Spanish Teacher Edition | Level 5 Module 4 | EM2 National by General

Una historia de unidades®

Las fracciones son números ENSEÑAR ▸ Módulo 4 ▸ Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas? A Wassily Kandinsky, un pintor abstracto y músico con formación en piano y chelo, le fascinaban el color y la música. Algunas de sus pinturas parecen estar “compuestas” de una manera que nos permite ver el arte como una composición musical. En matemáticas, componemos y descomponemos números para familiarizarnos con el sistema numérico. Cuando miras un número, ¿puedes ver las partes que forman el total? En la portada Thirteen Rectangles, 1930 Wassily Kandinsky, Russian, 1866–1944 Oil on cardboard Musée des Beaux-Arts, Nantes, France Wassily Kandinsky (1866–1944), Thirteen Rectangles, 1930. Oil on cardboard, 70 x 60 cm. Musée des Beaux-Arts, Nantes, France. © 2020 Artists Rights Society (ARS), New York. Image credit: © RMN-Grand Palais/ Art Resource, NY

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Una historia de unidades®

Las fracciones son números ▸ 5 ENSEÑAR

Módulo

1 2 3 4 5 6

Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros

Suma y resta con fracciones

Multiplicación y división con fracciones

Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales

Suma y multiplicación con área y volumen

Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas

Antes de este módulo Módulo 5 de 4.o grado En el módulo 5 de 4. grado, la clase relaciona fracciones decimales con números decimales. Escriben y comparan números decimales hasta los centésimos utilizando modelos y expresándolos como fracciones. También suman fracciones decimales con denominadores de 10 y 100 expresándolos como fracciones. o

Contenido general Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales Tema A Comprender los números decimales mediante el razonamiento sobre el valor posicional y las fracciones

Módulo 1 de 5.o grado

La clase representa números decimales hasta los milésimos usando una variedad de modelos

La clase aplica la comprensión del valor posicional para multiplicar números enteros por y dividir números enteros entre potencias de 10. Adquieren fluidez con el algoritmo convencional para multiplicar números enteros de varios dígitos. También dividen números enteros usando diagramas de cinta, modelos de área y la forma vertical para registrar cocientes y residuos.

concretos y pictóricos, y expresa los números de formas diferentes. Describen relaciones entre unidades de valor posicional decimal adyacentes como 10 veces la siguiente unidad más pequeña

y __   1   de la siguiente unidad más grande. Comparan dos números decimales hasta los milésimos 10

y redondean números decimales a cualquier valor posicional.

16 milésimos

1 centésimo y 6 milésimos

16 0.016 1,000

Dieciséis milésimos

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

Tema B Suma y resta de números decimales La clase suma y resta números decimales aplicando los métodos que usan para sumar y restar números enteros. Al final del tema, aplican la comprensión del valor posicional y usan modelos concretos y pictóricos, y registran el trabajo en forma vertical, para apoyar la transición al algoritmo

Unidades

Décimos

Centésimos

convencional.

Tema C Multiplicación de números decimales La clase multiplica números decimales hasta los centésimos aplicando los métodos que usan para multiplicar números enteros. Se apoyan en la forma unitaria y en su comprensión de la multiplicación como grupos iguales para entender los productos de números decimales y números enteros. Luego, hacen una transición a la multiplicación de dos números decimales usando la multiplicación de fracciones para determinar el producto y entender sus unidades.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

Después de este módulo Módulo 2 de 6.o grado En el módulo 2 de 6.o grado, la clase suma, resta, multiplica y divide números decimales con fluidez utilizando el algoritmo convencional para cada operación.

Módulo 3 de 6.o grado En el módulo 3 de 6.o grado, la clase define los números racionales. Marcan, ordenan y comparan números racionales en una recta numérica.

Tema D División de números decimales La clase divide Unidades Décimos Centésimos números decimales hasta los centésimos 0.0 6 aplicando los 0.8 0 métodos que usan 2 1.7 2 para dividir números – 1.6 0 enteros. Con un 8 décimos 0.1 2 énfasis constante 6 centésimos – 0.1 2 en el razonamiento de la forma unitaria, 0 expresan números decimales en forma unitaria, usan métodos de división de números enteros para dividir y, luego, expresan el cociente en forma decimal. También relacionan la división de números enteros entre fracciones unitarias con la división de números entre 0.1 y 0.01.

Tema E Aplicaciones de números decimales La clase aplica su comprensión del valor posicional decimal, las relaciones entre los números decimales y las fracciones, y los cálculos con números decimales, fracciones y números enteros para convertir medidas tanto en el sistema métrico como en el sistema inglés de medidas. Usan diagramas de cinta para interpretar y evaluar expresiones numéricas, y crean problemas verbales que se puedan representar mediante una expresión o un diagrama de cinta dados.

Contenido Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales ¿Por qué? ��7 Criterios de logro académico ��10 Tema A ��15 Comprender los números decimales mediante el razonamiento sobre el valor posicional y las fracciones Lección 1 ��20 Representar y relacionar las unidades de valor posicional decimal hasta los milésimos

Lección 2 ��40 Representar los milésimos como una unidad de valor posicional

Lección 3 ��62 Representar números decimales hasta la posición de los milésimos expresados en formas diferentes

Lección 4 �� 78 Relacionar los valores de los dígitos en un número decimal usando la comprensión del valor posicional

Lección 5 ��92 Multiplicar números decimales por y dividirlos entre potencias de 10 Lección 6 �� 110 Comparar números decimales hasta la posición de los milésimos

Lección 7 ��128 Redondear números decimales a la unidad, al décimo o al centésimo más cercanos

Lección 8 ��148 Redondear números decimales a cualquier unidad de valor posicional

Tema B ��163 Suma y resta de números decimales Lección 9 ��166 Sumar números decimales usando diferentes métodos

Lección 10 �� 180 Sumar números decimales utilizando la comprensión del valor posicional

Lección 11 ��198 Restar números decimales usando diferentes métodos

Lección 12 ��214 Restar números decimales utilizando la comprensión del valor posicional

Lección 13 ��230 Resolver problemas verbales que involucran sumas y restas de números decimales y fracciones

Tema C �� 247 Multiplicación de números decimales Lección 14 ��250 Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de un dígito usando diferentes modelos

Lección 15 ��268 Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando diferentes métodos escritos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de dos dígitos usando modelos de área y la forma vertical

Tema E �� 457 Aplicaciones de números decimales

Lección 17 �� 300

Lección 26 �� 460

Lección 16 ��282

Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de dos dígitos usando diferentes métodos

Resolver problemas del mundo real sobre medidas del sistema métrico (opcional)

Lección 18 ��316

Lección 27 �� 480

Relacionar la multiplicación de números decimales con la multiplicación de fracciones

Convertir medidas del sistema métrico que involucran números decimales

Lección 19 ��334

Lección 28 �� 496

Multiplicar un número decimal por un número decimal

Tema D ��351 División de números decimales Lección 20 ��354 Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando la forma unitaria y la comprensión del valor posicional

Lección 21 �� 374

Convertir medidas del sistema inglés que involucran números decimales

Lección 29 ��512 Interpretar, evaluar y comparar expresiones numéricas que involucran números decimales

Lección 30 ��530 Crear y resolver problemas del mundo real para expresiones numéricas dadas que involucran números decimales

Recursos

Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando la comprensión del valor posicional y la forma vertical

Estándares ��544

Lección 22 ��396

Vocabulario ��566

Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de dos dígitos

Las matemáticas en el pasado ��568

Lección 23 ��412 Relacionar la división entre 0.1 y 0.01 con la división entre una

Criterios de logro académico: Indicadores de competencias ��546

Materiales �� 572

fracción unitaria

Obras citadas �� 574

Lección 24 ��428

Créditos �� 576

Dividir números decimales entre números decimales con un resultado de cociente entero

Agradecimientos �� 577

Lección 25 ��442 Dividir números decimales entre números decimales con un resultado de cociente decimal

¿Por qué? Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales ¿Por qué se usan varios modelos para las operaciones con números decimales? Se usan varios modelos para las operaciones con números decimales para apoyar la comprensión conceptual profunda, para conectar operaciones con números decimales y el trabajo de la clase con números enteros, y para promover la capacidad de elección, la flexibilidad y la eficiencia a la hora de resolver problemas. Mediante el uso de estrategias y modelos conocidos, la clase reconoce que las mismas relaciones de valor posicional que utilizaban para la suma, resta, multiplicación y división de números enteros de 3.er grado a 5.o grado también apoyan las operaciones con números decimales. La clase utiliza modelos concretos y pictóricos, como los discos de valor posicional, los dibujos en una tabla de valor posicional, los modelos de área y las rectas numéricas, y se apoya en una variedad de representaciones, como expresar operaciones en forma unitaria y registrar cálculos en forma vertical, para organizar y mostrar su razonamiento. Por ejemplo, agrupan y desagrupan discos de valor posicional físicamente, o utilizan dibujos de valor posicional, y relacionan su trabajo con los discos con lo que ven que sucede al registrar las operaciones en forma vertical. Al igual que con los números enteros, los modelos de área ayudan a la clase a llevar la cuenta de cómo se descompone un número y asegurarse de que cada parte de ese número se multiplique o divida. Cuando la clase expresa una suma, una diferencia, un producto o un cociente en forma unitaria, puede aplicar destrezas aritméticas conocidas con números enteros y, luego, utilizar las unidades de valor posicional para entender la ubicación del punto decimal.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

¿Cómo ayuda el estudio previo de números enteros y fracciones a mejorar la comprensión de la clase de los números decimales? La comprensión de la clase de los números decimales mejora después de un estudio profundo

0.07 es 10 veces 0.007.

de los números enteros en el módulo 1. La clase puede aplicar los mismos métodos que utiliza para

0.07 = 10 × 0.007

0.007 es __   1   de 0.07.

multiplicar y dividir números enteros a la multiplicación y división de números decimales. También

utilizan su comprensión de la multiplicación de números enteros por y la división de números

0.007 = __   1   × 0.07

enteros entre potencias de 10 para describir relaciones entre unidades de valor posicional decimal

adyacentes. Aplican lo que aprendieron sobre las fracciones en los módulos 2 y 3 para utilizar __  1  , ___   1   y ____   1   a fin de describir relaciones entre números en la tabla de valor posicional y relacionar

10 100

1,000

operaciones con fracciones y operaciones con números decimales.

¿Por qué se considera opcional la lección 26? This page may be reproduced for classroom use only�

300 mL

200 mL

300 mL

350 mL

450 mL

700 mL

600 mL

EUREKA MATH2

Juego A

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 ▸ Tarjetas de medidas de líquido

476

En la lección 26 se presenta a la clase una actividad de aprendizaje práctico y de nivel alto, que les brinda la oportunidad de aplicar una variedad de experiencias de conversión de medidas y cálculos con números enteros y números decimales a un problema del mundo real. La clase trabaja con cantidades decimales de unidades de medida y convierte medidas de manera intuitiva de unidades más grandes a unidades más pequeñas antes de usar métodos formales, como las ecuaciones, en la lección 27. Las matemáticas de esta lección son independientes; la clase puede trabajar exitosamente con las matemáticas del resto del tema si se omite esta lección.

Criterios de logro académico: Contenido general Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo. Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar. Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de: • observaciones informales en el salón de clases; • los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones; • Boletos de salida; • Pruebas cortas de los temas y • Evaluaciones de los módulos. Este módulo contiene los 20 CLA que se indican.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

5.Mód4.CLA1

5.Mód4.CLA2

5.Mód4.CLA3

5.Mód4.CLA4

Escriben expresiones numéricas que incluyen números decimales y paréntesis.

Evalúan expresiones numéricas que incluyen números decimales y paréntesis.

Reescriben descripciones verbales matemáticas, o contextuales, como expresiones numéricas que incluyen números decimales.

Comparan el efecto de cada número y operación sobre el valor de una expresión numérica que incluye números decimales.

5.OA.A.1

5.OA.A.2

5.Mód4.CLA5

5.Mód4.CLA6

5.Mód4.CLA7

5.Mód4.CLA8

Representan números decimales hasta la posición de los milésimos.

Explican la relación entre los dígitos en los números de varios dígitos.

Explican el efecto de multiplicar números por potencias de 10 y dividir números entre potencias de 10.

Ordenan un conjunto de números decimales hasta la posición de los milésimos.

5.NBT.A

5.NBT.A.1

5.NBT.A.2

5.NBT.A.3

5.Mód4.CLA9

5.Mód4.CLA10

5.Mód4.CLA11

5.Mód4.CLA12

Leen y escriben números decimales hasta la posición de los milésimos en forma estándar, en forma desarrollada, en forma escrita y en forma unitaria.

Comparan dos números decimales hasta la posición de los milésimos usando >, = y <.

Redondean números decimales utilizando la comprensión del valor posicional.

Estiman sumas, diferencias, productos y cocientes de números decimales hasta la posición de los centésimos.

5.NBT.A.3.a

5.NBT.A.3.b

5.NBT.A.4

5.NBT.B

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

5.Mód4.CLA13

5.Mód4.CLA14

5.Mód4.CLA15

5.Mód4.CLA16

Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos.

Suman números decimales hasta la posición de los centésimos.

Restan números decimales hasta la posición de los centésimos.

Multiplican números decimales hasta la posición de los centésimos.

5.NBT.B

5.NBT.B.7

5.Mód4.CLA17

5.Mód4.CLA18

5.Mód4.CLA19

5.Mód4.CLA20

Dividen números decimales hasta la posición de los centésimos.

Representan la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos.

Analizan y explican estrategias para la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos.

Convierten cantidades de un sistema de medidas dado para resolver problemas.

5.NBT.B.7

5.MD.A.1

La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente. Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes: • Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 4 de 5.o grado se codifica como 5.Mód4.CLA1. • Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará. • Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada. • Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.

Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#

Texto del CLA

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

5.Mód4.CLA18 Representan la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los

centésimos.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.B.7 Suman, restan, multiplican, y dividen decimales hasta las centésimas utilizando modelos concretos o dibujos y estrategias basadas en el valor de posición, las propiedades de las operaciones y la relación entre la suma y la resta; relacionan la estrategia a algún método escrito y explican el razonamiento empleado.

Parcialmente competente

Competente

Emparejan expresiones con representaciones de suma, resta, multiplicación y división de números decimales hasta la posición de los centésimos.

Representan la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos.

Analizan modelos de suma, resta, multiplicación y división de números decimales hasta la posición de los centésimos.

¿Qué expresión se representa en el modelo?

Usa la expresión que se muestra para responder la parte A y la parte B.

¿Qué valores podrían representar las letras del modelo? Explica tu razonamiento.

+ 0.4 + 0.4 + 0.4

Altamente competente

1.84 + 5.51

3 decenas

Parte A Dibuja un modelo para representar la expresión.

0 A. 3 + 0.4 B. 3 − 0.4

Estándar relacionado

Indicadores del CLA

7 unidades 7 décimos B

Parte B Explica cómo puede ayudarte tu modelo a hallar la suma.

C. 3 × 0.4 D. 3 ÷ 0.4

Tema A Comprender los números decimales mediante el razonamiento sobre el valor posicional y las fracciones En el tema A, sus estudiantes amplían su comprensión del valor posicional de números enteros a números decimales. Aplican el razonamiento sobre fracciones a modelos de valor posicional conocidos para descomponer centésimos, lo que da como resultado la nueva unidad de valor posicional de milésimos. Luego, representan valores de números decimales hasta los milésimos usando una variedad de modelos, que incluyen escalas de medición, modelos de área, discos de valor posicional, tablas de valor posicional y rectas numéricas. Sus estudiantes expresan números decimales en forma unitaria, fraccionaria, decimal, estándar y desarrollada. Componen y descomponen unidades para describir relaciones entre números enteros y unidades de valor posicional decimal adyacentes como 10 veces la siguiente unidad más pequeña

1   de la siguiente unidad más grande. Sus estudiantes usan las relaciones de comparación y  __ 10

multiplicativa y las potencias de 10 para multiplicar números decimales por y dividirlos entre 10, 100,

1,000 y otras potencias de 10 en forma estándar y exponencial. Identifican los valores de dígitos individuales en números decimales, relacionan los valores de los dígitos usando comparaciones multiplicativas y usan los valores de los dígitos para comparar números decimales. Las conexiones con el razonamiento sobre números enteros continúan cuando sus estudiantes redondean números decimales a cualquier valor posicional usando un razonamiento similar al que usan para redondear números enteros. En el tema B, sus estudiantes suman y restan números decimales pensando en unidades semejantes y aplicando métodos conocidos de cálculo de números enteros.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA

Progresión de las lecciones Lección 1

Lección 2

Lección 3

Representar y relacionar las unidades de valor posicional decimal hasta los milésimos

Representar los milésimos como una unidad de valor posicional

Representar números decimales hasta la posición de los milésimos expresados en formas diferentes

0.01 mL

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

0.001 mL

Descomponer centésimos en 10 partes iguales da como resultado una unidad de valor posicional llamada milésimos. La relación 10 veces una cantidad entre una unidad de valor posicional y la siguiente unidad más grande también es verdadera para los números decimales. El valor de una unidad de valor posicional más

pequeña es __   1   del valor de la siguiente

Componer 10 milésimos forma 1 centésimo y descomponer 1 centésimo forma 10 milésimos. Puedo usar los mismos modelos que uso al representar otras unidades de valor posicional para representar números decimales con milésimos. Puedo escribir números decimales de la misma forma que otros números.

El valor de un dígito en un número decimal depende de su unidad de valor posicional. Puedo escribir números decimales en forma desarrollada de más de una manera para representar los valores de los dígitos.

unidad más grande.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA

Lección 4

Lección 5

Lección 6

Relacionar los valores de los dígitos en un número decimal usando la comprensión del valor posicional

Multiplicar números decimales por y dividirlos entre potencias de 10

Comparar números decimales hasta la posición de los milésimos

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

0.25 ÷

Las relaciones 10 veces una cantidad y

__   1   de una cantidad entre las unidades de 10

valor posicional también son verdaderas entre los valores de los dígitos que están uno al lado del otro en un número entero o un número decimal. Puedo representar las

Por cada factor de 10 por el que multiplico un número decimal, los dígitos del número se desplazan una unidad de valor posicional hacia la izquierda. Por cada factor de 10 entre el que divido un número decimal, los dígitos del número se desplazan una unidad de valor posicional hacia la derecha. Cuando la potencia de 10 está escrita con un exponente, este representa el número de factores de 10.

0.26 0.253

0.258

Comparar números decimales se parece a comparar números enteros. Pensar acerca de qué número está más a la derecha en una recta numérica me ayuda a determinar qué número es mayor. Empezar con la unidad más grande y buscar la primera posición donde los números son diferentes me ayuda a determinar qué número es mayor.

relaciones con enunciados y ecuaciones.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA

Lección 7

Lección 8

Redondear números decimales a la unidad, al décimo o al centésimo más cercanos

Redondear números decimales a cualquier unidad de valor posicional

Decena más cercana 19.206 ≈ Unidad más cercana 19.206 ≈ Décimo más cercano 19.206 ≈ Pensar acerca de la forma unitaria y usar una recta numérica vertical puede ayudarme a redondear un número decimal. Marcar el número decimal entre dos números de referencia y usar la recta numérica me ayuda a determinar a qué número de referencia se acerca más el número decimal.

Centésimo más cercano 19.206 ≈ Puedo usar la comprensión del valor posicional para redondear un número decimal a cualquier unidad de valor posicional. Redondear números decimales a una unidad de valor posicional puede ayudarme a comprender el problema más fácilmente.

LECCIÓN 1

Representar y relacionar las unidades de valor posicional decimal hasta los milésimos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Nombre

Fecha

1. Considera el diagrama de cinta.

0.01

• ¿Qué relación hay entre una unidad de valor posicional y la siguiente unidad más grande?

0.001 b. El valor de A es

de 0.01.

• ¿Qué relación hay entre una unidad de valor posicional y la siguiente unidad más pequeña?

2. Expresa la cantidad de agua que hay en el recipiente en forma fraccionaria y en forma decimal. 0.01

La clase aprende a descomponer 1 unidad en décimos, centésimos y milésimos al descomponer 1 mililitro de agua. Representan valores decimales en forma unitaria, en forma fraccionaria y en forma decimal. Usan 10 veces una cantidad, __   1   de una cantidad y ecuaciones para describir 10 relaciones entre unidades de valor posicional. En esta lección se formaliza el término milésimos.

Preguntas clave

a. Escribe el valor que representa A en forma decimal.

__1

Vistazo a la lección

9 _____ = 0.009

Criterios de logro académico

1,000

5.Mód4.CLA5 Representan números decimales hasta la posición de los

milésimos. (5.NBT.A) 5.Mód4.CLA6 Explican la relación entre los dígitos en los números de varios

dígitos. (5.NBT.A.1) 5.Mód4.CLA9 Leen y escriben números decimales hasta la posición de los

milésimos en forma estándar, en forma desarrollada, en forma escrita y en forma unitaria. (5.NBT.A.3.a)

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• computadora o dispositivo* • proyector*

Aprender 35 min • Descomponer 1 unidad en milésimos

• 10 veces una cantidad y __  1   de una cantidad • Grupo de problemas

Concluir 10 min

• libro Enseñar*

Estudiantes • marcador de borrado en seco* • libro Aprender* • lápiz* • pizarra blanca individual* • borrador para la pizarra blanca individual* *Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Fluidez

Contar de un décimo en un décimo en la recta numérica La clase cuenta de un décimo en un décimo en forma fraccionaria y en forma decimal como preparación para ampliar la comprensión del valor posicional hasta la posición de los milésimos. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar de un décimo en un décimo hasta 10 décimos y, luego, hacia atrás hasta 0 décimos. Empiecen diciendo 0 décimos. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

9 10 0   1  …, __ __    , __    , __  

Nota para la enseñanza

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

10 10 10 10 10 9 1 0  ,    …,    ,     10 10 10 10

__ __ __ __

Ahora, cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de un décimo en un décimo. Esta vez, usen números enteros y números decimales. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 0.1…, 0.9, 1 1, 0.9…, 0.1, 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Sus estudiantes pueden contar de un décimo en un décimo de muchas formas. Elija una forma en que contarán números decimales durante la actividad. Considere una de las siguientes formas. • Cero, cero con un décimo…, cero con nueve décimos, uno • Cero, cero punto uno…, cero punto nueve, uno • Cero, punto uno…, punto nueve, uno

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Intercambio con la pizarra blanca: Décimos escritos de tres maneras La clase usa la forma unitaria para identificar un número que se muestra con discos de valor posicional y, luego, escribe el número en forma fraccionaria y en forma decimal como preparación para ampliar la comprensión del valor posicional hasta la posición de los milésimos. Muestre el número 0.1 representado con un disco de valor posicional. ¿Cómo representan el número que se muestra en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1 décimo

1 décimo = 10 = 0.1

Muestre la respuesta. Escriban 1 décimo en forma fraccionaria y en forma decimal.

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre las respuestas. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

5 décimos = 10 = 0.5

8 décimos = 10 = 0.8

1 unidad y 4 décimos = 1 10 = 1.4

1 unidad y 7 décimos = 1 10 = 1.7

2 unidades y 2 décimos = 2 10 = 2.2

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional La clase usa la forma unitaria para identificar un número que se muestra con discos de valor posicional y, luego, descompone y expresa con otro nombre como preparación para ampliar la comprensión del valor posicional hasta la posición de los milésimos. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 1 disco de una unidad en la tabla. ¿Qué valor se representa en la tabla? Digan la respuesta en forma unitaria.

1 unidad = 10 décimos

1 unidad Muestre 1 unidad =

décimos.

¿1 unidad es igual a cuántos décimos?

10 décimos Muestre la respuesta y el disco de una unidad desagrupado como 10 décimos en la tabla. Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

1 unidad y 2 décimos = 12 décimos

1 unidad y 7 décimos = 17 décimos

1 décimo = 10 centésimos

1 décimo y 3 centésimos = 13 centésimos

1 décimo y 8 centésimos = 18 centésimos

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Presentar

La clase relaciona unidades de valor posicional adyacentes hasta los décimos usando la división. Muestre el video Descomponer 1 litro de agua para activar los conocimientos previos sobre descomponer unidades de valor posicional. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a sus estudiantes que tomen nota de los detalles. Luego, muestre la imagen de la botella de agua de 1 L, o de 1,000 mL, que se descompuso en partes.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo. • Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas. • Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en el idioma.

1 litro

• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes. • De ser posible, intente formar las parejas con estudiantes que tengan el mismo idioma materno.

Rotule la botella de litro 1,000 mL. Señale la botella de 1,000 mL. Si se vierten 1,000 mL, en partes iguales, en 10 recipientes, ¿cuántos mililitros hay en cada recipiente?

100 mL 1,000 mL divididos, en partes iguales, en 10 recipientes es 100 mL. En el primer grupo de recipientes, rotule un recipiente 100 mL. Escriba 1 millar = 10 centenas. Señale el recipiente vacío en el primer grupo. Si se vierten 100 mL, en partes iguales, en 10 recipientes, ¿cuántos mililitros hay en cada recipiente?

DUA: Representación Considere representar el proceso usado para crear los recipientes de agua en la imagen. Haga énfasis en la unidad del recipiente del que se vertió el agua en los 10 nuevos recipientes. Sus estudiantes pueden recordar que completaron esta descomposición en 3.er grado para relacionar los litros con los mililitros.

10 mL © Great Minds PBC

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 En el segundo grupo de recipientes, rotule un recipiente 10 mL. Escriba 1 centena = 10 decenas. Señale el recipiente vacío en el segundo grupo. Si se vierten 10 mL, en partes iguales, en 10 recipientes, ¿cuántos mililitros hay en cada recipiente?

1 mL En el tercer grupo de recipientes, rotule un recipiente 1 mL. Escriba 1 decena = 10 unidades. ¿Qué observan sobre cómo se descompuso, o dividió, cada unidad? Observo que el agua se descompuso, en partes iguales, en 10 recipientes en todas las ocasiones. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo descomponer el agua en 10 partes iguales en todas las ocasiones les ayuda a pensar en la relación entre las unidades de valor posicional. Podemos descomponer, o dividir, una unidad de valor posicional en 10 de la siguiente unidad más pequeña. Cada unidad de valor posicional es 10 veces la siguiente unidad más pequeña. Señale el recipiente de 1 mL y haga la siguiente pregunta. ¿Qué pasaría si el agua en este recipiente se descompusiera en 10 partes iguales? ¿Por qué? Al descomponer 1 unidad en 10 partes iguales, obtenemos 10 décimos. Por lo tanto, cada nuevo recipiente representará 1 décimo de la cantidad original de agua. Si dividimos 1 recipiente de agua, en partes iguales, en 10 nuevos recipientes, los nuevos

  1   . recipientes representarán 1 décimo del agua, porque 1 ÷ 10 = __ 10

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, observaremos qué unidades de valor posicional se obtienen al descomponer 1 unidad en 10 partes de manera repetida.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Aprender

Descomponer 1 unidad en milésimos La clase descompone 1 unidad en milésimos. Abra la actividad digital interactiva de Descomponer 1 mililitro. Muestre el recipiente lleno con una escala de 0 mL a 1 mL.

1 mL

Vamos a descomponer 1 mL de agua en 10 partes iguales. Podemos usar una recta numérica vertical para representar la cantidad de agua. ¿Cuánta agua hay en cada parte? ¿Cómo lo saben? Hay 1 décimo de mililitro de agua en cada parte. Lo sé porque hay 10 décimos en 1 unidad.

1   mL de agua en cada parte. Lo sé porque estamos dividiendo 1 unidad Hay  __ 10

en 10 partes. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Anímeles a completar solo la ecuación

1 unidad = 10 décimos y, luego, lea la ecuación completa a coro con la clase. Sus estudiantes completan las ecuaciones 1 unidad = 100 centésimos y 1 unidad = 1,000 milésimos más adelante en la sección Aprender. 1. Completa las ecuaciones.

1 unidad = 10

décimos

1 unidad = 100 1 unidad = 1,000

centésimos milésimos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Luego, reproduzca la actividad digital interactiva para mostrar el recipiente lleno hasta 0.1 mL.

1 mL

¿Cuánta agua hay en el recipiente?

0.1 mL ¿Cuáles son algunas formas de escribir 1 décimo?

1  . Podemos escribirlo como una fracción,  __ 10

Podemos escribirlo como un número decimal, 0.1. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Guíeles para que completen la primera fila de la tabla, que representa 1 décimo en forma fraccionaria y en forma decimal. Sus estudiantes completan las filas de la tabla para 1 centésimo y 1 milésimo más adelante en la sección Aprender.

0.1 mL

2. Completa la tabla. Forma unitaria

Forma fraccionaria

Forma decimal

1 décimo

__   1   10

0.1

1 centésimo

  1   100

___

0.01

____

0.001

1 milésimo

  1   1,000

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para predecir cuál será el resultado de continuar el patrón y descomponer 1 décimo de mililitro de agua en 10 partes iguales. En la actividad digital interactiva, amplíe la parte de la escala desde 0.1 mL hasta 0.01 mL.

0.1 mL

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

Al descomponer 0.1 mL de agua en 10 partes iguales, ¿cuánta agua hay en cada parte? ¿Cómo lo saben?

• ¿Qué patrones observan cuando relacionan las unidades de valor posicional decimal entre sí?

Hay 1 centésimo de mililitro de agua en cada parte. Lo sé porque hay 10 centésimos en 1 décimo.

1   mL de agua en cada parte. Lo sé porque estamos dividiendo cada Hay  ___ 100

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando razona sobre las relaciones entre las unidades de valor posicional al descomponer repetidamente cada unidad en 10 de la siguiente unidad más pequeña.

0.01 mL

• ¿Este patrón funcionará siempre? Expliquen.

décimo en 10 partes. Por lo tanto, hay 100 partes en 1 unidad.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Hay 10 décimos en 1 unidad. Descompusimos cada décimo en 10 partes, así que hay 100 partes en total. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1. Anímeles a completar la ecuación 1 unidad = 100 centésimos y, luego, lea la ecuación completa a coro con la clase.

0.1 mL

Luego, reproduzca la actividad digital interactiva para mostrar el recipiente lleno hasta 0.01 mL. ¿Cuánta agua hay en el recipiente?

0.01 mL

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Guíeles para representar 1 centésimo en forma fraccionaria y en forma decimal. Luego, use las siguientes preguntas para desarrollar el término milésimos. Descompusimos 1 unidad en 10 décimos. Luego, descompusimos 1 décimo en 10 centésimos. ¿Podemos seguir? ¿Por qué? Sí. Podemos seguir descomponiendo 1 centésimo en 10 partes iguales. ¿Piensan que la nueva unidad sería más pequeña o más grande que 1 centésimo? ¿Por qué? La nueva unidad sería más pequeña porque estamos descomponiendo 1 centésimo en 10 partes iguales. ¿Cómo podríamos llamar a esta nueva unidad de valor posicional? ¿Por qué? Podríamos llamarla milésimos. Seguiría el mismo patrón que usamos para expresar unidades de valor posicional en números enteros. A la izquierda de las unidades están las decenas, las centenas y los millares. Por lo tanto, el patrón para las unidades de valor posicional decimal que están a la derecha de las unidades sería décimos, centésimos, milésimos. En la actividad digital interactiva, amplíe la parte de la escala desde 0.01 mL hasta 0.001 mL.

Nota para la enseñanza En 4.o grado, sus estudiantes conversan acerca de las semejanzas de las unidades de valor posicional a cada lado de las unidades en la tabla de valor posicional. Considere mostrar la siguiente imagen para ayudar a sus estudiantes a predecir cómo llamar a la nueva unidad de valor posicional.

0.01 mL

Al descomponer 1 centésimo en 10 partes iguales, obtenemos una nueva unidad de valor posicional llamada milésimos.

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

0.001 mL

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Al descomponer 0.01 mL en 10 partes iguales, ¿cuántas partes iguales en total hay en 1 mL? ¿Cómo lo saben? Hay 1,000 partes iguales en 1 mL. Lo sé porque hay 10 partes en 1 centésimo, 10 centésimos en 1 décimo y 10 décimos en 1 entero. Por lo tanto, hay 1,000 partes en 1 entero porque 10 × 10 × 10 = 1,000. Las partes se llaman milésimos porque hay 1,000 partes iguales en el entero. Pida a sus estudiantes que presten atención a las ecuaciones en el problema 1, 1 unidad = 10 décimos y 1 unidad = 100 centésimos. Pídales que completen la ecuación 1 unidad = 1,000 milésimos y, luego, lea la ecuación completa a coro con la clase. Luego, reproduzca la actividad digital interactiva para mostrar el recipiente lleno hasta 0.001 mL.

0.01 mL

Apoyo para la comprensión del lenguaje Las unidades de valor posicional, los términos y los modelos decimales para los décimos y los centésimos son conocidos de 4.o grado. Milésimos es una unidad de valor posicional nueva y un término nuevo que se usa en esta lección. Considere hacer un afiche de referencia parecido al de la tabla del problema 1.

¿Cuánta agua hay en el recipiente?

0.001 mL Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Guíeles para que representen 1 milésimo en forma fraccionaria y en forma decimal. Descompusimos 1 unidad de volumen líquido en milésimos. Veamos cómo podemos descomponer 1 unidad en milésimos usando otras representaciones.

Nota para la enseñanza 0.001 mL

Muestre los dos modelos de área para décimos, centésimos y milésimos. Diga a la clase que cada modelo de área representa 1 entero y cada área sombreada representa parte del entero. Explique que el detalle que está ampliado en el área sombreada del segundo entero representa 1 centésimo.

Considere hacer y dejar a la vista un afiche de referencia que resuma las unidades de valor posicional y las relaciones que se representan en este segmento de la lección para que sus estudiantes puedan consultarlo mientras trabajan a lo largo del módulo.

Señale cada modelo, uno a la vez, e invite a la clase a nombrar la unidad de valor posicional sombreada. Anime a sus estudiantes a justificar su razonamiento. Registre la unidad de valor posicional debajo de cada modelo en forma unitaria, en forma decimal y en forma fraccionaria.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Apoyo para la comprensión del lenguaje Algunos detalles pueden resultarles conocidos a sus estudiantes de otros textos. Si los detalles les resultan conocidos, considere usar ese vocabulario con el modelo de área para los milésimos. Si los detalles no les resultan conocidos, considere presentar el término o describir la característica como el cuadrado que está ampliado del modelo de área de los centésimos.

Diferenciación: Apoyo Luego, muestre el diagrama de cinta. Diga a la clase que el primer diagrama representa 1 entero. Señale cada diagrama, uno a la vez, e invite a la clase a nombrar una parte. Anime a sus estudiantes a justificar su razonamiento. Registre la unidad de valor posicional debajo de cada parte en forma decimal, en forma fraccionaria y en forma unitaria.

Considere compartir las equivalencias de unidades de valor posicional y pedir a sus estudiantes que expliquen cómo se muestran las relaciones en una de las siguientes representaciones.

0.1 1

0.1

1 décimo 0.01 1

0.01

100

1 centésimo 0.001 1 1,000

1 milésimo

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre cómo se representan las unidades de valor posicional decimal en el ejemplo del volumen líquido, en el modelo de área y en el diagrama de cinta. © Great Minds PBC

10 décimos en 1 entero

10 centésimos en 1 décimo

10 milésimos en 1 centésimo

1 × 10 = 10 10 × 10 = 100 10 × 10 × 10 = 1,000

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

1 entero es diferente en cada representación. El entero es un recipiente de agua, un cuadrado y una cinta. Las unidades de valor posicional decimal se dividen de manera horizontal o vertical en 10 partes para formar nuevas unidades de valor posicional. Las partes que conforman los milésimos son todas tan pequeñas que hay que ampliarlas para poder verlas. Todas las representaciones muestran que 1 unidad = 10 décimos, 1 décimo = 10 centésimos y

1 centésimo = 10 milésimos.

Todas las representaciones muestran que 1 unidad = 10 décimos, 1 unidad = 100 centésimos y

1 unidad = 1,000 milésimos.

10 veces una cantidad y __  1 de una cantidad 10

Apoyo para la comprensión del lenguaje Si hay estudiantes que necesitan apoyo con el lenguaje 10 veces una cantidad y __   1   de una 10 cantidad, considere repasar las relaciones de valor posicional entre 1 decena y 10 unidades. Use el mismo formato que se muestra en el problema 3.

La clase relaciona unidades de valor posicional adyacentes usando 10 veces una   1   de una cantidad. cantidad y __ 10

Muestre la imagen de 1 disco de una unidad y 10 discos de un décimo. También podemos representar los números decimales con discos de valor posicional. Invite a sus estudiantes a describir la relación entre 1 unidad y los décimos. Use las siguientes preguntas para guiar la conversación. Consulten la imagen de los discos de valor posicional según sea necesario.

1 decena =

10 unidades

1 decena es 10 veces 1 unidad.

¿Cuántos décimos forman 1 unidad?

10 Escriba 1 unidad = 10 décimos.

10 = 10

Entonces, ¿1 unidad es cuántas veces 1 décimo?

10 Escriba 1 unidad es 10 veces 1 décimo.

1 unidad es

¿Qué ecuación podríamos escribir para representar la relación entre 1 unidad y 1 décimo?

1 unidad = 10 × 1 décimo

1 de 10 1 10

×1 1 decena.

× 10

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que completen los primeros tres enunciados que describen la relación entre 1 unidad y los décimos. 3. Usa los discos de valor posicional que se muestran para completar las ecuaciones y los enunciados.

1 unidad =

1 unidad es

1 unidad =

1 décimo es

1 décimo =

décimos

10 veces

__   1   de 10

__   1   10

1 décimo.

× 1 décimo

1 unidad.

× 1 unidad

1 décimo =

1 décimo es

centésimos

10 veces

1 décimo =

1 centésimo es

1 centésimo =

1 centésimo.

× 1 centésimo

__   1   de 10

__   1   10

1 décimo.

× 1 décimo

1 centésimo =

1 centésimo es

1 centésimo =

1 milésimo es

1 milésimo =

milésimos

10 veces

__   1   de 10

__   1   10

1 milésimo.

× 1 milésimo

1 centésimo.

× 1 centésimo

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Invite a sus estudiantes a describir la relación entre 1 décimo y los centésimos y entre 1 centésimo y los milésimos. Consulten la imagen de los discos de valor posicional del problema 3 según sea necesario. Pida a sus estudiantes que completen los primeros tres enunciados que describen la relación entre 1 décimo y los centésimos y 1 centésimo y los milésimos en el problema 3. ¿Qué observan sobre la relación entre la unidad de valor posicional más grande y la unidad más pequeña? La unidad de valor posicional más grande es 10 veces la unidad más pequeña. La unidad de valor posicional más grande es 10 veces la siguiente unidad más pequeña. Pensemos en otra manera de describir la relación entre la unidad de valor posicional más grande y la unidad más pequeña. ¿En cuántos décimos se divide o descompone 1 unidad?

10 ¿Qué fracción de 1 unidad es 1 décimo? ¿Cómo lo saben?

1 1 __  10  . Lo sé porque cuando 1 unidad se descompone en 10 partes, una parte es 1 décimo, o __  10  . 1 Escriba que 1 décimo es __  10   de 1 unidad. Luego, lea el enunciado a coro con la clase. ¿Qué ecuación representa que 1 décimo es __  1   de 1 unidad?

1 décimo =   1   × 1 unidad 10

Invite a sus estudiantes a describir la relación entre 1 centésimo y los décimos y entre 1 milésimo y los centésimos. Dígales que pueden consultar la imagen de los discos de valor posicional del problema 3 según sea necesario.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1 Pida a sus estudiantes que completen las ecuaciones y los enunciados que quedan en el problema 3. ¿Qué observan sobre la relación entre la unidad de valor posicional más pequeña y la unidad más grande? La unidad de valor posicional más pequeña es __   1   de la unidad más grande. 10

La unidad de valor posicional más pequeña es __  1   de la siguiente unidad más grande. 10

¿En qué se parecen pensar en __  1   de una cantidad y pensar en 10 veces una cantidad? 10

En ambos casos, estamos pensando en la relación entre dos unidades de valor posicional. Hay 10 de una unidad de valor posicional y 1 de otra unidad en ambos razonamientos sobre la relación. En ambos se usa la multiplicación para comparar las unidades de valor posicional.

¿En qué se diferencia pensar en __  1   de una cantidad de pensar en 10 veces una cantidad? 10

En el caso de 10 veces una cantidad, pensamos en cuántas de las unidades de valor posicional más pequeñas se usan para componer la unidad de valor posicional más grande. En el caso de 1 __  10   de una cantidad, pensamos en cuántas unidades de valor posicional más pequeñas se puede descomponer la unidad de valor posicional más grande. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre la veracidad de estas conclusiones para otras unidades de valor posicional, como los millares y las decenas de millar o las decenas y las centenas.

Diferenciación: Desafío Considere extender la conversación a 100 veces una cantidad y ___   1   de una cantidad. Use los 100 siguientes esquemas de oración. Anime a sus estudiantes a justificar su razonamiento. • 1

es 100 veces 1

• 1

es ___   1   de 1 100

. .

Grupo de problemas Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Representar y relacionar las unidades de valor posicional decimal hasta los milésimos Guíe una conversación de toda la clase sobre el valor posicional decimal y la relación de las unidades de valor posicional adyacentes usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Qué relación hay entre una unidad de valor posicional y la siguiente unidad más grande?

Nota para la enseñanza Considere hacer referencia a los problemas 5 a 7 del Grupo de problemas para ayudar a sus estudiantes al describir las relaciones entre las unidades de valor posicional.

Se necesitan 10 de una unidad de valor posicional para formar 1 de la siguiente unidad más grande. La unidad más grande es 10 veces la siguiente unidad más pequeña. ¿Qué relación hay entre una unidad de valor posicional y la siguiente unidad más pequeña?

1 unidad de valor posicional puede descomponerse para formar 10 de la siguiente unidad más pequeña.

La unidad más pequeña es __   1   de la siguiente unidad más grande. 10

Si hay tiempo suficiente, extienda el razonamiento de sus estudiantes con las siguientes preguntas. Dejamos de descomponer unidades de valor posicional en los milésimos. ¿Piensan que podríamos seguir descomponiendo las unidades de valor posicional en 10 unidades más pequeñas? ¿Cómo se llamarían las unidades más pequeñas? ¿Por qué? Sí, podríamos seguir descomponiendo. De la misma forma en que podemos componer 10 unidades más pequeñas para formar unidades de valor posicional en números enteros más grandes, podemos seguir descomponiendo una unidad de valor posicional decimal en 10 unidades más pequeñas para formar unidades de valor posicional decimal más pequeñas. Creo que la siguiente unidad más pequeña sería diezmilésimos, luego, cienmilésimos y, luego, millonésimos. Seguiríamos el mismo patrón que usamos con las unidades en números enteros para expresar las siguientes unidades más pequeñas.

Boleto de salida 5 min Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Ejemplos de soluciones Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase. EUREKA MATH2

Nombre

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

4. Rotula el diagrama de cinta usando la forma decimal, la forma fraccionaria y la forma unitaria.

1 Usa el modelo de área para completar las partes (a) y (b). Cada modelo de área representa 1. 1.

0.1

a. El área sombreada representa 1 décimo .

0.1

b. ¿Cuántas de las unidades de valor posicional que escribiste en la parte (a) forman 1?

1 décimo 0.01

0.01

100

1 centésimo 2.

a. El área sombreada representa 1 centésimo

0.001 1

1,000

b. ¿Cuántas de las unidades de valor posicional que escribiste en la parte (a) forman 1?

1 milésimo

100

Usa los discos de valor posicional que se muestran para completar los enunciados y las ecuaciones. 5.

a. El área sombreada representa 1 milésimo

b. ¿Cuántas de las unidades de valor posicional que escribiste en la parte (a) forman 1?

1,000

1 unidad es

veces 1 décimo.

1 unidad =

× 1 décimo

1 1 décimo es _____ de 1 unidad. 10 1 décimo =

__1 10

× 1 unidad

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 1

Empareja los números equivalentes.

1 décimo es

veces 1

1 décimo =

×1

centésimo

1 1 centésimo es _____ de 1 décimo . 10

__1 10

× 1 décimo

1 centésimo es

veces 1

1 centésimo =

×1

milésimo

1 1 milésimo es _____ de 1 10

centésimo

1 centésimo =

1 décimo

0.01

1 1,000

1 milésimo

0.1

10 100

10.

10 centésimos

0.10

1 10

11.

1 centésimo

0.001

1 100

1 milésimo =

__1 10

×1

milésimo

centésimo

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 2

Representar los milésimos como una unidad de valor posicional

EUREKA MATH2

Nombre

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Fecha

1. Escribe el número que se muestra en el modelo de área en forma decimal.

Vistazo a la lección La clase representa números decimales que tienen milésimos usando modelos de área y discos de valor posicional. Escriben números decimales en forma unitaria, en forma fraccionaria, en forma decimal y en forma escrita. Sus estudiantes también componen y descomponen unidades de valor posicional de varias maneras para expresar números que tienen más de 9 milésimos.

Preguntas clave • ¿En qué se parecen los milésimos a las otras unidades de valor posicional? • ¿Cuándo es posible expresar los milésimos como centésimos, décimos o unidades?

Criterios de logro académico 5.Mód4.CLA5 Representan números decimales hasta la posición de los

0.347

milésimos. (5.NBT.A) 5.Mód4.CLA6 Explican la relación entre los dígitos en los números de varios

2. Escribe cada número en forma decimal.

dígitos. (5.NBT.A.1)

a. 29 milésimos

0.029

5.Mód4.CLA9 Leen y escriben números decimales hasta la posición de los

b. 564 milésimos

milésimos en forma estándar, en forma desarrollada, en forma escrita y en forma unitaria. (5.NBT.A.3.a)

0.564

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• set de discos de decimales

Prepare los sets de discos de decimales y reúna, al menos, 3 discos de una unidad, 7 discos de un décimo, 5 discos de un centésimo y 23 discos de un milésimo para el maestro o la maestra y para cada grupo de 3 estudiantes.

Aprender 35 min • Expresar milésimos: Forma unitaria, fraccionaria y decimal

Estudiantes • set de discos de decimales (1 por grupo de estudiantes)

• Componer y descomponer números decimales hasta los milésimos • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Fluidez

Contar de un centésimo en un centésimo en la recta numérica La clase cuenta de un centésimo en un centésimo en forma fraccionaria y en forma decimal para desarrollar la comprensión del valor posicional hasta la posición de los milésimos. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar de un centésimo en un centésimo hasta 10 centésimos y, luego, hacia atrás hasta 0 centésimos. Empiecen diciendo 0 centésimos. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

9 10 0 ___       , ___   1   …, ___     , ___  

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

100 100 100 100 0 10 9     ,     …,   1   ,     100 100 100 100

___ ___ ___ ___

Ahora, cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de un centésimo en un centésimo. Esta vez usen números enteros y números decimales. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 0.01…, 0.09, 0.1 0.1, 0.09…, 0.01, 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

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Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional La clase usa la forma unitaria para identificar un número que se muestra con discos de valor posicional y, luego, compone y expresa con otro nombre para desarrollar la comprensión del valor posicional hasta la posición de los milésimos. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre los 10 discos de un centésimo en la tabla. ¿Qué valor se representa en la tabla? Digan la respuesta en forma unitaria.

10 centésimos = 1 décimo

10 centésimos Muestre 10 centésimos =

décimo.

¿10 centésimos es igual a cuántos décimos?

1 décimo Muestre la respuesta y los discos de un centésimo agrupados como 1 décimo en la tabla. Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

12 centésimos =

décimo y

10 décimos =

17 décimos =

centésimos

unidad

unidad y

16 centésimos =

décimo y

centésimos

14 décimos =

unidad y

décimos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Intercambio con la pizarra blanca: Centésimos escritos de tres maneras La clase usa la forma unitaria para identificar un número que se muestra con discos de valor posicional y, luego, escribe el número en forma fraccionaria y en forma decimal para desarrollar la comprensión del valor posicional hasta la posición de los milésimos. Muestre el número 0.01 representado con discos de valor posicional. ¿Cómo representan el número que se muestra en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Nota para la enseñanza

1 centésimo = 1 = 0.01 100

1 centésimo Muestre la respuesta. Escriban 1 centésimo en forma fraccionaria y en forma decimal. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Considere hacer una pregunta adicional para los números representados con discos de valor posicional de un décimo y de un centésimo. Por ejemplo, después de que respondan que 0.13 es 1 décimo y 3 centésimos en forma unitaria, pregunte: “¿Cuántos centésimos en total es 1 décimo y 3 centésimos?”. La pregunta adicional ayuda a sus estudiantes a escribir el valor como una fracción y como un número decimal usando centésimos.

Muestre las respuestas.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

8 centésimos =

8 = 0.08 100

1 décimo y 3 centésimos = 100 = 0.13

1 unidad y 2 centésimos = 1 100 = 1.02

1 unidad, 2 décimos y 4 centésimos = 1 100 = 1.24

2 unidades, 5 décimos y 1 centésimo = 2 100 = 2.51

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5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Presentar

La clase compara diferentes representaciones de décimos y centésimos. Muestre las cuatro representaciones. Dé a la clase 1 minuto para pensar en silencio y determinar en qué se parecen y en qué se diferencian las representaciones. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. Pídales que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.

Unidades

Décimos

Centésimos

240

2 40

100

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento y guíe una conversación de toda la clase. Registre el razonamiento de sus estudiantes.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Todas las representaciones tienen el mismo valor, 2.4. Los discos de valor posicional muestran 24 décimos. Si agrupamos dos grupos de 10 décimos, los discos de valor posicional muestran 2.4. En la tabla de valor posicional, podemos expresar 200 centésimos como 2 unidades y expresar 40 centésimos como 4 décimos. Por lo tanto, la tabla de valor posicional muestra 2 unidades y 4 décimos.

2. 4

Unidades

Décimos

Centésimos

240

Anime a sus estudiantes a usar la Herramienta para la conversación como ayuda para compartir su razonamiento.

La recta numérica muestra 2 unidades y 4 décimos.

40 4 Podríamos expresar 2  ___   como 2  __  

porque ______   40 ÷ 10 = __   4 . 100 ÷ 10

100

Los discos de valor posicional y la 4   . recta numérica muestran 2  __

2 2.4

2 40 = 2 4 100

= 2.4

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Podemos representar números decimales de muchas maneras. A veces, podemos expresar las unidades de valor posicional con otro nombre. Hoy, representaremos los milésimos como una unidad de valor posicional de diferentes maneras y expresaremos los milésimos con otro nombre cuando sea posible.

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5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Aprender

Expresar milésimos: Forma unitaria, fraccionaria y decimal La clase representa números decimales hasta la posición de los milésimos usando modelos de área. Muestre el modelo de área para los centésimos. Diga a la clase que el modelo representa 1. ¿Cuánto representa 1 columna del modelo de área? ¿Cómo lo saben?

1 columna representa 1 décimo. Lo sé porque hay 10 columnas; por   1   de 1. lo tanto, cada columna es __ 10 ¿Cuánto representa 1 parte, o un cuadrado pequeño, del modelo de área? ¿Cómo lo saben? 1 1 parte representa 1 centésimo. Lo sé porque cada columna es __  10  

  1   de __   1  , o ___   1   . y hay 10 partes en cada columna. Por lo tanto, cada parte es __ 10

100

1 cuadrado pequeño representa 1 centésimo. Lo sé porque hay 10 filas de 10 cuadrados pequeños   1   de 1. y 10 × 10 = 100. Por lo tanto, hay 100 partes. Cada parte es ___ 100 ¿Cómo podemos usar el modelo de área para mostrar milésimos? Tenemos que mostrar 1,000 partes iguales. Ahora, hay 100 partes. Podemos descomponer cada parte en 10 partes más pequeñas. De esta manera, obtendríamos 1,000 partes porque 100 × 10 = 1,000.

  1   de 0.01. Tenemos que dividir cada centésimo en 10 partes iguales porque 0.001 es __ 10

Tenemos que dividir cada centésimo en 10 partes iguales porque 0.01 es 10 veces 0.001.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Muestre el modelo de área para los milésimos. Ayude a sus estudiantes a recordar que el modelo representa 1 entero. Podemos ampliar 1 centésimo descompuesto en 10 partes para ver los milésimos porque son muy pequeños. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Piensen en 8 milésimos. ¿Cómo podemos usar el modelo de área para representar 8 milésimos? Podemos sombrear 8 de las partes más pequeñas. ¿Tenemos suficientes milésimos para componer 1 centésimo? ¿Cómo lo saben? No. Lo sé porque necesitamos 10 milésimos para componer 1 centésimo; por lo tanto, 8 milésimos no es suficiente. Represente cómo sombrear 8 milésimos en el detalle del modelo de área y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Guíe a sus estudiantes para que tracen líneas que conecten el detalle con el cuadrado inferior izquierdo del modelo de área. Las líneas muestran a qué parte del modelo pertenece el cuadrado ampliado. Vamos a sombrear también 8 milésimos en la parte del modelo que no está ampliada. Si las partes son muy pequeñas para sombrear con precisión, pueden estimar cuánto sombrear. Dado que 8 es más de la mitad de 10, pueden sombrear un poco más de la mitad del grupo de 10 milésimos, pero no todo el grupo. Guíe a sus estudiantes para que sombreen 8 milésimos. Luego, invíteles a escribir 8 milésimos en forma fraccionaria y en forma decimal.

Nota para la enseñanza Considere dibujar una tabla de valor posicional y registrar cada número decimal en este segmento para apoyar a sus estudiantes con la escritura y la lectura de los números. Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

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Sombrea el modelo de área para representar el número. Luego, escribe el número en forma fraccionaria y en forma decimal. 1. 8 milésimos

8 ____     , 0.008 1,000

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. ¿En qué se parecen el modelo de área del problema 2 y el del problema 1? Ambos modelos de área están divididos para mostrar milésimos en el cuadrado que está ampliado. Ambos cuadrados ampliados muestran 8 milésimos sombreados. ¿En qué se diferencian el modelo de área del problema 2 y el del problema 1?

2 grupos de 10 milésimos, o 2 centésimos, ya están sombreados. ¿Cuántos grupos de 10 milésimos están sombreados en el problema 2? ¿Qué les dice esto sobre el número que representa el modelo de área?

2 grupos de 10 milésimos están sombreados, lo que me indica que el número tiene 20 milésimos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

2 grupos de 10 milésimos están sombreados. Esto quiere decir que el número tiene 2 centésimos porque cada grupo de 10 milésimos puede expresarse como 1 centésimo. ¿Cuántas partes están sombreadas en el cuadrado que está ampliado en el problema 2? ¿Qué les dice esto sobre el número que representa el modelo de área?

8 partes están sombreadas en el cuadrado ampliado. Esto quiere decir que el número tiene 8 milésimos más. ¿Qué número representa el modelo de área en el problema 2? ¿Cómo lo saben? El modelo de área representa 28 milésimos. Lo sé porque 20 milésimos + 8 milésimos = 28 milésimos. Invite a sus estudiantes a escribir 28 milésimos en forma unitaria, en forma fraccionaria y en forma decimal. Escribe el número representado en el modelo de área en forma unitaria, en forma fraccionaria y en forma decimal. 2.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando cambia la perspectiva para ver los mismos valores decimales representados con diferentes combinaciones de unidades de valor posicional, por ejemplo, ver 28 milésimos como 2 centésimos y 8 milésimos. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relacionan el cuadrado ampliado y el resto del modelo de área? ¿Cómo puede esto ayudarles a representar valores decimales, como 8 milésimos o 0.28?

28  , 0.028 28 milésimos,  ____ 1,000

• ¿De qué otra manera pueden pensar en 428 milésimos de modo que les ayude a representar de forma eficiente la cantidad con los discos de valor posicional?

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5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. ¿Cuántas columnas están completamente sombreadas? ¿Qué les dice esto sobre el número que representa el modelo de área? ¿Cómo lo saben?

4 columnas están completamente sombreadas. Esto quiere decir que el número tiene 400 milésimos. Lo sé porque cada columna representa 10 grupos de 10 milésimos y 4 × 10 × 10 = 400. 4 columnas están completamente sombreadas. Esto quiere decir que el número tiene 4 décimos. Lo sé porque cada columna representa 1 décimo. ¿Cuántos grupos más de 10 milésimos están sombreados? ¿Qué les dice esto sobre el número que representa el modelo de área?

2 grupos más de 10 milésimos están sombreados. Esto quiere decir que el número tiene 20 milésimos más. ¿Cómo pueden expresar 20 milésimos con otro nombre? Puedo expresar 20 milésimos como 2 centésimos. ¿Cuántas partes están sombreadas en el cuadrado ampliado? ¿Qué les dice esto sobre el número que representa el modelo de área?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Mostrar la forma unitaria, la forma fraccionaria y la forma decimal de un número ayuda a sus estudiantes a hacer conexiones entre la forma oral y la forma escrita de los números decimales que incluyen milésimos. Considere hacer un afiche de referencia en el que se muestren diferentes formas de un número decimal, como el siguiente: ____  

8 partes están sombreadas en el cuadrado ampliado. Esto quiere decir que el número tiene 8 milésimos más. ¿Qué número representa el modelo de área? ¿Cómo lo saben? El modelo de área representa 428 milésimos. Lo sé porque

400 milésimos + 20 milésimos + 8 milésimos = 428 milésimos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Invite a sus estudiantes a escribir 428 milésimos en forma unitaria, en forma fraccionaria y en forma decimal. 3.

Nota para la enseñanza El detalle, o cuadrado ampliado, está a la derecha de este ejemplo en lugar de a la izquierda de modo que las líneas lo conecten con el lugar del modelo al que pertenece y no atraviesen las columnas sombreadas. El detalle puede mostrarse en cualquiera de los lados.

428   , 0.428 ____ 428 milésimos,  1,000

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo representar números decimales que incluyen milésimos en un modelo de área.

Componer y descomponer números decimales hasta los milésimos Materiales: M/E) Set de discos de decimales

DUA: Participación

La clase representa números decimales que tienen milésimos usando discos de valor posicional. Forme grupos de 3 estudiantes. Pida a sus estudiantes que trabajen en grupos para representar 6 milésimos usando los discos en formación de grupos de 5. Luego, pídales que escriban el número en forma unitaria, en forma fraccionaria, en forma decimal y en forma escrita en sus pizarras blancas. Si necesitan apoyo, considere usar una tabla de valor posicional para registrar el número. © Great Minds PBC

6 milésimos 6 0.006 1,000

Seis milésimos

Considere generar interés brindando a sus estudiantes la posibilidad de elegir el número que representarán con los discos de valor posicional. Deles la opción de usar cualquier número del 1 al 9 de los discos de un milésimo. Luego, considere invitar a tres o cuatro estudiantes a compartir su trabajo.

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5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Pida a sus estudiantes que agreguen 10 discos de un milésimo en la formación de grupos de 5. Invíteles a escribir el nuevo número representado por los discos en forma unitaria, en forma fraccionaria, en forma decimal y en forma escrita. Invite a un par de estudiantes a compartir su trabajo. Pida a una persona de cada grupo que no borre su trabajo. ¿Cómo podemos representar el mismo número usando menos discos? ¿Cómo lo saben? Podemos cambiar 10 discos de un milésimo por 1 disco de un centésimo. Lo sé porque 1 centésimo = 10 milésimos. Pida a sus estudiantes que cambien 10 discos de un milésimo por 1 disco de un centésimo. Pídales que trabajen en parejas para escribir el número representado por los discos en forma unitaria, en forma fraccionaria, en forma decimal y en forma escrita. Invíteles a comparar su trabajo.

16 milésimos

1 centésimo y 6 milésimos

16 0.016 1,000

Dieciséis milésimos

Nota para la enseñanza En la forma escrita de un número se utiliza la unidad más pequeña; en cambio, la forma unitaria de un número puede tener más variedad. • La forma escrita de 0.016 es dieciséis milésimos porque los milésimos son la unidad más pequeña. La forma unitaria de 0.016 puede ser 1 centésimo y 6 milésimos o 16 milésimos. • La forma escrita de 3.016 es tres con dieciséis milésimos. Hay muchas variantes de la forma unitaria; algunos ejemplos no excluyentes son: 3 unidades y 16 milésimos, 3 unidades, 1 centésimo y 6 milésimos, y 3,016 milésimos.

¿Qué observan? ¿Qué cambió y qué quedó igual? Observé que cambió la forma unitaria cuando representamos el número usando menos discos. Observé que la forma decimal, la forma fraccionaria y la forma escrita no cambian cuando usamos menos discos. ¿Por qué creen que la forma unitaria cambió cuando representaron el número usando menos discos, pero la forma decimal, la forma fraccionaria y la forma escrita no cambiaron? Creo que la forma unitaria cambió porque usamos dos unidades de valor posicional para expresar el número en lugar de una. El valor del número es el mismo, así que la forma decimal, la forma fraccionaria y la forma escrita no cambiaron.

Nota para la enseñanza Expresar un número decimal de más de una manera usando unidades de valor posicional adyacentes en forma unitaria ayuda a sus estudiantes a prepararse para el redondeo en las lecciones 7 y 8.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Invite a sus estudiantes a usar los discos para representar 4 centésimos y 13 milésimos. Luego, pídales que cambien los discos para representar el número con menos discos. Pida a la clase que escriba la forma unitaria y la forma decimal para representar el número.

Diferenciación: Desafío Considere invitar a sus estudiantes a escribir la forma unitaria de más de una manera para representar el número que se muestra con los discos sin cambiarlos físicamente.

5 centésimos y 3 milésimos 0.053 Repita el proceso con 6 décimos y 15 milésimos. Invite a sus estudiantes a usar los discos para representar 2 centésimos y 3 milésimos. Luego, pídales que cambien los discos para representar el número usando solo milésimos. Pida a la clase que escriba la forma unitaria y la forma decimal para representar el número.

23 milésimos 0.023 Repita la actividad con 1 centésimo y 8 milésimos. Muestre 3 unidades, 7 décimos, 5 centésimos y 8 milésimos representado con discos. Pida a sus estudiantes que escriban la forma unitaria y la forma decimal para representar el número.

¿Sería razonable representar 3.758 usando solo los discos de un milésimo? ¿Por qué? No. 3.758 es 3,758 milésimos, así que necesitaríamos 3,758 discos de un milésimo, lo cual no es razonable.

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5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 Dé 3 minutos a los grupos de estudiantes para usar los discos, crear números y escribirlos en forma unitaria, en forma decimal y en forma escrita. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo representar números decimales en forma unitaria de varias maneras.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Representar los milésimos como una unidad de valor posicional Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre los milésimos como unidad de valor posicional usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

72 570

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 10 del Grupo de problemas. Luego, muestre la imagen de la tabla de valor posicional. Invíteles a comparar la tabla de valor posicional con el problema 10. Asegúrese de que sus estudiantes se den cuenta de que los números representados en forma unitaria en el problema 10 están representados en la tabla de valor posicional.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2 ¿Cómo les ayuda representar los números usando una tabla de valor posicional en lugar de la forma unitaria a identificar la forma unitaria que no representa correctamente el número 0.572? Alinear los números según su valor posicional me ayuda a ver en qué se diferencia cada opción de respuesta. Al usar la tabla de valor posicional, puedo ver que 72 milésimos en el segundo número puede expresarse como 7 centésimos y 2 milésimos. Veo que el segundo número tiene el mismo valor que el primer número, 0.572. Puedo usar la tabla de valor posicional para expresar 570 centésimos con otro nombre. Expreso 70 centésimos como 7 décimos y 500 centésimos como 5 unidades, lo que hace que el tercer número sea diferente de 0.572. ¿En qué se parecen los milésimos a las otras unidades de valor posicional? Los milésimos se forman cuando la siguiente unidad más grande, 1 centésimo, se descompone en 10 partes iguales. Puedes tener más de 1 milésimo. Los milésimos a veces se pueden componer de o expresar como unidades de mayor valor.

1 centésimo es 10 veces 1 milésimo, así como 1 décimo es 10 veces 1 centésimo y 1 unidad es 10 veces 1 décimo. 1 __ 1 milésimo es 10   1   de 1 centésimo, así como 1 centésimo es __  10   de 1 décimo y 1 décimo es

__   1   de 1 unidad. 10

¿Cuándo es posible expresar los milésimos como centésimos, décimos o unidades?

10 milésimos pueden expresarse con otro nombre para formar 1 centésimo. 100 milésimos pueden expresarse con otro nombre para formar 1 décimo. Cuando hay 1,000 milésimos, se pueden expresar como 1 unidad.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Nombre

Fecha

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

EUREKA MATH2

2. 53 milésimos

Escribe el número en forma decimal. 1. 3 milésimos

53 = ____ 1,000

0.053

3. 253 milésimos

3 = ____ 1,000

0.003

253 ____ = 1,000

0.253

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Escribe el número en forma fraccionaria. 4. 4 milésimos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

5. 14 milésimos

4 0.004 = _______ 1,000

14 0.014 = _______ 1,000

décimos y

milésimos =

9. Completa la tabla. Forma fraccionaria

Forma unitaria

5 ____ 1,000

5 milésimos Escribe la forma unitaria y la forma decimal del número que muestran los discos de valor posicional.

décimos,

centésimos y

0.609

milésimo =

centésimos y

milésimos

décimos, 1 centésimo 9 milésimos y

0.241 2 décimos y 3 milésimos

68 ____ 1,000

419 ____ 1,000

203 ____ 1,000

Forma decimal

0.005 0.068 0.419 0.203

10. Considera el número decimal. Encierra en un círculo la forma unitaria que no representa correctamente el número decimal. Luego, explica tu elección.

0.572

unidad,

décimos,

centésimos y

milésimos =

5 décimos, 7 centésimos y 2 milésimos 5 décimos y 72 milésimos 570 centésimos y 2 milésimos 1.375

GRUPO DE PROBLEMAS

Explica.

570 centésimos y 2 milésimos no representa correctamente el número decimal 0.572 porque 570 centésimos es lo mismo que 5.70. Por lo tanto, 570 centésimos y 2 milésimos es 5.702, no 0.572.

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

Sombrea la regla de un metro para representar cada longitud.

Escribe la cantidad de agua que se muestra en forma fraccionaria y en forma decimal. 11.

0.01 L

12.

_______ L = 1,000

0.004

0.01 L

15. 0.092 metros

_______ L =

1,000

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 2

0.009

1 metro

0.1 metros

0.01 metros

Escribe la cantidad de agua dada en forma decimal. Sombrea el recipiente para mostrar la cantidad de agua correcta. 13.

14.

0.01 L

1 ____ L= 1,000

0.001

16. 0.192 metros

1 metro

0.01 L

7 ____ L= 1,000

0.007

L 0.1 metros

0.01 metros

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 3

Representar números decimales hasta la posición de los milésimos expresados en formas diferentes

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Nombre

Fecha

Representa 1.809 en forma desarrollada de dos maneras diferentes. Ejemplo:

1 × 1 + 8 × 0.1 + 9 × 0.001

__ + 9 × ____ 1 × 1 + 8 × 10 1,000 1

Vistazo a la lección La clase representa números decimales en formas diferentes, como con discos de valor posicional y con una tabla de valor posicional. Luego, identifican el valor de cada dígito en un número decimal según su valor posicional. Usan su comprensión sobre números enteros, fracciones y números decimales para expresar números decimales en forma desarrollada.

Pregunta clave • ¿De qué manera la forma desarrollada puede ayudarnos a pensar en los valores que tienen los dígitos de un número?

Criterios de logro académico 5.Mód4.CLA5 Representan números decimales hasta la posición de los

milésimos. (5.NBT.A) 5.Mód4.CLA6 Explican la relación entre los dígitos en los números de varios

dígitos. (5.NBT.A.1) 5.Mód4.CLA9 Leen y escriben números decimales hasta la posición de los

milésimos en forma estándar, en forma desarrollada, en forma escrita y en forma unitaria. (5.NBT.A.3.a)

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• set de discos de valor posicional

• Reúna al menos 2 discos de una decena, 5 discos de una unidad, 6 discos de un décimo, 8 discos de un centésimo y 3 discos de un milésimo para cada pareja de estudiantes y para la maestra o el maestro.

Aprender 30 min • El valor de los dígitos en los números decimales • Forma desarrollada para números decimales • Grupo de problemas

Concluir 10 min

• set de discos de decimales • Tabla de valor posicional hasta los milésimos (en la edición para la enseñanza)

Estudiantes • set de discos de valor posicional (1 por pareja de estudiantes) • set de discos de decimales (1 por pareja de estudiantes)

• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los milésimos de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

• Tabla de valor posicional hasta los milésimos (en el libro para estudiantes)

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Milésimos escritos de tres maneras La clase usa la forma unitaria para identificar un número que se muestra con discos de valor posicional y, luego, escribe el número en forma fraccionaria y en forma decimal para desarrollar la comprensión del valor posicional hasta la posición de los milésimos. Muestre el número 0.001 representado con un disco de valor posicional. ¿Cómo representan el número que se muestra en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1 milésimo = 1,000 = 0.001 1

1 milésimo Muestre la respuesta. Escriban 1 milésimo en forma fraccionaria y en forma decimal. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre las respuestas.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

6 milésimos =

6 = 0.006 1,000

1 décimo y 5 milésimos =

2 centésimos y 4 milésimos =

105 = 0.105 1,000

1 unidad, 1 décimo, 6 centésimos y 3 milésimos =

24 = 0.024 1,000

2 décimos, 1 centésimo y 7 milésimos =

217 = 0.217 1,000

1,163 = 1.163 1,000

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar por potencias de 10 La clase expresa una potencia de 10 en forma estándar y, luego, reescribe una expresión y halla el producto como preparación para multiplicar números decimales por potencias de 10 a partir de la lección 5. Muestre la expresión 3 × 102. ¿Cuánto es 102 en forma estándar? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

3 × 102 3 × 100 = 300

100 © Great Minds PBC

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 Reescriban la expresión con la potencia de 10 en forma estándar y hallen el producto. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

57 × 103 57 × 1,000 = 57,000

7 × 106

91 × 105

608 × 104

7 × 1,000,000 = 7,000,000 91 × 100,000 = 9,100,000 608 × 10,000 = 6,080,000

Presentar

Materiales: E) Discos

La clase representa un número decimal de diferentes formas. Muestre 6.789 y pida a la clase que lea a coro el número decimal. Luego, invite a sus estudiantes a compartir ideas sobre formas de representar el número decimal. Las representaciones pueden ser: • discos de valor posicional; • tabla de valor posicional; • forma unitaria; • forma fraccionaria y • forma escrita. Siente a sus estudiantes en grupos de 4. Pida a los grupos que elijan cuatro representaciones diferentes. Pida a cada integrante del grupo que elija una forma de representar el número decimal.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Para brindar apoyo al diálogo entre estudiantes, anímeles a usar los siguientes comienzos de oración mientras comparten las diferentes representaciones. • Estoy de acuerdo/en desacuerdo porque… • ¿Por qué elegiste…? • Me gusta cómo… • En vez de eso, ¿probaste…? • Otra manera de decir lo mismo es…

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 Cuando los grupos terminen, invite a la clase a compartir las diferentes representaciones. Apoye el diálogo entre estudiantes invitándoles a que estén de acuerdo o en desacuerdo, hagan una pregunta, den una felicitación, hagan una sugerencia o replanteen una idea con sus propias palabras. Registre sus razonamientos. Si sus estudiantes no comparten ninguna de las formas que se muestran, represéntelas. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

6.789

Nota para la enseñanza

789   6 ____ 1,000

6 unidades, 7 décimos, 8 centésimos y 9 milésimos Seis con setecientos ochenta y nueve milésimos

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

Si hay tiempo suficiente, considere estructurar este segmento como un paseo por la galería. Pida a los grupos que registren las cuatro representaciones en papel de rotafolio. Coloque los afiches en el salón de clases e invite a sus estudiantes a recorrerlo y observar el trabajo de sus pares. Una vez que hayan completado el paseo por la galería, reúna a sus estudiantes. Guíe una conversación pidiéndoles que compartan sus observaciones.

Hoy, usaremos lo que sabemos sobre el valor posicional para representar los números decimales de diferentes formas.

Aprender

El valor de los dígitos en los números decimales Materiales: M) Tabla de valor posicional hasta los milésimos; E) Discos, Tabla de valor posicional hasta los milésimos

La clase identifica y representa los valores de los dígitos en números decimales de varios dígitos. Presente 25.683 en forma unitaria como se muestra. Pida a la clase que trabaje en parejas para representar el número decimal con discos de valor posicional.

2 decenas, 5 unidades, 6 décimos, 8 centésimos y 3 milésimos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 Cuando la mayoría de las parejas haya terminado, pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los milésimos de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas. Invíteles a registrar el número en la tabla de valor posicional. Muestre una tabla de valor posicional y escriba los dígitos.

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

¿Qué número está representado en la tabla de valor posicional?

25.683 ¿Qué dígito está en la posición de las decenas?

2 ¿Qué valor representa el 2?

20 Registre 20 debajo del dígito 2 en la posición de las decenas. Repita el proceso para las otras posiciones y los otros dígitos. Cuando registre los valores de los dígitos en las posiciones decimales, guíe a sus estudiantes para que usen tanto la forma decimal como la forma fraccionaria. Muestre 14.790 en forma escrita. Pida a sus estudiantes que representen el número decimal con discos de valor posicional, lo escriban en la tabla de valor posicional y representen el valor de cada dígito. Invite a alguien a mostrar su trabajo. Luego, converse sobre el dígito 0 en la posición de los milésimos.

Catorce con setecientos noventa milésimos Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

0.7

0.09

0.000

7 10

9 100

0 1,000

En el número 14.790, ¿en qué posición está el dígito 0? En la posición de los milésimos ¿Cuál es el valor del dígito 0 en esa posición?

0, o 0 milésimos

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 ¿Cambia el valor del número 14.790 si no escribimos un 0 en la posición de los milésimos? ¿Por qué? No. El valor no cambia porque 790 milésimos equivale a 79 centésimos. Imaginen que el número era 14.709. ¿Tenemos que escribir el dígito 0 en la posición de los centésimos? ¿Por qué? Sí. El dígito 0 en la posición de los centésimos tiene un valor de 0, pero mantiene la posición. Sí. Si no escribimos el 0 en la posición de los centésimos, el número decimal sería 14.79, que no es igual a 14.709.

Forma desarrollada para números decimales Materiales: E) Tabla de valor posicional hasta los milésimos

La clase analiza y escribe diferentes versiones de la forma desarrollada de un número decimal. Pida a la clase que represente 42.853 en su tabla de valor posicional usando dígitos y puntos.

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

Luego, presente los ejemplos de la forma desarrollada de 42.853, uno a la vez. Dé un momento a sus estudiantes para analizar cada expresión antes de mostrar la siguiente expresión. Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el trabajo.

42 .853

Apoyo para la comprensión del lenguaje

40 + 2 + 0.8 + 0.05 + 0.003 8

40 + 2 + 10 + 100 + 1,000 4 × 10 + 2 × 1 + 8 × 0.1 + 5 × 0.01 + 3 × 0.001 1

4 × 10 + 2 × 1 + 8 × 10 + 5 × 100 + 3 × 1,000

Considere pedir a sus estudiantes que consulten la sección Decirlo otra vez de la Herramienta para la conversación para parafrasear y aclarar las respuestas de sus pares.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Observar y preguntarse ¿Qué observan sobre este trabajo? Observo que en todas las expresiones se suman los valores de cada dígito en 42.853. Observo que en algunas expresiones se muestran los valores de los dígitos en forma decimal y en otras, en forma fraccionaria. Observo que en dos de las expresiones se usa solo la suma y en otras dos expresiones se usa la multiplicación y la suma. ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? Me pregunto por qué esta persona escribió el número de tantas maneras diferentes. Cada expresión representa un ejemplo de la forma desarrollada del número 42.853.

Organizar ¿Qué pasos siguió esta persona para escribir el número en forma desarrollada? Separó el número según el valor posicional. Escribió el valor de cada posición en forma decimal o en forma fraccionaria.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando amplía su comprensión de los números decimales usando la forma desarrollada para separar números según el valor posicional. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relacionan la forma decimal y la forma desarrollada? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar el valor de un dígito en un número decimal? • ¿Cómo pueden descomponer en forma desarrollada un número decimal que está en forma decimal?

Guíe la conversación para enfocarse en las diferentes maneras de escribir un número decimal en forma desarrollada y anime el razonamiento que les permita hacer conexiones con el valor posicional.

Mostrar

Nota para la enseñanza

¿De qué manera ven representado el valor de cada dígito en las diferentes formas? En la primera expresión, se representa el valor de cada dígito en forma decimal. En la segunda expresión, se usa la forma fraccionaria para representar el valor de cada dígito. En la tercera y cuarta expresión, se representa el valor de cada dígito usando la multiplicación. Multiplicaron el número de unidades de valor posicional por el valor de la unidad de valor posicional. En la tercera expresión, se usa la forma decimal para representar el valor de cada unidad de valor posicional. En la cuarta expresión, se usa la forma fraccionaria para representar el valor de cada unidad de valor posicional.

Como apoyo para ver las semejanzas entre las diferentes formas desarrolladas, habrá estudiantes que se beneficiarán de ver las formas desarrolladas con números decimales escritas juntas y las formas desarrolladas con fracciones escritas juntas.

40 + 2 + 0.8 + 0.05 + 0.003 4 × 10 + 2 × 1 + 8 × 0.1 + 5 × 0.01 + 3 × 0.001 5 3 8   +  ___   +  ____   40 + 2 +  __ 10

100

1,000

1 1 1 ___ ____ 4 × 10 + 2 × 1 + 8 ×  __ 10  + 5 ×   100  + 3 ×   1,000 

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Sintetizar ¿De qué manera fueron de ayuda en este trabajo las diferentes maneras de representar el valor de cada dígito? La forma desarrollada escrita sin multiplicación me ayuda a ver el valor de cada dígito. La forma desarrollada escrita con multiplicación me ayuda a ver la relación entre el dígito y el valor de la unidad de valor posicional.

Comprender ¿Qué forma desarrollada se parece más a la tabla de valor posicional? La forma desarrollada en la que se usa el valor de cada dígito en forma decimal ¿Qué forma desarrollada les recuerda más a los discos de valor posicional? La forma desarrollada en la que se multiplica el número de unidades de valor posicional por el valor de la unidad de valor posicional en forma decimal ¿Qué forma desarrollada les ayuda a ver el valor de cada unidad de valor posicional? Las formas desarrolladas en las que se multiplican el número de cada unidad de valor posicional por el valor de la unidad de valor posicional Retire de la vista las formas desarrolladas. Pida a la clase que represente 42.853 con los siguientes dos tipos de forma desarrollada debajo de la tabla de valor posicional: • Una expresión en la que se use solo la forma decimal y la suma • Una expresión en la que se use solo la forma fraccionaria y la suma Luego, pida a sus estudiantes que escriban dos tipos más de forma desarrollada que incluyan multiplicación y suma. Brinde apoyo a sus estudiantes haciendo las siguientes preguntas, según sea necesario: • ¿Qué dígito está en la posición de

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

Considere pedir a sus estudiantes que usen paréntesis como apoyo para separar el producto de cada dígito y la unidad de valor posicional.

40 + 2 + 0.8 + 0.05 + 0.003 8

Diferenciación: Apoyo

40 + 2 + 10 + 100 + 1,000

(4 × 10) + (2 × 1) + (8 × 0.1) + (5 × 0.01) + (3 × 0.001)

4 × 10 + 2 × 1 + 8 × 0.1 + 5 × 0.01 + 3 × 0.001

1 1 1 (4 × 10) + (2 × 1) + (8 × __  10  )+ (5 × ___  100  )+ (3 × ____  1,000  )

Como alternativa, considere pedir a sus estudiantes que subrayen con diferentes colores para distinguir los valores de los dígitos en la expresión.

4 × 10 + 2 × 1 + 8 × 10 + 5 × 100 + 3 × 1,000

4 × 10 + 2 × 1 + 8 × 0.1 + 5 × 0.01 + 3 × 0.001

• ¿Qué valor representa ese dígito? • ¿De qué manera podemos escribir ese valor como una expresión de multiplicación?

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema 1 en sus libros. Pueden usar su tabla de valor posicional si es necesario. 1. Escribe 85.509 en forma desarrollada de cuatro maneras diferentes.

80 + 5 + 0.5 + 0.00 + 0.009 80 + 5 + __   + ___   + ____   5 10

0 100

9 1,000

8 × 10 + 5 × 1 + 5 × 0.1 + 0 × 0.01 + 9 × 0.001

DUA: Acción y expresión Considere ayudar a sus estudiantes a evaluar su propio progreso mientras escriben las cuatro versiones de la forma desarrollada mostrando un ejemplo de trabajo de la rutina Cinco preguntas estructuradas como ejemplo típico.

8 × 10 + 5 × 1 + 5 × __   1 + 0 × ___   1 + 9 × ____   1 10

100

1,000

Una vez que las parejas de estudiantes hayan terminado, seleccione a dos o tres estudiantes para que compartan su trabajo. Seleccione ejemplos de trabajo que muestren el valor de 0 centésimos y ejemplos de trabajo que no muestren el valor de 0 centésimos. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si 0 centésimos debe representarse en la forma desarrollada.

Diferenciación: Desafío

No. No creo que 0 centésimos deba representarse en forma desarrollada porque sumar el valor del 0 no cambia el valor del número.

Desafíe a quienes terminen primero a escribir

Sí. Debo escribir 0 centésimos en forma desarrollada porque así puedo ver cada dígito, como en una tabla de valor posicional.

valores de los números 5 en las posiciones de

Llegue a la conclusión con toda la clase de que las expresiones son correctas con o sin la representación de 0 centésimos.

oraciones que describan la relación entre los

las unidades y los décimos usando las frases 1 10 veces una cantidad y  __ 10  de una cantidad.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Representar números decimales hasta la posición de los milésimos expresados en formas diferentes Guíe una conversación de toda la clase sobre las relaciones entre las unidades de valor posicional en números enteros y en los números decimales usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Muestre la tabla de valor posicional y la forma desarrollada.

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

1 × 1,000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1 + 3 × 0.1 + 2 × 0.01 + 1 × 0.001

¿Qué patrones observan? Las posiciones que están a la izquierda de la posición de las unidades tienen nombres parecidos a los que tienen las posiciones que están a la derecha de la posición de las unidades: decenas y décimos, centenas y centésimos, y millares y milésimos. ¿Cómo puede ayudarnos la tabla de valor posicional a pensar en el valor de cada dígito en un número? La tabla de valor posicional me ayuda a ver cada dígito en forma unitaria. La forma unitaria me ayuda a pensar en el valor de cada dígito en un número.

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

EUREKA MATH2

¿De qué manera la forma desarrollada puede ayudarnos a pensar en el valor de cada dígito en un número? La forma desarrollada me ayuda a pensar en el valor de cada dígito porque puedo ver el valor de cada unidad de valor posicional en forma decimal o en forma fraccionaria.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

Escribe el número en forma decimal. Forma escrita

1. Usa los discos de valor posicional que se muestran para completar las partes (a) a (f).

a. Los discos de valor posicional representan el número b. El dígito

El dígito

20 1

Doce con trescientos sesenta y dos milésimos

12.362

Veinticinco con treinta y nueve milésimos

25.039

Setenta con seiscientos ocho milésimos

70.608

Escribe el número decimal como un número mixto. Luego, completa la forma desarrollada.

0.4 .

está en la posición de los décimos. Tiene un valor de

e. El dígito 3 está en la posición de f.

21.437 .

está en la posición de las decenas. Tiene un valor de

c. El dígito 1 está en la posición de las unidades . Tiene un valor de d. El dígito

. Tiene un valor de 0.03 .

los centésimos

Número decimal

Número mixto

Forma desarrollada

6.275

275 6_____

6 + 0.2 + 0.07 + 0.005

13.018

18 13 _____

10 +

74.481

481 74 ____

90.302

302 90 _____

está en la posición de los milésimos . Tiene un valor de 0.007.

2. Usa la tabla de valor posicional para completar las partes (a) a (e). Expresa el valor de cada dígito en forma decimal.

a. El dígito

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

4 0.5 .

está en la posición de los décimos. Tiene un valor de

b. El dígito 7 está en la posición de las unidades . Tiene un valor de

está en la posición de las decenas. Tiene un valor de

d. El dígito

está en la posición de los milésimos . Tiene un valor de 0.004.

los centésimos

1,000

7 × 10 + 4 ×

1 + ___ + _______ 100

1,000

100

1,000

+ 4 × _____ + 8 × _______ + 1 × _______

c. El dígito

e. El dígito 9 está en la posición de

Forma decimal

1,000

9×

+ 3 × 0.1 + 2 × 0.001

. Tiene un valor de 0.09 .

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3

10. Representa 7.362 en forma desarrollada de dos maneras diferentes. Ejemplo:

7 × 1 + 3 × 0.1 + 6 × 0.01 + 2 × 0.001 1 1 1 7 × 1 + 3 × __ + 6 × ___ + 2 × ____ 10

100

1,000

11. Representa 25.804 en forma desarrollada de dos maneras diferentes. Ejemplo:

2 × 10 + 5 × 1 + 8 × 0.1 + 4 × 0.001 1 1 2 × 10 + 5 × 1 + 8 × __ + 4 × ____ 10

1,000

640 12. El maestro Evans pide a sus estudiantes que escriban 15 ____ en forma decimal. Considera 1,000 el número de Lisa y el número de Scott.

Número de Lisa

Número de Scott

15.640

15.64

Explica por qué tanto Lisa como Scott están en lo correcto. Tanto Lisa como Scott están en lo correcto porque los números son iguales. El número de Lisa tiene un 0 en la posición de los milésimos, pero el número de Scott, no. El 0 en la posición de los milésimos no cambia el valor del número porque 640 milésimos es igual a 64 centésimos.

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 3 ▸ Tabla de valor posicional hasta los milésimos

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

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LECCIÓN 4

Relacionar los valores de los dígitos en un número decimal usando la comprensión del valor posicional

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Nombre

Fecha

Vistazo a la lección La clase identifica el valor de cada dígito en un número decimal según su unidad de valor posicional. Usan la tabla de valor posicional junto con los

enunciados de comparación 10 veces una cantidad y   1   de una cantidad 10

Considera el número que se muestra.

para relacionar entre sí unidades de valor posicional. Luego, sus estudiantes

0.2 2 4

escriben enunciados y ecuaciones para describir relaciones entre los valores

a. ¿Cuál es el valor del dígito que está encerrado en un recuadro?

0.02

de dígitos adyacentes en números decimales.

b. ¿Cuál es el valor del dígito que está subrayado?

Pregunta clave

0.2

• ¿Cómo se relacionan las unidades de valor posicional entre sí? c. Completa las ecuaciones para mostrar la relación entre el dígito que está encerrado en un recuadro y el dígito que está subrayado.

0.2

1 0.02 = __ × 10

Criterio de logro académico

= 10 × 0.02

5.Mód4.CLA6 Explican la relación entre los dígitos en los números de varios

0.2

dígitos. (5.NBT.A.1)

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• ninguno

Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los milésimos de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 30 min

___

• 10 veces una cantidad y   1   de una cantidad 10

en la Tabla de valor posicional

Estudiantes • Tabla de valor posicional hasta los milésimos (en el libro para estudiantes)

• Comparar dígitos repetidos en números decimales • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Relaciones de valor posicional La clase dice los valores que tienen dos dígitos adyacentes idénticos en un número entero y, luego, escribe una ecuación de multiplicación y división como preparación para relacionar los valores que tienen los dígitos en un número decimal. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 2,477 con la posición de las unidades subrayada. ¿Cuál es el valor del dígito que está subrayado?

7 Muestre la respuesta y, luego, la posición de las decenas subrayada. ¿Cuál es el valor de este otro dígito que está subrayado?

2,477 7 70 7 × 10 = 70 70 ÷ 10 = 7

Muestre la respuesta. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Escriban una ecuación de multiplicación para mostrar la relación que hay entre los valores de los dígitos que están subrayados. Muestre la ecuación de multiplicación de ejemplo. Escriban una ecuación de división para mostrar la relación que hay entre los valores de los dígitos que están subrayados. Muestre la ecuación de división de ejemplo.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

16,339 30 30 0 30 × 10 = 300 300 ÷ 10 = 30

738,805

4,955,016

800 8,000

5,000 50,000

800 × 10 = 8,000 8,000 ÷ 10 = 800

5,000 × 10 = 50,000 50,000 ÷ 10 = 5,000

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir entre potencias de 10 La clase expresa una potencia de 10 en forma estándar y, luego, reescribe una expresión y halla el cociente como preparación para dividir números decimales entre potencias de 10 a partir de la lección 5. Muestre la expresión 400 ÷ 102. ¿Cuánto es 102 en forma estándar? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

100

400 ÷ 102 400 ÷ 100 = 4

Reescriban la expresión con la potencia de 10 en forma estándar y hallen el cociente. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

39,000 ÷ 103

8,000,000 ÷ 106

39,000 ÷ 1,000 = 39

1,050,000 ÷ 104

6,000,000 ÷ 105

8,000,000 ÷ 1,000,000 = 8 1,050,000 ÷ 10,000 = 105 6,000,000 ÷ 100,000 = 60

Presentar

La clase usa las relaciones entre las unidades de valor posicional para relacionar números decimales en forma unitaria. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Pida a la clase que trabaje en parejas durante unos minutos para completar los enunciados. Recorra el salón de clases mientras trabajan y escuche las conversaciones. Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir sus enunciados. 1. Completa los enunciados en la tabla.

Diferenciación: Apoyo

__   1   de

10 veces

1 decena es 10 veces

1 unidad

1 unidad es 10 veces

1 décimo

1 décimo es 10 veces 1 centésimo . 1 centésimo es 10 veces

1 milésimo .

1 unidad es __  1   de 10

1 décimo es __  1   de 10

1 decena

1 unidad

1 centésimo es __  1   de 10

1 décimo

1 milésimo es __  1   de 1 centésimo .

Considere pedir a sus estudiantes que completen solo las relaciones de 10 veces una cantidad porque esas relaciones les resultan más conocidas. Considere mostrar una tabla de valor posicional como apoyo adicional.

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 . Invite a sus estudiantes a usar Muestre el enunciado: 5 décimos es 10 veces el problema 1 para completar el enunciado. Considere brindar tiempo para pensar antes de hacer la señal para pedir la respuesta. Luego, pida a la clase que lea el enunciado completo a coro.

5 décimos es 10 veces 5 centésimos.

Considere pedir a la clase que complete una

Repita el proceso con los siguientes enunciados. • 2 unidades es __  1   de

2 decenas

• 4 centésimos es 10 veces

Diferenciación: Desafío

. .

4 milésimos

tabla similar para 100 veces una cantidad

y ___   1   de una cantidad. Luego, pídales que 100 completen los siguientes enunciados. • 28 décimos es 100 veces • 12 centésimos es ___   1   de 100

. .

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos lo que sabemos sobre el valor posicional para describir las relaciones entre los dígitos en los números decimales.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Aprender

10 veces una cantidad y __   1 de una cantidad en la Tabla de valor 10 posicional

La clase representa enunciados de comparación de 10 veces una cantidad __1 y   10  de una cantidad que incluyen números decimales en una tabla de valor posicional y con ecuaciones.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Usemos una tabla de valor posicional para mostrar el enunciado de comparación 4 centésimos es 10 veces 4 milésimos.

DUA: Representación La actividad digital interactiva de Números decimales en la tabla de valor posicional ayuda a sus estudiantes a representar y comparar el tamaño de los números. Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.

¿Qué dos números estamos comparando en este enunciado?

4 centésimos y 4 milésimos Represente 4 milésimos en la tabla de valor posicional y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. 2. 4 centésimos es 10 veces 4 milésimos. a. Representa el enunciado en la tabla de valor posicional.

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos × 10

b. Escribe una ecuación que represente el enunciado.

0.04 = 10 × 0.004

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Guíe a sus estudiantes para dibujar una flecha desde 4 milésimos hasta 4 centésimos y rotular la flecha como × 10 para mostrar la multiplicación.

Nota para la enseñanza

¿Qué obtenemos cuando multiplicamos 4 milésimos por 10? ¿Por qué? Obtenemos 4 centésimos porque 10 × 1 milésimo compone 1 centésimo; por lo tanto, 10 × 4 milésimos compone 4 centésimos. Demuestre cómo representar 4 centésimos en la tabla de valor posicional mientras la clase hace lo mismo. ¿Qué observan sobre 4 centésimos en comparación con 4 milésimos?

Considere mostrar a sus estudiantes la ecuación escrita de dos maneras: con números en forma estándar y con números en forma unitaria como se muestra.

0.04 = 10 × 0.004 4 centésimos = 10 × 4 milésimos

Observo que representamos ambos números con 4 puntos en su posición en la tabla de valor posicional. Observo que 4 centésimos está una columna a la izquierda de 4 milésimos. Para describir el enunciado que se representa en la tabla de valor posicional, podemos escribir ecuaciones con números decimales, como escribimos ecuaciones con otras formas de números. Guíe a sus estudiantes para escribir la ecuación 0.04 = 10 × 0.004 y completar la parte (b). ¿Qué pasa con los dígitos cuando multiplicamos un número por 10? Los dígitos se desplazan una posición hacia la izquierda. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. ¿Qué dos números estamos comparando en este enunciado?

3 milésimos y 3 centésimos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Pida a sus estudiantes que representen 3 centésimos en la tabla de valor posicional.

3. 3 milésimos es  1   de 3 centésimos. 10

a. Representa el enunciado en la tabla de valor posicional.

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

1 10

b. Escribe una ecuación que represente el enunciado.

0 .003 = __   1   × 0.03 10

Guíe a sus estudiantes para dibujar una flecha desde 3 centésimos hasta 3 milésimos y rotular 1 la flecha como ×    para mostrar la multiplicación.

__ 10

¿Qué obtenemos al multiplicar 3 centésimos por __  1   ? ¿Por qué? 10

3 milésimos __ __ 1 centésimo × 10   1   = 1 milésimo. Por lo tanto,3 centésimos × 10   1   = 3 milésimos. Demuestre cómo representar 3 milésimos en la tabla de valor posicional mientras la clase hace lo mismo. ¿Qué observan sobre 3 milésimos en comparación con 3 centésimos? Observo que representamos ambos números con 3 puntos en su posición en la tabla de valor posicional. Observo que 3 milésimos está una columna a la derecha de 3 centésimos. ¿Qué ecuación describe el enunciado que se representa en la tabla de valor posicional?

1   × 0.03 10

0.003 =

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Guíe a sus estudiantes para escribir la ecuación y completar la parte (b).

¿Qué pasa con los dígitos cuando multiplicamos un número por __  1   ?

Los dígitos se desplazan una posición hacia la derecha.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo la tabla de valor posicional puede ayudarles a ver las relaciones 10 veces una cantidad y   1   de una cantidad entre números decimales.

__ 10

Comparar dígitos repetidos en números decimales Materiales: E) Tabla de valor posicional hasta los milésimos

Diferenciación: Desafío Considere pedir a sus estudiantes que representen los siguientes enunciados en la tabla de valor posicional. • 28 décimos es 100 veces 28 milésimos.

• 12 centésimos es ___   1   de 12 unidades. 100 Luego, pida a sus estudiantes que escriban una ecuación para representar cada enunciado.

La clase relaciona los valores de los dígitos repetidos en unidades de valor posicional adyacentes. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los milésimos de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas. Escriba 63.177. Pida a la clase que represente 63.177 en su tabla de valor posicional usando puntos y dígitos. ¿Qué dígito se repite en este número? ¿En qué posiciones está el dígito repetido? El dígito 7 está repetido y está en la posición de los centésimos y los milésimos. Encierre en un recuadro el 7 en la posición de los centésimos y subraye el 7 en la posición de los milésimos. Haga las siguientes preguntas y registre las respuestas de sus estudiantes. ¿Cuál es el valor del dígito que está encerrado en un recuadro?

0.07 ¿Cuál es el valor del dígito que está subrayado?

0.007 ¿Cómo se relacionan los valores de los 7 en 63.177? Usen enunciados y ecuaciones para describir la relación.

0.07 es 10 veces 0.007. 0.07 = 10 × 0.007   1   de 0.07. 0.007 es __ 10 0 .007 = __   1   × 0.07 10

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando reconoce las relaciones de 10 veces una cantidad y __   1   de una cantidad 10 entre las unidades de valor posicional y los valores de los dígitos en números de varios dígitos. Luego, sus estudiantes comunican las relaciones con precisión al escribir enunciados y ecuaciones. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • Al describir la relación entre los 7 en 63.177, ¿con qué pasos deben tener mucho cuidado? ¿Por qué? • ¿Qué detalles importantes debemos considerar al escribir cada ecuación?

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4 Represente cualquiera de los enunciados y las ecuaciones enumeradas que no se hayan compartido. Al escribir ecuaciones y enunciados, habrá estudiantes que usen la forma unitaria de los números en lugar de la forma decimal. Pida a la clase que borre las pizarras blancas. Escriba 8.332 y, luego, 19.904, uno a la vez. Encierre en un recuadro el primer dígito repetido y subraye el segundo dígito repetido. Pida a sus estudiantes que escriban o digan un enunciado de comparación sobre los dígitos repetidos. Pueden usar su tabla de valor posicional si es necesario.

0.3 es 10 veces 0.03, o 0.3 = 10 × 0.03.

__ 0.03 es 10   1   de 0.3, o 0.03 = __  1   × 0.3 . 10 9 es 10 veces 0.9, o 9 = 10 × 0.9.

0.9 es __   1   de 9, o 0.9 = __  1  × 9. 10 10

Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre la relación entre dos dígitos que son iguales y están uno al lado del otro en un número. Vuelva a expresar las siguientes respuestas de sus estudiantes según sea necesario: • Cuando un número tiene dos dígitos que están uno al lado del otro y son iguales, el dígito a la izquierda tiene un valor que es 10 veces el valor del dígito que está a la derecha. • Cuando un número tiene dos dígitos que están uno al lado del otro y son iguales, el dígito a la

derecha tiene un valor que es  1  del valor del dígito que está a la izquierda. 10

• Las relaciones 10 veces una cantidad y   1   de una cantidad entre los dígitos que están uno al lado 10

del otro son verdaderas para los números enteros y los números decimales.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Relacionar los valores de los dígitos en un número decimal usando la comprensión del valor posicional Guíe una conversación de toda la clase acerca de las relaciones entre las unidades de valor posicional en números enteros y en números decimales usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Muestre el número decimal y el enunciado verdadero. Muestren los pulgares hacia arriba si creen que este enunciado es verdadero. Muestren los pulgares hacia abajo si creen que este enunciado es falso. Prepárense para justificar su razonamiento.

7.990 9 décimos es 10 veces 9 centésimos.

Invite a un grupo pequeño de estudiantes a explicar su razonamiento.

5.433

Muestre el siguiente número decimal y el enunciado falso. Repita el proceso.

3 milésimos es 10 veces 3 centésimos.

Luego, invite a sus estudiantes a replantear el enunciado falso como un enunciado verdadero.

3 milésimos es __  1   de 3 centésimos. 10

¿Cómo se relacionan las unidades de valor posicional entre sí? Una unidad de valor posicional es 10 veces la unidad a su derecha.

Una unidad de valor posicional es  1  de la unidad que está a su izquierda. 10

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Usa la tabla de valor posicional para completar el enunciado y la ecuación. 1.

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

× 10

0.007 3 décimos es 10 veces 0.3 = 10 ×

1 = __ ×

7 milésimos

3 centésimos

1 de es __ 10

Milésimos

1 10

7 centésimos

0.07

0.03 5. Considera el número que se muestra.

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

4 7.3 5 5

Milésimos

a. ¿Cuál es el valor del dígito que está encerrado en un recuadro?

× 10

0.05 b. ¿Cuál es el valor del dígito que está subrayado?

0.005 8 centésimos 0.08

es 10 veces

= 10 ×

8 milésimos

c. Completa las ecuaciones para mostrar la relación entre el dígito que está encerrado en un recuadro y el dígito que está subrayado.

0.008

0.05 0.005

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

1 = __ ×

= 10 ×

0.005

0.05

1 10

1 de 4 décimos . 4 centésimos es __

1 0.04 = __ × 10

0.4

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 4

8. La maestra Baker lanza cinco dados.

6. Considera el número que se muestra.

8 2.2 2 3 a. ¿Cuál es el valor del dígito que está subrayado?

1 del valor del dígito que b. Encierra en un recuadro el dígito que tiene un valor igual a __ 10 está subrayado.

0.2

1 del valor del dígito El valor del dígito en la posición de los milésimos debe ser __

Pide a sus estudiantes que usen las cantidades que se muestran en los dados para escribir un número. Les dice que deben seguir dos reglas: •

c. Escribe una ecuación para mostrar la relación entre el dígito que está encerrado en un recuadro y el dígito que está subrayado. 1 0.02 = __ × 0.2 10

•

en la posición de los centésimos.

Se debe usar la cantidad que se muestra en cada dado una sola vez para escribir el mayor número posible.

¿Qué número quiere que escriban sus estudiantes la maestra Baker? Explica. 1 del valor del dígito en la posición de los del dígito en la posición de los milésimos debe ser __

La maestra Baker quiere que sus estudiantes escriban el número 53.266. Los 6 tienen que

7. Tanto Eddie como Jada escriben un número.

estar en la posición de los centésimos y los milésimos para seguir la regla que pide que el valor

Número de Eddie

Número de Jada

63.297

25.349

centésimos. El 5 está en la posición de las decenas, el 3 está en la posición de las unidades

y el 2 está en la posición de los décimos para seguir la regla que pide que el resto de los dígitos se usen para formar el mayor número posible.

a. Completa las ecuaciones de Eddie y Jada para mostrar la relación entre los valores de los 9 que hay en sus números.

Ecuación de Eddie

0.09 ×

1 10

= 0.009

Ecuación de Jada

0.09 ÷

= 0.009

b. Explica por qué las ecuaciones de Eddie y de Jada pueden tener diferentes operaciones para representar la misma relación. 1. que multiplicar por __

Pueden usar diferentes operaciones en sus ecuaciones porque dividir entre 10 es lo mismo 10

c. Escribe una ecuación para mostrar la relación entre los valores de los 3 que hay en los números de Eddie y Jada. 1 3 × __ = 0.3

Ejemplo: 10

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 5

Multiplicar números decimales por y dividirlos entre potencias de 10

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Nombre

Fecha

1. Halla el producto y escríbelo en forma estándar.

5.31 × 103 = 5,310

2. Halla el cociente y escríbelo en forma estándar.

0.7 ÷ 102 =

0.007

Vistazo a la lección Para activar los conocimientos previos, la clase razona sobre las relaciones multiplicativas entre números desconocidos. Recuerdan el significado de potencias de 10, como 102 veces una cantidad significa 100 veces una cantidad. Sus estudiantes usan una tabla de valor posicional y ecuaciones para multiplicar números decimales por y dividir números decimales entre 10, 100, 1,000, 102 y 103. Observan que el exponente está relacionado con el número de posiciones que se desplaza el dígito.

Preguntas clave • ¿Cómo se relaciona multiplicar números decimales por y dividirlos entre potencias de 10 con multiplicar números enteros por y dividirlos entre potencias de 10? • ¿Qué patrones observamos cuando multiplicamos números decimales por y los dividimos entre potencias de 10?

Criterio de logro académico 5.Mód4.CLA7 Explican el efecto de multiplicar números por potencias de 10 y dividir números entre potencias de 10. (5.NBT.A.2)

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• Tabla de valor posicional hasta los milésimos (en la edición para la enseñanza)

Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los milésimos de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 30 min • Multiplicar números decimales por potencias de 10 • Dividir números decimales entre potencias de 10

Estudiantes • Tabla de valor posicional hasta los milésimos (en el libro para estudiantes)

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar por o dividir entre potencias de 10 La clase expresa una potencia de 10 en forma estándar y, luego, reescribe una expresión y halla el producto o el cociente como preparación para multiplicar números decimales por o dividir números decimales entre potencias de 10. Muestre la expresión 50 × 103. ¿Cuánto es 103 en forma estándar? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

50 × 103 50 × 1,000 = 50,000

1,000 Reescriban la expresión con la potencia de 10 en forma estándar y hallen el producto. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

206 × 101

70 × 105

8,300 ÷ 102

4,000,000 ÷ 104

206 × 10 = 2,060

70 × 100,000 = 7,000,000

8,300 ÷ 100 = 83

4,000,000 ÷ 10,000 = 400

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Intercambio con la pizarra blanca: Relaciones de valor posicional La clase dice el valor que tienen dos dígitos adyacentes idénticos en un número decimal y, luego, escribe ecuaciones de multiplicación para desarrollar fluidez con la práctica de relacionar los valores que tienen los dígitos en un número decimal. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

2.237

Muestre 2.237 con la posición de las unidades subrayada.

2 0.2

¿Cuál es el valor del dígito que está subrayado?

2 Muestre la respuesta y, luego, la posición de los décimos subrayada.

= 10 ×

0.2

1 × 10

¿Cuál es el valor de este otro dígito que está subrayado?

0.2 Muestre la respuesta y, luego, las ecuaciones con los espacios. Escriban y completen las ecuaciones para mostrar la relación que hay entre los valores de los dígitos que están subrayados. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre las ecuaciones de multiplicación completadas.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

0.6

3.661

79.902

0.6 0.06

9 0.9

= 10 × 0.06

0.06 =

1 × 10

Presentar

0.6

84.155 0.05 0.005

= 10 ×

0.9

0.05 = 10 × 0.005

0.9

0.005 =

1 × 10

0.05

La clase ordena conjuntos de números desconocidos que están relacionados por potencias de 10. Forme parejas de estudiantes y explique el Intercambio con la pizarra blanca de la siguiente manera: Voy a leer varios problemas, cada uno tiene pistas sobre tres números desconocidos. Las letras representan cada número desconocido. Ninguno de los números es el 0. En parejas, determinen el orden de los números de menor a mayor. Escriban el orden de los números de menor a mayor en su pizarra blanca. Muestre cada problema en orden, uno a la vez. Lea el problema en voz alta y, luego, pida a las parejas de estudiantes que ordenen los números. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Diferenciación: Apoyo Para ayudar a sus estudiantes a comprender las relaciones entre los números en la actividad de la sección Presentar, pídales que primero determinen cuáles podrían ser los posibles valores para cada número desconocido en el problema. Luego, pídales que usen los posibles valores como una guía para ordenar los números.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 1. 2. 3.

A es 10 veces B. C es 1,000 veces A. B, A, C D es 100 veces F. E es __   1   de F. 10 E, F, D

G es ___   1   de H. H es 1,000 veces I. 100 I, G, H

J es 102 veces L. K es 103 veces J. L, J, K

Anticipe que haya estudiantes que no puedan responder el problema 4. Permita a sus estudiantes hacer un esfuerzo productivo durante un minuto y, luego, use las siguientes preguntas: ¿Cuál es el valor de 102? ¿Cómo lo saben?

102 es 100. Lo sé porque 102 representa 10 × 10, que es 100. ¿Cuál es el valor de 103? ¿Cómo lo saben?

103 es 1,000. Lo sé porque 103 representa 10 × 10 × 10, que es 1,000.

¿Cómo pueden usar el valor de 102 para comprender lo que significa 102 veces un número? ¿Cómo pueden usar el valor de 103 para comprender lo que significa 103 veces un número? Dado que 102 es 100, sé que 102 veces un número es igual a 100 veces un número.

Dado que 103 es 1,000, sé que 103 veces un número es igual a 1,000 veces un número. Pida a la clase que se reúna y converse en parejas sobre el problema 4 y que revise su respuesta según sea necesario. Confirme las respuestas. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a multiplicar números decimales por y dividirlos entre potencias de 10.

Diferenciación: Desafío Para dar un vistazo a lo que aprenderán en la lección, pida a sus estudiantes que determinen posibles valores para J, K y L donde uno o dos de los números es un número decimal.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Aprender

Multiplicar números decimales por potencias de 10 Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta los milésimos

La clase multiplica números decimales por 10, 100 y 1,000 en forma estándar y en forma exponencial usando distintos métodos. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los milésimos de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas.

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos Milésimos

Represente 8 milésimos en una tabla de valor posicional y muéstrela a sus estudiantes. ¿Qué número está representado en la tabla de valor posicional?

8 milésimos ¿Qué número es 10 veces 8 milésimos?

8 centésimos Invite a sus estudiantes a explicar cómo mostrar 10 veces 8 milésimos en la tabla de valor posicional. Dibuje una flecha desde 8 milésimos hasta 8 centésimos y rotúlela como × 10.

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos Milésimos

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 ¿Qué ecuación describe el enunciado que representa la tabla de valor posicional?

0.008 × 10 = 0.08 Pida a sus estudiantes que representen 100 veces 8 milésimos en sus tablas de valor posicional. Luego, pida a la clase que escriba una ecuación que describa su trabajo. Invite a diferentes estudiantes a compartir sus tablas de valor posicional y ecuaciones con la clase. Si es posible, señale los trabajos en los que se muestra multiplicar dos veces por 10 y en los que se muestra multiplicar una vez por 100. Si es necesario, muestre una de esas representaciones como propia. Muestre las tablas de valor posicional con ambas ecuaciones y representaciones.

0.008 × 10 × 10 = 0.8 Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

0.008 × 100 = 0.8 Milésimos

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

× 10 × 10

× 100

Luego, use las siguientes preguntas para guiar una conversación breve. ¿Cómo se relaciona el dígito 8 en 0.008 con el dígito 8 en 0.8? ¿Por qué? El 8 en 0.8 es 100 veces el 8 en 0.008. Multiplicar por 100 es lo mismo que multiplicar dos veces por 10. Por cada multiplicación por 10, el dígito se desplaza una posición hacia la izquierda. ¿Por qué ambas representaciones que se muestran en las tablas de valor posicional representan 100 veces 0.008? Expliquen.

100 veces 0.008 se puede mostrar multiplicando por 100 o multiplicando dos veces por 10, porque 100 = 10 × 10. Sabemos que 100 es igual a 10 × 10. ¿Qué ecuación podrían escribir usando una potencia de 10 para representar 100 veces 0.008?

0.008 × 102 = 0.8

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas. ¿Cómo representarían 1,000 veces 0.008 en la tabla de valor posicional? Desplazaría 3 posiciones hacia la izquierda el dígito 8, hasta la posición de las unidades. ¿Cuánto es 1,000 veces 0.008?

8 ¿Cuáles son las diferentes ecuaciones que pueden escribir para representar 1,000 veces 0.008?

0.008 × 1,000 = 8 0.008 × 10 × 10 × 10 = 8 0.008 × 103 = 8 ¿Cuál es la potencia de 10 por la que deberían multiplicar 0.008 para obtener 80? ¿Y para obtener 800?

104; 105

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 1 a 5 en sus libros. Recorra el salón de clases para identificar estudiantes que usen métodos diferentes para determinar la potencia de 10 desconocida en el problema 5, como representar el enunciado en una tabla de valor posicional, hallar primero el factor en forma estándar y, luego, convertir en forma exponencial o contar el desplazamiento de los dígitos para determinar el exponente. 1. Usa la tabla de valor posicional para completar las ecuaciones. Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

× 1,000

0.05 × 1,000 =

100

0.05 ×

0.05 × 10

× =

50 © Great Minds PBC

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 Halla el producto y escríbelo en forma estándar. 2. 0.9 × 102 =

3. 0.001 × 104 = 3

4. 1.7 × 10 =

1,700

5. Determina la potencia de 10 que hará que el enunciado sea verdadero.

4.06 ×

103

= 4,060

Seleccione a un grupo de estudiantes para compartir sus métodos para el problema 5. Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se relaciona el exponente en la potencia de 10 con el desplazamiento de los dígitos en el factor y el producto de un número decimal. El exponente en la potencia de 10 nos indica por cuántos 10 multiplicar y el número de posiciones que se desplaza hacia la izquierda cada dígito en el factor de un número decimal para obtener el producto. Para multiplicar 4.06 por 103, el dígito 4 en 4.06 se desplaza 3 posiciones hacia la izquierda, desde la posición de las unidades hasta la posición de los millares. El dígito 6 en 4.06 se desplaza 3 posiciones hacia la izquierda, desde la posición de los centésimos hasta la posición de las decenas, para obtener 4,060.

Dividir números decimales entre potencias de 10

Diferenciación: Apoyo Si sus estudiantes necesitan apoyo para multiplicar por potencias de 10 en los problemas 2 a 5, guíeles para usar la Tabla de valor posicional hasta los milésimos en sus pizarras blancas con el fin de representar el enunciado de multiplicación y desplazar cada dígito una posición hacia la izquierda cada vez que se multiplica el factor del número decimal por 10. En los problemas 2 a 4, guíe a sus estudiantes para escribir la potencia de 10 en forma desarrollada o en forma estándar primero para reforzar el significado de multiplicar por una potencia de 10. Se muestra un ejemplo.

1.7 × 103 1.7 × 10 × 10 × 10 1.7 × 1,000

Materiales: E) Tabla de valor posicional hasta los milésimos

La clase divide números decimales entre 10, 100 y 1,000 en forma estándar y en forma exponencial usando distintos métodos. Pida a sus estudiantes que usen la tabla de valor posicional para representar 6 décimos. Luego, haga las siguientes preguntas. Después de cada pregunta, invite a alguien a compartir su tabla de valor posicional.

101

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 ¿Qué número es

__   1   de 6 décimos?

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos Milésimos

Usen su tabla

de valor posicional

× 10

para mostrar

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere brindar esquemas de oración para dar apoyo a sus estudiantes al describir la representación en la tabla de valor posicional.

cómo lo saben.

•

6 centésimos

•

¿Qué número es

___   1   de 6 décimos?

Decenas

Unidades

Décimos

1 100

cómo lo saben.

6 milésimos ¿Qué ecuación de división podemos escribir para mostrar que 6 centésimos es __  1   de 6 décimos?

0.6 ÷ 10 = 0.06

¿Qué ecuación de división podemos escribir para mostrar que 6 milésimos es ___   1   de 6 décimos?

0.6 ÷ 100 = 0.006 0.6 ÷ 10 ÷ 10 = 0.006

102

Nota para la enseñanza

Usen su tabla para mostrar

Centésimos Milésimos

100

de valor posicional

es __   1   de 10 es ___   1   de 100

100

La experiencia de la clase en el módulo 1 debería apoyar su comprensión sobre cómo evaluar la expresión con la división repetida entre 10. Sin embargo, puede que parte de la clase halle 10 ÷ 10 primero en la expresión 0.6 ÷ 10 ÷ 10, lo que dará como resultado 0.6 ÷ 1 = 0.6. Brinde apoyo a sus estudiantes para que comprendan por qué esto es incorrecto haciendo las siguientes preguntas: • Al dividir 0.6 entre 10, ¿nuestro cociente es menor que, igual a o mayor que 0.6? • ¿Sería lógico que el cociente sea igual a 0.6 al dividir 0.6 entre 100?

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué ecuaciones 1   de 6 décimos. Cuando compartan, pueden escribir usando una potencia de 10 para representar  ___ 100

anímeles a explicar cómo lo saben. Podemos escribir 0.6 ÷ 102 = 0.006. Lo sé porque estamos dividiendo entre 100 para hallar

___   1   de una cantidad, así que podemos escribir una ecuación usando 102 en lugar de 100. 100

Podemos escribir 0.6 ÷ 102 = 0.006. Lo sé porque cada dígito se desplaza dos posiciones hacia la derecha cuando dividimos entre 100; por lo tanto, podemos mostrar dividir dos veces entre 10 o entre una potencia de 10 con un exponente de 2. Pida a sus estudiantes que completen los problemas 6 a 10 en parejas. 6. Usa la tabla de valor posicional para completar las ecuaciones.

DUA: Representación En el módulo 1, sus estudiantes dividen números enteros entre potencias de 10 escritos tanto en forma estándar como en forma exponencial. Usan la tabla de valor posicional para comprender por qué, por ejemplo, la ecuación 270,000 ÷ 1,000 es equivalente a 270,000 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10. Active los conocimientos previos de sus estudiantes repasando este concepto. Guíeles para que usen la tabla de valor posicional según sea necesario para representar estos problemas. Decenas

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

Milésimos ÷ 10

÷ 1,000

÷ 10 ÷ 10

9 ÷ 1,000 = 0.009 9÷ 9 ÷ 10

10 3

= 0.009

Tenga cuidado con la idea errónea que pueden tener sus estudiantes de que dividir entre 10 tres veces significa dividir entre 3 decenas. Señale que 9 ÷ 3 decenas es igual a 9 ÷ 30, que no es lo mismo que 9 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10.

103

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 Halla el cociente y escríbelo en forma estándar. Luego, escribe una ecuación de multiplicación relacionada con la potencia de 10 expresada como una fracción.

0.4

7. 4 ÷ 10 =

8. 0.3 ÷ 102 =

1  = 0.4 4 ×  __

0.003

9. 72.6 ÷ 10 = 0.0726

Nota para la enseñanza El número 0.4 está escrito tanto en forma estándar como en forma decimal. Como sus estudiantes ahora trabajan con números enteros y números decimales, el término forma estándar se usa con más frecuencia.

1   = 0.003 0.3 ×  ___ 100

1   = 0.0726 72.6 ×  _____

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

1, 000

10. Determina la potencia de 10 que hace que el enunciado sea verdadero.

43.2 ÷

102

= 0.432

Confirme las respuestas. Luego, comenten las siguientes preguntas. Anime a la clase a desarrollar las respuestas de sus pares. Podemos escribir tanto una ecuación de multiplicación como una ecuación de división en los problemas 7 a 9. ¿Por qué? 1  del número o multiplicar por  __ 1  . Dividir un número entre 10 es igual a hallar  __ 10

Ambas ecuaciones representan que 0.4 es __   1   de 4.

1  del número o multiplicar por  ___ 1  . Ambas Dividir un número entre 100 es igual a hallar  ___ 100

  1   de 0.3. ecuaciones representan que 0.003 es ___

100

1  del número o multiplicar por ____   1  . Ambas Dividir un número entre 1,000 es igual a hallar  ____ 1, 000

  1   de 72.6. ecuaciones representan que 0.0726 es ____ 1, 000

1, 000

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando divide repetidamente entre potencias de 10 para observar la relación entre la potencia de 10 en el divisor, el dividendo del número decimal y el cociente; cuando multiplica por potencias de 10 para observar la relación entre el exponente y el producto y cuando aplica su comprensión para dividir números decimales entre y multiplicar números decimales por potencias de 10 más eficientemente. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8: • ¿Qué patrones observan al dividir un número decimal entre una potencia de 10? ¿Cómo puede ayudarles eso a determinar el cociente más eficientemente? • ¿Qué patrones observan al multiplicar un número decimal por una potencia de 10? ¿Cómo puede ayudarles eso a determinar el producto más eficientemente? • ¿El exponente de la potencia de 10 representa siempre el número de posiciones que se desplaza cada dígito del dividendo del número decimal hacia el cociente? Expliquen.

104

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 ¿Qué patrones observan entre la potencia de 10 en el divisor, el dividendo decimal y el cociente? Observo que el exponente representa el número de posiciones que cada dígito se desplaza desde la posición que tiene en el dividendo decimal hasta la posición que tiene en el cociente. Observo que el exponente representa cuántas veces estamos dividiendo entre 10 y cuántas posiciones se desplaza cada dígito hacia la derecha en el cociente.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar números decimales por y dividirlos entre potencias de 10 Guíe una conversación de toda la clase sobre la multiplicación de números decimales por y la división de números decimales entre potencias de 10 usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Muestre el ejemplo de trabajo con errores. Scott multiplica 3.5 por 102. Se muestra su trabajo. ¿Están de acuerdo con la respuesta de Scott? ¿Por qué? Usen potencias de 10 para explicarlo.

3.5 × 102 = 3.5 × 100 = 3.500

No estoy de acuerdo. Scott agregó dos 0 al final del número decimal para formar 3.500, que tiene el mismo valor que 3.5.

Scott no multiplicó por 100 o 102. Por cada factor de 10 por el que se multiplica un número, los dígitos del número se desplazan una posición hacia la izquierda.

105

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 ¿Qué tendría que haber hecho Scott? ¿Cuál es el producto correcto? Para multiplicar por 102, Scott tendría que haber desplazado el 3 desde la posición de las unidades hasta la posición de las centenas y el 5 desde la posición de los décimos hasta la posición de las decenas. El producto correcto es 350, no 3.500. ¿Cómo se relaciona multiplicar números decimales por y dividirlos entre potencias de 10 con multiplicar números enteros por y dividirlos entre potencias de 10? Multiplicar números decimales por y dividirlos entre potencias de 10 es el mismo proceso que multiplicar números enteros por y dividirlos entre potencias de 10. Por cada factor de 10 por el que se multiplica un número, los dígitos del número se desplazan una posición hacia la izquierda. Cada vez que divido un número entre 10, los dígitos del número se desplazan una posición hacia la derecha. ¿Qué patrones observan al multiplicar números decimales por y dividirlos entre potencias de 10? Observo que el exponente en la potencia de 10 nos dice cuántas posiciones se desplazan los dígitos hacia la izquierda, al multiplicar, o hacia la derecha, al dividir. Observo que hay varias formas de expresar una multiplicación por o una división entre una potencia de 10. Por ejemplo, puedo escribir 4 × 102, o 4 × 100, o 4 × 10 × 10 y todas × ___   1   y todas tienen el mismo valor. Puedo escribir 4 ÷ 102, 4 ÷ 100, 4 ÷ 10 ÷ 10 y 4 tienen el mismo valor.

100

106

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

5. Considera la expresión que se muestra.

1.056 × 103 a. ¿De qué manera te ayuda el exponente a pensar cómo desplazar los dígitos en el primer factor para hallar el producto?

Usa la tabla de valor posicional para completar las ecuaciones. 1.

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos Milésimos

× 10

0.7 × 10 × 10 =

0.7 × 100 =

0.7 × 10

El exponente 3 me ayuda a comprender que debo desplazar los dígitos 3 posiciones. Dado que es una expresión de multiplicación, sé que debo desplazar los dígitos 3 posiciones hacia la izquierda.

70 b. Halla el producto.

× 10

Decenas

Unidades

1.056 × 103 = 1,056 Décimos

Centésimos Milésimos

0.005 × 1,000 = 0.005 × 10

6. Considera la expresión que se muestra.

2.7 ÷ 102

× 1,000

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos Milésimos

a. ¿De qué manera te ayuda el exponente a pensar cómo desplazar los dígitos en el dividendo para hallar el cociente? El exponente 2 me ayuda a comprender que debo desplazar los dígitos 2 posiciones. Dado que es una expresión de división, sé que debo desplazar los dígitos 2 posiciones hacia la derecha.

0.4 ÷ 100 = 0.004 0.4 ÷ 10

= 0.004

b. Halla el cociente.

2.7 ÷ 102 = 0.027

÷ 100

Halla el producto o el cociente y escríbelo en forma estándar. 4.

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos Milésimos

20 ÷ 1,000 = 0.02 20 ÷ 10

8. 5.04 ÷ 10 = 0.504

9. 1.68 × 102 =

10. 0.3 ÷ 102 = 0.003

11. 2.109 × 103 = 2,109

12. 45 ÷ 103 = 0.045

168

= 0.02

÷ 1,000

7. 0.327 × 10 = 3.27

GRUPO DE PROBLEMAS

107

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5

13. La maestra Chan pesa una sandía y un kiwi. Pide a sus estudiantes que escriban una ecuación para mostrar la relación entre el peso de la sandía y el peso del kiwi. Considera las ecuaciones de Sara y Noah. Método de Sara

Método de Noah

7.6 ÷ 100 = 0.076

1 7.6 × 100 = 0.076

Fruta

Peso (kilogramos)

Sandía

7.6

Kiwi

0.076

Sara y Noah usan diferentes operaciones, pero ambas ecuaciones son correctas. ¿Por qué? Tanto Sara como Noah están en lo correcto porque dividir entre 100 es lo mismo que 1 . multiplicar por ___ 100

Halla el cociente. Luego, escribe una ecuación de multiplicación relacionada con la forma exponencial expresada como una fracción. 14. 1.56 ÷ 10 = 0.156 1 1.56 × __ = 0.156 10

16. 23.5 ÷ 102 = 0.235 1

23.5 × _____ = 0.235 100

108

15. 6.2 ÷ 102 = 0.062 1

6.2 × _____ = 0.062 100

17. 908 ÷ 103 = 0.908 1

908 × ______ = 0.908 1,000

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 5 ▸ Tabla de valor posicional hasta los milésimos

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

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109

LECCIÓN 6

Comparar números decimales hasta la posición de los milésimos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Nombre

Fecha

1. Usa >, = o < para comparar los números.

1.32

2.14

1.32

1.075

1.32

1.320

1.32

0.884

1.32

1.5

Vistazo a la lección La clase usa modelos y su comprensión del valor posicional para comparar números decimales hasta la posición de los milésimos. Comparan dos números decimales marcando puntos en una recta numérica y, luego, usando una tabla de valor posicional como puente para un razonamiento más abstracto. Sus estudiantes participan de una actividad de cierre en la que comparan y ordenan números decimales.

Pregunta clave • ¿De qué manera las unidades de valor posicional nos ayudan a comparar números decimales?

2. Ordena los números de menor a mayor.

1.09, 0.987, 1.012, 0.98, 1.1

Criterios de logro académico

0.98, 0.987, 1.012, 1.09, 1.1

5.Mód4.CLA10 Comparan dos números decimales hasta la posición de los

milésimos usando >, = y <. (5.NBT.A.3.b)

5.Mód4.CLA8 Ordenan un conjunto de números decimales hasta la posición

de los milésimos. (5.NBT.A.3)

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• ninguno

Retire la hoja extraíble de Tarjetas de comparar números decimales de los libros para estudiantes y recórtelas. Considere si desea preparar estos materiales con antelación o si los preparará con la clase durante la lección.

Aprender 30 min

Estudiantes

• Representar y comparar números decimales en una recta numérica

• set de discos de decimales (1 por pareja de estudiantes)

• Comparar números decimales usando una tabla de valor posicional

• Tarjetas de comparar números decimales (1 juego por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes)

• Comparar tarjetas • Grupo de problemas

• tijeras (1 por pareja de estudiantes)

Concluir 10 min

111

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar números mixtos La clase forma unidades semejantes en una expresión de suma o de resta con unidades relacionadas y halla la suma o la diferencia para adquirir fluidez con la suma y la resta de números mixtos del módulo 2. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre 2  _1  + 1  _1  = 2

Observen las unidades fraccionarias. ¿Hay unidades semejantes? No. ¿Están relacionadas las unidades? Sí. ¿Qué fracción puede expresarse con otro nombre para que las unidades fraccionarias, o denominadores, sean iguales?   1  2

1×2

22 + 14 =

3 2 + 4 = 3+ 2 × 2 + 4 =32 + 1 4

=33 4

Expresen _  2  con otro nombre para formar unidades semejantes y hallar la suma. Muestren su trabajo. 1

112

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

13 + 3 6 =

33 – 1 6 =

48 – 12 =

Contar de un décimo en un décimo en la recta numérica La clase cuenta de un décimo en un décimo en forma estándar en una recta numérica vertical e identifica el punto medio como preparación para redondear números decimales a partir de la lección 7. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante de un décimo en un décimo hasta el 1. Usen números enteros y números decimales. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 0.1…, 0.9, 1 ¿Qué número está en el punto medio entre 0 y 1? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

0.5 Muestre la respuesta.

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Repita el proceso con la recta numérica que muestra el intervalo de 1 a 2 y, luego, con la recta numérica que muestra el intervalo de 6 a 7.

113

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional La clase usa la forma unitaria para identificar un número representado con discos de valor posicional y, luego, descompone y expresa con otro nombre como preparación para redondear números decimales a partir de la lección 7. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 1 disco de una unidad en la tabla. ¿Qué valor se representa en la tabla? Digan la respuesta en forma unitaria.

1 unidad Muestre 1.0 =

unidad y

décimos.

¿1 unidad es igual a cuántas unidades y décimos?

1.0 = 1 unidad y 0 décimos 1.0 = 10 décimos

1 unidad y 0 décimos Muestre la respuesta y, luego, muestre 1.0 = décimos. ¿1 unidad es igual a cuántos décimos?

10 décimos Muestre la respuesta y el disco de una unidad desagrupado como 10 décimos en la tabla.

114

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

1.3 = 1 unidad y 3 décimos 2.5 = 2 unidades y 5 décimos 4.0 = 4 unidades y 0 décimos 1.3 = 13 décimos

2.5 = 25 décimos

4.0 = 40 décimos

3.7 = 3 unidades y 7 décimos 4.2 = 4 unidades y 2 décimos 3.7 = 37 décimos

4.2 = 42 décimos

115

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Presentar

DUA: Acción y expresión

Materiales: E) Discos

La clase elige un método para comparar números decimales hasta la posición de los milésimos. Muestre las 2 tarjetas de beisbol con los números 0.317 y 0.371. Invite a sus estudiantes a observar y preguntarse.

0.317

0.371

Como sus estudiantes compararon números decimales solamente hasta la posición de los centésimos en 4.o grado, tenga a disposición los discos de valor posicional para que puedan representar ambos números decimales. Un modelo de área también es un modelo válido para comparar números, aunque no es igual de eficiente para comparar hasta la posición de los milésimos. Si alguien elige modelos de área, considere brindar una hoja con modelos de área hasta los milésimos para insertarla en las pizarras blancas. Busque estudiantes que usen una recta numérica o una tabla de valor posicional para comparar 0.317 y 0.371. Reconozca su elección e invíteles a compartir esas representaciones específicas en la conversación mientras avanza en la lección.

Los números debajo de las imágenes de los jugadores de beisbol muestran el desempeño de los jugadores al batear durante la temporada. Un número mayor, o más alto, significa que el jugador es un mejor bateador. ¿Qué tarjeta muestra un mejor desempeño de bateo? ¿Por qué? Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre los métodos y las herramientas que podrían utilizar para representar y comparar los números. Luego, pídales que comparen los números con discos de valor posicional, fracciones, la forma unitaria o cualquier otra representación conocida. Pídales que escriban un enunciado de comparación final con un signo. Recorra el salón de clases mientras trabajan. Identifique a dos estudiantes que hayan usado diferentes métodos para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación sobre las conexiones entre los métodos.

116

Nota para la enseñanza En general, el promedio de bateo no incluye el cero a la izquierda. Por ejemplo, 0.317 estaría escrito como .317. Sin embargo, como los números decimales todavía son un concepto novedoso para sus estudiantes, esta actividad lo incluye.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Discos de valor posicional

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

¿Cómo les ayudó representar los números con discos de valor posicional a compararlos? Para representar 0.317, usé 3 discos de un décimo, 1 disco de un centésimo y 7 discos de un milésimo. Para representar 0.371, usé 3 discos de un décimo, 7 discos de un centésimo y 1 disco de un milésimo. Ambos números tienen 3 discos de un décimo, pero 0.371 tiene 7 discos de un centésimo y 0.317 solo tiene 1 disco de un centésimo; por lo tanto, sé que 0.371 es mayor que 0.317.

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando selecciona las estrategias y los modelos de su preferencia para comparar y ordenar eficientemente números decimales. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5: • ¿Qué tipo de método o modelo sería útil para comparar estos números decimales? • ¿Por qué eligieron utilizar este método o modelo? ¿Funcionó bien?

¿Qué enunciado de comparación escribieron?

0.371 > 0.317 Expresar con otro nombre en forma fraccionaria ¿Cómo les ayudó expresar los números con otro nombre en forma fraccionaria a compararlos? La unidad de cada fracción es milésimos; por lo tanto, podía comparar fácilmente el número de unidades. 317 unidades es menos que 371 unidades. ¿Qué enunciado de comparación escribieron?

317

0.317 = 1,000 371

0.371 = 1,000

0.317 < 0.371 ¿Qué tarjeta muestra un mejor desempeño de bateo? ¿Por qué? La tarjeta en la que dice 0.371, porque un número mayor significa que el jugador es un mejor bateador. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a comparar y ordenar números decimales hasta la posición de los milésimos.

117

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Aprender

Representar y comparar números decimales en una recta numérica La clase marca y compara números decimales con milésimos en una recta numérica. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Pídales que completen la tabla. 1. Completa la tabla. Luego, marca y rotula cada número en la recta numérica.

Diferenciación: Apoyo Forma unitaria

Forma fraccionaria

Forma estándar

8 milésimos

8   _____

1,000

0.008

3 milésimos

3     1,000

Si sus estudiantes necesitan apoyo para marcar los números decimales que tienen milésimos, divida el trabajo haciendo preguntas como las siguientes:

0.003

• ¿Qué saben acerca de este problema?

9 milésimos

9   _____

0.009

_____

1,000

• La recta numérica comienza en 0 y termina en 1 centésimo. ¿1 centésimo es igual a cuántos milésimos? • ¿Qué representa cada marca de graduación que sigue?

0.003

0.008 0.009 0.01

Pida a la clase que continúe contando mientras señalan las marcas de graduación.

Invite a sus estudiantes a compartir sus respuestas. Luego, muestre la recta numérica. ¿Qué intervalo se muestra en la recta numérica? De 0 a 0.01 ¿En qué unidad está dividida la recta numérica? ¿Cómo lo saben? La recta numérica está dividida en milésimos. Lo sé porque cuando descompongo 0.01 en 10 partes iguales, cada parte es 1 milésimo. Contemos de un milésimo en un milésimo para marcar 8 milésimos.

118

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Señale el 0 y arrastre el dedo hacia la derecha mientras sus estudiantes cuentan.

1 milésimo, 2 milésimos…, 7 milésimos, 8 milésimos Marque el punto y rotúlelo 0.008 mientras sus estudiantes hacen lo mismo. Guíe a la clase para marcar 3 milésimos y 9 milésimos, uno a la vez. Después de marcar cada número, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre si el número es menor o mayor que 0.008. Anime a sus estudiantes a justificar su razonamiento. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.

Diferenciación: Desafío Pida a sus estudiantes que sugieran números decimales menores y mayores que cualquiera de los números decimales marcados anteriormente. Anime a sus estudiantes a marcar y rotular los puntos.

Marca y rotula cada número en la recta numérica. Luego, usa >, = o < para comparar los números.

2. 0.052

0.05

0.059

Diferenciación: Apoyo

0.052

0.059 0.06

¿Qué intervalo se muestra en la recta numérica?

0.05 a 0.06 ¿En qué unidad está dividida la recta numérica? ¿Cómo lo saben? La recta numérica está dividida en milésimos porque el intervalo de 0.05 a 0.06 es 1 centésimo y está dividido en 10 partes iguales, así que cada parte es 1 milésimo.

Anime a sus estudiantes a escribir los números decimales dados en forma unitaria para apoyar su trabajo en la recta numérica. También pueden usar la forma unitaria como método para comparar números y comprobar su trabajo. En el problema 2, 52 milésimos es menor que 59 milésimos porque 52 de una unidad es menor que 59 de la misma unidad.

¿Por qué tiene sentido usar el intervalo entre 0.05 y 0.06 para comparar los números? Ambos números tienen 5 centésimos, pero un número diferente de milésimos. Por lo tanto, los dos números deben estar entre 5 centésimos, o 0.05, y 6 centésimos, o 0.06. Contemos de un milésimo en un milésimo para marcar 0.052 y 0.059. Señale 0.05. ¿A cuántos milésimos es igual 0.05?

50 milésimos

119

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Señale 0.05 y arrastre el dedo hacia la derecha mientras sus estudiantes cuentan. Pídales que hagan lo mismo.

51 milésimos, 52 milésimos…, 58 milésimos, 59 milésimos Marque y rotule los puntos 0.052 y 0.059, respectivamente, a medida que llega a los números. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué signo podemos usar para comparar los números en el problema 2? ¿Cómo lo saben? Podemos usar un signo menor que porque 0.052 está a la izquierda de 0.059 en la recta numérica. Pida a la clase que escriba <.

0.052 es menor que 0.059. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. 3. 18.721

18.72

18.7218.721

18.73

Pida a la clase que se reúna y converse en parejas sobre las diferencias entre los problemas 2 y 3. ¿Qué intervalo se muestra en la recta numérica en el problema 3?

18.72 a 18.73 ¿En qué unidad está dividida la recta numérica? ¿Cómo lo saben? La recta numérica está dividida en milésimos porque el intervalo entre 18.72 y 18.73 es 1 centésimo, que está dividido en 10 partes que representan milésimos. ¿Por qué tiene sentido usar el intervalo entre 18.72 y 18.73 para comparar los números? Ambos números tienen 18 unidades y 72 centésimos y puedo observar que ambos números son menores que 18.73. Ambos números tienen 1,872 centésimos, pero uno de los números también tiene milésimos. Por lo tanto, ese número debe estar entre 1,872 centésimos, o 18.72, y 1,873 centésimos, o 18.73. Pida a la clase que complete el problema 3. Pídales que comprueben sus respuestas en parejas.

120

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Comparar números decimales usando una tabla de valor posicional La clase compara números decimales con centésimos usando una tabla de valor posicional. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4 y pídales que representen ambos números en la tabla de valor posicional. Escribe cada número en la tabla de valor posicional. Luego, usa >, = o < para comparar los números. 4. 92.097

92.09

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, haga las siguientes preguntas. ¿Qué unidad de valor posicional es más útil para comparar estos dos números? ¿Por qué? La posición de los milésimos es más útil para comparar estos números. Si empezamos en las decenas y nos desplazamos hacia la derecha en la tabla de valor posicional, los dígitos coinciden en cada posición hasta llegar a la posición de los milésimos. ¿Qué dígito está en la posición de los milésimos en 92.09?

0 ¿Qué número es mayor? ¿Por qué?

92.097 es mayor que 92.09 porque los dígitos en la posición de las decenas, las unidades, los décimos y los centésimos son iguales, pero en la posición de los milésimos, 7 milésimos es mayor que 0 milésimos.

Diferenciación: Apoyo Si sus estudiantes necesitan apoyo para comparar dígitos cuando no hay un dígito en una posición en particular para uno de los números, como para la posición de los milésimos en el problema 4, anímeles a usar el 0 como marcador de posición. Considere hacer participar a sus estudiantes de una conversación breve usando otros ejemplos para mostrar por qué poner el 0 al comienzo o al final de un número decimal no cambia el valor del número. Sus estudiantes pueden hallar útil representar los números decimales en una tabla de valor posicional o con discos para justificar la igualdad. Considere usar los siguientes ejemplos:

0.08 = 0.080 0.76 = 0.760

121

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Pida a sus estudiantes que completen el problema 5 en parejas. 5. 1.488

14.88

Decenas 1

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

Cuando la mayoría de las parejas hayan terminado, invite a algunas a compartir sus respuestas. En el problema 5, ¿qué unidad de valor posicional les ayudó a comparar los dos números? ¿Por qué? La posición de las decenas nos ayudó a comparar los números. Si comenzamos con la posición de las decenas, podemos ver que uno de los números no tiene decenas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían ampliar el razonamiento del valor posicional que usaron en los problemas 4 y 5 para comparar los números sin escribirlos en una tabla de valor posicional. Podemos escribir los números de modo que las unidades de valor posicional estén alineadas. Luego, podemos desplazarnos del dígito que está en el extremo izquierdo hasta el que está en el extremo derecho para comparar los dígitos en cada posición como hicimos en la tabla de valor posicional.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Anime a sus estudiantes a usar lenguaje preciso como dígitos, valor posicional, posiciones y valor mientras describen de qué manera el valor posicional les ayuda a comparar números decimales. Vuelva a expresar las respuestas de sus estudiantes según sea necesario para incluir el lenguaje preciso en la conversación.

Podemos determinar la unidad de valor posicional más grande entre los números. Luego, podemos comparar los dígitos empezando por esa posición. Si son iguales, nos desplazamos una posición hacia la derecha y volvemos a comparar. Repetimos esto hasta hallar una unidad de valor posicional que tenga dígitos diferentes, o hasta que hayamos comparado todas las unidades de valor posicional en el número. Pida a la clase que aplique su razonamiento para completar el problema 6 de manera individual. 6. Usa >, = o < para comparar los números.

8.605

8.65

Pida a sus estudiantes que compartan su respuesta en parejas.

122

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Comparar tarjetas Materiales: E) Tarjetas de comparar números decimales, tijeras

La clase compara y ordena números decimales. Forme parejas de estudiantes. Pida a una persona de cada pareja que retire la hoja extraíble de Tarjetas de comparar números decimales de sus libros y las recorten. Pídales que coloquen las tarjetas bocabajo y dividan el juego en dos pilas iguales para que cada pareja de trabajo tenga 4 tarjetas. Luego, pida a sus estudiantes que hagan lo siguiente: • Dar vuelta a una tarjeta de la pila al mismo tiempo y colocarla una junto a la otra • En pareja, comparar los números en las tarjetas • Escribir un enunciado de comparación usando >, = o < en el espacio provisto en el problema 7 • Dejar a un lado el par de tarjetas Pida a sus estudiantes que completen los pasos tres veces más para comparar el resto de las tarjetas. Una vez que las parejas hayan hecho cuatro enunciados de comparación, pídales que completen la parte (b) ordenando todos los números de menor a mayor. 7. Usa las Tarjetas de comparar números decimales. a. Usa >, = o < para comparar los números cada vez que das vuelta a las tarjetas. Ejemplo:

3.743 > 0.374 3.43 < 7.43 37.43 > 0.37 3.074 < 37.431

b. Ordena los números de menor a mayor.

0.37, 0.374, 3.074, 3.43, 3.743, 7.43, 37.43, 37.431 Invite a una pareja de estudiantes a compartir su razonamiento sobre cómo ordenaron los números decimales.

Nota para la enseñanza Sus estudiantes pueden elegir los modelos de su preferencia para comparar los números decimales: discos, recta numérica, tabla de valor posicional o forma fraccionaria.

Diferenciación: Desafío Si algunas parejas terminan antes, pídales que vuelvan a mezclar todas las tarjetas, las dividan en dos pilas nuevamente y repitan la parte (a) con nuevos pares de números. Como alternativa, desafíe a sus estudiantes a crear su propio juego de Tarjetas de comparar números decimales.

DUA: Representación Para la parte (b), anime a sus estudiantes a deslizar las tarjetas y alinearlas mientras las ordenan para ayudarles a reconocer errores y hacer las correcciones antes de escribir la lista en sus libros. Considere pedir a sus estudiantes que creen una recta numérica interactiva. Cuelgue un hilo de aproximadamente 6 pies de largo de manera horizontal. Prepare cinco tarjetas de índice plegadas al medio y rotuladas 0, 10, 20, 30 y 40. Colóquelas de manera equidistante sobre la recta. Luego, dé a cada pareja de estudiantes una tarjeta de índice para que la rotulen con un número de la actividad. Invíteles a decidir dónde ubicar la tarjeta en la recta. Pida a sus estudiantes que usen la recta numérica interactiva para confirmar que las comparaciones son verdaderas.

123

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

EUREKA MATH2

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Comparar números decimales hasta la posición de los milésimos Guíe una conversación de toda la clase sobre comparar números decimales usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Qué modelos podemos usar para comparar números decimales? Podemos usar o dibujar discos de valor posicional, expresar números con otro nombre en forma fraccionaria, expresar números con otro nombre en forma unitaria, usar una recta numérica o usar una tabla de valor posicional. Muestre los números 18.84 y 18.845. Un amigo y una amiga corren una carrera. Se muestran sus tiempos en segundos. ¿Quién ganó la carrera? ¿Cómo lo saben? La persona que tiene el tiempo más rápido, o la que tardó menos tiempo, gana la carrera. La persona que completó la carrera en 18.84 segundos gana la carrera. Lo sé porque 18.84 es menor que 18.845. ¿De qué manera el valor posicional nos ayuda a comparar números decimales? Usen los tiempos de la carrera para apoyar su razonamiento. Comparamos los dígitos en cada posición, empezando por la unidad de valor posicional más grande, como hacemos al comparar números enteros. Hallamos la primera posición en la que los números son diferentes y, luego, comparamos esos dígitos.

124

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6 Para comparar 18.84 y 18.845, tuvimos que llegar hasta la posición de los milésimos porque los dígitos en la posición de las decenas, las unidades, los décimos y los centésimos son iguales. Dado que 18.845 tiene 5 en la posición de los milésimos y 18.84 tiene 0 en la posición de los milésimos, sabemos que 18.845 es mayor que 18.84.

125

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

Nombre

Fecha

Escribe cada número en la tabla de valor posicional. Luego, usa >, = o < para comparar los números. 8. 12.56

Usa >, = o < para comparar los números. 1. 8 décimos

3. 24 milésimos

8 centésimos

2. 15 centésimos

24 décimos

4. 37 centésimos

15 milésimos

0.258

0.25

6. 6.314

0.253

Unidades

Décimos

17.26

126

Decenas

4.32

Unidades

Décimos

Centésimos Milésimos

24.910

11. 30.8

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos Milésimos

30.806

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos Milésimos

Usa >, = o < para comparar los números.

6.314

Centésimos Milésimos

0.26

6.31

7. 17.268

0.258

9. 4.032

Decenas

10. 24.91

1.256

372 milésimos

Marca y rotula cada número en la recta numérica. Luego, usa >, = o < para comparar los números. 5. 0.253

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

12. 0.87

0.875

13. 0.523

0.513

14. 2.068

2.1

15. 18.403

18.41

16. 28.137

28.13

17. 57.63

57.630

6.32

17.27

17.268

17.27

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

1.239 1.214

1.22

1.224

1.23

EUREKA MATH2

21. Luis dice que 2.368 es mayor que 2.37 porque 2.368 tiene más dígitos. ¿Estás de acuerdo con Luis? Explica.

18. Usa la recta numérica para completar las partes (a) a (c).

1.21

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 6

No, no estoy de acuerdo con Luis porque 2.368 solo tiene 6 centésimos, mientras que 2.37 tiene 7 centésimos. Eso significa que 2.37 es mayor que 2.368.

1.24

a. Marca los números.

1.22, 1.214, 1.239, 1.224 b. Usa >, = o < para comparar los números.

1.214

1.22

1.224

1.239

1.224

c. Ordena los números de menor a mayor.

1.214 , 1.22 , 1.224 , 1.239

Ordena los números de menor a mayor. 19. 2.853, 28.53, 2.85, 0.853

0.853

2.85

2.853

28.53

20. 15.02, 15.002, 15.210, 150.2, 1.502

1.502, 15.002, 15.02, 15.210, 150.2

GRUPO DE PROBLEMAS

127

LECCIÓN 7

Redondear números decimales a la unidad, al décimo o al centésimo más cercanos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

Nombre

Fecha

Redondea cada número al valor posicional dado. Muestra tu razonamiento en la recta numérica. 1. Unidad más cercana

2. Décimo más cercano

3 = 3 unidades

0.4 = 4 décimos 0.38

2.5 = 2 unidades y 5 décimos 2.4

0.35 = 3 décimos y 5 centésimos

2 = 2 unidades

0.3 = 3 décimos

2.4 ≈

0.38 ≈

Vistazo a la lección La clase usa una recta numérica para redondear números decimales según la unidad de valor posicional diferente de cero más pequeña. Consideran si el número es mayor o menor que el punto medio entre dos unidades, décimos o centésimos para determinar cómo redondear.

Pregunta clave • ¿Qué información necesitamos para redondear un número decimal a la unidad más cercana? ¿Y al décimo más cercano? ¿Y al centésimo más cercano?

Criterio de logro académico

0.4

5.Mód4.CLA11 Redondean números decimales utilizando la comprensión del

valor posicional. (5.NBT.A.4) 3. Centésimo más cercano

2.17 = 217 centésimos 2.169 2.165 = 216 centésimos y 5 milésimos 2.16 = 216 centésimos 2.169 ≈ 2.17

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Utilizar el punto medio para redondear

Estudiantes • ninguno

• Reagrupar a una nueva unidad • Grupo de problemas

Concluir 10 min

129

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

Fluidez

Muestre 3  __  + 2  _2  = 3 10

. 3

5 10

Observen las unidades fraccionarias. ¿Hay unidades semejantes?

3 10 + 2 5 =

No.

5 10 + 5 = 5 10 + 5 × 2

¿Están relacionadas las unidades? Sí. ¿Qué fracción puede expresarse con otro nombre para que las unidades fraccionarias, o denominadores, sean iguales?

2×2

=5 3 + 4 10

=5 7 10

_2   5

Expresen _   2  con otro nombre para formar unidades semejantes y hallar la suma. Muestren 5 su trabajo.

130

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7 Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

3 12 + 3 4 = 7 12

58 – 24 =

5 5 – 3 15 = 1 15

Contar de un centésimo en un centésimo en la recta numérica La clase cuenta de un centésimo en un centésimo en forma estándar en una recta numérica vertical e identifica el punto medio como preparación para redondear números decimales. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante de un centésimo en un centésimo hasta 0.1. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 0.01…, 0.09, 0.1 ¿Qué número está en el punto medio entre 0 y 0.1? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

0.05 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la recta numérica que muestra el intervalo de 0.1 a 0.2 y, luego, con la recta numérica que muestra el intervalo de 0.7 a 0.8.

0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

131

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional La clase usa la forma unitaria para identificar un número representado con discos de valor posicional y, luego, descompone y expresa con otro nombre como preparación para redondear números decimales. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 1 disco de una unidad en la tabla. ¿Qué valor se representa en la tabla? Digan la respuesta en forma unitaria.

1 unidad Muestre 1.00 =

unidad,

décimos y

¿1 unidad es igual a cuántas unidades, décimos y centésimos?

1 unidad, 0 décimos y 0 centésimos

centésimos. 1.00 =

1.00 =

10 décimos y

unidad,

décimos y

centésimos

Muestre la respuesta y, luego, muestre 1.00 = décimos y centésimos. ¿1 unidad es igual a cuántos décimos y centésimos?

10 décimos y 0 centésimos Muestre la respuesta y el disco de una unidad desagrupado como 10 décimos en la tabla.

132

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7 Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

1.30 = 1 unidad, 3 décimos y 0 centésimos

1.36 = 1 unidad, 3 décimos y 6 centésimos

1.30 = 13 décimos y 0 centésimos

1.36 = 13 décimos y 6 centésimos

2.72 = 2 unidades, 7 décimos y 2 centésimos

3.09 = 3 unidades, 0 décimos y 9 centésimos

2.72 = 27 décimos y 2 centésimos

3.09 = 30 décimos y 9 centésimos

4.58 = 4 unidades, 5 décimos y 8 centésimos 4.58 = 45 décimos y 8 centésimos

133

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

Presentar

La clase analiza el propósito de redondear números decimales en un contexto del mundo real. Muestre la imagen del niño haciendo una parada de manos y presente la siguiente situación. La hermana de Adesh usó un cronómetro para ver cuánto tiempo podía hacer una parada de manos Adesh. Luego, les dijo a sus amigos y amigas que hizo una parada de manos durante aproximadamente 10 segundos. ¿Qué observan? Observo que dijo aproximadamente 10 segundos. Observo que no sabemos el tiempo real. ¿Qué se preguntan? Me pregunto qué decía el cronómetro. Me pregunto si intentó hacerlo más de una vez o si lo calculó según esa única vez. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar qué tiempos podría mostrar el cronómetro. Anime a sus estudiantes a dibujar rectas numéricas que les ayuden a razonar sobre los tiempos. Acepte una variedad de respuestas y considere registrarlas. Imaginen que el cronómetro muestra 9.7 segundos. ¿Por qué Adesh podría afirmar que puede hacer una parada de manos durante aproximadamente 10 segundos en vez de 9.7 segundos?

10 segundos es más fácil de comprender que 9.7 segundos. Los décimos de segundos son pequeños; por lo tanto, tiene sentido usar simplemente un número entero. Él quería impresionar a sus amigas y amigos. No es importante tener precisión en esta situación.

10 es 100 décimos. 97 décimos está cerca de 100 décimos. Hizo una estimación. Es probable que haya redondeado el tiempo al número entero más cercano. 9.7 redondeado al número entero más cercano es 10.

134

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7 Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a redondear números decimales a la unidad, al décimo y al centésimo más cercanos.

Aprender

Utilizar el punto medio para redondear La clase redondea un número decimal a la posición de las unidades, los décimos o los centésimos usando el punto medio en una recta numérica. Escriba el número 8.6. Podemos usar lo que sabemos sobre redondear números enteros como ayuda para redondear números decimales a la unidad más cercana. ¿Cuántas unidades hay en 8.6?

8 unidades ¿Cuánto es 1 unidad más que 8?

9 unidades ¿Entre qué dos unidades está 8.6?

8y9

DUA: Representación Considere usar la actividad digital interactiva de Redondear en la recta numérica vertical durante la lección para brindar más apoyo a la comprensión de sus estudiantes. Ingrese el número para redondear e indique la posición a la cual redondear. En esta lección, el enfoque está en redondear solo a la posición adyacente a la unidad de valor posicional diferente de cero más pequeña.

Dibuje una recta numérica vertical con las marcas de graduación rotuladas con el 8 y el 9 escritos en forma estándar y en forma unitaria. Incluya una marca de graduación para el punto medio, entre el 8 y el 9, pero no la rotule. Al igual que al redondear números enteros, podemos usar el número del punto medio entre dos números de referencia para redondear números decimales.

135

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué número es el punto medio entre el 8 y el 9 y cómo lo saben.

8.5 porque la mitad de 1 es _ 21 , que es igual a 0.5. 8 unidades y 5 décimos porque 1 unidad es 10 décimos y la mitad de 10 décimos es 5 décimos. 85 décimos porque 8 unidades es lo mismo que 80 décimos y 9 unidades es lo mismo que 90 décimos. 85 décimos es el punto medio entre 80 décimos y 90 décimos.

Rotule la marca de graduación del punto medio en forma estándar y unitaria. Señale el 8 en la recta numérica y, lentamente, suba con el dedo por la recta. Pida a la clase que le detenga cuando usted llegue a la ubicación de 8.6. Marque y rotule el punto. ¿Está 8.6 más cerca del 8 o del 9? ¿Cómo lo saben?

8.6 está más cerca del 9. Lo sé porque está apenas pasando la marca de graduación del punto medio entre el 8 y el 9. 8.6 está más cerca del 9. Lo sé porque tiene 6 décimos, que es más que 5 décimos de la marca de graduación del punto medio. Como 8.6 está más cerca del 9 que del 8, 8.6 redondeado a la unidad más cercana es 9.

Escriba el enunciado 8.6 ≈ 9.

Pida a sus estudiantes que copien la recta numérica en sus pizarras blancas y, luego, usen la recta numérica para redondear 8.3 a la unidad más cercana. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias de redondear 8.6 y 8.3 a la unidad más cercana. Ambos números están entre el 8 y el 9. 8.6 está más cerca del 9, pero 8.3 está más cerca del 8. 8.3 es menor que el punto medio entre 8 unidades y 9 unidades, y 8.6 es mayor que el punto medio entre 8 unidades y 9 unidades. ¿Cuánto es 8.3 redondeado a la unidad más cercana?

Nota para la enseñanza Redondear hacia arriba y redondear hacia abajo son expresiones que se asocian con redondear. A veces, la expresión redondear hacia arriba se refiere al incremento del valor de la unidad redondeada (p. ej., el 8 en 8.6 se redondea hacia arriba a 9). A veces, las expresiones hacen referencia a la dirección en la que se debe mover en la recta numérica (p. ej., 8.3 se redondea hacia abajo a 8). Use estas expresiones con vocabulario de valor posicional como el siguiente: • ¿De qué unidad está más cerca 8.6? • 8.6 está más cerca de 9 unidades que de 8 unidades.

136

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7 ¿Cómo les ayudó pensar en la forma unitaria de un número decimal a redondear el número? La forma unitaria me ayuda a rotular la recta numérica. Si estamos redondeando a las unidades, podemos usar el número de unidades en el número decimal y el número que es 1 unidad más para rotular la primera y la última marca de graduación. La marca de graduación del punto medio es 5 de la siguiente unidad de valor posicional más pequeña, así que puedo marcar el punto medio entre las dos unidades como el número más pequeño de unidades y 5 décimos. La forma unitaria me ayuda a separar el número que quiero redondear y los números de la recta numérica para poder determinar de qué unidad está más cerca. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea las instrucciones en voz alta. ¿En qué se diferencia el problema 1 de los dos ejemplos anteriores sobre 8.6 y 8.3? El problema 1 nos pide que redondeemos al décimo más cercano. Antes redondeamos a la unidad más cercana.

12.72 tiene más dígitos que 8.6 y 8.3. 12.72 tiene decenas, unidades, décimos y centésimos, pero 8.6 y 8.3 solo tienen unidades y décimos. 1. Redondea 12.72 al décimo más cercano. Muestra tu razonamiento en la recta numérica.

12.8 = 128 décimos 12.75 = 127 décimos y 5 centésimos 12.72 12.7 = 127 décimos 12.72 ≈

12.7

137

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7 Muestre la recta numérica vertical con las tres marcas de graduación, pero sin rótulos, del problema 1. ¿Cómo dicen 12.72 en forma unitaria usando solo décimos y centésimos?

127 décimos y 2 centésimos ¿Cuántos décimos hay en 12.72?

127 décimos ¿Cuánto es 1 décimo más que 127 décimos?

DUA: Representación Considere presentar los números en una tabla de valor posicional para destacar las diferentes formas unitarias.

128 décimos ¿Entre qué dos décimos está 12.72?

127 décimos y 128 décimos Rotule la primera y la última marca de graduación en forma estándar y en forma unitaria. Pida a la clase que haga lo mismo en sus rectas numéricas. ¿Qué número está en el punto medio entre 12.7 y 12.8? ¿Cómo lo saben?

12.75 porque está a 0.05 de distancia de 12.70 y de 12.80 127 décimos y 5 centésimos porque 1 décimo es 10 centésimos y la mitad de 10 centésimos es 5 centésimos 1,275 centésimos porque es el punto medio entre 1,270 centésimos y 1,280 centésimos Rotule la marca del punto medio en forma estándar y unitaria. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Luego, invíteles a marcar y rotular un punto para 12.72 en la recta numérica. ¿De qué décimo está más cerca 12.72? ¿Cómo lo saben?

12.72 está más cerca de 12.7 porque es menor que el punto medio entre 12.7 y 12.8 en la recta numérica.

12.72 está más cerca de 12.7 porque solo tiene 2 centésimos, que es menos que 5 centésimos en la marca del punto medio. ¿Cuánto es 12.72 redondeado al décimo más cercano?

12.7

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando especifica las unidades de valor posicional en el número dado, la unidad a la que está redondeando y el punto medio al redondear números decimales. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • ¿Qué detalles debemos considerar cuando redondeamos números decimales? • ¿Dónde podrían cometer errores cuando redondean números decimales como 27.96?

138

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7 Pida a la clase que registre la respuesta.

12.72 está entre 12 y 13. ¿Entonces por qué creen que usamos 12.7 y 12.8 como los números de referencia en lugar de 12 y 13? Estamos redondeando al décimo más cercano, así que tenemos que pensar en el número que es un punto medio entre décimos, no entre unidades. Tenemos que pensar en la unidad de valor posicional a la que queremos redondear un número para decidir qué números de referencia usar en la recta numérica. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Lea el problema en voz alta. Pida a la clase que complete el problema 2 en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Haga las siguientes preguntas: • ¿Cuántos centésimos hay en 4.935? • ¿Cuánto es 1 centésimo más que 493 centésimos? • ¿Cuál es el punto medio entre 493 centésimos y 494 centésimos? ¿Cómo lo saben? • ¿Dónde marcamos 4.935? • ¿De qué centésimo está más cerca 4.935? ¿Cómo lo saben? 2. Redondea 4.935 al centésimo más cercano. Muestra tu razonamiento en la recta numérica.

4.94 = 494 centésimos 4.935 = 493 centésimos y 5 milésimos 4.93 = 493 centésimos 4.935 ≈

4.94

139

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

EUREKA MATH2

Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, use las siguientes preguntas para comentar el problema 2. ¿Cómo decidieron rotular la primera y la última marca de graduación de la recta numérica? El número tiene 493 centésimos. Un centésimo más es 494 centésimos. ¿Dónde marcaron el punto para 4.935 en la recta numérica? ¿Por qué? Marqué el punto directamente en la marca de graduación del punto medio porque 4.935 tiene 493 centésimos y 5 milésimos. ¿De qué centésimo está más cerca 4.935?

4.935 no está más cerca de 4.93 ni de 4.94. Es exactamente el punto medio entre los dos números. ¿Cómo decidieron la respuesta final? Al redondear números enteros, si el número es el punto medio entre dos números, se redondea al número más grande. Por lo tanto, supuse que se hace lo mismo con los números decimales. Al igual que al redondear números enteros, cuando un número decimal es exactamente el punto medio entre dos números de referencia, lo redondeamos al número más grande.

140

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

Reagrupar a una nueva unidad La clase reagrupa para formar la siguiente unidad más grande para redondear. Pida a sus estudiantes que completen el problema 3 en parejas. 3. Redondea 27.96 al décimo más cercano. Muestra tu razonamiento en la recta numérica.

Diferenciación: Desafío Pida a sus estudiantes que usen su respuesta al problema 3 para predecir qué pasaría si redondean 29.96 al décimo más cercano y 29.996 al centésimo más cercano. Luego, pídales que usen modelos de recta numérica para comprobar sus predicciones.

28.0 = 280 décimos

27.96 ≈

27.96 27.95 = 279 décimos y 5 centésimos

Diferenciación: Apoyo

27.9 = 279 décimos

Si sus estudiantes necesitan apoyo, haga preguntas como las siguientes: • ¿Qué saben acerca de este problema?

28.0

Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, pídales que compartan sus métodos usando las siguientes preguntas. ¿Cómo decidieron rotular la primera y la última marca de graduación de la recta numérica? El número tiene 279 décimos. Un décimo más es 280 décimos.

• ¿Cuántos décimos hay en 27.96? • ¿Cuánto es 1 décimo más que 279 décimos? • ¿Cuál es el punto medio entre 279 décimos y 280 décimos? ¿Cómo lo saben? • ¿Dónde marcamos 27.96? • ¿De qué décimo está más cerca 27.96? ¿Cómo lo saben?

¿De qué décimo está más cerca 27.96?

27.96 está más cerca de 280 décimos. ¿Cuánto es 280 décimos en forma estándar?

28.0 Pregunte a sus estudiantes en qué se diferencia la respuesta al problema 3 de otros ejemplos de la lección en los que hayan tenido que redondear al número de referencia más grande. Espere que haya quienes observen que los dígitos en las posiciones de los décimos y de las unidades cambiaron en el problema 3. Resalte que necesitan reagrupar a la siguiente unidad de valor posicional, las unidades, a pesar de estar redondeando a la posición de los décimos.

141

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7 Pida a la clase que complete el problema 4 en parejas. 4. Redondea 9.492 al centésimo más cercano. Dibuja una recta numérica para mostrar tu razonamiento.

9.50 = 950 centésimos 9.495 = 949 centésimos y 5 milésimos 9.492 9.49 = 949 centésimos 9.492 ≈

9.49

Confirme la respuesta al problema 4 y, luego, haga la siguiente pregunta. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los problemas 3 y 4? En ambos problemas, los números tienen 9 en la posición a la que estamos redondeando. En el problema 3, el número decimal 27.96 es mayor que el punto medio entre los dos décimos más cercanos. En el problema 4, el número decimal 9.492 es menor que el punto medio entre los dos centésimos más cercanos. En el problema 3, el dígito 9 en la posición de los décimos y el dígito a su izquierda cambiaron. En el problema 4, el dígito 9 en la posición de los centésimos no cambió.

142

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Redondear números decimales a la unidad, al décimo o al centésimo más cercanos Guíe una conversación de toda la clase sobre redondear números decimales a la unidad, al décimo o al centésimo más cercanos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Qué información necesitamos para redondear un número decimal a la unidad más cercana? ¿Por qué? Necesitamos saber el número de unidades en el número decimal, el número que es 1 unidad más y el número que es el punto medio entre las dos unidades. Cuando marcamos los números en la recta numérica, nos ayuda a ver si el número que estamos redondeando está más cerca de la primera o de la última marca de graduación. El número que está en el punto medio entre las unidades es importante. Si el número que estamos redondeando está en el punto medio o lo pasa, sabemos que hay que redondear a la siguiente unidad. Si el número no pasa el punto medio, sabemos que debemos redondear al número de unidades que tiene el número. ¿Qué información necesitamos para redondear un número decimal al décimo más cercano? ¿Por qué? Necesitamos saber el número de décimos en el número decimal, el número que es 1 décimo más y el número que es el punto medio entre los dos décimos. Cuando marcamos los números en la recta numérica, nos ayuda a ver si el número que estamos redondeando está más cerca de la primera o de la última marca de graduación. El número que está en el punto medio entre los décimos es importante. Si el número que estamos redondeando está en el punto medio o lo pasa, sabemos que hay que redondear al siguiente décimo. Si el número no pasa el punto medio, sabemos que debemos redondear al número de décimos que tiene el número.

143

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

EUREKA MATH2

¿Qué información necesitamos para redondear un número decimal al centésimo más cercano? ¿Por qué? Necesitamos saber el número de centésimos en el número decimal, el número que es 1 centésimo más y el número que es el punto medio entre los dos centésimos. Cuando marcamos los números en la recta numérica, nos ayuda a ver si el número que estamos redondeando está más cerca de la primera o de la última marca de graduación. El número que está en el punto medio entre los centésimos es importante. Si el número que estamos redondeando está en el punto medio o lo pasa, sabemos que hay que redondear al siguiente centésimo. Si el número no pasa el punto medio, sabemos que debemos redondear al número de centésimos que tiene el número. Si hay tiempo suficiente, invite a la clase a ampliar su razonamiento en parejas. Considere registrar las ideas de sus estudiantes en una recta numérica. Recuerden que Adesh les dijo a sus amigos y amigas que hizo una parada de manos durante aproximadamente 10 segundos. ¿Qué otros tiempos además de 9.7 podría haber marcado el cronómetro? ¿Cómo lo saben? El tiempo de Adesh pudo ser 9.5 segundos o más, pero debe ser menor que 10.5 segundos. Lo sé porque los tiempos entre 9 y 10 segundos, si son 9.5 segundos o más, se redondean a 10 segundos. Los tiempos entre 10 y 11 segundos, si son menores que 10.5 segundos, se redondean a 10 segundos.

144

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

Nombre

Fecha

5. Centésimo más cercano

Redondea el número a la posición dada. Muestra tu razonamiento en la recta numérica.

0.33 = 33 centésimos

1. Unidad más cercana

0.327 0.325 = 32 centésimos y 5 milésimos

3 = 3 unidades 2.5 = 2 unidades y 5 décimos 2.3 2 = 2 unidades 2.3 ≈

3. Décimo más cercano

2. Unidad más cercana

15.7 15.5 = 15 unidades y 5 décimos

4. Décimo más cercano

0.76 0.75 = 7 décimos y 5 centésimos

9.25 = 92 décimos y 5 centésimos

0.7 = 7 décimos

9.2 = 92 décimos

9.25 ≈

6. Centésimo más cercano

6.09 = 609 centésimos 6.085 = 608 centésimos y 5 milésimos 6.084 6.08 = 608 centésimos 6.084 ≈ 6.08

Redondea el número a la posición dada. Dibuja una recta numérica para mostrar tu razonamiento. 7. Unidad más cercana

9.3 = 93 décimos

0.8

0.327 ≈ 0.33

15 = 15 unidades

0.8 = 8 décimos

0.76 ≈

0.32 = 32 centésimos

16 = 16 unidades

15.7 ≈

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

8. Décimo más cercano

10 = 10 unidades 9.7

13.1 = 131 décimos

9.5 = 9 unidades y 5 décimos

13.05 = 130 décimos y 5 centésimos

9 = 9 unidades

13.02 13.0 = 130 décimos

9.7 ≈

13.02 ≈ 13.0

9.3

GRUPO DE PROBLEMAS

145

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

EUREKA MATH2

9. Centésimo más cercano

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

5.31 = 531 centésimos

2.795 = 279 centésimos y 5 milésimos

5.305 = 530 centésimos y 5 milésimos

2.79 = 279 centésimos

5.30 = 530 centésimos

2.798 ≈ 2.80

12. Yuna vierte 0.83 litros de agua en un recipiente. Sombrea y rotula la imagen para mostrar la cantidad de agua que hay en el recipiente de Yuna redondeada al décimo de litro más cercano.

10. Centésimo más cercano

2.80 = 280 centésimos 2.798

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 7

1L 0.83 litros ≈ 0.8 litros

5.305 ≈ 5.31

11. Redondea cada número al centésimo más cercano. Muestra tu razonamiento en la recta numérica. b.

0.82 = 82 centésimos 0.816 0.815 = 81 centésimos y 5 milésimos 0.81 = 81 centésimos 0.816 ≈ 0.82

0.83 = 83 centésimos 0.825 = 82 centésimos y 5 milésimos 0.824 0.82 = 82 centésimos 0.824 ≈ 0.82

c. ¿Qué observas acerca de tus respuestas a las partes (a) y (b)? Son iguales porque ambos números se redondean a 0.82.

d. Haz una lista de la mayor cantidad posible de números que se redondean a 0.82. Expresa cada número hasta la posición de los milésimos.

0.815, 0.816, 0.817, 0.818, 0.819, 0.820, 0.821, 0.822, 0.823, 0.824

146

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 8

Redondear números decimales a cualquier unidad de valor posicional

EUREKA MATH2

Nombre

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

Fecha

Redondea 44.897 a cada posición dada. a. Decena más cercana

40 b. Unidad más cercana

Vistazo a la lección La clase usa su experiencia con el redondeo en una recta numérica vertical para redondear un número decimal a cualquier unidad de valor posicional. Razonan sobre cómo redondear sin usar una recta numérica valiéndose de las unidades de valor posicional, la forma unitaria y la distancia de un número a los números de referencia. Concluyen la lección participando de la rutina Tomar una postura para conversar sobre la utilidad de redondear a unidades de valor posicional determinadas en contextos del mundo real.

Preguntas clave

c. Décimo más cercano

• ¿Cómo podemos usar el razonamiento del valor posicional para redondear números sin usar una recta numérica?

44.9 d. Centésimo más cercano

• ¿Por qué es útil redondear los números a diferentes unidades de valor posicional?

44.90

Criterio de logro académico 5.Mód4.CLA11 Redondean números decimales utilizando la comprensión del

valor posicional. (5.NBT.A.4)

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• papel (4 hojas)

• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 35 min • Redondear un número decimal a varias posiciones • Redondear usando la comprensión del valor posicional

Estudiantes • Práctica veloz: Multiplicar por o dividir entre potencias de 10 (en el libro para estudiantes)

• Prepare cuatro afiches en papel. Rotule los afiches Decena más cercana, Unidad más cercana, Décimo más cercano y Centésimo más cercano. Cuelgue los afiches en diferentes lugares del salón de clases.

• Redondear mi número decimal • Redondear números de una manera útil • Grupo de problemas

Concluir 10 min

149

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

Fluidez

Práctica veloz: Multiplicar por o dividir entre potencias de 10 Materiales: E) Práctica veloz: Multiplicar por o dividir entre potencias de 10 EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar por o dividir entre potencias de 10 La clase escribe el producto o el cociente para adquirir fluidez con la multiplicación de números enteros por y la división de números enteros entre potencias de 10 del módulo 1.

Práctica veloz Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema. Escribe el producto o el cociente. 1.

5 × 100 =

500

5 × 102 =

500

8,000 ÷ 1,000 =

8,000 ÷ 103 =

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea: No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo. En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

150

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8 Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales. Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico. Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.

Nota para la enseñanza Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A: • ¿Cómo se comparan los problemas 1 y 2 con el problema 3? ¿Y los problemas 4 y 5 con el 6? • ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 12? ¿Y en los problemas 13 a 22?

En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.

Nota para la enseñanza

¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Cuente hacia delante de 100,000 en 100,000 desde el 0 hasta 1,000,000 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de 10,000 en 10,000 desde el 100,000 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.

Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

151

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

Presentar

La clase considera qué números redondeados tienen sentido en una situación en particular. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Pida a la clase que trabaje en parejas para relacionar cada número con la situación correspondiente. 1. Los números que se muestran son estimaciones para cada situación. Relaciona cada situación con el número que mejor completa el enunciado.

29.45

libros a cada

En un año, la biblioteca presta unos persona asociada.

30 La maestra Song trabaja unas

Diferenciación: Desafío Invite a sus estudiantes a pensar en contextos que serían adecuados para cada número.

horas por semana.

29.5 La siguiente salida de la carretera está a unos kilómetros de distancia.

Invite a las parejas a compartir su razonamiento sobre por qué relacionaron cada número con cada situación. Acepte todas las respuestas razonables, pero anime a sus estudiantes a justificar su razonamiento. Tiene más sentido expresar un número de libros como un número entero. Un número con 0.5, o media hora, tiene sentido para el trabajo. El número 29.45 tiene sentido para los kilómetros porque es una distancia. Los tres números del problema 1 tienen algo en común. Cada número es el resultado de redondear el número 29.453. ¿Por qué piensan que podemos obtener diferentes números al redondear 29.453? Podemos redondear 29.453 a diferentes posiciones. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, redondearemos los números decimales a diferentes unidades de valor posicional.

152

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

Aprender

Redondear un número decimal a varias posiciones La clase redondea un número decimal a la unidad, al décimo y al centésimo más cercanos. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema 2. 2. Redondea 7.209 a cada posición dada. Muestra tu razonamiento en la recta numérica. a. Unidad más cercana

8 = 8 unidades 7.5 = 7 unidades y 5 décimos

DUA: Representación Considere usar la actividad digital interactiva de Redondear en la recta numérica vertical de la lección 7 para apoyar el trabajo. Si hay tiempo suficiente, considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual.

7.209 7 = 7 unidades 7.209 ≈

153

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8 b. Décimo más cercano

7.3 = 73 décimos 7.25 = 72 décimos y 5 centésimos 7.209 7.2 = 72 décimos 7.209 ≈

DUA: Acción y expresión Anime a sus estudiantes a usar primero una tabla de valor posicional para expresar 7.209 como diferentes unidades de valor posicional. Pueden consultar las tablas para determinar la unidad y el intervalo adecuados para redondear a cada posición dada. Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

720

7.2

9 7,209

c. Centésimo más cercano

7.21 = 721 centésimos 7.209 7.205 = 720 centésimos y 5 milésimos 7.20 = 720 centésimos 7.209 ≈

Si sus estudiantes necesitan apoyo, haga preguntas como las siguientes. Completen el espacio con la unidad de valor posicional correspondiente. • ¿A qué posición están redondeando? • ¿Cuántas/os tiene el número? Rotulen la primera marca de graduación.

7.21

Cuando la mayoría de las parejas hayan terminado, guíe una conversación de toda la clase sobre por qué las respuestas para las partes (a) a (c) fueron diferentes si redondearon el mismo número decimal. Empezamos con el mismo número decimal en cada oportunidad. ¿Obtuvimos la misma respuesta cada vez que redondeamos el número decimal? ¿Por qué? No, no obtuvimos la misma respuesta cada vez porque redondeamos a una posición diferente en cada oportunidad.

154

Diferenciación: Apoyo

• ¿Cuánto es 1 más? Rotulen la última marca de graduación. • ¿Qué número está en el punto medio entre los dos números de referencia? ¿Cómo lo saben? Rotulen la marca de graduación del punto medio. • Marquen el número. • ¿De qué está cerca el número? ¿Cómo lo saben?

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8 ¿Cómo decidieron qué unidad de valor posicional usar para rotular la primera y la última marca de graduación en sus rectas numéricas? Usé la unidad de valor posicional a la que quería redondear.

Redondear usando la comprensión del valor posicional La clase usa la comprensión del valor posicional para redondear un número decimal a varias unidades de valor posicional. Al igual que cuando redondeamos números enteros, podemos redondear números decimales sin dibujar una recta numérica. Podemos pensar en la recta numérica y usar la comprensión del valor posicional para redondear. Escriba el número 48.743. Redondeemos 48.743 a la decena más cercana. ¿Qué sabemos sobre el número que podría ayudarnos a redondear a la decena más cercana?

Diferenciación: Apoyo Si sus estudiantes necesitan apoyo adicional como preparación para redondear mediante el uso del cálculo mental, permítales dibujar una recta numérica vertical y anímeles para que disminuyan de a poco la cantidad de información que registran en ella.

48.743 tiene 4 decenas. 1 decena más es 5 decenas. 48.743 está entre 40 y 50. 48.743 es mayor que el punto medio entre 40 y 50 porque 8 unidades es mayor que 5 unidades. 48.743 está más cerca de 50 que de 40. ¿Cuánto es 48.743 redondeado a la decena más cercana?

Escriba 48.743 ≈ 50.

Ahora, redondeemos 48.743 al centésimo más cercano. ¿Qué sabemos sobre el número que podría ayudarnos a redondear al centésimo más cercano?

48.743 tiene 4,874 centésimos. 1 centésimo más es 4,875 centésimos. 48.743 está entre 48.74 y 48.75. 48.743 es menor que el punto medio entre 48.74 y 48.75 porque 3 milésimos es menor que 5 milésimos. 48.743 está más cerca de 48.74 que de 48.75. ¿Cuánto es 48.743 redondeado al centésimo más cercano?

48.74

155

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8 Escriba 48.743 ≈ 48.74.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo observar el valor posicional que está a la derecha de la posición a la que quieren redondear les ayuda a redondear el número sin dibujar una recta numérica. Anime a sus estudiantes a usar los ejemplos de redondeo de 48.743 según sea necesario para apoyar sus explicaciones. La posición de las unidades está a la derecha de la posición de las decenas. Por lo tanto, cuando redondeamos 48.743 a la decena más cercana, observamos las 8 unidades. Como 8 unidades es mayor que el punto medio a la siguiente decena, redondeamos a la siguiente decena. 48.743 redondeado a la decena más cercana es 50. La posición de los milésimos está a la derecha de la posición de los centésimos; por lo tanto, cuando redondeamos 48.743 al centésimo más cercano, observamos los 3 milésimos. Como 3 milésimos es menor que el punto medio al siguiente centésimo, no redondeamos al siguiente centésimo. 48.743 redondeado al centésimo más cercano es 48.74. La posición que está a la derecha de la posición a la que queremos redondear nos indica cómo redondear el número decimal. El dígito en esa posición nos indica si el número decimal está más cerca de la siguiente unidad de valor posicional. Pida a sus estudiantes que usen la comprensión del valor posicional para completar el problema 3.

DUA: Representación

3. Redondea 19.206 a cada valor posicional dado.

19.206 ≈

a. Decena más cercana

19.206 ≈

c. Décimo más cercano

19.2

19.206 ≈

b. Unidad más cercana

19.206 ≈ 19.21

d. Centésimo más cercano

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar las respuestas.

Redondear mi número decimal

Haga una representación para sus estudiantes sobre cómo usar una nota adhesiva o los dedos para cubrir dígitos que no afectan el redondeo. Por ejemplo, en el problema 3(a), pida a sus estudiantes que cubran los dígitos 2, 0 y 6 en las posiciones de los décimos, centésimos y milésimos para que se enfoquen solo en el 19 para redondear a la decena más cercana. Anime a sus estudiantes a hacer lo mismo, si es necesario, mientras completan los problemas por su cuenta.

La clase participa de una actividad en parejas para redondear números decimales. Pida a sus estudiantes que permanezcan con la misma pareja de trabajo con la que se reunieron y conversaron. Pídales que participen de una actividad en parejas en la que cada estudiante escribe un número decimal en su pizarra blanca y pasa la pizarra a su pareja para que redondee el número decimal.

156

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8 En parejas, redondearemos los números que elijan a diferentes posiciones. En sus pizarras blancas, escriban cualquier número decimal mayor que 1 a la posición de los milésimos. Luego, pasen la pizarra blanca a su pareja. Diga a la clase una posición a la cual redondear el número. Escriban su respuesta en la pizarra blanca y pasen la pizarra blanca a su pareja de trabajo. Comprueben la respuesta. Si creen que cometió un error, pídanle que explique su razonamiento y conversen hasta que se pongan de acuerdo sobre la respuesta correcta. Repita los pasos con la clase escribiendo un nuevo número decimal. Aclare la nueva posición de redondeo. Si hay tiempo suficiente, repita la actividad.

Redondear números de una manera útil Materiales: M) Afiches

La clase identifica y justifica su elección para redondear un número decimal a una unidad de valor posicional en un contexto dado. Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de la clase a los afiches colgados en el salón de clases: Decena más cercana, Unidad más cercana, Décimo más cercano y Centésimo más cercano.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando redondea el número decimal de su pareja de trabajo a la posición elegida y su pareja comprueba la respuesta, pide una explicación para su razonamiento si la respuesta no parece correcta y conversan sobre sus razonamientos hasta llegar a la respuesta correcta. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3: • ¿Sus respuestas son una suposición, o lo saben con seguridad? Si tienen certeza, expliquen su razonamiento. • ¿Qué preguntas pueden hacer a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprenden su razonamiento?

Muestre cada una de las siguientes situaciones, una a la vez. Pida a sus estudiantes que piensen en qué valor posicional elegirían para redondear el número y por qué. • Yuna recorre 12.935 kilómetros en su bicicleta este fin de semana. ¿Aproximadamente cuántos kilómetros recorre Yuna? • El Sr. Evans gasta $38.47 en el supermercado. ¿Cuánto gasta aproximadamente el Sr. Evans? Para cada situación, invite a sus estudiantes a ponerse de pie junto al afiche que mejor describa su razonamiento. Cuando cada estudiante esté junto a un afiche, dé un minuto para que los grupos comenten por qué lo eligieron. Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección. Anime a quienes cambien de opinión durante la conversación a unirse a otro grupo. Invite a sus estudiantes a formar parejas para redondear el número a la posición elegida.

Nota para la enseñanza Como el número del Sr. Evans tiene dígitos en la posición de los centésimos, pero no en la posición de los milésimos, no puede redondearse a los centésimos. Con esa excepción, todas las respuestas de sus estudiantes son válidas. Acepte todas las explicaciones razonables para sus elecciones.

157

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8 Cuando completen la actividad para ambas situaciones, pídales que vuelvan a sentarse. Con toda la clase, haga una reflexión sobre elegir una unidad de valor posicional que sea útil para redondear números decimales según el contexto dado. Durante la conversación, considere repasar las situaciones de la sección Presentar. Pregunte a sus estudiantes si las conversaciones anteriores influyeron en su razonamiento sobre las dos situaciones nuevas. Al redondear números, a veces tiene sentido redondear a una unidad de valor posicional mayor y, a veces, a una menor. Depende del problema y de qué información podría ser lo suficientemente precisa y más útil para comunicar. Pensamos en lo que tiene más sentido para la situación antes de decidir cómo redondear.

EUREKA MATH2

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere pedir a sus estudiantes que usen la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación para ayudarles a replantear los razonamientos de sus pares y a formular preguntas.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Redondear números decimales a cualquier unidad de valor posicional Guíe una conversación de toda la clase acerca de redondear números decimales a cualquier unidad de valor posicional usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cómo podemos usar el razonamiento del valor posicional para redondear números sin usar una recta numérica? Podemos pensar en el número de la unidad de valor posicional a la que estamos redondeando y en el número que es 1 unidad más. También podemos imaginar la marca del punto medio mentalmente y usarla como ayuda para determinar si el número que estamos redondeando es mayor o menor que el punto medio hasta el siguiente número de referencia. Podemos pensar en qué número de referencia está más cerca del número que estamos redondeando.

158

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8 ¿Por qué es útil redondear los números a diferentes unidades de valor posicional? Redondear puede hacer que un número sea más fácil de leer o de pensar. Redondear un número puede ser útil para brindar una estimación cuando el número exacto no es importante en la situación.

159

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

5 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar por o dividir entre potencias de 10

Número de respuestas correctas:

Progreso:

400

23.

5 × 104 =

50,000

3 × 100 = 2

300

23.

4 × 104 =

40,000

4 × 10 =

400

24.

6 × 10 =

600,000

3 × 10 =

300

24.

5 × 10 =

500,000

24 × 102 =

2,400

25.

7 × 106 =

7,000,000

13 × 102 =

1,300

25.

6 × 106 =

6,000,000

5 × 1,000 =

5,000

26.

8 × 106 =

8,000,000

4 × 1,000 =

4,000

26.

7 × 106 =

7,000,000

5 × 103 =

5,000

27.

68 × 105 =

6,800,000

4 × 103 =

4,000

27.

57 × 105 =

5,700,000

35 × 103 =

35,000

28.

368 × 104 =

3,680,000

24 × 103 =

24,000

28.

257 × 104 =

2,570,000

6 × 10,000 =

60,000

29.

60,000 ÷ 104 =

5 × 10,000 =

50,000

29.

50,000 ÷ 104 =

6 × 10 =

60,000

30.

700,000 ÷ 10 =

5 × 10 =

50,000

30.

600,000 ÷ 10 =

46 × 104 =

460,000

31.

8,000,000 ÷ 106 =

35 × 104 =

350,000

31.

7,000,000 ÷ 106 =

10.

7 × 100,000 =

700,000

32.

9,000,000 ÷ 106 =

10.

6 × 100,000 =

600,000

32.

8,000,000 ÷ 106 =

11.

4,990,000 ÷ 104 =

499

12.

7 × 10 =

12.

57 × 105 =

5,700,000

13.

300 ÷ 100 =

35.

3 × 10 =

300

13.

200 ÷ 100 =

35.

2 × 10 =

200

14.

300 ÷ 102 =

36.

4 × 103 =

4,000

14.

200 ÷ 102 =

36.

3 × 103 =

3,000

15.

6,300 ÷ 102 =

37.

50 × 102 =

5,000

15.

5,200 ÷ 102 =

37.

40 × 102 =

4,000

16.

4,000 ÷ 1,000 =

38.

60 × 104 =

600,000

16.

3,000 ÷ 1,000 =

38.

50 × 104 =

500,000

17.

4,000 ÷ 103 =

39.

637 × 103 =

637,000

17.

3,000 ÷ 103 =

39.

526 × 103 =

526,000

18.

74,000 ÷ 103 =

40.

737 × 105 =

73,700,000

18.

63,000 ÷ 103 =

40.

626 × 105 =

62,600,000

19.

50,000 ÷ 10,000 =

41.

70,000 ÷ 102 =

700

19.

40,000 ÷ 10,000 =

41.

60,000 ÷ 102 =

600

20.

50,000 ÷ 104 =

42.

8,000,000 ÷ 104 =

800

20.

40,000 ÷ 104 =

42.

7,000,000 ÷ 104 =

700

21.

850,000 ÷ 104 =

43.

8,090,000 ÷ 103 =

8,090

21.

740,000 ÷ 104 =

43.

7,080,000 ÷ 103 =

7,080

22.

1,850,000 ÷ 104 =

185

44.

90,900,000 ÷ 105 =

909

22.

1,740,000 ÷ 104 =

174

44.

80,800,000 ÷ 105 =

808

34.

9,900,000 ÷ 10 =

11.

33.

700,000

160

4 × 100 =

Número de respuestas correctas:

Escribe el producto o el cociente.

Escribe el producto o el cociente. 1.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar por o dividir entre potencias de 10

6 × 10 =

600,000

33.

8,800,000 ÷ 10 =

46 × 105 =

4,600,000

34.

3,880,000 ÷ 104 =

388

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

2. 18.706 a. Unidad más cercana

b. Décimo más cercano

Redondea el número a la posición dada. Muestra tu razonamiento en la recta numérica. 1. 4.325 a. Unidad más cercana

b. Décimo más cercano

5 = 5 unidades

4.4 = 44 décimos

4.5 = 4 unidades y 5 décimos 4.325

4.35 = 43 décimos y 5 centésimos

4 = 4 unidades 4.325 ≈

18.8 = 188 décimos

18.5 = 18 unidades y 5 décimos

18.75 = 187 décimos y 5 centésimos

18 = 18 unidades

18.706 18.7 = 187 décimos

18.706 ≈

4.325 4.3 = 43 décimos 4.325 ≈

19 = 19 unidades 18.706

18.706 ≈ 18.7

c. Centésimo más cercano

4.3 18.71 = 1,871 centésimos 18.706 18.705 = 1,870 centésimos y 5 milésimos

c. Centésimo más cercano

18.70 = 1,870 centésimos 4.33 = 433 centésimos

18.706 ≈ 18.71

4.325 = 432 centésimos y 5 milésimos

d. ¿Qué observas sobre las unidades en los números redondeados en las partes (a) a (c)?

4.32 = 432 centésimos

Cuando redondeo al décimo y al centésimo más cercanos, el número de unidades es el mismo, 18 unidades. Cuando redondeo a la unidad más cercana, el número de unidades es diferente, 19 unidades. En 18.706, hay 7 décimos, que es mayor que el punto medio hasta la siguiente unidad; por lo tanto, redondeo a la siguiente unidad.

4.325 ≈ 4.33

GRUPO DE PROBLEMAS

161

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

Redondea el número a la decena más cercana. 3. 74.26 ≈

4. 85.07 ≈

5. 167.158 ≈

Redondea el número a la unidad más cercana. 6. 3.85 ≈

7. 12.026 ≈

8. 62.537 ≈

Redondea el número al décimo más cercano. 9. 1.276 ≈

10. 4.018 ≈

1.3

Redondea el número al centésimo más cercano. 12. 9.841 ≈ 9.84

16. La maestra Song vierte agua en un recipiente. Pide a sus estudiantes que escriban cuánta agua hay aproximadamente en cada recipiente. Kelly, Lisa y Blake tienen respuestas diferentes.

170

13. 34.025 ≈ 34.03

Respuesta de Kelly

Respuesta de Lisa

Respuesta de Blake

0 litros

0.4 litros

0.48 litros

¿Cuál es la respuesta que tiene más sentido? Explica. La respuesta de Lisa es la que tiene más sentido porque puedo ver que el agua está entre 4 décimos de litro y 5 décimos de litro, pero es menor que el punto medio hasta 5 décimos. La respuesta de Kelly está redondeada a la unidad más cercana, y eso no tiene sentido, ya que podemos usar los décimos como ayuda para pensar en la cantidad de agua. La respuesta de Blake no tiene sentido porque 0.48 redondeado al décimo más cercano es 0.5, y podemos ver que el agua está más cerca de 0.4 litros que de 0.5 litros.

11. 21.650 ≈ 21.7

4.0

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TA ▸ Lección 8

14. 60.001 ≈ 60.00

15. El reloj de entrenamiento de Ryan muestra que caminó 2.538 kilómetros. Ryan dice: “Caminé unos 3 kilómetros”. Su hermana dice: “Caminaste unos 2.5 kilómetros”. Usa una recta numérica y palabras para explicar por qué tanto Ryan como su hermana están en lo correcto.

3 = 3 unidades 2.538 2.5 = 2 unidades y 5 décimos 2 = 2 unidades

2.6 = 26 décimos 2.55 = 25 décimos y 5 centésimos 2.538 2.5 = 25 décimos

Tanto Ryan como su hermana están en lo correcto porque redondearon a posiciones diferentes. Ryan redondeó los kilómetros a la unidad más cercana y su hermana redondeó al décimo más cercano.

162

GRUPO DE PROBLEMAS

Tema B Suma y resta de números decimales En el tema B, la clase suma y resta números decimales aplicando los métodos que usan para sumar y restar números enteros. La clase razona acerca de las unidades semejantes en los números decimales y aplica su comprensión de la suma y resta de unidades semejantes en los números enteros y las fracciones para sumar y restar números decimales. Para representar expresiones y hallar sumas y diferencias, utilizan métodos conocidos, como rectas numéricas, vínculos numéricos, formar la siguiente unidad, restar de la siguiente unidad, el método de flechas, la forma unitaria, la forma fraccionaria, los discos de valor posicional, la tabla de valor posicional y el algoritmo convencional. La clase estima para determinar si las sumas y diferencias son razonables, con énfasis en el uso de la estimación para comprobar la ubicación del punto decimal en la suma o diferencia. Después, resuelven problemas verbales de suma y resta con una cantidad dada como fracción y otra cantidad dada como número decimal. A fin de resolver el problema, usan una fracción equivalente para expresar la fracción como un número decimal antes de sumar o restar. En el tema C, la clase multiplica números decimales usando métodos conocidos de multiplicación de números enteros.

163

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB

Progresión de las lecciones Lección 9

Lección 10

Lección 11

Sumar números decimales usando diferentes métodos

Sumar números decimales utilizando la comprensión del valor posicional

Restar números decimales usando diferentes métodos

Unidades

Los métodos que puedo usar para sumar números enteros, como las rectas numéricas, formar la siguiente unidad y la forma unitaria, son útiles para sumar números decimales. Pensar en la suma de unidades semejantes me ayuda a sumar números decimales.

164

Décimos

Centésimos

Puedo usar la comprensión del valor posicional para sumar números decimales usando discos de valor posicional o una tabla de valor posicional. Puedo registrar mi razonamiento usando la forma vertical. La estimación me ayuda a asegurarme de que mi respuesta es razonable.

A fin de restar números decimales, puedo usar diferentes métodos, como la forma unitaria, el método de flechas o la descomposición, para restar de la siguiente unidad. Una recta numérica también puede ser un modelo útil para restar números decimales mediante la descomposición.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB

Lección 12

Lección 13

Restar números decimales utilizando la comprensión del valor posicional

Resolver problemas verbales que involucran sumas y restas de números decimales y fracciones

Unidades

Décimos

Centésimos

Como sucede al restar números enteros, puedo usar el algoritmo convencional para restar números decimales cuando alguno de los otros métodos no es eficiente. Según los números que se resten, algunos métodos son más útiles o eficientes que otros.

Cuando un problema de suma o de resta da un número como fracción y el otro como número decimal, puedo expresar uno de los números con otro nombre para que los dos estén expresados en la misma forma. Usar fracciones equivalentes me permite expresar la fracción como un número decimal antes de sumar o restar.

165

LECCIÓN 9

Sumar números decimales usando diferentes métodos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Nombre

Fecha

Suma. Muestra tu trabajo. 1. 1.1 + 1.7 =

2.8

Ejemplo: +1

+ 0.7

1.1

2.8

Vistazo a la lección La clase suma números decimales usando diferentes métodos. Expresan sumandos con unidades semejantes en forma fraccionaria y en forma unitaria. Luego, forman la siguiente unidad descomponiendo un sumando en partes que puedan usarse para componer la siguiente unidad. Usan métodos como vínculos numéricos o el método de flechas para registrar su razonamiento y desarrollar su capacidad para sumar mentalmente. Por último, representan la suma de números decimales usando una recta numérica. También relacionan los métodos que usan para sumar números decimales con los métodos que usan para sumar números enteros. A lo largo de la lección, sus estudiantes usan la estimación para evaluar si sus respuestas son razonables.

Preguntas clave • ¿Por qué es importante considerar las unidades semejantes cuando sumamos números decimales? 2. 3.9 + 4.51 = 8.41

• ¿En qué se parecen los métodos que usamos para sumar números decimales a los métodos que usamos para sumar números enteros?

Ejemplo:

3.9 + 4.51 = 8.41

0.1

Criterios de logro académico

4.41

5.Mód4.CLA12 Estiman sumas, diferencias, productos y cocientes de números

decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B) 5.Mód4.CLA14 Suman números decimales hasta la posición de los centésimos.

(5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• ninguno

Considere si desea retirar la hoja extraíble de Recta numérica de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 30 min • Sumar números decimales formando la siguiente unidad

Estudiantes • Recta numérica (en el libro para estudiantes)

• Sumar números decimales usando la forma unitaria • Grupo de problemas

Concluir 10 min

167

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Fluidez

Contar de un décimo en un décimo y de un centésimo en un centésimo en la recta numérica La clase cuenta de un décimo en un décimo desde el 0 hasta el 1 y, luego, expresa los décimos como centésimos como preparación para sumar y restar números decimales. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar de un décimo en un décimo hasta 1.0. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0, 0.1…, 0.9, 1.0 Ahora, cuenten hacia delante de un centésimo en un centésimo. Expresen los décimos como centésimos. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

Nota para la enseñanza La clase puede contar de un décimo en un décimo y de un centésimo en un centésimo de muchas maneras. Elija una manera para que sus estudiantes cuenten números decimales durante la actividad. Considere una de las siguientes maneras: • Cero, cero con un décimo…, cero con nueve décimos, uno • Cero, cero punto uno…, cero punto nueve, uno • Cero, punto uno…, punto nueve, uno

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

0, 0.10…, 0.90, 1.00

168

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Intercambio con la pizarra blanca: De forma estándar a forma unitaria La clase escribe un número en forma unitaria usando una o dos unidades de valor posicional como preparación para sumar y restar números decimales. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de sus estudiantes hayan terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 0.3 =

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma estándar. ¿Comenzamos?

0.3

0.3 = 3 décimos

Escriban el número en forma unitaria. Muestre la respuesta y, luego, muestre 1.3 =

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma estándar. ¿Comenzamos?

1.3 Escriban el número en forma unitaria. Muestre la respuesta y, luego, muestre el segundo espacio.

1.3 = 1 unidad y 3 décimos = 13 décimos

Ahora, escriban el número en forma unitaria usando solo décimos. Muestre la respuesta.

169

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

7.5 = 7 unidades y 5 décimos = 75 décimos

0.08 = 8 centésimos

0.18 = 1 décimo y 8 centésimos = 18 centésimos

0.94 = 9 décimos y 4 centésimos = 94 centésimos

Intercambio con la pizarra blanca: Formar el siguiente entero La clase determina la parte desconocida para formar el siguiente entero y escribe la ecuación como preparación para sumar y restar números decimales. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de sus estudiantes hayan terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre __     + 10 8

= 1.

Escriban la ecuación y complétenla.

Muestre la ecuación completada y, luego, muestre 1 __  + 8 10

Escriban la ecuación y complétenla. Muestre la ecuación completada.

170

= 2.

8 + 10

2 10

Nota para la enseñanza

2 10

Considere usar vínculos numéricos durante esta actividad para apoyar la comprensión de la clase de las relaciones de parte-entero.

110 +

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

4 10

6 =1 10

1 + 10

9 10

7 10

4 10

6 =2 10

210 +

9 10

7 10

Presentar

3 =1 10 3 =4 10

Materiales: E) Recta numérica

La clase usa una recta numérica para sumar números decimales. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Recta numérica de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.

DUA: Representación Considere hacer un afiche de referencia para que sus estudiantes lo consulten a lo largo del tema. Incluya el nombre y un ejemplo de cada método para sumar y restar números decimales a medida que los presenta.

Presente la siguiente situación. Yuna corre 3.95 kilómetros un día y 2.7 kilómetros el día siguiente. Usen una recta numérica para hallar el número total de kilómetros que corre Yuna. Pida a sus estudiantes que rotulen la recta numérica en sus pizarras blancas. Dé a la clase un minuto para trabajar y, luego, pídales que compartan sus rectas numéricas en parejas. ¿Con qué números empiezan y terminan sus rectas numéricas? ¿Por qué? Empecé mi recta numérica en 0 y la terminé en 10 porque sé que la suma de 3.95 y 2.7 es menor que 10. Empecé mi recta numérica en 0 y la terminé en 7. Si redondeo 3.95 y 2.7 a la unidad más cercana, obtengo 4 y 3. Entonces, Yuna corre aproximadamente 7 kilómetros en total. Empecé mi recta numérica en 3 porque 3.95 es mayor que 3. Terminé mi recta numérica en 7 porque la suma de 3.95 y 2.7 es aproximadamente 7.

171

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9 Pida a sus estudiantes que hallen el número total de kilómetros que corre Yuna y muestren su trabajo en la recta numérica. Luego, invite a un grupo de estudiantes a compartir su trabajo con el resto de la clase. ¿De qué manera puede ser útil usar una recta numérica para sumar números decimales? Usar una recta numérica me puede ayudar a contar hacia delante para sumar números decimales. Usar una recta numérica me puede ayudar a estimar la suma antes de sumar números decimales.

3.95

+ 0.05

3.95

+ 0.05

5.95

6.65

+ 2.65

3.95

+ 0.7

6.65

+ 0.65

6.65

¿En qué se parecen usar una recta numérica para sumar números decimales y la manera en que la usamos para sumar números enteros? Podemos usar una recta numérica para contar hacia delante al sumar tanto números decimales como números enteros. Tenemos que pensar en qué intervalo vamos a mostrar y cómo dividir el intervalo para unidades diferentes. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para hacer una transición. Hoy, usaremos diferentes métodos para sumar números decimales.

172

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Aprender

Sumar números decimales formando la siguiente unidad La clase forma la siguiente unidad para sumar números decimales usando vínculos numéricos y el método de flechas. Escriba 2.9 + 6.6. ¿Cuál es una estimación razonable de la suma? ¿Por qué? Una estimación razonable es 10. Si redondeamos los dos números a la unidad más cercana, obtenemos 3 + 7 = 10. Sabemos que la suma será un poco menor que 10 porque los dos números son menores que sus valores redondeados. Parte de la clase usó la recta numérica para formar la siguiente unidad en el problema de Yuna. Usemos un vínculo numérico para formar la siguiente unidad y sumar estos números decimales. ¿Qué sumando está más cerca de la siguiente unidad, 2.9 o 6.6?

2.9 ¿Cuánto es 2.9 redondeado a la unidad más cercana?

3 ¿Cuántos décimos tenemos que sumar a 2.9 para formar 3?

1 décimo

¿De dónde podemos obtener 0.1?

De 6.6

¿Cómo podemos separar 6.6 para obtener el 0.1 que tenemos que sumar a 2.9 para formar 3? Podemos separar 6.6 en 0.1 y 6.5.

Diferenciación: Apoyo Si sus estudiantes necesitan ayuda para determinar cuánto más necesitan para formar el siguiente número entero, ayúdeles a recordar que 10 décimos forman 1 entero.

173

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9 Haga un vínculo numérico para mostrar la descomposición de 6.6 en 0.1 y 6.5. Luego, encierre en un círculo 2.9 y 0.1. Sumen 0.1 a 2.9 para formar 3. ¿Qué nuevo problema de suma formamos? Expliquen. Formamos 3 + 6.5. Restamos 0.1 de 6.6 y lo sumamos a 2.9 para formar 3. Luego, tuvimos que sumar la otra parte que quedó, 6.5, al 3 que formamos. Escriba = 3 + 6.5. ¿Cuánto es 3 + 6.5?

9.5 Escriba = 9.5. Invite a la clase a reunirse y conversar en parejas acerca de por qué es más fácil sumar mentalmente 3 + 6.5 que 2.9 + 6.6. Cuando un sumando está cerca de la siguiente unidad, es útil formar la siguiente unidad descomponiendo el otro sumando. Deje a la vista el ejemplo con el vínculo numérico para que sus estudiantes lo comparen con el siguiente método. También podemos registrar cómo formar la siguiente unidad con el método de flechas. Dibuje el método de flechas para 2.9 + 6.6. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para describir el razonamiento representado en el método de flechas.

Diferenciación: Desafío A lo largo de la lección, considere pedir a sus estudiantes que usen más de un método para confirmar sus respuestas. Anímeles a considerar qué método fue más eficiente y por qué.

Si empezamos en 2.9 y queremos obtener la siguiente unidad, tenemos que sumar 0.1 para formar 3. Ahora, tenemos que sumar lo que haya quedado del segundo sumando, 6.6. Ya sumamos 1 décimo, así que nos queda 6.5 para sumar. Al usar un vínculo numérico y el método de flechas, podemos mostrar que 2.9 + 6.6 = 9.5. ¿9.5 es una respuesta razonable según nuestra estimación original? ¿Por qué? Sí, 9.5 es razonable. Sabíamos que la suma iba a estar cerca de 10, pero iba a ser menor que 10. Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para hallar 0.08 + 0.05 y 1.27 + 0.94. Pida a las parejas que primero estimen cada suma y, luego, hagan los cálculos de cada una. Pida que un miembro de la pareja muestre su razonamiento usando un vínculo numérico y el otro, usando el método de flechas. Recorra el salón de clases y brinde apoyo a quienes lo necesiten.

174

Nota para la enseñanza Al formar la siguiente unidad, sus estudiantes pueden formar la unidad que tenga más sentido para el problema.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9 Para cada problema, invite a las parejas a compartir su trabajo con el resto de la clase. ¿En qué se parece usar un vínculo numérico o el método de flechas para mostrar nuestro razonamiento cuando sumamos números decimales a cuando sumamos números enteros? En los dos métodos se descompone un sumando en partes y se usa una parte para componer la siguiente unidad y, luego, se suma la parte que queda. ¿De qué manera formar la siguiente unidad es un método útil para sumar números decimales? Me ayuda a pensar en un problema usando números que son más fáciles de sumar mentalmente. Puedo pasar una parte de un sumando al otro sumando. Formar la siguiente unidad es un método útil porque puedo convertir uno de los sumandos en un número entero y así es más fácil sumar mentalmente la parte del número decimal que queda.

Sumar números decimales usando la forma unitaria La clase expresa números decimales en forma unitaria y forma fraccionaria para sumar. Presente la expresión 0.74 + 0.2. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas. Pida que un miembro de la pareja exprese los números decimales en forma unitaria. Pida que el otro exprese los números decimales en forma fraccionaria. Invite a sus estudiantes a compartir sus formas unitarias y fraccionarias. Muestre la tabla de formas unitarias y formas fraccionarias o registre las respuestas de sus estudiantes en una tabla similar e incluya las representaciones que quedan de la tabla como propias.

Forma unitaria

Forma fraccionaria

0.74 + 0.2 = 7 décimos y 4 centésimos + 2 décimos

0.74 + 0.2 =  ___ + __   2

0.74 + 0.2 = 74 centésimos + 2 décimos

  2 0.74 + 0.2 = ___   + __

0.74 + 0.2 = 74 centésimos + 20 centésimos

  0.74 + 0.2 = ___   + ___

74 100 74 100

74 100

10 10

20 100

175

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9 ¿Qué observan acerca de las unidades en estos sumandos? Los sumandos tienen unidades diferentes, centésimos y décimos.

Nota para la enseñanza

¿En qué se parecen la forma unitaria y la forma fraccionaria? Las formas se parecen porque puedo ver las unidades semejantes y las unidades diferentes. ¿En qué se diferencian la forma unitaria y la forma fraccionaria? Las formas se diferencian en que usamos palabras para la forma unitaria y fracciones para la forma fraccionaria. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si expresar los números decimales que quedan en forma unitaria o forma fraccionaria es un método útil para hallar la suma. No. Expresar los números en forma unitaria no es útil porque 74 centésimos y 2 décimos no son unidades semejantes.

No. Expresar los números en forma fraccionaria no es útil porque ___  74   y __   2  no son unidades 100 10 semejantes.

Sí. Expresar los números en forma unitaria es útil si expreso 0.2 como 20 centésimos y pienso en la expresión como 74 centésimos + 20 centésimos.

 20  y pienso en la Sí. Expresar los números en forma fraccionaria es útil si expreso 0.2 como ___ 100 20 74 ___ ___ expresión como     +    . 100

La forma unitaria y la forma fraccionaria pueden ser útiles para sus estudiantes cuando empiezan a resolver operaciones con números decimales. Pensar en los números decimales como un número entero de unidades o como fracciones les permite resolver operaciones con números que les resultan más conocidos y utilizar métodos que ya conocen. Establecer la conexión entre números decimales y otras formas de los números también refuerza la idea de que la misma aritmética funciona para cada tipo de número que conocen: números enteros, fracciones y números decimales. Durante este tema, la clase empieza a resolver operaciones con números decimales directamente, en lugar de representarlos con números enteros o fracciones.

100

Sí. Expresar los números en forma unitaria es útil si expreso 74 centésimos como 7 décimos y 4 centésimos y pienso en la expresión como 7 décimos y 4 centésimos + 2 décimos. Luego, pida a sus estudiantes que hallen la suma y comparen sus respuestas. Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir su trabajo. Pensar en los sumandos en forma unitaria o forma fraccionaria puede ser un método útil para sumar números decimales cuando tienen unidades semejantes. Si hay tiempo suficiente, pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar 1.9 + 0.43 y 2.13 + 1.89 usando vínculos numéricos, el método de flechas, la forma unitaria o la forma fraccionaria.

176

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Sumar números decimales usando diferentes métodos Guíe una conversación de toda la clase sobre cómo usar diferentes métodos para sumar números decimales usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Por qué es importante considerar las unidades semejantes cuando sumamos números decimales? Solo podemos sumar unidades que sean iguales. No sabemos en qué unidad expresar la suma si sumamos unidades que no son semejantes. ¿En qué se parecen los métodos que usamos para sumar números decimales a los métodos que usamos para sumar números enteros? Podemos usar una recta numérica y contar hacia delante para sumar tanto números decimales como números enteros. Tenemos que pensar en qué intervalo vamos a mostrar y cómo dividir el intervalo para unidades diferentes. Podemos formar la siguiente unidad para sumar tanto números decimales como números enteros usando un vínculo numérico o el método de flechas. Descomponemos un sumando en partes y usamos una de esas partes para formar la siguiente unidad. Luego, sumamos la parte que queda al nuevo número.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando reconoce y comenta diferentes métodos para sumar números decimales, como usar una recta numérica, vínculos numéricos, el método de flechas, la forma unitaria o la forma fraccionaria, y puede elegir qué método usar para resolver el problema de Lee-Dibuja-Escribe del Grupo de problemas. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5: • ¿Por qué eligieron ese método? ¿Funcionó bien ese método? • ¿Cómo pueden estimar cuántos kilómetros camina Adesh en total? ¿Les parece razonable su estimación?

Cuando usamos la forma unitaria para sumar tanto números decimales como números enteros, tenemos que pensar en qué unidad o unidades usar al expresar los sumandos con otro nombre.

177

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

Nombre

Fecha

1. 5.7 + 0.5 =

+ 0.3

5.7

0.4

6.2

3.8

5.2

1.8 2

4.8 5 5.2

0.6

178

+ 1.01

12. 2 décimos + 3 décimos =

0.7

0.8

0.86

0.9

Suma. Muestra tu trabajo usando un vínculo numérico.

1.2

4.2

2.07

+ 0.03

2.1

11. 4.85 + 1.29 = 6.14

5.01

4.85

+ 0.15

+ 0.02

+ 1.14

2.12

6.14

Suma. Escribe la suma en forma estándar. + 0.26

0.59

0.5

+ 0.04

+ 0.2

+ 0.01

0.2

1.02

9. 2.07 + 0.05 = 2.12

4.2

+ 0.2

10. 1.05 + 3.96 = 5.01

3. 0.27 + 0.59 = 0.86

0.3

0.05

8. 3.8 + 0.4 =

3.96

4. 0.7 + 0.5 =

7. 0.95 + 1.07 = 2.02

Suma. Muestra tu trabajo usando el método de flechas.

+ 0.2

+ 0.4

2.4

6.2

5 2. 1.8 + 3.4 =

6. 0.8 + 1.6 =

0.4

Suma. Muestra tu trabajo usando una recta numérica.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

5. 0.06 + 0.09 =

0.05

0.15

13. 6 centésimos + 2 centésimos =

14. 5 décimos + 2 décimos =

décimos =

15. 21 centésimos + 13 centésimos =

0.01

décimos =

GRUPO DE PROBLEMAS

0.5

centésimos = 0.08

0.7

centésimos = 0.34

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

EUREKA MATH2

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

Suma.

16. 2.7 + 1.5 =

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 9

4.2

20. Adesh camina 2.88 kilómetros el sábado. Camina 3.15 kilómetros el domingo.

17. 3.08 + 1.03 = 4.11

a. ¿Cuántos kilómetros camina Adesh en total?

2.88 + 3.15 = 6.03 Adesh camina 6.03 kilómetros en total.

b. Julie camina 1.98 kilómetros más que Adesh. ¿Cuántos kilómetros camina Julie?

6.03 + 1.98 = 8.01 Julie camina 8.01 kilómetros.

18. 4.25 + 2.96 = 7.21

19. 5.12 + 6.89 =

12.01

21. El recipiente A tiene 2.75 litros de agua. El recipiente B tiene 3.5 litros de agua. El recipiente C tiene 2.9 litros más de agua que el recipiente A y el recipiente B juntos. ¿Cuántos litros de agua hay en el recipiente C?

2.75 + 3.5 = 6.25 6.25 + 2.9 = 9.15 Hay 9.15 litros de agua en el recipiente C.

GRUPO DE PROBLEMAS

179

LECCIÓN 10

Sumar números decimales utilizando la comprensión del valor posicional

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Nombre

Fecha

Suma. Muestra tu trabajo. 1. 1.9 + 7.2 =

9.1

Ejemplo: Unidades

Décimos

Centésimos

Vistazo a la lección En esta lección, la clase profundiza su comprensión de la suma de números decimales. Usan la comprensión del valor posicional para sumar unidades semejantes dentro de los números decimales usando discos de valor posicional o una tabla de valor posicional. Luego, usan la forma vertical para registrar los pasos del algoritmo convencional. Eligen y aplican un método de su preferencia para sumar números decimales con el fin de resolver problemas verbales. A lo largo de la lección, la clase usa la estimación para evaluar si sus respuestas son razonables.

Pregunta clave • ¿De qué manera la comprensión del valor posicional nos ayuda a sumar números decimales?

Criterios de logro académico 2. 3.28 + 2.93 = 6.21

5.Mód4.CLA14 Suman números decimales hasta la posición de los centésimos.

Ejemplo:

(5.NBT.B.7)

3.2 8 + 2.9 3 1 1 6.2 1

5.Mód4.CLA18 Representan la suma, la resta, la multiplicación y la división

de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• set de discos de decimales

• Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la conversación en la sección Aprender.

Aprender 35 min

• Tabla de valor posicional hasta los centésimos (en la edición para la enseñanza)

• Usar unidades de valor posicional para sumar números decimales

Estudiantes

• Sumar números decimales para resolver problemas verbales

• set de discos de decimales (1 por pareja de estudiantes)

• Grupo de problemas

• Tabla de valor posicional hasta los centésimos (en el libro para estudiantes)

Concluir 10 min

• Reúna al menos 7 discos de una unidad, 14 discos de un décimo y 11 discos de un centésimo para la maestra o maestro y para cada pareja de estudiantes. • Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los centésimos de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

181

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Fluidez

Contar de un décimo en un décimo y de un centésimo en un centésimo en la recta numérica La clase cuenta de un décimo en un décimo entre el 1 y el 2 y, luego, expresa los décimos como centésimos para desarrollar fluidez con la suma y resta de números decimales. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar de un décimo en un décimo hasta 2.0. Empiecen diciendo 1.0. ¿Comenzamos?

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

1.0, 1.1…, 1.9, 2.0 Ahora, cuenten hacia delante de un centésimo en un centésimo. Expresen los décimos como centésimos. Empiecen diciendo 1.00. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

1.00, 1.10…, 1.90, 2.00

182

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Intercambio con la pizarra blanca: De forma estándar a forma unitaria La clase escribe un número en forma unitaria usando una o dos unidades de valor posicional para desarrollar fluidez con la suma y la resta de números decimales. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 0.5 =

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma estándar. ¿Comenzamos?

0.5

0.5 = 5 décimos

Escriban el número en forma unitaria. Muestre la respuesta y, luego, muestre 2.5 =

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma estándar. ¿Comenzamos?

2.5 Escriban el número en forma unitaria. Muestre la respuesta y, luego, muestre el segundo espacio.

2.5 = 2 unidades y 5 décimos = 25 décimos

Ahora, escriban el número en forma unitaria usando solo décimos. Muestre la respuesta.

183

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

8.7 = 8 unidades y 7 décimos = 87 décimos

0.09 = 9 centésimos

0.29 = 2 décimos y 9 centésimos = 29 centésimos

0.64 = 6 décimos y 4 centésimos = 64 centésimos

Intercambio con la pizarra blanca: Formar el siguiente entero La clase determina la parte desconocida para formar el siguiente entero y escribe la ecuación para desarrollar fluidez con la suma y la resta de números decimales. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 0.9 +

= 1.

Escriban la ecuación y complétenla. Muestre la ecuación completada y, luego, muestre 1.9 +

= 2.

Escriban la ecuación y complétenla. Muestre la ecuación completada.

0.9 +

0.1

1.9 +

0.1

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

184

0.3

+ 0.7 = 1

0.2 +

0.8

0.6

+ 0.4 = 1

0.3

+ 1.7 = 2

2.2 +

0.8

0.6

+ 3.4 = 4

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Presentar

La clase considera métodos posibles para sumar números decimales. Muestre la imagen e invite a sus estudiantes a observar y preguntarse. Luego, comparta la situación. Sasha vende especias en un mercado. Pesa 5.64 gramos de ajo y 2.7 gramos de comino para un cliente. Muestre 5.64 + 2.7 =

Diferenciación: Apoyo Sus estudiantes pueden beneficiarse de ver los métodos para reconocer si son ineficientes. Considere mostrar parcialmente el trabajo de sus estudiantes para uno o más de los métodos.

Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar los posibles métodos que podrían usar para calcular cuántos gramos de especias vende Sasha al cliente. Anime a sus estudiantes a considerar de qué manera los diferentes métodos podrían o no ser útiles para sumar estos sumandos.

Forma fraccionaria

Forma unitaria Formar la siguiente unidad

5.64 + 2.7 = 5

64 7 +2 100 10

64 70 +2 100 100

5.64 + 2.7 = 5 unidades y 64 centésimos + 2 unidades y 7 décimos = 5 unidades y 64 centésimos + 2 unidades y 70 centésimos

5.64 + 2.7 = 5.34 + 3 5.34 + 0.3

Podríamos escribir los dos números decimales como una fracción, pero tendríamos que expresar

2.7 como centésimos.

Podríamos pensar en los números en forma unitaria, 5 unidades y 64 centésimos, y 2 unidades y 70 centésimos. 64 y 70 centésimos se agrupan y forman más de 1 unidad. Podríamos sumar 0.3 a 2.7 para formar 3. Por lo tanto, podríamos usar un vínculo numérico para separar 5.64. Podríamos usar una recta numérica para contar hacia delante. Comenzamos en 2.7 y sumamos 0.3 para formar 3. Pero, luego, debemos hallar cuánto más sumamos después de restar 0.3 de 5.64, y tenemos unidades diferentes. Los métodos que aprendimos para sumar números decimales se podrían usar para resolver este problema, pero no son muy útiles o eficientes para estos números.

Nota para la enseñanza En este punto, mantenga la conversación al mínimo. Es posible que sus estudiantes no obtengan la respuesta correcta, pero volverán a repasar este problema en la sección Aprender. El objetivo de esta actividad es fomentar la necesidad de escribir los números en forma vertical.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a escribir números decimales en forma vertical para sumar, al igual que lo hacemos cuando sumamos números enteros.

185

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Aprender

Usar unidades de valor posicional para sumar números decimales Materiales: M/E) Discos, Tabla de valor posicional hasta los centésimos

La clase suma números decimales con discos de valor posicional o una tabla de valor posicional y registra su trabajo de manera vertical. Muestre 4.6 + 2.8. Invite a la clase a trabajar en parejas para estimar la suma. Luego, invite a un par de estudiantes a compartir su estimación. Represente la expresión usando discos de valor posicional y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale los discos de un décimo. Al igual que cuando sumamos números enteros, comenzamos con la unidad más pequeña. ¿Cuánto es 6 décimos + 8 décimos?

14 décimos ¿Podemos formar una nueva unidad? ¿Cómo? Sí. 14 décimos es 1 unidad y 4 décimos. ¿Cómo mostramos eso con los discos? Quitamos 10 discos de un décimo y colocamos 1 disco de una unidad debajo de los otros discos de una unidad. Cambie los discos y pida a la clase que haga lo mismo. ¿Cuánto es 4.6 + 2.8? ¿Cómo lo saben?

7.4. Lo sé porque hay 7 discos de una unidad y 4 discos de un décimo.

186

Apoyo para la comprensión del lenguaje Las palabras cambiar, agrupar y expresar con otro nombre son términos conocidos de 2.o a 4.o grado. Se usan para describir la composición y la descomposición (o ambas) de una unidad de valor posicional en relación con otra. Si bien se pueden usar de manera flexible y a menudo es posible reemplazar uno por otro, cambiar suele usarse cuando la clase usa algo concreto, como discos de valor posicional, y se cambia físicamente 1 de una unidad más grande por 10 de una unidad más pequeña, o 10 de una unidad más pequeña por 1 de una unidad más grande. También se usa como una señal auditiva para recordar a la clase que se están quitando y colocando unidades. Los términos agrupar y desagrupar ayudan a la clase a pensar en el intercambio de unidades de valor posicional, pero se usan principalmente con otros materiales didácticos físicos, como los palitos de madera en 2.o grado. El término expresar con otro nombre se usa para indicar que parte de un número se describe con diferentes unidades de valor posicional. Considere escribir ejemplos con los rótulos cambiar y expresar con otro nombre para apoyar la comprensión de estos términos cuando aparezcan en la lección.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Escriba la forma vertical para 4.6 + 2.8. Registre el trabajo y, luego, haga las siguientes preguntas. Registré nuestro trabajo en forma vertical. ¿Dónde ven el cambio en la forma vertical? Reagrupamos 10 décimos en 1 unidad, por lo que hay 4 décimos en lugar de 14 décimos registrados en la posición de los décimos. ¿Es razonable nuestra respuesta? ¿Cómo lo saben? Sí. Lo sé porque 7.4 está cerca de nuestra estimación de 8. Sí. Lo sé porque redondeamos ambos números a la siguiente unidad cuando estimamos. Por lo tanto, tiene sentido que la suma sea un poco menor que nuestra estimación de 8. Muestre 3.27 + 1.9. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para estimar la suma y, luego, usen discos para hallar la suma. Esta vez, no les pida que registren su trabajo en forma vertical. Luego, presente la rutina Analizar una respuesta errónea y la forma vertical para 3.27 + 1.9. Dé a las parejas de estudiantes 1 minuto para identificar el error o la ambigüedad. Invite a algunas parejas a compartir. La suma debería ser aproximadamente 5, así que 3.46 no es una suma razonable.

Nota para la enseñanza

3.2 7 + 1.9 1

3.4 6

No se pensó en las unidades de valor posicional al escribir los números en forma vertical. No se sumaron unidades semejantes. Se sumaron 7 centésimos a 9 décimos y 2 décimos a 1 unidad. La suma de 0.07 y 0.9 no da 0.16. No sé con certeza qué unidad usar para expresar el 1 de la reagrupación. La columna del medio muestra que la suma de 2 décimos, 1 unidad y 1 algo es igual a 4 décimos, lo cual no tiene sentido.

Es posible que sus estudiantes mencionen la alineación de los puntos decimales para describir el error o sus trabajos. Aunque es una forma correcta de describir el trabajo, no refuerza la necesidad de sumar unidades semejantes, que es consistente a lo largo de las diferentes formas de los números. Considere hacer que la clase se vuelva a enfocar en las unidades de valor posicional con preguntas como las siguientes. • ¿Qué les sucedió a las unidades cuando alinearon los puntos decimales? • ¿Cuántos décimos hay en cada sumando? ¿Dónde ven los décimos en la forma vertical?

187

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Dé a la clase 1 minuto para representar la suma en forma vertical según su propia comprensión. Recorra el salón de clases e identifique estudiantes que quieran compartir sus razonamientos. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de la alineación de unidades semejantes según el valor posicional.

3.2 7 + 1.9 1

5. 1 7

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a quienes haya identificado a compartir sus representaciones con todo el grupo. Guíe a la clase para acordar cuál es la mejor manera de corregir la respuesta incorrecta.

Diferenciación: Apoyo Considere proporcionar papel cuadriculado para ayudar a sus estudiantes a recordar que deben sumar unidades semejantes cuando registran con la forma vertical.

Escribí los sumandos de forma tal que las unidades semejantes queden alineadas. Las unidades están en una columna y los décimos están en otra. El número 1.9 no tiene ningún centésimo, así que no hay un número en la columna de los centésimos para 1.9. Muestre 2.93 + 1.08. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para estimar la suma, y luego, usen discos para hallar la suma y registren su razonamiento en forma vertical. Muestre la imagen de la tabla de valor posicional y la forma vertical para 2.93 + 1.08.

Unidades

Décimos

Centésimos

Dé a la clase 1 minuto para determinar si el trabajo es correcto. Elija a dos o tres estudiantes para que compartan su razonamiento.

Nota para la enseñanza Es posible que parte de la clase quiera incluir el 0 en la posición de los centésimos. Si bien el 0 en la posición de los centésimos no es necesario matemáticamente en la forma vertical y no debería requerirse, es posible que parte de la clase prefiera ver cada uno de los sumandos escritos con el mismo número de dígitos decimales.

¿Cómo representa el trabajo en la tabla de valor posicional el trabajo que hicieron con los discos? Con los discos, cambiamos 10 discos de un centésimo por 1 disco de un décimo y, luego, cambiamos 10 discos de un décimo por 1 disco de una unidad. En la tabla de valor posicional, se reagruparon 10 centésimos y se expresaron como 1 décimo. Luego, se reagruparon 10 décimos y se expresaron como 1 unidad. ¿Cuándo es posible que los discos de valor posicional o la tabla de valor posicional sean un modelo útil para sumar números decimales? Los discos de valor posicional o la tabla de valor posicional me pueden ayudar a cambiar o reagrupar 10 de una unidad más pequeña por 1 de una unidad más grande. Los discos de valor posicional o la tabla de valor posicional me pueden ayudar a identificar unidades semejantes para sumar.

188

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Muestre 5.64 + 2.7 y pida a la clase que estime la suma.

DUA: Representación

Invite a un grupo pequeño de estudiantes a que compartan su estimación. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los centésimos de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas. Luego, guíe a sus estudiantes para que representen 5.64 + 2.7 con puntos en una tabla de valor posicional.

Unidades

Décimos

Centésimos

Pedir a sus estudiantes que usen discos de valor posicional o que dibujen en una tabla de valor posicional apoya y refuerza la relación entre las representaciones concretas o pictóricas y el registro escrito en forma vertical, especialmente cuando involucra la reagrupación.

Comience en la columna de los centésimos de la tabla de valor posicional y represente la suma de posición en posición. Use las siguientes preguntas al expresar 10 décimos como 1 unidad. ¿Qué sucede cuando sumamos 6 décimos y 7 décimos? Obtenemos 13 décimos. ¿Cómo podemos expresar 13 décimos con otro nombre? Podemos expresar 10 décimos como 1 unidad, lo que dejaría 3 décimos. Guíe a sus estudiantes para que encierren en un círculo 10 décimos y los reagrupen como 1 unidad dibujando un círculo y una flecha. Luego, dé a la clase 1 minuto para que registre la suma en forma vertical en las tablas de valor posicional. Recorra el salón de clases e identifique a un o una estudiante que tenga el procedimiento bien hecho para que lo comparta con la clase. Guíe una conversación acerca de cómo alinear los números según la unidad de valor posicional y cómo reagrupar una unidad cuando se usa la forma vertical.

5.6 4 + 2 .7 1 8. 3 4

Pida a la clase que compare la suma con sus estimaciones originales para determinar si la respuesta es razonable. Cuando escribimos el problema de suma de manera vertical y sumamos los dígitos en cada posición un paso a la vez, estamos usando el algoritmo convencional. Si hay tiempo suficiente, muestre 16.84 + 1.39 y 9.6 + 0.58. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para estimar las sumas y, luego, calcularlas. Es posible que elijan usar discos de valor posicional o dibujar en una tabla de valor posicional y, luego, registrar la suma en forma vertical, o puede que elijan usar el algoritmo convencional. Recorra el salón de clases y proporcione apoyo según sea necesario, ya que ambos problemas requieren dos reagrupaciones. Invite a sus estudiantes a compartir el procedimiento bien hecho.

189

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Sumar números decimales para resolver problemas verbales La clase resuelve un problema verbal que involucra sumandos de números decimales. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. De ser necesario, guíe a la clase a través del proceso Lee-Dibuja-Escribe para que entiendan y resuelvan el problema. Lean el problema a coro. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 1. Sara está en una cafetería y ordena un sándwich y una ensalada. El sándwich cuesta $8.55. La ensalada cuesta $2.54 más que el sándwich. ¿Cuánto cuestan el sándwich y la ensalada en total?

Sándwich

$8.55

Ensalada

$8.55

$2.54

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando resuelve problemas verbales que involucran sumandos de números decimales al hallar puntos de partida, evaluar su propio progreso y analizar si sus respuestas son razonables. Haga las siguientes preguntas para desarrollar el estándar MP1: • ¿Qué pasos pueden dar para comenzar a resolver el problema? • ¿Cómo planean hallar la suma de los sumandos de números decimales? • ¿Su respuesta tiene sentido? ¿Por qué?

Costo de la ensalada:

8.5 5 + 2.5 4 1 1 1.0 9

Diferenciación: Desafío Incluya $1.52 de impuestos o agregue un tercer alimento que cueste $1.50 más que la ensalada.

Costo de la ensalada y el sándwich:

1 1.0 9 + 8.5 5 1 1 9.6 4 El sándwich y la ensalada cuestan $19.64. Relea las dos primeras oraciones del problema 1. ¿Qué podemos dibujar para representar el problema?

Nota para la enseñanza El ejemplo de trabajo muestra la suma de números decimales mediante el uso del algoritmo convencional. Permita que la clase use cualquier método de las lecciones 9 o 10 para sumar los números.

Podemos dibujar un diagrama de cinta.

190

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Pida a sus estudiantes que dibujen y rotulen un diagrama de cinta. Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir sus diagramas de cinta. Luego, relea la tercera oración. Pida a sus estudiantes que dibujen y rotulen un diagrama de cinta para representar esta parte del problema. Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir sus diagramas de cinta. Luego, relea la última oración. ¿Qué se pide que hallemos en el problema? En el problema se pide que hallemos el costo total del sándwich y la ensalada. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué estrategia podrían usar para hallar el costo total. Podemos sumar $8.55 y $2.54 para hallar el costo de la ensalada. Luego, podemos sumar $8.55 del sándwich al costo de la ensalada. Podemos sumar $8.55 y $8.55. Luego, podemos sumar los $2.54 adicionales de la ensalada a ese total. ¿Cuál sería una estimación razonable para el costo total del sándwich y la ensalada? ¿Por qué? Una estimación razonable es $21. Si se redondea cada número a la unidad más cercana, se obtiene 9 + 9 + 3 = 21. Invite a la clase a trabajar en parejas para resolver el problema. Es posible que usen cualquier método para resolver, como la forma unitaria, la forma fraccionaria, formar la siguiente unidad, la recta numérica, los discos de valor posicional, la tabla de valor posicional o el algoritmo convencional. Cuando hayan terminado, pida a un pequeño grupo de estudiantes que compartan sus métodos y soluciones. Luego, considere si la solución es razonable. ¿Es razonable nuestra respuesta? ¿Cómo lo saben? Sí. La respuesta es razonable porque $19.64 está cerca de la estimación de $21. La respuesta es razonable, pero $19.64 parece estar un poco lejos de nuestra estimación. ¿Cuáles son algunas razones posibles por las que nuestra estimación no estuvo tan cerca como hubiéramos esperado? Teníamos más números para sumar, lo que podría afectar qué tan cerca está la estimación. Todos los números que redondeamos tenían 5 décimos, por lo que, al redondear cada número al siguiente entero más cercano, sobrestimamos.

191

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Cuando los números que redondeamos están muy cerca de los puntos de referencia, nuestra estimación es bastante precisa. En el problema 1, los números que redondeamos están cerca de un punto medio entre los números de referencia. Por lo tanto, cuando seguimos nuestra regla para redondear, redondeamos los tres sumandos al número de referencia mayor. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo podrían obtener una estimación más cercana para el problema 1. Podríamos redondear un 8.55 a 9 y 2.54 a 3. Luego, podríamos usar 8 para el otro 8.55 y, así, obtenemos 9 + 3 + 8 = 20, que es una estimación más cercana. Podríamos usar 8 para los dos 8.55 y redondear 2.54 a 3 para obtener 8 + 8 + 3 = 19, que es una estimación más cercana.

EUREKA MATH2

Las matemáticas en el pasado La sobrestimación del problema 1 es un caso menor de error de redondeo acumulado. En la sección Las matemáticas en el pasado se describe cómo se adaptaron las reglas modernas del redondeo a partir de métodos y estrategias antiguas que servían para abordar el error de redondeo acumulado.

Podríamos redondear un 8.55 a 9. Luego, podríamos usar 8 para el otro 8.55 y 2 para 2.54 y, así, obtenemos 9 + 8 + 2 = 19, que es una estimación más cercana.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Sumar números decimales utilizando la comprensión del valor posicional Guíe una conversación de toda la clase sobre la suma de números decimales usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿De qué manera la comprensión del valor posicional nos ayuda a sumar números decimales? La comprensión del valor posicional nos ayuda a determinar qué dígitos podemos sumar. La comprensión del valor posicional nos ayuda a formar nuevas unidades cuando necesitamos expresar un grupo de 10 unidades con otro nombre.

192

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parecen y en qué se diferencian la suma de números decimales con la forma vertical y la suma de números enteros con la forma vertical. Sumar números decimales se parece a sumar números enteros porque se suman unidades semejantes. Sumar números decimales se parece a sumar números enteros porque comenzamos con la unidad más pequeña y sumamos los dígitos en cada posición. Sumar números decimales se parece a sumar números enteros porque, a veces, tenemos que expresar 10 de una unidad como 1 de la siguiente unidad más grande. Sumar números decimales es diferente de sumar números enteros porque las unidades de los números enteros siempre se alinean comenzando con la posición de las unidades, mientras que es posible que no todos los números decimales tengan el mismo número de posiciones a la derecha del punto decimal. Así que tengo que pensar en la unidad cuando registro en forma vertical.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere proporcionar esquemas de oración para ayudar a sus estudiantes a comparar la suma de números decimales con la suma de números enteros. • Sumar números decimales y sumar números enteros usando la forma vertical es parecido porque . • Sumar números decimales y sumar números enteros usando la forma vertical es diferente porque .

Sumar números decimales es diferente de sumar números enteros porque, con los números decimales, a veces es útil agregar un 0 al final de un número para alinear las unidades de valor posicional en forma vertical. Agregar un 0 al final de un número decimal no cambia el valor del número. No podemos agregar 0 al final de un número entero porque se cambia el valor del número. Muestre 3.16 + 0.85. ¿Qué método usarían para hallar esta suma? ¿Por qué? Usaría una tabla de valor posicional porque sumar un valor posicional a la vez me resulta más organizado. Usaría el algoritmo convencional porque los dos números tienen las mismas unidades. Formaría la siguiente unidad usando un vínculo numérico o el método de flechas. Comenzaría con 0.85 y le sumaría 0.15 para obtener 1. Desde allí, me resulta más fácil sumar la cantidad restante de 3.16 a 1.

193

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

Suma. Muestra tu trabajo en la tabla de valor posicional. Luego, registra en forma vertical. 5. 0.5 + 0.12

Suma. Encierra en un círculo para mostrar cuándo puedes componer una unidad de valor posicional. Luego, registra en forma vertical. 1. 0.8 + 0.3

Unidades

6. 1.15 + 2.3 Décimos

Centésimos

Unidades

0.8 ⁺ 0.3 1 1.1

2.3 + 1.1 5 3.4 5

0.0 8 ⁺ 0.01 3 0.1 1 7. 3.64 + 1.52 Unidades

4. 0.28 + 0.13

3. 2.8 + 1.3

2.8 ⁺ 1.3 1 4.1

194

Centésimos

2. 0.08 + 0.03

0.5 + 0.1 2 0.6 2

Décimos

8. 2.97 + 3.08 Décimos

3.6 4 + 1.5 2 1 5.1 6

0.2 8 + 0.1 3 1 0.4 1

GRUPO DE PROBLEMAS

Centésimos

Unidades

Décimos

Centésimos

3.0 8 + 2.9 7 1 1 6.0 5

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

0.6 3 + 0.7 1 1.3 3

11. 5.07 + 2.37 = 7.44

5.0 7 + 2.3 7 1 7.4 4

Suma.

13. 0.71 + 0.6 = 1.31

EUREKA MATH2

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

Suma usando el algoritmo convencional. 9. 0.63 + 0.7 = 1.33

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10

17. Lacy tiene $3.89 en su alcancía. Halla $1.75 en el bolsillo de su abrigo. ¿Cuánto dinero tiene Lacy en total?

10. 3.1 + 0.92 = 4.02

3.1 + 0.9 2 1 4.0 2 12. 4.68 + 8.74 =

3.89 + 1.75 = 5.64 Lacy tiene $5.64 en total.

13.42

4.6 8 + 8.7 4 1 1 1 3.4 2

18. La familia de Riley condujo 38.2 kilómetros el sábado. Condujeron 40.95 kilómetros el domingo. ¿Cuántos kilómetros condujo la familia de Riley en total el sábado y el domingo?

14. 0.9 + 2.58 = 3.48

38.2 + 40.95 = 79.15 La familia de Riley condujo 79.15 kilómetros en total el sábado y el domingo.

15. 4.62 + 2.03 = 6.65

16. 3.76 + 5.85 = 9.61

GRUPO DE PROBLEMAS

195

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 10 ▸ Tabla de valor posicional hasta los centésimos

Decenas

196

Unidades

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Décimos

Centésimos

LECCIÓN 11

Restar números decimales usando diferentes métodos

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5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Nombre

Fecha

Resta. Muestra tu trabajo. 1. 3.5 − 0.8 =

2.7

Ejemplo:

3.5 − 0.8 = 2.5 + 0.2 = 2.7 2.5

Vistazo a la lección Primero, la clase resta números decimales usando la forma unitaria. Luego, usan la relación entre la suma y la resta y registran su razonamiento usando el método de flechas. También descomponen números decimales para restar de la siguiente unidad con vínculos numéricos. Por último, usan rectas numéricas y rectas numéricas abiertas para restar números decimales. A lo largo de la lección, sus estudiantes usan la estimación para evaluar si sus respuestas son razonables.

Pregunta clave

• ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre los métodos que usamos para restar números decimales y los métodos que usamos para restar números enteros?

Criterios de logro académico 2. 7.35 − 1.97 = 5.38

5.Mód4.CLA15 Restan números decimales hasta la posición de los centésimos.

Ejemplo:

(5.NBT.B.7) 1.97

+ 0.03

+ 5.35

7.35

5.Mód4.CLA18 Representan la suma, la resta, la multiplicación y la división

de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

109

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• set de discos de decimales

• Reúna al menos 9 discos de una unidad y 7 discos de un décimo para la maestra o maestro.

Aprender 30 min • Restar números decimales usando la relación entre la suma y la resta • Restar números decimales mediante la descomposición

Estudiantes • Recta numérica abierta (en el libro para estudiantes)

• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Recta numérica abierta de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

• Restar números decimales usando una recta numérica • Grupo de problemas

Concluir 10 min

199

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Fluidez

Contar de unidad en unidad en la recta numérica La clase cuenta de unidad en unidad entre el 0 y el 10 de dos maneras diferentes para desarrollar fluidez con la suma y la resta de números decimales. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar de unidad en unidad hasta 10. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

9 10

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1…, 9, 10 Ahora, cuenten hacia delante de unidad en unidad y de un décimo en un décimo hasta 10 y 0 décimos. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1.0…, 9.0, 10.0

9 10

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

Nota para la enseñanza Contar de unidad en unidad en la recta numérica de esta manera ayuda a sus estudiantes a sumar y restar números decimales en forma vertical. Por ejemplo, pueden escribir 2 como 2.00 para que les sea más fácil resolver en forma vertical el siguiente problema.

2 − 0.34 = 1.66 9 1 10 10

2. 0 0 − 0. 3 4 1. 6 6

200

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional La clase usa la forma estándar para identificar un número representado con discos de valor posicional y, luego, descompone y expresa con otro nombre como preparación para restar números decimales. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre los 2 discos de una unidad en la tabla. ¿Qué valor se representa en la tabla? Digan la respuesta en forma estándar.

2 Muestre 2 = 1 unidad y

décimos.

2 = 1 unidad y 10 décimos

Nota para la enseñanza Practicar expresar unidades de valor posicional con otro nombre ayuda a sus estudiantes a sumar y restar números decimales en forma vertical. Por ejemplo, para hallar 2.0 − 1.3 en forma vertical, sus estudiantes pueden expresar 2.0 como 1 unidad y 10 décimos.

Unidades

Décimos

Centésimos

¿2 es igual a 1 unidad y cuántos décimos? 10 décimos Muestre la respuesta y un disco de una unidad desagrupado como 10 décimos en la tabla.

1 10

2. 0 − 1. 3 0. 7

201

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

5 = 4 unidades y 10 décimos

5.7 = 4 unidades y 17 décimos

9.4 = 8 unidades y 14 décimos

1.2 = 1 unidad, 1 décimo y 10 centésimos

6.3 = 6 unidades, 2 décimos y 10 centésimos

Intercambio con la pizarra blanca: Formar el siguiente entero La clase determina la parte desconocida para formar el siguiente entero y escribe la ecuación para desarrollar fluidez con la suma y la resta de números decimales. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de sus estudiantes hayan terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 0.90 +

= 1.

Escriban la ecuación y complétenla. Muestre la ecuación completada y, luego, muestre 1.90 + = 2. Escriban la ecuación y complétenla.

0.90 + 0.10 = 1 1.90 + 0.10 = 2

Muestre la ecuación completada.

202

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

0.40 + 0.60 = 1

0.95 + 0.05 = 1

0.25 + 0.75 = 1

0.15 + 0.85 = 1

0.40 + 1.60 = 2

2.95 + 0.05 = 3

0.25 + 3.75 = 4

4.15 + 0.85 = 5

Presentar

La clase ve un video y resuelve el problema verbal asociado usando un método seleccionado por su cuenta. Reproduzca el video Hacer limonada. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a la clase que tome nota de los detalles. Invite a la clase a reunirse y conversar en parejas acerca de lo que observan y se preguntan. Muestre el siguiente problema y pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. 1. Jada está preparando limonada. Tiene 2.4 litros de agua en una jarra. Vierte 0.35 litros de jugo de limón en la jarra. Jada revuelve el jugo de limón y el agua con una cuchara, pero su perra se lleva por delante la mesa. Se derrama líquido de la jarra. La jarra tiene ahora 2.25 litros de líquido. ¿Cuántos litros de líquido se derramaron de la jarra? Ejemplo:

En la jarra antes del derrame

2.4

0.35

En la jarra después del derrame

2.25

Se derramaron 0.5 litros de líquido de la jarra.

203

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Pida a la clase que lea el problema 1. ¿Qué podemos dibujar para representar la situación del problema 1? Podemos dibujar un diagrama de cinta. Pida a la clase que dibuje un diagrama de cinta. Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir sus diagramas. Elija deliberadamente a estudiantes que dibujen los diagramas de distintas maneras. Use las siguientes preguntas para que la clase converse acerca de lo que muestran sus diagramas y lo que se desconoce. ¿Qué es lo primero que tenemos que hacer para averiguar cuántos litros de líquido se derramaron de la jarra? ¿Por qué? Primero tenemos que sumar 2.4 y 0.35 porque necesitamos saber cuántos litros de líquido había en total en la jarra antes de que se derramara líquido. Invite a sus estudiantes a elegir por su cuenta cómo van a resolver el problema y a registrar su razonamiento. Es de esperar que formen la siguiente unidad, usen la forma vertical o dibujen una tabla de valor posicional. Recorra el salón de clases y elija dos ejemplos de trabajo de sus estudiantes en los que se muestren métodos distintos para sumar números decimales. Pídales que compartan su trabajo. Pida a la clase que confirme la suma, 2.75 litros. ¿Ahora qué tenemos que hacer? ¿Por qué?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere brindar apoyo a las respuestas de la clase con la Herramienta para la conversación. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento para explicar sus razonamientos.

DUA: Acción y expresión Considere proporcionar a sus estudiantes discos de valor posicional, tablas de valor posicional y rectas numéricas en blanco, según sea necesario. Tenga estos recursos a disposición y anime a sus estudiantes a usarlos cuando lo necesiten.

Tenemos que restar 2.25 de nuestra suma porque eso nos dirá cuántos litros de líquido se derramaron de la jarra. Escriba 2.75 − 2.25. Pida a sus estudiantes que escriban los números decimales de la expresión en forma unitaria. Luego, invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir la expresión.

2 unidades y 75 centésimos − 2 unidades y 25 centésimos 2 unidades, 7 décimos y 5 centésimos − 2 unidades, 2 décimos y 5 centésimos 275 centésimos − 225 centésimos Pida a sus estudiantes que elijan una de las expresiones y la usen para hallar la diferencia. Invite a estudiantes que hayan representado la expresión de todas las maneras a explicar cómo hallaron la diferencia. Los siguientes son algunos ejemplos de posibles razonamientos: Usé 2 unidades y 75 centésimos − 2 unidades y 25 centésimos. 2 unidades − 2 unidades = 0 unidades. Luego, usé el método de flechas para contar hacia atrás desde 25 centésimos hasta 75 centésimos. La diferencia es 50 centésimos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere dejar a la vista una ayuda visual de las distintas maneras de escribir la expresión en forma unitaria.

2.75 − 2.25 2 unidades y 75 centésimos − 2 unidades y 25 centésimos 2 unidades, 7 décimos y 5 centésimos − 2 unidades, 2 décimos y 5 centésimos 275 centésimos − 225 centésimos

204

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Resté mentalmente unidades semejantes. 2 unidades − 2 unidades = 0 unidades, 7 décimos − 2 décimos = 5 décimos, y 5 centésimos − 5 centésimos = 0 centésimos. La diferencia es 5 décimos. Escribí 275 centésimos y 225 centésimos en forma vertical y, luego, resté. La diferencia es 50 centésimos.

Llegue a un consenso con sus estudiantes acerca de la respuesta y pídales que escriban un enunciado con la solución para el problema 1. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo puede ser útil razonar sobre la forma unitaria al restar números decimales. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para hacer una transición. Hoy, vamos a aplicar algunos de los métodos que usamos para restar números enteros a la resta de números decimales.

Aprender

Restar números decimales usando la relación entre la suma y la resta La clase piensa en un problema de resta como un problema de sumando desconocido y registra su razonamiento usando el método de flechas. Escriba 12 − 4 =

¿Qué ecuación de suma relacionada podemos escribir para hallar 12 − 4? Sea m el valor desconocido.

4 + m = 12 m + 4 = 12 Podemos usar la relación entre la suma y la resta para ayudarnos a restar números enteros y números decimales. Escriba 12.3 − 4.8 =

Diferenciación: Apoyo Si sus estudiantes necesitan apoyo para escribir ecuaciones de suma relacionadas, considere pedirles que completen los espacios de la ecuación +m= .

205

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

EUREKA MATH2

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar la diferencia. La diferencia es aproximadamente 7. Si redondeamos los dos números a la unidad más cercana, la ecuación es 12 − 5 = 7. La diferencia es mayor que 7 pero menor que 8. 12.3 es un poco mayor que 12, y 4.8 es un poco menor que 5. ¿Qué ecuación de suma relacionada podemos escribir para hallar 12.3 − 4.8? Sea a el valor desconocido.

4.8 + a = 12.3 a + 4.8 = 12.3 Escriba 4.8 + a = 12.3. Usemos el método de flechas para mostrar nuestro razonamiento. Escriba 4.8 y la primera flecha. Escriba el resto de las partes del método de flechas mientras hace las siguientes preguntas. ¿Cuál es la siguiente unidad? ¿Cuánto tenemos que sumar a 4.8 para formar la siguiente unidad? La siguiente unidad es 5. Tenemos que sumar 0.2 a 4.8 para formar 5. ¿Cuánto más debemos sumar a 5 para obtener 12.3?

7.3

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión de la relación entre la suma y la resta para resolver problemas de resta con números decimales. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relacionan la suma y la resta? ¿Cómo puede ayudarles esa relación a restar dos números decimales? • ¿De qué otra manera pueden escribir el problema de resta para hallar la diferencia?

¿Cuánto sumamos a 4.8 para obtener 12.3? ¿Dónde podemos ver esta suma en nuestro modelo? Sumamos un total de 7.5. Podemos ver lo que sumamos para cada parte arriba de las dos flechas, así que, si sumamos las partes que ya sumamos entre sí, hallaremos la cantidad total que sumamos. Entonces, ¿cuánto es 12.3 − 4.8?

7.5 Escriba 12.3 − 4.8 = 7.5. Invite a sus estudiantes a usar sus estimaciones para comprobar si sus respuestas son razonables.

206

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para estimar 6.12 − 3.87. Luego, pídales que hallen la diferencia escribiendo una ecuación de suma relacionada y muestren su razonamiento usando el método de flechas.

Restar números decimales mediante la descomposición

3.87 + a = 6.12 3.87

+ 0.13

+ 2.12

6.12

6.12 - 3.87 = 2.25

Materiales: M) Discos

La clase resta números decimales usando un vínculo numérico para descomponer un número. Muestre 9.4 − 3.7. Pida a la clase que trabaje en parejas para estimar la diferencia. Elija a una o dos parejas de estudiantes para que compartan sus estimaciones. Represente el total de 9.4 usando los discos de valor posicional o dibujándolos. Empezamos con 9.4 y queremos quitar 3.7. ¿Podemos quitar 3.7 sin cambiar ningún disco? ¿Por qué?

Podemos quitar 3, pero no podemos quitar 0.7 porque solo hay 4 discos de un décimo. Entonces, no podemos quitar 3.7 sin cambiar alguno de los discos. Demuestre quitar 3 discos de una unidad. ¿Qué nos queda después de quitar 3 de 9.4?

6.4 ¿Cómo podemos quitar 0.7? Primero, podemos cambiar 1 unidad por 10 décimos. Luego, podemos quitar 7 décimos de los 10 décimos que cambiamos. Demuestre cambiar 1 disco de una unidad por 10 discos de un décimo. Luego, quite 7 discos de un décimo.

207

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 ¿Qué número representan nuestros discos ahora?

Nota para la enseñanza

5.7 Muestre el ejemplo de solución escrito para 9.4 − 3.7. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre dónde se representan los pasos demostrados con los discos en el ejemplo de trabajo.

9.4 − 3.7 = 6.4 − 0.7 = 5.4 + 0.3 = 5.7

Primero, se resta 3 de 9.4 para obtener 6.4. Demostramos este paso con los discos cuando quitamos 3 discos de una unidad de 9 discos de una unidad.

5.4

Considere mostrar otra manera de usar un vínculo numérico. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo se usa el vínculo numérico en el ejemplo de trabajo.

9.4 − 3.7 = 5.4 + 0.3 = 5.7 0.3

Luego, se usa un vínculo numérico para mostrar 6.4 descompuesto en 5.4 y 1. Demostramos este paso con los discos cuando cambiamos 1 disco de una unidad por 10 discos de un décimo.

5.4

3.7 está cerca de 4, así que podemos separar 9.4 en 5.4 y 4. Mostramos eso en el

Luego, se resta 0.7 de 1 para obtener 0.3. Demostramos este paso con los discos cuando quitamos 7 discos de un décimo de los 10 discos de un décimo que cambiamos.

vínculo numérico.

Por último, se suma 5.4 y 0.3 para obtener 5.7. Demostramos este paso con los discos con nuestra respuesta final, 5.7.

En lugar de restar 3.7 de 9.4, lo restamos de 4 y obtenemos 0.3.

Como ayuda al restar números decimales, usamos un vínculo numérico para descomponer un número decimal y formar la siguiente unidad.

5.4 + 0.3 representa la suma de la otra parte de 9.4 del vínculo numérico, que es lo que queda después de quitar 3.7.

Pida a la clase que trabaje en parejas para hallar 8.62 − 1.09. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y proporcione apoyo con las siguientes preguntas. • ¿Qué números quieren restar primero? • ¿Cómo podrían descomponer para restar de la siguiente unidad? • ¿Cómo podrían hacer que el problema sea más simple?

8.62 − 1.09 = 7.62 − 0.09 = 7.52 + 0.01 = 7.53 7.52

0.1

Cuando la mayoría haya terminado, invite a sus estudiantes a reunirse y conversar en parejas sobre cuándo creen que este método sería útil.

208

Diferenciación: Apoyo Considere proporcionar discos de valor posicional o pedir a sus estudiantes que los dibujen para validar su razonamiento mientras resuelven el problema.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Restar números decimales usando una recta numérica Materiales: E) Recta numérica abierta

La clase resta números decimales usando rectas numéricas y rectas numéricas abiertas. − 0.9

Muestre las dos rectas numéricas que representan 3.4 − 0.9. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar las semejanzas y diferencias entre las dos rectas numéricas.

2.5

3.4 − 0.5

− 0.4

Las dos rectas numéricas representan 3.4 − 0.9 = 2.5. La recta numérica de arriba está dividida en décimos, y la recta numérica de abajo es una recta numérica abierta.

2.5

3.0

3.4

En la recta numérica de arriba, se contó hacia atrás 0.9 de una vez. En la recta numérica de abajo, se contó hacia atrás 0.4 y, luego, 0.5. ¿Por qué creen que se contó hacia atrás 0.4 y, luego, 0.5 en la recta numérica de abajo? Al contar hacia atrás 0.4, se obtuvo un número entero, así que se separó 0.9 en 0.4 y 0.5.

¿Por qué creen que se usó una recta numérica abierta en lugar de dividirla en décimos? Al separar 0.9, se pudo contar hacia atrás mentalmente. Restar 0.4 de 3.4 nos da un número entero, 3. Luego, 3 − 0.5 es 2.5.

209

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11 Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Recta numérica abierta de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para estimar 2.8 − 0.03 y, luego, hallen la diferencia usando un número de la pizarra blanca de un miembro de la pareja. Invite a un par de estudiantes a compartir su trabajo. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para estimar 2.8 − 0.63 y, luego, hallen la diferencia usando un número de la pizarra blanca del otro miembro de la pareja. Invite a un par de estudiantes a compartir su trabajo.

− 0.03

2.7

2.77 − 0.03

2.17 2.2

2.8

− 0.6

2.8

Nota para la enseñanza En el ejemplo de trabajo que se muestra se usa la estrategia de contar hacia atrás en la recta numérica. Cuando sus estudiantes cuentan hacia atrás, el punto final es la diferencia. Sus estudiantes también pueden usar la recta numérica para hallar la diferencia contando hacia arriba desde la parte dada hasta el total. Cuando cuentan hacia arriba, la suma de las partes que contaron hacia arriba es la diferencia. Sus estudiantes también pueden registrar el conteo hacia arriba o hacia atrás para restar números decimales usando el método de flechas.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre los métodos que usaron para hallar 2.8 − 0.03 y 2.8 − 0.63 en la recta numérica. Pídales que consideren si dividieron las rectas numéricas del mismo modo, si hallaron las diferencias de la misma manera o si lo hicieron de maneras diferentes y por qué. Dibujamos el intervalo entre 2.7 y 2.8 y lo dividimos en centésimos para restar 0.03 porque solo restábamos centésimos. Usamos una recta numérica abierta para contar hacia atrás desde 2.8 para restar 0.63 porque solo necesitábamos restar décimos y centésimos. Separamos 0.63 en 0.6 y 0.03 y contamos cada parte hacia atrás para restar 0.63. No separamos 0.03 para contar hacia atrás porque no nos iba a ayudar a obtener un número de referencia.

210

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Restar números decimales usando diferentes métodos Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de los métodos para restar números decimales usando la siguiente pregunta. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 15 a 18 de su Grupo de problemas. Invite a sus estudiantes a compartir qué método usaron para hallar las diferencias y por qué. ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre los métodos que usamos para restar números decimales y los métodos que usamos para restar números enteros? Cuando usamos la forma unitaria para restar tanto números decimales como números enteros, tenemos que pensar en qué unidad o unidades usar al expresar los sumandos con otro nombre. Podemos dibujar en la tabla de valor posicional para restar tanto números decimales como números enteros. Las unidades representadas en la tabla de valor posicional son diferentes, pero el proceso de reagrupar y expresar con otro nombre es el mismo. Podemos usar una recta numérica para contar hacia atrás al restar tanto números decimales como números enteros. Tenemos que pensar en qué intervalo vamos a mostrar y cómo dividir el intervalo para unidades diferentes.

211

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

Nombre

Fecha

Resta. Muestra tu trabajo usando un vínculo numérico. 7. 3.1 − 0.7 =

Resta. Escribe la diferencia en forma estándar. 1. 7 décimos − 4 décimos =

décimos =

2. 6 centésimos − 4 centésimos =

3. 12 décimos − 9 décimos =

décimos =

2.1

0.3

2.4

8. 4.63 − 0.08 = 4.55

4.53 0.10

9. 2.7 − 1.9 =

centésimos = 0.02

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

0.8

10. 5.11 − 2.87 = 2.24

2.7 − 1.9 = 1.7 − 0.9 = 0.7 + 0.1 = 0.8

4. 58 centésimos − 23 centésimos =

0.7

0.3

centésimos = 0.35

5.11 − 2.87 = 3.11 − 0.87 = 2.11 + 0.13 = 2.24 2.11

Resta. Muestra tu trabajo usando una recta numérica. 11. 1 − 0.3

− 0.3 Usa una ecuación de suma relacionada para restar. Sea la letra la parte desconocida. Completa los espacios y usa el método de flechas para registrar tu razonamiento. 5. 4.3 − 1.8

6. 5.21 − 3.75

Ecuación de suma relacionada con la parte desconocida d:

1.8

4.3

3.75 + w = 5.21

Método de flechas:

1.8

+d=

Ecuación de suma relacionada con la parte desconocida w:

+ 0.2

+ 2.3

4.3

3.75

+ 0.25

1 − 0.3 =

0.7

12. 0.1 − 0.02

− 0.02 + 1.21

5.21

0.08

0.1

0.1 − 0.02 = 0.08 4.3 − 1.8 =

212

2.5

5.21 − 3.75 = 1.46

105

106

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

13. 2.3 − 0.6

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 11

EUREKA MATH2

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 19. Una manzana grande pesa 0.22 kilogramos. Un durazno pesa 0.15 kilogramos. ¿Cuántos kilogramos más que el durazno pesa la manzana?

− 0.6

0.22 − 0.15 = 0.07 1.7

2.3 − 0.6 =

La manzana pesa 0.07 kilogramos más que el durazno.

2.3

1.7

14. 3 − 0.04

− 0.04

2.96

3 − 0.04 = 2.96 20. Kayla gana $5.75 por lavar platos y $2.50 por sacar la basura. Gasta $4.89 en una libreta. ¿Cuánto dinero le queda a Kayla?

$5.75 + $2.50 = $8.25

Resta. 15. 4.1 − 0.8 =

3.3

17. 8.24 − 3.95 = 4.29

16. 5.3 − 2.9 =

$8.25 − $4.89 = $3.36

2.4

A Kayla le quedan $3.36.

18. 9.4 − 7.55 = 1.85

GRUPO DE PROBLEMAS

107

108

GRUPO DE PROBLEMAS

213

LECCIÓN 12

Restar números decimales utilizando la comprensión del valor posicional

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Nombre

Fecha

Resta. Muestra tu trabajo.

6.61 − 4.79 = 1.82 Ejemplo: 15 5 5 11

Vistazo a la lección La clase selecciona un método útil para restar números decimales y relaciona estos métodos con los métodos para restar números enteros. Luego, extienden su comprensión pictórica de la resta de números decimales de la lección 11 a la resta de números decimales con el algoritmo convencional usando la comprensión del valor posicional. A lo largo de la lección, sus estudiantes usan la estimación para evaluar si sus respuestas son razonables.

Preguntas clave

6.6 1 – 4.7 9 1.8 2

• ¿Qué método es útil para restar números decimales? ¿Por qué? • ¿De qué manera la comprensión del valor posicional nos ayuda a usar el algoritmo convencional para restar números decimales?

Criterios de logro académico 5.Mód4.CLA12 Estiman sumas, diferencias, productos y cocientes de números

decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B) 5.Mód4.CLA15 Restan números decimales hasta la posición de los centésimos.

(5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

117

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• papel (4 hojas)

• Prepare cuatro afiches en papel: Restar de la siguiente unidad, Relacionar la suma con la resta, Algoritmo convencional y Tabla de valor posicional. Cuelgue los afiches en cuatro lugares diferentes del salón de clases.

Aprender 35 min • Restar números decimales utilizando la comprensión del valor posicional • Comparar métodos para la resta de números decimales • Grupo de problemas

Concluir 10 min

Estudiantes • Tabla de valor posicional hasta los centésimos (en el libro para estudiantes)

• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los centésimos de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

215

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Fluidez

1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1…, 9, 10 Ahora, cuenten hacia delante de unidad en unidad y de un centésimo en un centésimo hasta 10 y hasta 0 centésimos. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 1.00…, 9.00, 10.00

216

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional La clase usa la forma estándar para identificar un número representado con discos de valor posicional y, luego, descompone y expresa con otro nombre para desarrollar fluidez con la resta de números decimales. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre los discos de valor posicional en la tabla.

1.52 = 1 unidad, 4 décimos y

centésimos

¿Qué valor se representa en la tabla? Digan la respuesta en forma estándar.

1.52 Muestre 1.52 = 1 unidad, 4 décimos y centésimos.

¿1.52 es igual a 1 unidad, 4 décimos y cuántos centésimos?

12 centésimos Muestre la respuesta y un disco de un décimo desagrupado como 10 centésimos en la tabla.

217

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

centésimos 2.04 = 1 unidad,

décimos y 4 centésimos

unidades, 10 décimos y 9 centésimos 5.29 = 4 unidades,

décimos y 9 centésimos

8.36 = 8 unidades, 2 décimos y

5.09 =

7.77 = 6 unidades,

décimos y 7 centésimos

Intercambio con la pizarra blanca: Formar el siguiente entero La clase determina la parte desconocida para formar el siguiente entero y escribe la ecuación para desarrollar fluidez con la suma y la resta de números decimales. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de sus estudiantes hayan terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 0.60 +

= 1.

Escriban la ecuación y complétenla. Muestre la ecuación completada y, luego, muestre 1.60 + = 2. Escriban la ecuación y complétenla. Muestre la ecuación completada.

218

0.60 + 0.40 = 1 1.60 + 0.40 = 2

Nota para la enseñanza Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, puede que haya estudiantes que elijan escribir 0.60 + 0.4 = 1, en lugar de 0.60 + 0.40 = 1.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

0.75 + 0.25 = 1

0.93 + 0.07 = 1

0.11 + 0.89 = 1

0.68 + 0.32 = 1

0.75 + 1.25 = 2

2.93 + 0.07 = 3

0.11 + 3.89 = 4

4.68 + 0.32 = 5

Presentar

Materiales: M) Afiches

La clase identifica y justifica el método que eligió para resolver un problema de resta con números enteros y relaciona su razonamiento con un problema de resta con números decimales. Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de la clase a los afiches colgados en el salón de clases: Restar de la siguiente unidad, Relacionar la suma con la resta, Algoritmo convencional y Tabla de valor posicional. Presente el problema e invite a sus estudiantes a ponerse de pie junto al afiche que nombra el método que usarían para resolver el problema.

Diferenciación: Apoyo Considere invitar a sus estudiantes a reunirse y conversar en parejas acerca de las ecuaciones que representan los problemas verbales. De ser necesario, anímeles a dibujar un diagrama de cinta.

Una leona adulta pesa 278 libras. Un león adulto pesa 422 libras. ¿Cuánto más que la leona pesa el león? Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 3 minutos para que los grupos comenten por qué eligieron ese modelo o representación para resolver el problema. No les pida que resuelvan el problema. Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección. Anime a quienes cambien de opinión durante la conversación a unirse a otro grupo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere ayudar a sus estudiantes a desarrollar sus respuestas pidiéndoles que consulten la Herramienta para la conversación. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento para explicar sus razonamientos.

219

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 Pida a sus estudiantes que recuerden el grupo que eligieron. Considere pedirles que escriban rápidamente su nombre o iniciales en el afiche.

Nota para la enseñanza

Pida a sus estudiantes que regresen a sus asientos. Presente el siguiente problema. Una bolsa de manzanas cuesta $2.78. Tyler tiene $4.22. ¿Cuánto dinero le quedará a Tyler después de comprar las manzanas? Reflexione con la clase si los métodos presentados en los afiches también servirían para resolver el problema de las manzanas, que incluye números decimales. No les pida que resuelvan el problema. Volverán a verlo más adelante en la lección.

Sus estudiantes volverán a los grupos que se formaron para la rutina Tomar una postura en el último segmento de la sección Aprender para resolver el problema de las manzanas. Deje los afiches de Tomar una postura colgados en el salón de clases. No pida a sus estudiantes que resuelvan el problema de las manzanas durante la sección Presentar.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para hacer una transición. Podemos usar muchos de los mismos métodos que usamos al restar números enteros para restar números decimales. Hoy, usaremos la comprensión del valor posicional para restar números decimales.

220

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Aprender

Restar números decimales utilizando la comprensión del valor posicional Materiales: E) Tabla de valor posicional hasta los centésimos

La clase resta números decimales dibujando en la tabla de valor posicional y registra su trabajo en forma vertical. Muestre 6.27 − 4.68. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para estimar la diferencia. Dibujemos en una tabla de valor posicional para hallar la diferencia y, luego, registremos nuestro trabajo en forma vertical. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los centésimos de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas. Utilice la tabla de valor posicional para representar 6.27 y escriba 6.27 − 4.68 en forma vertical. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Unidades

Décimos

Diferenciación: Apoyo Considere brindar discos de valor posicional a quienes necesiten una experiencia concreta de cambio de discos antes de dibujar en la tabla de valor posicional.

Centésimos

¿Hay unidades semejantes alineadas en nuestra forma vertical? ¿Cómo lo saben? Sí, los dígitos 7 y 8 son centésimos, los dígitos 2 y 6 son décimos y los dígitos 6 y 4 son unidades. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de los centésimos? No, 8 centésimos es más que 7 centésimos. ¿Dónde podemos obtener más centésimos? Podemos reagrupar 1 décimo en 10 centésimos.

221

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 Demuestre la reagrupación de 1 décimo en 10 centésimos en la tabla de valor posicional. Tache 1 décimo y, luego, dibuje una flecha desde la columna de los décimos hasta la columna de los centésimos y dibuje 10 centésimos.

Unidades

Décimos

Centésimos

¿Cuántos centésimos tenemos ahora? ¿Y cuántos décimos?

17 centésimos; 1 décimo En forma vertical, represente cómo tachar y expresar 2 décimos y 7 centésimos como 1 décimo y 17 centésimos. ¿Ahora tenemos todo listo para restar en la posición de los centésimos? ¿Cómo lo saben? Sí. Lo sé porque 17 centésimos es más que 8 centésimos. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de los décimos? ¿Cómo lo saben? No. Lo sé porque 1 décimo es menos que 6 décimos. Demuestre la reagrupación de 1 unidad en 10 décimos en la tabla de valor posicional. Exprese 1 unidad como 10 décimos en forma vertical. Luego, haga las siguientes preguntas. ¿Ahora tenemos todo listo para restar en la posición de los décimos? ¿Cómo lo saben? Sí. Lo sé porque 11 décimos es más que 6 décimos. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las unidades? ¿Cómo lo saben? Sí, lo sé porque 5 unidades es más que 4 unidades. Demuestre cómo restar 8 centésimos tachándolos en la tabla de valor posicional. Confirme que

17 centésimos – 8 centésimos = 9 centésimos en forma vertical coincide con el número de centésimos que quedan en la tabla de valor posicional. Continúe el proceso restando 6 décimos y 4 unidades. Utilice la forma unitaria para apoyar la comprensión de la clase de la forma vertical. Luego, pida a sus estudiantes que comparen rápidamente la diferencia con sus estimaciones para evaluar si son razonables.

222

DUA: Participación Considere apoyar la persistencia de sus estudiantes brindando retroalimentación que enfatice el esfuerzo y el método como en los siguientes ejemplos: • Veo que observaste que no tenías todo listo para restar en la posición de los centésimos. Eso muestra tu razonamiento y planificación antes de empezar a trabajar. • Tachaste los puntos y dibujaste flechas. Es una manera excelente de llevar la cuenta de tu razonamiento.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 Cuando escribimos el problema de resta de manera vertical y restamos los dígitos en cada posición un paso a la vez, estamos usando el algoritmo convencional. Pida a sus estudiantes que Unidades Décimos Centésimos trabajen en parejas para estimar 5.5 − 1.91. Pídales que hallen la diferencia dibujando en la tabla de valor posicional y, luego, registrando su trabajo en forma vertical para mostrar los pasos del algoritmo convencional. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Haga las siguientes preguntas:

14 4 4 10

5.5 − 1 .9 1 3.5 9

• ¿Las unidades semejantes están alineadas en la forma vertical? • ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de los centésimos? • ¿Cuántos centésimos tenemos ahora? ¿Y cuántos décimos? • ¿Dónde podemos obtener más centésimos?

DUA: Acción y expresión Considere proporcionar preguntas como guía para animar a las parejas a planificar, monitorear y evaluar su trabajo mientras usan el algoritmo convencional. Preguntas para la planificación • ¿Las unidades semejantes están alineadas? • ¿Con qué posición comenzamos? • ¿Tenemos todo listo para restar en esa posición? • De no ser así, ¿dónde podemos obtener más de esa unidad y expresarla con otro nombre? • ¿Tenemos todo listo para restar en la siguiente posición?

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre las semejanzas y diferencias entre restar números decimales y restar números enteros dibujando en la tabla de valor posicional y registrando la resta en forma vertical.

Preguntas para el monitoreo

Escriba 9.45 − 5.87 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Pida a las parejas que estimen la diferencia. Invite a una o dos parejas a compartir sus estimaciones.

• ¿Deberíamos intentarlo de otra manera?

¿Tenemos todo listo para restar en la posición de los centésimos? ¿Cómo lo saben? No. Lo sé porque 7 centésimos es más que 5 centésimos.

• ¿Completamos la resta? • ¿La respuesta tiene sentido? Preguntas para la evaluación • ¿Es razonable nuestra respuesta? • ¿Qué podríamos hacer de otra manera la próxima vez?

¿Dónde podemos obtener más centésimos? Podemos expresar 1 décimo como 10 centésimos. Exprese por escrito los décimos y los centésimos con otro nombre mientras la clase hace lo mismo. ¿Cuántos centésimos tenemos ahora? ¿Y cuántos décimos?

15 centésimos; 3 décimos

223

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de los décimos? ¿Cómo lo saben? No. Lo sé porque 8 décimos es más que 3 décimos. ¿Dónde podemos obtener más décimos? Podemos expresar 1unidad como 10décimos. Exprese por escrito las unidades y los décimos con otro nombre mientras la clase hace lo mismo. ¿Cuántos décimos tenemos ahora? ¿Y cuántas unidades?

Nota para la enseñanza

13 décimos; 8 unidades ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las unidades? ¿Cómo lo saben? Sí. Lo sé porque 5 unidades es menos que 8 unidades. Complete la resta con la clase. Luego, pida a sus estudiantes que comparen la diferencia con sus estimaciones para comprobar si la respuesta es razonable. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para estimar 7.2 − 2.63 y, luego, hallen la diferencia usando el algoritmo convencional. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo, según sea necesario, para expresar unidades de valor posicional con otro nombre y tener todo listo para restar. Cuando la mayoría de las parejas haya terminado, confirme la respuesta y haga la siguiente pregunta.

11 6 1 10

La compensación es otra estrategia para la resta de números decimales. Según las necesidades de la clase o de cada estudiante, tal vez quiera incluir la compensación además de o en lugar de una de las otras estrategias de la sección Aprender.

7 .2 0 – 2.6 3 4. 5 7

¿En qué se diferencia este problema del que resolvimos en conjunto con el algoritmo convencional? Los números no tenían dígitos en las mismas posiciones. Tuve que escribir un 0 en la columna de los centésimos para 7.2 antes de poder decidir si tenía todo listo para restar en la posición de los centésimos. Sí, cuando tenemos números enteros podemos alinear los dígitos a la derecha con la posición de las unidades. Pero cuando tenemos números decimales, no podemos simplemente alinear los dígitos empezando desde la derecha porque es posible que las unidades de valor posicional no coincidan. Por lo tanto, tenemos que tener cuidado de alinear las unidades de valor posicional cuando sumamos y restamos números.

224

Haga las siguientes preguntas: • ¿Qué número está cerca de 0.7? • ¿Cuánto más necesitamos sumar a 0.7 para formar 1? • ¿Qué más tenemos que hacer para asegurarnos de que no cambiamos la diferencia? • ¿Cuál es el nuevo problema de resta?

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Comparar métodos para la resta de números decimales Materiales: M) Afiches

La clase compara la utilidad de los modelos y estrategias para la resta de números enteros y su utilidad para la resta de números decimales. Invite a la clase a volver con sus pizarras blancas al afiche que eligieron cuando usaron la rutina Tomar una postura al final de la sección Presentar. Vuelva a presentar el problema de la sección Presentar. Dé 2 minutos para que los grupos usen el método que eligieron para resolver el problema y conversen sobre la utilidad del método para ese problema. Una bolsa de manzanas cuesta $2.78. Tyler tiene $4.22. ¿Cuánto dinero le quedará a Tyler después de comprar las manzanas?

Restar de la siguiente unidad 4.22 – 2 .78 = 2 .22 – 0.78 = 1 .22 + 0.22 = 1 .44

Relacionar la suma con la resta 4.22 – 2.78 = 2.78 +

1 .22

2.78

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige entre los modelos y las estrategias, como la forma unitaria, las rectas numéricas, la tabla de valor posicional y la forma vertical, para restar números decimales y resolver problemas. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5: • ¿Qué tipo de modelo o estrategia podría ser útil para resolver este problema? • ¿Cómo pueden estimar la solución? ¿Les parece razonable su estimación?

= 4.22 + 0.22

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

+ 1.22

4.22

4.22 – 2.78 = 1.44

Algoritmo convencional 11 3 1 12

4.2 2 – 2.7 8 1 .4 4

Tabla de valor posicional Unidades

Décimos

Centésimos

4.22 − 2.78 = 1.44

225

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

EUREKA MATH2

Luego, invite a cada grupo a compartir su trabajo y su razonamiento acerca de la utilidad del método. Anime a quienes cambien de opinión durante la conversación a unirse a otro grupo. Considere pedirles a quienes cambiaron de grupo que expliquen su razonamiento. Pida a sus estudiantes que regresen a sus asientos. Reflexione con la clase acerca de si los métodos que son útiles para la resta de números enteros también son útiles para la resta de números decimales y por qué.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Restar números decimales utilizando la comprensión del valor posicional Guíe una conversación de toda la clase acerca de los métodos para restar números decimales usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Qué métodos son útiles para restar números decimales? ¿Por qué? Relacionar la resta con la suma es un método útil porque creo que es más fácil empezar con un número y contar hacia arriba hasta el total que restar. Restar de la siguiente unidad es un método útil porque puedo hacer el problema más simple con solo restar de una unidad entera. El algoritmo convencional es útil porque es eficiente y organizado.

226

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12 ¿De qué manera la comprensión del valor posicional nos ayuda a usar el algoritmo convencional para restar números decimales? La comprensión del valor posicional nos ayuda a saber qué dígitos hay que alinear para restar. La comprensión del valor posicional nos ayuda a expresar unidades con otro nombre. Cuando no tenemos suficiente de una unidad para restar, expresamos 1 unidad más grande como 10 de una unidad más pequeña.

227

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

Nombre

Fecha

Resta usando el algoritmo convencional. 5. 5.2 − 1.9 =

Unidades

Centésimos

Unidades

Décimos

6. 7.02 − 3.7 = 3.32 6 10

5.2 – 1.9 3.3

2. 1.2 − 0.05 Décimos

3.3

4 12

Resta. Muestra tu trabajo en la tabla de valor posicional. Luego, registra en forma vertical. 1. 2 − 1.3

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

7.0 2 – 3.7 0 3.3 2

Centésimos 7. 6.17 − 3.88 = 2.29

8. 5.5 − 2.55 = 2.95

10 5 0 17

14 4 4 10

6.1 7 – 3.8 8 2.2 9

1 10

5.5 0 – 2.5 5 2.9 5

1 10

2.0 – 1.3 0.7

1.2 0 – 0.0 5 1.1 5

9. Ryan comete un error cuando halla 9.37 − 2.5. Considera el trabajo de Ryan. Trabajo de Ryan

3. 3.27 − 1.52 Unidades

4. 2.3 − 1.41 Décimos

Centésimos

Unidades

Décimos

Centésimos

9.3 7 2.5 9. 1 2

a. ¿Cuál es el error que comete Ryan? Ryan no alinea los dígitos según las unidades de valor posicional.

2 12

3.2 7 – 1.5 2 1.7 5

12 1 2 10

2.3 0 – 1.4 1 0.8 9

b. Halla 9.37 − 2.5. 8 13

9.3 7 – 2.5 6.8 7 9.37 − 2.5 = 6.87

228

113

114

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 12

12. La tabla muestra las distancias que saltaron tres ranas diferentes.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 10. Blake tiene que elegir entre dos senderos para una caminata. El sendero A mide 9.17 kilómetros de largo. El sendero B mide 5.82 kilómetros de largo. ¿Cuánto más caminará Blake si elige el sendero A?

9.17 − 5.82 = 3.35 Blake caminará 3.35 kilómetros más si elige el sendero A.

Rana

Distancia saltada (metros)

1.87

3.34

1.08

¿Cuántos metros más que las ranas A y C juntas saltó la rana B?

1.87 + 1.08 = 2.95 3.34 − 2.95 = 0.39 La rana B saltó 0.39 metros más que las ranas A y C juntas.

11. Kelly termina una carrera en 19.2 segundos. Riley termina la misma carrera en 18.87 segundos. ¿Cuántos segundos más tarda Kelly en terminar la carrera?

19.2 − 18.87 = 0.33 Kelly tarda 0.33 segundos más que Riley en terminar la carrera.

GRUPO DE PROBLEMAS

115

116

GRUPO DE PROBLEMAS

229

LECCIÓN 13

Resolver problemas verbales que involucran sumas y restas de números decimales y fracciones

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

Nombre

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Escribe la respuesta como un número decimal.

Sara vive a 2.45 millas de la escuela. Noah vive a 3 _3 millas de la escuela. ¿Cuánto más lejos 4 de la escuela que Sara vive Noah? 3

2.45

Vistazo a la lección La clase expresa fracciones como números decimales hallando fracciones equivalentes con unidades de décimos, centésimos o milésimos. Resuelven problemas verbales que tienen una cantidad como fracción y otra cantidad como un número decimal expresando la fracción como un número decimal. Luego, hallan la respuesta al problema mediante la suma o resta de los números decimales.

Pregunta clave • ¿Por qué expresar fracciones como números decimales puede ayudarnos a resolver problemas?

3 3_ − 2.45 = 1.3

Criterio de logro académico

4 Noah vive 1.3 millas más lejos de la escuela que Sara.

5.Mód4.CLA13 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que

involucran la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B)

129

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Retire las hojas extraíbles de Tarjetas de números decimales de los libros para estudiantes y recorte las tarjetas. Cada grupo de 3 estudiantes necesita 1 juego de tarjetas.

Aprender 35 min • Expresar fracciones como números decimales y números decimales como fracciones para sumar

Estudiantes • Tarjetas de números decimales (1 juego por grupo de estudiantes, en el libro para estudiantes)

• Expresar fracciones como números decimales para restar • Expresar fracciones como números decimales para comparar y restar • Grupo de problemas

Concluir 10 min

231

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

Fluidez

Números en la frente Materiales: E) Tarjetas de números decimales

La clase halla el total desconocido o la parte desconocida para desarrollar fluidez con la suma y la resta de números decimales. Pida a la clase que forme grupos de tres. Asigne roles: Cada estudiante A es una parte, cada estudiante B es otra parte y cada estudiante C es el total. Distribuya un juego de tarjetas a cada grupo y pídales que jueguen de acuerdo con las siguientes reglas. Considere hacer una ronda de práctica con la clase. • Estudiantes A y B: Cada estudiante toma una tarjeta y se la coloca en la frente de modo que no pueda ver el número que sacó. • Estudiante C: Mira las dos tarjetas y dice el total. • Estudiantes A y B: Hallan el número de su tarjeta según el total y la otra parte. • Estudiante C: Confirma las dos partes. Recorra el salón de clases mientras se desarrolla el juego y proporcione apoyo según sea necesario. Después de algunas rondas, pídales que cambien los roles.

El total es 1.4 y mi compañera tiene 0.6. 14 décimos − 6 décimos = 8 décimos. Debo tener 0.8.

El total es 1.4.

Estudiante C

232

Mi compañero tiene 0.8. ¿0.8 más qué número es igual a 1.4? 0.8 + 0.6 = 1.4 Debo tener 0.6.

0.8

0.6

Estudiante A

Estudiante B

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

Presentar

La clase compara cuatro representaciones de tres cuartos. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Presente la imagen en la que se muestran cuatro representaciones de tres cuartos.

B Haga que el problema sea más accesible asegurándose de que sus estudiantes reconozcan que las monedas son 3 de las 4 que se necesitan para formar $1.00 y que el valor de las monedas de la imagen es 75 centavos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

0.75

233

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13 Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de las representaciones, pero una no pertenezca. Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen las categorías que eligieron y justifiquen por qué una de las representaciones no pertenece a esa categoría. Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento acerca de la relación entre las fracciones y los números decimales. Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas. Preguntas de ejemplo: ¿Cuál no pertenece al grupo? ¿Por qué? A no pertenece porque es la única representación que es una fracción. B no pertenece porque es la única representación con un modelo de área. C no pertenece porque es la única representación con dinero. D no pertenece porque es la única representación que es un número decimal. ¿Cómo se relacionan A y B?

A es la fracción _  3 y B muestra _ 3 del modelo de área sombreados. 4

¿Cómo se relacionan C y D? C muestra 3 quarters, que es 75 centavos. D muestra 0.75, que es 75 centavos en forma decimal. Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas y elegir un par más de representaciones para comparar. Pídales que comenten con sus parejas si las dos representaciones elegidas están relacionadas, y de ser así, cómo se relacionan. Invite a algunas parejas a compartir. A y C están relacionadas porque la fracción _  43 se puede usar para representar 3 de los 4 quarters que se necesitan para formar un dólar. A y D están relacionadas porque _  3  = ___   75   y 0.75 = ___   75  . 4

100

B y D están relacionadas porque B muestra el número decimal con un modelo de área. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a expresar fracciones y números decimales con otro nombre para resolver problemas verbales.

234

Nota para la enseñanza Espere que algunas de las parejas que eligen A y D para comparar concluyan que  3  y 0.75 son 4 equivalentes, pero que aún no sean capaces

de expresar por qué. La clase desarrolla el razonamiento que apoya esta conclusión en el primer segmento de la sección Aprender.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

Aprender

Expresar fracciones como números decimales y números decimales como fracciones para sumar La clase determina que las sumas son equivalentes, ya sea que se exprese un número mixto como un número decimal o un número decimal como un número mixto para sumar. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1. Julie compra 1  _  libras de manzanas y 2.5 libras de peras. ¿Cuántas libras de fruta compra Julie? 3 4

2.5

1 3_   + 2.5 = 4.25 4 Julie compra 4.25 libras de fruta. Invite a la clase a trabajar en parejas para dibujar un modelo que represente el problema 1. ¿Qué ecuación podemos escribir para representar el problema?

1 3_  + 2.5 = ? 4

235

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13 Escriba 1  _  + 2.5 = ?. 3 4

¿Tenemos una estrategia que podamos usar para hallar 1  _  + 2.5? ¿Por qué?

DUA: Participación

3 4

No. No tenemos ninguna estrategia para sumar un número decimal a un número mixto o fracción, porque los números están expresados de formas diferentes. Debemos expresar uno de los números con otro nombre para que los números aparezcan con la misma forma. Pida a la mitad de las parejas que expresen los sumandos como números mixtos o fracciones y, luego, que hallen la suma. Pida a las parejas restantes que expresen el sumando en número mixto como un número decimal y, luego, que hallen la suma. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a algunas parejas para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a una pareja que haya expresado los sumandos como números mixtos o fracciones a compartir su trabajo. ¿Cómo expresaron 2.5 como un número mixto? Expliquen su razonamiento. 5 2  __  . Separamos 2.5 en 2 y 0.5. 0.5 es equivalente 10

a __   5  , por lo que 2.5 es equivalente a 2  __ . 5 10

¿Qué hicieron después? ¿Por qué?

Expresamos 1  _  como 1  __  y 2  __  como 2  __  porque 3 4

15 20

5 10

10 20

necesitábamos tener unidades semejantes para sumar. ¿Cuántas libras de fruta compra Julie? Digan la respuesta como una fracción o como un número mixto. 5   libras 4  __ 20

236

3 4

3 5 4 10 15 10 =1 + 2 20 20 15 10 =3 + 20 20 5 =4 20

1 + 2.5 = 1 + 2

0.5 =

• Practiquen el diálogo interno con enunciados como: “¡Puedo hacerlo!”. • Tengan una mentalidad de crecimiento. En lugar de pensar, “No lo entiendo”, piensen: “Todavía no lo entiendo”. • Hagan una pausa para respirar profundamente y tranquilizarse antes de volver a trabajar. • Elijan un enfoque diferente.

2.5 2

Considere facilitar estrategias y destrezas personales para abordar los problemas. Recuerde a sus estudiantes que, cuando necesitamos ayuda o cometemos errores, estamos aprendiendo. Comente las siguientes estrategias para afrontar la frustración y perseverar:

0.5

• Hagan una pregunta aclaratoria a otra persona de la clase o al maestro o la maestra.

5 10

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13 Invite a una pareja que haya expresado los sumandos como números decimales a compartir su trabajo. ¿Cómo expresaron 1  _  como un número decimal? 4 Expliquen su razonamiento. 3

1 4 + 2.5 = 1.75 + 2.5 = 4.25

1.75. Separamos 1  _43  en 1 y _ 43 . Sabemos que los

números decimales representan décimos, centésimos o milésimos, así que sabíamos que era necesario

 3 en décimos, hallar una fracción equivalente para _ 4

centésimos o milésimos. 4 veces 25 es 100, así que

hallamos _     = ___    . En forma decimal, ___  75   es 0.75, así 3 4

75 100

que 1  _  es 1.75. 3 4

100

3 4

1 .7 5 + 2.5 1 4.2 5

3 3 × 25 75 = 4 × 25 = 100 4 75 = 0.75 100

Podemos expresar una fracción como un número decimal hallando una fracción equivalente con décimos, centésimos o milésimos como unidad. ¿Por qué usaron centésimos en lugar de décimos o milésimos?

10 no es un múltiplo de 4, por lo que no podíamos usar décimos. 1,000 es un múltiplo de 4, pero 100 también es un múltiplo de 4. Decidimos usar el múltiplo más pequeño. 10 no es divisible entre 4, así que no podíamos usar décimos. Tanto 100 como 1,000 son divisibles entre 4. 100 es menor que 1,000, por lo que decidimos usar 100.

¿Qué hicieron después de expresar 1  _  como 1.75? Sumamos 1.75 y 2.5.

3 4

Nota para la enseñanza

¿Cuántas libras de fruta compra Julie? Digan la respuesta como un número decimal.

Si quienes comparten su trabajo en forma

4.25 libras

fraccionaria escriben la suma con un 1 denominador diferente, como 4     , escriba esa 4 5 respuesta en lugar de 4     . Si sus estudiantes 20 compartieron varias formas equivalentes

Escriba 4 __   y 4.25. 5 20

Parte de la clase halló el número de libras de fruta que compra Julie como 4  __  y otra parte 20 halló el número de libras de fruta que compra Julie como 4.25. 5

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si las sumas representan el mismo número.

del número mixto, considere incluir todos los números mixtos equivalentes.

Expresemos 4  __  como un número decimal para ver si nuestras respuestas representan 20 el mismo número. 5

237

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13 Haga un vínculo numérico para descomponer 4  __  en 4 y __  5  . 5 20

¿Podemos usar décimos para expresar __  5   con otro nombre? ¿Por qué? 20

No, porque 20 dividido entre 2 es 10, pero 5 no es divisible entre 2.

¿Podemos usar centésimos para expresar __     con otro 20 nombre? ¿Por qué? 5

Sí, porque 20 veces 5 es 100.

¿Podemos usar milésimos para expresar __     con otro nombre? ¿Por qué? 5 20

Sí, porque 20 veces 50 es 1,000.

Podemos usar centésimos o milésimos para expresar __    con otro nombre porque 100 y 1,000 son 5 20

múltiplos de 20. Usemos centésimos porque los números son más pequeños.

Invite a sus estudiantes a expresar __  5  como centésimos.

5 5× 5 = = 25 20 20 × 5 100

5 ¿Cuánto es 4  __  como número decimal?

4.25

¿Las respuestas que hallamos para el problema 1, 4  __  y 4.25, son 20 equivalentes? 5

25 = 0.25 100

Sí. Cuando sumamos una fracción y un número decimal, podemos expresar cualquiera de los números como una fracción o un número decimal para sumar. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar por qué sería conveniente expresar ambos números con otro nombre para que estén en forma fraccionaria y por qué sería conveniente expresar ambos números con otro nombre para que estén en forma estándar. Cuando expreso ambos números en forma fraccionaria, es posible que siga necesitando hallar un denominador común. Expresar ambos números en forma estándar podría ser más eficiente. Me resulta más cómodo sumar fracciones que sumar números decimales, así que expresaría ambos números en forma fraccionaria. Puede depender de lo que establezca el problema. Para algunos problemas, los números tienen más sentido escritos como fracciones, y, para otros, los números tienen más sentido escritos como números decimales.

238

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando identifica qué número sería más eficiente expresar con otro nombre para hallar la suma o diferencia de una fracción o número mixto y un número decimal. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • Al sumar un número mixto y un número decimal, ¿qué pasos deben seguir con especial cuidado? ¿Por qué? • ¿Qué detalles debemos considerar cuando pensamos en este problema?

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

Expresar fracciones como números decimales para restar La clase expresa una fracción como un número decimal para resolver un problema verbal y registrar la solución en forma estándar. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Lea el problema a coro con la clase. 2. Ryan tiene 5.83 metros de cuerda. Usa 3  _2  metros de la cuerda para hacer un columpio. 5 ¿Cuántos metros de cuerda le quedan a Ryan? Escribe la respuesta como un número decimal.

5.83

5.83 − 3 2_ = 2.43 5

A Ryan le quedan 2.43 metros de cuerda. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para dibujar un modelo que represente el problema 2. ¿Qué ecuación podemos escribir para representar el problema?

5.83 − 3 2_ = ? 5

Escriba 5.83 − 3 _  2  = ?. 5

¿Podemos restar estos números? ¿Por qué? No, porque no están expresados de la misma forma. ¿Qué número deberíamos expresar con otro nombre? ¿Por qué?

 52  con otro nombre porque el problema pide que la respuesta sea Deberíamos expresar 3 _ un número decimal.

239

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13 ¿Cómo podemos expresar 3  _  como un número decimal? 2 5

 2 . Luego, hallamos una fracción equivalente para _ 2  Separamos 3  _2  en 3 y _ 5

en décimos, centésimos o milésimos.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué unidad usarían para la fracción equivalente y por qué.

10, 100 y 1,000 son todos múltiplos de 5, así que podríamos usar cualquiera de esas unidades. Usaríamos décimos para que los números sean pequeños. Usaríamos centésimos porque 5.83 está en centésimos. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para expresar 3  _2  como un número decimal y, luego, que 5

5.83 - 3 5 = 5.83 − 3.4 = 2.43

hallen la diferencia. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.

¿Cuánto es 3  __  como número decimal?

3.4, 3.40

2 5

¿Cuántos metros de cuerda le quedan a Ryan? A Ryan le quedan 2.43 metros de cuerda.

2 5

5.8 3 – 3.4 2.4 3

2 2 × 2 4 = = 5 5 × 2 10 4 = 0.4 10

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo su trabajo sería igual

o diferente si Ryan usara 3  _  metros de cuerda para construir el columpio en lugar de 3  _2  metros. 3 5

240

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

Expresar fracciones como números decimales para comparar y restar La clase expresa una fracción como un número decimal para comparar los números, resolver un problema verbal y registrar la solución en forma estándar. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Lea el problema a coro con la clase.

 8  p ulgadas de ancho. 3. El auto que tiene Jada para una carrera de autos de madera mide 2 _ Según las reglas de la carrera de autos de madera, el auto debe medir 2.75 pulgadas de ancho. 7

a. ¿Sigue la regla el auto de Jada? Explica. No. El auto de Jada no sigue la regla. El auto de Jada mide 2.875 pulgadas de ancho. 2.875 pulgadas es más que 2.75 pulgadas. b. ¿Cuál es la diferencia entre el ancho del auto de Jada y el ancho que indica la regla? Escribe la respuesta como un número decimal.

2.875

2.75

El auto de Jada mide 0.125 pulgadas más de ancho que el ancho que indica la regla. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se puede determinar si el auto de Jada sigue la regla.

  7 . Podemos expresar 2.75 como un número mixto y compararlo con 2 _ 8

    como un número decimal y compararlo con 2.75. Podemos expresar 2 _ 7 8

Guíe a sus estudiantes para que concuerden en que expresar 2 _  87  como un número decimal podría ser más eficiente porque la parte (b) pide la diferencia como un número decimal.

241

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13 ¿Podemos expresar 2  _  con otro nombre usando décimos? ¿Por qué? 7 8

5 20 1 00 8 1000 −8 0 0 200 −1 6 0

No, porque 10 no es un múltiplo de 8.

¿Podemos expresar 2  _  con otro nombre usando centésimos? ¿Por qué? 7 8

No, porque 100 no es un múltiplo de 8. No, porque 100 no es divisible entre 8.

¿Podemos expresar 2  _  con otro nombre usando milésimos? ¿Por qué? 7 8

40 − 40 0

Sí, porque 1,000 es divisible entre 8. Pida a la clase que trabaje en parejas para hallar 1,000 ÷ 8. ¿Qué número multiplicado por 8 nos da 1,000?

125

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas a fin de hallar la fracción equivalente para 2  _7  8

y completen la parte (a). Luego, invite a un par de estudiantes a que compartan su razonamiento.

2 _ 87  es equivalente a 2.875. 2.875 pulgadas es mayor que 2.75 pulgadas, por lo que el auto de Jada

7 8

2 = 2.875

no sigue la regla. Lean la parte (b) a coro. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para dibujar un modelo que represente el problema. ¿Qué ecuación podemos escribir para representar el problema?

2.875 − 2.75 = ? Escriba 2.875 − 2.75 = ?. ¿En qué se diferencia esta ecuación de las ecuaciones que escribimos para los problemas 1 y 2?

Nota para la enseñanza Considere pedir a sus estudiantes que cuenten salteado de ocho en ocho o que usen la división larga para dividir 100 entre 8 y determinar que 100 no es un múltiplo de 8. Luego, pregúnteles si preferirían contar salteado de ocho en ocho hasta el 1,000 o usar la división larga para hallar 1,000 ÷ 8. Es esperable que sus estudiantes determinen que usar la división larga es más eficiente que contar salteado porque el cociente es un número grande.

7 8

7 7 × 125 875 = = 8 8 × 125 1,000 7 = 0.875 8

Las ecuaciones que escribimos para los problemas 1 y 2 tenían una fracción y un número decimal. Para este problema, ya expresamos la fracción como un número decimal. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación con dos números decimales.

242

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13 Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar la parte (b). ¿Cuál es la diferencia entre el ancho del auto de Jada y el ancho que indica la regla?

0.125 pulgadas Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué las fracciones que tienen octavos como unidad son equivalentes a los números decimales que tienen milésimos como unidad, pero no son equivalentes a los números decimales que tienen décimos o centésimos como unidad.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas verbales que involucran sumas y restas de números decimales y fracciones Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Si hay tiempo suficiente, invite a sus estudiantes a que compartan con la clase los modelos y métodos que usaron para los problemas 1 a 5. Luego, guíe una conversación de toda la clase acerca de expresar fracciones como números decimales para resolver problemas verbales usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Por qué expresar fracciones como números decimales puede ayudarnos a resolver problemas? Cuando uno de los números del problema es una fracción y el otro es un número decimal, podemos expresar la fracción como un número decimal para que los números estén expresados de la misma forma, lo que nos ayuda a sumarlos o restarlos.

243

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

EUREKA MATH2

¿Expresar la fracción como un número decimal es más eficiente para resolver el problema que expresar el número decimal como una fracción? ¿Por qué? Sí, cuando expresamos la fracción como un número decimal, podemos sumar unidades semejantes sin tener que hallar denominadores comunes.

244

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

Nombre

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. Escribe cada respuesta como un número decimal.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

3. El peso total de una perra y su cachorro es 36.35 kilogramos. La perra pesa 31 _3 kilogramos. 4 ¿Cuántos kilogramos pesa el cachorro? 3 _ 36.35 − 31 = 4.6 4 El cachorro pesa 4.6 kilogramos.

1. Una oruga mide 5.8 centímetros de largo. Crece otro _1 centímetro. 2

a. Expresa el número de centímetros que creció la oruga como un número decimal. 5 __ = 0.5 10

b. ¿Cuántos centímetros de largo mide la oruga después de crecer?

5.8 + 0.5 = 6.3 La oruga mide 6.3 centímetros de largo después de crecer.

4. Un listón verde mide 2 _5 pulgadas de largo. Un listón rojo mide 6.25 pulgadas de largo. 8

¿Cuál es la longitud total de ambos listones? 2 _5 + 6.25 = 8.875 8 La longitud total de los listones es 8.875 pulgadas.

2. Julie tiene 1 _1 litros de agua en su botella. Bebe 0.4 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua 5

quedan en la botella de Julie?

1 1_ − 0.4 = 0.8

5 Quedan 0.8 litros de agua en la botella de Julie.

125

126

GRUPO DE PROBLEMAS

245

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TB ▸ Lección 13

5. La señora Song lleva la cuenta de cuántas millas camina por día. Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

3.4 millas

3 3_ millas

4.6 millas

3 7_ millas

Viernes

El objetivo de la señora Song es caminar 20 millas en 5 días. ¿Cuántas millas debe caminar la señora Song el viernes para lograr su objetivo? 3.4 + 3 _3 + 4.6 + 3 _7 = 15.625 4 8

20 − 15.625 = 4.375

La señora Song debe caminar 4.375 millas el viernes para lograr su objetivo.

246

GRUPO DE PROBLEMAS

127

Tema C Multiplicación de números decimales En el tema C, la clase aplica métodos para multiplicar números enteros a la multiplicación de números decimales. Sus estudiantes utilizan el razonamiento de la forma unitaria y la estimación para razonar acerca de la ubicación del punto decimal en el producto. Luego, interpretan expresiones que involucran la multiplicación de números decimales mediante la generalización de interpretaciones conocidas de la multiplicación, como 4 grupos de 0.2 y 4 veces 0.2. Representan la multiplicación de números decimales utilizando modelos como las rectas numéricas, las tablas de valor posicional y los modelos de área. La clase aplica el razonamiento de la forma unitaria para determinar la unidad de los productos al multiplicar un número decimal por un número entero de un dígito; por un múltiplo de 10, 100 o 1,000; por un número entero de dos dígitos; y por otro número decimal. Analizan estrategias basadas en las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación y en la propiedad distributiva. Luego, generalizan que estas propiedades se pueden aplicar tanto a los números decimales como a los números enteros. Utilizan la forma vertical sola o como parte de otro método para hacer cálculos que no se puedan realizar de forma eficiente mentalmente o mediante otro método. A lo largo del tema, la clase utiliza la estimación y otros métodos para determinar si sus respuestas son razonables, en especial la unidad de valor posicional del producto (o, de forma equivalente, la ubicación del punto decimal en el producto). Expresan números decimales como fracciones y utilizan la multiplicación de fracciones para comprender y determinar la unidad del producto. También utilizan las relaciones de valor posicional para determinar o confirmar la unidad del producto desplazando los dígitos en el producto a la unidad de valor posicional correcta. En el tema D, la clase divide números decimales usando métodos que ya conocen de la división de números enteros.

247

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC

Progresión de las lecciones Lección 14

Lección 15

Lección 16

Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de un dígito usando diferentes modelos

Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando diferentes métodos escritos

Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de dos dígitos usando modelos de área y la forma vertical

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Puedo pensar en la multiplicación de un número decimal por un número entero como grupos iguales o una suma repetida. Los modelos que son útiles para la multiplicación de números enteros, como las rectas numéricas, las tablas de valor posicional y los modelos de área, también pueden ser útiles para multiplicar un número decimal por un número entero. Puedo usar el razonamiento de la forma unitaria como ayuda para colocar el punto decimal en el producto.

248

Las estrategias que uso para multiplicar números enteros también pueden ser útiles para multiplicar un número decimal por un número entero de un dígito. Razonar acerca de las unidades de valor posicional me puede ayudar a descomponer un número decimal y hallar la unidad para el producto.

Los modelos de área y la forma vertical me pueden ayudar a hallar todos los productos parciales cuando multiplico un número decimal por un número entero de dos dígitos. El razonamiento de la forma unitaria me puede resultar útil para determinar la unidad correcta para el producto.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC

Lección 17

Lección 18

Lección 19

Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de dos dígitos usando diferentes métodos

Relacionar la multiplicación de números decimales con la multiplicación de fracciones

Multiplicar un número decimal por un número decimal

x x

Cuando multiplico números decimales por números enteros de dos dígitos, razonar acerca de cada factor me ayuda a elegir un método de multiplicación eficiente. Puedo usar la forma vertical cuando otros métodos no son útiles.

x x

  __  x   __   _____ 

La forma vertical es una forma eficiente de multiplicar dos números decimales. Cuando multiplico un número decimal por un número decimal, puedo usar varios métodos para asegurarme de que la unidad del producto sea razonable.

  ___  Para multiplicar dos números decimales, puedo expresar los números como fracciones. Pensar en la multiplicación de números decimales como una multiplicación de fracciones me puede ayudar a determinar la unidad para el producto. También puedo usar relaciones de valor posicional para desplazar los dígitos y, así, hallar la unidad para el producto.

249

LECCIÓN 14

Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de un dígito usando diferentes modelos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Nombre

Fecha

Multiplica. Muestra tu trabajo. 1. 6 × 3.05 = 18.3 Ejemplo:

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Vistazo a la lección La clase usa el razonamiento de grupos iguales para multiplicar números decimales por números enteros de un dígito usando rectas numéricas, tablas de valor posicional y modelos de área. Apoyan su razonamiento con el razonamiento de la forma unitaria y relacionan los modelos conocidos para multiplicar números enteros con la multiplicación de un número decimal por un número entero de un dígito.

Pregunta clave • ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre multiplicar un número decimal por un número entero de un dígito y multiplicar un número entero por un número entero de un dígito?

Criterios de logro académico 5.Mód4.CLA16 Multiplican números decimales hasta la posición de los

centésimos. (5.NBT.B.7) 2. 3 × 3.79 = 11.37

5.Mód4.CLA18 Representan la suma, la resta, la multiplicación y la división

Ejemplo:

3 unidades

7 décimos

9 centésimos

9 unidades

21 décimos

27 centésimos

de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

9 + 2.1 + 0.27 = 11.37

141

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

• Retire la hoja extraíble de Clasificación de tarjetas: Multiplicación y recorte las tarjetas. Prepare suficientes para que haya 1 juego de tarjetas por cada grupo de 3 estudiantes. Considere si desea preparar estos materiales con antelación o los preparará con la clase durante la lección.

Aprender 35 min • Multiplicar usando una recta numérica • Multiplicar usando una tabla de valor posicional • Multiplicar usando un modelo de área • Grupo de problemas

Concluir 10 min

Estudiantes • tarjetas de Clasificación de tarjetas: Multiplicación (1 juego por grupo de estudiantes) • tijeras (1 por grupo de estudiantes) • Modelos de multiplicación (en el libro para estudiantes)

• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Modelos de multiplicación de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

251

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Fluidez

Contar de 2 décimos en 2 décimos en la recta numérica La clase cuenta salteado usando unidades de 2 décimos en forma fraccionaria, en forma decimal y con números mixtos como preparación para multiplicar números decimales. Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar de 2 décimos en 2 décimos en forma fraccionaria

desde __  0  hasta __  20  . Empiecen diciendo __  0   . ¿Comenzamos? 10

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

18 20 0 __  __ ,   2 …, __   , __ 10 10

10 10

Ahora, vuelvan a contar de 2 décimos en 2 décimos. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

0 10

2 10

4 10

6 10

8 10

10 10

12 10

18 10

20 10

2 10

4 10

6 10

8 10

12 14 16 18

14 10

16 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

2 0, __    …, 1  __ , 2 10

8 10

Ahora, vuelvan a contar de 2 décimos en 2 décimos. Esta vez digan los números en forma decimal. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 0.2…, 1.8, 2.0

252

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar por potencias de 10 La clase multiplica un número decimal por una potencia de 10 como preparación para multiplicar números decimales. Muestre la ecuación 0.2 × 10 =

Escriban la ecuación y hallen el producto. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

0.2 × 10 =

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

0.5 × 100 =

0.9 × 1,000 = 900

0.008 × 100 =

0.8

0.601 × 1,000 = 601

0.04 × 10 =

0.4

253

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar en forma unitaria y en forma estándar La clase multiplica unidades, decenas o centenas en forma unitaria y, luego, escribe la ecuación con los números en forma estándar como preparación para multiplicar números decimales. Muestre 2 × 3 unidades =

unidades.

¿Cuánto es 2 × 3 unidades en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

6 unidades

2 × 3 unidades = 6

Muestre la respuesta. Escriban la ecuación con los números en forma estándar.

unidades

2×3=6

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3 × 5 unidades = 15 unidades 3 × 5 = 15

4 × 2 decenas =

decenas

4 × 20 = 80

6 × 4 centenas = 24 centenas

7 × 9 centenas = 63 centenas

6 × 400 = 2,400

7 × 900 = 6,300

254

5 × 5 decenas = 25 decenas 5 × 50 = 250

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Presentar

Materiales: E) Tarjetas de Clasificación de tarjetas: Multiplicación, tijeras

La clase clasifica distintas representaciones de la multiplicación en dos categorías. Forme grupos de tres estudiantes. Pida a alguien de cada grupo que retire la hoja extraíble de Clasificación de tarjetas: Multiplicación de los libros y recorte las tarjetas. Pida a los grupos que observen las tarjetas, identifiquen las relaciones entre ellas y, luego, las clasifiquen en dos categorías. Dígales que deben prepararse para describir la clasificación a la clase. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan para observar cómo clasifican las tarjetas. En este punto, respete las categorías que eligieron para clasificar las tarjetas. Sin embargo, identifique si hay estudiantes que clasifican las tarjetas en las siguientes dos categorías: • Tarjetas que describen 2 × 4 • Tarjetas que describen 4 × 0.2

Tarjetas que describen 2 × 4

Tarjetas que describen 4 × 0.2

2×4

4 × 0.2

4+4

0.2 + 0.2 + 0.2 + 0.2

8 décimos

2 grupos de 4

4 grupos de 0.2

2 veces 4

4 veces 0.2

Unidades

Décimos Centésimos

Unidades

Décimos Centésimos

255

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14 Pida a quienes haya identificado que compartan con la clase qué tarjetas pusieron en cada categoría. ¿En qué se diferencian las dos categorías? Una categoría tiene tarjetas con números enteros y la otra categoría tiene tarjetas con números enteros y números decimales. Una categoría tiene tarjetas que muestran 2 × 4 y la otra categoría tiene tarjetas que muestran 4 × 0.2. ¿En qué se parecen las dos categorías? Las dos categorías tienen tarjetas que representan una multiplicación, o grupos iguales. Cada categoría tiene tarjetas que usan el mismo método. Cada categoría tiene tarjetas que usan el mismo tipo de expresiones: multiplicación, suma repetida, productos, grupos iguales, tantas veces una cantidad, tabla de valor posicional. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos modelos conocidos y nuestra comprensión de la multiplicación con números enteros para multiplicar números decimales por números enteros de un dígito.

Aprender

Multiplicar usando una recta numérica Materiales: E) Modelos de multiplicación

La clase cuenta salteado usando grupos iguales en una recta numérica para multiplicar un número decimal por un número entero de un dígito. Escriba 4 × 0.3. Piensen en la actividad de clasificación de tarjetas que acabamos de hacer. ¿Cuáles son algunas maneras de describir lo que representa la expresión 4 × 0.3?

4 grupos de 3 décimos 0.3 + 0.3 + 0.3 + 0.3 4 veces 3 décimos

256

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14 Podemos pensar en el producto de esta expresión en términos de unidades de valor posicional. ¿Cuántos décimos hay en total en 4 grupos de 3 décimos?

12 décimos Usemos una recta numérica para mostrar 4 × 0.3. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Modelos de multiplicación de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas. Muestre la recta numérica. Pida a sus estudiantes que rotulen las rectas numéricas con 1 y 2 como en la recta numérica que se muestra. ¿La recta numérica está dividida para mostrar qué unidad?

Nota para la enseñanza La recta numérica es un modelo pictórico útil para representar la multiplicación de números decimales como grupos iguales o como una suma repetida.

Décimos Empiecen en 0 y muestren 4 grupos de 3 décimos. Demuestre cómo dibujar 4 grupos de 0.3 en la recta numérica, y rotule cada flecha. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Cuente en voz alta los grupos 0 1 2 (1 grupo de 3 décimos, 2 grupos de 3 décimos, y así sucesivamente) mientras dibuja. Marque un punto para representar el producto. ¿Qué rótulo tiene este punto? ¿Por qué? El rótulo es 1.2. La recta numérica está dividida en décimos, y el punto está 2 décimos después de 1. Rotule el punto 1.2. ¿Cuánto es 4 × 0.3?

1.2 Antes dijimos que 4 grupos de 3 décimos es 12 décimos. ¿La recta numérica confirma que 4 grupos de 3 décimos es 12 décimos? ¿Cómo lo saben? Sí. Lo sé porque 1.2 es 12 décimos en forma estándar. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar de qué otra manera pueden comprobar la respuesta. Puedo usar la suma. 0.3 + 0.3 + 0.3 + 0.3 = 1.2 © Great Minds PBC

257

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

2 × 3 __ Puedo usar la forma fraccionaria y multiplicar. 4 × __   3 = ____  410   = 12 = 1  __ , que es igual a 1.2. 10 10 10

Escriba 5 × 0.04.

¿Cuántos centésimos hay en total en 5 grupos de 4 centésimos?

20 centésimos Si queremos usar una recta numérica para mostrar 5 × 0.04, ¿qué debería representar cada marca de graduación? ¿Por qué? Cada marca debería representar 1 centésimo para que podamos mostrar grupos de 0.04. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para rotular la recta numérica y, luego, la usen para hallar 5 × 0.04.

0.04

0.1

0.04

Diferenciación: Apoyo

0.2

Recorra el salón de clases y brinde apoyo a quienes necesiten ayuda para rotular la recta numérica o representar la expresión. A medida que terminen, pida a las parejas que comprueben sus respuestas usando el razonamiento de la forma unitaria, 20 centésimos. Si hay tiempo suficiente, pida a sus estudiantes que comprueben sus respuestas de alguna otra manera, como usando la suma repetida o la multiplicación de fracciones.

Considere pedir a sus estudiantes que piensen en distintas maneras de describir la expresión 4 × 0.5 si necesitan ayuda para representar la expresión en la recta numérica.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la recta numérica puede ayudarles a multiplicar números decimales.

Multiplicar usando una tabla de valor posicional Materiales: E) Modelos de multiplicación

La clase usa tablas de valor posicional para multiplicar un número decimal por un número entero de un dígito y registra su trabajo en forma vertical. Escriba 3 × 0.62. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que representa la expresión. Esta vez, mostremos el número de grupos iguales en una tabla de valor posicional para hallar

3 × 0.62. Necesitamos 3 grupos de 0.62.

Nota para la enseñanza Dibujar en una tabla de valor posicional es un modelo pictórico útil para representar la multiplicación de números decimales como grupos iguales cuando se requiere reagrupación.

Dibuje una tabla de valor posicional para representar 3 grupos de 0.62. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus tablas de valor posicional.

258

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14 ¿Cuántos décimos y centésimos tenemos en 3 grupos de 0.62?

18 décimos y 6 centésimos

DUA: Acción y expresión

¿Dónde podemos reagrupar? Podemos reagrupar 10 décimos como 1 unidad. Demuestre la reagrupación de 10 décimos como 1 unidad. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuántas unidades, décimos y centésimos tenemos ahora?

1 unidad, 8 décimos y 6 centésimos ¿Cuánto es 3 × 0.62?

Considere brindar discos de valor posicional a quienes prefieran una experiencia concreta de agrupar y cambiar discos antes de dibujar en la tabla de valor posicional. Registrar la multiplicación en forma vertical después de usar discos o dibujar puntos en la tabla de valor posicional ayuda a sus estudiantes con la transición hacia modelos más abstractos.

1.86 Registre 3 × 0.62 en forma vertical. ¿Dónde ven la reagrupación en forma vertical?

Nota para la enseñanza

Hay 8 décimos en lugar de 18 décimos. Se reagrupó 10 décimos como 1 unidad. Escriba 2.13 × 5. ¿En qué se diferencia esta expresión de las otras expresiones que vimos hoy? El número entero es el segundo factor. El número decimal tiene unidades. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden describir lo que representa la expresión.

5 grupos de 2.13 5 grupos de 213 centésimos 2.13 + 2.13 + 2.13 + 2.13 + 2.13 5 veces 2.13

Dado que la multiplicación es conmutativa, las oraciones de multiplicación se pueden expresar en cualquier orden. Sin embargo, para que los modelos sean claros y para ampliar la comprensión conceptual de la multiplicación de un número decimal por un número entero, sus estudiantes interpretan el factor de número decimal como el multiplicando, la cantidad que se multiplica, y el número entero como el multiplicador, o el número de cuántos grupos. Esta interpretación les permite desarrollar la comprensión acerca del trabajo de multiplicación de números enteros como una suma repetida.

Si alguna pareja brinda una descripción como 2.13 grupos de 5, pídales que expliquen por qué esa descripción podría resultar difícil dados los modelos que han usado hasta ahora en la lección.

259

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14 ¿Por qué podemos pensar en 2.13 × 5 como 5 × 2.13? Cambiar el orden de los factores en una expresión de multiplicación no altera el producto. El producto de dos números es el mismo en cualquier orden. La multiplicación es conmutativa debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación. Invite a la clase a trabajar en parejas para dibujar en la tabla de valor posicional y hallar 2.13 × 5. Cuando la mayoría de las parejas hayan terminado, pida a la clase que describa dónde tuvo lugar la reagrupación. Luego, pida a sus estudiantes que usen la tabla de valor posicional para representar la multiplicación en forma vertical.

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

2.1 3 5 × 1

Apoyo para la comprensión del lenguaje A medida que la clase comparte ideas sobre dónde tuvo lugar la reagrupación, vuelva a expresar las respuestas usando lenguaje preciso. Por ejemplo, si alguien dice “Estos 10 puntos se movieron a esta columna para formar 1”, responda diciendo “Sí, se reagrupó 10 centésimos como 1 décimo”.

1 0.65 5 × 2.13 = 10.65 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la utilidad de usar una tabla de valor posicional al multiplicar números decimales.

Multiplicar usando un modelo de área Materiales: E) Modelos de multiplicación

La clase usa un modelo de área para multiplicar un número decimal por un número entero de un dígito. Dibuje un rectángulo para el modelo de área. ¿En qué puede ayudarnos un modelo de área cuando multiplicamos números enteros? Un modelo de área nos ayuda a separar factores que son difíciles de multiplicar en factores que puedo calcular mentalmente.

260

DUA: Representación Pedir a sus estudiantes que piensen en modelos de área para multiplicar números enteros les ayuda a establecer conexiones con lo que acaban de aprender. Considere activar aun más los conocimientos previos pidiendo a sus estudiantes que primero usen un modelo de área para hallar 8 × 324.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14 Un modelo de área nos ayuda a separar cada factor en su valor posicional para poder multiplicar los valores posicionales individuales y, luego, sumar los productos de cada posición.

Nota para la enseñanza

Escriba 8 × 3.24. Usemos un modelo de área para hallar 8 × 3.24. ¿Cómo podemos separar 3.24 con un modelo de área para ayudarnos a multiplicar? Podemos separar 3.24 en 3 y 0.24. Podemos separar 3.24 en 3 unidades, 2 décimos y 4 centésimos. Divida el rectángulo en tres partes. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus pizarras blancas.

Un modelo de área es un modelo más abstracto que el dibujo en una tabla de valor posicional. Los modelos de área se apoyan en los conceptos sobre números decimales que a sus estudiantes ahora les resultan conocidos: multiplicación de un número entero de un dígito, forma unitaria y valor posicional.

Podemos usar la forma unitaria para rotular las partes y representar 3.24. ¿Cuántas unidades, décimos y centésimos hay en 3.24?

3 unidades, 2 décimos y 4 centésimos Rotule la parte superior de cada parte. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Por cuánto estamos multiplicando 3.24?

8 Rotule 8 en el modelo de área. Podemos usar el razonamiento de la forma unitaria para ayudarnos a hallar el área de cada parte. ¿Cuánto es 8 veces 3 unidades?

24 unidades

Rotule 24 unidades en la primera parte. Pida a sus estudiantes que hallen y registren en forma unitaria las áreas de las dos partes que quedan. Invite a la clase a compartir sus ideas en voz alta y regístrelas en su modelo de área. Tenemos tres productos parciales en forma unitaria. ¿Cuáles son los productos parciales en forma estándar?

24, 1.6 y 0.32 Escriba 24, 1.6 y 0.32 en las partes que correspondan.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando cambia de perspectiva para ver factores de números decimales en forma unitaria, como tamaño del grupo, y separado en sus unidades de valor posicional para multiplicar con eficiencia. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿De qué otra manera pueden pensar en 4 × 0.3 de modo que les sirva para hallar el producto? • ¿En qué puede ayudarles lo que saben acerca de la multiplicación de números enteros para multiplicar un número decimal? • ¿Cómo pueden separar 3.24 en partes para ayudarse a multiplicar con eficiencia?

261

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14 ¿Qué expresión podemos escribir usando los productos parciales para representar el producto de 8 y 3.24?

Diferenciación: Desafío

24 + 1.6 + 0.32 Escriba la expresión 24 + 1.6 + 0.32.

Después de que sus estudiantes hallen un producto, pídales que razonen acerca de cómo cambiaría el producto si el factor de número entero fuera 10 veces esa cantidad, 100 veces esa cantidad o 1,000 veces esa cantidad.

¿Cuánto es 24 + 1.6 + 0.32?

25.92 Entonces, ¿cuánto es 8 × 3.24?

80 × 3.24

25.92

800 × 3.24

Escriba = 25.92.

8 × 3.24 = 8 × 3 + 8 × 0.2 + 8 × 0.04 = 24 + 1.6 + 0.32 = 25.92

Muestre el ejemplo de trabajo en el que se muestra la estrategia de separar y distribuir para 8 × 3.24. ¿Qué observan sobre el trabajo? Se registró el razonamiento con una ecuación en lugar de hacerlo con un modelo de área.

8,000 × 3.24 Anime a sus estudiantes a justificar su razonamiento.

Al igual que con un modelo de área, se separó el factor de número decimal y se multiplicó cada parte por 8, que es el otro factor. Se usó la propiedad distributiva. Se usó la estrategia de separar y distribuir, que se basa en la propiedad distributiva. Muestre 0.78 × 9. Pida a sus estudiantes que usen un modelo de área o la estrategia de separar y distribuir para hallar el producto. Pídales que se reúnan y conversen en parejas para confirmar sus respuestas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si usar un modelo de área fue más o menos eficiente que usar una tabla de valor posicional o una recta numérica al multiplicar números decimales.

262

7 décimos 9

8 centésimos

63 décimos

72 centésimos

6.3

0.72

6.3 + 0.72 = 7.02

Diferenciación: Apoyo Si sus estudiantes necesitan apoyo para comenzar con 0.78 × 9, haga las siguientes preguntas: • ¿En qué se parece y en qué se diferencia este problema de 8 × 3.24? • ¿Cuántas partes necesitamos para este modelo de área? ¿Por qué? • ¿Cuántos décimos hay en 0.78? ¿Y cuántos centésimos?

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de un dígito usando diferentes modelos Guíe una conversación de toda la clase acerca de la multiplicación de números decimales por números enteros de un dígito usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

Nota para la enseñanza Si hay tiempo suficiente, considere usar la rutina Tomar una postura para permitir que sus estudiantes justifiquen su elección para multiplicar un número decimal y un número entero de un dígito. Cuelgue afiches en el salón de clases que digan Recta numérica, Tabla de valor posicional, Modelo de área y Separar y distribuir. Seleccione uno de los problemas 11 a 14 del Grupo de problemas. Invite a que cada estudiante se ponga de pie junto al afiche que mejor describa su razonamiento. Cuando cada estudiante esté junto a un afiche, dé un minuto para que los grupos comenten por qué lo eligieron. Luego, pida a cada grupo que comparta su razonamiento con la clase.

Muestre las siguientes expresiones de multiplicación: 2 × 0.13 y 2 × 13. Forme parejas de estudiantes y pida que cada estudiante resuelva uno de los problemas usando un modelo seleccionado por su cuenta. Invite a dos o tres parejas a compartir cómo resolvieron los problemas. ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre multiplicar un número decimal por un número entero de un dígito y multiplicar un número entero por un número entero de un dígito? Por ejemplo, ¿cuáles son las semejanzas y las diferencias entre multiplicar 2 × 0.13 y multiplicar 2 × 13? No es esperable ni se requiere que se den todas las siguientes respuestas. Podemos pensar en cualquier problema de multiplicación como un número de grupos iguales de una determinada cantidad. 2 × 0.13 es 2 grupos de 13 centésimos, y 2 × 13 es 2 grupos de 13. Podemos pensar en la multiplicación como una suma repetida para hallar ambos productos. Podemos pensar en 2 × 0.13 como 0.13 + 0.13 y 2 × 13 como 13 + 13.

263

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14 Podemos usar una recta numérica para mostrar los grupos iguales y hallar ambos productos. Pero, para 2 × 0.13, dividiríamos la recta numérica en centésimos y, para 2 × 13, dividiríamos la recta numérica en unidades. Podemos dibujar en una tabla de valor posicional para hallar ambos productos, pero para representar el número decimal usaríamos columnas, o posiciones, diferentes de las que usamos para representar números enteros. Dibujaríamos dos grupos de puntos en cada posición para los dígitos. Podemos usar un modelo de área para hallar ambos productos. Para 2 × 0.13, separaríamos 0.13 en 1 décimo y 3 centésimos. Para 2 × 13, separaríamos 13 en 1 décimo y 3 unidades.

DUA: Representación Considere empezar un afiche de referencia e ir agregando información durante el resto del tema. Invite a sus estudiantes a agregar ejemplos de los distintos métodos que pueden usar al multiplicar números decimales. Métodos para multiplicar números decimales

Si hay tiempo suficiente, amplíe el razonamiento de la clase con la siguiente pregunta.

Recta numérica

Escriba 2 × 0.13.

0.04

Supongan que uno de los factores fuera 10 veces esa cantidad. ¿Cuál sería el producto? ¿Por qué?

0.04

0.1

El producto también sería 10 veces esa cantidad, 2.6.

0.26 × 10 = 2.6. Los dígitos se desplazan una posición hacia la izquierda.

Boleto de salida 5 min

0.04

0.2

Tabla de valor posicional

Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas. 5 × 2.13 = 10.65 Modelo de área/Separar y distribuir

7 décimos

8 centésimos

63 décimos

72 centésimos

6.3

0.72

6.3 + 0.72 = 7.02

264

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

5. 5 × 0.2

0.2

Escribe una expresión para representar la descripción. Luego, halla el producto y escríbelo en forma unitaria y en forma estándar.

1. 2 grupos de 3 décimos

décimos =

0.6

5 × 0.2 =

2. 4 veces 2 centésimos

centésimos =

centésimos = 0.08 Multiplica. Muestra tu trabajo usando una tabla de valor posicional. Luego, registra tu trabajo en forma vertical. 6. 2 × 0.46 = 0.92

Multiplica. Muestra tu trabajo usando una recta numérica. 3. 2 × 0.6

Unidades

0.6

Centésimos

0.6

6 2

2 × 0.6 =

Décimos

1.2

1.2 7. 2 × 2.5 =

4. 3 × 0.05

0.05

Unidades

0.05

Décimos

Centésimos

0.1

0.15

0.2

5 2

3 × 0.05 = 0.15

135

136

GRUPO DE PROBLEMAS

265

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

8. 4 × 2.33 = 9.32

Multiplica.

Unidades

Décimos

11. 5 × 0.06 =

Centésimos

9. 4 × 3.6

12 unidades

2.4

12. 2 × 0.34 = 0.68

13. 4 × 6.24 = 24.96

14. 4.13 × 8 = 33.04

Multiplica. Muestra tu trabajo usando el modelo de área para hallar los productos parciales. Suma los productos parciales para hallar el producto.

unidades

0.3

3 4

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

décimos

24 décimos

= 14.4

4 × 3.6 = 14.4 15. 60 × 0.71 = 42.6

10. 6 × 1.13

1 unidad

1 décimo

3 centésimos

6 unidades

6 décimos

18 centésimos

+ 0.18

0.6

= 6.78

6 × 1.13 = 6.78 © Great Minds PBC

266

GRUPO DE PROBLEMAS

137

138

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 14

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 16. Eddie necesita 4 listones que midan 0.91 metros de largo cada uno. ¿Cuántos metros de listón necesita Eddie en total?

4 × 0.91 = 3.64 Eddie necesita 3.64 metros de listón.

GRUPO DE PROBLEMAS

139

267

LECCIÓN 15

Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando diferentes métodos escritos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Nombre

Fecha

Multiplica. Muestra tu trabajo. 1. 0.54 × 5 =

2.7

Ejemplo:

54 centésimos × 5 = 270 centésimos = 2.7

Vistazo a la lección La clase usa el razonamiento de la forma unitaria y las propiedades de la multiplicación para reescribir expresiones que involucran multiplicar números decimales por números enteros de un dígito. Reescriben las expresiones usando métodos conocidos como separar y distribuir y la forma vertical. Reescriben expresiones que involucran la multiplicación de números decimales por múltiplos de 10, 100 o 1,000 como números decimales por números enteros de un dígito usando el razonamiento del valor posicional.

Preguntas clave • ¿Cómo podemos usar el razonamiento del valor posicional como ayuda para hallar métodos para multiplicar números decimales por números enteros? • ¿Cómo nos puede ayudar la propiedad asociativa de la multiplicación a multiplicar números decimales por números enteros?

2. 5.03 × 20 = 100.6 Ejemplo:

Criterios de logro académico

5.03 × 20 = 5.03 × (10 × 2) = (5.03 × 10) × 2

5.Mód4.CLA12 Estiman sumas, diferencias, productos y cocientes de números

= 50.3 × 2

decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B)

5 0 3 décimos × 2 1,0 0 6 décimos

5.Mód4.CLA16 Multiplican números decimales hasta la posición de los

centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

147

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Multiplicar usando la forma unitaria

Estudiantes • ninguno

• Multiplicar usando la forma unitaria y la forma vertical • Multiplicar por un múltiplo de 10, 100 o 1,000 • Grupo de problemas

Concluir 10 min

269

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Fluidez

Contar de 3 décimos en 3 décimos en la recta numérica La clase cuenta salteado usando unidades de 3 décimos en forma fraccionaria, en forma decimal y con números mixtos para desarrollar fluidez con la multiplicación de números decimales. Muestre la recta numérica.

Usen la recta numérica para contar de 3 décimos en 3 décimos en forma fraccionaria desde __  0   10

    . Empiecen diciendo __  0   . ¿Comenzamos? hasta __ 30 10

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

__ __ __ __

30 0     ,   3  ..., 27   ,   10 10 10 10

Ahora, vuelvan a contar de 3 décimos en 3 décimos. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

0 10

3 10

6 10

9 10

12 10

27 10

30 10

3 10

6 10

9 10

12 15 18 21 24 27

15 10

18 10

21 10

24 10

0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.0

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

3 0, __     …, 2  __  , 3 10

7 10

Ahora, vuelvan a contar de 3 décimos en 3 décimos. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 0.3…, 2.7, 3.0

270

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Intercambio con la pizarra blanca: Forma estándar y forma unitaria La clase escribe un número hasta la posición de los décimos en forma estándar o en forma unitaria para desarrollar fluidez con la multiplicación de números decimales. Muestre 14 décimos =

Escriban 14 décimos en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

14 décimos =

1.4

Muestre la respuesta.

Nota para la enseñanza

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

67 décimos = 6.7

258 décimos = 25.8

1,259 décimos = 125.9

9.1 = 91 décimos

10.6 = 106 décimos

103.5 = 1,035 décimos

3.8 = 38 décimos

Comenzando con la ecuación 3.8 = , pida a sus estudiantes que escriban los números en forma unitaria en lugar de hacerlo en forma estándar.

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar por potencias de 10 La clase multiplica un número decimal por una potencia de 10 para desarrollar fluidez con la multiplicación de números decimales. Muestre la ecuación 0.3 × 10 =

0.3 × 10 =

Muestre la respuesta. © Great Minds PBC

271

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

0.6 × 100 =

0.8 × 1,000 = 800

4.072 × 100 = 407.2

Presentar

1.05 × 10 = 10.5

7.539 × 1,000 = 7,539

La clase razona acerca de la ubicación del punto decimal en un producto y usa un modelo para mostrar su razonamiento. Presente la expresión 3 × 5.14 y los cuatro productos posibles. Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática acerca de qué producto es razonable. Dé a la clase 1 minuto de tiempo para pensar en silencio y elegir qué producto es razonable. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.

3 × 5.14 1,542 154.2 15.42 1.542

Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Luego, invite a sus estudiantes a hallar 3 × 5.14 usando modelos que elijan por su cuenta para mostrar que su elección es correcta. Recorra el salón de clases y escuche a sus estudiantes mientras conversan y trabajan. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre los métodos.

Nota para la enseñanza Si hay quienes comienzan a multiplicar los dos números automáticamente, anímeles a estimar el producto antes de hallar el producto real.

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a sus estudiantes que compartan su razonamiento y sus modelos con todo el grupo y registren su razonamiento.

272

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 Mientras sus estudiantes comentan sus modelos, destaque el razonamiento que conecta los modelos con la forma unitaria o la forma vertical para determinar el producto correcto.

+ 5.14

Nuestra recta numérica muestra que 3 grupos de poco más que 5 son un poco más que 15. Sabemos que 3 cincos es 15, y que 5.14 + 5.14 + 5.14 = 15.42. Por lo tanto, 15.42 es el producto correcto.

Decenas

+ 5.14

5.14 5.14 + 5.14 1 15.42

+ 5.14

Unidades

Décimos

Centésimos

Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo piensan que podrían hallar el producto sin dibujar un modelo.

1 5.4 2

Nuestra tabla de valor posicional y la forma vertical muestran que las decenas son la unidad de valor posicional más grande en el producto. Por lo tanto, 15.42 es el producto correcto. Podemos ver las unidades en nuestro modelo de área. La unidad de valor posicional más grande son las unidades. Hay 15 unidades, así que 15.42 es el producto correcto.

5. 1 4 3

5 unidades

1 décimo

4 centésimos

15 unidades

3 décimos

12 centésimos

15 + 0.3 + 0.12 = 15.42

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a usar métodos mentales y escritos para multiplicar un número decimal por un número entero de un dígito o un múltiplo de 10, 100 o 1,000.

273

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Aprender

Multiplicar usando la forma unitaria La clase usa la forma unitaria para multiplicar un número decimal por un número entero de un dígito. Escriba 4 × 0.9. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar acerca de cómo estimar el producto. El producto es aproximadamente 4 porque 0.9 se redondea a 1 y 4 × 1 = 4. El producto es un poco menor que 4 porque 0.9 es un poco menor que 1, así que el producto de 4 y 0.9 será un poco menor que 4. Una manera de hallar el producto es pensar en la expresión en forma unitaria. Invite a sus estudiantes a expresar 0.9 en forma unitaria y registrar la ecuación. ¿Cuánto es 4 × 9 décimos?

36 décimos Continúe la ecuación escribiendo = 36 décimos. ¿Cuánto es 36 décimos en forma estándar?

3.6

Complete la ecuación. ¿3.6 es una respuesta razonable? ¿Cómo lo saben?

Nota para la enseñanza

Sí. Lo sé porque 3.6 está cerca de nuestra estimación de 4. Sí. Lo sé porque 3.6 es un poco menor que 4.

Repita el proceso con 0.13 × 3 y 3 × 2.13. Pida a la clase que exprese el factor de número decimal en forma unitaria usando la unidad de valor posicional más pequeña, 13 centésimos y 213 centésimos. Si no pueden usar el cálculo mental, anime a sus estudiantes a usar otra estrategia, como la forma vertical, para multiplicar números enteros.

274

Al comentar las estimaciones de sus estudiantes para 0.13 × 3, considere relacionar la expresión a la interpretación de una fracción de un número entero. Como 13 centésimos de 3 es una pequeña parte de 3, el producto será mucho menor que 3.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 Muestre el trabajo para 3 × 2,130 y 3 × 2.13.

3 × 2,130 = 3 × 213 decenas

3 × 2.13 = 3 × 213 centésimos

= 639 decenas

= 639 centésimos

= 6,390

= 6.39

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parecen y en qué se diferencian usar la forma unitaria para multiplicar cuando un factor es un número decimal y usar la forma unitaria para multiplicar dos números enteros. Cuando escribimos cada expresión en forma unitaria, vemos los números 3 y 213 en ambas expresiones. En ambas expresiones, multiplicamos 3 por 213. La diferencia es la unidad para 213 en cada expresión.

Multiplicar usando la forma unitaria y la forma vertical La clase usa la forma vertical y el razonamiento de la forma unitaria para multiplicar un número decimal por un número entero de un dígito. Escriba 5 × 4.3 = . Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para estimar el producto. Una vez que tengan sus estimaciones, guíe a sus estudiantes para que hallen el producto.

Diferenciación: Desafío Considere mostrar el siguiente ejemplo de trabajo y desafiar a sus estudiantes a comentar en qué se parecen y en qué se diferencian este trabajo y el método de forma unitaria que usaron.

3 × 2.13 = 3 × (213 × 0.01) = (3 × 213) × 0.01 = 639 × 0.01 = 6.39

Sigamos usando la forma unitaria para pensar en los números, pero registremos nuestro razonamiento en forma vertical. ¿Cómo podemos expresar 4.3 en forma unitaria usando la unidad de valor posicional más pequeña?

43 décimos Escriba 5 × 43 décimos en forma vertical. Podemos hallar 5 × 43 décimos usando la forma vertical para hallar 5 × 43 y expresar el producto en décimos. Pida a sus estudiantes que hallen 5 × 43 y que registren su trabajo en forma vertical. ¿Cuánto es 5 × 43?

215

275

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 ¿Cuánto es 5 × 43 décimos?

215 décimos ¿Cuánto es 215 décimos en forma estándar?

21.5 ¿Cuánto es 5 × 4.3?

21.5 Complete la ecuación escrita de manera horizontal.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando busca maneras de reescribir las expresiones de multiplicación para trabajar con números o estrategias que conocen mejor.

Invite a sus estudiantes a comparar el producto con su estimación para determinar si el producto es razonable.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:

¿Cómo nos ayuda nuestra estimación a comprobar que tenemos las unidades de valor posicional correctas en el producto?

• ¿Qué pasos pueden seguir para reescribir 9 × 0.48 de una manera que les resulte más sencilla de calcular mentalmente?

A partir de nuestra estimación, sabemos que el producto tiene que ser alrededor de 20. Sabemos que 20 unidades es igual a 200 décimos, así que sabemos que el producto tiene que ser alrededor de 200 décimos. Repita el proceso con 9 × 0.48 y 2.31 × 7. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y las diferencias entre usar la forma vertical con un factor de número decimal y usar la forma vertical con dos factores de número entero.

Multiplicar por un múltiplo de 10, 100 o 1,000 La clase usa la comprensión de la forma unitaria y del valor posicional para hallar productos que involucran un factor de número decimal y un múltiplo de 10, 100 o 1,000 de manera más eficiente. Escriba 5.46 × 30. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para estimar el producto. Una vez que tengan sus estimaciones, guíe a sus estudiantes para que hallen el producto.

• ¿Cómo planean hallar 2.31 × 7?

Diferenciación: Desafío Considere desafiar a sus estudiantes a hallar 9 × 0.48 usando una estrategia de compensación como multiplicar primero por la siguiente unidad más alta y, luego, restar la diferencia.

9 x 0.48 = 10 x 0.48 – 1 x 0.48 = 4.8 – 0.48 = 4.32

Podemos reescribir la expresión para hacer que este problema sea similar a los problemas que ya resolvimos, sin cambiar el producto. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo reescribirían 30 como un producto de dos números. Escriba = 5.46 × (10 × 3).

276

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 ¿Cómo podemos usar la propiedad asociativa de la multiplicación para reescribir 5.46 × (10 × 3)?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

(5.46 × 10) × 3 Escriba = 5.46 × (10 × 3).

Considere crear un afiche de referencia con los nombres de las propiedades. Rotule cada propiedad con el nombre e incluya un ejemplo que involucre números enteros y un ejemplo que involucre números decimales.

¿Por qué es útil agrupar 5.46 y 10? Agrupar 5.46 y 10 es útil porque ahora podemos multiplicar 5.46 por 10 primero para desplazar los dígitos en 5.46 una posición hacia la izquierda. Escriba = 54.6 × 3. Luego, escriba debajo 5.46 × 30 = 54.6 × 3. Reescribimos la expresión para que el segundo factor sea un número de un dígito. Ahora, podemos usar la forma vertical para multiplicar un número decimal por un número de un dígito. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen la forma vertical para hallar 546 décimos × 3. Proporcione apoyo según sea necesario. ¿Cuánto es 546 décimos × 3?

5 4 6 décimos 3 1 1

1 , 6 3 8 décimos

1,638 décimos ¿Cuánto es 5.46 × 30?

163.8 Invite a sus estudiantes a comparar el producto con su estimación para determinar si el producto es razonable. Escriba 5.46 × 300 =

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-compartir para analizar cómo se relaciona 5.46 × 300 con 5.46 × 30, y cómo lo saben. Sé que 5.46 × 300 es 10 veces 5.46 × 30 porque 300 es 10 veces 30. Invite a sus estudiantes a estimar 5.46 × 300. Luego, pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden reescribir 5.46 × 300 de forma tal que el segundo factor sea un número de un dígito. Podemos reescribir 5.46 × 300 como 546 × 3. Dado que 300 es 3 × 100, podemos desplazar los dígitos en 5.46 dos posiciones hacia la izquierda para obtener 546 × 3.

277

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15 Escriba 5.46 × 300 = 546 × 3. Señale 546 × 3.

Diferenciación: Apoyo

¿Qué observan acerca de esta expresión? ¿En qué se diferencia de las otras expresiones que evaluamos hoy?

Brinde apoyo a sus estudiantes dividiendo la tarea en partes. Por ejemplo, haga las siguientes preguntas:

El primer factor ya no es un número decimal. Ahora, los dos factores son números enteros. A veces, como en este problema, podemos usar lo que sabemos acerca del valor posicional para reescribir la expresión de multiplicación con un factor decimal como una expresión de multiplicación en la que solo se usen factores de números enteros. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen la forma vertical para hallar 546 × 3. Proporcione apoyo según sea necesario. ¿Cuánto es 546 × 3?

1,638

546 × 3 1 1

1,6 3 8

• ¿Qué observan acerca de los factores? • ¿300 es 3 veces qué número? • ¿4,000 es 4 veces qué número? • ¿Qué les sucede a los dígitos cuando multiplicamos por múltiplos de 10? Sus estudiantes también podrían beneficiarse de tener una plantilla como la de este ejemplo:

5.46 × 300 = 5.46 × (

¿Cuánto es 5.46 × 300?

= (5.46 ×

)×

1,638

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para estimar 3.86 × 4,000 y que hallen el producto reescribiendo la expresión con un método de su elección. Recorra el salón de clases mientras trabajan y escuche las conversaciones. Identifique un pequeño grupo de estudiantes que hayan usado métodos diferentes y pídales que compartan su razonamiento. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anime a la clase a hacer sus propias preguntas.

)

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la comprensión del valor posicional para reescribir expresiones de multiplicación que involucren números decimales. Las propiedades de la multiplicación que conocemos y usamos para los números enteros también son verdaderas para los números decimales. Podemos usar las propiedades de la multiplicación como ayuda para hallar métodos que nos permitan multiplicar números decimales.

278

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando diferentes métodos escritos Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de la multiplicación de números decimales por números enteros usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

DUA: Representación Considere apoyar a sus estudiantes proporcionándoles ejemplos de los diferentes métodos que pueden usar para multiplicar números decimales. Métodos para multiplicar números decimales Forma unitaria

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 9 a 14 de su Grupo de problemas. Invite a sus estudiantes a compartir qué método usaron para hallar los productos y por qué eligieron ese método. ¿Cómo podemos usar el razonamiento del valor posicional como ayuda para hallar métodos para multiplicar números decimales por números enteros? Podemos pensar acerca del factor de número decimal en forma unitaria o como un número entero multiplicado por la unidad de valor posicional. Luego, hallamos el producto en forma unitaria o escribimos la forma unitaria en forma vertical para multiplicar.

Forma unitaria y forma vertical

Podemos pensar en el factor de número decimal como un número entero usando la unidad de valor posicional más pequeña para expresar el factor decimal en forma unitaria. Luego, podemos usar un método como la forma vertical para multiplicar y usar el razonamiento de la forma unitaria para razonar acerca de las unidades de valor posicional correctas para el producto. Podemos usar el razonamiento de 10 veces una cantidad para desplazar los dígitos en los factores y, así, crear una expresión con un número decimal multiplicado por un número de un dígito. ¿Cómo nos puede ayudar la propiedad asociativa de la multiplicación a multiplicar números decimales por números enteros?

Reescribir la expresión

Podemos expresar el múltiplo de 10 como un número entero por un múltiplo de 10. Luego, usamos la propiedad asociativa para reagrupar y multiplicar el número decimal por el múltiplo de 10. Finalmente, multiplicamos ese producto, que podría ser un número decimal, por un número entero de un dígito.

279

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Nombre

Fecha

7. Sasha y Toby usan estrategias diferentes para hallar 30 × 4.1. Considera su trabajo.

Multiplica. Expresa el producto en forma unitaria y en forma estándar. 1. 2 × 0.32

centésimos =

2. 2 × 4.32

× 432

centésimos = 864

centésimos = 0.64

centésimos = 8.64

= 123

centésimos

4 1

décimos

= 120 + 3

= 3 × 41

Toby descompuso 4.1 en 4 y 0.1. Luego, multiplicó cada parte, 4 y 0.1, por 30. Sumó esos productos y obtuvo 123.

= 3 × (10 × 4.1)

Sasha pensó en 30 como 3 × 10. Luego, multiplicó 10 y 4.1 y obtuvo 41. Multiplicó 41 y 3 y obtuvo 123.

décimos

Método de Toby

30 × 4.1 = (30 × 4) + (30 × 0.1)

¿De qué maneras diferentes pensaron Sasha y Toby en los factores para hallar el producto? Explica.

4. 1.38 × 4 = 5.52

7.8

Método de Sasha

30 × 4.1 = (3 × 10) × 4.1

= 123

Multiplica. Muestra tu trabajo usando la forma vertical. 3. 3 × 2.6 =

8. Considera la expresión.

70 × 4.91

centésimos

a. Estima el producto.

70 × 4.91 ≈

5. 5 × 1.14 =

280

centésimos

5 5

350

b. Halla el producto.

70 × 4.91 = 343.7

6. 3.54 × 6 = 21.24

5.7 1

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

centésimos

c. ¿Es razonable tu respuesta para la parte (b)? ¿Cómo lo sabes?

6 2,

Sí, mi respuesta es razonable porque 343.7 está cerca de mi estimación de 350. centésimos

143

144

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

Halla el producto.

9. 8.14 × 5 = 40.7

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 15

EUREKA MATH2

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

10. 6 × 10.8 = 64.8

15. El señor Sharma bebe 1.89 litros de agua cada día durante 7 días. ¿Cuántos litros de agua bebe en total?

7 × 1.89 = 13.23 El señor Sharma bebe 13.23 litros de agua en total.

11. 3.8 × 20 =

12. 40 × 0.11 =

4.4

16. Yuna tiene dinero en su alcancía. Agrega $1.75 a su alcancía cada semana durante 5 semanas. Ahora, tiene $10.00 en su alcancía. ¿Cuánto dinero tenía Yuna en su alcancía al principio?

5 × $1.75 = $8.75 $10.00 − $8.75 = $1.25 Yuna tenía $1.25 en su alcancía al principio. 13. 3.12 × 400 = 1,248

14. 70 × 6.25 = 437.5

GRUPO DE PROBLEMAS

145

146

GRUPO DE PROBLEMAS

281

LECCIÓN 16

Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de dos dígitos usando modelos de área y la forma vertical

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Nombre

Fecha

Multiplica. Muestra tu trabajo.

38 × 7.3 =

277.4

Vistazo a la lección La clase usa el razonamiento de la forma unitaria para multiplicar números decimales por números enteros de dos dígitos usando modelos de área y la forma vertical. Comparan los dos métodos y, así, reconocen similitudes en los enfoques y en los productos parciales cuando se aplican ambos métodos para hallar el mismo producto.

Ejemplo:

7 unidades

3 décimos

56 unidades

24 décimos

210 unidades

90 décimos

Preguntas clave • ¿De qué manera puede ser útil un modelo de área para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos? • ¿De qué manera pueden ser útiles la forma vertical y el razonamiento de la forma unitaria para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos?

56 + 210 + 2.4 + 9 = 277.4

Criterios de logro académico 5.Mód4.CLA13 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que

involucran la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B) 5.Mód4.CLA16 Multiplican números decimales hasta la posición de los

centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA18 Representan la suma, la resta, la multiplicación y la división

de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

155

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• papel de rotafolio

Aprender 35 min • Multiplicar usando un modelo de área

Estudiantes • dado de 6 caras (1 por pareja de estudiantes)

• Multiplicar usando la forma vertical y el razonamiento de la forma unitaria • Sacar un número decimal • Grupo de problemas

Concluir 10 min

283

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Fluidez

Contar de 4 décimos en 4 décimos en la recta numérica La clase cuenta salteado usando unidades de 4 décimos en forma fraccionaria, en forma decimal y con números mixtos para desarrollar fluidez con la multiplicación de números decimales. Muestre la recta numérica.

Usen la recta numérica para contar de 4 décimos en 4 décimos en forma fraccionaria desde __  0   10

hasta __  40  . Comiencen diciendo __    . ¿Comenzamos? 0 10

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

__ __ __ __

0 4 36 40    ,    …,  ,   10 10 10 10

Ahora, vuelvan a contar de 4 décimos en 4 décimos. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0 10

4 10

8 10

12 10

4 10

8 10

12 16

16 10

0.4 0.8 1.2 1.6

20 10

36 10

40 10

2 24 28 32 36

24 10

28 10

32 10

2.4 2.8 3.2 3.6 4.0

4  __ , 4 0, __    …, 3 10

6 10

Ahora, vuelvan a contar de 4 décimos en 4 décimos. Esta vez, digan los números en forma decimal. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 0.4…, 3.6, 4.0

284

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar en forma unitaria y en forma estándar La clase multiplica décimos o centésimos en forma unitaria y, luego, escribe la ecuación con los números en forma estándar para desarrollar fluidez con la multiplicación de números decimales. Muestre la ecuación 2 × 3 décimos =

décimos.

¿Cuánto es 2 × 3 décimos en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

6 décimos Muestre la respuesta. Escriban la ecuación con los números en forma estándar.

2 × 3 décimos = 6 décimos 2 × 0.3 = 0.6

285

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3 × 6 décimos = 18 décimos

4 × 9 décimos = 36 décimos

3 × 0.6 = 1.8

4 × 0.9 = 3.6

5 × 3 centésimos = 15 centésimos 5 × 0.03 = 0.15

6 × 6 centésimos = 36 centésimos 7 × 8 centésimos = 56 centésimos 6 × 0.06 = 0.36

7 × 0.08 = 0.56

Intercambio con la pizarra blanca: Forma estándar y forma unitaria La clase escribe un número hasta la posición de los centésimos en forma estándar o en forma unitaria para desarrollar fluidez con la multiplicación de números decimales. Muestre 125 centésimos =

Escriban 125 centésimos en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

125 centésimos = 1.25

Muestre la respuesta.

286

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

306 centésimos = 3.06

1,472 centésimos = 14.72

4.81 =

481 centésimos

20.07 =

2,007 centésimos

Presentar

7.03 =

703 centésimos

5,098 centésimos = 50.98

19.24 =

1,924 centésimos

Nota para la enseñanza Comenzando con la ecuación 4.81 = , pida a sus estudiantes que escriban los números en forma unitaria en lugar de hacerlo en forma estándar.

La clase compara dos maneras de multiplicar dos números enteros de dos dígitos. Muestre la imagen de dos formas de hallar 32 × 26.

Método de Laura

600

180

40 + 600 + 12 + 180 = 832

Método de Ryan

32 26 12 1 80 40 + 60 0 1 832

287

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16 Laura y Ryan hallaron 32 × 26. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parecen y en qué se diferencian estas dos formas de hallar 32 × 26. Las dos formas muestran los mismos productos parciales. En el modelo de área se separa cada factor en decenas y unidades. La forma vertical no muestra las partes de los factores. En el modelo de área, puedo ver claramente los factores que resultan de cada producto parcial. En la forma vertical, no queda tan claro de dónde vienen los productos parciales. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué enfoque prefieren y por qué. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos usar modelos de área y la forma vertical para multiplicar números decimales por números enteros de dos dígitos.

Aprender

Multiplicar usando un modelo de área Materiales: M) Papel de rotafolio

Multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos hallando los productos parciales con un modelo de área. Escriba 0.62 × 17. ¿En qué se diferencia este problema de los otros problemas de multiplicación con números decimales que hemos hecho hasta ahora? El factor de número entero tiene dos dígitos, y no es un múltiplo de 10, 100 o 1,000. El problema es multiplicar un número decimal por un número de dos dígitos. Solo multiplicamos un número decimal por un número de un dígito o por un múltiplo de 10, 100 o 1,000, y 17 no es un múltiplo de 10.

288

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16 Pida a sus estudiantes que compartan ideas acerca de cómo podrían hallar el producto. Luego, sugiera que primero intenten usar un modelo de área. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar por qué otros modelos podrían no ser la mejor elección para este problema. Si usamos una recta numérica, tendrá que ser una recta muy larga para poder incluir 17 grupos de 0.62. Si usamos una tabla de valor posicional, nos llevará mucho tiempo dibujar 17 grupos de 6 décimos y 2 centésimos, y hacer toda la reagrupación. Dibuje un rectángulo en papel de rotafolio en un lugar en el que sus estudiantes puedan verlo más adelante, durante la sección Aprender. Represente el uso de un modelo de área para multiplicar mientras la clase sigue los pasos en sus pizarras blancas. ¿Cómo podríamos separar 0.62 en el modelo de área? Podríamos separar 0.62 en dos partes. Una parte es para los décimos y la otra, para los centésimos.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando observa y busca maneras de aplicar las estrategias de multiplicación de números enteros a la multiplicación con números decimales. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8: • ¿Qué tienen en común la multiplicación de dos números enteros y la multiplicación de un número entero y un número decimal? • ¿Siempre van a funcionar las estrategias de multiplicación de números enteros cuando uno de los factores es un número decimal? Expliquen.

Podríamos separar 0.62 en 6 décimos y 2 centésimos. Divida el modelo de área de manera vertical en dos partes mientras sus estudiantes hacen lo mismo. Señale cada columna y haga la siguiente pregunta. ¿Cómo deberíamos rotular estas dos partes?

6 décimos y 2 centésimos Rotule las columnas mientras sus estudiantes hacen lo mismo. ¿Cómo podríamos separar 17 en el modelo de área? Podríamos separar 17 en dos partes. Una parte podría ser para las decenas y la otra parte, para las unidades. Podríamos separar 17 en 1 decena y 7 unidades.

Nota para la enseñanza Considere preguntar a sus estudiantes por qué es útil separar 17. Es esperable que respondan que separar 17 les permite usar operaciones conocidas para hallar productos parciales. Parte de la clase podría sugerir no separar 17. Si bien usar una sola fila es válido matemáticamente, la multiplicación es más compleja. Anime a sus estudiantes a usar el modelo de área de la manera que les resulte más útil.

Divida el modelo de área de manera horizontal en dos partes.

289

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

EUREKA MATH2

Pregunte a sus estudiantes cómo rotular cada fila. Escriba los rótulos en forma estándar mientras la clase sigue sus pasos. Considere explicar que usar la forma estándar para descomponer el factor de número entero hace que la multiplicación sea más sencilla, ya que solo hay una unidad de valor posicional para aplicar. ¿Cuánto es 7 × 6 décimos?

42 décimos Rotule la parte 42 décimos. Luego, halle cada producto parcial y rotule cada parte. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué expresión de suma podemos escribir para representar el área total?

4.2 + 6 + 0.14 + 0.20 Escriba la expresión de suma mientras sus estudiantes siguen sus pasos. Pídales que hallen la suma. ¿Cuánto es 0.62 × 17?

10.54 Escriba 0.62 × 17 = 10.54. Conserve el modelo de área en un lugar accesible para mostrarlo en el siguiente segmento de la sección Aprender.

Multiplicar usando la forma vertical y el razonamiento de la forma unitaria La clase halla productos parciales con la forma vertical y el razonamiento de la forma unitaria para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos. Regrese al problema 0.62 × 17. Pida a sus estudiantes que compartan ideas para encontrar otra manera en la que podrían hallar el producto. Luego, sugiera que usen la forma unitaria de los factores para registrar con la forma vertical, que es similar al método que usaron en la lección anterior para hallar el producto de un número entero de un dígito y un número decimal. ¿Cómo podemos expresar 0.62 en forma unitaria usando la unidad de valor posicional más pequeña?

62 centésimos

290

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16 Escriba el problema 62 centésimos × 17 en forma vertical. Podemos hallar el producto de 62 y 17 primero. Registremos los productos parciales en forma vertical para llevar la cuenta del trabajo. Pida a sus estudiantes que hallen los productos parciales para 62 × 17 y los sumen. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo pidiéndoles que hallen 7 × 2, 7 × 60, 10 × 2 y 10 × 60. Use la forma unitaria, como 7 unidades × 2 unidades y 7 unidades × 6 unidades, según sea necesario. Invite a alguien a compartir los productos parciales y la suma que halló. Registre el trabajo a medida que su estudiante comparte. ¿Cuánto es 62 × 17?

1,054 ¿Cuánto es 62 centésimos × 17?

Nota para la enseñanza En 4.o grado, sus estudiantes aprenden a usar el modelo de área junto con la forma vertical para multiplicar números enteros de varios dígitos. Considere resaltar los productos parciales en el modelo de área después de hallar cada producto parcial usando la forma vertical.

1,054 centésimos Escriba “centésimos” junto a la suma. ¿Cuánto es 1,054 centésimos en forma estándar?

10.54 ¿Cuánto es 0.62 × 17?

10.54 Escriba 0.62 × 17 = 10.54. Pida a sus estudiantes que observen el modelo de área del primer segmento de la sección Aprender. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre los dos métodos. Los dos métodos nos dieron la misma respuesta.

Nota para la enseñanza En la lección 15, sus estudiantes usaron estimaciones para comprobar si el punto decimal estaba colocado correctamente en el producto. Considere reforzar ese razonamiento cuando escriban 1,054 centésimos en forma estándar. Pregunte a sus estudiantes si 0.62 × 17 podría ser 1.054 o 105.4 y cómo lo saben.

En la forma vertical, las unidades de valor posicional son diferentes y hay más ceros. En la forma vertical, las únicas unidades de valor posicional que veo son los centésimos. En el modelo de área, usamos décimos y centésimos.

291

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16 Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar 33 × 4.6 y 2.05 × 24. Pida a las parejas que usen un modelo de área para uno de los problemas y la forma vertical para el otro problema. Para cada problema, invite a una pareja que haya usado cada método a compartir su trabajo.

4 unidades

6 décimos

12 unidades

18 décimos

120 unidades

180 décimos

12 + 120 + 1 .8 + 18 = 151 151 .8

33 × 4.6 = 151.8

33 x 4.6 = 151 151 .8 2 unidades

0 décimos

5 centésimos

4 8 unidades

0 décimos

20 centésimos

20 40 unidades

0 décimos

100 centésimos

+ 8 + 40 + 0 + 0 + 0.20 + 1 = 49.2 2.05 x 24 = 49.2

4 6 décimos 33 18 120 1 80 1 20 0 1,5 1 8 décimos

2 0 5 centésimos 24 20 0 800 1 00 0 4000 4 , 9 2 0 centésimos

Nota para la enseñanza Es posible que sus estudiantes hagan preguntas acerca de la columna de 0 décimos en el modelo de área. Mencione que es tan correcto incluir la columna como no incluirla.

2.05 x 24 = 49.2

Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si 2.05 × 24 es 49.20 o 49.2. Luego, pida a quienes hayan compartido con la clase que expliquen cómo lo saben. Tanto 49.20 como 49.2 son correctos. No es necesario incluir un 0 en la última posición decimal. La respuesta 49.20 puede escribirse como 49.2 porque el 0 en 49.20 representa 0 centésimos.

292

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Sacar un número decimal Materiales: E) Dado de 6 caras

La clase crea números decimales y los multiplica por números enteros de dos dígitos dados. Organice a sus estudiantes en parejas. Distribuya un dado a cada pareja. Pídales que vayan a los problemas 1 y 2 de sus libros.

Nota para la enseñanza

Vamos a usar un dado para crear algunos números decimales. Explique la actividad usando las siguientes instrucciones: • Lancen el dado. Escriban el número en el primer espacio del problema 1. • Vuelvan a lanzar el dado. Escriban el número en el segundo espacio del problema 1 para completar el número decimal. • Un miembro de cada pareja halla el producto usando un modelo de área, y, el otro, halla el producto usando la forma vertical.

Considere mostrar instrucciones para crear números decimales que sus estudiantes puedan consultar. • Lancen el dado. Escriban el número en el primer espacio del problema 1. • Vuelvan a lanzar el dado. Escriban el número en el segundo espacio del problema 1 para completar el número decimal.

• Comparen sus respuestas con las de su pareja de trabajo. Si las respuestas no coinciden, comenten con sus parejas qué pasos siguieron para hacer el trabajo. Cada pareja debe buscar y corregir cualquier error que haya en el trabajo hasta llegar a un acuerdo.

• Hallen el producto. Usen un modelo de área o la forma vertical.

• Repitan el proceso con el problema 2, pero intercambien quién usa un modelo de área y quién usa la forma vertical.

• Repitan el proceso con el problema 2, pero intercambien los métodos con su pareja de trabajo.

• Comparen sus respuestas y coméntenlas.

Pida a las parejas que comiencen. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan para proporcionar apoyo según sea necesario.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Mientras las parejas comentan sus respuestas, apoye las conversaciones animando a sus estudiantes a consultar la sección Compartir tu razonamiento de la Herramienta para la conversación.

293

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16 Para cada espacio, lanza un dado. Escribe el número en el espacio. Cuando los espacios estén completos, halla el producto. 1. 0.

× 91

Ejemplo:

0.53 × 91 = 48.23

5 décimos

3 centésimos

5 décimos

3 centésimos

450 décimos

270 centésimos

0.5 + 45 + 0.03 + 2.7 = 48.23 2. 78 ×

DUA: Acción y expresión

Ejemplo:

Considere proporcionar una plantilla del modelo de área a sus estudiantes para que se concentren en las matemáticas, no en el dibujo.

décimos

centésimos

Además, considere proporcionar papel cuadriculado para que lo usen cuando trabajen con el método de la forma vertical.

78 × 2.62 = 204.36

2 6 2 centésimos × 78 16 480 1600 140 4 200 + 14 000 1 1 1 2 0,4 3 6 centésimos

Diferenciación: Desafío Si alguna de las parejas termina antes, propóngales el desafío de usar el dado para generar un factor de número decimal y un factor de dos dígitos. Después de que hallen el producto, pida a las parejas que intercambien los problemas y comprueben el trabajo de su pareja.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué método prefieren y por qué.

294

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de dos dígitos usando modelos de área y la forma vertical Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de multiplicar números decimales por números enteros de dos dígitos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Qué métodos son útiles para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos? El modelo de área, la forma vertical y el razonamiento de la forma unitaria son útiles. ¿De qué manera puede ser útil un modelo de área para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos? El modelo de área establece una manera de separar ambos factores y de ver qué partes necesitamos para multiplicar. Podemos separar el número decimal en forma unitaria para saber cuál es la unidad de valor posicional de cada producto parcial. El modelo de área nos ayuda a llevar la cuenta de todos los productos parciales para asegurarnos de hallarlos a todos.

295

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

EUREKA MATH2

¿De qué manera pueden ser útiles la forma vertical y el razonamiento de la forma unitaria para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos? La forma vertical y el razonamiento de la forma unitaria son útiles porque podemos multiplicar ambos números como si fueran números enteros. De ese modo, las unidades de valor posicional nos ayudan a escribir el producto en forma estándar correctamente. Observen su trabajo en los problemas 8 y 9 del Grupo de problemas. ¿Usaron el mismo método para los dos problemas? ¿Por qué? Sí, usé la forma vertical para los dos. Me ayuda a multiplicar los números como si los dos fueran números enteros primero. No, usé la forma vertical para el problema 8 y un modelo de área para el problema 9. Como el problema 9 tenía dos dígitos por dos dígitos, quería asegurarme de encontrar todos los productos parciales. No, usé el razonamiento de la forma unitaria mentalmente para el problema 8 porque me resulta más sencillo resolver 32 × 3 décimos de esa forma. El problema 9 me resultó más complicado, así que usé la forma vertical para expresar los productos parciales.

296

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

Nombre

Fecha

Halla los productos parciales. Luego, suma para hallar el producto. 5. 26 × 3.4 =

88.4

3 2

4 6

2 8 8

4 0 0

+ 6 1 8

0 8

0 4

Usa el modelo de área para hallar el producto. 1. 41 × 0.2 =

8.2 2

1 40

2. 41 × 0.23 =

décimos

2 décimos

80 décimos

centésimos

2 décimos

3 centésimos

80 décimos

120 centésimos

3. 4.6 × 32 =

147.2

8 unidades

12 décimos

120 unidades

180 décimos

unidades

147.52

unidades

décimos

244.18 4

2 5

1 8

1 2

6 0

8 0 0

1 0 + 2 0 0 1 2 4, 4

5 0 0 1

0 0 0 8

3 décimos

centésimos

décimos

7. 2.48 × 35 =

2 0

4 0 0

0 0 0

2 1 2 + 6 0 8, 6

4 0 0 8

0 0 0 0

1 6

décimos

86.8

8 + 120 + 1.2 + 18 = 147.2 4. 32 × 4.61 =

6. 58 × 4.21 =

0.2 + 8 + 0.03 + 1.2 = 9.43

0.2 + 8 = 8.2

9.43 décimos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

centésimos

8 unidades

12 décimos

2 centésimos

120 unidades

180 décimos

30 centésimos

centésimos

8 + 120 + 1.2 + 18 + 0.02 + 0.3 = 147.52

151

152

GRUPO DE PROBLEMAS

297

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

12. 65 × 8.2 =

Multiplica. 8. 32 × 0.3 =

9.6

9. 21 × 0.42 =

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 16

533

13. 53 × 12.24 =

648.72

8.82

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 10. 48 × 6.34 =

304.32

11. 7.02 × 34 =

14. Lacy recorre 8.05 kilómetros en su bicicleta cada día durante 31 días. ¿Cuántos kilómetros recorre en su bicicleta en total?

238.68

31 × 8.05 = 249.55 En total, Lacy recorre 249.55 kilómetros en su bicicleta.

298

GRUPO DE PROBLEMAS

153

154

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 17

Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de dos dígitos usando diferentes métodos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Nombre

Fecha

Considera la expresión.

Vistazo a la lección La clase analiza ejemplos de trabajo completados de métodos para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos. Replican los métodos que se muestran para completar y explicar problemas adicionales. Luego, eligen los métodos apropiados para hallar productos.

72 × 3.7

Pregunta clave

a. Estima el producto.

72 × 3.7 ≈

280

Ejemplo:

• ¿Cuándo resultan más útiles algunos métodos que otros para multiplicar números decimales por números enteros de dos dígitos?

72 × 3.7 ≈ 70 × 4 70 × 4 = 280

Criterios de logro académico 5.Mód4.CLA13 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que

b. Halla el producto. Muestra tu trabajo.

72 × 3.7 =

centésimos. (5.NBT.B.7)

266.4

Ejemplo:

5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

72 × 3.7 = (70 + 2) × 3.7

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

= (70 × 3.7) + (2 × 3.7) = 259 + 7.4 = 266.4

163

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• tarjetas de Elige un método para multiplicar (1 tarjeta por pareja de estudiantes, en la edición para la enseñanza)

Imprima o haga una copia de las tarjetas de Elige un método para multiplicar y recórtelas. Prepare suficientes tarjetas como para tener 1 tarjeta por pareja de estudiantes.

Aprender 35 min • Analizar y usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar • Analizar y usar la estrategia de compensación para multiplicar

Estudiantes • ninguno

• Elegir un método para multiplicar • Grupo de problemas

Concluir 10 min

301

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Fluidez

Respuesta a coro: Dividir números enteros entre fracciones unitarias La clase determina el cociente para adquirir fluidez con la división de números enteros entre fracciones unitarias del módulo 3. Muestre 2 ÷  _1 = 2

¿Cuál es el cociente? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Nota para la enseñanza

2÷ 2 = 4

Considere preguntar “¿Cuántas mitades o medios hay en 2?”, en lugar de “¿Cuál es el cociente?”, según sea necesario.

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3÷ 2 = 6

3 ÷ 4 = 12

302

2÷ 3 = 6

4 ÷ 5 = 20

2÷ 4 = 8

3÷ 3 = 9

6 ÷ 6 = 36

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Respuesta a coro: Multiplicar fracciones La clase multiplica una fracción por una fracción como preparación para expresar la multiplicación de números decimales como multiplicación de fracciones en la lección 18. Muestre _ 1 ×  _1 = 2

¿Cuál es el producto? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

1 ×1 = 1 2 5 10

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

__   1 10

Muestre la ecuación completada. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1 ×3 = 3 2 5 10

1 ×1 = 1 5 5 25

2 ×4 = 8 5 5 25

3 ×2 = 6 6 3 18

3 × 6 = 18 6 3 18

4 × 5 = 20 5 8 40

9 × 7 = 63 5 8 40

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar números decimales La clase suma o resta números decimales para desarrollar fluidez con las operaciones con números decimales. Muestre 0.7 + 0.6 =

Nota para la enseñanza

Escriban la ecuación y complétenla. Muestren su método. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la ecuación completada y el ejemplo de trabajo.

0.7 + 0.6 = 0.3

0.3

1.3

Valide todos los métodos correctos que no se hayan mostrado. Es posible que sus estudiantes elijan una variedad de estrategias (p. ej., formar 1, sumar, compensación, sumar o restar unidades semejantes) y modelos (p. ej., vínculo numérico, método de flechas, forma vertical). Anime a sus estudiantes a pensar en los números de la ecuación antes de seleccionar una estrategia y un modelo.

303

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3.2 + 0.94 = 4.14

Presentar

1.4 – 0.8 =

0.6

0.2 – 0.07 = 0.13

La clase interpreta una obra de arte y la relaciona con las matemáticas. Muestre La paloma (The Dove), 1964, de Romare Bearden.

Nota para la enseñanza

Este collage se llama La paloma. El artista que lo creó se llama Romare Bearden.

Bearden compuso el collage con la intención de que quienes lo miren puedan experimentar el movimiento y el ritmo de una calle muy transitada. Considere invitar a sus estudiantes a recorrer la escena con la vista, comenzando con el gato blanco en el extremo inferior izquierdo.

Use las siguientes preguntas para que la clase se interese en la obra de arte: • ¿Qué observan en el collage? • ¿Qué se preguntan? Bearden creó el collage recortando fotografías, periódicos, revistas y papeles de colores y pegándolos a un cartón. Invite a sus estudiantes a identificar elementos individuales del collage, como la paloma, el gato negro y el gato blanco, y elementos que se repiten, como las personas y los ladrillos.

304

Romare Bearden (1911-1988), The Dove, 1964. Cut-and-pasted printed paper, gouache, pencil, and colored pencil on board, 13 3/8 x 18 3/4” (33.8 x 47.5 cm). Blanchette Hooker Rockefeller Fund. Digital Image © The Museum of Modern Art/Licensed by SCALA/Art Resource, NY. © 2021 Romare Bearden Foundation/Licensed by VAGA at Artists Rights Society (ARS), NY

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 Cuando artistas como Bearden hacen un collage, pueden ser flexibles al momento de elegir qué piezas usar y cómo juntarlas para crear la obra de arte. Bearden creció en la ciudad de Nueva York durante el Renacimiento de Harlem, una época en la que la música de jazz era muy popular, y a él le gustaba esa música. Los músicos de jazz pueden elegir qué notas y ritmos usar y cómo unirlos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parecen la manera en que un artista hace un collage o un músico de jazz toma decisiones y las decisiones que se toman al hacer matemáticas. Guíe a sus estudiantes para que piensen acerca de cómo seleccionan un método para sumar, restar, multiplicar o dividir números. El artista o el músico puede tomar decisiones diferentes para cada imagen o parte de una canción, y yo puedo usar un método diferente para cada problema. El artista y el músico usan imágenes y notas y deben decidir cómo unirlas. Yo tengo diferentes métodos que puedo usar y debo decidir cuándo usar cada uno. El artista y el músico juntan partes que pueden combinar de diferentes maneras para hacer collages o canciones. En matemáticas, juntamos partes, pero, a veces, lo hacemos usando relaciones de suma, y, a veces, lo hacemos usando relaciones de multiplicación. Muestre la expresión 2.5 × 18. Invite a sus estudiantes a compartir ideas acerca de los posibles métodos que podrían usar para hallar el producto. Registre sus ideas, como usar el modelo de área, la tabla de valor posicional, la forma unitaria y la forma vertical. Guarde la lista para consultarla y ampliarla durante el resto de la lección. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a razonar y usar dos estrategias para multiplicar números decimales por números enteros de dos dígitos.

305

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Aprender

Diferenciación: Apoyo

Analizar y usar la estrategia de separar y distribuir para multiplicar La clase analiza y usa la estrategia de separar y distribuir para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos.

Pida a sus estudiantes que se enfoquen en una línea a la vez en el ejemplo de trabajo. Pídales que observen qué cambió y cómo ocurrió ese cambio.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Forme parejas de estudiantes y asígneles los roles de estudiante A y estudiante B. Estudiante A: analiza el método de Lisa. Estudiante B: analiza el método de Scott. Dé a la clase 1 minuto de tiempo para pensar en silencio cómo describir la estrategia que se usó para hallar el producto.

Diferenciación: Desafío

Luego, pida a las parejas que comenten su razonamiento. Recorra el salón de clases y escuche las descripciones que hacen sus estudiantes del trabajo que se muestra.

Considere presentar el método de Noah. Invite a sus estudiantes a considerar en qué se parece y en qué se diferencia del método de Lisa y del método de Scott.

1. Considera el método de Lisa y el método de Scott que se muestran.

Método de Lisa

Método de Scott

2.5 × 18 = 45

2.5 × 18 = (2 + 0.5) × 18 = (2 (2 × 18) + ((0.5 0.5 × 18)

2.5 × 18 = 2.5 × (10 + 8) = (2.5 × 10) + (2.5 × 8)

= 36 + 9 = 45

2.5 x 18 = 45 2.5 x 18 = 2.5 x 2 x 9 =5x9 = 45

= 25 + 20 = 45

Invite a sus estudiantes a describir las estrategias usadas para hallar el producto que se muestran en el problema 1. Lisa descompuso el factor de número decimal, 2.5, en 2 y 0.5. Luego, multiplicó el otro factor, 18, por cada una de esas partes. Por último, sumó los productos parciales. Scott descompuso el factor de número entero, 18, en 10 y 8. Luego, multiplicó el otro factor, 2.5, por cada una de esas partes. Por último, sumó los productos parciales. Lisa y Scott usan una estrategia de separar y distribuir para cambiar los números y hacer que sean más sencillos para trabajar.

306

Método de Noah

Nota para la enseñanza Es posible que sus estudiantes describan los métodos de Lisa y Scott observando la posición del factor (es decir, primer factor o segundo factor) que se separó en partes en lugar del tipo de número (es decir, factor de número decimal o factor de número entero) que se separó en partes. Considere pedir a sus estudiantes que se enfoquen en el tipo de número y no en la posición de los factores.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pídales que estimen el producto y usen una estrategia de separar y distribuir para resolver el problema. 2. Usa el método de Lisa o el método de Scott para hallar 24 × 1.5.

24 × 1.5 = 36 Método de Lisa

24 × 1.5 = 24 × (1 + 0.5) = (24 × 1) + (24 × 0.5) = 24 + 12 = 36

Método de Scott

24 × 1.5 = (20 + 4) × 1.5 = (20 × 1.5) + (4 × 1.5) = 30 + 6 = 36

Cuando sus estudiantes hayan terminado, invite a algunas parejas a compartir su trabajo. Considere hacer preguntas como las siguientes: • ¿Como les ayudó la estrategia de separar y distribuir a hallar el producto? • ¿Hay alguna parte de la estrategia que no haya sido útil? Expliquen su razonamiento. • ¿Creen que esta estrategia sería útil para multiplicar cualquier número? ¿Para qué números no sería útil esta estrategia? • ¿En qué se parece esta estrategia a cuando multiplicamos números enteros? Agregue separar y distribuir a la lista de métodos si aún no estaba incluida.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Mientras la clase comparte, apoye el diálogo entre estudiantes sugiriéndoles que expresen si están de acuerdo o en desacuerdo, que hagan una pregunta, den una felicitación o una sugerencia o replanteen una idea con sus propias palabras.

Analizar y usar la estrategia de compensación para multiplicar La clase analiza y usa la estrategia de compensación para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 de sus libros. Estudiante A: analiza el método de Tyler. Estudiante B: analiza el método de Jada. Dé a la clase 1 minuto de tiempo para pensar en silencio cómo describir la estrategia que se usó para hallar el producto. Luego, pida a las parejas que comenten su razonamiento. Recorra el salón de clases y escuche las descripciones que hacen sus estudiantes del trabajo que se muestra.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere pedir a sus estudiantes que vayan a la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación cuando analicen y describan la estrategia que usaron en el ejemplo de trabajo.

307

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 3. Considera el método de Tyler y el método de Jada que se muestran.

Método de Tyler

Método de Jada

2.5 × 18 = 45

2.5 × 18 = (3 × 18) − ((0.5 0.5 × 18) = 54 − 9

= 45

2.5 × 10 18

25 18

450 ÷ 10 = 45

200 + 250 450

Invite a sus estudiantes a describir las estrategias usadas para hallar el producto que se muestran en el problema 3. Tyler halló el producto de dos números enteros y restó la parte adicional. Primero, redondeó 2.5 a 3. Luego, multiplicó 3 por 18. Como multiplicó 18 por 3, que es 0.5 más que 2.5, restó el producto de 0.5 y 18. Jada usó la compensación al multiplicar el factor de número decimal por 10 para reescribir el problema como el producto de dos números enteros. Después de multiplicar los números enteros, dividió el producto entre 10 para hallar el producto del problema original. Tyler y Jada usan una estrategia de compensación para cambiar los números y hacer que sean más sencillos para trabajar. Con una estrategia de compensación, cambiamos uno de los factores antes de multiplicar, y, luego, hacemos el cambio correspondiente después de multiplicar los factores nuevos para compensar el cambio que hicimos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Pídales que estimen el producto y usen una estrategia de compensación para resolver el problema.

308

DUA: Representación Considere resaltar características y relaciones importantes escribiendo comentarios sobre los ejemplos de trabajo mientras sus estudiantes explican cada estrategia.

Diferenciación: Apoyo Sus estudiantes podrían necesitar apoyo para generalizar el método de Jada como una estrategia útil para el problema 4. Considere preguntarles por cuál potencia de 10 podrían multiplicar el número decimal para obtener un factor de número entero.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 4. Usa el método de Tyler o el método de Jada para hallar 24 × 1.5.

24 × 1.5 = 36 Método de Tyler

24 × 1.5 = (2 × 24) − (0.5 × 24) = 48 − 12 = 36

Método de Jada

1.5 × 10 24

15 24

360 ÷ 10 = 36

60 + 300 360 1

Cuando hayan terminado, invite a algunas parejas a compartir su trabajo. Considere hacer preguntas como las siguientes: • ¿Cómo les ayudó la estrategia de compensación a hallar el producto? • ¿Hay alguna parte de la estrategia que no haya sido útil? Expliquen su razonamiento. • ¿Creen que esta estrategia sería útil para multiplicar cualquier número? ¿Para qué números no sería útil esta estrategia? • ¿En qué se parece esta estrategia a cuando multiplicamos números enteros? Agregue la compensación a la lista de métodos si aún no estaba incluida.

Elegir un método para multiplicar Materiales: E) Tarjetas de Elige un método para multiplicar

La clase elige un método de su preferencia para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos. Distribuya una tarjeta a cada pareja. Invite a las parejas a observar los factores en sus tarjetas y conversar acerca de los métodos que podrían usar para hallar el producto. De ser necesario, invite a sus estudiantes a consultar la lista de métodos. Pida a cada estudiante que elija un método diferente al de su pareja para resolver el problema de forma independiente.

Nota para la enseñanza Es posible que parte de la clase quiera usar la forma vertical para hallar los productos en esta lección. Anime a este grupo de estudiantes a probar los diferentes métodos que se muestran, los cuales ayudan a adquirir y refuerzan el sentido numérico.

309

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 Después de que cada estudiante halle el producto, pídales que comparen las soluciones con sus parejas y expliquen sus métodos. Si no hallaron el mismo producto, deben trabajar en conjunto con sus parejas para volver a resolver el problema. Si hay estudiantes que terminan rápido, considere proporcionarles una segunda tarjeta.

Tarjeta A

Tarjeta B

3.8 × 25 =

3.8 × 25 = (3 + 0.8) × 25 = (3 × 25) + (0.8 × 25)

32 × 0.53 = 16.96 ×

0 . 5 3 × 100 32

= 75 + 20 = 95

5 3 1,696 ÷ 100 = 16.96 32 106 + 1 590 1,6 9 6 ×

2 0 0 décimos Tarjeta D

29 × 4.1= 118.9 29 × 4.1 = (30 × 4.1) − (1 × 4.1)

6.25 × 15 = 93.75 6.25 × 15 = 6.25 × (10 + 5)

= 123 − 4.1

= (6.25 × 10) + (6.25 × 5)

= 118.9

= 62.5 + 31.25

4 1 décimos × 30 1,2 3 0 décimos

= 93.75

6 2 5 centésimos 5 1 2

3,1 2 5 centésimos

310

Sus estudiantes podrían recurrir siempre a un método en particular que les resulta más cómodo. Anime a la clase a considerar qué métodos podrían ser útiles para cada problema. Si observa que alguien usa el mismo método para varios problemas, considere pedirle que use otro método y que compare la utilidad y eficacia de los métodos para ese problema.

DUA: Participación

25 × 8 décimos

Tarjeta C

Nota para la enseñanza

Considere proporcionar a sus estudiantes retroalimentación orientada al dominio a medida que aplican el método de su elección. Por ejemplo, reconozca los esfuerzos de sus estudiantes para aplicar los métodos basados en el razonamiento que demuestran que prestaron atención a las unidades de valor posicional. • Veo que decidiste separar el número entero para crear un problema que podrías resolver mentalmente. Esa es una manera muy útil de hallar el producto. • Usar la compensación es una manera excelente de cambiar los números a números con los que nos resulte más sencillo trabajar. También recordaste hacer lo necesario para compensar el cambio y, así, hallar el producto de la expresión de multiplicación original.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 Para cada tarjeta, invite a un grupo de estudiantes que hayan usado métodos diferentes a compartir sus métodos y soluciones. Anime a sus estudiantes a explicar cómo decidieron qué método usar para multiplicar. Siempre puedo usar la estrategia de separar y distribuir. Solo necesito pensar qué factor tendría más sentido separar en partes o si debería separar los dos factores. Cuando uno de los factores está cerca de la siguiente unidad de valor posicional, uso la compensación para formar la siguiente unidad de valor posicional y, luego, resto la diferencia. Uso el modelo de área porque puedo ver todos los productos parciales claramente. Si no se me ocurre un método eficiente con rapidez, uso la forma vertical. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de un método usado por alguien más que les gustaría probar.

Concluir

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando selecciona por su cuenta un método de una variedad de métodos para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5: • ¿Qué método sería el más eficiente para hallar el producto? ¿Por qué? • ¿Por qué eligieron utilizar este método? • ¿Cómo pueden estimar el producto? ¿Les parece razonable su estimación?

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar números decimales hasta los centésimos por números enteros de dos dígitos usando diferentes métodos Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de los métodos para multiplicar números decimales por números enteros de dos dígitos usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Pida a sus estudiantes que observen la lista de métodos. Agregue cualquier método adicional que sus estudiantes hayan usado en el Grupo de problemas. Invite a la clase a usar la rutina PensarTrabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parecen los métodos usados para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos y la multiplicación de números enteros de varios dígitos. © Great Minds PBC

311

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

EUREKA MATH2

Para multiplicar un número decimal por un número entero de dos dígitos, podemos usar los mismos métodos que usamos para multiplicar números enteros de varios dígitos. Cuando multiplicamos cualquier tipo de número, debemos prestar atención a las unidades de valor posicional. Podemos usar la estimación como ayuda para asegurarnos de representar las unidades de valor posicional correctamente para cualquier producto. Pida a la clase que consulte el Grupo de problemas para responder la siguiente pregunta. ¿Cuándo resultan más útiles algunos métodos que otros para multiplicar números decimales por números enteros de dos dígitos? La estrategia de separar y distribuir es útil cuando puedo crear expresiones que pueda evaluar mentalmente. La estrategia de compensación de cambiar un factor por la siguiente unidad de valor posicional, multiplicar y, luego, restar la diferencia es útil cuando uno de los factores está cerca de la siguiente unidad de valor posicional. Usar la forma vertical con el razonamiento de la forma unitaria siempre funciona, pero no siempre es el método más eficiente. Primero, pienso en los otros métodos para determinar si hay alguno que sea más eficiente.

312

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

Halla el producto. 5. 43 × 0.2 =

8.6

6. 0.4 × 38 = 15.2

Multiplica. Expresa el producto en forma unitaria y en forma estándar. 1. 32 × 0.3

décimos =

9.6

centésimos = 128 centésimos = 1.28

2. 32 × 0.04

7. 3.8 × 21 = 79.8

8. 24 × 1.5 =

9. 3.6 × 35 =

126

10. 56 × 4.28 =

239.68

11. 97 × 5.12 =

496.64

12. 15.02 × 61 =

916.22

3. Usa tus respuestas a los problemas 1 y 2 como ayuda para hallar 32 × 0.34. Muestra tu trabajo.

32 × 0.34 = (32 × 0.3) + (32 × 0.04) = 9.6 + 1.28 = 10.88 4. Considera la expresión.

48 × 2.3 a. Estima el producto. Muestra tu trabajo.

48 × 2.3 ≈

100

48 × 2.3 ≈ 50 × 2 50 × 2 = 100

b. Halla el producto. Muestra tu trabajo.

48 × 2.3 = 110.4 48 × 2.3 = (50 × 2.3) − (2 × 2.3) = 115 − 4.6 = 110.4 c. ¿Es razonable la respuesta que escribiste en la parte (b)? ¿Cómo lo sabes? Sí. Mi respuesta es razonable porque 110.4 está cerca de mi estimación de 100.

159

160

GRUPO DE PROBLEMAS

313

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

13. Kelly evaluó 3.6 × 24. Considera el método de Kelly.

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17

15. En el comedor escolar se preparan 43 paquetes de pasta para el almuerzo. Cada paquete contiene 0.45 kilogramos de pasta.

Método de Kelly

a. ¿Cuántos kilogramos de pasta hay en 43 paquetes?

3.6 × 24 = 86.4 3.6 × 24

× 10

36 × 24

EUREKA MATH2

43 × 0.45 = 19.35

864 ÷ 10 = 86.4

Hay 19.35 kilogramos de pasta en 43 paquetes.

144 1 +7 2 0 864 Explica cómo puede usar Kelly una estrategia similar para hallar 3.67 × 24. Kelly puede multiplicar 3.67 por 100. Luego, puede multiplicar 367 y 24. Kelly puede dividir el producto entre 100 para hallar 3.67 × 24.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

b. En el comedor se sirven 15.4 kilogramos de pasta para el almuerzo. ¿Cuántos kilogramos de pasta quedan por servir?

14. En la clase de la maestra Song hay 24 estudiantes. Cada estudiante necesita 1.75 litros de agua para un experimento de ciencias. ¿Cuántos litros de agua necesita la clase de la maestra Song en total?

19.35 − 15.4 = 3.95

24 × 1.75 = 42

Quedan 3.95 kilogramos de pasta por servir.

La clase de la maestra Song necesita 42 litros de agua en total.

314

GRUPO DE PROBLEMAS

161

162

GRUPO DE PROBLEMAS

Tarjeta C

Tarjeta A

Tarjeta C

Tarjeta A

29 × 4.1 =

3.8 × 25 =

29 × 4.1 =

3.8 × 25 =

Tarjeta D

Tarjeta B

Tarjeta D

Tarjeta B

6.25 × 15 =

32 × 0.53 =

6.25 × 15 =

32 × 0.53 =

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 17 ▸ Elige un método para multiplicar

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315

LECCIÓN 18

Relacionar la multiplicación de números decimales con la multiplicación de fracciones

EUREKA MATH2

Nombre

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

Fecha

Multiplica. Muestra tu trabajo. 1. 0.7 × 0.2 = 0.14 Ejemplo:

7 décimos × 2 décimos = 14 centésimos

Vistazo a la lección La clase expresa factores de números decimales como fracciones para multiplicar. Luego, expresan los productos de las fracciones como números decimales y usan la comprensión del valor posicional para establecer conexiones entre las unidades de valor posicional de los factores y las del producto. Empiezan con productos de un factor de número decimal y 0.1 o 0.01, y avanzan hacia productos de un factor de número decimal y un múltiplo de 0.1 o 0.01.

Pregunta clave • ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre la multiplicación de fracciones para multiplicar números decimales?

2. 2.5 × 0.03 = 0.075

Criterios de logro académico

Ejemplo:

3 75 25 ___ __ × = _____ 10 100 1, 000

5.Mód4.CLA16 Multiplican números decimales hasta la posición de los

centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA18 Representan la suma, la resta, la multiplicación y la división

de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

171

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Multiplicar números decimales por un décimo

Estudiantes • ninguno

• Multiplicar números decimales por un centésimo • Multiplicar números decimales por múltiplos de décimos y centésimos • Grupo de problemas

Concluir 10 min

317

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir números enteros entre fracciones unitarias La clase determina el cociente para adquirir fluidez con la división de números enteros entre fracciones unitarias del módulo 3. Muestre 2 ÷ _ 1  = 2

Escriban la ecuación y complétenla. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

2÷ 2 = 4

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2÷ 3 = 6

7 ÷ 7 = 49

318

3 ÷ 4 = 12

6 ÷ 8 = 48

3 ÷ 5 = 15

5 ÷ 6 = 30

9 ÷ 7 = 63

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

Respuesta a coro: Multiplicar fracciones La clase multiplica una fracción por una fracción como preparación para expresar la multiplicación de números decimales como una multiplicación de fracciones en la lección 19. Muestre _ 1  × _ 1  = 2

¿Cuál es el producto? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1 ×1 = 1 2 6 12

1     12 Muestre la ecuación completada. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1 ×4 = 4 2 6 12

1 ×1 = 1 6 6 36

2 × 5 = 10 6 6 36

3 ×2 = 6 7 3 21

3 × 7 = 21 7 3 21

4 × 6 = 24 5 9 45

11 × 6 = 66 5 9 45

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar números decimales La clase suma o resta números decimales para desarrollar fluidez con las operaciones con números decimales. Muestre 0.57 + 0.34 =

0.57 + 0.34 = 0.91 0.03 0.31

Muestre la ecuación completada y el ejemplo de trabajo. © Great Minds PBC

319

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2.8 + 4.56 = 7.36

Presentar

0.71 – 0.09 = 0.62

3.6 – 1.48 = 2.12

La clase compara cuatro representaciones de 4 × 0.1. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre las cuatro representaciones de 4 × 0.1 y pida a la clase que las analice. A

Unidades

0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1

Décimos

Centésimos

× 10

320

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18 C

4 × 0.1

1   de 4  __ 10

Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca. Cuando se acabe el tiempo, pida a sus estudiantes que expliquen las categorías elegidas y que justifiquen por qué una de las representaciones no pertenece a esa categoría. Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento acerca de la relación entre la multiplicación y la suma y la relación entre las fracciones y los números decimales. Haga preguntas como las siguientes para invitar a la clase a usar un lenguaje preciso, a establecer conexiones y a hacer sus propias preguntas. Preguntas de ejemplo: ¿Cuál no pertenece al grupo? ¿Por qué? A no pertenece porque es la única representación que muestra una suma. B no pertenece porque es la única representación en una tabla de valor posicional. C no pertenece porque es la única representación que muestra una multiplicación con los dos factores en forma estándar. D no pertenece porque es la única representación que no tiene un signo de suma ni un signo de multiplicación. ¿Cómo se relacionan A y C? La expresión 4 × 0.1 significa 4 grupos de 0.1, que es 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1.

321

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18 ¿Cómo se relacionan B y D?

__   1   de 4 significa __   1  × 4. B muestra 4 × __   1   . Los productos son los mismos porque la multiplicación 10

puede hacerse en cualquier orden. ¿Qué número podemos usar para describir las cuatro representaciones?

0.4 4 décimos

__4   10

Muestre 0.01 × 4 y pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál es el producto y por qué. El producto es 0.04 porque 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 = 0.04. El producto es 4 centésimos porque 0.01 × 4 es 4 grupos de 1 centésimo. 4  porque puedo pensar en 0.01 × 4 como ___   1   de 4. El producto es  ___ 100

100

El producto es 0.04 porque, en 4 × 0.1 = 0.4, el dígito 4 se desplaza de la posición de las unidades hasta la posición de los décimos. Entonces, multiplicar 4 por 0.01 debe desplazar el 4 de la posición de las unidades hasta la posición de los centésimos. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos fracciones y la comprensión del valor posicional para multiplicar números decimales por números decimales.

322

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

Aprender

Multiplicar números decimales por un décimo La clase usa la forma fraccionaria y la comprensión del valor posicional para multiplicar números decimales por 0.1. Escriba 0.1 × 0.1. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se diferencia la expresión de la multiplicación de números decimales que vieron anteriormente en el tema. Ambos factores son números decimales. Los factores son los mismos. Podemos usar lo que sabemos sobre la multiplicación de fracciones para hallar 0.1 × 0.1. ¿Cuánto es 0.1 expresado en forma fraccionaria?

1 __     10

  1   . Pida a la clase que halle __  1   × __ ¿Cuánto es __   1   × __   1   ?

___

1   100

Dibujemos un modelo de área para comprobar si la respuesta ___   1   tiene sentido. ¿Cuál es otra 100

manera de describir __   1   × __   1   ? 10

1 __   1   de __     10

Queremos hallar __   1   de __   1   . Empezamos con __  1   . ¿Cómo podemos representar __  1   en un

modelo de área?

Podemos dividir el modelo en 10 partes iguales y rotular una de ellas.

Diferenciación: Desafío

Considere pedir a sus estudiantes que dibujen sus propios modelos de área para representar la expresión y que hallen el producto en las pizarras blancas. Luego, pídales que comenten y confirmen sus respuestas en parejas.

323

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18 Muestre el modelo de área dividido en 10 partes iguales de manera

1   . vertical con una parte rotulada  __

DUA: Representación

1   de __ ¿Qué tenemos que hacer ahora para mostrar  __   1   ? 10

Considere completar una tabla de valor posicional usando dígitos además del dibujo.

Podemos dividir cada uno de los décimos en 10 partes iguales y, luego, sombrear __   1  de un décimo. 10

Muestre el modelo de área con cada décimo dividido en 10 partes iguales de manera horizontal. ¿Cuántas partes iguales muestra nuestro modelo ahora? 1 10

100 ¿Qué representa cada parte?

1 centésimo

1   de __ Luego, sombree y rotule  __   1   .

  1   ? ¿Cuánto es __   1   de __

1   ___

Anime a sus estudiantes a usar una tabla de valor posicional según sea necesario mientras siguen explorando cómo la multiplicación de un factor por 0.1 y, luego, por 0.01 afecta el valor posicional de los dígitos del factor.

100

Ahora que usamos un modelo de área para ver que

__   1   = __   1   tiene sentido, mostremos esta multiplicación   1   × __

100

en una tabla de valor posicional.

Dibuje una tabla de valor posicional desde las unidades hasta los centésimos. Represente 1 décimo.

1 10

Tenemos 1 décimo. ¿Cuánto es 1 décimo de 1 décimo? ¿Cómo lo saben?

1 centésimo; Lo sé porque 1 décimo es 10 centésimos. Por lo tanto, __  1   de 10 centésimos es 1 centésimo. 10

1 centésimo; Lo sé porque 1 centésimo es __  1   10

de 1 décimo.

324

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18 Dibuje una flecha desde 1 décimo hasta 1 centésimo y rotule la flecha como × __   1  para mostrar 10 la multiplicación. ¿Cuánto es 1 centésimo en forma estándar?

0.01 Señale la expresión de multiplicación original. ¿Cuánto es 0.1 × 0.1?

0.01 Escriba = 0.01 junto a la expresión de multiplicación original para mostrar 0.1 × 0.1 = 0.01. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué podemos pensar en

__  1   × __   1  para hallar 0.1 × 0.1. 10

Ahora, hallemos 0.2 × 0.1 usando la forma fraccionaria de los factores. Escriba 0.2 × 0.1. Pida a sus estudiantes que reescriban los factores como fracciones para hallar el producto. ¿Cuánto es __   2   × __   1   ?

2  ___ 

100

¿Cuánto es ___   2  en forma estándar?

0.02

100

¿Cuánto es 0.2 × 0.1?

0.02 Muestre las dos ecuaciones juntas.

0.1 × 0.1 = 0.01

Nota para la enseñanza

0.2 × 0.1 = 0.02 Pida a sus estudiantes que comparen el primer factor con el producto de cada ecuación. ¿Qué sucedió con los dígitos del primer factor cuando lo multiplicamos por 0.1? Los dígitos se desplazaron una unidad de valor posicional hacia la derecha.

Es posible que cada estudiante que brinde un razonamiento de la forma unitaria correcto para explicar su razonamiento esté empezando a reconocer el patrón de que el producto de 1 décimo y 1 décimo es 1 centésimo. La clase formalizará esta relación en la siguiente lección.

325

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18 Escriba 1.2 × 0.1. Según lo que vimos hasta ahora sobre la multiplicación por 0.1, ¿cuánto creen que sea 1.2 × 0.1? ¿Por qué? Pida a sus estudiantes que escriban la respuesta en forma estándar en sus pizarras blancas y las muestren. Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir su razonamiento. Creo que el producto es 0.12 porque, cuando multiplicamos por 0.1, los dígitos del otro factor se desplazan una posición hacia la derecha. Cuando los dígitos de 1.2 se desplazan una posición hacia la derecha, obtenemos 0.12.

 12  × __   1   = ___   12   , y ___   12  = 0.12. Creo que el producto es 0.12, porque __ 10

100

Creo que el producto es 0.12, porque 12 décimos por 1 décimo es 12 centésimos, y 12 centésimos = 0.12. Escriba 1.2 × 0.1 = 0.12 debajo de las dos ecuaciones que se muestran.

0.1 × 0.1 = 0.01 0.2 × 0.1 = 0.02

Multiplicar números decimales por un centésimo La clase usa la forma fraccionaria y la comprensión del valor posicional para multiplicar números decimales por 0.01. Creemos que empezamos a observar algunos patrones cuando multiplicamos por 0.1. Usemos fracciones para multiplicar por 0.01 y veamos qué observamos. Escriba 0.1 × 0.01. ¿Cuánto es 0.1 y 0.01 expresados en forma fraccionaria?

1   __   1   y ___   10 100

__ ___

1 Pida a sus estudiantes que hallen  1   ×     . 10 100 ¿Cuánto es __   1   × ___   1   ? 10 100

____

1     1,000

1  en forma estándar? ¿Cuánto es  ____

0.001

1,000

¿Cuánto es 0.1 × 0.01?

0.001

326

Diferenciación: Apoyo Observe a sus estudiantes para detectar a quienes usan el razonamiento de la forma unitaria y dicen erróneamente que la respuesta es 12 décimos. Anímeles a usar fracciones para que vean por qué el producto no es 12 décimos.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando determina de manera repetida el producto de un número decimal y 0.1, y observa que los dígitos del producto son iguales a los dígitos del número decimal con cada dígito desplazado una posición hacia la derecha. Hace lo mismo al determinar que el producto de un número decimal y 0.01 da como resultado que cada dígito se desplace dos posiciones hacia la derecha. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8: • ¿Qué patrones observan al multiplicar un número decimal por 1 décimo? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar el producto de un número decimal y 1 décimo de forma más eficiente? • ¿Qué patrones observan al multiplicar un número decimal por 1 centésimo? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar el producto de un número decimal y 1 centésimo de forma más eficiente? • ¿Serán siempre verdaderos estos patrones? Expliquen.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18 Escriba = 0.001 junto a la expresión original para mostrar 0.1 × 0.01 = 0.001. Encierre en un círculo o subraye con un color diferente el 1 en 0.1 y el 1 en el producto 0.001. Empezamos con 1 décimo y lo multiplicamos por 1 centésimo. El producto es 1 milésimo. ¿Hacia qué lado se desplazó el dígito 1 en 1 décimo cuando lo multiplicamos por 1 centésimo? El dígito se desplazó hacia la derecha. ¿Cuántas unidades de valor posicional se desplazó el dígito 1?

2 unidades de valor posicional

DUA: Representación Considere colocar una ayuda visual y escribir comentarios mientras sus estudiantes describen por qué el dígito 1 en 0.1 se desplaza dos unidades de valor posicional hacia la derecha cuando se multiplica por 0.01.

Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para describir por qué el dígito 1 en 0.1 se desplaza dos unidades de valor posicional hacia la derecha cuando se multiplica por 0.01. Anime a sus estudiantes a usar el razonamiento del valor posicional para explicar. Sabemos que un dígito se desplaza una posición hacia la derecha cuando multiplicamos

 1   × ___   1   como __   1   × __   1   × __   1   . Cuando multiplicamos __   1   por __   1  , el dígito 1 por __   1  . Podemos pensar en __ 10

100

se desplaza de los décimos hasta los centésimos y, luego, cuando multiplicamos por __  1  de nuevo,

el dígito 1 se desplaza de los centésimos hasta los milésimos.

1 décimo es 100 milésimos. ___   1   de 100 milésimos es 1 milésimo. 100

Escriba las siguientes expresiones, una a la vez. Para cada expresión, pida a sus estudiantes que escriban la respuesta en sus pizarras blancas y las muestren. Pueden hallar los productos de cualquier manera que elijan. Anime a quienes se apoyan en el razonamiento del valor posicional a comprobar sus respuestas usando fracciones. Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir su razonamiento. Comente las respuestas incorrectas de ser necesario. • 0.5 × 0.01

0.005 • 1.5 × 0.01

0.015

327

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

Multiplicar números decimales por múltiplos de décimos y centésimos La clase usa la forma fraccionaria, la forma unitaria y la comprensión del valor posicional para multiplicar números decimales. Escriba 7 × 0.2. ¿Cómo podemos reescribir esta expresión usando una fracción?

__2

7 ×    

 2   . Pida a sus estudiantes que hallen 7 × __ 10

¿Cuál es el producto en forma fraccionaria?

14   10 ¿Cuál es el producto en forma estándar?

1.4 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si el producto 1.4 tiene sentido para 7 × 0.2 y por qué. Sí. Tiene sentido porque 7 grupos de 2 décimos es 14 décimos.

Sí. __   1   de 7 es __   7   . Entonces, __   2   de 7 es __   7   + __   7   , o __  14  . 10

Sí. 7 × 2 = 14. Sé que, al multiplicar por décimos, los dígitos se desplazan una unidad de valor posicional hacia la derecha, lo que me da 1.4. Sí. Puedo pensar en 7 × 0.2 como 7 × 2 × 0.1, o 14 × 0.1, que es 1.4. Escriba 0.7 × 0.2 y 0.07 × 0.2. Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar los productos. Pida a una o dos parejas que expliquen cómo obtuvieron la respuesta de cada expresión. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo cambió el producto cada vez que el dígito 7 del primer factor se desplazó una posición hacia la derecha. Luego, pídales que completen el problema 1 del libro con su pareja de trabajo. Recorra el salón de clases y brinde apoyo según sea necesario. Anime a sus estudiantes a usar su producto en forma fraccionaria si no están seguros sobre las unidades de valor posicional correctas del producto en forma unitaria.

328

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18 1. Completa la tabla para hallar cada producto. La primera fila ya está completada como ejemplo. Forma fraccionaria

Forma unitaria

Forma estándar

0.4 × 0.6 = 0.24

0.4 × 0.6

6   4   ×     =   4   10 10 100

__ __ ___

4 décimos × 6 décimos = 24 centésimos

0.2 × 0.3

3 6 2 __     × __     = ___    

2 décimos × 3 décimos = 6 centésimos

0.2 × 0.3 =

0.07 × 0.9

7   ×   9   =   63     100 10 1, 000

___ __ _____

7 centésimos × 9 décimos = 63 milésimos

0.07 × 0.9 = 0.063

0.5 × 0.08

8 40 5 __     × ___     = _____    

5 décimos × 8 centésimos = 40 milésimos

0.5 × 0.08 =

0.04

1.3 × 0.4

52 13 __   × __   4   = ___    

13 décimos × 4 décimos = 52 centésimos

1.3 × 0.4 =

0.52

100

1, 000

100

0.06

Si hay tiempo suficiente, considere pedir a sus estudiantes que expliquen por qué la forma fraccionaria y la forma unitaria del producto 0.5 × 0.08 indican milésimos, pero la forma estándar muestra centésimos.

329

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Relacionar la multiplicación de números decimales con la multiplicación de fracciones Guíe una conversación de toda la clase acerca de la multiplicación de números decimales usando la siguiente pregunta. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cómo pueden usar lo que saben sobre la multiplicación de fracciones para multiplicar números decimales? Podemos expresar los números decimales como fracciones, multiplicarlas y, luego, expresar el producto de las fracciones como un número decimal.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere ayudar a sus estudiantes durante la conversación colocando un banco de palabras para que se animen a usar lenguaje preciso. Incluya palabras como números decimales, dígitos, factores, posición, valor posicional, producto, __   1   de una cantidad y ___   1   de 10 100 una cantidad.

Si uno de los factores de número decimal es 0.1, desplazamos los dígitos del otro factor una unidad de valor posicional hacia la derecha para hallar el producto. El valor de un dígito cuando 1  del valor posicional original del dígito. se desplaza una posición hacia la derecha representa  __ 10

Si uno de los factores de número decimal es 0.01, desplazamos los dígitos del otro factor dos unidades de valor posicional hacia la derecha para hallar el producto. El valor de un dígito

cuando se desplaza dos posiciones hacia la derecha representa ___   1  del valor posicional original del dígito.

100

Muestre el siguiente enunciado. El producto de dos factores es mayor que los dos factores. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Anime a la clase a brindar ejemplos para apoyar su razonamiento. El enunciado es verdadero a veces. Cuando uno de los factores es 0, el producto siempre es 0. Por lo tanto, el producto es igual a uno de los factores.

330

Nota para la enseñanza Si sus estudiantes necesitan ayuda para determinar si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca, pídales que piensen en combinaciones específicas de números o brinde diversas expresiones de multiplicación para que las consideren, como las siguientes:

3×6

3 ×   1 

0.3 × 0.6

1.3 × 6

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18 Cuando uno de los factores es 1, el producto siempre es igual al otro factor, como en 3 × 1 = 3. Para números enteros, excepto con el 0 y el 1, el enunciado es verdadero. Por ejemplo, 2 × 4 = 8 porque 8 es mayor que 2 y 4. Cuando multiplicamos un número decimal menor que 1 por un número entero mayor que 1, el producto es menor que uno de los factores. Por ejemplo, 0.5 × 4 = 2 porque 2 es mayor que 0.5 pero menor que 4. Cuando multiplicamos dos números decimales menores que 1, el producto es menor que los dos factores. Por ejemplo, 0.2 × 0.3 = 0.06 porque 0.06 es menor que 0.2 y 0.3.

331

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

Nombre

Fecha

Completa el modelo de área. Expresa los números como fracciones para multiplicar. Expresa el producto en forma fraccionaria y en forma estándar. Cada modelo de área representa 1. 1. 0.2 × 0.3 = 0.06

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

Expresa los números decimales como fracciones para multiplicar. Expresa el producto en forma fraccionaria y en forma estándar. 5. 3 × 0.5 =

2. 0.4 × 0.7 = 0.28

1.5

5 3×5 × _____ = ____ 10 10

6. 0.3 × 0.5 =

3×5 _____ × _____ = ______

15 = _____ 10

7. 0.03 × 0.5 =

_____

10 6

10 × 10

100

3×5 _____ × _____ = _______

_____

2×3 _____ × _____ = ______ = _____

100

décimos ×

décimos =

centésimos =

4. 0.8 × 0.04

8 © Great Minds PBC

332

décimos ×

8. 1.2 × 4 =

4.8

_____ ×

= _____ 10 12 × 4

48 = _____ 10

4×7 _____ × _____ = ______ = _____ 10 × 10

100

Multiplica. Expresa el producto en forma unitaria y en forma estándar.

100 × 10

10 × 10

15 = _____ 100

15 = _____ 1,000

9. 1.2 × 0.4 =

3. 0.8 × 0.4

0.015

0.15

32 centésimos

32 milésimos

0.48

12 × 4 _____ × _____ = ______

0.32

10 × 10

48 = _____ 100

10. 1.2 × 0.04 =

100

0.048

12 × 4 _____ × _____ = _______ 10 × 100

48 = _____ 1,000

0.032 167

168

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

EUREKA MATH2

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

Multiplica. 11. 0.2 × 0.4 =

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 18

0.08

12. 0.9 × 0.5 =

17. Blake tiene 1.5 litros de agua. Bebe 6 décimos del agua. ¿Cuántos litros de agua bebe Blake?

0.45

0.6 × 1.5 = 0.9 Blake bebe 0.9 litros de agua.

13. 0.3 × 0.02 =

0.006

14. 0.07 × 0.6 =

0.042

18. Un sendero mide 6.45 kilómetros de largo. La Sra. Chan descansa después de caminar 0.4 del sendero. ¿Cuántos kilómetros le quedan por caminar?

0.4 × 6.45 = 2.58 6.45 − 2.58 = 3.87 Le quedan 3.87 kilómetros por caminar. 15. 0.4 × 0.33 =

0.132

16. 0.05 × 2.4 =

0.12

GRUPO DE PROBLEMAS

169

170

GRUPO DE PROBLEMAS

333

LECCIÓN 19

Multiplicar un número decimal por un número decimal

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

Nombre

Fecha

Multiplica. Muestra tu trabajo.

1.7 × 0.55 = 0.935 ×

5 5 centésimos 1 7 décimos 3

385 + 550 1 9 3 5 milésimos

Vistazo a la lección La clase determina la unidad de valor posicional que resulta de la multiplicación de 1 décimo por 1 décimo o por 1 centésimo y generaliza esas relaciones a cualquier número de décimos o centésimos. Usan estas relaciones para determinar el producto cuando multiplican dos números decimales usando la forma vertical. Confirman la unidad de valor posicional del producto expresando los números decimales en forma fraccionaria, estimando el producto o usando patrones y el razonamiento del valor posicional.

Pregunta clave • Cuando multiplicamos números decimales, ¿qué métodos podemos usar para determinar si la unidad del producto es razonable?

Criterios de logro académico 5.Mód4.CLA12 Estiman sumas, diferencias, productos y cocientes de números

decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B) 5.Mód4.CLA16 Multiplican números decimales hasta la posición de los

centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

185

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• ninguno

Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 30 min • Multiplicar dos números decimales usando la forma vertical • Multiplicar números decimales

Estudiantes • Práctica veloz: Dividir números enteros entre fracciones unitarias (en el libro para estudiantes)

• Problema verbal de multiplicación con números decimales • Grupo de problemas

Concluir 10 min

335

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

Fluidez

Práctica veloz: Dividir números enteros entre fracciones unitarias

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Dividir números enteros entre fracciones unitarias Materiales: E) Práctica veloz: Dividir números enteros entre fracciones unitarias

La clase escribe el cociente para adquirir fluidez con la división de números enteros entre fracciones unitarias del módulo 3.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Escribe el cociente. 1.

4 ÷ _1

7 ÷ _1

3 5

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea. No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo. En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.

336

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19 Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.

Nota para la enseñanza

Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.

Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:

Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B. En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!

• ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 10? ¿Y 11 a 22? • ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 5 con los problemas 6 a 10? ¿Cómo se comparan los problemas 1 y 2 con los problemas 11 y 12?

Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.

Nota para la enseñanza

Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

Cuente hacia delante de un tercio en un tercio del 0 al 3, expresando los números enteros con otro nombre cuando sea posible, para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de un cuarto en un cuarto de __   12  a __   0  para la actividad de conteo de 4 4 ritmo lento.

337

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

Presentar

La clase determina la unidad de un producto usando la comprensión del valor posicional. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y que sigan la rutina Charla matemática para que toda la clase participe en una conversación matemática. Dé 3 minutos para que cada estudiante piense en silencio cómo completar las ecuaciones y usar palabras, dibujos o ecuaciones para mostrar su razonamiento. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. 1. Completa las ecuaciones. Usa palabras, dibujos o ecuaciones para mostrar tu razonamiento. a. 1 décimo × 1 décimo = b. 1 décimo × 1 centésimo = c. 1 centésimo × 1 décimo =

1 centésimo

1 milésimo 1 milésimo

Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las fracciones y las unidades de valor posicional. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y registre lo que comparten. Mientras la clase conversa, destaque el razonamiento que muestre la relación entre las fracciones y los números decimales y entre las unidades de valor posicional de los factores y el producto.

__ 1 décimo × 1 décimo = 1 centésimo. Dibujamos un modelo de área para mostrar 10  1   de __   1  . 10 El modelo de área tiene 100 partes y 1 de ellas está sombreada. 1 décimo × 1 centésimo = 1 milésimo. 1 centésimo descompuesto en 10 partes iguales es diez 1 milésimos, así que __  1   de ___   1   es ____   1   . 10 100 1,000

1 centésimo × 1 décimo = 1 milésimo. Cuando multiplicamos por 1 décimo, los dígitos del otro factor se desplazan una unidad de valor posicional hacia la derecha, así que 0.01 × 0.1 = 0.001.

338

Apoyo para la comprensión del lenguaje Mientras la clase comparte, registre las explicaciones por escrito. Considere expresar los números con otro nombre en la forma escrita que más ayude a mostrar la relación que se describe en la explicación. Por ejemplo, si la explicación es sobre hallar parte de un número, asegúrese de escribir los números en forma fraccionaria.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19 Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas.

Nota para la enseñanza

¿Cuánto es 0.1 × 0.7? ¿Cómo lo saben?

0.07, porque sé que 1 × 7 = 7 y, al multiplicar décimos por décimos, obtenemos centésimos. Entonces, 1 décimo × 7 décimos = 7 centésimos. Haga las mismas preguntas sobre 0.5 × 0.3, 0.2 × 0.14 y 0.32 × 0.3. Presente 5.28 × 9.7. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre lo que saben acerca del producto.

Sus estudiantes estiman productos y comprueban si las unidades de valor posicional del producto son razonables a lo largo de la lección. Por lo tanto, no espere que hayan adquirido el dominio a esta altura.

El producto es aproximadamente 50. El producto tiene milésimos porque, al multiplicar centésimos por décimos, obtenemos milésimos. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a estimar y multiplicar números decimales por números decimales y a determinar si los productos son razonables.

Aprender

Multiplicar dos números decimales usando la forma vertical La clase multiplica números decimales usando la forma vertical y comprueba si las respuestas son razonables multiplicando en forma fraccionaria. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y estimen el producto. Es esperable que las estimaciones estén cerca de 1 porque 0.08 × 9.7 ≈ 0.1 × 10.

339

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19 Multiplica. Expresa el producto en forma unitaria y forma estándar. Escribe una ecuación en forma fraccionaria para comprobar si las unidades de valor posicional de tu producto son razonables. 2. 0.08 × 9.7 =

0.776

9 7 décimos 8 centésimos

7 7 6 milésimos 776 8  × 97 __ ___     =  _____ 

100

Nota para la enseñanza

1,000

Considere pedir a sus estudiantes que dibujen modelos de área para mostrar los productos parciales. Parte de la clase puede beneficiarse de ver las unidades de valor posicional de los productos parciales y el producto final en este formato.

8 centésimos

Guíe a la clase a través del uso de la forma vertical para hallar el producto escribiendo cada factor en forma unitaria.

¿Cuántos centésimos es 0.08?

8 centésimos Escriba 97 décimos × 8 centésimos en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Pida a la clase que halle 97 × 8. ¿Cuánto es 97 × 8?

7 décimos

72 centésimos

56 milésimos

0.72 + 0.056 = 0.776

¿Cuántos décimos es 9.7?

97 décimos

9 unidades

7 décimos

8 centésimos

72 centésimos

56 milésimos

2 décimos

18 décimos

14 centésimos

5 unidades

45 unidades

35 décimos

45 + 1.8 + 0.72 + 3.5 + 0.14 + 0.056 = 51.216

776 ¿Tenemos 776 de qué unidad? ¿Cómo lo saben? Tenemos 776 milésimos porque al multiplicar décimos por centésimos obtenemos milésimos. ¿Cuánto es 776 milésimos en forma estándar?

0.776 Representemos la ecuación en forma fraccionaria para comprobar si la respuesta es razonable.

340

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19 Pida a sus estudiantes que escriban 0.08 × 9.7 en forma fraccionaria y hallen el producto.

8 97 776 × = 100 10 1,000

¿Es razonable nuestra respuesta? ¿Cómo lo saben? Sí. También obtuvimos milésimos como la unidad cuando multiplicamos los números en forma fraccionaria. Sí. Estimamos que el producto estaría cerca de 1. Complete la ecuación de manera horizontal, 0.08 × 9.7 = guiar a la clase en el problema 3.

0.776 . Luego, repita el proceso para

3. 5.28 × 9.7 = 51.216

5 2 8 centésimos 9 7 décimos 1 5

3 696 2 7 + 47 520 1 1 1 5 1,2 1 6 milésimos

___ __ _____

97 51, 216 528  ×  =   1,000 100 10 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden comprobar si su respuesta es razonable cuando multiplican dos números decimales.

Multiplicar números decimales

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión de la relación entre la multiplicación de números decimales y la multiplicación de fracciones para identificar la unidad de valor posicional del producto basándose en las unidades de valor posicional de los factores.

La clase multiplica dos números decimales y busca patrones en los factores y en los productos.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar los problemas 4 y 5. Recorra el salón de clases mientras trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Considere hacer preguntas como las siguientes:

• ¿Cómo se relacionan la multiplicación de números decimales y la multiplicación de fracciones? ¿Cómo puede esa relación ayudarles a hallar el producto de dos números decimales?

• ¿Cuál es su estimación del producto? • ¿Cuáles son las unidades de valor posicional de cada uno de los factores? • ¿Cuál es la unidad de valor posicional del producto? ¿Cómo lo saben?

• ¿De qué otra manera pueden representar los números decimales para que les sea más fácil hallar el producto?

341

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19 • ¿Qué otra forma pueden usar para representar los números decimales? ¿Cómo puede ayudarles esa forma a hallar el producto? • ¿Es razonable su respuesta? ¿Cómo lo saben? • ¿Cómo puede ayudarles representar los números decimales de otra forma a determinar si su respuesta es razonable? Multiplica. Muestra tu trabajo. 4. 6.3 × 4.2 =

26.46

6 3 décimos × 4 2 décimos 126 1 +2 520 2,6 4 6 centésimos 5. 7.26 × 1.5 = 10.890

7 2 6 centésimos 1 5 décimos 1 3

3 630 + 7 260 1 0,8 9 0 milésimos

342

Nota para la enseñanza Es posible que quienes hayan escrito la respuesta al problema 5 como 10.89 no estén de acuerdo con la observación de que el número de dígitos después del punto decimal en los factores es igual al número de dígitos después del punto decimal en el producto. Considere recordarle a la clase que el producto es 10.890 pero podemos elegir representarlo como 10.89. La respuesta 10.890 se ajusta al patrón observado.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19 Invite a un par de estudiantes a que compartan sus respuestas. Para el problema 5, elija a alguien que haya representado el producto como 10.890 y a otra persona que haya representado el producto como 10.89 para que compartan con la clase. Si sus estudiantes no escribieron el producto de las dos maneras, muestre ambos productos, 10.890 y 10.89.

7.26 × 1.5 = 10.890 ×

7 2 6 centésimos 1 5 décimos 1 3

3 630 + 7 260 1 0 , 8 9 0 milésimos

7.26 × 1.5 = 1 0 . 8 9 ×

7 2 6 centésimos 1 5 décimos

1 3

3630 + 7 260 1 0,8 9 0 milésimos

¿Qué respuesta es correcta, 10.890 o 10.89? ¿Cómo lo saben? Las dos respuestas son correctas porque, cuando escribimos 10,890 milésimos en forma estándar, no necesitamos escribir el 0 en la posición de los milésimos. Las dos respuestas son correctas porque 10.890 y 10.89 son equivalentes. Cualquiera de las dos es correcta como producto. Pida a sus estudiantes que observen los problemas 2 a 5 y usen la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar qué patrones observan en el número de dígitos de los factores y los productos. Valide las respuestas de la clase, pero no confirme si alguno de los patrones que observan son siempre verdaderos. Considere registrar las respuestas para repasarlas en la sección Concluir. En los problemas 2, 3 y 4, el número total de dígitos que no son 0 en los factores es igual al número de dígitos del producto. El número total de dígitos después del punto decimal en los factores es igual al número de dígitos después del punto decimal en el producto. Invite a sus estudiantes a que sigan buscando patrones que observen en el número de dígitos de los factores y los productos que parezcan ser verdaderos mientras completan el problema 6 y el Grupo de problemas.

Diferenciación: Apoyo Si la clase necesita apoyo para empezar el problema 6 o para completarlo, haga las siguientes preguntas: • ¿Qué han intentado hasta ahora? • ¿Qué saben acerca de este problema? Considere hacer la pregunta al comienzo del problema. Por ejemplo, presente el problema de esta manera: ¿Cuánto cambio le dan a Sasha? Sasha compra 5.5 yardas de tela. Cada yarda cuesta $6.44. Paga con $40.00. Para ayudar a sus estudiantes a hallar el costo de la tela, haga las siguientes preguntas: • ¿Cuál es su estimación del producto? • ¿Cuáles son las unidades de valor posicional de cada uno de los factores? • ¿Cuál es la unidad de valor posicional del producto? ¿Cómo lo saben? • ¿Es razonable su respuesta? ¿Cómo lo saben?

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EUREKA MATH2

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Problema verbal de multiplicación con números decimales La clase resuelve un problema verbal de dos pasos que involucra la multiplicación de números decimales. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 6. Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema.

Nota para la enseñanza

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 6. Sasha compra 5.5 yardas de tela. Cada yarda cuesta $6.44. Paga con $40.00. ¿Cuánto cambio debería recibir Sasha? Ejemplo:

$40.00 $6.44

...

40.00 − 35.42 = 39.99 − 35.41

3 9. 9 9 – 3 5. 4 1 4. 5 8

5.5 yd 5.5 × 6.44 = 35.42

6 4 4 centésimos 5 5 décimos

40.00 − 35.42 = 4.58

40.00

− 35.00

Considere ayudar a sus estudiantes a recordar el método de compensación de la resta, que es útil cuando el minuendo tiene todos ceros excepto por el primer dígito.

5.00

− 0.42

4.58

2 2

3 220 2 2 +32 200 3 5,4 2 0 milésimos Sasha debería recibir $4.58 de cambio. Invite a una o dos parejas a compartir su trabajo. Luego, pida a sus estudiantes que miren el producto de 5.5 y 6.44. ¿Qué representa el producto de 5.5 y 6.44 en este problema? El producto representa el costo de la tela. ¿Qué observan sobre el producto en comparación con la forma en que solemos escribir el costo de algo? El producto tiene milésimos, pero en el problema el producto representa dinero, que solo tiene centésimos.

344

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19 ¿El contexto del problema afectó la manera en que representaron el producto? ¿Cómo? No, sabía que el 0 en la posición de los milésimos no era necesario, así que no lo escribí. Sí, incluí el 0 cuando escribí el producto, pero no escribí el 0 cuando escribí la expresión de resta para averiguar cuánto cambio recibe Sasha. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben que su respuesta es razonable.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar un número decimal por un número decimal Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de la multiplicación de un número decimal por un número decimal usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Replantee los patrones que observó la clase en el número de dígitos de los factores y los productos. Pida a sus estudiantes que consideren los problemas del Grupo de problemas para determinar si los patrones que observaron siguen pareciendo verdaderos. ¿Cómo pueden ayudarnos los patrones que observamos sobre el número de dígitos de los factores y los productos a determinar si el producto es razonable cuando multiplicamos? Podemos comprobar que el número total de dígitos después del punto decimal en los factores es igual al número de dígitos después del punto decimal en el producto.

DUA: Acción y expresión Considere reservar tiempo para que sus estudiantes reflexionen sobre su experiencia general con la multiplicación de números decimales por números enteros y por números decimales. Haga preguntas como las siguientes: • ¿Les sorprendió algo de lo que aprendieron sobre la multiplicación de números decimales? • ¿Qué métodos para multiplicar números decimales les funcionaron bien? • ¿Sobre qué tema aún tienen preguntas?

345

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

Cuando multiplicamos números decimales, ¿qué métodos podemos usar para determinar si la unidad del producto es razonable? Podemos estimar el producto antes de multiplicar y comprobar que el producto esté cerca de nuestra estimación. Podemos expresar los números decimales como fracciones y multiplicar las fracciones. Podemos pensar en las unidades de valor posicional de los factores y en lo que pasa cuando se multiplica cada una de esas unidades.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

5 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Dividir números enteros entre fracciones unitarias

Número de respuestas correctas:

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

2 ÷ _1 2

23.

3 ÷ _1

5 ÷ _1

24.

25.

2 2

7 ÷ _1

9 ÷ _1

26.

27.

2 2

2 ÷ _1

3 ÷ _1

28.

5 ÷ _1

29.

7 ÷ _1

30.

9 ÷ _1

31.

2 ÷ _1

32.

4 ÷ _1

33.

34.

3 3 3 3 3 4 4

8 ÷ _1

2 ÷ _1

35.

36.

4 5

4 ÷ _1

8 ÷ _1

37.

38.

5 5

2 ÷ _1

4 ÷ _1

6 6

8 ÷ _1

2 ÷ _1

4 ÷ _1 8 ÷ _1

6 8

174

8 8

Número de respuestas correctas: Progreso:

Escribe el cociente.

Escribe el cociente. 1.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Dividir números enteros entre fracciones unitarias

4 ÷ _1 7

8 ÷ _1

7 ÷ _1

7 4

7 ÷ _1

4 ÷ _1

8 9

8 ÷ _1

9 ÷ _1

10 ÷ _1

1 8 ÷ __

1 ÷ _1

10.

1 ÷ _1

11.

12.

9 4 8

10 4 8

1 3 ÷ __

1 4 ÷ __

13.

14.

11 12

11 ÷ _1

12 ÷ _1

15.

16.

5 6

39.

1 7 ÷ __

17.

40.

7 ÷ 0.1

18.

41.

1 8 ÷ ___

800

19.

42.

8 ÷ 0.01

800

20.

43.

9 ÷ 0.1

21.

44.

10 ÷ 0.01

1,000

22.

100

176

2 ÷ _1 2

23.

3 ÷ _1

21 42

7 ÷ _1

21 42

3 ÷ _1

27 54

9 ÷ _1

10 ÷ _1

1 6 ÷ __

1 ÷ _1

6 22

1 3 ÷ __

11 ÷ _1

12 ÷ _1

60 60 60

3 ÷ _1

4 ÷ _1

24.

6 ÷ _1

25.

2 2

6 ÷ _1

8 ÷ _1

26.

7 ÷ _1

27.

2 2

2 ÷ _1

3 ÷ _1

28.

6 ÷ _1

4 ÷ _1

29.

6 ÷ _1

30.

8 ÷ _1

31.

2 ÷ _1

32.

3 ÷ _1

33.

34.

3 3 3 3 3 4 4

10 3 6

6 ÷ _1

2 ÷ _1

35.

1 2 ÷ __

36.

4 5

3 ÷ _1

6 ÷ _1

37.

38.

5 5

4 5

2 ÷ _1

3 ÷ _1

39.

1 6 ÷ __

40.

6 ÷ 0.1

6 6

6 ÷ _1

2 ÷ _1

3 ÷ _1

43.

8 ÷ 0.1

6 ÷ _1

44.

9 ÷ 0.01

900

6 8 8 8

41.

1 7 ÷ ___

700

42.

7 ÷ 0.01

700

100

347

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

Nombre

Fecha

5. Riley comete un error cuando halla 3.2 × 0.44. Considera el trabajo de Riley.

Método de Riley

3.2 × 0.44 = 14.08

Multiplica. Expresa el producto en forma unitaria y en forma estándar. Escribe una ecuación en forma fraccionaria para comprobar las unidades de valor posicional en tu producto. 1. 4.6 × 0.8 = 3.68

× 4

décimos

centésimos

_____ × _____ = _____ 46

3 2 décimos 4 4 centésimos 1 28 +1 2 80 1 1 , 4 0 8 centésimos

2. 3.2 × 0.09 = 0.288

368

3 × 1

100

décimos

centésimos

milésimos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

¿Qué error cometió Riley? ¿Cómo lo sabes? Riley tiene unidades de valor posicional incorrectas en el producto. Las unidades deberían ser milésimos, porque multiplicar décimos por centésimos da milésimos como resultado.

288

_____ × _____ = _______

100

1,000

Multiplica.

6 3

× 4 +

décimos

2,368

____ × _____ = _______

348

1 1

6. 0.6 × 9.7 = 5.82

7. 3.4 × 4.8 = 16.32

8. 0.45 × 2.9 = 1.305

9. 5.2 × 3.64 =

4. 0.53 × 2.4 = 1.272

3. 6.4 × 3.7 = 23.68

100

5 2

+ centésimos

centésimos

décimos

18.928

milésimos

_____ × _____ = _______ 53

100

1,272

1,000

181

182

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 10. Luis compra una bolsa de harina que pesa 2.3 kilogramos. Usa 4 décimos de la bolsa de harina para hacer pan. ¿Cuántos kilogramos de harina usa Luis para hacer pan?

5 ▸ M4 ▸ TC ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

12. Sara corre 4.6 kilómetros. Noah corre una distancia que equivale a 0.75 de la distancia que corre Sara. ¿Cuántos kilómetros más que Noah corre Sara?

0.75 × 4.6 = 3.45 4.6 − 3.45 = 1.15

0.4 × 2.3 = 0.92

Sara corre 1.15 kilómetros más que Noah.

Luis usa 0.92 kilogramos de harina para hacer pan.

11. El Sr. Pérez compra 1.5 libras de queso. Cada libra de queso cuesta $6.32. ¿Cuál es el costo total del queso?

1.5 × 6.32 = 9.48 El costo total del queso es $9.48.

GRUPO DE PROBLEMAS

183

184

GRUPO DE PROBLEMAS

349

Tema D División de números decimales En el tema D, la clase aplica los métodos para dividir números enteros a la división de números decimales. Sus estudiantes usan el razonamiento de la forma unitaria y la estimación para determinar si sus respuestas son razonables, especialmente al razonar sobre la ubicación del punto decimal en el cociente. Analizan la relación entre dividendos, divisores y cocientes, y generalizan que pueden interpretar problemas que involucran la división de números decimales usando las mismas interpretaciones que para la división de números enteros. Representan los números de las expresiones de división en forma unitaria y usan el razonamiento de la forma unitaria para dividir números decimales entre números enteros de un solo dígito o múltiplos de 10, 100 o 1,000. Primero, dividen distribuyendo unidades en una tabla de valor posicional y registran su razonamiento en forma vertical. Luego, usan la división larga. Según sea necesario, sus estudiantes expresan el dividendo usando la siguiente unidad más pequeña para seguir dividiendo. Para dividir entre un múltiplo de 10, 100 o 1,000, reescriben el divisor usando un número de un dígito y la potencia de 10 para aplicar su comprensión del valor posicional y el método de divisor de un dígito para hallar el cociente. Para dividir números decimales entre números enteros de dos dígitos, continúan usando la forma unitaria y la división larga. Dibujan un modelo de área como un modelo alternativo más eficiente que el dibujo en una tabla de valor posicional con divisores de dos dígitos. El razonamiento de la forma unitaria permite a sus estudiantes usar métodos de división de números enteros para dividir antes de expresar el cociente en forma decimal. Al expresar números decimales como fracciones, sus estudiantes relacionan la división de números decimales con la división de fracciones. Interpretan las expresiones de división como grupos iguales (p. ej., 50 grupos de ___   1   forman 5 décimos y 3 grupos de 4 décimos forman 12 décimos) y partes 100

  1   de 50). Aplican la comprensión del valor posicional a estas de un entero (p. ej., 5 décimos es ___ 100

interpretaciones con el fin de hallar cocientes de números decimales y 0.1 o 0.01. Para dividir números decimales entre números decimales, expresan el dividendo y el divisor en forma unitaria con la misma unidad y, luego, dividen. Otro método que usan sus estudiantes para dividir números decimales es reescribir la expresión para dividir entre 0.1 o 0.01 y, luego, dividir entre un número entero para hallar el cociente. En el tema E, sus estudiantes aplican su comprensión del cálculo de números decimales para convertir medidas del sistema inglés y del sistema métrico a unidades más grandes y más pequeñas, para interpretar y evaluar expresiones numéricas que involucran números decimales y para resolver problemas del mundo real que involucran números decimales. © Great Minds PBC

351

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD

Progresión de las lecciones Lección 20

Lección 21

Lección 22

Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando la forma unitaria y la comprensión del valor posicional

Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando la comprensión del valor posicional y la forma vertical

Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de dos dígitos

6.72 ÷ 32 =

524.6 ÷ 50 = 524.6 ÷ 50 = 524.6 ÷ 10 ÷ 5 = 52.46 ÷ 5

Dibujar un modelo de área para dividir números decimales entre números enteros de dos dígitos es más eficiente que dibujar en una tabla de valor posicional. Usar la forma unitaria o usar la división larga también es un método útil para dividir números decimales entre números enteros de dos dígitos.

Puedo usar la forma unitaria o dibujar en una tabla de valor posicional para dividir un número decimal entre un número entero de un dígito. Cuando quedan más unidades para distribuir, puedo expresar 1 de una unidad como 10 de la siguiente unidad más pequeña.

La división larga puede ayudarme a organizar mi razonamiento al dividir. Puedo registrar mi razonamiento usando la forma vertical. La estimación me ayuda a pensar en la unidad para el cociente.

352

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD

Lección 23

Lección 24

Lección 25

Relacionar la división entre 0.1 y 0.01 con la división entre una fracción unitaria

Dividir números decimales entre números decimales con un resultado de cociente entero

Dividir números decimales entre números decimales con un resultado de cociente decimal

3.4 ÷ 0.1 = 3.4 ÷ __   1   10

grupos de __  1   forman 3.

grupos de __  1   forman 0.4.

grupos de __  1   forman 3.4.

3.4 ÷ 0.1 =

Al dividir un número entre 0.1, puedo pensar en dividir entre la fracción

unitaria __   1   o hallar el número de grupos 10

Método de Luis

de __   1   que forman el número.

Para dividir un número decimal entre un número decimal, puedo expresar el dividendo y el divisor en forma unitaria con las mismas unidades y, luego, dividir. También puedo reescribir la expresión para poder dividir entre 0.1 o 0.01 y, luego, usar un método de división de números enteros para hallar el cociente.

Cuando el divisor es un número decimal, puedo usar la forma unitaria o reescribir el divisor para obtener un número entero como divisor. Luego, puedo usar la división larga para hallar el cociente.

353

LECCIÓN 20

Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando la forma unitaria y la comprensión del valor posicional

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Nombre

Fecha

Divide. Muestra tu trabajo. 1. 0.42 ÷ 7 = 0.06 Ejemplo:

42 centésimos ÷ 7 = 6 centésimos

Vistazo a la lección La clase usa diagramas de cinta para determinar que la relación entre el dividendo, el divisor y el cociente es la misma para dividendos de números decimales que para dividendos de números enteros. Usan la forma unitaria para dividir un número decimal entre un número entero cuando una expresión se puede evaluar usando el cálculo mental. Luego, usan una tabla de valor posicional para dividir un número decimal entre un número entero y, si es necesario, añaden una columna a la tabla de valor posicional. Para dividir un número decimal entre un múltiplo de una potencia de 10, la clase reescribe la expresión con un divisor de un dígito y, luego, usa las relaciones de valor posicional para dividir entre la potencia de 10.

Pregunta clave • ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre dividir números decimales y dividir números enteros? 2. 5.2 ÷ 200 = 0.026

Criterios de logro académico

Ejemplo:

5.2 ÷ 200 = 5.2 ÷ 2 ÷ 100 = 2.6 ÷ 100

5.Mód4.CLA12 Estiman sumas, diferencias, productos y cocientes de números

= 0.026

decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B) 5.Mód4.CLA17 Dividen números decimales hasta la posición de los

centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA18 Representan la suma, la resta, la multiplicación y la división

de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

191

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 10 min

• ninguno

Aprender 30 min • Dividir números decimales entre números enteros de un dígito usando la forma unitaria

Estudiantes • ninguno

• Dividir números decimales entre números enteros de un dígito dibujando en una tabla de valor posicional • Dividir números decimales entre múltiplos de 10, 100 o 1,000 • Grupo de problemas

Concluir 10 min

355

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir en forma unitaria y en forma estándar La clase divide unidades, decenas o centenas en forma unitaria y, luego, escribe la ecuación con los números en forma estándar como preparación para dividir números decimales. Muestre 6 unidades ÷ 2 =

unidades.

¿Cuánto es 6 unidades ÷ 2 en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

3 unidades Muestre la respuesta. Escriban la ecuación con los números en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

6 unidades ÷ 2 = 3 unidades 6÷2=3

Muestre la respuesta.

356

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

27 unidades ÷ 3 = 9 unidades

8 decenas ÷ 4 = 2 decenas

35 decenas ÷ 5 = 7 decenas

27 ÷ 3 = 9

80 ÷ 4 = 20

350 ÷ 5 = 70

24 centenas ÷ 6 = 4 centenas

56 centenas ÷ 7 = 8 centenas

2,400 ÷ 6 = 400

5,600 ÷ 7 = 800

Contar de 5 décimos en 5 décimos en la recta numérica La clase cuenta salteado usando unidades de 5 décimos en forma fraccionaria, en forma estándar y con números mixtos para adquirir fluidez con diferentes representaciones de números. Muestre la recta numérica.

Usen la recta numérica para contar de 5 décimos en 5 décimos en forma fraccionaria desde __  0 10 50 0 __ __ hasta     . Empiecen diciendo     . ¿Comenzamos? 10

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

__ __ __   0   , __   5   …, 45 , 50   10 10

10 10

0 10

5 10

10 10

15 10

5 10

1 10

20 10

25 10 5

30 10

35 10 5

40 10

45 10

50 10

2 2 10 3 3 10 4 4 10 5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

357

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Ahora, vuelvan a contar de 5 décimos en 5 décimos. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

5   , 5 0, __   5   …, 4  __ 10

Ahora, vuelvan a contar de 5 décimos en 5 décimos. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 0.5…, 4.5, 5.0

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir entre potencias de 10 La clase determina el cociente como preparación para dividir números decimales. Muestre 2 ÷ 10 =

2 ÷ 10 =

0.2

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

358

5 ÷ 100 = 0.05

8 ÷ 1,000 = 0.008

0.7 ÷ 100 = 0.007

17 ÷ 1,000 = 0.017

0.4 ÷ 10 = 0.04

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Presentar

La clase determina que las relaciones entre el dividendo, el divisor y el cociente en un problema verbal de división no cambian cuando cambia el dividendo de un número entero a un número decimal. Presente el problema. Lacy tiene un trozo de listón. Corta el listón en partes más pequeñas de igual tamaño. ¿Cuál es la longitud de cada parte más pequeña del listón? Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre qué podrían dibujar para representar el problema y, luego, pida que dibujen sus representaciones. Anime a la clase a complementar las respuestas de sus pares. Podemos dibujar un diagrama de cinta para representar el ? listón entero. La longitud del listón es un valor desconocido. Podemos dibujar una parte para ? ... representar las partes iguales más pequeñas que se cortaron del listón, pero el número de partes es desconocido. Podemos rotular la longitud de una parte como un número desconocido. ¿Tenemos toda la información que necesitamos para resolver el problema? ¿Qué información necesitamos? No, necesitamos saber la longitud del listón entero y en cuántas partes iguales cortó el listón Lacy.

359

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Presente el problema con información adicional. Lacy tiene un trozo de listón. Corta el listón en 3 partes iguales. ¿Cuál es la longitud de cada parte más pequeña del listón? ¿Qué sabemos ahora que no sabíamos antes? Lacy corta el listón en 3 partes iguales.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para corregir sus representaciones de acuerdo con la información nueva. ¿Qué cambió en su representación de acuerdo con la nueva información?

Dividimos el diagrama en 3 partes iguales.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Para reducir la exigencia del lenguaje al determinar qué cambia con la nueva versión del problema, considere mostrar el problema nuevo junto con el problema anterior. Como alternativa, considere brindar una copia impresa de todos los enunciados del problema para que sus estudiantes puedan resaltar o subrayar los cambios.

¿Qué no cambió en su representación de acuerdo con la nueva información? La longitud del diagrama no cambió y la longitud de cada parte todavía es desconocida. ¿Tenemos toda la información que necesitamos para resolver el problema? ¿Qué información necesitamos? No. Necesitamos saber la longitud del listón entero. Presente el problema con información adicional. Lacy tiene un listón que mide 6 metros de largo. Corta el listón en 3 partes iguales. ¿Cuál es la longitud de cada parte más pequeña del listón? ¿Qué sabemos ahora que no sabíamos antes? La longitud del listón entero es 6 metros.

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EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

6 metros

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para corregir sus representaciones de acuerdo con la información nueva. ¿Qué cambió en su representación de acuerdo con la nueva información?

Rotulamos la longitud del diagrama como 6 metros. ¿Qué no cambió en su representación de acuerdo con la nueva información? La longitud de cada parte todavía es desconocida y el diagrama todavía está dividido en 3 partes iguales. ¿Tenemos toda la información que necesitamos para resolver el problema? Sí. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir una ecuación y resolver el problema.

6 ÷ 3 = 2

¿Cuál es la longitud de cada parte más pequeña del listón?

2 metros Presente el problema con información diferente.

Lacy tiene un listón que mide 0.9 metros de largo. Corta el listón en 3 partes iguales. ¿Cuál es la longitud de cada parte más pequeña del listón? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los problemas? El listón está dividido en 3 partes iguales más pequeñas. La longitud del listón entero es 0.9 metros de largo en lugar de 6 metros. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para revisar sus representaciones de acuerdo con el problema usando la información diferente.

0.9 metros

¿Qué cambió en su representación de acuerdo con la información diferente? El rótulo para el diagrama cambió de 6 metros a 0.9 metros. ¿Qué no cambió en su representación de acuerdo con la información diferente? El diagrama de cinta sigue dividido en 3 partes iguales.

361

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Imaginen que el listón de Lacy mide 3.6 metros de largo. O que el listón de Lacy mide 0.36 metros de largo. ¿Cómo cambiaría su representación esa información? El rótulo para la longitud del diagrama cambiaría a 3.6 metros o 0.36 metros. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué lo único que cambia en el diagrama es el rótulo para la longitud. Lo que sucede en el problema no cambia; hay un listón entero que Lacy divide en 3 partes iguales. El tamaño del listón entero cambia, pero el número de partes iguales en las que se divide el entero no cambia. Podemos representar cómo dividir un número decimal en grupos de igual tamaño usando los mismos modelos que usamos para representar cómo dividir un número entero en grupos de igual tamaño. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, dividiremos números decimales entre números enteros de un dígito y múltiplos de

10, 100 o 1,000.

Aprender

Dividir números decimales entre números enteros de un dígito usando la forma unitaria La clase divide mentalmente números decimales entre números enteros de un dígito usando la forma unitaria Para continuar, muestre el último problema de la sección Presentar. Lacy tiene un listón que mide 0.9 metros de largo. Corta el listón en 3 partes iguales. ¿Cuál es la longitud de cada parte más pequeña del listón?

362

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 ¿Qué expresión podemos usar para representar el problema?

0.9 ÷ 3 Escribamos el número decimal en forma unitaria. Escriba 9 décimos ÷ 3. ¿Cuántas unidades hay en cada grupo cuando 9 décimos se divide en 3 grupos iguales?

3 décimos Escriba = 3 décimos y pida a sus estudiantes que completen la ecuación en forma unitaria. ¿Cuál es la longitud de cada parte más pequeña del listón?

0.3 metros Escriba 0.9 ÷ 3 = 0.3 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Repita el proceso para otras dos versiones del problema. Lacy tiene un listón que mide 0.36 metros de largo. Corta el listón en 3 partes iguales. ¿Cuál es la longitud de cada parte más pequeña del listón? Lacy tiene un listón que mide 3.6 metros de largo. Corta el listón en 3 partes iguales. ¿Cuál es la longitud de cada parte más pequeña del listón? ¿Qué observan sobre 36 centésimos ÷ 3 y 36 décimos ÷ 3? Cuando están escritos en forma unitaria, observo 36 en ambos dividendos, 3 en ambos divisores y 12 en ambos cocientes. Observo que las unidades de los dividendos y los cocientes son diferentes. En un problema se usan centésimos y en el otro problema se usan décimos. Observo que las unidades del dividendo en cada problema son iguales que las unidades en el cociente en cada problema. Invite a la clase a determinar mentalmente 36 unidades ÷ 3, 36 centésimos ÷ 3 y 36 millones ÷ 3.

Nota para la enseñanza Considere usar la forma vertical para hallar 36 ÷ 3. Aunque haya estudiantes que puedan hallar 36 ÷ 3 mentalmente, anime a sus estudiantes a usar la forma vertical, según sea necesario durante la lección, para hallar el cociente de los dos números enteros en las expresiones en forma unitaria.

Nota para la enseñanza Habrá estudiantes que reconozcan que, cuando dividen un número decimal entre un número entero o un número entero entre un número decimal, si el número de unidades en los dividendos es el mismo y el número de unidades en los divisores es el mismo, entonces, el número de unidades en los cocientes será el mismo. Celebre este razonamiento y desafíe a sus estudiantes a comprobar el patrón durante la lección.

363

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 ¿En qué se parece y en qué se diferencia pensar en la forma unitaria para dividir números decimales entre números enteros y pensar en la forma unitaria para dividir números enteros? Podemos pensar en el dividendo en la forma unitaria al dividir números decimales entre números enteros y al dividir números enteros. En los números decimales, la unidad es una unidad decimal, pero en los números enteros la unidad es un número entero. Escriba 2.46 ÷ 2. Pida a la clase que use la forma unitaria para dividir. Recorra el salón de clases mientras trabajan e identifique estudiantes que representen el dividendo usando la forma unitaria de diferentes maneras. Luego, invite a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su trabajo. Considere representar cualquiera de los siguientes métodos si sus estudiantes no los comparten. Reescribí 2.46 ÷ 2 como 246 centésimos ÷ 2. Usé el cálculo mental para hallar el cociente 123 centésimos, o 1.23. Reescribí 2.46 ÷ 2 como 2 unidades y 46 décimos ÷ 2. Usé el cálculo mental para hallar 2 unidades ÷ 2 = 1 unidad y 46 décimos ÷ 2 = 23 décimos. Por lo tanto, el cociente de 2.46 y 2 es 1 unidad y 23 décimos, o 1.23. Reescribí 2.46 ÷ 2 como 2 unidades, 4 décimos y 6 centésimos ÷ 2. Usé el cálculo mental para hallar 2 unidades ÷ 2 = 1 unidad, 4 décimos ÷ 2 = 2 décimos y 6 centésimos ÷ 2 = 3 centésimos. Por lo tanto, el cociente de 2.46 y 2 es 1 unidad, 2 décimos y 3 centésimos, o 1.23.

Nota para la enseñanza Cuando sus estudiantes usen la forma unitaria para dividir un número decimal entre un número entero de un dígito, anímeles a representar el dividendo, que es un número decimal, en cualquier forma que facilite el cálculo mental.

2.46 ÷ 2 = 246 centésimos ÷ 2 2.46 ÷ 2 = 2 unidades y 46 décimos ÷ 2 2.46 ÷ 2 = 2 unidades, 4 décimos y 6 centésimos ÷ 2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la forma unitaria para dividir un número decimal entre un número entero. Destaque la idea de que la forma unitaria es más útil al dividir múltiplos que se pueden reconocer, que pueden hallarse mentalmente.

Dividir números decimales entre números enteros de un dígito dibujando en una tabla de valor posicional La clase divide números decimales entre números enteros de un dígito dibujando en una tabla de valor posicional, que incluye añadir una columna para desagrupar una unidad nueva. Escriba 5.6 ÷ 4. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar el cociente.

1 grupo de 4 es 4, y 2 grupos de 4 es 8. Dado que 5.6 está entre 4 y 8, el cociente estará entre 1 y 2. El cociente será aproximadamente 1  _1  . Redondeo 5.6 a 6, y 6 dividido entre 4 es _ 6  , o 1  _1  . 2 2 4 Dibujemos en una tabla de valor posicional para dividir 5.6 entre 4.

364

Nota para la enseñanza En esta lección y en la siguiente, se incentiva el razonamiento matemático de sus estudiantes para que puedan entender conceptualmente la división de números decimales incluso cuando la unidad más pequeña del dividendo debe reescribirse en función de la siguiente unidad más pequeña. Por ejemplo, en 0.43 ÷ 2, el dividendo está en centésimos, pero el cociente estará en milésimos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Dibuje una tabla de valor posicional de dos columnas y dibuje puntos para representar 5.6. Dibuje una línea horizontal para separar el dividendo de los grupos. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuál es el divisor?

4 Dibuje 3 líneas horizontales más para representar los 4 grupos y pida a la clase que haga lo mismo.

Nota para la enseñanza Considere dibujar la línea horizontal que separa el dividendo de los grupos con un color diferente o haciendo la línea más gruesa.

¿Qué unidad de valor posicional distribuimos primero? Las unidades Distribuya 4 de las unidades tachando una a la vez a medida que las distribuye. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Puedo distribuir la última unidad? ¿Por qué? No. Si la distribuye, los grupos no serán iguales. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo expresar la unidad con otro nombre para continuar dividiendo. Podemos expresar 1 unidad como 10 décimos y, luego, distribuir los décimos. Tache la unidad restante y dibuje una flecha que señale la posición de los décimos. Muestre cómo la unidad se expresa como 10 décimos dibujando 10 décimos. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuántos décimos hay ahora en nuestra tabla de valor posicional?

16 Distribuya los décimos, tache uno a la vez a medida que los distribuye. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuántas unidades y cuántos décimos hay en cada grupo?

1 unidad y 4 décimos ¿Cuánto es 5.6 ÷ 4?

1.4

Diferenciación: Apoyo Si sus estudiantes necesitan una experiencia concreta, ponga a su disposición los discos de valor posicional y permita que distribuyan e intercambien los discos. Brinde apoyo a sus estudiantes en la transición de la representación concreta a dibujar en la tabla de valor posicional.

Diferenciación: Desafío Considere desafiar a sus estudiantes a usar un vínculo numérico para registrar la descomposición del dividendo que se muestra en la tabla de valor posicional.

5.6 ÷ 4 = 1.4 4 1.6 0.43 ÷ 2 = 0.215 0.4 0.02 0.010

365

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Escriba 1 unidad y 4 décimos junto a un grupo en la tabla de valor posicional. Escriba = 1.4 junto a la expresión 5.6 ÷ 4. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar el cociente con su estimación y determinar si el cociente es razonable. Escriba 0.43 ÷ 2. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar el cociente. El cociente será aproximadamente 0.2. Redondeé 0.43 a 0.4, y 4 décimos dividido entre 2 es 2 décimos, o 0.2. Dibuje una tabla de valor posicional de tres columnas que muestre unidades, décimos y centésimos. Represente cómo usar la tabla de valor posicional para hallar 0.43 ÷ 2. Cuando queda un residuo de 1 centésimo como se muestra, haga una pausa y pregunte lo siguiente. Parece que 1 centésimo es el residuo, pero ¿cómo podemos expresar 1 centésimo con otro nombre? Podemos expresar 1 centésimo como 10 milésimos. Dibuje una columna de milésimos en la tabla de valor posicional. Tache el centésimo restante y dibuje una flecha que señale la posición de los milésimos. Muestre cómo 1 centésimo se expresa como 10 milésimos dibujando 10 milésimos. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cambió el valor del dividendo? ¿Cómo lo saben? No. Lo sé porque el dividendo es 4 décimos, 2 centésimos y 10 milésimos, que tiene el mismo valor que 4 décimos y 3 centésimos. No. Lo sé porque expresamos 1 centésimo como 10 milésimos, pero no sumamos ni restamos ninguna unidad, así que no cambiamos el valor del dividendo.

366

Nota para la enseñanza Considere establecer una relación entre el hecho de expresar como una nueva unidad para dividir en la tabla de valor posicional y el hecho de agregar una columna a la izquierda en la tabla de valor posicional para mostrar cómo reagrupar en una unidad que no estaba en los factores de la multiplicación.

DUA: Acción y expresión Considere brindar plantillas de tablas de valor posicional de dos y tres columnas. Cada estudiante puede dibujar la posición adicional de los milésimos. Esto brinda a sus estudiantes la experiencia de necesitar agregar una columna para mostrar cómo expresar una unidad como otra que no estaba en el dividendo, a la vez que se minimizan las exigencias de motricidad fina de la tarea. Anime a sus estudiantes a organizar sus dibujos. Anímeles a que organicen los puntos en grupos de 5 cuando dibujen en la tabla de valor posicional. Los grupos de 5 les resultarán conocidos de grados anteriores.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 A veces, cuando dividimos, necesitamos agregar una columna a la derecha de la unidad más pequeña en la tabla de valor posicional para mostrar que desagrupamos una nueva unidad que no estaba en el dividendo. Distribuya 10 milésimos, tachando uno a la vez a medida que los distribuye. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuántos décimos, centésimos y milésimos hay en cada grupo?

2 décimos, 1 centésimo y 5 milésimos ¿Cuánto es 0.43 ÷ 2?

0.215 Escriba 2 décimos, 1 centésimo y 5 milésimos junto a un grupo en la tabla del valor posicional. Escriba = 0.215 junto a la expresión 0.43 ÷ 2. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar el cociente con su estimación y determinar si su respuesta es razonable. Luego, pida a sus estudiantes que conversen sobre cómo pueden usar una tabla de valor posicional para dividir un número decimal entre un número entero de un dígito y en qué se parece y en qué se diferencia usar una tabla de valor posicional para dividir un número entero entre un número entero.

Dividir números decimales entre múltiplos de 10, 100 o 1,000 La clase divide números decimales entre múltiplos de 10, 100 o 1,000 al reescribir el divisor usando un número de un dígito y una potencia de 10. Escriba 2.5 ÷ 50. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar el cociente. El cociente será muy pequeño. 2.5 es un número pequeño y se divide en muchos grupos.

  1 . Como 2.5 es mucho más pequeño que El cociente se acercará a 0 porque 50 ÷ 50 = 1 y 25 ÷ 50 = _ 2 50, el cociente será mucho más pequeño que 1.

367

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Presente el trabajo para 2.5 ÷ 50. ¿Es razonable la respuesta? ¿Cómo lo saben? Sí. Lo sé porque estimamos que el cociente sería cercano a 0, y 0.05 está cerca de 0.

2.5 ÷ 50 = 2.5 ÷ 5 ÷ 10 = 0.5 ÷ 10

25 décimos ÷ 5 = 5 décimos

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

= 0.05

Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se halló 2.5 ÷ 50. Para dividir entre 50, se dividió entre 5 y, luego, se dividió entre 10. Se usó la forma unitaria para hallar 2.5 ÷ 5. Luego, se desplazaron los dígitos una posición hacia la derecha para dividir entre 10. ¿Por qué creen que se reescribió la expresión 2.5 ÷ 50 como 2.5 ÷ 5 ÷ 10? Ambas expresiones tendrán el mismo valor, pero dividir 2.5 entre 5 y, luego, dividir entre 10 es un problema más simple que se puede resolver mentalmente. Podemos usar la forma unitaria o una tabla de valor posicional para hallar 2.5 ÷ 5 y, luego, dividir entre 10 desplazando los dígitos una posición hacia la derecha. Cuando el divisor es un múltiplo de 10, podemos reescribir el divisor como un número de un dígito y 10. Luego, hallamos el cociente de la expresión relacionada con un divisor de un dígito y usamos el razonamiento del valor posicional para dividir entre 10.

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión sobre dividir entre potencias de 10 para dividir un número decimal entre un múltiplo de 10, 100 o 1,000 escribiendo una expresión relacionada que implica dividir el dividendo de número decimal entre un divisor de un dígito y, luego, dividir el resultado entre 10, 100 o 1,000. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relacionan dividir un número decimal entre una potencia de 10 y dividir un número decimal entre un múltiplo de 10, 100 o 1,000? ¿Cómo puede ayudarles esa relación a hallar el cociente? • ¿De qué otra forma pueden escribir la expresión de división para que les ayude a determinar el cociente?

Escriba 24.8 ÷ 800. ¿Qué expresión relacionada con un divisor de un dígito podemos usar para pensar en 24.8 ÷ 800?

24.8 ÷ 8 ÷ 100

Nota para la enseñanza

Escriba = 24.8 ÷ 8 ÷ 100. Cuando el divisor es un múltiplo de 100 o 1,000, podemos reescribir el divisor como un número de un dígito y 100 o 1,000. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema. Invite a un par de estudiantes a compartir su trabajo. ¿Cuánto es 24.8 ÷ 800?

0.031 Escriba = 0.031.

368

Sus estudiantes pueden hallar la respuesta a 24.8 ÷ 8 de diferentes formas, incluidas las que siguen a continuación: • Pensar en el problema en forma unitaria y usar el cálculo mental, un modelo de área o la división larga para dividir • Usar una tabla de valor posicional • Descomponer el dividendo en partes, como 24 y 0.8. Luego, dividir cada parte entre 8

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo usar una expresión relacionada para dividir un número decimal entre un múltiplo de 10, 100 o 1,000.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando la forma unitaria y la comprensión del valor posicional Guíe una conversación de toda la clase sobre el uso del razonamiento del valor posicional y la forma unitaria para dividir números decimales entre números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Escriba 12 ÷ 2 y 1.2 ÷ 2. Pida a sus estudiantes que resuelvan cada problema antes de hacer las siguientes preguntas. ¿En qué se parecen dividir un número decimal entre un número entero y dividir dos números enteros? Podemos estimar el cociente para ver si nuestra respuesta es razonable. Estamos dividiendo un total entre grupos iguales. Podemos reescribir el divisor para formar expresiones que sean más simples de evaluar mentalmente. Podemos usar los mismos métodos para representar ambas situaciones, como usar un diagrama de cinta, la forma unitaria o una tabla de valor posicional.

369

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

EUREKA MATH2

¿En qué se diferencian dividir un número decimal entre un número entero y dividir dos números enteros? Una estimación podría indicar que el cociente es un número muy pequeño en lugar de ser un número exacto. El cociente suele ser un número decimal en lugar de un número entero. ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre 1.2 ÷ 2 y el razonamiento del valor posicional para hallar 1.2 ÷ 20? Para hacer que dividir entre 20 sea más simple, podemos dividir entre 2 y, luego, dividir entre 10. Podemos reescribir la expresión 1.2 ÷ 20 como 1.2 ÷ 2 ÷ 10. Dado que sabemos que 1.2 ÷ 2 es 0.6, podemos dividir 0.6 entre 10. Al usar el razonamiento del valor posicional, desplazamos los dígitos una posición hacia la derecha cuando dividimos entre 10. Por lo tanto, 1.2 ÷ 20 es 0.06.

370

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

8. 6.45 ÷ 3 = 2.15 Unidades

Décimos

Centésimos

Divide. Expresa el cociente en forma unitaria y en forma estándar. 1. 6 décimos ÷ 3 =

0.6 ÷ 3 =

÷2 =

2. 8 centésimos ÷ 4 =

centésimos

2 unidades 1 décimo

0.08 ÷ 4 = 0.02

3. 14 décimos ÷ 2 =

1.4

décimos

0.2 7

décimos

0.7

5. 515 décimos ÷ 5 =

4. 24 centésimos ÷ 6 =

5 centésimos 4

centésimos

0.24 ÷ 6 = 0.04 103 décimos

51.5 ÷ 5 = 10.3

6. 840 centésimos ÷ 8 =

105 centésimos

9. 4.5 ÷ 2 = 2.25

8.40 ÷ 8 = 1.05

Unidades

Décimos

Centésimos

2 unidades 2 décimos

5 centésimos

Dibuja en la tabla de valor posicional para dividir. Luego, completa la ecuación. El problema 7 ya está empezado como ejemplo. 7. 8.42 ÷ 2 = 4.21 Unidades

Décimos

Centésimos

Divide. Completa la expresión para mostrar la relación entre los problemas de división.

4 unidades

10. 1.8 ÷ 2 =

2 décimos

0.9

1.8 ÷ 20 = 0.09

1 centésimo

1.8 ÷ 2 ÷ 10

187

188

GRUPO DE PROBLEMAS

11. 0.45 ÷ 9 = 0.05

0.45 ÷ 90 = 0.005

0.45 ÷ 9 ÷

371

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

EUREKA MATH2

12. 12.6 ÷ 6 =

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

2.1

13. 963 ÷ 3 =

321

12.6 ÷ 600 = 0.021

963 ÷ 3,000 = 0.321

12.6 ÷ 6 ÷ 100

963 ÷ 3 ÷ 1,000

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 20

18. 3.05 ÷ 50 = 0.061

19. 42.6 ÷ 200 = 0.213

Divide. 14. 3.5 ÷ 5 =

0.7

15. 0.56 ÷ 7 = 0.08 Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 20. Toby bebe un total de 1.92 litros de jugo de naranja en 8 días. Bebe la misma cantidad de jugo de naranja todos los días. ¿Cuántos litros de jugo de naranja bebe Toby cada día?

1.92 ÷ 8 = 0.24 Toby bebe 0.24 litros de jugo de naranja cada día.

16. 3.48 ÷ 3 = 1.16

372

17. 6.3 ÷ 2 = 3.15

GRUPO DE PROBLEMAS

189

190

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 21

Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando la comprensión del valor posicional y la forma vertical

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Nombre

Fecha

Divide. Muestra tu trabajo.

0.81 ÷ 6 = 0.135 0.0 0 5 0.0 3 0.1 0 6 0.8 1 0 – 0.6 0 0.2 1 – 0.1 8 0.0 3 0 – 0.0 3 0 0

Vistazo a la lección La clase usa el proceso de la división larga para dividir números decimales entre números enteros de un dígito en la tabla de valor posicional y registra su razonamiento usando la forma vertical. Sus estudiantes completan la división expresando el dividendo con otro nombre y, luego, dividen usando la forma vertical o la forma unitaria según sea necesario.

Preguntas clave • ¿Cuándo es necesario que expresemos el dividendo con otro nombre para dividir un número decimal? • ¿Por qué la forma vertical es un modo útil de registrar la división larga?

Criterios de logro académico 5.Mód4.CLA17 Dividen números decimales hasta la posición de los

centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

203

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Registrar la división larga de un número decimal en forma vertical

Estudiantes • ninguno

• Registrar cómo expresar una nueva unidad para dividir en forma vertical • Dividir entre un múltiplo de 10, 100 o 1,000 usando la forma vertical • Grupo de problemas

Concluir 10 min

375

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Fluidez

Contar de 6 décimos en 6 décimos en la recta numérica La clase cuenta salteado usando unidades de 6 décimos en forma fraccionaria, en forma estándar y con números mixtos para adquirir fluidez con diferentes representaciones de números. Muestre la recta numérica.

Usen la recta numérica para contar de 6 décimos en 6 décimos en forma fraccionaria desde __  0 10 60 hasta __   . Empiecen diciendo __  0 . ¿Comenzamos? 10

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

__ __ __ __

54 60 0 6   ,   …, , 10 10 10 10

Ahora, vuelvan a contar de 6 décimos en 6 décimos. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

0 10

6 10

12 10

24 10

30 10

36 10

54 10

60 10

6 10

12 18 2 4

36 42 48 54

18 10

42 10

48 10

0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

4 0, __   …, 5  __ , 6 6 10

Ahora, vuelvan a contar de 6 décimos en 6 décimos. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 0.6…, 5.4, 6.0

376

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir en forma unitaria y en forma estándar La clase divide décimos o centésimos en forma unitaria y, luego, escribe la ecuación con los números en forma estándar para desarrollar fluidez con la división de números decimales. Muestre 9 décimos ÷ 3 =

décimos.

¿Cuánto es 9 décimos ÷ 3 en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

3 décimos

9 décimos ÷ 3 = 3 décimos

Muestre la respuesta. Escriban la ecuación con los números en forma estándar.

0.9 ÷ 3 = 0.3

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

24 décimos ÷ 4 = 6 décimos

45 décimos ÷ 5 = 9 décimos

18 centésimos ÷ 6 = 3 centésimos

2.4 ÷ 4 = 0.6

4.5 ÷ 5 = 0.9

0.18 ÷ 6 = 0.03

49 centésimos ÷ 7 = 7 centésimos

72 centésimos ÷ 8 = 9 centésimos

0.49 ÷ 7 = 0.07

0.72 ÷ 8 = 0.09

377

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir entre potencias de 10 La clase determina el cociente para desarrollar fluidez con la división de números decimales. Muestre la ecuación 3 ÷ 10 =

3 ÷ 10 = 0.3

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

378

6 ÷ 100 = 0.06

9 ÷ 1,000 = 0.009

4.8 ÷ 100 = 0.048

148 ÷ 1,000 = 0.148

1.5 ÷ 10 = 0.15

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Presentar

La clase expresa números decimales con otro nombre para dividir en forma unitaria. Muestre el trabajo para 17.4 ÷ 4. ¿Cómo se halló 17.4 ÷ 4?

17.4 ÷ 4 = 174 décimos ÷ 4 =

Se escribió la expresión en forma unitaria y se usó la división larga. ¿Cómo se escribió el residuo de 2? El residuo se escribió como una fracción, _   2. 4

− 1 −

4 7 6 1 1

3 0 4

Nota para la enseñanza

43 4 décimos

Sus estudiantes han completado una división de números enteros con un cociente de dos dígitos como resultado. Además, han expresado un residuo como una fracción. El ejemplo de trabajo que se muestra combina estos dos conceptos: un cociente de dos dígitos y expresar el residuo como una fracción.

décimos

0 4 2 2

379

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 Dé a sus estudiantes 1 minuto para que consideren el trabajo y usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué no tiene sentido la respuesta. La respuesta 43 _   2 décimos es confusa porque no sabemos cómo representar _  2 décimos. 4

Para problemas de división con cocientes de números decimales, escribir el residuo como una fracción puede ser difícil de comprender. Repasaremos este problema más adelante en la lección y usaremos una tabla de valor posicional como ayuda para mostrar la división. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos una tabla de valor posicional como ayuda para dividir un número decimal entre un número entero y registraremos nuestro trabajo en forma vertical.

Aprender

Nota para la enseñanza 2 El cociente 43  __ décimos usa tanto una unidad 4 fraccionaria como una unidad decimal, lo que puede resultar confuso porque el valor real del cociente puede no estar claro para sus estudiantes. La actividad de la sección Presentar explora brevemente este punto. Sus estudiantes repasan este problema más adelante en la lección y escriben el cociente en forma estándar.

Registrar la división larga de un número decimal en forma vertical La clase divide un número decimal entre un número entero de un dígito usando una tabla de valor posicional y registra su trabajo en forma vertical. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Invíteles a que se reúnan y conversen en parejas para estimar el cociente. Luego, pida a sus estudiantes que dibujen puntos en la tabla de valor posicional para representar 4.26 y que tracen líneas horizontales para separar los grupos.

380

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 Usa la tabla de valor posicional para dividir. Luego, registra tu trabajo en forma vertical. 1. 4.26 ÷ 3 =

Diferenciación: Apoyo

1.42

Unidades

Décimos

Centésimos

1 unidad 4 décimos 2 centésimos

0.0 2 0.4 0 1.0 0 3 4.2 6 – 3.0 0 1.2 6 – 1.2 0 0.0 6 – 0.0 6 0

Considere brindar papel cuadriculado para ayudar a sus estudiantes a organizar su trabajo cuando lo registren en forma vertical.

Demuestre cómo registrar el trabajo hecho en la tabla de valor posicional en forma vertical. Escriba 4.26 ÷ 3 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué unidad de valor posicional distribuimos primero? Las unidades Invite a sus estudiantes a distribuir las unidades en grupos iguales y a tacharlas a medida que las distribuyen. ¿Cuántas unidades hay en cada grupo?

1 Registremos el cociente parcial, 1 unidad, en forma vertical. Registramos 1 como 1.00 para asegurarnos de alinear los cocientes parciales según las unidades de valor posicional. Registre el cociente parcial, 1.00, en forma vertical. ¿Cuántas unidades distribuimos?

381

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 Registremos las 3 unidades que distribuimos en forma vertical. Registramos 3 unidades como 3.00 para asegurarnos de alinear lo que distribuimos y lo que queda por distribuir según las unidades de valor posicional. Registre 3.00 en forma vertical. Pida a sus estudiantes que observen la tabla de valor posicional. ¿Cuánto nos falta distribuir? ¿Cómo lo saben?

Unidades

Décimos

Centésimos

Todavía tenemos que distribuir 1 unidad, 2 décimos y 6 centésimos. Lo sé porque los puntos para 1 unidad, 2 décimos y 6 centésimos todavía no están tachados. ¿Qué hacemos para hallar cuánto nos falta distribuir en forma vertical? Restamos lo que distribuimos del total,

4.26 − 3.00.

Registremos la cantidad que nos falta distribuir en forma vertical. Registre 1.25 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué unidad distribuimos ahora? Los décimos Tache la unidad restante y dibuje una flecha que señale la posición de los décimos. Muestre cómo se expresa la unidad como 10 décimos dibujando 10 décimos. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Luego, pida a la clase que distribuya los décimos en grupos iguales y que los tachen a medida que los distribuyen. ¿Cuántos décimos hay en cada grupo?

4 Registre el cociente parcial, 0.40, en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuántos décimos distribuimos?

382

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 ¿Cuánto es 12 décimos en forma estándar?

1.2 Registren 1.2 como 1.20 para asegurarnos de alinear según las unidades de valor posicional. Registre 1.20 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuánto nos falta distribuir? ¿Cómo lo saben? Todavía tenemos que distribuir 6 centésimos. Lo sé porque los puntos para 6 centésimos todavía no están tachados en la tabla de valor posicional. Todavía tenemos que distribuir 0.06. Lo sé porque en forma vertical veo 1.26 − 1.20, que es 0.06. Registre 0.06 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a sus estudiantes a distribuir los centésimos en grupos iguales y a tacharlos a medida que los distribuyen. ¿Cuántos centésimos hay en cada grupo?

2 Registre el cociente parcial, 0.02, en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuántos centésimos distribuimos?

6 Registre 0.06 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Hay más unidades para distribuir? ¿Cómo lo saben? No queda nada para distribuir. Lo sé porque todos los puntos están tachados en la tabla de valor posicional. No. Lo sé porque en la forma vertical veo 0.06 − 0.06, que es 0. Registre 0 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

383

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 Pida a sus estudiantes que observen la tabla de valor posicional.

Unidades

Décimos

Centésimos

¿Cuántas unidades, décimos y centésimos hay en cada grupo?

1 unidad, 4 décimos y 2 centésimos Escriba 1 unidad, 4 décimos y 2 centésimos junto a un grupo en la tabla de valor posicional y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Dónde ven las cantidades 1 unidad, 4 décimos y 2 centésimos en la forma vertical? En los cocientes parciales,1.00, 0.40 y 0.02 ¿Cuánto es 4.26 ÷ 3?

1.42 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar la respuesta con la estimación y determinar si la respuesta es razonable. Escriba 1.42 para completar la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Pida a sus estudiantes que completen el problema 2 en parejas.

384

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 2. 1.72 ÷ 2 =

0.86

Unidades

Décimos

Centésimos

8 décimos 6 centésimos

0.0 6 0.8 0 2 1.7 2 – 1.6 0 0.1 2 – 0.1 2 0

Recorra el salón y proporcione apoyo según sea necesario haciendo preguntas como las siguientes: • ¿Qué unidad de valor posicional necesitan distribuir? • ¿Cuántas unidades (décimos, centésimos) hay en cada grupo en la tabla de valor posicional? ¿Cómo registramos el cociente parcial en forma vertical? • ¿Están alineadas las unidades de valor posicional en forma vertical? • ¿Cuánto distribuyeron? ¿Dónde ven la cantidad que se distribuyó en la tabla de valor posicional? ¿Cómo registramos lo que se distribuyó en forma vertical? • ¿Cuánto queda para distribuir? ¿Dónde ven lo que falta distribuir en la tabla de valor posicional? ¿Cómo registramos lo que falta distribuir en forma vertical? • ¿Cuántas unidades, cuántos décimos y cuántos centésimos hay en cada grupo? ¿Dónde ven la cantidad en cada grupo en la tabla de valor posicional? ¿Y en la forma vertical? • ¿Cuál es el cociente? Se llama división larga al proceso de dividir la unidad de valor posicional más grande primero y, luego, avanzar hacia la más pequeña hasta que no quede nada por dividir. La forma vertical es una forma común de registrar lo que hacemos usando el proceso de división larga. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo la forma vertical puede ser una forma eficiente de registrar el proceso de la división larga.

Apoyo para la comprensión del lenguaje El término división larga es conocido de 4.o grado. Considere aclarar el uso de la palabra larga en el término división larga. Puede haber estudiantes que al oír la palabra larga hagan suposiciones sobre la división larga basándose en su comprensión del término en referencia al tiempo o la longitud. Aclare que la división larga es un proceso que podemos usar para dividir cuando el cálculo mental no es eficiente. Pregunte: “¿Usarían la división larga para hallar 40 ÷ 2? ¿Por qué?”.

385

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Registrar cómo expresar una nueva unidad para dividir en forma vertical La clase divide números decimales entre números enteros de un dígito usando una tabla de valor posicional y registra su trabajo en forma vertical, lo que incluye desagrupar en una nueva unidad. Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error o la ambigüedad. Invíteles a compartir sus respuestas. Hasta ahora, el trabajo es correcto, pero no está terminado. Todavía queda 1 décimo para distribuir. 3. 5.1 ÷ 2 =

2.55

Unidades

Décimos

Centésimos

2 unidades 5 décimos 5 centésimos

0.0 5 0.5 2.0 2 5.1 0 – 4.0 1.1 – 1.0 0.1 0 – 0.1 0 0

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando analiza e identifica el error en un ejemplo de trabajo que muestra la división de un número decimal entre un número entero durante la rutina Analizar una respuesta errónea y completa el dibujo en la tabla de valor posicional según su propia comprensión. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3: • ¿Con qué partes del trabajo están en desacuerdo? ¿Por qué? • ¿Qué cambios le harían al trabajo para que sea más preciso?

Dé a la clase 2 minutos para completar el dibujo en la tabla de valor posicional según su propia comprensión. Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Busque estudiantes cuyo trabajo dé lugar a una conversación sobre expresar 1 décimo como 10 centésimos y dibujar una columna adicional en la tabla de valor posicional para completar la división. Agregamos una columna a la tabla de valor posicional para los centésimos y expresamos 1 décimo como 10 centésimos. Luego, distribuimos 10 centésimos en los 2 grupos.

386

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pídales que compartan su respuesta con todo el grupo. Guíeles para llegar a un acuerdo acerca de cuál es la mejor manera de corregir la respuesta incorrecta en la tabla de valor posicional. Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo registrar el trabajo en forma vertical. Agregamos una columna para los centésimos en la tabla de valor posicional, así que deberíamos agregar una columna para los centésimos en la forma vertical. Deberíamos expresar el dividendo como 5.10 y expresar 0.1, que todavía debe distribuirse, como 0.10. A veces, necesitamos expresar el dividendo con otro nombre para incluir otra unidad de valor posicional a la derecha y así poder distribuir todas las unidades al dividir. Incluir una unidad de valor posicional a la derecha en la forma vertical para continuar con la distribución de las unidades es parecido a incluir una columna a la derecha de la unidad más pequeña en la tabla de valor posicional. Agregar una columna muestra la desagrupación en una unidad que no estaba en el dividendo. Escriba 0 para expresar 5.1 como 5.10 y 0 para expresar 0.1 como 0.10. Extienda las líneas horizontales según sea necesario. ¿Cuántos centésimos hay en cada grupo?

5 Registre el cociente parcial, 0.05, en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuántos centésimos distribuimos?

10 Registre 0.10 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

0.5 2.0 2 5.1 – 4.0 1.1 – 1.0 0.1 –

DUA: Representación El ejemplo que se muestra no completa con ceros la posición de los milésimos para el trabajo que se registró antes de expresar con otro nombre el dividendo con 0. Considere completar con ceros el trabajo anterior si los espacios en blanco distraen a sus estudiantes o les dificultan llevar la cuenta del valor posicional de los números. Considere usar diferentes colores para indicar que los ceros son opcionales.

¿Hay más unidades para distribuir? ¿Cómo lo saben? No. Lo sé porque en la forma vertical veo 0.10 − 0.10, que es 0.

387

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 Registre 0 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuánto es 5.1 ÷ 2?

2.55 Escriba 2.55 para completar la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cuándo necesitan expresar un dividendo con un 0 en la posición a la derecha de la unidad más pequeña para completar la división. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4, que repasa la ecuación de la sección Presentar. Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para dibujar en la tabla de valor posicional o usar la forma vertical de la división larga con el fin de hallar 17.4 ÷ 4. Recorra el salón de clases y escuche a sus estudiantes mientras trabajan. 4. 17.4 ÷ 4 =

Decenas

4.35

Unidades

Décimos

Centésimos

4 unidades 3 décimos 5 centésimos

388

0.0 5 0.3 4.0 4 1 7.4 0 – 1 6.0 1.4 – 1.2 0.2 0 – 0.2 0 0

Diferenciación: Apoyo Si sus estudiantes necesitan más práctica guiada para agregar otra unidad de valor posicional con el fin de completar la división, presente el siguiente problema: 2.12 ÷ 5.

Nota para la enseñanza Dejar el dividendo como un número decimal, en lugar de expresarlo en forma unitaria, permite a sus estudiantes continuar con la división usando la forma vertical. Luego, pueden expresar el cociente en forma estándar.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 Invite a alguien a compartir su trabajo. ¿Cómo expresamos el dividendo 17.4 con otro nombre?

17.40 ¿Por qué fue útil expresar 17.4 como 17.40 en este problema? Escribimos 17.4 como 17.40 porque no podíamos distribuir 2 décimos de manera uniforme en 4 grupos, por lo tanto, necesitamos expresar 2 décimos como 20 centésimos para hallar el cociente. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo la tabla de valor posicional o la forma vertical son formas útiles de dividir, especialmente cuando hay que expresar con otro nombre.

Dividir entre un múltiplo de 10, 100 o 1,000 usando la forma vertical La clase separa un múltiplo de 10 en el divisor y usa las relaciones de valor posicional y la forma vertical para dividir. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 5. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para estimar el cociente. ¿Cómo podemos escribir una expresión relacionada para 524.6 ÷ 50 que nos permita usar un método conocido para dividir un número decimal entre un número de un dígito? Podemos pensar en dividir entre 50 como dividir entre 5 y, luego, dividir entre 10. Podemos pensar en dividir entre 50 como dividir entre 10 y, luego, dividir entre 5. Escriba (524.6 ÷ 5) ÷ 10 y (524.6 ÷ 10) ÷ 5. ¿Creen que al evaluar ambas expresiones obtendremos el mismo cociente? ¿Por qué? Sí. Ya sea que dividamos entre 5 primero y, luego, entre 10 o que dividamos entre 10 primero y, luego, entre 5, obtendremos el mismo resultado porque seguimos dividiendo entre 50. Vamos a averiguar si nuestro razonamiento es correcto. Invite a la clase a trabajar en parejas para evaluar una de las expresiones y usar el método de su elección para completar el problema 5.

389

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21 Divide. Muestra tu trabajo. 5. 524.6 ÷ 50 = 10.492

524.6 ÷ 50 = (524.6 ÷ 10) ÷ 5 = 52.46 ÷ 5

0.0 0 2 0.0 9 0.4 0 1 0.0 0 5 5 2.4 6 0 – 5 0.0 0 2.4 6 – 2.0 0 0.4 6 – 0.4 5 0.0 1 0 – 0.0 1 0 0

Diferenciación: Apoyo Brinde apoyo a quienes usen la tabla de valor posicional y registren el trabajo en forma vertical haciendo las siguientes preguntas. • ¿Qué unidad necesitan distribuir? • ¿Dónde ven la cantidad que se distribuyó en la tabla de valor posicional? ¿Cómo registramos lo que se distribuyó en forma vertical? • ¿Dónde ven lo que falta distribuir en la tabla de valor posicional? ¿Cómo registramos lo que falta distribuir en forma vertical? • ¿Cómo pueden expresar el dividendo con otro nombre en forma vertical para mostrar la nueva unidad? • ¿Dónde ven el cociente en la tabla de valor posicional y en la forma vertical?

Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Si es posible, seleccione a estudiantes que hayan evaluado cada expresión y a estudiantes que hayan usado métodos diferentes para dividir el número decimal entre un número entero de un dígito. Pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de si las expresiones (524.6 ÷ 5) ÷ 10 y (524.6 ÷ 10) ÷ 5 tienen el mismo cociente. Luego, complete la ecuación horizontal escribiendo 10.492 como el cociente.

390

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 usando la comprensión del valor posicional y la forma vertical Guíe una conversación de toda la clase sobre dividir números decimales entre números enteros de un dígito y múltiplos de 10, 100 o 1,000 y sobre registrar el trabajo en forma vertical usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cómo sabemos que es necesario expresar el dividendo con otro nombre para dividir un número decimal? Cuando dividimos en la tabla de valor posicional y no podemos formar grupos iguales con las unidades que tenemos, agregamos una columna a la derecha de la unidad más pequeña en nuestra tabla de valor posicional para expresar el dividendo con otro nombre. Cuando la forma vertical muestra que todavía quedan unidades para distribuir, necesitamos expresar el dividendo con otro nombre para continuar dividiendo. ¿Por qué la forma vertical es un modo útil de registrar la división larga? La forma vertical muestra la división de todas las unidades y podemos llevar la cuenta de cuántas unidades quedan para dividir. La forma vertical me parece más eficiente que dibujar los puntos en la tabla de valor posicional. Podemos usar la forma vertical para registrar nuestro trabajo de división larga al dividir números decimales y dividir números enteros. En la forma vertical, solo se usan dígitos para representar los números en lugar de escribir las unidades con palabras como en la forma unitaria o en lugar de usar puntos en columnas como en la tabla de valor posicional.

391

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

3. 1.36 ÷ 4 = 0.34 Unidades

Dibuja en la tabla de valor posicional para dividir. Luego, registra tu trabajo en forma vertical. El problema 1 ya está empezado como ejemplo.

Décimos

Centésimos

4 –

1. 6.39 ÷ 3 = 2.13 Unidades

Décimos

Centésimos

3 – – –

2. 5.4 ÷ 2 =

Décimos

Centésimos

2 – –

392

3 0

2. 0 6. 3

0 9

6. 0. 0. 0. 0.

0 9 0 9 9

0 3 3 0 0

–

0 3 3 2 1

4 0 6 0 6

0. 1

6 0

0. 0

0. 7 3. 0 7. 5

4. 7.5 ÷ 2 = 3.75

Unidades

Décimos

Centésimos

2 –

2.7

Unidades

0. 0 0. 1

0. 0. 1. 1. 0.

0. 7 2. 0 5. 4

–

4. 0

–

1. 4 1. 4

6. 0 1. 1. 0. 0.

5 4 1 1

0 0 0

197

198

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

5. Sasha halla 3.48 ÷ 20. Considera el método de Sasha.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

8. 5.04 ÷ 8 = 0.63

9. 2.55 ÷ 6 = 0.425

10. 9.88 ÷ 40 = 0.247

11. 43.4 ÷ 700 = 0.062

Método de Sasha

0. 0 4 0. 7 0 1. 0 0 2 3. 4 8 – 2. 0 0 1. 4 8 – 1. 4 0 0. 0 8 – 0. 0 8 0

3.48 ÷ 20 = (3.48 ÷ 2) ÷ 10 = 1 . 74 ÷ 10 = 0.174

¿Por qué Sasha muestra 3.48 ÷ 2 en forma vertical en lugar de 3.48 ÷ 20? Sasha piensa en dividir entre 20 como dividir entre 2 y, luego, dividir entre 10. Usa la forma vertical para mostrar cómo dividir 3.48 entre 2. Luego, divide ese cociente, 1.74, entre 10 y obtiene 0.174.

Divide. 6. 8.64 ÷ 2 = 4.32

7. 7.8 ÷ 3 =

2.6

GRUPO DE PROBLEMAS

199

200

GRUPO DE PROBLEMAS

393

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 21

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 12. Un hilo rojo es 5 veces tan largo como un hilo azul. La longitud del hilo rojo es 4.1 metros. ¿Cuál es la longitud del hilo azul?

4.1 ÷ 5 = 0.82 La longitud del hilo azul es 0.82 metros.

13. El Sr. Evans gasta $7.86 en 3 cartones de huevos y 1 barra de pan. La barra de pan cuesta $2.19. ¿Cuánto cuesta cada cartón de huevos?

$7.86 − $2.19 = $5.67 $5.67 ÷ 3 = $1.89 Cada cartón de huevos cuesta $1.89.

394

GRUPO DE PROBLEMAS

201

LECCIÓN 22

Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de dos dígitos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Nombre

Fecha

Divide. Muestra tu trabajo.

Vistazo a la lección La clase aplica los métodos que usó para dividir números decimales entre números enteros de un dígito para dividir números decimales entre números enteros de dos dígitos. Al seleccionar un método, sus estudiantes consideran la utilidad de los métodos y si son razonables.

20.88 ÷ 18 = 1.16

Pregunta clave

0.0 6 0.1 0 1.0 0 1 8 2 0.8 8 – 1 8.0 0 2.8 8 – 1.8 0 1.0 8 – 1.0 8 0

• ¿De qué manera los métodos que conocemos para dividir números decimales entre números enteros de un dígito nos pueden ayudar a dividir números decimales entre números enteros de dos dígitos?

Criterios de logro académico 5.Mód4.CLA13 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que

involucran la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B) 5.Mód4.CLA17 Dividen números decimales hasta la posición de los

centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

213

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 10 min

• ninguno

Aprender 30 min • Problema verbal de grupos iguales

Estudiantes • ninguno

• Compartir, comparar y conectar • Usar un método diferente • Grupo de problemas

Concluir 10 min

397

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros de varios dígitos La clase multiplica un número de dos dígitos por un número de tres dígitos para adquirir fluidez con la multiplicación de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. Muestre 23 × 312 =

23 × 312 = 7,176

Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.

312 × 23 936 + 6, 2 4 0 1 7, 1 7 6

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical. Repita el proceso con el siguiente problema: 42 × 419 = 17,598.

Intercambio con la pizarra blanca: Relaciones de valor posicional La clase dice el valor que tienen dos dígitos adyacentes idénticos en un número decimal y, luego, escribe ecuaciones de multiplicación para adquirir fluidez con la práctica de relacionar los valores que tienen los dígitos en un número decimal del tema A. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 3.319 con la posición de las unidades subrayada. ¿Cuál es el valor del dígito que está subrayado?

3 398

3.319 3 0.3

= 10 ×

0.3

1 × 10

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 Muestre la respuesta y, luego, la posición de los décimos subrayada. ¿Cuál es el valor del dígito que está subrayado?

0.3 Muestre la respuesta y, luego, las ecuaciones con los espacios. Escriban y completen las ecuaciones para mostrar la relación entre los valores de los dígitos que están subrayados. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre las ecuaciones de multiplicación completadas. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

7.885

24.402

0. 8 0. 0 8

0.8

1 × 10

0 .0 7 0 .0 0 7

4 0.4

= 10 × 0.08

0.08 =

91.577

0.8

= 10 ×

0.4

0.07 = 10 × 0.007

0.4

1 × 10

0.007 =

1 × 0.07 10

399

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Presentar

La clase completa un modelo de área que representa una relación multiplicativa entre un número decimal y un número entero de dos dígitos y escribe ecuaciones de multiplicación y división representadas por el modelo. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. Dé a la clase 3 minutos de tiempo para pensar en silencio cómo completar la parte (a). Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. 1. Considera el modelo de área.

Diferenciación: Apoyo

a. Completa el modelo de área.

6 unidades

4 décimos

3 centésimos

228 unidades

152 décimos

114 centésimos

Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre los métodos.

Puede haber estudiantes que se beneficien de escribir ecuaciones de multiplicación para cada parte.

• 38 ×

unidades = 228 unidades

• 38 ×

décimos = 152 décimos

• 38 × 3 centésimos =

centésimos

Es posible que a sus estudiantes les resulte más simple completar el espacio que está en el extremo derecho.

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y registre los razonamientos. A medida que sus estudiantes conversan, destaque el razonamiento que muestre cómo usar la estimación, la división larga y la relación entre la multiplicación y la división para hallar los números desconocidos. Hallamos 38 × 3 centésimos = 114 centésimos. 228 es 2 veces 114. Dado que 114 = 3 × 38, sabemos que 228 = 6 × 38.

400

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 Usamos la división larga para hallar 228 unidades ÷ 38. Estimamos que 40 × 6 = 240. Entonces, probamos 6 como cociente y era correcto. 228 unidades ÷ 38 = 6 unidades.

décimos × 38 = 152 décimos. Escribimos la ecuación de factor desconocido Después de estimar que 4 × 40 = 160, hallamos 4 × 38 = 152. Por lo tanto, sabemos que 4 décimos × 38 = 152 décimos. Usamos la división larga para hallar 152 décimos ÷ 38. Estimamos que 40 × 4 = 160. Entonces, probamos 4 como cociente y era correcto. 152 décimos ÷ 38 = 4 décimos. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar la parte (b). Luego, invite a sus estudiantes a compartir las ecuaciones. b. Completa las ecuaciones de multiplicación y de división que están representadas por el modelo de área. Usa la forma estándar.

6.43

× 38 = 244.34

244.34 ÷ 38 =

6.43

Apoyo para la comprensión del lenguaje Antes de que sus estudiantes completen el problema 1(b), considere preguntarles dónde hallar lo siguiente en el modelo de área: • Factores • Productos parciales • Producto • Dividendo • Divisor • Cocientes parciales • Cociente

401

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 Muestre la ecuación de división y el modelo de área sin los cocientes parciales.

244.34 ÷ 38 = 38

228 unidades

152 décimos

114 centésimos

¿Cómo puede ayudarnos el modelo de área a hallar 244.34 ÷ 38? Podemos hallar la longitud del lado desconocida de cada parte. El total de estas longitudes de los lados es igual al cociente. Podemos dividir el área de cada parte entre 38 para hallar cada cociente parcial. Luego, podemos sumar los cocientes parciales para hallar el cociente. ¿Podrían dibujar en una tabla de valor posicional para hallar 244.34 ÷ 38? ¿Harían eso? Expliquen. Podría dibujar en una tabla de valor posicional para hallar el cociente, pero no lo haría. Dibujar 38 grupos y distribuir los puntos en tantos grupos no sería eficiente. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre otros métodos de división que podrían usar para hallar 244.34 ÷ 38. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos los métodos de división que ya conocemos para dividir números decimales entre números enteros de dos dígitos.

402

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Aprender

Problema verbal de grupos iguales La clase resuelve un problema verbal dividiendo un número decimal entre un número entero de dos dígitos usando un método de su propia selección. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Invíteles a trabajar en parejas para completar el problema 2 usando un método de división que hayan seleccionado. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 2. Una jardinera tiene 249.6 kg de semillas de grama. Prepara 52 bolsas con la misma cantidad de semillas de grama. ¿Cuántos kilogramos de semillas de grama hay en cada bolsa?

249.6 kg ?

... 52 bolsas

Estimación: 250 ÷ 50 = 5

0.8 4.0 5 2 2 4 9.6 – 2 0 8.0 4 1.6 – 4 1.6 0 Hay 4.8 kg de semillas de grama en cada bolsa.

403

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 Recorra el salón de clases y observe los métodos de solución. Seleccione a dos o tres parejas para que los compartan en el siguiente segmento. Busque ejemplos de trabajos que muestren la aplicación de los métodos usados para divisores de un dígito o un modelo de área con divisores de dos dígitos. Los siguientes ejemplos de trabajo de la clase muestran la división usando la forma unitaria, un modelo de área o la división larga. Los ejemplos de trabajos no incluyen el diagrama de cinta porque la mayoría de sus estudiantes seguramente dibujarán el mismo diagrama de cinta para representar el problema. Forma unitaria

8 40 = 48 décimos 5 2 2 49 6 – 2 08 0 = 4.8 41 6 –41 6 Hay 4.8 kg de semillas de grama en cada bolsa. 0 249.6 ÷ 52 = 2,496 décimos ÷ 52

249.6 ÷ 52 = 52 × = 249.6

Modelo de área

Nota para la enseñanza Los ejemplos de trabajo y el razonamiento de cada estudiante muestran respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave. Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.

0.8 4.0 4 unidades 8 décimos 5 2 2 4 9.6 – 2 0 8.0 52 208 unidades 416 décimos 4 1 .6 – 4 1 .6 Hay 4.8 kg de semillas de grama en cada bolsa. 0 0.8 4.0 5 2 2 4 9.6 – 2 08.0 4 1 .6 – 4 1 .6 0

División larga

Estimaciones: 250 unidades ÷ 50 = 5 unidades, 5 x 52 = 260 que es demasiado 400 décimos ÷ 50 = 8 décimos

Hay 4.8 kg de semillas de grama en cada bolsa. 404

Nota para la enseñanza Puede que sus estudiantes intenten dibujar en la tabla de valor posicional para dividir. Los ejemplos de trabajo que se muestran no incluyen este método porque dibujar en la tabla de valor posicional para dividir en un número de grupos de dos dígitos es engorroso e ineficiente.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Compartir, comparar y conectar La clase comparte y compara los métodos de solución para el problema 2 y razona acerca de sus conexiones. Reúna a la clase y pida a las parejas que seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones, una a la vez. Considere ordenar el trabajo de la clase desde los métodos que se basan en la forma unitaria a los métodos que se basan en la forma estándar. A medida que cada pareja comparte su trabajo, haga preguntas para que expliquen su razonamiento y ofrezcan aclaraciones sobre el método que usaron para hallar el cociente. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que son diferentes. Anime a la clase a que haga preguntas.

DUA: Acción y expresión Considere brindar apoyo a la práctica de la clase en el siguiente segmento tomando imágenes del trabajo que comparten sus estudiantes. Muestre las imágenes como ejemplos típicos mientras sus estudiantes completan el problema 3. Como alternativa, si no es posible tomar imágenes y proyectarlas, prepare un ejemplo de trabajo con anticipación y muéstrelo.

Forma unitaria (método de Scott y Riley) Scott y Riley, ¿cómo hallaron el cociente? Expresamos el dividendo en forma unitaria y usamos la forma vertical para dividir los números enteros.

8 40 = 48 décimos 5 2 2 49 6 – 2 08 0 = 4.8 41 6 –41 6 Hay 4.8 kg de semillas de grama en cada bolsa. 0 249.6 ÷ 52 = 2,496 décimos ÷ 52

¿Por qué expresaron el dividendo en forma unitaria para dividir? Nos resulta más simple pensar en números enteros cuando dividimos. Pensar en la expresión en forma unitaria significa que solo pensamos en números decimales al inicio y al final, y que podemos pensar en números enteros al dividir.

405

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Scott y Riley y el suyo.

Nota para la enseñanza

Modelo de área (método de Yuna y Eddie)

249.6 ÷ 52 = 52 × = 249.6

Yuna y Eddie, ¿cómo hallaron el cociente? Dibujamos un modelo de área para hallar los cocientes parciales y registramos nuestro trabajo en forma vertical.

0.8 4.0 4 unidades 8 décimos 5 2 2 4 9.6 – 2 0 8.0 52 208 unidades 416 décimos 4 1 .6 – 4 1 .6 Hay 4.8 kg de semillas de grama en cada bolsa. 0

¿Cómo usaron el modelo de área para hallar el cociente? Pensamos en la ecuación de división como una ecuación de factor desconocido. Luego, usamos la multiplicación para armar las partes del modelo de área. ¿Por qué registraron su trabajo en forma vertical? Usamos la forma vertical para llevar la cuenta de qué parte del total habíamos distribuido y cuánto nos faltaba distribuir. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Yuna y Eddie y el suyo. División larga (método de Mara y Ryan)

0.8 4.0 2 4 9.6 – 2 08.0 4 1 .6 – 4 1 .6 0

Mara y Ryan, ¿cómo hallaron el cociente? 52

En el ejemplo de trabajo que se muestra, se usa el modelo de área más eficiente. Puede que sus estudiantes hayan dibujado un modelo de área con más partes y que hayan hallado más cocientes parciales. Considere mostrar más de un modelo de área e invitar a sus estudiantes a comparar la utilidad y la eficiencia de los diferentes modelos.

2 unidades

4 décimos

104 unidades

104 unidades 208 décimos 208 décimos

0.4 0.4 2.0 2.0 5 2 2 4 9.6 – 1 0 4.0 1 4 5.6 – 1 0 4.0 4 1 .6 – 2 0.8 2 0.8 – 2 0.8 0

Estimaciones: 250 unidades ÷ 50 = 5 unidades, 5 x 52 = 260 que es demasiado

Usamos la división larga 400 décimos ÷ 50 = 8 décimos y registramos nuestro trabajo en forma vertical. Hay 4.8 kg de semillas de grama en cada bolsa.

406

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 ¿Usaron una estimación como ayuda para dividir? Redondeamos el dividendo y el divisor y estimamos el cociente para cada unidad. ¿Las estimaciones dieron como resultado los cocientes parciales reales? En el caso de las unidades, no. Nuestra estimación fue 5 unidades, pero 5 × 52 = 260, que es más que el total. Entonces, hallamos 4 unidades como primer cociente parcial. La estimación para los décimos nos dio como resultado el cociente parcial real. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el trabajo de Mara y Ryan. ¿Cómo saben que su respuesta es razonable? Nuestra estimación de 5 está cerca de la respuesta real, 4.8. ¿Cómo pueden comprobar que su respuesta es correcta? Podemos multiplicar la respuesta, 4.8, por 52 para ver si obtenemos 249.6. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para multiplicar con el fin de comprobar si sus respuestas son correctas.

Usar un método diferente La clase resuelve un problema verbal de grupos iguales usando un método diferente. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que continúen trabajando en parejas para resolver el problema usando un método de división diferente al que usaron para el problema 2.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige entre el modelo de área, la división larga o la forma unitaria para resolver problemas que incluyen dividir un dividendo de número decimal entre un divisor de dos dígitos. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5: • ¿Qué método sería útil? • ¿Por qué eligieron utilizar este método? ¿Funcionó bien? • ¿Cómo pueden estimar la respuesta? ¿Les parece razonable su estimación?

407

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22 3. Mara vierte 40.25 tazas de jugo, en partes iguales, en 23 vasos. ¿Cuánto jugo hay en cada vaso?

40.25 tazas ?

... 23 vasos

Estimación: 40 ÷ 20 = 2

0.0 5 0.7 0 1.0 0 2 3 4 0.2 5 – 2 3.0 0 1 7.2 5 – 1 6.1 0 1.1 5 – 1.1 5 0 Hay 1.75 tazas de jugo en cada vaso. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y brinde apoyo según sea necesario haciendo conexiones con el trabajo que se compartió durante el segmento anterior.

Diferenciación: Desafío

Invite a una o dos parejas de estudiantes a compartir su trabajo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué método de división prefieren y por qué.

Para quienes estén preparados para un desafío adicional, considere proporcionar el siguiente problema. La Sra. Baker separa de manera uniforme 237.5 libras de alimento para aves en bolsas de 25 libras. ¿Cuántas bolsas llenas de alimento para aves prepara la Sra. Baker? ¿Cuánto alimento para aves queda?

408

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir números decimales hasta los centésimos entre números enteros de dos dígitos Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo elegir qué método de división usar para dividir números decimales entre números enteros de dos dígitos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 5 a 9 de su Grupo de problemas. Pregunte cuáles fueron sus motivos para elegir métodos diferentes. Elija a dos o tres estudiantes para que compartan su razonamiento. ¿De qué manera los métodos que conocemos para dividir números decimales entre números enteros de un dígito nos pueden ayudar a dividir números decimales entre números enteros de dos dígitos? Pensar en la expresión en forma unitaria, ya sea que el divisor tenga uno o dos dígitos, me ayuda a dividir números enteros y números decimales. Dibujar un modelo de área y pensar en la multiplicación es un método útil para dividir números de uno o dos dígitos, pero me resulta más útil pensar en el total en partes cuando el divisor es un número de dos dígitos. Usar la división larga y registrar nuestro trabajo en forma vertical es un método eficiente para pensar y llevar la cuenta de lo que ya distribuimos y lo que nos falta distribuir.

409

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Nombre

Fecha

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Estima los cocientes parciales a medida que divides. Luego, comprueba tu trabajo. 3. 45.6 ÷ 19

Completa el modelo de área y la forma vertical. Luego, completa la ecuación. 1. 793.6 ÷ 31 =

25.6

2 decenas 31

62 decenas

1 5 unidades 155 unidades

6 décimos 186 décimos

–

6 1 1

– –

2. 7.82 ÷ 23 =

6 0 0 6

2 7 5 1

0 6 0 6

0. 3. 5. 8.

69 décimos

92 centésimos

0. 0. 3 7. – 6.

4 0 2 0

0. 9 – 0. 9

2 2 0

40 ÷ 20 =

80 décimos ÷ 20 =

2 4 décimos × 19

décimos

216 +240 4 5 6 décimos

Cociente: 2.4

1 8. 6 0

0 3 8 9

45.6 = 19 × 2.4

Estimaciones:

4. 16.1 ÷ 46

4 4 centésimos

Comprueba:

4 0 6 0

7. 6 7. 6

–

0.34 3 décimos

0. 5. 2 0. 9 3.

9 –

0. 2. 4 5. 3 8.

6 – –

0. 0. 1 6. 1 3. 2. 2.

0 3 1 8 3 3

5 0 0 0 0 0 0

Cociente: 0.35

Estimaciones:

150 décimos ÷ 50 =

250 centésimos ÷ 50 =

décimos 5

centésimos

Comprueba:

16.1 = 46 × 0.35 ×

3 5 centésimos 46 3

210 2 + 1 400 1,6 1 0 centésimos

410

209

210

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

EUREKA MATH2

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

Divide. 5. 76.8 ÷ 24 =

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 22

3.2

9. Cada día, Kayla hace el mismo recorrido de ida y vuelta para ir a la escuela. Camina un total de 40.5 kilómetros en 25 días.

6. 6.72 ÷ 32 = 0.21

a. ¿Cuántos kilómetros camina Kayla cada día?

40.5 ÷ 25 = 1.62 Kayla camina 1.62 kilómetros cada día.

7. 90.25 ÷ 25 = 3.61

b. ¿Cuántos kilómetros camina Kayla para llegar a la escuela cada día?

8. 33.8 ÷ 52 = 0.65

1.62 ÷ 2 = 0.81 Kayla camina 0.81 kilómetros para llegar a la escuela cada día.

GRUPO DE PROBLEMAS

211

212

GRUPO DE PROBLEMAS

411

LECCIÓN 23

Relacionar la división entre 0.1 y 0.01 con la división entre una fracción unitaria

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23

Nombre

Fecha

La clase relaciona dividir números enteros y números decimales mayores que 1 entre 0.1 y 0.01 con dividir números enteros entre fracciones unitarias. Para hallar el cociente de una expresión de división, la clase interpreta

Para los problemas 1 y 2, reescribe la expresión como un número decimal dividido entre una fracción. Luego, divide. 1. 6.8 ÷ 0.1 =

Vistazo a la lección

expresiones de división como división cuotativa, como por ejemplo interpretar

7 ÷ 0.1 como ¿Cuántos grupos de __   1 forman 7? Sus estudiantes buscan

1 6.8 ÷ __ = 68 10

y reconocen patrones entre los dividendos y los cocientes al dividir números entre 0.1 y 0.01.

2. 4.17 ÷ 0.01 =

417

Pregunta clave

1 4.17 ÷ ___ = 417 100

• ¿Cómo se relaciona dividir números entre 0.1 y 0.01 con dividir números entre fracciones unitarias?

3. Julie tiene 4.4 kilogramos de queso. Divide el queso en porciones iguales de 0.1 kilogramos cada una. ¿Cuántas porciones de queso tiene Julie?

4.4 ÷ 0.1 = 44

Criterios de logro académico 5.Mód4.CLA12 Estiman sumas, diferencias, productos y cocientes de números

decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B)

Julie tiene 44 porciones de queso.

5.Mód4.CLA17 Dividen números decimales hasta la posición de los

centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

219

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Dividir números entre 0.1

Estudiantes • ninguno

• Dividir números entre 0.01 • Patrones de valor posicional en la división • Grupo de problemas

Concluir 10 min

413

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5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23

Fluidez

Respuesta a coro: Polígonos y lados La clase identifica el número de lados y el nombre que corresponde a un polígono dado como preparación para clasificar cuadriláteros según sus propiedades en el módulo 5. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre el triángulo. ¿Cuántos lados tiene?

Lados: 3

¿Cómo se llama el polígono?

Polígono: triángulo

Triángulo

Nota para la enseñanza Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, puede haber estudiantes que identifiquen el cuadrado como un cuadrilátero, un trapecio, un paralelogramo, un rectángulo o un rombo. Considere animar a sus estudiantes a que usen el nombre más específico como preparación para el trabajo que harán en el módulo 5.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Lados: 4 Polígono: cuadrado

Lados: 4 Polígono: rectángulo

Lados: 6 Polígono: hexágono

Lados: 4 Polígono: trapecio

Lados: 4 Polígono: cuadrilátero

Lados: 5 Polígono: pentágono

Lados: 6 Polígono: hexágono

414

Lados: 8 Polígono: octágono

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23

Respuesta a coro: Dividir fracciones unitarias entre números enteros La clase determina el cociente para adquirir fluidez con la división de fracciones unitarias entre números enteros del módulo 3. Muestre _   1  ÷ 2 =

¿Cuál es el cociente? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

1 1 ÷2= 2 4

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

_ 1   4

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1 ÷3= 1 2 6

1 ÷2= 1 3 6

1 ÷3 = 1 3 9

1 ÷3= 1 4 12

1 ÷4= 1 5 20

1 ÷6= 1 6 36

1 ÷4= 1 8 32

Intercambio con la pizarra blanca: Relaciones de valor posicional La clase dice el valor que tienen dos dígitos adyacentes idénticos en un número decimal y, luego, escribe ecuaciones de multiplicación para adquirir fluidez con la práctica de relacionar los valores que tienen los dígitos en un número decimal del tema A. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 15.583 con la posición de las unidades subrayada. ¿Cuál es el valor del dígito que está subrayado?

15.583 5 0.5 5

= 10 ×

0.5

1 × 10

5 415

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23 Muestre la respuesta y, luego, la posición de los décimos subrayada. ¿Cuál es el valor del dígito que está subrayado?

0.5 Muestre la respuesta y, luego, las ecuaciones con los espacios. Escriban y completen las ecuaciones para mostrar la relación entre los valores de los dígitos que están subrayados. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre las ecuaciones de multiplicación completadas. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

0.2

49.227

316.602

0.2 0.0 2

6 0.6

= 10 × 0.02

0.02 =

1 × 10

Presentar

0.2

850.199 0 .0 9 0.00 9

= 10 ×

0.6

0.09 = 10 × 0.009

0.6

1 × 10

0.009 =

1 × 0.09 10

La clase resuelve un problema del mundo real que involucra la división entre 0.1. Presente el siguiente problema. Blake quiere comprar un boleto para el sorteo de su clase para recaudar dinero. Cada boleto para el sorteo cuesta $2. Blake busca en su bolsillo y descubre que tiene solo dos dimes. ¿Cuántos dimes necesita Blake para comprar un boleto para el sorteo?

416

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23 Invite a sus estudiantes a resolver el problema de cualquier forma que elijan. Recorra el salón de clases mientras trabajan. Identifique estudiantes que hayan usado diferentes métodos para que compartan su trabajo. Considere los siguientes ejemplos de trabajo. Diagrama de cinta (método de Riley) ¿Cómo te ayudó dibujar un diagrama de cinta a resolver el problema? Empecé con un diagrama de cinta para representar $2. Sé que 10 dimes forman $1, así que dividí cada dólar en 10 partes. Hay 20 partes, por lo tanto, Blake necesita 20 dimes para comprar un boleto para el sorteo.

Diferenciación: Apoyo Considere pedir a sus estudiantes que representen el problema con dimes o que dibujen el equivalente a $2 en dimes.

1 dime

División de número entero (método de Scott) ¿Cómo te ayudó la división de número entero a resolver el problema? Sé que $2 es 200 centavos y que 1 dime es 10 centavos. Por lo tanto, dividí 200 entre 10. Dado que 200 ÷ 10 = 20, Blake necesita 20 dimes para comprar el boleto para el sorteo.

200 centavos

1 dime

10 centavos

200 ÷ 10 = 20

Escribir una ecuación de multiplicación (método de Sana) ¿Cómo te ayudó la ecuación de multiplicación a resolver el problema? Sé que $2 es 200 centavos y que 1 dime es 10 centavos. Por lo tanto, 10 centavos × = 200 centavos. Como sé que 10 × 20 = 200, Blake necesita 20 dimes para comprar el boleto para el sorteo.

$2 1 dime

200 centavos 10 centavos

10 x 20 = 200

Luego, amplíe el razonamiento de sus estudiantes usando el siguiente planteamiento. Imaginen que el amigo de Blake tiene solo pennies. ¿Cuántos pennies necesita el amigo de Blake para comprar un boleto de $2 para el sorteo? ¿Cómo lo saben? El amigo de Blake necesita 200 pennies. Lo sé porque 100 pennies forman $1. Por lo tanto, el amigo de Blake necesita 200 pennies para formar $2.

417

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23 Escriba las expresiones 2 ÷ 0.1 y 2 ÷ 0.01. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar cómo se relacionan estas expresiones con los problemas de dimes y pennies. La expresión 2 ÷ 0.1 se relaciona con hallar el número de dimes necesarios para formar $2. La expresión 2 ÷ 0.01 se relaciona con hallar el número de pennies necesarios para formar $2. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hay muchas formas de dividir entre números decimales. Hoy, relacionaremos la división de números entre 0.1 y 0.01 con dividir números entre fracciones unitarias.

Nota para la enseñanza En esta lección, la clase se enfoca principalmente en la división cuotativa para

Aprender

razonar sobre el cociente de un número dividido entre __   1   o __   1  . En la división cuotativa, 10 100 el divisor representa el tamaño del grupo, y el

Dividir números entre 0.1 La clase expresa 0.1 como ___   1 para dividir.

cociente representa el número de grupos. Este enfoque sienta las bases para una forma de

Escriba 7 ÷ 0.1.

abordar la división entre números decimales

¿Cómo pueden reescribir esta expresión usando una fracción para el divisor?

no unitarios.

7 ÷ __   1   10

Escriba 7 ÷ 0.1 = 7 ÷ __   1  . 10

¿Qué pregunta podemos hacernos como ayuda para hallar 7 ÷ __    ? 1 10

¿Cuántos décimos forman 7?

¿Cuántos grupos de __  1   forman 7? 10

Escriba la siguiente oración:

Nota para la enseñanza

grupos de __  1   forman 1.

Puede haber estudiantes que piensen en 7 ÷ __   1   10 como una ecuación, como __   1   × = 7 . 10 Lo que pueden preguntarse es: ¿1 décimo de

Empecemos en el 1. ¿Cuántos grupos de __  1   forman 1?

Escriba 10 en el espacio. Luego, escriba la siguiente oración:

418

grupos de __  1   forman 7.

qué número es 7?

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23

Muestre el diagrama de cinta.  1   forman 1, Si 10 grupos de __

DUA: Representación

¿cuántos grupos de __  1   forman 7? 10

El diagrama de cinta ayuda a sus estudiantes a visualizar la siguiente pregunta: ¿Cuántos grupos de __   1   forman 7? 10

1 10

Escriba 70 en el espacio.

  1  en 7? ¿Cómo saben que hay 70 grupos de __ 10

 1   en 1 y hay 7 grupos de 1 en 7. Entonces, sé que hay 70 grupos de __   1   en 7. Hay 10 grupos de __ 10

Sé que 1 × 7 = 7 y puedo expresar 1 como 10 décimos. Por lo tanto, 10 décimos × 7 = 70 décimos.

Escriba 7 ÷ 0.1 = 7 ÷ __   1   = 70. 10

¿Por qué el cociente es mayor que el dividendo?

 1  que grupos de 1 para formar 7. Como __   1  es menor que 1, necesitamos más grupos de __

10 10 1 Como    es menor que 1, necesitamos más de 7 grupos de  1  para formar 7. 10 10

Deje el trabajo a la vista. Luego, escriba 7.4 ÷ 0.1.

¿Cómo podemos reescribir esta expresión usando una fracción para el divisor?

7.4 ÷ __   1  

Nota para la enseñanza Puede haber estudiantes que reconozcan que el cociente es 10 veces el dividendo. La clase estudia este patrón más adelante en la lección.

Escriba 7 .4 ÷ 0.1 = 7.4 ÷ __   1  . 10

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parece y en qué se diferencia este problema del anterior. Seguimos dividiendo entre __  1  . 10

Seguimos teniendo 7 unidades, pero ahora también tenemos 4 décimos en el dividendo. Podemos preguntar cuántos grupos de __  1   forman 7.4. 10

Ya pensamos en parte de este problema. Escriba la siguiente oración:

grupos de __  1   forman 7. 10

419

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23 ¿Cuántos grupos de __  1   forman 7? 10

Escriba la siguiente oración:

grupos de __  1   forman 0.4. 10

¿Cuántos grupos de __  1   forman 0.4?

Nota para la enseñanza

Escriba 4 en el espacio. Luego, escriba la siguiente oración:

grupos de __  1   forman 7.4. 10

Si 70 grupos de __  1   forman 7 y 4 grupos de __  1   forman 0.4, ¿cuántos grupos de __  1  en total forman 7.4?

Una parte de sus estudiantes puede beneficiarse de que se le diga el número decimal como cuatro décimos o cero con cuatro décimos en lugar de cero punto cuatro.

74 ¿Cuánto es 7.4 ÷ 0.1?

Escriba 7 .4 ÷ 0.1 = 7.4 ÷ __   1   = 74. 10

Mantenga a la vista todo el trabajo para 7 ÷ 0.1 y 7.4 ÷ 0.1. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar 12 ÷ 0.1 y 12.6 ÷ 0.1. Anime a sus estudiantes a consultar el trabajo completado con toda la clase para 7 ÷ 0.1 y 7.4 ÷ 0.1 mientras intentan resolver los problemas nuevos. Cuando hayan terminado, confirme los cocientes e invite a algunas parejas de estudiantes a compartir las preguntas que se hicieron para apoyar su razonamiento al hallar los cocientes.

Dividir números entre 0.01 La clase expresa 0.01 como ___   1 para dividir. 100

Escriba 7 ÷ 0.01.

¿Cómo podemos reescribir esta expresión usando una fracción para el divisor?

7 ÷ ___   1   100

Escriba 7 ÷ 0.01 = 7 ÷ ___   1  . 100

420

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parece

  1  . y en qué se diferencia su razonamiento para este problema y el razonamiento para 7 ÷ __ 10

Los problemas se parecen en que necesitamos hallar cuántos grupos de una fracción forman 7.  1  . Los problemas son diferentes porque el tamaño de los grupos es ___   1  esta vez, en lugar de __ 100

Todavía podemos aplicar el mismo proceso para hallar la respuesta.

¿El cociente de 7 ÷ ___    es mayor o menor que el cociente de 7 ÷ __    ? ¿Cómo lo saben?

1 1 100 10 El cociente de 7 ÷   1  es mayor que el cociente de 7 ÷   1   porque   1  es menor que  1  . Por lo tanto, 100 10 100 10 necesitamos más grupos de   1  que grupos de  1  para formar 7. 100 10 1 ¿Qué preguntas podemos hacernos como ayuda para hallar 7 ÷    ? 100 1 ¿Cuántos grupos de     forman 1? 100

___

¿Cuántos centésimos forman 7?

¿Cuántos grupos de __   1   forman 7? 100

Escriba las siguientes oraciones y muestre el diagrama de cinta.

grupos de ___   1   forman 1. 100

grupos de ___   1   forman 7. 100

Invite a la clase a analizar el diagrama de cinta y a decir números que completen los espacios. Registre los números 100 y 700, respectivamente, cuando los digan. Lea las oraciones completadas en voz alta. ¿Cuánto es 7 ÷ 0.01?

700

Escriba 7 ÷ 0.01 = 7 ÷ ___   1   = 700. 100

Luego, escriba 7.4 ÷ 0.01.

1 10

1 100

Nota para la enseñanza Puede haber estudiantes que reconozcan que el cociente es 100 veces el dividendo. La clase explora este patrón más adelante en la lección.

421

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23 ¿Cómo podemos reescribir esta expresión usando una fracción para el divisor? 7.4 ÷ ___   1   100

  1  . Escriba 7 .4 ÷ 0.01 = 7.4 ÷ ___ 100

¿Qué preguntas podemos hacernos como ayuda para hallar 7 .4 ÷ ___    ? 1 100

¿Cuántos grupos de __   1   forman 7?

100 ¿Cuántos grupos de   1   forman 0.4? 100 ¿Cuántos grupos de   1   forman 7.4? 100

Es posible que parte de la clase necesite

Escriba las siguientes oraciones:

Diferenciación: Apoyo

grupos de ___   1   forman 7.

100 grupos de   1   forman 0.4. 100 1 grupos de     forman 7 y 0.4. 100

___

apoyo para determinar cuántos grupos 1 forman 4 décimos. Anime a sus de   ____ 100 estudiantes a sombrear un modelo de área o usar discos de valor posicional para mostrar el número de centésimos en 4 décimos.

___

Invite a sus estudiantes a que digan números para completar los espacios. Registre los números 700, 40 y 740, respectivamente, a medida que los dicen. Lea las oraciones completadas en voz alta. ¿Cuántos grupos de __   1   forman 7?

700

100

4 décimos

¿Cuántos grupos de __   1   forman 0.4?

100

¿Cuántos grupos de __   1   forman 7.4?

740

100

¿Cuánto es 7.4 ÷ 0.01?

740

Escriba 7 .4 ÷ 0.01 = 7.4 ÷ ___   1   = 740.

4 décimos

100

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar 7.49 ÷ 0.01.

422

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23 ¿Cuánto es 7.49 ÷ 0.01?

Diferenciación: Desafío

749 ¿Cómo lo saben? Ya sabemos que 700 grupos de ___   1   forman 7 y 40 grupos de ___   1   forman 0.4. Hallamos que 9 grupos 100

de ___   1   forman 0.09. En total, 749 grupos de ___   1   forman 7.49. 100

100

700 grupos de ___   1   forman 7, y 49 grupos de ___   1   forman 0.49. Eso significa que un total 100

100

de 749 grupos de ___   1   forman 7.49. 100

7.49 solo son 9 centésimos más en el dividendo que 7.4 ÷ 0.01, por lo tanto, la respuesta debe ser 749.

Pregunte a sus estudiantes qué esperan que suceda si dividen un número entre 0.001. Considere darles una serie de problemas parecidos a los que ya hicieron con 0.1 y 0.01, como los que se muestran.

9 ÷ 0.001 9.3 ÷ 0.001 9.38 ÷ 0.001 9.384 ÷ 0.001

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar 12 ÷ 0.01, 12.6 ÷ 0.01 y 12.65 ÷ 0.01. Cuando hayan terminado, confirme los cocientes e invite a algunas parejas de estudiantes a compartir las preguntas que se hicieron para apoyar su razonamiento al hallar los cocientes.

Patrones de valor posicional en la división La clase identifica patrones al dividir números entre 0.1 y 0.01. Muestre las siguientes ecuaciones.

7 ÷ 0.1 = 70 7.4 ÷ 0.1 = 74 12 ÷ 0.1 = 120 12.6 ÷ 0.1 = 126 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar los patrones que observaron en los dividendos y en los cocientes al dividir números entre 0.1. El cociente es mayor que el dividendo. Los dígitos en el dividendo también están en el cociente, pero tienen un valor mayor en el cociente. Cuando dividimos entre 0.1, cada dígito en el dividendo se desplaza una unidad de valor posicional hacia la izquierda.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando reconoce los patrones al dividir números entre 0.1 y 0.01. La clase razona sobre por qué esos patrones son verdaderos en general y conversan sobre cómo esos patrones pueden ayudarles a dividir de manera eficiente con números decimales. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8: • ¿En qué se parece cada cociente y su dividendo? • ¿El cociente será siempre 10 veces el dividendo al dividir entre 0.1? Expliquen. • ¿Cómo saben que dividir entre 0.01 será siempre lo mismo que multiplicar por 100?

Dividir entre 0.1 es como multiplicar por 10.

423

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23 Escriba 6.2 ÷ 0.1 = . Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas sobre cuál creen que es la respuesta y expliquen su razonamiento. Anime a sus estudiantes a usar el patrón que observaron para las ecuaciones dadas. Luego, confirme las respuestas.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Muestre las siguientes ecuaciones.

7 ÷ 0.01 = 700 7.4 ÷ 0.01 = 740 7.49 ÷ 0.01 = 749

Considere pedir a la clase que use la sección Decirlo otra vez de la Herramienta para la conversación durante la conversación para aclarar su comprensión del razonamiento de los demás.

12 ÷ 0.01 = 1,200 12.6 ÷ 0.01 = 1,260 12.65 ÷ 0.01 = 1,265 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar los patrones que observaron en los dividendos y en los cocientes al dividir números entre 0.01. El cociente es mayor que el dividendo. Los dígitos en el dividendo también están en el cociente, pero tienen un valor mayor en el cociente. Cuando dividimos entre 0.01, cada dígito en el dividendo se desplaza dos unidades de valor posicional hacia la izquierda. Dividir entre 0.01 es como multiplicar por 100. Escriba 6.2 ÷ 0.01 = . Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas sobre cuál creen que es la respuesta y expliquen su razonamiento. Anime a sus estudiantes a usar el patrón que observaron para las ecuaciones dadas. Luego, confirme las respuestas. Observar patrones, como que dividir entre 0.1 es como multiplicar por 10, y que dividir entre 0.01 es como multiplicar por 100, nos ayuda a dividir números entre 0.1 y 0.01 de manera más eficiente.

424

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Relacionar la división entre 0.1 y 0.01 con la división entre una fracción unitaria Guíe una conversación de toda la clase sobre dividir números entre 0.1 y 0.01 usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Cómo se relaciona dividir entre 0.1 y 0.01 con dividir entre fracciones unitarias?

0.1 es __   1  en forma fraccionaria. Al dividir un número entre 0.1, podemos pensar en dividir entre 10

la fracción unitaria __  1  o hallar el número de grupos de __  1  que forman el número. 10

0.01 es __   1  en forma fraccionaria. Al dividir un número entre 0.01, podemos pensar en dividir entre 100

la fracción unitaria ___   1  o hallar el número de grupos de ___   1  que forman el número. 100

100

Cuando dividimos un número entre 0.1 o 0.01, ¿el cociente es mayor o menor que el dividendo? ¿Por qué? El cociente es mayor que el dividendo. Estamos tratando de determinar cuántos grupos de 0.1 o grupos de 0.01 forman el dividendo. Como 0.1 y 0.01 son menores que 1, se necesitan más grupos de 0.1 y 0.01 para formar el dividendo. El cociente es mayor que el dividendo. Cuando dividimos un número entre una fracción unitaria, estamos intentando hallar cuántas de esas unidades fraccionarias caben en el entero. El número de unidades fraccionarias será mayor que el entero. ¿Cómo se relaciona la división de números entre 0.1 y 0.01 con la multiplicación? Al dividir un número entre 0.1, obtenemos el mismo valor que al multiplicar por 10. En ambos casos, se desplazan los dígitos una unidad de valor posicional hacia la izquierda. Al dividir un número entre 0.01, obtenemos el mismo valor que al multiplicar por 100. En ambos casos, se desplazan los dígitos dos unidades de valor posicional hacia la izquierda.

425

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23

Nombre

Fecha

Usa los diagramas de cinta para completar los enunciados.

1 10

1 5. 8 ÷ 0.01 = 8 ÷ _____ 100

100

800

1 forman 1. grupos de __ 10

1 forman 4. grupos de __ 10

1 forman 1. grupos de ___ 100

1 forman 8. grupos de ___

8 ÷ 0.01 = 800

1 10

1 100

100 400

100

260

1 forman 4. grupos de ___

1 forman 26. grupos de __

26 ÷ 0.1 = 260

100

1 6. 8.7 ÷ 0.01 = 8.7 ÷ _____ 100

800 70 870

1 forman 8. grupos de ___ 100

1 forman 0.7. grupos de ___ 100

1 forman 8.7. grupos de ___

8.7 ÷ 0.01 = 870

1 7. 26 ÷ 0.1 = 26 ÷ _____ 10

1 forman 1. grupos de ___

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23

100

1 8. 15.3 ÷ 0.01 = 15.3 ÷ _____ 100

1,530

1 forman 15.3. grupos de ___

15.3 ÷ 0.01 =

1,530

100

Escribe el divisor como una fracción. Completa los enunciados como ayuda para dividir. Luego, divide. 1 3. 3 ÷ 0.1 = 3 ÷ _____ 10

10 30

1 forman 1. grupos de __ 10

1 forman 3. grupos de __

3 ÷ 0.1 =

1 4. 3.4 ÷ 0.1 = 3.4 ÷ _____ 10

30 4 34

9. Kelly halla incorrectamente 35.6 ÷ 0.1. Considera el método de Kelly. Método de Kelly

1 forman 3. grupos de __ 10

35.6 ÷ 0.1 = 3.56

1 forman 0.4. grupos de __ 10

a. ¿Qué error cometió Kelly?

1 forman 3.4. grupos de __

3.4 ÷ 0.1 =

Kelly dividió entre 10 en lugar de dividir entre 0.1.

b. ¿Cuánto es 35.6 ÷ 0.1? 1 35.6 ÷ __ = 356 10

426

215

216

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23

1 2.8 ÷ __ = 28 10

12. 45.6 ÷ 0.1 =

456

1 45.6 ÷ __ = 456 10

14. 17 ÷ 0.1 = 170 1 17 ÷ __ = 170 10

11. 9.25 ÷ 0.01 =

16. Noah tiene una soga de 6.5 metros de largo. Corta la soga en pedazos que miden 0.1 metros de largo. ¿Cuántos pedazos de soga tiene Noah ahora?

925

1 9.25 ÷ ___ = 925 100

13. 5.1 ÷ 0.01 =

510

15. 32 ÷ 0.01 =

3,200

1 5.1 ÷ __ = 510 10

EUREKA MATH2

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

Reescribe la expresión como un número decimal dividido entre una fracción. Luego, divide. 10. 2.8 ÷ 0.1 =

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 23

6.5 ÷ 0.1 = 65 Noah tiene 65 pedazos de soga.

1 32 ÷ __ = 3,200 10

GRUPO DE PROBLEMAS

217

218

GRUPO DE PROBLEMAS

427

LECCIÓN 24

Dividir números decimales entre números decimales con un resultado de cociente entero

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24

Nombre

Fecha

Divide. Muestra tu trabajo. 1. 49.7 ÷ 0.7 =

497 décimos ÷ 7 décimos = 71

Vistazo a la lección La clase amplía su trabajo con la división cuotativa para dividir números decimales hasta los centésimos entre números decimales hasta los centésimos, lo que da como resultado cocientes de número entero. Primero, reescriben las expresiones de división en forma unitaria y aplican la división de números enteros usando el cálculo mental o la división larga para hallar el cociente. A continuación, reescriben las expresiones de división para poder dividir entre 0.1 o 0.01 y dividen entre un divisor de número entero. Por último, analizan y, luego, corrigen errores relacionados con la división de números decimales con unidades diferentes.

Pregunta clave • ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre dividir números decimales y dividir números enteros? 2. 6.88 ÷ 0.08 =

Criterios de logro académico

688 centésimos ÷ 8 centésimos

5.Mód4.CLA13 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que

6 80 8 688 –640 48 –48 0

centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

227

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Dividir números decimales usando la forma unitaria

Estudiantes • ninguno

• Reescribir el divisor para dividir • Dividir números decimales con diferentes unidades • Grupo de problemas

Concluir 10 min

429

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24

Fluidez

35 × 627 = 21,945

Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

627 35 1 3

3, 1 3 5 2

+ 1 8, 8 1 0 1

2 1, 9 4 5

Muestre el producto y el registro del algoritmo convencional en forma vertical. Repita el proceso con el siguiente problema: 34 × 781 = 26,554.

3 ¿Cómo se llama el polígono? Triángulo

430

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Lados: 4 Polígono: cuadrado

Lados: 4 Polígono: rectángulo

Lados: 6 Polígono: hexágono

Lados: 4 Polígono: cuadrilátero

Lados: 4 Polígono: paralelogramo

Lados: 8 Polígono: octágono

Lados: 4 Polígono: rombo

Lados: 6 Polígono: hexágono

Lados: 5 Polígono: pentágono

¿Cuál es el cociente? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1 1 ÷3= 2 6

_ 1 6

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1 1 ÷4= 2 8

1 1 ÷4= 3 12

1 1 ÷3= 4 12

1 1 ÷5= 5 25

1 1 ÷7= 6 42

1 1 ÷8= 8 64

1 1 ÷7= 9 63

431

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24

Presentar

La clase resuelve un problema del mundo real que involucra la división de números decimales. Presente el siguiente problema. Lacy tiene $7.50 para comprar muffins en una venta de pasteles. Cada muffin cuesta $0.50. ¿Cuántos muffins puede comprar Lacy? Invite a sus estudiantes a resolver el problema de cualquier forma que elijan. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Identifique a estudiantes que hayan usado diferentes métodos para que compartan su trabajo. Los siguientes ejemplos de trabajo de la clase demuestran cómo dividir usando grupos de razonamiento, división de números enteros y razonamiento de multiplicación y de valor posicional.

$7.50

¿Cómo calculaste cuántos muffins puede comprar Lacy?

$0.50

División con grupos de razonamiento (método de Sana)

Pensé en cuántos grupos de $0.50 forman $7.50. Dibujé un diagrama de cinta. Hallé que 15 grupos de $0.50 forman $7.50. Lacy puede comprar 15 muffins.

$1 .00

Lacy puede comprar 15 muffins.

División de números enteros (método de Mara)

$7.50

750 centavos

¿Cómo te ayudó la división de números enteros a resolver el problema?

$0.50

50 centavos

Sé que $7.50 es 750 centavos y que $0.50 es 50 centavos. Después de que tanto el divisor como el dividendo estuvieran en centavos, dividí 750 entre 50. Dado que 750 ÷ 50 = 15, sé que Lacy puede comprar 15 muffins.

432

750 ÷ 50 = 15 Lacy puede comprar 15 muffins .

5 10 50 750 –500 250 –250 0

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24 Razonamiento de multiplicación y de valor posicional (método de Scott) ¿Cómo te ayudó el razonamiento de multiplicación y de valor posicional a resolver el problema? Usé la multiplicación para calcular que 10 muffins cuestan $5.00. Cuando multiplicamos un número por 1 0, desplazamos

0.50 x 10 = 5.00 5.00 + 2.50 = 7.50 0.50 x 5 = 2.50 10 + 5 = 15 Lacy puede comprar 15 muffins .

los dígitos unaposición hacia la izquierda. Si Lacy compra 10 muffins, le quedan $2.50. Si 10 muffins cuestan $5.00, entonces 5 muffins costarían $2.50. Dado que 10 + 5 = 15, sé que Lacy puede comprar 15 muffins. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos métodos conocidos para dividir un número decimal entre un número decimal.

Aprender

Dividir números decimales usando la forma unitaria La clase divide números decimales hasta los centésimos usando discos de valor posicional y la forma unitaria. Presente el siguiente problema. Noah vierte 1.2 litros de té helado en vasos que pueden contener 0.4 litros cada uno. ¿Cuántos vasos de té helado llena Noah? ¿Qué expresión podemos escribir para representar este problema? ¿Por qué? Podemos escribir 1.2 ÷ 0.4 porque estamos dividiendo 1.2 litros de té helado en grupos de 0.4 litros. Podemos escribir 1.2 ÷ 0.4 porque queremos hallar cuántos grupos de 0.4 litros forman 1.2 litros.

433

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24 Escriba 1.2 ÷ 0.4. ¿Qué observan acerca de la expresión de división?

DUA: Representación

Observo que tanto el dividendo como el divisor son números decimales. Observo que la unidad más pequeña son los décimos tanto para el divisor como para el dividendo. Observo que el divisor es menor que el dividendo. Pensemos en estos números en forma unitaria. ¿Cómo podemos reescribir esta expresión usando la forma unitaria?

Considere brindar a sus estudiantes discos de valor posicional para representar 12 décimos y formar de manera concreta grupos de 4 décimos.

12 décimos ÷ 4 = décimos Escriba = 12 décimos ÷ 4 décimos. Luego, muestre la imagen de los 12 discos de un décimo. Tenemos 12 décimos y queremos dividirlos entre 4 décimos. Podemos hacernos las mismas preguntas que nos hicimos cuando dividimos números entre 0.1 y 0.01. ¿Cuántos grupos de 4 décimos forman 12 décimos? Encierre en círculos grupos de 4 décimos para mostrar 3 grupos.

3 grupos de 4 décimos forman 12 décimos. Entonces, ¿cuánto es 12 décimos dividido entre

4 décimos? 3

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando usa discos de valor posicional concretos o pictóricos como ayuda para entender la expresión de división abstracta y su cociente. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Qué les indican los discos de valor posicional sobre la expresión de división? • ¿Cómo se representan en 1.2 ÷ 0.4 = 3 los grupos de discos de valor posicional?

Escriba = 3. ¿Con qué problema de división de número entero se relaciona esto?

12 ÷ 4 = 3

Nota para la enseñanza

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 y 2 de sus libros. Pida a la clase que trabaje en parejas y use el razonamiento de la forma unitaria para hallar los cocientes. Anime a la clase a usar la división larga para la división de números enteros según sea necesario. Recorra el salón de clases y proporcione apoyo haciendo las siguientes preguntas: • ¿Cuál es la unidad más pequeña en cada número? • ¿Cómo es la expresión en forma unitaria? • ¿Cuántos grupos de

forman

• ¿Con qué problema de división de números enteros se relaciona esto?

434

Busque estudiantes cuya respuesta sea 3 décimos. Refuerce la idea de que el cociente representa el número de grupos. Considere pedir a sus estudiantes que intenten resolver algunos problemas más con números que tengan agrupaciones que puedan representarse con discos de valor posicional, como 1.5 ÷ 0.5 o 0.14 ÷ 0.02.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24 Escribe una expresión relacionada en forma unitaria. Luego, divide.

1. 0.72 ÷ 0.08 =

72 centésimos ÷ 8 centésimos 72 ÷ 8 = 9

2. 25.2 ÷ 0.7 =

252 décimos ÷ 7 décimos

6 30 7 252 –210 42 –42 0

Confirme las respuestas una vez que la mayoría de las parejas haya terminado.

Reescribir el divisor para dividir La clase reescribe una expresión con un divisor de 0.1 o 0.01, usa las relaciones de valor posicional para dividir entre 0.1 o 0.01 y, luego, divide entre un divisor de número entero. Presente el ejemplo de trabajo para 1.2 ÷ 0.4. Diga a la clase que el trabajo muestra otra forma de resolver el problema anterior sobre el té helado. Invite a la clase a analizar el trabajo. ¿Qué observan?

1 .2 ÷ 0.4 = 1 .2 ÷ 0 0.. 1 ÷ 4 = 12 ÷ 4 = 3

Observo que se escribió la división de 0.4 como dividir entre 0.1 y, luego, dividir entre 4. Observo que 1.2 ÷ 0.1 es como los problemas que hicimos en lecciones anteriores. Observo que se dividió dos veces. El cociente es mayor que el dividendo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere brindar un banco de palabras que incluya palabras como dividendo, divisor y cociente para ayudar a sus estudiantes al compartir lo que observan y se preguntan sobre el ejemplo de trabajo.

¿Qué se preguntan? Me pregunto si está bien reescribir el divisor en la expresión original como una expresión con dos divisores. Me pregunto si este método es como el que usamos cuando dividimos entre potencias de 10.

435

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24 Este método separa la división en dos partes. Sabemos que 0.4 es 4 veces 0.1. Por lo tanto, podemos dividir primero entre 0.1 y, luego, entre 4.

Diferenciación: Apoyo

¿Por qué podríamos querer hallar primero 1.2 ÷ 0.1? Cuando dividimos 1.2 entre 0.1, obtenemos el mismo valor que si multiplicamos el dividendo por 10, por lo tanto, cada dígito se desplaza una posición hacia la izquierda. Cuando dividimos 1.2 entre 0.1 primero, obtenemos un cociente de 12. Luego, podemos dividir dos números enteros, 12 y 4. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Guíeles mientras reescriben la expresión de división. 3. Completa la ecuación para hallar 3.75 ÷ 0.75. 3.75 ÷ 0.75 = 3.75 ÷ =

375

0.01 ÷

Si hay estudiantes que necesitan apoyo para comprender que 1.2 ÷ 0.4 se puede escribir como 1.2 ÷ 0.1 ÷ 4, brinde ayuda para que recuerden el razonamiento del módulo 1 sobre dividir entre 100. Dé a sus estudiantes una tabla de valor posicional y pídales que muestren 2,800 ÷ 100. Pídales que muestren 2,800 ÷ 10 y, luego, vuelvan a dividir entre 10. Dado que dividir entre 100 arroja el mismo resultado que dividir entre 10 dos veces, 2,800 ÷ 100 es igual a 2,800 ÷ 10 ÷ 10. Se puede aplicar un razonamiento parecido para escribir 1.2 ÷ 0.4 como 1.2 ÷ 0.1 ÷ 4.

Estamos dividiendo entre 0.75. ¿Deberíamos dividir primero entre 75 o 0.01?

0.01 Si primero dividimos entre 0.01, ¿qué nos falta dividir?

75 Para dividir entre 0.75, podemos dividir primero entre 0.01 y, luego, entre 75. Pida a la clase que escriba 0.01 en el primer espacio y 75 en el segundo espacio de la primera ecuación. ¿Cuánto es 3.75 ÷ 0.01? ¿Por qué?

375, porque 375 grupos de ___   1 forman 375 centésimos. 100 375, porque, cuando dividimos entre 0.01, los dígitos en el dividendo se desplazan dos posiciones hacia la izquierda.

375, porque dividir entre 0.01 es como multiplicar el dividendo por 100. ¿Entonces cuál es la nueva expresión de división?

375 ÷ 75

436

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24 Pida a la clase que escriba 375 y 75 en los espacios de la segunda ecuación. Luego, complete la división. ¿Cuánto es 3.75 ÷ 0.75?

Nota para la enseñanza

Dividir números decimales con diferentes unidades La clase analiza un ejemplo de trabajo en donde el divisor tiene unidades diferentes a las del dividendo y, luego, corrigen el error. Muestre 2.5 ÷ 0.05. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian este problema y los problemas que ya hicimos? El problema se parece a los otros en que podemos usar la forma unitaria y, luego, dividir. El problema es diferente de los otros en que el dividendo y el divisor tienen unidades diferentes. Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y presente el siguiente trabajo.

2.5 ÷ 0.05 = 25 décimos ÷ 5 centésimos = 5 Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error. Invite a la clase a compartir sus respuestas. El cociente debería ser mucho más grande porque centésimos es una unidad más pequeña. Por lo tanto, debería haber muchos grupos de 5 centésimos. El dividendo y el divisor tienen diferentes unidades, así que no podemos dividir 25 entre 5 para obtener la respuesta. Luego, dé a la clase 1 minuto para resolver el problema usando la forma unitaria o reescribiendo el divisor. Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de la relación entre las unidades.

2.5 ÷ 0.05 = 25 décimos ÷ 5 centésimos = 250 centésimos ÷ 5 centésimos = 50

Puede haber estudiantes que no reconozcan que la respuesta de Analizar una respuesta errónea es incorrecta. Considere hacer preguntas como las siguientes, según sea necesario. • ¿Qué significa la respuesta 5?

5 grupos de 5 centésimos forman 25 décimos. • Imaginen que tenemos 25 discos de un décimo. ¿Cómo formamos grupos de 5 centésimos? Necesitamos los discos de un centésimo. Entonces, intercambiaríamos cada disco de un décimo por 10 discos de un centésimo. • ¿Cuántos discos de un centésimo tendríamos?

250 • ¿Es razonable la respuesta de 5 grupos de 5 centésimos? ¿Por qué? No. 5 grupos de 5 centésimos parece muy bajo. Tendría que haber muchos grupos más formados por 250 discos de un centésimo.

2.5 ÷ 0.05 = 2.5 ÷ 0.01 ÷ 5 = 250 ÷ 5 = 50

437

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24

EUREKA MATH2

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir sus respuestas con todo el grupo. Guíe a la clase para ponerse de acuerdo acerca del error en el trabajo original y corregir el cociente. Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas sobre por qué es importante considerar las unidades al dividir.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir números decimales entre números decimales con un resultado de cociente entero Guíe una conversación de toda la clase sobre la división de números decimales con cocientes de número entero usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Muestre las expresiones de división 6.3 ÷ 0.9 y 63 ÷ 9. ¿En qué se parecen hallar 6.3 ÷ 0.9 y hallar 63 ÷ 9? Podemos pensar en ambas expresiones de división como hallar el número de grupos de determinado tamaño. Para 6.3 ÷ 0.9, queremos saber cuántos grupos de 9 décimos forman 63 décimos. Para 63 ÷ 9, queremos saber cuántos grupos de 9 forman 63. Podemos evaluar ambas expresiones de división usando la división de números enteros. Si reescribimos 6.3 ÷ 0.9 usando la forma unitaria, podemos pensar en 63 décimos ÷ 9 décimos. Como el dividendo y el divisor tienen las mismas unidades, podemos resolver el problema de número entero relacionado 63 ÷ 9.

438

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24 ¿En qué se diferencia hallar 6.3 ÷ 0.9 de hallar 63 ÷ 9? Para hallar 6.3 ÷ 0.9, podemos escribir los números en forma unitaria primero para entender las unidades y cómo se relacionan. Para 63 ÷ 9, los números ya son números enteros, así que no debemos escribir los números en forma unitaria. ¿Es importante considerar las unidades de valor posicional cuando dividimos números decimales? ¿Por qué? Sí. Es importante considerar las unidades de valor posicional cuando dividimos números decimales. Si estamos dividiendo números decimales con diferentes unidades de valor posicional, no podemos dividir solamente la parte numeral de los números decimales en forma unitaria. Es posible que tengamos que expresar uno de los números con otra unidad para que las unidades de valor posicional coincidan.

439

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24

Completa la ecuación. 5. 1.5 ÷ 0.3 = 1.5 ÷ 0.1 ÷ 3

El divisor indica el tamaño de los grupos. Encierra en círculos los discos de valor posicional para mostrar el número de grupos. Luego, completa el enunciado. 1. 0.8 ÷ 0.4 = 8 décimos ÷ 4 décimos =

7. 40.5 ÷ 0.5 = 40.5 ÷

6. 1.28 ÷ 0.04 = 1.28 ÷ 0.01 ÷ 4

÷3

= 128 ÷ 4 =

0.1

÷5

= 405 ÷ 5 2. 0.12 ÷ 0.03 = 12 centésimos ÷ 3 centésimos =

Usa la forma unitaria para dividir. 8. 97.6 ÷ 0.4 =

976 décimos ÷

= 976 ÷

décimos

= 244 Usa la forma unitaria para dividir. 3. 3.5 ÷ 0.7 =

4. 2.79 ÷ 0.09 =

440

décimos ÷

279 centésimos ÷

décimos

centésimos

223

224

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24

9. 9.18 ÷ 0.06 =

918 centésimos ÷

= 918 ÷

13. 39.45 ÷ 0.15 =

centésimos

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 24

263

14. 22.8 ÷ 0.24 =

= 153

10. 25.2 ÷ 0.08 =

2,520

centésimos ÷

2,520

centésimos

= 315

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 15. El Sr. Pérez trabaja en la cafetería. Tiene 13.56 kilogramos de queso para hacer sándwiches. Usa 0.03 kilogramos de queso en cada sándwich. ¿Cuántos sándwiches puede hacer el Sr. Pérez?

13.56 ÷ 0.03 = 452

Divide. 11. 69.3 ÷ 0.3 =

El Sr. Pérez puede hacer 452 sándwiches.

231

12. 3.78 ÷ 0.06 =

GRUPO DE PROBLEMAS

225

226

GRUPO DE PROBLEMAS

441

LECCIÓN 25

Dividir números decimales entre números decimales con un resultado de cociente decimal

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

Nombre

Fecha

Divide. Muestra tu trabajo. 1. 5.04 ÷ 0.8 =

6.3 5.04 ÷ 0.1 ÷ 8 = 50.4 ÷ 8 0.3 6.0 8 5 0.4 – 4 8.0 2.4 – 2.4 0

Vistazo a la lección La clase divide números decimales hasta los centésimos entre números decimales hasta los centésimos, lo que da como resultado cocientes de números decimales. Comienzan usando discos de valor posicional para conectar de manera concreta el razonamiento de división cuotativa con cocientes que no son números enteros. Sus estudiantes reescriben expresiones de división en forma unitaria para que el divisor sea un número entero. Reescribir la expresión les permite usar la división larga que aprendieron en lecciones anteriores para dividir un número decimal entre un número entero, expresando el dividendo con otro nombre según sea necesario.

Pregunta clave • ¿Cómo podemos reescribir una expresión de división para que el divisor sea un número entero?

2. 2.99 ÷ 0.65 =

Criterios de logro académico

4.6 299 centésimos ÷ 65 centésimos = 299 ÷ 65

5.Mód4.CLA12 Estiman sumas, diferencias, productos y cocientes de números

0.6 4.0 6 5 2 9 9.0 – 2 6 0.0 3 9.0 – 3 9.0 0

decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B) 5.Mód4.CLA17 Dividen números decimales hasta la posición de los

centésimos. (5.NBT.B.7) 5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta,

la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos. (5.NBT.B.7)

239

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

• Considere retirar las hojas extraíbles de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 35 min • Dividir números decimales usando discos de valor posicional • Expresar con otro nombre para incluir una unidad nueva • Reescribir expresiones con un divisor de número entero

Estudiantes • Práctica veloz: Dividir fracciones unitarias entre números enteros (en el libro para estudiantes)

• Reúna al menos 7 discos de un décimo y 11 discos de un centésimo por pareja de estudiantes.

• set de discos de decimales (1 por pareja de estudiantes)

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

443

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

Fluidez

Práctica veloz: Dividir fracciones unitarias entre números enteros 2 EUREKA MATH 5 ▸unitarias M4 ▸ Práctica veloz ▸ enteros Dividir fracciones unitarias entre números enteros Materiales: E) Práctica veloz: Dividir fracciones entre números

La clase escribe el cociente para adquirir fluidez con la división de fracciones unitarias entre números enteros del módulo 3.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problemas.

Escribe el cociente.

__1

1 ÷3 2

1 ÷4 6

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea. No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo. En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica Veloz B.

444

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25 Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales. Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico. Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.

Nota para la enseñanza Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A: • ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 10? ¿Y en los problemas 11 a 22? • ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 5 con los problemas 6 a 10? ¿Y los problemas 1 y 2 con el 11 y el 12?

En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

Nota para la enseñanza Cuente hacia delante de un sexto en un sexto del 0 al 2, expresando los números enteros con otro nombre, cuando sea posible, para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de un quinto en un quinto de __   10  a __   0  para la actividad de conteo de 5 5 ritmo lento.

445

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

Presentar

La clase determina si los enunciados sobre una expresión de división son verdaderos o falsos. Escriba la expresión de división 2.6 ÷ 0.5. Invite a la clase a analizar la expresión, pero sin hacer cálculos. Voy a decir tres enunciados sobre el cociente. Para cada enunciado, deben reunirse y conversar en parejas sobre si es verdadero o falso y por qué. Cuando dé la señal, muestren los pulgares hacia arriba si creen que el enunciado es verdadero y los pulgares hacia abajo si creen que es falso. Para cada enunciado, invite a una pareja que crea que el enunciado es verdadero, si la hay, y una pareja que piense que el enunciado es falso, si la hay, para explicar su razonamiento. Invite a otras parejas según sea necesario para compartir hasta que la clase se ponga de acuerdo. • El cociente es igual a 26 décimos dividido entre 5 décimos. Verdadero. 26 décimos dividido entre 5 décimos es otra forma de escribir la expresión. Por lo tanto, los cocientes de las dos expresiones tienen el mismo valor. • El cociente es un número entero. Falso. 5 no se divide de manera uniforme en 26, por lo tanto, no hay un número entero de grupos de 5 décimos que forme 26 décimos.

Diferenciación: Apoyo Si sus estudiantes necesitan ayuda para razonar acerca de la expresión y su cociente, guíeles para que piensen en 0.5 como 5 décimos, o __   1  . 2 También considere expresar la ecuación como una división cuotativa y pregunte: “¿Aproximadamente cuántos grupos de 0.5 forman 2.6?”.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Muestre los enunciados para que sus estudiantes puedan leer el texto a medida que se leen los enunciados en voz alta.

• El cociente es mayor que 2.6. Verdadero. 2 grupos de 0.5 forman 1. Por lo tanto, 4 grupos de 0.5 forman 2. Además, hay otro grupo de 0.5 en 0.6. Entonces, el cociente es al menos 5, que es mayor que 2.6. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, dividiremos números decimales entre números decimales en los que el cociente no es un número entero. Repasaremos esta expresión, 2.6 ÷ 0.5, más adelante en la lección.

446

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Aprender

Dividir números decimales usando discos de valor posicional Materiales: E) Discos

La clase representa la división cuotativa de números decimales con discos de valor posicional para interpretar el significado de un cociente decimal. Organice a la clase en parejas. Escriba 0.7 ÷ 0.2. ¿Cómo podemos reescribir esta expresión en forma unitaria?

7 décimos ÷ 2 décimos ¿Qué pregunta podemos hacernos como ayuda para hallar 0.7 ÷ 0.2? ¿Cuántos grupos de 2 décimos forman 7 décimos? Pida a las parejas que usen los discos para mostrar 7 décimos. Luego, pídales que organicen los discos para formar grupos de 2 décimos. ¿Cuántos grupos de 2 décimos formaron?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando usa discos de valor posicional como ayuda para conceptualizar problemas de división con dividendos, divisores y cocientes decimales. Sus estudiantes comprueban sus respuestas usando diferentes métodos para asegurarse de que los cocientes que hallaron tienen sentido. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿Qué pueden decir acerca de 0.7 ÷ 0.2 al observar los discos de valor posicional? • ¿Cómo pueden explicar con sus propias palabras esta expresión de división? • ¿El cociente 3.5 tiene sentido? ¿Por qué?

3 ¿Cuánto queda?

1 décimo ¿Cuánto es un grupo de 1 décimo? La mitad de un grupo o medio grupo Entonces, ¿cuántos grupos de 2 décimos forman 7 décimos?

3  _1  grupos 2

Nota para la enseñanza Observe a sus estudiantes para detectar a quienes dicen que el cociente es 3.1. Habrá estudiantes que piensen eso porque como quedó 1 disco de un décimo después de formar los grupos, 0.1 es parte del cociente. Refuerce la idea de que el cociente representa el número de grupos. Para este problema, el disco de 1 décimo que queda representa medio grupo de 2 décimos.

447

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25 El cociente representa el número de grupos. Para este problema, el disco de 1 décimo que queda representa medio grupo de 2 décimos. Por lo tanto, 3  _ grupos de 2 décimos forman 1 2

7 décimos.

Escribamos el cociente en forma decimal. ¿Cuánto es 3  _ en forma decimal? 1 2

3.5

Entonces, ¿cuál es el cociente de 0.7 ÷ 0.2 escrito en forma decimal?

Diferenciación: Apoyo Si sus estudiantes necesitan apoyo para relacionar las fracciones equivalentes comunes y los números decimales, anímeles a escribir una fracción equivalente con un denominador que sea una potencia de 10.

__ ____ __

3.5

  1  =   1 × 5  =   5   = 0.5

Escriba 0.7 ÷ 0.2 = 3.5. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen los discos para hallar 0.11 ÷ 0.04. Recorra el salón de clases y proporcione apoyo según sea necesario con las siguientes preguntas: • ¿Cuál es la expresión en forma unitaria? • ¿Cuántos grupos de 4 centésimos forman 11 centésimos? • ¿Cuántos grupos de 4 centésimos pueden formar? ¿Qué parte de un grupo queda?

2×5

__ _____ ___

  3  =   3 × 25  =   75   = 0.75 4

4 × 25

100

Nota para la enseñanza Considere pedir a sus estudiantes que comprueben la respuesta evaluando una expresión de multiplicación que represente 3.5 grupos de 0.2.

Cuando la mayoría de las parejas haya terminado, use las siguientes preguntas para confirmar las respuestas con la clase. ¿Cuántos grupos de 4 centésimos forman 11 centésimos? ¿Cómo lo saben?

2  _3 grupos de 4 centésimos forman 11 centésimos. Lo sé porque el cociente representa el número 4

de grupos. Podemos formar 2 grupos de 4 centésimos, y los discos de un centésimo que sobran

representan _   3 de un grupo de 4 centésimos. 4

¿Cuánto es _   3 en forma decimal?

0.75

Entonces, ¿cuánto es 0.11 ÷ 0.04 en forma decimal?

2.75

448

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25 Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas sobre cómo usar los discos de valor posicional puede ser útil para dividir un número decimal entre un número decimal.

Expresar con otro nombre para incluir una unidad nueva La clase expresa el dividendo con otro nombre para incluir una unidad nueva con el fin de dividir números decimales. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que reescriban la expresión en forma unitaria. ¿Cuál es la expresión en forma unitaria?

1,233 centésimos ÷ 18 centésimos ¿Qué expresión de división de números enteros podemos usar para hallar 12.33 ÷ 0.18?

1,233 ÷ 18 ¿Qué método podemos usar para hacer esta división? ¿Por qué? Quiero usar la división larga porque no puedo dividir mentalmente 1,233 entre 18. Quiero usar la división larga porque usar discos o la tabla de valor posicional me llevaría mucho tiempo. Registre el trabajo para la clase mientras sus estudiantes trabajan con sus libros. Invite a alguien a describir su razonamiento para hallar cada cociente parcial. 1. 12.33 ÷ 0.18 =

68.5

0.5 8.0 6 0.0 1 8 1 2 3 3.0 – 1 0 8 0.0 1 5 3.0 – 1 4 4.0 9.0 – 9.0 0

449

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25 Cuando a la clase le queden 9 unidades, haga una pausa para conversar sobre cómo expresar el dividendo con otro nombre.

DUA: Representación

¿Cuántas unidades nos quedan para distribuir?

9 ¿Podemos distribuir 9 unidades entre 18 grupos? ¿Por qué? No, ya no tenemos unidades después de formar 9 grupos. ¿Podemos hacer algo para distribuir las 9 unidades que nos quedan entre 18 grupos? De ser así, ¿qué podemos hacer?

Considere pedir a sus estudiantes que usen diferentes colores en sus libros. Habrá quienes encuentren útil usar diferentes colores si consultan su trabajo a medida que completan el Grupo de problemas.

Sí. Podemos escribir 9 unidades usando una unidad de valor posicional diferente. ¿Cómo podemos expresar 9 unidades usando una unidad de valor posicional diferente? Podemos expresar 9 unidades como 90 décimos. A veces, necesitamos expresar el dividendo con otro nombre para incluir otra unidad de valor posicional a la derecha y continuar dividiendo. Con un color diferente, escriba .0 para expresar 1,233 como 1,233.0 y .0 para expresar 9 como 9.0. Pida a la clase que haga lo mismo. Extienda las líneas horizontales según sea necesario.

Nota para la enseñanza Habrá estudiantes que se pregunten si el divisor, 18, debe expresarse en décimos. Comente con sus estudiantes que 18 representa el número de grupos y que no es necesario expresarlo con otro nombre.

¿Cuántos décimos tenemos que distribuir?

90 ¿Cuántos décimos están distribuidos en cada uno de los 18 grupos?

5 Registre el cociente parcial 0.5. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuántos décimos distribuimos?

90 Registre 9.0. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Hay más unidades de valor posicional para distribuir? ¿Cómo lo saben? No, lo sé porque 9.0 − 9.0 = 0.

450

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25 Registre 0. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuánto es 12.33 ÷ 0.18?

68.5 Luego, pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen sobre si el cociente es razonable.

Reescribir expresiones con un divisor de número entero La clase expresa el divisor como un número entero para dividir números decimales. Muestre los dos ejemplos de trabajo para 4.55 ÷ 0.7.

Método de Lisa

Método de Luis

4.55 ÷ 0.7 = 4.55 ÷ 0.1 ÷ 7 = 45.5 ÷ 7

4.55 ÷ 0.7 = 455 centésimos ÷ 7 décimos = 455 centésimos ÷ 70 centésimos = 455 ÷ 70

¿Qué observan sobre estos trabajos?

Nota para la enseñanza

Lisa reescribe la expresión para dividir entre 0.1 primero y, luego, entre 7. Luis reescribe 4.55 ÷ 0.7 en forma unitaria. ¿Qué se preguntan? Me pregunto si alguna estrategia será mejor o más simple que otra. Me pregunto si obtenemos la misma la respuesta usando 45.5 ÷ 7 o 455 ÷ 70. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y que trabajen en parejas. Pida a la clase que halle el cociente usando la división larga. Pida a una persona de la pareja que use el método de Lisa, 45.5 ÷ 7, y, a la otra, que use el método de Luis, 455 ÷ 70.

Continúe animando a sus estudiantes para que primero hagan una estimación con el fin de comprobar si su respuesta es razonable. Para problemas de división con números decimales, sugiera que esperen hasta que hayan terminado de escribir la expresión con un divisor de número entero para hacer su estimación. La estimación con divisores decimales puede ser un desafío para sus estudiantes, especialmente cuando el divisor es menor que 1.

451

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25 Escribe la expresión que quieres usar. Luego, divide. 2. 4.55 ÷ 0.7 =

6.5 45.5 ÷ 7

455 ÷ 70

0.5 6.0 7 4 5.5 – 4 2.0 3.5 – 3.5 0

0.5 6.0 7 0 4 5 5.0 – 4 2 0.0 3 5.0 – 3 5.0 0

Invite a alguien a compartir un trabajo correcto y pida a la clase que confirme la respuesta. Luego, pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué método creen que prefieren y por qué. Prefiero la expresión que reescribió Lisa para hallar el cociente porque el divisor es un número entero de un dígito. Prefiero la expresión que reescribió Luis para hallar el cociente porque la expresión tiene dos números enteros. Luego, pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas sobre cómo reescribirían la expresión 14.56 ÷ 0.4 antes de usar la división larga para dividir.

452

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir números decimales entre números decimales con un resultado de cociente decimal Guíe una conversación de toda la clase sobre divisores y cocientes al dividir números decimales entre números decimales usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Muestre el problema de la sección Presentar, 2.6 ÷ 0.5. ¿Cómo podemos reescribir 2.6 ÷ 0.5 para que el divisor sea un número entero? Reescribiría el divisor para que la expresión sea 2.6 ÷ 0.1 ÷ 5 o 26 ÷ 5. Usaría la forma unitaria para que la expresión sea 26 décimos ÷ 5 décimos o 26 ÷ 5. Al comienzo de la clase, decidimos si los enunciados sobre este cociente eran verdaderos o falsos. Confirmemos nuestras respuestas. Pida a sus estudiantes que trabajen con las parejas con las que trabajaron en la sección Presentar para hallar el cociente. Pregunte si el cociente que calcularon confirma o no sus respuestas a los siguientes enunciados de la sección Presentar. • El cociente es un número entero. • El cociente es mayor que 2.6. Confirme el cociente con la clase, 2.6 ÷ 0.5 = 5.2.

453

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

5 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Dividir fracciones unitarias entre números enteros

Número de respuestas correctas:

__1

1 ÷2 2

1 4

23.

1 ÷4 7

1 ÷3 2

1 6

24.

1 ÷8 7

1 ÷5 2

25.

1 ÷7 4

1 ÷7 2

26.

1 ÷7 8

1 ÷9 2

27.

1 ÷4 9

1 ÷2 3

1 6

28.

1 ÷8 9

1 ÷3 3

1 9

29.

1 ÷9 4

1 ÷5 3

30.

1 ÷9 8

1 ÷7 3

1 21

10.

1 ÷9 3

11.

1 ÷2 4

12.

1 ÷4 4

13.

1 ÷8 4

1 32

14.

1 ÷2 5

15.

1 ÷4 5

1 20

16.

1 ÷8 5

17.

1 ÷2 6

18.

1 ÷4 6

19.

1 ÷8 6

20.

1 ÷2 8

21.

1 ÷4 8

22.

1 ÷8 8

230

454

__1

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Número de respuestas correctas: Progreso:

Escribe el cociente.

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ Práctica veloz ▸ Dividir fracciones unitarias entre números enteros

__1 _ _ __1 __

_ _ _ _ _ _ _

__1

1 ÷2 2

1 ÷6 2

1 ÷8 2

1 ÷2 3

1 ÷4 3

1 18

31.

1 ÷ 10 6

32.

__1 ÷ 6 10

33.

1 ÷1 3

1 3

34.

1 ÷1 6

1 6

__1 __1 __1 __1 __

1 ÷3 3

_ _

__1 ÷ 8 10

10.

1 ÷8 3

1 8

33.

1 ÷1 4

1 4

11.

34.

1 ÷1 8

1 8

__1 __

__1 _ _

1 ÷2 4

1 ÷7 3

26.

1 ÷7 6

27.

1 ÷3 9

1 6

28.

1 9

29.

1 ÷9 3

30.

1 ÷9 6

_ __1 __ __1 _1

__1

_ _

14.

1 ÷2 5

36.

1 15

37.

1 ÷ 11 4

38.

1 ÷ 12 5

1 12

39.

1 ÷6 11

40.

41.

1 ÷ 11 8

42.

1 ÷ 12 9

__1 ÷ 4 _

__1 __

_ _

16.

1 ÷6 5

1 12

39.

1 ÷7 11

1 77

17.

1 ÷2 6

40.

18.

1 ÷3 6

41.

19.

1 ÷6 6

120

20.

1 ÷2 8

121

21.

1 ÷3 8

144

22.

1 ÷6 8

__1 ÷ 8 12

1 ÷ 11 9

__1 __ __1 __1

42.

__1 ÷ 12

1 ___

43.

__1 ÷ 11 11

1 ___

44.

__1 ÷ 12

1 ___

232

_ _

__ __1 __ __1 __

__1

_ _

__1 __1

__1

36.

__1 __1

35.

13.

__1

35.

1 ÷6 9

1 ÷2 11

1 ÷ 12 6

__1

25.

1 24

38.

__1

1 ÷6 7

1 ÷6 4

15.

__1

24.

12.

37.

__1

1 33

1 ÷3 5

__1

23.

1 ÷3 11

1 55

1 ÷3 4

1 ÷ 11 5

__1

32.

__1

1 ÷4 2

__1

1 ÷3 2

31.

__1

1 ÷6 3

1 80

__1

1 ÷ 10 8

__1

1 ÷3 7

27 54

__1 60

_ _

__1

__1 ÷ 3

__1

_ _

__1 ÷ 7 _

22 36

__1 44

__1 60

__1 66

__1 84

__1 88

1 ___

43.

__1 ÷ 10

1 ___

44.

__1 ÷ 11 12

1 ___

108

110 132

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

Divide. Usa la forma unitaria como ayuda. Escribe el cociente en forma estándar. 5. 23.4 ÷ 0.5 = 46.8

6. 3.18 ÷ 0.12 = 26.5

Completa la ecuación usando la forma unitaria y números enteros. Escribe el cociente en forma estándar. 1. 0.5 ÷ 0.2 =

décimos ÷

2.5

décimos

2. 0.05 ÷ 0.04 =

centésimos ÷

centésimos

= 1.25 Completa la ecuación. Escribe el cociente en forma estándar. 7. 2.52 ÷ 0.3 = 2.52 ÷ 0.1 ÷ 3 3. 1.8 ÷ 0.8 =

décimos ÷

= 25.2 ÷

décimos

8.4

8. 7.3 ÷ 0.04 =

7.3

÷ 0.01 ÷ 4

= 730 ÷

= 182.5

= 2.25

4. 0.27 ÷ 0.06 =

4.5

centésimos ÷ ÷

centésimos

235

236

GRUPO DE PROBLEMAS

455

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

Divide. 9. 1.5 ÷ 0.2 =

5 ▸ M4 ▸ TD ▸ Lección 25

EUREKA MATH2

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

7.5

13. Eddie hace 4.7 litros de jugo de manzana para poner en frascos. Quiere poner 0.5 litros de jugo en cada frasco. ¿Cuántos frascos necesita Eddie en total?

10. 0.25 ÷ 0.04 = 6.25

4.7 ÷ 0.5 = 9.4 Eddie necesita 10 frascos en total.

11. 23.7 ÷ 0.6 = 39.5

14. Julie compra 2.25 kilogramos de harina. Usa 0.36 kilogramos de harina para hacer cada barra de pan.

12. 30.36 ÷ 0.24 = 126.5

a. ¿Cuántas barras de pan enteras puede hacer Julie?

2.25 ÷ 0.36 = 6.25 Julie puede hacer 6 barras de pan enteras.

b. ¿Cuántos kilogramos de harina sobran?

6 × 0.36 = 2.16 2.25 − 2.16 = 0.09 Sobran 0.09 kilogramos de harina.

456

GRUPO DE PROBLEMAS

237

238

GRUPO DE PROBLEMAS

Tema E Aplicaciones de números decimales En el tema E, la clase aplica la comprensión del valor posicional decimal, las relaciones entre los números decimales y las fracciones y los cálculos con números decimales, fracciones y números enteros para convertir medidas y escribir y evaluar expresiones que involucran números decimales. Sus estudiantes organizan y hallan el total de medidas para resolver un problema del mundo real que requiere la conversión de unidades de medida. Convierten formalmente medidas que involucran números decimales de unidades más grandes a unidades más pequeñas y de unidades más pequeñas a unidades más grandes tanto en el sistema métrico como en el sistema inglés de medidas. Para convertir medidas del sistema métrico que involucran números decimales, aplican la comprensión del valor posicional y la multiplicación de números decimales y números enteros. Para convertir medidas del sistema inglés que involucran números decimales, aplican las relaciones entre números decimales y fracciones y entre la multiplicación de números decimales y fracciones. Sus estudiantes interpretan, evalúan y comparan expresiones numéricas que involucran números decimales. Dibujan diagramas de cinta para entender las relaciones entre los números de una expresión, sobre todo, cómo están agrupados. Utilizan los diagramas de cinta para apoyar su razonamiento mientras determinan cómo evaluar la expresión. Emparejan expresiones numéricas con problemas del mundo real y, dada una expresión numérica o un diagrama de cinta, escriben un problema verbal que pueda representarse con la expresión o el diagrama de cinta. En el módulo 5, la clase aplica la suma y la multiplicación a situaciones geométricas. Sus estudiantes categorizan jerárquicamente figuras bidimensionales según sus propiedades, hallan el área de rectángulos cuyos lados tienen longitudes fraccionarias y hallan el volumen de prismas rectangulares rectos cuyos lados tienen longitudes en números enteros.

457

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE

Progresión de las lecciones Lección 26

Lección 27

Lección 28

Resolver problemas del mundo real sobre medidas del sistema métrico (opcional)

Convertir medidas del sistema métrico que involucran números decimales

Convertir medidas del sistema inglés que involucran números decimales

Puedo usar las relaciones entre las medidas del sistema métrico para convertir medidas decimales. Cuando convierto una medida de una unidad más grande a una unidad más pequeña, uso una relación como 1 metro es 100 veces 1 centímetro. Cuando convierto una medida de una unidad más pequeña a una unidad más grande, uso una relación como 1 miligramo es 0.001 veces un 1 gramo.

Las relaciones entre las unidades de medida del sistema inglés me ayudan a convertir medidas decimales. Cuando convierto una medida de una unidad más grande a una unidad más pequeña, multiplico por un número entero. Cuando convierto una medida de una unidad más pequeña a una unidad más grande, multiplico por una fracción.

300 mL

200 mL

300 mL

600 mL

350 mL

600 mL

450 mL

700 mL

300 mL

200 mL

600 mL

300 mL

350 mL

600 mL

450 mL

700 mL

50 mL 400 mL

1,000 mL

1,000 mL + 1,000 mL + 1,000 mL + 300 mL + 200 mL = 3500 mL

Organizar medidas en grupos semejantes de números de referencia puede ayudarme a resolver problemas. A veces necesito convertir las medidas a una unidad diferente para resolver el problema.

458

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lesson 29

Lección 29 Date

Interpretar, evaluar y comparar expresiones numéricas que involucran xpression to represent the statement. Then evaluate your números decimales

2. La diferencia entre 15 y 8.61, dividida entre 3

8.61

Valor de la expresión: 2.13 Puedo interpretar y evaluar expresiones que incluyen números decimales. Un diagrama de cinta puede ayudarme a interpretar una expresión y razonar acerca de cómo evaluarla. Puedo comparar el valor de expresiones que tienen números decimales sin evaluarlas.

3.6

1.3 + (4 × 0.75)

Expresión: (15 − 8.61) ÷ 3

6.35

Crear y resolver problemas del mundo real para expresiones numéricas dadas que involucran números decimales

3.1

6.35 and 3.6

Lección 30

Puedo escribir un problema verbal que pueda representarse con una expresión numérica o un diagrama de cinta dados que incluyan números decimales. Necesito considerar las agrupaciones dentro de las expresiones o el diagrama de cinta a medida que escribo el problema verbal.

4. The sum of two 2.5s and three 4.23s

2.5

4.23

Expression: (2 × 2.5) + (3 × 4.23) Value of expression: 17.69

459

LECCIÓN 26

Resolver problemas del mundo real sobre medidas del sistema métrico (opcional)

EUREKA MATH2

Nombre

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Fecha

1. ¿Qué estrategia usaste para hallar la cantidad total que bebe la persona en un día? ¿Cómo te ayudó?

Vistazo a la lección La clase observa un contexto del mundo real que involucra unidades mixtas de medidas de líquido del sistema métrico. Usan la estructura del sistema métrico para organizar y describir su trabajo y convierten medidas del sistema métrico. En esta lección, no se incluye Grupo de problemas. En cambio, use las observaciones de la clase y las representaciones escritas para analizar el razonamiento de cada estudiante tras la lección. El Boleto de salida de esta lección permite a la clase reflexionar acerca de sus estrategias.

Ejemplo: Formé grupos de 1,000 mililitros. Puedo hallar grupos de 1,000 rápidamente y, luego, usar el cálculo mental para sumar las cantidades que faltan.

Preguntas clave • ¿Por qué formar grupos de unidades semejantes o cantidades de referencia puede ayudarnos a organizar nuestro trabajo?

2. Explica la estrategia de alguien más. ¿Qué te gusta de esa estrategia? Ejemplo: Adesh sumó unidades semejantes y, luego, convirtió a mililitros. Me gustó esa estrategia porque sus medidas tenían diferentes unidades y solo tuvo que convertir a litros una vez.

• ¿Por qué pensar en las medidas en diferentes unidades puede ayudarnos a resolver problemas?

Criterio de logro académico 5.Mód4.CLA20 Convierten cantidades de un sistema de medidas dado para

resolver problemas. (5.MD.A.1)

251

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Juegos de Tarjetas de medidas de líquido (en la edición para la enseñanza)

Prepare un juego de tarjetas por pareja de estudiantes. Considere si desea preparar las tarjetas con antelación o pedir a sus estudiantes que retiren las hojas extraíbles y las recorten durante la lección.

Aprender 35 min • Hallar el total de medidas del sistema métrico • Compartir, comparar y conectar • Convertir medidas del sistema métrico

Estudiantes • Juegos de Tarjetas de medidas de líquido (1 por pareja de estudiantes, en el libro para estudiantes) • tijeras (1 por pareja de estudiantes)

Concluir 10 min

461

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Fluidez

Muéstrame figuras geométricas: Un punto, un segmento de recta y una recta La clase usa gestos para un punto, un segmento de recta y una recta como preparación para dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales en el módulo 5. Usemos las manos y los brazos para mostrar un punto, un segmento de recta y una recta. Para mostrar un punto, haremos esto. (Forme un puño con la mano).

Punto

Muéstrenme un punto. (Muestran el gesto para el punto).

Nota para la enseñanza Mientras representa las figuras geométricas, repita a sus estudiantes la siguiente información que aprendieron en 4.o grado: • Los puntos no tienen tamaño.

Bajen los brazos.

• Las rectas no tienen grosor porque están hechas de puntos.

(Bajan los brazos a los costados). Para mostrar un segmento de recta, haremos esto. (Extienda los brazos a cada lado, paralelos al piso. Forme puños con las manos). Muéstrenme un segmento de recta. (Muestran el gesto para el segmento de recta). ¿Por qué creen que esto representa un segmento de recta? Comenten su idea en voz baja con su pareja.

Segmento de recta

Los segmentos de recta son rectos y tienen un punto en cada extremo. Los puños representan los puntos.

Nota para la enseñanza Considere pedir a sus estudiantes que también muestren un segmento de recta o una recta verticales, y un segmento de recta o una recta horizontales.

Bajen los brazos. (Bajan los brazos a los costados). Para mostrar una recta, haremos esto. (Extienda los brazos a cada lado, paralelos al piso. Mantenga las manos abiertas y los dedos extendidos).

Recta

Muéstrenme una recta. (Muestran el gesto para la recta).

462

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 ¿Por qué creen que esto representa una recta? Comenten su idea en voz baja con su pareja. Las rectas tienen puntas de flecha en los extremos para mostrar que se extienden indefinidamente en ambas direcciones. Los dedos extendidos representan las puntas de flecha. Bajen los brazos. (Bajan los brazos a los costados). Alterne entre las diferentes figuras para que sea más entretenido.

Intercambio con la pizarra blanca: Términos y notaciones de geometría La clase dice y escribe nombres para un punto, un segmento de recta, una recta o una semirrecta como preparación para dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales en el módulo 5. Muestre el punto A. ¿Cuál es el nombre de la figura? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Punto A

A Punto A

Muestre el nombre de la figura. Registren la notación del punto A. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

A Punto A A

Muestre la respuesta.

463

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 Repita el proceso con la siguiente secuencia: B

Segmento de recta BC o segmento de recta CB BC o CB

L M

Semirrecta ML

Recta DE o recta ED

Semirrecta FG

DE o ED

Segmento de recta GH o segmento de recta HG

Recta JK o recta KJ

GH o HG

N Punto N

JK o KJ

Segmento de recta RS o segmento de recta SR

Recta PQ o recta QP

Semirrecta TU TU

RS o SR

PQ o QP

Respuesta a coro: Leer las escalas de medición La clase lee una escala de medición y completa un enunciado de multiplicación como preparación para convertir unidades de medida del sistema métrico que involucran números decimales a partir de la lección 27. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

0 CM 1

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

2 cm

Muestre el borrador y la regla.

464

20 cm

El micrófono es

0 CM 1

2 centímetros

Lean la regla. ¿Cuál es la longitud del borrador en centímetros?

veces tan largo como el borrador.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 Muestre la respuesta y, luego, el micrófono y la regla. ¿Cuál es la longitud del micrófono en centímetros?

20 centímetros Muestre la respuesta y, luego, el esquema de oración. ¿Cómo completarían el enunciado para representar la relación entre las longitudes del borrador y del micrófono? Comenten su idea en voz baja con su pareja. Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. Cuando dé la señal, completen el enunciado mientras lo leen en voz alta. El micrófono es 10 veces tan largo como el borrador. Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

100 g

70 60

90 20

El pastelito es

100 mL

10 mL

30 40

70 g

Recipiente B

100 g 60

Recipiente A

veces tan pesado como el lápiz.

El recipiente A contiene

veces tanto líquido como el recipiente B.

465

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Presentar

La clase infiere un problema matemático a partir de un video. Muestre el video ¿Bebió lo suficiente? Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a sus estudiantes que tomen nota de los detalles. Dé 1 minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron. Conversen brevemente acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes. Guíe la conversación hacia el razonamiento acerca de cuánto líquido bebe la persona del video en 1 día. Considere hacer la siguiente secuencia de preguntas a la clase: ¿Qué observan? El artículo sugiere que las personas deberían beber 3 litros de líquido cada día. La persona bebe muchas veces durante el día. La persona bebe diferentes tipos de líquido a lo largo del día. ¿Qué se preguntan? Me pregunto cuánto líquido hay en cada recipiente. Me pregunto cuánto bebe la persona en total durante el día. Me pregunto si la persona bebe 3 litros en un día. ¿Qué necesitamos saber para determinar si una persona bebe 3 litros de líquido en 1 día? Necesitamos saber el número de recipientes de los que bebe la persona durante el día. Necesitamos saber el volumen líquido de cada recipiente de los que bebe la persona. Necesitamos saber si la persona bebe todo el líquido que había en el recipiente cada vez. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las cantidades de referencia o los objetos de la vida real que puedan ayudarles a pensar y visualizar cuánto es 3 litros. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a determinar si diferentes personas beben 3 litros de líquido en un día y comparar nuestras estrategias para hallar los totales.

466

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Aprender

Hallar el total de medidas del sistema métrico Materiales: E) Juegos de Tarjetas de medidas de líquido, tijeras

Cada estudiante usa las estrategias que seleccionó para hallar el total de diferentes medidas de líquido del sistema métrico. Forme parejas de estudiantes y asigne intencionadamente a cada pareja un juego de tarjetas. Los juegos de tarjetas varían con respecto al tratamiento de las medidas, de menor a mayor complejidad, en el siguiente orden: • En los juegos A y B se enumeran todas las medidas en mililitros con números enteros. • En el juego C se enumeran todas las medidas en litros con números decimales. • En el juego D se enumeran las medidas en una mezcla de mililitros con números enteros y litros con números decimales. Pida a alguien de cada pareja que retire la hoja extraíble designada del libro y recorte las tarjetas por las líneas punteadas según sea necesario. Las tarjetas de su juego representan la cantidad de líquido que bebe una persona en un día. Las medidas muestran cuánto bebe la persona de cada recipiente, no la capacidad del recipiente.

Nota para la enseñanza El objetivo de esta lección es que sus estudiantes determinen en qué momento del conteo o del proceso de resolución de problemas deben convertir medidas entre unidades métricas, así como también convertir intuitivamente medidas de una unidad métrica más pequeña a una unidad métrica más grande. En la lección 27, sus estudiantes convierten formalmente medidas de unidades métricas más pequeñas a unidades métricas más grandes usando ecuaciones. Considere mostrar equivalencias métricas de ser necesario.

Pida a sus estudiantes que busquen la página de registro en sus libros. En parejas, conversen acerca de cómo pueden organizar las tarjetas para hallar la cantidad total de líquido que bebe la persona. Invite a las parejas a trabajar en conjunto para predecir la cantidad total que bebe cada persona y escribir sus estimaciones en los libros. Luego, pídales que hallen la cantidad total de líquido que bebe la persona. Pida que registren su trabajo en los libros.

467

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 Juego ¿Aproximadamente cuánto líquido crees que bebe la persona? Muestra cómo hallaste la cantidad total de líquido.

DUA: Participación Considere fomentar el interés invitando a sus estudiantes a registrar lo que beben en un día. Brinde estimaciones de medidas de recipientes de bebidas comunes.

La persona bebe Juego A: 3,500 mL

en total. Juego B: 2,625 mL

• Caja de jugo (6.75 oz): 200 mL

Juego C: 3.65 L

Juego D: 4,200 mL

Una ecuación que describe cómo hallamos el total es

• Cartón de leche escolar (8 oz): 235 mL • Vaso pequeño (12 oz): 350 mL • Vaso regular (16 oz): 470 mL • Botella de agua (20 oz): 600 mL • Botella de agua (24 oz): 700 mL

Recorra el salón de clases y observe de qué manera se involucran en los siguientes comportamientos. Organización: Las estrategias pueden incluir ordenar las medidas, agrupar unidades semejantes y componer unidades más fáciles de contar salteado combinando cantidades para formar una nueva unidad. Suma: Sus estudiantes pueden usar la suma repetida para hallar el total, contar salteado o multiplicar grupos iguales. Es posible que parte de la clase use estrategias menos eficientes, como sumar todas las medidas. Registro: Los registros pueden incluir dibujos, números, expresiones, ecuaciones y explicaciones escritas. Use preguntas y planteamientos como los siguientes para evaluar e incentivar el razonamiento matemático:

Nota para la enseñanza Considere dar tiempo a las parejas que trabajaron con el mismo juego para que comparen informalmente las estrategias antes de la conversación con toda la clase. Invite a quienes terminen antes a hallar el total de otro juego del libro y a registrar su estrategia.

• Muestren y expliquen lo que hicieron. • ¿Cómo pueden organizar las tarjetas para que sea más fácil hallar el total?

468

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 • ¿Por qué la manera de organizar su colección hace que sea más fácil hallar el total? • ¿Cómo pueden usar una unidad de medida diferente para hallar el total? • ¿Qué tan cerca estuvo su estimación del total real? • ¿De qué forma podrían volver a hallar el total para que les resulte un desafío? Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su trabajo en el siguiente segmento. Los ejemplos muestran qué tipos de estrategias debe buscar y elegir.

Formar grupos de 1,000 mililitros

300 mL

Formar grupos semejantes

0.35 L

200 mL

600 mL

0.3 L

300 mL 0.6 L

350 mL

600 mL

450 mL

0.2 L

700 mL

0.6 L

0.45 L

Sumar unidades semejantes y convertir litros a mililitros

350 mL

200 mL

400 mL 0.4 L

0.3 L

400 mL

0.65 mL

0.3 L

0.6 L

469

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 A medida que las parejas terminan, pídales que completen la sección Reflexión de sus libros.

Reflexión Escribe algo que les haya funcionado bien cuando trabajaron en pareja. Explica por qué funcionó. Ejemplo: Combinamos cantidades para formar grupos de 1,000 mL cuando podíamos, para poder contar grupos de 1,000 en lugar de sumar varias cantidades pequeñas. Escribe acerca de un desafío que hayan encontrado. ¿Cómo lo superaron? Ejemplo: Encontramos dos grupos que eran de aproximadamente 1,000 mL, pero no eran exactamente de 1,000 mL, de acuerdo con las cantidades de las tarjetas. Cuando pensamos en esos grupos como 50 mL de más y 50 mL de menos, nos dimos cuenta de que podíamos separar 450 mL en 50 mL y 400 mL. Pusimos 50 mL en el grupo que tenía 50 mL de menos, lo que hizo que los dos grupos fueran de a 1,000 mL.

Compartir, comparar y conectar La clase comenta estrategias para organizar y hallar la cantidad total de líquido. Reúna a la clase para observar los ejemplos de trabajo seleccionados y comentarlos. Invite a cada pareja seleccionada a que comparta sus registros junto con sus tarjetas organizadas o una fotografía de ellas. Destaque sus estrategias de organización, como ordenar las medidas, agrupar unidades semejantes y componer unidades más fáciles de contar salteado combinando cantidades para formar una nueva unidad. Después de que cada pareja comparta su trabajo, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de preguntas como las siguientes: • ¿En qué se parecen o se diferencian esta estrategia y este dibujo y la estrategia y el dibujo que usaron ustedes? • ¿De qué otra manera podrían hallar la cantidad total de líquido? • ¿Qué conexión pueden establecer entre este trabajo y alguno que hayan hecho anteriormente?

Nota para la enseñanza Los ejemplos de trabajo y razonamiento de cada estudiante anticipan respuestas comunes. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas y paralelas. Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione un trabajo para compartir. Destaque la manera en que ese trabajo contribuye a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien halló el total de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.

Nota para la enseñanza Tenga en cuenta lo siguiente para que los juegos de tarjetas sean accesibles para compartir: • Pida a sus estudiantes que se reúnan alrededor del trabajo. • Tome una fotografía del trabajo y proyéctela. • Use una cámara de documentos portátil para proyectar el trabajo.

470

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 Formar grupos de 1,000 mililitros (método de Toby y Ana: Juego A)

Apoyo para la comprensión del lenguaje

¿Cómo les ayudó su organización a hallar el total? Vimos que 300 + 700 = 1,000. Luego, buscamos otras cantidades que podíamos juntar para obtener 1,000 mililitros y formar tantos grupos de 1,000 mililitros como fuera posible. Podemos usar el cálculo mental para sumar los grupos de 1,000 a las otras cantidades que quedan.

300 mL 300 mL

200 mL 200 mL

¿Por qué separaron 450 mL?

600 mL

300 mL

Dado que 350 + 600 = 950, necesitábamos 50 más para formar 1,000. Sabíamos que 600 + 450 = 1,050, que es 50 de más, así que separamos 450 y pusimos 50 en 350 + 600.

600 mL

300 mL

¿Por qué eligieron formar grupos de 1,000 en lugar de grupos de otra cantidad?

1,000 es un número de referencia para medidas del sistema métrico porque 1,000 mL = 1 L.

350 mL 350 mL

300 mL

200 mL

600 mL

300 350 mL

200 mL 450 600 mL 600

600 mL 600 mL

450 mL 450 mL

300 mL 300 700 mL

Considere brindar apoyo a las respuestas de sus estudiantes con la Herramienta para la conversación. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento para explicar sus estrategias. Pida a sus estudiantes que usen la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación para responder con una explicación de si están de acuerdo con las estrategias compartidas y por qué.

700 mL 700 mL

1,000 mL

1,000 mL 600 mL 450 mL 7001,000 mL mL 50 mL 400 mL 1,000 mL 1,000 mL + 1,000 mL + 1,000 300 mL mL + 200 mL = 3,500 mL 50mL mL+400 350 mL

1,000 mL + 1,000 mL + 1,000 mL + 300 mL + 200 mL = 3,500 mL

Nota para la enseñanza Quienes formen grupos de 1,000 mL pueden expresar los totales como 1 L. También pueden decir el total usando unidades mixtas (es decir, 3 L 500 mL). Si hay estudiantes que convierten mililitros a litros mientras combinan las cantidades de las tarjetas, considere destacar su razonamiento preguntándoles por qué convirtieron y cómo se relaciona su total con el total de las parejas que trabajaron con el mismo juego de cartas y no hicieron la conversión.

471

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 Formar grupos semejantes (método de Mara y Lacy: Juego C) ¿Cómo les ayudó su organización a hallar el total?

0.35 L

0.3 L

0.2 L

Formamos grupos de 0.45 y 0.6. Luego, multiplicamos cada cantidad por el número de grupos de ese tamaño. Eso nos dio tres números para sumar en lugar de nueve. 0.6 L

¿Cómo eligieron 0.45 y 0.6 para el tamaño de los grupos? Vimos dos cantidades de 0.6 y vimos que podíamos formar 0.6 con 0.4 y 0.2, y otro 0.6 con 0.3 y 0.3. De esta manera, teníamos cuatro grupos de 0.6. Luego, nos quedaban 0.35, 0.45 y 0.45. No podíamos combinarlos para formar 0.6, pero vimos las dos cantidades de 0.45 y decidimos multiplicar 0.45 por 2 en su lugar.

0.6 L

0.45 L

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante construye argumentos viables (MP3) cuando registra y comparte su trabajo con sus pares. Ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras cuando considera el trabajo de sus pares y lo compara con el propio. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

0.4 L

0.35 L

• ¿Por qué funcionan sus estrategias? Convenzan a sus pares.

0.3 L

0.4 L

0.2 L

0.45 L

0.6 L

0.45 L

• ¿Qué preguntas pueden hacer a sus pares para asegurarse de que comprenden su estrategia?

0.3 L 0.3 L 4 × 0.6 L = 2.4 L 2 × 0.45 L = 0.9 L 2.4 L + 0.9 L + 0.35 L = 2.4 L + 1 L + 0.25 L 0.1 L 0.25 L = 3.4 L + 0.25 L = 3.65 L

472

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 Sumar unidades semejantes y convertir litros a mililitros (método de Luis y Adesh: Juego D)

DUA: Acción y expresión

¿Cómo les ayudó su organización a hallar el total? Teníamos algunas medidas en mililitros y otras en litros. Separamos las cantidades por unidades para poder sumar unidades semejantes.

350 mL

200 mL

¿Por qué convirtieron litros a mililitros? Teníamos dos unidades diferentes, mililitros y litros. Para sumar, necesitamos unidades semejantes. Convertimos litros a mililitros para poder sumar números enteros. ¿Cómo convirtieron 2.85 litros a mililitros? Separamos 2.85 litros en 2 litros y 0.85 litros. Convertimos 2 litros a 2,000 mililitros. Usamos una ecuación para convertir 0.85 litros a 850 mililitros. Luego, compusimos las partes para escribir 2.85 litros como 2,850 mililitros.

0.65 mL

0.3 L

400 mL

350 mL 200 mL 400 mL 400 mL

1,000 mL

1,000 mL + 350 mL = 1,350 mL 0.85 L = 0.85 × 1 L = 0.85 × 1,000 mL = 850 mL 1 L = 1,000 mL

0.3 L

0.6 L

0.65 L 0.3 L 0.6 L 0.3 L 2 × 0.6 L = 1.2 L 0.6 L 1L 1.2 L + 1 L + 0.65 L = 2.85 L 2.85 L = 2,000 mL + 850 mL = 2,850 mL

Después de compartir los trabajos, considere reservar tiempo para que sus estudiantes participen de una conversación. Primero, pida que cada estudiante revise sus respuestas de la sección Reflexión. Luego, pregunte a las parejas si escucharon alguna estrategia distinta que podrían intentar usar la próxima vez. Pida a sus estudiantes que participen de una conversación sobre las razones para usar un enfoque diferente. Como alternativa, si sus estudiantes no cambiarían de enfoque, pídales que conversen sobre las razones por las que su enfoque original les funcionó mejor. Si se encontraron con algún desafío, pregunte qué pueden usar de esa experiencia cuando se encuentren con una tarea parecida en el futuro. La parte de la actividad en la que se comparte proporciona a sus estudiantes múltiples ejemplos de trabajos comentados de sus pares. La reflexión que hace cada estudiante sobre su trabajo en relación con los ejemplos sirve como una oportunidad de retroalimentación formativa.

2 L 0.85 L

1,350 mL + 2,850 mL = 1,200 mL + 3,000 mL = 4,200 mL 1,200 mL 150 mL

473

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Convertir medidas del sistema métrico La clase convierte medidas de líquidos del sistema métrico. Presente la cantidad total de líquido que se muestra en el Juego C de Tarjetas de medidas de líquido: 3.65 L. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para determinar si 3.65 L representa a una persona que bebe al menos 3 litros en un día y cómo lo saben.

3.65 representa a una persona que bebe al menos 3 litros en un día. 3.65 litros es mayor que 3 litros. Lo sé porque las dos cantidades están registradas en litros y 3.65 es mayor que 3. Presente la cantidad total de líquido que se muestra en el Juego A de Tarjetas de medidas de líquido: 3,500 mL. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para determinar si la cantidad que se muestra representa a una persona que bebe al menos 3 litros en un día y cómo lo saben.

3,500 mililitros representa a una persona que bebe al menos 3 litros en un día. Hay 1,000 mililitros en un litro, así que 3 litros es 3,000 mililitros. Dado que 3,500 mililitros es más que 3,000 mililitros, 3,500 mililitros es más que 3 litros. 3,500 mililitros representa a una persona que bebe al menos 3 litros en un día. Lo sé porque hay 1,000 mililitros en 1 litro, así que 3,500 mililitros es 3 litros y 500 mililitros. Repita la actividad presentando las cantidades totales de líquido que se muestran en el Juego B de Tarjetas de medidas de líquido: 2,625 mL y el Juego D de Tarjetas de medidas de líquido: 4,200 mL. Si hay tiempo suficiente, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para determinar cuánto mayor o cuánto menor que 3 litros es la cantidad total de líquido de cada juego.

474

Diferenciación: Desafío Considere desafiar a sus estudiantes a determinar cómo convertir 3.65 litros a mililitros y 3,500 mililitros, 2,625 mililitros y 4,200 mililitros a litros.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas del mundo real sobre medidas del sistema métrico Guíe una conversación de toda la clase acerca de convertir unidades para resolver un problema de medidas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Por qué la relación entre unidades de medidas como mililitros y litros puede ayudarnos a usar cantidades de referencia para organizar nuestro trabajo? Sabemos que 1,000 mililitros es 1 litro. Por lo tanto, podemos pensar en grupos de 1,000 mililitros para organizar nuestro trabajo. A veces puede ser útil convertir una medida a una unidad diferente. Podemos usar cantidades de referencia para formar grupos y convertir a una unidad diferente. ¿Por qué formar grupos de unidades semejantes puede ayudarnos a organizar nuestro trabajo? Formar grupos de unidades semejantes nos da menos números para sumar en la ecuación. Formar grupos de unidades semejantes nos permite multiplicar grupos de la misma cantidad en lugar de solo sumar todas las cantidades juntas. ¿Por qué pensar en las medidas en diferentes unidades puede ayudarnos a resolver problemas? Hallar el valor de una expresión que representa la situación puede ser más fácil de hacer en una unidad que en otra. A veces, la información que tenemos sobre la situación está en unidades diferentes, así que tenemos que convertir algunas medidas para poder resolver el problema.

475

EUREKA MATH2

450 mL

700 mL

600 mL 350 mL 300 mL

Juego A

300 mL

200 mL

600 mL

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 ▸ Tarjetas de medidas de líquido

476

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300 mL

400 mL

350 mL

450 mL 275 mL

Juego B

350 mL

200 mL

300 mL

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 ▸ Tarjetas de medidas de líquido

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477

EUREKA MATH2

0.45 L 0.3 L

Juego C

0.45 L

0.6 L

0.2 L 0.35 L

0.6 L

0.4 L

0.3 L

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 ▸ Tarjetas de medidas de líquido

478

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0.6 L

400 mL

0.3 L

400 mL

Juego D

350 mL

200 mL

0.65 L

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 26 ▸ Tarjetas de medidas de líquido

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479

LECCIÓN 27

Convertir medidas del sistema métrico que involucran números decimales

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Nombre

Fecha

Convierte cada medida. 1. 0.036 m =

3.6

2. 19.8 cm = 0.198 m

Vistazo a la lección La clase utiliza relaciones multiplicativas para convertir medidas del sistema métrico que involucran números decimales de unidades más grandes a unidades más pequeñas, y de unidades más pequeñas a unidades más grandes. También convierten una cantidad decimal de una unidad más grande a unidades mixtas, y convierten unidades mixtas a una cantidad decimal de la unidad más grande.

Pregunta clave • ¿Por qué pensar en 10, 100 o 1,000 veces y en 0.1, 0.01 o 0.001 veces puede ayudarnos a convertir medidas del sistema métrico?

3. 6 L 75 mL = 6,075 mL

Criterio de logro académico 5.Mód4.CLA20 Convierten cantidades de un sistema de medidas dado para

resolver problemas. (5.MD.A.1)

257

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Prepare 2 marcadores de diferentes colores.

Presentar 5 min

• papel de rotafolio (2 hojas)

Aprender 35 min • Convertir medidas de unidades más grandes a unidades más pequeñas

• marcadores (2)

Estudiantes • ninguno

• Convertir medidas de unidades más pequeñas a unidades más grandes • Convertir con unidades mixtas • Grupo de problemas

Concluir 10 min

481

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Fluidez

Muéstrame figuras geométricas: Una semirrecta y diferentes ángulos La clase usa gestos para una semirrecta, un ángulo recto, un ángulo agudo, un ángulo obtuso y un ángulo llano como preparación para dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales en el módulo 5. Usemos las manos y los brazos para mostrar una semirrecta y diferentes tipos de ángulos. Para mostrar una semirrecta, haremos esto. (Extienda los brazos a cada lado, paralelos al piso. Forme un puño con una mano y deje la otra mano abierta con los dedos extendidos). Muéstrenme una semirrecta.

Semirrecta

(Muestran el gesto para una semirrecta). Bajen los brazos. (Bajan los brazos a los costados). Para mostrar un ángulo recto, haremos esto. (Extienda un brazo hacia un lado, paralelo al piso, y el otro hacia arriba. Mantenga las manos abiertas y extienda los dedos). Muéstrenme un ángulo recto.

Nota para la enseñanza Considere pedir a sus estudiantes que comenten en voz baja con sus parejas por qué cada gesto representa la figura geométrica. Por ejemplo, después de “Muéstrenme una semirrecta”, diga: “¿Por qué creen que nuestros brazos muestran una semirrecta? Comenten su idea en voz baja con su pareja”.

Ángulo recto

(Muestran el gesto para un ángulo recto). Bajen los brazos. (Bajan los brazos a los costados).

482

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 Use las descripciones y los gestos que se proporcionan para continuar el proceso con la siguiente secuencia: Ángulo agudo

Ángulo obtuso

Ángulo llano

Comienza con el gesto para un ángulo recto. Luego, junta más los brazos.

Comienza con el gesto para un ángulo recto. Luego, separa más los brazos.

Extiende los brazos a cada lado, paralelos al piso. Mantén las manos abiertas y los dedos extendidos.

Alterne entre las diferentes figuras para que sea más entretenido. Considere agregar un punto, un segmento de recta y una recta a la secuencia.

Intercambio con la pizarra blanca: Términos y notaciones de geometría La clase dice y escribe los nombres para un ángulo como preparación para dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales en el módulo 5. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el ∠BAC.

Escriban el nombre del ángulo usando 1 punto.

B A

∠A

Muestre la respuesta. Escriban el nombre del ángulo de otras dos maneras usando los

3 puntos.

Muestre las respuestas.

B A

∠A

∠BAC

∠CAB

483

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

T ∠T ∠RTS ∠STR

∠N ∠LNP ∠PNL

∠Y ∠XYZ ∠ZYX

∠S ∠QSR ∠RSQ

Respuesta a coro: Leer las escalas de medición La clase lee una escala de medición y completa un enunciado de multiplicación como preparación para convertir unidades de medida del sistema métrico que involucran números decimales. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre el saltamontes y la regla.

20 21

0 CM 1

Pulgadas

Lean la regla. ¿Cuál es la longitud del saltamontes en centímetros?

3 centímetros 4

30 centímetros

¿Cuál es la longitud de la serpiente en centímetros?

Pulgadas

0 CM 1

Muestre la respuesta y, luego, la serpiente y la regla.

3 cm 30 cm

1 La longitud del saltamontes es 10 de la de la serpiente.

Muestre la respuesta y, luego, el esquema de oración. ¿Cómo completarían el enunciado para representar la relación entre las longitudes del saltamontes y de la serpiente? Comenten su idea en voz baja con su pareja. Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.

484

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 Cuando dé la señal, completen el enunciado mientras lo leen en voz alta. La longitud del saltamontes es __  1   de la de la serpiente. 10

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

100 g

70 60

90 20

Recipiente B

80 mL

800 mL

10 20

100 g 60

Recipiente A

30 40

50 g

El peso de la cereza es 10 del del huevo.

Presentar

El recipiente A contiene 10 de la cantidad de líquido que contiene el recipiente B.

DUA: Representación

Materiales: M) Papel de rotafolio, marcador

La clase completa enunciados de tantas veces como para relacionar unidades métricas. Muestre los tres esquemas de oración. • Longitud: 1 • Peso: 1 • Capacidad: 1

veces tan largo como 1 veces tan pesado como 1

es es

veces 1

Considere mostrar el afiche de referencia de unidades métricas del módulo 1 para que sus estudiantes lo consulten a medida que escriben sus enunciados.

. .

Usemos estos esquemas de oraciones para escribir una lista de enunciados acerca de las unidades de medida del sistema métrico.

485

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 Comience un afiche de referencia escribiendo 1 cm es primer enunciado de la lista.

veces tan largo como 1 mm como

¿Qué número completa el enunciado? ¿Cómo lo saben? El número 10 completa el enunciado. Sé que hay 10 mm en 1 cm. Escriba 10 para completar el enunciado. Dé a la clase 2 minutos para trabajar en parejas y usar los esquemas de oración para escribir tantos enunciados verdaderos como sea posible. Invite a sus estudiantes a compartir sus enunciados con todo el grupo y a agregar siete u ocho de sus enunciados al afiche de referencia. Asegúrese de que los ejemplos de enunciados que se muestran estén incluidos en el afiche, ya que los consultarán a lo largo de la lección. Pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de cómo estos enunciados pueden servirles para convertir medidas del sistema métrico. Si es necesario, proporcione un ejemplo como 45 cm = mm. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a convertir medidas del sistema métrico que involucran números decimales.

Aprender

Nota para la enseñanza En 4.o grado se usa número decimal exclusivamente para evitar que haya confusión con palabras relacionadas, como entre número decimal y punto decimal, y para enfatizar la idea de que los decimales son, de hecho, números que se escriben de una forma nueva. En los temas A a D, número decimal se usa tanto para apoyar la transición sin problemas de 4.o grado como para que haya un contraste notorio con número entero. Dado que el énfasis en el tema E cambia a la aplicación de las operaciones en lugar de las operaciones en sí mismas, no es tan necesario hacer una distinción notoria entre los números decimales y los números enteros.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Los módulos de 5.o grado se refieren a medidas de peso del sistema métrico, y no a la masa. Sus estudiantes pueden usar cualquiera de los dos términos. Si lo hacen, considere relacionar la masa con el peso usando la siguiente explicación. • Técnicamente, el peso y la masa no son equivalentes, pero tanto el peso como la masa pueden utilizarse de manera indistinta cuando el objeto que se mide permanece en la Tierra y está bajo los efectos de la gravedad.

La calabaza que ganó un premio en la feria tiene un peso de 60.056 kilogramos. ¿Cuál es el peso de la calabaza en gramos?

486

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 Escriba 60.056 kg =

Pida a sus estudiantes que observen el afiche de referencia. ¿Qué relación puede ayudarnos a convertir el peso de kilogramos a gramos?

1 kilogramo es 1,000 veces tan pesado como 1 gramo. ¿Qué es mayor: el número de kilogramos o el número de gramos? ¿Cómo lo saben? El número de gramos es mayor porque los gramos son más pequeños que los kilogramos. Se necesitan más gramos que kilogramos para formar el mismo peso. Escriba 60.056 kg = 60.056 × 1 kg.

Diferenciación: Apoyo Considere escribir Unidad más grande arriba de los kilogramos y Unidad más pequeña arriba de los gramos en las ecuaciones. Siga utilizando estos rótulos en el siguiente segmento para ayudar a sus estudiantes a enfocarse en la relación que hay entre las unidades y no en el orden de la ecuación, cuando el orden de las unidades grandes y pequeñas en la ecuación cambia.

¿Cuántos gramos hay en 1 kilogramo?

1,000 En la ecuación, escribamos 1 kilogramo como 1,000 gramos. Escriba = 60.056 × 1,000 g. ¿Cuál es el peso de la calabaza en gramos? ¿Cómo lo saben? El peso de la calabaza es 60,056 gramos. Lo sé porque cuando multiplicamos 60.056 por 1,000, desplazamos los dígitos 3 posiciones hacia la izquierda. Escriba = 60,056 g. Use los siguientes problemas para pedir a la clase que convierta litros a centilitros y centímetros a milímetros: 4.2 L = cL y 17.5 cm = mm. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre convertir 17.5 centímetros a milímetros y convertir 17 centímetros a milímetros.

487

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Convertir medidas de unidades más pequeñas a unidades más grandes Materiales: M) Papel de rotafolio, marcador

La clase escribe enunciados de comparación multiplicativa y convierte medidas del sistema métrico de unidades más pequeñas a unidades más grandes.

Nota para la enseñanza

Muestre el diagrama de cinta que muestra la relación entre los milímetros y los centímetros.

En el módulo 3, sus estudiantes aprendieron que, en general, la palabra veces o la frase veces una cantidad no se usan en comparaciones multiplicativas con fracciones menores que 1. En su lugar, se usa con frecuencia la palabra de o la frase de una cantidad. Ejemplos (forma fraccionaria):

Use otro trozo de papel de rotafolio y un marcador de otro color para comenzar un afiche de referencia nuevo y escriba este comienzo de oración: 1 mm es veces tan largo como .

1 centímetro

1 milímetro

Pida a sus estudiantes que observen el afiche de referencia creado en la sección Presentar. Señale el enunciado 1 cm es 10 veces tan largo como 1 mm y léalo a coro con la clase. ¿Cómo podemos describir esta relación en milímetros? ¿Cómo lo saben?

La longitud de 1 milímetro es __  1   de la longitud de 1 centímetro. Lo sé porque hay 10 milímetros 10

en 1 centímetro.

Escriba 0.1 y 1 cm para completar el comienzo de oración: 1 mm es 0.1 veces tan largo como 1 cm. Repita con los otros enunciados del afiche de referencia que se registraron durante la sección Presentar para crear un segundo afiche con enunciados para las unidades más pequeñas.

1 10 es  __ de 100 10 1 10 es un  __ de una cantidad 10

Igual que con las fracciones, en comparaciones multiplicativas con números decimales menores que 1, también se usa la palabra de o la frase de una cantidad. Dado que puede tratarse de la primera experiencia de la clase con esta diferencia en el uso del lenguaje, haga énfasis en este uso cada vez que aparezca una comparación multiplicativa con un número decimal menor que 1. Ejemplos (forma decimal):

10 es 0.1 de 100 (diez es cero con un décimo de cien)

10 es 0.1 de una cantidad (diez es cero con un décimo de una cantidad)

Presente el problema. El girasol que ganó el primer premio en la feria mide 360.7 centímetros de alto. ¿Cuánto mide el girasol de alto en metros? Escriba 360.7 cm =

488

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 Pida a sus estudiantes que observen el afiche de referencia. ¿Qué relación nos puede ayudar a convertir la altura de centímetros a metros?

1 centímetro es 0.01 veces tan largo como 1 metro. ¿Qué es mayor: el número de centímetros o el número de metros? ¿Cómo lo saben? El número de centímetros es mayor que el número de metros. Lo sé porque los centímetros son más pequeños que los metros. Por lo tanto, se necesitan más centímetros para formar la misma altura. Escriba 360.7 cm = 360.7 × 1 cm.

DUA: Representación

¿Cuántos centímetros hay en 1 metro?

100 ¿Qué fracción de un metro es 1 centímetro?

___   1 100

1 centímetro es ___   1 de metro. ¿Cómo escribimos ___   1 en forma decimal? 100 100 0.01

Considere usar el marcador del mismo color que usó en el segundo afiche de referencia para completar 360.7 cm = m. El código de colores podría ayudar a sus estudiantes a conectar la relación entre los enunciados de 0.1, 0.01 y 0.001 veces y a convertir de una unidad más pequeña a una más grande.

Por lo tanto, 1 centímetro es 0.01 metros. Escriba = 360.7 × 0.01 m. ¿Cuál es la altura del girasol en metros? ¿Cómo lo saben? La altura del girasol es 3.607 metros. Lo sé porque, cuando multiplicamos 360.7 por 0.01, desplazamos los dígitos 2 posiciones hacia la derecha. Escriba = 3.607 m. Use los siguientes problemas para pedir a la clase que convierta miligramos a centigramos y mililitros a litros: 35.94 mg = cg y 5,108 mL = L. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué pensar en 0.1, 0.01 o 0.001 veces una cantidad es útil para convertir unidades métricas más pequeñas a unidades métricas más grandes.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando identifica con cuidado la relación entre las unidades métricas y usa la comprensión del valor posicional y la multiplicación decimal para calcular las conversiones correctamente. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • Al hacer conversiones entre metros y centímetros o milímetros, ¿con qué pasos deben tener mucho cuidado? ¿Por qué? • ¿Cómo están usando la relación de 0.1, 0.01 o 0.001 veces en su trabajo?

489

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Convertir con unidades mixtas La clase convierte cantidades decimales de una unidad más grande a unidades mixtas, y convierte unidades mixtas a cantidades decimales de la unidad más grande. Presente el problema. La zanahoria que ganó el primer premio en la feria mide 6.25 metros de largo. ¿Cuál es la longitud de la zanahoria en unidades mixtas de metros y centímetros? Escriba 6.25 m =

cm.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar cómo convertir 6.25 metros a unidades mixtas de metros y centímetros. Podemos separar 6.25 metros en 6 metros y 0.25 metros. Luego, podemos convertir 0.25 metros a centímetros. Haga un vínculo numérico para separar 6.25 m en 6 m y 0.25 m. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para convertir 0.25 m a 25 cm. ¿Cuánto es 6.25 metros en unidades mixtas de metros y centímetros?

6 metros y 25 centímetros Escriba

L = 8 L 92 mL.

¿En qué se parece y en qué se diferencia este problema del anterior?

6.25 m =

0.25 m

0.25 m = 0.25 × 1 m = 0.25 × 100 cm = 25 cm

En el problema anterior, sabíamos cuál era la medida en la unidad más grande y teníamos que convertir la medida a unidades mixtas. En este problema, sabemos cuál es la medida en unidades mixtas y tenemos que convertir la medida a la unidad más grande. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo convertir 8 litros y 92 mililitros a litros. Podemos convertir 92 mililitros a litros y, luego, sumar esa cantidad a 8 litros.

490

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27 Pida a sus estudiantes que completen el problema en parejas. ¿Cuánto es 8 litros y 92 mililitros en litros?

8.092 litros Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre convertir de una unidad más grande a unidades mixtas y convertir de unidades mixtas a la unidad más grande.

8.092 L = 8 L 92 mL 92 mL = 92 × 1 mL = 92 × 0.001 L = 0.092 L 8 L + 0.092 L = 8.092 L

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Convertir medidas del sistema métrico que involucran números decimales Guíe una conversación de toda la clase acerca de convertir unidades de medida que involucran números decimales de unidades más grandes a unidades más pequeñas y de unidades más pequeñas a unidades más grandes usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Por qué pensar en 10, 100 o 1,000 veces y 0.1, 0.01 o 0.001 veces puede ser útil para convertir medidas del sistema métrico? Pensar en la relación de tantas veces una cantidad me ayuda a multiplicar por el número correcto cuando escribo una expresión para convertir. Cuando convierto de una unidad del sistema métrico más grande a una más pequeña, uso una relación de 10, 100 o 1,000 veces una cantidad. Cuando convierto de una unidad del sistema métrico más pequeña a una más grande, uso una relación de 0.1, 0.01 o 0.001 veces una cantidad. © Great Minds PBC

491

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

EUREKA MATH2

¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre convertir medidas del sistema métrico que involucran números decimales y convertir medidas del sistema métrico que involucran números enteros? Debo pensar y usar la relación entre las unidades de medida, ya sea que las medidas sean números decimales o números enteros. El proceso de convertir es el mismo, ya sea que las unidades sean números decimales o números enteros.

492

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Nombre

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

Convierte cada medida.

Fecha

3. 3.5 L =

350 cL

EUREKA MATH2

4. 479 g = 0.479 kg

1. Convierte cada medida.

1 centímetro

1 milímetro a. 1 cm =

5. 1 b. 1 mm = _____ cm 10

c. 1 mm =

0.1

102,900 m = 102.9 km

2.05 kL = 2,050 L

7. 800 mg =

0.8

8. 0.95 cm =

9.5

600 m

10. 4.25 kg = 4 kg

2. Completa la tabla. Milímetros (mm)

100

Expresión

100 ×

Centímetros (cm)

0.1

7.8 × 10

7.8

45.3

45.3 × 0.1

4.53

956.7

95.67 × 10

95.67

9. 9.6 km = 9 km

253

11.

18.7 m = 18 m 70 cm

254

GRUPO DE PROBLEMAS

12.

250 g

5.003 L = 5 L 3 mL

493

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 27

EUREKA MATH2

14. Un mosquito pesa 3 miligramos. Un saltamontes es 100 veces tan pesado como el mosquito. ¿Cuántos gramos más que el mosquito pesa el saltamontes?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 13. Noah tiene un hilo que mide 6.8 metros de largo. Corta el hilo en 4 trozos iguales.

100 × 3 mg = 300 mg

a. ¿Cuántos metros de largo mide cada trozo de hilo?

300 mg − 3 mg = 297 mg

6.8 m ÷ 4 = 1.7 m

297 mg = 297 × 0.001 g

Cada trozo de hilo mide 1.7 metros de largo.

El saltamontes pesa 0.297 gramos más que el mosquito.

b. ¿Cuántos centímetros de largo mide cada trozo de hilo?

15. La Sra. Baker tiene 3 litros de agua y 7 vasos de precipitado. Vierte 425 mililitros de agua en cada vaso de precipitado. ¿Cuántos litros de agua sobran?

1.7 m = 1.7 × 100 cm Cada trozo de hilo mide 170 centímetros de largo.

7 × 425 = 2,975 2,975 mL = 2,975 × 0.001 L 3 L − 2.975 L = 0.025 L Sobran 0.025 litros de agua.

494

GRUPO DE PROBLEMAS

255

256

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 28

Convertir medidas del sistema inglés que involucran números decimales

EUREKA MATH2

Nombre

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Fecha

Convierte cada medida. 1. 6.3 yardas = 226.8 pulgadas

Vistazo a la lección La clase relaciona cómo convertir medidas de unidades mixtas a una sola unidad y cómo convertir medidas presentadas como números decimales. Utilizan relaciones multiplicativas para convertir medidas del sistema del sistema inglés que involucran números decimales de unidades más grandes a unidades más pequeñas, y de unidades más pequeñas a unidades más grandes.

Preguntas clave • ¿Qué es importante pensar cuando se escribe una ecuación para convertir una medida del sistema inglés a una unidad diferente? • ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre convertir medidas del sistema inglés que involucran números decimales y convertir medidas del sistema inglés que involucran números enteros o fracciones?

2. 3.44 tazas = 1.72 pintas

Criterio de logro académico 5.Mód4.CLA20 Convierten cantidades de un sistema de medidas dado para

resolver problemas. (5.MD.A.1)

3. 7.2 onzas = 0.45 libras

265

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 10 min

• ninguno

Aprender 30 min • Convertir medidas de unidades más grandes a unidades más pequeñas

Estudiantes • ninguno

• Convertir medidas de unidades más pequeñas a unidades más grandes • Problema verbal de dos pasos sobre conversión de medidas • Grupo de problemas

Concluir 10 min

497

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Fluidez

Muéstrame figuras geométricas: Rectas y segmentos de recta La clase usa gestos para rectas y segmentos de recta como preparación para dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales en el módulo 5. Usemos las manos y los brazos para mostrar una recta, un segmento de recta, y rectas y segmentos de rectas paralelos y perpendiculares. Recuerden: para mostrar una recta, hacemos esto. (Muestre el gesto para una recta).

Recta

Muéstrenme una recta. (Muestran el gesto para una recta). Bajen los brazos. (Bajan los brazos a los costados). Use las descripciones y los gestos que se proporcionan para continuar el proceso con la siguiente secuencia:

498

Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

Flexiona los codos y coloca los antebrazos frente a ti, uno sobre el otro, paralelos al piso. Mantén las manos abiertas y los dedos extendidos.

Flexiona los codos, coloca un antebrazo frente a ti, paralelo al piso, y el otro hacia arriba, de forma que se crucen en un ángulo de 90°. Mantén las manos abiertas y los dedos extendidos.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Repita el proceso representando el segmento de recta, los segmentos de recta paralelos y los segmentos de recta perpendiculares usando los siguientes gestos:

Segmento de recta

Segmentos de recta paralelos

Segmentos de recta perpendiculares

Alterne entre las diferentes figuras para que sea más entretenido. Considere agregar el punto, la semirrecta, el ángulo recto, el ángulo agudo, el ángulo obtuso y el ángulo llano.

Intercambio con la pizarra blanca: Términos y notaciones de geometría La clase dice y escribe nombres para rectas y segmentos de recta paralelos y perpendiculares como preparación para dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales en el módulo 5. Muestre los segmentos de recta paralelos AB y CD. ¿Qué palabra podemos usar para completar el enunciado y describir la relación de los segmentos de recta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

B A

El segmento de recta AB es

al segmento de recta CD.

Paralelo

499

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Muestre el enunciado completado.

Cuando dé la señal, lean el enunciado. El segmento de recta AB es paralelo al segmento de recta CD.

El segmento de recta AB es paralelo al segmento de recta CD.

Usen la notación apropiada para reescribir el enunciado.

AB || CD

Muestre el ejemplo de respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia: R G

La recta GH es paralela a la recta KJ.

GH || KJ

El segmento de recta BN es paralelo al segmento de recta QW.

BN || QW

W Z

El segmento de recta RT es perpendicular al segmento de recta US.

La recta LN es perpendicular a la recta PM.

El segmento de recta WY es perpendicular al segmento de recta XZ.

RT ⊥ US

LN ⊥ PM

WY ⊥ XZ

P T

M A

V N

C La recta VC es paralela a la recta MA.

VC || MA

La recta EF es perpendicular a la recta ZG.

EF ⊥ ZG

Respuesta a coro: Leer las escalas de medición La clase lee una escala de medición y completa enunciados de multiplicación para desarrollar fluidez con la conversión de unidades de medida del sistema métrico que involucran números decimales. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

500

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Muestre el clavo y la regla. Lean la regla. ¿Cuál es la longitud del clavo en centímetros?

3 centímetros Muestre la respuesta y, luego, el martillo y la regla.

20 21

0 CM 1

3 cm

Pulgadas

¿Cuál es la longitud del martillo en centímetros?

30 centímetros Muestre la respuesta y, luego, el esquema de oración. 18

0 CM 1

30 cm

Pulgadas

¿Cómo completarían el enunciado para representar la relación entre las longitudes del martillo y del clavo? Comenten su idea en voz baja con su pareja.

El martillo es 10 veces tan largo como el clavo. 1

La longitud del clavo es 10 de la del martillo.

Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. Cuando dé la señal, completen el enunciado mientras lo leen en voz alta. El martillo es 10 veces tan largo como el clavo. Muestre la respuesta y, luego, el segundo esquema de oración. Cuando dé la señal, completen el enunciado mientras lo leen en voz alta. La longitud del clavo es __  1 de la del martillo. 10

501

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia: Recipiente A

180

160 140 120

200 g 100

180 40

160

140

120

20 g

Recipiente B

40 mL

400 mL

20 40

200 g 100

60 80

200 g

La manzana es 10 veces tan pesada como el muffin. 1 El peso del muffin es 10 del de la manzana.

El recipiente B contiene 10 veces la cantidad de líquido que contiene el recipiente A.

El recipiente A contiene 10 de la cantidad de líquido que contiene el recipiente B.

Presentar

La clase convierte galones y cuartos de galón en forma fraccionaria para expresar las medidas en forma decimal. Presente la imagen de los recipientes de leche y use la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. Dé a la clase 2 minutos de 1 gal 1 gal 1 gal 1 qt 1 qt tiempo para pensar en silencio y representar la cantidad de leche que se muestra usando una unidad de medida. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.

502

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Luego, pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Si es posible, seleccione a alguien que haya convertido galones a cuartos de galón y a alguien que haya convertido cuartos de galón a galones. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y registre los razonamientos.

3 gal 2 qt = 14 qt

3 gal 2 qt 12 qt + 2 qt = 14 qt 3 gal = 3 × 1 gal = 3 × 4 qt = 12 qt

Hay 14 cuartos de galón de leche. 1 galón = 4 cuartos de galón, por lo que 3 galones = 12 cuartos de galón.

12 cuartos de galón + 2 cuartos de galón = 14 cuartos de galón.

Hay 3  _2  galones de leche. 1 cuarto de galón = _  1 de galón, 4

por lo que 2 cuartos de galón = _  2 de galón.

DUA: Representación

Considere pedir a sus estudiantes que observen los diagramas de cinta que se muestran en el Grupo de problemas como apoyo para relacionar medidas del sistema inglés. 1 galón

galón

3 gal 2 qt = 3 4 gal 3 gal

2 qt

1 pinta

1 taza

3 gal + 4 gal = 3 4 gal 1 yarda

3 galones + _ 42de galón = 3  _42  galones.

2 qt = 2 × 1 qt 1

= 2 × 4 gal

Escriba 3  _2gal = 14 qt. 4

1 pie

= 4 gal

¿Es verdadera esta ecuación? ¿Cómo lo saben? Sí. Mostramos que 3 galones y 2 cuartos de galón

1 pie

1 pulgada

es la misma cantidad que 14 cuartos de galón y 3  _2  galones. Son la misma cantidad, pero escritas

1 libra

en unidades diferentes.

¿Cómo podemos escribir 3  _ galones en forma decimal?

3.5 galones

1 cuarto de

1 cuarto de galón

2 4

Escriba 3.5 gal = 14 qt.

1 onza

Nota para la enseñanza

¿Es verdadera esta ecuación? ¿Cómo lo saben?

Sí. Lo sé porque expresamos un número mixto, 3  _2  , como un número decimal, 3.5. No cambiamos 4 el valor de ninguno de los lados de la ecuación, por lo que la ecuación sigue siendo verdadera.

Si es necesario, anime a sus estudiantes a usar fracciones equivalentes o la división larga para 2 expresar 3  __ en forma decimal. 4

503

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo les parece que podrían haber usado la relación entre cuartos de galón y galones para hallar el número de galones en forma decimal en lugar de en forma fraccionaria. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a convertir medidas del sistema inglés que involucran números decimales.

Aprender

Convertir medidas de unidades más grandes a unidades más pequeñas La clase convierte medidas del sistema métrico que involucran números decimales de unidades más grandes a unidades más pequeñas. Comprobemos que 3.5 gal = 14 qt usando una ecuación para convertir 3.5 galones a cuartos de galón. Escriba 3.5 gal =

qt.

¿Habrá más galones o más cuartos de galón? ¿Cómo lo saben? Habrá más cuartos de galón porque los cuartos de galón son más pequeños que los galones. Escriba 3.5 gal = 3.5 × 1 gal. ¿Cuál es la relación entre galones y cuartos de galón?

1 galón = 4 cuartos de galón 1 galón es 4 veces 1 cuarto de galón. En la ecuación, escribamos 1 galón como 4 cuartos de galón.

504

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Escriba = 3.5 × 4 qt. Invite a sus estudiantes a multiplicar. ¿3.5 galones equivalen a cuántos cuartos de galón? 14 cuartos de galón Complete la ecuación escribiendo = 14 qt. Repita para hallar 4.5 yd =

ft y 7.25 lb =

oz.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuáles son las semejanzas entre convertir medidas del sistema inglés que involucran números decimales y convertir medidas del sistema inglés que involucran números enteros o fracciones.

Convertir medidas de unidades más pequeñas a unidades más grandes La clase convierte medidas del sistema inglés que involucran números decimales de unidades más pequeñas a unidades más grandes. Escriba 40 oz =

lb.

¿En qué se diferencia este problema de los anteriores? Nos da la cantidad de la unidad más pequeña en lugar de la unidad más grande. ¿Habrá más onzas o libras? ¿Cómo lo saben? Habrá más onzas porque las onzas son más pequeñas que las libras. Escriba = 40 × 1 oz. ¿Cuál es la relación entre libras y onzas?

1 libra = 16 onzas 1 libra es 16 veces 1 onza.

505

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 Como estamos convirtiendo la medida de una unidad más pequeña a una más grande, tenemos que pensar en qué fracción de la unidad más grande está representada por la unidad más pequeña. ¿Qué fracción de 1 libra es 1 onza?

__   1 16

En la ecuación, escribamos 1 onza como __  1 de libra.

Escriba = 40 × __  1 lb .

Invite a sus estudiantes a multiplicar y, luego, usar la división larga para expresar la fracción como un número decimal. ¿40 onzas equivalen a cuántas libras?

2.5 libras Complete la ecuación escribiendo = 2.5 lb. Repita la actividad para hallar 57 in =

ft y 6.5 c =

pt.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre convertir una medida del sistema inglés que involucra números decimales de unidades más pequeñas a unidades más grandes y convertir una medida del sistema inglés de unidades más grandes a unidades más pequeñas.

Nota para la enseñanza Convertir 6.5 tazas a pintas podría requerir expresar 6.5 como   65 . Como alternativa, 10 multiplicar por   1 también brinda la 2 oportunidad de usar la multiplicación de

números decimales, 6.5 × 0.5. Busque y comparta ejemplos de trabajo que muestren ambos métodos.

6.5 c = 6.5 × 1 c

1 = 6.5 × 2 pt 65 1 = 10 × 2 pt 65 × 1 = 10 × 2 pt 65 = 20 pt

6.5 c = 6.5 × 1 c 1

= 6.5 × 2 pt = 6.5 × 0.5 pt = 3.25 pt

= 3.25 pt

506

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Problema verbal de dos pasos sobre conversión de medidas La clase resuelve un problema verbal de dos pasos en el que un paso requiere convertir medidas del sistema inglés que involucran números decimales. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 1. Una científica recoge muestras de agua de un estanque. La científica recoge 16 muestras. Cada muestra es de 1.25 tazas. ¿Cuántos cuartos de galón de agua recoge la científica en total?

? qt

Apoyo para la comprensión del lenguaje Para apoyar el contexto de este problema, primero brinde información acerca de la recolección de muestras de agua mostrando fotografías de una persona que llena recipientes pequeños de agua de un estanque, o explicando cómo los expertos y las expertas en ciencias recogen muestras para analizar. Establezca una relación con la experiencia que tienen sus estudiantes en ciencias, si es posible.

1.25 c 16 muestras 16 × 1.25 c = 20 c = 20 × 1 c

= 20 × 1_ qt 4

= _____ qt 20 × 1 4

= __ qt

1 2 5 centésimos 16

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

1 3

750 +1 250 1 1 2,0 0 0 centésimos

20 4

= 5 qt La científica recogió 5 qt de agua. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Invite a un par de estudiantes a compartir su trabajo con la clase.

Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando aplica su conocimiento de la multiplicación de números decimales y la conversión de unidades para resolver problemas verbales. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para representar cantidades y relaciones importantes usando dibujos y ecuaciones, y como ayuda para relacionar su solución abstracta con el contexto del problema. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4: • ¿Qué ideas clave del problema de las muestras de agua necesitan asegurarse de incluir en sus dibujos? • ¿Qué operación matemática pueden escribir para representar el problema? • ¿Cómo pueden hacer más simple el problema para estimar la solución?

507

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Nota para la enseñanza Sus estudiantes podrían elegir convertir

1.25 tazas a cuartos de galón y, luego, multiplicar por 16. Si convierten primero, el trabajo de cálculo será más complejo.

Concluir

Es posible que quienes elijan este enfoque

Reflexión final 5 min Objetivo: Convertir medidas del sistema inglés que involucran números decimales

125 necesiten apoyo para expresar 1.25 como  ___, 100 para hallar fracciones equivalentes o para

multiplicar fracciones.

1.25 c = 1.25 × 1 c = 1.25 ×

Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase acerca de convertir unidades de medida del sistema inglés que involucran números decimales usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

En la parte (b), la unidad más pequeña está escrita primero y la unidad más grande es un número desconocido. En la parte (c), la unidad más pequeña está escrita primero y la unidad más pequeña es un número desconocido.

125 1 × qt 100 4

125 × 1 qt 100 × 4 125 = qt 400

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 del Grupo de problemas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar qué diferencias observan entre las maneras en que están escritas las ecuaciones de las partes (a) a (d). En la parte (a), la unidad más grande está escrita primero y la unidad más pequeña es un número desconocido.

1 qt 4

16 ×

125 125 ÷ 25 qt = 16 × qt 400 400 ÷ 25 5 = 16 × qt 16

= 5 qt

En la parte (d), la unidad más grande está escrita primero y la unidad más grande es un número desconocido. En las partes (a) y (b), el número desconocido está en el lado derecho de la ecuación. En las partes (c) y (d), el número desconocido está en el lado izquierdo de la ecuación.

508

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28 ¿Qué es importante pensar cuando se escribe una ecuación para convertir una medida del sistema inglés a una unidad diferente? Es importante pensar en la relación entre las unidades de medida. Es importante pensar qué unidad de medida es la unidad más pequeña y qué unidad de medida es la unidad más grande. Es importante pensar en qué medida es un número conocido y qué medida es un número desconocido. ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre convertir medidas del sistema inglés que involucran números decimales y convertir medidas del sistema inglés que involucran números enteros o fracciones? Usamos la relación entre las unidades de medida, ya sea que las medidas sean números decimales, números enteros o fracciones. El proceso de convertir es el mismo, ya sea que las unidades sean números decimales, números enteros o fracciones. Cuando convertimos medidas de una unidad más pequeña a una más grande con números decimales, a veces es necesario expresar uno de los factores con otro nombre a fin de que aparezca en la misma forma que el otro factor, en forma decimal o en forma fraccionaria, para poder multiplicar.

509

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

a. 2.5 gal =

Usa el diagrama de cinta como ayuda para convertir cada medida. 1.

a. 1.5 yd =

4.5

b. 2.4 ft =

0.8

1 pie

1 cuarto de galón

1 pinta

1 pie 11.25 ft = 3.75 yd

3.5

b. 0.5 pt = 0.25 qt

1 cuarto de galón

1 yarda

1 galón

1 pinta

1 pulgada

2.5

c = 1.25 pt

1.5

gal = 12 pt

1 taza

ft = 42 in

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

a. 0.75 lb =

4. Scott prepara 7.25 pintas de té. Scott y sus amigas beben 7 tazas de té. ¿Cuántas tazas de té quedan?

7.25 pt = 7.25 × 2 c

1 libra

14.5 c − 7 c = 7.5 c Quedan 7.5 tazas de té.

b. 28 oz = 1.75 lb

1 onza c.

510

1.25 lb = 20 oz

261

262

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

EUREKA MATH2

5. La tabla muestra cuánto pesa un cachorro a diferentes edades.

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 28

Edad (meses)

Peso (libras)

10.3 lb = 10 lb + 0.3 lb

10.3

0.3 lb = 0.3 × 16 oz

21.7

30.2

39.8

a. ¿Cuál es el peso del cachorro a los 2 meses de edad? Escribe tu respuesta en unidades mixtas usando libras y onzas.

El cachorro pesa 10 libras y 4.8 onzas.

b. Cuando el cachorro tiene 3 meses de edad, come 9 onzas de alimento por día durante 28 días. ¿Cuántas libras de alimento come el cachorro?

28 × 9 oz = 252 oz

1 252 oz = 252 × __ lb

16 El cachorro come 15.75 libras de alimento.

c. Pasan 4 semanas entre el momento en que se pesa al cachorro a los 4 meses de edad y cuando se lo pesa a los 5 meses de edad. El cachorro aumenta de peso en un número igual de onzas cada una de esas semanas. ¿Cuántas onzas aumenta de peso el cachorro cada semana?

39.8 lb − 30.2 lb = 9.6 lb 9.6 lb ÷ 4 = 2.4 lb 2.4 lb = 2.4 × 16 oz El cachorro aumenta 38.4 onzas cada semana.

GRUPO DE PROBLEMAS

263

511

LECCIÓN 29

Interpretar, evaluar y comparar expresiones numéricas que involucran números decimales

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Nombre

Fecha

1. Escribe una expresión para representar el enunciado.

2 veces la diferencia entre 1.02 y 0.98 2 × (1.02 − 0.98)

2. Escribe un par de paréntesis para hacer que la ecuación sea verdadera.

Vistazo a la lección La clase usa la rutina Analizar una respuesta errónea para razonar sobre las operaciones de una expresión representada con un diagrama de cinta dado. Luego, sus estudiantes trabajan en grupos para completar una actividad en estaciones donde escriben, interpretan, representan, evalúan y comparan expresiones con números decimales sin evaluar. Terminan la lección determinando cuál de los dos dígitos de una expresión con números decimales se puede cambiar para crear una nueva expresión con un valor mayor y, luego, una nueva expresión con un valor menor. En esta lección se formaliza el término desigualdad.

Preguntas clave

(9.5 × 4.3) + 7.8 + 5.9 = 54.55

• ¿De qué manera nos ayudan los diagramas de cinta a interpretar y comprender las operaciones de una expresión con números decimales? • ¿Cómo podemos comparar el valor de determinadas expresiones que tienen números decimales sin evaluar las expresiones de manera completa?

3. Usa >, = o < para comparar las expresiones. Explica cómo puedes comparar las expresiones sin evaluarlas.

(3.2 + 2.1) × (5.3 − 4.1)

(6.3 − 4.1) × (3.2 + 2.1)

Explica:

Criterios de logro académico

La suma es la misma en las dos expresiones, pero la expresión de la izquierda se multiplica por 1.2, y la expresión de la derecha se multiplica por 2.2. Sé que multiplicar un valor por 1.2 es menor que multiplicar ese mismo valor por 2.2.

5.Mód4.CLA1 Escriben expresiones numéricas que incluyen números

decimales y paréntesis. (5.OA.A.1) 5.Mód4.CLA2 Evalúan expresiones numéricas que incluyen números decimales

y paréntesis. (5.OA.A.1) 5.Mód4.CLA4 Comparan el efecto de cada número y operación sobre el valor

de una expresión numérica que incluye números decimales. (5.OA.A.2)

273

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• Estaciones de expresiones numéricas (en la edición para la enseñanza)

Imprima o copie y recorte un juego de las Estaciones de expresiones numéricas. Coloque cada estación en diferentes lugares del salón de clases. Puede usar conjuntos de estaciones adicionales de ser necesario.

Aprender 30 min • Expresiones numéricas con números decimales: Estaciones

Estudiantes • herramienta de borde recto

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

513

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Dibujar figuras geométricas Materiales: E) Herramienta de borde recto

La clase dibuja un punto, una semirrecta o un ángulo como preparación para dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales en el módulo 5. Muestre el punto A. Cuando dé la señal, lean el nombre de la figura. ¿Comenzamos?

Punto A

Punto A Dibujen un ejemplo del punto A.

Nota para la enseñanza

Muestre la imagen de ejemplo de la figura geométrica. Repita el proceso con la siguiente secuencia: Semirrecta BC C B

514

Ángulo D D

Ángulo EFG

AB B

G F

Punto H

∠EDC

∠B

H C

Valide todas las respuestas correctas que no coincidan exactamente con la figura que se muestra en el ejemplo de respuesta. Por ejemplo, para el ángulo D, puede que haya estudiantes que elijan dibujar un ángulo obtuso o recto si bien el ángulo que se muestra es agudo. Observe qué atributos de la figura se necesitan para constituir una respuesta correcta.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Intercambio con la pizarra blanca: Medidas angulares desconocidas La clase escribe ecuaciones y determina una medida angular desconocida como preparación para dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales en el módulo 5. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre el ∠XYZ.

El ∠XYZ es un ángulo llano. ¿Cuántos grados hay en un

ángulo llano?

70°

180°

¿Cuántos grados hay en el ∠XYP?

70°

d°

Y Z 180 − 70 = d 70 + d = 180 110°

Escriban una ecuación de resta para hallar la medida del ∠PYZ. Usen la letra para representar el número desconocido. Escriban una ecuación de sumando desconocido para hallar la medida del ∠PYZ.

Escriban la medida del ∠PYZ.

515

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

L 120° C

j°

y°

T N 180 − 120 = y 120 + y = 180 60°

Presentar

n°

45°

F 180 − 45 = j 45 + j = 180 135°

J 25°

X A 90 − 25 = n 25 + n = 90 65°

La clase razona sobre cómo representar correctamente con una expresión las operaciones representadas en un diagrama de cinta. Presente el siguiente problema verbal. Adesh tiene un total de 5.4 metros de cuerda. Usa 3.9 metros de cuerda para un columpio de llanta. Usa el resto de la cuerda para colgar 5 comederos de aves. Usa la misma cantidad de cuerda para colgar cada comedero. ¿Cuánta cuerda necesita Adesh para colgar 1 comedero? Muestre el diagrama de cinta de Blake e invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre cómo representa la situación del problema verbal.

5.4 ?

3.9

Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y muestre la expresión de Blake.

5.4 ÷ 5 − 3.9 516

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error o la ambigüedad del trabajo. Invite a la clase a compartir sus respuestas. Blake dividió 5.4 entre 5 y, luego, restó 3.9. Debería haber restado 3.9 de 5.4 primero y, luego, dividido la diferencia entre 5 para hallar la parte desconocida. ¿Podemos agregar paréntesis a la expresión de Blake para que represente de forma correcta el valor desconocido en el diagrama de cinta? Expliquen. No. No hizo las operaciones correctas con el total, 5.4, y la parte conocida, 3.9. No hay manera de agrupar las operaciones para hacer que la expresión sea correcta. No. Si agregamos paréntesis alrededor de cualquiera de las operaciones, 5.4 ÷ 5 o 5 − 3.9, la expresión sigue sin representar el diagrama de cinta. Luego, muestre la expresión de Blake corregida.

5.4 − (3.9 ÷ 5) Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error o la ambigüedad del trabajo. Invíteles a compartir sus respuestas. Blake dividió 3.9 entre 5, pero 3.9 no está dividido entre 5 en el diagrama de cinta. Dé a sus estudiantes 2 minutos para escribir la expresión correcta para el valor desconocido del diagrama de cinta y, luego, evaluar su expresión. Recorra el salón de clases y elija a dos estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos correctos con el objetivo de permitir una conversación sobre expresiones numéricas y el uso de paréntesis.

(5.4 − 3.9) ÷ 5 = 1.5 ÷ 5 = 0.3

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a una persona que comparta su respuesta con todo el grupo. Guíe a la clase para que llegue a un acuerdo sobre cuál es la mejor manera de corregir la respuesta incorrecta.

Nota para la enseñanza Puede que haya estudiantes que escriban la expresión __   1 × (5.4 − 3.9) para el valor 5 desconocido del diagrama de cinta.

¿Cómo cambiaron los paréntesis de la expresión de Blake para que represente de forma correcta el valor desconocido en el diagrama de cinta? Escribí paréntesis alrededor de 5.4 − 3.9 para mostrar que primero debemos restar la parte conocida del total. Luego, tenemos que dividir la diferencia entre 5 para hallar el valor desconocido del diagrama de cinta.

517

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 Escriba la ecuación que usó la mayoría para representar la solución al problema verbal, como (5.4 − 3.9) ÷ 5 = 0.3. ¿Qué enunciado podríamos decir para representar esta ecuación? La diferencia de 5.4 y 3.9 dividida entre 5 es 0.3. El resultado de restar 3.9 de 5.4 dividido entre 5 es 0.3.

Nota para la enseñanza

¿Cómo representa esta ecuación el problema verbal? La longitud de la cuerda que se usó para los 5 comederos es la cantidad total de cuerda, 5.4 metros, menos la cantidad de cuerda que se usó para el columpio de llanta, 3.9 metros. Luego, dividimos lo que queda de la cuerda entre 5 porque se usa para colgar 5 comederos. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a representar, evaluar y comparar expresiones que involucran números decimales.

Aprender

Expresiones numéricas con números decimales: Estaciones

Las seis estaciones diferentes de esta actividad se ajustan a seis grupos de cuatro estudiantes cada uno. De ser necesario, imprima y coloque copias adicionales de cada conjunto de estaciones para evitar que se amontonen en una estación o para hacer la actividad en grupos más pequeños o en parejas. Como alternativa a que sus estudiantes roten por el salón de clases hacia las diferentes estaciones colocadas, pueden quedarse en sus asientos en grupos y pasarse las páginas impresas de las estaciones. Es posible que sus estudiantes no completen las seis estaciones en el tiempo dado. Considere diferenciar las estaciones que se brindan a cada grupo.

Materiales: M) Estaciones de expresiones numéricas

La clase representa, evalúa y compara expresiones con números decimales y agrega paréntesis para que las ecuaciones sean verdaderas. Forme grupos de 3 o 4 estudiantes. Pida a cada grupo que se acerque a una de las estaciones colocadas en el salón de clases para comenzar la actividad. Dé unos minutos para que los grupos completen el planteamiento de la estación en sus libros. Luego, pídales que roten a una nueva estación. Continúe hasta que todos los grupos hayan completado los planteamientos de cada estación. Los ejemplos de trabajo y las respuestas pueden encontrarse en la sección Ejemplos de soluciones.

518

DUA: Participación Para fomentar la colaboración durante la actividad en las estaciones, considere asignar roles en el grupo, como personas a cargo de leer, de anotar o de cronometrar. Defina responsabilidades para cada rol. Repase las instrucciones de la actividad y las normas del grupo antes de que comiencen a trabajar. Sugiera un tiempo para completar la tarea, como 3 minutos por estación, y proyecte un temporizador visual.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 Registra tu trabajo para cada estación. Estación 1

Estación 3

Estación 2

Estación 4

Apoyo para la comprensión del lenguaje Mientras sus estudiantes trabajan en grupos para la actividad en las estaciones, considere pedirles que usen las secciones Compartir tu razonamiento y Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación para comentar sus ideas.

Diferenciación: Desafío Estación 5

Estación 6

Mientras recorre el salón de clases, haga las siguientes preguntas para evaluar e incentivar la comprensión de la clase de la interpretación de expresiones numéricas. • ¿En qué se parecen los diagramas de cinta que dibujaron en la estación 1 y en la estación 3? ¿En qué se diferencian?

Para desafiar a sus estudiantes, modifique la actividad en las estaciones para incluir expresiones que mezclen fracciones y números decimales. Las siguientes son expresiones de ejemplo: • Estación 1: Dos veces la suma de 2.56 y __   37  50 • Estación 3: La suma de tres 2.07 y cinco __   9   10 1 • Estación 5: 4 × 2  __   − 0.3 = 7.6 5 • Estación 6:

(2.7 + 1.09) × __   17  20

1.04 × ( 2 __   7  + 1.09) 10

• Los enunciados de la estación 1 y la estación 3 incluyen una suma. ¿Cómo se representan las sumas en cada diagrama de cinta? • ¿Cuál es otro posible diagrama de cinta que podrían dibujar para representar la expresión de la estación 2? • ¿Cómo podría servirles un diagrama de cinta para explicar el error de Tyler en la situación de la estación 4? • En la estación 5, ¿cómo determinaron dónde colocar los paréntesis en las ecuaciones de Julie para hacer que cada enunciado sea verdadero?

519

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

EUREKA MATH2

• En la estación 6, ¿evaluaron primero cada expresión antes de compararlas? ¿Por qué? • En la estación 6, ¿qué observan acerca de cómo se relacionan las dos expresiones en cada parte? ¿Sobre qué características de las expresiones razonaron para compararlas? Pida al grupo de estudiantes que vuelvan a sus asientos. Pida que otro grupo comparta su solución para cada estación. Destaque ejemplos del razonamiento acerca de los diagramas de cinta y las operaciones de cada expresión. Cuando conversen sobre la solución para la estación 6, presente el término desigualdad. Cuando comparamos dos expresiones usando el signo igual, podemos llamar a la oración numérica una ecuación. Cuando comparamos dos expresiones usando el signo menor que o mayor que, podemos llamar a la oración numérica una desigualdad porque las dos expresiones no son iguales. Pida a sus estudiantes que rotulen las oraciones numéricas para la estación 6 como una ecuación o una desigualdad.

520

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando trabaja en grupos para completar actividades en estaciones donde escribe, interpreta, representa, evalúa y compara expresiones con números decimales, así como cuando coloca paréntesis de manera apropiada para hacer que las ecuaciones sean verdaderas. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • ¿Qué detalles hay que tener en cuenta cuando se representa un diagrama de cinta como una expresión? • Cuando escriben paréntesis en una ecuación para hacer que la ecuación sea verdadera, ¿qué pasos deben seguir con especial cuidado? ¿Por qué?

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Interpretar, evaluar y comparar expresiones numéricas que involucran números decimales Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre interpretar, evaluar y comparar expresiones numéricas que involucran números decimales. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 5 y 6 del Grupo de problemas. ¿De qué manera nos ayudan los diagramas de cinta de los problemas 5 y 6 a interpretar y comprender las operaciones de una expresión con números decimales? Los diagramas de cinta me ayudan a ver las relaciones entre las partes, y así reconocer si los números se suman, se multiplican, se restan o se dividen. En el problema 5, vi que tres partes del diagrama de cinta estaban rotuladas 1.25 y otra parte estaba rotulada 6.5. Por lo tanto, sabía que primero tenía que multiplicar 3 por 1.25 y, luego, sumar 6.5 al producto. En el problema 6, vi que dos partes se repetían 3 veces en el diagrama de cinta. Las dos partes representaban la suma de 7.82 y 3.45. Eso me ayudó a saber que necesitaba multiplicar 3 por la suma. Luego, pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 12 a 14 y haga la siguiente pregunta, o pídales que realicen la actividad alternativa después de la pregunta. ¿Cómo pueden comparar el valor de determinadas expresiones que tienen números decimales sin evaluar las expresiones de manera completa? Den un ejemplo de los problemas 12 a 14. En el problema 12, puedo ver que cada expresión era el producto de un número y una suma. Dado que la suma, 1.4 + 2.8, es la misma en las dos expresiones, solo necesito comparar los números por los que se multiplica la suma en cada expresión. 45 es mayor que 4.5, así que sé que la primera expresión tiene un valor mayor.

521

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 En el problema 14, puedo pensar en los productos de cada expresión como unidades. En la primera expresión, la unidad es 3 décimos, y la expresión muestra un valor de 12 grupos de 3 décimos. En la segunda expresión, la unidad es 3, y la expresión muestra un valor de 12 grupos de 3. Dado que la unidad de 3 es mayor que la unidad de 3 décimos, y hay el mismo número de cada unidad, sé que el valor de la segunda expresión es mayor. Si bien evalué 15.4 − 3.4 y 5.75 + 6.25 para saber cuánto de cada unidad muestran las expresiones, no evalué las expresiones de manera completa. Forme parejas de estudiantes para la siguiente actividad alternativa. Muestre la desigualdad con recuadros que representen dígitos desconocidos.

1 × (0.2 + 3.4) <

(

)

Luego, presente la siguiente tarea. Cada uno de los recuadros representa un dígito desconocido. En parejas, determinen dos dígitos de la primera expresión que puedan intercambiar para crear una segunda expresión que complete una desigualdad verdadera. Dé a la clase un minuto para completar la ecuación. Se muestran ejemplos de trabajo.

1 × (0.2 + 3.4) < 2 × (0.1 + 3.4) 1 × (0.2 + 3.4) < 1 × (4.2 + 3.0) 1 × (0.2 + 3.4) < 4 × (0.2 + 3.1) Seleccione a una pareja para que comparta su desigualdad. Luego, haga la siguiente pregunta para ayudar a sus estudiantes a explicar su razonamiento.

Diferenciación: Apoyo Considere apoyar a sus estudiantes pidiéndoles que primero hagan la actividad con números enteros de uno y dos dígitos como se muestra.

1 × (20 + 34) <

×(

)

Nota para la enseñanza Si hay tiempo suficiente, repita el proceso pidiendo a sus estudiantes que identifiquen dos dígitos de la primera expresión que puedan intercambiarse para crear una expresión de menor valor. Se muestran ejemplos de trabajo.

1 × (0.2 + 3.4) > 0 × (1.2 + 3.4) 1 × (0.2 + 3.4) > 1 × (0.3 + 2.4)

522

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 ¿Qué números intercambiaron? ¿Cómo pudieron comparar el valor de la expresión dada con el valor de su expresión sin evaluar cada expresión de manera completa? Intercambié 1 y 2. Si bien 0.1 + 3.4 es menor que 0.2 + 3.4, sé que multiplicar 0.1 + 3.4 por 2 es mayor que 0.2 + 3.4 o 3.6. Entonces, el valor de mi expresión es mayor que el valor de la expresión dada. Intercambié 4 y 0. Las dos sumas, 0.2 + 3.4 y 4.2 + 3.0, se multiplican por el mismo número, 1. Dado que 0.2 + 3.4 es menor que 4.2 + 3.0, sé que el valor de mi expresión es mayor que el valor de la expresión dada. Intercambié 1 y 4. Si bien 0.2 + 3.4 es mayor que 0.2 + 3.1, sé que multiplicar 0.2 + 3.1 por 4 es mayor que 0.2 + 3.4 o 3.6. Entonces, el valor de mi expresión es mayor que el valor de la expresión dada.

Diferenciación: Desafío Para desafiar a sus estudiantes a pensar sobre cómo los paréntesis pueden cambiar el valor de una expresión, considere extender la actividad de la sección Concluir. Muestre la expresión con recuadros que representen dígitos desconocidos. ×

Pida a sus estudiantes que coloquen uno de los dígitos del 0 al 5 en cada uno de los recuadros para completar la expresión. Luego, pídales que coloquen paréntesis a la expresión para crear una expresión con un valor mayor o menor. Pida a sus estudiantes que compartan su razonamiento acerca de cómo saben que la nueva expresión tiene un valor mayor o menor que la expresión original sin evaluar la nueva expresión.

523

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Ejemplos de soluciones Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

2.56

0.74

2.56

0.74

2 × (2.56 + 0.74) = 2 × 3.3 = 6.6

Estación 2

0.8

1.92

0.8

1.92

0.8

1.92

2.07

0.9

(3 × 2.07) + (5 × 0.9) = 6.21 + 4.5 = 10.71

Estación 4 Cada persona que juega en el equipo de futbol de Tyler compra calcetines que cuestan $4.95 y una camiseta que cuesta $12.29. Hay 14 personas en el equipo de futbol de Tyler. Tyler dice que la expresión 14 × 4.95 + 12.29 representa el costo total de los calcetines y las camisetas del equipo.

0.8

= 10.88

Tyler multiplicó solo el costo de los calcetines por 14 y, luego, sumó el costo de la camiseta. Debería haber multiplicado la suma del costo de los calcetines y de la camiseta por 14 porque cada persona compra calcetines y una camiseta. b. Escribe una expresión que represente correctamente el costo total de los calcetines y las camisetas del equipo.

14 × (4.95 + 12.29) c. Evalúa la expresión que escribiste en la parte (b) para hallar el costo total de los calcetines y las camisetas del equipo.

14 × (4.95 + 12.29) = 14 × 17.24 = 241.36 El costo total de los calcetines y las camisetas del equipo es $241.36.

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4 × (1.92 + 0.8) = 4 × (2.72)

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lesson 29 ▸ Numerical Expressions Stations Solutions

a. Explica el error de Tyler.

4 veces la suma de 1.92 y 0.8

524

Dibuja un diagrama de cinta y escribe una expresión para representar el siguiente enunciado. Luego, evalúa tu expresión. La suma de tres 2.07 y cinco 0.9

Escribe un enunciado y una expresión para representar el diagrama de cinta. Luego, evalúa tu expresión.

1.92

Estación 3

EUREKA MATH2

Dos veces la suma de 2.56 y 0.74

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Dibuja un diagrama de cinta y escribe una expresión para representar el siguiente enunciado. Luego, evalúa tu expresión.

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lesson 29 ▸ Numerical Expressions Stations Solutions

Estación 1

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

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Julie olvidó poner paréntesis en cada una de sus ecuaciones. Escribe paréntesis para hacer que cada ecuación sea verdadera.

4 × (2.2 − 0.3 0.3)) = 7.6 3.22 = (5.2 + 1.24 1.24)) ÷ 2 (3.1 + 0.5 0.5)) × 2 + 1.7 = 8.9

Estación 6

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lesson 29 ▸ Numerical Expressions Stations Solutions

Estación 5

Usa >, = o < para comparar las expresiones. a. (2.7 + 1.09) × 0.85

b. (1.4 − 0.8) × (6.65 + 0.5)

c. (6.1 × 7) + (0.2 × 9)

(6.65 + 0.5) × (0.3 + 0.3)

(0.4 × 9) + (8.3 × 7)

EUREKA MATH2

1.04 × (2.7 + 1.09)

525

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

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Nombre

Fecha

1. El doble de la suma de 5.2 y 3.1

5.2

3.1

Escribe un enunciado y una expresión para representar el diagrama de cinta. Luego, evalúa tu expresión. 5.

Dibuja un diagrama de cinta y escribe una expresión para representar el enunciado. Luego, evalúa tu expresión.

5.2

Expresión: (15 − 8.61) ÷ 3 Valor de la expresión: 2.13

3.6

La suma de tres 1.25 y 6.5

Expresión:

3 × 1.25 + 6.5

Valor de la expresión:

6. 3. 3 veces la suma de 6.35 y 3.6

Enunciado:

7.82

3.45

7.82

3.45

7.82

3.45

3 veces la suma

Enunciado:

de 7.82 y 3.45

4. La suma de dos 2.5 y tres 4.23

6.35

3.6

2.5

4.23

Expresión:

4.23

3 × (7.82 + 3.45)

Valor de la expresión: Expresión: 3 × (6.35 + 3.6)

Expresión: (2 × 2.5) + (3 × 4.23)

Valor de la expresión: 29.85

Valor de la expresión: 17.69

526

10.25

Valor de la expresión: 16.6

6.35

6.5

3.1

Expresión: (5.2 + 3.1) × 2

3.6

1.25 1.25 1.25

2. La diferencia entre 15 y 8.61, dividida entre 3

8.61

6.35

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5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

269

270

GRUPO DE PROBLEMAS

33.81

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29

Usa >, = o < para comparar las expresiones. Explica cómo puedes comparar las expresiones sin evaluarlas.

7. Considera el enunciado.

5 veces la diferencia entre 10.8 y 3.3

12. 45 × (1.4 + 2.8)

a. Mara comete un error cuando escribe una expresión para representar el enunciado. ¿Qué error comete Mara?

(1.4 + 2.8) × 4.5

Explica: La suma es la misma en las dos expresiones, pero la expresión de la izquierda se multiplica por 45, y la expresión de la derecha se multiplica por 4.5. Por lo tanto, sé que multiplicar un valor por 45 es mayor que multiplicar ese mismo valor por 4.5.

(5 × 10.8 10.8)) − 3.3 Mara puso los paréntesis en el lugar incorrecto. b. Escribe una expresión para representar el enunciado.

5 × (10.8 − 3.3) c. Evalúa la expresión que escribiste en la parte (b).

5 × (10.8 − 3.3) = 5 × 7.5 = 37.5

13. 2.7 × 3.9

(2 + 0.7) × (3 + 0.9)

Explica: Las expresiones son iguales porque la expresión de la derecha muestra cómo pueden descomponerse los números de la expresión de la izquierda.

Escribe paréntesis para hacer que cada ecuación sea verdadera. 8.

11.6 − (5.4 + 3.05) = 3.15

2 × (6.1 + 3.4) = 19

14. (15.4 × 0.3) − (3.4 × 0.3)

(5.75 × 3) + (6.25 × 3)

Explica: La expresión de la derecha tiene un valor mayor porque es 12 grupos de 3, y la expresión de la izquierda es solo 12 grupos de 3 décimos. 10.

1.68 = (18 − 12.96) ÷ 3

11. (2.25 + 1.5) × (3.5 + 6.5) = 37.5

GRUPO DE PROBLEMAS

271

272

GRUPO DE PROBLEMAS

527

528 This page may be reproduced for classroom use only.

0.8

1.92

Estación 3

0.8

1.92

0.8

La suma de tres 2.07 y cinco 0.9

Dibuja un diagrama de cinta y escribe una expresión para representar el siguiente enunciado. Luego, evalúa tu expresión.

1.92

Escribe un enunciado y una expresión para representar el diagrama de cinta. Luego, evalúa tu expresión.

Estación 2

Dos veces la suma de 2.56 y 0.74

Dibuja un diagrama de cinta y escribe una expresión para representar el siguiente enunciado. Luego, evalúa tu expresión.

Estación 1

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 ▸ Estaciones de expresiones numéricas EUREKA MATH2

c. (6.1 × 7) + (0.2 × 9)

b. (1.4 − 0.8) × (6.65 + 0.5)

a. (2.7 + 1.09) × 0.85

(0.4 × 9) + (8.3 × 7)

(6.65 + 0.5) × (0.3 + 0.3)

1.04 × (2.7 + 1.09)

Usa >, = o < para comparar las expresiones.

Estación 6

3.1 + 0.5 × 2 + 1.7 = 8.9

3.22 = 5.2 + 1.24 ÷ 2

4 × 2.2 − 0.3 = 7.6

Julie olvidó poner paréntesis en cada una de sus ecuaciones. Escribe paréntesis para hacer que cada ecuación sea verdadera.

Estación 5

c. Evalúa la expresión que escribiste en la parte (b) para hallar el costo total de los calcetines y las camisetas del equipo.

b. Escribe una expresión que represente correctamente el costo total de los calcetines y las camisetas del equipo.

a. Explica el error de Tyler.

Cada persona que juega en el equipo de futbol de Tyler compra calcetines que cuestan $4.95 y una camiseta que cuesta $12.29. Hay 14 personas en el equipo de futbol de Tyler. Tyler dice que la expresión 14 × 4.95 + 12.29 representa el costo total de los calcetines y las camisetas del equipo.

Estación 4

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 29 ▸ Estaciones de expresiones numéricas

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529

LECCIÓN 30

Crear y resolver problemas del mundo real para expresiones numéricas dadas que involucran números decimales

EUREKA MATH2

Nombre

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Fecha

Escribe un problema verbal que pueda representarse con la expresión. Luego, resuelve el problema verbal.

5 − (1.15 + 3.61)

Vistazo a la lección La clase construye problemas verbales para emparejar expresiones dadas y diagramas de cinta que involucran números decimales. Consideran la ubicación de los paréntesis y cómo las agrupaciones que muestran los paréntesis son útiles para escribir problemas verbales y evaluar expresiones.

Pregunta clave

Ejemplo: Tyler tiene $5.00. Compra una botella de agua por $1.15 y un sándwich por $3.61. ¿Cuánto dinero le queda a Tyler?

• ¿Qué es importante buscar y considerar cuando escribimos problemas verbales para que estos coincidan con expresiones o diagramas de cinta?

A Tyler le quedan $0.24.

Criterios de logro académico 5.Mód4.CLA1 Escriben expresiones numéricas que incluyen números

decimales y paréntesis. (5.OA.A.1) 5.Mód4.CLA2 Evalúan expresiones numéricas que incluyen números decimales

y paréntesis. (5.OA.A.1) 5.Mód4.CLA3 Reescriben descripciones verbales matemáticas, o contextuales,

como expresiones numéricas que incluyen números decimales. (5.OA.A.2)

281

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Compartir ideas sobre situaciones de problemas verbales

Estudiantes • herramienta de borde recto

• Escribir y resolver problemas verbales para representar expresiones y diagramas de cinta • Grupo de problemas

Concluir 10 min

531

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Dibujar figuras geométricas Materiales: E) Herramienta de borde recto

La clase dibuja un ejemplo de segmento de recta o de recta, tanto paralelos como perpendiculares, como preparación para dibujar, analizar y clasificar figuras bidimensionales en el módulo 5. Muestre el segmento de recta AB.

Segmento de recta AB

Cuando dé la señal, lean el nombre de la figura geométrica. ¿Comenzamos?

Segmento de recta AB

Tracen un ejemplo de un segmento de recta AB. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la imagen de ejemplo de la figura geométrica. Repita el proceso con la siguiente secuencia: Recta CD

LJ K

532

Rectas perpendiculares JK y LM

Rectas paralelas EF y GH

M N

QX ⊥ NS

Nota para la enseñanza No se espera que sus estudiantes tracen rectas y segmentos de recta que sean perfectamente paralelos o perpendiculares usando nada más que una herramienta de borde recto. En lugar de eso, deben estimar la posición de las figuras y usar marcas de flecha para indicar que son paralelas y cuadrados pequeños para indicar que son perpendiculares.

RS || TU

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Muestre el ∠OKB.

El ∠OKB es un ángulo llano. ¿Cuántos grados hay en los ángulos llanos?

180°

¿Cuántos grados hay en el ∠LKB?

80°

p° 80° O

K 180 − 80 = p 80 + p = 180 100°

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Luego, muestre la respuesta. Escriban una ecuación de resta para hallar la medida del ∠LKO. Usen una letra para representar el número desconocido. Escriban una ecuación de sumando desconocido para hallar la medida del ∠LKO.

Escriban la medida del ∠LKO.

533

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

L 50° J

a°

H 180 − 50 = a 50 + a = 180 130°

Presentar

30°

140° x°

f°

B 180 − 140 = x 140 + x = 180 40°

M N 90 − 30 = f 30 + f = 90 60°

La clase empareja una expresión con el contexto de un problema verbal. Muestre la siguiente tabla a toda la clase. Pida a sus estudiantes que lean cada problema a coro. Dígales que no deben hacer ningún cálculo.

Problema A

Problema B

Blake corrió 3.56 kilómetros el sábado. Corrió 5.05 kilómetros el domingo. Sasha corrió dos veces la distancia que corrió Blake el fin de semana. ¿Qué distancia corrió Sasha?

El Sr. Evans compra 2 tarjetas de felicitación y 1 rollo de papel de regalo. Cada tarjeta cuesta $3.56. El rollo de papel de regalo cuesta $5.05. ¿Cuánto gasta el Sr. Evans?

DUA: Representación Anime a sus estudiantes a dibujar diagramas de cinta que representen las situaciones para apoyar su razonamiento. Problema A

? 3.56

5.05

3.56

5.05

Problema B

? 3.56

534

3.56

5.05

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 Luego, muestre la siguiente expresión.

2 × 3.56 + 5.05 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué problema representa la expresión y por qué. La expresión representa el problema B. Multiplicar 2 y 3.56 sirve para hallar el costo de 2 tarjetas de felicitación de $3.56 cada una. Luego, sumamos 5.05 a esa cantidad para representar los $5.05 del rollo de papel de regalo. La expresión representa el problema B. Para el problema A, sería necesario multiplicar la suma de 3.56 y 5.05 por 2. No hay paréntesis en la expresión, así que la multiplicación es solo para 3.56.

Diferenciación: Desafío Considere pedir a sus estudiantes que conviertan 3.56 kilómetros y 5.05 kilómetros a metros, milímetros y centímetros.

¿Qué cambio podemos hacer a la expresión para que represente el problema A? ¿Por qué? Podemos poner paréntesis alrededor de 3.56 + 5.05. Sasha corrió dos veces la distancia que corrió Blake el fin de semana. Los paréntesis mostrarían que, primero, tenemos que sumar para hallar la distancia que corrió Blake en total y, luego, multiplicar esa suma por 2. Podemos escribir la expresión como (2 × 3.56) + (2 × 5.05). Sasha corrió dos veces la distancia que corrió Blake el fin de semana, así que corrió dos veces la distancia que corrió él el sábado y dos veces la distancia que corrió él el domingo. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a escribir y resolver problemas verbales que coincidan con expresiones dadas.

535

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Aprender

Compartir ideas sobre situaciones de problemas verbales La clase comparte ideas sobre situaciones de problemas verbales y desarrolla ejemplos para cada operación. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre situaciones del mundo real que podrían involucrar números decimales. Registre sus ideas a medida que las comparten. Algunas de las posibles respuestas son las siguientes. Comprar productos en una tienda Hacer una receta Medir un listón Correr una carrera Recorrer una distancia en bicicleta Llenar recipientes

DUA: Participación Las situaciones que se presentan son ejemplos. Invite a sus estudiantes a compartir ideas sobre situaciones del mundo real que sean importantes para sus vidas, lo que les brinda la oportunidad de fijar la enseñanza en contextos que son conocidos y significativos para sus estudiantes.

Invite a cada par de estudiantes a elegir una situación de la lista, o cualquier situación que se les haya ocurrido y que no se haya compartido. Pida a las parejas que escriban un ejemplo para cada operación que muestre cómo podrían usar la operación en esa situación. Luego, invite a algunas parejas que hayan elegido situaciones diferentes a compartir sus ejemplos, una operación a la vez. El siguiente ejemplo representa los tipos de situaciones para recorrer una distancia en bicicleta. Suma: Recorrí 3.4 millas el sábado y 2.1 millas el domingo. ¿Qué distancia recorrí en total? Resta: Recorrí 3.4 millas el sábado y 2.1 millas el domingo. ¿Cuánto más recorrí el sábado que el domingo? Multiplicación: Recorrí 3.4 millas. Mi amiga recorre 2 veces la distancia que recorrí yo. ¿Qué distancia recorre mi amiga? División: Recorrí 3.4 millas en 2 días. Si recorrí el mismo número de millas cada día, ¿qué distancia recorrí cada día?

536

Nota para la enseñanza Si hay tiempo suficiente, considere pedir a las parejas que escriban sus ejemplos en papel de rotafolio y que los cuelguen por el salón de clases de forma tal que todas las personas puedan verlos durante el transcurso de la lección.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Escribir y resolver problemas verbales para representar expresiones y diagramas de cinta La clase analiza expresiones y diagramas de cinta para desarrollar y resolver problemas verbales relacionados. Muestre la expresión 1.3 + (4 × 0.75). Forme parejas de estudiantes y use la rutina Construcción colaborativa para que las parejas creen un contexto que puedan aplicar a la expresión. Dé a las parejas 2 minutos para comparar con otros grupos los contextos que construyen.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Invite a estudiantes a compartir sus ideas con la clase. Una libreta cuesta $1.30 y un borrador cuesta $0.75. ¿Cuánto cuesta comprar 1 libreta y 4 borradores? Eddie compra 1 bolsa de manzanas rojas que pesa 1.3 kilogramos. Compra 4 bolsas de manzanas verdes que cuestan 0.75 kilogramos cada una. ¿Cuántos kilogramos de manzanas compra Eddie? Pida a cada pareja que intercambie problemas con otra pareja y los resuelva. La respuesta de todos los problemas es 4.3, pero asegúrese de que sus estudiantes escriban un enunciado con la solución que responda la pregunta de su problema, como: Eddie compra 4.3 kilogramos de manzanas. Cuando la mayoría de las parejas haya terminado de resolver, muestre el diagrama de cinta.

Recorra el salón de clases para asegurarse de que el lenguaje y los contextos utilizados en los problemas verbales no presenten obstáculos. Si es necesario, proporcione ayuda a sus estudiantes cuando intercambien y resuelvan los problemas de sus pares.

Diferenciación: Apoyo

10.34 Ayude a sus estudiantes a interpretar el diagrama de cinta con preguntas como las siguientes.

4.12 ? Vuelva a usar la rutina Construcción colaborativa para que las parejas creen un contexto que puedan aplicar al diagrama de cinta.

• ¿Cuál es el total que se muestra? • ¿Qué partes forman ese total? • ¿Qué sabemos acerca de las partes desconocidas?

537

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30 Dé a las parejas 2 minutos para comparar con otros grupos los contextos que construyen. Invite a las parejas a compartir sus ideas. Noah tiene $10.34. Compra un juguete que cuesta $4.12. Gasta el resto de su dinero cuando compra 2 sándwiches. Cada sándwich cuesta la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto cuesta cada sándwich? Yuna tiene 10.34 metros de cuerda. Usa 4.12 metros para hacer una cuerda para escalar. Corta el resto de la cuerda en 2 partes iguales. ¿Cuántos metros de cuerda hay en cada parte? Pida a cada pareja que intercambie problemas con una pareja nueva y los resuelva. La respuesta de todos los problemas es 3.11, pero asegúrese de que sus estudiantes escriban un enunciado con la solución que responda la pregunta de su problema, como: Hay 3.11 metros de cuerda en cada parte. Luego, pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 a 3 de sus libros. Considere las siguientes opciones para formar grupos de estudiantes, según sus necesidades y el tiempo disponible: • Sus estudiantes practican cómo escribir problemas verbales para todos los problemas de forma independiente, los resuelven y, luego, comparan sus problemas verbales en parejas. • En parejas, practican cómo escribir problemas verbales para algunos o todos los problemas, y los resuelven. • Grupos de tres estudiantes practican cómo escribir problemas verbales para un problema y completan un paseo por la galería para estudiar los otros problemas. Dé instrucciones y tiempo para que sus estudiantes trabajen. Escribe un problema verbal que pueda representarse con la expresión o el diagrama de cinta. Luego, resuelve el problema verbal.

Nota para la enseñanza Para apoyar el razonamiento de sus estudiantes, anímeles a que también escriban una expresión que represente el número desconocido en el diagrama de cinta.

(10.34 − 4.12) ÷ 2 Pida a sus estudiantes que expliquen por qué los paréntesis son importantes en esta expresión.

Nota para la enseñanza Sus estudiantes tienden a preferir problemas relacionados con el dinero a la hora de crear un contexto para expresiones que tienen números decimales. Para ayudar a sus estudiantes a expandir su razonamiento, considere establecer como límite que haya un solo contexto relacionado con el dinero en los problemas 1 a 3. Anime a sus estudiantes a consultar la lista de situaciones que desarrollaron antes en la lección para ver otras ideas.

1. (1.15 + 0.9) ÷ 5 Ejemplo: Riley combinó 1.15 kilogramos de almendras y 0.9 kilogramos de nueces de cajú en un tazón grande. Luego, dividió la mezcla, en partes iguales, en 5 recipientes. ¿Cuántos kilogramos de la mezcla hay en cada recipiente? Hay 0.41 kilogramos de la mezcla en cada recipiente.

538

Diferenciación: Desafío Forme parejas de estudiantes y pida a cada una que escriba una expresión que involucre decimales. Invite a sus estudiantes a intercambiar expresiones y a escribir y resolver un problema verbal que coincida con la expresión de sus parejas. Luego, pídales que repitan el proceso con diagramas de cinta.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

3.4

6.9

Ejemplo: Luis camina 3.4 kilómetros por día durante 3 días. Camina 6.9 kilómetros el cuarto día. ¿Cuál es el número total de kilómetros que camina Luis en 4 días? Luis camina 17.1 kilómetros en 4 días. 3. (7 × 1.25) − (3 × 2.45) Ejemplo: En una venta de pasteles, Tyler compra 7 galletas y Julie compra 3 muffins. Cada galleta cuesta $1.25 y cada muffin cuesta $2.45. ¿Cuánto más que Julie gasta Tyler en la venta de pasteles? Tyler gasta $1.40 más que Julie en la venta de pasteles.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando analiza expresiones y diagramas de cinta para escribir y resolver problemas verbales que coincidan. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Qué les dicen los paréntesis en la expresión sobre lo que hay que incluir en el problema verbal? • ¿La solución tiene sentido en términos matemáticos?

Reúna a la clase. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si el problema verbal que escribieron en el problema 1 seguiría coincidiendo con la expresión si se quitaran los paréntesis, y por qué. No. Mi problema verbal no coincidiría si se quitaran los paréntesis porque la suma ya no estaría dividida entre 5. En mi problema, primero combino las dos cantidades y, luego, divido. Sin los paréntesis, mi problema ya no tendría sentido.

539

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Crear y resolver problemas del mundo real para expresiones numéricas dadas que involucran números decimales Guíe una conversación de toda la clase acerca de la escritura de problemas verbales para expresiones numéricas con números decimales usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. ¿Qué era importante buscar y considerar cuando escribimos problemas verbales para que coincidieran con expresiones o diagramas de cinta? Es importante buscar las operaciones que están en la expresión. Es importante buscar paréntesis en la expresión. Es importante buscar el número desconocido en el diagrama de cinta y observar cómo las otras partes del diagrama se relacionan con el número desconocido. Es importante pensar en situaciones que podrían tener sentido dados los números en la expresión y cómo los números se suman, restan, multiplican o dividen. Es importante pensar en palabras o frases apropiadas que se puedan usar para describir las operaciones y describir el número desconocido. ¿Los paréntesis de las expresiones les ayudaron a escribir problemas verbales? ¿Por qué? Sí. Los paréntesis me ayudan a pensar en una situación que represente la agrupación que muestran los paréntesis. Sí. Los paréntesis me ayudan a pensar en una parte de la expresión a la vez.

540

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Nombre

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

Fecha

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

2. Considera el diagrama de cinta.

? 1. Traza líneas para emparejar cada expresión con su problema verbal.

a. (0.82 − 0.4 + 0.28) × 2.5

b. 0.82 + 0.4 − 0.28 + 2.5

c. (0.82 + 0.4 + 0.28) × 2.5

1.8

Jada compra 0.82 libras de chocolate con leche, 0.4 libras de chocolate amargo y 0.28 libras de chocolate blanco. Cada libra de chocolate cuesta $2.50. ¿Cuánto gasta Jada en chocolate?

1.8

4.5

a. Escribe una expresión que represente el diagrama de cinta.

(3 × 1.8) + 4.5 b. Escribe un problema verbal que pueda representarse con el diagrama de cinta y la expresión. Ejemplo: Ryan compra 3 bolsas de naranjas y 1 bolsa de papas. Cada bolsa de naranjas pesa

1.8 kilogramos. La bolsa de papas pesa 4.5 kilogramos. ¿Cuál es el peso total de las bolsas

Adesh halla $0.82 en su bolsillo y $0.40 debajo del sofá. Gasta $0.28 en un borrador. Su mamá le da $2.50. ¿Cuál es la cantidad total de dinero que tiene Adesh?

de naranjas y papas?

Luis vierte 0.82 litros de agua en su botella vacía. Bebe 0.4 litros. Luego, vierte 0.28 litros más en su botella. La botella de su hermana tiene 2.5 veces la cantidad de litros de agua que tiene Luis en su botella. ¿Cuántos litros de agua hay en la botella de su hermana?

3. Considera la expresión.

(5 × 2.5) + 3.75 a. Escribe un problema verbal que pueda representarse con la expresión dada. Ejemplo: Julie camina 2.5 kilómetros por día durante 5 días. La Sra. Chan camina un total de

3.75 kilómetros más que Julie. ¿Cuántos kilómetros camina la Sra. Chan?

b. Resuelve el problema. La Sra. Chan camina 16.25 kilómetros.

277

278

GRUPO DE PROBLEMAS

541

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 ▸ TE ▸ Lección 30

4. Considera la expresión.

(1.75 − 0.95) ÷ 2 a. Escribe un problema verbal que pueda representarse con la expresión dada. Ejemplo: Un recipiente contiene 1.75 litros de agua. Tyler vierte 0.95 litros de agua fuera del recipiente. Vierte el agua restante, en partes iguales, en 2 vasos de precipitado. ¿Cuántos litros de agua hay en cada vaso de precipitado?

b. Resuelve el problema. Hay 0.4 litros de agua en cada vaso de precipitado.

542

GRUPO DE PROBLEMAS

279

Estándares Estándares de contenido del módulo Escriben e interpretan expresiones numéricas. 5.OA.A.1

Utilizan paréntesis, corchetes o llaves en expresiones numéricas, y evalúan expresiones con estos símbolos.

5.OA.A.2

Escriben expresiones simples que contengan cálculos numéricos, e interpretan expresiones numéricas sin evaluarlas. Por ejemplo, expresan el cálculo “suma 8 más 7, luego multiplica por 2” como 2 × (8 + 7). Reconocen que 3 × (18,932 + 921) es tres veces mayor que 18,932 + 921, sin tener que calcular la suma o producto indicado.

Comprenden el sistema de valor posicional. 5.NBT.A.1

Reconocen que en un número de varios dígitos, cualquier dígito en determinado lugar

representa 10 veces lo que representa el mismo dígito en el lugar a su derecha y __  1   de lo que representa en el lugar a su izquierda.

5.NBT.A.2

Explican los patrones en la cantidad de ceros que tiene un producto cuando se multiplica un número por una potencia de 10, y explican los patrones en la posición del punto decimal cuando hay que multiplicar o dividir un decimal por una potencia de 10. Utilizan números enteros como exponentes para denotar la potencia de 10.

5.NBT.A.3

Leen, escriben, y comparan decimales hasta las milésimas. a.

Leen, escriben y comparan decimales hasta las milésimas usando números de base diez, los nombres de los números y su forma desarrollada; por ejemplo,

  1 .   1 + 9 × (   1 + 2 × ( 347.392 = 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1 + 3 × ( __ ___ ____ 1,000 ) 10 ) 100 ) b.

5.NBT.A.4

544

Comparan dos decimales hasta las milésimas basándose en el valor de los dígitos en cada lugar, utilizando los símbolos >, = y < para anotar los resultados de las comparaciones.

Utilizan el entendimiento del valor de posición para redondear decimales a cualquier lugar.

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 Efectúan cálculos con números enteros de múltiples dígitos y con decimales hasta las centésimas. 5.NBT.B.7

Suman, restan, multiplican, y dividen decimales hasta las centésimas utilizando modelos concretos o dibujos y estrategias basadas en el valor de posición, las propiedades de las operaciones y la relación entre la suma y la resta; relacionan la estrategia a algún método escrito y explican el razonamiento empleado.

Convierten unidades de medida equivalentes dentro de un mismo sistema de medición. 5.MD.A.1

Convierten unidades de medición estándar de diferentes tamaños dentro de un sistema de medición dado (por ejemplo, convierten 5 cm en 0.05 m), y utilizan estas conversiones en la solución de problemas de varios pasos y del mundo real.

Estándares para la práctica de las matemáticas MP1

Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.

MP2

Razonan de forma abstracta y cuantitativa.

MP3

Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.

MP4

Representan a través de las matemáticas.

MP5

Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.

MP6

Ponen atención a la precisión.

MP7

Reconocen y utilizan estructuras.

MP8

Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.

545

Criterios de logro académico: Indicadores de competencias 5.Mód4.CLA1 Escriben expresiones numéricas que incluyen números decimales y paréntesis. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.OA.A.1 Utilizan paréntesis, corchetes o llaves en expresiones numéricas, y evalúan expresiones con estos símbolos.

Parcialmente competente

Competente

Identifican el efecto que tienen los paréntesis en expresiones numéricas que incluyen números decimales.

Crean expresiones numéricas que incluyen números decimales para igualar un valor específico.

¿Qué expresión es igual a 4 × 5.8 + 3 + 5.7 + 0.27?

Agrega paréntesis para hacer que la oración numérica sea verdadera.

A. (4 × 5.8) + 3 + 5.7 + 0.27 B. 4 × (5.8 + 3) + 5.7 + 0.27

Altamente competente

4.8 × 5.8 + 3 + 5.7 + 0.27 = 48.21

C. 4 × (5.8 + 3 + 5.7) + 0.27 D. 4 × (5.8 + 3 + 5.7 + 0.27)

546

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

5.Mód4.CLA2 Evalúan expresiones numéricas que incluyen números decimales y paréntesis. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.OA.A.1 Utilizan paréntesis, corchetes o llaves en expresiones numéricas, y evalúan expresiones con estos símbolos.

Parcialmente competente Evalúan expresiones numéricas que incluyen números decimales y un solo grupo de paréntesis. Evalúa.

6 × (0.5 + 1.2)

Competente

Altamente competente

Evalúan expresiones numéricas que incluyen números decimales y dos grupos de paréntesis no anidados. Evalúa.

(3 − 1.6) × (0.5 + 1.2)

547

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

5.Mód4.CLA3 Reescriben descripciones verbales matemáticas, o contextuales, como expresiones numéricas que incluyen

números decimales.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.OA.A.2 Escriben expresiones simples que contengan cálculos numéricos, e interpretan expresiones numéricas sin evaluarlas. Por ejemplo, expresan el cálculo “suma 8 más 7, luego multiplica por 2” como 2 × (8 + 7). Reconocen que 3 × (18,932 + 921) es tres veces mayor que 18,932 + 921, sin tener que calcular la suma o producto indicado.

Parcialmente competente Reescriben descripciones verbales matemáticas como expresiones numéricas que incluyen números decimales. Escribe una expresión que represente la diferencia de 0.35 y 0.2.

Competente Escriben expresiones numéricas que incluyen números decimales para representar descripciones verbales basadas en el contexto.

Crean y explican contextos que pueden representarse con expresiones numéricas que incluyen números decimales que les son dadas.

Escribe una expresión que pueda usarse para resolver el problema.

Escribe un problema verbal que pueda resolverse usando la expresión que se muestra.

La Sra. Song tiene 2.75 kilogramos de plastilina. Usa 1.8 kilogramos para hacer un florero. Luego, la Sra. Song usa el resto de la plastilina para hacer 2 recipientes que tienen el mismo peso. ¿Cuántos kilogramos de plastilina usa la Sra. Song para hacer cada recipiente?

548

Altamente competente

9.5 × (3.7 − 0.1)

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

5.Mód4.CLA4 Comparan el efecto de cada número y operación sobre el valor de una expresión numérica que incluye

números decimales.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente

Competente

Comparan los valores de dos expresiones que tienen, como máximo, dos operaciones que incluyen números decimales y, como máximo, un grupo de paréntesis sin evaluar.

Comparan los valores de dos expresiones que tienen, como mínimo, dos operaciones con números decimales o varios grupos de paréntesis sin evaluar.

Justifican las comparaciones de dos expresiones diferentes que incluyen números decimales sin evaluar.

Compara las expresiones usando > , = o <.

Compara las expresiones usando > , = o < .

Explica por qué (0.2 + 0.6) × (5.9 + 4) es mayor que (0.1 + 0.3) × (5.9 + 4) sin evaluar las expresiones.

0.6 × (5.9 + 4)

0.3 × (5.9 + 4)

(5.9 × 4) + (0.2 × 3)

(5.9 × 5) + (0.2 × 7)

Altamente competente

549

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

5.Mód4.CLA5 Representan números decimales hasta la posición de los milésimos. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.A Comprenden el sistema de valor posicional.

Parcialmente competente Interpretan representaciones de números decimales hasta la posición de los milésimos. El cuadrado grande representa 1.

Competente

Altamente competente

Crean e interpretan modelos que representan números decimales hasta la posición de los milésimos. Dibuja puntos en la tabla de valor posicional para representar 0.857. Decenas

Unidades

Décimos

Centésimos

Milésimos

Comparan y explican modelos que representan números decimales hasta la posición de los milésimos. Cada cuadrado grande representa 1 . Ryan y Ana sombrean sus modelos para representar 0.019, pero alguien comete un error. Modelo de Ryan

¿Qué número representa el modelo? A. 0.044 B. 0.44 C. 4.4

Modelo de Ana

D. 44

¿Cuál es el modelo correcto? Explica tu razonamiento.

550

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

5.Mód4.CLA6 Explican la relación entre los dígitos en los números de varios dígitos. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.A.1 Reconocen que en un número de varios dígitos, cualquier dígito en determinado lugar representa 10 veces lo que representa el mismo dígito en el lugar a su derecha y   1   de lo que representa en el lugar a su izquierda.

__ 10

Parcialmente competente

Identifican un dígito que representa 10 veces o   1   de un dígito dado en un número de varios dígitos.

¿En qué número el dígito 5 representa   1   del dígito 5 en el

número 26.542? A. 0.145

Competente

Altamente competente

Explican la relación entre un dígito en una posición y el mismo dígito en una posición adyacente, ya sea en el mismo número o en números diferentes, hasta la posición de los milésimos.

Explican la relación entre un dígito en una posición determinada y el mismo dígito en cualquier otra posición, ya sea en el mismo número o en números diferentes, hasta la posición de los milésimos.

Usa el número que se muestra para responder la parte A y la parte B.

724.766

B. 1.45

724.76 6

C. 4.51 D. 5.41

Parte A Describe el valor que representa cada 7.

Parte A Escribe un número en cada espacio para completar correctamente cada enunciado. El 6 que está subrayado representa el valor

Parte B .

El 6 que está encerrado en un recuadro representa el valor .

Describe el valor representado por el primer 7 en comparación con el valor representado por el segundo 7.

Parte B Escribe una frase de las opciones de respuesta dadas para completar el enunciado. El 6 que está subrayado representa

valor representado por el 6 que está encerrado en un recuadro. Opciones de respuesta

  1   de 10

10 veces

551

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

5.Mód4.CLA7 Explican el efecto de multiplicar números por potencias de 10 y dividir números entre potencias de 10. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.A.2 Explican los patrones en la cantidad de ceros que tiene un producto cuando se multiplica un número por una potencia de 10, y explican los patrones en la posición del punto decimal cuando hay que multiplicar o dividir un decimal por una potencia de 10. Utilizan números enteros como exponentes para denotar la potencia de 10.

Parcialmente competente Multiplican números por y dividen números entre potencias de 10. Evalúa.

54 ÷ 102

Competente

Altamente competente

Explican el efecto de multiplicar números por potencias de 10 y dividir números entre potencias de 10. Sin evaluar, ¿cuántos ceros hay en el producto que se muestra? Explica cómo lo sabes.

5.4 × 105

552

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

5.Mód4.CLA8 Ordenan un conjunto de números decimales hasta la posición de los milésimos. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.A.3 Leen, escriben, y comparan decimales hasta las milésimas.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Ordenan un conjunto de números decimales hasta la posición de los milésimos. Ordena los números de menor a mayor.

7.58, 7.084, 7.204, 7.009

553

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

5.Mód4.CLA9 Leen y escriben números decimales hasta la posición de los milésimos en forma estándar, en forma

desarrollada, en forma escrita y en forma unitaria. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.A.3.a Leen, escriben y comparan decimales hasta las milésimas usando números de base diez, los nombres de los números y su forma desarrollada; por

( 10 )

___

( 100 )

____

( 1000 )

ejemplo, 347.392 = 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1 + 3 ×   1   + 9 ×   1   + 2 ×   1   .

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Leen y escriben números decimales hasta la posición de los milésimos en forma estándar, en forma unitaria y en forma desarrollada usando tanto la notación fraccionaria como la notación decimal.

Leen números decimales hasta la posición de los milésimos en forma desarrollada cuando los términos están en un orden aleatorio.

A. 608.0013

Escribe el número en forma desarrollada usando fracciones.

B. 608.013

(6 × 100) + ( 3 ×   1  )+ (8 × 1) + ( 1 ×  1  )

608.13

Identifican la forma estándar, la forma escrita y la forma unitaria de decimales hasta la posición de los milésimos. Elige la forma estándar correcta para el número seiscientos ocho con trece centésimos.

C. 608.13

Escribe el número en forma estándar.

___ 100

__ 10

D. 6,008.13

554

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

5.Mód4.CLA10 Comparan dos números decimales hasta la posición de los milésimos usando >, = y <. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.A.3.b Comparan dos decimales hasta las milésimas basándose en el valor de los dígitos en cada lugar, utilizando los símbolos >, = y < para anotar los resultados de las comparaciones.

Parcialmente competente Comparan dos números decimales que tienen el mismo número de posiciones decimales hasta la posición de los milésimos usando >, = y <. Compara los números usando >, = o <.

5.121

5.112

Competente

Altamente competente

Comparan dos números decimales hasta la posición de los milésimos usando >, = y <.

Comparan dos números decimales hasta la posición de los milésimos expresados mediante cualquier combinación de la forma estándar, la forma desarrollada, la forma escrita o la forma unitaria, o con modelos pictóricos, usando >, = y <, y justifican esas comparaciones mediante la comprensión del valor posicional.

Compara los números usando >, = o <.

5.12

5.112

Compara los números usando >, = o <. Explica tu razonamiento.

___

_____

(5 × 1) + ( 1 ×  1  ) + ( 2 ×   1  ) + 1 ×   1   ( 100 10 1,000 )

5.112

555

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

5.Mód4.CLA11 Redondean números decimales utilizando la comprensión del valor posicional. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.A.4 Utilizan el entendimiento del valor de posición para redondear decimales a cualquier lugar.

Parcialmente competente

Competente

Redondean números decimales a cualquier posición a partir de un modelo dado.

Redondean números decimales a cualquier posición.

Usa la recta numérica como ayuda para redondear 8.67 al décimo más cercano.

8.6

556

Altamente competente

Redondea a la posición de los décimos.

92.974

8.7

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

5.Mód4.CLA12 Estiman sumas, diferencias, productos y cocientes de números decimales hasta la posición de los

centésimos.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.B Efectúan cálculos con números enteros de múltiples dígitos y con decimales hasta las centésimas.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Estiman la suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos números decimales hasta la posición de los centésimos.

Estiman la suma, la diferencia, el producto o el cociente de números decimales hasta la posición de los centésimos en problemas verbales.

Estima el cociente hasta el número entero más cercano.

Tyler tiene $10.00. Quiere comprar 3 refrigerios que cuestan $1.42, $5.09 y $2.87. Sin evaluar, explica si Tyler tiene suficiente dinero.

9.79 ÷ 3.24

557

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

5.Mód4.CLA13 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran la suma, la resta, la multiplicación y la

división de números decimales hasta la posición de los centésimos. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.B Efectúan cálculos con números enteros de múltiples dígitos y con decimales hasta las centésimas.

Parcialmente competente Identifican la operación relevante en un contexto.

Competente

Lisa tiene $8.48. Gasta $1.59 en una bebida. ¿Qué expresión se puede usar para determinar cuánto dinero le queda a Lisa?

Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran no más de dos operaciones con números decimales hasta la posición de los centésimos.

A. 8.48 + 1.59

Evalúa.

B. 8.48 − 1.59

8.48 − (1.59 + 3.52)

C. 8.48 × 1.59

Altamente competente Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran tres o más operaciones con números decimales hasta la posición de los centésimos. Lisa gasta $8.46 en el almuerzo. Compra una bebida, un sándwich y 4 barras de granola. La bebida cuesta $1.59. El sándwich cuesta $3.51. ¿Cuánto cuesta cada barra de granola?

D. 8.48 ÷ 1.59

558

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

5.Mód4.CLA14 Suman números decimales hasta la posición de los centésimos. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente

Competente

Suman números decimales que tienen el mismo número de posiciones decimales.

Suman números decimales que tienen un número diferente de posiciones decimales.

Suma.

5.21 + 1.37

7.2 + 8.98

Altamente competente

559

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

5.Mód4.CLA15 Restan números decimales hasta la posición de los centésimos. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente

Competente

Restan números decimales que tienen el mismo número de posiciones decimales.

Restan números decimales que tienen un número diferente de posiciones decimales.

Resta.

5.77 − 3.52

5.2 − 1.37

560

Altamente competente

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

5.Mód4.CLA16 Multiplican números decimales hasta la posición de los centésimos. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente

Competente

Multiplican números decimales hasta la posición de los centésimos por un número entero de un dígito o un múltiplo de 10, 100 o 1,000.

Multiplican números decimales hasta la posición de los centésimos.

Multiplica.

5.77 × 3

Altamente competente

Multiplica.

57.7 × 35.2

561

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

5.Mód4.CLA17 Dividen números decimales hasta la posición de los centésimos. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente

Competente

Dividen números decimales hasta la posición de los centésimos entre un número entero de un dígito o un múltiplo de 10, 100 o 1,000.

Dividen números decimales hasta la posición de los centésimos.

Divide.

5.79 ÷ 3

562

Altamente competente

Divide.

59.52 ÷ 4.8

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

5.Mód4.CLA18 Representan la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los

centésimos.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente

Competente

Emparejan expresiones con representaciones de suma, resta, multiplicación y división de números decimales hasta la posición de los centésimos.

Representan la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos.

Analizan modelos de suma, resta, multiplicación y división de números decimales hasta la posición de los centésimos.

¿Qué expresión se representa en el modelo?

Usa la expresión que se muestra para responder la parte A y la parte B.

¿Qué valores podrían representar las letras del modelo? Explica tu razonamiento.

+ 0.4 + 0.4 + 0.4

Altamente competente

1.84 + 5.51

3 decenas

Parte A Dibuja un modelo para representar la expresión.

0 A. 3 + 0.4 B. 3 − 0.4

7 unidades 7 décimos B

Parte B Explica cómo puede ayudarte tu modelo a hallar la suma.

C. 3 × 0.4 D. 3 ÷ 0.4

563

EUREKA MATH2

5 ▸ M4

5.Mód4.CLA19 Analizan y explican estrategias para la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales

hasta la posición de los centésimos. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente Completan expresiones que involucran estrategias basadas en el valor posicional, las propiedades de las operaciones y la relación entre la suma y la resta. Evalúa la expresión 1.04 − 0.86 completando la ecuación que se muestra.

0.86 +

= 1.04

Competente

Altamente competente

Analizan y explican la suma, la resta, la multiplicación y la división de números decimales hasta la posición de los centésimos utilizando la comprensión del valor posicional y las operaciones. La maestra Chan pide a sus estudiantes que evalúen la expresión 21.42 × 7. Se muestra el trabajo de Kelly.

(21 × 7) + (42 × 7) = 441 Parte A Kelly cometió un error. Explica el error de Kelly. Parte B Corrige el error de Kelly y evalúa la expresión.

564

EUREKA MATH2 5 ▸ M4

5.Mód4.CLA20 Convierten cantidades de un sistema de medidas dado para resolver problemas. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.MD.A.1 Convierten unidades de medición estándar de diferentes tamaños dentro de un sistema de medición dado (por ejemplo, convierten 5 cm en 0.05 m), y utilizan estas conversiones en la solución de problemas de varios pasos y del mundo real.

Parcialmente competente Convierten cantidades en un sistema de medidas dado. Convierte cada medida.

34 cm = 0.79 km =

m m

Competente

Altamente competente

Convierten cantidades en un sistema de medidas dado para resolver problemas matemáticos y del mundo real. Sasha tiene 3 kilogramos y 14 gramos de nueces y 1 kilogramo y 53 gramos de nueces pecán. ¿Cuántos gramos de nueces y de nueces pecán tiene Sasha en total?

565

Vocabulario Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 4 de 5.o grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos. Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.

Conocido agrupar, cambiar, expresar con otro nombre comparar centésimos décimos división larga exponente forma desarrollada

Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.

potencia de 10

Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.

propiedad conmutativa de la multiplicación

Nuevo

Verbos académicos

desigualdad Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones usando > o <. (Lección 29)

En el módulo 4 no se presenta ningún verbo académico de la lista de 5.o grado.

propiedad asociativa de la multiplicación

propiedad distributiva redondear

milésimos Los milésimos son una unidad de valor posicional. 1 unidad se puede descomponer en 1,000 milésimos. (Lección 1)

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Las matemáticas en el pasado El redondeo ¿Por qué redondeamos los números? ¿Cómo deberíamos redondear un número en el punto medio entre dos números enteros? ¿Existen diferentes maneras de redondear? Las personas redondean números desde hace mucho tiempo. Pero no siempre redondearon como lo hacemos hoy. Hace más de 2,000 años, en China, una práctica habitual era redondear un número entero quitando la parte decimal. Los chinos no usaban la notación decimal, pero, si lo hubieran hecho, habrían redondeado 4.79 al número entero dado, 4. Como describió el experto en matemáticas chino Liu Hui en 263 e.c.: “Se ha ignorado el residuo”.1 Ayude a sus estudiantes a entender que el “residuo” en este ejemplo es 0.79 y que ignorado significa “se ha quitado”. Hoy, usamos la palabra truncar, que significa “reducir por recorte”, para decir que se truncó 4.79 a 4. Las expertas y los expertos en matemáticas de China adoptaron luego una estrategia para el redondeo que coincide con la que usamos en la actualidad, en la que un número que contiene una parte decimal se redondea al número entero más cercano. Estas expertas y estos expertos lo decían de esta manera: “1 si está por encima de la mitad y se ignora si está por debajo”.1 Ayude a sus estudiantes a ver que esto significa que un número que contiene una parte decimal mayor que 0.5 se redondea al siguiente número entero más grande (aumentando el número hasta la unidad siguiente), y un número que contiene una parte decimal menor que 0.5 se redondea al número entero dado (la parte decimal se “ignora”). Con este nuevo método, el ejemplo anterior de 4.79 se redondea a 5.00.

Estos números se redondean a 5.

4.79 Pero ¿y si la parte decimal de un número es exactamente una mitad? Un número así estaría equidistante entre dos números enteros. ¿A qué número entero deberíamos redondear? Para las expertas y los expertos en matemáticas de China, era solo una cuestión de elección. Y no todas las personas elegían de la misma manera. Había quienes redondeaban estos números a medio camino al siguiente número entero más grande, y quienes elegían redondearlos al número entero dado usando el truncamiento. Hoy en día, hemos llegado a un acuerdo acerca de la convención de redondear 0.5 al siguiente número entero más grande en la mayoría de los casos. De esta manera, se es consistente en todo el mundo. Además, existe un método matemático inteligente para redondear números de esta manera usando el truncamiento. Elija un número que quiera redondear al número entero más cercano y súmele 0.5. Ahora, trunque la parte decimal. • Supongamos que el número era 4.79 (¡parece que nos gusta este número!). Si sumamos 0.5, obtenemos 5.29. Ahora, truncamos la parte decimal y obtenemos 5. ¡Increíble! ¡El mismo resultado que si redondeamos! • Intentemos de nuevo, pero esta vez con 4.5. Si sumamos 0.5, obtenemos 5.0. No hay parte decimal para truncar, así que obtenemos 5. ¡Increíble, otra vez! El mismo resultado que si redondeamos. Observe que 0.5 se redondea automáticamente al siguiente número entero más grande.

1 Traducido de Hui, Nine Chapters on the Mathematical Art, 17.

568

EUREKA MATH2 5 ▸ M4 Considere pedir a la clase que practique el redondeo usando el método de truncamiento con los siguientes números: 51.4, 0.3 y 10.1.

números enteros consecutivos, uno de ellos es par y el otro es impar. El redondeo bancario redondea 0.5 al número par.

Hasta ahora, hemos conversado sobre la regla para redondear un solo número. Pero el redondeo también es una buena manera de estimar cuando sumamos una lista de números. Por ejemplo, pida a sus estudiantes que hallen 6.8 + 8.2. Luego, pídales que hallen la suma de nuevo redondeando primero los dos sumandos al número entero más cercano. ¡Sus estudiantes deberían hallar que la suma es 15 las dos veces! En general, los números que se redondean al siguiente número entero más grande (como 6.8) se equilibran con los números que se redondean al número entero dado (como 8.2), así que la suma de los números redondeados debería estar cerca de la suma de los números originales.

Por lo tanto, con el redondeo bancario, 21.5 se redondea a 22, pero 22.5 también se redondea a 22. Pregunte a sus estudiantes si les

Sin embargo, redondear antes de sumar a veces puede dar como resultado un número muy distinto al de la suma verdadera. Supongamos que tenemos 100 números, todos equivalentes a 0.5. Si hacemos la suma exacta, obtenemos 50. Pero si primero los redondeamos, todos se redondean a 1, por lo que la suma daría como resultado 100. ¡Esa estimación está muy lejos de la respuesta exacta! Esta situación extrema muestra el error del redondeo acumulado. El error es que la cantidad sumada al redondear cada número al siguiente número entero más grande, en este caso 0.5, es suficiente para cambiar drásticamente el resultado. Tal vez queramos crear una regla que haga una combinación uniforme cuando redondeamos al número entero más cercano, al menos para usarla en situaciones en las que se están sumando muchos números. Un método es lanzar una moneda (más formalmente, usar un proceso aleatorio) cada vez que tenemos que redondear 0.5 al número entero más cercano. Tal vez, cara significa “redondear al siguiente número más grande” y cruz significa “redondear al número entero dado”. O podríamos decidir de qué manera redondear el primer 0.5 de la lista y, luego, alternar entre el siguiente número entero más grande y el número entero dado para cada número que sigue. Hay un método alternativo que algunas personas llaman redondeo bancario. Para entender cómo funciona, pensemos en cualquier número que contenga una parte decimal. El número se encuentra entre dos

parece que el redondeo bancario es justo. Luego, pregúnteles por qué. ¿Podría haber un método aún mejor que lanzar una moneda o usar el redondeo bancario? ¿Qué tan importantes son todos estos métodos de redondeo? ¿Los usaremos alguna vez en nuestra vida cotidiana? ¡Sí! El redondeo es una herramienta útil para detectar errores. Supongamos que vamos a la tienda a comprar algunos productos. Los precios de los productos son $1.39, $1.74, $4.06 y $5.80. El cajero suma todo a mano porque la máquina registradora no funciona, y el total llega a $22.99. Pregunte a la clase si el total parece correcto. Luego, pida a sus estudiantes que redondeen el precio de cada producto a la cantidad en dólares más cercana y los sumen. Deberían hallar que $1 + $2 + $4 + $6 = $13. Luego, pregunte a sus estudiantes si creen que el cajero sumó correctamente. Probablemente no. Su resultado de $22.99 está muy lejos de $13. Cuando el cajero comprueba su trabajo, encuentra un error: la suma debería haber dado $12.99. ¡El redondeo vino al rescate! En un mundo perfecto, no deberíamos tener que preocuparnos por las consecuencias de redondear de manera incorrecta. Pero, gracias a los métodos que comentamos, podemos estar mejor preparados para redondear cada número que nos encontremos. ¿Pueden sus estudiantes pensar en un número que siempre se redondee a sí mismo, sin importar a qué posición intenten redondearlo? Puede que parte de la clase diga que los números enteros tienen esta propiedad. Esto podría iniciar una conversación animada, junto con experiencias prácticas de redondeo. Por ejemplo, redondear 3 a la posición decimal de décimo, centésimo, milésimo o incluso millonésimo más cercano igual redondearía al número 3. Incluso el redondeo al número entero más cercano también da 3. Pero esperen, ¿y si redondeamos a la decena más cercana? Así, terminamos redondeando a 0.

569

EUREKA MATH2

5 ▸ M4 Es posible que deba convencer a sus estudiantes para que lo crean, pero el único número que siempre se redondea a sí mismo, sin importar a qué posición se redondea, es el 0. ¡Este es un juego mental en forma de un desafío de código secreto! Así es como se juega: La secuencia del código secreto es la siguiente.

5.1

570

21.7

18.5

4.9

11.3

0.6

13.4

1.2

21.2

7.8

• Para decodificar un número, hay que redondearlo al número entero más cercano. • Descifren cada número entero con una letra: 1 = A, 2 = B, 3 = C, y así sucesivamente. (Pista para el maestro o la maestra: La solución del desafío está en la primera página de este libro). ¡Buena suerte!

Materiales Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro. 25

borradores para las pizarras blancas individuales

papel, hojas

computadora o dispositivo para la enseñanza

pizarras blancas individuales

dados, set de 12

proyector

lápices

reglas de plástico

libros Aprender

12 sets de discos de decimales de Eureka Math²™, milésimos a unidades

libro Enseñar

marcadores

12 sets de discos de valor posicional de Eureka Math²™, unidades a millones

marcadores de borrado en seco

papel de rotafolio, hojas

tijeras

Visite http://eurmath.link/materials para saber más.

572

Obras citadas Boaler, Jo, Jen Munsen, and Cathy Williams. Mindset Mathematics: Visualizing and Investigating Big Ideas: Grade 3. San Francisco, CA: Jossey-Bass, 2018.

Fosnot, Catherine Twomey, and Maarten Dolk. Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. Portsmouth, NH: Heinemann, 2001.

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575

Créditos Great Minds® has made every effort to obtain permission for the reprinting of all copyrighted material. If any owner of copyrighted material is not acknowledged herein, please contact Great Minds for proper acknowledgment in all future editions and reprints of this module. Common Core State Standards Spanish Language Version © Copyright 2013. San Diego County Office of Education, San Diego, California. All rights reserved. All United States currency images Courtesy the United States Mint and the National Numismatic Collection, National Museum of American History. For a complete list of credits, visit http://eurmath.link/media-credits.

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Cover, Wassily Kandinsky (1866–1944), Thirteen Rectangles, 1930. Oil on cardboard, 70 x 60 cm. Musee des Beaux-Arts, Nantes, France. © 2020 Artists Rights Society (ARS), New York. Image credit: © RMN-Grand Palais/ Art Resource, NY.; page 116, beingeniusloci/Shutterstock.com; page 134, alexkatkov/Shutterstock.com; page 185, BMD Images/Alamy Stock Photo; page 304, Romare Bearden (1911-1988), The Dove, 1964. Cut-andpasted printed paper, gouache, pencil, and colored pencil on board, 13 3/8 x 18 3/4ʺ (33.8 x 47.5 cm). Blanchette Hooker Rockefeller Fund. Digital Image © The Museum of Modern Art/Licensed by SCALA/Art Resource, NY. © 2021 Romare Bearden Foundation/Licensed by VAGA at Artists Rights Society (ARS), NY; page 507, DuxX/Shutterstock.com; All other images are the property of Great Minds.

Agradecimientos Kelly Alsup, Adam Baker, Agnes P. Bannigan, Reshma P Bell, Joseph T. Brennan, Dawn Burns, Amanda H. Carter, David Choukalas, Mary Christensen-Cooper, Cheri DeBusk, Lauren DelFavero, Jill Diniz, Mary Drayer, Karen Eckberg, Melissa Elias, Danielle A Esposito, Janice Fan, Scott Farrar, Krysta Gibbs, January Gordon, Torrie K. Guzzetta, Kimberly Hager, Karen Hall, Eddie Hampton, Andrea Hart, Stefanie Hassan, Tiffany Hill, Christine Hopkinson, Rachel Hylton, Travis Jones, Laura Khalil, Raena King, Jennifer Koepp Neeley, Emily Koesters, Liz Krisher, Leticia Lemus, Marie Libassi-Behr, Courtney Lowe, Sonia Mabry, Bobbe Maier, Ben McCarty, Maureen McNamara Jones, Pat Mohr, Bruce Myers, Marya Myers, Kati O’Neill, Darion Pack, Geoff Patterson, Victoria Peacock, Maximilian Peiler-Burrows, Brian Petras, April Picard, Marlene Pineda, DesLey V. Plaisance, Lora Podgorny, Janae Pritchett, Elizabeth Re, Meri Robie-Craven, Deborah Schluben, Michael Short, Erika Silva, Jessica Sims, Heidi Strate, Theresa Streeter, James Tanton, Cathy Terwilliger, Rafael Vélez, Jessica Vialva, Allison Witcraft, Jackie Wolford, Caroline Yang, Jill Zintsmaster

Jessica Dahl, Brandon Dawley, Julie Dent, Delsena Draper, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Jen Forbus, Reba Frederics, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Dennis Hamel, Cassie Hart, Sagal Hasan, Kristen Hayes, Abbi Hoerst, Libby Howard, Elizabeth Jacobsen, Amy Kanjuka, Ashley Kelley, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Stephanie Maldonado, Siena Mazero, Alisha McCarthy, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Patricia Mickelberry, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Max Oosterbaan, Tara O’Hare, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Jeff Robinson, Gilbert Rodríguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Amy Schoon, Aaron Shields, Leigh Sterten, Rhea Stewart, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Karrin Thompson, Cherry dela Victoria, Tracy Vigliotti, Dave White, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Howard Yaffe

Ana Álvarez, Lynne Askin-Roush, Trevor Barnes, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings,

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Exponencialmente mejor Conocimientos2 Siguiendo con la tradición de ayudar a los maestros y maestras con todo lo que necesiten para que sus estudiantes desarrollen un conocimiento profundo y coherente de las matemáticas, Eureka Math2 ofrece colecciones de videos y recomendaciones hechas a medida de los y las profesionales con más y con menos experiencia. Digital2 A través de una experiencia digital perfectamente integrada, Eureka Math2 incluye cientos de imágenes inteligentes, videos cautivadores y actividades digitales interactivas que encienden la chispa de la conversación y el asombro en su salón de clases. Accesible2 Siempre con nuestros lectores y lectoras en mente, Eureka Math2 se ha diseñado cuidadosamente para que quienes tengan dificultades con la lectura puedan acceder a las lecciones, los problemas verbales, ¡y más! Sonrisas2 Con Eureka Math2, usted y sus estudiantes se enamorarán de las matemáticas, o recordarán qué era lo que les hizo enamorarse de ellas.

781638 986874

Módulo 1 Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros Módulo 2 Suma y resta con fracciones Módulo 3 Multiplicación y división con fracciones Módulo 4 Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales Módulo 5 Suma y multiplicación con área y volumen Módulo 6 Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas