mód6.CLA4
Resuelven problemas del mundo real usando el primer cuadrante del plano de coordenadas.
5.G.A.2
5.Mód6.CLA5
Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas.
5.G.A.2
5.Mód5.CLA3
Hallan el área de rectángulos y figuras compuestas de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias o en números mixtos.
5.NF.B.4.b
5.Mód5.CLA14
Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía según sus propiedades.
5.G.B.4
La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente.
Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.
Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes:
• Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 6 de 5.o grado se codifica como 5.Mód6.CLA1.
• Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará.
• Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada.
• Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.
Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#
Texto del CLA
5.Mód6.CLA3 Marcan e interpretan puntos en un sistema de coordenadas bidimensional.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.G.A.1 Utilizan un par de rectas numéricas perpendiculares, llamadas ejes, para definir un sistema de coordenadas, situando la intersección de las rectas (el origen) para que coincida con el 0 de cada recta y con un punto determinado en el plano que se pueda ubicar usando un par de números ordenados, llamados coordenadas.
Entienden que el primer número indica la distancia que se recorre desde el origen en dirección sobre un eje, y el segundo número indica la distancia que se recorre sobre el segundo eje, siguiendo la convención de que los nombres de los dos ejes y los de las coordenadas correspondan (por ejemplo, el eje x con la coordenada x, el eje y con la coordenada y).
Parcialmente competente
Identifican puntos en el plano de coordenadas.
¿Qué punto está en (4, 6)?
Competente
Marcan o describen puntos en el plano de coordenadas y expresan las coordenadas de puntos marcados dados. Usa la gráfica que se muestra para responder las partes A a C.
0123456789
Parte A
Escribe las coordenadas para cada punto.
Punto A ( , )
Punto B ( , )
Punto C ( , )
Parte B
Marca y rotula el punto D en (7.5, 1).
Parte C
El punto E tiene el par ordenado (6, 1). Explica cómo marcar el punto E en el plano de coordenadas.
Altamente competente
Sombrean o describen regiones del plano de coordenadas según la información dada.
Sombrea la región del plano de coordenadas donde las coordenadas x son menores que 7 y las coordenadas y son menores que 8
Estándar relacionado
Indicadores del CLA
Tema A Sistemas de coordenadas
En el tema A, la clase amplía su comprensión de las rectas numéricas para construir y usar sistemas de coordenadas.
Sus estudiantes ya conocen la representación de números enteros y fracciones como distancias desde 0 en una recta numérica con marcas de graduación equidistantes. También representan las cantidades de las mediciones en rectas numéricas con escalas diferentes.
Al inicio del tema, sus estudiantes descubren que cualquier recta, sin importar la orientación, puede convertirse en una recta numérica, o un sistema de coordenadas. Como desarrollo de su comprensión de las rectas numéricas, sus estudiantes hacen una marca de graduación para representar 0 y definen la longitud del intervalo, repitiendo esa longitud desde 0. Utilizan una coordenada para indicar la ubicación de un punto en una recta y marcar un punto dada su coordenada o su distancia de 0 o de otro punto.
Luego, la clase explora formas de describir la ubicación de puntos que no se ubican en una recta. Al intersecar rectas numéricas horizontales y verticales en 0, sus estudiantes construyen un sistema de coordenadas en un plano. Utilizan el par ordenado de un punto para describir la ubicación del punto en el plano de coordenadas. Marcan un punto interpretando el par ordenado como un conjunto de direcciones desde el origen y comprenden la importancia del orden de las coordenadas x y y en el par ordenado de un punto. Comprenden que la coordenada x indica la distancia horizontal desde el eje y hasta el punto, y que la coordenada y representa la distancia vertical desde el eje x hasta el punto.
Sus estudiantes aprenden que todo punto ubicado en el eje x tiene una coordenada y de 0 y que todo punto ubicado en el eje y tiene una coordenada x de 0. Utilizan pares ordenados para describir la ubicación de un punto en un eje. Usando planos de coordenadas con ejes que tienen longitudes del intervalo que no sean 1, sus estudiantes escriben los pares ordenados de los puntos marcados. Dados los pares ordenados de los puntos, determinan qué escalas usar, construyen un plano de coordenadas y marcan los puntos.
Usan la actividad digital interactiva para interactuar con un plano de coordenadas que representa un mapa. Sus estudiantes describen la ubicación de puntos y analizan el movimiento entre puntos en el plano de coordenadas determinando la distancia en términos de unidades y direcciones. Describen las direcciones como izquierda y derecha, oeste y este, arriba y abajo, y norte y sur. Explican que, al empezar en un punto y moverse hacia un segundo punto, el movimiento hacia la izquierda o la derecha da como resultado coordenadas x diferentes, y el movimiento hacia arriba o hacia abajo da como resultado coordenadas y diferentes.
En el tema B, la clase aplica su comprensión del plano de coordenadas para describir patrones en las coordenadas de puntos que se ubican en una recta.
Progresión de las lecciones
Lección 1
Construir un sistema de coordenadas en una recta
Lección 2
Construir un sistema de coordenadas en un plano
Lección 3
Identificar y marcar puntos usando pares ordenados
Cuando hago una marca de graduación para representar 0 y defino la longitud del intervalo, repitiendo la longitud desde 0, creo un sistema de coordenadas en una recta. Uso una coordenada para indicar la ubicación de un punto y para marcar un punto.
Para crear un sistema de coordenadas en un plano, trazo un par de rectas numéricas perpendiculares que se intersecan en 0. Uso las coordenadas x y y de un punto para describir la ubicación del punto a la derecha del eje y y arriba del eje x. Uso el par ordenado de un punto para marcar el punto empezando en el origen, moviéndome hacia la derecha a lo largo del eje x y moviéndome hacia arriba desde ahí.
Sé que la coordenada x o la coordenada y de un punto ubicado sobre un eje es 0. Puedo marcar puntos en un plano de coordenadas cuando las longitudes del intervalo entre las líneas de la cuadrícula no son 1. Cuando tengo pares ordenados, puedo elegir una longitud del intervalo que me permita marcar los puntos en las líneas de la cuadrícula.
Lección 4
Describir la distancia y la dirección entre puntos en el plano de coordenadas
Baños
Elefantes
Jirafas
Primeros auxilios Serpientes
Boletería
Refrigerios Osos panda Leones
Entrada
Puedo describir el movimiento entre puntos marcados en el plano de coordenadas diciendo cuántas unidades hay a la izquierda o a la derecha, o al este o al oeste, y cuántas unidades hay arriba o abajo, o al norte o al sur, entre dos puntos. Observo que las coordenadas x y y de los puntos cambian a medida que me muevo en distintas direcciones.
Construir un sistema de coordenadas en una recta
Vistazo a la lección
Construye un sistema de coordenadas en la recta. Elige una longitud del intervalo que permita marcar cada uno de los puntos que se describen. Marca y rotula los puntos.
a. El punto A está ubicado a 1 unidad de 0
b. El punto B está ubicado en 21 4
c. El punto C está ubicado 1 2 unidad más lejos de 0 que el punto A
d. El punto D está ubicado 1 2 unidad más cerca de 0 que el punto B
La clase construye un sistema de coordenadas en una recta marcando una longitud del intervalo como 1 unidad y, luego, marcando repetidamente la unidad un número de veces desde 0. Usan una coordenada para describir e identificar la ubicación de un punto en una recta, y marcan un punto en una recta dada su coordenada o su distancia en unidades desde otro punto. En esta lección se formalizan los términos coordenada y sistema de coordenadas.
Preguntas clave
• ¿Por qué es útil un sistema de coordenadas en una recta?
• ¿Qué es importante recordar cuando se construye un sistema de coordenadas en una recta?
Criterio de logro académico
5.Mód6.CLA3 Marcan e interpretan puntos en un sistema de coordenadas bidimensional. (5.G.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Crear un sistema de coordenadas en una recta
• Usar un sistema de coordenadas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• tarjeta de índice
• notas adhesivas (5)
• computadora o dispositivo*
• proyector*
• libro Enseñar*
Estudiantes
• Recta inclinada (en el libro para estudiantes)
• marcador (1 por pareja de estudiantes)
• tarjeta de índice
• marcador de borrado en seco*
• libro Aprender*
• lápiz*
• pizarra blanca individual*
• borrador para la pizarra blanca individual*
* Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Recta inclinada de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Contar de un medio en un medio y de un cuarto en un cuarto en la recta numérica
La clase identifica una unidad fraccionaria y cuenta hasta 4 de un medio en un medio y, luego, de un cuarto en un cuarto, en una recta numérica horizontal como preparación para construir un sistema de coordenadas en una recta.
Muestre la recta numérica.
¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Medios
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un medio en un medio hasta 8 medios. Empiecen diciendo 0 medios. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
Ahora, vuelvan a contar de un medio en un medio hacia delante. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
Repita el proceso con los cuartos.
Respuesta a coro: Identificar puntos en la recta numérica
La clase determina un intervalo, el valor representado por un punto y la distancia desde 0 hasta un punto en una recta numérica horizontal como preparación para construir un sistema de coordenadas en una recta.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre la recta numérica.
¿Cuál es el intervalo entre cada marca de graduación en la recta numérica?
1 unidad
Muestre el punto A.
¿Qué valor representa el punto A?
4
Muestre la respuesta en la recta numérica.
¿A cuántas unidades de 0 está el punto A?
4 unidades
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Muéstrame figuras geométricas: Un punto, un segmento de recta y una recta
La clase hace gestos con las manos y los brazos para representar un punto, un segmento de recta y una recta como preparación para construir un sistema de coordenadas.
Usemos las manos y los brazos para mostrar diferentes figuras.
Muéstrenme un punto.
(Muestran el gesto para el punto).
Bajen los brazos.
(Bajan los brazos).
Muéstrenme un segmento de recta horizontal.
(Muestran el gesto para el segmento de recta horizontal).
Bajen los brazos.
(Bajan los brazos).
Punto
Segmento de recta horizontal
Use los gestos que se proporcionan para continuar el proceso con la siguiente secuencia:
Alterne entre las distintas figuras para que sea más entretenido.
Presentar
5
Materiales: E) Recta inclinada, marcador
La clase describe la ubicación de un punto en una recta.
Forme parejas de estudiantes. Designe a cada integrante de las parejas como estudiante A y estudiante B. Pida a las parejas que se pongan de pie frente a frente, de modo que quienes sean estudiantes A puedan ver lo que se muestra, pero quienes sean estudiantes B no. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Recta inclinada de sus libros. Distribuya un marcador a cada estudiante B.
Mostraré un punto marcado en la recta. Cada estudiante A describirá la ubicación del punto a cada estudiante B. Luego, cada estudiante B tiene un intento para marcar el punto en la ubicación correcta.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en el idioma.
• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.
De ser posible, intente formar las parejas con estudiantes que tengan el mismo idioma materno.
Muestre la recta inclinada con el punto marcado. Dé unos 30 segundos a cada estudiante A para que describa oralmente la ubicación del punto a cada estudiante B.
Cuando se acabe el tiempo, quite lo que había mostrado. Invite a cada estudiante B a usar el marcador para marcar un punto en la recta según la descripción de sus parejas.
Cuando cada estudiante B haya terminado, vuelva a mostrar la recta con el punto marcado para que puedan comprobar la precisión. Luego, haga la siguiente pregunta:
¿Qué nos ayudaría a describir la ubicación exacta de un punto en una recta?
Dé 1 minuto a las parejas para que respondan la pregunta. Luego, invite a quienes sean estudiantes A o estudiantes B a compartir la respuesta de la pareja.
Si tuviera una regla, podría describir a cuántas pulgadas o centímetros de una de las flechas se encuentra el punto.
Si la recta tuviera marcas de graduación, como una recta numérica, sería más fácil describir la ubicación del punto.
Los puntos se pueden ubicar en cualquier parte de cualquier recta. Necesitamos una manera de describir dónde se encuentran.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a crear un sistema que nos ayudará a describir las ubicaciones de puntos en una recta.
Aprender
Crear un sistema de coordenadas en una recta
Materiales: M/E) Tarjeta de índice
La clase construye un sistema de coordenadas para describir e identificar la ubicación de puntos en una recta.
Muestre la recta vertical.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y las diferencias entre la recta y la recta inclinada.
¿Pueden identificar la ubicación de cada punto en esta recta? ¿Por qué?
Podemos identificar la ubicación del punto A porque está marcado en 0. Los puntos B, C y D están ubicados en marcas de graduación, pero las marcas de graduación no están rotuladas, así que no podemos identificar la ubicación de los puntos B, C y D.
Supongamos que las marcas de graduación en la recta son equidistantes, es decir, que están a la misma distancia una de la otra, a 1 unidad de distancia. Podemos decir que el intervalo, o el espacio entre las marcas de graduación, es 1 unidad. ¿A cuántas unidades de 0 está el punto B?
3 unidades
Podemos decir que el punto B tiene una coordenada de 3. Una coordenada es un número que se usa para identificar la ubicación de un punto.
¿Qué punto tiene una coordenada de 0?
El punto A
DUA: Representación
Considere rotular las marcas de graduación en la recta para que sus estudiantes puedan consultarlas cuando identifiquen la coordenada de cada punto.
¿Cuál es la coordenada, o ubicación, del punto C? ¿Cómo lo saben?
La coordenada del punto C es 8. Lo sé porque el punto C está a 8 unidades de 0.
Pida a la clase que se reúna y converse en parejas para indicar el punto que está más lejos de 0 e identificar la coordenada de ese punto.
Ahora, supongamos que el intervalo representa 2 unidades en vez de 1 unidad. ¿Cómo pueden identificar las coordenadas de los puntos?
Podemos comenzar en 0 y contar cada marca de graduación de dos en dos hasta llegar al punto que queremos identificar.
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para identificar la coordenada de cada punto si el intervalo representa 2 unidades en vez de 1 unidad.
La coordenada del punto A sigue siendo 0.
La coordenada del punto B es 6.
La coordenada del punto C es 16.
La coordenada del punto D es 18.
Para identificar la coordenada de un punto, necesitamos saber el valor de al menos una marca de graduación, como 0. También necesitamos saber el número de unidades que hay entre las marcas de graduación para poder identificar a qué distancia de 0 se encuentra el punto.
Muestre la recta del problema 1.
¿Qué observan acerca de esta recta?
Es una recta inclinada.
Hay tres puntos en la recta.
La recta no tiene ninguna marca de graduación.
¿Podemos identificar las coordenadas de los puntos en esta recta? ¿Por qué?
No. No hay marcas de graduación ni rótulos en la recta, así que no podemos identificar las coordenadas de los puntos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué pueden hacer con la recta para identificar las coordenadas de los puntos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.
1. Usa la recta para crear un sistema de coordenadas.
Podemos crear un sistema de coordenadas en cualquier recta como ayuda para identificar las ubicaciones de los puntos. Un sistema de coordenadas usa uno o más números, o coordenadas, para identificar la ubicación de un punto.
¿La recta inclinada que observamos antes tenía un sistema de coordenadas? En otras palabras, ¿podíamos identificar la ubicación exacta del punto?
No. La recta inclinada no tenía un sistema de coordenadas, así que no podíamos identificar la ubicación exacta del punto.
Comencemos nombrando los puntos como G, H e I para que quede claro de qué puntos estamos hablando.
Nota para la enseñanza
Anteriormente, la clase había representado números enteros, fracciones y números decimales como distancias desde 0 en rectas numéricas con marcas de graduación equidistantes. Una recta con un sistema de coordenadas es una recta numérica.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para apoyar la comprensión de los términos coordenada y sistema de coordenadas, considere crear un afiche de referencia titulado
Sistema de coordenadas que conecte los términos escritos con una representación visual. Este afiche de referencia puede ampliarse a medida que se avanza en el tema.
Rotule los puntos G, H e I y pida a la clase que haga lo mismo.
Necesitamos saber el valor de al menos una marca de graduación, como 0. Dibujemos una marca de graduación en el punto G con el rótulo 0.
Dibuje una marca de graduación en el punto G y rotúlela 0. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Ahora que la primera marca de graduación está rotulada 0, ¿cuáles son las coordenadas de los otros puntos?
No lo sé. Sé que las coordenadas deben ser mayores que 0.
No lo sé, porque no hay ninguna otra marca de graduación en la recta.
Podemos dibujar y rotular más marcas de graduación. Eso nos ayudará a identificar la coordenada de cada punto.
Una manera de crear un sistema de coordenadas para esta recta es dibujar una marca de graduación en H y decir que el intervalo desde el punto G hasta el punto H representa 1 unidad.
Muestre la recta con marcas de graduación rotuladas en los puntos G y H. Pida a la clase que dibuje una marca de graduación en el punto H y la rotule 1.
Señale el intervalo entre las marcas de graduación en 0 y 1.
Dijimos que el intervalo entre esas dos marcas de graduación representa 1 unidad. ¿Cómo podemos dibujar otras marcas de graduación para que la longitud de cada intervalo sea 1 unidad?
Podemos medir la distancia entre 0 y 1 y, luego, dibujar más marcas de graduación que estén a la misma distancia unas de otras.
Podemos usar un trozo de papel para medir la longitud del intervalo que dijimos que representa 1 unidad. Luego, podemos usar el papel para repetir la longitud del intervalo de 1 unidad y dibujar más marcas de graduación.
Nota para la enseñanza
Antes de dibujar marcas de graduación equidistantes, considere dibujar una marca de graduación en el punto I y rotularla 2.
Diga a la clase que la recta no está rotulada correctamente y pregunte cuál es el error que hay en las marcas de graduación. Preste atención a quienes observen que las marcas de graduación no son equidistantes.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes ya conocen de grados anteriores el término intervalo, o espacio entre marcas de graduación. En este módulo, la frase longitud del intervalo se usa específicamente para referirse a la longitud del espacio que hay entre las marcas de graduación.
Alinee el borde de una tarjeta de índice con la recta y marque la ubicación de cada marca de graduación con una punta de flecha. Deslice la tarjeta hacia la derecha y alinee la primera punta de flecha con la segunda marca de graduación. Luego, dibuje una tercera marca de graduación en la recta, arriba de la segunda punta de flecha. Continúe deslizando el papel hacia la derecha para dibujar una cuarta y una quinta marca de graduación. Invite a la clase a hacer lo mismo.
Señale las marcas de graduación en 0 y 1.
Si estas marcas de graduación representan 0 y 1, ¿qué valores representan las otras marcas?
Representan 2, 3 y 4.
Rotule las marcas de graduación restantes y pida a la clase que haga lo mismo.
¿Ahora pueden identificar la coordenada de cada punto? ¿Por qué?
Sí. Puedo identificar la coordenada de cada punto porque ahora hay marcas de graduación rotuladas.
Al dibujar una marca de graduación y rotularla 0, y al dibujar y rotular marcas de graduación equidistantes, construimos un sistema de coordenadas. Construir un sistema de coordenadas en una recta nos permite identificar la ubicación de cada punto en la recta.
Marque un punto a medio camino entre 2 y 3 en la recta.
¿Un punto debe estar en una marca de graduación para tener una coordenada? ¿Por qué?
No. Una coordenada es un número, no una marca de graduación.
No. El punto parece estar a medio camino entre 2 y 3, así que podemos estimar que su coordenada es 21 2 .
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando crea un sistema de coordenadas en una recta para determinar la ubicación de puntos en la recta.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Qué detalles se deben considerar al crear un sistema de coordenadas en una recta?
• ¿Cuánta precisión se necesita?
Cualquier punto en una recta con un sistema de coordenadas tiene una coordenada, ya sea que se ubique en una marca de graduación o no. Si el punto no está ubicado en una marca de graduación, podemos estimar su coordenada.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo modificaron la recta en el problema 1 para poder identificar la coordenada de cada punto en la recta.
Usar un sistema de coordenadas
Materiales: M) Notas adhesivas
La clase usa un sistema de coordenadas para identificar la coordenada de un punto y marcar un punto en una recta.
Muestre la recta numérica horizontal.
¿Qué observan acerca de esta recta?
Es una recta numérica horizontal.
Tiene un sistema de coordenadas.
Hay cuatro puntos en la recta.
Tiene marcas de graduación que muestran números de 0 a 10, pero solo están rotulados los números pares.
Las marcas de graduación están a 1 unidad de distancia unas de otras.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la coordenada de cada punto.
Nombren el punto que está más cerca de 0. Identifiquen la coordenada del punto.
El punto T es el que está más cerca de 0, y su coordenada es 3.
¿A cuántas unidades de 0 está el punto U?
8 unidades
¿Cuál es la distancia en unidades entre los puntos T y U?
5 unidades
DUA: Representación
Considere presentar la información sobre el sistema de coordenadas en otro formato haciendo que sus estudiantes participen en una actividad cinestésica. Marque una recta numérica en el piso con un trozo de cinta adhesiva y pida a sus estudiantes que se pongan de pie sobre distintas coordenadas de la recta.
También puede proporcionar una copia impresa de las rectas numéricas horizontales y verticales proyectadas y dejar que sus estudiantes la consulten.
Nota para la enseñanza
A lo largo de este segmento, cuando haga preguntas acerca de las coordenadas de ciertos puntos en las que la respuesta es corta o solo una palabra, considere usar una respuesta a coro similar a las de las actividades de la sección Fluidez. Por ejemplo, después de hacer una pregunta que requiere una respuesta corta, diga “levanten la mano cuando lo sepan”, y dé tiempo para pensar. Una vez que casi todos sus estudiantes hayan levantado la mano, dé una señal y pídales que respondan al mismo tiempo. Esta práctica puede servir para aumentar la participación y proporcionar una retroalimentación inmediata a toda la clase.
¿Cuál es la coordenada del punto V? ¿Cómo lo saben?
Su coordenada es 9. Lo sé porque está a 9 unidades de 0.
Su coordenada es 9. Lo sé porque está marcado en la marca de graduación que está a medio camino entre las marcas rotuladas 8 y 10.
El punto S está a medio camino entre 4 y 5. Identifiquen la coordenada del punto S. 4 1 _ 2
Quiero marcar el punto W para que esté a 6 unidades de 0. Usaré un dedo para moverme a lo largo de la recta. Digan “alto” cuando llegue a la ubicación para marcar el punto W.
Arrastre el dedo hasta que la clase le diga que se detenga y, luego, marque un punto en 6.
Rotúlelo W.
¿Cuánto más lejos de 0 está el punto W que el punto S? ¿Cómo lo saben?
El punto W está 11 2 unidades más lejos de 0 que el punto S. Lo
El punto W está 11 2 unidades más lejos de 0 que el punto S. Lo sé
Invite a un grupo de estudiantes a usar notas adhesivas para marcar otros puntos en la recta numérica horizontal. Pídales que escriban el nombre del punto en la nota adhesiva. Mientras describe la ubicación de cada punto, considere usar diferentes frases para que sus estudiantes se familiaricen con el lenguaje relacionado con el sistema de coordenadas:
• Marquen un punto, M, que tenga la coordenada 2.
• Marquen el punto N en 0.
• Marquen el punto P de manera que su distancia de 0 sea 5 unidades.
• Marquen un punto, Q, que esté 2 unidades más cerca de 0 que el punto V.
• Marquen el punto R para que esté a medio camino entre los puntos N y T.
Muestre la recta numérica vertical.
¿Qué observan acerca de esta recta?
Es una recta numérica vertical.
Tiene un sistema de coordenadas.
Hay cuatro puntos en la recta.
Los números enteros 0, 1 y 2 están rotulados, pero los valores entre ellos no lo están.
La longitud del intervalo es 1 4 de unidad.
Si sus estudiantes no mencionan que la longitud del intervalo es 1 4 de unidad, considere hacer las siguientes preguntas:
• ¿Qué saben acerca de las marcas de graduación entre 0 y 1?
• ¿Cuál es la longitud del intervalo?
• ¿Cómo saben que la longitud del intervalo es una fracción?
• ¿Cómo rotularían las marcas de graduación que todavía no están rotuladas?
Luego, use los siguientes planteamientos para continuar la conversación.
Nombren el punto que tiene la coordenada 1 __ 4 . ¿A qué distancia está el punto de 0?
El punto J tiene la coordenada 1 __ 4 y está a 1 __ 4 de unidad de 0.
Si comenzamos en 0 y recorremos una distancia de 1 3 __ 4 unidades a lo largo de la recta, ¿en qué punto vamos a detenernos? M
Identifiquen la coordenada del punto K. 1
¿Cuántas unidades más lejos de 0 está el punto L que el punto K? ¿Cómo lo saben?
El punto L está 1 4 de unidad más lejos de 0 que el punto K. Lo sé porque la longitud del intervalo es 1 __ 4 de unidad y el punto L está en la marca de graduación que sigue a la marca del punto K.
El punto L está 1 __ 4 de unidad más lejos de 0 que el punto K. Lo sé porque 11 __ 4 − 1 = 1 __ 4 .
El punto L está 1 4 de unidad más lejos de 0 que el punto K. Lo sé porque el punto L está a cinco intervalos de 1 4 de unidad de distancia de 0, el punto K está a cuatro intervalos de 1 4 de unidad de distancia de 0, y 5 − 4 = 1.
Invite a un grupo de estudiantes a usar notas adhesivas para marcar los siguientes puntos: E, F, G y H, en la recta numérica vertical. Pídales que escriban en sus notas adhesivas el nombre del punto que están marcando. Mientras describe la ubicación de cada punto, considere usar más frases para variar el lenguaje acerca del plano de coordenadas:
• Marquen un punto, E, para que su distancia de 0 sea 2 unidades.
• Marquen el punto F en 0.
• Marquen un punto, G, que tenga la coordenada 1.5.
• Marquen un punto, H, que esté 1 4 de unidad más cerca de 0 que el punto K.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a sus estudiantes que marquen los puntos X y Y en marcas de graduación consecutivas en la recta numérica vertical. Luego, pídales que marquen e identifiquen la coordenada para el punto Z, ubicado a mitad de camino entre los puntos X y Y.
Diferenciación:
Apoyo
Si sus estudiantes necesitan apoyo para marcar y rotular los puntos con precisión al trabajar de manera independiente, indíqueles cómo rotular las marcas de graduación que están sin rotular en la recta.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Construir un sistema de coordenadas en una recta
Guíe una conversación de toda la clase sobre la construcción de un sistema de coordenadas en una recta usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre la recta inclinada con un solo punto de la sección Presentar.
¿Por qué es útil un sistema de coordenadas en una recta?
Un sistema de coordenadas en una recta es útil porque tiene marcas de graduación rotuladas con números, como una recta numérica.
Podemos identificar la ubicación, o coordenada, de un punto en la recta.
Podemos marcar un punto en la recta cuando se da la coordenada del punto.
Podemos describir a cuántas unidades está un punto de 0 o de otro punto.
¿Qué es importante recordar cuando se construye un sistema de coordenadas en una recta?
Debemos dibujar marcas de graduación que sean equidistantes.
Necesitamos rotular una marca de graduación como 0.
Necesitamos determinar la longitud del intervalo entre las marcas de graduación.
Podemos rotular cada marca de graduación, pero no es necesario hacerlo.
Cuando una recta tiene un sistema de coordenadas, ¿cómo identifican la coordenada de un punto en la recta?
Determinamos a qué número de unidades está el punto de 0 para identificar la coordenada del punto.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa la recta numérica para completar los problemas 1 a 3.
1. La coordenada del punto A es 1
2. El punto B tiene una coordenada de 4
3. La distancia del punto A al punto C es 6 unidades.
Para los problemas 4 y 5, marca el punto en la recta numérica.
4. Marca el punto A para que su distancia desde 0 sea 2 unidades.
Marca el punto R para que su distancia desde 0 sea 5 2 de unidad.
6. Usa la recta numérica para completar las partes (a) a (c).
a. Marca y rotula el punto P en 3
b. Marca y rotula el punto R en 0
c. Marca y rotula el punto S para que esté 5 2 de unidad más lejos de 0 que el punto P ¿Cuál es la coordenada del punto S?
1 2
7. Marca y rotula el punto L para que su distancia desde 0 sea 125 unidades. 010050150 L 8. Marca el punto T para que esté 2 3 de unidad más lejos de 0 que el punto S
9. Construye un sistema de coordenadas en la recta. Elige una longitud del intervalo que permita marcar cada uno de los puntos que se describen. Marca y rotula los puntos.
a. El punto A está ubicado a 3 unidades de 0.
b. El punto B está ubicado en 2 3
c. El punto C está ubicado 11 3 unidades más lejos de 0 que el punto B
d. El punto D está ubicado 2 3 de unidad más cerca de 0 que el punto A
10. Blake le pide a Sasha que marque un punto, P, que esté a 3 unidades del punto M. Sasha dice que la coordenada del punto P podría ser 1 o 7. ¿Cómo puede expresar Blake las instrucciones de manera más clara para que Sasha sepa exactamente dónde marcar el punto P? Explica.
041526378910
Blake debería describir si el punto P está 3 unidades más cerca o más lejos de 0 que el punto M.
Construir un sistema de coordenadas en un plano
Vistazo a la lección
Usa la gráfica para completar las partes (a) a (c).
a. Completa la tabla para los puntos A y B
Punto Coordenada x Coordenada y Par ordenado (x, y)
A 8 4 (8, 4)
B 7 7 (7, 7)
b. Marca un punto en (5, 3). Rotula el punto C.
c. Marca un punto en el origen. Rotula el punto D.
La clase construye un sistema de coordenadas en un plano y usa el sistema de coordenadas para describir la ubicación de un punto marcado en el plano. Usan las distancias horizontal y vertical desde los ejes hasta un punto para identificar su par ordenado. Después de rotular un plano de coordenadas, marcan puntos cuando se dan pares ordenados. En esta lección se presentan los términos eje x, eje y, ejes, plano de coordenadas, coordenada x, coordenada y, par ordenado y origen.
Preguntas clave
• ¿Por qué es útil un sistema de coordenadas en un plano?
• ¿Qué es importante recordar cuando se marca un punto en el plano de coordenadas?
Criterio de logro académico
5.Mód6.CLA3 Marcan e interpretan puntos en un sistema de coordenadas bidimensional. (5.G.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Crear un sistema de coordenadas en un plano
• Pares ordenados
• Marcar puntos en el plano de coordenadas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Sistema de coordenadas en un plano (en la edición para la enseñanza)
• tarjeta de índice
• herramienta de borde recto
Estudiantes
• Recta numérica (en el libro para estudiantes)
• marcador (1 por pareja de estudiantes)
• Sistema de coordenadas en un plano (en el libro para estudiantes)
• tarjeta de índice
• herramienta de borde recto
Preparación de la lección
Considere si desea retirar las hojas extraíbles de Recta numérica y de Sistema de coordenadas en un plano de los libros para estudiantes con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Contar de un medio en un medio y de un cuarto en un cuarto en la recta numérica
La clase identifica una unidad fraccionaria y cuenta hasta 4 de un medio en un medio y, luego, de un cuarto en un cuarto, en una recta numérica vertical como preparación para construir un sistema de coordenadas en un plano.
Muestre la recta numérica.
¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Medios
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un medio en un medio hasta 8 medios. Empiecen diciendo 0 medios.
¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
Ahora, vuelvan a contar de un medio en un medio hacia delante. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros y números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
Repita el proceso con los cuartos.
Respuesta a coro: Identificar puntos en la recta numérica
La clase determina la longitud del intervalo, la coordenada de un punto y la distancia desde 0 hasta un punto en una recta numérica vertical como preparación para construir un sistema de coordenadas en un plano.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta.
Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre la recta numérica.
¿Cuál es la longitud del intervalo?
1 unidad
Muestre el punto A.
¿Cuál es la coordenada del punto A? 4
Muestre la respuesta en la recta numérica.
¿A cuántas unidades de 0 está el punto A?
4 unidades
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Muéstrame figuras geométricas: Un punto, una semirrecta y diferentes ángulos
La clase hace gestos con las manos y los brazos para representar un punto, una semirrecta y diferentes ángulos como preparación para trabajar con ángulos en el plano de coordenadas a partir del tema C.
Usemos las manos y los brazos para mostrar diferentes figuras.
Muéstrenme un punto.
(Muestran el gesto para el punto).
Bajen los brazos.
Muéstrenme una semirrecta.
(Muestran el gesto para una semirrecta).
Bajen los brazos.
Punto Semirrecta
Use los gestos que se proporcionan para continuar el proceso con la siguiente secuencia:
Ángulo recto
Ángulo obtuso Ángulo agudo
Alterne entre las distintas figuras para que sea más entretenido. Considere agregar segmentos de recta y rectas a la secuencia.
Presentar
5
Materiales: E) Recta numérica, marcador
La clase describe la ubicación de un punto en un plano.
Muestre la recta numérica horizontal.
010 123456789
Forme parejas de estudiantes. Designe a cada estudiante de las parejas como estudiante A y estudiante B. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Recta numérica de sus libros. Distribuya un marcador a cada estudiante B.
Diga a la clase que repita la actividad de la lección anterior.
Mostraré un punto marcado. Cada estudiante A describirá la ubicación del punto a cada estudiante B. Luego, cada estudiante B tiene un intento para marcar el punto en la ubicación correcta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que hoy los y las estudiantes B podrán marcar un punto en la ubicación correcta con más facilidad.
Pida a las parejas que se pongan de pie frente a frente, de modo que quienes sean estudiantes A puedan ver lo que se muestra, pero quienes sean estudiantes B no.
Muestre la recta numérica horizontal y el punto A. Dé unos 30 segundos a los y las estudiantes A para que describan oralmente la ubicación del punto a los y las estudiantes B.
Cuando se acabe el tiempo, quite lo que había mostrado. Invite a cada estudiante B a usar el marcador para marcar un punto según la descripción de sus parejas.
Cuando cada estudiante B haya terminado, vuelva a mostrar la recta numérica horizontal y el punto A para que puedan comprobar la precisión. Luego, presente el siguiente problema.
Sabemos cómo identificar las ubicaciones de puntos que están en una recta numérica. ¿Cómo podemos describir las ubicaciones de puntos que no están en una recta numérica, como el punto A?
Dé 1 minuto a las parejas para que respondan la pregunta. Luego, invite a quienes sean estudiantes A o estudiantes B a compartir la respuesta de la pareja.
Podríamos medir la distancia que hay entre la recta numérica y el punto con una regla.
Podríamos ir 2 más allá de 0 y, luego, estimar cuánto ir hacia arriba.
El punto A está en el mismo plano que la recta numérica, pero no está sobre la recta numérica. Recuerden que un plano es una superficie sin grosor, o plana, que se extiende sin fin en todas las direcciones. Aunque el papel termine, el plano se sigue extendiendo. El punto A y esta recta numérica están en la misma superficie plana, o plano.
Los puntos pueden estar en cualquier parte de un plano. Necesitamos una manera de describir dónde se encuentran.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a crear un sistema de coordenadas que nos ayudará a describir las ubicaciones de puntos en un plano.
Aprender
Crear un sistema de coordenadas en un plano
Materiales: M/E) Sistema de coordenadas en un plano, tarjeta de índice, herramienta de borde recto
La clase construye un sistema de coordenadas para describir e identificar la ubicación de puntos en un plano.
Continúe mostrando la recta numérica horizontal y el punto A de la sección Presentar. Señale el número 2 en la recta numérica.
¿Podemos usar la coordenada 2 para identificar la ubicación del punto A en el plano? ¿Por qué?
No. El punto A está ubicado arriba de la marca de graduación rotulada 2, pero el punto A no está marcado en la recta numérica.
El punto A está ubicado arriba de la marca de graduación rotulada 2. Para identificar la ubicación exacta del punto A en el plano, necesitamos saber qué tan arriba de la coordenada 2 se ubica el punto A.
Pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían determinar qué tan arriba de la coordenada 2 se ubica el punto A. Luego, guíe a la clase para que vea que medir hacia arriba desde la recta numérica es una manera de describir la ubicación del punto A.
Crear un sistema de coordenadas usando dos rectas numéricas nos ayuda a describir la ubicación de un punto en el plano. Ya tenemos una recta numérica horizontal. Necesitamos dibujar otra recta numérica.
Pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de cómo debería verse la otra recta numérica y dónde deberían dibujarla.
Luego, pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Sistema de coordenadas en un plano de sus libros. Guíe a sus estudiantes para que creen un sistema de coordenadas construyendo una recta numérica vertical perpendicular a la recta numérica horizontal en 0.
Invite a sus estudiantes a usar una herramienta de ángulo recto (es decir, una tarjeta de índice) y una herramienta de borde recto para dibujar una recta perpendicular que se interseque con la recta numérica horizontal en 0.
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar papel cuadriculado a quienes tengan dificultades con el uso de la herramienta de ángulo recto para crear un ángulo recto y una recta perpendicular. Sus estudiantes pueden usar una herramienta de borde recto para dibujar las dos rectas numéricas y seguir las líneas de la cuadrícula para trazarlas con precisión.
01102345678910 0123456789
Cuando hayan dibujado la recta vertical, invite a sus estudiantes a usar su tarjeta de índice para medir y marcar la longitud del intervalo entre las marcas de graduación en la recta numérica horizontal. Pídales que repitan la actividad con la tarjeta de índice y dibujen marcas de graduación a lo largo de la recta numérica vertical y que las rotulen con números enteros del 1 al 10.
Cuando cada estudiante haya construido y rotulado la recta numérica vertical que se interseca con la recta numérica horizontal en 0, muestre las rectas numéricas perpendiculares con el punto A.
Señale la recta numérica horizontal.
Cuando creamos un sistema de coordenadas en un plano, tenemos dos rectas numéricas que nos ayudan a describir la ubicación de un punto en el plano. Llamamos eje x a la recta numérica horizontal. La rotulamos con la letra x, que es la abreviatura de eje x. Ubicamos el rótulo x a la derecha de la punta de flecha en la recta numérica horizontal.
Rotule el eje x como x. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Señale la recta numérica vertical.
Llamamos eje y a la recta numérica vertical. La rotulamos con la letra y, que es la abreviatura de eje y. Ubicamos el rótulo y arriba de la punta de flecha en la recta numérica vertical.
Rotule el eje y como y. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Juntos, el eje x y el eje y se conocen como los ejes. Este par de rectas numéricas perpendiculares, o ejes, crea un sistema de coordenadas. En un sistema de coordenadas con dos ejes, se usan dos números para describir la ubicación de un punto.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para apoyar el vocabulario nuevo que se presenta en esta lección, considere expandir el afiche de referencia de Sistema de coordenadas creado en la lección anterior para conectar los términos escritos con representaciones visuales.
Señale el punto A. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar de qué manera tener dos ejes perpendiculares que se intersecan en 0 puede ayudarnos a describir la ubicación del punto A.
Podemos decir que el punto A está arriba de 2 en el eje x y a la derecha de 1 en el eje y.
Podemos decir que el punto A está 2 unidades a la derecha del eje y y 1 unidad arriba del eje x.
Un plano con ejes perpendiculares que se intersecan en 0 se llama plano de coordenadas. Un plano de coordenadas es un plano que tiene un sistema de coordenadas que se usa para describir la ubicación de puntos en el plano.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el plano de coordenadas puede ayudarles a describir la ubicación de un punto marcado en el plano.
Pares ordenados
La clase identifica las ubicaciones de puntos en un plano de coordenadas usando pares ordenados.
Pida a sus estudiantes que vayan a los planos de coordenadas que construyeron.
Queremos describir las ubicaciones de puntos en el plano de coordenadas con precisión.
Dibuje una recta vertical entrecortada que se extienda desde el punto A y se interseque con el eje x.
¿En qué coordenada se interseca la línea entrecortada con el eje x?
2
Decimos que el punto A tiene una coordenada x de 2.
La coordenada x de un punto nos indica la distancia horizontal desde el eje y hasta el punto.
x
¿Cuántas unidades a la derecha del eje y está el punto A? ¿Cómo lo saben?
El punto A está 2 unidades a la derecha del eje y. Lo sé porque el punto A está arriba de la coordenada 2 en el eje x.
Dibuje una recta horizontal entrecortada que se extienda desde el punto A y se interseque con el eje y.
¿En qué coordenada se interseca la línea entrecortada con el eje y?
1
Decimos que el punto A tiene una coordenada y de 1. La coordenada y de un punto nos indica la distancia vertical desde el eje x hasta el punto.
¿Cuántas unidades arriba del eje x está el punto A?
¿Cómo lo saben?
El punto A está 1 unidad arriba del eje x. Lo sé porque el punto A está a la derecha de la coordenada 1 en el eje y.
Podemos identificar la ubicación exacta de un punto en el plano de coordenadas escribiendo la coordenada x seguida por una coma y, luego, la coordenada y. Colocamos paréntesis alrededor del par para mostrar que estas dos coordenadas identifican la ubicación de un solo punto.
Escriba (x, y) a la derecha del punto A. Debajo, escriba paréntesis con espacios en el medio para las coordenadas x y y del punto A. Separe los espacios con una coma. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuál es la coordenada x del punto A?
Escriba 2 en el primer espacio. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuál es la coordenada y del punto A?
DUA: Representación
Para hacer énfasis en el orden de las coordenadas, considere pedir a sus estudiantes que usen marcadores fluorescentes para marcar el eje x con un color y el eje y con otro color. Cuando escriban (2, 1) y (x, y) y, luego, (0, 0), pídales que resalten las coordenadas x con el mismo color que el eje x y las coordenadas y con el mismo color que el eje y. Resalte de la misma manera los ejes x y y y los pares ordenados de ejemplo en el afiche de referencia de Sistema de coordenadas.
Escriba 1 en el segundo espacio. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale (2, 1).
Las dos coordenadas que describen la ubicación de un punto en el plano de coordenadas se pueden escribir como un par ordenado. Los pares ordenados se escriben como (x, y), donde x representa la coordenada x del punto, y y representa la coordenada y del punto.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar de qué manera el orden de las dos coordenadas en un par ordenado nos ayuda a describir la ubicación exacta de un punto en el plano de coordenadas.
Escribir el par de coordenadas en orden nos indica qué coordenada es la coordenada x y qué coordenada es la coordenada y.
Así, sabemos arriba de qué coordenada está el punto en el eje x y a la derecha de qué coordenada está el punto en el eje y.
Así, sabemos qué tan a la derecha del eje y y qué tan arriba del eje x está el punto.
Muestre el plano de coordenadas con los puntos A, B y C.
¿Qué observan?
Hay dos puntos más marcados en el plano de coordenadas. Hay rectas que se intersecan con los números enteros en cada eje.
Diga a la clase que las rectas en el plano de coordenadas se llaman líneas de la cuadrícula. Pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían ser útiles las líneas de la cuadrícula al identificar el par ordenado de un punto o al describir la ubicación de un punto en el plano de coordenadas.
Luego, pida a sus estudiantes que escriban el par ordenado del punto B en sus pizarras blancas individuales. Compruebe que escriban las coordenadas x y y en el orden correcto y que usen la notación apropiada. Ayude a sus estudiantes a corregir los errores.
Rotule el punto B como (2, 4).
Describan la ubicación del punto B.
El punto B está arriba de la coordenada 2 en el eje x y a la derecha de la coordenada 4 en el eje y.
El punto B está 2 unidades a la derecha del eje y y 4 unidades arriba del eje x.
Pida a sus estudiantes que escriban el par ordenado del punto C en sus pizarras blancas. Compruebe que escriban las coordenadas x y y en el orden correcto y que usen la notación apropiada. Ayude a sus estudiantes a corregir los errores.
Rotule el punto C como (6, 1). Luego, pida a sus estudiantes que describan la ubicación del punto C.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían determinar el par ordenado de un punto marcado en el plano de coordenadas.
Marcar puntos en el plano de coordenadas
La clase marca puntos en el plano de coordenadas usando pares ordenados.
Continúe mostrando el plano de coordenadas con los puntos A, B y C. Pida a la clase que marque un punto en el lugar donde se intersecan los ejes x y y en los planos de coordenadas que construyeron.
Describan la ubicación en donde se intersecan los ejes.
Los ejes se intersecan en 0 en cada recta numérica.
El punto donde se intersecan los ejes x y y se llama origen.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión de las rectas numéricas y de un sistema de coordenadas en una recta para determinar las coordenadas x y y de un punto en el plano de coordenadas y, luego, escribe el par ordenado del punto.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relacionan las rectas numéricas y los ejes? ¿Cómo puede ayudarles esa relación a describir la ubicación de puntos?
• ¿Cómo puede ayudarles su conocimiento acerca de la descripción de las ubicaciones de puntos en una recta numérica a describir las ubicaciones de puntos en el plano de coordenadas?
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál es el par ordenado del origen.
El par ordenado del origen es (0, 0) porque las coordenadas x y y del origen son 0.
El par ordenado del origen es (0, 0) porque está ubicado en 0 tanto en el eje x como en el eje y.
Pida a la clase que escriba origen y lo rotule como (0, 0).
Podemos describir la ubicación de cualquier punto en el plano de coordenadas usando las coordenadas x y y. El par ordenado de un punto nos indica cómo llegar al punto desde el origen.
Podemos marcar un punto comenzando en el origen. Primero, la coordenada x nos indica cuánto debemos movernos en el sentido del eje x. Luego, la coordenada y nos indica cuánto debemos movernos desde allí en el sentido del eje y.
Coloque su dedo en el origen. Deslice el dedo hacia la derecha, a lo largo del eje x, hasta 2.
Para ubicar el punto A, comenzamos en el origen. La coordenada x nos indica que debemos movernos 2 unidades hacia la derecha en el eje x.
Deslice el dedo hacia arriba hasta el punto A.
La coordenada y nos indica que debemos movernos 1 unidad hacia arriba desde allí.
Invite a sus estudiantes a desplazar un dedo desde el origen hasta el punto A mientras dicen las direcciones.
2 hacia la derecha, 1 hacia arriba.
Nota para la enseñanza
El enfoque de esta lección es ubicar y marcar puntos dentro del primer cuadrante del plano de coordenadas. En esta lección, ningún punto tiene 0 como coordenada excepto el origen. Sus estudiantes razonan acerca de las coordenadas de puntos en los ejes en la lección 3. En 6.o grado, ubican y marcan puntos en los cuatro cuadrantes del plano de coordenadas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las direcciones para llegar desde el origen hasta los puntos B y C.
Luego, pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Invite a sus estudiantes a completar lo siguiente:
• Rotulen los ejes x y y.
• Rotulen el origen como 0.
• Desde el origen, rotulen las líneas de la cuadrícula en los dos ejes con números enteros del 1 al 10.
Cuando la clase haya terminado, muestre el plano de coordenadas rotulado.
y
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la ubicación del punto P con una coordenada x de 4 y una coordenada y de 3.
El punto P está ubicado 4 unidades a la derecha del eje y y 3 unidades arriba del eje x.
Para llegar al punto P desde el origen, nos movemos 4 unidades hacia la derecha y, desde allí, 3 unidades hacia arriba.
DUA: Acción y expresión
Considere ofrecer opciones alternativas para disminuir las exigencias de motricidad fina de la tarea. Por ejemplo, proporcione una versión más grande del plano de coordenadas o una versión en la que el eje, el origen y las líneas de la cuadrícula ya estén rotulados.
Pida a la clase que marque y rotule el punto P en (4, 3). Pídales que comprueben su trabajo en parejas.
¿En qué se parece el par ordenado (3, 4) al par ordenado (4, 3)? ¿En qué se diferencia?
Los dos pares ordenados tienen a 3 y 4 como coordenadas, pero las coordenadas están en un orden distinto para cada punto.
Pida a la clase que marque y rotule el punto Q en (3, 4). Pídales que comprueben su trabajo en parejas.
Observaron que las coordenadas de los pares ordenados de los puntos P y Q son los mismos dos números, pero que están en un orden distinto para cada punto. ¿Los puntos P y Q están en la misma ubicación en el plano de coordenadas? ¿Cómo lo saben?
No. El punto P está 4 unidades a la derecha del eje y y 3 unidades arriba del eje x. El punto Q está 3 unidades a la derecha del eje y y 4 unidades arriba del eje x.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar los problemas 1(f), 1(g) y 2.
1. Usa el plano de coordenadas para completar el problema.
a. Rotula los ejes x y y.
b. Rotula el origen como 0
c. Desde el origen, rotula cada línea de la cuadrícula en los dos ejes con un número entero del 1 al 10.
d. Marca y rotula el punto P con una coordenada x de 4 y una coordenada y de 3.
e. Marca y rotula el punto Q en (3, 4).
f. Marca y rotula el punto R ubicado 9 unidades a la derecha del eje y y 7 unidades arriba del eje x.
g. Marca y rotula el punto S en (7, 9).
Nota para la enseñanza
Considere hacer énfasis en la importancia de usar la notación correcta para los pares ordenados diciendo a la clase que las coordenadas de otro punto son 3 y 5. Pregúnteles si pueden describir la ubicación exacta del punto en el plano de coordenadas sin saber cuál es la coordenada x y cuál es la coordenada y.
2. Completa la tabla para los puntos marcados en el problema 1.
Punto Coordenada x Coordenada y
Si hay tiempo suficiente, forme parejas de estudiantes. Pida a un miembro de cada pareja que marque otro punto en el plano de coordenadas. Luego, pida al otro miembro de la pareja que describa la ubicación del punto y escriba el par ordenado del punto.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Construir un sistema de coordenadas en un plano
Guíe una conversación de toda la clase acerca de marcar e identificar las ubicaciones de puntos en el plano de coordenadas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Por qué es útil un sistema de coordenadas en un plano?
Podemos usarlo para identificar la ubicación de un punto en el plano.
Podemos usarlo para marcar un punto en el plano cuando se da el par ordenado del punto.
Podemos usarlo para describir cuántas unidades a la derecha del eje y y arriba del eje x se encuentra un punto.
¿Por qué el origen es una ubicación importante en el plano de coordenadas?
El origen es el punto en donde los dos ejes se intersecan y crean el plano de coordenadas.
El origen es el lugar donde comenzamos cuando queremos marcar un punto en el plano de coordenadas.
Diferenciación: Desafío
Considere plantear a sus estudiantes el desafío de describir la ubicación de un punto en relación con otro punto, en lugar de proporcionar un par ordenado. Por ejemplo, pida a sus estudiantes que marquen un punto que esté 3 unidades a la izquierda y 4 unidades hacia arriba del punto P en el problema 1. Luego, pídales que nombren el par ordenado del punto que marcaron.
¿Qué es importante recordar cuando se marca un punto en el plano de coordenadas?
Comenzamos en el origen, nos movemos en el sentido del eje x y, luego, en el sentido del eje y.
En el par ordenado de un punto, la coordenada x es siempre la primera y la coordenada y es siempre la segunda. De esa forma, sabemos cuánto debemos movernos hacia la derecha del origen y, desde allí, cuánto debemos movernos hacia arriba.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
4. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (d).
Usa la gráfica para completar los problemas 1 a 3.
1. Rotula el origen y los ejes x y y
2. Considera el punto M
a. La coordenada x del punto M es 6 .
b. La coordenada y del punto M es 1
c. El par ordenado que identifica la ubicación del punto M es (
3. ¿Qué par ordenado identifica la ubicación del origen? (0, 0)
a. Escribe el nombre del punto ubicado en las coordenadas dadas.
Punto Coordenada x Coordenada y Par ordenado (x, y)
b. El punto D está 2 unidades a la derecha del eje y
c. El punto D está 5 unidades arriba del eje x
d. Escribe el par ordenado que representa el punto D (2, 5)
5. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (c).
a. Completa la tabla para los puntos E y F
Punto Coordenada x Coordenada y Par ordenado (x, y) E 4 6 (4, 6) F 2 4 (2, 4)
b. Marca un punto en (5, 1). Rotula el punto G
c. Marca un punto en (4, 2). Rotula el punto H.
6. Considera el par ordenado (6, 2)
a. Construye un plano de coordenadas y marca un punto en (6, 2) y x 017
23456
b. Explica cómo ubicar el punto desde el origen.
Comienzo en el origen. Me muevo 6 unidades hacia la derecha a lo largo del eje x. Luego, desde allí, me muevo 2 unidades hacia arriba.
7. Yuna comete un error y dice que el punto marcado en (6, 2) está ubicado 2 unidades a la derecha del eje y y 6 unidades arriba del eje x Escribe un enunciado para corregir el error de Yuna. El punto marcado en (6, 2) está ubicado 6 unidades a la derecha del eje y y 2 unidades arriba del eje x.
GRUPO DE PROBLEMAS
EUREKA MATH
EUREKA MATH
Identificar y marcar puntos usando pares ordenados
Usa la gráfica para completar las partes (a) a (f).
a. Escribe las coordenadas y el par ordenado de cada punto en la tabla.
Punto Coordenada x Coordenada y Par ordenado (x, y)
b. Marca el punto C en ( 1 2 , 2 1 2 )
c. El punto C está 1 2 (de) unidad(es) a la derecha del eje y.
d. Marca el punto D en (4 1 4 , 2 3 4 )
e. Marca el punto E en (3 1 2 , 0).
f. La longitud del intervalo del eje x es 1 4 (de) unidad(es). La longitud del intervalo del eje y es 1 4 (de) unidad(es).
Vistazo a la lección
La clase construye un sistema de coordenadas y usa pares ordenados para describir la ubicación de puntos en ejes en el plano de coordenadas. Dado un plano de coordenadas en el que los ejes tienen longitudes del intervalo distintas de 1, escriben las coordenadas de puntos como pares ordenados y usan coordenadas para marcar puntos.
Preguntas clave
• ¿Qué indica acerca de la ubicación de un punto en un plano de coordenadas que la coordenada x o la coordenada y sea 0?
• ¿Por qué usamos longitudes del intervalo distintas de 1 para rotular las líneas de una cuadrícula?
Criterio de logro académico
5.Mód6.CLA3 Marcan e interpretan puntos en un sistema de coordenadas bidimensional. (5.G.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Identificar puntos en ejes en el plano de coordenadas
• Identificar puntos en el plano de coordenadas
• Marcar puntos en el plano de coordenadas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Cuadrícula con puntos (en la edición para la enseñanza)
• herramienta de borde recto
Estudiantes
• Cuadrícula con puntos (en el libro para estudiantes)
• herramienta de borde recto
Preparación de la lección
Considere si desea retirar las hojas extraíbles de Cuadrícula con puntos de los libros para estudiantes con antelación o si las retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Medir el volumen
La clase determina el volumen de una figura sólida con todos los cubos visibles para adquirir fluidez con la medición del volumen del módulo 5.
Muestre la figura sólida y el enunciado.
Cada cubo representa 1 centímetro cúbico.
Escriban el volumen de la figura. Recuerden incluir las unidades.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta. 10
2 centímetros cúbicos
Cada cubo representa 1 centímetro cúbico.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
cubo representa 1 centímetro cúbico
6 centímetros cúbicos Cada cubo representa 1 pulgada cúbica 6 pulgadas cúbicas Cada cubo representa 1 pulgada cúbica 5 pulgadas cúbicas Cada cubo representa 1 pie cúbico. 8 pies cúbicos
8 pies cúbicos
9 unidades cúbicas
15 unidades cúbicas
Intercambio con la pizarra blanca: Identificar puntos en la recta numérica
La clase responde preguntas sobre puntos ubicados en una recta numérica horizontal con una longitud del intervalo de 1 _ 4 para desarrollar fluidez con la identificación de puntos en el plano de coordenadas.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Cada
Cada cubo representa 1 pie cúbico
Cada cubo representa 1 unidad cúbica
Cada cubo representa 1 unidad cúbica.
Muestre la recta numérica y la primera pregunta.
¿Cuál es la longitud del intervalo?
1 4 de unidad
Muestre la respuesta y, luego, muestre la siguiente pregunta.
Continúe con las siguientes preguntas.
¿Cuál es la coordenada del punto A?
1
¿Cuál es la coordenada del punto D?
1 3 _ 4 , o 7 4
¿A cuántas unidades de distancia de 0 está el punto B?
3 4 de unidad
¿A cuántas unidades de distancia de 0 está el punto D?
1 3 __ 4 unidades, o 7 4 de unidad
¿Cuál es la distancia desde el punto A hasta el punto E?
1 4 de unidad
¿Cuál es la distancia desde el punto D hasta el punto C?
1 1 4 unidades, o 5 4 de unidad
¿Qué punto está a la derecha del punto D?
El punto C
¿Qué punto está 3 __ 4 de unidad a la izquierda del punto D?
El punto A
Presentar
La clase analiza puntos marcados en el plano de coordenadas y comenta las semejanzas y diferencias entre las coordenadas de los puntos.
Muestre el plano de coordenadas con puntos marcados. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las ubicaciones de los puntos.
¿En qué se parecen las ubicaciones de los puntos B y D? ¿En qué se diferencian?
Tanto el punto B como el punto D están 6 unidades arriba del eje x.
Los puntos B y D están en la misma recta horizontal.
Los puntos B y D tienen la misma coordenada y pero diferentes coordenadas x.
¿En qué se parecen las coordenadas de los puntos B y C? ¿En qué se diferencian?
Tanto el punto B como el punto C están 4 unidades a la derecha del eje y.
Los puntos B y C están en la misma recta vertical.
Los puntos B y C tienen la misma coordenada x pero diferentes coordenadas y.
Pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de cuáles podrían ser las coordenadas de los puntos A y C, dado que los dos puntos están sobre los ejes.
Luego, pídales que conversen acerca de cuáles podrían ser las coordenadas del punto E, dado que no está en una línea horizontal de la cuadrícula.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a identificar, marcar y describir las ubicaciones de puntos en un plano de coordenadas que tiene una escala que no es 1.
Aprender
Identificar puntos en ejes en el plano de coordenadas
Materiales: M/E) Cuadrícula con puntos, herramienta de borde recto
La clase construye un sistema de coordenadas y describe la ubicación de puntos en ejes en el plano de coordenadas.
Muestre la primera página de Cuadrícula con puntos.
Pida a sus estudiantes que retiren las hojas extraíbles de Cuadrícula con puntos de sus libros. Guíe a la clase para construir un sistema de coordenadas:
• Pida a sus estudiantes que usen una herramienta de borde recto para trazar una recta horizontal que pase por el punto A y rotulen la recta como x.
• Luego, pida que usen una herramienta de borde recto para trazar una recta vertical que pase por el punto B, que rotulen la recta como y, y que rotulen el origen como 0.
¿Qué crearon al trazar la recta vertical y la recta horizontal?
Un plano de coordenadas
Nota para la enseñanza
Si sus estudiantes necesitan más ayuda para construir el plano de coordenadas, considere representar las instrucciones que se les dan con su Cuadrícula con puntos.
DUA: Acción y expresión
Para ayudar a sus estudiantes a construir el sistema de coordenadas, considere brindar una lista de verificación para que consulten mientras trabajan.
• Usar una herramienta de borde recto para trazar una recta horizontal que pase por el punto A. Rotular la recta como x.
• Usar una herramienta de borde recto para trazar una recta vertical que pase por el punto B. Rotular la recta como y.
• Rotular el origen como 0
• Rotular todas las otras líneas de la cuadrícula a lo largo de los ejes con un número entero.
Ofrézcales la opción de trabajar en parejas para que se ayuden a trazar y rotular los ejes.
Diga a la clase que la longitud del intervalo entre dos líneas horizontales de la cuadrícula es 1 __ 2 unidad y que la longitud del intervalo entre dos líneas verticales de la cuadrícula también es 1 2 unidad.
¿Cuál es la coordenada x del punto A? ¿Cómo lo saben?
La coordenada x es 1. Lo sé porque el punto A está dos y 1 __ 2 líneas de la cuadrícula a la derecha del origen.
Pida a la clase que rotule el eje x debajo del punto A como 1.
Sabemos que el punto A está 1 unidad a la derecha del origen. Pongan el dedo en el lugar donde deberíamos rotular 2 en el eje x.
Pida a la clase que rotule las líneas de la cuadrícula en números enteros en el eje x.
Ahora, pongan el dedo en el lugar donde deberíamos rotular 1 en el eje y.
Pida a la clase que rotule las líneas de la cuadrícula en números enteros en el eje y.
Muestre el plano de coordenadas rotulado.
La coordenada x del punto A es 1. ¿Cuál es la coordenada y del punto A? ¿Cómo lo saben?
La coordenada y es 0. El punto está 0 unidades arriba del eje x.
¿Cuál es el par ordenado del punto A?
(1, 0)
Rotule el punto A con el par ordenado (1, 0).
¿Cuál es la coordenada x y la coordenada y del punto B?
La coordenada x es 0 y la coordenada y es 3.
¿Cuál es el par ordenado del punto B?
(0, 3)
Nota para la enseñanza
Mientras avanza con la identificación de los pares ordenados de los puntos en la Cuadrícula con puntos, considere hacer una tabla para organizar las coordenadas y los pares ordenados como se muestra.
Punto Coordenada x Coordenada y Par ordenado
A 1 0 (1, 0)
Rotule el punto B con el par ordenado (0, 3).
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder por qué una de las coordenadas del punto A y el punto B es 0.
El punto A tiene una coordenada y de 0 porque el punto está sobre, y no arriba, del eje x.
El punto B tiene una coordenada x de 0 porque el punto está 0 unidades a la derecha del eje y.
Cuando una de las coordenadas de un par ordenado es 0, el punto está sobre uno de los ejes.
Escriba (0, 6).
El par ordenado del punto G es (0, 6). ¿El punto G está sobre el eje x o el eje y?
¿Cómo lo saben?
El punto G está sobre el eje y. Lo sé porque tiene una coordenada x de 0. La distancia entre el punto y el eje y es 0.
Marquen un punto que no sea el punto A en el eje x. Identifiquen el par ordenado del punto que marcaron.
(4, 0)
(6, 0)
Marquen un punto que no sea el punto B en el eje y. Identifiquen el par ordenado del punto que marcaron.
(0, 1)
(0, 5)
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para practicar cómo identificar coordenadas de puntos marcados en un eje. Alguien marca un punto en uno de los ejes. La pareja dice el par ordenado que describe la ubicación del punto. Cambian los roles y repiten la actividad.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere brindar lenguaje direccional para ayudar a sus estudiantes a describir las ubicaciones en el plano de coordenadas.
Punto Par ordenado Lenguaje direccional
A (1, 0)
B (0, 3)
C (2, 1 1 2 )
1 unidad a la derecha del eje y
3 unidades arriba del eje x
2 unidades a la derecha del eje y y
1 1 2 unidades arriba del eje x
Identificar puntos en el plano de coordenadas
Materiales: M/E) Cuadrícula con puntos
La clase nombra y describe la ubicación de puntos en el plano de coordenadas usando pares ordenados.
Pida a sus estudiantes que vayan a las hojas extraíbles de Cuadrícula con puntos.
¿Cuál es la longitud del intervalo en el eje x?
1 __ 2 unidad
¿Cuál es la longitud del intervalo en el eje y?
1 __ 2 unidad
Pida sus estudiantes que observen el punto C en su Cuadrícula con puntos.
¿Cuál es la coordenada x del punto C? ¿Cómo lo saben?
2 porque el punto está 2 unidades a la derecha del eje y.
¿Cuál es la coordenada y del punto C? ¿Cómo lo saben?
1 1 2 porque el punto está 1 1 2 unidades arriba del eje x.
¿Cuál es el par ordenado del punto C?
(2, 1 1 2 )
Diferenciación: Apoyo
Si hay estudiantes que necesitan apoyo adicional para usar planos de coordenadas con una longitud del intervalo fraccionaria, ayúdeles a contar salteado usando el valor de una unidad para determinar las coordenadas de un punto. Por ejemplo, para determinar la coordenada x del punto D, es posible que alguien cuente
__
. Luego, para determinar la coordenada y, es posible que cuente
Rotule el punto C con el par ordenado (2, 1 1 __ 2 ).
Pida a la clase que rotule los puntos D, E y F usando pares ordenados. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo. Cuando hayan terminado, pídales que describan su proceso. Anime a la clase a usar gestos para ilustrar el movimiento o la dirección.
¿Cómo hallaron las coordenadas de los puntos?
Empecé en el origen. Me moví hacia la derecha a lo largo del eje x hasta que estaba debajo del punto. (Desliza el dedo a lo largo del eje x hasta 2 1 __ 2 ). Luego, me moví hacia arriba desde ahí hasta el punto. (Desliza el dedo hacia arriba hasta 2 1 2 unidades). Hallé cuántas unidades me moví hacia la derecha y cuántas unidades me moví hacia arriba.
Hallé el punto en el plano y, luego, deslicé el dedo a lo largo de la línea de la cuadrícula hasta que se intersecara con cada eje.
Muestre la gráfica de la sección Presentar. Pida a sus estudiantes que estimen el par ordenado del punto E.
Parece que el par ordenado del punto E es (6, 3 1 __ 2 ). ¿Por qué el valor de la coordenada y, 3 1 __ 2 , es una estimación?
El punto no está en una intersección de las líneas de la cuadrícula, así que no sabemos con certeza si la coordenada y es 3 1 2 .
Muestre la gráfica del problema 1 con los puntos P, Q, R, S y T.
P R S Q T
¿Cuál es la longitud del intervalo en cada eje? ¿Cómo lo saben?
La longitud del intervalo en cada eje es 1 4 de unidad. Lo sé porque la distancia desde 0 a 1 está dividida en cuatro partes.
¿Qué punto se ubica en (1 3 __ 4 , 0)? ¿Cómo lo saben?
El punto R se ubica en (1 3 4 , 0). Lo sé porque el punto está 1 3 4 unidades a la derecha del eje y y 0 unidades arriba del eje x.
¿Sabemos con certeza si el par ordenado del punto R es (1 3 __ 4 , 0), o es una estimación?
¿Por qué?
Sabemos con certeza que ese es el par ordenado porque el punto se ubica en una intersección de las líneas de la cuadrícula.
Escriba el par ordenado del punto R. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que escriban el par ordenado del punto R.
Pida a sus estudiantes que completen el problema 1 para los puntos P, Q, S y T. Recorra el salón de clases mientras trabajan y proporcione apoyo. Mientras recorre el salón de clases, haga las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es la longitud del intervalo en el eje x? ¿En qué puede ayudarles eso a determinar la coordenada x del punto?
• ¿Cuál es la longitud del intervalo en el eje y? ¿En qué puede ayudarles eso a determinar la coordenada y del punto?
• ¿En qué se parecen las coordenadas de los puntos P y R? ¿En qué se diferencian?
1. Escribe las coordenadas y los pares ordenados de los puntos P, Q, R, S y T en la tabla.
Punto Coordenada x Coordenada y Par ordenado
Cuando la clase haya terminado, haga la siguiente pregunta.
¿En qué se parecen las coordenadas de los puntos P y R? ¿En qué se diferencian?
Las coordenadas son los mismos dos números, pero el orden de los números es diferente en el par ordenado. La coordenada y del punto R es 0, y la coordenada x del punto P es 0.
Muestre la gráfica con los puntos W, V y Z.
¿Cuál es la longitud del intervalo en el eje x?
10
¿Cuál es la longitud del intervalo en el eje y?
10
¿Cuál es la coordenada x y la coordenada y del punto W?
¿Cómo lo saben?
La coordenada x es 0. Lo sé porque el punto está 0 unidades a la derecha del eje y. La coordenada y es 30. Lo sé porque el punto está 30 unidades arriba del eje x.
030409 100 2050607080 x
Invite a la clase a usar la rutina PensarTrabajar en parejas-Compartir para identificar los pares ordenados que representan las ubicaciones de los puntos V y Z. Mientras comparten, agregue los pares ordenados al plano de coordenadas que se muestra. Pida a sus estudiantes que compartan los métodos que usaron.
El par ordenado que representa la ubicación del punto V es (80, 70). El punto V está 80 unidades a la derecha del eje y y 70 unidades arriba del eje x.
El par ordenado que representa la ubicación del punto Z es (40, 0). El punto Z está 40 unidades a la derecha del origen y sobre el eje x.
Cuando ubicamos un punto en el plano de coordenadas, es importante considerar las escalas de los ejes. Debemos considerar la longitud del intervalo de cada eje en lugar de solo contar el número de líneas de la cuadrícula.
¿Por qué creen que se eligió una longitud del intervalo de 10 para marcar estos puntos?
Una longitud del intervalo mayor nos permite marcar pares ordenados con coordenadas mayores en el plano de coordenadas.
Si los puntos W, V y Z estuvieran marcados en un plano de coordenadas con una longitud del intervalo de 1, ¿cómo sería el plano de coordenadas? ¿Por qué?
El plano de coordenadas sería muy grande porque se necesitarían al menos 80 líneas de la cuadrícula a lo largo del eje x y 70 líneas de la cuadrícula a lo largo del eje y.
Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo identificar las coordenadas de puntos cuando las longitudes del intervalo no son 1.
Marcar puntos en el plano de coordenadas
La clase marca puntos en el plano de coordenadas.
Pida a sus estudiantes que den vuelta a la hoja extraíble de Cuadrícula con puntos para ver el plano de coordenadas que está al dorso. Muestre el plano de coordenadas A.
¿Los ejes del plano de coordenadas A tienen la misma escala?
Sí.
¿Cuál es la longitud del intervalo de cada eje?
1 2 unidad
Marquemos el punto A en el plano de coordenadas A. Las coordenadas del punto A son (5 1 __ 2 , 1 1 __ 2 ). Describan cómo sabemos dónde marcar el punto.
Nos movemos 5 1 2 unidades hacia la derecha del origen y, luego, nos movemos 1 1 _ 2 unidades hacia arriba desde ahí. Luego, marcamos el punto. 034125678 x
Represente cómo moverse 5 1 __ 2 unidades hacia la derecha del origen y 1 1 __ 2 unidades hacia arriba. Luego, marque y rotule el punto A y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Escriba las siguientes coordenadas:
• Punto B (3 1 2 , 0)
• Punto C (4, 6 1 2 )
• Punto D (0, 7 1 2 )
• Punto E (2, 5 1 4 )
Pida a sus estudiantes que marquen y rotulen los cuatro puntos y comprueben su trabajo en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan para comprobar la precisión de sus marcas. Cuando la clase haya terminado, haga las siguientes preguntas.
¿Qué punto está sobre el eje x?
¿Qué punto está sobre el eje y? D
¿Con qué punto tienen que hacer una estimación sobre su ubicación para poder marcarlo? ¿Por qué?
No sabemos la ubicación exacta del punto E. La coordenada y es 5 1 4 , que está entre 5 y 5 1 2 , así que debemos estimar su ubicación.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando marca puntos en el plano de coordenadas cuyos ejes tienen longitudes del intervalo distintas de 1 y cuando determina la mejor escala de los ejes para marcar puntos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Cuál es su plan para marcar el punto E?
• ¿Qué información o datos necesitan para decidir la escala de cada eje?
• ¿La escala que eligieron funciona? ¿Pueden intentar algo distinto?
Muestre el plano de coordenadas B y escriba las coordenadas Q(12, 20), R(8, 0) y S(32, 32).
Observen las coordenadas x de los puntos dados. ¿Cuál es la coordenada x mayor? ¿Cuál es la coordenada y mayor?
La coordenada x mayor es 32 y la coordenada y mayor es 32.
Si la longitud del intervalo en los dos ejes fuera 2, ¿podrían marcar todos los puntos? Expliquen.
No. Si la longitud del intervalo fuera 2, necesitaríamos 16 líneas de la cuadrícula para llegar a 32.
Invite a la clase a usar la rutina PensarTrabajar en parejas-Compartir para analizar qué escala podrían usar en los ejes para poder marcar los puntos en el plano de coordenadas B.
Podríamos usar una longitud del intervalo de 4 para los dos ejes. Si rotulamos la primera línea de la cuadrícula 4, entonces, la última línea de la cuadrícula estaría rotulada 40, y podríamos marcar todos los puntos en las líneas de la cuadrícula.
Rotule las líneas de la cuadrícula de cada eje y pida a la clase que haga lo mismo.
Marquemos el punto Q en (12, 20). Describan cómo sabemos dónde marcar el punto.
Empezamos en el origen. Nos movemos 12 unidades a lo largo del eje x y, luego, nos movemos 20 unidades hacia arriba desde ahí.
Nota para la enseñanza
Si bien otras longitudes del intervalo son posibles para este plano de coordenadas, las longitudes del intervalo de 4 son la mejor opción porque con una longitud del intervalo de 4 todos los puntos estarán sobre las líneas de la cuadrícula.
Diferenciación: Desafío
Invite a quienes necesiten un desafío adicional a construir y rotular un plano de coordenadas que pueda usarse para marcar la ubicación exacta de los puntos (4 1 2 , 12) y ( 1 2 , 21)
Represente cómo moverse 12 unidades hacia la derecha del origen y 20 unidades hacia arriba. Luego, marque y rotule el punto Q y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Por qué el punto está 3 líneas de la cuadrícula a la derecha del eje y, y no 12 líneas de la cuadrícula?
La longitud del intervalo es 4 unidades, así que 3 líneas de la cuadrícula representan un total de 12 unidades.
Pida a sus estudiantes que marquen los puntos R y S y comprueben su trabajo en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan para comprobar la precisión de sus marcas.
Cuando hayan terminado, pídales que se reúnan y conversen en parejas acerca de por qué deben pensar en las escalas de los ejes antes de marcar los puntos en el plano de coordenadas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar y marcar puntos usando pares ordenados
Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo describir la ubicación de puntos en un plano de coordenadas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Qué indica acerca de la ubicación de un punto en un plano de coordenadas que la coordenada x o la coordenada y sea 0?
Todo punto con una coordenada de 0 se ubica sobre uno de los ejes.
Todo punto con una coordenada y de 0 se ubica sobre el eje x. Todo punto con una coordenada x de 0 se ubica sobre el eje y.
El punto U tiene una ubicación de (3, 0) y el punto Z tiene una ubicación de (0, 3). ¿En qué se diferencian las ubicaciones del punto U y el punto Z?
El punto U está 3 unidades a la derecha del eje y y 0 unidades arriba del eje x. Está sobre el eje x.
El punto Z está 0 unidades a la derecha del eje y y 3 unidades arriba del eje x. Está sobre el eje y.
¿Por qué usamos longitudes del intervalo distintas de 1 para rotular las líneas de una cuadrícula?
Si las coordenadas de los puntos son números grandes, quizás no podamos ver todos los puntos si rotulamos las líneas de la cuadrícula usando 1 como la longitud del intervalo. Si las coordenadas de los puntos son fracciones como 1 2 , quizás queramos que la longitud del intervalo sea una fracción para poder marcar puntos en las líneas de la cuadrícula.
¿Cómo ubicamos un punto en el plano de coordenadas cuando las longitudes del intervalo de los ejes son distintas de 1?
Contamos salteado usando el número de unidades y no usando el número de líneas de la cuadrícula.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (e).
a. El par ordenado (35, 15) describe la ubicación del punto J
b. El par ordenado que describe la ubicación del punto K es ( 30 , 60 )
c. El punto H se ubica en el origen.
d. ¿Qué dos puntos tienen una coordenada x de 0?
El punto P y el punto H
e. ¿Qué dos puntos se ubican en el eje x?
El punto N y el punto H
2. Usa la gráfica para completar las partes (a) y (b). 01020304050607080 x
a. Escribe la coordenada x, la coordenada y y el par ordenado de cada punto en la tabla.
Punto Coordenada x Coordenada y Par ordenado L 50 45 (50, 45) M 70 25 (70, 25) N 55 0 (55, 0)
b. Lacy dice que el par ordenado del punto J es (31, 11). ¿Está Lacy en lo correcto? Explica. No. Lacy contó cada intervalo como 1, pero cada intervalo es 5. El par ordenado del punto J es (35, 15)
3. Usa el plano de coordenadas para completar las partes (a) a (e). 0123456789 x
a. Marca y rotula los siguientes puntos.
Punto E (0, 4) Punto F (4, 0) Punto H ( 1 2 , 2 1 2 ) Punto I (2 3 4 , 5)
b. El punto H está 2 1 2 unidad(es) arriba del eje x
c. El punto H está 1 2 unidad(es) a la derecha del eje y
d. La longitud del intervalo del eje x es 1 2 unidad(es).
e. La longitud del intervalo del eje y es 1 2 unidad(es).
Usa la cuadrícula para completar los problemas 4 y 5.
4. Dibuja un plano de coordenadas. Incluye una escala que permita marcar los siguientes puntos. Marca y rotula los puntos.
Punto J (18, 10)
Punto L (4, 11)
Punto M (18, 6)
5. Describe las semejanzas y diferencias entre las ubicaciones de los puntos M y J
Tanto el punto M como el punto J están 18 unidades a la derecha del eje y. El punto M está a 6 unidades del eje x, y el punto J está a 10 unidades del eje x
Describir la distancia y la dirección entre puntos en el plano de coordenadas
Vistazo a la lección
El plano de coordenadas muestra la ubicación de distintos lugares en el pueblo donde vive Lisa.
a. Escribe el par ordenado de cada ubicación.
Ubicación Par ordenado
Casa de Lisa (0, 0)
Escuela (5, 1)
Estación de tren (2, 4)
Oficina de correos (4, 7)
Campo de beisbol (6, 9)
Ayuntamiento (8, 6)
Oficina de correos
Campo de beisbol
Ayuntamiento
Estación de tren
Casa de Lisa
Escuela
012310 6789 4111 52 x
b. Lisa viaja 2 unidades hacia el este y 4 unidades hacia el norte de su casa. ¿Adónde va Lisa?
Lisa va a la estación de tren.
c. Describe cómo ir desde el campo de beisbol hasta la escuela.
Hay que moverse 1 unidad hacia el oeste y, luego, 8 unidades hacia el sur.
La clase usa una actividad digital interactiva para describir la ubicación de puntos en el plano de coordenadas de un mapa y describe el movimiento entre esos puntos en términos de distancia y dirección. Describen la distancia en unidades usando las direcciones izquierda y derecha, oeste y este, arriba y abajo, y norte y sur.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos describir el movimiento entre puntos en el plano de coordenadas?
• Cuando realizamos un movimiento desde un punto hacia otro punto en el plano de coordenadas, ¿qué diferencias hay entre los pares ordenados de cada uno de los dos puntos?
Criterios de logro académico
5.Mód6.CLA4 Resuelven problemas del mundo real usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Describir un movimiento entre puntos
• Usar las direcciones cardinales
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Medir el volumen
La clase determina el volumen de una figura sólida en la que algunos cubos no están visibles para adquirir fluidez con la medición del volumen a partir del conteo de cubos.
Muestre la figura sólida y el enunciado.
Cada cubo representa 1 centímetro cúbico.
Escriban el volumen de la figura. Recuerden incluir las unidades.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Cada cubo representa 1 centímetro cúbico Cada cubo representa 1 pulgada cúbica. Cada cubo representa 1 pulgada cúbica
Cada cubo representa 1 pie cúbico
24
Cada cubo representa 1 centímetro cúbico
6 centímetros cúbicos
Intercambio con la pizarra blanca: Identificar puntos en la recta numérica
La clase responde preguntas sobre puntos ubicados en una recta numérica vertical con una longitud del intervalo de 1 _ 4 para desarrollar fluidez con la identificación de puntos en el plano de coordenadas.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la recta numérica y la primera pregunta.
¿Cuál es la longitud del intervalo?
1 __ 4 de unidad
Muestre la respuesta y, luego, muestre la siguiente pregunta. Continúe con las siguientes preguntas.
¿Cuál es la coordenada del punto A? 1
¿Cuál es la coordenada del punto D?
1 3 4 , o 7 4
¿A cuántas unidades de distancia de 0 está el punto B?
3 __ 4 de unidad
¿A cuántas unidades de distancia de 0 está el punto D?
1 3 4 unidades, o 7 4 de unidad
¿Cuál es la distancia desde el punto A hasta el punto E?
1 4 de unidad
¿Cuál es la distancia desde el punto D hasta el punto C?
1 1 4 unidades, o 5 4 de unidad
¿Qué punto está arriba del punto D?
El punto C
¿Qué punto está 3 4 de unidad debajo del punto D?
El punto A
Presentar
La clase explora las ventajas de describir una ubicación con puntos en el plano de coordenadas.
Reproduzca el video Mapa del zoológico. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a sus estudiantes que tomen nota de los detalles.
Muestre la imagen del mapa del zoológico.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo describir el movimiento desde la exhibición de elefantes a la exhibición de serpientes.
La exhibición de serpientes está a la derecha de la exhibición de elefantes y un poco más abajo.
Podemos caminar hacia la derecha, o al este, y, luego, caminar hacia abajo, o al sur.
¿Qué podríamos agregar al mapa del zoológico para comunicar las direcciones con mayor claridad?
¿De qué serviría eso?
Podríamos agregar una escala para saber cuál es la distancia entre los dos lugares.
Podríamos agregar la ubicación de los senderos para ver qué senderos tomar.
Podríamos agregar un plano de coordenadas para ver cuán a la derecha, izquierda, abajo o arriba están los lugares entre sí.
Podríamos agregar líneas de la cuadrícula para ver dónde están los lugares en relación con el eje x y el eje y.
Podríamos marcar un punto en el plano de coordenadas para cada exhibición y así saber las ubicaciones exactas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a describir la distancia y la dirección desde un punto hacia otro en el plano de coordenadas.
Aprender
Describir un movimiento entre puntos
La clase describe cómo realizar un movimiento desde un punto hacia otro en el plano de coordenadas.
Muestre la actividad digital interactiva de Mapa del zoológico. Señale cada ubicación para mostrarle a la clase lo que representa cada burbuja.
Presente el siguiente problema.
¿En qué se diferencia este mapa del zoológico del anterior?
Este mapa del zoológico tiene líneas de la cuadrícula.
Este mapa del zoológico tiene ejes.
Este mapa del zoológico tiene puntos para cada ubicación del zoológico.
¿Qué se ubica en el origen?
Una puerta
La puerta de entrada
Una persona visita el zoológico y camina
8 unidades hacia la derecha y, luego, 10 unidades hacia arriba desde la puerta de entrada. ¿Cuál es la exhibición que está más cerca de la ubicación de la persona?
La exhibición de jirafas
¿Cuál es el par ordenado de la exhibición de jirafas?
(8, 10)
Use la actividad digital interactiva para confirmar que la exhibición de jirafas está ubicada en (8, 10) y que, al moverse 8 unidades hacia la derecha de la entrada y, luego, 10 unidades hacia arriba, se llega a la exhibición de jirafas. Repita el proceso para ir desde la puerta de entrada hasta otra exhibición.
¿Qué se ubica en el punto (5, 3)?
La exhibición de osos panda
¿Cómo se llega desde la entrada hasta la exhibición de osos panda?
Caminamos 5 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.
Use la actividad digital interactiva para confirmar que la exhibición de osos panda está ubicada en (5, 3) y que, al moverse 5 unidades hacia la derecha de la entrada y, luego, 3 unidades hacia arriba, se llega a la exhibición de osos panda.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea el problema 1(a) a coro con la clase.
1. Usa el plano de coordenadas para responder cada pregunta.
a. Kayla está en la boletería y quiere ver los leones. ¿Cuántas unidades de distancia hay desde la boletería hasta la exhibición de leones y en qué dirección?
La exhibición de leones está 10 unidades a la derecha de la boletería.
b. Lacy almuerza en la cafetería. ¿Qué exhibición está a 4 unidades de distancia de Lacy?
La exhibición de elefantes
c. ¿Qué exhibición está 4 unidades a la derecha y 1 unidad debajo de los baños?
La exhibición de jirafas
Señale la boletería en el mapa del zoológico.
¿Cuál es el par ordenado de la boletería?
(1, 2)
Nota para la enseñanza
Al describir el movimiento desde un punto hacia otro, primero se escribe el movimiento horizontal y, luego, el movimiento vertical para mantener la coherencia y reforzar el orden de las coordenadas en un par ordenado. Es matemáticamente válido que sus estudiantes describan el movimiento vertical primero y, luego, el movimiento horizontal. Sin embargo, deben comprender que solo hay una forma correcta de escribir un par ordenado.
Considere preguntar a la clase si se llega al mismo lugar al realizar primero el movimiento vertical y si el orden de las coordenadas en un par ordenado cambia según qué movimiento se realiza primero. Haga énfasis en la diferencia entre seguir un movimiento desde un punto hacia otro en un plano de coordenadas y registrar el orden de las coordenadas de un par ordenado.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo realizar un movimiento desde la boletería hasta la exhibición de leones.
Desde la boletería, nos movemos 10 unidades hacia la derecha para llegar a la exhibición de leones.
El par ordenado de la boletería es (1, 2) y el par ordenado de la exhibición de leones es (11, 2), así que nos movemos 10 unidades hacia la derecha.
Use la actividad digital interactiva para mostrar que, al moverse 10 unidades hacia la derecha de la boletería, se llega a la exhibición de leones. Pida a la clase que escriba la respuesta a la parte (a).
Escriba las coordenadas de la boletería, (1, 2), y la exhibición de leones, (11, 2).
Observen los pares ordenados. ¿En qué se parecen las coordenadas de la boletería y las coordenadas de la exhibición de leones?
Las dos coordenadas y son 2.
¿En qué se diferencian las coordenadas de la boletería y las coordenadas de la exhibición de leones?
La coordenada x de la boletería es 1 y la coordenada x de la exhibición de leones es 11.
Cuando nos movemos desde la boletería hacia la exhibición de leones, nuestra ubicación cambia, por lo que nuestra ubicación se representa con un par ordenado diferente.
¿En qué se diferencian los pares ordenados? ¿Por qué?
La coordenada x de la boletería es diferente de la coordenada x de la exhibición de leones porque la exhibición de leones está 10 unidades a la derecha de la boletería en el plano de coordenadas.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1(b) y léalo a coro con la clase. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden determinar qué exhibición está a 4 unidades de distancia de la cafetería. Guíe a la clase para que vea que la exhibición de elefantes está 4 unidades arriba de la cafetería.
¿Cómo pueden describir el movimiento entre la cafetería y la exhibición de elefantes en el plano de coordenadas?
La exhibición de elefantes está 4 unidades arriba de la cafetería.
Use la actividad digital interactiva para mostrar que, al moverse 4 unidades hacia arriba desde la cafetería, se llega a la exhibición de elefantes. Pida a sus estudiantes que escriban la respuesta a la parte (b).
Escriba las coordenadas de la cafetería, (3, 4), y la exhibición de elefantes, (3, 8).
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Mientras la clase describe el movimiento entre puntos, brinde esquemas de oración para apoyar las descripciones.
está a unidades de . está unidades a la derecha de .
está unidades a la izquierda de .
está unidades arriba de . está unidades debajo de .
Más adelante en la lección, sus estudiantes también pueden usar las palabras norte, sur, este y oeste.
Observen los pares ordenados. Cuando nos movemos desde la cafetería hacia la exhibición de elefantes, nuestra ubicación cambia, por lo que se representa con un par ordenado diferente. ¿En qué se diferencian los pares ordenados? ¿Por qué?
La coordenada y de la cafetería es diferente de la coordenada y de la exhibición de elefantes porque la exhibición de elefantes está 4 unidades arriba de la cafetería en el plano de coordenadas.
Cuando describimos el movimiento entre puntos en el plano de coordenadas, usamos direcciones: izquierda o derecha y arriba o abajo. Cuando empezamos en un punto y nos movemos hacia la izquierda o la derecha, la coordenada x del punto que obtenemos es diferente. Cuando empezamos en un punto y nos movemos hacia arriba o abajo, la coordenada y del punto que obtenemos es diferente.
Pida a sus estudiantes que completen la parte (c) de forma independiente.
Invite a sus estudiantes a compartir sus respuestas a la parte (c) con toda la clase. Use la actividad digital interactiva para mostrar que, al moverse 4 unidades hacia la derecha de los baños y 1 unidad hacia abajo, se llega a la exhibición de jirafas. Luego, escriba las coordenadas de los baños, (4, 11), y la exhibición de las jirafas, (8, 10).
Observen los pares ordenados. Tanto las coordenadas x como las coordenadas y de los baños y de la exhibición de jirafas son diferentes. ¿Qué significa que las dos coordenadas sean diferentes?
La coordenada x y la coordenada y son diferentes porque hay que moverse tanto hacia la derecha como hacia abajo para ir desde los baños hasta la exhibición de jirafas.
Cuando empezamos en un punto en el plano de coordenadas y nos movemos hacia la derecha o la izquierda y hacia arriba o abajo, la coordenada x y la coordenada y del punto que obtenemos son diferentes de la coordenada x y la coordenada y del punto inicial.
Forme parejas de estudiantes. Pida a alguien de cada pareja que elija dos puntos en el plano de coordenadas. Pida a su pareja que describa el movimiento entre los dos puntos en el plano de coordenadas.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando usa un plano de coordenadas y pares ordenados para describir un movimiento en un mapa.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué representan los pares ordenados en este problema?
• ¿Qué nos indican las ubicaciones de las exhibiciones de animales acerca de la distancia entre puntos?
• ¿Qué situaciones del mundo real representa un plano de coordenadas?
Usar las direcciones cardinales
La clase usa la distancia y la dirección para determinar la ubicación de puntos.
Muestre el plano de coordenadas con la rosa de los vientos.
Señale la rosa de los vientos en la esquina del plano de coordenadas.
¿Qué nos muestra la rosa de los vientos?
Las direcciones norte, sur, este y oeste
¿Qué exhibición está más al sur?
La exhibición de leones
¿Qué exhibición está 4 unidades al norte de la cafetería?
La exhibición de elefantes
Escriba las coordenadas de la estación de primeros auxilios, (6, 7).
El zoológico quiere mover los baños para que estén ubicados al este y al sur de la estación de primeros auxilios. ¿Cuáles podrían ser las nuevas coordenadas de los baños?
(7, 4)
(9, 6)
(11, 1)
Mientras sus estudiantes comparten, escriba las coordenadas de los baños que sugieren. Luego, haga las siguientes preguntas.
¿Cómo se comparan las coordenadas x de las posibles ubicaciones de los baños con la coordenada x de la estación de primeros auxilios?
Las coordenadas x de las posibles ubicaciones de los baños son mayores que la coordenada x de la estación de primeros auxilios.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para ayudar a sus estudiantes a usar la rosa de los vientos o las direcciones cardinales, considere explicar que la rosa de los vientos se usa en un mapa para mostrar las direcciones norte, sur, este y oeste. El norte es la dirección opuesta al sur y el este es la dirección opuesta al oeste. La línea de norte a sur es perpendicular a la línea de este a oeste.
Si es posible, considere ayudar a sus estudiantes mostrando un mapa local y pidiéndoles que identifiquen lugares que estén al norte, sur, este u oeste de la escuela.
Diferenciación: Apoyo
Si hay estudiantes que necesitan apoyo para identificar una nueva ubicación para los baños, considere hacer preguntas guía para ayudarles a asociar este y sur con los términos direccionales derecha y abajo. Diga a sus estudiantes que, en este mapa, sabemos que el sur está abajo y que el este está a la derecha por la rosa de los vientos.
• ¿Cómo describirían la dirección del este?
• ¿Cómo describirían la dirección del sur?
Sus estudiantes también podrían beneficiarse de rotular la rosa de los vientos con las palabras direccionales arriba, derecha, abajo e izquierda.
¿Por qué las coordenadas x de las posibles ubicaciones de los baños son mayores que la coordenada x de la estación de primeros auxilios?
Los baños estarán al este, o a la derecha, de la estación de primeros auxilios, así que la coordenada x de los baños será mayor que la coordenada x de la estación de primeros auxilios.
¿Cómo se comparan las coordenadas y de las posibles ubicaciones de los baños con la coordenada y de la estación de primeros auxilios?
Las coordenadas y de las posibles ubicaciones de los baños son menores que la coordenada y de la estación de primeros auxilios.
¿Por qué las coordenadas y de las posibles ubicaciones de los baños son menores que la coordenada y de la estación de primeros auxilios?
Los baños estarán al sur, o debajo, de la estación de primeros auxilios, así que la coordenada y de los baños será menor que la coordenada y de la estación de primeros auxilios.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para describir cómo ir desde la exhibición de leones hacia las ubicaciones que eligieron para los baños.
Señale la exhibición de jirafas.
Usen la rosa de los vientos para describir el movimiento que debe realizarse para ir desde la exhibición de jirafas hacia la exhibición de serpientes.
Hay que moverse 3 unidades hacia el este y, luego, 3 unidades hacia el sur.
Mientras sus estudiantes comparten los movimientos, represéntelos desplazando el dedo.
Invite a las parejas a describir el movimiento desde la estación de primeros auxilios hacia la exhibición de osos panda.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Describir la distancia y la dirección entre puntos en el plano de coordenadas
Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo describir un movimiento en el plano de coordenadas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre el mapa del zoológico con la rosa de los vientos.
¿Cómo podemos describir el movimiento entre puntos en el plano de coordenadas?
Describimos un movimiento en el plano de coordenadas diciendo cuántas unidades nos movemos y en qué dirección.
Podemos movernos un número de unidades horizontalmente y, luego, movernos un número de unidades verticalmente.
¿Cómo nos ayuda el plano de coordenadas a describir un movimiento entre puntos con precisión?
Las líneas de la cuadrícula y los números nos ayudan a llevar la cuenta de la distancia entre dos puntos.
Cuando realizamos un movimiento desde un punto hacia otro punto en el plano de coordenadas, ¿qué diferencias hay entre los pares ordenados de cada uno de los dos puntos?
Cuando nos movemos hacia la izquierda o la derecha, las coordenadas x de los dos puntos son diferentes. Cuando nos movemos hacia abajo o arriba, las coordenadas y de los dos puntos son diferentes.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
DUA: Acción y expresión
Considere reservar tiempo en la sección Reflexión final para que sus estudiantes reflexionen sobre el desarrollo de sus conocimientos del plano de coordenadas.
• ¿Qué les sorprendió aprender acerca de cómo describir un movimiento entre puntos?
• ¿Sobre qué tema aún tienen preguntas?
• ¿En qué situación del mundo real podrían necesitar usar lo que aprendieron hoy?
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. La gráfica muestra la pantalla de un videojuego en el que un conejo debe saltar hacia distintos lugares de un jardín para hallar alimentos. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (g).
a. Completa la tabla con el par ordenado de cada alimento.
Alimento Par ordenado
Manzana (4, 0)
Zanahoria (16, 6)
Pepino (14, 10)
Lechuga (2, 6)
Rábano (8, 14)
Calabacín (8, 2)
b. Estima las coordenadas de la col y escribe el par ordenado de su ubicación.
(0, 15)
c. Si el conejo empieza en el origen, describe los movimientos que debería hacer para llegar a la col.
0 unidades hacia la derecha y, luego, 15 unidades hacia arriba
d. Si el conejo empieza en el origen, se mueve 8 unidades hacia la derecha y, luego, se mueve 2 unidades hacia arriba, ¿qué alimento hallará?
El calabacín
e. Describe los movimientos que debería hacer el conejo para ir desde el calabacín hasta la zanahoria.
8 unidades hacia la derecha y, luego, 4 unidades hacia arriba
f. ¿Qué alimento está exactamente 12 unidades más cerca del eje x que el rábano?
El calabacín
g. Al agricultor se le cae una banana al suelo. La banana está más cerca del eje x que la lechuga y tiene la misma coordenada x que la manzana. Escribe un par ordenado posible para representar la ubicación de la banana.
2. El plano de coordenadas muestra la ubicación de sitios de interés en Atlanta, Georgia. Cada unidad representa 1 milla. Usa esta gráfica para completar las partes (a) a (d).
a. Escribe el par ordenado de cada ubicación.
Ubicación Par ordenado
Universidad de Morehouse (0, 0)
Parque acuático (0, 3 1 2)
Cementerio de Oakland (2 1 2 , 0)
Lugar de nacimiento de Martin Luther King Jr. (2 1 2 , 1)
Instituto de Tecnología de Georgia (1, 2)
Parque acuático
Instituto de Tecnología de Georgia
Lugar de nacimiento de Martin Luther King Jr.
Universidad de Morehouse
Cementerio de Oaklandt
b. ¿Qué sitio de interés está directamente al norte del cementerio de Oakland?
El lugar de nacimiento de Martin Luther King Jr.
c. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las coordenadas del cementerio de Oakland y las coordenadas del lugar de nacimiento de Martin Luther King Jr.?
Las coordenadas x son iguales y las coordenadas y son diferentes.
d. Describe cómo ir desde el lugar de nacimiento de Martin Luther King Jr. al Instituto de Tecnología de Georgia con un movimiento horizontal y, luego, uno vertical.
Hay que moverse 1 1 2 millas hacia el oeste y, luego, moverse 1 milla hacia el norte.
Tema B
Patrones en el plano de coordenadas
En el tema A, la clase usa planos de coordenadas con distintas escalas para marcar puntos y escribir pares ordenados que describen ubicaciones. En el tema B, identifican, describen y comparan patrones de números en el plano de coordenadas. Al inicio del tema, se identifican propiedades de las rectas horizontales y verticales. Sus estudiantes marcan puntos que se ubican en la misma recta horizontal y determinan que todos ellos están a la misma distancia del eje x, y tienen la misma coordenada y. Luego, repiten el proceso con una recta vertical y determinan que todos los puntos en ella se encuentran a la misma distancia del eje y, y tienen la misma coordenada x. La clase aprende que las rectas horizontales son paralelas al eje x y perpendiculares al eje y, mientras que las rectas verticales son paralelas al eje y y perpendiculares al eje x. Cada estudiante aplica este nuevo aprendizaje al resolver una variedad de problemas matemáticos con rectas horizontales y verticales. Trazan una recta horizontal o vertical cuando se les proporciona información sobre ella, determinan la distancia entre dos rectas paralelas, ya sean horizontales o verticales, e identifican y describen las regiones del plano. Por ejemplo, saben que en la región debajo de la recta horizontal que se interseca con el eje y en 5, todos los puntos tienen coordenadas y menores que 5.
Extienden su comprensión del plano de coordenadas cuando hacen una transición al trabajo con dos patrones de números en simultáneo. Cada estudiante genera dos patrones de números cuando se les proporcionan reglas y números iniciales, usan los patrones para crear pares ordenados y marcan puntos que representan dichos pares ordenados. Usan tablas y gráficas para describir la regla para cada patrón. Explican cómo se relacionan las ubicaciones de los puntos en el plano de coordenadas con los patrones de números en una tabla.
A medida que se avanza en el tema, la clase examina las relaciones entre términos correspondientes en dos patrones de números. Primero, estudian dos patrones diferentes de números pero con la misma regla de suma y, luego, hacen una transición a patrones de números con diferentes reglas de suma. Reconocen que, cuando los patrones de números tienen la misma regla de suma, los términos correspondientes tienen una relación de suma o de resta. Y cuando los patrones de números tienen diferentes reglas de suma, los términos correspondientes pueden tener una relación de multiplicación o división. En cada caso, sus estudiantes describen cómo se representan las reglas de suma en las tablas y las gráficas y entienden cómo usar las relaciones de suma o resta entre coordenadas para hallar una coordenada cuando conocen la coordenada correspondiente.
En la lección final de este tema, que es una lección opcional, se presenta una oportunidad para ampliar estos conceptos. Sus estudiantes comparan dos tablas de coordenadas x y y generadas por las mismas dos reglas de suma: una que tiene una relación multiplicativa entre las coordenadas y otra que tiene una relación de operación mixta entre las coordenadas. Después de marcar puntos que representan las coordenadas y de comparar las ubicaciones de cada conjunto de puntos en el plano de coordenadas, sus estudiantes reconocen de qué manera pueden ayudarles las reglas a determinar la relación entre coordenadas de dos operaciones. Sus estudiantes repasan estos conceptos en grados posteriores en tablas de razones y, finalmente, en ecuaciones lineales.
Desarrollan la comprensión de patrones en el plano de coordenadas en los temas C y D, cuando usan el plano de coordenadas para resolver problemas matemáticos y del mundo real y, en 6.o grado, cuando exploran las relaciones de razones.
Progresión de las lecciones
Lección 5
Identificar las propiedades de rectas horizontales y verticales
Lección 6
Usar las propiedades de rectas horizontales y verticales para resolver problemas
Lección 7
Generar patrones de números para formar pares ordenados
Sé que todos los puntos que están en una recta horizontal tienen la misma coordenada y porque todos están a la misma distancia del eje x. Sé que todos los puntos que están en una recta vertical tienen la misma coordenada x porque todos están a la misma distancia del eje y.
Sé cómo trazar una recta vertical u horizontal cuando se da información sobre una recta. Puedo determinar la distancia entre dos rectas horizontales o verticales que son paralelas. Puedo usar coordenadas para describir regiones del plano.
Cuando uso reglas, puedo determinar números desconocidos en patrones de números. Cuando represento dos patrones de números como puntos en el plano de coordenadas, puedo ver la relación entre ubicaciones de puntos y cómo cambian los números en los patrones.
Lección 8
Identificar relaciones de suma y resta entre términos correspondientes en patrones de números
Lección 9
Identificar relaciones de multiplicación y división entre términos correspondientes en patrones de números
Lección 10
Identificar relaciones de operaciones mixtas entre términos correspondientes en patrones de números (opcional)
Puedo usar tablas y gráficas para determinar relaciones de suma y de resta entre términos correspondientes de dos patrones de números. Puedo usar la relación de suma y de resta entre coordenadas para generar más pares ordenados.
Puedo identificar relaciones de multiplicación y división entre términos correspondientes de dos patrones de números. Sé cómo usar la relación entre coordenadas para hallar una coordenada cuando sé la coordenada correspondiente.
Comprendo que las reglas de suma para las coordenadas x y y pueden ayudarme a hallar la relación entre coordenadas que tiene dos operaciones. Puedo usar la relación multiplicativa para multiplicar la coordenada x por un número y, luego, sumar o restar un número para obtener la coordenada y correspondiente.
Identificar las propiedades de rectas horizontales y verticales
Vistazo a la lección
Usa la gráfica para completar las partes (a) a (d).
Ejemplo:
(1,2)
a. Marca un punto que se ubique en la misma recta vertical que el punto B. Nombra el nuevo punto C. Registra su par ordenado junto a él en el plano de coordenadas.
b. ¿Qué tienen en común las coordenadas del punto B y las del punto C ?
El punto B y el punto C tienen la misma coordenada x
c. Marca un punto que se ubique en la misma recta horizontal que el punto A. Nombra el nuevo punto D. Registra su par ordenado junto a él en el plano de coordenadas.
d. ¿Qué tienen en común las coordenadas del punto A y las del punto D?
El punto A y el punto D tienen la misma coordenada y
La clase trabaja en parejas para dibujar un plano de coordenadas, marcar puntos que se ubican en rectas horizontales o verticales y hacer conjeturas sobre ellas. Descubren que todos los puntos en una recta horizontal tienen la misma coordenada y porque están a la misma distancia del eje x, y que todos los puntos en una recta vertical tienen la misma coordenada x porque están a la misma distancia del eje y. Determinan si las rectas horizontales o verticales son paralelas o perpendiculares a los ejes o entre sí.
Preguntas clave
• ¿Por qué los puntos que están sobre una recta horizontal tienen la misma coordenada y?
• ¿Por qué los puntos que están sobre una recta vertical tienen la misma coordenada x?
• ¿Por qué el plano de coordenadas es útil para razonar acerca de las rectas horizontales y verticales?
Criterio de logro académico
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Comparar rectas horizontales y verticales
• Comparar rectas horizontales
• Trazar rectas verticales
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Plano de coordenadas con puntos (en el libro para estudiantes)
• herramienta de borde recto
• Pares ordenados y cuadrícula (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Plano de coordenadas con puntos y las de Pares ordenados y cuadrícula de los libros para estudiantes con antelación o si las retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Propiedades de los cuadriláteros
La clase identifica cuadriláteros con una propiedad específica y usa los nombres más precisos como preparación para representar gráficamente y clasificar polígonos en el plano de coordenadas a partir del tema C.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la propiedad y los tres cuadriláteros rotulados con letras.
¿Qué cuadrilátero tiene todos los lados de la misma longitud? Escriban la letra o las letras.
Muestre círculos alrededor de los cuadriláteros A y B.
Escriban los nombres más precisos para el cuadrilátero A y el cuadrilátero B.
Muestre las respuestas.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Propiedad: Tiene 2 pares de lados paralelos.
Propiedad: Todos los ángulos son rectos.
Propiedad: Todos los lados son de igua l longitud. ABC
Propiedad: Los ángulos opuestos miden lo mismo.
Paralelogramo
Cuadrado Rectángulo
Rombo Paralelogramo Rectángulo
Cuadrado Rombo
Intercambio con la pizarra blanca: Sistema de coordenadas
Materiales: E) Plano de coordenadas con puntos
La clase usa pares ordenados con coordenadas en números enteros para identificar y marcar puntos en un plano de coordenadas como preparación para identificar las propiedades de rectas horizontales y verticales.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la gráfica.
Muestre el planteamiento.
Escriban el par ordenado del punto A.
Muestre la respuesta en la gráfica.
Nota para la enseñanza
Ofrecer retroalimentación puede presentar un desafío debido al tamaño de las respuestas escritas en las pizarras blancas individuales de sus estudiantes. Considere pedirles que comparen respuestas y ofrezcan retroalimentación a sus pares.
Nota para la enseñanza
En grados superiores, se usa el término plano de coordenadas para hacer referencia a un conjunto de ejes que se intersecan y en el que no hay puntos marcados. Para hacer referencia a un plano de coordenadas en el que hay puntos marcados, se usa el término gráfica. Para establecer una transición, en los temas B, C y D, se hace referencia a los planos de coordenadas y a las gráficas de esta manera.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Escriban el par ordenado del punto B.
Escriban el par ordenado del punto C.
Presentar
La clase compara y razona sobre las ubicaciones de puntos marcados en el plano de coordenadas.
Muestre la imagen de los puntos marcados. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan y lo que se preguntan.
Escriba C(8, 5) y diga a sus estudiantes que el punto C se ubica en (8, 5). Invite a la clase a usar la rutina
Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuáles pueden ser las coordenadas para los puntos A, B y D y por qué.
Creo que el punto D se ubica en (9, 5) porque parece estar a la misma distancia del eje x y solo un poco más lejos del eje y que el punto C.
Creo que el punto A se ubica en aproximadamente (2, 5) porque parece estar en la misma recta horizontal que los puntos C y D, pero está más cerca del eje y.
x y
Creo que el punto B se ubica en alrededor de (5, 5) porque parece estar en la misma recta horizontal que todos los otros puntos y cerca del punto medio entre los puntos A y C.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a identificar las propiedades de rectas horizontales y verticales.
Aprender
Comparar rectas horizontales y verticales
Materiales: E) Pares ordenados y cuadrícula, herramienta de borde recto
La clase identifica y compara características de rectas horizontales y verticales.
Forme parejas de estudiantes. Asigne a la mitad de las parejas la versión 1 de las hojas extraíbles de Pares ordenados y cuadrícula y asigne la versión 2 a la otra mitad. Pida a sus estudiantes que vayan a la parte A.
Cada hoja extraíble tiene una cuadrícula y cinco pares ordenados. Trabajen en parejas y dibujen un plano de coordenadas. Luego, marquen y rotulen los cinco puntos.
Gráfica de la versión 1
Diferenciación: Apoyo
Considere ofrecer un plano de coordenadas completado y rotulado a quienes necesiten apoyo adicional con el uso de papel cuadriculado.
Diferenciación: Desafío
Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, considere proporcionar cinco pares ordenados que tengan coordenadas en fracciones o números decimales.
Cuando hayan terminado de trabajar, agrupe una pareja de estudiantes que haya completado la versión 1 con una pareja que haya completado la versión 2. Invite a sus estudiantes a conversar sobre las semejanzas y diferencias entre las dos gráficas. Luego, invíteles a compartir.
Cada pareja del grupo tenía una gráfica diferente. Se denominan gráficas porque son planos de coordenadas con números, medidas o datos marcados en ellas. ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre las dos gráficas?
Hay cinco puntos en cada gráfica. Cada conjunto de puntos tiene una coordenada que es igual en todos los pares ordenados de esa gráfica.
Los puntos de la versión 1 se ubican en la misma recta vertical. Los puntos de la versión 2 se ubican en la misma recta horizontal.
Luego, invite a sus estudiantes a reunirse y conversar con su grupo para describir las coordenadas de puntos en las rectas horizontales y verticales.
Considere hacer las siguientes preguntas para apoyar las conversaciones de sus estudiantes:
• ¿Cómo se relacionan las coordenadas x de los puntos en la misma recta horizontal?
• ¿Cómo se relacionan las coordenadas y de los puntos en la misma recta horizontal?
• ¿Cómo se relacionan las coordenadas x de los puntos en la misma recta vertical?
• ¿Cómo se relacionan las coordenadas y de los puntos en la misma recta vertical?
Pida a sus estudiantes que vuelvan a trabajar solo con sus parejas originales. Indíqueles que vayan a la parte B.
En grupo, hicieron enunciados sobre las coordenadas de puntos en rectas horizontales y verticales. Ahora, con sus parejas, determinen si esos enunciados son correctos creando una lista de tres puntos que piensan que se ubicarán en una recta horizontal y tres puntos que piensan que se ubicarán en una recta vertical. Cuando completen sus listas, marquen los puntos.
Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja y proporcione apoyo según sea necesario. Considere hacer las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático.
• ¿Por qué creen que esos tres puntos se ubicarán en una recta horizontal?
• ¿Por qué creen que esos tres puntos se ubicarán en una recta vertical?
• ¿Cómo pueden determinar si su enunciado era correcto?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para brindar apoyo a sus estudiantes con el término gráfica, considere realizar conexiones entre los diferentes tipos de gráficas, como las gráficas de barras, los pictogramas y los planos de coordenadas con pares ordenados marcados. Destaque que cada gráfica representa de manera visual números, medidas o datos. Muestre un ejemplo de cada tipo de gráfica y pida a sus estudiantes que comenten las semejanzas y diferencias entre las tres. Explique que las gráficas representan la relación que los datos guardan entre sí.
Reúna a la clase cuando hayan terminado.
Muestre los puntos marcados en la versión 1 con la recta trazada que pasa por ellos.
Los puntos de la versión 1 se ubican en la misma recta vertical. Son colineales. Podemos nombrar y rotular rectas con letras minúsculas.
Señale la �� al lado de la recta.
¿Cuál es el nombre de esta recta vertical?
Recta ��
¿Qué tienen en común los pares ordenados de estos puntos?
Tienen la misma coordenada x.
¿Qué es verdadero sobre la coordenada x para todos los puntos de esta recta?
La coordenada x de todos los puntos de esta recta es 4.
Identifiquen el par ordenado de otro punto en la recta �� que no esté rotulado en la gráfica.
(4, 3)
(4, 8)
¿La recta �� se interseca en algún punto con el eje y? ¿Cómo lo saben?
No. Todos los puntos en la recta están 4 unidades a la derecha del eje y.
¿Qué saben acerca de las rectas que nunca se intersecan?
Son paralelas.
¿Qué rectas son paralelas a la recta ��?
El eje y
Todas las rectas verticales
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Sus estudiantes usan el término colineal en el módulo 5. Considere pedirles que expliquen con sus palabras qué significa colineal.
Muestre una gráfica con puntos marcados y pida a cada estudiante que marque o señale los puntos que son colineales. Rotule los puntos con el término colineal
Apoyo para la comprensión del lenguaje
En las lecciones de este módulo, se usa la frase puntos que se ubican en una recta para hacer referencia a los puntos colineales.
En esta lección, haga énfasis sobre el uso de la frase rotulando los puntos colineales en la recta �� acompañándolos de la siguiente oración: Estos puntos se ubican en la recta ��
Considere usar gestos con los brazos para representar que el eje y y la recta �� son paralelos.
Si las rectas son paralelas, podemos determinar la distancia entre ellas eligiendo cualquier punto en una de las rectas y hallando la distancia más corta entre ese punto y la otra recta. Entonces, para hallar la distancia entre la recta �� y el eje y, necesitamos hallar la distancia más corta entre un punto en la recta ��, como (4, 7), y el eje y. ¿Cuál es la distancia más corta?
La distancia horizontal
Podemos hallar la distancia entre dos rectas verticales calculando la distancia horizontal entre una de las rectas y cualquier punto en la otra recta. Si elegimos cualquier punto en la recta ��, la distancia horizontal entre ese punto y el eje y es 4 unidades, entonces, podemos decir que la distancia entre la recta �� y el eje y es 4 unidades.
¿Qué tipo de ángulo se forma en la intersección de la recta �� y el eje x? ¿Cómo lo saben?
Se forma un ángulo recto. El eje x es una recta horizontal. Cuando una recta vertical se interseca con una recta horizontal, se forma un ángulo recto.
¿Cómo se denominan las rectas secantes que forman ángulos rectos?
Perpendiculares
¿Qué rectas son perpendiculares a la recta ��?
El eje x
Todas las rectas horizontales
Considere usar gestos con los brazos para representar que el eje x y la recta �� son perpendiculares.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué es verdadero acerca de cada recta vertical.
Todos los puntos en la misma recta vertical están a la misma distancia del eje y.
Todos los puntos que están sobre la misma recta vertical tienen la misma coordenada x.
Todas las rectas verticales son paralelas al eje y y perpendiculares al eje x.
DUA: Representación
Considere crear y dejar a la vista una tabla T con rótulos para ayudar a sus estudiantes a reconocer y comparar patrones en las coordenadas de puntos en rectas horizontales y verticales. Haga énfasis en que cada punto en la recta �� tiene la misma coordenada x, 4, entonces, la recta en sí se ubica a 4 unidades de distancia del eje y. Use un razonamiento similar para la recta ��
horizontal Misma coordenada y
Muestre los puntos marcados en la gráfica de la versión 2 con la recta que pasa por ellos y los pares ordenados rotulados.
Estos puntos de la versión 2 se ubican en la misma recta horizontal. ¿Cuál es el nombre de esta recta?
Recta ��
Señale la �� al lado de la recta.
¿Qué tienen en común los pares ordenados de estos puntos?
Todos tienen la misma coordenada y, 7.
Identifiquen el par ordenado de otro punto en la recta �� que no esté rotulado en la gráfica.
(1, 7)
(8, 7)
Para hallar la distancia entre 2 rectas horizontales, hay que calcular la distancia vertical entre una de las rectas y cualquier punto en la otra recta. La recta �� y el eje x son dos rectas horizontales. Entonces, para hallar la distancia entre la recta �� y el eje x, podemos hallar la distancia vertical entre cualquier punto de la recta y el eje x. ¿Cuál es la distancia entre la recta �� y el eje x?
7 unidades
¿Qué rectas son paralelas a la recta ��?
El eje x
Todas las rectas horizontales
¿La recta �� es perpendicular al eje y? ¿Por qué?
Sí. La recta �� se interseca con el eje y formando un ángulo recto.
Diferenciación: Apoyo
Las letras en cursiva que se usan para denominar rectas, como la recta ��, pueden presentar un desafío para sus estudiantes. Considere rotular dos puntos con letras mayúsculas en itálicas en la recta, por ejemplo; rotule los puntos A y B y nombre la recta ⟷ AB .
Nota para la enseñanza
La distancia más corta entre un punto y una recta es el segmento que es perpendicular a la recta en la que se ubica el punto. Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, se halla la longitud del segmento de recta perpendicular que conecta un punto en una de las rectas con la otra. Esta técnica solo dará como resultado una respuesta correcta cuando se use para hallar la distancia entre dos rectas paralelas. La distancia entre las rectas no es constante si no son paralelas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué es verdadero acerca de cada recta horizontal.
Todos los puntos en una recta horizontal están a la misma distancia del eje x.
Todos los puntos en una recta horizontal tienen la misma coordenada y.
Todas las rectas horizontales son paralelas al eje x y perpendiculares al eje y.
Muestre los siguientes enunciados. Pida a sus estudiantes que determinen cuáles de ellos son verdaderos.
• Enunciado A: Todas las rectas horizontales son paralelas entre sí.
• Enunciado B: Todas las rectas verticales son paralelas entre sí.
• Enunciado C: Toda recta horizontal es perpendicular a cada recta vertical.
Cuando sus estudiantes terminen de comentar su razonamiento, confirme que los tres enunciados son verdaderos. Considere usar los brazos para representar cada enunciado.
Muestre los pares ordenados de los puntos A, B y C.
Par ordenado
(3, 2 1 2)
(1 2 , 2 1
¿Qué saben acerca de los puntos A, B y C?
Tienen la misma coordenada y.
Se ubican en la misma recta horizontal. Están a la misma distancia del eje x.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferencias entre las coordenadas de puntos en una recta vertical y las coordenadas de puntos en una recta horizontal.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando marca puntos de manera repetida en la misma recta vertical u horizontal y observa patrones en las coordenadas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• ¿Qué patrones observan cuando marcan puntos con la misma coordenada x?
• Cuando identifican los pares ordenados de puntos en una recta horizontal, ¿se repite algo? ¿Cómo puede eso ayudarles a determinar otros puntos en la misma recta horizontal de manera más eficiente?
Diferenciación: Apoyo
Para quienes necesiten práctica adicional con la identificación de las características de rectas horizontales y verticales, considere usar la actividad digital interactiva de Puntos y estallidos. En ella, sus estudiantes usan los pares ordenados de puntos marcados para determinar la distancia entre una recta y un eje.
Punto
Comparar rectas horizontales
La clase compara distintas rectas horizontales.
Muestre la recta horizontal �� del problema 1.
¿El punto (5, 6) está en la recta ��? ¿Cómo lo saben?
No. Todos los puntos en la recta �� tienen la misma coordenada y, 5.
No. Ese punto se ubica más arriba de la recta ��.
Identifiquen el par ordenado de un punto que esté en la recta ��, pero que no sea visible en la parte del plano de coordenadas que vemos. (12, 5)
(100, 5)
(17 1 2 , 5)
Escriba los pares ordenados que compartan sus estudiantes, destacando que todos los puntos en la recta �� tienen una misma coordenada y, 5.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea el problema y las instrucciones en voz alta. Indique a sus estudiantes que completen el problema en parejas, mientras recorre el salón de clases y proporciona apoyo, según sea necesario, con las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es la distancia entre la recta �� y el eje x?
• ¿En qué parte del plano de coordenadas se ubica una recta horizontal que está a mayor distancia, o más lejos, del eje x que la recta ��?
• ¿En qué parte del plano de coordenadas se encuentra una recta horizontal que está a menor distancia, o más cerca, del eje x que la recta ��?
• ¿Qué tienen en común los pares ordenados de puntos en una recta horizontal?
• ¿La recta que tracen será paralela o perpendicular al eje x ? ¿Cómo lo saben?
1. Se muestra la recta �� en el plano de coordenadas.
Ejemplo:
a. Traza una recta en el plano de coordenadas que sea paralela al eje x, pero que se ubique a una distancia mayor del eje x que la recta ��. Rotula esta recta ��. Escribe los pares ordenados de tres puntos en la recta ��.
Ejemplo: (0, 8), (3, 8), (4, 8)
b. Traza una recta en el plano de coordenadas que sea paralela al eje x, pero que se ubique a una distancia menor del eje x que la recta ��. Rotula esta recta ��. Escribe los pares ordenados de tres puntos en la recta ��.
Ejemplo: (1, 1), (5, 1), (7, 1)
Cuando sus estudiantes hayan terminado, pida a algunas parejas que compartan sus coordenadas y rectas para �� y ��. Use sus respuestas para guiar a la clase a través de las siguientes preguntas:
¿Cómo se comparan las coordenadas y de los puntos en la recta �� con las coordenadas y de los puntos en la recta ��? ¿Por qué?
Las coordenadas y de los puntos en la recta �� son mayores porque la recta �� está más arriba del eje x que la recta ��.
¿Qué tienen en común las rectas ��, �� y ��?
Son horizontales.
Son paralelas entre sí y paralelas al eje x.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué tienen en común todas las rectas horizontales.
Trazar rectas verticales
La clase usa criterios dados para crear rectas verticales.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que lo completen en parejas.
2. La gráfica muestra el punto F. Ejemplo:
a. Marca un punto que se ubique en la misma recta vertical que el punto F. Nombra el nuevo punto E y registra su par ordenado en el plano de coordenadas.
b. Traza la ⟷ EF .
Cuando hayan terminado de trabajar, pida a cada pareja que comparta los pares ordenados del punto E y regístrelos para que sus estudiantes puedan verlos.
¿Qué observan acerca de los pares ordenados de las posibles ubicaciones del punto E?
Todos tienen la misma coordenada x.
¿Por qué todos los pares ordenados de las posibles ubicaciones del punto E tienen la misma coordenada x?
El punto F está 4 unidades a la derecha del eje y; por eso, todos los puntos en la misma
recta vertical que el punto F también se ubicarán 4 unidades a la derecha del eje y, con una coordenada x de 4.
¿Los puntos E y F son colineales? ¿Cómo lo saben?
Sí. Se ubican en la misma recta.
¿Todos los puntos en la ⟷ EF se ubican a la misma distancia del eje y?
Sí.
¿Todos los puntos en la ⟷ EF están a la misma distancia unos de otros?
No.
¿A qué eje es perpendicular la ⟷ EF ?
Al eje x
Muestre el plano de coordenadas.
Invite a sus estudiantes a desplazar los dedos por las siguientes rectas en el plano de coordenadas que se muestra.
• Una recta vertical que está a 11 unidades del eje y
• Una recta perpendicular al eje x que está a 1 unidad del eje y
• Una recta donde la coordenada x de todos los puntos es 6
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué tienen en común las rectas verticales.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar las propiedades de rectas horizontales y verticales
Guíe una conversación de toda la clase acerca de las propiedades de las rectas horizontales y verticales usando las siguientes preguntas.
Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre el plano de coordenadas con las rectas �� y ��.
¿Qué recta es paralela al eje y?
La recta ��
¿Cuál es la distancia entre la recta �� y el eje y?
8 unidades
¿Qué es verdadero sobre las coordenadas para todos los puntos de la recta ��?
Todos los puntos de la recta �� tienen la misma coordenada x, 8. 10 1
¿Qué es verdadero sobre las coordenadas para todos los puntos de la recta ��?
Todos los puntos de la recta �� tienen la misma coordenada y, 2.
¿Las rectas �� y �� son perpendiculares? ¿Cómo lo saben?
Sí. Se intersecan en un ángulo recto.
Sí. Todas las rectas verticales y horizontales son perpendiculares entre sí.
¿Por qué los puntos que están sobre una recta vertical tienen la misma coordenada x?
Todos los puntos en una recta vertical están a la misma distancia del eje y.
¿Por qué los puntos que están sobre una recta horizontal tienen la misma coordenada y?
Todos los puntos en una recta horizontal están a la misma distancia del eje x.
¿Por qué el plano de coordenadas es útil para razonar acerca de las rectas horizontales y verticales?
El plano de coordenadas tiene líneas de la cuadrícula que se intersecan en un ángulo recto, así que podemos determinar que todas las rectas horizontales son paralelas entre sí y paralelas al eje x. También podemos determinar que todas las rectas verticales son paralelas entre sí y paralelas al eje y.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
2. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (f).
1. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (e).
Puntos en la recta �� Puntos en la recta ��
( 2, 3) (6, 3 )
( 2, 5) (7, 3 )
( 2, 8) (9, 3 )
a. Resalta las coordenadas que son iguales para la recta ��.
b. ¿La recta �� es horizontal o vertical?
Vertical
c. Resalta las coordenadas que son iguales para la recta ��
d. ¿La recta �� es horizontal o vertical?
Horizontal
e. La recta �� es paralela al eje x y perpendicular al eje y
a. Escribe los pares ordenados de los puntos G y H en la tabla.
Punto Par ordenado
G (10, 10)
H (10, 30)
b. Escribe el par ordenado de otro punto que también se ubique en la ⟷ GH
Ejemplo: (10, 25)
c. ¿La ⟷ GH es horizontal o vertical? Vertical
d. Traza una recta en el plano de coordenadas que sea paralela al eje y, pero que se ubique a una distancia mayor del eje y que la ⟷ GH . Rotula esta recta ��. Escribe los pares ordenados de tres puntos en la recta.
Ejemplo: (25, 20) (25, 40), (25, 5)
MATH
EUREKA MATH
e. Traza una recta en el plano de coordenadas que sea paralela al eje y, pero que se ubique a una distancia menor del eje y que la ⟷ GH . Rotula esta recta ��
f. Escribe los pares ordenados de tres puntos en la recta ��
Ejemplo: (5, 10), (5, 30), (5, 5)
3. Se muestran los pares ordenados de cuatro puntos. ¿Estos puntos se ubican en una recta horizontal, una recta vertical o ninguna de las dos? ¿Cómo lo sabes?
(45, 2)
(45, 60)
(45, 15)
(45, 34)
Los puntos se ubican en una recta vertical. Lo sé porque todos tienen la misma coordenada x
4. Se muestran los pares ordenados de cuatro puntos. ¿Estos puntos se ubican en una recta horizontal, una recta vertical o ninguna de las dos? ¿Cómo lo sabes?
(4, 0)
(0, 0)
(0, 9)
(39 1 2 , 0)
Los puntos no se ubican en una recta vertical ni en una recta horizontal. Lo sé porque no tienen la misma coordenada x ni la misma coordenada y
5. Los puntos (2, 5) y (7, 5) se ubican en la recta ��
a. ¿La recta �� es horizontal o vertical?
Horizontal
b. La recta �� es paralela al eje x
c. La recta �� es perpendicular al eje y
d. Escribe el par ordenado de otro punto que se ubique en la recta ��
Ejemplo: (15, 5)
e. Describe la distancia entre la recta �� y el eje x. Explica cómo lo sabes.
La distancia es 5 unidades. Todos los puntos en la recta �� tienen la misma coordenada y, 5.
Usar las propiedades de rectas horizontales y verticales para resolver problemas
1. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (d).
a. Traza una recta vertical que pase por el punto A
b. Marca un punto en la recta que esté 2 unidades más lejos del eje x que el punto A. Rotula este punto B y escribe al lado su par ordenado.
c. ¿La ⟷ AB es paralela o perpendicular al eje y?
La ⟷ AB es paralela al eje y
d. ¿La ⟷ AB es paralela o perpendicular a la recta ��?
La ⟷ AB es perpendicular a la recta ��
2. Usa la gráfica de la recta �� para completar las partes (a) y (b).
a. Sombrea suavemente la región del plano donde los puntos están a menos de 3 1 2 unidades del eje x
b. Noah dice que el punto (3 1 4 , 2 3 4 ) está ubicado en la región sombreada porque su coordenada y es menor que 3 1 2 . ¿Está Noah en lo correcto? Explica.
Sí, Noah está en lo correcto. Cualquier punto con una coordenada y menor que 3 1 2 está ubicado en la región sombreada.
Vistazo a la lección
La clase usa propiedades de las rectas horizontales y verticales para resolver problemas matemáticos, como trazar una recta cuando se les proporciona información sobre los puntos en ella o determinar la distancia entre rectas paralelas. Luego, usan rectas verticales y horizontales para dividir el plano en regiones. Sus estudiantes identifican regiones a partir de descripciones y explican qué tienen en común las coordenadas de puntos en esas regiones. Por ejemplo, saben que todos los puntos que están en la región que se encuentra debajo de la recta horizontal que está 5 unidades arriba del eje x tienen coordenadas y menores que 5.
Preguntas clave
• ¿Cómo determinamos la distancia entre dos rectas horizontales o verticales?
• ¿Qué representa una región sombreada en el plano de coordenadas?
Criterio de logro académico
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Trazar rectas horizontales y verticales
• Distancia entre rectas paralelas
• Regiones en el plano de coordenadas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Plano de coordenadas con puntos (en el libro para estudiantes)
• herramienta de borde recto
• lápices de colores (3)
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Plano de coordenadas con puntos de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
• Reúna tres lápices de colores (uno rojo, uno verde y uno azul) por estudiante.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Propiedades de los cuadriláteros
La clase identifica cuadriláteros con una propiedad específica y usa los nombres más precisos como preparación para representar gráficamente y clasificar polígonos en el plano de coordenadas a partir del tema C.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la propiedad y los tres cuadriláteros rotulados con letras.
¿Cuál de los cuadriláteros tiene lados opuestos de la misma longitud? Escriban la letra o las letras.
Encierre en un círculo el cuadrilátero B.
Escriban los nombres más precisos para el cuadrilátero B.
Intercambio con la pizarra blanca: Sistema de coordenadas
Materiales: E) Plano de coordenadas con puntos
La clase usa pares ordenados con coordenadas en números enteros y en fracciones para identificar y marcar puntos en un plano de coordenadas como preparación para usar las propiedades de rectas horizontales y verticales en la resolución de problemas.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la gráfica.
Muestre el planteamiento.
Escriban el par ordenado del punto A.
Muestre la respuesta en la gráfica.
Escriban el par ordenado del punto A.
Repita el proceso con la siguiente secuencia: Escriban
Presentar
La clase compara gráficas de rectas verticales y horizontales.
Forme parejas de estudiantes. Muestre las rectas ��, ��, ��, �� y ℯ.
Estas gráficas muestran las rectas ��, ��, ��, �� y ��. Voy a leer una pista acerca de una recta. En parejas, determinen cuál o cuáles de ellas coinciden con la descripción. Escriban la respuesta en sus pizarras blancas y, luego, levántenlas para que pueda verlas. Puede haber más de una respuesta correcta.
Esta recta es paralela al eje x.
, ℯ
Todos los puntos en esta recta están a la misma distancia del eje y.
Esta recta pasa por el punto (3, 3) y es perpendicular al eje y.
Esta recta pasa por un punto con una coordenada x mayor que 5 y una coordenada y menor que 5. ��, ℯ
Esta recta no es paralela al eje x ni al eje y.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Apoye la comprensión de los términos paralelo, paralela y perpendicular sugiriendo a sus estudiantes que usen los brazos para mostrarlos. Cuando hagan los gestos para cada término, diga paralelo, paralela o perpendicular en voz alta a fin de conectar la palabra con la orientación.
Todos los puntos en esta recta están a la misma distancia del eje x que del eje y.
��
En la lección anterior, aprendimos sobre las propiedades de las rectas horizontales y verticales en el plano de coordenadas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que saben acerca de las rectas verticales y horizontales en el plano de coordenadas.
Todas las rectas horizontales son paralelas.
Todas las rectas verticales son paralelas.
Todas las rectas horizontales son perpendiculares a todas las rectas verticales.
Todas las rectas verticales son perpendiculares a todas las rectas horizontales.
Todos los puntos en una recta horizontal están a la misma distancia del eje x.
Todos los puntos en una recta horizontal tienen la misma coordenada y.
Todos los puntos en una recta vertical están a la misma distancia del eje y.
Todos los puntos en una recta vertical tienen la misma coordenada x.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a usar las propiedades de rectas verticales y horizontales para resolver problemas matemáticos.
DUA: Representación
A medida que sus estudiantes comparten lo que saben acerca de rectas horizontales y verticales, considere registrar las ideas en un afiche de dos columnas. Invíteles a sumar apoyos visuales para mostrar su razonamiento.
Aprender
Trazar rectas horizontales y verticales
Materiales: E) Herramienta de borde recto
La clase traza rectas horizontales y verticales en el plano de coordenadas.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea el problema en voz alta.
En el problema 1, usarán pistas para marcar puntos y trazar rectas en el plano de coordenadas.
Pida a sus estudiantes que completen el problema 1 en parejas. Anímeles a usar una herramienta de borde recto al trazar rectas. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y haga las siguientes preguntas:
• ¿La recta es horizontal o vertical? ¿Cómo lo saben?
• ¿Cómo determinaron la ubicación del punto ?
• ¿Cuál es la distancia entre el punto y el eje x ?
• ¿Cuál es la distancia entre el punto y el eje y?
• ¿Cuál es la distancia entre la recta y el eje x ?
• ¿Cuál es la distancia entre la recta y el eje y?
• ¿La recta es paralela o perpendicular al eje x ?
• ¿La recta es paralela o perpendicular al eje y?
1. Usa el plano de coordenadas para completar las partes (a) a (h).
a. Marca y rotula el punto A en (8, 1).
b. Traza una recta que sea perpendicular al eje x y que pase por el punto A. Rotula la recta ��.
c. Marca un punto en la recta �� que esté 6 unidades más lejos del eje x que el punto A. Rotula este punto B y escribe al lado su par ordenado.
d. Marca un punto en la recta �� que esté en el punto medio entre los puntos A y B. Rotula este punto C y escribe al lado su par ordenado.
e. Traza la recta �� para que esté a 2 unidades del eje x y �� ⊥ ��.
f. El punto E está en la recta ��. Se ubica a 2 unidades del eje y. Marca el punto E y escribe al lado su par ordenado.
g. Traza la recta �� para que pase por el punto E y �� ǁ ��.
h. El punto F está en la recta �� y se encuentra más lejos del eje x que el punto E. Marca el punto F y escribe al lado su par ordenado.
(Nota: En la gráfica se muestra un ejemplo de respuesta para la parte (h)).
Cuando las parejas hayan terminado de crear sus gráficas, invíteles a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas. Registre las respuestas de la clase en la pizarra usando la notación cuando sea apropiado.
¿Qué rectas en sus gráficas son paralelas?
�� ǁ ��
Las rectas �� y �� son paralelas al eje y.
La recta �� es paralela al eje x.
Nota para la enseñanza
Se pueden nombrar las rectas y sus relaciones de muchas maneras. Por ejemplo, la recta �� también puede ser la recta AB, o ⟷ AB . También podemos decir que la recta �� es paralela a la recta ��, �� ǁ �� o ⟷ AB ǁ ⟷ EF.
Sin embargo, no usamos estas notaciones al referirnos a alguno de los ejes. Muestre a sus estudiantes distintas notaciones cada vez que sea posible.
¿Qué rectas en sus gráficas son perpendiculares?
�� ⊥ ��
Las rectas �� y �� son perpendiculares al eje x.
�� ⊥ ��
La recta �� es perpendicular al eje y.
Guíe una conversación sobre trazar rectas horizontales y verticales.
¿Cuál es la coordenada y de cada punto en la recta ��? ¿Por qué?
2 porque la recta �� es paralela al eje x y está 2 unidades arriba del eje x, entonces, cada punto en la recta �� tiene la misma coordenada y, 2.
¿Cuál es la coordenada x de cada punto en la recta ��? ¿Por qué?
8 porque la recta �� es paralela al eje y y está 8 unidades a la derecha del eje y, entonces, cada punto en la recta �� tiene la misma coordenada x, 8.
Escriba B(8, 7) y C(8, 4).
Los pares ordenados de los puntos B y C son (8, 7) y (8, 4). ¿Qué punto está más cerca del eje x? ¿Cómo lo saben?
El punto C está más cerca del eje x. Lo sé porque la distancia vertical entre el eje x y el punto B es 7 unidades, y la distancia vertical entre el eje x y el punto C es 4 unidades.
Escriba J(3, 5) y K(8, 5).
Los pares ordenados de los puntos J y K son (3, 5) y (8, 5). ¿Qué punto está más lejos del eje y? ¿Cómo lo saben?
El punto K está más lejos del eje y. Lo sé porque la distancia horizontal entre el eje y y el punto K es 8 unidades, y la distancia horizontal entre el eje y y el punto J es 3 unidades.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar cómo usar las coordenadas para comparar ubicaciones y características de puntos y rectas en el plano de coordenadas.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando usa correctamente las palabras horizontal, vertical, paralela y perpendicular para describir rectas en el plano de coordenadas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Cómo están usando las palabras horizontal y vertical para describir rectas trazadas en el plano de coordenadas?
• ¿Es precisamente correcto decir que una recta vertical que pasa por el punto A es perpendicular al eje? ¿Qué podemos agregar o cambiar para decirlo con más precisión?
Distancia entre rectas paralelas
La clase determina la distancia entre rectas paralelas.
Muestre la gráfica de las rectas �� y �� del problema 1.
Esta imagen muestra las rectas �� y �� que trazamos en el problema 1.
Invite a sus estudiantes a reunirse y conversar en parejas acerca de cómo saben que las dos rectas son paralelas.
Podemos determinar la distancia entre la recta �� y el eje y porque la recta �� es paralela al eje y. ¿Cómo determinamos la distancia entre la recta �� y el eje y?
Podemos trazar el segmento de recta más corto desde cualquier punto de la recta �� hasta el eje y y determinar su longitud.
Podemos trazar un segmento de recta horizontal entre cualquier punto de la recta �� y el eje y y determinar su longitud.
Trace algunos segmentos de recta horizontales que muestren la distancia entre la recta �� y el eje y.
¿Cuál es la distancia entre la recta �� y el eje y?
2 unidades
¿Cuál es la distancia entre la recta �� y el eje y? ¿Cómo lo saben?
La distancia es 8 unidades. Todos los puntos en la recta �� tienen la misma coordenada x, 8, y están a 8 unidades del eje y.
¿Todos los puntos de la recta �� están más cerca del eje y que todos los puntos de la recta ��? Sí.
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta. Destaque las semejanzas y diferencias entre los métodos de cada estudiante.
Como las rectas �� y �� son paralelas y verticales, podemos determinar la distancia entre ellas. ¿Cuál es la distancia entre la recta �� y la recta ��? ¿Cómo lo saben?
La distancia es 6 unidades. La recta �� está 6 unidades más lejos del eje y que la recta ��, así que la distancia entre las rectas es 6 unidades.
La distancia es 6 unidades. Conté el número de unidades horizontales entre las rectas.
Pida a sus estudiantes que desplacen los dedos por las siguientes rectas en la gráfica que se muestra, teniendo en cuenta que puede haber más de una posibilidad:
• Una recta paralela a la recta �� que esté a 3 unidades de ella
• Una recta perpendicular a la recta �� que esté 4 unidades arriba del eje x
• Una recta vertical que esté 2 unidades más cerca del eje y que la recta ��
Invite a sus estudiantes a reunirse y conversar en parejas sobre cómo determinar la distancia entre rectas paralelas en el plano de coordenadas.
Regiones en el plano de coordenadas
Materiales: E) Lápices de colores
La clase identifica regiones del plano de coordenadas y sus características.
Muestre la recta �� del problema 1.
Desplace el dedo por la recta �� y haga las siguientes preguntas. A medida que sus estudiantes responden, señale las regiones en el plano de coordenadas.
¿Qué sabemos acerca de la coordenada x de cada punto a la izquierda de la recta ��?
Sabemos que cada coordenada x es menor que 2.
¿Qué sabemos acerca de la coordenada x de cada punto a la derecha de la recta ��?
Sabemos que cada coordenada x es mayor que 2.
Pida a sus estudiantes que completen el problema 2(a).
2. La gráfica muestra la recta ��.
a. Colorea con rojo la región del plano donde todas las coordenadas x son menores que 2.
Muestre el plano de coordenadas con la región en rojo.
¿El punto (1 1 _ 2 , 5 3 _ 4 ) está ubicado en la región roja de la gráfica? ¿Cómo lo saben?
Sí. La coordenada x del punto es menor que 2.
La gráfica solo muestra los valores apenas mayores que 12 en el eje y.
¿El punto (1, 30) está ubicado en la parte roja de la gráfica? ¿Cómo lo saben?
Sí. La coordenada x del punto es menor que 2.
Diferenciación: Apoyo
Anime a quienes necesiten apoyo adicional a rotular sus gráficas con lo que tienen en común los puntos de una región.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si creen que la región roja se extiende hacia arriba más allá de la parte de la gráfica que vemos, como lo hace la recta, o no.
Creo que la región roja también se extiende hacia arriba de la gráfica porque esta región es donde se ubican todos los puntos con coordenadas x que son menores que 2.
Pida a sus estudiantes que completen las partes (b) y (c) del problema 2 en parejas.
b. La recta �� es una recta vertical que se interseca con el eje x en el punto (8, 0). Traza y rotula la recta �� en la gráfica.
c. Sombrea con azul la región del plano donde los puntos están a más de 8 unidades del eje y
Muestre el plano de coordenadas con las regiones en rojo y en azul.
Identifiquen las coordenadas de un punto que está en la región azul, pero que no podemos ver en el plano de coordenadas. Expliquen.
El punto (20, 20) está en la región azul porque su coordenada x es mayor que 8.
Seleccione a alguien para que señale la región del plano con puntos cuyas coordenadas x son mayores que 2 y menores que 8. Luego, muestre el plano de coordenadas con la región en verde.
Diferenciación: Desafío
Considere desafiar a sus estudiantes a que identifiquen el significado del área sombreada con color morado en la gráfica.
¿Qué pueden decir sobre la coordenada x de cada punto en la región verde?
Cada coordenada x es mayor que 2 y menor que 8.
Identifiquen el par ordenado de un punto en la región verde que esté más cerca de la recta �� que del eje y.
(7, 1)
(5, 8)
Identifiquen el par ordenado de un punto en la región verde que no podemos ver en este plano de coordenadas.
(5, 30)
(7, 100)
Pida a sus estudiantes que completen el problema 2(d).
d. Sombrea con verde la región del plano con puntos cuyas coordenadas x son mayores que 2 y menores que 8.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para resumir las diferencias entre los pares ordenados de los puntos en la región roja, la verde y la azul.
Muestre el plano de coordenadas con la recta ��.
¿Cómo pueden describir la ubicación de la recta ��?
Una recta horizontal que está a 4 1 2 unidades del eje x
Una recta perpendicular al eje y que se interseca con el eje y en 4 1 2
Una recta con puntos que tienen la misma coordenada y, 4 1 2
¿Qué podemos decir sobre las coordenadas de todos los puntos debajo de la recta ��?
Todos los puntos debajo de la recta �� tienen coordenadas y menores que 4 1 _ 2 .
¿Qué podemos decir sobre las coordenadas de todos los puntos por encima de la recta ��?
Todos los puntos por encima de la recta �� tienen coordenadas y mayores que 4 1 2 .
Usemos azul para sombrear la región del plano donde todas las coordenadas y son menores que 4 1 _ 2 . ¿Dónde sombreamos con azul? Por debajo de la recta ��
Muestre el plano de coordenadas con la región en azul.
Blake dice que el punto (2.8, 7) está en la parte azul del plano porque la coordenada x es menor que 4 1 _ 2 .
¿Está Blake en lo correcto? ¿Por qué?
No. La región azul del plano muestra puntos con coordenadas y menores que 4 1 2 , no con coordenadas x menores que 4 1 2 .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo sombrearían el plano para representar todos los puntos cuyas coordenadas x son mayores que 1 1 _ 2 .
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Usar las propiedades de rectas horizontales y verticales para resolver problemas
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación acerca de las propiedades de las rectas horizontales y verticales en el plano de coordenadas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Qué es importante tener en cuenta al trazar rectas horizontales y verticales en el plano de coordenadas?
Las rectas horizontales son paralelas al eje x, entonces, todos los puntos en ellas tienen que estar a la misma distancia del eje x. Las rectas verticales son paralelas al eje y, entonces, todos los puntos en ellas tienen que estar a la misma distancia del eje y.
Las rectas horizontales son paralelas a otras rectas horizontales, y las rectas verticales son paralelas a otras rectas verticales.
Todos los puntos en las rectas horizontales tienen la misma coordenada y, mientras que todos los puntos en las rectas verticales tienen la misma coordenada x.
¿Cómo determinamos la distancia entre dos rectas horizontales o verticales?
Para hallar la distancia entre dos rectas verticales, podemos trazar un segmento de recta horizontal que vaya desde cualquier punto de una recta a la otra y determinar su longitud. Para hallar la distancia entre dos rectas horizontales, podemos trazar un segmento de recta vertical que vaya desde cualquier punto de una recta a la otra y determinar su longitud.
¿Qué representa una región sombreada en el plano de coordenadas? Por ejemplo, expliquen qué representa la región sombreada con rojo en el problema 3.
Una región sombreada representa todos los puntos que tienen coordenadas x o y con algo en común. Por ejemplo, en la región sombreada con rojo, cada punto tiene una coordenada x que es mayor que 4 1 2 .
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
2. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (d).
Enunciado Verdadero Falso
Cada punto en la ⟷ DE tiene la misma coordenada x X
Cada punto en la ⟷ DE tiene la misma coordenada y X
Todos los puntos en la ⟷ DE son colineales. X
Cada punto en la ⟷ DE está a la misma distancia del eje x X
01112 x
Cada punto en la ⟷ DE está a la misma distancia del eje y X
La ⟷ DE es horizontal. X
La ⟷ DE es vertical. X
a. Traza una recta que sea paralela a la recta �� y que pase por el punto M. Rotula la recta ��
b. Marca un punto que se ubique 4 unidades más lejos del eje x que el punto M y tenga la misma coordenada x que el punto M. Rotula el punto N
c. Traza una recta que pase por los puntos M y N. Rotula la recta ��
d. Completa cada espacio con ǁ o ⊥ para que el enunciado sea verdadero.
MATH
3. Usa el plano de coordenadas para completar las partes (a) a (d). 1 1 2 3 4 5 6 023456 x y 𝓃
a. Traza una recta, ��, que sea paralela al eje y y esté a 4 1 2 unidades del eje y
b. Escribe el par ordenado para el punto en la recta �� que está a 4 unidades del eje x
(4 1 2 , 4)
c. Sombrea suavemente la región del plano donde los puntos están a más de 4 1 2 unidades del eje y
d. Encierra en un círculo los pares ordenados de los puntos que se ubican en la región sombreada.
4. Usa el plano de coordenadas para completar las partes (a) a (e).
01.21.622.42.83.23.64 x y 𝒹 𝒶
a. Traza una recta, ��, que sea paralela al eje x y esté a 0.8 unidades del eje x
b. Traza una recta, ��, que pase por el punto (1.2, 2.4) y �� ǁ ��.
c. Sombrea suavemente la región entre la recta �� y la recta ��. Completa el enunciado.
Todos los puntos en la región sombreada tienen una coordenada y mayor que 0.8 pero menor que 2.4
d. ¿El punto R(6, 1.8) se encuentra en la región sombreada? Explica.
Sí. La coordenada y del punto R está entre 0.8 y 2.4
e. ¿Cuál es la distancia entre la recta �� y la recta ��? 1.6 unidades
EUREKA
Generar patrones de números para formar pares ordenados
Vistazo a la lección
Considera la tabla que se muestra.
Patrón A 3 41 2 6 71 2 9
Patrón B 6 9 12 15 18
La regla para el patrón A es sumar 11 2
La regla para el patrón B es sumar 3
a. Completa la tabla usando las reglas para el patrón A y el patrón B.
b. ¿Cuál es el número en el patrón B cuando el número en el patrón A es 15 ?
30
La clase usa un número inicial y una regla para generar los términos de un patrón de números. Luego, usan dos patrones de números para ampliar su comprensión de los patrones al plano de coordenadas. Generan dos patrones de números en tablas y forman pares ordenados. Después de marcar los pares ordenados, exploran cómo se relacionan los patrones entre las ubicaciones de puntos con los patrones de números en la tabla.
Pregunta clave
• ¿Cómo nos ayudan las reglas de los patrones de números a marcar puntos con términos correspondientes en el plano de coordenadas?
5.Mód6.CLA2 Generan y representan patrones numéricos utilizando tablas y el plano de coordenadas. (5.OA.B.3)
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Hallar números en un patrón de números
• Trabajar con dos patrones de números
• Representar gráficamente patrones de números
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• herramienta de borde recto
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Escribir y evaluar expresiones
La clase escribe y evalúa una expresión para adquirir fluidez con los cálculos de dos pasos que involucran números decimales del módulo 4.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el enunciado: La suma de 1.3 y 2.14, duplicada.
Escriban una expresión para representar el enunciado.
Muestre el ejemplo de expresión.
Escriban el valor de la expresión.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
La diferencia entre 7 y 2.2, dividido entre 4 1.2
La suma de 1.3 y 2.14, duplicada (1.3+2.14)×2 6.88
3 veces la suma de 0.83 y 1.09 3×(0.83+1.09) 5.76 (7−2.2)÷4
Intercambio con la pizarra blanca: Dibujar figuras geométricas
Materiales: E) Herramienta de borde recto
La clase dibuja un ejemplo de una recta o un segmento de recta específicos como preparación para trabajar con segmentos de recta en el plano de coordenadas a partir del tema C.
Muestre la recta CD.
Cuando dé la señal, lean el nombre de la figura geométrica. ¿Comenzamos?
Recta CD
Tracen un ejemplo de recta CD.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la figura geométrica de ejemplo.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
No se espera que sus estudiantes tracen rectas y segmentos de recta que sean perfectamente paralelos o perpendiculares usando solo una herramienta de borde recto. En su lugar, deberían estimar las posiciones de las figuras y usar marcas de flecha para indicar que son paralelos y cuadrados pequeños para indicar que son perpendiculares.
Conteo bip de dos en dos y de un medio en un medio
La clase completa un patrón como preparación para describir patrones en las coordenadas de puntos que están sobre una recta.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip.
Escuchen con atención mientras cuento de dos en dos o de un medio en un medio. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos?
Muestre la secuencia 0, 2, .
0, 2, bip
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. 4
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase observa y se pregunta acerca de patrones de puntos en un plano de coordenadas.
Muestre la gráfica con los tres conjuntos de puntos en distintos colores. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan y se preguntan.
Observo que los puntos verdes se ubican solo en el eje y.
Observo que los puntos azules se ubican solo en el eje x.
Observo que los puntos rojos parecen ubicarse en una recta.
Observo que las coordenadas x de los puntos azules son múltiplos de 2.
Observo que las coordenadas y de los puntos verdes son múltiplos de 3.
Observo que los puntos rojos tienen las mismas coordenadas x que los puntos azules y las mismas coordenadas y que los puntos verdes.
Me pregunto de qué color será el punto que se ubica en el origen.
Me pregunto si este patrón de puntos continúa más allá de lo que podemos observar en este plano de coordenadas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar cuál debería ser el color del punto en el origen.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a crear y comparar patrones de números usando el plano de coordenadas.
Aprender
Hallar números en un patrón de números
La clase determina números en un patrón de números y compara dichos patrones.
Muestre el patrón de Yuna.
Patrón de Yuna: 10, 20, 30, 40, 50
Yuna crea un patrón de números. Los números en un patrón se llaman términos. ¿Cuáles son los primeros tres términos en el patrón de Yuna?
10, 20 y 30
Considere escribir 1.er término, 2.o término y 3.er término junto a cada uno de esos términos.
Forme parejas de estudiantes y asegúrese de que cada una tenga una pizarra blanca individual.
Pídales que tracen dos rectas horizontales que dividan sus pizarras blancas en tercios.
Voy a mostrar una serie de patrones de números. Para cada uno, hagan las mismas tres cosas: (1) Escriban el número inicial y describan la regla del patrón en la sección de arriba de sus pizarras blancas. (2) Escriban el siguiente número en el patrón en la sección del medio de sus pizarras blancas. (3) Escriban el 20.o término en el patrón en la sección de abajo de sus pizarras blancas.
Escriba las instrucciones en la pizarra para sus estudiantes:
• Escribir el número inicial y describir el patrón
• Determinar el siguiente número en el patrón
• Determinar el 20.o término del patrón
Para el patrón de Yuna, describan el número inicial y la regla del patrón, escriban el siguiente número en el patrón y, luego, escriban el 20. o término del patrón. Cuando hayan terminado, levanten sus pizarras blancas para que pueda verlas. El patrón de Yuna comienza con 10 y se suma 10 cada vez.
El número que sigue en el patrón es 60.
El 20.o término es 200.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
La palabra término tiene varios significados en matemáticas y en el uso cotidiano. En esta lección, término se refiere a un número en un patrón. En el patrón de números 5, 10, 15 y 20, el primer término es 5 y el tercero es 15.
Para apoyar el uso de la palabra término en esta lección, aclare los diferentes significados de término:
• La palabra término puede significar periodo de tiempo. Por ejemplo, se elige al presidente de los Estados Unidos por un término de cuatro años.
• Los términos pueden ser palabras o frases usadas para describir algo. Se pueden usar los términos múltiplos y factores para describir la relación entre 3, 5 y 15.
Diferenciación: Apoyo
Considere pedir a quienes necesiten apoyo adicional que determinen el 10.o término en el patrón de Yuna antes de determinar el 20.o término. Pregúnteles cómo conocer el 10.o término puede ayudarles a determinar el 20.o término.
¿Cómo saben que el 20.o término es 200?
El 20.o término es 200 porque 10 × 20 = 200.
Muestre el patrón de Scott junto con el patrón de Yuna.
Patrón de Yuna: 10, 20, 30, 40, 50
Patrón de Scott: 5, 10, 15, 20, 25
Para el patrón de Scott, escriban el número inicial y describan la regla del patrón; luego, escriban el siguiente número en el patrón y el 20.o término del patrón. Cuando hayan terminado, levanten sus pizarras blancas para que pueda verlas.
El patrón de Scott comienza en 5 y se suma 5 cada vez.
El siguiente número en el patrón es 30.
El 20.o término es 100.
¿Cómo saben que el 20.o término es 100?
Comienzo en 5 y sumo 5 diecinueve veces para obtener el 20. o término, 100.
Sé que el 20.o término es 100 porque 5 × 20 = 100.
Muestre el patrón de Ana junto con los patrones de Yuna y Scott.
Patrón de Yuna: 10, 20, 30, 40, 50
Patrón de Scott: 5, 10, 15, 20, 25
Patrón de Ana: 60, 70, 80, 90, 100
¿En qué se diferencia el patrón de Ana del de Yuna?
El patrón de Ana comienza con 60 en lugar de 10.
Para el patrón de Ana, escriban el número inicial y describan la regla del patrón; luego, escriban el siguiente número en el patrón y el 20.o término del patrón. Cuando hayan terminado, levanten sus pizarras blancas para que pueda verlas.
El patrón de Ana comienza en 60 y se suma 10 cada vez.
El siguiente número en el patrón es 110.
El 20.o término es 250.
¿Cómo saben que el 20.o término es 250?
Uso los dedos para llevar la cuenta a medida que sumo 10 hasta llegar al 20.o número.
Los primeros tres términos en el patrón de Ana son 60, 70 y 80, y los primeros tres términos en el patrón de Yuna son 10, 20 y 30. Los términos en el patrón de Ana son 50 más que los términos en el patrón de Yuna. El 20.o término en el patrón de Yuna es 200, entonces, el 20.o término en el patrón de Ana es 250.
Empiezo en 60 y sumo 10 diecinueve veces; luego, sumo 60 y 190 para obtener 250.
¿Qué tienen en común estos patrones?
En los tres patrones, se suma para llegar de un término al otro.
Los términos son todos números enteros.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué operaciones y números se pueden usar en un patrón de números y por qué.
En un patrón de números se puede usar cualquier operación porque podemos usar el método que queramos para llegar de un número al siguiente.
Podemos usar cualquier número porque los patrones de números también pueden incluir fracciones y números decimales.
En parejas, escriban los primeros cinco términos de un patrón de números en el que se use una regla distinta de la suma para llegar de un término al siguiente y que incluya fracciones o números decimales.
3, 2.5, 2, 1.5, 1
1 1
2 , 3, 6, 12, 24
Cuando sus estudiantes hayan terminado, pídales que levanten sus pizarras blancas para que toda la clase pueda verlas. Anime a las parejas a intentar determinar las reglas de los patrones que ven.
Trabajar con dos patrones de números
La clase genera dos patrones de números usando dos reglas.
Muestre el patrón de Scott y el patrón de Yuna.
Patrón de Yuna: 10, 20, 30, 40, 50
Patrón de Scott: 5, 10, 15, 20, 25
Si observamos los dos patrones juntos, vemos que cuando el de Yuna muestra 10, el patrón de Scott muestra 5. Cuando el patrón de Yuna muestra 40, el patrón de Scott muestra 20.
10 y 5 son términos correspondientes porque son los primeros términos en cada patrón. ¿Qué otro par de términos correspondientes hay en los dos patrones?
20 y 10
50 y 25
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea el problema en voz alta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las reglas de los patrones A y B.
Pídales que completen la parte (a) en parejas.
1. La tabla muestra los primeros tres términos en el patrón A y en el patrón B.
a. Completa cada patrón en la tabla.
b. ¿Cuál será el número en el patrón B cuando el número en el patrón A sea 18?
15
c. ¿Cuál será el número en el patrón A cuando el número en el patrón B sea 17 1 _ 2 ? 21
Cuando sus estudiantes hayan terminado de trabajar, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el patrón A y el patrón B.
Identifiquen un par de términos correspondientes del problema 1.
3 y 2 1 2 12 y 10
Además del primer número, ¿tendrán el patrón A y el patrón B otros términos correspondientes que sean el mismo número? ¿Cómo lo saben?
No. El patrón A suma 3 mientras que el patrón B solo suma 2 1 2 , entonces, después del primer término, 0, los términos del patrón A siempre serán mayores que los términos correspondientes en el patrón B.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para ayudar a sus estudiantes a comprender el significado de correspondiente, pídales que encierren en un círculo los términos correspondientes en la tabla y los rotulen con las palabras términos correspondientes
Diferenciación: Apoyo
Para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional, proporcione patrones de números para el problema 1 en los que se usen solo números enteros.
Diferenciación: Desafío
Invite a sus estudiantes a pensar en números que están en los dos patrones, A y B.
Pida a sus estudiantes que completen las partes (b) y (c) en parejas. Cuando hayan terminado, comparta las respuestas para dichas partes. Luego, haga la siguiente pregunta.
Si saben el número en un patrón, ¿cómo pueden determinar el término correspondiente en el otro patrón?
Extiendo la tabla hasta llegar al número correspondiente que estoy buscando.
Pida a sus estudiantes que completen el problema 2 en parejas.
2. Luis y Sasha crean patrones de números.
Patrón de Luis: Comienza en 6 y multiplica por 4.
Patrón de Sasha: Comienza en 85 y resta 6.
Registra en la tabla los primeros cinco términos de los patrones de Luis y Sasha.
Patrón de Luis 6 24 96 384 1,536
Patrón de Sasha 85 79 73 67 61
Reúna a la clase cuando hayan terminado. Comparta los números en el patrón de Luis y en el patrón de Sasha y, luego, haga las siguientes preguntas.
¿Cómo determinaron cada término en los dos patrones?
Primero, escribí el número inicial. Después, usé la regla para determinar cada uno de los términos siguientes.
¿Tendrán el patrón de Luis y el patrón de Sasha términos correspondientes que sean el mismo número? ¿Cómo lo saben?
No. Los números en el patrón de Luis son cada vez mayores, y los números en el patrón de Sasha son cada vez menores. El último número que aparece en el patrón de Luis ya es más grande que los números en el patrón de Sasha, entonces, los términos correspondientes no serán el mismo número.
Representar gráficamente patrones de números
La clase forma pares ordenados a partir de términos correspondientes de dos patrones y los representan gráficamente en el plano de coordenadas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían usar dos patrones de números para generar pares ordenados.
Invite a sus estudiantes a completar el problema 3(a).
3. Usa la tabla para completar las partes (a) a (c).
a. Usa las reglas para completar los patrones.
b. Escribe el par ordenado de cada par de términos correspondientes escribiendo el número del patrón A como la coordenada x y el número del patrón B como la coordenada y.
c. Marca los puntos en el plano de coordenadas.
Patrón A Sumar 2 Patrón B Sumar 3 Par ordenado
(0, 0)
(2, 3)
(4, 6)
Cuando sus estudiantes hayan completado la tabla, haga las siguientes preguntas.
¿Qué pasa en el patrón B cada vez que un número en el patrón A aumenta en 2?
El número aumenta en 3.
Muestre la tabla donde se ve cómo aumentan los patrones A y B.
¿Podemos usar los patrones de suma para crear otra fila en la tabla? ¿Cómo?
Sí. Podemos crear otra fila sumando 2 en el patrón A y sumando 3 en el patrón B.
¿Cuáles son algunos de los términos correspondientes en esta tabla?
2 y 3
6 y 9
Patrón A Sumar 2 Patrón B Sumar 3
En la tabla que se muestra, escriba x junto al patrón A y escriba y junto al patrón B mientras dice el siguiente enunciado.
Podemos escribir pares ordenados a partir de términos correspondientes. Si los números del patrón A representan las coordenadas x en los pares ordenados y los números del patrón B representan las coordenadas y, ¿de qué manera creen que podemos escribir los términos correspondientes 2 y 3 como un par ordenado? (2, 3)
Pida a sus estudiantes que completen las partes (b) y (c) en parejas. Recorra el salón de clases y brinde apoyo a las parejas mientras trabajan. Cuando hayan terminado, muestre los pares ordenados marcados y guíe la siguiente conversación.
Examinemos la gráfica de puntos con más atención.
¿Qué patrones observan entre los puntos marcados en el plano de coordenadas?
Los puntos parecen estar ubicados en la misma recta. La coordenada x aumenta en 2 y la coordenada y aumenta en 3 de un punto al siguiente.
Nota para la enseñanza
En este segmento, se usan los números del patrón A como las coordenadas x y los números del patrón B, como las coordenadas y. Como alternativa, sus estudiantes podrían elegir los números del patrón A para las coordenadas y, y los números del patrón B para las coordenadas x.
Nota para la enseñanza
En esta lección y en las que siguen, la clase representará gráficamente en el plano de coordenadas solo patrones de suma.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando reconoce patrones de suma en tablas y gráficas de dos patrones de números.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relacionan la tabla y la gráfica de dos patrones de números?
• ¿De qué manera pueden usar lo que saben acerca de patrones de números para ubicar en la gráfica puntos que representen los patrones?
¿Cuál es la distancia horizontal entre un punto y el siguiente?
2 unidades
Muestre la gráfica donde se ve el cambio horizontal. Desplace el dedo para mostrar que la distancia horizontal entre cada punto es 2 unidades.
¿Cómo se muestra la distancia horizontal en la tabla?
En la tabla, los números en el patrón A representan las coordenadas x. La regla para el patrón A es sumar 2.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar dónde ven el patrón de sumar 2 en la gráfica y en la tabla.
¿Cuál es la distancia vertical entre cada punto?
3 unidades
Muestre la gráfica donde se ve el cambio vertical. Desplace el dedo para mostrar que la distancia vertical entre cada punto es 3 unidades.
¿Cómo se muestra la distancia vertical en la tabla?
En la tabla, los números en el patrón B representan las coordenadas y. La regla para el patrón B es sumar 3.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar dónde ven el patrón de sumar 3 en la gráfica y en la tabla.
Muestre la gráfica y la tabla en las que se ven los cambios en los patrones.
DUA: Representación
Para ayudar a sus estudiantes a reconocer las relaciones en el plano de coordenadas, invíteles a trazar y rotular la distancia horizontal y la distancia vertical de un punto al siguiente en sus libros.
¿Cómo se relacionan los aumentos verticales y horizontales en la gráfica con los patrones de números en la tabla?
Son iguales. Los aumentos horizontales son los aumentos en el patrón A y los aumentos verticales son los aumentos en el patrón B.
Si se continúan los patrones A y B, ¿cuál será el siguiente punto en la gráfica? ¿Cómo lo saben?
El siguiente punto será (10, 15). Desde el punto (8, 12), podemos movernos 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba hasta llegar al siguiente punto.
Si se continúan los patrones A y B, ¿estará el punto (21, 10) en la gráfica? ¿Cómo lo saben?
No. Las coordenadas x representan los números en el patrón A, que son todos múltiplos de 2, y las coordenadas y representan los números en el patrón B, que son múltiplos de 3. El número 21 no es un múltiplo de 2, y el número 10 no es múltiplo de 3.
Si se continúan los patrones A y B, el punto (24, 36) estará en la gráfica. ¿Qué representa este punto?
Cuando el número en el patrón A es 24, el número correspondiente en el patrón B es 36.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta. Señale la gráfica con las flechas verticales y horizontales mientras hace la pregunta.
Nota para la enseñanza
Puede haber estudiantes que intenten contar de manera diagonal a lo largo de la recta, en vez de hacerlo de forma horizontal o vertical.
Pídales que recuerden que cuando marcan un punto, como (3, 2), se mueven desde el punto de origen de manera horizontal y, luego, vertical. Cuando se mueven de un punto al siguiente, también lo hacen en sentido horizontal y vertical.
¿Cómo cambiaría esta gráfica si el patrón A se mantiene igual, y el patrón B se modifica para sumar 6? ¿En qué se parecería?
La coordenada x seguirá aumentando en 2, pero la coordenada y aumentará en 6.
La distancia horizontal entre un punto y el siguiente seguirá siendo 2 unidades, pero la distancia vertical entre un punto y otro será 6 unidades.
Los puntos seguirán ubicándose en una recta.
La recta estará más inclinada.
Señale la gráfica con las flechas verticales y horizontales mientras hace la siguiente pregunta.
Volvamos al patrón original, en el que comenzamos en (0, 0) y la coordenada x aumenta en 2 mientras que la coordenada y aumenta en 3. ¿Cómo cambiaría esta gráfica si se cambia el patrón A a sumar 10 y el patrón B se mantiene igual?
La coordenada x aumentará en 10 mientras que la coordenada y seguirá aumentando en 3.
La distancia vertical entre un punto y el siguiente seguirá siendo 3 unidades, pero la distancia horizontal entre un punto y el siguiente será 10 unidades.
Los puntos seguirán estando ubicados en una recta, pero la recta estará menos inclinada.
¿Por qué los distintos patrones afectan las ubicaciones de los puntos en el plano de coordenadas?
El patrón en las coordenadas x nos indica cuántas unidades hacia la derecha hay que moverse para ir de un punto al siguiente. El patrón en las coordenadas y nos indica cuántas unidades hacia arriba hay que moverse para ir de un punto al siguiente. Cuando cambian esos patrones, cambia la ubicación de los puntos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar cómo usar una tabla y cómo usar una gráfica para determinar el siguiente par de términos correspondientes en dos patrones de números.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Generar patrones de números para formar pares ordenados
Guíe una conversación sobre patrones de números y pares ordenados usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Muestre la tabla y los puntos marcados que representan el patrón A y el patrón B.
Describan el patrón A.
La regla para el patrón A es sumar 2, empezando en 0.
Describan el patrón B.
La regla para el patrón B es sumar 4, empezando en 0.
¿Cómo se relacionan los patrones en el plano de coordenadas con los patrones en la tabla?
La distancia horizontal entre cada punto es 2 unidades, lo que coincide con la regla para la coordenada x.
La distancia vertical entre cada punto es 4 unidades, lo que coincide con la regla para la coordenada y.
¿Cómo pueden usar la gráfica para identificar otro punto que siga los patrones?
Nos podemos mover 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba desde el punto (10, 20) para llegar al punto (12, 24).
¿Cómo pueden usar la tabla para hallar el siguiente par de términos correspondientes?
Puedo sumar 2 a 10 para el patrón A y sumar 4 a 20 para el patrón B.
¿Cómo nos ayudan las reglas de los patrones de números a marcar puntos con términos correspondientes en el plano de coordenadas?
Las reglas nos brindan datos sobre la distancia horizontal y vertical entre cada punto marcado y el siguiente. La regla para la coordenada x nos indica la distancia horizontal entre un punto y el siguiente en la gráfica. La regla para la coordenada y nos indica la distancia vertical entre un punto y el siguiente en la gráfica.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Usa el patrón N para completar las partes (a) y (b).
Patrón N 0 1 2 1 11 2 2 21 2
a. Escribe la regla para el patrón N.
Sumar 1 2
b. Completa la tabla.
2. Usa la tabla para completar las partes (a) a (c).
a. La regla para el patrón Y es sumar 4. La regla para el patrón Z es restar 1 2 . Completa la tabla.
b. ¿Cuál es el número en el patrón Z cuando el número en el patrón Y es 24?
Patrón Y Patrón Z
c. ¿Cuál es el número en el patrón Y cuando el número en el patrón Z es 0?
3. Usa la tabla de pares ordenados para completar las partes (a) a (e).
a. Escribe la regla para el patrón A. Sumar 3
b. Escribe la regla para el patrón B. Sumar 1
c. Usa los números del patrón A y el patrón B para crear pares ordenados y completar la tabla.
d. Marca los pares ordenados de la tabla en el plano de coordenadas.
Patrón A x Patrón B y Par ordenado (x, y)
12345678910121 1141315 x y
e. Describe cuál es el movimiento necesario para ir del punto (6, 6) al punto (9, 7) Hay que moverse 3 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba.
4. Usa la tabla para completar las partes (a) a (c).
Patrón P x Patrón Q y Par ordenado (x, y)
2 0 (2, 0) 31 2 3 (31 2 , 3)
5 6 (5, 6) 61 2 9 (61 2 , 9)
a. Cada vez que un número en el patrón P aumenta en 11 2 , ¿qué sucede con los números en el patrón Q?
Los números en el patrón Q aumentan en 3
b. Si los patrones P y Q continúan, ¿cuál será el siguiente par ordenado de la tabla? (8, 12)
c. Si los patrones P y Q continúan, ¿estará el par ordenado (11, 18) en el patrón? ¿Cómo lo sabes?
Sí. Si comienzo en el punto (61 2 , 9), me muevo 11 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba, y repito los movimientos dos veces más, estaré en el punto (11, 18)
Identificar relaciones de suma y resta entre términos correspondientes en patrones de números
Cada coordenada y es 5 más que la coordenada x correspondiente.
a. Completa la tabla.
Coordenada x Cálculo Coordenada y Par ordenado
1 1 + 5 = 6 6 (1, 6)
3 3 + 5 = 8 8 (3, 8)
5 5 + 5 = 10 10 (5, 10)
7 7 + 5 = 12 12 (7, 12)
b. Marca los cuatro pares ordenados en el plano de coordenadas.
c. ¿Cuál es la regla para la coordenada x?
Sumar 2
d. ¿Cuál es la regla para la coordenada y?
Sumar 2
e. Cuando la coordenada x es 15, ¿cuál es la coordenada y correspondiente?
Vistazo a la lección
La clase genera coordenadas de puntos a partir de dos patrones de números en los que se usa la misma regla de suma; luego, forman pares ordenados y marcan los puntos en el plano de coordenadas. Observan dónde están representadas las reglas de suma en la gráfica al reconocer que, para llegar de un punto al siguiente, hay que moverse el mismo número de unidades hacia la derecha que hacia arriba. Identifican relaciones de suma y resta entre coordenadas y aplican esta relación para hallar una coordenada cuando saben la coordenada correspondiente.
Preguntas clave
• ¿Por qué la regla de suma es la misma para ambos patrones de números cuando hay una relación de suma o resta entre las coordenadas x y y?
• ¿Por qué es útil saber cuándo las coordenadas x y y tienen una relación de suma o resta?
5.Mód6.CLA2 Generan y representan patrones numéricos utilizando tablas y el plano de coordenadas. (5.OA.B.3)
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Generar coordenadas
• Relaciones de suma y resta
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• herramienta de borde recto
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Hallar el volumen
La clase aplica la fórmula V = l × a × h para calcular el volumen de un prisma rectangular recto y adquirir fluidez con la destreza de hallar el volumen del módulo 5.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. A continuación, muestre cada respuesta.
Presente el prisma rectangular recto y la fórmula.
Usemos la fórmula V = l × a × h para hallar el volumen del prisma rectangular recto.
Escriban una ecuación con tres factores para representar el volumen del prisma rectangular recto.
Muestre la ecuación de ejemplo.
Calculen el volumen del prisma rectangular recto.
Muestre el volumen.
El volumen es 12 centímetros cúbicos.
Nota para la enseñanza
Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, puede haber estudiantes que elijan escribir los factores de la ecuación en un orden diferente.
El volumen es 54 pulgadas cúbicas. 3in 2in 9in
V =l× a × h
V =3×2×9
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 4ft 5ft 5ft
7cm 2cm 5cm
V =l× a × h
V =2×5×7
El volumen es 70 centímetros cúbicos.
V =2×4×8 8m 4m 2m
V =l× a × h
El volumen es 64 metros cúbicos.
V =l× a × h
V =5×4×5
El volumen es 100 pies cúbicos.
Intercambio con la pizarra blanca: Dibujar figuras geométricas
Materiales: E) Herramienta de borde recto
La clase dibuja un ejemplo de una semirrecta o un ángulo específicos como preparación para trabajar con ángulos en el plano de coordenadas a partir del tema C.
Muestre la semirrecta BC.
Cuando dé la señal, lean el nombre de la figura geométrica. ¿Comenzamos?
Semirrecta BC
Tracen un ejemplo de semirrecta BC.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la figura geométrica de ejemplo.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Valide todas las respuestas correctas aunque no coincidan exactamente con la imagen que se muestra en el ejemplo de respuesta. Por ejemplo, para el ángulo D, puede que haya estudiantes que elijan dibujar un ángulo agudo, obtuso o recto. Observe qué atributos de la figura se necesitan para constituir una respuesta correcta.
Conteo bip de tres en tres y de un tercio en un tercio
La clase completa un patrón como preparación para describir patrones relacionados con puntos y rectas en el plano de coordenadas.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip.
Escuchen con atención mientras cuento de tres en tres o de un tercio en un tercio. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos?
Muestre la secuencia 0, 3, .
0, 3, bip
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. 6
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase examina gráficas que muestran patrones entre puntos marcados en el plano de coordenadas.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre cuatro gráficas y pida a sus estudiantes que las analicen.
DUA: Representación
Considere rotular los pares ordenados para cada punto o proporcionar a sus estudiantes una tabla de pares ordenados para cada gráfica de la sección Presentar. Si bien sus estudiantes crean tablas de coordenadas para las gráficas A, B y C en la sección Aprender, puede haber estudiantes que se beneficien, en esta parte de la lección, de comparar patrones de números en las tablas con lo que observan en las gráficas.
Dé a la clase 2 minutos para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca.
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría.
Destaque respuestas que enfaticen el razonamiento acerca de los patrones en las coordenadas o las ubicaciones de los puntos en el plano de coordenadas.
Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas.
Preguntas de ejemplo:
¿Cuál no pertenece al grupo?
A no pertenece al grupo porque es la única con puntos que tienen las mismas coordenadas x y y.
B no pertenece al grupo porque es la única que tiene un punto marcado en el eje y.
C no pertenece al grupo porque es la única que tiene un punto marcado en el eje x.
D no pertenece al grupo porque es la única en la que hay que moverse 1 unidad hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar de un punto al siguiente.
¿En qué se parecen las gráficas A y C? ¿En qué se diferencian?
En las dos gráficas hay que moverse 2 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar de un punto al siguiente.
En las dos gráficas, la distancia horizontal y vertical entre los puntos es 2 unidades.
Las dos tienen puntos con las coordenadas x 1, 3 y 5.
Las coordenadas x y y son iguales para cada punto en la gráfica A.
Uno de los puntos en la gráfica C está marcado en el eje x.
¿En que se parecen las gráficas B y C? ¿En qué se diferencian?
En las dos gráficas hay que moverse 2 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar de un punto al siguiente.
En las dos gráficas, la distancia horizontal y vertical entre un punto y el siguiente es 2 unidades cada una.
Uno de los puntos en la gráfica B está marcado en el eje y. Uno de los puntos en la gráfica C está marcado en el eje x.
Para cada punto en la gráfica B, la coordenada y es mayor que la coordenada x. Para cada punto en la gráfica C, la coordenada x es mayor que la coordenada y.
¿En que se parecen las gráficas B y D? ¿En qué se diferencian?
En las dos gráficas la distancia vertical entre un punto y el siguiente es 2 unidades.
Para cada punto en las dos gráficas, la coordenada y es mayor que la coordenada x.
En la gráfica B, hay que moverse 2 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar de un punto al siguiente. En la gráfica D, hay que moverse 1 unidad hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar de un punto al siguiente.
En la gráfica B, la distancia horizontal entre un punto y el siguiente es 2 unidades.
En la gráfica D, la distancia horizontal entre un punto y el siguiente es 1 unidad.
¿Qué tienen en común las cuatro gráficas?
Todas muestran 3 puntos que parecen ubicarse en una recta.
En cada gráfica, la distancia vertical entre un punto y el siguiente es 2 unidades.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden determinar dónde marcar el siguiente punto si los patrones en las gráficas continúan.
Para marcar el siguiente punto en las gráficas A, B y C, podemos movernos 2 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. Para marcar el siguiente punto en la gráfica D, podemos movernos 1 unidad hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a identificar patrones y a describir las relaciones entre coordenadas de puntos en el plano de coordenadas.
Aprender
Generar coordenadas
La clase usa reglas de suma para generar coordenadas x y y, formar pares ordenados y marcar puntos en el plano de coordenadas.
Muestre la gráfica A de la sección Presentar.
Pida a sus estudiantes que creen una tabla en sus pizarras blancas y que usen la gráfica para registrar las coordenadas x y las coordenadas y correspondientes.
x Coordenada y
Las coordenadas x representan un patrón de números, y las coordenadas y representan otro patrón de números. ¿Cuál es el siguiente término del patrón? ¿Cómo lo saben?
El siguiente término es 7. La regla de las dos coordenadas es sumar 2. Lo sé porque cada coordenada es 2 más que la anterior.
¿Cómo pueden ubicar el siguiente punto en la gráfica?
Puedo moverme 2 hacia la derecha y 2 hacia arriba desde el punto (5, 5) para llegar al punto (7, 7).
Escriba (50, ).
Si se continúan los patrones de números, ¿cuál es la coordenada y correspondiente cuando la coordenada x es 50?
Nota para la enseñanza
En esta lección, la regla de suma para las coordenadas x es la misma que la regla de suma para las coordenadas y, lo que da como resultado una relación de suma o resta entre coordenadas correspondientes. En la siguiente lección, las reglas de suma para las coordenadas x y y son diferentes, lo que da como resultado una relación de multiplicación o división entre coordenadas.
DUA: Representación
La actividad digital interactiva de Patrones en tablas y gráficas genera dos patrones de números con términos correspondientes representados como coordenadas en una tabla y como puntos marcados en el plano de coordenadas.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
¿Continuaron sumando 2 a las coordenadas x y y para determinar que la coordenada y es 50 cuando la coordenada x es 50? ¿Por qué?
No. Observé que las coordenadas y son iguales a las coordenadas x.
Muestre la gráfica B de la sección Presentar.
Pida a sus estudiantes que, en sus pizarras blancas, usen la gráfica para crear una tabla de coordenadas x con las coordenadas y correspondientes.
Luego, pídales que generen los siguientes tres términos de cada patrón y que los escriban en la tabla.
Coordenada x Coordenada y
¿Cómo determinaron las siguientes tres coordenadas x ?
Sumé 2 cada vez.
¿Cómo determinaron las siguientes tres coordenadas y ?
Sumé 2 cada vez.
¿Dónde pueden observar en la gráfica la regla de sumar 2 para los dos patrones de números?
Para ir de un punto al siguiente, nos movemos 2 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
La distancia horizontal entre los puntos es 2 unidades, y la distancia vertical entre los puntos es 2 unidades.
DUA: Representación
Dibuje y rotule flechas desde una coordenada a la siguiente en la tabla para animar a cada estudiante a hacer conexiones entre la tabla y la gráfica. Pídales que dibujen y rotulen flechas de un punto al siguiente en la gráfica.
Use un color para las coordenadas x y un color diferente para las coordenadas y.
Escriba (50, ). Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el siguiente planteamiento. Tenga en cuenta que puede haber estudiantes que aún no pueden identificar la coordenada y.
Si se continúan los patrones de números, ¿cuál es la coordenada y correspondiente cuando la coordenada x es 50? ¿Cómo lo saben?
El término correspondiente es 53. Las coordenadas y son 3 más que las coordenadas x correspondientes, y 50 + 3 = 53.
El término correspondiente es 53. Sumé 3 a 50.
¿Podrían haber continuado sumando 2 para hallar que la coordenada y es 53 cuando la coordenada x es 50?
Sí, pero eso llevaría mucho tiempo.
Saber la relación entre las coordenadas x y y nos ayuda a hallar una coordenada si sabemos la coordenada correspondiente.
Muestre la tabla con una columna de cálculo.
Coordenada x Cálculo Coordenada y
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando observa dos patrones de números para identificar la relación entre coordenadas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• ¿Qué patrones observaron cuando compararon cada coordenada x con su coordenada y correspondiente?
• ¿Cómo saben que siempre funciona usar la relación entre coordenadas correspondientes para hallar una coordenada cuando saben su coordenada correspondiente?
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué el saber la relación entre las coordenadas puede ayudarles a hallar una coordenada si se sabe la coordenada correspondiente.
Si sabemos una coordenada x , podemos sumar 3 para obtener la coordenada y correspondiente porque las coordenadas y son 3 más que las coordenadas x correspondientes.
Si sabemos una coordenada y, podemos restar 3 para obtener la coordenada x correspondiente porque las coordenadas x son 3 menos que las coordenadas y correspondientes.
¿Por qué todas las coordenadas y son 3 más que las coordenadas x correspondientes?
El número inicial del patrón para las coordenadas x es 0, y el número inicial del patrón para las coordenadas y es 3, es decir, 3 más que 0. La regla para los dos patrones es sumar 2, así que cada coordenada y es 3 más que su coordenada x correspondiente.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar los problemas 1 y 2 de sus libros. Recorra el salón de clases mientras trabajan. Haga las siguientes preguntas para brindar apoyo al razonamiento de sus estudiantes:
• ¿Cuáles son los números iniciales de los patrones de números para las coordenadas x y y?
• ¿Cómo pueden generar más términos usando las reglas para las coordenadas x y y?
• ¿De qué manera pueden usar las coordenadas x y la relación entre coordenadas para generar las coordenadas y correspondientes en el problema 2?
1. La regla para la coordenada x es sumar 1.5. La regla para la coordenada y es sumar 1.5
a. Completa la tabla.
x Coordenada y Par ordenado
Diferenciación: Apoyo
Para ayudar a sus estudiantes con el problema 1, considere primero pedirles que trabajen con un problema similar que tenga una regla de sumar un número entero en lugar de un número decimal.
Una vez que hayan completado la tabla en el problema 1, pídales que identifiquen la longitud del intervalo entre las líneas de la cuadrícula en la parte (b). Pregúnteles cómo esa longitud del intervalo les ayudará a marcar los puntos de la parte (a).
b. Marca los cuatro pares ordenados en el plano de coordenadas.
2. Cada coordenada y es 1.5 más que su coordenada x correspondiente.
a. Completa la tabla.
Coordenada x Cálculo
Coordenada y Par ordenado
Diferenciación: Desafío
Desafíe a sus estudiantes a determinar las 50. as coordenadas x y y en el problema 2. Pídales que usen las coordenadas correspondientes para formar el 50. o par ordenado.
b. Marca los cuatro pares ordenados en el plano de coordenadas.
Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, pídales que compartan los pares ordenados que generaron en el problema 1. Luego, haga las siguientes preguntas.
Escriba (31, ).
La relación entre las coordenadas de este punto es la misma que la del problema 1. Si su coordenada x es 31, ¿cuál es la coordenada y? ¿Cómo lo saben?
Es 35. Las coordenadas y son 4 más que las coordenadas x correspondientes, y 31 + 4 = 35.
Escriba ( , 20).
La relación entre las coordenadas de este punto es la misma que la del problema 1. Si su coordenada y es 20, ¿cuál es la coordenada x? ¿Cómo lo saben?
Es 16. Las coordenadas x son 4 menos que las coordenadas y correspondientes, y 20 − 4 = 16.
¿Por qué las coordenadas y son 4 más que las coordenadas x correspondientes?
El número inicial del patrón para las coordenadas x es 1, y el número inicial del patrón para las coordenadas y es 5, es decir, 4 más que 1. La regla para los dos patrones es sumar 1.5, entonces, cada coordenada y es 4 más que su coordenada x correspondiente.
Seleccione a estudiantes para que compartan los pares ordenados que generaron en el problema 2. Luego, haga las siguientes preguntas.
Si se continúan los patrones del problema 2, ¿cuál es el siguiente par ordenado?
¿Cómo lo saben?
(12, 13.5) porque la regla para las coordenadas x y y es sumar 3.
(12, 13.5) porque la regla para la coordenada x es sumar 3. Las coordenadas y son 1.5 más que las coordenadas x, y 12 + 1.5 = 13.5.
(12, 13.5) porque la regla para la coordenada y es sumar 3. Las coordenadas x son 1.5 menos que las coordenadas y, entonces, 13.5 − 1.5 = 12.
La regla de suma para la coordenada x es sumar 3. Después de sumar 1.5 a cada coordenada x, la regla de suma para la coordenada y también es sumar 3. ¿Por qué?
Cada coordenada es 3 más que la anterior.
Las coordenadas x están ubicadas a 3 unidades de distancia. Cuando sumamos 1.5 a cada coordenada x para obtener la coordenada y correspondiente, los números que obtenemos también están a 3 unidades de distancia.
¿En qué se parecen la gráfica del problema 1 y la gráfica del problema 2? ¿En qué se diferencian?
En las dos gráficas, los puntos parecen estar ubicados en una recta.
En cada gráfica, la distancia horizontal entre un punto y el siguiente es igual a la distancia vertical.
Los puntos en el problema 2 están más separados que los del problema 1.
Un punto del problema 2 está ubicado en el eje y. Ningún punto del problema 1 está ubicado en un eje.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar una tabla y una gráfica a fin de determinar las reglas para las coordenadas y la relación entre las coordenadas x y y correspondientes.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere brindar apoyo a las respuestas de cada estudiante con la Herramienta para la conversación. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento para explicar sus razonamientos.
Relaciones de suma y resta
La clase identifica relaciones de suma y resta entre coordenadas x y y correspondientes.
Muestre la gráfica C de la sección Presentar.
Pida a sus estudiantes que usen la gráfica para crear una tabla de coordenadas x y coordenadas y correspondientes en sus pizarras blancas.
Coordenada x Coordenada y
Escriba (25, ).
Este punto tiene la misma relación entre sus coordenadas. Si su coordenada x es 25, ¿cuál es la coordenada y? ¿Cómo lo saben?
24 porque las coordenadas y son 1 menos que las coordenadas x correspondientes.
Escriba ( , 100).
Este punto tiene la misma relación entre sus coordenadas. Si su coordenada y es 100, ¿cuál es la coordenada x? ¿Cómo lo saben?
101 porque las coordenadas x son 1 más que las coordenadas y correspondientes.
Las coordenadas y son 1 menos que las coordenadas x correspondientes. Las coordenadas x son 1 más que las coordenadas y correspondientes. ¿Por qué es útil conocer esta relación?
Podemos hallar una coordenada cuando se da su coordenada correspondiente.
Para extender un patrón de números, no tenemos que usar las reglas para cada coordenada.
Pida a sus estudiantes que completen el problema 3 en parejas. Recorra el salón de clases mientras trabajan. Haga las siguientes preguntas para brindar apoyo al razonamiento de sus estudiantes:
• ¿Cuáles son las coordenadas x de los puntos marcados?
• ¿Cuáles son las coordenadas y de los puntos marcados?
• ¿Ven algún patrón en las coordenadas?
• ¿Cómo se mueven de un punto al siguiente? ¿Ven algún patrón en el movimiento de un punto al siguiente?
• ¿Las coordenadas y son mayores o menores que las coordenadas x correspondientes? ¿Cuánto mayores o cuánto menores son?
• ¿Qué número se puede sumar a las coordenadas x para obtener las coordenadas y correspondientes?
• ¿Qué número se puede restar de las coordenadas x para obtener las coordenadas y correspondientes?
3. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (f).
Diferenciación:
Apoyo
Para brindar apoyo, rotule los puntos dados con pares ordenados o pida a sus estudiantes que completen una tabla con las coordenadas x y y de los puntos dados.
a. Describe el movimiento de un punto al siguiente.
2 _ 3 de unidad hacia la derecha y 2 3 de unidad hacia arriba
b. ¿Cuál es la regla para la coordenada x ?
Sumar 2 3
c. ¿Cuál es la regla para la coordenada y ?
Sumar 2 3
d. Usa las reglas para las coordenadas y marca los siguientes tres puntos en el plano de coordenadas. ¿Cuáles son los pares ordenados de los puntos?
(4, 2 1 3), (4 2 3 , 3), (5 1 3 , 3 2 3)
e. Completa los espacios para describir la relación entre las coordenadas x y y.
Ejemplo:
Las coordenadas y son 12 3 menos que las coordenadas x correspondientes.
f. Cuando la coordenada x es 10, ¿cuál es la coordenada y correspondiente? Muestra cómo lo sabes.
8 1 _ 3
Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, vuelva a reunir a la clase. Pídales que compartan sus respuestas y su razonamiento para cada parte del problema.
Si hay tiempo suficiente, invite a las parejas de estudiantes a elegir un número inicial diferente. Pídales que usen la misma regla de suma a fin de generar varios términos más. Luego, pídales que determinen la relación de suma o resta entre los términos correspondientes en sus patrones de números.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar relaciones de suma y resta entre términos correspondientes en patrones de números
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase sobre reglas de suma para coordenadas y relaciones de suma y resta entre coordenadas correspondientes. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Dónde pueden ver las reglas de suma para las coordenadas de puntos en una tabla y en una gráfica?
Veo que el número que se suma a una coordenada x para obtener la siguiente coordenada x en una tabla es igual al número de unidades que hay que moverse hacia la derecha en la gráfica para ir de un punto al siguiente.
Veo que el número que se suma a una coordenada y para obtener la siguiente coordenada y en una tabla es igual al número de unidades que hay que moverse hacia arriba en la gráfica para ir de un punto al siguiente.
¿Cómo hallaron la coordenada y en el problema 1(b)?
Sabía que las coordenadas y eran 1 más que las coordenadas x correspondientes, entonces, sumé 1 a 18 para llegar a la coordenada y correspondiente, 19.
Extendí la tabla. Sumé 4 a la coordenada x, 14, para obtener 18 y, luego, sumé 4 a la coordenada y correspondiente, 15, y obtuve 19.
Extendí los ejes x y y en el plano de coordenadas. Continué moviéndome 4 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba hasta llegar a un punto con la coordenada x 18 y la coordenada y 19.
¿Por qué es útil saber cuándo las coordenadas x y y tienen una relación de suma o resta?
Podemos sumar un número a o restar un número de una coordenada para obtener la coordenada correspondiente.
No tenemos que usar la regla de suma para las coordenadas una y otra vez.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
2. Usa la tabla para completar las partes (a) a (e).
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
1. Usa la tabla y la gráfica para completar las partes (a) a (c).
• Regla para la coordenada x: Sumar 4
• Regla para la coordenada y: Sumar 4
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
2 3 (2, 3) 6 7 (6, 7)
11 (10, 11)
15 (14, 15)
a. Para ir del punto (2, 3) al punto (6, 7), hay que moverse 4 unidades hacia la derecha y, luego, 4 unidades hacia arriba.
b. Cuando la coordenada x es 18, la coordenada y correspondiente es 19
c. Cuando la coordenada y es 22, la coordenada x correspondiente es 21
a. Marca los puntos que representan los cuatro pares ordenados en el plano de coordenadas.
b. ¿Cuál es la regla para la coordenada x? Sumar 1
EUREKA MATH
EUREKA
c. ¿Cuál es la regla para la coordenada y?
Sumar 1 1 2
d. Describe el movimiento para ir desde el punto (3, 5) al punto (4 1 2 6 1 2 )
1 1 2 unidades hacia la derecha y 1 1 2 unidades hacia arriba
e. Completa los espacios para describir la relación entre las coordenadas x y y
Las coordenadas y son 2 más que las coordenadas x correspondientes.
3. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (g).
a. Describe el movimiento de un punto al siguiente. 1 2 unidad hacia la derecha y 1 2 unidad hacia arriba
b. ¿Cuál es la regla para la coordenada x?
Sumar 1 2
c. ¿Cuál es la regla para la coordenada y?
Sumar 1 2
d. Usa las reglas para las coordenadas y marca los siguientes tres puntos en el plano de coordenadas. ¿Cuáles son los pares ordenados de los puntos?
(3, 2 1 2) (3 1 2 , 3), (4, 3 1 2)
e. Completa el espacio para describir la relación entre las coordenadas x y y
Las coordenadas y son 1 2 menos que las coordenadas x correspondientes.
f. Cuando la coordenada x es 16 1 2 , ¿cuál es la coordenada y correspondiente?
16
g. Cuando la coordenada y es 16 1 2 , ¿cuál es la coordenada x correspondiente? 17
Identificar relaciones de multiplicación y división entre términos correspondientes en patrones de números
Usa la tabla para completar las partes (a) a (e).
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
a. Marca los cuatro pares ordenados en el plano de coordenadas.
b. ¿Cuál es la regla para la coordenada x?
c. ¿Cuál es la regla para la coordenada y? Sumar 1
d. Describe la relación entre las coordenadas x y y Las coordenadas x son 4 veces la cantidad de las coordenadas y correspondientes.
e. Cuando la coordenada x es 40, ¿cuál es la coordenada y correspondiente?
EUREKA
Vistazo a la lección
La clase genera coordenadas de puntos a partir de dos patrones de números en los que se usan diferentes reglas de suma. Forman pares ordenados a partir de los patrones y marcan puntos en el plano de coordenadas. Observan dónde están representadas las reglas de suma en la gráfica al comparar el movimiento hacia la derecha y el movimiento hacia arriba que realizan para ir de un punto al siguiente. Identifican relaciones de multiplicación y división entre coordenadas y aplican esta relación para hallar una coordenada cuando saben la coordenada correspondiente.
Preguntas clave
• ¿Qué es necesario saber para generar términos correspondientes de dos patrones de números?
• ¿Por qué es útil saber cuándo las coordenadas x y y tienen una relación de multiplicación o división?
5.Mód6.CLA2 Generan y representan patrones numéricos utilizando tablas y el plano de coordenadas. (5.OA.B.3)
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Generar coordenadas
• Relaciones de multiplicación y división
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Hallar el volumen
La clase aplica la fórmula V = B × h para calcular el volumen de un prisma rectangular recto y adquirir fluidez con la destreza de hallar el volumen del módulo 5.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Presente el prisma rectangular recto y la fórmula.
Usemos la fórmula V = B × h para hallar el volumen del prisma rectangular recto.
Escriban una ecuación con dos factores para representar el volumen de un prisma rectangular recto.
Muestre la ecuación de ejemplo.
Calculen el volumen del prisma rectangular recto.
Muestre el volumen.
= B × h
El volumen es 12 centímetros cúbicos.
El volumen es 54 pulgadas cúbicas. 3in 2in 9in
V = B × h
V =6×9
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 4ft 5ft 5ft
7cm 2cm 5cm
V = B × h
V =10×7
El volumen es 70 centímetros cúbicos.
V = B × h
V =8×8
El volumen es 64 metros cúbicos.
V = B × h
V =20×5
El volumen es 100 pies cúbicos.
Intercambio con la pizarra blanca: Escribir y evaluar expresiones
La clase escribe y evalúa una expresión para adquirir fluidez con los cálculos de dos pasos que involucran números decimales del módulo 4.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el enunciado: La suma de 4.06 y 1.56, dividido entre 2.
Escriban una expresión para representar el enunciado.
Muestre el ejemplo de expresión.
Escriban el valor de la expresión.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
4 veces la suma de 3.4 y 0.85
4×(3.4+0.85)
17
La suma de 4.06 y 1.56, dividido entre 2 (4.06+1.56)÷2
2.81
La diferencia de 8 y 1.95, dividido entre 5 (8−1.95)÷5 1.21
Conteo bip de cuatro en cuatro y de un cuarto en un cuarto
La clase completa un patrón como preparación para describir patrones entre puntos y rectas en el plano de coordenadas.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip.
Escuchen con atención mientras cuento de cuatro en cuatro o de un cuarto en un cuarto. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos?
Muestre la secuencia 0, 4, .
0, 4, bip
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. 8
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
0,4,8
Presentar
La clase examina tablas de coordenadas y busca patrones.
Muestre la tabla A con las coordenadas x y y de pares ordenados y los tres enunciados. Diga a la clase que dos de los enunciados acerca de las coordenadas son verdaderos, pero uno de ellos es falso. Luego, lea los enunciados en voz alta. Dé a sus estudiantes tiempo para pensar en silencio a fin de determinar cuál enunciado es falso. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. 5
1. La regla para la coordenada y es sumar 2.
2. Cada coordenada y es 1 más que su coordenada x correspondiente.
3. Si los patrones continúan, el par ordenado formado por las siguientes coordenadas x y y es (8, 7).
Invite a la clase a compartir y defender su razonamiento.
El enunciado 3 es falso.
Las coordenadas del par ordenado no están en el orden correcto.
Si los patrones continúan, el par ordenado formado por las siguientes coordenadas x y y es (7, 8).
Una vez que la clase haya identificado que el tercer enunciado es falso, haga las siguientes preguntas para consolidar su comprensión.
¿Cuál es la regla para la coordenada x? ¿Cómo lo saben?
La regla para la coordenada x es sumar 2. Cada coordenada x es 2 más que la anterior.
Describan cómo se verían los puntos de la tabla A si los marcaran en el plano de coordenadas.
Los puntos parecerían ubicarse en una recta.
La distancia horizontal entre un punto y el siguiente sería 2 unidades.
La distancia vertical entre un punto y el siguiente sería 2 unidades.
Para ir de un punto al siguiente, nos moveríamos 2 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
Si se continúan los patrones, ¿cuál es la coordenada y cuando la coordenada x es 15?
¿Cómo lo saben?
La coordenada y es 16. Sumé 1 a 15.
La coordenada y es 16. Cada coordenada y es 1 más que su coordenada x correspondiente.
Repita el proceso con la tabla B.
Tabla B
Coordenada x Coordenada y
1. La regla para la coordenada y es sumar 4.
2. Cada coordenada y es 1 más que su coordenada x correspondiente.
3. Si los patrones continúan, el par ordenado formado por las siguientes coordenadas x y y es (7, 14).
Invite a la clase a compartir y defender su razonamiento.
El enunciado 2 es falso.
La coordenada y 6 no es 1 más que la coordenada x 3. Sé que 6 es 3 más que 3.
La coordenada y 10 no es 1 más que la coordenada x 5. Sé que 10 es 5 más que 5.
Una vez que la clase haya identificado que el segundo enunciado es falso, haga las siguientes preguntas.
En la tabla A, la regla para las dos coordenadas es sumar 2. ¿Qué observan acerca de las reglas para las coordenadas en la tabla B?
Las reglas para las coordenadas son diferentes.
La regla para la coordenada x es sumar 2, pero la regla para la coordenada y es sumar 4.
¿Cómo supieron que el siguiente par ordenado formado por las coordenadas x y y es (7, 14)?
Sumé 2 a 5 para obtener la coordenada x 7 y sumé 4 a 10 para obtener la coordenada y 14.
Sumé 2 a 5 para obtener la coordenada x 7 y multipliqué 7 por 2 para obtener la coordenada y 14.
Sumé 4 a 10 para obtener la coordenada y 14 y dividí 14 entre 2 para obtener la coordenada x 7.
Ya determinamos que no todas las coordenadas y son 1 más que las coordenadas x correspondientes. ¿Hay algún número que podamos sumar a cada coordenada x para obtener la coordenada y correspondiente? ¿Por qué?
No. Las diferencias entre las coordenadas no son iguales, por eso, no podemos sumar el mismo número a cada coordenada x para obtener su coordenada y correspondiente.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, describiremos las relaciones entre coordenadas correspondientes cuando no podemos sumar o restar un mismo número de una coordenada x para obtener la coordenada y correspondiente.
Aprender
DUA: Representación
Cuando sus estudiantes lleguen a la conclusión de que no hay un número que puedan sumar a cada coordenada x para obtener la coordenada y correspondiente, considere crear una tabla que lo confirme de manera visual.
Coordenada x Cálculo Coordenada y
1 1 + 1 = 2 2
3 3 + 3 = 6 6
5 5 + 5 = 10 10 35
Generar coordenadas
La clase usa reglas de suma para generar coordenadas x y y a partir de pares ordenados y marca puntos en el plano de coordenadas.
Continúe mostrando la tabla B de la sección Presentar.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se verían los puntos con estas coordenadas si se marcaran en el plano de coordenadas.
Luego, pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que completen el problema en parejas.
1. Considera las coordenadas y los pares ordenados en la tabla.
a. Completa la tabla.
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
b. Marca los seis pares ordenados en el plano de coordenadas.
c. Describe el movimiento de un punto al siguiente.
2 unidades hacia la derecha, 4 unidades hacia arriba
Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, pídales que compartan los tres pares ordenados que hallaron. Luego, guíe una conversación usando las preguntas a continuación.
Las coordenadas x representan un patrón de números, y las coordenadas y representan otro patrón de números. ¿Cómo pudieron determinar las siguientes tres coordenadas x ?
Sumé 2 cada vez.
¿Cómo pudieron determinar las siguientes tres coordenadas y?
Sumé 4 cada vez.
¿En qué se parece la gráfica de estos puntos a las gráficas que vimos en la lección anterior?
¿En qué se diferencia?
Los puntos parecen ubicarse en una recta, al igual que los puntos que marcamos en la lección anterior.
Para ir de un punto al siguiente, no nos movemos el mismo número de unidades hacia la derecha que hacia arriba. En la lección anterior, para ir de un punto al siguiente, nos movíamos el mismo número de unidades hacia la derecha y hacia arriba.
¿Dónde observan en la gráfica la regla sumar 2 para la coordenada x y sumar 4 para la coordenada y?
Para ir de un punto al siguiente, nos movemos 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba.
La distancia horizontal entre un punto y el siguiente es 2 unidades, y la distancia vertical es 4 unidades.
Escriba (25, ). Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el siguiente planteamiento. Tenga en cuenta que puede haber estudiantes que aún no pueden identificar la coordenada y.
Si se continúan los patrones de números, ¿cuál es la coordenada y que corresponde a la coordenada x 25? ¿Cómo lo saben?
La coordenada y es 50. Las coordenadas y son 2 veces la cantidad de la coordenada x correspondiente, y 25 × 2 = 50.
La coordenada y es 50. Multipliqué 25 por 2.
DUA: Representación
La actividad digital interactiva de Patrones en tablas y gráficas genera dos patrones de números con términos correspondientes representados como coordenadas en una tabla y como puntos marcados en el plano de coordenadas.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando compara las reglas de suma para las coordenadas y las distancias horizontales y verticales entre los puntos como ayuda para identificar la relación de multiplicación o división entre coordenadas correspondientes.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• ¿Qué patrones observaron al comparar las reglas de suma para las coordenadas?
• ¿Qué patrones observaron cuando compararon las distancias horizontal y vertical entre los puntos?
¿Podrían haber seguido sumando 2 a las coordenadas x y 4 a las coordenadas y para hallar que la coordenada y es 50 cuando la coordenada x es 25?
Sí, pero eso llevaría mucho tiempo.
La regla para la coordenada x es sumar 2. La regla para la coordenada y es sumar 4. En la gráfica, nos movemos 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba para ir de un punto al siguiente. Entonces, sumamos a las coordenadas y el doble de lo que sumamos a las coordenadas x y, para ir de un punto al siguiente, nos movemos hacia arriba el doble de la cantidad de unidades que nos movemos hacia la derecha.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál es la relación entre las coordenadas x y y.
Las coordenadas y son 2 veces la cantidad de las coordenadas x correspondientes. Las coordenadas x son 1 2 de la cantidad de las coordenadas y.
¿Cómo podemos usar la relación entre las coordenadas para generar más pares ordenados?
Cuando sabemos una coordenada x, podemos multiplicarla por 2 para obtener la coordenada y correspondiente.
Cuando sabemos una coordenada y, podemos dividirla entre 2 para obtener la coordenada x correspondiente.
Cuando sabemos una coordenada y, podemos multiplicarla por 1 2 para obtener la coordenada x correspondiente.
Escriba (35, ).
Este punto tiene la misma relación entre sus coordenadas que los demás puntos en la gráfica.
Si su coordenada x es 35, ¿cuál es la coordenada y? ¿Cómo lo saben?
La coordenada y es 70. Multipliqué 35 por 2 para obtener 70.
Escriba ( , 102).
Este punto tiene la misma relación entre sus coordenadas. Si su coordenada y es 102, ¿cuál es la coordenada x? ¿Cómo lo saben?
La coordenada x es 51. Dividí 102 entre 2 y obtuve 51.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la relación entre coordenadas correspondientes para hallar una coordenada si se sabe la coordenada correspondiente.
Relaciones de multiplicación y división
La clase identifica y usa relaciones de multiplicación y división entre coordenadas x y y correspondientes.
Muestre la tabla de coordenadas y la gráfica.
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
3 1 (3, 1) 6
6)
Pida a sus estudiantes que comparen la tabla y la gráfica con aquellas del problema 1. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre las gráficas y los patrones en las tablas. Luego, haga las siguientes preguntas.
¿Cuáles son las reglas para las coordenadas x y y?
La regla para la coordenada x es sumar 3. La regla para la coordenada y es sumar 1
¿Dónde se observan estas reglas en la gráfica?
Para ir de un punto al siguiente, nos movemos 3 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba.
La distancia horizontal entre un punto y el siguiente es 3 unidades, y la distancia vertical es 1 unidad.
Sumamos a las coordenadas x 3 veces la cantidad que sumamos a las coordenadas y, y nos movemos hacia la derecha 3 veces la cantidad de unidades que nos movemos hacia arriba.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál es la relación entre las coordenadas x y y.
Las coordenadas x son 3 veces la cantidad de las coordenadas y correspondientes.
Las coordenadas y son 1 _ 3 de la cantidad de las coordenadas x correspondientes.
¿Cómo podemos usar la relación entre las coordenadas para generar más pares ordenados?
Cuando sabemos una coordenada x, podemos dividirla entre 3 para obtener la coordenada y correspondiente.
Cuando sabemos una coordenada x, podemos multiplicarla por 1 3 para obtener la coordenada y correspondiente.
Cuando sabemos una coordenada y, podemos multiplicarla por 3 para obtener la coordenada x correspondiente.
Escriba (60, ) .
Este punto tiene la misma relación entre sus coordenadas que los demás puntos en la gráfica.
Si su coordenada x es 60, ¿cuál es la coordenada y? ¿Cómo lo saben?
La coordenada y es 20. Multipliqué 60 por 1 _ 3 para obtener 20.
La coordenada y es 20. Dividí 60 entre 3 y obtuve 20.
Escriba ( , 60).
Este punto también tiene la misma relación entre sus coordenadas que los demás puntos en la gráfica. Si su coordenada y es 60, ¿cuál es la coordenada x? ¿Cómo lo saben?
La coordenada x es 180. Multipliqué 60 por 3 para obtener 180.
DUA: Acción y expresión
Considere usar esquemas de oración para ayudar a sus estudiantes a identificar y describir relaciones de multiplicación y división entre coordenadas y la manera en que pueden usar esas relaciones.
• La coordenada es veces la cantidad de la coordenada .
• Podemos la coordenada por/entre para obtener la coordenada
Se pueden usar los esquemas de oración para crear los siguientes ejemplos:
• La coordenada y es 2 veces la cantidad de la coordenada x .
• Podemos multiplicar la coordenada x por/entre 2 para obtener la coordenada y .
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que lo resuelvan en parejas.
2. Multiplica cada coordenada x por 4 para obtener la coordenada y correspondiente.
a. Completa la tabla.
Coordenada x Cálculo Coordenada y Par ordenado
Diferenciación: Apoyo
Para brindar apoyo a sus estudiantes con el problema 2, considere escribir fracciones equivalentes. Por ejemplo, si sus estudiantes escriben 12 4 cuando multiplican 3 4 por 4, pídales que expresen la fracción como una fracción equivalente que sea más fácil de marcar como una coordenada.
b. Marca los cinco pares ordenados en el plano de coordenadas.
Diferenciación: Desafío
Como desafío para sus estudiantes, pídales que determinen cómo se pueden identificar las 50.as coordenadas x y y en el problema 2. Pídales que usen las coordenadas correspondientes para formar el 50.o par ordenado.
c. Describe el movimiento de un punto al siguiente.
1 4 de unidad hacia la derecha, 1 unidad hacia arriba
d. ¿Cuál es la regla para la coordenada x?
Sumar 1 4
e. ¿Cuál es la regla para la coordenada y?
Sumar 1
f. Completa los espacios para describir la relación entre las coordenadas x y y.
Ejemplo:
Las coordenadas y son 4 veces la cantidad de las coordenadas x correspondientes.
g. Cuando la coordenada x es 7 2 , ¿cuál es la coordenada y correspondiente? Muestra cómo lo sabes.
14
h. Cuando la coordenada y es 20, ¿cuál es la coordenada x correspondiente? Muestra cómo lo sabes.
5 20 ÷ 4 = 5
Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, vuelva a reunir a la clase. Invíteles a compartir sus respuestas y su razonamiento.
A continuación, muestre la tabla.
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué escalas podrían usar para los ejes si tuvieran que marcar estos puntos en el plano de coordenadas.
Si los dos ejes tuvieran una escala de 100, sería difícil marcar los puntos porque las coordenadas y son mucho más pequeñas que las coordenadas x.
Si los dos ejes tuvieran una escala de 2, nuestra gráfica sería enorme porque las coordenadas x son mucho más grandes que las coordenadas y.
A veces, podemos usar diferentes escalas para los ejes, y así, marcar los puntos más fácilmente.
Muestre la gráfica del problema 3 que tiene diferentes escalas para los ejes x y y.
¿Qué observan acerca de las escales de los ejes?
Las escalas son diferentes.
La longitud del intervalo entre las líneas de la cuadrícula del eje x es 100 unidades. La longitud del intervalo entre las líneas de la cuadrícula del eje y es 2 unidades.
¿La distancia horizontal entre un punto y el siguiente es 1 unidad? Expliquen.
No. La distancia horizontal entre un punto y el siguiente es 100 unidades. La longitud del intervalo entre las líneas de la cuadrícula del eje x es 100 unidades y los puntos están marcados en las líneas de la cuadrícula.
¿Cuál es la distancia vertical entre un punto y el siguiente? ¿Cómo lo saben?
La distancia vertical entre un punto y el siguiente es 2 unidades. La longitud del intervalo entre las líneas de la cuadrícula del eje y es 2 unidades y los puntos están marcados en las líneas de la cuadrícula.
¿Cuál es la regla para la coordenada x? ¿Cuál es la regla para la coordenada y?
¿Cómo lo saben?
La regla para la coordenada x es sumar 100. La regla para la coordenada y es sumar 2. Para ir de un punto al siguiente, nos movemos 100 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que marquen 3 puntos más que tengan las mismas reglas para las coordenadas que los puntos dados y que escriban los pares ordenados de los puntos nuevos. Invite a la clase a comprobar su trabajo en parejas.
A continuación, pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la relación entre las coordenadas x y y.
Las coordenadas x son 50 veces la cantidad de las coordenadas y correspondientes.
Las coordenadas y son 1 50 de la cantidad de las coordenadas x correspondientes.
¿Cómo podemos usar la relación entre coordenadas para hallar una coordenada cuando sabemos la coordenada correspondiente?
Cuando sabemos una coordenada x, podemos dividirla entre 50 para obtener la coordenada y correspondiente.
Cuando sabemos una coordenada x, podemos multiplicarla por 1 __ 50 para obtener la coordenada y correspondiente.
Cuando sabemos una coordenada y, podemos multiplicarla por 50 para obtener la coordenada x correspondiente.
Pida a sus estudiantes que completen las partes (c) y (d) en parejas.
3. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (d).
a. Usa las reglas para las coordenadas y marca los siguientes tres puntos en el plano de coordenadas. ¿Cuáles son los pares ordenados de los puntos? (500, 10), (600, 12), (700, 14)
b. Completa los espacios para describir la relación entre las coordenadas x y y Ejemplo:
Las coordenadas x son 50 veces la cantidad de las coordenadas y correspondientes.
c. ¿Cuál es la coordenada y correspondiente cuando la coordenada x es 1,000?
Muestra cómo lo sabes.
20
1,000 ÷ 50 = 20
d. ¿Cuál es la coordenada x correspondiente cuando la coordenada y es 1,000?
Muestra cómo lo sabes.
50,000
1,000 × 50 = 50,000
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo identificar una relación de multiplicación o división entre coordenadas correspondientes y cómo usar esa relación para hallar una coordenada cuando se sabe la coordenada correspondiente.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar relaciones de multiplicación y división entre términos correspondientes en patrones de números
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase sobre las relaciones de multiplicación y división entre coordenadas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Muestre las dos tablas de la sección Presentar.
Coordenada x Coordenada y Coordenada x Coordenada y
En la lección anterior, observamos patrones de números como los de la tabla A. Hoy, trabajamos con patrones de números como los de la tabla B. Comparen las reglas de suma y las relaciones entre los términos correspondientes que se muestran en las tablas.
En la tabla A, las dos coordenadas tienen la misma regla de suma. En la tabla B, las reglas de suma para las coordenadas son diferentes.
Las coordenadas en la tabla A tienen una relación de suma. Podemos sumar 1 a las coordenadas x para obtener las coordenadas y correspondientes. Las coordenadas en la tabla B tienen una relación de multiplicación. Podemos multiplicar las coordenadas x por 2 para obtener las coordenadas y correspondientes.
Tabla A
Tabla B
¿Qué es necesario saber para generar los términos correspondientes de dos patrones de números como los de las tablas A y B?
Necesitamos saber el número inicial y la regla para cada patrón de números.
Si sabemos una coordenada y la relación entre los términos correspondientes, entonces, podemos hallar la coordenada correspondiente.
Si los puntos con las coordenadas están marcados en el plano de coordenadas, necesitamos conocer el punto inicial y cuántas unidades debemos movernos hacia la derecha y hacia arriba para llegar al siguiente punto.
¿Por qué es útil saber cuándo las coordenadas x y y tienen una relación de multiplicación o división?
Podemos multiplicar una coordenada por un número o dividirla entre él para obtener la coordenada correspondiente.
No tenemos que usar reglas de suma para las coordenadas una y otra vez.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
2. Usa la tabla y el plano de coordenadas para completar las partes (a) a (e).
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
1. Usa la tabla y la gráfica para completar las partes (a) a (c).
Regla: Sumar 1 Coordenada x Regla: Sumar 3 Coordenada y Par ordenado
0 0 (0, 0) 1 3 (1, 3)
2 6 (2, 6)
3 9 (3, 9)
a. Para ir del punto (0, 0) al punto (1, 3), hay que moverse 1 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.
b. Cuando la coordenada x es 4, la coordenada y correspondiente es 12
c. Cuando la coordenada y es 15, la coordenada x correspondiente es 5
a. Marca los puntos que representan los cuatro pares ordenados en el plano de coordenadas.
b. ¿Cuál es la regla para la coordenada x? Sumar 4
Nombre
c. ¿Cuál es la regla para la coordenada y?
Sumar 2
d. Describe el movimiento necesario para ir del punto (4, 2) al punto (8, 4)
4 unidades hacia la derecha, 2 unidades hacia arriba
e. Completa los espacios para describir la relación entre las coordenadas x y y
Las coordenadas y son 1 2 de la cantidad de las coordenadas x correspondientes.
3. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (f).
a. Escribe las coordenadas x y y. Escribe los pares ordenados para los puntos A, B, C y D
Punto Coordenada x Coordenada y Par ordenado
b. Cada vez que se suma 1 2 a una coordenada x, se suma 2 a la coordenada y correspondiente.
c. Describe el movimiento necesario para ir del punto C al punto D 1 2 unidad hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba
d. Describe la relación entre las coordenadas x y y. Las coordenadas y son 4 veces la cantidad de las coordenadas x correspondientes.
e. Cuando la coordenada x es 6, ¿cuál es la coordenada y correspondiente?
f. Cuando la coordenada y es 16, ¿cuál es la coordenada x correspondiente?
Identificar relaciones de operaciones mixtas entre términos correspondientes en patrones de números (opcional)
Usa la gráfica que se muestra para completar las partes (a) a (e).
b. ¿Cuál es la regla para la coordenada x?
Sumar 1
c. ¿Cuál es la regla para la coordenada y?
Sumar 3
d. Describe la relación entre las coordenadas x y y
Ejemplo:
Multiplicar las coordenadas x por 3 y, luego, sumar 3 para obtener las coordenadas y correspondientes.
e. Cuando la coordenada x es 5, ¿cuál es la coordenada y correspondiente? 18
01234567891011121315 14
a. Completa la tabla.
Punto Coordenada x Coordenada y Par ordenado
A 0 3 (0, 3)
B 1 6 (1, 6)
C 2 9 (2, 9)
D 3 12 (3, 12)
E 4 15 (4, 15)
EUREKA
Vistazo a la lección
La clase marca puntos y compara dos tablas de patrones de números generados por las dos mismas reglas de suma, pero con distintos números iniciales. Una tabla tiene una relación de multiplicación entre coordenadas y la otra tiene una relación de operaciones mixtas entre coordenadas. Marcan puntos y comparan las ubicaciones de cada conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Cada estudiante reconoce cómo las reglas de suma con las que se generan términos en los patrones de números pueden ser útiles para determinar una relación de operaciones mixtas entre términos correspondientes. En grupos, emparejan coordenadas representadas en tablas y gráficas con una relación de operaciones mixtas entre términos correspondientes.
Pregunta clave
• ¿Por qué las reglas de suma que se usan para generar patrones de coordenadas pueden servir como ayuda para determinar la relación entre las coordenadas?
Criterio de logro académico
En esta lección, se amplía el trabajo de hallar relaciones entre coordenadas correspondientes de una sola operación a relaciones de operaciones mixtas. El contenido de la lección ofrecerá una evaluación formativa y, entonces, no se incluye en las evaluaciones acumulativas de 5.o grado.
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Comparar relaciones
• Relaciones de operaciones mixtas
• Emparejar patrones y relaciones
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Tarjetas de patrones y relaciones (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Práctica veloz: Expresiones de dos y tres factores (en el libro para estudiantes)
• lápices de colores (2)
• Tarjetas de patrones y relaciones (1 juego por grupo de estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere retirar las páginas extraíbles de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
• Prepare dos lápices de diferentes colores por estudiante.
• Imprima o haga una copia de Tarjetas de patrones y relaciones y recorte las tarjetas. Prepare suficientes juegos de tarjetas de modo que haya 1 por cada grupo de 4 estudiantes.
Fluidez
Práctica veloz: Expresiones de dos y tres factores
EUREKA MATH2 5 ▸ M6 ▸ Práctica veloz ▸ Expresiones de dos y tres factores
La clase halla el producto de una expresión de dos o tres factores para adquirir fluidez con la destreza de hallar el volumen de prismas rectangulares rectos del módulo 5.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Escribe el producto.
1. 8 × 5 40
2. 3 × 5 × 2 30
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Nota para la enseñanza
A partir de 3.er grado, sus estudiantes hacen uso de la propiedad conmutativa de la multiplicación y la propiedad asociativa de la multiplicación para hacer un problema más simple. Use el ejemplo de problema 2 como una oportunidad para pedirles que recuerden que los factores pueden ordenarse o agruparse de distintas maneras.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 10? ¿Y en los problemas 11 a 22?
• En los problemas 23 a 34, ¿qué pares de expresiones están relacionados? ¿Y en los problemas 35 a 44?
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Pida a sus estudiantes que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante sumando 3 del 2 al 29 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás restando 2 del 21 al 3 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase examina tablas de coordenadas y busca patrones.
Muestre las tablas A y B. Invite a sus estudiantes a reunirse y conversar en parejas acerca de las reglas de suma para las coordenadas.
Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cualquier relación que observen entre las coordenadas.
Coordenada x Coordenada y Coordenada x Coordenada y
¿Cuál es la regla para la coordenada x en las tablas A y B? ¿Cuál es la regla para la coordenada y en las tablas A y B?
En las dos tablas, la regla para la coordenada x es sumar 2. En las dos tablas, la regla para la coordenada y es sumar 4.
Rotule el lado de la coordenada x de las tablas con la regla: Sumar 2. Rotule el lado de la coordenada y de las tablas con la regla: Sumar 4.
En las dos tablas, sumamos a las coordenadas y el doble de lo que sumamos a las coordenadas x porque 4 es el doble de 2.
Ahora, observen los términos correspondientes en la tabla A. ¿Cuál es la relación entre las coordenadas x y y? ¿Cómo lo saben?
Cada coordenada y es 2 veces la cantidad de la coordenada x correspondiente. Puedo multiplicar cada coordenada x por 2 para obtener la coordenada y correspondiente.
Nota para la enseñanza
En 6.o grado, sus estudiantes usan variables para representar dos cantidades que cambian al relacionarse entre sí. Estas cantidades se conocen como variables dependientes e independientes. Sus estudiantes usan gráficas y tablas para analizar la relación entre las variables dependientes e independientes y relacionan estas variables con ecuaciones en la forma y = ax + b. Por lo tanto, el propósito de esta lección es exponer a sus estudiantes a relaciones entre coordenadas que van más allá de las relaciones de una sola operación estudiadas en las lecciones 8 y 9. No se espera que la totalidad de sus estudiantes domine este tema.
Tabla A
Tabla B
Las coordenadas en la tabla A tienen una relación de una sola operación, la multiplicación. Cuando multiplicamos la coordenada x por 2, obtenemos la coordenada y correspondiente.
Si multiplicamos cada coordenada x en la tabla B por 2, ¿obtenemos la coordenada y correspondiente?
No.
Observo que la primera coordenada y en la tabla B es 6 más que su coordenada x correspondiente. ¿Las demás coordenadas en la tabla B tienen esta relación de suma?
No.
Observo que la tercera coordenada y en la tabla B es 3 veces la cantidad de su coordenada x correspondiente. ¿Las demás coordenadas en la tabla B tienen esta relación de multiplicación?
No.
Las coordenadas en la tabla B tienen una relación de dos operaciones.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a describir relaciones de operaciones mixtas entre coordenadas.
Continúe mostrando las tablas A y B.
Aprender
Comparar relaciones
Materiales: E) Lápices de colores
La clase determina una relación de dos operaciones entre coordenadas.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pida a sus estudiantes que usen un color para marcar puntos con las coordenadas de la tabla A y otro color para marcar puntos con las coordenadas de la tabla B. Pídales que rellenen cada recuadro con el color que corresponde a ese conjunto de puntos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
La palabra operación tiene varios significados. Explique a sus estudiantes que, en matemáticas, cuando decimos operaciones, nos referimos a la suma, la resta, la multiplicación y la división. Cuando hablamos de operaciones mixtas, nos referimos al uso de más de una operación para describir una relación entre coordenadas.
DUA: Representación
La actividad digital interactiva de Patrones en tablas y gráficas genera dos patrones de números con términos correspondientes representados como coordenadas en una tabla y como puntos marcados en el plano de coordenadas.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
1. Usa un color para marcar los puntos cuyas coordenadas se muestran en la tabla A. Usa otro color para marcar los puntos cuyas coordenadas se muestran en la tabla B.
x
y
x
y
Color para las coordenadas de la tabla A
Color para las coordenadas de la tabla B
Tabla A
Tabla B
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comentar lo que observan acerca de la ubicación de cada conjunto de puntos.
En las dos tablas determinamos que la regla para la coordenada x es sumar 2 y la regla para la coordenada y es sumar 4. ¿De qué manera se observan estas reglas en la gráfica para cada conjunto de puntos?
Para cada conjunto de puntos, nos movemos 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba para ir de un punto al siguiente.
Para cada conjunto de puntos, la distancia horizontal entre un punto y el siguiente es 2 unidades, y la distancia vertical es 4 unidades.
Señale la columna de las coordenadas x en cada tabla.
Podemos ver que las coordenadas x son iguales en ambas tablas. ¿Dónde podemos verlo en la gráfica?
El primer punto de la tabla A se ubica en la misma recta vertical que el primer punto de la tabla B. El segundo punto de la tabla A se ubica en la misma recta vertical que el segundo punto de la tabla B. Y lo mismo sucede con el tercer punto.
Comparen las ubicaciones de los puntos de la tabla B con las ubicaciones de los puntos de la tabla A.
Cada punto de la tabla B está 5 unidades más arriba que el punto correspondiente de la tabla A.
Sí, cada punto de la tabla B se ubica 5 unidades más arriba que un punto de la tabla A. ¿Dónde podemos ver este patrón en las tablas?
Cada coordenada y de la tabla B es 5 unidades más que su coordenada y correspondiente en la tabla A.
Podemos multiplicar las coordenadas x de la tabla A por 2 para obtener las coordenadas y correspondientes. Cada coordenada y de la tabla B es 5 unidades más que su coordenada y correspondiente en la tabla A.
DUA: Representación
Considere escribir comentarios en la tabla y en la gráfica del problema 1 para ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre las diferentes representaciones. En la tabla A, muestre que se puede multiplicar cada coordenada x por 2 para obtener la coordenada y correspondiente. Luego, muestre que se puede sumar 5 a la coordenada y de la tabla A para obtener la coordenada y correspondiente de la tabla B.
Después, coloque los dedos en los primeros puntos de las tablas A y B en la gráfica. Desplace los dedos 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba para ir a los siguientes puntos. A medida que desplaza los dedos, señale que la distancia vertical nunca cambia. Uno de sus dedos siempre está 5 unidades más arriba que el otro.
Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se puede usar esta información con el fin de determinar una relación de dos operaciones entre las coordenadas x y y en la tabla B.
Podemos multiplicar las coordenadas x por 2 y, luego, sumar 5 para obtener las coordenadas y correspondientes.
Las coordenadas y son 5 más que 2 veces la cantidad de las coordenadas x correspondientes.
En la tabla B, las coordenadas y no son el doble de las coordenadas x correspondientes, así que tiene que haber otra operación. Nuestra primera operación es multiplicar por 2, y la segunda es sumar 5 para obtener las coordenadas y correspondientes. Entonces, cada coordenada y es 5 más que 2 veces la cantidad de la coordenada x correspondiente.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron las relaciones entre las coordenadas de las dos tablas para determinar la relación entre las coordenadas de la tabla B.
Relaciones
de operaciones mixtas
La clase genera patrones de números de coordenadas que tienen una relación de dos operaciones.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que completen el problema en parejas.
2. Completa la tabla.
Coordenada x Multiplicar por 3 Restar 1 Coordenada y Par ordenado
3 3 × 3 = 9 9 − 1 = 8 8 (3, 8)
5 5 × 3 = 15 15 − 1 = 14 14 (5, 14)
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión de las relaciones en las que se usan solo la multiplicación o solo la suma para determinar que una relación entre términos correspondientes de dos patrones de números tiene dos operaciones.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relaciona la regla de suma para la coordenada x con la regla de suma para la coordenada y? ¿De qué manera eso les puede ayudar a determinar la relación entre coordenadas?
• ¿Cómo pueden usar lo que saben acerca de las relaciones de multiplicación como ayuda para determinar que una relación entre coordenadas tiene dos operaciones?
Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, muestre la tabla con las coordenadas del problema 2. Coordenada x Coordenada y Par ordenado 3 8 (3, 8)
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las reglas de suma para las coordenadas x y y de esta tabla.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta.
¿Cuál es la siguiente coordenada x si agregamos otra fila a la tabla? ¿Cuál es la siguiente coordenada y? ¿Cómo lo saben?
La siguiente coordenada x es 11. Lo sé porque la regla para la coordenada x es sumar 2. La siguiente coordenada y es 32. Lo sé porque la regla para la coordenada y es sumar 6.
Entonces, sumamos a cada coordenada y 3 veces la cantidad que sumamos a cada coordenada x. 6 es 3 veces 2. ¿Cómo se relaciona eso con lo que hicieron para obtener las coordenadas y de la tabla?
Empezamos multiplicando las coordenadas x por 3.
¿Las coordenadas y son 3 veces la cantidad de las coordenadas x? ¿Por qué?
No. Después de multiplicar por 3, restamos 1.
Entonces, la coordenada y es 1 menos que 3 veces la coordenada x.
Muestre la tabla de coordenadas x y y. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la regla de suma para cada coordenada.
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
¿Cuál es la regla para la coordenada x? ¿Cuál es la regla para la coordenada y?
La regla para la coordenada x es sumar 4. La regla para la coordenada y es sumar 2.
Entonces, sumamos a la coordenada y 1 _ 2 de la cantidad que sumamos a la coordenada x. ¿Cómo
podemos determinar 1 _ 2 de cada coordenada x?
Podemos multiplicar por 1 2 .
Podemos dividir entre 2.
Pida a cada estudiante que determine cuánto es la mitad de cada coordenada x.
¿Las coordenadas y son la mitad de las coordenadas x correspondientes?
No.
Las coordenadas y no son la mitad de las coordenadas x correspondientes; por eso, debe haber una segunda operación.
Muestre la tabla con las columnas de cálculo resaltadas.
Coordenada x Multiplicar por 1 _ 2
Coordenada y Par ordenado
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el siguiente planteamiento.
¿Ven un patrón? ¿Cuál es la relación entre las coordenadas x y y?
Sí. Las coordenadas y son 1 más que 1 2 de las coordenadas x correspondientes.
Sí. Podemos multiplicar cada coordenada x por 1 2 y, luego, sumar 1 para obtener la coordenada y correspondiente.
Sí. Podemos dividir cada coordenada x entre 2 y, luego, sumar 1 para obtener la coordenada y correspondiente.
Las coordenadas y son 1 más que la mitad de las coordenadas x correspondientes.
Muestre la tabla completada.
Coordenada x Multiplicar por 1 _ 2 Sumar 1 Coordenada y Par ordenado
Use las siguientes preguntas para ayudar a sus estudiantes a resumir cómo determinaron la relación entre las coordenadas.
¿Por qué multiplicamos cada coordenada x por 1 _ 2 ?
La regla para la coordenada x es sumar 4 y la regla para la coordenada y es sumar 2. Sumamos a las coordenadas y 1 _ 2 de lo que sumamos a las coordenadas x.
¿Cómo nos ayuda saber cuántas veces sumamos a las coordenadas y la cantidad que sumamos a las coordenadas x para hallar una relación entre las coordenadas?
Usamos ese número para determinar por cuánto hay que multiplicar las coordenadas x. Después, determinamos cuánto sumar o restar a eso para obtener las coordenadas y correspondientes.
Cuando la coordenada x es 40, ¿cuál es la coordenada y correspondiente? ¿Cómo lo saben?
La coordenada y es 21. La mitad de 40 es 20 y 20 más 1 es 21.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar las reglas de suma de coordenadas para hallar una relación entre coordenadas que tenga dos operaciones, como la multiplicación y la suma.
Emparejar patrones y relaciones
Materiales: E) Tarjetas de patrones y relaciones
La clase identifica relaciones de operaciones mixtas entre coordenadas dadas en tablas y gráficas.
Divida a sus estudiantes en grupos de cuatro. Dé a cada grupo un juego de Tarjetas de patrones y relaciones. Pida a cada integrante del grupo que tome una tarjeta de patrón.
• Indique a quienes tienen una tarjeta de patrón con una tabla que la completen usando las reglas para las coordenadas.
• Indique a quienes tienen una tarjeta de patrón con una gráfica que marquen otros tres puntos con las mismas reglas para las coordenadas que los puntos dados y que los rotulen con sus pares ordenados.
Cuando la clase haya completado las tablas y las gráficas de las tarjetas de patrones, pídales que trabajen en grupo para emparejar cada tarjeta de patrón con la tarjeta de relación correspondiente. Anímeles a comprobar que la relación de la tarjeta funciona para al menos dos pares de coordenadas en la tarjeta de patrón correspondiente.
Recorra el salón de clases mientras los grupos trabajan. Haga las siguientes preguntas para brindar apoyo a sus estudiantes durante la actividad:
• ¿Cuál es la regla para la coordenada x? ¿Cuál es la regla para la coordenada y?
• ¿Cómo se compara la cantidad que se suma a cada coordenada y con la cantidad que se suma a cada coordenada x?
• ¿Cómo se compara la distancia vertical entre un punto y el siguiente con la distancia horizontal entre dos puntos? ¿Cómo pueden determinar si las coordenadas en este par ordenado tienen esa relación?
DUA: Acción y expresión
Antes de comenzar la actividad de emparejar, sugiera a sus estudiantes que lleven a cabo una planificación estratégica, pidiéndoles que recuerden los tipos de métodos que usaron para identificar las relaciones entre coordenadas.
• ¿Cómo podemos determinar las reglas de suma para las coordenadas?
• ¿Cómo podemos usar las reglas de suma para generar más términos?
• ¿De qué manera podemos usar las reglas de suma como ayuda para identificar la relación entre coordenadas?
Diferenciación: Apoyo
Sugiera que quienes tienen una tarjeta de patrón con una gráfica dibujen y rotulen flechas para mostrar los movimientos verticales y horizontales de un punto al siguiente. Sugiera a quienes tienen una tarjeta de patrón con una tabla que dibujen y rotulen flechas para mostrar el número que se suma a cada coordenada de un término al siguiente.
Diferenciación: Desafío
Para desafiar a sus estudiantes, primero bríndeles solo tarjetas de patrones. Pídales que determinen las relaciones entre coordenadas de forma independiente antes de repartir las tarjetas de relaciones.
Multiplicar las coordenadas x por 3 y, luego, sumar 2 para obtener las coordenadas y correspondientes.
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
14 (4, 14)
Multiplicar las coordenadas x por 2 y, luego, sumar 3 para obtener las coordenadas y correspondientes.
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
(5, 13)
Multiplicar las coordenadas x por 3 y, luego, restar 2 para obtener las coordenadas y correspondientes.
Multiplicar las coordenadas x por 2 y, luego, restar 3 para obtener las coordenadas y correspondientes.
Cuando la mayoría de los grupos haya emparejado las tarjetas de patrón con las de relación, invíteles a compartir qué métodos usaron para emparejar las tarjetas.
Invite a sus estudiantes a reunirse y conversar con estudiantes de otro grupo para comparar los métodos que usaron para emparejar las tarjetas de patrón con las de relación.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar relaciones de operaciones mixtas entre términos correspondientes en patrones de números
Guíe una conversación de toda la clase sobre relaciones entre coordenadas mediante las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿En qué se diferencian las relaciones entre coordenadas de la actividad de emparejar y las relaciones entre coordenadas que vimos en lecciones anteriores?
En la actividad de emparejar, teníamos que multiplicar las coordenadas x por un número y, luego, sumar o restar un número para obtener las coordenadas y correspondientes.
Usamos dos operaciones en la actividad de emparejar, en lugar de solo una operación como hacíamos en las lecciones anteriores.
¿Por qué las reglas de suma que se usan para generar patrones de coordenadas pueden servir como ayuda para determinar la relación entre las coordenadas?
Usamos las reglas de suma de las coordenadas para comparar cuántas veces sumamos a las coordenadas x la cantidad que sumamos a las coordenadas y. Después, multiplicamos el resultado por las coordenadas x. Luego, determinamos cuánto sumar o restar para obtener las coordenadas y correspondientes.
Boleto de salida 5
min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Usa la tabla para completar las partes (a) a (c).
Coordenada x Coordenada y 2 6 4 12 6 18
a. ¿Cuál es la regla para la coordenada x?
Sumar 2
b. ¿Cuál es la regla para la coordenada y?
Sumar 6
c. Completa el espacio para describir la relación entre las coordenadas x y y La coordenada y es 3 veces la cantidad de la coordenada x correspondiente.
2. Usa la tabla para completar las partes (a) y (b).
a. Completa la tabla.
Coordenada x Multiplicar por 3 Restar 2 Coordenada y Par ordenado
b. Cuando la coordenada x es 9, ¿cuál es la coordenada y correspondiente? 25
EUREKA MATH
EUREKA MATH
Nombre
Usa la gráfica para completar las partes (a) a (c).
a. Completa la tabla.
Coordenada x Multiplicar por 2 Sumar 2 Coordenada y
b. Describe la relación entre las coordenadas x y y Multiplicar las coordenadas x por 2 y, luego, sumar 2 para obtener las coordenadas y correspondientes.
c. Cuando la coordenada x es 8, ¿cuál es la coordenada y correspondiente?
4. Rotula cada gráfica o tabla con la letra del enunciado que describe correctamente la relación entre las coordenadas x y y
A. Multiplicar las coordenadas x por 1 2 para obtener las coordenadas y correspondientes.
C. Multiplicar las coordenadas x por 2 y, luego, restar 1 para obtener las coordenadas y correspondientes.
B. Multiplicar las coordenadas x por 1 2 y, luego, sumar 2 para obtener las coordenadas y correspondientes.
D. Sumar 2 a las coordenadas x para obtener las coordenadas y correspondientes.
x Coordenada y
EUREKA MATH
EUREKA MATH2
Tarjeta de relación
Multiplicar las coordenadas x por 2 y, luego, sumar 3 para obtener las coordenadas y correspondientes.
Tarjeta de relación
Multiplicar las coordenadas x por 2 y, luego, restar 3 para obtener las coordenadas y correspondientes.
Tarjeta de patrón
Completa la tabla usando las reglas para las coordenadas. Coordenada x Coordenada y Par ordenado 3 9 (3, 9) 5 13 (5, 13) 7 17 (7, 17)
Tarjeta de relación
Multiplicar las coordenadas x por 3 y, luego, sumar 2 para obtener las coordenadas y correspondientes.
be
Tarjeta de relación
Multiplicar las coordenadas x por 3 y, luego, restar 2 para obtener las coordenadas y correspondientes.
Tarjeta de patrón
Completa la tabla usando las reglas para las coordenadas. Coordenada x Coordenada y Par ordenado 2 8 (2, 8) 4 14 (4, 14) 6 20 (6, 20)
Tarjeta de patrón
Marca tres puntos más que tengan las mismas reglas para las coordenadas que los puntos dados. Rotula los puntos con sus pares ordenados.
Tarjeta de patrón
Marca tres puntos más que tengan las mismas reglas para las coordenadas que los puntos dados. Rotula los puntos con sus pares ordenados.
y
(2,
Tema C
Resolver problemas matemáticos en el plano de coordenadas
En el tema C, la clase resuelve una variedad de problemas matemáticos que involucran rectas, ángulos y figuras usando la estructura del plano de coordenadas. Se basan en el trabajo con cuadriláteros del módulo 5 y el trabajo que sentó las bases sobre el plano de coordenadas de los temas A y B.
Sus estudiantes empiezan el tema analizando rectas. Explican por qué un punto tiene muchas rectas que pasan por él, pero dos puntos solo tienen una recta que pasa por ellos. Desarrollan la comprensión de que las rectas tienen un número infinito de puntos. Sus estudiantes usan una variedad de métodos para identificar los pares ordenados de los puntos en una recta, como repetir el movimiento entre puntos en la recta, usar patrones dentro de las coordenadas, hallar dónde se interseca la recta con las líneas de la cuadrícula y usar la relación entre las coordenadas x y y. Por ejemplo, si saben que la coordenada y es dos veces la coordenada x en cada punto de la recta, saben que los puntos (2, 4) y (3 1 _ 2 , 7) se ubican en la recta.
Sus estudiantes hacen una transición hacia el uso de la estructura del plano de coordenadas para razonar acerca de figuras geométricas. Determinando las longitudes de segmentos de recta, clasificando ángulos como agudos, rectos u obtusos e identificando segmentos de recta paralelos y perpendiculares, la clase identifica y clasifica cuadriláteros. Luego, sus estudiantes dibujan figuras simétricas en el plano de coordenadas cuando se dan un eje de simetría horizontal y un eje de simetría vertical. Comparan las semejanzas y diferencias entre puntos, segmentos de recta y ángulos a la izquierda y la derecha de un eje de simetría vertical o por encima y por debajo de un eje de simetría horizontal.
En las últimas dos lecciones, sus estudiantes resuelven problemas sobre rectángulos representados gráficamente en el plano de coordenadas. Dibujan rectángulos, con los vértices dados, usando las propiedades de los rectángulos y la estructura del plano de coordenadas para determinar la ubicación de los otros vértices. Exploran cuántos rectángulos diferentes pueden dibujarse con los vértices dados. Determinan el perímetro y el área de rectángulos representados gráficamente en planos de coordenadas con ejes que tienen intervalos con una longitud de 1 e intervalos con longitudes diferentes de 1.
Sus estudiantes aplican su comprensión sobre rectas y figuras en el plano de coordenadas en 6.o grado, cuando representan rectas gráficamente y determinan el perímetro y el área de figuras en los cuatro cuadrantes del plano de coordenadas.
Progresión de las lecciones
Lección 11
Trazar rectas en el plano de coordenadas e identificar puntos en las rectas
Lección 12
Representar gráficamente y clasificar cuadriláteros en el plano de coordenadas
Lección 13
Dibujar figuras simétricas en el plano de coordenadas
Sé que una recta tiene un número infinito de puntos. Sé que puedo trazar un número infinito de rectas que pasen por un punto, pero solo una recta que pase por dos puntos. Puedo usar patrones para determinar los pares ordenados de otros puntos que están en una recta.
Puedo determinar la longitud de un segmento de recta vertical u horizontal en el plano de coordenadas. Puedo usar las líneas de la cuadrícula para determinar si los ángulos son agudos, rectos u obtusos. Puedo clasificar cuadriláteros que están representados gráficamente en el plano de coordenadas.
El plano de coordenadas es una herramienta que me ayuda a pensar en la simetría de una figura. Puedo usar las rectas verticales y horizontales en el plano de coordenadas como ejes de simetría. Puedo marcar puntos simétricos y conectar puntos para dibujar figuras simétricas.
Lección 14
Resolver problemas matemáticos con rectángulos en el plano de coordenadas
Lección 15
Usar el plano de coordenadas para razonar acerca de perímetros y áreas de rectángulos
Puedo representar gráficamente y comparar rectángulos en el plano de coordenadas. Puedo usar el plano de coordenadas para determinar los vértices de un rectángulo cuando sé dos o tres de los otros vértices.
El plano de coordenadas es una herramienta que me ayuda a determinar el perímetro y el área de un rectángulo.
Trazar rectas en el plano de coordenadas e identificar puntos en las rectas
Vistazo a la lección
Usa el plano de coordenadas para completar las partes (a) a (c).
a. Marca los puntos (3, 1) y (8, 6) en el plano de coordenadas.
b. Usa una herramienta de borde recto para trazar una recta que pase por los puntos.
c. Escribe pares ordenados de otros tres puntos que se ubiquen en la recta.
Ejemplo:
(4, 2)
(5, 3)
(6, 4)
La clase determina que hay un número infinito de rectas que pasan por un punto, pero una sola recta que pasa por dos puntos. Después de identificar diferentes pares ordenados de puntos que están en una recta, sus estudiantes reconocen que una recta se compone de un número infinito de puntos y que la relación entre la coordenada x y la coordenada y es la misma para todos los puntos en la recta. Usan una variedad de métodos para identificar los pares ordenados de puntos que están en una recta.
Pregunta clave
• ¿Qué métodos pueden usar para identificar los pares ordenados de puntos que están en una recta?
Criterios de logro académico
5.Mód6.CLA2 Generan y representan patrones numéricos utilizando tablas y el plano de coordenadas. (5.OA.B.3)
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Puntos en una recta
• Rectas que pasan por un punto
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• papel (3 hojas)
Estudiantes
• Planos de coordenadas A a D (en el libro para estudiantes)
• herramienta de borde recto
Preparación de la lección
• Prepare tres afiches: Muy de acuerdo, Muy en desacuerdo y No resuelto. Cuelgue los afiches en diferentes lugares del salón de clases.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Planos de coordenadas A a D de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Contar con el transportador
La clase cuenta salteado usando una unidad de 20° con un transportador de 180° como preparación para representar gráficamente y clasificar polígonos en el plano de coordenadas a partir de la lección 12.
Muestre el transportador de 180° con una semirrecta que señala 0° en la escala externa.
Observen la escala externa del transportador. ¿Cuál es la marca de graduación por la que pasa la semirrecta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
0°
Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante de 20° en 20°. La primera medida que dicen es 0°.
¿Comenzamos?
Muestre la medida angular aumentando en intervalos de 20° hasta 180°.
0°, 20°…, 160°, 180°
Muestre la imagen del transportador de 180° con una semirrecta que señala 0° en la escala interna.
Ahora, observen la escala interna del transportador. ¿Cuál es la marca de graduación por la que pasa la semirrecta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
0°
Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante de 20° en 20°. La primera medida que dicen es 0°.
¿Comenzamos?
Muestre la medida angular aumentando en intervalos de 20° hasta 180°.
0°, 20°…, 160°, 180°
Respuesta a coro: Clasificar y medir ángulos
La clase realiza actividades con ángulos como clasificar un ángulo, estimar la medida angular y determinar la medida angular usando un transportador de 180° como preparación para representar gráficamente y clasificar polígonos en el plano de coordenadas a partir de la lección 12.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el ángulo agudo.
¿Cómo clasificarían el ángulo?
Agudo
Muestre la respuesta.
Estimen la medida angular. Comenten su estimación en voz baja con su pareja.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
45°, porque parece que es el punto medio entre 0° y 90°.
70°, porque parece ser mayor que el punto medio entre 0° y 90°.
Muestre el transportador.
¿Cuál es la medida angular?
60°
Muestre la medida angular.
Agudo
60°
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Patrones en el plano de coordenadas
La clase determina la regla para las coordenadas x y las coordenadas y para, luego, describir la relación entre las coordenadas x y y como preparación para trazar rectas en el plano de coordenadas.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre la tabla y la pregunta.
¿Cuál es la regla para la coordenada x?
Sumar 2
Muestre la regla.
¿Cuál es la regla para la coordenada y?
Sumar 2
Muestre la regla.
¿Cuál es la regla para la coordenada x ?
Sumar 2
¿Cuál es la regla para la coordenada y ? Sumar 2
Las coordenadas son y 1másque las coordenadas correspondientes. x
Coordenada x Coordenada y Par ordenado 01(0,1) (4,5) (6,7) 3(2,3) 7 2 6
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes podrían describir la relación de la coordenada x con la coordenada y, o viceversa. Por ejemplo, otra manera de describir la relación entre las coordenadas x y y en la primera tabla es: “Las coordenadas x son 1 menos que las coordenadas y correspondientes”. Valide cualquiera de las respuestas correctas.
Escriban y completen el enunciado para describir la relación entre las coordenadas x y y.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el ejemplo de respuesta.
Repita el proceso con la siguiente tabla:
¿Cuál es la regla para la coordenada x ?
¿Cuál es la regla para la coordenada y ?
Sumar 1
Las coordenadas son y 2 veces las coordenadascorrespondientes. x Sumar 1 2
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
Presentar
Materiales: E) Planos de coordenadas A a D, herramienta de borde recto
La clase traza rectas que pasan por puntos marcados en el plano de coordenadas.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Planos de coordenadas A a D de sus libros. Pídales que marquen un punto en (8, 4) en el plano de coordenadas A. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuántas rectas que pasen por el punto creen que pueden trazar.
Cuando diga “ahora”, usen una herramienta de borde recto para trazar tantas rectas diferentes que pasen por el punto como puedan antes de que diga “alto”.
Dé a la clase unos 20 segundos para que tracen rectas que pasen por el punto. Cuando se acabe el tiempo, pida a sus estudiantes que comparen sus rectas con las de alguien más. Luego, muestre la gráfica de varias rectas que pasan por el punto en (8, 4).
Aquí se trazaron varias rectas que pasan por el punto (8, 4). ¿Podrían haber trazado más rectas que pasaran por el punto (8, 4) si hubieran tenido más tiempo? ¿Cómo?
Sí. Podemos girar nuestra herramienta de borde recto de diferentes maneras y trazar muchas rectas distintas que pasen por el punto.
Sí. Hay demasiadas rectas para contar, o un número infinito de rectas, que pasan por el punto (8, 4).
Pida a la clase que marque un punto en (6, 3) y un punto en (8, 4) en el plano de coordenadas B.
Esta vez, cuando diga “ahora”, cada recta que tracen debe pasar por los dos puntos.
Dé a la clase unos 20 segundos para que intenten usar la herramienta de borde recto para trazar varias rectas que pasen por los dos puntos. Cuando se acabe el tiempo, pida a sus estudiantes que comparen sus gráficas con las de alguien más. Luego, muestre la gráfica de la recta que pasa por los puntos (6, 3) y (8, 4).
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta.
¿Por qué podemos trazar un número infinito de rectas que pasen por un punto, pero solo una recta que pase por dos puntos?
Si comenzamos con un solo punto, podemos marcar un segundo punto en cualquier parte del plano de coordenadas y trazar una recta que pase por ambos puntos.
Solo podemos trazar una recta que pase por los dos puntos. Cualquier otra recta que intentemos trazar será la misma recta.
Las rectas son líneas derechas. Si intentamos trazar una línea que pase por dos puntos de otra manera, tendremos que trazar una curva.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a trazar rectas en el plano de coordenadas e identificar los pares ordenados de puntos en las rectas.
Aprender
Puntos en una recta
Materiales: M) Afiches
La clase identifica puntos en una recta que no son los dos puntos usados para trazar la recta.
Continúe mostrando la gráfica de la recta que pasa por los puntos (6, 3) y (8, 4).
Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes a los afiches colgados en el salón de clases: Muy de acuerdo, Muy en desacuerdo y Sin decidir.
Presente el enunciado e invite a sus estudiantes a ponerse de pie junto al afiche que mejor describe lo que piensan.
Hay exactamente dos puntos en la recta.
Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 2 minutos para que los grupos comenten por qué lo eligieron. 35
Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección. Anime a quienes cambien de opinión durante la conversación a unirse a otro grupo.
Si nadie menciona los pares ordenados específicos de otros puntos que se ubican en la recta, pídales que marquen un punto en (10, 5) y pregunte si está en la recta. Luego, pídales que marquen un punto en (2, 4) y pregunte si está en la recta.
Cuando sus estudiantes comiencen a entender que hay otros puntos en la recta además de los puntos marcados, pídales que regresen a sus asientos.
Muestre la gráfica con cuatro puntos marcados en la recta.
¿El punto (2, 4) está en la recta? ¿Cómo lo saben?
No. La recta pasa por las líneas de la cuadrícula que se cruzan en (2, 1), no en (2, 4).
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el siguiente planteamiento.
Una línea recta continúa sin fin en ambos sentidos. ¿El punto (12, 6) está en la recta? ¿Cómo lo saben?
Sí. Observo que, cuando las coordenadas x aumentan en 2, las coordenadas y aumentan en 1.
Sé que 12 es 2 más que 10 y 6 es 1 más que 5.
Sí. Nos movemos 2 unidades hacia la derecha y, luego, 1 unidad hacia arriba para ir del punto (8, 4) al punto (10, 5).
Si nos volvemos a mover 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba, llegamos al punto (12, 6).
Sí. Las coordenadas y son 1 2 de las coordenadas x correspondientes, y 6 es 1 2 de 12.
Sí. Las coordenadas x son 2 veces las coordenadas y correspondientes, y 12 es 2 veces 6.
Señale la gráfica. Comience en el punto (4, 2) y mueva su dedo 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba para cada punto marcado, o escriba comentarios en la gráfica para mostrar las distancias horizontales y verticales entre los puntos marcados.
La distancia horizontal entre los puntos marcados es 2 unidades y la distancia vertical entre los puntos marcados es 1 unidad. Por lo tanto, una manera de confirmar que el punto (12, 6) está en la recta es comenzar en el punto (10, 5) y moverse 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el siguiente planteamiento.
El punto (50, 25) también está en la recta. ¿Cómo podemos mostrar que el punto (50, 25) está en la recta sin movernos 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba una y otra vez?
Las coordenadas y son 1 2 de las coordenadas x correspondientes, y 25 es 1 2 de 50.
Las coordenadas x son 2 veces las coordenadas y correspondientes, y 50 es 2 veces 25.
Las coordenadas y son 1 2 de las coordenadas x correspondientes. ¿Pueden usar esta relación entre las coordenadas x y y para determinar otros puntos que están en la recta? ¿Cómo?
Sí. Podemos multiplicar una coordenada x por 1 _ 2 para obtener la coordenada y correspondiente.
Sí. Podemos dividir una coordenada x entre 2 para obtener la coordenada y correspondiente.
Sí. Podemos multiplicar una coordenada y por 2 para obtener la coordenada x correspondiente.
Nota para la enseñanza
Si sus estudiantes preguntan cómo es posible que las rectas continúen sin fin más allá de los ejes x y y, pídales que dibujen flechas en las rectas porque esa es la definición de una recta. En 6.o grado, sus estudiantes amplían la comprensión del plano de coordenadas cuando aprenden acerca de los números negativos y marcan puntos en los cuatro cuadrantes del plano de coordenadas.
Invite a la clase a compartir los pares ordenados de varios puntos más que estén en la recta. Si nadie comparte un punto que tenga al menos una coordenada expresada como fracción o número mixto, haga la siguiente pregunta.
¿El punto (7, 3 1 _ 2 ) está en la recta? ¿Cómo lo saben?
Sí. Lo sé porque 3 1 2 es 1 2 de 7.
Sí. Lo sé porque 7 es 2 veces 3 1 _ 2 .
Pida a sus estudiantes que marquen el punto (7, 3 1 _ 2 ). Luego, pídales que muevan un dedo 1 unidad
hacia la derecha y 1 2 unidad hacia arriba desde el punto (6, 3) hasta el punto (7, 3 1 _ 2 ) y, luego, desde (7, 3 1 2 ) hasta (8, 4).
Dijimos que una manera de movernos entre los puntos que están en la recta es ir 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba, o movernos hacia la derecha 2 veces la cantidad de unidades que nos movemos hacia arriba. ¿Por qué podemos movernos 1 unidad hacia la derecha y 1 _ 2 unidad hacia arriba entre los puntos (6, 3) y (7, 3 1 _ 2 ) y entre los puntos (7, 3 1 _ 2 ) y (8, 4)?
Moverse 1 unidad hacia la derecha y 1 2 unidad hacia arriba sigue siendo 2 veces la cantidad de unidades hacia la derecha que hacia arriba.
Si comenzamos en cualquier punto que esté en esta recta y nos movemos 2 veces la cantidad de unidades hacia la derecha que hacia arriba, estaremos en otro punto en la recta. Si la coordenada x de un punto es 2 veces la coordenada y del punto, el punto está en esta recta.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál es el par ordenado de un punto que está en la recta entre (6, 3) y (7, 3 1 2 ).
(6 1 2 , 3 1 4 )
(6.2, 3.1)
(6 1 _ 4 , 3 1 _ 8 )
¿Hay más puntos en esta recta? ¿Cuántos son?
Sí. Hay un número infinito de puntos en una recta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué hay un número infinito de puntos en una recta.
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar a sus estudiantes una lista de pares ordenados para que los clasifiquen en dos categorías: puntos que están en la recta y puntos que no están en la recta.
Puntos que están en la recta
Puntos que no están en la recta
(20, 10)
(9, 4 1 2 )
(2.5, 1.25) (4, 8) (7 1 2 , 7 1 2 ) (50, 100)
Rectas que pasan por un punto
Materiales: E) Planos de coordenadas A a D, herramienta de borde recto
La clase traza rectas que pasan por un punto e identifica puntos en cada recta.
Pida a sus estudiantes que marquen puntos en (8, 4), (6, 3) y (6, 2) en el plano de coordenadas C. Muestre el enunciado acerca de la relación entre las coordenadas x y y de puntos que están en otra recta y que pasan por (8, 4).
Las coordenadas y son 4 menos que las coordenadas x correspondientes.
En otra recta que pasa por (8, 4), cada coordenada y es 4 menos que la coordenada x correspondiente. El punto (8, 4) está en esta recta porque su coordenada y es 4 menos que su coordenada x.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas.
¿Cuál de los otros dos puntos que marcaron está en esta recta? ¿Cuál no está? ¿Cómo lo saben?
El punto (6, 2) está en esta recta. La coordenada y es 4 menos que la coordenada x.
El punto (6, 3) no está en esta recta. La coordenada y es 3 menos que la coordenada x, no 4 menos.
Pida a sus estudiantes que tracen una recta que pase por los puntos (8, 4) y (6, 2) con una herramienta de borde recto y la rotulen ��.
¿Hay más puntos en esta recta, además de los puntos marcados? ¿Cuántos son?
Sí. Hay un número infinito de puntos en una recta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden determinar los pares ordenados de otros puntos que están en la recta.
Diferenciación: Desafío
Pida a sus estudiantes que consideren el par ordenado (1, 4). Pídales que piensen en al menos tres relaciones entre las coordenadas. Por ejemplo, podrían elegir las siguientes:
• La coordenada y es 3 más que la coordenada x.
• La coordenada y es 4 veces la coordenada x.
• La coordenada y es 1 más que 3 veces la coordenada x
Para cada relación, pida a sus estudiantes que identifiquen dos pares ordenados con la misma relación entre las coordenadas, que marquen los puntos que representen los pares ordenados en el plano de coordenadas y que usen una herramienta de borde recto para trazar una recta que pase por los puntos.
DUA: Acción y expresión
Considere usar un proceso de razonamiento en voz alta para ayudar a sus estudiantes a justificar por qué un punto está en una recta.
• Quiero confirmar que el punto (12, 8) está en la recta. Sé que la coordenada y, 8, es 4 menos que la coordenada x, 12.
• También sé que, si comienzo en el punto (8, 4) y me muevo 2 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba dos veces, llego al punto (12, 8).
Luego, muestre las siguientes descripciones:
Un punto que está en la recta �� con coordenadas en números enteros y una coordenada x menor que 10
Un punto que está en la recta �� con coordenadas en números enteros y una coordenada x mayor que 10
Un punto que está en la recta �� con coordenadas que son fracciones o números decimales
Pida a la clase que trabaje en parejas para hallar al menos un punto que se ubique en la recta �� para cada descripción. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes determinan los puntos que están en la recta. Preste atención a los diferentes métodos que comentan las parejas:
• Usar la relación entre las coordenadas x y y de puntos que están en la recta
• Comenzar en un punto que está en la recta �� y moverse el mismo número de unidades hacia la derecha que hacia arriba
• Usar patrones o reglas de suma dentro de las coordenadas x y y
• Marcar un punto en la recta �� que esté en la intersección de líneas de la cuadrícula
Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, muestre la recta ��.
Para cada descripción, seleccione a estudiantes y pídales que compartan los pares ordenados de varios puntos que estén en la recta �� y justifiquen cómo saben que los puntos están en la recta. Mientras sus estudiantes comparten, pregunte si hay alguien más que haya identificado el mismo punto y si halló el punto de la misma manera. Marque y rotule los puntos que están en la recta y que se pueden ver en este plano de coordenadas.
Luego, en el plano de coordenadas D, pida a sus estudiantes que marquen y rotulen los pares ordenados (7, 5), (8, 4) y (9, 3) y que tracen una recta que pase por los tres puntos. Pídales que rotulen la recta ��. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los patrones que observan en las coordenadas x y y de los puntos marcados en la recta ��.
Muestre la gráfica de la recta ��.
¿El punto (10, 1) está en la recta ��? ¿Cómo lo saben?
No. La recta pasa por las líneas de la cuadrícula que se cruzan en (10, 2), no en (10, 1).
No. Cuando las coordenadas x aumentan en 1, las coordenadas y disminuyen en 1. Sé que 1 más que 9 es 10, pero 1 menos que 3 es 2, no 1.
No. Si marco un punto en (10, 1), puedo ver que el punto no está en la recta.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando justifica por qué los puntos que identificó se ubican en una recta y analiza las justificaciones de sus pares.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Decir que un punto está en una recta es una suposición, o lo saben con seguridad? ¿Cómo pueden saberlo con seguridad?
• ¿Qué preguntas pueden hacer a sus pares para asegurarse de que comprenden por qué el punto está en la recta?
Nota para la enseñanza
Como las coordenadas y de los puntos que están en la recta �� siguen una regla de resta en vez de una regla de suma, es posible que a sus estudiantes les resulte difícil identificar la relación entre las coordenadas x y y. Evite sugerir que no hay ninguna relación entre las coordenadas en esta recta. En cambio, invite a sus estudiantes a buscar otros tipos de relaciones y patrones. Aunque parte de la clase podría observar que la suma de las coordenadas de cada punto en la recta es 12 y usar ese patrón para determinar coordenadas nuevas, pueden generar otros puntos en la recta sin esa comprensión.
¿El punto (6, 6) está en la recta ��? ¿Cómo lo saben?
Sí. La recta pasa por las líneas de la cuadrícula que se cruzan en (6, 6).
Sí. A medida que la recta sube, las coordenadas x disminuyen en 1 y las coordenadas y aumentan en 1. Sé que 1 menos que 7 es 6 y que 1 más que 5 es 6.
Sí. Si marco un punto en (6, 6), puedo ver que el punto está en la recta.
Desde el punto (8, 4), puedo moverme 1 unidad hacia la izquierda y, luego, 1 unidad hacia arriba para llegar al punto (7, 5). ¿Puedo moverme 1 _ 2 unidad hacia la izquierda y, luego, 1 2 unidad hacia arriba dos veces para ir del punto (8, 4) al punto (7, 5)? ¿Por qué?
Sí. Moverse 1 2 unidad hacia la izquierda dos veces es como moverse 1 unidad hacia la izquierda. Moverse 1 2 unidad hacia arriba dos veces es como moverse 1 unidad hacia arriba.
Sí. Si me muevo 1 2 unidad hacia la izquierda y, luego, 1 2 unidad hacia arriba, llego al punto (7 1 2 , 4 1 2 ), que también está en esta recta entre los puntos (7, 5) y (8, 4). Si me muevo 1 2 unidad hacia la izquierda y, luego, 1 2 unidad hacia arriba otra vez llego al punto (7, 5).
¿Hay más puntos en la recta ��, además de los puntos marcados? ¿Cuántos?
Sí. Hay un número infinito de puntos en una recta.
Pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de las maneras en que pueden identificar más puntos que se ubiquen en la recta ��.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para identificar al menos dos puntos más que se ubiquen en la recta �� y al menos dos puntos que no se ubiquen en la recta ��. Invite a sus estudiantes a compartir varios pares ordenados de puntos que se ubican en la recta �� y varios pares ordenados de puntos que no se ubican en la recta ��.
Considere crear una tabla para registrar varios de los pares ordenados que compartan sus estudiantes.
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a sus estudiantes que identifiquen otros puntos en la recta usando diferentes patrones, como comenzar en un punto en la recta y moverse 1 3 de unidad hacia la derecha y 1 3 de unidad hacia abajo. Pídales que determinen otro patrón que puedan usar.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar en qué se diferenció el método que usaron para identificar más puntos en la recta �� del método que usaron para identificar más puntos en la recta ��.
Para la recta ��, sabía que la coordenada y de cualquier punto en la recta era 4 menos que la coordenada x, así que usé esa relación para hallar puntos nuevos. Para la recta ��, no vi una relación entre las coordenadas, así que me moví 1 unidad hacia la izquierda y, luego, 1 unidad hacia arriba para hallar otros puntos en la recta.
Para la recta ��, usé una regla de suma dentro de las coordenadas x y dentro de las coordenadas y para hallar más puntos en la recta. Para la recta ��, usé una regla de suma dentro de las coordenadas x y una regla de resta dentro de las coordenadas y para hallar más puntos en la recta.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Trazar rectas en el plano de coordenadas e identificar puntos en las rectas
Guíe una conversación de toda la clase acerca de rectas y puntos que están en rectas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Cuántas rectas que pasen por un punto pueden trazar? ¿Por qué?
Puedo trazar un número infinito de rectas que pasen por un punto. Puedo marcar otros puntos en cualquier parte del plano de coordenadas y trazar rectas que pasen por cada uno de ellos y por el punto dado.
¿Cuántas rectas que pasen por dos puntos pueden trazar? ¿Por qué?
Solo puedo trazar una recta que pase por dos puntos.
¿Cuántos puntos hay en una recta?
Hay un número infinito de puntos en una recta.
¿Qué métodos pueden usar para identificar los pares ordenados de puntos que están en una recta?
Puedo determinar cómo moverme de un punto a otro, como 1 unidad hacia la izquierda y 1 unidad hacia arriba. Luego, puedo continuar moviéndome de esa manera para ubicar otros puntos en la recta.
Puedo determinar la relación entre las coordenadas x y y y hallar otro par ordenado con coordenadas que tengan la misma relación.
Puedo determinar un patrón para las coordenadas x y un patrón para las coordenadas y. Luego, puedo identificar otro par ordenado que tenga los mismos patrones.
Puedo identificar el par ordenado de un punto que está en la recta y que se ubica en la intersección de dos líneas de la cuadrícula en la gráfica.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
c. En ambas gráficas, el punto C está ubicado en ( 4 , 7 )
1. Usa las gráficas para completar las partes (a) a (d).
Usa una herramienta de borde recto para trazar una recta que pase por los puntos en cada plano de coordenadas en las partes (a) y (b).
d. Traza una recta que pase por el punto C y sea diferente de las rectas que se muestran en las partes (a) y (b).
Ejemplo:
2. Usa la gráfica del punto M para completar las partes (a) a (d).
Ejemplo:
01234678910111213141 55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 y x M
a. El punto M está ubicado en (1, 3). Una relación posible entre las coordenadas x y y de este punto es que la coordenada y es 2 más que la coordenada x correspondiente.
Escribe tres pares ordenados más con esta relación entre las coordenadas x y y
Ejemplo: (2, 4), (3, 5), (4, 6)
b. Marca los puntos de la parte (a). Usa una herramienta de borde recto para trazar una recta que pase por los puntos.
c. Considera otra recta que pase por el punto M. Escribe una relación entre las coordenadas x y y de los puntos que están en la recta nueva.
Ejemplo: La coordenada y es 3 veces la coordenada x correspondiente.
d. Escribe tres pares ordenados más con la relación que escribiste en la parte (c). Marca esos puntos. Usa una herramienta de borde recto para trazar una recta que pase por los puntos.
Ejemplo: (2, 6), (3, 9), (4, 12)
3. Usa el plano de coordenadas para completar las partes (a) a (d).
a. Marca los puntos (1, 3) y (5, 15). Usa una herramienta de borde recto para trazar una recta que pase por los puntos.
b. Cada coordenada y es 3 veces la coordenada x correspondiente para todos los puntos que se ubican en la recta. Nombra otros dos puntos que se ubiquen en la recta.
Ejemplo:
(2, 6) y (3, 9)
c. ¿El punto ( 2 3 , 2) se ubica en la recta? ¿Cómo lo sabes?
Sí. Como 2 es 3 veces 2 3 , sé que el punto ( 2 3 , 2) se ubica en la recta.
EUREKA MATH
EUREKA MATH
d. Clasifica los siguientes pares ordenados escribiéndolos en la columna correcta de la tabla.
Representar gráficamente y clasificar cuadriláteros en el plano de coordenadas
Usa el plano de coordenadas para las partes (a) a (g).
y
d. Escribe un ángulo recto del cuadrilátero.
Ejemplo:
∠ABC
e. Escribe un ángulo obtuso del cuadrilátero.
∠ADC
f. ¿Cuál es la longitud del BC ?
6 unidades
g. Encierra en un círculo el nombre más específico para el cuadrilátero. cometa paralelogramo rectángulo rombo cuadrado trapecio
a. Marca los puntos dados en el plano de coordenadas.
A(2, 2)
B(2, 9)
C(8, 9)
D(5, 2)
b. Conecta los puntos para formar un cuadrilátero.
c. Escribe un ángulo agudo del cuadrilátero.
∠BCD
Nombre
EUREKA
Vistazo a la lección
La clase traza segmentos de recta, y dibuja ángulos y cuadriláteros en el plano de coordenadas. Cuentan unidades o restan coordenadas para determinar la longitud de segmentos de recta verticales y horizontales. Cuando una de las semirrectas de un ángulo está sobre una línea horizontal o vertical de la cuadrícula, determinan si el ángulo es recto, agudo u obtuso comparando la otra semirrecta del ángulo con una línea perpendicular de la cuadrícula y usando un transportador. Usan las conclusiones que sacan acerca de los ángulos para clasificar cuadriláteros representados gráficamente en el plano de coordenadas.
Pregunta clave
• ¿Cómo pueden usar el plano de coordenadas como ayuda para clasificar un cuadrilátero?
Criterios de logro académico
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
5.Mód5.CLA14 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía según sus propiedades. (5.G.B.4)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Segmentos de recta
• Ángulos
• Cuadriláteros
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• tijeras
Estudiantes
• herramienta de borde recto
• transportador de 4ʺ
• Tarjetas de cuadriláteros (1 por grupo de estudiantes en la edición para la enseñanza)
Preparación de la lección
Imprima o haga una copia de las Tarjetas de cuadriláteros. Prepare 1 juego de tarjetas por cada grupo de cuatro estudiantes.
Fluidez
Contar con el transportador
La clase cuenta salteado usando una unidad de 30° con un transportador de 180° como preparación para representar gráficamente y clasificar cuadriláteros en el plano de coordenadas.
Muestre el transportador de 180° con una semirrecta que señala 0° en la escala externa.
Observen la escala externa del transportador. ¿Cuál es la marca de graduación por la que pasa la semirrecta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
0°
Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante de 30° en 30°. La primera medida que dicen es 0°. ¿Comenzamos?
Muestre la medida angular aumentando en intervalos de 30° hasta 180°. 0°, 30°…, 150°, 180°
Muestre la imagen del transportador de 180° con una semirrecta que señala 0° en la escala interna.
Ahora, observen la escala interna del transportador. ¿Cuál es la marca de graduación por la que pasa la semirrecta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
0°
Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante de 30° en 30°. La primera medida que dicen es 0°. ¿Comenzamos?
Muestre la medida angular aumentando en intervalos de 30° hasta 180°.
0°, 30°…, 150°, 180°
Respuesta a coro: Clasificar y medir ángulos
La clase realiza actividades con ángulos como clasificar un ángulo, estimar la medida angular y determinar la medida angular usando un transportador de 180° como preparación para representar gráficamente y clasificar cuadriláteros en el plano de coordenadas.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el ángulo obtuso.
¿Cómo clasificarían el ángulo?
Obtuso
Muestre la respuesta.
Estimen la medida angular. Comenten su estimación en voz baja con su pareja.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
100° porque parece ser mayor de 90°.
135° porque parece un poco menor que el punto medio entre 90° y 180°.
Muestre el transportador.
¿Cuál es la medida angular?
120°
Muestre la medida angular.
Obtuso 120°
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Patrones en el plano de coordenadas
La clase determina la regla para las coordenadas x y las coordenadas y para, luego, describir la relación entre las coordenadas x y y a fin de adquirir fluidez con la destreza de describir patrones en el plano de coordenadas del tema B.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre la tabla y la pregunta.
¿Cuál es la regla para la coordenada x?
Sumar 1
Muestre la regla.
¿Cuál es la regla para la coordenada y?
Sumar 4
Muestre la regla.
Escriban y completen el enunciado para describir la relación entre las coordenadas x y y.
¿Cuál es la regla para la coordenada x ?
¿Cuál es la regla para la coordenada y ?
Sumar 1
Sumar 4
Las coordenadas son y 4veces las coordenadascorrespondientes. x
Coordenada x Coordenada y Par ordenado
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el ejemplo de respuesta.
Repita el proceso con la siguiente tabla:
¿Cuál es la regla para la coordenada x ?
¿Cuál es la regla para la coordenada y ? Sumar 1 2 Sumar 1 2
Las coordenadas son menos que las coordenadascorrespondientes. x 1 2 y
Presentar
La clase comenta las propiedades de una figura dibujada en el plano de coordenadas.
Muestre la gráfica cubierta con los cuadrados A, B, C y D. Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas acerca de qué creen que se oculta debajo de los cuadrados.
Los cuadrados A, B, C y D cubren una figura que está representada gráficamente en el plano de coordenadas.
Voy a quitar un cuadrado a la vez para mostrar parte de la figura oculta. Cada vez que lo haga, diré cuál podría ser la figura oculta. Si están de acuerdo, muestren los pulgares hacia arriba. Si no están de acuerdo, muestren los pulgares hacia abajo.
Cada vez que muestre parte de la figura oculta, pida a las parejas que conversen acerca de qué creen que podría ser la figura oculta. Luego, diga los siguientes enunciados y espere a que sus estudiantes digan si están de acuerdo o en desacuerdo. Elija a estudiantes para que compartan su razonamiento para cada enunciado.
Muestre la gráfica sin el cuadrado A.
La figura oculta podría ser una recta.
No estoy de acuerdo. Las rectas se extienden sin fin en ambos sentidos, pero esta tiene un extremo en lugar de una punta de flecha.
La figura oculta podría ser un ángulo.
Estoy de acuerdo. El punto podría ser el vértice de un ángulo y el extremo podría ser una de las dos semirrectas del ángulo.
La figura oculta podría ser un polígono.
Estoy de acuerdo. El punto podría ser uno de los vértices de un polígono. 5
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere colocar un afiche de referencia con vocabulario conocido, ejemplos y notaciones.
Muestre la gráfica sin los cuadrados A y B.
La figura oculta podría ser un segmento de recta.
Estoy de acuerdo. La figura es recta y tiene dos extremos.
La figura oculta podría ser una semirrecta.
No estoy de acuerdo. Una semirrecta tiene un punto en un extremo y una punta de flecha en el otro, pero esta tiene puntos en ambos extremos.
La figura oculta podría ser un cuadrilátero.
Estoy de acuerdo. El segmento de recta podría ser uno de los cuatro lados de un cuadrilátero.
Muestre la gráfica sin los cuadrados A, B y C.
La figura oculta podría ser un cuadrado.
No estoy de acuerdo. Los cuadrados tienen 4 lados de la misma longitud, pero estos lados no tienen la misma longitud.
La figura oculta podría ser un rectángulo.
Estoy de acuerdo. Los rectángulos tienen 4 ángulos rectos. Los dos ángulos que se muestran son ángulos rectos.
¿Qué más podría ser la figura oculta?
Tres segmentos de recta conectados con forma de U
Un paralelogramo
Un trapecio
Un pentágono
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, trazaremos segmentos de recta, dibujaremos ángulos y cuadriláteros en el plano de coordenadas y usaremos el plano de coordenadas para clasificar cuadriláteros.
Nota para la enseñanza
Muestre la jerarquía de cuadriláteros del módulo 5 y pida a sus estudiantes que la consulten a lo largo de esta lección según sea necesario.
Cuadriláteros
- Polígonos con 4 lados - Medidas angulares que suman 360°
Trapecios
- Al menos 1 par de lados paralelos
- Al menos 2 pares de ángulos suplementarios
Paralelogramos
- Lados opuestos que son paralelos
- Lados opuestos de la misma longitud
- Ángulos opuestos de la misma medida
Cometas
- Al menos 2 pares de lados adyacentes que tienen la misma longitud - Al menos 1 eje de simetría
- Diagonales que se intersecan en sus puntos medios
Rectángulos
- 4 ángulos rectos
- Diagonales que tienen la misma longitud
- Al menos 2 ejes de simetría
Cuadrados
Rombos
- 4 lados de la misma longitud - Al menos 2 ejes de simetría
- 4 ejes de simetría
Aprender
Segmentos de recta
Materiales: E) Herramienta de borde recto
La clase traza segmentos de recta verticales y horizontales en el plano de coordenadas y determina las longitudes de segmentos de recta.
Muestre la gráfica de la sección Presentar con los puntos W, X y Y rotulados.
Pida a sus estudiantes que identifiquen los pares ordenados de los puntos W, X y Y. Registre los pares ordenados en una tabla.
DUA: Representación
Resalte las coordenadas x de los puntos W y X con un color para hacer énfasis en que los extremos de segmentos de recta verticales tienen la misma coordenada x. Resalte las coordenadas y de los puntos X y Y con otro color para hacer énfasis en que los extremos de segmentos de recta horizontales tienen la misma coordenada y.
¿Qué observan acerca de las coordenadas de los puntos W, X y Y?
Los puntos W y X tienen la misma coordenada x pero diferentes coordenadas y.
Los puntos X y Y tienen diferentes coordenadas x pero la misma coordenada y.
Los puntos W y Y tienen diferentes coordenadas x y y.
¿El WX es horizontal o vertical?
¿En qué se parecen y en qué se diferencian las coordenadas de los extremos del WX ?
Los extremos tienen la misma coordenada x pero diferentes coordenadas y.
Señale los extremos del WX .
¿Cuál es la longitud del WX ? ¿Cómo lo saben?
5 unidades, porque conté 5 unidades desde el punto W hasta el punto X.
5 unidades, porque resté las coordenadas y de los extremos, y 8 − 3 = 5.
Si nadie dice haber restado 3 de 8 para determinar la longitud del WX , señale el eje y y pregunte cómo pueden obtener 5 usando las coordenadas y 3 y 8.
¿El XY es horizontal o vertical?
Horizontal
¿En qué se parecen y en qué se diferencian las coordenadas de los extremos del XY ?
Los extremos tienen diferentes coordenadas x pero la misma coordenada y.
Señale los extremos del XY .
¿Cuál es la longitud del XY ? ¿Cómo lo saben?
4 unidades, porque conté 4 unidades desde el punto X hasta el punto Y.
4 unidades, porque resté las coordenadas x de los extremos, y 9 − 5 = 4.
Si nadie dice haber restado 5 de 9 para determinar la longitud del XY , señale el eje x y pregunte cómo pueden obtener 4 usando las coordenadas x 5 y 9.
Forme parejas de estudiantes y pídales que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que rotulen los puntos P y R con sus pares ordenados y, luego, que comprueben los pares ordenados en parejas. Luego, invite a las parejas a que trabajen para completar el problema 1. Recorra el salón de clases y compruebe que la clase lea correctamente la escala de cada eje.
1. Usa la gráfica para completar las partes (a) y (b).
Ejemplo:
Diferenciación: Apoyo
Antes de pedir a sus estudiantes que marquen los puntos Q y S en el problema 1, pídales que identifiquen las longitudes del intervalo de cada eje. Señale las líneas de la cuadrícula a lo largo de cada eje y pídales que cuenten 1
sucesivamente.
a. Marca el punto Q para que el PQ sea vertical y tenga una longitud de 1 3 4 unidades. Usa una herramienta de borde recto para trazar el PQ . ¿Cuál es el par ordenado del punto Q?
Ejemplo: (1, 3 3 4 )
b. Marca el punto S para que el RS sea horizontal y tenga una longitud de 1 2 unidad. Usa una herramienta de borde recto para trazar el RS . ¿Cuál es el par ordenado del punto S?
Ejemplo: (2 3 4 , 1)
Cuando sus estudiantes hayan terminado, pídales que comparen los segmentos de recta que trazaron con los segmentos de recta que haya trazado otra pareja.
¿Sus segmentos de recta fueron iguales a los segmentos de recta de la otra pareja? Expliquen.
Sí. Las dos parejas marcamos el punto Q en (1, 3 3 4 ) y el punto S en (2 3 4 , 1).
No. Marcamos el punto Q en (1, 3 3 4 ) y la otra pareja marcó el punto Q en (1, 1 4 ).
No. Marcamos el punto S en (2 3 4 , 1) y la otra pareja marcó el punto S en (1 3 4 , 1).
¿Cómo supieron dónde marcar el punto Q?
Sabíamos que el punto Q debía estar directamente arriba o debajo del punto P porque el PQ es vertical. Contamos las unidades de 1 4 en 1 4 hasta obtener una longitud de 1 3 4 unidades.
Sabíamos que la coordenada x del punto Q es igual a la coordenada x del punto P porque el PQ es vertical. Sumamos 1 3 4 a la coordenada y 2 para obtener la coordenada y del punto Q.
¿Cómo supieron dónde marcar el punto S?
Sabíamos que el punto S debía estar a la izquierda o la derecha del punto R porque el RS es horizontal. El RS tiene una longitud de 1 2 unidad, cada longitud del intervalo es 1 4 de unidad, y 1 4 + 1 4 = 1 2 , así que nos movimos 2 intervalos.
Sabíamos que la coordenada y del punto S es igual a la coordenada y del punto R porque el RS es horizontal. Sumamos 1 2 a la coordenada x 2 1 4 para obtener la coordenada x del punto S.
Pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de cómo determinar las longitudes de segmentos de recta horizontales o verticales representados gráficamente en el plano de coordenadas.
Nota para la enseñanza
Para ayudar a sus estudiantes a visualizar cómo pueden trazar de otra manera los segmentos de recta que se describen en el problema 1, considere mostrar cómo se pueden trazar el PQ y el RS de dos maneras diferentes.
Ángulos
Materiales: E) Herramienta de borde recto, transportador
La clase dibuja y mide ángulos en el plano de coordenadas y determina si los ángulos son agudos, obtusos o rectos.
Vuelva a mostrar la gráfica de la sección Aprender con los puntos W, X y Y rotulados.
¿El ∠WXY es un ángulo recto? ¿Cómo lo saben?
Sí. El WX está en una línea de la cuadrícula vertical y el XY está en una línea de la cuadrícula horizontal. Las rectas verticales y horizontales forman ángulos rectos cuando se intersecan.
Sí. El WX está en una línea de la cuadrícula vertical y el XY está en una línea de la cuadrícula horizontal. Las líneas de la cuadrícula verticales son perpendiculares a las líneas de la cuadrícula horizontales.
Muestre la gráfica del problema 2.
¿Qué ven representado gráficamente en el plano de coordenadas del problema 2?
Veo un ángulo agudo y una semirrecta.
Veo un ángulo con el vértice I y los puntos H y J.
Veo una semirrecta con el extremo L.
Veo el ∠HIJ y la ⟶ LM .
¿El ∠HIJ es un ángulo recto? ¿Cómo lo saben?
No. La ⟶ IH es vertical, pero la → IJ no es horizontal.
Pida a sus estudiantes que marquen el punto K en (6, 8) y tracen la → IK .
¿Cuál es la medida del ∠HIK? ¿Cómo lo saben?
Es 90°. Lo sé porque el ∠HIK es un ángulo recto.
¿El ∠HIJ es un ángulo obtuso o un ángulo agudo? ¿Cómo lo saben?
Es agudo. La medida del ∠HIJ es menos de 90°.
Con un transportador, mida el ∠HIJ y confirme que la medida angular es menos de 90°. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo y que escriban la medida del ∠HIJ en sus libros para la parte (a).
DUA: Representación
Considere usar un organizador gráfico para comparar los ángulos dibujados en el plano de coordenadas. Brinde papel cuadriculado y haga una tabla de tres columnas con los rótulos Ángulo, Descripción y Ejemplos. Pida a sus estudiantes que registren una descripción y ejemplos de cada tipo de ángulo.
Ángulo Descripción Ejemplos
Recto Mide
Obtuso
2. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (d).
Ejemplo:
a. ¿Cuál es la medida del ∠HIJ?
45°
b. Marca el punto N para que el ∠MLN sea un ángulo recto. Traza la ⟶ LN . ¿Cuál es la medida del ∠MLN?
90°
c. Marca el punto O para que el ∠MLO sea un ángulo obtuso. Traza la ⟶ LO . ¿Cuál es la medida del ∠MLO?
Ejemplo: 135°
d. Marca el punto P para que el ∠MLP sea un ángulo agudo. Traza la ⟶ LP . ¿Cuál es la medida del ∠MLP?
Ejemplo: 45°
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar dónde marcar el punto N de modo que el ∠MLN sea un ángulo recto.
Podemos marcar el punto N en (3, 4).
Podemos marcar el punto N en (3, 1).
Podemos marcar el punto N en (3, 7.5).
Mientras la clase comparte, registre varios pares ordenados en una tabla.
¿Por qué todos los pares ordenados tienen una coordenada x de 3?
La ⟶ LN debe ser vertical para que la medida del ∠MLN sea 90°. Dado que el punto L tiene una coordenada x de 3, el punto N debe tener una coordenada x de 3.
Pida a sus estudiantes que confirmen la medida angular con un transportador y registren su respuesta a la parte (b).
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para marcar el punto O de modo que el ∠MLO sea un ángulo obtuso. Pídales que usen un transportador para medir el ángulo y confirmar que mide más de 90° y registren su respuesta a la parte (c).
Invite a varias parejas a compartir los pares ordenados que eligieron para el punto O. Agregue una columna a la tabla y registre los pares ordenados que compartan.
¿Por qué todos los pares ordenados en la columna para el punto O tienen una coordenada x menor que 3?
)
El punto O debe estar a la izquierda de la ⟶ LN para que la medida del ∠MLO sea más de 90°. Dado que cada punto de la ⟶ LN tiene una coordenada x de 3, el punto O debe tener una coordenada x menor que 3.
Diferenciación: Desafío
Considere dar a sus estudiantes la medida de un ángulo agudo u obtuso y presentar la siguiente tarea:
• Usen un transportador para medir el ángulo dado con la ⟶ LM como uno de los lados de un ángulo.
• Usen una herramienta de borde recto para trazar una semirrecta como el otro lado del ángulo.
• Marquen un punto en la semirrecta y estimen las coordenadas del punto.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para marcar el punto P de modo que el ∠MLP sea un ángulo agudo. Pídales que usen un transportador para medir el ángulo y confirmar que mide menos de 90° y registren su respuesta a la parte (d).
Invite a varias parejas a compartir los pares ordenados que eligieron para el punto P. Agregue una columna a la tabla y registre los pares ordenados que compartan.
¿Por qué todos los pares ordenados en la columna para el punto P tienen una coordenada x mayor que 3?
)
El punto P debe estar a la derecha de la ⟶ LN para que la medida del ∠MLP sea menos de 90°.
Dado que cada punto de la ⟶ LN tiene una coordenada x de 3, el punto P debe tener una coordenada x mayor que 3.
Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo determinar si los ángulos representados gráficamente en el plano de coordenadas son rectos, agudos u obtusos.
Cuadriláteros
Materiales: E) Tarjetas de cuadriláteros, herramienta de borde recto, transportador
La clase dibuja cuadriláteros en el plano de coordenadas y clasifica cuadriláteros según sus propiedades.
Divida a sus estudiantes en grupos de cuatro. Dé un juego de Tarjetas de cuadriláteros a cada grupo. Asigne una tarjeta a cada estudiante del grupo y pídales que sigan las instrucciones de la tarjeta.
Cuando cada estudiante haya dibujado un cuadrilátero, pida a los grupos que observen los cuatro cuadriláteros y determinen el nombre más específico para el cuadrilátero de cada tarjeta. Pida a sus estudiantes que usen lo que saben acerca de longitudes y ángulos en el plano de coordenadas y acerca de las propiedades de los cuadriláteros para apoyar su respuesta.
Cuando los grupos hayan terminado, muestre las gráficas de los cuatro cuadriláteros.
A. Vértices: A(3, 2), B (3, 8), C(9, 8) y D (9, 2) x y
012345678910
C. Vértices: I (7, 8), J (7, 3), K(4, 4) y L (4, 9) x y
012345678910
B. Vértices: E(3, 1), F (3, 9), G (7, 9) y H(7, 1) x
012345678910
D. Vértices: M (1, 8), N (9, 7), O (9, 5) y P(1, 2) x
012345678910
Haga las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de cómo los grupos determinaron el nombre más específico para cada cuadrilátero. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Mientras sus estudiantes comparten, pregunte qué herramientas y métodos usaron para clasificar cada cuadrilátero, como un transportador para medir ángulos o líneas de la cuadrícula para determinar las longitudes de los lados e identificar ángulos rectos.
¿Cuál es el nombre más específico para el cuadrilátero ABCD? ¿Cómo lo saben?
El cuadrilátero ABCD es un cuadrado.
La longitud de cada uno de sus 4 lados es 6 unidades, así que todos los lados son de la misma longitud.
Tiene 4 ángulos rectos.
¿Cuál es el nombre más específico para el cuadrilátero EFGH? ¿Cómo lo saben?
El cuadrilátero EFGH es un rectángulo.
Tiene 4 ángulos rectos.
Los lados paralelos tienen la misma longitud y son perpendiculares a los otros lados.
Los 2 lados horizontales tienen una longitud de 4 unidades cada uno. Los 2 lados verticales tienen una longitud de 8 unidades cada uno.
El cuadrilátero IJKL es un paralelogramo. ¿Qué debe ser verdadero acerca del KJ y del LI ?
El KJ y el LI deben ser paralelos.
¿Cuál es el nombre más específico para el cuadrilátero MNOP? ¿Cómo lo saben?
El cuadrilátero MNOP es un trapecio.
Tiene 2 lados verticales, lo que significa que tiene al menos 1 par de lados paralelos.
Si hay tiempo suficiente, considere hacer alguna de las siguientes preguntas para profundizar la conversación y consolidar la comprensión:
• ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las coordenadas de los vértices de cada cuadrilátero?
• ¿Qué cuadrilátero se puede clasificar como una cometa?
• ¿Qué cuadrilátero se puede clasificar como un rombo?
• ¿Qué cuadriláteros tienen un ángulo recto? Den un ejemplo de un ángulo recto.
• ¿Qué cuadriláteros tienen un ángulo agudo? Den un ejemplo de un ángulo agudo.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión del plano de coordenadas y la jerarquía de cuadriláteros para clasificar cuadriláteros representados gráficamente en el plano de coordenadas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo puede ayudarles lo que saben acerca de las rectas verticales y horizontales a clasificar cuadriláteros representados gráficamente en el plano de coordenadas?
• ¿En qué se parece este problema a clasificar cuadriláteros que no están representados gráficamente en el plano de coordenadas?
• ¿Qué cuadriláteros tienen un ángulo obtuso? Den un ejemplo de un ángulo obtuso.
• ¿Qué ángulos de los cuadriláteros son suplementarios, si es que hay alguno?
• ¿Por qué los vértices A y B tienen la misma coordenada x?
• ¿Por qué los vértices A y D tienen la misma coordenada y?
• ¿Qué lado del rectángulo EFGH es paralelo al EH ?
• ¿Qué lados del rectángulo EFGH son perpendiculares al EH ?
• ¿Qué ángulos del paralelogramo IJKL son agudos? ¿Cuáles son obtusos?
• ¿El trapecio MNOP tiene algún ángulo recto? ¿Cómo lo saben?
• ¿Cuál es la longitud del MP ? ¿La longitud del NO es igual a la longitud del MP ?
Luego, muestre la gráfica de la sección Presentar con los puntos W, X y Y rotulados.
El vértice Z del cuadrilátero WXYZ está oculto por el cuadrado D. Si el cuadrilátero WXYZ es un rectángulo, ¿qué debe ser verdadero acerca del WZ ?
El WZ debe ser paralelo al XY y tener una longitud de 4 unidades.
Si el cuadrilátero WXYZ es un rectángulo, ¿qué debe ser verdadero acerca del ∠WZY?
El ∠WZY debe ser un ángulo recto.
Muestre la gráfica del cuadrilátero WXYZ.
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder cuál es el nombre más específico para el cuadrilátero WXYZ y cómo lo saben.
El cuadrilátero WXYZ es un trapecio. Tiene 2 lados verticales, lo que significa que tiene al menos 1 par de lados paralelos.
Sabemos que WXYZ no es un rectángulo porque no tiene 4 ángulos rectos. El punto Z tiene una coordenada y ligeramente menor que 8 y está apenas debajo de (9, 8). Entonces, el ∠XWZ es un ángulo agudo, no un ángulo recto. WXYZ debe ser un trapecio.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Representar gráficamente y clasificar cuadriláteros en el plano de coordenadas
Guíe una conversación de toda la clase sobre segmentos de recta, ángulos y cuadriláteros representados gráficamente en el plano de coordenadas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Cómo pueden determinar la longitud de un segmento de recta vertical u horizontal trazado en el plano de coordenadas?
Podemos contar las unidades desde un extremo al otro.
Podemos restar las coordenadas y si el segmento de recta es vertical. Podemos restar las coordenadas x si el segmento de recta es horizontal.
¿Cómo pueden usar las líneas de la cuadrícula como ayuda para determinar si un ángulo dibujado en el plano de coordenadas es recto, agudo u obtuso?
Las líneas de la cuadrícula son rectas verticales y horizontales, y se intersecan en ángulos rectos.
Si un lado del ángulo está sobre una línea de la cuadrícula vertical y el otro lado está sobre una línea de la cuadrícula horizontal, el ángulo es un ángulo recto.
Si un lado del ángulo está sobre una línea de la cuadrícula, podemos comparar el otro lado del ángulo con la línea de la cuadrícula perpendicular para determinar si el ángulo es agudo u obtuso.
¿Cómo pueden usar el plano de coordenadas como ayuda para clasificar un cuadrilátero?
Si los lados son horizontales o verticales, podemos determinar si son paralelos o perpendiculares.
Podemos usar las longitudes del intervalo en los ejes para determinar las longitudes de los lados verticales y horizontales.
Podemos usar las líneas de la cuadrícula para determinar si los ángulos son rectos, agudos u obtusos.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
2. Usa la gráfica de la ⟶ RC para completar las partes (a) a (d).
Ejemplo:
1. Usa el plano de coordenadas para completar las partes (a) a (c).
a. Traza un segmento de recta horizontal que tenga una longitud de 4 unidades y un extremo en (2, 4)
a. Marca el punto G para que el ∠CRG sea un ángulo recto.
b. Escribe el par ordenado del otro extremo. (6, 4)
c. Todos los puntos del segmento de recta tienen la misma coordenada y pero diferentes coordenadas x
b. Marca el punto F para que el ∠CRF sea un ángulo obtuso.
c. Marca el punto M para que el ∠CRM sea un ángulo agudo.
d. Explica cómo sabes que el ∠CRM es un ángulo agudo. La ⟶ RM se encuentra con la ⟶ RC en un ángulo menor que el ángulo de 90° que se formó por las líneas de la cuadrícula perpendiculares.
3. Usa el plano de coordenadas para completar las partes (a) a (e). y x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12345678910 EF DG
a. Marca y rotula los siguientes vértices: D(1 1 2 , 2), E(1 1 2 , 8), F (4, 8), G (4, 2). Conecta los vértices para crear el polígono DEFG
b. ¿Qué lado tiene la misma longitud que el DE ? Explica. El lado GF tiene la misma longitud que el DE Lo sé porque ambos miden 6 unidades.
c. ¿Qué lados son perpendiculares al DG ? ElDE y el GF
d. Describe los ángulos de este polígono. Hay cuatro ángulos y todos son ángulos rectos.
e. ¿Cuál es el nombre más específico para el polígono DEFG?
Rectángulo
4. Usa la gráfica del polígono FGHI para completar las partes (a) a (e). y x 0123456789101112131415 1
a. La longitud del FG es 8 unidades.
b. La longitud del IH es 12 unidades.
c. ElFG es paralelo al IH
d. Describe los ángulos de este polígono. Hay cuatro ángulos. Dos ángulos son obtusos y dos ángulos son agudos. Los ángulos adyacentes son suplementarios.
e. ¿Cuál es el nombre más específico para el polígono FGHI? Trapecio
5. Usa el plano de coordenadas para completar las partes (a) a (e). y
a. Marca y rotula los siguientes vértices: L(110, 30), M(130, 90), N(50, 90), O(30, 30)
Conecta los vértices para crear el polígono LMNO
b. ¿Cuál es la longitud del NM ?
80 unidades
c. ¿La longitud del OL es igual a la longitud del NM ? Explica.
Sí. La longitud del OL es 80 unidades, que es exactamente igual a la longitud del NM
d. Describe los ángulos de este polígono. Hay cuatro ángulos. Dos ángulos son obtusos y dos ángulos son agudos.
e. ¿Cuál es el nombre más específico para el polígono LMNO?
Paralelogramo
B. Marca y rotula los vértices E (3, 1) , F (3, 9) , G (7, 9) y H (7, 1) . Usa una herramienta de borde recto para dibujar el cuadrilátero EFGH . 10 y x 9876543210 123456789
A. Marca y rotula los vértices A (3, 2) , B (3, 8) , C (9, 8) y D (9, 2) . Usa una herramienta de borde recto para dibujar el cuadrilátero ABCD . 10 y x 9876543210
D. Marca y rotula los vértices M (1, 8) , N (9, 7) , O (9, 5) y P (1, 2) . Usa una herramienta de borde recto para dibujar el cuadrilátero MNOP . 10 y x 9876543210
C. Marca y rotula los vértices I (7, 8) , J (7, 3) , K (4, 4) y L (4, 9) . Usa una herramienta de borde recto para dibujar el cuadrilátero IJKL . 10 y x 9876543210
Dibujar figuras simétricas en el plano de coordenadas
Vistazo a la lección
Considera la figura que se muestra en el plano de coordenadas.
a. Crea una figura que sea simétrica a lo largo de la recta �� usando los puntos dados.
b. Describe cómo se relacionan las coordenadas x y y de los puntos B, C y D con las coordenadas x y y de los puntos que son simétricos a los puntos B, C y D. Las coordenadas x de los puntos B, C y D son iguales a las coordenadas x de los puntos simétricos. Las coordenadas y de los puntos simétricos están a la misma distancia de 4 que las coordenadas y de los puntos B, C y D.
La clase identifica ejes de simetría en una obra de arte geométrica y, luego, usa rectas horizontales y verticales en el plano de coordenadas como ejes de simetría. Sus estudiantes marcan puntos simétricos y observan semejanzas y diferencias entre los puntos en ambos lados de los ejes de simetría y avanzan hacia el dibujo de figuras simétricas compuestas de segmentos de recta y ángulos.
En esta lección, no se incluye Grupo de problemas. En cambio, sus estudiantes completan una actividad guiada en clase en la que hacen un dibujo simétrico y exploran todos los aspectos de la simetría en el plano de coordenadas.
Preguntas clave
• ¿Qué tienen en común y en qué se diferencian los puntos, los segmentos de recta y los ángulos simétricos en el plano de coordenadas?
• ¿Cómo dibujan una figura simétrica en el plano de coordenadas?
Criterio de logro académico
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Eje de simetría vertical
• Eje de simetría horizontal
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra ninguno
Estudiantes
• Plano de coordenadas (en el libro para estudiantes)
• herramienta de borde recto
• lápices de colores (4)
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Plano de coordenadas de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
• Prepare cuatro lápices de diferentes colores por estudiante.
• Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la enseñanza de la sección Presentar.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros de varios dígitos
La clase multiplica un número de tres dígitos por un número de tres dígitos para adquirir fluidez con la multiplicación de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional.
Muestre 132 × 231 = .
Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical.
Repita el proceso con el siguiente problema: 219 × 734 = 160,746.
Contar salteado usando pies y yardas en la recta numérica
La clase cuenta salteado usando una unidad de 1 pie y expresa los pies como yardas para adquirir fluidez con la conversión de medidas del módulo 3.
Muestre la recta numérica.
Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de un pie en un pie hasta 9 pies. La primera medida que dicen es 0 pies. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 ft, 1 ft…, 8 ft, 9 ft
9 ft, 8 ft…, 1 ft, 0 ft
Ahora, cuenten hacia delante y hacia atrás. Expresen los pies como yardas. La primera medida que dicen es 0 yardas. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 yd, 1 _ 3 yd, 2 _ 3 yd, 1 yd…, 3 yd
3 yd, 2 2 3 yd, 2 1 3 yd, 2 yd…, 0 yd
Respuesta a coro: Ejes de simetría
La clase decide si una recta dada es un eje de simetría de una figura como preparación para dibujar figuras simétricas en el plano de coordenadas.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta.
Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre la figura.
¿Es la recta que se muestra un eje de simetría para la figura? Sí.
Muestre cómo desaparece el eje de simetría.
¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura en total?
2
Muestre todos los ejes de simetría. 0ft1ft2ft3ft4ft5ft6ft7ft8ft9ft 0yd3yd 12yd1ydyd 3yd 2 3yd 113yd 123yd 213yd 22 3
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase identifica ejes de simetría en una obra de arte.
Muestre la obra de arte.
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes dos preguntas.
¿Qué observan acerca de esta obra de arte?
Observo una figura con forma de estrella en el medio.
Observo un círculo de estrellas.
Observo muchos patrones y figuras.
Observo que hay simetría en el diseño.
¿Qué se preguntan?
Me pregunto cómo se hizo la obra de arte.
Me pregunto si se usaron herramientas de medición para hacer la obra.
Me pregunto cómo se determinaron los patrones y diseños.
Me pregunto cuánto tiempo llevó hacer la obra de arte.
Las matemáticas en el pasado
Esta lección es el momento ideal para incorporar el material del recurso Las matemáticas en el pasado. Esta sección incluye más información acerca de la historia de la simetría en el arte geométrico, incluyendo una explicación más detallada sobre cómo los y las artistas usaban el plano de coordenadas en sus obras.
Si hay estudiantes que muestran interés en saber más sobre la historia de la simetría en el arte geométrico, incorpore otras actividades del recurso Las matemáticas en el pasado.
Es común ver patrones geométricos como este en obras de arte islámico. Las técnicas que se usan para hacer obras como esta se dominaron entre los siglos VIII y XIII.
Es posible que hayan observado que hay simetría en el diseño. Describan cualquier eje de simetría que vean en esta obra de arte.
Hay un eje de simetría vertical.
Hay un eje de simetría horizontal.
Presente la obra de arte, con los ejes de simetría visibles.
¿Qué tipos de herramientas creen que se usaron para hacer los patrones en esta obra de arte?
Una regla
Una herramienta de borde recto
Una herramienta de ángulo recto
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a crear nuestras propias obras de arte geométrico dibujando figuras simétricas en el plano de coordenadas.
Aprender
Eje de simetría vertical
Materiales: E) Plano de coordenadas, herramienta de borde recto, lápices de colores
La clase dibuja figuras con un eje de simetría vertical en el plano de coordenadas.
Forme parejas de estudiantes y pídales que retiren la hoja extraíble de Plano de coordenadas de sus libros. Pídales que usen una herramienta de borde recto para dibujar una recta entrecortada que sea paralela al eje y y se interseque con el eje x en 5. Luego, pídales que marquen y rotulen el punto A en (2, 6) y comprueben su trabajo con sus parejas.
La recta entrecortada representa un eje de simetría vertical. ¿Cuántas unidades a la izquierda o a la derecha del eje de simetría está el punto A?
El punto A está 3 unidades a la izquierda del eje de simetría.
Muéstrenle a su pareja dónde podemos marcar el punto B para que los puntos A y B sean simétricos. Cuando estén de acuerdo con su pareja sobre la ubicación del punto B, marquen y rotulen el punto B.
¿Cuál es el par ordenado del punto B?
El par ordenado es (8, 6).
¿Cuántas unidades a la izquierda o a la derecha del eje de simetría está el punto B?
El punto B está 3 unidades a la derecha del eje de simetría.
Pida a sus estudiantes que marquen y rotulen el punto C en (7, 7).
¿Cuántas unidades a la izquierda o a la derecha del eje de simetría está el punto C?
El punto C está 2 unidades a la derecha del eje de simetría.
Muéstrenle a su pareja dónde podemos marcar el punto D para que los puntos C y D sean simétricos. Cuando estén de acuerdo con su pareja sobre la ubicación del nuevo punto, marquen y rotulen el punto D.
¿Cuál es el par ordenado del punto D? ¿Cuántas unidades a la izquierda o a la derecha del eje de simetría está el punto D?
El par ordenado es (3, 7). El punto D está 2 unidades a la izquierda del eje de simetría.
Describan el movimiento desde el punto A hasta el punto D.
1 unidad hacia la derecha, 1 unidad hacia arriba
Describan el movimiento desde el punto B hasta el punto C.
1 unidad hacia la izquierda, 1 unidad hacia arriba
¿Qué observan acerca del movimiento desde el punto B hasta el punto C comparado con el movimiento desde el punto A hasta el punto D?
Los movimientos horizontales son opuestos entre sí y el movimiento vertical es el mismo.
Muestre el plano de coordenadas con los puntos A, B, C y D marcados y la tabla.
Puntos a la izquierda del eje de simetría vertical
Puntos a la derecha del eje de simetría vertical
A(2, 6) B(8, 6)
(3, 7)
(7, 7)
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta.
¿Qué observan acerca de las coordenadas de cada par de puntos simétricos?
Los puntos A y B tienen diferentes coordenadas x pero la misma coordenada y.
Los puntos C y D tienen diferentes coordenadas x pero la misma coordenada y.
Cada par de puntos simétricos tienen la misma coordenada y, lo que significa que se ubican en la misma recta horizontal.
Pida a sus estudiantes que usen una herramienta de borde recto para trazar un segmento de recta horizontal desde el punto A hasta el eje de simetría.
¿Qué distancia hay desde el punto A hasta el eje de simetría?
3 unidades
¿Cómo extendemos el segmento de recta para que la recta vertical sea un eje de simetría?
Trazamos el segmento de recta desde el punto B hasta el eje de simetría. Ese segmento también tiene una longitud de 3 unidades.
Pida a sus estudiantes que usen una herramienta de borde recto para completar el AB . Luego, pídales que tracen el CD con otro color.
¿Cuál es la longitud del AB ? ¿Cuál es la longitud del CD ?
La longitud del AB es 6 unidades. La longitud del CD es 4 unidades.
¿El CD es simétrico? ¿Cómo lo saben?
Sí. La mitad del segmento está a la izquierda del eje de simetría y la otra mitad está a la derecha del eje de simetría.
Sí. La longitud del segmento a cada lado del eje de simetría es la misma.
Sí. El eje de simetría pasa por el punto medio del CD .
DUA: Acción y expresión
A lo largo de la lección, sus estudiantes dibujan en el mismo plano de coordenadas. Las tareas se dividen en segmentos para ayudar con la planificación. Considere hacer copias adicionales de Plano de coordenadas en caso de que sus estudiantes quieran volver a empezar.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere brindar apoyo a las respuestas de la clase con la Herramienta para la conversación a lo largo de la lección. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento para explicar sus razonamientos y métodos. Incentive el uso de lenguaje preciso colocando un banco de palabras que incluya los siguientes términos:
• simétrico/simétrica, eje de simetría;
• horizontal, vertical, diagonal;
• lado, ángulo, segmento de recta, punto medio;
• coordenada x, coordenada y.
Muestre las siguientes instrucciones. Pida a sus estudiantes que usen un color diferente y sigan las instrucciones. Pídales que comprueben su trabajo en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
• Marquen y rotulen el punto E en (4, 8).
• Marquen y rotulen el punto F en (4, 2).
• Usen una herramienta de borde recto para trazar el EF .
• Tracen un segmento de recta horizontal desde el punto E hasta el eje de simetría.
• Tracen un segmento de recta horizontal desde el punto F hasta el eje de simetría.
Cuando sus estudiantes hayan dibujado la figura, muestre la gráfica con los puntos E y F.
¿Cuántas unidades a la izquierda o a la derecha del eje de simetría están los puntos E y F?
Los dos puntos están 1 unidad a la izquierda del eje de simetría.
Muéstrenle a su pareja dónde podemos marcar los puntos G y H para que los puntos E y G sean simétricos y los puntos F y H sean simétricos. Cuando estén de acuerdo con su pareja sobre la ubicación de los puntos G y H, marquen y rotulen los puntos G y H.
¿Cuántas unidades a la izquierda o a la derecha del eje de simetría están los puntos G y H?
Los dos puntos están 1 unidad a la derecha del eje de simetría.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden conectar los puntos E, F, G y H para crear un polígono simétrico.
Podemos usar una herramienta de borde recto para trazar el GH .
Podemos trazar un segmento de recta horizontal desde el punto G hasta el eje de simetría.
Podemos trazar un segmento de recta horizontal desde el punto H hasta el eje de simetría.
Pida a sus estudiantes que dibujen el polígono simétrico con los vértices E, F, G y H y muestre la gráfica.
¿La distancia entre los puntos E y G es igual a la distancia entre los puntos F y H? ¿Cuál es la distancia?
Sí, la distancia entre los puntos E y G es igual a la distancia entre los puntos F y H.
La distancia entre los puntos E y G es 2 unidades, y la distancia entre los puntos F y H es 2 unidades.
¿La distancia entre los puntos E y F es igual a la distancia entre los puntos G y H? ¿Cuál es la distancia?
Sí. La distancia entre los dos pares de puntos es 6 unidades.
¿Cuál es el nombre más específico con el que se describe el polígono EFHG? ¿Cómo lo saben?
Rectángulo
Los 4 ángulos son ángulos rectos.
Tiene 4 lados y los lados opuestos tienen la misma longitud.
Muestre las siguientes instrucciones. Pida a sus estudiantes que usen otro color y sigan las instrucciones. Pídales que comprueben su trabajo en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
• Marquen y rotulen el punto I en (10, 5). Usen una herramienta de borde recto para trazar el BI .
• Marquen el punto J para que los puntos I y J sean simétricos.
• Usen una herramienta de borde recto para trazar un segmento simétrico al BI .
• Marquen y rotulen el punto K en (5, 10).
• Usen una herramienta de borde recto para dibujar el ∠GKE
Cuando sus estudiantes hayan trazado los segmentos y dibujado el ángulo, muestre la gráfica y la tabla.
Puntos a la izquierda del eje de simetría
A(2, 6)
D(3, 7)
E(4, 8)
F(4, 2)
J(0, 5)
Puntos a la derecha del eje de simetría
B(8, 6)
C(7, 7)
G(6, 8)
H(6, 2)
I(10, 5)
Señale el punto K. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar la ubicación de un punto simétrico al punto K.
El punto K está en el eje de simetría, así que es simétrico a sí mismo.
Si intentamos marcar un punto simétrico al punto K, estará en la misma ubicación que el punto K.
El punto K está en el eje de simetría vertical. Si marcamos un punto simétrico al punto K, estará en la misma ubicación que el punto K.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre cada par de puntos simétricos de la tabla.
Eje de simetría horizontal
La clase dibuja figuras con un eje de simetría horizontal en el plano de coordenadas.
Muestre el plano de coordenadas con un eje de simetría horizontal.
Pida a sus estudiantes que usen una herramienta de borde recto para trazar una recta entrecortada que sea paralela al eje x y se interseque con el eje y en 5.
La recta entrecortada horizontal representa otro eje de simetría. ¿Cuántas unidades arriba del eje de simetría horizontal está el punto K?
El punto K está 5 unidades arriba del eje de simetría horizontal.
Muéstrenle a su pareja dónde podemos marcar el punto L para que los puntos K y L sean simétricos con la recta horizontal como el eje de simetría. Cuando estén de acuerdo con su pareja sobre la ubicación del punto L, marquen y rotulen el punto L.
¿Cuál es el par ordenado del punto L? ¿Cuántas unidades debajo del eje de simetría está el punto L?
El par ordenado es (5, 0). El punto L está 5 unidades debajo del eje de simetría horizontal.
Comparen el movimiento desde el punto K hasta el punto E y el movimiento desde el punto L hasta el punto F.
Desde el punto K, nos movemos 1 unidad hacia la izquierda y 2 unidades hacia abajo para llegar al punto E. Desde el punto L, nos movemos 1 unidad hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba para llegar al punto F.
¿Qué observan acerca del movimiento desde el punto K hasta el punto E comparado con el movimiento desde el punto L hasta el punto F?
Los movimientos verticales son opuestos entre sí y el movimiento horizontal es el mismo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas. Pídales que comparen el movimiento entre los puntos hacia arriba y hacia abajo del eje de simetría horizontal y el movimiento entre los puntos hacia la izquierda o la derecha del eje de simetría vertical que observaron antes.
Muéstrenle a su pareja dónde podemos marcar los puntos M y N para que sean simétricos a los puntos A y B con la recta horizontal como el eje de simetría. Cuando estén de acuerdo con su pareja sobre la ubicación de los puntos M y N, marquen y rotulen los puntos M y N.
¿Cuántas unidades arriba o debajo del eje de simetría horizontal están los puntos A y B?
¿Y los puntos M y N?
Los puntos A y B están 1 unidad arriba del eje de simetría horizontal. Los puntos M y N están 1 unidad debajo del eje de simetría horizontal.
Muestre la gráfica con los puntos L, M y N y la tabla.
Puntos arriba del eje de simetría horizontal
(5, 10)
6)
6)
Puntos debajo del eje de simetría horizontal
(5, 0)
4)
4)
¿Qué observan acerca de las coordenadas de cada par de puntos simétricos?
Los puntos simétricos tienen la misma coordenada x pero diferentes coordenadas y.
Cada punto arriba del eje de simetría horizontal tiene la misma coordenada x que el punto simétrico debajo del eje de simetría horizontal, lo que significa que los puntos simétricos se ubican en la misma recta vertical. ¿En qué se diferencia eso de los puntos simétricos a la izquierda o la derecha del eje de simetría vertical?
Cada punto a la izquierda del eje de simetría vertical tiene la misma coordenada y que el punto simétrico a la derecha del eje de simetría vertical, lo que significa que los puntos simétricos se ubican en la misma recta horizontal.
Pida a sus estudiantes que usen una herramienta de borde recto para trazar, con el mismo color que el AB , un segmento de recta vertical desde el punto A hasta el eje de simetría horizontal y un segmento de recta vertical desde el punto B hasta el eje de simetría horizontal.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden conectar los puntos A, B, M y N para crear un polígono con un eje de simetría horizontal.
Podemos usar una herramienta de borde recto para trazar el MN .
Podemos trazar un segmento de recta vertical desde el punto M hasta el eje de simetría.
Podemos trazar un segmento de recta vertical desde el punto N hasta el eje de simetría.
Pida a sus estudiantes que dibujen un polígono simétrico con los vértices A, B, M y N. Pídales que se reúnan y conversen en parejas acerca de cuál es el nombre más específico con el que se describe el polígono ABNM y expliquen su razonamiento.
Muestre la gráfica con el rectángulo ABNM.
Describan los ejes de simetría del rectángulo ABNM.
Tiene un eje de simetría horizontal y otro vertical. El eje de simetría vertical se interseca con el AB y el MN en sus puntos medios. El eje de simetría horizontal se interseca con el AM y el BN en sus puntos medios.
Muestre las siguientes instrucciones. Pida a sus estudiantes que usen el mismo color que usaron para trazar el CD y sigan las instrucciones. Pídales que comprueben su trabajo en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
• Marquen y rotulen el punto O para que los puntos C y O sean simétricos y el eje de simetría sea horizontal.
• Marquen y rotulen el punto P para que los puntos D y P sean simétricos y el eje de simetría sea horizontal.
• Usen una herramienta de borde recto para trazar el OP .
• Usen una herramienta de borde recto para conectar los puntos y crear un polígono con los vértices C, D, O y P.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando supervisa de forma constante si su figura es simétrica y cambia de método, si es necesario, busca puntos de partida y métodos para dibujar figuras simétricas y persevera en el dibujo de una figura simétrica con muchas partes.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Qué información o datos necesitan para dibujar una figura simétrica?
• ¿Cuál es su plan para dibujar una figura que sea simétrica a lo largo del eje de simetría horizontal?
• ¿Cómo pueden simplificar el problema?
Una vez que sus estudiantes hayan dibujado el polígono CDPO, muestre la gráfica con el polígono CDPO.
¿Qué métodos usaron para ubicar los puntos O y P?
Conté para determinar la distancia desde los puntos C y D hasta el eje de simetría horizontal. Marqué los puntos O y P a la misma distancia del eje de simetría horizontal y en las mismas rectas verticales que los puntos C y D.
Observé que tanto el punto C como el punto D tienen una coordenada y de 7. Dado que cada punto en el eje de simetría horizontal tiene una coordenada y de 5, sé que los puntos C y D están 2 unidades arriba del eje de simetría horizontal, así que los puntos O y P deben estar 2 unidades debajo del eje de simetría y tener una coordenada y de 3. El punto O debe tener la misma coordenada x que el punto C, así que se ubica en (7, 3). El punto P debe tener la misma coordenada x que el punto D, así que se ubica en (3, 3).
¿En qué se parecen el CD y el OP ? ¿En qué se diferencian?
El CD está 2 unidades arriba del eje de simetría horizontal. El OP está 2 unidades debajo del eje de simetría horizontal. Los dos segmentos tienen una longitud de 4 unidades.
El eje de simetría vertical se interseca con los dos segmentos en sus puntos medios.
¿En qué se parece el polígono CDPO al rectángulo ABNM? ¿En qué se diferencia?
El polígono CDPO es un cuadrado.
El cuadrado CDPO tiene 4 lados de la misma longitud. El rectángulo ABNM tiene 2 pares de lados opuestos de la misma longitud.
Los dos polígonos tienen 4 ángulos rectos.
Los dos polígonos tienen un eje de simetría horizontal y otro vertical que pasan por los puntos medios de los lados.
El cuadrado CDPO también tiene ejes de simetría diagonales que van desde una esquina hasta la esquina opuesta.
Si nadie dice que el cuadrado CDPO tiene ejes de simetría diagonales, señálelo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder el siguiente planteamiento.
Hasta ahora, toda la gráfica es simétrica cuando el eje de simetría es vertical. ¿Qué otros segmentos podemos trazar para que toda la gráfica también sea simétrica cuando el eje de simetría es horizontal?
JM , FL , HL , IN
Pida a sus estudiantes que tracen los segmentos y comprueben su trabajo en parejas. Luego, muestre la gráfica con los segmentos JM , FL , HL y IN .
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder qué observan acerca del ∠AJM, el ∠BIN, el ∠EKG y el ∠FLH.
El ∠AJM y el ∠BIN deben tener la misma medida porque son simétricos.
El ∠EKG y el ∠FLH deben tener la misma medida porque son simétricos.
Las partes del ∠EKG y el ∠FLH a la izquierda y la derecha del eje de simetría vertical deben tener la misma medida.
Las partes del ∠AJM y el ∠BIN arriba y debajo del eje de simetría horizontal deben tener la misma medida.
Diferenciación: Desafío
Desafíe a sus estudiantes a continuar explorando los ángulos y la simetría en el plano de coordenadas permitiéndoles que elijan la ubicación del punto Q por su cuenta. Muestre las instrucciones como se muestran, pero reemplace el primer punto con lo siguiente:
• Marquen y rotulen el punto Q en una ubicación que esté por encima de la recta horizontal y a la izquierda de la recta vertical. Cuando hayan completado las instrucciones y marcado los puntos Q, R, S y T y los ángulos dados, invite a sus estudiantes a compartir sus diseños con sus parejas y a reunirse y conversar para responder las siguientes preguntas:
• Comparen los puntos Q, R, S y T en su diseño y en el diseño de su pareja. ¿En qué se parecen los puntos y las coordenadas de cada diseño? ¿En qué se diferencian?
• Comparen el ∠AQE, el ∠BRG, el ∠MSF y el ∠NTH en su diseño y en el de su pareja. ¿En qué se parecen los ángulos de cada diseño? ¿En qué se diferencian?
Muestre las siguientes instrucciones. Pida a sus estudiantes que usen cualquier color y sigan las instrucciones para completar el diseño. Pídales que comprueben su trabajo en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
• Marquen y rotulen el punto Q en (1, 9).
• Usen una herramienta de borde recto para dibujar el ∠AQE.
• Marquen el punto R y dibujen el ∠BRG para que el ∠AQE y el ∠BRG sean simétricos y el eje de simetría sea la recta vertical.
• Marquen el punto S y dibujen el ∠MSF para que el ∠AQE y el ∠MSF sean simétricos y el eje de simetría sea la recta horizontal.
• Marquen el punto T y dibujen el ∠NTH para que el ∠MSF y el ∠NTH sean simétricos y el eje de simetría sea vertical, y para que el ∠BRG y el ∠NTH sean simétricos y el eje de simetría sea la recta horizontal.
Cuando la clase haya terminado, muestre la gráfica del diseño terminado y la tabla de puntos simétricos.
Puntos a la izquierda del eje de simetría vertical
Puntos a la derecha del eje de simetría vertical
DUA: Participación
Considere permitir que sus estudiantes marquen puntos, segmentos de recta y ángulos simétricos donde quieran en su gráfica. Permitir que sus estudiantes creen un diseño simétrico que les parezca interesante y desafiante les permite estar en control de su aprendizaje y fomenta el interés.
Nota para la enseñanza
Considere pedir a sus estudiantes que elijan distintos colores y rellenen las figuras que se formaron en su diseño final. Muestre las obras de arte geométrico que creen.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la ubicación de los puntos Q y S comparada con el eje de simetría horizontal y la ubicación de los puntos Q y R comparada con el eje de simetría vertical.
Cuando el eje de simetría es horizontal, ¿por qué los puntos simétricos como Q y S tienen la misma coordenada x?
Se ubican en la misma recta vertical.
Cuando el eje de simetría es vertical, ¿por qué los puntos simétricos como Q y R tienen la misma coordenada y?
Se ubican en la misma recta horizontal.
Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo dibujar figuras simétricas en el plano de coordenadas.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Dibujar figuras simétricas en el plano de coordenadas.
Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo dibujar figuras simétricas en el plano de coordenadas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Qué tienen en común y en qué se diferencian los puntos, los segmentos de recta y los ángulos simétricos en el plano de coordenadas?
Los puntos simétricos ubicados a la izquierda y la derecha de un eje de simetría vertical tienen diferentes coordenadas x y la misma coordenada y. Los puntos simétricos ubicados arriba o debajo de un eje de simetría horizontal tienen la misma coordenada x y diferentes coordenadas y.
El movimiento vertical entre puntos simétricos a ambos lados de un eje de simetría vertical es el mismo, pero el movimiento horizontal es opuesto. El movimiento horizontal entre puntos simétricos a ambos lados de un eje de simetría horizontal es el mismo, pero el movimiento vertical es opuesto.
Diferenciación: Desafío
Para desafiar a sus estudiantes, pídales que creen otro diseño simétrico en el plano de coordenadas y elijan dónde trazar el eje de simetría vertical y el eje de simetría horizontal. Pídales que marquen puntos simétricos a lo largo de cualquier eje de simetría y conecten los puntos para formar segmentos y figuras simétricos.
Los segmentos de recta ubicados a un lado de un eje de simetría tienen la misma longitud que los segmentos de recta simétricos ubicados al otro lado de un eje de simetría.
Los ángulos ubicados a un lado de un eje de simetría tienen la misma medida que los ángulos simétricos ubicados al otro lado de un eje de simetría.
¿Cómo dibujan una figura simétrica en el plano de coordenadas?
Podemos trazar un eje de simetría vertical u horizontal.
Si marcamos un punto a un lado del eje de simetría vertical, marcamos un punto al otro lado que esté a la misma distancia del eje de simetría y se ubique en la misma recta horizontal.
Si marcamos un punto a un lado del eje de simetría horizontal, marcamos un punto al otro lado que esté a la misma distancia del eje de simetría y se ubique en la misma recta vertical.
Si conectamos los puntos a un lado de un eje de simetría, conectamos los puntos simétricos al otro lado del eje de simetría.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Resolver problemas matemáticos con rectángulos en el plano de coordenadas
Vistazo a la lección
Los puntos A(2, 4) y C(6, 7) son dos vértices opuestos de un rectángulo.
a. Marca los cuatro vértices del rectángulo ABCD en el plano de coordenadas y dibuja el rectángulo.
La clase aplica su comprensión de las propiedades de los rectángulos para resolver problemas matemáticos en el plano de coordenadas. Cuando se da información acerca de los vértices, la simetría o las longitudes de los lados de rectángulos, eligen el mejor método para determinar las ubicaciones de otros vértices. Identifican semejanzas y diferencias en pares ordenados de vértices y explican por qué es posible tener varios rectángulos diferentes con la misma longitud y ancho que comparten un vértice.
Pregunta clave
• ¿Qué métodos pueden usar para ubicar los vértices de un rectángulo en el plano de coordenadas?
Criterio de logro académico
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
b. Escribe las coordenadas del punto B y el punto D B(2, 7) D(6, 4)
c. ¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo ABCD? 4 unidades y 3 unidades
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Determinar la ubicación de un vértice desconocido
• Determinar las ubicaciones de dos vértices desconocidos
• Usar las longitudes de los lados para determinar las ubicaciones de vértices
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Vértices de rectángulos (en el libro para estudiantes)
• herramienta de borde recto
Preparación de la lección
Considere si desea retirar las hojas extraíbles de Vértices de rectángulos de los libros para estudiantes con antelación o si las retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Contar salteado usando cuartos de galón y galones en la recta numérica
La clase cuenta salteado usando una unidad de 1 cuarto de galón y expresa los cuartos de galón como galones para adquirir fluidez con la conversión de medidas del módulo 3.
Muestre la recta numérica.
Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás usando cuartos de galón hasta 8 cuartos de galón. La primera medida que dicen es 0 cuartos de galón. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 qt, 1 qt…, 7 qt, 8 qt
8 qt, 7 qt…, 1 qt, 0 qt
Ahora, cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente usando galones. Expresen los cuartos de galón como galones. La primera medida que dicen es 0 galones. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 gal, 1 _ 4 gal, 2 _ 4 gal, 3 _ 4 gal…, 2 gal
2 gal, 13 4 gal, 12 4 gal, 11 4 gal…, 0 gal
0qt1qt2qt3qt4qt5qt6qt7qt8qt
0qt1qt2qt3qt4qt5qt6qt7qt8qt
Respuesta a coro: Calcular el área y el perímetro
La clase calcula el área y el perímetro de un rectángulo como preparación para usar el plano de coordenadas para razonar acerca del área y el perímetro de los rectángulos en la lección 15.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el rectángulo de 2 unidades por 2 unidades.
El área de cada cuadrado pequeño es 1 unidad cuadrada.
La clase decide si una recta dada es un eje de simetría de una figura para desarrollar fluidez con la destreza de dibujar figuras simétricas en el plano de coordenadas.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre la figura.
¿Es la recta que se muestra un eje de simetría para la figura?
No.
Muestre cómo desaparece el eje de simetría.
¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura en total?
1
Muestre todos los ejes de simetría.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase compara rectángulos representados gráficamente en el plano de coordenadas.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre las cuatro gráficas de rectángulos dibujados en el plano de coordenadas.
Rectángulo A
B
Rectángulo C
0123467891 50
50
Invite a la clase a analizar la imagen de los rectángulos.
50
Rectángulo D 0123467891 50
Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca.
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen las categorías que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría.
Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento sobre la longitud, el ancho y las coordenadas.
Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas.
Preguntas de ejemplo:
¿Cuál no pertenece al grupo?
El rectángulo A no pertenece porque no tiene ningún lado que mida 2 unidades de largo.
El rectángulo B no pertenece porque es un cuadrado.
Nota para la enseñanza
En 5.o grado, todos los rectángulos representados gráficamente en el plano de coordenadas tienen lados horizontales y verticales para que la clase pueda usar las líneas de la cuadrícula a fin de confirmar que los lados del rectángulo se intersecan formando ángulos rectos. Según sea necesario a lo largo de la lección, pida a sus estudiantes que recuerden que los rectángulos que dibujan deberían tener lados horizontales y verticales.
El rectángulo C no pertenece porque es más ancho que alto.
El rectángulo D no pertenece porque no tiene un vértice en (1, 1).
¿Qué es verdadero acerca de las coordenadas de los vértices que se ubican en la misma recta horizontal?
Tienen diferentes coordenadas x y la misma coordenada y.
¿Qué es verdadero acerca de las coordenadas de los vértices que se ubican en la misma recta vertical?
Tienen diferentes coordenadas y y la misma coordenada x.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo saben que las figuras en la imagen son rectángulos.
Cada figura tiene 4 lados, todos los ángulos de cada figura son ángulos rectos y los lados opuestos de cada figura tienen la misma longitud.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a usar las propiedades de los rectángulos para resolver problemas matemáticos en el plano de coordenadas.
Aprender
35
Determinar la ubicación de un vértice desconocido
Materiales: E) Herramienta de borde recto
La clase determina la ubicación del vértice de un rectángulo en el plano de coordenadas cuando se dan las ubicaciones de los otros tres vértices.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea las instrucciones en voz alta. Forme parejas de estudiantes y pídales que completen el problema 1.
1. Tres de los vértices de un rectángulo son A(2, 3), B(2, 8) y C(6, 8).
a. Marca y rotula los tres vértices en el plano de coordenadas.
b. Determina el par ordenado del punto D, el cuarto vértice.
(6, 3)
c. Dibuja el rectángulo ABCD.
d. Identifica el par ordenado de un punto en el CD que no sea el punto C ni el punto D.
Ejemplo: (6, 4)
Cuando hayan terminado, invite a sus estudiantes a compartir cómo determinaron el par ordenado del cuarto vértice. Considere hacer las siguientes preguntas para guiar la conversación.
¿Cómo pueden usar rectas paralelas y perpendiculares para determinar el par ordenado del punto D?
Sé que hay un segmento de recta horizontal desde el punto A hasta el punto D y un segmento de recta vertical desde el punto C hasta el punto D. Los segmentos de recta horizontal y vertical se intersecan en (6, 3), por lo que el par ordenado del punto D es (6, 3).
Diferenciación: Apoyo
Considere pedir a sus estudiantes que usen una herramienta de borde recto para trazar una recta horizontal que pase por el punto A y una recta vertical que pase por el punto C. El lugar donde las rectas horizontal y vertical se intersecan es la ubicación del punto D.
¿Cómo pueden usar lo que saben acerca de las longitudes de los lados de los rectángulos para determinar el par ordenado del punto D?
Sé que los lados opuestos de los rectángulos tienen la misma longitud. Si el punto C está 4 unidades a la derecha del punto B, el punto D tiene que estar 4 unidades a la derecha del punto A, que es (6, 3).
¿Cómo pueden usar la simetría para determinar el par ordenado del punto D?
Sé que este rectángulo tiene un eje de simetría vertical que pasa por el punto medio del BC . Como el punto A tiene una coordenada y de 3 y está 2 unidades a la izquierda del eje de simetría, el punto D tiene que tener una coordenada y de 3 y estar 2 unidades a la derecha del eje de simetría. Está en (6, 3).
Invite a sus estudiantes a compartir el par ordenado que eligieron para la parte (d).
¿Qué tienen en común todos los puntos que están en el CD ?
Todos los puntos tienen una coordenada x de 6.
¿Qué tienen en común todos los puntos que están en el AD ? ¿Cómo lo saben?
Todos los puntos tienen una coordenada y de 3. Como el AD es un segmento de recta horizontal que está 3 unidades por encima del eje x, sé que todos los pares ordenados en el segmento de recta tienen una coordenada y de 3.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los métodos que pueden usar para determinar la ubicación del cuarto vértice de un rectángulo en el plano de coordenadas si saben la ubicación de los otros tres vértices.
Determinar
las ubicaciones de dos vértices desconocidos
Materiales: E) Vértices de rectángulos, herramienta de borde recto
La clase determina los pares ordenados de dos vértices de un rectángulo cuando se dan los pares ordenados de otros dos vértices.
Pida a sus estudiantes que retiren las hojas extraíbles de Vértices de rectángulos de sus libros y que vayan a la parte A.
Comencemos la parte A de Vértices de rectángulos. En el plano de coordenadas de la parte A, marquen dos puntos cualesquiera que estén sobre líneas de la cuadrícula que se intersequen y que no se ubiquen en la misma recta horizontal o vertical. Escriban el par ordenado de cada punto al lado de ese punto. DUA: Representación
Considere dibujar o exhibir un diagrama para mostrar de qué manera un eje de simetría puede ser una herramienta útil para determinar las ubicaciones de los vértices.
Por ejemplo, en esta gráfica, resalte que la distancia desde el punto A hasta el eje de simetría es igual a la distancia desde el punto D hasta el eje de simetría.
Cuando terminen, intercambien los papeles con sus parejas. Sus parejas marcaron dos vértices opuestos de un rectángulo. Determinen las ubicaciones de los otros dos vértices. Marquen los puntos, dibujen el rectángulo y escriban el par ordenado de cada vértice al lado de ese vértice.
Dé uno o dos minutos a la clase para que complete la parte A. Luego, pídales que se reúnan y conversen en parejas para comprobar mutuamente sus trabajos y compartir los métodos que usaron para determinar los pares ordenados de los dos vértices desconocidos.
Mientras hace la siguiente pregunta, dibuje los métodos que comparten sus estudiantes o invite a alguien a dibujarlos para que los vea toda la clase.
¿Cómo determinaron las ubicaciones de los otros dos vértices cuando se dan dos vértices de esquinas opuestas de un rectángulo?
Conté la distancia horizontal y vertical entre los puntos. Conté la distancia horizontal desde el punto a la izquierda y ubiqué un vértice allí. Luego, conté la distancia vertical desde el punto a la izquierda y ubiqué el otro vértice allí.
Dibujé una recta horizontal y una recta vertical que pasaran por cada uno de los vértices dados. Las rectas se intersecan en los otros dos vértices.
Comencé en el vértice izquierdo de abajo, me moví hacia la derecha hasta quedar directamente debajo del vértice derecho y marqué un punto allí. Luego, comencé en el vértice derecho de arriba, me moví hacia la izquierda hasta quedar directamente arriba del vértice izquierdo y marqué un punto allí.
¿Cómo pueden comprobar sus trabajos para asegurarse de haber elegido las ubicaciones correctas para los dos vértices?
Puedo comprobar que todos los lados del rectángulo sean horizontales o verticales.
Puedo comprobar que los 4 ángulos de la figura sean ángulos rectos.
Puedo comprobar que los lados opuestos tengan la misma longitud.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige y comenta los métodos de uso de rectas paralelas y perpendiculares, de las longitudes de los lados y de la simetría para determinar las ubicaciones de los vértices de rectángulos cuando solo se dan algunos de los vértices.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué métodos pueden ser útiles para hallar el vértice del rectángulo?
• ¿Por qué eligieron usar las longitudes de los lados del rectángulo? ¿Funcionó bien?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si había más de una solución. Es decir, cuando se dieron dos vértices en esquinas opuestas, ¿hubiera sido posible dibujar los otros dos vértices en más de una ubicación?
Observen la parte B de Vértices de rectángulos. En el plano de coordenadas de la parte B, marquen dos puntos cualesquiera en el plano de coordenadas que se ubiquen en la misma recta vertical.
Cuando terminen, intercambien los papeles con sus parejas. Sus parejas marcaron dos vértices de un rectángulo. Determinen las ubicaciones de los otros dos vértices. Marquen los puntos, dibujen el rectángulo y escriban el par ordenado de cada vértice al lado de ese vértice.
Dé uno o dos minutos a la clase para que complete la parte B. Luego, pídales que se reúnan y conversen en parejas para comprobar mutuamente sus trabajos y compartir los métodos que usaron para determinar los pares ordenados de los otros dos vértices.
¿En qué se diferencia su razonamiento cuando se dan dos vértices que están en la misma recta vertical de cuando se dan vértices opuestos?
Cuando sabemos los vértices que están en esquinas opuestas, la longitud y el ancho son las distancias vertical y horizontal entre los puntos. Cuando sabemos los vértices que están en la misma recta vertical, solo sabemos una longitud de lado, y tenemos que elegir la otra.
Cuando sé los vértices que están en la misma recta vertical, hay más de un rectángulo posible para dibujar. Cuando sé los vértices que están en esquinas opuestas, solo puedo dibujar un rectángulo.
¿Cuántos rectángulos posibles pueden crear cuando se dan dos vértices en la misma recta vertical? Expliquen.
Puedo crear un número infinito de rectángulos. Puedo dibujar el rectángulo a la izquierda o a la derecha de los dos vértices que sé. Puedo hacer el rectángulo tan ancho como desee.
Observen la parte C de Vértices de rectángulos. En el plano de coordenadas de la parte C, marquen dos puntos cualesquiera en el plano de coordenadas que se ubiquen en la misma recta horizontal. Luego, escriban cualquier número entre 1 y 5 en la recta proporcionada.
Cuando terminen, intercambien los papeles con sus parejas. Sus parejas marcaron dos vértices de un rectángulo. El número que eligieron sus parejas representa la altura del rectángulo. Determinen las ubicaciones de los otros dos vértices. Marquen los puntos, dibujen el rectángulo y escriban el par ordenado de cada vértice al lado de ese vértice.
Diferenciación: Desafío
Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, considere hacer la siguiente pregunta.
Un rectángulo tiene un vértice en (8, 6). Si el ancho del rectángulo es 2 3 de su longitud, ¿cuáles son los pares ordenados posibles de los otros tres vértices?
DUA: Representación
Considere mostrar algunos de los distintos rectángulos que sus estudiantes podrían dibujar cuando se dan dos vértices que se ubican en la misma recta vertical.
Dé uno o dos minutos a la clase para que complete la parte C. Luego, pídales que se reúnan y conversen en parejas para comprobar mutuamente sus trabajos y compartir los métodos que usaron para determinar los pares ordenados de los dos vértices desconocidos. Haga la siguiente pregunta e invite a sus estudiantes a dibujar su razonamiento para que lo vea toda la clase.
En la parte C, tenían la longitud de los lados verticales del rectángulo. ¿Cómo determinaron esas medidas el número de rectángulos que podían dibujar? Expliquen.
Podía dibujar dos rectángulos, uno arriba de los dos puntos que marcaron y uno debajo.
Solo podía dibujar un rectángulo. No tenía espacio suficiente para dibujar el rectángulo debajo de los dos puntos que marcaron, así que tuve que dibujar el rectángulo arriba de los dos puntos que marcaron.
Pida a sus estudiantes que vayan a la parte D de Vértices de rectángulos. Lea el problema en voz alta. Pida a sus estudiantes que completen la parte D en parejas.
Cuando hayan terminado, muestre el plano de coordenadas de la parte D.
Invite a sus estudiantes a compartir los pares ordenados de los puntos que podrían ser vértices del rectángulo. Registre los pares ordenados a medida que la clase comparte.
)
¿Qué tienen en común los pares ordenados de los puntos que podrían ser vértices del rectángulo?
Todos tienen una coordenada y de 2 o 7.
¿Cómo saben que los otros vértices del rectángulo tienen que tener una coordenada y de 2 o 7?
Los dos vértices que se muestran tienen coordenadas y de 2 y 7. Los segmentos de recta horizontales conectan los dos vértices que se muestran con los dos vértices que no sabemos, y los puntos que están en rectas horizontales tienen las mismas coordenadas y, por lo que uno de los otros vértices tiene que tener una coordenada y de 2, y el otro, una coordenada y de 7.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los métodos que pueden usar para determinar las ubicaciones de los dos vértices desconocidos de un rectángulo en el plano de coordenadas si saben las ubicaciones de los otros tres vértices.
Usar las longitudes de los lados para determinar las ubicaciones de vértices
La clase determina los pares ordenados de dos vértices de un rectángulo cuando se da información acerca de las longitudes de los lados.
Pida a sus estudiantes que vayan a la parte E de Vértices de rectángulos. Lea el enunciado del problema en voz alta.
Pida a sus estudiantes que usen la información proporcionada para dibujar un lado del rectángulo.
Invite a sus estudiantes a intercambiar papeles con sus parejas. Pídales que dibujen otro lado del rectángulo en el papel de sus parejas. Luego, pídales que continúen intercambiando papeles y dibujando lados de los rectángulos hasta que los rectángulos estén completos.
Pida a las parejas que confirmen que los dos rectángulos son correctos. Cada rectángulo debería tener un vértice de (4, 4), una longitud de 5 unidades y un ancho de 3 unidades.
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a quienes necesiten un desafío adicional que dibujen tantos rectángulos como puedan con una longitud de 5 unidades, un ancho de 3 unidades y un vértice en (7, 7).
Pídales que identifiquen cualquier eje de simetría en la figura resultante que está compuesta de ocho rectángulos, cada uno con una longitud de 5 unidades y un ancho de 3 unidades.
Ejemplo:
Invite a sus estudiantes a compartir si tienen el mismo rectángulo que sus parejas.
¿Por qué tendrían rectángulos diferentes a los de sus parejas en la parte E?
Elegimos dibujar los primeros lados de formas diferentes.
¿Cuántos rectángulos diferentes con una longitud de 5 unidades y un ancho de 3 unidades se podrían dibujar si (4, 4) no tuviera que ser uno de los vértices? Expliquen.
Podría haber dibujado un número infinito de rectángulos porque podría haberlos dibujado en cualquier parte del plano de coordenadas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas matemáticos con rectángulos en el plano de coordenadas
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de la resolución de problemas matemáticos con rectángulos en el plano de coordenadas usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Qué métodos pueden usar para ubicar las posibles ubicaciones de los vértices de un rectángulo en el plano de coordenadas? ¿Por qué funcionan estos métodos?
Puedo usar la simetría porque sé que un rectángulo tiene 2 ejes de simetría.
Puedo usar las longitudes de los lados porque sé que los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud.
Puedo trazar rectas verticales y horizontales a partir de vértices dados para determinar las ubicaciones de los otros vértices, porque los rectángulos que dibujamos en el plano de coordenadas tienen lados horizontales y verticales.
Den un ejemplo de cuando usaron uno de estos métodos en el Grupo de problemas.
En el problema 2, determiné la coordenada del cuarto vértice contando 4 unidades hacia la derecha desde el punto de arriba a la izquierda porque el otro lado horizontal tiene una longitud de 4 unidades.
En el problema 3, tracé rectas horizontales y verticales desde los puntos A y C. Las ubicaciones de los otros dos vértices están en el lugar donde las rectas horizontales y verticales se intersecan.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Parte A: Marca dos puntos cualesquiera en el plano de coordenadas que no se ubiquen en la misma recta horizontal o vertical.
Ejemplo:
Parte C: Marca dos puntos cualesquiera en el plano de coordenadas que se ubiquen en la misma recta horizontal.
Escribe un número entre 1 y 5: 4
Ejemplo:
Parte B: Marca dos puntos cualesquiera en el plano de coordenadas que se ubiquen en la misma recta vertical.
Ejemplo:
Parte D: El segmento que se muestra es un lado de un rectángulo. Encierra en un círculo el par ordenado de cualquier punto que podría ser un vértice del rectángulo.
Parte
Ejemplo:
1. El rectángulo MNOP se muestra en el plano de coordenadas. 012346857910
a. Encierra en un círculo los pares ordenados de los vértices del rectángulo MNOP.
b. Los puntos M y N tienen la misma coordenada y porque están en la misma recta horizontal.
c. Los puntos N y O tienen la misma coordenada x porque están en la misma recta vertical.
2. Los puntos R, S y T son tres de los vértices de un rectángulo. Marca el cuarto vértice del rectángulo. Marca el punto U y escribe su par ordenado al lado del punto.
La clase trabaja en parejas para determinar los perímetros y las áreas de rectángulos representados gráficamente en el plano de coordenadas. Comparan métodos para hacer estos cálculos cuando los intervalos del eje no son 1. Al interpretar escalas, usar la cuadrícula y calcular distancias, usan la estructura del plano de coordenadas para resolver problemas matemáticos.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos hallar el perímetro de un rectángulo representado gráficamente en el plano de coordenadas?
• ¿Cómo podemos hallar el área de un rectángulo representado gráficamente en el plano de coordenadas?
Criterios de logro académico
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
5.Mód5.CLA3 Hallan el área de rectángulos y figuras compuestas de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias o en números mixtos. (5.NF.B.4.b)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Perímetros de rectángulos en el plano de coordenadas
• Áreas de rectángulos en el plano de coordenadas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• papel (4 hojas)
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
Prepare cuatro afiches en papel: uno con la secuencia de letras B, A, C ; uno con B, C, A; uno con C, B, A y uno con C, A, B. Cuélguelos en distintos lugares del salón de clases.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros de varios dígitos
La clase multiplica un número de tres dígitos por un número de tres dígitos para adquirir fluidez con la multiplicación de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional.
Muestre 514 × 273 = .
Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical.
Repita el proceso con el siguiente problema: 406 × 384 = 155,904.
Respuesta a coro: Calcular el área y el perímetro
La clase calcula el área y el perímetro de un rectángulo como preparación para usar el plano de coordenadas para razonar acerca del área y el perímetro de rectángulos.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el rectángulo de 1 unidad por 3 unidades.
El área de cada cuadrado pequeño es 1 unidad cuadrada.
La clase determina las longitudes de segmentos de recta representados gráficamente en planos de coordenadas con diferentes escalas.
Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes a los afiches colgados en el salón de clases con las letras A, B y C en distintos órdenes.
Muestre las gráficas de los segmentos de recta.
Segmento de recta A Segmento de recta B Segmento de recta C
Invite a sus estudiantes a que ordenen mentalmente los segmentos de recta del más corto al más largo y se pongan de pie junto al afiche que mejor describa su razonamiento.
Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 1 minuto para que los grupos comenten por qué lo eligieron. Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección. Anime a quienes cambien de opinión durante la conversación a unirse a otro grupo.
De ser necesario, confirme que la lista de segmentos de recta del más corto al más largo es C, A, B. Pida a sus estudiantes que regresen a sus asientos. Reflexione con toda la clase acerca de cómo determinar las longitudes de segmentos de recta en el plano de coordenadas.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando comenta las longitudes de los segmentos de recta en planos de coordenadas con diferentes escalas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Por qué funciona su método? Convenzan a su pareja de trabajo.
• ¿Qué preguntas pueden hacer a su pareja de trabajo acerca de por qué piensan que su método es correcto?
• ¿Este segmento es el más largo? ¿Cómo lo saben?
El segmento de recta C no parece ser el más corto. ¿Cómo determinaron la longitud del segmento de recta C?
Sabía que cada línea de la cuadrícula representa 1 2 unidad, así que conté de un medio en un medio desde el extremo izquierdo hasta el extremo derecho para obtener una longitud de 5 1 2 unidades.
Determiné que las coordenadas x de los extremos del segmento C son 1 2 y 6. Sabía que la longitud del segmento C es 5 1 2 unidades porque 6 − 1 2 = 5 1 2
Sabía que las coordenadas y de los extremos son iguales porque el segmento C es horizontal. Resté las coordenadas x de los extremos para determinar la longitud del segmento C.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a usar longitudes de segmentos de recta para determinar los perímetros y las áreas de rectángulos en el plano de coordenadas.
Aprender
Perímetros de rectángulos en el plano de coordenadas
La clase determina el perímetro de rectángulos representados gráficamente en el plano de coordenadas.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea las instrucciones en voz alta. Forme parejas de estudiantes y pídales que completen el problema 1. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y haga las siguientes preguntas:
• ¿Cómo se puede determinar el perímetro de un rectángulo?
• ¿Cuál es la longitud del lado horizontal? ¿Cómo lo saben?
• ¿Cuál es la longitud del lado vertical? ¿Cómo lo saben?
1. Determina el perímetro del rectángulo ABCD.
2
5
20 unidades
Cuando sus estudiantes hayan terminado, muestre la gráfica del problema 1.
Invite a sus estudiantes a compartir los métodos que usaron para determinar el perímetro. Mientras comparten sus métodos, siga el razonamiento con el dedo en la gráfica que se muestra.
Determiné que cada cuadrado en la cuadrícula tiene una longitud de 1 unidad. Comencé en un vértice y conté todo el contorno.
Determiné que cada cuadrado en la cuadrícula tiene una longitud de 1 unidad. Conté para determinar la longitud, conté para determinar el ancho y, luego, sumé dos anchos y dos longitudes.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Anime a sus estudiantes a usar diagramas y gestos mientras explican su razonamiento acerca del área y perímetro. Por ejemplo, sus estudiantes pueden señalar el vértice inicial y contar cada línea de la cuadrícula mientras desplazan el dedo alrededor del contorno de la figura para mostrar el perímetro.
Sabía que la coordenada x del punto A es igual a la coordenada x del punto D porque el AD es vertical. Determiné que la longitud del AD , o la longitud del rectángulo, es 7 unidades, porque 8 − 1 = 7. Sabía que la coordenada y del punto A es igual a la coordenada y del punto B porque el AB es horizontal. Determiné que la longitud del AB es 3 unidades porque 5 − 2 = 3. Sumé 7 y 3 y multipliqué la suma por 2 para determinar el perímetro.
Invite a la clase a completar el problema 2 con sus parejas. Anime a sus estudiantes a calcular el perímetro con un método diferente al que usaron en el problema 1.
2. Determina el perímetro del rectángulo EFGH.
Diferenciación: Apoyo
Anime a quienes necesiten apoyo adicional para determinar las longitudes de los lados cuando el intervalo no es 1 a contar salteado usando el intervalo del eje de un vértice al otro. Por ejemplo, en el problema 2, sus estudiantes pueden comenzar en el punto E y contar 5, 10, 15 para llegar al punto F.
100 unidades
Cuando sus estudiantes hayan terminado, muestre los rectángulos ABCD y EFGH.
Los rectángulos ABCD y EFGH tienen la misma forma. Los dos tienen un ancho de 3 líneas de la cuadrícula y una longitud de 7 líneas de la cuadrícula. ¿Por qué estos dos rectángulos no tienen el mismo perímetro?
Los ejes de las dos gráficas tienen escalas diferentes. La distancia entre cada línea de la cuadrícula en el rectángulo ABCD es 1 unidad, y la distancia entre cada línea de la cuadrícula en el rectángulo EFGH es 5 unidades.
¿Cómo podemos comparar el perímetro del rectángulo ABCD y el perímetro del rectángulo EFGH? Usen la palabra veces en sus respuestas.
El perímetro del rectángulo EFGH es 5 veces el perímetro del rectángulo ABCD.
¿Cómo podemos comparar la longitud del intervalo de los ejes del plano de coordenadas con el rectángulo ABCD y la longitud del intervalo de los ejes del plano de coordenadas con el rectángulo EFGH? Usen la palabra veces en sus respuestas.
La longitud del intervalo de los ejes del plano de coordenadas con el rectángulo EFGH es 5 veces la longitud del intervalo de los ejes del plano de coordenadas con el rectángulo ABCD.
La longitud del intervalo de los ejes del plano de coordenadas con el rectángulo EFGH es 5 veces la longitud del intervalo de los ejes del plano de coordenadas con el rectángulo ABCD. La longitud de cada lado de EFGH es 5 veces la longitud del lado correspondiente de ABCD. El perímetro de EFGH también es 5 veces el perímetro de ABCD.
¿Cómo les ayudó la estructura del plano de coordenadas a determinar los perímetros de estos rectángulos?
Usé los intervalos de los ejes para determinar las longitudes y los anchos de los rectángulos.
Usé la cuadrícula para determinar las longitudes y los anchos de los rectángulos.
Usé las coordenadas de los vértices para determinar las longitudes y los anchos de los rectángulos.
¿En qué se diferencian determinar el perímetro de un rectángulo representado gráficamente en el plano de coordenadas y determinar el perímetro de un rectángulo que no está representado gráficamente en el plano de coordenadas?
Para determinar el perímetro de un rectángulo en el plano de coordenadas, debo usar las líneas de la cuadrícula o las coordenadas de los vértices para así determinar la longitud y el ancho del rectángulo. Luego, puedo determinar su perímetro. Para determinar el perímetro de un rectángulo que no está representado gráficamente en el plano de coordenadas, su longitud y ancho deberían estar dados, o debería medirlos.
Invite a la clase a completar el problema 3 con sus parejas. Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja y haga las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es la longitud del MN ?
• Si el perímetro es 16 unidades, ¿cómo pueden determinar la longitud de los segmentos de recta verticales de su rectángulo?
• ¿Dónde pueden dibujar los segmentos de recta verticales?
3. La gráfica muestra un lado del rectángulo MNPQ.
Ejemplo: 01234678 5 1 2 3 4 5 6 7 8 y
a. El rectángulo MNPQ tiene un perímetro de 16 unidades. Marca los puntos P y Q.
b. ¿Cuáles son los pares ordenados de los puntos P y Q?
Ejemplo: P(6, 1) y Q(1 1 2 , 1)
Cuando hayan terminado, invite a las parejas a compartir sus rectángulos con otra pareja.
¿Crearon el mismo rectángulo que la otra pareja? De no ser así, expliquen en qué se diferencian sus rectángulos.
Sí. Nuestros rectángulos son iguales.
No. Marcamos los puntos P y Q debajo del MN y la otra pareja marcó los puntos P y Q arriba del MN .
Diferenciación: Apoyo
Para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional con el problema 3, considere proporcionar el segmento de recta MN con una longitud en número entero en un plano de coordenadas con intervalos de los ejes de 1.
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a quienes necesiten un desafío adicional que determinen las coordenadas de los puntos P y Q si el perímetro del rectángulo es 17 1 2 unidades.
¿Cuántos rectángulos diferentes son posibles para MNPQ? ¿Por qué?
Solo hay 2 rectángulos diferentes posibles para MNPQ. El QP debe tener la misma longitud que el MN y debe ser paralelo a él. Los lados MQ y NP deben tener una longitud de 3 1 2 unidades, así
que el QP tiene que estar exactamente 3 1 2 unidades arriba o 3 1 2 unidades debajo del MN .
¿Cómo determinaron dónde marcar los puntos P y Q?
El MN y su lado opuesto tendrán una longitud de 4 1 2 unidades, o un total de 9 unidades. Como el perímetro de todo el rectángulo es 16 y 16 − 9 = 7, la suma de las longitudes de los lados MQ y NP es 7. Sé que 1 2 de 7 es 3 1 2 , así que los lados MQ y NP tienen que tener una longitud de
3 1 2 unidades cada uno. Marqué el punto Q 3 1 2 unidades debajo del punto M y el punto P
3 1 2 unidades debajo del punto N.
Determiné la longitud del MN restando 1 1 2 de 6 para obtener 4 1 2 . La suma de la longitud y el ancho del rectángulo es la mitad del perímetro, u 8. Determiné que la distancia del punto M al punto Q es 3 1 _ 2 unidades porque 8 − 4 1 _ 2 = 3 1 _ 2 . Marqué el punto Q 3 1 _ 2 unidades debajo del punto M y el punto P 3 1 2 unidades debajo del punto N.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre hallar el perímetro de un rectángulo en el plano de coordenadas y hallar el perímetro de un rectángulo que no está en el plano de coordenadas.
Áreas de rectángulos en el plano de coordenadas
La clase determina las áreas de rectángulos representados gráficamente en el plano de coordenadas.
Muestre un rectángulo con longitudes de los lados de 8 unidades y 4 unidades.
¿Cuál es el área del rectángulo?
¿Cómo lo saben?
El área es 32 unidades cuadradas. Lo sé porque 8 × 4 = 32. 8unidades
4unidades
DUA: Representación
Pedir a sus estudiantes que determinen el área de este rectángulo activa los conocimientos previos antes de que determinen las áreas de rectángulos en el plano de coordenadas.
Muestre el rectángulo MNOP.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué método usarían para hallar el área del rectángulo MNOP y en qué se diferencia ese método del que usaron para el rectángulo con longitudes de los lados de 8 unidades y 4 unidades.
Determinaría la longitud y el ancho y multiplicaría esos números entre sí. Para el otro rectángulo, ya sabía las longitudes de los lados, así que solo tuve que multiplicar.
El plano de coordenadas nos puede ayudar a determinar qué información necesitamos para hallar el área de un rectángulo, como la longitud y el ancho.
En el problema 4, trabajarán en parejas para determinar cuáles de los rectángulos representados gráficamente en el plano de coordenadas tienen un área dada.
Pida a sus estudiantes que completen el problema 4 en parejas.
Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja y haga las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es la longitud del intervalo en el eje x?
• ¿Cuál es la longitud del intervalo en el eje y?
• ¿Cómo pueden determinar la longitud de este lado del rectángulo?
• ¿Cuál es el área de cada cuadrado en la cuadrícula? ¿Cómo lo saben?
Nota para la enseñanza
Es esperable que parte de la clase determine el número de cuadrados, 63, y lo multiplique por el área de cada cuadrado, 1 4 , para hallar el área del rectángulo, como hicieron en el tema B del módulo 5.
4. Encierra en un círculo todos los rectángulos que tengan un área de 36 unidades cuadradas.
Cuando sus estudiantes hayan terminado, muestre todos los rectángulos, uno a la vez.
Considere hacer las siguientes preguntas mientras comentan el área de cada rectángulo.
• ¿El área de este rectángulo es 36 unidades cuadradas? ¿Cómo lo saben?
• ¿Cuál es la longitud del intervalo en el eje x?
• ¿Cuál es la longitud del intervalo en el eje y?
• ¿Cuál es la longitud de este rectángulo?
• ¿Cuál es el ancho de este rectángulo?
En el problema 4, cinco de los seis rectángulos tienen un área de 36 unidades cuadradas, aunque parecen ser diferentes. ¿Qué es importante tener en cuenta cuando trabajan con figuras geométricas en el plano de coordenadas?
Es importante determinar las escalas de los dos ejes.
Es importante no asumir que la longitud del intervalo en un eje es 1 unidad.
Es importante no asumir que cada cuadrado en la cuadrícula tiene un área de 1 unidad cuadrada.
Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema 5. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y haga las siguientes preguntas:
• ¿Cómo pueden determinar las coordenadas de los otros dos vértices del rectángulo?
• ¿Cómo pueden determinar la longitud del rectángulo?
• ¿Cómo pueden determinar el ancho del rectángulo?
• ¿Cómo pueden usar la longitud y el ancho para determinar el perímetro del rectángulo?
• ¿Cómo pueden usar la longitud y el ancho para determinar el área del rectángulo?
5. Usa el plano de coordenadas para responder las partes (a) a (e).
Diferenciación: Apoyo
Para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional con el problema 5, considere proporcionar un punto marcado en el plano de coordenadas con longitudes de los intervalos de 1
a. Marca y rotula los puntos S(1 2 , 3) y U(7, 8 1 2 ).
b. Los puntos S y U son dos vértices de un rectángulo. Ubica, marca y rotula los otros dos vértices del rectángulo, los puntos T y V. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos T y V ?
(7, 3) y (1 2 , 8 1 2 )
c. ¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo STUV ?
6 1 2 unidades y 5 1 2 unidades
d. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo STUV ?
24 unidades
e. ¿Cuál es el área del rectángulo STUV ?
35 3 _ 4 unidades cuadradas
Cuando la clase haya terminado, haga las siguientes preguntas.
El área del rectángulo STUV es 35 3 _ 4 unidades cuadradas, pero en la imagen se ve como un número entero de cuadrados en la cuadrícula. ¿Cómo es eso posible?
No todos los cuadrados en la cuadrícula tienen un área de 1 unidad cuadrada.
¿Cuál es el área de cada cuadrado en la cuadrícula? ¿Cómo lo saben?
El área de cada cuadrado en la cuadrícula es 1 4 de unidad cuadrada porque la longitud de cada cuadrado es 1 2 unidad y el ancho de cada cuadrado es 1 2 unidad, y 1 2 × 1 2 = 1
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre hallar el área de un rectángulo en el plano de coordenadas y hallar el área de un rectángulo que no está en el plano de coordenadas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Usar el plano de coordenadas para razonar acerca de perímetros y áreas de rectángulos
Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo determinar perímetros y áreas de rectángulos en el plano de coordenadas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Cómo podemos hallar el perímetro de un rectángulo representado gráficamente en el plano de coordenadas?
Determinamos la longitud del intervalo en cada eje. Usamos la longitud del intervalo para determinar la longitud y el ancho de cada lado del rectángulo. Sumamos dos longitudes y dos anchos para obtener el perímetro.
¿Cómo podemos hallar el área de un rectángulo representado gráficamente en el plano de coordenadas?
Determinamos la longitud del intervalo en cada eje. Usamos la longitud del intervalo para determinar la longitud y el ancho de cada lado del rectángulo. Multiplicamos la longitud por el ancho para obtener el área.
¿En qué se parece determinar el área de un rectángulo representado gráficamente en el plano de coordenadas a determinar el área de un rectángulo que no está representado gráficamente en el plano de coordenadas? ¿En qué se diferencia?
En los dos casos, podemos multiplicar la longitud por el ancho para determinar el área del rectángulo. En el plano de coordenadas, usamos los pares ordenados y las longitudes de los intervalos para determinar la longitud y el ancho del rectángulo. Si el rectángulo no está representado gráficamente en el plano de coordenadas, su longitud y ancho tendrían que estar dados o tendríamos que medirlos. En el plano de coordenadas, también podemos determinar el área de un cuadrado unitario y multiplicar esa área por el número de cuadrados unitarios que hay en el rectángulo.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. La gráfica muestra el rectángulo MNOP
a. La longitud del MP es 4 unidades.
b. La longitud del PO es 9 unidades.
c. La longitud del ON es 4 unidades.
d. La longitud del NM es 9 unidades.
e. El perímetro del rectángulo MNOP es 26 unidades.
2. El rectángulo EFGH y el rectángulo HIJK están representados gráficamente en los planos de coordenadas que se muestran.
3. Usa el plano de coordenadas para completar las partes (a) a (c).
a. Marca los puntos E(2 1 2 , 2), F(8, 2), G(8, 6 1 2 ) y H(2 1 2 , 6 1 2 ) Usa una herramienta de borde recto para conectar los puntos y crear el rectángulo EFGH
b. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo EFGH? 20 unidades
c. ¿Cuál es el área del rectángulo EFGH? 24 3 4 unidades cuadradas
4. La gráfica muestra un lado del rectángulo QRST
a. El rectángulo QRST tiene un área de 45 unidades cuadradas. Marca y rotula los puntos S y T
b. Dibuja el rectángulo QRST.
c. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo QRST? 28 unidades
a. La longitud del intervalo de los ejes del plano de coordenadas con el rectángulo HIJK es 10 veces la longitud del intervalo de los ejes del plano de coordenadas con el rectángulo EFGH
b. ¿Qué rectángulo tiene un perímetro mayor?
rectángulo HIJK
5. Mara dice que el perímetro del rectángulo WXYZ es 38 unidades. Adesh dice que el perímetro del rectángulo WXYZ es 19 unidades. ¿Quién está en lo correcto? Explica. Adesh está en lo correcto. La longitud del rectángulo es 6 1 2 unidades y el ancho del rectángulo es 3 unidades. El perímetro es 6 1 2 + 6 1 2 + 3 + 3 = 19
Tema D Resolver problemas del mundo real con el plano de coordenadas
En los temas A, B y C, la clase construye y usa planos de coordenadas para resolver diferentes tipos de problemas matemáticos. Generan patrones de números, identifican relaciones entre términos correspondientes, usan gráficas para analizar las relaciones en un patrón y entre distintos patrones y usan el plano de coordenadas como una herramienta para representar gráficamente polígonos. En el tema D, sus estudiantes desarrollan esta comprensión al usar el plano de coordenadas para contar historias sobre datos y relaciones.
Al inicio del tema, usan el plano de coordenadas como herramienta para representar datos. Basándose en su experiencia previa con gráficas de barras, aprenden a interpretar datos representados por puntos marcados en el plano de coordenadas. Identifican las coordenadas de los puntos, interpretan los significados de las coordenadas x y y en el mundo real y marcan puntos, comparando sus gráficas de barras con los puntos marcados en el plano. Sus estudiantes se dan cuenta de que hay datos que no se representan de manera clara con una gráfica de barras, pero sí se pueden representar en el plano de coordenadas. Marcan datos que recopilan durante la lección en el plano de coordenadas y, luego, usan la gráfica para analizar relaciones y sacar conclusiones.
Luego, la clase aprende acerca de un nuevo uso del plano de coordenadas como una gráfica lineal. Interpretan el significado tanto de los puntos como de los segmentos de recta en una gráfica lineal que representa datos del mundo real. Saben que los puntos representan datos y que los segmentos de recta muestran tendencias. En distintas situaciones del mundo real, cada estudiante interpreta el significado de segmentos de recta que van hacia arriba, segmentos de recta que van hacia abajo y segmentos de recta horizontales.
La lección 19 es opcional y brinda a sus estudiantes la oportunidad de aplicar su comprensión de las relaciones entre términos correspondientes de dos patrones de números al analizar patrones visuales. Exploran casos en los que la relación entre dos patrones no se puede representar con una gráfica donde los puntos parecen ubicarse en una recta. Explican por qué las representaciones visuales, las tablas y las gráficas son herramientas útiles para representar y comparar patrones de números.
Como conclusión del módulo, la clase participa en una tarea de resolver un problema del mundo real. Miran un video, hacen preguntas y recopilan los datos que necesitan para responder las preguntas de enfoque. En grupos, crean un plan y resuelven el problema. Luego, comentan los diferentes métodos que usaron otros grupos.
La clase continúa desarrollando su trabajo con el plano de coordenadas y los patrones de números en 6.o grado, cuando usan los cuatro cuadrantes para resolver problemas matemáticos y del mundo real, y en grados posteriores, cuando representan gráficamente relaciones lineales y construyen e interpretan diagramas de dispersión.
Progresión de las lecciones
Lección 16
Interpretar gráficas que representan situaciones del mundo real
Práctica de piano de Mara
y x Día Número de minutos de práctica de piano
Sé que el plano de coordenadas es una herramienta para representar datos. Puedo usar el plano de coordenadas para identificar coordenadas de puntos, para interpretar el significado de las coordenadas x y y en el mundo real, y para marcar puntos.
Lección 17
Marcar datos en el plano de coordenadas y analizar relaciones
Datos de la clase
Puntuación de la mano izquierda
05101520304025354550
Puntuación de la mano derecha
Puedo recopilar datos, formar pares ordenados y representar los datos como puntos marcados en el plano de coordenadas. Puedo sacar conclusiones sobre los datos en base a las ubicaciones de los puntos en el plano de coordenadas.
Lección 18
Interpretar gráficas lineales
Peso de Fido
Peso (libras )
y x
0123468579111 102
Edad (meses)
Sé que los puntos en las gráficas lineales representan datos y que los segmentos de recta están ahí solo para mostrar tendencias.
Lección 19
Razonar acerca de los patrones visuales usando tablas y gráficas (opcional)
Lección 20
Razonar acerca de patrones en situaciones del mundo real
Monedas que se colocaron en el frasco cada día
3
Puedo representar patrones visuales como patrones de números y puedo representar patrones de números como patrones visuales. Entiendo que las tablas y las gráficas me ayudan a establecer conexiones entre patrones de números.
01234567891011121314151617181920
Número de dimes
Cuando reconozco patrones de números en una situación del mundo real, puedo usar lo que sé sobre patrones para resolver problemas. Puedo usar distintas estrategias para responder preguntas sobre la situación.
Interpretar gráficas que representan situaciones del mundo real
Vistazo a la lección
Usa la gráfica para completar las partes (a) a (e).
Recorrido en bicicleta de Tyler y x
Número de horas
a. ¿Cuánto tarda Tyler en recorrer las primeras 20 millas?
Tyler tarda 1 hora en recorrer 20 millas.
b. ¿Cuántas millas recorre Tyler en 6 horas?
Tyler recorre 60 millas en 6 horas.
c. ¿Qué significa el punto ubicado en (4, 40)?
Significa que, después de 4 horas, Tyler recorrió un total de 40 millas.
d. ¿Cuántas millas recorre Tyler entre las horas 2 y 3?
Tyler recorre 10 millas entre las horas 2 y 3.
e. Observa los puntos que representan la distancia total que recorrió Tyler. ¿Por qué estos puntos no parecen estar ubicados en la misma recta?
Tyler no recorrió el mismo número de millas cada hora.
En esta lección se presenta a la clase otra aplicación del plano de coordenadas: la representación de datos. Aprenden que las gráficas pueden contar una historia. A partir de su trabajo anterior con gráficas de barras, usan el plano de coordenadas para representar e interpretar situaciones del mundo real. Identifican coordenadas de puntos, interpretan el significado de las coordenadas x y y en el mundo real y marcan puntos.
Pregunta clave
• ¿Por qué el plano de coordenadas es una herramienta útil para representar situaciones del mundo real?
Criterios de logro académico
5.Mód6.CLA4 Resuelven problemas del mundo real usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• De gráficas de barras a puntos en el plano de coordenadas
• Resolución de problemas con el plano de coordenadas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• papel (4 hojas)
Estudiantes
• Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego A (1 juego por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• notas adhesivas (6 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
• Prepare cuatro afiches con papel y rotúlelos A, B, C y D. Cuelgue los afiches en lugares diferentes del salón de clases.
• Retire las hojas extraíbles de Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego A del libro para estudiantes y recorte las tarjetas. Considere si desea preparar estos materiales con antelación o si los preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Clasificar: Expresiones equivalentes
Materiales: E) Tarjetas de expresiones equivalentes, notas adhesivas
La clase clasifica expresiones equivalentes y dibuja un modelo para representar cada expresión de división a fin de adquirir fluidez con la interpretación de una fracción como una división del módulo 2.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya tarjetas y notas adhesivas a cada una. Pídales que usen el siguiente procedimiento para clasificar las tarjetas:
• Coloquen todas las tarjetas bocarriba.
• Clasifiquen las tarjetas con expresiones equivalentes en una fila. Algunas filas tendrán tres tarjetas, y otras filas tendrán solo dos tarjetas.
• Usen una nota adhesiva para dibujar un modelo que represente la expresión de división y colóquenla al lado de la fila de tarjetas.
• Continúen hasta que hayan clasificado todas las tarjetas.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes pueden dibujar una variedad de modelos para representar la expresión de división, incluidos modelos de área o diagramas de cinta. Fomente el uso de marcadores fluorescentes o lápices de colores como apoyo. Los siguientes son ejemplos de modelos para 2 ÷ 3. 2 2
Contar salteado usando milímetros y metros en la recta numérica
La clase cuenta salteado usando unidades de 500 milímetros y expresa los milímetros como metros como preparación para interpretar gráficas que representan situaciones del mundo real.
Muestre la recta numérica.
Usen la recta numérica para contar hacia delante usando unidades de 500 milímetros hasta 3,000 milímetros. La primera medida que dicen es 0 milímetros. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 mm, 500 mm, 1,000 mm…, 3,000 mm
0mm500mm1,000mm2,000mm1,500mm2,500mm3,000mm
0m500mm1m2m1,500mm2,500mm3m
0m500mm1m2m1m500mm2m500mm3m
Ahora, cuenten nuevamente hacia delante usando unidades de 500 milímetros. Esta vez, expresen cada 1,000 milímetros como un número de metros. La primera medida que dicen es 0 metros. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 m, 500 mm, 1 m…, 3 m
Ahora, cuenten nuevamente hacia delante usando unidades de 500 milímetros. Esta vez, usen unidades mixtas, metros y milímetros, cuando sea posible. La primera medida que dicen es 0 metros. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 m, 500 mm, 1 m, 1 m 500 mm…, 3 m
Presentar
La clase compara una gráfica de barras con una gráfica de puntos en el plano de coordenadas.
Muestre la gráfica de barras y la gráfica de puntos en el plano de coordenadas que muestran el número de minutos que Mara practicó piano cada día durante una semana.
Práctica de piano de
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Gráfica de barras es un término conocido. En grados anteriores, sus estudiantes aprenden que en una gráfica de barras el valor de cada categoría se representa con barras rectangulares. Considere repasar el término con anticipación mostrando una gráfica de barras y pidiendo a sus estudiantes que la definan con sus propias palabras antes de observar y preguntarse acerca de las gráficas. Pregúnteles cuántas barras rectangulares ven en la gráfica y, luego, confirme contando en voz alta con toda la clase mientras usted remarca el contorno de cada una de ellas.
¿Qué observan? ¿Qué se preguntan?
Observo que las dos gráficas muestran la misma información.
Observo que una gráfica tiene puntos marcados en un plano de coordenadas y la otra es una gráfica de barras.
Observo que los ejes x y y tienen diferentes escalas.
Observo que los ejes x y y tienen diferentes rótulos.
Observo que el día 5 Mara no practicó piano.
Me preguntó qué gráfica es más útil.
Me pregunto por qué se muestra esta información con puntos marcados en un plano de coordenadas en lugar de usar una gráfica de barras.
Las gráficas cuentan historias. ¿Qué historia nos cuentan estas dos gráficas?
Las dos gráficas nos muestran cuántos minutos practicó piano Mara cada día durante una semana.
Interpretamos una gráfica de barras según la altura de las barras. Interpretamos una gráfica de puntos usando las coordenadas de los puntos.
¿Qué significa moverse hacia la derecha en las dos gráficas?
Moverse hacia la derecha significa que aumenta el número de días.
¿Qué significa moverse hacia arriba?
Moverse hacia arriba significa que aumenta el número de minutos que Mara practicó piano.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a aprender a interpretar gráficas en el plano de coordenadas que representan situaciones del mundo real.
Aprender
De gráficas de barras a puntos en el plano de coordenadas
La clase interpreta datos que se muestran en una gráfica de barras y como puntos en el plano de coordenadas.
Continúe mostrando las gráficas de la sección Presentar. Señale la barra del día 4 en la gráfica de barras.
¿Cuántos minutos practicó piano Mara el día 4? ¿Cómo lo saben?
Mara practicó durante 30 minutos. Lo sé porque la altura de la barra es 30.
DUA: Representación
Considere usar esta gráfica para mostrar las conexiones entre la gráfica de barras y la gráfica de puntos.
45 Práctica de piano de Mara
Pida a sus estudiantes que observen (4, 30) en la gráfica con puntos.
¿Cuál es el par ordenado de este punto? (4, 30)
¿Cómo podemos interpretar el significado de este punto? ¿Qué nos indica sobre cuántos minutos practicó piano Mara?
Las coordenadas 4 y 30 nos indican que el día 4 Mara practicó piano por 30 minutos.
¿Qué observan acerca de la altura de la barra del día 4 y la coordenada y del par ordenado (4, 30)?
Son iguales. Las dos son 30.
En los dos casos, ¿qué representa el número 30?
El número 30 representa el número de minutos que Mara practicó el día 4.
Si nos movemos hacia abajo desde este punto, intersecamos el eje x en el día 4. Si nos movemos hacia la izquierda desde este punto, intersecamos el eje y en 30 minutos.
Pida a sus estudiantes que completen el problema 1 del libro con su pareja de trabajo.
1. La gráfica muestra el número de minutos que Mara practicó piano cada día durante una semana.
a. ¿Cuántos minutos practicó Mara el día 1?
Mara practicó 20 minutos el día 1.
b. ¿Qué día practicó Mara 10 minutos?
Mara practicó 10 minutos el día 2.
c. ¿Qué día practicó Mara la mayor cantidad de minutos?
Mara practicó la mayor cantidad de minutos el día 6
d. ¿Cuántos minutos más practicó Mara el día 6 que el día 7?
Mara practicó 20 minutos más el día 6 que el día 7
Práctica de piano de Mara
Reúna a la clase cuando hayan terminado. Muestre la gráfica del problema 1.
Para la parte (d), ¿cómo supieron que Mara practicó 20 minutos más el día 6 que el día 7?
Los puntos (6, 40) y (7, 20) representan que Mara practicó 40 minutos el día 6 y 20 minutos el día 7.
Sé que 40 − 20 = 20.
Mara se da cuenta de que cometió un error. El día 3, practicó menos minutos de los que indicó en la gráfica. ¿Cómo cambiará la ubicación del punto para el día 3 cuando corrija su error?
El punto se moverá hacia abajo porque practicó menos de 30 minutos.
¿Es posible que dos puntos en esta gráfica tengan la misma coordenada y, pero diferentes coordenadas x? ¿Por qué?
Sí. Mara puede practicar el mismo número de minutos en dos días diferentes.
¿Es posible que dos puntos en esta gráfica tengan la misma coordenada x, pero diferentes coordenadas y? ¿Por qué?
No. Mara no puede practicar dos números totales de minutos diferentes en un mismo día.
¿Algún punto en la gráfica representa el número total de minutos que Mara practicó piano durante esta semana?
No. Los puntos representan la cantidad de minutos que practicó piano cada día.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué podríamos usar una gráfica con puntos en el plano de coordenadas, en lugar de una gráfica de barras, para mostrar información.
Es más rápido marcar un punto que dibujar una barra.
Podemos usar las coordenadas de un punto para interpretar su significado.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar los rótulos de los ejes para interpretar el significado de las coordenadas.
Diferenciación: Desafío
Considere presentar un desafío adicional pidiendo a sus estudiantes que usen la gráfica del problema 1 para determinar cuántos minutos Mara practicó piano en total durante esa semana.
Resolución
de problemas con el plano de coordenadas
Materiales: M) Afiches
La clase resuelve problemas del mundo real usando coordenadas de puntos.
Muestre las gráficas de las longitudes en milímetros y metros.
(metros)
012345 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 y x Medidas
Longitud (metros)
Longitud (metros)
Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de la clase a los afiches A, B, C y D colgados en el salón de clases.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para analizar qué gráfica creen que muestra correctamente la relación entre las longitudes en metros y en milímetros. Invite a que cada estudiante se ponga de pie junto al afiche que mejor describa su razonamiento.
Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 2 minutos para que los grupos comenten por qué lo eligieron. Luego, pida a cada grupo que comparta las razones de su elección. Anime a quienes cambien de opinión durante la conversación a unirse a otro grupo.
Pida a sus estudiantes que regresen a sus asientos. Reflexione con toda la clase acerca de cómo las gráficas representan relaciones.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando justifica su razonamiento para elegir la gráfica que muestra la relación entre metros y milímetros y cuando escucha y analiza el razonamiento de sus pares.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Es su elección de la gráfica una suposición, o lo saben con certeza? ¿Cómo pueden saberlo con seguridad?
• ¿Qué preguntas pueden hacer a sus pares para asegurarse de que comprenden sus argumentos?
Algunas gráficas, como la C, representan relaciones. ¿Cómo saben que la gráfica C muestra de manera correcta la relación entre las longitudes en metros y las longitudes en milímetros?
Sé que la gráfica C muestra correctamente la relación entre las longitudes porque el punto (1, 1000) representa que una longitud de 1 metro es equivalente a una longitud de 1,000 milímetros, lo que es correcto.
¿Es posible que dos puntos en la gráfica C tengan la misma coordenada x, pero diferentes coordenadas y? ¿Por qué?
No. Si dos puntos tienen la misma coordenada x y diferentes coordenadas y, entonces, esos puntos representarían la misma longitud en metros, pero distintas longitudes en milímetros, lo que no es posible.
¿Es posible que dos puntos en la gráfica C tengan la misma coordenada y, pero diferentes coordenadas x? ¿Por qué?
No. Si dos puntos tienen la misma coordenada y, pero diferentes coordenadas x, entonces, esos puntos representarían la misma longitud en milímetros y diferentes longitudes en metros, lo que no es posible.
Señale el punto (3000, 3) en la gráfica B.
¿Cuáles son las coordenadas de este punto? (3000, 3)
Una longitud de 3,000 milímetros se puede expresar como 3 metros. ¿Por qué esta gráfica no muestra de manera correcta una longitud en metros y en milímetros?
El punto (3000, 3) representa 3,000 metros y 3 milímetros. Las longitudes de 3,000 metros y 3 milímetros no son iguales.
¿Por qué es incorrecta la gráfica A?
Una longitud de 1 metro no es equivalente a una longitud de 100 milímetros.
¿Por qué es incorrecta la gráfica D?
Una longitud de 100 metros no es equivalente a una longitud de 1 milímetro.
Nota para la enseñanza
Cuando una coordenada x o y es un número de cuatro dígitos, no incluya una coma en el número al escribir el par ordenado. Esto evita la confusión sobre qué coma es la que separa las coordenadas x y y.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 de sus libros y lea las instrucciones en voz alta. Muestre la gráfica del viaje por carretera de Kelly.
Las gráficas cuentan historias. ¿Qué historia nos cuenta esta gráfica?
La gráfica nos muestra la distancia total que condujo Kelly a lo largo del tiempo.
La gráfica nos indica que Kelly condujo 150 millas en 4 horas.
Resalte que los puntos en esta gráfica representan la distancia total que condujo Kelly. Marque la diferencia entre, por ejemplo, conducir un total de 135 millas en 3 horas y conducir 135 millas en la hora 3.
Observen los puntos que representan la distancia total que Kelly conduce a lo largo del tiempo. ¿Por qué estos puntos no parecen estar ubicados en la misma recta?
Kelly condujo un número de millas diferente cada hora.
Viaje por carretera de Kelly
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para apoyar el contexto de este problema, inicie una conversación sobre por qué alguien recorrería en auto una distancia larga a fin de que sus estudiantes desarrollen los conocimientos previos. Proporcione o pida ejemplos relevantes que puedan ser de interés o conocidos para sus estudiantes. Por ejemplo, alguien puede realizar un viaje por carretera para disfrutar del follaje otoñal o para visitar sitios de interés nacional.
Invite a sus estudiantes a completar el problema 2 en parejas.
2. La gráfica muestra el número total de millas que condujo Kelly después de un número dado de horas durante un viaje por carretera.
a. ¿Cuántas millas condujo Kelly en la primera hora de su viaje?
Kelly condujo 45 millas.
b. ¿Cuántas horas tardó Kelly en conducir una distancia total de 150 millas?
Kelly tardó 4 horas.
c. ¿Cuántas millas condujo Kelly entre las horas 3 y 4?
Kelly condujo 15 millas.
d. Kelly condujo 180 millas en 5 horas. Marca un punto para representar esta información en la gráfica.
Viaje por carretera de Kelly
Horas
Cuando las parejas hayan terminado, comparta las respuestas para las partes (a) y (b). Luego, haga las siguientes preguntas.
Para la parte (c), ¿cómo determinaron cuántas millas condujo Kelly entre la hora 3 y la hora 4?
Resté 135 de 150 porque después de 3 horas había conducido un total de 135 millas y después de 4 horas había conducido un total de 150 millas.
¿Cuál es el par ordenado del punto que marcaron en la parte (d)?
(5, 180)
Diferenciación: Desafío
Si hay estudiantes que terminan antes el problema 2 o necesitan un desafío adicional, considere presentar la siguiente actividad:
Los pares ordenados (2, 30), (4, 50), (7, 90) y (12, 150) representan una situación del mundo real. Determinen qué situación se puede representar con ellos. Creen una gráfica con ejes rotulados para representar la situación.
¿En qué se diferenciarían las coordenadas de su punto para la parte (d) si Kelly hubiera conducido más de 180 millas en 5 horas?
La coordenada x sería igual, pero la coordenada y sería mayor.
¿En qué se diferenciarían las coordenadas de su punto para la parte (d) si Kelly hubiera tardado más de 5 horas en conducir 180 millas?
La coordenada y sería igual, pero la coordenada x sería mayor.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo interpretar el significado de un punto en una gráfica que representa una situación del mundo real.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Interpretar gráficas que representan situaciones del mundo real
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación sobre la interpretación de gráficas que representan situaciones del mundo real usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
En la parte (b) del problema 2, ¿cómo determinaron en cuántos jardines corta el césped Blake para ganar $150?
El eje y representa la cantidad que ganó, así que me moví hacia arriba por el eje y hasta llegar a 150. Desde ahí, me moví hacia la derecha hasta que llegué al punto. La coordenada x del punto es 6, y el eje x representa el número total de jardines en los que cortó el césped, así que determiné que Blake cortó el césped de 6 jardines.
¿En qué se diferencia la gráfica del problema 1 de la gráfica del problema 2?
La gráfica del problema 1 cuenta la historia de cuántas millas corre Luis cada día durante 7 días. La gráfica del problema 2 cuenta la historia de cuánto dinero gana Blake por cortar el césped. En el problema 1, el eje x representa el número de días, y el eje y representa el número de millas que corre Luis cada día. En el problema 2, el eje x representa el número de jardines en los que Blake corta el césped, y el eje y representa la cantidad de dinero que gana.
En el problema 1, puede haber varios puntos con el mismo valor de y porque Luis puede correr el mismo número de millas en dos días diferentes. Sin embargo, en el problema 2, no hay puntos con el mismo valor de y porque si Blake corta el césped en un número distinto de jardines, entonces, gana una cantidad total de dinero distinta.
¿Por qué el plano de coordenadas es una herramienta útil para representar situaciones del mundo real?
Las gráficas en el plano de coordenadas cuentan una historia.
Las gráficas en el plano de coordenadas nos muestran relaciones.
Las gráficas en el plano de coordenadas nos muestran cómo cambian ciertas cosas a lo largo del tiempo.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (f).
a. ¿Qué historia nos cuenta esta gráfica sobre la cantidad de millas que corre Luis cada día?
La gráfica nos indica que Luis corre todos los días, pero que no corre el mismo número de millas todos los días.
b. El día 1, Luis corre 4 millas. ¿Qué punto en la gráfica muestra esta información?
(1, 4)
c. ¿Qué punto en la gráfica representa el día que Luis corre más millas?
(3, 5)
d. ¿Cuántas millas menos que el día 1 corre Luis el día 2?
Luis corre 3 millas menos el día 2 que el día 1
e. ¿Qué pares de puntos representan los días que Luis corre el mismo número de millas?
(2, 1) y (6, 1)
(1, 4) y (4, 4)
Recorrido diario de Luis y
2. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (f).
a. ¿Cuánto dinero ganó Blake por cortar el césped del primer jardín?
$20
b. ¿En cuántos jardines cortó el césped Blake para ganar $150?
6 jardines
c. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que representa el dinero que ganó Blake después de cortar el césped en 2 jardines?
(2, 50)
d. Después de cortar el césped en 7 jardines, Blake ganó un total de $170. ¿Cuánto dinero ganó Blake por cortar el césped del séptimo jardín?
$20
Dinero que ganó Blake por cortar el césped
y x
012345678
Número de jardines en los que cortó el césped
e. Marca en la gráfica el punto que representa la cantidad total de dinero que ganó Blake después de cortar el césped en 7 jardines.
f. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que marcaste en la parte (e)?
(7, 170)
f. Riley dice que Luis corre un total de 2 millas durante la semana porque el punto (7, 2) representa que corre un total de 2 millas en 7 días. ¿Riley está en lo correcto? Explica.
Riley no está en lo correcto. Luis corre 2 millas el día 7
Marcar datos en el plano de coordenadas y analizar relaciones
Vistazo a la lección
Usa la gráfica para responder las partes (a) a (c).
Medidas
Longitud (cm) Ancho
01234567891011121314151617181920
a. ¿Qué representa el punto (11, 4)?
Representa que la longitud de una hoja es 11 cm y su ancho, 4 cm
b. ¿Hay alguna hoja del mismo ancho que otra? ¿Cómo sabes eso al mirar la gráfica?
Sí. Hay dos hojas que miden 4 cm de ancho. En la gráfica, esos dos puntos se ubican en la misma línea horizontal.
c. ¿Hay alguna hoja de la misma longitud que otra? ¿Cómo sabes eso al mirar la gráfica?
No. No hay dos hojas de la misma longitud. No hay dos puntos que se ubiquen en la misma línea vertical.
La clase realiza una actividad de recopilación de datos dos veces, de dos maneras diferentes. Se dan cuenta de que no pueden usar una gráfica de barras para representar los datos; en su lugar, forman pares ordenados y representan los datos marcando los puntos en el plano de coordenadas. Hacen observaciones y sacan conclusiones según la ubicación de los puntos en el plano de coordenadas. En grupos, sus estudiantes recopilan y analizan otro conjunto de datos.
En esta lección, no se incluye Grupo de problemas. En su lugar, hay problemas para que la clase complete en grupos pequeños.
Pregunta clave
• ¿Por qué es útil representar datos como puntos marcados en el plano de coordenadas?
Criterio de logro académico
5.Mód6.CLA4 Resuelven problemas del mundo real usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Datos de derecha e izquierda
• Datos de consonantes y vocales
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• temporizador
Estudiantes
• Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego B (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• notas adhesivas de 3″ × 3″ (6 por pareja de estudiantes)
• Papel cuadriculado (en el libro para estudiantes)
• lápices de colores (2)
• nota adhesiva de 1.5″ × 2″
• herramienta de borde recto
Preparación de la lección
• Retire las hojas extraíbles de Tarjetas de expresiones equivalentes, Juego B del libro para estudiantes y recorte las tarjetas. Considere si desea preparar estos materiales con antelación o si los preparará con la clase durante la lección.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Papel cuadriculado de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
• Prepare 2 lápices de diferentes colores por estudiante.
Fluidez
Clasificar: Expresiones equivalentes
Materiales: E) Tarjetas de expresiones equivalentes, notas adhesivas de 3ʺ × 3ʺ
La clase clasifica expresiones equivalentes y dibuja un modelo para representar cada expresión de división y así adquirir fluidez con la interpretación de una fracción como una división del módulo 2.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya tarjetas y notas adhesivas a cada una. Pídales que usen el siguiente procedimiento para clasificar las tarjetas:
• Coloquen todas las tarjetas bocarriba.
• Clasifiquen las tarjetas con expresiones equivalentes en una fila. Algunas filas tendrán tres tarjetas, y otras filas tendrán solo dos tarjetas.
• Usen una nota adhesiva para dibujar un modelo que represente la expresión de división y colóquenla al lado de la fila de tarjetas.
• Continúen hasta que hayan clasificado todas las tarjetas.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
Contar salteado usando miligramos y gramos en la recta numérica
La clase cuenta salteado usando unidades de 500 miligramos y expresa los miligramos como gramos para adquirir fluidez con la conversión de medidas del módulo 1.
Muestre la recta numérica.
Usen la recta numérica para contar hacia delante usando unidades de 500 miligramos hasta 3,000 miligramos. La primera medida que dicen es 0 miligramos. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 mg, 500 mg, 1,000 mg..., 3,000 mg
0mg500mg1,000mg2,000mg1,500mg2,500mg3,000mg
0g500mg1g2g1,500mg2,500mg3g
0g500mg1g2g1g500mg2g500mg3m
Ahora, cuenten nuevamente hacia delante usando unidades de 500 miligramos. Esta vez, expresen cada 1,000 miligramos como un número de gramos. La primera medida que dicen es 0 gramos. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 g, 500 mg, 1 g... , 3 g
Ahora, cuenten nuevamente hacia delante usando unidades de 500 miligramos. Esta vez usen unidades compuestas, gramos y miligramos, cuando sea posible. La primera medida que dicen es 0 gramos. ¿Comenzamos?
Muestre las medidas en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 g, 500 mg, 1 g, 1 g 500 mg... , 3 g
Presentar
La clase considera si puede representar datos con una gráfica de barras.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la siguiente pregunta.
¿Creen que es verdadero que cuantas más consonantes tiene una palabra, más vocales tiene?
A continuación, muestre la lista de palabras del problema 1. Léalas en voz alta.
imagino idea chanchos libro brazos
clics gris dato coordenadas educación
¿Cómo podemos determinar si es verdadero que cuantas más consonantes tiene una palabra, más vocales tiene?
Podemos contar el número de consonantes y el número de vocales en cada palabra y comparar.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Pida a sus estudiantes que consideren las 27 letras del abecedario en español. Dígales que las letras a, e, i, o y u son vocales y las demás son consideradas consonantes en esta actividad. Esta lista no incluye palabras con y, que puede ser considerada vocal o consonante según su uso en la palabra.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que trabajen en parejas para contar el número de consonantes y el número de vocales en cada palabra y que registren sus respuestas en la tabla.
1. Completa la tabla.
Palabra Número de
En la lección anterior, vimos datos representados con una gráfica de barras y como puntos marcados en el plano de coordenadas. Representemos los datos que recopilaron en el problema 1 creando una gráfica de barras que muestre cuántas vocales hay en una palabra según el número de consonantes que hay en la palabra.
Datos de las palabras
Número de consonantes
¿Qué palabra tiene 1 consonante? ¿Cuántas vocales tiene?
Idea tiene 1 consonante y 3 vocales.
En 1 en el eje horizontal, dibuje una barra hasta 3.
¿Qué palabra tiene 2 consonantes? ¿Cuántas vocales tiene?
Dato tiene 2 consonantes y 2 vocales.
Datos de las palabras
Número de vocale s y x
Número de consonantes
En 2 en el eje horizontal, dibuje una barra hasta 2.
¿Qué palabra tiene 3 consonantes? ¿Cuántas vocales tiene?
Hay tres palabras con 3 consonantes: imagino, libro y gris. Imagino tiene 4 vocales, libro tiene 2 vocales y gris tiene 1 vocal.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si se puede usar la gráfica de barras para representar las palabras que tienen 3 consonantes, pero distintos números de vocales.
¿Podemos dibujar una barra que llegue hasta tres números diferentes?
No.
No podemos dibujar una barra que llegue hasta tres números diferentes, entonces, no podemos usar una gráfica de barras para representar los datos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden representar los datos.
Tal vez podemos crear dos gráficas de barras, una que represente el número de consonantes en cada palabra y una que represente el número de vocales en cada palabra.
Tal vez podemos usar algo como un diagrama de puntos para representar el número de consonantes y el número de vocales.
Tal vez podemos representar los datos marcando puntos en el plano de coordenadas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a usar el plano de coordenadas para representar datos que no se pueden representar con una gráfica de barras.
Aprender
Datos de derecha e izquierda
Materiales: M) Temporizador; E) Papel cuadriculado, lápices de colores, nota adhesiva de 1.5ʺ × 2ʺ
La clase recopila datos, los representa en el plano de coordenadas y, luego, usa la gráfica para sacar conclusiones.
Invite a sus estudiantes a retirar la hoja extraíble de Papel cuadriculado de sus libros. Indíqueles que sostengan un lápiz de color con la mano derecha, incluso si normalmente escriben con la mano izquierda. Configure el temporizador en 20 segundos.
Cuando diga “ahora”, usen la mano derecha para escribir la primera letra de sus nombres en un cuadrado del papel cuadriculado. Por ejemplo, Luis escribirá una L en mayúscula.
Continúen escribiendo la primera letra de sus nombres en los cuadrados hasta que diga “alto”. Deben escribir la letra con claridad, tantas veces como les sea posible. A la una, a las dos, ¡a las tres! ¡Ahora!
Inicie el temporizador. Cuando se acabe el tiempo, pida a sus estudiantes que se detengan.
A continuación, pídales que sostengan un lápiz de otro color con la mano izquierda, incluso si normalmente escriben con la mano derecha. Configure el temporizador en 20 segundos.
Esta vez, cuando diga “ahora”, usen la mano izquierda para escribir la primera letra de sus nombres en un cuadrado del papel cuadriculado. Continúen escribiendo la primera letra de sus nombres en los cuadrados hasta que diga “alto”. A la una, a las dos, ¡a las tres! ¡Ahora!
Inicie el temporizador. Cuando se acabe el tiempo, pida a sus estudiantes que se detengan.
Pida a la clase que cuente el número de letras que escribieron con la mano derecha y el número de letras que escribieron con la mano izquierda. Seleccione a diferentes estudiantes para que compartan sus puntuaciones de la mano derecha y de la mano izquierda.
¿Creen que es una buena idea representar las puntuaciones de las manos derechas e izquierdas de toda la clase usando una gráfica de barras? ¿Por qué?
No. Hay demasiados números para representarlos con una gráfica de barras.
No. Puede haber dos personas con la misma puntuación de la mano derecha, pero diferente puntuación de la mano izquierda, y no podemos tener una misma barra que llegue hasta dos números diferentes.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden representar las puntuaciones de la mano derecha y de la mano izquierda de toda la clase marcando puntos en el plano de coordenadas.
Podemos escribir un par ordenado con nuestras puntuaciones de la mano derecha y de la mano izquierda.
Podemos marcar puntos que representen nuestras puntuaciones.
Pida a cada estudiante que escriba un par ordenado con su puntuación de la mano derecha como la coordenada x y su puntuación de la mano izquierda como la coordenada y. Pídales que escriban el par ordenado en una nota adhesiva.
¿Por qué la coordenada x de otra persona podría ser mayor que la coordenada x de ustedes?
Puede haber escrito más letras con la mano derecha que yo.
Puede que su letra fuera más fácil de escribir.
Puede que esa persona normalmente escriba con la mano derecha y yo normalmente escribo con la mano izquierda.
¿Por qué la coordenada y de otra persona podría ser mayor que la coordenada y de ustedes?
Puede haber escrito más letras con la mano izquierda que yo.
Puede ser que escriba más rápido que yo.
Puede que esa persona normalmente escriba con la mano izquierda y yo normalmente escribo con la mano derecha.
¿Qué significaría que otra persona escribiera el mismo par ordenado que ustedes?
Significaría que tenemos las mismas puntuaciones de la mano derecha y de la mano izquierda.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
Si tuvieran que usar su par ordenado para marcar un punto en el plano de coordenadas, ¿su punto estaría más cerca del eje x o del eje y? ¿Por qué?
Mi punto estaría más cerca del eje x. Mi coordenada y es un número bajo. No escribí muchas letras con la mano izquierda, porque yo normalmente escribo con la mano derecha.
Mi punto estaría más cerca del eje y. Mi coordenada y es mayor que mi coordenada x porque escribí más letras con la mano izquierda que con la derecha.
Muestre el plano de coordenadas.
0 y x
¿Qué rótulo deberíamos usar para el eje x?
Puntuaciones de la mano derecha
¿Qué rótulo deberíamos usar para el eje y?
Puntuaciones de la mano izquierda
Usemos Datos de la clase como título para esta gráfica.
Rotule el eje x: Puntuación de la mano derecha. Rotule el eje y: Puntuación de la mano izquierda. Escriba Datos de la clase como título.
Tenemos que elegir una escala para los ejes de manera que podamos marcar todos los puntos.
¿Qué necesitamos saber para elegir una escala adecuada para los ejes?
Necesitamos conocer la puntuación más alta, o la coordenada mayor.
Haga preguntas a cada estudiante para hallar la mayor puntuación de la mano derecha y la mayor puntuación de la mano izquierda. Use la mayor de esas dos puntuaciones para elegir una escala adecuada para cada eje. La longitud del intervalo de cada eje debería ser la misma. Por ejemplo, si la puntuación de la mano derecha más alta es 37 y la puntuación de la mano izquierda más alta es 48, use 48 para elegir el intervalo. Seleccione 5 como la longitud del intervalo de los dos ejes para que ambos se extiendan hasta 50.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas.
Describan cómo creen que se vería la gráfica si marcáramos los puntos de toda la clase. ¿Los puntos estarán más juntos o más separados? ¿Qué eje creen que tendrá más puntos cerca?
Creo que los puntos estarán separados porque las coordenadas x y las coordenadas y son números diferentes.
Creo que los puntos estarán más juntos porque la mayoría de la clase tiene puntuaciones parecidas.
Creo que habrá más puntos cerca del eje x porque creo que la mayor parte de las puntuaciones de la mano izquierda son números bajos.
Creo que habrá más puntos cerca del eje x porque la mayoría de las coordenadas x son mayores que las coordenadas y.
Pida a la clase que use sus pares ordenados para marcar las notas adhesivas como puntos en el plano de coordenadas. Pídales que recuerden que si su par ordenado no se puede marcar en la intersección de las líneas de la cuadrícula, tienen que estimar su ubicación.
Nota para la enseñanza
Pida a sus estudiantes que consideren qué significa que dos estudiantes escriban el mismo par ordenado en sus notas adhesivas. Pregúnteles qué les indica eso acerca de la puntuación de la mano derecha y la puntuación de la mano izquierda de cada estudiante. Dígales que, a veces, un punto puede representar la puntuación de más de una persona.
Cuando hayan marcado sus puntos, invíteles a que se reúnan y conversen en parejas para responder las siguientes preguntas.
¿Qué historia cuenta la gráfica?
¿Qué observan acerca de la gráfica?
Guíe una conversación sobre el significado de la ubicación de los puntos en la gráfica haciendo las siguientes preguntas.
¿Por qué el punto de otra persona podría estar más a la derecha que el de ustedes?
La coordenada x de otra persona podría estar más a la derecha que la mía porque escribió más letras con la mano derecha que yo.
Su coordenada x podría ser mayor que la mía porque su letra era más fácil de escribir.
Su coordenada x podría ser mayor que la mía porque normalmente escribe con la mano derecha y yo normalmente escribo con la mano izquierda.
¿Por qué el punto de otra persona podría estar más arriba que el de ustedes?
La coordenada y de otra persona podría estar más arriba que la mía porque escribió más letras con la mano izquierda que yo.
Su coordenada y podría ser mayor que la mía porque escribe más rápido que yo.
Su coordenada y podría ser mayor que la mía porque normalmente escribe con la mano izquierda y yo normalmente escribo con la mano derecha.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si obtuvieron la misma puntuación de la mano derecha o de la mano izquierda que otra persona y cómo pueden saberlo mirando la gráfica.
¿Hay dos personas con la misma puntuación de la mano derecha y diferente puntuación de la mano izquierda? ¿Cómo saben eso al mirar la gráfica?
Sí. Hay dos puntos que se ubican en la misma recta vertical. Eso significa que los dos puntos tienen la misma coordenada x, pero diferente coordenada y.
Señale dos notas adhesivas que representen la misma puntuación de la mano derecha, pero diferente puntuación de la mano izquierda. Si no hay dos notas adhesivas con la misma puntuación de la mano derecha, señale cualquier nota adhesiva y algún punto directamente abajo o arriba de ella.
¿Hay dos personas con la misma puntuación de la mano izquierda y diferente puntuación de la mano derecha? ¿Cómo saben eso al mirar la gráfica?
Sí. Hay dos puntos que se ubican en la misma recta horizontal. Eso significa que los dos puntos tienen la misma coordenada y, pero diferente coordenada x.
Señale dos notas adhesivas que representen la misma puntuación de la mano izquierda, pero diferente puntuación de la mano derecha. Si no hay dos notas adhesivas con la misma puntuación de la mano izquierda, señale cualquier nota adhesiva y algún punto directamente a la izquierda o a la derecha de ella.
Luego, señale el eje x.
¿Qué significa que el punto de una persona se ubique en el eje x?
La coordenada y es 0.
Esa persona no escribió ninguna letra con la mano izquierda.
Su puntuación de la mano izquierda fue 0.
Señale el eje y.
¿Qué significa que el punto de una persona se ubique en el eje y?
La coordenada x es 0.
Esa persona no escribió ninguna letra con la mano derecha.
Su puntuación de la mano derecha fue 0.
Señale el origen.
¿Qué significa que el punto de una persona esté en el origen?
La coordenada x es 0 y la coordenada y es 0.
Esa persona no escribió ninguna letra ni con la mano derecha ni con la izquierda.
Su puntuación de la mano derecha fue 0, y su puntuación de la mano izquierda fue 0.
Trace una línea punteada que pase por los puntos (0, 0) y (20, 20) y extiéndala hasta la esquina superior derecha de la gráfica. Señale la línea.
Esta recta pasa por los puntos (0, 0) y (20, 20).
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué observan sobre la relación entre las coordenadas x y y de cada punto en esta recta.
Las coordenadas x y y de cada punto son iguales.
En todos los puntos, la coordenada x es igual a la coordenada y correspondiente.
Si el punto de alguien se ubica en esta recta, ¿qué pueden decir sobre su puntuación de la mano derecha y de la mano izquierda?
Esa persona tiene la misma puntuación de la mano derecha y de la mano izquierda.
Pudo escribir la misma cantidad de letras con la mano izquierda y con la mano derecha.
Diferenciación: Apoyo
Considere ayudar a sus estudiantes a interpretar la ubicación de un punto en el plano de coordenadas comentando las ubicaciones de los puntos en relación con una recta horizontal o vertical antes de comentar sus ubicaciones en relación con la recta inclinada.
Primero, trace una recta vertical. Haga las siguientes preguntas:
• ¿Qué tienen en común las coordenadas que se ubican a la izquierda de esta recta? ¿Qué observan sobre las puntuaciones de la mano derecha de estas personas?
• ¿Qué tienen en común las coordenadas que se ubican a la derecha de esta recta? ¿Qué observan sobre las puntuaciones de la mano derecha de estas personas?
Luego, trace una recta horizontal. Haga las siguientes preguntas:
• ¿Qué tienen en común las coordenadas de los puntos que se ubican arriba de esta recta? ¿Qué observan sobre las puntuaciones de la mano izquierda de estas personas?
• ¿Qué tienen en común las coordenadas de los puntos que se ubican debajo de esta recta? ¿Qué observan sobre las puntuaciones de la mano izquierda de estas personas?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la recta divide los puntos en categorías, como los que se ubican arriba y a la izquierda de la recta y los que se ubican debajo y a la derecha de la recta.
¿Qué tienen en común las coordenadas de los puntos que se ubican debajo de esta recta?
La coordenada x de cada punto es mayor que la coordenada y.
Los puntos están más cerca del eje x que del eje y.
¿Qué tienen en común las coordenadas de los puntos que se ubican arriba de esta recta?
La coordenada y de cada punto es mayor que la coordenada x.
Los puntos están más cerca del eje y que del eje x.
Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes dos preguntas.
Si el punto de alguien se ubica debajo de esta recta, ¿qué pueden decir sobre su puntuación de la mano derecha y de la mano izquierda?
Escribió más letras con la mano derecha que con la mano izquierda.
Su puntuación de la mano derecha es más alta que su puntuación de la mano izquierda.
Si el punto de alguien se ubica arriba esta recta, ¿qué pueden decir sobre su puntuación de la mano derecha y de la mano izquierda?
Escribió más letras con la mano izquierda que con la mano derecha.
Su puntuación de la mano izquierda es más alta que su puntuación de la mano derecha.
Rotule la región de la gráfica que está arriba de la recta de la siguiente manera: Escribió más letras con la mano izquierda. Rotule la región de la gráfica que está debajo de la recta de la siguiente manera: Escribió más letras con la mano derecha.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la gráfica para predecir si hay más estudiantes que normalmente escriben con la mano derecha o con la mano izquierda. Haga una encuesta en la clase para ver cuántas personas creen que habrá más estudiantes que normalmente escriben con la mano derecha y cuántas personas creen que habrá más estudiantes que normalmente escriben con la mano izquierda. Elija a diferentes estudiantes para que compartan su razonamiento.
Creo que hay más personas que normalmente escriben con la mano derecha. Hay más puntos debajo de la recta que arriba de la recta.
Nota para la enseñanza
En 5.o grado, no se espera que sus estudiantes representen gráficamente las rectas o determinen la asociación de los datos o la fuerza de dicha asociación. En cambio, el énfasis de esta actividad está en la comprensión del significado de las coordenadas x y y de los puntos y en saber cómo interpretar las coordenadas en un contexto.
DUA: Participación
Considere preguntar a sus estudiantes si alguna vez escucharon el término ambidextro, ambidextra. Dígales que las personas ambidextras pueden usar su mano derecha y su mano izquierda con la misma destreza. Seleccione a estudiantes que quieran compartir algo que hacen con su mano no dominante, por ejemplo, lanzar una pelota, tocar un instrumento o usar un tenedor.
Señale la línea punteada.
Si el punto de alguien se ubica en esta recta, ¿cambiaría su ubicación si el eje x representara la puntuación de la mano izquierda y el eje y representara la puntuación de la mano derecha? ¿Por qué?
No. El punto seguiría en la misma ubicación, porque sus coordenadas x y y son iguales.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo cambiaría la ubicación de sus puntos si escribieran una letra diferente o si tuvieran más o menos de 20 segundos para escribir las letras con cada mano.
Datos de consonantes y vocales
Materiales: E) Herramienta de borde recto
La clase recopila datos, los representa en el plano de coordenadas y, luego, usa la gráfica para sacar conclusiones.
Pida a sus estudiantes que examinen de nuevo el problema 1.
Echemos otro vistazo a los números de las consonantes y las vocales en las palabras.
Divida a sus estudiantes en grupos de tres o cuatro. Pídales que completen los problemas 2 y 3. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Haga las siguientes preguntas para brindar apoyo según sea necesario:
• ¿Qué representa cada eje? ¿Cómo les ayuda saber qué representa cada eje para formar pares ordenados?
• ¿Qué tienen en común las coordenadas de los puntos que se ubican en la línea punteada?
¿Qué les indica esto acerca del número de consonantes y el número de vocales?
• ¿El punto se ubica arriba o debajo de la línea punteada? ¿La palabra representada por el punto tiene más consonantes o más vocales?
• ¿El punto se ubica más cerca del eje x o del eje y? ¿La palabra representada por el punto tiene más consonantes o más vocales?
• Si los puntos se ubican en la misma recta vertical, ¿tienen las mismas coordenadas x o y? ¿Las palabras representadas por esos puntos tienen el mismo número de consonantes o el mismo número de vocales?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando representa sus puntuaciones de la mano derecha y de la mano izquierda como puntos marcados en el plano de coordenadas e interpreta su significado en el mundo real.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué les indica este punto sobre la puntuación de la mano derecha y de la mano izquierda de una persona?
• ¿Qué representa la recta diagonal en esta situación?
• Si los puntos se ubican en la misma recta horizontal, ¿tienen las mismas coordenadas x o y? ¿Las palabras representadas por esos puntos tienen el mismo número de consonantes o el mismo número de vocales?
• ¿Cómo se relaciona la ubicación de este punto con la ubicación de ese punto? ¿Cómo puede eso ayudarles a comparar el número de consonantes y el número de vocales en cada palabra?
2. Considera el plano de coordenadas.
a. Rotula el eje x Número de consonantes, y el eje y, Número de vocales. Rotula el título Datos de las palabras. Usa los datos recopilados en el problema 1 para formar pares ordenados. Marca los puntos que representan los pares ordenados en el plano de coordenadas.
Diferenciación: Apoyo
Número de vocales
de las palabras Número de consonantes
Para brindar apoyo a sus estudiantes, sugiera que coloquen una marca de verificación al lado de cada fila de la tabla en el problema 1 a medida que ubican los puntos que representan los datos de esa fila. Anime a sus estudiantes a rotular cada punto ubicado en el plano de coordenadas con su par ordenado.
b. Traza una línea punteada desde (0, 0) hasta (8, 8). ¿Cuántos puntos marcados se ubican en la línea punteada? ¿Qué te indica esto?
1 punto marcado se ubica en la línea. Una palabra tiene el mismo número de consonantes que de vocales.
c. ¿Cuántos puntos marcados se ubican debajo de la línea punteada? ¿Qué tienen en común las palabras que representan estos puntos?
6 puntos marcados se ubican debajo de la línea. Estas palabras tienen más consonantes que vocales.
d. ¿Cuántos puntos marcados se ubican arriba de la línea punteada? ¿Qué tienen en común las palabras que representan estos puntos?
3 puntos marcados se ubican arriba de la línea. Estas palabras tienen más vocales que consonantes.
e. ¿Por qué el punto que representa la palabra idea está más cerca del eje y que del eje x?
La palabra idea tiene más vocales que consonantes.
f. ¿Por qué el punto que representa a la palabra gris está más cerca del eje x que del eje y?
La palabra gris tiene más consonantes que vocales.
g. ¿Qué par ordenado representa un punto que se ubica en la misma línea vertical que el punto que representa la palabra brazos? ¿Qué tienen en común las palabras que representan estos puntos?
(4, 1)
Estas palabras tienen 4 consonantes.
h. ¿Qué par ordenado representa un punto que se ubica en la misma línea horizontal que el punto que representa la palabra brazos? ¿Qué tienen en común las palabras que representan estos puntos?
(2, 2)
Estas palabras tienen 2 vocales.
i. ¿Por qué el punto que representa la palabra educación está 2 unidades a la izquierda del punto que representa la palabra coordenadas?
La palabra educación tiene 2 consonantes menos que la palabra coordenadas.
j. ¿Por qué el punto que representa la palabra chanchos está 3 unidades más abajo del punto que representa la palabra coordenadas?
La palabra chanchos tiene 3 vocales menos que la palabra coordenadas
3. Considera la tabla.
a. Escribe una palabra de cada tipo, y el número de consonantes y de vocales que tiene cada palabra. No repitas palabras del problema 1.
Ejemplo:
b. Rotula el eje x Número de consonantes, y el eje y, Número de vocales. Rotula el título Datos de las palabras. Usa los datos recopilados en la parte (a) para formar pares ordenados. Marca los puntos que representan los pares ordenados en el plano de coordenadas.
Ejemplo:
Número de vocales
Datos de las palabras
Número de consonantes
c. Según los datos, ¿crees que es verdadero que cuantas más consonantes tiene una palabra, más vocales tiene? ¿Por qué?
Sí. A medida que el número de consonantes aumenta, el número de vocales también lo hace. No siempre, porque puede que el número de vocales en una palabra no aumente con el número de consonantes, por ejemplo, en la palabra plan.
Nota para la enseñanza
A pesar de que sus estudiantes no pueden responder la pregunta del problema 3(c) con certeza, la tarea les permite usar los datos que recopilaron para llegar a una conclusión.
Cuando la mayoría de los grupos haya terminado, invíteles a compartir sus respuestas para el problema 2. Para el problema 3, considere pedir a dos grupos que digan las palabras que escribieron, muestren sus gráficas y compartan el razonamiento que justifica la conclusión. De ser posible, elija al menos a un grupo que esté de acuerdo con la teoría de que una palabra tendrá más vocales cuantas más consonantes tenga y a un grupo que esté en desacuerdo.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Marcar datos en el plano de coordenadas y analizar relaciones
Facilite una conversación de toda la clase acerca de representar los datos en el plano de coordenadas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Por qué no podemos representar el número de consonantes y el número de vocales en una palabra con una gráfica de barras?
Una barra puede llegar a la altura de un solo número, pero puede haber palabras con el mismo número de consonantes y distintos números de vocales.
No podemos representar una barra que llegue hasta más de un número.
¿Por qué es útil representar datos como puntos marcados en el plano de coordenadas?
Podemos representar datos como puntos ubicados en el plano de coordenadas cuando no es posible usar una gráfica de barras.
Podemos representar datos como puntos ubicados en el plano de coordenadas cuando estamos comparando dos cosas, como nuestra puntuación de la mano derecha y de la mano izquierda, y queremos sacar conclusiones acerca de los datos.
¿Qué observaciones podemos hacer cuando los datos están representados como puntos marcados en el plano de coordenadas?
Podemos saber qué puntos tienen coordenadas mayores o menores que otros.
Podemos saber qué puntos se ubican más cerca de un eje.
Podemos saber qué puntos tienen la misma coordenada x o y.
Cuando representamos datos en el plano de coordenadas, ¿cómo puede la gráfica contar una historia?
Una gráfica de datos nos cuenta una historia sobre dos cantidades, como el número de consonantes y el número de vocales en una palabra.
Una gráfica de datos nos puede contar una historia acerca de los resultados de un experimento, por ejemplo, las puntuaciones de la mano derecha y de la mano izquierda de la clase.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos
de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Interpretar gráficas lineales
Usa la gráfica para completar las partes (a) a (e).
10 20 30 40 70 80 60 50 y x Crecimiento de la planta Mes Altura de la planta (cm)
012346857911121 103
a. ¿Qué historia cuenta esta gráfica lineal?
Esta gráfica nos indica que la planta creció en altura cada mes durante 12 meses. La planta no creció la misma cantidad todos los meses.
b. ¿Por qué la gráfica no tiene ningún segmento de recta plano?
La planta creció en altura todos los meses.
c. ¿Cuánto tardó la planta en llegar a medir 60 centímetros de alto?
9 meses
d. ¿Cuál es la altura aproximada de la planta en el mes 10?
67 centímetros
e. ¿Durante qué mes creció más la planta? ¿Cómo lo sabes?
La planta creció más entre el mes 6 y el mes 7. Lo sé porque es donde está el segmento de recta más inclinado.
Vistazo a la lección
La clase analiza e interpreta gráficas lineales que representan datos del mundo real y usan puntos de las gráficas para apoyar su razonamiento. Aprenden que los segmentos de recta de una gráfica lineal muestran tendencias y no datos reales. Explican las historias que se cuentan por medio de distintas gráficas. Sus estudiantes usan la rutina Cinco preguntas estructuradas para analizar gráficas de tiempo-distancia.
Preguntas clave
• ¿Por qué una gráfica lineal es una herramienta útil para representar datos?
• ¿Cómo interpretamos una gráfica lineal?
Criterio de logro académico
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Interpretar puntos y segmentos de recta en una gráfica lineal
• Interpretar tendencias en una gráfica lineal
• Comparar gráficas lineales
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Tarjetas para emparejar áreas, Juego A (1 juego por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• notas adhesivas (5 por pareja de estudiantes)
• Tabla de patrones de números (en el libro para estudiantes)
• Distancia recorrida (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Retire las hojas extraíbles de Tarjetas para emparejar áreas, Juego A del libro para estudiantes y recorte las tarjetas. Considere si desea preparar estos materiales con antelación o si los preparará con la clase durante la lección.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tabla de patrones de números de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Distancia recorrida de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Emparejar: Área
con longitudes de lado fraccionarias
Materiales: E) Tarjetas para emparejar áreas, notas adhesivas
La clase empareja rectángulos con la misma área y registra una expresión para adquirir fluidez con la destreza de hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias del módulo 5.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas y notas adhesivas a cada pareja de estudiantes y pídales que completen la actividad usando el siguiente procedimiento:
• Coloquen todas las tarjetas bocarriba.
• Emparejen rectángulos con la misma área.
• Coloquen cada grupo de tarjetas emparejadas una junto a la otra.
• Usen una nota adhesiva para escribir una expresión que se pueda usar para calcular el área de los rectángulos. Colóquenla junto a las tarjetas emparejadas.
Nota para la enseñanza
No se espera que sus estudiantes calculen el área de los rectángulos emparejados. Considere pedirles que evalúen las expresiones si terminan antes o en algún otro momento del día.
• Continúen hasta que hayan clasificado todas las tarjetas.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
Intercambio con la pizarra blanca: Patrones de números
Materiales: E) Tabla de patrones de números
La clase completa una tabla usando dos reglas dadas para adquirir fluidez con la generación de patrones con números enteros del tema B.
Muestre la tabla.
Completen la tabla usando las reglas para las coordenadas x y y .
La regla para la coordenada x es sumar 2.
La regla para la coordenada y es sumar 3.
Muestre las coordenadas x y y iniciales y el primer par ordenado.
Escriban las coordenadas x y y iniciales y el primer par ordenado y, luego, completen el resto de la tabla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Reglaparalacoordenada x:Sumar2
Reglaparalacoordenada y:Sumar3
Coordenada x
Coordenada y Par ordenado
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la tabla completada.
Presentar
La clase interpreta una gráfica que representa datos del mundo real.
Muestre la lista de palabras. Seleccione a estudiantes que quieran leer las palabras pronunciándolas en voz alta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué creen que tienen en común estas palabras.
Imaginemos que estas son las palabras ganadoras de un Concurso Nacional de Ortografía en Español llevado a cabo en una escuela de Texas. Tengan en cuenta que estas palabras tienen el mismo número de letras que aquellas que resultaron ganadoras del Concurso Nacional de Ortografía Scripps entre los años 2000 y 2013.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la siguiente pregunta.
Piensen en el número de letras de cada una de las palabras. Si comparamos las palabras a lo largo del tiempo, ¿creen que el número de letras en las palabras ganadoras aumentará, disminuirá o se mantendrá igual?
Nota para la enseñanza
El Concurso Nacional de Ortografía fue creado en 1925 por un grupo de nueve periódicos. En el año 1941, Scripps se convirtió en el principal patrocinador del evento. En la actualidad, más de 11 millones de personas participan cada año y las finales se han transmitido en horarios de máxima audiencia por ESPN®. En los años 2014, 2015, 2016 y 2019 hubo varias palabras ganadoras, por eso, para esta actividad, la clase solo observa datos de los años 2000 a 2013. Las palabras ganadoras en inglés fueron: demarche, succedaneum, prospicience, pococurante, autochthonous, appoggiatura, Ursprache, serrefine, guerdon, Laodicean, stromuhr, cymotrichous, guetapens y knaidel. Las palabras en español que se usan en esta lección provienen de una lista del Concurso Nacional de Ortografía en Español, una competencia que comenzó en el año 2011 y es patrocinada por la New Mexico Association for Bilingual Education (NMABE) y la Alliance for Multilingual Multicultural Education (AMME).
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Pregunte a sus estudiantes qué saben acerca de los concursos de ortografía. Si alguien ha participado en uno de ellos, invite a esa persona a compartir su experiencia con toda la clase.
Muestre la gráfica con el número de letras en las palabras ganadoras entre los años 2000 y 2013.
¿Qué historia nos cuenta esta gráfica?
Esta gráfica nos muestra cómo cambió el número de letras de la palabra ganadora a través del tiempo. Esta gráfica nos muestra que el número de letras en la palabra ganadora cambia de un año al otro.
¿Qué representan los números en el eje y?
Los números en el eje y representan el número de letras que tiene la palabra ganadora.
¿Qué representan los números en el eje x?
Los números en el eje x representan el año, comenzando desde el 2000.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de sus predicciones y cómo se relacionan con la historia que cuenta la gráfica.
Luego, pídales que compartan sus predicciones y si creen que estaban en lo correcto.
Predije que el número de letras en las palabras ganadoras aumentaría. Sé que mi predicción no era correcta porque dos de las palabras con menos letras resultaron ganadoras en los años 2008 y 2013.
Predije que el número de letras en las palabras ganadoras no aumentaría ni disminuiría. Mi predicción fue correcta. El número de letras en la palabra ganadora parece cambiar cada año, ya sea aumentando o disminuyendo.
Nota para la enseñanza
Hasta este momento, sus estudiantes solo han visto gráficas donde los números en el eje x empiezan en 0. En esta gráfica, los números en el eje x comienzan en 2000 porque es el primer año del que tienen datos, pero también porque, si la gráfica empezara en 0, no permitiría a la clase observar los datos de forma clara. A medida que avanza la comprensión de sus estudiantes acerca de las gráficas, estas pueden mostrar el primer año de los datos con el rótulo 0 y el eje x con el rótulo Años desde 2000.
Predije que el número de letras en las palabras ganadoras disminuiría. Sé que mi predicción fue correcta porque si bien la palabra ganadora en el año 2011 tenía muchas letras, las demás palabras a partir de 2006 no tuvieron tantas letras.
¿Qué podríamos hacer para que la gráfica muestre con más claridad las tendencias de cómo cambió el número de letras de la palabra ganadora entre los años 2000 y 2013?
Podríamos conectar los puntos con segmentos de recta.
Podemos conectar los puntos con segmentos de recta para dirigir la atención a los cambios en el número de letras de la palabra ganadora.
Muestre la gráfica lineal del número de letras en las palabras ganadoras.
Esta es una gráfica lineal. Los segmentos de recta muestran las tendencias en los datos a través del tiempo. En esta gráfica, los segmentos de recta muestran si el número de letras en la palabra ganadora aumenta o disminuye de un punto al siguiente.
Pida a la clase que siga el razonamiento mientras usted se mueve a lo largo de la gráfica de izquierda a derecha diciendo si las coordenadas y aumentan o disminuyen. Por ejemplo, para ir de 2000 a 2001, la coordenada y va hacia arriba, o aumenta. De 2001 a 2002, la coordenada y va hacia arriba. De 2002 a 2003, la coordenada y va hacia abajo, o disminuye.
Palabras ganadoras del concurso de ortografía
Apoyo para la comprensión del lenguaje
El término tendencia tiene varios significados en matemáticas y en el uso cotidiano. En esta lección, tendencia se refiere a la dirección en la que algo está cambiando. Considere guiar una conversación sobre tendencias conocidas por sus estudiantes. Por ejemplo, la tendencia actual podría ser que el estado del tiempo es cada vez más cálido.
Nota para la enseñanza
Las gráficas lineales muestran tendencias. Se crean usando segmentos de recta para conectar puntos de izquierda a derecha en el plano de coordenadas. A veces, las gráficas lineales se denominan gráficas de tiempo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo esta gráfica muestra con más claridad los cambios en el número de letras de la palabra ganadora entre los años 2000 y 2013.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aprenderemos a interpretar datos del mundo real en gráficas lineales.
Aprender
Interpretar puntos y segmentos de recta en una gráfica lineal
La clase interpreta el significado de los puntos en una gráfica lineal.
Continúe mostrando la gráfica lineal con el número de letras en las palabras ganadoras a través del tiempo. Considere hacer todas o algunas de las siguientes preguntas para que sus estudiantes puedan interpretar el significado de los puntos en la gráfica.
• ¿Qué representa el punto (2006, 9)?
• ¿Cuántas letras tiene la palabra que ganó en 2012? ¿Cómo lo saben?
• Entre 2000 y 2013, ¿en cuántos años las palabras ganadoras tuvieron 12 letras? ¿Cuáles son esos años?
• ¿Cuándo resultó ganadora la palabra con más letras? ¿Cuántas letras tenía?
• ¿Cuándo resultó ganadora la palabra con menos letras? ¿Cuántas letras tenía?
Nota para la enseñanza
En esta lección, se ofrece un anticipo del trabajo que sus estudiantes harán en los grados posteriores, donde usarán datos para crear gráficas lineales y diagramas de dispersión.
DUA: Representación
Considere brindar a sus estudiantes copias impresas de las gráficas del concurso de ortografía, del peso de Fido y de la caminata de Yuna. Permítales remarcar o escribir comentarios en las gráficas durante las conversaciones. Marcar puntos y trazar segmentos de recta, o señalarlos, puede ayudarles a entender mejor la información que se proporciona en las gráficas.
Escriba las palabras fragilidad y subsahariano.
En 2014, dos personas ganaron el concurso. Cada persona deletreó una de estas dos palabras correctamente. Una palabra tiene 10 letras, y la otra tiene 12 letras. Si hubiera dos segmentos de recta conectados a dos puntos diferentes para el año 2014, ¿seguirían siendo útiles para ver las tendencias a lo largo del tiempo? Expliquen.
No, si dos segmentos de recta se conectaran a dos puntos diferentes, no sabríamos cuál usar para analizar la tendencia.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuáles serían las coordenadas de 2014 si usaran la palabra con más letras como dato.
Mientras sus estudiantes responden las siguientes preguntas, señale y remarque la gráfica que se muestra.
Los segmentos de recta en esta gráfica nos ayudan a ver tendencias, pero no nos dan más información que la que ya nos brindan los puntos marcados.
¿Cómo saben, mirando la gráfica, cuándo aumenta el número de letras en la palabra ganadora de un año al siguiente?
El segmento de recta va hacia arriba, de izquierda a derecha, y la coordenada y aumenta.
¿Cómo saben, mirando la gráfica, cuándo disminuye el número de letras en la palabra ganadora de un año al siguiente?
El segmento de recta va hacia abajo, de izquierda a derecha, y la coordenada y disminuye.
¿Entre qué dos años aumentó más el número de letras en la palabra ganadora?
¿Cómo lo saben?
El número de letras en la palabra ganadora aumentó más entre 2010 y 2011. El número de letras en la palabra ganadora aumentó en 4, de 8 a 12. No hay otros aumentos de 4 o más.
¿Cómo se compara la inclinación del segmento de recta entre 2010 y 2011 con la inclinación de los demás segmentos de recta de la gráfica?
Es el segmento más inclinado de la gráfica.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando determina el significado de los puntos en una gráfica lineal y analiza tendencias al mirar los segmentos de recta que conectan puntos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué les indica la gráfica lineal acerca del número de letras en las palabras ganadoras?
• ¿De qué manera los segmentos de recta representan las tendencias a lo largo del tiempo?
• ¿Qué situaciones del mundo real se representan con gráficas lineales?
Sabemos que el número de letras en las palabras ganadoras aumentó más entre los años 2010 y 2011 porque el segmento de recta entre esos años es el que sube con la mayor inclinación.
¿Por qué creen que el segmento de recta entre 2006 y 2007 es horizontal?
La palabra ganadora de 2006 tenía el mismo número de letras que la palabra ganadora de 2007.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo interpretar puntos y segmentos de recta en gráficas lineales.
Interpretar
tendencias en una gráfica lineal
La clase interpreta las tendencias de una gráfica lineal.
Muestre la gráfica del peso de Fido.
Esta gráfica lineal muestra datos de un perro llamado Fido. ¿Qué datos representa esta gráfica lineal?
La gráfica representa el peso de Fido a determinadas edades.
¿Qué información se muestra en el eje x?
La edad de Fido
¿Qué unidad se usa para mostrar la edad de Fido?
Meses
¿Qué información se muestra en el eje y? ¿Qué unidad se usa?
El peso de Fido en libras
Peso (libras)
Peso de Fido
Edad (meses)
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta.
¿Qué pueden aprender acerca del peso de Fido mirando esta gráfica? En otras palabras, ¿qué historia nos cuenta esta gráfica?
Durante los primeros 12 meses, su peso aumentó cada mes.
Al principio, aumentó de peso rápidamente y, luego, lo hizo de manera más lenta.
A los dos meses de edad, pesaba aproximadamente el doble de lo que pesaba al mes de edad.
Señale el punto (0, 1).
El par ordenado de este punto es (0, 1). ¿Qué les indica este par ordenado sobre Fido?
Fido pesaba 1 libra al nacer.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el peso de Fido a los 4 meses.
41 libras
42 libras
43 libras
¿Por qué no podemos darnos cuenta de cuánto pesaba Fido exactamente a los 4 meses de edad con solo mirar la gráfica?
El peso de Fido a los 4 meses no está en una línea de la cuadrícula, así que solo podemos estimarlo.
¿Cuánto aumentó de peso Fido entre los 2 y los 5 meses de edad? ¿Cómo lo saben?
Fido aumentó 30 libras. Lo sé porque pesaba 20 libras a los 2 meses de edad y 50 libras a los 5 meses de edad.
Fido aumentó 30 libras en 3 meses. ¿Eso quiere decir que aumentó 10 libras cada mes?
¿Cómo lo saben?
No. Fido puede haber aumentado más en un mes que en otro.
Veo que un segmento de recta de la gráfica pasa por el punto (6 1 _ 2 , 60). ¿Eso quiere decir que Fido pesaba 60 libras cuando tenía 6 1 _ 2 meses de edad? ¿Por qué?
No. Solo sé el peso de Fido en los momentos medidos, que están representados por puntos en la gráfica.
¿En qué mes creen que Fido aumentó más de peso? ¿Por qué?
Creo que Fido aumentó más de peso entre los 3 y los 4 meses de edad, porque ese segmento de recta es el más inclinado.
¿Hay algún mes en el que el peso de Fido se haya mantenido igual? ¿Cómo lo saben?
No. No hay segmentos de recta horizontales entre los puntos.
Basándose en la gráfica, ¿cuánto creen que pesará Fido a los 13 meses? ¿Por qué?
Creo que el peso de Fido será 77 libras, porque parece que su peso sigue aumentando, pero no tanto como antes.
Podemos usar la gráfica para hacer una predicción sobre el peso de Fido a los 13 meses, pero es posible que nuestra predicción sea incorrecta. El peso de Fido puede aumentar, disminuir o mantenerse igual.
Muestre las gráficas del peso de Fido y el peso de Fifi.
Peso de Fifi
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y las diferencias entre el aumento de peso de Fifi y el de Fido.
Comparar gráficas lineales
Materiales: E) Distancia recorrida
La clase interpreta y compara dos gráficas que muestran la distancia recorrida a lo largo del tiempo.
Muestre las gráficas de la distancia que recorrió Luis y la que recorrió Yuna.
de Luis
051015203040253545556065
Tiempo (minutos)
(minutos)
Yuna y Luis usaron gráficas lineales para representar la distancia que recorrieron caminando.
Forme parejas de estudiantes y use la rutina Cinco preguntas estructuradas. Pídales que observen cada gráfica lineal.
Presente las siguientes preguntas para que la clase las considere al comentar las gráficas lineales.
Caminata
Caminata de Yuna
Observar y preguntarse
¿Qué observan acerca de las gráficas de Luis y Yuna? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?
Observo que las unidades en el eje x y en el eje y son diferentes.
Observo que la distancia total que caminó Luis es 2.25 millas en 60 minutos.
Observo que Yuna recorrió más distancia que Luis.
Me pregunto si caminaban cuesta arriba.
Me pregunto por qué la mayoría de los segmentos de recta son diagonales. Me pregunto por qué la gráfica de Luis tiene un segmento de recta plano.
Organizar
¿Qué creen que hicieron Yuna y Luis para crear sus gráficas?
Creo que registraron la distancia que recorrieron en distintos momentos. Crearon pares ordenados usando la distancia total en cada momento. Luego, rotularon los ejes, determinaron una escala y marcaron los puntos en sus planos de coordenadas.
Mostrar
Concentrémonos en quién recorrió mayor distancia, Luis o Yuna. ¿Dónde ven eso en este trabajo?
Creo que Yuna recorrió una distancia mayor. Su gráfica termina más arriba que la gráfica de Luis
Creo que Yuna recorrió una distancia mayor. En la gráfica de Yuna, la coordenada y del último punto es 4, lo que quiere decir que caminó una distancia de 4 millas. En la gráfica de Luis, la coordenada y del último punto es 2.25, lo que quiere decir que caminó una distancia de 2.25 millas.
Para guiar la conversación sobre lo que muestra el plano de coordenadas acerca de la distancia que recorrieron Yuna y Luis, invite a cada pareja a retirar la hoja extraíble de Distancia recorrida de sus libros. Pídales que comenten las dos gráficas usando las siguientes preguntas, que también están en la página. No es necesario que sus estudiantes escriban las respuestas. El objetivo de las preguntas es guiar una conversación. Recorra el salón de clases mientras las parejas conversan, corrija conceptos erróneos y responda sus preguntas según sea necesario.
• ¿Qué representa el punto (0, 0) en la gráfica de Yuna? ¿Representa lo mismo en la gráfica de Luis?
• En la gráfica de Luis, ¿por qué creen que la línea entre los 25 y los 35 minutos es horizontal?
Nota para la enseñanza
Puede haber estudiantes que observen las gráficas y sugieran que Yuna y Luis están caminando cuesta arriba. Considere caminar alrededor del salón de clases y pedir a sus estudiantes que estimen la distancia que recorrió y cuánto tardó. A continuación, marque el punto (0, 0) y el punto que representa la distancia recorrida en su caminata por el salón de clases. Destaque que el segmento de recta entre los puntos va hacia arriba porque aumentó la distancia recorrida a lo largo del tiempo, a pesar de que usted caminó en una superficie plana.
Diferenciación: Apoyo
Mientras recorre el salón de clases, considere brindar apoyo adicional a quienes lo necesiten haciendo las siguientes preguntas:
• ¿Quién caminó una distancia total de 4 millas? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué distancia caminó Luis después de 15 minutos?
• ¿Quién caminó 1 milla después de 20 minutos? ¿Cómo lo saben?
• ¿Cuánto tardó Luis en caminar 2 millas?
• ¿Yuna caminó más rápido entre los minutos 30 y 40 o entre los minutos 40 y 50? ¿Cómo lo saben?
• ¿Yuna regresó a donde comenzó? ¿Cómo lo saben?
• ¿Por qué ningún segmento de recta va hacia abajo de izquierda a derecha?
• Un segmento de recta en la gráfica de Luis pasa por el punto (20, 0.75). ¿Sabemos con certeza que Luis caminó 0.75 millas después de 20 minutos?
• ¿Es posible usar esta gráfica lineal para predecir cuánto caminó Yuna después de 70 minutos?
¿Por qué?
Cuando hayan terminado, reúna a sus estudiantes y guíe una conversación de toda la clase. Pídales que resuman brevemente sus respuestas a las preguntas de Distancia recorrida. Luego, plantee el desafío de conectar este trabajo con su comprensión del plano de coordenadas. Use preguntas para incentivar el razonamiento matemático.
Sintetizar
¿Por qué es útil ver la información de las caminatas de Yuna y Luis en una gráfica lineal?
Una gráfica lineal me ayuda a ver con facilidad la distancia que recorrieron Yuna y Luis. También puedo ver claramente cuántos minutos caminaron.
Ver los segmentos de recta en una gráfica lineal me ayuda a ver si la persona se detuvo y por cuánto tiempo.
Comprender
¿Cómo nos ayuda el plano de coordenadas a contar una historia sobre la distancia que recorre una persona a lo largo del tiempo?
El plano de coordenadas nos ayuda a interpretar el significado de los puntos y los segmentos de recta. Podemos usar los rótulos y las escalas de los ejes para determinar qué representa cada punto, por ejemplo, la distancia que alguien caminó y cuánto tiempo lo hizo. Podemos usar las coordenadas y la cuadrícula para ver e interpretar cualquier segmento de recta horizontal.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Interpretar gráficas lineales
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación sobre cómo se puede usar el plano de coordenadas para representar datos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
En la parte (a) del problema 3, ¿cómo determinaron cuántas pulgadas de lluvia cayeron en 5 horas?
Fui hasta 5 en el eje x y, luego, subí hasta llegar al punto en la gráfica. La coordenada y de este punto es 2.25, así que en 5 horas cayeron 2.25 pulgadas de lluvia en total.
En la parte (b) del problema 3, ¿cómo determinaron el periodo de media hora en el que cayeron 0.5 pulgadas de lluvia?
Sabía que la longitud del intervalo entre las líneas de la cuadrícula del eje x representa 0.25 horas, y la longitud del intervalo entre las líneas de la cuadrícula del eje y representa 0.25 pulgadas. Entonces, hallé un punto que estaba 2 líneas de la cuadrícula a la derecha y 2 líneas de la cuadrícula más arriba que otro punto.
¿Por qué una gráfica lineal es una herramienta útil para representar datos?
Una gráfica lineal muestra una imagen de los datos.
Una gráfica lineal muestra cómo aumenta, disminuye o se mantiene igual una cantidad.
¿Cómo interpretamos una gráfica lineal?
Determinamos las coordenadas de puntos en la gráfica e interpretamos el significado de las coordenadas. Observamos segmentos de recta para determinar si las coordenadas y aumentan o disminuyen. Ver todos los segmentos de recta juntos nos ayuda a determinar si hay una tendencia.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. La gráfica lineal muestra el número de animales en un refugio al principio de cada mes durante un año. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (d).
a. ¿Al principio de qué mes hay más animales en el refugio?
Mes 5
b. ¿Al principio de qué mes hay 2 animales en el refugio?
Mes 12
0123468579111 102 2 4 6 8 14 16 18 12 10 y x Número de animales en el refugio
Mes Número de animales
c. ¿Entre el inicio de qué 2 meses no cambia el número de animales?
Entre los meses 8 y 9
d. ¿Cuántos animales más que al inicio del mes 4 hay en el refugio al inicio del mes 5? 6
2. La gráfica lineal muestra el número de puntos de salud que tiene el personaje de un videojuego al inicio de cada segmento de una aventura. Usa la gráfica para completar las partes (a) a (d).
a. ¿Durante qué segmento disminuyó más rápido el número de puntos de salud del personaje?
Segmento 1
b. ¿Durante qué segmento el número de puntos de salud del personaje se mantiene igual?
Segmento 7
Segmentos Puntos de salud
y x Salud del personaje del videojuego
01234685791101
c. ¿Durante qué segmento el personaje suma puntos de salud? Explica. El personaje suma puntos de salud durante el segmento 5, porque ese segmento de recta va hacia arriba de izquierda a derecha.
d. ¿Cuántos puntos de salud usa el personaje entre el inicio del segmento 1 y el inicio del segmento 3?
3. Sasha mide la cantidad de lluvia que cayó durante una tormenta, cada media hora, a lo largo de 5 horas. Usa la gráfica que muestra sus resultados para completar las partes (a) a (d).
Cantidad de lluvia que cayó por hora
a. ¿Cuántas pulgadas de lluvia cayeron durante este período de 5 horas? 2.25 pulgadas
b. ¿Durante qué período de media hora cayeron 0.5 pulgadas de lluvia?
Entre la hora 0.5 y la hora 1
c. ¿Durante qué período de media hora cayó más lluvia?
Entre la hora 2.5 y la hora 3
d. ¿Por qué el segmento de recta es horizontal entre la hora 1.5 y la hora 2.5?
No llovió entre la hora 1.5 y la hora 2.5.
Razonar acerca de los patrones visuales usando tablas y gráficas (opcional)
Se muestran los tres primeros pasos de un patrón de estrellas y cuadrados.
a. La tabla representa el número de estrellas y cuadrados en cada paso. Completa la tabla donde x representa el número de estrellas y y representa el número de cuadrados en cada paso.
Número de estrellas Número de cuadrados Par ordenado
1 3 (1, 3)
3 4 (3, 4)
5 5 (5, 5)
7 6 (7, 6)
b. Usa el plano de coordenadas para marcar los pares ordenados de la parte (a). Rotula los ejes.
Número de cuadrados
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y x Patrón de estrellas y cuadrados
012346857910
Número de estrellas
c. Describe el patrón para el número de estrellas.
El número de estrellas empieza en 1 y aumenta en 2 en cada paso.
d. Describe el patrón para el número de cuadrados.
El número de cuadrados empieza en 3 y aumenta en 1 en cada paso.
e. ¿Cuántas estrellas y cuadrados habría en el quinto paso del patrón?
Habría 9 estrellas y 7 cuadrados.
Nombre
EUREKA MATH
EUREKA MATH
Vistazo a la lección
La clase aplica su comprensión de las relaciones entre términos correspondientes en patrones de números para identificar y analizar relaciones en patrones visuales. Aprenden que las representaciones visuales, tablas y gráficas son herramientas útiles para representar y comparar patrones de números.
En esta lección, no se incluye Grupo de problemas. En su lugar, la clase trabaja en parejas y usa los puntos de una gráfica para diseñar los pasos de un patrón visual.
Preguntas clave
• ¿Qué herramientas podemos usar para representar la relación entre dos cantidades en un patrón?
• ¿Cómo pueden usar los puntos que hay en una gráfica para hacer una tabla que muestre patrones de números?
Criterio de logro académico
En esta lección, se amplía el trabajo de hallar relaciones de una sola operación entre coordenadas correspondientes al hallar relaciones de operaciones mixtas entre coordenadas correspondientes. El contenido de la lección ofrecerá una evaluación formativa y, por lo tanto, no se incluye en las evaluaciones acumulativas de 5.o grado.
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Analizar dos patrones
• Crear patrones
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Patrón A (en la edición para la enseñanza)
• Patrón B (en la edición para la enseñanza)
• Patrón C (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Tarjetas para emparejar áreas, Juego B (1 juego por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• notas adhesivas (5 por pareja de estudiantes)
• Tabla de patrones de números (en el libro para estudiantes)
• Lápices de colores (2 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
• Imprima o haga copias de las hojas extraíbles de Patrón A, Patrón B y Patrón C. Prepare suficientes como para que cada pareja de estudiantes pueda seleccionar un patrón.
• Retire las hojas extraíbles de Tarjetas para emparejar áreas, Juego B del libro para estudiantes y recorte las tarjetas. Considere si desea preparar estos materiales con antelación o si los preparará con la clase durante la lección.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tabla de patrones de números de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
• Prepare 2 lápices de diferentes colores por pareja de estudiantes.
Fluidez
Emparejar: Área con longitudes de lado fraccionarias
Materiales: E) Tarjetas para emparejar áreas, notas adhesivas
La clase empareja rectángulos con la misma área y registra una expresión para adquirir fluidez con la destreza de hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias del módulo 5.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Distribuya un juego de tarjetas y notas adhesivas a cada pareja de estudiantes y pídales que completen la actividad usando el siguiente procedimiento:
• Coloquen todas las tarjetas bocarriba.
• Emparejen rectángulos con la misma área.
• Coloquen cada grupo de tarjetas emparejadas una junto a la otra.
• Usen una nota adhesiva para escribir una expresión que se pueda usar para calcular el área de los rectángulos. Colóquenla junto a las tarjetas emparejadas.
Nota para la enseñanza
La clase tendrá la oportunidad de calcular el área de los rectángulos en la lección 20.
• Continúen hasta que todas las tarjetas estén emparejadas.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
Intercambio con la pizarra blanca: Patrones de números
Materiales: E) Tabla de patrones de números
La clase completa una tabla usando dos reglas dadas para adquirir fluidez con la generación de patrones con números enteros y fracciones del tema B.
Muestre la tabla.
Completen la tabla usando las reglas para las coordenadas x y y.
La regla para la coordenada x es sumar 1.
La regla para la coordenada y es sumar 1 _ 2 .
Muestre las coordenadas x y y iniciales y el primer par ordenado.
Escriban las coordenadas x y y iniciales y el primer par ordenado y, luego, completen el resto de la tabla.
Reglaparalacoordenada x:Sumar1
Reglaparalacoordenada y:Sumar1 2
x Coordenada y
ordenado
Nota para la enseñanza
La clase tendrá la oportunidad de representar gráficamente los pares ordenados en la lección 20.
2
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la tabla completada.
Presentar
La clase compara dos patrones visuales.
Muestre los patrones de las estrellas y los corazones.
Se muestran las tres primeras repeticiones de un patrón visual. Cada paso incluye un número de estrellas y un número de corazones. Reúnanse y conversen en parejas para describir el patrón y cómo cambia en cada paso.
¿En qué se parecen el número de estrellas y el número de corazones de cada patrón? ¿En qué se diferencian?
El número de estrellas y el número de corazones empiezan en 1.
El número de estrellas aumenta en 3 estrellas cada vez. El número de corazones aumenta en 9 corazones cada vez. 5
Apoyo para la comprensión del lenguaje
El término paso tiene varios significados en matemáticas y en el uso cotidiano. En esta lección, paso se refiere a una colección de objetos o figuras en un patrón. Considere usar imágenes para resaltar algunos de los diferentes significados del término paso
• Los pasos 1, 2 y 3 muestran un patrón de figuras.
Paso 1 Paso 2 Paso 3
• Cuando caminamos, damos pasos.
Invite a sus estudiantes a mostrar dónde se agregan las figuras adicionales a cada figura en el patrón.
¿Cómo pueden describir con un número inicial y un patrón de números la parte de las estrellas en el patrón?
Comenzar con 1 estrella y sumar 3 estrellas en cada uno de los pasos siguientes
¿Dónde se suman las tres estrellas?
Se suma 1 estrella a la izquierda de la estrella original, 1 estrella arriba de la estrella original y 1 estrella a la derecha de la estrella original.
¿Cómo pueden describir con un número inicial y un patrón de números la parte de los corazones en el patrón?
Comenzar con 1 corazón y sumar 9 corazones en cada uno de los pasos siguientes.
¿Dónde se suman los 9 corazones?
Se suman 3 corazones a la izquierda del corazón original, 3 corazones debajo del corazón original y 3 corazones a la derecha del corazón original.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo determinaron la manera en la que aumenta el número de estrellas y corazones en cada paso.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
En lecciones anteriores, identificamos las relaciones en patrones de números y las representamos en el plano de coordenadas.
Hoy, vamos a analizar y crear patrones visuales.
DUA: Representación
Resalte el crecimiento de cada figura para mostrar cómo crecen los patrones.
Aprender
Analizar dos patrones
La clase usa tablas y gráficas para analizar patrones.
Continúe mostrando los patrones visuales de las estrellas y los corazones de la sección Presentar.
¿Cuántas estrellas habrá en el siguiente paso de este patrón? ¿Cómo lo saben?
Habrá 10 estrellas en el siguiente paso. Lo sé porque en el paso anterior había 7 estrellas y habrá 3 estrellas más que eso.
¿Cuántos corazones habrá en el siguiente paso de este patrón? ¿Cómo lo saben?
Habrá 28 corazones en el siguiente paso. Lo sé porque en el paso anterior había 19 corazones y habrá 9 corazones más que eso.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que completen las partes (a) y (b) en parejas.
1. Se muestran las primeras tres repeticiones de un patrón de estrellas y corazones.
a. La tabla representa el número de estrellas y corazones en cada repetición. Completa la tabla donde x representa el número de estrellas y y representa el número de corazones en cada paso.
Número de estrellas Número de corazones Par ordenado
b. Usa el plano de coordenadas para marcar los pares ordenados de la parte (a). Rotula los ejes.
Patrones crecientes de estrellas y corazones
Número de corazones
Número de estrellas
Cuando sus estudiantes hayan terminado, muestre la tabla y la gráfica con el número de estrellas y el número de corazones.
Número de estrellas Número de corazones
Patrones crecientes de estrellas y corazones
Número de estrellas
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan acerca de los puntos marcados.
Observo que los puntos parecen estar ubicados en una recta.
Observo que, para ir de un punto al siguiente, me muevo 3 unidades hacia la derecha y 9 unidades hacia arriba.
El número de estrellas y el número de corazones crean pares ordenados de puntos que se ubican en una recta. Para ir de un punto al siguiente, nos movemos 3 unidades hacia la derecha y 9 unidades hacia arriba. ¿Por qué nos movemos 3 unidades hacia la derecha?
Nos movemos 3 unidades hacia la derecha porque el número de estrellas en el patrón aumenta en 3 cada vez.
¿Por qué nos movemos 9 unidades hacia arriba?
Nos movemos 9 unidades hacia arriba porque el número de corazones en el patrón aumenta en 9 cada vez.
Sin marcar los puntos en el plano de coordenadas y solo mirando los patrones de números en la tabla, ¿podrían saber que los puntos parecen estar ubicados en una recta? Expliquen.
Sí. Observo que el número de estrellas siempre aumenta en 3 y el número de corazones siempre aumenta en 9. Como ambos siguen una regla de suma, sabía que los puntos parecerían ubicarse en una recta.
No, necesito ver las ubicaciones de los puntos en la gráfica para determinar si parecen ubicarse en una recta.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la siguiente pregunta. No se espera que todos sus estudiantes respondan de manera correcta.
Si conocen el número de estrellas al inicio del patrón, ¿pueden hallar el número de corazones? ¿Cómo?
Sí. Puedo multiplicar el número de estrellas por 3 y restar 2 para determinar el número de corazones.
Para determinar el número de corazones, multiplicamos el número de estrellas por 3 y restamos 2. Expliquen cómo determinaron esta relación.
Sabía que, en cada paso, sumaba 3 veces la cantidad de corazones que de estrellas, pero multiplicar el número de estrellas por 3 no me daba el número correcto de corazones. Me di cuenta de que, cuando multiplicaba el número de estrellas por 3, el número de corazones era siempre 2 menos que ese número. Entonces, el número de corazones debe ser 2 menos que 3 veces el número de estrellas.
Demuestre que la relación de multiplicar el número de estrellas por 3 y, luego, restar 2 para obtener el número de corazones funciona para cada par de valores en la tabla. Por ejemplo, (10 × 3) − 2 = 30 − 2 = 28.
Pida a sus estudiantes que registren esta respuesta en la parte (c). Luego, invíteles a completar la parte (d).
c. ¿Cuál es la relación entre el número de estrellas y el número de corazones en las figuras correspondientes?
El número de corazones es 2 menos que 3 veces el número de estrellas.
d. Si el número de estrellas es 34, ¿cuál es el número de corazones?
100 (34 × 3) − 2 = 102 − 2 = 100
Elija a alguien que quiera compartir con la clase su solución y su método para la parte (d).
Escriba los términos patrón visual, tabla, gráfica y regla.
Usaron un patrón visual, una tabla, una gráfica y una regla para representar los patrones de números de estrellas y corazones. Reúnanse y conversen en parejas sobre las ventajas y desventajas de cada una de las cuatro representaciones de la relación entre las dos cantidades.
Dé a la clase unos minutos para conversar. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y tome nota de las ideas que le gustaría que toda la clase escuchara. Una vez que hayan terminado, reúna a la clase e invite a quienes seleccionó a compartir sus ideas. Busque razonamientos como los siguientes.
El patrón visual me permite ver cómo cambian los pasos del patrón, pero podría ser difícil de dibujar.
Puedo ver cómo aumentan los dos patrones de números y las relaciones entre los patrones usando la tabla, pero no sé cómo se ven los patrones visuales.
Puedo ver si los puntos parecen ubicarse en una recta usando una gráfica, pero hacer una gráfica lleva mucho tiempo.
Una regla me permite determinar con facilidad el número de corazones si sé el número de estrellas, pero no sé cómo se ven los patrones visuales.
Diferenciación: Desafío
Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, considere hacer las siguientes preguntas:
• Si el patrón tiene 136 corazones, ¿cuántas estrellas tiene?
• Si el patrón continúa, ¿habrá un paso que tenga 108 estrellas y 322 corazones? ¿Cómo lo saben?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando razona sobre qué representación de patrones es más útil para ver la relación entre dos cantidades.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué herramientas les pueden ayudar a determinar el número de estrellas si conocen el número de corazones?
• ¿Qué herramienta sería más útil para determinar cómo crecen dos patrones de números? ¿Por qué?
Muestre los cuadrados que se componen de cuadrados unitarios del problema 2.
Cuadrado 1
Cuadrado 2
Cuadrado 3
Lea las instrucciones del problema 2 en voz alta.
En el problema 2, determinarán el área y el perímetro de cada cuadrado, usarán esos números para crear pares ordenados y marcarán los pares ordenados en el plano de coordenadas. Reúnanse y conversen en parejas acerca de si creen que los puntos parecerán ubicarse en una recta.
Pida a sus estudiantes que completen el problema 2 en parejas. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y haga las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es el área de un cuadrado unitario?
• ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado unitario?
• ¿Cómo se determina el perímetro de un cuadrado?
• ¿Cómo creen que se verá el cuadrado 4? ¿Por qué?
2. El cuadrado 1 está formado por 1 cuadrado unitario. El cuadrado 2 está formado por 4 cuadrados unitarios. El cuadrado 3 está formado por 9 cuadrados unitarios.
Cuadrado 1
Cuadrado 2
Cuadrado 3
Cuadrado 4
Cuadrado 5
a. Dibuja el cuadrado 4 y el cuadrado 5.
b. Completa la tabla que muestra la relación entre el área y el perímetro de cada cuadrado. La primera fila ya está completada como ejemplo.
Área (unidades cuadradas) Perímetro (unidades) Par ordenado
Perímetro (unidades)
c. Marca los pares ordenados de la parte (b) en el plano de coordenadas. 0246812141618202 10224 2 4 8 6 10 16 18 20 22 12 14 y
Área y perímetro de los cuadrados
Área (unidades cuadradas)
Reúna a la clase cuando hayan terminado. Muestre la gráfica de la solución de la parte (b).
¿En qué se diferencia la relación entre el área y el perímetro de los cuadrados de la relación entre el número de estrellas y el número de corazones?
Los patrones de números creados por los patrones de estrellas y corazones produjeron pares ordenados que parecen ubicarse en una recta. Los pares ordenados creados por el área y el perímetro del cuadrado no parecen ubicarse en una recta.
Perímetro (unidades)
Área y perímetro de los cuadrados
Área (unidades cuadradas)
En la gráfica que muestra la relación entre el número de estrellas y el número de corazones, podíamos ir de un punto a otro si nos movíamos siempre el mismo número de unidades hacia la derecha que hacia arriba. Determinen la distancia vertical y la distancia horizontal entre los puntos en sus gráficas de la parte (c).
Diferenciación: Desafío
Considere desafiar a sus estudiantes a que determinen una regla para explicar la relación entre el área y el perímetro de los cuadrados.
Muestre la gráfica con la distancia horizontal y la distancia vertical entre los puntos.
¿Qué observan acerca de la distancia vertical entre los puntos?
Siempre es 4 unidades.
La distancia vertical entre los puntos es siempre 4 unidades. ¿Qué nos indica esa información sobre el perímetro de las figuras cuadradas en el patrón?
Cada vez que se crea una nueva figura, el perímetro aumenta en 4 unidades.
¿Qué observan acerca de la distancia horizontal entre los puntos? Cambia.
Siempre es un número impar.
Cada distancia horizontal es 2 más que la anterior.
Perímetro (unidades)
Área y perímetro de los cuadrados
Área (unidades cuadradas)
¿Cuál es el par ordenado del siguiente punto en esta gráfica? ¿Cómo lo saben? (36, 24)
El último punto marcado en la gráfica era (25, 20). Sumé 11 a la coordenada x 25 y sumé 4 a la coordenada y 20.
El siguiente cuadrado en el patrón será un cuadrado de 6 × 6. Su área será 36 unidades cuadradas porque 6 × 6 = 36, y su perímetro será 24 unidades porque 6 + 6 + 6 + 6 = 24.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para pensar en dos patrones de números (que no sean los que acaban de examinar) que, cuando se usen para crear coordenadas x y y y, luego, se representen gráficamente en un plano de coordenadas, no parezcan estar en una recta.
Materiales: M) Patrón A, Patrón B y Patrón C; E) Lápices de colores
La clase usa información de una gráfica para crear dos patrones visuales.
Presente el patrón, la tabla y la gráfica que muestran la relación entre el número de estrellas y el número de corazones.
Número de estrellas Número de corazones Par ordenado
1 1 (1, 1)
4 10 (4, 10)
7 19 (7, 19) 10 28 (10, 28) 13 37 (13, 37)
Número de corazones
Patrones crecientes de estrellas y corazones
y x
0111213141 55
Número de estrellas
Antes, usaron las repeticiones de un patrón con estrellas y corazones para crear pares ordenados, marcar puntos y describir relaciones.
Muestre las gráficas de los patrones A, B y C.
Patrón A
Patrón B
de círculos
de círculos
Patrón C
Los cuatro puntos marcados en cada gráfica representan el número de círculos y el número de cuadrados en las primeras cuatro repeticiones de un patrón visual. En parejas, crearán una tabla para represente el número de círculos y el número de cuadrados en cada paso del patrón, responderán preguntas sobre el patrón y dibujarán cómo creen que se verá cada paso del patrón visual.
Invite a sus estudiantes a elegir el patrón con el que quieren trabajar: patrón A, patrón B o patrón C .
Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y haga las siguientes preguntas:
• ¿Cómo cambia el número de círculos en cada paso? ¿Cómo lo saben?
• ¿Cómo cambia el número de cuadrados en cada paso? ¿Cómo lo saben?
• ¿Cómo pueden determinar la relación entre el número de círculos y el número de cuadrados?
• ¿Cómo se compara la regla para el número de círculos con la regla para el número de cuadrados?
Si hay tiempo suficiente, considere organizar un paseo por la galería para que sus estudiantes vean los patrones de sus pares. Agrupe los dibujos para cada patrón. Invite a sus estudiantes a dar el paseo por la galería en parejas para que comenten las semejanzas y diferencias entre los patrones visuales y las observaciones distintas a las de la propia pareja que hicieron otras personas.
Concluir
Reflexión final 5 min
Materiales: E) Patrón A, B o C
Objetivo: Razonar acerca de los patrones visuales usando tablas y gráficas
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Patrón A, B o C. Seleccione a estudiantes que quieran compartir sus procesos para crear los pasos de un patrón según la información de una gráfica. Luego, use las siguientes preguntas para guiar una conversación. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
Nota para la enseñanza
Los patrones A, B y C están en orden de menor a mayor dificultad. Considere ofrecer el patrón A a quienes necesiten más apoyo, y el patrón C a quienes necesiten un desafío adicional.
¿Qué herramientas podemos usar para representar la relación entre dos cantidades en un patrón?
Podemos usar un patrón visual con cualquier tipo de figura u objeto. Podemos usar dos columnas en una tabla para representar las dos cantidades. Podemos usar una gráfica para marcar puntos si la coordenada x representa una cantidad y la coordenada y representa otra cantidad.
¿Cómo pueden usar los puntos que hay en una gráfica para hacer una tabla que muestre patrones de números?
Si la coordenada x representa una cantidad y la coordenada y representa otra cantidad, entonces, puedo crear una tabla con las coordenadas x en la primera columna y las coordenadas y en una segunda columna. Las coordenadas x forman un patrón de números y las coordenadas y forman otro patrón de números.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos
de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
La gráfica muestra el número de cuadrados y el número de círculos en las repeticiones de un patrón visual. 012346789 5 1 2 4 3
Número de círculos Patrón A Número de cuadrados
a. Completa la tabla. Par ordenado Número de círculos Número de cuadrados (2,5)25 (4,7)47 (6,9)69 (8,11)811
b. ¿Cómo cambia el número de círculos en cada repetición del patrón? Aumenta en 2
c. ¿Cómo cambia el número de cuadrados en cada repetición del patrón? Aumenta en 2
d. Si el patrón continúa, ¿cuál es el par ordenado para el siguiente punto marcado? (10,13)
e. ¿Cuál es la relación entre el número de círculos y el número de cuadrados?
El número de cuadrados es 3 más que el número de círculos.
f. Dibuja las primeras cuatro repeticiones de cómo crees que se vería el patrón visual. Usa un color para los círculos y otro color para los cuadrados.
Ejemplo:
La gráfica muestra el número de cuadrados y el número de círculos en las repeticiones de un patrón visual.
Patrón B Número de cuadrados
a. Completa la tabla.
Número de círculos
Par ordenado Número de círculos Número de cuadrados
(2, 3) 2 3
(4, 7) 4 7
(6, 11) 6 11
(8, 15) 8 15
b. ¿Cómo cambia el número de círculos en cada repetición del patrón?
Aumenta en 2
c. ¿Cómo cambia el número de cuadrados en cada repetición del patrón?
Aumenta en 4
d. Si el patrón continúa, ¿cuál es el par ordenado para el siguiente punto marcado?
(10, 19)
e. ¿Cuál es la relación entre el número de círculos y el número de cuadrados?
El número de cuadrados es 1 menos que el doble del número de círculos.
f. Dibuja las primeras cuatro repeticiones de cómo crees que se vería el patrón visual. Usa un color para los círculos y otro color para los cuadrados.
Ejemplo:
La gráfica muestra el número de cuadrados y el número de círculos en las repeticiones de un patrón visual.
Patrón C Número de cuadrados
a. Completa la tabla.
Número de círculos
Par ordenadoNúmero de círculosNúmero de cuadrados
(2, 3) 2 3
(14, 6) 14 6
(26, 9) 26 9
(38, 12) 38 12
b. ¿Cómo cambia el número de círculos en cada repetición del patrón?
Aumenta en 12
c. ¿Cómo cambia el número de cuadrados en cada repetición del patrón?
Aumenta en 3
d. Si el patrón continúa, ¿cuál es el par ordenado para el siguiente punto marcado?
(50, 15)
e. ¿Cuál es la relación entre el número de círculos y el número de cuadrados?
Se suma 10 al número de círculos y se divide entre 4 para determinar el número de cuadrados.
f. Dibuja las primeras cuatro repeticiones de cómo crees que se vería el patrón visual. Usa un color para los círculos y otro color para los cuadrados.
Ejemplo
La gráfica muestra el número de cuadrados y el número de círculos en las repeticiones de un patrón visual. 0 1234 6789 5 42115109853 141312116 7 y x
Número de círculos P atrón A
Número de círculos Número de cuadrados
Número de cuadrados a. Completa la tabla. Par ordenado
b. ¿Cómo cambia el número de círculos en cada repetición del patrón? c. ¿Cómo cambia el número de cuadrados en cada repetición del patrón?
d. Si el patrón continúa, ¿cuál es el par ordenado para el siguiente punto marcado?
e. ¿Cuál es la relación entre el número de círculos y el número de cuadrados?
f. Dibuja las primeras cuatro repeticiones de cómo crees que se vería el patrón visual. Usa un color para los círculos y otro color para los cuadrados.
La gráfica muestra el número de cuadrados y el número de círculos en las repeticiones de un patrón visual. 0 1234 6789 5 42115109853 141312116 7 y x
Número de círculos P atrón B
Número de círculos Número de cuadrados
Número de cuadrados
a. Completa la tabla. Par ordenado
b. ¿Cómo cambia el número de círculos en cada repetición del patrón?
c. ¿Cómo cambia el número de cuadrados en cada repetición del patrón?
d. Si el patrón continúa, ¿cuál es el par ordenado para el siguiente punto marcado?
e. ¿Cuál es la relación entre el número de círculos y el número de cuadrados?
f. Dibuja las primeras cuatro repeticiones de cómo crees que se vería el patrón visual. Usa un color para los círculos y otro color para los cuadrados.
La gráfica muestra el número de cuadrados y el número
patrón visual.
Número de cuadrados
Número de círculos
Número de círculos Número de cuadrados
a. Completa la tabla. Par ordenado
b. ¿Cómo cambia el número de círculos en cada repetición del patrón?
c. ¿Cómo cambia el número de cuadrados en cada repetición del patrón?
d. Si el patrón continúa, ¿cuál es el par ordenado para el siguiente punto marcado?
e. ¿Cuál es la relación entre el número de círculos y el número de cuadrados?
f. Dibuja las primeras cuatro repeticiones de cómo crees que se vería el patrón visual. Usa un color para los círculos y otro color para los cuadrados.
Razonar acerca de patrones en situaciones del mundo real
Vistazo a la lección
La clase mira un video sobre una recaudación de dinero, crea una lista de preguntas acerca del video y selecciona una pregunta de enfoque para responder. Trabajan en grupos para hacer predicciones y determinar la información que necesitan y, luego, aplican lo que saben acerca de las relaciones entre los términos correspondientes de dos patrones de números para responder la pregunta de enfoque. La clase comparte, comenta y compara diferentes estrategias para resolver el problema.
En esta lección, no se incluye Grupo de problemas. El Boleto de salida de esta lección permite a la clase reflexionar sobre la lección.
Pregunta clave
• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos para resolver problemas del mundo real?
5.Mód6.CLA2 Generan y representan patrones numéricos utilizando tablas y el plano de coordenadas. (5.OA.B.3)
5.Mód6.CLA4 Resuelven problemas del mundo real usando el primer cuadrante del plano de coordenadas. (5.G.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• El desafío de recaudar monedas
• Compartir, comparar y conectar
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Plano de coordenadas (en el libro para estudiantes)
• Papel cuadriculado (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Plano de coordenadas de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Área con longitudes de lado fraccionarias
La clase calcula el área de un par de rectángulos para adquirir fluidez con la destreza de hallar el área de un rectángulo con longitudes de los lados fraccionarias del módulo 5.
Muestre los rectángulos y la ecuación.
Calculen el área.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Nota para la enseñanza
Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, puede haber estudiantes que elijan escribir el área del rectángulo que mide 1 1 4 por 2 3 4 como 55 16 , en lugar de usar el número mixto 3 7 16 .
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Patrones de números
Materiales: E) Plano de coordenadas
La clase marca puntos en un plano de coordenadas usando pares ordenados de una tabla para adquirir fluidez con la destreza de marcar pares ordenados en un plano de coordenadas del tema A.
Asegúrese de que cada estudiante tenga una hoja extraíble de Plano de coordenadas.
Muestre la tabla 1.
Marquen los pares ordenados.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre los puntos.
Repita el proceso con la tabla 2.
Tabla 2
Tabla 1
Presentar
La clase mira un video y genera preguntas sobre el número de nickels que se colocan en un frasco el último día de una recaudación de dinero.
Divida a sus estudiantes en grupos de tres o cuatro. Reproduzca el video Desafío de recaudar monedas, que muestra personas colocando dimes y nickels en un frasco para una recaudación de dinero. Pida a la clase que se reúna y converse acerca de lo que observaron en el video.
Invite a los grupos a compartir algo que hayan observado. Registre distintas observaciones, una a la vez, y muéstrelas de manera que toda la clase pueda verlas. Pida a sus estudiantes que hagan una señal silenciosa si observaron lo mismo.
A continuación, pida a la clase que se reúna y converse acerca de lo que se preguntan después de ver el video.
¿Qué preguntas tienen?
Pida a los grupos que compartan una de sus preguntas. No las responda. En cambio, use este tiempo para incentivar la curiosidad de la clase.
Registre distintas preguntas, una a la vez, y muéstrelas de manera que cada estudiante pueda verlas. Mientras lo hace, pregunte quién más tiene la misma pregunta. Registre el número de estudiantes que tiene cada pregunta colocando junto a ellas marcas de verificación, signos de suma u otra marca de conteo.
Si nadie pregunta sobre el número de nickels que se colocó en el frasco el último día de la recaudación, hágase usted la pregunta en voz alta. Pregunte a quién más esto le parece una pregunta interesante.
Muestre la siguiente pregunta de enfoque:
• ¿Cuántos nickels se colocaron en el frasco el último día de la recaudación de monedas?
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que escriban la pregunta de enfoque.
1. Escribe la pregunta de enfoque.
¿Cuántos nickels se colocaron en el frasco el último día de la recaudación de monedas?
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, vamos a determinar la cantidad de nickels que se colocaron en el frasco el último día de la recaudación de monedas.
DUA: Participación
El video Desafío de recaudar monedas proporciona un contexto interesante sobre una recaudación de dinero. En él, sus estudiantes pueden aplicar lo que saben acerca de patrones y relaciones entre términos correspondientes. Para establecer conexiones con el mundo real, pregunte a sus estudiantes si alguna vez realizaron una donación para recaudar dinero o si participaron en algún evento para recaudar juguetes o libros. Genere relevancia haciendo preguntas acerca de si alguna vez tuvieron una meta de recaudación o la necesidad de reunir una determinada cantidad de dinero para algo, por ejemplo nuevos uniformes para algún equipo deportivo.
Aprender
El desafío de recaudar monedas
Materiales: E) Papel cuadriculado
La clase desarrolla y aplica estrategias para determinar el número de nickels que se colocan en el frasco el último día de la recaudación de monedas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en grupos acerca de cuántos nickels creen que se colocaron en el frasco el último día de la recaudación.
¿Qué estimación no es razonable para el número de nickels que se colocaron en el frasco el último día? ¿Qué número es demasiado bajo? ¿Qué número es demasiado alto?
1 no es una estimación razonable. 500,000 no es una estimación razonable.
5 es demasiado bajo. 10 es demasiado bajo.
1,000 es demasiado alto. 1,000,000 es demasiado alto.
Invite a varios grupos a compartir sus estimaciones. Si hay estudiantes que no se ponen de acuerdo sobre si una estimación no es razonable, invíteles a explicar su razonamiento.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que escriban una estimación que sea demasiado baja y una estimación que sea demasiado alta. Luego, pídales que escriban su mejor estimación para el número de nickels, que debería estar entre las estimaciones bajas y altas que hicieron.
2. Una estimación demasiado baja es 20 . Una estimación demasiado alta es 250 Mi mejor estimación es 150 .
Invite a quienes forman los grupos a que se reúnan y conversen para determinar si el video brinda toda la información necesaria para responder la pregunta de enfoque del problema 1. Vuelva a reproducir el video si es necesario. Luego, pida a los grupos que vayan al problema 3 y que hagan una lista de la información que necesitan para responder la pregunta de enfoque. Recorra el salón de clases mientras los grupos conversan para evaluar su progreso.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando recopila, organiza y analiza datos, hace predicciones y desarrolla un método para determinar el número de nickels que se colocan en el frasco el último día de la recaudación de monedas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Qué pueden escribir para representar el problema de la recaudación de monedas?
• ¿Qué suposiciones pueden hacer para determinar el número de nickels que se colocan en el frasco el último día?
• ¿Qué desearían saber que les serviría de ayuda para hallar la respuesta?
3. ¿Qué información necesitas para responder la pregunta de enfoque?
El número de dimes y nickels que se colocaron en el frasco los días 1, 2 y 3
El número de días que se tardó en alcanzar la meta
La meta de la recaudación
El número de dimes que se colocaron en el frasco el último día
La cantidad total de dinero que se colocó en el frasco cada día
Invite a los grupos a compartir sus listas con la clase. Luego, muestre la gráfica.
Monedas que se colocaron en el frasco cada día
DUA: Representación
Considere proporcionar la información en un formato diferente. Cree una tabla con los encabezamientos Día, Número de dimes y Número de nickels y sugiera a sus estudiantes que usen la gráfica para completar la tabla. Además, considere recordarles que un nickel es $0.05 y un dime es $0.10.
Número de dimes
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la historia que cuenta esta gráfica.
El día 1, las personas pusieron 3 dimes y 7 nickels en el frasco.
El día 2, las personas pusieron 6 dimes y 13 nickels en el frasco.
El día 3, las personas pusieron 9 dimes y 19 nickels en el frasco.
El número de dimes y nickels que se colocaron en el frasco aumenta cada día.
Muestre la cantidad de dinero en dimes que se colocó en el frasco el último día.
Invite a la clase a Pensar-Trabajar en parejas-Compartir acerca de lo que les indica la imagen.
El último día, las personas pusieron $6.00 en dimes en el frasco.
Invite a la clase a que se reúna y converse en grupos acerca de cómo pueden usar la información dada en la gráfica y la imagen para responder la pregunta de enfoque. Luego, indique a los grupos que trabajen en conjunto para resolver el problema.
4. Responde la pregunta de enfoque. Muestra o explica tu estrategia.
Se colocaron 121 nickels en el frasco el último día de la recaudación de monedas.
¡Último día!
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Haga una distinción entre el número de dimes y nickels y la cantidad de dinero en dimes y en nickels. Considere mostrar a sus estudiantes varios dimes. Pregúnteles cuántos dimes tiene. Luego, pregunte a sus estudiantes si podrían usarlos para comprar algo que cuesta $0.50 y por qué. Por ejemplo, si usted tiene 3 dimes, no puede comprar algo que cuesta $0.50 porque la cantidad de dinero que tiene, $0.30, no es suficiente. De ser necesario, repita la actividad con un número de nickels.
DUA: Acción y expresión
$6.00 en dimes
Pida a sus estudiantes que dibujen para representar sus estrategias y hallar el número de nickels que se colocaron en el frasco el último día. Permítales seleccionar sus propias herramientas y estrategias para hallar la solución usando lo que saben acerca de patrones de números y relaciones entre términos correspondientes.
Mientras sus estudiantes trabajan para responder la pregunta de enfoque, considere proporcionar sugerencias para manejar la frustración y perseverar:
• Practiquen el diálogo interno con enunciados como: “¡Puedo hacerlo!”.
• Tengan una mentalidad de crecimiento. En lugar de pensar, “No lo entiendo”, piensen: “Todavía no lo entiendo”.
• Hagan una pausa para respirar profundamente y tranquilizarse antes de volver a trabajar.
• Elijan un enfoque diferente.
• Hagan preguntas para aclarar dudas.
Recorra el salón de clases mientras los grupos trabajan y observe las estrategias. Seleccione a varios grupos para que compartan su trabajo en el siguiente segmento. Busque ejemplos de trabajos que muestren diferentes formas de hallar el número de nickels que se colocaron en el frasco el último día. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo cada estrategia muestra la manera de hallar patrones.
Busque ejemplos de trabajos en los que se usen distintas estrategias. Los ejemplos de trabajo de la clase demuestran cuatro estrategias posibles:
Diferenciación: Apoyo
De ser necesario, brinde apoyo a sus estudiantes y ayude a que los grupos avancen haciendo las siguientes preguntas mientras recorre el salón de clases:
• ¿Pueden hacer una tabla? ¿Pueden extender la gráfica?
• ¿Qué patrones observan en la tabla? ¿Qué patrones observan en la gráfica?
• ¿Hay alguna relación entre el número de dimes y el número de nickels que se colocan en el frasco cada día?
• ¿Hay alguna relación entre la cantidad de dinero en dimes y la cantidad de dinero en nickels que se coloca en el frasco cada día?
• ¿Qué suposición pueden hacer acerca del número de dimes y el número de nickels que se colocan en el frasco cada día?
Considere desafiar a sus estudiantes a usar otro enfoque para hallar el número de nickels que se colocan en el frasco el último día de la recaudación de monedas. También considere pedirles que respondan otras preguntas generadas en la sección Presentar, una de las siguientes preguntas o ambas preguntas:
• ¿Cuántos días duró la recaudación?
• ¿Cuánto dinero hay en el frasco el último día de la recaudación de monedas?
Se colocaron ca 121 en el frasco el último día.
Compartir, comparar y conectar
La clase comparte y compara las estrategias para hallar la solución y razona acerca de sus conexiones.
Reúna a la clase y pida a los grupos que seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones, uno a la vez. Considere ordenar los trabajos que compartieron sus estudiantes comenzando por aquellos con estrategias más concretas hasta llegar a las estrategias más abstractas.
A medida que cada grupo comparte su trabajo, haga preguntas para que expliquen su razonamiento, el modelo y la estrategia que usaron para representar el problema. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre las diferentes soluciones y el trabajo de cada estudiante. Anime a sus estudiantes a que hagan sus propias preguntas.
El ejemplo de conversación incluye preguntas que invitan a sus estudiantes a explicar su razonamiento y establecer conexiones.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige entre tablas, gráficas, patrones de suma y relaciones de operaciones mixtas para determinar el número de nickels que se colocan en el frasco el último día de la recaudación de monedas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué herramienta o estrategia sería más útil para determinar el número de nickels? ¿Por qué?
• ¿Por qué eligieron usar una tabla? ¿Funcionó bien?
• ¿Cómo pueden estimar la solución? ¿Les parece razonable su estimación?
Usar la gráfica (Método de Riley, Blake y Sasha)
¿Cómo resolvió el problema tu grupo, Riley?
Observamos que el movimiento entre puntos es 3 unidades hacia la derecha y 6 unidades hacia arriba. Vimos que, entre el día 1 y el día 6, el número de dimes aumentó en 15 y el número de nickels aumentó en 30. Sumamos 15 al número de dimes y 30 al número de nickels dos veces más. Después, sumamos 3 al número de dimes y 6 al número de nickels cuatro veces más.
¿Qué modelo usaron Riley y su grupo?
Usaron una gráfica y una tabla.
Monedas que se colocaron en el frasco cada día asco
nickels nickels
Se colocaron 121 en el frasco el último día.
¿Cómo supieron que debían detenerse al llegar a 60 dimes, Blake?
El último día, se colocaron en el frasco $6.00 en dimes. Sabemos que 10 dimes forman $1.00, así que 60 dimes forman $6.00, porque 10 × 6 = 60. Entonces, el último día, se colocaron 60 dimes en el frasco.
Sasha, ¿por qué tu grupo decidió representar con una gráfica y, luego, cambiaron y usaron una tabla?
Vimos el movimiento entre los puntos en la gráfica y pensamos que podíamos seguir usando la gráfica. Pero, después, se hizo demasiado grande y tuvimos que cambiar a la tabla.
Invite a la clase a que se reúna y converse acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Riley, Blake y Sasha y el trabajo de su propio grupo.
Usar una tabla (Método de Toby, Yuna y Noah)
¿Cómo representó el problema tu grupo, Toby?
Decidimos usar una tabla para registrar la cantidad de dinero en nickels que se colocó cada día en el frasco.
Yuna, cuéntanos sobre los patrones que observaron. Observamos que, cada día, se colocaban en el frasco 30 centavos más en dimes y 30 centavos más en nickels.
Entonces, seguimos sumando 30 centavos hasta llegar al día 20, que es cuando hubo 605 centavos en nickels.
Noah, ¿cómo supo tu grupo que 121 nickels es 605 centavos?
Sabíamos que 1 nickel es 5 centavos, así que dividimos 600 entre 5 y, luego, sumamos 1 para obtener 121.
$6 .0 0 30, 60, 90
centavos (Sumar 30 centavos cada día)
Se colocaron 121 en el frasco el último día.
¿En qué se parecen el razonamiento de este grupo y el razonamiento del grupo de Riley, Blake y Sasha?
Los dos grupos observaron patrones de suma y los continuaron hasta hallar la respuesta.
Invite a la clase a que se reúna y converse acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Toby, Yuna y Noah y sus propios trabajos.
Relación de suma (Método de Lisa, Tyler y Sana)
¿Cómo representaron el problema Lisa, Tyler y Sana?
Hicieron una tabla que muestra la cantidad de dinero en dimes y la cantidad de dinero en nickels que se colocaron cada día en el frasco.
Lisa, ¿por qué tu grupo no extendió la tabla hasta $6.00 en dimes?
5
5
Sumar $ 0. 30 Sumar $ 0. 30
$ 0. 05 más que cada día
5
Se colocaron 12 1 en el frasco el último día.
Observamos que la cantidad de dinero en nickels era siempre $0.05 más que la cantidad de dinero en dimes, así que sumamos 0.05 a 6 para hallar que, el último día, se colocaron $6.05 en nickels en el frasco.
Tyler, ¿cómo determinaron que $6.05 es 121 nickels?
Sabemos que 1 nickel es $0.05, entonces, 10 nickels forman $0.50. Eso significa que 100 nickels forman $5.00, y 20 nickels forman $1.00. Separamos 6.05 en 0.05 + 5.00 + 1.00, que es 1 + 100 + 20, o 121 nickels.
Invite a la clase a que se reúna y converse acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Lisa, Tyler y Sana y sus propios trabajos.
Relación de operaciones mixtas (Método de Jada, Luis y Scott)
¿Cómo representaron el problema Jada y su grupo?
Hicieron una tabla que muestra el número de dimes y el número de nickels que se colocan en el frasco cada día.
Jada, ¿cómo determinaron que, el último día, se colocaron 60 dimes en el frasco?
Sabemos que 1 dime es $0.10, así que 10 dimes es $1.00. Eso significa que 60 dimes es $6.00.
Luis, cuéntanos cómo resolvió tu grupo el problema.
Día Dimes Nickels
Sumar 3 Sumar 6 Sumar el doble de dime nickels nickels dimes dimes
Se colocaron locaron 12 1 en el frasco el último día.
Observamos que la regla para el número de dimes es sumar 3, y la regla para el número de nickels es sumar 6. Entonces, sumamos al número de nickels el doble de lo que sumamos al número de dimes. Nos dimos cuenta de que se puede multiplicar el número de dimes por 2 y, luego, sumar 1 para obtener el número de nickels. Multiplicamos 60 por 2 para obtener 120. Luego, sumamos 1 a 120 para obtener 121.
¿En qué se parecen el razonamiento de este grupo y el razonamiento del grupo anterior?
Los dos grupos vieron una relación entre los términos de cada patrón. El grupo anterior encontró una relación entre la cantidad de dinero en dimes y la cantidad de dinero en nickels que se coloca en el frasco cada día. Este grupo encontró una relación entre el número de dimes y el número de nickels que se colocan en el frasco cada día.
Invite a la clase a que se reúna y converse acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Jada, Luis y Scott y sus propios trabajos.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se usaron los patrones en cada estrategia.
Cada grupo encontró patrones de suma en el número de dimes y el número de nickels, o entre la cantidad de dinero en dimes y la cantidad de dinero en nickels, que se colocaron en el frasco cada día.
¿Qué suposiciones hizo cada grupo acerca de los patrones que observaron? ¿De qué manera esas suposiciones afectaron su solución?
Cada grupo supuso que los patrones que observaron en los primeros 3 días continuarían hasta el último día. Esta suposición les permitió usar los patrones de suma o hallar una relación entre los dimes y los nickels.
Invite a sus estudiantes a comentar en grupos las siguientes preguntas:
• ¿Su predicción estuvo cerca del número de nickels que se colocaron en el frasco el último día?
• Si tuviéramos un problema parecido, ¿lo resolverían de otra manera?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Razonar acerca de patrones en situaciones del mundo real
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase acerca de cómo usaron patrones y relaciones entre términos correspondiente para responder la pregunta de enfoque. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.
¿Dónde tuvo dificultades su grupo?
Dibujar una gráfica grande fue difícil.
Continuar las reglas de suma llevó mucho tiempo y era difícil no cometer un error al sumar una y otra vez.
Fue difícil calcular cuántos dimes es $6.00 y cuántos nickels es $6.05.
¿Qué haría diferente su grupo si tuvieran que resolver un problema parecido?
Haríamos una tabla de coordenadas en vez de dibujar una gráfica grande.
Buscaríamos una relación entre la cantidad de dinero en dimes y la cantidad de dinero en nickels para no tener que extender tanto la tabla.
Buscaríamos una relación entre el número de dimes y el número de nickels para no tener que extender tanto la tabla.
¿Cómo podemos usar lo que sabemos para resolver problemas del mundo real?
Podemos determinar qué información se nos da.
Podemos determinar qué información necesitamos para resolver el problema.
Podemos recopilar datos de gráficas.
Podemos hacer tablas para organizar los números.
Podemos buscar patrones y continuarlos.
Podemos buscar relaciones entre los términos de los patrones.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Nota para la enseñanza
En el Boleto de salida se pide a la clase que reflexione sobre esta lección.
Estándares
Estándares de contenido del módulo
Representan puntos gráficos en un plano de coordenadas para resolver problemas matemáticos y del mundo real.
5.G.A.1 Utilizan un par de rectas numéricas perpendiculares, llamadas ejes, para definir un sistema de coordenadas, situando la intersección de las rectas (el origen) para que coincida con el 0 de cada recta y con un punto determinado en el plano que se pueda ubicar usando un par de números ordenados, llamados coordenadas. Entienden que el primer número indica la distancia que se recorre desde el origen en dirección sobre un eje, y el segundo número indica la distancia que se recorre sobre el segundo eje, siguiendo la convención de que los nombres de los dos ejes y los de las coordenadas correspondan (por ejemplo, el eje x con la coordenada x, el eje y con la coordenada y).
5.G.A.2 Representan problemas matemáticos y del mundo real al representar gráficamente puntos en el primer cuadrante del plano de coordenadas e interpretan los valores de los puntos de las coordenadas según el contexto.
Clasifican figuras bidimensionales en categorías según sus propiedades.
5.G.B.4 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía, según sus propiedades.
Aplican y extienden conocimientos previos de multiplicación y división para multiplicar y dividir fracciones.
5.NF.B.4 Aplican y extienden conocimientos previos sobre la multiplicación para multiplicar una fracción o un número entero por una fracción.
b. Hallan el área de un rectángulo cuyos lados se miden en unidades fraccionarias, cubriéndolo con unidades cuadradas de la unidad fraccionaria correspondiente a sus lados, y demuestran que el área sería la misma que se hallaría si se multiplicaran las longitudes de los lados. Multiplican los números fraccionarios de las longitudes de los lados para hallar el área de rectángulos, y representar los productos de las fracciones como áreas rectangulares.
Analizan patrones y relaciones.
5.OA.B.3 Generan dos patrones numéricos utilizando dos reglas dadas. Identifican la relación aparente entre términos correspondientes. Forman pares ordenados que consisten de los términos correspondientes de ambos patrones, y marcan los pares ordenados en un plano de coordenadas. Por ejemplo, dada la regla “Sumar 3” y el número inicial 0, y dada la regla “Sumar 6” y el número inicial 0, generan los términos en cada secuencia y observan que cada término de una secuencia, es el doble que el término correspondiente en la otra secuencia. Explican informalmente por qué esto es así.
Estándares para la práctica de las matemáticas
MP1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.
MP2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.
MP3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.
MP4 Representan a través de las matemáticas.
MP5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.
MP6 Ponen atención a la precisión.
MP7 Reconocen y utilizan estructuras.
MP8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
5.Mód6.CLA1 Describen patrones numéricos.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.OA.B.3 Generan dos patrones numéricos utilizando dos reglas dadas. Identifican la relación aparente entre términos correspondientes. Forman pares ordenados que consisten de los términos correspondientes de ambos patrones, y marcan los pares ordenados en un plano de coordenadas. Por ejemplo, dada la regla “Sumar 3” y el número inicial 0, y dada la regla “Sumar 6” y el número inicial 0, generan los términos en cada secuencia y observan que cada término de una secuencia, es el doble que el término correspondiente en la otra secuencia. Explican informalmente por qué esto es así.
Parcialmente competente
Identifican reglas para patrones numéricos de una sola operación.
Considera los puntos (1, 6) y (5, 10).
Elige la frase que describe la relación entre cada coordenada x y su coordenada y correspondiente.
A. Multiplicar la coordenada x por 2
B. Multiplicar la coordenada x por 6
C. Sumar 4 a la coordenada x
D. Sumar 5 a la coordenada x
Competente
Describen patrones numéricos de una sola operación.
Describe la relación entre cada coordenada x y su coordenada y correspondiente.
Coordenada x Coordenada y
Altamente competente
5.Mód6.CLA2 Generan y representan patrones numéricos utilizando tablas y el plano de coordenadas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.OA.B.3 Generan dos patrones numéricos utilizando dos reglas dadas. Identifican la relación aparente entre términos correspondientes. Forman pares ordenados que consisten de los términos correspondientes de ambos patrones, y marcan los pares ordenados en un plano de coordenadas. Por ejemplo, dada la regla “Sumar 3” y el número inicial 0, y dada la regla “Sumar 6” y el número inicial 0, generan los términos en cada secuencia y observan que cada término de una secuencia, es el doble que el término correspondiente en la otra secuencia. Explican informalmente por qué esto es así.
Generan patrones numéricos utilizando una regla o descripción dada.
La regla para el patrón A es sumar 3.
La regla para el patrón B es sumar 6.
Completa la tabla que muestra el patrón A y el patrón B.
Patrón A 3 6
Patrón B 6
Generan y representan patrones numéricos utilizando tablas y el plano de coordenadas.
La regla para el patrón A es sumar 2.
La regla para el patrón B es sumar 5.
Parte A
Completa la tabla que muestra el patrón A y el patrón B. Luego, usa los números de estos patrones para formar pares ordenados.
Patrón A Coordenada x Patrón B Coordenada y Par ordenado (x, y)
0 0 (0, 0)
Parcialmente competente
Competente
Parte B
Dibuja un plano de coordenadas en la cuadrícula. Luego, marca un punto para cada par ordenado de la tabla
Altamente competente
Parte C
¿Cuál es el número en el patrón A cuando el número en el patrón B es 75 ?
5.Mód6.CLA3 Marcan e interpretan puntos en un sistema de coordenadas bidimensional.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.G.A.1 Utilizan un par de rectas numéricas perpendiculares, llamadas ejes, para definir un sistema de coordenadas, situando la intersección de las rectas (el origen) para que coincida con el 0 de cada recta y con un punto determinado en el plano que se pueda ubicar usando un par de números ordenados, llamados coordenadas. Entienden que el primer número indica la distancia que se recorre desde el origen en dirección sobre un eje, y el segundo número indica la distancia que se recorre sobre el segundo eje, siguiendo la convención de que los nombres de los dos ejes y los de las coordenadas correspondan (por ejemplo, el eje x con la coordenada x, el eje y con la coordenada y).
Parcialmente competente
Identifican puntos en el plano de coordenadas.
¿Qué punto está en (4, 6)?
Competente
Marcan o describen puntos en el plano de coordenadas y expresan las coordenadas de puntos marcados dados.
Usa la gráfica que se muestra para responder las partes A a C.
Altamente competente
Sombrean o describen regiones del plano de coordenadas según la información dada.
Sombrea la región del plano de coordenadas donde las coordenadas x son menores que 7 y las coordenadas y son menores que 8 .
Parte A
Escribe las coordenadas para cada punto.
Punto A ( , )
Punto B ( , )
Punto C ( , )
Parte B
Marca y rotula el punto D en (7.5, 1).
Parte C
El punto E tiene el par ordenado (6, 1). Explica cómo marcar el punto E en el plano de coordenadas.
0123456789
5.Mód6.CLA4 Resuelven problemas del mundo real usando el primer cuadrante del plano de coordenadas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.G.A.2 Representan problemas matemáticos y del mundo real al representar gráficamente puntos en el primer cuadrante del plano de coordenadas e interpretan los valores de los puntos de las coordenadas según el contexto.
Parcialmente competente
Identifican puntos en el plano de coordenadas para resolver problemas del mundo real.
El plano de coordenadas muestra las posiciones de cinco estudiantes.
¿Quién está 1 unidad arriba y 3 unidades a la izquierda de Sasha?
A. Eddie
B. Luis
C. Mara
D. Yuna
Competente
Marcan e interpretan puntos en el plano de coordenadas para resolver problemas del mundo real.
La gráfica muestra la altura de un árbol cada año después de plantado.
Altura del árbol cada año después de plantado y x
Tiempo después de plantado (años)
Parte A
Explica lo que representan los puntos A y B.
Parte B
Después de 6 años, el árbol mide 5 pies de alto. Indica esto en la gráfica con un punto rotulado C.
Altamente competente
5.Mód6.CLA5 Resuelven problemas matemáticos usando el primer cuadrante del plano de coordenadas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.G.A.2 Representan problemas matemáticos y del mundo real al representar gráficamente puntos en el primer cuadrante del plano de coordenadas e interpretan los valores de los puntos de las coordenadas según el contexto.
Parcialmente competente
Identifican puntos en el plano de coordenadas para resolver problemas matemáticos.
¿Qué punto está 1 unidad más lejos del eje x y 3 unidades más cerca del eje y que el punto P?
Competente
Marcan e interpretan puntos en el plano de coordenadas para resolver problemas matemáticos.
Usa el plano de coordenadas que se muestra para responder la parte A y la parte B.
Altamente competente
A. Punto A
B. Punto B
C. Punto C
D. Punto D
Parte A
La gráfica muestra 2 vértices de un rectángulo. Marca los otros 2 vértices y dibuja el rectángulo
Parte B
Determina el área del rectángulo
5.Mód5.CLA3 Hallan el área de rectángulos y figuras compuestas de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias o en números mixtos.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.NF.B.4.b Hallan el área de un rectángulo cuyos lados se miden en unidades fraccionarias, cubriéndolo con unidades cuadradas de la unidad fraccionaria correspondiente a sus lados, y demuestran que el área sería la misma que se hallaría si se multiplicaran las longitudes de los lados. Multiplican los números fraccionarios de las longitudes de los lados para hallar el área de rectángulos, y representar los productos de las fracciones como áreas rectangulares.
Parcialmente competente
Hallan el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias.
Halla el área.
Competente
Hallan el área de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias o en números mixtos.
Halla el área.
Altamente competente
Hallan el área de figuras compuestas de rectángulos con longitudes de los lados fraccionarias o en números mixtos.
Halla el área.
5.Mód5.CLA14 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía según sus propiedades.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
5.G.B.4 Clasifican las figuras bidimensionales dentro de una jerarquía, según sus propiedades.
Parcialmente competente Competente
Identifican jerarquías de figuras bidimensionales según sus propiedades.
Selecciona todos los enunciados verdaderos.
A. Todos los cuadriláteros son trapecios.
B. Todos los paralelogramos son trapecios.
C. Todos los paralelogramos son rectángulos.
D. Todos los cuadrados son rectángulos.
E. Todos los cuadrados son paralelogramos.
F. Todos los rectángulos son cuadriláteros.
Clasifican las figuras bidimensionales, incluidos los cuadriláteros, dentro de una jerarquía según sus propiedades.
Considera la figura que se muestra.
Altamente competente
Justifican la clasificación de las figuras bidimensionales, incluidos los cuadriláteros, dentro de una jerarquía según sus propiedades.
Luis afirma que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. Lisa afirma que el cuadrilátero ABCD es un trapecio.
¿Qué categorías describen la figura correctamente? Selecciona todas las opciones que correspondan.
A. Paralelogramo
B. Cuadrilátero
C. Rectángulo
D. Rombo
E. Cuadrado
F. Trapecio
¿Quién está en lo correcto? Explica tu respuesta.
Vocabulario
Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 6 de 5.o grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.
Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.
Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.
Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.
Nuevo
coordenada
Una coordenada es un número que se usa para identificar la ubicación de un punto. (Lección 1)
coordenada x
La coordenada x es el valor que describe la distancia horizontal desde el eje y hasta un punto. (Lección 2)
coordenada y
La coordenada y es el valor que describe la distancia vertical desde el eje x hasta un punto. (Lección 2)
eje x
El eje x es la recta numérica horizontal de un sistema de coordenadas. (Lección 2)
eje y
El eje y es la recta numérica vertical de un sistema de coordenadas. (Lección 2)
ejes
Los ejes son el par de rectas numéricas perpendiculares (el eje x y el eje y) que crean un sistema de coordenadas. (Lección 2)
origen
El origen es el punto donde se intersecan los ejes x y y. El origen está ubicado en el punto (0, 0). (Lección 2)
par ordenado
Un par ordenado es un par de coordenadas que describen la ubicación de un punto en el plano de coordenadas. Los pares ordenados se escriben como (x, y), donde x representa la coordenada x del punto, y y representa la coordenada y del punto. (Lección 2)
plano de coordenadas
Un plano de coordenadas es un plano que tiene un sistema de coordenadas que se usa para describir la ubicación de puntos dentro del plano. Un plano de coordenadas tiene ejes perpendiculares que se intersecan en el 0. (Lección 2)
sistema de coordenadas
Un sistema de coordenadas es un sistema que usa uno o más números (o coordenadas) para identificar la ubicación de un punto. (Lección 1)
Conocido
ángulo
ángulo agudo
área cuadrado cuadrilátero eje de simetría escala
extremo figura gráfica intervalo longitud
marca de graduación
obtuso operación
paralelo, paralela paralelogramo patrón perímetro
perpendicular plano polígono punto punto medio recta
recta horizontal recta numérica
recta vertical rectángulo
segmento de recta semirrecta
simetría término
trapecio vértice
Verbos académicos
En el módulo 6 no se presenta ningún verbo académico de la lista de 5.o grado.
Las matemáticas en el pasado
La asombrosa simetría del arte islámico
¿Se puede usar la geometría para hacer arte?
¿Puede la simetría de las figuras geométricas ser una inspiración para el arte?
¿Podemos crear también diseños geométricos?
Muestre a sus estudiantes esta obra de arte geométrico y pregunte: “¿Qué observan?
¿Qué se preguntan?”.
Una de las características más destacadas de este tipo de obras es la apariencia de simetría. Pregunte a la clase qué ejes de simetría observan.
Toda la imagen tiene ejes de simetría horizontales, verticales y diagonales. También pueden encontrar estos mismos ejes de simetría en partes más pequeñas de la imagen. Pregunte a la clase si pueden ver que la imagen en realidad está hecha a partir de la repetición de una imagen cuadrada más pequeña que llena el plano. Este proceso de repetir una figura geométrica para cubrir una superficie se denomina teselación.
Se observa que los ejes de simetría de la imagen entera se corresponden con los ejes de simetría de cada cuadrado individual de la imagen. Además, se puede apreciar que la persona que creó el diseño dentro de ese cuadrado individual se inspiró en su simetría.
Muestre a la clase la siguiente obra de arte geométrico. Pregunte si les parece que se creó repitiendo una imagen más pequeña.
Observe cómo las estrellas negras de 6 puntas forman los vértices de un hexágono. Aquí podemos ver que el o la artista usó un hexágono regular para cubrir el plano y creó un diseño que destacaba las simetrías del hexágono.
Es común ver patrones geométricos como este en el arte islámico. Se pueden apreciar en mezquitas, madrasas (universidades islámicas) y en objetos como piezas de cerámica y alfombras. Las técnicas que se usan para hacer obras como esta se dominaron entre los siglos VIII y XIII e. c.
Durante este periodo, Bagdad, que se encuentra en el actual Irak, fue una de las ciudades más grandes del mundo, por lo que fue centro de un importante intercambio cultural. Los académicos de la Casa de la Sabiduría, un reconocido centro académico de la ciudad, coleccionaban y traducían al árabe obras de todas partes del mundo.
Entre las obras traducidas se encontraba el tratado histórico Elementos, escrito por Euclides, un geómetra griego que vivió cerca del año 300 a. e. c. Los escritos de Euclides describían un enfoque sistemático del estudio de la geometría e incluían, entre numerosos elementos matemáticos importantes, instrucciones precisas para la construcción de figuras geométricas usando solo dos herramientas básicas: un compás para dibujar círculos y una herramienta de borde recto sin marcas para trazar segmentos de recta entre puntos.
Las y los artistas de origen islámico que crearon el tipo de obras que estamos contemplando usaron estas ideas y herramientas en su arte. Exploremos cómo podrían construir su propio patrón geométrico siguiendo esta técnica artística.
Comience eligiendo una figura geométrica para cubrir el plano. La más sencilla de usar es un cuadrado, entonces, intentémoslo de esa manera. Dibuje un cuadrado, sus ejes de simetría y, con un compás, dibuje un círculo dentro del cuadrado.
A continuación, para crear un diseño, trace segmentos de recta que conecten algunos de los puntos donde estos ejes de simetría se intersecan entre sí o se intersecan con el círculo. Esta etapa da lugar a la creatividad porque podríamos trazar estos segmentos de recta de distintas maneras. Esta es una posibilidad, donde los segmentos de recta que elegimos trazar se muestran en naranja.
A continuación, coloree el diseño. Decidimos dirigir la atención al octágono interior que creamos coloreándolo de azul sólido. También coloreamos otras partes del diseño de amarillo, rosa y gris.
¡Una vez que todo esté coloreado, cubra la superficie con figuras para crear su dibujo geométrico completo!
Se puede construir un diseño a partir de un hexágono regular de manera similar. La principal diferencia es que un hexágono regular tiene 6 ejes de simetría con los que se puede experimentar. Los demás pasos del proceso son los mismos, pero el resultado es un tipo de patrón completamente nuevo.
¿Qué otras figuras podría usar para crear dibujos como estos? Hasta ahora, hemos visto diseños basados en cuadrados y hexágonos regulares. ¿Se puede usar un pentágono regular?
Euclides y quienes creaban estas piezas de arte sabían que la respuesta a esta pregunta es no; solo se puede cubrir el plano con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. Por ejemplo, vemos que al intentar cubrir una superficie con pentágonos regulares quedan espacios entre ellos.
Debido a esto, no vemos ejemplos de arte islámico basados en pentágonos o decágonos (polígonos de 10 lados) hasta un tiempo después. Los ejemplos más antiguos datan de finales del siglo XI o principios del siglo XII e. c.
A fin de generar obras de arte geométrico nuevas y cada vez más complejas, hubo artistas que usaron las matemáticas para incorporar diferentes figuras en sus cuadrículas. Pregunte a la clase qué figuras diferentes observan en este impresionante ejemplo de una mezquita en Yazd, Irán.
El matemático persa Abu’l-Wafā incluso describió, en su libro The Book on what the Artisan Requires of Geometric Constructions (El libro de lo que un artesano requiere de las construcciones geométricas), su encuentro con un grupo de artistas en Bagdad para comentar cómo se pueden construir diferentes figuras y patrones.
Una vez que aprendemos a buscar, podemos encontrar las matemáticas en todo tipo de arte. Se pueden encontrar en pinturas, en la música, en esculturas y otros lugares más. Y como nos demuestran las personas artistas y las personas expertas en matemáticas de esta impresionante era del arte islámico, las matemáticas y el arte se pueden asociar para crear cosas que ni las matemáticas ni el arte podrían crear de manera aislada.
Materiales
Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro.
25 borradores para las pizarras blancas individuales
1 computadora o dispositivo para la enseñanza
25 herramientas de borde recto
25 lápices
96 lápices de colores
1 libro Enseñar
24 libros Aprender
12 marcadores
25 marcadores de borrado en seco
Visite http://eurmath.link/materials para saber más.
24 notas adhesivas de 1.5ʺ × 2ʺ
269 notas adhesivas de 3ʺ × 3ʺ
11 papel, hojas
25 pizarras blancas individuales
1 proyector
50 tarjetas de índice
1 temporizador
24 transportadores de 4ʺ (180°)
Obras citadas
Abadi, Mark. “The National Spelling Bee Ended with 8 Winners—Here’s the Winning Word from Every Spelling Bee Since 1925.” Business Insider, May 2019.
Abdullahi, Yahya and Mohamed Rashid Bin Embi. “Evolution of Islamic Geometric Patterns.” Frontiers of Architectural Research 2.2 (2013): 243–251.
Bier, Carol. “Geometry in Islamic Art.” Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, 2015, https://www.academia.edu/38465042 /Geometry_in_Islamic_Art.
Boaler, Jo, Jen Munsen, and Cathy Williams. Mindset Mathematics: Visualizing and Investigating Big Ideas: Grade 3. San Francisco, CA: Jossey-Bass, 2018.
Broug, Eric. “The Complex Geometry of Islamic Design.” TED video, https://ed.ted.com/lessons/the-complex-geometry-of -islamic-design-eric-broug.
Carpenter, Thomas P., Megan L. Franke, and Linda Levi. Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic and Algebra in Elementary School. Portsmouth, NH: Heinemann, 2003.
Carpenter, Thomas P., Megan L. Franke, Nicholas C. Johnson, Angela C. Turrou, and Anita A. Wager. Young Children’s Mathematics: Cognitively Guided Instruction in Early Childhood Education. Portsmouth, NH: Heinemann, 2017.
CAST. Universal Design for Learning Guidelines version 2.2. Retrieved from http://udlguidelines.cast.org, 2018.
Clements, Douglas H. and Julie Sarama. Learning and Teaching Early Math: The Learning Trajectories Approach. New York: Routledge, 2014.
Common Core Standards Writing Team. Progressions for the Common Core State Standards in Mathematics. Tucson, AZ: Institute for Mathematics and Education, University of Arizona, 2011–2015. https://www.math.arizona.edu/~ime/progressions/.
Danielson, Christopher. Which One Doesn’t Belong?: A Teacher’s Guide. Portland, ME: Stenhouse, 2016.
Danielson, Christopher. Which One Doesn’t Belong?: Playing with Shapes. Watertown, MA: Charlesbridge, 2019.
Empson, Susan B. and Linda Levi. Extending Children’s Mathematics: Fractions and Decimals. Portsmouth, NH: Heinemann, 2011.
Flynn, Mike. Beyond Answers: Exploring Mathematical Practices with Young Children. Portsmouth, NH: Stenhouse, 2017.
Fosnot, Catherine Twomey, and Maarten Dolk. Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. Portsmouth, NH: Heinemann, 2001.
Franke, Megan L., Elham Kazemi, and Angela Chan Turrou (Ed.). Choral Counting and Counting Collections: Transforming the PreK-5 Math Classroom. Portsmouth, NH: Stenhouse, 2018.
Hattie, John, Douglas Fisher, and Nancy Frey. Visible Learning for Mathematics: What Works Best to Optimize Student Learning. Thousand Oaks, CA: Corwin Mathematics, 2017.
Huinker, DeAnn and Victoria Bill. Taking Action: Implementing Effective Mathematics Teaching Practices. Kindergarten–Grade 5, edited by Margaret Smith. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 2017.
Kelemanik, Grace, Amy Lucenta, Susan Janssen Creighton, and Magdalene Lampert. Routines for Reasoning: Fostering the Mathematical Practices in All Students. Portsmouth, NH: Heinemann, 2016.
Ma, Liping. Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States. New York: Routledge, 2010.
National Council for Teachers of Mathematics, Developing an Essential Understanding of Multiplication and Division for Teaching Mathematics in Grades 3–5. Reston, VA: National Council for Teachers of Mathematics, 2011.
National Governors Association Center for Best Practices, Council of Chief State School Officers (NGA Center, CCSSO). 2013. Common Core State Standards English/Spanish Language Version. Estándares Estatales Comunes de Matemáticas. Translated by San Diego County Office of Education. San Diego, CA: San Diego County Office of Education.
Parker, Thomas and Scott Baldridge. Elementary Mathematics for Teachers. Okemos, MI: Sefton-Ash, 2004.
“Scripps National Spelling Bee.” Accessed December 29, 2020. http://spellingbee.com/history.
Shumway, Jessica F. Number Sense Routines: Building Mathematical Understanding Every Day in Grades 3–5. Portland, ME: Stenhouse Publishing, 2018.
Smith, Margaret S. and Mary K. Stein. 5 Practices for Orchestrating Productive Mathematics Discussions, 2nd ed. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 2018.
Smith, Margaret S., Victoria Bill, and Miriam Gamoran Sherin. The 5 Practices in Practice: Successfully Orchestrating Mathematics Discussions in Your Elementary Classroom, 2nd ed. Thousand Oaks, CA: Corwin Mathematics; Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 2020.
Suzuki, Jeff. Mathematics in Historical Context. Washington, DC: Mathematical Association of America, 2012.
Van de Walle, John A. Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. New York: Pearson, 2004.
Van de Walle, John A., Karen S. Karp, LouAnn H. Lovin, and Jennifer M. Bay-Williams. Teaching Student-Centered Mathematics: Developmentally Appropriate Instruction for Grades 3–5, 3rd ed. New York: Pearson, 2018.
Zwiers, Jeff, Jack Dieckmann, Sara Rutherford-Quach, Vinci Daro, Renae Skarin, Steven Weiss, and James Malamut. Principles for the Design of Mathematics Curricula: Promoting Language and Content Development. Retrieved from Stanford University, UL /SCALE website: http://ell.stanford.edu/content/mathematics -resources-additional-resources, 2017.
Créditos
Great Minds® has made every effort to obtain permission for the reprinting of all copyrighted material. If any owner of copyrighted material is not acknowledged herein, please contact Great Minds for proper acknowledgment in all future editions and reprints of this module.
Kelly Alsup, Adam Baker, Agnes P. Bannigan, Reshma P Bell, Joseph T. Brennan, Dawn Burns, Amanda H. Carter, David Choukalas, Mary Christensen-Cooper, Cheri DeBusk, Lauren DelFavero, Jill Diniz, Mary Drayer, Karen Eckberg, Melissa Elias, Danielle A Esposito, Janice Fan, Scott Farrar, Krysta Gibbs, January Gordon, Torrie K. Guzzetta, Kimberly Hager, Karen Hall, Eddie Hampton, Andrea Hart, Stefanie Hassan, Tiffany Hill, Christine Hopkinson, Rachel Hylton, Travis Jones, Laura Khalil, Raena King, Jennifer Koepp Neeley, Emily Koesters, Liz Krisher, Leticia Lemus, Marie Libassi-Behr, Courtney Lowe, Sonia Mabry, Bobbe Maier, Ben McCarty, Maureen McNamara Jones, Pat Mohr, Bruce Myers, Marya Myers, Kati O’Neill, Darion Pack, Geoff Patterson, Victoria Peacock, Maximilian Peiler-Burrows, Brian Petras, April Picard, Marlene Pineda, DesLey V. Plaisance, Lora Podgorny, Janae Pritchett, Elizabeth Re, Meri Robie-Craven, Deborah Schluben, Michael Short, Erika Silva, Jessica Sims, Heidi Strate, Theresa Streeter, James Tanton, Cathy Terwilliger, Rafael Vélez, Jessica Vialva, Allison Witcraft, Jackie Wolford, Caroline Yang, Jill Zintsmaster
Ana Álvarez, Lynne Askin-Roush, Trevor Barnes, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Jessica Dahl, Brandon Dawley, Julie Dent, Delsena Draper, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Jen Forbus, Reba Frederics, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Dennis Hamel, Cassie Hart, Sagal Hasan, Kristen Hayes, Abbi Hoerst, Libby Howard, Elizabeth Jacobsen, Amy Kanjuka, Ashley Kelley, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Stephanie Maldonado, Siena Mazero, Alisha McCarthy, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Patricia Mickelberry, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Max Oosterbaan, Tara O’Hare, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Jeff Robinson, Gilbert Rodríguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Amy Schoon, Aaron Shields, Leigh Sterten, Rhea Stewart, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Karrin Thompson, Cherry dela Victoria, Tracy Vigliotti, Dave White, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Howard Yaffe
Exponencialmente mejor
Conocimientos2 Siguiendo con la tradición de ayudar a los maestros y maestras con todo lo que necesiten para que sus estudiantes desarrollen un conocimiento profundo y coherente de las matemáticas, Eureka Math2 ofrece colecciones de videos y recomendaciones hechas a medida de los y las profesionales con más y con menos experiencia.
Digital2 A través de una experiencia digital perfectamente integrada, Eureka Math2 incluye cientos de imágenes inteligentes, videos cautivadores y actividades digitales interactivas que encienden la chispa de la conversación y el asombro en su salón de clases.
Accesible2 Siempre con nuestros lectores y lectoras en mente, Eureka Math2 se ha diseñado cuidadosamente para que quienes tengan dificultades con la lectura puedan acceder a las lecciones, los problemas verbales, ¡y más!
Sonrisas2 Con Eureka Math2, usted y sus estudiantes se enamorarán de las matemáticas, o recordarán qué era lo que les hizo enamorarse de ellas.
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
A Wassily Kandinsky, un pintor abstracto y músico con formación en piano y chelo, le fascinaban el color y la música. Algunas de sus pinturas parecen estar “compuestas” de una manera que nos permite ver el arte como una composición musical. En matemáticas, componemos y descomponemos números para familiarizarnos con el sistema numérico. Cuando miras un número, ¿puedes ver las partes que forman el total?
