ENSEÑAR ▸ Módulo 6 ▸ Medidas angulares y figuras planas
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
En esta pintura, el pintor abstracto Frank Stella usó un compás para crear figuras curvas muy brillantes. Cada parte de esta cuadrícula tiene un arco que es parte de un diseño de semicírculos que parecen arcoíris.
Cuando Stella ubica estos patrones de arcoíris juntos, forman círculos. ¿Qué fracción de un círculo se muestra en cada cuadrado?
En la portada
Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969
Frank Stella, American, born 1936
Acrylic on canvas
Minneapolis Institute of Art, Minneapolis, MN, USA
Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Art, MN.
Conceptos de valor posicional para la suma y la resta
2
3
Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división
4
Multiplicación y división de números de varios dígitos
5
Fundamentos para las operaciones con fracciones
Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales
6 Medidas angulares y figuras planas
Antes de este módulo
Módulos 4 y 6 de 3.er
grado
En 3.er grado, la clase compara y clasifica polígonos, incluyendo polígonos regulares, según los atributos, como el número de lados, el número de ángulos, los ángulos rectos, los pares de lados paralelos y los lados de la misma longitud. Dibujan polígonos que coinciden con una lista de atributos y reconocen que algunas combinaciones de atributos no son posibles. Se hace énfasis en describir, definir y clasificar cuadriláteros (cuadrados, rectángulos, rombos, paralelogramos y trapecios) según sus atributos.
En 3.er grado, se describen los ángulos como ángulos rectos (es decir, esquinas rectas), ángulos mayores que un ángulo recto o ángulos menores que un ángulo recto. Comparan los ángulos con la esquina de una tarjeta de índice para identificar su tamaño.
En el módulo 6 de 4.o grado, se amplía el trabajo de 3.er grado mediante la presentación formal de las figuras geométricas, la medición de ángulos y una exploración más exhaustiva de las figuras bidimensionales.
Contenido general
Medidas angulares y figuras planas
Tema A
Rectas y ángulos
La clase define, nombra y traza puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos, rectas paralelas, rectas perpendiculares y rectas secantes. Identifican diferentes tipos de ángulos y los describen de acuerdo a la relación entre ellos (p. ej., un ángulo obtuso es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano). Usan su comprensión de las palabras paralelo/paralela, perpendicular y secante para identificar y expresar las relaciones entre las rectas, los segmentos de recta, las semirrectas y los lados de los polígonos.
Tema B
Medición de ángulos
La clase aplica la comprensión de las fracciones para ver un ángulo como un giro fraccionario en un círculo que se mide en grados: un ángulo de 1° representa un giro de 1 360 en un círculo. Describen los giros en situaciones del mundo real y perfeccionan sus definiciones de los tipos de ángulos para incluir las medidas en grados. Usan transportadores para medir y dibujar ángulos con precisión y usan ángulos de referencia para estimar las medidas angulares.
Tema C
Determinar medidas angulares desconocidas
La clase reconoce y aplica la suma de las medidas angulares para hallar las medidas angulares desconocidas dentro de figuras sin usar un transportador.
Usan lo que saben y la relación de parte-total para determinar una medida angular desconocida cuando se descomponen los ángulos rectos, los ángulos llanos y los ángulos de medidas conocidas. Amplían la estrategia de hallar varias medidas angulares desconocidas alrededor de un punto.
Tema D
Figuras bidimensionales y simetría
La clase reconoce, identifica y traza ejes de simetría. Reconocen los atributos de los polígonos, incluyendo las longitudes de los lados, la presencia o ausencia de pares de lados paralelos y perpendiculares y los tipos de ángulos para clasificarlos. Se hace especial énfasis en los triángulos.
Se clasifican los triángulos a partir de las longitudes de sus lados y sus medidas angulares, y se dibujan triángulos a partir de atributos dados.
1. Iván clasifica los polígonos A a J según sus lados.
Exactamente 1 par de lados paralelos Al menos 2 pares de lados paralelos
a. Marca los pares de lados paralelos en cada polígono. El polígono B ya está resuelto como ejemplo.
[Nota: Las respuestas del problema 1(a) están en la tabla].
b. ¿Qué polígonos son trapecios? Los polígonos A, B, D, F, G
c. ¿Qué polígonos son paralelogramos?
Después de este módulo
Módulo 6 de 5.o grado
En 5.o grado, la clase avanza hacia clasificaciones más sofisticadas de los polígonos según los lados y los ángulos. Reconocen categorías y subcategorías de polígnos; por ejemplo, observan que un cuadrado es un tipo especial de rombo.
Módulos 3 y 4 de 7.o grado
En el módulo 3 de 7.o grado, la clase usa las relaciones entre los ángulos para escribir y resolver ecuaciones más complejas a fin de hallar las medidas angulares desconocidas.
En el módulo 4 de 7.o grado, consideran las relaciones entre los lados y los ángulos al construir triángulos.
Contenido
Medidas angulares y figuras planas
¿Por qué?
Criterios de logro académico: Contenido general .
Tema A
Rectas y ángulos
Lección 1
Identificar y trazar puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas y ángulos
Lección 2
Identificar ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos
Lección 3
Dibujar ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos
Lección 4 .
Identificar, definir y trazar rectas perpendiculares
Lección 5 .
Identificar, definir y trazar rectas paralelas
Lección 6
Relacionar figuras geométricas con un contexto del mundo real
Tema B
Medición de ángulos
Lección 7 .
Explorar los ángulos como giros fraccionarios en un círculo
110
Lección 8
Usar un transportador de 360° para reconocer que un ángulo de 1°
representa un giro de 1 ___ 360 en un círculo
Lección 9
Identificar y medir ángulos como giros y reconocerlos en distintos contextos
Lección 10
Utilizar transportadores de 180° para medir ángulos
Lección 11
Estimar y medir ángulos con un transportador de 180°
Lección 12
Utilizar un transportador para dibujar ángulos de hasta 180°
C
Determinar medidas angulares desconocidas
Lección 13
Descomponer ángulos utilizando bloques para hacer patrones
Lección 14
Hallar medidas angulares desconocidas dentro de ángulos rectos y llanos
129
132
Lección 15
Hallar medidas angulares desconocidas dentro de un ángulo descompuesto de hasta 180°
Lección 16
Hallar medidas angulares desconocidas alrededor de un punto
Tema
Tema D
Figuras bidimensionales y simetría
Lección 17 .
Reconocer, identificar y trazar ejes de simetría
Lección 18 .
Analizar y clasificar triángulos a partir de las longitudes de los lados, las medidas angulares o ambas
Lección 19
Construir y clasificar triángulos a partir de atributos dados
Lección 20 .
Clasificar polígonos a partir de una regla dada
386
Recursos
Estándares
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
Vocabulario
Las matemáticas en el pasado
Materiales
Obras citadas
Créditos
Agradecimientos
¿Por qué?
Medidas angulares y figuras planas
¿Por qué se hace énfasis en las definiciones, los dibujos y las notaciones detalladas?
En el tema A, se presentan muchos términos de geometría nuevos, la mayoría de los cuales nombran o describen figuras geométricas. Además de aprender la definición de cada término, sus estudiantes identifican ejemplos de las figuras, las dibujan y usan la notación geométrica para nombrarlas.
Cada tarea hace énfasis en el detalle, con el objetivo de ayudar a fortalecer la comprensión de cada término mediante la relación de la definición verbal con imágenes y notaciones. Por ejemplo, cuando trazan una semirrecta, sus estudiantes relacionan la definición de semirrecta con el significado de extremo, punto y punta de flecha. Luego, usan la notación, que coincide visualmente con la definición, para nombrar la semirrecta y repiten el proceso con la definición de recta, segmento de recta, punto y ángulo.
Sus estudiantes trazan segmentos de recta paralelos y perpendiculares usando una herramienta de ángulo recto y una herramienta de borde recto y usan un transportador para dibujar ángulos de una medida dada con precisión. Ponen atención al detalle cuando consideran cómo sus herramientas pueden ayudarles a dibujar con precisión figuras que coincidan con sus definiciones, lo que también profundiza la comprensión de las definiciones. Al continuar con el estudio de la geometría, sus estudiantes razonan acerca de las relaciones complejas entre los lados, los ángulos, las rectas secantes, etc. Perfeccionar el detalle de los dibujos y la notación puede ayudar a sus estudiantes a comunicar ideas claras y sirve como preparación para demostraciones geométricas más extensas y detalladas. De manera similar, en este módulo la clase incluye la notación de figuras usando símbolos que identifican las longitudes de los lados iguales en los triángulos y los pares de lados paralelos. Estos detalles serán necesarios más adelante, cuando trabajen con las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos y cuando identifiquen categorías y subcategorías de los cuadriláteros.
¿Por qué se presenta a la clase tanto vocabulario?
El objetivo de presentar los términos en este módulo es construir una base sólida de la geometría. La inclusión deliberada del vocabulario formal ayuda a hacer que otras definiciones sean más claras o a preparar a la clase para el aprendizaje futuro. A continuación se detallan ejemplos que demuestran este objetivo.
Tipo de ángulo Medida angularEjemplo
Ángulo ag udoEntre 0° y 90°
Ángulo recto 90°
Para apoyar la comprensión de los tipos de ángulos agudos, rectos y obtusos, se presentan los ángulos llanos y de reflexión. Al incluir los ángulos llanos y de reflexión, este módulo permite que cada estudiante defina los tipos de ángulos de acuerdo a la relación entre ellos, y que use esas relaciones al resolver los problemas. La comprensión de 360° como un giro completo en un círculo es fundamental para la comprensión de los grados como unidades que se usan para medir ángulos. Al contar con los ángulos agudos, rectos, obtusos, llanos y de reflexión como herramientas, sus estudiantes pueden nombrar cualquier ángulo cuya medida sea de hasta 360°.
Ángulo obtuso Entre 90° y 180°
Ángulo llano 180°
Ángulo de reflexión Entre 180° y 36 0°
La relación formal entre los ángulos complementarios y suplementarios es importante en 7.o grado cuando la clase escribe ecuaciones para hallar varias medidas angulares desconocidas. Sin embargo, el hecho de que las medidas angulares se pueden sumar es un concepto clave en 4.o grado y, por lo tanto, este módulo ayuda a sus estudiantes a familiarizarse con estos ángulos y sus relaciones.
La clase descompone ángulos rectos y llanos en ángulos más pequeños y observa que la medida total de los ángulos más pequeños es 90° y 180°, respectivamente. Los términos complementario y suplementario les brindan el vocabulario preciso para nombrar las relaciones que descubren.
Clasificar figuras bidimensionales basándose en sus lados y ángulos forma parte del trabajo de 4.o grado. La clase aplica sus conocimientos sobre los tipos de ángulos, paralelismo y perpendicularidad para clasificar polígonos. Clasifican los triángulos basándose en las longitudes de los lados y las medidas angulares, y los describen según sus nombres: acutángulos, obtusángulos, rectángulos, equiláteros, isósceles y escalenos. El uso de estos nombres formaliza el proceso de clasificación de los triángulos y permite que cada estudiante practique cómo aplicar el vocabulario que ha adquirido.
¿Por qué este es el último módulo del año?
La secuencia deliberada de los módulos de 4.o grado permite que cada estudiante amplíe la comprensión adquirida en los niveles de grados previos, desarrolle nuevos conocimientos, cree soportes fundamentales para conocimientos futuros y ponga atención al trabajo más importante del grado.
La comprensión de las fracciones es una parte integral de la definición de grado, la unidad que se usa para medir los ángulos. Ubicar el trabajo con la geometría al final da tiempo a que la clase desarrolle fluidez con los conceptos de fracciones y números decimales de 4.o grado. Luego, pueden aplicar ese conocimiento para describir un ángulo como la fracción de un giro en un círculo y para medir las longitudes de los lados de los polígonos en unidades fraccionarias de pulgadas o centímetros.
Estudiar geometría al final de la secuencia también permite que sus estudiantes relacionen su trabajo algebraico del año con lo que saben sobre las figuras bidimensionales. Su comprensión de las matemáticas madura a medida que hacen estas conexiones y amplían su vocabulario de geometría.
Criterios de logro académico: Contenido general
Medidas angulares y figuras planas
Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo.
Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar.
Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de:
• observaciones informales en el salón de clases;
• los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones;
• Boletos de salida;
• Pruebas cortas de los temas y
• Evaluaciones de los módulos.
Este módulo contiene los siete CLA que se indican.
4.Mód6.CLA1
Convierten entre medidas de ángulos expresadas como un giro fraccionario en un círculo y como grados.
4.MD.C.5
4.MD.C.5.a
4.MD.C.5.b
4.Mód6.CLA2
Miden y dibujan ángulos en grados.
4.MD.C.6
4.Mód6.CLA3
Hallan las medidas angulares desconocidas usando la suma y la resta.
4.Mód6.CLA5
Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales.
4.G.A.1
4.Mód6.CLA6
Identifican atributos y los utilizan para clasificar figuras bidimensionales, incluyendo los triángulos.
4.Mód6.CLA7
Identifican y trazan ejes de simetría.
4.MD.C.7
4.Mód6.CLA4
Identifican y trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas.
4.G.A.1
4.G.A.2
4.G.A.3
La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente.
Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.
Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes:
• Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 6 de 4.o grado se codifica como 4.Mód6.CLA1.
• Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará.
• Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada.
• Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.
Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
4.Mód6.CLA1 Convierten entre medidas de ángulos expresadas como un giro fraccionario en un círculo y como grados.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADOS
Estándares relacionados Texto del CLA
4.MD.C.5 Reconocen que los ángulos son elementos geométricos formados cuando dos semirrectas comparten un extremo común, y entienden los conceptos de la medición de ángulos:
4.MD.C.5.a Un ángulo se mide con respecto a un círculo, con su centro en el extremo común de las semirrectas, tomando en cuenta la fracción del arco circular entre los puntos donde ambas semirrectas intersecan el círculo. Un ángulo que pasa por 1 360 de un círculo se llama “ángulo de un grado” y se puede utilizar para medir ángulos.
4.MD.C.5.b Un ángulo que pasa por n ángulos de un grado tiene una medida angular de n grados.
Parcialmente competente
Competente
Convierten entre medidas de ángulos expresadas como un giro fraccionario en un círculo con un denominador de 360 y como grados.
¿Cuál es la medida, en grados, de un ángulo que es 47 360 de un giro entero en un círculo?
¿Cuántos grados gira el minutero de un reloj en 15 minutos? ¿Cómo lo sabes?
Indicadores del CLA
Tema A
Rectas y ángulos
En el tema A, la clase desarrolla un conocimiento básico sobre diferentes figuras geométricas y tipos de ángulos.
Sus estudiantes comienzan con el componente esencial de las figuras geométricas: el punto. Marcan y rotulan un punto y, luego, otro. Con dos puntos marcados, construyen segmentos de recta, rectas y semirrectas. A medida que dibujan cada figura, se presenta su definición. Nombran e identifican las figuras usando la notación geométrica. Ven que dos semirrectas con el mismo extremo forman un ángulo. Basándose en sus conocimientos de 3.er grado sobre los ángulos rectos, describen y dibujan ángulos agudos, obtusos y llanos en relación con los ángulos rectos. Identifican el paralelismo y la perpendicularidad en las figuras geométricas y los polígonos, y trazan rectas, segmentos de recta y semirrectas perpendiculares y paralelas. Esto prepara a sus estudiantes para el trabajo importante de clasificar polígonos basándose en esos atributos en el tema D. Por último, aplican su aprendizaje del tema a un contexto del mundo real al crear y describir planos de planta.
A lo largo del tema, sus estudiantes ponen atención a la precisión. Usan el vocabulario y la notación para identificar y nombrar figuras. Usan materiales, como herramientas de borde recto, una herramienta de ángulo recto y papel cuadriculado rectangular y triangular, para dibujar figuras y ángulos, y perfeccionan sus descripciones de las figuras y los tipos de ángulos al identificar las semejanzas y diferencias entre ellos.
En el tema B, la clase desarrolla aún más sus conocimientos sobre los ángulos. Reconocen los ángulos como giros fraccionarios en un círculo y miden y dibujan ángulos con medidas específicas.
Progresión de las lecciones
Lección 1
Identificar y trazar puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas y ángulos
Lección 2
Identificar ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos
Lección 3
Dibujar ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos
Puedo trazar puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas y ángulos. Para identificarlos, rotulo mis dibujos y uso símbolos. Las figuras más grandes se crean cuando se dibujan varias figuras juntas.
Comparar el tamaño de un ángulo con un ángulo recto o un ángulo llano es una manera de identificar los ángulos agudos y obtusos. Puedo identificar diferentes tipos de ángulos en figuras matemáticas y en objetos del mundo real.
Puedo usar herramientas para dibujar ángulos. Rotular los ángulos con puntos y arcos me ayuda a nombrarlos. Puedo identificarlos como ángulos rectos, agudos u obtusos. Los ángulos pueden tener diferentes orientaciones, y la longitud de la semirrecta trazada no cambia el tipo de ángulo.
Lección 4
Identificar, definir y trazar rectas perpendiculares
Lección 5
Identificar, definir y trazar rectas paralelas
Lección 6
Relacionar figuras geométricas con un contexto del mundo real
AD ll BC
AB ll DC
Las rectas, los segmentos de recta y las semirrectas son perpendiculares cuando dos de ellos se intersecan y forman un ángulo recto. Puedo identificar rectas, segmentos de recta y semirrectas perpendiculares en polígonos e imágenes. Uso símbolos para rotularlos y nombrarlos. Las herramientas me ayudan a trazar rectas perpendiculares con diferentes orientaciones.
Las rectas, los segmentos de recta y las semirrectas son paralelos cuando no se intersecan nunca. Puedo identificar segmentos de recta paralelos en polígonos e imágenes y usar símbolos para rotularlos y nombrarlos. Las herramientas me ayudan a trazar rectas paralelas con diferentes orientaciones.
Puedo usar el vocabulario nuevo que he aprendido para describir e identificar figuras en dibujos del mundo real, como los planos de planta, y en un plano de planta creado por mí.
y rotula un ejemplo de cada figura.
Identificar y trazar puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas y ángulos
Vistazo a la lección
La clase traza puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas y ángulos. Los identifican en figuras matemáticas y del mundo real conocidas y usan la notación correspondiente. En esta lección se formalizan los términos figura, punto, extremo, segmento de recta, recta, semirrecta y ángulo y se presenta el término construir.
Preguntas clave
• ¿Por qué hacemos una marquita redonda para representar los puntos y trazamos líneas para representar las rectas?
• ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los segmentos de recta, las rectas y las semirrectas?
• ¿Cómo se forman los ángulos?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA4 Identifican y trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas. (4.G.A.1)
4.Mód6.CLA5 Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales. (4.G.A.1)
Nombre
Dibuja
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Trazar y rotular puntos y segmentos de recta
• Trazar y rotular rectas
• Trazar y rotular semirrectas y construir un ángulo
• Puntos, segmentos de recta, rectas, semirrectas y ángulos en figuras conocidas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro
o maestra
• papel en blanco
• herramienta de borde recto
• computadora o dispositivo*
• proyector*
• libro Enseñar*
Estudiantes
• papel en blanco
• herramienta de borde recto
• marcador de borrado en seco*
• libro Aprender*
• lápiz*
• pizarra blanca individual*
• borrador para la pizarra blanca individual*
*Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Respuesta a coro: Convertir litros a mililitros
La clase convierte litros a mililitros para adquirir fluidez en la expresión de medidas del sistema métrico en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en el módulo 1.
Muestre la ecuación 1L = mL.
¿Un litro es equivalente a cuántos mililitros?
Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1,000 mL
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Convertir medidas de longitud
La clase convierte yardas a pies para adquirir fluidez en la expresión de medidas de longitud del sistema inglés en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en el módulo 2.
Muestre la ecuación 1 yd = pies.
¿Una yarda es equivalente a cuántos pies?
Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
3 pies
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Polígonos y atributos
La clase identifica polígonos con un atributo específico como preparación para usar el vocabulario nuevo de geometría.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre los atributos: 3 lados, 3 esquinas y 3 ángulos.
¿Cuál es el nombre de un polígono con 3 lados, 3 esquinas y 3 ángulos?
Triángulo
Muestre la respuesta y, luego, muestre los triángulos.
Cuando dé la señal, digan la letra o las letras para responder cada pregunta.
¿Qué triángulos tienen al menos 2 lados de la misma longitud?
A
Muestre el triángulo A encerrado en un círculo.
¿Qué triángulos tienen al menos 1 ángulo recto?
B y C
Muestre los triángulos B y C encerrados en un círculo.
Atributos: 3 lados, 3 esquinas y 3 ángulos
Triángulo
Repita el proceso con la siguiente secuencia y reemplace el nombre del polígono en las preguntas según sea necesario:
Atributos: 4 lados, 4 esquinas y 4 ángulos
Atributos: 6 lados, 6 esquinas y 6 ángulos
Hexágono Cuadrilátero
Presentar
La clase describe y dibuja una figura geométrica e identifica la necesidad de usar un vocabulario preciso.
Forme parejas de estudiantes y designe a cada estudiante como A o B. Cada estudiante B necesita una pizarra blanca individual. Describa la actividad a sus estudiantes.
• Estudiante A: mira una imagen y se la describe a su pareja de trabajo.
• Estudiante B: hace un dibujo basándose en la descripción hecha por su pareja.
• Estudiante B: no puede mirar la imagen que se muestra.
Estudiante A: no puede mirar el dibujo hecho por su pareja.
Pida a cada estudiante A que se siente frente a la imagen proyectada. Pida a cada estudiante B que se siente frente a su pareja de trabajo de manera que quede de espaldas a la imagen proyectada y no pueda verla.
Muestre la imagen de la figura geométrica. Dé a las parejas 1 minuto para trabajar. Luego, pida a cada estudiante B que muestre el dibujo a su pareja. Invíteles a comparar el dibujo con la imagen proyectada.
Podemos llamar figuras a nuestros dibujos. ¿Qué observan sobre su dibujo, o figura?
Tengo líneas rectas como en la imagen, pero mi dibujo está en una posición diferente. Las flechas de mi dibujo coinciden con las de la imagen, pero mis líneas se juntan en lugares diferentes a los de las líneas de la imagen.
Algunas de mis líneas son más largas que las de la imagen y otras son más cortas, y se inclinan de maneras diferentes.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en el idioma.
• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.
De ser posible, intente formar las parejas con estudiantes que tengan el mismo idioma materno.
Nota para la enseñanza
Espere que sus estudiantes usen un vocabulario informal cuando describan la imagen a sus parejas y comparen sus dibujos con la imagen. A medida que se presenten los términos de geometría a lo largo del módulo, vuelva a expresar las respuestas de sus estudiantes usando un lenguaje más preciso según sea necesario y aumente las expectativas de uso de los términos por parte de la clase. Rotular los dibujos con los términos ayudará a sus estudiantes a usar el vocabulario.
Pida a sus estudiantes que escriban la palabra figura junto a sus dibujos. Invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre lo que podría haberles facilitado la descripción y el dibujo de la figura.
Si la figura se pareciera a algo de la vida real
Si hubiera una manera de nombrar un punto determinado de la figura
Si hubiera una manera de describir la inclinación de una línea
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aprenderemos cómo describir y nombrar las partes de las figuras que construimos, o dibujamos.
Aprender
Trazar y rotular puntos y segmentos de recta
Materiales: M/E) Papel en blanco, herramienta de borde recto
La clase traza y rotula un segmento de recta y sus extremos.
Pida a sus estudiantes que vayan a sus hojas de papel en blanco.
Construyamos otra figura y veamos cómo podemos describir y rotular sus partes.
Muestre la imagen del mapa del tesoro.
Si una persona está buscando el tesoro, ¿cómo sabe dónde hallarlo?
En la X
Señale la esquina superior derecha de la X.
¿Es esta la ubicación exacta del tesoro?
No, está en el medio, donde se cruzan las líneas.
Si quiero representar la ubicación exacta, debo hacer una marquita redonda en lugar de una X para representar el punto.
Nota para la enseñanza
En esta lección, sus estudiantes comenzarán a usar el término recta. Sin embargo, acepte por ahora el uso de línea en las respuestas hasta que la clase se familiarice con el nuevo término.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
En este segmento, se presenta el término construir. Considere enseñar el término por adelantado, anticipándose al momento en el que sus estudiantes deban construir una figura geométrica. Relacione el término con la construcción de un edificio o una carretera, o con la experiencia de construir un objeto con bloques u otros materiales durante una clase.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para ayudar a sus estudiantes a distinguir los términos dirección y sentido, señale que, en español, la dirección se refiere a la trayectoria en una recta hacia ambos lados; el sentido implica la trayectoria hacia uno solo de los lados. Por ejemplo, en una carretera recta que uniera las ciudades de Sacramento y Denver, la carretera representaría la dirección, mientras que habría dos sentidos posibles: hacia Sacramento o hacia Denver.
Invite a sus estudiantes a hacer una marquita redonda para indicar una ubicación específica en sus hojas. Luego, pídales que dibujen otra marquita redonda a la derecha de la primera.
Las marquitas redondas representan puntos. Los puntos indican una ubicación exacta. ¿Cuántos puntos, o marquitas redondas, creen que podrían marcar en esta hoja?
Las marquitas redondas que hacemos tienen un cierto tamaño. Los puntos no tienen tamaño, pero si no hiciéramos marquitas redondas, no podríamos saber dónde están ubicados. Estamos intentando imaginar y marcar una ubicación tan pequeña y exacta que no se podría hallar ni siquiera con el microscopio más poderoso del mundo.
Para identificar los puntos, los rotulamos con letras mayúsculas.
Rotule el primer punto, A, y el segundo punto, B. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Use la herramienta de borde recto para conectar el punto A con el punto B y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar las semejanzas y las diferencias de sus figuras.
Identifiquemos lo que dibujamos usando los puntos que están al comienzo y al final, o en los extremos. Lo llamaremos segmento de recta AB. Cuando escribimos segmento de recta AB, en lugar de las palabras segmento de recta, usamos una notación. Dibujamos una barra sobre las letras usadas para los puntos.
Escriba AB .
Un segmento de recta contiene muchos, muchos puntos.
Así como los puntos no tienen tamaño, el segmento de recta no tiene grosor porque está formado por puntos que no tienen tamaño. Sin embargo, si no trazáramos el segmento de recta, no lo veríamos. Solo nombramos y usamos algunos de los puntos de cualquier segmento de recta.
Un segmento de recta tiene puntos que indican dónde comienza y termina. Cada uno de estos puntos se llama extremo. Nuestro segmento de recta tiene el punto A en un extremo y el punto B en el otro. Podemos nombrar el segmento de recta comenzando por cualquier extremo. ¿Qué otro nombre podemos usar para el segmento de recta?
BA
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Este tema contiene muchos términos y notaciones que son nuevos. Considere crear un afiche de referencia, similar a la tabla que sus estudiantes completan en sus libros al final de la lección, con ejemplos de figuras y notaciones para ayudarles a usar los términos nuevos. Cuando se presentan términos nuevos en las siguientes lecciones, agréguelos a la tabla. A medida que se vayan agregando términos a la tabla, guíe una conversación de toda la clase para destacar los conocimientos previos acerca de cada uno. Señale que el trabajo de este tema es brindar un lenguaje matemático preciso para estos términos.
La notación de los ángulos se presenta en la lección 2.
Escriba BA .
Podemos nombrar un segmento de recta comenzando por cualquiera de sus extremos. Entonces, podemos llamarlo AB o BA . Por lo general, nombramos las letras de izquierda a derecha, pero cualquier orden es correcto.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué llamamos segmento de recta a AB y por qué también podemos llamarlo BA .
Trazar y rotular rectas
La clase traza y rotula una recta.
Marque y rotule el punto C debajo del AB y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Ahora tenemos un nuevo punto, el punto C, que no está en el AB .
Pida a sus estudiantes que usen las herramientas de borde recto para conectar el punto A y el punto C.
¿Qué acabamos de construir en nuestra figura?
El AC o el CA
¿Podrían extender el AC para hacerlo más largo si quisieran? Si tuvieran un trozo de papel muy grande, ¿podrían continuar extendiendo el segmento de recta en ambos sentidos? Si su papel se extendiera sin fin, ¿podría el segmento extenderse sin fin?
Extendamos el AC solo un poco en ambos sentidos y dibujemos una punta de flecha en cada lado para indicar que la recta continúa sin fin en ambos sentidos. Esto se llama recta AC.
¿Qué diferencia hay entre la ⟷ AC y el AB ?
La ⟷ AC tiene puntas de flecha en los lados en lugar de puntos como el AB .
La línea pasa por los puntos A y C en lugar de comenzar y terminar como lo hace en los puntos A y B.
Las puntas de flecha indican que la recta es mucho más larga de lo que podemos ver.
Nota para la enseñanza
Al escribir los nombres de las figuras geométricas, como los segmentos de recta, use palabras (p. ej., segmento de recta AB) o la notación (p. ej., AB ). Evite usar las palabras y la notación juntas (p. ej., segmento de recta AB ).
Al decir los nombres de las figuras geométricas, use el nombre que designa la notación (p. ej., lea el AB como el segmento de recta AB).
Evite leer solo las letras.
DUA: Representación
Considere usar un código de colores para ayudar a sus estudiantes a diferenciar las figuras geométricas y sus notaciones correspondientes. Resalte los ejemplos de la figura y las notaciones correspondientes con el mismo color.
Muestre la imagen del WX y la ⟷ YZ .
¿Cuál es más largo, el WX o la ⟷ YZ ? ¿Cómo lo saben?
La ⟷ YZ . Las puntas de flecha muestran que sigue extendiéndose sin fin, mientras que el WX llega solo hasta los extremos.
Una recta se extiende en ambos sentidos y no tiene fin.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre en qué lugares han visto o usado rectas antes.
Rectas numéricas
Diagramas de puntos
Intentar mostrar una recta que se extiende sin fin es como intentar escribir todos los números: no podemos hacerlo. Lo que trazamos es en realidad la representación de una recta. Una recta real no tiene grosor y se extiende sin fin en ambos sentidos.
Escriba ⟷ AC .
¿En qué se diferencia la notación que usamos para la ⟷ AC de la que usamos para el AB ? ¿Por qué creen que son diferentes?
La marca que se usa para la recta tiene dos puntas de flecha que apuntan en cada sentido, como en la imagen.
La marca que se usa para el segmento de recta no tiene puntas de flecha porque el segmento de recta de la imagen tiene extremos en lugar de puntas de flecha.
Así como usamos puntas de flecha en la figura, las usamos en la notación de una recta para mostrar que esta se extiende sin fin, más allá de los puntos que usamos para nombrarla.
Escriba ⟷ CA . Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si ⟷ CA es un nombre preciso para la recta y cómo lo saben.
Podemos nombrar una recta escribiendo los puntos en cualquier orden. Podemos llamarla ⟷ AC o ⟷ CA .
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando identifica y usa la notación adecuada para las rectas, las semirrectas y los segmentos de recta.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Cómo podemos escribir la semirrecta AB, la recta AB o el segmento de recta AB usando la notación que aprendimos?
• ¿Qué detalles debemos considerar al decidir si una figura es una semirrecta, una recta o un segmento de recta?
Trazar y rotular semirrectas y construir un ángulo
La clase traza y rotula semirrectas y construye un ángulo.
Muestre cómo marcar y rotular el punto D a la derecha de la ⟷ AC , pero sin estar en el AB ni en la ⟷ AC . Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Ahora tenemos un nuevo punto en nuestra figura, el punto D, que no está en el AB ni en la ← → AC .
Pida a sus estudiantes que usen la herramienta de borde recto para conectar los puntos B y D. Muestre cómo hacerlo usando el punto B como un extremo, extendiendo la recta más allá del punto D y dibujando una punta de flecha al final. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿En qué se parece y en qué se diferencia lo que acabamos de trazar en nuestra figura y las partes que ya teníamos?
Todas las partes muestran dos puntos.
Esta parte tiene un extremo en un lado y una punta de flecha en el otro.
¿Lo que acabamos de dibujar es un segmento de recta? ¿Cómo lo saben?
No, los segmentos de recta tienen dos extremos. Lo que acabamos de dibujar solo tiene un extremo.
¿Lo que acabamos de dibujar es una recta? ¿Cómo lo saben?
No, las rectas tienen puntas de flecha para mostrar que se extienden sin fin en ambos sentidos.
Lo que acabamos de dibujar solo tiene una punta de flecha que apunta en un sentido.
Señale el extremo de la ⟶ BD y desplace el dedo hacia la punta de flecha mientras dice lo siguiente:
Esta parte de nuestra figura tiene un extremo en un lado y una punta de flecha en el otro, entonces, se llama semirrecta. Entendemos que una semirrecta comienza en un extremo y se extiende sin fin en un sentido.
¿Cuál creen que es la notación de una semirrecta? ¿Por qué?
Tiene una punta de flecha en un lado, pero no en el otro.
Escriba ⟶ BD .
Las semirrectas solo tienen un nombre, no dos, como las rectas y los segmentos de recta.
¿Por qué creen que es así?
Tenemos que hacer coincidir la letra del extremo con la parte de la notación que no tiene una punta de flecha.
En la notación de una semirrecta, el orden de las letras que representan los puntos es importante. La semirrecta comienza en el punto B y se extiende sin fin en el sentido del punto D, como se muestra en la notación de la semirrecta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la diferencia entre una semirrecta, una recta y un segmento de recta.
Muestre cómo marcar y rotular el punto E que no está en el AB , en la ⟷ AC , ni en la ⟶ BD , pero que puede conectarse fácilmente con el punto B. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Ahora tenemos un nuevo punto en nuestra figura, el punto E.
Pida a sus estudiantes que usen la herramienta de borde recto para conectar los puntos B y E. Pídales que usen el punto B como un extremo, que extiendan la recta más allá del punto E y dibujen una punta de flecha al final.
¿Qué acabamos de construir?
La ⟶ BE
Escriba ⟶ BE . Pida a sus estudiantes que toquen el punto B con su lápiz y que, luego, remarquen la semirrecta hasta el punto D. Luego, pídales que vuelvan a remarcar hasta el punto B y a lo largo de la semirrecta hasta el punto E. Demuestre cómo hacerlo según sea necesario.
¿Cómo están conectadas la ⟶ BD y la ⟶ BE ?
Ambas semirrectas tienen el mismo extremo.
Cuando 2 semirrectas tienen el mismo extremo, forman un ángulo. ¿Qué extremo comparten estas semirrectas?
El punto B
Guíe a sus estudiantes para que coloquen los dos dedos índice en el punto B y, luego, desplacen un dedo a lo largo de cada semirrecta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde ven otros ángulos en la figura.
Pida a sus estudiantes que usen los dedos para mostrar estos ángulos.
Puntos, segmentos de recta, rectas, semirrectas y ángulos en figuras conocidas
La clase identifica puntos, segmentos de recta, rectas, semirrectas y ángulos en figuras conocidas.
Pida a sus estudiantes que usen la herramienta de borde recto para dibujar un rectángulo.
¿Ven alguna recta o segmento de recta en su figura?
Veo cuatro segmentos de recta.
Los lados del rectángulo son segmentos de recta.
¿Qué necesitamos para nombrar los segmentos de recta?
Necesitamos extremos que tengan nombre.
Para nombrar los segmentos de recta en la figura, necesitamos construir y nombrar los extremos de los segmentos. ¿Cuántos puntos necesitamos marcar y nombrar?
4
Pida a sus estudiantes que construyan los puntos donde se juntan los segmentos de recta y rotulen los puntos como A, B, C y D comenzando por la parte superior izquierda y moviéndose alrededor de la figura en el sentido de las manecillas del reloj.
D C
AB,CB,DC,DA AB
Invite a sus estudiantes a escribir los nombres de los segmentos de recta usando la notación correcta.
Antes dijimos que un ángulo está formado por 2 semirrectas. ¿Dónde observan semirrectas en esta imagen? ¿Y los ángulos?
No hay semirrectas, pero donde se juntan el AD y el AB parece ser un ángulo.
Cada uno de los segmentos de recta es parte de una semirrecta más grande. Sin embargo, no tenemos que construirlas para imaginar que están ahí. ¿Se juntan el AB y el AD para formar un ángulo?
Sí.
Podemos extender un segmento de recta para mostrar que es parte de una semirrecta. ¿Cómo podríamos extender un segmento de recta para mostrar que es parte de una recta?
Podemos extender el segmento de recta en ambos sentidos y colocar puntas de flecha en ambos lados.
Nota para la enseñanza
La definición de un ángulo especifica que está formado por dos semirrectas que tienen el mismo extremo. Sin embargo, los ángulos suelen representarse en las figuras con segmentos de recta o con una semirrecta que es parte de una recta. Mientras sus estudiantes ubican otros ángulos en la figura, anímeles a imaginar la semirrecta formada desde un extremo, aunque la semirrecta no se muestre en la figura.
Las convenciones de la notación y el nombre de los ángulos se presentan en la lección 2.
DUA: Representación
Considere brindar apoyo a sus estudiantes para que reconozcan un segmento de recta como parte de una semirrecta o de una recta extendiendo algunos de los segmentos de recta en la figura. A B
D C
Pida a sus estudiantes que vayan a la tabla en sus libros. Invíteles a que trabajen en parejas para completar la tabla con un ejemplo y la notación de cada término.
Luego, muestre la imagen del patio de juegos e invite a sus estudiantes a identificar las partes de la imagen que les recuerden puntos, segmentos de recta, rectas, semirrectas y ángulos. Si es posible, muestre la imagen de manera que pueda escribir comentarios en ella para registrar el razonamiento de la clase.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
DUA: Representación
Considere registrar el razonamiento de sus estudiantes para destacar los diferentes ejemplos. Si es posible, escriba comentarios sobre la imagen de la diapositiva. También puede dibujar los objetos del patio de juegos y usar colores o un marcador fluorescente para hacer énfasis en los puntos, los segmentos de recta, las rectas, las semirrectas y los ángulos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar y trazar puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas y ángulos
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación que haga énfasis en el lenguaje de geometría preciso y en las diferencias entre los puntos, las rectas, los segmentos de recta, las semirrectas y los ángulos.
¿Por qué hacemos una marquita redonda para representar los puntos y trazamos líneas para representar las rectas?
Los puntos y las rectas no tienen grosor. Hacemos marquitas redondas y trazamos líneas para poder ver los puntos y las rectas.
¿En qué se diferencia un segmento de recta de una recta?
Un segmento de recta es parte de una recta.
Una recta se extiende sin fin en ambos sentidos. Un segmento de recta solo llega hasta sus extremos.
¿En qué se parecen una semirrecta y una recta? ¿En qué se diferencian?
Las dos se extienden sin fin, pero una semirrecta solo lo hace en un sentido y una recta, en ambos.
¿Cómo se forman los ángulos?
Los ángulos se forman cuando 2 semirrectas tienen el mismo extremo.
¿Cómo se relaciona lo que saben sobre una recta numérica con esta lección sobre las rectas?
Las rectas numéricas y las rectas están formadas por muchos, muchos puntos, pero solo rotulamos y usamos algunos.
Siempre hay más puntos en una recta, al igual que siempre hay más números en una recta numérica.
Si hay tiempo suficiente, muestre la figura de la sección Presentar. Invite a sus estudiantes a compartir cómo rotularían y describirían la imagen si tuvieran que volver a hacer la actividad en parejas.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Relaciona cada figura con las palabras y la notación que la describen. El primero ya está resuelto como ejemplo.
9. Sigue las instrucciones de las partes (a) a (e). Usa una herramienta de borde recto. Los puntos A y B están dados.
a. Traza el segmento de recta AB
b. Marca un punto que no esté en el segmento de recta AB. Rotúlalo C
c. Traza la semirrecta AC
d. Marca un punto que no esté en el segmento de recta AB ni en la semirrecta AC. Rotúlalo D
e. Traza la recta BD Ejemplo:
EUREKA MATH
10. Sigue las instrucciones de las partes (a) a (f). Usa una herramienta de borde recto.
a. Marca los puntos P y Q
b. Traza la ⟷ PQ
c. Marca un punto que no esté en la ⟷ PQ . Rotúlalo R.
d. Traza el PR
e. Marca un punto que no esté en la ⟷ PQ ni en el PR . Rotúlalo S
f. Traza la ⟶ SQ
Ejemplo:
11. Halla y rotula algunos puntos, semirrectas, rectas y segmentos de recta en la imagen. Luego, regístralos en la tabla. El punto A ya está hecho como ejemplo.
Ejemplo:
Segmentos de recta UV TQ
12. ¿En qué se diferencian una recta, un segmento de recta y una semirrecta?
Una recta se extiende sin fin en ambos sentidos.
Un segmento de recta tiene 2 extremos.
Una semirrecta tiene 1 extremo y se extiende sin fin en un sentido.
Identificar ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos
Identifica cada ángulo como recto, agudo u obtuso. Usa la herramienta de ángulo recto.
Figura
Tipo de ángulo (recto, agudo, obtuso)
Figura
Vistazo a la lección
La clase hace una herramienta de ángulo recto para identificar los diferentes tipos de ángulos en figuras matemáticas y del mundo real. Usan la herramienta de ángulo recto para describir los ángulos como rectos, agudos u obtusos en relación con el ángulo recto de la herramienta, y describen un ángulo llano. En esta lección se formalizan los términos vértice, ángulo agudo, ángulo obtuso y ángulo llano.
Pregunta clave
• ¿Cómo podemos identificar los ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA4 Identifican y trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas. (4.G.A.1)
4.Mód6.CLA5 Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales. (4.G.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 30 min
• Hacer una herramienta de ángulo recto
• Usar una herramienta de ángulo recto
• Variaciones de los ángulos
• Grupo de problemas
Concluir 15 min
Materiales
Maestro o maestra
• Herramienta de ángulo recto (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
• Imprima o haga una copia de la hoja extraíble de Herramienta de ángulo recto y recorte los círculos. Prepare suficientes círculos de papel para tener uno por estudiante y uno para el maestro o la maestra.
• Guarde las herramientas de ángulo recto para usarlas a lo largo del módulo.
Fluidez
Respuesta a coro: Convertir kilogramos a gramos
La clase convierte kilogramos a gramos para adquirir fluidez en la expresión de medidas del sistema métrico en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en el módulo 1.
Muestre la ecuación 1 kg = g.
¿Un kilogramo es equivalente a cuántos gramos? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1,000 g
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Muéstrame figuras geométricas: Un punto, un segmento de recta y una recta
La clase hace gestos con las manos y los brazos para representar un punto, un segmento de recta y una recta a fin de desarrollar la memoria cinestésica en relación con las figuras geométricas.
Usemos las manos y los brazos para mostrar un punto, un segmento de recta y una recta. Para mostrar un punto, haremos esto. (Forme un puño con la mano).
Muéstrenme un punto. (Muestran el gesto para el punto).
Bajen los brazos. (Bajan los brazos).
Para mostrar un segmento de recta, haremos esto. (Extienda los brazos a cada lado, paralelos al piso. Forme puños con las manos).
Muéstrenme un segmento de recta. (Muestran el gesto para el segmento de recta).
¿Por qué creen que esto representa un segmento de recta?
Comenten su idea en voz baja con su pareja.
Los segmentos de recta son rectos y tienen un punto en cada extremo. Los puños representan los puntos.
Bajen los brazos. (Bajan los brazos).
Para mostrar una recta, haremos esto. (Extienda los brazos a cada lado, paralelos al piso. Mantenga las manos abiertas y los dedos extendidos).
Muéstrenme una recta. (Muestran el gesto para una recta).
¿Por qué creen que esto representa una recta? Comenten su idea en voz baja con su pareja.
Las rectas tienen puntas de flecha para mostrar que se extienden sin fin en ambos sentidos. Los dedos extendidos representan las puntas de flecha.
Bajen los brazos. (Bajan los brazos).
Nota para la enseñanza
Mientras representa las figuras geométricas, repita a sus estudiantes la siguiente información que aprendieron en la lección 1:
• Los puntos no tienen tamaño.
• Las rectas no tienen grosor porque están formadas por puntos.
Para que resulte más entretenido, alterne entre pedir a sus estudiantes que muestren un punto, un segmento de recta y una recta.
Punto
Recta
Segmento de recta
Respuesta a coro: Polígonos y atributos
La clase identifica polígonos con un atributo específico como preparación para usar el vocabulario nuevo de geometría.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre los atributos: 3 lados, 3 esquinas y 3 ángulos.
¿Cuál es el nombre de un polígono con 3 lados, 3 esquinas y 3 ángulos?
Triángulo
Muestre la respuesta y, luego, muestre los triángulos.
Cuando dé la señal, digan la letra o las letras para responder cada pregunta.
¿Qué triángulos tienen al menos 2 lados de la misma longitud? C
Muestre el triángulo C encerrado en un círculo.
¿Qué triángulos tienen al menos 1 ángulo recto? B
Muestre el triángulo B encerrado en un círculo.
Atributos: 3 lados, 3 esquinas y 3 ángulos
Repita el proceso con la siguiente secuencia y reemplace el nombre del polígono en las preguntas según sea necesario:
Atributos: 4 lados, 4 esquinas y 4 ángulos
Cuadrilátero
Atributos: 6 lados, 6 esquinas y 6 ángulos Hexágono
Presentar
La clase analiza una imagen con cuatro ángulos y comenta las semejanzas y las diferencias.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo?
Muestre la imagen de las cuatro figuras e invite a la clase a estudiarlas.
Dé a la clase 2 minutos para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca.
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría.
Destaque las respuestas que usen los términos de la lección 1 y comience a describir los ángulos según su tamaño.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a usar un lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas.
Pregunta de ejemplo:
¿Cuál no pertenece al grupo?
La figura A no pertenece al grupo porque es el único ángulo con una esquina recta.
La figura B no pertenece al grupo porque tiene semirrectas más cortas y las otras figuras tienen semirrectas que parecen del mismo tamaño.
La figura C no pertenece al grupo porque tiene los puntos D, E y F y las otras tienen los puntos A, B y C.
La figura D no pertenece al grupo porque el ángulo tiene otra orientación.
Una manera de describir los ángulos es según su tamaño. Cuando organizamos algo según sus atributos, como el tamaño, lo clasificamos.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aprenderemos a clasificar los ángulos según su tamaño.
DUA: Representación
En grados anteriores, sus estudiantes identifican el número de ángulos de un polígono como uno de sus atributos. Para conectar con los conocimientos previos, considere mostrar polígonos con ángulos resaltados con el objetivo de preparar a sus estudiantes para que identifiquen los ángulos independientemente de la figura.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
La clase ya conoce el término clasificar de kindergarten. Sin embargo, el término se presenta en cuarto grado con un matiz diferente. Señale a sus estudiantes que ahora usarán la palabra clasificar para organizar algo según sus atributos, y que estos atributos se pueden definir. Por ejemplo, para clasificar ángulos como rectos, agudos, obtusos o llanos, primero tenemos que saber cuáles son las características que nos permiten distinguir entre cada uno de estos tipos de ángulos.
Figura AFigura B
Figura CFigura D
Aprender
Hacer una herramienta de ángulo recto
Materiales: M/E) Círculo de papel
La clase crea una herramienta de ángulo recto que se usará para describir el tamaño de los ángulos.
Dé un círculo de papel a cada estudiante. Doble el círculo de papel por la mitad y, luego, otra vez por la mitad a lo largo del borde recto que se hizo con el primer doblez. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Observan algún ángulo en su papel?
Veo un ángulo en esta esquina.
Desplace el dedo por cada borde recto del papel, uno a la vez.
Hay un ángulo donde se juntan estos dos bordes rectos, o segmentos de recta. Desplacen el dedo por los segmentos comenzando en el extremo.
Señale el ángulo en la esquina del papel.
Este es un ángulo recto. Podemos usar este papel como una herramienta que nos ayude a identificar los ángulos rectos. La llamamos herramienta de ángulo recto.
Demuestre cómo usar la herramienta de ángulo recto alineándola con la esquina de un objeto, como un tablero o una puerta.
El ángulo en la esquina de la puerta es del mismo tamaño que el ángulo de la herramienta de ángulo recto.
Dé a la clase 2 minutos para identificar en parejas los ángulos rectos que hay en el salón de clases. Cuando se acabe el tiempo, reúna a la clase e invite a sus estudiantes a compartir sus observaciones.
A medida que cada estudiante comparte sus ideas, invite a la clase a confirmar que el objeto tiene un ángulo recto.
Usar una herramienta de ángulo recto
Materiales: M/E) Herramienta de ángulo recto
La clase usa la herramienta de ángulo recto para identificar un ángulo como recto, agudo u obtuso.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase.
Usa la herramienta de ángulo recto para clasificar el ángulo como recto, agudo u obtuso.
1.
R P S Ángulo recto
Desplace el dedo por las semirrectas del ángulo, comenzando en P, pasando por el vértice R y, luego, extendiéndose hasta S.
Podemos llamar a esto ∠PRS.
Escriba ∠PRS.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué otro nombre podría tener el ángulo.
Creo que el ángulo podría llamarse ∠SRP, del mismo modo que las rectas y los segmentos de recta tienen nombres diferentes.
Escriba ∠SRP.
Cuando nombramos un ángulo usando los nombres de tres puntos, debemos escribir los puntos en orden. No podemos llamarlo ∠RSP ni ∠RPS.
También hay una tercera manera de nombrar el ángulo. A veces, se puede nombrar un ángulo por su vértice, el extremo de las dos semirrectas. ¿Cuál es el vértice de este ángulo?
Las dos semirrectas se juntan en el punto R, así que creo que el punto R es el vértice.
Escriba ∠R.
Como apoyo para la comprensión del término vértice, invite a la clase a rotular el vértice del ∠R. Escriba vértice y trace una línea que señale el vértice. Invite a la clase a hacer lo mismo.
¿El ∠R se parece a un ángulo recto?
Sí, se parece a un ángulo recto.
Usemos nuestra herramienta de ángulo recto para comprobarlo.
Use la herramienta de ángulo recto para mostrar a sus estudiantes cómo determinar si el ∠R es del mismo tamaño, es menor que o es mayor que un ángulo recto. Piense en voz alta y use un lenguaje preciso al utilizar la herramienta de ángulo recto.
Puedo alinear la parte de abajo de la herramienta de ángulo recto con la ⟶ RS .
Luego, desplazo la herramienta de ángulo recto para que su esquina esté en el vértice R.
Pida a sus estudiantes que usen la herramienta de ángulo recto para hacer lo mismo.
¿El ∠R es del mismo tamaño, es menor que o es mayor que un ángulo recto? ¿Cómo lo saben?
Es del mismo tamaño que un ángulo recto porque el ángulo de la herramienta de ángulo recto coincide con el ∠R.
Los lados de la herramienta de ángulo recto se alinean con las semirrectas del ángulo, así que el
∠R es del mismo tamaño que un ángulo recto.
Señale el cuadrado en el vértice del ángulo.
Sabemos por lo que aprendimos sobre los cuadrados y los rectángulos que este cuadrado en el vértice identifica este ángulo como un ángulo recto.
Nota para la enseñanza
Para ayudar a sus estudiantes a comprender por qué el ángulo no se puede llamar ∠RSP o ∠RPS, considere desplazar el dedo desde R hasta S y, luego, hacer una pausa para que vean que no hay ningún segmento de recta que vaya desde S hasta P. Haga lo mismo desde R hasta P y, luego, hasta S para mostrar que tampoco hay ningún ángulo dibujado allí.
Diferenciación: Apoyo
Puede haber estudiantes que necesiten ayuda para alinear la herramienta de ángulo recto a lo largo de la semirrecta inferior y el vértice. Para ayudarles a usar la herramienta de ángulo recto de manera adecuada, pídales que hagan un cuadrado en la esquina de la herramienta de ángulo recto.
S
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 y 3. Señale el arco de cada ángulo.
Esto es un arco. Un arco es un signo que usamos para identificar qué ángulo estamos mirando.
Escriba arco y trace una línea que señale el arco del problema 2. Invite a sus estudiantes a hacer lo mismo en sus libros.
Identifica el tipo de ángulo.
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que los ángulos son menores que o mayores que un ángulo recto. A medida que se desarrolla la conversación, pídales que se refieran a los ángulos por su nombre (p. ej., el ∠E parece ser menor que un ángulo recto).
Invite a sus estudiantes a usar la herramienta de ángulo recto para determinar si el ∠E y el ∠Y son del mismo tamaño, son menores que o mayores que un ángulo recto. Luego, pida a dos o tres estudiantes que expliquen cómo les ayudó la herramienta.
¿El ∠E es del mismo tamaño, es menor que o es mayor que un ángulo recto? ¿Cómo lo saben?
El ∠E es menor que un ángulo recto. Lo sé porque cuando alineo la esquina de la herramienta de ángulo recto con el vértice del ∠E, la ⟶ ED queda completamente cubierta por la herramienta.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando usa la herramienta de ángulo recto para determinar si un ángulo es recto, agudo u obtuso.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relacionan los ángulos agudos y obtusos? ¿Cómo puede eso ayudarles a identificarlos?
• ¿Cómo pueden usar lo que todos los ángulos tienen en común como ayuda para identificar los ángulos rectos, agudos y obtusos?
El ∠E es un ángulo agudo. Los ángulos agudos son ángulos que son menores que los ángulos rectos.
¿El ∠Y es del mismo tamaño, es menor que o es mayor que un ángulo recto? ¿Cómo lo saben?
El ∠Y es mayor que un ángulo recto. Lo sé porque cuando alineo la esquina de la herramienta de ángulo recto con el vértice del ∠Y, hay un espacio entre la ⟶ YX y el borde de mi herramienta.
El ∠Y es un ángulo obtuso. ¿Cómo describirían un ángulo obtuso?
Un ángulo obtuso es un ángulo que es mayor que un ángulo recto.
Pida a sus estudiantes que escriban el tipo de ángulo para los problemas 2 y 3. Luego, invite a sus estudiantes a usar la herramienta de ángulo recto para identificar los tipos de ángulo en los problemas 4 a 6.
Ángulo obtuso
Ángulo agudo
Ángulo agudo
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la herramienta de ángulo recto les ayudó a identificar cada tipo de ángulo.
Variaciones de los ángulos
La clase usa la herramienta de ángulo recto para nombrar un ángulo llano y ángulos con variaciones en la longitud y en la orientación de las semirrectas.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 7 a 9. Deles 1 minuto para estudiar los ángulos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué observan y se preguntan sobre los ángulos.
BC D Ángulo llano
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere crear un afiche de referencia para los tipos de ángulos. En la lección 8, sus estudiantes repasan estas definiciones usando las medidas angulares.
Un ángulo recto es un ángulo que tiene el mismo tamaño que el ángulo de la herramienta de ángulo recto.
Un ángulo agudo es un ángulo que es menor que un ángulo recto.
agudo
Un ángulo obtuso es un ángulo que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano. Z Y X
Un ángulo llano es un ángulo que está formado por dos semirrectas que tienen el mismo extremo y que forman una recta.
D
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 7.
¿Cuántos puntos están rotulados en el ángulo?
3
Podemos pensar en el punto C como el vértice de este ángulo.
Desplace el dedo por el ángulo, desde el punto B hasta el punto C y desde el punto C hasta el punto D.
¿El ∠BCD es menor o es mayor que un ángulo recto?
Mayor
¿Cómo hemos llamado a los ángulos que son mayores que los ángulos rectos?
Ángulos obtusos
¿Cómo se ve la figura del problema 7?
Como una recta
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían determinar si la figura es una recta.
Podríamos usar una herramienta de borde recto o una regla para ver si es recta.
Podríamos usar el lado recto de nuestra herramienta de ángulo recto para ver si es una línea recta.
Invite a sus estudiantes a usar el lado recto de la herramienta de ángulo recto para ver que las semirrectas que forman el ángulo forman una recta.
Tenemos un nombre especial para este ángulo. Cuando un ángulo está formado por 2 semirrectas que tienen el mismo extremo y que forman una recta, lo llamamos ángulo llano.
¿Cómo se compara la descripción de un ángulo llano con lo que dijimos sobre un ángulo obtuso?
Dijimos que un ángulo obtuso es mayor que un ángulo recto, pero un ángulo llano también es mayor que un ángulo recto.
Hagamos que nuestra definición de ángulo obtuso sea más precisa. Un ángulo obtuso es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
Invite a sus estudiantes a mirar alrededor del salón de clases y a identificar ángulos llanos.
Invite a sus estudiantes a completar el problema 7 y, luego, pídales que vayan a los problemas 8 y 9.
Pida a las parejas que usen la herramienta de ángulo recto para identificar el tipo de ángulo en cada problema.
Cuando hayan terminado, invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento sobre los ángulos. Considere hacer las siguientes preguntas.
¿Qué tenía de diferente el ángulo del problema 8?
El ángulo estaba abierto hacia la izquierda.
¿Cómo usaron la herramienta de ángulo recto para identificar el tipo de ángulo?
Alineé la herramienta a lo largo de la ⟶ LT y coloqué la esquina de la herramienta en el vértice. Es menor que un ángulo recto, así que es un ángulo agudo.
¿Qué tenía de diferente el problema 9?
Las semirrectas que estaban trazadas eran más cortas que otros ángulos.
¿Cómo identificaron el tipo de ángulo?
Usé la herramienta de ángulo recto y vi que había espacio entre el borde de la herramienta y la ⟶ EA , así que es un ángulo obtuso.
Las longitudes de las semirrectas se pueden trazar para que parezcan cortas o largas. Lo que observamos al identificar un tipo de ángulo es el espacio entre las semirrectas que indica el arco.
Si hay tiempo suficiente, muestre la imagen de las figuras geométricas y pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de los diferentes tipos de ángulos que ven.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Nota para la enseñanza
El problema 7 del Grupo de problemas requiere que sus estudiantes tracen puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas y ángulos en una obra de arte. Para conservar la integridad de la obra en los materiales impresos, el ejemplo de respuesta en la hoja de respuestas está separado de la obra.
Concluir
Reflexión final 10 min
Objetivo: Identificar ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación que haga énfasis en el lenguaje de geometría preciso y en las diferencias entre los ángulos rectos, agudos y obtusos.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian los ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos?
Todos son ángulos, pero tienen nombres diferentes.
Todos se forman cuando dos semirrectas se juntan en un vértice.
Se pueden nombrar de diferentes maneras.
Los ángulos rectos tienen el mismo tamaño que la esquina de una herramienta de ángulo recto. Los ángulos agudos son menores que un ángulo recto y los ángulos obtusos son mayores que un ángulo recto, pero menores que un ángulo llano. Un ángulo llano es una línea recta.
¿Cómo les ayuda una herramienta de ángulo recto a identificar los ángulos rectos, agudos y obtusos?
Alineo la herramienta de ángulo recto a lo largo de una semirrecta y coloco la esquina en el vértice del ángulo. Observo si la otra semirrecta del ángulo está alineada con el borde de la herramienta, si la herramienta la oculta o si hay un espacio entre el borde de la herramienta y la semirrecta.
¿En qué se diferencia un ángulo llano de los otros ángulos que vimos hoy?
Un ángulo llano se parece a una recta.
Muestre el ∠TLF.
¿Cómo clasificamos un ángulo que tiene una posición como el ∠TLF?
Observamos el tamaño del ángulo mostrado por el arco. La posición no cambia la manera de clasificarlo.
Muestre la pintura Mi Egipto (My Egypt), 1927, de Charles Demuth.
La pintura del Grupo de problemas se llama Mi Egipto. El artista que la pintó se llama Charles Demuth. Es una de las muchas pinturas que realizó de edificaciones y máquinas estadounidenses. Esta pintura muestra un silo, que es una construcción donde las personas que se dedican a la agricultura almacenan maíz, trigo u otros granos antes de llevarlos a una fábrica para convertirlos en alimentos. El artista llamó a la pintura Mi Egipto porque le recordaba a la arquitectura egipcia.
Use las siguientes preguntas para que la clase se interese en la obra de arte:
• ¿Qué observan en la pintura?
• ¿Qué se preguntan?
Guíe a sus estudiantes para que piensen en la pintura en términos de figuras como puntos, segmentos de recta, rectas y semirrectas.
¿Dónde ven figuras en esta pintura que les recuerden a las rectas, los segmentos de recta y las semirrectas?
Hay semirrectas que salen de la esquina de arriba que me recuerdan a los rayos del sol.
En la parte de arriba de la construcción hay líneas azules horizontales. Pienso en ellas como rectas en lugar de segmentos de recta porque se extienden más allá del borde de la pintura. Las partes de la construcción están delineadas principalmente por segmentos de recta.
Invite a dos o tres estudiantes a compartir ejemplos de ángulos rectos, agudos u obtusos que identificaron en el problema 7 del Grupo de problemas.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para apoyar el contexto de la conversación, active los conocimientos previos mostrando fotografías de un silo.
Charles Demuth (1883–1935). My Egypt. 1927. Oil, fabricated chalk, and graphite pencil on composition board. Overall:
(91.3 x
cm).
¿La pintura parece realista? ¿De qué manera las rectas, los segmentos de recta, las semirrectas y los ángulos hacen que la construcción parezca más o menos realista?
La pintura parece realista porque los segmentos de recta verticales largos hacen que la construcción parezca alta y sé que los silos son altos. Parece aún más alto porque lo miramos desde abajo.
En cierto modo parece realista, pero también parece plano por la manera en que los segmentos de recta se cruzan entre sí y cortan la imagen. Los silos reales tienen forma de cilindro, pero este parece plano.
Las rectas y los ángulos hacen que parezca que el sol entra en la imagen por la parte de arriba a la izquierda y desde la derecha. Esto no es muy realista porque en la vida real el sol únicamente ilumina desde un lado.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Figura
Figura
7. Usa la herramienta de ángulo recto como ayuda para identificar ángulos rectos, agudos y obtusos en la pintura Mi Egipto (My Egypt) de Charles Demuth. Remarca al menos dos de cada tipo de ángulo. Rotúlalos con puntos y un arco y, luego, nómbralos en la tabla.
8. Amy dibuja dos ángulos del mismo tamaño. David dice que no pueden ser del mismo tamaño porque las semirrectas trazadas en el ∠QRX son más largas que las semirrectas en el ∠PWL Explica por qué los ángulos pueden ser del mismo tamaño.
R X P WL
Los ángulos pueden ser del mismo tamaño porque las longitudes de las semirrectas que están trazadas no determinan el tamaño del ángulo.
EUREKA MATH
EUREKA MATH
Dibujar ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos
Vistazo a la lección
1. Dibuja un ángulo agudo KLM. Explica cómo sabes que el ángulo es agudo. M K L
Sé que este ángulo es agudo porque es menor que un ángulo recto.
2. Dibuja un ángulo obtuso XZY. Explica cómo sabes que el ángulo es obtuso. Y X
Sé que este ángulo es obtuso porque es mayor que un ángulo recto.
La clase dibuja ángulos usando una herramienta de borde recto y una herramienta de ángulo recto. Razonan sobre cómo dibujar un ángulo cuando se da una sola semirrecta y cómo dibujar un ángulo a partir de una descripción. Nombran los ángulos de diferentes maneras, los clasifican por su tamaño y observan que pueden tener semirrectas trazadas con diferentes longitudes y diferentes orientaciones en la página.
Preguntas clave
• ¿Qué herramientas son útiles para dibujar ángulos?
• ¿Qué debe incluir un dibujo de un ángulo?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA4 Identifican y trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas. (4.G.A.1)
4.Mód6.CLA5 Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales. (4.G.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Dibujar y nombrar un ángulo
• Dibujar un ángulo obtuso
• Ángulos parecidos y diferentes
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• herramienta de borde recto
• herramienta de ángulo recto
Estudiantes
• herramienta de borde recto
• herramienta de ángulo recto
• papel en blanco
Preparación de la lección
Reúna las herramientas de ángulo recto creadas en la lección 2.
Fluidez
Respuesta a coro: Convertir kilómetros a metros
La clase convierte kilómetros a metros para adquirir fluidez en la expresión de medidas del sistema métrico en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en el módulo 1.
Muestre la ecuación 1 km = m.
¿Un kilómetro es equivalente a cuántos metros? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1,000 m
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Convertir medidas de longitud
La clase convierte pies a pulgadas para adquirir fluidez en la expresión de medidas de longitud del sistema inglés en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en el módulo 2.
Muestre la ecuación 1 pie = pulg.
¿Un pie es equivalente a cuántas pulgadas? Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación completada: 1 pie = 12 pulg.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Muéstrame figuras geométricas: Una semirrecta y diferentes ángulos
La clase hace gestos con los brazos para representar semirrectas y ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos a fin de desarrollar la memoria cinestésica en relación con las figuras geométricas.
Usemos las manos y los brazos para mostrar una semirrecta y diferentes tipos de ángulos. Para mostrar una semirrecta, haremos esto. (Extienda los brazos a cada lado, paralelos al piso. Forme un puño con una mano y deje la otra mano abierta con los dedos extendidos).
Muéstrenme una semirrecta. (Muestran el gesto para una semirrecta).
Bajen los brazos. (Bajan los brazos).
Para mostrar un ángulo recto, haremos esto. (Extienda un brazo hacia un lado, paralelo al piso, y el otro hacia arriba. Mantenga las manos abiertas y extienda los dedos).
Muéstrenme un ángulo recto. (Muestran el gesto para un ángulo recto).
Bajen los brazos. (Bajan los brazos).
Use las descripciones y los gestos que se proporcionan para continuar el proceso con la siguiente secuencia:
Ángulo agudo
Comiencen con el gesto de un ángulo recto. Luego, acerquen los brazos.
Ángulo obtuso
Comiencen con el gesto de un ángulo recto. Luego, separen los brazos.
Ángulo llano
Extiendan los brazos a cada lado, paralelos al piso. Mantengan las manos abiertas y extiendan los dedos.
Para que resulte más entretenido, alterne entre pedir a sus estudiantes que muestren una semirrecta y los cuatro tipos de ángulos. Considere agregar un punto, un segmento de recta y una recta a la secuencia.
Nota para la enseñanza
Considere pedir a sus estudiantes que comenten en voz baja con sus parejas por qué cada gesto representa la figura geométrica. Por ejemplo, después de decir “Muéstrenme una semirrecta”, diga: “¿Cómo creen que los brazos muestran una semirrecta? Comenten su idea en voz baja con su pareja”.
Semirrecta
Ángulo recto
Presentar
La clase razona acerca de si los enunciados sobre los ángulos son verdaderos siempre, a veces o nunca.
Presente el siguiente enunciado: Un ángulo que es mayor que un ángulo recto es un ángulo obtuso. Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas.
Dé aproximadamente 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y evalúe si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.
Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Anímeles a proporcionar ejemplos y ejemplos erróneos para apoyar su afirmación. Para concluir, llegue a un consenso de que el enunciado es verdadero a veces, porque un ángulo llano es mayor que un ángulo recto, pero no es obtuso.
Repita la rutina Siempre, a veces, nunca para los siguientes enunciados:
• Un ángulo que es mayor que un ángulo agudo es un ángulo obtuso.
Esto es verdadero a veces. El ángulo podría ser recto o llano.
• Un ángulo llano es menor que un ángulo obtuso.
Esto no es verdadero nunca. Un ángulo llano siempre es mayor que un ángulo obtuso.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, dibujaremos ángulos de diferentes tamaños.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para ayudar a sus estudiantes a compartir su razonamiento en parejas, pídales que observen la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación.
Nota para la enseñanza
Un ángulo mayor que un ángulo recto o un ángulo agudo también podrían ser un ángulo de reflexión. Ángulo de reflexión es un término nuevo que se presenta en la lección 7.
Aprender
Dibujar y nombrar un ángulo
Materiales: M/E) Herramienta de borde recto, herramienta de ángulo recto
La clase dibuja un ángulo usando una semirrecta dada e identifica el ángulo como recto, agudo, obtuso o llano.
Trace la ⟶ LM .
¿Cuál es el nombre de esta figura?
⟶ LM
¿Qué hace que esto sea una semirrecta y no un ángulo?
Un ángulo tendría otra semirrecta que se juntaría con la primera en L.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo construir un ángulo usando la ⟶ LM como una de sus semirrectas.
Podemos usar nuestra herramienta de borde recto para trazar otra semirrecta que se extienda desde L.
Podemos marcar un punto en algún lugar que no esté en la ⟶ LM y, luego, conectar ese punto con L.
Marque un punto, K, debajo de la ⟶ LM y a la derecha del punto L. Use el dedo para trazar una semirrecta imaginaria que conecte L con K.
Si conecto L y K para formar la ⟶ LK , ¿qué tipo de ángulo formaría?
¿Cómo lo saben?
Un ángulo agudo. Puedo ver que el ángulo sería menor que un ángulo recto.
Borre K. Luego, dibuje un nuevo punto K arriba de la ⟶ LM y a la izquierda de L. Use el dedo para trazar una semirrecta imaginaria que conecte L con K mientras dice lo siguiente:
Si conecto L y K para formar la ⟶ LK , ¿qué tipo de ángulo formaría? ¿Cómo lo saben?
Un ángulo obtuso. Puedo ver que el ángulo sería mayor que un ángulo recto, pero menor que un ángulo llano.
Nota para la enseñanza
En lugar de trazar una semirrecta imaginaria con el dedo, considere usar un lápiz o una herramienta de borde recto para representar la semirrecta y ayudar a indicar cómo se vería el ángulo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre qué otros tipos de ángulos podrían dibujar usando la ⟶ LM y cómo podrían dibujarlos. Preste atención a quienes digan que podrían usar la herramienta de ángulo recto para formar ángulos rectos y la herramienta de borde recto para dibujar ángulos llanos.
Puedo usar la herramienta de ángulo recto para formar un ángulo recto.
Puedo usar la herramienta de borde recto para extender la ⟶ LM y convertirla en una recta. Luego, puedo agregar otro punto en la recta, y será un ángulo llano.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y pídales que usen la herramienta de borde recto para dibujar un ángulo usando la ⟶ LM .
Dibuja un ángulo con la semirrecta dada. Rotula el ángulo.
1. Usa la ⟶ LM para dibujar el ∠KLM.
K
Mientras sus estudiantes trabajan, recorra el salón de clases y asegúrese de que estén usando una herramienta de borde recto para construir el ángulo y de que estén rotulando sus dibujos (p. ej., rotulan el punto K en la ⟶ LK , dibujan un arco en el vértice para indicar el ángulo o dibujan un cuadrado pequeño para indicar si se trata un ángulo recto).
Cuando terminen, invite a sus estudiantes a que se reúnan y conversen en parejas acerca de en qué se parecen y en qué se diferencian sus ángulos. Pídales que usen los términos recto, agudo, obtuso y llano para describir sus ángulos mientras comparten sus ideas.
DUA: Acción y expresión
Considere dar a cada estudiante la oportunidad de elegir sus herramientas para dibujar los ángulos. Tenga disponibles bloques para hacer patrones de modo que sus estudiantes puedan usarlos, en lugar de usar solo una herramienta de borde recto y una herramienta de ángulo recto. Por ejemplo, al dibujar un ángulo agudo, pueden trazar dos bordes de un triángulo equilátero. Al dibujar un ángulo obtuso, pueden trazar dos bordes de un pentágono regular.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando dibuja ángulos de diferentes tamaños y los nombra.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Qué detalles se deben considerar al dibujar y nombrar un ángulo?
• Al nombrar un ángulo, ¿qué pasos deben ser precisos? ¿Por qué?
Dibujar un ángulo obtuso
La clase dibuja un ángulo a partir de una descripción dada.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Lean el problema a coro.
2. Dibuja y rotula un ángulo obtuso PRS.
P S
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que deben incluir sus dibujos. Luego, guíe a sus estudiantes para que dibujen el ángulo.
Para comenzar, tracemos una de las semirrectas de nuestro ángulo. ¿Creen que importa en qué sentido señala la semirrecta?
No, no importa. Podemos trazarla como queramos.
Voy a trazar mi semirrecta horizontalmente.
Trace una semirrecta y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cómo debemos rotular los dos puntos en esta semirrecta?
El ángulo se llama ∠PRS, así que tenemos que usar dos de esas letras.
El punto R es el vértice del ángulo porque es la letra del medio, así que el punto de la izquierda se debe rotular como R.
El punto de la derecha, cerca de la punta de la flecha, podría ser P o S.
En el ∠PRS, el punto R es el vértice, así que puedo rotular el punto de la izquierda como R y el de la derecha como S.
Rotule los puntos en la semirrecta como R y S y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Nota para la enseñanza
Un ángulo se puede nombrar de diferentes maneras. Por ejemplo, este ángulo se puede nombrar como ∠ABC, ∠CBA o ∠B.
Sin embargo, cuando más de un ángulo comparte un vértice, usar una sola letra no indica con precisión el ángulo al que se refiere. Por ejemplo, el ∠F podría hacer referencia a cualquiera de los ángulos de la figura. Para más precisión, el ángulo se debe nombrar usando tres puntos, no solo el vértice (p. ej., ∠WFG). SQ
G W F
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden usar su semirrecta para dibujar un ángulo obtuso.
Puedo marcar el punto P de modo que cuando conecte P y R se forme un ángulo mayor que un ángulo recto.
Puedo usar la herramienta de borde recto para mostrar dónde estaría la otra semirrecta y, luego, trazar a lo largo de la herramienta de borde recto.
Pida a sus estudiantes que completen sus dibujos del ∠PRS obtuso y que rotulen el nuevo punto. Luego, invite a sus estudiantes a mostrar sus dibujos a su pareja para confirmar que es un ángulo obtuso.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de otras maneras de nombrar sus ángulos (es decir, ∠R o ∠SRP).
Ángulos parecidos y diferentes
Materiales: E) Papel en blanco, herramienta de ángulo recto, herramienta de borde recto
La clase dibuja un ángulo y comenta las semejanzas y diferencias entre su ángulo y los ángulos dibujados por sus pares.
Dé a cada estudiante un trozo de papel. Pídales que usen sus herramientas para dibujar un ángulo de su elección. Mientras trabajan, recorra el salón de clases e identifique tres o cuatro estudiantes para que compartan su trabajo. Busque diferentes tipos de ángulos (es decir, ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos), así como algunos que tengan trazadas semirrectas más cortas o más largas que otros y algunos ángulos que estén orientados en distintas direcciones en la página.
Diferenciación: Desafío
Si sus estudiantes pueden dibujar un ángulo con facilidad, plantéeles el desafío de usar una de las semirrectas para dibujar otro ángulo en la misma figura.
Por ejemplo, después de dibujar el ∠ ABC, pídales que dibujen un ángulo agudo que también use la ⟶ BC como una de sus semirrectas.
Nota para la enseñanza
Considere reunir los dibujos de ángulos y mostrarlos en un afiche de referencia, clasificados por tamaño. El afiche puede servir como material de consulta mientras sus estudiantes continúan aprendiendo sobre los ángulos.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a quienes seleccionó a que compartan sus dibujos con todo el grupo. Para cada dibujo, pida a la clase que nombre el ángulo de tres maneras diferentes (p. ej., ∠ JKL, ∠ LKJ y ∠ K) y, si es posible, clasifique el ángulo como recto, agudo, obtuso o llano. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de en qué se parece y en qué se diferencia el ángulo que se muestra del que dibujaron. A medida que se desarrolla la conversación, recorra el salón de clases, escuche y promueva el diálogo haciendo preguntas como las siguientes:
• ¿En qué se parece o en qué se diferencia el tamaño del ángulo que se muestra del tamaño de su ángulo?
• ¿En qué se parece o en qué se diferencia el nombre del ángulo que se muestra del nombre de su ángulo?
• ¿Cómo se compara la longitud de cada semirrecta trazada en el ángulo que se muestra con la longitud de las semirrectas trazadas en su ángulo?
• ¿El ángulo que se muestra está dispuesto en la misma posición que su ángulo? ¿Su ángulo se abre en la misma dirección que el ángulo que se muestra?
Después de mostrar y comentar tres o cuatro ejemplos de trabajo, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que dos estudiantes dibujaron ángulos exactamente iguales.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar esquemas de oración para apoyar a sus estudiantes mientras comparten y comparan su trabajo.
• Este ángulo es un ángulo (recto, agudo, obtuso, llano). Lo sé porque .
• Una manera de nombrar este ángulo es ∠ .
• Mi ángulo es parecido porque , pero es diferente porque .
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Dibujar ángulos rectos, agudos, obtusos y llanos
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación que haga énfasis en el lenguaje de geometría preciso y en las diferencias entre dibujar diferentes tipos de ángulos.
¿Qué herramientas son útiles para dibujar ángulos?
Una herramienta de borde recto es útil para poder trazar semirrectas que sean rectas.
Una herramienta de ángulo recto es especialmente útil si se quiere dibujar un ángulo recto.
¿Qué debe incluir un dibujo de un ángulo?
El dibujo debe tener dos semirrectas que compartan un extremo.
El dibujo debe incluir rótulos para los puntos.
Cada semirrecta debe incluir una punta de flecha en un lado para mostrar que es una semirrecta.
El dibujo debe incluir un arco para mostrar dónde está el ángulo o un cuadrado pequeño para indicar un ángulo recto.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Nota para la enseñanza
Considere reservar tiempo durante la Reflexión final para que sus estudiantes reflexionen de manera independiente.
• ¿Hay algunos ángulos que sean más o menos difíciles de dibujar que otros? ¿Cuáles? ¿Por qué?
• ¿Qué es lo que todavía necesitan practicar más?
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Sigue las instrucciones para dibujar y nombrar el ángulo. Luego, encierra en un círculo el tipo de ángulo.
1.
a. Marca un punto que no esté en la ⟶ CD Rotúlalo X
b. Traza la ⟶ CX
c. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
d. Nombra el ángulo de tres maneras diferentes.
∠ C , ∠ DCX , ∠ XCD
2.
a. Traza la ⟶ KZ
b. Traza la ⟶ KE
c. Dibuja un cuadrado para mostrar el ángulo.
d. Nombra el ángulo de tres maneras diferentes.
3.
4.
a. Traza la ⟶ LQ .
b. Traza la ⟶ LP
c. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
d. Nombra el ángulo de tres maneras diferentes.
Recto
Agudo
Obtuso
Llano
Ejemplo: X CD Ejemplo:
∠ K , ∠ EKZ , ∠ ZKE E KZ
Recto
Agudo
Obtuso
Llano
Descripción del ángulo Dibujo del ángulo Tipo de ángulo Recto X YZ Recto
Menor que un ángulo recto X YZ Agudo
∠L , ∠QLP , ∠PLQ QL P
a. Dibuja el ∠HBT
b. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
c. Nombra el ángulo de tres maneras diferentes.
Recto
Agudo Obtuso
Llano
Mayor que un ángulo recto X YZ Obtuso
2 semirrectas que tienen un extremo en común y que forman una recta XY Z Llano
Agudo
Obtuso
∠B ∠HBT , ∠TBH Ejemplo: H B T Ejemplo: Recto
Llano
6. Usa la figura para completar las partes (a) a (d). Usa la herramienta de ángulo recto como ayuda.
Ejemplo:
a. Nombra un ángulo agudo. ∠SFQ
b. Nombra un ángulo obtuso. ∠EFW
c. Nombra un ángulo recto. ∠QFG
d. Nombra un ángulo llano. ∠EFG
Identificar, definir y trazar rectas perpendiculares
Vistazo a la lección
1. Traza y rotula un par de segmentos de recta perpendiculares, WX y YZ . Marca uno de los ángulos rectos con un cuadrado pequeño.
Ejemplo:
2. Usa una herramienta de ángulo recto para hallar cada ángulo recto en la figura. Marca cada ángulo recto con un cuadrado pequeño. Luego, nombra un par de lados perpendiculares.
La clase define el término perpendicular e identifica rectas y segmentos de recta perpendiculares en objetos del mundo real. Trazan segmentos de recta perpendiculares y los identifican en polígonos. Usan símbolos para escribir enunciados que indican que una recta o un segmento de recta es perpendicular a otra recta u otro segmento de recta. En esta lección se formalizan los términos intersecarse y perpendicular.
Preguntas clave
• ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las rectas perpendiculares y las rectas secantes?
• ¿Cómo saben si dos rectas son perpendiculares?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA4 Identifican y trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas. (4.G.A.1)
4.Mód6.CLA5 Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales. (4.G.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Identificar segmentos de recta, rectas y semirrectas perpendiculares
• Trazar segmentos de recta, rectas y semirrectas perpendiculares
• Lados perpendiculares en polígonos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Papel cuadriculado rectangular y triangular (en la edición para la enseñanza)
• Identificar lados en polígonos (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Papel cuadriculado rectangular y triangular (en el libro para estudiantes)
• herramienta de ángulo recto
• herramienta de borde recto
• Identificar lados en polígonos (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Papel cuadriculado rectangular y triangular de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
• Reúna las herramientas de ángulo recto creadas en la lección 2.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Identificar lados en polígonos de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Respuesta a coro: Convertir metros a centímetros
La clase convierte metros a centímetros para adquirir fluidez en la expresión de medidas del sistema métrico en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en el módulo 1.
Muestre la ecuación 1 m = cm.
¿Un metro es equivalente a cuántos centímetros?
Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
100 cm
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Convertir medidas de longitud
La clase convierte yardas a pies y pies a pulgadas para adquirir fluidez en la expresión de medidas de longitud del sistema inglés en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en el módulo 2.
Muestre la ecuación 1 yd = pies.
¿Una yarda es equivalente a cuántos pies? Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación completada: 1 yd = 3 pies.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Polígonos y atributos
La clase identifica polígonos con un atributo dado para familiarizarse con el vocabulario nuevo de geometría.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre los atributos: 3 lados, 3 esquinas y 3 ángulos.
¿Cuál es el nombre de un polígono con 3 lados, 3 esquinas y 3 ángulos?
Triángulo
Muestre la respuesta y, luego, los polígonos.
Cuando dé la señal, digan la letra o las letras para responder cada pregunta.
¿Qué triángulos tienen al menos 2 lados de la misma longitud?
B y C
Muestre los triángulos B y C encerrados en un círculo.
¿Qué triángulos tienen al menos 1 ángulo recto?
A
Muestre el triángulo A encerrado en un círculo.
¿Qué triángulos tienen al menos 1 ángulo agudo?
A, B y C
Muestre los triángulos A, B y C encerrados en un círculo.
¿Qué triángulos tienen al menos 1 ángulo obtuso?
B
Atributos: 3 lados, 3 esquinas y 3 ángulos
Muestre el triángulo B encerrado en un círculo.
Repita el proceso con los siguientes datos y reemplace el nombre del polígono según sea necesario:
Atributos: 4 lados, 4 esquinas y 4 ángulos Cuadrilátero
Presentar
La clase establece la necesidad de usar el término perpendicular en una imagen del mundo real.
Muestre la imagen de la estructura de la casa.
¿Qué observan?
Hay muchos ángulos rectos.
Hay muchos rectángulos de diferentes tamaños.
La mayoría de las tablas están en una posición vertical u horizontal.
¿Qué observan en los ángulos que forman las tablas?
La mayoría son ángulos rectos.
Desplace el dedo por una tabla vertical y una horizontal que formen un ángulo recto en el marco de una ventana.
¿Cómo describirían estas dos tablas a alguien que no esté viendo la imagen?
Las dos tablas se juntan y forman un ángulo recto. 5
Repita el proceso con dos tablas que formen un ángulo recto en una puerta y con un ángulo recto formado por una tabla y los cimientos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre otros lugares, incluyendo el salón de clases, donde vean que dos partes de algo se unen para formar un ángulo recto.
Veo que las calles en una intersección forman ángulos rectos.
Veo que los bordes de las baldosas forman ángulos rectos.
Veo que los bordes de mi libro forman ángulos rectos.
Las rectas y los segmentos de recta que forman ángulos rectos parecen ser comunes.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aprenderemos cómo nombrar y trazar rectas que forman un ángulo recto.
Aprender
Identificar segmentos de recta, rectas y semirrectas perpendiculares
La clase define el término perpendicular e identifica ejemplos y ejemplos erróneos en objetos del mundo real.
Muestre los segmentos de recta perpendiculares.
¿Qué observan acerca del AC y el BD ?
Los dos segmentos de recta se cruzan.
El AC y el BD se intersecan, es decir, se juntan o se cruzan.
Se intersecan de una manera específica.
¿Qué tipo de ángulos forman estos segmentos de recta?
Ángulos rectos
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para conversar sobre otros segmentos de recta en la imagen que se intersecan y forman un ángulo recto.
El BE y el CE
El DE y el AE
Cada par de segmentos de recta que nombraron forman ángulos rectos cuando se intersecan. Los segmentos de recta, las semirrectas o las rectas que se intersecan en ángulos rectos se llaman perpendiculares.
Podemos decir que el BE es perpendicular al EC .
Muestre la imagen de las rectas y las semirrectas perpendiculares.
Las combinaciones de los segmentos de recta, las semirrectas o las rectas pueden ser perpendiculares. Usen segmentos de recta, semirrectas y rectas de la imagen para completar la oración: El/La es perpendicular al/a la .
La ⟷ FG es perpendicular a la ⟷ GH .
La → IK es perpendicular a la → IJ .
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere apoyar a sus estudiantes con el término nuevo intersecarse comentando lo que sucede en una intersección vial: las carreteras se cruzan o se juntan.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere agregar el término nuevo perpendicular y un dibujo de dos segmentos de recta perpendiculares al afiche de referencia de términos creado en este tema. Agregue el signo de perpendicularidad cuando se presente en el siguiente segmento.
Vamos a hallar segmentos de recta perpendiculares en objetos conocidos.
Muestre la imagen del salón de clases.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar dónde ven segmentos de recta que parecen perpendiculares en los objetos del salón de clases. Mientras comparten, invite a sus estudiantes a usar los dedos para remarcar los segmentos de recta que parecen perpendiculares en la imagen.
La parte de arriba y un lado de la pizarra parecen ser perpendiculares.
Uno de los estantes parece perpendicular a un lado del librero.
La parte de arriba y la pata del escritorio parecen ser perpendiculares.
El minutero parece perpendicular a la manecilla de las horas en el reloj.
Muestre las tres letras.
¿Dónde ven pares de segmentos de recta perpendiculares en estas letras? ¿Cómo lo saben?
Los segmentos de recta en la T son perpendiculares. Forman ángulos rectos en la parte de arriba.
Los segmentos de recta en la L son perpendiculares. Forman un ángulo recto en la parte de abajo.
¿Hay segmentos de recta que no son perpendiculares en las letras?
Los segmentos de recta en la V no son perpendiculares porque no forman un ángulo recto. Forman un ángulo agudo.
¿Qué otras palabras podemos usar para describir los segmentos de recta en la letra V?
¿Por qué?
Podemos decir que forman un ángulo agudo.
Podemos decir que se intersecan porque se juntan.
DUA: Participación
Considere usar un contexto conocido en lugar de la imagen del salón de clases o bien como complemento. Invite a sus estudiantes a hallar ejemplos de cosas en el salón de clases, o a pensar en ejemplos de sus hogares y de la comunidad, que sean perpendiculares.
Muestre las letras rotadas. Diga a sus estudiantes que se trata de las mismas letras; solo se han rotado. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si alguno de los segmentos de recta es perpendicular. Los segmentos de recta en la T y en la L siguen siendo perpendiculares.
Siguen formando ángulos rectos; solo que ahora están orientados en diferentes sentidos.
Los segmentos de recta en la V no son perpendiculares. Siguen formando un ángulo agudo, no un ángulo recto.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de en qué se parecen y en qué se diferencian las rectas perpendiculares y las rectas secantes.
Trazar segmentos de recta, rectas y semirrectas perpendiculares
Materiales: E) Papel cuadriculado rectangular y triangular, herramienta de ángulo recto, herramienta de borde recto
La clase traza segmentos de recta perpendiculares y usa símbolos para identificarlos y describirlos.
Invite a sus estudiantes a retirar la hoja extraíble de Papel cuadriculado rectangular y triangular de sus libros. Dé a cada estudiante una herramienta de ángulo recto y una herramienta de borde recto.
¿Qué observan sobre los dos tipos de papel cuadriculado?
Uno está hecho con cuadrados. Uno está hecho con triángulos.
Uno tiene líneas que son perpendiculares. Uno tiene líneas que se intersecan y forman ángulos agudos.
¿Cómo podrían ayudarles la herramienta de ángulo recto, la herramienta de borde recto y el papel cuadriculado a trazar segmentos de recta perpendiculares?
La herramienta de borde recto y las rectas en el papel cuadriculado nos pueden ayudar a hacer líneas rectas.
La herramienta de ángulo recto y los ángulos en el papel cuadriculado nos pueden ayudar a formar ángulos rectos.
Pida a sus estudiantes que usen las herramientas para trazar al menos dos pares diferentes de segmentos de recta perpendiculares en cada tipo de papel cuadriculado.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Preste atención a que sus estudiantes tracen sus segmentos de recta usando diferentes orientaciones, que hagan que estos se crucen o se junten y que usen las herramientas o las líneas de la cuadrícula como ayuda. Elija a tres o cuatro estudiantes para que compartan su trabajo.
Sus estudiantes pueden usar las siguientes estrategias al trazar en el papel cuadriculado rectangular:
• Usar los ángulos rectos formados por la propia cuadrícula
• Trazar diagonales en los cuadrados para formar ángulos rectos
• Trazar un segmento de recta con la herramienta de borde recto y, luego, completar el segmento de recta perpendicular con la herramienta de ángulo recto
Sus estudiantes pueden usar las siguientes estrategias al trazar en el papel cuadriculado triangular:
• Trazar una recta en el papel cuadriculado y completar el segmento de recta perpendicular con la herramienta de ángulo recto
• Usar las esquinas de los triángulos para crear una recta perpendicular
Invite a quienes haya seleccionado a que se turnen para compartir su par de segmentos de recta perpendiculares y explicar cómo saben que los segmentos de recta son perpendiculares.
Seleccione un par de segmentos de recta perpendiculares y rotule los dos extremos de cada uno.
Ahora que sabemos que estos segmentos de recta son perpendiculares, podemos usar símbolos para rotularlos como tales. Rotularlos sirve para indicar a cualquiera que mire el dibujo que los segmentos de recta son perpendiculares.
¿Cómo podemos nombrar cada segmento de recta?
AB y CD
¿Dónde hay un ángulo recto que esté formado por el AB y el CD ?
Si no hay un cuadrado pequeño dibujado para identificar uno de los ángulos rectos, demuestre cómo dibujar un cuadrado.
Ahora, podemos usar un símbolo para mostrar que estos dos segmentos de recta son perpendiculares.
Escriba: AB ⊥ CD .
Podemos leer el enunciado como el segmento de recta AB es perpendicular al segmento de recta CD.
¿Por qué creen que este es el símbolo que usamos para mostrar la perpendicularidad?
Parecen dos segmentos de recta perpendiculares.
Invite a sus estudiantes a elegir dos segmentos de recta perpendiculares que trazaron, identificar el ángulo recto con un cuadrado pequeño, nombrarlos y escribir un enunciado usando el signo de perpendicularidad. Pídales que lean sus enunciados en parejas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo podrían trazar segmentos de recta perpendiculares sin el papel cuadriculado.
Podríamos trazar un segmento de recta con nuestra herramienta de borde recto, hacer coincidir el borde de la herramienta de ángulo recto con ese segmento y, luego, trazar una línea a lo largo del otro borde de la herramienta de ángulo recto para formar el otro segmento de recta.
Podríamos trazar dos líneas a lo largo de los dos lados de la herramienta de ángulo recto que son perpendiculares.
Demuestre cómo trazar segmentos de recta perpendiculares usando una herramienta de borde recto y una herramienta de ángulo recto o solo una herramienta de ángulo recto. Invite a sus estudiantes a usar el mismo proceso para trazar segmentos de recta perpendiculares en el lado en blanco de la hoja extraíble de Papel cuadriculado rectangular y triangular. Luego, invíteles a trazar rectas y semirrectas perpendiculares.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden trazar y nombrar segmentos de recta perpendiculares con o sin papel cuadriculado.
Lados perpendiculares en polígonos
Materiales: E) Identificar lados en polígonos, herramienta de ángulo recto
La clase identifica y nombra lados perpendiculares en polígonos.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Identificar lados en polígonos de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.
Pida a sus estudiantes que vayan al polígono 1.
Pídales que remarquen el AD y el AB en el polígono 1 y que, luego, usen la herramienta de ángulo recto para comprobar si los dos lados forman un ángulo recto.
¿Qué podemos decir sobre el AD y el AB ?
¿Cómo lo saben?
Son perpendiculares porque forman un ángulo recto.
Pida a sus estudiantes que marquen el ángulo recto con un cuadrado pequeño.
Escriba: AD ⊥ AB . Invite a sus estudiantes a escribir AD ⊥ AB junto al polígono.
Pida a las parejas que busquen todos los pares de lados perpendiculares en el polígono 1 y registren sus conclusiones con símbolos. Invite a sus estudiantes a compartir cada par de lados perpendiculares.
Nota para la enseñanza
Considere pedir a sus estudiantes que borren los lados que remarcaron después de registrar cada enunciado. Pueden ver los lados perpendiculares con más claridad si solo se remarcan dos lados a la vez.
Nota para la enseñanza
Los polígonos 2 y 3 no tienen marcas en los vértices que representen los puntos. Considere señalar a sus estudiantes que sabemos que hay un punto en cada vértice porque los lados son segmentos de recta. Explique que podemos nombrar los puntos sin necesidad de marcarlos.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para identificar y registrar tantos pares de lados perpendiculares como puedan en el polígono 2.
¿Qué lados son perpendiculares en el polígono 2?
KL ⊥ LM
¿Hay otros lados perpendiculares? ¿Cómo lo saben?
No hay otros lados perpendiculares porque no forman ángulos rectos. Los otros lados se intersecan y forman ángulos agudos, no ángulos rectos.
Repita el proceso con el polígono 3.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hallar y nombrar dos lados perpendiculares en un polígono.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando identifica o traza rectas, semirrectas y segmentos de recta perpendiculares y usa la notación adecuada.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Cómo podemos escribir que el BC es perpendicular al CD usando el nuevo símbolo que aprendimos?
• Al trazar rectas perpendiculares, ¿con qué pasos deben tener mucho cuidado? ¿Por qué?
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar, definir y trazar rectas perpendiculares
Inicie una conversación de toda la clase acerca de las rectas y los segmentos de recta perpendiculares.
Anime a sus estudiantes a replantear o complementar las respuestas de sus pares usando sus propias palabras. Considere las siguientes preguntas:
¿En qué se parecen y en qué se diferencian las rectas perpendiculares y las rectas secantes?
Las rectas perpendiculares y las rectas secantes se cruzan o se juntan.
Los ángulos formados por las rectas son diferentes. Las rectas perpendiculares forman un ángulo recto. Las rectas secantes forman cualquier ángulo.
¿Cómo saben si dos rectas o segmentos de recta son perpendiculares?
Dos rectas son perpendiculares cuando se intersecan y forman un ángulo recto.
Se puede usar una herramienta de ángulo recto para comprobar si hay un ángulo recto.
¿Dónde podemos hallar rectas o segmentos de recta perpendiculares?
Pueden ser los lados de un polígono.
Pueden ser objetos del mundo real, como las letras del alfabeto y los lados de los muebles que se juntan en ángulos rectos.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Traza un segmento de recta perpendicular a cada segmento de recta dado. Usa una herramienta de borde recto y una herramienta de ángulo recto. Marca el ángulo recto con un cuadrado pequeño.
Remarca al menos un par de segmentos de recta en cada objeto que parezcan ser perpendiculares. Marca el ángulo recto que comparten con un cuadrado pequeño.
5. ¿Cómo sabes si dos rectas o segmentos de recta son perpendiculares?
Cuando dos rectas o segmentos de recta son perpendiculares, forman un ángulo recto.
8. Usa la herramienta de ángulo recto y la herramienta de borde recto para trazar un par de semirrectas perpendiculares.
Usa la herramienta de ángulo recto para hallar y nombrar los lados perpendiculares. Si no hay lados perpendiculares, escribe la palabra Ninguno. Marca cada ángulo recto con un cuadrado pequeño. El problema 9 ya está empezado como ejemplo.
15. Usa el mapa para completar las partes (a) a (d).
Ejemplo:
a. Nombra una calle que sea perpendicular a la avenida Central. Calle East
b. Nombra una calle que sea perpendicular a la calle West. Calle North
c. Nombra dos calles que sean perpendiculares entre sí. Calle South y avenida River
d. ¿La calle Home es perpendicular a la avenida River? Explica tu razonamiento.
No. La calle Home no es perpendicular a la avenida River porque la intersección no forma un ángulo recto.
16. Marca cada ángulo recto en la figura con un cuadrado pequeño. (Nota: No es necesario que el ángulo recto esté dentro de la figura).
¿Cuántos pares de lados perpendiculares tiene esta figura?
Esta figura tiene 8 pares de lados perpendiculares.
Great Minds PBC
Polígono
Polígono
Identificar, definir y trazar rectas paralelas
Vistazo a la lección
1. Traza un par de segmentos de recta paralelos. Rotula sus extremos. Marca cada segmento con una marca de flecha.
Ejemplo:
2. Marca el par de lados paralelos con marcas de flecha. Luego, nombra el par de lados paralelos.
La clase define el término paralelo o paralela e identifica rectas, segmentos de recta y semirrectas paralelas en objetos del mundo real. Trazan segmentos de recta paralelos y los identifican en polígonos. Usan símbolos para escribir enunciados que indican que una recta, un segmento de recta o una semirrecta es paralela a otra recta, otro segmento de recta u otra semirrecta.
Pregunta clave
• ¿Cómo saben si dos rectas son paralelas?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA4 Identifican y trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas. (4.G.A.1)
4.Mód6.CLA5 Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales. (4.G.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Identificar segmentos de recta paralelos
• Trazar segmentos de recta, rectas y semirrectas paralelas
• Lados paralelos en polígonos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Papel cuadriculado rectangular y triangular (en la edición para la enseñanza)
• regla
• herramienta de ángulo recto
• Identificar lados en polígonos (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Práctica veloz: Convertir medidas de longitud (en el libro para estudiantes)
• regla
• Papel cuadriculado rectangular y triangular (en el libro para estudiantes)
• herramienta de ángulo recto
• Identificar lados en polígonos (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Papel cuadriculado rectangular y triangular de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
• Reúna las herramientas de ángulo recto creadas en la lección 2.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Identificar lados en polígonos de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Convertir medidas de longitud
Materiales: E) Práctica veloz: Convertir medidas de longitud
EUREKA MATH2
La clase convierte medidas para adquirir fluidez en la expresión de medidas de longitud en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en los módulos 1 y 2.
Práctica veloz
4 ▸ M6 ▸ Práctica veloz ▸ Convertir medidas de longitud
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Convierte.
1. 3 m = 300 cm
2. 4 km = 4,000 m
3. 6 yd = 18 pies
4. 3 pies = 36 pulg
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A.
Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 6 con los problemas 7 a 12?
• ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 5 con los problemas 23 a 27?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de seis en seis desde el 0 hasta el 72 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de tres en tres desde el 36 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase crea categorías para distintas imágenes usando el vocabulario de geometría.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre las imágenes de las carreteras e invite a la clase a analizarlas.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de las imágenes, pero una no pertenezca.
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué una de las imágenes no pertenece a esa categoría.
Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento sobre los segmentos de recta, los ángulos formados y las intersecciones. Sus estudiantes no necesitan usar el vocabulario de geometría y pueden referirse a los segmentos de recta como carreteras.
Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas.
¿Cuál no pertenece al grupo?
La imagen A no pertenece al grupo porque es la única con carreteras que no se intersecan.
La imagen B no pertenece al grupo porque es la única con carreteras que se intersecan y forman ángulos agudos y obtusos que se pueden ver.
La imagen C no pertenece al grupo porque es la única con carreteras perpendiculares.
La imagen D no pertenece al grupo porque es la única en la que las carreteras no se intersecan en la imagen, pero lo harán si continúan.
¿Qué tipos de ángulos ven en las imágenes?
En la imagen C hay ángulos rectos.
En la imagen B hay ángulos agudos y obtusos.
En la imagen A hay ángulos llanos.
Imagen A Imagen B
Imagen C Imagen D
¿Creen que las carreteras de la imagen A se intersecarán alguna vez? ¿Por qué?
No, las carreteras parecen perfectamente rectas. No creo que se intersequen alguna vez.
Si las carreteras tuvieran una curva más allá de la imagen, quizás se intersecarían, pero no si continúan en línea recta.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, nombraremos y trazaremos rectas que nunca se intersecan.
Aprender
Identificar segmentos de recta paralelos
Materiales: E) Regla
La clase define el término paralelo, paralela e identifica segmentos de recta paralelos en imágenes.
Forme parejas de estudiantes y dé a cada integrante una regla.
Pida a las parejas que alineen sus reglas como las carreteras de la imagen A de manera que no se intersequen nunca.
Si hicieran su regla lo más larga posible, ¿se intersecaría alguna vez con la de sus parejas de trabajo? ¿Cómo lo saben?
Nunca se intersecarían porque los lados de la regla son rectos y están alineados en el mismo sentido.
Las reglas son como dos carreteras que van en el mismo sentido: nunca se intersecarán.
Los lados de sus reglas son como rectas paralelas. No importa lo lejos que las extiendan, nunca se intersecarán. 35
Muestre la imagen de los dos pares de segmentos de recta.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre qué par de segmentos de recta parecen ser paralelos.
El EF y el GH parecen ser paralelos. Parece que nunca se intersecarán.
El AB y el CD no son paralelos. Si los segmentos de recta se alargan desde B y D, se intersecarán.
Muestre la imagen de los materiales sobre un escritorio.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar dónde ven cosas en la imagen que parezcan ser paralelas. Mientras comparten, invite a sus estudiantes a usar los dedos para remarcar los segmentos de recta paralelos.
Los bordes izquierdo y derecho del libro parecen ser paralelos. Nunca se juntarán.
Los bordes de arriba y de abajo del escritorio parecen ser paralelos. Si se extendieran los bordes, nunca se cruzarían.
Las líneas de la hoja parecen ser paralelas. La distancia que las separa es siempre la misma.
Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo saben que dos rectas o segmentos de recta son paralelos.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes conocen el término paralelo, paralela desde 3.er grado. Sin embargo, dada la cantidad de términos nuevos y específicos que hay en este tema y el tiempo que ha transcurrido desde que sus estudiantes trabajaron con ellos en 3.er grado, puede ser apropiado enseñar el término como si fuera nuevo. Agregue el término paralelo, paralela al afiche de referencia de términos con unos segmentos de recta paralelos como apoyo visual para que la clase pueda consultarlo cuando lo necesite a lo largo del tema.
Trazar segmentos de recta, rectas y semirrectas paralelas
Materiales: M/E) Papel cuadriculado rectangular y triangular, regla, herramienta de ángulo recto
La clase traza segmentos de recta, rectas y semirrectas paralelos y usa símbolos para identificarlos y describirlos.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Papel cuadriculado rectangular y triangular de sus libros.
Use una regla y trace dos segmentos de recta horizontales en la sección rectangular de la hoja extraíble de Papel cuadriculado rectangular y triangular. Invite a la clase a hacer lo mismo.
¿Son paralelos los segmentos de recta? ¿Cómo lo saben?
Sí, parecen ser paralelos. Están en las líneas de la cuadrícula, que también parecen ser paralelas.
Los segmentos de recta no se intersecan y ninguno de ellos se ve en ángulo, lo que haría que se intersecaran si fueran más largos.
Puede ser difícil distinguir si los segmentos de recta son paralelos. Podemos usar herramientas para comprobarlo.
Una manera de distinguir si las rectas son paralelas es medir la distancia entre los dos segmentos de recta. Si los segmentos de recta son paralelos, ¿creen que se acercarán alguna vez entre sí?
No, los segmentos de recta no se acercarán. Si lo hicieran, finalmente se intersecarían.
La distancia entre dos segmentos de recta paralelos siempre es la misma.
Demuestre cómo usar la regla para medir la distancia entre los dos segmentos de recta que trazó en tres o cuatro puntos a lo largo de los segmentos de recta. Invite a sus estudiantes a hacer lo mismo y a leer la distancia en la regla.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar la regla les ayuda a ver que dos segmentos de recta son paralelos.
La herramienta de ángulo recto también puede ayudarnos a ver que dos segmentos de recta son paralelos.
Alinee un borde de la herramienta de ángulo recto con el segmento de recta que está más arriba. Luego, presione el borde de la regla contra el otro borde. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Si los segmentos de recta son paralelos, el segmento de recta de abajo tendrá el mismo ángulo que el de arriba. Debería alinearse con el borde de la herramienta de ángulo recto de la misma manera.
Desplace la herramienta a lo largo de la regla para mostrar que la herramienta de ángulo recto se alinea con el otro segmento de recta. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar la herramienta de ángulo recto les ayuda a ver que dos segmentos de recta son paralelos.
Use el lado en blanco de la hoja extraíble de Papel cuadriculado rectangular y triangular para demostrar cómo usar la herramienta de ángulo recto para trazar dos rectas paralelas. Piense en voz alta durante la demostración. Considere usar las siguientes instrucciones:
• Uso mi regla para trazar una línea recta. Uso puntas de flecha para identificarla como una recta.
• Giro la regla, sostengo la herramienta de ángulo recto contra ella y roto las dos herramientas hasta que la herramienta de ángulo recto se alinee con la recta que tracé.
• Desplazo la herramienta de ángulo recto hacia abajo a lo largo de la regla y trazo el borde para hacer la otra recta paralela.
DUA: Acción y expresión
Al trazar dos rectas paralelas en un papel en blanco con la herramienta de ángulo recto, considere reducir las exigencias de motricidad fina. Dé a sus estudiantes la opción de trazar cada lado de la regla para crear dos rectas y, luego, medir para comprobar que la distancia entre las dos rectas sigue siendo la misma en toda la longitud de las líneas.
Pida a sus estudiantes que usen el lado en blanco de la hoja extraíble de Papel cuadriculado rectangular y triangular.
Hemos visto segmentos de recta paralelos y rectas paralelas. Las semirrectas también pueden ser paralelas.
Dé 2 minutos a las parejas para que tracen dos semirrectas paralelas con una regla y una herramienta de ángulo recto.
¿Qué herramientas hemos usado para trazar y mostrar que dos segmentos de recta, dos rectas y dos semirrectas son paralelos?
Usamos el papel cuadriculado para trazar segmentos de recta paralelos.
Usamos la regla para medir la distancia entre los segmentos de recta paralelos.
Usamos la herramienta de ángulo recto y la regla para trazar dos semirrectas paralelas.
Invite a sus estudiantes a usar las herramientas para trazar al menos dos pares diferentes de segmentos de recta paralelos en cada tipo de papel cuadriculado.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Preste atención a que sus estudiantes tracen los segmentos de recta usando diferentes orientaciones y a que usen las herramientas para hacer o comprobar sus dibujos. Elija a tres o cuatro estudiantes para que compartan su trabajo.
Sus estudiantes pueden usar las siguientes estrategias para trazar segmentos de recta paralelos en el papel cuadriculado rectangular:
• Remarcar las líneas verticales u horizontales de la cuadrícula y comprobar con la herramienta de ángulo recto
• Contar el número de cuadrados hacia arriba y hacia abajo entre los extremos de los dos segmentos de recta
Sus estudiantes pueden usar las siguientes estrategias para trazar segmentos de recta paralelos en el papel cuadriculado triangular:
• Remarcar las líneas de la cuadrícula y comprobar con la herramienta de ángulo recto
• Trazar segmentos de recta a través de los triángulos, comenzando en una esquina del triángulo
• Contar triángulos hacia abajo y hacia arriba entre los extremos de los dos segmentos de recta
Invite a quienes haya seleccionado a que se turnen para compartir su par de segmentos de recta paralelos y explicar cómo saben que los segmentos de recta son paralelos.
Seleccione un par de segmentos de recta paralelos y rotule los dos extremos de cada uno.
Ahora que sabemos con seguridad que estos dos segmentos de recta son paralelos, usemos símbolos para rotularlos como tales. Rotularlos sirve para indicar a cualquiera que mire el dibujo que los segmentos de recta son paralelos.
¿Cómo podemos nombrar cada segmento de recta?
AB y CD
Escriba: AB ‖ CD
Podemos leer este enunciado como el segmento de recta AB es paralelo al segmento de recta CD.
¿Por qué creen que este es el símbolo que usamos para representar el paralelismo?
Parecen dos segmentos de recta paralelos.
También marcamos las rectas, los segmentos de recta y las semirrectas paralelas con marcas de flecha en la línea para mostrar que son paralelas.
Demuestre cómo dibujar una marca de flecha en la mitad de cada segmento de recta para identificarlos como paralelos.
Invite a sus estudiantes a elegir dos segmentos de recta paralelos que trazaron, identificarlos con marcas de flecha, nombrarlos y escribir un enunciado usando el signo de paralelismo. Pídales que lean sus enunciados en parejas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden trazar y nombrar segmentos de recta paralelos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere agregar marcas de flecha al apoyo visual de los segmentos de recta paralelos en el afiche de referencia. Incluya un enunciado con el signo de paralelismo.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando identifica o traza y usa la notación adecuada para las rectas, las semirrectas y los segmentos de recta paralelos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Cómo podemos usar el nuevo símbolo que aprendimos para escribir que la ⟶ BD es paralela a la ⟶ CA ?
• Al trazar rectas paralelas, ¿con qué pasos deben tener mucho cuidado? ¿Por qué?
Lados paralelos en polígonos
Materiales: E) Identificar lados en polígonos, herramienta de ángulo recto, regla
La clase identifica y nombra lados paralelos en polígonos.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Identificar lados en polígonos de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.
Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y el ejemplo de trabajo.
Alguien identificó segmentos de recta paralelos en el polígono 3.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error. Invíteles a compartir sus respuestas.
Los segmentos de recta están rotulados como paralelos, pero no lo son.
Los segmentos de recta no son paralelos porque si se trazan el QP y el NO más largos, el QP se intersecará con el NO .
Dé a sus estudiantes 1 minuto para hallar dos segmentos de recta que les parezcan paralelos en el polígono.
Permítales usar la regla y la herramienta de ángulo recto como apoyo para su trabajo. Recorra el salón de clases y elija a estudiantes para que compartan su razonamiento.
Elija razonamientos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las rectas paralelas.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Guíe a la clase para llegar a un consenso sobre cuál es la mejor manera de corregir la respuesta errónea.
RN ‖ PO , porque puedo usar la regla y alinear la herramienta de ángulo recto con el RN y, luego, desplazar la herramienta a lo largo de la regla y ver que el PO también se alinea con la herramienta.
RN ‖ PO , porque medí entre los lados y están a la misma distancia en toda la longitud.
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas y a hallar los lados paralelos en los polígonos 1 y 2. Pídales que registren sus conclusiones con símbolos.
¿Qué lados paralelos hallaron en los polígonos 1 y 2?
AD ‖ BC
AB ‖ DC
No hay pares de lados paralelos en el polígono 2.
El polígono 1 tiene dos pares de lados paralelos.
Cuando hay más de un par de lados paralelos en un polígono, usamos una marca de flecha simple para rotular un par de lados paralelos y una marca de flecha doble para rotular el segundo par de lados paralelos.
Guíe a sus estudiantes para que rotulen el AB y el DC con marcas de flecha dobles.
¿Cómo saben que ninguno de los lados del polígono 2 son paralelos?
Todos los lados se intersecan entre sí.
Solo hay tres lados, lo que significa que cada lado se interseca con los otros dos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hallar y nombrar dos lados paralelos en un polígono.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Nota para la enseñanza
Las marcas de flecha simples y las marcas de flecha dobles se usan para identificar lados paralelos y para diferenciar entre pares de lados paralelos. No importa qué par de lados paralelos está rotulado con marcas de flecha simples y cuál con marcas de flecha dobles.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar, definir y trazar rectas paralelas
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de las rectas paralelas.
¿Cómo saben si dos rectas son paralelas?
Puedo imaginar que las rectas nunca se intersecan sin importar cuán largas sean.
Se puede medir la distancia entre ellas en más de un lugar para asegurarse de que es la misma.
Se puede comprobar con una regla y una herramienta de ángulo recto. Si las dos rectas se alinean con un lado de la herramienta de ángulo recto, son paralelas.
Muestre las tres letras.
¿Dónde ven segmentos de recta paralelos en las letras?
Los dos lados largos de la H son paralelos.
Los dos lados verticales de la M son paralelos.
Las tres partes horizontales de la E son paralelas.
¿Dónde ven segmentos de recta perpendiculares en las letras?
La línea del medio de la H es perpendicular a ambos lados.
El lado largo de la E es perpendicular al resto de las partes.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian las rectas paralelas y las rectas perpendiculares?
Tanto las rectas paralelas como las rectas perpendiculares pueden estar en un polígono u objeto.
Son diferentes porque las rectas paralelas nunca se intersecan, pero las rectas perpendiculares sí.
Las rectas perpendiculares forman un ángulo recto, pero las rectas paralelas son un par de ángulos llanos.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
A1.
2.
3.
Número de respuestas correctas:
4. 7 m = 700 cm 26. 7 m 3 cm = 703 cm
5. 9 m = 900 cm 27. 9 m 5 cm = 905 cm
6. 10 m = 1,000 cm 28. 1 km 839 m = 1,839 m
7. 1 km = 1,000 m 29. 2 km 400 m = 2,400 m
8. 2 km = 2,000 m 30. 5 km 702 m = 5,702 m
9. 5 km = 5,000 m 31. 7 km 94 m = 7,094 m
10. 7 km = 7,000 m 32. 9 km 6 m = 9,006 m
11. 9 km = 9,000 m 33.
14. 2 yd = 6 pies
15. 5 yd = 15 pies
16. 7 yd = 21 pies
17. 10 yd = 30 pies
2 yd 2 pies = 8 pies
6 yd 1 pie = 19 pies
8 yd 2 pies = 26 pies
11 yd 2 pies = 35 pies
18. 1 pie = 12 pulg 40. 1 pie 5 pulg = 17 pulg
19. 2 pies = 24 pulg 41. 2 pies 8 pulg = 32 pulg
20. 3 pies = 36 pulg
21. 5 pies = 60 pulg
22. 8 pies = 96 pulg
4 pies 10 pulg = 58 pulg
6 pies 11 pulg = 83 pulg
9 pies 9 pulg = 117 pulg
BConvierte.
Progreso:
Remarca al menos un par de segmentos de recta en cada objeto que parezcan ser paralelos. Marca los segmentos de recta como paralelos dibujando marcas de flecha.
Traza un segmento de recta paralelo a cada segmento de recta dado. Usa una herramienta de borde recto y una herramienta de ángulo recto. Marca cada segmento de recta con una marca de flecha.
5. ¿Cómo sabes si dos rectas o segmentos de recta son paralelos? Si dos rectas o segmentos de recta son paralelos, nunca se intersecarán.
8. Usa la herramienta de ángulo recto y la herramienta de borde recto para trazar un par de rectas paralelas. Marca cada recta con una marca de flecha.
Nombre
Usa una herramienta de borde recto y una herramienta de ángulo recto para hallar y nombrar los lados paralelos. Si no hay lados paralelos, escribe la palabra Ninguno. Marca los lados paralelos con marcas de flecha. El problema 9 ya está empezado como ejemplo.
15. Usa el mapa para completar las partes (a) a (d).
Ejemplo:
a. Nombra una calle que sea paralela a la calle North. Calle River
b. Nombra una calle que sea perpendicular a la calle Broadway. Avenida Central
c. Nombra dos calles que sean paralelas entre sí. Calle West y calle East
d. ¿La calle Mountain es paralela a la calle River? Explica tu razonamiento.
No. La calle Mountain y la calle River no son paralelas porque se intersecan.
Polígono
Polígono
Relacionar figuras geométricas con un contexto del mundo real
Vistazo a la lección
1. Halla un ejemplo de cada figura en el plano de planta. Usa los números para completar la tabla.
Cuarto de baño 2 1 3 7 5 6 4
Dormitorio
Sala de estar
Figura
Patio
Cocina
Entrada
Clóset
Describe la figura. Usa un lenguaje preciso.
Figura
Ejemplo en el plano de planta
Segmento de recta 5
Segmentos de recta paralelos 3 y 7
Segmentos de recta perpendiculares 1 o 4
Ángulo recto 1 o 4
Ángulo agudo 6
Ángulo obtuso 2
Descripción
2. Dos semirrectas que se intersecan. Una semirrecta es casi horizontal. La otra semirrecta es casi vertical. Una semirrecta señala hacia la izquierda y la otra señala prácticamente hacia abajo. Hay un arco de ángulo dibujado para mostrar un ángulo agudo.
3. Dos segmentos de recta perpendiculares. Un segmento de recta es horizontal. El otro segmento de recta es vertical. Un ángulo recto está rotulado con un cuadrado pequeño.
La clase usa vocabulario de geometría preciso para identificar una figura geométrica específica en un conjunto de figuras. Usan figuras geométricas para dibujar el plano de planta de la casa de sus sueños y relacionan las figuras geométricas con el contexto del mundo real de una casa.
En esta lección, no se incluye Grupo de problemas. En su lugar, use las observaciones y el trabajo en clase para analizar el razonamiento de sus estudiantes después de la lección.
Preguntas clave
• ¿Por qué es útil describir las figuras con precisión?
• ¿Dónde pueden hallar ejemplos de figuras en el mundo real?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA4 Identifican y trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas. (4.G.A.1)
4.Mód6.CLA5 Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales. (4.G.A.1)
Agenda
Fluidez 5 min
Presentar 15 min
Aprender 30 min
• Imágenes de un plano de planta
• Crear un plano de planta
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Juego de las figuras geométricas (en la edición para la enseñanza)
• Papel de puntos (en la edición para la enseñanza)
• herramienta de ángulo recto
• herramienta de borde recto
• Ejemplos de planos de planta (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Juego de las figuras geométricas (en el libro para estudiantes)
• Papel de puntos (en el libro para estudiantes)
• herramienta de ángulo recto
• herramienta de borde recto
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Juego de las figuras geométricas de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Papel de puntos de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
• Reúna las herramientas de ángulo recto creadas en la lección 2.
• Imprima la hoja extraíble de Ejemplos de planos de planta según sea necesario para que la clase la use como referencia.
Fluidez
Contar de un medio en un medio, de un tercio en un tercio, de un cuarto en un cuarto y de un octavo en un octavo en la recta numérica
La clase cuenta de un medio en un medio, de un tercio en un tercio, de un cuarto en un cuarto y de un octavo en un octavo como preparación para la destreza de explorar los ángulos como giros fraccionarios en un círculo, que se inicia en la lección 7.
Muestre la recta numérica.
¿Qué unidad fraccionaria muestra la recta numérica? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Medios
Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de un medio en un medio hasta
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 medios, 1 medio, 2 medios
2 medios, 1 medio, 0 medios
Ahora, cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de un medio en un medio. Esta vez, expresen las fracciones como números enteros cuando sea posible. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 1 medio, 1
1, 1 medio, 0
Repita el proceso con tercios, cuartos y octavos.
Muéstrame figuras geométricas: Rectas y segmentos de recta
La clase hace gestos con las manos y los brazos para representar rectas y segmentos de recta, incluyendo segmentos de recta paralelos y perpendiculares, a fin de desarrollar la memoria cinestésica en relación con las figuras geométricas.
Usemos las manos y los brazos para mostrar una recta, un segmento de recta y rectas paralelas y perpendiculares.
Recuerden: para mostrar una recta, hacemos esto. (Muestre el gesto para una recta).
Muéstrenme una recta. (Muestran el gesto para una recta).
Bajen los brazos. (Bajan los brazos).
Use las descripciones y los gestos que se proporcionan para continuar el proceso con la siguiente secuencia:
Rectas paralelas
Con los codos doblados, mantengan los antebrazos delante del cuerpo, un brazo arriba del otro, paralelos al suelo. Mantengan las manos abiertas y extiendan los dedos.
Rectas perpendiculares
Con los codos doblados, mantengan un antebrazo delante del cuerpo paralelo al suelo y el otro recto de arriba abajo, de manera que se crucen en ángulos rectos. Mantengan las manos abiertas y extiendan los dedos.
Nota para la enseñanza
Considere pedir a sus estudiantes que comenten en voz baja con sus parejas de trabajo cómo cada gesto representa la figura geométrica. Por ejemplo, después de decir “Muéstrenme rectas paralelas”, diga: “¿Cómo creen que los brazos muestran rectas paralelas? Comenten su idea en voz baja con su pareja”.
Recta
Repita el proceso para representar un segmento de recta y segmentos de recta paralelos y perpendiculares con los siguientes gestos.
Segmento de recta
Segmentos de recta paralelos
Segmentos de recta perpendiculares
Para que resulte más entretenido, alterne entre pedir a sus estudiantes que muestren un segmento de recta, una recta, rectas paralelas y rectas perpendiculares. Considere agregar el punto, la semirrecta, el ángulo recto, el ángulo agudo, el ángulo obtuso y el ángulo llano.
Presentar
Materiales: M/E) Juego de las figuras geométricas
La clase participa de un juego de adivinanzas con vocabulario de geometría preciso que les ayuda a identificar figuras geométricas.
Muestre la imagen de las 16 figuras e invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que ven.
En su mayoría se ven iguales, pero tienen diferentes tipos de rectas.
Veo rectas paralelas, pero algunas son verticales y otras horizontales.
Hay segmentos de recta, semirrectas y rectas paralelas.
Hay algunos pares de rectas perpendiculares.
Veo ángulos rectos, agudos y obtusos.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Juego de las figuras geométricas de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.
Explique las reglas del juego.
• El objetivo del juego es nombrar la figura que su pareja encierra en un círculo.
• Estudiante A: encierra en un círculo una de las figuras en su pizarra blanca sin dejar que su pareja vea qué figura encerró.
• Estudiante B: hace una pregunta sobre la figura que se pueda responder con “sí” o “no”.
• Estudiante A: responde a la pregunta con “sí” o “no”.
¿Tu figura tiene rectas paralelas? pa
Estudiante B: usa la respuesta para tachar las figuras que no pueden ser la figura de su pareja.
• Estudiante B: continúa haciendo preguntas hasta que solo queda una figura que no se haya tachado.
• Estudiante B: encierra en un círculo la figura que cree que eligió su pareja y, luego, cada integrante de la pareja muestra su pizarra blanca. Si las figuras encerradas en un círculo no coinciden, las parejas comentan qué puede haber fallado.
• Luego, la pareja intercambia los roles.
Demuestre cómo jugar. Invite a quien se ofrezca a encerrar en un círculo una de las figuras sin que le deje ver qué figura encierra. Hágale preguntas que se puedan responder con sí o no para identificar la figura. Considere usar algunas de las siguientes preguntas:
• ¿Tu figura tiene semirrectas? ¿Segmentos de recta? ¿Rectas?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de algunas preguntas posibles por sí o por no que podrían hacer.
Nota para la enseñanza
Si bien es útil hacer una demostración de los tipos de preguntas que se deben hacer, no revele la estrategia de razonamiento. Es importante que sus estudiantes activen su propio razonamiento estratégico a lo largo de este juego. Es probable que determinen cómo hacer las preguntas de manera estratégica después de jugar varias rondas.
Forme parejas de estudiantes. Dé a las parejas 7 minutos para jugar. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes juegan. Preste atención a quienes hagan preguntas que les ayuden a eliminar opciones de manera estratégica.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre los tipos de preguntas que les resultaron útiles y cómo decidieron qué preguntas hacer.
Vi que era útil averiguar primero si las figuras tenían rectas, segmentos de recta o semirrectas, así que hice esas preguntas primero.
Hice preguntas que me ayudaron a descartar muchas figuras a la vez. Pregunté si la figura tenía rectas paralelas. Luego, pregunté si la figura tenía rectas perpendiculares. Para tachar muchas figuras, pregunté si el ángulo tenía un arco.
¿Qué estrategias usaron?
Primero, pregunté sobre qué tipo de líneas tenía la figura (segmentos, rectas o semirrectas) y, luego, reduje las opciones averiguando qué relación tenían las líneas.
Pregunté si las rectas eran verticales u horizontales. Luego, cambié mi estrategia porque algunas de las figuras tenían rectas, segmentos de recta o semirrectas que eran tanto horizontales como verticales.
Había algunas figuras que eran parecidas, así que hice preguntas más específicas sobre si los ángulos eran aproximadamente del mismo tamaño.
Una vez que tuve suficiente información, como un ángulo obtuso, una semirrecta y ninguna recta horizontal, supe cuál era la figura que mi pareja había encerrado en un círculo.
¿Cómo les ayudó usar un vocabulario matemático preciso?
Me ayudó a indicar con precisión la figura sobre la que estaba preguntando.
Había algunas figuras que se parecían mucho entre sí, así que el vocabulario preciso me ayudó a distinguirlas de una manera que mi pareja también pudiera comprender.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos los términos y las figuras que hemos aprendido como ayuda para crear el plano de planta de una casa.
DUA: Acción y expresión
Considere mostrar una lista de preguntas, como las que se usan para la demostración del juego, para que sus estudiantes las consulten cuando jueguen de manera independiente.
Aprender
Imágenes de un plano de planta
Materiales: M/E) Ejemplos de planos de planta
La clase identifica las características geométricas de planos de planta del mundo real.
Muestre las imágenes de los ejemplos de planos de planta una a la vez. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las figuras que reconocen.
Estos son los planos de planta de algunas construcciones reales. ¿Qué observan y se preguntan sobre estos dibujos?
Parece que las líneas gruesas externas son las paredes.
Me pregunto si esas secciones con forma de bloques en el medio de las paredes son las ventanas.
Las puertas parecen tener un arco de ángulo, como cuando rotulamos los ángulos.
Creo que los espacios rectangulares grandes deben ser las habitaciones; algunas de ellas están rotuladas.
¿Qué figuras ven en el plano de planta?
Algunas de las paredes son paralelas entre sí.
Hay líneas perpendiculares donde se intersecan las esquinas de las paredes.
No todas las habitaciones son rectángulos; algunas de las paredes muestran ángulos obtusos donde se juntan.
Las paredes y las ventanas son segmentos de recta; no parece posible que una de las paredes se extienda sin fin, como lo haría una recta o una semirrecta.
Las puertas que están ligeramente abiertas forman ángulos agudos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere aclarar a sus estudiantes cuáles son los componentes de un plano de planta. Incluya características clave de un plano de planta como las siguientes:
• Es una vista desde arriba.
• Solo incluye el contorno de cada espacio que tiene un área. Puede incluir aquello que ocupa espacio en el piso (p. ej., muebles), pero no incluye detalles más pequeños, como los objetos que cuelgan de las paredes o el techo.
• Lo suelen usar las personas que participan en el diseño de una casa u otra estructura.
Nota para la enseñanza
Esta sección tiene la intención de ser una conversación general sobre las características de los planos de planta del mundo real. Asegúrese de que sus estudiantes tengan la oportunidad de hacer preguntas sobre cómo interpretar las imágenes y obtener inspiración acerca de cómo podrían aplicar las figuras geométricas en sus propios planos de planta.
Es posible que la clase esté familiarizada con los planos de planta de una lección de 3.er grado.
Se encuentra disponible un video de contexto para esta aproximación a un plano de planta. Puede resultar útil para guiar la conversación y apoyar a sus estudiantes con un contexto adicional para el plano de planta.
Crear un plano de planta
Materiales: M/E) Papel de puntos, herramienta de ángulo recto, herramienta de borde recto
La clase examina los requisitos del proyecto, dibuja el plano de planta de una casa usando sus conocimientos de las figuras geométricas y conversa en parejas sobre los planos de planta y sus características.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Papel de puntos de sus libros. Dígales que crearán el plano de planta de la casa de sus sueños. Explique que los planos de planta deben estar bien organizados y ser creativos, y deben incluir ciertas figuras.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 y 2 en sus libros y léalos a coro con la clase.
1. Usa papel de puntos para crear el plano de planta de una casa. Sigue estas pautas:
Incluye solo un nivel. No incluyas escaleras.
Usa segmentos de líneas rectas.
Incluye pasillos.
Incluye al menos un ejemplo de cada figura que aparece en la tabla.
Rotula cada habitación.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando crea un plano de planta e identifica figuras geométricas en él.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué significan los segmentos de recta perpendiculares en su plano de planta?
• ¿Qué representaciones de ángulos de diferentes tamaños hay en su plano de planta?
2. Usa tu plano de planta para completar la tabla.
Ejemplo:
✓ Figura
Ejemplo de la figura en el plano de planta ✓
Segmento de recta
✓
✓
Segmentos de recta paralelos
Segmentos de recta perpendiculares
Hay segmentos de recta a lo largo de las paredes externas.
Las paredes de los lados opuestos de la habitación son segmentos de recta paralelos.
Las dos paredes de la esquina son perpendiculares. ✓
Ángulo recto
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
Las dos paredes forman un ángulo recto donde se juntan en la esquina.
La puerta está parcialmente abierta y forma un ángulo agudo.
Hay un ángulo obtuso en la esquina de la habitación que no es rectangular.
Invite a sus estudiantes a nombrar los tipos de habitaciones que podría haber en la casa. Considere hacer una lista de las habitaciones a medida que sus estudiantes las nombran.
Muestre una hoja de papel de puntos y comience a dibujar un plano de planta. Piense en voz alta mientras dibuja. Considere proporcionar las siguientes instrucciones:
• Comienzo por decidir qué tan grande será el contorno de mi casa. Dibujaré un rectángulo. Mi rectángulo tiene lados paralelos y perpendiculares.
• A continuación, pienso en las habitaciones y trazo líneas para mostrar dónde están. También necesito mostrar dónde están las puertas.
• Podría dibujar un cuadrado pequeño para marcar un ángulo recto y así indicar que los lados son perpendiculares, pero los puntos también ayudan a mostrar que es un ángulo recto. No tengo que dibujar cuadrados pequeños para mostrar todos los ángulos rectos.
• Podría hacer marcas de flecha para mostrar que las paredes son paralelas, pero los puntos también ayudan a mostrar eso.
• Colocaré un ángulo agudo donde se abre la puerta.
Distribuya las herramientas de borde recto y las herramientas de ángulo recto. Dé a sus estudiantes tiempo para que trabajen en sus planos de planta y los usen para completar el problema 2. Recorra el salón de clases y proporcione apoyo según sea necesario. Invite a sus estudiantes a explicar las partes de su plano de planta usando un vocabulario preciso. Haga las siguientes preguntas:
• ¿En qué parte de tu plano de planta hay un/una ?
• Veo que falta un/una en tu plano de planta. ¿Cómo podrías incluir un/una ?
Invite a la clase a que se reúna y converse para compartir sus planos de planta en parejas o en grupos pequeños. Pídales que expliquen cómo incluyeron las figuras en sus planos. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan sus planos con toda la clase.
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar un esquema de una casa para que sus estudiantes lo completen con habitaciones.
Los ejemplos de trabajo demuestran diferentes maneras de crear un plano de planta.
Dormitorio
Contorno rectilíneo Cocina
Contorno no rectilíneo Cocina Sala de estar
Dormitorio
Sala de estar
Dormitorio
Reúna a la clase y pida a quienes eligió que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar los ejemplos de trabajo comenzando por las casas rectilíneas, para luego presentar las que no lo son.
A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre dónde se muestra cada figura en su plano de planta. Haga preguntas a la clase para hacer conexiones entre el plano de planta presentado y sus trabajos y anímeles a formular sus propias preguntas.
Diferenciación: Desafío
Plantee a sus estudiantes el desafío de crear un segundo plano de planta para otra casa, oficina o tienda. Pídales que consideren qué tipos de habitaciones habría en el plano de planta y dónde deberían ubicarse las entradas y las salidas.
Contorno rectilíneo (método de Casey)
Casey, cuéntanos sobre tu plano de planta.
Tiene una sala de estar, una cocina, un dormitorio, un clóset y un cuarto de baño. El contorno de la casa es cuadrado.
¿Qué figuras están representadas en el plano de planta de Casey?
Hay segmentos de recta paralelos y perpendiculares. La pared entre el dormitorio y la cocina es paralela a las paredes externas de los lados. Es perpendicular a la pared donde está la puerta trasera.
Las puertas y la manera en que se abren pueden mostrar ejemplos de ángulos agudos y obtusos, dependiendo de si se mira la abertura por la que se camina o el espacio detrás de la puerta.
Dormitorio
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Casey y sus trabajos.
Contorno no rectilíneo (método de Robin)
Robin, cuéntanos sobre tu plano de planta.
Quería tener uno de los dormitorios separado, entonces lo hice con una figura diferente, que no es un rectángulo.
También hay una sala de estar principal y una cocina grande.
¿Qué tipos de figuras están representadas en el plano de planta de Robin?
Hay muchos pares de segmentos de recta paralelos y perpendiculares. Las paredes a cada lado de la bañera son segmentos de recta paralelos. Las dos paredes junto a la puerta principal son segmentos de recta perpendiculares.
Un dormitorio tiene una pared diagonal que forma ángulos obtusos en las esquinas.
El resto de las esquinas son ángulos rectos porque son intersecciones de dos segmentos de recta perpendiculares.
Dormitorio
Sala de estar
Dormitorio
Cocina
Sala de estar
Cocina
¿En qué se parece el trabajo de Robin al trabajo de Casey? ¿En qué se diferencia?
Los dos tienen segmentos de recta paralelos y perpendiculares para las paredes externas y algunas de las paredes internas.
Los dos tienen muchos ángulos rectos porque hay muchos segmentos de recta perpendiculares.
El plano de planta de Robin tiene un ángulo obtuso donde hay una pared diagonal.
El plano de Casey tiene las puertas menos abiertas, por lo que parecen ángulos agudos. Las puertas del plano de Robin parecen ángulos rectos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el plano de planta de Robin y sus trabajos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Relacionar figuras geométricas con un contexto del mundo real
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la relación de las figuras geométricas con el mundo real.
¿Dónde pueden hallar ejemplos de figuras en el mundo real?
Hay ejemplos de figuras en las casas. Vimos algunos ejemplos en nuestros planos de planta.
¿Cómo aplicaron sus conocimientos sobre las figuras hoy?
Usé un lenguaje preciso para decidir qué tipo de figura eligió mi pareja en el juego.
Dibujé el plano de planta de una casa que incluía ejemplos de segmentos de recta, segmentos de recta paralelos y perpendiculares, ángulos rectos, obtusos y agudos.
¿Por qué es útil describir las figuras con precisión?
La precisión nos ayuda a describir las figuras con mayor claridad para que sean más fáciles de imaginar.
Un lenguaje preciso nos ayuda a describir mejor cómo se ven las figuras con exactitud.
¿Cómo les ayudó su conocimiento de las figuras a dibujar el plano de planta?
Formé ángulos rectos donde se juntan dos paredes en una esquina.
Formé un ángulo obtuso al crear una sección grande y abierta en mi casa.
Sabía que si la puerta estaba un poco abierta, sería un ángulo agudo.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Comedor
Sala de estar
Clóset
Entrada
Dormitorio
Despensa
Dormitorio principal
Clóset
Cuarto de baño
Baño principal
Dormitorio P atio
Sala de estar/Comedor
V estidor
Cuarto de baño
Cuarto de la vado
V estidor
Cocina
Cocina
Tema B
Medición de ángulos
En el tema A, la clase describe ángulos de manera informal y los dibuja según el tipo de ángulo. En el tema B, estiman y determinan si una medida o un dibujo es razonable usando su conocimiento de los tipos de ángulos. Identifican y miden los ángulos de manera formal como giros, aplican las medidas en grados a las definiciones de los ángulos y usan un transportador para dibujar los ángulos.
Al comienzo del tema B, sus estudiantes definen un ángulo como un giro fraccionario en un círculo. Construyen una herramienta para hacer ángulos y la usan para crear ángulos. Definen un ángulo de 1 grado como 1 360 de un giro entero en un círculo e identifican la fracción del arco circular entre las dos semirrectas que forman un ángulo. Reconocen ángulos de referencia, hallan sus medidas con un transportador de 360° y, luego, miden otros ángulos usando grados para describir las medidas. Comprender los ángulos como giros en un círculo les ayuda a aplicar las medidas en grados a diferentes contextos, como describir el número de grados que giran las manecillas de un reloj y giros de navegación de diferentes grados.
El tema B finaliza con una actividad en la que sus estudiantes usan un transportador de 180° para medir y dibujar ángulos agudos, rectos y obtusos. Pensar en si un ángulo es agudo u obtuso les ayuda a usar un transportador de 180° con precisión.
En el tema C, la clase usa las medidas de los ángulos para ver que la medida angular se puede sumar y determina las medidas angulares desconocidas en una figura con varios ángulos.
Progresión de las lecciones
Lección 7
Explorar los ángulos como giros fraccionarios en un círculo
Cuando giro un círculo para crear ángulos, veo que los ángulos son giros fraccionarios en un círculo. Puedo usar giros de 1 4 y de 1 8 para crear ángulos agudos, rectos, obtusos, llanos y de reflexión.
Lección 8
Usar un transportador de 360° para reconocer que un ángulo de 1° representa un giro de 1 ___ 360 en un círculo
Un transportador de 360° puede medir ángulos de 0° a 360°. El transportador me ayuda a ver que 1 360 de un giro entero también es un ángulo de 1 grado. Puedo describir los ángulos como una fracción de un arco circular o con una medida en grados.
Lección 9
Identificar y medir ángulos como giros y reconocerlos en distintos contextos
Puedo usar los grados para describir giros en situaciones del mundo real. Los grados pueden describir el giro que hace la manecilla de un reloj y se pueden usar para dar indicaciones a una persona.
Lección 10
Utilizar transportadores de 180° para medir ángulos
CUn transportador de 180° es una herramienta común para medir ángulos.
Debo prestar atención para alinear el transportador de manera correcta con el ángulo que estoy midiendo. Pensar en el tipo de ángulo me ayuda a leer la escala correcta en el transportador al medir un ángulo.
Lección 11
Estimar y medir ángulos con un transportador de 180°
Lección 12
Utilizar un transportador para dibujar ángulos de hasta 180°
BCuando uso una herramienta de borde recto para trazar semirrectas y un transportador para medir grados, pongo atención a la precisión mientras dibujo los ángulos. Una manera de asegurarme de que mi dibujo es razonable es estimar y hacer un boceto del ángulo primero.
Puedo estimar la medida de un ángulo pensando en el tipo de ángulo y comparándolo con ángulos de referencia. Extender las semirrectas de un ángulo me puede ayudar a medirlo con precisión, ya que no cambia la medida angular.
Explorar los ángulos como giros fraccionarios en un círculo
Vistazo a la lección
La clase construye una herramienta para hacer ángulos usando dos círculos de cartulina. Usan la herramienta para hacer ángulos de diferentes tamaños y comprenden que un ángulo se puede ver como un giro fraccionario en un círculo. En esta lección se formaliza el término ángulo de reflexión.
Pregunta clave
• ¿Cómo se relacionan los ángulos y las fracciones de un círculo?
Criterio de logro académico
4.Mód6.CLA1 Convierten entre medidas de ángulos expresadas como un giro fraccionario en un círculo y como grados. (4.MD.C.5.a)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Construir una herramienta para hacer ángulos
• Un giro fraccionario en un círculo
• Nombrar tipos de ángulos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• círculos de cartulina de 4″ de diámetro rojos
• círculos de cartulina de 4″ de diámetro blancos
• tijeras
• marcador
• herramienta de borde recto
Estudiantes
• tijeras
• marcador
• herramienta de borde recto
Preparación de la lección
• Prepare suficientes círculos de cartulina para que cada estudiante y maestro o maestra tenga un círculo rojo y uno blanco.
• Guarde las herramientas para hacer ángulos, hechas con los círculos de cartulina durante la lección, para usar en la lección 8.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar números enteros
La clase suma o resta números enteros para adquirir fluidez con las operaciones.
Muestre 754,454 + 39,218 = .
Completen la ecuación.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
+ 39,218 =793,672
Intercambio con la pizarra blanca: Términos y notaciones de geometría
La clase dice y escribe los nombres de un punto, un segmento de recta, una recta o una semirrecta para familiarizarse con las figuras geométricas del tema A.
Muestre el punto A.
¿Cuál es el nombre de la figura? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Punto A
Muestre el nombre de la figura.
Registren la notación del punto A.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Segmento de recta BC o segmento de recta CB BC o CB
Recta DE o recta ED DE o ED
Semirrecta FG FG
Segmento de recta GH o segmento de recta HG GH o HG
Recta JK o recta KJ JK o KJ
Semirrecta ML ML
Punto N N
Recta PQ o recta QP PQ o QP
Segmento de recta RS o segmento de recta SR RS o SR
Semirrecta TU TU
Muéstrame figuras geométricas: Ángulos
La clase hace gestos con los brazos para representar ángulos agudos, rectos, obtusos y llanos a fin de desarrollar la memoria cinestésica en relación con las figuras geométricas.
Usemos las manos y los brazos para mostrar tipos de ángulos. Recuerden: para mostrar un ángulo recto, hacemos esto. (Extienda un brazo hacia un lado, paralelo al piso, y el otro hacia arriba. Mantenga las manos abiertas y extienda los dedos).
Muéstrenme un ángulo recto. (Muestran el gesto para ángulo recto).
Bajen los brazos. (Bajan los brazos).
Use los gestos que se proporcionan para continuar el proceso con la siguiente secuencia:
Ángulo recto
Ángulo obtuso Ángulo agudo Ángulo llano
Para que resulte más entretenido, alterne entre los cuatro tipos de ángulos.
Nota para la enseñanza
Considere pedir a sus estudiantes que muestren diferentes variaciones de cada tipo de ángulo. Por ejemplo, si dice: “Muéstrenme otro ángulo recto”, pueden cambiar la posición de los brazos de modo que el ángulo quede hacia el sentido opuesto.
• Sus estudiantes pueden ajustar la distancia entre los brazos para mostrar ángulos obtusos o agudos de diferentes medidas.
• Sus estudiantes pueden inclinar los brazos y el cuerpo para mostrar ángulos llanos en diferentes orientaciones.
Presentar
La clase estudia un modelo de una fracción y considera su relación con los ángulos.
Muestre la imagen del círculo fraccionario.
¿Qué observan acerca de la imagen?
Es un círculo que está dividido en 8 partes.
1 de las partes está sombreada y 7 no lo están.
1 8 del círculo está sombreado.
Muestre la imagen con un arco en el vértice de la parte sombreada.
¿Qué observan acerca de la imagen ahora?
Hay un arco en la parte sombreada del círculo.
Ahora, observo que cada octavo tiene un ángulo.
¿Qué tipo de ángulo se muestra en la parte sombreada? ¿Cómo lo saben?
Un ángulo agudo. Es menor que un ángulo recto.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre otros ángulos que ven en la imagen.
Veo el mismo ángulo agudo repetido 8 veces.
Si se combinan dos de las partes, se forma un ángulo recto.
Puedo ver un ángulo obtuso si se juntan 3 _ 8 .
La mitad del círculo forma un ángulo llano.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo creen que se podrían relacionar los ángulos con las fracciones de un círculo.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aprenderemos acerca de la relación entre los ángulos y las fracciones de un círculo.
Aprender
Construir una herramienta para hacer ángulos
Materiales: M/E) Círculos, tijeras, marcador, herramienta de borde recto
La clase construye una herramienta para hacer ángulos y la usa para mostrar ángulos.
Distribuya 1 círculo blanco y 1 círculo rojo a cada estudiante. Guíe a sus estudiantes mientras crean una herramienta para hacer ángulos usando la siguiente secuencia:
Vamos a crear una herramienta que podamos usar para mostrar diferentes ángulos.
Guíe a sus estudiantes para que doblen el círculo blanco por la mitad y, luego, nuevamente por la mitad, formando una herramienta de ángulo recto.
Desdoble el papel y marque un punto en el centro del círculo. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué tipo de ángulo ven en el círculo?
Veo 4 ángulos rectos.
Vamos a dibujar un círculo, de aproximadamente el tamaño de un quarter, alrededor del centro del círculo. Nos ayudará a ver los ángulos cuando terminemos de hacer nuestra herramienta.
Dibuje el círculo y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Pídales que apilen los círculos con el círculo blanco en la parte de arriba. Luego, pídales que corten los dos círculos a lo largo de uno de los dobleces desde el borde exterior hasta el centro del círculo.
A continuación, use una herramienta de borde recto y un marcador para trazar el borde de arriba de cada corte. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Sostenga el círculo rojo con la mano izquierda y el círculo blanco con la mano derecha, con los cortes enfrentados. Junte los dos círculos desplazando el círculo blanco hacia el círculo rojo, de modo que los cortes se superpongan. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Demuestre cómo mostrar un ángulo tomando el círculo blanco y girándolo en sentido contrario a las manecillas del reloj a través del corte en el círculo rojo. Muestre un ángulo agudo.
¿Qué tipo de ángulo hice?
Un ángulo agudo
Pida a sus estudiantes que usen la herramienta para hacer ángulos y que hagan un ángulo de un tamaño parecido al suyo. Luego, invíteles a hacer ángulos de diferentes tamaños. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hacer un ángulo recto, uno obtuso y uno llano con su herramienta.
Un giro fraccionario en un círculo
Materiales: M/E) Herramienta para hacer ángulos
La clase razona acerca del número de giros fraccionarios necesarios para hacer 1 giro entero.
Gire el círculo blanco para hacer un ángulo recto y muéstrelo a la clase.
¿Qué fracción del círculo es blanca?
1 4
Acabamos de hacer un giro de un cuarto porque el ángulo giró, o rotó, 1 cuarto del círculo. Usen su herramienta para mostrar un giro de 1 _ 4 .
¿Qué tipo de ángulo hacemos con un giro de 1 _ 4 ?
Un ángulo recto
Mostremos un giro de 2 _ 4 y veamos qué tipo de ángulo hacemos.
Demuestre un giro de 2 4 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué fracción del círculo es blanca?
2 4 o 1 2
¿Qué tipo de ángulo tenemos después de un giro de 2 4 ?
Un ángulo llano
Mostremos un giro de 3 _ 4 y veamos qué tipo de ángulo hacemos.
Demuestre un giro de 3 4 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué fracción del círculo es blanca?
3 4
¿Sabemos el nombre de este tipo de ángulo? Expliquen.
No. No es un ángulo agudo, ni un ángulo recto ni un ángulo llano.
No. No puede ser un ángulo obtuso porque es mayor que un ángulo llano.
Nota para la enseñanza
A veces se denomina giro completo al giro entero que se necesita para hacer un círculo completo.
Nota para la enseñanza
A medida que sus estudiantes giran el círculo blanco, los dobleces deben servirles como guía mientras hacen cada giro de 1 4 . No es necesario que manipulen estas herramientas con absoluta precisión. El objetivo de la herramienta es que comiencen a reconocer un ángulo como una fracción de un giro entero en un círculo.
Diferenciación: Apoyo
Considere crear un afiche junto a sus estudiantes que tenga círculos sombreados para representar los giros fraccionarios que hacen con la herramienta para hacer ángulos. Esto permitirá que tengan una referencia visual de cada giro y del tipo de ángulo que se forma.
Este es un ejemplo de otro tipo de ángulo. Es un ángulo de reflexión. Un ángulo de reflexión es un ángulo que es mayor que un ángulo llano y menor que una rotación completa en el círculo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo creen que se ve una rotación completa en el círculo y cómo podrían mostrar eso con la herramienta para hacer ángulos.
Podríamos seguir girando el círculo blanco hasta que rote alrededor de todo el círculo.
El círculo entero será blanco.
Demuestre un giro de 4 4 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué fracción del círculo es blanca?
4
4
¿Cuántos giros de 1 _ 4 fueron necesarios para completar 1 giro entero, o una rotación completa?
4
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué se necesitan cuatro giros de 1 4 para completar 1 giro entero.
Pida a sus estudiantes que retiren el círculo blanco de la herramienta para hacer ángulos y que lo doblen nuevamente para hacer 8 partes iguales. Para demostrar a sus estudiantes cómo deben doblarlo, doble el círculo para hacer una herramienta de ángulo recto y, luego, dóblelo una vez más.
Pídales que creen nuevamente la herramienta para hacer ángulos volviendo a juntar el círculo blanco con el círculo rojo.
¿Creen que un giro de 1 _ 8 tiene un ángulo mayor o menor que un giro de 1 _ 4 ? ¿Por qué?
Menor, porque 1 8 es una fracción menor que 1 4 .
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere agregar ángulo de reflexión al afiche de referencia creado en la lección 2.
Un ángulo de reflexión es un ángulo que es mayor que un ángulo llano y menor que una rotación completa, o un giro entero. RS
Nota para la enseñanza
Es posible que sus estudiantes tengan curiosidad acerca del nombre del ángulo que forma un círculo entero. A estos ángulos se los suele conocer como ángulos completos o perigonales. Sin embargo, no es necesario que presente el término de manera formal.
Demuestre un giro de 1 _ 8 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Pídales que digan si el ángulo es agudo, recto, obtuso, llano o de reflexión. Repita el proceso con
¿Se necesitan más giros de 1 _ 8 o de 1 _ 4 para hacer 1 giro entero?
Se necesitan más giros de 1 8 para hacer 1 giro entero.
¿Cuántos giros de 1 _ 8 se necesitan para hacer 1 giro entero?
8
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para mostrar cómo creen que se vería un giro de 1 100 .
¿Cuántos giros de 1 ___ 100 se necesitarían para hacer 1 giro entero?
100
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de otros giros fraccionarios que podrían mostrar.
Diferenciación: Desafío
Considere invitar a sus estudiantes a mostrar un ángulo que esté formado por un giro de 1 3 y, luego, por un giro de 2 _ 3 . Pídales que expliquen cómo saben que cada giro representa 1 3 .
Pídales que consideren si es posible mostrar un ángulo agudo usando un giro de 1 3 y que expliquen su razonamiento.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión de la relación entre los giros fraccionarios y los ángulos para identificar los tipos de ángulos y determinar cuántos giros fraccionarios forman 1 giro entero.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relacionan los giros fraccionarios y los ángulos? ¿Cómo puede esta relación ayudarles a identificar los ángulos agudos y obtusos?
• ¿Cómo pueden usar lo que los ángulos y los giros fraccionarios tienen en común como ayuda para identificar los ángulos agudos y obtusos?
Nombrar tipos de ángulos
La clase usa la herramienta para hacer ángulos a fin de mostrar ángulos de diferentes tamaños y decir si son agudos, rectos, obtusos, llanos o de reflexión.
Muestre un ángulo agudo usando la herramienta para hacer ángulos.
¿Qué tipo de ángulo es este?
Un ángulo agudo
Pida a sus estudiantes que muestren a sus parejas de trabajo un ángulo agudo diferente.
¿En qué parte de la herramienta para hacer ángulos vemos ángulos agudos? Muéstrenle a su pareja con el dedo.
Dé tiempo para que señalen.
Luego, muestre un ángulo obtuso.
¿Qué tipo de ángulo es este?
Un ángulo obtuso
Pida a sus estudiantes que muestren a sus parejas de trabajo un ángulo obtuso diferente.
¿En qué parte de la herramienta para hacer ángulos vemos ángulos obtusos? Muéstrenle a su pareja con el dedo.
Dé tiempo para que señalen.
Luego, muestre un ángulo de reflexión.
¿Qué tipo de ángulo es este?
Un ángulo de reflexión
Pida a sus estudiantes que muestren a sus parejas de trabajo un ángulo de reflexión diferente.
¿En qué parte de la herramienta para hacer ángulos vemos ángulos de reflexión? Muéstrenle a su pareja con el dedo.
Dé tiempo para que señalen.
DUA: Representación
Considere crear una referencia visual para ayudar a sus estudiantes a identificar los tipos de ángulos según su ubicación en la herramienta para hacer ángulos. Rotule la ubicación de los ángulos agudos, obtusos y de reflexión, y anímeles a consultar el afiche mientras confirman los tipos de ángulos.
Mientras hago un ángulo, digan qué tipo de ángulo ven alargando la palabra y, luego, deténganse cuando cambie el tipo de ángulo. Debería ser así: aguuuudo, recto. Cuando hagamos una rotación completa, diremos giro entero.
Comience girando lentamente el ángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj y deténganse en un ángulo recto, mientras sus estudiantes dicen lo siguiente:
Aguuuudo, recto
Continúe girando lentamente el ángulo y deténgase en un ángulo llano, mientras sus estudiantes dicen lo siguiente:
Obtuuuuso, llano
Continúe girando lentamente el ángulo y deténgase en 1 giro entero, mientras sus estudiantes dicen lo siguiente:
De reflexióóóón, giro entero
Repita el proceso, esta vez girando en el sentido de las manecillas del reloj desde un giro entero hasta un ángulo agudo, mientras sus estudiantes dicen lo siguiente:
Giro entero, de reflexióóóón, llano, obtuuuuso, recto, aguuuudo
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué tipo de ángulo está representado en la mayor parte del círculo: agudo, recto, llano, obtuso o de reflexión.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Explorar los ángulos como giros fraccionarios en un círculo
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la relación entre un ángulo y una fracción de giro en un círculo. Muestre la herramienta para hacer ángulos que muestra un giro de un cuarto.
¿Qué tipo de ángulo hacemos con un giro de un cuarto?
Recto
¿Cuántos giros de un cuarto necesitamos hacer para que sea igual a 1 giro entero?
4
¿Cuántos giros de un octavo necesitamos hacer para que sea igual a 1 giro entero?
8
¿Qué giro tiene un ángulo mayor: un giro de 3 _ 8 o un giro de 3 _ 4 ? ¿Por qué?
Un giro de 3 4 tiene un ángulo mayor porque 3 4 es una fracción mayor que 3 8 .
¿Qué giro tiene un ángulo de reflexión: un giro de 3 8 o un giro de 3 4 ? ¿Cómo lo saben?
Un giro de 3 4 tiene un ángulo de reflexión porque 3 4 es mayor que 1 2 pero menor que 1.
¿Cómo se relacionan los ángulos y los giros fraccionarios?
La herramienta para hacer ángulos nos ayuda a hacer un giro fraccionario y nos muestra un ángulo. Cuanto mayor sea el giro fraccionario, mayor será el ángulo. Cuanto menor sea el giro fraccionario, menor será el ángulo.
Están relacionados porque cuando hacemos un giro fraccionario tenemos un ángulo.
Pensar en el giro fraccionario nos ayuda a identificar el tipo de ángulo.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. La figura azul gira 1 4 de 1 giro entero cada vez. Cuenta de un cuarto en un cuarto para rotular la fracción de 1 giro entero.
4. ¿Puedes formar un ángulo obtuso al girar de un cuarto en un cuarto? ¿Cómo lo sabes? No. 1 4 de giro forma un ángulo recto. 2 4 de giro forman un ángulo llano. 3 4 de giro forman un ángulo de reflexión.
5. Dibuja y sombrea para mostrar las fracciones de 1 giro entero. Luego, escribe el tipo de ángulo. El primero ya está resuelto como ejemplo.
Fracción de 1 giro entero
2. La figura azul gira 1 8 de 1 giro entero cada vez. Cuenta de un octavo en un octavo para rotular la fracción de 1 giro entero.
de ángulo Recto De reflexión Agudo Llano
6. Carla dice que 3 4 y 6 8 de 1 giro entero son el mismo ángulo. ¿Estás de acuerdo? Usa los círculos como ayuda para explicar tu respuesta.
3. ¿Qué giro fraccionario forma un ángulo llano? Usa los problemas 1 y 2 como ayuda.
cuartos: 2 4
octavos: 4 8
Sí, estoy de acuerdo con Carla. 3 4 y 6 8 son el mismo ángulo porque representan la misma fracción de 1 giro entero. Son fracciones equivalentes.
EUREKA MATH
Figura
Tipo
EUREKA MATH
7. ¿Hay más giros de un cuarto o giros de un octavo en 1 giro entero? ¿Cómo lo sabes?
Hay más giros de un octavo. Hay 8 giros de un octavo y 4 giros de un cuarto en 1 giro entero.
EUREKA MATH
Usar un transportador de 360° para reconocer que un ángulo de 1° representa un giro de 1 ___ 360 en un círculo
Vistazo a la lección
1. ¿Qué fracción de un giro entero es 1 grado?
2. Usa el ángulo que se muestra en el transportador para completar las partes (a) y (b).
a. ¿Cuál es la medida del ángulo? 90°
b. ¿Qué fracción de un giro entero se muestra? Explica cómo lo sabes. Se muestra 1 4 de un giro entero. El ángulo es un ángulo recto. Hay 4 ángulos rectos en un giro entero, así que cada ángulo recto es 1 4 de un giro entero.
La clase usa una herramienta para hacer ángulos y un transportador de 360° para hacer y medir ángulos de diferentes tamaños. Usan un transportador para ver que un giro de 1 360 en un círculo mide lo mismo que un ángulo de 1°. Comienzan a reconocer los ángulos de referencia y los describen como un número de grados y como una fracción de un giro en un círculo. En esta lección se formaliza el término grado.
Preguntas
clave
• ¿Para qué se usa un transportador?
• ¿Qué relación hay entre 1° y 1 360 de un giro completo en un círculo?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA1 Convierten entre medidas de ángulos expresadas como un giro fraccionario en un círculo y como grados. (4.MD.C.5)
4.Mód6.CLA2 Miden y dibujan ángulos en grados. (4.MD.C.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• ¿Qué es un transportador?
• Usar un transportador para medir ángulos
• Ángulos de referencia
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Transportador de 360° (en la edición para la enseñanza)
• herramienta para hacer ángulos
Estudiantes
• Transportador de 360° (en el libro para estudiantes)
• herramienta para hacer ángulos
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Transportador de 360° de los libros para estudiantes o si la retirará con la clase durante la lección.
• Reúna las herramientas para hacer ángulos creadas en la lección 7.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar números enteros
La clase suma o resta números enteros para adquirir fluidez con las operaciones.
Muestre 758,194 + 35,478 = .
Completen la ecuación.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
758,194 + 35,478 = 793,672
Intercambio con la pizarra blanca: Términos y notaciones de geometría
La clase dice y escribe los nombres de un ángulo para familiarizarse con las figuras geométricas del tema A.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el ∠BAC.
Escriban el nombre del ángulo usando 1 punto.
Muestre la respuesta.
Escriban el nombre del ángulo de otras dos maneras usando los 3 puntos.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Muéstrame figuras geométricas: Un punto, una semirrecta, un segmento de recta y una recta
La clase hace gestos con las manos y los brazos para representar un punto, una semirrecta, un segmento de recta y una recta a fin de desarrollar la memoria cinestésica en relación con las figuras geométricas.
Usemos las manos y los brazos para mostrar un punto, una semirrecta, un segmento de recta y una recta. Recuerden: para mostrar un punto, hacemos esto. (Forme un puño con la mano).
Muéstrenme un punto. (Muestran el gesto para el punto).
Bajen los brazos. (Bajan los brazos).
Punto
Use los gestos que se proporcionan para continuar el proceso con la siguiente secuencia:
Segmento de recta Semirrecta Recta
Para que resulte más entretenido, alterne entre las cuatro figuras. Anime a sus estudiantes a mostrar diferentes variaciones de los tipos de figuras cada vez.
Presentar
La clase estudia imágenes de diferentes transportadores y observa y se pregunta acerca de ellos.
Muestre la imagen de los tres transportadores.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué observan y se preguntan sobre las imágenes. Luego, guíe una conversación para que sus estudiantes expliquen el razonamiento acerca de las imágenes.
¿Qué observan?
Todos tienen números alrededor del borde, pero son un poco diferentes. El tercero tiene dos conjuntos de números y el primero tiene el 0 y el 360 en la misma ubicación.
En la primera imagen, los números 0, 90, 180 y 270 son más grandes que los otros números.
En la primera y en la tercera imagen, el círculo entero está dividido en cuartos. El círculo de la segunda imagen está dividido en muchas más partes.
La segunda y la tercera imagen tienen marcas de graduación entre los números.
Los números y las líneas me recuerdan a una recta numérica.
¿Qué se preguntan?
Me pregunto cómo se llaman.
Me pregunto para qué se usan.
Me pregunto por qué uno de ellos tiene dos conjuntos de números.
Se parecen a una regla. Me pregunto si se usan para medir.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Estos objetos son herramientas de medición. Hoy, aprenderemos qué miden estas herramientas y las usaremos para medir.
Aprender
35
¿Qué es un transportador?
Materiales: M/E) Transportador de 360°, herramienta para hacer ángulos
La clase reconoce un transportador como una herramienta para medir ángulos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre herramientas conocidas que usan cuando quieren medir algo.
Usamos una regla para medir la longitud de algo.
Usamos un termómetro para medir qué tan caliente o frío está algo.
Usamos una balanza para medir el peso de un objeto.
Usamos un reloj para medir una cantidad de tiempo.
Muestre el transportador de 360°.
Esta es otra herramienta que se usa para medir. Se llama transportador. Un transportador es una herramienta que se usa para medir ángulos.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Transportador de 360° de sus libros. Invíteles a estudiar el transportador y, luego, a que se reúnan y conversen en parejas acerca de las semejanzas y las diferencias entre un transportador y las otras herramientas que se usan para medir.
Coloquen sus transportadores en la misma posición que el mío, de modo que el 90 de la parte de arriba sea el número que esté más lejos de ustedes.
Pida a sus estudiantes que coloquen un dedo en el centro de los transportadores, donde se juntan los segmentos de recta perpendiculares y que, luego, desplacen el dedo hacia la derecha, a lo largo del segmento de recta.
¿Qué número ven al final de este segmento de recta?
0
Vamos a llamarla la línea del cero en nuestro transportador. Nos ayudará cuando midamos ángulos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere crear un afiche de referencia con las herramientas de medición conocidas y, luego, agregar el transportador. A medida que se presentan los diferentes tipos de transportadores en las siguientes lecciones, agregue imágenes al afiche de referencia.
Pida a sus estudiantes que vuelvan a colocar un dedo en la línea del cero, a la derecha cerca del 0. Pídales que desplacen el dedo por la línea del cero hacia la izquierda, nuevamente hacia donde se juntan los segmentos de recta perpendiculares y, luego, hacia arriba por el segmento de recta hasta la parte superior del transportador.
¿Qué tipo de ángulo dibujaron con el dedo?
Un ángulo recto
¿Qué número ven en la parte de arriba del segmento de recta?
90
Pida a sus estudiantes que vuelvan a colocar un dedo en la línea del cero, a la derecha cerca del 0. Pídales que desplacen el dedo por la línea del cero hasta llegar a la parte izquierda del transportador.
¿Qué tipo de ángulo dibujaron con el dedo?
Un ángulo llano
¿Qué número ven a la izquierda del segmento de recta?
180
Pida a sus estudiantes que señalen el 0 y que desplacen lentamente el dedo alrededor del transportador, en sentido contrario a las manecillas del reloj. A medida que mueven el dedo, pídales que cuenten de decena en decena desde el 0 hasta el 350 mentalmente.
¿Cuál es el número más pequeño que está rotulado en el transportador? ¿Cuál es el más grande?
0, 350
350 es el último número impreso en el transportador, ¿pero qué números representan las marcas de graduación que están después de 350?
Esas marcas de graduación representan números mayores que 350, como 351, 352 y 353.
Señale la marca de graduación rotulada 350.
Contemos hacia delante desde 350 para determinar el número más grande representado en el transportador. Cuenten conmigo.
Cuente a coro con la clase desde el 351 hasta el 359, señalando cada marca de graduación mientras dice el número. Haga una pausa en 359.
Diferenciación:
Apoyo
Apoye a quienes cuenten hacia arriba o hacia abajo en el sentido incorrecto al expresar las medidas angulares. Considere usar las siguientes preguntas de este ejemplo:
90 80
• ¿Entre qué dos decenas está la marca de graduación?
• ¿Es mayor o menor que el punto medio entre 8 y 9 decenas?
• ¿Tiene sentido identificar esta marca de graduación como 93? ¿Por qué?
¿Qué número representa esta última marca de graduación?
359
¿Cuánto es uno más que 359?
360
¿Ven 360 en el transportador? No.
¿Cuál es el rótulo de la siguiente marca de graduación luego de 359?
0
Pida a sus estudiantes que señalen la marca de graduación rotulada 0.
La marca de graduación rotulada 0 representa dos números. Representa 0, pero también representa 360. Cuando comenzamos a contar, usamos 0. Cuando contamos hacia delante desde 359, usamos 360.
Muestre el transportador y use un objeto con punta para señalar diferentes números. Pregunte a sus estudiantes qué número está señalando. Comience con los múltiplos de 10, luego, los múltiplos de 5 y, luego, las unidades. Considere usar una secuencia de números similar a la siguiente:
30, 120, 195, 25, 87
Luego, diga un número y pida a sus estudiantes que usen la punta de sus lápices para señalar el número en su transportador. Mientras señalan, recorra el salón de clases y compruebe que hayan comprendido. Considere usar una secuencia de números similar a la siguiente:
50, 190, 235, 46, 9
Pida a sus estudiantes que coloquen la herramienta para hacer ángulos sobre el transportador de 360°. Ayúdeles a centrar la herramienta para hacer ángulos sobre el transportador, de modo que el centro de la herramienta para hacer ángulos esté directamente arriba del centro del transportador y la línea negra del círculo rojo esté en la parte de arriba de la línea del cero y al lado del 0 en el transportador.
Pida a sus estudiantes que muestren a sus parejas en qué parte del círculo rojo están todos los ángulos agudos. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los números del transportador que representan los ángulos agudos (números entre 0 y 90). Repita el proceso para los ángulos obtusos (números entre 90 y 180) y los ángulos de reflexión (números entre 180 y 360).
Nota para la enseñanza
Alinear la herramienta para hacer ángulos en la ubicación correcta en el transportador de 360° puede presentar un desafío. Considere usar una herramienta de borde recto, colocada arriba del transportador, como ayuda para alinear la línea negra de la herramienta para hacer ángulos con la línea del cero del transportador.
De manera alternativa, puede doblar la herramienta para hacer ángulos y el transportador por la mitad, desde arriba hacia abajo. De esta manera, las marcas del doblez se pueden alinear una con otra para que las herramientas estén en la posición correcta.
Nota para la enseñanza
La actividad digital interactiva de Círculos y ángulos permite a sus estudiantes representar los ángulos y sus medidas en términos de los grados y como una fracción de un giro en un círculo. Considere realizar una actividad de demostración para toda la clase o permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual.
Usar un transportador para medir ángulos
La clase usa un transportador para reconocer un giro de 1 ___ 360 en un círculo como un ángulo de 1° y determina la medida de diferentes ángulos.
En la última lección, ¿cómo mostramos un giro de 1 _ 4 ?
Giramos los círculos para que la parte blanca cubriera 1 4 del círculo rojo.
¿Cuántos giros de 1 _ 4 se necesitan para hacer 1 giro entero?
4
Repita la pregunta para un giro de 1 8 , un giro de 1 12 y un giro de 1 100 .
¿Cómo se vería un giro de 1 ___ 360 ?
Solo se vería una parte blanca muy pequeña.
Sería un ángulo incluso menor que un giro de 1 100 .
¿Cuántos giros de 1 ___ 360 hay en 1 giro entero?
360
Hay un nombre especial para un ángulo que es 1 360 de 1 giro entero. Se llama ángulo de 1 grado. Un ángulo de 1 grado recorre 1 ___ 360 de un círculo.
Pida a sus estudiantes que usen la herramienta para hacer ángulos y el transportador e intenten hacer un ángulo de 1 grado.
¿Pudieron hacer un ángulo de 1 grado, o 1 ___ 360 de 1 giro entero?
No, el ángulo es muy pequeño.
Invite a sus estudiantes a hacer un ángulo de 20 grados con la herramienta para hacer ángulos.
¿Cuántos grados hay en este ángulo?
20 grados
Nota para la enseñanza
Es posible que haya estudiantes que se confundan con la idea de que tanto la temperatura como los ángulos se miden con una unidad que tiene el mismo nombre: grados.
En la escala de temperatura, en grados Celsius, un grado es la diferencia entre el punto de congelamiento y el punto de hervor del agua, dividido en 100 partes iguales (es decir, 1 ___ 100 de la diferencia entre el congelamiento y el hervor). Asimismo, un ángulo de 1 grado es del mismo tamaño que 1 360 de un giro entero.
No es necesario que sus estudiantes comprendan la distinción específica entre las unidades. En ambos casos, un grado representa una fracción de algo.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere agregar el término grado al afiche de referencia creado en la lección 1.
Escriba 20° mientras dice la siguiente explicación.
El grado es la unidad que usamos para medir los ángulos. Cada marca de graduación del transportador representa 1 grado o 1 ___ 360 de 1 giro entero. Para registrar el número de grados, podemos escribir el número y, luego, el símbolo de grado.
Trace a lo largo del borde de la herramienta para hacer ángulos desde 0° hasta 20° mientras dice lo siguiente:
Una manera en que podemos ver una fracción de un giro entero es mirar la parte del círculo que está entre las semirrectas.
Pida a sus estudiantes que coloquen el dedo cerca de la marca de graduación que representa 1°.
¿1° es igual a qué fracción de un giro entero en un círculo?
1 360
Dibuje una tabla de dos columnas con los encabezamientos Medida angular y Giro en un círculo. Escriba 1° y 1 360 en la tabla. Repita con 2°, 3°, 4°, 5° y 20°.
Pida a sus estudiantes que muestren un giro de 90 360 usando los transportadores y las herramientas para hacer ángulos. Pídales que desplacen el dedo por la fracción del círculo que representa el ángulo.
¿Qué tipo de ángulo hicieron?
Un ángulo recto
Un ángulo de 90°
Un ángulo recto mide exactamente 90°.
¿Cuántos grados hay en un ángulo agudo?
Menos de 90°
Un ángulo agudo mide menos de 90°.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere modificar el afiche de referencia creado en la lección 2 para incluir una descripción más precisa de cada ángulo, usando su medida en grados.
Un ángulo recto mide 90°.
Un ángulo agudo mide menos de 90°.
Un ángulo obtuso mide más de 90°, pero menos de 180°.
Un ángulo llano mide 180°.
Un ángulo de reflexión mide más de 180°, pero menos de 360°.
Invite a sus estudiantes a mostrar un giro de 180 360 usando los transportadores y las herramientas para hacer ángulos. Pídales que desplacen el dedo por la fracción del círculo que representa el ángulo.
¿Qué ángulo hicieron?
Un ángulo llano
Un ángulo de 180°
Un ángulo llano mide exactamente 180°.
Pida a sus estudiantes que observen sus transportadores.
¿Cuántos grados hay en un ángulo obtuso?
Más de 90°, pero menos de 180°
Un ángulo obtuso mide más de 90°, pero menos de 180°.
Pida a sus estudiantes que muestren un giro de 360 360 usando los transportadores y las herramientas para hacer ángulos. Pídales que desplacen el dedo por la fracción del círculo que representa el ángulo.
¿Cuántos grados hay en 1 giro entero?
360°
¿Cuántos grados hay en un ángulo de reflexión?
Más de 180°, pero menos de 360°.
Un ángulo de reflexión mide más de 180°, pero menos de 360°.
DUA: Representación
Para ayudar a sus estudiantes a identificar con más facilidad un tipo de ángulo, considere usar un código de colores y rotular la ubicación de cada tipo de ángulo en el transportador.
Describa un ángulo usando un número de grados o una fracción de un giro entero. Después de decir cada medida, pida a sus estudiantes que señalen esa ubicación en sus transportadores y que determinen el tipo de ángulo que describió. Considere la siguiente secuencia:
30°, 140 360 de un giro, 290°, 90 360 de un giro
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de otros ejemplos de ángulos agudos, obtusos y de reflexión usando la medida angular o fracciones de un giro entero.
Ángulos de referencia
La clase hace, mide y reconoce ángulos de referencia.
Muestre el ∠B y pregunte a sus estudiantes qué tipo de ángulo creen que es el ∠B.
Muestre el ∠L y pregunte a sus estudiantes qué tipo de ángulo creen que es el ∠QLP.
Los ángulos rectos y los ángulos llanos son dos ejemplos de ángulos de referencia. Los ángulos de referencia son ángulos que conocen y son fáciles de distinguir.
Pida a sus estudiantes que muestren un giro de 1 8 usando la herramienta para hacer ángulos y que, luego, determinen la medida angular usando el transportador.
¿Cuál es la medida de un giro de 1 _ 8 ?
45 grados
Un ángulo de 45° es otro ángulo de referencia.
Pida a sus estudiantes que vayan a la primera fila del problema 1 en sus libros.
¿Cuántos giros de 1 ___ 360 hay en un ángulo de 45°?
45
¿Qué tipo de ángulo es un giro de 45 360 ?
Un ángulo agudo
Pida a sus estudiantes que completen la primera fila de la tabla. Guíeles para que usen las rectas secantes en la segunda columna como ayuda para hacer el boceto del ángulo.
1. Para hacer y medir cada ángulo de referencia, usa la herramienta para hacer ángulos y el transportador. Luego, completa la tabla.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando hace y, luego, mide ángulos de referencia.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• Cuando hacen ángulos de referencia, ¿se repite algo? ¿Cómo puede ayudarles eso?
• ¿Qué patrones observan al hacer y medir ángulos de referencia? ¿Cómo puede eso ayudarles a hallar las medidas angulares de estos ángulos?
Luego, pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para crear los ángulos de referencia restantes y completar la tabla usando la herramienta para hacer ángulos y el transportador. Mientras trabajan, recorra el salón de clases y compruebe que hayan comprendido.
Luego de que terminen de trabajar, pídales que miren la columna Medida angular.
¿Observan un patrón?
Sí, todos los ángulos miden 45° más que el ángulo anterior.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué otras cosas observan en la tabla.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Usar un transportador de 360° para reconocer que un ángulo de 1° representa un giro de 1 ___ 360 en un círculo
Use los siguientes planteamientos para iniciar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a replantear o complementar las respuestas de sus pares usando sus propias palabras.
¿Para qué se usa un transportador?
Un transportador se usa para medir ángulos.
Usen el transportador para explicar a sus parejas qué es un grado.
Cada marca de graduación en el transportador representa 1 grado.
El grado es la unidad que se usa para medir los ángulos. 10
¿Qué relación hay entre 1° y 1 ___ 360 de un giro completo en un círculo?
1° es del mismo tamaño que un giro de 1 ___ 360 .
Cada vez que se hace un giro de 1 ___ 360 , el ángulo es 1° más grande.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para ayudar a sus estudiantes a participar en la Reflexión final y a volver a expresar las respuestas de sus pares, dirija su atención a la sección Decirlo otra vez de la Herramienta para la conversación.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
10. ¿Cuántos ángulos de 1° forman 1 giro entero?
Tipo de ángulo: De reflexión
11. Un ángulo recorre un giro de 3 4 de un círculo. ¿Cuál es la medida del ángulo en grados?
12. Zara dibuja un ángulo que recorre un giro de 55 360 de un círculo. ¿Qué tipo de ángulo dibuja Zara? ¿Cómo lo sabes?
Zara dibuja un ángulo agudo porque mide 55° y los ángulos agudos son menores que 90°
Identificar y medir ángulos como giros y reconocerlos en distintos contextos
1. David está haciendo una parada de manos. Describe cuántos grados girará el cuerpo para volver a estar parado derecho.
Vistazo a la lección
La clase relaciona los giros de las manecillas del reloj con los ángulos, que se pueden medir usando grados. De manera similar, ven que girar el cuerpo hacia diferentes sentidos también se puede describir usando grados. Usan los grados en relación con el sentido que indican los puntos cardinales.
Preguntas
clave
• ¿Cómo podemos medir los giros?
• ¿En qué se parece un giro de nuestro cuerpo al giro de las manecillas de un reloj?
El cuerpo de David girará 180°
2. Gabe comienza a montar su bicicleta en el punto representado por la estrella. Va hacia el norte durante 3 manzanas, luego gira 90° en el sentido de las manecillas del reloj y avanza 2 manzanas. ¿Hacia qué sentido mira luego del giro?
a. Haz un dibujo de la ruta de Gabe en la cuadrícula. Cada cuadrado representa 1 manzana.
Criterio de logro académico
4.Mód6.CLA1 Convierten entre medidas de ángulos expresadas como un giro fraccionario en un círculo y como grados. (4.MD.C.5, 4.MD.C.5.a, 4.MD.C.5.b)
b. Gabe mira hacia el este luego del giro.
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Giros en un reloj
• Giros en el salón de clases
• Grados de los giros
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• afiches preparados con antelación
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
Prepare cuatro afiches (Norte, Sur, Este y Oeste). Cuelgue los afiches en cuatro lugares diferentes del salón de clases.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Términos y notaciones de geometría
La clase dice y escribe los nombres de rectas y de segmentos de recta paralelos y perpendiculares para familiarizarse con las figuras geométricas del tema A.
Muestre los segmentos de recta paralelos AB y CD.
¿Qué palabra podemos usar para completar el enunciado y describir la relación de los segmentos de recta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Paralelo
Muestre el enunciado completado.
Cuando dé la señal, lean el enunciado.
El segmento de recta AB es paralelo al segmento de recta CD.
Usen la notación apropiada para reescribir el enunciado.
Muestre el ejemplo de respuesta.
D B
El segmento de recta AB es paralelo
al segmento de recta CD. AB || CD
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar con el transportador
La clase cuenta salteado usando unidades de 90° o de 30° en un transportador de 360° para familiarizarse con la herramienta usada en la lección 8.
Muestre la imagen del transportador de 360° con una semirrecta que señala 0°.
Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante y hacia atrás de 90° en 90°. La primera medida que dicen es 0°. ¿Comenzamos?
Muestre la medida angular aumentando en intervalos de 90° hasta 360° y, luego, nuevamente hasta 0°. 0°, 90°, 180°, 270°, 360° 360°, 270°, 180°, 90°, 0°
Repita el proceso con intervalos de 30°.
Nota para la enseñanza
Preste atención a las respuestas de sus estudiantes para detectar errores, dudas o falta de participación. Si es necesario, ajuste el ritmo.
Respuesta a coro: Clasificar y medir ángulos
La clase clasifica un ángulo y usa un transportador de 360° para determinar la medida angular a fin de desarrollar fluidez con la destreza aprendida en la lección 8.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el ángulo agudo.
¿Cómo clasificarían el ángulo?
Agudo
Muestre la respuesta.
Estimen la medida angular. Comenten su estimación en voz baja con su pareja.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
25°. Parece que es menor que el punto medio entre 0° y 90°.
40°. Parece que está casi en el punto medio entre 0° y 90°.
Muestre el transportador.
¿Cuál es la medida angular?
30°
Muestre la medida angular.
Agudo
30°
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
5
La clase identifica giros de 90° en el sentido de las manecillas del reloj y en sentido contrario a las manecillas del reloj como ángulos rectos.
Muestre la imagen de los robots con un indicador que señala hacia Apagado y el otro hacia Luces.
Amy enciende las luces de su robot girando el botón en el sentido de las manecillas del reloj.
Invite a alguien de la clase a demostrar cómo giró el indicador de la posición de apagado a la posición de las luces desplazando el dedo por el borde del botón.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere usar una imagen para ofrecer apoyo a sus estudiantes con el uso de los términos en el sentido de las manecillas del reloj y en sentido contrario a las manecillas del reloj
En el sentido de las manecillas del reloj
En sentido contrario a las manecillas del reloj
Apagado
Sonido Ambos Luces
Apagado
Sonido Ambos Luces
¿Qué tipo de ángulo se forma cuando Amy gira el botón para encender las luces?
Un ángulo recto
¿Cuántos grados gira el indicador?
90°
Diga a la clase que Amy apaga las luces del robot girando el botón en sentido contrario a las manecillas del reloj. Invite a alguien de la clase a demostrar cómo giró el indicador de la posición de las luces a la posición de apagado desplazando el dedo por el borde del botón.
¿Qué tipo de ángulo se forma cuando Amy gira el botón para apagar las luces?
Un ángulo recto
¿Cuántos grados gira el indicador?
90°
¿El sentido del giro afectó el tamaño del ángulo? ¿Cómo lo saben?
No. Amy giró el botón en sentidos opuestos, pero puedo ver que los ángulos son del mismo tamaño.
No. Creo que el tamaño del giro es lo que afecta la medida angular.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, identificaremos y mediremos ángulos como giros.
Diferenciación: Apoyo
Considere invitar a sus estudiantes a usar las herramientas para hacer ángulos de la lección 7 y los transportadores de 360° de la lección 8 para hacer un ángulo que coincida con el ángulo que forma el indicador del botón al girar.
Aprender
Giros en un reloj
La clase explora medidas angulares al girar las manecillas de un reloj.
Muestre el reloj analógico que muestra las 12:00. Invite a sus estudiantes a pensar acerca del movimiento de la manecilla de las horas desde las 12:00 hasta las 3:00.
Desplace el dedo por el borde del reloj desde las 12:00 hasta las 3:00. Luego, muestre la imagen de los relojes que muestran las 12:00 y las 3:00.
¿Qué fracción del círculo giró la manecilla de las horas?
1 4 del círculo
¿Cuántos grados giró la manecilla de las horas?
90°
Invite a sus estudiantes a pensar en el movimiento de la manecilla de las horas de las 3:00 a las 6:00.
Muestre la imagen del reloj que muestra las 6:00.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué fracción del círculo se ha movido en total la manecilla de las horas desde las 12:00 hasta las 6:00 y cuántos grados es.
Giró 1 _ 2 círculo. Eso es 180°.
Giró 1 4 del círculo 2 veces, entonces es como decir 90° + 90° = 180°.
Cuando hicimos ángulos con nuestra herramienta, mostramos una rotación de una fracción del círculo. ¿Cómo describimos el giro cuando hicimos un ángulo recto? ¿Y un ángulo llano?
Un giro de 1 4 ; un giro de 1 2
Podemos usar las palabras giro de un cuarto para describir un giro de 90° y giro de un medio para describir un giro de 180°.
DUA: Representación
Considere mostrar los giros usando un reloj de demostración y proporcionar a sus estudiantes la oportunidad de mover la manecilla de las horas físicamente.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere hacer un afiche de referencia para apoyar a sus estudiantes durante la lección.
Muestre el reloj que muestra las 12:00. Invite a sus estudiantes a pensar en el movimiento de la manecilla de las horas de las 12:00 a las 9:00.
¿Cuántos giros de un cuarto se movería la manecilla de las horas?
3 giros de un cuarto
¿Hay otra manera en que podemos pensar en el movimiento de la manecilla?
Podemos verlo como un giro de un medio y un giro de un cuarto.
Muestre el reloj que muestra las 9:00.
¿Cuántos grados se movió la manecilla de las horas desde las 12:00 hasta las 9:00? ¿Cómo lo saben?
Se movió 270°. Cuando la manecilla de las horas se mueve desde las 12:00 hasta las 6:00, gira 180°, y cuando se mueve desde las 6:00 hasta las 9:00, gira 90° más.
Sé que es 270° porque un giro de un medio es 180° y otro giro de un cuarto es 90°.
Muestre el reloj que muestra las 12:00. Mientras desplaza el dedo alrededor del reloj completo, invite a sus estudiantes a pensar acerca del minutero haciendo un giro entero alrededor del reloj. Pídales que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo pueden usar giro de un cuarto, giro de un medio, giro de tres cuartos y giro entero para describir el movimiento del minutero.
Giros en el salón de clases
La clase relaciona las medidas angulares con girar hacia diferentes sentidos en el salón de clases.
Invite a sus estudiantes a ponerse de pie y mirar hacia el frente del salón de clases. Dígales que usarán el cuerpo para representar giros. Pídales que usen el cuerpo para mostrar 1 giro entero.
¿Cuántos grados giraron?
360°
DUA: Representación
Cuando sus estudiantes giran, demuestran el mismo movimiento que la herramienta para hacer ángulos y que las manecillas de un reloj. Para ayudarles a establecer esta conexión con el movimiento físico, pídales que coloquen un brazo delante del cuerpo para imitar una semirrecta o la manecilla de un reloj. Mientras giran, pueden visualizar que los brazos se mueven como una semirrecta o la manecilla de un reloj. Mientras mueven el cuerpo, asegúrese de que los brazos se mantengan inmóviles.
Invite a sus estudiantes a hacer un giro de un medio para mirar hacia la parte de atrás del salón de clases. Pregúnteles cuántos grados giraron.
¿Qué otros giros podemos mostrar?
Podemos mostrar un giro de un cuarto.
Podemos mostrar un giro de tres cuartos.
Podemos mostrar muchos giros diferentes.
Pida a sus estudiantes que miren hacia el frente del salón de clases nuevamente y que hagan un giro de un cuarto. Permítales girar en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario.
Si giraron en el sentido de las manecillas del reloj, ¿cuántos grados giraron?
90°
Si giraron en sentido contrario a las manecillas del reloj, ¿cuántos grados giraron?
90°
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué el giro fue de 90° sin importar si giraron en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario.
Cuando hacemos un giro de un cuarto, giramos 90°. Podemos girar en cualquier sentido, pero seguimos girando el mismo número de grados. Vemos que esto también sucede con los ángulos.
Un ángulo recto puede mirar hacia diferentes sentidos, pero aun así medir 90°.
Pida a sus estudiantes que miren hacia el frente del salón de clases nuevamente e invíteles a hacer 2 giros de un cuarto, cada uno en el mismo sentido.
¿Cuántos grados giraron?
Giramos 180°.
¿Toda la clase giró en el mismo sentido? No, algunas personas giraron en el sentido de las manecillas del reloj y otras giraron en sentido contrario a las manecillas del reloj.
¿Por qué toda la clase está mirando hacia la parte de atrás del salón de clases?
Cuando hacemos un giro de un medio, miramos hacia el sentido opuesto, sin importar hacia qué lado giramos.
Invite a sus estudiantes a indicar a sus parejas de trabajo qué giros hacer. Luego de hacer el giro, la pareja dice los grados que giró.
Nota para la enseñanza
Al preguntar a sus estudiantes si los ángulos giran de la misma manera, recuérdeles el indicador de la sección Presentar. Encender y apagar las luces dio como resultado un ángulo del mismo tamaño, aunque el indicador se moviera en sentidos diferentes.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando explora los giros en un reloj y los giros en el salón de clases, y los relaciona con los ángulos y sus medidas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿De qué manera un giro fraccionario representa el movimiento del minutero del reloj del 9 al 12?
• ¿Qué les indica un giro de un medio en el sentido de las manecillas del reloj acerca del ángulo que giraron?
Grados de los giros
Materiales: M) Afiches preparados con antelación
La clase usa los grados en relación con el sentido que indican los puntos cardinales.
Cuelgue los afiches de los puntos cardinales (Norte, Este, Sur, Oeste) en las paredes correctas del salón de clases. Pida a sus estudiantes que se pongan de pie mirando hacia el norte.
Giren 90° a la derecha. ¿Hacia qué sentido están mirando? Miren el afiche para saberlo.
Este
Repita el proceso hasta que sus estudiantes miren hacia todos los sentidos de los afiches colgados en el salón de clases.
Pida a sus estudiantes que miren hacia el norte. Muestre las siguientes instrucciones y dígalas en voz alta, una a la vez.
• Den cuatro pasos cortos hacia delante.
• Hagan un giro de un cuarto en sentido contrario a las manecillas del reloj.
• Den cinco pasos cortos hacia delante.
• Hagan un giro de un medio en el sentido de las manecillas del reloj.
Luego, pregúnteles hacia qué sentido o punto cardinal están mirando y cuántos grados deben girar para mirar hacia el sur.
Forme parejas de estudiantes e invíteles a dar tres o cuatro instrucciones a su pareja sobre cómo caminar y girar. Invíteles a escribir las instrucciones en sus pizarras blancas antes de decirlas a su pareja.
Cuando hayan terminado, invite a sus estudiantes a reflexionar sobre la actividad.
¿Cómo sabían cuántos grados debían girar para mirar hacia un determinado sentido?
Sabía que girar hacia el sentido opuesto eran 180°.
Sabía que hacer un giro de un cuarto eran 90°. Podía sumar el número de giros de un cuarto necesarios y, luego, sumar 90 repetidamente el mismo número de veces.
Diferenciación: Desafío
Cuando trabajen en parejas, pida a sus estudiantes que digan el número de grados en lugar del tipo de giro. Considere usar el siguiente ejemplo.
Mira hacia el . Da cuatro pasos. Gira 90° en el sentido de las manecillas del reloj. Da cinco pasos. Gira 180°. ¿Hacia qué sentido estás mirando? ¿Cuántos grados tienes que girar para mirar hacia el ?
Muestre la rosa de los vientos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar de qué manera la rosa de los vientos representa los giros que hicieron en el salón de clases.
Están rotulados los mismos sentidos. Veo la primera letra de cada punto cardinal.
Puedo ver que el giro de un punto cardinal al siguiente es de 90°.
Muestre las imágenes del transportador y del reloj junto a la rosa de los vientos.
¿Qué observan acerca de estas tres herramientas?
Todas son circulares.
Podemos usarlas para mostrar giros.
¿En qué se parece girar el cuerpo para mirar hacia un sentido al giro de la manecilla de un reloj o a un giro de un ángulo?
Cuando giramos el cuerpo para mirar hacia un sentido, giramos un número de grados, al igual que la manecilla de un reloj gira hacia una hora diferente o un ángulo gira en un círculo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar más ejemplos de giros del mundo real.
Cuando encendemos un horno, giramos unos grados la perilla.
Una persona que juega al basquetbol gira al hacer un mate de 360°.
Giramos la perilla de una puerta al abrirla.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos. OE N S
Nota para la enseñanza
Se encuentra disponible un video de contexto para el problema 5 del Grupo de problemas. Este video puede servir para incentivar la participación en clase. Antes de presentar el problema, considere mostrar el video y guiar una conversación acerca de lo que cada estudiante observa y se pregunta. Esta herramienta les ayuda a visualizar la situación antes de interpretarla de forma matemática. De manera alternativa, considere mostrar el video durante la sección Concluir para que sus estudiantes confirmen sus soluciones.
Considere invitar a sus estudiantes a reflexionar sobre cómo el video les ayudó a ver la relación entre las partes de la escena. Invíteles a describir cómo esto les ayudó a resolver el problema y cómo pueden aplicar el razonamiento a otras situaciones.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Identificar y medir ángulos como giros y reconocerlos en distintos contextos
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de los ángulos como giros en contextos del mundo real.
Muestre la imagen de los robots. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para comentar cuántos grados gira el indicador cuando Amy gira el botón por completo y cómo lo saben.
360°. El indicador señala hacia el mismo lugar que al inicio.
360°. Hace un giro entero.
¿Cómo podemos medir ángulos usando giros?
Podemos pensar en los giros como ángulos y simplemente decir los grados.
Un giro de un cuarto es un ángulo de 90° y un giro de un medio es un ángulo de 180°.
¿En qué se parece un giro de nuestro cuerpo al giro de las manecillas de un reloj?
Las manecillas del reloj también giran. Cuando giramos nuestro cuerpo, se parece a cuando se mueven las manecillas del reloj.
Podemos girar en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Apagado Sonido Ambos Luces
Apagado
Sonido Ambos Luces
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
3. Adam está en el asiento de la parte de arriba de la rueda de la fortuna. La rueda de la fortuna gira 270° en el sentido de las manecillas del reloj.
a. Encierra en un círculo dónde está el asiento de Adam luego del giro.
1. ¿Cuántos grados gira el minutero desde las 2:15 hasta las 3:00?
El minutero gira 270°
2. Un avión despega hacia el oeste. El avión gira y ahora vuela hacia el este. ¿Cuántos grados gira el avión?
El avión gira 180°
b. ¿Qué giro lleva a Adam hasta la parte de arriba de la rueda de la fortuna nuevamente?
Ejemplo: 90° en el sentido de las manecillas del reloj
4. Liz participa de un juego. Quiere que la pieza verde quepa en el espacio blanco. ¿Qué botón debería presionar para que la pieza quepa? ¿Cómo lo sabes? Girar 90˚ Girar 180˚ Botones
Liz debería presionar el botón Girar 90°. Si la gira 180° la pieza quedará en una posición con el mismo sentido.
EUREKA MATH
5. Luke, Mía y James están en el parque. Están sobre la estrella mirando hacia la cancha de basquetbol.
Jardín Cancha de basquetbol Piscina
Estacionamiento
a. Luke gira 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿Hacia qué parte del parque está mirando?
Luke está mirando hacia el jardín.
b. Mía gira 180°. ¿Hacia qué parte del parque está mirando?
Mía está mirando hacia el estacionamiento.
c. Ahora, James está mirando hacia la piscina. Usa los grados y las palabras “en el sentido de las manecillas del reloj” o “en sentido contrario a las manecillas del reloj” para describir cómo giró.
Ejemplo:
James giró 90° en el sentido de las manecillas del reloj.
Utilizar transportadores de 180° para medir ángulos
Usa un transportador para medir los ángulos.
Nombre Fecha
Vistazo a la lección
La clase identifica ángulos como rectos, agudos, obtusos o llanos y usa un transportador de 180° para hallar la medida angular. Usan su conocimiento sobre los tipos de ángulos para razonar acerca de qué escala del transportador usar para el ángulo dado.
Pregunta clave
• ¿Cómo usamos un transportador de 180° para medir ángulos?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA1 Convierten entre medidas de ángulos expresadas como un giro fraccionario en un círculo y como grados. (4.MD.C.5, 4.MD.C.5.a, 4.MD.C.5.b)
4.Mód6.CLA2 Miden y dibujan ángulos en grados. (4.MD.C.6)
4.Mód6.CLA4 Identifican y trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas. (4.G.A.1)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Relacionar la escala del transportador con una recta numérica
• Medir ángulos
• Medir ángulos con precisión
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• transportador de 4″ (180°)
Estudiantes
• transportador de 4″ (180°)
Preparación de la lección
Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la enseñanza de la sección Concluir.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Componer 90
La clase completa una ecuación de suma con un sumando desconocido como preparación para la destreza de hallar medidas angulares desconocidas dentro de ángulos rectos, que se inicia en el tema C.
Muestre 80 + = 90.
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Considere mostrar cada ecuación en un vínculo numérico si sus estudiantes necesitan apoyo adicional.
Contar con el transportador
La clase cuenta salteado usando unidades de 90° o de 45° en un transportador de 360° para familiarizarse con la herramienta usada en la lección 8.
Muestre la imagen del transportador de 360° con una semirrecta que señala 0°.
Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante y hacia atrás de 90° en 90°. La primera medida que dicen es 0°.
¿Comenzamos?
Muestre la medida angular aumentando en intervalos de 90° hasta 360° y, luego, nuevamente hasta 0°.
0°, 90°, 180°, 270°, 360°
360°, 270°, 180°, 90°, 0°
Repita el proceso con intervalos de 45°.
Respuesta a coro: Clasificar y medir ángulos
La clase clasifica un ángulo y usa un transportador de 360° para determinar la medida angular a fin de desarrollar fluidez con la destreza aprendida en la lección 8.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano. Luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta.
Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el ángulo recto.
¿Cómo clasificarían el ángulo?
Recto
Muestre la respuesta.
Estimen la medida angular. Comenten su estimación en voz baja con su pareja.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
90°. Un ángulo recto mide 90°.
Recto
Muestre el transportador.
¿Cuál es la medida angular?
90°
Muestre la medida angular.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase compara dos ángulos.
Muestre las imágenes de los ángulos.
¿Qué observan acerca de estos dos ángulos?
El ∠ A tiene un arco más largo que el ∠C. Los dos son ángulos agudos.
El ∠ A está en un sentido diferente que el ∠C. 5
¿Qué se preguntan acerca de estos dos ángulos?
Me pregunto si son del mismo tamaño.
Me pregunto si el arco más largo en el ∠ A significa que el ángulo es mayor.
¿Cómo podemos averiguar si estos ángulos miden lo mismo?
Podemos usar un transportador.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usarían un transportador para hallar la medida de estos ángulos.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, mediremos ángulos usando un tipo de transportador diferente.
Aprender
Relacionar
la escala del transportador con una recta numérica
Materiales: M/E) Transportador
La clase relaciona la escala del transportador con una recta numérica.
Muestre la imagen de los dos transportadores.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y las diferencias entre los dos transportadores.
Los números aumentan de 10° en 10° en los dos.
El transportador de un círculo entero tiene un conjunto de números y el transportador de medio círculo tiene dos conjuntos de números.
Los dos tienen 90° en la parte de arriba. 35
¿Qué relación ven entre los dos transportadores?
Los dos tienen números que muestran medidas angulares.
El transportador de un círculo entero llega hasta 360°. El transportador de medio círculo solo llega hasta 180°.
Distribuya los transportadores de 180° y dé a sus estudiantes 1 minuto para que los estudien.
Podemos pensar en las escalas de este transportador como dos rectas numéricas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar las semejanzas y diferencias entre las escalas del transportador y una recta numérica.
Veo que hay 0° en la parte de abajo a la derecha que comienza una escala. La escala termina en 180° en la parte de abajo a la izquierda. Una recta numérica también podría tener números de 0 a 180, pero estaría organizada de izquierda a derecha.
Hay otra escala que comienza en la parte de abajo a la izquierda y aumenta de 0° a 180° de izquierda a derecha, que se parece mucho a una recta numérica.
Puedo decir qué representa cada marca de graduación al pensar en una recta numérica. Puedo contar hacia arriba o hacia abajo desde las medidas que están rotuladas.
Desplace el dedo por las escalas del transportador de 180° para mostrar a sus estudiantes las dos escalas.
¿Por qué creen que hay dos escalas en este transportador?
Para medir ángulos que miran hacia diferentes sentidos
Esto me recuerda a los ángulos que vimos anteriormente. Podemos medir ángulos que miran hacia cualquier sentido.
Medir ángulos
La clase usa un transportador de 180° para determinar las medidas angulares cuando las medidas son múltiplos de 5 o 10.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 y 2 en sus libros. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre el tipo de ángulo que ven y cómo saben que es ese tipo de ángulo.
Los dos son ángulos agudos porque son menores que un ángulo recto.
Los dos son ángulos agudos. Puedo ver que el ∠ A es menor que 90° y que el ∠C parece medir lo mismo que el ∠ A.
DUA: Representación
Para hacer énfasis en las dos escalas del transportador de 180°, considere mostrar una imagen que resalte cada rótulo de 0° y de 180° con un color diferente.
Para ayudar a sus estudiantes a distinguir las dos escalas en el transportador, pídales que busquen 0° en el lado izquierdo del transportador y que coloquen el dedo allí. Pídales que desplacen el dedo por la escala mientras usted cuenta de decena en decena hasta 180° en la escala externa. Repita el proceso comenzando en 0° del lado derecho del transportador y contando hacia delante en la escala interna.
¿Estos ángulos parecen medir lo mismo? ¿Cómo pueden asegurarse?
Parecen medir lo mismo. Podemos asegurarnos usando un transportador para medir el ∠C.
Identifica el tipo de ángulo. Luego, usa un transportador para medir el ángulo.
1. Tipo de ángulo: Agudo
Medida: 40°
2. Tipo de ángulo: Agudo
Medida: 40°
AGuíe a sus estudiantes para que hallen la medida del ∠ A en los transportadores. Piense en voz alta mientras usa el transportador impreso para medir el ángulo.
En la imagen, el transportador ya está alineado con una de las semirrectas del ángulo. El vértice del ángulo está en el punto donde se juntan la línea del cero y la línea de 90°. La semirrecta de abajo está alineada a lo largo de la línea del cero y pasa a través de la marca de graduación de 0°. Ahora, puedo leer el número en la escala para hallar la medida angular.
Veo que la otra semirrecta pasa a través de las escalas donde hay dos números rotulados 40 y 140. ¿Qué medida tiene sentido para este ángulo? ¿Cómo lo saben?
Tiene sentido que el ángulo mida 40° porque es un ángulo agudo. Un ángulo agudo es menor que 90°.
Alineamos la semirrecta de abajo en 0° en la escala interna del transportador, entonces debemos usar la escala interna para hallar la medida angular. La medida angular es 40°.
CApoyo para la comprensión del lenguaje
Considere agregar transportador de 180° al afiche de referencia de la lección 8. °
Confirme que el ∠ A mide 40° y trace el arco del transportador de 0° a 40° para que sus estudiantes vean qué escala se usa para medir el ángulo.
Demuestre cómo hallar la medida del ∠C mientras piensa en voz alta. Invite a la clase a hacer lo mismo.
Necesito alinear el transportador con una de las semirrectas del ángulo. Debo asegurarme de que el vértice del ángulo esté en el punto donde se juntan la línea del cero y la línea de 90°, y de que la semirrecta de abajo esté alineada a lo largo de la línea del cero y pase a través de la marca de graduación de 0°.
Ahora, puedo ver por dónde pasa la otra semirrecta a través de las escalas. ¿Qué números están rotulados donde la semirrecta pasa a través de las escalas? 40 y 140
¿Qué medida tiene sentido para este ángulo? ¿Cómo lo saben?
Tiene sentido que el ángulo mida 40° porque es un ángulo agudo. Un ángulo agudo es menor que 90°.
Alineamos la semirrecta de abajo en 0° en la escala externa del transportador, entonces debemos usar la escala externa para hallar la medida angular. La medida angular es 40°.
¿En qué se diferencia cómo usamos los transportadores para medir el ∠C y el ∠ A?
El transportador que usamos para medir el ∠ A estaba impreso en la hoja con el ángulo. Usamos nuestros propios transportadores para medir el ∠C.
Usamos la escala interna del transportador para medir el ∠ A y la escala externa para medir el ∠C.
Algunos transportadores tienen dos escalas y las dos se pueden usar para medir ángulos.
¿Qué averiguamos acerca de las medidas del ∠ A y del ∠C?
El ∠C tiene la misma medida que el ∠ A.
Nos preguntamos si el arco más grande en el ∠ A significaba que el ángulo era mayor que el ∠C. ¿Eso era verdadero? ¿Cómo lo saben?
No. Medimos los ángulos con transportadores y vimos que eran del mismo tamaño. El tamaño del arco no importó.
El arco de un ángulo puede ser más grande porque se dibuja más lejos del vértice. El lugar donde se dibuja el arco no nos indica nada acerca del tamaño del ángulo.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema 3. Mientras trabajan, recorra el salón de clases y brinde apoyo para que midan el ángulo haciendo las siguientes preguntas de ejemplo:
• ¿Con qué parte del transportador está alineado el vértice?
• ¿Dónde está representado 0° en el transportador? Coloquen el dedo en 0° en el transportador.
• ¿Qué parte del ángulo está alineada con la marca de graduación de 0°?
• ¿Qué números de las escalas del transportador pueden ayudarles a hallar la medida angular?
¿De qué manera les ayudan los números?
3. Tipo de ángulo: Obtuso
Medida: 125°
Guíe a sus estudiantes en una conversación sobre cómo determinaron la medida angular cuando el ángulo no pasaba a través de una marca de graduación rotulada en la escala.
La semirrecta pasa a través de la escala del transportador en un punto entre dos números.
¿Cómo determinaron la medida angular?
Vi que la semirrecta pasa a través de la escala en el punto medio entre 120° y 130°, entonces la medida angular es 125°.
¿Tiene sentido que 125° sea la medida angular?
Sí. El ∠D es un ángulo obtuso, entonces tiene sentido que mida 125° en lugar de 55°.
Pida a las parejas de trabajo que completen los problemas 4 y 5. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron el transportador para hallar la medida de cada ángulo.
4. Tipo de ángulo: Agudo Medida: 75°
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando usa el transportador para medir un ángulo y determina qué escala del transportador usar.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿En qué detalles deben enfocarse cuando usan el transportador para medir un ángulo?
• ¿Qué error es fácil cometer cuando usan el transportador para medir un ángulo?
5. Tipo de ángulo: Obtuso
Medida: 150°
Medir ángulos con precisión
La clase mide ángulos con precisión.
Muestre la imagen del ∠ M. Invite a sus estudiantes a identificar el tipo de ángulo y a estimar su medida.
Muestre la imagen del transportador que está sobre el ∠M.
¿En qué se diferencia la medida del ∠M de los ángulos de los problemas 1 a 5?
La semirrecta no pasa a través de la escala en una marca de graduación que muestra una decena o un múltiplo de cinco.
La medida angular no es un múltiplo de 5 ni de 10.
¿Entre qué 2 decenas está la medida angular?
110 y 120
¿Cómo podemos usar la escala del transportador para hallar la medida del ∠M?
Podemos comenzar en 110 y contar hacia delante hasta llegar a la marca de graduación por la que pasa la semirrecta.
Podemos comenzar en 120 y contar hacia atrás.
Podemos comenzar en la marca del punto medio, 115, y contar hacia atrás 1.
¿Cuál es la medida angular exacta? ¿Cómo lo saben?
114°. Puedo ver que la semirrecta pasa a través de la escala 1 marca de graduación antes del punto medio.
Nota para la enseñanza
Cuando sus estudiantes miden los ángulos, es posible que existan algunas variaciones en las medidas angulares que hallan. Considere aceptar medidas que estén a 2° o 3° de la respuesta dada.
Nota para la enseñanza
La actividad digital interactiva de Medir ángulos con un transportador permite a sus estudiantes determinar las medidas angulares. Considere realizar una actividad de demostración para toda la clase o permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual.
Pida a las parejas de trabajo que completen los problemas 6 y 7.
6. Tipo de ángulo: Agudo
Medida: 71°
7. Tipo de ángulo: Obtuso
Medida: 128°
TCuando sus estudiantes terminen, invíteles a compartir sus respuestas. Durante la conversación, muestre los ángulos con un transportador sobre ellos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo les ayuda identificar el tipo de ángulo a determinar qué escala usar en el transportador.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Utilizar transportadores de 180° para medir ángulos
Reúna a la clase y muestre la imagen del ángulo y del transportador para guiar una conversación acerca de cómo medir ángulos con un transportador de 180°.
¿La medida de este ángulo está entre 50° y 60° o entre 120° y 130°? ¿Cómo lo saben?
Está entre 120° y 130°. El ángulo es obtuso.
La medida está entre 120° y 130°. El transportador está ubicado de manera correcta. El vértice del ángulo está en el punto donde se juntan la línea del cero y la línea de 90°, y la semirrecta está alineada a lo largo de la línea del cero.
¿Cómo usamos lo que sabemos acerca de los ángulos rectos, agudos y obtusos para leer la medida angular en el transportador?
Sabemos que los ángulos obtusos son mayores que 90° y que los ángulos agudos son menores que 90°, entonces eso nos ayuda a saber qué escala usar en el transportador.
¿Por qué hay dos conjuntos de números en el transportador de 180°?
Los ángulos pueden mirar hacia diferentes sentidos y necesitamos poder medirlos.
El transportador se puede leer desde cualquier lado dependiendo de cómo se dibuje el ángulo.
Muestre la imagen del torquetum, un instrumento astronómico medieval que se usaba para medir la ubicación de la Luna y otros objetos celestiales de nuestro sistema solar.
Diga a sus estudiantes que los transportadores se han usado durante miles de años. Explique brevemente que el torquetum usaba un transportador de 180° para hallar las medidas angulares entre la Tierra y la Luna u otros objetos en el espacio. Pida a sus estudiantes que miren el transportador de 180° de la imagen.
¿Qué observan sobre el transportador en el torquetum?
¿Qué se preguntan?
Está al revés de cómo usamos hoy el transportador. Me pregunto si funciona de la misma manera.
Parece haber un transportador de 360° junto a él. Me pregunto si usaban el transportador de 180° para medir ángulos menores que 180° y el transportador de 360° para medir ángulos mayores que 180°.
Hay círculos divididos debajo del transportador. Me pregunto si los círculos divididos muestran fracciones de giros parecidos a nuestra herramienta para hacer ángulos.
Considere mostrar otras imágenes de transportadores históricos del recurso Las matemáticas en el pasado. Comente la cultura en la que se desarrollaron y con qué objetivo. Invite a sus estudiantes a comparar los transportadores históricos con sus transportadores.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Las matemáticas en el pasado
El recurso Las matemáticas en el pasado incluye más información sobre la historia y el uso que se ha dado a los diferentes tipos de transportadores.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa un transportador para medir el ángulo. Registra la medida en grados.
Clasifica el ángulo como recto, agudo, obtuso o llano. Luego, escribe la medida angular.
1. Tipo de ángulo: Agudo
Medida: 70 ° 2. Tipo de ángulo: Obtuso
Medida: 145 °
3. Tipo de ángulo: Recto
Medida: 90 ° 4. Tipo de ángulo: Obtuso Medida: 127 °
EUREKA MATH
EUREKA MATH
Nombre
13. Gabe dice que la medida del ángulo que se muestra es 75°. Usa un transportador para medir el ángulo. Luego, explica el error de Gabe.
El ángulo mide 105°, por lo que es un ángulo obtuso. Gabe miró el conjunto de números
equivocado en el transportador.
EUREKA MATH
Medida:
Estimar y medir ángulos con un transportador de 180°
Vistazo a la lección
La clase determina que los ángulos pueden tener semirrectas de diferentes longitudes y seguir teniendo la misma medida angular. Usan la estimación para entender la medida de un ángulo y, luego, miden los ángulos con precisión usando transportadores de 180°, extendiendo las semirrectas si es necesario.
Preguntas clave
• ¿Por qué es útil hacer estimaciones cuando medimos ángulos?
Aproximadamente 40
Aproximadamente
Aproximadamente
• ¿Cómo pueden tener la misma medida dos ángulos que se ven diferentes?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA1 Convierten entre medidas de ángulos expresadas como un giro fraccionario en un círculo y como grados. (4.MD.C.5, 4.MD.C.5.a, 4.MD.C.5.b)
4.Mód6.CLA2 Miden y dibujan ángulos en grados. (4.MD.C.6)
4.Mód6.CLA4 Identifican y trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas. (4.G.A.1)
Aproximadamente
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Clasificar medidas angulares
• Extender semirrectas para medir ángulos
• Medir ángulos con precisión
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Clasificar medidas angulares (en la edición para la enseñanza)
• Círculos de papel (en la edición para la enseñanza)
• transportador de 4″ (180°)
• herramienta de borde recto
Estudiantes
• Clasificar medidas angulares (en el libro para estudiantes)
• tijeras
• transportador de 4″ (180°)
• herramienta de borde recto
Preparación de la lección
• Imprima o haga una copia de la hoja extraíble de Círculos de papel y recorte los círculos. Prepare suficientes para tener un círculo por estudiante y un círculo para el maestro o la maestra.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Clasificar medidas angulares de los libros para estudiantes y recortar las tarjetas con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Componer 90
La clase completa una ecuación de suma con un sumando desconocido como preparación para la destreza de hallar medidas angulares desconocidas dentro de ángulos rectos, que se inicia en el tema C.
Muestre 70 + = 90.
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar con el transportador
La clase cuenta salteado usando unidades de 20° en un transportador de 180° para familiarizarse con la herramienta usada en la lección 10.
Muestre la imagen del transportador de 180° con una semirrecta que señala 0° en la escala externa.
Observen la escala externa del transportador. ¿Cuál es la marca de graduación por la que pasa la semirrecta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
0°
Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante de 20° en 20°. La primera medida que dicen es 0°.
¿Comenzamos?
Muestre la medida angular aumentando en intervalos de 20° hasta 180°.
0°, 20°…, 160°, 180°
Muestre la imagen del transportador de 180° con una semirrecta que señala 0° en la escala interna.
Ahora, observen la escala interna del transportador. ¿Cuál es la marca de graduación por la que pasa la semirrecta? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
0°
Usen el ángulo del transportador para contar hacia delante de 20° en 20°. La primera medida que dicen es 0°.
¿Comenzamos?
Muestre la medida angular aumentando en intervalos de 20° hasta 180°.
0°, 20°…, 160°, 180°
Respuesta a coro: Clasificar y medir ángulos
La clase clasifica un ángulo y usa un transportador de 180° para determinar la medida angular a fin de desarrollar fluidez con la destreza aprendida en la lección 10.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el ángulo agudo.
¿Cómo clasificarían el ángulo?
Agudo
Muestre la respuesta.
Estimen la medida angular. Comenten su estimación en voz baja con su pareja.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
45°. Parece que es el punto medio entre 0 y 90.
60°. Parece ser mayor que el punto medio entre 0 y 90.
Muestre el transportador.
¿Cuál es la medida angular?
50°
Agudo
50°
Muestre la medida angular.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase comenta cuál es el ángulo de referencia más cercano para hacer estimaciones de medidas angulares en imágenes del mundo real.
Muestre las imágenes de los ejemplos de ángulos del mundo real, una a la vez.
Con cada imagen, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué ángulos ven y usar los ángulos de referencia a fin de describir cuáles podrían ser las medidas angulares.
Veo un ángulo formado por la puerta que está parcialmente abierta. Si la puerta estuviera cerrada, sería 0°. Si fuera perpendicular a la pared, formaría un ángulo de 90°. Está aproximadamente en el punto medio entre 0° y 90°, así que probablemente mide 45°. Veo que la calle que se dirige a la colina forma un ángulo. Si la calle fuera plana, sería 0°. Si estuviera en vertical, sería 90°. Parece estar en el punto medio entre la posición vertical y la plana, así que podría medir 45°.
La persona que extiende el brazo hacia arriba forma lo que parece ser una línea recta desde las piernas hasta los brazos. Eso medirá aproximadamente 180°.
La apertura de la boca del caimán forma un ángulo. Definitivamente es menor que 45°. Es probable que mida aproximadamente 25°.
DUA: Representación
Antes de mostrar las imágenes, active los conocimientos previos preguntando a sus estudiantes qué saben sobre los ángulos de referencia. Registre los ángulos de referencia, como 45°, 90°, 135° y 180°. Pídales que representen los ángulos de referencia con los brazos.
Considere crear un afiche de referencia para que lo consulten a lo largo de la lección.
Nota para la enseñanza
Debido a la perspectiva de las imágenes, los ángulos que ven sus estudiantes pueden ser diferentes a las medidas reales de los ángulos. Las estimaciones basadas en lo que se ve en las imágenes son aceptables.
¿Cómo podríamos hallar la medida angular exacta?
Podríamos trazar semirrectas sobre las imágenes y, luego, usar transportadores para comprobarlo.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, estimaremos y mediremos ángulos con el transportador de 180°.
La clase usa ángulos de referencia para estimar la medida de un ángulo y relacionar ángulos con semirrectas de diferentes longitudes y orientaciones con su medida angular.
Muestre la imagen de los cuatro ángulos de referencia. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan en estos ángulos.
Diferenciación: Apoyo
Para ayudar a sus estudiantes a reconocer los ángulos en las imágenes, considere delinear los ángulos usando una herramienta para dibujar o mostrar imágenes adicionales con algunos de los diferentes ángulos delineados.
Estos ángulos son ángulos de referencia que podemos usar para estimar la medida de otros ángulos.
Muestre la imagen del ángulo y presente la siguiente situación.
Pablo dice que este ángulo parece estar más cerca del ángulo de referencia de 90°.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar si están de acuerdo con Pablo o si creen que el ángulo parece estar más cerca de otro ángulo de referencia.
No estoy de acuerdo con Pablo. Este ángulo parece estar más cerca de un ángulo de 45°.
El ángulo es demasiado pequeño para medir 90°, pero parece mayor que un ángulo de 45°.
Creo que está entre 45° y 90°.
Guíe a sus estudiantes para que estimen la medida angular. Considere hacer las siguientes preguntas.
¿Entre qué dos ángulos de referencia podría estar este ángulo?
45° y 90°
¿Está más cerca de 45° o de 90°?
Parece estar más cerca de 45°.
Si el ángulo es mayor que 45°, pero no está cerca de 90°, ¿cuál podría ser una estimación de su medida?
Aproximadamente 55° o 60°
Repita el proceso con los otros dos ángulos.
Invite a sus estudiantes a retirar la hoja extraíble de Clasificar medidas angulares de sus libros y a cortar las tarjetas. Pídales que las clasifiquen emparejando las tarjetas de ángulos con las medidas angulares correctas. Recorra el salón de clases mientras trabajan y haga las siguientes preguntas para evaluar e incentivar el razonamiento matemático.
• ¿Este ángulo es agudo? ¿Es obtuso?
• ¿De qué ángulo de referencia está cerca este ángulo? ¿Qué tarjeta de medida está más cerca del ángulo de referencia en el que están pensando?
Diferenciación: Apoyo
Considere ayudar a sus estudiantes a emparejar el ángulo con su medida o con otros ángulos. Para emparejar el ángulo con su medida, proporcióneles ángulos de referencia rotulados. Sus estudiantes pueden desplazar el dedo por los ángulos de sus tarjetas y trazar los ángulos de referencia. Esto les ayuda a determinar qué ángulo de referencia está más cerca de sus ángulos.
Para comprobar que dos ángulos miden lo mismo, coloque una tarjeta sobre la otra de modo que los ángulos estén alineados. Es posible que sus estudiantes necesiten sostener las tarjetas a contraluz para poder ver los ángulos a través del papel.
• ¿Cómo determinaron su estimación?
• ¿Cómo es posible que los dos ángulos midan lo mismo, aunque se vean diferentes?
Guíe una conversación breve acerca del proceso de razonamiento de sus estudiantes y las estrategias que usaron para estimar las medidas angulares. Invite a dos o tres estudiantes a que compartan sus estrategias.
Miré cada medida angular y pensé de qué ángulo de referencia estaba cerca. Luego, hallé ángulos que parecían estar cerca de cada medida angular.
Primero, agrupé todas las tarjetas de ángulos que parecían tener la misma medida angular. Luego, miré las tarjetas de medidas y calculé cuáles podrían coincidir con cada grupo.
¿Cómo es posible que los ángulos que se ven diferentes tengan la misma medida angular?
Los ángulos pueden verse diferente porque miran hacia diferentes sentidos, pero eso no cambia el tamaño del ángulo.
Extender semirrectas para medir ángulos
Materiales: M/E) Círculo, transportador, herramienta de borde recto
La clase extiende las semirrectas en ángulos para hallar la medida usando un transportador.
Muestre la imagen de los ángulos e invite a la clase a estudiarlos.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian estos ángulos?
Todos tienen semirrectas de diferentes longitudes.
Están mirando en distintos sentidos.
Todos son ángulos agudos.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros.
1. Halla la medida de cada ángulo.
a. Medida del ∠A : 45°
b. Medida del ∠B : 45°
c. Medida del ∠C : 45°
d. Medida del ∠D : 45°
e. Medida del ∠E : 45°
Distribuya un círculo de papel a cada estudiante. Guíe a sus estudiantes para que doblen los círculos de papel en octavos.
Demuestre cómo alinear el papel doblado con el ∠A e invite a sus estudiantes a hacer lo mismo. Pídales que repitan el proceso con los otros ángulos del problema 1.
¿Qué observan?
El ángulo de papel cabe exactamente en todos los ángulos.
¿Qué nos indica eso sobre los ángulos?
Los ángulos son del mismo tamaño.
¿Cómo podríamos hallar la medida precisa de cada ángulo?
Podríamos usar un transportador.
Alinee el transportador con el ∠A e invite a sus estudiantes a hacer lo mismo.
¿Cuál es la medida del ∠A?
45°
AAlinee el transportador con el ∠B e invite a sus estudiantes a hacer lo mismo.
¿Qué observan?
Es difícil ver la medida angular porque las semirrectas no son lo suficientemente largas para pasar a través de la escala del transportador.
Las semirrectas son de diferentes longitudes, pero determinamos que los ángulos son del mismo tamaño. ¿Qué nos indica eso?
La longitud de las semirrectas puede cambiar, pero el ángulo sigue midiendo lo mismo.
Podemos extender la longitud de las semirrectas sin cambiar el tamaño del ángulo.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Es posible que la clase no esté familiarizada con el término extender. Considere presentar el término y relacionarlo con otra palabra más conocida por sus estudiantes, como alargar
Demuestre cómo extender las semirrectas del ∠B alineándolas con la herramienta de borde recto y trazando semirrectas más largas. Invite a sus estudiantes a hacer lo mismo y a usar sus transportadores para medir el ∠B.
Pida a sus estudiantes que hallen las medidas de los ángulos restantes, extendiendo las semirrectas si es necesario. Recorra el salón de clases mientras trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Luego, guíe una conversación de toda la clase.
¿En qué se diferencian estos ángulos de los otros ángulos que medimos con el transportador?
Las semirrectas no eran lo suficientemente largas para llegar hasta la escala del transportador.
¿Qué hicimos para medir cada ángulo con precisión?
Extendimos las semirrectas para que fueran lo suficientemente largas para llegar hasta la escala del transportador.
Invite a sus estudiantes a comprobar que el ángulo de papel doblado aún cabe dentro de cada ángulo.
¿Extender las semirrectas cambió la medida angular? ¿Cómo lo saben?
No, extender las semirrectas no cambió la medida angular. El ángulo de papel doblado cabía en todos los ángulos al principio y, luego de que extendimos las semirrectas, seguía cabiendo perfectamente.
B B B B
Algunos de los ángulos tenían semirrectas más largas que otros. ¿La longitud de las semirrectas afectó el tamaño del ángulo? ¿Por qué?
No, la longitud de las semirrectas no afectó la medida angular. El tamaño del ángulo sigue siendo el mismo.
¿El sentido hacia el cual miraba el ángulo afectó su medida? Expliquen.
No. Vimos que el sentido no importaba. La medida seguía siendo la misma cantidad.
Medir ángulos con precisión
Materiales: E) Transportador, herramienta de borde recto
La clase practica cómo extender semirrectas para medir ángulos con precisión.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea el problema a coro con la clase.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los tipos de ángulos que ven y sus estimaciones de las medidas angulares.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema 2, extendiendo las semirrectas de los ángulos si es necesario. Mientras trabajan, recorra el salón de clases y proporcione apoyo.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando estima una medida angular y usa el transportador para medir los ángulos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Qué detalles deben considerar cuando estiman y miden un ángulo?
• Cuando miden un ángulo que tiene semirrectas que necesitan extenderse, ¿con qué pasos deben tener mucho cuidado? ¿Por qué?
2. Identifica el tipo de ángulo y estima la medida. Luego, usa un transportador para hallar la medida angular real.
Tipo de ángulo y estimación de la medida angular Ángulo Medida angular real
a. Tipo de ángulo: Agudo
Estimación de la medida
angular: 70 ° 60°
b. Tipo de ángulo: Obtuso
Estimación de la medida angular: 125 ° 120°
DUA: Acción y expresión
Para ayudar a cada estudiante a evaluar su progreso, considere proporcionarles preguntas que puedan usar como guía para la autoevaluación y la reflexión. Por ejemplo, muestre las siguientes preguntas para que cada estudiante las consulte mientras trabaja en parejas:
• ¿Visualicé los ángulos de referencia antes de estimar la medida angular?
• ¿Extendí las semirrectas con el objetivo de que sean lo suficientemente largas para pasar a través de la escala en el transportador?
• ¿Roté el transportador para que la línea del cero esté alineada con una de las semirrectas y el vértice esté donde se juntan la línea del cero y la línea de 90°?
• ¿Leí la escala del transportador correcta? ¿Conté en el sentido correcto?
Tipo de ángulo y estimación de la medida angular Ángulo
c. Tipo de ángulo: Agudo
Medida angular real
Estimación de la medida angular: 80 ° 85°
d. Tipo de ángulo: Obtuso
Estimación de la medida angular: 150 ° 143°
Cuando hayan terminado, invite a sus estudiantes a que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo les puede ayudar pensar en el tipo de ángulo y estimar una medida angular a hallar la medida angular precisa.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Estimar y medir ángulos con un transportador de 180°
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de extender las semirrectas para medir ángulos.
¿Cómo les ayudó la estimación a pensar en si su medida angular tenía sentido?
Pensé en si el ángulo era agudo u obtuso. Eso me ayudó a pensar en la medida angular. Los ángulos de referencia me dieron una idea de si mi medida angular tenía sentido.
¿Cómo pueden tener la misma medida dos ángulos que se ven diferentes?
A veces, los ángulos se ven diferentes porque miran hacia diferentes sentidos o porque la longitud de las semirrectas es diferente, pero la medida angular puede seguir siendo la misma cantidad.
Cuando las semirrectas no eran lo suficientemente largas para pasar a través de la escala del transportador, ¿cómo hicieron para poder medir los ángulos con precisión?
Extendí las semirrectas para que pasaran a través de la escala del transportador.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Lección 11
Tipo de ángulo y estimación de la medida angular Ángulo Medida angular real
Completa la tabla.
Tipo de ángulo y estimación de la medida angular Ángulo Medida angular real
1. Tipo de ángulo: Agudo
Estimación de la medida angular: 40 °
2. Tipo de ángulo: Obtuso
Estimación de la medida angular: 130 °
3. Tipo de ángulo: Obtuso
Estimación de la medida angular: 100 °
4. Tipo de ángulo: Obtuso
Estimación de la medida angular: 130 °
5. Tipo de ángulo: Agudo
Estimación de la medida angular: 50 °
6. Tipo de ángulo: Obtuso
Estimación de la medida angular: 160 °
GRUPO DE PROBLEMAS
EUREKA MATH2
Great Minds PBC
MATH
Tipo de ángulo y estimación de la medida angular Ángulo Medida angular real
7. Tipo de ángulo: Agudo
Estimación de la medida angular: 80 °
8. Tipo de ángulo: Obtuso
Estimación de la medida angular: 175 °
9. Deepa dice que el ángulo que se muestra es un ángulo agudo. Iván dice que es un ángulo obtuso. Usa un transportador para medir el ángulo. Luego, explica quién está en lo correcto.
Iván está en lo correcto. La medida angular es 112°, lo que significa que es un ángulo obtuso porque es mayor que 90° y menor que 180°
EUREKA MATH
EUREKA MATH
Utilizar un transportador para dibujar ángulos de hasta 180°
Vistazo a la lección
La clase dibuja ángulos usando un transportador. Antes de dibujar un ángulo, piensan en el tipo y el tamaño del ángulo en relación con el ángulo de referencia. Hacen un boceto del ángulo y, luego, usan un transportador y una herramienta de borde recto para hacer un dibujo del ángulo con precisión.
Preguntas clave
• ¿Qué herramientas nos pueden ayudar a dibujar ángulos con precisión?
• ¿De qué manera estimar la medida de un ángulo puede ayudarnos a determinar si un dibujo es razonable?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA2 Miden y dibujan ángulos en grados. (4.MD.C.6)
4.Mód6.CLA4 Identifican y trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas. (4.G.A.1)
Nombre
Construye
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Usar un transportador para dibujar ángulos
• Hacer bocetos y dibujos precisos de ángulos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• herramienta de borde recto
• transportador de 4″ (180°)
Estudiantes
• Práctica veloz: Componer 90 (en el libro para estudiantes)
• herramienta de borde recto
• transportador de 4″ (180°)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Componer 90
Materiales: E) Componer 90
EUREKA MATH2
4 ▸ M6 ▸ Práctica veloz ▸ Componer 90
La clase completa una ecuación de suma con un sumando desconocido como preparación para la destreza de hallar medidas angulares desconocidas dentro de ángulos rectos, que se inicia en el tema C.
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Completa las ecuaciones. Práctica veloz
1. 60 + = 90 30
2. + 45 = 90 45
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 4? ¿Y de los problemas 11 a 15?
• ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 4 con los problemas 11 a 14?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de 10 grados en 10 grados desde 0° hasta 90° para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de 10 grados en 10 grados desde 90° hasta 0° para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase mira un video y comenta la importancia de la precisión en los dibujos de ángulos.
Reproduzca el video Construir una pajarera. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a la clase que tome nota de los detalles.
Dé 1 minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron.
Conversen brevemente acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes que hagan sus estudiantes. Guíe la conversación para que comenten cómo las medidas precisas hicieron la diferencia en el producto final. Considere la siguiente secuencia posible de preguntas.
¿Qué observaron?
Observé que un personaje usó los materiales con precisión y el otro personaje no.
El personaje que se tomó su tiempo y usó sus herramientas de manera correcta pudo construir la pajarera con éxito. La pajarera del otro personaje colapsó.
Los personajes tenían transportadores y herramientas de borde recto al igual que toda la clase, pero dibujaban sobre madera y cortaban tablas.
¿Qué se preguntaron?
Me pregunté qué tipos de ángulos necesitamos dibujar para hacer una pajarera como esa.
Me pregunté por qué las medidas hicieron la diferencia en cómo quedaron las pajareras.
¿En qué se diferenció la manera en que los personajes midieron y dibujaron sus ángulos?
¿Cómo afectó la precisión de sus trabajos a las pajareras?
El segundo personaje usó un transportador y una herramienta de borde recto. La pajarera se mantuvo en pie.
El primer personaje dibujó un ángulo sin medirlo y sin asegurarse de que las semirrectas estuvieran derechas. Su pajarera no quedó bien hecha y colapsó.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, dibujaremos ángulos con precisión usando un transportador de 180°.
DUA: Representación
Presentar la situación de la pajarera en formato de video ayuda a sus estudiantes a comprender el contexto.
Aprender
Usar un transportador para dibujar ángulos
Materiales: M/E) Herramienta de borde recto, transportador
La clase estima el tamaño de un ángulo, dibuja el ángulo usando un transportador y una herramienta de borde recto, y usa la estimación para determinar si el dibujo es razonable.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían usar sus herramientas para medir y dibujar un ángulo con precisión.
Escriba 40°. Luego, guíe a sus estudiantes en una conversación acerca de la relación entre un ángulo de 40° y la medida de un ángulo de referencia. Considere usar la siguiente secuencia de preguntas.
Antes de dibujar un ángulo, puede resultar útil pensar en el tipo de ángulo que dibujaremos y el tamaño del ángulo en comparación con un ángulo de referencia.
¿Qué tipo de ángulo es un ángulo de 40°?
Agudo
¿De qué ángulo de referencia está cerca 40°? 45°
Estimemos cómo se ve un ángulo de 40°. ¿Cómo puedo hacer un boceto de cómo se vería?
Dibujando un ángulo que sea un poco menor que un ángulo de 45°.
Haga el boceto de un ángulo que sea un poco menor que un ángulo de referencia de 45° pensando en el tamaño de un ángulo de 45°.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Hacer un boceto es un término conocido de grados anteriores. Considere repasar el término con sus estudiantes. Un boceto es un dibujo rápido que puede no coincidir exactamente con el dibujo preciso. El objetivo es que sea una estimación que nos ayude a evaluar si nuestros dibujos precisos son razonables.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase.
1. Usa un transportador y una herramienta de borde recto para dibujar un ángulo de 40°.
Demuestre cómo dibujar un ángulo de 40°. Para ayudar a sus estudiantes, describa cómo usar un transportador y una herramienta de borde recto mientras representa el proceso. Invite a sus estudiantes a medir y a dibujar junto a usted.
Uso la herramienta de borde recto para trazar una semirrecta. A continuación, alineo el transportador con la semirrecta como si fuera a medir un ángulo. Busco la marca de graduación que representa 40° en la escala del transportador y, luego, hago una marca en mi hoja que esté alineada con la marca de graduación del transportador.
Retiro el transportador y uso la herramienta de borde recto para trazar la segunda semirrecta desde el extremo de la primera semirrecta hasta la marca que hice. Dibujo una punta de flecha al final de la segunda semirrecta. Dibujo un arco para indicar el ángulo.
¿Una medida de 40° les parece razonable para este ángulo? ¿Por qué?
Sí, la medida parece razonable. Es un ángulo agudo tal como lo estimamos.
Sí, la medida parece razonable. La medida angular se parece al boceto que hizo.
Demuestre cómo usar el transportador para comprobar que el ángulo dibujado mide 40°.
Muestre la imagen en donde se ve un ángulo de 40° dibujado de manera incorrecta.
Miren este dibujo de un ángulo de 40°.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el error que cometió quien hizo el dibujo.
Quien hizo el dibujo usó la escala incorrecta. Debió haber usado la escala interna del transportador, pero usó la escala externa.
Su ángulo es obtuso, entonces no puede ser un ángulo de 40°.
¿Por qué creen que se equivocó y pensó que era un ángulo de 40°?
Quizás solo miró los números del transportador y usó el 40 que vio primero en lugar de pensar en si el ángulo sería agudo u obtuso.
¿Cómo puede ayudarnos pensar en el tipo de ángulo y estimar una medida angular a dibujar ángulos con precisión?
Nos ayuda a saber si nuestro ángulo es razonable porque podemos pensar en cómo debería verse ese tipo de ángulo y qué tan grande debería ser el ángulo.
Hacer bocetos y dibujos precisos de ángulos
La clase hace un boceto de un ángulo dado y, luego, usa un transportador de 180° para hacer un dibujo preciso del ángulo.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 a 6. Lea las instrucciones a coro con la clase.
Crea un boceto de cada ángulo. Luego, usa un transportador y una herramienta de borde recto para dibujar el ángulo. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
Ángulo Boceto
Dibujo preciso
Diferenciación: Desafío
Considere desafiar a sus estudiantes a dibujar ángulos de reflexión, como ángulos de 190° o 285°, usando un transportador de 180°. Es posible que piensen en los ángulos de referencia o razonen que pueden crear ángulos de reflexión combinando ángulos agudos, rectos y obtusos.
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar una plantilla con varios pares de segmentos de recta perpendiculares para que sus estudiantes usen al hacer los bocetos de los ángulos.
2. 97°
3. 174°
Ángulo Boceto
Dibujo preciso
4. 151°
5. 29°
Ángulo Boceto
preciso
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del ángulo de referencia que está cerca de 97° y sobre qué tipo de ángulo es 97°.
Pida a sus estudiantes que hagan un boceto del ángulo y que lo comparen con el de su pareja de trabajo.
Luego, pídales que dibujen el ángulo de 97° usando un transportador y una herramienta de borde recto. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
Cuando terminen, guíe una conversación acerca de la precisión de sus dibujos.
¿Cómo se compara el dibujo preciso del ángulo con el boceto que hicieron?
Se parecen mucho. Una de las semirrectas señala hacia un sentido levemente diferente.
El ángulo de mi boceto es un poco menor que el ángulo del dibujo preciso.
¿Creen que su dibujo del ángulo es razonable? ¿Por qué?
Sí. Creo que es razonable. Predijimos que se vería como un ángulo recto y se ve muy parecido.
Invite a sus estudiantes a usar los transportadores para comprobar las medidas de sus ángulos.
Pídales que corrijan sus dibujos si es necesario.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando hace un boceto de un ángulo y, luego, usa el transportador para dibujar el ángulo con mayor precisión.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Con cuánta precisión deben usar el transportador para dibujar un ángulo?
• Al usar un transportador para dibujar un ángulo de 100°, ¿con qué pasos deben tener mucho cuidado? ¿Por qué?
Nota para la enseñanza
La actividad digital interactiva de Construir un ángulo permite a sus estudiantes hacer ángulos de una medida dada.
Considere realizar una actividad de demostración para toda la clase o permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual.
Dibujo
6. 83°
Pida a sus estudiantes que completen los problemas 3 a 6. Brinde apoyo según sea necesario.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la precisión de sus dibujos. Use preguntas similares a las siguientes como guía:
• ¿Qué tan precisos fueron sus dibujos?
• ¿Cómo pueden hacer que sus dibujos sean más precisos?
• ¿Sus dibujos finales estuvieron cerca de sus bocetos?
• Si sus bocetos no estuvieron muy cerca de sus dibujos precisos, ¿cómo pueden mejorar sus bocetos?
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Utilizar un transportador para dibujar ángulos de hasta 180°
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de cómo crear dibujos precisos de ángulos.
¿Qué herramientas nos pueden ayudar a dibujar ángulos con precisión?
Los transportadores y las herramientas de borde recto
Los números y las marcas de graduación de los transportadores nos ayudan a ubicar medidas exactas.
¿De qué manera estimar la medida de un ángulo puede ayudarnos a determinar si un dibujo es razonable?
Estimar y hacer un boceto me da algo que puedo comparar con mi dibujo preciso para saber si mi dibujo es razonable. Puedo pensar en el tipo de ángulo.
DUA: Participación
Es posible que sus estudiantes se frustren o no tengan seguridad al hacer los bocetos y se beneficien del uso de un transportador. Para propiciar el desarrollo de destrezas que permitan afrontar los problemas, comente estrategias de perseverancia y manejo de la frustración:
• Practicar el diálogo interno con enunciados como: “¡Puedo hacerlo!”
• Tener una mentalidad de crecimiento: en lugar de pensar “No puedo dibujarlo”, pensar “Todavía no puedo dibujarlo”
• Hacer una pausa para respirar profundamente y tranquilizarse antes de volver a trabajar
• Hacer una pregunta aclaratoria a otra persona de la clase o al maestro o la maestra
Nota para la enseñanza
Hacer bocetos de los ángulos antes de construirlos es un soporte para ayudar a sus estudiantes a pensar en cómo se verán los dibujos completados de los ángulos. No es necesario que sus estudiantes hagan un boceto de los ángulos antes de hacer los dibujos precisos en el Grupo de problemas, pero si les resulta útil, pueden continuar haciéndolos.
Si el dibujo preciso es muy diferente al boceto, o si parece un ángulo obtuso cuando debería haber sido agudo, entonces sé que probablemente hay un error.
Muestre Tahkt-I-Sulayman Variación II (Tahkt-I-Sulayman Variation II), 1969, de Frank Stella.
La pintura en la portada de sus libros se llama Tahkt-I-Sulayman Variación II. El artista, Frank Stella, nombró la pintura en honor a una ciudad antigua ubicada en lo que actualmente es Irán. La ciudad antigua tenía la forma de un círculo. El artista hizo más de 100 pinturas como esta.
Use las siguientes preguntas para que la clase se interese en la obra de arte:
• ¿Qué observan en la pintura?
• ¿Qué se preguntan?
Guíe a sus estudiantes para que piensen en la pintura en términos de un transportador.
La pintura pertenece a un grupo de pinturas denominado serie Transportador. El artista mostró el transportador en muchas pinturas. ¿En qué parte de la pintura ven figuras que les recuerdan a un transportador?
Cuando miro dos cuadrados que están uno al lado del otro, puedo ver medio círculo que se parece a un transportador.
Parece que trazó el borde de un transportador de 0° a 90° para hacer cada cuarto de círculo.
Los arcoíris se parecen a los giros de un cuarto que podemos mostrar con 90° en un transportador.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo les ayudan los colores de la pintura a ver las figuras de transportadores y cómo la precisión de la pintura les recuerda a la precisión en las matemáticas.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Nota para la enseñanza
Esta pintura también se presenta en la lección 1 del módulo 4. En esa lección, se hace énfasis en despertar el interés por la obra de arte a través de las fracciones. En esta lección, se hace énfasis en el parecido de las figuras con un transportador. Considere mostrar otras pinturas de la serie Transportador de Stella e invitar a sus estudiantes a comparar el uso de figuras de transportadores en las pinturas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
A1. 80 + = 90 10 2. 70 + =
35 + = 90
+ 5 = 90 85
21. + 65 = 90 25
22. + 55 = 90 35
86 + = 90 4
76 + = 90 14
+ 66 = 90 24
+ 56 = 90 34
56 + = 90 34 28. 57 + = 90 33 29. + 67 = 90 23
30. + 77 = 90 13
31. 87 + = 90 3
32. 88 + = 90 2
33. + 70 = 90 20
34. + 60 = 90 30
35. 10 + 70 + = 90 10
36. 30 + 10 + = 90 50
37. 10 + + 50 = 90 30
38. 10 + + 55 = 90 25
39. + 55 + 20 = 90 15
40. + 20 + 45 = 90 25
41. 32 + 45 + = 90 13
42. 25 + + 32 = 90 33
43. + 41 + 25 = 90 24
44. 33 + + 41 = 90 16
BCompleta las ecuaciones.
Número de respuestas correctas:
Progreso:
Usa la semirrecta, un transportador y una herramienta de borde recto para construir el ángulo.
Dibuja un arco para mostrar el ángulo. 1.
Construye el ángulo. Dibuja un arco para mostrar el ángulo.
Nombre Fecha
82°
13. Jayla coloca un transportador sobre una semirrecta. Muestra y explica cómo puede hacer un ángulo de 40°
Jayla puede comenzar en 90° y, luego, contar 40° hacia la izquierda o hacia la derecha en el transportador. Puede hacer una marca en 50 o 130 y usar la herramienta de borde recto para trazar una semirrecta desde el extremo de la semirrecta original hasta la marca que hizo. Luego, puede dibujar el arco para mostrar el ángulo.
Tema C
Determinar medidas angulares desconocidas
En el tema C, la clase aplica lo aprendido en el tema B acerca de la medición de ángulos y reconoce que las medidas angulares se pueden sumar. Luego, usan sus nuevos conocimientos para determinar las medidas angulares desconocidas.
La clase comienza a descomponer los ángulos de manera concreta usando bloques para hacer patrones y papel. Descomponen ángulos más grandes con medidas desconocidas usando bloques para hacer patrones y hallan las medidas de los ángulos más grandes sumando las medidas angulares conocidas de estos bloques. Doblan un papel para mostrar la composición y la descomposición de ángulos con medidas conocidas, incluyendo los ángulos de referencia de 90° y 180°. Luego, pasan a trabajar con dibujos rotulados que contienen medidas angulares conocidas y desconocidas. Usan las relaciones de parte-total a fin de escribir ecuaciones con letras para las medidas angulares desconocidas. Hallan las medidas angulares desconocidas usando la suma o la resta.
Familiarizarse con los ángulos de referencia y sus relaciones es un aspecto importante del tema. Sus estudiantes trabajan con ángulos rectos y llanos descompuestos en ángulos de referencia, incluidos, según corresponda, los que miden 30°, 45°, 60°, 90° y 120°. Reconocen y aplican las relaciones con los ángulos complementarios y suplementarios para hallar diversas medidas angulares desconocidas en las figuras.
En el tema D, se clasifican triángulos y otros polígonos a partir de las medidas angulares y otros atributos.
Progresión de las lecciones
Lección 13
Descomponer ángulos utilizando bloques para hacer patrones L
Puedo hallar la medida desconocida de un ángulo más grande usando las medidas angulares conocidas en los bloques para hacer patrones. Uso bloques para hacer patrones al descomponer el ángulo más grande y, luego, sumo las medidas conocidas de los ángulos más pequeños para hallar la medida desconocida del ángulo más grande. Puedo descomponer ángulos agudos, rectos, obtusos, llanos y de reflexión.
Lección 14
Hallar medidas angulares desconocidas dentro de ángulos rectos y llanos
Lección 15
Hallar medidas angulares desconocidas dentro de un ángulo descompuesto de hasta 180°
La medida del ∠FGH es 75°.
x + 60 = 90
x = 30
La medida del ∠CAD es 30˚.
Cuando descompongo un ángulo recto en dos ángulos, sé que la suma de las dos medidas angulares es 90°. Puedo hallar una medida angular si sé la otra medida angular. Puedo usar el mismo razonamiento para hallar una medida angular desconocida cuando un ángulo llano se descompone en ángulos más pequeños. La diferencia es que la suma de las medidas angulares en un ángulo llano es 180°.
Puedo hallar una medida angular desconocida cuando un ángulo de cualquier tamaño se descompone en dos o más ángulos usando lo que sé sobre las relaciones de parte-total. La medida angular desconocida puede ser la medida de una de las partes o la medida de todo el ángulo.
Lección 16
Hallar medidas angulares desconocidas alrededor de un punto
30° x° y° z°
Uso lo que sé sobre los ángulos complementarios, los ángulos suplementarios, los giros enteros y la suma de medidas angulares para hallar una o más medidas angulares desconocidas en una figura.
Descomponer ángulos utilizando bloques para hacer patrones
Vistazo a la lección
La clase usa las medidas angulares conocidas de los bloques para hacer patrones a fin de hallar otras medidas angulares en estos bloques. Descomponen los ángulos en ángulos conocidos más pequeños usando bloques para hacer patrones y, luego, suman las medidas de los ángulos más pequeños para hallar la medida desconocida de un ángulo más grande.
Preguntas clave
• ¿Cómo se pueden descomponer los ángulos?
• ¿De qué manera la descomposición de un ángulo permite hallar su medida?
Criterio de logro académico
4.Mód6.CLA3 Hallan las medidas angulares desconocidas usando la suma y la resta. (4.MD.C.7)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Ángulos de bloques para hacer patrones
• Hallar medidas angulares
• Descomponer un ángulo
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Recortes de bloques para hacer patrones (en la edición para la enseñanza)
• tijeras
Estudiantes
• herramienta de borde recto
• Recortes de bloques para hacer patrones (en el libro para estudiantes)
• tijeras
Preparación de la lección
• Prepare un juego de Recortes de bloques para hacer patrones con antelación para el maestro o la maestra.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Recortes de bloques para hacer patrones de los libros para estudiantes y recortar los cinco bloques para hacer patrones con antelación o si los preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Muéstrame figuras geométricas: Rectas y segmentos de recta
La clase hace gestos con las manos y los brazos para representar rectas y segmentos de recta, paralelos y perpendiculares, a fin de desarrollar la memoria cinestésica en relación con las figuras geométricas.
Usemos las manos y los brazos para mostrar diferentes figuras.
Muéstrenme una recta. (Muestran el gesto para una recta).
Bajen los brazos. (Bajan los brazos).
Use los gestos que se proporcionan para continuar el proceso con la siguiente secuencia:
Rectas paralelas Rectas perpendiculares
Segmentos de recta paralelos
Segmento de recta
Segmentos de recta perpendiculares
Para que sea entretenido, alterne entre las seis figuras. Anime a sus estudiantes a mostrar diferentes variaciones de cada tipo de figura.
Recta
Intercambio con la pizarra blanca: Dibujar figuras geométricas
Materiales: E) Herramienta de borde recto
La clase dibuja un ejemplo de un punto, una semirrecta o un ángulo específicos para familiarizarse con las figuras y notaciones geométricas vistas en el tema A.
Muestre el punto A.
Cuando dé la señal, lean el nombre de la figura. ¿Comenzamos?
Punto A
Dibujen un ejemplo del punto A.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la imagen de ejemplo de la figura geométrica.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Semirrecta
Muéstrame: Giros fraccionarios
La clase usa el cuerpo para mostrar giros y relacionarlos con las medidas angulares a fin de desarrollar memoria cinestésica en relación con el vocabulario y las medidas que aprendieron en el tema B.
Invite a sus estudiantes a ponerse de pie y asegúrese de que tengan suficiente espacio para girar en un círculo.
Usemos nuestros cuerpos para mostrar giros. Miren hacia el frente del salón de clases.
Muéstrenme un giro entero.
(Giran en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario y terminan mirando hacia el frente del salón de clases).
¿Cuántos grados giraron?
360°
Nota para la enseñanza
Valide todas las respuestas correctas que no coincidan exactamente con la imagen que se muestra en el ejemplo de respuesta. Por ejemplo, es posible que para el ángulo D alguien elija dibujar un ángulo obtuso o recto siendo que el ángulo que se muestra es agudo. Observe qué atributos de la figura se necesitan para constituir una respuesta correcta.
Punto
Muéstrenme un giro de un medio.
(Giran en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario y terminan mirando hacia la parte de atrás del salón de clases).
¿Cuántos grados giraron?
180°
Miren hacia el frente del salón de clases. Giren en el sentido de las manecillas del reloj para mostrar un giro de un cuarto.
(Giran hacia la derecha).
¿Cuántos grados giraron?
90°
Miren otra vez hacia el frente del salón de clases. Giren en sentido contrario a las manecillas del reloj para mostrar un giro de un cuarto.
(Giran hacia la izquierda).
¿Cuántos grados giraron?
90°
Repita la actividad para mostrar un giro de tres cuartos dos veces, primero girando en el sentido de las manecillas del reloj y, luego, en sentido contrario.
Presentar
La clase observa y se pregunta sobre ángulos que se componen de ángulos de bloques para hacer patrones.
Muestre la imagen de los ángulos rectos y los bloques para hacer patrones.
¿Qué observan en los dos ángulos que se muestran?
Los dos son ángulos rectos.
Los bloques para hacer patrones caben dentro de los ángulos.
Un ángulo recto coincide con el ángulo recto del cuadrado. El otro ángulo recto coincide con el que se forma al juntar 3 rombos marrón claro.
¿Qué se preguntan sobre los ángulos del rombo marrón claro?
Me pregunto si se pueden usar ángulos más pequeños para crear ángulos más grandes.
Me pregunto cuál es la medida angular del rombo.
Me pregunto si el ángulo recto nos puede ayudar a hallar la medida angular del rombo.
Muestre la imagen de los ángulos agudos y los bloques para hacer patrones.
¿En qué se diferencian estos ángulos de los que acabamos de ver?
Son ángulos agudos en lugar de ángulos rectos.
Uno de los ángulos del rombo azul coincide con el que se forma al juntar dos rombos marrón claro.
¿Qué se preguntan sobre los ángulos en estas figuras?
Me pregunto cuál es la medida angular del rombo azul.
Me pregunto si podemos usar los ángulos de una figura para determinar las medidas angulares de otra figura.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, descompondremos los ángulos más grandes en ángulos más pequeños y usaremos los ángulos más pequeños para hallar las medidas de los ángulos más grandes.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere crear un banco de palabras con los nombres y las descripciones de los bloques para hacer patrones a fin de que sus estudiantes puedan consultarlo cuando den explicaciones en la lección. Considere usar un código de colores en el banco de palabras para conectar la imagen y el término.
• cuadrado naranja
• rombo azul
• rombo marrón claro
• hexágono amarillo
• triángulo verde
Aprender
Ángulos de bloques para hacer patrones
Materiales: M/E) Recortes de bloques para hacer patrones, tijeras
La clase halla las medidas de los ángulos más grandes usando un bloque para hacer patrones con una medida angular de 30°.
Invite a sus estudiantes a retirar la hoja extraíble de Recortes de bloques para hacer patrones de sus libros y a recortar las cinco figuras de bloques para hacer patrones. Forme parejas de estudiantes y pídales que compartan sus figuras para el siguiente segmento.
Pida a sus estudiantes que observen el ∠A en sus libros.
¿Qué saben acerca de la medida del ∠A? ¿Cómo lo saben?
Mide 90° porque está rotulado con un cuadrado pequeño.
Es un ángulo recto, o de 90°.
Descompongamos el ángulo recto usando una figura diferente.
1. Descompón cada ángulo para hallar su medida.
Nota para la enseñanza
Si es posible, reúna bloques para hacer patrones de madera o de plástico para que sus estudiantes los usen en lugar de los recortes de papel.
Nota para la enseñanza
A lo largo de la lección, sus estudiantes descomponen ángulos más grandes en ángulos más pequeños y, luego, usan las medidas de los ángulos más pequeños para hallar la medida del ángulo más grande. Hallar la medida de un ángulo más grande sumando las medidas de los ángulos más pequeños también se podría considerar como una composición. En definitiva, el objetivo es que sus estudiantes sepan que la medida angular del ángulo más grande (es decir, el entero) es la suma de las medidas angulares de los ángulos más pequeños (es decir, las partes).
Guíe a sus estudiantes para que cubran el ángulo recto con un rombo marrón claro a la vez a fin de mostrar la descomposición del ángulo recto en tres ángulos agudos a partir de tres rombos.
¿Cuántos ángulos agudos de un rombo marrón claro usamos para descomponer el ángulo recto?
Sabemos que el ángulo recto mide 90°. ¿Cómo podemos hallar la medida de cada ángulo agudo?
Podemos pensar en 3 × = 90.
Podemos hallar 90 ÷ 3 porque hay tres ángulos que tienen la misma medida.
¿Cuál es la medida de cada ángulo agudo?
30°
Invite a sus estudiantes a rotular la medida del ∠B como 30° en sus libros.
Pida a sus estudiantes que observen el ∠C.
A¿Cómo podemos usar el ángulo de 30° para hallar la medida del ∠C?
Podemos ver cuántos ángulos de 30° se necesitan para descomponer el ángulo.
Guíe a sus estudiantes para que cubran el ángulo agudo con un rombo marrón claro a la vez a fin de descomponerlo.
¿Cuántos ángulos agudos usamos para descomponer el ∠C?
2
¿Cuál es la medida del ∠C? ¿Cómo lo saben?
Mide 60° porque 2 × 30 = 60.
Invite a sus estudiantes a rotular la medida del ∠C como 60°.
El ∠D y el ∠E representan los otros ángulos del triángulo verde.
¿Cuál es su estimación de la medida de cada ángulo? ¿Por qué?
Son agudos, entonces son menores que 90°.
Parecen de la misma medida que el ∠C. Estimo que miden 60°.
Invite a sus estudiantes a usar el mismo proceso para hallar las medidas del ∠D y el ∠E. Luego, registre las medidas angulares con la clase.
¿Qué observan sobre la medida de cada ángulo en el triángulo verde?
Son todas iguales. Todos los ángulos miden 60°.
Pida a sus estudiantes que observen el ∠F y el ∠G.
¿Creen que las medidas de los ángulos del rombo azul también son iguales? Expliquen.
No creo que sean iguales porque el ∠F es un ángulo agudo y el ∠G es un ángulo obtuso.
Repita el proceso usado para descomponer el ∠A, el ∠B, el ∠C, el ∠D y el ∠E pidiendo a sus estudiantes que usen los rombos marrón claro para descomponer y, luego, hallar y registrar las medidas del ∠F y el ∠G.
Descompusimos dos de los ángulos del rombo azul. ¿Cuántos otros ángulos tiene el rombo azul que no descompusimos?
2
Invite a sus estudiantes a desplazar el dedo por los otros ángulos agudos y obtusos del rombo azul.
¿Cómo podemos hallar las medidas de estos ángulos?
Podemos usar el mismo proceso.
Podemos descomponer los ángulos usando el ángulo agudo del rombo marrón claro.
Los ángulos del rombo azul parecen tener la misma medida que el ∠F y el ∠G.
Pida a sus estudiantes que hallen y registren las medidas de los otros ángulos del rombo azul.
¿Cómo se comparan los otros ángulos del rombo azul con el ∠F y el ∠G?
El ángulo agudo mide 60°, lo mismo que el ∠F.
El ángulo obtuso mide 120°, lo mismo que el ∠G.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para hallar las medidas del ∠H y de los otros ángulos del hexágono amarillo.
¿Qué observan sobre las medidas de los ángulos en las figuras de los bloques para hacer patrones?
Muchos de los ángulos tienen la misma medida, 60° o 120°.
Las medidas angulares son todas múltiplos de 30.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron el ángulo agudo del rombo marrón claro para hallar las medidas angulares de los otros ángulos en las figuras de los bloques para hacer patrones.
Hallar medidas angulares
La clase suma medidas angulares para hallar la medida de un ángulo más grande.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 en sus libros.
Halla la medida angular representada por el arco.
2.
DUA: Acción y expresión
Considere pedir a sus estudiantes que consulten el trabajo del último segmento en el que registraron las medidas angulares en sus libros. Las medidas angulares registradas se pueden usar como ayuda para completar los problemas 2 a 4.
I
30 + 90 = 120
La medida del ∠I es 120° .
¿Qué ángulos de las figuras de los bloques para hacer patrones muestran cómo se descompone el ∠I?
El ángulo recto en el cuadrado y el ángulo agudo en el rombo marrón claro.
¿Qué tipo de ángulo es el ∠I?
Obtuso
¿Qué nos indica eso sobre la medida angular?
Es mayor que 90° y menor que 180°.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar una ecuación que podrían escribir a fin de determinar la medida del ∠I.
Podemos sumar la medida de cada ángulo que usamos para mostrar cómo se puede descomponer el ∠I.
30 + 90 = 120
Pida a sus estudiantes que completen la ecuación del problema 2.
¿La medida del ∠I que hallamos es razonable para el tipo de ángulo que es?
Sí, 120° es la medida de un ángulo obtuso.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron los ángulos más pequeños para hallar la medida del ∠I.
Repita el proceso para completar los problemas 3 y 4.
60 + 120 = 180
La medida del ∠J es 180° .
120 + 120 = 240
La medida del ∠K es 240° .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se pueden sumar las medidas de los ángulos más pequeños para hallar la medida de un ángulo más grande.
Diferenciación: Desafío
Considere desafiar a sus estudiantes pidiéndoles que usen tres o más bloques para hacer patrones a fin de descomponer el ∠J y el ∠K. Invíteles a registrar la ecuación de suma relacionada.
Descomponer un ángulo
Materiales: E) Bloques para hacer patrones
La clase usa bloques para hacer patrones a fin de descomponer un ángulo y hallar la medida.
Dé a sus estudiantes 2 minutos para que usen los bloques para hacer patrones y completen el problema 5.
5. Descompón el ∠L usando bloques para hacer patrones.
a. Escribe una ecuación para hallar la medida del ∠L.
30 + 120 = 150
b. La medida del ∠L es 150° .
Ejemplo:
Pida a sus estudiantes que conversen en parejas sobre sus descomposiciones y ecuaciones. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Pida a dos o tres estudiantes que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias usadas para hallar la medida del ∠L.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando compone y descompone ángulos usando distintos bloques para hacer patrones y cuando es capaz de determinar la medida de un ángulo usando lo que se sabe sobre los ángulos de bloques para hacer patrones.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué les indica sobre la medida angular el uso de un rombo marrón claro y un hexágono amarillo para componer un ángulo?
• ¿De qué manera un rombo azul representa un ángulo agudo o un ángulo obtuso?
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su trabajo con todo el grupo. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. Considere hacer las siguientes preguntas:
• ¿Cómo descompusieron el ángulo?
• ¿De qué manera la descomposición del ángulo les ayudó a hallar su medida?
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre las conexiones entre las estrategias.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre su estrategia y las estrategias de sus pares.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Descomponer ángulos utilizando bloques para hacer patrones
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la descomposición de ángulos.
¿Cómo podemos descomponer los ángulos?
Podemos descomponer los ángulos en ángulos más pequeños y usar bloques para hacer patrones para hallar su medida.
Podemos descomponer un ángulo en medidas angulares más pequeñas que sean iguales o diferentes.
¿De qué manera la descomposición de un ángulo les permite hallar su medida?
Si se conocen las medidas de los ángulos más pequeños, se pueden sumar para hallar la medida del ángulo más grande.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
4. La medida del ∠Z es 120°. Describe dos maneras en las que podrías usar bloques para hacer patrones para descomponer el ∠Z
Ejemplo:
Puedo usar 2 triángulos verdes. 120 = 60 + 60
Puedo usar un cuadrado naranja y un rombo marrón claro. 120 = 90 + 30
Hallar medidas angulares desconocidas dentro de ángulos rectos y llanos
Vistazo a la lección
El ∠ ABC es un ángulo llano. La medida del ∠ DBC es 53°.
Escribe y resuelve una ecuación para hallar la medida del ∠ ABD
Ecuación: 53 + x = 180
Medida del ∠ ABD 127°
La clase dobla un papel para descomponer ángulos rectos y llanos y, luego, escribe ecuaciones de suma relacionadas. Hallan una medida angular desconocida cuando se conocen la medida angular total y una parte. En esta lección se formalizan los términos ángulos adyacentes, ángulos complementarios y ángulos suplementarios.
Pregunta clave
• ¿Qué estrategias podemos usar para hallar una medida angular desconocida cuando se descompone un ángulo recto o un ángulo llano en ángulos más pequeños?
Criterio de logro académico
4.Mód6.CLA3 Hallan las medidas angulares desconocidas usando la suma y la resta. (4.MD.C.7)
Agenda
Fluidez 15 min
Presentar 5 min
Aprender 30 min
• Descomponer ángulos de referencia
• Medidas angulares que suman 90°
• Medidas angulares que suman 180°
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Juego de las figuras geométricas (en la edición para la enseñanza)
• papel en blanco
• herramienta de borde recto
• transportador de 4″ (180°)
Estudiantes
• Juego de las figuras geométricas (en el libro para estudiantes)
• papel en blanco
• herramienta de borde recto
• transportador de 4″ (180°)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Juego de las figuras geométricas de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Adivina mi figura geométrica
Materiales: E) Juego de las figuras geométricas
La clase formula preguntas usando vocabulario preciso de geometría para identificar una figura geométrica a fin de familiarizarse con las figuras geométricas y el vocabulario relacionado presentados en el tema A.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Asegúrese de que sus estudiantes tengan una pizarra blanca individual con la hoja extraíble de Juego de las figuras geométricas dentro. Recuérdeles las reglas del juego.
• El objetivo del juego es adivinar la figura en la que está pensando su pareja de trabajo.
• Estudiante A: en secreto, encierra en un círculo una de las figuras de su pizarra blanca.
• Estudiante B: hace una pregunta sobre la figura que se pueda responder con “sí” o “no”.
• Estudiante A: responde a la pregunta con “sí” o “no”. Estudiante B: usa la respuesta para tachar las figuras que no pueden ser la figura de su pareja.
• Estudiante B: continúa haciendo preguntas hasta que solo queda una figura que no se haya tachado.
• Estudiante B: encierra en un círculo la figura que cree que eligió su pareja y, luego, cada integrante de la pareja muestra su pizarra blanca. Si las figuras encerradas en un círculo no coinciden, las parejas comentan qué puede haber fallado.
• Luego, la pareja intercambia los roles.
¿Tu figura tiene rectas paralelas?
No.
Recorra el salón de clases mientras se desarrolla el juego y proporcione apoyo según sea necesario.
Muéstrame: Giros fraccionarios
La clase gira el cuerpo 90, 180, 270 o 360 grados y relaciona el movimiento con los giros fraccionarios para desarrollar memoria cinestésica en relación con el vocabulario y las medidas que aprendieron en el tema B.
Invite a sus estudiantes a ponerse de pie y asegúrese de que tengan suficiente espacio para girar en un círculo.
Usemos nuestros cuerpos para mostrar giros. Miren hacia el frente del salón de clases.
Muéstrenme un giro de 360°.
(Giran en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario y terminan mirando hacia el frente del salón de clases).
¿Qué término podemos usar para describir un giro de 360°?
Giro entero
Muéstrenme un giro de 180°.
(Giran en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario y terminan mirando hacia la parte de atrás del salón de clases).
¿Qué término podemos usar para describir un giro de 180°?
Giro de un medio
Miren hacia el frente del salón de clases. Giren 90° en el sentido de las manecillas del reloj.
(Giran hacia la derecha).
¿Qué término podemos usar para describir un giro de 90°?
Giro de un cuarto
Miren otra vez hacia el frente del salón de clases. Giren 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj.
(Giran hacia la izquierda).
¿Qué término podemos usar para describir un giro de 90°?
Giro de un cuarto
Repita la actividad para mostrar un giro de 270°, o tres cuartos, dos veces, primero girando en el sentido de las manecillas del reloj y, luego, en sentido contrario.
Intercambio con la pizarra blanca: Componer 180
La clase completa una ecuación de suma con un sumando desconocido como preparación para la destreza de hallar medidas angulares desconocidas con ángulos llanos.
Muestre 100 + = 180.
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase suma diferentes unidades de medida.
Muestre la imagen de los bloques para hacer patrones.
¿Qué ángulos parecen combinarse para formar un ángulo de 180°, o llano?
El ángulo en el triángulo verde y el ángulo en el hexágono amarillo.
El ángulo en el triángulo verde y el ángulo obtuso en el rombo azul.
El ángulo agudo en el rombo azul y el ángulo en el hexágono amarillo.
Muestre la imagen del ángulo llano.
¿Qué medidas angulares parecen combinarse para formar un ángulo de 90°?
El ∠1 y el ∠2
El ∠3 y el ∠4
Muestre la imagen de los cuatro ángulos rectos.
¿Qué medidas angulares parecen combinarse para formar un ángulo de 180°?
El ∠5 y el ∠6
El ∠7 y el ∠8
El ∠6 y el ∠7
El ∠5 y el ∠8
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos lo que sabemos sobre los ángulos rectos y los ángulos llanos para hallar las medidas desconocidas de otros ángulos.
DUA: Representación
Considere presentar la información en otro formato. Pida a sus estudiantes que participen en una actividad cinestésica para ayudarles a diferenciar un ángulo llano de otros ángulos. Invíteles a desplazar el dedo por el ángulo o a colocar una herramienta de borde recto a lo largo del ángulo mientras describen qué ángulos se pueden componer para formar un ángulo llano.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes quizá reconozcan que hay ángulos no adyacentes con medidas que suman 90° o 180°. Las respuestas que indican esos ángulos también son correctas y serán objeto de atención más adelante en la lección.
Aprender
Descomponer ángulos de referencia
Materiales: M/E) Papel en blanco, herramienta de borde recto, transportador
La clase dobla papeles para mostrar que las medidas angulares se pueden sumar.
Distribuya una hoja de papel a cada estudiante. Demuestre la siguiente secuencia de cortar, doblar y rotular la hoja de papel mientras sus estudiantes hacen lo mismo:
Corte una hoja por la mitad y, luego, doble uno de los trozos por la mitad de abajo hacia arriba.
Desplace el dedo por el doblez.
Este doblez representará un ángulo. Marquemos un vértice en el medio.
Doble el papel de izquierda a derecha para hallar el medio y, luego, desdóblelo. Marque un punto en la parte de abajo, sobre el doblez.
¿Qué ángulo de referencia formamos?
Un ángulo llano
Un ángulo de 180°
Vuelva a doblar el papel de izquierda a derecha en el vértice.
¿Qué ángulo hemos formado ahora?
Un ángulo recto
Un ángulo de 90°
Desdoble el papel y use una herramienta de borde recto para trazar una semirrecta a lo largo del doblez.
¿En cuántos ángulos rectos se ha descompuesto el ángulo llano?
En dos ángulos rectos
DUA: Acción y expresión
Considere las siguientes sugerencias para brindar apoyo a sus estudiantes durante la tarea de doblar el papel:
• Proporcione papel de diferentes tamaños para adaptarse a las preferencias de sus estudiantes y a sus necesidades de motricidad fina.
• Forme parejas de estudiantes para que compartan la tarea de doblar y rotular.
• Proporcione una versión escrita de las instrucciones orales con apoyos visuales para que sus estudiantes consulten. Para mantener el enfoque en el paso que se está representando, pídales que usen una hoja de papel en blanco para cubrir los pasos restantes.
¿Qué ecuación podemos escribir para mostrar que la medida de dos ángulos rectos es la misma que la de un ángulo llano?
90° + 90° = 180°
Invite a sus estudiantes a escribir la ecuación en la parte de arriba de sus papeles.
Vuelva a doblar el papel de izquierda a derecha, esta vez doblando el lado izquierdo debajo del lado derecho de modo que la semirrecta trazada quede visible.
Vamos a descomponer el ángulo recto.
Doble el lado vertical del ángulo recto hacia abajo para que se junte con el lado horizontal y se creen dos ángulos de igual tamaño. Desdoble el papel una vez para mostrar el doblez y use una herramienta de borde recto para trazar una semirrecta a lo largo del doblez. Dibuje arcos para identificar cada ángulo nuevo.
¿Qué observan acerca de los dos ángulos?
Parecen ser del mismo tamaño.
Sus medidas suman 90°.
¿Cómo podemos saber que son del mismo tamaño?
Coinciden cuando se doblan uno encima del otro.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo hallar la medida de cada ángulo.
Podemos hallar 90 ÷ 2.
45 + 45 = 90, entonces cada ángulo mide 45°.
Podemos medir con un transportador.
Rotule los dos ángulos de 45° en el papel. Luego, invite a sus estudiantes a registrar la ecuación de suma.
Nota para la enseñanza
Dibuje con claridad los dos arcos, uno para cada ángulo, de modo que se puedan distinguir.
De vuelta al papel, trace una semirrecta a lo largo del doblez y dibuje arcos para identificar cada ángulo.
¿Los dos ángulos también miden 45°? ¿Cómo lo saben?
Sí, porque se formaron con el mismo doblez que los otros dos ángulos de 45°.
Sí, porque son del mismo tamaño y juntos forman un ángulo de 90°.
Rotule los dos ángulos de 45°. Luego, desdoble el papel para que el ángulo de 180° quede visible.
¿Qué observan?
El ángulo llano se descompone en cuatro ángulos.
Los cuatro ángulos son del mismo tamaño. Tienen la misma medida.
¿Qué ecuación podemos escribir para mostrar el total de las medidas angulares?
45° + 45° + 45° + 45° = 180°
Invite a sus estudiantes a registrar la ecuación.
Pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de cómo sumaron las medidas angulares más pequeñas para componer la medida angular más grande.
Use la otra mitad del papel en blanco que cortó y repita el proceso para crear un ángulo de 90°.
Esta vez, descompongamos el ángulo recto en dos ángulos diferentes.
Doble el lado vertical del ángulo recto hacia abajo sin que se junte con el lado horizontal. Desdoble el papel, trace una semirrecta a lo largo del doblez y dibuje arcos para identificar cada ángulo nuevo.
¿Cómo descompusimos el ángulo recto de manera diferente esta vez?
Esta vez los dos ángulos no son iguales en tamaño.
Lo descompusimos doblándolo de manera diferente.
Use un transportador para medir y rotular cada ángulo dentro del ángulo recto.
¿Cuánto deben sumar las medidas de los ángulos? ¿Por qué?
90°, porque juntas forman un ángulo recto.
Comprobémoslo. ¿Cuánto es 22° + 68°?
90°
Registre la ecuación de suma: 22° + 68° = 90°.
Invite a sus estudiantes a registrar la ecuación de suma de modo que se relacione con sus ángulos.
Desdoble el papel para que el ángulo llano quede visible y gírelo hacia el lado en blanco.
Vamos a mostrar la descomposición del ángulo llano en dos ángulos que no miden 90°.
Marque un punto para el vértice y trace una semirrecta a lo largo de un doblez. Dibuje dos arcos para identificar los dos ángulos en los que se descompuso el ángulo llano.
¿Cómo descompusimos el ángulo llano de manera diferente esta vez?
En lugar de descomponerlo en dos ángulos rectos, lo descompusimos en un ángulo agudo y un ángulo obtuso.
Esta vez, los dos ángulos no son iguales en tamaño.
Repita el proceso para medir y rotular los ángulos y escriba la ecuación de suma correspondiente.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre sus ecuaciones de suma.
Nuestras dos ecuaciones suman 180°.
Estamos sumando las medidas de un ángulo agudo y un ángulo obtuso.
Nuestros dos ángulos tienen medidas diferentes.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo sus ecuaciones de suma muestran la manera en que se descompusieron el ángulo recto y el ángulo llano.
Nota para la enseñanza
Esta es la primera vez que sus estudiantes usan un transportador para medir un ángulo que comparte un lado con otro ángulo. Considere guiarles para que roten el transportador y alineen la línea del cero del transportador con el borde del papel o con la semirrecta trazada.
Nota para la enseñanza
Si las medidas de los ángulos de sus estudiantes no suman 90°, invíteles a considerar que el doblez, el dibujo y la medición pueden resultar imprecisos. Luego, pídales que vuelvan a medir y vean si pueden hallar medidas que sumen 90°
Medidas angulares que suman 90°
Materiales: M/E) Papel doblado con ángulos dibujados, transportador
La clase escribe ecuaciones y halla una medida angular desconocida cuando la suma es 90°.
Muestre la imagen del ángulo recto.
¿Qué sabemos sobre los ángulos de la imagen?
El ∠CMB es un ángulo recto.
El ángulo recto mide 90º.
El ángulo recto se descompone en dos ángulos.
El ∠DMB mide 60°.
¿Dónde ven un número desconocido en la imagen?
Hay una x en la imagen donde se supone que va la medida angular.
En lugar de una medida angular, hay una x.
¿Qué representa el número desconocido en la imagen?
La medida del ∠CMD
El valor de x
¿Qué ecuación de suma podemos escribir para mostrar cómo se componen las medidas de los ángulos más pequeños para formar la medida del ángulo recto?
x° + 60° = 90°
Registre la ecuación e invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la medida desconocida del ∠CMD.
La medida del ∠CMD es 30° porque conté hacia arriba desde 60 y hallé que 30 + 60 = 90.
Hallé que 90 − 60 = 30, entonces la medida del ∠CMD es 30°.
La suma de las dos medidas angulares es 90°. Decimos que los dos ángulos son ángulos complementarios.
Nota para la enseñanza
Para determinar la medida angular desconocida, sus estudiantes pueden escribir ecuaciones con o sin el símbolo de grado. Sin embargo, el uso del símbolo de grado debe ser consistente dentro de una ecuación. Descontextualizar para completar los cálculos y, luego, volver a contextualizar para establecer la medida angular es una evidencia del estándar MP2.
Pida a sus estudiantes que observen su papel doblado con ángulos dibujados.
¿Qué otros ángulos complementarios formamos al doblar nuestro papel para formar ángulos?
Dos ángulos de 45°
Un ángulo de 22° y un ángulo de 68°
Hasta ahora, solo hemos visto ejemplos de ángulos complementarios que son ángulos adyacentes, o ángulos que están uno al lado del otro y comparten un lado. Los ángulos que no son adyacentes, o que no comparten un lado, también pueden ser complementarios.
Muestre la imagen de las piezas con diferentes formas.
¿Los ángulos rotulados en las figuras rojas y amarillas son ángulos adyacentes o ángulos no adyacentes?
Son ángulos no adyacentes.
¿Cuál es la suma de las dos medidas angulares rotuladas? 90°
Los dos ángulos no son adyacentes, pero son complementarios.
Forme parejas de estudiantes y pida a cada estudiante A que dibuje un ángulo agudo. Invite a cada estudiante B a medir el ángulo que dibujó su pareja y, luego, a dibujar un ángulo complementario que no sea adyacente. Pida a cada estudiante A que mida el ángulo dibujado por su pareja y que confirme que los dos ángulos son complementarios.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo saber que dos ángulos son complementarios puede ayudarles a hallar las medidas angulares.
Si sabemos que dos ángulos son complementarios, sabemos que la suma de las medidas angulares es 90°.
Si sabemos la medida de un ángulo, podemos hallar la medida de un ángulo complementario calculando lo que falta para sumar 90°.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere crear un afiche para mostrar las relaciones entre los términos nuevos. En una fila, dibuje y rotule ejemplos de ángulos adyacentes y ángulos complementarios no adyacentes. En una segunda fila, dibuje y rotule ejemplos de ángulos suplementarios adyacentes y no adyacentes.
Diferenciación: Desafío
Considere desafiar a sus estudiantes pidiéndoles que midan e identifiquen más ángulos complementarios en la imagen de las piezas con diferentes formas. Una vez que se hayan presentado los ángulos suplementarios, considere mostrar la imagen de nuevo y pedirles que también los identifiquen.
Medidas angulares que suman 180°
La clase escribe ecuaciones y halla una medida angular desconocida cuando la suma de las medidas angulares es 180°.
Muestre la imagen del ángulo llano.
Dé a las parejas 2 minutos para hallar la medida angular desconocida. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Busque estudiantes que escriban una ecuación de suma y que hallen el valor de y, y destáquelo durante la conversación.
¿Qué ecuación de suma podemos escribir para mostrar cómo las medidas de los ángulos más pequeños se combinan para formar un ángulo llano?
43° + y° = 180°
¿Cuál es el valor de y? ¿Cómo lo saben?
137°, porque las medidas de los dos ángulos suman 180°.
¿Cuál es la medida del ∠HFG?
137°
La suma de las dos medidas angulares es 180°. Decimos que los dos ángulos son ángulos suplementarios.
Pida a sus estudiantes que observen su papel doblado con ángulos dibujados.
¿Qué otros ángulos suplementarios formamos al doblar nuestro papel para formar ángulos?
Dos ángulos de 90°
Un ángulo de 112° y un ángulo de 68°
No es necesario que los ángulos suplementarios sean ángulos adyacentes, pero sus medidas deben sumar 180°.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando halla medidas angulares desconocidas que resultan de la descomposición de un ángulo de 180°.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿En qué se parecen los problemas de descomposición de un ángulo de 180° a los problemas de descomposición de un ángulo de 90°?
• ¿De qué otra manera se puede usar la suma o la resta para hallar la medida angular desconocida?
Nota para la enseñanza
Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas es 90º.
Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas es 180º.
Sus estudiantes pueden pensar que si la suma de tres o más medidas angulares es 90° o 180° pueden ser ángulos complementarios o suplementarios. Ayude a evitar conceptos erróneos haciendo énfasis en que es la suma de las medidas de dos ángulos.
Muestre la imagen de la barandilla de la escalera.
Los dos ángulos que se muestran son suplementarios.
¿Qué ecuación podemos escribir para mostrar la suma de las dos medidas angulares?
125° + z° = 180°
Dé a sus estudiantes 1 minuto para que hallen la medida angular desconocida.
¿Cuál es el valor de z?
55
¿Cuál es la medida angular desconocida?
55°
Forme parejas de estudiantes y pida a cada estudiante A que dibuje un ángulo agudo u obtuso. Invite a cada estudiante B a medir el ángulo que dibujó su pareja y, luego, a dibujar un ángulo suplementario que no sea adyacente. Pida a cada estudiante A que mida el ángulo dibujado por su pareja y que confirme que los dos ángulos son suplementarios.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo saber que dos ángulos son suplementarios puede ayudarles a hallar las medidas angulares.
Si sabemos que dos ángulos son suplementarios, sabemos que la suma de las medidas angulares es 180º.
Si sabemos la medida de un ángulo, podemos hallar la medida de un ángulo suplementario calculando lo que falta para sumar 180°.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Hallar medidas angulares desconocidas dentro de ángulos rectos y llanos
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la suma de medidas angulares.
Muestre la imagen del ángulo llano.
Al comienzo de la lección, observaron una imagen como esta e identificaron ángulos que parecía que se podían componer para formar 90°. Identificaron ángulos complementarios.
¿Qué otros ángulos complementarios ven ahora que quizás no vieron antes?
Los pares de ángulos de 65° y 25° que no son adyacentes también son complementarios.
Muestre la imagen de los cuatro ángulos rectos de la sección Presentar.
También identificaron ángulos que parecía que se podían componer para formar 180°. Identificaron ángulos suplementarios. ¿Qué otros ángulos suplementarios ven ahora que quizás no vieron antes?
Los pares de ángulos que no son adyacentes también son suplementarios.
¿Qué estrategias pueden usar para hallar una medida angular desconocida cuando se descompone un ángulo recto o un ángulo llano en ángulos más pequeños?
Si sé que un ángulo es recto, sé que mide 90°. Si se descompone, sé que la suma de las medidas angulares es 90°. Si sé la medida de un ángulo, puedo sumar o restar para hallar la medida del otro ángulo.
Si sé que un ángulo es llano, sé que mide 180°. Si se descompone, sé que la suma de las medidas angulares es 180°. Si sé la medida de un ángulo, puedo sumar o restar para hallar la medida del otro ángulo.
¿Cómo pueden usar la suma o la resta para hallar una medida angular desconocida?
Si sé que la suma de dos medidas angulares es 90° y una medida angular es 45°, puedo pensar en sumar 45° para formar 90°. O puedo restar, porque restar es como sumar.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
las ecuaciones y halla la medida angular desconocida. Comprueba la medida usando un transportador.
7. El ∠KVR es un ángulo llano.
8. El ∠YJH es un ángulo llano.
52 + x = 180 x = 128
La medida del ∠KVE es 128° .
+ x = 180
= 153
La medida del ∠YJP es 153°
9. Robin construye un gato con las piezas que se muestran en la imagen. Halla el valor de x Explica tu razonamiento.
45 + x = 90 x = 45
La suma de las medidas de los dos ángulos es 90°, entonces el valor de x es 45
10. Un abanico está abierto como se muestra debajo. ¿Cuántos grados más necesita abrirse el abanico para formar un ángulo llano?
Escribe una ecuación para hallar la medida angular desconocida. Explica tu razonamiento.
147 + x = 180 x = 33
El abanico necesita abrirse 33° más para formar un ángulo llano.
Un ángulo llano mide 180° 147 + 33 = 180
EUREKA MATH
EUREKA MATH2
Hallar medidas angulares desconocidas dentro de un ángulo descompuesto de hasta 180°
Vistazo a la lección
El ∠TUV es un ángulo llano.
Escribe y resuelve una ecuación para hallar la
Ecuación: 53 + x + 67 = 180
Medida del ∠WUX: 60°
La clase dobla un papel para descomponer ángulos rectos y llanos en tres partes y escribe las ecuaciones de suma relacionadas. Hallan medidas angulares desconocidas cuando se descomponen ángulos de referencia y ángulos que no son de referencia en dos o más partes.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos usar la suma o la resta para hallar una medida angular desconocida?
• ¿Cómo podemos usar las partes descompuestas de un ángulo para hallar la medida angular total?
Criterio de logro académico
4.Mód6.CLA3 Hallan las medidas angulares desconocidas usando la suma y la resta. (4.MD.C.7)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Descomponer en tres partes
• Estrategias para hallar medidas angulares desconocidas
• Ángulos descompuestos y medidas angulares
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• papel en blanco
• herramienta de borde recto
• transportador de 4″ (180°)
Estudiantes
• herramienta de borde recto
• papel en blanco
• transportador de 4″ (180°)
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Dibujar figuras geométricas
Materiales: E) Herramienta de borde recto
La clase traza ejemplos de rectas o segmentos de recta específicos, incluyendo casos paralelos y perpendiculares, para familiarizarse con las figuras y notaciones geométricas vistas en el tema A.
Segmento de recta AB
Muestre el segmento de recta AB.
Cuando dé la señal, lean el nombre de la figura geométrica. ¿Comenzamos?
Segmento de recta AB
Dibujen un ejemplo del segmento de recta AB.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la imagen de ejemplo de la figura geométrica.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
No se espera que sus estudiantes tracen rectas y segmentos de recta que sean perfectamente paralelos o perpendiculares usando solo una herramienta de borde recto. En su lugar, deben estimar la posición de las figuras y usar marcas de flecha para indicar que son paralelos, y cuadrados pequeños para indicar que son perpendiculares.
Intercambio con la pizarra blanca: Componer 180
La clase completa una ecuación de suma con un sumando desconocido para desarrollar fluidez con la destreza de hallar medidas angulares desconocidas con ángulos llanos.
Muestre 120 + = 180.
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase usa un transportador y la suma o la resta para hallar las medidas angulares desconocidas.
Muestre la imagen del transportador y los ángulos y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y halle la medida de un ángulo que pueda identificar y nombrar en la imagen. Si hay tiempo suficiente, invíteles a hallar la medida de más de un ángulo. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a tres o cuatro estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre el uso flexible del transportador y la suma o resta de medidas angulares.
La medida del ∠CDE es 30° porque puedo ver en el transportador que el ángulo se abre de 0° a 30°.
Sé que la medida del ∠BDC es 20° porque veo que el ángulo está entre 30° y 50° en el transportador. Puedo restar para hallar la diferencia. 50° − 30° = 20°.
La medida del ∠ADB es 40°. Puedo pensar en el ∠ADB como la parte desconocida del ∠ADE, un ángulo recto. La parte conocida del ángulo recto es el ∠BDE que mide 50°. Puedo sumar 40° para formar 90°.
La medida del ∠ADC es 60° porque el ángulo es una combinación del ∠ADB y del ∠BDC y 40° + 20° = 60°.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas.
Hay muchas maneras de usar la suma y la resta para hallar las medidas angulares desconocidas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, elegiremos estrategias para hallar las medidas angulares desconocidas.
Aprender
35
Descomponer en tres partes
Materiales: M/E) Papel en blanco, herramienta de borde recto, transportador
La clase dobla un papel para descomponer ángulos de referencia en tres partes.
Distribuya una hoja de papel a cada estudiante. Demuestre la siguiente secuencia de cortar, doblar y rotular la hoja de papel mientras sus estudiantes hacen lo mismo.
Corte una hoja por la mitad y, luego, doble uno de los trozos por la mitad de abajo hacia arriba. Doble el trozo de nuevo de derecha a izquierda para crear un ángulo recto.
Veamos cómo podemos descomponer un ángulo recto en más de dos ángulos.
Doble el lado vertical del ángulo recto hacia abajo para que se junte con el lado horizontal y se creen dos ángulos de igual tamaño.
Desdoble el papel una vez y, luego, doble el lado vertical hacia abajo para que se junte con el doblez anterior y se cree un segundo doblez dentro del ángulo recto.
Desdoble el papel una vez y, luego, use una herramienta de borde recto para trazar una semirrecta a lo largo de cada doblez. Dibuje un arco para identificar cada uno de los tres ángulos en los que se descompone el ángulo recto.
¿Qué observan?
Descompusimos un ángulo recto en tres ángulos más pequeños.
Dos de los ángulos parecen ser del mismo tamaño. El tercer ángulo parece más grande que los otros dos.
Use un transportador para medir cada ángulo y, luego, registre cada medida angular. Asegúrese de que sus estudiantes alineen de manera correcta el transportador con una de las semirrectas y el vértice del ángulo cada vez que miden.
¿Cuál debería ser la suma de las tres medidas angulares?
¿Por qué?
La suma de las tres medidas angulares debería ser 90° porque juntas forman un ángulo recto.
Escriba una ecuación en el papel para sumar las tres medidas angulares. Invite a un par de estudiantes a compartir las ecuaciones.
¿En qué se parece y en qué se diferencia la descomposición de un ángulo recto en dos ángulos y en tres ángulos?
Las medidas angulares se pueden sumar en los dos casos.
Se suman dos o tres medidas angulares.
La suma de las medidas angulares sigue siendo 90°.
Vamos a descomponer un ángulo llano en tres ángulos.
Doble la otra mitad de la hoja cortada de abajo hacia arriba y cree un ángulo llano.
El doblez representa el ángulo llano. Dibujemos un vértice en el ángulo llano.
Marque un punto para representar el vértice en el medio del doblez.
Comience a descomponer el ángulo llano doblando hacia arriba el lado inferior del papel que está a la derecha del vértice, de manera que el doblez del papel sea vertical al vértice.
Doble hacia arriba el lado inferior del papel que está a la izquierda del vértice, para que se junte con el lado derecho.
Nota para la enseñanza
Si las medidas de los ángulos de sus estudiantes no suman 90°, invíteles a considerar que el doblez, el dibujo y la medición pueden resultar imprecisos. Luego, pídales que vuelvan a medir para ver si pueden hallar medidas que sumen 90°.
Abra el papel para que el ángulo llano quede visible y use la herramienta de borde recto para trazar una semirrecta a lo largo de cada doblez. Dibuje un arco para identificar cada ángulo en el que se descompuso el ángulo llano.
¿Qué observan?
El ángulo llano se descompone en tres ángulos.
Los ángulos de la izquierda y de la derecha tienen un tamaño parecido.
Mida cada ángulo con un transportador y registre las medidas angulares.
¿Qué ecuación pueden escribir para mostrar cómo se descompuso el ángulo llano?
46° + 90° + 44° = 180°
Invite a sus estudiantes a registrar las ecuaciones que representan sus ángulos.
Invite a la clase a reunirse y conversar en parejas acerca de cómo escribir una ecuación de suma para mostrar la descomposición de un ángulo recto o un ángulo llano.
Estrategias para hallar medidas angulares desconocidas
La clase elige una estrategia para hallar la medida desconocida de un ángulo cuando un ángulo llano se descompone en varios ángulos.
Muestre la imagen de las baldosas.
¿Qué se sabe acerca de los ángulos?
Los dos ángulos blancos miden 30° cada uno.
El ángulo azul de la izquierda mide 60°.
Los cuatro ángulos juntos parecen formar un ángulo llano.
¿Qué información desconocemos?
Se desconoce el valor de y y la medida angular.
DUA: Representación
Considere presentar la información de otro modo. Para ello, proporcione una descripción verbal de la imagen después de mostrarla. Apoye a sus estudiantes en la interpretación de los diferentes ángulos y medidas mientras se descomponen los ángulos en más partes.
Diga a la clase que los cuatro ángulos juntos forman un ángulo llano. Dé a sus estudiantes 2 minutos para hallar el valor de y y la medida angular en la estrella sin usar un transportador. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Busque estudiantes que sumen las medidas angulares y obtengan 180°, resten de 180° o usen una combinación de suma y resta.
Invite a dos o tres estudiantes a compartir su trabajo. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre la estrategia que usó para hallar la medida angular desconocida. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre las diferentes estrategias y su propio trabajo.
Contar hacia delante desde un número (método de Pablo)
¿Cómo usaste la suma para hallar la medida angular desconocida?
Sabía que todas las medidas angulares sumarían 180 porque juntas forman un ángulo llano. Sumé las medidas angulares conocidas, 60 + 30 + 30 = 120.
Luego, pensé en qué se podía sumar a 120 para llegar a 180 y obtuve 60. Entonces, la medida angular desconocida es 60°.
Restar del total (método de Deepa)
¿Cómo usaste la resta para hallar la medida angular desconocida?
Sabía que el total de todas las medidas angulares era 180. Luego, resté cada medida angular conocida y me quedó la medida angular desconocida, 60°.
Sumar y luego restar (método de Shen)
¿Cómo usaste una combinación de suma y resta para hallar la medida angular desconocida?
Primero, sumé todas las medidas angulares conocidas. Luego, resté ese valor de la medida angular total, 180. Quedó la medida angular desconocida.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige entre diagramas de cinta, una recta numérica, ecuaciones u otros modelos para hallar la medida angular desconocida en la imagen de las baldosas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué ecuación pueden escribir que podría ayudarles a hallar la medida angular desconocida?
• ¿Cómo pueden usar una recta numérica a modo de ayuda para hallar la medida angular desconocida?
DUA: Acción y expresión
Para ayudar a sus estudiantes a evaluar su progreso, considere proporcionarles preguntas que puedan usar como guía para la autoevaluación y la reflexión. Por ejemplo, muestre las siguientes preguntas para que cada estudiante las consulte mientras trabaja de forma independiente:
• ¿Pensé en el número total de grados representados por los ángulos compuestos?
• ¿Representé cada parte en mi ecuación?
• ¿Usé una estrategia eficiente de suma o resta?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferencias que observan entre sus estrategias y una de las estrategias compartidas.
Muestre la imagen del ángulo llano y repita el proceso.
Dé a sus estudiantes 2 minutos para que hallen la medida angular desconocida. Elija a dos o tres estudiantes para que compartan su trabajo. Guíe una conversación para que ofrezcan aclaraciones acerca de la estrategia que usaron para hallar la medida angular desconocida y hacer conexiones.
La medida del ∠ AB D es 107°.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la suma o la resta para hallar una medida angular desconocida.
Ángulos descompuestos y medidas angulares
La clase halla medidas angulares desconocidas en ángulos que no son de referencia y que se descomponen en dos o más ángulos.
Use la rutina Cabezas numeradas. Organice a la clase en grupos de tres y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3.
Muestre la imagen del ∠FGH.
¿En qué se diferencia el problema que se muestra en la imagen de los otros en los que hemos trabajado?
El ángulo que se descompuso no es ni un ángulo recto ni un ángulo llano.
La medida del ∠FGH es 75°.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para que hallen la medida angular desconocida en grupo. Recuerde a la clase que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder.
Diga un número, del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan las conclusiones del grupo.
Hallamos 75 − 36 = b y b = 39. La medida del ∠FGI es 39°.
Presente la imagen del ∠JKL.
¿En qué se diferencia el problema que se muestra en la imagen del problema anterior?
La medida angular desconocida es el total de las partes.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para que hallen la medida angular desconocida en grupo. Recuerde a la clase que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder.
La medida del ∠JKL es c°.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Antes de pedir a sus estudiantes que trabajen en grupo para hallar una medida angular total desconocida o una parte desconocida de una medida angular, considere repasar los términos parte y total. Presente un apoyo visual para relacionar los términos con los conocimientos previos de sus estudiantes sobre los diagramas de cinta y una parte desconocida o un total desconocido en un diagrama de cinta.
Diga un número diferente, del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan las conclusiones del grupo.
Hallamos 23 + 85 + 42 = c y c = 150. La medida del ∠JKL es 150°.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué hallar la medida angular desconocida es diferente cuando el número desconocido es el total en lugar de una de las partes.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Hallar medidas angulares desconocidas dentro de un ángulo descompuesto de hasta 180°
Use las siguientes preguntas para iniciar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a replantear o complementar las respuestas de sus pares usando sus propias palabras.
¿Cómo podemos usar la suma o la resta para hallar una medida angular desconocida?
Las medidas angulares conocidas se pueden restar de la medida angular total conocida.
Las medidas conocidas de las partes se pueden sumar primero. Luego, la suma se puede restar de la medida total conocida.
Podemos comenzar con la medida angular conocida y, luego, contar hacia delante hasta llegar a la medida angular total.
¿Cómo podemos usar las partes descompuestas de un ángulo para hallar la medida angular total?
Si se desconoce la medida angular total, se pueden sumar las medidas de las partes.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
9. La medida del ∠HCE es 82°
= 39 La medida del ∠FCG es 39°
11. Pablo dibuja un diseño. La parte de abajo de su diseño es un ángulo llano. Halla la medida angular desconocida.
20 + 35 + x + 35 + 20 = 180 x = 70
La medida angular desconocida es 70°
Hallar medidas angulares desconocidas alrededor de un punto
Vistazo
a la lección
∠ AEB y el ∠CED son ángulos llanos. Escribe y resuelve ecuaciones para hallar las medidas
La clase halla medidas angulares desconocidas dentro de ángulos que miden más de 180° y medidas angulares desconocidas en las que la suma de los ángulos es 360°. Usan la suma, la resta, o ambas operaciones para hallar la medida de cada ángulo.
Preguntas clave
• ¿De qué maneras podemos hallar la medida de un ángulo sin usar un transportador?
• ¿Cómo nos puede ayudar conocer las medidas angulares de los ángulos adyacentes a hallar medidas angulares desconocidas?
Criterio de logro académico
4.Mód6.CLA3 Hallan las medidas angulares desconocidas usando la suma y la resta. (4.MD.C.7)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Hallar una medida desconocida dentro de un ángulo de reflexión
• Medidas angulares alrededor del punto de intersección de dos rectas
• Hallar varias medidas angulares desconocidas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Práctica veloz: Componer 180 (en el libro para estudiantes)
• herramienta de borde recto
• transportador de 4″ (180°)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Componer 180
Materiales: E) Práctica veloz: Componer 180
MATH2
La clase completa una ecuación de suma con un sumando desconocido para desarrollar fluidez con la destreza de hallar medidas angulares desconocidas dentro de ángulos llanos.
Práctica veloz
4 ▸ M6 ▸ Práctica veloz ▸ Componer 180
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Completa las ecuaciones.
1. 140 + = 180 40
2. + 175 = 180 5
3. 100 + 50 + = 180 30
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
EUREKA
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué estrategia podrían usar para resolver los problemas 1 a 6? ¿Funciona su estrategia en los problemas 7 a 11?
• ¿Qué patrones observan en los problemas 12 a 21?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de 30 grados en 30 grados desde 0 grados hasta 180 grados para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de 30 grados en 30 grados desde 180 grados hasta 0 grados para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase comienza a preguntarse sobre un grupo de ángulos adyacentes alrededor de un punto.
Muestre la imagen de los ángulos adyacentes que están alrededor del punto D.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan y se preguntan sobre la imagen.
Hay cinco ángulos. Dos están rotulados con una medida angular, pero tres son desconocidos.
Parece que hay dos rectas, la ⟷ AB y la ⟷ CE .
Hay algunos ángulos que parecen ser suplementarios: el ángulo de 65° y el de n° .
Me pregunto cómo podemos hallar las medidas de los ángulos desconocidos.
Me pregunto si el ∠EDB mide lo mismo que el ∠ADC.
Me pregunto si el ∠ADB y el ∠CDE son ángulos llanos. Si lo son, quizás eso podría ayudarnos a hallar más medidas angulares.
Solo se nos dan algunas de las medidas angulares, ¿pero cuál creen que es la medida total de todos los ángulos? ¿Por qué?
Los ángulos dan toda la vuelta, entonces la medida es 360°.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que los ángulos alrededor de un punto siempre sumarán 360° y por qué.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos la suma y la resta y lo que sabemos sobre los ángulos suplementarios y complementarios para hallar las medidas de varios ángulos desconocidos alrededor de un punto.
Aprender
Hallar una medida desconocida dentro de un ángulo de reflexión
La clase determina la medida de un ángulo desconocido que forma parte de un ángulo de reflexión.
Muestre la imagen de la figura con ángulos alrededor del punto E.
Desplace el dedo por el arco del ∠AED y pida a sus estudiantes que compartan lo que observan y se preguntan sobre la figura.
Parece que hay cuatro ángulos. Me pregunto por qué el arco solo pasa por tres de los ángulos.
Hay un ángulo de reflexión que tiene tres ángulos más pequeños dentro de él.
Dos de los ángulos tienen números para sus medidas, uno tiene una letra x y hay una medida angular que no está rotulada.
Me pregunto cuál es el valor de x.
La medida del ∠AED es 240°.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
En esta lección se usa el vocabulario presentado en las lecciones anteriores. Considere repasar cada uno de estos términos con sus estudiantes usando los afiches de referencia creados en esas lecciones.
• Ángulos complementarios
• Ángulos suplementarios
• Ángulo de reflexión
• Ángulos adyacentes
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué otros ángulos pueden nombrar y sus medidas.
El ∠AEB mide 115°.
El ∠BEC mide 65°.
El ∠CED mide x° .
¿Qué representa el número desconocido?
El valor de x
La medida del ∠CED
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para escribir una ecuación que podrían usar a fin de hallar el valor de x.
115 + 65 + x = 240
180 + x = 240
Pida a sus estudiantes que usen una de las ecuaciones para hallar el valor de x y que usen el valor de x para hallar la medida del ∠CED.
¿Cuál es el valor de x?
x = 60
¿Cuál es la medida del ∠CED?
60°
Luego, invite a sus estudiantes a confirmar que han hallado la misma medida angular independientemente de la ecuación que escribieron.
Invite a la clase a reunirse y conversar en parejas acerca de cómo pudieron hallar la medida angular desconocida sin usar un transportador.
Medidas angulares alrededor del punto de intersección de dos rectas
Materiales: E) Herramienta de borde recto, transportador
La clase halla medidas angulares desconocidas en figuras donde la suma de los ángulos es 360°.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lean el problema a coro e invite a sus estudiantes a completarlo.
1. Sigue las instrucciones de las partes (a) a (c) para dibujar la figura y hallar la medida de los ángulos.
a. Traza 2 rectas secantes usando la herramienta de borde recto.
b. Coloca un punto donde se intersecan las rectas.
c. Usa el transportador para medir los 4 ángulos. Rotula las medidas en el dibujo.
Invite a dos o tres estudiantes a compartir sus dibujos.
¿Qué observan sobre los ángulos que son adyacentes?
Todos los pares de ángulos adyacentes son suplementarios.
Confirme que los pares de ángulos adyacentes son suplementarios en los ejemplos de trabajo compartidos.
¿Qué observan sobre los ángulos enfrentados?
Los ángulos enfrentados tienen la misma medida.
Confirme que los ángulos enfrentados tienen la misma medida en los ejemplos de trabajo compartidos.
Invite a sus estudiantes a desplazar el dedo por un arco para representar un giro entero.
¿Cuál es la medida total de los cuatro ángulos? ¿Cómo lo saben?
360°, porque el total de los ángulos es un giro entero
Cuando las rectas se intersecan en un punto, la suma de las medidas de los ángulos que componen un giro entero, o los ángulos alrededor de un punto, es 360°.
Muestre la imagen de las rectas secantes roja y azul. Explique a sus estudiantes que la figura se creó trazando dos rectas secantes.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan y se preguntan.
Desplace el dedo por la recta roja.
¿Cuál es el valor de x? ¿Cómo lo saben?
x tiene un valor de 150. El ángulo en el que está rotulada la x y el ángulo de 30° forman una línea recta. 180 − 30 = 150.
Desplace el dedo por la recta azul.
Ahora, miren la recta azul. El valor de y también es desconocido. ¿Cómo podríamos hallarlo?
El valor de x es 150. 150 + y = 180 porque los dos ángulos forman una línea recta, entonces el valor de y es 30. 180 − 150 = 30, lo que significa que y tiene un valor de 30.
DUA: Representación
Considere hacer una pausa después de mostrar que, cuando las rectas se intersecan en un punto, el total de las medidas de los ángulos que forman un giro entero alrededor del punto es 360°. Pida a sus estudiantes que piensen en esta relación entre las medidas angulares y que imaginen un conjunto cualquiera de rectas secantes. Haga énfasis en que esta relación se aplica a todos los ángulos que se forman cuando las rectas se intersecan en un punto. Esto les permitirá procesar la información y es una muestra de su importancia.
DUA: Representación
Ayude a sus estudiantes a enfocarse solo en el segmento de recta rojo colocando una hoja de papel o una regla de un metro debajo para que la recta roja se destaque. Use este método también para la recta azul.
Nota para la enseñanza
Referirse a un ángulo específico en la figura sin puntos rotulados requiere el uso de un lenguaje preciso. Sus estudiantes pueden describir el ángulo en la parte superior izquierda de la figura como “ángulo x”, pero x° representa la medida angular y no el ángulo en sí. Anímeles a describir la posición del ángulo en la figura o a usar una frase como “El ángulo que mide x grados”.
¿Cómo podemos determinar el valor de z?
Los ángulos que están debajo de la recta roja son suplementarios. y = 30 y 30 + z = 180, entonces el valor de z es 150.
¿De qué otra manera podrían hallar el valor de z?
Podríamos pensar en los ángulos suplementarios que están a la derecha de la recta azul. 30 y el valor de z deben sumar 180, entonces z tiene un valor de 150.
¿Cuál es el total de las medidas angulares? ¿Cómo lo saben?
360°, porque son ángulos alrededor de un punto
30 + 30 + 150 + 150 = 360
Hay dos pares de ángulos suplementarios. 180 + 180 = 360
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar los ángulos en la figura.
Solo hay dos valores para las medidas, 30° y 150°.
Un ángulo de 30° siempre es adyacente a un ángulo de 150°. Los ángulos enfrentados tienen la misma medida.
Si sabemos la medida de un ángulo, podemos hallar las medidas de los otros ángulos sin medir.
Si hay tiempo suficiente, invite a sus estudiantes a repetir el proceso para determinar los valores de x, y y z. Muestre la figura y diga a la clase que la figura se creó trazando dos rectas secantes.
Hallar varias medidas angulares desconocidas
La clase halla las medidas de varios ángulos desconocidos alrededor de un punto.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 a 4. Presente los problemas y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
El WX y el YZ son segmentos de recta. El WX y el YZ se intersecan en O.
2. m° = 54°
La medida del ∠UOZ es 54° .
3. n° = 144°
La medida del ∠YOX es 144° .
4. k° = 36°
La medida del ∠WOY es 36° .
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando halla varias medidas angulares desconocidas alrededor de un punto.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Qué pasos pueden seguir para comenzar a hallar las medidas angulares desconocidas?
• ¿Tiene sentido su respuesta? ¿Por qué?
Dé 2 minutos para que cada estudiante piense en silencio cómo escribir y usar las ecuaciones para hallar las medidas angulares desconocidas. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre ejemplos de uso de ecuaciones para relacionar las medidas angulares desconocidas con 180° o 360°.
El ∠WOX es un ángulo llano. El ∠WOU está rotulado como un ángulo recto, entonces la medida del ∠UOX es 90° porque 180 − 90 = 90. El valor de m° es 54° porque 90 − 36 = 54. La medida del ∠UOZ es 54°.
Puedo usar el ángulo llano del ∠ZOY para hallar el valor de n porque n + 36 = 180. 180 − 36 = 144, entonces n° = 144°. La medida del ∠YOX es 144°.
La suma de los cinco ángulos es igual a 360°. Hallé que el valor de m es 54 y que el valor de n es 144 cuando hallé los otros ángulos. 90 + 54 + 36 + 144 = 324 y 360 − 324 = 36. k° = 36°. La medida del ∠WOY es 36°.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes tienen dificultades para comenzar, o no muestran un progreso después de alrededor de 1 minuto, ayúdeles a dividir la tarea enfocándose en un valor desconocido a la vez. Invíteles a pensar en cómo pueden usar la información nueva para hallar otro valor desconocido.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para ayudar a sus estudiantes a comprender las estrategias de sus pares, dirija su atención a la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Hallar medidas angulares desconocidas alrededor de un punto
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso de la suma y la resta a fin de hallar medidas angulares desconocidas.
¿De qué maneras podemos hallar la medida de un ángulo sin usar un transportador?
Podemos buscar líneas rectas porque sabemos que la medida de una línea recta es 180°. Luego, podemos sumar para obtener 180 o restar de 180. Podemos usar la suma y la resta y lo que sabemos sobre los ángulos suplementarios y complementarios.
Sabemos que todos los ángulos alrededor de un punto tendrán una medida total de 360°. Eso nos puede ayudar a hallar las medidas de los ángulos desconocidos.
¿Cómo les puede ayudar conocer la medida angular de un ángulo adyacente a hallar medidas angulares desconocidas?
Los ángulos adyacentes que son suplementarios suman 180°. Puedo escribir una ecuación de suma o de resta y hallar la medida angular desconocida.
Los ángulos adyacentes que son complementarios suman 90°. Puedo escribir una ecuación de suma o de resta y hallar la medida angular desconocida.
Los ángulos adyacentes que forman un giro entero suman 360°. Puedo escribir una ecuación de suma o de resta y hallar la medida angular desconocida.
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Escribe y resuelve una ecuación para hallar la medida angular desconocida.
Escribe y resuelve ecuaciones para hallar las medidas angulares desconocidas.
El EF y el GH se intersecan en N y° 150° N 30° x° EF
a. La medida del ∠ENG es 30° b. La medida del ∠GNF es 150° x + 150 = 180 y + 30 = 180
40 + a = 360 a = 320
La medida angular desconocida es 320°
+ b = 360 b = 270
medida angular desconocida es 270°
c° 53° 90 + 53 + c = 360 c = 217
La medida angular desconocida es 217°
d° 145° 90 + d + 145 = 360 d = 125 La medida angular desconocida es 125° .
El JK y el LM se intersecan en N g° e° N 115° M J
f°
La medida del
JNL es 65° .
La medida del ∠JNM es 115° c. La medida del ∠MNK es 65° e + 115 = 180 f + 65 = 180 115 + g = 180
7. El UV , el XY y el AN se intersecan en N
La medida del ∠UNX es 27°
b. La medida del ∠ ANY es 63°
c. La medida del ∠ XNV es 153° .
− 90 = 90
− 27 = p
+ s = 180
− m = 153
8. Eva gira la tapa de un frasco 70° Luego, la gira 195° más. ¿Cuánto más necesita girar Eva la tapa para hacer 1 giro entero?
70 + 195 = 265
360 − 265 = 95
Eva necesita girar la tapa 95° más para hacer 1 giro entero. Primer giro
Segundo giro
Tema D
Figuras bidimensionales y simetría
En el tema D, la clase aplica su conocimiento sobre los tipos de ángulos, los lados paralelos y perpendiculares y las longitudes de los lados. Exploran la simetría y clasifican polígonos.
Sus estudiantes identifican ejes de simetría doblando figuras de papel recortadas y trazando rectas que representan ejes de simetría en polígonos y en imágenes del mundo real. Observan que las figuras a ambos lados de un eje de simetría coinciden. Usan ese conocimiento para completar un dibujo de una figura cuando se les da una mitad de la figura y el eje de simetría. Los ejemplos erróneos y los ejemplos correctos de figuras con diferentes números de ejes de simetría y diferentes orientaciones sirven para apoyar la comprensión de la clase acerca de los ejes de simetría.
Sus estudiantes clasifican triángulos según sus atributos. Identifican los tipos de ángulos presentes y, luego, nombran los triángulos como acutángulos, obtusángulos o rectángulos. Asimismo, comparan las longitudes de los lados de un triángulo para identificar si es equilátero, isósceles o escaleno. Las herramientas conocidas, como una regla y un transportador, les ayudan a construir triángulos con propiedades dadas.
Para concluir el tema D, clasifican diferentes polígonos identificando atributos similares, como los tipos de ángulos, las medidas y la presencia de lados paralelos y perpendiculares.
Progresión de las lecciones
Lección 17
Reconocer, identificar y trazar ejes de simetría
Doblar un polígono de papel recortado o trazar una recta a través de una imagen me ayuda a identificar ejes de simetría. Puedo usar lo que sé sobre la simetría para completar el dibujo de una figura del otro lado de un eje de simetría de modo que ambos lados coincidan.
Lección 18
Analizar y clasificar triángulos a partir de las longitudes de los lados, las medidas angulares o ambas
Lección 19
Construir y clasificar triángulos a partir de atributos dados
Puedo clasificar un triángulo como acutángulo, obtusángulo o rectángulo a partir de las medidas de sus ángulos. Identificar si hay tres, dos o ningún lado con la misma longitud me ayuda a clasificar un triángulo como equilátero, isósceles o escaleno.
Cuando uso una regla para dibujar las longitudes de los lados y un transportador para dibujar los ángulos, puedo dibujar triángulos de una clasificación dada. Sé que no es posible dibujar ciertos tipos de triángulos, como un triángulo obtusángulo equilátero.
Lección 20
Clasificar polígonos a partir de una regla dada
Sigue la regla. No sigue la regla.
Los tipos de ángulos que tiene una figura es un atributo que puedo usar para clasificar polígonos. También puedo clasificarlos a partir de la presencia o ausencia de lados paralelos y perpendiculares.
Reconocer, identificar y trazar ejes de simetría
Vistazo a la lección
La clase identifica ejes de simetría en figuras geométricas y en imágenes de objetos del mundo real. Trazan ejes de simetría y reconocen los atributos de las figuras que afectan la simetría. También completan dibujos de figuras cuando se presenta el eje de simetría y solo la mitad de la figura. En esta lección, se formaliza el término eje de simetría.
Preguntas clave
• ¿Cómo reconocen un eje de simetría en una figura?
• ¿Dónde ven ejes de simetría en objetos del mundo real?
Criterio de logro académico
4.Mód6.CLA7 Identifican y trazan ejes de simetría. (4.G.A.3)
4. Traza todos los ejes de simetría de la figura que se muestra.
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Identificar ejes de simetría
• Simetría en imágenes del mundo real
• Completar una figura usando un eje de simetría
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Recorte de un pentágono (en la edición para la enseñanza)
• Recortes de figuras (en la edición para la enseñanza)
• tijeras
• herramienta de borde recto
• lápiz de color
Estudiantes
• tijeras
• herramienta de borde recto
• lápiz de color
Preparación de la lección
• Imprima o haga una copia de la hoja extraíble de Recorte de un pentágono. Doble la hoja a la mitad verticalmente. Prepare suficientes copias para tener una por estudiante y una para el maestro o la maestra.
• Imprima o haga una copia de la hoja extraíble de Recortes de figuras y recorte las figuras. Prepare suficientes copias para tener un conjunto de figuras por pareja de estudiantes y un conjunto de figuras para el maestro o la maestra.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer fracciones
La clase completa una ecuación para descomponer una fracción en una suma de fracciones con el mismo denominador a fin de adquirir fluidez con la destreza aprendida en el módulo 5.
Muestre 2 3 = 1 3 + 3 .
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Considere pedir a sus estudiantes que comenten otra manera de descomponer cada total en voz baja con sus parejas.
Por ejemplo, 3 3 se podría descomponer
Contar
salteado usando décimos de un centímetro con la regla
La clase cuenta salteado usando décimos de un centímetro y expresa los décimos como unidades más grandes como preparación para clasificar y construir triángulos a partir de la lección 18.
Muestre el segmento de la regla en centímetros.
¿Cuál es la unidad fraccionaria más pequeña que se muestra en la regla?
Comenten su idea en voz baja con su pareja.
Décimos
Usen la regla para contar de un décimo en un décimo hasta 2 centímetros. Usen números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0 centímetros. ¿Comenzamos?
Muestre el desplazamiento de la flecha de una marca de graduación a la siguiente en la regla, guiando a sus estudiantes para que cuenten.
Cuenten de un décimo en un décimo hasta 2 centímetros nuevamente. Esta vez, también expresen los décimos como quintos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0 centímetros. ¿Comenzamos?
Muestre el desplazamiento de la flecha de una marca de graduación a la siguiente en la regla, guiando a sus estudiantes para que cuenten.
Cuenten de un décimo en un décimo hasta 2 centímetros una vez más. Esta vez, también expresen los décimos como quintos o medios cuando sea posible. Empiecen diciendo 0 centímetros. ¿Comenzamos?
Muestre el desplazamiento de la flecha de una marca de graduación a la siguiente en la regla, guiando a sus estudiantes para que cuenten.
Respuesta a coro: ¿Iguales o no?
La clase determina si una figura está dividida en partes iguales como preparación para reconocer ejes de simetría.
Muestre la figura.
¿La figura está dividida en partes iguales? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Sí.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Materiales: M/E) Recorte de un pentágono, tijeras
La clase dobla un pentágono para mostrar un eje de simetría.
Distribuya la hoja extraíble de Recorte de un pentágono y tijeras a sus estudiantes. Pídales que recorten la figura a lo largo de la línea entrecortada y que la desdoblen.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar lo que observan acerca de la figura.
Los lados separados por el doblez tienen la misma área.
Parece una casa.
Ambas mitades se ven iguales. Tienen el mismo tamaño y la misma forma.
La figura tiene 5 lados en total y 5 ángulos en total.
¿Qué tipos de ángulos ven en cada lado de esta figura?
Veo un ángulo agudo en la punta de la figura.
Veo un ángulo obtuso.
Hay un ángulo recto donde el doblez se junta con el lado de abajo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de otras observaciones que puedan hacer sobre la figura.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, identificaremos y trazaremos rectas a través de las figuras para mostrar dos lados que coinciden. 5
Aprender
Identificar ejes de simetría
Materiales: M/E) Figuras, herramienta de borde recto, lápiz de color
La clase dobla figuras para identificar ejes de simetría.
Forme parejas de estudiantes y distribuya las figuras recortadas. Muestre el cuadrado y el rectángulo. Diga a sus estudiantes que una persona de la pareja doblará el rectángulo y la otra persona doblará el cuadrado.
Demuestre cómo doblar el cuadrado por la mitad de manera horizontal.
Asegúrense de que los lados coincidan exactamente en los dos lados del doblez.
Desdoble el cuadrado y, luego, demuestre cómo trazar una recta a lo largo del doblez, con una herramienta de borde recto y un lápiz de color, para marcar el doblez en la figura.
Pida a las parejas que tracen una recta a lo largo del doblez de sus figuras y, luego, que repitan el proceso de doblar y trazar para hallar tantos dobleces como puedan con el fin de crear lados que coincidan exactamente. Cuando terminen, muestre un ejemplo de cada figura completada.
¿Qué observaron mientras doblaban las figuras?
El rectángulo tiene dos dobleces que crean lados que coinciden y el cuadrado tiene cuatro dobleces que crean lados que coinciden.
Al doblar el rectángulo, se crean rectángulos más pequeños y, al doblar el cuadrado, se crean rectángulos y triángulos.
¿Por qué creen que hay más dobleces en el cuadrado?
Todos los lados del cuadrado tienen la misma longitud. Podemos hacer dobleces en diagonal porque todos los lados tienen la misma longitud, pero no podemos hacer eso con el rectángulo porque tiene dos pares de lados con diferentes longitudes.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere crear un afiche de referencia para el término eje de simetría. A lo largo de la lección, agregue ejemplos que muestren ejes de simetría.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando dobla figuras para identificar ejes de simetría.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo pueden usar lo que saben sobre los atributos de los paralelogramos como ayuda para hallar ejes de simetría?
• ¿Cómo les puede ayudar lo que saben sobre dividir en partes de igual tamaño a identificar ejes de simetría?
Cuando hacemos un doblez para crear dos partes que coinciden, llamamos eje de simetría a la recta que separa los dos lados. Hemos trazado segmentos de recta para representar el eje de simetría, pero imaginen que el segmento de recta se extiende a una recta.
Invite a sus estudiantes a desplazar el dedo por los dobleces en sus rectángulos.
¿Cuántos ejes de simetría tiene un rectángulo? ¿Cómo lo saben?
Tiene dos ejes de simetría. Podríamos doblar el rectángulo de dos maneras diferentes para crear lados que coincidan.
Repita el proceso con el cuadrado.
Muestre el paralelogramo y el rombo. Invite a las parejas de estudiantes a doblar y marcar los ejes de simetría.
Luego, muestre un ejemplo de cada figura completada.
¿Qué observaron mientras doblaban estas figuras?
El paralelogramo no tiene ejes de simetría.
El rombo tiene dos ejes de simetría diagonales.
¿En qué se diferencian estas figuras en comparación con el rectángulo y el cuadrado?
No hay ángulos rectos en ninguna de las dos figuras.
Había menos ejes de simetría. No pudimos doblar el paralelogramo como el rectángulo y solo pudimos doblar el rombo de manera diagonal para crear partes iguales que coincidieran.
Muestre el trapecio. Invite a sus estudiantes a doblar el trapecio de abajo hacia arriba.
¿Estos lados del trapecio coinciden?
No, la parte de abajo del trapecio es más grande que la parte de arriba.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere mostrar los nombres de las figuras que se muestran en esta lección.
Rectángulo Cuadrado
Paralelogramo Rombo
Círculo Trapecio
Invite a sus estudiantes a doblar el trapecio de izquierda a derecha.
¿Estos lados coinciden?
Sí, los lados son iguales a ambos lados del doblez.
Pida a sus estudiantes que marquen el eje de simetría. Invíteles a que intenten doblar el trapecio de otras maneras para determinar si hay más ejes de simetría.
¿Cuántos ejes de simetría tiene el trapecio? ¿Cómo lo saben?
Hay un eje de simetría. Hay solo una manera de doblar el trapecio para que los lados coincidan.
Muestre el círculo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuántos ejes de simetría tiene el círculo. Pídales que doblen el círculo para hallar ejes de simetría. Después de 1 minuto, muestre un círculo con varios dobleces.
¿Qué fue diferente al doblar el círculo?
Había muchas maneras diferentes de doblarlo.
¿Dónde se intersecan todas las rectas?
En el centro del círculo
Un atributo particular del círculo es que permite que cualquier doblez que atraviese el punto central sea un eje de simetría. Hay más ejes de simetría de los que podemos contar, o infinitos, en un círculo.
Nota para la enseñanza
En esta lección, sus estudiantes deberían reconocer que los ejes de simetría de un círculo atraviesan el centro del círculo y que, sin importar cómo doblan el círculo a la mitad, los dos lados siempre coinciden. La clase aprende más sobre los atributos del círculo en 7.o grado.
DUA: Acción y expresión
Considere formular preguntas a sus estudiantes para incentivar la autoevaluación y la reflexión. Demuestre ejemplos pensando en voz alta.
• ¿Cómo sé cuándo una figura tiene ejes de simetría?
• ¿Qué figuras tienen muchos ejes de simetría?
• ¿Cómo ha cambiado mi comprensión de los ejes de simetría al observar cada uno de estos ejemplos?
Simetría en imágenes del mundo real
Materiales: M/E) Herramienta de borde recto, lápiz de color
La clase identifica y traza ejes de simetría en imágenes de objetos de la vida real.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros.
A veces, las imágenes de los objetos del mundo real tienen ejes de simetría.
Reproduzca el video Doblar para hallar la simetría. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan.
Demuestre cómo usar una herramienta de borde recto para identificar y trazar un eje de simetría vertical en la imagen de la mosca.
¿La imagen de la mosca tiene un eje de simetría vertical?
Sí, el lado izquierdo y el lado derecho de la mosca parecen coincidir exactamente. Puedo alinear la herramienta de borde recto con el medio de la mosca y trazar un eje de simetría vertical.
Pida a sus estudiantes que usen la herramienta de borde recto para trazar un eje de simetría vertical en la mosca.
¿La mosca tiene un eje de simetría horizontal? ¿Cómo lo saben?
No, la parte de arriba de la mosca no coincide con la parte de abajo, entonces no puedo trazar un eje de simetría horizontal.
¿La mosca tiene un eje de simetría diagonal? ¿Cómo lo saben?
No, no hay manera de trazar un eje de simetría diagonal y crear lados que coincidan.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar los problemas 2 a 15. Pídales que escriban Ninguno si no hay ejes de simetría.
Traza todos los ejes de simetría en cada figura.
Ninguno
Ninguno
Dé tiempo para que las parejas trabajen. Mientras trabajan, recorra el salón de clases y proporcione apoyo según sea necesario. Considere hacer preguntas como las siguientes:
• ¿Qué imágenes tienen un eje de simetría? ¿Cómo lo saben?
• ¿Qué figuras tienen muchos ejes de simetría?
• ¿Qué observan sobre las figuras que tienen muchos ejes de simetría?
• ¿Qué figuras no tienen ejes de simetría? ¿Cómo lo saben?
Luego de que terminen, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre dónde ven ejes de simetría en los objetos de las imágenes.
La mayoría de las figuras y de las imágenes tienen un eje de simetría.
Las figuras como el copo de nieve y la estrella tienen varios ejes de simetría.
Las figuras que no tienen ejes de simetría son las que no tienen lados que coinciden, como el auto.
Comentamos que los círculos tienen un número infinito de ejes de simetría. ¿Por qué la cara sonriente solo tiene un eje de simetría?
Los detalles de la cara, como la sonrisa y los ojos, también deben coincidir.
No hay un eje de simetría horizontal porque con el doblez la boca queda sobre los ojos, entonces los lados de arriba y de abajo no coinciden.
Invite a sus estudiantes a reconocer objetos del salón de clases que tengan ejes de simetría. Pida a un grupo pequeño de estudiantes que compartan sus observaciones.
La puerta tiene dos ejes de simetría, uno horizontal y uno vertical.
La mesa redonda tiene muchos ejes de simetría porque es un círculo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben si una figura tiene un eje de simetría.
Completar una figura usando un eje de simetría
La clase usa un eje de simetría para completar el dibujo de una figura.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 16 y 17 y lean el problema a coro.
La recta azul representa un eje de simetría. Traza la otra parte de la figura. 16. 17.
Nota para la enseñanza
Como complejidad adicional, el problema 17 tiene lados diagonales. Apoye a sus estudiantes con el uso de las líneas de la cuadrícula como ayuda para trazar la otra parte de la figura.
Las imágenes muestran un lado de una figura que tiene un eje de simetría.
Invite a sus estudiantes a desplazar el dedo por los ejes de simetría.
¿Cómo se verían los otros lados de estas figuras?
Se verían iguales al lado de la imagen. Coincidirían.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden trazar la otra parte de la figura y cómo pueden usar las líneas de la cuadrícula como ayuda. Preste atención a quienes digan que la cuadrícula les ayuda a saber la longitud de los lados que trazarán porque pueden contar las longitudes de los cuadrados de la cuadrícula.
Pida a sus estudiantes que usen el eje de simetría de cada figura para trazar un lado que coincida. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Proporcione apoyo y demuestre el trabajo según sea necesario. Luego, invite a un par de estudiantes a compartir su trabajo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo completaron la figura.
Conté la longitud de la parte de arriba y de abajo de un lado del eje de simetría y tracé segmentos de recta de la misma longitud del otro lado. Luego, conecté la parte de arriba con la parte de abajo para formar el lado.
Conté los cuadrados para hallar la longitud y el ancho de un lado del eje de simetría y tracé un lado que coincidiera con esas medidas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Reconocer, identificar y trazar ejes de simetría
Reúna a la clase, pídales que tengan a mano su Grupo de problemas y use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre los ejes de simetría.
¿Cómo reconocen un eje de simetría en una figura?
Podemos observar la figura para ver si hay una manera de dibujar una recta que la atraviese para crear dos lados iguales.
Si eso es posible, podemos doblar la figura. Si los dos lados coinciden, entonces la figura tiene un eje de simetría.
Podemos trazar una recta usando una herramienta de borde recto para ver si los dos lados coinciden. Si coinciden, la recta es un eje de simetría.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 5 a 13 del Grupo de problemas.
¿Qué figuras no tienen ejes de simetría? ¿Cómo saben si una figura no tiene un eje de simetría?
Los problemas 8 y 10. No hay una manera de trazar una recta y tener dos lados que coincidan.
¿Dónde ven ejes de simetría en imágenes de objetos del mundo real?
Cuando observo los objetos, a veces veo que tienen dos lados iguales. Imagino una recta que atraviesa el objeto y pienso si los dos lados coinciden.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de objetos del mundo real que estén fuera de la escuela o en la naturaleza que tengan ejes de simetría.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Encierra en un círculo las figuras que muestran un eje de simetría.
Ejes de simetría: 0 9. Ejes de simetría: 1 10. Ejes de simetría: 0 11. Ejes de simetría: 1 12. Ejes de simetría: 4 13. Ejes de simetría: 1
Traza todos los ejes de simetría en cada figura. Escribe el número de ejes de simetría de cada figura.
5. Ejes de simetría: 4 6. Ejes de simetría: 1 7. Ejes de simetría: 1
La recta representa un eje de simetría. Traza la otra parte de la figura. 14. 15.
18. ¿El círculo muestra todos los ejes de simetría posibles? ¿Cómo lo sabes?
No. El círculo solo muestra 4 ejes de simetría. Un círculo tiene más ejes de simetría de los que podemos contar.
Analizar y clasificar triángulos a partir de las longitudes de los lados, las medidas angulares o ambas
Vistazo a la lección
Completa la tabla para cada triángulo.
Triángulo
Clasificación
Tipo de ángulo Longitudes de los lados
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
Isósceles
Equilátero
Escaleno
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
Isósceles
Equilátero
Escaleno
La clase construye un triángulo y clasifica triángulos según sus atributos. Usan reglas, herramientas de ángulo recto y símbolos en dibujos como ayuda. En esta lección, se formalizan los términos triángulo acutángulo, triángulo obtusángulo, triángulo rectángulo, triángulo equilátero, triángulo isósceles y triángulo escaleno.
Preguntas clave
• ¿Qué información se necesita para clasificar un triángulo?
• ¿Qué herramientas o símbolos son útiles para clasificar triángulos?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA5 Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales. (4.G.A.1)
4.Mód6.CLA6 Identifican atributos y los utilizan para clasificar figuras bidimensionales, incluyendo los triángulos. (4.G.A.2)
Isósceles
Equilátero
Escaleno
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Construir un triángulo
• Clasificar triángulos
• Clasificar triángulos y explicar el razonamiento
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Triángulos variados (en la edición para la enseñanza)
• afiches preparados con antelación
Estudiantes
• Triángulos variados (en el libro para estudiantes)
• herramienta de ángulo recto
• regla
Preparación de la lección
• Prepare siete afiches: Acutángulo y equilátero, Acutángulo y escaleno, Acutángulo e isósceles, Rectángulo y escaleno, Rectángulo e isósceles, Obtusángulo y escaleno y Obtusángulo e isósceles. Cuelgue los afiches en siete lugares diferentes del salón de clases.
• Considere si desea retirar con antelación las hojas extraíbles de Triángulos variados de los libros para estudiantes y recortar un conjunto por estudiante o si las preparará con la clase durante la lección.
• Reúna las herramientas de ángulo recto creadas en la lección 2. Si no hay herramientas de ángulo recto disponibles, cree nuevas herramientas doblando trozos de papel al igual que en la lección 2 o, en su lugar, use la esquina de una tarjeta de índice.
Fluidez
Respuesta a coro: Ejes de simetría
La clase determina si una figura muestra un eje de simetría para desarrollar fluidez con la destreza de reconocer ejes de simetría aprendida en la lección 17.
Muestre la figura.
¿La figura muestra un eje de simetría de manera correcta?
Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
No.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Esta actividad de fluidez es similar a la actividad ¿Iguales o no? de la lección 17.
Debido a que sus estudiantes recientemente desarrollaron el conocimiento de la simetría, en esta actividad se pregunta sobre ejes de simetría en lugar de partes iguales.
Contar salteado usando octavos de una pulgada con la regla
La clase cuenta salteado usando octavos de una pulgada y expresa los octavos como unidades más grandes como preparación para clasificar y construir triángulos.
Muestre el segmento de la regla en pulgadas.
¿Cuál es la unidad fraccionaria más pequeña que se muestra en la regla? Comenten su idea en voz baja con su pareja.
Octavos
Usen la regla para contar de un octavo en un octavo hasta 2 pulgadas. Usen números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0 pulgadas.
¿Comenzamos?
Muestre el desplazamiento de la flecha de una marca de graduación a la siguiente en la regla, guiando a sus estudiantes para que cuenten.
Cuenten de un octavo en un octavo hasta 2 pulgadas nuevamente. Esta vez, también expresen los octavos como cuartos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0 pulgadas. ¿Comenzamos?
Muestre el desplazamiento de la flecha de una marca de graduación a la siguiente en la regla, guiando a sus estudiantes para que cuenten.
0 pulgadas, 1 _ 8 de pulgada, 1 _ 4 de pulgada, 3 _ 8 de pulgada, 2 _ 4 de pulgada…, 1 3 4 pulgadas, 1 7 8 pulgadas, 2 pulgadas
Cuenten de un octavo en un octavo hasta 2 pulgadas una vez más. Esta vez, también expresen los octavos como cuartos o medios cuando sea posible. Empiecen diciendo 0 pulgadas. ¿Comenzamos?
Muestre el desplazamiento de la flecha de una marca de graduación a la siguiente en la regla, guiando a sus estudiantes para que cuenten.
0 pulgadas, 1 8 de pulgada, 1 4 de pulgada, 3 8 de pulgada, 1 2 pulgada…, 1 3 _ 4 pulgadas,
1 7 8 pulgadas, 2 pulgadas
Respuesta a coro: Clasificar y medir ángulos
La clase clasifica un ángulo y usa un transportador de 180° a fin de determinar la medida angular como preparación para clasificar triángulos.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el ángulo agudo.
¿Cómo clasificarían el ángulo?
Agudo
Muestre la respuesta.
Estimen la medida angular. Comenten su estimación en voz baja con su pareja.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
45°. Parece que es el punto medio entre 0° y 90°.
70°. Parece ser mayor que el punto medio entre 0° y 90°.
Muestre el transportador.
¿Cuál es la medida angular?
60°
Agudo
60°
Muestre la medida angular.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Materiales: E) Triángulos variados
La clase analiza y clasifica triángulos en categorías.
Pida a sus estudiantes que reúnan los seis triángulos variados y que los coloquen de modo que tengan todos a la vista. Invite a la clase a reunirse y conversar en parejas acerca de lo que observan sobre los triángulos. Luego, invíteles a clasificar los triángulos en al menos dos categorías.
Cuando terminen de clasificarlos, pida a sus estudiantes que observen la clasificación de sus parejas de trabajo y que vean si pueden determinar cómo están clasificados los triángulos.
Nota para la enseñanza
Si sus estudiantes no saben con seguridad cómo comenzar a clasificar los triángulos, pídales que recuerden su trabajo de las lecciones recientes. Invíteles a buscar diferentes tipos de ángulos, la presencia de segmentos de recta perpendiculares y ejes de simetría.
¿Cómo clasificaron los triángulos sus parejas?
Mi pareja formó dos grupos: triángulos con un eje de simetría y triángulos sin un eje de simetría.
Mi pareja formó tres grupos: triángulos con un ángulo recto, triángulos con un ángulo obtuso y triángulos con solo ángulos agudos.
Mi pareja formó un grupo de triángulos con lados perpendiculares y un grupo sin lados perpendiculares.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aprenderemos nuevas maneras de clasificar triángulos.
Aprender
Construir un triángulo
Materiales: E) Triángulos, regla
La clase construye un triángulo marcando tres puntos y conectándolos con segmentos de recta.
Marquen tres puntos que no estén en la misma recta en sus pizarras blancas individuales y rotúlenlos A, B y C.
Usen su regla para trazar el AB , el BC y el AC . ¿Qué figura han creado?
Invite a sus estudiantes a mostrar los triángulos sosteniendo sus pizarras blancas en alto. Invíteles a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan sobre cada uno de los triángulos y los atributos que comparten.
Cada triángulo se ve un poco diferente a los otros.
Cada triángulo tiene tres lados, tres ángulos y tres esquinas.
Los lados y los ángulos son de diferentes tamaños, pero cada figura sigue siendo un triángulo.
Nota para la enseñanza
Es posible que sus estudiantes pregunten por qué los tres puntos que marcan no pueden compartir la misma recta. Marque tres puntos colineales y conéctelos trazando segmentos de recta para demostrar qué sucede cuando los tres puntos comparten la misma recta (es decir, no forman un triángulo).
Los triángulos están formados por tres puntos que no están en la misma recta y por los segmentos de recta que los conectan. Cada lado del triángulo es un segmento de recta. Cada esquina del triángulo es un vértice, que es donde se intersecan dos lados del triángulo para formar un ángulo. ¿Cuántos vértices tiene un triángulo?
Invite a sus estudiantes a examinar los triángulos que clasificaron. Pídales que cuenten el número de lados, vértices y ángulos de cada triángulo. Invíteles a trazar cada ángulo desplazando el dedo por un lado del triángulo hasta el vértice y, luego, por el lado adyacente.
Clasificar triángulos
Materiales: E) Triángulos, herramienta de ángulo recto, regla
La clase clasifica triángulos usando las longitudes de los lados y la medida angular.
Pida a sus estudiantes que localicen el triángulo con los vértices P, Q y R. Luego, muestre la notación △PQR.
Una manera de nombrar este triángulo es usar el símbolo de triángulo y sus tres vértices. Lo podemos llamar triángulo PQR. ¿Qué otros nombres creen que tiene este triángulo?
△QPR
△RPQ
Podemos nombrar el triángulo comenzando con cualquier vértice.
Pida a sus estudiantes que localicen el △GHI.
¿Qué observan acerca de los ángulos en el △GHI?
Parece que el ∠G es un ángulo recto.
Los ángulos H e I parecen ángulos agudos.
Invite a sus estudiantes a usar la herramienta de ángulo recto para confirmar si cada ángulo es agudo, obtuso o recto.
Una parte de ustedes clasificó los triángulos según el tipo de ángulos que tienen. Podemos usar la medida angular para clasificar los triángulos. Debido a que el ∠G es un ángulo recto, podemos clasificar el △GHI como un triángulo rectángulo.
DUA: Representación
Considere crear un organizador gráfico con forma de mapa de burbujas para ayudar a sus estudiantes a recordar cómo clasificar los triángulos. Rotule el centro del mapa de burbujas: Maneras de clasificar los triángulos.
A medida que avanza la lección, agregue las burbujas Según el tipo de ángulo y Según la longitud de los lados, así como también las burbujas relacionadas.
Incluya una descripción y un apoyo visual que acompañen cada tipo de triángulo. Por ejemplo, en la burbuja Isósceles, haga el boceto de un triángulo con al menos 2 lados de la misma longitud, usando marcas para indicar que las longitudes son iguales.
Invite a sus estudiantes a buscar otros triángulos que tengan un ángulo recto.
¿El △GHI es el único triángulo rectángulo?
No, el △ ABC también es un triángulo rectángulo porque el ∠A es un ángulo recto.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros.
1. Completa la tabla para cada triángulo.
Nota para la enseñanza
Clasificación
Triángulo Atributos
El ∠G es un ángulo recto.
triángulo acutángulo
triángulo obtusángulo
triángulo rectángulo
triángulo escaleno
triángulo isósceles
Ángulo Longitudes de los lados △GHI G H I
No hay lados que tengan la misma longitud.
No hay lados que tengan la misma longitud.
triángulo acutángulo
triángulo obtusángulo
Los lados de un triángulo son segmentos de recta, lo que significa que cada lado se puede nombrar usando las letras que también representan el segmento de recta. Por ejemplo, lado JL o JL .
triángulo escaleno
triángulo isósceles
triángulo rectángulo
triángulo equilátero △PQR P Q R
El ∠P es un ángulo obtuso.
triángulo equilátero
Clasificación
Triángulo Atributos
Los lados JL y KL tienen la misma longitud.
Todos los ángulos son agudos.
Ángulo Longitudes de los lados
triángulo acutángulo
triángulo obtusángulo
triángulo rectángulo
Los 3 lados tienen la misma longitud.
Todos los ángulos son agudos.
El ∠ A es un ángulo recto.
Los lados AB y AC tienen la misma longitud.
triángulo acutángulo
triángulo obtusángulo
triángulo rectángulo
triángulo escaleno
triángulo isósceles
triángulo equilátero
triángulo escaleno
triángulo isósceles
triángulo equilátero
triángulo rectángulo triángulo isósceles
Triángulo Atributos
Clasificación
Ángulo Longitudes de los lados
△DEF E D F
El ∠E es obtuso. Los lados ED y EF tienen la misma longitud.
triángulo obtusángulo triángulo isósceles
Pida a sus estudiantes que clasifiquen el △GHI como un triángulo rectángulo encerrando en un círculo triángulo rectángulo en la columna Clasificación.
¿Cómo sabemos que el △GHI es un triángulo rectángulo?
Es un triángulo rectángulo porque el ∠G es un ángulo recto.
En la columna Atributos, para el △GHI, escriba lo siguiente: El ∠G es un ángulo recto. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
También podemos clasificar un triángulo según la longitud de sus lados, o segmentos de recta.
Invite a sus estudiantes a medir cada lado del △GHI usando la regla para ver si hay dos lados que tengan la misma longitud.
¿Hay dos lados que tengan la misma longitud?
No.
El △GHI también es un triángulo escaleno. Los triángulos escalenos no tienen lados de la misma longitud.
Encierre en un círculo triángulo escaleno en la columna Clasificación. En la columna Atributos, escriba lo siguiente: No hay lados que tengan la misma longitud. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué otro triángulo parece ser escaleno?
El △PQR
Nota para la enseñanza
Al realizar las mediciones, sus estudiantes pueden medir las longitudes de los lados al octavo de pulgada más cercano o al décimo de centímetro más cercano.
Invite a sus estudiantes a medir las longitudes de los lados para confirmar que el △PQR es escaleno.
Pida a sus estudiantes que encierren en un círculo triángulo escaleno para el △PQR en la columna Clasificación. En la columna Atributos, escriba lo siguiente: No hay lados que tengan la misma longitud.
¿El △PQR también es un triángulo rectángulo, como el △GHI?
No. El △PQR no tiene ángulos rectos.
Invite a sus estudiantes a usar la herramienta de ángulo recto para determinar el tipo de ángulos que hay en el △PQR.
¿Qué tipos de ángulos hay en el △PQR?
Ángulos agudos y obtusos
El ∠P es un ángulo obtuso.
Pida a sus estudiantes que observen las opciones de clasificación de un triángulo según sus ángulos. Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si el △PQR se debe clasificar como un triángulo acutángulo, obtusángulo o rectángulo.
No es un triángulo rectángulo porque no hay ángulos rectos.
Podría ser un triángulo obtusángulo porque tiene un ángulo obtuso.
Tiene dos ángulos agudos y un ángulo obtuso, pero no sé si es un triángulo acutángulo u obtusángulo.
El △PQR es un triángulo obtusángulo. Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso.
Encierre en un círculo triángulo obtusángulo en la columna Clasificación. En la columna Atributos, escriba lo siguiente: El ∠P es un ángulo obtuso. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y las diferencias entre un triángulo rectángulo escaleno y un triángulo obtusángulo escaleno.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Mientras sus estudiantes registran los atributos que definen a cada triángulo, considere proporcionar esquemas de oraciones y vocabulario clave como soporte para que elijan al completar la tabla.
• Los 3 ángulos son agudos. (triángulo acutángulo)
• El ∠ es un ángulo obtuso. (triángulo obtusángulo)
• El ∠ es un ángulo recto. (triángulo rectángulo)
• Los lados y tienen la misma longitud. (triángulo isósceles)
• Los 3 lados tienen la misma longitud. (triángulo equilátero)
• No hay lados que tengan la misma longitud. (triángulo escaleno)
Pida a sus estudiantes que localicen el △JKL.
¿Qué observan acerca de los lados del △JKL?
Parece que 2 de los lados tienen la misma longitud.
Pida a sus estudiantes que doblen el △JKL y coloquen el ∠J sobre el ∠K.
¿Qué observan sobre los dos lados que se alinean?
Coinciden perfectamente uno sobre el otro.
Coinciden.
Tienen la misma longitud.
¿Qué observan sobre los dos ángulos que se alinean?
Coinciden.
Tienen el mismo tamaño.
Pida a sus estudiantes que desdoblen el triángulo.
El △JKL es un triángulo isósceles. Un triángulo isósceles tiene al menos dos lados de la misma longitud.
Encierre en un círculo triángulo isósceles en la columna Clasificación. En la columna Atributos, escriba lo siguiente: Los lados JL y KL tienen la misma longitud. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo clasificar el △JKL según sus ángulos.
No es un triángulo rectángulo porque no tiene ángulos rectos.
No es un triángulo obtusángulo porque no tiene ángulos obtusos.
Debe ser un triángulo acutángulo porque sus tres ángulos son agudos.
Un triángulo acutángulo solo tiene ángulos agudos. El △JKL es un triángulo acutángulo.
Encierre en un círculo triángulo acutángulo en la columna Clasificación. En la columna Atributos, escriba lo siguiente: Todos los ángulos son agudos. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan con respecto al doblez que crearon en el △JKL. Preste atención a que sus estudiantes observen que el doblez muestra el eje de simetría del triángulo.
Nota para la enseñanza
Los triángulos se pueden nombrar según el tipo de ángulo (p. ej., triángulo obtusángulo), las longitudes de los lados (p. ej., triángulo escaleno) o, de manera más específica, usando el tipo de ángulo y las longitudes de los lados (p. ej., triángulo obtusángulo escaleno).
Pida a sus estudiantes que localicen el △MNO.
¿Qué observan acerca de los lados del △MNO?
Parece que todos tienen la misma longitud.
Pida a sus estudiantes que doblen el △MNO por el eje de simetría y coloquen el ∠M sobre el ∠N.
¿Qué observan sobre los dos lados que se alinean?
Coinciden.
Tienen la misma longitud.
Es igual a lo que sucedió cuando doblamos el △JKL.
¿Qué observan sobre los dos ángulos que se alinean?
Coinciden.
Tienen el mismo tamaño.
Pida a sus estudiantes que desdoblen el triángulo y que busquen otros ejes de simetría. Invíteles a confirmar los ejes de simetría doblando otros ángulos uno sobre el otro (es decir, el ∠M sobre el ∠O y el ∠N sobre el ∠O).
¿Cuántos ejes de simetría tiene el △MNO?
3
¿Qué observaron acerca de los lados?
Todos coinciden perfectamente uno sobre el otro.
Todos tienen la misma longitud.
Pida a sus estudiantes que miren la columna Longitudes de los lados en la columna Clasificación.
¿Cómo creen que llamamos a un triángulo cuando los tres lados tienen la misma longitud?
Triángulo equilátero
Un triángulo equilátero tiene tres lados de la misma longitud. El △MNO es un triángulo equilátero.
Encierre en un círculo triángulo equilátero en la columna Clasificación para el △MNO. En la columna Atributos, escriba lo siguiente: Los 3 lados tienen la misma longitud. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Diferenciación: Desafío
Invite a quienes puedan ir más allá a determinar si es posible que un triángulo tenga 2 ángulos obtusos o 2 ángulos rectos. Pídales que expliquen su razonamiento.
Considere pedir a sus estudiantes que razonen acerca de qué tipo de triángulos siempre tienen al menos 1 eje de simetría (isósceles y equilátero) y qué triángulos no pueden tener un eje de simetría (escaleno).
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo clasificar el △MNO según sus ángulos.
No es un triángulo rectángulo porque no tiene ángulos rectos.
No es un triángulo obtusángulo porque no tiene ángulos obtusos.
Es un triángulo acutángulo porque sus tres ángulos son agudos.
Encierre en un círculo triángulo acutángulo en la columna Clasificación. En la columna Atributos, escriba lo siguiente: Todos los ángulos son agudos. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Dijimos que un triángulo isósceles es un triángulo que tiene al menos dos lados de la misma longitud. ¿Qué les indica eso sobre un triángulo equilátero?
Un triángulo equilátero también debe ser un triángulo isósceles porque tiene tres lados de la misma longitud y eso es más que dos.
Encierre en un círculo triángulo isósceles en la columna Clasificación. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Pida a sus estudiantes que localicen el △ ABC y el △DEF. Invíteles a leer los atributos de cada triángulo y a confirmar que son correctos. Luego, pídales que escriban la clasificación correcta para cada triángulo en la tabla. C B A E D F
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo clasificaron el △ ABC y el △DEF.
El △ ABC es un triángulo rectángulo e isósceles porque tiene un ángulo recto y dos lados de la misma longitud.
El △DEF es un triángulo obtusángulo e isósceles porque tiene un ángulo obtuso y dos lados de la misma longitud.
Nota para la enseñanza
El término triángulo isósceles tiene dos significados diferentes.
• Definición exclusiva: Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene exactamente dos lados de la misma longitud.
• Definición inclusiva: Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene al menos dos lados de la misma longitud.
La definición inclusiva se usa en todos los grados. Por lo tanto, un triángulo equilátero es un tipo especial de triángulo isósceles. De manera similar a la relación entre los cuadrados y los rectángulos, todos los triángulos equiláteros también son isósceles, pero no todos los triángulos isósceles son equiláteros.
Nota para la enseñanza
La actividad digital interactiva de Clasificación de triángulos presenta triángulos que sus estudiantes pueden clasificar según sus ángulos y lados.
A través del uso de la herramienta, considere generar triángulos adicionales para que cada estudiante los clasifique o permitirles que generen triángulos para que practiquen.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre los triángulos equiláteros y los triángulos isósceles.
Clasificar triángulos y explicar el razonamiento
Materiales: M) Afiches
La clase clasifica triángulos según los atributos visibles y explica su razonamiento.
Muestre el △ XYZ.
¿Qué observan acerca del △ XYZ?
Veo un ángulo recto y creo que es posible que dos lados tengan la misma longitud.
Hay marcas en los dos lados que parecen tener la misma longitud.
Diga a la clase que las marcas en los lados XY y XZ se usan para indicar que esos lados tienen la misma longitud. Luego, invite a sus estudiantes a pensar en cómo clasificar el △ XYZ usando sus ángulos y las longitudes de sus lados.
Luego, muestre el △TUV y el △HAT, uno a la vez, e invite a sus estudiantes a pensar en cómo clasificarlos según sus ángulos y las longitudes de sus lados.
Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes a los siete afiches colgados en el salón de clases. Divida a la clase en tres grupos y asigne a cada grupo uno de los triángulos.
Invite a sus estudiantes a ponerse de pie junto al afiche que mejor describa su triángulo. Cuando toda la clase esté junto a un afiche, dé tiempo para que los grupos comenten por qué lo eligieron.
Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección. Cada grupo debe decir qué triángulo clasificó antes de dar las razones de la clasificación. Anime a quienes cambien de opinión durante la conversación a unirse a otro grupo.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando explica su razonamiento y analiza el razonamiento de sus pares acerca de cómo clasificaron los triángulos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Por qué su clasificación es correcta? Convenzan a sus pares.
• ¿Qué preguntas pueden hacer a sus pares para asegurarse de que comprenden su razonamiento?
DUA: Acción y expresión
Para ayudar a sus estudiantes a compartir sus pensamientos e ideas acerca de cómo clasifican cada triángulo, considere proporcionar los siguientes esquemas de oración:
• Es un triángulo porque tiene un ángulo .
• Es un triángulo porque tiene lados de la misma longitud.
Pida a sus estudiantes que regresen a sus asientos e invíteles a reunirse y conversar en parejas acerca de las estrategias para clasificar triángulos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Analizar y clasificar triángulos a partir de las longitudes de los lados, las medidas angulares o ambas
Use los siguientes planteamientos para guiar una conversación acerca de cómo clasificar triángulos:
¿Qué información necesitamos para clasificar un triángulo?
Necesitamos saber si los ángulos son agudos, obtusos o rectos.
Necesitamos saber si hay lados que tengan la misma longitud.
¿Qué herramientas o símbolos son útiles para clasificar triángulos?
Una regla y una herramienta de ángulo recto son útiles para medir.
Las marcas son útiles porque muestran qué lados tienen la misma longitud.
Los ejes de simetría muestran que algunos lados tienen la misma longitud.
El signo de ángulo recto es útil porque nos indica que hay un ángulo recto en el triángulo.
Expliquen las diferencias entre los triángulos acutángulos, obtusángulos y rectángulos.
Los triángulos obtusángulos tienen un ángulo obtuso.
Los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto.
Los triángulos acutángulos solo tienen ángulos agudos.
Expliquen las diferencias entre los triángulos escalenos, isósceles y equiláteros.
Los triángulos equiláteros tienen tres lados de la misma longitud.
Un triángulo isósceles tiene al menos dos lados de la misma longitud.
Los triángulos escalenos no tienen lados de la misma longitud.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa los triángulos para completar los problemas 1 a 4.
1. Clasifica cada triángulo según la longitud de sus lados. Luego, clasifica cada triángulo según sus medidas angulares.
2. ¿Qué triángulos son acutángulos isósceles, si es que los hay?
Los triángulos A y D son triángulos acutángulos isósceles.
3. ¿Qué triángulos son obtusángulos escalenos, si es que los hay?
El triángulo F es un triángulo obtusángulo escaleno.
4. Casey dice que el triángulo C es un triángulo rectángulo equilátero. ¿Estás de acuerdo con Casey? ¿Por qué?
No estoy de acuerdo con Casey. El triángulo C no es un triángulo rectángulo equilátero porque no tiene todos los lados de la misma longitud. El triángulo C es un triángulo rectángulo escaleno.
5. El △STU tiene 1 eje de simetría. ¿Qué te indica esto acerca de las medidas del
S y del ∠T? U T S
El ∠S y el ∠T tienen la misma medida angular.
V y ∠ W
W y ∠ X
V y ∠ X
b. El perímetro del △VWX es 42 centímetros. ¿Cuál es la longitud de cada lado?
La longitud de cada lado es 14 centímetros.
6. El △VWX tiene 3 ejes de simetría. X V W a. Completa los espacios con 3 pares de ángulos de la misma medida.
c. Clasifica el △VWX a partir de la medida de sus ángulos y lados.
El △VWX es un triángulo acutángulo equilátero.
7. Usa una regla para conectar 3 puntos y formar un triángulo.
Ejemplo:
C B A DF E
a. Usa los puntos que conectaste para nombrar tu triángulo.
△BCE
b. Clasifica tu triángulo a partir de sus ángulos y lados.
El △BCE es un triángulo rectángulo escaleno.
c. Oka conecta los puntos A, B y C. Dice: “Formé el △ ABC”. ¿Estás de acuerdo con Oka? ¿Por qué?
No estoy de acuerdo con Oka. Los puntos A, B y C forman una línea recta, no un triángulo.
8. ¿Puede un triángulo tener 2 ángulos rectos? ¿Cómo lo sabes?
No, un triángulo no puede tener 2 ángulos rectos. Si hay 2 ángulos rectos, no hay manera de que los 3 lados se conecten.
Construir y clasificar triángulos a partir de atributos dados
Vistazo a la lección
1. Usa un transportador y una regla para dibujar un triángulo obtusángulo isósceles. Rotula las longitudes de los lados y las medidas angulares. Traza los ejes de simetría, si es que hay alguno.
2. Usa un transportador y una regla para dibujar un triángulo rectángulo escaleno. Rotula las longitudes de los lados y las medidas angulares. Traza los ejes de simetría, si es que hay alguno.
La clase usa un transportador y una regla para dibujar triángulos a partir de una clasificación de triángulos dada. Hacen un modelo de un triángulo equilátero y lo usan para razonar acerca de los atributos de un triángulo equilátero. Razonan acerca de qué tipos de ángulos se pueden usar para componer un triángulo.
Preguntas clave
• ¿Qué herramientas son útiles para dibujar triángulos?
• Al dibujar un triángulo con determinados ángulos y longitudes de los lados, ¿cómo determinan qué van a dibujar primero, si la longitud de un lado o el tipo de ángulo?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA5 Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales. (4.G.A.1)
4.Mód6.CLA6 Identifican atributos y los utilizan para clasificar figuras bidimensionales, incluyendo los triángulos. (4.G.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Construir un triángulo rectángulo isósceles
• Construir un triángulo escaleno
• Triángulos equiláteros
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• transportador de 4″ (180°)
• regla
• palillos (3 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer fracciones
La clase completa una ecuación para descomponer una fracción en una suma de fracciones con el mismo denominador a fin de adquirir fluidez con la destreza aprendida en el módulo 5.
Muestre 7
8 = 3
8 + 8 .
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar con la regla
La clase cuenta salteado usando octavos de una pulgada o décimos de un centímetro como preparación para construir y clasificar triángulos.
Muestre el segmento de la regla en pulgadas.
¿Cuál es la unidad fraccionaria más pequeña que se muestra en la regla?
Comenten su idea en voz baja con su pareja.
Octavos
Usen la regla para contar de un octavo en un octavo hasta 2 pulgadas. Expresen los octavos como cuartos o medios y usen números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0 pulgadas. ¿Comenzamos?
0 pulgadas, 1 8 de pulgada, 1 4 de pulgada…, 13 4 pulgadas, 17 8 pulgadas, 2 pulgadas
Muestre el segmento de la regla en centímetros.
¿Cuál es la unidad fraccionaria más pequeña que se muestra en la regla?
Comenten su idea en voz baja con su pareja.
Décimos
Usen la regla para contar de un décimo en un décimo hasta 2 centímetros. Expresen los décimos como quintos o medios y usen números enteros o números mixtos cuando sea posible. Empiecen diciendo 0 centímetros. ¿Comenzamos?
0 centímetros, 1 10 de centímetro, 1 5 de centímetro, 1 2 centímetro…, 14 5 centímetros,
1 9 10 centímetros, 2 centímetros
Respuesta a coro: Clasificar y medir ángulos
La clase clasifica un ángulo y usa un transportador de 180° a fin de determinar la medida angular como preparación para construir triángulos.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el ángulo obtuso.
¿Cómo clasificarían el ángulo?
Obtuso
Muestre la respuesta.
Estimen la medida angular. Comenten su estimación en voz baja con su pareja.
Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.
100°. Parece ser mayor que 90°.
135°. Parece un poco menor que el punto medio entre 90° y 180°.
Muestre el transportador.
¿Cuál es la medida angular?
120°
Muestre la medida angular.
Obtuso
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase clasifica triángulos creados al conectar tres puntos.
Muestre la imagen de los puntos en el papel cuadriculado.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué observan en la imagen.
Quiero formar un triángulo conectando el punto A y el punto B con uno de los otros puntos en la cuadrícula.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre qué tipo de triángulo se formaría si A y B estuvieran conectados con el punto L.
Se formaría un triángulo rectángulo porque el ∠B sería un ángulo recto.
No sería un triángulo equilátero porque el lado AB sería más largo que el lado BL.
Muestre el △ ABL.
Pida a sus estudiantes que confirmen si su razonamiento fue correcto. Luego, muestre la imagen de los puntos en la cuadrícula nuevamente.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué punto crearía un triángulo obtusángulo si estuviera conectado con A y B.
El punto G formaría un triángulo obtusángulo porque el ∠B sería obtuso.
Muestre el △ ABG.
Pida a sus estudiantes que confirmen si su razonamiento fue correcto.
¿Cómo pueden clasificar el △ ABG según la longitud de sus lados?
Es un triángulo escaleno porque cada lado tiene una longitud diferente.
Muestre el △ ABR.
¿Qué tipo de triángulo es el △ ABR?
¿Cómo lo saben?
Es un triángulo acutángulo porque todos los ángulos son agudos.
Es un triángulo isósceles porque dos lados tienen la misma longitud.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué sucederá si el punto S se conecta con A y B.
Luego, muestre la imagen con el AS .
¿Es posible formar un triángulo conectando tres puntos cualesquiera?
No, a veces cuando conectamos tres puntos, se forma un segmento de recta en lugar de un triángulo.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, dibujaremos triángulos según sus descripciones.
Aprender
Construir un triángulo rectángulo isósceles
Materiales: E) Transportador, regla
La clase dibuja un triángulo rectángulo isósceles y comenta las semejanzas y diferencias entre sus dibujos y los de sus pares.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lea el problema a coro con la clase.
1. Dibuja un triángulo rectángulo isósceles.
Rotula cada vértice para nombrar el triángulo como △BDU.
Luego, mide y rotula cada ángulo y las longitudes de los lados.
¿Qué atributos debe tener el triángulo?
Es un triángulo rectángulo, entonces necesita tener un ángulo recto. Es isósceles, entonces necesita tener al menos dos lados de la misma longitud.
¿Qué herramientas podemos usar como ayuda para dibujar el triángulo con precisión?
Un transportador y una regla
Pida a sus estudiantes que reúnan las herramientas. Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué dibujar primero (es decir, el ángulo recto o los dos lados de la misma longitud) y por qué.
Necesitamos formar el ángulo recto primero.
Si dibujamos los dos lados primero, quizás no seamos capaces de formar un ángulo recto con ellos.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes pueden usar el borde inferior del transportador como herramienta de borde recto como ayuda para dibujar los lados de los triángulos.
Pida a sus estudiantes que dibujen un ángulo recto usando el transportador y que hagan un cuadrado pequeño para indicar la medida angular.
¿Qué pueden hacer ahora? ¿Cómo pueden usar el ángulo recto para hacer un triángulo isósceles?
Necesito asegurarme de que dos lados tengan la misma longitud. Luego, puedo conectar los lados.
Invite a sus estudiantes a usar la regla para que los dos lados tengan la misma longitud, y a rotular las longitudes de los lados.
¿Cómo pueden completar el triángulo?
Puedo dibujar otro lado para conectar los dos lados que acabo de dibujar.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes necesitan ayuda adicional para dibujar un triángulo, considere demostrar cómo hacerlo y pensar en voz alta mientras completa cada paso del dibujo antes de pedirles que completen sus dibujos de manera independiente.
8 cm
Invite a sus estudiantes a completar sus triángulos. Luego, pídales que rotulen cada vértice para mostrar el △BDU.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben que el △BDU es un triángulo rectángulo isósceles. Luego, pídales que midan y rotulen el tercer lado y los otros ángulos de sus triángulos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre su triángulo y el de su pareja de trabajo.
Tenemos un ángulo recto y dos ángulos que miden 45°.
Tengo dos lados que miden 8 centímetros y mi pareja tiene dos lados que miden 3 pulgadas.
Invite a sus estudiantes a indicar si el triángulo que dibujaron es idéntico al de sus parejas.
¿Qué observan acerca de los dos ángulos que no son rectos?
Cada uno mide 45°.
¿Qué observan acerca del tercer lado del triángulo, el último lado que dibujaron?
Es más largo que los otros dos lados.
El tercer lado del triángulo es más largo que los otros lados. Me pregunto si es posible dibujar un triángulo rectángulo que tenga tres lados de la misma longitud.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que es posible dibujar un triángulo rectángulo con tres lados de la misma longitud.
Nota para la enseñanza
Anticipe los errores que puede haber en los dibujos de sus estudiantes. Es posible que parte de la clase no pueda determinar que la medida de los ángulos agudos es exactamente 45°. Si esto sucede, invíteles a medir de nuevo y a estimar que los ángulos miden aproximadamente 45°.
Nota para la enseñanza
Anticipe algún posible desacuerdo acerca de si es posible dibujar un triángulo rectángulo con tres lados de la misma longitud. La pregunta sirve como un vistazo previo de las investigaciones que tendrán lugar más adelante en la lección.
Construir un triángulo escaleno
La clase dibuja un triángulo escaleno y comenta las semejanzas y diferencias entre sus dibujos y los de sus pares.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea el problema a coro con la clase.
2. Dibuja un triángulo escaleno.
Rotula cada vértice para nombrar el triángulo como △TOP.
Luego, mide y rotula cada ángulo y las longitudes de los lados.
¿Qué atributo debe tener su triángulo?
Es escaleno, entonces cada lado debe tener una longitud diferente.
¿Qué tipos de ángulos podemos dibujar?
El problema no lo dice, entonces podemos dibujar un triángulo acutángulo, obtusángulo o rectángulo.
Divida a la clase en grupos de tres estudiantes e identifique a cada estudiante A, B y C en los grupos.
Pídales que dibujen triángulos que coincidan con las descripciones dadas:
• Cada estudiante A dibuja un triángulo acutángulo escaleno.
• Cada estudiante B dibuja un triángulo obtusángulo escaleno.
• Cada estudiante C dibuja un triángulo rectángulo escaleno.
Antes de que comiencen a dibujar, invite a los grupos a reunirse y conversar acerca de qué dibujarán primero: un ángulo del tipo dado o dos lados de diferentes longitudes. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario.
DUA: Acción y expresión
Luego de pedir a sus estudiantes que construyan los triángulos, considere mostrar las siguientes preguntas guía para promover la planificación estratégica.
• ¿Qué dibujaré primero?
• ¿Cuáles son las semejanzas o las diferencias entre este triángulo y el último que dibujé?
• ¿Qué atributos debo incluir?
• ¿En qué se diferenciará mi triángulo de los de mis pares?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando construye un triángulo escaleno con los tipos de ángulos que han sido especificados.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• Al construir un triángulo rectángulo escaleno, ¿con qué pasos deben tener mucho cuidado? ¿Por qué?
• ¿Es correcto decir que los triángulos acutángulos escalenos tienen un ángulo agudo? ¿Qué podemos agregar para expresar este enunciado con mayor precisión?
Después de que terminen de dibujar, invite a sus estudiantes a reunirse y conversar en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus triángulos y los de sus parejas.
¿En qué se diferencian los triángulos?
Las medidas angulares son diferentes.
Las longitudes de los lados son diferentes.
Usé pulgadas para medir los lados y mi pareja usó centímetros.
¿En qué se parecen los triángulos?
Todos tienen los vértices T, O y P.
Todos tienen tres lados y tres ángulos.
Cada integrante del grupo dibujó un triángulo que tiene los tres lados con longitudes diferentes.
Invite a sus estudiantes a indicar si el triángulo que dibujaron tiene dos ángulos rectos. Luego, muestre la imagen de la figura con dos ángulos rectos.
Pida a los grupos que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si es posible dibujar un triángulo con dos ángulos rectos. Invite a sus estudiantes a hacer un dibujo para apoyar su razonamiento.
Si dibujamos dos ángulos rectos, ya hay tres lados. No podemos hacer que los tres lados se conecten para formar un triángulo, entonces no creo que sea posible.
No es posible. Los dos ángulos rectos forman rectas paralelas, entonces nunca se juntarán para formar el tercer ángulo de un triángulo.
Invite a sus estudiantes a indicar si el triángulo que dibujaron tiene dos ángulos obtusos. Luego, pídales que se reúnan y conversen en parejas acerca de si es posible dibujar un triángulo con dos ángulos obtusos. Invíteles a hacer un boceto para apoyar su razonamiento.
Diferenciación: Desafío
Desafíe a sus estudiantes pidiéndoles que razonen acerca de si un triángulo rectángulo escaleno puede tener dos ángulos que midan 45°.
Triángulos equiláteros
Materiales: E) Palillos
La clase construye un modelo de un triángulo equilátero y razona acerca de sus atributos.
Forme parejas de estudiantes y distribuya tres palillos a cada una. Invite a sus estudiantes a confirmar que los palillos tienen la misma longitud.
Construyan un triángulo usando los tres palillos. Cada palillo representa un lado del triángulo.
¿Qué tipo de triángulo hicieron? ¿Cómo lo saben?
Un triángulo equilátero porque todos los lados tienen la misma longitud
Presente el siguiente enunciado: Un triángulo equilátero también puede ser un triángulo escaleno.
Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas.
Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y evalúe si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.
Pídales que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Anímeles a proporcionar ejemplos correctos y ejemplos erróneos o a usar los palillos para apoyar su afirmación. Para concluir, llegue a un consenso de que el enunciado nunca es verdadero porque un triángulo escaleno no tiene lados de la misma longitud y un triángulo equilátero tiene tres lados de la misma longitud.
Si hay tiempo suficiente, repita la rutina Siempre, a veces, nunca para los siguientes enunciados:
• Un triángulo equilátero también puede ser un triángulo isósceles.
Este enunciado siempre es verdadero. Un triángulo isósceles tiene al menos dos lados de la misma longitud. Los tres lados de un triángulo equilátero tienen la misma longitud y eso es más que dos lados.
Nota para la enseñanza
En lugar de palillos, considere usar otros materiales fáciles de conseguir en el salón de clases, como reglas, pajillas o lápices sin punta. Los objetos deben ser lineales y tener la misma longitud.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para ayudar a sus estudiantes a compartir su razonamiento en parejas, pídales que observen la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación.
• La longitud de cada lado de un triángulo equilátero es 3 pulgadas.
Este enunciado es verdadero a veces. Los lados de un triángulo equilátero pueden tener cualquier longitud, pero deben ser iguales entre ellos.
• Un triángulo equilátero también puede ser un triángulo obtusángulo.
Este enunciado nunca es verdadero. Cuando formamos un ángulo obtuso con dos lados de la misma longitud, el tercer lado no es lo suficientemente largo para completar el triángulo si tiene la misma longitud que los otros dos lados.
• Un triángulo equilátero también puede ser un triángulo rectángulo.
Este enunciado nunca es verdadero. Cuando formamos un ángulo recto con dos lados de la misma longitud, el tercer lado no es lo suficientemente largo para completar el triángulo si tiene la misma longitud que los otros dos lados.
• Un triángulo equilátero es un triángulo acutángulo.
Este enunciado siempre es verdadero. Si no podemos formar un triángulo equilátero con un ángulo obtuso o un ángulo recto, todos los ángulos deben ser agudos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué los triángulos equiláteros son diferentes a todos los otros tipos de triángulos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Construir y clasificar triángulos a partir de atributos dados
Reúna a la clase y guíe una conversación acerca de dibujar y clasificar triángulos.
¿Qué herramientas son útiles para dibujar triángulos?
Un transportador y una regla son útiles.
Una herramienta de ángulo recto puede ser útil.
Al dibujar un triángulo con determinados ángulos y longitudes de los lados, ¿cómo determinan qué van a dibujar primero, si la longitud de un lado o el tipo de ángulo?
Dibujo el tipo de ángulo primero porque siempre podemos ajustar los lados para que sean más largos o más cortos, pero, una vez que dibujamos el ángulo, ya no podemos cambiarlo a menos que lo borremos por completo.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa un transportador y una regla para dibujar cada triángulo. Rotula las longitudes de los lados y las medidas angulares.
1. Triángulo rectángulo isósceles
Triángulo rectángulo escaleno
5. Traza todos los ejes de simetría en los triángulos de los problemas 1 a 4. ¿Trazaste al menos 1 eje de simetría en cada triángulo? Explica.
[Nota: Los ejes de simetría se muestran en los problemas 1 a 4].
No. Tracé 1 eje de simetría en los triángulos de los problemas 1 y 4, pero los triángulos de los problemas 2 y 3 no tienen ejes de simetría.
Haz una marca de verificación en verdadero o falso para cada enunciado sobre el △QRS, que es equilátero.
3. Triángulo obtusángulo
Triángulo acutángulo isósceles
6. La longitud del RS es 4 cm
7. El △QRS es un triángulo isósceles.
8. El △QRS tiene un ángulo obtuso.
9. La medida del ∠Q es igual a la medida del ∠S
10. El △QRS tiene 3 ángulos agudos.
11. El △QRS tiene exactamente 2 ejes de simetría.
12. Encierra en un círculo un enunciado falso de los problemas 6 a 11. Explica por qué el enunciado es falso.
Ejemplo:
El problema 11 es falso. El △QRS es un triángulo acutángulo equilátero. Tiene 3 ejes de simetría, no 2 ejes de simetría.
13. El maestro Endo traza el AB y el BC
B C 6 cm
6 cm
Shen dice que el maestro Endo puede usar los segmentos de recta para trazar el △ ABC rectángulo isósceles.
Zara dice que el maestro Endo puede usar los segmentos de recta para trazar el △ ABC obtusángulo isósceles.
¿Estás de acuerdo con Shen o con Zara? ¿Por qué?
Estoy de acuerdo con Zara porque el ∠B es un ángulo obtuso y el AB y el BC tienen la misma longitud. El △ ABC sería un triángulo obtusángulo isósceles.
Clasificar polígonos a partir de una regla dada
Jayla clasifica los polígonos A a F según sus ángulos.
Exactamente 2 ángulos rectos Al menos 3 ángulos rectos
Vistazo a la lección
La clase identifica una regla que aplica a un conjunto de polígonos mientras juega Adivina mi regla junto al maestro o a la maestra. Luego, juegan en grupos, clasificando figuras y razonando acerca de qué atributos tienen en común las figuras.
Preguntas clave
• ¿Qué atributos podemos usar para describir una figura?
• ¿Por qué es importante usar un lenguaje preciso para describir una figura?
Criterios de logro académico
4.Mód6.CLA5 Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales. (4.G.A.1)
4.Mód6.CLA6 Identifican atributos y los utilizan para clasificar figuras bidimensionales, incluyendo los triángulos. (4.G.A.2)
a. Marca los ángulos rectos en cada polígono. El polígono A ya está resuelto como ejemplo.
b. ¿Qué polígonos son cuadriláteros?
Los polígonos A, C, E y F
c. ¿Qué polígonos son rectángulos?
Los polígonos E y F
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Aprender a jugar Adivina mi regla
• Jugar Adivina mi regla
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Papel cuadriculado en centímetros (en la edición para la enseñanza)
• herramienta de borde recto
• Página de reglas (en la edición para la enseñanza)
• Tablero del juego Adivina mi regla (en la edición para la enseñanza)
• Polígonos para jugar (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Práctica veloz: Descomponer fracciones (en el libro para estudiantes)
• Papel cuadriculado en centímetros (en el libro para estudiantes)
• herramienta de borde recto
• Página de reglas (en el libro para estudiantes)
• Tablero del juego Adivina mi regla (1 por grupo de estudiantes, en el libro para estudiantes)
• Polígonos para jugar (1 por grupo para estudiantes, en el libro para estudiantes)
• notas adhesivas (3 por grupo de estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Papel cuadriculado en centímetros de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
• Considere si desea preparar los materiales para el juego Adivina mi regla con antelación o si los preparará con la clase durante la lección.
La clase completa una ecuación para descomponer una fracción en una suma de fracciones con el mismo denominador a fin de adquirir fluidez con la destreza aprendida en el módulo 5.
Práctica veloz
4 ▸ M6 ▸ Práctica veloz ▸ Descomponer fracciones
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Completa las ecuaciones.
1. 3 4 = 1 4 + 4 2
2. 9 6 = 6 6 + 6 + 1 6 2
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
EUREKA
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué patrón observan en los totales de los problemas 1 a 4 y 11 a 16?
¿Cómo se diferencia el patrón de los problemas 5 a 10?
• ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 18?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de un doceavo en un doceavo desde 0 doceavos hasta 12 doceavos para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de un doceavo en un doceavo desde 12 doceavos hasta 0 doceavos para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
Materiales: M/E) Papel cuadriculado en centímetros, herramienta de borde recto
La clase dibuja dos triángulos y un cuadrado e identifica sus atributos.
Invite a sus estudiantes a retirar la hoja extraíble de Papel cuadriculado en centímetros de sus libros. Distribuya herramientas de borde recto a sus estudiantes. Use una secuencia como la siguiente para representar cómo dibujar el △DEF mientras sus estudiantes hacen lo mismo.
Dibujen y rotulen el punto D.
Tracen dos segmentos de recta perpendiculares con D como un extremo. Cada segmento de recta debe medir 6 unidades de largo.
Dé tiempo para que sus estudiantes tracen los segmentos de recta.
Rotulen los otros extremos de los segmentos de recta como E y F. Tracen un segmento de recta que conecte el punto E con el punto F.
Dé tiempo para que sus estudiantes completen sus dibujos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo nombrar y describir las figuras.
Hicimos el △DEF.
La figura es un triángulo rectángulo isósceles porque hay un ángulo recto y hay dos lados de la misma longitud.
Imaginen que el EF es un eje de simetría. Tracen la otra parte de la figura.
Dé tiempo para que sus estudiantes tracen la otra parte de la figura.
¿Qué figuras ven?
Veo dos triángulos.
Veo un cuadrado. 5
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los atributos de los triángulos y el cuadrado.
¿Qué atributos tienen en común los triángulos y el cuadrado?
Ambos tienen ángulos rectos.
Ambos tienen algunos lados que miden 6 unidades de largo.
¿Qué atributos son diferentes?
Los triángulos tienen tres lados y los cuadrados tienen cuatro lados. Los triángulos tienen dos lados de la misma longitud y los cuadrados tienen cuatro lados de la misma longitud.
El cuadrado tiene cuatro ángulos rectos y cada triángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos diferentes atributos para clasificar polígonos y determinar la regla de cómo se clasifican las figuras.
Aprender
Aprender a jugar Adivina mi regla
Materiales: M) Página de reglas, Tablero del juego
Adivina mi regla, Polígonos para jugar
La clase aprende a jugar Adivina mi regla.
Reúna a la clase y muestre la página de reglas. Tenga disponible el tablero del juego y los recortes de polígonos.
Presente el juego Adivina mi regla.
Vamos a clasificar polígonos a partir de si siguen una regla dada.
con todos los ángulos de la misma medida
con exactamente 1 par de ángulos de la misma medida
sin ángulos rectos
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere mostrar un afiche con los nombres de los polígonos que se usan en el juego Adivina mi regla para ayudar a sus estudiantes a identificar los polígonos durante las conversaciones.
con al menos 1 ángulo agudo
con al menos 1 ángulo obtuso
sin ángulos de la misma medida
con más de
con 2 pares de lados perpendiculares Polígonos con al menos 1 par de lados paralelos
sin lados paralelos
Lea las reglas de la Página de reglas a coro con la clase.
Luego, explique las instrucciones del juego Adivina mi regla. Mientras lo hace, demuestre las acciones que describe y juegue una ronda junto a sus estudiantes, brindándoles la oportunidad de adivinar la regla. El ejemplo que se presenta es para la regla: Figuras con al menos 1 par de lados paralelos.
Instrucciones de Adivina mi regla
• Cada estudiante A selecciona una regla de la página de reglas encerrando en un círculo una de ellas en su pizarra blanca individual sin decir a su pareja qué regla seleccionó.
• El o la estudiante A selecciona figuras, una a la vez, y las coloca en una de las categorías del tablero del juego: Sigue la regla o No sigue la regla.
Sigue la regla. No sigue la regla.
• Cuando el o la estudiante B o C piensa que sabe la regla que está usando el o la estudiante A, la dice.
• Si alguien adivina la regla correcta, clasifica el resto de las figuras en las categorías dadas y, luego, comienza una nueva ronda del juego.
• Si no adivina la regla correcta, se tacha la regla y el juego continúa.
• El o la estudiante A continúa colocando figuras, una a la vez, hasta que el o la estudiante B o C adivine la regla de manera correcta.
• La clase vuelve a jugar, turnándose para ser el o la estudiante A. En cada nueva ronda del juego, las parejas intercambian los roles.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si cada figura de la ronda de ejemplo del juego sigue la regla o no sigue la regla.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando intenta adivinar la regla basándose en los polígonos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Qué pueden decir acerca de la regla al observar los atributos de los polígonos?
• ¿Su suposición sobre la regla tiene sentido? ¿Por qué?
Jugar Adivina mi regla
Materiales: E) Página de reglas, Tablero del juego Adivina mi regla, Polígonos para jugar, notas adhesivas
La clase clasifica polígonos de acuerdo a una regla dada mientras juega
Adivina mi regla.
Divida a sus estudiantes en grupos de tres. Pídales que reúnan el tablero del juego y los recortes de figuras y que coloquen la hoja extraíble de Página de reglas en sus pizarras blancas. Recuérdeles las instrucciones o colóquelas a la vista en algún lugar del salón de clases.
Invite a sus estudiantes a participar de una ronda del juego. Mientras juegan, recorra el salón de clases y ayude a sus estudiantes a razonar acerca de qué reglas aplican a diferentes figuras. Considere evaluar e incentivar el razonamiento matemático con preguntas como las siguientes:
• ¿Por qué adivinaron esa regla?
• ¿Qué atributos de las figuras en la categoría Sigue la regla les permitieron adivinar esa regla?
• ¿Qué atributos de las figuras en la categoría No sigue la regla les permitieron adivinar esa regla?
• ¿Qué reglas pueden eliminar observando estas figuras?
Después de que cada estudiante haya completado una ronda como el o la estudiante A, y si hay tiempo suficiente, pídales que den un paseo por la galería. Como preparación para el paseo por la galería, pídales que dejen los tableros del juego con las figuras clasificadas según las últimas reglas. Asegúrese de que los grupos no muestren las reglas.
Distribuya notas adhesivas a cada grupo y pídales que den un paseo por la galería, en el que deben visitar dos o tres grupos y escribir la regla que creen que representan las figuras clasificadas. Luego, brinde a cada grupo la oportunidad de confirmar las suposiciones compartiendo su regla con la clase.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
DUA: Acción y expresión
Antes de comenzar el juego, invite a los grupos a comentar las siguientes preguntas e indicar que el grupo está preparado con una señal, como los pulgares hacia arriba.
• ¿Comprendemos las reglas del juego?
• ¿Tenemos un plan para intercambiar el rol de quien selecciona la regla y ubica las figuras?
• ¿Tenemos alguna duda?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Clasificar polígonos a partir de una regla dada
Use las siguientes preguntas para guiar la reflexión de la clase acerca de cómo describir y clasificar figuras usando sus atributos.
¿Qué información usaron como ayuda para determinar la regla durante cada uno de los juegos de hoy?
Miré las reglas y eliminé las que no creía que funcionarían con las figuras.
Miré las figuras para ver cómo estaban relacionadas de acuerdo a sus lados y sus ángulos.
¿Por qué fue importante usar un lenguaje preciso durante el juego de hoy?
Teníamos que explicar con claridad nuestro razonamiento acerca de por qué una regla funcionaba o no funcionaba.
Debíamos usar el atributo correcto para describir las figuras.
¿Qué presentó un desafío en el juego de hoy?
Al comienzo, hay muchas opciones para la regla. Es difícil eliminar algunas reglas.
¿Qué atributos podemos usar para describir una figura?
Podemos describir las figuras de acuerdo a sus ángulos.
Podemos describir una figura de acuerdo al número de pares de lados paralelos o de acuerdo a los lados perpendiculares.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Número de respuestas correctas:
Progreso:
Completa las ecuaciones.
1.
1. Iván clasifica los polígonos A a J según sus lados.
Exactamente 1 par de lados paralelos Al menos 2 pares de lados paralelos
a. Marca los pares de lados paralelos en cada polígono. El polígono B ya está resuelto como ejemplo.
[Nota: Las respuestas del problema 1(a) están en la tabla].
b. ¿Qué polígonos son trapecios?
Los polígonos A, B, D, F, G
c. ¿Qué polígonos son paralelogramos?
Los polígonos A, D, G
d. Iván observa que ninguno de los polígonos es un triángulo. Explica por qué los triángulos no pertenecen a ninguna categoría.
Un triángulo solo tiene 3 lados. No es posible que los triángulos tengan pares de lados paralelos.
e. Iván quiere clasificar los polígonos según los tipos de ángulos que tienen. Escribe las letras de los polígonos que parecen pertenecer a cada categoría.
Ningún ángulo recto Al menos 1 ángulo recto
A, C, G, H B, D, E, F, I, J
2. Amy dibuja polígonos que tienen al menos 2 ángulos obtusos. Pablo dibuja polígonos que tienen al menos 2 ángulos agudos.
Polígonos de Pablo Polígonos de Amy
a. Escribe los nombres Amy o Pablo en los espacios para indicar qué polígonos dibujan Amy y Pablo.
[Nota: Las respuestas del problema 2(a) están en los encabezamientos de la tabla].
EUREKA MATH
EUREKA MATH2
b. ¿El trapecio pertenece a un grupo o a ambos grupos? Explica cómo lo sabes.
Este trapecio tiene 2 ángulos agudos y 2 ángulos obtusos. Puede pertenecer a ambos grupos: Polígonos de Pablo y Polígonos de Amy.
c. ¿El rectángulo pertenece a uno de los grupos? Explica cómo lo sabes.
El rectángulo no pertenece a ningún grupo porque tiene 4 ángulos rectos. No tiene ángulos agudos ni obtusos.
3. Luke y David clasifican los polígonos K a N. Luke dice que todos los polígonos parecen tener al menos 1 ángulo recto. David dice que todos los polígonos parecen tener al menos 1 par de lados perpendiculares. ¿Quién está en lo correcto? Explica cómo lo sabes. K L M N
Tanto Luke como David están en lo correcto. Todos los polígonos parecen tener al menos 1 ángulo recto, y cada ángulo recto está formado por 1 par de lados perpendiculares.
Great Minds
Sigue la regla.
No sigue la regla.
Polígonos sin ángulos rectos
Polígonos con más de 1 ángulo recto
Polígonos con al menos 1 ángulo recto
Polígonos sin ángulos de la misma medida
Polígonos con exactamente 1 par de ángulos de la misma medida
Polígonos con todos los ángulos de la misma medida
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Polígonos con 2 pares de lados perpendiculares
Polígonos con al menos 1 ángulo obtuso
Polígonos con al menos 1 ángulo agudo
Polígonos sin lados paralelos
Polígonos con más de 1 par de lados paralelos
Polígonos con al menos 1 par de lados paralelos
Estándares
Estándares de contenido del módulo
Dibujan e identifican rectas y ángulos, y clasifican figuras geométricas según las propiedades de sus rectas y sus ángulos.
4.G.A.1 Dibujan puntos, rectas, segmentos de rectas, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos), y rectas perpendiculares y paralelas. Identifican estos elementos en las figuras bidimensionales.
4.G.A.2 Clasifican las figuras bidimensionales basándose en la presencia o ausencia de rectas paralelas o perpendiculares, o en la presencia o ausencia de ángulos de un tamaño especificado. Reconocen que los triángulos rectos forman una categoría en sí, e identifican triángulos rectos.
4.G.A.3 Reconocen que en una figura bidimensional, el eje de simetría es una recta que corta la figura de tal manera que la figura se puede doblar a lo largo de la recta en partes exactamente iguales. Identifican figuras con simetría axial y dibujan ejes de simetría.
Medición geométrica: entienden conceptos sobre los ángulos y la medición de ángulos.
4.MD.C.5 Reconocen que los ángulos son elementos geométricos formados cuando dos semirrectas comparten un extremo común, y entienden los conceptos de la medición de ángulos:
a. Un ángulo se mide con respecto a un círculo, con su centro en el extremo común de las semirrectas, tomando en cuenta la fracción del arco circular entre los puntos donde ambas semirrectas intersecan el círculo. Un ángulo que pasa por 1 360 de un círculo se llama “ángulo de un grado” y se puede utilizar para medir ángulos.
b. Un ángulo que pasa por n ángulos de un grado tiene una medida angular de n grados.
4.MD.C.6 Miden ángulos en grados de números enteros utilizando un transportador. Dibujan ángulos con medidas dadas.
4.MD.C.7 Reconocen la medida de un ángulo como una suma. Cuando un ángulo se descompone en partes que no se superponen, la medida del ángulo entero es la suma de las medidas de los ángulos de las partes. Resuelven problemas de suma y resta para encontrar ángulos desconocidos en problemas del mundo real y en problemas matemáticos, por ejemplo, al usar una ecuación con un símbolo para la medida desconocida del ángulo.
Estándares para la práctica de las matemáticas
MP1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.
MP2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.
MP3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.
MP4 Representan a través de las matemáticas.
MP5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.
MP6 Ponen atención a la precisión.
MP7 Reconocen y utilizan estructuras.
MP8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
4.Mód6.CLA1 Convierten entre medidas de ángulos expresadas como un giro fraccionario en un círculo y como grados.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADOS
4.MD.C.5 Reconocen que los ángulos son elementos geométricos formados cuando dos semirrectas comparten un extremo común, y entienden los conceptos de la medición de ángulos:
4.MD.C.5.a Un ángulo se mide con respecto a un círculo, con su centro en el extremo común de las semirrectas, tomando en cuenta la fracción del arco circular entre los puntos donde ambas semirrectas intersecan el círculo. Un ángulo que pasa por 1 360 de un círculo se llama “ángulo de un grado” y se puede utilizar para medir ángulos.
4.MD.C.5.b Un ángulo que pasa por n ángulos de un grado tiene una medida angular de n grados.
Parcialmente competente Competente
Convierten entre medidas de ángulos expresadas como un giro fraccionario en un círculo con un denominador de 360 y como grados.
¿Cuál es la medida, en grados, de un ángulo que es 47 360 de un giro entero en un círculo?
¿Cuántos grados gira el minutero de un reloj en 15 minutos? ¿Cómo lo sabes?
4.Mód6.CLA2 Miden y dibujan ángulos en grados.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.MD.C.6 Miden ángulos en grados de números enteros utilizando un transportador. Dibujan ángulos con medidas dadas.
Parcialmente competente Competente
Miden ángulos usando un transportador alineado con el cero
¿Cuál es la medida angular que se muestra?
Miden y dibujan ángulos en grados usando un transportador
Usa el transportador para dibujar un ángulo que tenga una medida de 59°.
Altamente competente
Miden ángulos usando un transportador que no está alineado con el cero
¿Cuál es la medida angular que se muestra?
4.Mód6.CLA3 Hallan las medidas angulares desconocidas usando la suma y la resta.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.MD.C.7
Reconocen la medida de un ángulo como una suma. Cuando un ángulo se descompone en partes que no se superponen, la medida del ángulo entero es la suma de las medidas de los ángulos de las partes. Resuelven problemas de suma y resta para encontrar ángulos desconocidos en problemas del mundo real y en problemas matemáticos, por ejemplo, al usar una ecuación con un símbolo para la medida desconocida del ángulo.
Parcialmente competente
Determinan la medida de un ángulo que es la suma de dos ángulos adyacentes.
¿Cuál es la medida del ángulo ABC?
Competente
Hallan las medidas angulares desconocidas usando la suma y la resta.
La medida del ∠ JRF es 180°. Escribe y resuelve una ecuación para hallar el valor de x .
Altamente competente
A. 8° B. 34°
C. 42°
D. 76°
4.Mód6.CLA4 Identifican y trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.G.A.1 Dibujan puntos, rectas, segmentos de rectas, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos), y rectas perpendiculares y paralelas. Identifican estos elementos en las figuras bidimensionales.
Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas.
¿Qué figura es una semirrecta?
Trazan puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas.
Usa la ⟷ GH para completar las partes A y B.
Parte A
Traza la ⟷ CD paralela a la ⟷ GH .
Parte B
Traza la ⟷ EF perpendicular a la ⟷ GH
4.Mód6.CLA5 Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.G.A.1 Dibujan puntos, rectas, segmentos de rectas, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos), y rectas perpendiculares y paralelas. Identifican estos elementos en las figuras bidimensionales.
Parcialmente competente
Competente
Identifican puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas, ángulos (rectos, agudos, obtusos) y rectas perpendiculares y paralelas en figuras bidimensionales.
Nombra un par de lados paralelos del rectángulo que se muestra.
Altamente competente
4.Mód6.CLA6 Identifican atributos y los utilizan para clasificar figuras bidimensionales, incluyendo los triángulos.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.G.A.2 Clasifican las figuras bidimensionales basándose en la presencia o ausencia de rectas paralelas o perpendiculares, o en la presencia o ausencia de ángulos de un tamaño especificado. Reconocen que los triángulos rectos forman una categoría en sí, e identifican triángulos rectos.
Parcialmente competente Competente
Identifican atributos y los utilizan para clasificar figuras bidimensionales, incluyendo los triángulos. Arrastra cada figura dentro del círculo que mejor la describe.
Al menos un par de lados paralelos Ningún par de lados paralelos
Altamente competente
Identifican las clasificaciones correctas de figuras bidimensionales, incluyendo los triángulos.
¿Cuál de las siguientes opciones es una clasificación correcta del triángulo que se muestra?
A. Triángulo rectángulo equilátero
B. Triángulo acutángulo isósceles
C. Triángulo rectángulo isósceles
D. Triángulo rectángulo escaleno
4.Mód6.CLA7 Identifican y trazan ejes de simetría.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.G.A.3 Reconocen que en una figura bidimensional, el eje de simetría es una recta que corta la figura de tal manera que la figura se puede doblar a lo largo de la recta en partes exactamente iguales. Identifican figuras con simetría axial y dibujan ejes de simetría.
Parcialmente competente Competente
Identifican ejes de simetría.
Elige la figura que muestra un eje de simetría.
Trazan ejes de simetría.
Traza todos los ejes de simetría de cada figura. Encierra en un círculo las figuras que no tienen ejes de simetría.
Altamente competente
C. D.
Vocabulario
Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 6 de 4.o grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.
Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.
Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.
Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.
Nuevo
ángulo
Un ángulo es una figura formada por dos semirrectas que tienen el mismo extremo. (Lección 1)
ángulo agudo
Un ángulo agudo es un ángulo que es menor que un ángulo recto; mide menos de 90º. (Lección 2, Lección 8)
ángulo de reflexión
Un ángulo de reflexión es un ángulo que es mayor que un ángulo llano y menor que una rotación completa, o un giro completo; mide más de 180º y menos de 360º. (Lección 7)
ángulo llano
Un ángulo llano está formado por dos semirrectas que tienen el mismo extremo y que forman una recta. (Lección 2)
ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es un ángulo que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano; mide más de 90º y menos de 180º. (Lección 2, Lección 8)
ángulo recto
Un ángulo recto mide 90º. (Lección 8)
ángulos adyacentes
Los ángulos adyacentes son ángulos que tienen el mismo vértice y comparten una semirrecta sin superponerse. (Lección 14)
ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si la suma de las medidas de ambos ángulos es 90º. (Lección 14)
ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si la suma de las medidas de ambos ángulos es 180º. (Lección 14)
eje de simetría
Un eje de simetría es una recta que atraviesa una figura de manera tal que cuando se dobla la figura por esa recta, se crean 2 partes que coinciden perfectamente. (Lección 17)
figura
Una figura es un conjunto de puntos en un espacio plano. A veces, se usa el término figura para referirse a algunas figuras geométricas comunes, como los triángulos, los rectángulos, los trapecios, etc. (Lección 1)
grado
El grado es la unidad que se usa para medir los ángulos. Un ángulo que recorre 1 360 de un círculo es un ángulo de un grado (1°). (Lección 8)
intersecarse
Dos o más rectas (o segmentos o semirrectas) se intersecan cuando se juntan o se cruzan. Se intersecan en un punto. (Lección 4)
paralelo, paralela
Dos rectas que están en un espacio plano son paralelas si no se intersecan. Los segmentos de recta o las semirrectas son paralelos si las rectas que los contienen son paralelas. (Lección 5)
perpendicular
Dos rectas que están en un espacio plano son perpendiculares si los ángulos que se forman en el punto en que se intersecan son ángulos rectos. Los segmentos de recta o las semirrectas son perpendiculares si las rectas que los contienen son perpendiculares. (Lección 4)
punto
Un punto señala una ubicación precisa en un espacio plano y no tiene tamaño. Los puntos que identifican un segmento de recta se llaman extremos. (Lección 1)
recta
Una recta es una línea que no cambia de dirección, que no tiene grosor y que se extiende sin fin en ambos sentidos. (Lección 1)
segmento de recta
Un segmento de recta son dos puntos y el conjunto de puntos que hay entre ellos sobre la recta que los une. (Lección 1)
semirrecta
Una semirrecta es un punto y todos los puntos que se extienden en un sentido a lo largo de una recta. El punto se llama el extremo de la semirrecta. (Lección 1)
triángulo acutángulo
Un triángulo acutángulo es un triángulo que tiene los tres ángulos agudos. (Lección 18)
triángulo equilátero
Un triángulo equilátero es un triángulo que tiene todos los lados de la misma longitud. (Lección 18)
triángulo escaleno
Un triángulo escaleno es un triángulo que no tiene lados de la misma longitud. (Lección 18)
triángulo isósceles
Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene al menos dos lados de la misma longitud. Los triángulos equiláteros también son triángulos isósceles. (Lección 18)
triángulo obtusángulo
Un triángulo obtusángulo es un triángulo que contiene un ángulo obtuso. (Lección 18)
triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo es un triángulo que contiene un ángulo recto. (Lección 18)
vértice
Un vértice es el punto donde dos rectas, dos segmentos de recta o dos semirrectas se intersecan. El extremo donde se unen las semirrectas que forman un ángulo es el vértice de un ángulo. También se usa el término vértice para referirse al punto de intersección entre dos lados de un polígono. (Lección 2)
Conocido descomponer
punto de referencia
suma
Verbo académico
construir
Las matemáticas en el pasado
La historia de los transportadores
¿Cómo se usan los transportadores fuera del salón de clases de matemáticas?
¿Cómo han evolucionado los transportadores a lo largo de los siglos?
Imaginemos que estamos en el pasado, dos siglos atrás, y que nos encontramos al mando de nuestro propio barco en alta mar. Nos dirigimos al puerto de un país extranjero y hemos llevado cuidadosamente el registro de nuestra ubicación en cartas de navegación.
Sabemos hacia dónde debemos ir para llegar, pero justo al norte y al sur del ingreso al puerto hay arrecifes peligrosos. El rumbo de nuestro viaje debe ser preciso para evitar que el barco choque contra los arrecifes. ¿A qué ángulo con respecto al polo norte magnético debemos dirigir nuestro barco para llegar a salvo?
Quienes navegaban en esa época usaban una herramienta simple como ayuda: el transportador. Es posible que sus estudiantes se sorprendan al enterarse de que este instrumento ha sido, durante cientos de años, de uso vital para trazar una ruta de viaje segura.
En 1801, un capitán de la marina estadounidense llamado Joseph Huddart diseñó el transportador
de tres brazos, también conocido como puntero de estación, para determinar la trayectoria de los viajes entre ubicaciones en alta mar, e incluso, a través de cálculos, para determinar las distancias entre ubicaciones. En combinación con el uso de una brújula magnética, las tripulaciones de los barcos podían seguir un sentido de viaje constante manteniendo un ángulo fijo con respecto al polo norte magnético.
Por supuesto, la necesidad de medir ángulos con precisión surgió siglos antes de la época mencionada, que es relativamente reciente.
Si bien no se sabe quién inventó el primer transportador, sabemos que ha existido desde al menos el siglo XIII.
Este instrumento astronómico medieval, denominado torquetum, se usaba para medir los ángulos de elevación de la Luna y otros objetos celestes de nuestro sistema solar en horarios fijos del día y la noche. El torquetum tiene un transportador semicircular, es decir, que mide ángulos de entre 0° y 180°.
La física italiana Amelia Sparavigna cree que las personas usaban versiones del transportador mucho antes de la invención del torquetum.
La tumba de Kha, el constructor principal del faraón Amenofis II, data de alrededor del año 1400 a. e. c. y, en 1906, la descubrió el arqueólogo Ernesto Schiaparelli cerca del Valle de los Reyes. (Puede encontrar más información sobre Kha en el módulo 1 de 2.o grado). Los instrumentos de medición de Kha se encontraban en la tumba: varillas de codos, un dispositivo de nivelación y un disco de madera que podría ser un ancestro lejano del transportador.
Si bien algunas personas que estudian arqueología piensan que esta herramienta puede haber sido simplemente una caja decorativa, Sparavigna cree que puede haber tenido un propósito relacionado con las matemáticas.
Sparavigna observó que el diseño del disco de madera se compone de 16 pétalos espaciados de manera uniforme dentro de un círculo de zigzags que forman 36 puntos. Su hipótesis es que, cuando este disco y la varilla a la que está adherido se colocan sobre una pendiente, los diseños del disco muestran el ángulo de su inclinación.
Pregunte a sus estudiantes si pueden imaginarse usando el instrumento de Kha para determinar los ángulos de inclinación. Quizás una imagen esquemática pueda ayudarles.
Pida a sus estudiantes que piensen en la medida angular entre dos de los 36 puntos de zigzag espaciados de manera uniforme. ¿Podría Kha haber medido el ángulo de inclinación de 20° con facilidad? ¿Qué ángulos de inclinación podría medir usando los 16 pétalos espaciados de manera uniforme?
En 1589, un experto en matemáticas inglés llamado Thomas Blundeville dio una de las primeras descripciones por escrito del transportador.
Su libro Briefe Description of Universal Mappes & Cardes (Breve descripción de mapas y cartas de navegación del mundo) estaba dirigido a quienes viajaban por tierra y por mar, y describía al transportador como una herramienta para dibujar y medir ángulos. Blundeville usó un transportador para preparar mapas y cartas de navegación.
Para principios del siglo XVII, los transportadores eran de uso común entre quienes estudiaban la topografía, es decir, las personas que miden el terreno e identifican los límites. Estas personas usaban el transportador, junto con cintas métricas, reglas y escuadras, para medir ángulos y calcular la distancia entre puntos.
La ubicación de un punto se puede hallar a través de un proceso matemático denominado triangulación después de haber hallado primero los ángulos de puntos circundantes conocidos. Este proceso permite a quienes estudian la topografía calcular medidas precisas entre ubicaciones en un mapa. Se pueden usar mediciones similares para hallar la altura de un árbol e incluso la distancia entre la Tierra y la Luna.
En el siglo XVIII, el diseño del transportador era más portátil y se usaba mucho para las matemáticas.
En el siglo XX, el transportador se convirtió en el objeto escolar de uso común que conocemos hoy. Por lo general, estos transportadores son semicirculares, están hechos de plástico o metal resistente y no tienen los diseños ornamentales ni las decoraciones que antiguamente solían ser comunes. Pueden tener un brazo móvil como ayuda para crear líneas rectas, así como también marcas de pulgadas y centímetros.
Transportador de círculo entero de principios del siglo XVII
50°41°
20 0 m d = ?
Transportador semicircular del siglo XVII hecho por el científico italiano Giacomo Lusverg
Los transportadores se siguen haciendo con diseños y características cada vez más avanzadas. El transportador biselado, por ejemplo, tiene una barra, un disco graduado y una hoja de metal. Es posible que esta sea una buena herramienta de supervivencia para llevar a una isla solitaria: se puede usar para medir ángulos y calcular la distancia hacia el cuerpo de tierra más cercano a la vista y para cortar un coco, ¡todo con un mismo dispositivo!
Materiales
Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro.
25 borradores para las pizarras blancas individuales
1 círculos de cartulina de 4" de diámetro blancos (set de 25)
1 círculos de cartulina de 4" de diámetro rojos (set de 25)
1 computadora o dispositivo para la enseñanza
25 lápices
25 lápices de colores
1 libro Enseñar
24 libros Aprender
25 marcadores
Visite http://eurmath.link/materials para saber más.
25 marcadores de borrado en seco
24 notas adhesivas
36 palillos
100 papel en blanco, hojas
25 pizarras blancas individuales
1 proyector
25 reglas
25 tijeras
25 transportadores de 4" (180°)
Obras citadas
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Créditos
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Cuando Stella ubica estos patrones de arcoíris juntos, forman círculos. ¿Qué fracción de un círculo se muestra en cada cuadrado?
En la portada
Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969
Frank Stella, American, born 1936
Acrylic on canvas
Minneapolis Institute of Art, Minneapolis, MN, USA
