Cálculo diferencial aulas 1 a 3 [unifacs] by EAD UNIFACS

CÁLCULO DIFERENCIAL Autora – Ana Paula da Cunda Correa da Silva

Universidade Anhembi Morumbi

Universidade Salvador

Janes Fidelis Tomelin Diretor de EaD

Adriano Lima Barbosa Miranda Diretor de Educação Corporativa e Novos Projetos

Fabiano Prado Marques Diretor Acadêmico – Escola de Engenharia e Tecnologia

Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo Diretor da Escola de Engenharia e TI

Adriana Trigolo Revisor Técnico

Diniz Alves de Sant’Ana Silva Revisor Técnico

Universidade Potiguar

Rede Laureate Internacional de Universidades

Barney Vilela Coordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância Catarina de Sena Pinheiro Diretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas

Daniella Loureiro Koncz Coordenadora de Novos Negócios André Torres Gregório Designer Instrucional

FabriCO Projeto educacional Projeto gráfico Autoria do conteúdo Revisão ortográfica e gramatical

SUMÁRIO CARTA AO ALUNO................................................................................................................ 5 AULA 1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS.................................................................................. 7 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 7 OBJETIVOS................................................................................................................ 8 1.1 Conjuntos.......................................................................................................... 8 1.1.1 União....................................................................................................... 11 1.1.2 Intersecção.............................................................................................. 12 1.2 Reta numérica................................................................................................ 12 1.3 Revisão de equações...................................................................................... 13 1.4 Sistemas de equações lineares...................................................................... 18 1.4.1 Método da adição................................................................................... 19 1.4.2 Método da substituição.......................................................................... 21 1.5 Revisão de inequações................................................................................... 23 1.6 Revisão de funções......................................................................................... 25 1.6.1 Função Afim............................................................................................ 26 1.6.2 Função Quadrática.................................................................................. 31 CONCLUSÃO........................................................................................................... 35 AULA 2 - LIMITES............................................................................................................... 37 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 37 OBJETIVOS.............................................................................................................. 38 2.1 Noção intuitiva de limite................................................................................ 38 2.2 Limite de funções........................................................................................... 42 2.2.1 Limites finitos......................................................................................... 44 2.2.4 Propriedades operatórias........................................................................ 49 2.3 Continuidade................................................................................................... 50 2.4 Taxa de variação............................................................................................. 52 CONCLUSÃO........................................................................................................... 54 AULA 3 - INTRODUÇÃO A DERIVADAS................................................................................ 55 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 55 OBJETIVO................................................................................................................ 56 3.1 Derivada como taxa de variação.................................................................... 56 3.2 Interpretação geométrica da derivada........................................................... 62 CONCLUSÃO........................................................................................................... 70

CARTA AO ALUNO

CARTA AO ALUNO Seja bem-vindo, caro estudante!

Cálculo Diferencial é uma das disciplinas que reúnem os conceitos básicos da Engenharia. Este campo da Matemática é de caráter teórico, mas toda a sua teoria se forma pela demanda por resolução de problemas reais. Veja um exemplo: situações que envolvem a medição e o estudo dos erros de medida fazem parte do cotidiano do engenheiro. O Cálculo avalia o comportamento dos erros apresentados, por exemplo, em cortes em superfícies planas – como chapas de alumínio – e auxilia o profissional a tomar suas decisões. Nesta disciplina, as aplicações apresentadas envolvem essencialmente taxas médias e instantâneas de variação e problemas que envolvem maximização e minimização de funções. O Cálculo Diferencial fornece ferramentas que permitem identificar, por exemplo, qual a menor quantidade de concreto suficiente para que uma edificação suporte o peso esperado, reduzindo, assim, os custos da obra. Leia com atenção as suas aulas e busque sempre que necessário o suporte bibliográfico específico indicado ao longo da disciplina para que você possa consolidar os saberes de Cálculo. E lembre-se: você deve praticar com a resolução de exercícios. São eles que desenvolvem habilidades lógicas específicas da área e fazem com que você fixe os conceitos envolvidos.

Bom estudo!

AULA 1 Conceitos Fundamentais

INTRODUÇÃO Aprender Cálculo pode ser uma experiência estimulante e fascinante, pois ele é a base de muitas realizações do mundo moderno. Para ajudá-lo a obter os requisitos mínimos para aprender Cálculo Diferencial, nesta primeira aula faremos uma revisão do conteúdo de Matemática básica. Pressupõe-se que muitos conhecimentos de Geometria e Álgebra já estão fixados em seus conhecimentos. Caso você não os possua, nesta aula você terá a oportunidade de ter seu primeiro contato. O Cálculo Diferencial, também chamado de cálculo infinitesimal, ou somente Cálculo, é um braço importante do campo matemático. Teve seu desenvolvimento a partir da Álgebra e da Geometria. O Cálculo oferece como ferramenta a possibilidade de avaliar, quantificar e definir taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta). Onde existem forças não constantes gerando, por exemplo, aceleração em um móvel, o Cálculo é a ferramenta ideal para a análise dos dados.

CÁLCULO DIFERENCIAL

O Cálculo é a ferramenta matemática que vai auxiliar você em diversos campos, tais como Física clássica, Física moderna, Administração de empresas, Química e Economia. O aluno dedicado ao Cálculo deve ter um conhecimento considerado mínimo em certas áreas da Matemática, como equações de primeiro e segundo graus, funções de primeiro e segundo graus, geometria e trigonometria.

OBJETIVOS » » Revisão de equações. » » Revisão de funções. » » Revisão de sistemas de equações. » » Revisão de inequações. » » Revisão de gráficos de função.

1.1 CONJUNTOS Em nossa revisão, vamos relembrar conceitos básicos da teoria dos conjuntos. Considere que um conjunto é uma coleção de objetos, ou entes de qualquer natureza, chamados elementos. Os conjuntos são designados, em geral, por letras maiúsculas: A, B, C etc. Já os seus elementos, sempre que necessário, são designados por letras minúsculas: x, y, a, b, c etc. Os conjuntos podem ser apresentados pela enumeração dos seus elementos entre chaves. Por exemplo, A={2,4,5,7,9,10}. Para conjuntos com número relativamente grande de elementos, uma possibilidade é enumerar alguns primeiros elementos e o último, de forma que possamos deduzir os demais. Um exemplo é: B={2,4,6,8,…,18}. Note que é o conjunto dos números naturais pares de 2 a 18. No caso de conjuntos infinitos nos quais podemos identificar os elementos omitidos, utilizamos reticências. Por exemplo, C={-1,0,1,2,3,4,5,…}. Há, também, a possibilidade de representar um conjunto por meio de propriedades satisfeitas por todos os seus elementos. Retomando o conjunto C={-1,0,1,2,3,4,5,…}, perceba que ele é composto de números inteiros maiores ou iguais a -1. Logo, podemos expressá-lo por . Generalizando, o conjunto no qual todos os seus elementos satisfazem uma propriedade P pode ser representado por: {x|x satisfaz P} Em que o símbolo “|” representa “tal que”. Sabendo que um conjunto é formado por elementos, é possível estabelecer uma relação entre elementos e conjuntos. É a relação de pertinência. A pertinência ( ou ) relaciona elemento e conjunto. Um elemento pertence ou não a determinado conjunto.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Exemplo: 1) 2∈N 2) √2∉Q 3) Chile∉M, em que M é o conjunto dos países do continente europeu. Com a relação de pertinência, o nosso conjunto C poderia ser reescrito de modo mais sucinto: C={x∈Z|x é maior ou igual-1}. Também pela relação de pertinência, definimos igualdade entre conjuntos. Dois conjuntos A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos, ou seja, se x∈A, então x∈B. Da mesma forma, para x∈B, então x∈A. Por exemplo, para A={0,-1,+1,-2,+2,-3,+3,…} e B=Z, podemos afirmar que A=B, pois todos os elementos de A pertencem a B e, da mesma forma, os elementos de B pertencem a A. Para o caso de B=Z+, A é diferente de B: A≠B. Basta perceber que -1∈A, mas -1∉B. Alguns conjuntos exigem destaque. São eles: » » conjunto vazio: é aquele que não possui elementos. Denota-se por ∅ ou { }. Por exemplo, M={x∈N|x<0} é um conjunto vazio. Como não há número natural menor que zero, M=∅; » » conjunto unitário: é formado por um único elemento. Por exemplo, o único número natural par e primo é o 2. Logo, N={x∈N|x é primo par}={2} é um conjunto unitário; » » conjunto universo: denotado por U, é formado por todos os elementos do contexto ao qual estamos trabalhando. É uma referência importante quando manipulamos situações envolvendo conjuntos. É ele que nos permite visualizar todos os possíveis resultados, por exemplo, quando trabalhamos com área de regiões planas. Área é sempre positiva. Logo, podemos considerar o conjunto universo composto de todos os reais positivos.

Considere apenas as notações ∅ e { } para conjunto vazio. Designar conjunto vazio por {∅} é um equívoco. O conjunto {∅} é unitário, contendo como elemento o conjunto vazio ∅.

Em se tratando de conjuntos numéricos, existe alguma relação entre o conjunto dos números naturais (N) e, por exemplo, o conjunto dos números reais (R)? Sim. Avaliando N e R, observa-se que todo número natural pertence, também, ao conjunto dos números reais. Logo, dizemos que N é um subconjunto de R. Assim, dados dois conjuntos, e , se todos os elementos de pertencem também ao conjunto , dizemos que A é um subconjunto de B. Exemplos: a) Sejam M={5,6,7,8,9,10} e Z. Neste caso, M é um subconjunto de Z. b) Se A é o conjunto dos ímpares positivos menores que 20 e é formado por todos os naturais, A é um subconjunto de B.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Sempre que possível, utilizamos diagramas para representar conjuntos e, com isso, evidenciamos certas particularidades e relações entre eles. Observe a figura relativa ao exemplo (a):

Conjunto Z 5 Conjunto A

6 8 9

Figura 1 - Representação de A e B por diagramas. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Quando temos um subconjunto A de um conjunto B, dizemos que A está contido em B. Denotamos essa relação por Observe, na figura anterior, que é possível evidenciar esta relação de inclusão entre os conjuntos. Caso a relação não exista, então A não está contido em B e denotamos por . Por exemplo, para os conjuntos e , temos que . No entanto, o contrário é falso: De fato, todo natural pertence aos inteiros, mas a recíproca não é verdadeira. Basta pensar em um inteiro negativo qualquer. Ele certamente pertence à mas não pertence a . A relação de inclusão permite associar o conjunto dos números reais e seus subconjuntos N, Z, Q e os Irracionais, conforme a figura. R

Figura 2 - Conjunto dos Números Reais. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

O diagrama facilita a observação das relações de inclusão entre os conjuntos numéricos. Duas situações distintas se destacam. São elas, para quaisquer conjuntos A, B e C: » » A⊂A, pois todo elemento de A pertence a A.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

» » ∅ ⊂ A, para qualquer A. Acompanhe o raciocínio: Considere que ∅ ⊂ A se não existir elemento de ∅, não existe elemento que não pertença a A, o que de fato ocorre. Afinal, não existe elemento no conjunto vazio. Logo, a inclusão ∅ ⊂ A é verdadeira para qualquer conjunto A.

A relação de pertinência (∈ ou ∉) envolve elemento e conjunto. Um elemento pertence ou não a determinado conjunto. Já a relação de inclusão associa conjuntos entre si.

Neste momento, você está apto a operar conjuntos. Aqui, destacamos as operações união e intersecção.

1.1.1 União Dados conjuntos quaisquer A e B, a união (ou reunião) de A com B, denotada por A∪B, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A, ou pertencem a B, ou a ambos. Exemplo: Suponha A={2,4,6,8,10,12}, B={1,4,9,16} e C={2,10}. Logo: A∪B={1,2,4,6,8,9,10,12,16} B∪C={1,2,4,9,10,16} A figura apresenta os diagramas para A, B e C, todos contidos em um conjunto universo U. U

9 4 16 B

8 12

2 10 C

Figura 3 - Diagramas de A, B, C em U. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Observe que B ∪ ∅=B, qualquer que seja o conjunto B. Afinal, B⊂∅ e ∅⊂B.

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1.1.2 Intersecção A intersecção entre dois conjuntos A e B quaisquer é formada por todos os elementos que pertencem a A e ao conjunto B, simultaneamente. Denota-se por A∩B. Exemplo: A interseção entre A={x∈Z|x>-5} e B={x∈N|x é par e maior que 3} é: A∩B={4,6,8,10,…}, considerando o conjunto universo Z. Já a intersecção A∩U=A e B∩U=B. Observe que, para qualquer conjunto, a intersecção com o conjunto vazio é sempre vazia, ou seja, dado um conjunto qualquer A, A∩∅=∅∩A=∅. A próxima seção descreve, em síntese, a reta numérica, elemento importante no estudo do Cálculo Diferencial. Ela é a representação gráfica do conjunto dos números reais.

1.2 RETA NUMÉRICA Considere uma reta numérica iniciando em -∞ e terminando em +∞. Essa reta representa o conjunto dos números reais. Nesse conjunto, podemos citar como subconjuntos os intervalos. Dados m,n∈ R, considerando as afirmações a seguir, temos: » » intervalo aberto: (m,n)={x|m<x<n};

» » intervalo fechado: [m,n]={x|m≤x≤n};;

» » intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: [m,n)={x|m≤x<n};;

» » intervalo aberto à direita e fechado à esquerda: (m,n]={x|m<x≤n}.

Resumindo, (m,+∞)={x∈R│x>m} (-∞,n)={x∈R│x<n} [(m,+∞)={x∈R│x≥m}

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

(-∞,n]={x∈R│x≤n} (-∞,+∞)=R

1.3 REVISÃO DE EQUAÇÕES Equações são sentenças matemáticas que envolvem igualdade, constantes e variáveis (ou incógnitas) que são representadas por letras. São aplicadas nas mais diversas áreas como modelos matemáticos de situações ou contextos reais. Por exemplo, para descobrir a medida do lado de um quadrado, sabendo que a sua área mede 25 m², o modelo matemático (equação) que determina tal medida é x2=25. Nesse caso, a medida do lado é a incógnita x. Para a construção da equação, considere que a área do quadrado é determinada pelo produto da medida de seu lado. Observe.

25m²

x Figura 4 - Área do quadrado. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

A partir dos modelos matemáticos em forma de equação, a busca está no cálculo do valor de um de seus termos, que, sendo desconhecido, é representado por letras. A representação mais usual se dá por x,y e z. O sinal de igualdade divide a equação em dois membros, os quais são compostos de elementos constituídos por dois tipos: Elemento de valor constante: representado por valores numéricos. Elemento de valor variável: representado pela união de números e letras. Quando duas expressões matemáticas são iguais, temos o que chamamos de equação. O elemento fundamental na resolução de equações consiste no princípio da igualdade. Os valores assumidos pelas incógnitas devem ser tais que a igualdade se verifica. Assim, qualquer operação em um dos lados da equação deve se estender ao outro. Caso contrário, a igualdade não é mantida, invalidando-a. Entre algumas categorias de equações, destacamos as equações polinomiais, que são da forma: an xn +an-1 xn-1 +an-2 xn-2 + ... +a1 x1 +a0 x0 = 0 Em que: an, an-1,…,a1,a0 são os coeficientes; xn,xn-1,xn-2,…,x1,x0 são as incógnitas. Observe que, como x1=x e x0=1, podemos reescrever a equação da seguinte forma: an xn +an-1 xn-1 +an-2 xn-2 + ... +a1 x +a0 = 0 O grau de uma equação polinomial é determinado pelo maior expoente da incógnita da equação. 13

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Exemplos: Equação de 1o grau: 2x+3=4 Equação de 2o grau: x2+2x+1=0 Equação de 3o grau: x3+4x2+3x+1=0 As equações de 1o grau são resolvidas de modo simples. Basta isolar a incógnita. Exemplo: Considere a equação x+2=10. Para resolvê-la, ou seja, determinar o valor de para o qual a igualdade é verdadeira, basta isolar a incógnita. Acompanhe o raciocínio. Para que o número 2 seja eliminado do lado esquerdo, devemos subtrair 2 em ambos os lados da equação. Isso ocorre para que seja mantido o princípio da igualdade. Dessa forma, temos:

Logo, temos que x=8. Esse mecanismo é comumente executado pela inversão da operação associada ao 2 (adição), no lado contrário em que se encontra. Essa é uma regra conhecida como “passa para o outro lado somando (ou subtraindo, dependendo do caso)”. Assim, teríamos apenas x=10-2=8. Exemplo: Resolvendo a equação 3a=12, buscamos isolar a incógnita a. Para tal, invertemos a operação multiplicação do 3 nos dois lados. Lembre-se: é fundamental manter o princípio da igualdade. Assim, implica em Aqui, a operação inversa da multiplicação é divisão. Esse princípio é utilizado para que o coeficiente da variável (3) desapareça. Esse mecanismo é conhecido por “passa para o outro lado dividindo (ou multiplicando)”. Logo, poderíamos simplesmente resolver a equação 3a=12 da seguinte forma:

Exemplo: A soma de 3 números consecutivos é 300. Quais são estes números? Considerando o primeiro número como , teremos que o seu sucessor é Logo, o terceiro número será x+2. Dessa forma, podemos escrever a seguinte equação: x+(x+1)+(x+2)=300 x+x+1+x+2=300 3x+3=300

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Subtraindo 3 em ambos os lados, temos: 3x+3-3=300-3 3x=297 Dividindo ambos os lados por 3, teremos:

Conclui-se que os 3 números consecutivos são: 99, 100 e 101. Em síntese, ao resolver uma equação de 1o grau, você pode utilizar o seguinte método, que vem do princípio da igualdade: 1) isolar no 1o membro os termos em x e no 2o membro os termos que não têm x. Você deve trocar o sinal dos termos que mudam de um membro para o outro (de um lado para o outro do sinal de igualdade); 2) reduzir os termos semelhantes; 3) dividir ambos os membros pelo coeficiente de x.

Daqui em diante, eventuais equações serão resolvidas com o uso da inversão de operações para isolar as incógnitas, por ser o mecanismo mais curto e mais aplicado entre os alunos.

Para o caso de uma equação de segundo grau, temos a fórmula de Bhaskara.

Bhaskara Acharya foi um matemático e astrônomo indiano que viveu entre os anos de 1114 e 1185. Seu livro mais famoso é o “Lilavati”. Você pode ler mais sobre ele em <http://ecalculo.if.usp.br/historia/ bhaskara.htm>.

Se tivermos uma equação do segundo grau na forma ax2+bx+c=0 com a≠0, a solução pode ser encontrada por meio da fórmula de Bhaskara:

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em que (incógnita da equação) é chamado de raiz da equação, ou seja, é o valor que fará com que a igualdade seja verdadeira (balança equilibrada). Chamamos de discriminante () o radicando . Dependendo do seu resultado, temos: » » Δ=0, então a equação tem duas raízes reais iguais. » » Δ>0, então a equação tem duas raízes reais diferentes. » » Δ<0, então a equação não tem raízes reais. Exemplo: Para resolver uma equação, a primeira etapa é identificar os coeficientes a, b e c. Assim, para a equação x2+2x+1=0 a=1; b=2 e c=3; Pela fórmula de Bhaskara, temos:

Verifica-se, assim que, para x=-1,(-1)2+2⋅(-1)+1 = 1-2+1 = 0. Exemplo: José possui um quadro com uma área de 9.600 cm2. Ele pretende emoldurá-lo e precisa saber quais as dimensões lineares (largura e altura) desse quadro. José sabe que a largura é equivalente a 1,5 vez a altura. Quais são as dimensões do quadro? A área de um retângulo é dada pelo produto da largura pela altura. Com base no enunciado, se chamarmos de a altura, teremos que a largura será 1,5x. A área poderá ser escrita como: x.1,5x = 9600

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Pelo artifício da inversão, x.1,5x - 9600 = 0 que pode ser escrita como 1,5x2 - 9600 = 0 ou, equivalente, 1,5x2 = 9600 Essa é uma equação de segundo grau incompleta, pois o coeficiente é igual a zero. Sempre que isso acontece, teremos duas raízes reais e opostas. A aplicação da fórmula de Bhaskara é viável, mas podemos considerar a operação radiciação na resolução de equações deste tipo. Observe, inicialmente, a aplicação do artifício da inversão:

Como a operação inversa da potência é a radiciação,

As raízes da equação são -80 e 80. Porém, as dimensões de um quadro não podem ser negativas, logo, descartamos a raiz negativa. Como a largura é 1,5 da altura, temos 1,5 .80=120 O quadro tem dimensões de 80 cm de altura e 120 cm de largura. Exemplo: Eu tenho 5 anos a mais que um amigo. O produto das nossas idades é 374. Quais são as nossas idades? Chamando a minha idade de , como tenho 5 anos a mais que meu amigo, teremos que x-5 é a sua idade. Como o produto das idades é 374, teremos: x.(x-5)=374 x2-5x=374 Logo: x2-5x-374=0.

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Aplicando a fórmula de Bhaskara, teremos:

Como não existe idade negativa, descartamos a raiz -17. Dessa forma, tenho 22 anos. Como sou 5 anos mais velho que meu amigo, a sua idade é 22-5=17 anos.

1.4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Até agora, vimos equações com apenas uma incógnita. Porém, existem situações modeladas matematicamente por equações que podem possuir mais de uma incógnita. Mais ainda, podemos ter um conjunto de equações com as mesmas incógnitas. Ao conjunto de equações, chamamos sistema de equações. Se as incógnitas tiverem expoentes unitários, as equações são chamadas lineares. Estendendo, a um conjunto de equações lineares chamamos sistema de equações lineares, ou, simplesmente, sistema linear. Observe a seguinte situação. José comprou dois cadernos e uma borracha e pagou pelos dois R$7,00. Seu amigo João comprou uma unidade a mais de cada produto e pagou R$11,50. Qual o preço do caderno e da caneta? Considere a incógnita c para o caderno e b para a borracha. José comprou 2 cadernos e 1 borracha por R$7,00, assim representamos essa situação da seguinte forma: 2c+b=7 João comprou uma unidade a mais de cada item e pagou R$11,50. Nesse caso, a equação é: 3c+2b=11,5 Neste caso, a solução para 2c+b=7 deve ser a mesma para 3c+2b=11,5.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Com isso, formamos o sistema Observe que as equações são lineares. Portanto, o sistema é linear. Vamos a outro exemplo. As equações x+y=7 e x-y=10 são lineares. O expoente das incógnitas x e y são iguais a 1. Lembrese de que expoente igual a 1 não precisa aparecer na equação. Isoladamente, cada uma das equações tem infinitas soluções. Mas, ao considerar o conjunto formado por elas, a avaliação requer atenção, pois temos de determinar se, entre as soluções, existem aquelas que são comuns às duas equações. O sistema é escrito da seguinte forma:

A chave indica que temos um conjunto de equações, o que caracteriza um sistema. A solução de um sistema linear é o conjunto das soluções comuns a todas as equações. Os sistemas podem admitir uma única solução, uma infinidade de soluções ou não admitir solução. Existem diferentes métodos de solução de sistemas de equações lineares. Destacaremos os dois mais comuns aplicados a sistemas formados por duas equações e duas incógnitas. São eles: o método da adição e o método da substituição.

1.4.1 Método da adição Neste método, devemos realizar a soma dos respectivos termos de cada uma das equações de forma a reduzirmos a uma equação com apenas uma incógnita. Se a simples soma das equações não permitir a redução a uma única incógnita, devemos recorrer ao princípio da igualdade e multiplicar todos os termos de uma das equações por um valor tal que permita, após a realização da soma, eliminarmos uma das incógnitas. Exemplo: Sistema com uma única solução Veja o seguinte sistema composto pelas duas equações:

Se realizarmos a soma das equações termo a termo, veremos que a incógnita será eliminada, assim, a soma permite seguirmos com a busca da solução.

Após a soma, ficamos com apenas uma equação com como a única incógnita. 2x=14

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Aplicando o princípio da igualdade, dividimos ambos os lados da igualdade por 2 e obtemos o valor de x.

De posse do resultado, basta escolher uma das equações do sistema e substituir o valor de x encontrado para que fiquemos novamente com uma equação com uma incógnita, y. Substituindo o x encontrado na primeira equação, obteremos: x+y=10 7+y=1 Aplicando o princípio da igualdade, subtraindo 7 em ambos os lados da igualdade, teremos: 7+y-7=10-7 y=3 A solução desse sistema permite como resultado apenas os valores x=7 e y=3. Exemplo: Sistema com infinitas soluções Considere o seguinte sistema composto pelas duas equações abaixo:

Se realizarmos a soma das equações termo a termo, não conseguiremos eliminar uma das incógnitas. Assim, vamos multiplicar a primeira equação por -2 e, então, tentaremos realizar a soma:

Realizando a soma, teremos:

Voltando ao sistema inicial, observe que a segunda equação é o dobro da primeira, logo, temos apenas uma equação e duas incógnitas. Portanto, o sistema admite infinitas soluções (indeterminado). Exemplo: Sistema que não admite soluções Observe o seguinte sistema composto das duas equações a seguir:

Se realizarmos a soma das equações termo a termo, não conseguiremos eliminar uma das incógnitas. Assim, vamos multiplicar a primeira equação por 2 e tentaremos realizar a soma. 20

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Realizando a soma termo a termo, teremos:

Com essa ação, eliminamos as duas incógnitas. Com isso, chegamos a uma afirmação absurda: 0=-2. Veja também que 2x+6=2, ao mesmo tempo em que -2x-6y=-4 (equivalente à 2x+6=4, basta multiplicá-la por -1). Nessas condições, dizemos que o sistema não admite soluções. Ele é dito impossível.

1.4.2 Método da substituição O método da substituição consiste em escolher uma das equações, isolando-a. Com isso, temos uma incógnita como função da outra. Feito o isolamento, substitui-se esse valor da incógnita na outra equação, fazendo com que a segunda equação fique apenas com uma incógnita. Exemplo: Sistema com uma única solução Veja o seguinte sistema composto das duas equações a seguir:

Isolando o x na primeira equação: x=10-y Agora, substituindo o valor de x na segunda equação:

Aplicando o princípio da igualdade, dividimos ambos os lados da igualdade por -2, o que nos leva ao valor de y.

De posse desse resultado, basta substituir o valor de y encontrado na equação x=10-y, e encontraremos o valor de x: x=10-3=7

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A solução do sistema permite como resultado apenas os valores x=7 e y=3. Exemplo 2: Sistema com infinitas soluções Seguimos o mesmo processo para o sistema:

Isolamos o x na primeira equação, obtendo: x+y=20 x=20-y Agora, substituímos o valor de x na segunda equação:

Com essa ação, eliminamos as duas incógnitas. Como obtivemos como resultado , o sistema admite infinitas soluções. Exemplo: Sistema que não admite soluções Considere o sistema

Isolamos o x na primeira equação, obtendo: x=1-3y Agora, substituímos o valor de x na segunda equação:

Assim, eliminamos as duas incógnitas. Como o resultado é 0=-2, o sistema não admite soluções. Também dizemos que ele é um sistema impossível. Você se lembra de José e João, que comparam cadernos e borrachas? Vamos retomar a situação e resolver o problema: qual o preço do caderno e da borracha? Para encontrar a resposta, devemos resolver o sistema:

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Podemos escolher qualquer um dos métodos (adição ou substituição). Utilizaremos o método da substituição. Isolando a incógnita b na equação de José, temos b=7-2c. Substituindo b na equação de João:

Reduzindo os fatores semelhantes, teremos: -c=11,5-14 -c=-2,5 c=2,5 Substituindo o c encontrado na equação de José em que isolamos o b, teremos: b=7-2.2,5 b=7-5 b=2. Assim, a caneta custa R$2,50 e a borracha custa R$2,00. As situações apresentadas até o momento envolvem igualdades. Mas há alguns problemas que envolvem desigualdades. Por exemplo, o custo do cimento deve ser maior que 2 unidades monetárias. Esses casos são modelados por inequações.

1.5 REVISÃO DE INEQUAÇÕES A inequações diferem das equações no fato de que o resultado está associado a uma desigualdade (valores menores que, ou valores maiores que), e não a uma igualdade. As desigualdades estão diretamente ligadas à relação de ordem no conjunto dos números reais. Ela afirma que, para quaisquer reais e , as únicas relações formadas por eles são: » » a é igual a b ( a=b); » » a é menor que b (a<b); » » a é maior que b (a>b). Por meio da reta numérica, podemos identificar com mais clareza as relações “menor que” e “maior que”. Observe a figura. a

a<b

a>b

Figura 5 - Relação de ordem em R. Fonte: Elaborada pela autora (2014). 23

CÁLCULO DIFERENCIAL

São essas relações que nos permitem afirmar que os números reais são ordenados. Em algumas situações, podemos estabelecer relações de ordem sob formas diferentes. » » a ≤ b: a é menor ou igual a b; » » a ≥ b: a é maior ou igual a b. O sinal de desigualdade divide a inequação em dois membros, os quais são compostos de elementos constituídos por dois tipos: elemento de valor constante: representado por valores numéricos; elemento de valor variável: representado pela união de números e letras. Uma inequação do 1o grau na incógnita x é qualquer expressão do 1o grau que pode ser escrita em uma das seguintes formas: ax+b>0 ax+b<0 ax+b≥0 ax+b≤0 em que e são números reais com . Exemplo: Encontre todos os números reais que satisfaçam a desigualdade: 1+2x<4x+7 Para resolver a inequação, aplique o mesmo raciocínio empregado na resolução de equações. Assim, no intuito de isolar x na inequação, subtraia 1 em ambos os lados da desigualdade, o que determina: 1+2x<4x+7-1 2x<4x+6 Tratamos o termo da mesma forma, somando -4x em ambos os lados: 2x-4x<4x+6-4x -2x<6 Dividindo ambos os membros por -2 e invertendo o sentido da desigualdade, teremos:

Você deve estar questionando o porquê da inversão da desigualdade. Isso ocorre pela ordenação dos reais. Sempre que multiplicamos ou dividimos uma inequação por números negativos, a relação de ordem se inverte. Por exemplo, se -3<5, podemos afirmar que 3>-5. De fato, como -3 é menor que 5, o seu oposto 3 é maior que oposto de 5, -5.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Assim, concluímos que: 1+2x<4x+7 se, e somente se, x>-3. O intervalo solução da desigualdade dada é (-3, +∞). Com a revisão dos princípios das inequações em R, seguimos com a retomada do conceito de função, tema que envolve todos os conceitos abordados até o momento e é, ousamos em afirmar, a essência do Cálculo Diferencial. Vamos lá.

1.6 REVISÃO DE FUNÇÕES Existem situações que envolvem relações entre conjuntos, que podem ter as mais diversas formas. Por exemplo, a espécie de uva determina a qualidade do vinho. Nesse caso, relacionamos o conjunto das espécies de uva com o conjunto das possibilidades para o vinho. Em Matemática, podemos relacionar o número de lados de um polígono regular com o número de diagonais. Aqui, temos o conjunto dos naturais maiores que 3 (não há polígonos com menos de 3 lados) e os naturais maiores que 2, número mínimo de diagonais para um polígono.

Polígono regular: são os polígonos cujos lados têm medidas iguais. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular. Diagonal de um polígono: é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos.

A relação entre dois conjuntos A e B não vazios, de tal modo que todo elemento de A esteja associado a um único elemento de B, é chamada função de A em B. Denota-se por f:A→B. Além disso, para todo x∈A, ele deve estar associado à f(x). Resumindo, a notação para a função é: f:A→B x↦f(x) É usual designar f(x) por y. Ao primeiro conjunto, chamamos domínio da função f, denotado por D. Assim, D(f)=A. O segundo conjunto é o contradomínio da função (CD). Logo, CD(f)=B. Já os elementos do segundo conjunto, que são resultado das associações de algum elemento de A, formam a imagem (Im) da função. Observe a figura.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Domínio A

Contradomínio B

f(x)

Imagem

Figura 6 - Elementos de uma função. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

O nosso foco aqui está nas funções matemáticas, ou seja, aquelas que podem ser modeladas por meio de uma expressão matemática. Essas expressões são as leis de formação das funções. Exemplos » » f:R→R, tal que f(x)=x2 D(f)=R, CD(f)=R e Im(f)=R+ » » g: f:R→R, tal que g(x)=2x+1 D(f)=R, CD(f)=R e Im(f)=R O estudo do domínio de uma função é fundamental para descrever a situação envolvida. Costumamos afirmar que o domínio é quem nos diz com o que trabalhamos. Veja o caso do número de lados de um polígono associado ao número de suas diagonais. Temos como possibilidade de lados de polígonos: 3, 4, 5, 6 e assim por diante. Se considerássemos o domínio como R, não teríamos satisfeita a definição de função. Afinal, qualquer número não natural maior que 3 não seria associado a qualquer número do conjunto das diagonais de um polígono. Assim, para que a função esteja bem definida, devemos considerar como seu domínio o conjunto dos naturais maiores ou iguais a 3: D(f)={x∈N│x≥3}. Existem alguns modelos clássicos de funções que, sendo construídas e bem caracterizadas, desenvolvem a habilidade de lidar com outros modelos. Destacamos aqui a função afim e a função quadrática.

1.6.1 Função Afim A função afim é aplicada comumente em situações reais nas diversas áreas da Engenharia. Uma função real a uma variável (f:R→R) é dita afim sempre que existam reais de modo que o modelo matemático seja da forma f(x)=ax+b para qualquer x∈R. Por exemplo, são funções afins: f(x)=5x-1,a=5 e b=-1g(x)=12x, a=12 e b=0h(x)=4, a=0 e b=4

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Uma função afim tem como representação gráfica (gráfico) uma reta determinada pela expressão algébrica (modelo matemático) que a representa. Veja o exemplo e sua representação gráfica

f(x) = -3x + 4

0 -2

g(x) = 2x - 1

Figura 7 - Gráfico de função afim. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

As funções representadas são f(x)=-3x+4 e g(x)=2x-1.

Os gráficos aqui apresentados foram construídos com a ferramenta Geogebra, desenvolvida para fins didáticos. Você pode criar seus próprios gráficos com ela. É um software livre disponível em: <www.geogebra.org.

Para determinar tais representações, basta considerar dois elementos do domínio e estabelecer (calcular) a sua imagem. Com isso, podemos traçar um esboço da representação gráfica. Por convenção, determina-se que o domínio está representado no eixo horizontal (, e o contradomínio, no eixo vertical (y). Vale destacar que gráfico de uma função f real a uma variável é o conjunto de todos os pontos (x,y), em que é o elemento do domínio de f e y a sua imagem, ou seja, y=f(x). Vamos considerar a função f(x)=-3x+4. Em um primeiro momento, definimos os pontos a partir da tabela construída para x=1 e x=2, escolhidos aleatoriamente. X

F(X)

f(1)=-3·1+4=1

f(2)=-3·2+4=-2

CÁLCULO DIFERENCIAL

A seguir, marcamos os pontos formados: (1,1) e (2,-2). Depois, resta apenas uni-los formando a reta.

Figura 8 - Gráfico da função f(x)=-3x+4. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Em função do comportamento das retas no plano cartesiano que representam função afim, os coeficientes e em recebem a seguinte designação: coeficiente : coeficiente angular coeficiente : coeficiente linear. A nomenclatura se deve ao que cada um dos coeficientes representa na função. O coeficiente angular representa a inclinação da reta em relação ao eixo x. Na verdade, o coeficiente a é a tangente do ângulo que a reta forma com este eixo. Assim, se a>0, a reta é crescente (tangente positiva), formando ângulo entre zero e noventa graus. Esse ângulo determina comportamento crescente à função. Na medida em que aumentamos os valores de x, sua imagem f(x) aumenta. Se, no entanto, a<0, a tangente do ângulo é negativa: a reta faz entre 90º e 180º com o eixo x. Isso determina comportamento decrescente à função, ou seja, ao aumentarmos os valores de x, a sua imagem diminui. Podemos perceber nas funções f(x)=-3x+4 e g(x)=2x-1 representadas na figura a seguir, que f é decrescente e g, crescente, pela análise do sinal do coeficiente angular.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

4 Função f

Função g 2

0 -2

Figura 9 - Função afim crescente e decrescente. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

O coeficiente linear representa a interseção da função com o eixo , ou seja, é determinado pela imagem do zero. De fato, os pontos sobre o eixo vertical são da forma . Assim, na função afim , temos que , formando o ponto . Observe o gráfico.

Figura 10 - Gráfico da função . Fonte: Elaborada pela autora (2014).

A função f(x)=x+2 tem em b=2 a interseção com o eixo vertical.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Você talvez esteja se perguntando se função afim e função de primeiro grau são idênticas. Isso não procede. Designamos por função de primeiro grau apenas aquelas funções afins em que o coeficiente a é não nulo.

Casos particulares da função afim recebem nomenclatura especial. Um caso especial da função afim é a função linear. A função afim na qual o real b (f(x)=ax) é igual a zero é chamada função linear. Por exemplo, a função f(x)=-5x é linear. As funções lineares têm uma particularidade em relação à representação gráfica. Observe o gráfico a seguir. g(x) = -3x

0 -4

-2

f(x) = 2x

Figura 11 - Função Linear. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Observe que, como b=0, a imagem de zero pela expressão da função nos leva também ao zero, ou seja, f(0)=a∙0=0. Assim, o ponto (0,0) sempre faz parte da representação gráfica da função linear. Em se tratando de função linear, para o caso do coeficiente angular ser igual a 1, temos a função identidade. A nomenclatura está associada justamente à expressão f(x)=x . Outro caso particular da função afim é a função constante, na qual o coeficiente a é igual a zero, ou seja, f(x)=b.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Como na função constante a imagem de qualquer real é a constante b, a representação gráfica é relativamente simples. O gráfico a seguir apresenta as funções constantes f(x)=-2 e g(x)=3. Você perceberá que temos retas paralelas ao eixo x.

Figura 12 - Função constante. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Com as funções constantes, encerramos o estudo da função afim. Vamos, agora, à função quadrática.

1.6.2 Função Quadrática As funções quadráticas (ou de segundo grau) são aquelas funções reais do tipo f(x)=ax2+bx+c; a≠0. Sua representação gráfica é a parábola. Alguns elementos da função quadrática são relevantes para a construção do seu gráfico. » » Concavidade – a parábola tem a concavidade conforme a seguinte condição: a>0: concavidade voltada para cima; a<0: concavidade para baixo.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Observe a figura.

f Y 3

0 0

a<0 Concavidade voltada para baixo

a>0 Concavidade voltada para cima

-1 g

Figura 13 - Concavidade da parábola. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Acompanhe a construção do gráfico da função f(x)=x2-6x+5. Cada passo realizado nos levará ao gráfico. Já vimos como definir a concavidade da parábola. No caso dessa função, a=1, portanto, a sua concavidade está voltada para cima. Agora, vamos aos pontos de intersecção entre a parábola e os eixos coordenados. Esses pontos servem como orientação para o esboço gráfico. Para identificar o ponto de intersecção da parábola com o eixo vertical y, basta calcular a imagem do zero: f(0)=a⋅02+b⋅0+c=c Logo, a parábola corta o eixo vertical no ponto . Para a f(x)=x2-6x+5, a intersecção da parábola com o eixo y ocorre em: f(0)=02-6⋅0+5=5 Observe que 5 é o valor de c. Logo, o ponto formado é (0, 5). Para as intersecções do gráfico de uma função quadrática com o eixo x, devemos buscar os valores para os quais a função é nula, ou seja, f(x)=0. Então, temos f(x)=ax2+bx+c=0. Logo, aplicamos a fórmula de Bhaskara. De acordo com os tipos das raízes (iguais, diferentes ou não existem), que dependem diretamente do discriminante, temos a informação que buscamos. » » Δ>0, então a equação tem duas raízes distintas x1 e x2. . Nesse caso, a parábola corta o eixo x em dois pontos: (x1,0) e (x2,0).

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

» » Δ=0, então a equação tem duas raízes reais. Logo, a parábola intercepta o eixo x no ponto (x, 0), sendo x a raiz encontrada. » » Δ<0, então a equação não tem raízes reais. Com isso, a parábola não corta o eixo horizontal x. Para a nossa função f(x)=x^2-6x+5, temos: » » corte no eixo y: ponto (0,5); » » corte no eixo x: em (1, 0) e (5, 0). Os valores 1 e 5 foram determinados pela fórmula de Bhaskara. Para caracterizar a parábola como representação gráfica de uma função quadrática, basta estabelecer o seu vértice que é dado pelas coordenadas . No caso da função f(x)=x2-6x+5, o seu vértice é o ponto

A partir desses elementos, estamos aptos a construir o gráfico da função : f Y

7 6 5

(0,5)

4 3 2 1 (1,0)

0 -5

-4

-3

-2

-1

(5,0) 2

-1 -2 -3 (3,4)

-4

Figura 14 - Gráfico da função . Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Exemplo: f(x)=x2+3x+2 Calculando as raízes da equação, temos:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Discriminante: ∆=b2-4ac=32-4.1.2=9-8=1

Logo,

Temos duas raízes reais e diferentes. Representado a função graficamente, temos: f 3

1 0 -4

-3

-2

-1

Figura 15 - Representação gráfica do exemplo. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Exemplo: Construa o gráfico para a função y=3x+2. Para a construção do gráfico, basta atribuir valores para x de forma a determinar os valores de y. Como a função dada é afim, sabemos que a sua representação gráfica é uma reta, ou seja, apenas dois pontos são necessários. Dessa forma, teremos: X

3.0 + 2 = 2

3.1 + 2 = 5

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Figura 16 - Representação gráfica do exemplo. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

CONCLUSÃO Nesta aula, você fez uma revisão dos conteúdos essenciais da Matemática, que serão fundamentais para trilhar seu caminho ao longo desta disciplina de Cálculo Diferencial. Você relembrou o que são os conjuntos, especialmente o dos Números Reais, que comporta os elementos formados pelo sistema numérico, ou seja, os números positivos, negativos e o zero. Em outras palavras, o conjunto dos Números Reais engloba afirmações verdadeiras que não precisam de provas de sua validade. Você também recordou como resolver equações e viu algumas situações nas quais elas podem ser muito úteis. Elas são utilizadas para representar uma igualdade entre duas expressões matemáticas. Nesta aula, também mostramos alguns sistemas de equações, que podem ter apenas uma solução, infinitas soluções ou nenhuma solução possível. Também relembramos rapidamente as inequações, que são muito parecidas com as equações, com a diferença que representam desigualdades, e não igualdades. Por fim, você também viu as funções matemáticas e suas aplicações, e relembrou como representálas graficamente.

AULA 2 Limites

INTRODUÇÃO A palavra limite não deve ser estranha para você. No dia a dia, usamos esta expressão para nos referirmos a marcos finais. No Cálculo, limite tem a mesma conotação, embora transposta para o contexto matemático. Mais especificamente nesta disciplina, o limite é uma forma de aproximação aplicada para que os erros envolvidos na imprecisão das aproximações nos cálculos tendam a zero (ROONEY, 2012). O conceito de limite é empregado em diversas áreas, como Física, Engenharia, Economia e Biologia. O seu estudo requer o desenvolvimento da habilidade de abstração, que faz com que você raciocine logicamente, planejando estratégias importantes para a execução de qualquer atividade na sua área de formação. Esta aula começa com a exploração intuitiva da ideia de limite. Na sequência, você verá como aplicá-la à noção de continuidade de funções. Por fim, você será apresentado às taxas de variação. Vamos lá!

CÁLCULO DIFERENCIAL

OBJETIVOS » » Compreender a teoria dos limites de maneira intuitiva. » » Calcular taxa de variação média.

2.1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE O conceito matemático de limite foi construído principalmente para resolver questões nas quais não se conseguia chegar a resultados esperados apenas com a utilização dos números inteiros. Para entender melhor, você conhecerá agora o Paradoxo de Zenão.

Paradoxo: é uma afirmação (proposição) que contraria a opinião comum. É uma contradição.

Para demonstrar o absurdo de lidar apenas com unidades inteiras, por menores que fossem, o filósofo Zenão, da Grécia Antiga, propôs a seguinte situação: uma corrida entre Aquiles, um herói grego, e uma tartaruga (ROONEY, 2012). Nessa situação hipotética, a tartaruga teria vantagem de um dia, ou seja, ela daria a largada antes de Aquiles. A cada dia, cada corredor deveria percorrer a metade do trajeto que faltava para atingir o destino. Com isso, Zenão pretendia mostrar que, por mais estranho que possa parecer a princípio, Aquiles nunca alcançaria a tartaruga e nenhum dos dois chegaria à marca final da competição. Para entender melhor, imagine que o total do trajeto tem 4 km. Assim, no primeiro dia, ambos teriam de percorrer 2 km. No dia seguinte, a tartaruga e Aquiles correriam a metade da distância que faltava, ou seja, apenas 1 km. Ao iniciar a corrida no terceiro dia, como haveria ainda 1 km para a chegada, eles percorreriam uma distância ainda menor: apenas 0,5 km. Dia após dia, Aquiles e a tartaruga percorreriam distâncias cada vez menores, sem nunca alcançarem a marca final. Observe a figura adiante. Ela indica d1, d2, d3,…, que representam as distâncias percorridas no primeiro dia, no segundo, no terceiro, e assim sucessivamente.

1/2

3/4

Figura 17 - Trajetória dos corredores. Fonte: Silva (2014).

7/8

15/16 1

AULA 2 – LIMITES

O paradoxo ficou sem solução até o século VII, quando o matemático Gottfried Wilhem Leibniz estabeleceu o conceito de limite para sequências numéricas (ROONEY, 2012). Vamos adaptar a situação proposta por Zenão para a formação de uma sequência de números reais. Para isso, imagine que um corredor queira tentar, na prática, verificar a proposta de Zenão, percorrendo uma distância d=1 km. Observe que, no primeiro dia, o corredor percorre , km. Na segunda etapa, a distância percorrida deve ser a metade da metade restante, ou seja:

Assim, no segundo dia, ele terá de correr km. Mas o corredor não parou. Continuou a corrida no terceiro dia, no quarto, e assim por diante. Considere que o corredor seguiu o processo por sete dias consecutivos. Dessa forma, podemos registrar as distâncias diárias percorridas na forma da sequência de números reais:

Se fosse possível correr indefinidamente, sempre buscando atingir a marca final, a sequência numérica teria infinitos termos:

Você deve ter percebido que, a cada dia, a distância percorrida é menor. Transformando as frações em números decimais, esse comportamento fica mais evidente: 0,5;0,25;0,125;0,0625;… Note que as distâncias estão se aproximando de zero. Isso prova que o corredor vai diminuindo cada vez mais a distância percorrida.

O filósofo grego Zenão formulou mais alguns paradoxos interessantes. Caso queira conhecê-los, leia o capítulo 3 da obra “A história da Matemática”, de Anne Rooney. É um texto de fácil leitura e com elementos curiosos sobre o desenvolvimento da Matemática.

Até aqui você viu a sequência formada pelas distâncias percorridas diariamente. Agora, vamos construir outra sequência, desta vez formada pela distância total percorrida desde o primeiro dia até o momento do registro. Para isso, consideramos a distância como 1 km. Anotando a distância correspondente ao total percorrido a cada dia, formamos a sequência numérica:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Como chegamos a essa sequência? Observe a seguir. » » Primeiro dia: ½ (a metade da distância total). » » Segundo dia:

Como o corredor percorreu ¾ do percurso

total, resta ¼ para os dias subsequentes. » » Terceiro dia:

E assim sucessivamente. É usual denotar sequências numéricas por meio de letras minúsculas indicando seus termos, cada um com o indicativo em seu índice para a sua posição: (a1, a2, a3,…, an,….). O termo an é o n-ésimo termo da sequência. Veja mais alguns exemplos de sequências numéricas. a) (2,4,6,8,10,…); b) (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ....); c) (5,5,5,5,5,5,….); d) (-1,1,-1,1,-1,1,…). Ao observá-las, perceba que: » » nas sequências e (b), seus termos estão aumentando infinitamente; » » a sequência (c) é um exemplo de sequência constante. Seus termos são todos iguais; » » em (d), os termos da sequência se alternam entre 1 e -1. Sequências como essa são chamadas sequências alternadas. Agora, vamos analisar o comportamento dos elementos das duas sequências apresentadas na situação do corredor. Na medida em que os dias passam, as distâncias diárias percorridas diminuem cada vez mais. Ao mesmo tempo, a distância percorrida ao final do dia aumenta, embora cada vez menos. Ou seja, a cada dia, o percurso total se aproxima mais e mais de 1, mas a passos cada vez mais lentos. Tabela 1 - Comportamento das distâncias percorridas

DIA

DISTÂNCIA TOTAL PERCORRIDA (EM KM)

DISTÂNCIA DIÁRIA (EM KM)

0,5

0,75

0,25

0,875

0,125

0,9375

0,0625

0,96875

0,03125

Fonte: Silva (2014).

AULA 2 – LIMITES

Veja o que acontece na figura a seguir. Os pontos que representam as distâncias percorridas se concentram mais e mais em direção ao 1, porém sem atingi-lo.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 d4

1 d6...

Figura 18 - Distâncias percorridas a cada dia pelo corredor. Fonte: Silva (2014).

Reflita: se fosse possível seguir infinitamente a corrida, a distância diária percorrida seria cada vez menor, mas nunca seria zero. Considerando uma sequência an em que n é a quantidade de dias, dizemos que, na medida em que cresce indefinidamente, ou seja, tendendo a infinito, o termo da sequência tende a zero. Denotamos essa afirmação por: limn→∞(an)=0. Lê-se: o limite da sequência quando tende a infinito, é igual a zero. Nesse caso, dizemos que a sequência converge para zero. Designando a sequência formada pelas distâncias totais percorridas pelo nosso atleta por , temos que: limn→∞(bn)=1, ou seja, a sequência é convergente e converge para 1. De fato, à medida que os dias estão passando, o corredor está mais próximo do marco final, que é em 1 km. Mas, mesmo correndo para sempre, ele jamais chegará ao destino. Veja outros exemplos. Exemplo: Considere a sequência (an) com n∈N definida por correspondente a ele é calculado por .

, ou seja, para cada n natural, o termo

Desta forma, temos:

CÁLCULO DIFERENCIAL

e assim por diante. Enumerando os elementos de Em números decimais: 0,5; 0,6666..., 0,75; 0,8; 0,833...; 0,857...; ...; 0,980...; ...; 0,999; ... A cada termo da sequência, o numerador jamais será igual ao denominador. Por essa razão, os termos estão se aproximando de 1, mas nunca serão iguais a 1, independentemente de . Logo, a sequência é convergente e converge para 1, ou seja: limn→∞an=1. Exemplo: Seja a sequência (bn), n∈N formada por bn=2n. Enumerando alguns elementos, temos: 20; 21; 22; 23; 24; 25; … ou seja: Na medida em que n cresce, os termos também crescem indefinidamente. Logo, a sequência não é convergente. Sequências que não convergem para nenhum número são ditas divergentes. Assim, não existe o limite. A série alternada é outro exemplo de sequência convergente. Por exemplo: 5; -5; 5; -5; 5; -5... Vamos seguir com a noção de limite, mas agora considerando funções. A análise de limites de funções requer a observação de sucessões de valores: uma para x e outra para f(x), o que requer tratamento especial.

2.2 LIMITE DE FUNÇÕES Ao falar na existência de limites para funções, a ideia é idêntica àquela disposta para sequências numéricas. No entanto, aqui, nem sempre é possível formar sequências numéricas com todos os valores do domínio. Basta observar que não é possível enumerar todos os reais, como fazemos com os naturais, em que é permitida a enumeração. O conjunto dos números naturais é, por isso, um conjunto discreto. Em geral, identificamos alguns valores para formar sequências que nos mostram o comportamento da função. Além disso, temos a relação entre dois conjuntos, domínio e contradomínio, a partir de uma lei de formação. Para motivá-lo, consideramos a função , definida para todos os reais, exceto zero. O número real x=0 não pertence ao domínio da função, pois a divisão não é definida por zero, ou seja, não existe. A figura apresenta o gráfico de f que, como dito anteriormente, não tem em x=0 um ponto pertencente a ele.

AULA 2 – LIMITES

4 3

1 f(x) = _ x

2 1 0 -4

-3

-2

-1

-1 -2 -3

Figura 19 - Gráfico de

Fonte: Silva (2014).

Voltaremos nosso olhar à parte positiva desta função, ou seja, o gráfico construído a partir de valores maiores que zero (x>0). Vamos considerar sequências formadas por alguns elementos de x e de f(x) para que você possa acompanhar o comportamento da função e associá-lo à noção de convergência de sequências numéricas. » » Sequência para valores de x: (1,2,3,4,5,6,...). » » Sequência para valores de f(x):

( 1. 1 )

1 ( 2. _ ) 2

1 ( 3. _ ) 3

1 ( 4. _ ) 4

1 ( 5. _ ) 5

1 ( 6. _ ) 6

0 0

Figura 20 - Gráfico da

para os reais positivos.

Fonte: Silva (2014).

Perceba que a sequência está convergindo para zero. De fato, na medida em que aumentamos os valores de , a sua imagem diminui.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Nas frações do tipo , em que k é um número real qualquer, quanto maior o denominador, menor será a quantidade expressa por ela. Por exemplo, ; e . Os denominadores aumentaram, mas o numerador se manteve constante.

Um detalhe importante é que as imagens f(x) diminuem para valores de x, tendendo ao infinito, sem nunca chegar a zero. Isso ocorre porque, para qualquer valor de x, nunca teremos . Assim, o gráfico não corta o eixo horizontal. Da mesma forma, quando x tende para -∞, a função também se aproxima de zero, desta vez por valores negativos no eixo vertical. Dizemos, então, que a sequência formada por f(x) quando os valores da variável x aumentam, é convergente e converge para zero. Como a notação para a expressão “tende”, no estudo do Cálculo, é a seta →, podemos representar a afirmação “x tende a” como x → a. Por essa notação, temos: f(x)→0 quando x→∞ que se lê “f(x) tende a zero quando x tende a ∞”.

A densidade dos reais nos impede de enumerar as imagens da função e, por isso, de formar sequências numéricas. Por exemplo, se pensarmos em , é impossível identificar o próximo número da sequência. Pensando, por exemplo, no f(1,0001), temos, entre 1 e 1,0001, infinitos reais. Densidade de um conjunto: é uma propriedade importante de R e significa que, quaisquer que sejam dois números reais distintos, sempre haverá um real entre eles. É por isso que a reta numerada representa bem o conjunto dos números reais. Ela é contínua, sem nenhum “espaço vazio”.

Existem três tipos de limite: finitos, no infinito e infinitos. Para os nossos estudos, o mais importante é que você conheça a noção de limite finito, ou seja, quando x tende a um valor determinado.

2.2.1 Limites finitos Considerando mais uma vez a representação gráfica da função , para x∈R+*, escolhemos aleatoriamente a=3. Para uma aproximação de a=3 por valores à sua esquerda, a função tende a conforme mostra a figura.

AULA 2 – LIMITES

2 f(x) se aproxima de 1/3.

1 1 ( 3. _ ) 3

1/3 0 0

-1

Aproximação pela esquerda: _ x 3

-1

Figura 21 - Aproximação pela esquerda . Fonte: Silva (2014).

Dizemos que x→3 pela esquerda, ou seja, se aproxima de 3 por valores menores, e denotamos por x→3-. A tabela considera uma aproximação de 3 à esquerda para alguns valores, favorecendo a leitura gráfica. Tabela 2 - Aproximação de 3 pela esquerda

F(X)

2,9

0,344827

2,99

0,33444816

2,999

0,33344481

2,9999

0,33334444

...

... Fonte: Silva (2014).

Com isso, é intuitivamente observado que, quanto mais nos aproximamos de 3 pela esquerda, mais os valores de f(x) se aproximam de 0,33333….= . Podemos escrever essa afirmação da seguinte forma:

Lê-se: o limite da função f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é . Podemos avaliar intuitivamente a existência do limite de f(x) para x tendendo a 3 pela direita de modo análogo, como você pode observar na tabela. A aproximação pela direita é denotada por x→3+. Tabela 3 - Aproximação de 3 pela direita

F(X)

3,1

0,322580645

3,01

0, 33225913

3,001

0,333222259

3,0001

0,333322222

...

... Fonte: Elaborado pela autora.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Na medida em que nos aproximamos de 3 pela direita, os valores de f se aproximam de

. Logo,

Os limites à esquerda e à direita são chamados de limites laterais. Nesse caso, os limites laterais de f para x→3 são iguais e, nessas condições, dizemos que o limite da função quando x tende a 3 é igual a :

O limite limx→3f(x)=

coincide com f(3)=

Generalizando, considerando f uma função e a um número real qualquer, o limite da função é L quando os valores de f(x) se aproximam de L sempre que x tende a a pela esquerda e pela direita.

Exemplo: Seja f(x)=x2+1. Sabemos que f(2)=22+1=5 .Vamos observar o comportamento da função quando se aproxima pela direita e pela esquerda de x=2. Observe o gráfico de f. 6 f 5

4 3 2 1 0 -3

-2

-1

-1 x

3 x

Figura 22 - Aproximação de f(x) em x=2. Fonte: Silva (2014).

Pelo gráfico, concluímos que, pela esquerda e pela direita de x=2, f(x) tende a f(2) = 5. Assim: limx→2 - x2+1 = limx→2 + x2+1=limx→2 x2+1 = 5 = f(2).

AULA 2 – LIMITES

Em algumas situações, os limites laterais são diferentes, determinando que o limite não existe. Exemplo: Considere a função representada graficamente a seguir e definida por duas sentenças:

1,5 1 0,5 0 0

0,5

1,5

2,5

Figura 23 - Gráfico de f. Fonte: Silva (2014).

Se pensarmos no comportamento da função f em torno de x=1, pela lei de formação de f, sabemos que f(1)=1,5. De fato, como 1,5 é maior que 1, a sua imagem por f é calculada pela função constante f(x)=1,5. Além disso, em x=1 há uma “quebra” em f, o que resulta em duas partes na sua representação gráfica. Por isso, vamos nos fixar neste elemento de “quebra” para verificar a existência do limite limx→1f(x) e, assim, conhecer o comportamento de f em torno de x=1. Para tal, é necessário identificar os limites laterais. a) Limite lateral à esquerda de x=1. Para avaliar o limite de f à esquerda de 1, a expressão que define a função é f(x)=x. Fique atento, pois f(1) não é calculado por essa expressão, pois ela só é atribuída para x<1. Observe no gráfico que a aproximação de x=1 pela esquerda corresponde a imagens que se aproximam de 1 por valores menores, conforme indica a figura. 2

0 0

Figura 24 - Aproximação pela esquerda de x=1. Fonte: Silva (2014).

CÁLCULO DIFERENCIAL

As setas indicam as aproximações nos eixos. A tabela enfatiza esse comportamento, indicando alguns valores próximos a 1 pela esquerda do domínio e suas respectivas imagens. Tabela 4 - Aproximação pela esquerda de x=1.

F(X)

0,9

f(0,9)=0,9

0,99

f(0,99)=0,99

0,999

f(0,99)=0,99

0,999

f(0,99)=0,99

...

... Fonte: Silva (2014).

Foram considerados valores inferiores a 1 com diferenças decimais entre eles.

A escolha deve ser sempre por valores bem próximos para que se alcance o resultado correto para o limite, caso exista.

Pelo exposto, concluímos que limx→1- f(x)=1. Para verificar a existência do limite de f para x tendendo a 1, devemos, também, avaliar o limite lateral à direita. b) Limite lateral à direita de x=1. A função f é constante igual a 1,5 para todo x≥1. Observe no gráfico que a aproximação de x=1 pela esquerda corresponde a imagens que se aproximam de 1 por valores menores. Portanto, ao nos aproximarmos de 1 pela direita, temos que limx→1+ f(x)=1,5.

1,5 1 0,5 0 - 0,5

0,5

1,5

2,5

Figura 25 - Aproximação a direita de x=1. Fonte: Silva (2014).

AULA 2 – LIMITES

Como os limites laterais são diferentes: limx→1- f(x)=1 e limx→1+ f(x)=1,5, dizemos que não existe limx→1 f(x). Agora que você já conhece os limites finitos, é hora de ver um teorema que facilita o cálculo de limites de funções, estabelecendo propriedades operatórias importantes.

2.2.4 Propriedades operatórias Teorema: Seja c uma constante (número real), duas funções f, g tal que e limx→a g(x)=M. Então: 1) limx→a[f(x)±g(x)] = limx→af(x)± limx→ag(x) = L ± M; 2) limx→a[k⋅f(x)] = k ⋅ limx→af(x)=k⋅L 3) limx→a [f(x) ⋅ g(x)] = limx→af(x) ⋅ limx→a g(x) = L ⋅ M; 4) limx→a

, desde que M≠0.

A partir das propriedades do teorema, você terá algumas facilidades caso queira estabelecer o limite de uma função. Exemplo: Para calcular o limite da função f(x)=x3+4 quando x tende a 1, ou seja, limx→1 x3+4, é possível considerá-la como f(x)=g(x)+h(x), em que g(x)=x3 e h(x)=4. Pelo teorema, item (1): limx→1 f(x) = limx→1 g(x)+h(x)= limx→1x3+limx→1 4. Para verificar a existência do limite limx→1 x3, é necessário estudar os limites laterais à esquerda e à direita. Caso sejam iguais, o limite existe. Para isso, você pode construir uma tabela, como você já viu em situações anteriores nesta aula, com valores próximos de 1 pela esquerda e pela direita. É importante destacar que a escolha de valores para as aproximações é aleatória, mas sempre buscando valores bem próximos, no caso, de x=1. Tabela 5 - Aproximações para x=1

X G(X)

0,9

0,99

0,999

0,9999

1,0001

1,001

1,01

1,1

0,729

0,9703

0,997

0,9997

1,0003

1,003

1,0303

1,331

Fonte: Silva (2014).

Observe que, pela esquerda e pela direita, os valores de g se aproximam de 1 quando x→1. Logo: limx→1- x3 = limx→1 + )x3 =1.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Avaliando o limx→1 x3 por meio das informações da tabela que contém aproximações à direita e à esquerda de x=1, temos que limx→1- x3 =1. Ainda precisamos estabelecer o limite da função constante h(x) = 4, quando x tende a 1: limx→1 4. Como a função é constante, as aproximações nos levam a 4. A tabela, mesmo que redundante, pode fazê-lo compreender melhor esse comportamento. Tabela 6 - Aproximações para x=1 em h(x)=4

X H(X)

0,9

0,99

0,999

0,9999

1,0001

1,001

1,01

1,1

0,9997

Fonte: Silva (2014).

Assim: limx→1 f(x) = limx→1 x3+limx→1 4 = 1+4=5. Agora você conhecerá o conceito de continuidade.

2.3 CONTINUIDADE Vimos que, para a função , existe o limite limx→3 f(x) e é igual a . Quando esse comportamento ocorre, dizemos que a função é contínua em x=3. Pela continuidade em x=3, podemos observar que não há nehuma quebra ou uma mudança brusca na função. Resumindo, dizemos que uma função f definida em um domínio D é contínua em a real sempre que são verdadeiras as seguintes condições: 1) existe f(a), ou seja, a∈D; 2) existe limx→a f(x); 3) f(a)=limx→a f(x) Assim, formalizando a continuidade de »»

em x=3:

;

»» »»

, implicando na existência do limite

;

Logo, f é contínua em x=3. Se ao menos uma das três condições não for satisfeita, dizemos que a função é descontínua em a. Nesse caso, a função f tem uma descontinuidade em a. Exemplo: Seja a função f(x)=x2-5x+4 definida para todos os reais exceto x=3, ou seja, D(f)=R-{3}, representada graficamente na figura a seguir.

AULA 2 – LIMITES

1 0 0

-1 -2 -3 Figura 26 - Gráfico de f(x)=x2-5x+4. Fonte: Silva (2014).

Será que f é contínua em x=2? E em x=3? A resposta para cada uma dessas questões deve ser encontrada verificando as três condições para a continuidade.

Caso uma das condições da continuidade não seja satisfeita, não há necessidade de verificar as demais.

Para x=2: 1) f(2)=22-5⋅2+4=-2. Logo, a condição é satisfeita. 2) Para verificar limx→2 f(x), devemos calcular, caso existam, os limites laterais, o que pode ser observado no próprio gráfico. Vimos que, tanto à esquerda quanto à direita de x=2, a função se aproxima de -2. Os limites laterais são iguais. Então, concluímos que existe o limite e ele é limx→2 f(x)=-2. 3) Como f(2) limx→2 f(x)=-2, podemos afirmar que f(x)=x2-5x+4=-2 é contínua em x=2. Agora, vamos avaliar a continuidade de f(x)=x2-5x+4 em x=3. Pela definição de f, ela não está definida em x=3. Como a primeira condição não é satisfeita, então f não é contínua em x=3. Nesse caso, dizemos que f é descontínua no ponto x=3. O gráfico sinaliza essa descontinuidade ao mostrar que há um ponto aberto em x=3.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Uma função é dita contínua se, para todo x pertencente a determinado intervalo, ela for contínua.

Você deve ter percebido que limites estão diretamente relacionados ao comportamento das funções, o mesmo acontecendo com o conceito de continuidade. Associada a estas questões, está a taxa de variação, que avalia o quanto os valores de uma função crescem em relação à variação no domínio. Esse é o tema da nossa próxima seção.

2.4 TAXA DE VARIAÇÃO No nosso dia a dia, muitas vezes nos deparamos com a comparação entre duas grandezas, como a variação da temperatura em determinado dia em relação à quantidade de chuva, a velocidade média em que o carro se desloca em dias de trânsito congestionado e o tráfego de dados em relação à velocidade da internet. Ao comparar as grandezas, é comum buscarmos uma representação para as variações apresentadas, o que nos leva a construir razões (quocientes) entre os dados envolvidos. Por exemplo, se a temperatura aumentou 5 °C para 20 mm de chuva, podemos compor a razão , que é igual a 0,40 ou, em termos percentuais, 40%. Logo, a temperatura aumenta a uma razão de 40% em relação à precipitação. Vamos considerar a seguinte situação: você está no trânsito e, na primeira hora, consegue se deslocar 3 km. Nas próximas duas horas, o trânsito flui melhor e você consegue avançar 27 km. Na sua indignação pelo caos das estradas nos últimos tempos, você busca a velocidade média empreendida nos 30 km percorridos nessas 3 horas. Quilômetros 0

2 1 hora

2 horas

Figura 27 - Deslocamento do carro. Fonte: Silva (2014).

A velocidade média, também chamada taxa de variação média, é a relação entre o deslocamento e o tempo. É, na verdade, a razão entre os acréscimos das grandezas envolvidas. Representando a velocidade média por Vm, temos:

Generalizando, dadas duas grandezas x e y que sofrem variação de x0 para x1 e y0 para y1 respectivamente, a taxa de variação T de y em relação a é a razão entre as variações:

AULA 2 – LIMITES

No Cálculo, é usual a notação ∆ para representar variação. Assim, temos que

em que:

∆y indica acréscimo de y; ∆x indica acréscimo em x. Exemplo: Considere a função h(t)=2t-5 definida em R. Qual é a taxa de variação de h quando t varia de 4 para 6? Primeiramente, h é uma função afim, com coeficiente angular 3 e coeficiente linear -5.

8 Y1 6

4 Y0 2

0 0

-1

4 X0

6 X1

-2

Figura 28 - Gráfico de h(t)=2x-5. Fonte: Silva (2014).

Como a taxa de variação requer a variação da grandeza t e da grandeza h(t), temos: to=4 e t_1=6 h(to)=2⋅4-5=3 h(t1)=2⋅6-5=7 Assim, a taxa de variação de h em relação à variável t é:

Exemplo: Um ponto móvel qualquer se desloca de um ponto A para um ponto B, conforme o tempo, de to a t1. O gráfico apresenta o seu deslocamento em função do tempo.

CÁLCULO DIFERENCIAL

f(t 1 )

f(t 0 )

0 0

-1

4 t1

6 Tempo (t)

-1

Figura 29 - Gráfico da função . Fonte: Silva (2014).

Lembre-se de que calcular a taxa de variação do deslocamento em função do tempo, na Física, significa encontrar a velocidade média do percurso. Pela definição de taxa de variação:

Pela malha destacada no gráfico, temos que:

Logo, o ponto móvel se desloca a uma velocidade média de 0,666. Com a taxa de variação, concluímos esta aula.

CONCLUSÃO Nesta aula, você foi apresentado ao conceito de limite de sequência numérica, que o levou a avaliar a existência de limite de funções em determinados pontos. Esse conceito é a essência do Cálculo Diferencial e Integral. Os argumentos para limites foram de caráter intuitivo, mas prepararam seu pensamento lógico e abstrato para resolver problemas envolvendo limites. Na sequência, destacamos o estudo da continuidade de função em determinado ponto. Vimos que, para valores onde as funções apresentam quebras ou mudanças bruscas em seu comportamento, há pontos de descontinuidade. Depois, você foi apresentado a um conceito de taxa de variação de grandezas, que é o ponto inicial para definirmos derivadas na próxima aula.

AULA 3 Introdução a Derivadas

INTRODUÇÃO O estudo de movimentos nas mais diferentes áreas envolve o conceito de taxa de variação, que você estudou na aula 2. Continuaremos a abordá-la, agora sob um novo olhar do Cálculo. Esta aula apresenta a construção do conceito de derivada a partir da taxa de variação e como inclinação de retas, elementos importantes para o estudo das funções. O assunto está presente em diversas ciências, como a Física, a Economia e a Engenharia. Um exemplo é o estudo de resistência do concreto. A análise da composição e resistência desse material envolve a relação entre a variação na quantidade de determinado componente e a resistência do produto final. Já na Economia, há conceitos importantes que envolvem taxa de variação, como elasticidade de um bem de consumo e funções marginais. O que você verá nesta aula é o ponto de partida para identificar os máximos, mínimos, a concavidade e alguns outros elementos importantes no tratamento das funções. Além disso, há um passo relevante no cálculo: o conceito de função derivada, que você verá de forma gradual.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Para melhor construir os conceitos aqui apresentados, é importante que você reforce seus conhecimentos de funções e limites apresentados nas aulas anteriores. Desejamos a você uma boa leitura!

OBJETIVO » » Conhecer os conceitos de derivada e de função derivada.

3.1 DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO Vamos explorar, inicialmente, a ideia de derivada a partir da variação de uma função, retomando os conceitos estudados na aula 2, na situação proposta a seguir. Suponha que um objeto caia do bolso de um paraquedista, por descuido, de uma altura de 1.500 metros. O paraquedista conhece o comportamento da queda de um objeto nessas condições, determinado pela função que calcula a distância do objeto em relação ao solo (altura) em metros pela função f(t)=-1.500t+3.000 em segundos. A figura a seguir apresenta o gráfico de f. Distância(m) 3000

Tempo (s)

Figura 30 - Gráfico de f(t)=-1.500t+3.000. Fonte: Silva (2014).

Pela função, podemos determinar, por exemplo, qual a altura do objeto em relação ao solo ao passar 0,5 segundo: f(0,5)=-1.000⋅0,5+3.000=-500+3.000=2.500 m Dessa forma, você pode descobrir a altura do objeto em qualquer instante. No gráfico, é possível identificar que o tempo total de queda do objeto é igual a 2 s. Sabe como chegar a essa conclusão? Basta observar o ponto (2,0): f(2)=-1.500⋅2+3000=0 Esse ponto indica que, em 2 segundos, a altura é igual a zero. Ou seja, o objeto atinge o solo em 2 segundos. Você sabe dizer qual é a taxa média de variação da altura do objeto em relação ao tempo transcorrido na queda? A taxa de variação, no caso da altura, é a razão entre a variação do deslocamento e a variação do tempo. Então, se o objeto se desloca em queda livre entre instantes to e t, a altura varia de f(to) para f(t). A taxa média de variação da altura é dada por:

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

Por exemplo, a taxa média de variação de to= 0,5 s até t=1 s é:

Em que: f(0,5)=-1.500⋅0,5+3.000=-0,750+3.000=2.250 m f(1)=-1.500⋅1+3.000=1.500 m O comportamento negativo da taxa de variação indica que uma das variáveis está em sentido contrário à outra. Nesse caso, a taxa de variação é negativa, pois a altura diminui na medida em que o tempo passa. Vamos retornar à expressão geral da taxa de variação: , que envolve variações de altura e de tempo. Em geral, utilizamos a letra grega ∆ (delta) para denotar variação. Logo, a expressão da taxa de variação pode ser escrita por:

Em que ∆f é a variação da altura e ∆t, a variação do tempo.

A variação do tempo ∆t é diferente de zero. Ela pode ser infinitesimal, mas nunca será nula. Variação zero não faz sentido algum.

Em alguns momentos do Cálculo, você será apresentado à letra grega δ que também é chamada delta. De fato, δ é delta minúsculo e ∆, delta maiúsculo.

De modo geral, para uma função , a taxa média de variação é dada por . Agora, vamos considerar um pertencente ao domínio de e acrescentar a ele uma medida (ou acréscimo), que chamamos de Por exemplo, se é igual a 2, podemos considerar um acréscimo de Assim, temos outro ponto em para . Então, manteremos fixo e acrescentamos à medida conforme indica a figura.

CÁLCULO DIFERENCIAL

f(x)

f(x 0 + Δx) Δf f(x 0 ) K x0

x 0 + Δx

Δx

Figura 31 - Gráfico de y=f(x). Fonte: Silva (2014).

A taxa média de variação da função f é:

Agora, imagine que essa variação tenda a um número cada vez menor, a valores ínfimos, ou seja, ∆x tenda a zero. Isso significa considerar valores de x+∆x cada vez mais próximos de x. Exemplo: Seja a função f(x)=x2-2x+2. Considere fixo o valor x=2 e uma variação de ∆x=1 unidade. Observe no gráfico as medidas das variações ∆x e ∆f nos eixos. f 6 5 Δf = 3

f(x+Δx)

4 3 f(2) 2 1 0

-4

-3

-2

-1

-1 Δx = 1 -2

Figura 32 - Gráfico de f(x)=x2-2x+2. Fonte: Silva (2014).

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

Para x variando de x=2 a x=2+∆x=2+1=3, a taxa média de variação é:

O nosso próximo passo é considerar, no lugar de ∆x=1, uma redução para ∆x=0,1. Então, 2+∆x=2+0,1=2,1 e:

A taxa média passou de 3 para 2,1, apresentando uma redução de 0,9. Seguindo esse raciocínio, considere a variação ∆x para valores como 0,01, 0,001, 0,0001, 0,00001, e assim por diante. Então, 2+∆x se aproxima de 2 e: f(2,01),f(2,001),f(2,0001),f(2,00001) etc., que, por sua vez, se aproximam de f(2). Isso nos leva a concluir que, para x fixo, se ∆x→0, a taxa média de variação tende a um valor que se aproxima da variação instantânea em x e é igual ao limite:

Dizemos que a variação instantânea da função f em x, ou a derivada da função f, em relação à variável x, é dada por esse limite e denotada por ou f’(x):

Esse é o conceito de derivada como variação instantânea de uma função em uma variável . É importante destacar que devemos mostrar a existência do limite, ou seja, estudar os limites laterais: e

que devem ser iguais para a existência da derivada da função f em x.

Se precisar relembrar o conceito de limite, retome a aula 2.

Você se lembra do paraquedista que deixou cair um de seus pertences? Podemos estabelecer a variação instantânea em 0,5 s por meio da derivada:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Reduzindo os termos semelhantes:

Lembre-se de que ∆x tende a zero, mas nunca será igual a zero. E é por essa razão que a simplificação é possível. Assim, temos:

Concluímos que o objeto que está em queda livre, cai à razão de 1.500 m a cada 0,5 s.

A variação ∆x pode ser para mais e para menos, ou seja, x+∆x e x-∆x.

Exemplo adaptado de Weir et al. (2012, p. 77): Considere . Para calcular a taxa média de variação de f em relação a x para x variando de 2 para 3, basta calcular:

A taxa média de variação é negativa, pois a função maior x, menor f(x).

entre 2 e 3 é decrescente: quanto

A variação instantânea da função f em x=2 é dada pelo limite:

Como tende a zero, mas é diferente de zero, podemos simplificar a expressão por ∆x:

Como ∆x→0, a expressão 2∆x também tende a zero. Logo:

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

De fato, ao calcular os limites laterais, conforme a tabela a seguir, concluímos que lim pois, para valores em torno de zero, a expressão

se aproxima de

, .

Tabela 7 - Aproximação de pela esquerda e pela direita

X 1 4+

-0,001

-0,0001

-0,00001

0,0001

0,001

0,01

-0,25

-0,2500125

-0,2500013

-0,25

-0,2499875

-0,2498751

-0,2487562

Fonte: Silva (2014).

Dizemos, então, que: . Retome o conceito de limitese verifique a existência do limite lim , tomando valores pequenos (positivos e negativos) para ∆ x→0. Com isso, você tem lim

e lim

Logo, a variação instantânea no instante x=2 é obtida pela derivada

Exemplo: Em Economia, a função que mede o consumo de determinado bem ou serviço é dada em função da renda. A derivada da função consumo calcula a sua variação em relação à variação da renda. Essa derivada é chamada Propensão Marginal a Consumir. Considere que a função consumo de certo produto seja modelado matematicamente pela função f(x)=x3, em que x é a renda do consumidor. A Propensão Marginal a Consumir é calculada pela derivada de f para uma unidade monetária de renda do consumidor, ou seja, x=1 é x=1. Vamos calcular a Propensão Marginal a Consumir para x=1. Por definição,

. Assim:

Para x=1:

Observe que na expressão há uma fração na qual o seu denominador é um valor infinitesimal.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Infinitésimo: é uma quantidade infinitamente pequena, tendendo a zero.

Fatorando ∆x, ou seja, colocando-o em evidência, temos:

Como ∆x tende a zero, (∆x)² e 3∆x também tendem a zero. Logo:

De fato, lim∆x→03=3, pois mesmo que a variação seja muito pequena, tendendo a zero, o valor de f para valores próximos de 1 será igual a 3. Lembre-se que, na aula 2, você viu que limite da função constante é a própria constante. Daí, concluímos que:

Portanto, a Propensão Marginal a Consumir para x = 1 de renda é de 3 unidades. A ideia inicial de derivada de uma função f(x) em determinado x0 pertencente ao seu domínio é a variação instantânea que ela sofre em relação à variável . Na próxima seção, você será apresentado à outra perspectiva para a derivada: a sua interpretação geométrica.

3.2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA Esta seção apresenta a você a derivada como inclinação de retas tangentes a curvas em pontos específicos, algo que o ajudará a resolver problemas de Cálculo que envolvem curvas e comportamentos como crescimento, decrescimento e mudança de direção. Para iniciar o seu estudo, é importante retomar o conceito de reta tangente, reta secante e inclinação de reta. Dada uma circunferência qualquer e um ponto P, a reta tangente a C em P é definida como a reta que intercepta C tão somente em P. Já a reta secante intercepta C em dois pontos. Observe a figura que identifica uma reta secante e outra tangente à circunferência.

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

Reta tangente em P P c

C B Reta secante

Figura 33 - Retas tangente e secante à circunferência C Fonte: Silva (2014).

Definir reta tangente a uma circunferência como aquela que a intercepta em um único ponto não dá conta de todas as possibilidades de curvas (LEITHOLD, 1994). Existem situações em que a reta pode tangenciar a curva em um ponto, mas interceptá-la em outro. O gráfico a seguir mostra um exemplo em que uma reta tangencia a curva no ponto A, mas intercepta no ponto B. B

Reta r

A α

Figura 34 - Reta secante à curva. Fonte: Silva (2014).

Como a reta r tangencia a curva em A, mas intercepta a curva em B, é, na verdade, uma reta secante à curva. Aqui, definiremos reta tangente a uma curva de uma forma diferenciada, e, com isso, estabeleceremos a relação entre a sua inclinação e derivada no ponto de tangência. Uma reta fica bem determinada se conhecermos a sua inclinação. Lembre-se do que você aprendeu na aula 1. Lá, você viu que o coeficiente angular de uma reta é a sua inclinação, determinada pela tangente do ângulo formado por ela com eixo horizontal. Na figura anterior, é o ângulo que a reta forma com o eixo x. Logo, a inclinação de r é a tangente de : a: tg(a). Por exemplo, se a=45º, então a reta r está inclinada horizontalmente à altura de tg(45º)=1. Lembre-se de que, pelas relações trigonométricas no triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Veja a figura adiante.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Cateto oposto

α = 90º

Cateto adjacente

Figura 35 - Relações trigonométricas em um triângulo retângulo. Fonte: Silva (2014).

O objetivo aqui é definir a reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto A(a,f(a)). Vamos lá! Para começar, considere uma reta r que passa por A e um ponto P(x,f(x)) no gráfico de f, conforme a figura a seguir. Y f

Reta r secante a f P

f(x)

f(x) - f(a) f(a)

A x-a

Figura 36 - Gráfico da função f. Fonte: Silva (2014).

O gráfico destaca algumas informações importantes para a construção da derivada de funções a partir da inclinação de retas tangentes: » » a reta é secante à curva f, pois os pontos A e P são interseções de ambas (reta e curva); » » os ângulos β e θ são iguais: são formados pela reta r e a linha horizontal; como são iguais, optamos pela notação θ. » » a medida dos catetos envolve as coordenadas dos pontos A e P. 64

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

A inclinação da reta secante a f é a tangente do ângulo θ:

Na medida em que o ponto P se aproxima de A, a reta r está chegando cada vez mais perto da reta tangente da qual buscamos a inclinação. Essa aproximação de P para A forma retas secantes à curva com inclinações cada vez mais próximas à inclinação da reta tangente à curva no ponto A. Basta acompanhar a sequência das retas r1,r2 e r3 na figura. Y

f(x)

r1 r2

f(x1)

P2 f(x2) f(x3) f(a)

f(x) - f(a)

A Reta tangente à f(x) em A

Figura 37 - Aproximação ao ponto A pelo ponto P. Fonte: Silva (2014).

Os pontos P1, P2 e P3 e aproximam-se de A e, com ele, formam as retas e . Por isso, na medida em que os pontos chegam perto de A, as suas componentes no eixo horizontal também se aproximam de . Por exemplo, a distância entre a e x1 é menor que a distância entre a e x1. Por sua vez, a distância entre x2 e a é menor que a sua distância em relação a x1 e assim sucessivamente. Denotando cada distância por ∆, observe as marcações na figura.

CÁLCULO DIFERENCIAL

x3 Δx3

x1 Δx2

Δx1

Δx

Figura 38 - Comportamento das variações de . Fonte: Silva (2014).

A figura destaca que as distâncias são cada vez menores na medida em que os pontos se aproximam de A: x3<x2<x3<x. Com isso, as inclinações das retas formadas por cada uma das aproximações estão mais perto da inclinação da reta tangente à curva no ponto A. Imagine, agora, que tais aproximações continuam infinitamente, ou seja, consideramos pontos cada vez mais próximos de A. O que ocorre com as distâncias entre a e as componentes desses pontos? A resposta segue o mesmo raciocínio da relação x3<x2<x3<x. A cada P mais próximo de A, menor é a distância ∆x. Ao afirmarmos que os pontos se aproximam de A, estamos, então, deduzindo que as distâncias ∆x diminuem. Logo, ∆x tende a zero: ∆x→0. Com isso, as inclinações das retas formadas pelas aproximações, dadas por , estão cada vez mais próximas da inclinação da reta tangente em A. Mais precisamente, quando ∆x→0, considerando θ o ângulo formado pela reta tangente a f(x) em A:

que é a derivada da função f no ponto x=a, sempre que o limite lim

existe.

Assim, também existirá a reta tangente a f em A. Denotando a derivada da função f no ponto x=a por :

Exemplo: Considere a função y=f(x) dada por f(x)=4x2+1 em x=1. Vamos calcular a derivada considerando a variável x para, ao final, substitui-la por 1. Esse processo tem como objetivo a retomada de alguns artifícios algébricos importantes no estudo do Cálculo. A derivada da função de f em x é dada por:

Distribuindo o fator 4:

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

e, reduzindo os termos semelhantes 4x2 e -4x2, assim como 1 e –1, temos:

Agora, fatoramos (colocamos em evidência) o termo comum ∆x, simplificando-o:

Como ∆x→0, ∆x tende a zero. Logo, o limite é:

Então:

para Lembre-se de que derivada é a inclinação de reta tangente. Logo, a inclinação da reta tangente à em f(x)=4x2+1 é 8, ou seja, sendo θ o ângulo formado pela tangente: tg(θ)=8 Observe o gráfico de f e a reta tangente com inclinação tg(θ)=8.

f(1) 5

2 1 =83,16º

0 f

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

1,4

1,6

-1

Figura 39 - Reta tangente a f(x)=4x2+1 em A. Fonte: Silva (2014).

Para descobrir , use recursos computacionais e calculadoras científicas, que são aliados importantes. No caso do nosso exemplo, quando é aproximadamente 83,16 graus:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Caso você queira descobrir o valor de θ a partir da inclinação, utilize uma calculadora científica que tenha a função tg-1, função inversa da tangente. Digite a inclinação e a calculadora apresentará o ângulo θ. Fique atento à programação da calculadora. Caso queira a informação em graus, ela deve estar programada para tal. Em geral, a expressão DEG, redução de degree (grau em inglês), indica que a calculadora está programada para essa unidade de ângulo.

Até o momento, vimos a derivada como variação instantânea e como inclinação de reta tangente ao gráfico de uma função y=f(x) em um ponto (a,f(a)) e definida por:

Formalizando a definição de derivada nessas condições: A derivada de uma função y=f(x) e denotada por do domínio de f é igual a

(x)=lim

ou f’(x) é a função tal que, para um valor x se o limite existir e for finito.

Nos exemplos anteriores, destacamos que você deveria verificar a existência do limite. Essa é condição necessária e suficiente para que exista a derivada de uma função em determinado valor de x do seu domínio. Existem situações em que há problemas quando analisamos a existência do limite e a continuidade da função em em x=a. Assim, é importante observar que existe a derivada de uma função em determinado ponto se, nele, a função não apresentar descontinuidade e ser suave, ou seja, sem alteração brusca de direção. Quando ocorre descontinuidade ou mudanças de direção, não há tangente em a e, portanto, não podemos definir a sua derivada. Observe alguns exemplos de situações de não existência de derivada nos pontos em destaque. (A)

(B)

1 0

0 0

x3 0

Figura 40 - Casos de não existência de derivada. Fonte: Silva (2014).

Vamos analisar cada um dos casos.

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

No caso (A), em x1 há uma descontinuidade. Basta avaliar os limites laterais (à esquerda e à direita). Se x1 sofrer acréscimos x1+∆x e x1-∆x, os limites serão diferentes. Logo, o limite (x)=lim

não existe.

Já em situações como (B), nas quais o gráfico forma bicos, as funções também não admitem derivadas nesses pontos. Em x3 o limite lateral lim lim

é diferente de

. De fato, as retas tangentes para pontos à esquerda e à direita de x3 têm

inclinações diferentes. Um exemplo clássico da inexistência de derivada, de acordo com as indicações em (B), é a função modular f(x)= |x|. A derivada da função modular não existe em x=0. Vamos mostrar a você que os limites laterais são diferentes. Primeiro observe o gráfico da função f. 6 5 4 3 2 1 0 -4

-3

-2

-1

-1 -2 Figura 41 - Gráfico da função modular f(x)=|x|. Fonte: Silva (2014).

Para verificar a existência da derivada, devemos construir os limites laterais:

Para avaliar cada um dos limites, empregamos o recurso da tabela com as aproximações para pela esquerda e pela direita. Tabela 8 - Aproximação de pela esquerda e pela direita

∆X

-0,001

-0,0001

-0,00001

0,0001

0,001

0,01

-1

Não existe

Fonte: Silva (2014).

Observe que, à direita de ∆x→0, a expressão é igual a 1. Na verdade, a inclinação da semirreta que forma o gráfico de f para valores maiores que x=0 é igual a 1, pois ela forma 45o com o eixo horizontal e tg(45º)=1.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Já pela esquerda de ∆x→0, a tabela mostra que, para qualquer valor, =1. Da mesma forma, a semirreta à esquerda de x=0 forma 135º com o eixo horizontal e tg(135º )=-1. Logo, os limites laterais à esquerda e à direita de ∆x são diferentes:

O limite lim

não existe e, por conseguinte, a derivada

não existe.

Com essas considerações, encerramos a construção do conceito de derivada de uma função.

CONCLUSÃO Nesta aula, você conheceu o conceito de derivada de uma função como variação instantânea e como inclinação de reta tangente a uma curva. Para isso, você foi levado a revisar conceitos como os de reta tangente e secante a uma curva, essenciais no estudo da derivada. Por vários momentos, você precisou relembrar o conceito de limite abordado na aula 1. Essa retomada será também importante para a próxima aula, que abordará derivada de funções elementares.