Μεθοδολογια Β Λυκειου by Takis Tsakalakos

Μαθηματικα Κατευθυνσης Γ Λυκειου

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Mιγαδικοι Αριθμοι 6

Θεωρια

Τροπος λυσης

Βασικες Ασκησεις

Προπονηση

Αποδειξεις

Συναρτησεις 52

Θεωρια

Τροπος λυσης

Βασικες Ασκησεις

Προπονηση

Οριο Συνεχεια 94

Θεωρια

103

Τροπος λυσης

141

Βασικες Ασκησεις

144

Προπονηση

154

Αποδειξεις

Παραγωγος 156

Θεωρια

169

Τροπος λυσης

228

Βασικες Ασκησεις

231

Προπονηση

247

Αποδειξεις

Ολοκληρωματα 254

Θεωρια

263

Τροπος λυσης

295

Βασικες Ασκησεις

297

Προπονηση

309

Αποδειξεις

Επαναληψη 312

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

Θεματα

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

Τακης Τσακαλακος 2012

Στην Ε λ ι α

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

1. Ο ρ ι σ μ ο ι • Το συνολο  των μιγαδικων αριθμων ειναι ενα υπερσυνολο του  , το οποιο εχει τις πιο κατω ιδιοτητες: • Ισχυουν οι ιδιοτητες της προσθεσης και του πολλαπλασιασμου που ισχυουν και στο συνολο  . • Ισχυει: z + 0 = z και z ∙ 1 = z, για καθε z∈  .

• Υπαρχει ενα στοιχειο i∈  τετοιο, ωστε i² = - 1.

• Για καθε z∈  , υπαρχουν μοναδικοι α,β∈  τετοιοι, ωστε z = α + β i . • το α λεγεται π ρ α γ μ α τ ι κ ο μ ε ρ ο ς του z και συμβολιζεται με Re(z). • το β λεγεται φ α ν τ α σ τ ι κ ο μ ε ρ ο ς του z και συμβολιζεται με Im(z). • αν α = 0 (Re(z) = 0) τοτε ο z ειναι φανταστικος. • αν β = 0 (Im(z) = 0) τοτε ο z ειναι πραγματικος. • το συνολο των φανταστικων αριθμων συμβολιζεται με Ι. • Αν z = α + β i και w = γ + δ i, τοτε: • z = w αν (α = γ και β = δ). • z = 0 αν (α = 0 και β = 0). Σημειωση: Στο συνολο  δεν επεκτεινεται η διαταξη που ισχυει για το  . Δηλαδη ανισωσεις της μορφης z > w η z < w δεν εχουν νοημα στους μιγαδικους. Διαταξη υπαρχει μονο για τα μετρα μιγαδικων αριθμων π.χ. |z| > |w| η |z| < |w| .

Παρατηρησεις: • Το  περιεχει το  , αρα ειναι ενα υπερσυνολο του  (    ). • Το  περιεχει το Ι , αρα ειναι ενα υπερσυνολο του Ι (   Ι ). • Το  περιεχει την φανταστικη μοναδα i. • Οι γνωστες πραξεις της προσθεσης και του πολλαπλασιασμου του  επεκτεινονται και ισχυουν και στο  με τις ιδιες ιδιοτητες. • Το 0 και το 1 ειναι αντιστοιχα τα ουδετερα στοιχεια της προσθεσης και του πολλαπλασιασμου στο  . • Το 0 ειναι το απορροφητικο στοιχειο του πολλαπλασιασμου: 0  z = 0 , με z   .

2. Π ρ α ξ ε ι ς Εστω οι μιγαδικοι αριθμοι z₁ = α + β i και z₂ = γ + δ i. Ισχυουν οι πραξεις στο  :

• Προσθεση: z₁ + z₂ = ( α + γ ) + ( β + δ ) i (προσθετουμε χωριστα τα πραγματικα και χωριστα τα φανταστικα μερη) • Αφαιρεση: z₁ - z₂ = ( α – γ ) + ( β – δ ) i (αφαιρουμε χωριστα τα πραγματικα και χωριστα τα φανταστικα μερη)

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

• Πολλαπλασιασμος: z₁ ∙ z₂ = ( α γ – β δ ) + ( α δ + β γ ) i (το γινομενο προκυπτει εφαρμοζοντας την επιμεριστικη ιδιοτητα) • Διαιρεση:

z1 α γ + β δ β γ - α δ = + i z2 γ 2 + δ 2 γ 2 + δ 2

(για να παρουμε το πηλικο στην μορφη x+yi πολλαπλασιαζουμε τους ορους του

α + βi με γ + δi

την παρασταση γ – δ i (συζυγης του παρονομαστη)).

3. Σ υ ζ υ γ ε ι ς Ονομαζουμε σ υ ζ υ γ η του z = α + β i και συμβολιζουμε με z , τον z = α - βi .

Ιδιοτητες • Για τους συζυγεις μιγαδικους z = α + β i και z = α – β i ισχυουν: • z ∙ z = α² + β² • z + z = 2 ∙ Re(z) • z - z = 2 ∙ [Im(z)] ∙ i • Ο μιγαδικος z ειναι πραγματικος αν και μονο αν z = z . • Ο μιγαδικος z ειναι φανταστικος αν και μονο αν z = - z . • Για τους μιγαδικους z, z₁, z₂ ισχυουν: • z=z • z1 + z2 = z1 + z 2 και γενικα z1 + z 2 + ... + zν = z 1 + z 2 + ... + z ν • z1  z 2 = z1  z2 και γενικα z1  z2  ...  zν = z1  z2  ...  z ν , για καθε ν∈ * •(

z1 z ) = 1 , z₂ ≠ 0 z2 z2

• (z ν ) = ( z ) ν για καθε θετικο ακεραιο ν.

4. Δ υ ν α μ η • Για το μιγαδικο αριθμο z = α + β i οριζουμε: • z¹= z • zº= 1 , z ≠ 0 1 • z -ν = ν , v∈ * , z ≠ 0 z • z ν = z ν-1  z , v∈  , v > 1 • Για τις δυναμεις του i οριζουμε: • i ν = i υ = 1, αν υ = 0

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

• i ν = i υ = i, αν υ = 1 • i ν = i υ = -1, αν υ = 2 • i ν = i υ = -i, αν υ = 3 oπου υ το υπολοιπο της Ευκλειδειας διαιρεσης του ν με το 4. Ειδικα: • i² = - 1 • i³ = - i • i⁴ = 1 Σημειωση: i ν = i 4π+υ = (i 4 ) π  i υ = 1  i

= i υ , οπου π,υ το πηλικο και το υπολοιπο αντιστοιχα της Ευκλειδειας διαιρεσης του ν με το 4. υ

5. Ε ι κ ο ν α Σ’ενα μιγαδικο αριθμο z = α + β i μπορουμε να αντιστοιχισουμε το σημειο Μ(α,β) ενος καρτεσιανου γινομενου, οπως και σε καθε σημειο Μ(α,β) του μιγαδικου επιπεδου μπορουμε ν’αντιστοιχισουμε ενα μιγαδικο αριθμο z = α + β i . Ε ι κ ο ν α του μιγαδικου z ονομαζεται το σημειο Μ και συμβολιζεται με M(z). Μ ι γ α δ ι κ ο ε π ι π ε δ ο ονομαζεται αυτο που τα σημεια του ειναι εικονες μιγαδικων αριθμων. Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ς α ξ ο ν α ς ονομαζεται ο αξονας x’x. Φ α ν τ α σ τ ι κ ο ς α ξ ο ν α ς ονομαζεται ο αξονας y’y.

y β

Μ(α,β)

-β

Κ(α,-β)

Οι εικονες δυο συζυγων μιγαδικων z = α + β i και z = α – β i (τα σημεια Μ,Κ αντιστοιχα, στο σχημα) ειναι σημεια συμμετρικα ως προς τον αξονα x’x.

5. Ε π ι λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς 2 ο υ β α θ μ ο υ σ τ ο C Eστω η εξισωση α z² + β z + γ = 0 με α,β,γ∈  , z∈  , α ≠ 0 και Δ = β²- 4 α γ ειναι η

διακρινουσα της.Τοτε αν:

• Δ > 0 η εξισωση εχει δυο πραγματικες ανισες ριζες: z₁₂ = • Δ = 0 η εξισωση εχει μια διπλη πραγματικη ριζα: z = -

-β± Δ 2α

β 2α

• Δ < 0 η εξισωση εχει δυο συζυγεις μιγαδικες ριζες: z₁₂ =

-β ±i -Δ 2α

Επισης ισχυουν: ● z₁ + z₂ = ● z₁ ∙ z₂ =

β α γ α

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

6. Μ ε τ ρ ο Μ ι γ α δ ι κ ο υ Εστω μιγαδικος αριθμος z = x + y i και M(z) η εικονα του στο μι-

γαδικο επιπεδο. Ονομαζουμε μ ε τ ρ ο του μιγαδικου z την αποσταση του M(z) α-

πο την αρχη των αξονων Ο(0,0) και το συμβολιζουμε με |z|. To μετρο του μιγαδικου δινεται απo: |z| =

x2+y

|z|

Ιδιοτητες

• Για z = x + y i : | z | = | z | = | - z | = | - z | = • Για z = x + y i : | z

M(x,y)

| = | z |2= z z = x 2 + y

x2+y

• Για μιγαδικους z₁, z₂:

| z1  z2 | = | z1 |  | z 2 | και | z1  z2  ...  z v | = | z1 |  | z2 | ... | z v | , ν∈ * • Για μιγαδικους z₁,z₂: |

z1 | z1 | |= z₂≠0 z2 | z2 |

• Για μιγαδικους z₁,z₂: | z v |=| z | v ν∈  * • Για μιγαδικους z₁,z₂: ||z₁| - |z₂|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| (τριγωνικη ανισοτητα)  •Το |z1 + z2| ειναι το μετρο του διανυσματος OM . M(z1+z2)  y M2(z2) •Το |z1 - z2| ειναι το μετρο του διανυσματος ON .  Η διαφορα z1 - z2 παριστανεται απο το διανυσμα ON και M1(z1)  οχι απο το M 2 M 1 , ομως το μετρο της διαφορας z1 - z2 ειO x   ναι ισο και με το | ON | και με το | M 2 M 1 |. N(z1-z2) -z2

Δηλαδη |z1 - z2| = (Μ1Μ2) οπου Μ1, Μ2 οι εικονες των z1, z2.

7. Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Μ ι γ α δ ι κ ο υ • Για τις εικονες των μιγαδικων z₁,z₂ ισχυει:     OM - OΛ = ΛΝ η | ΛΝ | = | z1 - z 2 | Δηλαδη το μετρο της διαφορας δυο μιγαδικων αριθμων ειναι ισο με την αποσταση των εικονων τους.

y xo

M(z)

y O

yo A(z1)

|z-z1|

x M

• Εστω ο μιγαδικος z₀ = x₀ + y₀ i και ενας θετικος |z-z2|

πραγματικος ρ. Η εξισωση |z - z₀| = ρ ειναι εξισωση κυκλου με

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

B(z2)

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

κεντρο την εικονα Κ(x₀,y₀) του z₀ και ακτινα ρ. • Η εξισωση |z| = ρ ειναι εξισωση κυκλου με κεντρο

M1(z1)

M(z)

την εικονα Κ(0,0) και ακτινα ρ. • Εστω οι μιγαδικοι z₁,z₂.

M2(z2)

Η εξισωση |z - z₁| = |z - z₂| ειναι εξισωση της μεσο-

M(z)

καθετου του τμηματος με ακρα A(z₁) και B(z₂).

M1(z1)

• Η εξισωση |z – z1| + |z – z2| = 2 α, α > 0, (Μ1Μ2) < 2α παριστανει ελλειψη με εστιες τα σημεια Μ1, Μ2 και στα-

M2(z2)

θερο αθροισμα 2α. Στοιχεια: 2γ = (Μ1Μ2) , β =

α2 -γ2

• Η εξισωση | | z - z1 | - | z - z 2 | | = 2 α, α > 0, (Μ1Μ2) > 2α, παριστανει υπερβολη με εστιες τα σημεια Μ1, Μ2 και σταθερη διαφορα 2α. Στοιχεια: 2γ = (Μ1Μ2), β =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

γ2 -α2

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

8. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 8.1 Ε ν ν ο ι α - Π ρ α ξ ε ι ς Μ ι γ α δ ι κ ω ν 8.1.1 Κανονικη μορφη:

● Ζητουμενα : Μετασχηματισμος μιγαδικου στη κανονικη μορφη του.

● Δοσμενα : Παρασταση μιγαδικων.

● Τροπος Λυσης : ● Με πραξεις μετασχηματιζουμε το μιγαδικο στη μορφη : α + β i .

Να μετασχηματιστουν οι παρακατω μιγαδικοι στη κανονικη τους μορφη. ● z1 = (3 - 2i)(5 + i) ● z2 = (2 + 3i) 2 ● z3 = (1 - i) 2(2 + 3i) ● z1 = (3 - 2i)(5 + i) = 15 + 3i - 10i - 2i 2 = 15 + 3i - 10i + 2 = 17 - 7i. ● z2 = (2 + 3i) 2 = 4 + 12i + 9i 2 = 4 + 12i – 9 = - 5 + 12i ● z3 = (1 - i) 2(2 + 3i) = (1 - 2i + I 2)(2 - 3i) = - 2i (2 - 3i) = - 4i + 6i 2 = - 6 - 4i 8.1.2 Iσοτητα μιγαδικων:

● Ζητουμενα : Αποδειξη οτι δυο μιγαδικοι ειναι ισοι η ευρεση παραμετρου (απο ισοτητα).

● Δοσμενα : Δυο μιγαδικοι η παρασταση μιγαδικων.

● Τροπος Λυσης : ● Τους μετασχηματιζουμε στη μορφη: α + β i και ● αποδεικνυω την ισοτητα τους, αν τα πραγματικα και τα φανταστικα μερη τους αντιστοιχα ειναι ισα . ● Εξισωνω τα πραγματικα και τα φανταστικα μερη τους αντιστοιχα, προκειμενου να προσδιορισω παραμετρους.

Να δειξετε οτι oι μιγαδικοι αριθμοι z1 =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

3+i 1+i και z1 = + 1 ειναι ισοι. 2-i 1-i

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Ειναι z1 =

3 + i (2 + i)(3 + i) 6 + 2i + 3i + i 2 6 + 2i + 3i - 1 5 + 5i = = = = =1 +i 2 - i (2 + i)(2 - i) 4 +1 5 22 -i2

1 +i (1 + i)(1 + i) 1 + 2i + i 2 1 + 2i - 1 2i +1 =1 +i +1 = +1 = 2 2 +1 = +1 = 1 -i (1 + i)(1 - i) 1 +1 1 -i 2 Aρα, z 1 = z 2 .

z2 =

Nα βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι x,y αν ισχυει: x 2+ 3 y i = ( 6 – x y ) + ( 7 – 2 x ) i . Για να ισχυει η ισοτητα πρεπει: x 2 = 6 – x y και 3 y = 7 – 2 x η

x 2+ x ∙

7 -2x 3

= 6 και y =

7 -2x 3

x 2 = 6 – x ∙ y και y = η

7 -2x 3

x 2 + 7x – 18 = 0 και y =

7 -2x 3

Oι ριζες της x 2 + 7x – 18 = 0 ειναι x = 2 και x = - 9 Οποτε ● Για x = 2 τοτε y = 1

● Για x = - 9 τοτε y =

25 3

8.1.3 Γεωμετρικος τοπος εικονας μιγαδικου :

● Ζητουμενα : Ευρεση γεωμετρικου τοπου της εικονας μιγαδικου.

● Δοσμενα : Μιγαδικος που περιεχει παραμετρο η παρασταση μιγαδικου.

● Τροπος Λυσης : ● Το πραγματικο και φανταστικο μερος του μιγαδικου περιεχει παραμετρο. ● Θετουμε τον μιγαδικο σε μορφη z = x + y i . ● Λυνουμε το συστημα :

Re(z) = x   με απαλοιφη της παραμετρου. Ιm(z) = y 

● Δοσμενη σχεση του πραγματικου και φανταστικου μερους του μιγαδικου w με Re(w) = Im(w) και w = f(z) . ● Θετουμε τον μιγαδικο z σε μορφη z = x + y i και w = f(z). ● Mε πραξεις φερνουμε τον μιγαδικο w σε μορφη w = a(x,y) + β(x,y) i . ● Iσχυει a(x,y) = β(x,y) .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Αν α , β ∈  και |α| + |β| ≠ 0, να αποδειχτει oτι η εικονα του μιγαδικου αριθμου α 2 + iβ 2 w= 2 κινειται σε μια ευθεια, για κaθε τιμη των α, β . α +β2 Εστω w = x + y i. Tοτε α 2 + iβ 2 α 2 + iβ 2 α2 β2 w= 2 ⇔ x + yi = 2 ⇔ x + yi = 2 + i⇔ α +β2 α +β2 α +β2 α2 +β2 α2 x= 2 (1) α +β2

β2 y= 2 α +β2

(2)

Προσθετοντας κατa μελη τις (1), (2) x+y=

α2 β2 α2 +β2 + ⇔ x + y = ⇔x+y=1 α2 +β2 α2 +β2 α2 +β2

Aρα η εικονα του w κινειται στην ευθεια: x + y = 1 .

Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των εικονων Μ των μιγαδικων αριθμων z, για τους z -2  z - 2  οποιους ισχυει: Im   = Re  . z -6  z -6  Aν w =

z -2 με z ≠ 6 και z = x + y i με y ≠ 0, z-6

ειναι w=

z - 2 (x - 2) + yi [(x - 2) + yi][(x - 6) - yi] = = = z - 6 (x - 6) + yi (x - 6) 2 + y 2

(x - 2)(x - 6) + y 2 + [- y(x - 2) + y(x - 6)]i = (x - 6) 2 + y 2

x 2 + y 2 - 8x + 12 4y i 2 2 (x - 6) + y (x - 6) 2 + y 2

Oμως Im(w) = Re(w)  x 2 + y 2 - 8x + 12 =-4y  ( x 2 – 8 x + 16 ) + ( y 2 + 4y + 4 ) = 8 

( x – 4 ) 2+ ( y + 2 ) 2= 8 Αρα ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι κυκλος με κεντρο Κ( 4 , - 2 ) και ακτινα ρ = 2

με εξαιρεση το σημειο (6,0), που επαληθευει την εξισωση του κυκλου, αλλα το απαγορευει ο περιορισμος.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

8.2 Σ υ ζ υ γ ε ι ς 8.2.1 Ευρεση συζυγη μιγαδικου :

● Ζητουμενα : Ευρεση συζυγη μιγαδικου.

● Δοσμενα : Παρασταση μιγαδικου.

● Τροπος Λυσης : ● Ειτε παιρνουμε τη συζυγη της παραστασης και με τις ιδοτητες των συζυγων, λυνουμε ως προς το συζυγη του μιγαδικου. ● Ειτε, φερνουμε το μιγαδικο σε μορφη z = a + β i, οποτε ο συζυγης του θα ειναι z=a-βi.

Αν z =

2 - i 3 + 2i + , να βρεθει ο συζυγης του. 1+i 1-i

 2 - i   3 + 2i  2 - i 3 + 2i 2 + i 3 - 2i (2 + i)(1 + i) + (3 - 2i)(1 - i) z = + = + = = + = 1 -i 1 +i (1 - i)(1 + i)  1 +i   1 -i  1 +i 1 -i

(1 + 3i) + (1 - 5i) 2 - 2i = =1-i 2 2

Αλλιως 2 - i 3 + 2i (1 - i)(2 - i) + (1 + i)(3 + 2i) 2 - i - 2i + i 2 + 3 + 2i + 3i + 2i 2 + = = = 1 +i 1 -i (1 - i)(1 + i) 1 -i2

2 - i - 2i - 1 + 3 + 2i + 3i - 2 2 + 2i = =1 +i 1 +1 2 Αρα, z = 1 - i =

8.2.2 Αποδειξη οτι ο μιγαδικος z ειναι πραγματικος η φανταστικος :

● Ζητουμενα : Ο μιγαδικος ειναι πραγματικος η φανταστικος αριθμος.

● Δοσμενα : Σχεση μεταξυ μιγαδικων.

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι ισχυει : z = z η z = - z αντιστοιχα . ● Δειχνουμε οτι ισχυει : z + z = 2 ∙ Re(z) (πραγματικος) η

z - z = 2 ∙ [Im(z)] ∙ i (φανταστικος) . ● Δειχνουμε οτι ισχυει : z = Re(z) (πραγματικος) η z = Im(z) (φανταστικος) .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

Αν z1,z2 ειναι μιγαδικοι με z1  z1 = z 2  z2 = 1, να δειχτει oτι ο z = πραγματικος.

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ z1 + z 2 ειναι 1 + z1  z 2

Απο τη δοσμενη σχεση προκυπτει: z1 =

1 1 και z 2 = z1 z2

Αρα

 z + z2  z1 + z2 z =  1  =  1 + z1  z2  1 + z1  z2

1 1 + z1 + z2 z1 z2 = = =z 1 1 1 + z1  z2 1+  z1 z2

Οποτε ο z ειναι πραγματικος, αφου z = z .

1-i 1+i και z 2 = , να δειξετε οτι ο z1 + z 2 ειναι πραγματικος αριθ1 + 2i 1 - 2i μος, ενω ο z1 - z 2 φανταστικος αριθμος. Αν z1 =

Ειναι

 1 -i  1 -i 1+i z1 =  = = z 2 (1) =  1 + 2i  1 + 2i 1 - 2i Eτσι (1 )

 z 1 + z 2 = z 1 + z 1 = 2Re(z 1 )   (1 )

 z 1 - z 2 = z 1 + z 1 = 2Im(z 1 )  i  I

1-i 1+i και z 2 = , να δειξετε οτι ο z1 + z 2 ειναι πραγματικος αριθ1 + 2i 1 - 2i μος, ενω ο z1 - z 2 φανταστικος αριθμος. Αν z1 =

Ειναι  z1 + z2 = =

 z1 - z2 = =

1-i 1 + i (1 - 2i)(1 - i) + (1 + 2i)(1 + i) 1 - i - 2i + 2i 2 + 1 + i + 2i + 2i 2 + = = = 1 + 2i 1 - 2i (1 + 2i)(1 - 2i) 1 - 4i 2 1 -i - 2i - 2 + 1 +i + 2i - 2 2 =-  1+4 5 1 -i 1 + i (1 - 2i)(1 - i) - (1 + 2i)(1 + i) 1 - i - 2i + 2i 2 - 1 - i - 2i - 2i 2 = = = 1 + 2i 1 - 2i (1 + 2i)(1 - 2i) 1 - 4i 2 1 - i - 2i - 2 - 1 - i - 2i + 2 - 6i 6 = = - iI 1+4 5 5

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

8.3 Δ υ ν α μ η Μ ι γ α δ ι κ ο υ 8.3.1 Παρασταση εξαρταται απο τη δυναμη i v :

● Ζητουμενα : Ευρεση τιμης της παραστασης που εξαρταται απο δυναμεις του i .

● Δοσμενα : Σχεση μεταξυ δυναμεων του i .

● Τροπος Λυσης : ● Θετω ν = 4κ + υ οπου υ = 0, 1, 2, 3 . ● Εξεταζουμε τις περιπτωσεις για καθε τιμη του υ ( ν = 4κ, ν = 4κ + 1 , ν = 4κ + 2 , ν = 4κ + 3 ) .

Να υπολογιστει η τιμη της παραστασης: Α = i 165 – i -26 – i -59 . Ειναι i

165

= i 4∙41 + 1 = (i 4) 41 ∙ i = 1

– 26

– 59

4( -7 ) + 2

4 ( - 15 ) + 1

-7

= (i )

Oποτε Α = i 165 – i – 26 – i

– 59

41 2

∙i=i

∙i =1

- 15

-7

∙ (-1) = - 1

∙i=1∙i=i

=i-(-1)–i=1.

8.3.2 Ευρεση δυναμης του μιγαδικου α + β i :

● Ζητουμενα : Ευρεση μεγαλης δυναμης μιγαδικου .

● Δοσμενα : Ισοτητα μεγαλης δυναμης μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Υπολογιζουμε μικρη δυναμη του μιγαδικου, ωστε να μετασχηματιστει σε μορφη α ν η (α i) ν, οπου α πραγματικος.

(1 + i) 2005 Να αποδειχτει οτι: =2. (1 - i) 2003 Ειναι

1 +i (1 + i) 2005 (1 + i) 2005 =  (1 - i) 2 =   2003 2005  1-i  (1 - i) (1 - i)

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

2005

 (1 + i) 2   (1 - 2i + i ) = - 2i    (1 - i)(1 + i)  2

2005

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

 1 + 2i - 1  = - 2i    1+1 

2005

=-2∙(-1)=2.

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

= - 2i ∙ i 2005 = - 2 ∙ i 2006 = - 2 ∙ ( i 4 ) 501 ∙ i 2 =



8.4 E ξ ι σ ω σ ε ι ς σ τ ο 8.4.1 Λυση εξισωσης:

● Ζητουμενα : Λυση εξισωσης στο  .

● Δοσμενα :

Απλη εξισωση η εξισωση που περιεχει μιγαδικο και το συζηγη του .

● Τροπος Λυσης : ● Η εξισωση 2ου βαθμου αz 2 + βz + γ = 0, α  0 με α,β,γ   : Θετουμε z = x + y i στην ισοτητα και βρισκουμε τα x, y .

• Η εξισωση περιεχει τον z και τον z : Θετουμε z = x + y i στην ισοτητα και βρισκουμε τα x, y. • Εξισωση ανωτερου του 2ου βαθμου: ανzν + αν-1zν-1 + αν-2zν-2+ … + α1z + α0 = 0, αν  0 και α0, α1, α2,… ,αν   .

Η εξισωση λυνεται αναλυοντας το 10 μελος σε γινομενο πρωτοβαθμιων και δευτεροβαθμιων παραγοντων. Παρατηρηση: Μια πολυωνυμικη εξισωση στο  , ν- οστου βαθμου, εχει ν ακριβως ριζες. (οχι κατ’ αναγκη διαφορετικες)

Να λυσετε στο συνολο των μιγαδικων αριθμων τις εξισωσεις : 1 ● x 2 – 3x + 2 = 0 ● x+ =1 x ● Δ = 9 – 8 = 1,

3 1 31 = = 2 η 1 2 2

● Περιορισμος : x  0 1 x+ = 1  x2 + 1 = x  x 1 i 3 Δ = 1 – 4 = -3, x= 2

x2 – x + 1 = 0

Na λυσετε την εξισωση : z 2 + 2  z + 1 = 0 .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Εστω z = x + yi. Τοτε z 2 + 2z + 1 = 0  (x + yi) 2 + 2(x - yi) + 1 = 0  x 2 + 2xyi + y 2i 2 + 2x - 2yi + 1 = 0  x 2 + 2xyi - y 2 + 2x - 2yi + 1 = 0  (x 2 - y 2 + 2x + 1) + 2y(x - 1)i = 0   x 2 - y 2 + 2x + 1 = 0 (1)  2y(x - 1) = 0  y = 0 η x = 1

 Για y = 0 η (1) γινετ αι : x 2 + 2x + 1 = 0  (x + 1) 2 = 0  x + 1 = 0  x = - 1 οποτε z = - 1

 Για x = 1 η (1) γινεται : 1 2 - y 2 + 2  1 + 1 = 0  y 2 = 4  y = - 2 η y = 2 οποτε z = 1 - 2i η z = 1 + 2i

Na λυσετε την εξισωση : z = z 2 . Εστω z = x + y i . Τοτε z = z2  x – yi = (x + yi )2  x – yi = x2 + 2xyi – y2 

(x – x2 + y2 ) – (y + 2xy)i = 0  x – x2 + y2 = 0 x – x2 + y2 = 0 και

και

y + 2xy = 0

y(1 + 2x) = 0 

x – x2 + y2 = 0 (1) και (y = 0

η 1 + 2x = 0)

● Για y = 0, η (1): x – x2 = 0  x(1 – x) = 0  x = 0 η x = 1 Επομενως ● Για x = –

z =0

z=1

1 1 1 η (1): – – + y2 = 0 2 2 4

1 3 2 2 Mια αλλη αντιμετωπιση Ειναι Επομενως

z =-

z = z 2 (1)  z = z  z = z

z =-



y2 =

3 4



y= 

3 2

1 3 + 2 2

(2)

Πολλαπλασιαζουμε κατα μελη τις (1) και (2) : z  z = 0 2 z  z = z 2  z  z  z = (z  z) 2  (z  z) 2 - z  z = 0  z  z  (z  z - 1) = 0   z  z = 1 (1)

 z  z = 0z  z 2 = 0  z 3 = 0  z = 0 (1)

 z  z = 1  z  z 2 = 1  z 3 = 1  z 3 - 1 = 0  (z - 1)(z 2 + z + 1) = 0   z -1 = 0  z = 1

 z 2 + z + 1 = 0, Δ = 1 - 4 = -3 και z 1,2 =

z =-

1 3 2 2

z =-

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

-1 ± -3 -1 ± 3i = οποτε 2 2

1 3 + 2 2

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

8.4.2 Ευρεση εξισωσης (απο γνωστες ριζες) :

● Ζητουμενα : Ευρεση εξισωσης .

● Δοσμενα : Γνωστες καποιες ριζες της .

● Τροπος Λυσης : ● Αν ενα πολυωνυμο εχει ριζα της μορφης α + β i, τοτε ριζα του ειναι και η α-βi. ● Ενα πολυωνυμο ν βαθμου, εχει ν ριζες . ● Δημιουργουμε γινομενο πρωτοβαθμιων παραγοντων απ’τις γνωστες ριζες .

Να βρεθει εξισωση 4ου βαθμου με πραγματικους συντελεστες αν δυο απο τις ριζες της ειναι οι 2 + i, 1 + 2i . Η εξισωση ειναι 4ου βαθμου με πραγματικους συντελεστες με δυο ριζες τις 2 + i και 1 + 2i. Οποτε οι αλλες δυο θα ειναι οι συζυγεις τους, δηλαδη 2 – i και 1 - 2i. Aρα η ζητουμενη εξισωση ειναι: (x – 2 - i)(x – 1 + i)(x – 1 - 2i)(x – 1 + 2i) = 0 ⇔ [(x - 2) 2 + 1][(x - 1) 2 + 4] = 0 ⇔ (x 2 - 4x + 5)(x 2 - 2x + 5) = 0 ⇔

x 4 - 6x 3 + 18x 2 - 30x + 25 = 0 8.5 Μ ε τ ρ ο Μ ι γ α δ ι κ ο υ 8.5.1 Ευρεση μετρου μιγαδικου :

● Ζητουμενα : Ευρεση μετρου μιγαδικου .

● Δοσμενα : Παρασταση μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Απ’τον ορισμο του μετρου |z| =

x2 + y2 .

Να βρεθει το μετρο των αριθμων: ● z=

4 3 - 4i 1 + 3i

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

● z = (2 - 3i) + (6 - 2i)∙i

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ● | z |=

| 4 3 - 4i| |1 + 3i|

(4 3)2 + 42 12 + ( 3)2

48 + 16 1+3

64 4

8 =4 2

● |z| = |(2 - 3i) + (6 - 2i)i| = |2 - 3i + 6i + 2| = |4 + 3i| =

42 + 3 2 = 16 + 9 = 25 = 5

8.5.2 Σχεση με τετραγωνο του μετρου μιγαδικου :

● Ζητουμενα : Aποδειξη ισοτητας τετραγωνων με μετρα μιγαδικου .

● Δοσμενα : Παρασταση μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Χρησιμοποιουμε τη ιδιοτητα: | z 2 | = | z | 2 = z  z = x 2 + y 2 .

Αν α ∈  και z,w ∈  , να αποδειχτει οτι: | z + α w | 2+ | z – α w | 2= 2 ( | z | 2+ α 2| w | 2) |z + αw|2 + |z - αw|2 = (z + αw)  (z + αw) + (z - αw)  (z - αw) = = (z + αw)  (z + αw) + (z - αw)  (z - αw) = = zz + zαw + αwz + α 2ww + zz - zαw - αwz + α 2ww = = 2zz + 2α 2ww = = 2(|z| 2 + α 2|w| 2) 8.5.3 Αποδειξη οτι μετρο μιγαδικου ισουται με 1:

● Ζητουμενα : Aποδειξη της ισοτητας |z| = 1 .

● Δοσμενα : Μιγαδικος σε συναρτηση αλλου μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Αρκει να δειξουμε οτι ισχυει: z =

1 1 (Αφου z =  z  z = 1  | z | = 1) . z z

Αν α,z∈  και |z| = 1, να αποδειχτει οτι ο αριθμος w = Αφου |z| = 1 τοτε z =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

α-z 1 - α z

εχει μετρo ισο με 1.

1 z

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

1  α-z  α -z z = α z -1 = 1 - α z = 1 w = = = α-z w z-α 1- α z  1 - α z 1- α 1 z α-

Δηλαδη,

w  w = 1  | w | 2 = 1  |w| = 1

8.5.4 Ευρεση μιγαδικου απο ισοτητες που περιεχουν μετρα :

● Ζητουμενα : Ευρεση μιγαδικου .

● Δοσμενα : Ισοτητα (ες) μετρων παραστασεων μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Θετουμε z = x + y i στην ισοτητα . ● Σε καθε μετρο, φερνουμε τη παρασταση στη μορφη α + β i . ● Απ’τον ορισμο μετρου καταληγουμε σε συστημα εξισωσεων . ● Λυνουμε το συστημα ως προς x, y .

Να βρεθει ο μιγαδικος αριθμος z αν γνωριζουμε οτι: |z+3|=|z–1+4i|=|z+9|. Αν z = x + y i με x,y∈  , τοτε

|(x+3)+yi|=|(x–1)+(y+4)i|=|(x–9)+yi|  ( x + 3 ) 2+ y 2= ( x – 1 ) 2+ ( y + 4 ) 2= ( x – 9 ) 2+ y 2  ( x + 3 ) 2 + y 2 = ( x – 9 ) 2 + y 2 (1) και ( x – 1 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = ( x – 9 ) 2 + y 2 (2)

(1)  ( x + 3 ) 2 = ( x – 9 )

 x 2+ 6 x + 9 = x 2– 1 8 x + 8 1  x = 3

(2)  2 2 + ( y + 4 ) 2 = ( - 6 ) 2 + y 2  4 + y 2 + 8 y + 1 6 = 3 6 + y 2  y = 2 Οποτε ο ζητουμενος μιγαδικος ειναι: z = 3 + 2 i . 8.5.5 Αποδειξη οτι μιγαδικος ειναι πραγματικος (φανταστικος):

● Ζητουμενα : Aποδειξη οτι μιγαδικος ειναι πραγματικος η φανταστικος .

● Δοσμενα : Ισοτητα μετρων παραστασεων μιγαδικων .

● Τροπος Λυσης : ● Με τη βοηθεια της ιδιοτητας: | z 2 | = | z | 2 = z  z = x 2 + y 2 φτανω σε γνωστες σχεσεις, οπως z = z η z = - z (πραγματικος η φανταστικος).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Δινονται οι μιγαδικοι αριθμοι z, w με |z + w| = |z - w|. z w Να αποδειχτει οτι οι αριθμοι ειναι φανταστικοι. και w z Eιναι

z z z |z + w| = |z - w| ⇔ +1 = -1 ⇔ +1 w w w

z = -1 w

z  z    z  z   zz z + 1      + 1  =  - 1     - 1  ⇔   + ww w  w  w    w  w   2

⇔

z zz z +   +1 =   ww w w

z -  +1 ⇔ w

z z z z z ειναι φανταστικος. + 2  = 0 ⇔   = - . Aρα ο αριθμος w w w w w

Επισης,

w 1 1 w =- = = z z z z   w w Aρα ο αριθμος

w ειναι φανταστικος. z

8.5.6 Αποδειξη ανισοτητας μετρων :

● Ζητουμενα : Aποδειξη ανισοτητας με μετρα μιγαδικου .

● Δοσμενα : Ανισοτικη σχεση παραστασεων μετρων μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Χρησιμοποιουμε τη ιδιοτητα: | z 2 | = | z | 2 = z  z = x 2 + y 2 , αφου υψωσουμε στο τετραγωνο την προς αποδειξη σχεση. Καταληγουμε σε αληθινο συμπερασμα. ● Μια αλλη χρησιμη ιδιοτητα: Αν z = x + y i τοτε |Re(z)| = |x| , |Im(z)| = |y| .

Να δειχτει οτι η σχεση |z - 1| < |z + 1| επαληθευεται μονο απ’τους μιγαδικους που εχουν θετικο πραγματικο μερος. Ειναι |z-1|<|z+1|⇔|z–1|

< | z + 1 | 2 ⇔ ( z – 1 )( z - 1 ) < ( z + 1 )( z + 1 ) ⇔

zz - z - z + 1 < zz + z + z + 1 ⇔ 2z + 2z > 0 ⇔ z + z > 0 ⇔ 2Re(z) > 0 ⇔

Re(z) > 0 .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Να δειξετε οτι για καθε μιγαδικο z ισχυει :

2  | z |  | Re(z) | + | Im(z) | .

Αν z = x + yi , τοτε : 2 | z |= 2  x 2 + y 2 = 2(x 2 + y 2 )  | Re(z) | + | Im(z) | =| x | + | y | Αρα αρκει να δειξουμε οτι : 2(x2 + y2 )  | x | + | y | Πραγματι 2(x2 + y2 )  | x | + | y |  2(x 2 + y 2 )  ( | x | + | y | ) 2  2x2 + 2y2  x2 + y2 + 2 | x || y |  x 2 + y 2  2 | x || y |  x 2 + y 2 - 2 | x || y |  0  | x | 2 + | y | 2 -2 | x || y |  0  ( | x | - | y | ) 2  0, που αληθευει. 8.5.7 Ευρεση μεγιστου ελαχιστου μετρου:

● Ζητουμενα : Μεγιστο η ελαχιστο μετρου παραστασης μιγαδικου .

● Δοσμενα : Ανισοτικη σχεση παραστασης μετρων μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Μετασχηματιζουμε τη ζητουμενη, ετσι ωστε να περιεχει τη δοσμενη . ● Χρησιμοποιουμε τριγωνικη ανισοτητα, για το μετρο στο οποιο εχει μετατραπει η ζητουμενη σχεση . ● Με πραξεις καταληγουμε σε ανισοτητα της μορφης α ≤ |f(z)| ≤ β, οπου |f(z)| η παρασταση της οποιας ζητουμε το μεγιστο και ελαχιστο . ● Το α ειναι το ελαχιστο και το β ειναι το μεγιστο .

Αν για τον μιγαδικο αριθμο z ισχυει :| z + 4i |  1, να βρεθει το μεγιστο και το ελα χιστο του | z - 3 | . Ειναι | z - 3 |=| z + 4i - 4i - 3|=| (z + 4i) + (-3 - 4i) |=| (-3 - 4i) + (z + 4i) | . Απ'τη τριγωνικη ανισοτητα προκυπτει : || (-3 - 4i) | - | (z + 4i) ||  | (-3 - 4i) + (z + 4i) |  | (-3 - 4i) | + | (z + 4i) |  | (- 3)2 + (- 4)2 - | (z + 4i) ||  | z - 3|  (- 3)2 + (- 4)2 + | (z + 4i) |

|z + 4i |  1



| 25 - 1 |  | z - 3|  25 + 1  | 5 - 1 |  | z - 3|  5 + 1  4  | z -3 |  6 Ετσι το μεγιστο και το ελαχιστο του | z - 3| ειναι 6 και 4 αντιστοιχα.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

8.5.8 Αποδειξη παραστασης μετρων μιγαδικων με γνωστα μετρα:

● Ζητουμενα : Aποδειξη ισοτητας με τετραγωνα μετρων μιγαδικου .

● Δοσμενα : Ισοτητα παραστασης μετρου μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Χρησιμοποιουμε τη ιδιοτητα: | z 2 | = | z | 2 = z  z = x 2 + y 2 , αφου υψωσουμε στο τετραγωνο την δοσμενη σχεση. Καταληγουμε σε σχεση μεταξυ z και z . ● Αποδεικνυουμε τη ζητουμενη με τη βοηθεια της ιδιοτητας | z 2 | = | z | 2 = z  z και της σχεσης που πρεκυψε προηγουμενα .

Αν | 2 z + 3 | = 1 να δειχτει οτι | z + 2 | 2 + | z + 1 | 2 = 1 . Ειναι | 2 z + 3 | = 1 ⇔ | 2 z + 3 | 2 = 1 ⇔ ( 2 z + 3 )( 2 z + 3 ) = 1 ⇔ 4 z z + 6 z + 6 z + 9 = 1 ⇔ 2 z z + 3 z + 3 z = - 4 (1) Oποτε | z + 2 | 2 + | z + 1 | 2 = ( z + 2 )( z + 2 ) + ( z + 1 )( z + 1 ) = =z z +2z+2 z +4+z z +z+ z +1= = 2 z z + 3 z + 3 z + 4 + 1 = - 4 + 4 + 1 (λογω της (1)) = 1. 8.5.9 Ευρεση μιγαδικων που επαληθευουν ταυτοχρονα δυο σχεσεις μετρων τους:

● Ζητουμενα : Ευρεση μιγαδικου .

● Δοσμενα : Δυο ισοτητες μεταξυ μετρων μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Θετουμε z = x + y i στις ισοτητες και προκυπτει συστημα δυο εξισωσεων . ● Λυνουμε το συστημα ως προς x, y .

Να βρεθουν οι μιγαδικοι z που επαληθευουν συγχρονως τις εξισωσεις: 3| z – 12 | = 5| z - 8i | και | z – 4 | = | z – 8 | . Για z = x + y i οι εξισωσεις γινονται:

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

● 3|z-12|=5|z-8i|⇔3|(x-12)+yi|=5|x+(y-8)i|⇔9[(x-12)2+y2]=25[x2+(y-8)2]⇔ 9(x2+144-24x+y2)=25(x2+y2+64-16y) ⇔ 9x2+1296-216x+9y2=25x2+25y2+1600-400y ⇔ 16x2+16y2+216x-400y+304=0 ⇔ 4x2+4y2+54x-100y+76=0

(1)

● |z-4|=|z-8| ⇔ |(x-4)+yi|=|(x-8)+yi| ⇔ (x-4)2+y2=(x-8)2+y2 ⇔ (x-4)2=(x-8)2 ⇔x - 4 = ± (x - 8) ⇔ x = 6 Για x = 6 η (1) γινεται 4∙36+4y2+54∙6-100y+71=0 ⇔ 144+4y2+324-100y+76=0 ⇔ 4y2-100y+544=0 ⇔y2-25y+136=0 ⇔ (y-8)(y-17)=0 ⇔ y = 8 η y = 17 Οποτε οι ζητουμενοι μιγαδικοι ειναι: z = 6 + 8i

η z = 6 + 17i

8.5.10 Μετρο μιγαδικου και γεωμετρικα σχηματα:

● Ζητουμενα : Ευρεση σχεσης μηκων γεωμετρικων σχηματων .

● Δοσμενα : Εικονες μιγαδικων ειναι χαρακτηριστικα σημεια του σχηματος .

● Τροπος Λυσης : ● Θεωρουμε τη σχεση (ΑΒ) = | z1 - z2 |, οπου Α, Β οι εικονες των z2 , z1 αντιστοιχα . ● Βρισκουμε τα τμηματα που χρειαζονται για τη λυση του προβληματος .

Στο μιγαδικο επιπεδο δινεται το τριγωνο ΑΒΓ. Αν οι κορυφες Α,Β,Γ ειναι οι εικονες των μιγαδικων z 1 = 1 + 2 i, z 2 = 4 – 2 i , z 3 = 1 – 6 i αντιστοιχα, να δειχτει oτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες και να βρεθει το μηκος της βασης του. Ειναι  | ΑΒ |=|z2-z1|=|4-2i-1-2i|=|3-4i|= 9 + 16 =5  | ΒΓ | =|z3-z2|=|1-6i-4+2i|=|-3-4i|= 9 + 16 =5  |ΓΑ| =|z1-z3|=|1+2i-1+6i|=|8i|=8|i|=8 Αρα το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες (ΑΒ=ΒΓ=5) με βαση ΓΑ=8.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

8.6 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ς Τ ο π ο ς 8.6.1 Γενικη περιπτωση ευρεσης γεωμετρικου τοπου εικονας μιγαδικου :

● Ζητουμενα : Ευρεση γεωμετρικου τοπου της εικονας μιγαδικου η εξισωση της γραμμη στην οποια κινειται η εικονα του μιγαδικου για τις διαφορες τιμες μεταβλητης .

● Δοσμενα : Σχεση του μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Θετουμε τον μιγαδικο στη μορφη z = x + y i και με πραξεις στη δοσμενη σχεση καταληγουμε στην εξισωση της ζητουμενης γραμμης. ● Στη περιπτωση υπαρξης παραμετρου στη δοσμενη σχεση, θετουμε τον μιγαδικο στη μορφη z = x + y i και με πραξεις καταληγουμε σε συστημα που απαλειφουμε τη παραμετρο.

Δινονται οι μιγαδικοι αριθμοι z για τους οποιους ισχυει | z – 1 | = 1 + Re(z) . Να δειξετε οτι ο γεωμετρικος τοπος των εικονων των μιγαδικων z ειναι η παραβολη με εξισωση: y 2 = 4 x . Αν z = x + y i, με x,y ∈  , τοτε ειναι: |z-1|=1+Re(z) ⇔ |(x-1)+yi|=1+x ⇔

(x - 1)2 + y2 =1+x (για x ≥ -1) ⇔

(x-1)2+y2=(1+x)2 ⇔ x2-2x+1+y2=x2+2x+1 ⇔ y

= 4 x, (παραβολη).

Δινεται οτι t ειναι μια πραγματικη μεταβλητη και z = 4 t + 3 i ( 1 – t ) . Nα δειχτει οτι καθως το t μεταβαλλεται, το σημειο του μιγαδικου επιπεδου που ειναι εικονα του z κινειται πανω σε ευθεια, της οποιας να βρεθει η εξισωση. Αν z = x + y i τοτε ειναι x+yi=4t+3i(1-t) ⇔ ● x = 4t ⇔ t =

x (1) 4

● y = 3 - 3t ⇔ t =

3- y (2) 3

Απο (1),(2) προκυπτει 3- y x = ⇔ 3 x + 4 y – 1 2 = 0 , δηλαδη η εικονα του μιγαδικου z 4 3 κινειται σε ευθεια.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

8.6.2 Κυκλος :

● Ζητουμενα : Αποδειξη οτι ο γεωμετρικος τοπος της εικονας μιγαδικου ειναι κυκλος .

● Δοσμενα : Σχεση μετρου του μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Αν για τον μιγαδικο z ειναι: |z| = ρ , με ρ > 0 τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ο ς κεντρου K(0,0) και ακτινας ρ. ● Αν για τον μιγαδικο z ειναι: |z - z1| = ρ , με ρ > 0 και z1(x1,y1), τοτε ο γ. τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ο ς κεντρου K(x1, y1) και ακτινας ρ. ● Αν για τον μιγαδικο z ειναι: |z| ≤ ρ , με ρ > 0 τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ι κ ο ς δ ι σ κ ο ς κεντρου K(0, 0) και ακτινας ρ. ● Αν για τον μιγαδικο z ειναι: |z - z1| ≤ ρ , με ρ > 0 και z1(x1, y1), τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ι κ ο ς δ ι σ κ ο ς κεντρου K(x1, y1) και ακτινας ρ. ● Αν για τον μιγαδικο z ειναι: |z| > ρ , με ρ > 0 τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι ο χ ω ρ ο ς ε κ τ ο ς τ ο υ κ υ κ λ ι κ ο υ δ ι σ κ ο υ κεντρου K(0, 0) και ακτινας ρ. ● Αν για τον μιγαδικο z ειναι: |z - z1| > ρ , με ρ > 0 και z1(x1,y1), τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι ο χ ω ρ ο ς ε κ τ ο ς τ ο υ κ υ κ λ ι – κ ο υ δ ι σ κ ο υ κεντρου K(x1, y1) και ακτινας ρ. ● Στη περιπτωση που επιπλεον ζητειται μεγιστο και ελαχιστο μετρο του μιγαδικου τοτε ισχυει: |z|max = | OK + ρ | και |z|min = | OK – ρ | οπου Ο η αρχη των αξονων και Κ, ρ το κεντρο και η ακτινα του κυκου αντιστοιχα, ενω αν ζητειται ο μιγαδικος με το μεγιστο η ελαχιστο μετρο, με την βοηθεια της εξισωσης της ευθειας ΟΚ και της εξισωσης του κυκλου, προσδιοριζουμε τα x,y του z = x + y i

Να βρειτε που ανηκουν οι μιγαδικοι z για τους οποιους ισχυει :  | z|=1  | z -i | = 1  | z + 1 + 2i | = 3  1<| z |<2  | z| 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

 Αν | z |= 1, τοτε ο z θα απεχει απο το O(0, 0) αποσταση ιση με 1. Αρα, ο z θα βρισκεται σε κυκλο κεντρου Ο και ακτινας ρ = 1, που εχει εξισωση x2 + y2 =1.  Αν | z - i |= 1 , ο z θα απεχει απο τον μι γαδικο i (δηλαδη απο το σημειο Κ(0,1)) αποσταση σταθερη ιση με 1. Αρα, ο z θα βρισκεται σε κυκλο κεντρου Κ(0,1) και ακτινας ρ = 1, που εχει εξισωση : x 2 + (y - 1) 2 = 1 .  Ομοια, αν | z + 1 + 2i |= 3 , δηλα δη αν | z - (-1 - 2i) |= 3 , τοτε ο z θα απεχει απ'τον μιγαδικο - 1 - 2i αποσταση ιση με 3. Αρα, ο z θα βρισκεται σε κυκλο κεντρου K(-1,-2) και ακτινας ρ = 3 , που εχει ε ξισωση (x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 9 .  Αν 1 <| z |< 2 , τοτε ο z θα βρισκεται μεταξυ των κυκλων με κεντρο το O(0, 0) και ακτινες ρ1 = 1 και ρ2 = 2.  Αν | z |  2 , τοτε ο z θ α βρισκεται στο εξωτερικο του κυκλου κεντρου O(0, 0) και ακτινας ρ = 2 η πα νω στον κυκλο αυτο.

Δινονται οι μιγαδικοι αριθμοι z, με | z – 2 – 2 i | = 3 2 . ● Να βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των εικονων Μ των μιγαδικων z. ● Απ’τους πιο πανω μιγαδικους να βρειτε εκεινον που εχει το μικροτερο και το μεγαλυτερο μετρο. ● Aπ’την εξισωση |z-2-2i|=3 2 ⇔|z-(2+2i)|=3 2 προκυπτει οτι ο γεωμετρικος τοπος των εικονων Μ του μιγαδικου z ειναι κυκλος με κεντρο (2,2) και ακτινα ρ=3 2 . ● Το |z| εκφραζει γεωμετρικα την αποσταση της εικονας του z απ’την αρχη των αξονων. Η ευθεια που περναει απ’το (0,0) και το κεντρο του κυκλου (2,2) ειναι της μορφης y=λx και επειδη ο συντελεστης διευθυνσης της ειναι λ=

2-0 =1 η εξισωση της 2-0

τελικα ειναι y = x (1) Η εξισωση του κυκλου ειναι ( x – 2 ) 2 + ( y – 2 ) 2 = 1 8 (2) Aπο (1) και (2) προκυπτει: 2(x-2)2=18 ⇔ (x-2)2=9 ⇔(x-2+3)(x-2-3)=0 ⇔ x = - 1 η x = 5 Οποτε ο μιγαδικος

z 1 = 5 + 5 i εχει το μεγαλυτερο μετρο, και z 2 = - 1 – i εχει το μικροτερο μετρο.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Αν | w | = 1 να βρειτε :  το γεωμετρικο τοπο των εικονων του z αν : z - 3 = 2w - i .  την μεγιστη και την ελαχιστη τιμη του | z | .  Ειναι z - 3 = 2w - i  z - 3 + i = 2w  z - (3 - i) = 2w  | z - (3 - i) |=| 2w |  | z - (3 - i) |= 2 | w |  | z - (3 - i) |= 2  1  | z - (3 - i) |= 2 (1) Η (1) παριστανει κυκλο κεντρου Κ(3, - 1 ) και ακτινας ρ = 2 οποτε θα εχει εξισωσ η :

(x - 3) 2 + (y + 1) 2 = 4.  Το | z | ειναι η αποσταση του z απο την αρχη Ο. Απ'την εξισωση του κυκλου στο (α) ερωτημα, προκυπτει : (ΟΚ) = 3 2 + 1 2 = 10 και ρ = 2 με 10 > 2. Ετσι | z | max = 10 + 2 και | z | min = 10 - 2 8.6.3 Mεσοκαθετη :

● Ζητουμενα : Αποδειξη οτι ο γεωμετρικος τοπος της εικονας μιγαδικου ειναι η μεσοκαθετη ευθυγραμμου τμηματος .

● Δοσμενα : Σχεση του μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Αν για τους μιγαδικους z, z1, z2 ειναι: |z - z1| = |z – z2| , τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι η μ ε σ ο κ α θ ε τ η του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ ,οπου Α, Β οι εικονες των μιγαδικων z1, z2 αντιστοιχα. ● Αν για τους μιγαδικους z, z1, z2 ειναι: |z - z1| ≤ |z – z2| , τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι τ ο η μ ι ε π ι π ε δ ο ( ε , Α ) οπου Α η εικονα μιγαδικου z1 και ε η μεσοκαθετη του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ . ● Αν για τους μιγαδικους z, z1, z2 ειναι: |z - z1| ≥ |z – z2| , τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι τ ο η μ ι ε π ι π ε δ ο ( ε , Β ) οπου Β η εικονα μιγαδικου z2 και ε η μεσοκαθετη του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ .

Να βρειτε που ανηκουν οι εικονες των μιγαδικων z για τους οποιους ισχυει :  | z + 1 | = | z - 2i |  | z -i | >| z +1 |

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

 Εχουμε | z + 1 |=| z - 2i |  | z - (-1) |=| z - 2i | . Αρα, οι αποστασεις του μιγαδικου z απ' τους μιγαδικους (-1 + 0i) και (0 + 2i), δη λαδη απ' τα σημεια A(- 1, 0) και B(0,2) ειναι ισες. Επο μενως ο z θα ανηκει στη μεσοκαθετη του τμηματος ΑΒ.  Εχουμε | z - i |>| z + 1 |  | z - i |>| z - (-1) | . Επομενως, η αποσταση του μιγαδικου z απ' τον i, ειναι μεγαλυτερη απ' την απο σταση τ ου απ' τον μιγαδικο (- 1 + 0i). Αρα ο z θα βρισκεται στο ημιεπιπεδο που οριζεται απ' τη μεσοκαθετη του ΑΒ και απ'το σημειο Β, οπου Α(0, 1) και Β(-1, 0) . 8.6.4 Ελλειψη :

● Ζητουμενα : Αποδειξη οτι ο γεωμετρικος τοπος της εικονας μιγαδικου ειναι ελλειψη .

● Δοσμενα : Σχεση του μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Αν για τους μιγαδικους z, z1, z2 ειναι: |z - z1| + |z – z2| = 2α, τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι ε λ λ ε ι ψ η με εστιες τις εικονες των μιγαδικων z1, z2 , εστιακη αποσταση Ε’Ε = 2γ = |z1 – z2| και μεγαλο αξονα 2α. ● Αν z ∈ c :

x2 y2 + = 1 τοτε : |z|max = a και |z|min = β . α2 β2

Εστω z   ωστε :| z + 3 | + | z - 3 | = 10 (1).  Να υπολογισετε το γ.τ. των εικονων του z και να βρειτε την εξισωση του.  Να βρειτε τους φανταστικους που ικανοποιουν τη σχεση (1).  Ειναι | z + 3| + | z - 3|= 10  | z - (-3 + 0i) | + | z - (3 + 0i) |= 10. Ο γεωμετρικος τοπος ειναι ε λ λ ε ι ψ η με κεντρο Ο, εστιες Ε'(-3, 0), E(3, 0) και σταθερο αθροισμα 10. Εχουμε : 2α = 10 α = 5    γ = 3  2γ = 6 β2 = α2 - γ2 β2 = 16   Η ελλειψη εχει εξισωση :

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

x2 y2 + =1 . 25 16

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

 Οι ζητουμενοι φανταστικοι εχουν εικονες τα σημεια τομης της ελλειψης με τον αξο να y'y . Η εξισωση της ελλειψης για x = 0 γινεται : y 2 = 16  y = - 4 η y = 4 . Τελικα, οι φανταστικοι ειναι ο ι : – 4i και 4i . 8.6.5 Yπερβολη :

● Ζητουμενα : Αποδειξη οτι ο γεωμετρικος τοπος της εικονας μιγαδικου ειναι υπερβολη .

● Δοσμενα : Σχεση του μιγαδικου .

● Τροπος Λυσης : ● Αν για τους μιγαδικους z, z1, z2 ειναι: |z - z1| - |z – z2| = 2α, τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι υ π ε ρ β ο λ η με εστιες τις εικονες των μιγαδικων z1, z2 και εστιακη αποσταση Ε’Ε = 2γ = |z1 – z2| (με γ > α). ● Αν οι z1, z2 ∈  οι εστιες βρισκονται στον αξονα x’x.

● Aν ΜΕ < ΜΕ’ τοτε ο γεωμετρικος τοπος ειναι ο δ ε ξ ι ο ς κ λ α δ ο ς . ● Aν ΜΕ > ΜΕ’ τοτε ο γεωμετρικος τοπος ειναι ο α ρ ι σ τ ε ρ ο ς κ λ α δ ο ς .

● Αν οι z1, z2 ∈ I οι εστιες βρισκονται στον αξονα y’y.

● Aν ΜΕ < ΜΕ’ τοτε ο γεωμετρικος τοπος ειναι ο π α ν ω κ λ α δ ο ς . ● Aν ΜΕ > ΜΕ’ τοτε ο γεωμετρικος τοπος ειναι ο κ α τ ω κ λ α δ ο ς .

● Αν z ∈ c :

x2 y2 = 1 τοτε : |z|min = α . α2 β2

Εστω z   ωστε :| z + 5 | - | z - 5 | = 6 (1). Να υπολογισετε το γ.τ. των εικονων του z και να βρειτε την εξισωση του. Ειναι | z + 5 | - | z - 5 |= 6  | z - (- 5 + 0i) | - | z - (5 + 0i) |= 6. Παρατηρουμε οτι :  - 5, 5   αρα οι εστιες Ε', Ε στον αξονα x'x.  E'E = 2γ = 10 > 6 = 2α

 ΜΕ'- ΜΕ = 6 σταθερο, αρα ΜΕ' > ΜΕ.

Ο γ.τ. ειναι ο δεξιος κλαδος υπερβολης με κεντρο Ο, εστιες Ε'(- 5, 0), E(5, 0) και σταθερη διαφορα 6. Εχουμε :

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

2α = 6 α = 3    γ = 5  2γ = 10 β 2 = γ 2 - α 2 β 2 = 16   Η υπερβολη εχει εξισωση :

x2 y2 =1 9 16

Εστω z   ωστε :| z - 5i | - | z + 5i | = 6 (1). Να υπολογισετε το γ.τ. των εικονων του z και να βρειτε την εξισωση του. Ειναι | z - 5i| - | z + 5i|= 6  | z - ( 0 + 5i) | - | z - (0 - 5i) |= 6. Παρατηρουμε οτι :  5i, - 5i  I, αρα οι εστιες Ε, Ε' στον αξονα y'y.  E'E = 2γ = 10 > 6 = 2α  ΜΕ - ΜΕ' = 6 σταθερο, αρα ΜΕ > ΜΕ'. Ο γ.τ. ειναι ο κατω κλαδος υπερβολης μ ε κεντρο Ο, εστιες Ε'(0, - 5), E(0,5) και σταθερη διαφορα 6. Εχουμε : 2α = 6 α = 3    γ = 5 2γ = 10 β 2 = γ 2 - α 2 β 2 = 16   Η υπερβολη εχει εξισωση :

y2 x2 =1 9 16

8.6.6 Με γνωστο το γεωμετρικο τοπο μιγαδικου z και ζητειται ο γεωμετρικος τοπος του μιγαδικου w, αν w = f ( z ) :

● Ζητουμενα : Ευρεση γεωμετρικου τοπου της εικονας μιγαδικου w.

● Δοσμενα : Γεωμετρικος τοπος της εικονας αλλου μιγαδικου z που ειναι σε σχεση με τον ζητουμενο μιγαδικο w = f ( z ) .

● Τροπος Λυσης : ● Θεωρουμε z = κ + λ i, οποτε οι παραμετροι κ, λ θα επαληθευουν την εξισωση της γραμμης που παριστανει το γνωστο γεωμετρικο τοπο. ● Θετουμε w = x + y i. ● Απαλειφουμε τα κ, λ στη σχεση w = f ( z ) .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Αν η εικονα του z στο μιγαδικο επιπεδο κινειται στην ευθεια y = x + 1 , να δειξετε οτι η εικονα του w = (2 + i)z + z + i κινειται επισης σε ευθεια, της οποιας να βρειτε την εξισωση. Εστω z = κ + λi και w = x + yi με Μ(κ, λ ) , Ν( x, y ) οι αντιστοιχες εικονες τους στο μιγαδικο επιπεδο. Το σημειο Μ(κ, λ ) κινειται στην ευθεια y = x + 1 οποτε θα ισχυει : λ = κ + 1 (1). Ετσι w = (2 + i ) z + z + i  x + yi = (2 + i)  (κ + λi) + κ - λi + i  x + yi = (3κ - λ) + (κ + λ - 1)i  x = 3κ - λ (1) x = 3κ - ( κ + 1) x = 2κ - 1 2κ = x + 1      y = κ + λ - 1  y = κ + κ + 1 - 1  y = 2κ  y = x + 1 Αρα η εικονα του w κινειται σ την ευθεια y = x + 1 . 8.6.7 Με γνωστο το λογο των αποστασεων των σημειων του γεωμετρικου τοπου απο γνωστα σημεια :

● Ζητουμενα : Ευρεση γεωμετρικου τοπου της εικονας μιγαδικου z.

● Δοσμενα : Γνωστα σημεια και γνωστος ο λογος των αποστασεων τους απ’τις εικονες του μιγαδικου z .

● Τροπος Λυσης : ● Αν Α(x1,y1), B(x2,y2) και λ ο λογος των αποστασεων των σημειων M(z) απ’τα Α και Β, τοτε ισχυει:

| z - (x 1 + y1  i) | = λ (1) . | z - (x 2 + y2  i) |

● Με αντικατασταση του μιγαδικου z στην (1) με x + y i , καταληγουμε στο ζητουμενο .

Να βρεθει το συνολο των σημειων του μιγαδικου επιπεδου τα οποια ειναι εικονες των μιγαδικων αριθμων z και τετοια, ωστε ο λογος των αποστασεων τους απ’τα σταθερα σημεια Α(0,3) και Β(0,-3) να ειναι ισος με 2. Αφου ο λογος των αποστασεων των μιγαδικων z απ’τα σημεια (0,3) και (0,-3) ισουται με 2, τοτε ισχυει:

| z - 3i| = 2 ⇔ |z-3i|=2|z+3i| (1) | z + 3i|

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Αν z = x + yi τοτε η (1) γινεται: |x + yi - 3i| = 2|x + yi + 3i| ⇔ |x + (y - 3)i| = 2|x + (y + 3)i| ⇔ x 2 + (y - 3) 2 = 4[x 2 + (y + 3) 2] ⇔ x 2 + y 2 - 6y + 9 = 4x 2 + 4y 2 + 24y + 36 ⇔ 3x 2 + 3y 2 + 30y + 27 = 0 ⇔ x 2 + y 2 + 10y + 9 = 0 ⇔ x 2 + ( y + 5 ) 2 = 1 6 Aρα το συνολο των σημειων ειναι κ υ κ λ ο ς με κεντρο Κ(0,-5) και ακτινα ρ = 4. 8.6.8 Αν μιγαδικος w = f(z) ∈  και ζητειται ο γεωμετρικος τοπος των M(z) :

● Ζητουμενα :

Ευρεση γεωμετρικου τοπου της εικονας μιγαδικου z.

● Δοσμενα : w = f(z) ∈  .

● Τροπος Λυσης : ● Αφου f(z) ∈  τοτε ισχυει f(z) = f(z) (1) ● Θετουμε z = x + y i.

● Αντικαθιστουμε τον z στην σχεση (1) .

5 - 12i - 2iz . Να βρεθει ο γεωμετρικος z - 2i τοπος των εικονων του z οταν ο f(z) ειναι πραγματικος. Δινεται ο μιγαδικος z  2i και εστω f(z) =

f(z) πραγματικος  Im f(z) = 0  2 Im f(z)i = 0  f(z) - f(z) = 0  5 - 12i - 2iz 5 + 12i + 2iz =  z - 2i z - 2i 5z + 10i - 12iz + 24 - 2izz + 4z = 5z + 12iz + 2izz - 10i + 24 + 4z  4izz + 12i(z + z) + (z - z) - 20i = 0  2 (x 2 + y 2 ) + 12x + y - 10 = 0  1 x 2 + y 2 + 6x + y - 5 = 0  2  1 1  1 (x2 + 6x + 9) +  y 2 + y +  = 5 + 9 +  2 16  16  2

 1 225 (x + 3) +  y +  = 4 16  2

1 Aρα ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος ειναι κ υ κ λ ο ς κεντρου K(- 3, - ) και 4 15 ακτινας ρ = . 4

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

35 8.7 Α π ο σ τ α σ η Δ υ ο Μ ι γ α δ ι κ ω ν

● Ζητουμενα : Ευρεση αποστασης η ελαχιστης τιμης διαφορας μετρου δυο μιγαδικων .

● Δοσμενα : Σχεσεις μετρων των μιγαδικων .

● Τροπος Λυσης : ● Η αποσταση δυο μιγαδικων z1, z2 δινεται απο τη σχεση: d = |z1 - z2 | ● Αν z1 ∈ ε , z2 ∈ δ και ε||δ (ε, δ ευθειες) τοτε d

min

● Αν z1 ∈ c , z2 ∈ c (c κυκλος (Κ, ρ)) τοτε d max = 2ρ . ● Αν z1 ∈ ε , z2 ∈ c (ε ευθεια, c κυκλος (Κ, ρ)) τοτε d d

max

=d(ε,δ). min

= | d ( Κ , ε ) – ρ | και

=d(Κ,ε)+ρ.

● Αν z1 ∈ c1 , z2 ∈ c2 (c1, c2 κυκλοι (Κ, ρ1), (Λ, ρ2) aντιστοιχα) τοτε d

min

= ΚΛ - ρ1 - ρ2 και d max = ΚΛ + ρ1 + ρ2 .

 Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των εικονων του μιγαδικου z για τον οποιο

ισχυει | (1 - i)z - 2 | = 2 .  Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των εικονων του μιγαδικου w για τον οποιο ισχυει | w + 2i | = | w - 2 + 4i | .  Να βρειτε την ελαχιστη τιμη του | z - w | .  Ειναι | (1 - i)z - 2 |= 2  | z - zi - 2|= 2  | x + yi - (x + yi)i - 2|= 2  | x + yi - xi + y - 2|= 2  | (x + y - 2) + (y - x)i|= 2  (x + y - 2) 2 + (y - x) 2 = 4  x 2 + y 2 + 4 + 2xy - 4x - 4y + y 2 + x 2 - 2xy = 4  x 2 + y 2 - 2x - 2y = 0  x 2 - 2x + 1 + y 2 - 2y + 1 = 2  (x - 1) 2 + (y - 1)

Κυκλος με κεντρο Κ(1,1) και ακτινα ρ = 2 .  Ειναι

| w + 2i|=| w - 2 + 4i|  | w + 2i| 2 =| w - 2 + 4i| 2  | x + (y + 2)i| 2 =| (x - 2) + (y + 4)i| 2  x 2 + (y + 2) 2 = (x - 2 ) 2 + (y + 4) 2  x 2 + y 2 + 4y + 4 = x 2 - 4x + 4 + y 2 + 8y + 16  4x - 4y - 16 = 0  ε : x - y - 4 = 0

 Eιναι d(K,ε) =

|1  1 + 1  (-1) - 4 | | - 4 | 4 = = = 2 2 και ρ = 2, 2 2 2 2 1 + (-1)

οποτε | z - w |min = d(K,ε) - ρ = 2 2 - 2 = 2 .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

9. K a π ο ι ε ς Β α σ ι κ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς 1. Να εκφραστει το πραγματικο και το φανταστικο μερος του z = α + β i συναρτησει του z. Ειναι z = α + β i (1)

z = α – β i (2)

● Aπο (1) + (2) εχουμε: z +z = 2α ⇔ α =

z+z z+z ⇔ Re(z) = . 2 2

● Aπο (1) - (2) εχουμε: z - z = 2βi ⇔ β =

z -z z-z ⇔ Im(z) = . 2i 2i

2. Να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι α, β αν ειναι γνωστο οτι η εξισωση x 2 + α x + β = 0 εχει ριζα το μιγαδικο x 1 = - 2 + i . Αφου η εξισωση (2ου βαθμου) εχει πραγματικους συντελεστες και ριζα το μιγαδικο x1 = - 2 + i , η αλλη ριζα θα ειναι ο συζυγης του x2 = - 2 – i . Οποτε ● x 1+ x 2= ( - 2 + i ) + ( - 2 – i ) = - 4 ● x 1. x 2= ( - 2 + i ) ∙( - 2 – i ) = 4 + 1 = 5

Για την εξισωση x 2 + α x + β = 0 ομως ισχυει: ● x 1 + x 2 = - α ⇔- α = - 4 ⇔ α = 4 ● x

1∙x 2

=β ⇔ β=5

3. Αν α,z∈  και |z| = 1, να αποδειχτει οτι ο αριθμος w =

α-z 1 - α z

εχει μετρo ισο με 1.

1 . Eιναι z 1 α α-z  α -z z = α z -1 = 1 - α z = 1 w = = = α-z w z-α 1- α z  1 - α z 1- α 1 z

Αφου |z| = 1 τοτε z =

Δηλαδη,

w  w = 1  | w | 2 = 1  |w| = 1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

4. Δινονται οι μιγαδικοι αριθμοι z, w με | z + w | = | z – w | . z w Να αποδειχτει οτι οι αριθμοι ειναι φανταστικοι. και w z Eιναι

z z z |z + w| = |z - w| ⇔ +1 = -1 ⇔ +1 w w w

z = -1 w

⇔

z  z    z  z   ⇔  + 1   + 1 =  - 1   - 1 ⇔  w    w    w    w   ⇔

zz z  + ww w

⇔2 Aρα ο αριθμος

z zz z +   +1 =   ww w w

z -  +1 ⇔ w

z z  z z + 2  = 0 ⇔   = w w w w 

z ειναι φανταστικος. w

Επισης

w  1 1 w = - = = z z z  z    w w Aρα ο αριθμος

w ειναι φανταστικος. z

5. Για καθε z1 , z2 ∈  να δειχτει οτι: | z 1 + z 2 | 2 + | z 1 – z 2 | 2 = 2 | z 1 | 2 + 2 | z 2 | 2. Ειναι

|z1 + z2| 2+ |z1 - z2| 2 = (z1 + z2)( z1 + z2 ) + (z1 - z2)( z1 + z2 ) = = z1 z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z2 + z1 z1 - z1 z2 - z2 z1 + z2 z2 = = 2z1 z1 + 2z2 z2 = 2|z1| 2 + 2|z2| 2.

6. Αν z1, z2∈  με |z1| = |z2| και ν περιττο, να αποδειχτει ο αριθμος w = φανταστικος.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

(z1 + z2 ) v ειναι (z1 - z2 ) v

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

α2 α2 Αν |z1| = |z2| = α , τοτε z 1 = και z 2 = . z1 z2 Ειναι v

α2 α 2   1 1  + +     z1 z2  (z1 + z2 ) v (z1 + z2 ) v  z 1 z 2  (z1 + z2 ) v (z1 + z2 ) v  w = = = = = = - w. = v v v v v (z z ) (z z ) (z1 - z2 ) v (z1 - z2 ) α2 α2   1  2 1 1 2 1      z1 z2   z1 z2 

Αρα ο αριθμος w ειναι φανταστικος.

7. Για καθε z ∈  να δειχτει η ισοδυναμια: z 2 + z + 1 = 0 ⇔ | z | = | z + 1 | = 1 . Εστω z 2 + z + 1 = 0 . Τοτε (z-1)(z2+z+1)=0 ⇒ z3-1=0 ⇒ z3=1 ⇒ |z|3=1 ⇒ |z| = 1 Eπισης z2+z+1=0 ⇒ z2=-(z+1) ⇒ |z|2=|z+1| ⇒ 1 = |z + 1| Οποτε τελικα: z 2 + z + 1 = 0 ⇒ | z | = 1 = | z + 1 | Αντιστροφα Αν |z|=1=|z+1| ⇒ zz = 1=(z+1)( z + 1 ) ⇒ zz = 1=zz +z+ z +1 ⇒ z =

1 (1) και z+z +1=0 (2) z

1 Η (2) λογω της (1) γινεται: z+ +1=0 ⇒ z 2 + z + 1 = 0 . z

8. Αν οι μιγαδικοι z1, z2 ικανοποιουν τη σχεση | z 1 + z 2 | 2 = | z 1 | 2 + | z 2 | 2 να δειχτει οτι | z 1 – z 2 | = | z 1 + z 2 | . |z1+z2|2+|z1-z2|2 = (z1+z2)( z1 + z2 )+(z1-z2)( z1 - z2 )= = z1 z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z2 + z1 z1 - z1 z2 - z2 z1 + z2 z2 = = 2z1 z1 + 2z2 z2 =2|z1|2+2|z2|2. Δηλαδη: |z1+z2|2+|z1-z2|2 =2|z1|2+2|z2|2

(1)

Επισης απ’ την υποθεση: |z1+z2|2=|z1|2+|z2|2 (2) Απο (1)-(2) εχουμε |z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2-|z1|2-|z2|2 ⇔ |z1-z2|2=|z1|2+|z2|2 ⇔|z1-z2|2=|z1+z2|2 ⇔

| z 1– z 2| = | z 1+ z 2| .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

9. Aν z1, z2∈  διαφοροι του μηδενος και z 1 = λ z 2, οπου λ θετικος πραγματικος αριθμος να δειχτει οτι: | z 1 + z 2 | = | z 1 | + | z 2 | . Εστω z1 = λz2 με λ > 0. Τοτε

| z 1 + z 2 | = |λz2+z2|=|(λ+1)z2|=(λ+1)|z2|=λ|z2|+|z2|=|λz2|+|z2|= | z 1 | + | z 2 | . 10. Να δειχτει οτι η σχεση | z – 1 | < | z + 1 | επαληθευεται μονο απ’τους μιγαδικους που εχουν θετικο πραγματικο μερος. Ειναι |z-1 |< |z+1| ⇔ |z-1|2 < |z+1|2 ⇔(z-1)(z -1)<(z+1)( z +1) ⇔ z z -z-z +1 < z z +z+ z +1 ⇔ 2z+2 z > 0 ⇔ z + z > 0 ⇔ 2Re(z) > 0 ⇔ Re(z) > 0 .

11. Να αποδειξετε οτι για οποιουσδηποτε μιγαδικους αριθμους z1 , z2 ισχυει η ισοδυναμια: | z 1 | 2 + | z 2 | 2 = | z 1 – z 2 | 2⇔ Re( z1  z2 ) = 0 . Ειναι

| z 1 | 2 + | z 2 | 2 =| z 1 - z 2 | 2 ⇔ z 1 z 1 + z 2 z 2 = (z 1 - z 2 )(z 1 - z 2 ) ⇔ z 1 z 1 + z 2 z 2 = z 1 z 1 - z 1 z 2 - z 2 z 1 + z 2 z 2 ⇔ z 1 z 2 + z 2 z 1 =0 ⇔ z 1 z 2 + z 1 z 2 =0 ⇔ 2Re( z 1 z 2 ) = 0 ⇔ Re( z1  z2 ) = 0 .

12. Αν z1, z2 οι ριζες της εξισωσης ( 1 + i ) z 2 – 2 i z + ( 3 + i ) = 0, να βρεθει η δευτερου βαθμου εξισωση που εχει ριζες τους μιγαδικους w 1 = z 1 + 2 z 2 και w 2 = 2 z 1 + z 2 . Ειναι

z 1+ z 2= z 1∙z 2=

2i 2i(1 - i) 2 + 2i 2(1 + i) = = = = 1 +i 1 + i (1 + i)(1 - i) 1 + 1 2 3 + i (3 + i)(1 - i) 4 - 2i 2(2 - i) = = = = 2 -i 1 + i (1 + i)(1 - i) 1 + 1 2

w 1 + w 2 = (z1 + 2z2) + (2z1 + z2) = 3(z1 + z2) = 3 ( 1 + i )

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

w 1 ∙ w 2 = (z1 + 2z2)(2z1 + z2) = 2z12 + 2z22 + 5z1z2 = 2(z12 + z22) + 5z1z2 = = 2[(z1 + z2)2 - 2z1z2] + 5z1z2 = 2(z1 + z2)2 - 4z1z2 + 5z1z2 =

= 2(z1 + z2)2 + z1z2 = 2(1 + i)2 + 2 – i = 2 – 2 + 4i + 2 – i = 2 + 3 i

Οποτε η ζητουμενη εξισωση ειναι: z 2 – 3 ( 1 + i ) z + ( 2 + 3 i ) = 0 .

13.

(z1 + z2 ) v Αν οι μιγαδικοι z1, z2 εχουν μετρο ισο με τη μοναδα, να δειχτει οτι ο αριθμος z1 v + z 2 v ειναι πραγματικος.

(z 1 + z 2 ) v 1 1 Αφου |z1| = |z2| = 1 τοτε z 1 = και z 2 = . Αν w = ειναι z1 z2 z 1v + z 2v v

 1 (z 1 + z 2 ) v 1   +  z1 z2  (z 1 + z 2 ) v (z 1 + z 2 ) v z 1vz 2v  w= = = = =w. v v v v v v z + z z + z z 1v + z 2v  1   1  1 2 1 2 v v   +  z z 1 2  z1   z2 

(z1 + z2 ) v Αρα ειναι πραγματικος. z1 v + z 2 v 14. Δινονται οι μιγαδικοι αριθμοι z και w με | z – w | = | z + w |, οπου z,w ≠ 0 . Να αποδειξετε οτι: z α. zw + w z = 0 β. ο αριθμος u = ειναι φανταστικος. w α. Ειναι |z-w|=|z+w| ⇔ (z-w)( z - w )=(z+w)( z + w ) ⇔ zz -z w -wz +w w = z z +z w +wz +w w ⇔ 2z w +2w z =0 ⇔

zw + w z = 0. β. Απ’το ερωτημα (α) εχουμε zw + wz = 0 ⇔ zw = - wz ⇔

z z =⇔ u = -u w w

που σημαινει οτι ο u ειναι φανταστικος.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

10. Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η 1. Να γραψετε στη μορφη α+βi τους παρακατω μιγαδικους αριθμους: ●z=

1+i 2 2 -i

1 -i  ●w=   1 + i 

●u=i+

1 i

2. Aν z = 3 + 4 i και w = 2 – 3 i να γραψετε στη μορφη α+βi τους μιγαδικους αριθμους: 25w ● z+w ● zw ●z2 ● z 3. ● Δινονται οι μιγαδικοι : z = ( 2 x + y + 5 ) + 2 i , w = ( 4 x – 2 y + 4 ) + ( 3 x – 4 y ) i . Aν z = w τοτε να βρειτε τους πραγματικους αριθμους x και y. ● Bρειτε τους πραγματικους αριθμους x και y που ικανοποιουν τη σχεση: x – 2 + ( y – 3 ) i = ( 1 + 3 i )( y + i ) . 4. Να υπολογιστουν τα αθροισματα: Α = i 6+ i 16+ i 26+ i 36+ i 46

B = i 2+ i 12+ i 22+ i 32+ i 42+ i 52+ i 62.

1 και x,y,θ∈  , να βρεθουν τα x,y συναρτησει του θ και να 2 + συνθ + iημθ δειχτει οτι ( 3 x – 2 ) 2 + ( 3 y ) 2 = 1 . Αν x + y i =

6. 2ν

2ν

 α+i   i-α  ν * Να αποδειχτει οτι   +  = 2 ( - 1 ) για καθε ν∈  και α∈  . αi 1 + αi 1    

7. Αν z μιγαδικος και z∙z = 1, z ≠ 1, να δειχτει οτι ο w =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

1+z ειναι φανταστικος. 1-z

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

3 . Nα δειξετε οτι οι εικονες του z κι2 + συνθ + iημθ νουνται σε κυκλο του οποιου να βρεθει το κεντρο και η ακτινα του. Δινεται ο μιγαδικος αριθμος z =

9. Αν z = συνα + iημα, να δειχτειο οτι z =

1 . συνα + iημα

10. Εστω λ∈  * και z∈  με z ≠ λi . Αν ο αριθμος w =

z + λi ειναι φανταστικος, να αποδειχτει οτι και ο z ειναι φανταστικος. λ + iz

11. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των εικονων των μιγαδικων αριθμων z, για τους οποιους ο αριθμος w = z 2 + ( i – 1 )( z + 2 i ) - ( 1 + i ) z – 2 i ειναι φανταστικος. 12. Αν η εικονα του μιγαδικου αριθμου z κινειται στον κυκλο με κεντρο Ο(0,0) και ακτινα 2, να αποδειχτει οτι η εικονα του αριθμου w = z 2 + 3 i κινειται επισης σε κυκλο. 13. Να αποδειχτει οτι οι εικονες των μιγαδικων z = ( λ – 1 ) 2 + ( 1 – λ ) i, οταν το λ μεταβαλλεται στο  , κινουνται σε μια παραβολη. 14. Αν η εικονα Μ(α, β) του μιγαδικου z = α + β i διαγραφει την ευθεια (ε) : y = x + 2005, να δειξετε οτι η εικονα του μιγαδικου w = (1 - i) z + 2 z + 2005 διαγραφει επισης μια ευθεια της οποιας να βρειτε την εξισωση. 15. Δινεται η εξισωση z 4 – 4 z 3 + 12 z 2 + 4 z – 13 = 0 . Αν μια ριζα της ειναι z1 = 2 – 3 i να βρεθουν οι αλλες ριζες αυτης.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

16. Να βρεθουν τα μετρα των παρακατω μιγαδικων αριθμων: ● z1 = 3 + 4 i

● z2 = ( 1 + i ) 2

● z3 =

1-i 3 1+i 3

● z4 = ( 1 + i ) 2 ( 5 + 1 2 i ) .

17.

-1 + i 3 και w = 2 + 2 i . 2 Να βρεθουν τα μετρα των παρακατω μιγαδικων αριθμων: z4 z 2 ● z ●w ● zw ● ● zw ● 3 . w w Δινονται οι μιγαδικοι z =

18. Αν z,w∈  , |z| = 1 κα ι w =

2z - i , να αποδειχτει οτι |w| = 1 . z - 2i

19. Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των εικονων των μιγαδικων αριθμων z, για τους οποιους ισχυει | z + 1 6 | = 4 | z + 1 | . 20. Αν για το μιγαδικο z ισχυει | z – 5 | = 2 | z – 3 |, να αποδειχτει οτι: | z – 1 | = 2 2 . 21. Απ’τους μιγαδικους z με | z – 1 – 2 i | = 2 5 , να βρεθουν εκεινοι που εχουν: ● το ελαχιστο μετρο, ● το μεγιστο μετρο. 22. Να βρεθει το μετρο του μιγαδικου z που επαληθευει την ( 11 – z 3 ) i = z 3 + 7 . 23. Αν | z + i | = | z + ( 4 – 3 i ) | = | 3 i – z |, να βρεθει ο μιγαδικος αριθμος z και το μετρο αυτου.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

24. Αν z μιγαδικος αριθμος και | z – 1 0 | = 3 | z – 2 | να δειχτει οτι | z – 1 | = 3 . 25. Αν z μιγαδικος αριθμος και

z -9 = 3 να δειχτει οτι |z| = 3 . z -1

26. Δινονται οι μιγαδικοι z,w με την ιδιοτητα |z| = |w| = 1 . ● Να δειχτει η ισοδυναμια z + w – zw + 1 = 0 ⇔ z + w + zw – 1 = 0 . ● Να βρεθουν ολα τα ζευγη (z,w) τα οποια να ικανοποιουν την σχεση z + w – zw + 1 = 0. z + w + zw - 1 ● Να δειχτει οτι για καθε z,w οπου z + w – zw + 1 ≠ 0 θα ειναι =1. z + w - zw + 1 27. Δινονται οι μιγαδικοι z,w. Να βρεθουν οι αναγκαιες και ικανες συνθηκες ωστε ο αριθμος u =

z - zw να ειναι πραγματικος . 1-w

28. Αν z,w μιγαδικοι να δειχτει οτι αν | z – w | = | 1 - zw | τοτε | z | = 1 ειτε | w | = 1 και αντιστροφα. 29. ● Δινεται ο μιγαδικος z = ( 3 + 4 i ) 2. Nα βρεθουν οι πραγματικοι α, β, ωστε z = α + β i . ● Αν x + y i = ( 3 + t i ) 2 οπου t πραγματικη μεταβλητη, να δειχτει οτι ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του μιγαδικου z = x + y i ειναι παραβολη της οποιας να βρεθει η εστια και η διευθετουσα. 30. 1 , να δειχτει οτι οταν το t μεταβαλt + 3i λεται στο  , το σημειο Μ που ειναι εικονα του z στο μιγαδικο επιπεδο κινειται πανω σε κυκλο του οποιου να βρεθει το κεντρο και η ακτινα. Αν t ειναι μια πραγματικη μεταβλητη και z =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

31. z - 8i οπου z = x + y i με x,y∈  . z+6 ● Να δειχτει οτι αν w ειναι φανταστικος τοτε τα σημεια M(x,y), που ειναι εικονες του μιγαδικου z = x + y i , βρισκονται στο μιγαδικο επιπεδο σε κυκλο με κεντρο το Κ(-3,4) και ακτινα ρ=5. ● Να δειχτει οτι αν w ειναι πραγματικος τοτε τα σημεια M(x,y), που ειναι εικονες του μιγαδικου z = x + y i, βρισκονται στο μιγαδικο επιπεδο σε ευθεια. Να βρεθει στην ευθεια ο z = x + y i για τον οποιο εχουμε το ελαχιστο μετρο. Δινεται ο αριθμος w =

32. Εστω z = ( 2 x – 3 ) + ( 2 y – 1 ) i με x,y∈  . Να δειχτει οτι στο μιγαδικο επιπεδο ο γεωμετρικος τοπος των σημειων (x,y) που ειναι τετοια ωστε |2z – 1 + 3i | = 3 ειναι κυκλος. Στη συνεχεια να βρειτε τις συντεταγμενες του κεντρου του κυκλου και την ακτινα του. 33. Δινεται ο μιγαδικος w = x + y i με x,y∈  * και ο μιγαδικος z =

w 2 -1 . 2w

● Να δοθει ο z με τη μορφη α+βi. ● Να δειχτει οτι ο z δεν μπορει να ειναι πραγματικος. ● Να δειχτει οτι για να ειναι ο z φανταστικος πρεπει και αρκει το σημειο Α(x,y), που ειναι εικονα του w πανω στο μιγαδικο επιπεδο, να βρισκεται σε κυκλο με κεντρο την αρχη των αξονων και ακτινα ρ = 1 . 34. Εστω M(x,y) η εικονα στο μιγαδικο επιπεδο του z = x + y i . ● Να δειχτει οτι αν ο z επαληθευει την | z – 2 i | = 1 τοτε ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ ειναι κυκλος του οποιου να βρεθει το κεντρο και η ακτινα του. ● Να βρεθουν οι εξισωσεις των ευθειων που διερχονται απ’την αρχη των αξονων και εφαπτονται στο προηγουμενο κυκλο. 35. Δινεται η εξισωση | z – a | = κ | z – b | οπου a,b γνωστοι μιγαδικοι αριθμοι και κ σταθερος θετικος πραγματικος με κ≠1. Αν Μ ειναι η εικονα του τυχαιου z που επαληθευει την εξισωση, να δειχτει οτι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ πανω στο μιγαδικο επιπεδο ειναι κυκλος του οποιου να βρεθει το κεντρο και η ακτινα .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

36. z+1 οπου z = x + y i με x,y πραγματικους και z ≠ 0 . z ● Να γραφει ο μιγαδικος f(z) στη μορφη α + β i . ● Να αποδειχτει η ισοδυναμια: f(z) πραγματικος ⇔ z πραγματικος. ● Αν ισχυει f(z)f(z ) = 2, να δειχτει οτι ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι Δινεται η συναρτηση f(z) =

κυκλος με κεντρο Κ(1,0) και ακτινα ρ = 2 . ● Για τους μιγαδικους του προηγουμενου ερωτηματος να βρεθει η μεγιστη και η ελαχιστη τιμη του μετρου | f(z) – 1 | . 37. Δινεται ο μιγαδικος z = x + y i , οπου x,y∈  και x ≠ 0, y ≠ 2 . Αν | z – 2 i | = 2 | z + 2 i | , τοτε: ● Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο της εικονας του z. ● Να προσδιορισετε τη μεγιστη και ελαχιστη τιμη του μετρου του z και να δωσετε γεωμετρικη ερμηνεια. 38. Δινεται η εξισωση | z – 1 | = | z – 3 i | , z∈  . ● Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z. ● Να βρεθει η εικονα του z για τον οποιο το |z| ειναι ελαχιστο. 39. 1 1 ) = , τοτε: z 4 ● Να δειχτει οτι ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z στο μιγαδικο επιπεδο ειναι κυκλος με εξισωση | z – 2 | = 2 . Αν z μιγαδικος αριθμος με Re(

● Να δειχτει οτι αν για τον z ισχυει Im(z) = 1, τοτε: Re(z) = 2 + 3 η Re(z) = 2 - 3 . ● Να βρεθει η εξισωση 4ου βαθμου που θα εχει ριζες τους αριθμους + 1, - 1 και τους μιγαδικους του ερωτηματος (β). 40. Αν z = 2 x + 3 y i με x,y∈  και η εικονα του w = πεδο βρισκεται στον αξονα y’y, να δειξετε οτι: ● το σημειο (x,y) ανηκει σε ελλειψη. ● ο γεωμετρικος τοπος του M(z) ειναι κυκλος.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

z -6 , με z ≠ - 6 στο μιγαδικο επιz+6

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

41. Αν η εικονα του z στο μιγαδικο επιπεδο κινειται στην ευθεια ε : x + y = 2 , να δειξετε οτι η εικονα του w = 2 z + i z κινειται σε ευθεια της οποιας να βρειτε την εξισωση. 42. Να βρειτε τον z∈  ωστε να ισχυει: | z – i | = | i z – i | = | z – i z | . 43. Δινεται ο μιγαδικος z και εστω f(z) =

2 + iz

,z≠1. 1-z ● Να βρειτε το μετρο του μιγαδικου f(2). ● Να αποδειξετε οτι ο αριθμος w = [f(2)] 2012 ειναι πραγματικος. f(z) - 2 ● Να αποδειξετε οτι : | | =|z|. f(z) + i ● Αν |z| = 1 και Μ ειναι η εικονα του f(z) στο μιγαδικο επιπεδο, να αποδειξετε οτι το Μ ανηκει σε ευθεια, της οποιας να βρειτε την εξισωση. 44. ● Να λυσετε στο  την εξισωση : z 2 – 2 | z | = 0 . ● Βρειτε το γεωμ. τοπο της εικονας του μιγαδικου αριθμου z, αν | z – 2 | = | z – 4 i | . 45. Αν η εικονα του z στο μιγαδικο επιπεδο κινειται στην ευθεια ε : x + y = 2 , να δειξετε οτι η εικονα του w = 2 z + i z κινειται σε ευθεια της οποιας να βρειτε την εξισωση. 46. Δινονται οι μιγαδικοι αριθμοι z = α + β i , οπου α,β∈  και w = 3 z – i z + 4, οπου z ειναι ο συζυγης του z. ● Να αποδειξετε οτι Re(w) = 3 α – β + 4 και Im(w) = 3 β – α . ● Να αποδειξετε οτι, αν οι εικονες του w στο μιγαδικο επιπεδο κινουνται στην ευθεια με εξισωση y = x – 12, τοτε οι εικονες του z κινουνται σε ευθεια με εξισωση y = x – 2 . ● Να βρειτε ποιος απ’τους μιγαδικους αριθμους z, που οι εικονες τους κινουνται στην ευθεια με εξισωση y = x - 2, εχει το ελαχιστο μετρο.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

47. Αν z,w μιγαδικοι αριθμοι, να αποδειχτει οτι: ● | w - z | 2 - ( | w | - | z | ) 2 = 2 | w z | - 2 Re ( w z ) ● | w + z | 2 = | w | 2 + | z | 2 + 2 Re ( w z ) . 48. Εστω Μ η εικονα του μιγαδικου z = α + 1 + ( 2 α – 1 ) i οπου η παραμετρος α διατρεχει το  . ● Να αποδειχτει οτι το Μ διατρεχει την ευθεια ε: y = 2 x - 3 οταν το α διατρεχει το  . ● Βρειτε την εξισωση της ευθειας (δ) που διερχεται απ’το Α(0,2) και ειναι καθετη στην ευθεια (ε). ● Βρειτε τον μιγαδικο αριθμο z που εχει την πλησιεστερη εικονα στο σημειο Α(0,2). 49. Nα περιγραψετε γεωμετρικα το συνολο των εικονων των μιγαδικων αριθμων z που ικανοποιουν τις παρακατω σχεσεις: ●z+ z =2 ● z 2= z ● Im ( z 2) = 0 ● Re ( z 2) = 0 50. Να προσδιορισετε τη γραμμη πανω στην οποια κινουνται οι εικονες των μιγαδικων αριθμων z, οταν z = 3 συνφ + 5 i ημφ, φ∈  . 51. Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των εικονων των μιγαδικων αριθμων z που ικανοποιουν τη σχεση | z + 4| + | z – 4 | = 1 0 . 52. Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των εικονων των μιγαδικων αριθμων z που ικανοποιουν τη σχεση | z + 8 i| + | z – 8 i | = 2 0 . 53. Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των εικονων των μιγαδικων αριθμων z που ικανοποιουν τη σχεση | z + 5 | - | z – 5 | = 8 .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

54. Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των εικονων των μιγαδικων αριθμων z που ικανοποιουν τη σχεση | z + 1 0 i| - | z – 1 0 i | = 1 2 . 55. Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των εικονων των μιγαδικων αριθμων z που ικανοποιουν τη σχεση | | z + 1 0 i| - | z – 1 0 i | | = 1 2 . 56. Για τους μιγαδικους αριθμους z και w ισχυουν οι σχεσεις : | z - 12 - 6i | = | z - 4 | (1) και 2 | w + i | 2 =| w - i | 2 +17 (2).  Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των M(z) .  Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των N(w) .  Να βρειτε την ελαχιστη τιμη του | z - w | . 57. Για τους μιγαδικους αριθμους z και w ισχυουν οι σχεσεις : 3z + 2i | z | = 2 και w = . i z + 6  Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των M(w) .  Να βρειτε την μεγιστη και ελαχιστη τιμη του | z - w | .

58. Να περιγρaψετε γεωμετρικa το συνολο (Σ) των εικoνων των μιγαδικων αριθμων z που ικανοποιουν τις σχεσεις: |z| = 2 και Re(z) ≥ 0 . Αν οι εικονες του z ανηκουν στο συνολο (Σ) να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του μιγαδικου w = z – 4 + 3i . Να βρεθει ο μιγαδικος αριθμος w με το ελαχιστο μετρο. 59. Θεωρουμε το μιγαδικο αριθμο z για τον οποιο ισχυει: | z – i + 3 | = 5 . ● Να βρεθει ο γ. τ. των εικονων του μιγαδικου αριθμου ω = z – 1 + 2 i . ● Να βρεθει η μεγιστη τιμη του | ω | . ● Να προσδιοριστει ο μιγαδικος αριθμος ω με το ελαχιστο μετρο.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

11. Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς 1. Αν z1 = α + βi και z 2 = γ + δi ειναι δυο μιγαδικοι αριθμοι, τοτε: • z1 + z 2 = z1 + z 2 • z 1 - z 2 = z1 - z 2 • z 1  z 2 = z1  z 2 •(

z1 z )= 1 z2 z2

• z1 + z2 = (α + βi) + (γ + δi) = (α + γ) + (β + δ)i = (α + γ) - (β + δ)i = (α - βi) + (γ - δi) = z1 + z2

• z1 - z2 = (α + βi) - (γ + δi) = (α - γ) + (β - δ)i = (α - γ) - (β - δ)i = (α - βi) - (γ - δi) = z1 - z2

• z1  z2 = (α + βi)  (γ + δi) = αγ + αδi + γβi + βδi2 = αγ - βδ + (αδ + γβ)i = αγ - βδ - (αδ + γβ)i =

= αγ + βδi2 - αδi - γβi = α(γ - δi) - βi(γ - δi) = (α - βi)(γ - δi) = z1  z2  (

a + βi (a + βi)(γ - δi) aγ - αδi + βγi - βδi2 aγ - αδi + βγi + βδ ) =( ) =( 2 )=( )= 22 γ + δi (γ + δi)(γ - δi) γ 2 + δ2 γ - γδi + γδi - δ i =( =

aγ + βδ αδ + βγ aγ + βδ αδ + βγ aγ - βδi2 + αδi + βγi + i) = + i= 2 = γ 2 + δ 2 γ 2 + δ2 γ 2 + δ2 γ 2 + δ2 γ + γδi - γδi - δ2i2

a(γ + δ)i - βi(γ + δ)i (a - βi) (γ + δi) a - βi z1 = = = γ(γ + δi) - δi(γ + δi) (γ - δi) (γ + δi) γ - δi z2

2. Αν z1 , z 2 ειναι μιγαδικοι αριθμοι, τοτε •|

• | z1  z 2 | = | z1 |  | z 2 |

z1 | z1 | |= , z2 ≠ 0 z2 | z2 |

2 2 2 • | z1  z2 |=| z1 |  | z2 |  | z1  z2 | =| z1 |  | z2 |  (z1  z2 )(z1  z2 ) = z1  z1  z2  z2  z1  z2  z1  z2 = z1  z1  z2  z2

και, επειδη η τελευταια ισοτητα ισχυει, θα ισχυει και η ισοδυναμη αρχικη. 2

z1 | z1 | z1 2  | z1 |  z1 2 | z1 |2 z z z z z z z z  | | =   1 ( 1 ) = 1 1  1  1 = 1 1 • | |=   | | = 2 z2 | z2 | z2 z2 z2 z2 z2 z2 z2  z2 | z2 | z2  z2  | z2 |  και, επειδη η τελευταια ισοτητα ισχυει, θα ισχυει και η ισοδυναμη αρχικη.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1. Ο ρ ι σ μ ο ς Εστω Α ενα μη κενο υποσυνολο του  .

Ονομαζουμε π ρ α γ μ α τ ι κ η σ υ ν α ρ τ η σ η με πεδιο ορισμου το Α μια διαδικασια (κανονα) f, με την οποια κ α θ ε στοιχειο x∈A αντιστοιχιζεται σ’ ε ν α μ ο ν ο πραγματικο αριθμο y. To y ονομαζεται τ ι μ η της f στο x και συμβολιζεται με f(x). ● Το γραμμα x λεγεται α ν ε ξ α ρ τ η τ η μ ε τ α β λ η τ η , ενω το γραμμα y που παριστανει την τιμη της f στο x λεγεται ε ξ α ρ τ η μ ε ν η μ ε τ α β λ η τ η . ● Το πεδιο ορισμου Α της f συμβολιζεται με Af . ● Μια συναρτηση ειναι ορισμενη, Οταν γι’αυτην γνωριζουμε: ● To πεδιο ορισμου της Α ● Την τιμη της f(x) για καθε x∈  , δηλαδη τον τυπο μεσω του οποιου μπορουμε να βρουμε την τιμη f(x) για καθε x∈  .

● Καθε στοιχειο x του πεδιου ορισμου Α ονoμαζεται αρχετυπο της f, ενω το y ονομαζεται εικονα της f στο x.

2. Π ε δ ι ο Ο ρ ι σ μ ο υ Αν η συναρτηση δινεται μονο με τον τυπο της, πεδιο ορισμου της θα θεωρειται το ευρυτερο υποσυνολο των πραγματικων αριθμων για τους οποιους η τιμη f(x) να εχει νοημα πραγματικου αριθμου. Συμβολικα γραφουμε: Af = { x ∈  : y = f(x) ∈  }. Συναρτησεις με γνωστο πεδιο ορισμου Α. • f(x) = ημx

• f(x) = συνx • f(x) = εφx • f(x) = σφx • f(x) = αx, α > 0, α  1 • f(x) = ex • f(x) = logx

•A=  •A= 

• A =  - { x / x ∈  , x = κπ + π/2 , κ ∈  }

• A =  - { x / x ∈  , x = κπ , κ ∈  } •A=  •A= 

• A = ( 0, + ∞ )

• f(x) = lnx

•A=(0,+∞)

• f(x) = α g(x) , α > 0, α  1

• A ειναι το πεδιο ορισμου της g

• f(x) = e g(x) , α > 0, α  1

• A ειναι το πεδιο ορισμου της g

• f(x) = log g(x)

• Α ειναι η τομη του Αg και του συνολου λυσεων της ανισωσης g(x) > 0

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

• Α ειναι η τομη του Αg και του συνολου λυσεων

• f(x) = ln g(x)

της ανισωσης g(x) > 0 • f(x) = [φ(x)]

g(x)

• Α ειναι η τομη του Aφ , του Αg και οι λυσεις της ανισωσης φ(x) > 0

• f(x) = ημ[g(x)]

• A = Ag

• f(x) = συν[g(x)]

• A = Ag

• f(x) = εφ[g(x)]

• A = Ag - { x / x ∈  , g(x) = κπ + π/2 , κ ∈  }

• f(x) = σφ[g(x)]

3. Σ υ ν ο λ ο Τ ι μ ω ν

• A = Ag - { x / x ∈  , g(x) = κπ , κ ∈  }

Ειναι το συνολο που στοιχεια του ειναι οι τιμες της f για καθε x∈  . Δηλαδη f(A) = {y∈  / y = f(x) για τουλαχιστον ενα x∈Α}

Το συνολο τιμων περιλαμβανει εκεινους τους πραγματικους αριθμους y για τους οποιους υπαρχει ενα τουλαχιστον x∈Α, τετοιο ωστε f(x) = y.

4. Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η 4.1 Ο ρ ι σ μ ο ς Γραφικη παρασταση της f με πεδιο ορισμου το Α, που συμβολιζεται με Cf , ειναι το συνολο ολων των σημειων του επιπεδου που αντιστοιχουν στα ζευγη (x,f(x)), x∈  .

• Εξισωση γραφικης παραστασης της f:

Ειναι η εξισωση y = f(x), οπου f(x) ειναι ο τυπος της συναρτησης f . • Χαρακτηριστικη ιδιοτητα της y = f(x) : Ενα σημειο Μ(x,y) ανηκει στην γραφικη παρασταση Cf αν οι συντεταγμενες του επαληθευουν την εξισωση y = f(x) και αντιστροφως. 4.2 Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς • Η Cf τεμνει τον x’x στα σημεια A₁(x₁,0), A₂(x₂,0),… oπου x₁, x₂, … ειναι οι ριζες της εξισωσης f(x) = 0. • Η Cf τεμνει τον y’y στο σημειο Β(0,f(0)), με την προυποθεση οτι το 0 ανηκει στο A f . • Προκειμενου να βρουμε τις πραγματικες τιμες του x που η Cf βρισκεται πανω απο τον x’x λυνουμε την f(x) > 0 και συναληθευουμε τις λυσεις με το A f , ενω λυνουμε την f(x) < 0 οταν η Cf ειναι κατω απο τον x’x. • Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f,g λυνουμε

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

την εξισωση f(x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο A f  A g . • Προκειμενου να βρουμε τις πραγματικες τιμες x που η Cf βρισκεται πανω απο την Cg λυνουμε την f(x) > g(x) και συναληθευουμε τις λυσεις στο A f  A g , ενω την f(x)<g(x) αν η Cg ειναι πανω απ’την Cf . • Οποιαδηποτε καθετη ευθεια στον αξονα x’x τεμνει τη γραφικη παρασταση μιας συναρτησης το πολυ σε ενα σημειο. • Η τιμη της f:Α   στο x0∈A, ειναι η τεταγμενη y0 του σημειου τομης M της ευθειας x = x0 και της γραφικης παραστασης Cf.

• Το πεδιο ορισμου της f ειναι το συνολο Α των τετμημενων των σημειων της γραφικης παραστασης Cf. Δηλαδη η προβολη της γραφικης παραστασης στον αξονα x’x. • Το συνολο τιμων της f ειναι το συνολο f(Α) των τεταγμενων των σημειων της γραφικης παραστασης Cf . Δηλαδη η προβολη της γραφικης παραστασης στον αξονα y΄y. 4.3 Χ α ρ α κ τ η ρ ι σ τ ι κ ε ς Π ε ρ ι π τ ω σ ε ι ς • Aν ειναι γνωστη η γραφικη παρασταση της g τοτε : • Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = g(x) + c, με c > 0 ( αντιστοιχα c < 0), προκυπτει απ’τη κατακορυφη μετατοπιση της γραφικης παραστασης της συναρτησης g κατα c μοναδες προς τα πανω ( αντιστοιχα κατω). • Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = g(x + c), με c > 0 ( αντιστοιχα c < 0), προκυπτει απ’την oριζοντια μετατοπιση της γραφικης παραστασης της συναρτησης g κατα c μοναδες προς τα αριστερα ( αντιστοιχα δεξια). • Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = - g(x) ειναι συμμετρικη της γραφικης παραστασης της συναρτησης g ως προς τον αξονα x’x. • Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = |g(x)| αποτελειται • απο τα τμηματα της y = g(x) που βρισκονται πανω απο τον x’x. • απο τα συμμετρικα ως προς τον x’x των τμηματων της y = g(x) που βρισκονται κατω απο τον x’x. • Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = g(-x) ειναι συμμετρικη της γραφικης παραστασης της g ως προς τον αξονα y’y.

5. Ι σ ο τ η τ α Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν 5.1 Ο ρ ι σ μ ο ς Δυο συναρτησεις f και g θα λεγονται ι σ ε ς αν και μονο αν εχουν: ● To ιδιο πεδιο ορισμου Α και ● Για καθε x∈A ισχυει f(x) = g(x)

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

5.2 Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς • Για να δηλωσουμε οτι δυο συναρτησεις f και g ειναι ισες γραφουμε f = g. • Αν δυο συναρτησεις f και g εχουν διαφορετικα πεδια ορισμου A f , A g και υπαρχει ενα κοινο υποσυνολο τους Ε, για το οποιο ισχυει f(x)=g(x) για καθε x∈Ε, τοτε θα λεμε οτι οι συναρτησεις f και g ειναι ισες στο συνολο Ε. • Αν για τις συναρτησεις f και g δεν ισχυει μια τουλαχιστον απ’τις προυποθεσεις του ορισμου, τοτε αυτες ειναι διαφορες μεταξυ τους και γραφουμε f ≠ g.

6. Π ρ α ξ ε ι ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Αν f και g ειναι δυο συναρτησεις με πεδια ορισμου Αf και Ag, οριζουμε: ● A θ ρ ο ι σ μ α των f και g την συναρτηση f + g με: • πεδιο ορισμου το Af+g = Αf ∩ Ag ≠ ∅ και • τυπο: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

● Δ ι α φ ο ρ α των f και g την συναρτηση f – g με: • πεδιο ορισμου το Af-g = Αf ∩ Ag ≠ ∅

και

• πεδιο ορισμου το Af∙g = Αf ∩ Ag ≠ ∅

και

• τυπο: (f - g)(x) = f(x) - g(x)

● Γ ι ν ο μ ε ν ο των f και g την συναρτηση f ∙ g με: • τυπο: (f∙g)(x) = f(x) ∙ g(x)

● Π η λ ι κ ο των f και g την συναρτηση

f με: g

• πεδιο ορισμου το A f = Αf ∩ Ag \ { x : g(x) = 0 } και g

• τυπο: (

f f(x) )(x) = g g(x)

Αν f ειναι μια συναρτηση με πεδιο ορισμου Αf και λ πραγματικος αριθμος, οριζουμε: ● Γ ι ν ο μ ε ν ο τ ω ν f κ α ι λ την συναρτηση λ ∙f με: • πεδιο ορισμου το Αf ≠ ∅

και

• τυπο: (λ∙f)(x) = λ ∙f(x)

Αν f ειναι μια συναρτηση με πεδιο ορισμου Αf και ν φυσικος αριθμος, οριζουμε: ● Δ υ ν α μ η τ η ς f ε ι ς τ η ν ν την συναρτηση f ν με: • πεδιο ορισμου το Αf ≠ ∅ • τυπο: f ν(x) = [f(x)]

και

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

7. Σ υ ν θ ε σ η Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν 7.1 Ο ρ ι σ μ ο ς Αν f και g ειναι δυο συναρτησεις με πεδια ορισμου Αf και Ag, οριζουμε: • Σ υ ν θ ε σ η τ η ς f μ ε τ η ν g , τη συναρτηση g ∘ f με: • Πεδιο ορισμου: Αgof = { x∈Αf / g(x) ∈ Ag } • Τυπο: f∘g = f(g(x))

• g∘f ≠ f∘g (η συνθεση δ ε ν ειναι αντιμεταθετικη)

• h∘(g∘f) ≠ (h∘g)∘f (η συνθεση ειναι προσεταιριστικη) 7.2 Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς

• Το πεδιο ορισμου Αgof της g∘f αποτελειτα απ’oλα τα στοιχεια x του Αf για τα οποια τα f(x) ανηκουν στο Ag. Δηλαδη Αgof = { x∈Αf / g(x)∈Ag }. • Aν Αgof = Ø , τοτε δεν οριζεται η g∘f. • Mε αναλογο τροπο οριζεται και η f∘g • Πεδιο ορισμου: Αfog = { x∈Αg / g(x)∈Af } • Τυπος: f∘g = f(g(x))

8. Μ ο ν ο τ ο ν ι α Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν 8.1 Ο ρ ι σ μ ο ς • Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς α υ ξ ο υ σ α σ’ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) < f(x₂). • Συμβολιζουμε f  στο Δ. • Ισχυει

f(x1 ) - f(x2 ) >0 x1 - x 2

• Μια συναρτηση f λεγεται γ ν η σ ι ω ς φ θ ι ν ο υ σ α σ’ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) > f(x₂). • Συμβολιζουμε f  στο Δ. • Ισχυει

f(x1 ) - f(x2 ) <0 x1 - x 2

• Μια συναρτηση f λεγεται σ τ α θ ε ρ η σ’ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, αν για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχυει: f(x₁) = f(x₂). • Ισχυει

f(x1 ) - f(x2 ) =0 x1 - x 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

8.2 Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς • Οι γνησιως αυξουσες και οι γνησιως φθινουσες συναρτησεις γενικα λεγονται γ ν η σ ι –

ως μονοτονες. • Οταν μια συναρτηση ειναι γνησιως μονοτονη και δεν αναφερεται το διαστημα, θα εννοουμε οτι ειναι γνησιως μονοτονη στο πεδιο ορισμου της. • Μια συναρτηση ενδεχεται να εχει διαφορετικο ειδος μονοτονιας στο πεδιο ορισμου της. • Υπαρχουν συναρτησεις που εχουν το ιδιο ειδος μονοτονιας σε διαστηματα του πεδιου ορισμου, αλλα δεν ειναι μονοτονες σ’ολο το πεδιο ορισμου.

9. Α κ ρ ο τ α τ α Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν 9.1 Ο ρ ι σ μ ο ς Για μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α θα λεμε οτι: ● Παρουσιαζει στο x₀∈A (ολικο) μ ε γ ι σ τ ο , το f(x₀), αν ισχυει: f(x) ≤ f(x₀), για καθε x∈A. Το σημειο Μ(x0,f(x0)) ειναι το υψηλοτερο σημειο της γρ. παραστασης. ● Παρουσιαζει στο x₀∈A (ολικο) ε λ α χ ι σ τ ο , το f(x₀), αν ισχυει: f(x) ≥ f(x₀), για καθε x∈A. Το σημειο Μ(x0,f(x0)) ειναι το χαμηλοτερο σημειο της γρ. παραστασης. 9.2 Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς • Το μεγιστο και το ελαχιστο μιας συναρτησης λεγονται α κ ρ ο τ α τ α . Ειναι φανερο οτι μια συναρτηση μπορει να μην εχει ακροτατα. • Αν το συνολο τιμων μιας συναρτησης ειναι κλειστο διαστημα, τα ακρα του ειναι τα ακροτατα της συναρτησης.

10. Α ρ τ ι α - Π ε ρ ι τ τ η - Π ε ρ ι ο δ ι κ η Σ υ ν α ρ τ η σ η 10.1 Ο ρ ι σ μ ο ς • Mια συναρτηση λεγεται α ρ τ ι α στο πεδιο ορισμου της Α αν: για καθε x∈Α, τοτε – x ∈ Α και f ( - x ) = f ( x ) .

• Mια συναρτηση λεγεται π ε ρ ι τ τ η στο πεδιο ορισμου της Α αν: για καθε x∈Α, τοτε - x ∈ Α και f ( - x ) = - f ( x ) .

• Mια συναρτηση f:A→  λεγεται π ε ρ ι ο δ ι κ η στο πεδιο ορισμου της Α αν υπαρχει αριθμος Τ > 0 τετοιος ωστε:

• για καθε x∈A : x + Τ ∈ A και x – Τ ∈ A

• για καθε x∈A : f ( x + T ) = f ( x ) και f ( x – T ) = f ( x ) .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ο αριθμος Τ λεγεται π ε ρ ι ο δ ο ς της συναρτησης . H μικροτερη θετικη περιοδος λεγεται β α σ ι κ η π ε ρ ι ο δ ο ς της f. 10.2 Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς • Το πεδιο ορισμου αρτιας η περιττης συναρτησης ειναι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ ο σ υ ν ο λ ο ως προς την αρχη Ο του αξονα x΄x των πραγματικων αριθμων. • Η γραφικη παρασταση αρτιας συναρτησης ειναι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ η ως προς τον αξονα y΄y. • Η γραφικη παρασταση περιττης συναρτησης ειναι σ υ μ μ ε τ ρ ι κ η ως προς την αρχη Ο των αξονων. • Οι τιμες μιας περιοδικης συναρτησης επαναλαμβανονται οταν το x αυξηθει κατα Τ (περιοδoς της f). • Η γραφικη παρασταση περιοδικης συναρτησης εχει την ιδια μορφη σε διαδοχικα διαστηματα με πλατος οσο η περιοδος της.

11. Σ υ ν α ρ τ η σ η 1 - 1 11.1 Ο ρ ι σ μ ο ς Mια συναρτηση λεγεται 1 – 1 ( ε ν α π ρ ο ς ε ν α ) στο πεδιο ορισμου της αν για οποιoδηποτε x₁, x₂ του πεδιου ορισμου ισχυει: Aν x₁ ≠ x₂ τοτε f(x₁) ≠ f(x₂) . Συνεπεια ορισμου:

Mια συναρτηση ειναι 1-1 αν για οποιδηποτε x₁, x₂ του πεδιου ορισμου της ισχυει:

Aν x₁ = x₂ τοτε f(x₁) = f(x₂) . 11.2 Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς • Αν μια συναρτηση ειναι 1-1, τοτε σε καθε στοιχειο του συνολου τιμων αντιστοιχει ενα μονο στοιχειο του πεδιου τιμων. Γραφικα αυτο σημαινει οτι καθε ευθεια της μορφης y = α, τεμνει τη γραφικη παρασταση της συναρτησης σ’ενα το πολυ σημειο. • Αν μια συναρτηση ειναι γνησιως μονοτονη στο Δ, τοτε ειναι και 1-1 στο Δ. Το αντιστροφο δεν ισχυει. • Αν μια συναρτηση ειναι 1-1, τοτε εχει το πολυ μια ριζα στο πεδιο ορισμου της .

12. Α ν τ ι σ τ ρ ο φ η Σ υ ν α ρ τ η σ η 12.1 Ο ρ ι σ μ ο ς Εστω μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α και συνολο τιμων f(A) η οποια ειναι 1-1 στο Α. Οριζεται η α ν τ ι σ τ ρ ο φ η σ υ ν α ρ τ η σ η τ η ς f, που συμβολιζεται με f⁻¹, με πεδιο

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ορισμου το f(A) και συνολο τιμων το Α και ισχυει η ισοδυναμια:

f(x) = y  x = f⁻¹(y) 12.2 Π α ρ α τ η ρ η σ ε ι ς • Το πεδιο ορισμου της f⁻¹ειναι το συνολο τιμων της f. • Το συνολο τιμων της f⁻¹ειναι το πεδιο ορισμου της f. • Οι συναρτησεις f⁻¹, f εχουν το ιδιο ειδος γνησιας μονοτονιας. • Η συνθεση δυο αντιστροφων συναρτησεων ειναι η ταυτοτικη συναρτηση. f⁻¹(f(x))=x, για καθε x∈A και f(f⁻¹(y))=y, για καθε y∈f(A). • Oι γραφικες παραστασεις δυο αντιστροφων συναρτησεων ειναι συμμετρικες ως προς την διχοτομο της πρωτης-τριτης γωνιας των αξονων, δηλαδη της ευθειας με εξισωση y = x. • Για καθε x∈Α ισχυει: f -1(f(x)) = x. • Για καθε y∈f(Α) ισχυει: f(f -1(y)) = y. • H f -1 ειναι και αυτη συναρτηση ‘1-1’. • Τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f και f -1 προκυπτουν απο την λυση της εξισωσης f(x) = f -1(x).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

13. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 13.1 Π ε δ ι ο Ο ρ ι σ μ ο υ 13.1.1 Ευρεση πεδιου ορισμου:

● Ζητουμενα : Ευρεση πεδιου ορισμου συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Χρησιμοποιουμε τον πινακα της παραγραφου 2. ● Γενικα το πεδιο ορισμου μιας συναρτησης ειναι ολες εκεινες οι τιμες του x , για

τις οποιες εχει νοημα ο τυπος της συναρτησης f(x).

Να βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων: 3x + 4 3+x ● f(x) = ● g(x) = | x + 5 | -3 ● h(x) = ln | x | -1 3-x ● Πρεπει: |x| - 1 ≠ 0 ⇔ |x| ≠ 1 ⇔ x ≠ ± 1 Οποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι:

Af =  \ { - 1 , + 1 } ● Πρεπει: |x+5|-3 ≥ 0 ⇔ |x+5| ≥ 3 ⇔ x+5 ≤ -3 η x+5 ≥ 3 ⇔ x ≤ -8 η x ≥ -2 Οποτε το πεδιο ορισμου της g ειναι:

Ag = ( - ∞ , - 8 ] ⋃ [ - 2 , + ∞ ) ● Πρεπει: 3+x > 0 και x ≠ 3 ⇔ (3+x)(3-x)>0 ⇔ -3 < x < 3 3-x Οποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι:

Ah = ( - 3 , 3 ) Να βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων: x+5 1 ● f(x) = ● g(x) = ● h(x) = 2 - ημx ημx εφx - 3 ● Πρεπει:

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

61 εφx- 3 ≠ 0 και x ≠ κπ +

π 2

Η λυση της εξισωσης εφx = 3 δινει λυση, x = κπ + Δηλαδη τελικα πρεπει: x ≠ κπ +

π 3

π π και x ≠ κπ + με κ∈  . 3 2

Οποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι:

Af =  \ { x | x = κ π +

π π και x = κ π + με κ∈  } 3 2

● Πρεπει: ημx ≠ 0 ⇔ ημx ≠ ημ0 Η λυση της εξισωσης ημx = ημ0 δινει λυση, x = 2κπ η x = 2κπ + π και τελικα x = κπ. Οποτε το πεδιο ορισμου της g ειναι:

A g =  \ { x | x = κ π με κ∈  } ● Πρεπει: 2-ημx ≥ 0 ⇔ ημx ≤ 2 το οποιο αληθευει για καθε x∈  (αφου ημx ≤ 1) Οποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι:

Ah =  Να βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων: ● f(x) =

ln(x 2 - 1)

● g(x) =

x -3

1-x 2 x(x + 2)

● h(x) = e x

-1

● Πρεπει: x²-1 > 0 και x-3 > 0 ⇔ x² > 1 και x > 3 ⇔ (x < -1 η x > 1) και x > 3 ⇔ x > 3 Οποτε το πεδιο ορισμου της f ειναι:

Af = (3,+∞) ● Πρεπει: 1-x² ≥ 0 (1) και x(x+2) ≠ 0 (2) Aπο (1): 1-x²≥ 0 ⇔ x²≤ 1 ⇔ |x| ≤ 1 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1 Απο (2): προκυπτει οτι x ≠ 0 και x ≠ - 2 Οποτε το πεδιο ορισμου της g ειναι:

Ag = [ - 1 , 0 ) ⋃ ( 0 , 1 ] ● Πρεπει: ex

- 1 ≥ 0 ⇔ ex

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

- 1 ≥ 1 ⇔ ex

- 1 ≥ e⁰ ⇔ x²+x ≥ 0 ⇔ x(x+1) ≥ 0 ⇔

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

x ≤ -1 η x ≥ 0 Οποτε το πεδιο ορισμου της g ειναι:

Ah = ( - ∞ , - 1 ] ⋃ [ 0 , + ∞ ) 13.1.2 Ευρεση παραμετρου απ’το πεδιο ορισμου:

● Ζητουμενα : Ευρεση πεδιου ορισμου συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Χρησιμοποιουμε τον πινακα της παραγραφου 2. ● Απ’το περιορισμο προκυπτει σχεση που περιεχει τη παραμετρο, απ’την οποια

προσδιοριζουμε τη παραμετρο.

3x + 5 . x + λx + 1 Για ποιες τιμες του λ   , το πεδιο ορισμου της f ειναι το  . Δινεται η συναρτηση : f(x) =

H συναρτηση f εχει πεδιο ορισμου το , αν :

x 2 + λx + 1  0 (δηλαδη x 2 + λx + 1 δεν εχει πραγματικες ριζες ) . που σημαινει οτι : Δ < 0  λ 2 - 4  1  1 < 0  λ 2 - 4 < 0  - 2 < λ < 2

13.2 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η 13.2.1 Σημεια τομης με τους αξονες x’x και y’y:

● Ζητουμενα : Ευρεση σημειων τομης γραφικης παραστασης συναρτησης με τους αξονες x’x και y’y .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Για τον x’x : Θετουμε f(x) = 0 (y = 0 ) και βρισκουμε τα αντιστοιχα x. ● Για τον y’y : Θετουμε x = 0 και βρισκουμε τα αντιστοιχα f(x) δηλαδη y.

Δινεται η συναρτηση : f(x) = e x - 3x - 1. Σε ποια σημεια τεμνει τους αξονες x'x και y'y, η γραφικη παρασταση της συναρτησης f ;

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

63 • Για τον αξονα x'x : Για f(x) = 0  e

x 2 - 3x

-1 = 0  e

x 2 - 3x

e 0 =1

=1  e x

- 3x

= e 0  x 2 - 3x = 0 

x = 0 x(x - 3) = 0   (δεκτες αφου Af = ) x = 3 Aρα τα σημεια τομης της Cf και του αξονα x'x ειναι :

(0,0), (3,0 ) • Για τον αξονα y'y : 2

e 0 =1

Για x = 0  y = e x - 3x - 1  y = e 0 - 30 - 1  y = e 0 - e 0  y = 0 Aρα τα σημεια τομης της Cf και του αξονα y'y ειναι :

(0,0) 13.2.2 Για ποια x η Cf βρισκεται πανω (κατω) απ’τον αξονα x’x :

● Ζητουμενα : Ευρεση εκεινων των x για τα οποια η γραφικη παρασταση συναρτησης βρισκεται πανω (κατω) απ’τον αξονα x’x .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Πανω : Λυνουμε την ανισωση f(x) > 0 . ● Κατω : Λυνουμε την ανισωση f(x) < 0 .

Δινεται η συναρτηση : f(x) = x 2 - 3x + 2. Για ποιες τιμες του x η γραφικη παραστα ση της συναρτησης f βρισκεται κατω απ'τον αξονα x'x ; Ειναι f(x) < 0  x 2 - 3x + 2 < 0 (1) Η (1) εχει ριζες : Δ = 32 - 4 2 = 9 - 8 = 1 x = 1 3 1 31 =  2 2 x = 2 (δεκτες αφου A f = ) x1,2 =

Η (1) αληθευει για :

1<x<2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

13.2.3 Για ποια x (η παραμετρου λ) η Cf βρισκεται πανω (κατω) απ’την Cg :

● Ζητουμενα : Ευρεση τιμων x η παραμετρου λ .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Cf πανω απ’την Cg : Λυνουμε την ανισωση f(x) > g(x) . ● Cf κατω απ’την Cg : Λυνουμε την ανισωση f(x) < g(x) . ● Δεν ξεχνουμε το πεδιο ορισμου των συναρτησεων f, g .

Δινoνται οι συναρτησεις : f(x) = ln(x 2 + x) και g(x) = ln(5x - 3). Να βρεθουν οι πραγματικες τιμες του x, που η γραφικη παρασταση της συναρτησης f βρισκεται κατω απ'τη γραφικη παρασταση της συναρτησης g. • H f οριζεται αν : x 2 + x > 0  x(x + 1) > 0  x < -1 η x > 0. ∞ , -1)U(0,∞ Οποτε : Α f = (+ ) • H g οριζεται αν : 5x - 3 > 0  5x > 3  x > 3 Eπομενως : Α f  Α g = ( ,∞ + ) (1) 5 Για να ειναι η Cf κατω απ'τη Cg πρεπει :

3 3 . Οποτε : Α g = ( ,∞ + ) 5 5

f(x) < g(x)  ln(x 2 + x) < ln(5x - 3)  x 2 + x < 5x - 3  x 2 - 4x + 3 < 0  (x - 1)(x - 3) < 0  1 < x < 3 Οποτε σε συνδιασμο με την (1), η Cf ειναι κατω απ'τη Cg αν : x  (1,3) .

5 3 λ+ . 4 2 Να δειξετε οτι αν η γραφικη παρασταση της συναρτησης f βρισκεται πανω απ'τη γραφικη παρασταση της συναρτησης g για καθε x   , τοτε : 2 < λ < 3. Δινoνται οι συναρτησεις : f(x) = x 2 + λx και g(x) = -

Ειναι : Α f = Α g = Α f  Α g = 

Για να ειναι η C f πανω απ'τη C g , για καθε x  , πρεπει : 5 3 5 3 λ +  x 2 + λx + λ - > 0 4 2 4 2 Η τελευταια ισχυει για καθε x  , αν : α > 0 και Δ < 0. Ομως α = 1 > 0, οποτε : 5 3 Δ < 0  λ 2 - 4  1  ( λ - ) < 0  λ 2 - 5λ + 6 < 0  (λ - 2)(λ - 3) < 0  2 < λ < 3 4 2 f(x) > g(x)  x 2 + λx > -

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

13.3 I σ ο τ η τ α Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν

● Ζητουμενα : Αποδειξη οτι δυο συναρτησεις ειναι ισες .

● Δοσμενα : Οι τυποι των συναρτησεων .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι εχουν το ιδιο πεδιο ορισμου Α . ● Για καθε x∈A ισχυει f(x) = g(x) .

x 2 + λx λ 2 x 2 + 8x και g(x) = . x+2-λ 4x Να βρεθουν οι τιμες του λ   , ωστε οι συναρτησεις f και g να ειναι ισες. Δινoνται οι συναρτησεις : f(x) =

 Η συναρτηση f ειναι ορισμενη αν : x + 2 - λ  0  x  λ - 2 η Α f = { x   / x  λ - 2}  Η συναρτηση g ειναι ορισμενη αν : 4x  0  x  0 η Α g = { x   / x  0} • Για να ειναι οι συναρτησεις f, g ισες πρεπει : • Α f = Α g  { x   / x  λ - 2} = { x   / x  0}  λ - 2 = 0  λ = 2 . • f(x) = g(x) για καθε Α f = Α g = { x   / x  0} Πραγματι (για λ = 2) x 2 + λx x 2 + 2x x 2 + 2x = = x +2- λ x +2-2 x 2 2 2 λ x + 8x 4x + 8x x 2 + 2x • g(x) = = = 4x 4x x Aρα f, g ειναι ισες γι α λ = 2 , αφου : • Α f = Α g = { x   / x  0} • f(x) =

• f(x) = g(x) =

x 2 + 2x x

13.4 Π ρ α ξ ε ι ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν

● Ζητουμενα : Πραξη μεταξυ συναρτησεων .

● Δοσμενα : Οι τυποι των συναρτησεων .

● Τροπος Λυσης : ● Προσδιορισουμε την τομη των πεδιων ορισμου των συναρτησεων και κανουμε την αναλογη πραξη στους τυπους των συναρτησεων.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

● Δινονται οι συναρτησεις: f(x) = lnx και g(x) = ln(x - 1) Να βρειτε τις συναρτησεις: ● f + g ● f - g ● Δινονται οι συναρτησεις: f(x) = e 2x - 1 και g(x) = e x f Να βρειτε τις συναρτησεις: ● f ∙ g ● g • H f οριζεται αν : x > 0 οποτε A f = (0, + )

H g οριζεται αν : x - 1 > 0  x > 1 οποτε A g = (1, + ) Επειδη A f  A g = (1, + )  , οριζονται οι συναρτησεις f + g, f - g.

Oριζουμε : • f + g με : • Πεδιο ορισμου : Af + g = Af  A g = (1,+  ) • Τυπο :

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = lnx + ln(x - 1) = ln[x(x - 1)] = ln(x 2 - x) • f - g με : • Πεδιο ορισμου : Af - g = Af  A g = (1,+  ) • Τυπο :

(f - g)(x) = f(x) - g(x) = lnx - ln(x - 1) = ln

x x -1

• H f οριζεται αν : x   οποτε A f = 

H g οριζεται αν : x   οποτε A g =  Επειδη A f  A g =   , οριζονται οι συναρτησεις f.g,

f . g

Oριζουμε : • f  g με : • Πεδιο ορισμου : Af  g = Af  A g =  • Τυπο :

(f  g)(x) = f(x).g(x) = e 2 x - 1  e •

= e 2 x - 1 + x = e 3x - 1

f με : g • Πεδιο ορισμου : A f =  (Αφου e x  0,δηλαδη g(x)  0, για καθε x  ) g

• Τυπο :

(

f f(x) e 2 x - 1 )(x) = = = e 2 x -1- x = e x - 1 g g(x) ex

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

67 13.5 Σ υ ν θ ε σ η Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν 13.5.1 Ευρεση συνθεσης γνωστων συναρτησεων f, g :

● Ζητουμενα : Ευρεση συνθετης συναρτησης .

● Δοσμενα : Οι τυποι των συναρτησεων .

● Τροπος Λυσης : ● Bρισκουμε το πεδιο ορισμου της συνθεσης ● Κατασκευαζουμε το τυπο f ⃘ g, θετοντας στη θεση του x στην f, την g(x) δηλαδη f(g(x)).

Δινονται οι συναρτησεις : f(x) = Να βρεθει η συναρτηση g  f.

x - 1 και g(x) = x - 2 .

H f ειναι ορισμενη αν : x - 1  0  x  1, oποτε A f = [1, +)

H g ειναι ορισμενη αν : x - 2  0  x  2, oποτε A g = [2, +) Ετσι, Α gof = {x  Af | f(x)  A g }

Δηλαδη x  A f    f(x)  A g 

x  [1, + )     x - 1  [2, + ) 

x  [1, + )     x - 1  2 

x  [1, + )    x - 1  4 

x  [1, + )    x  5 

x  5  Α gof = [ 5 , +  )    οποτε οριζεται η συναρτηση g  f με τυπο : g  f = g(f(x)) = f(x) - 2 = Αρα g  f =

x -1 -2

x -1 -2 .

13.5.2 Ευρεση του τυπου της συναρτησης f :

● Ζητουμενα : Ευρεση τυπου της συναρτησης f .

● Δοσμενα : Οι τυποι της συνθεσης των συναρτησεων f ⃘ g και ο τυπος της συναρτησης g.

● Τροπος Λυσης :

● Λυνουμε το τυπο της g ως προς x, aφου θεσουμε g(x) = y .

● Θετουμε το x που βρηκαμε προηγουμενα στο τυπο της f ⃘ g και βρισκουμε τον τυπο της f .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x - 2) = x 2 για καθε x   . Να βρειτε : • f(x) • f(x + 2) • Ειναι y = x -2  x = y +2 Οποτε η δοσμενη σχεση γινεται : f(y + 2 - 2) = (y + 2)2 f(y) = (y + 2)2 με y   Αρα

f(x) = (x + 2) 2 με x   (1) • Aν θεσουμε στην (1) οπου x το x + 2, τοτε

f(x + 2) = (x + 2 + 2) 2 = (x + 4) 2 με x   13.5.3 Ευρεση του τυπου της συναρτησης g :

● Ζητουμενα : Ευρεση τυπου της συναρτησης g .

● Δοσμενα : Οι τυποι της συνθεσης των συναρτησεων f ⃘ g και ο τυπος της συναρτησης f.

● Τροπος Λυσης :

● Στο τυπο της f θετουμε οπου x την g(x) .

● Εξισωνουμε τον πιο πανω τυπο τη f (ως προς g(x)) με το τυπο της f ⃘ g και βρισκουμε τον τυπο της g .

Aν f(x) = 2x 2 - 1 και (f  g)(x) = συν2x, να αποδειξετε οτι ενας τυπος της g ειναι g(x) =| συνx | . Ειναι  f(x) = 2x2 - 1  f(g(x)) = 2(g(x))2 - 1  (f  g)(x) = 2(g(x))2 - 1 (1)  (f  g)(x) = συν2x (2)

Aπο (1) και (2) προκυπτει

1 + συν2x 2(g(x)) - 1 = συν2x  (g(x)) = 2 2 2συν x (g(x))2 =  (g(x))2 = συν 2x  2 g(x) = συνx 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

συν2x = 2συν 2 x-1



(g(x))2 =

1 + 2συν 2x - 1  2

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

13.5.4 Ευρεση παραμετρων :

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρου (ων) .

● Δοσμενα : Οι τυποι των συναρτησεων f, g και της συνθεσης των f, g .

● Τροπος Λυσης : ● Σχηματιζουμε ισα πολυωνυμα ως προς x . ● Εξισωνουμε τους αντιστοιχους συντελεστες του x . ● Λυνουμε το συστημα, ως προς τις παραμετρους, που προκυπτει .

Οι συναρτησεις f και g οριζονται στο  . Να βρεθουν οι πραγματικοι α και β ωστε να ισχυει για καθε x   : g  g = f οταν f(x) = 4x - 9 και g(x) = αx + β. Ειναι g  g = f  (g  g)(x) = f(x)  g(g(x)) = f(x) 

α(αx + β) + β = 4x - 9  α 2 x + αβ + β = 4x - 9 Για να ισχυει η τελευταια σχεση για καθε x  , πρεπει : α 2 = 4   αβ + β = -9 Οποτε

α = ±2  αβ + β = -9

• Για α = 2 τοτε 2β + β = -9  3β = -9  β = - 3 (2,- 3) Aρα (α, β) =  • Γι α α = -2 τοτε - 2β + β = -9  -β = -9  β = 9 (- 2,9) 13.6 Μ ο ν ο τ ο ν ι α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 13.6.1 Ευρεση μονοτονιας συναρτησης :

● Ζητουμενα : Ευρεση μονοτονιας συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : Για οποιαδηποτε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ :

● Μετασχηματιζουμε την x₁ < x₂ σε σχεση αναμεσα στις f(x₁), f(x₂) . Aν ● f(x₁) > f(x₂) τοτε η f γν. αυξουσα

● f(x₁) < f(x₂) τοτε η f γν. φθινουσα ● f(x₁) = f(x₂) τοτε η f σταθερη

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

● Βρισκουμε τη σχεση

f(x 1 ) - f(x 2 ) (1) . Aν x1 - x2

● (1) > 0 τοτε η f γν. αυξουσα ● (1) < 0 τοτε η f γν. φθινουσα ● (1) = 0 τοτε η f σταθερη

Να δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = 5 - x + 1 ειναι γνησιως φθινουσα. Για να ειναι ορισμενη η f πρεπει : 5 - x  0  x  5, δηλαδη A f = (- ,5]. Aν x1 , x2  5 με x1 < x2 τοτε :

• x1 < x2  - x1 > -x2  5 - x1 > 5 - x2  5 - x1 > 5 - x2   5 - x1 + 1 > 5 - x2 + 1  f(x1 ) > f(x2 )  f γν. φθινουσα στο (- ,5]. Αλλ ιως • f(x1 ) > f(x2 )  5 - x1 + 1 > 5 - x2 + 1  5 - x1 > 5 - x2 

 5 - x1 > 5 - x2  -x1 > -x2  x1 < x2  f γν. φθινουσα στο (- ,5].

Αλλιως

5 - x1 + 1 - ( 5 - x2 + 1) 5 - x1 - 5 - x2 f(x1 ) - f(x2 ) = = = x1 - x2 x1 - x2 x1 - x2

•λ = = = =

( 5 - x1 - 5 - x2 )( 5 - x1 + 5 - x2 ) (x1 - x2 )( 5 - x1 + 5 - x2 ) 5 - x1 - 5 + x2 (x1 - x2 )( 5 - x1 + 5 - x2 ) -1 5 - x1 + 5 - x2

5 - x1 - (5 - x2 ) (x1 - x2 )( 5 - x1 + 5 - x2 )

-(x1 - x2 ) (x1 - x2 )( 5 - x1 + 5 - x2 )

< 0 , (αφου 5 - x1 + 5 - x2 > 0)  f γν. φθινουσα στο (- ,5].

13.6.2 Λυση – αποδειξη ανισωσης με τη βοηθεια της μονοτονιας συναρτησης :

● Ζητουμενα : Λυση – αποδειξη ανισωσης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης η σχεση παραμετρων .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε τη μονοτονια της συναρτησης (αν δινεται) η της συναρτησης που δημιουργουμε απ’την ανισοτητα προς αποδειξη . ● Χρησιμοποιουμε τις ισοδυναμιες της μονοτονιας συναρτησης .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

• Να λυθει η ανισωση : f(x + 1) < f(2x - 1) αν f(x) = 5 - x - lnx. β • Nα αποδειχτει οτι : e α - e β < ln , αν 0 < α < β. α 5 - x  0 x  5 • Για να ειναι ορισμενη η f πρεπει :   , δηλαδη A f = (0,5]. x > 0 x > 0 • Η συναρτηση f1 (x) = 5 - x ειναι γ.φθινουσα (α = -1 < 0), αρα και η συνατηση f2 (x) = 5 - x ειναι γ.φθινουσα στο (0,5].

• Η συ ναρτηση f3 (x) = lnx ειναι γ.αυξουσα και η f4 (x) = - lnx, γ.φθινουσα. Οποτε η συναρτηση f(x) = 5 - x - lnx ειναι γ.φθινουσα , σαν αθροισμα γ.φθινουσων συναρτησεων στο (0,5]. Ειναι f(x + 1) < f(2x - 1)  x + 1 < 2x - 1  x > 2 Αρα τελικα 2 < x  5 β  e α - e β < lnβ - lnα  e α + lnα < e β + lnβ (1) α Θεωρουμε τη συναρτηση g(x) = e x + lnx, με A g = (0, + ).

• e α - e β < ln

• Η συναρτηση g 1 (x) = e x ειναι γ.αυξουσα στο (0, + ).

• Η συναρτηση g 2 (x) = lnx ειναι γ.αυξουσα στο (0, + ).

Οποτε η συναρτηση g(x) = e x + lnx ειναι γ.αυξουσα στο (0, + ) σαν αθροισμα γ.αυξουσων συναρτησεων. Αρα α < β  g(α) < g(β)  e α + lnα < e β + lnβ  e α - e β < lnβ - lnα  e α - e β < ln

β α

13.6.3 Λυση εξισωσης (μοναδικη ριζα) με τη βοηθεια της μονοτονιας συναρτησης :

● Ζητουμενα : Λυση – αποδειξη ανισωσης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης η σχεση παραμετρων .

● Τροπος Λυσης : ● Φερνουμε ολους τους ορους της εξισωσης στο πρωτο μελος και ονομαζουμε το πρωτο μελος f(x). Δηλαδη η εξισωση γινεται της μορφης f(x) = 0 . ● Δειχνουμε οτι η συναρτησης f ειναι γνησια μονοτονη . ● Η τιμη του x που μηδενιζει την f(x) ειναι μοναδικη λυση της εξισωσης .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Να λυθει η εξισωση : 18 - x - 4 = ln(x - 1). Η εξισωση 18 - x - 4 = ln(x - 1) γραφεται : 18 - x - 4 - ln(x - 1) = 0 Θεωρουμε τη συναρτηση : f(x) = 18 - x - 4 - ln(x - 1) (1) 18 - x  0 x  18 Για να ειναι ορισμενη η f πρεπει :   , δηλαδη A f = (1,18]. x - 1 > 0 x > 1 • Η συναρτηση f1 (x) = 18 - x ειναι γ.φθινουσα (α = -1 < 0) στο (1,18], αρα και η f2 (x) = 18 - x ειναι γ.φθινουσα στο (1,18].

• Η συναρτηση f3 (x) = ln(x - 1) ειναι γ.αυξουσα και η f4 (x) = - ln(x - 1) ειναι γ.φθινουσα στο (1,18].

Οποτε η συναρτηση f(x) = 18 - x - 4 - ln(x - 1) ειναι γ.φθινουσα , σαν αθροισμα γ.φθινουσων συναρτησεων. Για x = 2 η (1) γινεται f(2) = 18 - 2 - 4 - ln(2 - 1) = 16 - 4 - ln(1) = 4 - 4 - 0 = 0 Αρα Η x = 2 ειναι μοναδικη ριζα της εξισωσης , αφου η συναρτηση ειναι γ.φθινουσα. 13.7 Α κ ρ ο τ α τ α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 13.7.1 Ευρεση συνολου τιμων συναρτησης :

● Ζητουμενα : Συνολο τιμων συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και το πεδιο ορισμου της συναρτησης A = [α, β] .

● Τροπος Λυσης : ● Θετουμε στο τυπο της συναρτησης οπου f(x) , το y και λυνουμε ως προς x

και καταληγουμε στο x = f(y). ● x ∈ A oποτε α ≤ x ≤ β και α ≤ f(y) ≤ β η λυση της οποιας ειναι το f(A) .

● Δοσμενα :

Ο τυπος της συναρτησης ( περιεχει x 2) και το πεδιο ορισμου της A =  .

● Τροπος Λυσης :

● Θετουμε στο τυπο της συναρτησης οπου f(x) , το y και λυνουμε ως προς x

και καταληγουμε σε δευτεροβαθμια εξισωση ως προς x . ● Απαιτουμε Δ ≥ 0 (αφου υπαρχει τουλαχιστον ενας πραγματικος x) που δινει το f(A).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Να βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) =

8 - 6x . x 2+1

To πεδιο ορισμου της f ειναι ολο το , αφου x 2 + 1  0. Eιναι 8 - 6x y= 2  y(x 2 + 1) = 8 - 6x  yx 2 + 6x + y - 8 = 0 (1) x +1 Yπαρχει τουλαχιστον μια τιμη του x  , που επαληθευει την (1) . Oποτε πρεπει

Δ  0  6 2 - 4  y  (y - 8)  0  36 - 4y 2 + 32y  0  - y 2 + 8y + 9  0  y2 - 8y - 9  0  (y + 1)(y - 9)  0  - 1  y  9

Aρα, f(A) = [- 1,9] .

Να βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) =

x+5 με Af = [0,7]. x -1

Eιναι y 1 x+5  y(x - 1) = x + 5  yx - y = x + 5  yx - x = y + 5  (y - 1)x = y + 5  x -1 y+5 x= (αν y = 1 τοτε 0  x = 6, ατοπο ) y -1 Aφου A f = [0, 7], τοτε :

y + 5 7   y2 + 4y - 5 - 7  0 (y + 5)(y - 1)  7 y+5  y -1 0 7    y -1 (y + 5)(y - 1)  0 ( y + 5)(y - 1)  0 y + 5  0  y - 1  y 2 + 4y - 12  0 (y + 6)(y - 2)  0 y  1 - 6  y  2     -6  y  -5 η 1 < y  2   (y + 5)(y - 1)  0  y  - 5 η y > 1 (y + 5)(y - 1)  0 Aρα, f(A) = [- 6,- 5] U (1,2] . 13.7.2 Ευρεση μεγιστου - ελαχιστου συναρτησης :

● Ζητουμενα : Ευρεση μεγιστου - ελαχιστου συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και το πεδιο ορισμου της συναρτησης A = [α, β] .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε το συνολο τιμων της συναρτησης f(A) = [α,β] . ● Ta aκρα α, β του συνολου τιμων ειναι το ελαχιστο και μεγιστο , αντιστοιχα,

της συναρτησης .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Να βρεθει το μεγιστο και ελαχιστο της συναρτησης : f(x) = 2x - 3 με Af = [0,3]. Ειναι, y = 2x - 3  2x = y + 3  x =

y +3 2

y +3  3  0  y + 3  6  - 3  y  3  f(A) = [- 3,3] 2 -3+3 • Για y = - 3 τοτε x = = 0, αρα για : x = 0 ελαχιστο το f(0) = - 3 . 2 3+3 • Για y = 3 τοτε x = = 3, αρα για : x = 3 μεγιστο το f(3) = 3 . 2 και 0 

13.8 Σ υ ν α ρ τ η σ η Α ρ τ ι α

Περιττη Περιοδικη

13.8.1 Αποδειξη οτι συναρτηση ειναι αρτια η περιττη :

● Ζητουμενα : H συναρτηση ειναι αρτια η περιττη .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης η συναρτησιακη σχεση .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι το πεδιο ορισμου της ειναι συμμετρικο ως προς το μηδεν. ● Δειχνουμε οτι για καθε x∈Α, τοτε - x∈Α και: f(-x) = f(x) (αρτια συναρτηση) η f(-x) = - f(x) (περιττη συναρτηση) . ● Στη περιπτωση σχεσης συναρτησης με δυο μεταβλητες x,y απαλειφουμε τη μεταβλητη y (δινοντας τιμες x = y = 0, y = 0 κλπ) .

-x + 2, x < -1 • Να δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) =  ειναι περιττη. -x - 2, x > 1 •Τ ο πεδιο ορισμου Α της συναρτησης g ειναι συμμετρικο ως προς το 0. Να βρεθει αν η συναρτηση g ειναι αρτια η περιττη οταν για καθε x, y  A ισχυει : g(x + y) + g(y - x) = 2[g(x) + g(y)] • To πεδιο ορισμου της f ειναι : Α f = (- ,1)U(1, + ), συμμετρικο ως προς 0.

• Για x < - 1  - x > 1 τοτε : f(-x) = - (- x) - 2 = x - 2 = -(-x + 2) = - f(x), αρα η f ειναι περιττη για x < - 1. • Για x > 1  - x < -1 τοτε : f (-x) = - (- x) + 2 = x + 2 = - (- x - 2) = -f(x), αρα η f ειναι περιττη για x > 1. Οποτε για καθε x  Α f η f ειναι περιττη.

• Στη δοσμενη σχεση θετουμε x = y = 0, οποτε

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

g(0 + 0) + g(0 - 0) = 2[g(0) + g(0)]  2g(0) = 4g(0)  g(0) = 0 (1) Στη δοσμενη σχεση θετουμε y = 0, οποτε (1)

g(x + 0) + g(0 - x) = 2[g(x) + g(0)]  g(x) + g(-x) = 2[g(x) + g(0)]  g(x) + g(-x) = 2g(x)  g(-x) = g(x), που σημαινει οτι η g ειν αι αρτια.

Δινεται η συναρτηση f ορισμενης στο συνολο . Να δειξετε οτι η συναρτηση 1 g(x) =  [f(x) + f(- x)] ειναι αρτια . 2 • Το πεδιο ορισμου της f ειναι το συνολο  , που ειναι συμμετρικο ως προς 0. • Ειναι

g(- x) = Δηλαδη

1 1  [f(- x) + f(-(- x))] =  [f(- x) + f(+ x)] = g( x) 2 2

Α f συμμετρικο ως προς 0 και f(- x) = f(x)

Aρα η f ειναι α ρτια .

13.8.2 Αποδειξη οτι συναρτηση ειναι περιοδικη :

● Ζητουμενα : H συναρτηση ειναι περιοδικη .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι υπαρχει Τ > 0 τετοιος ωστε: • για καθε x∈A : (x +Τ)∈A και (x –Τ)∈A • για καθε x∈A : f(x +T) = f(x) και f(x -T) = f(x) • Βρισκουμε τη μικροτερη τιμη του Τ (βασικη περιοδος) ● Μετασχηματιζουμε τη δοσμενη συναρτηση, σε γνωστη περιοδικη συναρτηση με γνωστη περιοδο .

Να δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = ημ(2x + 3) ειναι περιoδικη και να βρειτε μια περιοδο της . To πεδιο ορισμου της f ειναι το  και θα ειναι περιοδικη αν υπαρχει πραγματικος αριθμος Τ  0, ωστε f(x + T) = f(x) για καθε x  .

Eτσι

f(x + T) = f(x)  ημ(2(x + T) + 3) = ημ(2x + 3) 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

 T = κπ, κ   * 2(x + T) + 3 = 2κπ + 2x + 3  2x + 2T + 3 = 2κπ + 2x + 3      π 2(x + T) + 3 = 2κπ + π - 2x - 3 2x + 2T + 3 = 2κπ + π - 2x - 3 T = κπ + - 2x - 3 2  * Απ'τις οποιες δεκτη ειναι η T = κπ, κ   (η αλλη εξαρταται απο το x) Οποτε η συναρτηση f ειναι περιοδικη με περιοδο T = κπ , κ   * .

Να δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = συν 4 x - ημ 4 x ειναι περιοδικη και να βρεθει η βασικη της περιοδος . Ειναι

f(x) = συν 4 x - ημ 4 x = (συν 2x + ημ 2x)(συν 2x - ημ 2x) = συν 2x - ημ 2x = συν2x Οποτε η f ειναι περιοδικη . Αν Τ  0 η περιοδος της f, τοτε για καθε x   : 2(x + T) = 2κπ + 2x f(x + T) = f(x)  συν2(x + T) = συν2x    2(x + T) = 2κπ - 2x T = κπ, κ   * 2x + 2T = 2κπ + 2x    2x + 2T = 2κπ - 2x T = κπ - 2x Απ'τις οποιες δεκτη ειναι η T = κπ, κ   * (η αλλη εξαρταται απο το x) . Aρα η περιοδος ειναι Τ = κπ , κ   * με βασικη περιοδο την Τ = π . 13.9 Σ υ ν α ρ τ η σ η 1 - 1 13.9.1 Αποδειξη οτι συναρτηση ειναι 1-1 :

● Ζητουμενα : H συναρτηση ειναι “ 1 – 1 “ .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Ξεκινουμε απ’την ισοτητα f(x1) = f(x2) και καταληγουμε στην ισοτητα x1 = x2 . ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση ειναι γνησια μονοτονη, οποτε ειναι και 1-1.

Να εξεταστει αν ειναι "1 - 1" η συναρτηση : f(x) =

x 1+ x

Ειναι f(x1 ) = f(x2 )

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

77 x1 1 + x 12

x2 1 + x 22

, (x 1 , x 2 ομοσημοι, αφου οι παρονομαστες θετικοι)

x 1 1 + x 22 = x 2 1 + x 12 η

x 12 (1 + x 22 ) = x 22 (1 + x 12 ) η x 12 + x 12x 22 = x 22 + x 22x 12

x 12 = x 22 η x 12 - x 22 = 0 η

(x 1 + x 2 ) (x 1 - x 2 ) = 0,

(x 1 + x 2  0 αφου x 1 , x 2 ομοσημοι) x 1 - x 2 = 0 η x1 = x2

Αρα η συναρτηση f ειναι "1 - 1".

Δινεται η συναρτηση f με τυπο f(x) = x 2011 + x 2013 • Nα βρειτε το f(1) • Να εξετασετε αν η συναρτηση f ειναι "1 - 1" στο  • Nα λυσετε την εξισωση : x 2011 + x 2013 = 2 • Ειναι f(1) = 1 2011 + 1 2013 = 1 + 1 = 2 • Α f =  (H f πολυωνυμικη)

Εστω x 1 , x 2   με x1 < x2 Tοτε

x1 2011 < x2 2011 προσθεση  x1 2011 + x1 2013 < x2 2011 + x2 2013  f(x1 ) < f(x2 )  2013 2013 κατα μελη < x2 x1 Aρα η f ειναι γν.αυξουσα στο , οποτε και "1 - 1" στο .

• Eιναι x

2011

2013

f(1) = 2

f "1-1"

= 2  f(x) = 2  f(x) = f(1)  x = 1 .

13.9.2 Αποδειξη οτι συναρτηση, με πολλαπλο τυπο, ειναι 1-1 :

● Ζητουμενα : H συναρτηση ειναι “ 1 – 1 “ .

● Δοσμενα : Ο πολλαπλος τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση ειναι 1-1 σε καθε κλαδο ξεχωριστα . ● Δειχνουμε οτι τα επιμερους συνολα τιμων των κλαδων, ειναι ξενα μεταξυ τους.

Να εξεταστει αν ειναι "1 - 1" η συναρτηση : f(x) =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

x . | x | +1

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ειναι  x , αν x  0  x f(x) =  f(x) =  x + 1 | x | +1  - x , αν x  0 1 - x x , με x  0 : x +1 x1 x x + 1 x2 + 1 1 1 1 1 f1 (x1 ) = f1 (x2 )  = 2  1 = 1+ =1+  =  x1 = x2 x1 + 1 x2 + 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2

 Aν f1 (x) =

y x  yx + y = x  x(1 - y) = y  x = x +1 1-y αρα y  0  y(1 - y)  0  y  0 η y  1 δηλαδη , f1 (A) = (- , 0]  [1, + ) 1- y y=

-x , με x  0 : 1-x - x1 - x2 x - 1 x2 - 1 1 1 1 1 f2 (x1 ) = f2 (x2 )  = = =  1  1- =1  x1 = x2 1 - x1 1 - x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

 Aν f2 (x) =

-y -x  y - xy = -x  x(1 - y) = - y  x = 1-x 1- y αρα -y  0  - y(1 - y)  0  0  y  1 δηλαδη , f2 (A) = (0,1) 1-y Τελικα f(x1 ) = f(x2 )  x 1 = x 2 και f1 (A)  f2 (A) που σημαινει οτι η f ειναι 1 - 1. y=

x - 2 , x  0 Να δειξετε οτι η συναρτηση f με τυπο f(x) =  δεν ειναι "1 - 1" . - x + 3 , x  0

Ειναι  Aν f1 (x) = x - 2, με x  0 :

y = x - 2  x = y + 2 αρα y + 2  0  y  - 2 δηλαδη f1 (A) = [- 2, + )

 Aν f2 (x) = - x + 3, με x  0 :

y = - x + 3  x = 3 - y αρα 3 - y  0  y  3 δηλαδη f2 (A) = (- ,3)

Aρα, f(x1 )  f(x2 ) = [- 2,3) που σημα ινει οτι για x1  x2  f(x1 ) = f(x2 ). Eτσι η f δεν ειναι 1 - 1.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

79 13.10 Α ν τ ι σ τ ρ ο φ η Σ υ ν α ρ τ η σ η 13.10.1 Ευρεση της αντιστροφης μιας συναρτησης f :

● Ζητουμενα : Ο τυπος και το πεδιο ορισμου της αντιστροφης της συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε το πεδιο ορισμου της συναρτησης f, το Af . ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση f ειναι συναρτηση “ 1 – 1 ” . ● Θετουμε στο τυπο της συναρτησης f, f(x) = y και λυνουμε ως προς x. ● Βρισκουμε το f(A) (που ειναι το πεδιο ορισμου της αντιστροφης) και με εναλλαγη των x,y εχουμε τον τυπο της αντιστροφης . ● Σε περιπτωση συναρτησης με πολλαπλο τυπο, κανουμε τα πιο πανω σε καθε κλαδο .

Nα βρειτε την αντιστροφη συναρτηση της συναρτησης : f(x) = 1 + x - 3 Πρεπει x - 3  0  x  3, οποτε Af = [3, +  )

Επισης, ειναι

f(x1 ) = f(x2 )  1 + x1 - 3 = 1 + x2 - 3  x1 - 3 = x2 - 3  x1 = x2

x  3

 x1 - 3 = x2 - 3 

Aρα η f ειναι συναρτηση "1 - 1" , συνεπως και αντιστρεψιμη. y =1 + x -3 y -1 = x -3

πρεπει : y - 1  0  y  1 (1)

y2 - 2y + 1 = x - 3 x = y2 - 2y + 4

πρεπει : y2 - 2y + 4  3  y2 - 2y + 1  0  (y - 1)2  0 που αληθευει για καθε y  

Oποτε η αντιστροφη της συναρτησης f ε ιναι :

-1

: [ 1 , +  )   , με f

-1

(x) = x 2 - 2x + 4

lnx ,0 < x < 1 Nα βρειτε την αντιστροφη συναρτηση της συναρτησης : f(x) =  .  x - 1 , x  1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

•0 < x <1 H lnx ειναι γ. αυξουσα, οποτε και "1 - 1" . Ειναι y = lnx x=ey •x 1

πρεπει 0 < e y < 1  y < 0, δηλαδη f(A1 ) = (-  ,0) (1) x1

f(x1 ) = f(x2 )  x1 - 1 = x2 - 1  x1 - 1 = x2 - 1  x1 = x2 Aρα η f ειναι συ ναρ τηση "1 - 1" .

Ειναι y = x -1

πρεπει : y  0, δηλαδη f(A2 ) = [0,+  ) (2)

y = x -1 2

x = y 2 + 1 πρεπει : y 2 + 1  1  y 2  0 που αληθευει για καθε y   Eπειδη f(A1 )  f(A2 ) = (-  ,0)  [0,+  ) =  η συναρτηση f ειναι "1 - 1" αρ α αντιστρεφεται με :

-1

e x (x) =  2 x + 1

x<0 x 0

13.10.2 Ευρεση της αντιστροφης μιας συναρτησης f με γνωστη σχεση της f(x) :

● Ζητουμενα : Ο τυπος και το πεδιο ορισμου της αντιστροφης της συναρτησης .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση f ειναι συναρτηση “ 1 – 1 ” . ● Θετουμε στη γνωστη σχεση, f(x) = y και λυνουμε ως προς x . ● Βρισκουμε το f(A) (που ειναι το πεδιο ορισμου της αντιστροφης) και με εναλλαγη των x,y εχουμε τον τυπο της αντιστροφης .

Εστω η πραγματικη συναρτηση f με πεδιο ορισμου το  . Αν για καθε x   ισχυει

f 3 (x) + f(x) - e x = 0 τοτε :  Nα δειχτει οτι η f ειναι " 1 - 1" .  Να βρειτε την αντιστροφη συναρτηση της συναρτησης f .  Αν x 1 , x 2   και η δοσμενη : f 3 (x) + f(x) = e x (I)

f(x 1 ) = f(x 2 ) 

f(x 1 ) = f(x 2 )

(I)  ( + ) 3 3  f (x ) + f(x ) = f (x ) + f(x )   1 1 2 2 f 3 (x 1 ) = f 3 (x 2 ) 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

81 e

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

 x1 = x2

Aρα η f ειναι " 1 - 1 " .  Aφου η f ειναι " 1 - 1 " αντιστρεφεται. Αν θεσουμε y = f(x) στην (Ι) :

y 3 + y = e x  e x = y(y 2 + 1) (aφου e x > 0  y(y 2 + 1) > 0  y > 0)  l ne x = ln[y(y 2 + 1)]  x = ln[y(y 2 + 1)], y > 0. Με εναλλαγη των x, y o τυπος της αντιστροφης ειναι : y = ln[x(x 2 + 1)], x > 0 η

-1

(x) = ln[x(x 2 + 1)] , x > 0

13.10.3 Ευρεση κοινων σημειων των C f και C f - 1 :

● Ζητουμενα : Τα κοινα σημεια των C f και C f - 1 .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης f .

● Τροπος Λυσης : ● Ta κοινa σημειa των C f και C f - 1 (εφοσον υπαρχουν) ειναι η λυση του συστη-1  y = f(x)  y = f(x) x = f (y) ματος :  (Σ) η (Σ ) η (Σ 2 )   1 -1 -1 x = f(y)  y = f (x)  y = f (x)

● Συνηθως αφαιρουμε κατα μελη τις εξισωσεις του (Σ1) .

Εστω η πραγματικη συναρτηση f με f(x) = 2x 3 + 1 :  Nα δειχτει οτι η f ειναι aντιστρεψιμη .  Να βρειτε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων C f και C f - 1 .  Το πεδιο ορισμου της f ειναι το . Αν x 1 , x 2   :

f(x 1 ) = f(x 2 )  2x 1 3 + 1 = 2x 2 3 + 1  x 1 3 = x 2 3  x 1 = x 2 Aρα η f ειναι " 1 - 1 " οποτε αντιστρεφεται.  y = 2x 3 + 1 ( 1)  Λυνουμε το συστημα (Σ) :  3 x = 2y + 1 (2) Aπο (1) - (2) : y - x = 2x 3 + 1 - 2y 3 - 1  y - x = 2(x 3 - y 3 )  y - x = 2(x - y) (x 2 + xy + y 2 )  (y - x) + 2(y - x) (x 2 + xy + y 2 ) = 0  (y - x)(1 + 2x 2 + 2xy + 2y 2 ) = 0   y - x = 0   2 2 2x + 2yx + 1 + 2y = 0

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

 y = x (3)  2 2 2 αδυνα τη αφου Δ = 4y - 8 - 16y = - 8 - 12y < 0

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

H (1) λογω της (3) : x = 2x 3 + 1  x + 1 = 2(x 3 + 1)  (x + 1) - 2(x + 1)(x 2 + x + 1) = 0  x + 1 = 0 (x + 1)(1 - 2x 2 + 2x + 2) = 0   2  2x + 2x + 1 = 0

x = - 1  αδυνατη αφου Δ = 4 - 8 = - 7 < 0

Aρα x = y = -1 και το κοινο σημειο των C f , C f - 1 ειναι το (- 1,- 1) .

13.10.4 Ευρεση παραμετρου :

● Ζητουμενα : Η παραμετρο (η συνθηκη παραμετρων) που περιεχεται στο τυπο αντιστρεψιμης συναρτησης f .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση (η οι κλαδοι, αν εχουμε πολλαπλο τυπο) ειναι 1-1 . ● Απαιτουμε να μην υπαρχει κοινο f(x) για διαφορετικες τιμες του x .

Nα βρειτε τη συνθηκη μεταξυ των παραμετρων α, β ωστε να ειναι αντιστρεψιμη η αx - β 2 , x  1 συναρτηση : f(x) =  α, β   +* . 2 βx - α , x  1 Οι συναρτησεις αx - β 2 και βx - α 2 ειναι γ. αυξουσες, οποτε και "1 - 1" . y +β2 y +β2   1  y +β2  a  y  a - β 2 α α 2 y + α y + α2  1  y+a2 β  y  β- a 2 • x  1 : y = βx - α 2  βx = y + α 2  x = β β Πρεπει f(A 1 )  f(A 2 ) =  Aρα η f ειναι συναρτηση "1 - 1" . • x  1 : y = αx - β 2  αx = y + β 2  x =

a - β 2 < β - a 2  a - β + a 2 - β 2 < 0  (a - β) + (a - β)(a + β) < 0  (a - β)(1 + a + β) < 0 

(1 + α + β > 0 αφο υ α,β   *+ )  a - β < 0  α < β

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

14. K a π ο ι ε ς Β α σ ι κ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς 1. Na βρεθει ο τυπος της συναρτησης f, αν για καθε x  ισχυει :

5f(x) - 3f(- x) = 2x 2 - 8x . Eιναι

5f(x) - 3f(-x) = 2x 2 - 8x (1) Θετουμε στην (1) οπου x το - x. Ετσι 5f(-x) - 3f(x) = 2(- x) 2 - 8(- x)  5f(-x) - 3f(x) = 2 x 2 + 8 x  5f(-x) = 3f(x) + 2 x 2 + 8 x  f(-x) = Η (1) λογω της (2) :

3f(x) + 2 x 2 + 8 x (2) 5

3f(x) + 2 x 2 + 8 x = 2x 2 - 8x  25f(x) - 9f(x) - 6 x 2 - 24 x = 10x 2 - 40x  5f(x) - 3  5 16f(x) = 16x 2 - 16x  f(x) = x 2 - x

2. Na δειχτει οτι η συναρτησης f ειναι σταθερη για καθε x  αν ισχυει :  7f(x) + 5f(- x) = 12  f(x + y) = f(x) - f(y)  Ειναι 7f(x) + 5f(- x) = 12 (1) Θετουμε στην (1) οπου x το - x. Ετσι 7f(- x) + 5f(x) = 12  7f(- x) = 12 - 5f(x)  f(- x) =

12 - 5f(x) 7

(2)

Η (1) λογω της (2) : 12 - 5f(x) 7f(x) + 5  = 12  49f (x) + 60 - 25f(x) = 84  24f(x) = 24  f(x) = 1 7  Ειναι f(x + y) = f(x) - f(y) (3) x Θετουμε στην (3) οπου x = y = . 2 Ετσι x x x x f( + ) = f( ) - f( )  f(x) = 0 . 2 2 2 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3. To πεδιο ορισμου Αf της συναρτησης f ειναι συμμετρικο ως προς το μηδεν. Να δει ξετε αν η συναρτηση f ειναι αρτια η περιττη, για καθε x, y  Αf ,αν ισχυει :  f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y)

 f(x - y) = f(x) - f(y)

 Ειναι f(y + x) + f(y - x) = 2[f(x) + f(y)] (1) Θετουμε στην (1) x = y = 0. Ετσι f(0) + f(0) = 2[f(0) + f(0)]  2f(0) = 4f(0)  2f(0) = 0  f(0) = 0 Θετουμε στην (1) y = 0. Ετσι

(2)

f(x) + f(-x) = 2[f( x) + f(0)]  f(x) + f(-x) = 2f(x)  f(x) = f(- x) Αρα η f ειναι αρτια .  Ειναι f(x - y) = f(x) - f(y) (3) Θετουμε στην (3) x = 0. Ετσι (3)

f(- y) = f(0) - f(y)  f(- y) = 0 - f(y)  f(- y) = - f(y) Αρα η f εινα ι περιττη .

4. Αν η συναρτηση f ειναι γνησιως αυξουσα και για x   ισχυει : f(f(x + 1)) = x + 1 να δειχτει οτι f(x) = x . Η σχεση f(f(x + 1)) = x + 1 ισχυει για καθε x, αρα και για x = x - 1, οποτε f(f(x - 1 + 1)) = x - 1 + 1  f(f(x)) = x αρα και f(f(x1 )) = x1 (1)  Eστω για x1   ειναι f(x1 ) < x1 και αφου η f γ.αυξουσα τοτε f(f(x1 )) < f(x1 ) (2 )

Απο (1), (2) : x1 < f(x1 ) ατοπο αφου f(x1 ) < x1 .

 Eστω για x1   ειναι f(x1 ) > x1 και αφου η f γ.αυξουσα τοτε f(f(x1 )) > f(x1 ) (3)

Απο (1), (2) : x1 > f(x1 ) ατοπο αφου f(x1 ) > x1 .

Αρα για καθε x1   ισχυει f(x1 ) = x1 η f(x) = x .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Οι συναρτησεις f και g οριζονται στο . Να δειξετε οτι f(x 2 ) + g(x 2 ) > 0 αν για καθε x   ,ισχυει (f  g)(x) = x 2 και (g  f)(x) = x 2 . Ειναι f(g(x)) = x 2 και g(f(x)) = x 2 .  (f  g)(x) = x  f(g(x)) = x

 (g  f)(x) = x  g(f(x)) = x

Θετω



x = g(x)

Θετω



x = g(x)

f(g(f(x))) = f (x) 2

g(f(g(x))) = g (x) 2

g(f(x)) = x 2



f(g(x)) = x 2



f(x 2 ) = f 2 (x) (1)

g(x 2 ) = g 2 (x) (2)

Απο (1) + (2) : f(x ) + g(x ) = f (x) + g (x) 2

f 2 (x) + g 2 (x)  0



f(x 2 ) + g(x 2 )  0  f(x 2 ) + g(x 2 ) > 0

Πραγματι f(x) = 0 Αν f(x ) + g(x ) = 0   (2) g(x) = 0  2

(1)

x = g(x)



x = g(x)

f(g(x)) = 0 x 2 = 0 για καθε x     που ειναι ατοπο  g(f(x)) = 0

6. Αν για τις συναρτησεις f, g υπαρχει η f  g στο  τοτε ισχυει :  Αν η g ειναι αρτια τοτε η f  g ειναι αρτια .  Αν οι f, g ειναι περιττες τοτε η f  g ειναι περιττη .  Αν η f ειναι αρτια και η g ειναι περιττ η, τοτε η f  g ειναι αρτια .  Ειναι

g αρτια

(f  g)(- x) = f(g(- x)) = αρα f  g αρτια.  Ειναι (f  g)(- x) = f(g(- x)) αρα f  g περιττη.  Ειναι (f  g)(- x) = f(g(- x)) αρα f  g αρτια.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

g περιττη

f(g(x)) = (f  g)(x) ,

f(- g(x))

f περιττη

- f(g(x)) = - (f  g)(x) ,

f αρτια

f(- g(x)) = f(g(x)) = (f  g)(x) ,

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

7.  Αν η συναρτηση f ειναι γνησια μονοτονη να δειξετε οτι και η αντιστροφη της f εχει το ιδιο ειδος μονοτονιας .  Αν η συναρτηση f :    ειναι γνησια αυξουσα και ισχυει f(x) = f x  να δειξετε οτι f(x) = x .

-1

(x) για καθε

 Η συναρτηση f ειναι γνησια μονοτονη, οποτε ειναι "1 - 1" και αντιστρεφεται. Αν Α και f(A) το πεδιο ορισμου και το συνολο τιμων αντιστοιχα της συναρτησης f τοτε το πεδιο ορισμου και το συνολο τιμω ν της f -1 ειναι τα f(A) και Α αντιστοιχα. Ισχυει y = f(x)  x = f -1 (y)  Aν f ειναι γνησια αυξουσα : Εστω y1 , y2  f(A) με y1 < y2

Αν η f -1 ειναι φθινουσα τοτε f (y1 )  f (y2 ) -1

-1

f γ. αυξουσα



f(f -1 (y1 ))  f(f -1 (y2 ))  y1  y2 aτοπο.

Αρα η f -1 ειναι γνησια αυξουσα.  Aν f ειναι γνησια φθινουσα : Εστω y1 , y2  f(A) με y1 < y2 Αν η f -1 ειναι αυξουσα τοτε f -1 (y1 )  f -1 (y2 )

f γ.φθινουσα



f(f -1 (y1 ))  f(f -1 (y2 ))  y1  y2 aτοπο.

Αρα η f -1 ειναι γνησια φθινουσα.  Ειναι f(x) = f -1 (x) και η συναρτηση f ειναι γνησια αυξουσα, αρα και f -1 ειναι γνησια αυξουσα. Εστω f(x)  x. Τοτε αν  f(x) > x : f(x) > x  f(x) < x : f(x) < x

f - 1 γ.αυξουσα



f - 1 γ.αυξουσα



f (f(x)) > f (x) -1

f (f(x)) < f (x)

Αρα τελικα f(x) = x .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

-1

f(x) = f -1 (x)



f -1 (f(x)) = x

f(x) = f -1 (x)



f -1 (f(x)) = x

x > f(x) aτοπο (f(x) > x)

x < f(x) aτοπο (f(x) < x)

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

8. Να βρεθει η αντιστροφη της συναρτησης f :    αν ισχυουν για καθε x  :  f 3 (x) + xf(x) - 1 = 0  (f  f)(x) + x = f(x)

 Εχουμε f 3 (x) + xf(x) - 1 = 0 (1). Για x 1 , x 2   ειναι (1)

f(x 1 ) = f(x 2 )  f (x 1 ) = f (x 2 )  1 - x 1f(x 1 ) = 1 - x 2f(x 2 ) 3

f(x 1 ) = f(x 2 )



Αρα η f ειναι "1 - 1" οποτε αντσιτρεφεται

x1 = x2

Για x = f -1 (x) η (1) γινεται : (f(f (x) )) + f (x)  f(f (x) ) - 1 = 0 -1

-1

1-x f (x)  x = 1 - x  f (x) = x 3

-1

f(f -1 (x)) = x



x 3 + f -1 (x)  x - 1 = 0 

 Εχουμε (f  f)(x) + x = f(x) η f(f(x)) + x = f(x) Για x 1 , x 2   ειναι

(2).

(2)

f(x 1 ) = f(x 2 )  f(f(x 1 )) = f(f(x 2 ))  f(x 1 ) - x 1 = f(x 2 ) - x 2

f(x 1 ) = f(x 2 )



Αρα η f ειναι "1 - 1" οποτε αντσιτρεφεται

x1 = x2

Για x = f -1 (x) η (1) γινεται : f(f(f (x))) + f (x) = f(f (x)) -1

-1

f(f -1 (x)) = x



f(x) + f -1 (x) = x  f

-1

(x) = x - f(x)

Παρατηρηση Ισχυει η ισοδυναμια : f(x) = y  f - 1 (y) = x  f(x) = y  f - 1 (y) = x  f (y) = x  f(x) = y -1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

f(x) = y



f - 1 (y) = x



-1

(f(x)) = x

f(f (y)) = y -1

y =x

 f(f

-1

(x)) = x

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

15. Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η 1. Να βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων: 5x - 2 α. f(x) = β. g(x) = 2 | 2x - 1 | - 1 2 | x | -4

γ. h(x) = ln

2x + x 2 + 1 x 2 - 5x + 6

2. Να βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων: x -3 1 α. f(x) = β. g(x) = σφx - 1 συνx

γ. h(x) = 5 - συνx

3. Να βρεθουν τα πεδια ορισμου των συναρτησεων: x 2+1 α. f(x) = ln(x 2 - 3)

x 2 -9 β. g(x) = 2 x - 4x + 3

γ. h(x) = e x

-1

Δινεται η συναρτηση : f(x) =

x 2 - 2x + 3

. x 2 + λx + 9 Για ποιες τιμες του λ   , το πεδιο ορισμου της f ειναι το  ; 5. 2

Δινεται η συναρτηση : f(x) = e x - 4x + 3 - 1. Σε ποια σημεια τεμνει τους αξονες x'x και y'y, η γραφικη παρασταση της συναρτησης f ;

6. Να βρεθουν οι πραγματικες τιμες του x, που η γραφικη παρασταση της συναρτησης f βρισκεται πανω απ'τη γραφικη παρασταση της συναρτησης g, οταν : • f(x) = x 2 - 2x και g(x) = x + 4 • f(x) = x 2 - 4x + 1 και g(x) = x - 8 • f(x) = 4 - x και g(x) = x + 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

7. Να βρεθουν οι πραγματικες τιμες του x, που η γραφικη παρασταση της συναρτησης f βρισκεται κατω απ'τη γραφικη παρασταση της συναρτησης g, οταν : • f(x) = e x

- 4x

και g(x) = 1 .

8. 5λ 2 x + 2 3x + 2λ(x + 1) και g(x) = . x -2+ λ x-λ Να βρεθουν οι τιμες του λ   , ωστε οι συναρτησεις f και g να ειναι ισες. Δινoνται οι συναρτησεις : f(x) =

9. Δινονται οι συναρτησεις: f(x) = ln(x - 3) και g(x) = ln(x - 2) Να βρειτε τις συναρτησεις: ●f+g ●f-g

10. Δινονται οι συναρτησεις: f(x) = e 4 x - 3 και g(x) = e x - 2 Να βρειτε τις συναρτησεις: f ●f∙g ● g 11. Δινονται οι συναρτησεις : f(x) = 9 - x Να βρεθει η συναρτηση g  f.

και g(x) = x 2 - 4x + 2 .

12.

Δινονται οι συναρτησεις : 3x 2 , x  [0,1) • f(x) =  4x - 2, x  [1,3) x - 1, x  [- 2,4) • g(x) =   x , x = 7 Nα βρεθει η συναρτηση f  g .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

13. Nα βρεθει το πεδιο ορισμου της συναρτησης : f : [- 1,5]    h(x) = f(3x - 1) .

14. Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x + 1) = x 2 - 1 για καθε x   . • Να βρειτε τη συναρτηση f(x). • Να δειξετε οτι : f(2x) - 4f(x + 2) = - 12x.

15.

Δινονται οι συναρτησεις f(x) = x 2 και g(x) = αx + β, οπου α, β   και β  0. Να βρεθουν οι πραγματικοι α και β ωστε να ισχυει για καθε x   : f  g = g  f . 16. x x x(2 + x) x - 1 2x + 1 2x 2 - x - 1 • Να δειχτει οτι οι συναρτησεις h και g ειναι σταθερες, οταν για καθε x του κοινου πεδιου ορισμου τους ισχυει : (h + g)( x)[(h + g)(x) - 10]  2[(h  g)(x) - 25] . • Να δειχτει οτι ειναι σταθερη η συναρτηση f με : f(x) =

17. 2x ειναι περιττη. 1+| x | • Αν f(x + y) = f(x) + f(y) για καθε x, y   , να δειξετε οτι η f ειναι περιττη . • Να δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) =

18. Να δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = συνλx, λ   * ειναι περιοδικη και να βρε θει η βασικη της περιοδος. 19. Να δειχτει οτι η συναρτηση f με : f(x) = - 2x 3 + 5 ειναι γνησιως φθινουσα.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

20. • Να λυθει η ανισωση : lnx > 1 - x . • Nα αποδειχτει οτι : εφβ - εφα > α 2 - β 2 ,

αν 0 < α < β <

π . 2

21. Να λυθει η εξισωση : 3 x +4

22. Να βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : 3x - 4 f(x) = με A f = [- 7,0]. x-2

23. Να βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) =

2x 2 - x - 1 x 2 + 2x - 3

24. Να βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) = 2  e 2 x - 6  e x 25. Να βρεθει το μεγιστο και ελαχιστο της συναρτησης : f(x) = ln(4 - x 2 ) . 26. Εστω συναρτηση f :    , η οποια εχει συνολο τιμων το  . 4f(x) Να αποδειχτει οτι η συναρτηση g(x) = εχει ελαχιστο το - 2 και μεγιστο 1 + f 2 (x) το 2 .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

27. Να εξεταστει αν ειναι "1 - 1" η συναρτηση : ex f(x) = 1+ex

28. Αν η συναρτηση f :    ειναι γν. φθινουσα, να λυθει η εξισωση :

(f  f)(x 2 + 4x) = (f  f)(x + 4) 29.

Nα βρειτε την αντιστροφη συναρτηση της συναρτησης : f(x) = 1 + x - 4 με Α f = [4,+  ) .

30.

Nα βρειτε την αντιστροφη συναρτηση της συναρτησης : 2x + 10 αν x  (-  ,3] f(x) =  2 x + 2 αν x  (3,+  ]

31. Εστω η πραγματικη συναρτηση f με f(x) = x 3 + x + 1 :  Nα δειχτει οτι η f ειναι aντιστρεψιμη .  Να βρειτε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων C f και C f - 1 .

32. Nα βρειτε τη συνθηκη μεταξυ των παραμετρων α, β ωστε να ειναι αντιστρεψιμη η α 2 x - β + 1 , x  1 συναρτηση : f(x) =  2 α<β. β x - α + 1 , x  1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

1. Ο ρ ι σ μ ο ς Ο ρ ι ο υ σ τ ο x

∈ 

Eστω μια συναρτηση f ορισμενη σ’ενα συνολο της μορφης (α,x₀)U(x₀,β). Θα λεμε οτι η f εχει στο x ₀ ο ρ ι ο λ ∈  , οταν για καθε ε > 0 υπαρχει δ > 0 τετοιο ωστε να ισχυει: | f ( x ) – λ | < ε , για καθε x του πεδιου ορισμου της f με: 0 < | x – x ₀ | < δ . Παρατηρησεις • Ο πιο πανω ορισμος μπορει να διατυπωθει ισοδυναμα: Eστω μια συναρτηση f ορισμενη σ’ενα συνολο της μορφης (α,x₀)U(x₀,β). Θα λεμε οτι η f εχει στο x ₀ ο ρ ι ο λ ∈  , οταν για κaθε ε > 0 υπαρχει δ > 0 τετοιο ωστε να ισχυει: f ( x ) ∈ ( λ – ε , λ + ε ) , για καθε x του πεδιου ορισμου της f με

x ∈ ( x₀ - δ , x₀ ) U ( x₀ , x₀ + δ ) .

• Oταν το x τεινει στο x0, οι τιμες f(x) τεινουν αντιστοιχα σ’ ενα πραγματικο αριθμο  : • γραφουμε: lim f(x) =  x  x

• διαβαζουμε: “ το οριο της f(x) οταν x τεινει στο x0 ειναι

 ”.

• Οταν το x τεινει στο x0 απο αριστερα (x < x0), οι τιμες f(x) τεινουν σε ενα πραγματικο αριθμο  1 , ενω οταν το x τεινει στο x0 απο δεξια (x > x0), οι τιμες f(x) τεινουν σε ενα πραγματικο αριθμο  2 .

Γραφουμε συμβολικα και διαβαζουμε: • lim - f(x) =  1

“ το αριστερo oριο της f στο x0 ειναι

• lim + f(x) =  2

“ το δεξιo oριο της f στο x0 ειναι

x  xΟ

1 ”

2 ”

• Το αριστερο και το δεξιο οριο της f στο x0 λεγονται π λ ε υ ρ ι κ α ο ρ ι α της f στο x0.

• Αν lim - f(x) = lim + f(x) =  τοτε lim f(x) =  x  xΟ

x  xΟ

2. Π ρ α ξ ε ι ς Ο ρ ι ο υ σ τ ο x

( και αντιστροφως)

∈ 

Αν υπαρχουν τα ορια των συναρτησεων f, g στο x₀, τοτε υπαρχει το οριο: ● A θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς συναρτησεων με lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x) . x x 0

x x 0

● Δ ι α φ ο ρ α ς συναρτησεων με lim (f - g)(x) = lim f(x) - lim g(x) . x x 0

x x 0

● Γ ι ν ο μ ε ν ο υ συναρτησεων με lim (fg)(x) = [ lim f(x)]  [ lim g(x)] . x x 0

● Π η λ ι κ ο υ συναρτησεων με lim ( x x0

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

x x 0

lim f(x) f x x 0 )(x) = g lim g(x) x x 0

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

95 ●Γινομενου πραγματικου

α ρ ι θ μ ο υ μ ε σ υ ν α ρ τ η σ η με

lim (κf(x)) = κ lim f(x) .

x x 0

Παρατηρησεις • Για το αθροισμα και τη διαφορα, δεν ισχυει το αντιστροφο. • Για το αθροισμα και το γινομενο η προταση ισχυει για περισσοτερες απο δυo συναρτησεις.

3. Ο ρ ι ο Γ ν ω σ τ ω ν Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν σ τ ο x

Απολυτης τιμης συναρτησης

∈ 

Αν υπαρχει το οριο της f στο x₀, τοτε το οριο της απολυτης τιμης της συναρτησης στο x₀ δινεται απο τον τυπο: lim | f(x) | = | lim f(x) | x x 0

x x 0

Ριζας συναρτησης Αν για τη συναρτηση f ισχυει f(x)≥0 για καθε x∈(0,x₀)U(x₀,β) και υπαρχει το οριο της στο x₀ τοτε: lim

x x0

f(x) =

lim f(x)

x x0

Πολυωνυμικης συναρτησης

Εστω η συναρτηση f(x)=P(x), με P(x)= α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + ...+ α 1 x + α 0 και xo∈  . Τοτε: lim f(x) = lim Ρ(x) = Ρ(x0 ) . x x 0

x x 0

Ρητης συναρτησης Εστω η ρητη συναρτηση f(x) =

Ρ(x) , xo∈  και Q(x₀)≠0. Τοτε: Q(x)

lim Ρ(x) Ρ(x0 ) Ρ(x) x x 0 lim f(x) = lim = = x x0 x x 0 Q(x) lim Q(x) Q(x0 ) x x0

Τριγωνομετρικης συναρτησης

Η μ ι τ ο ν ο υ : Για καθε xo∈  ισχυει οτι: lim ημx = ημx0 x x 0

Σ υ ν η μ ι τ ο ν ο υ : Για καθε xo∈  ισχυει οτι: lim συνx = συνx0 x x 0

Συναρτησης f(x)=

ημx ημx : Ισχυει οτι: lim =1 x  x x x 0

Παρατηρησεις ημαx = 1 με α ≠ 0 x  x0 αx

• lim

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

εφx =1 x  x0 x

• lim

εφαx =1 x  x0 αx

• lim

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

4. Κ ρ ι τ η ρ ι ο Π α ρ ε μ β ο λ η ς Εστω οι συναρτησεις f, g, h. Aν: • υπαρχει συνολο της μορφης (α,x₀)U(x₀.β) τετοιο ωστε να ισχυει h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) για καθε x∈(α, x₀)U(x₀, β) και • lim h(x) = lim g(x) = λ x x 0

x x 0

Τοτε lim f(x) = λ x x 0

5. Σ υ ν ε χ ε ι α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο Δ και x₀ ειναι ενα σημειο του Δ. Θα λεμε οτι η f ειναι σ υ ν ε χ η ς στο x₀ οταν και μονο οταν: lim f(x) = f(x0 ) x x 0

Παρατηρησεις • Ο πιο πανω ορισμος μπορει να διατυπωθει: “ Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο Δ και x₀ ειναι ενα σημειο του Δ. Θα λεμε οτι η f ειναι σ υ ν ε χ η ς στο x₀ οταν και μονο οταν για καθε ε > 0 υπαρχει δ > 0 τετοιο ωστε για καθε x με |x - x₀| < δ να ισχυει: |f(x) - f(x₀)| < ε ”. • Η συνεχεια της f εχει νοημα μονο σε σημεια του πεδιου ορισμου της. • Οταν η f ειναι συνεχης στο x0 , η γραφικη της παρασταση δεν διακοπτεται στο σημειο με τετμημενη x0. • Το οτι η f ειναι συνεχης στο x0 σημαινει ακομα: x0∈A και υπαρχει το lim και x  xΟ

lim f(x)   .

x  xΟ

• Η f λεγεται συνεχης στο διαστημα Δ, οταν ειναι συνεχης σε ολα τα σημεια του Δ. Δηλαδη : Αν για καθε x0∈Δ ειναι lim f(x)=f(x0), τοτε η f ειναι συνεχης στο Δ. x  xΟ

6. Π ρ α ξ ε ι ς Σ υ ν ε χ ω ν Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν

Αν οι συναρτησεις f,g οριζονται σ’ενα διαστημα που περιεχει το x₀ και ειναι συνεχεις στο x₀, τοτε: ● Η συναρτηση f ± g ειναι συνεχης στο x₀. ● Η συναρτηση f ∙ g ειναι συνεχης στο x₀. ● Η συναρτηση c ∙ f, οπου c ∈  , ειναι συνεχης στο x₀.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

97 ● Η συναρτηση

ΟΡΙΟ

f ειναι συνεχης στο x₀. g

● Η συναρτηση |f| ειναι συνεχης στο x₀. ● Η συναρτηση

f ειναι συνεχης στο x₀.

● Aν η συναρτηση f ειναι συνεχης στο x₀ και η συναρτηση g ειναι συνεχης στο f(x₀), τοτε η συνθετη συναρτηση g∘f ειναι συνεχης στο x₀.

7. Θ ε ω ρ η μ α B o l z a n o Aν μια συναρτηση f: ● ειναι σ υ ν ε χ η ς στο κλειστο διαστημα [α,β] ● ισχυει f ( α ) f ( β ) < 0 τοτε υπαρχει ε ν α τ ο υ λ α χ ι σ τ ο ν x₀ ∈ (α,β), τετοιο ωστε να ισχυει: f ( x ₀ ) = 0 . Δηλαδη υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα της εξισωσης f(x) = 0 στο διαστημα (α,β). Γεωμετρικη Ερμηνεια Η γραφικη παρασταση της συναρτησης f, που συνδεει χωρις διακοπη (προυποθεση της συνεχειας) τα σημεια Α(α,f(α)) και Β(β,f(β)) για τα οποια υποθετουμε οτι f(α) > 0 και f(β) < 0 η και αντιστροφα (προυποθεση f(α)∙f(β) < 0), τ ε μ ν ε ι τ ο ν α ξ ο ν α x ’ x σ ’ ε ν α τουλαχιστον

σ η μ ε ι ο x ₀ του διαστηματος (α,β).

Παρατηρησεις • Το θεωρημα Βolzano εξασφαλιζει την υπαρξη ριζων της f στο ανοικτο (α,β) αλλα δεν δινει πληροφοριες για το πληθος των ριζων. • Αν ομως επιπλεον η f ειναι γνησιως μονοτονη στο [α,β], τοτε θα εχει μ ο ν α δ ι κ η ριζα στο (α,β). • Το θεωρημα Βolzano εξασφαλιζει την υπαρξη ριζας στο ανοικτο (α,β) αλλα δεν προσδιοριζει ποια ειναι αυτη. • Το αντιστροφο του θεωρηματος Βolzano δ ε ν ισχυει. • Αν μια συνεχης συναρτηση δεν μηδενιζεται σε διαστημα (ανοικτο η κλειστο), τοτε θα διατηρει σ τ α θ ε ρ ο προσημο στο διαστημα αυτο. Ειδικα: Με f συνεχη και f(x) ≠ 0 για καθε x∈(α,β):

• Αν για καποιο κ∈(α,β), f(κ) > 0 τοτε f(x) > 0 για καθε x∈(α,β). • Αν για καποιο κ∈(α,β), f(κ) < 0 τοτε f(x) < 0 για καθε x∈(α,β). • Μια συνεχης συναρτηση δ ι α τ η ρ ε ι π ρ ο σ η μ ο μεταξυ δυο διαδοχικων ριζων της.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

Δηλαδη: Αν f συνεχης και x1, x2 διαδοχικες ριζες της (x1 < x2) τοτε η f διατηρει σταθερο προσημο στο διαστημα (x1, x2). • Αν η f δ ε ν μ η δ ε ν ι ζ ε τ α ι στο ανοικτο (α,β) και οι τιμες στα ακρα ειναι ετεροσημες, τοτε η f δ ε ν ε ι ν α ι σ υ ν ε χ η ς στο [α,β]. • Αν η f δ ε ν μ η δ ε ν ι ζ ε τ α ι στο ανοικτο (α,β) και ειναι συνεχης στο [α,β], τοτε οι τιμες στα ακρα ειναι ο μ ο σ η μ ε ς .

8. Θ ε ω ρ η μ α Ε ν δ ι α μ ε σ ω ν Τ ι μ ω ν Aν μια συναρτηση f: ● ειναι σ υ ν ε χ η ς στο κλειστο διαστημα [α,β] ● ισχυει f ( α ) ≠ f ( β )

τοτε για καθε αριθμο n που βρισκεται ε ν τ ο ς των f(α), f(β) υπαρχει ενα τουλαχιστον x₀ ∈ (α,β), τετοιο ωστε να ισχυει: f ( x ₀ ) = n.

Δηλαδη υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα της εξισωσης f(x) = n στο διαστημα (α,β). Γεωμετρικη Ερμηνεια Γεωμετρικα το θεωρημα ενδιαμεσων τιμων ερμηνευεται ως εξης:

Aν απο καθε σημειο n που βρισκεται μεταξυ των f(α) και f(β) φερουμε παραλληλη προς τον αξονα x’x, τοτε αυτη θα τεμνει τη γραφικη παρασταση της f σ’ενα τουλαχιστον σημειο.

9. Θ ε ω ρ η μ α Μ ε γ ι σ τ η ς - Ε λ α χ ι σ τ η ς Τ ι μ η ς Αν μια συναρτηση f ειναι σ υ ν ε χ η ς στο κλειστο διαστημα [α , β], τοτε η f εχει μια ε λ α χ ι σ τ η τ ι μ η m και μια μ ε γ ι σ τ η τ ι μ η Μ στο διαστημα [α , β]. Αυτο σημαινει πως υπαρχουν αριθμοι x₁, x₂ στο [α,β], τετοιοι ωστε: f(x₁) = m, f(x₂) = M και m ≤ f(x) ≤ M για ολα τα x στο [α,β]. Γεωμετρικη Ερμηνεια Υπαρχουν στο διαστημα [α,β] αριθμοι x₁, x₂, που μπορει να συμπιπτουν η οχι με τα ακρα α, β του διαστηματος, των οποιων οι εικονες f(x₁),f(x₂) ειναι αντιστοιχα η μικροτερη και η μεγαλυτερη απ’ολες τις εικονες των x του διαστηματος [α,β]. Παρατηρησεις Αν μια συναρτηση f ειναι ορισμενη και συνεχης στο κλειστο διαστημα [α, β] τοτε το συνολο τιμων της ειναι το κλειστο διαστημα [m, M], οπου m η ελαχιστη και Μ η μεγιστη τιμη της.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

10. Σ υ ν ο λ ο Τ ι μ ω ν - Μ ο ν ο τ ο ν ι α - Σ υ ν ε χ ε ι α Με γνωστη τη μονοτονια μιας συνεχους συναρτησης το συνολο τιμων της προσδιοριζεται: • Αν f  και συνεχης στο Δ = [α,β] τοτε f ( Δ ) = [ f( α ) , f( β ) ] • Αν f  και συνεχης στο Δ = [α,β] τοτε f ( Δ ) = [f( β ) , f( α ) ]

• Αν f  και συνεχης στο Δ = (α,β) τοτε f ( Δ ) = ( lim  f( x ) , lim f( x ) ) x α

x β

• Αν f  και συνεχης στο Δ = (α,β) τοτε f ( Δ ) = ( lim f( x ) , lim  f( x ) ) x β

x α

• Αν f  και συνεχης στο 

τοτε f (  ) = ( lim f( x ) , lim f( x ) )

• Αν f  και συνεχης στο 

τοτε f (  ) = ( lim f( x ) , lim f( x ) )

x- 

x+ 

x- 

Παρατηρησεις • Αν το συνολο τιμων μιας συνεχους συναρτησης f ειναι το  , τοτε επειδη το 0 ∈  : • Η f εχει μια τουλαχιστον ριζα.

11. Ε ν ν ο ι α Ο ρ ι ο υ Σ τ ο Α π ε ι ρ ο Παρακατω ο ορος “ τ ε ι ν ε ι σ τ ο + ∞ ( - ∞ ) “ θα σημαινει “ α υ ξ α ν ε ι ( μ ε ι ω – νεται) απεριοριστα“.

Προσεγγιζουμε την εννοια του οριου στο απειρο μεσω της γρ. παραστασης μιας συναρτησης. • Καθως το x τεινει στο + ∞, οι τιμες f(x) τεινουν σε εναν πραγματικο αριθμο • γραφουμε: lim f(x) = x+ 



• διαβαζουμε: “ το οριο της f(x) οταν x τεινει στο + ∞ ειναι

 , και

 ”.

• Καθως το x τεινει στο + ∞, οι τιμες f(x) τεινουν αντιστοιχα στο + ∞, και • γραφουμε: lim f(x) = + ∞ x+ 

• διαβαζουμε: “ το οριο της f(x) οταν x τεινει στο + ∞ ειναι + ∞ ”’.

• Καθως το x τεινει στο + ∞, οι τιμες f(x) τεινουν αντιστοιχα στο - ∞, και • γραφουμε: lim f(x) = - ∞ x+ 

• διαβαζουμε: “ το οριο της f(x) οταν x τεινει στο + ∞ ειναι - ∞ ”.

• Ομοια, καθως το x τεινει στο - ∞. Παρατηρησεις

• Για να εχει νοημα η αναζητηση του

lim f(x) [ lim f(x) ] πρεπει η f να οριζεται σε ενα

x  +

x  -

συνολο της μορφης (α, +∞) [(-∞, β)]. • Προφανως δεν εχει νοημα η εννοια των πλευρικων οριων στο ±∞.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

100

• Αν lim f(x) =   lim (f(x) - ) = 0 x 

x 

• Αν f(x) = x  lim x =  (οριο ταυτοτικης) x 

• Αν f(x) = c  lim c = c (οριο σταθερης) x 

• Αν lim f(x) = +  , τοτε f(x) > 0 σε περιοχη του ∞ (Η f παιρνει θετικες τιμες σε καποιο x 

διαστημα).

• Αν lim f(x) = -  , τοτε f(x)<0 σε περιοχη του ∞ (Η f παιρνει αρνητικες τιμες σε καποιο x 

διαστημα).

• Αν lim f(x) = +  και f(x)  g(x) σε περιοχη του ∞, τοτε lim g(x) = +  x 

x 

• Αν lim g(x) = +  και f(x)  g(x) σε περιοχη του ∞, τοτε lim f(x) = -  x 

x 

12. Ο ρ ι ο Σ τ ο Α π ε ι ρ ο Π ρ α ξ ε ι ς

•Προσθεση

∈  

lim f(x)

x 

lim g(x)

+∞

x 

lim (f + g)(x)

+∞

x 

• Γινoμενο

lim g(x)

lim (f  g)(x)

x 

• Πηλικο

+∞

-∞

+∞

-∞

+∞

-∞

∈  

lim f(x)

x 

x 

-∞

+∞

-∞

+∞

-∞

+∞ ?

-∞ ?

x 

lim f(x)

0 < ∈ 

0 > ∈ 

lim g(x)

x 

lim (

x 

f )(x) g

• Αν lim f(x) = +  x 

±∞

+∞ η

-∞

±∞ 0

+∞

-∞

+∞

-∞

+∞

-∞

+∞

-∞

+∞

0 0∞

1 =0 x   f(x)

lim f(x) = -  τοτε lim

x 

-∞

±∞ 0

0 ±∞

±∞

-∞

±∞ ?

1 =+ x  x   f(x) 1 =- • Αν lim f(x) = 0 και f(x) < 0 τοτε lim x  x   f(x) • Αν lim f(x) = 0 και f(x) > 0 τοτε lim

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

101 •Απολυτο Αν lim f(x) = +  x 

lim f(x) = -  τοτε

lim | f(x) |= + 

x 

•Ριζα Αν lim f(x) = +  τοτε

lim κ f(x) = + 

x 

•Δυναμη • Αν lim f(x) = +  τοτε x 

• Αν lim f(x) = -  τοτε x 

lim (f(x)) v = +  , ν∈ 

x 

 lim (f(x)) v = +  , αν ν aρτιος x    (f(x)) v = -  , αν ν περιττoς xlim  

13. Α π ρ ο σ δ ι ο ρ ι σ τ ι α •Απροσδιοριστες μορφες: • (  )+(  ) •

± ±

0 0

• 0  (±∞)

•

• 0

• 00

• 1

•Επιτρεπτες πραξεις:

 = 0 α • = 0 , α≠0  •

•

0 =0 

•

α =  , α≠0 0

• α  =  , α≠0

•   = 

14. Ο ρ ι α Σ τ ο ι χ ε ι ω δ ω ν Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν • Μ ο ν ω ν υ μ ο : p ( x ) = α νx ν +  , αν α ν > 0 • lim α ν x ν =  x +  -  , αν α ν < 0

 +  , αν αν a ν > 0 =   -  , αν • lim α ν x ν =  x-  αν α < 0 = -  , αν  ν  +  , αν 

ν aρτιος ν περιττoς ν aρτιος ν περιττoς

•Πολυωνυμικες:

lim (α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + ...+ α1 x + α0 ) = lim α ν x ν

x 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

x 

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

102

•Ρητες:

α ν x ν + α ν -1 x ν -1 + α ν -2 x ν -2 + ...+ α 1 x + α 0 ανx ν lim = lim x  β x κ + β x κ-1 + β κ-2 x κ-2 + ...+ β1 x + β 0 x   β κ x κ κ κ-1 •Βασικα ορια: • lim

x 

1 = 0 και γενικα xν

• lim

x+ 

lim

x 

= 0 και γενικα lim

1 (x - x0 )

x+  ν

1 x

= 0 , x0∈  , ν∈ 

•Εκθετικη • Αν 0 < α < 1 • lim α

• lim α

x+  x - 

• Αν α > 0

• lim α

=+

• lim α

x+ 

x- 

=+ =0

• lim e x = +  x + 

• lim e x- 

•Λογαριθμικη • lim lnx = +  x+ 

• lim logx = +  x + 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

103

15. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 15.1 Ε υ ρ ε σ η Ο ρ ι ο υ σ τ ο x 0 15.1.1 Γεωμετρικα

● Ζητουμενα : Τα ορια της συναρτησης f .

● Δοσμενα : Σημεια του διαγραμματος της C f .

● Τροπος Λυσης : ● Για καθε τιμη x 0 παιρνουμε πλευρικα ορια .

● Αν lim - f(x) = lim + f(x) =  τοτε lim f(x) =  . x  xΟ

x  xΟ

Nα βρεθουν τα ορια της συναρτησης f στις θεσεις: x0 = - 2, - 1, 1 οταν η γραφικη της παρασταση φαινεται στο διπλανο σχημα.

3 2 1 -2

-1

• Για x0 = - 2  lim f(x) = 2 x - 2  lim - f(x)  lim + f(x)  x - 2 x - 2 f(x) = 1 xlim -2 + οποτε δεν υπαρχει οριο της f στο x0 = - 2. • Για x0 = - 1  lim f(x) = - 1 x - 1  lim - f(x ) = lim + f(x) = - 1  x - 1 x - 1 f(x) = - 1 xlim +  -1 οποτε υπαρχει οριο της f στο x0 = - 1 με lim f(x) = - 1. x - 1

• Για x0 = 1  lim f(x) = 3 x 1  lim- f(x)  lim+ f(x)  x 1 x 1 lim f(x) = 1 x 1 + οποτε δεν υπαρχει οριο της f στο x0 = 1.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

104

15.1.2 Με τη βοηθεια του ορισμου:

● Ζητουμενα : Ευρεση - αποδειξη οριου συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και η τιμη x 0 .

● Τροπος Λυσης : Αν lim f(x) = λ ∈  . x  xo

● Για | f ( x ) – λ | < ε , με πραξεις καταληγουμε στη σχεση α∙| x – x ₀ | < ε . ● Θετουμε δ = ε/α , παιρνουμε τη σχεση | x – x ₀ | < δ και στη συνεχεια καταληγουμε στη σχεση |f(x) - λ| < ε .

Με τη βοηθεια του ορισμου του οριου, να δειχτει οτι : lim (3 - 2x) = 5 . x - 1

Με βαση τον ορισμο του οριου, για καθε ε > 0 θα πρεπει να υπαρχει δ > 0, ωστε : Για καθε x με 0 <| x + 1 |< δ να ισχυει | f(x) - 5 |< ε. Ειναι ε | f(x) - 5 |< ε  | 3 - 2x - 5 |< ε  | -2x - 2 |< ε  2 | x + 1 |< ε  | x + 1 |< . 2 Ετσι ε Για δ = εινα ι : 2 ε | x + 1 | < δ  | x + 1 |<  2| x + 1 |< ε | 2x + 2 |< ε  | -2x - 2 |< ε | 3 - 2x - 5 |< ε  2 | f(x) - 5 | < ε . 15.1.3 Πραξεις οριων στο x0 :

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και η τιμη x 0 .

● Τροπος Λυσης : ● Ελεγχουμε αν για x = x0 οριζεται η συναρτηση f(x) . ● Eφαρμοζουμε τις ιδιοτητες των οριων των πραξεων .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

105

Nα υπολογισετε τα ορια : • ↓lim (3 - 2x + x ) -

• lim(2συν x + x) 2

x0

• lim ln(1 + e - e ) x

x 0

x 2 +5 •↓ lim x 2 2x - 1

• Για x 0 = - 1, ειναι -

lim (3 - 2x + x 2 ) = 3 - 2(- 1) + (- 1)2 = 3 + 2 + 1 = 6

↓ x

• Για x 0 = 0, ειναι

lim(2συν 2 x + x) = 2συν 2 0 + 0 = 2  1 + 0 = 2

x0

• Για x 0 = 0, ειναι

lim ln(1 + e - e x ) = ln(1 + e - e 0 ) = ln(1 + e - 1) = lne = 1

x 0

• Για x 0 = 2, ειναι

x 2 +5 22 +5 4+5 9 3 = = = = =1 2x - 1 22 -1 4 -1 3 3

lim ↓ x

15.1.4 Ευρεση συνθηκης παραμετρων για υπαρξη οριου :

● Ζητουμενα : Ευρεση συνθηκης παραμετρων για υπαρξη οριου .

● Δοσμενα : Σχεση μεταξυ οριων στη θεση x 0 .

● Τροπος Λυσης : ● Απ’τη δοσμενη σχεση οριων, με ιδιοτητες οριων πραξεων, φτανουμε σε σχεση η σχεσεις μεταξυ των παραμετρων .

Na βρεθει η σχεση μεταξυ των παραμετρων κ, λ ωστε να ισχυει : x 2 - λ2 x-λ lim = lim με κ   1 . 2 2 ↓ ↓ x 1 x x 1 x -κ -κ Ειναι  x2 -λ2 1-λ2 lim = 2 x  1 2 x - κ 2 1 - κ 2  1 - λ = 1 - λ  (1 - κ)(1 - λ 2 ) = (1 - λ)(1 - κ 2 )   1-κ2 1-κ lim x - λ = 1 - λ x  1 x - κ 1 - κ (1 - κ)(1 - λ)(1 + λ) - (1 - λ)(1 - κ)(1 + κ) = 0  (1 - κ)(1 - λ)(1 + λ - 1 - κ) = 0 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

106

κ = 1 απορριπτεται  λ = 1 (1 - κ)(1 - λ)(λ - κ) = 0  λ = 1  κ = λ κ = λ  15.1.5 Ευρεση οριου συναρτησεων απο οριο σχεσης μεταξυ συναρτησεων :

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Ορια σχεσης μεταξυ συναρτησεων στη θεση x 0 .

● Τροπος Λυσης : ● Θεωρουμε βοηθητικη συναρτηση ιση με τη δοσμενη σχεση συναρτησεων και λυνουμε ως προς καθε ζητουμενη συναρτηση, της οποιας υπολογιζουμε το οριο .

Nα υπολογισετε τα ορια των f και g στο x0 , αν : • lim (3f(x) - g(x)) = 3 • lim (2f(x) + 5g(x)) = 19 x  xo

x  xo

Aν h(x) = 3f(x) - g(x) και p(x) = 2f(x) + 5g(x) τοτε • lim h(x) = 3 • lim p(x) = 19 (1) x  x0

x  x0

και

5h(x) + p(x) = 17f(x) h(x) = 3f(x) - g(x) 5h(x) = 15f(x) - 5g(x)     p(x) = 2f(x) + 5g(x) p(x) = 2f(x) + 5g(x) p(x) = 2f(x) + 5g(x)  5h(x) + p(x) f(x) = 17   10h(x) + 2p(x) p(x) = + 5g(x)  17

 5h(x) + p(x) f(x) =  17  17p(x) = 10h(x) + 2p(x) + 85g(x) 

 5h(x) + p(x) f(x) = 17  g(x) = 3p(x) - 2h(x)  17 Οποτε 5h(x) + p(x) • lim f(x) = lim = x  xo x  x0 17

3p(x) - 2h(x) = x  x0 17

• lim g(x) = lim x  xo

5 lim h(x) + lim p(x)

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

x  x0

(1)

17 3 lim p(x) - 2 lim h(x) x  x0

x  x0

5.3 + 19 =2 17 (1)

3  19 - 2  3 =3 17

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

107 15.1.6 Α π ρ ο σ δ ι ο ρ ι σ τ ι α

0 : 0

15.1.6.1 Ρητης συναρτησης :

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου πηλικου .

● Δοσμενα : Κλασματικες παραστασης, για τις οποιες προκυπτει αοριστια στη θεση x

● Τροπος Λυσης : ● Παραγοντοποιουμε αριθμητη και παρονομαστη (συνηθως με Horner, μια ριζα ειναι παντα η xo) . ● Απαλειφουμε τον ορο της μορφης x-x0 . ● Στη συνεχεια βρισκουμε το οριο πηλικου.

Nα υπολογισετε τα ορια : x 3 - 27 x 2 -9

• lim

• lim ↓

x0

x+4 -2 x

x 3 - 27 3 3 - 27 27 - 27 0 • Για x = 3 ειναι : 2 = 2 = = , οποτε 9-9 0 x -9 3 -9 (Πρεπει να γινει απαλειφη του ορου (x - 3))

x 3 - 27 x 3 -33 (x - 3) (x 2 + 3x + 9) = lim = lim = x3 x 2 - 32 x3 (x - 3 )(x + 3) x 2 -9 x 2 + 3x + 9 9 = lim = x 3 x +3 2

lim ↓

• Για x = 0 ειναι :

x + 4 -2 0 + 4 -2 2-2 0 = = = , οποτε x 0 0 0

(Πρεπει να γινει απαλειφη το υ ορο υ x)

lim

x 0

x +4 -2 x

πολ/σμος

x+4 +2

lim

x0

= lim

x0

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

( x + 4 - 2)( x + 4 + 2) x ( x + 4 + 2) x+4-4

x( x + 4 + 2)

= lim

x0

= lim

x0

( x + 4) 2 - 2 2 x( x + 4 + 2)

x x ( x + 4 + 2)

1 4 +2

1 4

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

108

15.1.6.2 Αρητης συναρτησης : 1.

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Κλασματικη παρασταση με αρρητη συναρτηση στον αριθμητη .

● Τροπος Λυσης : ● Παραγοντοποιουμε αριθμητη και παρονομαστη (με τη μεθοδο της συζυγους παραστασης) και απαλειφουμε τον ορο της μορφης x-x0 . ● Στη συνεχεια βρισκουμε το οριο πηλικου .

Nα υπολογισετε το οριο : lim ↓ x

lim ↓ x

x +3 -2 x -1

x+3 -2 ( x + 3 - 2)( x + 3 + 2) x +3- 4 = lim = lim = x 1 x 1 x -1 (x - 1)( x + 3 + 2) (x - 1)( x + 3 + 2) 1 x -1 1 = lim = = x 1 (x - 1)( x + 3 + 2) 1 + 3 + 2) 4 2.

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Κλασματικη παρασταση με αρρητη συναρτηση στον παρονομαστη .

● Τροπος Λυσης : ● Αν ο αριθμητης ειναι πολυ πιο απλος του παρονομαστη, βρισκουμε το οριο του αντιστροφου κλασματος. Αντιστρεφουμε το κλασμα και το “ σπαμε “ σε αλγεβρικο αθροισμα απλουστερων κλασματων (με απροσδιοριστια 0:0). ● Στη συνεχεια βρισκουμε το οριο του πιο πανω αλγεβρικου αθροισματος, που το αντιστροφο του ειναι το ζητουμενο οριο.

Nα υπολογισετε το οριο : lim ↓ x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

x -1 3 x + x+3 -5

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

109 x -1

0 0 = , 3 x + x +3 -5 3 1 + 1+3 -5 3+2-5 0 οποτε βρισκουμε το οριο του αντιστροφου κλασματος. Δηλαδη

Για x = 1 ειναι :

1-1

3 x + x + 3 - 5 (3 x - 3) + ( x + 3 - 2) 3 x - 3 x +3 -2 = = + x -1 x -1 x -1 x -1 Με τη μεθοδο της συζυγους παραστασης θα βρουμε τ α ορια των κλασματων 3 x -3 x +3 -2 και . x -1 x -1 3( x - 1) 3( x - 1)( x + 1) 3 (x - 1) 3 x -3 • lim = lim = lim = lim = ↓ x 1 x 1 x 1 x 1 x -1 x -1 (x - 1)( x + 1) (x - 1) ( x + 1) = lim

x 1

3 ( x + 1)

3 2

x+3 -2 ( x + 3 - 2)( x + 3 + 2) x +3- 4 = lim = lim = x 1 x 1 x 1 x -1 (x - 1)( x + 3 + 2) (x - 1)( x + 3 + 2) x -1 1 1 = lim = = x 1 (x - 1 ) ( x + 3 + 2) 1 + 3 + 2) 4 Oποτε

• lim ↓

3 x + x +3 -5 3 x -3 x +3 -2 3 1 7 = lim + lim = + = x  1 x  1 x -1 x -1 x -1 2 4 4 x -1 4 Και τελικα : lim = ↓ x 1 3 x + x+3 -5 7 lim

x 1

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Κλασματικη παρασταση με αρρητη συναρτηση στον αριθμητη .

● Τροπος Λυσης : ● Αν ο παρονομαστης ειναι πολυ πιο απλος του αριθμητη, “ σπαμε “ το κλασμα και το σε αλγεβρικο αθροισμα απλουστερων κλασματων (με απροσδιοριστια 0:0). ● Στη συνεχεια βρισκουμε το οριο του πιο πανω αλγεβρικου αθροισματος .

Nα υπολογισετε το οριο : ↓ lim x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

x 2 + 5x + 13 - 2x + 5 x -2

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

110

• lim 3 x2 + 5x + 13 = 3 x 2

• lim 2x + 5 = 3 x 2

(Προσθετουμε και αφαιρουμε στον αριθμητη τον αριθ μο 3) Οποτε 3

x2 + 5x + 13 - 2x + 5 3 x2 + 5x + 13 - 3 - 2x + 5 + 3 3 x2 + 5 x + 13 - 3 2x + 5 - 3 = = x -2 x -2 x -2 x -2

•↓ lim x

( 3 x2 + 5x + 13 - 3)( 3 (x2 + 5x + 13)2 + 3 3 x2 + 5x + 13 + 9) x 2 + 5x + 13 - 3 = lim = 3 2 2 2 x2 3 x-2 (x - 2)( (x + 5x + 13) + 3 x + 5x + 13 + 9) = lim

x2

= lim

x2

= lim

x 2

= Και τελικα :

lim ↓ x

(x - 2)( 3 (x2 + 5x + 13)2 + 33 x2 + 5x + 13 + 9) (x - 2) (x + 7) (x - 2) ( 3 (x2 + 5x + 13)2 + 3 3 x2 + 5x + 13 + 9) 2+7

(27)2 + 3 3 27 + 9

9 9 1 = = 9 + 9 + 9 27 3

( 2x + 5 - 3)( 2x + 5 + 3) 2x + 5 - 9 2x + 5 - 3 1 = lim = lim =   x 2 x 2 x -2 (x - 2)( 2x + 5 + 3) (x - 2)( 2x + 5 + 3) 3

•↓ lim x

x2 + 5x + 13 - 27

2x - 4 (x - 2)( 2x + 5 + 3)

= lim

x2

2 (x - 2) (x - 2) ( 2x + 5 + 3)

2 9 +3

2 2 1 = = 3+3 6 3

3 x 2 + 5x + 13 - 2x + 5 x2 + 5x + 13 - 3 2x + 5 - 3 1 1 = lim + lim = + = x 2 x2 x -2 x -2 x -2 3 3 2 = 3

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Ριζικα διαφορετικης ταξης αλλα με ιδιο υπορριζο .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε το ΕΚΠ των ταξεων των ριζων και θετουμε y τη ριζα με ταξη το ΕΚΠ, της οποιας βρισκω το οριο για να βρω που τεινει ο y . ● Αντικαθιστω τις ριζες με δυναμεις του y και βρισκω το ζητουμενο οριο με μεταβλητη τον y . .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

111

Nα υπολογισετε το οριο : lim

x 0 3

x+1-6x+1 x+1-6x+1

Το Ε.Κ.Π των ταξεων των ριζων ειναι : 6 Θετουμε y = 6 x + 1 Oποτε • y 3 = x + 1  2 3 (1) • y = x + 1  6 x + 1 = 6 0 + 1 = 1 δηλαδη y  1 • xlim 0 Eτσι

lim

x+1 -6x+1

x0 3

x+1 -6x+1

(1)

= lim

y 1

y3 -y y(y + 1)(y - 1) = lim = lim (y + 1) = 1 + 1 = 2 2 y 1 y( y - 1) y - y y 1

5. (χρηση βοηθητικης συναρτησης)

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Οριο παραστασης της συναρτησης f .

● Τροπος Λυσης : ● Θετουμε την παρασταση της f, της οποιας το οριο ειναι γνωστο, σαν μια συναρτηση εστω h(x) και λυνουμε την παρασταση ως προς f(x) . ● Στη συνεχεια βρισκουμε το οριο της f(x) . ● Aν στη πιο πανω περιπτωση ζητειται το οριο αλλης παραστασης της συναρτησης f, τοτε βρισκουμε οπως πιο πανω το οριο της και στη συνεχεια στο ” σπασιμο ” του κλασματος, εμφανιζουμε τη βοηθητικη συναρτηση .

Nα υπολογισετε το οριο της συναρτησης f στη θεση x = 1 αν : lim ↓ x

5f(x) - 2 =2. 2f(x) - 3

5f(x) - 2 (1) oποτε lim h(x) = 2 (2) . x 1 2f(x) - 3 Απ'την (1) προκυπτει : 5f(x) - 2 h(x) =  5f(x) - 2 = h(x)(2f(x) - 3)  5f(x) - 2 = 2h(x)f(x) - 3h(x)  2f(x) - 3 2 - 3h(x) 5f(x) - 2h(x)f(x) = 2 - 3h(x)  f(x) = 5 - 2h(x) Θετουμε h(x) =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

112

Αρα 2 - 3h(x) (2) = x  1 5 - 2h(x) 2 -32 2 - 6 - 4 = = = =- 4 5 -2 2 5 - 4 1

lim f(x) = lim ↓ x

Θετουμε h(x) = lim h(x) = 7 x 1

f(x) - 3x + 2 f(x) - 4 αν ισχυει : ↓ lim =7 . x x-2 x-2 2

Nα υπολογισετε το οριο ↓ lim

f(x) - 4 (1) oποτε x -2 (2)

Απ'την (1) προκυπτει : f(x) - 4 h(x) =  f(x) - 4 = h(x)(x - 2)  f(x) = h(x)(x - 2) + 4 x -2 Αρα (2)

lim f(x) = lim [h(x)(x - 2) + 4] = 7  0 + 4 = 4 ↓ x 2

Ετσι για το lim

x 2

Ειναι

f(x) - 3x + 2 0 απροσδιοριστια . x -2 0

f(x) - 3x + 2 f(x) - 4 - 3x + 2 + 4 f(x) - 4 - 3(x - 2) f(x) - 4 3(x - 2) (1) = = = = h(x) - 3 x -2 x -2 x -2 x -2 x -2

Oποτε x

(2) f(x) - 3x + 2 = lim(h(x) - 3) = 7 - 3 = 4 x 2 x-2

lim ↓

15.1.7 Οριο συναρτησης πολλαπλου τυπου :

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Tυπος συναρτησης (πολλαπλος) .

● Τροπος Λυσης : ● Ευρεση του οριου στη θεση αλλαγης του τυπου της συναρτησης: Βρισκουμε τα πλευρικα ορια στη θεση αλλαγης του τυπου της συναρτησης που πρεπει να ειναι ισα για να υπαρχει το οριο. ● Ευρεση παραμετρου με προυποθεση υπαρξης οριου: Απαιτουμε τα πλευρικα ορια να ειναι ισα και λυνουμε ως προς τη παραμετρο . .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

113

• Nα υπολογισετε το οριο : x 2 + 2 αν x  2  3 limf(x) αν f(x) =  x - 3x + 4 ↓ x 2 αν x > 2  x -1  • Να βρεθει ο α, ωστε να εχει οριο στο x = 3 η συναρτηση : 2 2 α x - αx - 10 αν x < 3 g(x) =  2 2 αν x > 3 x + α x - 1 • Eιναι  lim f(x) = lim (x 2 + 2) = 4 + 2 = 6 x 2 x 2  lim- f(x) = lim+ f(x) = 6  ↓ ↓ x 3 - 3x + 4 8 - 6 + 4 x 2 x 2  lim f(x) = lim = =6 + + x 2 x -1 2 -1 x 2 Αρα υπαρχει το οριο της f στο x = 2 και ειναι ↓ limf(x) = 6 . x

• Για να υπαρχει το οριο της συναρτησης g στο x = 3, πρεπει : lim- g(x) = lim+ g(x)  lim- (α2x2 - αx - 10) = lim+ (x2 + α2x - 1) 

x 3 2

x 3

x 3 2

x 3

α  3 - α  3 - 10 = 3 + α  3 - 1  9α - 3α - 10 = 9 + 3α2 - 1  2

α = 2  6α - 3α - 18 = 0  2α - α - 6 = 0   3 α = 2  2

15.1.8 Οριο συναρτησης με τυπο που περιεχει απολυτες τιμες :

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Παρασταση με απολυτα .

● Τροπος Λυσης : ● Εξεταζουμε αν στη θεση x0 αλλαζει προσημο η παρασταση στο απολυτο: ● Αν αλλαζει, παιρνουμε πλευρικα ορια.

● Αν δεν αλλαζει, βγαζουμε το απολυτο με βαση τη περιοχη που βρισκεται το x0

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

Nα υπολογισετε το οριο : lim ↓

| x-4 | | x -4 | +1 -1

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

114 Eιναι • x < 4  x - 4 < 0  | x - 4 |= - x + 4 • x > 4  x - 4 > 0  | x - 4 |= x - 4 Οποτε  lim x 4

| x-4 | | x -4 | +1 -1

= limx4

-x + 4 -x + 4 + 1 - 1

= limx4

(-x + 4)( -x + 5 + 1) ( -x + 5 - 1)( -x + 5 + 1)

(- x + 4)( - x + 5 + 1) ( - x + 5) - 1 2

= limx4

(- x + 4)( - x + 5 + 1) = - x + 5 -1

(- x + 4) ( - x + 5 + 1) = lim- - x + 5 + 1 = - 4 + 5 + 1 = 2 x4 x4 -x+4 | x-4 | x-4 (x - 4)( x - 3 + 1) = lim+ = = lim + | x - 4 | + 1 - 1 x  4 x - 4 + 1 - 1 x  4 ( x - 3 - 1)( x - 3 + 1) = lim-

 lim + x 4

= lim+ x4

(x - 4)( x - 3 + 1) ( x - 3) - 1 2

= lim+ x4

(x - 4)( x - 3 + 1) = x -3-1

(x - 4)( x - 3 + 1) = lim+ x - 3 + 1 = 4 - 3 + 1 = 2 x4 x4 x-4 Δηλαδη, lim - = lim + = 2 που σημαινει οτι υπαρχει το οριο της f στο x = 4 και ειν αι : = li m+

x 4

lim f(x) = 2

x 4

ημf(x) = 1 με lim f(x) = 0 : x x0 x  x0 f(x)

15.1.8 Οριο συναρτησης με τη βοηθεια του οριου lim

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Παρασταση με απολυτα .

● Τροπος Λυσης : ● Φερνουμε τη παρασταση, της οποιας ζητουμε το οριο, στην πιο πανω μορφη πολλαπλασιαζοντας και διαιρωντας με καταλληλους ορους η μετασχηματιζοντας γνωστες τριγωνομετρικες σχεσεις .

Να βρεθoυν τα ορια : • lim

x0

ημ(ημx) 2x 2 - x

• lim

x 0

εφ 2 x - 3x x 3 + 2x 2 - x

• lim x

π 2

συνx π - 2x

Ειναι

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

115

ημ(ημx) ημ(ημx) ημx ημ( ημx ) ημ x 1 = lim  = lim   = 2 x  0 2x x(2x - 1) x  0 ημx x 2x - 1 - x x  0 ημx ημ( ημx ) ημ x 1 1 = lim = 1 1  =1  lim  lim x0 x0 x x  0 2x - 1 η μx 2-1 ημ 2x ημ x ημx εφ 2x -3  -3 3 2 :x 2 2 εφ x - 3x x x συν x x xσυν • lim 3 = lim = lim = lim = x0 x + 2x 2 - x x  0 x 2 + 2x - 1 x  0 x 2 + 2x - 1 x  0 x 2 + 2x - 1 0 -3 ημ0 = 0 1  -3 1 = = =3 συν0 = 1 0 + 0 - 1 -1 π π π συνx = ημ( -x) ημ( - x) ημ ( - x) 2 συνx 1 1 1 2 2 =  lim = 1 = • lim = li m π π - 2x π π π π 2 2 x 2 x x -x - x) 2 2 2( 2 2 2 • lim

15.1.9 Οριο παραστασης με αντικατασταση της f(x) και αντιστοιχα αλλαγη του x0 :

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Παρασταση με απολυτα .

● Τροπος Λυσης : ● Αν στη παρασταση επαναλαμβανεται η f(x) (διαφορετικες δυναμεις) τοτε θετουμε y = f(x), βρισκουμε το αντιστοιχο y0 και στη συνεχεια αναζητουμε το οριο της παραστασης που προκυπτει. .

Nα βρεθει το οριo : lim ↓

2 3 2 x - 7 3 x + 3 3 2 x + 1 - 7 3 x - 6

Εχουμε απροσδιοριστια

0 . 0

Θετουμε 3 x = u Oποτε αν x  1 τοτε u  3 Ετσι

2 3 2 x - 7 3 x + 3 2  (3 x ) 2 - 7  3 x + 3 3 = u lim = lim = ↓ x 1 3 2 x + 1 - 7 3 x - 6 x  1 3  (3 x ) 2 - 7  3 x - 6 u  3 2u 2 - 7u + 3 (u - 3) (2u - 1) = lim = lim = u  3 3u 2 - 7u - 6 u  3 (u - 3 ) (3u + 2) 2u - 1 2  3 - 1 5 = lim = = u  3 3u + 2 3  3 + 2 11 x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

116 15.2 Κ ρ ι τ η ρ ι ο Π α ρ ε μ β ο λ η ς

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Ανισοτικη σχεση .

● Τροπος Λυσης : ● Με αμεση χρηση του θεωρηματος . ● Με μετατροπη της δοσμενης διπλης ανισοτητας, ετσι ωστε το μεσαιο μελος της να ειναι η παρασταση της οποιας το οριο ζητουμε . ● Λυνουμε τα επιμερους ορια συμφωνα με τις προηγουμενες περιπτωσεις .

• Η συναρτηση f ειναι ορισμενη στο  και για καθε x   ισχυει : 4x 2 + ημ 2 x + 1  f(x)  συνx + x. Να βρεθει το οριο : lim f(x) x 0

• Aν για καθε x > 0 ειναι : 4 x  f(x)  x + 4, να βρεθουν : f(x) - 8 • lim •↓ limf(x) ↓ x x x -4 • Ειναι • lim (4x 2 + ημ 2 x + 1) = lim 4x 2 + lim ημ 2x + lim 1 = 0 + 0 + 1 = 1 x0

x0

• lim (συνx + x) = lim συνx + lim x = 1 + 0 = 1 x0

x0

Οποτε, συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης :

lim f(x) = 1

x 0

• Ειναι

lim (x + 4) = 4 + 4 = 8 ↓

και

• lim 4 x = 4 4 = 4 2 =8 ↓

=8 Οποτε, συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης : limf(x) ↓ • 4 x  f(x)  x + 4  4 x - 8  f(x) - 8  x - 4 4 x - 8 f(x) - 8 x - 4 4 x - 8 f(x) - 8 =1  1    x-4 x-4 x-4 x-4 x-4 4 x - 8 f(x) - 8 x - 4 4 x - 8 f(x) - 8 • Για x > 4 ειναι :    1 =1  x-4 x-4 x-4 x-4 x-4 4 x -8 4( x - 2)( x + 2) 4 (x - 4 ) 4 lim± = lim± = lim± = =1 x4 x4 x  4 (x - 4) ( x + 2) x-4 2+2 (x - 4)( x + 2) • Για x < 4 ειναι :

f(x) - 8 =1 x-4

Aρα, τελικα : lim ↓

f(x) - 8 f(x) - 8 = ↓lim+ =1 x x-4 x -4 4

↓ x

Συμφωνα με το κρ. παρεμβολ ης : l im-

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

117 15.3 Ο ρ ι ο Σ υ ν θ ε τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου της συναρτησης f .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση , οριο συναρτησιακης σχεσης .

● Τροπος Λυσης : ● Αντικαθιστουμε τη συναρτησιακη σχεση στο γνωστο οριο με βοηθητικη συναρτηση . ● Βρισκουμε το οριο της συναρτησης f(x) απ’το δοσμενο οριο . ● Θετουμε y = g(x) (απ’τη συναρτησιακη σχεση), βρισκοντας και που τεινει το y. ● Συνδιαζουμε το οριο της g με το δοσμενο οριο. ● Με γνωστα τα πιο πανω βρισκουμε το ζητουμενο οριο .

Αν για καθε x  ισχυει f(x - 2) = f(x) και lim [f(x) - 3x - 2] = 5 να βρεθει το οριο : ↓ x

lim f(x) .

↓ x

Ειναι lim [f(x) - 3x - 2] = 5 ↓ x 1

(1) και f(x - 2) = f(x) (2)

Για  h(x) = f(x) - 3x - 2  f(x) = h(x) + 3x + 2 και lim f(x) = lim [h(x) + 3x + 2] = 10 x 1

Aρα και lim f(y) = 10 (3)

x 1

y 1

(2)

Eτσι : ↓ lim f(x) = lim f(x - 2) x 3

y =x -2

x 3 y 1

(3)

lim f(y) = 10 y 1

15.4 Ε υ ρ ε σ η Ο ρ ι ο υ σ τ ο α π ε ι ρ ο 15.4.1 Πολυωνυμικη συναρτηση:

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της πολυωνυμικης συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Το οριο της πολυωνυμικης συναρτησης ειναι ισο με το οριο του μεγιστοβαθμιου ορου της . ● Αν στο συντελεστη του μεγιστοβαθμιου ορου της πολυωνυμικης συναρτησης υπαρχει παραμετρος, τοτε βρισκουμε το οριο για εκεινη τη τιμη της παραμετρου που μηδενιζει το συντελεστη.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

118

Να βρεθουν τα ορια : • lim (2x 5 + 3x 2 + x + 1) x + 

• lim [(x - 1) 2 v + (x + 1) 2 v + 1 ] x - 

• lim ((α - 1)x + (α + 1)x + x + 1)) 5

x + 

Ειναι • lim (2x x + 

+ 3x 2 + x + 1) = lim (2x 5 ) = +  x+

• lim [(x - 1) 2 v + (x + 1) 2 v + 1 ] = lim (x 2 v + 1 ) = -  x - 

x-

• Για α = 1, τοτε : lim ((α - 1)x x + 

+ (α + 1)x 2 + x + 1)) = lim (2x 2 ) = +  x+

15.4.2 Ρητη συναρτηση:

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της ρητης συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Το οριο της ρητης συναρτησης ειναι ισο με το οριο του πηλικου των μεγιστοβαθμιων ορων της και αν: ● ο βαθμος του μεγιστοβαθμιου ορου του αριθμητη ειναι μεγαλυτερος απ’το βαθμο του μεγιστοβαθμιου ορου του παρονομαστη, το οριο ισουται με +∞ η - ∞. ● ο βαθμος του μεγιστοβαθμιου ορου του αριθμητη ειναι μικροτερος απ’το βαθμο του μεγιστοβαθμιου ορου του παρονομαστη, το οριο ισουται με 0 . ● ο βαθμος του μεγιστοβαθμιου ορου του αριθμητη ειναι ισος με το βαθμο του μεγιστοβαθμιου ορου του παρονομαστη, το οριο ισουται με το πηλικο των συντελεστων τους.

Να βρεθουν τα ορια : • lim

x - 

2x 5 + 3x 2 + x + 1 3x 2 + x + 1

• lim

x + 

2x 5 + 3x 2 + x + 1 x 5 +x+1

• lim

x - 

x 3-x+1 2x 4 + x 2 + 1

Ειναι • lim

x - 

2x 5 + 3x 2 + x + 1 2x 5 2 2 2 = lim ( ) = lim ( x 3 ) =  lim (x 3 ) =  (- ) = -  2 2 x  -  3x x- 3 3 x- 3 3x + x + 1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

119 • lim

2x 5 + 3x 2 + x + 1 2x 5 = lim ( ) =2 x+ x 5 x 5 +x+1

• lim

x 3-x+1 x3 1 1 1 = lim ( ) =  lim ( ) =  0 = 0 4 2 4 2 x- x 2 2x + x + 1 x  -  2x

x + 

x - 

15.4.3 Ευρεση παραμετρων σε ρητη συναρτηση:

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρου .

● Δοσμενα : Οριο παραστασης με παραμετρο που ειναι ισο με πραγματικο αριθμο .

● Τροπος Λυσης : ● Λυνουμε οπως προηγουμενα το οριο και απαιτουμε το οριο του πηλικου των μεγιστοβαθμιων ορων της παραστασης να μην ειναι ± ∞.

Να βρεθουν οι τιμες των α και β, ωστε : (α + β - 5)x 3 + (α - 1)x 2 + 2 =2 x -  (β - 1)x 2 + αx + 1 lim

Ειναι (α + β - 5)x 3 + (α - 1)x 2 + 2 (α + β - 5)x 3 α + β - 5 lim = lim =  (- ) x -  x -  β -1 (β - 1)x 2 + αx + 1 (β - 1)x 2 α +β -5 Αν  0, τοτε β -1 (α + β - 5)x3 + (α - 1)x2 + 2 lim = ± , ατοπο (ισο με 2). x -  (β - 1)x2 + αx + 1 Αρα α +β -5 = 0  α +β-5 = 0  α + β = 5 (1) β -1 Το οριο ομως γινεται (λογω της (1)) : (α - 1)x 2 + 2 (α - 1) x 2 α -1 = 2  lim =2  =2  2 2 x  -  (β - 1)x + αx + 1 x  -  (β - 1) x β -1 lim

α - 1 = 2β - 2  α - 2β = - 1

(2)

Οποτε, λυνοντας το συστημα των (1) και (2) α + β = 5   α - 2β = -1

2α + 2β = 10 (+) 3α = 9    α - 2β = -1 α - 2β = -1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

α = 3   3 - 2β = -1

 α = 3   β = 2

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

120

15.4.4 Απροσδιοριστια ∞-∞ ,

 , +∞ ∙ 0, -∞ ∙ 0: 

1. Ευρεση οριου συναρτησης με ριζικα (οχι κλασματικη):

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Συναρτηση με ριζικα .

● Τροπος Λυσης : ● Βγαζουμε κοινο παραγοντα το μεγιστοβαθμιο x των ριζικων (προσοχη στο προσημο του) και συνεχιζουμε εχοντας υποψιν μας οτι lim

x

1 =0. xv

● Αν με τη πιο πανω διαδικασια καταληξουμε παλι σε απροσδιοριστια, τοτε βρισκουμε το αρχικο οριο με τη μεθοδο της συζυγους παραστασης η με διαχωρισμο σε αθροισμα δυο ορων και . . . μεθοδος συζυγους παραστασης.

Να βρεθει το οριο : lim ( 9x 2 - x + 1 - 4x 2 + 2x + 1 )

x - 

Επειδη x  - τοτε x < 0 Οποτε  1 1 2 1  lim ( 9x 2 - x + 1 - 4x 2 + 2x + 1 ) = lim  x 2 (9 - + 2 ) - x 2 (4 + + 2 )  = x -  x- x x x x     1 1 2 1 x<0 1 1 2 1  = lim | x | 9 - + 2 - | x | 4 + + 2  = lim  - x 9 - + 2 + x 4 + + 2  = x- x- x x x x  x x x x      1 1 2 1  1 1 2 1  = lim  - 9 - + 2 + 4 + + 2  = lim x  lim  - 9 - + 2 + 4 + + 2  = x- x x x x  x  -  x  -   x x x x   = -   (- 9 - 0 + 0 + 4 + 0 + 0) = -   (- 9 + 4) = -   (-1) = + 

Να βρεθει το οριο : lim ( 16x 2 + 8x + 4x 2 - 1 - 6x)

x + 

Eιναι

lim ( 16x 2 + 8x + 4x 2 - 1 - 6 x ) =

x + 

= lim ( 16x 2 + 8x - 4 x ) + ( 4x 2 - 1 - 2 x )  =  x+   = lim ( 16x 2 + 8x - 4x) + lim ( 4x 2 - 1 - 2 x) = x+

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

x+

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

121

= lim

( 16x 2 + 8x - 4x)( 16x 2 + 8x + 4x)

+ lim

( 4x 2 - 1 - 2x)( 4x 2 - 1 + 2x)

x+ 16x 2 + 8x + 4x 4x 2 - 1 + 2x 16x 2 + 8x - 16x 2 4x 2 - 1 - 4x 2 = lim + lim = 2 x+ x+ 8 ( 4x 1 + 2x) x 2 (16 + ) + 4x) x x>0 8x -1 = lim + lim = x+ x+ 8 ( 4x 2 - 1 + 2x) | x | 16 + + 4x x 8x -1 = lim + lim = x+ x+ 8 ( 4x 2 - 1 + 2x) x ( 16 + + 4) x 8 -1 8 8 = lim + lim = + 0 = =1 x+ x+ 8 8 16 + 0 + 4 ( 4x 2 - 1 + 2x) 16 + + 4 x x+

2. Ευρεση οριου συναρτησης με ριζικα (κλασματικη):

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Συναρτηση κλασματικη με ριζικα .

● Τροπος Λυσης : ● Βγαζουμε κοινο παραγοντα το μεγιστοβαθμιο x των ριζικων (προσοχη στο προ1 =0. x x v

σημο του) και συνεχιζουμε εχοντας υποψιν μας οτι lim

Δινεται η συναρτηση : f(x) =

4x 2 + 2x + 3 + 3x + 2

x 2 + x + 1 + 4x + 3 Να βρεθουν τα ορια : • lim f(x) • lim f(x) x + 

x - 

• Επειδη x  +  τοτε x > 0 και

lim f(x) = lim

x - 

x+

4x + 2x + 3 + 3x + 2 2

x 2 + x + 1 + 4x + 3

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

= lim

x+

x 2 (4 +

2 3 + ) + 3x + 2 x x2

1 1 x 2 (1 + + 2 ) + 4x + 3 x x

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

122 2 3 + + 3x + 2 x x2 = lim x+ 1 1 | x | 1 + + 2 + 4x + 3 x x |x| 4 +

 2 3 2 x 4 + + 2 + 3 +   x>0 x x x  = lim  = x+  1 1 3 x 1 + + 2 + 4 +   x x x  

2 3 2 + 2 +3+ 4 + 0 + 0 +3+ 0 x x x = lim = = x+ 1 1 3 1+0+0 +4+0 1+ + 2 +4+ x x x • Επειδη x  -  τοτε x < 0 ομοια 4+

4 +3 1+4

 2 3 2 - x 4 + + 2 -3 -   x<0 x x x  4 -3 -1 1  = ... = = = lim f(x) = ... = lim x -  x-  1 - 4 -3 3 1 1 3 - x 1 + + 2 - 4 -   x x x   3. Ευρεση παραμετρου γνωστου οριου συναρτησης με ριζικα (οχι κλασματικη):

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρου .

● Δοσμενα : Συναρτηση με ριζικα .

● Τροπος Λυσης : ● Βγαζουμε κοινο παραγοντα το μεγιστοβαθμιο x των ριζικων (προσοχη στο προ1 =0. x x v

σημο του) και συνεχιζουμε εχοντας υποψιν μας οτι lim

● Στη συνεχεια , αφου το οριο της συναρτησης ειναι ισο με πραγματικο αριθμο, απαιτουμε το αποτελεσμα, που βρηκαμε προηγουμενα, να μην ειναι ± ∞.

Δινεται η συναρτηση f(x) = x 2 + 2x + 3 + 4x 2 + 4x + 5 + αx + β. Να βρεθουν οι τιμες των α και β, ετσι ωστε lim f(x) = 6. x + 

Θεωρουμε x > 0 (x  + ), οποτε (διαιρωντας με x 2 ) :   2 3 4 5 β  lim f(x) = lim x  1 + + 2 + 4 + + 2 + α +   = +   (3 + α). x+ x +  x x x x x      Αν 3 + α  0 τοτε lim f(x) = ± , ατοπο (αφου lim f(x) = 6) x+

Αρα 3 + α = 0  α = - 3

x+

Για α = - 3 ειναι

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

123

f(x) = x 2 + 2x + 3 + 4x 2 + 4x + 5 - 3x + β = .συζυγη

Aρα

= ( x 2 + 2x + 3 - x ) + ( 4x 2 + 4x + 5 - 2x ) + β = 2x + 3 4x + 5 = + +β = x 2 + 2x + 3 + x 4x 2 + 4x + 5 + 2x 3 5 2+ 4+ x x = + +β 2 3 4 5 1+ + 2 +1 4+ + 2 +2 x x x x

lim f(x) = 6 

x +

2 4 + +β = 6  β = 4 1+1 2+2

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου παραστασης συναρτησης f .

● Δοσμενα : Tο οριο αλλης παραστασης (εων) της f:

● Τροπος Λυσης : ● Μετασχηματιζουμε καταλληλα το προς αποδειξη οριο, συνηθως διαιρωντας, πολλαπλασιαζοντας καταλληλα, ωστε να προκυψουν τα γνωστα ορια .

f(x) = 3 και lim (3f(x) - x) = 2 να δειχτει οτι : x +  x x +  2 xf(x) + 5x - 2x + 11 • lim =4 x +  3x 2 f(x) - x 3 + 3x + 1 2f(x) - 2x - 1 • lim =2 x +  3xf(x) - x 2 + 3x Αν lim

Eιναι •

xf(x) + 5x - 2x + 11 x +  3x 2 f(x) - x 3 + 3x + 1 lim

2f(x) - 2x - 1 • lim x +  3xf(x) - x 2 + 3x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

(/ x)

(/ x 2 )

f(x) 2 11 +5- + 2 3+5-0+0 x x x lim = =4 x+ 3 1 2+0+0 (3f(x) - x) + + 2 x x

f(x) 1 -2x x = 6-2- 0 =2 lim x+ 3 2+0 (3f(x) - x) + x 2

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

124 5. Ευρεση οριου παραστασης μιας συναρτησης f, με βοηθητικη συναρτηση:

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρου .

● Δοσμενα : Οριο παραστασης συναρτησεων ισο με πραγματικο αριθμο .

Αν f, g ορισμενες στο (α,+  ), α > 0 και lim ((x - 2)f(x) - (2x + 1)g(x)) = 5, x + 

lim ((x + 1)f(x) - (2x + 3)g(x)) = 4 να βρεθουν, με τη προυποθεση οτι υπαρχουν :

x + 

• lim f(x) x + 

• lim g(x) x + 

(x - 2)f(x) - (2x + 1)g(x) = h(x) Θετουμε :  τοτε (x + 1)f(x) - (2x + 3)g(x) = p(x) (x - 2) -(2x + 1) D= = (x + 1)(2x + 1) - (x - 2)(2x + 3) = (x + 1) -(2x + 3) = 2x2 + x + 2x + 1 - 2x2 - 3x + 4x + 6 = 4x + 7 Df(x) = Dg(x) =

h(x)

-(2x + 1)

p(x) -(2x + 3)

= h(x)(-2x - 3) - p(x)(-2x - 1)

(x - 2) h(x) = p(x)(x - 2) - h(x)(x + 1) (x + 1) p(x)

Eτσι

3 1 h(x)(-2x - 3) - p(x)(-2x - 1) ( : x) h(x)(-2 - x ) - p(x)(-2 - x ) f(x) = = = 7 D 4x + 7 4+ x 2 1 Dg(x) p(x)(x - 2) - h(x)(x + 1) ( : x) p(x)(1 - x ) - h(x)(1 + x ) g(x) = = = 7 4x + 7 D 4+ x 3 1 h(x)(-2 - ) - p(x)(-2 - ) x x = 5(-2) - 4(-2) = - 1 • lim f(x) = x +  7 4 2 4+ x 2 1 p(x)(1 - ) - h(x)(1 + ) x x = 4 - 5 =- 1 • lim g(x) = x +  7 4 4 4+ x Df(x)

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.comκ

ΟΡΙΟ

125 6. Ευρεση: οριου παραστασης μιας συναρτησης f, ● Ζητουμενα Ευρεση παραστασης που περιεχει τριγωνομετρικες συναρτησεις .

● Δοσμενα : Παραστασεις με τριγωνομετρικες συναρτησεις .

● Τροπος Λυσης : ● Μετασχηματιζουμε καταλληλα το προς αποδειξη οριο, συνηθως διαιρωντας, πολλαπλασιαζοντας καταλληλα, ωστε να προκυψουν ορια της μορφης: ημx συνx = 0 και lim =0. x+ x x+ x lim

Nα βρεθουν τα ορια : 6x + ημ 2 x - 2συν2x x +  3x + συνx

x 3 συνx + x 2 ημx + 2 x +  x 4 + ημ 4 x + x

• lim

• Eιναι  ημx συν2x  x 6 + ημx 4    x 2x  6x + ημ 2 x - 2συν2x ( δια x)  lim = lim = x +  x+ 3x + συνx  συνx  x 3 +  x   = lim

x+

ημx συν2x -4 x 2x συνx 3+ x

6 + ημx 

6+0+0 =2 3+0

ημx =0 x

lim

x+

συνx =0 x+ x lim

• Eιναι

x 3 συνx + x 2 ημx + 2 x +  x 4 + ημ 4 x + x lim

( δια x )

 συνx ημx 2  x4 + 2 + 4 x x x   lim = 4 x+ ημ x 1  4 x 1 + + 3 4 x x  

συνx 1 ημx 2 +  + 4 x x x x = lim 4 x+  ημx  1 1+  + 3  x  x =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

lim

x+

ημx =0 x

συνx =0 x+ x lim

0+0+0 =0 1+0+0

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

126 7.

● Ζητουμενα : Ευρεση παραστασης που περιεχει εκθετικες συναρτησεις .

● Δοσμενα : Παραστασεις με εκθετικες συναρτησεις .

● Τροπος Λυσης : ● Αν x → + ∞ :

Δημιουργουμε βασεις μικροτερες του 1, ωστε το οριο τους να ειναι ισο με 0 . (Διαιρουμε αριθμητη – παρονομαστη με τον εκθετικο ορο που εχει μεγαλυτερη βαση) . Ισχυει : Αν 0 < α < 1 τοτε lim α x = 0 . x+

● Αν x → - ∞ :

Δημιουργουμε βασεις μεγαλυτερες του 1, ωστε το οριο τους να ειναι ισο με 0 . (Διαιρουμε αριθμητη – παρονομαστη με τον εκθετικο ορο που εχει μικροτερη βαση) . Ισχυει : Αν α > 1 τοτε lim α x = 0 . x-

Nα βρεθουν τα ορια : 3  2 x + 2 - 8 3 x + 1 + 2 x +  4  3 x + 3  2 x + 1 - 1

• lim

3  2 x + 2 - 8 3 x + 1 x -  4  3 x + 3  2 x + 1

• lim

• Αφου x  +  δημιουργουμε βασεις μικροτερες του 1, ωστε το οριο τους να ισουται με 0 (διαιρουμε αριθμητη - παρονομαστη με μεγαλυτερη βαση). Ετσι x

3  2 x + 2 - 8 3 x + 1 + 2 3  4  2x - 8.3.3x + 2 ( δια 3 ) lim = lim = x +  4  3 x + 3  2 x + 1 - 1 x  +  4  3x + 3  2  2x - 1 x x 2 1 12    - 24 + 2   3  3  = 12  0 - 24 + 2  0 = - 6 = lim x x x+ 4 + 60 -10 2  1  4 +6  -  3 3 • Αφου x  -  δημιουργουμε βασεις μεγαλυτερες του 1, ωστε το οριο τους να ισουται με 0 (διαιρουμε αριθμητη - παρονομαστη με μικροτερη βαση). Ετσι x

3  2 x + 2 - 8 3 x + 1 lim x -  4  3 x + 3  2 x + 1

3 12 - 24    x ( δια 2 x ) x 3 4 2 - 833 2 = = lim = lim x x- x- 4.3x + 3.2.2x 3 4  +6 2 =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

12 - 24  0 =2 40+6

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

127 15.5 Κ ρ ι τ η ρ ι ο Π α ρ ε μ β ο λ η ς (με x → - ∞ )

● Ζητουμενα :

Ευρεση οριου συναρτησης .

● Δοσμενα : Ανισοτικη σχεση .

Η συναρτηση f ειναι ορισμενη στο  και για καθε x   ισχυει : x -1 x-2  f(x) - 1  . Να βρεθει το οριο : lim f(x). x  x+1 x+2 x 1 1 1x -1 x = 1-0 =1 • lim = lim x x = lim x  x + 1 x x x   1 1 1+0 + 1+ x x x x 2 2 1x-2 x = 1- 0 =1 • lim = lim x x = lim x  x + 2 x x 2 x 2 1+0 + 1+ x x x Οποτε, συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης : lim (f(x) - 1) = 1  lim f(x) = 2 x

x 

15.6 Σ υ ν ε χ ε ι α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 15.6.1 Αποδειξη συνεχειας συναρτησης πολλαπλου τυπου (x0 σημειο αλλαγης τυπου):

● Ζητουμενα : Αποδειξη συνεχειας συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση ειναι συνεχης στα διαστηματα που οριζεται (εκτος του x0) απ’τις πραξεις συνεχων συναρτησεων. ● Βρισκουμε τα πλευρικα ορια στο σημειο x0, καθως και τη τιμη της συναρτησης για x ισο με x0. ● Απαιτουμε να ισχυει: lim + f(x) = lim - f(x) = f(x 0 ) . x x0

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

x x0

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

128

 x 2 - 3x + 2 ,x < 1  Δινεται η συναρτηση : f(x) =  . x -1 2x - 3, x 1 

Na εξεταστει αν η f ειναι συνεχης.

Η f εχει πεδιο ορισμου Α = .  Στο διαστημα (- ,1) η f ειναι συνεχης σαν ρητη.  Στο διαστημα (1, + ) η f ειναι συνεχης σαν πολυωνυμικη.  Στο xo = 1 ειναι :

 x 2 - 3x + 2 (x - 1)(x - 2) = lim = lim - (x - 2) = - 1  lim - f(x) = lim x 1 x 1 x1 x -1 x -1  x  1   lim + f(x) = lim + (2x - 3) = - 1 x 1 x  1 f(1) = -1  lim - f(x) = lim + f(x) = f(1), δηλαδη η f ειναι συνεχης στο xo = 1. x 1

x 1

Ετσι, τελικα ειναι συνεχης σ'ολο το . 15.6.2 Ευρεση παραμετρων συναρτησης πολλαπλου τυπου (x0 σημειο αλλαγης τυπου):

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρων .

● Δοσμενα : Ο τυπος και ιδιοτητα της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Αφου η συναρτηση ειναι συνεχης ισχυει: lim + f(x) = lim - f(x) = f(x 0 ) . x x0

x x0

● Βρισκουμε τα lim + f(x), lim - f(x), f(x 0 ) . x x0

x x0

● Λυνουμε το συστημα που προκυπτει απ’την ισοτητα ως προς τις παραμετρους .

 α(x + 1) +2  Δινεται η συναρτηση : f(x) =  x + 2 - 1 2(β + e x + 1 ) 

αν x > -1 αν x  - 1

Να βρειτε για ποιες τιμες των α, β   η f ειναι συνεχης στο x0 = - 1 και η γραφικη της παρασταση διερχεται απ'το σημε ιο Μ(2,11). Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο x0 = - 1, αν :

lim - f(x) = lim + f(x) = f(- 1)

x -1

• lim - f(x) = 2(β + e - 1 + 1 ) = 2(β + e 0 ) = 2(β + 1) = f(- 1) x -1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

129

 α(x + 1)( x + 2 + 1)   α(x + 1)  • lim + f(x) = lim +  + 2 = lim +  + 2 = x -1 x  -1   x +2 -1  x  - 1  ( x + 2 - 1)( x + 2 + 1)  α(x + 1)( x + 2 + 1)   α (x + 1) ( x + 2 + 1)  = lim +  + 2  = lim +  + 2 = x  -1  x +2-1 x +1   x  - 1   = lim + α( x + 2 + 1) + 2 = α( -1 + 2 + 1) + 2 = 2(α + 1)  x  -1 

Aρα 2(α + 1) = 2(β + 1)  α + 1 = β + 1  α = β (1) Επισης Αφου η Cf διερχεται απ'το σημειο Μ(2,11), τοτε f(2) = 11 και α(2 + 1)

f(2) = 11 

+ 2 = 11 

2 + 2 -1 Aπo (1),(2), τελικα α = β = 3

3α + 2 = 11  3α = 9  α = 3 1

(2)

15.6.3 Ευρεση τιμης της συνεχους συναρτησης στο x0 με γνωστο το οριο της στο x0 :

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρων .

● Δοσμενα : Ο τυπος και ιδιοτητα της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Αφου η συναρτηση ειναι συνεχης ισχυει: lim f(x) = f(x 0 ) . x x0

Οποτε αρκει να βρουμε το οριο της στο x0 .

Αν η συναρτηση f ειναι συνεχης στο 2, να βρεθει η τιμη f(2) οταν για καθε x  0 ισχυει : 8x - 4  (x - 2)f(x)  x - 2. Για x = 2 η σχεση γινεται : 0  0  f(4)  0  0 = 0, προφανης.  Για x > 2 η σχεση γινεται : 8x - 4 x -2 8x - 4 2x - 2  f(x)    f(x)  1  lim + 2   lim + f(x)  1  x 2 x2 x -2 x -2 x -2 x -2 ( 2x - 2)( 2x + 2) 2x - 4 lim + 2   lim + f(x)  1  lim + 2   lim f(x)  1  x2 x2 x2 (x - 2 )( 2x + 2 ) (x - 2)( 2x + 2) x  2 + lim + 2 

x2

2 (x - 2) (x - 2) ( 2x + 2)

 lim + f(x)  1  lim + x2

x2

4 4 + 2)

4 4  lim + f(x)  1  lim + = 1  lim + f(x)  1 x 2 2+2 x2 x2 4 x2 oποτε απ'το κριτηριο παρεμβολης ειναι: lim + f(x) = 1 lim +

x 2

 lim + f(x)  1  x2

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

130

 Ομοια, για x < 2 προκυπτει : lim - f(x) = 1 x 2

Η f ομως ειναι συνεχης στο 2, αρα ισχυει lim f(x) = f(2)  f(2) = 1 . x2

15.6.4 Αποδειξη συνεχειας της συναρτησης :

● Ζητουμενα : Αποδειξη συνεχειας .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση .

● Τροπος Λυσης : ● Αμεσα απο τη συνεχεια γνωστων συναρτησεων και τις πραξεις τους . ● Αν η αποδειξη της συνεχειας αναφερεται σε σημειο x0 , δειχνουμε οτι ισχυει: lim f(x) = f(x 0 ) .

x x0

● Σε καποιες περιπτωσεις ευρεσης του οριου χρειαζεται βοηθητικη συναρτηση .  Να εξεταστει αν ειναι συνεχης η συναρτηση : f(x) = e x (x

+ 1) - ln(x 2 + 1)

 Aν για καθε x   ισχυει f(x) + f(x + 1) = 4x 2 + 4x + 8 και η f ειναι συνεχης στο 0,

με f(0) = 3, να δειχτει οτι η f ειναι συνεχης στο 1.  Να δειχτει οτι η συναρτηση f ειναι συνεχης στο x0 , οταν για καθε x   ισχυει : | f(3x - 5) |  | 3x - 7 |, x0 = 2.  Eιναι :

e x (x 2 + 1) : συνεχης σαν γινομενο συνεχων.  2 2 ln(x + 1) : συνεχης σαν συνθεση της πολυωνυμικης x + 1 με τη λογαριθμικη lnx. Αρα, η f ειναι συνεχης σαν διαφορα συνεχων συναρτησεων.

 Eι ναι :

f(0) = 3

Για x = 0 ειναι : f(0) + f(0 + 1) = 0 + 0 + 8  f(1) = 5 (1) Λογω της συνεχειας στο 0 ειναι : lim f(x) = f(0) = 3 (2) x 0

Θετουμε x - 1 = u  x = u + 1 και αν x  1 τοτε u  0 Ετσι (2)

limf(x) = lim f(u + 1) = lim f(u + 1) = lim [4x2 + 4x + 8 - f(u)] = 8 - lim f(u) = 8 - 3 = ↓ x

u0 (1)

u0

= 5 = f(1) Δηλαδη, η f ειναι συνεχης στο 1 . y+5  Θετουμε οπου y = 3x - 5  x = στη σχεση που γινεται: 3

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

131

x=y y+5 y+5 | f(3 - 5) |  | 3 - 7 |  | f(y) |  | y - 2 |  | f(x) |  | x - 2 | (1) 3 3 Για x = 2 η (1) δινει : f(2) = 0 Oμως lim | f(x) |  lim | x - 2 |  lim | f(x) |  0  lim | f(x) | = 0  lim f(x) = 0 x 2

x 2

Δη λαδη, ↓ limf(x) = f(2) = 0 που σημαινει η f ειναι συνεχης στο xo = 2. x

15.6.5 Ευρεση τυπου της συνεχους συναρτησης στο  :

● Ζητουμενα : Ευρεση τυπου της συνεχους συναρτησης .

● Δοσμενα : Σχεση (1) που περιεχει την f(x) .

● Τροπος Λυσης : ● Λυνουμε τη (1) ως προς f(x) και εστω το πεδιο ορισμου της μορφης {  - x0}.

● Απ’τη συνεχεια της συναρτησης και στο x0, σε συνδιασμο με το: lim f(x) = f(x 0 ) x x0

βρισκουμε την τιμη f(x0) . ● Γραφουμε το τυπο της συναρτησης για x ≠ x0 και x = x0 .

Να βρεθει ο τυπος της συνεχους συναρτησης f στο  , οταν για καθε x   ισχυει : xf(x) + 1 - ημx = 1 + ημx .

1 + ημx - 1 - ημx (1) x  Αφου η f ειναι συνεχης και στο 0 ισχυει:  Για x  0 η σχεση δινει: f(x) =

1 + ημx - 1 - ημx = x ( 1 + ημx - 1 - ημx)( 1 + ημx + 1 - ημx)

f(0) = lim f(x) = lim x 0

= lim

x 0

= lim

x 0

x( 1 + ημx + 1 - ημx) ( 1 + ημx)2 - ( 1 - ημx)2

= lim

(1 + ημx) - (1 - ημx)

x 0 x( 1 + ημx + 1 - ημx) x( 1 + ημx + 1 - ημx) 2ημx = lim = x 0 x( 1 + ημx + 1 - ημx) ημx 1 1 = 2  lim  = 2  1  = 1 (2) x 0 x 2 1 + ημx + 1 - ημx x 0

 1 + η μx - 1 - ημx  , αν x  0 Aπο (1) και (2) προκυπτει: f(x) =  x 1, αν x = 0 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

132

15.6.6 Θ ε ω ρ η μ α B o l z a n o : 1. Eπαληθευση προυποθεσεων θεωρηματος:

● Ζητουμενα : Eπαληθευση προυποθεσεων θεωρηματος Bolzano .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση ειναι συνεχης σε διαστημα [α,β] . ● Δειχνουμε οτι οι τιμες f(α) και f(β) ειναι ετεροσημες .

Δινεται η συναρτηση f με  (a - 1)x + β + 2, - 2  x < -1  f(x) = 2β - α, . x = -1  x+1  , -1 < x  2  x + 2 - 1 Να προσδιοριστουν οι παραμετροι α και β, ωστε να εφαρμοζεται το θεωρημα Bolzano στο διαστημα [- 2, 2]. Θα πρεπει η f να ειναι συνεχης στο -1. Ετσι

 lim + x - 1

x +1 x +2 -1

= lim + x - 1

(x + 1)( x + 2 + 1) ( x + 2 - 1)( x + 2 + 1)

= lim + x - 1

(x + 1) ( x + 2 + 1) x +1

= -1 +2 +1 =2  lim -[(a - 1)x + β + 2] = - α + β + 3 x - 1

 f(-1) = 2β - α Aρα, πρεπει lim - f(x) = lim + f(x) = f(-1) = 2 οποτε x - 1

2β - α = 2 α = 4   - α + β + 3 = 2 β = 3

x - 1

Για τις τιμες αυτες ειναι: f(-2) = (4 - 1)(-2) + 3 + 2 = -1 < 0  2+1  =3 > 0  f(- 2)f(2) < 0 , f(2) = 2 +2 -1  f συνεχης στο [- 2,2]

δηλαδη ισχυουν οι προυποθεσεις του θ. Bolzano.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

133

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

2. Υπαρξη μιας τουλαχιστον ριζας της συναρτησης f στο διαστημα (α,β):

● Ζητουμενα : Υπαρξη μιας τουλαχιστον ριζας στο διαστημα (α,β) .

● Δοσμενα : Εξισωση που περιεχει την f(x) .

● Τροπος Λυσης : ● Φερουμε ολους τους ορους της δοσμενης ισοτητας στο πρωτο μελος (με γνωστες πραξεις) και θεωρουμε το πρωτο μελος σαν συναρτηση f(x). ● Εφαρμοζουμε το θεωρημα Bolzano στο διαστημα [α,β].

Αν συναρτηση g ειναι συνεχης στο [α, β] και g(α)  0, να αποδειξετε οτι η εξισωση g(x) g(α) + g(β) = εχει τουλαχιστον μια ριζα στο διαστημα (α, β). x-α β-α Για x  α η δοσμενη εξισωση γραφεται ισοδυναμα : g(x)(β - α) = (x - α)[g(α) + g(β)]  g(x)(β - α) - (x - α)[g(α) + g(β)] = 0 Θεωρουμε τη συναρτηση : h(x) = g(x)(β - α) - (x - α)[g(α) + g(β)] • H h ειναι συνεχης στο [α,β] σαν αθροι σμα συνεχων . • Eπισης h(α) = g(α)(β - α) h(β) = g(β)(β - α) - (β - α)[g(α) + g(β)] = (β - α)[g(β) - g(α) - g(β)] = -g(α)(β - α) Δηλαδη : h(α)  h(β) = - [g(α)(β - α)] 2 < 0 Απο το θ. Bolzano , υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα της εξισωσ ης h(x) = 0 στο διαστημα (α,β) η ισοδυναμα : g(x) g(α) + g(β) η εξισωση = εχει τουλαχιστον μια ριζα στο διαστημα (α, β) . x-α β-α 3. Υπαρξη μιας τουλαχιστον ριζας της συναρτησης f στο διαστημα [α,β]:

● Ζητουμενα : Υπαρξη μιας τουλαχιστον ριζας στο διαστημα [α,β] .

● Δοσμενα : Εξισωση που περιεχει την f(x) .

● Τροπος Λυσης : ● Οπως στη προηγουμενη περιπτωση, με τη διαφορα οτι δειχνουμε οτι και τα ακρα του διαστηματος α και β, μπορουν να ειναι ριζες της συναρτησης f .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

134

Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο [α, β] και ισχυει α  f(x)  β για καθε x  [α, β] . Na δειχτει οτι η εξισωση f(x) = x εχει μια τουλαχιστον ριζα στο [α, β] . Η δοσμενη σχεση δινει : f(a) - a  0 και f(β) - β  0 . Εστω h(x) = f(x) - x . Tοτε, διακρινουμε περιπτωσεις  Αν f(a) - a > 0 και f(β) - β < 0 :

h συνεχης στο [α,β] σαν αθροισμα συνεχων  h(α) = f(α) - α > 0 h(β) = f(β) - β < 0  h(α)  h(β) < 0  υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα στο (α,β).

Θ. Bolzano



 Αν f(a) - a = 0 και f(β) - β = 0 : h(α) = 0 η h(β) = 0, που σημαινει οτι ριζες ειναι τα α η β. Ετσι τελικα, υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα στο [α, β] . 4. Υπαρξη μιας (η δυο) ακριβως ριζας της συναρτησης f στο διαστημα (α,β):

● Ζητουμενα : Υπαρξη μιας (η δυο) ακριβως ριζας στο διαστημα (α,β) .

● Δοσμενα : Εξισωση ως προς x .

● Τροπος Λυσης : ● Φερουμε ολους τους ορους της δοσμενης ισοτητας στο πρωτο μελος (με γνωστες πραξεις) και θεωρουμε το πρωτο μελος σαν συναρτηση f(x) . ● Εφαρμοζουμε το θεωρημα Bolzano στο διαστημα [α,β] . ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση f ειναι γνησια μονοτονη σε ενα η δυο διαστηματα .

Να δειχτει οτι η εξισωση x 4+ 2x 2- 1 = 0, εχει δυο μονο ριζες στο  . Εξεταζουμε τη μονοτονια: λ=

f(x 1 ) - f(x 2 ) = (x 1 + x 2 )(x 12 + x 22 + 2). x1 - x2

Το προσημο του λ εξαρταται απ'το x 1 + x 2 . Ετσι

λ < 0 στο (- , 0]  η f γν.φθινουσα  λ > 0 στο [0, + )  η f γν.αυξουσα Ειναι : f(- 1) = 2 > 0, f(0) = - 1 < 0, f(1) = 2 > 0 .  Στο [-1,0]  (- , 0]

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

135 f συνεχης σαν πολυωνυμικη  f(- 1) = 2 > 0  f(- 1)f(0) = - 2 < 0  f(0) = 1 < 0    η f γν.φθινουσα 

απο θ.Bolzano και μονοτονια μοναδικη ριζα στο [-1,0] αρα και στο (- , 0].  Στο [0,1]  [0, + ) f συνεχης σα ν πολυωνυμικη  f(1) = 2 > 0  f( 1)f(0) = - 2 < 0  f(0) = - 1 < 0 η f γν.αυξουσα 

απο θ.Bolzano και μονοτονια μοναδικη ριζα στο [0,1] αρα και στο [0, + ). Οποτε τελικα υπαρχουν μονο δυο ριζες στο  . 5. Υπαρξη τουλαχιστον ενος κοινου σημειου δυο καμπυλων στο διαστημα (α,β):

● Ζητουμενα : Υπαρξη τουλαχιστον ενος κοινου σημειου δυο καμπυλων .

● Δοσμενα : Σχεση μεταξυ των δυο συναρτησεων .

● Τροπος Λυσης : ● Θεωρουμε τη συναρτηση h(x) = f(x) – g(x) . ● Εφαρμοζουμε το θεωρημα Bolzano για την h(x) στο διαστημα [α,β] . Δειχνουμε δηλαδη οτι η εξισωση h(x) = 0 η f(x) – g(x) η f(x) = g(x) εχει τουλαχιστον μια που σημαινει οτι οι γραφικες παραστασεις τους τεμνονται σ’ενα τουλαχιστον σημειο .

Αν η f και g ειναι συνεχεις στο [α, β] και f(a) = a, f(β) = β και α  g(x)  β για καθε x  (a, β), να δειχτει οτι οι Cf και C g εχουν τουλαχιστον ενα κοινο σημειο. Η δοσμενη σχεση δινει : a - g(a) < 0 και β - g(β) > 0 . Εστω h(x) = f(x) - g(x) . Tοτε h συνεχης στο [α,β] σαν αθροισμα συνεχων  h(α) = f(α) - g(a) = α - g(a) < 0 h(β) = f(β) - g(β) = β - g(β) > 0  h(α)h(β) < 0  υπ αρχει τουλαχιστον ενα x0  (α,β), ωστε

θ.Bolzano



h(x 0 ) = 0  f(x 0 ) - g(x 0 ) = 0  f(x0 ) = g(x0 ) ,

που σημαινει οτι το x0 ειναι κοινο σημειο των Cf και Cg .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

136

6. Το θεωρημα bolzano σε προβλημα:

● Ζητουμενα : Υπαρξη συνηθως κοινου σημειου .

● Δοσμενα : Οριακα σημεια .

● Τροπος Λυσης : ● Θεωρουμε συναρτηση f (η και δευτερη g) αναλογα με τα δοσμενα . ● Βρισκουμε τις οριακες τιμες της f (η και g) . ● Εφαρμοζουμε το θεωρημα Bolzano .

Eνας ορειβατης ξεκινησε μια μερα στις 7 π.μ. απο τους προποδες του Ολυμπου και εφτασε στη κορυφη του στις 3 μ.μ. Την αλλη μερα ξεκινησε στις 7 π.μ. απ’ τη κορυφη και ακολουθωντας την ιδια διαδρομη επεστρεψε μετα απο 8 ωρες στο σημειο απ’οπου ξεκινησε. Να αποδειξετε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα σημειο της διαδρομης, στο οποιο ο ορειβατης βρισκοταν την ιδια ωρα και τις δυο μερες. Εστω f(t), g(t) οι συναρτησεις που εκφραζουν την αποσταση του ορειβατη απ’ το σημειο εκκινησης, τη πρωτη και τη δευτερη μερα αντιστοιχα σε συναρτηση με το χρονο t, οπου t∈[7, 15]. Aν υποθεσουμε οτι το μηκος της διαδρομης ειναι x, τοτε: f(7) = 0, f(15) = x ενω g(7) = x, g(15) = 0

(1)

Θεωρουμε τη συναρτηση h(t) = f(t) - g(t), t∈[7, 15]. ● H h ειναι συνεχης στο διαστημα [7, 15] ● h(7) = f(7) - g(7) = 0 – x = - x (λογω της (1)) h(15) = f(15) - g(15) = x - 0 = x (λογω της (1)) Aρα h(7) ∙ h(15) = - x ∙ x = - x² < 0

Οποτε απ’το θεωρημα του Bolzano υπαρχει ενα τουλαχιστον t₀∈(7, 15) τετοιο ωστε: h(t₀) = 0 ⇔ f(t₀) - g(t₀) = 0 ⇔ f(t₀) = g(t₀). Δηλαδη υπαρχει τουλαχιστον μια χρονικη στιγμη t₀ που ο ορειβατης βρισκεται και τις δυο μερες στο ιδιο σημειο της διαδρομης.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

137

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

15.6.7 Θ ε ω ρ η μ α Ε ν δ ι α μ ε σ ω ν Τ ι μ ω ν : 1. Αμεση χρηση του θεωρηματος:

● Ζητουμενα : Υπαρξη τιμων της συναρτησης f σε διαστημα .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης f .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση ειναι συνεχης σε διαστημα [α,β] . ● Βρισκουμε τις τιμες f(a), f(β) . ● Ελεγχουμε αν για τη ζητουμενη τιμη x0 ισχυει: f(a) < x0 < f(β) .

π Η συναρτηση f(x) = 5ημ 2 2x - 3συν3x + ημx ειναι ορισμενη στο διαστημα [0, ]. 2 Να εξεταστει αν οι τιμες - 1, - 2 και 0, ειναι τιμες της συναρτησης f. π  Η f ειναι συνεχης στο διαστημα [0, ] σαν αθροισμα συνεχων. 2 ημ0 = 0  2 = 5  0 - 3 1 + 0 = - 3 f(0) = 5ημ 0 - 3συν0 + ημ0 συν0 =1  π   ημπ = 0, ημ = 1 2 f(0) = 5ημ 2 2π - 3συν 3π + ημ π = 50 -30 +1 =1  2 2 2 συν 3π = 0 2   Ε ιναι : - 3 < - 1 < 1, - 3 < - 2 < 1 και - 3 < 0 < 1 Οποτε οι - 1, - 2, 0 συμφωνα με το θεωρημα ενδιαμεσων τιμων, μπορουν να ειναι π τιμες της συναρτησης f στο διαστημα [0, ]. 2 2. Χρηση του θεωρηματος με τη βοηθεια του συνολου τιμων :

● Ζητουμενα : Υπαρξη τιμων της συναρτησης f σε διαστημα .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης f .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε το συνολο τιμων της συναρτησης . ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση ειναι συνεχης στο πεδιο ορισμου της . ● Δειχνουμε οτι το 0 ειναι σημειο του συνολου τιμων . ● Απ’το θεωρημα Ενδιαμεσων Τιμων υπαρχει ενα τουλαχιστον x0 στο πεδιο ορισμου τετοιο ωστε f(x0) = 0 .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

138

Δινεται η συναρτηση f με f(x) = lnx + e ˣ με πεδιο ορισμου το (0,1]. ● Να βρεθει το συνολο των τιμων της f. ● Να δειχτει οτι η εξισωση lnx + e ˣ = 0 εχει μια ακριβως ριζα στο διαστημα (0,1). ● Η f ειναι συνεχης στο (0,1] σαν αθροισμα συνεχων συναρτησεων. Επισης για καθε x₁,x₂  (0, +∞) με x₁ < x₂ ισχυει: lnx₁ < lnx₂ και e x 1 < e x 2 . Προσθετοντας κατα μελη τις πιο πανω ανισοτητες παιρνουμε: lnx₁ + e x 1 < lnx₂ + e x 2  f(x₁) < f(x₂) που σημαινει πως η f ειναι γνησιως αυξουσα στο (0, +∞), αρα και στο (0, 1]. Επειδη lim + f(x) = lim + (lnx + e x ) = -  και f(1) = ln1 + e = 0 + e = e x0

x0

το συνολο τιμων της f ειναι: f(A) = ( lim + f(x) , f(1)] = (- ∞, e]. x0

● Η f ειναι συνεχης στο (0, 1] σαν αθροισμα συνεχων συναρτησεων. Το 0 ανηκει στο συνολο τιμων της f. Οποτε απ’ το θεωρημα Ενδιαμεσων Τιμων υπαρχει ενα τουλαχιστον x₀ (0,1) τετοιο ωστε f(x₀) = 0 και επειδη η f ειναι γνησιως αυξουσα το x₀ ειναι μοναδικο . 15.6.8 Θ ε ω ρ η μ α Μ ε γ ι σ τ ο υ Ε λ α χ ι σ τ ο υ :

● Ζητουμενα : Υπαρξη σημειου στο [α,β] που ικανοποιει σχεση των f(a), f(β) .

● Δοσμενα : Σχεση των f(a), f(β) .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση ειναι συνεχης σε διαστημα [α,β] . ● Υπαρχει μεγιστο και ελαχιστο (M, m) λογω συνεχειας . ● Παιρνουμε m < f(a) < M , m < f(β) < M και τις μετασχηματιζουμε καταλληλα ωστε να εμφανιστει η ζητουμενη σχεση . ● Εφαρμοζουμε θεωρημα ενδιαμεσων τιμων .

Εστω η συναρτηση f:[α, β] →  . Να δειξετε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ∈(α,β), τεμf(α) + νf(β) τοιο ωστε: f(ξ) = με μ,ν > 0. μ +ν Η f ειναι συνεχης στο [α,β], οποτε εχει ελαχιστη και μεγιστη τιμη, εστω m, M . Δηλαδη m ≤ f(α) ≤ Μ και επειδη μ > 0 τοτε μm ≤ μf(α) ≤ μΜ (1)

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

139

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

m ≤ f(β) ≤ Μ και επειδη ν > 0 τοτε νm ≤ νf(β) ≤ νΜ (2) Προσθετοντας κατα μελη παιρνουμε: (μ + ν)m ≤ μf(α) + νf(β) ≤ (μ + ν)Μ  m ≤

μf(α) + νf(β) ≤Μ μ +ν

● Αν m < M τοτε συμφωνα με το θεωρημα Ενδιαμεσων Τιμων υπαρχει ξ∈(α,β) τετοιο ωστε: f(ξ) =

μf(α) + νf(β) μ +ν

● Αν m = M τοτε η f ειναι σταθερη και το ξ μπορει να ειναι ενα οποιοδηποτε σημειο του διαστηματος [α,β]. 15.6.9 Σ τ α θ ε ρ ο Π ρ ο σ η μ ο Σ υ ν α ρ τ η σ η ς :

● Ζητουμενα : Αποδειξη σταθερου προσημου συναρτησης .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση της f(x) .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση ειναι συνεχης σε διαστημα [α,β] . ● Η συναρτηση δεν μηδενιζεται στο διαστημα [α,β] .

Eστω συνεχης συναρτηση f :    , με f 2 (x) = x 6 , x   .  Na λυσετε την εξισωση f(x) = 0.  Να αποδειχτει οτι η f διατηρει σταθερο προσημο σε καθενα απ'τα διαστηματα (-  ,0) και (0,+  ).  Αν f(- 2) > 0 κ αι f(2) < 0, να αποδειχτει οτι f(x) = - x 3 .  f(x) = 0  f 2 (x) = 0  x 6 = 0  x = 0 .  Η f στο (- , 0) ειναι συνεχης και δεν μηδενιζεται, αρα διατηρει σταθερο προσημο. Η f στο (0, + ) ειναι συνεχης και δεν μηδενιζεται, αρα διατηρει σταθερο προσημο. Αρα η f διατηρει σταθερο προσημο σε καθενα απ'τα διαστηματα (- , 0) και (0, + ).  Eιναι  Η f διατηρει σταθερο προσημο στο (- , 0) και f(-2) > 0, αρα f(x) > 0, x  (- , 0). Ετσι : f 2 (x) = x 6  f(x) = - x 3,  x  (- , 0] (αφου f(0) = 0 και x < 0).  Η f διατηρει σταθερο προσημο στο (0, + ) και f(2) < 0, αρα f(x) < 0, x  (0, + ). Ετσι : f 2 (x) = x 6  f(x) = - x 3,  x  (0, +] (αφου f(0) = 0 και x > 0). Τελικα, f (x) = - x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

,  x  .

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

140

15.6.10 Σ υ ν ο λ ο Τ ι μ ω ν :

● Ζητουμενα : Το συνολο τιμων συναρτησης που οριζεται σε διαστημα [α, β] .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση της f(x) .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι η συναρτηση f ειναι συνεχης σε διαστημα [α, β]. ● Βρισκουμε τη μονοτονια της συναρτησης f στο διαστημα [α, β]. ● Αν f ειναι γνησια αυξουσα τοτε το συνολο τιμων ειναι [f(α), f(β)]. ● Αν f ειναι γνησια φθινουσα τοτε το συνολο τιμων ειναι [f(β), f(α)]. ● Αν η μονοτονια της f αλλαζει στο διαστημα [α, β] τοτε βρισκουμε το μεγιστο Μ και το ελαχιστο m της συναρτησης και το συνολο τιμων ειναι το [m, M] .

 Να βρεθει το συνολο τιμων των συναρτησεων στο αντιστοιχο διαστημα .  f(x) = 3 - 5x στο [-1, 2]

 f(x) = x 2 - 4x + 2 στο [2, 4]

 Να βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) =

8 - 6x x 2+1

 Eιναι  Η f με f(x) = 3 - 5x ειναι γνησια φθινουσα στο  (α = - 5 < 0), αρα και στο [-1, 2]. Ετσι f(A) = [f(2), f(-1)] = [3 - 5  2,3 - 5(- 1)] = [-7, 8] -β 4  x0 = = = 2. Ετσι η f ειναι γνησια φθινουσα στο (- ,2) και γνησια αυξουσα στο 2α 2 (2, + ). Αρα η f ειναι γνησια αυξουσα και στο [2, 4]. Ετσι

f(A) = [f(2), f(4)] = [2 2 - 4  2 + 2, 4 2 - 4  4 + 2] = [- 2, 2]  To πεδιο ορισμου της f ειναι ολο το , αφου x 2 + 1  0. Eιναι 8 - 6x y= 2  y(x 2 + 1) = 8 - 6x  yx 2 + 6x + y - 8 = 0 (1) x +1 Yπαρχει τουλαχιστον μια τιμη του x  , που επαληθευει την (1) . Oποτε πρεπει Δ  0  6 2 - 4  y  (y - 8)  0  36 - 4y 2 + 32y  0  - y 2 + 8y + 9  0  y 2 - 8y - 9  0  (y + 1)(y - 9)  0  - 1  y  9 Δηλαδη m = -1 και Μ = 9 Ετσι f(A) = [m, M] = [-1,9].

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

141

16. K a π ο ι ε ς Β α σ ι κ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς 1.

Εστω η συναρτηση f :    με f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy,  x, y   .  Na δειξετε οτι ισχυει f(x) + f(-x) = 2x 2 ,  x,- x   .  Να βρεθει ο α > 0, αν lim f(x) = α και lim f(x) = 1 . x α

 Αν ↓ limf(x) = 1, να βρεθε ι το lim f(x). x

x- α

x 4

 Να δειξετε οτι καθε συναρτηση g(x) = x 2 + λx, λ  , επαληθευει την αρχικη συνθηκη.  Η σχεση f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy (1) αληθευει  x, y  , αρα και για x = y = 0, οποτε f(0 + 0) = f(0) + f(0) + 2  0  0  f(0) = 0. Η σχεση (1) αληθευει  x, y  , αρα και για - x = y, οποτε f(x + (-x)) = f(x) + f(- x) + 2  x  (- x)  f(0) = f(x) + f(- x) - 2x

f(0) = 0



0 = f(x) + f(- x) - 2x  f(x) + f(- x) = 2x . 2

 Αν θεσουμε οπου x = -u τοτε αφου x  a  - x  - a  u  - a, ειναι

lim f(x) = α  lim f(- u) = α  lim f(- u) = α  lim [2u 2 - f(u)] = α 

xα

u -α

lim f(x) = 1

2a - lim f(u) = α  lim f(u) = 2a - α  lim f(x) = 2a - α 2

u -α

u-α

u -α

x - α



1 = 2a 2 - α 

 1 α>0 a = - < 0, απορριπτεται 2 2a - α - 1 = 0   2 α = 1   Ειναι

 x x   x  x2   x x  (1) x x lim f(x) = lim f  +  = lim  f   + f   + 2    = lim  2f   +  (2) x 4 x 4 2 2  x 4   2  2   2 2  x 4   2   2  Αν θεσουμε οπου x = 2u τοτε αφου x  4  u  2, η (2) γινεται : li m f(x) = 1

x 2  (2u)2  2 lim = lim  2f(u) + = lim(2f(u) + 2u ) =  x 4 u 2 2  u 2 

2  1 + 2  2 2 = 10 .

 Ειναι

g(x + y) = (x + y) 2 + λ(x + y) = x 2 + y 2 + 2xy + λx + λy = (x 2 + λx) + (y 2 + λy) + 2xy = = g (x) + g (y) + 2xy .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

142

Δινεται η συνεχης συναρτηση f :    , με x 2 < f(x) < x 2 + 1,  x   .  Να δειχτει οτι η Cf τεμνει την ευθεια ε : y = 2x σ'ενα τουλαχιστον σημειο με τε τμημενη x0  (0,1).  Αν η f ειναι γνησια αυξουσα να αποδειχ τει οτι : 1 1  Η συναρτηση g(x) = + x - 1, x   ειναι γν.φθινουσα στο  . f(x) e x  Η εξισωση e + f(x) = e x f(x) εχει μοναδικη ριζα στο (0,2).

 Θεωρουμε τη συναρτηση h:[0,1]   με h(x) = f(x) - 2x. Απ'τη δοσμενη ανισοτητα προκυπτει : x 2 - 2x < f(x) - 2x < x 2 + 1 - 2x  x(x - 2) < h(x) < (x - 1) 2 ,  x  .

h συνεχης στο [0,1] Bolzano     x0  (0,1) : h(x0 ) = 0  x = 0  0 < h(0) < 1  h(0) > 0  h(0)h(1) < 0   x = 1  - 1 < h(1) < 0  h (1) < 0 

f(x0 ) = 2x0 .

x2 >0

 Ειναι x 2 < f(x) < x 2 + 1 2 f(x) > 0,  x  . x +1> 0

 1 1 f(x1 ) < f(x2 )  f(x ) > f(x ) (+) 1 1 1 1  1 2  x1 < x2    + x > + x  1 f(x 1 ) e f(x 2 ) e 2 e x 1 < e x 2  1 > 1 e x1 e x2  1 1 1 1  + x -1 > + x - 1  g(x 1 ) < g(x 2 )  g γν.φθινουσα στο . 1 f(x1 ) e f(x2 ) e 2 x1 , x2  

e x f(x) > 0

1 1 + x = 1  g(x) = 0. f(x) e Απ'τη δοσμε νη ανισοτητα προκυπτει για x = 2 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 < f(2) < 5  < <  + 2 -1 < + 2 -1 < + 2 -1  5 f(2) 4 5 e f(2) e 4 e 1 4 1 3 - < g(2) < 2 -  g(2) < 0 2 5 4 e e g συνεχης στο [0,1]  Bolzano 1    x0  (0,2) : g(x0 ) = 0 που ειναι μοναδικο g(0) = > 0   g(0)g(2) < 0 f(0)   g (2) < 0 λογω του οτι η g ειναι αυξουσα.

 e + f(x) = e f(x) x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!



http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

143

Δινεται η συνεχης και γνησιως φθινουσα συναρτηση f :    . x+1 Αν ↓lim = 1, τοτε : x 1 f(x + 1)  Να αποδειχτει οτι η Cf διερχεται απ'την αρχη των αξονων.

f(ημx) . x0 x  Να αποδειχτει οτι η Cf τεμνει την ευθεια y = x + 1 σε ενα ακριβως σημειο (x0 , y0 )  Να βρεθει το lim

με x0  (0,1).

x +1 =1 x  - 1 f(x + 1)

 Ειναι, lim

u=x +1

lim



x - 1  u  0

u0

u = 1 (1) f(u)

u (1)  lim g(u) = 1 (2) Θεωρουμε τη συναρτηση : g(u) = f(u) u  0 (2)

lim [g(u)  f(u)] = lim u  lim g(u)  lim f(u ) = 0  lim f(u) = 0 και αφου η f ειναι

u0

συνεχης, ισχυει f(0) = 0, δηλαδη η C f διερχεται απ'το Ο(0, 0).  Ειναι, lim

f(ημx) ημx

u = ημx

lim

f(u) = u

(1)

1 =1 1

u u  0 f(u)  f(ημx) ημx  f(ημx) f(ημx) ημx Eτσι, lim = lim  = lim = 1  1 = 1.   lim  x 0 x0 x x  x  0 ημx x  0 x  ημx x0

x  0 u  0

u0

lim

 Θεωρουμε τη συναρτηση : h(x) = f(x) - x + 1, x  .

Η h συνεχης στο [0,1] Βolzano  ( α)   h(x) = 0 μια τουλαχιστον ριζα στο (0,1). h(0) = f(0) - 0 + 1 = 1 > 0  h(1) = f(1) - 1 + 1 = f(1) < 0 (α)

(f γν.φθινουσα : 1 > 0  f(1) < f(0)  f(1) < 0) Για x1 , x2  (0,1) με x1 < x2 ισχυουν : f(x 1 ) > f(x 2 ) (  )  f(x 1 ) - x 1 + 1 > f(x 2 ) - x 2 + 1  h(x 1 ) > h(x 2 )  h γν.φθινουσα  - x 1 + 1 > - x 2 + 1 στο (0,1) οποτε η ριζα της h(x) = 0 ειναι μοναδικη.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

OΡΙΟ

144

17. Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η 1. 4

Με τη βοηθεια του ορισμου του οριου, να δειχτει οτι : lim(3x - 2) = 10 . ↓ x

2. Nα υπολογισετε τα ορια : • lim (x 2 + 3x - 2) ↓ x

• lim (2ημ 2 x + 4)

x0

• lim ln(2 - e )

x 2 +1 -2 x -1

• lim

x0

x 0

Nα υπολογισετε τα ορια : •↓ lim x

x 3 - 5x 2 + 7x - 2 2x 2 - 5x + 2

x 2 + x +2 -2 x 2 - 4x + 3

• lim ↓ x

•↓ lim x

1 + 2x - 1 + 6x

5 + x2 - 7 + x

4. Nα υπολογισετε τα ορια : x

x 3 - 27 x 2 -9

• lim ↓

• lim

x 0

x +4 -2 x

Nα υπολογισετε το οριο : • lim ↓ x

x + x -1 -1 x 2 -1

•↓ lim x

x+2 + x 2 +5 -5 x 2 - 5x + 6

Nα υπολογισετε τα ορια : •↓ lim x

x-2 -3 x-2 x 2 -4

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

• lim ↓ x

x + 4 x + 6 x -3 x- x

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

OΡΙΟ

145

Nα υπολογισετε τα ορια : • lim

x 2

x 2 + 5 - 3 x + 25

• lim

x- 2

x 0

1 + 2x - 4 1 + 3x x

8. • Nα βρεθει το m αν υπαρχει limf(x) με : ↓ x

 x +3 -2  f(x) =  x -1 mx 2 - x + 5  2

αν x < 1 αν x > 1

• Να βρεθει ο α, β αν υπαρχει ↓ limf(x) με : x

 x 2 - αx + β  f(x) =  x -4 βx 2 - x + 2 

αν x > 4 αν x < 4

9. • Nα βρεθει το οριο ↓ limf(x) αν : f(x) = x

• Nα βρεθει το οριο ↓ lim f(x) αν : f(x) = x 0

• Nα βρεθει το οριο lim f(x) αν : f(x) = ↓ x

| x 2 - 25 | + x 2 - 7x + 10 x -5 | x | + 2x 1+ x -1 | x -1 | (x 2 - 1)( 3 x - 1)

10. • Η συναρτηση f ειναι ορισμενη στο (0,1) και για καθε x  (0,1) ισχυει : 1 + 3x  (x - 1)f(x) + 2  3 3 + x Να βρεθει το οριο : ↓lim- f(x) x

• Η συναρτηση f ειναι ορισμενη στο (2,+  ) και για καθε x  (2,+  ) ισχυει :

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

7( x 2 + 5 - 3)  f(x)  3(x + 1) x-2 Να βρεθει το οριο : ↓lim+ f(x)

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

OΡΙΟ

146

11.

Να βρεθoυν τα ορια : •↓ lim x

εφx

•↓ lim

x -x

x 2 + x +3 -3 ημ(πx)

•↓ lim x

1 - συν6x x 2 +3 - 3

12. • Να βρεθει το οριο (αν υπαρχει) : ↓ lim x

ημx + 3 | x|

• Να βρεθει το ↓ limf(x), με τη προυποθεση οτι υπαρχει, αν : ↓ lim x

x 2+1 =+ f(x)

13. (α + 1)x 2 + (β - 2)x + 5 x 2 -4 Να βρεθουν τα α, β   , ωστε : ↓ limf(x) = 3.

• Δινεται η συναρτηση : f(x) =

x 2 2

αx + (β - 2)x + 3 x 2 -1

Να βρεθουν τα α, β αν η f(x) εχει οριο στο x0 = 1 το

1 . 2

14.

Nα βρεθουν τα ορια : - 2 x+2 + 3 ↓ lim 2 x + 1 x 0 2 - 5 2 x + 3 2x

 lim ↓ x

2 x -3 3 x + 4 x 3  x -2  x - x 4

↓ lim e x

x - 3x + 2 x-2

15.

f(x) + 2 f(x) + x = 5 να βρεθει το ↓lim 2 x 2 x - 3x + 2 x 2 x -2 2ημxf(x) = -  να βρεθει το lim f(x) ● Αν lim x0 x 0 x2-x ● Αν ↓lim

lim [xf(x) ● Αν ↓ x 1

x -1 ] = 3 να βρεθει το ↓ lim f(x) x 1 x -1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

OΡΙΟ

147

16. ● Εστω f:    για την οποια ισχυει f(x + y) = f(x) + f(y) για καθε x,y   f(x) f(x) -f(2) = 2009 , να βρεθει το ↓lim Aν lim x 0 x x 2 x -2 ● Εστω f:    για την οποια ισχυει f(x + y) = f(x)συν2y + f(y)συν2x , x,y   f(x) f(x) -f(α) = 1 δειξετε οτι ↓lim = συν2α για καθε α   Aν lim x 0 x xα x-α 17. Να βρεθουν τα ορια : ημx xπ π - x

 lim

x0

ημx 2 xημx

↓ lim x

ημ(x - 2)

x +7 -3

18.

Να βρεθουν τα ορια : 4x - 5x 3 + 2 • lim x +  1 + 3x 4x 2 - x + 5 • lim x -  3x 2 - 10x + 3

• lim (| x 3 - x | + x - 1) x - 

• lim

x - 

2x 2 - x + 3 x 4 + x 2 +3

19.  1 2  Να βρεθει το ↓lim (2x + 1)  μ 2 + μ + +  ∞ x x -2 x -1   για τις διαφορες τιμες του μ.

20.  Δινεται η συναρτηση : f(x) =

Να βρεθει το οριο : lim f(x)

x- x 2-x+1 2x - 4x 2 + x + 2

x + 

 Δινεται η συναρτηση : f(x) =

Να βρεθει το οριο : lim f(x)

x+ x 2+1 3x + 9x 2 + 2

x + 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

OΡΙΟ

148

21. Να βρεθουν τα ορια : • lim ( x 2 + x + 4x 2 + x + 3 ) x - 

• lim ( 4x 2 + 3x + 2 - x 2 + x + 2 ) x + 

22. Να βρεθουν τα ορια : • lim ( 4x 2 + 3x + 2 - x 2 + x + 2 - x) x + 

• lim ( x 2 + x + 4x 2 + x + 3 + 3x) x - 

23.

Για τις διαφορες τιμες του λ   να βρεθει το lim ( x 2 + x + 1 + 4x 2 + 3x + 2 + λ 2 x)

x - 

24.

f(x) = 1 να δειχτει οτι : x -  ημx • lim [f(x) - ημx] = 0 Αν lim x - 

• lim [f(x)σφx - συνx] = 0 x - 

25. Αν ↓lim (3f(x) - 2g(x)) = 7 και ↓lim (3g(x) + 7f(x)) = 1 ∞ ∞ x -

x -

να υπολογισετε, με τη προυποθεση οτι υπαρχουν, τα ορια : • lim f(x) • lim g(x) x - 

x - 

26. Nα βρεθουν τα ορια : • lim (5x + 7ημx - 2) 3

x - 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

• lim (x + 4 + ημx) 3

x + 

• lim

x + 

1 + 6x x 5x 2 - 2

x 3 ημ

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

149

27. Nα βρεθουν τα ορια : • lim

x + 

e x - e -x e x + e -x

• lim

x + 

e x + 3 3 x+1 2e x + 1 - 3 x

• lim

x + 

λ x - 2 x+1 λ x+1 + 2 x

28. ● Αν για καθε x   : x 2+ 2x ≤ f(x) ≤ 3x 2 - 2x + 2 , να βρεθει το lim f(x) x - 

● Αν για καθε x   ειναι | xf(x) - x 2 + 1 |  1 , να βρεθει το

lim f(x)

x  + 

29. Να βρεθουν τα ορια: ● lim ln x - 

2-x 2+x2

● lim ln(e x + x + 1) x + 

30. x 3 - 3x 2 + 6x - 4 με f(1) = 3 και x  1. x -1 Να εξεταστει αν ειναι συνεχης στο πεδιο ορισμου της. • Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο x0 και η συναρτηση h = κf + λg ειναι ασυνεχης στ ο x0 , τοτε να δειξετε οτι η συναρτηση g ειναι ασυνεχης στο x0 . • Δινεται η συναρτηση : f(x) =

31.  x 2 - αx + 1 x<3  • Δινεται η συναρτηση : f(x) = (4 + β)x + 2α 3  x  4 - x 2 + (α + β)x - 3 x>4 

Να βρειτε τα α, β ωστε η f ειναι συνεχης στο  .  x + ημ2x + α 2 x 0  • Δινεται η συναρτηση : f(x) =  x  3 x =0  Να βρειτε το α ωστε η f να ειναι συνεχης στο x0 = 0.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

150

32. Αν η f ειναι ορισμενη στο  και ισχυει ↓ lim x

x 2 + f(x) =    και f(2) = - 4, να x-2

δειχθει οτι η f ειναι συνεχης στο x0 = 2. 33. Να υπολογισθει ο αριθμος f(0) για την συναρτηση f : (- 1,1)   για την οποια ● Η f ειναι συνεχης στο 0

και

● 4 + x 4 ημ

1  2 + x 2f(x)  x2

4+x

34. Για την f :    ισχυει xf(x) – 2 = f(x) -

x 2 + 3 , για καθε x   .

Aν f συνεχης στο  , να βρεθει ο τυπος της. 35.

Η f ειναι ορισμενη στο  για την οποια ισχυει f(0) = 3 και lim

x0

● Δειξτε οτι η f ειναι συνεχης στο 0 f(x) - 3 ● Να βρειτε τα ορια lim και x0 x

lim

x0

f(x) - 3 - εφx =5 x2-x

| 2f(x) - 3 | -3 x

36. Αν η f ειναι συνεχης στο 2 και f(3) = 10 και f(5 - x) = f(x) για καθε x   , τοτε: ● Να βρειτε το f(2).

● Να δειξετε οτι η f ειναι συνεχης στο x0 = 3. 37. f(x) - 5 = 10 . x 1 x -1 ● Να δειξετε οτι η f ειναι συνεχης στο -1

Δινεται η περιττη συναρτηση f :    συνεχης στο x0 = 1 με lim ↓ ● Να βρειτε το f(1) ● Να βρειτε το οριο ↓lim x

-1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

f(x) + 5 x+1

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

151

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

38. Να αποδειχθει οτι εφαρμοζεται το θεωρημα του Bolzano για την συναρτηση 3x 2 + 2x + 1 , - 2  x  0 f(x) =  2 x - 3x + 1 , 0 < x  1

39. Να δειχθει οτι η εξισωση ημ( διαστημα (0,

π συνx) + συν(πημx) = 0 , εχει μια τουλαχιστον ριζα στο 2

π ). 2

40. Αν α < β < γ, να δειξετε οτι η εξισωση : 1 2 3 + + =0 x - α x - β x -γ εχει 2 ριζες ακριβως στο  .

41. - x + 1, αν - 3  x < 0 Εστω η συναρτηση f(x) =  2 - 3x + 1, αν 0  x  1

Να δειχτει οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα x0  ( - 3, 1 ) τετοιο ωστε : f(x0 ) = 0 .

42. Εστω f,g,h συναρτησεις συνεχεις στο [α,β] με την γραφικη παρασταση της f να βρισκεται πανω απ’τη γραφικη παρασταση της g για καθε x [α,β]. Αν η Ch τεμνει τις Cf, Cg σε ενα τουλαχιστον σημειο την καθε μια, να δειξετε οτι η εξισωση f(x) + 2g(x) = 3h(x) εχει τουλαχιστον μια λυση στο διαστημα (α,β). 43. Εστω f , g συνεχεις στο [α,β] με α ≤ f(x) ≤ β και α ≤ g(x) ≤ β , για καθε x∈[α,β] .

Να δειχθει οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον γ∈[α,β] , τετοιο ωστε f(g(γ)) = γ.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

152

44. Ενα πλοιο ξεκιναει απ’τον Πειραια στις 7 π.μ. και φτανει στην Σαντορινη στις 5 μ.μ. Διανυκτερευει στη Σαντορινη και ξεκιναει την αλλη μερα στις 7 π.μ. και επιστρεφει στο Πειραια, ακολουθωντας την ιδια διαδρομη, στις 5 μ.μ. Να αποδειξετε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον σημειο της διαδρομης, στο οποιο το πλοιο βρισκεται την ιδια ωρα και τις δυο μερες. 45. Δινονται οι συναρτησεις f, g : [0,1]   για τις οποιες ισχυουν :

 Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο πεδιο ορισμου της με f(0) = e 2 , f(1) = e 4 και για καθε x  [0,1] ισχυει f(x) > 0.  g(x) = lnf(x), για καθε x  [0,1].  Na aποδειξετε οτι η ευθεια y = 3 τεμνει τη C g σ'ενα τουλαχιστον σημειο

Μ0 (x 0 ,3) με x 0  (0,1).

 1  2   Να αποδειξετε οτι υπαρχει ξ  (0,1) τετοιο ωστε f(ξ) = f  f   . 3  3 

46. Εστω μια συναρτηση f συνεχης στο  με f(x)  0,  x   και : 1  f(2005) =  f(2007) = 3  f(1)f(2) = f(3)f(4) 2 Να αποδειχτει οτι :  υπαρχει ξ   , ωστε f(ξ) = 1.  υπαρχει x0  [1,2], ωστε f 2 (x0 ) = f(1)f(2).  η f δεν αντιστρεφεται.

47. Δινεται η f(x) = e x + lnx – 1 . ● Να βρειτε το συνολο τιμων της . ● Να δειχθει οτι υπαρχει ξ > 0 , τετοιο ωστε lnξ + e ξ = 1 . 48. Δειξτε οτι η εξισωση (x - β)(x 2 ν + 1) + (x - α)(x 2 κ + 1) = 0 με ν,μ ∈ 

και α < β, εχει

ριζα στο (α, β).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

153

49. Αν η f ειναι συνεχης στο [α,β] και f(α) ≠ 0 , να δειχτει οτι υπαρχει γ ∈ (α,β) ωστε να ισχυει

f(γ) f(α) + f(β) . = γ-α β-α

50. Εστω η συνεχης συναρτηση f : (1, + ∞) →  για την οποια ισχυει: 2 = x - 1 , για καθε x > 1 . x+1 Nα δειχτει οτι η f διατηρει σταθερο προσημο στο (1, + ∞) .

| f(x) - 1 | -

51.

 Να βρεθει το συνολο τιμων των συναρτησεων στο αντιστοιχο διαστημα .  f(x) = 3 - 4x στο [-1, 2]

 f(x) = 2x

- 8x + 1 στο [-1, 2] 3 - 4x  Να βρεθει το συνολο τιμων της συναρτησ ης : f(x) = 2 x +1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΡΙΟ

154

18. Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς 1. Να δειχτει οτι lim P(x) = P(x0 ) , x0 ∈  . x x 0

Eστω το πολυωνυμο P(x) = αν x ν + αν-1x ν-1 +...+ α1x + α0 Συμφωνα με τις ιδιοτητες των οριων εχουμε:

και x0∈  .

lim P(x) = lim (αν x ν + αν-1x ν-1 + ...+ α0 ) = lim (αν x ν ) + lim (αν-1x ν-1 ) +...+ lim α0 =

x  x0

= αν lim xν + αν-1 lim x ν-1 +...+ lim α0 = αν x0ν + αν-1x0ν-1 +...+ α0 = P(x0 ) . x  x0

x  x0

2. Να δειχτει οτι lim

x x 0

P(x0 ) P(x) = x0 ∈  με Q(x0) ≠ 0 . Q(x) Q(x0 )

Eστω η ρητη συναρτηση f(x) = Q(x0) ≠ 0.

P(x) , οπου P(x) , Q(x) πολυωνυμα του x και x0 ∈  με Q(x)

Τοτε,

lim P(x) P(x ) P(x) x  xΟ 0 lim f(x) = lim = = . x x 0 Q(x) x  xΟ lim Q(x) Q(x0 ) x  xΟ

3. ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Εστω μια συναρτηση f, η οποια ειναι ορισμενη σε ενα κλειστο διαστημα [α,β]. Αν: • η f ειναι συνεχης στο [α,β] και • f(a) ≠ f(β) τοτε, για καθε αριθμο η μεταξυ των f(a) και f(β) υπαρχει ενας, τουλαχιστον x0 ∈ (α,β) τετοιος, ωστε f(x0) = η. Ας υποθεσουμε οτι f(a) < f(β). Τοτε θα ισχυει f(a) < η < f(β).

Αν θεωρησουμε τη συναρτηση g(x)=f(x)-η, x∈[α,β], παρατηρουμε οτι: • η g ειναι συνεχης στο [α, β] και • g(α)g(β) < 0, αφου g(α) = f(α) – η < 0 και g(β) = f(β) – η > 0 . Επομενως, απ’το θ.Bolzano, υπαρχει x0∈(α, β) τετοιο, ωστε: g(x0) = f(x0) – η = 0, οποτε f(x0) = η .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

156

1. Ο ρ ι σ μ ο ς Π α ρ α γ ω γ ο ς σ ε σ η μ ε ι ο x0 Εστω συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α και σημειο x0 ∈ A.

Η f λεγεται π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ η στο x0 , αν υπαρχει το οριο lim

x  x0

f(x) - f(x0 ) , και ειx - x0

ναι πραγματικος αριθμος. Το οριο αυτο λεγεται π α ρ α γ ω γ ο ς της f στο x0 και συμβολιζεται f’(x0). Ετσι: f’(x0) = lim

x  x0

f(x) - f(x0 ) x - x0

f(x0 + h) - f(x0 ) h  Ο h (θεσαμε x = x0 + h , οποτε h =x - x0 και h  0).

• Αλλος ορισμος: f’ (x0) = lim

Παρατηρησεις • Αν τα πιο πανω ορια δεν υπαρχουν η ειναι ± ∞, λεμε οτι η f δ ε ν ειναι παραγωγισιμη στο x0.

• Συμβολισμος Lagrange για την f’(x0): • Αν θεσουμε y = f(x), ειναι για την f’(x0):

df(x0 ) η dx

df(x) | dx x = x0

dy | dx x = x0

• Αν x0 ειναι εσωτερικο σημειο του πεδιου ορισμου, τοτε τα ορια

f(x) - f(x0 ) και x  xΟ x - x0 lim-

f(x) - f(x0 ) (αν υπαρχουν στο  ) λεγονται πλευρικες παραγωγοι στο x0. H f ειναι x  xΟ x - x0 lim+

παραγωγισιμη στο x0 αν και μονον αν οι πλευρικες παραγωγοι ειναι ισες.

2. Π α ρ α γ ω γ ο ς Κ α ι Σ υ ν ε χ ε ι α Αν μια συναρτηση f ειναι π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ η σ’ενα σημειο x₀, τοτε ειναι και σ υ ν ε χ η ς στο σημειο αυτο. Παρατηρησεις • Το αντιστροφο της προτασης δεν ισχυει παντα. Δηλαδη, αν μια συναρτηση ειναι συνεχης σ’ενα σημειο x₀, δεν συνεπαγεται οτι ειναι παραγωγισιμη στο σημειο x₀. • Αν μια συναρτηση δεν ειναι συνεχης σ’ενα σημειο x₀, τοτε δεν ειναι παραγωγισιμη στο σημειο x₀.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

157

3. Π α ρ α γ ω γ ο ς Β α σ ι κ ω ν Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Σταθερης συναρτησης Εστω η σταθερη συναρτηση f(x) = c με Α =  .

Η f ειναι παραγωγισιμη στο  με f’(x) = 0. Πιο απλα: c ’ = 0

Ταυτοτικης συναρτησης Εστω η ταυτοτικη συναρτηση f(x) = x με x∈  . Η f ειναι παραγωγισιμη στο  με f’(x) = 1. Πιο απλα: x ’ = 1

Τετραγωνικης ριζας του x Εστω η συναρτηση f(x)= x , με Α = [0,+ ∞). Η f ειναι παραγωγισιμη στο (0,+ ∞) με f’(x) = Πιο απλα: ( x ) ’ =

1 2 x

2 x

Ημιτονου Εστω η συναρτηση f(x) = ημx, με Α=  .

Η f ειναι παραγωγισιμη στο  με f’(x) = συνx. Πιο απλα: (ημx) ’ = συνx Συνημιτονου Εστω η συναρτηση f(x) = συνx, με Α=  .

Η f ειναι παραγωγισιμη στο  με f’(x) = - ημx. Πιο απλα: (συνx) ’ = - ημx Εφαπτομενης Εστω η συναρτηση f(x) = εφx, με Α=  - {x ∈  /x = κπ + π/2, με κ ∈  }. Η f ειναι παραγωγισιμη στο  με f’(x) = Πιο απλα: (εφx) ’ =

1 . συν 2 x

1 συν 2 x

Συνεφαπτομενης Εστω η συναρτηση f(x) = σφx, με Α =  - {x ∈  / x = κπ, με κ ∈  }. Η f ειναι παραγωγισιμη στο  με f’(x) = -

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

1 . ημ 2x

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

158

Πιο απλα: (σφx)’ = -

1 ημ 2 x

4. Π α ρ α γ ω γ ο ς Γ ν ω σ τ ω ν Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Ρητης συναρτησης Eιναι παραγωγισιμη στο πεδιο ορισμου της με:

 P(x)   Q(x)

 P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x) ' = (Q(x)) 2 

Πολυωνυμικης συναρτησης Ειναι παραγωγισιμη στο  με :

(αx v + α ν - 1 x

v -1

+ ...+ α1 x v - 1 + α0 )' = να ν x v - 1 + (ν - 1)α ν - 1 x

v-2

+ ...+ α1

Εκθετικης Συναρτησης Ειναι παραγωγισιμη στο  με:

f'(x) = (e ˣ) ’ = e ˣ Φυσικου Λογαριθμου Ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ∞) με:

f'(x) = (lnx) ’ =

1 x

5. Π α ρ α γ ω γ ο ς Α θ ρ ο ι σ μ α τ ο ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Αν οι συναρτησεις f, g ειναι παραγωγισιμες στο x₀, τοτε η συναρτηση f + g ειναι παραγωγισιμη στο x₀ και ισχυει: ( f + g ) ’ ( x ₀ ) = f ’ ( x ₀ ) + g ’ ( x ₀ ) Παρατηρησεις • Η πιο πανω προταση ισχυει και για την διαφορα, δηλαδη: (f–g)’(x₀)=f’(x₀)–g’(x₀) • O πιο πανω τυπος ισχυει και για περισσοτερες απο δυο συναρτησεις, με τη προυποθεση ολες να ειναι παραγωγισιμες. Δηλαδη ισχυει:

(f1 + f2 + ... + f κ)'(x) = f'(x) + f2'(x) + ... + fκ'(x) 1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

159

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

6. Π α ρ α γ ω γ ο ς Γ ι ν ο μ ε ν ο υ Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο x₀, τοτε η συναρτηση f ∙ g ειναι παραγωγισιμη στο x₀ και ισχυει: ( f ∙ g ) ’ ( x ₀ ) = f ’ ( x ₀ ) ∙ g ( x ₀ ) + f ( x ₀ ) ∙ g ’ ( x ₀ ) Παρατηρησεις

• Η πιο πανω προταση ισχυει αν η μια συναρτηση ειναι σταθερη, δηλαδη: (λf(x))’= λf’(x)

• O πιο πανω τυπος ισχυει και για περισσοτερες απο δυο συναρτησεις, με τη προυποθεση ολες να ειναι παραγωγισιμες. Δηλαδη ισχυει:

(f1  f2  ...  fκ )'(x) = f'(x)  f2 (x)...fκ (x) + f1 (x)  f2'(x)...fκ (x) + ... + f1 (x)  f2 (x)...fκ'(x) 1

7. Π α ρ α γ ω γ ο ς Π η λ ι κ ο υ Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν Αν οι συναρτησεις f, g ειναι παραγωγισιμες στο x₀, και g(x₀) ≠ 0, τοτε η συναρτηση

f g

ειναι παραγωγισιμη στο x₀ και ισχυει:

(

f'(x0 )g(x0 ) - f(x0 )g'(x0 ) f )'(x0 ) = g [g(x0 )] 2

8. Π α ρ α γ ω γ ο ς Σ υ ν θ ε τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Αν οι συναρτησεις f,g ειναι παραγωγισιμες στο g(x) και x αντιστοιχα, τοτε η συναρτηση f∘g ειναι παραγωγισιμη στο x και ισχυει:

( f ∘ g ) ’ ( x ) = [ f ( g ( x ) ) ] ’ = f ’ ( g ( x ) ) ∙g ’ ( x ) Συνεπειες ● Εστω η συναρτηση f(x)= x v , ν∈  - {0,1}, με Α =  . Η f ειναι παραγωγισιμη στο  με f’(x) = v  x v - 1 . Πιο απλα: ( x v ) ’ = v  x v -1 ● Εστω η συναρτηση f(x)= x - ν , ν∈  * , με Α=  * . Η f ειναι παραγωγισιμη στο  με f’(x) = - νx - ν - 1 . Πιο απλα: ( x - ν )’ = - νx - ν - 1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

160

● Εστω η συναρτηση f(x) =

1 , με Α =  - {0}. x

Η f ειναι παραγωγισιμη στο  με f’(x) = Πιο απλα: (

1 . x2

1 1 )’=- 2 x x

● Εστω η συναρτηση f(x) = x α , με α ∈  -  και x ∈ (0, + ∞). Η f ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ∞) με f’(x) = α  x α - 1 . Πιο απλα: ( x α ) ’ = α  x

α-1

● Εστω η συναρτηση f(x) = log α x , με 0 < α ≠ 1 .

Η f ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ∞) με f’(x) = Πιο απλα: ( logα x ) ’ =

1 . xlnα

1 xlnα

● Εστω η συναρτηση f(x) = α x , με α ∈ (0, + ∞) και x ∈  . Η f ειναι παραγωγισιμη στο  με f’(x) = α x  lna . Πιο απλα: ( α

)’= α

 lna

9. Ε φ α π τ ο μ ε ν η Γ ρ α φ ι κ η ς Π α ρ α σ τ α σ η ς ● Αν μια συναρτηση f εiναι παραγωγισιμη στο x₀, τοτε οριζουμε σαν εφαπτομενη της Cf , την ευθεια με συντελεστη διευθυνσης την f’(x₀), δηλαδη την ευθεια με εξισωση:

y–f(x₀)=f’(x₀)(x–x₀). ● Αν μια συναρτηση f δεν ειναι παραγωγισιμη στο x₀, αλλα ειναι συνεχης στο σημειο αυτο και

f(x) - f(x 0 ) =   , τοτε οριζουμε σαν εφαπτομενη της Cf στο Α(x₀,f(x₀)) την x x0 x - x0 lim

κατακο ρυφη ευθεια x = x ₀. Παρατηρησεις • Αν f’(x₀) = 0, τοτε η εφαπτομενη της C f στο Α(x₀, f(x₀)) ειναι παραλληλη στον αξονα x’x και αντιστροφα. • Ο συντελεστης διευθυνσης f’(x₀) της εφαπτομενης της C f στο σημειο Α(x₀, f(x₀)) λεγεται επισης και κ λ ι σ η της C f στο x₀. • Αν η f δ ε ν ειναι συνεχης στο x0 , τοτε δεν εχει νοημα η ευρεση εφαπτομενης στο σημειο Α(x0,f(x0)).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

161

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

10. Ρ υ θ μ ο ς Μ ε τ α β ο λ η ς Αν x, y ειναι δυο μεταβλητα μεγεθη που συνδεονται με τη σχεση y = f(x), οπου f συναρτηση ορισμενη σ’ενα διαστημα Δ, τοτε ονομαζουμε: • Μ ε σ ο ρ υ θ μ ο μ ε τ α β ο λ η ς του y ως προς x στο διαστημα [x₀, x]⊆Δ, το πηλικο:

f(x) - f(x0 ) x - x0

• Ρ υ θ μ ο μ ε τ α β ο λ η ς του y ως προς x στο σημειο x₀ (f παραγωγισιμη στο x₀) την παραγωγο της f στο x₀, δηλαδη:

f(x) - f(x0 ) x  x0 x - x0 lim

Παρατηρησεις • Αν ο ρυθμος μεταβολης ειναι θετικος σημαινει ταση για αυξηση, ενω αν ειναι αρνητικος σημαινει ταση για ελαττωση. • Κινηση υλικου σημειου Εστω σωμα που κινειται κατα μηκος ενος αξονα και S = S(t) η τετμημενη του σωματος αυτου τη χρονικη στιγμη t (συναρτηση θεσης του κινητου). • Ο ρυθμος μεταβολης της S ως προς το χρονο t τη χρονικη στιγμη t0 εκφραζει τη

σ τ ι γ μ ι α ι α τ α χ υ τ η τ α . Δηλαδη S’(t0) = υ(t0). • Ο ρυθμος μεταβολης της υ ως προς το χρονο t τη χρονικη στιγμη t0 εκφραζει την

ε π ι τ α χ υ ν σ η . Δηλαδη S’’(t0) = υ’(t0) = a(t0). • Στην οικονομια, το κοστος παραγωγης Κ, η εισπραξη Π και το κερδος Ρ εκφραζονται συναρτησει της ποσοτητας x του παραγομενου προιοντος. Ισχυει : P(t) = Π(t) – K(t)

και

P΄(t) = Π΄(t) – K΄(t)

11. Θ ε ω ρ η μ α R o l l e Αν για μια συναρτηση f ισχυουν: • Ειναι σ υ ν ε χ η ς στο κλειστο διαστημα [α,β]. • Ειναι π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ η στο ανοικτο διαστημα (α,β). •f(α)=f(β) Τοτε υπαρχει ε ν α τ ο υ λ α χ ι σ τ ο ν ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε f ' ( ξ ) = 0 δηλαδη υπαρχει μια τουλαχιστον ριζα της παραγωγου στο διαστημα (α,β). Γεωμετρικη Σημασια Εστω C η γραφικη παρασταση της f στο [α,β] και τα σημεια Α,Β με τετμημενες α,β αντιστοιχα. Αν ισχυουν οι προυποθεσεις του θεωρηματος Rolle:

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

162

• Ειναι συνεχης στο κλειστο διαστημα [α,β]. • Ειναι παραγωγισιμη στο ανοικτο διαστημα (α,β). (η C ειναι συνεχης καμπυλη και δεχεται εφαπτομενη σε καθε σημειο της) • f(α) = f(β)

(η χορδη ΑΒ ειναι οριζοντια)

“ υπαρχει ενα τουλαχιστον ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε f'(ξ) = 0 ”, σημαινει oτι “ υπαρχει ενα τουλαχιστον ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε η εφαπτομενη της C στο σημειο Κ(ξ,f(ξ)) να ειναι παραλληλη στον αξονα x’x “.

12. Θ ε ω ρ η μ α Μ ε σ η ς Τ ι μ η ς Δ . Λ ο γ ι σ μ ο υ Αν για μια συναρτηση f ισχυουν: • Ειναι σ υ ν ε χ η ς στο κλειστο διαστημα [α,β]. • Ειναι π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ η στο ανοικτο διαστημα (α,β). Τοτε υπαρχει ε ν α τ ο υ λ α χ ι σ τ ο ν ξ που ανηκει στο (α,β) τετοιο ωστε:

f'(ξ) =

f(β) - f(α) β-α

Γεωμετρικη Σημασια Εστω C η γραφικη παρασταση της f στο [α,β] και τα σημεια Α,Β με τετμημενες α,β αντιστοιχα. Αν ισχυουν οι προυποθεσεις του Θ.Μ.Τ., δηλαδη: • Ειναι συνεχης στο κλειστο διαστημα [α,β]. • Ειναι παραγωγισιμη στο ανοικτο διαστημα (α,β). (η C ειναι συνεχης καμπυλη και δεχεται εφαπτομενη σε καθε σημειο της) Ομως η παρασταση

f'(ξ) =

f(β) - f(α) ισουται με τον συντελεστη διευθυνσης της χορδης ΑΒ, ενω β-α

f(β) - f(α) ειναι ο συντελεστη διευθυνσης της εφαπτομενης της C στο Κ(ξ, f(ξ)). β-α

Αρα το Θ.Μ.Τ. εκφραζει οτι: “ Yπαρχει ενα τουλαχιστον ξ στο (α,β) τετοιο ωστε η εφαπτομενη της C στο σημειο Κ(ξ, f(ξ)) να ειναι παραλληλη στη χορδη ΑΒ ”.

13. Σ τ α θ ε ρ ο τ η τ α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Σ ε Δ ι α σ τ η μ α Αν για μια συναρτηση f ισχυουν: • Ειναι σ υ ν ε χ η ς στο διαστημα (κλειστο η ανοικτο). • Για καθε εσωτερικο σημειο x του Δ ισχυει f ’ ( x ) = 0 . Τοτε η f ειναι σ τ α θ ε ρ η σ’ολο το διαστημα Δ.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

163

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Παρατηρησεις • Η συναρτηση f του παραπανω θεωρηματος εχει γραφικη παρασταση που ειναι ευθεια η μερος ευθειας παραλληλης προς τον αξονα x’x. • Το παραπανω θεωρημα ισχυει σε διαστημα και οχι σε ενωση διαστηματων . ΠΟΡΙΣΜΑ Αν για δυο συναρτησεις f,g ισχυουν: • Ειναι σ υ ν ε χ ε ι ς στο διαστημα Δ. • Για καθε εσωτερικο σημειο x του Δ ισχυει f ’ ( x ) = g ’ ( x ) . Τοτε, υπαρχει σταθερα c,τετοια ωστε για καθε x στο διαστημα Δ να ισχυει: f ( x ) = g ( x ) + c . Παρατηρησεις Aπ’το πιο πανω πορισμα προκυπτει οτι υπαρχουν απειρες συναρτησεις f(x) που εχουν την ιδια παραγωγο με καποια g(x), (f(x) ≠ g(x)) αλλα διαφερουν μεταξυ τους κατα μια σταθερα. BΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ • Αν για μια συναρτηση f ισχυει f’(x) = f(x), για καθε x∈  τοτε f ( x ) = c e x, c σταθερα.

14. Μ ο ν ο τ ο ν ι α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Μ ε Π α ρ α γ ω γ ο Αν η συναρτηση f ειναι συνεχης σ’ενα διαστημα Δ και για καθε εσωτερικο σημειο του Δ : • f ’ ( x ) > 0, τοτε η f ειναι γ ν η σ ι α α υ ξ ο υ σ α στο διαστημα Δ. • f ’ ( x ) < 0, τοτε η f ειναι γ ν η σ ι α φ θ ι ν ο υ σ α στο διαστημα Δ. Πιο γενικα ισχυει: Εστω x0 ∈ (α,β) και η f ειναι συνεχης στο x0

• Αν f’(x) > 0 για καθε x∈(α,x0)∪(x0,β), τοτε f γν. αυξουσα στο (α,β). • Αν f’(x) < 0 για καθε x∈(α,x0)∪(x0,β), τοτε f γν. φθινουσα στο (α,β).

Παρατηρησεις • Οποια μορφη και να εχει ενα διαστημα, προκειμενου να συμπερανουμε τη μονοτονια της f σε αυτο το διαστημα αρκει να εξετασουμε το προσημο της f’(x) στο αντιστοιχο ανοικτο διαστημα. • Αν μια συναρτηση εχει το ιδιο ειδος μονοτονιας στα διαστηματα Δ₁,Δ₂, δεν ειναι απαραιτητο να εχει το ιδιο ειδος μονοτονιας και στο συνολο Δ₁UΔ₂. • Μπορει μια συναρτηση f να ειναι γνησιως μονοτονη σ’ενα διαστημα Δ, χωρις απαραιτητα να ισχυει, “ για καθε x∈Δ, f’(x) > 0 η f’(x) < 0 ”. • Στα ακρα του διαστηματος δεν ενδιαφερει ουτε η υπαρξη, ουτε το προσημο της f΄. • Το αντιστροφο του θεωρηματος δεν ισχυει. Δηλαδη:

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

164

Μπορει η f να ειναι γνησιως μονοτονη σε διαστημα Δ, αλλα η f΄ να μη διατηρει προσημο στο Δ και να εχει σημεια μηδενισμου.

15. Α κ ρ ο τ α τ α

Συναρτησης

• Μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α, θα λεμε οτι παρουσιαζει στο x₀∈A • Τ ο π ι κ ο Μ ε γ ι σ τ ο , οταν υπαρχει δ > 0, τετοιο ωστε: για καθε x∈A∩(x₀ - δ, x₀ + δ), να ισχυει f ( x ) ≤ f ( x ₀ ) . • Τ ο π ι κ ο E λ α χ ι σ τ ο , οταν υπαρχει δ > 0, τετοιο ωστε: για καθε x∈A⋂(x₀ - δ, x₀ + δ), να ισχυει f ( x ) ≥ f ( x ₀ ) . • Μια συναρτηση f με πεδιο ορισμου Α, θα λεμε οτι παρουσιαζει στο x₀∈A • Ο λ ι κ ο Μ ε γ ι σ τ ο η απλα Μεγιστο στο f(x₀), αν για καθε x∈A, f ( x ) ≤ f ( x ₀ ) . • Ο λ ι κ ο Ε λ α χ ι σ τ ο η απλα Ελαχιστο στο f(x₀) αν για καθε x∈A, f ( x ) ≥ f ( x ₀ ) Παρατηρησεις • Το x₀ λεγεται θεση η σημειο τοπικου μεγιστου η ελαχιστου, ενω το f(x₀) λεγεται τοπικο μεγιστο η ελαχιστο. Τα τοπικα μεγιστα η ελαχιστα λεγονται τοπικα ακροτατα της f. • Το μεγιστο, ελαχιστο της f, λεγονται ολικα ακροτατα η ακροτατα της f και τα συμβολιζουμε με maxf(x) και minf(x), αντιστοιχα.

16. Θ ε ω ρ η μ α F e r m a t Αν μια συναρτηση f ειναι : • Ο ρ ι σ μ ε ν η σ'ενα διαστημα Δ • Π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ η σε εσωτερικο σημειο ξ του Δ • Παρουσιαζει τ ο π ι κ ο α κ ρ ο τ α τ ο στο ξ τοτε ισχυει: f ' ( ξ ) = 0 . Παρατηρησεις • f’(ξ) = 0 σημαινει οτι η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης στο (ξ,f(ξ)) ειναι παραλληλη στον αξονα x’x. • Το αντιστροφο του θεωρηματος Fermat δεν ισχυει παντα. • Πιθανες θεσεις τοπικων ακροτατων μιας συνεχους συναρτησης f με πεδιο ορισμου ενα διαστημα Δ, θα αναζητηθουν: • στα εσωτερικα σημεια του Δ, οπου f’(x) = 0. • στα εσωτερικα σημεια του Δ, οπου δεν παραγωγιζεται αλλα ειναι συνεχης η f (κρισιμα σημεια της f στο Δ). • στα ακρα του Δ (εφοσον ανηκουν στο Δ).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

165

17. T o π ι κ α Α κ ρ ο τ α τ α

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Σε Ανοικτο Διαστημα

Αν μια συναρτηση f ορισμενη σ'ενα διαστημα (α, β) και x₀∈(α, β) ενα κρισιμο σημειο της f στο οποιο η f ειναι συνεχης. • Τοτε η f παρουσιαζει στο x₀: • τ ο π ι κ ο μ ε γ ι σ τ ο το f(x₀), αν για καθε x∈(α,x₀), ειναι f ’ ( x ) > 0 και για καθε x∈(x₀,β), ειναι f ’ ( x ) < 0 . • τ ο π ι κ ο ε λ α χ ι σ τ ο το f(x₀), αν για καθε x∈(α,x₀), ειναι f ’ ( x ) < 0 και για καθε x∈(x₀,β), ειναι f ’ ( x ) > 0 . • Αν η f διατηρει σ τ α θ ε ρ ο π ρ ο σ η μ ο στο (α,x₀)∪(x₀,β), τοτε η f παρουσιαζει τ ο π ι κ ο α κ ρ ο τ α τ ο στο x₀.

18. Κ ο ι λ α - Κ υ ρ τ α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Αν μια συναρτηση f ειναι συνεχης σ'ενα διαστημα Δ και παραγωγισιμη (τουλαχιστον) στα εσωτερικα σημεια του Δ, θα λεμε: • H f στρεφει τ α κ ο ι λ α π ρ ο ς τ α π α ν ω , η ειναι κ υ ρ τ η στο Δ, αν η f’ ειναι γνησια αυξουσα στο εσωτερικο του Δ. • H f στρεφει τ α κ ο ι λ α π ρ ο ς τ α κ α τ ω , η ειναι κ ο ι λ η στο Δ, αν η f’ ειναι γνησια φθινουσα στο εσωτερικο του Δ. Κριτηριο Κυρτοτητας Εστω μια συναρτηση f ειναι συνεχης σ'ενα διαστημα Δ. • Αν για καθε εσωτερικο σημειο x του Δ, ισχυει f ’ ’ ( x ) > 0, τοτε η f στρεφει τα κ ο ι λ α προς τα π α ν ω στο Δ. • Αν για καθε εσωτερικο σημειο x του Δ, ισχυει f ’ ’ ( x ) < 0, τοτε η f στρεφει τα κ ο ι λ α προς τα κ α τ ω στο Δ. • Αν για καθε εσωτερικο σημειο x του Δ, ισχυει f ’ ’ ( x ) = 0 , τοτε η f δ ε ν στρεφει τα κοιλα προς τα πανω η κατω στο Δ.

19. Σ η μ ε ι α Κ α μ π η ς Εστω συναρτηση f παραγωγισιμη σ’ενα διαστημα (α, β), εκτος ισως ενος σημειου του x₀ . Το σημειο Α(x₀,f(x₀)) λεγεται σ η μ ε ι ο κ α μ π η ς της γρ. παραστασης της f, αν • Η f στρεφει τα κοιλα προς τα πανω (κατω) στο (α,x₀) και προς τα κατω (πανω) στο διαστημα (x₀,β).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

166

• Υπαρχει εφαπτομενη της γραφ. παραστασης της f στο σημειο Α(x₀,f(x₀)), η οποια μπορει να ειναι και κατακορυφη. Κριτηριο Σημειων Καμπης Αν • η f” αλλαζει προσημο εκατερωθεν του x0 • οριζεται εφαπτομενη της Cf στο σημειο Α(x0,f(x0)) τοτε το Α(x0,f(x0)) ειναι σημειο καμπης. Πιθανες Θεσεις Σημειων Καμπης Οι πιθανες θεσεις των σημειων καμπης μιας συναρτησης f σ’ενα διαστημα Δ ειναι: • Τα εσωτερικα σημεια του Δ στα οποια μηδενιζεται η f”. • Τα εσωτερικα σημεια του Δ στα οποια δεν υπαρχει η f”. Παρατηρησεις • Αν η f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο διαστημα Δ, το x0 ειναι εσωτερικο σημειο του Δ και το σημειο Α(x0,f(x0)) ειναι σημειο καμπης, τοτε: f ” ( x 0 ) = 0 . • Η εφαπτομενη σε ενα σημειο καμπης διαπερνα την γραφικη παρασταση.

20. Α σ υ μ π τ ω τ ε ς • Η ευθεια x = x₀, με x₀∈  , λεγεται κ α τ α κ ο ρ υ φ η α σ υ μ π τ ω τ η της γραφικης παραστασης της f, οταν ισχυει τουλαχιστον ενα απο τα:

lim f(x) = ±  , lim - f(x) = ± 

x x0+

• Η ευθεια y =

x x0

 λεγεται ο ρ ι ζ ο ν τ ι α α σ υ μ π τ ω τ η της γρ. παραστασης της f ,

οταν ισχυει:

lim f(x) =  η lim f(x) = 

x+ 

x - 

• Η ευθεια y = λ x + β , λεγεται α σ υ μ π τ ω τ η της γραφικης παραστασης της f, αν :

lim [f(x) - (λx + β)] = 0 η lim [f(x) - (λx + β)] = 0

x+ 

x- 

• Αν λ ≠ 0, τοτε η ασυμπτωτη y = λx + β λεγεται π λ α γ ι α α σ υ μ π τ ω τ η και ισχυει

f(x) f(x) = λ και lim [f(x) - λx] = β η lim = λ και lim [f(x) - λx] = β x+  x x+  x -  x x-  • Αν λ = 0, τοτε η ασυμπτωτη ειναι ο ρ ι ζ ο ν τ ι α . lim

Παρατηρησεις • Η γρ. παρασταση της f αποκλειεται να τεμνει κατακορυφη ασυμπτωτη. • Η γραφικη παρασταση της f μπορει να τεμνει οριζοντια η πλαγια ασυμπτωτη.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

167

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

• Μπορει να υπαρχουν πολλες κατακορυφες ασυμπτωτες της γραφικης παραστασης της f. • Οταν υπαρχει πλαγια η οριζοντια ασυμπτωτη, τοτε αυτη ειναι μοναδικη. • Αν η γραφικη παρασταση της f εχει πλαγια ασυμπτωτη, τοτε δεν θα εχει οριζοντια και αντιστροφα. • Μπορει η γραφικη παρασταση της f να εχει κατακορυφες ασυμπτωτες και οριζοντια η πλαγια ασυμπτωτη. • Δεν εχουν ασυμπτωτες: • Οι πολυωνυμικες συναρτησεις με βαθμο ν  2. • Οι ρητες συναρτησεις που η διαφορα βαθμων αριθμητη και παρονομαστη ειναι μεγαλυτερη η ιση του 2. • Οι τριγωνομετρικες συναρτησεις ημx και συνx . Ευρεση Κατακορυφης Ασυμπτωτης • Βρισκουμε τα σημεια x₀ στα οποια θα αναζητησουμε την ασυμπτωτη. Αυτα ειναι: • Τα ακρα των διαστηματων του πεδιου ορισμου της f, στα οποια η f δεν οριζεται. • Τα σημεια του πεδιου ορισμου της f, στα οποια η f δεν ειναι συνεχης. • Βρισκουμε τα πλευρικα ορια της f στο x₀ και αν ενα τουλαχιστον απ’αυτα ειναι το +∞ η το -∞ τοτε η ευθεια x = x ₀ ειναι κατακορυφη ασυμπτωτη της γρ. παραστασης της f. Ευρεση Οριζοντιας - Πλαγιας Ασυμπτωτης Υπολογιζουμε το lim f(x) και: x+ 

• Aν lim f(x) = λ, τοτε η ευθεια y = λ ειναι οριζοντια ασυμπτωτη της Cf καθως το x+ 

x→+∞, οποτε δεν αναζητουμε πλαγια ασυμπτωτη. • Αν δεν υπαρχει το lim f(x) , δεν υπαρχει οριζοντια ουτε πλαγια ασυμπτωτη. x+ 

• Αν lim f(x) = ± ∞, τοτε αναζητουμε πλαγια ασυμπτωτη : x+ 

f(x) x+  x • β= lim [f(x) - λx] • λ= lim

x+ 

•y=λx+β Αν ενα απ’τα πιο πανω ορια που υπολογισαμε δεν υπαρχει η ειναι το ±∞, οτε η C f δεν εχει πλαγια ασυμπτωτη. Ομοια εργαζομαστε αν υπολογισουμε το lim f(x) . x- 

Κριτηρια Για Ασυμπτωτη Ρητης Συναρτησης

α ν x ν + ...+ α0 Εστω η ρητη συναρτηση : f(x) = , α β  0 β μ x μ + ...+ β0 ν μ

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

168

Η γραφικη παρασταση της f θα εχει: • Κ α τ α κ ο ρ υ φ η α σ υ μ π τ ω τ η την ευθεια x = x ₀, oπου x₀ ειναι ριζα μονο του παρονομαστη, η ριζα του αριθμητη και παρονομαστη συγχρονως, αλλα με βαθμο πολλαπλοτητας μεγαλυτερο στον παρονομαστη. • Ο ρ ι ζ ο ν τ ι α α σ υ μ π τ ω τ η την ευθεια y =

αν , oταν ο βαθμος του αριθμητη ειβμ

ναι ισος με το βαθμο του παρονομαστη. • Ο ρ ι ζ ο ν τ ι α α σ υ μ π τ ω τ η την ευθεια y = 0 (αξονας x’x), οταν ο βαθμος του αριθμητη ειναι μικροτερος του βαθμου του παρονομαστη. • Π λ α γ ι α α σ υ μ π τ ω τ η μονο οταν ο βαθμος του αριθμητη ειναι κατα μοναδα μεγαλυτερος του βαθμου του παρονομαστη.

21. D e L ‘ H o s p i t a l • 1ος Κανονας (για μορφες

0 ) 0

Εστω οι συναρτησεις f, g και x₀∈  ∪{+ ∞, - ∞}, αν ισχυουν: • lim f(x) = 0 = lim g(x) x  x0

x  x0

f'(x) και ειναι πεπερασμενο η απειρο τοτε x  x 0 g'(x)

• υπαρχει το lim

f(x) f'(x) = lim x  x 0 g(x) x  x 0 g'(x) lim

• 2ος Κανονας (για μορφες

 ) 

Εστω οι συναρτησεις f, g και x₀∈  ∪{+ ∞, - ∞}, αν ισχυουν:

• lim f(x) = ±  και lim g(x) = ±  x  x0

x  x0

f'(x) και ειναι πεπερασμενο η απειρο τοτε x  x 0 g'(x)

• υπαρχει το lim

f(x) f'(x) = lim x  x 0 g(x) x  x 0 g'(x) lim

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

169

22. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 22.1 Π α ρ α γ ω γ ι σ ι μ ο τ η τ α σ τ η θ ε σ η x 0 22.1.1 Με γνωστα: Τον τυπο της συναρτησης και τη θεση x0 .

● Ζητουμενα : Παραγωγισιμοτητα σ’ενα σημειο x0 η θεση αλλαγης τυπου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και η θεση x0 .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε τη τιμη f(x0)

f(x) - f(x 0 ) x x Ο x - x0

● Βρισκουμε το οριο lim

● Για πολλαπλο τυπο η για x0 που μηδενιζει απολυτο, παιρνουμε πλευρικα ορια. Αν το πιο πανω οριο ειναι πραγματικος αριθμος, η συναρτηση ειναι παραγωγισιμη στη θεση x0 .

Να εξεταστει αν ειναι παραγωγισιμες στη θεση x0 oι συναρτησεις : • f(x) = x + συν2x, x0 = 0 x 2 - x + 2 • g(x) =  2 2x - 3x + 3

x  1  , x > 1 

x0 = 1

• Ειναι f(0) = 0 + συν0 = 0 + 1 = 1 (1) f(x) - f(x0 ) x + συν2x - f(0) (1) x + συν2x - 1 lim = lim = lim = ↓ x Ο x Ο x Ο x - x0 x-0 x 2

 2ημ 2x   1 - συν2x  συν2x = 1 - 2ημ x  ημx  = lim 1 = lim 1= lim 1 - 2ημx    =  x Ο x Ο x Ο x x x       = 1 - 2  0 1 = 1 Οποτε η f ειναι παραγωγισιμη στο x0 = 0 με f'(0) = 1 .

• Ειναι

g(1) = 1 2 - 1 + 2 = 2 (2) g(x) - g(x0 ) x 2 - x + 2 - g(1) (2) x2 - x +2-2 x2 -x • lim= lim = lim = lim = ↓ x 1 x 1 x1 x 1 x - x0 x -1 x -1 x -1 x(x - 1 ) = lim = lim - x = 1 x 1 x1 x -1 2 g(x) - g(x0 ) 2x - 3x + 3 - g(1) (2) 2x 2 - 3x + 3 - 2 • lim+ = lim + = lim + = ↓ x 1 x 1 x 1 x - x0 x -1 x -1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

170

2x 2 - 3x + 1 (2x - 1) (x - 1) = lim + = lim + = lim + (2x - 1) = 2  1 - 1 = 1 x 1 x 1 x 1 x -1 x -1 Οποτε η g ειναι παραγωγισιμη στο x0 = 1 με g'(1) = 1.

22.1.2 Ευρεση παραμετρου ωστε η συναρτηση f να ειναι παραγωγισιμη στη θεση x0

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και η θεση x0 .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε οτι η f ειναι συνεχης στο x0 και τη τιμη f(x0) που τη χρησιμοποιω στο πιο κατω οριο, η απ’την οποια προκυπτει σχεση μεταξυ των παραμετρων .

f(x) - f(x 0 ) που δινει τη παραμετρο η σχεση μεταξυ x x Ο x - x0

● Βρισκουμε το οριο lim των παραμετρων .

● Στη περιπτωση δυο παραμετρων, λυνουμε το συστημα που προκυπτει απ’τη συνεχεια και τον ορισμο της παραγωγου .

Δινεται η συναρτηση : 2 x < 1  x + 2 f(x) =   αx + β x  1  Να προσδιορισετε τα α, β   , ωστε η f να ειναι παραγωγισιμη στη θεση x = 1. Πρεπει η f να ειναι συνεχης στη θεση x = 1, δηλαδη : lim - f(x) = lim + f(x) = f(1)  α + β = 3 (1) x 1

x 1

(1)

• f(1) = α  1 + β = 3 (2) f(x) - f(x0 ) x 2 + 2 - f(1) (2) x2 +2-3 x 2 -1 • lim = lim = lim = lim = x 1 x 1 x 1 x 1 x - x0 x -1 x -1 x -1

(x + 1) (x - 1) = lim - (x + 1) = 1 + 1 = 2 x 1 x 1 x -1 (2) f(x) - f(x0 ) αx + β - f(1) αx + β - 3 (1) αx - α • lim + = lim + = lim + = lim + = x 1 x1 x 1 x 1 x -1 x -1 x -1 x - x0 = lim -

α (x - 1) = lim + α = α x1 x 1 x -1 Οποτε α = 2 και με τη βοηθεια της ( 1), β = 1 . = lim +

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

171 22.1.3 Με γνωστα: Σχεση συναρτησεων και τη θεση x0 .

● Ζητουμενα : Παραγωγισιμοτητα σ’ενα σημειο x0 .

● Δοσμενα : Σχεση συναρτησεων και τη θεση x0 .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε τη τιμη f(x0) . ● Βρισκουμε το τυπο της f η σχεση της f που μπορουμε να χρησιμοποιησουμε στο πιο κατω οριο .

f(x) - f(x 0 ) που δινει τη παραμετρο η σχεση μεταξυ x x Ο x - x0

● Βρισκουμε το οριο lim των παραμετρων .

Εστω η συναρτηση f που ειναι συνεχης στο  και ισχυει : ημx - x 2  f(x)  ημx + x 2 , για καθε x   . Να εξετασετε αν η f ειναι παραγωγισιμη στο x0 = 0. Για x = 0 η δοσμενη σχεση γινεται : ημ0 - 0 2  f(0)  ημ0 + 0 2  0  f(0)  0  f(0) = 0 Ειναι

(1)

   ημx  ημx - x 2 lim = lim  - x = 1 - 0 =1  x  0 x Ο x    x    (2) 2 lim ημx + x = lim  ημx + x  = 1 + 0 = 1    x  0  x Ο x  x    • Για x > 0, δ ιαιρωντας με x, η δοσμενη σχεση γινεται : ημx - x 2 f(x) ημx + x 2 ( 2 ) f(x)    lim + =1 x Ο x x x x • Για x < 0, διαιρωντας με x, η δοσμενη σχεση γινεται : ημx - x 2 f(x) ημx + x 2 ( 2 ) f(x)    lim =1 x Ο x x x x f(x) Δηλα δη, lim = 1 (3) x 0 x Ετσι f(x) - f(x0 ) f(x) - f(0) ( 1 ) f(x) - 0 f(x) ( 3 ) lim = lim = lim = lim =1 x0 x Ο x Ο x Ο x - x0 x-0 x-0 x

Oποτε η f ειναι παραγωγισιμη στο x0 = 0.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

172

22.2 Ε υ ρ ε σ η Π α ρ α γ ω γ ο υ σ τ η θ ε σ η x 0 22.2.1 Με γνωστα: Ισοτητα (ανισοτητα) που περιεχει την f(x) και f παραγωγισιμη .

● Ζητουμενα : Ευρεση παραγωγου .

● Δοσμενα : Σχεση συναρτησεων και τη θεση x0 .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε τη τιμη f(x0), θετοντας στην ισοτητα (ανισοτητα) στη θεση του x = x0.

f(x) - f(x 0 ) μετασχηματιζοντας τη δοσμενη σχεση, ωσx x Ο x - x0

● Βρισκουμε το οριο lim

f(x) - f(x 0 ) (στη περιπτωση ανισοτητας παιρνουμε κριτηx - x0

τε να εμφανισουμε το ριο παρεμβολης) .

Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στη θεση x = 0, να βρεθει η f'(0), αν για καθε x   ισχυει : f 2 (x) - 4ημxf(x) + ημ 2 2x = 0.  Για x = 0 η δοσμενη σχεση γινεται : ημ0 = 0

f 2 (0) - 4ημ0  f(0) + ημ 2 2  0 = 0  f 2 (0) = 0  f(0) = 0  Ειναι f(x) - f(0) f(x) - 0 f(x) f'(0) = lim = lim = lim = a (2) ↓ x0 x0 x-0 x 0 x x-0  Διαιρουμε τη δοσμενη σχεση με x 2 :

(1)

 f(x)   ημ2x  f 2 (x) 4ημxf(x) ημ 2 2x ημx f(x) + =0 + 4   -4  = 0 (3) 2 2 2 x x  x   2x  x x x  Παιρνουμε το οριο της (3) με x  0. 2

(2 )  f(x)   ημ2x  ημx f(x) lim  4 lim lim + 4 lim = 0        ημx x  0 x  x0 x x0 x x  0  2x   lim =1 x0

α 2 - 4  1  α + 4  1 2 = 0  α 2 - 4α + 4 = 0  (α - 2) 2 = 0  α - 2 = 0  α = 2 Τελικα απο (2) : f'(0) = 2

Αν για καθε x  ισχυει : ημx - x

 f(x)  ημx + x 2 , να βρεθει η f'(0) .

Για x = 0 η δοσμενη σχεση γινεται : ημ0 - 0 2  f(0)  ημ0 + 0 2  0  f(0)  0  f(0) = 0

(1)

Ειναι

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

173    ημx  ημx - x 2 = lim  - x = 1 - 0 =1  lim x Ο x x  0   x    (2) 2   ημx + x ημx lim = lim  + x = 1 + 0 =1  x  0  x Ο x x     • Για x > 0, διαιρωντας με x, η δοσμενη σχεση γινεται : ημx - x 2 f(x) ημx + x 2 ( 2 ) f(x)    lim + =1 x Ο x x x x • Για x < 0, διαιρωντας με x, η δοσμενη σχεση γινεται : ημx - x 2 f(x) ημx + x 2 ( 2 ) f(x)    lim =1 x Ο x x x x f(x) Δηλαδη, lim = 1 (3) x 0 x Ετσι f(x) - f(0) ( 1 ) f(x) - 0 f(x) ( 3 ) = lim = lim =1 f'(0) = lim x Ο x Ο x Ο x-0 x-0 x

22.2.2 Με γνωστα: Οριο σχεσης που περιεχει την f(x) και f παραγωγισιμη .

● Ζητουμενα : Ευρεση παραγωγου .

● Δοσμενα : Σχεση συναρτησεων και τη θεση x0 .

● Τροπος Λυσης : ● Θεωρουμε βοηθητικη συναρτηση g(x) ιση με τη σχεση στο οριο . ● Βρισκουμε το οριο της f(x) για x → x0 και στη συνεχεια τη τιμη f(x0) .

f(x) - f(x 0 ) = f'(x 0 ) . x x Ο x - x0

● Το οριο lim

Εστω η συναρτηση f που ειναι συνεχης στο x0 = 1 και ισχυει : lim ↓ x

Να αποδειξετε οτι : • f(1) = 0 • Θετουμε g(x) =

• f'(1) = 7

 lim g(x) = 7 f(x) , οποτε :  x  1 x -1 f(x) = (x - 1)  g(x)

Eιναι lim f(x) = lim [(x - 1)  g(x)] = lim (x - 1)  lim g(x) = 0  7 = 0 x 1

f(x) =7 x -1

x 1

(1)

Ομως η f ειναι συνεχης στο x0 = 1, oποτε (1)

• lim f(x) = f(1)  f(1) = 0 x 1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

(2)

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

174

f(x) - f(1) ( 2 ) f(x) υποθεση • lim = lim = 7  f'(1) = 7 x 1 x  1 x -1 x -1

22.2.3 Με γνωστα: Συναρτησιακη σχεση αθροισματος – γινομενου δυο μεταβλητων.

● Ζητουμενα : Αποδειξη σχεσης συναρτησης και της παραγωγου της .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση αθροισματος – γινομενου δυο μεταβλητων .

● Τροπος Λυσης : ● Θετουμε x = y = ουδετερο στοιχειο πραξης (0 για προσθεση, 1 για πολλαπλασιασμο) και βρισκουμε το f(0) η f(1) .

f(x) - f(x 0 ) = f(x0), με αλλαγη μεταβλητης x x Ο x - x0

● Βρισκουμε το lim

● u = x - x0 και για x → x0 τoτε u → 0 (προσθεση) .

● u = x / x0 και για x → x0 τoτε u → 1 (πολλαπλασιασμος) .

Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο x = 0 με f'(0) = a και για καθε x, y   ειναι : f(x + y) = f(x)  f(y) - xy, με f(0)  0, να δειξετε οτι f'(x0 ) = af(x0 ) - x0 για καθε x0  0. Για x = y = 0 η σχεση γινεται : f(0)  0

f(0) = f 2 (0) - 0 2  f(0)[f(0) - 1] = 0  f(0) = 1 (1).  Στη θεση x0 = 0 :

f(x) - f(0) (1) f(x) - 1 = lim = α ( 2) x 0 x 0 x-0 x

f'(0) = lim

 Στη θεση x0  0 :

Θετουμε : u = x - x0 οποτ ε οταν x  x0 τοτ ε u  0. Eτσι

f(x) - f(x0 ) f(x0 + u) - f(x0 ) f(x + y) = f(x)f(y) - xy = lim = x  x0 u0 x - x0 u

f'(x0 ) = lim

f(x0 )f(u) - x0u - f(x0 ) f(x0 )(f(u) - 1) - x0u = lim = u0 u0 u u (2) f(x0 )(f(u) - 1) xu f(u) - 1 = lim - lim 0 = f(x0 ) lim - x0 lim 1 = u0 u u0 u0 u0 u u = f(x0 )  a - x0 = af(x0 ) - x0 .

= lim

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

175

Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο x = 1 με f'(1) = a και για καθε x, y   ει af(x0 ) ναι : f(x  y) = f(x)  f(y), με f(1)  0, να δειξετε οτι f'(x0 ) = για καθε x0  0. x0 f(1)  0

Για x = y = 1 η σχεση γινεται : f(1) = f 2 (1)  f(1)[f(1) - 1] = 0  f(1) = 1 (1).  Στη θεση x0 = 1 : f(x) - f(1) (1) f(x) - 1 = α (2) f'(1) = lim = li m x 1 x 1 x - 1 x -1  Στη θεση x0  1 : Θ ετουμε : u = Eτσι

x οποτε x = x0  u και ο ταν x  x0 τοτε u  1. x0

f(x) - f(x0 ) f(x0  u) - f(x0 ) f'(x0 ) = lim = lim x  x0 u1 x - x0 x0  u - x0

f(x  y) = f(x)f(y)

f(x0 )f(u) - f(x0 ) = u1 x0 (u - 1) lim

f(x0 ) [f(u) - 1] f(x0 ) af(x0 ) f(u) - 1 (2) f(x0 ) = a = = .  l im u1 x0 (u - 1) x0 u  1 u - 1 x0 x0

= lim

22.3 Ε υ ρ ε σ η Π α ρ α γ ω γ ο υ Β α σ ι κ ω ν Σ υ ν α ρ τ η σ ε ω ν 22.3.1 Παραγωγοι γνωστων συναρτησεων και κανονες παραγωγισης .

● Ζητουμενα : Ευρεση παραγωγου συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Χρησιμοποιουμε τις παραγωγους γνωστων συναρτησεων . ● Χρησιμοποιουμε τους κανονες παραγωγισης .

Να βρεθει η παραγωγος των συναρτησεων : • f(x) = 2x 3 - 3x 2 + 5x - 5

• g(x) = x 3 + x - e 2 + lnx - ln5

• h(x) = συνx + ημ

π 3

• Αf = 

f'(x) = (2x 3 - 3x 2 + 5x - 5)' = (2x 3 )'- (3x 2 )' + (5x)'- 5' = 2  3x 2 - 3  2x + 5  1 - 0 =

= 6x 2 - 6x + 5 • Α g = (0, +)

g'(x) = (x 3 + x - e 2 + lnx - ln5)' = (x 3 )'- ( x)'+ (lnx)'- (ln5)' = 3x 2 -

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

1 2 x

1 -0= x

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ = 3x 2 • Αh = 

176

1 2 x

1 x

π π h'(x) = (συνx + ημ )' = (συνx)' + (ημ )' = - ημx + 0 = - ημx 3 3

Να βρεθει η παραγωγος των συναρτησεων : • f(x) = 2 x + 4

• h(x) = e x (ημx - συνx)

• g(x) = εφx - x 1 + 2lnx • t(x) = 4x 2

• Αf = 

f'(x) = (2 x + 4 x )' = (2 x )'+ (4 x )' = 2 x  ln2 + 4 x  ln4 = 2 x  ln2 + (2 2 ) x  ln2 2 =

= 2 x  ln2 + 2 2x  2  ln2 = 2 x  ln2 + 2 2x + 1  ln2 = (2 • Αg = 

g'(x) = (εφx - x)' = (εφx)'- (x)' = • Αh = 

2x +1

)ln2

1 1 - συν 2x ημ 2x 1 = = = εφ 2 x 2 2 2 συν x συν x συ ν x

h'(x) = e x (ημx - συνx) ' = (e x )'(ημx - συνx) + e x (ημx - συνx)' = = e x (ημx - συνx) + e x (ημx)'- (συνx)' = e x (ημx - συνx) + e x συνx - (-ημx)  =

= e xημx - e xσυνx + e xσυνx + e xημx = 2e x ημx • Α t = (0, + )

1 2  1 + 2lnx  (1 + 2lnx)'4x 2 - (1 + 2lnx)(4x2 )' 2  x  4x - (1 + 2lnx)8x = = t'(x) =  ' = 2 (4x 2 ) 2 16x 4  4x  8x  (1 - 1 - 2lnx) - 2lnx - lnx = = = 16x 4 2x 3 x3

22.3.2 Συνθετη συναρτηση f ⃘ g

● Ζητουμενα :

Ευρεση παραγωγου συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης (συνθετης) .

● Τροπος Λυσης : ● Διαπιστωνουμε ποια συναρτηση ειναι η f και ποια η g . ● Xρησιμοποιουμε το τυπο : [ f ( g ( x ) ) ] ’ = f ’ ( g ( x ) ) ∙ g ’ ( x ) και με γνωστες πραξεις φτανουμε στο αποτελεσμα .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

177

Να βρεθει η παραγωγος των συναρτησεων : • f(x) = ημ 2 (e x + 1) • f'(x) = [ημ (e + 1)]' 2

• g(x) = ln( f(x) = x 2

g(x) = ημ(e x + 1)

2ημ(e x + 1)  [ημ(e x + 1)]' ημ2α = 2ημασυνα

= 2ημ(e + 1)  συν(e + 1)(e + 1)' x

ημx συνx ) - ln( ) x x

f(x) = ημx

g(x) = e x + 1

ημ2(e + 1)[(e )'+ 1'] x

(e x )' = e x

1' = 0

= ημ2(e x + 1)(e x + 0) = e x ημ2(e x + 1) g(x) = lnx   ημx    ημx     συνx    συνx   • g'(x) = ln  = ln    - ln  '   '- ln  ' συνx x    x  , h(x) =  x   f(x) = ημx    x   x x

( lnx)' =

1 x

1  η μx  1  συνx   ' ' = ημx  x  συνx  x  x x x (ημx)'x - ημx  x' x (συνx)'x - συνx  x' ( ημx)' = συνx =   = ( συνx)' = - ημx ημx συνx x2 x2 xσυνx - ημx -xημx - συνx xσυνx ημx xημx συνx = = + + = xσυνx xημx xημx xσυνx xσυνx xημx 1 1 = σφx - + εφx + = εφx + σφx x x =

22.3.3 Συναρτηση της μορφης f(x) g(x) , με f(x) > 0

● Ζητουμενα : Ευρεση παραγωγου συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης ( f(x) g(x) , με f(x) > 0 ) .

● Τροπος Λυσης : ● Ισχυει : f(x) g ( x ) = e l n f ( x )

g( x)

= e g ( x )ln f ( x ) .

● Ισχυει: (e f ( x ) )' = e f ( x )  f'(x) και (e g ( x ) l n f ( x ) )' = e g ( x ) l n f ( x )  ( g ( x ) l n f ( x ))' ● Τελικα: (f(x) g(x) )' = e g ( x ) l n f ( x )  ( g ( x ) l n f ( x ))' .

Να βρεθει η παραγωγος των συναρτησεων : • φ(x) = (ημx) συνx

• σ(x) = x

lnx

Ισχυει : f(x) g(x) = e lnf(x)

g(x)

= e g(x)lnf(x) (I) και

(f(x) g(x) )' = (e g(x)lnf(x) )' = e g(x)lnf(x)  ( g(x)lnf(x))' =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

178

= e g(x)lnf(x)  ( g'(x)lnf(x) + g(x)ln'f(x)) = g(x)  f'(x) (I) )= f(x) 1 = f(x) g(x)  ( g'(x)lnf(x) + g(x)   f'(x)) f(x) = e g(x)lnf(x)  ( g'(x)lnf(x) +

(1)

(1)   1 (ημx)συνx  ' = (ημx)συνx . - ημx  ln(ημx) + συνx   (ημx)' =   g(x) = συνx ημx   2  συν x  = (ημx) συνx  - ημx  ln(ημx) +  , x  (0, π) ημx   (1) f(x) = x 1 1 1 • σ'(x) = (x lnx )' = x lnx  ( ln' (x)lnx + lnx   x') = x lnx  (  lnx + lnx   1) = g(x) = lnx x x x lnx 2lnx  x = , x  (0, + ) x

• φ'(x)

f(x) = ημx

22.3.4 Συναρτηση με πολλαπλο τυπο η τυπο που περιεχει απολυτα.

● Ζητουμενα : Ευρεση παραγωγου συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης (πολλαπλος η περιεχει απολυτα) .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε την παραγωγο σε καθε κλαδο καθως και στο σημειο αλλαγης τυπου . ● Στη περιπτωση απολυτων μετατρεπουμε το τυπο της συναρτησης σε πολλαπλο .

Να βρεθει η παραγωγος της συναρτησης : x 3 + 3x 2 + 2, x < 1  f(x) =  4  x  1  x + 5x, • f(1) = 1 4 + 5  1 = 6 • Για x > 1 : f'(x) = (x 3 + 3x 2 + 2)' = 3x 2 + 6x • Για x < 1 : f'(x) = (x 4 + 5x)' = 4x 3 + 5 • Για x = 1 :

f(x) - f(1) x 3 + 3x 2 + 2 - 6 x 3 + 3x 2 + 2 - 6 = lim lim = ↓ x 1 x 1 x 1 x -1 x -1 x -1 (x - 1)(x 2 + x + 1) + 3(x - 1)(x + 1) (x 3 - 1) + (3x 2 - 3) = lim = = lim x 1 x1 x -1 x -1 (x - 1)(x 2 + x + 1 + 3x + 3) = lim = lim -(x 2 + 4x + 4) = 9 x1 x 1 x -1

• lim-

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

179

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

f(x) - f(1) x 4 + 5x - 6 (x 4 - 1) + (5x - 5) = lim + = lim + = ↓ x 1 x 1 x 1 x -1 x -1 x -1 (x 2 - 1)(x 2 + 1) + 5(x - 1) (x - 1)(x + 1)(x 2 + 1) + 5(x - 1) = lim + = lim + = x1 x 1 x -1 x -1 (x - 1) (x 3 + x + x 2 + 1 + 5) = lim + = li m + (x 3 + x 2 + x + 6) = 9 x1 x 1 x -1 Τελικα 3x 2 + 6x, x > 1  f'(x) = 9 x=1 4x 3 + 5, x<1  • lim+

Να βρεθει η παραγωγος της συναρτησης : f(x) = x 4 + 5 | x - 1 |, με x  1 . x 4 + 5x - 5, αν x > 1 Ειναι f(x) = x + 5 | x - 1 |  f(x) =  4 x - 5x + 5, αν x < 1 • Για x > 1 : f'(x) = (x 4 + 5x - 5)' = 4x 3 + 5 4

• Για x < 1 : f'(x) = (x 4 - 5x + 5)' = 4x 3 - 5 Τελικα 4x 3 + 5, αν x > 1 f(x) =  3 4x - 5, αν x < 1 22.4 Π α ρ α γ ω γ ο ς κ α ι Π ο λ υ ω ν υ μ ι κ η Σ υ ν α ρ τ η σ η 22.4.1 Ευρεση πολυωνυμου απο σχεση παραγωγων του .

● Ζητουμενα : Ευρεση πολυωνυμου .

● Δοσμενα : Σχεση παραγωγων συναρτησης και πολυωνυμου .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε το βαθμο του πολυωνυμου, απ’τη δοσμενη σχεση . ● Εμφανιζουμε τις παραγωγους σαν πολυωνυμα ( η πρωτη παραγωγος εχει βαθμο κατα ενα μικροτερο απ’το βαθμο του πολυωνυμου, η δευτερη κατα δυο κλπ) . ● Σχηματιζουμε ισοτητα πολυωνυμων και εξισωνουμε τους αντιστοιχους συντελεστες .

Να βρεθει το πολυωνυμο P(x), ωστε για καθε x   να ισχυει : P(x) + P'(x) - P''(x) = x 3 + 5x 2 + x + 3 (1)

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

180

Aφου το δευτερο μελος της δοσμενης σχεσης ειναι πολυωνυμο τριτου βαθμου, τοτε το P(x) θα ειναι και αυτο τριτου βαθμου, ενω P'(x), P"(x) θα ειναι δευτερου και πρω του βαθμου αντιστοιχα. Ετσι P(x) = αx 3 + βx 2 + γx + δ    2 P'(x) = 3αx + 2βx + γ  (2) P''(x) = 6αx + 2β    Απο (1) και (2) προκυπτει : αx 3 + βx 2 + γx + δ + 3αx 2 + 2βx + γ - 6αx - 2β = x 3 + 5x 2 + x + 3  αx 3 + (β + 3α)x 2 + (γ + 2β - 6α)x + (δ + γ - 2β) = x 3 + 5x 2 + x + 3 Οποτε (ισα πολυωνυμα) α = 1 α = 1 α = 1 α = 1 α = 1      β + 3α = 5 β + 3 = 5 β = 2 β = 2 β = 2      γ + 2β - 6α = 1 γ + 2β - 6 = 1 γ + 4 - 6 = 1 γ = 3 γ = 3 δ + γ - 2β = 3 δ + γ - 2β = 3 δ + γ - 4 = 3 δ + 3 = 7 δ = 4 Δηλαδη το ζητουμενο πολυωνυμο ειναι : P(x) = x 3 + 2x 2 + 3x + 4 22.4.2 Ευρεση παραμετρων τυπου συναρτησης με παραγωγο γνωστο πολυωνυμο .

● Ζητουμενα : Ευρεση τιμων συναρτησης .

● Δοσμενα : Σχεση της παραγωγου και τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Παραγωγιζουμε το τυπο της συναρτησης . ● Σχηματιζουμε ισοτητα πολυωνυμων (απο δοσμενη σχεση και παραγωγισμο του τυπου της συναρτησης) και εξισωνουμε τους αντιστοιχους συντεστες .

Δινεται η συναρτηση : f(x) = (αx 2 - β) 3 . Να βρεθουν οι τιμες των α και β, ωστε για καθε x   να ισχυει : f'(x) = 6x 5 - 24x 3 + 24x (1) Ειναι

f'(x) = [(αx 2 - β) 3 ]' = 3(αx 2 - β) 2 (αx 2 - β)' = 3(αx 2 - β) 2  2αx = = 6αx(α 2x 4 - 2αβx 2 + β 2 ) = 6α 3 x 5 - 12α 2 βx 3 + 6αβ 2 x Απο (1) και (2) προκυπτει : 6x 5 - 24x 3 + 24x = 6α 3 x 5 - 12α 2 βx 3 + 6αβ 2 x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

(2)

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

181

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Οποτε (ισα πολυωνυμα) 6α 3 = 6 α 3 = 1 α = 1 α = 1   2  2 2 - 12α β = - 24  α β = 2  1  β = 2   β = 2 6αβ 2 = 24 αβ 2 = 4 1  β 2 = 4    22.5 Π α ρ α γ ω γ ο ς κ α ι E φ α π τ ο μ ε ν η 22.5.1 Ευρεση εξισωσης εφαπτομενης της Cf με γνωστο το σημειο επαφης ( μας ενδιαφερει η τετμημενη) .

● Ζητουμενα : Ευρεση εξισωσης εφαπτομενης της συναρτησης .

● Δοσμενα : Σχεση της παραγωγου και τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε τα x0, f(x0) και f’(x0) . ● Η ζητουμενη εξισωση ειναι: y - f(x0) = f’(x0) ∙ (x - x0) .

Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης της γραφικης παραστασης της συναρτησης f(x) = x - xlnx στο x0 = e . Ειναι f'(x) = (x - xlnx)' = 1 - lnx - 1 = - lnx και f(e) = e - e  lne = 0, δηλαδη : x0 = e    f(x0 ) = f(e) = 0   y - 0 = - 1(x - e)  y = - x + e f'(x ) = - lne = - 1  0  

22.5.2 Ευρεση εξισωσης εφαπτομενης της Cf με γνωστο το συντελεστη διευθυνσης λ .

● Ζητουμενα : Ευρεση εξισωσης εφαπτομενης της συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο συντελεστης διευθυνσης της εξισωσης της εφαπτομενης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε την f’(x) και ειναι f’(x0) = λ, την οποια λυνουμε ως προς x0 . ● Βρισκουμε την f(x0), οποτε με γνωστα τα x0, f(x0) και f’(x0) . ● Η ζητουμενη εξισωση ειναι: y - f(x0) = f’(x0) ∙ (x - x0) . Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

182

Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης της γραφικης παραστασης της συναρτησης g(x) = x + ln(x - 3) 2 αν ο συντελεστης διευθυνσης της ειναι λ = 3. Ειναι g'(x) = [x + ln(x - 3) 2 ]' = 1 + [ln(x - 3) 2 ]' = 1 +

1 2(x - 3) [(x - 3) 2 ]' = 1 + (x - 3)' = 2 (x - 3) (x - 3) 2

2 x -1 1 = x -3 x -3 x -1 λ = g'(x0 ) = 3  0 = 3  x 0 - 1 = 3x 0 - 9  x 0 = 4 x0 -3 =1+

g(x 0 ) = g(4) = 4 + ln(4 - 3)2 = 4 + ln1 = 4 Aρα η ζητουμενη εξισωση ειναι :

y - 4 = 3(x - 4)  y - 4 = 3x - 12  y = 3x - 8 22.5.3 Ευρεση εξισωσης εφαπτομενης της Cf αν ο τυπος της συναρτησης ειναι πολλαπλος η περιεχει απολυτα .

● Ζητουμενα : Ευρεση εξισωσης εφαπτομενης της συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης (πολλαπλος η με απολυτα) .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε την f’(x0) (πλευρικα ορια) . ● Βρισκουμε την f(x0), οποτε με γνωστα τα x0, f(x0) και f’(x0) . ● Η ζητουμενη εξισωση ειναι: y - f(x0) = f’(x0) ∙ (x - x0) .

● Στη περιπτωση απολυτων μετατρεπουμε το τυπο της συναρτησης σε πολλαπλο .

Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης στη Cf στο σημειο με τετμημενη x0 = 0 της συναρτησης : f(x) =

x . 2+| x |

Ειναι A f =  και ο τυπος της συναρτησης γινεται :  x  2 + x , αν x  0 0 f(x) =  και f(0) = =0 2+0  x , αν x < 0  2 - x Eπισης

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

183

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

x -0 f(x) - f(x0 ) x 1 f(x) - f(0) 1 2 x lim= lim = lim = lim = = ↓ x Ο x Ο x  Ο x (2 - x) x x - x0 x-0 x 2-0 2 0

x -0 f(x) - f(x0 ) x 1 f(x) - f(0) 1 2+x lim = lim = lim = lim + = = + + + ↓ x Ο x Ο x  Ο x (2 + x) x x - x0 x-0 x 2+0 2 1 Aρα η f ειναι παραγ ω γισιμη με f'(x0 ) = f'(0) = . 2 Kαθως x0 = 0 και f(x0 ) = f(0) = 0 η εξισωση της εφαπτομενης ειναι : y - f(x0 ) = f'(x0 )(x - x0 )  y - 0 =

1 1 (x - 0)  y = x 2 2

22.5.4 Ευρεση εξισωσης εφαπτομενης της Cf αν διερχεται απο γνωστο σημειο .

● Ζητουμενα : Ευρεση εξισωσης εφαπτομενης της συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και σημειο που διερχεται η Cf .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε την f’(x) . ● Οι συντεταγμενες του γνωστου σημειου επαληθευουν την εξισωση της εφαπτομενης: : y - f(x0) = f’(x0) ∙ (x - x0) απ’την οποια βρισκουμε το x0 .

● Βρισκουμε την f(x0) και f’(x0) , οποτε με γνωστα τα x0, f(x0) και f’(x0) η ζητουμενη εξισωση ειναι: y - f(x0) = f’(x0) ∙ (x - x0) .

Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης στη Cf της συναρτησης f(x) = x 2 + 2, αν αυ -

τη διερχεται απ'το σημειο Β(1,3) . Ειναι Af =  και f'(x) = 2x (1)

Eπειδη διερχεται απ'το Β(1,3) τοτε η εξισωση της εφαπτομενης γινεται : y - f(x0 ) = f'(x0 )(x - x0 )  3 - x02 - 2 = 2x0 (1 - x0 )  3 - x02 - 2 = 2x0 - 2x02  x02 - 2x0 + 1 = 0  (x0 - 1)2 = 0  x0 = 1 Ετσι

  x0 = 1    2 f(x0 ) = 1 + 2 = 3  τοτε :   (1) f'(x0 ) = f'(1) = 2  1 = 2  y - 3 = 2(x - 1)  y = 2x + 1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

184

22.5.5 Ευρεση παραμετρου στο τυπο ευθειας που εφαπτεται της Cf αν ειναι γνωστη η συναρτηση f η σχεση της συναρτησης f .

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρου .

● Δοσμενα : Ειναι γνωστη η συναρτηση f η σχεση της συναρτησης f .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε την f’(x) . ● Οι συντεταγμενες του σημειου επαφης Α(x0, y0) επαληθευουν την εξισωση της εφαπτομενης ευθειας και την εξισωση της συναρτησης f. Λυνοντας το συστημα που προκυπτει καταληγουμε σε εξισωση ως προς x0 (απαλειφουμε το y0) και σε συνδιασμο με τη σχεση f’(x0) = λ (συντελεστης διευθυνσης της ευθειας) βρισκουμε το x0 . ● Βρισκουμε την f(x0), f’(x0) , οποτε με γνωστα τα x0, f(x0) και f’(x0) . ● Η ζητουμενη εξισωση ειναι: y - f(x0) = f’(x0) ∙ (x - x0) .

x2 λ Δινεται η συναρτηση f(x) = και η ευθεια (ε) : y = λx - 1 - , με λ   . 2 2 Nα βρεθουν οι τιμες του λ, για τις οποιες η (ε) εφαπτεται της Cf .  x 2  2x H f ειναι παραγωγισιμη στο , με f'(x) =  = x (1) ' = 2  2  Eστω Α(x0 , y0 ) το σημειο της Cf που η εφαπτομενη της ειναι η ευθεια (ε). Τοτε

 x02  y0 = x02 λ 2  = λx0 - 1 -  x0 2 - 2λx0 + 2 + λ = 0  2 2  y = λx - 1 - λ 0 0  2 Επισης, αφου η (ε) εφαπτομενη : (1)

f'(x0 ) = λ  x0 = λ

(2)

(3)

Oποτε η (2) λογω της (3) γινεται : λ = 2 λ2 - 2λ 2 + 2 + λ = 0  -λ2 + λ + 2 = 0   λ = -1

Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη και για καθε x   ισχυει (1 + x)f(x) = 5 - x 2 , να δειχτει οτι η ευθεια y = - 2x + 4 εφαπτεται της καμπυλης y = f(x) .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

185

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Ειναι [(1 + x)f(x)]' = [5 - x 2 ]'  (1 + x)'f(x) + (1 + x)f'(x) = - 2x  - 2x - f(x) f(x) + (1 + x)f'(x) = - 2 x  f'(x) = 1+x Για να εφαπτεται η ευθεια στην καμπυλη, εστω σε σημειο (x0 , y0 ) πρεπει :  y0 = - 2x0 + 4  y0 = - 2x0 + 4  y0 = - 2x0 + 4    5 - x0 2   5 - x0 2   2 y = 2x + 4 = (1 + x )y = 5 x   0 1+x  0 0 0 0 1 + x0 0    y0 = - 2x0 + 4  y0 = - 2x0 + 4  y0 = - 2x0 + 4       2 2 2 2 (- 2x0 + 4)(1 + x0 ) = 5 - x0 - 2x0 - 2x0 + 4 + 4x0 = 5 - x0 x0 - 2x0 + 1 = 0  y0 = - 2x0 + 4  y0 = - 2x0 + 4 y0 = 2      2 (x0 - 1) = 0 x0 - 1 = 0 x0 = 1 Ακομα πρεπει : f'(x0 ) = - 2 Πραγματι

Για x0 = 1, y0 = 2 : f'(x0 ) =

- 2x0 - f(x0 ) - 2 - 2 - 4 = = =-2 1 + x0 1 +1 2

Οποτε ειναι εφαπτομενη η ευθεια : y - 2 = -2(x - 1)  y = - 2x + 4 22.5.6 K o ι ν η Ε φ α π τ ο μ ε ν η 1. Κοινη εφαπτομενη των Cf, Cg σε καποιο κοινο σημειο τους .

● Ζητουμενα : Ευρεση της κοινης εφαπτομενης των Cf, Cg σε καποιο κοινο σημειο τους .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και σημειο που διερχεται η Cf .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε τη τετμημενη ενος κοινου σημειου των Cf, Cg , εστω x0 . ● Βρισκουμε τις f’(x0) και g’(x0) . ● Δειχνουμε οτι ισχυει: ● f(x0) = g(x0) ● f’(x0) = g’(x0) ● Η ζητουμενη ειναι: y - f(x0) = f’(x0) ∙ (x - x0) η y - g(x0) = g’(x0) ∙ (x - x0) .

π  Δινoνται οι συναρτησεις : h(x) = e x και p(x) = e 2 ημ  - 1 + x  . 4  Nα βρεθει η εξισωση της κοινης εφαπτομενης (αν υπαρχει) , των C h και C p σε κα -

ποιο κοινο σημειο τους .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

186

π  και p'(x) = e 2συν  - 1 + x  , οποτε : 4  h(1) = e h(1) = e h(1) = e    • π  π   2  p(1) = e 2ημ  4 - 1 + 1  p(1) = e 2ημ  4  p(1) = e 2   2       h(1) = p(1) = e (1) Eιναι h'(x) = e

h'(1) = e 1 h'(1 ) = e h'(1) = e    • π   π  2  p'(1) = e 2συν  4  p'(1) = e 2  p'(1) = e 2συν  4 - 1 + 1   2       h'(1) = p'(1) = e (2) Απο (1) και (2) προκυπτει οτι στη θεση x = 1 υπαρχει κοινη εφαπτομενη με εξισωση : y - h(1) = h'(1)(x - 1)  y - e = e(x - 1)  y = ex 2. Ευρεση παραμετρου αν Cf, Cg εχουν κοινη εφαπτομενη σε καποιο κοινο σημειο .

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρου .

● Δοσμενα : Οι τυποι των συναρτησεων .

● Τροπος Λυσης : ● Λυνουμε το συστημα των εξισωσεων: ● f(x0) = g(x0) ● f’(x0) = g’(x0)

Δινoνται οι συναρτησεις : f(x) = e x και g(x) = 4 - e λ - x . Nα βρεθει ο λ   , ωστε Cf και C g να εχουν σε καποιο κοινο σημειο τους, κοινη εφαπτομενη. Αν Α(x 0 , y0 ) το σημειο που οι C f και C g εχουν κοινη εφαπτομενη, πρεπει : f(x 0 ) = g(x0 )   f'(x 0 ) = g'(x0 )

e x 0 = 4 - e λ - x 0   x0 λ-x0 (4 - x 0 )' e = - e

e x 0 = 4 - e λ - x 0 e x 0 = 4 - e x 0   x  x0 λ-x λ-x e = e 0 e 0 = e 0

e x 0 = 4 - e x 0 2e x 0 = 4 e x 0 = 2 e x0 = 2 x 0 = ln2  λ       x0 e  x0    x0 2x0 λ λ  λ 2 ln2 = 2x = λ e =  e e = e e = e   0     x e 0  x 0 = ln2  λ = ln4  2 ln2 = λ

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

187

3. Κοινη εφαπτομενη των Cf, Cg που διερχεται απο καποιο μη κοινο σημειο .

● Ζητουμενα : Αποδειξη οτι η εφαπτομενη της f ειναι και εφαπτομενη της .

● Δοσμενα : Οι τυποι των συναρτησεων και σημειο (οχι κοινο) .

● Τροπος Λυσης : ● Θεωρουμε τα σημεια επαφης της εφαπτομενης με τις Cf, Cg, εστω Α(x1,f(x1)) και Β(x2,f(x2)) αντιστοιχα με εφαπτομενες τις: ε1 :y - f(x1) = f’(x1)(x - x1) και ε2 :y - g(x2) = g’(x2)(x – x2) . ● Λυνουμε το συστημα των εξισωσεων: ● f’(x1) = g’(x2)

(ισοι οι συντελεστες των ε1 και ε2)

● f(x1) - x1 ∙ f’(x1) = g(x2) – x2 ∙ g’(x2)

(οι ε1 ≡ ε2 ≡ ΑΒ, ταυτιζονται)

● Βρισκουμε τα x1, x2 και στη συνεχεια τη κοινη εφαπτομενη. ● Στη περιπτωση που ειναι γνωστο το ενα σημειο επαφης: ● Βρισκουμε την εφαπτομενη στο σημειο αυτο.

● Δειχνουμε οτι η πιο πανω εφαπτομενη ειναι και εφαπτομενη στην αλλη καμπυλη .

Δινονται οι συναρτησεις f(x) = e x και g(x) = - x 2 – x . Nα δειξετε οτι η εφαπτομενη της Cf στο σημειο Α(0,1) εφαπτεται και στην Cg . H εξισωση της εφαπτομενης της C f στο σημειο (0,1) ειναι : x 1 = 0    x 0 f(x 1 ) = e 1 = e = 1   ε : y - 1 = 1  (x - 0)  ε : y = x + 1   x1 0 f'(x 1 ) = e = e = 1  Αν η ε εφαπτεται στη C g στο σημειο (x 2 , g(x 2 )) τοτε : g'(x 2 ) = f'(x 1 )  - 2x 2 - 1 = 1  - 2x 2 = 2  x 2 = - 1

Oποτε

g(x 2 ) = - (- 1) 2 - (-1) = 0 και g'(x 2 ) = - 2(- 1) - 1 = 1

H εξισωση της εφαπτομενης της C g στο σημειο (- 1, 0) ειναι : ε : y - 0 = 1  (x + 1)  ε : y = x + 1

Δινονται οι συναρτησεις f, g με f(x) = x 2 - x - 1 και g(x) = x 2 - 5x + 7. Na βρεθει η κοινη εφαπτομενη των καμπυλων σε μη κοινα σημεια αυτων.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

188

 f'(x) = 2x - 1 και g'(x) = 2x - 5  Aν Α(x 1 , f(x 1 )) και Β(x 2 , g(x 2 )) τα σημεια επαφης εφαπτομενης στις C f , C g . Iσχυει : f'(x 1 ) = g'(x 2 )  2x 1 - 1 = 2x 2 - 5  x 1 - x 2 = - 2

(1)

 Aκομη f(x 1 ) - x 1  f'(x 1 ) = g(x 2 ) - x 2  g'(x 2 ) 

x 12 - x 1 - 1 - x 1  (2x 1 - 1) = x 22 - 5x 2 + 7 - x 2  (2x 2 - 5)  x 12 - x 1 - 1 - 2x 12 + x 1 = x 22 - 5x 2 + 7 - 2x 22 + 5x 2 

-x

2 1

-1 = - x

x1 + x2 = 4

2 2

+7  x (2)

2 1

-x

2 2

(1)

= - 8  (x 1 - x 2 )(x 1 + x 2 ) = - 8  - 2(x 1 + x 2 ) = - 8 

 Aπο (1) + (2) : 2x 1 = 2  x 1 = 1 και απο (2) : 1 + x 2 = 4  x 2 = 3 . Ετσι x 1 = 1    2 f(x 1 ) = f(1) = 1 - 1 - 1 = - 1   ε 1 : y + 1 = 1  (x - 1)  ε 1 : y = x - 2 f'(x ) = f'(1) = 2  1 - 1 = 1  1   x 2 = 3    2 g(x 2 ) = g(3) = 3 - 5  3 + 7 = 1  ε 2 : y - 1 = 1  (x - 3)  ε 2 : y = x - 2 g'(x ) = g'(3) = 2  3 - 5 = 1  2   Τελικα, η εξισωση της κοινης εφαπτομενης ειναι : ε : y = x - 2 22.6 Ρ υ θ μ ο ς Μ ε τ α β ο λ η ς

● Ζητουμενα : Ευρεση ρυθμου μεταβολης .

● Δοσμενα : Στοιχεια προβληματος .

● Τροπος Λυσης : ● Θεωρουμε x, y, z, … τα μεταβλητα μεγεθη του προβληματος.

● Βρισκουμε τη σχεση που συνδεει τα σταθερα με τα μεταβλητα μεγεθη. ● Βρισκουμε τις παραγωγους (ως προς τη μεταβλητη που δινεται) των μεταβλητων μεγεθων. ● Η παραγωγος του ζητουμενου μεγεθους (ως προς την ιδια μεταβλητη) ειναι η λυση του προβληματος και βρισκεται με το δυνδιασμο των πιο πανω. ● Αν ο ρυθμος μεταβολης ειναι θετικος αριθμος εχουμε αυξηση, ενω αν ειναι αρνητικος εχουμε ελαττωση .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

189

Σε ορθογωνιο σταθερου εμβαδου Ε = 120 cm 2 το μηκος του x αυξανει με ρυθμο 4 cm / sec και το πλατος του y ελαττωνεται. Να βρεθει ο ρυθμος μεταβολης της περιμετρου οταν το μηκος του ορθογωνιου γι νει x = 20 cm. To εμβαδον του ορθογωνιου ειναι : Ε = x  y  x  y = 120 120 Oταν x = 20 cm τοτε : y = = 6 cm 20 Ειναι Ε(t) = 120  Ε'(t) = 0  [x(t)  y(t)]' = 0  x'(t)  y(t) + x(t)  y(t)' = 0  -2 4 4  6 + 20  y(t)' = 0  y(t)' =  y(t)' = - 1,2 20 Δηλαδη εχουμε : x'(t) = 4 ,

y'(t) = - 1,2

(1)

Eτσι (1)

Π'(t) = [2x(t) + 2y(t)]' = 2x'(t) + 2y'(t) = 2  4 + 2  (- 1,2) = 8 - 2, 4 = 5,6 Οποτε ο ρυθμος μεταβολης της περιμετρου ειναι : 5,6 cm / sec.

Eστω K(x) = 30x 2 - 1000x - 50 τo συνολικο κοστος x μοναδων ενος προιοντος και Ε(x) = 2x 3 - 60x 2 + 200x + 100 η συνολικη εισπραξη, σε χιλιαδες ευρω. Να βρεθει ο αριθμος των μοναδων που πρεπει να παραχθει, ωστε να ειναι κερδο φορα η επιχειρηση (θετικος ρυθμος μεταβολης κερδους). Αν P(x) ειναι το κερδος, τοτε P(x) = E(x) - K(x)  P(x) = 2x 3 - 60x 2 + 200x + 100 - 30x 2 + 1000x + 50 

P(x) = 2x 3 - 90x 2 + 1200x + 150 Ο ρυθμος μεταβολης του κερδους ειναι η παραγωγος P'(x). Ετσι

P'(x) = (2x 3 - 90x 2 + 1200x + 150)' = 6x 2 - 180x + 1200 = = 6(x 2 - 30x + 200) (ριζες τριωνυμου : x1 = 10 και x2 = 20) Θελουμε θετικο ρυθμο μεταβολης κερδους, οποτε : x < 10 P'(x) > 0  6(x 2 - 30x + 200) > 0   ( αφου α = 1 > 0) x > 20

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

190

22.7 Θ ε ω ρ η μ α R o l l e 22.7.1 Eπαληθευση προυποθεσεων θεωρηματος:

● Ζητουμενα : Eπαληθευση προυποθεσεων θεωρηματος Rolle .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι: ● η f ειναι συνεχης στο διαστημα [α,β] ● η f ειναι παραγωγισιμη στο διαστημα (α,β) ● ισχυει f(α) = f(β)

- x 2 + 4x , x  [0,3] Δινεται η συναρτηση f με f(x) =  , x  (3,9 / 2] - 2x + 9 Nα δειχτει οτι ισχυουν ολες οι προυποθεσεις του θεωρηματος Rolle για την f.

 lim f(x) = lim (- x 2 + 4x) = - 3 2 + 4  3 = 3 x3 x  3   lim + f(x) = lim + (- 2x + 9) = - 2  3 + 9 = 3  x3 x  3 f(3) = - 3 2 + 4  3 = 3

9 H f ειναι συνεχης στο 3 και επειδη ειναι συνεχης στο [0,3)  (3, ] τοτε ειναι 2 9 συνεχης στο διαστημα [0, ] 2  - (x - 1) (x - 3) f(x) - f(3) - x 2 + 4x - 3  f1 '(3) = lim = lim = lim=-2 x 3 x3 x3 x -3 x -3 x -3    2 (x 3) f(x) f(3) 2x + 9 3  =-2 = lim + = lim +  f2 '(3) = xlim 3 + x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 

9 H f ειναι παραγωγισιμη στο 3 και επειδη ειναι συνεχης στο [0,3)  (3, ] τοτε ειναι 2 9 παραγωγισιμη στο [0, ] 2 f(0) = - 0 2 + 4  0 = 0 9  δηλαδη : f(0) = f( )  9 9 2 f( ) = - 2  + 9 = 0 2  2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

191

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

22.7.2 Υπαρξη ριζας της f’(x) = 0 :

● Ζητουμενα : Υπαρξη ριζας της f’(x) = 0 (αμεσα η εμμεσα).

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

Εστω η συναρτηση f με f(x) = (x - 1)  ln(x + 2). Nα αποδειχτει οτι υπαρχει σημειο Μ(ξ,f(ξ)), με ξ  (- 1,1), στο οποιο η εφαπτομενη στη γραφικη παρασταση της f ει ναι παραλληλη με τον αξονα x'x. To πεδιο ορισμου της f ειναι Α = (- 2, + ). [Απο το ln της σ υναρτησ ης] Για να ειναι η εφαπτομενη στο σημειο Μ(ξ, f(ξ)) παραλληλη στον x'x, πρεπει να ι σχυει : f'(ξ) = 0. x -1  Η f ειναι παραγωγισι μη στ ο[- 1,1 ], α ρα και συνεχης, με f'(x) = ln(x + 2) + x +2  f(- 1) = 0, (ln1 = 0) f(1) = 0 Αρα f(- 1) = f(1) Oποτε απο το θεωρημα Rolle υπαρχει ξ  (- 1,1) τετοιο, ωστε f'(ξ) = 0, που σημαινει πως η εφαπτομενη στο Μ(ξ, f(ξ)) εινα ι παραλληλη στον x'x . 22.7.3 Υπαρξη ριζας της f”(x) = 0 :

● Ζητουμενα : Υπαρξη ριζας της f’’(x) = 0 .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε την πρωτη παραγωγο της f την f’(x) .

● Eφαρμοζουμε θεωρημα Rolle για την f’(x) στο διαστημα [α,β]. ● Αρα υπαρχει μια τουλαχιστον ριζα της f”(x) = 0 στο διαστημα [α,β].

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

192

Δινεται η συναρτηση f :    με :

f(x) = - [x 2 - (α + β)x + αβ]  συνx + [2x - (α + β)]  ημx + 2συνx, α, β   , α < β. Να αποδειξετε οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ  (α, β), τετοιο ωστε : f"(ξ) = 0. To πεδιο ορισμου της f ειναι Α = . H f ειναι παραγωγισιμη στο , σαν αθροισμα παραγωγισιμων, με

f'(x) = - [2x - (α + β)]συνx - [x2 - (α + β)x + αβ](-ημx) + 2ημx + [2x - (α + β)]συνx - 2ημx =

= [x2 - (α + β)x + αβ]ημx • H f' ει ναι συνεχης στο [α,β] σαν γινομενο συνεχων . • H f' ειναι παραγωγισιμη στο (α,β) σαν γινομενο παραγωγισιμων . • Eπισης f'(α) = [α 2 - (α + β)α + αβ]ημα = (α 2 - α 2 - βα + αβ)ημα = 0    f'(α) = f'(β) f'(β) = [β 2 - (α + β)β + αβ]ημβ = (β 2 - βα - β 2 + αβ)ημβ = 0  Απο το θ. Rolle για τη f' στο [α,β], υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ  (α,β), τετοιο ωστε :

f"(ξ) = 0 . 22.7.4 Αποδειξη σχεσης που περιεχει την f’(x) :

● Ζητουμενα : Αποδειξη σχεσης που περιεχει την f’(x) .

● Δοσμενα : Σχεση των ακρων του διαστηματος [α,β] .

● Τροπος Λυσης : ● Φερνουμε ολους τους ορους της προς αποδειξη σχεσης, στο πρωτο μελος, το

οποιο ονομαζουμε h(x). ● Eφαρμοζουμε θεωρημα Rolle για την h(x) στο διαστημα [α,β] ● Iσχυει h’(x) = 0 και με αντικατασταση βρισκουμε το ζητουμενο.

Δινεται η συναρτηση f παραγωγισιμη στο [α, β], για την οποια ισχυει : α 3 + f(β) = β 3 + f(α)

(1)

Να αποδειχτει οτι υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ  (α, β), τετοιο ωστε : f'(ξ) = 3ξ 2 . Η ζητουμενη σχεση γινεται : f'(ξ) = 3ξ 2  f'(ξ) - 3ξ 2 = 0 Θεωρουμε τη συναρτηση h(x) = f(x) - x

ορισμενη στο διαστημα [α,β].

• Η g ειναι παραγωγισιμη , αρα και συνεχης στο [α,β] σαν αθροισμα παραγωγισιμων συναρτησεων με h'(x) = f'(x) - 3x 2 . h(α) = f(α) - α 3 (1 ) •  h(α) = h(β) 3 h(β) = f(β) - β

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

193

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Επομενως, ισχυουν οι προυποθεσεις του θ.Rolle για την h στο [α,β], οποτε θα υπαρ χει τουλαχιστον ενα ξ  (α,β) τετοιο ωστε h'(ξ) = 0. Αρα h'(ξ) = 0  f'(ξ) - 3ξ2 = 0  f'(ξ) = 3ξ 2 . 22.7.5 Υπαρξη τουλαχιστον δυο ριζων στο διαστημα [α,β] :

● Ζητουμενα : Υπαρξη τουλαχιστον δυο ριζων στο διαστημα [α,β] .

● Δοσμενα : Συναρτησιακες σχεσεις .

● Τροπος Λυσης : ● Eφαρμοζουμε θεωρημα Rolle στα διαστηματα [α,γ] και [γ,β] με γ∈[α,β] .

Αν η συναρτηση f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο  και ισχυουν : f(α) = f(β) και f'(α) = f'(β) = 0 να αποδειχτει οτι υπαρχουν τουλαχιστον δυο x1 , x2  (α, β) τετοια, ωστε : f"( x1 ) = f"( x2 ) = 0 με x1  x2 . Εφοσον η f ειναι παραγωγισιμη στο , θα ειναι παραγωγισιμη και στο [α,β]. Επισης f(α) = f(β), oποτε ισχυει το θεωρημα Rolle για την f στο [α,β]. Αρα υπαρχει γ  (α,β), τετοιο ωστε f'(γ) = 0 . Για τη συναρτηση f ' ισχυουν : • f'(α) = f'(β) = f'(γ) = 0 • Ειναι συνεχης στα [α, γ],[γ,β] (παραγωγισιμη στο  αρα συνεχης στ ο ) • Ειναι παραγωγισιμη στα (α, γ),(γ,β). Επομενως ισχυει το θεωρημα Rolle για τ ην f' στα δι αστημα τα [α, γ],[γ,β]. Αρα υπαρχουν δυο τουλαχιστον x1 , x2 με x1  (α, γ) και x2  (γ,β), τετοια ωστε : f"( x1 ) = f"( x2 ) = 0 . 22.7.6 Υπαρξη μιας , δυο, κλπ το πολυ ριζων της f’(x) = 0 :

● Ζητουμενα : Υπαρξη τουλαχιστον δυο ριζων στο διαστημα [α,β] .

● Δοσμενα : Συναρτησιακες σχεσεις .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι υπαρχουν τ ο υ λ α χ ι σ τ ο ν τοσες ριζες, οσες ζητουνται . ● Υποθετουμε οτι υπαρχει μια ριζα παραπανω και καταληγουμε σε ατοπο .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

194

Να δειξετε οτι η εξισωση : α - x = αx, με α   , εχει το πολυ δυο πραγματικες και ανισες ριζες. Εστω οτι η δοσμενη εξισωση f(x) = e - x - αx, εχει τρεις ριζες x 1 , x 2, x 3   με x 1 < x 2 < x 3 , οποτε f(x 1 ) = f(x 2 ) = f(x 3 ) = 0.

Eπισης, για την f(x) = e - x - αx ειναι :  η f ειναι παραγωγισιμη στα διαστηματα [x1 , x2 ] , [x2 , x3 ] με f'(x) = - e -x - α.

 η f ειναι συνεχης (αφου ειναι παραγωγισιμη) στα διαστηματα [x1 , x2 ] , [x2, x3 ] .  f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0 και f(x 2 ) = f(x 3 ) = 0

Οποτε ισχυουν οι προυποθεσεις του θεωρηματο ς Rolle και υπαρχουν ξ 1  (x 1 , x 2 ), ξ 2  (x 2 , x 3 ) ωστε f'(ξ 1 ) = 0 και f'(ξ 2 ) = 0 αντιστοιχα.

Η συναρτηση f'(x) = - e - x - α ειναι  παραγωγισιμη και συνεχης στο [ξ1 , ξ2 ] με f''(x) = e - x και  f'(ξ 1 ) = f'(ξ 2 ) = 0,

Οποτε απο το θ.Rolle υπαρχει x0  (ξ 1 ,ξ 2 ) με f''(x0 ) = 0. Δηλαδη e - x = 0, που ειναι ατοπο. Αρα η δοσμενη εξισωση δεν μπορει να εχει τρεις πραγματικες και ανισες ριζες, οποτε θα εχει το πο λυ δυο. 22.7.7 Υπαρξη τουλαχιστον μιας ριζας της f’(x) = 0 μεταξυ ριζων της f(x) = 0 :

● Ζητουμενα : Υπαρξη τουλαχιστον μιας ριζας της f’(x) = 0 στο διαστημα [ρ1 , ρ2] .

● Δοσμενα : Συναρτησιακες σχεσεις .

● Τροπος Λυσης : ● Εφαρμοζουμε θεωρημα Rolle στο διαστημα [ρ1 , ρ2] , οπου ρ1 , ρ2 οι ριζες της εξισωσης f(x) = 0 .

Να δειξετε οτι μεταξυ δυο λυσεων της εξισωσης lnx ∙ συνx = 1 υπαρχει τουλαχιστον μια λυση της εξισωσης lnx ˣ∙ ημx = συνx . Εστω ρ 1 , ρ 2  (0, + ) με ρ 1 < ρ 2 λυσεις της εξισωσης lnx  συνx = 1 .

Eτσι : lnρ 1  συνρ 1 = 1 και lnρ 2  συνρ 2 = 1 οποτε lnρ 1  συνρ 1 - 1 = lnρ 2  συνρ 2 - 1 = 0 (1) Θεωρουμε στο διαστημα [ρ 1 , ρ 2 ] τη συναρτηση f με f(x) = lnx  συνx - 1.  H f ειναι συνεχης στο [ρ 1 , ρ 2 ].

 H f ειναι παραγωγισιμη στο [ρ 1 , ρ 2 ] με f'(x) =

Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

1  συνx - lnx  ημx. x

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

195

 f(ρ 1 ) = f(ρ 2 ) = 0 (aπο (1))

Αρα, απ'το θεωρημα Rolle, υπαρχει τουλαχιστον ενα ρ  (ρ 1 , ρ 2 ), τετοιο ωστε : 1  συνρ - lnρ  ημρ = 0  συνρ - ρ  lnρ  ημρ = 0  συνρ = lnρ ρ  ημρ. ρ Δηλαδη το ρ  (ρ 1 , ρ 2 ) ειναι λυση της εξισωσης συνx = lnx x  ημx. f'(ρ) = 0 

22.8 Θ ε ω ρ η μ α Μ ε σ η ς Τ ι μ η ς 22.8.1 Eπαληθευση προυποθεσεων θεωρηματος η αμεση εφαρμογη :

● Ζητουμενα : Eπαληθευση προυποθεσεων θεωρηματος .

● Δοσμενα : Ιδιοτητες της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι: ● η f ειναι συνεχης στο διαστημα [α,β] ● η f ειναι παραγωγισιμη στο διαστημα (α,β) ● Ετσι ισχυει: f'(ξ) =

f(β) - f(α) . β-α

Δινεται η συναρτηση f με τις ιδιοτητες: ● Συνεχης στο [α,β] ● Παραγωγισιμη στο (α,β) Να δειχτει οτι η f ικανοποιει τις προυποθεσεις του θεωρημα Μεσης Τιμης στο διαστημα [α, (α + β) / 2 ]. α +β α +β < β  [α, ]  [α,β] 2 2 α +β  Η f ειναι συνεχης στο [α,β], αρα και στο [α, ] 2

Αφου α < β  α <

 Η f ειναι παραγωγισισιμη στο [α,β], αρα και στο [α,

α +β ] 2

Αρα η f ικανοποιει τις προυποθεσεις του θ. Μεσης Τιμης στο [α,

α +β ]. 2

Εστω η συναρτηση f που ειναι ορισμενη και συνεχης στο διαστημα [α, β] παραγωγι σιμη στο (α, β) και f'(x)  4, για καθε x∈ (α, β). Αν δινεται : f(β) = β 2 + 4 και f(α) = 6α - α 2 - 1, να δειξετε οτι : ∈ [α, β].  α = 1 και β = 2  f(x) = 4x, για καθε x  Απο Θ.Μ.Τ. για την f στο [α,β] υπαρχει ξ  (α,β), ωστε : f(β) - f(α) = (β - α)f'(ξ). Ομως f'(ξ)  4, οποτε

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

196

f(β) - f(α)  4(β - α)  β 2 + 4 - 6α + α 2+ 1  4(β - α)  β 2 - 4β + 4 - 2α + α 2 + 1  0  (*)

(β - 2) 2 + (α - 1) 2  0  (β - 2) 2 + (α - 1) 2 = 0 (*) : (αθροισμα τετραγωνων δεν ειναι ποτε αρνητικο) Αρα β = 2

και α = 1 .

 Απο το προηγου μενο ερωτημα και την υποθεση εχουμε : α = 1, β = 2, f(α) = 6α - α 2 - 1 = 4, f(β) = β 2 + 4 = 8

Εστω x  (α,β). Τοτε απο Θ.Μ.Τ. για την f στα [α, x],[x,β], βρισκουμε :  f(x) - f(α)  f(x) - 4 = f'(ξ 1 )  4 4    x -1 f(x) - 4  4x - 4 f(x)  4x x-α      8 - f(x)  8 - 4x 4x  f(x)  f(β) - f(x) = f'(ξ )  4  8 - f(x)  4 2  2 - x  β - x Αρα f(x) = 4x .

22.8.3 Αποδειξη ανισοτικης σχεσης : 1. Απλη ανισωση δυο συναρτησεων της μορφης f(x) ≤ ≥ g(x):

● Ζητουμενα :

Αποδειξη ανισοτητας .

● Δοσμενα : Ιδιοτητες της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Θεωρουμε τη συναρτηση h(x) = f(x) – g(x) στο διαστημα [ρ, x] η [x, ρ], οπου ρ μια προφανης ριζα της εξισωσης h(x) = 0 . ● Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης σ’ενα απ’τα πιο πανω διαστηματα . ● Θετω α < ξ < β, οπου (α, β) το συνολο απ’οπου αντλει τιμες η μεταβλητη x η χρησιμοποιουμε δοσμενη ανισοτικη σχεση .

π Να αποδειχτει οτι για καθε πραγματικο αριθμο x  (0, ), ισχυει : e η μ x < xe + 1 . 2 Ειναι π Θεωρω τη συναρτηση h(x) = e ημx - xe - 1, με πεδιο ορισμου Α = (0, ). 2 • h συνεχης στο [0, x] σαν συνθεση συνεχων συναρτησεων. • h παραγωγισιμη στο (0, x) σαν συνθεση παραγωγισιμων συναρτησεων. Απο το θ . Μεσης Τιμης, υπαρχει ξ  (0, x), τετοιο ωστε h'(ξ) =

h(x) - h(0) e ημx - xe - 1 - ( e ημ0 - 0  e - 1) e ημx - xe - 1 - 1 + 1 e ημx - xe - 1 = = = (1) x-0 x x x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

197 Ομως h'(x) = e

ημx

.συνx - e  h'(ξ) = e

Επισης

ημξ

e ημx - xe - 1 .συνξ - e  = e ημξ  συνξ - e (2) x (1 )

(2 ) 0 < συνξ < 1 0 < συνξ < 1 π ημξ ημξ 0<ξ<     ημξ  συνξ  e < e  e  συνξ - e < 0  2 < e1 0 < ημξ < 1 e x>0 e ημx - xe - 1 < 0  e ημx - xe - 1 < 0  e ημx < xe + 1 . x

2. Διπλη ανισωση τριων συναρτησεων της μορφης h(x) ≤ f(x) ≤ g(x):

● Ζητουμενα :

Αποδειξη ανισοτητας .

● Δοσμενα : Ιδιοτητες της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Mε πραξεις εμφανιζουμε στη θεση της f(x) το λογο

f(x) - f(0) x-0

για το διαστη-

μα [0, x]. ● Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης για το διαστημα [0, x]. ● Θετω α < ξ < β, οπου (α, β) το συνολο απ’οπου αντλει τιμες η μεταβλητη x η χρησιμοποιουμε δοσμενη ανισοτικη σχεση.

Να αποδειχτει οτι για καθε x  (0,1), ισχυει : 1 + x < e x < 1 + e  x . ex -e0 <e x-0 Θεωρουμε τη συναρτηση f(x) = e x και το διαστημα [0, x] με x  (0,1). • H f ειναι συνεχης στο [0, x] ως βασικη συνεχης συναρτηση. Απο τη ζητουμενη σχεση : 1 + x < e x < 1 + e  x  x < e x - 1 < e  x  1 <

• Η f ειναι παραγωγισιμη στο [0, x], ως βασικη παραγωγισιμη στο , με f'(x) = e x Επομενως ισχυει το θεωρημα Μεσης Τιμης για την f στο [0, x]. f(x) - f(0) Αρα υπαρχει ξ  (0, x) με 0 < ξ < x, τετοιο ωστε : f'(ξ) =  x-0 ex -e0 ξ e = (1) x-0 Ομως (1 )

0 < ξ < x < 1  e 0 < e ξ < e 1  1 < e ξ < e 1 <

ex -e0 e x -1 <e 1< <e x-0 x

x < e x -1 < x  e  1 + x < e x < 1 + e x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

198

22.8.4 Ευρεση σημειου x0∈(a,β) ωστε η εφαπτομενη στη Cf να ειναι παραλληλη σε δοσμενη ευθεια :

● Ζητουμενα : Ευρεση σημειου .

● Δοσμενα : Εφαπτομενη παραλληλη σε δοσμενη ευθεια και τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Αν εχουμε οτι: ● η f ειναι συνεχης στο διαστημα [α,β] ● η f ειναι παραγωγισιμη στο διαστημα (α,β) τοτε f'(x 0 ) =

f(β) - f(α) = λ = λ 1 , οπου λ, λ1 ο συντελεστης διευθυνσης της εφαβ-α

πτομενης και της παραλληλης ευθειας αντιστοιχα .

Εστω C η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) = x + lnx. Να βρειτε x0  (1,e), τετοιο ωστε η εφαπτομενη της Cf στο σημειο με τετμημενη x0

να ειναι παραλληλη με τη χορδη που οριζεται απο τα σημεια Μ 1 (1,f(1) ), Μ 2 (e,f(e)). To πεδιο ορισμου της f ειναι Α = (0, + ). Η εξισωση της εφαπτομενης της C f στο x0 ειναι : y - f(x0 ) = f'(x0 )(x - x0 )

με συντελεστη διευθυνσης λ = f'(x0 ) = 1 +

1 (1). x0

• f συνεχης στο [1, e] σαν αθροισμα συνεχων συναρτησεων. • f παραγωγισιμη στο (1, e) σαν αθροισμα παραγωγισιμων συναρτησεων. Απο το θ. Μεσης Τιμης, υπαρχει x0  (1, e), τετοιο ωστε : f'(x0 ) = Ομως

f(e) - f(1) e -1

O συντελεστης διευθυνσης της χορδης εινα ι λ 1 = Aπο παραλληλια : (1,2)

λ1 = λ 

f(e) - f(1) = f'(x0 ) (2) e -1

f(e) - f(1) 1 e + lne - 1 - ln1 1 1 e =1+  =1+  = -1  e -1 x0 e -1 x0 x0 e - 1

1 e -e +1 =  x0 = e-1 x0 e -1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

199 22.8.5 Ευρεση τιμων και τυπου συναρτησης :

● Ζητουμενα : Ευρεση τυπου συναρτησης .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση .

● Τροπος Λυσης : ● Απ’το θεωρημα Μεσης Τιμης και τη δοσμενη σχεση προσδιοριζουμε της τιμες της συναρτησης. ● Απο ισοτητα παραγωγων βρισκουμε το τυπο της συναρτησης: Συγκεκριμενα ισχυει: Αν f’(x) = g’(x) τοτε f(x) = g(x) + c . ● Προσδιοριζουμε το c .

Εστω η παραγωγισιμη συναρτηση f:    , για την οποια ισχυει: ( f ’ ( x ) – 1 ) ² ≤ 2 f ( 0 )( 1 – f ( 1 ) ) για καθε x ∈  . ● Να υπολογισετε τους αριθμους f(0) και f(1). ● Να βρειτε το τυπο της f. ● Aπ’ το θεωρημα Μεσης Τιμης για την f στο [0,1] , υπαρχει ξ, ωστε:

f'(ξ) =

f(1) - f(0)  f'(ξ) = f(1) - f(0) 1-0

(1)

Aπο τη σχεση της υποθεσης για x = ξ και την (1), εχουμε: (f’(ξ) - 1)² ≤ 2f(0)(1 - f(1)) ⇔ (f(1) - f(0) - 1)² ≤ 2f(0) - 2f(0)f(1) ⇔ f²(1) + f²(0) + 1 - 2f(1)f(0) - 2f(1) + 2f(0) ≤ 2f(0) - 2f(0)f(1) ⇔ f²(1) + f²(0) + 1 - 2f(1) ≤ 0 ⇔ (f(1) - 1)²+ f²(0) ≤ 0 Ομως, (f(1) - 1)²+ f²(0) ≥ 0 σαν αθροισμα τετραγωνων, οποτε (f(1) - 1)²+ f²(0) = 0 Δηλαδη f(1) = 1 και f(0) = 0 .

● H δοσμενη σχεση, για f(1) = 1 και f(0) = 0, γινεται:

(f’(x) - 1)² ≤ 0

Oμως (f’(x) - 1)² ≤ 0 σαν τετραγωνο, γινεται τελικα (f’(x) - 1)² = 0 και f’(x) = 1 η f’(x) = (x)’ και f(x) = x + c (1) Για x = 0 η (1) γινεται: f(0) = 0 + c ⇔ 0 = 0 + c ⇔ c = 0 Οποτε ο τυπος της f ειναι: f(x) = x με x∈  .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

200

22.9 Σ τ α θ ε ρ η Σ υ ν α ρ τ η σ η

● Ζητουμενα : Αποδειξη οτι συναρτηση ειναι σταθερη .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση .

● Τροπος Λυσης : ● Παραγωγιζουμε τη συναρτηση . ● Με καταλληλες πραξεις δειχνουμε οτι η παραγωγος ειναι ιση με μηδεν. ● Για να βρουμε τη σταθερη τιμη συναρτησης αντικαθιστουμε στο τυπο της τον x με καταλληλη τιμη.

Αν για καθε x,y   , x ≠ y ειναι |f(x) - f(y)| ≤ |x - y|³ Να δειξετε οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη στο  . Η δοσμενη σχεση γινεται: f(x) - f(y)| ≤ |x - y|³ 

f(x) - f(y) f(x) - f(y) ≤ |x - y|²  - |x - y|² ≤ ≤ |x - y|² x-y x-y

lim (- | x - y | 2 ) = lim | x - y | 2 = 0

x y

f(x) - f(y) =0 xy x-y

Eπομενως συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης ειναι lim

f(x) - f(y) =0 xy x-y

Ομως απ’ τον ορισμο της παραγωγου εχουμε f’(y) = lim

που σημαινει, συμφωνα με τις συνεπειες του θεωρηματος Μεσης Τιμης, οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη.

Eστω οι συναρτησεις f, g με κοινο πεδιο ορισμου το διαστημα (α, β), οι οποιες ειναι παραγωγισιμες στο (α, β) και με συνολο τιμων το διαστημα (0,+  ). Θεωρουμε τις συναρτησεις h1 (x) = lnf(x) και h 2 (x) = ln g(x), τετοιες ωστε h'(x) = h2'(x) για καθε x  (α, β). 1 f(x) ειναι σταθερη στο διαστημα (α, β). Nα αποδειχτει οτι η συναρτηση φ(x) = g(x) Επειδη το συνολο τιμων των συναρτησεων f, g ειναι το (0, + ), εχουμε οτι για καθε x  (α,β) ισχυει f(x) > 0 και g(x) > 0. Επομενως, οριζονται στο (α,β) οι συναρτησεις h 1 και h 2, με h 1 (x) = lnf(x) και

h 2 (x) = lng(x).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

201

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

f(x) , ισχυουν : g(x) • H φ ειναι συνεχης στο (α,β), σαν πηλικο των συνεχων συναρτησεων f, g που σαν παραγωγισιμες στο (α,β) ειναι και συνεχεις. • Η φ ειναι παραγωγισιμη στο (α,β ), σαν πηλικο των παραγωγισιμων συναρτησεων f, g στο (α,β) Για τη συναρτηση φ(x) =

 f(x)  f'(x)g(x) - f(x)g'(x) με : φ'(x) =  (1) ' = 2 g(x) [g(x)]   Απο την αρχικη σχεση για καθε x  (α,β) εχουμε οτι : 1 1 [lnf(x)]' = [lng(x)]'  f'(x) = g'(x)  f'(x)g(x) - f(x)g'(x) = 0 (2) f(x) g(x) Απο τις (1) και (2) εχουμε οτι για καθε x  (α,β) ισχυει : φ'(x) = 0 . Επομενως, συμφωνα με τις συνεπειες του θεωρηματος Μεσης Τιμης, η συναρτηση φ ειναι σταθερη στ ο διαστημα (α,β). 22.10 Μ ο ν ο τ ο ν ι α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 22.10.1 Ευρεση μονοτονιας συναρτησης (απο πρωτη παραγωγο):

● Ζητουμενα : Μονοτονια συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε το πεδιο ορισμου της συναρτησης . ● Βρισκουμε την f’(x) . ● Φτιαχνουμε τον πινακα μονοτονιας της f(x) .

Να μελετηθει η μονοτονια των συναρτησεων : f(x) = ln(x 2 - 6x + 8) . x < 2 • Πρεπει : x 2 - 6x + 8 > 0  (x - 2)(x - 4) > 0   τοτε, x > 4 A f = (- ,2)U(4, + ).

1 2x - 6 (x 2 - 6x + 8)' = 2 x - 6x + 8 x - 6x + 8 Oποτε ο πινακας μονοτονιας ειναι : x - 2 4 + Στο (- ∞, 2) η f ειναι γ.φθινουσα f' + Στο (4, + ∞) η f ειναι γ.αυξουσα f





f'(x) = ln(x 2 - 6x + 8) ' =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

202

22.10.2 Ευρεση μονοτονιας συναρτησης (απο πρωτη - δευτερη παραγωγο):

● Ζητουμενα : Μονοτονια συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε το πεδιο ορισμου της συναρτησης . ● Βρισκουμε τις f’(x), f’’(x) . ● Βρισκουμε το προσημο της f’’(x) και στη συνεχεια τη μονοτονια της f’(x) . ● Βρισκουμε το προσημο της f’(x) απ’ τη μονοτονια της . ● Φτιαχνουμε τον πινακα μονοτονιας της f(x) .

Να μελετηθει η μονοτονια των συναρτησεων : f(x) = 2xlnx - x 2 + 1 . • Πρεπει : x > 0 οποτε A g = (0, + ). • g'(x) = (2xlnx - x + 1)' = 2lnx + 2 - 2x 2

x g”

2 2 - 2x 2 -2= = (1 - x) x x x Oποτε ο πινακας μονοτονιας ειναι :

g’

Aρα η f γνησια φθινουσα .

• g''(x) = (2lnx + 2 - 2x)' =

+∞

x<1 τοτε g’(x)<g’(1)=0 (αυξουσα) x>1 τοτε g’(x)<g’(1)=0 (φθινουσα)

g’

22.10.3 Ευρεση παραμετρου απ’τη μονοτονια συναρτησης f :

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρου η σχεσης παραμετρων .

● Δοσμενα : Σχεση παραμετρων η τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Απ’τη δοσμενη σχεση δημιουργουμε βοηθητικη συναρτηση f(x) . ● Βρισκουμε την f’(x) . ● Βρισκουμε τη μονοτονια της συναρτησης . ● Βρισκουμε τη παραμετρο απ’τη σχεση μονοτονιας .

Αν ln

α = β

β- α , να δειξετε οτι α = β . 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

203 Ειναι ln

α = β

β- α  lnα - lnβ = 2

β- α  2lnα - 2lnβ = 2

β- α 

2lnα + α = 2lnβ + β (1) >

• Θεωρουμε τη συναρτηση f(x) = 2lnx + x με x  (0, + ), οποτε η (1) : f(α) = f(β) (2) 2 1 x>0 • f'(x) = (2lnx + x)' = + 0 που σημαινει οτι η f ειναι γ.αυξουσα, x 2 x αρα η f ειναι 1 - 1 . Οποτε αφου ισχυει η (2) και η f ειναι 1 - 1, θα ειναι : α = β .

Να προσδιοριστει η παραμετρος α, ωστε η συναρτηση f, με τυπο f(x) = - x 3 + (2a - 1)x 2 - 3x + 2, να ειναι γν. φθινουσα στο  . Θα πρεπει να ισχυει f'(x) < 0, για καθε ∈ x . Ετσι

f'(x) = (- x 3 + (2a - 1)x 2 - 3x + 2)' = -3x 2 + 2(2a - 1)x - 3

Για να ειναι το τριωνυμο αυτο αρνητικο (ομοσημο του - 3x 2 ), για καθε ∈ x , πρεπει : Δ  0  [2(2a - 1)] 2 - 4(-3)(-3 )  0  16α 2 - 16α + 4 - 36  0  α 2 - α - 2  0 

(α + 1)(α - 2)  0  -1  α  2 . 22.10.4 Ευρεση μονοτονιας συναρτησης f πολλαπλου τυπου:

● Ζητουμενα : Ευρεση μονοτονιας συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε την f’(x) σε καθε κλαδο. ● Βρισκουμε το προσημο της f’(x) σε καθε κλαδο. ● Φτιαχνουμε τον ενιαιο πινακα μονοτονιας της f(x).

Να μελετηθει η μονοτονια της συναρτησης f, με τυπο 2x 3 - 9x 2 + 12x + 2, x  0 f(x) =  2 . x0 x + 6x + 1, Πεδιο ορισμου της f : A f =  .  Για x  0 :

f'(x) = (2x 3 - 9x 2 + 12x + 2)' = 6x 2 - 18x + 12 = = 6(x 2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

+ | -

+ +

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

204

 Για x < 0 : -

f'(x) = (x 2 + 6x + 1)' = 2x + 6 = 2(x + 3)

-3 - | +

Tελικα x f' f

-

-3 

0 + 

1 + 

2 

+ + 

22.10.5 Αποδειξη σχεσης απ’τον ορισμο της μονοτονιας συναρτησης f :

● Ζητουμενα : Αποδειξη σχεσης .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση η ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε την f’(x). ● Βρισκουμε το προσημο της f’(x). ● Χρησιμοποιουμε τον κλασσικο ορισμο της μονοτονιας: x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂) αυξουσα, x₁ < x₂  f(x₁) > f(x₂) φθινουσα.

Να δειξετε οτι : α) Για καθε x  (0,

π ) ισχυει x > ημxσυνx. 2

εφx π ειναι γνησιως αυξουσα στο (0, ) . x 2 π εφα α γ) Αν 0 < α < β < τοτε < . 2 εφβ β β) Η f(x) =

 Eστω g(x) = x - ημxσυνx.

π g'(x) = 1 - συν2x + ημ2x = 2ημ2x > 0 για καθε ∈ x (0, ). 2 π π Αλλα g συνεχης στο [0, ), οποτε g γ.αυξουσα στο [0, ) και 2 2 g(x) > g(0)  x - ημxσυνx > 0  x > ημxσυνx .

1 x - εφx 2 x - ημxσυνx π συν x  f'(x) = = > 0 για καθε ∈ x (0, ). 2 2 2 2 x x συν x π Αρα η f ειναι γ.αυξουσα στο (0, ). 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

205

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

 π  f ειναι γ.αυξουσα στο (0, ) 2  f(α) < f(β)  εφα < εφβ  εφα < α   εφβ β α β α < β < π  2 22.10.6 Αποδειξη ανισοτητας :

● Ζητουμενα : Αποδειξη ανισοτητας .

● Δοσμενα : Πεδιο ορισμου .

● Τροπος Λυσης : ● Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(x) . ● Βρισκουμε την f’(x) . ● Βρισκουμε τη μονοτονια για τα x της ασκησης .

Να aποδειχτει η ανισωση : 2lnx  x 2 - 1, για x > 0. Θεωρουμε τη συναρτηση f(x) = 2lnx - x 2 + 1. Eιναι

0 2 1-x - 2x = 2  x x  Για x < 1 η f ειναι γν. αυξουσα, οποτε f(x) < f(1) = 0  Για x > 1 η f ειναι γν. φθινουσα, οποτε f(x) < f(1) = 0  Για x = 1 ειναι f'(1) = 0 και f(1) = 0. 2

f'(x) = (2lnx - x 2 + 1)' =

Προσημο f’(x) 1 + 0 -

+∞

Σε καθε περιπτωση, για x > 0 τοτε : f(x)  0  2lnx - x 2 + 1  0  2lnx  x 2- 1 . 22.10.7 Μοναδικη ριζα η λυση εξισωσης η προφανης λυση εξισωσης :

● Ζητουμενα : Μοναδικη ριζα η λυση εξισωσης .

● Δοσμενα : Πεδιο ορισμου .

● Τροπος Λυσης : ● Με θεωρημα Bolzano και μονοτονια. ● Με μονοτονια και αποδειξη οτι η f ειναι ‘’ 1-1 ‘’. ● Με μονοτονια η προφανης λυση ειναι μοναδικη’.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

206

Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο διαστημα [1, e] με 0 < f(x) < 1 και f΄(x) ≥ 0 για καθε x ∈ [1, e], να δειχθει οτι υπαρχει μονο ενας xo ∈ (1, e) ωστε: f(xo) + xo ∙ lnxo = xo .

Θεωρουμε τη συναρτηση g(x) = f(x) + xlnx - x , x  [1 , e] και αρκει να δειξουμε οτι η εξισωση g(x) = 0 εχει μια ακριβως ριζα στο (1 , e) .

● Η f ειναι συνεχης στο [1,e] αφου ειναι παραγωγισιμη σε αυτο , αρα η g ειναι συνεχης στο [1,e] σαν αθροισμα συνεχων συναρτησεων . ● g(1)g(e) = (f(1) - 1)(f(e) + e - e) = f(e)(f(1) - 1) < 0 , αφου 0 < f(x) < 1 για καθε x  [1 , e] . Συμφωνα με το θ. Bolzano η εξισωση g(x)=0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο (1 , e) . Ειναι 1 g’(x) = f’(x) + lnx + x  - 1 = f΄(x) + lnx > 0 , για καθε x  (1, e), (f΄(x)  0 και x lnx > ln1 = 0). Αρα η g ειναι γνησιως αυξουσα στο (1 , e) επομενως η εξισωση g(x) = 0 εχει μοναδικη ριζα στο (1 , e) .

Na λυθει η εξισωση: l n ( x 2+ 1 ) = l n ( x 2+ x + 1 ) + x . Προσθετουμε και στα δυο μελη της εξισωσης x 2 + 1. Ετσι, ln(x 2 + 1) + (x 2 + 1) = ln(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1), oποτε θεωρουμε τη συναρτηση f(x) = lnx + x, για x > 0 η ε ξισωση γραφεται : f(x 2 + 1) = f(x 2 + x + 1) 1 f'(x) = + 1 > 0 , οποτε η f ειναι γν.αυξουσα αρα και " 1 - 1 ". x Αρα η (1) γινεται ισοδυναμα : x 2 + 1 = x 2 + x + 1  x = 0 .

(1)

1 , x  ( 0, +  ) . x Nα μελετησετε την f ως προς την μονοτονια, να βρειτε τις ριζες της εξισωσης f(x) = 0 και το προσημο της f. Δινεται η συναρτηση f(x) = 2x + lnx – 1 -

f(x) = 2x + lnx – 1 -

1 1 1 με x  (0,+  ). f΄(x) = 2 + + 2 , x x x

x>0

Αφου x > 0, f΄(x) > 0 για καθε x > 0. Αρα η f γνησια αυξουσα στο (0, +  ) Το x = 1 ειναι μια προφανης ριζα της f(x) = 0 και αφου η f γνησια μονοτονη στο (0,+  ) η ριζα αυτη ειναι και μοναδικη. f

f

Οποτε για x > 1  f(x) > f(1)  f(x) > 0 ,ενω για 0 < x < 1  f(x) < f(1)  f(x) < 0 Δηλ η f παιρνει θετικες τιμες στο (1,+  ) και αρνητικες τιμες στο (0,1).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

207 22.10.8 Συνολο τιμων και μονοτονια :

● Ζητουμενα : Συνολο τιμων .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε το πεδιο ορισμου Af. ● Βρισκουμε τη μονοτονια της συναρτησης. ● Αν η συναρτηση ειναι αυξουσα και το πεδιο ορισμου Af ισο με: ● [α, β] τοτε το συνολο τιμων ειναι f(A) = [f(α), f(β)]. ● (α, β] τοτε το συνολο τιμων ειναι f(A) = ( lim f(x), f(β)]. xα

● [α, β) τοτε το συνολο τιμων ειναι f(A) = [f(a), lim f(x)). x β

● Αν η συναρτηση ειναι φθινουσα και το πεδιο ορισμου Af ισο με: ● [α, β] τοτε το συνολο τιμων ειναι f(A) = [f(β), f(α)]. ● (α, β] τοτε το συνολο τιμων ειναι f(A) = [f(β), lim f(x)). xα

● [α, β) τοτε το συνολο τιμων ειναι f(A) = ( lim f(x), f(a)]. x β

Δινεται η συναρτηση : f(x) = x + 1 + ln(x 2 + 1), x  [- 4,+  ) • Να εξετασετε την f ως προς τη μονοτονια. • Να βρειτε το συνολο τιμων της f. • Ειναι f'(x) = (x + 1 + ln(x 2 + 1))' = 1 +

2x = x2 +1

x 2 + 2x + 1 (x + 1) 2 = 2  0 για καθε x  . x2 +1 x +1 (Η ισοτητα ισχυει γι α x = - 1 ) =

Oποτε η f ειναι γ.αυξουσα στο , αρα και στο [- 4, + ) • Ειναι • f(- 4) = - 4 + 1 + ln(16 + 1) = - 3 + ln17 • lim f(x) = lim (x + 1 + ln(x 2 + 1)) = +  x + 

x + 

Aφου η f ειναι συνεχης και γ.αυξουσα, το συνολο τιμω ν της ειναι :

f(A) = [- 3 + ln17, +  )

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

208

22.11 Α κ ρ ο τ α τ α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 22.11.1 Ευρεση ακροτατων απ’τη μονοτονια συναρτησης :

● Ζητουμενα : Ευρεση ακροτατων .

● Δοσμενα : Πεδιο ορισμου .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε τη μονοτονια συναρτησης οπως στα προηγουμενα. ● Για το σημειο αλλαγης της μονοτονιας x0 βρισκουμε το f(x0), που αποτελει τοπικο ακροτατο. ● Για ευρεση ολικου ακροτατου, εκτος των τοπικων, βρισκουμε και τις τιμες της f η τα ορια στα ακρα του πεδιου ορισμου.

Να βρεθουν τα σημεια των τοπικων ακροτατων των συναρτησεων : • f(x) = x 4 - 2x 2 + 3 • g(x) = ln(8x - x 2 ) • Ειναι • f'(x) = (x 4 - 2x 2 + 3)' = 4x 3 - 4x = 4x(x + 1)(x - 1) • f''(x) = (4x 3 - 4x)' = 12x 2 - 4 Οι ριζες της f'(x) = 0 ειναι : x 1 = - 1, x 2 = 0, x 3 = 1. • Για x = - 1 τοτε f"(x) = 8 > 0 oποτε f(-1) = 2. Αρα τ. ελαχιστο το σημε ιο (- 1,2) . • Για x = 0 τοτε f"(x) = - 4 < 0 oποτε f(0) = 3. Αρα τ. μεγιστο το σημειο (0,3) . • Για x = 1 τοτε f"(x) = 8 > 0 oποτε f(1) = 2. Αρα τ. ελαχιστο το σημειο (1,2) . • Πρεπει : 8x - x 2 > 0  x(8 - x) > 0  0 < x < 8. Oποτε το πεδιο ορισμου της g ειναι A g = (0,8). 8 - 2x (μηδενιζει για x = 4, αφου 8x - x 2 > 0). 2 8x - x Αρα ο πινακας τοπικων ακροτατων ειναι : g'(x) = (ln(8x - x 2 )) ' =

x g’(x) g(x)

4 +

8 -

Σημειο τοπικου μεγιστου ειναι το (4, 4ln2), που ειναι και σημειο ολικου μεγιστου.

4ln2 T.M.(4,4ln2)

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

209

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

π π , )   με f(x) = ln(συν 2x) + x 2 + 1 . 2 2 Να μελετησετε την f ως προς τη μονοτονια και τα ακροτατα. Δινεται η συναρτηση: f : (-

 π π Η f ειναι παραγωγισιμη στο διαστημα  - ,  με  2 2 f‘(x) =

1 - 2συνxημx  (συν 2x)΄ + 2x = + 2x = - 2εφx + 2x 2 συν x συν 2x

f”x) = -

1 - συν 2x ημ 2x 2 + 2 = 2  = 2  = - 2εφ 2x < 0 για καθε x 2 2 2 συν x συν x συν x

 π π - ,   2 2

 π π Αρα f΄(x) γν.φθινουσα στο  - ,  .  2 2 f΄(0) = - 2εφ0 + 2  0 = 0  x = 0 μοναδικη ριζα της f΄. f'   π ● για x > 0  f'(x) < f'(0)  f'(x) < 0  f γν.φθινουσα στο 0,   2 f'   π  ● για x < 0  f'(x) > f'(0)  f'(x) > 0  f γν.αυξουσα στο  - , 0   2 

Ετσι η f παρουσιαζει μεγιστο στο x = 0 το f(0) = 1. 22.11.2 Ευρεση παραμετρων : 1. Με τη προυποθεση να υπαρχουν ακροτατα σε καποιες θεσεις.

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρων .

● Δοσμενα : Τυπος της συναρτησης και τοπικο ακροτατο .

● Τροπος Λυσης : ● Αν x0 ειναι θεση ακροτατου ισχυουν: ● f(x0) = a, οπου α τοπικο ακροτατο στη θεση x0 . ● f’(x0) = 0 ● f’’(x0) > 0 η f’’(x0) < 0 ● Η λυση του συστηματος των πιο πανω εξισωσεων, δινει τις παραμετρους.

Να βρεθουν οι τιμες των α και β, αν η συναρτηση f(x) = x 3 - 3αx 2 + 3βx + 2α - β - 3 στη θεση x = 1 εχει τοπικο μεγιστο το 2.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

210

Για x = 1 ειναι : f(1) = 2  1 - 3α + 3β + 2α - β - 3 = 2  2β - α = 4 (1) Επισης f'(x) = 3x 2 - 6αx + 3β και f''(x) = 6x - 6α . Αφου στη θεση x = 1 η f εχει τοπικο μεγιστο, πρεπει : β - 2α = - 1 (2) f'(1) = 0 3 - 6α + 3β = 0    (3) 1 < α f''(1) < 0 6 - 6α < 0 Λυνοντας το συστημα των (1) και (2) προκυπτει :

α=2

και β = 3 (α = 2 > 1) .

2. Με τη προυποθεση τα ακροτατα να ικανοποιουν καποια σχεση.

● Ζητουμενα : Αποδειξη σχεσης παραμετρων .

● Δοσμενα : Τυπος της συναρτησης και ιδιοτητα ακροτατων .

● Τροπος Λυσης : ● Αν x0 ειναι θεση ακροτατου ισχυει: f’(x0) = 0 ● Επεξεργαζομαστε τη σχεση των ακροτατων.

 Αν η συναρτηση f(x) = x 3 + ax

+ βx + γ εχει δυο τοπικα ακροτατα, να δειχτει οτι

> 3β.

 Να δειχτει οτι η συναρτηση f(x) = αx 3 + βx

κροτατο, αν β

+ γx + δ με α  0 δεν εχει τοπικο α -

 3αγ.

 Ειναι

f'(x) = (x 3 + ax 2 + βx + γ )' = 3x 2 + 2ax + β.

Για να εχουμε δυο τ. ακροτατα πρεπει η εξισωση f'(x) = 0 η 3x 2 + 2ax + β = 0 να εχει : Δ > 0  (2α) 2 - 4  3  β > 0  4α 2 - 12β > 0  4(α 2 - 3β) > 0  α 2 - 3β > 0 

> 3β

 Ειναι

f'(x) = (αx 3 + βx 2 + γx + δ )' = 3αx 2 + 2βx + γ.

Για να μην εχουμε τ. ακροτατα πρεπει η εξισωση f'(x) = 0 η 3αx 2 + 2βx + γ = 0 να εχει : Δ  0  (2β) 2 - 4  3α  γ  0  4β 2 - 12αγ  0  4(β 2 - 3αγ)  0  β 2 - 3αγ  0 

β 2  3αγ

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

211 22.11.3 Αποδειξη ανισοτητων :

● Ζητουμενα : Αποδειξη ανισοτητων .

● Δοσμενα : Πεδιο ορισμου .

● Τροπος Λυσης : ● Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(x). ● Βρισκουμε το ολικο ακροτατο (f’(x0) = 0, f’(x0) < 0 η f  , f’(x0) > 0 η f  ) .

Να δειξετε οτι : (1 - x)e x  1, για καθε x < 1 . Θεωρουμε τη συναρτηση : f(x) = (1 - x)e x - 1 . Θα δειξουμε οτι για καθε x < 1 ειναι f(x)  0.





f'(x) = (1 - x)e x - 1 ' = (1 - x)'e x + (1 - x)(e x )' = - e x + (1 - x)e x = - xe x • f'(x) = 0  - xe x = 0  x = 0 • Αν x < 0 τοτε f'(x) > 0  f γ.αυξ ουσα, ενω αν 0 < x < 1 τοτε f'(x) < 0  f γ.φθινουσα Συμφωνα με τα παραπανω προκυπτει οτι στη θεση x = 0 η f παρουσιαζει ολικο μεγι στο, το f(0) = (1 - 0)e 0 - 1 = 0. Aρα, ισχυει : f(x)  0  (1 - x)e x - 1  0  (1 - x)e

 1 για καθε x < 1.

22.11.4 Ευρεση ακροτατων απο δευτερη παραγωγο :

● Ζητουμενα : Ευρεση ακροτατων .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε f’’(x0) (αν δεν μπορουμε να βρουμε την f’(x0)) και ● Αν f’’(x0) < 0 τοτε εχουμε τοπικο μεγιστο. ● Αν f’’(x0) > 0 τοτε εχουμε τοπικο ελαχιστο.

Eστω μια συναρτηση f παραγωγισιμη στο  για την οποια ισχυει : x2 f(x 2 - 2x) + x = 3f(x - 2) + , για καθε x   . Να αποδειχτει οτι η f παρουσιαζει 2 τοπικο μεγιστο στη θεση x0 = - 1, το οποιο και να προσδιορισετε.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

212

x2 f(x - 2x) + x = 3f(x - 2) + ,  x   (1) 2 x2 2 [f(x - 2x) + x]' = [3f(x - 2) + ]'  (x2 - 2x)'f'(x2 - 2x) + 1 = 3(x - 2)'f'(x - 2) + x  2 2 2(x - 1)f'(x - 2x) + 1 = 3f'(x - 2) + x,  x   (2) Για x = 1, η (1) δινει : 1 = 3f'(- 1) + 1  f'(- 1) = 0, δηλ. x0 = - 1 στασιμο σημειο της f. 2

Eτσι, θα χρησιμοποιησουμε το κριτηριο της δευτερης παραγωγου. Παραγωγιζουμε τα δυο μελη της (2):

[2(x - 1)f'(x2 - 2x) + 1]' = [3f'(x - 2) + x]'  2(x - 1)'f'(x2 - 2x) + 2(x - 1)(x2 - 2x)'f"(x2 - 2x) = 3(x - 2)'f"(x - 2) + 1  2f'(x2 - 2x) + 4(x - 1)2 f"(x2 - 2x) = 3f"(x - 2) + 1, x  

(3)

1 < 0. 3 Επομενως εχουμε για x0 = - 1 τοπικο μεγιστο με τιμη f(- 1). 1 1 1 Για x = 1, η (1) δινει : f(-1) + 1 = 3f(-1) +  2f(-1) =  f(- 1) = . 2 2 4 Για x = 1, η (2) δινει : 2f'(-1) = 3f"(-1) + 1

f'(-1) = 0



f"(-1) = -

22.11.5 Ευρεση ακροτατων και γεωμετρικα σχηματα (η οικονομικα μεγεθη) :

● Ζητουμενα : Ευρεση ακροτατων .

● Δοσμενα : Στοιχεια προβληματος .

● Τροπος Λυσης : ● Δημιουργουμε τη συναρτηση του μεγεθους στο οποιο αναφερεται το ακροτατο. ● Βρισκουμε το ακροτατο. ● Στη περιπτωση δυο μεταβλητων, αντικαθιστω τη μια απο δοσμενη σχεση του προβληματος.

Στο διπλανο σχημα φαινεται δεξαμενη χωρητικοτητας - x 36 m 3 , ανοικτη στο επανω μερος. Να βρεθουν οι διαστασεις της, ωστε το κοστος του βαψι - x ματος της εξωτερικης επιφανειας, να ειναι ελαχιστο.

Αν V ο ογκος της δεξαμενης, τοτε

36 (1) x2 Aν Ε η ολικη εξωτερικη επιφανεια (εκτος του επανω μερους), τοτε

V = 36  x  x  y = 36  x 2  y = 36  y =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

213

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

36 108 + 2x 2 = + 2x 2 2 x x To κοστος βαψιματος θα γινει ελαχιστο, οταν ελαχιστη θα γινει και η επιφανεια E(x). (1)

Ε = 3xy + 2x 2 = 3x 

 108  - 108 4x 3 - 108 + 2x 2 ' = + 4x = E'(x) =  x2 x2  x  4x 3 - 108 • E'(x) = 0  = 0  4x 3 - 108 = 0  x 3 - 27 = 0  x = 3 2 x • Για 0 < x < 3 τοτε E'(x) < 0 και Ε(x) ειναι γ.φθινουσα. • Για x > 3 τοτε E'(x) > 0 και Ε(x) ειναι γ.αυξουσα. Απο τα παραπανω η επιφανεια Ε(x) γινεται ελαχιστη για x = 3. 36 Για x = 3 η (1) δινει : y = 2  y = 4. 3 Αρα οι διαστασεις ειναι : (μ,π,υ) = (y, x, x) = (4m,3m,3m).

To κοστος παραγωγης x μοναδων ενος προιοντος μιας βιομηχανιας ημερησιως ει ναι K(x) = x 3 - 12x 2 + 3x + 5. Αν η τιμη του προιοντος ειναι Ε(x) = 38 - 4x ανα μο ναδα, να βρεθει η ημερησια παραγωγη ωστε να εχουμε το μεγιστο δυνατο κερδος. Εστω f(x) το κερδος και g(x) τα εσοδα ημερησιως. Ετσι • g(x) = xE(x) = x  (38 - 4x) = 38x - 4x 2 • f(x) = g(x) - K(x) = 38x - 4x 2 - (x 3 - 12x 2 + 3x + 5) = - x 3 + 8x 2 + 35x - 5 Aκομη -5 f'(x) = (- x 3 + 8x 2 + 35x - 5)' = - 3 x 2 + 16x + 35 (ριζες : απορρ., 7) 3  Για 0 < x < 7 : f'(x) > 0 και f γν.αυξουσα.  Για x = 7 εχουμε μεγιστο.   Για x > 7 : f'(x) < 0 και f γν.φθινουσα.

Για να εχουμε μεγιστο κερδος πρεπει η ημερησια παραγωγη να ειναι 7 μοναδες. 22.11.6 Ευρεση πιθανων τοπικων ακροτατων στο διαστημα Δ :

● Ζητουμενα : Ευρεση ακροτατων .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση .

● Τροπος Λυσης : ● Τα κρισιμα σημεια: ● Στασιμα σημεια ( εσωτερικα σημεια του Δ , ριζες της f’(x0) = 0 ) ● Εσωτερικα σημεια του Δ που η f ειναι συνεχης αλλα οχι παραγωγισιμη. ● Τα ακρα του διαστηματος Δ.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

214

Na βρεθουν οι πιθανες θεσεις ακροτατων της συναρτησης f(x) = e x (x 2 - 5x + 7). Το πεδιο ορισμου της f ειναι A f =  .

f'(x) = [e x (x 2 - 5x + 7)]' = (e x )'(x 2 - 5x + 7) + e x (x 2 - 5x + 7)' = = e x (x 2 - 5x + 7) + e x (2x - 5) = e x (x 2 - 5x + 7 + 2x - 5) = e x (x

- 3x + 2)

Ta πιθανα σημεια ακροτατων ειναι οι ριζες τ ης f'(x) = 0. Eτσι ex 0

f'(x) = 0  e x (x 2 - 3x + 2) = 0  x 2 - 3x + 2 = 0  x = 1 η x = 2 . Οποτε τα πιθανα σημεια : x = 1 η x = 2 .

22.12 Θ ε ω ρ η μ α F e r m a t 22.12.1 Yπαρξη (μη υπαρξη) ακροτατου στη θεση x0 :

● Ζητουμενα : Υπαρξη ακροτατων .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση η τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : Δειχνουμε οτι: ● Το x0 εσωτερικο του πεδιου ορισμου της συναρτησης . ● Στο x0 η συναρτηση ειναι παραγωγισιμη και εχει ακροτατο . ● Τοτε απο θεωρημα Fermat ισχυει: f’(x0) = 0 .

Αν x∈  ισχυει : α

 x + 1 με 0 < α  1, να αποδειξετε οτι α = e.

Για καθε x   και 0 < α  1, η δοσμενη σχεση γραφεται : α x  x + 1  α x - x  1 (1)

Θεωρουμε τη συναρτηση : f(x) = α x - x Παρατηρουμε οτι f(0) = 1. Δηλαδη, απο την (1), εχουμε οτι για καθε x   ισχυει f(x)  f(0), που σημα ινει πως η f παρουσιαζει ελαχιστο στο x0 = 0. Επισης, η f ειναι παραγωγισιμη στο x0 = 0, αφου ειναι παραγωγισιμη στο  με f'(x) = α x  lnα - 1. Επομενως, συμφωνα με το θ. Fermat , θα ισχυει :

f'(0) = 0  α 0  lnα - 1 = 0  lnα = 1  lnα = lne  α = e .

Δινεται η συναρτηση : f(x) = αe x + βlnx + 1, οπου α, β ομοσημοι πραγματικοι αριθ μοι. Να αποδειχτει οτι η f δεν εχει ακροτατα.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

215

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Το πεδιο ορισμου της f ειναι Α = (0, + ). Η f ειναι παραγωγισιμη, σαν αθροισμα παραγωγισιμων συναρτησεων, με : 1 με f'(x) = (αe x + βlnx + 1)' = αe x + β . x Εστω οτι υπαρχει x0  (0, + ) στο οποιο η f παρουσιαζει τοπικο ακροτατο.

Αφου η f ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ), ειναι και στο εσωτερικο σημειο x0  0, + ). Επομενως, συμφωνα με το θ. Fermat , θα ισχυει : 1 1 β x x x f'(x0 ) = 0  αe 0 + β = 0  αe 0 = - β  e 0 =x0 x0 αx 0

Ομως, η τελευταια ισοτητα ειναι αδυνατη γιατι για καθε x0  (0, + ) ειναι : e ενω

> 0,

1 1 β >0< 0 < 0 (αφου α,β ομοσημοι). x0 x0 αx0

Αρα η f ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ) και δεν υπαρχουν x  (0, + ) για τα ο ποια f'(x) = 0. Δηλαδη η f δεν παρουσιαζει ακροτατα. 22.12.2 Eυρεση παραμετρου :

● Ζητουμενα : Eυρεση παραμετρου .

● Δοσμενα : Τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f’(x0) = 0. ● Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, οπου x = x0 . ● Λυνουμε ως προς τη παραμετρο .

Να βρεθουν οι τιμες των α και β, αν η συναρτηση g(x) = αx 3 + βx 2 + 12x + 1 στις θεσεις x = - 1, x = 1 παρουσιαζει τοπικα ακροτατα. Η συναρτηση g ειναι παραγωγισιμη στο , αρα και στις θεσεις x = - 1 και x = 1, με

g'(x) = 3αx 2 + 2βx + 12. Επισης στις θεσεις x = - 1 και x = 1 παρουσιαζει τοπικα ακροτατα. Αρα, συμφωνα με τα συμπερασματα του θ.Fermat, ισχυει : f'(- 1) = 0 3α - 2β + 12 = 0 (+) 6α + 24 = 0      3α + 2 β + 12 = 0 f'(1) = 0 3α + 2β + 12 = 0 α = - 4  β = 0

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

216

22.12.3 Αποδειξη ισοτητας με δοσμενη ανισοτητα (≥ η ≤) :

● Ζητουμενα :

Αποδειξη ισοτητας .

● Δοσμενα : Ανισοτητα μορφης ≥ η ≤ .

● Τροπος Λυσης :

● Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(x). ● Βρισκουμε τη προφανη τιμη x0 που μηδενιζει την f(x) = 0 (με δοκιμες). ● Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση x0 . ● Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f’(x0) = 0. ● Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, οπου x = x0 .

Eστω n,m θετικοι ακεραιοι ωστε (3n) Να δειξετε oτι : 3n = 2m.

 (2m) x για κaθε x   .

Θεωρουμε τη συναρτηση f με f(x) = (3n) ˣ - (2m) ˣ, x∈  . Eιναι: f(0) = (3n)⁰ - (2m)⁰ = 1 – 1 = 0 και f(x) = (3n)ˣ-(2m)ˣ ≥ 0 ⇔ f(x) ≥ f(0). ● Στο σημειο 0 η f παρουσιαζει ελαχιστο. ● Η f ειναι παραγωγισιμη στο  , με f’(x) = (3n)ˣ ∙ ln(3n) - (2m)ˣ ∙ ln(2m)

Aπ’το θεωρημα Fermat προκυπτει οτι: f'(0) = 0 ⇔

(3n)⁰ ∙ ln(3n) - (2m)⁰ ∙ ln(2m) = 0 ⇔ ln(3n) = ln(2m) ⇔ 3n = 2m

22.13 Κ υ ρ τ ο τ η τ α

22.13.1 Ευρεση κυρτων – κοιλων και σημειων καμπης :

● Ζητουμενα : Ευρεση κυρτων – κοιλων και σημειων καμπης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Γραφουμε το πεδιο ορισμου και βρισκουμε πρωτη και δευτερη παραγωγο . ● Βρισκουμε το προσημο της δευτερης παραγωγου . ● Κατασκευαζουμε πινακα κυρτων – κοιλων και σημειων καμπης . (στη περιπτωση πολλαπλου τυπου, κανουμε ενιαιο πινακα)

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

217

Να βρεθουν τα διαστηματα κυρτων - κοιλων και τα σημεια καμπης της συναρτησης : f(x) = x 3 - 3x 2 + 10. Το πεδιο ορισμου της f ειναι ολο το .

• f'(x) = 3x 2 - 6x • f''(x) = 6x - 6 (x < 1  f'(x) < 0, x > 1  f'(x) > 0) Οποτε ο πινακας κυρτων - κοιλων ειναι : x f”

-∞

1 0 5

+∞ +

Δηλαδη: Η f ειναι κοιλη στο (- ∞, 1] Η f ειναι κυρτη στο [1, + ∞)

σ.κ

Σημειο καμπης το (1, 5)

22.13.2 Ευρεση παραμετρου με δοσμενα κυρτα – κοιλα :

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Γραφουμε το πεδιο ορισμου της συναρτησης . ● Βρισκουμε πρωτη και δευτερη παραγωγο . ● Λυνουμε f’’(x) ≤ 0 η f’’(x) ≥ 0 (Για κοιλη η κυρτη συναρτηση αντιστοιχα) . Συνηθως προκυπτει τριωνυμο ως προς x που περιεχει τη παραμετρο .

Nα βρεθουν οι τιμες του α, ωστε να ειναι κυρτη στο  η γραφικη παρασταση της συ -

ναρτησης : g(x) = 2x 4 + 4αx 3 + 3(4α - 3)x 2 + 1. Ειναι • g'(x) = 8x 3 + 12αx 2 + 6(4α - 3)x

• g"(x) = 24x 2 + 24αx + 6(4α - 3) Για να ειναι η g κυρτη σ'ολο το , πρεπει για καθε ∈ x :

g"(x)  0  24x 2 + 24αx + 6(4α - 3)  0  6(4x2 + 4αx + 4α - 3)  0 

4 x 2+ 4αx + 4α - 3  0 Aυτο συμβαινει (αφο υ 4 > 0) οταν Δ  0  16α 2 - 4  4(4α - 3)  0  α 2 - 4α + 3  0  (α 1 = 1, α 2 = 3) Ετσι 1  α  3 .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

218

22.13.3 Ευρεση παραμετρων με γνωστο σημειο καμπης x0 :

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρου .

● Δοσμενα : Σημειο καμπης και ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Οι συντεταγμενες του σ.κ. επαληθευουν τον τυπο της f (1η εξισωση) . ● Θεωρουμε την f’’(x0) = 0 (2η εξισωση) . ● Λυνουμε το συστημα των δυο πιο πανω εξισωσεων . Για τις τιμες των παραμετρων που βρηκαμε πρεπει η f’’(x) να αλλαζει προσημο εκατερωθεν του x0 .

Να βρεθουν οι τιμες των α, β ωστε η συναρτηση f(x) = ax 5 - (4β + 2)x 2 + (a - 1)x + 1 να εχει σημειο καμπης το (1,- 4).  Το σημειο καμπης (1,- 4) ειναι σημειοτης C f οποτε επαληθευει το τυπο της f, αρα

f(1) = - 4  a  1 5 - (4β + 2)  1 2 + (a - 1)  1 + 1 = - 4  a - 4β - 2 + a -1 + 1 = - 4  2a - 4β = - 2  a = 2β - 1 (1)  Ειναι

 f'(x) = (ax 5 - (4β + 2)x 3 + (a - 1)x + 1)' = 5ax 4 - 3(4β + 2)x 2 + (a - 1)

 f"(x) = (5ax 4 - 2(4β + 2)x 2 + (a - 1))' = 20ax 3 - 6(4β + 2)x Επισης ειναι x 0 = 1 oποτε πρεπει

f"(x 0 ) = 0  f"(1) = 0  20a - 6(4β + 2) = 0  5a - 6β - 3 = 0 (2)

Η (2) λογω της (1) : 5(2β - 1) - 6β - 3 = 0  10β - 5 - 6β - 3 = 0  β = 2 και απο (1) : a = 2  2 - 1  α = 3  Για α = 3 και β = 2 η

f"(x) = 60x 3 - 60x = 60x(x 2 - 1) και το προσημο της ειναι : x -1 0 1 + x + + η f"(x) αλλαζει προσημο εκατερωθεν του 1. x2 -1 + f" + +

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

219 22.13.4 Χαρακτηριστικη θεση του σημειου καμπης x0 :

● Ζητουμενα : Σχεση πρωτης παραγωγου .

● Δοσμενα : Σημειο καμπης και συναρτησιακη σχεση .

● Τροπος Λυσης : ● Θεωρουμε την f’’(x0) = 0 ως δεδομενη. ● Συμφωνα με τα δοσμενα – ζητουμενα εμφανιζουμε τη πιο πανω ισοτητες σε σε γνωστες σχεσεις που προκυπτουν .

Δινεται η συναρτηση f, δυο φορες παραγωγισιμη στο  ,για την οποια ισχυει f΄(x) ≠0 για καθε x   και η συναρτηση g τετοια ωστε g(x)f΄(x) = 2f(x), για καθε x ∈  . Να αποδειξετε οτι,αν η γραφικη παρασταση της f εχει σημειο καμπης το Α(xo,f(xo)) τοτε η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της g στο σημειο Β(xo,g(xo)) ειναι παραλληλη στην ευθεια y - 2x + 5 = 0 . Εφοσον η f ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο  και το Α(xo,f(xo)) σημειο καμπης της Cf θα ειναι f”(xο) = 0 .

2f(x) 2(f΄(x))2 - 2f(x)f"(x) Επειδη f΄(x)  0 για καθε∈ x  ειναι g(x) = και g΄(x)= f΄(x) (f΄(x))2 g΄(xο) =

2(f΄(x0 ))2 - 2f(x0 )f"(x0 ) (f΄(x0 ))2

2(f΄(x0 ))2 (f΄(x0 ))2

=2.

Ο συντελεστης διευθυνσης της ευθειας y - 2x + 5 = 0  y = 2x - 5 ειναι 2 και ειναι ισος με τον συντελεστη διευθυνσης g΄(xο) της εφαπτομενης της Cg στο Β . Αρα η εφαπτομενη της Cg στο Β ειναι παραλληλη στην ευθεια y - 2x + 5 = 0 . 22.13.5 Αμεση εφαρμογη της κυρτοτητας και του σημειου καμπης x0 :

● Ζητουμενα : Κυρτοτητα , σημεια καμπης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε την f’’(x) . ● Αν f’’(x0) = 0 και f’’(x) αλλαζει προσημο εκατερωθεν του x0 τοτε το x0 ειναι θεση σημειου καμπης . ● Αν f’’(x) > 0 η f ειναι κυρτη, ενω αν f’’(x) < 0 η f ειναι κοιλη .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

220

Να δειχτει οτι για καθε α   , δεν εχει σημειο καμπης η γραφικη παρασταση της

συναρτησης : f(x) = x 4 - 2αx 3 + 6a 2 x 2 - 2a + 1.

Αν x0 ειναι θεση σημειου καμπης, τοτε θα ισχυει : f''(x0 ) = 0 (1) Ειναι

• f'(x) = (x 4 - 2αx 3 + 6a 2x 2 - 2a + 1)' = 4x 3 - 6αx 2 + 12α 2x • f"(x) = 12x 2 - 12αx + 12α 2 = 12(x 2 - αx + α 2 ) Για το τριωνυμο x 2 - αx + α 2 ειναι : Δ = α 2- 4α 2 = - 3α 2 < 0 Αφου Δ < 0 η f"(x) δεν εχει ριζες, δεν υπαρχει x0 που να επαληθευει την (1), οποτε δεν υπαρχει σημειο καμπης, και επιπλεον η f"(x) ειναι παντοτε θ ετικη (ομοσημη του

12x2 ), που σημαινει οτι η f ειναι κυρτη στο . 22.14 Θ ε ω ρ η μ α D e L ‘ H o s p i t a l 22.14.1 Aπροσδιοριστια

● Ζητουμενα :

0  : η 0 

Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Λυνουμε το οριο του πηλικου των παραγωγων αριθμητη-παρονομαστη . ● Επαναλαμβανουμε τη διαδικασια, αν προκυψει παλι απροσδιοριστια .

Nα βρεθουν τα ορια : • lim ↓ x

lnx x 2 -1

• lim

x + 

x+ex x2+ex

1 lnx (lnx)' 1 1 1 • lim = lim = lim x = = = 2 2 2 ↓ x 1 x x  1 (x - 1)' x  1 2x 2 1 2 -1 2x 0   0

• lim

x + 

+   +

x+e = x 2+ex x

+   +

(x + e )' 1+e = lim = 2 x x  +  (x + e )' x  +  2x + e x x

lim

(1 + e x )' = x  +  (2x + e x )' lim

+   +

e (e x )' ex = lim = lim = lim =1 x +  2 + e x x  +  (2 + e x )' x +  e x x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

221 22.14.2 Aπροσδιοριστια 0 ∙ ∞ :

● Ζητουμενα :

Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Τεχνασμα: Αντιστρεφουμε εναν απ’τους δυο ορους του γινομενου και τον θετουμε παρονομαστη. Ετσι καταληγουμε στη προηγουμενη περιπτωση .

Να βρεθει το οριο : lim + (π - 2x)εφx . x

π 2

Ειναι

lim + (π - 2x)εφx = lim +

x

π 2

x

π 2

π - 2x π - 2x (0   ) (π - 2x)' -2 = lim + = lim + = lim + = 1 1 σφx (σφx)' π π π x x x 2 2 2 εφx ημx 2 2

π = lim + 2ημx = 2  ημ   = 2  1 2 = 2 2 π x 2

22.14.3 Aπροσδιοριστια ∞ - ∞ :

● Ζητουμενα :

Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Τεχνασμα: Βγαζουμε κοινο παραγοντα τον ενα ορο της διαφορας εστω α-β,

β α και προκυπτει: a(1 - ) η - β(1 - ) . α β Ετσι καταληγουμε στη πρωτη περιπτωση .

Nα βρεθουν το οριο : lim (lnx - e x ) . x + 

Eιναι  +     + 

 lnx   lnx  lim (lnx - e x ) = lim e x  x - 1  = lim e x  lim  x - 1  = x +  x +  e x +  e  x +   

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

222

 1      (lnx)' = lim e x  lim  x - 1  = lim e x  lim  xx - 1  = x +  x +  x +  e    (e )'  x  +       1  1 = lim e x  lim  x - 1  = +   ( - 1) = +   (0 - 1) = -  x +  x  +  xe +  1   22.14.4 Aπροσδιοριστια 00, ∞0, 1∞ και συναρτηση μορφης f(x) g ( x ) :

● Ζητουμενα :

Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης μορφης f(x) g ( x ) .

● Τροπος Λυσης : ● Ισχυει : f(x) g ( x ) = e l n f ( x )

g( x)

= e g ( x )ln f ( x ) .

● Αρα: lim f(x) g ( x ) = lim e g ( x ) l n f ( x ) x xo

x  xo

● Στη συνεχεια χρησιμοποιουμε μια απ’τις προηγουμενες περιπτωσεις .

Nα βρεθουν τα ορια : x

• ↓lim+ x x

• ↓lim+ (

1 εφx ) x ημx

(0   )

= ↓lim + e ημxlnx = x

lim + e

- ημ 2x (0/0) xσυνx

= ↓lim + e

= e =1 .

= ↓lim + e

↓ x Ο

= ↓lim + e

lnx 1 ( ) ημx /

• lim+ x ↓ x

ημx

(- ημ2 x)' (xσυνx)'

(lnx)'  1   '  ημx 

- ημ2x

= ↓lim + e συνx-xημx =

ln(1/x) 1/εφx

= lim + e ↓ x Ο

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

= lim + e

= lim + e ↓ x Ο

1 x2 1

ημx 2

↓ x Ο

ημ 2x x

= lim + e

ln(1/x) (   ) σφx

↓ x Ο

x ((ln(1/x))' (σφx)'

1 (0   ) εφxln 1 x • lim+ ( ) εφx = lim + e = lim + e ↓ ↓ ↓ x x Ο x Ο x

ημx ημx x

)

= lim + e

1 x 1

ημx 2

↓ x Ο

= e10 = e 0 = 1 .

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

223

22.14.5 Ευρεση παραμετρων για κλασματικο οριο πραγματικο αριθμο :

● Ζητουμενα :

Ευρεση οριου .

● Δοσμενα : Οριο πραγματικος αριθμος .

● Τροπος Λυσης : ● Αν το οριο του ενος ορου του κλασματος ειναι 0, τοτε απαιτουμε και το οριο του αλλου ορου να ειναι 0. ● Στη συνεχεια χρησιμοποιουμε De L’Hospital .

Nα βρεθουν οι τιμες των παραμετρων α και β αν ισχυει : x(a - συνx) + β - 2συνx lim . x0 x2 συν0 = 1

lim [x(a - συνx) + β - 2συνx] = 0  (a - συν0) + β - 2συν0 = β - 2 και lim x2 = 0.

x0

Αν β - 2  0 τοτε το οριο θα ειναι  , ατοπο aφου το οριο ειναι πραγματικος αριθμος. Ετσι β - 2 = 0  β = 2 .  Για β = 2 το οριο γινεται ισοδυναμα :

x(a - συνx) + 2 - 2συνx (0/0) [x(a - συνx) + 2 - 2συνx]' = lim = 2 x0 x 0  x (x2 )' α - συνx + xημx + 2ημx = lim x0 2x lim

lim[α - συνx + xημx + 2ημx] = α - 1 + x  0 + 2  0 = α - 1 και lim 2x = 0.

x 0

Αν α - 1  0 τοτε το οριο θα ειναι  , ατοπο aφου το οριο ειναι πραγματικος αριθμος. Ετσι α - 1 = 0  α = 1 .  Για α = 2 και β = 1 το οριο γινεται ισοδυναμα : x(1 - συνx) + 2 - 2συνx [x(1 - συνx) + 2 - 2συνx]' lim = lim = 2 x0 x0 x (x2 )' 1 - συνx + xημx + 2ημx (0/0) = lim = x0 2x [1 - συνx + xημx + 2ημx]' = lim = x 0 (2x)' -1 + 0 + 0 1 = lim =-  . x 0 2 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

224

22.15 Α σ υ μ π τ ω τ ε ς 22.15.1 Κατακορυφες - οριζοντιες :

● Ζητουμενα :

Ευρεση κατακορυφων – οριζοντιων ασυμπτωτων .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : • Βρισκουμε τα σημεια x₀ στα οποια θα αναζητησουμε την ασυμπτωτη . • Τα ακρα των διαστηματων του πεδιου ορισμου της f, στα οποια η f δεν οριζεται. • Τα σημεια του πεδιου ορισμου της f, στα οποια η f δεν ειναι συνεχης • Βρισκουμε τα πλευρικα ορια της f στο x₀ και αν ενα τουλαχιστον απ’αυτα ειναι το + ∞ η το - ∞ , τοτε η ευθεια x = x ₀ ειναι κατακορυφη ασυμπτωτη της γραφικης παραστασης της f.

• Υπολογιζουμε το lim f(x) και αν lim f(x) = λ, τοτε η ευθεια y = λ ειναι οριζονx

x

τια ασυμπτωτη της Cf καθως το x → ∞ .

Δινεται η συναρτηση : f(x) = ζοντιες ασυμπτωτες της Cf .

x 2 +1 να βρεθουν οι κατακορυφες και οι ορι x 2 - 3x + 2

• Πρεπει : x 2 - 3x + 2  0  (x - 1)(x - 2)  0  x  1 και x  2, οποτε : Α f = (- ,1)U(1,2)U(2, + ). Επισης, αφου x 2 + 1 > 0, f(x) > 0 στο (- ,1)U(2, + ), f(x) < 0 στο (1,2). Ειναι  x2 + 1 f(x) > 0 = +  lim - f(x) = lim - 2 x 1 x  1 x - 3x + 2  η x = 1 κατακορυφη ασυμπτωτη.  2 f(x) < 0 x + 1  lim f(x) = lim = - 2  x  1 + x  1 + x - 3x + 2  x 2 + 1 f(x) < 0 = -  lim - f(x) = lim - 2 x2 x  2 x - 3x + 2  η x = 2 κατακορυφη ασυμπτωτη.  f(x) > 0 2 x + 1  lim f(x) = lim = + 2  x  2 + x  2 + x - 3x + 2 • Eιναι  x2 +1 x2 lim f(x) = lim = lim =1  x  -  x  -  x 2 - 3x + 2 x -  x 2  η y = 1 οριζοντια ασυμπτωτη.  x2 +1 x2  lim f(x) = lim = lim 2 = 1  x  +  x  +  x 2 - 3x + 2 x +  x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

225 22.15.2 Πλαγιες ασυμπτωτες : 1. Ευρεση

● Ζητουμενα : Ευρεση πλαγιας ασυμπτωτης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : • Αν λ ≠ 0, τοτε για τη πλαγια ασυμπτωτη y = λx + β ισχυει : lim

x

f(x) = λ και lim [f(x) - λx] = β x x

Δινεται η f(x) = 2x + 3 +

lim [f(x) - (λx + β)] = 0

x

5e x . Να βρεθουν οι πλαγιες ασυμπτωτες της Cf . 1+ex

 5e x -x 2x + 3 +  e 0 f(x) 5 1 + e x = lim  2 + 3 + λ = lim = lim   = 2 x +  x +  x +  x x x x(1 + e -x )  •  -x    5e x  5  e 0 β = lim f(x) - 2x  = lim 3 + = lim 3 + = 8 x  -x  x +  x +    1 + e  x +   1 + e  Οποτε η y = 2x + 8 εινα ι πλαγια ασυμπτωτη της Cf στο + .

 5e x x 2x + 3 +  x  f(x) 3 5e x  e  0 1 + e λ = lim = lim = lim  2 + + 2  = x -  x -  x -  x x x 1 + ex    x   5e x  e  0 β = lim f(x) - 2x  = lim 3 + = 3 x x -  x -  1 + e    Οποτε η y = 2x + 3 ειναι πλαγια ασυμπτωτη της Cf στο - . 2. Αποδειξη οτι ευθεια (ε) ειναι ασυμπτωτη .

● Ζητουμενα : Αποδειξη οτι ευθεια (ε) ειναι ασυμπτωτη .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : • Αρκει να δειξουμε οτι για την ε: y = λx + β ισχυει : lim [f(x) - (λx + β)] = 0 . x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

226

Δινεται η f(x) = 2x + 3 + για ασυμπτωτη της .

5e x . Να δειξετε οτι η ευθεια y = 2x + 8 ειναι μια πλα 1+ex

Αρκει να ειναι : lim f(x) - (2x + 3)  = 0 η x -  Πραγματι

lim f(x) - (2x + 3)  = 0

x + 

   5e x  ex  0 5e x lim [f(x) - (2x + 3)] = lim 2x + 3 + - (2x + 3)  = lim   = 0 x -  x -   1 + ex  x  -  1 + e x  3. Ευρεση παραμετρων με γνωστη τη πλαγια ασυμπτωτη .

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρων .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και ασυμπτωτη.

● Τροπος Λυσης : • Παιρνουμε τη σχεση: lim [f(x) - (λx + β)] = 0 και αντικαθιστουμε τα β, λ απο x

τη δοσμενη ευθεια.

Να βρεθουν οι τιμες των μ και ν ωστε η ευθεια y = μx - 4 να ειναι ασυμπτωτη της συναρτησης f(x) =

νx 2 - 13x + 6 , οταν x   . 3x - 1

Ειναι : λ = μ και β = - 4. Ετσι νx 2 - 13x + 6 lim [f(x) - (λx + β)] = 0  lim [ - (μx - 4)] = 0  x x 3x - 1 D.L.H. νx 2 - 13x + 6 - (μx - 4)(3x - 1) (νx 2 - 13x + 6 - (μx - 4)(3x - 1))' lim [ ] = 0  lim =0 x x 3x - 1 (3x - 1)' 2νx - 13 - (μx - 4 )'(3x - 1) - (μx - 4)(3x - 1)' lim =0 x 3 2νx - 13 - μ(3x - 1) - (μx - 4)  3 2νx - 13 - 3μx + μ - 3μx + 12 lim = 0  lim =0 x x 3 3 2(ν - 3μ)x + μ - 1 lim = 0  lim [2(ν - 3μ)x + (μ - 1)] = 0  x x 3  lim [2(ν - 3μ)x] = 0  ν = 3 2(ν - 3μ ) = 0 (γιατι αλλιως  = 0) ν = 3μ x          (μ - 1) = 0 μ - 1 = 0 μ = 1  xlim  μ = 1 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

227 Αλλιως

f(x) = - 4 και lim [f(x) - μx] = - 4. x x x νx 2 - 13x + 6 lim [f(x) - μx] = - 4  lim [ - μx] = - 4  x x 3x - 1 D.L.H. νx 2 - 13x + 6 - 3μx 2 + μx (ν - 3μ)x 2 + (μ - 13)x + 6 lim ] = - 4  lim =-4  x x 3x - 1 3x - 1 2 [(ν - 3μ)x + (μ - 13)x + 6]' 2(ν - 3μ)x + (μ - 13) lim = - 4  lim =-4 x   x (3x - 1)' 3 ν - 3μ = 0 (aν ν - 3μ  0 τοτε   = - 12 ατοπο) lim[2(ν - 3μ)x + (μ - 13)] = - 12    x  μ - 13 = -12

Ειναι : lim

ν =3, μ=1 4. Ευρεση παραμετρων απο γνωστο οριο και γνωστη ασυμπτωτη .

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρων .

● Δοσμενα : Γνωστο οριο και γνωστη ασυμπτωτη .

● Τροπος Λυσης : • Αν λ ≠ 0, τοτε για τη πλαγια ασυμπτωτη y = λx + β ισχυει : f(x) = λ και lim [f(x) - λx] = β x x x lim

• Μετασχηματιζουμε το οριο, ωστε να εμφανιστουν:

f(x) και [f(x) - λx] x

Aν Aν y = 5x - 2 ειναι η ασυμπτωτη της Cf , να βρεθει η τιμη της παραμετρου a αν : xf(x) - 5x 2 - ax + 4 1 = . x   af(x) + 10x - 2 4 lim

f(x) = 5 και lim[f(x) - 5x] = - 2. Ετσι x  x  x xf(x) - 5x 2 - ax + 4 (:x) 2 xf(x) - 5x - ax + 4 1 1 x lim =  lim =  x  x   af(x) + 10x - 2 af(x) + 10x - 2 4 4 x 4 f(x) - 5x - a + x = 1  - 2 - a + 0 = 1  5a + 10 = - 8 - 4a  9a = - 18  a = - 2 . lim x  f(x) 2 4 a  5 + 10 - 0 4 a + 10 x x

Ειναι : lim

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

228

23. K a π ο ι ε ς Β α σ ι κ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς 1. Δινεται η συναρτηση f με f(x) = e

- e 2 lnx , x > 0 .

Να δειξετε οτι υπαρχει μοναδικο σημειο της γραφικης παραστασης της f, στο οποιο η εφαπτομενη διερχεται απο την αρχη των αξονων Ο(0,0) . ● Η συναρτηση f(x) = e 2x - e 2 lnx, στο (0,+  ) ειναι συνεχης και παραγωγισιμη (πραξεις μεταξυ των παραγωγισιμων συναρτησεων εκθετικης και λογαριθμικης) e2 με f΄(x) = 2e x 2x

● Εστω Μ (x0 , f(x0 )) σημειο της C f στο οποιο η εξισωση της εφαπτομενης ειναι: y – f(x 0 ) = f΄(x 0 ) (x-x 0 )  y - e

● Για να ειναι το

2x0

+ e 2 lnx0 = (2e

2x0

e2 ) (x - x 0 ) (1) x0

Μ (x0 , f(x0 )) το ζητουμενο, θα πρεπει οι συντεταγμενες της αρχης

των αξονων να επαληθευουν την (1) , οποτε - e

2x0

+ e 2 lnx0 = - 2e

2x0

x0 + e 2

(2)

και το x 0 (0,  ) να ειναι λυση και μαλιστα μοναδικη της εξισωσης -e 2x + e 2 lnx + 2e 2x  x + e 2 = 0

(3)

● H συναρτηση g(x) = - e 2x + e 2 lnx + 2e 2x  x + e 2 ειναι παραγωγισιμη με 2 e2 2x 2x 2x e g΄(x) = - 2e + + 4e  x + 2e = 4 x e + > 0 για καθε x  (0,  ) οποτε η x x 2x

g ειναι γνησιως αυξουσα στο (0,+ ) . ● Ομως ειναι g(1) = - e 2 + e 2  0 + 2e 2 + e 2 = 0 οποτε η (3) εχει λυση την τιμη x 0 = 1 και επειδη η g ειναι γνησιως αυξουσα στο (0,+ ) ειναι μοναδικη. ● Αρα υπαρχει μοναδικο σημειο, το Μ (1, f(1)) της γραφικης παραστασης της f, στο οποιο η εφαπτομενη διερχεται απο την αρχη των αξονων.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

229

2. ex Δινεται η συναρτηση f :    , με : f(x) = ln x . e +1 Να δειξετε οτι :  Αν g :    ειναι μια παραγωγισιμη συναρτηση με g'(x) =

και g(0) = - ln2 τοτε : f = g.  Η Cf στρεφει τα κοιλα κατω στο  .

1 e +1 x

 Για καθε x   ισχυει : 1 1  f(x + 1) - f(x)  x . x+1 e +1 e +1  Ειναι f(0) = - ln2 και f'(x) =

. e +1 Θεωρουμε τη συναρτηση h(x) = f(x) - g(x) και 1 1 h'(x) = f'(x) - g'(x) = x - x = 0  h(x) = c e +1 e +1 Ετσι h(0) = c  c = 0 και h(x) = 0  f(x) - g(x) = 0  f(x) = g(x). x

 Εχουμε

 1  ex f"(x) =  x ' = <0  (e x + 1)2  e +1 δηλαδη η Cf στρεφει τα κοιλα κατω στο .

 Συμφωνα με το Θ.Μ.Τ. για την f στο διαστημα [x, x + 1] με x   , υπαρχει ξ  [x, x + 1]  x < ξ < x + 1 τετοιο ωστε : 1 f'(ξ) = f(x + 1) - f(x)  ξ = f(x + 1) - f(x) (1) e +1 Ομως x < ξ < x +1  e

<eξ <e

x+1



e x +1 < e ξ +1 < e

x+1

+1 

1 1 (1) < <  e x+1 + 1 e ξ + 1 e x + 1 1 1 < f(x + 1) - f(x) < x . x+1 e +1 e +1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

230

3. 1 . x2  Για ποια σημεια Α(x1 , y1 ) και Β(- x1 , y1 ) της Cf ειναι οι εφαπτομενες στην Cf κα -

Θεωρουμε τη συναρτηση : f(x) = θετες;

5 4   Δειξτε οτι απ΄το σημειο Γ  ,  διερχονται τρεις εφαπτομενες στην Cf . 7 7  Βρειτε τις εξισωσεις τους και τα σημεια που εφαπτονται στην Cf .  Βρειτε τη τιμη του α   , ωστε η γραφικη παρασταση της συναρτησης

g(x) = - x 2 + α να εφαπτεται στην Cf και να βρειτε το σημειο επαφ ης.

 Ειναι f'(x) = -

2 , x  * . 3 x

Πρεπει : f'(x1 )f'(-x1 ) = -1  -

2 2  3 = -1  x16 = 4  x1 = 6 4  x1 = 3 2. 3 x1 x1

3 32   3 32 2 Και, y1 = f(x1 ) = = = = . Oποτε : Α  2,  και Β  - 2, .   2 2  2  ( 3 2)2 3 22 3 23   5 4  Εστω λ ο συντελετης διευ θυνσης μιας ευθειας που διερχεται απ΄το Γ  ,  . 7 7 1

 4 5 4 - 5λ = λ  x -   y = λx + , που θα εφαπτεται στην Cf , αν εχει 7 7 7   μια λυση το συστημα : Θα ειναι ε : y -

 1  y = 2 1 4 - 5λ x  2 = λx +  7λx3 + (4 - 5 λ)x2 - 7 = 0 (1)  7 x  y = λx + 4 - 5λ  7 2 Τοτε ομως θα ειναι : λ = f'(x)  λ = - 3 , οποτε η (1) γινεται : x    2   2  7  - 3  x3 +  4 - 5  - 3   x2 - 7 = 0  4x3 - 21x + 10 = 0  (απο σχ.Horner)  x   x   1 5 x1 = 2, x2 = , x3 = - . 2 2  1  1   5 4  Ta σημεια επαφης ειναι : Δ  2,  , Ε  , 4  , Ζ  - ,  και οι τρεις εφαπτομενες :  4   2   2 25 

ε1 : x + 4y - 3 = 0 , ε2 : 16x + y - 12 = 0 , ε3 : 16x - 125y + 60 = 0 . 1 2 4 2  2 = -x + α αx2 = 2 f(x) = g(x) x - αx + 1 = 0 x  Πρεπει :    4   α=2. f'(x) = g'(x) x =  1 - 2 = -2x x = 1  x3

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

231

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

24. Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η 1.  2 1 x συν , x  0 Να βρειτε την παραγωγο της συναρτησης f(x) =  x 0, x =0 

στο σημειο x0 = 0.

2. Δινεται η συναρτηση f(x) = | x – 2 | + x + 1 , x   . Να αποδειξετε οτι η f δεν ειναι παραγωγισιμη στο x0 = 0 . 3.

Eστω μια συναρτηση f :    , συνεχης στο x0 = 0 με f(0) = 2012. Na βρειτε τη παραγωγο της συναρτησης g(x) = f(x)  ημx στο x0 = 0 . 4.

Eστω μια συναρτηση f :    , για την οποια ισχυει : x 2 + | ημx |  f(x)  | x | +x 2 , x   . Na αποδειξετε οτι : • f(0) = 0 • η f ειναι συνεχης στο x0 = 0 • η f δεν ειναι παραγωγισιμη στο x0 = 0. 5. x 2 + ax + 1, x  1 Δινεται η συναρτηση f(x) =  2 . 2x + ax + β, x > 1 Να βρειτε τις τιμες των α, β   , για τις οποιες η f ειναι παραγωγισιμη στο x0 = 1 .

Eστω μια συναρτηση f :    , παραγωγισιμη στο x0 = α με f(α)  0. Αν g(x) =| f(x) |, x   , νa δειξετε οτι : g'(α) =| f'(α) | .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

232

Eστω μια συναρτηση f :    συνεχης στο x0 = α. Αν g(x) =| x - a | f(x), x   , νa δειξετε οτι η g ειναι παραγωγισιμη στο x0 = α, αν και μονο αν f(α) = 0. 8. Eστω μια συναρτηση f :    , ειναι παραγωγισιμη στο x0 = α. xf(x) - αf(α) Νa δειξετε οτι : lim = f(α) + αf'(α). x α x-a

9. Eστω μια συναρτηση f :    , συνεχης στο x0 = 0. f(x) - 1 Αν lim = 1002, να βρειτε : x  0 ημ2x  f(0)  τη παραγωγο της f στο x0 = 0. 10.

Eστω δυο συναρτησεις f, g παραγωγισιμες στο x0 = 0 για τις οποιες ισχυουν : f(0) = g(0) = 0 και f(x)  g(x) για καθε x   . Na δειξετε οτι : f'(0) = g'(0). 11. Eστω μια συναρτηση f :    , παραγωγισιμη στο x0 = 0 για την οποια υποθετου με οτι ισχυει : f(α + β) = f(α)συνβ + f(β)συνα, για καθε α, β   . Na δειξετε οτι :  f(0) = 0  f'(x) = f'(0)συνx, για καθε x   .

12. Να βρειτε τη παραγωγο της συναρτησης στο x0 οταν :  f(x) = x 3 + x

+ 2x - 1 και x0 = 2.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

 f(x) = 2x

- lnx +

1 και x0 = 1. x

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

233

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

13. Να βρειτε τη παραγωγο των συναρτησεων :  f(x) = x 2 e x συνx  f(x) = 1 + ημx  f(x) = x

- 3 x + xημx - 2

14. Να βρειτε τη παραγωγο των συναρτησεων : ex  f(x) = lnx  f(x) = εφx - xσφx  f(x) = x  2

-ex

15.

Να βρειτε τη παραγωγο των συναρτησεων : ex  f(x) = ημ(συνx) lnx 2  f(x) = x + ημx  f(x) = e

 f(x) = 2

x 2 + συνx 2

16.

Να βρειτε τη παραγωγο των συναρτησεων :  f(x) = (ημx)συνx  f(x) = x 2 + ημ 3 (πx)  f(x) = x lnx  f(x) = x

17. Aν η συναρτηση f ειναι περιττη και δυο φορες παραγωγισιμη στο  , να αποδειχτει οτι : f(0) = f"(0) = 0.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

234

18. Να βρειτε, οπου οριζεται, τη παραγωγο των συναρτησεων : ημ(x 2 ) x 2 - 3ημx, x  0 , x 0  f(x) =  2 g(x) =  x x >0 0, x - 3x, x =0 

19. Eστω μια συναρτηση f :    , παραγωγισιμη στο x0 = 0 για την οποια υποθετου με οτι ισχυει : f(x) = 2e x , για καθε x   . Na βρειτε την :  f'(0)  την εξισωση της εφαπτομενης της Cf στο σημειο της Α(0,f(0)).

20. Να βρειτε την εξισωση της εφαπτομενης της Cf στο σημειο Α(x0 ,f(x0 )) oταν :  f(x) = x x + 1 και x0 = 1.  f(x) = xlnx και x0 = e.

21. Aν f(x) = αx 3 + βx 2 + 2x + 3, x   , να βρειτε τις τιμες των α, β   για τις οποιες η κλιση της f της Cf ειναι ιση με 8. 22.

Εστω μια συναρτηση f :    , αρτια και παραγωγισιμη. Αν η κλιση της f στο x0 = 1 ειναι 2012, να βρεθει η κλιση της f στο x1 = - 1. 23. Δινεται η συναρτηση f(x) = αlnx + βx 2 + 3, x > 0 και το σημειο Α(1, f(1)). Αν η ευθεια ε : y = 2x + 4 ειναι εφαπτομενη της Cf στο Α, να βρειτε τους α, β   .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

235

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

24. a , a  0. x Για ποια τιμη του α η εφαπτομενη της Cf στο σημειο Α(1, f(1)) ειναι εφαπτομενη και Δινονται οι συναρτησεις f(x) = x 2 - 3x και g(x) =

στη C g σε καποιο σημειο της Β(x0f(x0 )) ; 25.

Να βρειτε την εξισωση της κοινης εφαπτομενης των γραφικων παραστασεων των 1 συναρτησεων f(x) = x 2 και g(x) = . x

26. 4 και το σημειο Α(μ,0), μ  0. x  Να αποδειχτει οτι απ'το Α διερχεται μια μονο εφαπτομενη της Cf .

Εστω η συναρτηση f(x) =

 Να βρειτε το μ  0 ωστε η κλιση της παραπανω εφαπτομενης να ειναι ιση με - 1.

 Δειξτε οτι η εφαπτομενη της Cf σε οποιοδηποτε σημειο της Μ(x0 ,f(x0 )) σχηματι -

ζει με τους αξονες τριγωνο με σταθερο εμβαδον.

27. Ενας ποντικος βρισκεται στην κορυφη μιας σκαλας υψους 13m η οποια ειναι στερεωμενη πλαγια σε ενα τοιχο. Αν η βαση της σκαλας γλιστραει με ρυθμο 3m/sec τη στιγμη που βρισκεται σε αποσταση 5m απο τον τοιχο, να βρεθει ο ρυθμος με τον οποιο πεφτει ο ποντικος. 28. Ο ογκος μιας σφαιρας αυξανεται με ρυθμο 10 cm 3/sec. ● Να βρειτε το ρυθμο αυξησης της επιφανειας της σφαιρας ως προς το χρονο τη χρονικη στιγμη t0 κατα την οποια η ακτινα της σφαιρας ειναι 5 cm. ● Ποια ειναι η ακτινα της σφαιρας τη χρονικη στιγμη t0 κατα την οποια η επιφανεια αυξανεται με ρυθμο 2 cm 2/sec ;

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

236

29. Ενας ποδηλατης ειναι 4 Km ανατολικα απο ενα σταυροδρομι και ταξιδευει προς αυτο με ταχυτητα 9 Κm/h. Την ιδια στιγμη ενας αλλος ποδηλατης ειναι 3Κm νοτια απο το σταυροδρομι και απομακρυνεται απο αυτο με ταχυτητα 10 Km/h. Η μεταξυ τους αποσταση αυξανεται η μειωνεται και με τι ρυθμο; 30.

Να δειξετε οτι η συναρτηση f(x) = 1 + συν2x ικανοποιει τις υποθεσεις του θεωρη ματος Rolle στο διαστημα [0,π] και στη συνεχεια να βρειτε τον αριθμο x0  (0,π) του θεωρηματος Rolle. 31. 2(x + 1), x  - 1 Να αποδειξετε οτι η συναρτηση f(x) =  3 x - x, x > - 1 ικανοποιει τις υποθεσεις του θεωρηματος μεσης τιμης του διαφορικου λογισμου στο διαστημα [- 3, 2] και επειτα να βρειτε τον αριθμο ξ του Θ.Μ.Τ.

32. x + 1, x  1 Δινεται η συναρτηση f(x) =  2 . αx + βx - 1, x > 1 Να βρειτε τις τιμες των α, β   για τις οποιες η f ικανοποιει τις υποθεσεις του θεωρηματος Rolle στο διαστημα [0, 2] .

33.

Εστω μια συναρτηση f, συνεχης στο διαστημα [1, 3], παραγωγισιμη στο διαστημα (1,3) για την οποια ισχυουν : f(1) = 2011 και - 1  2 f'(x)  1 για καθε x  (1, 3). Να αποδειχθει οτι 2010  f(3)  2012. 34. Αν α < β, να δειξετε οτι η συναρτηση f(x) = ημx ικανοποιει τις υποθεσεις του Θ.Μ.Τ. στο διαστημα [α, β] και στη συνεχεια οτι | ημβ - ημα |   | β - α | .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

237

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

35. Δινεται η συναρτηση f(x) = (x - 2012) ημ x. Να δειξετε οτι :  Η εξισωση f'(x0 ) = 0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο (0, 2012).  Η εξισωση x + εφx = 2012 εχει μια τουλαχιστον, ριζα στο (0, 2012) . 36. Εστω f μια συναρτηση δυο φορες παραγωγισιμη στο διαστημα [α, β] για την οποια υποθετουμε οτι f(α) = f(β) και f'(α) = f'(β) = 0. Να αποδειξετε οτι υπαρχουν δυο τουλαχιστον σημεια x1 , x2  (α, β) τετοια, ωστε : f"(x1 ) = f"(x2 ) . 37. Εστω μια συναρτηση f, συνεχης στο διαστημα [α, β] και παραγωγισιμη στο (α, β) με 0 < α < β. Αν ισχυει βf(α) – αf(β) = 0, να αποδειχθει οτι : f(x)  Για τη συναρτηση F(x) = εφαρμοζεται το θεωρημα Rolle στο δια στημα [α, β] . x f(x0 )  Υπαρχει ενας τουλαχιστον, x0  (a, β) τετοιος ωστε f'(x0 ) = . x0  Η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της f στο σημειο Α(x0 , f(x0 )) διερχεται απο την αρχη των αξονων.

38. Εστω μια συναρτηση f παραγωγισιμη στο  με παραγωγο γνησιως φθινουσα στο  . Να αποδειξετε οτι f(2011) + f(2014) < f(2012) + f(2013). 39. Εστω μια συναρτηση f δυο φορες παραγωγισιμη στο  . Αν οι αριθμοι f(2), f(4),f(6) ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου, να απο δειξετε οτι υπαρχει ενας, τουλαχιστον x0  (2,6) τετοιος ωστε : f"(x0 ) = 0.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

238

40. Σε ενα αγωνα δρομου δυο αθλητες τερματιζουν ταυτοχρονα. Να αποδειξετε οτι υπαρχει μια,τουλαχιστον, χρονικη στιγμη t0 κατα τη διαρκεια του αγωνα, που οι δυο αθλητες εχουν την ιδια ταχυτητα.

41. Εστω δυο συναρτησεις f και g για τις οποιες ισχυουν :  f(0) = 0 και g(0) = 1 ,  f"(x) = g"(x) για καθε x   . Να αποδειξετε οτι : ( f(x)) 2 + ( g(x)) 2 = 1, x   . 42. Εστω f, g δυο συναρτησεις για τις οποιες ισχυουν :  f(0) = g(0) = 1, f(1) = 3 και g(1) = 2 ,  f"(x) = g"(x) για καθε x   . Να αποδειξετε οτι : f(x) = g(x) + x για καθε x   . 43. Εστω μια συναρτηση f :    για την οποια ισχυει :

| f(x) - f(y) |  (x - y) 2 για καθε x, y   . Να αποδειξετε οτι η f ειναι σταθερη στο  . 44.

Εστω μια συναρτηση f για την οποια ισχυουν :  f'(x) = 2012(x – 1) .  f'(x) = 2x 2 + x – 3 για καθε x  1. Να βρεθει ο τυπος της f.

45. Να βρεθουν τα διαστηματα μονοτονιας των συναρτησεων :  f(x) = lnx | x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

 g(x) = (x – 1) e x – (x + 1) e - x

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

239

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

46. Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια την συναρτηση f(x) = 2συνx – συν2x + 3, στο διαστημα Δ = [0, π].

47. x 2 + 4x, x  0ηx 4 Δινεται η συναρτηση f(x) =  2 0<x<4 3x - 4x,  Να δειξετε οτι η f ειναι συνεχης.  Να βρειτε τα διαστηματα μονοτονιας της f.

48.

Δινεται η συναρτηση f(x) = 3x 3 + 3μx 2 + (3μ + 4)x + 3, x   . Για ποιες τιμες της παραμετρου μ   η f ειναι γνησιως αυξουσα στο  ; 49. Δινεται η συναρτηση f(x) = x 5 + μ 2 x 3 + 2x – (μ + 3), x   .  Να δειξετε οτι η f ειναι γνησιως αυξουσα.  Να βρειτε τα lim f(x), lim f(x) , x   καθως και το συνολο των τιμων της f. x + 

x - 

 Να δ ειξετε οτι η εξισωση f(x) = 0 εχει ακριβως μια ριζα στο  .

50. Να αποδειχθει οτι η εξισωση xe x = 1 εχει μια ακριβως ριζα στο διαστημα (0, 1).

51. Να αποδειξετε οτι :  π  ημx – xσυνx > 0 για καθε x  0,  .  2 ημx ειναι γνησιως φθινουσα στο διαστημα  Η συναρτηση f(x) = x 

ημα α π > οταν 0 < α < β  . ημβ β 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

 π  0,  2

 . 

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

240

52. Να αποδειχθει οτι :  e x – x + 1 > 0 για καθε x   .  η εξισωση 2e x + 2x = x

+ 2 εχει μοναδικη ριζα την x = 0.

53. Δινεται η συναρτηση f(x) = 4x 3 – 21x 2 + 18x + μ, x   οπου η παραμετρος μ δια τρεχει το  . Να αποδειξετε οτι η εξισωση f(x) = 0 δεν μπορει να εχει δυο διαφορετικες ριζες στο διαστημα (1,2) . 54. Εστω f, g δυο συναρτησεις, ωστε να ισχυουν : f(α) = g(α) και f'(x) > g'(x) στo  . Να αποδειχθει οτι :  f(x) < g(x) για καθε x < α και  f(x) > g(x) για καθε x > α. 55.

Αν 0 < α < 1  Να μελετησετε τη μονοτονια της συναρτησης f(x) = α x – x.  Να βρειτε τις τιμες του λ   που ικανοποιουν τη σχεση : α

λ 2- 4

-α

λ -2

= (λ 2 - 4) - (λ - 2).

56. Να βρεθουν τα κρισιμα σημεια της συναρτησης : f(x) =| x 2 - 2x | .

57. Να βρειτε τα τοπικα ακροτατα της συναρτησης : x2 f(x) = (2 lnx - 1) - 2x(lnx - 1) . 4

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

241

58. Εστω η συναρτηση f(x) = x 2 e - x με πεδιο ορισμου το διαστημα Δ = [- 1, 3]. Να βρεθει το συνολο τιμων της. 59. Να βρειτε το συνολο τιμων της συναρτησης f(x) =

2x 1+x

, x  .

60. Εστω μια συναρτηση f με f'(x) = 2(x – 1) 2 (x + e) 2001 (x – 3). Να βρειτε τις θεσεις των τοπικων ακροτατων της f. 61.

Να βρειτε τα τοπικα ακροτατα και το συνολο τιμων της συναρτησης : f(x) = ημ 2 x - 2συνx + 2 2 , x  [0,π]. 62. x 2 - 4x, x 1 Δινεται η συναρτηση f(x) =  2 2x + 4x - 9, x < 1  Να δειξετε οτι η f ειναι συνεχης.  Να βρειτε τα τοπικα ακροτατα της f.

63. Να βρειτε τις τιμες του λ   για τις οποιες η συναρτηση :

f(x) = x 3 + 3(1 + λ)x 2 + 3(1 + λ)x + 6, x   , δεν εχει τοπικα ακροτατα . 64. Εστω η συναρτηση f, συνεχης στο διαστημα [0, 2]. Αν f(0) = f(2), να αποδειξετε οτι η f εχει ενα τουλαχιστο κρισιμο σημειο.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

242

65. Δινεται η συναρτηση f(x) = x 4 – 4x 3 + 4x 2 – 2, x   . Να βρειτε :  τα διαστηματα μονοτονιας και τα τοπικα ακροτατα της f.  το συνολο τιμων της f.  το πληθος των πραγματικων ριζων της εξισωσης f(x) = 0.

66. Εστω f μια συναρτηση παραγωγισιμη στο  για την οποια ισχυει : x2 +2004, x   . 4 Να αποδειξετε οτι η f δεν εχει τοπικα ακροτατα.

(f(x)) 3 + 8f(x) = (x - 1)e x -

67. Εστω μια συναρτηση f, παραγωγισιμη στο  για την οποια ισχυει : xf(x) + 1  e x + ημ2x, για καθε x   . Να αποδειξετε οτι f(0) = 3. 68. Αν 0 < α  1 και για καθε x   ισχυει a

 x + 1. Να αποδειχθει οτι α = e .

69.  Να αποδειχθει οτι : lnx  x - 1, για καθε x > 0.  Να λυσετε την εξισωση : 1 + lnx = x .

70. 1 x

Δινεται η συναρτηση f(x) = xe , x   *.  Να βρειτε τα διαστηματα μονοτονιας και τα τοπικα ακροτατα της f. x

e   Να αποδειξετε οτι    e, για καθε x > 0. x 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

243

71.  Βρειτε την ελαχιστη τιμη της συναρτησης : f(x) = e x - ax, x   και α > 0.

 ax για καθε x   .  Για την τιμη του α που βρηκατε, να αποδειξ ετε οτι η ευθεια y = αx ειναι εφαπτο  Βρειτε την μεγαλυτερη τιμη του α για την οποια ισχυει : e

μενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης g(x) = e x , x   .

72.

Αν τα x, y ειναι τα μηκη των καθετων πλευρων ορθογωνιου τριγωνου με υποτει νουσα 5 , να βρειτε τη μεγιστη δυνατη τιμη της παραστασης : Α = 2x + y. 73. Μια βιομηχανια καθοριζει την τιμη πωλησης Π(x) καθε μοναδας ενος προιοντος συναρτησει του πληθους x των μοναδων παραγωγης, συμφωνα με τον τυπο : x2 Π(x) = 16908 - , x > 0. 3 Το κοστος παραγωγης μιας μοναδας ειναι 6 Ευρω. Αν η βιομηχανιας πληρωνει φορο 2 Ευρω για καθε μοναδα προιοντος, να βρεθει ποσες μοναδες προιοντος πρέπει να παραγει η βιομηχανια, ωστε να εχει το μεγιστο δυνατο κερδος.

74. Δινεται η συναρτηση f(x) = x 2 , x   , και το σημειο Μ(3, 0).  Να βρειτε σημειο P της Cf , ωστε η αποσταση του Ρ απο το Μ να ειναι η ελαχιστη

δυνατη.  Να αποδειξετε οτι η ευθεια ΜΡ ειναι καθετη στ ην εφαπτομενη της Cf στο σημειο της Ρ.

75. Δινονται οι συναρτησεις : g(x) = 6lnx – 6x + 5 , x > 0 και f(x) = 3x 2 (lnx – 1) – x 3 + 2012, x > 0.  Να βρειτε τα διαστηματα μονοτονιας και τα τοπικα ακροτατα της g.  Να αποδειξετε οτι η f στρεφει τα κ οιλα κατω στο διαστημα (0, + μ).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

244

76. Να βρεθουν τα διαστηματα στα οποια η συναρτηση : f(x) = x 4 – 8x 3 + 18x 2 + 12x – 24, x   , ειναι κυρτη η κοιλη και να βρεθουν τα σημεια καμπης της Cf .

77. - x 3 - 6x 2 + x, x < 0 Δινεται η συναρτηση f(x) =  2 . x 0 x + x, Να βρειτε τα διαστηματα που η f ειναι κυρτη η κοιλη καθως και τα σημεια καμπης της Cf .

78.

Εστω μια συναρτηση f, συνεχης στο διαστημα [0, 4] και παραγωγισιμη στο (0, 4) με f(1) = f(2) = 0. Αν η f στρεφει τα κοιλα ανω στο διαστημα [0, 4] να αποδειχθει οτι :  f(0)f(4) > 0,  η f παρουσιαζει ελα χιστο στο (0, 4). 79. Εστω μια συναρτηση f δυο φορες παραγωγισιμη στο  για την οποια ισχυει :

(f'(x)) 3 + f'(x) = e x + x 3 , x   . Να αποδειξετε οτι η γραφικη παρασταση της f δεν εχει σημειο καμπης. 80.

Εστω f, g δυο συναρτησεις παραγωγισιμες στο  για τις οποιες υποθετουμε οτι :

(f(x)) 2 – (g(x)) 2 = 1, x   , g'(x) = f(x) και f(x) > 0 στο  . Να αποδειξετε οτι η f στρεφει τα κοιλα ανω στο  . 81.

Εστω συναρτηση f δυο φορες παραγωγισιμη στο  , με f(x) > 0 στο  και f'(x)  0 στο  . Αν g(x) = lnf(x) και g"(x) > 0 στο  , δειξτε οτι : η f ειναι κυρτη στο  .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

245

82. Να βρεθουν τα ορια : Α = lim

x0

x - ημx 1 - συνx

Β = lim ↓ x

x 3 - 5x 2 + 8x - 4

x -1

83. Να βρεθουν τα ορια : 3x + lnx Α = lim x   x + lnx

Β = ↓lim+ (x 2 lnx)

84. Να βρεθουν τα : A = lim + (ημx) εφx και x

π 2

 1  Β = lim x  e x - 1  . x   

85. Nα βρεθουν οι ασυμπτωτες της γραφικης παραστασης της συναρτησης 1 f(x) = 2012  x + 2 . x

86. αx 2 + βx - 3 . x -1 Αν η ευθεια y = - x + 2 ειναι ασυμπτωτη της Cf στον +  , να βρεθουν οι α, β   . Δινεται η συναρτηση f(x) =

87. Εστω οτι η ευθεια y = 2x + 5 ειναι ασυμπτωτη της γραφικης παραστασης της συναρ τησης f στο + . f(x)  Να βρειτε τα : lim και lim [f(x) - 2x]. x +  (x) x  μf(x) + 4x  Να βρειτε τον μ   αν lim = 1. x +  xf(x) - 2x 2 + 3x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

246

88. Να βρεθουν τα ορια : x - ημx •↓ lim x 0 x2 e x -1- x 2 3 2 (x + x + x + 1)lnx • ↓lim ∞ x + e 2x  συν 2 x e x  •↓ lim   x 0 x ημx   89. 4 2+ex Να βρεθουν οι πλαγιες ασυμπτωτες της Cf . Δινεται η συναρτηση : f(x) = x + 2 +

90. Για τη συναρτηση f :    ισχυει : x 3 - x

 x 2f(x)  x 3 - x 2 + 2012 για καθε

x   * . Να εξεταστει αν η Cf εχει πλαγια ασυμπτωτη .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

247

25. Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς 1. Αν μια συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη σ’ ενα σημειο x0, τoτε ειναι και συνεχης στο σημειο αυτο. Για x≠x0 εχουμε: f(x) - f(x0 ) =

f(x) - f(x0 )  (x - x0 ) , οποτε x - x0

 f(x) - f(x0 )  f(x) - f(x0 )  lim x - x0 ) lim [f(x) - f(x0 )] = lim   (x - x0 )  = lim x  x x  x x  x x  x x x x x 0 0   = f'(x0 )  0 = 0 ,

αφου η f ειναι παραγωγισιμη στο x0. Επομενως, lim (x) = f(x0 ) , δηλαδη η f ειναι συνεx  x

χης στο x0.

2. Εστω η σταθερη συναρτηση f(x) = c, c ∈  . Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο  και ισχυει f’(x) = 0, δηλαδη (c)’ = 0 .

Aν x0 ειναι ενα σημειο του  , τοτε για x≠x0 ισχυει: f(x) - f(x0 ) c - c = =0. x - x0 x - x0

f(x) - f(x0 ) = 0 , δηλαδη (c)’ = 0. x  x x - x0

Επομενως, lim

3. Εστω η συναρτηση f(x) = x. Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο  και ισχυει

f’(x) = 1, δηλαδη (x) ’ = 1 .

Aν x0 ειναι ενα σημειο του  , τοτε για x≠x0 ισχυει: f(x) - f(x0 ) x - x0 = =1. αν x - x0 x - x0

f(x) - f(x0 ) = lim 1 = 1 , δηλαδη (x) ’ = 1 . x  x x  x x - x0

Επομένως, lim

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

248

4. Eστω η συνaρτηση f(x) = x v, ν ∈  - {0, 1}. Η συνaρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο  και ισχυει f’(x) = ν∙x v - 1, δηλαδη (x v) ’ = ν ∙x v - 1.

Αν x0 ειναι ενα σημειο του  , τοτε για x ≠ x0 ισχυει: f(x) - f(x0 ) xν - x0ν (x - x0 )(x ν-1 + x ν-2x0 + ...+ x0ν-1 ) = = = x ν-1 + x ν-2x0 +...+ x0ν-1 , x - x0 x - x0 x - x0

οποτε f(x) - f(x0 ) lim = lim (xν-1 + xν-2x0 + ...+ x0ν-1 ) = x0ν-1 + x0ν-1 + ... + x0ν-1 = νx0ν-1 , δηλαδη x  x x  x x - x0 (xv) ’ = v ∙ x v - 1.

x . Η συνaρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ∞) και ισχυ-

Eστω η συνaρτηση f(x) = ει f’(x) =

1 2 x

, δηλαδη ( x )' =

2 x

Αν x0 ειναι ενα σημειο του (0, + ∞), τοτε για x ≠ x0 ισχυει: x - x0 f(x) - f(x0 ) = = x - x0 x - x0



x - x0

(x - x0 )





x + x0



=

x - x0

(x - x0 )



x + x0



1 x + x0

οποτε Η f(x)= x δεν ειναι f(x) - f(x0 ) 1 1 1 lim = lim = , δηλαδη ( x)' = . x  x x  x x - x0 x + x0 2 x0 2 x παραγωγισιμη στο 0

6. Εστω συναρτηση f(x) = ημx. Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο  και ισχυει

f’(x) = συνx, δηλαδη (ημx) ’ = συνx. Για καθε x ∈  και h ≠ 0 ισχυει:

f(x + h) - f(x) ημ(x + h) - ημx ημx  συνh + συνx  ημh - ημx (συνh - 1) ημh = = = ημx + συνx . h h h h h

Επειδη ημh =1 h 0 h lim

και

συνh - 1 =0, h 0 h lim

εχουμε f(x + h) - f(x) lim = ημx  0 + συνx  1 = συνx . Δηλαδη, (ημx) ’ = συνx . h 0 h

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

249

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

7. Εστω η συναρτηση f(x) = συνx. Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο  και ισχυει

f’(x) = - ημx, δηλαδη (συνx) ’ = - ημx . Για καθε x∈  και h≠0 ισχυει:

f(x + h) - f(x) συν(x + h) - συνx συνxσυνh - ημxημh - συνx συνh - 1 ημh . = = = συνx - ημx h h h h h

Επειδη

  f(x + h) - f(x) συνh - 1  ημh  = lim  συνx  - lim  ημx    = συνx  0 - ημx  1 = - ημx . h 0 h 0 h h h    h 0  lim

Δηλαδη, (συνx)’ = - ημx .

8. Αν οι συναρτησεις f, g ειναι παραγωγισιμες στο x0, τοτε η συναρτηση f + g ειναι παραγωγισιμη στο x0 και ισχυει: (f + g)’(x0) = f’(x0) + g’(x0). Για x≠x0, ισχυει:

(f + g)(x) - (f + g)(x0 ) f(x) + g(x) - f(x0 ) - g(x0 ) f(x) - f(x0 ) g(x) - g(x0 ) = = + . x - x0 x - x0 x - x0 x - x0 Επειδη οι συναρτησεις f, g ειναι παραγωγισιμες στο x0, εχουμε:

(f + g)(x) - (f + g)(x0 ) f(x) - f(x0 ) g(x) - g(x0 ) = lim + lim = f'(x0 ) + g'(x0 ), x  x x  x x  x x - x0 x - x0 x - x0 lim

δηλαδη (f+g)’(x0) = f’(x0) + g’(x0).

9. Εστω η συναρτηση f(x) = x - v, ν ∈  * . Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο 

και

ισχυει f’(x) = - ν ∙x – v - 1, δηλαδη (x - v) ’ = - ν ∙x – v - 1.  1 Για καθε x ∈  * εχουμε: (x -ν )' =  ν x

 (1)'  x ν - 1  (x ν )' - ν  x ν-1 = = - ν  x -ν-1 . ' = ν 2 2ν (x ) x 

10.

Εστω η συνaρτηση f(x) = εφx. Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο 1 1 Α =  - {x|συνx = 0} και ισχυει f’(x) = , δηλαδη (εφx) ’ = . 2 συν x συν 2 x Για καθε x∈  εχουμε:  ημx  (ημx)'συνx - ημx(συνx)' συνxσυνx + ημxημx συν 2x + ημ 2x 1 (εφx)' =  = = = ' = 2 2 2 συν x συν 2x συν x συν x  συνx 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

250

11. Η συναρτηση f(x) = x α, α ∈  -  ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ∞) και ισχυει

f’(x) = α ∙x α - 1, δηλαδη (x α) ’ = α ∙x α

-1

Αν y = x α = e αlnx και θεσουμε u = alnx, τoτε εχουμε y = e u . Επομενως, (x α)’ = y' = (e u )' = e u  u' = e αlnx  α 

1 α = x α  = α∙x x x

α -1

12. Η συναρτηση f(x) = a x, a > 0 ειναι παραγωγισιμη στο  και ισχυει f’(x) = a xlna, δηλαδη

(a x)’ = a xlna.

Aν y = α x = e xlnα και θεσουμε u = xlna, τοτε εχουμε y = eu . Επομενως, (a x)’ = y' = (eu )' = eu  u' = e xlnα  lnα = a xlna.

13. Η συνaρτηση f(x) = ln|x|, x∈  * ειναι παραγωγισιμη στο  δηλαδη (ln|x|)’ =

1 . x

• Αν x > 0, τοτε (ln|x|)’ = (lnx)’ =

1 , x

και ισχυει f’(x) =

1 , x

ενω

• Αν x < 0, τοτε ln|x| = ln(- x) Oποτε, αν θεσουμε y = ln(- x) και u = - x , εχουμε y = lnu . Επομενως, 1 1 1 y’ = (lnu)’=  u’ =  (- 1) = u -x x Aρα τελικα (ln|x|)’ =

1 . x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

251

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

14. Εστω μια συναρτηση f ορισμενη σε ενα διαστημα Δ. Αν • η f ειναι συνεχης στο Δ και • f’(x) = 0 για καθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ο σημειο x του Δ,

τοτε η f ειναι σ τ α θ ε ρ η σε ολο το διαστημα Δ. Αρκει να αποδειξουμε οτι για οποιαδηποτε x1,x2 ∈ Δ ισχυει f(x1) = f(x2). Πρaγματι • Αν x1 = x2, τoτε προφανως f(x1) = f(x2).

• Αν x1 < x2, τοτε στο διαστημα [x1, x2] η f ικανοποιει τις υποθεσεις του θεωρηματος μεσης τιμης. Επομενως, υπαρχει ξ ∈ (x1, x2) τετοιο, ωστε f'(ξ) =

f(x2 ) - f(x1 ) . x2 - x1

(1)

Επειδη το ξ ειναι εσωτερικο σημειο του Δ, ισχυει f’(ξ) = 0, οποτε λογω της (1) ειναι f(x1) = f(x2). • Αν x1>x2, τοτε ομοιως αποδεικνυεται οτι f(x1) = f(x2). Σε ολες, λοιπον, τις περιπτωσεις ειναι f(x1) = f(x2).

15. Εστω δυο συναρτησεις f, g ορισμενες σε ενα διαστημα Δ. Αν • οι f, g ειναι σ υ ν ε χ ε ι ς στο Δ και • f’(x) = g’(x) για καθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ο σημειο x του Δ,

τοτε υπαρχει σταθερα c τετοια, ωστε για καθε x ∈ Δ να ισχυει: f(x) = g(x) + c .

Η συνaρτηση f - g ειναι συνεχης στο Δ και για καθε εσωτερικο σημειο x∈Δ ισχυει (f - g)’(x) = f’(x) - g’(x) = 0 .

Επομενως, συμφωνα με το θεωρημα: “ Εστω μια συναρτηση f ορισμενη σε ενα διαστημα Δ. Αν • η f ειναι σ υ ν ε χ η ς στο Δ και • f’(x) = 0 για καθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ο σημειο x του Δ, τοτε η f ειναι σ τ α θ ε ρ η σε ολο το διαστημα Δ.” η συνaρτηση f - g ειναι σταθερη στο Δ. Αρα, υπαρχει σταθερα c τετοια, ωστε για καθε x∈Δ να ισχυει f(x)-g(x)=c, οπoτε f(x) = g(x) + c .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

252

16. Eστω μια συνaρτηση f, η οποια ειναι σ υ ν ε χ η ς σε ενα διαστημα Δ. • Αν f’(x) > 0 σε καθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ο σημειο x του Δ, τοτε η f ειναι γνησιως αυξουσα σ’ολο το Δ. • Αν f’(x) < 0 σε καθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ο σημειο x του Δ, τοτε η f ειναι γνησιως φθινουσα σ’ολο το Δ. • Αποδεικνυουμε το θεωρημα στην περιπτωση που ειναι f’(x) > 0. Εστω x1,x2 ∈ Δ με x1 < x2. Θα δειξουμε οτι f(x1) < f(x2). Πραγματι, στο διαστημα [x1, x2] η f ικανοποιει τις προυποθεσεις του Θ.Μ.Τ. Επομενως, υπαρχει ξ∈(x1,x2) τετοιο, ωστε f'(ξ) =

f(x2 ) - f(x1 ) , οποτε εχουμε x2 - x1

f(x2) - f(x1) = f’(ξ)(x2 - x1). Επειδη f’(ξ) > 0 και x2 - x1 > 0, εχουμε f(x2) - f(x1) > 0, οποτε f(x1) < f(x2). • Στην περιπτωση που ειναι f’(x) < 0 εργαζομαστε αναλογα.

17. Εστω μια συναρτηση f ορισμενη σ’ ενα διαστημα Δ και x0 ενα εσωτερικο σημειο του Δ. Αν η f παρουσιαζει τοπικο ακροτατο στο x0 και ειναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτο, τοτε: f’(x0) = 0. (θ.Fermat) Ας υποθεσουμε οτι η f παρουσιαζει στο x0 τοπικο μεγιστο. Επειδη το x0 ειναι εσωτερικο σημειο του Δ και η f παρουσιαζει σ’αυτο τοπικο μεγιστο, υπαρχει δ > 0 τετοιο, ωστε: (x0 - δ, x0 + δ)  Δ και f(x1) < f(x0), για καθε x ∈ (x0 - δ, x0 + δ)

(1)

Επειδη, επιπλεον, η f ειναι παραγωγισιμη στο x0, ισχυει

f(x) - f(x0 ) f(x) - f(x0 ) = lim+ . Επομενως, x  x0 x  x0 x - x0 x - x0

f'(x0 ) = lim-

• αν x ∈ (x0 - δ, x0) τοτε λογω της (1), θα ειναι

f(x) - f(x0 ) 0 x  x0 x - x0

f'(x0 ) = lim-

• αν x ∈ (x0 , x0 + δ), τοτε λογω της (1), θα ειναι

f(x) - f(x0 )  0. x  x0 x - x0

f'(x0 ) = lim+

f(x) - f(x0 )  0 , οποτε θα εχουμε x - x0 (2)

f(x) - f(x0 )  0 , οποτε θα εχουμε x - x0 (3)

Ετσι, απο τις (2) και (3) εχουμε f’(x0) = 0. Αναλογη η αποδειξη για τοπικο ελαχιστο.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

254

1. Π α ρ α γ ο υ σ α •Ορισμος Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο διαστημα Δ. Ονομαζουμε α ρ χ ι κ η η π α ρ α γ ο υ σ α της f στο Δ, καθε συναρτηση F που ειναι παραγωγισιμη στο Δ και ισχυει: F’(x) = f(x), για καθε x ∈ Δ.

•Θεωρημα

Αν υπαρχει μια αρχικη συναρτηση F της f σ’ενα διαστημα Δ, τοτε υπαρχουν απειρες και ειναι της μορφης: G(x) = F(x) + c, c ∈  .

Παρατηρηση

Προκειμενου να αναφερθουμε σε παραγουσα της συναρτησης f, χρησιμοποιουμε τη φραση “… ειναι μ ι α αρχικη της f …” και οχι τη φραση “… ειναι η αρχικη της f …”.

2. Π ι ν α κ α ς Π α ρ α γ ο υ σ ω ν Συναρτηση f

Παραγουσα F

Μορφη της f

Μορφη της F

f΄(x)

f(x)

f(x) f΄(x)

1 2 f (x) 2

xα

x α+1 α+1

f α(x) f΄(x)

1 f α+1(x) α+1

1 x

2 x

f'(x) f(x)

2 f(x)

ημx

-συνx

ημf(x) f΄(x)

- συνf(x)

συνx

ημx

συνf(x) f΄(x)

ημf(x)

e f(x) f΄(x)

e f(x)

1 x

ln|x|

f'(x) f(x)

ln|f(x)|

αx

αx lnα

α f(x) f΄(x)

α f(x) lnα

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

255

Μορφη f

Μορφη F

Μορφη f

Μορφη F

f’(x)g(x)+f(x)g’(x)

f(x)g(x)

f’(x)+xf’(x)

xf(x)

f'(x)g(x) - f(x)g'(x) g 2 (x)

f(x) g(x)

f(x) - xf'(x) x2

f(x) x

[f’(x)] 2+f(x)f’’(x)

f(x)f’(x)

[f’(x)+f(x)g’(x)]e g(x)

f(x)e g(x)

*3. Α ο ρ ι σ τ ο Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α •Ορισμος Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο διαστημα Δ, και F μια παραγουσα της. Ονομαζουμε α ο ρ ι σ τ ο ο λ ο κ λ η ρ ω μ α της f στο Δ, το συνολο ολων των παραγουσων της στο διαστημα αυτο. Συμβολιζεται:  f(x) dx Διαβαζεται:

“αοριστο ολοκληρωμα εφ του χι ντε χι”.

Ισχυει:

f(x) dx = F(x) + c,

•Αμεση συνεπεια •  f'(x) dx = f(x) + c, ∈ c  •

c ∈ .

d d ( f(x) dx ) = (F(x) + c) = f(x) dx dx

 Ι διο τη τες • Εστω η συναρτηση f με παραγουσα F στο διαστημα Δ και λ πραγματικος, τοτε :

 λf(x) dx = λ  f(x) dx, λ  

• Εστω oι συναρτησεις f, g με παραγουσες F και G αντιστοιχα στο διαστημα Δ, τοτε :

 (f(x) + g(x))dx =  f(x) dx +  g(x) dx

• Εστω oι συναρτησεις f, g με παραγουσες F και G αντιστοιχα στο διαστημα Δ και λ, μ παραγματικοι, τοτε :

 (λf(x) + μg(x))dx = λ  f(x) dx + μ g(x) dx

• Εστω η συναρτηση f με παραγουσα F και συναρτηση g με παραγωγο g'(x) στο διαστημα Δ , τοτε :

 f(g(x)).g'(x) dx =  f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c,

c

οπου u = g(x) και du = g'(x)dx

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

256

•Βασικα

x α+1 + c, ∈ c  α+1 •  e x dx = e x + c, ∈ c 

c  x dx = ln | x | +c, ∈



•  x α dx =

•

•  ημxdx = -συνx + c, ∈ c 

αx •  α dx = +c lnα •  συνxdx = ημx + c, ∈ c 

•

c  ημ 2 x dx = -σφx + c, ∈



•

c  συν 2 x dx = εφx + c, ∈



*4. Μ ε θ ο δ ο ι Ο λ ο κ λ η ρ ω σ η ς • ‘’ Κ α τ α Μ ε ρ η ‘’ Η μεθοδος βασιζεται στην ιδιοτητα της γραμμικοτητας του αοριστου ολοκληρωματος :

 (κ1f1 (x) + κ2f2 (x) + ...+ κvfv (x)) dx = κ1 f1 (x) dx + κ2  f2 (x) dx + ...+ κv fv (x) dx οπου κi ∈  , i = 1,2,3,…,ν.

(Η μεθοδος ονομαζεται και διασπαση). Για τα επιμερους απλα ολοκληρωματα, χρησιμοποιουμε τους τυπους των βασικων ολοκληρωματων. Παρατηρηση: Tις ριζες τις μετατρεπουμε σε δυναμεις. Τα κλασματα τα “σπαμε” σε πιο απλα. Τις ταυτοτητες τις αντικαθιστουμε με τα αναπτυγματα τους. • ‘’ Κ α τ α Π α ρ α γ ο ν τ ε ς ‘’ Η μεθοδος βασιζεται στον τυπο :  f(x)  g'(x) dx = f(x)  g(x) -  f'(x)  g(x) dx που εφαρμοζεται με τις προυποθεσεις: • Ολοκληρωνουμε γινομενο συναρτησεων. • Τουλαχιστον μια απ’τις συναρτησεις μπορει να αντικατασταθει απο την παραγωγο της παραγουσας της. Περιπτωσεις • Μορφη :

x

 (τρ.αριθμος)(x) dx

Aντικαθιστουμε τον τριγωνομετρικο αριθμο, με την παραγωγο της παραγουσας του, και οχι τη δυναμη του x. • Μορφη :  P(x)  e αx dx και

 P(x)  α

dx, 0 < α  1

Aντικαθιστουμε τα e αx και α x , με την παραγωγο της παραγουσας τους, και οχι το Ρ(x). • Μορφη :  P(x)  ln(αx) dx και

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

 P(x)  logα x dx,

0<α 1

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

257

Aντικαθιστουμε το Ρ(x) με την παραγωγο της παραγουσας του, και οχι το ln(αx). Οι δυο περιπτωσεις ειναι ιδιες αφου:

lnx

 P(x)  logα x dx =  P(x)  lnα dx = lnα  P(x)  lnx dx • Μορφη :

e

 (τρ.αριθμος)(x) dx

• Aντικαθιστουμε οποιαδηποτε απ’τις συναρτησεις με την παραγωγο της παραγουσας της. • Στο ολοκληρωμα που προκυπτει εκτελουμε νεα παραγοντικη ολοκληρωση και αντικαθιστουμε την αντιστοιχη συναρτηση με αυτην που αντικαταστησαμε προηγουμενα. • Στο δευτερο μελος τωρα εμφανιζεται το ζητουμενο και με καταλληλες πραξεις (εξισωση α’ βαθμου) βρισκουμε το ολοκληρωμα. • ‘’ Α ν τ ι κ α τ α σ τ α σ η ‘’ Η μεθοδος βασιζεται στην εννοια του διαφορικου: Για μια συναρτηση f παραγωγισιμη στο Δ με παραγωγο f’(x), oνομαζουμε δ ι α φ ο ρ ι κ ο της f (συμβολιζεται df η df(x)) το γινομενο f’(x)dx Δηλαδη df = df(x) = f’(x)dx. και στην ιδιοτητα του αοριστου ολοκληρωματος:

c f(g(x))  g'(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c, ∈

 ,

οπου u = g(x) και du = g’(x)dx. Στη προκειμενη περιπτωση μας εξυπηρετει να αντικαταστησουμε την συναρτηση προς ολοκληρωση με απλουστερη, με την διαφορα ομως οτι πρεπει να μετασχηματισουμε το διαφορικο. Δηλαδη μπροστα απ’το dx προσπαθουμε να εμφανισουμε την f’(x), ωστε να δημιουργησουμε το f’(x)dx. Mερικα παραδειγματα διαφορικου ειναι: • d(xv) = vxv-1dx

1 dx x • d(ex) = exdx • d(lnx) =

• d(a-x) = a-xlnadx • d(ημx) = συνxdx • d(συνx) = -ημxdx • d(εφx) =

1 dx συν 2 x

• d(σφx) = -

1 dx ημ 2 x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

258

5. Ο ρ ι σ μ ε ν ο Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α • Ορισμος Εστω θετικη συνεχης συναρτηση f σε διαστημα [α,β]. Επιλεγουμε τα αυθαιρετα σημεια ξ 1 ,ξ 2 ,..., ξ ν απο τα ισομηκη διαστηματα [α, x 1 ],[x 1 , x 2 ],[x 2 , x 3 ],...,[x ν-1 , x ν] αντιστοιχα, που εχουν μηκος Δ x = Σχηματιζουμε το αθροισμα :

β-α . ν v

S v = f(ξ 1 )Δ x + f(ξ 2 )Δ x + ... + f(ξ v )Δ x =  f(ξ 1 ) + f(ξ 2 ) + ... + f(ξ v )  Δ x = Δ x   f(ξ i ) i =1

Oποτε υπαρχει το οριο lim Δ x   f(ξ i ), που ειναι και ανεξαρτητο του ξ i . ν+

Ονομαζουμε ο ρ ι σ μ ε ν ο

i =1

ο λ ο κ λ η ρ ω μ α της συνεχους συναρτησης f απο το v

α στο β το οριο lim Δ x   f(ξ i )Δ x . ν+

Συμβολιζουμε : Διαβαζουμε :



i =1

f(x)dx

" ολοκληρωμα της f απο το α στο β " v

Ισχυει :  f(x)dx = lim Δ x   f(ξ i )Δ x α

ν+

i =1

• Ιδιοτητες Εστω συναρτησεις f,g συνεχεις στο διαστημα Δ και λ,μ πραγματικοι. Τοτε β

λf(x) dx = λ  f(x) dx, λ  

•

α

•

α (f(x) + g(x)) dx = α f(x) dx + α

•

α (λf(x) + μg(x)) dx = λ α f(x) dx + μ α

•

α f(x) dx = α f(x) dx + γ f(x) dx

•

α f(x) dx = - β f(x) dx

g(x) dx

• Αν f(x ) ≥ 0 για καθε x στο [α,β] και οχι παντου μηδεν, τοτε :

α f(x) dx

0

• Συνεπειες Ορισμου

•

α f(x) dx = α f(y) dy = α f(t) dt = ... , α •  f(x) dx = 0. α β α •  f(x) dx = -  f(x) dx , αν α > β. α β

α < β.

• Αν f(x)  0 και f συνεχης για καθε x∈ [α, β], τοτε

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

α f(x) dx

 0.

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

259

• Αν f(x)  g(x) και f, g συνεχεις για καθε x∈ [α, β], τοτε β

α

f(x) dx 

α

g(x) dx.

• Αν m η ελαχιστη και Μ η μεγιστη τιμη συνεχους συναρτησης f για καθε β x∈ [α, β], τοτε : m(β - α)   f(x) dx  Μ(β - α). α ∈ ∈ [α,β], • Αν f συνεχης στο x [α, β] με f(x)  0 η f(x)  0 για καθε x τοτε |

α

f(x) dx | =

α | f(x) | dx.

• Αν f συνεχης στο x∈ [α, β] και δεν διατηρει προσημο στο [α, β], τοτε |

α f(x) dx | < α | f(x) | dx.

6. 1 ο Θ ε μ ε λ ε ι ω δ ε ς Θ ε ω ρ η μ α Αν μια συναρτηση f ειναι συνεχης στο διαστημα Δ και α ενα ορισμενο σημειο του Δ, τοτε η συναρτηση F(x) =

F'(x) =

α f(t) dt

ειναι παραγωγισιμη στο Δ και ισχυει :

x x d (  f(t)dt ) = (  f(t)dt )' = f(x) . α dx α

Συνεπειες φ, g παραγωγισιμες στο Δ και φ, g εχουν τιμες στο Δ για καθε x∈Δ • F(x) = • F(x) =

φ(x)

α

φ(x)

g(x)

f(t) dt τοτε ( 

φ(x)

f(t)dt τοτε

φ(x)

(

g(x)

f(t)dt )' = f(φ(x))  φ'(x)

f(t) dt )' = f(φ(x))  φ'(x) - f(g(x))  g'(x)

7. 2 ο Θ ε μ ε λ ε ι ω δ ε ς Θ ε ω ρ η μ α Αν μια συναρτηση f ειναι συνεχης σ’ενα διαστημα [α,β] και G(x) ειναι μια αρχικη συναρτηση της f στο [α,β], τοτε : β

α f(x) dx = [G(x)] α

= G(β) - G(α)

Παρατηρησεις • H τιμη του



f(x)dx οπως και η τιμη του

• Ο υπολογισμος του



f(t)dt ειναι ανεξαρτητη της μεταβλητης.

f(x)dx με τη βοηθεια του πιο πανω θεωρηματος αναγεται στο

προσδιορισμο μιας παραγουσας της f.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

260

8. Μ ε θ ο δ ο ι Ο λ ο κ λ η ρ ω σ η ς • ‘’ Κ α τ α Μ ε ρ η ‘’ Η μεθοδος βασιζεται στην ιδιοτητα της γραμμικοτητας του ορισμενου ολοκληρωματος :

 (κ1f1 (x) + κ2f2 (x) + ...+ κvfv (x)) dx = κ1 f1 (x) dx + κ2  f2 (x) dx + ...+ κv fv (x) dx οπου κi ∈  , i = 1,2,3,…,ν.

(Η μεθοδος ονομαζεται και διασπαση). Για τα επιμερους απλα ολοκληρωματα, χρησιμοποιουμε το θεμελιωδες θεωρημα του ολοκληρωτικου λογισμου : β

α fi (x)dx = [Fi (x)]α

= Fi (β) - Fi (α) ,οπου Fi’(x) = f(x) με i = 1,2,3,…,ν.

Παρατηρηση Tις ριζες τις μετατρεπουμε σε δυναμεις. Τα κλασματα τα “σπαμε” σε πιο απλα. Τις ταυτοτητες τις αντικαθιστουμε με τα αναπτυγματα τους. • ‘’ Κ α τ α Π α ρ α γ ο ν τ ε ς ‘’ β

Η μεθοδος βασιζεται στον τυπο :  f(x)  g'(x) dx = [f(x)  g(x)]αβ α

α f'(x)  g(x) dx

που εφαρμοζεται με τις προυποθεσεις: • Ολοκληρωνουμε γινομενο συναρτησεων. • Τουλαχιστον μια απ’τις συναρτησεις μπορει να αντικατασταθει απο την παραγωγο της παραγουσας της. Περιπτωσεις • Μορφη :

α x

 (τρ.αριθμος)(x) dx

Aντικαθιστουμε τον τριγωνομετρικο αριθμο, με την παραγωγο της παραγουσας του, και οχι τη δυναμη του x. • Μορφη :

α P(x)  e

αx

dx και

α P(x)  α

dx, 0 < α  1

Aντικαθιστουμε τα e αx και α x , με την παραγωγο της παραγουσας τους, και οχι το Ρ(x). • Μορφη :

α P(x)  ln(αx) dx

και

α P(x)  logα x dx,

0<α1

Aντικαθιστουμε το Ρ(x) με την παραγωγο της παραγουσας του, και οχι το ln(αx). Οι δυο περιπτωσεις ειναι ιδιες αφου: β

lnx

α P(x)  logα x dx = α P(x)  lnα dx = lnα α P(x)  lnx dx

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

261 • Μορφη :

α e

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

 (τρ.αριθμος)(x) dx

• Aντικαθιστουμε οποιαδηποτε απ’τις συναρτησεις με την παραγωγο της παραγουσας της. • Στο ολοκληρωμα που προκυπτει εκτελουμε νεα παραγοντικη ολοκληρωση και αντικαθιστουμε την αντιστοιχη συναρτηση με αυτην που αντικαταστησαμε προηγουμενα. • ‘’ Α ν τ ι κ α τ α σ τ α σ η ‘’ Η μεθοδος βασιζεται στην εννοια του διαφορικου: Για μια συναρτηση f παραγωγισιμη στο Δ με παραγωγο f’(x), oνομαζουμε δ ι α φ ο ρ ι κ ο της f (συμβολιζεται df η df(x)) το γινομενο f’(x)dx Δηλαδη df = df(x) = f’(x)dx. και στην ιδιοτητα του ορισμενου ολοκληρωματος: β

α

f(g(x))  g'(x) dx =

u

f(u) du =F(g(β))-F(g(α)) ,

οπου u = g(x), u1 = g(α), u2 = g(β) και du = g’(x)dx με f, g’ συνεχεις συναρτησεις στο [α,β] και F παραγουσα της f. Στη προκειμενη περιπτωση μας εξυπηρετει να αντικαταστησουμε την συναρτηση προς ολοκληρωση με απλουστερη, με την διαφορα ομως οτι πρεπει να μετασχηματισουμε το διαφορικο. Δηλαδη μπροστα απ’το dx προσπαθουμε να εμφανισουμε την f’(x), ωστε να δημιουργησουμε το f’(x)dx. Mερικα παραδειγματα διαφορικου ειναι:

• d(e x) = e xdx

1 dx x • d(a - x) = a - xlnadx

• d(ημx) = συνxdx

• d(συνx) = - ημxdx

• d(x v) = vx

• d(εφx) =

v-1

• d(lnx) =

1 dx συν 2 x

• d(σφx) = -

1 dx ημ 2 x

9. Ε μ β α δ ο ν Χ ω ρ ι ο υ • Εστω η συναρτηση f ορισμενη και συνεχης στο διαστημα [α,β]. Το εμβαδον του χωριου που περικλειεται απο την C f , τον αξονα x'x και τις ευθειες x = α και x = β δινεται απο τον τυπο : β

• E =  f(x)dx αν f(x)  0 για καθε x  [α,β] α

• E = -  f(x)dx αν f(x)  0 για καθε x  [α,β] α

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

262

Σε περιπτωση που η Cf τεμνει τον x'x, βρισκουμε το εμβαδον σε καθενα απο

τα διαστηματα που προκυπτουν απο τα α,β και τα σημεια τομης, και τα προσθε τουμε. • Εστω οι συναρτησεις f, g ορισμενες και συνεχεις στο διαστημα [α,β]. Το εμβαδον του χωριου που περικλειεται απο την C f , C g και τις ευθειες x = α και x = β δινεται απο τον τυπο : β

• E =  [f(x) - g(x)] dx αν f(x)  g(x) α β

• E =  [g(x) - f(x)]dx αν f(x)  g(x) α

Σε περιπτωση που οι C f , C g τεμνονται, βρισκουμε το εμβαδον σε καθενα απο τα διαστηματα που προκυπτουν απο τα α, β και τα σημεια τομης, και τα προσθετουμε.

Τυπολογιο β

f(x) =

α f(x) =

Διαστημα

0 c

c c∙x

x ν +1 ν+1

0 c ∙ (β - α)

 

[

2 x

[2 x ] αβ

- συνx

[ - συνx ] αβ

xν 1 x ημx

x ν +1 β ] ν+1 α

 - { -1, 0}

(0, + ∞) 

ημx

[ ημx ]

εφx

[ εφx ] αβ

σφx

[ σφx ] αβ

(κπ,κπ + π), κ  

[ e x ] αβ

1 x



ln|x|

[ ln | x | ] αβ

 *

αx

αx lnα

1 xlna

log a x

συνx 1 συν 2 x 1 ημ 2 x

[



(κπ -

ax β ] lna α

[ log a x ] αβ β

α f(x) dx = [G(x)] α

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

β α

= G(β) - G(α)

π π ,κπ + ), κ   2 2



(0,+∞), a > 1, a ≠ 0

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

263

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

10. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς Α σ κ η σ ε ω ν 10.1 Α π λ α Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α 10.1.1 Ευρεση ολοκληρωματος απο τις ιδιοτητες και βασικο θεωρημα.

● Ζητουμενα : Ευρεση ολοκληρωματος .

● Δοσμενα : Τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βοηθεια απ’τo τυπολογιο και τις ιδιοτητες της παραγραφου 5 .

Να αποδειχτει οτι :

1

2 1 (x - 1) x +3 dx -  2 dx = 2 3 x - x +4 x 2 -x+4

Ειναι : 3

1 (



(



(



2 1 (x - 1) x +3 dx 3 x 2 - x + 4 dx = x2 - x + 4

f(x) dx = -



f(x) dx , αν α > β)

(f(x) + g(x)) dx =



f(x) dx +

c dx = c(β - α))



2 3 (x - 1) x +3 = 2 dx +  2 dx = 1 1 x -x+4 x -x+4 3 x +3 (x - 1)2 = [ 2 + 2 ] dx = 1 x -x+4 x -x+4 2 3 x + 3 + (x - 1) = dx = 1 x2 - x + 4 2 3 x + 3 + x - 2x + 1 = dx = 1 x2 - x + 4 2 3x -x+4 3 = 2 dx =  1 dx = 1 1 x -x+4 = 1  (3 - 1) = 2 3

g(x) dx)

10.1.2 Ευρεση παραμετρου απο τις ιδιοτητες και βασικο θεωρημα.

● Ζητουμενα : Ευρεση παραμετρου .

● Δοσμενα : Τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βοηθεια απ’τo τυπολογιο και τις ιδιοτητες της παραγραφου 5 .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

264

Βρειτε τον πραγματικο αριθμο λ > -

1 ,ωστε : 2

3λ+1

λ

(x + 2) 2 dx + (x + 1) 2

2x + 3

3λ+1 (x + 1) 2 dx = 9.

Ειναι β

α f(x) dx=- β f(x) dx 3λ+1 3λ+1 2x + 3 (x + 2) 2x + 3 (x + 2)2 dx + dx = 9 dx  λ (x + 1)2 3λ+1 (x + 1)2 λ (x + 1)2 λ (x + 1)2 dx = 9  2 2 3λ+1 (x + 2) 3λ+1 (x + 2) - (2x + 3) 2x + 3 dx = 9  dx = 9  λ (x + 1)2 (x + 1)2 λ (x + 1)2 2 2 2 3λ+1 x + 4x + 4 - 2x - 3 3λ+1 x + 2x + 1 3λ+1 (x + 1) dx = 9 dx = 9   λ λ (x + 1)2 λ (x + 1)2 dx = 9  (x + 1)2 2

3λ+1

α c dx=c(β-α)) 3λ+1 1 λ 1 dx = 9  1  (3λ + 1 - λ) - 9  3λ + 1 - λ = 9  2λ + 1 = 9  λ = 4 (λ = 4 > - 4 ) (

10.1.3 Ευρεση - αποδειξη τριγωνομετρικου ολοκληρωματος .

● Ζητουμενα : Ευρεση - αποδειξη τριγωνομετρικου ολοκληρωματος .

● Δοσμενα : Τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βοηθεια απ’τo τυπολογιο και τις ιδιοτητες της παραγραφου 5 και βασικες

τριγωνομετρικες σχεσεις . . π

Να αποδειχτει οτι : 2 π3 συν 2 x dx + 4

π 3 π 4

2  συν xdx + (



(



(



f(x) dx = -



π 4 π 3



f(x) dx +

(ημ x + συν x = 1) 2

(



c dx = c(β - α))

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!



π 3 π 4 π 3 π 4 π 3 π 4 π 3 π 4 π 3 π 4

π 3 π 4 π 3 π 4

= 2 συν xdx -  2dx - (1 - 2ημ2x)dx =

f(x) dx, λ  )



π 12

2dx +  (1 - 2ημ 2 x)dx =



(f(x) + g(x)) dx =



2 dx + π4 (1 - 2ημ 2 x) dx = -

π 4 π 3

f(x) dx , αν α > β)

λf(x) dx = λ

π 4 π 3

g(x) dx)

=  2συν2xdx -  2 dx - (1 - 2ημ2x)dx = =  (2συν2x - 2 - 1 + 2ημ2x)dx = π

=  [2(ημ2x + συν2x) - 3]dx = π3 (2  1 - 3)d x = =  (-1)dx = - 1  (

π π π - ) =. 3 4 12

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

265 10.1.4 Ευρεση - αποδειξη λογαριθμικου ολοκληρωματος .

● Ζητουμενα : Ευρεση - αποδειξη λογαριθμικου ολοκληρωματος .

● Δοσμενα : Τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βοηθεια απ’τo τυπολογιο και τις ιδιοτητες της παραγραφου 5 και βασικες

λογαριθμικες σχεσεις . .

Να αποδειξετε οτι : 1

1 lnx dx = 2  2

1

lnx dx =

1 1 1   ln 2 dx . e 2 x

lnxdx = ( α λf(x) dx = λ α f(x) dx, λ  )

1 e 2lnxdx = (αlnx = lnx a ) 2 1 β β 1 e =  lnx2dx = ( α λf(x) dx = λ α f(x) dx, λ = -1) 1 2 1 e = -  (-lnx2 )dx = (αlnx = l nx a , a = -1 ) 2 1 1 e 1 = -  lnx -2dx = (x - a = a ) 1 2 x e 1 1 = -  ln 2 xdx = (  f(x) dx = -  f(x) dx , e > 1) 1 2 x 1 1 1 =  ln 2 xdx. e 2 x

10.2 Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς 10.2.1 Αποδειξη ανισωσης απ’το προσημο της διαφορας f(x) – g(x).

● Ζητουμενα : Αποδειξη ανισωσης .

● Δοσμενα : Τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Ισχυει: β

" Αν f(x)  g(x) και f, g συνεχεις  x  [α,β], τοτε  f(x) dx  α



g(x) dx ".

Οποτε δειχνουμε οτι οι f,g ειναι συνεχεις και χρησιμοποιουμε την πιο πανω ιδιοτητα .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Να αποδειχτει οτι :

266

2 (2x

+ 3x - 7) dx 

2 (3x

- 4x + 3) dx

 f(x) = 2x 2 + 3x - 7 συνεχης στο  σαν πολυωνυμικη, αρα και στο [2,5].

 g(x) = 3x 2 - 4x + 3 συνεχης στο  σαν πολυωνυμικη, αρα και στο [2,5]. Ετσι

f(x) - g(x) = 2x 2 + 3x - 7 - (3x 2 - 4x + 3) = 2x 2 + 3x - 7 - 3x 2 + 4x - 3 = - x 2 + 7x - 10 Δ = 49 - 40 = 9, x = 2 η x = 5. Οποτε : - x 2 + 7x - 10  0 για 2 < x < 5. Δηλαδη f(x) - g(x)  0  f(x)  g(x)  5

2

(2x 2 + 3x - 7) dx 

2 (3x



f(x) dx 



g(x) dx 

- 4x + 3) dx

10.2.2 Αποδειξη ανισωσης απ’το πεδιο ορισμου της μεταβλητης .

● Ζητουμενα : Αποδειξη ανισωσης .

● Δοσμενα : Τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Εστω x ∈ [α,β] :

● Με λογικες πραξεις φερνουμε την ανισωση α ≤ x ≤ β (αφου x ∈ [α,β]) στη μορφη κ ≤ f(x) ≤ λ , οπου f(x) η συναρτηση του ολοκληρωματος .

● Ολοκληρωνουμε την προηγουμενη σχεση και προκυπτει:



κ dx 



f(x) dx 

Να αποδειξετε οτι : 3 



λ dx  κ(β - α) 

1 (x +

f(x) dx  λ(β - α) .

x - 1) dx  15 .

Eιναι  1  x  4 (1)

 1  x  4  1  x  4  1  x  2 (2) Προσθετουμε κατα μελη τις (1) και (2) :

2  x + x  6  2-1  x + x -1  6-1  1  x + x -1  5 Απο ολοκληρωση της τελευταιας :



1 dx 

3 



1 (x +

(x + x - 1) dx 



5 dx  1  (4 - 1) 



(x + x - 1) dx  5  (4 - 1) 

x - 1) dx  15

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

267

10.2.3 Αποδειξη ανισωσης απ’το μεγιστο και ελαχιστο συναρτησης.

● Ζητουμενα : Αποδειξη ανισωσης .

● Δοσμενα : Τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε το ολικο μεγιστο Μ και ολικο ελαχιστο m της συναρτησης . ● Χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα:

" Αν m η ελαχιστη και Μ η μεγιστη τιμη συνεχους συναρτησης f για καθε x  [α,β], τοτε : m(β - α) 

Να αποδειχτει οτι : 10   f(x) = x + 4  f'(x)  0 

0



f(x) dx  Μ(β - α) "

x + 4 dx  15 .

 f'(x) = ( x + 4)' = x+4

x+4 x+4

x+4  0

0  x+40x-4 x+4 Aρα η f ειναι γν. αυξουσα στο [- 4, + ), αρα και στο [0, 5]. Ετσι m = f(0) = 0 + 4 = 4 = 2 και Μ = f(5) = 5 + 4 = 9 = 3 Αρα m(β - α) 

10 



f(x) dx  Μ(β - α)  2(5 - 0) 

α f(x) dx



f(x) dx  3(5 - 0) 

 15

10.2.4 Αποδειξη ανισωσης f(x) ≥ ≤ g(x) απ’τη μονοτονια της h(x) = f(x) – g(x) .

● Ζητουμενα :

Αποδειξη ανισωσης .

● Δοσμενα : Τυπος συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε τη μονοτονια της h(x) για x ∈ [α,β] . ● h’(x) > 0: η h γ.αυξουσα και h(x) ≥ h(a) .

● h’(x) < 0: η h γ.φθινουσα και h(x) ≤ h(β) .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Να αποδειχτει οτι :

268

1

lnx 2 dx 

1

(x - 1) dx. .

Θεωρουμε τις συναρτησεις f(x) = lnx 2 και g(x) = x - 1 με x  [1, 2]. Αν h(x) = f(x) - g(x) = lnx 2 - x + 1 για καθε x  [1, 2], τοτε : 1 2x 2 2-x h'(x) = (lnx 2 - x + 1)' = 2 (x 2 )'- 1 = 2 - 1 = - 1 = > 0. [1 < x < 2] x x x x Οποτε η h ε ιναι γνησιως α υξουσα στο [1, 2]. Δηλαδη για x  1 ισχυει :

h(x)  h(1) = 0 [h(1) = l n1 2 - 1 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0] Αρα για καθε x  [1, 2] ειναι : h(x)  0  f(x) - g(x)  0  f(x)  g(x)  lnx 2  x - 1 και τελικ α

1

lnx 2 dx 

1

(x - 1) dx .

10.2.5 Αποδειξη ανισωσης απ’την ιδιοτητα β

" Αν f συνεχης στο x  [α,β], τοτε |  f(x) dx |  α

 | f(x) | dx " α

● Ζητουμενα : Αποδειξη ανισωσης με απολυτο .

● Δοσμενα : Συνεχεια συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Μετασχηματιζουμε το |f(x)|, με τις ιδιοτητες απολυτων, μεχρι να καταληξουμε σε απλουστερη μορφη χωρις απολυτα, εστω g(x). ● Μετασχηματιζουμε το a ≤ x ≤ β μεχρι να φτασουμε σε μορφη κ ≤ g(x) ≤ λ . β

● Τελικα: |  f(x) dx |  λ(β - α) . α

Να αποδειχτει οτι :

1 (3x - 4ημx) dx

 26 .

Ειναι |ημx|  1

 | 3x - 4ημx |  3| x | + 4 | ημx |  3x + 4 x 1

 1  x  3  3  3x  9  3 + 4  3x + 4  9 + 4  7  3x + 4  13 Aρα 3

1 (3x - 4ημx) dx   | (3x - 4ημx) | dx  

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

(3x + 4) dx 



13 dx = 13(3 - 1) = 26

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

269 10.3 2 o Θ ε μ ε λ ε ι ω δ ε ς Θ ε ω ρ η μ α 10.3.1 Μ ε π α ρ α γ ο υ σ ε ς 1. Για συναρτησεις απλου τυπου.

● Ζητουμενα : Ευρεση ολοκληρωματος .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Μετασχηματιζουμε: ● Ισχυει:



f(x) dx =  F'(x) dx , οπου F μια παραγουσα της f . α

f(x) dx =  F'(x) dx = [F(x)] αβ = F(β) - F(α) . α

Na υπολογιστει το ολοκληρωμα : 1

-1 (x

- 2x 3 + x + 1) dx .

-1

- 2x 3 + x + 1) dx =  x 4 dx - 2 x 3 dx +  x dx +  1 dx = 4 2 1 x 1 x 1 x5 = dx - 2 dx +  dx +  x dx = -1 5 -1 4 -1 2 -1 1

x 5  x 4  x 2  =   - 2   +   + [x] -11 =  5  -1  4  -1  2  -1 1 1 1 1 1 1 = + - 2 +  + + + 1 + 1 = 5 5 4 4 2 2 =

2 2 2 2 12 -2 + +1 +1 = -1 +1 +1 +1 = . 5 4 2 5 5

2. Για συναρτησεις συνθετες.

● Ζητουμενα : Ευρεση ολοκληρωματος .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Μετασχηματιζουμε:



f(x) dx =  F'(x) dx , οπου F μια παραγουσα της f . α

● Παραγωγος συνθετης: ( f(g(x ))' = f'(g(x ))  g'( x ) . ● Ισχυει:



f(x) dx =  F'(x) dx = [F(x)] αβ = F(β) - F(α) .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

270

Na υπολογιστει το ολοκληρωμα : 4

0

x x +9 2

dx = 

=

2x 2 x +9 1 2

2 x +9 2

0

x 2+9

dx .

dx =  (x 2 + 9)' dx = (( x )' =

1 2x

)

=  ( x 2 + 9)' dx = 0

= [ x 2 + 9] 04 = 25 - 9 = 2 .

3. Για συναρτησεις τριγωνομετρικες.

● Ζητουμενα : Ευρεση ολοκληρωματος .

● Δοσμενα : Ο τυπος ττριγωνομετρικης συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Μετασχηματιζουμε:



f(x) dx =  F'(x) dx , οπου F μια παραγουσα της f . α

● Χρηση γνωστων τριγωνομετρικων σχεσεων . ● Ισχυει:



f(x) dx =  F'(x) dx = [F(x)] αβ = F(β) - F(α) . α

Na υπολογιστει το ολοκληρωμα : π 2 0



π 2 0



ημ4x  ημx dx .

1 π2 ημ4x  ημx dx =  2  ημ4x  ημx dx = (2  ημx  ημy = συν(x - y) - συν(x + y)) 2 0 1 π2 =  [συν(4x - x) - συν(4x + x)] dx = 2 0 1 π =  2 (συν3x - συν5x) dx = 2 0 1 π 1 π =  2 συν3x dx -  2 συν5x dx = 2 0 2 0 π 1  ημ3x  1 π2  ημ5x  = 2 ' dx   ' dx = 2 0 3  2 0  5  3π 5π π π ημ ημ 1  ημ3x  2 1  ημ5x  2 1 1 2 -  2 = =  =  2  3  0 2  5  0 2 3 2 5 1 -1 1 1 1 1 4 =  -  =- =. 2 3 2 5 6 10 15

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

271 4. Για συναρτησεις λογαριθμικες.

● Ζητουμενα : Ευρεση ολοκληρωματος .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Μετασχηματιζουμε:



f(x) dx =  F'(x) dx , οπου F μια παραγουσα της f . α

● Χρηση γνωστων λογαριθμικων σχεσεων. ● Ισχυει:



f(x) dx =  F'(x) dx = [F(x)] αβ = F(β) - F(α) . α

Na υπολογιστει το ολοκληρωμα : e

1 2x

1 lnx

dx .

1 1 dx = ((lnx)' = ) x 2 lnx x e 1 1 =  (lnx)' dx = (( x )' = ) 1 2x 2 lnx

dx = 

1 2x



=  ( lnx)' dx = 1

= [ lnx] 1e = lne - ln1 = (lne = 1, ln1 = 0) = 1 - 0 =1 . 5. Για συναρτησεις πολλαπλου τυπου

● Ζητουμενα : Ευρεση ολοκληρωματος .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι η f ειναι συνεχης σε καθε κλαδο και στο σημειο αλλαγης τυπου . β

● Ισχυει:  f(x) dx =  f(x) dx +  f(x) dx και



f(x) dx =  F'(x) dx = [F(x)] αβ . α

4x 3 - 2x + 3, x  0 Na υπολογιστει το ολοκληρωμα της συναρτησης f(x) =  x e + 2x + 2, x  0 στο διαστημα [- 1,1] .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

272

Η f συνεχης για x < 0 (πολυωνυμικη) και x > 0 (αθροισμα εκθετικης - πολυωνυμικης).  f(0) = 3

  Eτσι η f ειναι συνεχης στο [- 1,1] α ρα  και ολοκληρωσιμη στο διαστημα αυτο.  

 lim+ f(x) = e - 2  0 + 2 = 1 + 2 = 3 0

↓ x 0

 lim- f(x) = 4  03 + 2  0 + 3 = 3 ↓ x 0

-1 0

-1 f(x) dx =  f(x) dx +  f(x) dx = =  (4x - 2x + 3) dx +  (e =  (x - x + 3x)' dx +  (e 1

-1 0

+ 2x + 2) dx =

-1

+ x 2 + 2x)' dx =

= [x 4 - x 2 + 3x] -10 + [e x + x 2 + 2x] 01 = = 0 - (1 - 1 + 3) + (e x + 1 + 2) - e 0 = =3 + e x +3-1 = =5 + e x. 10.3.2 Κ α τ α Π α ρ α γ ο ν τ ε ς

● Ζητουμενα : Ευρεση ολοκληρωματος .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Φερνουμε το ολοκληρωμα σε μορφη ● Ισχυει:



f(x)  g'(x) dx . β

f(x)  g'(x) dx = [f(x)  g(x)] αβ -  f'(x)  g(x) dx . α

● Συνεχιζουμε κατα τα γνωστα.

Na υπολογιστει το ολοκληρωμα : 2

1

x 2 e x dx =  x 2 (e x )' dx = 1

1

x 2 e x dx .

(  f(x)  g'(x) dx = [f(x)  g(x)] α -  f'(x)  g(x) dx) β

= [x e ] -  e (x )' dx = 2

2 1

= (4e 2 - e) - 2 xe x dx = 1

= 4e - e - 2 x(e x )' dx = ( α f(x)  g'(x) dx = [f(x)  g(x)] αβ - α f'(x)  g(x) dx) 2

= 4e - e - 2[xe x ] 12 + 2 e x (x)' dx = 2

1 2

= 4e 2 - e - 4e 2 + 2e + 2 e x dx = 1

= e + 2 [e ] = e + 2e - 2e = 2e 2 - e . x

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

2 1

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

273 10.3.3 Α λ λ α γ η Μ ε τ α β λ η τ η ς

● Ζητουμενα : Ευρεση ολοκληρωματος .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Θετουμε u = g(x), οποτε du = g’(x)dx και τα ακρα του διαστηματος ολοκληρωσης γινονται: u 1 = g(a) και u 2 = g(β) . ● Μετασχηματιζουμε την f(g(x)) σε f(g(x))g’(x) . β

g(β)

g(α)

● Ισχυει:  f(g(x)) dx =  f(g(x))g'(x) dx = 

Na υπολογιστει το ολοκληρωμα της συναρτησης

f(u) du .

π 4 0



1 e εφx dx . 2 συν x

π Θετω u = g(x) = εφx, οποτε : du = (εφx)'dx, u 1 = g(0) = 0 και u 2 = g   =1. Ετσι: 4 π π 1 π εφx εφx 04 συν 2 x e dx = 04 e (εφx)' dx = (u = εφx, du = (εφx)'dx, u 1 = g(0) = 0, u 2 = g  4  =1) π g  4 g(0)

=

e udu =

=  e udu = 0

= [e u ] 01 = = e1 -e0 = = e - 1. 10.4 1 o Θ ε μ ε λ ε ι ω δ ε ς Θ ε ω ρ η μ α 10.4.1 Ευρεση πεδιου ορισμου της F(x) = 

h(x)

g(x)

f(t)dt :

● Ζητουμενα : Ευρεση πεδιου ορισμου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης F(x) .

● Τροπος Λυσης : ● Bρισκουμε το πεδιο ορισμου της f(t), εστω Af . h(x)  A f  ● Aπαιτουμε:   (Σ) . Η λυση του (Σ) δινει το ζητουμενο. g(x)  A f 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

274

Να βρεθει το πεδιο ορισμου της συναρτησης F(x) =

x -3

x -2

ln(t - 1) 3 -t

dt .

Πρεπει t - 1 > 0 και 3 - t > 0 δηλαδη 1 < t < 3 To πεδιο ορισμου της f(t) ειναι Α=(1,3)  (2,3). Θα πρεπει x-3  A και x-2  A. Ετσι 1 < x - 3 < 3 1 + 3 < x - 3 + 3 < 3 + 3 4 < x < 6    4 <x <5  1 < x - 2 < 3 1 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2 3 < x < 5 Το πεδιο ο ρισμου της F(x) ειναι το (4,5). 10.4.2 Ε υ ρ ε σ η Π α ρ α γ ω γ ο υ x

1. Για συναρτησεις μορφης F(x) =  f(t)dt c

● Ζητουμενα : Ευρεση παραγωγου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης F(x) .

● Τροπος Λυσης : ● Φερνουμε τη συναρτηση στη πιο πανω μορφη . x

● Ισχυει: F'(x) = (  f(t)dt)' = f(x) . c

Αν F(x) =

π (x - t)συνt

dt, να υπολογισετε την F''(x).

Στο ολοκληρωμα το t ειναι η μεταβλητη ολοκληρωσης, ενω το x σαν ακρο ολοκληρω σης ειναι σταθερο. Ειναι x

F(x) =  (x - t)συνt 2dt = x  συνt 2 dt Oποτε

π tσυνt

F'(x) = (x  συνt 2dt)'- (  tσυνt 2dt) ' =

(F'(x) = (  f(t)dt)' = f(x)) c

= x'(  συνt2dt) + x (  συνt 2dt)' - xσ υν x 2 = (F'(x) = ( c f(t)dt)' = f(x)) π

Αρα

=  συνt dt +xσυ νx - x σ υ ν x2 =  συνt 2 dt 2

F''(x) = (  συνt 2dt)' = συνx

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

275 2. Για συναρτησεις μορφης F(x) = 

h(x)

g(x)

f(t)dt

● Ζητουμενα : Ευρεση παραγωγου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης F(x) .

● Τροπος Λυσης : ● Φερνουμε τη συναρτηση στη πιο πανω μορφη . ● Ισχυει: F'(x) = ( 

h(x)

g(x)

Αν F(x) =

ημx

e

συνx

f(t)dt)' = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x) .

2lnt dt, να υπολογισετε την F'(x).

Iσχυει : F'(x) = ( 

h(x)

g(x)

f(t)dt)' = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x)

Ειναι f = ln, h(x) = e ημx , g(x) = e συνx Ετσι

F'(x) = ( 

e ημx

e συνx

2lnt dt)' =

= 2ln(e ημx )(e ημx )'- 2ln(e συνx )(e συνx )' =

(lna = βlna), ( (e β

= 2  ημx  ln e  e ημx (ημx )' - 2  συνx  lne  e συνx (συνx)' = = 2  ημx  e

ημx

 συνx - 2  συνx  e

= 2  ημx  συ νx  e

ημx

συνx

f(x)

 e f( x)  f'(x))

(ln e = 1)

( - ημ x ) =

+ 2  ημx  συνx  e συνx =

= 2  ημx  συνx  (e ημx + e συνx ) =

(2  ημx  συνx = ημ2x)

= ημ2x  (e ημx + e συνx ) x

3. Για συναρτησεις μορφης F(x) =  f(x, t)dt c

● Ζητουμενα : Ευρεση παραγωγου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης F(x) .

● Τροπος Λυσης : ● Η μεταβλητη x θεωρειται σταθερα και βγαινει απ’το ολοκληρωμα . ● Θετουμε u = “x,t” και βρισκουμε τα du, u1, u2 . x

● Βρισκουμε τη παραγωγο με τη βοηθεια τουι: F'(x) = (  f(t)dt)' = f(x) . c

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

276

Na βρεθει η παραγωγος της συναρτησης f(x) =

0 tσυν(x - t)dt .

Θετουμε u = x - t, οποτε dt = - du, για t = 0  u = x και για t = x  u = 0. Ετσι 0

f(x) =  (x - u)συνu(-du) = =  (x - u)συνudu = xσυνudu -  uσυνudu = x

ημ0 = 0

= x  συνudu - uσυνudu = x[ημu] 0x -  uσυνudu =

Οποτε

xημx -

0 uσυνudu .

x x f(u) = uσυνu   f'(x) =  xημx -  uσυνudu ' = x'ημx + x(ημx)'- (  uσυνudu)' = 0 0   = ημx + xσυνx - xσυνx = ημx.

4. Αποδειξη οτι συναρτηση μορφης F(x) = 

h(x)

g(x)

f(t)dt ειναι σταθερη.

● Ζητουμενα : Σταθερη η συναρτηση f .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης f .

● Τροπος Λυσης : ● Φερνουμε τη συναρτηση στη πιο πανω μορφη . ● Ισχυει: F'(x) = ( 

h(x)

g(x)

f(t)dt)' = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x) .

● Απαιτουμε να ισχυει: F'(x) = 0 .

1 1 1 x Εστω η συναρτηση f(x) =  dt +  1 1 +t 2 1 1 +t Να δειξετε οτι η f ειναι σταθερη στο  * . x

dt.

Προκειμενου να δειξουμε οτι η f ειναι σταθερη σ'ολο το  * , αρκει f'(x) = 0. Πραγματι : 1 1 1 x dt + dt)' =  2 1 1 1+t 1+t2 1 x h(x) 1 1 x = ( dt)' + ( dt)' = (( g(x) f(t)dt)' = f(h(x))h' (x) - f(g(x))g'(x))  2 2 1 1 1+t 1+t 1 1 1 1 x2 1 1 1 = + ( )' = + (- 2 ) = =0 2 2 2 2 1 x 1+x 1+x 1+x x 1+x 1+x2 1+ 2 x Aρα η f ειναι σταθερη σ'ολο τ ο  * .

f'(x) = ( 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

277 x

5. Μονοτονια – ακροτατα συναρτησης μορφης F(x) =  f(x, t)dt c

● Ζητουμενα : Μονοτονια - ακροτατα .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης f .

● Τροπος Λυσης : ● Βρισκουμε: πεδιο ορισμου, F’(x), προσημο της F’(x) . ● Φτιαχνουμε πινακα μονοτονιας.

Εστω f(x) =

x e t dt

με x   .

Να προσδιορισετε τα διαστηματα μονοτονιας και τα τοπικα ακροτατα της f.  H f ειναι ορισμενη και παραγωγισιμη σ'ολο το . Eτσι : 0 t x t x x f'(x) = (  t dt)' = (-  t dt)' = - x και f'(x) = 0  - x = 0  x = 0 x 0 e e e e x < 0  x < 0 (e x > 0) , αρα f γν.αυξουσα στο (- , 0] x e x • f'(x) < 0  x > 0  x > 0 (e x > 0 ) , αρα f γν.φθινουσα στο [0, + ) e

 Μονοτονια : • f'(x) > 0 

 Ακροτατα : Η f παρουσιαζει τοπικο μεγιστο στη θεση x = 0 τ ο f(0) = 0. 6. Ευρεση τυπου συναρτησης μορφης F(x) = 

h(x)

g(x)

f(t)dt

● Ζητουμενα : Ευρεση τυπου συναρτησης .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση .

● Τροπος Λυσης : ● Φερνουμε τη δοσμενη σχεση στη πιο πανω μορφη . ● Παραγωγιζουμε κατα μελη, ωστε να προκυψει F'(x) = g'(x) , εχοντα υποψιν οτι ισχυει: F'(x) = ( 

h(x)

g(x)

f(t)dt)' = f(h(x))  h'(x) - f(g(x))  g'(x) .

● Ισχυει: Aν F’(x) = g’(x) τοτε F(x) = g(x) + c . ● Προσδιοριζουμε τη σταθερα c .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

278

Να βρεθει η συνεχης συναρτηση f :    για την οποια ισχυει : x

α e

-t

f(t)dt = e -x- e -α – e -xf(x) με x , α   .

Απ’ τη δοσμενη ισοτητα με πολλαπλασιασμο κατα μελη με ex παιρνουμε : x

ex  e -t f(t)dt = 1- ex-α - f(x)  f(x) = 1- ex-α - ex  e -t f(t)dt . (1) α

Η συναρτηση ex  e -t f(t)dt ειναι παραγωγισιμη σαν γινομενο παραγωγισιμων συναρα

τησεων , επομενως λογω της (1) , η f(x) ειναι παραγωγισιμη σαν αθροισμα παραγωγισιμων συναρτησεων . Απ’ την δοσμενη ισοτητα , παραγωγιζοντας και τα δυο μελη ως προς x , παιρνουμε e-xf(x) = - e-x + e-x f(x) - e-xf ΄(x)  e-xf ΄(x) = - e-x  f ΄(x) = - 1  f΄(x) = (-x)΄  f(x) = - x + c (2) ,οπου c πραγματικη σταθερα . Ομως απ’ την (1) : f(α) = 1 - e0- ex 0 = 0 . απ’ την (2) : f(α)= - α + c  0 = - α + c  c = α . Η ζητουμενη συναρτηση ειναι η: f(x) = - x + α , x∈  . 7. Βασικα θεωρηματα και συναρτηση μορφης F(x) = 

h(x)

g(x)

f(t)dt

● Ζητουμενα : Ευρεση παραγωγου .

● Δοσμενα : Συναρτησιακη σχεση .

● Τροπος Λυσης : ● Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχεση . ● Ισχυει: F'(x) = ( 

h(x)

g(x)

f(t)dt)' = f(h(x))  h'(x) - f(g(x))  g'(x) .

● Επαληθευουμε τις υποθεσεις του θεωρηματος κατα τα γνωστα.

Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f :    για την οποια : x +3

x

-x

f(t)dt  x 2 - 2x - 3, για καθε x   .

 Να βρειτε τη παραγωγο της συναρτησης g(x) =

x +3

x

-x

f(t)dt, x  

 Nα αποδειξετε οτι υπαρχει ξ  (2,6) τετοιο , ωστε f'(ξ) = 0.

 Ειναι

g'(x) = [ 

x+3

x 2 -x

f(t)dt]' = (x + 3)'f(x + 3) - (x 2 - x)'f(x 2 - x) =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

279 = f(x + 3) - (2x - 1)f(x

- x) , x  

 Θεωρουμε την συναρτηση : h(x) = g(x) - x 2 + 2x + 3 Ειναι • h(x)  0 • h(3) = 0 - 9 + 6 + 3 = 0 και h(-1) = 0 - 1 - 2 + 3 = 0 Δηλαδη h(x)  h(3) = h(-1) Ετσι, συμφωνα με το θεωρημα Fermat, παιρνουμε h'(3) = h'(-1) = 0 και f(6) = f(2) = -1 Eπισης • H f ειναι συνεχης στο [2,6] • H f ειναι παραγωγισιμη στο (2, 6) • f(6) = f(2) Συμφωνα με θεωρημα Rolle υπαρχει ξ  (2, 6) τετοιο ωστε , f'(ξ) = 0 . 8. Ευρεση οριου απο συναρτηση μορφης F(x) = 

h(x)

g(x)

f(t)dt

● Ζητουμενα : Ευρεση οριου συναρτησης .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Δειχνουμε οτι εχουμε απροσδιοριστια . ● Απο De L’Hospital εμφανιζεται η F'(x) . ● Λυνουμε κατα τα γνωστα.

 lnt dt . Nα βρειτε το lim 1 ↓ x 1

(x - 1) 2 x

H συναρτηση F(x) =  lnt dt ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ), αφου lnt ειναι συνεχης 1

στο διαστημα αυτο. Ετσι 1

lim F(x) = F(1) =  lnt dt = 0 1

x 1

Oποτε x

 lim 1 ↓ x 1

lnt dt

(x - 1)

0 ( ) 0

= lim

x 1

(  lnt dt)' 1

[(x - 1) ] '

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

= ( lim 1 lnt dt = 0, lim(x - 1) 2 = 0, de L'Hospital) x 1

x1

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

280 0 ( ) 0

lnx = x  1 2(x - 1)

= lim

( limlnx = 0 (ln1 = 0), lim 2(x - 1) = 0, de L'Hospital) x1

x1

1 1 (lnx)' = lim = lim x = . x  1 [2(x - 1)]' x 12 2 9. Προβληματα σε συναρτηση με το χρονο .

● Ζητουμενα : Χρονος .

● Δοσμενα : Στοιχεια προβληματος .

● Τροπος Λυσης : ● Αν P(t) το μεγεθος που μεταβαλλεται με το χρονο τοτε P’(t) o ρυθμος μεταβο-



λης και

P'(t)dt η μεταβολη του .

● Ισχυει: P(t) = P(0) + ● Ισχυει:



P'(t)dt (P(0) τo μεγεθος τη χρονικη στιγμη t0 = 0).

F'(x) dx = [F(x)] αβ = F(β) - F(α) .

Ο πληθυσμος P(t) χιλιαδων μικροοργανισμων μεταβαλλεται σε χρονο t  0 ωρες 32 συμφωνα με τον τυπο : P'(t) = - 2 χιλιαδες μικροοργανισμοι / ωρα. (2t + 1) 2 Αν P(0) = 15,5 χιλιαδες μικροοργανισμοι, να βρεθουν :  ο τυ πος P(t).  σε ποσες ωρες ο παραπανω πληθυσμος θα ειναι μεγιστος.  σε ποσες ωρες ο παραπανω πληθυσμος θα εχει αφανιστει.  Eιναι για καθε t  0 :

32 1 (2t + 1)' 2 - 2] dx = ( )' = = 2 2 0 0 2(2t + 1) (2t + 1) 2(2t + 1) 2 (2t + 1)2 t t 32 16 = 15,5 +  [- 2t]' dt = 15,5 +  [- 2x]' dt = 0 0 2(2t + 1) 2t + 1 16 16 = 15,5 - 2t + 16 = 31,5 - 2t χιλιαδες μικροοργανισμοι 2t + 1 2t + 1  Eιναι : t

P(t) = P(0) +  P'(t) dt = 15,5 +  [

32 32 - 2(2t + 1)2 - 2(2t - 3) (2t + 5) P'(t) = -2 = = (2t + 1)2 (2t + 1)2 (2t + 1)2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

281

3 3 3 P'(t) > 0 αν t  [0, ), P'(t) < 0 αν t > και P'(t) = 0 αν t = . 2 2 2 Αρα για t = 1,5 ωρες εχουμε μεγιστο πληθος.  Eιναι : 16 P(t) = 0  31,5 - 2t = 0  31,5(2t + 1) - 16 - 2t(2t + 1) = 0  2t + 1 t>0

4t 2 - 61t - 15,5 = 0  t = 15,5 ωρες.

Η ταχυτητα ενος κινητου, που κινειται πανω στον αξονα x'x, την τυχαια στιγμη ημ 2t - ημ2t . Αν η θεση του κινητου πανω στον e t + ημ 2t αξονα x'x τη χρονικη στιγμη t = 0 ειναι στ ην αρχη των αξονων, να βρειτε :  τη συναρτηση s(t), t  0  το lim s(t) .

t  0 δινεται απ'τον τυπο : u(t) =

t + 

 Eιναι για καθε t  0 : t

s(t) = s(0) +  s'(t) dt = 0

ημ 2t - ημ2t dt = 0 e t + ημ 2t t 2 t t e + ημ t - e - ημ2t =0+ dt = 0 e t + ημ 2t t e t + ημ2t = 0 +  (1 - t ) dt = 0 e + ημ 2t =0+

(e + ημ t)' t

[ln(e + ημ t)]' = t

e + ημ t t

e + (ημ t)' t

e + ημ t t

e + 2ημt(ημt)' t

e + ημ t t

e + 2ημtσυνt t

e + ημ t t

e + ημ2t t

e + ημ t t

=  [t - ln(e t + ημ 2t)]' dx = 0

= t - ln(e t + ημ 2t)  Eιναι :

lim s(t) = lim [t - ln(e t + ημ 2t] =

t + 

t + 

et = t +  e t + ημ 2t 1 = lim ln = t +  ημ 2t 1+ et =0 = lim ln

ημ t 2

(αφου 0 



1 e

 0 και κριτηριο παρεμβολης, ln1 = 0)

10.5 E μ β α δ ο ν

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

282

10.5.1 Αν οριζεται απ’τη Cf, τον αξονα x’x και τις ευθειες x = a και x = β :

● Ζητουμενα : Eμβαδον χωριου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και οι ευθειες x = a, x = β .

● Τροπος Λυσης : ● Γενικα ισχυει στο [α,β] με προυποθεση η f ειναι συνεχης: ● Ε(Ω) =



● Ε(Ω) = -  f(x) dx , αν f(x) < 0

f(x) dx , αν f(x) > 0

● Bρισκουμε τις ριζες της εξισωσης f(x) = 0 . ● Aν εχει δυο ριζες, εστω ρ1, ρ2 με ρ1 < ρ2 και ρ1, ρ2 ∈ [α,β] .

● Βρισκουμε το προσημο της f στα διαστηματα: [ α, ρ1 ], [ ρ1, ρ2 ], [ ρ2, β ]. ● Βρισκουμε τα:



ρ1

f(x) dx,

ρ2



ρ1

f(x) dx,

ρ1

ρ2

ρ1

ρ2



ρ2

f(x) dx .

● Ε(Ω) =   f(x) dx   f(x) dx   f(x) dx, αναλογα με προσημο της f. ● Aν εχει δυο ριζες, εστω ρ1, ρ2 με ρ1 < ρ2 και ρ1 ∈ [α,β] .

● Βρισκουμε το προσημο της f στα διαστηματα: [ α, ρ1 ], [ ρ1, β ]. ● Βρισκουμε τα:



ρ1

f(x) dx,

ρ1



f(x) dx .

ρ1

● Ε(Ω) =   f(x) dx   f(x) dx, αναλογα με προσημο της f. ● Aν εχει δυο ριζες, εστω ρ1, ρ2 με ρ1 < ρ2 και ρ2 ∈ [α,β] .

● Βρισκουμε το προσημο της f στα διαστηματα: [ α, ρ2 ], [ ρ2, β ]. ● Βρισκουμε τα:



ρ2

f(x) dx,

ρ2



ρ2

f(x) dx .

● Ε(Ω) =   f(x) dx   f(x) dx, αναλογα με προσημο της f. ● Aν εχει μια ριζα, εστω ρ και ρ ∈ [α,β] .

● Βρισκουμε το προσημο της f στα διαστηματα: [ α, ρ ], [ ρ, β ]. ● Βρισκουμε τα:



f(x) dx,



f(x) dx .

● Ε(Ω) =   f(x) dx   f(x) dx, αναλογα με προσημο της f. ● Aν εχει μια ριζα, εστω ρ και ρ εκτος του [α,β] η δεν εχει ριζες. ● Βρισκουμε το προσημο της f στο διαστημα: [ α, β ] . ● Βρισκουμε το:



f(x) dx .

● Ε(Ω) =   f(x) dx, αναλογα με προσημο της f . a

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

283

Δινεται η συναρτηση f με f(x) = x 2 - 4x + 3. Nα βρειτε το εμβαδον που οριζεται απο τη Cf , τον αξονα x'x και τις ευθειες x = 0, x = 4.  Η f ειναι συνεχης στο διαστημα [0,3] σαν πολυωνυμικη.

 Oι ριζες της f(x) = 0  x 2 - 4x + 3 = 0 ειναι ρ1 = 1 και ρ2 = 3.  ρ1 , ρ2  [0, 4]

 Η f ειναι αρνητικη για 1 < x < 3 και θετικη για x < 1 η x > 3, δηλαδη  f(x) > 0 στο διαστημα [0,1] και 1

= ( 0



f(x) dx = (x 2 - 4x + 3) dx =

1 3

x x 3 1 4 - 2x 2 + 3x)' dx = [ - 2x 2 + 3x] 13 = - 2  3 2 + 3  3 - ( - 2 + 3) = 3 3 3 3 3 3

= ( 1

 f(x) > 0 στο διαστημα [3, 4] και = ( 3

f(x) dx = (x 2 - 4x + 3) dx =

x x 1 4 - 2x 2 + 3x)' dx = [ - 2x 2 + 3x] 01 = - 2 + 3 - 0 = 3 3 3 3 3

 f(x) < 0 στο διαστημα [1,2] και



f(x) dx = (x 2 - 4x + 3) dx = 3 3

x x 4 4 8 - 2x 2 + 3x)' dx = [ - 2x 2 + 3x] 34 = - 2  4 2 + 12 - (- ) = 3 3 3 3 3 3

Aρα 1

Ε(Ω) =  f(x) dx -  f(x) dx +  f(x) dx =

4 4 8 4 4 8 16 - (- ) + = + + = τ.μ. 3 3 3 3 3 3 3

Δινεται η συναρτηση f με f(x) = x 2 - 4x + 3. Nα βρειτε το εμβαδον που οριζεται απο τη Cf , τον αξονα x'x και τις ευθειες x = 0, x = 2.  Η f ειναι συνεχης στο διαστημα [0,2] σαν πολυωνυμικη.

 Oι ριζες της f(x) = 0  x 2 - 4x + 3 = 0 ειναι ρ1 = 1 και ρ2 = 3.  ρ1  [0,2]

 Η f ειναι αρνητικη για 1 < x < 3 και θετικη για x < 1 η x > 3, δηλαδη  f(x) > 0 στο διαστημα [0,1] και 1

= ( 0

=

f(x) dx = (x 2 - 4x + 3) dx = 0

x x 1 4 - 2x 2 + 3x)' dx = [ - 2x 2 + 3x] 01 = - 2 + 3 - 0 = 3 3 3 3 3

 f(x) < 0 στο διαστημα [1,2] και 2



f(x) dx = (x 2 - 4x + 3) dx = 1

x3 x3 23 1 2 ( - 2x 2 + 3x)' dx = [ - 2x 2 + 3x] 12 = - 2  2 2 + 3  2 - ( - 2 + 3) = 3 3 3 3 3

Aρα 1

Ε(Ω) =  f(x) dx -  f(x) dx =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

4 2 4 2 - (- ) = + = 2 τ.μ. 3 3 3 3

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

284

Δινεται η συναρτηση f με f(x) = x 2 - 4x + 3. Nα βρειτε το εμβαδον που οριζεται απο τη Cf , τον αξονα x'x και τις ευθειες x = 2, x = 4.  Η f ειναι συνεχης στο διαστημα [2, 4] σαν πολυωνυμικη.

 Oι ριζες της f(x) = 0  x 2 - 4x + 3 = 0 ειναι ρ1 = 1 και ρ2 = 3.  ρ2  [2, 4]

 Η f ειναι αρνητικη για 1 < x < 3 και θετικη για x < 1 η x > 3, δηλαδη  f(x) < 0 στο διαστημα [2,3] και



f(x) dx = (x 2 - 4x + 3) dx = 2

x3 x3 33 23 2 = ( - 2x 2 + 3x)' dx = [ - 2x 2 + 3x] 23 = -232 + 9 - ( - 2  2 2 + 3  2) = 2 3 3 3 3 3 3

 f(x) > 0 στο διαστημα [3, 4] και 4

= ( 3

Aρα



f(x) dx = (x 2 - 4x + 3) dx = 3 3

x x 4 4 - 2x 2 + 3x)' dx = [ - 2x 2 + 3x] 34 = - 2  4 2 + 12 - 0 = 3 3 3 3 3

3 4 2 4 2 4 Ε(Ω) = - f(x) dx +  f(x) dx = -(- ) + = + = 2 τ.μ. 2 3 3 3 3 3

10.5.2 Αν οριζεται απ’τη Cf, τον αξονα x’x και την ευθεια x = a :

● Ζητουμενα : Eμβαδον χωριου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και η ευθεια x = a .

● Τροπος Λυσης : ● Γενικα ισχυει στο [α,β] με προυποθεση η f ειναι συνεχης: ● Ε(Ω) =



f(x) dx , αν f(x) > 0

● Ε(Ω) = -  f(x) dx , αν f(x) < 0 a

● Bρισκουμε τις ριζες της εξισωσης f(x) = 0 . ● Aν εχει δυο ριζες, εστω ρ1, ρ2 με ρ1 < ρ2 < α . ● Βρισκουμε το προσημο της f στα διαστημα: [ ρ2, α ]. α

● Ε(Ω) =   f(x) dx , αναλογα με προσημο της f. ρ2

● Aν εχει δυο ριζες, εστω ρ1, ρ2 με α < ρ1 < ρ2 . ● Βρισκουμε το προσημο της f στα διαστημα: [ α, ρ1 ]. ρ1

● Ε(Ω) =   f(x) dx , αναλογα με προσημο της f. α

● Aν εχει μια ριζα, εστω ρ με ρ < α . ● Βρισκουμε το προσημο της f στα διαστημα: [ ρ, α ].

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

285 α

● Ε(Ω) =   f(x) dx , αναλογα με προσημο της f. ρ

● Aν εχει μια ριζα, εστω ρ με α < ρ . ● Βρισκουμε το προσημο της f στα διαστημα: [ α, ρ ]. ρ

● Ε(Ω) =   f(x) dx , αναλογα με προσημο της f. α

Δινεται η συναρτηση f με f(x) = x 2 - 4x + 3. Nα βρειτε το εμβαδον που οριζεται απο τη Cf , τον αξονα x'x και την ευθεια x = 4.  Oι ριζες της f(x) = 0  x 2 - 4x + 3 = 0 ειναι ρ1 = 1 και ρ2 = 3.

 ρ2 = 3 < 4 = α και η f ειναι συνεχης στο διαστημα [3, 4] σαν πολυωνυμικη.

 Η f ειναι αρνητικη για 1 < x < 3 και θετικη για x < 1 η x > 3, δηλαδη f(x) > 0 στο διαστημα [3, 4] .

Aρα 4

Ε(Ω) =  f(x) dx = (x 2 - 4x + 3) dx = 3



4 4 - 2  4 2 + 12 - 0 = τ.μ. 3 3 3

(

x3 x3 - 2x 2 + 3x)' dx = [ - 2x 2 + 3x] 34 = 3 3

Δινεται η συναρτηση f με f(x) = x 2 - 4x + 3. Nα βρειτε το εμβαδον που οριζεται απο τη Cf , τον αξονα x'x και την ευθεια x = 0.  Oι ριζες της f(x) = 0  x 2 - 4x + 3 = 0 ειναι ρ1 = 1 και ρ2 = 3.

 α = 0 < ρ1 = 1 η f ειναι συνεχης στο διαστημα [0,1] σαν πολυωνυμικη.

 Η f ειναι αρνητικη για 1 < x < 3 και θετικη για x < 1 η x > 3, δηλαδη f(x) > 0 στο διαστημα [0,1] . Aρα 1

Ε(Ω) =  f(x) dx = (x 2 - 4x + 3) dx =  ( =

1 4 - 2 + 3 - 0 = τ.μ. 3 3

x3 x3 - 2x 2 + 3x)' dx = [ - 2x 2 + 3x] 01 = 3 3

2x . Nα βρειτε το εμβαδον που οριζεται απο τη x 2+4 Cf , τον αξονα x'x και την ευθεια x = 2. Δινεται η συναρτηση f με f(x) =

2x = 0 ειναι : ρ = 0. x2 +4  ρ = 0 < 2 = α και η f ειναι συνεχης στο διαστημα [0,2] σαν πηλικο πολυωνυμικων.  Η f ειναι αρνητικη για x < 0 και θετικη για x > 0, δηλαδη f(x) > 0 στο [0,2 ] .  Oι ριζες της f(x) = 0 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

286

Aρα 2

Ε(Ω) =  f(x) dx =

2x dx = x2 +4

(x 2 + 4)' 0 x 2 + 4 dx = 2



ln(x 2 + 4) dx = [ln(x 2 + 4) ] 02 =

= ln(2 2 + 4) - ln(0 2 + 4) = ln(4 + 4) - ln 4 = ln 8 - ln 4 = ln = ln2 τ.μ.

8 = 4

2x . Nα βρειτε το εμβαδον που οριζεται απο τη x 2+4 Cf , τον αξονα x'x και την ευθεια x = - 2. Δινεται η συναρτηση f με f(x) =

2x = 0 ειναι : ρ = 0. x2 +4  ρ = 0 > - 2 = α και η f ειναι συνεχης στο διαστημα [- 2, 0] σαν πηλικο πολυωνυμικων.  Η f ειναι αρνητικη για x < 0 και θετικη για x > 0, δηλαδη f(x) < 0 στο δ ιαστημα  Oι ριζες της f(x) = 0 

[- 2, 0] . Aρα

2 0 (x + 4)' 0 2x dx = dx = -  ln(x 2 + 4) dx =  2 2 -2 -2 -2 -2 x +4 x +4 2 0 2 2 = - [ln(x + 4) ] -2 = - [ln(0 + 4) - ln((-2) + 4)] = -ln 4 + ln(4 + 4) = 0

Ε(Ω) = - f(x) dx = -  = ln8 - ln 4 = ln

8 = ln2 τ.μ. 4

10.5.3 Αν οριζεται απ’τη γρ. παρασταση συναρτησης f, τον αξονα x’x :

● Ζητουμενα : Eμβαδον χωριου .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης .

● Τροπος Λυσης : ● Γενικα ισχυει στο [ρ1, ρ2] με προυποθεση η f ειναι συνεχης: ● Ε(Ω) =



ρ2

ρ1

f(x) dx , αν f(x) > 0

ρ2

● Ε(Ω) = -  f(x) dx , αν f(x) < 0 ρ1

● Bρισκουμε τις ριζες της εξισωσης f(x) = 0, εστω ρ1, ρ2 με ρ1 < ρ2 . ● Βρισκουμε το προσημο της f στα διαστημα: [ ρ1, ρ2 ]. ρ2

● Ε(Ω) =   f(x) dx , αναλογα με προσημο της f. ρ1

Να υπολογιστει το εμβαδον του χωριου που περικλειεται απο την καμπυλη 1 y = - x 2 + 2 και το αξονα x'x . 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

287 Ειναι

1  f(x) = 0  - x 2 + 2 = 0  x 2 = 4  x = -2 η x = 2. 2  Η f ειναι θετικη για - 2 < x < 2 και αρνητικη για x < -2 η x > 2, δηλαδη f(x) > 0 στο διαστημα [- 2,2] . Ετσι 2

3 2 x   x3   1  4 4 16 + 2x ' dx = + 2x  = - + 4 - + 4 = E(Ω) =   - x 2 + 2  dx =   τ.μ. -2 -2 3 3 3  2   6   6  -2 2

10.5.4 Αν οριζεται απ’τη Cf, Cg τον αξονα x’x και τις ευθειες x = a και x = β :

● Ζητουμενα : Eμβαδον χωριου .

● Δοσμενα : Ο τυπος των συναρτησεων και τις ευθειες x = a και x = β .

● Τροπος Λυσης : ● Γενικα ισχυει στο [a, β] με προυποθεση η f ειναι συνεχης: ● Ε(Ω) =



f(x) dx , αν f(x) > 0

● Ε(Ω) = -  f(x) dx , αν f(x) < 0 a

● Θεωρουμε τη συναρτηση: h(x) = f(x) – g(x) . ● Bρισκουμε τις ριζες της εξισωσης h(x) = 0 . ● Βρισκουμε το προσημο της h στα διαστηματα: oπως στη παραγραφο 10.5.1 . ● Συνεχιζουμε oπως στη παραγραφο 10.5.1 .

Nα υπολογιστει το εμβαδον του χωριου που περικλειεται μεταξυ των γραφικων παραστασεων των συναρτησεων f(x) = x εξισωσεις x = - 2 και x = 3.

και g(x) = x + 2 και των ευθειων με

Θεωρουμε την συναρτηση h(x) = f(x) - g(x) = x 2 - x + 2, x  .

 h(x) = 0  x 2 - x + 2 = 0  x = - 1, x = 2  h(x) > 0 για x < - 1 η x > 2 και h(x) < 0 για - 1 < x < 2 Οποτε, h(x) > 0 στο [- 2,- 1] , h(x) < 0 στο [- 1,2] και h(x) > 0 στο [2,3]. Ετσι -1

-2 -1

-1

Ε(Ω) =  h(x)dx -  h(x)dx +  h(x)dx = 2

=  (x 2 - x + 2) dx -  (x 2 - x + 2) dx +  (x 2 - x + 2) dx = -2

-1 3

2 3

x x x x x x2 -1 2 =[ - 2x] -2 - [ - 2x] -1 + [ - 2x] 23 = 3 2 3 2 3 2 1 1 8 8 1 1 9 8 = (- - + 2 + + 2 - 4) - ( - 2 - 4 + + - 2) + (9 - - 6 - + 2 + 4) = 3 2 3 3 3 2 2 3 3

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ =

288

11 27 11 49 τ.μ. - ()+ = 6 6 6 6

10.5.5 Αν οριζεται απ’τις Cf, Cg :

● Ζητουμενα : Eμβαδον χωριου .

● Δοσμενα : Ο τυπος των συναρτησεων .

● Τροπος Λυσης : ● Γενικα ισχυει στο [a, β] με προυποθεση η f ειναι συνεχης: ● Ε(Ω) =



f(x) dx , αν f(x) > 0

● Ε(Ω) = -  f(x) dx , αν f(x) < 0 a

● Βρισκουμε τα σημεια τομης των Cf, Cg (λυνουμε το συστημα των εξισωσεων των δυο συναρτησεων) που εστω ειναι (a1, β1) , (a2, β2) με a1 < a2 . ● Θεωρουμε τη συναρτηση: h(x) = f(x) – g(x) . ● Bρισκουμε τις ριζες της εξισωσης h(x) = 0 . ● Βρισκουμε το προσημο της h στο διαστημα [ a1 , a2 ] . α2

● Ε(Ω) =   h(x) dx , αναλογα με προσημο της h. α1

Na υπολογιστει το εμβαδον του χωριου που περικλειεται απο τις καμπυλες : y = x και y = x 2 .  y = x  y = x  y = x  y = x  y = x = 0      2 2 x(x - 1) = 0 x = 0 η x = 1  y = x = 1  y = x x = x Οι δυο καμπυλες τεμνονται στα σημεια (0, 0) και (1,1). Θεωρουμε την h(x) = x - x 2, που ειναι θετικη για 0 < x < 1. Ετσι 1

x 2  E(Ω) =  (x - x ) dx =  x dx -  x dx =   0 0 0  2 0 1

 x3  1 1 1 -   = - = τ.μ.  3 0 2 3 6

10.5.6 Αν οριζεται απο ολα τα σημεια (x,y) για τα οποια ειναι γνωστα τα διαστηματα που οριζονται τα x, y :

● Ζητουμενα : Eμβαδον χωριου .

● Δοσμενα : Διαστηματα που οριζονται τα x, y .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

289

● Τροπος Λυσης : ● Γενικα ισχυει στο [a, β] με προυποθεση η f ειναι συνεχης: ● Ε(Ω) =



f(x) dx , αν f(x) > 0

● Ε(Ω) = -  f(x) dx , αν f(x) < 0 a

● Bρισκουμε τις ριζες της εξισωσης f(x) = 0 . ● Xωριζουμε το διαστημα [α,β] (οπου α ≤ x ≤ β) σε διαστηματα :

● [α, ρ1], [ρ1, ρ2], [ρ2, β], αν η f(x) = 0 εχει δυο ριζες ρ1, ρ2 με ρ1 < ρ2 . ● [α, ρ], [ρ, β], αν η f(x) = 0 εχει μια ριζα ρ .

● η δεν το χωριζουμε αν η f(x) = 0 δεν εχει ριζες . ● Βρισκουμε το προσημο της f στα πιο πανω διαστηματα . ● Συνεχιζουμε oπως στα προηγουμενα .

Να βρεθει το εμβαδον του χωριου για το οποιο καθε σημειο του (x, y) ειναι τετοιο, ωστε : 1  x  2 και 0  y  3x 2 . Θεωρουμε τη συναρτηση f(x) = 3x2 που δεν μηδενιζεται για 1 < x < 2. H f(x) = 3x2 ειναι θετικη στο διαστημα [1,2]. (Δηλαδη εχουμε να βρουμε το εμβαδον του χωριου, που οριζεται απ'τη Cf τον αξονα x'x και τις ευθ ειες x = 1, x = 2). Ετσι 2

E(Ω) =  f(x)dx = 3x dx = 3   2

2 x 3  x dx = 3    = x 3  = 2 3 - 1 3 = 8 - 1 = 7 τ.μ. 1  3 1 2

10.5.7 Αν οριζεται απ’τη Cf (πολλαπλου τυπου), τον αξονα x’x και τις x = a, x = β :

● Ζητουμενα : Eμβαδον χωριου .

● Δοσμενα : Ο πολλαπλος τυπος της συναρτησης και οι ευθειες x = a , x = β .

● Τροπος Λυσης : ● Γενικα ισχυει στο [a, β] με προυποθεση η f ειναι συνεχης: ● Ε(Ω) =



f(x) dx , αν f(x) > 0

● Ε(Ω) = -  f(x) dx , αν f(x) < 0 a

● Δειχνουμε οτι η f ειναι συνεχης . ● Bρισκουμε τις ριζες της εξισωσης f(x) = 0 . ● Βρισκουμε το προσημο της f στο διαστημα που σχηματιζονται απ’τις ριζες και τα α, β . ● Βρισκουμε τα αντιστοιχα ολοκληρωματα .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

290

Να βρεθει το εμβαδον που περικλειεται απο την συναρτηση x 2 - 3x + 2, αν x  (-  ,3] f(x) =  και τις ευθειες : x = 0, x = 5, y = 0 (x'x). , αν x  (3,+  ) - x + 5 Η συναρτηση f ειναι συνεχης γιατι : lim - (x 2 - 3x + 2) = 3 2 - 3  3 + 2 = 2 x3   f(x) = f(3) = 2 lim - (- x + 5) = - 3 + 5 = 2  δηλαδη lim x3 x3  f(3) = 3 2 - 3  3 + 2 = 2  2 x - 3x + 2 = 0  x = 1 η x = 2 και - x + 5 = 0  x = 5 Eιναι δηλαδη : α = 0 < 1 < 2 < 3 < 5 = β (3 σημειο αλλαγης τ υπ ου) f(x) > 0 στα διαστηματα [0,1], [2,3], [3,5] και f(x) < 0 στο διαστημα [1,2] . Ετσι 1

Ε(Ω) =  f(x)dx -  f(x)dx +  f(x)dx +  f(x)dx = 0

3 3

=  ( x - 3x + 2) dx -  (x - 3x + 2) d x +  (x 2 - 3x + 2)dx +  (- x + 5)dx = 2

x 3  x2 = -3 + 2x  2 3 0 =

x 3  x 3   x2  x2 x2 - -3 + 2x  +  -3 + 2x  + + 5x  = 2 2 3 1  3 2  2 3

5 1 5 23 + + +2 = τ.μ. 6 6 6 6

10.5.8 Ισεμβαδικα χωρια :

● Ζητουμενα : Eυρεση ευθειας .

● Δοσμενα : Ο τυπος της συναρτησης και σημεια .

● Τροπος Λυσης : ● Αν χωριο εμβαδου Ε χωριζεται σε δυο ισεμβαδικα Ε1 και Ε2 , τοτε ισχυει : ● Ε1 = Ε2 =

E . 2

● Βρισκουμε τα αντιστοιχα ολοκληρωματα ● Συνεχιζουμε συμφωνα με τα προηγουμενα .

Eστω μια πολυωνυμικη συναρτηση της μορφης f(x) = αx v, α > 0, x ≥ 0 και τα σημεια Α(x1, f(x1)) και Β(x1, 0). Υπαρχει συναρτηση f για την οποια η Cf να χωριζει το τριγωνο ΟΑΒ σε δυο ισεμβαδικα χωρια ; Ειναι:

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

291

1 1 1 1 OB  AB =  x 1  αx 1ν =  x 1  f(x 1 ) = αx1ν +1 (1) 2 2 2 2 Το εμβαδον του χωριου μεταξυ της C f , του x'x και των ευθειων x = 0 και x = x1 ειναι :

(OAB) =

E(Ω) =  f(x)dx = Oποτε :

 αx ν+1  1 αx1ν +1 αx dx =  ( 2)  = v+1  v +1  0 ν

αx 1 1 1 1 E = (OAB)  =  αx 1ν+1  4αx 1ν+1 = (v + 1)αx 1ν+1  2 v +1 2 2 v + 1 = 4  v = 3. ν+1

Αρα η ζητουμενη συναρτηση ειναι η f(x) = αx

, α > 0.

10.5.9 Ειδικες περιπτωσεις, Παραβολη :

● Ζητουμενα : Eυρεση ευθειας .

● Δοσμενα : Εξισωσεις παραβολων .

● Τροπος Λυσης : ● Αν ζητειται το χωριο που οριζουν δυο παραβολες : ● Βρισκουμε τα σημεια τομης (μας ενδιαφερει η κοινη τετμημενη η τεταγμενη αν η εστια βρισκεται στον αξονα x’x η y’y) . ● Συνεχιζουμε συμφωνα με τα προηγουμενα (2 καμπυλες). ● Ειτε χωριο δυο καμπυλων ● Ειτε απο δυο ισεμβαδικα χωρια που χωριζει το συγκεκριμενο χωριο ο αξονας x’x η y’y. ● Αν ζητειται το χωριο που οριζουν παραβολη και εφαπτομενες απο σημειο Α: ● Η οριζοντια (κατακορυφη) ευθεια που διερχεται απ’το σημειο Α (αναλογα αν η εστια βρισκεται στον αξονα x’x η y’y) , χωριζει το ζητουμενο εμβαδον Ε σε δυο ισεμβαδικα Ε1 = Ε2 . ● Ε = 2Ε1 = 2Ε2 . ● Βρισκουμε ενα απ’τα Ε1 , Ε2 συμφωνα με τα προηγουμενα .

Να βρεθει το εμβαδον που περικλειεται απο τις παραβολες : c1 : y

= 4x και c 2 : y

= 2x + 2 .

 Eιναι : c 1 : y 2 = 4x και c 2 : y 2 = 2x + 2 . Ετσι 4x = 2x + 2  2x = 2  x = 1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

292

Δηλαδη οι c 1 και c 2 τεμνονται σε δυο σημεια με τετμημενη x = 1.

 Για y = 0 η c 1 δινει : 0 = 4x  x = 0, δηλαδη η c 1 τεμνει τον αξονα x'x στο x = 0.

 Για y = 0 η c 2 δινει : 0 = 2x + 2  x = - 1, δηλαδη η c 2 τεμ νει τον αξονα x'x στο x = -1.  Θετουμε f(x) = y = 4x = 2 x για τη c 1 και g(x) = y = 2x + 2 για τη c 2 .

 Oλοκληρωνουμε την f στο διαστημα [0,1] και τη g στο διαστημα [-1,1].  Αν Ε(Ω) ειναι το εμβαδον του χωριου πο υ οριζουν οι c 1 και c 2 , ο αξονας x'x το δι χοτομει σε δυο ισεμβαδικα, εστω Ε 1 (Ω) = Ε 2 (Ω) (πανω και κατω απ'τον x'x). 1

-1

 Ειναι Ε 1 (Ω) =  g(x) dx -  f(x) dx =  



-1

2x + 2 dx - 2

x dx (1) .

2x + 2 dx :

Θετουμε u = 2x + 2  du = ( 2x + 2)'dx =

(2x + 2)' 2 2x + 2

dx =

2 2u

dx  dx = udu

Για x = -1  u 1 = - 2 + 2 = 0 και για x = 1  u 1 = 2 + 2 = 2 Αρα, 

-1

u3  u 3  23 8 2x + 2 dx =  u du =   ' du =   = = 0 0 3   3 0 3 3 2

 3 1 1 1 x 2  2 x dx = 2 x dx = 2  0 0 0 3   2 8 4 4 Oποτε η (1) : Ε 1 (Ω) = - = 3 3 3 Τελικα 4 8 E(Ω) = 2Ε 1 (Ω) = 2  = τ.μ. 3 3 1 2

3   2 1 2x  'dx = 2  0  3   

  32   'dx = 2  2x  = 4   3  0 3 

Aπο το σημειο Α(2,-3) φερνουμε τις εφαπτομενες ε1 , ε2 προς την παραβολη με

εξισωση x 2 = 4y. Nα βρεθουν :  Oι εξισωσεις των ευθειων ε1 και ε2 . Το εμβαδον του χωριου που περικλειεται μεταξυ της παραβολης και των εφα πτομενων της ε1 και ε2 .  Εστω Μ(x0 , y0 ) σημειο επαφης.

x2 x , οποτε f'(x) = , x  . 4 2 H εξισωση της εφαπτομενης ειναι : y - f(x0 ) = f'(x0 )(x - x0 ) Θεωρουμε την συναρτηση f(x) =

Eπειδη διερχεται απ'το σημειο ( 2 ,-3) τοτε ισχ υει : 1 1 - 3 - x02 = x0 (2 - x0 )  x02 - 4x0 - 12 = 0  x0 = 6 η x0 = - 2. 4 2 Οποτε οι ζητουμενες εφαπτομενες ειναι :

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

293 • (ε 1 ) : 3x - y - 9 = 0 με σημειο επαφης το Μ(6,9) • (ε 2 ) : x + y + 1 = 0 με σημειο επαφης το Μ(- 2,1)

[Θετουμε g(x) = 3x - 9] [Θετουμε r( x) = - x - 1 ]

Θεωρουμε h 1 = f(x) - r(x) στο [- 2 ,2] και h 2 = f(x) - g (x ) στο [2, 6] . Ετσι

2 6 x x2 + x + 1)dx +  ( - 3x + 9)dx = Ε(Ω) =  h 1 (x)dx +  h2 (x)dx = ( -2 2 -2 4 2 4 x3 x2 x 3 3x 2 2 =[ + + x] -2 +[ + 9x] 26 = 12 2 12 2 8 8 8 32 = +2+2+ - 2 + 2 + 18 - 54 + 54 + 6 - 18 = τ.μ. 12 12 12 3  Αλλι ως Η ευθεια x = 2 χωριζει το χωριο σε δυο μερη, εστω Ε1 (Ω) = Ε2 (Ω)οποτε : 2

Θεωρουμε h = f(x) - g(x) στο [- 2,2] η h = f(x) - r(x) στο [2,6].

x2 x3 x2 8 8 16 2 + x + 1)dx = [ + + x] -2 = +2+2+ -2 +2 = -2 -2 4 12 2 12 12 3 16 32 Τελικα, Ε(Ω) = 2  Ε1 (Ω) = 2  = τ.μ. 3 3 2

Ε1 (Ω) =  h(x)dx =  (

10.5.10 Ευρεση παραμετρου με γνωστο το εμβαδον χωριου :

● Ζητουμενα : Eυρεση παραμετρου .

● Δοσμενα : Εμβαδον χωριου .

● Τροπος Λυσης : ● Παιρνουμε την ισοτητα του εμβαδου που δινεται. ● Αντικαθιστουμε το εμβαδον απο ολοκληρωματα, συμφωνα με τα προηγουμενα . ● Λυνοντας την ισοτητα που προκυπτει, βρισκουμε το ζητουμενο.

Θεωρουμε τη συναρτηση f(x) = 3x 2 με γραφικη παρασταση C και την εφαπτομενη της (ε) σε σημειο Β(α,3α 2 ) με α > 0. Αν Ε ειναι το εμβαδον που περικλειεται απο τη C, την (ε) και τον αξονα x'x, να βρεθει η τιμη του α, ωστε Ε = 16. Ειναι f'(x) = (3x 2 )' = 6x και x0 = α, f(x0 ) = 3α 2 , f'(x0 ) = 6α.

Οποτε η εξισωση της εφαπτομενης ειναι :

y - f(x0 ) = f'(x0 )(x - x0 )  y - 3α 2 = 6α(x - α)  y = 6αx - 3α 2 .

• Για y = 0 η εξισωση της εφαπτομενης δινει :

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

294

0 = 6αx - 3α 2  6αx = 3α 2  x =

α 2

α Δηλαδη το σημειο Α( , 0) ειναι το σημειο τομης της εφαπτομενης και του x'x. 2 To δοσμενο εμβαδον ειναι το εμβαδον του ΟΑΒ, με ΟΒ τμημα της καμπυλης και ΑΒ τμημα της εφαπτομενη ς. Οποτε α

Ε = 16   f(x)dx -α ε(x)dx = 16  0



3x 2dx -α (6αx - 3α 2 )dx =16  2

α [x 3 ] 0α - [3αx 2 - 3α 2x] α/2 = 16  α 3 - [(3α 3 - 3α 3 ) - (3α 

3α 3 α3 α = 16  = 16  α 3 = 64  α = 4 . 4 4

α2 α - 3α 2  )] = 16  4 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

295

11. K a π ο ι ε ς Β α σ ι κ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς 1.  H συναρτηση f ειναι συνεχης στο [α, β]. Να αποδειξετε οτι : β β 1 β + β x) dx = [f(x) + f(α + β - x)] dx . f(x) dx = f(α α α 2 α  Nα υπολογισετε το ολοκληρωμα :

αx 0 α x + α 1-x dx . 1

Ι =

 Αν Κ =  f(x) dx, τοτε : α

x = a  u = β Θετουμε x = α + β - u, οποτε dx = - du και τα νεα ακρα:  x = β  u = a Ετσι β

Κ =  f(x) dx =  f(α + β - u)( - du) = - f(α + β - u) du =  f(α + β - u) du = α

=  f(α + β - x) dx . α

Κ =  f(x) dx = α

1 2 Αρα =

α

1 β 1 β 1 β 1 β f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx + f(α + β - x) dx = 2 α 2 α 2 α 2 α

α [f(x) + f(α + β - x)] dx . β

f(x) dx =  f(α + β - x) dx = α

1 2

α [f(x) + f(α + β - x)] dx

 Απο το ερωτημα (α) προκυπτει :

 αx 1 1 αx α 1-x dx = +   dx =  x x 1-x 1-x 1(1-x) 1-x 0 α 2 0 α + α -α α +α  x 1-x  1 1 α α =   x +  dx = 2 0  α + α 1-x α 1-x + α x 

Ι=

1 1  α x + α 1-x    dx = 2 0  α x + α 1-x  1 1 =  1 dx = 2 0 1 = [x] 01 = 2 1 = . 2

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

296

2. Για καθε t  [1,+  ] θετουμε Ι(t) =

lnx

1 1 + x dx .

 Δωστε τη γεωμετρικη ερμηνεια του Ι(t) .  Υπολογιστε τa ολοκληρωματα : t lnx dx, t  1 και  J(t) =  1 x t lnx dx , t  1.  K(t) =  1 x 2

lnx  0. 1+x Συνεπως το Ι(t) παριστανει το εμβαδον του χωριου που περικλειεται μεταξυ των lnx ευθειων x = 1, x = t , το διαγραμμα της y = και του x΄x ή αλλιως το συνολο των 1+x σημειων (x, y) που επαληθευουν τις σχεσεις : 1  x  t, 0  y  f(t).

 Στο διαστημα [1, t] με t  1 ειναι για καθε x  [1, t],

 J(t) = 

K(t) = 

2 t t  ln x  ln 2x  lnx ln 2t dx = (lnx)'lnx dx =  ' dx =  = .   1 1 x 2  2   2 1 t

t 1  t 1  1   lnx dx =   - 'lnx dx = - lnx  -   - (lnx)' dx = 2 1 x  x  x 1 1 x  t

t 1  1 1 1 1 lnt + 1 1 1 . = - lnt + ln1 +  2 dx = - lnt + -  = - lnt - + 1 = 1 1 t t t t t 1 x  x 1

3. Εστω f δυο φορες παραγωγισιμη με f(1) = f'(1) = 0. 1 1 1  Να αποδειχτει οτι :  f(x) dx =  x 2f"(x) dx . 0 2 0 1 6 , να βρεθει το ολοκληρωμα Ι =  f(x) dx .  Αν f"(x) = 3 0 x +1 f(1) = 0 x2    f(x) dx =  x'f(x) dx = [xf(x)] -  xf'(x) dx = f(1) -   'f'(x) dx = 0 0 0 0  2 

1 0

2 f'(1) = 0 1x x 2  1 1 1 =0- f'(x)  +  f"(x) dx = - f'(1) +  x 2f"(x) dx = 0 2 2 2 0 2 0 1 1 =  x 2f"(x) dx . 2 0 2 3 (α) 1 1 3x 1 (x + 1)' 1 1 1 1 6x 2  Ι =  f(x) dx =  x 2f"(x) dx =  3 dx =  3 dx =  dx = 0 0 0 2 0 2 0 x +1 x +1 x3 +1 = [ln(x 3 + 1)] 01 = ln2 - ln1 = ln2 .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

297

11. Γ ι α Π ρ ο π ο ν η σ η 1. Να υπολογισετε τα ολοκληρωματα : 2

  (3x 1

  xημx dx

+ 6x - 7) dx



9α 2 + x x3

2. Να αποδειξετε οτι : 2 1 x 0 +2 dx   dx + 1 x 2 + 1 = 1 0 x 2 +1



1

1 x 3 + 7x x 3 dx + 2 dx =  2 2 2 2 x +5 x +5

3. Βρειτε τον πραγματικο αριθμο λ,ωστε : λ+3

1

x 2+1 dx + (x + 1) 2

λ+3

1

2x dx = 12 (x + 1) 2

4. Αν για τη συνεχη στο  συναρτηση f ισχυουν : 4

7 f(x) dx = - 2, 0 f(x) dx

= 6,

0

f(x) dx = 8,

να υπολογιστουν τα ολοκληρωματα : 10

9

f(x) dx,

0 f(x) dx

και

4

f(x) dx = 5

7 f(x) dx .

5. 1 + 4x 3 , x  1 Δινεται η συναρτηση f(x) =  x>1 6 - x,  Να δειξετε οτι η f ειναι συνεχης.  Να υπολογισετε το ολοκληρωμα I =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

0 f(x) dx .

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

298

6. Να αποδειξετε οτι : 1

2 0 4 + 2x x3-x2 dx 1 x 2 + 2 dx + x 2+2



0



2 (x - 1)

dx -

1 2

2+x3 dx = 1 x 2+1

2 (2x - 6) dx + 3 (x - 2)

dx = 3

7. Να υπολογιστει το ολοκληρωμα I =

-2 | x

- x - 2 | dx .

8. 3

Aν

1 f(x)dx = 4 και 1

g(x )dx = - 2, να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι λ, μ ωστε : 3

1 [(2λ - 1)f(x) + (μ - 3)g(x)]dx = 4

και

1 μf(x)dx + 3 3 1 g(x)dx - 1

= λ+ 3

9. Να αποδειξετε οτι :  Η παραγωγος της f(x) = logα x ειναι ιση με 

100

10

dx = ln10  ln2 xlogx

1 xlnα

10. Να αποδειχθει οτι :

0 xe

dx +

π2 4 0



ημ x dx = 3 .

11. Να αποδειξετε oτι :  

x 2 + 11 dx +

1 3 x + 11 dx = 0 2 2 1 2 2 1 (x + 1)dx + 1 (x + 3x + 5)dx + 2 (x + 4x + 5)dx = 1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

299

12.

Να υπολογισετε τα ολοκληρωματα : e



1

dx x(1 + lnx)



π 2 π 6



συνx ημx

13. Να αποδειχθει οτι : e x   (t + | t |) dx = (x + | x |), x   . 1 2 β x 1 +t     (1 + t) du  dx = (β - α) 2 , t   .  α  α   2 14. Να υπολογισετε τους πραγματικους κ και λ, ετσι ωστε : x 2κ-λ x + 1 dx + 3

2κ-λ

3

-1 dx = 5 και x+1

κ+ λ

1

x 2 - 2x + 1 dx x

κ+ λ

1

(x + 1) 2 - 5x dx = 8 x

15.

Αν η συναρτηση f εχει συνεχη δευτερη παραγωγο στο διαστημα [α, β] και ισχυει f(α) = f(β), να αποδειξετε οτι :

α xf''(x) dx = βf'(β) - αf'(α) .

16. Εστω μια συναρτηση f, συνεχης στο  . Χρησιµοποιωντας την αντικατασταση π π π x = π – u, να αποδειξετε οτι :  xf(ημx) dx =  f(ημx) dx . 0 2 0

17.

Eστω οτι η γραφικη παρασταση της f, διερχεται απ'τα σημεια τομης Α και Β της ευ θειας (ε) : y = x + 1 και της παραβολης (c) : y = x 2 - 4x + 7 και η f' ειναι συνεχης στο [2,3]. Nα βρειτε την τιμη του ολοκληρωματ ος :

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

2 f'(x)dx

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

300

18. Να υπολογισετε τα ολοκληρωματα : 

0



ln(x + x 2 + 1 ) dx

1

lnx dx x3

19. Εστω μια συναρτηση f της οποιας η f" ειναι συνεχης στο  . Αν η f παρουσιαζει στο x0 = 2 τοπικο ακροτατο και Cf διερχεται απο το σημειο Α(0, 1) και ισχυει :

0 [xf"(x) + 3f'(x)] dx = 4006, να βρειτε το f(2).

20. x

Αν F(x) =

0 (1 + x

την F'(x).

)f(t) dt , x   , οπου f συναρτηση συνεχης στο  , να βρειτε

21.

Εστω f(x) =

0 (t

με x   .

- 3t) dt

Να προσδιορισετε τα διαστηματα μονοτονιας και τα τοπικα ακροτατα της f. 22.

Εστω η συναρτηση f(x) =

x +1

x

e συν(2πt) dt.

Να δειξετε οτι η f ειναι σταθερη στο  . 23. Να υπολογισετε τις παραγωγους των συναρτησεων :  F(x) =

x

|t| dt 1 +t 2

 G(x) =

ημx

x

e t dt, x   2

24. Να βρεθει ο τυπος της συναρτησης : f(x) =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

1 (t

- 2t)dt .

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

301

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

25.

Δινεται η συναρτηση F(x) =  Να δειξετε οτι :

0

tln(1 + t 2 )dt , x  0.

 η συναρτηση g(x) =  tln(1 + t 2 )dt , x   ειναι συνεχης. 0

 η συναρτηση F ειναι συνεχής στο x = 0.  Να βρειτε την παραγωγο της συναρτησης F(x).

26. Αν η συναρτηση f ειναι συνεχης στο  και ισχυουν : x 3 +3 1 t x e f(t)dt = x - 2π συν(2πx) και f(4) = 0 τοτε βρειτε το f(1).

27. H μεση τιμη μιας συνεχους συναρτησης f(u) για την οποια ισχυει f(0) = 2, ορισμενη στο [0,3], ειναι στο διαστημα [0,u] ιση με ue u για καθε u  [0,3].  Nα προσδιοριστει η συναρτηση αυτη.  Να μελετηθει η f ως προς την μονοτονια και τα ακροτατα. 28. Εστω μια συναρτηση f, συνεχης στο διαστημα Δ = [0,+  ) για την οποια ισχυει : x+

0 f(t) dt = (x + 1)f(x),

x 0.

 Να αποδειξετε οτι η f ειναι παραγωγισιμη στο διαστημα [0,+  ) .  Να βρειτε τον τυπο της f .

29.

Εστω f, g δυο συναρτησεις συνεχεις στο διαστημα [0,2] για τις οποιες υποθετουμε οτι ισχυει

0

f(x) dx =

0

g(x) dx και F(x), G(x) αρχικες συναρτησεις των f, g αντι -

στοιχα στο [0,2]. Να αποδειξετε οτι :  Η συναρτηση h(x) = F(x) – G(x) ικανοποιει τις υποθεσεις του θεωρηματος Rolle στο διαστημα [0,2].  Υπαρχει ενας τουλαχιστον x  (0,2) τετοιος ωστε να ισχυει f(xo ) = g(xo ) .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

302

30. β

Δινεται η συνεχης συναρτηση f : [α, β]   , με f(α) > α και 2  f(x)dx < β 2 - α 2 . α

Να αποδειξετε οτι υπαρχει x0  (α, β) τετοιο ωστε f(x0 ) = x0 .

31. Aν η συναρτηση f :    ειναι συνεχης και τε οτι υπαρχει ξ   τετοιο, ωστε f(ξ) = 0.

3 f( 3 )dx = 4

x )dx , να αποδειξε 4

32. Εστω f μια συναρτηση συνεχης στο διαστημα [0,π] για την οποια ισχυει π

0 f(x) dx = 2.

Να αποδειξετε οτι υπαρχει ενας τουλαχιστον x  (0,π), ωστε f(xo ) = ημxo . 33. Δινεται η συναρτηση f(x) = e x – lnx, x > 0. Να αποδειξετε οτι :  η f στρεφει τα κοιλα ανω στο διαστημα [1, e],  η f ειναι γνησιως αυξουσα στο [1, e],  f(x) > 0 για καθε x  [1, e]. e



1

e x dx >

1 lnx dx .

34. Εστω f μια συναρτηση συνεχης στο διαστημα [0,2] για την οποια ισχυει 1

0 f(x) dx = 1 f(x) dx .

Να αποδειξετε οτι η f εχει ενα τουλαχιστο κρισιμο σημειο στο διαστημα (0,2).

35. Αν η συναρτηση f, που ειναι δυο φορες παραγωγισιμες στο διαστημα [α, β], με συνε χη δευτερη παραγωγο, στρεφει τα κοιλα κατω και ειναι γνησιως φθινουσα, να βρεθει το προσημο της παραστασης : A =

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

α f''(x)dx - β f'(x)dx .

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

303

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

36. Nα δειξετε οτι η συναρτηση f(x) =

x +1

x

e ημ(2πt) dt ειναι σταθερη.

37. Δινετε η συναρτηση f(x) = xe -vx , x   , οπου ν μη μηδενικος αριθμος, να  μελετησετε τη μονοτονια της f και να βρειτε τα ακροτατα και τα σημεια καμπης  αποδειχτει οτι : - 3 

-2 xe

x +1

dx  3e 2 .

38.

Δινεται η συναρτηση f με τυπο : 2 + αxe x -1 αν x  1 f(x) =  2 αν x > 1 3 + x - αx

, α  .

Να υπολογισετε το ολοκληρωμα : Ι =

0 f(x) dx

39. eu 0 0 u 2 + 1 du) dt, x   . Να μελετησετε τη κυρτοτητα της F και να προσδιορισετε τα σημεια καμπης της.

Εστω η συναρτηση F(x) =

(

t 2 +1

40. Δινεται η συνεχης συναρτηση f στο [0,2] για την οποια ισχυει : x πx 2 1 f(t) dt  x - 2ημ( 2 ) + 1 για καθε x  [0,2]. Nα αποδειχτει οτι f(1) = 2 .

41.

Εστω f μια συναρτηση παραγωγισιμη στο διαστημα [α, β] με f'(x) < 0 στο [α, β].  Δειξτε οτι : 

a f(t) dt > (x - α)f(x) για καθε x  (α, β]. x f(t) dt  Δειξτε οτι : η συναρτηση F(x) = a ειναι γν. φθινουσα στο δια στημα (α, β]. x

x-α β

 Δειξτε οτι : (β - α)  f(t) dt > (x - α)  f(t) dt , x  (α, β]. a

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

304

42. H αξια P(t) ενος προιοντος σε t  0 χρονια απο σημερα μεταβαλλεται με ρυθμο : 1 - (t + 2)ln2 P'(t) = χιλιαδες ευρω ανα χρονο. 2t Αν η σημερινη αξια του προιοντος ειναι 10 χιλιαδες ευρω, να βρεθει :  η αξια του προιοντος σε t  0 χρονια απο σημερα.  η αξια του προιοντος σε πολλα χρονια απο σημερα.  σε ποσα χρονια η αξια του προιοντος θα ειναι 9 χιλιαδες ευρω.

43.

Η αξια μιας μετοχης στο Χρηματιστηριο ειναι σημερα Α(e 7 + 6) ευρω, οπου Α θετι κη σταθερα, ενω σε t  0 μηνες απο σημερα η αξια της P(t ) μειωνεται με ρυθμο P'(t ) = - Α(e 7 - t + 1) ευρω / μηνα. Να βρειτε :  τ ην αξια της μετοχης σε 6 μηνες απο σημερα.  σε ποσους μηνες (τουλαχιστον) η μετοχη δεν θα εχει καμμια αξια. 44. Nα υπολογιστει το εμβαδον του χωριου που σχηματιζει η γραφικη παρασταση της συναρτησης f(x) =

x 3 + 3x 2 - x - 3 και ο αξονας x'x . x+2

45. Nα υπολογιστει το εμβαδον του χωριου που περικλειεται μεταξυ των γραφικων παραστασεων των συναρτησεων : f(x) = x 3 - 2x 2 + 2x + 3 και g(x) = 3x 2 - 2x + 3 και των ευθειων με εξισωσεις : x = -1 και x = 1. 46. Δινεται η συναρτηση f(x) = ημx. Nα βρεθουν :  Oι εξισωσεις των εφαπτομενων της γραφικης παραστασης της f στα σημεια Ο(0,0) και Α(π,0).  Το εμβαδον του χωριου που περικλειεται μεταξυ της Cf και των εφαπτομενων της f στα σημεια Ο και Α.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

305

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

47.

Θεωρουμε τη συναρτηση f(x) = x με γραφικη παρασταση C και την εφαπτομενη της (ε) σε σημειο A(1,1) . Nα υπολογισετει το εμβαδον Ε του χωριου που περικλειεται απο τη C, την (ε) και τον αξονα x'x. 48. Να υπολογισετε το εμβαδον του χωριου Ω που περικλειεται απο τη γραφικη παρα σταση της συναρτησης f(x) = e ημx ημ2x, τον αξονα x'x και τις ευθειες x = 0 και π x= . 2

49. Να βρεθει το εμβαδον του χωριου για το οποιο καθε σημειο του (x, y) ειναι τετοιο, ωστε : 2  x  e και 0  y  lnx.

50.

Δινεται η συναρτηση f(x) =

0 (2t - 1)dt.

Να βρεθει το εμβαδον που περικλειεται απο την f, τις ευθειες x = - 2, x = 2 και τον αξονα x'x. 51. Να βρεθει το εμβαδον που περικλειεται απο τη γραφικη παρασταση της συναρτησης | lnx | 1 f(x) = και τις ευθειες : x = , x = e, y = 0 (αξονας x'x). x e

52. Δινετε η συναρτηση f με τυπο : e x - e , αν x  (-  ,1)  f(x) =  lnx , αν x  [1,+  )   x Nα αποδειξετε οτι η f ειναι συνεχης και να υπολογισετε το εμβαδον του χωριου που περικλειεται απο τη γρ αφικη παρασταση της και τις ευθειες : x = 0, x = ε, y = 0.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

306

53. 1-e x . 1+ex Να βρεθει το εμβαδον που περικλειεται απο την γραφικη παρασταση της f, την ευ θεια x = - ln3 και τους αξονες x'x και y'y . Δινεται η συναρτηση f(x) =

54.

Δινεται η συναρτηση f(x) = (x + 4)  e - x , x   . Να βρεθει το εμβαδον του χωριου που οριζεται απο τα σημεια (x, y) με : - 1  x  1 και 0  y  f(x) . 55. Εστω οι συναρτησεις f, g που ειναι δυο φορες παραγωγισιμες στο  και ικανοποιουν τις σχεσεις : F"(x) - g"(x) = 4,  x   , f'(1) = g'(1) και f(2) = g(2).  Να βρειτε τη συναρτηση G(x) = f(x) - g(x), x   .  Να βρει τε το εμβαδον του χωριου που περικλειεται απο τις γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f και g.

56. Να βρεθει το εμβαδον του χωριου Ω που περικλειεται απο τη γραφικη παρασταση της f(x) = e x , τον αξονα y'y και την εφαπτομενη της Cf που διερχεται απ'την αρχη Ο(0,0) των αξονων.

57.  Να βρειτε το εμβαδον Ε(t) του χωριου Ω που περικλειεται απο τη γραφικη παρα -

σταση της συναρτησης f(x) = x 2 , x  0, τον αξονα y΄y και τις ευθειες x = 2 και

y = t 2 με 0 < t < 2.  Να βρειτε την τιμη του t  (0,2) για την οποια το εμβαδον Ε(t) γινεται ελαχιστο καθως και την ελαχιστη τιμη του.

58.

Το χωριο που περικλειεται απ'τη γρ. παρασταση της συναρτησης f(x) = x 3 , τον αξο να y΄y και την ευθεια y = 8 χωριζεται απ'την ευθεια y = α 3 , α > 0 σε δυο ισεμβαδι κα χωρια. Να βρειτε την τιμη του α .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

307

59.  Να αποδειξετε οτι :

1

1 1+ y

dy +

1 x 1



1 1+y

dy = 0 ,  x  (0,+  ) .

1  Δινεται η συναρτηση f(x) = . Να υπολογισετε την ευθεια με εξίσωση x = α , 1+x 2 η οποια χωριζει το χωριο που περικλειεται απο τη Cf , τον αξονα x΄x και τις ευ θειες x =

1 , x = 2 σε δυο ισεμβαδικα χωρια. 2

60.  Να υπολογισετε το εμβαδον E(t), του χωριου Ω που περικλειεται απο τις γραφι -

κες παραστασεις των συναρτησεων f(x) = t > e.  Να βρειτε το οριο lim

x + 

e , g(x) = lnx και την ευθεια x = t με x

E (t) . t2

61.

Να βρεθει το εμβαδον του χωριου Ω που περικλειεται απο τις παραβολες c1 : y = 3x 2 , c2 : y 2 = 9x . 62. Εστω f πραγματικη συναρτηση συνεχης στο  , τετοια ωστε f(x)  2 για καθε x ∈  . Θεωρουμε τη συναρτηση g(x) = x2 - 5x + 1 - 

x 2- 5 x

f(t) dt , x∈  .

● Να αποδειξετε οτι g(- 3)g(0) < 0 . ● Να αποδειξετε οτι η εξισωση g(x) = 0 εχει μια μονο ριζα στο διαστημα (- 3 , 0) .

63. Η συναρτηση f :    , ειναι παραγωγισιμη και ισχυει οτι f’(x) > 0, για καθε x∈  . β

Να αποδειξετε οτι η συναρτηση F(x) =  f(x - t)dt , x ∈  με α , β πραγματικους αριθα

μους, ειναι παραγωγισιμη και οτι αν υπαρχει xo ∈  με F’(xο) = 0 , τοτε F(x) =0 για καθε x ∈  .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

308

64. Θεωρουμε τους πραγματικους αριθμους α, β με 0 < α < β, τη συνεχη συναρτηση f:(0, + ∞)   για την οποια

α f(t)dt = 0 και τη συναρτηση g(x) = 2 + x α f(t)dt

x ∈ (0, + ∞).

Να αποδειξετε οτι υπαρχει ενα τουλαχιστον xο∈(α,β) τετοιο ωστε να ισχυουν : ● Η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης της συναρτησης g στο σημειο (xο , g(xo)) να ειναι παραλληλη στον αξονα x΄x . ● g(xo) = 2 + f(xo) . 65. Δινεται η συναρτηση f(x) = 2x 2 , x ∈  .

● Αν ε ειναι η εφαπτομενη της γραφικης παραστασης C της συναρτησης f στο σημειο Μ(2α , 8α 2) , α > 0 , να βρειτε το εμβαδον του χωριου που περι-κλειεται απο τη C , την ευθεια ε και τον αξονα y΄y . ● Εστω θ η οξεια γωνια που σχηματιζει η ε με την ευθεια ΜΟ , οπου Ο ειναι η αρχη των αξονων . Να εκφρασετε την εφθ ως συναρτηση του α και να βρειτε την μεγιστη τιμη της εφθ οταν το α μεταβαλλεται ( α > 0 ) .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

309

12. Α π ο δ ε ι ξ ε ι ς 1. Εστω f μια συναρτηση ορισμενη σε ενα διαστημα Δ. Αν F ειναι μια παραγουσα της f στο Δ, τοτε • ολες οι συναρτησεις της μορφης G(x) = F(x) + c, c ∈  , ειναι παραγουσες της f στο Δ

• καθε αλλη παραγουσα G της f στο Δ παιρνει τη μορφη G(x) = F(x) + c, c ∈  .

• Καθε συναρτηση της μορφης G(x) = F(x) + c, c ∈  , ειναι μια παραγουσα της f στο Δ, αφου G’(x) = (F(x) + c)’ = F’(x) = f(x), για κaθε x ∈ Δ .

• Εστω G ειναι μια αλλη παραγουσα της f στο Δ. Τοτε για καθε x ∈ Δ ισχυουν: F’(x) = f(x) και G’(x) = f(x), οποτε G’(x) = F’(x), για καθε x ∈ Δ.

Αρα, συμφωνα με το πορισμα

“ Εστω δυο συναρτησεις f, g ορισμενες σε ενα διαστημα Δ. Αν • οι f, g ειναι συνεχεις στο Δ και • f’(x) = g’(x) για καθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ο σημειο x του Δ,

τοτε υπαρχει σταθερα c τετοια, ωστε για καθε x∈Δ να ισχυει: f(x) = g(x) + c ” υπaρχει σταθερa c τετοια, ωστε G(x) = F(x) + c, για καθε x ∈ Δ .

2. Αν f ειναι μια συνεχης συναρτηση σε ενα διαστημα Δ και α ειναι ενα σημειο του Δ, τοτε η συναρτηση F(x) =

α f(t) dt , x∈Δ, ειναι μια παραγουσα της f στο Δ. Δηλαδη ισχυει:

(  f(t) dt )' = f(x) , για καθε x∈Δ. a

Εποπτικα το συμπερασμα του παραπανω θεωρηματος προκυπτει (Σχημα) ως εξης: F(x + h) - F(x) = 

x+h

f(t)dt

=Εμβαδον του χωριου Ω.

y = f(x)

 f(x)  h , για μικρα h>0. Αρα, για μικρα h>0 ειναι

f(x)

F(x + h) - F(x)  f(x) , h

οποτε

Ω x x+h

F(x + h) - F(x) = f(x) . h 0 h

F(x) = lim

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

310

3. Eστω f μια συνεχης συναρτηση σ’ ενα διαστημα [α,β]. Αν G ειναι μια παραγουσα της f στο [α,β], τοτε:

α f(t) dt = G(β) - G(α) .

(Θεμελιωδες θεωρημα του ολοκληρωτικου λογισμου) Συμφωνα με το θεωρημα, “Αν f ειναι μια συνεχης συναρτηση σε ενα διαστημα Δ και α ειναι ενα σημειο του Δ, τοτε η συναρτηση F(x) = Δηλαδη ισχυει: (

α f(t) dt , x∈Δ, ειναι μια παραγουσα της f στο Δ.

a f(t) dt )' = f(x) ,

για καθε x∈Δ.”

η συνaρτηση F(x) =  f(t)dt ειναι μια παραγουσα της f στο [α,β]. Επειδη και η G ειναι α

μια παραγουσα της f στο [α,β], θα υπαρχει c ∈  τετοιο, ωστε G(x) = F(x) + c

Απο την (1), για x=a, εχουμε G(α)=F(α)+c=

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!



(1)

f(t)dt + c = c , οποτε c=G(a).

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

312

1. Δινεται ο μιγαδικος z = f(x) + f(x)i , με f(x) συνεχη στο  και | z | = 2 (1 + e x ) ● Να βρεθει ο τυπος της f(x) αν το σημειο Α(0 , - 2) ανηκει στην γραφικη παρασταση της f . ● Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος της εικονας Μ του μιγαδικου z. ● Αν w = f(x) - f 2(x)i να αποδειχτει οτι η συναρτηση g(x) = Re(z w ) δεν παρουσιαζει ακροτατα. ● Είναι | z |=

f 2 (x) + f 2 (x) =

2f 2 (x) = | f(x) | 2

Επίσης από υπόθεση | z |= 2 (1 + ex) Aπό (1) και (2)  | f(x) | 2 =

(1) (2)

2 (1 + ex)  f(x) = ± (1 + ex).

H f(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο  για κάθε x   , γιατί εάν έπαιρνε ετερόσημες θα υπήρχαν x1 , x2   με f(x1)f(x2) < 0 οπότε αφού f συνεχής σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano θα υπάρχει x0   με f(x0) = 0. Άτοπο αφού | f(x) |= 1 + ex > 0 για κάθε x   .

Άρα f(x) = 1 + ex ή f(x) = - (1 + ex) για κάθε x   .

Ὀμως η C f διέρχεται από το Α(0, - 2) δηλ. f(0) = - 2 < 0. Άρα f(x) = - (1 + e x) , x   .

● Έστω z = x1 + y1i με εικόνα Μ(x1, y1). Eιναι x 1 = f(x)  y1 = x1   y 1 = f(x)

Άρα το σημείο Μ είναι σημείο της διχοτόμου της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων. Αφού όμως x1 = f(x) = - (1 + ex) έχουμε x1 < -1, αφού ex > 0. Eτσι ο Γ.Τ. του Μ είναι η ημιευθεία: y = x με x < - 1, χωρίς το σημείο (-1,-1). ● z w = [f(x) + f(x)i] [f(x) + f 2(x)i] = [f 2(x) – f 3(x)] + [f 2(x) + f 3(x)]i Άρα g(x) = Re(z w ) = f 2(x) - f 3(x) Έστω ότι η g παρουσιάζει στο x0 ακροτατο. Η g(x) είναι παραγωγίσιμη, αφού η f(x) = - (1 + ex) είναι παραγωγίσιμη και έτσι σύμφωνα με Fermat θα ισχύει : g ' (x0) = 0 Όμως g ' (x) = [f 2(x) - f 3(x)] ' = 2f(x)f ' (x) - 3f 2(x)f ' (x) = f(x)f ' (x)[2-3f(x)] Άρα g ' (x0) = 0  f(x0)f ' (x0)[2-3f(x0)] = 0 αφού f(x0) = - (1 + e

)  0, f ' (x0) = - e

 0 και 2 - 3f(x0) = 2 + 3(1 + e

)  0 για

κάθε x0   .

Άρα η g(x) δεν παρουσιάζει ακρότατα.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

313

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

2. Δινεται η συναρτηση f με f(x) = lnx + x - 1, x > 0. a. Na aποδειξετε οτι : 1. Η αντιστρεφεται 2. Η εξισωση f(x) = 0 εχει μοναδικη λυση. β. Για το μιγαδικο αριθμο z με z  4 + 3i, ισχυει ln | z - 4 - 3i |= 1- | z - 4 - 3i | . 1. Να βρειτε το συνολο των εικονων του z. 2. Να βρειτε τη μεγιστη και την ελαχιστη τιμη του μετρου | z - z | . 3. Να αποδειξετε οτι : 9  | z + 4 + 3i |  11. 1 + 1 > 0 (αφου x > 0). x Eτσι η συναρτηση f ειναι γν.αυξουσα για x  (0, + ), aρα οριζεται η αντιστροφη της.

α. 1. Ειναι : f'(x) = (lnx + x - 1)' =

2. Η εξισωση f(x) = 0 εχει προφανη λυση την x0 = 1 και επειδ η η f γν.αυξουσα στο (0, +), η λυση αυτη ειναι μοναδικη.

β. 1. Eιναι f(x) = 0  lnx + x - 1 = 0 και θετοντας οπου x =| z - 4 - 3i| προκυπτει : ln | z - 4 - 3i| + | z - 4 - 3i| -1 = 0 που εχει μοναδικη ριζα την x = 1. Eτσι, | z - 4 - 3i|= 1. Η πιο πανω σχεση δηλωνει το συνολο των σημειων του μιγαδικου z = x + yi που απεχουν απ΄το σημειο Κ(4,3) σταθερη αποσταση ιση με 1. Δηλαδη, το συνολο των εικονων του z ει ναι κυκλος με κεντρο Κ(4,3) και ακτινα ρ = 1, (x - 4)2 + (y - 3)2 = 1 (1). 2. Eπειδη η εικονα του z ανηκει στον κυκλο (1) τοτε :  ymax = yκ + ρ = 3 + 1 = 4 (2)   ymin = yκ - ρ = 3 - 1 = 2 Ομως, z - z = 2Ιm(z) = 2 y, οποτε λογω της (2) : Η μεγιστη τιμη του | z - z | ειναι 8, ενω η ελαχιστη 4. 3. Ειναι, | z + 4 + 3i|=| (z - 4 - 3i) + 8 + 6i| και | 8 + 6i|= 82 + 62 = 10. Απ΄τη τριγωνικη ανισοτητα προκυπτει : || z - 4 - 3i| - | 8 + 6i||  | (z - 4 - 3i) + (8 + 6i) |  | z - 4 - 3i| + | 8 + 6i|  |1 - 10 |  | z + 4 + 3i|  1 + 10  9  | z + 4 + 3i|  11.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

314

3. Δινονται οι μιγαδικοι αριθμοι z = f(β) - β 2 i και w = f(α) - α 2 i, οπου f μια συνεχης συναρτηση στο διαστημα [α, β]. Αν | w + z |  | w - z |, τοτε να δειξετε οτι η εξισωση f(x) = 0 εχει τουλαχιστον μια ριζα στο [α, β]. Ειναι | w + z |  | w - z |  | w + z |2  | w - z |2  (w + z)(w + z)  (w - z)(w - z)  (w + z)(w + z)  (w - z)(w - z)  ww + wz + zw + zz  ww - wz - zw + zz  2(zw + zw)  0  zw + zw  0  2Re(zw)  0  Re(zw)  0. Και zw = (f(β) - β2i)(f(α) - α2i) = f(α)f(β) + α2f(β)i - β2f(α)i + α2β2 = = (f(α)f(β) + α2β2 ) + (α2f(β) - β2f(α))i Ετσι Re(zw)  0  f(α)f(β) + α2β2  0  f(α)f(β)  - α2β2  0 (1) Διακρινουμε περιπτωσεις :  Αν f(α)f(β) = 0 τοτε η (1) ισχυει σαν ισοτητα και η εξισωση f(x) = 0 εχει ως ριζα τ ην x = a η x = β, δηλαδη τουλαχιστον μια ριζα στο κλειστο διαστημα [α,β].  Αν f(α)f(β)  0 τοτε η (1) ισχυει σαν γνησια ανισοτητα, οποτε απο θ.Bolzano για την f η εξισωση f(x) = 0 εχει τουλαχιστον μια ριζα στο ανοιχτο διαστημα (α,β). Αρα σε καθε περιπτωση η εξισωση f(x) = 0 εχει τουλαχιστον μια ριζα στο διαστημα [α,β]  (α,β).

4. Δινονται οι συναρτησεις f, g : [0,1]   για τις οποιες ισχυουν :

1. Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο πεδιο ορισμου της με f(0) = e 2 , f(1) = e 4 και για καθε x  [0,1] ισχυει f(x) > 0. 2. g(x) = lnf(x), για καθε x  [0,1]. a. Na aποδειξετε οτι η ευθεια y = 3 τεμνει τη C g σ'ενα τουλαχιστον σημειο Μo (xo ,3) με xo  (0,1).

 1  2  β. Να αποδειξετε οτι υπαρχει ξ  (0,1) τετοιο ωστε f(ξ) = f  f   . 3  3  γ. Αν επιπλεον η συναρτησ η f ειναι παραγωγισιμη στο [0,1] να δειξετε οτι υπαρχει x1  (0,1) τετοιο ωστε να ισχυει f'(x1 ) = 2f(x2 ). α. Θεωρουμε τη συναρτηση h : [0,1]   με h(x) = g(x) - 3.

H h (λογω των γνωστων ιδιοτητων) ειναι συνεχης στο [0,1], και

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

315

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

h(0) = g(0) - 3 = ln(f(0)) - 3 = ln(e 2 ) - 3 = 2 - 3 = -1 < 0 h(1) = g(1) - 3 = ln(f(1)) - 3 = ln(e 4 ) - 3 = 4 - 3 = 1 > 0, oποτε ισχυει το θ.Bolzano για την h και υπαρχει x0  (0,1) τετοιο ωστε να ισχυει h(x0 ) = 0  g(x0 ) - 3 = 0  g(x0 ) = 3,

που σημαινει οτι η ευθεια y = 3 τεμνει τη Cg σ'ενα τουλαχιστον σημειο Μ0 (x0 ,3) με

x0  (0,1). β. Η συναρτηση g : [0,1]   με g(x) = ln(f(x)) ειναι συνεχης στο [0,1] οποτε παρου σιαζει ελαχιστη τιμη, εστω m και μεγιστη, εστω Μ, και : m  g(x)  M για καθε x  [0,1]. 1 2 Eφαρμοζοντας τη πιο πανω σχεση για x = και x = εχουμε διαδοχικα : 3 3    1  1 m  g    M  m  ln  f     M (  )   1   2   3   3   2 m  ln  f    f     2M     3   3  m  g  2   M  m  ln  f  2    M        3   3     1   2  ln  f    f    Θ.Ε.Τ .  3   3  m  M  2 υπαρχει ξ  (0,1) τετοιο ωστε :   1   2    1   2  ln  f    f    ln  f    f     3   3   3   3    ln(f(ξ)) =  g(ξ) =  2 2   1   2    1   2   y = lnx:1-1 2ln(f(ξ)) = ln  f    f     ln(f(ξ))2 = ln  f    f       3   3    3   3 

1 f 2 (ξ) = f  3

 2  f   3

 . 

γ. Για τη συναρτηση g, που ειναι παραγωγισιμη στο [0,1], ισχυει το Θ.Μ.Τ. , αρα υπαρ χει x1  (0,1) τετοιο ωστε : g'(x1 ) = g(1) - g(0)  (ln(f(x1 )))' = ln(f(1)) - ln(f(0)  f'(x1 ) = 4 - 2  f'(x1 ) = 2f(x1 ). f(x1 )

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

f'(x1 ) = ln(e 4 ) - ln(e2 )  f(x1 )

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

316

Εστω η συναρτηση f :    με f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy , x, y   . a. Na δειξετε οτι ισχυει f(x) + f(-x) = 2x 2 ,  x,- x   . β. Να βρεθει ο α > 0, αν lim f(x) = α και lim f(x) = 1 . x a

x- a

γ. Αν ↓ lim = 1, να βρεθει το lim f(x). ↓

δ. Να δειξετε οτι καθε συναρτηση g(x) = x 2 + λx, λ   , επαληθευει την αρχικη συνθηκη. α. Η σχεση f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy (1) αληθευει  x, y  , αρα και για x = y = 0, οποτε f(0 + 0) = f(0) + f(0) + 2  0  0  f(0) = 0. Η σχεση (1) αληθευει  x, y  , αρα και για - x = y, οποτε f(0) = 0

f(x + (-x)) = f(x) + f(-x) + 2  x  (-x)  f(0) = f(x) + f(-x) - 2x2  0 = f(x) + f(- x) - 2x2  f(x) + f(- x) = 2x

β. Αν θεσουμε οπου x = - u τοτε αφου x  a  - x  - a  u  - a, ειναι lim f(x) = α  lim f(-u) = α  lim f(-u) = α  lim [2u2 - f( u)] = α 

xα

u -α

lim f(x) = 1

2a - lim f(u) = α  lim f(u) = 2a - α  lim f(x) = 2a - α 2

u -α

x -α

x  -α



1 = 2a 2 - α 

 1 a = - < 0, απορριπτεται 2a - α - 1 = 0   2 α = 1  2

α>0

γ. Ειναι  x x  x x2   x x  (1) x x lim f(x) = lim f  +  = l im  f   + f   + 2    = lim  2f   +  (2) x4 x4 2 2  x  4 2  2   2 2  x  4  2   2  Αν θεσουμε οπου x = 2u τοτε αφου x  4  u  2, η (2) γινεται : lim f(x) = 1

x 2  (2u) 2  2 lim = lim 2f(u) + = lim (2f(u) + 2u ) =   ↓ x u2 2  u2 

2  1 + 2  2 2 = 10.

δ. Ειναι

g(x + y) = (x + y) 2 + λ (x + y) = x 2 + y 2 + 2 xy + λ x + λy = (x 2 + λ x) + (y 2 + λy) + 2xy = = g(x) + g(y) + 2xy.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

317

6. Εστω συναρτηση f παραγωγισιμη στο  , τετοια ωστε : f'(x)  x   . Να αποδειχτει οτι : α. lim f(x) = +  β.

2x + 5, για καθε x 2+e

x + 

lim f(x) = - 

x - 

γ. Η εξισωση f(x) = 0 εχει μοναδικη πραγματικη ριζα. Aπ'τη δοσμενη σχεση προκυπτει : 2x (x 2 + e)' + 5  f'(x) - (5x)'  0  f'(x) - [ln(x 2 + e)]'- (5x)'  0  2 2 x +e x +e 2 [f(x) - ln(x + e) - (5x)]'  0,  x  . f'(x) 

Δηλαδη η συναρτηση g :   , με g(x) = f(x) - ln(x 2 + e) - 5x ειναι αυξουσα, α φου g'(x)  0,  x  . α. Για x > 0 ειναι:

g(x)  g(0)  f(x) - ln(x 2 + e) - 5x  f(0) - 1  f(x)  ln(x 2 + e) + 5x + f(0) - 1 (1) (1)

Ομως lim [ln(x 2 + e) + 5x + f(0) - 1] = +   lim f(x) = +  . x + 

x+

β. Για x < 0 ειναι: g(x)  g(0)  f( x) - ln(x 2 + e) - 5x  f(0) - 1  f(x)  ln(x 2 + e) + 5x + f(0) - 1 (2) (2)

Ομως lim [ln(x + e) + 5x + f(0) - 1] = -   lim f(x) = -  . 2

x - 

x -

  Bolzano       f(α)f(β) < 0    μια ριζα της εξισωσης f(x) = 0 στο (α,β)  .

Η f ειναι συνεχης στο [α,β]    f(x) = +    β   : f(β) > 0 γ.  x lim +   lim f(x) = -    α   : f(α) < 0   x  -  Υπαρχει τουλαχιστον

2x 5x 2 + 2x + 5e Αφου f'(x)  2 +5 = > 0  f'(x) > 0  f γ.αυξουσα  x +e x2 + e η ριζα ειναι μονα δικη.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

318

7. Εστω μια συναρτηση f συνεχης στο  με f(x)  0,  x   και : 1  f(2011) = 2  f(2013) = 3  f(1)f(2) = f(3)f(4) Να αποδειχτει οτι : α. υπαρχει ξ   , ωστε f(ξ) = 1.

β. υπαρχει x0  [1,2], ωστε f 2 (x0 ) = f(1)f(2). γ. η f δεν αντιστρεφεται. α. Ειναι Η f συνεχης στο [2011,2013] Θ.Ε.Τ .   f(2011)  f(2013) f(2011) < 1 < f(2013) 

Υπαρχει ξ  (2011,2013)   : f(ξ) = 1. β. Θεωρουμε τη συναρτηση g(x) = f 2 (x) - f(1)f(2), x  [1,2]. Ειναι g(1)g(2) = (f 2 (1) - f( 1)f(2))(f 2 (2) - f(1)f(2)) = - f(1)f(2) f(2)]2  0    [f(1) - 0

0

(η f συνεχης και δεν μηδενιζεται στο , αρα διατηρει σταθερο προσημο) Ετσι η f συνεχης στο [1,2] Bolzano τελικα  ζητουμε νο   g(1)g(2) < 0  g(1)g(2) = 0  (g(1) = 0 η g(2) = 0)  ζητουμενο 

Υπαρχει x0  [1,2] :f 2 (x0 ) = f(1)f(2).

γ. Επειδη f(1)f(2) = f(3)f(4), g(x) = f 2 (x) - f(3)f(4), x  [3, 4] και συμφωνα με το (β) : υπαρχει x1  [3, 4] : f 2 (x1 ) = f(3)f(4).

Δηλαδη

f 2 (x0 ) = f 2 (x1 )

f διατηρει



σταθερο προσημο

f(x0 ) = f(x1 )  η f δεν ειναι "1-1" 

η f δεν αντιστρεφεται.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

319

8. Εστω η συναρτηση f(x) = x + e x - 1. a. Na μελετησετε την f ως προς την μονοτονια. β. Να λυσετε την εξισωση e x = 1 - x. γ. Θεωρουμε τη γνησιως μονοτονη συναρτηση g :    , που για καθε x   , ικα νοποιει τη σχε ση g(x) + e g(x) = 2x + 1. 1. Να αποδειχτει οτι η g ειναι γνησιως αυξουσα. 2. Να αποδειχτει οτι g(0) = 0. δ . Να λυσετε την ανισωση (g  f)(x) > 0. ε. Να αποδειχτει οτι η f αντιστρεφεται και η Cf - 1 διερχ εται απ'το σημειο Μ(e,1).

a. Για καθε x  , ειναι f'(x) = (x + e x - 1)' = 1 + e x > 0, αρα η f γν.αυξουσα στο . β. Ειναι e x = 1 - x  x + e x - 1 = 0  f(x) = 0, με προφανη λυση την x = 0, που ειναι μοναδικη, αφου η f γν.αυξουσα  η f ειναι "1 - 1". γ. 1. Εστω οτι η g δεν ειναι γνησιως αυξουσα. Τοτε θα υπαρχουν x1 , x2  Αg με x1 < x2 : g(x1 )  g(x2 ) (+) g(x ) g(x )  g(x1 ) + e 1  g(x2 ) + e 2  2x1 + 1  2x2 + 1  x1  x2 ατοπο.  g(x 1 ) g(x 2 ) e e Αρα η g ειναι γνησιως αυξ ουσα. 2. Για x = 0, η δοσμενη σχεση δινει : g(0) + e g(0) = 1, με προφανη λυση την g(0) = 0, που ειναι μοναδικη, αφου η g ειναι γν.αυξουσα  η f ειναι "1 - 1". g

f

δ. (g  f)(x) > 0  g(f(x)) > 0  g(f(x)) > g(0)  f( x) > 0  f(x) > f(0)  x > 0. ε. Η f γν.αυξουσα  η f ειναι "1 - 1"  η f αντιστρεφεται. Το σημειο Μ  Cf-1 αν και μονο αν, το συμμετρικο του σημειου Μ ως προς την y=x aνηκει στην Cf , δηλαδη (1,e)  Cf , που ισχυει , αφου: e = 1 + e1 - 1.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

320

9. Εστω η συναρτηση f :  *   με f(x)  0,  x   * που ειναι "1 - 1" και ισχυει 1 f -1 (x) = ,  x  0. f(x) Αν η f ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα Δ = (0,+  ), τοτε : 1  1 α. Να αποδειχτει οτι f(f(x)) = και f(x)f   = 1,  x  0. x x  β. Να αποδειχτει οτι f(1) = - 1 και f(- 1) = 1. γ. Να αποδειχτει οτι η εξισωση f - 1 (x) = x ειναι αδυνατη. δ. Αν η f ειναι συνεχης, να αποδειχτει οτι : 1. f(x) < 0,  x > 0 και f(x) > 0,  x < 0 . 2. Η f δεν μπορει να ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα (-  ,0). 1 ,  x  0. f(x) 1 1 1 x=  f(f(x)) =  Για x = f(x) : f-1 (f(x)) = x f(f(x)) f(f(x))    1  1 1   1  1  f(x)f  Για x = : f  f    = x  f-1  f  f     = f-1 (x)  f   =   x   x  x x f(x)       

α. Ειναι f - 1 (x) =

1  x

 = 1 

1 1 β. Ειναι f(x) f   = 1 και f(f(x)) = ,  x  0. x x  Για x = 1 : f(1)f(1) = 1  f(1) =  1 1 Αν f(1) = 1  f -1 (1) = = 1  f -1 (1) = 1. Ομως η f γν.αυξουσα στο (0,+ ) και f(1) 1 x > 1  f(x) > f(1)  f(x) > 1  < 1  f-1 (x) < 1  ατοπο, αρα f(1) = -1 . f(x) f : 1-1 1  Για x = - 1 : f(f(-1)) =  f(f(- 1)) = - 1  f(f(- 1)) = f(1)  f(- 1) = 1 . -1 γ. Η f γν.αυξουσα στο (0,+ ) και για x  0 ειναι : f -1 (x) = f(x), ετσι : 1 1 1 1 f-1 (x) = x  f(x) = x  =  f -1 (x) =  = x  x =  1 f(x) x x x  Α ν x = -1  f(-1) = -1  ατοπο αφου f(-1) = 1. -1   f (x) = x ειναι αδυνατη .  Αν x = 1  f(1) = 1  ατοπο αφου f(1) = -1.  δ. 1. Η f ειναι συνεχης και δεν μηδενιζεται στο (0,+ ), διατηρει σταθερο προσημο. f(1) = -1 < 0, οποτε f(x) < 0 ,  x > 0.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

321

Η f ειναι συνεχης και δεν μηδενιζεται στο (- ,0), διατηρει σταθερο προσημο. f(- 1) = 1 > 0, οποτε f(x) > 0 ,  x < 0. 2. Εστω οτι η f ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα (- ,0), τοτε  x1, x2  (-,0): x1 < x2  f(x1 ) < f(x2 )  ρει τη μονοτονια της f.

1 1 >  f-1 (x1 ) > f-1 (x2 ) ατοπο αφου f -1 διατη f(x1 ) f(x2 )

10.

Δινεται η συνεχης και γνησιως φθινουσα συναρτηση f :    . x+1 Αν ↓lim = 1, τοτε : x 1 f(x + 1) α. Να αποδειχτει οτι η Cf διερχεται απ'την αρχη των αξονων.

f(ημx) . x0 x γ. Να αποδειχτει οτι η Cf τεμνει την ευθεια y = x + 1 σε ενα ακριβως σημειο (x0 , y0 ) β. Να βρεθει το lim με x0  (0,1).

u=x +1 x +1 u =1  lim = 1 (1) x  - 1  u  0 u  0 f(u) x  - 1 f(x + 1) u (1)  lim g(u) = 1 (2) Θεωρουμε τη συναρτηση g(u) = f(u) u  0

α. Ειναι, lim

(2 )

lim [g(u)  f(u)] = lim u  lim g(u)  lim f(u) = 0  lim f(u) = 0 και αφου η f ειναι

u0

συνεχης, ισχυει f(0) = 0, δηλαδη η Cf διερχεται απ'το Ο(0, 0).

f(ημx) x  0 ημx

β. Ειναι, lim

u = ημx

f(u) = u 0 u lim

(1)

1 =1 1

u u  0 f(u)  f(ημx) ημx  f( ημx) f(ημx) ημx Eτσι, lim = lim   = lim  lim = 1  1 = 1.  x0 x 0 x x  x  0 ημx x  0 x  ημx x  0 u  0

lim

γ. Θεωρουμε τη συναρτηση h(x) = f(x) - x + 1, x  .

Η h συνεχης στο [0,1] Βolzano  ( α)  h(0) = f(0) - 0 + 1 = 1 > 0  h(x) = 0 μια τουλαχιστον ριζα στο (0,1).  h(1) = f(1) - 1 + 1 = f(1) < 0 (α)

(f γν.φθινουσα : 1 > 0  f(1) < f(0)  f(1) < 0). Για x1 , x2  (0,1) με x1 < x2 ισχυουν : f(x1 ) > f(x2 ) (  )  f(x1 ) - x1 + 1 > f(x2 ) - x2 + 1  h(x1 ) > h(x2 )  h γν.φθινουσα  -x1 + 1 > -x2 + 1 στο (0,1) οποτε η ριζα της h(x) = 0 ειναι μοναδικη.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

322

11. Eστω συνεχης συναρτηση f :    , με f 2 (x) = x 6 ,  x   . a. Na λυσετε την εξισωση f(x) = 0. β. Να αποδειχτει οτι η f διατηρει σταθερο προσημο σε καθενα απ'τα διαστηματα (-  ,0) και (0,+  ). γ. Αν f(- 2) > 0 και f(2) < 0, να αποδειχτει οτι f(x) = - x 3 . δ. Να αποδειχτει οτι η f αντιστρεφεται και να ορισετε την f ε. Να βρειτε τα κοινα σημεια των Cf και Cf - 1 .

-1

a. f(x) = 0  f 2 (x) = 0  x 6 = 0  x = 0 . β. Η f στο (- , 0) ειναι συνεχης και δεν μηδενιζεται, αρα διατηρει σταθερο προσημο. Η f στο (0, + ) ειναι συνεχης και δεν μηδενιζεται, αρα διατηρει σταθερο προσημο. Οπ οτε η f διατηρει σταθερο προσημο σε καθενα απ'τα διαστηματα (- , 0), (0, + ). γ. Eιναι  Η f διατηρει σταθερο προσημο στο (- , 0) και f(- 2) > 0, αρα f(x) > 0, x  (- , 0). Ετσι : f 2 (x) = x 6  f(x) = - x 3,  x  (- , 0] (αφου f(0) = 0 και x < 0).  Η f διατηρει σταθερο προσημο στο (0, + ) και f(2) < 0, αρα f(x) < 0, x  (0, + ). Ετσι : f 2 (x) = x 6  f(x) = - x 3,  x  (0, + ] (αφου f(0) = 0 και x > 0). Τελικα, f( x) = - x 3,  x  .

δ. Για x 1 , x 2   με f(x1 ) = f(x 2 ) εχουμε : - x 13 = - x 23  x 13 = x 23  x 1 = x 2 . Δηλαδη η f ειναι "1 - 1" στο , οποτε αντιστρεφεται. Ειναι

 3 - y, y < 0 - 3 -y, y < 0 y = f(x)  y = - x  (- x) = y  -x =  x=  3 y, y  0 - 3 y, y  0  3 -y, y < 0 y = x 3 - x , x < 0 -1 -1 f (y) =   f (x) =  3 - 3 y, y  0 - x , x  0 3

x = f -1 (y)



ε. Ειναι 3 3  y = f(x)  y = f(x)  y = f(x)  y = - x  y = - x           -1 -1 3 3 3 f(y) = x x = - y x + y = - x - y  y = f (x) f(y) = f(f (x)) y = - x 3 3  y = - x 3  y = - x 3   y = - x 2 2  (x + y)(x - xy + y + 1) = 0      3 3   x + y = 0  y = - x x + y + x + y = 0 0  3 x - x = 0 x(x + 1)(x - 1) = 0   (x, y) = (0 , 0),(- 1,1),(1,- 1).   y = - x  y = -x

Eτσι τα κοινα σημεια των C f και C f -1 ειναι : Ο(0, 0), Α(- 1,1), Β(1, - 1).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

323

12. Eστω συνεχης συναρτηση f :    , με f(0) = 2 που  x   ικανοποιει τη σχεση

f(f(x)) + 4f(x) = 6 - x 4 (1). a. Na βρειτε τις τιμες f(2) και f(- 2).

β. Να αποδειχτει οτι f(- 2 ) = f( 2 ) = 0. x 4 + 4f(x) - 5 γ. Αν lim = - 4, να βρειτε το lim f(f(x)). ↓ ↓ x 1 x 1 x -1 δ. Να αποδειχτει οτι η εξισωση f(f(x)) + 1 = 0 εχει δυο τουλαχιστον ριζες στο δια στημα (- 2 , 2 ). f(0) = 2

a. Για x = 0 η (1) : f(f(0)) + 4f(0) = 6  f(2) + 4  2 = 6  f(2) = - 2. Για x = 2 η (1) : f(f(2)) + 4f(2) = 6 - 24

f(2) = - 2

 f(-2) + 4  (-2) = 6 - 16  f(- 2) = - 2.

β. Ειναι f(-2) = -2 < 0 < 2 = f(0) και f συνεχης στο [- 2,0], επομενως α πο Θ.Ε.Τ. υπαρχει τουλαχιστον ενα x0  (-2, 0), ωστε f(x0 ) = 0. Για x = x0 η (1) : f(f(x0 )) + 4f(x0 ) = 6 - x0 4  f(0) + 4  0 = 6 - x0 4  2 = 6 - x0 4  x0 =  2, επειδη ομως x0  (-2, 0)  x0 = - 2 και f(- 2 ) = 0.

Ειναι f(2) = -2 < 0 < 2 = f (0) και f συνεχης στο [0,2], επομενως απο Θ.Ε.Τ. υπαρχει τουλαχιστον ενα x1  (0,2), ωστε f(x1 ) = 0.

Για x = x1 η (1) : f(f(x1 )) + 4f(x1 ) = 6 - x14  f(0) + 4  0 = 6 - x1 4  2 = 6 - x1 4  x1 =  2, επειδη ομως x1  (0,2)  x1 = 2 και f( 2 ) = 0. (x - 1)g(x) - x 4 + 5 x 4 + 4f(x) - 5 , x  1  f(x) = (2) x -1 4 (x - 1)g(x) - x 4 + 5 Ειναι lim g(x) = -4  lim f(x) = lim = 1 και x 1 x 1 x 1 4 u = f(x) lim f(f(x)) = lim f(u) = 1 . ↓

γ. Eστω η συναρτηση g(x) =

x 1  u 1

u1

δ. Θεωρουμε τη συναρτηση h(x)= f(f(x)) + 1,  x  ,

Η h συνεχης στο [- 2, 0] Βolzano   h(- 2) = f(f(- 2)) + 1 = f(0) + 1 = 2 + 1 > 0  f(f(x)) + 1 = 0 μια ριζα στο (- 2, 0).  h(0) = f(f(0)) + 1 = f(2) + 1 = -2 + 1 < 0 Η h συν εχης στο [0, 2] Βolzano   f(f(x)) + 1 = 0 μια ριζα στο (0, 2). h(0) = f(f(0)) + 1 = f(2) + 1 = -2 + 1 < 0  h( 2) = f(f( 2)) + 1 = f(0) + 1 = 2 + 1 > 0

Τελικα, η f(f(x)) + 1 = 0 εχει δυο τουλαχιστον ριζες στο (- 2, 2).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

324

13. Eστω συναρτηση f παραγωγισιμη στο  , με f 3 (x) + 3f(x) = x 5 + x + 1 (1),  x   . Να αποδειχτει οτι : α. Η f ειναι γν.αυξουσα στο  . β. Η εξισωση f(x) = 0 εχει μοναδικη ριζα ρ  (- 1,0). γ. Η f αντιστρεφεται. δ. Τ ο σημειο Ν(0, ρ)  Cf -1 . ε. Η εξισωση f(x) = f -1 (x) εχει μια τουλαχιστον ριζα στο (0,1).

α. Oι f, f 3 , x 5 + x + 1 ειναι παραγωγισιμες στο . Ετσι παραγωγιζοντας την (1): 3f 2 (x)f'(x) + 3f'(x) = 5x 4 + 1  3(f 2 (x) + 1)f'(x) = 5x 4 + 1  f'(x) =

5x 4 + 1 > 0, x  . Αρα η f ειναι γν.αυξουσα στο . 3(f 2 (x) + 1)

β . Για καθε x  , ειναι f 3 (x) + 3f(x) = x 5 + x + 1  f(x)(f 2 (x) + 3) = x 5 + x + 1  f(x) =

x5 + x +1 (2) f 2 (x) + 3

f ειναι συνεχης στο [- 1, 0]  -1 f(-1) = Bolzano <0  2  Η f(x) = 0 εχει μια ριζα στο (-1, 0), που f (x) + 3   f(-1)f(0) < 0  1 f(0) = 2 >0 f (x) + 3 

ειναι μοναδικη, αφου η f ειναι γν.αυξουσα στο .

γ. Η f ειναι γν.αυξουσα στο , οποτε "1-1", αρα αντιστρεφεται. δ. Αν ρ η ριζα της f(x) = 0 τοτε f(ρ) = 0  Μ(ρ, 0)  Cf  Ν(0,ρ)  Cf-1 . ε. Αν f ειναι γν.αυξουσα στο , τοτε f(x) = f-1 (x)  f(x) = x,  x  [0,1]. Θεωρουμε τη συναρτηση g(x) = f(x) = x. g ειναι συνεχης στο [0,1]  (2) 3 g(1) = f(1) - 1 = Bolzano -1 < 0  2  f (x) + 3   f(-1 )f(0) < 0   (2) 1 g(0) = f(0) - 0 = >0 2  f (x) + 3 Η εξισωση f(x) = f-1 (x) εχει μια τουλαχιστον ριζα στο (0,1).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

325

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

14. Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο α   , τοτε :

α 2f(x) - x 2f(α) = α 2f'(α) - 2αf(α). x α x-α β. Αν επιπλεον η g ειναι παραγωγισιμη στο α   , να βρεθει το : g(α)f(x) - g (x)f(α) lim x α x-α

α. Να αποδειχτει οτι : lim

f(x) - f(α) = f'(α) xα x-α Αφου f συνεχης στο α  , τοτε:lim f(x) = f(α)

α. Αφου f παραγωγισιμη στο α  , τοτε: lim x α

Ετσι

α 2f(x) - x 2f(α) α 2f(x) - x 2f(x) + x 2f(x) - x 2f(α) = lim = x α xα x-α x-α - (x - a)(x + a)f(x) + x 2 (f(x) - f(α)) = lim = xα x-α (x - a)(x + a)f(x) x 2 (f(x) - f(α)) = - lim + lim = xα xα x-α x-α f(x) - f(α) = - lim (x + a)  lim f(x) + lim x 2  lim = xα xα xα xα x-α = - (a + a)  f(α) + a 2  f'(α) = lim

= a 2  f'(α) - 2a  f(α) g(x) - g(α) = g'(α) xα x-α Αφου g συνεχης στο α  , τοτε: lim g(x) = g(α)

β. Αφου g παραγωγισιμη στο α  , τοτε: lim xα

Ετσι

lim

x α

g(α)f(x) - g(x)f(α) g(α)f(x) - g(x)f(x) + g(x)f(x) - g(x)f(α) = lim = xα x-α x-α - f(x)(g(x) - g(α)) + g(x)(f(x) - f(α)) = lim = xα x-α - f(x)(g(x) - g(α)) g(x)(f(x) - f(α)) = - lim + lim = xα xα x-α x-α lim (g(x) - g(α)) f(x) - f(α) xα = - lim f(x)  + lim g(x)  lim =   xα x α x α x-α x-α = - f(α)  g'(α) + g(α)  f'(α)

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

326

15.

Δινεται η συναρτηση f :    , που εχει συνεχη παραγωγο στο  και ισχυει : ex  f'(x)  x + 2,  x   f(0) = ln2 e +1 Να αποδειξετε οτι : α. lim f(x) = +  και lim f(x) = -  . x + 

x - 

β. Η f δεν παρουσιαζει ακρ οτατα. γ. Η Cf τεμνει τον αξονα x'x σε ακριβως ενα σημειο. α. Η δοσμενη ανισοτητα δινει : f'(x) 

+ 2  f'(x) -

(e x + 1)' - (2x)'  0  e x +1 + 1) - 2x)'  0, x   .

- 2  0  f'(x) -

e x +1 e x +1 x f'(x) - (ln(e + 1))'- (2x)'  0  (f(x) - ln(e

Aρα για τη συναρτηση h :    , με h(x) = f(x) - ln(e x + 1) - 2x, ειναι f'(x)  0, x   , που σημαινει οτι η h ειναι αυξουσα στο . 

h(0) = 0

Για x  0  h(x)  h(0)  h(x)  0  f(x) - ln(e x + 1) - 2x  0  f(x)  ln(e x + 1) + 2x  0,  x  [0, + )

(1)

Επειδη lim (ln(e x + 1) + 2x) = + και η f εχει οριο οταν x  +, aπ'την (1) x + 

προκυπτει : 

lim f(x) = +  .

x + 

h(0) = 0

Για x < 0  h(x) < h(0)  h(x) < 0  f(x) - ln(e x + 1) - 2x < 0  f(x) < ln(e x + 1) + 2x, x  (- , 0)

(2)

Επ ειδη lim (ln(e + 1) + 2x) = ln1 + 2  (- ) = -  και η f εχει οριο οταν x  - , x

x - 

lim f(x) = -  .

aπ'την (2) προκυπτει :

x - 

β. Αφου η f ειναι παντου παραγωγισιμη σε ανοιχτο διαστημα, μοναδικα σημεια για θεση πιθανου ακροτατου ειναι τα στασιμα της σημεια, αν υπαρχουν. Εστω x0  , θεση ακροτατου της f, οποτε f'(x0 ) = 0 και η δοσμενη ανισοτητα δινει : f'(x0 )  ακροτατα.

e e

f'(x0 ) = 0



e e

+ 2  0, ατοπο, δηλαδη η f δεν παρουσιαζει

γ. Επειδη lim f(x) = +  και lim f(x) = - ,η f ικανοποιει τις υποθεσεις του θ. x+

x -

Bolzano σε καποιο διαστημα [α,β]  . Αρα η εξισωση f(x) = 0 εχει τουλαχιστον μια ριζα στο . Απ'τη δοσμενη σχεση ομως προκυπτει οτι f'(x) > 0, δηλαδη η f γνησια αυξουσα, που διασφαλιζει την μοναδικοτητα της ριζας, η με αλλα λογια η Cf τεμνει τον αξονα x'x τ ο πολυ σ'ενα σημειο.

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

327

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

16. Εστω η συναρτηση f ορισμενη και συνεχης στο (0,+  ) τετοια ωστε : x tf(t) xf(x) - 1 =  dt , x > 0. e x α. Να βρεθει ο τυπος της f. 1 β. Να αποδειχτει οτι f(x)  ,  x > 0. e α. Στο ολοκληρωμα το x ειναι σταθερα (μεταβλητη ο t). Ετσι η δοσμενη σχεση αν πολλαπλασιαστει επι x δινει: xf(x) - 1 = 

x  1 x  tf(t) dt  =  tf(t) dt   x 2f(x) - x =  tf(t) dt, x > 0. e x  x e 

Απ'τη τελευταια σ χεση προκυπτει οτι η f παραγωγιζεται στο (0,+ ). Ετσι x

(x 2f(x) - x)' = (  tf(t) dt)'  2xf(x) + x 2f'(x) - 1 = xf(x)  e

1 1 x>0 f(x) + xf'(x) =  (x)'f(x) + xf'(x) =  (xf(x))' = (lnx)'  x x (1) xf(x) = lnx + c, x > 0. δοσμενη σχεση δινει : ef(e) - 1 = 0 Για x = e, η   (1) δινει:ef(e) = 1 + c  ef(e) - 1 = c c = 0 και η (1) γινεται: x>0

xf(x) = lnx  f(x) =

lnx , x > 0. x

β. Ειναι  lnx  1 - lnx f'(x) =  ,x>0 ' = x2  x  f'(x) = 0  x = e f γν. αυξουσα στο (0,e)   f'(x) > 0  x < e  f γν. φθινουσα στο (e,+ ) f'(x) < 0  x > e στο x = e  ολικο μεγιστο  

Συνεπως

f(x)  f(e), x > 0  f(x) 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

1 ,  x > 0. e

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

328

17. Εστω η συναρτηση f : (0,+  )  (0,+  ) συνεχης και η συναρτηση x

0 tf(t) dt . x 0 f(t) dt

g : (0,+  )  (0,+  ) με g(x) =

Να αποδειχτει οτι : a. g(x)  x,  x > 0. β. Η g ειναι αυξουσα στο (0,+  ). a. Ειναι

 x f(t) dt > 0 f(x) > 0  f(A) = (0, + )   ,  x > 0   0x , x > 0 xf(x) > 0   tf(t) dt > 0 0 Eστω οτι υπαρχει x0  (0, + ) τετοιο ωστε g(x0 ) = 0. Τοτε x0

 g(x ) = 0  

tf(t) dt

f(t) dt



=0

(1)

tf(t) dt = 0, ατοπο λογω της (1).

Αρα g(x)  x ,  x > 0. Αλλιως x0

g(x)  x 

 



tf(t) dt f(t) dt



x

tf(t) dt - xf(t) dt  0 



που αληθευει.

tf(t) dt  x  f(t) dt  0

(t - x)f(t) dt  0  t - x  0  t  x

β. Η g ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ) με : '

 x tf(t) dt  ( x tf(t) dt)' x f(t) dt - x tf(t) dt( x f(t) dt)'  0 0 0  = 0 g'(x) =  0 x = x     f(t) dt  (  f(t) dt) 2 0  0  x

xf(x)  f(t) dt - f(x)  tf(t) dt 0

(  f(t) dt)

f(x)(x  f(t) dt - g(x)  f(t) dt) (  f(t) dt) 0

(  f(t) dt)

f(x)(x  f(t) dt -  tf(t) dt)

f(x)  f(t) dt x

(  f(t) dt) 2

 (x - g(x)).

Aπο την (1) και το ερωτημα (α) προκυπτει: g'(x)  0 ,  x > 0 που σ ημαινει οτι η g ειναι αυξουσα στο (0, + ).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

329

18. Εστω οι συναρτησεις f, g :    με : f(x) = e x , g(x) = - x 2 - x. a. Nα αποδειξετε οτι η εφαπτομενη της Cf στο σημειο Α(0,1) εφαπτεται και στην C g . β. Να δειξετε οτι υπαρχει ακριβως ενα α  (- 1,0) τετοιο ωστε : e a + 2a + 1 = 0. γ. Θεωρουμε τη συναρτηση h :    με : h(x) = f(x) - g(x). Να δειξετε οτι : 1. h(x)  α 2 - α - 1,  x   . 2. Η εξισωση h(x) = 2012 εχει ακριβως δυο λυσεις. α. Η εφαπτομενη της Cf στο Α(0,1) εχει εξισωση (ε) : y = x + 1.

Oι εφαπτομενες της Cg στο Β(x0 , g(x0 )) δινονται απ'τον τυπο : (ε') : y - g(x0 ) = g'(x0 )(x - x0 ).

Για να ειναι η (ε) εφαπτομενη στην Cg αρκει να υ παρχει x0   τετοιο ωστε : g'(x0 ) = 1 g'(x ) = 1 g'(x0 ) = 1  20   x0 = - 1  2 - x0 - x0 - x0 = 1 (x0 + 1) = 0 g(x0 ) - x0 g'(x0 ) = 1 οποτε η (ε) εφαπτεται στη στο σημειο Β(- 1, g(- 1)). β. Θεωρουμε τη συναρτηση φ(x) = e x + 2x + 1. 1  2(1 - e) < 0 και φ΄(x) = e x + 2 > 0. Eιναι : φ(- 1)φ(0) =  - 1   2 = e e  Οποτε απο θ.Bolzano και απο το οτι η φ(x) ειναι γν.αυξουσα, υπαρχει μοναδικο α  (-1 , 0) τετοιο ωστε : φ(α) = 0  e α + 2α + 1 = 0 . γ. 1. Ε ιναι h(x) = f(x) - g(x) = e x + x 2 + x και h'(x) = e x + 2x + 1, οποτε  h'(α) = 0  h'(x) > 0,  x > a  (η h(x) εχει ελαχιστο για x = a)  h(x)  h(α)  h'(x) < 0,  x < a  h(x)  e + α + α α

e α + 2α + 1 = 0



h(x)  - 2α - 1 + α 2 + α  h( x)  α 2 - α - 1 ,  x  .

2. Ειναι h(x) = 2012  e x + x 2 + x - 2012 = 0. Θεωρουμε Η(x) = e x + x 2 + x - 2012, οποτε Η(0) = - 2012 < 0, lim Η(x) = +  και x +  x 2

lim Η(x) = lim (e + x + x - 2012) = lim e x + lim (x 2 + x - 2012) = + 

x - 

x -

Αρα η Η(x) = 0 εχει τουλαχιστον απο μια ριζα στα διαστηματα (- , 0),(0, + ). Εστω οτι υπαρχει και τριτη ριζα. Θα πρεπει να ισχυει Η"(x) = 0. Ομως, Η"(x) = e x + 2  0,  x  .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

330

19. π/4

Αν Ι ν =

0

εφ ν x dx, τοτε για καθε ν > 2,

 να αποδειξετε οτι ισχυει Ι ν =

 Ιν = 

π/4

εφ x dx =  ν

π/4

=

π/4

=

π/4

εφ

ν-2

1 - Ι ν-2 ν-1

xεφ x dx =  2

π/4

 να υπολογισετε το Ι 5

εφ

ν-2

2 π/4 ημ2x ν-2 1 - συν x x dx =  εφ x dx = 0 συν2x συν2x

π/4 π/4  1  1 εφ ν-2x  - 1  dx =  εφ ν-2x dx -  εφ ν-2x dx = 2 2 0 0 συν x  συν x  π/4

εφ

ν-2

x(εφx)' dx - Ι ν-2

1 - Ι ν -2 . ν -1  Ειναι

 εφ ν-1x  =   ν - 1 0

- Ι ν-2 =

 1  ν-1  π  ν-1  εφ   - εφ (0)  - Ι ν-2 = ν -1 4 

π/4 (συνx)' ημx dx =  dx = - [ ln | συνx | ] 0π/4 = 0 0 0 συνx συνx π 2 = - ln | συν | + ln | συν0 | = - ln . 4 2 π/4 1 1 1 2  Ι3 = - Ι 1 = -  εφx dx = + ln 0 3-1 2 2 2 Eτσι

 Ι1 = 

Ι5 =

π/4

εφx dx =

π/4

1 1 1 2 1 1 2 1 2 = - - ln . - Ι 3 = -  + ln  = - - ln 5 -1 4  2 2  4 2 2 2 2

20. (x - 1)e 2x-3 1 (x - 1)e 2x -3 + 2 - x dx . 2 2-x α. Να αποδειχτει οτι Ι =  dx . 1 (x - 1)e 2x-3 + 2 - x β. Να υπολογιστει το ολοκληρωμα Ι. Δινεται το ολοκληρωμα Ι =

x = 1  y = 2 α. Θετουμε x = 3 - y, οποτε dx = - dy και νεα ακρα:  . x = 2  y = 1 Ετσι :

Ι =

2 (3 - y - 1)e 2(3-y)-3 (x - 1)e 2x-3 dx = 1 (3 - y - 1)e 2(3-y)-3 + 2 - (3 - y) (- dy) = (x - 1)e 2x-3 + 2 - x

2 (2 - y)e 3-2y (2 - y)e 3-2y = - (dy) =  dy = 2 1 (2 - y)e 3-2y + y - 1 (2 - y)e 3-2y + y - 1 1

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

331 .e (2 - x)e 3-2x = dx = 1 (2 - x)e 3-2x + x - 1 2 2-x dx . = 1 (x - 1)e 2x-3 + 2 - x

2x-3



(2 - x)e 3-2x e 2x-3 dx = [(2 - x)e 3-2x + x - 1]e 2x-3

2 (x - 1)e 2x-3 2-x dx + 1 (x - 1)e 2x-3 + 2 - x 1 (x - 1)e 2x-3 + 2 - x dx = 2x-3 2 (x - 1)e 2 +2-x = dx =  1 dx = 1. 2x-3 1 1 (x - 1)e +2-x

(α)

β. 2 Ι =

Αρα 2 Ι = 1  Ι =

1 . 2

21. Εστω f συνεχης συναρτηση στο  και α < β. β

α f(x + t) dt  α f(x) dx , για καθε, x   , τοτε : x+β β α. Να αποδειχτει οτι  f(t) dt   f(x) dx , για καθε, x   . x+α α β β β. Να βρεθει η παραγωγος της συναρτησης : g(x) =  f(x + t) dt -  f(x) dx . α α

Αν

t = a  y = x + α α. Θετουμε x + t = y, οποτε dt = dy και νεα ακρα:  . t = β  y = x + β Ετσι :



f(x + t) dt = 

x+β

x+α

Ομως β

f(y) dy = 

x+β

x+α

f(t) dt

 f(x + t) dt   f(x) dx, οποτε και x+ β β f(t) dt  x+ α α f(x) dx , για καθε, x   . β

α 0

α x+β

β. g(x) =  f(x + t) dt -  f(x) dx =  =

f(t) dt + 

=

f(t) dt - 

x+α x+β 0

g'(x) =



0 x+α 0

x+β

x+α

f(t) dt -  f(x) dx = α

f(t) dt -  f(x) dx = α β

f(t) dt -  f(x) dx.

 

f(t) dt '-

x+β

x+α

   f(x) dx' =

f(t) dt '-

= f(x + β)(x + β)'- f(x + α)(x + α)' = = f(x + β) - f(x + α) , για καθε, x   .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

332

22. Eστω η συναρτηση f : [α, β]   , που ειναι συνεχης στο [α, β]. Υποθετουμε οτι f(α)  f(β)  0 και θεωρουμε τη συναρτηση F : [α, β]   , τετοια β

ωστε για καθε x   να ειναι : F(x) = (x - a)  f(u) du + (x - β)  f(u) du . x

Να αποδειχτει οτι υπαρχει ξ  (α, β) τετοιο ωστε :

a f(u) du = f(ξ)(α - β).

Ειναι β

F(x) = (x - a)  f(u) du + (x - β) f(u) du = -(x - a)  f(u) du + (x - β) f(u) du β

Συμφωνα με το θεμελιωδες θεωρημα ολοκληρωτικου λογισμου, η F ειναι παραγωγισιμη στο [α,β] με :

  =  - (x - a)  f(u) du '+  (x - β) f(u) du ' = x

F'(x) = - (x - a)  f(u) du + (x - β)  f(u ) du ' = β

= - (x - a)' f(u) du - (x - a)(  f(u) du)'+ (x - β)' f(u) du + (x - β)(  f(u) du)' = β

= -  f(u) du - (x - a)f(x) +  f(u) du + (x - β)f(x) = β

  f(u) du +  f(u) du + (α - β)f(x) = x

=  f(u) du + (α - β)f(x), x  [α,β]

Ακομη

(1)

F ειναι συνεχης στο [α,β]  F ειναι παραγωγισιμη στο (α,β) Rolle   F(α) = (α - a) β f(u) du + (α - β) α f(u) du = 0 x a   F(α) = F(β) β β   F(β) = (β a ) f(u) du + (β β) f(u) du = 0  β a υπαρχει ξ  (α,β) τετοιο ωστε : (1)

F'(ξ) = 0   f(u) du + (α - β)f(ξ) = 0  β



f(u) du = -(α - β)f(ξ) 

a f(u) du = f(ξ)(β - α).

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

333

23. Εστω η παραγωγισιμη στο  συναρτηση f που ικανοποιει τη σχεση : x e x+1 +  e -tf(x - t) dt ,  x   . 0 2 α. Να αποδειχτει οτι lim f(x) = +  .

f(x) =

x + 

β. Να βρεθει το εμβαδον του καμπυλογραμμου χωριου που περικλει εται απο την Cf , τον αξονα x'x και τις ευθειες x = 1 και x = 2. α. Για u = x - t  du = - dt και για t = 0, x  u = x, 0 αντιστοιχα. Επομενως



e -t f(x - t) dt =  e

u-x

f(x) =

x+1

f(u) du = e -x  e uf(u) du, και x

+ e -x  e uf(u) du, x  

(1)

2 Η f ειναι παραγωγισιμη σ'ο λο το , με x





0 0 0  e x+1   e x+1  -x u f'(x) =  + e  e f(u) du ' =  ' + (e -x )'  e uf(u) du + e -x  e uf(u) du ' =  x x x  2   2  (1) 0 0 e x+1 e x+1 = - e -x  e uf(u) du + e -x e x f(x) = - e -x  e uf(u) du + f(x) = x x 2 2 0 0 e x+1 e x+1 = - e -x  e uf(u) du + + e -x  e uf(u) du = e x+1 = (e x+1 )'  x x 2 2 x+1 (2) f(x) = e + c, x  

 e e H (1) για x = 0 δινει : f(0) =  c = - , x   2  2 H (2) για x = 0 δινει : f(0) = e + c 

e , x   και 2 e lim f(x) = lim (e x+1 - ) = +  x +  x+ 2

Επομενως : f(x) = e

x +1

β. Το ζητουμενο εμβαδον ειναι : 2

Ε =  | f(x) | dx = 

e e x+1 - dx 2

x+1

e 2



2  x+1 e  e  x+1  e -  dx = 1  e - x ' dx = 2 2   

 e  e = e x+1 - x  = e 3 - e 2 - . 2 1 2 

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

334

24. Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο [1, 5] και f(x) > 0,  x  [1, 5] . Να αποδειξετε οτι υπαρχει γ  (1, 5) τετοιο ωστε : 3

2  f(x) dx + 3  f(x) dx = 0 (1). Εστω F μια αρχικη της f στο [1, 5], τοτε :



f(x) dx = F(3) - F(γ) και



f(x) dx = F(4) - F(γ).

Οποτε η (1) : 2(F(3) - F(γ)) + 3(F(4) - F(γ)) = 0  2F(3) + 3F(4) - 5F(γ) = 0  F(γ) = Απο Θ.Ε.Τ. αρκει να δειξουμε οτι η τιμη

2F(3) + 3F(4) 5

2F(3) + 3F(4) βρισκεται αναμεσα στις 5

τιμες F(1) και F(5). Πραγματι F'(x) = f(x) > 0,  x  [1, 5], αρα η F ειναι γνησια αυξουσα στο [1, 5] .

1 < 3 < 5  F(1) < F(3) < F(5)  2F(1) < 2F(3) < 2F(5) (  ) 2F(3) + 3F(4)  F(1) < < F(5).  5 1 < 4 < 5  F(1) < F(4) < F(5 )  3F(1) < 3F(4) < 3F(5) : 5

25. Δινεται η συναρτηση f με την f”(x) συνεχη στο  ωστε να ισχυουν: x

0 (t

+ 3)  f"(t)dt = 2  t  f'(t)dt x

3 4

0 x t

 f(x)dt (1) για καθε x   και

1 . 3 α) Να βρειτε τη συναρτηση f.

f(0) = 0 , f΄(0) =

β) Αν Ε(λ) το εμβαδο του χωριου που περικλειεται απο την Cf , τον x΄x και τις ευθειες x = 0 και x = λ > 0 , να βρειτε το ρυθμο μεταβολης του Ε(λ) αν το λ αυξανει με ρυθμο 4 μ/sec τη χρονικη στιγμη που το λ ειναι ισο με 1μ. γ) Θεωρουμε τη συναρτηση h(x) για την οποια ισχυει: | h(x) - 2x - 3 |  | f(x) | (2) για καθε x   .

i) Να δειξετε οτι η ε: y = 2x + 3 ειναι ασυμπτωτη της Ch οταν x→ - ∞

ii) Aν Ε το εμβαδο που περικλειεται απο την Ch , την πλαγια ασυμπτωτη της Ch οταν x→ - ∞ και τις ευθειες x = -3 και x = 0 , να δειξετε οτι Ε ≤ ln2 .

α) Με παραγοντική ολοκλήρωση η (1) δίνει:

x x x 3 2 (t2 + 3)f'(t)  -  2t  f'(t)dt = -  2t  f'(t)dt -  x  t2  f(x)dt   0 0 0 4 0

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

335

x 2 3 2 3 (t2 + 3)f'(t)  = -  x  t2  f(x)dt (x2 + 3)f'(x) - 3f'(0) = - x  f(x)  t2dt   0 0 4 0 4 2

2  t3  3 3 (x + 3)f'(x) - 1 = - x  f(x)  t2dt  (x2 + 3)f'(x) - 1 = - x  f(x)     0 4 4 30 2

(x2 + 3)f'(x) - 1 = -

3 8  (x2 + 3)f'(x) + 2x  f(x) = 1  x  f(x)  4 3

(x2 + 3)f(x)  ' = (x)'  (x2 + 3)f(x) = x + c . Για x = 0 προκυπτει c = 0 , επομενως :  

f(x) =

x , x  . x +3 2

β) Ε(λ) = 

λ x 1 λ 2x 1 λ 1 1 λ2 +3 2 2   dx = dx = (ln(x + 3))' dx = ln(x + 3) =  0 2 ln 3 2 0 x2 + 3 2 0 2 x2 + 3

1 1 1 λ(t)  λ'(t) Ε'(λ) = [ln(λ 2 (t) + 3) - ln3]' = (λ 2 (t) + 3)' = 2 2 2 2 λ (t) + 3 λ (t) + 3

Ε’(1) =

14 =1 μ 1+3

/ sec

γ) i) Αφου x  -  , για καθε x < 0 η (2) δινει: - | f(x) |  h(x) - 2x - 3  | f(x) | 

Επειδη lim

x  -

x x  h(x) - (2x + 3)  - 2 . x +3 x +3 2

x = 0 , τοτε απο το κριτηριο παρεμβολης εχουμε οτι x +3 2

lim (h(x) - (2x + 3)) = 0 .

x  -

Αρα η ευθεια y = 2x + 3 ειναι ασυμπτωτη της Ch στο - . 0

ii) Eιναι E =  | h(x) - (2x + 3) | dx . -3

Απο την (2) εχουμε:

| h(x) - 2x - 3| - | f(x) |  0 



-3

(| h(x) - 2x - 3| - | f(x) |)  0 

-3

| h(x) - 2x - 3| dx -  | f(x) | dx  0  E + 

-3

E+

x dx  0  x +3 2

0 1 1 1 3 1 -1 ln(x2 + 3)   0  E + ln3 - ln12  0  E  - (ln )  E  ln( ) 2    -3 2 2 2 12 4 . 1

E  ln(4) 2  E  ln 4  E  ln2 .

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΚΑΠΟΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

336

26. Η συναρτηση f :    ειναι συνεχης και ικανοποιει τη σχεση :

x 16 x 18 + + c, x   , oπου c πραγματικη σταθερα. 0 x 8 9 Να βρειτε τον τυπο της f και την τιμη της c. x

f(t) dt =

t 2f(t) dt +

Επειδη η f ειναι συνεχης στο , συμφωνα με το θεμελιωδες θεωρημα Ολοκληρωτικου x

λογισμου οι συναρτησεις  f(t) dt και 0



t 2f(t) dt = -  t 2f(t) dt ειναι παραγωγισι 1

μες στο . Παραγωγιζοντας τα μελη της δοσμενης σχεσης προκυπτει :

f(x) = - x 2f(x) + 2x 15 + 2x 17  (1 + x 2 )f(x) = 2x 15 (1 + x 2 )  f(x) = 2x Για x = 0 η δοσμενη σχεση δινει :



f(t) dt =  t 2f(t) dt + 0

, x  .

1 1 0 16 0 18 + + c  0 =  t 2 2t 15 dt + c  c = -  2t 17 dt  0 0 8 9

1 18 1 1 [t ] 0  c = - . 9 9 Αλλιως Για x = 1 η δοσμενη σχεση δινει : c=-



f(t) dt =  t2f(t) dt +

116 118 1 1 1 1 1 1 + + c  [t16 ] 01 = 0 + + + c  = + + c  8 9 8 8 9 8 8 9

1 1 1 1 - -  c=- . 9 8 8 9

Τα Μαθηματικα λιγο … Αλλιως !!!

http://drmaths58.blogspot.com http://maths58.wordpress.com

ΕΙΝΑΙ ΕΤΟΙΜΑ ΓΙΑ ΔΙΑΘΕΣΗ 1. Προγραμματα ανα μαθημα

αναφερονται στα: 1.1. Αλγεβρα Α λυκειου (νεα υλη) 1.2. Αλγεβρα Β λυκειου 1.3. Αλγεβρα Β λυκειου 1.4. Μαθηματικα Κατευθυνσης Β λυκειου 1.5. Αναλυση – Πιθανοτητες (Γενικης Παιδειας) 1.6. Στατιστικη (Γενικης Παιδειας) 1.7. Μιγαδικοι Αριθμοι Κατευθυνσης Γ λυκειου 1.8. Αναλυση Κατευθυνσης Γ λυκειου 1.9. Βασικα Θεωρηματα Κατευθυνσης Γ λυκειου 1.10. Ολοκληρωματα Κατευθυνσης Γ λυκειου

Πληρη παραθυρικα προγραμματα με συνοπτικη θεωρια, λυμενες-αλυτες ασκησεις, διαγωνισματα, γνωσεις απ’τα παλια, ερωτοαπαντησεις, θεματα Πανελληνιων, παιχνιδια και πολλα αλλα καλουδια.

2. Πολυεργαλεια ● Θεωρια, Λυμενες ασκησεις, Αλυτες ασκησεις και ολες οι Σχολικες ασκησεις λυμενες. ● Δυνατοτητα επιλογης μαθηματος και κεφαλαιου . ● ‘’Παιζει’’ και σε netbook (αναλυση 1024Χ600).

αναφερονται στα: 2.1. Α λυκειου (Αλγεβρα, Γεωμετρια) 2.2. Β λυκειου (Αλγεβρα, Γεωμετρια, Μαθηματικα Κατευθυνσης) 2.3. Γ λυκειου (Γενικης Παιδειας, Κατευθυνσης, Επιλογης) 2.4. Εργαλειο (Ολα τα πιο πανω σε ενα)

3. Χαρακτηριστικες ασκησεις με συμμετοχη του λυτη ● Επιλεγεις περιοχη ασκησεων. ● Επιλεγεις ειδος ασκησης. ● ‘’Βαζεις’’ δικα σου δοσμενα στα εγχρωμα πλαισια. ● Η ασκηση λυνεται βημα-βημα.

Για οποιαδηποτε πληροφορια Τακης Τσακαλακος drmaths58@gmail.com www.drmaths58.blogspot.com

http://maths58.wordpress.com/