Lcda. Dulce Capdevila
CAﾃ好A LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL
Guﾃｭa de estudio con ejercicios resueltos y propuestos
Lcda. Dulce Capdevila
Caída Libre y Lanzamiento Vertical
Galileo Galilei: la caída de los cuerpos Galileo se dio cuenta de que la ley que había enunciado Aristóteles sobre la caída de los cuerpos, no parecía encajar muy bien. Para comprobarlo tenía que hallar la manera de retardar la caída de los cuerpos para así poder experimentar con ellos y estudiar detenidamente su movimiento. Galileo se acordó entonces del péndulo. Al desplazar un peso suspendido de una cuerda y soltarlo, comienza a caer. La cuerda a la que está atado le impide, sin embargo, descender en línea recta, obligándole a hacerlo oblicuamente y con suficiente lentitud como para poder cronometrarlo. El péndulo, a diferencia de un cuerpo en caída libre, no cae en línea recta, lo cual introducía ciertas complicaciones. La cuestión era cómo montar un experimento en el que la caída fuese oblicua y en línea recta. Para ello coloco un tablero de madera inclinado, que llevaba en el centro un surco largo, recto y bien pulido. Una bola que ruede por el surco se mueve en línea recta. Y si se coloca la tabla en posición casi horizontal, las bolas rodarán muy despacio, permitiendo así estudiar su movimiento. Usando el raíl de madera, tiró muchas veces bolas de distinto tamaño, y midió el espacio que recorrían con puntos (que equivalían a unos 0,094 cm). En esta época el tiempo era algo más difícil de medir. Galileo tenía tres métodos para medirlo: – Con un péndulo, que no era una manera muy práctica pues no era muy precisa. – Tocando el laúd. Lo que hacía era dejar caer la bola y comenzar a tocar, cuando esta llegaba al final, dejaba de tocar y contaba las notas hasta el punto en el que había parado. Aunque parezca
increíble,
con
esta
técnica
conseguía
medidas
bastante
precisas.
– La más complicada y precisa era con un reloj de agua. Consistía en dos recipientes, uno lleno de agua y otro vacío. El agua iba pasando de uno a otro por un tubo que tenía un grifo, y cuyo flujo era de casi un litro y medio por segundo (siendo tanta agua por segundo, las medidas eran muy precisas). Abría el grifo cuando dejaba caer la bola, y lo cerraba cuando ésta llegaba al final del recorrido. Tras esto, medía la cantidad de agua que había pasado en “granos”, y al tiempo que tardaba en pasar un grano de un recipiente a otro lo llamaba “tempo”. Los tempos equivalían a 1/92 segundos, es decir, que Galileo era capaz de tomar medidas de tiempo con una precisión de casi una centésima de segundo. Tras mucho tiempo tomando datos, Galileo se dio cuenta de que había tres tipos de movimientos: el movimiento rectilíneo uniforme, que sólo se da en condiciones ideales, en el vacío, y que fue en el que se centró Aristóteles; el movimiento periódico, como sería, por ejemplo, el circular; y, por último, el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, en el que el espacio recorrido es proporcional al tiempo al cuadrado. Según Galileo la diferencia de la velocidad de dos objetos en caída libre no era la masa sino que todos los objetos, al caer, se veían obligados a apartar el aire de su camino. Los objetos muy ligeros sólo podían hacerlo con dificultad y eran retardados por la resistencia del aire. Los más pesados apartaban el aire fácilmente y no sufrían ningún retardo. En el vacío, donde la resistencia del aire es nula, la pluma y el copo de nieve tenían que caer tan aprisa como las bolas de plomo.
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Caída Libre y Lanzamiento Vertical
CAÍDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL
CONCEPTOS
CAÍDA LIBRE La caída libre de los cuerpos es el movimiento en dirección vertical que tienen los cuerpos cuando se dejan caer en el vacío. CARACTERÍSTICAS DE LA CAÍDA LIBRE -
En el vacío todos los cuerpos caen con movimiento de trayectoria vertical. Todos los cuerpos en el vacío caen con la misma aceleración. Todos los cuerpos dejados caer libremente en el vacío desde la misma altura tardan el mismo tiempo en recorrerla. Todos los cuerpos dejados caer libremente tienen velocidad inicial igual cero. Todos los cuerpos dejados caer libremente en el vacío tardan el mismo tiempo en adquirir la misma velocidad Todos los cuerpos dejados en libertad en el vacío caen porque son atraídos por la tierra. La fuerza con la que la tierra atrae a un cuerpo es el peso del cuerpo.
LANZAMIENTO VERTICAL El ejemplo más cierto del movimiento uniformemente cariado retardado, es el de los cuerpos que son lanzados verticalmente hacia arriba. CARACTERÍSTICAS DEL LANZAMIENTO VERTICAL -
La trayectoria del móvil es vertical. El cuerpo regresa al punto de partida por la misma vertical. Para poder subir el cuerpo necesita tener velocidad inicial. Mientras sube, la aceleración de la gravedad actúa en sentido opuesto al de la velocidad, el movimiento es uniformemente retardado. Mientras baja, la aceleración de la gravedad actúa en el mismo sentido de la velocidad, el movimiento es uniformemente acelerado. La rapidez con que inicia el movimiento es la misma con que lo termina en el punto de partida. Lcda. Dulce Capdevila
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CaĂda Libre y Lanzamiento Vertical
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El tiempo que tarda en subir es el mismo tiempo que emplea para llegar desde la altura mĂĄxima hasta el punto de partida. En la altura mĂĄxima la rapidez es cero, por eso, comienza allĂ a descender.
ECUACIONES
CAIDA LIBRE đ?‘˝đ?’‡ = đ?’ˆ ∗ đ?’•
LANZAMIENTO VERTICAL đ?‘˝đ?’‡ = đ?‘˝đ?’? + đ?’ˆ ∗ đ?’•
đ?‘˝đ?’‡đ?&#x;? = đ?&#x;? ∗ đ?’ˆ ∗ đ?’€
đ?‘˝đ?’‡đ?&#x;? = đ?‘˝đ?’?đ?&#x;? + đ?&#x;? ∗ đ?’ˆ ∗ đ?’€
đ?’€=
đ?’ˆ ∗ đ?’•đ?&#x;? đ?&#x;?
đ?’€ = đ?‘˝đ?’? ∗ đ?’• +
đ?’ˆ ∗ đ?’•đ?&#x;? đ?&#x;?
đ?’•đ?’ŽĂĄđ?’™ = −
đ?‘˝đ?’? đ?’ˆ
đ?‘˝đ?’?đ?&#x;? đ?’€đ?’ŽĂĄđ?’™ = − đ?&#x;?đ?’ˆ đ?’•đ?’— = đ?&#x;? ∗ đ?’•đ?’ŽĂĄđ?’™
EJERCICIOS DE CAIDA LIBRE
1. Desde una altura de 100m se deja caer libremente un cuerpo. Calcular: a) La rapidez que lleva a los 2segundos de movimiento b) La altura a la que se encuentra del suelo en ese momento SoluciĂłn: Datos Ecuaciones IncĂłgnita Y = 100m a) V2s = ? đ?‘‰đ?‘“ = đ?‘” ∗ đ?‘Ą Vo = 0 b) Y2s = ? 2 g = 10 m/s2 đ?‘”∗ đ?‘Ą đ?‘Œ= 2
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a) đ?‘‰đ?‘“ = đ?‘” ∗ đ?‘Ą đ?‘‰đ?‘“ = 10
đ?‘š ∗ 2đ?‘ đ?‘ 2
đ?‘˝đ?’‡ = đ?&#x;?đ?&#x;Ž
b) đ?‘Œđ?‘&#x; =
đ?‘”∗ đ?‘Ą 2 2
10 đ?‘Œđ?‘&#x; = 10 đ?‘Œđ?‘&#x; =
đ?’Ž đ?’”
đ?‘š ∗ (2đ?‘ )2 đ?‘ 2 2 đ?‘š ∗ 4đ?‘ 2 đ?‘ 2 2
đ?‘Œđ?‘&#x; = 20đ?‘š Ahora bien‌
Y2s = Y – Yr Y2s = 100m – 20m Y2s = 80m
2. Desde lo alto de un edificio se deja caer libremente un cuerpo que llega al piso con una rapidez de 40 m/s. Calcular: a) La altura del edificio b) La distancia recorrida por el objeto en 2 segundos c) La rapidez que tiene el objeto a los 2 segundos d) La rapidez del objeto cuando ha descendido 45 m SoluciĂłn: Datos Ecuaciones IncĂłgnitas Vo = 0 a) Y = ? đ?‘‰đ?‘“ 2 = 2 ∗ đ?‘” ∗ đ?‘Œ Vf = 40 m/s b) Yr = ? t = 2s g = 10 m/s2 c) V2 = ? t = 2s đ?‘” ∗ đ?‘Ą2 đ?‘Œ= d) V cuando Yr = 45m ? 2 e) t para cuando Yr =45 m ? đ?‘‰đ?‘“ = đ?‘” ∗ đ?‘Ą Lcda. Dulce Capdevila
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a) Primero se realiza el despeje de esta ecuaciĂłn para obtener a Y
đ?‘‰đ?‘“ 2 = 2 ∗ đ?‘” ∗ đ?‘Œ đ?‘‰đ?‘“ 2 =đ?‘Œ 2∗đ?‘” Ahora bien‌
đ?‘‰đ?‘“ 2 đ?‘Œ= 2∗đ?‘” (40 đ?‘š/đ?‘ )2 đ?‘Œ= 2 ∗ 10 đ?‘š/đ?‘ 2 đ?’€ = đ?&#x;–đ?&#x;Ž đ?’Ž b)
đ?‘Œ=
đ?‘”∗ đ?‘Ą 2 2
10 đ?‘š/đ?‘ 2 ∗ (4đ?‘ )2 đ?‘Œ= 2 đ?’€ = đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’Ž c) đ?‘‰đ?‘“ = đ?‘” ∗ đ?‘Ą
đ?‘‰đ?‘“ = 10 đ?‘š/đ?‘ 2 ∗ 2đ?‘ đ?‘˝đ?’‡ = đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’Ž/đ?’” d) Primero se realiza el despeje de esta ecuaciĂłn para obtener a t
đ?‘Œ=
đ?‘”∗ đ?‘Ą 2 2
2 ∗ đ?‘Œ = đ?‘” ∗ đ?‘Ą2 2∗đ?‘Œ = đ?‘Ą2 đ?‘”
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2∗đ?‘Œ đ?‘Ą= √ đ?‘” Ahora bien‌
2 ∗ 45 đ?‘š đ?‘Ą= √ 10 đ?‘š/đ?‘ 2 đ?‘Ą = 3đ?‘ Luego ‌
đ?‘‰đ?‘“ = đ?‘” ∗ đ?‘Ą đ?‘‰đ?‘“ = 10 đ?‘š/đ?‘ 2 ∗ 3đ?‘ đ?‘˝đ?’‡ = đ?&#x;‘đ?&#x;Ž đ?’Ž
3. Desde la torres se deja caer una piedra que tarda 6 segundos en llegar al suelo. Calcular: a) La altura de la torre b) La rapidez de la piedra en el instante de llegar al suelo 4. Desde una altura de 160 m se deja caer libremente un cuerpo. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar al suelo b) La rapidez en el instante de legar al suelo c) Lo que ha descendido a los 3 segundos de iniciar la caĂda d) La altura a la cual se encuentra del suelo a los 3 segundos e) La rapidez que lleva a los 5 segundos de iniciar su caĂda 5. Un cuerpo se deja caer libremente y en el instante de chocar con el suelo tiene una rapidez de 50 m/s. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar al suelo b) La altura de la que cae el cuerpo c) La altura a la cual se encuentra del suelo cuando la rapidez del cuerpo es 30 m/s
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6. Desde una altura de 120m se deja caer libremente un cuerpo. Calcular: a) La rapidez al cabo de 3 segundos b) La altura descendida en 2 segundos c) La altura con respecto al suelo a los 2 segundos d) La rapidez en el instante de chocar contra el suelo
EJERCICIOS DE LANZAMIENTO VERTICAL 1. Se lanza verticalmente y hacia arriba un cuerpo con rapidez de 60m/s. Determinar: a) La rapidez que lleva a los 3 segundos de ser lanzado. b) La rapidez que lleva a los 9 segundos de ser lanzado. c) El tiempo que estuvo en el aire. d) La altura mĂĄxima alcanzada. e) La rapidez con que toca el suelo a su regreso. Datos Vo = 60 m/s g = 10 m/s2
Ecuaciones đ?‘‰đ?‘“ = đ?‘‰đ?‘œ + đ?‘” ∗ đ?‘Ą đ?‘Œđ?‘šĂĄđ?‘Ľ = −
đ?‘‰đ?‘œ2 2đ?‘”
IncĂłgnitas a) V3s = ? b) V9s = ? c) tv = ? d) YmĂĄx = ? e) Vf = ?
đ?‘” ∗ đ?‘Ą2 đ?‘Œ = đ?‘‰đ?‘œ ∗ đ?‘Ą + 2 đ?‘Ąđ?‘šĂĄđ?‘Ľ = −
đ?‘‰đ?‘œ đ?‘”
đ?‘Ąđ?‘Ł = 2 ∗ đ?‘Ąđ?‘šĂĄđ?‘Ľ a) đ?‘‰đ?‘“ = 60 đ?‘š/đ?‘ + (−10
đ?‘˝đ?’‡ = đ?&#x;‘đ?&#x;Ž đ?’Ž/đ?’”
đ?‘š đ?‘ 2
) ∗ 3đ?‘
(El cuerpo todavĂa estĂĄ subiendo)
b) đ?‘‰đ?‘“ = đ?‘‰đ?‘œ + đ?‘” ∗ đ?‘Ą
đ?‘‰đ?‘“ = 60 đ?‘š/đ?‘ + (−10 đ?‘˝đ?’‡ = − đ?&#x;‘đ?&#x;Ž đ?’Ž/đ?’”
đ?‘š ) ∗ 9đ?‘ đ?‘ 2
(El cuerpo ya estĂĄ cayendo)
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c)
đ?‘Ąđ?‘šĂĄđ?‘Ľ = −
đ?‘Ąđ?‘šĂĄđ?‘Ľ = −
đ?‘‰đ?‘œ đ?‘”
60 đ?‘š/đ?‘ (− 10đ?‘š/đ?‘ 2 )
đ?’•đ?’ŽĂĄđ?’™ = đ?&#x;”đ?’” (Este es el tiempo empleado para alcanzar la altura mĂĄxima) đ?‘Ąđ?‘Ł = 2 ∗ đ?‘Ąđ?‘šĂĄđ?‘Ľ đ?‘Ąđ?‘Ł = 2 ∗ 6đ?‘ đ?’•đ?’— = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’” d)
đ?‘Œđ?‘šĂĄđ?‘Ľ = −
đ?‘‰đ?‘œ2 2đ?‘”
(60 đ?‘š/đ?‘ )2 đ?‘Œđ?‘šĂĄđ?‘Ľ = − 2 ∗ (− 10 đ?‘š/đ?‘ 2 ) đ?’€đ?’ŽĂĄđ?’™ = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Ž đ?’Ž e) Desde que sale hasta que regresa el cuerpo emplea 12 s.
đ?‘‰đ?‘“ = đ?‘‰đ?‘œ + đ?‘” ∗ đ?‘Ą đ?‘‰đ?‘“ = 60 đ?‘š/đ?‘ + (− đ?‘˝đ?’‡ = −đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?’Ž/đ?’”
10đ?‘š ) ∗ 12đ?‘ đ?‘ 2 (El signo negativo indica que el vector velocidad apunta hacia abajo)
2. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 700 m/s. Calcular: a) El tiempo que tarda en regresar al suelo b) La altura mĂĄxima alcanzada c) La rapidez a los 100 s de ser lanzado d) La altura con respecto al suelo a los 20 s e) La velocidad con que toca el suelo a su regreso Lcda. Dulce Capdevila
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3. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba hasta una altura de 80 m. Calcular: a) Cuanto tiempo emplea desde que es lanzada hasta que regresa al suelo b) La rapidez a los 5 segundos de ser lanzada c) La altura a la que se encuentra a os 5 segundos de ser lanzada 4. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo con velocidad inicial de 20 m/s. Calcular a los 5 segundos de ser lanzado: a) La velocidad del cuerpo b) El desplazamiento realizado
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