ENSEÑAR ▸ Módulo 5 ▸ Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
En esta pintura, el pintor abstracto Frank Stella usó un compás para crear figuras curvas muy brillantes. Cada parte de esta cuadrícula tiene un arco que es parte de un diseño de semicírculos que parecen arcoíris.
Cuando Stella ubica estos patrones de arcoíris juntos, forman círculos. ¿Qué fracción de un círculo se muestra en cada cuadrado?
En la portada
Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969
Frank Stella, American, born 1936
Acrylic on canvas
Minneapolis Institute of Art, Minneapolis, MN, USA
Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Art, MN.
Conceptos de valor posicional para la suma y la resta
2
3
Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división
4
Multiplicación y división de números de varios dígitos
5
Fundamentos para las operaciones con fracciones
6
Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales
Medidas angulares y figuras planas
Antes de este módulo
Módulo 4 de 4.o grado
En el módulo 4, la clase descompone números enteros y fracciones como sumas de fracciones más pequeñas con la misma unidad. También expresan fracciones mayores que 1 como números mixtos. Comparan fracciones con diferentes unidades fraccionarias usando la multiplicación y la división para generar fracciones con unidades semejantes. Suman fracciones con unidades semejantes usando estrategias similares a aquellas que usaron con la suma de números enteros.
Contenido general
Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales
Tema A
Exploración de décimos
Dentro del contexto conocido del dinero, la clase usa puntos decimales para registrar por primera vez cantidades de dinero como números decimales. Ven que los números se pueden representar de diferentes maneras. Usan diagramas de cinta, rectas numéricas y modelos de área para representar la unidad fraccionaria de los décimos. Escriben décimos en forma unitaria y en forma fraccionaria y, luego, ven que la forma decimal es otra manera de escribir los números. Descomponen 1 unidad en 10 décimos y componen 10 décimos en 1 unidad usando representaciones conocidas, como los discos de valor posicional. Reconocen los décimos como una unidad fraccionaria y una unidad de valor posicional. Registran números mixtos de unidades y décimos en forma unitaria, en forma fraccionaria y en forma decimal.
Tema B
Décimos y centésimos
La clase descompone décimos en centésimos usando diagramas de cinta, rectas numéricas y modelos de área. Reconocen los centésimos como una unidad fraccionaria y los escriben en forma fraccionaria y en forma decimal. Ven que la descomposición de 1 décimo como 10 centésimos y la composición de 10 centésimos como 1 décimo sigue el mismo patrón que otras unidades de valor posicional, y reconocen que los centésimos también son una unidad de valor posicional. Usan su conocimiento de fracciones equivalentes y unidades de valor posicional para comprender que 10 ___ 100 = 1 __ 10 y que, por ejemplo, 0.21 es la misma cantidad que
21 centésimos o 2 décimos y 1 centésimo. Registran números mixtos de unidades, décimos y centésimos en forma fraccionaria, en forma decimal y en forma unitaria. También expresan números mixtos con décimos y centésimos en forma desarrollada.
Tema C
Comparación de números decimales
= 12 100
Después de este módulo
Módulo 4 de 5.o grado
< 0.2
= 20 100
La clase compara números decimales aplicando su comprensión previa sobre la comparación de números enteros y fracciones y usando estrategias de su elección. Justifican las comparaciones y ven cómo se pueden usar diferentes estrategias. Luego, usan un modelo de área, una recta numérica y discos de valor posicional para representar números decimales. Expresan números decimales en forma decimal, en forma fraccionaria y en forma unitaria. Comparan los números usando diferentes estrategias, como la formación de unidades semejantes, la comparación del valor de cada dígito comenzando por la unidad de valor posicional más grande y el uso de estrategias de cálculo mental. Aplican sus conocimientos para comparar números mixtos y ordenar números decimales.
Tema D
Suma de décimos y centésimos
La clase amplía su comprensión de la equivalencia de fracciones y de la suma de fracciones con unidades semejantes para sumar fracciones y números mixtos con unidades diferentes de décimos y centésimos. Expresan los décimos como centésimos a fin de crear unidades semejantes y, luego, usan estrategias conocidas para sumar. Por ejemplo, pueden combinar unidades semejantes o separar un sumando en partes para hacer un problema más sencillo. También resuelven problemas verbales que requieren la suma de medidas del sistema métrico o cantidades de dinero expresadas como números decimales. Expresan los números decimales en forma fraccionaria, suman los números en forma fraccionaria y, luego, usan la forma decimal en el enunciado con la solución.
En 5.o grado, la clase amplía su comprensión de las unidades de valor posicional a los milésimos. Comparan y redondean números decimales con unidades hasta los milésimos. Luego, suman, restan, multiplican y dividen con unidades hasta los centésimos. Convierten unidades métricas y resuelven problemas verbales que incluyen números decimales.
Contenido
Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales
¿Por qué?
Criterios de logro académico: Contenido general
Tema A
Exploración de décimos
Lección 1
Organizar, contar y representar una colección de dinero
Lección 2
Descomponer 1 unidad y expresar los décimos en forma fraccionaria y en forma decimal
Lección 3
Representar los décimos como una unidad de valor posicional
Lección 4
Escribir números mixtos en forma decimal con décimos
Tema B
Décimos y centésimos
Lección 5
Descomponer 1 unidad y expresar los centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal
Lección 6
Representar los centésimos como una unidad de valor posicional
Lección 7
Escribir números mixtos en forma decimal con centésimos
Lección 8
Representar números decimales en forma desarrollada
6
8
�13
16
42
Tema C
Comparación de números decimales
Lección 9
Comparar medidas expresadas como números decimales
Lección 10
Usar representaciones pictóricas para comparar números decimales
Lección 11
Comparar y ordenar números decimales
Tema D
56
72
171
91
Suma de décimos y centésimos
Lección 12
Aplicar la equivalencia de fracciones para sumar décimos y centésimos
Lección 13
Aplicar la equivalencia de fracciones para sumar números mixtos con décimos y centésimos
206
94
Lección 14
Resolver problemas verbales con décimos y centésimos
114
154
Recursos
Estándares
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
Vocabulario
Las matemáticas en el pasado
Materiales
Obras citadas
Créditos
Agradecimientos
¿Por qué?
Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales
¿Por qué el título de este módulo es Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales en lugar de Conceptos de valor posicional para los números decimales?
En el módulo 5 de 3.er grado y el módulo 4 de 4.o grado, la clase desarrolla la comprensión conceptual de las fracciones. Este módulo amplía de manera explícita la comprensión de sus estudiantes de los décimos y los centésimos como unidades de valor posicional y hace énfasis en que son unidades de valor posicional más pequeñas que las unidades que se pueden escribir en forma fraccionaria y en forma decimal. Esta comprensión ayuda a preparar a la clase para hacer operaciones con números decimales en 5.o y 6.o grado. El título del módulo señala que la comprensión conceptual de los números decimales se basa en las fracciones.
¿Por
qué se omite el término decimal en 4.o grado?
El término decimal se suele usar para referirse a un número decimal o a los dígitos que se encuentran a la derecha del punto decimal. Sin embargo, en lugar de utilizar el término decimal, las lecciones de 4.o grado usan sistemáticamente los términos número decimal, dígitos a la derecha del punto decimal y forma decimal para ayudar a sus estudiantes a distinguir entre los diferentes significados. El término número decimal también se usa para enfatizar que los números decimales son números y tienen características similares a los números enteros. El término forma decimal describe una de las maneras en que se puede escribir un número, del mismo modo que la forma unitaria y la forma fraccionaria.
Criterios de logro académico: Contenido general
Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales
Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo.
Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar.
Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de:
• observaciones informales en el salón de clases;
• los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones;
• Boletos de salida;
• Pruebas cortas de los temas y
• Evaluaciones de los módulos.
Este módulo contiene los cinco CLA que se indican.
4.Mód5.CLA1
Expresan fracciones con un denominador de 10 como fracciones equivalentes con un denominador de 100.
4.Mód5.CLA2
Suman dos fracciones con los denominadores 10 y 100, respectivamente.
4.Mód5.CLA3
Representan décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria o utilizando un modelo.
4.Mód5.CLA4
Comparan dos números decimales hasta los centésimos y justifican las conclusiones.
4.Mód5.CLA5
Resuelven problemas verbales sobre la suma de números decimales.
Nota: La clase suma números decimales convirtiéndolos a fracciones con el mismo denominador.
4.MD.A.2
La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente.
4.NF.C.5
4.NF.C.5
4.NF.C.6
4.NF.C.7
Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.
Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes:
• Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 5 de 4.o grado se codifica como 4.Mód5.CLA1.
• Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará.
• Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada.
• Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.
Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#
del CLA
4.Mód5.CLA4 Comparan dos números decimales hasta los centésimos y justifican las conclusiones.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.NF.C.7 Comparan dos decimales hasta las centésimas al razonar sobre su tamaño. Reconocen que las comparaciones son válidas solamente cuando ambos decimales se refieren al mismo entero. Anotan los resultados de las comparaciones con los símbolos >, = o <, y justifican las conclusiones, por ejemplo, utilizando una recta numérica u otro modelo visual. (CA)
Parcialmente competente
Comparan dos números decimales hasta los centésimos a partir de un modelo dado.
Usa >, = o < para comparar los números decimales..
0.5 0.42
Competente
Comparan dos números decimales hasta los centésimos y justifican las conclusiones.
Usa >, = o < para comparar los números decimales. Marca la ubicación de cada número decimal en la recta numérica para justificar tu respuesta
Altamente competente
Analizan errores en una comparación de dos números decimales hasta los centésimos.
Casey dice que 0.30 > 0.3 porque 30 es mayor que 3. Explica el error de Casey y compara los dos números decimales de manera correcta.
Indicadores del CLA
Tema A Exploración de décimos
En el tema A, la clase usa lo que sabe sobre los décimos como una unidad fraccionaria para desarrollar la comprensión de los décimos como una unidad de valor posicional.
Al comienzo del tema, sus estudiantes cuentan una colección de billetes y monedas con totales menores que $100 y con denominaciones de $10, $1, 10¢ y 1¢. Mientras cuentan los números de dólares y centavos, eligen cómo registrar el total. Es posible que parte de la clase registre el total por separado usando dólares y centavos. Otra parte de la clase podría expresar el total con otro nombre usando centavos. El punto decimal se presenta en el contexto conocido del dinero con el fin de que sus estudiantes vean que el punto decimal se usa para separar determinadas unidades en un número, como los dólares y centavos en $13.86.
La clase descompone 1 segundo y 1 metro en décimos usando diagramas de cinta y rectas numéricas. Registran las medidas de décimos en forma unitaria y en forma fraccionaria. Luego, relacionan las fracciones decimales con los números decimales y registran las medidas en forma decimal. Descomponen 1 unidad en 10 décimos usando un modelo de área. Esto les ayuda a reconocer los décimos como una unidad fraccionaria y como una unidad de valor posicional. Sus estudiantes ven que los décimos siguen el mismo patrón que otras unidades de valor posicional: 1 de una unidad más grande se puede descomponer en 10 de la siguiente unidad más pequeña. Usan discos de valor posicional que representan décimos para componer y descomponer 1.
Al final del tema, sus estudiantes usan lo que saben sobre el registro de números mixtos en forma fraccionaria para escribir números mixtos en forma decimal. Al decir los números decimales, reconocen la importancia de la palabra con, dado que indica la posición del punto decimal en la forma decimal, identifica las unidades de números enteros y décimos, y representa la suma. Sus estudiantes usan su comprensión de la palabra con como representación de la suma para ayudarles a escribir números decimales como la suma de un número entero y una parte fraccionaria.
En el tema B, la clase amplía su comprensión de las unidades de valor posicional a los centésimos.
Progresión de las lecciones
Lección 1
Organizar, contar y representar una colección de dinero
Lección 2
Descomponer 1 unidad y expresar los décimos en forma fraccionaria y en forma decimal
Lección 3
Representar los décimos como una unidad de valor posicional
Cuando cuento una colección de billetes y monedas, hallo un total de dólares y centavos. Puedo usar un punto decimal para registrar un número que muestre el total como dólares y centavos.
Puedo registrar los décimos de diferentes maneras. Por ejemplo, puedo registrar 7 décimos en forma fraccionaria como 7 10 y en forma decimal como 0.7. Puedo usar rectas numéricas y diagramas de cinta como ayuda para ver que, aunque el número se escriba de manera diferente, sigue siendo el mismo.
Los décimos son otra unidad de valor posicional. Puedo componer 10 décimos para formar 1 unidad, al igual que puedo componer 10 unidades para formar 1 decena. Los modelos de área y los discos de valor posicional me ayudan a representar los décimos como una unidad fraccionaria y como una unidad de valor posicional. También me ayudan a ver la relación entre los décimos y las unidades.
Lección 4
Escribir números mixtos en forma decimal con décimos
Puedo usar lo que sé sobre los números mixtos como ayuda para registrar unidades y décimos en forma decimal. El punto decimal me ayuda a identificar qué dígito está en la posición de las unidades. Puedo usar discos de valor posicional y una recta numérica para representar los números decimales con unidades y décimos. Cuando digo la palabra con en los números decimales, puedo pensar en el lugar en el que el punto decimal separa las unidades de números enteros de los décimos.
1. Explica cómo contaste tu colección.
Organizar, contar y representar una colección de dinero
Vistazo a la lección
La clase halla la cantidad total de dólares y centavos contando una colección de billetes y monedas. Deciden cómo organizar, contar y representar los objetos en su colección. Analizan el trabajo de sus pares y comentan estrategias eficientes de organización y conteo. Registran los dólares y centavos juntos usando un punto decimal. En esta lección se presenta el término punto decimal.
2. Si volvieras a contar tu colección, ¿elegirías la misma estrategia? Explica.
En esta lección, no se incluye la sección Grupo de problemas. En su lugar, use las observaciones y el trabajo en clase para analizar el razonamiento de sus estudiantes después de la lección. El Boleto de salida de esta lección permite a la clase reflexionar acerca de las estrategias de conteo.
Preguntas clave
• ¿Qué estrategias pueden usar como ayuda para contar su colección?
• ¿Cómo podemos escribir una cantidad de dólares y centavos como un número?
Criterio de logro académico
4.Mód5.CLA3 Representan décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria o utilizando un modelo. (4.NF.C.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Organizar, contar y registrar
• Compartir, comparar y conectar
• Punto decimal
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Colecciones de conteo de billetes y monedas (en la edición para la enseñanza)
• computadora o dispositivo*
• proyector*
• libro Enseñar*
Estudiantes
• herramientas de organización
• marcador de borrado en seco*
• libro Aprender*
• lápiz*
• pizarra blanca individual*
• borrador para la pizarra blanca individual*
* Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.
Preparación de la lección
• Imprima o haga una copia de la hoja extraíble de Colecciones de conteo de billetes y monedas y recorte las colecciones de dinero. Prepare suficientes colecciones para tener una por pareja de estudiantes.
• Brinde a sus estudiantes herramientas que les ayuden a organizar sus conteos. Las herramientas pueden ser vasos, clips, pizarras blancas, tablas de valor posicional, bolsitas, bandas elásticas o papel cuadriculado.
Fluidez
Contar de centena en centena con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuenta en voz alta y representa una composición y una descomposición como preparación para representar décimos como una unidad de valor posicional en la lección 3.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Vamos a contar de centena en centena con el método matemático. Cada dedo representa 100.
Vista de sus manos desde la perspectiva de la clase
Vista de las manos de cada estudiante desde su propia perspectiva
Pida a la clase que cuente de centena en centena con el método matemático desde el 0 hasta el 1,000.
¿Qué unidad más grande podemos formar con 10 centenas?
1 millar
Podemos agrupar 10 centenas para formar 1 millar. (Una las manos).
Pida a la clase que represente la agrupación de 10 centenas uniendo las manos.
Separe las manos para representar cómo desagrupar.
Pida a la clase que separe las manos para representar cómo desagrupar 1 millar.
Pida a la clase que cuente hacia atrás de centena en centena con el método matemático desde el 1,000 hasta el 0.
Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer números mixtos
La clase resta el número entero o la fracción de un número mixto y, luego, dice una oración numérica para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 4 de descomponer números mixtos.
Muestre el vínculo numérico con una parte desconocida.
¿Cuál es el valor de la parte desconocida? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. 1 2
Muestre la parte desconocida.
Cuando dé la señal, digan la oración numérica de resta comenzando con el total. ¿Comenzamos?
1 1 _ 2 − 1 = 1 _ 2
Muestre la oración numérica.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Formar 1
La clase determina la parte desconocida para formar 1 entero y dice una oración numérica de suma para adquirir fluidez con las parejas de números que suman 1.
Muestre 2 3 + = 1.
¿Cuál es el valor de la parte desconocida? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 3
Muestre la parte desconocida.
Cuando dé la señal, digan la oración numérica de suma.
¿Comenzamos?
2 3 + 1 3 = 1
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Cuando la parte desconocida es una fracción igual a 0 o 1, pida a sus estudiantes que digan el valor como una fracción.
Presentar
La clase analiza diferentes representaciones de 20 y 5.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen de cuatro maneras de representar 20 y 5.
Invite a sus estudiantes a analizar cada recuadro.
Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca.
+ 5
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría. Destaque las respuestas que hagan énfasis en las diferentes unidades representadas.
Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas.
Preguntas de ejemplo:
¿Cuál no pertenece al grupo?
La imagen A no pertenece al grupo porque no muestra dinero.
La imagen B no pertenece al grupo porque es la única cantidad que muestra la descomposición de 5 en 5 unidades.
La imagen C no pertenece al grupo porque solo muestra dólares. No hay centavos.
La imagen D no pertenece al grupo porque solo muestra centavos y 20 se descompone en 2 decenas.
¿Hay imágenes que representen un valor de 25? ¿Por qué?
Las imágenes A, C y D representan 25. Cuando combino los valores de los elementos de cada imagen, son iguales a 25 de esa unidad. Hay 25 unidades, 25 dólares y 25 centavos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en el idioma.
• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.
De ser posible, intente formar las parejas con estudiantes que tengan el mismo idioma materno.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Mientras sus estudiantes comparten, considere pedirles que vayan a la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación para hacer preguntas aclaratorias y de conexión a sus pares.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo expresarían el valor combinado de los elementos de la imagen B.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, contaremos una colección de billetes y monedas para hallar su valor total e identificaremos cómo expresar y registrar los dólares y centavos juntos.
Aprender
Organizar, contar y registrar
Materiales: E) Colecciones de conteo de billetes y monedas, herramientas de organización
La clase usa estrategias de su preferencia para organizar y contar una colección y registrar el proceso.
Forme parejas de estudiantes y distribuya una colección de conteo a cada una.
Pida a sus estudiantes que busquen la página de registro en sus libros. Oriente brevemente a la clase sobre los materiales y el procedimiento para la actividad de colección de conteo:
• Trabajarán en parejas para contar una colección.
• Las parejas elaborarán sus propios registros para mostrar cómo contaron.
• Las parejas pueden usar las herramientas de organización. Estas herramientas pueden incluir objetos del salón de clases, como vasos, clips, pizarras blancas, tablas de valor posicional, etc.
Antes de que comiencen a contar, invite a las parejas de estudiantes a predecir la cantidad total de su colección. Pídales que registren las estimaciones. Luego, anime a las parejas a conversar acerca de cómo organizarán sus colecciones para contarlas.
Nota para la enseñanza
Los niveles de complejidad de las colecciones de conteo varían. Forme parejas de estudiantes y asigne intencionalmente a cada pareja una colección de conteo.
• La colección 1 requiere el conteo de tres unidades y la posible expresión de dos unidades con otro nombre.
• La colección 2 requiere el conteo de cuatro unidades y la posible expresión de dos unidades con otro nombre.
• La colección 3 requiere el conteo de tres unidades y la posible expresión de dos unidades con otro nombre, incluida la expresión de centavos como dólares.
• La colección 4 requiere el conteo de cuatro unidades y la posible expresión de tres unidades con otro nombre, incluida la expresión de centavos como dólares.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige una herramienta de organización como ayuda para contar su colección y revalúa la eficiencia de la herramienta elegida.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué herramienta de organización será la más útil para contar su colección? ¿Por qué?
• ¿Cómo pueden estimar la cantidad total de su colección? ¿Su estimación es razonable?
Invite a sus estudiantes a seleccionar las herramientas de organización que les gustaría usar, y asegúrese de que comprendan que pueden cambiar de herramienta a medida que van perfeccionando los planes.
Pida a las parejas que comiencen a contar sus colecciones. Recorra el salón de clases y observe de qué manera se conducen sus estudiantes en los siguientes puntos:
• Organizar: Las estrategias pueden incluir organizar juntas las unidades relacionadas (p. ej., separar dólares y centavos) o expresar las unidades con otro nombre y moverlas de lugar (p. ej., agrupar 10 dimes y mostrarlos con los billetes de $1). Las monedas y los billetes se pueden agrupar y organizar de manera que sea más fácil contarlos.
• Contar: Sus estudiantes pueden contar la cantidad de cada grupo y, luego, combinar los totales, o pueden contar el total de una vez contando hacia delante (p. ej., 10, 20, 30, 31, 32).
• Registrar: Los registros pueden incluir la multiplicación o la suma para hallar los totales de cada grupo. Sus estudiantes pueden expresar las unidades monetarias con símbolos o palabras. Las unidades se pueden registrar por separado o se pueden combinar en un total registrado con un punto decimal.
Recorra el salón de clases y use preguntas y planteamientos como los siguientes para evaluar e incentivar el razonamiento matemático:
• Muestren y compartan lo que hicieron.
• ¿Cómo pueden organizar sus colecciones para que les resulte más fácil contarlas?
• ¿Por qué la forma en que organizaron sus colecciones les hizo más fácil contar?
• ¿Cómo pueden usar las decenas como ayuda para organizar y hallar el total?
• ¿Qué tan cerca estuvo su estimación del conteo real?
• ¿De qué forma podrían contar para que les resulte un desafío?
Seleccione a dos o tres parejas de estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. De ser posible, tome fotografías para mostrar a la clase en el siguiente segmento. Cuando las parejas compartan, considere la posibilidad de que muestren sus registros junto a las colecciones de conteo para que puedan ver la representación escrita que corresponde a cada colección.
Nota para la enseñanza
El término punto decimal y el uso del punto decimal para registrar cantidades de dólares y centavos se presenta al final de esta lección. Por lo tanto, no se espera que sus estudiantes muestren un punto decimal al registrar su colección de conteo.
Preste atención a quienes registran un punto decimal mientras aportan experiencias de la vida real a las actividades en el salón de clases. Considere pedirles que registren sus totales de otra manera y que compartan su trabajo en una secuencia que apoye la lección.
Diga a la clase que los ejemplos reflejan posibles estrategias y explique que demuestran cómo:
• organizar billetes y monedas en grupos de 5 y de 10, multiplicar para hallar el valor total de cada tipo de billete y moneda, combinar los totales y expresar los dólares y centavos por separado usando la colección 4;
• expresar todos los dólares como centavos y hallar la cantidad total en centavos mediante la suma de múltiplos de 100, 10 y 1 usando la colección 3 y
• agrupar billetes y monedas como decenas y unidades mediante el uso de la multiplicación para hallar las cantidades totales de dólares y centavos, y escribir el total combinado con un punto decimal para separar los dólares y los centavos usando la colección 2.
Formar unidades más grandes
dólares con 14 centavos dimes pennies
centavos 73 dólares con 14 centavos
Expresar como una sola unidad
Para esta colección de conteo, mi pareja es .
Estamos contando .
Creemos que la cantidad total de la colección es
Así es como organizamos y contamos la colección:
La cantidad total de la colección es .
Una ecuación que describe cómo hallamos la cantidad total es .
Reflexión
Escribe algo que les haya funcionado bien cuando trabajaron en pareja. Explica por qué funcionó.
Nos funcionó bien formar grupos de 10 de cada unidad que tuviera 10 o más billetes o monedas. Nos ayudó a contar de manera más eficiente.
Escribe acerca de un desafío que hayan encontrado. ¿Cómo lo superaron?
No sabíamos bien cómo escribir dólares y centavos juntos como un solo número, entonces hallamos el número de dólares y el número de centavos y los escribimos por separado.
Compartir, comparar y conectar
La clase comenta las estrategias para organizar.
Reúna a la clase para observar los ejemplos de trabajo seleccionados y comentarlos. Invite a cada pareja seleccionada a que comparta sus registros junto con su colección o una fotografía de ella. El siguiente diálogo representa un ejemplo de conversación.
Formar unidades más grandes (método de Pablo y Amy)
Examinen el trabajo de Pablo y Amy.
¿Cómo contaron y registraron las diferentes unidades de dinero?
Agruparon los dólares y centavos por separado en su colección.
Hallaron el número total de dólares y el número total de centavos, y escribieron el total como dólares y centavos.
Nota para la enseñanza
La colección de conteo incentiva el razonamiento de sus estudiantes al combinar unidades que han aprendido por separado: dólares y centavos. Durante el conteo, cada estudiante exhibe diferentes niveles de complejidad en sus estrategias de conteo. Al seleccionar estudiantes para que compartan su trabajo, les brinda a quienes muestran estrategias de conteo más simples la oportunidad de escuchar nuevas ideas. Si hay tiempo suficiente, anime a las parejas de estudiantes a contar la colección por segunda vez usando una estrategia que hayan escuchado de otro grupo.
Pablo y Amy, ¿cómo usaron los cincos y los dieces para organizar su colección?
Hicimos filas de 5 o 10 con los billetes. Para organizar las monedas, formamos grupos de 10 haciendo 2 filas de 5.
¿Cuándo usaron Pablo y Amy la multiplicación en su registro?
Multiplicaron 10 por el número de billetes de $10.
Multiplicaron 1 por el número de billetes de $1.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Pablo y Amy y sus propios trabajos.
Expresar como una sola unidad (método de Zara y James)
Examinen el trabajo de Zara y James. ¿Por qué creen que el total está en centavos?
Solo tenían billetes de $1. Tal vez expresaron cada billete de $1 como 100¢ para poder sumar todos los centavos y así expresar el total.
Zara y James, ¿por qué eligieron expresar la cantidad total usando centavos en lugar de dólares y centavos?
Expresamos cada dólar como 100 centavos para que solo tuviéramos que pensar en una unidad. Eso hizo que fuera más fácil sumar para hallar la cantidad total.
¿Cómo usaron los múltiplos de 100, 10 y 1 al contar?
Para hallar el número total de centavos, contamos los billetes de $1 y un grupo de 10 dimes de centena en centena, los otros dimes y un grupo de 10 pennies de decena en decena y el resto de los pennies de unidad en unidad.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Zara y James y sus propios trabajos.
Agrupar unidades semejantes (método de Ray y Eva)
Examinen el trabajo de Ray y Eva. ¿Qué observan y se preguntan sobre la manera en que registraron el total?
Observo que tienen dos partes en el total, 52 y 68, y que hay un punto entre ellas.
Me pregunto si eso es realmente un número y cómo se diría.
Ray y Eva, ¿cuál es la cantidad total de su colección en dólares y centavos?
DUA: Acción y expresión
Expliquen cómo escribieron el total.
Dólares Centavos
La cantidad total de nuestra colección es 52 dólares con 68 centavos.
Usamos un punto para registrar los dólares y centavos porque hemos visto los precios registrados de esa manera en las tiendas y en los recibos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Ray y Eva y sus propios trabajos.
Después de compartir los trabajos, considere reservar tiempo para que sus estudiantes participen de una conversación. Primero, pida que cada estudiante revise sus respuestas de reflexión. Luego, pregunte a las parejas si escucharon alguna estrategia de otro grupo que podrían intentar usar la próxima vez. Anímeles a que participen de una conversación sobre las razones para intentar un enfoque diferente.
La parte de la actividad de colección de conteo en la que se comparte proporciona a sus estudiantes múltiples ejemplos de trabajos comentados de sus pares. La reflexión que hace cada estudiante sobre su trabajo en relación con los ejemplos sirve como una oportunidad de retroalimentación formativa. Sus estudiantes pueden beneficiarse de una representación en voz alta sobre cómo determinar si usar el método de sus pares la próxima vez podría ser preferible a su enfoque original y por qué podrían usar un enfoque similar en el futuro.
Punto decimal
La clase escribe el total de su colección de conteo con un punto decimal.
Muestre la imagen de 25 dólares y 25 centavos de la sección Presentar.
Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de cómo expresar la cantidad total que se muestra en la imagen.
Demuestre cómo se registra la cantidad total con un símbolo de dólares y un punto decimal.
Podemos escribir un total de dólares y centavos como un número. Usamos símbolos como ayuda.
Escribimos un símbolo de dólares antes del número, luego, colocamos un símbolo que parece un punto y, por último, registramos el número de centavos.
Leemos esto como veinticinco dólares con veinticinco centavos.
Dé a las parejas 1 minuto para que vuelvan a su registro de colección de conteo y escriban el total usando un símbolo de dólares y el símbolo para separar los dólares y los centavos.
Invite a sus estudiantes a compartir sus totales.
El símbolo que usamos entre los dólares y centavos se llama punto decimal. Los puntos decimales separan determinadas unidades en un número.
Escriba los totales y pida a sus estudiantes que lean a coro cada uno, nombrando los dólares y centavos.
¿Qué unidades están separadas por un punto decimal en los números de la colección de conteo?
Dólares y centavos
En este módulo, aprenderemos más sobre cómo escribir números usando un punto decimal.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron un punto decimal.
Nota para la enseñanza
Quienes expresaron la cantidad total de su colección usando solo los centavos podrían cuestionar la convención de escribir las cantidades de dinero con un punto decimal. Por ejemplo, si escribieron la cantidad total como 955 centavos, pueden pensar que la cantidad se debería escribir como $.955 en lugar de $9.55. Explique que, cuando es posible, los centavos se expresan como dólares antes de escribir la cantidad con un símbolo de dólares y un punto decimal.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere invitar a sus estudiantes a rotular el punto decimal en el total con el término punto decimal. Es posible que quienes conozcan la notación de las cantidades de dinero en otros países quieran usar una coma para separar los dólares y centavos. Considere explicar que los distintos países usan diferentes convenciones para escribir los números, incluidas las cantidades de dinero. La convención en los Estados Unidos es usar un punto decimal para separar los dólares de los centavos.
La clase también puede necesitar apoyo para contrastar el símbolo del punto decimal con el punto como signo de puntuación. Un punto decimal es un símbolo matemático que se usa para separar determinadas unidades en un número. Un punto es un signo de puntuación que se escribe al final de algunas abreviaturas o de una oración.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Organizar, contar y representar una colección de dinero
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de cómo ayuda la organización de una colección a hallar el total.
¿En qué tuvieron éxito al contar? ¿Qué estrategias fueron de ayuda para contar su colección?
Tuve éxito en mantener las unidades separadas. Hallé el número total de dólares y centavos.
Formar grupos de 10 para expresar las unidades más pequeñas como unidades más grandes me ayudó a contar mi colección.
¿Qué les resultó difícil al contar?
Fue difícil registrar el total de la colección con diferentes unidades.
Cuando expresé todo como centavos, eran muchos centavos para llevar la cuenta.
¿Cómo podemos escribir una cantidad de dólares y centavos como un número?
Podemos usar un punto decimal entre el número de dólares y el de centavos.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Great Minds PBC
Great Minds PBC
Descomponer 1 unidad y expresar los décimos en forma fraccionaria y en forma decimal
Vistazo a la lección
La clase usa el contexto de las fracciones de un segundo para sombrear un diagrama de cinta y escribir el valor de la parte sombreada de varias maneras. Descomponen 1 metro en décimos y registran los décimos en forma decimal y en forma fraccionaria en una recta numérica. Expresan los números en forma decimal o en forma fraccionaria. En esta lección se presentan los términos fracción decimal, forma decimal y número decimal.
Pregunta clave
a. Forma fraccionaria: 4 10 L b. Forma decimal: 0.4 L
• ¿Cómo se puede representar una fracción decimal en forma decimal?
Criterio de logro académico
4.Mód5.CLA3 Representan décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria o utilizando un modelo. (4.NF.C.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Representar un número de diferentes maneras
• Décimos en una recta numérica
• Escribir números en forma decimal y en forma fraccionaria
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• regla de un metro
Estudiantes
• Décimos en forma decimal y en forma fraccionaria (en el libro para estudiantes)
• tijeras
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Décimos en forma decimal y en forma fraccionaria de los libros para estudiantes y recortar las tarjetas con antelación o si las preparará con la clase durante la lección. Prepare un juego de tarjetas por pareja de estudiantes.
Fluidez
Contar de decena en decena con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuenta en voz alta y representa una composición y una descomposición como preparación para representar décimos como una unidad de valor posicional en la lección 3.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Vamos a contar de decena en decena con el método matemático. Cada dedo representa 10.
Pida a la clase que cuente de decena en decena con el método matemático desde el 0 hasta el 100.
¿Qué unidad más grande podemos formar con 10 decenas?
1 centena
Podemos agrupar 10 decenas para formar 1 centena. (Una las manos).
Pida a la clase que represente la agrupación de 10 decenas uniendo las manos.
Separe las manos para representar cómo desagrupar.
Pida a la clase que separe las manos para representar cómo desagrupar 1 centena.
Pida a la clase que cuente hacia atrás de decena en decena con el método matemático desde el 100 hasta el 0.
Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer números mixtos
La clase resta 1 o más de un número mixto y, luego, dice una oración numérica para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 4 de descomponer números mixtos.
Muestre el vínculo numérico con una parte desconocida.
¿Cuál es el valor de la parte desconocida? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
2 3
Muestre la parte desconocida.
Cuando dé la señal, digan la oración numérica de resta comenzando con el total.
¿Comenzamos?
12 3 − 1 = 2 3
Muestre la oración numérica.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Formar 1
La clase determina la parte desconocida para formar 1 entero y dice una oración numérica de suma para adquirir fluidez con las parejas de números que suman 1.
Muestre 1 8 + = 1.
¿Cuál es el valor de la parte desconocida? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
7 8
Muestre la parte desconocida.
Cuando dé la señal, digan la oración numérica de suma.
¿Comenzamos?
1 8 + 7 8 = 1
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase usa un reloj de lanzamiento de basquetbol para preguntarse por el tiempo que se muestra en forma decimal.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre los eventos deportivos que se cronometran y cuáles de ellos dependen de que los tiempos sean extremadamente precisos.
En un partido de basquetbol, un jugador o una jugadora puede lanzar la pelota justo antes de que se acabe el tiempo del reloj de lanzamiento.
En una carrera de natación o de atletismo, a veces, parece que hay dos personas que están empatadas, pero en cámara lenta se puede ver que una de ellas llegó primero. Sus tiempos finales pueden estar muy cerca, pero no son los mismos.
Presente el contexto del video. Diga a la clase que el video muestra parte de un partido de basquetbol universitario. El marcador está 67 a 64 y solo quedan 8 segundos de partido. El equipo que va perdiendo necesita 3 puntos para empatar e ir al tiempo suplementario.
Reproduzca el video del lanzamiento. Vuelva a reproducir el video y páuselo después de que el jugador realiza el lanzamiento.
¿Cuánto tiempo queda en el reloj después de que se realiza el lanzamiento?
Cero punto siete segundos
¿Cómo describirían la duración de cero punto siete segundos?
Es menos que 1 segundo. Es muy rápido.
Es una fracción de segundo.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, leeremos y escribiremos medidas usando un punto decimal.
Nota para la enseñanza
Un número escrito en forma decimal, como 0.7, se puede leer como cero punto siete o siete décimos. Decir siete décimos ayuda a reforzar el valor del número. Use cero punto siete hasta que se presenten formalmente los décimos.
Aprender
Representar un número de diferentes maneras
La clase representa un número de diversas maneras.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros.
1. 7 10 7 décimos 1
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se puede usar un diagrama de cinta para representar un total y las partes.
Así como podemos descomponer las horas en minutos y los minutos en segundos, podemos descomponer los segundos en partes más pequeñas. Digamos que esta cinta entera representa 1 segundo en un partido de basquetbol y que el segundo se descompone en 10 partes iguales.
Invite a sus estudiantes a rotular el total con 1 y a descomponer el diagrama de cinta en 10 partes iguales.
¿Qué unidad fraccionaria de un segundo representa cada parte del diagrama de cinta?
Cada parte representa 1 décimo de segundo.
El tiempo restante en el reloj después de que se realizó el tiro era cero punto siete segundos.
Pida a sus estudiantes que sombreen 7 partes y que registren el valor de la parte sombreada en forma unitaria y como una fracción.
Escriba 7 décimos = 7 10 = 0.7.
Nota para la enseñanza
Los números menores que 1 escritos en forma decimal se pueden escribir y leer sin el cero en la posición de las unidades. Incluya el cero para ayudar a sus estudiantes a entender los números menores que 1 escritos en forma decimal en esta lección. En la lección 3 se presenta la lectura de los números decimales como cero con siete décimos 0.7 cero punto siete .7 punto siete
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar si creen que el enunciado es verdadero o falso.
Sé que la fracción 7 10 se puede escribir en forma unitaria como 7 décimos, entonces sé que esa parte del enunciado es verdadera.
Si el reloj dijera cero punto siete y lo representáramos como 7 10 de segundo en el diagrama de cinta, entonces cero punto siete podría ser otra manera de escribir 7 __ 10 . Creo que el enunciado es verdadero.
Veo el número 7 en cada parte del enunciado y he visto números como cero punto siete cuando contamos monedas, entonces creo que el enunciado es verdadero.
Décimos en una recta numérica
Materiales: M) Regla de un metro
La clase descompone 1 metro y escribe los décimos en forma decimal y en forma fraccionaria.
Trace una línea a lo largo del borde de una regla de un metro para crear una recta numérica con una longitud de 1 metro. Dibuje y rotule marcas de graduación para representar 0 y 1.
Representemos los décimos de otra manera. ¿Cómo podemos usar la regla de un metro para dividir la recta numérica en décimos?
En la regla de un metro, hay líneas y números que forman décimos.
Use la regla de un metro para dibujar marcas de graduación y dividir la recta numérica en décimos.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Invíteles a rotular los décimos en forma fraccionaria a lo largo de la parte inferior de la recta numérica mientras usted hace lo mismo.
2. Rotula la recta numérica.
DUA: Participación
Considere proporcionar otros ejemplos del mundo real de cantidades escritas con décimos. Los mapas de senderismo locales pueden tener las distancias rotuladas en décimos. Un termómetro digital muestra la temperatura con décimos. Sus estudiantes pueden relacionar la temperatura promedio del cuerpo humano, 98.6 °F, como un ejemplo conocido de décimos.
Rotule 1 __ 10 como 0.1 arriba de la recta numérica. Invite a la clase a hacer lo mismo.
Esta es otra manera de escribir 1 décimo. Podemos leer este número como cero punto uno o como 1 décimo.
Repita el proceso con 0.2 y 0.3. Señale la siguiente marca de graduación.
¿Cómo creen que rotularemos esta marca de graduación? ¿Por qué?
Escribiremos cero punto cuatro para 4 décimos. Observo un patrón. 1 décimo tiene un 1 a la derecha del punto decimal. 2 décimos tiene un 2 y 3 décimos tiene un 3. Creo que el patrón continuará.
Invite a sus estudiantes a rotular de 0.4 a 0.9 mientras usted hace lo mismo.
Señale las fracciones escritas debajo de la recta numérica.
¿En qué se parecen todas las fracciones?
Todos son décimos.
Una fracción que tiene un denominador de 10 es un ejemplo de una fracción decimal. Las fracciones decimales se pueden escribir usando un punto decimal.
Señale los números que están arriba de la recta numérica.
Cuando se escribe un número con un punto decimal, está escrito en forma decimal. Cuando se escribe un número en forma decimal, se trata de un número decimal. Podemos escribir fracciones con la unidad décimos en forma decimal.
Podemos escribir un número en forma decimal o en forma fraccionaria. Las dos son diferentes maneras de registrar el mismo número.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y las diferencias de escribir los décimos en forma fraccionaria y en forma decimal.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando rotula en la recta numérica los décimos en forma fraccionaria y en forma decimal varias veces para comprender la forma decimal.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• ¿Qué patrones observaron al rotular los décimos en forma fraccionaria y en forma decimal?
• ¿En qué se parece la escritura de un número en forma fraccionaria y en forma decimal?
Nota para la enseñanza
El término decimal se suele usar como una forma abreviada para referirse tanto a un número decimal como a los dígitos que se encuentran a la derecha del punto decimal. Use términos más específicos (número decimal y dígitos a la derecha del punto decimal) para demostrar la importancia del lenguaje preciso y ayude a la clase a comprender su significado mediante el uso en contextos conocidos.
Escribir números en forma decimal y en forma fraccionaria
Materiales: E) Décimos en forma decimal y en forma fraccionaria, tijeras
La clase lee y escribe números en forma fraccionaria y en forma decimal.
Forme parejas de estudiantes e invite a un o una estudiante de cada pareja a retirar la hoja extraíble de Décimos en forma decimal y en forma fraccionaria de sus libros. Pídales que recorten las tarjetas, las barajen y las apilen bocabajo.
Dé a las parejas 3 minutos para:
• elegir una tarjeta;
• escribir el número tanto en forma fraccionaria como en forma decimal;
• comparar las respuestas, hacer las correcciones necesarias y
• repetir el proceso hasta que hayan usado todas las tarjetas.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Asegúrese de que usen de manera correcta un denominador de 10 para cada fracción y el punto decimal y el cero a la izquierda de este para cada número escrito en forma decimal.
Reúna a la clase e invite a sus estudiantes a compartir cómo escribieron cada número.
¿Qué dos números de las medidas son iguales?
La pelota de softbol y la caja de jugo tienen medidas con el número 2 décimos.
Escriba 2 décimos = 2 __ 10 = 0.2.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo saben que el enunciado es verdadero.
Los décimos se pueden escribir de tres maneras diferentes para representar el mismo número: en forma unitaria, en forma fraccionaria o en forma decimal.
Cada número representa el mismo punto en la recta numérica.
Cada número se lee de la misma manera: dos décimos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere pedir a sus estudiantes que rotulen los números en la recta numérica con los términos fracciones decimales, números decimales, forma fraccionaria y forma decimal
Diferenciación: Desafío
Después de que sus estudiantes escriban la cantidad en cada tarjeta de una manera diferente, pídales que escriban enunciados de comparación usando los números decimales de la actividad. Anímeles a usar lo que saben sobre la comparación de fracciones como ayuda. Luego, pueden ordenar los números decimales de menor a mayor y conversar sobre lo que observan y se preguntan. Sus estudiantes deben comparar los números decimales de kilogramos separados de los números decimales de litros.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Descomponer 1 unidad y expresar los décimos en forma fraccionaria y en forma decimal
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de los números decimales y los décimos.
¿De qué manera podemos representar los décimos?
1 se puede descomponer en décimos en una recta numérica o en un diagrama de cinta. Los décimos se pueden representar en forma unitaria.
Los décimos se pueden escribir en forma decimal o en forma fraccionaria. En ambos casos se trata de la misma unidad.
Cuando escribimos los décimos en forma decimal, el número de décimos se escribe a la derecha del punto decimal.
¿Cómo se puede escribir una fracción decimal en forma decimal?
Un número escrito en forma decimal es otra manera de escribir una fracción decimal. Podemos usar un punto decimal y registrar un dígito a la derecha del punto decimal para mostrar el número de décimos.
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
2. Escribe la longitud de la abeja en centímetros. El dibujo no está a escala.
1. Usa el diagrama de cinta y la recta numérica para completar las partes (a) a (c).
a. Rotula la recta numérica usando la forma fraccionaria, la forma decimal y la forma unitaria.
b. Sombrea las primeras 8 unidades del diagrama de cinta. c. Encierra en un círculo el número escrito en forma decimal que representa la parte sombreada.
a. Forma fraccionaria: 6 10 cm
b. Forma decimal: 0.6 cm
Escribe la cantidad de agua en forma fraccionaria y en forma decimal.
Escribe cada fracción en forma decimal. Sombrea la botella para mostrar la cantidad de agua correcta.
5.
Escribe el peso total de los alimentos en forma fraccionaria o en forma decimal.
Representar los décimos como una unidad de valor posicional
1. Escribe la fracción decimal como un número decimal.
6 décimos
2. Escribe el número decimal como una fracción decimal.
4 décimos
0.
Vistazo a la lección
La clase usa modelos de área y discos de valor posicional para representar la relación entre los décimos y las unidades. Escriben ecuaciones para mostrar la equivalencia entre la forma fraccionaria y la forma decimal de un número decimal. Usan lo que saben sobre el valor posicional para expresar los décimos como una unidad de valor posicional. En esta lección se formaliza el término décimos.
Preguntas clave
• ¿Cuál es la relación entre los décimos y las unidades?
• ¿Por qué los décimos son tanto una unidad fraccionaria como una unidad de valor posicional?
Criterio de logro académico
4.Mód5.CLA3 Representan décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria o utilizando un modelo. (4.NF.C.6)
Agenda
Fluidez 5 min
Presentar 5 min
Aprender 40 min
• Los décimos como una unidad fraccionaria y una unidad de valor posicional
• Usar un modelo de área para representar décimos
• Usar discos de valor posicional para representar décimos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Modelos de área para décimos (en la edición para la enseñanza)
• set de discos de decimales
Estudiantes
• Modelos de área para décimos (en el libro para estudiantes)
• set de discos de decimales (1 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Modelos de área para décimos de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
• Prepare 1 disco de una unidad y 10 discos de un décimo para cada pareja de estudiantes y maestra o maestro.
Fluidez
Contar de unidad en unidad con el método matemático
La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuenta en voz alta y representa una composición y una descomposición como preparación para representar décimos como una unidad de valor posicional.
Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta.
Vamos a contar de unidad en unidad con el método matemático. Cada dedo representa 1.
Pida a la clase que cuente de unidad en unidad con el método matemático desde el 0 hasta el 10.
¿Qué unidad más grande podemos formar con 10 unidades?
1 decena
Podemos agrupar 10 unidades para formar 1 decena. (Una las manos).
Pida a la clase que represente la agrupación de 10 unidades uniendo las manos.
Separe las manos para representar cómo desagrupar.
Pida a la clase que separe las manos para representar cómo desagrupar 1 decena.
Pida a la clase que cuente hacia atrás de unidad en unidad con el método matemático desde el 10 hasta el 0.
Respuesta a coro: Formar 1
La clase determina la parte desconocida para formar 1 entero y dice una oración numérica de suma para adquirir fluidez con las parejas de números que suman 1.
Muestre 1 10 + = 1.
¿Cuál es el valor de la parte desconocida? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
9 10
Muestre la parte desconocida.
Cuando dé la señal, digan la oración numérica de suma.
¿Comenzamos?
1 10 + 9 10 = 1
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase conversa acerca de la descomposición de las unidades de valor posicional.
Muestre la imagen del modelo de área.
El modelo de área representa 1 centena. ¿Podemos descomponer 1 centena en unidades de valor posicional más pequeñas? ¿Cómo?
Sí, podemos descomponer 1 centena en decenas y unidades.
Muestre la imagen de la descomposición del modelo de área en decenas.
¿Cómo se descompone 1 centena?
Se descompone 1 centena en 10 partes iguales.
Se descompone 1 centena en 10 decenas.
¿Cómo muestra el modelo de área la relación entre las centenas y las decenas?
Muestra que 1 centena se puede descomponer en 10 decenas.
Muestra que 1 centena = 10 decenas. 5
Nota para la enseñanza
La sección Presentar se enfoca en la descomposición de 1 unidad en 10 de la siguiente unidad más pequeña. Si sus estudiantes hacen enunciados que se refieren a la composición de unidades más pequeñas en unidades más grandes, pídales que reformulen su enunciado en términos de la descomposición.
Muestre la imagen de la descomposición del modelo de área en unidades.
¿Cómo se descompone cada decena?
Cada decena se descompone en 10 partes iguales.
Cada decena se descompone en 10 unidades.
¿Cómo muestra el modelo de área la relación entre las decenas y las unidades?
Muestra que 1 decena se puede descomponer en 10 unidades.
Muestra que 10 decenas se pueden descomponer en 100 unidades.
Muestra que 1 decena = 10 unidades.
Muestra que 10 decenas = 100 unidades.
¿Qué sabemos sobre las centenas, las decenas y las unidades?
Todas son unidades de valor posicional.
Las centenas, las decenas y las unidades son unidades de valor posicional. Cuando descomponemos 1 de una unidad de valor posicional, ¿cuánto hay de la siguiente unidad más pequeña?
Hay 10 de la siguiente unidad más pequeña. 1 centena = 10 decenas y 1 decena = 10 unidades.
Muestre la imagen de la lupa que muestra 1 unidad.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se puede descomponer 1 unidad en unidades más pequeñas.
Las unidades se pueden descomponer en unidades fraccionarias.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, identificaremos una unidad fraccionaria que también es una unidad de valor posicional.
Aprender
Los décimos como una unidad fraccionaria y una unidad de valor posicional
La clase usa su comprensión del valor posicional para identificar los décimos como unidad de valor posicional.
Muestre la imagen de los tres modelos de área.
Cada modelo de área representa 1. ¿Qué observan acerca de los modelos de área?
Todos tienen el mismo tamaño.
Cada uno muestra la descomposición de 1 en unidades más pequeñas.
El primer modelo de área se divide en sextos, el siguiente en décimos y el último en doceavos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué modelo de área muestra una unidad fraccionaria que sigue el patrón de valor posicional de descomponer 1 unidad en 10 de la siguiente unidad más pequeña.
El modelo de sextos no, porque hay solo 6 sextos en 1 unidad. Eso es menos que 10 de una unidad más pequeña cuando se descompone la unidad más grande.
El modelo de doceavos no, porque hay 12 doceavos en 1 unidad. Eso es más que 10 de una unidad más pequeña cuando se descompone la unidad más grande.
Creemos que es el modelo de décimos porque hay 10 décimos en 1 unidad. Es como una unidad de valor posicional porque hay 10 de la siguiente unidad más pequeña cuando se descompone una unidad más grande.
Diferenciación: Desafío
Considere invitar a sus estudiantes a usar la composición de las unidades de valor posicional para explicar mejor por qué los décimos son una unidad de valor posicional, pero los sextos y los doceavos no lo son. Pueden explicar o demostrar que 10 de una unidad de valor posicional más pequeña se pueden componer para formar 1 de la siguiente unidad más grande. Sus estudiantes deben mostrar cómo los décimos siguen este patrón, pero otras unidades fraccionarias, no.
Muestre la imagen de la lupa que muestra la descomposición de 1 en décimos.
Ampliemos un cuadrado del modelo de área de la sección Presentar para ver más de cerca sus partes iguales.
¿Qué unidad de valor posicional más grande se descompone?
Unidades
¿En cuántas partes iguales se descompone 1?
10
¿Qué unidad fraccionaria se forma al descomponer 1 en 10 partes iguales?
Décimos
Los décimos son una unidad de valor posicional. 1 unidad se puede descomponer en 10 décimos.
Los décimos son tanto una unidad fraccionaria como una unidad de valor posicional. Otras unidades fraccionarias, como los sextos y los doceavos, no son unidades de valor posicional porque no siguen el patrón de valor posicional de descomponer 1 de una unidad más grande en 10 de la siguiente unidad más pequeña.
Muestre la imagen del modelo de área y la lista de unidades de valor posicional.
Invite a la clase a usar la rutina PensarTrabajar en parejas-Compartir para analizar cómo el modelo de área representa las unidades de valor posicional.
Las centenas, las decenas y las unidades son unidades de valor posicional. Podemos componer unidades de valor posicional para formar unidades de valor posicional más grandes o descomponerlas para formar unidades de valor posicional más pequeñas. Descompusimos unidades para formar décimos. Los décimos también son una unidad de valor posicional.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando observa que los décimos son una unidad de valor posicional mientras sigue el patrón de descomponer 1 de una unidad más grande en 10 de la siguiente unidad más pequeña.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7.
• ¿Cómo se relacionan las unidades de valor posicional de las centenas y las decenas?
¿Cómo puede ayudarles eso a comprender cómo se relacionan las unidades y los décimos?
• ¿Cómo pueden usar lo que saben sobre las unidades de valor posicional como ayuda para comprender la forma decimal de un número?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
La clase ha estado usando el término décimos, en relación con las unidades fraccionarias, desde 3.er grado. Considere crear un afiche de referencia para mostrar los décimos como una unidad fraccionaria y como una unidad de valor posicional. Centenas Decenas
Unidades Décimos
El modelo de área nos ayuda a ver el tamaño de cada unidad. Los décimos son muy pequeños en comparación con las centenas.
Sabemos que las centenas, las decenas, las unidades y los décimos son unidades de valor posicional porque descompusimos la unidad más grande en 10 de la siguiente unidad más pequeña cada vez.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué los décimos son tanto una unidad fraccionaria como una unidad de valor posicional.
Usar un modelo de área para representar décimos
Materiales: M/E) Modelos de área para décimos
La clase usa modelos de área para representar décimos y escribe ecuaciones a fin de mostrar la equivalencia de números en forma fraccionaria y en forma decimal.
Pida a sus estudiantes que inserten la hoja extraíble de Modelos de área para décimos en sus pizarras blancas individuales.
Cada modelo de área representa 1. ¿Qué observan acerca de cada modelo de área?
Cada modelo de área se descompone en 10 partes iguales.
Cada modelo de área muestra décimos.
Escriba 3 décimos arriba del modelo de área A y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a sombrear el modelo de área para representar 3 décimos.
¿Cómo podemos escribir 3 décimos en forma fraccionaria?
Podemos escribir una fracción con un numerador de 3 y un denominador de 10.
Escriba 3 10 debajo del modelo de área y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cómo podemos escribir 3 décimos en forma decimal?
Podemos escribir 0 y, luego, un punto decimal y 3.
Escriba 0.3 a la derecha de 3 10 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuál es la relación entre 3 __ 10 y 0.3?
Representan la misma cantidad. Son equivalentes.
DUA: Representación
La actividad digital interactiva de Décimos en el modelo de área ayuda a que cada estudiante comprenda la descomposición de 1 en unidades de valor posicional más pequeñas. También les ayuda a representar los décimos en un modelo de área.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera independiente o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
ADUA: Representación
Considere rotular las diferentes formas del número para ayudar a sus estudiantes a comprender las distintas representaciones.
Escriba = entre 3 __ 10 y 0.3. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invíteles a decir la ecuación a un compañero o una compañera. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes dicen la ecuación.
Preste atención específicamente a las maneras en que dicen el número escrito en forma decimal.
Podemos leer el número escrito en forma decimal de diferentes maneras: 3 décimos, cero punto tres, cero con tres décimos o punto tres.
Registre las diferentes maneras de leer 0.3. Pida a las parejas que practiquen decir 0.3 de diferentes maneras.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan sobre las diferentes maneras de leer la forma decimal de un número.
Pida a sus estudiantes que vuelvan al modelo de área A.
¿Cuántos décimos más necesitamos sombrear para llegar a 1?
Necesitamos sombrear 7 décimos más para llegar a 1.
¿Qué parejas de números que suman 1 están representadas en el modelo de área?
3 décimos y 7 décimos
0.3 y 0.7
Use un proceso similar para 6 décimos y 9 décimos con los modelos de área B y C. Para cada número, la clase debe hacer lo siguiente:
• sombrear el modelo de área para representar el número de décimos dado;
• escribir una ecuación para mostrar la equivalencia entre la forma fraccionaria y la forma decimal del número;
• leer la ecuación usando diferentes maneras de decir la forma decimal del número y
• determinar las parejas de números que suman 1 representadas en el modelo de área.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los modelos de área muestran la relación entre los décimos y las unidades.
Diferenciación: Apoyo
Considere invitar a sus estudiantes a hacer una lista de las parejas de números que suman 10 antes de que nombren las parejas de números que suman 1.
y 10
y 9 2 y 8
3 y 7 4 y 6 5 y 5
Luego, pregunte: “¿Cómo ayuda pensar en las parejas de números que suman 10 a pensar en las parejas de números que suman 1?”.
Usar discos de valor posicional para representar décimos
Materiales: M/E) Discos, Modelos de área para décimos
La clase usa discos de valor posicional para demostrar la relación entre los décimos y las unidades.
Muestre un disco de una unidad.
¿Qué unidad de valor posicional representa este disco?
Unidades
¿Cuál es el valor del disco de valor posicional?
1
Muestre la imagen del modelo de área con la lupa.
El modelo de área representa 1 centena. ¿Cómo está representado 1 en el modelo de área?
1 está representado por uno de los cuadrados pequeños.
Muestre un disco de un décimo.
¿Qué unidad de valor posicional creen que representa este disco? Expliquen.
Décimos. Tiene la forma decimal de 1 décimo escrita en él.
Este disco representa los décimos. ¿Cuál es el valor del disco de valor posicional?
1 décimo
¿Cómo está representado 1 décimo en el modelo de área?
1 décimo está representado con la descomposición de 1 en 10 partes iguales. Cada una de las partes iguales es 1 décimo.
Podemos representar las unidades y los décimos en un modelo de área. También podemos usar discos de valor posicional para representar las unidades y los décimos. Usemos nuestros discos de valor posicional y los modelos de área para contar de un décimo en un décimo.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere usar discos de valor posicional para que sus estudiantes practiquen cómo decir las cantidades de decenas y décimos. Es importante que sean capaces de diferenciar entre las unidades de valor posicional.
Sombree 1 décimo en el modelo de área D. El o la estudiante A debe hacer lo mismo. Coloque 1 disco de un décimo para iniciar un grupo de 5. El o la estudiante B debe hacer lo mismo. Luego, sombree otro décimo en el modelo de área y coloque otro disco de un décimo.
Señale el modelo de área y los discos de un décimo mientras dice el siguiente enunciado.
1 décimo. 1 décimo más que 1 décimo es 2 décimos.
El o la estudiante A debe sombrear otro décimo y el o la estudiante B debe colocar otro disco de un décimo. Pida a la pareja de estudiantes que digan el enunciado 1 décimo más.
Use un proceso similar para contar hasta 10 décimos, sombreando el modelo de área y colocando los discos en formaciones de grupos de 5. Deténgase en 0.4 y 0.8 y pida a sus estudiantes que escriban una ecuación para cada número a fin de representar la equivalencia entre la forma fraccionaria y la forma decimal.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere mostrar esquemas de oración para que sus estudiantes los consulten mientras cuentan hacia arriba y hacia abajo de un décimo en un décimo.
¿Cuántos décimos tenemos ahora?
10 décimos
¿Podemos cambiar 10 décimos por 1 de una unidad de valor posicional más grande?
Expliquen.
Sí, podemos cambiar 10 décimos por 1 unidad porque 10 10 = 1.
Diferenciación: Desafío
Considere invitar a sus estudiantes a contar salteado hacia delante y hacia atrás de 2 décimos en 2 décimos y de 3 décimos en 3 décimos.
•
, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1
• 0.9, 0.6, 0.3, 0
Considere proporcionar la secuencia de conteo salteado con espacios y pedir a sus estudiantes que los completen.
• 1, 0.8, , 0.4, , 0
• 0, 0.3, ,
Cambie los 10 discos de un décimo por 1 disco de una unidad y pida a las parejas que hagan lo mismo.
Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de cómo usaron los décimos para componer 1.
¿Cómo podemos usar nuestros discos de valor posicional para mostrar cómo se puede descomponer 1 en décimos?
Podemos cambiar 1 unidad por 10 décimos.
Cambie 1 unidad por 10 décimos y pida a las parejas que hagan lo mismo.
Contemos hacia abajo de un décimo en un décimo.
Retire un disco de un décimo y borre uno de los décimos sombreados en el modelo de área.
10 décimos. 1 décimo menos que 10 décimos es 9 décimos.
Pida a las parejas que retiren un disco de un décimo, borren uno de los décimos sombreados en el modelo de área y digan el enunciado de 1 décimo menos.
Use un proceso similar para contar hacia abajo hasta 0 décimos. Deténgase en 0.5 y 0.2 y pida a sus estudiantes que escriban una ecuación para cada número a fin de representar la equivalencia entre la forma decimal y la forma fraccionaria.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los discos de valor posicional muestran la relación entre los décimos y las unidades.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Nota para la enseñanza
Los números enteros se pueden registrar en forma fraccionaria y en forma decimal. Considere conversar con sus estudiantes acerca de la equivalencia de las distintas formas y el momento en que podrían usarlas. Muestre ejemplos de las formas equivalentes y acepte diferentes formas en los trabajos de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Contar 1 décimo más y 1 décimo menos prepara a sus estudiantes para comparar números escritos en forma decimal en el tema C y para sumar y restar fracciones decimales en el tema D. También se relaciona con el conteo de 1 más y 1 menos que se hace en kindergarten con números enteros hasta el 10.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Representar los décimos como una unidad de valor posicional
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de los décimos como una unidad de valor posicional.
¿Cuál es la relación entre los décimos y las unidades?
10 décimos se pueden componer para formar 1 unidad.
1 unidad se puede descomponer en 10 décimos.
Los dos son unidades de valor posicional. Las unidades son una unidad de valor posicional más grande que los décimos.
¿Por qué los décimos son tanto una unidad fraccionaria como una unidad de valor posicional?
Los décimos son una unidad fraccionaria porque representan partes iguales de un entero.
Los décimos son una unidad de valor posicional porque siguen el patrón de otras unidades de valor posicional. Podemos componer 10 décimos para formar 1 unidad, al igual que podemos componer 10 unidades para formar 1 decena. También podemos descomponer 1 unidad en 10 décimos, al igual que podemos descomponer 1 centena en 10 decenas y 1 decena en 10 unidades.
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
DUA: Acción y expresión
Considere reservar tiempo durante la Reflexión final para que sus estudiantes reflexionen de manera independiente.
• ¿Qué nuevos conocimientos tienen acerca de las unidades de valor posicional?
• ¿Cómo usaron lo que ya sabían sobre las unidades de valor posicional como ayuda para la lección de hoy?
• ¿Qué es lo que todavía se preguntan sobre las unidades de valor posicional?
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Completa los enunciados. Escribe cada respuesta en forma decimal.
Cada modelo de área representa 1 .
Escribir números mixtos en forma decimal con décimos
Vistazo a la lección
1. Escribe el número como un número mixto.
2 unidades y 6 décimos
0.
0. 1
2. Divide la recta numérica para marcar y rotular el número. Luego, escribe el número en forma decimal.
1 unidad y 8 décimos
La clase usa discos de valor posicional y rectas numéricas para escribir números mayores que 1 en forma decimal. Usan su comprensión de los números mixtos para representar números con unidades y décimos en forma decimal. También representan un número escrito en forma decimal en forma desarrollada.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre números mixtos para representar números decimales?
• ¿Por qué la palabra con es importante cuando escribimos un número en forma decimal?
Criterio de logro académico
4.Mód5.CLA3 Representan décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria o utilizando un modelo. (4.NF.C.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Usar discos de valor posicional para representar números en forma decimal
• Números mixtos y forma decimal en una recta numérica
• Relacionar formas diferentes
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• set de discos de decimales
• tarjetas de valor posicional hasta los millones
• tarjetas de valor posicional de decimales
• Tarjetas de forma unitaria, forma fraccionaria y forma decimal (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Práctica veloz: Formar 1 (en el libro para estudiantes)
• set de discos de decimales
Preparación de la lección
• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
• Prepare 2 discos de una unidad y 23 discos de un décimo para cada pareja de estudiantes y maestra o maestro.
• Prepare las tarjetas de valor posicional de las unidades y las tarjetas de valor posicional de los décimos.
• Imprima o haga una copia de las hojas extraíbles de Tarjetas de forma unitaria, forma fraccionaria y forma decimal. Recorte una tarjeta por estudiante.
Fluidez
Práctica veloz: Formar 1
Materiales: E) Práctica veloz: Formar 1
La clase escribe la parte desconocida para formar 1 entero a fin de adquirir fluidez con las parejas de números que suman 1.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema. EUREKA MATH2
Escribe la parte desconocida como una fracción.
1. 2 6 + = 1 4 6
2. + 0 6 = 1 6 6
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 8?
• ¿Hasta dónde continúan los patrones en los problemas 1 a 8?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de un doceavo en un doceavo desde 0 12 hasta 12 12 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de un décimo en un décimo desde 10 10 hasta 0 10 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase usa un contexto de medición conocido para conversar acerca de las semejanzas y diferencias entre los números en forma decimal y los números mixtos.
Reproduzca el video ¿Cuánto jugo hay? Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a la clase que tome nota de los detalles.
Dé 1 minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron.
Conversen brevemente acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes que hagan sus estudiantes. Guíe la conversación de modo que identifiquen la cantidad de jugo como un número mixto. Considere la siguiente secuencia posible de preguntas.
¿Qué observaron?
El jugo se mide en litros.
Parece que la cantidad escrita en el recipiente incluye un punto decimal.
Hay 1 litro de jugo y un poco más.
¿Qué se preguntan?
Me pregunto cómo se dice la cantidad que está escrita en el recipiente.
Me pregunto qué significa que no haya un cero a la izquierda del punto decimal. ¿Los décimos siguen estando a la derecha del punto decimal?
Me pregunto si podemos pensar en la cantidad de jugo como un número mixto: 1 litro y una fracción de un litro.
Muestre la imagen de las dos tazas medidoras que se muestran al final del video.
¿Cómo podemos escribir la cantidad de jugo como un número mixto? ¿Cómo lo saben?
Hay 1 5 10 litros de jugo porque hay 1 litro de jugo en una taza medidora y 5 10 de litro de jugo en la otra taza medidora.
DUA: Representación
En lugar de mostrar la imagen, considere usar agua, jugo u otro líquido para demostrar la relación entre 1.5 litros y 1 5 __ 10 litros.
Escriba 1 5 10 y 1.5.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar las semejanzas y diferencias entre los dos números.
El número mixto está formado por un número entero y una fracción. La fracción tiene décimos como la unidad y creemos que el otro número también tiene décimos porque hay un punto decimal.
Vemos 1 representado en los dos números y creemos que también representan 5 décimos. El número mixto muestra 5 décimos como una fracción y sabemos que 5 décimos en forma decimal se escribe cero punto cinco.
Creemos que los números representan la misma cantidad. El número mixto representa la cantidad de jugo que había en las tazas medidoras. El otro número representa esa misma cantidad de jugo, pero cuando estaba en el recipiente.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, representaremos la relación entre los números mixtos y los números escritos en forma decimal.
Aprender
Usar discos de valor posicional para representar números en forma decimal
Materiales: M/E) Discos
La clase usa discos de valor posicional para representar números escritos en forma decimal y escribe ecuaciones para mostrar la equivalencia entre los números escritos en forma decimal y los números mixtos.
Coloque 15 discos de un décimo en formaciones de grupos de 5. Invite a la clase a trabajar en parejas para hacer lo mismo.
En forma unitaria, ¿qué número está representado por nuestros discos?
15 décimos
Escriba 15 décimos y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Podemos cambiar alguno de nuestros décimos por una unidad más grande?
Sí, podemos cambiar 10 décimos por 1 unidad.
Cambie 10 décimos por 1 unidad. Coloque 1 unidad a la izquierda de los décimos. Pida a las parejas que hagan lo mismo.
En forma unitaria, ¿qué número está representado por nuestros discos?
1 unidad y 5 décimos
Escriba = 1 unidad y 5 décimos y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo creen que 1 unidad y 5 décimos se puede escribir en forma decimal.
Podemos escribir el número en forma decimal, 1 punto 5, para representar 1 unidad y 5 décimos.
Escriba = 1.5 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Podemos leer este número como 1 punto 5 o 1 con 5 décimos.
DUA: Acción y expresión
La actividad digital interactiva de Discos de valor posicional con decimales permite a sus estudiantes componer y descomponer discos de valor posicional para mostrar la relación entre los valores posicionales de decimales y los valores posicionales de números enteros.
Considere usar la herramienta para ayudar a sus estudiantes reduciendo las exigencias de motricidad fina al organizar y cambiar los discos.
Nota para la enseñanza
La clase está familiarizada con números como 15 décimos por su trabajo en el módulo 4 con fracciones mayores que 1. Esta representación conocida ayuda a la clase a representar unidades y décimos en forma decimal.
Pida a las parejas de estudiantes que practiquen decir el número en forma decimal.
¿Qué representa el 1 en nuestros discos de valor posicional?
1 unidad
¿Qué representa el 5 en nuestros discos de valor posicional?
5 décimos
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo el punto decimal les ayuda a saber que el 5 representa los décimos.
Si no tuviéramos el punto decimal, el número sería 15 y el 5 representaría 5 unidades, que es mucho más grande que 5 décimos.
Si pensamos en los discos de valor posicional, el punto decimal separa 1 unidad y los 5 décimos. El punto decimal separa el número entero y la fracción. Entonces, el número que está a la izquierda del punto decimal representa las unidades.
El punto decimal nos ayuda a saber que el número tiene unidades y décimos. Los décimos están a la derecha del punto decimal porque las unidades de valor posicional más pequeñas están a la derecha en los números, al igual que las decenas y las unidades. Las unidades son más pequeñas que las decenas y se escriben a la derecha.
El punto decimal nos indica qué dígito representa las unidades y qué dígito representa los décimos. El dígito que está a la izquierda del punto decimal representa las unidades. El dígito que está a la derecha del punto decimal representa los décimos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo creen que se puede escribir como número mixto un número que está escrito en forma decimal. Invite a una o dos parejas a compartir su razonamiento.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando determina dónde colocar el punto decimal y el significado de cada dígito para escribir números mixtos en forma decimal.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Cómo podemos escribir un número en forma unitaria usando un punto decimal?
• ¿Qué significa un 5 escrito a la derecha del punto decimal?
• ¿Qué detalles es importante tener en cuenta al escribir un número en forma decimal?
DUA: Representación
Considere rotular los dígitos del número para ayudar a sus estudiantes a hacer la conexión entre los discos de valor posicional y el número escrito en forma decimal.
Escriba = 1 5 10 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuáles son las diferentes maneras en que escribimos 15 décimos?
Lo escribimos en forma unitaria usando unidades y décimos.
Lo escribimos en forma decimal como 1 punto 5.
Lo escribimos como un número mixto con unidades y décimos.
Muestre la imagen del recipiente de jugo de manzana.
¿Cómo nos ayuda nuestro trabajo con los discos de valor posicional a pensar en la cantidad de jugo que hay en el recipiente?
El número que está en el recipiente es el mismo que acabamos de representar con nuestros discos.
Podemos decir que hay 1 punto 5 litros de jugo en el recipiente.
Sabemos que el recipiente tiene 1 litro con 5 décimos de jugo.
Use un proceso similar para 18 décimos y 23 décimos. Las parejas deben:
• usar discos de valor posicional para representar los décimos;
• cambiar los décimos por unidades cuando sea posible y
• escribir un enunciado para mostrar la equivalencia entre la forma unitaria, la forma decimal y la forma fraccionaria.
Diferenciación: Desafío
Considere invitar a sus estudiantes a usar lo que saben sobre las fracciones mayores que 1 para explicar por qué 15 décimos es lo mismo que 1.5. Pueden compartir sus explicaciones en parejas, en un grupo pequeño o con toda la clase.
Ejemplo:
décimos = 15 10
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación que hay entre los números mixtos y los números escritos en forma decimal.
Nota para la enseñanza
La forma unitaria, la forma decimal y la forma fraccionaria son diferentes maneras de expresar el mismo número. En este módulo, la forma fraccionaria incluye las fracciones menores que uno, las fracciones mayores que uno y los números mixtos.
Números mixtos y forma decimal en una recta numérica
Materiales: M) Tarjetas de valor posicional
La clase usa una recta numérica para representar y hacer conexiones entre los números mixtos y los números escritos en forma decimal.
Escriba 1 unidad y 7 décimos. Pida a las parejas de estudiantes que dibujen una recta numérica y representen 1 unidad y 7 décimos.
¿Cómo dibujaron una recta numérica para representar 1 unidad y 7 décimos?
Dibujamos una recta numérica de 0 a 2. Dividimos cada intervalo de números enteros en décimos.
Marcamos un punto en 1 y 7 décimos.
Dibujamos una recta numérica de 0 a 2, pero solo dividimos en décimos el intervalo entre 1 y 2.
Marcamos un punto en 7 décimos después de 1.
Dibujamos una recta numérica de 1 a 2 y la dividimos en décimos. Marcamos un punto en 7 décimos después de 1.
¿Cómo rotularon el punto que marcaron para representar 1 unidad y 7 décimos?
Lo rotulamos como un número mixto, 1 7 10 .
Lo rotulamos en forma decimal, 1.7.
¿Por qué el punto de la recta numérica se puede rotular en forma decimal y como un número mixto en forma fraccionaria?
Las dos formas representan el número entero 1 y la parte fraccionaria, 7 décimos.
El número es el mismo. Los números se pueden escribir de diferentes maneras, pero pueden seguir teniendo el mismo valor.
Pida a las parejas de estudiantes que escriban una ecuación que represente la equivalencia entre el número mixto y la forma decimal del número. Seleccione a una pareja para que comparta su ecuación y escriba 1 7 10 = 1.7.
¿Cómo leemos el número mixto?
1 y 7 10
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere crear una tabla con las diferentes formas del número. Esto puede ayudar a sus estudiantes mientras comentan la relación entre los números mixtos y los números escritos en forma decimal.
¿Cómo nos ayuda decir el número mixto a escribir el número en forma decimal?
Escribimos 1 cuando decimos 1 en el número mixto. Decir y en el número mixto nos permite saber que debemos escribir el punto decimal. Luego, podemos escribir 7 después del punto decimal cuando decimos 7 décimos.
¿Qué representa la palabra y en el número mixto?
Representa la suma.
Significa un número entero más una fracción.
Invite a las parejas de estudiantes a escribir una ecuación para representar el número mixto como la suma de un número entero y una fracción. Invite a una o dos parejas a compartir sus ecuaciones.
Escriba 1 7 10 = 1 + 7 __ 10
Muestre las tarjetas de valor posicional que representan 1.7. Invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que representa la palabra con cuando leen el número en forma decimal como 1 con 7 décimos.
Representa la suma.
Significa un número entero más décimos.
Separe las tarjetas de valor posicional para mostrar 1 y 0.7.
Invite a las parejas de estudiantes a escribir una ecuación para representar la forma decimal del número como la suma de un número entero y décimos. Invite a una o dos parejas a compartir sus ecuaciones. Escriba 1.7 = 1 + 0.7.
Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de las semejanzas y diferencias entre las ecuaciones.
Las dos ecuaciones representan la forma desarrollada de 1 con 7 décimos porque las dos ecuaciones muestran el número como la suma de las unidades y los décimos.
¿Cómo nos ayuda la recta numérica a ver las partes de las ecuaciones?
Podemos ver cuántas unidades hay en 1.7 mirando los rótulos de los números enteros en la recta numérica. El punto que marcamos está después de 1, pero no en 2, entonces hay 1 unidad en 1.7.
Podemos ver cuántos décimos hay en 1.7 mirando la parte fraccionaria entre los números 1 y 2. El punto que marcamos está en 7 décimos, entonces hay 7 décimos en 1.7.
Diferenciación: Apoyo
Considere invitar a sus estudiantes a usar vínculos numéricos para descomponer el número en unidades y décimos. Esto puede ayudarles mientras escriben el número en forma desarrollada.
Diferenciación: Apoyo
Considere usar las siguientes preguntas para apoyar a sus estudiantes mientras representan el número dado en una recta numérica:
• ¿Entre qué números enteros está el número? ¿Cómo les ayuda eso a dibujar y rotular una recta numérica?
• ¿En qué unidad fraccionaria necesitan dividir cada número entero? ¿Cómo lo saben?
• ¿Cómo pueden usar la forma unitaria como ayuda para ubicar el número en la recta numérica?
• ¿Cómo pueden usar la recta numérica como ayuda para escribir el número como un número mixto y en forma decimal?
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuántos décimos más necesita 1.7 para formar la siguiente unidad. Contamos 3 décimos desde 1 con 7 décimos hasta la siguiente unidad, que es 2, en la recta numérica.
Sabemos que 1 + 1 = 2. Nuestra ecuación ya muestra 1 unidad. Necesitamos más décimos para formar otra unidad. Sabemos por nuestro trabajo con fracciones que 7 décimos y 3 décimos forman 1. Para formar 2, necesitamos 3 décimos más.
Use un proceso similar para 1 unidad y 9 décimos, y 2 unidades y 6 décimos. Las parejas deben:
• representar el número en forma fraccionaria en una recta numérica;
• escribir una ecuación para mostrar la equivalencia entre la forma fraccionaria y la forma decimal del número;
• usar la forma decimal para escribir el número en forma desarrollada y
• usar la forma decimal para escribir una oración que muestre cuántos décimos se necesitan para llegar a la siguiente unidad. 1 1 unidad y 9 décimos 2 unidades y 6 décimos
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar lo que saben sobre los números mixtos para representar números en forma decimal en una recta numérica y en forma desarrollada.
Relacionar formas diferentes
Materiales: M) Tarjetas de forma unitaria, forma fraccionaria y forma decimal
La clase relaciona números presentados de diferentes maneras y comenta las conexiones entre las representaciones.
Distribuya una tarjeta a cada estudiante. Pídales que identifiquen si el número de la tarjeta está escrito en forma unitaria, en forma fraccionaria o en forma decimal. Luego, invíteles a pensar en cómo se ve el número escrito de las otras dos formas.
Pida a sus estudiantes que busquen a quienes tengan tarjetas que representen el mismo número y que formen grupos de tres.
Ejemplo:
Después de que sus estudiantes emparejen las tarjetas, considere hacer las siguientes preguntas para que los grupos conversen acerca de las conexiones que hay entre las diferentes representaciones:
• ¿Cómo saben que sus tarjetas representan el mismo número?
• ¿Qué semejanzas y diferencias ven entre las tres formas del número?
• Si piensan en el número representado como discos de valor posicional, ¿algunas formas son más útiles que otras? ¿Por qué?
• Si piensan en el número representado en una recta numérica, ¿algunas formas son más útiles que otras? ¿Por qué?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden determinar qué tarjetas representan el mismo número.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Escribir números mixtos en forma decimal con décimos
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre las conexiones entre los números mixtos y los números en forma decimal.
¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre números mixtos para representar números en forma decimal?
Sabemos que un número mixto está formado por un número entero y una fracción. Cuando la parte fraccionaria tiene décimos, podemos escribir el número mixto como un número decimal. Los números mixtos con unidades y décimos se pueden escribir como números decimales con unidades y décimos.
¿Por qué la palabra con es importante cuando escribimos un número en forma decimal?
La palabra con nos indica dónde escribir el punto decimal.
La palabra con nos indica dónde separar los números enteros de los décimos. Al igual que en los números mixtos, en los que se usa la palabra y, se dice con entre el número entero y la fracción.
La palabra con representa la suma. Entonces, la palabra con significa que un número se puede representar como unidades más décimos.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Número de respuestas correctas:
Escribe la parte desconocida como una fracción.
2.
Número de respuestas correctas: Progreso:
Escribe la parte desconocida como una fracción.
Escribe el número como un número mixto.
1. 1 unidad y 2 décimos
Escribe el número en forma desarrollada usando la forma decimal. 7. 1.8 = 1 + 0.8 8. 2.2 = 2 + 0.2
En los problemas 4 a 6, completa los siguientes pasos para representar el número en la recta numérica:
• Divide y rotula la recta numérica.
• Marca y rotula el punto.
• Escribe el número en forma decimal.
Completa la tabla. Forma unitaria Forma fraccionaria Forma decimal
falta para llegar a la
Tema B
Décimos y centésimos
En el tema B, la clase desarrolla la comprensión de las fracciones, las fracciones decimales y los números decimales para reconocer los centésimos como una unidad fraccionaria y una unidad de valor posicional.
Al comienzo del tema, sus estudiantes razonan sobre cómo representar los centésimos en un diagrama de cinta que se descompone en décimos. Dividen los décimos para mostrar los centésimos y ven que 10 centésimos es la misma cantidad que 1 décimo. Luego, escriben los centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal, y usan rectas numéricas y diagramas de cinta para representar los números. Sus estudiantes usan grupos de 10 100 para sombrear números en un diagrama de cinta de manera más eficiente. Por ejemplo, para representar 14 100 , sombrean 10 100 y 4 100 . Esto les ayuda a reconocer que los centésimos se componen de décimos y centésimos. Usan estrategias similares para representar los centésimos de otras maneras, como una recta numérica, un modelo de área y discos de valor posicional. Para registrar la composición de un número, usan vínculos numéricos y la forma unitaria. Por ejemplo, muestran que 14 centésimos se compone de 1 décimo y 4 centésimos.
Se usan modelos de área y discos de valor posicional para ayudar a la clase a reconocer los centésimos como una unidad de valor posicional. Sus estudiantes ven que la composición de centésimos a décimos y la descomposición de décimos a centésimos siguen el mismo patrón que la composición y descomposición con otras unidades de valor posicional.
Luego, escriben números mixtos con unidades fraccionarias de décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria y en forma unitaria. Representan los números con discos de valor posicional y los ubican en una recta numérica. También examinan la simetría de las unidades de valor posicional en una tabla de valor posicional; por ejemplo, observando que las decenas y los décimos están en lados opuestos de la posición de las unidades.
El tema concluye con la representación de los números decimales en forma desarrollada usando la forma unitaria, la forma fraccionaria y la forma decimal. Expresar los números en forma desarrollada ayuda a sus estudiantes a reconocer el valor de cada dígito en un número.
En el tema C, la clase compara números decimales usando el valor de los décimos y los centésimos en los números.
Progresión de las lecciones
Lección 5
Descomponer 1 unidad y expresar los centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal
Lección 6
Representar los centésimos como una unidad de valor posicional
Lección 7
Escribir números mixtos en forma decimal con centésimos
Los centésimos son una unidad fraccionaria. Un número de centésimos se puede escribir en forma unitaria, en forma fraccionaria y en forma decimal. Como sé que 10 100 = 1 10 , puedo sombrear diagramas de cinta de manera eficiente para mostrar centésimos y ubicarlos en una recta numérica.
Los centésimos son una unidad fraccionaria y una unidad de valor posicional. Puedo representar los centésimos de diferentes maneras; por ejemplo, mediante el uso de modelos de área y discos de valor posicional. Puedo hacer un vínculo numérico para mostrar que los centésimos se componen de décimos y centésimos. 0.21 es 21 centésimos. También es 2 décimos y 1 centésimo.
Puedo expresar números mixtos con centésimos en forma unitaria, en forma fraccionaria y en forma decimal. Puedo representar los números usando discos de valor posicional y una recta numérica. Los décimos y los centésimos se pueden representar en una tabla de valor posicional al igual que otras unidades de valor posicional. Cuando rotulo una tabla de valor posicional desde las centenas hasta los centésimos, puedo ver las relaciones de las unidades de valor posicional. Los nombres de las unidades de valor posicional menores que 1 son parecidos a aquellos de las unidades de valor posicional mayores que 1, como es el caso de las centenas y los centésimos.
Lección 8
Representar números decimales en forma desarrollada
0. 1
0. 1
Puedo usar discos de valor posicional para representar las unidades de valor posicional de un número decimal. Puedo expresar los números decimales en forma desarrollada usando la forma unitaria, la forma fraccionaria y la forma decimal. Registrar números en forma desarrollada me ayuda a ver el valor de cada dígito en un número.
Descomponer 1 unidad y expresar los centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal
Escribe la cantidad sombreada en forma unitaria, en forma fraccionaria y en forma decimal. 1
a. Forma unitaria: 7 centésimos
b. Forma fraccionaria: 7 100
c. Forma decimal: 0.07
Vistazo a la lección
La clase usa la relación entre 1 metro y 100 centímetros para expresar centímetros como centésimos de un metro. Usan diagramas de cinta y rectas numéricas para representar los centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal. Reconocen la relación entre los décimos y los centésimos al descomponer centésimos con vínculos numéricos.
Pregunta clave
• ¿En qué se diferencian los centésimos y los décimos?
Criterios de logro académico
4.Mód5.CLA1 Expresan fracciones con un denominador de 10 como fracciones equivalentes con un denominador de 100. (4.NF.C.5)
4.Mód5.CLA3 Representan décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria o utilizando un modelo. (4.NF.C.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Descomponer décimos como centésimos
• Centésimos en una recta numérica
• Escribir números en forma fraccionaria y en forma decimal
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• regla de un metro
Estudiantes
• Centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal (en el libro para estudiantes)
• tijeras
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal de los libros para estudiantes y recortar las tarjetas con antelación o si las preparará con la clase durante la lección. Prepare un juego de tarjetas por pareja de estudiantes.
Fluidez
Contar de un décimo en un décimo en la recta numérica
La clase cuenta de un décimo en un décimo en forma fraccionaria y en forma decimal para desarrollar la comprensión del valor posicional.
Muestre la recta numérica.
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un décimo en un décimo hasta 10 décimos. Empiecen diciendo 0 décimos. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 10 , 1 10 …, 9 10 , 10 10
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un décimo en un décimo. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números decimales en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 0.1…, 0.9, 1.0
Vuelvan a contar hacia delante de un décimo en un décimo. Esta vez, digan los números equivalentes representados en la recta numérica. Empiecen diciendo 0 décimos es igual a 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones y los números decimales equivalentes en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0 10 es igual a 0, 1 10 es igual a 0.1…, 9 10 es igual a 0.9, 10 10 es igual a 1.0.
Nota
para la enseñanza
Los números expresados en forma decimal se pueden leer de diferentes maneras. Por ejemplo, 0.2 se podría leer como punto dos, cero punto dos o cero con dos décimos. Para reforzar la equivalencia de los números decimales y las fracciones decimales, invite a sus estudiantes a leer los números decimales como cero, cero con un décimo…, cero con nueve décimos, uno con cero décimos
Intercambio con la pizarra blanca: Décimos escritos de tres maneras
La clase identifica un número menor que o igual a 1 representado con discos de valor posicional y, luego, escribe el número usando las formas unitaria, fraccionaria y decimal para adquirir fluidez con la lectura y escritura de los décimos como números decimales.
Muestre 1 décimo representado con discos de valor posicional.
En forma unitaria, ¿qué número está representado? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 décimo
Muestre la respuesta.
Escriban 1 décimo en forma fraccionaria y en forma decimal. Registren las formas equivalentes como un enunciado con signos igual.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre las respuestas.
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 3 décimos 5 décimos 8 décimos 10 décimos = = 0.1 1 décimo 1 10
Respuesta a coro: 1 décimo más, 1 décimo menos
La clase determina 1 décimo más y 1 décimo menos que un número para desarrollar la comprensión del valor posicional.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el enunciado.
1 décimo más que 0.5 es .
0.6
Muestre la respuesta y, luego, muestre el siguiente enunciado.
1 décimo menos que 0.5 es . 0.4
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
1 décimo más que 0.5 es 0.6
1 décimo menos que 0.5 es 0.4 . .
Nota para la enseñanza
Durante esta actividad, considere mostrar la recta numérica de la actividad de fluidez Contar de un décimo en un décimo en la recta numérica.
1 décimo menos que 0.8 es 0.7
1 décimo más que 0.8 es 0.9 . . 1 décimo más que 0.2 es 0.3 1 décimo menos que 0.2 es 0.1 . .
1 décimo menos que 0.9 es 0.8 1 décimo más que 0.9 es 1.0 . .
Presentar
La clase reconoce los centésimos como una unidad fraccionaria.
Muestre la imagen de la baguette gigante.
Invite a sus estudiantes a compartir lo que observan y se preguntan acerca de la imagen. Destaque el razonamiento que observe el enorme tamaño de la baguette y las preguntas sobre cuántas personas podrían compartirla.
Si 2 personas comparten la baguette, ¿cuánto obtendría cada una de ellas? ¿Y si la compartieran 4 personas? ¿Y 6 personas? ¿Y 10 personas?
Si 100 personas comparten la baguette, ¿cuánto obtendría cada una de ellas?
1 centésimo
Escriba 1 centésimo.
Pida a sus estudiantes que escriban 1 centésimo en forma fraccionaria. Luego, invíteles a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo saben que escribieron la fracción de manera correcta.
Escribimos 1 100 . Sabemos que estamos en lo correcto porque hemos escrito fracciones con otras unidades fraccionarias. Solo la unidad de valor posicional es diferente.
1 es el numerador y 100 es el denominador. Hay 100 partes y cada persona obtiene 1 parte.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, representaremos la unidad fraccionaria de centésimos usando lo que sabemos sobre otras unidades fraccionarias.
Aprender
Descomponer décimos como centésimos
La clase representa los centésimos usando un diagrama de cinta y un vínculo numérico.
Pida a sus estudiantes que observen nuevamente la imagen de la baguette. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar las estrategias que usarían a fin de dividir la baguette en 100 partes iguales.
Dividiríamos la baguette por la mitad y, luego, dividiríamos cada una de las mitades en 50 trozos.
La dividiríamos en cuartos y, luego, dividiríamos cada uno de los cuartos en 25 partes.
La dividiríamos en quintos y, luego, dividiríamos cada quinto por la mitad para formar décimos.
Luego, dividiríamos cada décimo en 10 partes iguales.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros.
1. 1
El diagrama de cinta representa la baguette entera. ¿Cómo está dividido el diagrama de cinta?
Está dividido en décimos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se podría dividir el diagrama de cinta en centésimos.
Necesitamos formar 100 partes iguales.
Podríamos dividir cada décimo en 10 partes porque 10 grupos de 10 es 100.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes han representado los décimos dividiendo uno por la mitad y, luego, dividiendo cada mitad en quintos. Considere usar una estrategia similar para dividir el décimo en centésimos.
Guíe a sus estudiantes para descomponer 1 décimo en 10 centésimos de manera vertical.
En lugar de dibujar los 100 centésimos, imaginemos que cada décimo está dividido de la misma manera en 10 centésimos.
Contemos de 10 centésimos en 10 centésimos para confirmar que habría 100 centésimos representados en el diagrama de cinta.
Señale cada décimo en el diagrama de cinta mientras sus estudiantes cuentan salteado de 10 centésimos en 10 centésimos a coro.
Invite a sus estudiantes a sombrear 4 centésimos.
¿Qué parte del diagrama de cinta está sombreado? ¿Cómo lo saben?
Están sombreados 4 centésimos, porque hay 100 partes y 4 de ellas están sombreadas.
Pídales que sombreen 4 centésimos más.
¿Qué parte del diagrama de cinta está sombreado ahora?
8 centésimos
Invite a sus estudiantes a sombrear 2 centésimos más.
¿Qué parte del diagrama de cinta está sombreado ahora?
10 centésimos
1 décimo
¿Qué podemos decir acerca de 10 centésimos y 1 décimo?
Son la misma cantidad.
10 centésimos = 1 décimo
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se podría sombrear el diagrama de cinta para representar 14 centésimos.
Necesitamos dividir 2 de los décimos en centésimos porque 14 centésimos es más que 10 centésimos. Luego, podemos sombrear 14 centésimos.
Podemos sombrear 1 décimo. Eso es igual a 10 centésimos. Luego, podemos dividir el siguiente décimo en 10 partes iguales para representar los centésimos y sombrear 4 de ellos.
Invite sus estudiantes a dividir y sombrear el diagrama de cinta de una manera que les parezca que tiene sentido. Recorra el salón de clases y observe las estrategias. Seleccione a estudiantes para que compartan su trabajo. Busque ejemplos que dividan los primeros 2 décimos en centésimos y ejemplos que dividan solo el segundo décimo en centésimos. Use esos trabajos para guiar una conversación sobre cómo se puede expresar un número de centésimos como décimos y centésimos.
Haga un vínculo numérico con dos partes.
¿Cuál es el total, o la cantidad sombreada?
14 centésimos
¿De qué forma ven 14 centésimos como dos partes?
Veo que 2 décimos están divididos en un total de 20 centésimos. Veo que las dos partes de 10 centésimos y 4 centésimos están sombreadas.
Veo que 1 décimo está sombreado, pero no dividido. Eso es porque sé que 1 décimo es igual a 10 centésimos. Luego, el siguiente décimo está dividido en 10 partes y 4 de ellas están sombreadas. Veo que 1 décimo y 4 centésimos son las dos partes.
Registre 14 ___ 100 como el total y 10 ___ 100 y 4 ___ 100 como las partes del vínculo numérico. Registre otro vínculo numérico que muestre 14 ___ 100 como el total y 1 __ 10 y 4 ___ 100 como las partes. Pida a sus estudiantes que registren los vínculos numéricos.
Repita el proceso para el problema 3 con 52 centésimos. 3.
1
Muestre la imagen de los vínculos numéricos para 52 centésimos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los vínculos numéricos muestran una relación entre los décimos y los centésimos.
Centésimos en una recta numérica
Materiales: M) Regla de un metro
La clase descompone 1 metro y representa los centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal.
Muestre a sus estudiantes una regla de un metro.
Veamos cómo están representados los centésimos en una regla de un metro.
Señale las marcas de los centímetros.
¿Cuántos centímetros hay en 1 metro?
100 centímetros
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando descontextualiza y usa la relación entre los centímetros y los metros en la regla de un metro para comprender los centésimos en la recta numérica.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué les indica sobre los centésimos la relación entre los centímetros y los metros en la regla de un metro?
• ¿De qué manera 0.01 en la recta numérica representa 1 centímetro en la regla de un metro?
Señale los espacios entre las marcas de los centímetros.
¿Qué unidad fraccionaria representa cada uno de estos intervalos? ¿Cómo lo saben? Cada intervalo representa 1 centésimo. Hay 100 centímetros en 1 metro, entonces cada centímetro es 1 centésimo de un metro.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Señale la regla de un metro mientras explica qué representa la recta numérica.
La recta numérica de 0 a 1 representa la descomposición de 1 metro en 100 centímetros. Las marcas de graduación están demasiado cerca para poder rotularlas, entonces la otra recta numérica amplía los primeros 20 centímetros.
Guíe a sus estudiantes para que rotulen 1 100 arriba de la recta numérica. Luego, rotule 1 100 como 0.01 debajo de la recta numérica. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Esta es otra manera de escribir 1 centésimo. Una fracción que tiene un denominador de 100 es otro ejemplo de una fracción decimal. Entonces, podemos escribir 1 ___ 100 usando un punto decimal.
¿Qué observan acerca de la forma decimal de 1 centésimo?
A la derecha del punto decimal hay un cero y, luego, un 1.
Guíe a sus estudiantes para que rotulen la segunda marca de graduación como 2 ___ 100 y 0.02.
¿Cómo creen que escribimos 3 centésimos en forma decimal? ¿Por qué?
Escribiríamos 0.03. Sigue el patrón de escribir cero punto cero y, luego, el número de centésimos.
Pida a sus estudiantes que continúen rotulando la recta numérica en forma fraccionaria y en forma decimal hasta 9 centésimos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo rotular la siguiente marca de graduación en forma fraccionaria y en forma decimal.
Escriba 10 centésimos en la recta numérica en forma fraccionaria y en forma decimal y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Les sorprende la forma decimal de 10 centésimos? ¿Por qué?
Sí. Pensé que aún habría un cero a la derecha del punto decimal y que sería 0.010.
No. En los números enteros, cuando se llega a 10, el 1 se escribe a la izquierda de donde estaba el 9. Y 0.10 sigue ese patrón con respecto a 0.09.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre las semejanzas y diferencias entre 1 décimo y 10 centésimos.
1 10 y 10 100 son fracciones equivalentes. Puedo multiplicar el numerador y el denominador de 1 10 por 10 y obtener 10 100 .
1 décimo y 10 centésimos están en la misma posición en la recta numérica.
Las fracciones tienen diferentes denominadores. Hay 10 grupos de 10 centésimos en 1 y hay 10 décimos en 1.
En forma decimal, los dos números tienen un 1 a la derecha del punto decimal. Pero 10 centésimos tiene otro 0 a la derecha de 1.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para rotular desde 11 centésimos hasta 20 centésimos en la recta numérica en forma fraccionaria y en forma decimal.
¿Cómo creen que escribimos 65 centésimos en forma decimal? ¿Por qué?
0.65, porque sigue el patrón: al escribir centésimos, hay dos dígitos a la derecha del punto decimal.
DUA: Representación
Considere regresar a la recta numérica de décimos creada en la lección 2 en el libro para estudiantes. Invite a las parejas a observar las semejanzas y diferencias entre la recta numérica de décimos y la recta numérica de centésimos.
¿Cómo creen que escribimos 40 centésimos en forma decimal? ¿Por qué?
0.40, porque sería parecido a 10 centésimos y 20 centésimos. Escribimos el 40 a la derecha del punto decimal.
Invite a sus estudiantes a contar a coro de 10 centésimos en 10 centésimos. Mientras lo hacen, señale cada 10 centímetros en la regla de un metro.
Contemos de 10 centésimos en 10 centésimos. Comiencen en 0 centésimos.
Invite a las parejas de estudiantes a reunirse y conversar acerca de cómo registrar 0 centésimos y 100 centésimos. Luego, demuestre cómo registrar 0 centésimos como 0 100 y 0.00 y cómo registrar 100 centésimos como 100 100 y 1.00.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre escribir los centésimos en forma decimal y en forma fraccionaria.
Escribir números en forma fraccionaria y en forma decimal
Materiales: E) Centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal, tijeras
La clase lee y escribe números en forma decimal y en forma fraccionaria.
Forme parejas de estudiantes y pida a alguien de cada pareja que retire la hoja extraíble de Centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal de sus libros. Pídales que recorten las tarjetas, las mezclen y las apilen bocabajo.
Dé a las parejas 3 minutos para:
• elegir una tarjeta;
• escribir el número tanto en forma fraccionaria como en forma decimal;
• comparar las respuestas, hacer las correcciones necesarias y
• repetir el proceso hasta que hayan usado todas las tarjetas.
Nota para la enseñanza
Los números enteros se pueden registrar en forma fraccionaria y en forma decimal. Considere conversar con sus estudiantes acerca de la equivalencia de las distintas formas y el momento en que podrían usarlas. Muestre ejemplos de las formas equivalentes y acepte las diferentes formas en el trabajo de sus estudiantes.
Diferenciación: Desafío
Después de que sus estudiantes escriban el número que se muestra en cada tarjeta de una manera diferente, pídales que escriban enunciados de comparación usando los números decimales de la actividad. Anímeles a usar lo que saben sobre la comparación de fracciones como ayuda para comparar los números decimales. Luego, pueden ordenar los números decimales de menor a mayor y conversar sobre lo que observan y se preguntan. Sus estudiantes deben comparar los números decimales de kilogramos separados de los números decimales de litros.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Asegúrese de que usen de manera correcta un denominador de 100 para cada fracción y de que usen de manera correcta el cero inicial y el punto decimal para cada número escrito en forma decimal.
Reúna a la clase e invite a sus estudiantes a compartir cómo escribieron cada número.
¿Qué dos números de las medidas son iguales?
La zanahoria y la menor cantidad de agua tienen medidas con el número 7 centésimos.
Escriba 7 centésimos = 7 100 = 0.07.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo saben que el enunciado es verdadero.
Hay diferentes maneras de representar los centésimos. El enunciado muestra el mismo número escrito de diferentes formas: unitaria, fraccionaria y decimal.
Cada uno de los números representa el mismo punto en la recta numérica. Todos los números son equivalentes.
Cada uno de los números se puede leer de la misma manera: siete centésimos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Descomponer 1 unidad y expresar los centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de los centésimos.
¿Qué son los centésimos?
Los centésimos son una unidad fraccionaria como los medios, los tercios o los décimos.
Los centésimos como una fracción decimal tienen 100 en el denominador. Los centésimos como un número decimal tienen un punto decimal y dos dígitos a la derecha de él.
1 se descompone en 100 centésimos.
¿En qué se diferencian los centésimos y los décimos?
Los centésimos son más pequeños que los décimos.
Los centésimos se escriben con dos dígitos a la derecha del punto decimal en lugar de solo un dígito.
Hay 100 centésimos en 1, pero solo 10 décimos en 1.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Empareja los números equivalentes.
1. Escribe
Representar los centésimos como una unidad de valor posicional
Vistazo a la lección
La clase usa modelos de área y discos de valor posicional para representar la relación entre los centésimos, los décimos y las unidades. Escriben ecuaciones para representar la equivalencia entre la forma fraccionaria y la forma decimal de un número. Usan su comprensión del sistema de valor posicional para expresar los centésimos como una unidad de valor posicional y como décimos y centésimos. En esta lección se formaliza el término centésimos.
Preguntas clave
• ¿En qué se parecen los centésimos a otras unidades de valor posicional?
• ¿Cómo se pueden expresar los centésimos como décimos y centésimos?
Criterios de logro académico
2. Escribe el número decimal en forma fraccionaria.
4.Mód5.CLA1 Expresan fracciones con un denominador de 10 como fracciones equivalentes con un denominador de 100. (4.NF.C.5)
4.Mód5.CLA3 Representan décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria o utilizando un modelo. (4.NF.C.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Usar un modelo de área para representar centésimos
• Los centésimos como una unidad fraccionaria y una unidad de valor posicional
• Usar discos de valor posicional para representar centésimos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Modelos de área para centésimos (en la edición para la enseñanza)
• set de discos de decimales
Estudiantes
• Modelos de área para centésimos (en el libro para estudiantes)
• set de discos de decimales (1 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Modelos de área para centésimos de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
• Prepare al menos 2 discos de un décimo y 15 discos de un centésimo por cada pareja de estudiantes y maestra o maestro.
Fluidez
Contar de un décimo en un décimo en la recta numérica
La clase cuenta de un décimo en un décimo con una recta numérica, usando fracciones y números decimales, para adquirir fluidez con la lectura y escritura de los décimos como números decimales.
Muestre la recta numérica.
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un décimo en un décimo hasta 10 décimos. Empiecen diciendo 0 décimos. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 10 , 1 10 …, 9 10 , 10 10
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un décimo en un décimo. Empiecen diciendo 0.
¿Comenzamos?
Muestre los números decimales en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 0.1…, 0.9, 1.0
Vuelvan a contar hacia delante de un décimo en un décimo. Esta vez, digan los números equivalentes representados en la recta numérica. Empiecen diciendo 0 décimos es igual a 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones y los números decimales equivalentes en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0 10 es igual a 0, 1 10 es igual a 0.1…, 9 10 es igual a 0.9, 10 10 es igual a 1.0.
Intercambio con la pizarra blanca: Décimos escritos de tres maneras
La clase identifica un número mayor que 1 representado con discos de valor posicional y, luego, escribe el número usando las formas unitaria, fraccionaria y decimal para adquirir fluidez con la lectura y escritura de los décimos como números decimales.
Muestre 1 unidad y 1 décimo representados con discos de valor posicional.
En forma unitaria, ¿qué número está representado? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 unidad y 1 décimo
Muestre la respuesta.
Escriban 1 unidad y 1 décimo en forma fraccionaria y en forma decimal. Registren las formas equivalentes como un enunciado con signos igual.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre las respuestas.
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 1 unidad y 4 décimos 1 unidad y 7 décimos
Respuesta a coro: 1 décimo más, 1 décimo menos
La clase determina 1 décimo más y 1 décimo menos que un número para desarrollar la comprensión del valor posicional.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el enunciado.
1 décimo más que 0.6 es .
0.7
Muestre la respuesta y, luego, muestre el siguiente enunciado.
1 décimo menos que 0.6 es .
0.5
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
1 décimo menos que 0.3 es 0.2 . . 1 décimo más que 0.3 es
1 décimo más que 0.6 es 0.7
1 décimo menos que 0.6 es 0.5 . .
Presentar
La clase comenta la descomposición de las unidades de valor posicional.
Muestre la imagen del modelo de área con la lupa ampliando 1 unidad. Luego, muestre la imagen del modelo de área en la que se ve 1 unidad.
El modelo de área representa 1 unidad.
Muestre la imagen del modelo de área dividido en décimos.
¿Cómo se descompone 1?
1 se descompone en 10 partes iguales.
1 se descompone en décimos.
¿Qué sabemos sobre las unidades y los décimos?
Las unidades y los décimos son unidades de valor posicional.
¿Cuál es la relación entre las unidades y los décimos?
1 unidad = 10 décimos
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden usar una relación parecida para descomponer los décimos en unidades más pequeñas.
Podríamos dividir cada décimo en 10 partes iguales. Habrá 100 cuadrados pequeños. Creemos que la unidad de valor posicional es centésimos.
Podemos pensar en descomponer cada décimo de manera uniforme en 10 partes.
Nota para la enseñanza
La sección Presentar hace énfasis en la descomposición de 1 unidad en 10 de la siguiente unidad más pequeña. Si sus estudiantes hacen enunciados que se refieren a la composición de unidades más pequeñas en unidades más grandes, pídales que reformulen su enunciado en términos de la descomposición.
Muestre la imagen del modelo de área en la que se ve la descomposición de cada décimo en 10 partes iguales.
El modelo de área representa 1. ¿Qué unidad fraccionaria se forma descomponiendo cada décimo en 10 partes iguales?
Centésimos
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos modelos de área y discos de valor posicional como ayuda para comprender mejor los centésimos.
Aprender
Usar un modelo de área para representar centésimos
Materiales: M/E) Modelos de área para centésimos
La clase usa modelos de área para representar centésimos y escribe ecuaciones a fin de mostrar la equivalencia entre los décimos y los centésimos.
Pida a sus estudiantes que inserten la hoja extraíble de Modelos de área para centésimos en sus pizarras blancas.
¿Qué unidades de valor posicional están representadas en cada modelo de área?
Las unidades, porque cada modelo de área representa 1. Los décimos, porque puedo ver que se descompone 1 en 10 columnas.
Los centésimos, porque se descompone cada décimo en 10 partes iguales.
Escriba 7 centésimos arriba del modelo de área A y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Comience en la esquina inferior izquierda del modelo de área y cuente de 1 centésimo en 1 centésimo mientras sombrea 7 centésimos. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cómo podemos escribir 7 centésimos en forma fraccionaria?
Podemos escribir una fracción con un numerador de 7 y un denominador de 100.
Nota para la enseñanza
Es posible que sus estudiantes reconozcan que el modelo de área que muestra centésimos se parece al modelo de área que muestra centenas. Considere volver a mostrar la diapositiva del modelo de área con la lupa para recordar a la clase de manera visual que se está descomponiendo 1 en partes más pequeñas, lo que da lugar a unidades de valor posicional con un valor menor que 1
DUA: Representación
La actividad digital interactiva de Décimos y centésimos en el modelo de área ayuda a que cada estudiante comprenda la descomposición de 1 en unidades de valor posicional más pequeñas. También les ayuda a representar los centésimos en un modelo de área.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera independiente o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Escriba 7 ___ 100 debajo del modelo de área y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cómo podemos escribir 7 ___ 100 en forma decimal?
Cero punto cero siete
Escriba 0.07 a la derecha de 7 100 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuál es la relación entre 7 ___ 100 y 0.07?
Representan la misma cantidad. Son equivalentes.
Escriba = entre 7 100 y 0.07. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Pídales que digan la ecuación a un compañero o una compañera.
¿Cuántas unidades están sombreadas en el modelo de área? ¿Dónde ven eso en la forma decimal?
No hay unidades sombreadas porque el modelo de área representa 1 y solo parte de él está sombreado.
El 0 en la posición de las unidades en la forma decimal muestra que no hay unidades.
¿Cuántos décimos están sombreados en el modelo de área? ¿Dónde ven eso en la forma decimal?
No hay décimos sombreados porque 7 centésimos es menor que 1 décimo.
El 0 en la posición a la derecha del punto decimal muestra que no hay décimos.
¿Cuántos centésimos están sombreados en el modelo de área? ¿Dónde ven eso en la forma decimal?
Hay 7 centésimos sombreados. Cada cuadrado pequeño representa 1 centésimo.
El 7 que está dos posiciones a la derecha del punto decimal muestra que hay 7 centésimos.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen el modelo de área B para representar 38 centésimos. Invíteles a escribir una ecuación para representar la equivalencia de la parte sombreada en forma fraccionaria y en forma decimal.
¿Qué estrategia usaron para sombrear 38 centésimos?
Contamos 3 columnas de 10 centésimos y, luego, contamos 8 centésimos más.
Pensamos en sombrear 2 centésimos menos que 40 centésimos.
¿Qué ecuación escribieron para mostrar que la fracción decimal y el número decimal son equivalentes?
38 100 = 0.38
Sombree 2 centésimos más y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuántos centésimos están sombreados ahora?
40 centésimos
Borre 38 centésimos arriba del modelo de área B y borre las ecuaciones. Escriba 40 centésimos arriba del modelo de área B. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Pida a las parejas de estudiantes que escriban una ecuación que represente la equivalencia de la parte sombreada en forma fraccionaria y en forma decimal. Invite a una o dos parejas a compartir sus ecuaciones.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden usar el modelo de área para componer centésimos y representar décimos.
38 centésimos
= 0.38
40 centésimos
Podemos encerrar en un círculo grupos de 10 centésimos porque 10 centésimos = 1 décimo. Podemos encerrar en un círculo columnas para mostrar los décimos porque hay 10 centésimos en cada columna, y eso es la misma cantidad que 1 décimo.
Podemos pensar en cada columna como 1 décimo porque hay 10 columnas. Entonces, cada una representa 1 décimo.
Nota para la enseñanza
El modelo de área es una representación pictórica que se puede usar para representar la relación entre las unidades, los décimos y los centésimos. Considere permitir que cada estudiante use con flexibilidad el modelo de área para representar la equivalencia de centésimos y décimos. Es posible que parte de la clase necesite encerrar en un círculo las columnas para ver los décimos, mientras que el resto de la clase puede imaginar los décimos sin tener que encerrarlos en un círculo. 40 centésimos
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para determinar cuántos décimos están sombreados.
¿Cuántos décimos están sombreados?
4 décimos
Escriba 40 100 = 4 __ 10 .
¿Cómo se muestra 40 ___ 100 = 4 __ 10 en el modelo de área?
Podemos ver que 40 centésimos están sombreados y, luego, las columnas nos ayudan a ver los décimos. Hay 4 columnas sombreadas, entonces eso quiere decir que hay 4 décimos sombreados.
Pida a las parejas de estudiantes que usen la división para mostrar que 40 100 = 4 10 . Invite a una o dos parejas a compartir sus ecuaciones.
Use un proceso similar para 60 centésimos con el modelo de área C.
Las parejas deben:
• sombrear el modelo de área para representar 60 centésimos;
• escribir una ecuación para representar la equivalencia entre la forma fraccionaria y la forma decimal y
• usar la multiplicación para representar la equivalencia de 6 décimos y 60 centésimos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo componer centésimos para formar décimos y cómo descomponer décimos para formar centésimos se relaciona con la composición y descomposición de unidades de valor posicional.
DUA: Representación
Considere activar los conocimientos previos del uso de la división y la multiplicación para representar fracciones equivalentes. Sus estudiantes también pueden usar el modelo de área para mostrar cómo componer y descomponer unidades de valor posicional.
Los centésimos como una unidad fraccionaria y una unidad de valor posicional
La clase usa lo que sabe sobre el sistema de valor posicional para identificar los centésimos como una unidad de valor posicional.
Presente el siguiente enunciado: Las unidades fraccionarias también son unidades de valor posicional. Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas.
Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y evalúe si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.
Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Anímeles a proporcionar ejemplos y ejemplos erróneos para apoyar su afirmación.
Para concluir, llegue a un consenso de que el enunciado es verdadero a veces.
Sabemos que los décimos son una unidad fraccionaria y una unidad de valor posicional. 10 décimos se pueden componer para formar 1 unidad y 1 décimo se puede descomponer para formar 10 centésimos.
Sabemos que los sextos son una unidad fraccionaria, pero no una unidad de valor posicional. 1 se puede descomponer en 6 sextos, pero eso no sigue el patrón de valor posicional.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando decide si las unidades fraccionarias son unidades de valor posicional siempre, a veces o nunca, y comenta su razonamiento con su pareja de trabajo.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Pueden pensar en una situación en la que una unidad fraccionaria no sea una unidad de valor posicional?
• ¿Cuándo creen que las unidades fraccionarias son unidades de valor posicional? ¿Por qué?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere invitar a sus estudiantes a consultar la Herramienta para la conversación mientras comparten su razonamiento con su pareja de trabajo.
¿De qué manera pensar en si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca les ayuda a decidir si los centésimos también son una unidad de valor posicional?
Creemos que los centésimos son tanto una unidad fraccionaria como una unidad de valor posicional. Sabemos que 1 décimo se puede descomponer en 10 centésimos. Eso sigue el patrón de valor posicional de descomponer una unidad más grande en 10 de la siguiente unidad más pequeña.
Sabemos que 1 unidad se puede descomponer en 100 centésimos, que es parecido a descomponer 1 centena en 100 unidades.
Los centésimos son partes iguales de un entero y siguen los patrones de valor posicional, entonces creemos que los centésimos son tanto una unidad fraccionaria como una unidad de valor posicional.
Los centésimos son una unidad de valor posicional y se pueden registrar en forma fraccionaria o en forma decimal. 1 décimo se puede descomponer en 10 centésimos. Los centésimos son tanto una unidad fraccionaria como una unidad de valor posicional.
Usar discos de valor posicional para representar centésimos
Materiales: M/E) Discos
La clase usa discos de valor posicional para representar la relación entre los décimos y los centésimos.
Muestre un disco de un décimo.
¿Qué unidad de valor posicional representa el disco?
Décimos
¿Cuál es el valor del disco de valor posicional?
1 décimo
Diferenciación: Desafío
Considere invitar a sus estudiantes a sombrear 100 centésimos en un modelo de área. Luego, haga las siguientes preguntas:
• ¿De qué manera pueden representar la cantidad sombreada como una fracción con un denominador de 100?
• ¿De qué manera pueden representar la cantidad sombreada como una fracción con un denominador de 10?
• ¿Cómo pueden representar la cantidad sombreada como un número decimal?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere agregar los centésimos al afiche de referencia de la lección 3 que brinda apoyo para el término décimos a fin de mostrar los centésimos como una unidad fraccionaria y como una unidad de valor posicional.
Muestre un disco de un centésimo.
¿Qué valor posicional representa el disco?
Centésimos
¿Cuál es el valor del disco de valor posicional?
1 centésimo
Escriba 8 centésimos. Pida a las parejas de estudiantes que usen los discos de valor posicional para representar 8 centésimos.
¿Cómo podemos escribir 8 centésimos en forma decimal?
Cero punto cero ocho
Escriba 0.08 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale cada dígito mientras hace las siguientes preguntas.
¿Qué valor posicional representa el 0? ¿Y el siguiente 0? ¿Y el 8?
Unidades
Décimos
Centésimos
¿Cómo podemos escribir 8 centésimos en forma fraccionaria?
Con una fracción con un numerador de 8 y un denominador de 100.
Escriba = 8 ___ 100 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Contemos de 1 centésimo en 1 centésimo para mostrar que nuestros discos representan 8 centésimos.
Cuente a coro con la clase de 1 centésimo en 1 centésimo hasta 8 centésimos.
¿Hay una forma más eficiente en la que podamos contar para mostrar que nuestros discos representan 8 centésimos?
Podemos contar salteado de 2 centésimos en 2 centésimos.
Podemos contar salteado de 4 centésimos en 4 centésimos.
DUA: Representación
Considere crear una tabla para ayudar a sus estudiantes a organizar su razonamiento sobre unidades fraccionarias y unidades de valor posicional. Sus estudiantes pueden hacer una lista de las unidades fraccionarias y las unidades de valor posicional y, luego, usted puede resaltar las unidades que aparecen en las dos columnas.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Al contar, considere usar la forma unitaria y la forma decimal para ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre las palabras habladas y la forma escrita usando los enunciados 1 centésimo más y 1 centésimo menos.
Invite a las parejas de estudiantes a seleccionar y usar una estrategia de conteo salteado para mostrar que los discos representan 8 centésimos.
Coloque otro disco de un centésimo mientras dice el siguiente enunciado.
8 centésimos. 1 centésimo más que 8 centésimos es 9 centésimos.
Pida a las parejas que coloquen otro disco de un centésimo y que digan el enunciado de 1 centésimo más.
Use un proceso similar para contar hacia arriba hasta 15 centésimos usando los enunciados de 1 centésimo más y colocando los discos en formaciones de grupos de 5. Deténgase en 0.11 y 0.14 y pida a sus estudiantes que escriban una ecuación que represente la equivalencia entre la forma fraccionaria y la forma decimal.
Nota para la enseñanza
Al expresar los centésimos como décimos y centésimos, es posible que haya estudiantes que usen lo que saben acerca de las decenas y las centenas para desarrollar un concepto erróneo sobre expresar los números con otro nombre en forma decimal. En el caso de los números enteros, las decenas son la unidad más pequeña y las centenas son la unidad más grande. Sin embargo, en el caso de los números decimales, los décimos son la unidad más grande y los centésimos son la unidad más pequeña. Considere usar modelos de área que representen los décimos y los centésimos para mostrar los tamaños relativos de las unidades de valor posicional. Luego, guíe una conversación acerca de por qué los décimos son más grandes que los centésimos.
Décimos Centésimos
¿Cuántos centésimos tenemos ahora?
15 centésimos
Invite a las parejas a contar salteado para mostrar que los discos representan 15 centésimos.
¿Cómo contaron salteado usando centésimos?
Contamos de 3 centésimos en 3 centésimos.
Contamos de 5 centésimos en 5 centésimos.
Invite a las parejas de estudiantes a escribir una ecuación para representar la equivalencia entre la forma decimal y la forma fraccionaria de 15 centésimos. Seleccione a una o dos parejas para que compartan sus ecuaciones.
100 0 . 15 =
¿Podemos cambiar los centésimos por 1 de una unidad de valor posicional más grande?
Sí, podemos cambiar 10 centésimos por 1 décimo porque 10 100 = 1 10 .
Cambie 10 discos de un centésimo por 1 disco de un décimo. Coloque los discos de un décimo a la izquierda de los discos de un centésimo. Pida a las parejas que hagan lo mismo.
Escriba 15 centésimos = décimo y centésimos. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a las parejas de estudiantes a usar sus discos de valor posicional como ayuda para completar la ecuación.
¿De qué manera expresaron 15 centésimos como décimos y centésimos?
Expresé 15 centésimos como 1 décimo y 5 centésimos.
Complete la ecuación.
Haga un vínculo numérico con dos partes y escriba 0.15 como el total. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cómo pueden usar el vínculo numérico para mostrar la descomposición de 15 centésimos en décimos y centésimos?
Podemos usar una parte para representar los décimos y la otra parte para representar los centésimos.
Podemos escribir 0.1 como una parte y 0.05 como la otra parte.
Pida a sus estudiantes que completen el vínculo numérico en forma decimal.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los discos de valor posicional y el vínculo numérico muestran de qué manera se puede expresar 15 centésimos como décimos y centésimos.
Nota para la enseñanza
La ubicación de los discos de un décimo a la izquierda de los discos de un centésimo es intencional, ya que anticipa el orden de los valores posicionales en la tabla de valor posicional y alinea el orden de los dígitos. Si bien los discos de valor posicional se pueden organizar en cualquier orden, anime a sus estudiantes a organizarlos de manera similar a su ejemplo.
Diferenciación: Apoyo
Considere presentar el total y las partes del vínculo numérico en forma unitaria para apoyar a sus estudiantes mientras descomponen 0.15 en décimos y centésimos.
Use la siguiente secuencia para expresar 21 centésimos como décimos y centésimos:
• Use discos de un centésimo para representar 27 centésimos.
• Cuente salteado para mostrar que los discos representan 27 centésimos.
• Cuente hacia abajo desde 27 centésimos hasta 21 centésimos usando enunciados de 1 centésimo menos.
• Deténgase en 0.25 y 0.23 y pida a sus estudiantes que escriban una ecuación para representar la equivalencia entre la forma fraccionaria y la forma decimal del número.
• Escriba una ecuación para representar la equivalencia entre la forma decimal y la forma fraccionaria de 21 centésimos.
• Cambie los centésimos por décimos.
• Escriba una ecuación para expresar 21 centésimos como décimos y centésimos.
• Haga un vínculo numérico para mostrar cómo se puede descomponer 0.21 en décimos y centésimos en forma decimal.
Muestre las imágenes de los discos de valor posicional para 0.08, 0.15 y 0.21.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuándo y por qué se pueden expresar los centésimos como décimos y centésimos.
Cuando hay 10 o más centésimos, se pueden expresar como décimos y centésimos porque 10 centésimos = 1 décimo. Es como cualquier otra unidad de valor posicional. Cuando hay 10 de una unidad de valor posicional más pequeña, como los centésimos, se pueden componer para formar 1 de la siguiente unidad más grande, como los décimos.
8 centésimos
15 centésimos 21 centésimos
Podemos expresar los centésimos como décimos y centésimos porque los dos son unidades de valor posicional. Las unidades de valor posicional se pueden componer y descomponer para formar otras unidades de valor posicional.
Diferenciación: Desafío
Considere preguntar a sus estudiantes cómo pueden representar 0.21 usando el menor número de discos de valor posicional. Asegúrese de que usen décimos y centésimos para representar 0.21 sin usar primero 21 centésimos y de que cambien centésimos por décimos. Invíteles a explicar cómo saben que sus discos representan 0.21
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
10
Reflexión final 5 min
Objetivo: Representar los centésimos como una unidad de valor posicional
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de los centésimos como unidad de valor posicional.
Muestre la imagen del diagrama de cinta, el modelo de área y los discos de valor posicional.
¿De qué manera muestran las diferentes representaciones que los centésimos son parecidos a otras unidades de valor posicional?
En el diagrama de cinta, podemos ver que se puede formar 1 centésimo descomponiendo una unidad de valor posicional más grande, los décimos, en 10 de una unidad más pequeña. Esto es parecido a las decenas y las unidades. 1 unidad se puede formar descomponiendo 1 decena en 10 de una unidad más pequeña.
40 centésimos
1 unidad
El modelo de área muestra que 10 centésimos se pueden componer en 1 décimo. Eso es parecido a otras unidades de valor posicional porque 10 de una unidad más pequeña se pueden componer para formar 1 de la siguiente unidad más grande.
Los discos de valor posicional muestran que podemos expresar los centésimos como décimos y centésimos. También podemos expresar otras unidades de valor posicional con otro nombre.
¿Cómo se pueden expresar los centésimos como décimos y centésimos?
Los dos son unidades de valor posicional y los centésimos se pueden componer para formar décimos. Cuando hay 10 centésimos, se pueden expresar como 1 décimo.
Se pueden expresar los centésimos como décimos y centésimos porque 10 ___ 100 = 1 10 . Esto significa que, cuando hay 10 o más centésimos, se pueden expresar como décimos y centésimos.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa los discos de valor posicional, la forma unitaria y el vínculo numérico para responder los problemas 9 y 10.
• Encierra en un círculo los centésimos para componer tantos décimos como puedas.
• Completa la forma unitaria.
• Usa el vínculo numérico para separar los décimos de los centésimos.
Completa los enunciados. Escribe la respuesta en forma decimal.
15. 1 centésimo más que 0.04 es 0.05
16. 1 centésimo menos que 0.14 es 0.13
17. 0.28 es 0.01 más que 0.27.
18. 0.06 es 0.01 menos que 0.07
19. 0.09 es 0.01 más que 0.08
20. 0.9 es 0.01 menos que 0.91
Completa la tabla.
EUREKA MATH
Escribir números mixtos en forma decimal con centésimos
Vistazo a la lección
Escribe el número en forma unitaria, en forma decimal y en forma fraccionaria.
a.
Forma unitaria: 1 unidad, 4 décimos y 3 centésimos
Forma decimal: 1.43
Forma fraccionaria: 1 43 100
b.
Forma unitaria: 2 unidades, 0 décimos y 5 centésimos
Forma decimal: 2.05
Forma fraccionaria: 2 5 100
La clase usa discos de valor posicional y rectas numéricas para representar números que incluyen la unidad fraccionaria de centésimos. Representan los números como números mixtos y en forma decimal. Amplían su comprensión de la tabla de valor posicional a los décimos y los centésimos.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre los números mixtos para representar unidades, décimos y centésimos en forma decimal?
• ¿Cuáles son las similitudes entre las distintas unidades de valor posicional, como las centenas, las decenas, las unidades, los décimos y los centésimos?
Criterios de logro académico
4.Mód5.CLA1 Expresan fracciones con un denominador de 10 como fracciones equivalentes con un denominador de 100. (4.NF.C.5)
4.Mód5.CLA3 Representan décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria o utilizando un modelo. (4.NF.C.6)
Agenda
Fluidez 5 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Expresar números mixtos en forma decimal
• Unidades, décimos y centésimos
• La simetría de las unidades de valor posicional
• Grupo de problemas
Concluir 15 min
Materiales
Maestro o maestra
• Recta numérica abierta (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Recta numérica abierta (en el libro para estudiantes)
• set de discos de decimales (1 por pareja de estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Recta numérica abierta de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
• Prepare al menos 5 discos de una unidad, 6 discos de un décimo y 7 discos de un centésimo por cada pareja de estudiantes.
• Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la enseñanza de la sección Concluir.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Centésimos escritos de tres maneras
La clase identifica un número menor que 1 representado con discos de valor posicional y, luego, escribe el número usando las formas unitaria, fraccionaria y decimal para desarrollar fluidez con la lectura y escritura de los centésimos como números decimales.
Muestre 1 centésimo representado con un disco de valor posicional.
En forma unitaria, ¿qué número está representado? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 centésimo
Muestre la respuesta.
Escriban 1 centésimo en forma fraccionaria y en forma decimal. Registren las formas equivalentes como un enunciado con signos igual.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre las respuestas.
centésimo
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 8 centésimos 1 décimo y 3 centésimos 5 décimos y 2 centésimos 7 décimos
Nota para la enseñanza
Considere hacer una pregunta adicional para los números representados con discos de valor posicional de un décimo y de un centésimo. Por ejemplo, después de que sus estudiantes respondan que 0.13 es 1 décimo y 3 centésimos en forma unitaria, pregunte: “¿Cuántos centésimos en total es 1 décimo y 3 centésimos?”. La pregunta adicional ayudará a sus estudiantes a escribir el valor como una fracción y como un número decimal usando centésimos.
Presentar
La clase usa el contexto conocido de metros para comentar la representación de los números mixtos como números decimales.
Muestre la imagen de la tabla con la altura de diferentes animales.
Diga a sus estudiantes que la tabla muestra la altura de cuatro animales y lea los nombres de los animales a coro con la clase.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la altura de los animales. Luego, guíe una conversación de toda la clase usando preguntas como las siguientes.
¿Qué observaron acerca de cómo se registró cada altura en la tabla?
Todas las alturas están registradas en forma fraccionaria, excepto la del elefante.
Una altura está registrada como un número entero, y las otras tres están registradas en forma fraccionaria.
Dos de las alturas están escritas como números mixtos.
¿Qué unidades de valor posicional se usan para representar las alturas?
Unidades, décimos y centésimos
¿Creen que podemos registrar cada altura en forma decimal? Expliquen.
Sí. Las alturas escritas en forma fraccionaria tienen denominadores de 10 o 100 que puedo escribir en forma decimal.
Creo que sí. Para los números mixtos, quizás podemos registrar los números enteros a la izquierda del punto decimal porque sabemos que 1 5 10 se puede escribir como 1.5.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, representaremos los números mixtos con centésimos en forma decimal.
Nota para la enseñanza
La forma unitaria, la forma decimal y la forma fraccionaria son diferentes maneras de expresar el mismo número. En este módulo, la forma fraccionaria incluye fracciones menores que 1, fracciones mayores que 1 y números mixtos.
Aprender
Expresar números mixtos en forma decimal
Materiales: E) Recta numérica abierta, discos
La clase usa discos de valor posicional y una recta numérica para representar unidades, décimos y centésimos.
Muestre la imagen de la forma unitaria, los discos de valor posicional y la recta numérica.
¿Qué unidades de valor posicional están representadas en forma unitaria?
¿Y con los discos de valor posicional?
Unidades, décimos y centésimos
¿Qué unidades de valor posicional están representadas en la recta numérica?
¿Cómo lo saben?
Unidades y décimos porque las marcas de graduación que están rotuladas incluyen unidades y décimos.
1 unidad, 2 décimos y 4 centésimos
Los centésimos también están representados porque la recta numérica va de 1.2 a 1.3 y el intervalo está dividido en 10 partes iguales. Esto significa que 1 décimo está dividido en 10 centésimos.
¿De qué manera ven representado 1 unidad, 2 décimos y 4 centésimos con discos de valor posicional?
Hay 1 disco que representa las unidades, entonces eso forma 1 unidad. Hay 2 discos que representan los décimos, entonces eso forma 2 décimos. Hay 4 discos que representan los centésimos, entonces eso forma 4 centésimos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si el punto marcado en la recta numérica también representa 1 unidad, 2 décimos y 4 centésimos.
Creemos que sí. La primera marca de graduación está rotulada 1.2, y eso es lo mismo que 1 unidad y 2 décimos. Cada intervalo representa 1 centésimo, entonces podemos contar de un centésimo en un centésimo hasta llegar al punto en la recta numérica. Contamos 4 centésimos.
Creemos que sí. No podemos ver todas las unidades y décimos como con los discos de valor posicional, pero sabemos que 1.2 representa 1 con 2 décimos, que es lo mismo que 1 unidad y 2 décimos. Podemos ver los 4 centésimos porque hay 4 marcas de graduación y cada una representa 1 centésimo.
Los discos de valor posicional y el punto en la recta numérica representan 1 unidad, 2 décimos y 4 centésimos. Escribamos este número como un número mixto. ¿Qué número entero y qué fracción necesitamos para representar nuestro número mixto?
1 y 24
100
Escriba 1 24 100 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Cubra 1 unidad en el número mixto.
¿De qué manera podemos escribir 24 centésimos como un número decimal?
0.24
Descubra 1 unidad en el número mixto.
¿De qué manera creen que podemos escribir 1 y 24 centésimos como un número decimal? Expliquen.
1.24 porque ahora hay 1 unidad en lugar de 0 unidades.
Escriba = 1.24 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Leemos este número decimal como uno con veinticuatro centésimos.
Pida a las parejas que practiquen decir el número decimal.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los discos de valor posicional y el punto en la recta numérica representan 1.24.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Recta numérica abierta de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.
Escriba 3 unidades, 6 décimos y 7 centésimos.
Forme parejas de estudiantes y pídales que hagan lo siguiente:
• Estudiante A: usa discos de valor posicional para representar el número.
• Estudiante B: divide y rotula la recta numérica.
Diferenciación: Apoyo
Considere usar las siguientes preguntas para apoyar a sus estudiantes mientras dibujan una recta numérica para representar los números decimales:
• ¿Cuántos décimos hay en el número?
• ¿Cuánto es un décimo más?
• ¿De qué manera saber el número de décimos y un décimo más les ayuda a rotular el intervalo en la recta numérica?
• ¿Cómo pueden dividir el intervalo para representar los centésimos?
• Estudiante B: marca y rotula un punto para representar el número.
• Cada estudiante de la pareja escribe una ecuación para representar el número como un número mixto y como un número decimal.
• La pareja de estudiantes comenta de qué manera los discos de valor posicional y el punto en la recta numérica representan el número.
Use un proceso similar para 2 unidades y 3 centésimos. Indique a las parejas de estudiantes que intercambien roles de manera que cada estudiante B pueda usar discos de valor posicional y cada estudiante A pueda dibujar en la recta numérica.
2 . 1 2 . 0 2 . 03
3 100 2 = 2 . 03
¿Qué es diferente en la representación de 2 unidades y 3 centésimos?
No necesitamos usar discos de un décimo.
El intervalo en la recta numérica va de 2.0 a 2.1 porque hay 0 décimos.
¿Cómo escribieron 2 unidades y 3 centésimos en forma decimal?
2.03
Escriba 2.03 y 2.3.
¿Cuál es la diferencia entre 2.03 y 2.3?
2.03 representa 2 unidades, 0 décimos y 3 centésimos o 2 unidades y 3 centésimos. 2.3 representa 2 unidades y 3 décimos.
El dígito 3 tiene un valor diferente en cada número. En 2.03, tiene un valor de 3 centésimos. En 2.3, tiene un valor de 3 décimos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de otras representaciones que podrían usar para mostrar que 2.03 y 2.3 son números diferentes.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar una plantilla de recta numérica que muestre un intervalo de 1 décimo con marcas de graduación que representen centésimos. Esto puede reducir las exigencias de motricidad fina de dividir una recta numérica.
Unidades, décimos y centésimos
Materiales: E) Discos
La clase representa números con unidades, décimos y centésimos.
Escriba 2,300. Invite a sus estudiantes a leer el número a coro. Luego, pídales que lo lean como centenas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué puede ser útil expresar los números usando unidades de valor posicional de diferentes maneras.
Puede ser útil expresar los números de diferentes maneras cuando redondeamos. Por ejemplo, si estamos redondeando a la centena más cercana, expresar un número usando centenas nos ayuda a pensar entre qué dos centenas se encuentra.
A veces, si estamos sumando o restando, es útil expresar números de distintas maneras. Por ejemplo, puede ser útil pensar en 2,300 como 23 centenas si estamos restando 9 centenas en lugar de pensar en 2,300 como 2 millares y 3 centenas.
Escriba 2.30.
¿Cómo leemos este número?
Dos con treinta centésimos
¿Cuál es el valor del 2? ¿Y del 30?
2 unidades
30 centésimos
Invite a las parejas de estudiantes a representar 2.30 usando el menor número de discos de valor posicional posible.
¿Cómo representaron 2.30 usando discos de valor posicional?
Usamos 2 discos de una unidad y 3 discos de un décimo.
Escriba 2 unidades y 30 centésimos y 2 unidades y 3 décimos.
¿De qué manera podemos escribir 2 unidades y 3 décimos como un número decimal?
2.3
Escriba 2.3 junto a 2.30. Señale cada número mientras sus estudiantes los leen a coro.
¿Cuál es la relación entre 2.30 y 2.3?
Son equivalentes porque los dos números se pueden representar con 2 unidades y 3 décimos.
Son equivalentes porque 3 décimos es la misma cantidad que 30 centésimos.
Escriba = entre 2.30 y 2.3. Pida a sus estudiantes que representen la misma ecuación en forma fraccionaria. Invite a una o dos parejas a compartir sus ecuaciones.
Escriba 4.31. Invite a sus estudiantes a leer el número.
¿Cuál es el valor del 4? ¿Y del 3? ¿Y del 1?
4 unidades
3 décimos
1 centésimo
Pida a las parejas que representen el número decimal usando el menor número de discos de valor posicional posible.
¿Cómo pueden representar 4.31 usando discos de valor posicional?
Usamos 4 discos de una unidad, 3 discos de un décimo y 1 disco de un centésimo.
Pídales que escriban 4.31 en forma decimal, en forma fraccionaria y en forma unitaria. Invite a una o dos parejas a compartir su trabajo.
4 unidades, 3 décimos y 1 centésimo
unidades y 31 centésimos
Use un proceso similar para representar 5 unidades y 4 centésimos. Sus estudiantes deben:
• leer el número;
• usar el menor número de discos de valor posicional posible para representar el número y
• representar el número en forma decimal, en forma fraccionaria y en forma unitaria.
5 unidades y 4 centésimos
Diferenciación: Desafío
Considere invitar a sus estudiantes a pensar en más maneras de representar un número decimal dado en forma unitaria para apoyar su sentido numérico. Por ejemplo, 2.3 en forma unitaria también se puede representar como 23 décimos y 230 centésimos.
Diferenciación: Apoyo
Considere usar tarjetas de valor posicional para descomponer el número en unidades, décimos y centésimos. Esto puede ayudar a sus estudiantes mientras intentan comprender la relación entre las unidades de valor posicional. También sirve como preparación para escribir números en forma desarrollada. 0. 0140.3 0. 01 0.3 4
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación entre las unidades, los décimos y los centésimos como números mixtos y en forma decimal.
La simetría de las unidades de valor posicional
La clase usa lo que sabe acerca de las unidades de valor posicional para entender y describir la simetría de una tabla de valor posicional que incluye décimos y centésimos.
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional con centenas, decenas y unidades.
¿Qué observan?
Es una tabla de valor posicional con centenas, decenas y unidades.
Unidades Decenas Centenas
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su conocimiento de la tabla de valor posicional con números enteros para comprender una tabla de valor posicional con décimos y centésimos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
¿Podemos extender la tabla de valor posicional para representar unidades de valor posicional más grandes? Expliquen.
Sí. Podemos representar millares, decenas de millar, centenas de millar, millones y más.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar si creen que también pueden representar unidades de valor posicional más pequeñas en la tabla de valor posicional.
Sabemos que los décimos y los centésimos son unidades de valor posicional más pequeñas. No sabemos muy bien cómo representarlos en la tabla de valor posicional.
Sabemos que las unidades son más pequeñas que las decenas y que se ubican a la derecha de las decenas en la tabla de valor posicional. Quizás podemos mostrar los décimos y los centésimos a la derecha de las unidades.
Sabemos que 1 decena se puede descomponer en 10 unidades. Las unidades están a la derecha de las decenas. También sabemos que 1 unidad se puede descomponer en 10 décimos. Creemos que los décimos deberían estar a la derecha de las unidades.
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional con centenas, decenas, unidades, décimos y centésimos.
Unidades Décimos Centésimos Decenas Centenas
La tabla de valor posicional puede representar todas las unidades de valor posicional. Esta tabla tiene un punto decimal para recordarnos que este ayuda a ubicar las unidades.
• ¿Cómo puede ayudarles lo que saben sobre la tabla de valor posicional con números enteros a comprender la tabla de valor posicional que incluye décimos y centésimos?
• ¿Cómo se relacionan las decenas y los décimos? ¿De qué manera puede ayudarles eso a ver otras relaciones en la tabla de valor posicional?
Señale la posición de las decenas y la posición de los décimos. Pida a sus estudiantes que digan las unidades de valor posicional.
¿Qué observan acerca de los nombres de estas unidades de valor posicional?
Ambos nombres empiezan con las mismas letras.
Las primeras tres letras son las mismas.
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional con la posición de las unidades sombreada en amarillo y con las flechas que señalan la posición de las decenas y la de los décimos.
¿Por qué creen que las unidades de valor posicional que están a cada lado de las unidades tienen nombres parecidos?
Unidades Décimos Centésimos Decenas Centenas
Se necesitan 10 unidades para formar 1 decena.
1 unidad se puede descomponer en 10 décimos.
Las unidades de valor posicional tienen nombres parecidos. Esto nos puede ayudar a recordar de qué manera se relacionan con la posición de las unidades.
Señale la posición de las centenas y la de los centésimos. Pida a sus estudiantes que digan las unidades de valor posicional.
¿Qué observan acerca de los nombres de estas unidades de valor posicional?
Ambos nombres empiezan con las mismas letras.
Las primeras cinco letras son las mismas.
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional con las flechas que señalan la posición de las centenas y la de los centésimos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué creen que la siguiente unidad de valor posicional más grande y la siguiente unidad de valor posicional más pequeña tienen nombres parecidos.
Unidades Décimos Centésimos Decenas Centenas
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar oportunidades para que sus estudiantes practiquen decir las unidades de valor posicional. Luego, diga una unidad de valor posicional e invite a alguien a identificarla en una tabla de valor posicional. Esto permite que sus estudiantes hagan conexiones entre las palabras habladas y las palabras escritas.
Adicionalmente, muestre un afiche para que usen como referencia a medida que se familiarizan con la lectura de los números decimales.
1 centena se compone de 100 unidades. 1 unidad se descompone para formar 100 centésimos. Estas semejanzas pueden ayudarnos a recordar los nombres y la posición de estas unidades de valor posicional.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas que ven a cada lado de las unidades en la tabla de valor posicional.
¿Cuál es la siguiente unidad de valor posicional más grande después de las centenas?
Millares
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional que se extiende hasta la posición de los millares y la posición de los milésimos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cuál creen que podría ser el nombre de la siguiente unidad más pequeña después de los centésimos. Guíe a sus estudiantes para que presten atención especialmente a las tres primeras letras de millares, las cuales remiten a mil.
Probablemente empiece con las mismas letras que millares.
En el caso de las decenas y las centenas, usamos las mismas primeras letras y luego cambiamos el final.
Si sigue el mismo patrón que vimos comenzando con la posición de las unidades y desplazándonos hacia la izquierda, la siguiente unidad más pequeña podría llamarse milésimos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación entre las unidades de valor posicional de la tabla de valor posicional.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Las unidades en base diez derivan de las unidades, lo que crea una simetría alrededor del valor posicional de las unidades. El término eje de simetría se presenta en el módulo 6. Considere comentar la simetría alrededor de las unidades relacionándola con otras composiciones conocidas, como plegando un rectángulo por la mitad o viendo una matriz que represente 2 × 6 como dos matrices de 2 × 3.
DUA: Representación
Considere proporcionar una tabla de valor posicional con la posición de las unidades rotulada y sombreada en amarillo. Invite a sus estudiantes a rotular las unidades de valor posicional simétricas y a describir en qué se parecen. Rotular las unidades de valor posicional y verbalizar las semejanzas puede ayudar a la comprensión de la simetría de las unidades de valor posicional por parte de sus estudiantes.
Objetivo: Escribir números mixtos en forma decimal con centésimos
Use los siguientes planteamientos para guiar una conversación acerca de la representación de las unidades y los centésimos como números decimales.
Muestre la tabla con la altura de diferentes animales.
Antes, les pedí que pensaran en cómo escribir la altura de los animales en forma decimal. ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre los números mixtos para representar unidades, décimos y centésimos en forma decimal?
Sabemos que los números mixtos con unidades y décimos se pueden representar como números decimales con unidades y décimos. Un número mixto con unidades y centésimos se puede representar en forma decimal con unidades y centésimos y, a veces, con décimos. Por ejemplo, 1 15 100 en forma decimal es 1.15. Es 1 unidad, 1 décimo y 5 centésimos.
Podemos usar algunas de las mismas estrategias que usamos para representar unidades y décimos como números decimales para representar también unidades y centésimos como números decimales. Podemos usar discos de valor posicional y una recta numérica.
Nota para la enseñanza
En 5.o grado, sus estudiantes amplían su comprensión de las unidades de valor posicional a los milésimos. Nombrar los milésimos les ayuda a aplicar su comprensión de la simetría de las unidades de valor posicional alrededor de la posición de las unidades para predecir el nombre de la unidad de valor posicional que se encuentra a la derecha de los centésimos.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar tiempo para que sus estudiantes reflexionen sobre su comprensión del valor posicional. Use las siguientes preguntas para promover la metacognición:
• ¿Cómo ha cambiado su razonamiento acerca de las unidades de valor posicional?
• ¿Qué les ayuda a entender la relación entre las unidades de valor posicional?
• ¿Hay algo que todavía les resulte confuso o sobre lo que tengan preguntas?
• ¿Qué otras representaciones de valor posicional pueden usar para apoyar su razonamiento sobre las unidades de valor posicional?
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional con rótulos y flechas.
¿Qué nos ayuda a ver la tabla de valor posicional?
Nos ayuda a ver las semejanzas entre las decenas y los décimos.
Nos ayuda a ver las semejanzas entre las centenas y los centésimos.
Decenas Centenas
¿Cuáles son las similitudes entre las distintas unidades de valor posicional, como las centenas, las decenas, las unidades, los décimos y los centésimos?
Las decenas y los décimos son parecidos porque 10 unidades forman 1 decena y 1 unidad se puede descomponer en 10 décimos.
Las centenas y los centésimos son parecidos porque 100 unidades forman 1 centena y 1 unidad se puede descomponer en 100 centésimos.
Cada unidad de valor posicional tiene una relación con la posición de las unidades.
Escriba los números 317, 31.7 y 3.17.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre los números.
Todos tienen los mismos dígitos.
Dos de los números tienen un punto decimal. Los valores de los números son diferentes.
¿Qué sucedería si quitáramos el punto decimal de los números?
Cada número sería 317.
El valor del número cambiaría.
Hace mucho tiempo, las personas que vivían en Babilonia no usaban un punto decimal para indicar el valor posicional. Se basaban en el contexto para saber qué número estaba escrito. Por ejemplo, si no tuviéramos un punto decimal y usáramos los dígitos 3, 1 y 7 para escribir un número, no estaría claro a qué número nos referimos: 317, 31.7 o 3.17. En Babilonia, tenían que basarse en el contexto para interpretar el número de manera correcta.
Analicemos algunos ejemplos de contextos para ver cómo sería no tener puntos decimales.
Las matemáticas en el pasado
El recurso Las matemáticas en el pasado incluye más información sobre los componentes del sistema de valor posicional decimal en base diez y sus orígenes. También brinda información sobre la historia de otros sistemas numéricos.
Unidades Décimos Centésimos
Muestre los tres contextos para el número 317.
Deepa midió 317 centímetros de agua en su pluviómetro.
La longitud de una habitación es 317 metros.
La longitud de un estacionamiento es 317 metros.
¿Tiene sentido que el agua en un pluviómetro mida 317 centímetros? ¿Y 31.7 centímetros? ¿Y 3.17 centímetros?
317 centímetros no tiene sentido. Eso sería aproximadamente 3 metros. No se usaría un pluviómetro para medir esa cantidad de agua.
31.7 centímetros no tiene sentido. Eso es aproximadamente 1 pie. No creo que pueda llover tanto de una vez.
3.17 centímetros tiene más sentido. Es un poco más que 3 centímetros.
Repita la actividad para los otros dos contextos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo un punto decimal puede ayudar a hacer que los números sean más fáciles de comprender.
El punto decimal nos ayuda a ver el valor posicional. Si hay un punto decimal en un número, no tenemos que hacer una suposición acerca de qué número debería ser. El punto decimal ayuda a aclarar de qué número estamos hablando.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Representa el número en la recta numérica.
• Divide y rotula la recta numérica.
• Marca y rotula el punto.
7. 2 unidades, 3 décimos y 7 centésimos
Empareja los números equivalentes.
Completa la tabla.
Representar números decimales en forma desarrollada
1. Usa la tabla de valor posicional para completar cada enunciado.
Unidades Décimos Centésimos Decenas
74 9
a. El dígito 7 está en la posición de las unidades. Tiene un valor de 7 .
b. El dígito 4 está en la posición de los décimos. Tiene un valor de 0.4
c. El dígito 9 está en la posición de los centésimos. Tiene un valor de 0.09
2. Escribe 7.49 en forma desarrollada. Usa la forma unitaria, la forma decimal o la forma fraccionaria.
7 + 0.4 + 0.09
Vistazo a la lección
La clase representa números decimales con discos de valor posicional y, luego, expresa las cantidades en forma desarrollada. Registran la forma desarrollada con números escritos en forma unitaria, en forma decimal y en forma fraccionaria. Expresan en forma desarrollada números dados en tarjetas de valor posicional o en una tabla de valor posicional.
Pregunta clave
• ¿Cuáles son las diferentes maneras en que podemos representar los números decimales en forma desarrollada?
Criterios de logro académico
4.Mód5.CLA1 Expresan fracciones con un denominador de 10 como fracciones equivalentes con un denominador de 100. (4.NF.C.5)
4.Mód5.CLA3 Representan décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria o utilizando un modelo. (4.NF.C.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Valor de cada dígito
• Números decimales en forma desarrollada
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• set de discos de decimales
• set de discos de valor posicional
• tarjetas de valor posicional de decimales
• tarjetas de valor posicional hasta los millones
Estudiantes
• set de discos de decimales
• set de discos de valor posicional
Preparación de la lección
• Prepare al menos 2 discos de una decena, 6 discos de una unidad, 4 discos de un décimo y 8 discos de un centésimo por estudiante y maestra o maestro.
• Prepare las tarjetas de valor posicional de centenas, decenas, unidades, décimos y centésimos.
Fluidez
Contar de un centésimo en un centésimo en la recta numérica
La clase cuenta de un centésimo en un centésimo con una recta numérica, usando fracciones y números decimales, para adquirir fluidez con la lectura y escritura de los centésimos como números decimales.
Muestre la recta numérica.
Usen la recta numérica para contar hacia delante de un centésimo en un centésimo hasta 10 centésimos. Empiecen diciendo 0 centésimos. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones en la recta numérica, una a la vez, mientras la clase cuenta.
0 100 , 1 100 …, 9 100 , 10 100
Ahora, vuelvan a contar hacia delante de un centésimo en un centésimo. Esta vez usen centésimos y décimos. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Muestre los números decimales en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0, 0.01…, 0.09, 0.1
Vuelvan a contar hacia delante de un centésimo en un centésimo. Esta vez, digan los números equivalentes representados en la recta numérica. Empiecen diciendo 0 centésimos es igual a 0. ¿Comenzamos?
Muestre las fracciones y los números decimales equivalentes en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.
0 100 es igual a 0, 1 100 es igual a 0.01…, 9 100 es igual a 0.09, 10 100 es igual a 0.1
Intercambio con la pizarra blanca: Centésimos escritos de tres maneras
La clase identifica un número mayor que 1 representado con discos de valor posicional y, luego, escribe el número usando las formas unitaria, fraccionaria y decimal para desarrollar fluidez con la lectura y escritura de los centésimos como números decimales.
Muestre 1 unidad y 2 centésimos representados con discos de valor posicional.
En forma unitaria, ¿qué número está representado? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 unidad y 2 centésimos
Muestre la respuesta.
Escriban 1 unidad y 2 centésimos en forma fraccionaria y en forma decimal. Registren las formas equivalentes como un enunciado con signos igual.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre las respuestas.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
3 unidades y 6 centésimos 1 unidad, 2 décimos y 4 centésimos
2 unidades, 5 décimos y 1 centésimo
3 unidades, 7 décimos y 2 centésimos
Respuesta a coro: 1 centésimo más, 1 centésimo menos
La clase determina 1 centésimo más y 1 centésimo menos que un número para desarrollar la comprensión del valor posicional.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el enunciado.
1 centésimo más que 0.05 es . 0.06
Muestre la respuesta y, luego, muestre el siguiente enunciado.
1 centésimo menos que 0.05 es . 0.04
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
1 centésimo más que 0.05 es 0.06
1 centésimo menos que 0.05 es 0.04 . .
1 centésimo menos que 0.08 es 0.07.
1 centésimo más que 0.08 es 0.09. 0.05 es 0.01 más que 0.04. 0.03 es 0.01 menos que 0.04
0.08 es 0.01 menos que 0.09. 0.1 es 0.01 más que 0.09
Presentar
La clase examina tres representaciones de la misma cantidad de dinero y comenta la relación de las representaciones con las unidades de valor posicional.
Muestre cada una de las imágenes en las que se ve $1.28.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del valor total del dinero en cada imagen y cómo están representadas las cantidades. Recorra el salón de clases mientras las parejas conversan y proporcione apoyo según sea necesario. Preste atención a las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento acerca de las unidades de valor posicional y el valor total de los billetes y las monedas en cada imagen.
¿En qué se parece el dinero en las tres imágenes?
Cada imagen muestra la misma cantidad de dinero, $1.28. Los billetes y las monedas están organizados de manera que nos resulte más fácil determinar la cantidad total. Veo pennies en grupos de 5 y pennies en filas de 10.
¿En qué se diferencia el dinero en las tres imágenes?
Hay diferentes combinaciones de billetes y monedas.
Una imagen muestra dimes y pennies. Una imagen muestra un billete de un dólar y pennies. Una imagen muestra un billete de un dólar, dimes y pennies.
Dos de las cantidades se muestran usando dos unidades. Una de las cantidades usa tres unidades.
Dos de las cantidades muestran más de 10 de una unidad que se podría componer para formar una unidad más grande.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere activar los conocimientos previos de sus estudiantes sobre los valores de las monedas mostrando una imagen de cada tipo de moneda que se usa comúnmente en los Estados Unidos. Dé tiempo para que comenten lo que saben acerca de la moneda, como su nombre, su valor y la relación con 1 dólar.
Escriba $1.28.
¿Qué manera de representar $1.28 creen que es más útil para que alguien determine la cantidad total?
Creo que es útil representar 1 dólar usando la unidad más grande posible: el billete de un dólar. Es más difícil ver 1 dólar cuando está representado como 10 dimes.
El billete de un dólar y los 28 pennies me recuerdan a cómo leemos la cantidad. 28 pennies representan los 28 centavos, pero ver 28 centavos con dimes y pennies hace que sea más útil contar.
Mostrar tres unidades parece más útil porque podemos ver cómo está representado cada dígito en la cantidad por un billete o una moneda.
Cada imagen muestra una cantidad de $1.28. Cuando se representa $1.28 como 1 billete de un dólar, 2 dimes y 8 pennies, podemos ver una conexión entre cada dígito y su unidad de valor posicional.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la conexión entre cada dígito y su unidad de valor posicional.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, representaremos números decimales en forma desarrollada observando cada dígito en un número y usando la comprensión del valor posicional.
Aprender
Valor de cada dígito
Materiales: M/E) Discos
La clase representa un número decimal usando discos de valor posicional y registrando el valor de cada dígito en forma desarrollada.
Use discos de valor posicional para representar 1.28. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Muestre un disco de una unidad y haga las siguientes preguntas.
¿Qué valor posicional representa este disco?
Unidades
¿Cuál es el valor del disco? Díganlo en forma unitaria.
1 unidad
Escriba 1 unidad debajo del disco de una unidad. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Muestre un disco de un décimo.
¿Qué valor posicional representa este disco?
Décimos
¿Cuál es el valor del disco?
1 décimo
¿Cuál es el valor total representado por los discos de un décimo?
2 décimos
Escriba 2 décimos en forma unitaria debajo de los discos de un décimo. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Repita la actividad para los centésimos.
Hallemos el valor total de los discos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando utiliza la relación entre los billetes de un dólar, los dimes y los pennies para comprender la forma desarrollada de los números decimales.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿De qué manera la relación entre los billetes de un dólar, los dimes y los pennies les ayuda a comprender los números decimales escritos en forma desarrollada?
• ¿Qué les indica la forma desarrollada sobre el valor de $1.28?
Diferenciación: Apoyo
Para ayudar a sus estudiantes a escribir la forma desarrollada, considere repasar la forma desarrollada con números enteros del módulo 1.
Escriba signos de suma entre las unidades de valor posicional.
¿Cuál es el valor de 1 unidad, 2 décimos y 8 centésimos?
1.28
Escriba 1.28 arriba de los discos. Invite a sus estudiantes a escribir los signos de suma y 1.28.
Usemos la expresión escrita en forma unitaria como ayuda para escribir una expresión en forma fraccionaria y una expresión en forma decimal.
Guíe a sus estudiantes para que escriban la expresión usando la forma fraccionaria. Registre la expresión en forma fraccionaria debajo de la expresión escrita en forma unitaria. Luego, repita el proceso para escribir la expresión en forma decimal.
¿Qué relación hay entre el número de discos de cada valor posicional y el número escrito debajo de cada uno de ellos?
Es el mismo número. Por ejemplo, hay 2 discos de un décimo y se muestra 2 décimos en cada una de las expresiones.
Representan la misma cantidad de cada unidad de valor posicional. Por ejemplo, 8 centésimos, 8 100 y 0.08 son tres maneras de mostrar el valor de los centésimos.
Cada expresión muestra 1.28 escrito en forma desarrollada. Escribimos el valor de cada dígito usando la forma unitaria, la forma decimal o la forma fraccionaria.
Invite a sus estudiantes a usar discos de valor posicional para representar 12.41.
Pídales que escriban 12.41 en forma desarrollada usando la forma unitaria.
Forme parejas de estudiantes. Cada estudiante A escribe 12.41 en forma desarrollada usando la forma fraccionaria. Cada estudiante B escribe 12.41 en forma desarrollada usando la forma decimal.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere aclarar el significado de los términos que se usan en las diferentes formas de expresar los números. Cree y muestre una tabla que relacione las semejanzas de las formas entre los números enteros y los números decimales.
Nota para la enseñanza
La clase está familiarizada con la representación de números enteros en forma desarrollada desde grados anteriores. En esta lección, se extiende ese trabajo representando los números decimales en forma desarrollada.
La forma desarrollada prepara a sus estudiantes para aislar las unidades de valor posicional a fin de comparar los números decimales en el siguiente tema. En 5.o grado, se representan los números decimales hasta los milésimos en forma desarrollada.
Invite a las parejas de estudiantes a reunirse y conversar con otra pareja acerca de cómo saben que las tres maneras de expresar el número en forma desarrollada son correctas.
Repita el proceso con 26.03. Esta vez, cada estudiante A usa la forma fraccionaria y cada estudiante B usa la forma decimal.
¿Cuál es el valor de los décimos? ¿Cómo lo saben?
El valor de los décimos es 0. Hay 0 décimos. Lo sabemos porque hay un 0 en la posición de los décimos del número. No usamos ningún disco de un décimo.
¿Representaron 0 décimos en forma desarrollada?
Sí, escribimos 0.0 y 0 10 como ayuda para llevar la cuenta de las unidades de valor posicional en orden de la más grande a la más pequeña.
No, sabemos que en la forma desarrollada no necesitamos registrar 0 de una unidad de valor posicional.
Si hay 0 décimos, ¿necesitamos registrar un 0 cuando escribimos el número decimal que representa los discos? ¿Por qué?
Sí, porque de otra manera podríamos escribir el 3 que representa los centésimos en la posición de los décimos.
Sí, porque hay más unidades de valor posicional que mostrar a la derecha del punto decimal.
Tenemos que escribir un 0 en la posición de los décimos de tal manera que el 3 represente 3 100 y no 3 __ 10 .
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué no se escribe un 0 en la posición de las centenas para 26.03.
El valor posicional más grande en el número son las decenas. No necesitamos representar posiciones más grandes que las decenas. Colocar un 0 en la posición de las centenas no cambia el número.
DUA: Representación
La expresión de los números decimales en forma desarrollada usando la forma decimal y la forma fraccionaria refuerza el valor de los décimos y los centésimos. Considere invitar a sus estudiantes a seleccionar la forma que les parezca más apropiada.
Nota para la enseñanza
Al expresar un número en forma decimal, cada dígito representa un valor basándose en su ubicación o posición. Al expresar un número en forma desarrollada, no es necesario incluir el 0 como marcador de posición. Considere incluir todos los valores posicionales al principio y anime a sus estudiantes a quitar el 0 a medida que ganan confianza expresando los números decimales en forma desarrollada.
Números decimales en forma desarrollada
Materiales: M) Tarjetas de valor posicional
La clase expresa el valor de cada dígito en un número decimal para escribir el número en forma desarrollada usando la forma fraccionaria y la forma decimal.
Muestre 2.54 usando las tarjetas de valor posicional. Separe las tarjetas para mostrar 2, 0.5 y 0.04.
¿Cuál es el valor del 2? ¿Y del 5? ¿Y del 4?
2 unidades
5 décimos
4 centésimos
¿Cómo muestran las tarjetas la forma desarrollada?
Al separar las tarjetas, cada una muestra el valor de cada dígito del número. Cuando se juntan las tarjetas, vemos el número total.
Muestre una imagen de la tabla de valor posicional con el número 2.54.
¿Qué número está representado en la tabla de valor posicional?
2.54
Es el mismo número que el que está en las tarjetas.
0.04 0.5 2
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la tabla de valor posicional muestra el valor de cada dígito de 2.54.
Vuelva a juntar las tarjetas de valor posicional para mostrar a sus estudiantes el número 2.54.
Pida a sus estudiantes que digan el número a su pareja de trabajo. Luego, pida a las parejas que usen la forma unitaria, la forma decimal o la forma fraccionaria para escribir 2.54 en forma desarrollada.
Seleccione a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su trabajo.
Invite a las parejas de estudiantes a crear su propio número y a representarlo en forma desarrollada. Proporcione un dado o tarjetas numéricas y una tabla de valor posicional que incluya desde las decenas hasta los centésimos. Cada estudiante A debe lanzar un dado o seleccionar una tarjeta para cada dígito que quiera representar. Luego, cada estudiante B debe escribir el número en forma desarrollada. Cada estudiante A puede hacer preguntas a su pareja como “¿Qué número representa el 9 en la posición de los décimos?”. Luego, pídales que intercambien roles y jueguen de nuevo. En la siguiente ronda, invite a las parejas de estudiantes a colocar un cero en cualquiera de las posiciones.
DUA: Acción y expresión
Considere apoyar a sus estudiantes proporcionando discos de valor posicional para que representen de manera concreta cada número. Después de que sus estudiantes hayan colocado los discos para una unidad de valor posicional, pídales que digan el valor y que, luego, escriban el valor de esos discos en forma unitaria.
Repita la actividad con 4.97.
Décimos Centésimos Unidades
+ 9 décimos + 7 centésimos
Muestre una imagen de la tabla de valor posicional con el número 28.8.
Señale cada unidad de valor posicional y pida a sus estudiantes que digan el valor del dígito.
Invite a sus estudiantes a escribir el número en forma desarrollada usando la forma decimal, la forma fraccionaria o la forma unitaria.
Pídales que busquen a alguien que haya escrito el número usando una forma diferente y que comparen su trabajo.
¿Cómo representa su expresión los diferentes valores del dígito 8?
El dígito 8 representa 8 unidades y 8 décimos en este número. Escribí 8 unidades como 8 y escribí 8 décimos en forma decimal como 0.8.
Escribí 8 unidades como 8. Escribí 8 décimos en forma fraccionaria como 8 __ 10 para mostrar que el dígito 8 tiene diferentes valores porque se escribe en diferentes posiciones en el número.
Cuando escribí el número en forma desarrollada, escribirlo en forma unitaria me ayudó a ver que el valor del dígito 8 es diferente dependiendo de su posición en el número.
Repita la actividad con 29.04.
Unidades Décimos Centésimos Decenas
90 4 2
20 + 9 + 0.04
20 + 9 + 4 100
2 decenas + 9 unidades + 4 centésimos
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la tabla de valor posicional e imaginar las tarjetas de valor posicional les puede ayudar a escribir un número en forma desarrollada.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Materiales: M) Tarjetas de valor posicional
Objetivo: Representar números decimales en forma desarrollada
Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación acerca de la forma desarrollada y el valor de los dígitos en los números decimales.
¿Cuáles son las diferentes maneras en que podemos representar los números decimales en forma desarrollada?
Podemos escribir la forma desarrollada usando la forma unitaria, la forma decimal o la forma fraccionaria. Todas las formas del mismo número tienen el mismo valor.
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a quienes puedan ir más allá que escriban números decimales en forma desarrollada usando la multiplicación y la suma. Por ejemplo, 4.97 se puede escribir en forma desarrollada como (4 × 1) + (9 × 1 10 ) + (7 × 1 100 ).
El valor de cada dígito se escribe como el número de unidades de valor posicional multiplicado por el valor de esa unidad. Los paréntesis pueden ayudar a visualizar cada agrupación. Sin embargo, no son necesarios para registrar la expresión correctamente.
¿De qué manera las tarjetas de valor posicional y la tabla de valor posicional nos pueden ayudar a escribir un número en forma desarrollada?
Cuando separamos las tarjetas de valor posicional, podemos ver el valor de cada dígito en el número. Podemos imaginar un número en las tarjetas de valor posicional como ayuda para pensar en el valor de cada dígito.
La tabla de valor posicional nos puede ayudar porque tiene los nombres de cada valor posicional. Cuando vemos un 6 en los centésimos, podemos decir el número y el nombre de la unidad de valor posicional. Luego, podemos escribir el número en forma decimal o en forma fraccionaria.
Muestre 549 usando las tarjetas de valor posicional. Separe las tarjetas para mostrar 500, 40 y 9.
¿Qué número se muestra en las tarjetas de valor posicional?
549
¿Cuál es el valor del 5? ¿Y del 4? ¿Y del 9?
5 centenas
4 decenas
9 unidades
50 0 40 9
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar de qué manera escribir o pensar en un número como 549 en forma desarrollada podría ser útil al redondear los números, al comparar los números o al sumar, restar, multiplicar o dividir los números.
Usamos el valor de los dígitos cuando redondeamos. Por ejemplo, si necesitamos redondear 549 a la centena más cercana, podemos ver que hay 5 centenas en 549. 1 centena más es 600, entonces sabemos que 549 está entre 500 y 600.
Cuando comparamos los números, miramos el valor de los dígitos en cada posición. Por ejemplo, si comparamos 549 y 525, vemos que los dos números tienen 5 centenas. Luego, miramos el valor de las decenas en cada número. Hay 2 decenas en 525 y 4 decenas en 549, entonces sabemos que 549 es mayor que 525.
Usamos el valor de cada dígito cuando sumamos. Por ejemplo, si sumamos 549 a otro número, sumamos las unidades, luego, las decenas y, por último, las centenas.
Muestre 5.49 usando las tarjetas de valor posicional.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca por qué escribir o pensar en un número como 5.49 en forma desarrollada podría resultarles útil mientras aprenden más sobre los números decimales.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
0.09 0.4 5
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Escribe cada número en forma desarrollada. Usa la forma decimal o la forma fraccionaria.
Escribe el valor de cada dígito. Usa la forma decimal.
Usa la tabla de valor posicional para completar cada enunciado. Expresa el valor de cada dígito en forma decimal.
11. Unidades Décimos Centésimos Decenas
92 5
a. El dígito 9 está en la posición de las unidades. Tiene un valor de 9
b. El dígito 2 está en la posición de los décimos. Tiene un valor de 0.2
c. El dígito 5 está en la posición de los centésimos. Tiene un valor de 0.05
12. Unidades Décimos Centésimos Decenas
07 6 4
a. El dígito 4 está en la posición de las decenas . Tiene un valor de 40
b. El dígito 0 está en la posición de las unidades . Tiene un valor de 0
c. El dígito 7 está en la posición de los décimos . Tiene un valor de 0.7 .
d. El dígito 6 está en la posición de los centésimos . Tiene un valor de 0.06
Tema C
Comparación de números decimales
En el tema C, la clase compara números decimales con decenas, unidades, décimos y centésimos formando unidades semejantes y usando el valor de cada dígito en los números. Registran la comparación usando >, = o <.
Al comienzo del tema, sus estudiantes comparan las medidas de objetos del mundo real expresadas como números decimales menores que 1. Usan lo que saben sobre la comparación de números enteros y fracciones para seleccionar un modelo conocido de su preferencia, como un diagrama de cinta, una recta numérica o un modelo de área, a fin de representar cada medida. Usan el lenguaje conocido de mayor que, igual a o menor que para comparar medidas. Justifican sus comparaciones, comparten los métodos y establecen conexiones entre los métodos.
Al comparar números decimales, sus estudiantes usan modelos de área, rectas numéricas y discos de valor posicional para razonar acerca del tamaño de los números. También usan la forma unitaria o la forma fraccionaria de los números. El uso de diferentes representaciones y formas permite a sus estudiantes pensar en el valor de cada dígito o en el valor de los décimos y los centésimos como centésimos para comparar los números decimales. Por ejemplo, escribir 0.79 como 7 décimos y 9 centésimos, y escribir 0.9 como 9 décimos puede ayudarles a razonar que 0.79 es menor que 0.9 porque 7 décimos es menor que 9 décimos. Del mismo modo, sus estudiantes pueden escribir 0.79 y 0.9 en forma fraccionaria usando unidades semejantes (es decir, centésimos) para comparar los números. 79 100 es menor que 90 100 . Al comparar números mayores que 1, continúan usando el valor posicional y el valor de cada dígito. Primero, comparan las unidades de valor posicional más grandes, como las decenas y las unidades, antes de comparar los décimos y los centésimos.
Luego, la clase avanza hacia la eficiencia y el razonamiento para comparar y ordenar tres o cuatro números usando estrategias de cálculo mental. Los números se presentan en tarjetas y sus estudiantes usan lo que saben sobre la recta numérica y el valor posicional para ordenarlos. Los números de las tarjetas están escritos en forma fraccionaria y en forma decimal, lo que invita a sus estudiantes a pensar con flexibilidad en lo que saben acerca del tamaño de las unidades de valor posicional.
En el tema D, la clase suma números con décimos y centésimos.
Progresión de las lecciones
Lección 9
Comparar medidas expresadas como números decimales
1 1
Cuando me dan las medidas de los objetos, como la altura de las plantas, puedo pensar en el tamaño de los números que representan las medidas y decidir qué número es mayor y cuál es menor. Esto me puede ayudar a hacer enunciados de comparación sobre los objetos y a decir qué objeto es más alto o más bajo. Los métodos que uso para comparar fracciones, como dibujar un modelo de área, expresar el número en forma unitaria o razonar sobre el número de unidades semejantes, también se pueden usar para comparar números decimales.
Lección 10
Usar representaciones pictóricas para comparar números decimales
Puedo representar números decimales de manera pictórica como ayuda para pensar en el tamaño de las unidades de valor posicional y el valor de los dígitos. Luego, puedo comparar los números. Cuando comparo 1.5 y 1.56 en una recta numérica, veo que 1.56 es 6 centésimos mayor que 1.5. Un modelo de área y los discos de valor posicional también me pueden ayudar a comparar los números.
Lección 11
Comparar y ordenar números decimales
Puedo comparar y ordenar números decimales y fracciones decimales de manera parecida a como comparo y ordeno números enteros y fracciones. Pienso en el tamaño de las unidades de valor posicional y el valor de los dígitos como ayuda para comparar los números.
Comparar medidas expresadas como números decimales
Vistazo a la lección
Usa las balanzas para completar las partes (a) y (b).
a. Escribe la masa de cada paquete en la tabla.
Paquete Masa del paquete (kilogramos)
A 0.15
B 0.48
C 0.32
b. Completa los enunciados usando las palabras más pesado que o más liviano que
El paquete A es más liviano que el paquete B.
El paquete B es más pesado que el paquete C.
La clase compara medidas expresadas como números decimales. Las imágenes y los modelos les ayudan a usar lo que saben sobre la comparación de números enteros y fracciones para seleccionar una estrategia a fin de comparar números decimales. Usan palabras y signos para hacer enunciados de comparación.
Pregunta clave
• ¿Qué estrategias para comparar números enteros y fracciones se pueden usar para comparar números decimales?
Criterio de logro académico
4.Mód5.CLA4 Comparan dos números decimales hasta los centésimos y justifican las conclusiones. (4.NF.C.7)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Comparar centésimos
• Comparar décimos y centésimos
• Comparar tres medidas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Diagramas de cinta, modelos de área y recta numérica en blanco (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Diagramas de cinta, modelos de área y recta numérica en blanco (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Diagramas de cinta, modelos de área y recta numérica en blanco de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar con números mixtos
La clase suma un número mixto y una fracción para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 4 de sumar números mixtos con unidades semejantes.
Muestre 11 8 + 1 8 = .
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes
La clase genera una fracción equivalente para una fracción unitaria mediante la multiplicación a fin de adquirir fluidez con la equivalencia de fracciones, presentada en el módulo 4.
Muestre 1 _ 2 = 4 .
Escriban y completen la ecuación para mostrar una fracción equivalente.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase observa y se pregunta sobre posibles situaciones de comparación en un contexto del mundo real.
Reúna a la clase y presente el contexto del video Huerta comunitaria. Explique que las personas que aparecen en el video llegan a la huerta comunitaria para comprobar cómo está.
Reproduzca la primera parte del video. Páuselo después de ver lo que hay en la huerta.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué podrían medir y comparar en la huerta el niño y la niña del video.
Podrían medir la altura de las plantas.
Podrían medir el tamaño de las frutas y verduras.
Podrían medir el peso de las frutas y verduras.
Podrían comparar las medidas que tomaron anteriormente para ver cuánto ha crecido una planta.
Podrían comparar la cantidad de agua que reciben las diferentes plantas.
Continúe reproduciendo el video.
Invite a sus estudiantes a compartir lo que observan y se preguntan sobre el video. Enfóquese en las respuestas que distinguen las diferencias entre los tamaños de las plantas y las cantidades de agua. Destaque las respuestas en las que sus estudiantes se preguntan sobre los tipos de medidas y las comparan.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, compararemos medidas que están expresadas con números decimales.
Aprender
Comparar centésimos
Materiales: E) Diagramas de cinta, modelos de área y recta numérica en blanco
La clase elige una estrategia para comparar centésimos y analiza otras estrategias.
Forme parejas de estudiantes.
Pida a un o una integrante de la pareja que retire la hoja extraíble de Diagramas de cinta, modelos de área y recta numérica en blanco de sus libros y la inserte en sus pizarras blancas.
Muestre la imagen de las plantas de acelga y de bok choy.
Dé a las parejas 2 minutos para comparar la altura de las plantas.
Pida a sus estudiantes que justifiquen su comparación usando uno de los modelos y escribiendo un enunciado de comparación.
Pueden registrar los números de distintas maneras, como en forma decimal, en forma fraccionaria, en forma unitaria o en forma desarrollada.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Seleccione a dos parejas para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
Guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre la comprensión de las unidades de valor posicional de los dígitos.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anime a la clase a hacer sus propias preguntas.
Nota para la enseñanza
Use esta lección como evaluación formativa para analizar cómo aborda cada estudiante los problemas de comparación. La siguiente lección presenta nuevos métodos de comparación.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando compara la altura, el volumen líquido o la masa de objetos representando y comparando matemáticamente sus medidas en forma decimal.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿De qué manera sus modelos representan este problema?
• ¿Qué les indican sus enunciados de comparación sobre la altura de las plantas?
• ¿Sus respuestas tienen sentido en este contexto?
Diagrama de cinta (método de Carla y Adam)
Carla y Adam, ¿cómo representaron la comparación?
Usamos un diagrama de cinta para cada medida. Para sombrear 0.32, tuvimos que sombrear 3 décimos, descomponer el siguiente décimo en centésimos y, luego, sombrear 2 centésimos más. 0.09 tiene 0 décimos, entonces sabemos que 0.32 metros es mayor que 0.09 metros.
0.32 metros es mayor que 0.09 metros.
¿Qué enunciado de comparación usaron para comparar las dos alturas?
0.32 metros es mayor que 0.09 metros.
Expresar como fracciones decimales (método de Deepa e Iván)
Deepa e Iván, ¿cómo representaron la comparación?
Escribimos cada altura en forma fraccionaria. La unidad de las dos fracciones son los centésimos, entonces pudimos comparar el número de centésimos. 9 es menor que 32. Entonces, 9 centésimos es menor que 32 centésimos.
Nota
para la enseñanza
Antes de pedir a sus estudiantes que usen un signo para comparar las cantidades, permítales usar un lenguaje conocido que se ajuste al contexto para hacer la comparación. Esto puede ayudarles a establecer una relación con lo que ya saben. 0.32 = 0.09 metros es menor que 0.32 metros.
¿Qué enunciado de comparación usaron para comparar las dos alturas?
0.09 metros es menor que 0.32 metros.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo usaron las unidades de valor posicional para comparar los números decimales.
0.32 tiene 3 décimos y 0.09 tiene 0 décimos. Entonces, sabemos que 0.32 es mayor porque los décimos son una unidad más grande que los centésimos. Pensamos en los dos números con los centésimos como unidad de valor posicional. 32 centésimos es mayor que 9 centésimos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere crear un banco de palabras que sus estudiantes puedan usar para comparar los objetos. Algunas palabras posibles para incluir son:
• más alto, más alta, más bajo, más baja
• más, menos
• más pesado, más pesada, más liviano, más liviana
Comparar décimos y centésimos
La clase elige una estrategia para comparar décimos y centésimos y analiza otras estrategias.
Muestre las imágenes de las regaderas. Las plantas se riegan con la cantidad de agua que se muestra.
Dé a las parejas 2 minutos para comparar las cantidades de agua y decidir qué cantidad es menor. Pida a sus estudiantes que justifiquen su comparación usando uno de los modelos y escribiendo un enunciado de comparación. Pueden registrar los números de distintas maneras, como en forma decimal, en forma fraccionaria, en forma unitaria o en forma desarrollada.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Seleccione a dos parejas para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
Guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre cómo comparar los décimos con los centésimos.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anime a la clase a hacer sus propias preguntas.
DUA: Acción y expresión
Después de pedir a sus estudiantes que comparen las cantidades de agua, considere hacer las siguientes preguntas para promover la planificación estratégica:
• ¿Qué me indica mi dibujo?
• ¿Cómo he resuelto antes un problema con diferentes unidades de valor posicional?
• ¿Qué estrategias puedo usar para resolver este tipo de problemas?
Modelo de área (método de James y Luke)
James y Luke, ¿cómo representaron la comparación?
Usamos modelos de área. Sabemos que 10 centésimos es equivalente a 1 décimo, entonces sombreamos 90 centésimos para mostrar 9 décimos. Sombreamos 47 centésimos del otro modelo de área.
¿Cómo les ayudó el modelo de área a comparar?
Vimos que 9 décimos, o 90 centésimos, sombreados eran más que 47 centésimos sombreados. Entonces, sabemos que 0.90 litros de agua es mayor que 0.47 litros de agua.
¿Qué enunciado usaron para comparar las dos cantidades de agua?
0.90 litros es mayor que 0.47 litros.
Comparar con puntos de referencia (método de Eva y Jayla)
Eva y Jayla, ¿cómo representaron la comparación?
Vimos que las cantidades están cerca de puntos de referencia que nos podrían ayudar a comparar.
Usamos una recta numérica para mostrar que 0.9 está cerca de 1, y 0.47 es menor que 0.50, o que el punto medio entre 0 y 1. Entonces, sabemos que 0.47 es menor que 0.9.
0.9 litros es mayor que 0.47 litros. 1 0 0.50 0.47 0.9 0.47 litros es menor que 0.9 litros.
¿Qué enunciado usaron para comparar las dos cantidades de agua?
0.47 litros es menor que 0.9 litros.
Muestre esquemas de oración y pida a sus estudiantes que los completen. Luego, pídales que registren cada comparación usando el signo mayor que o menor que.
0.9 L > 0.47 L es mayor que . 0.47 L < 0.9 L es meno r que .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo compartido y su trabajo.
Comparar tres medidas
La clase escribe enunciados de comparación para comparar tres medidas y elige una estrategia para justificar la comparación.
Muestre la imagen de las bayas.
Dé a las parejas 3 minutos para que usen palabras o signos a fin de escribir tantos enunciados de comparación como puedan sobre la masa de las bayas. Pida a sus estudiantes que muestren el trabajo para justificar cada enunciado. Pídales que justifiquen sus comparaciones usando uno de los modelos. Pueden registrar los números de distintas maneras, como en forma decimal, en forma fraccionaria, en forma unitaria o en forma desarrollada.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Seleccione a dos parejas para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
Guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que exprese los números decimales en diferentes formas.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anime a la clase a hacer sus propias preguntas.
Expresar como centésimos (método de Liz y Ray)
Liz y Ray, ¿cómo registraron las tres medidas?
Escribimos los números como fracciones decimales con los centésimos para poder comparar los tres números de centésimos. Nos resultó fácil escribir 0.41 y 0.12 en forma fraccionaria porque, cuando leemos el número decimal, decimos centésimos. Luego, pensamos en 3 10 como 30 100 .
¿Qué enunciado de comparación usaron? ¿Cómo saben que es verdadero?
0.12 kg es menor que 0.3 kg porque 12 100 es menor que 30 100 .
DUA: Representación
Considere presentar la información en otro formato ofreciendo a sus estudiantes objetos concretos. Mida un grupo de elementos relacionados que se encuentren en el salón de clases. Use una regla de un metro para medir la altura de los escritorios, las sillas o los taburetes. De ser posible, use una balanza o un vaso de precipitado para medir la masa o la capacidad.
Diferenciación: Apoyo
Es posible que sus estudiantes deseen comparar contando los dígitos del número porque han comprobado que esa estrategia es efectiva al comparar números enteros. Por ejemplo, 231 > 43 porque 231 tiene tres dígitos y 43 tiene dos dígitos. Esta estrategia no funciona con los números decimales. Por ejemplo, 0.12 no es mayor que 0.3 aunque 0.12 se registra con tres dígitos y 0.3 con dos dígitos. Anime a sus estudiantes a usar la forma fraccionaria y la forma unitaria para registrar las cantidades. Luego, pídales que representen las cantidades usando un modelo de área, una recta numérica o un diagrama de cinta para justificar la comparación.
Forma unitaria (método de Shen y Zara)
Shen y Zara, ¿cómo representaron cada masa?
¿De qué manera eso les ayudó a comparar?
Escribimos cada número en forma unitaria. Sabemos que los décimos son una unidad más grande que los centésimos, entonces solo comparamos los décimos de cada cantidad.
¿Qué enunciado de comparación usaron? ¿Cómo saben que es verdadero?
0.41 kg > 0.3 kg porque 4 décimos es mayor que 3 décimos.
0.41 = 4 décimos y 1 centésimo
0.3 3 = 3 décimos
0. 12 = 1 décimo y 2 centésimos nt 0.41 kg > 0.3 kg 0. 12 kg < 0.3 kg
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué escribir los números decimales en diferentes formas les puede ayudar a comparar.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Comparar medidas expresadas como números decimales
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de las estrategias de comparación de medidas expresadas como números decimales.
¿Qué estrategias usaron para comparar medidas expresadas en forma decimal?
Sombreé modelos para comparar el tamaño de los números.
Usé unidades de valor posicional. Primero, comparé las unidades de valor posicional más grandes.
Usé números de referencia para comparar las medidas.
¿En qué se parecen esas estrategias a las que usan para comparar números enteros y fracciones?
Cuando comparo números enteros, uso unidades de valor posicional.
Cuando comparo fracciones, me gusta usar números de referencia.
Comparo el tamaño y el número de unidades cuando comparo fracciones.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Escribe las longitudes de las partes sombreadas en forma decimal. Luego, completa el enunciado.
3. Usa las balanzas para completar las partes (a) a (c).
Uvas Lechuga Zanahorias Bananas
a. Escribe una X sobre los elementos que son más livianos que la lechuga.
b. Escribe la masa de cada elemento en la tabla.
Alimento Masa del alimento (kilogramos)
Uvas 0.17
Lechuga 0.41
Zanahorias 0.4
Bananas 0.71
c. Completa los enunciados usando las palabras más pesada(s) que o más liviana(s) que.
Las uvas son más livianas que las bananas.
La lechuga es más pesada que las zanahorias.
4. Usa las probetas para completar las partes (a) y (b).
Completa la tabla escribiendo el volumen líquido del agua en cada probeta.
EUREKA MATH
Cada modelo de área representa 1.
Usar representaciones pictóricas para comparar números decimales
Vistazo a la lección
1. Usa >, = o < para comparar los números.
2. Usa >, = o < para comparar los números. Ubica los números en la recta numérica como ayuda.
La clase representa y compara números decimales sombreando modelos de área y usando discos de valor posicional. En cada comparación, razonan acerca del tamaño de las unidades de valor posicional y el número de cada una de ellas. Cuentan los décimos y los centésimos en una recta numérica para ubicar y comparar números mayores que 1.
Pregunta clave
• ¿De qué maneras podemos usar las unidades de valor posicional para comparar números decimales?
Criterio de logro académico
4.Mód5.CLA4 Comparan dos números decimales hasta los centésimos y justifican las conclusiones. (4.NF.C.7)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Comparar usando un modelo de área
• Comparar usando discos de valor posicional
• Comparar usando una recta numérica
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• afiches preparados con antelación
• set de discos de decimales
• Modelos de área y recta numérica (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Modelos de área y recta numérica (en el libro para estudiantes)
• set de discos de decimales
Preparación de la lección
• Prepare cuatro afiches: uno que diga Modelo de área, uno que diga Diagrama de cinta, uno que diga Recta numérica y uno que diga Discos de valor posicional. Cuelgue los afiches en cuatro lugares diferentes del salón de clases.
• Reúna al menos 3 discos de una unidad, 3 discos de un décimo y 9 discos de un centésimo por estudiante y maestra o maestro.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Modelos de área y recta numérica de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Restar con números mixtos
La clase resta una fracción de un número mixto para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 4 de restar números mixtos con unidades semejantes.
Muestre 12 8 − 1 8 = .
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes
La clase genera una fracción equivalente para una fracción no unitaria mediante la multiplicación a fin de adquirir fluidez con la equivalencia de fracciones, presentada en el módulo 4.
Muestre 2 _ 3 = 6 .
Escriban y completen la ecuación para mostrar una fracción equivalente.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Materiales: M) Afiches
La clase selecciona un modelo para representar un número decimal dado.
Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes a los afiches colgados en el salón de clases que dicen Modelo de área, Diagrama de cinta, Recta numérica y Discos de valor posicional (ver Preparación de la lección).
Presente el número decimal 0.5.
Pida a sus estudiantes que se ubiquen junto al afiche que mejor describa la forma en que preferirían representar el número de manera pictórica.
Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 1 minuto para que los grupos comenten por qué lo eligieron.
Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección. Anime a quienes cambien de opinión durante la conversación a unirse a otro grupo.
Repita el proceso con 0.08 y 0.81.
Pida a sus estudiantes que regresen a sus asientos. Reflexione con toda la clase sobre cómo las representaciones pictóricas les ayudan a comprender el valor de un número decimal y si tuvieron en cuenta la eficiencia en sus elecciones.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos representaciones pictóricas para comparar números en forma decimal.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar los materiales correspondientes en cada ubicación para que sus estudiantes los usen en la rutina Tomar una postura. Poder representar el número decimal les puede ayudar a comunicar sus ideas.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante usa las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige representar un número decimal con un modelo de área, un diagrama de cinta, una recta numérica o discos de valor posicional y explica la razón de su elección.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Por qué decidieron usar la representación pictórica que hicieron?
• ¿Qué representación pictórica les sería más útil para comparar los números en forma decimal? ¿Por qué?
Aprender
Comparar usando un modelo de área
Materiales: M/E) Modelos de área y recta numérica
La clase sombrea modelos de área para representar y comparar números decimales.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Modelos de área y recta numérica de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.
Abra y muestre la actividad digital interactiva de Comparar décimos y centésimos.
Sombree el primer modelo de área para representar 0.7. Invite a la clase a hacer lo mismo. Guíe a sus estudiantes para que rotulen la cantidad sombreada en forma decimal y en forma fraccionaria.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del cambio que pueden hacer en el modelo de área para mostrar 5 décimos.
Sombree el otro modelo de área para representar 0.5. Invite a la clase a hacer lo mismo. Guíe a sus estudiantes para que rotulen la cantidad sombreada en forma decimal y en forma fraccionaria.
¿Qué número es mayor, o más grande?
7 décimos
¿Qué número es menor, o más pequeño?
5 décimos
Escriba los dos enunciados de comparación.
Usen los enunciados de comparación para comparar
7 décimos y 5 décimos.
7 décimos es mayor que 5 décimos.
5 décimos es menor que 7 décimos.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes usan las pizarras blancas para completar varias comparaciones y deben borrarlas después de cada comparación.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden usar el lenguaje relacionado con el valor posicional para explicar que 7 décimos es mayor que 5 décimos.
7 décimos es 2 décimos más que 5 décimos.
En el modelo de área para 5 décimos, están sombreados 2 décimos menos que en el modelo de área para 7 décimos. Entonces, 7 décimos es mayor que 5 décimos.
7 décimos está a 3 décimos de 1. Es mayor que el punto medio entre 0 y 1. 5 décimos es el punto medio entre 0 y 1.
Los dos números tienen la misma unidad de valor posicional: décimos. Podemos comparar el número de esa unidad de valor posicional para determinar qué número es mayor.
Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado usando un signo de comparación para comparar 7 décimos y 5 décimos.
Pueden registrar los números en forma fraccionaria, en forma decimal o en forma unitaria.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferentes maneras de registrar el enunciado.
Presente los números 0.4 y 0.40.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo sombrear los modelos de área a fin de representar los números.
Podemos sombrear 4 columnas del primer modelo de área porque se descompone en décimos.
Para el otro modelo de área, podemos descomponer los décimos en centésimos y sombrear 40 centésimos.
Podemos sombrear 4 décimos de cada modelo de área. Hay 10 centésimos en cada décimo, entonces 40 centésimos es equivalente a 4 décimos.
Pida a sus estudiantes que:
• sombreen los modelos de área para representar 0.4 y 0.40 de una manera que puedan entender;
• rotulen la cantidad sombreada en forma decimal y en forma fraccionaria y
• escriban un enunciado usando un signo de comparación para comparar los dos números.
Muestre modelos de área sombreados para representar 0.4 y 0.40
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar esquemas de oración para que sus estudiantes los consulten cuando hagan enunciados de comparación. Incluya signos de comparación para ayudarles a conectar cada signo con su significado.
Nota para la enseñanza
Permita que sus estudiantes dividan los décimos para representar los centésimos en el modelo de área de una manera que entiendan. Pueden trazar líneas para descomponer todo el modelo de área en centésimos, o pueden elegir representar décimos y descomponer solo uno de los décimos para representar los centésimos necesarios.
Invite a dos o tres estudiantes a justificar sus enunciados de comparación.
Cuando sombreé los modelos de área, pude ver que 0.4 y 0.40 es la misma cantidad. Entonces, 0.4 = 0.40.
Vi que las unidades de valor posicional no eran iguales. Expresé 4 __ 10 como 40 ___ 100 y, luego, observé que los números eran equivalentes. Entonces, 4 10 = 40 100 .
Cuando leí los números, observé que las unidades de valor posicional eran diferentes. Puedo expresar 4 décimos como 40 centésimos, o 40 centésimos como 4 décimos. Entonces, 0.4 = 0.40.
Cuando las unidades de valor posicional de los números decimales que estamos comparando son diferentes, antes de comparar, podemos expresar uno de los números con otro nombre para formar unidades semejantes.
Presente los números 0.6 y 0.06.
Pida a sus estudiantes que sombreen los modelos de área para representar cada número de una manera que puedan entender, que rotulen la cantidad sombreada en forma decimal y en forma fraccionaria, y que escriban un enunciado usando un signo de comparación para comparar los dos números.
Muestre modelos de área sombreados para representar 0.6 y 0.06.
El dígito 6 está en cada número decimal. ¿Cómo saben qué
número es mayor?
Los décimos son una unidad más grande que los centésimos, entonces 0.6 es mayor.
0.06 es menor que 1 décimo, entonces 0.6 es mayor.
Puedo expresar 0.6 como 0.60. 0.60 es mayor que 0.06, entonces 0.6 es mayor.
Presente los números 1.12 y 1.2.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian estos dos números?
Los dos tienen 1 unidad.
Los dos tienen el dígito 2, pero representa 2 centésimos en 1.12 y 2 décimos en 1.2.
Nota para la enseñanza
A medida que sus estudiantes aprenden a comparar números decimales, preste atención a los conceptos erróneos relacionados con la comparación de números enteros. Por ejemplo, puede que haya estudiantes que piensen de manera incorrecta que 0.4 < 0.40 porque 4 es menor que 40. Considere pedir a sus estudiantes que vuelvan a los modelos de área junto con el número decimal escrito en forma fraccionaria y en forma unitaria. Esto puede ayudar a mostrar que el dígito 4 tiene el mismo valor posicional, 4 décimos, en cada número.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden representar los números 1.12 y 1.2 en modelos de área para justificar una comparación de los números.
No necesitamos dibujar las unidades. Sabemos que las unidades son iguales. Podemos dibujar los décimos y los centésimos porque son diferentes. Podemos usar las partes fraccionarias para comparar los números.
Pida a sus estudiantes que representen las partes fraccionarias de 1.12 y 1.2 en sus modelos de área y que escriban un enunciado usando un signo de comparación para comparar 1.12 y 1.2.
Muestre modelos de área sombreados para representar 0.12 y 0.2.
Pida a sus estudiantes que usen los modelos de área para justificar sus enunciados.
Al comparar números enteros, 12 es mayor que 2. ¿Por qué 0.2 es mayor que 0.12?
0.2 es mayor porque es equivalente a 0.20. 20 centésimos es mayor que 12 centésimos.
0.12 solo tiene 1 décimo, que es menor que 2 décimos.
= 12
¿Cómo nos ayuda el modelo de área cuando comparamos números decimales con diferentes unidades de valor posicional?
El modelo de área nos ayuda a ver el tamaño de las unidades de valor posicional: los décimos son mayores que los centésimos.
El modelo de área nos ayuda a ver cómo se relacionan los décimos y los centésimos: 1 décimo es equivalente a 10 centésimos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuán útiles son los modelos de área para comparar números decimales.
Comparar usando discos de valor posicional
Materiales: M/E) Discos
La clase usa discos de valor posicional para representar y comparar números decimales comparando el número de cada unidad de valor posicional.
Presente los números 375 y 192.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo pueden usar el valor posicional para comparar los números.
Las centenas son la unidad de valor posicional más grande de cada número. Hay 3 centenas en 375. Solo hay 1 centena en 192, entonces 375 es mayor que 192.
Solo necesitamos comparar las centenas. No necesitamos comparar las decenas o las unidades porque las centenas son la unidad de valor posicional más grande. Entonces, 375 > 192.
Podemos pensar en los valores posicionales de los dígitos de un número como ayuda para comparar los números. Usemos discos de valor posicional para representar y comparar números decimales.
Forme parejas de estudiantes. Use una secuencia como la siguiente para ayudar a sus estudiantes a representar 2.3 con discos de valor posicional.
Señale cada dígito del número mientras hace las siguientes preguntas.
¿Qué discos podemos usar para representar el 2?
2 discos de una unidad
¿Qué discos podemos usar para representar el 3?
3 discos de un décimo
Cada estudiante A debe representar 2.3 con discos de valor posicional. Cada estudiante B debe representar 2.31 con discos de valor posicional.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian la representación de 2.31 y la de 2.3?
Los dos números tienen 2 unidades y 3 décimos.
2.31 tiene 1 centésimo y 2.3 no tiene centésimos.
DUA: Representación
Considere pedir a sus estudiantes que escriban los números decimales en forma fraccionaria junto a los discos de valor posicional. Establezca una relación entre lo que saben sobre la comparación de fracciones y el número y el tamaño de las unidades de valor posicional para comparar los números decimales. Nota para la enseñanza
Es posible que haya estudiantes que quieran representar la cantidad fraccionaria de un número de centésimos usando solo discos de un centésimo. Por ejemplo, podrían elegir representar 0.31 con 31 discos de un centésimo. Aunque esto es aceptable, probablemente no sea tan eficiente. Invite a sus estudiantes a reflexionar acerca de cómo sombrearon un modelo de área para representar 0.12. Pregunte si para representar 10 centésimos los sombrearon uno por uno o sombrearon una columna. Mediante el uso de discos, relacione el método de sus estudiantes con el que usaron para sombrear el modelo de área o el diagrama de cinta. Anímeles a representar los números usando el menor número de discos posible. Por ejemplo, 0.31 se puede representar con 3 discos de un décimo y 1 disco de un centésimo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar el valor de los discos de valor posicional para comparar los números.
¿Qué número es mayor? ¿Cómo lo saben?
2.31 es mayor que 2.3. Podemos ver que los dos números tienen el mismo número de unidades y décimos, pero 2.31 también tiene 1 centésimo.
Comparar números decimales es parecido a comparar números enteros. Podemos comparar los dígitos comenzando por la unidad de valor posicional más grande. En estos dos números, la unidad de valor posicional más grande son las unidades. Si es necesario, comparamos el valor de los dígitos en las siguientes unidades de valor posicional, los décimos y, luego, los centésimos.
Invite a sus estudiantes a escribir dos enunciados para comparar 2.3 y 2.31 usando signos de comparación. Deben usar el signo de menor que en uno de los enunciados y el signo de mayor que en el otro.
Cada estudiante A debe representar 3.31 y cada estudiante B debe representar 3.19 usando discos de valor posicional. Luego, deben escribir un enunciado usando un signo de comparación para comparar los dos números.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian las unidades de valor posicional de los dos números?
Los dos números tienen 3 unidades.
Los dos números tienen 1 de una unidad de valor posicional. Un número tiene 1 centésimo y el otro número tiene 1 décimo.
Los dos números tienen unidades, décimos y centésimos.
¿Cómo pueden usar el valor posicional para justificar sus comparaciones?
Los dos números tienen el mismo número de unidades, entonces comparé los décimos. 3.31 tiene 3 décimos. 3.19 tiene 1 décimo. 3.31 es mayor que 3.19 porque 3 décimos es mayor que 1 décimo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias de comparar dos números decimales usando discos de valor posicional y de comparar dos números usando un modelo de área.
Nota para la enseñanza
Cuando sus estudiantes comparan primero los números enteros, lo hacen representando cada número con un número de objetos que es igual a ese número. Por ejemplo, para comparar 31 y 19, podrían comparar 31 crayones con 19 crayones. De esta manera, pueden ver que 31 crayones son más que 19 crayones. Cuando trabajan con números más grandes, no es práctico usar ese método. Sus estudiantes pasan a usar otros modelos, como los discos de valor posicional, para comparar usando el valor de los objetos.
Preste atención a quienes suponen de manera incorrecta que 3.31 es menor que 3.19 porque solo se necesitan 7 discos de valor posicional para representar 3.31, pero se necesitan 13 discos de valor posicional para representar 3.19. Considere escribir los números en forma fraccionaria o en forma unitaria y usar otra representación, como el modelo de área o la recta numérica. Estas representaciones permiten demostrar cómo el valor de las unidades de valor posicional puede ser de ayuda para comparar los números.
Comparar usando una recta numérica
Materiales: M/E) Modelos de área y recta numérica
La clase ubica y compara números mayores que 1 en una recta numérica.
Pida a sus estudiantes que vayan a la recta numérica de la hoja extraíble de Modelos de área y recta numérica.
Guíe a sus estudiantes para que rotulen la primera marca de graduación como 2.0 y, luego, rotulen cada décimo hasta 2.4. Pídales que ubiquen y rotulen 2.10.
Invite a la clase a usar la rutina PensarTrabajar en parejas-Compartir para analizar cómo usar la recta numérica a fin de comparar 2.10 y 2.1. Pídales que escriban un enunciado usando un signo de comparación.
2.10 = 2.1 porque 10 centésimos es equivalente a 1 décimo.
2.10 y 2.1 comparten el mismo punto en la recta numérica. Los dos números son equivalentes.
Guíe a sus estudiantes para que rotulen la primera marca de graduación como 1.4 y, luego, rotulen cada décimo hasta 1.8.
Invite a las parejas de estudiantes a ubicar 1.56 y 1.5 en la recta numérica y a escribir un enunciado para comparar los números.
¿De qué manera ubicar los números en la recta numérica les ayudó a comparar?
Sé que 1.56 es mayor que 1.5 porque tuve que contar 6 centésimos después de 1.5 para ubicar 1.56.
Pida a sus estudiantes que rotulen la primera marca de graduación como 3.0 y rotulen cada décimo hasta 3.4.
Diferenciación: Desafío
Pida a las parejas de estudiantes que participen de un juego en el que el objetivo sea crear un número de 3 dígitos mayor o menor que el de su pareja. Para crear su número, lanzan un dado o toman tarjetas numéricas. Deben acordar el objetivo antes de comenzar a jugar. También deben acordar si sus números tendrán décimos y centésimos o solo décimos. Cuando sea su turno, cada estudiante primero lanza el dado o toma una tarjeta y, luego, decide qué posición ocupa el dígito obtenido en el número que están formando. Pueden pasar de turno una vez si obtienen un dígito que no quieren usar. Una vez que ubican el dígito en una posición, no pueden moverlo. El juego continúa hasta que cada estudiante haya completado su número. Por último, comparan los números para determinar cuál es mayor y cuál es menor.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes usan las pizarras blancas para completar varias comparaciones y deben borrarlas después de cada comparación.
Invite a las parejas de estudiantes a ubicar 3.02 y 3.2 en la recta numérica y a escribir un enunciado para comparar los números.
¿Cómo podemos usar las ubicaciones de los números en la recta numérica y sus distancias de 3 como ayuda para comparar?
Los dos números son mayores que 3. 3.02 está a 2 centésimos de distancia de 3. 3.2 está a 2 décimos de distancia de 3. Los décimos son más grandes que los centésimos, lo que significa que 3.2 está más lejos de 3. Entonces, 3.02 < 3.2.
Pida a sus estudiantes que rotulen la primera marca de graduación como 2.3 y que rotulen cada décimo hasta 2.7.
Invite a las parejas de estudiantes a ubicar 2.37 y 2.43 en la recta numérica y a escribir un enunciado para comparar los números.
¿A qué distancia de 2.4 está cada número? ¿Cómo puede eso ayudarles a comparar?
2.37 es 3 centésimos menos que 2.4. 2.43 es 3 centésimos más que 2.4. Entonces, 2.37 < 2.43.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si ubicar los décimos y los centésimos en una recta numérica les ayudó a comparar.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
DUA: Acción y expresión
Para ayudar a cada estudiante a evaluar su progreso, considere proporcionar preguntas que puedan servir como guía para la autoevaluación y la reflexión. Por ejemplo, exhiba las siguientes preguntas para que sus estudiantes las consulten mientras trabajan de forma independiente:
• ¿En qué se parece este problema a otros problemas?
• ¿Qué maneras de representar la comparación han usado antes mis pares o he usado yo?
• ¿Hay alguna estrategia diferente que me gustaría probar y que creo que funcionaría? ¿Por qué?
• ¿Cómo ha cambiado mi comprensión de la comparación?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Usar representaciones pictóricas para comparar números decimales
Reúna a la clase, pídales que tengan a mano el Grupo de problemas y guíe una conversación acerca de comparar números decimales.
En el problema 7, ¿por qué 0.79 es menor que 0.9 aunque haya más dígitos en 0.79?
Al sombrear para representar 0.9 en un modelo de área tenemos la misma cantidad que al sombrear 90 centésimos. 79 centésimos es menor que 90 centésimos.
La unidad de valor posicional más grande de los dos números son los décimos. 0.79 tiene 7 décimos y 0.9 tiene 9 décimos. 7 décimos es menor que 9 décimos, entonces 0.79 es menor que 0.9.
0.79 es menor que 0.8 y 0.9 es mayor que 0.8. El número de dígitos no nos ayuda a comparar los números decimales como sí nos ayuda con los números enteros. Necesitamos mirar el valor de los dígitos.
¿De qué maneras podemos usar las unidades de valor posicional para comparar números decimales?
Podemos comparar los números comenzando por la unidad de valor posicional más grande representada en los números.
Sabemos que los décimos son mayores que los centésimos. Si los décimos son la unidad de valor posicional más grande en los números, entonces el número con más décimos es mayor. Cuando sombreamos modelos de área para representar números decimales, podemos ver el tamaño de las unidades de valor posicional y el espacio que ocupan.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Comparar y ordenar números decimales
Usa los números para completar las partes (a) y (b).
2.36, 2.5, 2.05, 2.46
a. Escribe los números de menor a mayor.
2.05 , 2.36 , 2.46 , 2.5
b. Usa >, = o < para comparar los números.
2.36 < 2.46
2.5 > 2.05
2.46 < 2.5
Vistazo a la lección
La clase usa lo que sabe sobre ordenar fracciones para ordenar fracciones decimales y números decimales. Ordenan las fracciones y los números de menor a mayor y de mayor a menor. Comparan el dinero y las unidades de medida en contexto. Aplican su nuevo aprendizaje de la comparación y el orden de los números decimales para completar diversas tareas de comparación haciendo énfasis en las estrategias de cálculo mental.
Pregunta clave
• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre fracciones y números decimales como ayuda para ordenar números decimales?
Criterio de logro académico
4.Mód5.CLA4 Comparan dos números decimales hasta los centésimos y justifican las conclusiones. (4.NF.C.7)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Ordenar números mixtos
• Comparar en contexto
• Aplicar comparaciones
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• hilo de 8 pies
• tarjetas de índice (9)
• Tarjetas para comparar (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Tarjetas para comparar (en el libro para estudiantes)
• tijeras
Preparación de la lección
• Prepare una recta numérica interactiva colgando un hilo de manera horizontal a una altura y en una ubicación a la que toda la clase pueda acceder de manera segura.
• Prepare 3 tarjetas de índice doblándolas a la mitad y rotulando un lado de cada una con un número entero del 3 al 5. Cuelgue las tarjetas colocándolas de forma equidistante a lo largo del hilo para rotular la recta numérica con números enteros.
• Prepare 6 tarjetas de índice doblándolas a la mitad y escriba los siguientes números en el lado externo de las tarjetas:
• Considere si desea retirar las Tarjetas para comparar de los libros para estudiantes y recortarlas con antelación o si las preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar números mixtos
La clase halla una suma o una diferencia para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 4 de sumar y restar números mixtos con el mismo denominador.
Muestre
Escriban la ecuación y complétenla.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes
La clase expresa fracciones no unitarias como fracciones con unidades más grandes para adquirir fluidez con la equivalencia de fracciones, presentada en el módulo 4.
Muestre 2 _ 4 = 2 .
Escriban y completen la ecuación para mostrar una fracción equivalente.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Materiales: M) Recta numérica interactiva, tarjetas de índice preparadas con antelación
La clase justifica la ubicación de un número dado en una recta numérica.
Pida a sus estudiantes que vayan a la recta numérica interactiva.
Presente la tarjeta de índice rotulada 4 5 10 . Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde se debería ubicar la tarjeta en la recta numérica. Pida a un o una estudiante que ubique la tarjeta y que justifique la ubicación. Invite a la clase a estar de acuerdo o en desacuerdo.
Destaque el razonamiento que use la equivalencia de 5 10 y 1 2 . Repita el proceso con 3 50 100 .
Repita el proceso con las tarjetas de índice rotuladas 3 1 10 y 4 85 100 . A medida que sus estudiantes comparten sus justificaciones, destaque el razonamiento que da cuenta de la distancia a la que se encuentran los números de las tarjetas de los números enteros.
Presente las tarjetas de índice rotuladas 3.9 y 4.21. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar de qué manera determinar la ubicación de estos números en la recta numérica podría ser parecido y diferente a determinar la ubicación de los otros números. Los dos números que se acaban de ubicar en la recta numérica están en forma fraccionaria, pero estos dos números están en forma decimal. Podemos pensar en 3.9 y 4.21 en forma fraccionaria, 3 9 10 y 4 21 100 . 3.9 y 4.21 tienen unidades, décimos y centésimos. Podemos pensar en 3.9 y 4.21 como números mixtos para compararlos con las otras tarjetas. Los números decimales están cerca de los números enteros de referencia. Podemos comparar 3.9 y 4.21 con 3, 4 y 5. Esto es parecido a lo que hicimos con 3 1 10 y 4 85 100
Apoyo para la comprensión del lenguaje
La sección Compartir mi razonamiento de la Herramienta para la conversación puede apoyar a sus estudiantes mientras justifican la ubicación de una tarjeta. La sección Estar de acuerdo o en desacuerdo puede ayudarles a responder sobre la ubicación.
Nota para la enseñanza
El propósito de la actividad de la recta numérica es que sus estudiantes ubiquen los números en orden ascendente usando lo que saben sobre el tamaño de un número y su ubicación respecto de los puntos de referencia (p. ej., números enteros y medios). No es necesario ubicar las tarjetas con precisión. Apoye a sus estudiantes e invíteles a pensar en la ubicación aproximada y en si el número está ubicado de manera correcta entre otros dos números.
Invite a un o una estudiante a ubicar, un número a la vez, 3.9 y 4.21 en la recta numérica y a justificar la ubicación. Destaque el razonamiento que dé cuenta de la distancia de los números enteros.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, compararemos y ordenaremos números decimales, y justificaremos nuestras comparaciones.
Aprender
Ordenar números mixtos
Materiales: M) Recta numérica interactiva; E) Tarjetas para comparar, tijeras
La clase usa las unidades de valor posicional para ordenar los números mixtos y los números decimales.
Mientras muestra la recta numérica interactiva, invite a sus estudiantes a escribir un enunciado usando un signo de comparación para comparar 3.9 y 3 50
¿Qué enunciado escribieron? ¿Por qué?
Escribí 3.9 > 3 50 100 porque 3.9 está a solo 1 décimo de distancia de 4 y 3 50 100 está en el punto medio entre 3 y 4.
Pida a sus estudiantes que seleccionen otros dos números en la recta numérica y que escriban un enunciado usando un signo de comparación para comparar los números. Invite a dos o tres estudiantes a compartir y justificar sus enunciados. Destaque el razonamiento que relacione los números con los puntos de referencia o los números equivalentes, o el razonamiento que dé cuenta del tamaño de las unidades de valor posicional. Repita el proceso una o dos veces más.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la utilidad de ubicar los números en la recta numérica antes de realizar comparaciones múltiples.
Pida a sus estudiantes que retiren las Tarjetas para comparar de sus libros y que recorten las cuatro tarjetas rotuladas A.
¿Qué observan en los números que les ayudará a compararlos?
Observo que tienen diferentes números de unidades. El número con 0 unidades es menor que el número con 7 unidades y que los números con 8 unidades. Observo que dos números tienen un 8 en la posición de las unidades. Puedo compararlos mirando los décimos porque los décimos son una unidad de valor posicional más grande que los centésimos.
Forme parejas de estudiantes y pídales que ordenen los números de las tarjetas de menor a mayor. Pueden organizar las tarjetas de cualquier manera que les resulte útil. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Seleccione a dos o tres estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre la comparación del valor de los dígitos de los números.
Organización horizontal
Organización vertical
Diferenciación: Apoyo
Considere ayudar a sus estudiantes a comparar y ordenar los números representándolos con tarjetas de valor posicional y escribiendo cada número en forma desarrollada. Por ejemplo, muestre 8.04 y 8.2 con las tarjetas. Separe las tarjetas para mostrar el valor de cada dígito. Registre cada número en forma desarrollada para mostrar que los dos números tienen 8 unidades, pero 8.2 tiene 2 décimos y 8.04 tiene 0 décimos.
Hagamos una lista de los números en orden de menor a mayor. ¿Qué número será el primero?
¿Cómo lo saben?
0.49 será el primero porque es el único número con 0 unidades. Es el número más pequeño. Pida a sus estudiantes que escriban 0.49 como el primer número de la lista.
Coloquemos una coma después de 0.49 para separarlo del siguiente número de la lista.
Guíe a sus estudiantes para que identifiquen y escriban 7.2 como el siguiente número.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo saben cuál el orden de los dos últimos números.
Tanto 8.2 como 8.04 tienen 8 unidades. Puedo mirar la siguiente unidad, los décimos, para ver qué número tiene menos décimos. 0 décimos es menor que 2 décimos, entonces 8.04 < 8.2.
Miré el número de centésimos en cada número. Pensé en el 2 en 8.2 como 20 centésimos y en el 4 en 8.04 como 4 centésimos. 4 centésimos es menor que 20 centésimos, entonces 8.04 < 8.2.
Pida a las parejas de estudiantes que completen su lista.
¿Cómo saben que los números están escritos en orden creciente?
0.49, 7.2, 8.04, 8. 2
Podemos mirar los valores de los dígitos en los números. El primer número tiene 0 unidades y el siguiente tiene 7 unidades. Los dos últimos números tienen 8 unidades. 8.04 < 8.2 porque 8.04 no tiene décimos en la posición de los décimos.
¿Es útil la manera en la que organizaron sus tarjetas? ¿Por qué?
Organizamos nuestras tarjetas una al lado de la otra como en una recta numérica. Esto nos ayudó a escribir los números de menor a mayor.
Organizamos nuestras tarjetas alineando las unidades de valor posicional una debajo de otra. Esto nos ayudó a ordenar las tarjetas antes de hacer una lista de los números.
Pida a sus estudiantes que recorten las cuatro tarjetas rotuladas B.
Presente los números 2 31 100 , 2.1, 1.09 y 1 2 10 .
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar una estrategia con el objetivo de ordenar los números.
Podemos comparar los números expresando los décimos como centésimos y escribiendo los números en forma unitaria.
Podemos escribir los números mixtos en forma decimal o escribir los números en forma decimal como números mixtos. De esta manera podemos comparar números que están escritos en la misma forma.
Forme parejas de estudiantes y pídales que ordenen los números de las tarjetas de mayor a menor. Pueden organizar las tarjetas de cualquier manera que les resulte útil y pueden elegir escribir otras formas de los números en el frente o en el dorso de las tarjetas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Seleccione a dos o tres parejas de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre la comparación de los valores de los dígitos de los números.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar apoyo a sus estudiantes para que comprendan el significado de creciente y decreciente. A modo de ejemplo, señale la diferencia entre la luna creciente y la luna decreciente, o menguante. Señale que, en el hemisferio norte, cuando la parte luminosa de la luna está aumentando y forma una D, es una luna creciente. En cambio, cuando la parte luminosa de la luna está disminuyendo y tiene forma de C, es una luna decreciente, o menguante.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar apoyo a sus estudiantes en la creación de estrategias para comparar números mixtos y números decimales. Haga preguntas como las siguientes para que consideren diferentes estrategias:
• ¿Pueden expresar los números en la misma forma?
• ¿Cómo se pueden usar cantidades equivalentes para crear unidades semejantes?
• ¿Cómo se compararía cada número con los puntos de referencia en una recta numérica?
Hagamos una lista de los números en orden de mayor a menor. ¿Qué número será el primero?
¿Cómo lo saben?
2 31 100 será el primero. Es el número más grande porque 2 unidades es más que 1 unidad y 31 centésimos es más que 10 centésimos, o 1 décimo.
Pida a sus estudiantes que registren 2 31 100 como el primer número de la lista.
Dé a las parejas 1 minuto para que completen sus listas mostrando los números en orden de mayor a menor y separando los números con comas.
¿Cómo saben que los números están escritos en orden decreciente?
Primero, ordenamos los números según los valores de las unidades. Luego, expresamos los décimos como centésimos y pensamos en el número de centésimos de cada número. Como 31 centésimos es mayor que 10 centésimos, sabemos que 2.31 > 2.1. Como 20 centésimos es mayor que 9 centésimos, sabemos que 1 2 10 > 1.09. Escribimos los números mixtos en forma decimal. Cuando las tarjetas están alineadas verticalmente, podemos ver los números en cada valor posicional. Comenzamos con las unidades y, luego, miramos los décimos para comparar.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron las unidades de valor posicional para ordenar los números.
Comparar en contexto
La clase compara números decimales en contextos de dinero y medida.
Presente el problema:
Un set de marcadores normales cuesta $7.19. Un set de marcadores de borrado en seco cuesta $7.08. Un set de marcadores fluorescentes cuesta $7.80. ¿Qué set de marcadores cuesta más?
¿Qué set de marcadores cuesta menos?
¿Qué les pide el problema que determinen?
Qué set de marcadores cuesta más y cuál cuesta menos
Dé a las parejas 1 minuto para comentar las respuestas y justificarlas.
¿Qué marcadores cuestan más? ¿Cómo lo saben?
Los marcadores fluorescentes cuestan más. $7.80 es mayor que $7.19 y $7.08. El número de dólares es el mismo en los tres precios, pero 80 centavos, u 80 centésimos, es mayor que 19 centavos, o 19 centésimos, y mayor que 8 centavos, u 8 centésimos.
¿Qué marcadores cuestan menos? ¿Cómo lo saben?
Los marcadores de borrado en seco cuestan menos. $7.08 es menor que $7.19 y $7.80. Cada cantidad de dinero tiene 7 dólares, entonces podemos comparar el número de centavos de cada cantidad. 8 centavos es menor que 19 centavos y menor que 80 centavos.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si determinar qué set de marcadores cuesta más y cuál cuesta menos se parece al trabajo que realizaron cuando ordenaron los números de menor a mayor y de mayor a menor.
Para hallar las respuestas al problema de los marcadores, pensamos en el orden de las cantidades de dinero. La mayor cantidad de dinero nos indicó qué marcadores costaban más. La menor cantidad de dinero nos indicó qué marcadores costaban menos. Fue parecido a ordenar los números decimales, excepto que hay un símbolo de dólares.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes pueden usar la estrategia que prefieran para comparar números dentro de un contexto. El objetivo es que vean que pueden usar la misma estrategia para comparar números tanto cuando se proporciona un contexto como cuando no se proporciona uno.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables (MP3) cuando compara números decimales para decidir qué set de marcadores cuesta más, cuál cuesta menos, qué teléfono realiza descargas con mayor velocidad y cuál con menor velocidad y, luego, justifica sus respuestas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Sus respuestas son una suposición o lo saben con seguridad? ¿Cómo pueden saberlo con seguridad?
• ¿Por qué funcionan sus estrategias para comparar números decimales? Convenzan a su pareja de trabajo.
Presente el problema:
El teléfono del Sr. Endo descarga una aplicación en 14.8 segundos. El teléfono del Sr. López descarga la misma aplicación en 14.75 segundos. El teléfono de la Sra. Wong descarga la misma aplicación en 14.07 segundos. ¿Qué teléfono descarga la aplicación con mayor velocidad? ¿Qué teléfono descarga la aplicación con menor velocidad?
Al pensar en el tiempo, ¿qué sería más rápido? ¿Una cantidad de tiempo más corta o una cantidad de tiempo más larga?
Una cantidad de tiempo más corta es más rápido. Los números más pequeños representan cantidades de tiempo más cortas. Es como cuando corro y quiero que mi tiempo sea más corto, o menor, que el de otras personas que corren.
Las cantidades de tiempo más cortas son más rápidas porque llevan menos tiempo.
Dé a las parejas 1 minuto para comentar las respuestas y justificarlas.
¿Qué teléfono descarga la aplicación con mayor velocidad?
El teléfono de la Sra. Wong descarga la aplicación con mayor velocidad. 14.07 es un número más pequeño que 14.75 y 14.8, entonces 14.07 segundos es el tiempo más rápido.
¿Qué teléfono descarga la aplicación con menor velocidad?
El teléfono del Sr. Endo descarga la aplicación con menor velocidad. 14.8 es mayor que 14.75 y 14.07, entonces 14.8 segundos es más lento que 14.75 segundos y 14.07 segundos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los contextos como el dinero o el tiempo modifican la manera en que piensan sobre el orden de diferentes números o cantidades.
Aplicar comparaciones
La clase usa estrategias de comparación de cálculo mental para completar una serie de comparaciones a través de una pista de obstáculos digital.
Abra y muestre la actividad digital interactiva de Máquina de Rube Goldberg.
Invite a sus estudiantes a observar y preguntarse sobre lo que ven y sobre el recorrido que pueden hacer la pelota y los otros objetos. Destaque el razonamiento sobre cómo la comparación correcta o incorrecta de los números decimales podría afectar a la pelota y a los otros objetos que se mueven por la pista.
Antes de comenzar cualquier tarea, lea a coro con la clase las instrucciones enumeradas dentro de la actividad digital interactiva. Responda todas las preguntas que permitan aclarar dudas. Luego, vuelva a leer a coro la instrucción de la primera tarea.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo completar la primera tarea. Invite a alguien de la clase a compartir su razonamiento y a completar la tarea.
Repita el proceso para cada tarea. Aclare la tarea y, luego, invite a las parejas de estudiantes a decidir cómo completarla para continuar la trayectoria de la pelota y los otros objetos. Destaque el razonamiento que use estrategias de cálculo mental para comparar los números.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que les ayuda a comparar mentalmente los números decimales.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
El contexto de la actividad digital interactiva se basa en Rube Goldberg, un inventor y dibujante. Para apoyar el contexto, muestre imágenes de la obra de Goldberg a fin de que sus estudiantes se familiaricen con el tema.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Comparar y ordenar números decimales
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de las estrategias usadas para comparar y ordenar números decimales y fracciones decimales.
¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre fracciones y números decimales como ayuda para ordenar números decimales?
Podemos pensar en los números decimales como fracciones decimales o números mixtos. Entonces, es como comparar u ordenar fracciones.
Los décimos y los centésimos tienen el mismo valor aunque los escribamos como fracciones o como números decimales. Entonces, podemos comenzar comparando las unidades de valor posicional más grandes, las unidades, luego comparar los décimos y, por último, comparar los centésimos.
Si todos los números decimales tienen unidades y centésimos, podemos ordenar los números según las unidades y, luego, según los centésimos. Si algunos de los números decimales tienen décimos, podemos expresarlos como centésimos antes de ordenar los números.
¿En qué es útil pensar cuando se comparan los números mentalmente?
Podemos pensar en el tamaño de las unidades de valor posicional. Pensé en el tamaño de las unidades de valor posicional y, luego, en cuántas había. Comenzamos comparando primero las unidades de valor posicional más grandes.
Podemos usar estrategias como imaginar una recta numérica y pensar en números de referencia.
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Usa las balanzas para completar las partes (a) a (c).
a. Marca los números para representar el peso de cada bolsa de arroz. Rotula cada punto.
2. Usa los números para completar las partes (a) a (c).
Marca y rotula los números.
Usa >, = o < para comparar los números.
c. Escribe los números de mayor a menor.
1.2 ,
, 1.02
Ordena los números de menor a mayor.
b. Usa >, = o < para comparar los números.
0.3 > 0.1
0.13 < 0.25
0.25 < 0.3
c. Escribe los números de menor a mayor.
0.1 , 0.13 , 0.25 , 0.3
Escribe los números de mayor a menor.
5. 6.08 5 6 10 4.95, 6.2, 5 49 100
6.2, 6.08, 5 6 10 , 5 49 100 , 4.95
6. 43 7 100 , 71.04, 70 1 10 , 7 37 100 , 47.3
71.04, 70 1 10 , 47.3, 43 7 100 , 7 37 100
7. Cuatro estudiantes registran los pesos de sus piedras, como se muestra en la tabla.
Jayla Tom Amy Shen 13 10 kg 1.38 kg 1 kg con 4 décimos 104 100 kg
a. ¿De quién es la piedra más liviana? De Shen
b. Jayla dice que su piedra pesa más que la de Amy porque 13 décimos es mayor que 4 décimos. ¿Estás de acuerdo? Explica.
No estoy de acuerdo. La piedra de Jayla pesa 1.3 kg y la de Amy pesa 1.4 kg. Entonces, la piedra de Jayla pesa menos. Jayla necesita comparar 13 décimos con 1 con 4 décimos, que es la misma cantidad que 14 décimos, en lugar de comparar 13 décimos con 4 décimos.
c. Escribe los pesos de las piedras del más liviano al más pesado.
104 100 kg, 13 10 kg, 1.38 kg, 1 kg con 4 décimos
8. Eva registra cuánto tarda en correr 100 metros durante la semana. El lunes, lo hace en 16.01 segundos. El martes, lo hace en 15.58 segundos. El miércoles, lo hace en 15.56 segundos. El jueves, lo hace en 16.1 segundos.
a. ¿Qué día corre más rápido Eva? El miércoles
b. Ordena los tiempos de Eva del más lento al más rápido. 16.1 seg, 16.01 seg, 15.58 seg 15.56 seg
8.2
2.1
1.09
2 __ 10
1
0.49
7.2
8.04
Tema D
Suma de décimos y centésimos
En el tema D, la clase suma fracciones decimales con décimos y centésimos expresando los décimos como centésimos.
El tema comienza con una oportunidad para que sus estudiantes sumen fracciones decimales con décimos y centésimos usando lo que saben sobre las fracciones equivalentes y la suma de fracciones con unidades semejantes. Usan representaciones, como un modelo de área, o estrategias de cálculo mental para expresar los décimos como centésimos. Luego, usan diferentes estrategias para sumar las fracciones decimales. Algunas estrategias de suma posibles incluyen la representación de los dos sumandos en un modelo de área, la suma en una recta numérica y la separación de un sumando para hacer que un problema sea más sencillo. La clase también puede pensar en las fracciones decimales en forma unitaria. Por ejemplo, 3 __ 10 + 48 100 se puede pensar como 30 centésimos + 48 centésimos.
A continuación, sus estudiantes aplican métodos de suma de décimos y centésimos que aprendieron en la lección anterior para sumar números mixtos con unidades fraccionarias de décimos y centésimos, valiéndose de su experiencia del módulo 4 con la suma de números mixtos. Comentan la utilidad de expresar una fracción mayor que 1 como un número mixto y determinan que es útil expresar las sumas como números mixtos. Se usan vínculos numéricos con el objetivo de mostrar la descomposición de un número mixto en partes que son útiles para sumar y mostrar la descomposición de una fracción mayor que 1 como un número mixto. Por ejemplo, para hallar
2
Sus estudiantes también pueden sumar unidades semejantes para hallar
Pueden expresar
Sus estudiantes usan representaciones, como ecuaciones, una recta numérica o el método de flechas, para mostrar sus estrategias de suma. Comparten las estrategias con sus pares y se les anima a seleccionar aquellas que les resulten más eficientes.
En la lección final del módulo, la clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de suma con números escritos en forma decimal. Escriben los números como fracciones decimales y resuelven los problemas aplicando sus estrategias para la suma de fracciones decimales. Escriben los números decimales en forma fraccionaria, suman las fracciones, evalúan si sus respuestas son razonables y expresan sus respuestas en forma decimal.
En 5.o grado, la clase suma y resta fracciones con unidades diferentes y relacionadas. También realizan las cuatro operaciones con números decimales.
Progresión de las lecciones
Lección 12
Aplicar la equivalencia de fracciones para sumar décimos y centésimos
Lección 13
Aplicar la equivalencia de fracciones para sumar números mixtos con décimos y centésimos
Lección 14
Resolver problemas verbales con décimos y centésimos
Una perra pesa 6.87 kilogramos. Un gato pesa 3.4 kilogramos. ¿Cuál es el peso total de la perra y el gato?
Puedo sumar fracciones con décimos y centésimos después de expresar los décimos como centésimos. Puedo expresar los décimos como centésimos usando un modelo de área, la multiplicación o el cálculo mental. Puedo sumar usando lo que sé sobre sumar fracciones con unidades semejantes. Muestro mi razonamiento usando un modelo de área, una recta numérica o el método de flechas.
Puedo sumar números mixtos con décimos y centésimos usando lo que sé sobre formar unidades semejantes y la suma de números mixtos. Puedo sumar unidades a unidades y centésimos a centésimos. También puedo usar una estrategia de simplificación para sumar descomponiendo un sumando en partes que me resulten más fáciles de sumar.
Cuando veo un problema verbal con números decimales, como un problema que me pide que sume dinero o medidas, puedo escribir los números decimales en forma fraccionaria para hallar la suma. Cualquier estrategia que conozco para sumar fracciones puede ayudarme a sumar las fracciones decimales. Puedo escribir la suma como un número decimal y evaluar si mi respuesta es razonable.
Aplicar la equivalencia de fracciones para sumar décimos y centésimos
Vistazo a la lección
La clase usa lo que sabe sobre las fracciones equivalentes y la suma de fracciones con unidades semejantes para sumar fracciones decimales de décimos y centésimos. Expresan los décimos como una cantidad equivalente de centésimos y representan la suma con estrategias seleccionadas. Examinan diferentes estrategias y las comparan con su propia estrategia. Razonan acerca de la eficiencia de la estrategia elegida.
Pregunta clave
• ¿Por qué las fracciones equivalentes son importantes cuando sumamos décimos y centésimos?
Criterio de logro académico
4.Mód5.CLA2 Suman dos fracciones con los denominadores 10 y 100, respectivamente. (4.NF.C.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Elegir una estrategia para sumar
• Compartir, comparar y conectar
• Sumar décimos y centésimos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros
La clase multiplica números de dos dígitos para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 3 de multiplicar números de varios dígitos.
Muestre 20 × 34 = .
Multipliquen. Muestren sus estrategias.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el total.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes
La clase expresa fracciones no unitarias como fracciones con unidades más grandes para adquirir fluidez con la equivalencia de fracciones, presentada en el módulo 4.
Muestre 4 _ 6 = 3 .
Escriban y completen la ecuación para mostrar una fracción equivalente.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase analiza diferentes expresiones.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen de las cuatro expresiones.
Invite a sus estudiantes a analizar cada expresión y a pensar en hallar la suma o la diferencia como una sola unidad.
Dé a la clase 2 minutos para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca.
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría.
3 pintas + 2 cuartos de galón
3 yardas − 2 pies
2 kilogramos + 3 gramos
3 días + 2 minutos
Haga preguntas como las siguientes para invitar a la clase a usar un lenguaje preciso, a establecer conexiones y a hacer sus propias preguntas.
¿Cuál no pertenece al grupo?
La expresión A no pertenece al grupo porque la cantidad con la unidad más pequeña, pintas, está en el primer sumando.
La expresión B no pertenece al grupo porque es la única expresión de resta.
Cada expresión tiene 2 de una unidad y 3 de otra unidad. La expresión C no pertenece al grupo porque el 2 está en el primer término de la expresión y no en el segundo.
La expresión D no pertenece al grupo porque es la única que tiene una unidad que debería expresar con otro nombre dos veces para formar unidades iguales. Convertiría los días a horas y, luego, las horas a minutos.
¿Qué tienen en común las expresiones?
Las cantidades en las expresiones son 2 de una unidad y 3 de otra unidad.
Podemos convertir la cantidad de la unidad más grande a una cantidad de la unidad más pequeña. Por ejemplo, yardas y pies son unidades del sistema inglés de longitud y 1 yarda = 3 pies.
Hay que expresar con otro nombre una de las unidades en cada expresión antes de poder hallar el total o la diferencia.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué es importante pensar en las unidades antes de sumar o restar.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, sumaremos décimos y centésimos.
Aprender
Elegir una estrategia para sumar
La clase razona y halla la suma de dos fracciones decimales usando estrategias de su elección.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros.
Suma. 1. 2 10 + 4 100
20 100 + 4 100 = 24 100
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre esta expresión y otros problemas de suma que han visto antes.
Pida a sus estudiantes que muestren las estrategias para hallar el total. Permita que seleccionen sus propias estrategias para hallar la solución usando lo que saben acerca de la suma, las unidades diferentes y el valor posicional.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar herramientas para ayudar a sus estudiantes a expresar los décimos como centésimos.
Por ejemplo, es posible que quieran usar la hoja extraíble de Diagramas de cinta, modelos de área y recta numérica en blanco de la lección 9.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando determina cómo sumar dos fracciones con unidades diferentes usando una recta numérica, un modelo de área o fracciones equivalentes.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Cuál es su plan para sumar estas dos fracciones?
• ¿Cómo pueden simplificar el problema?
• ¿Su respuesta tiene sentido? ¿Por qué?
Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajo que contribuyan a promover el objetivo de la lección de sumar décimos y centésimos mediante la expresión de los décimos como centésimos antes de sumar. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo formar unidades semejantes para sumar las fracciones decimales.
Los ejemplos de trabajo demuestran aplicaciones de los conceptos aprendidos con anterioridad de cómo expresar los décimos como centésimos y sumar fracciones con las mismas unidades.
DUA: Representación
Considere pedir a sus estudiantes que compartan ideas sobre lo que ya saben acerca de formar fracciones equivalentes para activar los conocimientos previos.
Nota para la enseñanza
Los ejemplos de trabajo y el razonamiento de cada estudiante muestran respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.
Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.
Modelo de área
Compartir, comparar y conectar
La clase comparte y compara las estrategias para hallar la solución y razona acerca de sus conexiones.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar de la manera más conveniente los trabajos compartidos que muestran diferentes estrategias para hallar la solución, desde aquellos que usan representaciones pictóricas hasta los trabajos más abstractos.
A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre la estrategia que usó para hallar el total. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y las diferentes estrategias para hallar la solución. Anime a sus estudiantes a que hagan preguntas.
El ejemplo de conversación incluye preguntas que invitan a sus estudiantes a explicar su razonamiento y establecer conexiones.
Modelo de área (método de James)
James, ¿cuál fue tu estrategia?
Usé un modelo de área que representa 1 para sombrear 2 décimos y 4 centésimos.
¿Cuál fue tu método para sombrear 2 décimos?
Cada columna representa 1 décimo, entonces sombreé 2 columnas. 1 décimo es la misma cantidad que 10 centésimos. 2 décimos es la misma cantidad que 20 centésimos.
¿Qué hizo James a continuación?
Parece que sombreó 4 centésimos.
James, ¿cómo hallaste el total?
Observé cuántos centésimos estaban sombreados en total. Hay 24 100 sombreados, entonces 2 10 + 4 100 = 24 100 .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de James y sus propios trabajos.
Nota para la enseñanza
El objetivo de la lección no es sumar números decimales, sino sumar fracciones decimales con décimos y centésimos. Si bien sus estudiantes han estado aprendiendo sobre los décimos y centésimos como unidades de valor posicional, la suma y resta de números decimales se reserva para 5.o grado.
Si expresan las fracciones decimales como números decimales para sumar, reconozca su razonamiento y guíe a la clase para que sume en forma fraccionaria.
Nota para la enseñanza
Puede haber estudiantes que usen el cálculo mental para formar fracciones equivalentes y sumar unidades semejantes. Pídales que registren o expliquen su razonamiento. Esto permitirá que sus pares comprendan mejor estas estrategias y las usen.
Apoyo para la comprensión del
lenguaje
Considere pedir a sus estudiantes que consulten la Herramienta para la conversación cuando compartan estrategias y hagan preguntas sobre las estrategias de sus pares.
Recta numérica (método de Carla)
Carla, ¿cuál fue tu estrategia?
Rotulé 2 10 en una recta numérica.
Luego, sumé 4 100 .
¿Cómo supiste que el total era 24 ___ 100 ?
Sé que 2 10 y 20 100 son equivalentes, entonces rotulé 20 100 en el mismo punto que rotulé 2 10 en la recta numérica. Luego, conté hacia delante 4 100 desde 20 100 . Mi ecuación muestra que sumé centésimos.
¿En qué se parece el trabajo de Carla al trabajo de James?
James y Carla escribieron la ecuación 20 100 + 4 100 = 24 100 para mostrar que el total es 24 100 .
James y Carla usaron los centésimos para sumar.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Carla y sus propios trabajos.
Multiplicación y forma unitaria (método de Robin)
Robin, ¿cuál fue tu estrategia?
Intenté sumar 2 décimos y 4 centésimos, pero eso no tenía sentido porque las unidades no son las mismas. Expresé 2 10 como 20 100 de tal manera que las unidades fueran las mismas. Sé que puedo mostrar cómo expresar las fracciones con otro nombre usando la multiplicación, entonces usé la multiplicación para mostrar que 2 10 = 20 100 . Luego, pensé en sumar 20 y 4. Como 20 + 4 = 24, 20 centésimos + 4 centésimos = 24 centésimos. Para mostrar mi razonamiento, escribí una ecuación con los números en forma unitaria.
20 centésimos + 4 centésimos = 24 centésimos
¿Cómo supiste que necesitabas expresar los décimos como centésimos?
Las unidades tienen que ser las mismas. Si no lo son, no sé cómo sumar las fracciones o qué nombre dar a la unidad.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Robin y sus propios trabajos.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo, en cada estrategia, se usan las unidades semejantes para sumar décimos y centésimos.
Cada estrategia muestra cómo se pueden expresar los décimos como centésimos, pero de diferentes maneras. Todos los métodos que se muestran expresan los décimos con otro nombre para poder sumar centésimos a centésimos.
El modelo de área, la recta numérica y la multiplicación nos muestran que 2 10 y 20 100 son fracciones equivalentes y representan el mismo número. Una vez que las unidades son las mismas, podemos usar lo que sabemos sobre sumar fracciones para hallar la suma.
Por nuestra experiencia con la suma de números enteros, sabemos que tenemos que sumar unidades semejantes. Cada método expresa los décimos como centésimos para que las unidades sean las mismas antes de sumar.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la estrategia que les gustaría usar para el siguiente problema y cómo esa estrategia podría ser más eficiente que la anterior.
Sumar
décimos y centésimos
La clase usa estrategias conocidas para hallar la suma de dos fracciones decimales.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.
2. 48 ___ 100 + 3 __ 10
48 ___ 100 + 30 ___ 100 = 78 ___ 100
¿En qué se parece y en qué se diferencia este problema del anterior?
Estamos sumando décimos y centésimos, pero en este problema los centésimos son la unidad del primer sumando y los décimos son la unidad del segundo sumando.
Creo que podemos expresar los décimos como centésimos y sumar de la misma manera que en el problema 1.
DUA: Participación
Considere presentar una aplicación del mundo real para la suma de décimos y centésimos en un contexto que pueda ser de interés o conocido para sus estudiantes. Por ejemplo: Una serpiente mide 48 100 de metro de largo. Crece otros 3 10 de metro. ¿Cuánto mide de largo la serpiente ahora?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere ayudar a sus estudiantes con las frases unidades semejantes, unidades relacionadas y unidades diferentes proporcionando ejemplos.
Unidades semejantes: 1 4 y 3 4 , décimos y décimos
Unidades relacionadas: 1 2 y 1 4 , décimos y centésimos
Unidades diferentes: 1 2 y 1 3 , décimos y tercios
Anime a sus estudiantes a pensar en las estrategias del segmento anterior y en lo que saben sobre la suma a fin de seleccionar sus propias estrategias para hallar la solución y el total.
Luego, pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para resolver el problema 2. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Seleccione a dos o tres parejas para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre la suma de fracciones decimales.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a las parejas de estudiantes a mostrar su trabajo y compartir su razonamiento con la clase. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que exprese los décimos como centésimos y use estrategias eficientes para sumar unidades diferentes. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas.
Modelo de área (método de David y Luke)
David y Luke, ¿cómo decidieron usar un modelo de área?
Usamos un modelo de área porque nos ayudó a mostrar 48 100 + 3 10 y a ver el total. Sombreamos 3 10 y vimos que 3 10 es equivalente a 30 100 .
Luego, sombreamos 48 100 más y obtuvimos 78 100 .
¿Cómo supieron que podían sombrear 3 10 primero?
Sabemos que podemos sumar números en cualquier orden.
Sombreamos 3 10 primero porque sabíamos que 3 10 está representado por 3 columnas, entonces podíamos sombrearlas. Luego, pudimos sombrear 48 100 para ver el total con más facilidad.
Recta numérica abierta (método de Mía y Oka)
Mía y Oka, ¿cómo usaron una recta numérica abierta como ayuda para sumar?
Sabemos que 3 10 es equivalente a 30 100 . Sumar 30 100 a 48 100 nos hizo pensar en contar salteado de una decena en una decena 3 veces comenzando en 48. Rotulamos 48 100 en la recta numérica. Luego, empezamos en 48 ___ 100 y contamos 58 ___ 100 , 68 ___ 100 y 78 ___ 100
Contamos hacia delante mentalmente y, luego, mostramos un salto grande en la recta numérica.
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a quienes terminen primero que muestren una estrategia diferente para formar una fracción equivalente y sumar las unidades semejantes.
Pida a sus estudiantes que comenten la eficiencia de sus estrategias.
¿De qué manera usar la recta numérica abierta fue una estrategia eficiente para ustedes?
Pudimos mostrar nuestro razonamiento, pero no necesitamos mostrar cada centésimo. Pudimos mostrar que sumamos 30 100 de una vez.
Separar en partes un sumando (método de Casey y Jayla)
Casey y Jayla, ¿qué estrategia de simplificación usaron como ayuda para sumar?
Expresamos 3 10 como 30 100 . Pensamos en cómo podemos separar en partes un número para que sea más sencillo sumar números enteros. Aplicamos la misma estrategia para separar 48 100 en 40 100 y 8 100 , entonces pudimos usar el cálculo mental para sumar.
Sumamos 40 100 y obtuvimos 70 100 y, luego, sumamos 8 100 más.
Usamos el método de flechas para mostrar nuestro trabajo.
¿De qué manera separar en partes 48 ___ 100 les ayudó a sumar de manera eficiente?
Nos ayudó a hallar operaciones que eran más fáciles de sumar mentalmente. Nos resulta más fácil sumar 40 100 y 8 100 que sumar 48 100 de una vez.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo sumaron los centésimos de manera eficiente.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar la equivalencia de fracciones para sumar décimos y centésimos
Reúna a la clase y guíe una conversación sobre la suma de décimos y centésimos.
¿Por qué las fracciones equivalentes son importantes cuando sumamos décimos y centésimos?
Las fracciones equivalentes nos ayudan a expresar los décimos como centésimos. Crear unidades semejantes nos ayuda a sumar las fracciones.
Los décimos y los centésimos son unidades diferentes, y para sumar necesitamos formar unidades semejantes. Para esto, podemos expresar los décimos como centésimos porque los décimos se pueden descomponer en centésimos.
¿En qué se parece sumar fracciones decimales a sumar números enteros?
Podemos sumar las fracciones en cualquier orden y obtener el mismo total como cuando sumamos números enteros. Es la propiedad conmutativa.
Podemos sumar unidades semejantes, como lo hacemos con los números enteros. Si no tenemos unidades semejantes, podemos hallar fracciones equivalentes para formarlas y, luego, podemos sumar.
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Suma. Usa la recta numérica como ayuda.
1. 1 centésimo + 7 centésimos = 8 centésimos
2. 6 centésimos + 3 centésimos = 9 centésimos
3. 14 centésimos + 72 centésimos = 86 centésimos
4. 61 centésimos + 35 centésimos = 96 centésimos
Suma. Sombrea el modelo de área como ayuda.
15. La señora Díaz camina 67 100 de kilómetro hasta la biblioteca. Luego, camina 3 10 de kilómetro hasta el gimnasio. ¿Cuántos kilómetros camina la señora Díaz en total? 67 100 + 3 10 = 67 100 + 30 100 = 97 100
La señora Díaz camina 97 100 de kilómetro en total.
Aplicar la equivalencia de fracciones para sumar números mixtos con décimos y centésimos
Vistazo a la lección
La clase usa lo que sabe sobre las fracciones equivalentes y la suma de números mixtos con unidades semejantes para sumar números mixtos con décimos y centésimos. Expresan los décimos como una cantidad equivalente de centésimos y representan la suma de estos con diferentes métodos.
Comentan las semejanzas y diferencias entre los métodos.
Pregunta clave
• ¿Cómo podemos usar lo que hemos aprendido anteriormente para sumar números mixtos con décimos y centésimos?
Criterio de logro académico
4.Mód5.CLA2 Suman dos fracciones con los denominadores 10 y 100, respectivamente. (4.NF.C.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Sumar fracciones y expresar el total con otro nombre
• Tres métodos
• Comparar y contrastar métodos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Página de registro de los métodos (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Página de registro de los métodos de los libros para estudiantes o si la retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros
La clase multiplica números de dos dígitos para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 3 de multiplicar números de varios dígitos.
Muestre 30 × 83 = .
Multipliquen. Muestren sus estrategias.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el total.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Fracciones equivalentes
La clase genera una fracción equivalente para adquirir fluidez con la equivalencia de fracciones, presentada en el módulo 4.
Muestre 1 2 = ___ 6 .
Escriban y completen la ecuación para mostrar una fracción equivalente.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación completada.
Repita el proceso con la siguiente secuencia: =
Presentar
La clase halla el costo total de dos artículos usando estrategias de su preferencia y reconoce la suma de unidades semejantes como una estrategia.
Muestre la imagen de la manzana y la banana.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el costo total de la manzana y la banana.
El costo total de la manzana y la banana es $1.25. 7 dimes + 5 dimes = 12 dimes. El valor total de 12 dimes es $1.20. 12 dimes y 5 pennies tienen un valor total de $1.25.
El costo total de la manzana y la banana es 1 dólar con 25 centavos. Pensamos en 70 centavos como 30 centavos menos que 1 dólar. 55 centavos se pueden descomponer en 30 centavos y 25 centavos. 70 centavos + 30 centavos = 100 centavos, o 1 dólar. 1 dólar + 25 centavos = 1 dólar con 25 centavos.
¿Cómo usaron unidades semejantes para hallar el costo total?
Sumamos un número de dimes a un número de dimes y hallamos su valor total. Luego, hallamos el valor total de los pennies. Contamos hacia delante 5 centavos desde $1.20 y obtuvimos $1.25.
Sumamos centavos a centavos. Cuando llegamos a 100 centavos, los expresamos como 1 dólar.
Muestre la imagen de las palomitas de maíz y el pretzel.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el costo total de las palomitas de maíz y el pretzel.
El costo total de las palomitas de maíz y el pretzel es $6.75. Sumamos unidades semejantes.
4 dólares + 2 dólares = 6 dólares.
25 centavos + 50 centavos = 75 centavos.
Sumamos 2 dólares a 4 dólares con 1 quarter y obtuvimos
6 dólares con 1 quarter. Luego, sumamos 2 quarters a
6 dólares con 1 quarter y obtuvimos 6 dólares con 3 quarters, o $6.75.
¿Cómo usaron unidades semejantes para hallar el costo total?
Sumamos dólares a dólares y centavos a centavos.
Primero, sumamos los dólares del costo del pretzel a los dólares del costo de las palomitas de maíz. Luego, sumamos los quarters.
Muestre la imagen de la ecuación.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden hallar el total.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, sumaremos fracciones, incluidos los números mixtos, que tienen sumas mayores que 1. 4 25 100 + 2 5 10 =
Aprender
Sumar fracciones y expresar el total con otro nombre
La clase suma fracciones decimales de décimos y centésimos que tienen una suma mayor que 1.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar unidades semejantes para sumar las fracciones.
Proporcione 2 minutos a las parejas de estudiantes para que escriban cada expresión usando centésimos y hallen el total. Pídales que expresen cada total como un número de centésimos.
Reescriba las expresiones usando centésimos. Señale cada expresión y pida a sus estudiantes que la lean a coro y que digan el total. Mientras lo hacen, registre el total junto a la expresión escribiendo un signo igual y el total.
Pida a sus estudiantes que examinen cada total.
¿En qué se diferencian los totales de 60 ___ 100 + 48 ___ 100 y 60 ___ 100 + 58 ___ 100 de los otros totales?
Los numeradores son mayores que los denominadores.
Los totales son fracciones mayores que 1.
Cuando una fracción es mayor que 1, podemos expresarla como un número entero y una fracción. ¿De qué manera podemos expresar 108 ___ 100 con otro nombre?
100 100 = 1 , entonces podemos pensar en 108 100 como 100 100 + 8 ___ 100 y, luego, como 1 8 ___ 100 . 100 centésimos es igual a 1 unidad, entonces podemos expresar 108 centésimos como 1 unidad y 8 centésimos, que es 1 8 100 .
Nota para la enseñanza
Considere invitar a sus estudiantes a registrar las ecuaciones en forma unitaria para confirmar que están sumando unidades semejantes.
Diferenciación: Apoyo
Para ayudar a sus estudiantes a expresar las fracciones mayores que 1 como un número entero y una fracción, considere proveer soportes para la destreza usando números enteros y fracciones que sean más conocidos. Se puede usar un vínculo numérico para representar la relación entre los números.
Haga un vínculo numérico para mostrar 108 ___ 100 como 100 ___ 100 y 8 ___ 100 y reescriba el total como 1 8 100 .
Repita el proceso con 118 100 .
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué puede ser útil expresar una fracción mayor que 1 como un número mixto.
Es más fácil para mí pensar en 1 8 ___ 100 que pensar en 108 100 . Son el mismo número, pero pensar en 1 8 ___ 100
me ayuda a ver el número como un poco más que 1.
En general, vemos cosas rotuladas como números mixtos en recipientes y paquetes. Cuando medimos la longitud de algo, por ejemplo, tiene más sentido decir 1 8 100 metros que 108 ___ 100 de metro.
Escriba 2 6 10 + 1 58 100 .
¿En qué se parece esta expresión a 6 __ 10 + 58 ___ 100 y en qué se diferencia?
Las partes fraccionarias de las dos expresiones son las mismas.
Hay décimos y centésimos. Para sumar, necesitamos formar unidades semejantes.
Los números en 2 6 10 + 1 58 100 son números mixtos, entonces necesitamos sumar fracciones
y números enteros.
¿De qué manera saber que 6 __ 10 + 58 ___ 100 es 1 18 ___ 100 nos puede ayudar a hallar 2 6 __ 10 + 1 58 ___ 100 ?
¿Cuál es el total?
Sabemos que 2 6 __ 10 + 1 58 ___ 100 = 2 + 6 __ 10 + 1 + 58 ___ 100 . También sabemos que 6 10 + 58 ___ 100 = 1 18 ___ 100 , entonces solo tenemos que sumar 3 más porque 2 + 1 = 3. El total es 4 18 100 .
Si sabemos el total de las partes fraccionarias, solo necesitamos sumar los números enteros a nuestra respuesta:
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar lo que aprendieron sobre sumar números mixtos con las mismas unidades para sumar números mixtos con diferentes unidades.
DUA: Representación
Considere crear una lista o un afiche de los métodos que sus estudiantes usan para hallar el total de los números mixtos en la lección 23 del módulo 4. Pueden consultar la lista o el afiche mientras suman los números mixtos con décimos y centésimos.
Tres métodos
Materiales: E) Página de registro de los métodos
La clase usa distintos métodos para sumar números mixtos con décimos y centésimos.
Invite a sus estudiantes a retirar la hoja extraíble de Página de registro de los métodos de sus libros.
Cada estudiante A debe escribir 2 7 10 + 1 58 100 en la parte de arriba de su hoja.
Cada estudiante B debe escribir 3 9 10 + 2 17 100 en la parte de arriba de su hoja.
Cada estudiante C debe escribir 2 43 100 + 5 8 10 en la parte de arriba de su hoja.
Pida a sus estudiantes que reescriban la expresión usando unidades semejantes.
Dé 2 minutos para que sumen los números mixtos usando un método de su preferencia. Pídales que muestren su trabajo en el espacio para el método 1 y que escriban la suma en la línea ubicada en la parte de arriba de la hoja. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Considere hacer preguntas como las siguientes:
• ¿Qué método eligieron y por qué?
• ¿Cómo puede ayudarles pensar en fracciones equivalentes a formar unidades semejantes?
• ¿Por qué puede ser útil separar los números mixtos en partes?
• ¿De qué manera pensar en la suma de unidades semejantes puede ayudarles a sumar?
• ¿De qué manera pensar en la suma puede ayudarles a formar el siguiente número entero?
• ¿Cómo pueden expresar una fracción mayor que 1 con otro nombre?
• ¿Cómo puede ayudarles una recta numérica o un vínculo numérico?
Una vez que hayan terminado, pídales que pasen su hoja a alguien más en su grupo, de manera que cada estudiante tenga un problema nuevo.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para que vean el trabajo completado en el espacio para el método 1 y piensen en un método diferente para usar en el método 2.
Dé a sus estudiantes 2 minutos para que apliquen el método elegido para sumar números mixtos y registren su trabajo en el espacio para el método 2.
DUA: Acción y expresión
Antes de formar grupos, pida a sus estudiantes que piensen y se preparen para compartir los modelos y los métodos que usaron al sumar los números mixtos. Una vez que sus estudiantes hayan formado grupos, preste atención a quienes sugieran modelos como diagramas de cinta, rectas numéricas y vínculos numéricos. También preste atención a quienes sugieran métodos como el método de flechas, la suma de unidades semejantes y la expresión de una fracción mayor que 1 con otro nombre, y la agrupación de unidades semejantes para formar 1. Considere comentar con la clase que pensar acerca de lo que saben y crear un plan antes de comenzar una tarea puede ser una estrategia útil.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando suma números mixtos con unidades diferentes usando estrategias para sumar fracciones con unidades diferentes y números mixtos con unidades semejantes.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Pueden separar el número mixto en partes para hacer un problema más sencillo?
• ¿Cómo puede ayudarles lo que saben sobre las unidades semejantes a sumar números mixtos?
• ¿De qué manera se relacionan los décimos y los centésimos? ¿Cómo puede esa relación ayudarles a sumar los números mixtos?
Repita el proceso para el método 3. Luego, pida a sus estudiantes que devuelvan la hoja a la persona con la que originalmente la intercambiaron.
Dé a sus estudiantes 2 minutos para que vean el trabajo completado con los métodos 1, 2 y 3 en su hoja y realicen preguntas aclaratorias a quienes integran el grupo sobre el trabajo que realizaron sus pares. Recorra el salón de clases mientras la clase conversa, e invite a un o una estudiante a compartir su trabajo en el siguiente segmento.
Comparar y contrastar métodos
La clase compara y contrasta los métodos usados para sumar números mixtos con unidades diferentes.
Reúna a la clase e invite a quien seleccionó en la sección anterior a compartir el trabajo de su grupo para 2 7 10 + 1 58 100 . Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones entre los métodos y a hacer sus propias preguntas.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian los métodos usados para hallar el total?
Los tres métodos suman unidades a unidades y centésimos a centésimos. El orden en el que se suman es diferente. Los métodos 1 y 2 muestran la descomposición de 58 100 en 30 100 y 28 100 de manera que 70 ___ 100 y 30 ___ 100 se puedan combinar para formar 1.
El método 3 muestra la suma de las unidades y la suma de los centésimos por separado y, luego, expresa 100 100 como 1 para hallar el total de 4 28 100 .
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere pedir a sus estudiantes que usen la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación mientras hacen preguntas sobre el trabajo de sus pares.
Nota para la enseñanza
Sus estudiantes pueden sumar números mixtos separando los sumandos en partes de manera diferente para hacer un problema más simple. Acepte variaciones y considere compartir otras estrategias. Compartir distintas estrategias apoya a sus estudiantes al ayudarles a hacer conexiones con las estrategias que les resultan conocidas.
Diferenciación: Desafío
Considere desafiar a sus estudiantes a sumar más de dos fracciones decimales. Deben expresar las unidades como centésimos antes de sumar.
¿Dónde ven la suma de unidades semejantes en cada método?
En el método 1, se suma 70 100 y 30 100 para formar 1. Luego, se suman las unidades y se obtiene 4: 2 + 1 + 1 = 4.
En el método 2, se suma 30 100 a 70 100 en el número 2 70 100 para llegar al siguiente número entero, 3.
Luego, se suma 1 a 3 para llegar a 4.
En el método 3, se suman 2 y 1 y también 70 100 y 58 100 .
Después de sumar las unidades semejantes, ¿cómo se determina la respuesta de 4 28 ___ 100 ?
Se escriben juntos el número entero, 4, y la parte fraccionaria, 28 ___ 100 , como un número mixto.
Si hay tiempo suficiente, repita el proceso para 3 9 10 + 2 17 100 y 2 43 100 + 5 8 10 . Invite a alguien más a compartir los métodos de su grupo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas entre los métodos usados para sumar números mixtos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar la equivalencia de fracciones para sumar números mixtos con décimos y centésimos
Reúna a la clase y use el Grupo de problemas para guiar una conversación sobre el uso de unidades semejantes a fin de sumar números mixtos.
¿Cómo podemos usar lo que hemos aprendido anteriormente para sumar números mixtos con décimos y centésimos?
Cuando hay décimos y centésimos, podemos expresar los décimos como centésimos y obtener unidades semejantes para sumar. Luego, podemos sumar números mixtos con centésimos de la misma manera que sumamos números mixtos con otras unidades.
Si necesitamos unidades semejantes, podemos usar lo que sabemos sobre las fracciones equivalentes para expresar las fracciones con otro nombre y formar unidades semejantes.
Podemos usar las estrategias de suma de fracciones para sumar de manera eficiente. Por ejemplo, podemos separar una de las fracciones en partes como ayuda para llegar al siguiente número entero y, luego, podemos sumar la parte fraccionaria restante.
En el problema 7, ¿cómo sumaron las unidades semejantes para hallar el resultado?
Sumé las unidades, 1 unidad + 3 unidades. Expresé 4 10 como 40 100 y, luego, sumé 40 100 y 46 100 .
Expresé los décimos como centésimos. Después, sumé las unidades semejantes, 40 centésimos + 46 centésimos. Luego, sumé las unidades.
Muestre la imagen del ejemplo de trabajo con un error de cálculo común.
Esta ecuación muestra la respuesta de un o una estudiante para el problema 7. ¿Qué error cometió?
Parece que sumó 4 + 46 y obtuvo 50, y pensó que la unidad eran los centésimos. Las fracciones que sumó no tienen las mismas unidades, entonces la respuesta no es correcta.
¿Cómo pueden usar lo que saben sobre la suma de décimos y centésimos para asegurarse de evitar este error?
Puedo enfocarme en las unidades de las fracciones antes de pensar en sumar. Por ejemplo, si escribo este problema en forma unitaria, puedo ver que necesito expresar 4 __ 10 con otro nombre.
Puedo pensar en un modelo de área para cada parte fraccionaria antes de sumarlas. Tanto 4 __ 10 como 46 100 son casi 1 2 . Si las sumo, obtengo un número que está cerca de 1. Eso quiere decir que el total sería 4 más aproximadamente 1, que es aproximadamente 5.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué es importante sumar unidades semejantes.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
5.
11. Zara y David hallan la suma de 4 98 100 y 5 8 10 . ¿Quién cometió un error? Explica.
Trabajo de Zara Trabajo de David
David cometió un error. En lugar de expresar 8 10 como 80 100 y, luego, separar en partes 80 100 , separó 8 10
2
y 6 10 y sumó de manera incorrecta. El cálculo correcto debería ser
Resolver problemas verbales con décimos y centésimos
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Escribe un enunciado con la solución usando un número decimal.
La clase de la maestra Díaz bebe 2.9 litros de jugo. La clase de la maestra Smith bebe 3.15 litros de jugo. ¿Cuántos litros de jugo beben las dos clases en total? 3.15 2.9
2.9 + 3.15 = j
= 2 + 3 + j
La clase examina un ejemplo de trabajo que muestra cómo sumar números decimales escribiéndolos como fracciones antes de realizar la suma. Seleccionan sus propias estrategias para representar y resolver problemas verbales de suma de un paso con números decimales. Después de trabajar de manera independiente para resolver los problemas, comparten su trabajo para comparar y relacionar los distintos métodos. También usan lo que saben sobre los números decimales y su relación con los números enteros para evaluar si sus respuestas son razonables.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre sumar fracciones para resolver problemas verbales con números decimales?
• ¿Por qué es importante evaluar si nuestra respuesta es razonable cuando resolvemos problemas verbales?
Criterios de logro académico
4.Mód5.CLA2 Suman dos fracciones con los denominadores 10 y 100, respectivamente. (4.NF.C.5)
4.Mód5.CLA5 Resuelven problemas verbales sobre la suma de números decimales. (4.MD.A.2)
Nombre
Las dos clases beben 6.05 litros de jugo en total.
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Suma con décimos y centésimos
• Resolver un problema verbal de comparación
• Compartir, comparar y conectar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Práctica veloz: Fracciones equivalentes (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
La clase determina cuál es el numerador o el denominador desconocido para adquirir fluidez con la equivalencia de fracciones, presentada en el módulo 4.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Escribe el numerador o denominador desconocido.
1. 1 3 = 6 2
2. 3 4 = 9 12
3. 3 6 = 2 1
4. 6 10 = 3 5
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Nota para la enseñanza
Considere pedir a sus estudiantes que escriban el numerador o denominador desconocido en el recuadro, en lugar de hacerlo en la columna de respuestas, de manera que se mantenga intacta la fracción. Si no pueden escribir la respuesta en el recuadro, considere reforzar la idea de que el número que escriben en la columna de respuestas sigue siendo parte de la fracción y que no deben pensar en él como un número entero. Cuando lea las respuestas en voz alta, asegúrese de leer la fracción completa. Por ejemplo, en el primer ejemplo de problema, diga dos sextos en lugar de dos.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente.
Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 5?
• ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 10 con los problemas 11 a 20?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de un décimo en un décimo desde 0.1 hasta 1.5 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de un décimo en un décimo desde 1.5 hasta 0.1 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase comenta estrategias para sumar números mixtos y fracciones con décimos y centésimos.
Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen de las cuatro expresiones.
Invite a sus estudiantes a estudiar las expresiones.
Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de las expresiones, pero una no pertenezca.
Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y defiendan por qué una de las expresiones no pertenece a esa categoría.
Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento sobre las unidades fraccionarias de los números, las estrategias de suma, la composición de las unidades y el total.
Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, a establecer conexiones y a formular sus propias preguntas.
¿Cuál no pertenece al grupo?
La expresión A no pertenece al grupo. Es la única en la cual el total es menor que 1.
La expresión B no pertenece al grupo. Es la única en la cual la suma de las partes fraccionarias es un número mayor que 1.
La expresión C no pertenece al grupo. Es la única en la cual la parte fraccionaria de cada número tiene centésimos.
La expresión D no pertenece al grupo. Es la única expresión en la cual la parte fraccionaria de uno de los números tiene décimos y la parte fraccionaria del otro número tiene centésimos.
Dé a las parejas de estudiantes 2 minutos para que hallen el total de cada expresión.
¿Qué estrategias usaron para hallar cada total?
Hallamos el total de la expresión A usando el cálculo mental. Como las dos fracciones tienen décimos, sumamos 3 décimos y 6 décimos y obtuvimos 9 décimos.
Hallamos el total de la expresión B pensando en cuánto necesita 1 7 10 para llegar a 2.
1 7 10 necesita 3 10 para llegar a 2. Entonces, restamos 3 10 de la parte fraccionaria del otro número
y lo sumamos a 1 7 10 para formar 2. Luego, sumamos 2 y 1 4 10 y obtuvimos un total de 3 4 10 .
Hallamos el total de la expresión C usando el cálculo mental. Las dos fracciones tienen centésimos, entonces sumamos 8 centésimos a 91 centésimos y obtuvimos 99 centésimos. Luego, sumamos 1 a 99 centésimos.
Hallamos el total de la expresión D pensando en 2 10 como 20 100 . Como 2 10 es equivalente a 20 100 ,
sumamos 1 20 100 y 1 53 100 y obtuvimos 2 73 100 .
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de otras estrategias que podrían usar para hallar los totales.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, sumaremos décimos y centésimos para resolver problemas verbales y comprobaremos si nuestras respuestas son razonables.
Aprender
Suma con décimos y centésimos
La clase examina un problema verbal y un ejemplo de trabajo que involucra la suma de décimos y centésimos.
Muestre la imagen del problema y el ejemplo de trabajo.
Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el uso de fracciones en la suma de décimos y centésimos.
Observar y preguntarse
¿Qué observan acerca del problema y la solución? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?
El problema verbal tiene números decimales.
El o la estudiante dibujó un diagrama de cinta y escribió una ecuación con números decimales, pero resolvió el problema usando números mixtos.
El enunciado de la solución tiene un número decimal.
Me pregunto por qué sumó los números usando números mixtos en lugar de números decimales.
Me pregunto si podemos usar lo que sabemos sobre las fracciones para sumar números decimales.
Una perra pesa 6.87 kilogramos.
Un gato pesa 3.4 kilogramos.
¿Cuál es el peso total de la perra y el gato?
Nota para la enseñanza
Para sumar números decimales, sus estudiantes los escriben en forma fraccionaria, suman las fracciones y, luego, escriben el total en forma decimal.
Los números decimales se convierten en fracciones antes de sumar con el objetivo de:
• reforzar la relación entre los números decimales y las fracciones;
• proporcionar oportunidades adicionales de aplicar las estrategias para sumar las fracciones;
• apoyar el cálculo mental y el razonamiento flexible (p. ej., pensar en 87 100 + 40 100 para hallar 0.87 + 0.4 de manera eficiente) y
• preparar a la clase para un mayor éxito con las fracciones y los números decimales en 5.o grado.
El peso total de la perra y el gato es 10.27 kilogramos.
Organizar
¿Dónde ven las partes y el total en el trabajo?
Un diagrama de cinta muestra las dos partes, 6.87 y 3.4. Se usa la letra p para mostrar que el total es el número desconocido.
La ecuación muestra que 6.87 + 3.4 es igual al número que representa el peso total de la perra y el gato.
Para sumar, las dos partes están escritas en forma fraccionaria: 6 87 100 y 3 40 100 . Luego, el total
también está escrito en forma fraccionaria.
Mostrar
Enfoquémonos en cómo sumó el o la estudiante. ¿Qué ven en su trabajo?
El trabajo muestra la suma de 6.87 y 3.4 en forma fraccionaria. Los números mixtos son los mismos que los números decimales. Usó centésimos como la unidad para sumar unidades semejantes.
Escribió los números decimales en forma fraccionaria para sumarlos. Sabemos cómo sumar en forma fraccionaria, pero no sabemos cómo sumar números escritos en forma decimal.
En lugar de escribir 9 127 100 como la respuesta, lo expresó como 10 27 100 porque eso tiene más sentido que 9 127 100 kilogramos.
Sintetizar
¿Cómo le ayudó sumar décimos y centésimos en forma fraccionaria a hallar el total?
Al sumar en forma fraccionaria, el o la estudiante puede asegurarse de que está sumando unidades semejantes.
Sabía cómo sumar números mixtos. Esto le ayudó a hallar el total.
Comprender
¿De qué manera el o la estudiante usó lo que sabía sobre escribir números en forma fraccionaria y en forma decimal para escribir un enunciado con la solución?
Sabía cómo escribir el total en forma decimal. Escribir el enunciado con la solución en forma decimal coincide con el problema verbal, que está escrito en forma decimal.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la forma fraccionaria como ayuda para sumar números escritos en forma decimal.
Resolver un problema verbal de comparación
La clase razona acerca de un problema de comparación, lo representa y lo resuelve usando estrategias de su preferencia.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema en sus libros y léalo a coro con la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Escribe un enunciado con la solución usando un número decimal.
Una pared de la sala de estar de la Sra. Smith mide 0.78 metros de largo más que una de las paredes de su dormitorio. La pared del dormitorio de la Sra. Smith mide 4.32 metros de largo. ¿Cuánto mide de largo la pared de su sala de estar?
4 32 100 + 78 100 = 4 110 100 = 5 10 100
La pared de la sala de estar de la Sra. Smith mide 5.10 metros de largo.
Pida a sus estudiantes que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Permítales elegir por su cuenta las estrategias para hallar la solución.
Guíe a sus estudiantes para que razonen sobre el problema haciendo preguntas como las siguientes:
• ¿De qué trata el problema?
• ¿Qué información conocemos?
• ¿Qué información desconocemos?
Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las diferentes estrategias para sumar décimos y centésimos escribiéndolos en forma fraccionaria.
Los ejemplos de trabajo demuestran la suma en forma fraccionaria usando el método de flechas, sumando unidades semejantes y combinando los centésimos para formar 1.
Diferenciación: Apoyo
Considere usar las siguientes preguntas para brindar apoyo a sus estudiantes mientras dibujan diagramas de cinta para representar los números decimales:
• ¿De qué número entero está cerca 4.32?
• ¿De qué número entero está cerca 0.78?
• ¿Cómo se verían esos números enteros en un diagrama de cinta?
• ¿De qué manera pensar en los números decimales como los números enteros de los que están cerca les ayuda a dibujar un diagrama de cinta comparativo?
Nota para la enseñanza
Si sus estudiantes usan la forma vertical para mostrar la suma de números decimales, considere reconocer su método y pedirles que muestren su trabajo en forma fraccionaria. La clase aprende a sumar números decimales usando la forma vertical en 5.o grado.
Compartir, comparar y conectar
La clase comparte las soluciones del problema verbal de comparación y razona acerca de sus conexiones.
Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar de la manera más conveniente los trabajos compartidos que muestran las diferentes estrategias para sumar con fracciones, aplicando algún criterio que pueda resultar útil.
A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre el modelo que usó para representar el problema y la estrategia que usó para resolverlo. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que son diferentes. Anímeles a que hagan preguntas.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas con números decimales.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Qué ideas clave del problema necesitan asegurarse de incluir en sus diagramas?
• ¿Cómo pueden mejorar sus diagramas para representar mejor el contexto?
• ¿Cómo podrían simplificar el problema como ayuda para estimar la respuesta?
Nota para la enseñanza
El ejemplo de trabajo y el razonamiento de cada estudiante muestran respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.
Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.
Método de flechas (método de Eva)
Eva, ¿qué estrategia usaste para sumar 4.32 y 0.78?
Escribí los dos números en forma fraccionaria.
Vi que 78 100 estaba cerca de 100 100 , entonces comencé con 78 100 y usé el método de flechas para mostrar mi razonamiento. Descompuse 4 32 ___ 100 en 3 partes:
4, 22 100 y 10 100 . Sumé 22 100 a 78 100 y obtuve 1. Luego, sumé
4 y 10 100 más a 1.
¿Expresó Eva una fracción mayor que 1 con otro nombre?
No. Al sumar 22 100 a 78 100 , obtuvo una fracción igual
a 1, no mayor que 1.
¿Qué enunciado con la solución escribió Eva?
La pared de la sala de estar de la Sra. Smith mide 5.10 metros de largo.
Eva, ¿cómo sabes que tu respuesta es razonable?
La longitud de la pared del dormitorio de la Sra. Smith es aproximadamente 4 metros.
La longitud de la pared de su sala de estar es aproximadamente 1 metro más larga, que sería aproximadamente 5 metros. Mi respuesta de 5.10 metros está muy cerca de 5 metros.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Eva y sus propios trabajos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere mostrar esquemas de oración para que sus estudiantes consulten mientras comparten el razonamiento acerca de sus soluciones. Los esquemas de oración podrían ser los siguientes:
• Mi diagrama de cinta representa el problema porque muestra .
• Mi estrategia para hallar el total fue
• Mi ecuación es porque .
• Mi estrategia es parecida a/diferente de la de porque .
Considere reemplazar mi en cada esquema de oración por el o la, de manera que sus estudiantes puedan usar los mismos esquemas de oración para comentar las soluciones de sus pares.
Sumar unidades semejantes y formar 1 (método de Shen)
Shen, ¿qué estrategia usaste para sumar 4.32 y 0.78?
Escribí las cantidades en forma fraccionaria. Luego, pensé en sumar los números enteros y sumar los centésimos.
¿Cómo descompone Shen 4 32 ___ 100 y 78 ___ 100 para sumar?
Shen escribe 4 32 100 como la suma de 4, 30 100 y 2 100 .
Escribe 78 100 como la suma de 70 100 y 8 100 .
¿Cómo obtiene Shen 4 + 100 ___ 100 + 10 ___ 100 ?
4 representa el número entero en 4 32 100 .
100 100 representa la suma de 30 100 , de 4 32 ___ 100 , y 70 100 , de 78 ___ 100 .
10 100 representa la suma de 2 100 , de 4 32 100 , y 8 100 , de 78 100 .
Shen, ¿cómo sabes que tu respuesta es razonable?
La pa re d de la sa la de es ta r de la Sra. Sm it h mi de 5.10 me tros de la rg o. m
La pared del dormitorio de la Sra. Smith mide 4.32 metros de largo. La pared de su sala de estar mide 0.78 metros de largo más que eso. 4.32 metros es aproximadamente 4 metros. 0.78 metros es aproximadamente 1 metro. 4 metros + 1 metro = 5 metros. Mi respuesta es 5.10 metros. Como 5.10 metros está cerca de 5 metros, mi respuesta es razonable.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Shen y sus propios trabajos.
Diferenciación: Desafío
Considere presentar la siguiente actividad para desafiar a sus estudiantes a examinar otro trabajo de la clase, determinar la estrategia seleccionada y usarla para resolver el problema.
Proporcione a sus estudiantes un problema adicional. Invíteles a trabajar en grupos pequeños. Pida a cada estudiante en el grupo que comience a resolver el problema. Dé una señal al grupo y pida a cada estudiante que intercambie su trabajo con otra persona del grupo. Dé 1 minuto para que examinen el trabajo de la otra persona y determinen cuál era la estrategia para hallar la solución que estaba usando. Pídales que usen esa estrategia para resolver el problema. Como desafío adicional, considere pedirles que intercambien los trabajos más de una vez dentro del mismo grupo.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas verbales con décimos y centésimos
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre sumar números decimales a fin de resolver problemas verbales de un paso.
¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre sumar fracciones para resolver problemas verbales con números decimales?
Podemos escribir números decimales en forma fraccionaria. Luego, podemos usar lo que sabemos sobre sumar fracciones y números mixtos para hallar el total.
Podemos sumar cuando tenemos unidades semejantes. Si no tenemos unidades semejantes, podemos expresar los décimos como centésimos.
Podemos formar 1 o formar el siguiente 1.
¿Por qué es importante evaluar si nuestra respuesta es razonable cuando resolvemos problemas verbales?
Nos ayuda a pensar si nuestra respuesta tiene sentido. No escribimos una respuesta y luego pasamos al siguiente problema. Nos detenemos a pensar si nuestra respuesta tiene sentido para ese problema.
Si mi respuesta no es razonable, sé que pude haber cometido un error. Entonces, necesito volver y comprobar mi trabajo con cuidado.
DUA: Acción y expresión
Una vez que se hayan compartido todas las soluciones, considere hacer algunas de las siguientes preguntas para que sus estudiantes reflexionen:
• ¿Funcionó bien la estrategia que seleccionaron?
• ¿Harían algo diferente la próxima vez que resuelvan un problema parecido?
• ¿Usarían la misma estrategia de nuevo o intentarían usar una diferente?
• Si no llegaron al enunciado con la solución de manera correcta, piensen en el error que hallaron. ¿De qué manera haber hallado ese error les puede ayudar a tener éxito en el futuro? Por ejemplo, ¿qué recordarán hacer o no hacer la próxima vez?
Me ayuda a pensar en mi estrategia para hallar la solución. Si mi respuesta es razonable, pienso que la estrategia que elegí es correcta. Si mi respuesta no es razonable, necesito revisar mi estrategia. Me hago estas preguntas: ¿Cometí un error al sumar? ¿Tiene sentido mi estrategia para este problema? ¿Puedo intentar resolver el problema con una estrategia diferente?
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos
de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Escribe el numerador o denominador desconocido.
1.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. Escribe un enunciado con la solución usando un número decimal.
1. Las gallinas del Sr. Endo beben 5.6 litros de agua el lunes. Beben 6.17 litros el martes. En total, ¿cuántos litros de agua beben las gallinas los dos días?
5 6 10 + 6 17 100 = 11 77 100
Las gallinas beben un total de 11.77 litros de agua los dos días.
3. Una oveja mide 1.17 metros de largo. Un cerdo mide 0.47 metros de largo más que la oveja. ¿Cuál es la longitud del cerdo?
1 17 100 + 47 100 = 1 64 100
La longitud del cerdo es 1.64 metros.
2. Una sandía pesa 4.79 kilogramos. Una piña pesa 1.4 kilogramos. ¿Cuál es el peso combinado de la sandía y la piña?
4 79 100 + 1 4 10 = 6 19 100
El peso combinado de la sandía y la piña es 6.19 kilogramos.
4. Gabe arma un cubo mágico en 7.64 segundos. Eso es 4.93 segundos más rápido que el tiempo que tarda su hermano en armar el cubo. ¿Cuánto tarda el hermano de Gabe en armar el cubo mágico?
7 64 100 + 4 93 100 = 12 57 100
El hermano de Gabe tarda 12.57 segundos en armar el cubo mágico.
EUREKA MATH
5. Robin corre 5.3 kilómetros el sábado. El domingo, corre 1.85 kilómetros más que lo que corre el sábado. ¿Cuántos kilómetros corre Robin el domingo?
5 3 10 + 1 85 100 = 7 15 100
Robin corre 7.15 kilómetros el domingo.
6. Pablo tiene 4 billetes de un dólar, 3 dimes y 9 pennies Mía tiene 4 billetes de un dólar y 4 pennies. ¿Cuánto dinero tienen en total?
4 39 100 + 4 4 100 = 8 43 100
Pablo y Mía tienen $8.43 en total.
Estándares
Estándares de contenido del módulo
Resuelven problemas relacionados a la medición y a la conversión de medidas de una unidad más grande a una más pequeña.
4.MD.A.2 Utilizan las cuatro operaciones para resolver problemas verbales sobre distancias, intervalos de tiempo, volúmenes líquidos, masas de objetos y dinero, incluyendo problemas con fracciones simples o decimales, y problemas que requieren expresar las medidas dadas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Representan cantidades medidas utilizando diagramas tales como rectas numéricas con escalas de medición.
Entienden la notación decimal para las fracciones, y comparan fracciones decimales.
4.NF.C.5 Expresan una fracción con denominador 10 como una fracción equivalente con denominador 100, y utilizan esta técnica para sumar dos fracciones con denominadores respectivos de 10 y 100. 4 Por ejemplo, expresan 3 10 como 30 100 y suman 3 10 + 4 100 = 34 100 .
4.NF.C.6 Utilizan la notación decimal para las fracciones con denominadores de 10 o 100. Por ejemplo, al escribir 0.62 como 62 ___ 100 ; al describir una longitud como 0.62 metros; al localizar 0.62 en una recta numérica.
4.NF.C.7 Comparan dos decimales hasta las centésimas al razonar sobre su tamaño. Reconocen que las comparaciones son válidas solamente cuando ambos decimales se refieren al mismo entero. Anotan los resultados de las comparaciones con los símbolos >, = o <, y justifican las conclusiones, por ejemplo, utilizando una recta numérica u otro modelo visual. (CA)
4 Los estudiantes que pueden generar fracciones equivalentes, en general, pueden desarrollar estrategias para sumar fracciones con denominadores diferentes. Sin embargo, saber sumar y restar con denominadores diferentes no es un requisito para este grado.
Estándares para la práctica de las matemáticas
MP1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.
MP2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.
MP3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.
MP4 Representan a través de las matemáticas.
MP5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.
MP6 Ponen atención a la precisión.
MP7 Reconocen y utilizan estructuras.
MP8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
4.Mód5.CLA1 Expresan fracciones con un denominador de 10 como fracciones equivalentes con un denominador de 100.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.NF.C.5 Expresan una fracción con denominador 10 como una fracción equivalente con denominador 100, y utilizan esta técnica para sumar dos fracciones con denominadores respectivos de 10 y 100. 4 Por ejemplo, expresan 3 __ 10 como 30 ___ 100 y suman 3 __ 10 + 4 100 = 34 100 . 4 Los estudiantes que pueden generar fracciones equivalentes, en general, pueden desarrollar estrategias para sumar fracciones con denominadores diferentes. Sin embargo, saber sumar y restar con denominadores diferentes no es un requisito para este grado.
Expresan fracciones con un denominador de 10 como fracciones equivalentes con un denominador de 100 a partir de un modelo dado.
Completa el espacio para que la ecuación sea verdadera. Usa el modelo como ayuda
Expresan fracciones con un denominador de 10 como fracciones equivalentes con un denominador de 100.
Completa el espacio para que la ecuación sea verdadera. 6 10 = 100
6 10 = 100
4.Mód5.CLA2 Suman dos fracciones con los denominadores 10 y 100, respectivamente.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.NF.C.5 Expresan una fracción con denominador 10 como una fracción equivalente con denominador 100, y utilizan esta técnica para sumar dos fracciones con denominadores respectivos de 10 y 100. 4 Por ejemplo, expresan 3 10 como
4 Los estudiantes que pueden generar fracciones equivalentes, en general, pueden desarrollar estrategias para sumar fracciones con denominadores diferentes. Sin embargo, saber sumar y restar con denominadores diferentes no es un requisito para este grado.
Parcialmente competente
Suman dos fracciones con los denominadores 10 y 100, respectivamente, a partir de un modelo dado
Suma. Usa los modelos como ayuda.
7 10 + 65 100
Competente
Suman dos fracciones con los denominadores 10 y 100, respectivamente.
Suma.
10 + 65 100
Altamente competente
4.Mód5.CLA3 Representan décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria o utilizando un modelo.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.NF.C.6 Utilizan la notación decimal para las fracciones con denominadores de 10 o 100. Por ejemplo, al escribir 0.62 como 62 100 ; al describir una longitud como 0.62 metros; al localizar 0.62 en una recta numérica.
Parcialmente competente
Relacionan modelos de décimos y centésimos con los números decimales o las fracciones que representan.
Empareja cada modelo de área con la fracción y el número decimal que representa la parte sombreada. Escribe en cada recuadro un valor de las opciones de respuesta dadas. Cada cuadrado grande representa 1.
Modelo de área Fracción Número decimal
Competente
Representan décimos y centésimos en forma decimal, en forma fraccionaria o utilizando un modelo.
Completa los espacios para que la ecuación sea verdadera
=
Altamente competente
Expresan un número escrito en forma desarrollada como un número decimal o una fracción.
¿Qué número es equivalente a 1 + 2 10 + 3 100 ?
A. 12.3
B. 10.23
C. 1.32
D. 1.23
Opciones de respuesta
4.Mód5.CLA4 Comparan dos números decimales hasta los centésimos y justifican las conclusiones.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.NF.C.7 Comparan dos decimales hasta las centésimas al razonar sobre su tamaño. Reconocen que las comparaciones son válidas solamente cuando ambos decimales se refieren al mismo entero. Anotan los resultados de las comparaciones con los símbolos >, = o <, y justifican las conclusiones, por ejemplo, utilizando una recta numérica u otro modelo visual. (CA)
Comparan dos números decimales hasta los centésimos a partir de un modelo dado.
Usa >, = o < para comparar los números decimales..
0.5 0.42
Comparan dos números decimales hasta los centésimos y justifican las conclusiones.
Usa >, = o < para comparar los números decimales. Marca la ubicación de cada número decimal en la recta numérica para justificar tu respuesta
Analizan errores en una comparación de dos números decimales hasta los centésimos.
Casey dice que 0.30 > 0.3 porque 30 es mayor que 3. Explica el error de Casey y compara los dos números decimales de manera correcta.
4.Mód5.CLA5 Resuelven problemas verbales sobre la suma de números decimales.
Nota: La clase suma números decimales convirtiéndolos a fracciones con el mismo denominador.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.MD.A.2 Utilizan las cuatro operaciones para resolver problemas verbales sobre distancias, intervalos de tiempo, volúmenes líquidos, masas de objetos y dinero, incluyendo problemas con fracciones simples o decimales, y problemas que requieren expresar las medidas dadas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Representan cantidades medidas utilizando diagramas tales como rectas numéricas con escalas de medición.
Parcialmente competente
Competente
Resuelven problemas verbales sobre la suma de números decimales.
Una jirafa mide 1.8 metros de alto. Crece otros 2.83 metros. ¿Cuántos metros de alto mide la jirafa ahora?
Altamente competente
Vocabulario
Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 5 de 4.o grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.
Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.
Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.
Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.
Nuevo
centésimos
Los centésimos son una unidad de valor posicional. 1 unidad se puede descomponer en 100 centésimos. (Lección 6) décimos
Los décimos son una unidad de valor posicional. 1 unidad se puede descomponer en 10 décimos. (Lección 3)
forma decimal
Cuando se escribe un número con un punto decimal, está escrito en forma decimal. Por ejemplo, el número 1 décimo, que está escrito en forma unitaria, también se puede escribir en forma fraccionaria como 1 __ 10 o en forma decimal como 0.1 o .1. (Lección 2)
fracción decimal
Una fracción que tiene un denominador de 10 o de 100 es una fracción decimal. (Lección 2)
Cualquier fracción que tenga un denominador que sea una potencia de 10 es una fracción decimal. En 4.o grado, la clase aprende solamente las fracciones decimales con denominadores de 10 o de 100.
número decimal
Cuando se escribe un número en forma decimal, se trata de un número decimal. (Lección 2)
punto decimal
El punto decimal indica qué dígito representa las unidades y qué dígito representa los décimos. El dígito que está a la izquierda del punto decimal representa las unidades. El dígito que está a la derecha del punto decimal representa los décimos. (Lección 1)
En algunos países, se usa una coma decimal para indicar qué dígito representa las unidades y qué dígito representa los décimos. Por ejemplo, el número decimal 1 con 25 centésimos se escribe como 1,25 en lugar de 1.25.
Conocido
denominador
forma desarrollada
forma fraccionaria
forma unitaria
fracción equivalente
fracción mayor que 1 numerador
número mixto
suma
total
Verbos académicos
En el módulo 5 no se presenta ningún verbo académico de la lista de 4.o grado.
Las matemáticas en el pasado
Crónicas decimales
¿Qué componentes forman el sistema de valor posicional decimal en base 10?
¿En qué partes del mundo se origina el sistema decimal en base 10?
¿De qué manera se escribieron los números decimales a través de la historia?
Usamos números decimales en más maneras de las que nos damos cuenta. Cuando contamos dinero, cuando pesamos productos en el supermercado o cuando medimos la longitud de un objeto con una regla, estamos usando el sistema de numeración decimal. Este sistema se basa en diez símbolos, los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, y depende de la cuidadosa posición de cada símbolo para indicar el valor de los números que queremos expresar. Por ejemplo, si bien 23 y 32 usan los mismos dos símbolos, representan dos números diferentes. El número 555.5 usa el mismo símbolo varias veces, pero gracias a sus distintas posiciones comprendemos que representa cinco centenas, cinco decenas, cinco unidades y cinco décimos. El número es quinientos cincuenta y cinco y medio.
El número 555.5 usa un símbolo adicional, el punto decimal, para separar el número entero de la parte fraccionaria del número. Hoy en día, en Europa se usa una coma en lugar de un punto para este símbolo, mientras que en el pasado se usaban otros símbolos, como un apóstrofo, un único paréntesis, una cuña y un punto elevado.
Nuestro sistema decimal para la escritura de números incluye los siguientes componentes:
• Diez símbolos de dígitos y un símbolo para el punto decimal
• El valor posicional para indicar el valor de un dígito
• El valor posicional basado en las potencias de diez (es decir, unidades, decenas, centenas y así sucesivamente) y en las potencias de un décimo (es decir, un décimo, un centésimo y así sucesivamente)
¿Cuándo y cómo surgieron estos componentes?
Como aprendimos en 1.er grado, los orígenes del sistema de valor posicional basado en las potencias de diez se remontan al 400 a. e. c. y a los antiguos tableros chinos para contar. Los tableros (que a veces consistían solo en una tela) estaban grabados con filas y columnas de celdas cuadradas y se usaban para llevar a cabo operaciones aritméticas. Se colocaban varillas en las celdas para representar los dígitos del 1 al 9. El dígito cero se expresaba con un simple espacio en blanco en el tablero. Cada fila representaba un número y la ubicación de las varillas indicaba las unidades, decenas, centenas y así sucesivamente, al igual que en la actualidad. La elección de usar una base diez para este sistema numérico probablemente se deba a la tradición de contar con los diez dedos.
A veces, para designar los dígitos se alineaban las varillas de forma vertical y otras veces, de forma horizontal. Esto se debía a que las antiguas varillas tenían forma de cilindro, como un lápiz, y podían rodar con facilidad.
¡La flexibilidad para cambiar la orientación de las varillas ayudaba a mantenerlas en su lugar! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
La noción de usar el valor posicional para representar los números se remonta a unos dos milenios. En la Antigua Babilonia, se usaba una combinación de dos símbolos (símbolos para uno y diez) a fin de representar los números del 1 al 59 y, luego, se pasaba a un sistema de valor posicional en base 60 para expresar los números más grandes y más pequeños. Esto se llama sistema posicional sexagesimal.
En nuestro sistema de valor posicional en base 10, se puede escribir un número en forma desarrollada. Por ejemplo, se puede escribir 555.5 como las siguientes expresiones:
De manera similar, en el sistema numérico babilónico en base 60, también se puede desarrollar 555.5, pero con diferentes resultados: 5 × (60 × 60) + 5 × (60) + 5 × (1) + 5 × ( 1 60 ) 5 × (3600) + 5 × (60) + 5 × (1) + 5 × ( 1 60 ) 18,000 + 300 + 5 + 5 60 18,305 1 12
A cada número se le asignaba, de derecha a izquierda, un valor posicional, como el sistema en base 10, que asigna, de derecha a izquierda, un valor para la posición de las unidades, la posición de las decenas, la posición de las centenas y así sucesivamente. El pueblo de Babilonia sabía el valor de cada posición y, entonces, podía calcular el valor total de una serie de números basándose en sus posiciones.
Curiosamente, en Babilonia no usaban el equivalente a un punto decimal para distinguir cada valor posicional. Tampoco usaban un símbolo para el cero ni un espacio en blanco para indicar la falta de una cantidad en una posición determinada. Simplemente escribían su versión de 555.5 como 5555, que también podría haber significado 55,550 o 50,505.5 o 0.0005555. Quienes estudiaban las matemáticas dependían del contexto de un número para interpretarlo de manera correcta.
Considere pedir a sus estudiantes que expresen otros números en base diez y en notación sexagesimal: 153 y 329.
Quienes estudian la historia creen que los tableros chinos para contar en base 10 combinados con el sistema posicional sexagesimal babilónico influenciaron a las antiguas civilizaciones indias para crear el sistema de valor posicional en base 10 completo que usamos hoy en día.
Ya había indicios de un uso temprano del razonamiento decimal en la India en la cultura del valle del Indo (alrededor de 2500-1700 a. e. c.), en el sur de Asia. La civilización del valle del Indo fue una de los primeras en usar un sistema uniforme de pesos y medidas, con una escala de factores de 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500. Su regla estándar (la regla de Mohenjo-Daro) se dividía en segmentos de 1.32 pulgadas, conocidos como la pulgada del Indo. Durante una excavación
en la región, se hallaron ladrillos usados para la construcción de viviendas que tienen dimensiones correspondientes a los múltiplos de las unidades de esta escala de medición. En la actualidad, se considera que estos ladrillos tienen el tamaño perfecto para la construcción.
Una de las primeras apariciones del cero como marcador de posición en un sistema posicional fue en el manuscrito de Bakhshālī. Fue descubierto en 1881 por un granjero de la zona en el pueblo de Bakhshālī, en lo que hoy en día es Pakistán, y data de entre los años 200 y 400 e. c. El símbolo del punto que usaban evolucionó hasta tener un centro hueco, como el símbolo moderno para el cero. Para el año 700 e. c., quienes estudiaban las matemáticas en la India consideraban el cero no solo como un marcador de posición, sino también como un número.
Mientras tanto, las expertas y los expertos en matemáticas árabes estaban desarrollando su propio sistema numérico, influenciado por el sistema indio. Los escritos del siglo IX de Muhammad ibn Mūsa al-Khwārizmī fueron unos de los primeros trabajos árabes en explicar y usar los numerales indios para 1, 2, 3…, 9 en un sistema de valor posicional decimal.
Después de viajar a África del Norte y de aprender sobre el sistema de valor posicional indoarábigo, el matemático italiano Leonardo Fibonacci escribió acerca de él en su libro del año 1202 Liber Abaci e introdujo el sistema en la Europa medieval.
En 1585, Simon Stevin, un matemático e ingeniero belga, escribió La Thiende (El décimo) a fin de brindar un análisis exhaustivo sobre el uso del sistema de valor posicional decimal para representar fracciones. Introdujo la notación para los números decimales y popularizó aún más el uso del sistema decimal.
Stevin no siguió la notación arábiga, ni introdujo nuestro punto decimal moderno. En su lugar, indicó la posición fraccionaria (es decir, décimos,
centésimos, etc.) con puntos numerados arriba o a la derecha de cada dígito. Por ejemplo, escribió 2.45 de las siguientes dos maneras:
2 0 4 1 5 2 y 0 1 2 2 4 5
Stevin nombró a lo que hoy llamamos décimos y centésimos como primo y segundo. Su libro también analizó la posibilidad de adoptar un sistema universal decimal de moneda, medida y peso. En 1608, La Thiende se tradujo al inglés con el nombre Disme, The Art of Tenths (La Disme [Aritmética decimal]) e inspiró a Thomas Jefferson a proponer un sistema de moneda decimal para los Estados Unidos. ¿Ven sus estudiantes una semejanza entre las palabras disme y dime?
El matemático y científico escocés John Napier también usó la aritmética decimal en su libro de 1616, traducido como A Description of the Admirable Table of Logarithmes (Descripción de una admirable tabla de logaritmos). Napier usó un punto para separar el número entero del número decimal, pero al año siguiente usó una coma. En la actualidad, muchos países, incluidos Costa Rica, Hungría, Francia e Islandia, continúan usando una coma en lugar de un punto decimal al separar el valor del dólar del de los centavos. Por ejemplo, dependiendo del país, trescientos mil doscientos noventa dólares con quince centavos se podría escribir como 300.290,15 o como 300,290.15. ¡Usar la notación equivocada puede costar muy caro!
Escriba el número cien y un milésimo como lo hacen las personas en uno de los países mencionados anteriormente y como se hace en los EE. UU. ¿Cómo se podría interpretar este número de manera incorrecta? Este ejemplo muestra la importancia de usar un sistema de notación con el que todas las personas estén de acuerdo, sin depender del contexto en el que se escriba el número. ¡Esto demuestra que el recorrido para hallar un sistema de notación común ha sido un esfuerzo mundial!
Materiales
Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro.
25 borradores para las pizarras blancas individuales
1 computadora o dispositivo para la enseñanza
1 hilo de 8 pies
1 juego de tarjetas de valor posicional de decimales de Eureka Math2™
1 juego de tarjetas de valor posicional de Eureka Math2™, hasta los millones
25 lápices
1 libro Enseñar
24 libros Aprender
25 marcadores de borrado en seco
Visite http://eurmath.link/materials para saber más.
4 papel en blanco, hojas
25 pizarras blancas individuales
1 proyector
1 regla de un metro de madera
25 sets de discos de decimales de Eureka Math2™, milésimos a unidades
25 sets de discos de valor posicional de Eureka Math2™, unidades a millones
9 tarjetas de índice
25 tijeras
Obras citadas
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Créditos
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Conocimientos2 Siguiendo con la tradición de ayudar a los maestros y maestras con todo lo que necesiten para que sus estudiantes desarrollen un conocimiento profundo y coherente de las matemáticas, Eureka Math2 ofrece colecciones de videos y recomendaciones hechas a medida de los y las profesionales con más y con menos experiencia.
Digital2 A través de una experiencia digital perfectamente integrada, Eureka Math2 incluye cientos de imágenes inteligentes, videos cautivadores y actividades digitales interactivas que encienden la chispa de la conversación y el asombro en su salón de clases.
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Sonrisas2 Con Eureka Math2, usted y sus estudiantes se enamorarán de las matemáticas, o recordarán qué era lo que les hizo enamorarse de ellas.
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
En esta pintura, el pintor abstracto Frank Stella usó un compás para crear figuras curvas muy brillantes. Cada parte de esta cuadrícula tiene un arco que es parte de un diseño de semicírculos que parecen arcoíris.
Cuando Stella ubica estos patrones de arcoíris juntos, forman círculos. ¿Qué fracción de un círculo se muestra en cada cuadrado?
En la portada
Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969
Frank Stella, American, born 1936
Acrylic on canvas
Minneapolis Institute of Art, Minneapolis, MN, USA
