Formulas de identidades trigonométricas by Dyana Alvarez

FORMULAS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS B c

C b

Sen A= cateto opuesto/ hipotenusa = a / c Cos A= cateto adyacente / hipotenusa = b / c Tg A= cateto opuesto/ cateto adyacente = a / b Ctg A= cateto adyacente / cateto opuesto = b / a Sec A= hipotenusa / cateto adyacente = c / b Csc A= hipotenusa / cateto opuesto = c / a Una función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su ángulo complementario

Funciones de los Ángulos de: 30º, 45º, 60º Angulo 30º 45º 60º

sen

cos

ctg

1 2

3 2 2 2

3 3

2 2 3 2

1 2

sec

csc

2 3 3

1 3 3

2 3 3

Signos Algebraicos de las Funciones Trigonométricas Función Sen; Csc Cos; Sec Tg; Ctg

Cuadrante I + + +

Cuadrante II + -

Cuadrante III +

Cuadrante IV + -

Funciones de los ángulos de: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º Angulo 0º 90º 180º 270º 360º

sen 0 1 0 -1 0

cos 1 0 -1 0 1

tg 0 ∞ 0 ∞ 0

ctg ∞ 0 ∞ 0 ∞

sec 1 ∞ -1 ∞ 1

csc ∞ 1 ∞ -1 ∞

Ing. Dyana Alvarez

180 = 57,29577951307854999853275233034 π 3.14159265359 1 radián = 57º 17' 44,8' ' sabemos que : 360º = 2π radianes , despejamos grados : 1radián =

180º

2π radianes π radian 3.14159265359 = = 360 180 180 1º = 0,0174532925199444.. 1º =

Reducir radianes a grados: Se multiplica el número de radianes por 57,29577951308. Reducir grados a radianes: Se multiplica el número de grados por 0,01745329251994 GRADOS RADIANES 15 π/2…. π/12 30 π/6 45 π/4 60 π/3… π/6 90 π/2 120 2π/3 135 3π/4 150 5π/6 180 π 270 3π/2 360 2π FORMULAS GENERALES

Ing. Dyana Alvarez

SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ANGULOS sen( a ±b ) = sen.a. cos .b ± cos .a.sen.b

cos( a ± b ) = cos .a. cos .b sen.a.sen.b tg .a ±tg .b 1 tg .a.tg .b ctg .a.ctg .b 1 ctg ( a ±b ) = ctg .a ± ctg.b 1 sec( a ±b ) = cos( a ±b ) 1 csc( a ±b ) = sen( a ± b ) tg ( a ±b ) =

SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 1 1 ( A + B ) cos ( A − B ) 2 2 1 1 senA − senB = 2 cos ( A + B ) sen ( A − B ) 2 2 1 1 cos A + cos B = 2 cos ( A + B ) cos ( A − B) 2 2 1 1 cos A − cos B = −2 sen ( A + B ) sen ( A − B) 2 2 senA + senB = 2 sen

ANGULO DUPLO sen.2a = 2 sena. cos a sen.2a = 1 − cos 2 a cos 2a = cos 2 a − sen 2 a cos 2a = 1 − 2 sen 2 a cos 2a = 2 cos 2 a −1 tg 2a =

2.tga 1 − tg 2 a

Caso especial: cos 2ax ≡ ( 2 cos 2 ax −1)

ANGULO TRIPLO

Ing. Dyana Alvarez

ANGULO MITAD

SEMIANGULOS

PRODUCTOS DE SUMA Y DIFERENCIA DE SEN Y COS

Ing. Dyana Alvarez

1 [ sen( u + v ) + sen( u − v ) ] 2 1 cos usenv = [ sen( u + v ) − sen( u − v ) ] 2 1 cos u cos v = [ cos( u + v ) + cos( u − v ) ] 2 1 senusenv = [ cos( u − v ) − cos( u + v ) ] 2  s +t   s −t  sens + sent = 2sen  cos  2    2   s +t   s −t  sens − sent = 2 cos sen   2   2   s +t   s −t  cos s + cos t = 2 cos  cos   2   2   s +t   s −t  cos s − cos t = 2 sen sen   2   2  senu cos v =

FORMULAS DE REDUCCIÓN

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Ing. Dyana Alvarez

IDENTIDADES HIPERBÓLICAS

Relaciones de Cuadrantes sen (90º-α)=+cosα cos(90º-α)=+senα tg(90º-α)=+ctgα ctg(90º-α)=+tgα sec(90º-α)=+cscα csc(90º-α)=+secα

sen (90º+α)=+cosα cos(90º+α)=-senα tg(90º+α)=-ctgα ctg(90º+α)=-tgα sec(90º+α)=-cscα csc(90º+α)=+secα

sen (180º-α)=+senα cos(180º-α)=-cosα

sen (180º+α)=-senα cos(180º+α)=-cosα

Ing. Dyana Alvarez

tg(180º-α)=-tgα ctg(180º-α)=-ctgα sec(180º-α)=-secα csc(180º-α)=+cscα

tg(180º+α)=+tgα ctg(180º+α)=+ctgα sec(180º+α)=-secα csc(180º+α)=-cscα

sen (270º-α)=-cosα cos(270º-α)=-senα tg(270º-α)=+ctgα ctg(270º-α)=+tgα sec(270º-α)=-cscα csc(270º-α)=-secα

sen (270º+α)=-cosα cos(270º+α)=+senα tg(270º+α)=-ctgα ctg(270º+α)=-tgα sec(270º+α)=+cscα csc(270º+α)=-secα

sen (360º-α)=-senα cos(360º-α)=+cosα tg(360º-α)=-tgα ctg(360º-α)=-ctgα sec(360º-α)=+secα csc(360º-α)=-cscα

sen (360º+α)=+senα cos(360º+α)=+cosα tg(360º+α)=+tgα ctg(360º+α)=+ctgα sec(360º+α)=+secα csc(360º+α)=+cscα

Funciones de Ángulos Negativos sen (-α)=-senα cos(-α)=+cosα tg(-α)=-tgα ctg(-α)=-ctgα sec(-α)=+secα csc(-α)=-cscα

sen (α ± n.360º)=+senα cos(α ± n.360º) =+cosα tg(α ± n.360º)=+tgα ctg(α ± n.360º)=+ctgα sec (α ± n.360º)=+secα csc(α ±n.360º)=+cscα

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Primero se tiene en cuenta lo siguiente: • Dos ángulos y un lado • Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos • Dos lados y el ángulo comprendido • Tres lados Tener en cuenta los conceptos: • La suma de los tres ángulos es 180º • El lado mayor se opone al ángulo mayor y recíprocamente. • La solución trigonométrica de triángulo oblicuángulo depende de la aplicación de las leyes: Ley de los Senos, Ley de los Cosenos, Ley de las Tangentes. Ley de los Senos: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. a b c = = senA senB senC

Ley de los Cosenos: En un triángulo cualquier el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.

Ing. Dyana Alvarez

1 ( A + B) a +b 2 = a − b tg 1 ( A − B ) 2 1 tg ( A − B ) a −b = 2 a + b tg 1 ( A + B ) 2 tg

Ley de las Tangentes:

AREA DE UN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que lo forman. 1 b.c.senA 2 1 A = a..c.senB 2 1 A = a..b.senC 2 A=

•

Cuando se conocen tres lados A=

•

s ( s −a )( s −b)( s −c)

Ciertos problemas no incluidos directamente en los dos casos anteriores, pueden solucionarse por el primer caso, calculando primero un ángulo o lado adicional por la ley de los senos.

Ing. Dyana Alvarez