Calculo diferencial [unifacs] final by EAD UNIFACS

CÁLCULO DIFERENCIAL Autora – Ana Paula da Cunda Correa da Silva

Universidade Anhembi Morumbi

Universidade Salvador

Janes Fidelis Tomelin Diretor de EaD

Adriano Lima Barbosa Miranda Diretor de Educação Corporativa e Novos Projetos

Fabiano Prado Marques Diretor Acadêmico – Escola de Engenharia e Tecnologia

Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo Diretor da Escola de Engenharia e TI

Adriana Trigolo Revisor Técnico

Diniz Alves de Sant’Ana Silva Revisor Técnico

Universidade Potiguar

Rede Laureate Internacional de Universidades

Barney Vilela Coordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância Catarina de Sena Pinheiro Diretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas

Daniella Loureiro Koncz Coordenadora de Novos Negócios André Torres Gregório Designer Instrucional

FabriCO Projeto educacional Projeto gráfico Autoria do conteúdo Revisão ortográfica e gramatical

SUMÁRIO CARTA AO ALUNO.................................................................................................... 7 AULA 1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS.................................................................................. 9 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 9 OBJETIVOS.............................................................................................................. 10 1.1 Conjuntos........................................................................................................ 10 1.1.1 União....................................................................................................... 13 1.1.2 Intersecção.............................................................................................. 14 1.2 Reta numérica................................................................................................ 14 1.3 Revisão de equações...................................................................................... 15 1.4 Sistemas de equações lineares...................................................................... 20 1.4.1 Método da adição................................................................................... 21 1.4.2 Método da substituição.......................................................................... 23 1.5 Revisão de inequações................................................................................... 25 1.6 Revisão de funções......................................................................................... 27 1.6.1 Função Afim............................................................................................ 28 1.6.2 Função Quadrática.................................................................................. 33 CONCLUSÃO........................................................................................................... 37 AULA 2 - LIMITES............................................................................................................... 39 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 39 OBJETIVOS.............................................................................................................. 40 2.1 Noção intuitiva de limite................................................................................ 40 2.2 Limite de funções........................................................................................... 44 2.2.1 Limites finitos......................................................................................... 46 2.2.4 Propriedades operatórias........................................................................ 51 2.3 Continuidade................................................................................................... 52 2.4 Taxa de variação............................................................................................. 54 CONCLUSÃO........................................................................................................... 56 AULA 3 - INTRODUÇÃO A DERIVADAS................................................................................ 57 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 57 OBJETIVO................................................................................................................ 58 3.1 Derivada como taxa de variação.................................................................... 58 3.2 Interpretação geométrica da derivada........................................................... 64 CONCLUSÃO........................................................................................................... 72

AULA 4 - REGRAS DE DERIVAÇÃO...................................................................................... 73 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 73 OBJETIVOS.............................................................................................................. 74 4.1 Derivadas de funções especiais..................................................................... 74 4.1.1 Teorema 1: derivada da função constante............................................. 74 4.1.2 Teorema 2: derivada da potenciação para expoentes reais não nulos. 75 4.1.3 Teorema 3: derivada do produto da constante por uma função........... 77 4.1.4 Teorema 4: derivada da soma, do produto e do quociente................... 78 4.2 A Regra da Cadeia.......................................................................................... 81 4.2.1 Teorema 5: Regra da Cadeia................................................................... 81 CONCLUSÃO........................................................................................................... 85 AULA 5 - DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS.. 87 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 87 OBJETIVO................................................................................................................ 88 5.1 As funções trigonométricas............................................................................ 88 5.1.1 Função Seno............................................................................................ 89 5.1.2 Função Cosseno....................................................................................... 91 5.1.3 Função Tangente..................................................................................... 94 5.1.4 Outras funções trigonométricas e suas derivadas.................................. 97 5.2 As funções exponenciais, logarítmicas e suas derivadas............................... 99 5.2.1 Função Exponencial................................................................................. 99 5.2.2 Função Logarítmica e sua derivada...................................................... 102 CONCLUSÃO......................................................................................................... 105 AULA 6 - MÁXIMOS E MÍNIMOS, CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO.......................... 107 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 107 OBJETIVOS............................................................................................................ 108 6.1 Valores extremos.......................................................................................... 108 6.1.2 Extremos em funções contínuas definidas em intervalos fechados.... 111 6.2 Os pontos críticos e os extremos de uma função........................................ 113 CONCLUSÃO......................................................................................................... 118

AULA 7 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS.............................................................................. 119 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 119 OBJETIVOS............................................................................................................ 120 7.1 Teoremas envolvendo derivadas.................................................................. 120 7.2 Derivadas – crescimento e decrescimento................................................... 125 7.3 Derivadas e concavidade.............................................................................. 134 7.3.1 Derivação sucessiva ............................................................................. 134 CONCLUSÃO......................................................................................................... 138 AULA 8 - RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO DERIVADAS ................................... 141 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 141 OBJETIVO.............................................................................................................. 142 8.1 Exercícios resolvidos..................................................................................... 142 CONCLUSÃO......................................................................................................... 150 CARTA DE ENCERRAMENTO.............................................................................................. 151 REFERÊNCIAS................................................................................................................... 153

CÁLCULO DIFERENCIAL

CARTA AO ALUNO

CARTA AO ALUNO Seja bem-vindo, caro estudante!

Cálculo Diferencial é uma das disciplinas que reúnem os conceitos básicos da Engenharia. Este campo da Matemática é de caráter teórico, mas toda a sua teoria se forma pela demanda por resolução de problemas reais. Veja um exemplo: situações que envolvem a medição e o estudo dos erros de medida fazem parte do cotidiano do engenheiro. O Cálculo avalia o comportamento dos erros apresentados, por exemplo, em cortes em superfícies planas – como chapas de alumínio – e auxilia o profissional a tomar suas decisões. Nesta disciplina, as aplicações apresentadas envolvem essencialmente taxas médias e instantâneas de variação e problemas que envolvem maximização e minimização de funções. O Cálculo Diferencial fornece ferramentas que permitem identificar, por exemplo, qual a menor quantidade de concreto suficiente para que uma edificação suporte o peso esperado, reduzindo, assim, os custos da obra. Leia com atenção as suas aulas e busque sempre que necessário o suporte bibliográfico específico indicado ao longo da disciplina para que você possa consolidar os saberes de Cálculo. E lembre-se: você deve praticar com a resolução de exercícios. São eles que desenvolvem habilidades lógicas específicas da área e fazem com que você fixe os conceitos envolvidos.

Bom estudo!

AULA 1 Conceitos Fundamentais

INTRODUÇÃO Aprender Cálculo pode ser uma experiência estimulante e fascinante, pois ele é a base de muitas realizações do mundo moderno. Para ajudá-lo a obter os requisitos mínimos para aprender Cálculo Diferencial, nesta primeira aula faremos uma revisão do conteúdo de Matemática básica. Pressupõe-se que muitos conhecimentos de Geometria e Álgebra já estão fixados em seus conhecimentos. Caso você não os possua, nesta aula você terá a oportunidade de ter seu primeiro contato. O Cálculo Diferencial, também chamado de cálculo infinitesimal, ou somente Cálculo, é um braço importante do campo matemático. Teve seu desenvolvimento a partir da Álgebra e da Geometria. O Cálculo oferece como ferramenta a possibilidade de avaliar, quantificar e definir taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta). Onde existem forças não constantes gerando, por exemplo, aceleração em um móvel, o Cálculo é a ferramenta ideal para a análise dos dados.

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O Cálculo é a ferramenta matemática que vai auxiliar você em diversos campos, tais como Física clássica, Física moderna, Administração de empresas, Química e Economia. O aluno dedicado ao Cálculo deve ter um conhecimento considerado mínimo em certas áreas da Matemática, como equações de primeiro e segundo graus, funções de primeiro e segundo graus, geometria e trigonometria.

OBJETIVOS » » Revisão de equações. » » Revisão de funções. » » Revisão de sistemas de equações. » » Revisão de inequações. » » Revisão de gráficos de função.

1.1 CONJUNTOS Em nossa revisão, vamos relembrar conceitos básicos da teoria dos conjuntos. Considere que um conjunto é uma coleção de objetos, ou entes de qualquer natureza, chamados elementos. Os conjuntos são designados, em geral, por letras maiúsculas: A, B, C etc. Já os seus elementos, sempre que necessário, são designados por letras minúsculas: x, y, a, b, c etc. Os conjuntos podem ser apresentados pela enumeração dos seus elementos entre chaves. Por exemplo, A={2,4,5,7,9,10}. Para conjuntos com número relativamente grande de elementos, uma possibilidade é enumerar alguns primeiros elementos e o último, de forma que possamos deduzir os demais. Um exemplo é: B={2,4,6,8,…,18}. Note que é o conjunto dos números naturais pares de 2 a 18. No caso de conjuntos infinitos nos quais podemos identificar os elementos omitidos, utilizamos reticências. Por exemplo, C={-1,0,1,2,3,4,5,…}. Há, também, a possibilidade de representar um conjunto por meio de propriedades satisfeitas por todos os seus elementos. Retomando o conjunto C={-1,0,1,2,3,4,5,…}, perceba que ele é composto de números inteiros maiores ou iguais a -1. Logo, podemos expressá-lo por . Generalizando, o conjunto no qual todos os seus elementos satisfazem uma propriedade P pode ser representado por: {x|x satisfaz P} Em que o símbolo “|” representa “tal que”. Sabendo que um conjunto é formado por elementos, é possível estabelecer uma relação entre elementos e conjuntos. É a relação de pertinência. A pertinência ( ou ) relaciona elemento e conjunto. Um elemento pertence ou não a determinado conjunto.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Exemplo: 1) 2∈N 2) √2∉Q 3) Chile∉M, em que M é o conjunto dos países do continente europeu. Com a relação de pertinência, o nosso conjunto C poderia ser reescrito de modo mais sucinto: C={x∈Z|x é maior ou igual-1}. Também pela relação de pertinência, definimos igualdade entre conjuntos. Dois conjuntos A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos, ou seja, se x∈A, então x∈B. Da mesma forma, para x∈B, então x∈A. Por exemplo, para A={0,-1,+1,-2,+2,-3,+3,…} e B=Z, podemos afirmar que A=B, pois todos os elementos de A pertencem a B e, da mesma forma, os elementos de B pertencem a A. Para o caso de B=Z+, A é diferente de B: A≠B. Basta perceber que -1∈A, mas -1∉B. Alguns conjuntos exigem destaque. São eles: » » conjunto vazio: é aquele que não possui elementos. Denota-se por ∅ ou { }. Por exemplo, M={x∈N|x<0} é um conjunto vazio. Como não há número natural menor que zero, M=∅; » » conjunto unitário: é formado por um único elemento. Por exemplo, o único número natural par e primo é o 2. Logo, N={x∈N|x é primo par}={2} é um conjunto unitário; » » conjunto universo: denotado por U, é formado por todos os elementos do contexto ao qual estamos trabalhando. É uma referência importante quando manipulamos situações envolvendo conjuntos. É ele que nos permite visualizar todos os possíveis resultados, por exemplo, quando trabalhamos com área de regiões planas. Área é sempre positiva. Logo, podemos considerar o conjunto universo composto de todos os reais positivos.

Considere apenas as notações ∅ e { } para conjunto vazio. Designar conjunto vazio por {∅} é um equívoco. O conjunto {∅} é unitário, contendo como elemento o conjunto vazio ∅.

Em se tratando de conjuntos numéricos, existe alguma relação entre o conjunto dos números naturais (N) e, por exemplo, o conjunto dos números reais (R)? Sim. Avaliando N e R, observa-se que todo número natural pertence, também, ao conjunto dos números reais. Logo, dizemos que N é um subconjunto de R. Assim, dados dois conjuntos, e , se todos os elementos de pertencem também ao conjunto , dizemos que A é um subconjunto de B. Exemplos: a) Sejam M={5,6,7,8,9,10} e Z. Neste caso, M é um subconjunto de Z. b) Se A é o conjunto dos ímpares positivos menores que 20 e é formado por todos os naturais, A é um subconjunto de B.

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Sempre que possível, utilizamos diagramas para representar conjuntos e, com isso, evidenciamos certas particularidades e relações entre eles. Observe a figura relativa ao exemplo (a):

Conjunto Z 5 Conjunto A

6 8 9

Figura 1 - Representação de A e B por diagramas. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Quando temos um subconjunto A de um conjunto B, dizemos que A está contido em B. Denotamos essa relação por Observe, na figura anterior, que é possível evidenciar esta relação de inclusão entre os conjuntos. Caso a relação não exista, então A não está contido em B e denotamos por . Por exemplo, para os conjuntos e , temos que . No entanto, o contrário é falso: De fato, todo natural pertence aos inteiros, mas a recíproca não é verdadeira. Basta pensar em um inteiro negativo qualquer. Ele certamente pertence à mas não pertence a . A relação de inclusão permite associar o conjunto dos números reais e seus subconjuntos N, Z, Q e os Irracionais, conforme a figura. R

Figura 2 - Conjunto dos Números Reais. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

O diagrama facilita a observação das relações de inclusão entre os conjuntos numéricos. Duas situações distintas se destacam. São elas, para quaisquer conjuntos A, B e C: » » A⊂A, pois todo elemento de A pertence a A.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

» » ∅ ⊂ A, para qualquer A. Acompanhe o raciocínio: Considere que ∅ ⊂ A se não existir elemento de ∅, não existe elemento que não pertença a A, o que de fato ocorre. Afinal, não existe elemento no conjunto vazio. Logo, a inclusão ∅ ⊂ A é verdadeira para qualquer conjunto A.

A relação de pertinência (∈ ou ∉) envolve elemento e conjunto. Um elemento pertence ou não a determinado conjunto. Já a relação de inclusão associa conjuntos entre si.

Neste momento, você está apto a operar conjuntos. Aqui, destacamos as operações união e intersecção.

1.1.1 União Dados conjuntos quaisquer A e B, a união (ou reunião) de A com B, denotada por A∪B, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A, ou pertencem a B, ou a ambos. Exemplo: Suponha A={2,4,6,8,10,12}, B={1,4,9,16} e C={2,10}. Logo: A∪B={1,2,4,6,8,9,10,12,16} B∪C={1,2,4,9,10,16} A figura apresenta os diagramas para A, B e C, todos contidos em um conjunto universo U. U

9 4 16 B

8 12

2 10 C

Figura 3 - Diagramas de A, B, C em U. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Observe que B ∪ ∅=B, qualquer que seja o conjunto B. Afinal, B⊂∅ e ∅⊂B.

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1.1.2 Intersecção A intersecção entre dois conjuntos A e B quaisquer é formada por todos os elementos que pertencem a A e ao conjunto B, simultaneamente. Denota-se por A∩B. Exemplo: A interseção entre A={x∈Z|x>-5} e B={x∈N|x é par e maior que 3} é: A∩B={4,6,8,10,…}, considerando o conjunto universo Z. Já a intersecção A∩U=A e B∩U=B. Observe que, para qualquer conjunto, a intersecção com o conjunto vazio é sempre vazia, ou seja, dado um conjunto qualquer A, A∩∅=∅∩A=∅. A próxima seção descreve, em síntese, a reta numérica, elemento importante no estudo do Cálculo Diferencial. Ela é a representação gráfica do conjunto dos números reais.

1.2 RETA NUMÉRICA Considere uma reta numérica iniciando em -∞ e terminando em +∞. Essa reta representa o conjunto dos números reais. Nesse conjunto, podemos citar como subconjuntos os intervalos. Dados m,n∈ R, considerando as afirmações a seguir, temos: » » intervalo aberto: (m,n)={x|m<x<n};

» » intervalo fechado: [m,n]={x|m≤x≤n};;

» » intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: [m,n)={x|m≤x<n};;

» » intervalo aberto à direita e fechado à esquerda: (m,n]={x|m<x≤n}.

Resumindo, (m,+∞)={x∈R│x>m} (-∞,n)={x∈R│x<n} [(m,+∞)={x∈R│x≥m}

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

(-∞,n]={x∈R│x≤n} (-∞,+∞)=R

1.3 REVISÃO DE EQUAÇÕES Equações são sentenças matemáticas que envolvem igualdade, constantes e variáveis (ou incógnitas) que são representadas por letras. São aplicadas nas mais diversas áreas como modelos matemáticos de situações ou contextos reais. Por exemplo, para descobrir a medida do lado de um quadrado, sabendo que a sua área mede 25 m², o modelo matemático (equação) que determina tal medida é x2=25. Nesse caso, a medida do lado é a incógnita x. Para a construção da equação, considere que a área do quadrado é determinada pelo produto da medida de seu lado. Observe.

25m²

x Figura 4 - Área do quadrado. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

A partir dos modelos matemáticos em forma de equação, a busca está no cálculo do valor de um de seus termos, que, sendo desconhecido, é representado por letras. A representação mais usual se dá por x,y e z. O sinal de igualdade divide a equação em dois membros, os quais são compostos de elementos constituídos por dois tipos: Elemento de valor constante: representado por valores numéricos. Elemento de valor variável: representado pela união de números e letras. Quando duas expressões matemáticas são iguais, temos o que chamamos de equação. O elemento fundamental na resolução de equações consiste no princípio da igualdade. Os valores assumidos pelas incógnitas devem ser tais que a igualdade se verifica. Assim, qualquer operação em um dos lados da equação deve se estender ao outro. Caso contrário, a igualdade não é mantida, invalidando-a. Entre algumas categorias de equações, destacamos as equações polinomiais, que são da forma: an xn +an-1 xn-1 +an-2 xn-2 + ... +a1 x1 +a0 x0 = 0 Em que: an, an-1,…,a1,a0 são os coeficientes; xn,xn-1,xn-2,…,x1,x0 são as incógnitas. Observe que, como x1=x e x0=1, podemos reescrever a equação da seguinte forma: an xn +an-1 xn-1 +an-2 xn-2 + ... +a1 x +a0 = 0 O grau de uma equação polinomial é determinado pelo maior expoente da incógnita da equação. 15

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Exemplos: Equação de 1o grau: 2x+3=4 Equação de 2o grau: x2+2x+1=0 Equação de 3o grau: x3+4x2+3x+1=0 As equações de 1o grau são resolvidas de modo simples. Basta isolar a incógnita. Exemplo: Considere a equação x+2=10. Para resolvê-la, ou seja, determinar o valor de para o qual a igualdade é verdadeira, basta isolar a incógnita. Acompanhe o raciocínio. Para que o número 2 seja eliminado do lado esquerdo, devemos subtrair 2 em ambos os lados da equação. Isso ocorre para que seja mantido o princípio da igualdade. Dessa forma, temos:

Logo, temos que x=8. Esse mecanismo é comumente executado pela inversão da operação associada ao 2 (adição), no lado contrário em que se encontra. Essa é uma regra conhecida como “passa para o outro lado somando (ou subtraindo, dependendo do caso)”. Assim, teríamos apenas x=10-2=8. Exemplo: Resolvendo a equação 3a=12, buscamos isolar a incógnita a. Para tal, invertemos a operação multiplicação do 3 nos dois lados. Lembre-se: é fundamental manter o princípio da igualdade. Assim, implica em Aqui, a operação inversa da multiplicação é divisão. Esse princípio é utilizado para que o coeficiente da variável (3) desapareça. Esse mecanismo é conhecido por “passa para o outro lado dividindo (ou multiplicando)”. Logo, poderíamos simplesmente resolver a equação 3a=12 da seguinte forma:

Exemplo: A soma de 3 números consecutivos é 300. Quais são estes números? Considerando o primeiro número como , teremos que o seu sucessor é Logo, o terceiro número será x+2. Dessa forma, podemos escrever a seguinte equação: x+(x+1)+(x+2)=300 x+x+1+x+2=300 3x+3=300

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Subtraindo 3 em ambos os lados, temos: 3x+3-3=300-3 3x=297 Dividindo ambos os lados por 3, teremos:

Conclui-se que os 3 números consecutivos são: 99, 100 e 101. Em síntese, ao resolver uma equação de 1o grau, você pode utilizar o seguinte método, que vem do princípio da igualdade: 1) isolar no 1o membro os termos em x e no 2o membro os termos que não têm x. Você deve trocar o sinal dos termos que mudam de um membro para o outro (de um lado para o outro do sinal de igualdade); 2) reduzir os termos semelhantes; 3) dividir ambos os membros pelo coeficiente de x.

Daqui em diante, eventuais equações serão resolvidas com o uso da inversão de operações para isolar as incógnitas, por ser o mecanismo mais curto e mais aplicado entre os alunos.

Para o caso de uma equação de segundo grau, temos a fórmula de Bhaskara.

Bhaskara Acharya foi um matemático e astrônomo indiano que viveu entre os anos de 1114 e 1185. Seu livro mais famoso é o “Lilavati”. Você pode ler mais sobre ele em <http://ecalculo.if.usp.br/historia/ bhaskara.htm>.

Se tivermos uma equação do segundo grau na forma ax2+bx+c=0 com a≠0, a solução pode ser encontrada por meio da fórmula de Bhaskara:

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em que (incógnita da equação) é chamado de raiz da equação, ou seja, é o valor que fará com que a igualdade seja verdadeira (balança equilibrada). Chamamos de discriminante () o radicando . Dependendo do seu resultado, temos: » » Δ=0, então a equação tem duas raízes reais iguais. » » Δ>0, então a equação tem duas raízes reais diferentes. » » Δ<0, então a equação não tem raízes reais. Exemplo: Para resolver uma equação, a primeira etapa é identificar os coeficientes a, b e c. Assim, para a equação x2+2x+1=0 a=1; b=2 e c=3; Pela fórmula de Bhaskara, temos:

Verifica-se, assim que, para x=-1,(-1)2+2⋅(-1)+1 = 1-2+1 = 0. Exemplo: José possui um quadro com uma área de 9.600 cm2. Ele pretende emoldurá-lo e precisa saber quais as dimensões lineares (largura e altura) desse quadro. José sabe que a largura é equivalente a 1,5 vez a altura. Quais são as dimensões do quadro? A área de um retângulo é dada pelo produto da largura pela altura. Com base no enunciado, se chamarmos de a altura, teremos que a largura será 1,5x. A área poderá ser escrita como: x.1,5x = 9600

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Pelo artifício da inversão, x.1,5x - 9600 = 0 que pode ser escrita como 1,5x2 - 9600 = 0 ou, equivalente, 1,5x2 = 9600 Essa é uma equação de segundo grau incompleta, pois o coeficiente é igual a zero. Sempre que isso acontece, teremos duas raízes reais e opostas. A aplicação da fórmula de Bhaskara é viável, mas podemos considerar a operação radiciação na resolução de equações deste tipo. Observe, inicialmente, a aplicação do artifício da inversão:

Como a operação inversa da potência é a radiciação,

As raízes da equação são -80 e 80. Porém, as dimensões de um quadro não podem ser negativas, logo, descartamos a raiz negativa. Como a largura é 1,5 da altura, temos 1,5 .80=120 O quadro tem dimensões de 80 cm de altura e 120 cm de largura. Exemplo: Eu tenho 5 anos a mais que um amigo. O produto das nossas idades é 374. Quais são as nossas idades? Chamando a minha idade de , como tenho 5 anos a mais que meu amigo, teremos que x-5 é a sua idade. Como o produto das idades é 374, teremos: x.(x-5)=374 x2-5x=374 Logo: x2-5x-374=0.

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Aplicando a fórmula de Bhaskara, teremos:

Como não existe idade negativa, descartamos a raiz -17. Dessa forma, tenho 22 anos. Como sou 5 anos mais velho que meu amigo, a sua idade é 22-5=17 anos.

1.4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Até agora, vimos equações com apenas uma incógnita. Porém, existem situações modeladas matematicamente por equações que podem possuir mais de uma incógnita. Mais ainda, podemos ter um conjunto de equações com as mesmas incógnitas. Ao conjunto de equações, chamamos sistema de equações. Se as incógnitas tiverem expoentes unitários, as equações são chamadas lineares. Estendendo, a um conjunto de equações lineares chamamos sistema de equações lineares, ou, simplesmente, sistema linear. Observe a seguinte situação. José comprou dois cadernos e uma borracha e pagou pelos dois R$7,00. Seu amigo João comprou uma unidade a mais de cada produto e pagou R$11,50. Qual o preço do caderno e da caneta? Considere a incógnita c para o caderno e b para a borracha. José comprou 2 cadernos e 1 borracha por R$7,00, assim representamos essa situação da seguinte forma: 2c+b=7 João comprou uma unidade a mais de cada item e pagou R$11,50. Nesse caso, a equação é: 3c+2b=11,5 Neste caso, a solução para 2c+b=7 deve ser a mesma para 3c+2b=11,5.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Com isso, formamos o sistema Observe que as equações são lineares. Portanto, o sistema é linear. Vamos a outro exemplo. As equações x+y=7 e x-y=10 são lineares. O expoente das incógnitas x e y são iguais a 1. Lembrese de que expoente igual a 1 não precisa aparecer na equação. Isoladamente, cada uma das equações tem infinitas soluções. Mas, ao considerar o conjunto formado por elas, a avaliação requer atenção, pois temos de determinar se, entre as soluções, existem aquelas que são comuns às duas equações. O sistema é escrito da seguinte forma:

A chave indica que temos um conjunto de equações, o que caracteriza um sistema. A solução de um sistema linear é o conjunto das soluções comuns a todas as equações. Os sistemas podem admitir uma única solução, uma infinidade de soluções ou não admitir solução. Existem diferentes métodos de solução de sistemas de equações lineares. Destacaremos os dois mais comuns aplicados a sistemas formados por duas equações e duas incógnitas. São eles: o método da adição e o método da substituição.

1.4.1 Método da adição Neste método, devemos realizar a soma dos respectivos termos de cada uma das equações de forma a reduzirmos a uma equação com apenas uma incógnita. Se a simples soma das equações não permitir a redução a uma única incógnita, devemos recorrer ao princípio da igualdade e multiplicar todos os termos de uma das equações por um valor tal que permita, após a realização da soma, eliminarmos uma das incógnitas. Exemplo: Sistema com uma única solução Veja o seguinte sistema composto pelas duas equações:

Se realizarmos a soma das equações termo a termo, veremos que a incógnita será eliminada, assim, a soma permite seguirmos com a busca da solução.

Após a soma, ficamos com apenas uma equação com como a única incógnita. 2x=14

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Aplicando o princípio da igualdade, dividimos ambos os lados da igualdade por 2 e obtemos o valor de x.

De posse do resultado, basta escolher uma das equações do sistema e substituir o valor de x encontrado para que fiquemos novamente com uma equação com uma incógnita, y. Substituindo o x encontrado na primeira equação, obteremos: x+y=10 7+y=1 Aplicando o princípio da igualdade, subtraindo 7 em ambos os lados da igualdade, teremos: 7+y-7=10-7 y=3 A solução desse sistema permite como resultado apenas os valores x=7 e y=3. Exemplo: Sistema com infinitas soluções Considere o seguinte sistema composto pelas duas equações abaixo:

Se realizarmos a soma das equações termo a termo, não conseguiremos eliminar uma das incógnitas. Assim, vamos multiplicar a primeira equação por -2 e, então, tentaremos realizar a soma:

Realizando a soma, teremos:

Voltando ao sistema inicial, observe que a segunda equação é o dobro da primeira, logo, temos apenas uma equação e duas incógnitas. Portanto, o sistema admite infinitas soluções (indeterminado). Exemplo: Sistema que não admite soluções Observe o seguinte sistema composto das duas equações a seguir:

Se realizarmos a soma das equações termo a termo, não conseguiremos eliminar uma das incógnitas. Assim, vamos multiplicar a primeira equação por 2 e tentaremos realizar a soma. 22

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Realizando a soma termo a termo, teremos:

Com essa ação, eliminamos as duas incógnitas. Com isso, chegamos a uma afirmação absurda: 0=-2. Veja também que 2x+6=2, ao mesmo tempo em que -2x-6y=-4 (equivalente à 2x+6=4, basta multiplicá-la por -1). Nessas condições, dizemos que o sistema não admite soluções. Ele é dito impossível.

1.4.2 Método da substituição O método da substituição consiste em escolher uma das equações, isolando-a. Com isso, temos uma incógnita como função da outra. Feito o isolamento, substitui-se esse valor da incógnita na outra equação, fazendo com que a segunda equação fique apenas com uma incógnita. Exemplo: Sistema com uma única solução Veja o seguinte sistema composto das duas equações a seguir:

Isolando o x na primeira equação: x=10-y Agora, substituindo o valor de x na segunda equação:

Aplicando o princípio da igualdade, dividimos ambos os lados da igualdade por -2, o que nos leva ao valor de y.

De posse desse resultado, basta substituir o valor de y encontrado na equação x=10-y, e encontraremos o valor de x: x=10-3=7

CÁLCULO DIFERENCIAL

A solução do sistema permite como resultado apenas os valores x=7 e y=3. Exemplo 2: Sistema com infinitas soluções Seguimos o mesmo processo para o sistema:

Isolamos o x na primeira equação, obtendo: x+y=20 x=20-y Agora, substituímos o valor de x na segunda equação:

Com essa ação, eliminamos as duas incógnitas. Como obtivemos como resultado , o sistema admite infinitas soluções. Exemplo: Sistema que não admite soluções Considere o sistema

Isolamos o x na primeira equação, obtendo: x=1-3y Agora, substituímos o valor de x na segunda equação:

Assim, eliminamos as duas incógnitas. Como o resultado é 0=-2, o sistema não admite soluções. Também dizemos que ele é um sistema impossível. Você se lembra de José e João, que comparam cadernos e borrachas? Vamos retomar a situação e resolver o problema: qual o preço do caderno e da borracha? Para encontrar a resposta, devemos resolver o sistema:

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Podemos escolher qualquer um dos métodos (adição ou substituição). Utilizaremos o método da substituição. Isolando a incógnita b na equação de José, temos b=7-2c. Substituindo b na equação de João:

Reduzindo os fatores semelhantes, teremos: -c=11,5-14 -c=-2,5 c=2,5 Substituindo o c encontrado na equação de José em que isolamos o b, teremos: b=7-2.2,5 b=7-5 b=2. Assim, a caneta custa R$2,50 e a borracha custa R$2,00. As situações apresentadas até o momento envolvem igualdades. Mas há alguns problemas que envolvem desigualdades. Por exemplo, o custo do cimento deve ser maior que 2 unidades monetárias. Esses casos são modelados por inequações.

1.5 REVISÃO DE INEQUAÇÕES A inequações diferem das equações no fato de que o resultado está associado a uma desigualdade (valores menores que, ou valores maiores que), e não a uma igualdade. As desigualdades estão diretamente ligadas à relação de ordem no conjunto dos números reais. Ela afirma que, para quaisquer reais e , as únicas relações formadas por eles são: » » a é igual a b ( a=b); » » a é menor que b (a<b); » » a é maior que b (a>b). Por meio da reta numérica, podemos identificar com mais clareza as relações “menor que” e “maior que”. Observe a figura. a

a<b

a>b

Figura 5 - Relação de ordem em R. Fonte: Elaborada pela autora (2014). 25

CÁLCULO DIFERENCIAL

São essas relações que nos permitem afirmar que os números reais são ordenados. Em algumas situações, podemos estabelecer relações de ordem sob formas diferentes. » » a ≤ b: a é menor ou igual a b; » » a ≥ b: a é maior ou igual a b. O sinal de desigualdade divide a inequação em dois membros, os quais são compostos de elementos constituídos por dois tipos: elemento de valor constante: representado por valores numéricos; elemento de valor variável: representado pela união de números e letras. Uma inequação do 1o grau na incógnita x é qualquer expressão do 1o grau que pode ser escrita em uma das seguintes formas: ax+b>0 ax+b<0 ax+b≥0 ax+b≤0 em que e são números reais com . Exemplo: Encontre todos os números reais que satisfaçam a desigualdade: 1+2x<4x+7 Para resolver a inequação, aplique o mesmo raciocínio empregado na resolução de equações. Assim, no intuito de isolar x na inequação, subtraia 1 em ambos os lados da desigualdade, o que determina: 1+2x<4x+7-1 2x<4x+6 Tratamos o termo da mesma forma, somando -4x em ambos os lados: 2x-4x<4x+6-4x -2x<6 Dividindo ambos os membros por -2 e invertendo o sentido da desigualdade, teremos:

Você deve estar questionando o porquê da inversão da desigualdade. Isso ocorre pela ordenação dos reais. Sempre que multiplicamos ou dividimos uma inequação por números negativos, a relação de ordem se inverte. Por exemplo, se -3<5, podemos afirmar que 3>-5. De fato, como -3 é menor que 5, o seu oposto 3 é maior que oposto de 5, -5.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Assim, concluímos que: 1+2x<4x+7 se, e somente se, x>-3. O intervalo solução da desigualdade dada é (-3, +∞). Com a revisão dos princípios das inequações em R, seguimos com a retomada do conceito de função, tema que envolve todos os conceitos abordados até o momento e é, ousamos em afirmar, a essência do Cálculo Diferencial. Vamos lá.

1.6 REVISÃO DE FUNÇÕES Existem situações que envolvem relações entre conjuntos, que podem ter as mais diversas formas. Por exemplo, a espécie de uva determina a qualidade do vinho. Nesse caso, relacionamos o conjunto das espécies de uva com o conjunto das possibilidades para o vinho. Em Matemática, podemos relacionar o número de lados de um polígono regular com o número de diagonais. Aqui, temos o conjunto dos naturais maiores que 3 (não há polígonos com menos de 3 lados) e os naturais maiores que 2, número mínimo de diagonais para um polígono.

Polígono regular: são os polígonos cujos lados têm medidas iguais. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular. Diagonal de um polígono: é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos.

A relação entre dois conjuntos A e B não vazios, de tal modo que todo elemento de A esteja associado a um único elemento de B, é chamada função de A em B. Denota-se por f:A→B. Além disso, para todo x∈A, ele deve estar associado à f(x). Resumindo, a notação para a função é: f:A→B x↦f(x) É usual designar f(x) por y. Ao primeiro conjunto, chamamos domínio da função f, denotado por D. Assim, D(f)=A. O segundo conjunto é o contradomínio da função (CD). Logo, CD(f)=B. Já os elementos do segundo conjunto, que são resultado das associações de algum elemento de A, formam a imagem (Im) da função. Observe a figura.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Domínio A

Contradomínio B

f(x)

Imagem

Figura 6 - Elementos de uma função. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

O nosso foco aqui está nas funções matemáticas, ou seja, aquelas que podem ser modeladas por meio de uma expressão matemática. Essas expressões são as leis de formação das funções. Exemplos » » f:R→R, tal que f(x)=x2 D(f)=R, CD(f)=R e Im(f)=R+ » » g: f:R→R, tal que g(x)=2x+1 D(f)=R, CD(f)=R e Im(f)=R O estudo do domínio de uma função é fundamental para descrever a situação envolvida. Costumamos afirmar que o domínio é quem nos diz com o que trabalhamos. Veja o caso do número de lados de um polígono associado ao número de suas diagonais. Temos como possibilidade de lados de polígonos: 3, 4, 5, 6 e assim por diante. Se considerássemos o domínio como R, não teríamos satisfeita a definição de função. Afinal, qualquer número não natural maior que 3 não seria associado a qualquer número do conjunto das diagonais de um polígono. Assim, para que a função esteja bem definida, devemos considerar como seu domínio o conjunto dos naturais maiores ou iguais a 3: D(f)={x∈N│x≥3}. Existem alguns modelos clássicos de funções que, sendo construídas e bem caracterizadas, desenvolvem a habilidade de lidar com outros modelos. Destacamos aqui a função afim e a função quadrática.

1.6.1 Função Afim A função afim é aplicada comumente em situações reais nas diversas áreas da Engenharia. Uma função real a uma variável (f:R→R) é dita afim sempre que existam reais de modo que o modelo matemático seja da forma f(x)=ax+b para qualquer x∈R. Por exemplo, são funções afins: f(x)=5x-1,a=5 e b=-1g(x)=12x, a=12 e b=0h(x)=4, a=0 e b=4

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Uma função afim tem como representação gráfica (gráfico) uma reta determinada pela expressão algébrica (modelo matemático) que a representa. Veja o exemplo e sua representação gráfica

f(x) = -3x + 4

0 -2

g(x) = 2x - 1

Figura 7 - Gráfico de função afim. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

As funções representadas são f(x)=-3x+4 e g(x)=2x-1.

Os gráficos aqui apresentados foram construídos com a ferramenta Geogebra, desenvolvida para fins didáticos. Você pode criar seus próprios gráficos com ela. É um software livre disponível em: <www.geogebra.org.

Para determinar tais representações, basta considerar dois elementos do domínio e estabelecer (calcular) a sua imagem. Com isso, podemos traçar um esboço da representação gráfica. Por convenção, determina-se que o domínio está representado no eixo horizontal (, e o contradomínio, no eixo vertical (y). Vale destacar que gráfico de uma função f real a uma variável é o conjunto de todos os pontos (x,y), em que é o elemento do domínio de f e y a sua imagem, ou seja, y=f(x). Vamos considerar a função f(x)=-3x+4. Em um primeiro momento, definimos os pontos a partir da tabela construída para x=1 e x=2, escolhidos aleatoriamente. X

F(X)

f(1)=-3·1+4=1

f(2)=-3·2+4=-2

CÁLCULO DIFERENCIAL

A seguir, marcamos os pontos formados: (1,1) e (2,-2). Depois, resta apenas uni-los formando a reta.

Figura 8 - Gráfico da função f(x)=-3x+4. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Em função do comportamento das retas no plano cartesiano que representam função afim, os coeficientes e em recebem a seguinte designação: coeficiente : coeficiente angular coeficiente : coeficiente linear. A nomenclatura se deve ao que cada um dos coeficientes representa na função. O coeficiente angular representa a inclinação da reta em relação ao eixo x. Na verdade, o coeficiente a é a tangente do ângulo que a reta forma com este eixo. Assim, se a>0, a reta é crescente (tangente positiva), formando ângulo entre zero e noventa graus. Esse ângulo determina comportamento crescente à função. Na medida em que aumentamos os valores de x, sua imagem f(x) aumenta. Se, no entanto, a<0, a tangente do ângulo é negativa: a reta faz entre 90º e 180º com o eixo x. Isso determina comportamento decrescente à função, ou seja, ao aumentarmos os valores de x, a sua imagem diminui. Podemos perceber nas funções f(x)=-3x+4 e g(x)=2x-1 representadas na figura a seguir, que f é decrescente e g, crescente, pela análise do sinal do coeficiente angular.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

4 Função f

Função g 2

0 -2

Figura 9 - Função afim crescente e decrescente. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

O coeficiente linear representa a interseção da função com o eixo , ou seja, é determinado pela imagem do zero. De fato, os pontos sobre o eixo vertical são da forma . Assim, na função afim , temos que , formando o ponto . Observe o gráfico.

Figura 10 - Gráfico da função . Fonte: Elaborada pela autora (2014).

A função f(x)=x+2 tem em b=2 a interseção com o eixo vertical.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Você talvez esteja se perguntando se função afim e função de primeiro grau são idênticas. Isso não procede. Designamos por função de primeiro grau apenas aquelas funções afins em que o coeficiente a é não nulo.

Casos particulares da função afim recebem nomenclatura especial. Um caso especial da função afim é a função linear. A função afim na qual o real b (f(x)=ax) é igual a zero é chamada função linear. Por exemplo, a função f(x)=-5x é linear. As funções lineares têm uma particularidade em relação à representação gráfica. Observe o gráfico a seguir. g(x) = -3x

0 -4

-2

f(x) = 2x

Figura 11 - Função Linear. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Observe que, como b=0, a imagem de zero pela expressão da função nos leva também ao zero, ou seja, f(0)=a∙0=0. Assim, o ponto (0,0) sempre faz parte da representação gráfica da função linear. Em se tratando de função linear, para o caso do coeficiente angular ser igual a 1, temos a função identidade. A nomenclatura está associada justamente à expressão f(x)=x . Outro caso particular da função afim é a função constante, na qual o coeficiente a é igual a zero, ou seja, f(x)=b.

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Como na função constante a imagem de qualquer real é a constante b, a representação gráfica é relativamente simples. O gráfico a seguir apresenta as funções constantes f(x)=-2 e g(x)=3. Você perceberá que temos retas paralelas ao eixo x.

Figura 12 - Função constante. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Com as funções constantes, encerramos o estudo da função afim. Vamos, agora, à função quadrática.

1.6.2 Função Quadrática As funções quadráticas (ou de segundo grau) são aquelas funções reais do tipo f(x)=ax2+bx+c; a≠0. Sua representação gráfica é a parábola. Alguns elementos da função quadrática são relevantes para a construção do seu gráfico. » » Concavidade – a parábola tem a concavidade conforme a seguinte condição: a>0: concavidade voltada para cima; a<0: concavidade para baixo.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Observe a figura.

f Y 3

0 0

a<0 Concavidade voltada para baixo

a>0 Concavidade voltada para cima

-1 g

Figura 13 - Concavidade da parábola. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Acompanhe a construção do gráfico da função f(x)=x2-6x+5. Cada passo realizado nos levará ao gráfico. Já vimos como definir a concavidade da parábola. No caso dessa função, a=1, portanto, a sua concavidade está voltada para cima. Agora, vamos aos pontos de intersecção entre a parábola e os eixos coordenados. Esses pontos servem como orientação para o esboço gráfico. Para identificar o ponto de intersecção da parábola com o eixo vertical y, basta calcular a imagem do zero: f(0)=a⋅02+b⋅0+c=c Logo, a parábola corta o eixo vertical no ponto . Para a f(x)=x2-6x+5, a intersecção da parábola com o eixo y ocorre em: f(0)=02-6⋅0+5=5 Observe que 5 é o valor de c. Logo, o ponto formado é (0, 5). Para as intersecções do gráfico de uma função quadrática com o eixo x, devemos buscar os valores para os quais a função é nula, ou seja, f(x)=0. Então, temos f(x)=ax2+bx+c=0. Logo, aplicamos a fórmula de Bhaskara. De acordo com os tipos das raízes (iguais, diferentes ou não existem), que dependem diretamente do discriminante, temos a informação que buscamos. » » Δ>0, então a equação tem duas raízes distintas x1 e x2. . Nesse caso, a parábola corta o eixo x em dois pontos: (x1,0) e (x2,0).

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

» » Δ=0, então a equação tem duas raízes reais. Logo, a parábola intercepta o eixo x no ponto (x, 0), sendo x a raiz encontrada. » » Δ<0, então a equação não tem raízes reais. Com isso, a parábola não corta o eixo horizontal x. Para a nossa função f(x)=x^2-6x+5, temos: » » corte no eixo y: ponto (0,5); » » corte no eixo x: em (1, 0) e (5, 0). Os valores 1 e 5 foram determinados pela fórmula de Bhaskara. Para caracterizar a parábola como representação gráfica de uma função quadrática, basta estabelecer o seu vértice que é dado pelas coordenadas . No caso da função f(x)=x2-6x+5, o seu vértice é o ponto

A partir desses elementos, estamos aptos a construir o gráfico da função : f Y

7 6 5

(0,5)

4 3 2 1 (1,0)

0 -5

-4

-3

-2

-1

(5,0) 2

-1 -2 -3 (3,4)

-4

Figura 14 - Gráfico da função . Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Exemplo: f(x)=x2+3x+2 Calculando as raízes da equação, temos:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Discriminante: ∆=b2-4ac=32-4.1.2=9-8=1

Logo,

Temos duas raízes reais e diferentes. Representado a função graficamente, temos: f 3

1 0 -4

-3

-2

-1

Figura 15 - Representação gráfica do exemplo. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

Exemplo: Construa o gráfico para a função y=3x+2. Para a construção do gráfico, basta atribuir valores para x de forma a determinar os valores de y. Como a função dada é afim, sabemos que a sua representação gráfica é uma reta, ou seja, apenas dois pontos são necessários. Dessa forma, teremos: X

3.0 + 2 = 2

3.1 + 2 = 5

AULA 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Figura 16 - Representação gráfica do exemplo. Fonte: Elaborada pela autora (2014).

CONCLUSÃO Nesta aula, você fez uma revisão dos conteúdos essenciais da Matemática, que serão fundamentais para trilhar seu caminho ao longo desta disciplina de Cálculo Diferencial. Você relembrou o que são os conjuntos, especialmente o dos Números Reais, que comporta os elementos formados pelo sistema numérico, ou seja, os números positivos, negativos e o zero. Em outras palavras, o conjunto dos Números Reais engloba afirmações verdadeiras que não precisam de provas de sua validade. Você também recordou como resolver equações e viu algumas situações nas quais elas podem ser muito úteis. Elas são utilizadas para representar uma igualdade entre duas expressões matemáticas. Nesta aula, também mostramos alguns sistemas de equações, que podem ter apenas uma solução, infinitas soluções ou nenhuma solução possível. Também relembramos rapidamente as inequações, que são muito parecidas com as equações, com a diferença que representam desigualdades, e não igualdades. Por fim, você também viu as funções matemáticas e suas aplicações, e relembrou como representálas graficamente.

AULA 2 Limites

INTRODUÇÃO A palavra limite não deve ser estranha para você. No dia a dia, usamos esta expressão para nos referirmos a marcos finais. No Cálculo, limite tem a mesma conotação, embora transposta para o contexto matemático. Mais especificamente nesta disciplina, o limite é uma forma de aproximação aplicada para que os erros envolvidos na imprecisão das aproximações nos cálculos tendam a zero (ROONEY, 2012). O conceito de limite é empregado em diversas áreas, como Física, Engenharia, Economia e Biologia. O seu estudo requer o desenvolvimento da habilidade de abstração, que faz com que você raciocine logicamente, planejando estratégias importantes para a execução de qualquer atividade na sua área de formação. Esta aula começa com a exploração intuitiva da ideia de limite. Na sequência, você verá como aplicá-la à noção de continuidade de funções. Por fim, você será apresentado às taxas de variação. Vamos lá!

CÁLCULO DIFERENCIAL

OBJETIVOS » » Compreender a teoria dos limites de maneira intuitiva. » » Calcular taxa de variação média.

2.1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE O conceito matemático de limite foi construído principalmente para resolver questões nas quais não se conseguia chegar a resultados esperados apenas com a utilização dos números inteiros. Para entender melhor, você conhecerá agora o Paradoxo de Zenão.

Paradoxo: é uma afirmação (proposição) que contraria a opinião comum. É uma contradição.

Para demonstrar o absurdo de lidar apenas com unidades inteiras, por menores que fossem, o filósofo Zenão, da Grécia Antiga, propôs a seguinte situação: uma corrida entre Aquiles, um herói grego, e uma tartaruga (ROONEY, 2012). Nessa situação hipotética, a tartaruga teria vantagem de um dia, ou seja, ela daria a largada antes de Aquiles. A cada dia, cada corredor deveria percorrer a metade do trajeto que faltava para atingir o destino. Com isso, Zenão pretendia mostrar que, por mais estranho que possa parecer a princípio, Aquiles nunca alcançaria a tartaruga e nenhum dos dois chegaria à marca final da competição. Para entender melhor, imagine que o total do trajeto tem 4 km. Assim, no primeiro dia, ambos teriam de percorrer 2 km. No dia seguinte, a tartaruga e Aquiles correriam a metade da distância que faltava, ou seja, apenas 1 km. Ao iniciar a corrida no terceiro dia, como haveria ainda 1 km para a chegada, eles percorreriam uma distância ainda menor: apenas 0,5 km. Dia após dia, Aquiles e a tartaruga percorreriam distâncias cada vez menores, sem nunca alcançarem a marca final. Observe a figura adiante. Ela indica d1, d2, d3,…, que representam as distâncias percorridas no primeiro dia, no segundo, no terceiro, e assim sucessivamente.

1/2

3/4

Figura 17 - Trajetória dos corredores. Fonte: Silva (2014).

7/8

15/16 1

AULA 2 – LIMITES

O paradoxo ficou sem solução até o século VII, quando o matemático Gottfried Wilhem Leibniz estabeleceu o conceito de limite para sequências numéricas (ROONEY, 2012). Vamos adaptar a situação proposta por Zenão para a formação de uma sequência de números reais. Para isso, imagine que um corredor queira tentar, na prática, verificar a proposta de Zenão, percorrendo uma distância d=1 km. Observe que, no primeiro dia, o corredor percorre , km. Na segunda etapa, a distância percorrida deve ser a metade da metade restante, ou seja:

Assim, no segundo dia, ele terá de correr km. Mas o corredor não parou. Continuou a corrida no terceiro dia, no quarto, e assim por diante. Considere que o corredor seguiu o processo por sete dias consecutivos. Dessa forma, podemos registrar as distâncias diárias percorridas na forma da sequência de números reais:

Se fosse possível correr indefinidamente, sempre buscando atingir a marca final, a sequência numérica teria infinitos termos:

Você deve ter percebido que, a cada dia, a distância percorrida é menor. Transformando as frações em números decimais, esse comportamento fica mais evidente: 0,5;0,25;0,125;0,0625;… Note que as distâncias estão se aproximando de zero. Isso prova que o corredor vai diminuindo cada vez mais a distância percorrida.

O filósofo grego Zenão formulou mais alguns paradoxos interessantes. Caso queira conhecê-los, leia o capítulo 3 da obra “A história da Matemática”, de Anne Rooney. É um texto de fácil leitura e com elementos curiosos sobre o desenvolvimento da Matemática.

Até aqui você viu a sequência formada pelas distâncias percorridas diariamente. Agora, vamos construir outra sequência, desta vez formada pela distância total percorrida desde o primeiro dia até o momento do registro. Para isso, consideramos a distância como 1 km. Anotando a distância correspondente ao total percorrido a cada dia, formamos a sequência numérica:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Como chegamos a essa sequência? Observe a seguir. » » Primeiro dia: ½ (a metade da distância total). » » Segundo dia:

Como o corredor percorreu ¾ do percurso

total, resta ¼ para os dias subsequentes. » » Terceiro dia:

E assim sucessivamente. É usual denotar sequências numéricas por meio de letras minúsculas indicando seus termos, cada um com o indicativo em seu índice para a sua posição: (a1, a2, a3,…, an,….). O termo an é o n-ésimo termo da sequência. Veja mais alguns exemplos de sequências numéricas. a) (2,4,6,8,10,…); b) (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ....); c) (5,5,5,5,5,5,….); d) (-1,1,-1,1,-1,1,…). Ao observá-las, perceba que: » » nas sequências e (b), seus termos estão aumentando infinitamente; » » a sequência (c) é um exemplo de sequência constante. Seus termos são todos iguais; » » em (d), os termos da sequência se alternam entre 1 e -1. Sequências como essa são chamadas sequências alternadas. Agora, vamos analisar o comportamento dos elementos das duas sequências apresentadas na situação do corredor. Na medida em que os dias passam, as distâncias diárias percorridas diminuem cada vez mais. Ao mesmo tempo, a distância percorrida ao final do dia aumenta, embora cada vez menos. Ou seja, a cada dia, o percurso total se aproxima mais e mais de 1, mas a passos cada vez mais lentos. Tabela 1 - Comportamento das distâncias percorridas

DIA

DISTÂNCIA TOTAL PERCORRIDA (EM KM)

DISTÂNCIA DIÁRIA (EM KM)

0,5

0,75

0,25

0,875

0,125

0,9375

0,0625

0,96875

0,03125

Fonte: Silva (2014).

AULA 2 – LIMITES

Veja o que acontece na figura a seguir. Os pontos que representam as distâncias percorridas se concentram mais e mais em direção ao 1, porém sem atingi-lo.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 d4

1 d6...

Figura 18 - Distâncias percorridas a cada dia pelo corredor. Fonte: Silva (2014).

Reflita: se fosse possível seguir infinitamente a corrida, a distância diária percorrida seria cada vez menor, mas nunca seria zero. Considerando uma sequência an em que n é a quantidade de dias, dizemos que, na medida em que cresce indefinidamente, ou seja, tendendo a infinito, o termo da sequência tende a zero. Denotamos essa afirmação por: limn→∞(an)=0. Lê-se: o limite da sequência quando tende a infinito, é igual a zero. Nesse caso, dizemos que a sequência converge para zero. Designando a sequência formada pelas distâncias totais percorridas pelo nosso atleta por , temos que: limn→∞(bn)=1, ou seja, a sequência é convergente e converge para 1. De fato, à medida que os dias estão passando, o corredor está mais próximo do marco final, que é em 1 km. Mas, mesmo correndo para sempre, ele jamais chegará ao destino. Veja outros exemplos. Exemplo: Considere a sequência (an) com n∈N definida por correspondente a ele é calculado por .

, ou seja, para cada n natural, o termo

Desta forma, temos:

CÁLCULO DIFERENCIAL

e assim por diante. Enumerando os elementos de Em números decimais: 0,5; 0,6666..., 0,75; 0,8; 0,833...; 0,857...; ...; 0,980...; ...; 0,999; ... A cada termo da sequência, o numerador jamais será igual ao denominador. Por essa razão, os termos estão se aproximando de 1, mas nunca serão iguais a 1, independentemente de . Logo, a sequência é convergente e converge para 1, ou seja: limn→∞an=1. Exemplo: Seja a sequência (bn), n∈N formada por bn=2n. Enumerando alguns elementos, temos: 20; 21; 22; 23; 24; 25; … ou seja: Na medida em que n cresce, os termos também crescem indefinidamente. Logo, a sequência não é convergente. Sequências que não convergem para nenhum número são ditas divergentes. Assim, não existe o limite. A série alternada é outro exemplo de sequência convergente. Por exemplo: 5; -5; 5; -5; 5; -5... Vamos seguir com a noção de limite, mas agora considerando funções. A análise de limites de funções requer a observação de sucessões de valores: uma para x e outra para f(x), o que requer tratamento especial.

2.2 LIMITE DE FUNÇÕES Ao falar na existência de limites para funções, a ideia é idêntica àquela disposta para sequências numéricas. No entanto, aqui, nem sempre é possível formar sequências numéricas com todos os valores do domínio. Basta observar que não é possível enumerar todos os reais, como fazemos com os naturais, em que é permitida a enumeração. O conjunto dos números naturais é, por isso, um conjunto discreto. Em geral, identificamos alguns valores para formar sequências que nos mostram o comportamento da função. Além disso, temos a relação entre dois conjuntos, domínio e contradomínio, a partir de uma lei de formação. Para motivá-lo, consideramos a função , definida para todos os reais, exceto zero. O número real x=0 não pertence ao domínio da função, pois a divisão não é definida por zero, ou seja, não existe. A figura apresenta o gráfico de f que, como dito anteriormente, não tem em x=0 um ponto pertencente a ele.

AULA 2 – LIMITES

4 3

1 f(x) = _ x

2 1 0 -4

-3

-2

-1

-1 -2 -3

Figura 19 - Gráfico de

Fonte: Silva (2014).

Voltaremos nosso olhar à parte positiva desta função, ou seja, o gráfico construído a partir de valores maiores que zero (x>0). Vamos considerar sequências formadas por alguns elementos de x e de f(x) para que você possa acompanhar o comportamento da função e associá-lo à noção de convergência de sequências numéricas. » » Sequência para valores de x: (1,2,3,4,5,6,...). » » Sequência para valores de f(x):

( 1. 1 )

1 ( 2. _ ) 2

1 ( 3. _ ) 3

1 ( 4. _ ) 4

1 ( 5. _ ) 5

1 ( 6. _ ) 6

0 0

Figura 20 - Gráfico da

para os reais positivos.

Fonte: Silva (2014).

Perceba que a sequência está convergindo para zero. De fato, na medida em que aumentamos os valores de , a sua imagem diminui.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Nas frações do tipo , em que k é um número real qualquer, quanto maior o denominador, menor será a quantidade expressa por ela. Por exemplo, ; e . Os denominadores aumentaram, mas o numerador se manteve constante.

Um detalhe importante é que as imagens f(x) diminuem para valores de x, tendendo ao infinito, sem nunca chegar a zero. Isso ocorre porque, para qualquer valor de x, nunca teremos . Assim, o gráfico não corta o eixo horizontal. Da mesma forma, quando x tende para -∞, a função também se aproxima de zero, desta vez por valores negativos no eixo vertical. Dizemos, então, que a sequência formada por f(x) quando os valores da variável x aumentam, é convergente e converge para zero. Como a notação para a expressão “tende”, no estudo do Cálculo, é a seta →, podemos representar a afirmação “x tende a” como x → a. Por essa notação, temos: f(x)→0 quando x→∞ que se lê “f(x) tende a zero quando x tende a ∞”.

A densidade dos reais nos impede de enumerar as imagens da função e, por isso, de formar sequências numéricas. Por exemplo, se pensarmos em , é impossível identificar o próximo número da sequência. Pensando, por exemplo, no f(1,0001), temos, entre 1 e 1,0001, infinitos reais. Densidade de um conjunto: é uma propriedade importante de R e significa que, quaisquer que sejam dois números reais distintos, sempre haverá um real entre eles. É por isso que a reta numerada representa bem o conjunto dos números reais. Ela é contínua, sem nenhum “espaço vazio”.

Existem três tipos de limite: finitos, no infinito e infinitos. Para os nossos estudos, o mais importante é que você conheça a noção de limite finito, ou seja, quando x tende a um valor determinado.

2.2.1 Limites finitos Considerando mais uma vez a representação gráfica da função , para x∈R+*, escolhemos aleatoriamente a=3. Para uma aproximação de a=3 por valores à sua esquerda, a função tende a conforme mostra a figura.

AULA 2 – LIMITES

2 f(x) se aproxima de 1/3.

1 1 ( 3. _ ) 3

1/3 0 0

-1

Aproximação pela esquerda: _ x 3

-1

Figura 21 - Aproximação pela esquerda . Fonte: Silva (2014).

Dizemos que x→3 pela esquerda, ou seja, se aproxima de 3 por valores menores, e denotamos por x→3-. A tabela considera uma aproximação de 3 à esquerda para alguns valores, favorecendo a leitura gráfica. Tabela 2 - Aproximação de 3 pela esquerda

F(X)

2,9

0,344827

2,99

0,33444816

2,999

0,33344481

2,9999

0,33334444

...

... Fonte: Silva (2014).

Com isso, é intuitivamente observado que, quanto mais nos aproximamos de 3 pela esquerda, mais os valores de f(x) se aproximam de 0,33333….= . Podemos escrever essa afirmação da seguinte forma:

Lê-se: o limite da função f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é . Podemos avaliar intuitivamente a existência do limite de f(x) para x tendendo a 3 pela direita de modo análogo, como você pode observar na tabela. A aproximação pela direita é denotada por x→3+. Tabela 3 - Aproximação de 3 pela direita

F(X)

3,1

0,322580645

3,01

0, 33225913

3,001

0,333222259

3,0001

0,333322222

...

... Fonte: Elaborado pela autora.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Na medida em que nos aproximamos de 3 pela direita, os valores de f se aproximam de

. Logo,

Os limites à esquerda e à direita são chamados de limites laterais. Nesse caso, os limites laterais de f para x→3 são iguais e, nessas condições, dizemos que o limite da função quando x tende a 3 é igual a :

O limite limx→3f(x)=

coincide com f(3)=

Generalizando, considerando f uma função e a um número real qualquer, o limite da função é L quando os valores de f(x) se aproximam de L sempre que x tende a a pela esquerda e pela direita.

Exemplo: Seja f(x)=x2+1. Sabemos que f(2)=22+1=5 .Vamos observar o comportamento da função quando se aproxima pela direita e pela esquerda de x=2. Observe o gráfico de f. 6 f 5

4 3 2 1 0 -3

-2

-1

-1 x

3 x

Figura 22 - Aproximação de f(x) em x=2. Fonte: Silva (2014).

Pelo gráfico, concluímos que, pela esquerda e pela direita de x=2, f(x) tende a f(2) = 5. Assim: limx→2 - x2+1 = limx→2 + x2+1=limx→2 x2+1 = 5 = f(2).

AULA 2 – LIMITES

Em algumas situações, os limites laterais são diferentes, determinando que o limite não existe. Exemplo: Considere a função representada graficamente a seguir e definida por duas sentenças:

1,5 1 0,5 0 0

0,5

1,5

2,5

Figura 23 - Gráfico de f. Fonte: Silva (2014).

Se pensarmos no comportamento da função f em torno de x=1, pela lei de formação de f, sabemos que f(1)=1,5. De fato, como 1,5 é maior que 1, a sua imagem por f é calculada pela função constante f(x)=1,5. Além disso, em x=1 há uma “quebra” em f, o que resulta em duas partes na sua representação gráfica. Por isso, vamos nos fixar neste elemento de “quebra” para verificar a existência do limite limx→1f(x) e, assim, conhecer o comportamento de f em torno de x=1. Para tal, é necessário identificar os limites laterais. a) Limite lateral à esquerda de x=1. Para avaliar o limite de f à esquerda de 1, a expressão que define a função é f(x)=x. Fique atento, pois f(1) não é calculado por essa expressão, pois ela só é atribuída para x<1. Observe no gráfico que a aproximação de x=1 pela esquerda corresponde a imagens que se aproximam de 1 por valores menores, conforme indica a figura. 2

0 0

Figura 24 - Aproximação pela esquerda de x=1. Fonte: Silva (2014).

CÁLCULO DIFERENCIAL

As setas indicam as aproximações nos eixos. A tabela enfatiza esse comportamento, indicando alguns valores próximos a 1 pela esquerda do domínio e suas respectivas imagens. Tabela 4 - Aproximação pela esquerda de x=1.

F(X)

0,9

f(0,9)=0,9

0,99

f(0,99)=0,99

0,999

f(0,99)=0,99

0,999

f(0,99)=0,99

...

... Fonte: Silva (2014).

Foram considerados valores inferiores a 1 com diferenças decimais entre eles.

A escolha deve ser sempre por valores bem próximos para que se alcance o resultado correto para o limite, caso exista.

Pelo exposto, concluímos que limx→1- f(x)=1. Para verificar a existência do limite de f para x tendendo a 1, devemos, também, avaliar o limite lateral à direita. b) Limite lateral à direita de x=1. A função f é constante igual a 1,5 para todo x≥1. Observe no gráfico que a aproximação de x=1 pela esquerda corresponde a imagens que se aproximam de 1 por valores menores. Portanto, ao nos aproximarmos de 1 pela direita, temos que limx→1+ f(x)=1,5.

1,5 1 0,5 0 - 0,5

0,5

1,5

2,5

Figura 25 - Aproximação a direita de x=1. Fonte: Silva (2014).

AULA 2 – LIMITES

Como os limites laterais são diferentes: limx→1- f(x)=1 e limx→1+ f(x)=1,5, dizemos que não existe limx→1 f(x). Agora que você já conhece os limites finitos, é hora de ver um teorema que facilita o cálculo de limites de funções, estabelecendo propriedades operatórias importantes.

2.2.4 Propriedades operatórias Teorema: Seja c uma constante (número real), duas funções f, g tal que e limx→a g(x)=M. Então: 1) limx→a[f(x)±g(x)] = limx→af(x)± limx→ag(x) = L ± M; 2) limx→a[k⋅f(x)] = k ⋅ limx→af(x)=k⋅L 3) limx→a [f(x) ⋅ g(x)] = limx→af(x) ⋅ limx→a g(x) = L ⋅ M; 4) limx→a

, desde que M≠0.

A partir das propriedades do teorema, você terá algumas facilidades caso queira estabelecer o limite de uma função. Exemplo: Para calcular o limite da função f(x)=x3+4 quando x tende a 1, ou seja, limx→1 x3+4, é possível considerá-la como f(x)=g(x)+h(x), em que g(x)=x3 e h(x)=4. Pelo teorema, item (1): limx→1 f(x) = limx→1 g(x)+h(x)= limx→1x3+limx→1 4. Para verificar a existência do limite limx→1 x3, é necessário estudar os limites laterais à esquerda e à direita. Caso sejam iguais, o limite existe. Para isso, você pode construir uma tabela, como você já viu em situações anteriores nesta aula, com valores próximos de 1 pela esquerda e pela direita. É importante destacar que a escolha de valores para as aproximações é aleatória, mas sempre buscando valores bem próximos, no caso, de x=1. Tabela 5 - Aproximações para x=1

X G(X)

0,9

0,99

0,999

0,9999

1,0001

1,001

1,01

1,1

0,729

0,9703

0,997

0,9997

1,0003

1,003

1,0303

1,331

Fonte: Silva (2014).

Observe que, pela esquerda e pela direita, os valores de g se aproximam de 1 quando x→1. Logo: limx→1- x3 = limx→1 + )x3 =1.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Avaliando o limx→1 x3 por meio das informações da tabela que contém aproximações à direita e à esquerda de x=1, temos que limx→1- x3 =1. Ainda precisamos estabelecer o limite da função constante h(x) = 4, quando x tende a 1: limx→1 4. Como a função é constante, as aproximações nos levam a 4. A tabela, mesmo que redundante, pode fazê-lo compreender melhor esse comportamento. Tabela 6 - Aproximações para x=1 em h(x)=4

X H(X)

0,9

0,99

0,999

0,9999

1,0001

1,001

1,01

1,1

0,9997

Fonte: Silva (2014).

Assim: limx→1 f(x) = limx→1 x3+limx→1 4 = 1+4=5. Agora você conhecerá o conceito de continuidade.

2.3 CONTINUIDADE Vimos que, para a função , existe o limite limx→3 f(x) e é igual a . Quando esse comportamento ocorre, dizemos que a função é contínua em x=3. Pela continuidade em x=3, podemos observar que não há nehuma quebra ou uma mudança brusca na função. Resumindo, dizemos que uma função f definida em um domínio D é contínua em a real sempre que são verdadeiras as seguintes condições: 1) existe f(a), ou seja, a∈D; 2) existe limx→a f(x); 3) f(a)=limx→a f(x) Assim, formalizando a continuidade de »»

em x=3:

;

»» »»

, implicando na existência do limite

;

Logo, f é contínua em x=3. Se ao menos uma das três condições não for satisfeita, dizemos que a função é descontínua em a. Nesse caso, a função f tem uma descontinuidade em a. Exemplo: Seja a função f(x)=x2-5x+4 definida para todos os reais exceto x=3, ou seja, D(f)=R-{3}, representada graficamente na figura a seguir.

AULA 2 – LIMITES

1 0 0

-1 -2 -3 Figura 26 - Gráfico de f(x)=x2-5x+4. Fonte: Silva (2014).

Será que f é contínua em x=2? E em x=3? A resposta para cada uma dessas questões deve ser encontrada verificando as três condições para a continuidade.

Caso uma das condições da continuidade não seja satisfeita, não há necessidade de verificar as demais.

Para x=2: 1) f(2)=22-5⋅2+4=-2. Logo, a condição é satisfeita. 2) Para verificar limx→2 f(x), devemos calcular, caso existam, os limites laterais, o que pode ser observado no próprio gráfico. Vimos que, tanto à esquerda quanto à direita de x=2, a função se aproxima de -2. Os limites laterais são iguais. Então, concluímos que existe o limite e ele é limx→2 f(x)=-2. 3) Como f(2) limx→2 f(x)=-2, podemos afirmar que f(x)=x2-5x+4=-2 é contínua em x=2. Agora, vamos avaliar a continuidade de f(x)=x2-5x+4 em x=3. Pela definição de f, ela não está definida em x=3. Como a primeira condição não é satisfeita, então f não é contínua em x=3. Nesse caso, dizemos que f é descontínua no ponto x=3. O gráfico sinaliza essa descontinuidade ao mostrar que há um ponto aberto em x=3.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Uma função é dita contínua se, para todo x pertencente a determinado intervalo, ela for contínua.

Você deve ter percebido que limites estão diretamente relacionados ao comportamento das funções, o mesmo acontecendo com o conceito de continuidade. Associada a estas questões, está a taxa de variação, que avalia o quanto os valores de uma função crescem em relação à variação no domínio. Esse é o tema da nossa próxima seção.

2.4 TAXA DE VARIAÇÃO No nosso dia a dia, muitas vezes nos deparamos com a comparação entre duas grandezas, como a variação da temperatura em determinado dia em relação à quantidade de chuva, a velocidade média em que o carro se desloca em dias de trânsito congestionado e o tráfego de dados em relação à velocidade da internet. Ao comparar as grandezas, é comum buscarmos uma representação para as variações apresentadas, o que nos leva a construir razões (quocientes) entre os dados envolvidos. Por exemplo, se a temperatura aumentou 5 °C para 20 mm de chuva, podemos compor a razão , que é igual a 0,40 ou, em termos percentuais, 40%. Logo, a temperatura aumenta a uma razão de 40% em relação à precipitação. Vamos considerar a seguinte situação: você está no trânsito e, na primeira hora, consegue se deslocar 3 km. Nas próximas duas horas, o trânsito flui melhor e você consegue avançar 27 km. Na sua indignação pelo caos das estradas nos últimos tempos, você busca a velocidade média empreendida nos 30 km percorridos nessas 3 horas. Quilômetros 0

2 1 hora

2 horas

Figura 27 - Deslocamento do carro. Fonte: Silva (2014).

A velocidade média, também chamada taxa de variação média, é a relação entre o deslocamento e o tempo. É, na verdade, a razão entre os acréscimos das grandezas envolvidas. Representando a velocidade média por Vm, temos:

Generalizando, dadas duas grandezas x e y que sofrem variação de x0 para x1 e y0 para y1 respectivamente, a taxa de variação T de y em relação a é a razão entre as variações:

AULA 2 – LIMITES

No Cálculo, é usual a notação ∆ para representar variação. Assim, temos que

em que:

∆y indica acréscimo de y; ∆x indica acréscimo em x. Exemplo: Considere a função h(t)=2t-5 definida em R. Qual é a taxa de variação de h quando t varia de 4 para 6? Primeiramente, h é uma função afim, com coeficiente angular 3 e coeficiente linear -5.

8 Y1 6

4 Y0 2

0 0

-1

4 X0

6 X1

-2

Figura 28 - Gráfico de h(t)=2x-5. Fonte: Silva (2014).

Como a taxa de variação requer a variação da grandeza t e da grandeza h(t), temos: to=4 e t_1=6 h(to)=2⋅4-5=3 h(t1)=2⋅6-5=7 Assim, a taxa de variação de h em relação à variável t é:

Exemplo: Um ponto móvel qualquer se desloca de um ponto A para um ponto B, conforme o tempo, de to a t1. O gráfico apresenta o seu deslocamento em função do tempo.

CÁLCULO DIFERENCIAL

f(t 1 )

f(t 0 )

0 0

-1

4 t1

6 Tempo (t)

-1

Figura 29 - Gráfico da função . Fonte: Silva (2014).

Lembre-se de que calcular a taxa de variação do deslocamento em função do tempo, na Física, significa encontrar a velocidade média do percurso. Pela definição de taxa de variação:

Pela malha destacada no gráfico, temos que:

Logo, o ponto móvel se desloca a uma velocidade média de 0,666. Com a taxa de variação, concluímos esta aula.

CONCLUSÃO Nesta aula, você foi apresentado ao conceito de limite de sequência numérica, que o levou a avaliar a existência de limite de funções em determinados pontos. Esse conceito é a essência do Cálculo Diferencial e Integral. Os argumentos para limites foram de caráter intuitivo, mas prepararam seu pensamento lógico e abstrato para resolver problemas envolvendo limites. Na sequência, destacamos o estudo da continuidade de função em determinado ponto. Vimos que, para valores onde as funções apresentam quebras ou mudanças bruscas em seu comportamento, há pontos de descontinuidade. Depois, você foi apresentado a um conceito de taxa de variação de grandezas, que é o ponto inicial para definirmos derivadas na próxima aula.

AULA 3 Introdução a Derivadas

INTRODUÇÃO O estudo de movimentos nas mais diferentes áreas envolve o conceito de taxa de variação, que você estudou na aula 2. Continuaremos a abordá-la, agora sob um novo olhar do Cálculo. Esta aula apresenta a construção do conceito de derivada a partir da taxa de variação e como inclinação de retas, elementos importantes para o estudo das funções. O assunto está presente em diversas ciências, como a Física, a Economia e a Engenharia. Um exemplo é o estudo de resistência do concreto. A análise da composição e resistência desse material envolve a relação entre a variação na quantidade de determinado componente e a resistência do produto final. Já na Economia, há conceitos importantes que envolvem taxa de variação, como elasticidade de um bem de consumo e funções marginais. O que você verá nesta aula é o ponto de partida para identificar os máximos, mínimos, a concavidade e alguns outros elementos importantes no tratamento das funções. Além disso, há um passo relevante no cálculo: o conceito de função derivada, que você verá de forma gradual.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Para melhor construir os conceitos aqui apresentados, é importante que você reforce seus conhecimentos de funções e limites apresentados nas aulas anteriores. Desejamos a você uma boa leitura!

OBJETIVO » » Conhecer os conceitos de derivada e de função derivada.

3.1 DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO Vamos explorar, inicialmente, a ideia de derivada a partir da variação de uma função, retomando os conceitos estudados na aula 2, na situação proposta a seguir. Suponha que um objeto caia do bolso de um paraquedista, por descuido, de uma altura de 1.500 metros. O paraquedista conhece o comportamento da queda de um objeto nessas condições, determinado pela função que calcula a distância do objeto em relação ao solo (altura) em metros pela função f(t)=-1.500t+3.000 em segundos. A figura a seguir apresenta o gráfico de f. Distância(m) 3000

Tempo (s)

Figura 30 - Gráfico de f(t)=-1.500t+3.000. Fonte: Silva (2014).

Pela função, podemos determinar, por exemplo, qual a altura do objeto em relação ao solo ao passar 0,5 segundo: f(0,5)=-1.000⋅0,5+3.000=-500+3.000=2.500 m Dessa forma, você pode descobrir a altura do objeto em qualquer instante. No gráfico, é possível identificar que o tempo total de queda do objeto é igual a 2 s. Sabe como chegar a essa conclusão? Basta observar o ponto (2,0): f(2)=-1.500⋅2+3000=0 Esse ponto indica que, em 2 segundos, a altura é igual a zero. Ou seja, o objeto atinge o solo em 2 segundos. Você sabe dizer qual é a taxa média de variação da altura do objeto em relação ao tempo transcorrido na queda? A taxa de variação, no caso da altura, é a razão entre a variação do deslocamento e a variação do tempo. Então, se o objeto se desloca em queda livre entre instantes to e t, a altura varia de f(to) para f(t). A taxa média de variação da altura é dada por:

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

Por exemplo, a taxa média de variação de to= 0,5 s até t=1 s é:

Em que: f(0,5)=-1.500⋅0,5+3.000=-0,750+3.000=2.250 m f(1)=-1.500⋅1+3.000=1.500 m O comportamento negativo da taxa de variação indica que uma das variáveis está em sentido contrário à outra. Nesse caso, a taxa de variação é negativa, pois a altura diminui na medida em que o tempo passa. Vamos retornar à expressão geral da taxa de variação: , que envolve variações de altura e de tempo. Em geral, utilizamos a letra grega ∆ (delta) para denotar variação. Logo, a expressão da taxa de variação pode ser escrita por:

Em que ∆f é a variação da altura e ∆t, a variação do tempo.

A variação do tempo ∆t é diferente de zero. Ela pode ser infinitesimal, mas nunca será nula. Variação zero não faz sentido algum.

Em alguns momentos do Cálculo, você será apresentado à letra grega δ que também é chamada delta. De fato, δ é delta minúsculo e ∆, delta maiúsculo.

De modo geral, para uma função , a taxa média de variação é dada por . Agora, vamos considerar um pertencente ao domínio de e acrescentar a ele uma medida (ou acréscimo), que chamamos de Por exemplo, se é igual a 2, podemos considerar um acréscimo de Assim, temos outro ponto em para . Então, manteremos fixo e acrescentamos à medida conforme indica a figura.

CÁLCULO DIFERENCIAL

f(x)

f(x 0 + Δx) Δf f(x 0 ) K x0

x 0 + Δx

Δx

Figura 31 - Gráfico de y=f(x). Fonte: Silva (2014).

A taxa média de variação da função f é:

Agora, imagine que essa variação tenda a um número cada vez menor, a valores ínfimos, ou seja, ∆x tenda a zero. Isso significa considerar valores de x+∆x cada vez mais próximos de x. Exemplo: Seja a função f(x)=x2-2x+2. Considere fixo o valor x=2 e uma variação de ∆x=1 unidade. Observe no gráfico as medidas das variações ∆x e ∆f nos eixos. f 6 5 Δf = 3

f(x+Δx)

4 3 f(2) 2 1 0

-4

-3

-2

-1

-1 Δx = 1 -2

Figura 32 - Gráfico de f(x)=x2-2x+2. Fonte: Silva (2014).

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

Para x variando de x=2 a x=2+∆x=2+1=3, a taxa média de variação é:

O nosso próximo passo é considerar, no lugar de ∆x=1, uma redução para ∆x=0,1. Então, 2+∆x=2+0,1=2,1 e:

A taxa média passou de 3 para 2,1, apresentando uma redução de 0,9. Seguindo esse raciocínio, considere a variação ∆x para valores como 0,01, 0,001, 0,0001, 0,00001, e assim por diante. Então, 2+∆x se aproxima de 2 e: f(2,01),f(2,001),f(2,0001),f(2,00001) etc., que, por sua vez, se aproximam de f(2). Isso nos leva a concluir que, para x fixo, se ∆x→0, a taxa média de variação tende a um valor que se aproxima da variação instantânea em x e é igual ao limite:

Dizemos que a variação instantânea da função f em x, ou a derivada da função f, em relação à variável x, é dada por esse limite e denotada por ou f’(x):

Esse é o conceito de derivada como variação instantânea de uma função em uma variável . É importante destacar que devemos mostrar a existência do limite, ou seja, estudar os limites laterais: e

que devem ser iguais para a existência da derivada da função f em x.

Se precisar relembrar o conceito de limite, retome a aula 2.

Você se lembra do paraquedista que deixou cair um de seus pertences? Podemos estabelecer a variação instantânea em 0,5 s por meio da derivada:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Reduzindo os termos semelhantes:

Lembre-se de que ∆x tende a zero, mas nunca será igual a zero. E é por essa razão que a simplificação é possível. Assim, temos:

Concluímos que o objeto que está em queda livre, cai à razão de 1.500 m a cada 0,5 s.

A variação ∆x pode ser para mais e para menos, ou seja, x+∆x e x-∆x.

Exemplo adaptado de Weir et al. (2012, p. 77): Considere . Para calcular a taxa média de variação de f em relação a x para x variando de 2 para 3, basta calcular:

A taxa média de variação é negativa, pois a função maior x, menor f(x).

entre 2 e 3 é decrescente: quanto

A variação instantânea da função f em x=2 é dada pelo limite:

Como tende a zero, mas é diferente de zero, podemos simplificar a expressão por ∆x:

Como ∆x→0, a expressão 2∆x também tende a zero. Logo:

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

De fato, ao calcular os limites laterais, conforme a tabela a seguir, concluímos que lim pois, para valores em torno de zero, a expressão

se aproxima de

, .

Tabela 7 - Aproximação de pela esquerda e pela direita

X 1 4+

-0,001

-0,0001

-0,00001

0,0001

0,001

0,01

-0,25

-0,2500125

-0,2500013

-0,25

-0,2499875

-0,2498751

-0,2487562

Fonte: Silva (2014).

Dizemos, então, que: . Retome o conceito de limitese verifique a existência do limite lim , tomando valores pequenos (positivos e negativos) para ∆ x→0. Com isso, você tem lim

e lim

Logo, a variação instantânea no instante x=2 é obtida pela derivada

Exemplo: Em Economia, a função que mede o consumo de determinado bem ou serviço é dada em função da renda. A derivada da função consumo calcula a sua variação em relação à variação da renda. Essa derivada é chamada Propensão Marginal a Consumir. Considere que a função consumo de certo produto seja modelado matematicamente pela função f(x)=x3, em que x é a renda do consumidor. A Propensão Marginal a Consumir é calculada pela derivada de f para uma unidade monetária de renda do consumidor, ou seja, x=1 é x=1. Vamos calcular a Propensão Marginal a Consumir para x=1. Por definição,

. Assim:

Para x=1:

Observe que na expressão há uma fração na qual o seu denominador é um valor infinitesimal.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Infinitésimo: é uma quantidade infinitamente pequena, tendendo a zero.

Fatorando ∆x, ou seja, colocando-o em evidência, temos:

Como ∆x tende a zero, (∆x)² e 3∆x também tendem a zero. Logo:

De fato, lim∆x→03=3, pois mesmo que a variação seja muito pequena, tendendo a zero, o valor de f para valores próximos de 1 será igual a 3. Lembre-se que, na aula 2, você viu que limite da função constante é a própria constante. Daí, concluímos que:

Portanto, a Propensão Marginal a Consumir para x = 1 de renda é de 3 unidades. A ideia inicial de derivada de uma função f(x) em determinado x0 pertencente ao seu domínio é a variação instantânea que ela sofre em relação à variável . Na próxima seção, você será apresentado à outra perspectiva para a derivada: a sua interpretação geométrica.

3.2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA Esta seção apresenta a você a derivada como inclinação de retas tangentes a curvas em pontos específicos, algo que o ajudará a resolver problemas de Cálculo que envolvem curvas e comportamentos como crescimento, decrescimento e mudança de direção. Para iniciar o seu estudo, é importante retomar o conceito de reta tangente, reta secante e inclinação de reta. Dada uma circunferência qualquer e um ponto P, a reta tangente a C em P é definida como a reta que intercepta C tão somente em P. Já a reta secante intercepta C em dois pontos. Observe a figura que identifica uma reta secante e outra tangente à circunferência.

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

Reta tangente em P P c

C B Reta secante

Figura 33 - Retas tangente e secante à circunferência C Fonte: Silva (2014).

Definir reta tangente a uma circunferência como aquela que a intercepta em um único ponto não dá conta de todas as possibilidades de curvas (LEITHOLD, 1994). Existem situações em que a reta pode tangenciar a curva em um ponto, mas interceptá-la em outro. O gráfico a seguir mostra um exemplo em que uma reta tangencia a curva no ponto A, mas intercepta no ponto B. B

Reta r

A α

Figura 34 - Reta secante à curva. Fonte: Silva (2014).

Como a reta r tangencia a curva em A, mas intercepta a curva em B, é, na verdade, uma reta secante à curva. Aqui, definiremos reta tangente a uma curva de uma forma diferenciada, e, com isso, estabeleceremos a relação entre a sua inclinação e derivada no ponto de tangência. Uma reta fica bem determinada se conhecermos a sua inclinação. Lembre-se do que você aprendeu na aula 1. Lá, você viu que o coeficiente angular de uma reta é a sua inclinação, determinada pela tangente do ângulo formado por ela com eixo horizontal. Na figura anterior, é o ângulo que a reta forma com o eixo x. Logo, a inclinação de r é a tangente de : a: tg(a). Por exemplo, se a=45º, então a reta r está inclinada horizontalmente à altura de tg(45º)=1. Lembre-se de que, pelas relações trigonométricas no triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Veja a figura adiante.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Cateto oposto

α = 90º

Cateto adjacente

Figura 35 - Relações trigonométricas em um triângulo retângulo. Fonte: Silva (2014).

O objetivo aqui é definir a reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto A(a,f(a)). Vamos lá! Para começar, considere uma reta r que passa por A e um ponto P(x,f(x)) no gráfico de f, conforme a figura a seguir. Y f

Reta r secante a f P

f(x)

f(x) - f(a) f(a)

A x-a

Figura 36 - Gráfico da função f. Fonte: Silva (2014).

O gráfico destaca algumas informações importantes para a construção da derivada de funções a partir da inclinação de retas tangentes: » » a reta é secante à curva f, pois os pontos A e P são interseções de ambas (reta e curva); » » os ângulos β e θ são iguais: são formados pela reta r e a linha horizontal; como são iguais, optamos pela notação θ. » » a medida dos catetos envolve as coordenadas dos pontos A e P. 66

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

A inclinação da reta secante a f é a tangente do ângulo θ:

Na medida em que o ponto P se aproxima de A, a reta r está chegando cada vez mais perto da reta tangente da qual buscamos a inclinação. Essa aproximação de P para A forma retas secantes à curva com inclinações cada vez mais próximas à inclinação da reta tangente à curva no ponto A. Basta acompanhar a sequência das retas r1,r2 e r3 na figura. Y

f(x)

r1 r2

f(x1)

P2 f(x2) f(x3) f(a)

f(x) - f(a)

A Reta tangente à f(x) em A

Figura 37 - Aproximação ao ponto A pelo ponto P. Fonte: Silva (2014).

Os pontos P1, P2 e P3 e aproximam-se de A e, com ele, formam as retas e . Por isso, na medida em que os pontos chegam perto de A, as suas componentes no eixo horizontal também se aproximam de . Por exemplo, a distância entre a e x1 é menor que a distância entre a e x1. Por sua vez, a distância entre x2 e a é menor que a sua distância em relação a x1 e assim sucessivamente. Denotando cada distância por ∆, observe as marcações na figura.

CÁLCULO DIFERENCIAL

x3 Δx3

x1 Δx2

Δx1

Δx

Figura 38 - Comportamento das variações de . Fonte: Silva (2014).

A figura destaca que as distâncias são cada vez menores na medida em que os pontos se aproximam de A: x3<x2<x3<x. Com isso, as inclinações das retas formadas por cada uma das aproximações estão mais perto da inclinação da reta tangente à curva no ponto A. Imagine, agora, que tais aproximações continuam infinitamente, ou seja, consideramos pontos cada vez mais próximos de A. O que ocorre com as distâncias entre a e as componentes desses pontos? A resposta segue o mesmo raciocínio da relação x3<x2<x3<x. A cada P mais próximo de A, menor é a distância ∆x. Ao afirmarmos que os pontos se aproximam de A, estamos, então, deduzindo que as distâncias ∆x diminuem. Logo, ∆x tende a zero: ∆x→0. Com isso, as inclinações das retas formadas pelas aproximações, dadas por , estão cada vez mais próximas da inclinação da reta tangente em A. Mais precisamente, quando ∆x→0, considerando θ o ângulo formado pela reta tangente a f(x) em A:

que é a derivada da função f no ponto x=a, sempre que o limite lim

existe.

Assim, também existirá a reta tangente a f em A. Denotando a derivada da função f no ponto x=a por :

Exemplo: Considere a função y=f(x) dada por f(x)=4x2+1 em x=1. Vamos calcular a derivada considerando a variável x para, ao final, substitui-la por 1. Esse processo tem como objetivo a retomada de alguns artifícios algébricos importantes no estudo do Cálculo. A derivada da função de f em x é dada por:

Distribuindo o fator 4:

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

e, reduzindo os termos semelhantes 4x2 e -4x2, assim como 1 e –1, temos:

Agora, fatoramos (colocamos em evidência) o termo comum ∆x, simplificando-o:

Como ∆x→0, ∆x tende a zero. Logo, o limite é:

Então:

para Lembre-se de que derivada é a inclinação de reta tangente. Logo, a inclinação da reta tangente à em f(x)=4x2+1 é 8, ou seja, sendo θ o ângulo formado pela tangente: tg(θ)=8 Observe o gráfico de f e a reta tangente com inclinação tg(θ)=8.

f(1) 5

2 1 =83,16º

0 f

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

1,4

1,6

-1

Figura 39 - Reta tangente a f(x)=4x2+1 em A. Fonte: Silva (2014).

Para descobrir , use recursos computacionais e calculadoras científicas, que são aliados importantes. No caso do nosso exemplo, quando é aproximadamente 83,16 graus:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Caso você queira descobrir o valor de θ a partir da inclinação, utilize uma calculadora científica que tenha a função tg-1, função inversa da tangente. Digite a inclinação e a calculadora apresentará o ângulo θ. Fique atento à programação da calculadora. Caso queira a informação em graus, ela deve estar programada para tal. Em geral, a expressão DEG, redução de degree (grau em inglês), indica que a calculadora está programada para essa unidade de ângulo.

Até o momento, vimos a derivada como variação instantânea e como inclinação de reta tangente ao gráfico de uma função y=f(x) em um ponto (a,f(a)) e definida por:

Formalizando a definição de derivada nessas condições: A derivada de uma função y=f(x) e denotada por do domínio de f é igual a

(x)=lim

ou f’(x) é a função tal que, para um valor x se o limite existir e for finito.

Nos exemplos anteriores, destacamos que você deveria verificar a existência do limite. Essa é condição necessária e suficiente para que exista a derivada de uma função em determinado valor de x do seu domínio. Existem situações em que há problemas quando analisamos a existência do limite e a continuidade da função em em x=a. Assim, é importante observar que existe a derivada de uma função em determinado ponto se, nele, a função não apresentar descontinuidade e ser suave, ou seja, sem alteração brusca de direção. Quando ocorre descontinuidade ou mudanças de direção, não há tangente em a e, portanto, não podemos definir a sua derivada. Observe alguns exemplos de situações de não existência de derivada nos pontos em destaque. (A)

(B)

1 0

0 0

x3 0

Figura 40 - Casos de não existência de derivada. Fonte: Silva (2014).

Vamos analisar cada um dos casos.

AULA 3 – INTRODUÇÃO A DERIVADAS

No caso (A), em x1 há uma descontinuidade. Basta avaliar os limites laterais (à esquerda e à direita). Se x1 sofrer acréscimos x1+∆x e x1-∆x, os limites serão diferentes. Logo, o limite (x)=lim

não existe.

Já em situações como (B), nas quais o gráfico forma bicos, as funções também não admitem derivadas nesses pontos. Em x3 o limite lateral lim lim

é diferente de

. De fato, as retas tangentes para pontos à esquerda e à direita de x3 têm

inclinações diferentes. Um exemplo clássico da inexistência de derivada, de acordo com as indicações em (B), é a função modular f(x)= |x|. A derivada da função modular não existe em x=0. Vamos mostrar a você que os limites laterais são diferentes. Primeiro observe o gráfico da função f. 6 5 4 3 2 1 0 -4

-3

-2

-1

-1 -2 Figura 41 - Gráfico da função modular f(x)=|x|. Fonte: Silva (2014).

Para verificar a existência da derivada, devemos construir os limites laterais:

Para avaliar cada um dos limites, empregamos o recurso da tabela com as aproximações para pela esquerda e pela direita. Tabela 8 - Aproximação de pela esquerda e pela direita

∆X

-0,001

-0,0001

-0,00001

0,0001

0,001

0,01

-1

Não existe

Fonte: Silva (2014).

Observe que, à direita de ∆x→0, a expressão é igual a 1. Na verdade, a inclinação da semirreta que forma o gráfico de f para valores maiores que x=0 é igual a 1, pois ela forma 45o com o eixo horizontal e tg(45º)=1.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Já pela esquerda de ∆x→0, a tabela mostra que, para qualquer valor, =1. Da mesma forma, a semirreta à esquerda de x=0 forma 135º com o eixo horizontal e tg(135º )=-1. Logo, os limites laterais à esquerda e à direita de ∆x são diferentes:

O limite lim

não existe e, por conseguinte, a derivada

não existe.

Com essas considerações, encerramos a construção do conceito de derivada de uma função.

CONCLUSÃO Nesta aula, você conheceu o conceito de derivada de uma função como variação instantânea e como inclinação de reta tangente a uma curva. Para isso, você foi levado a revisar conceitos como os de reta tangente e secante a uma curva, essenciais no estudo da derivada. Por vários momentos, você precisou relembrar o conceito de limite abordado na aula 1. Essa retomada será também importante para a próxima aula, que abordará derivada de funções elementares.

AULA 4 Regras de Derivação

INTRODUÇÃO Esta aula é bastante teórica, mas é muito importante, já que o que você vai aprender aqui deixará mais fácil o cálculo de derivadas em situações práticas. Pense em uma situação na qual você precise estabelecer a área máxima de um ambiente qualquer. A derivada da função área pode ser uma ferramenta útil neste caso. Ela fornece meios para identificar valores máximos e mínimos que funções como essa assumem. Assim, você descobre a área máxima permitida para, então, projetar o ambiente. Imagine, agora, que você deva sair em busca do valor máximo para o problema de área por meio de derivada e ainda tenha de verificar a existência do limite que a define. Você certamente terá como aliadas as chamadas regras de derivação, que são facilitadores no processo de derivação de funções. Essas regras permitem que você calcule derivadas diretamente, sem necessariamente utilizar a sua definição pelo limite. Elas ainda facilitam o cálculo da derivada de funções especiais. Com esses conhecimentos, você

CÁLCULO DIFERENCIAL

conseguirá resolver problemas que envolvem taxas de variação e inclinação de retas ou qualquer outro contexto que exija esse conceito.

OBJETIVOS » » Entender como trabalhar com as regras de derivação mais comumente utilizadas. » » Entender as derivadas de funções: derivada da soma, produto por constante, produto de funções, quociente de funções e a Regra da Cadeia.

4.1 DERIVADAS DE FUNÇÕES ESPECIAIS Na aula 2, você estudou as taxas de variação. Interpretadas geometricamente como inclinações de retas tangentes a funções em determinados pontos do seu domínio, elas estão intimamente ligadas ao conceito de derivadas, apresentado na aula 3. A partir de agora, você utilizará os conhecimentos adquiridos sobre incrementos que tendem a zero no cálculo de limites e nas derivadas. Você lembra que, para verificar a existência desses limites, e, portanto, das derivadas, é preciso estabelecer aproximações organizadas em tabelas, associando-as à análise algébrica da expressão a derivar? Se falarmos em interpretação geométrica, temos, também, a necessidade de elaborar esboços gráficos. Essa dinâmica é bem trabalhosa, mas existem alguns “atalhos” que podem facilitar bastante o seu trabalho. E é justamente isso que você verá a partir de agora. Primeiro você conhecerá algumas regras de derivação por meio de teoremas específicos.

4.1.1 Teorema 1: derivada da função constante Seja a função constante f(x)=c, c∈R. Então:

De fato, se f(x)=c, então, pela definição de derivada, temos que:

Exemplo: A derivada da função constante f(x)=5, pelo teorema, é igual a . Neste caso, c=5. Se pensarmos em inclinação de reta tangente à função f e, em, por exemplo, x=2 então: .

AULA 4 – REGRAS DE DERIVAÇÃO

Observe que o cálculo da derivada foi feito de forma direta pela aplicação do resultado fornecido pelo Teorema 1, sem pensar em avaliar limites e esboços gráficos.

4.1.2 Teorema 2: derivada da potenciação para expoentes reais não nulos Considere a função f(x)=xn em que n é um número real não nulo. Então:

O próximo passo é empregar um conceito da teoria de polinômios, que é a potência de um polinômio com dois termos da forma (x+a),a∈R, chamados binômios. Neste caso, polinômios expressos como potência, (x+a)n são chamados Binômios de Newton. No nosso caso, o a=∆x. A expressão a seguir é a fatoração do Binômio de Newton.

O seu conhecimento sobre polinômios é importante no estudo do Cálculo. Portanto, reforce seus estudos sobre eles em materiais de apoio, como os artigos disponíveis em <www.brasilescola.com/matematica/polinomios. htm> e em <www.infoescola.com/matematica/polinomios/>.

Reduzindo os termos semelhantes:

Colocando ∆x em evidência no numerador da expressão e simplificando-o com o denominador, temos que:

Pelo limite da soma, propriedade que você viu na aula 2: Pelo limite da soma, propriedade que você viu na aula 2:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Cada um dos limites deveria ser determinado por meio da verificação de existência dos limites laterais, a exemplo do que foi feito na aula 2. No entanto, aqui, consideramos uma avaliação mais superficial. Se precisar relembrar os limites, reveja a aula anterior.>

Assim, como ∆x→0, os termos a zero. Dizemos, então, que:

tendem cada um deles ,

que, por sua vez, não depende de ∆x. Portanto: . Exemplo: Para calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x4 em x=1, aplicamos a regra da potência:

Se não houvesse essa regra, o cálculo teria de ser executado pela verificação da existência do limite por meio dos limites laterais. Em x=1, temos, assim, que:

A inclinação da reta tangente ao gráfico da função f em x=1 é, portanto, igual a , ou seja, o ângulo θ é tal que tg(θ)=4. Com o uso de calculadora científica, estimamos θ ≅ 75,96º. A seguir, o gráfico destaca a reta tangente à função f em x=1.

AULA 4 – REGRAS DE DERIVAÇÃO

1,4

1,2

0,8

0,6

0,4

0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

1,4

Figura 42 - Gráfico de f(x)=x4. Fonte: Silva (2014).

Você observou como aplicar a regra para o cálculo da derivada de uma potência torna o cálculo mais simples? Então, seguimos apresentando algumas outras regras de derivação.

Como um dos casos da regra da potenciação, para o caso de n=1, temos a função f(x)=x1=x. Pela aplicação desta regra, a derivada de f é igual a:

Resumindo, se f(x)=x, então

4.1.3 Teorema 3: derivada do produto da constante por uma função Seja um número real não nulo, f uma função g(x) e a função produto f(x)=cg(x). Então, a derivada de f é dada por:

Ou seja, a derivada do produto de uma constante por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função. De fato,

CÁLCULO DIFERENCIAL

Pela definição de derivada por limite:

Colocando a constante c em evidência e aplicando algumas propriedades de limites:

Lembre-se de que o limite da função constante é igual à própria constante. Logo:

Dizemos, então, que a derivada do produto entre uma constante e uma função é a constante multiplicada pela derivada da função. Exemplo: Para determinar a derivada da função f(x)=4x, pelo teorema 3, consideramos g(x) = x e . Aqui, basta aplicar a observação anterior: a derivada de x em relação a x é igual a 1. Exemplo: A derivada da função f(x)=5x3, pelo teorema 3 é:

Agora, você verá teoremas mais complexos. Daqui em diante, omitiremos as demonstrações por exigirem conhecimentos mais avançados de Cálculo, os quais ainda não são necessários.

4.1.4 Teorema 4: derivada da soma, do produto e do quociente Considere f e g funções deriváveis. Isso quer dizer que existem as suas derivadas em um ponto. Então, a soma e o produto de f e g são deriváveis e: a) b) Além disso, se g(x)≠0 então o quociente c)

será derivável e:

AULA 4 – REGRAS DE DERIVAÇÃO

É importante perceber que os teoremas podem ser combinados, ou seja, há situações em que é necessário aplicar mais de uma das regras para derivar funções. O Teorema 4, por exemplo, exige derivadas calculadas individualmente. Para entender melhor, acompanhe os próximos exemplos. Exemplo: Seja f(x)=-4x5+1. Pelo item (a):

Por sua vez, a derivada

(Teorema 1) é:

Exemplo: A derivada da função f(x)=(x+1)⋅x³ é, por (b):

Assim:

Para reduzir a expressão da derivada, coloca-se x² em evidência:

Em geral, aplicamos recursos algébricos básicos, como simplificação e fatoração, sempre que possível para reduzir a expressão da derivada. É recomendável essa finalização que torna mais “elegante” o resultado obtido.

Veja outro exemplo, agora aplicando a derivada do quociente. Exemplo: Suponha que teorema.

. Para calcular a derivada da função f, empregamos o item (c) do

Considere f(x)=5x e g(x)=x2+1.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Por (c):

Calculando separadamente as derivadas requeridas pela expressão, temos: »»

, conforme o Teorema 3;

»»

, pela composição do Teorema 2 com o Teorema 1.

Aplicando à expressão de (c):

Temos, então, que:

Funções que envolvem quociente de expressões algébricas apresentam, às vezes, um comportamento gráfico incomum. Observe a seguir o gráfico de h(x).

h(x) =

5x x2 +1

3 2 1 0 -3

-2

-1

-1 Δx = 1 -2

Figura 43 - Gráfico da função

Fonte: Silva (2014).

Exemplo: A função tem aparecido com frequência nas suas leituras deste material. Nada mais justo que apresentar a sua derivada, não é mesmo?

AULA 4 – REGRAS DE DERIVAÇÃO

Vamos aplicar a regra do quociente:

Nesta aula, a expressão regra permeia o seu estudo. Mas o que é uma regra? Segundo o “Dicionário de Matemática”, de Luiz Fernando Cardoso (2007, p. 387), é “[...] operação, caminho que se segue, com a finalidade de obter determinado resultado”.

Continuando o estudo de regras de derivação, um conceito importante da teoria de derivadas é a regra da cadeia, que é aplicada à composição de funções.

4.2 A REGRA DA CADEIA Os teoremas da seção 2.1 nos mostram o caminho para derivar funções definidas para a variável x. Mas e se uma função f é uma função de u que, por sua vez, é uma função de x? Ou seja, como derivar funções compostas, como f(u)=u2, em que u(x)=3x+1? As duas expressões, f(u)=u2 e u(x)=3x+1 definem uma função composta f(u(x))=(3x+1)2 Para determinar a derivada de funções compostas, você precisa conhecer o Teorema 5: Regra da Cadeia.

4.2.1 Teorema 5: Regra da Cadeia Seja u uma função derivável em x, e f(u) derivável em u. Então, a função composta f(u(x)) é derivável em x:

O esquema a seguir ilustra o contexto da função composta.

CÁLCULO DIFERENCIAL

u(x)

f ( u(x) )

Figura 44 - Função composta f(u(x)). Fonte: Silva (2014).

Observe que, para derivar uma composição de funções, ambas devem ser deriváveis no ponto em questão.

Caso queira rever com mais detalhe o conceito de função composta, leia o livro “Matemática: contexto e aplicações”, volume 1, de Luiz Roberto Dante (2012).

Observe a função composta do nosso exemplo: f(u(x))=(3x+1)2. Primeiramente, vamos aplicar a potência para que possamos derivar com as regras já conhecidas: f(u(x))=9x2+6x+1 e a sua derivada é:

Agora, pela regra da cadeia, em que e , temos que: ; ; . Como u=(3x+1), temos que:

AULA 4 – REGRAS DE DERIVAÇÃO

Assim:

Perceba que o resultado é idêntico ao obtido por meio do procedimento que utiliza as regras de derivação. Exemplo: Suponha duas funções f(u), em que u é, por sua vez, função de x. Por exemplo, f(u)=5u3+4u e u=x+2. Para a regra da cadeia, »» »»

,e ;

Logo,

Ao substituirmos u=x+2: . Para aplicar a regra da cadeia, é importante identificar a relação entre as expressões da função e a composição para a qual buscamos a derivada. Por isso, apresentamos a você outros exemplos para fixar melhor o processo de derivação de funções compostas por meio da regra da cadeia. Exemplo: Em f(x)=(3x+4)³, consideramos u=3x+4 e f(u)=u³. Aqui, eliminamos o passo que envolve u e x na mesma equação, ou seja, não vamos fazer a substituição de (3x+4) por u antes de aplicar a regra de derivação. Com isso, a expressão fica menos “poluída” de variáveis, mantendo-se apenas com a variável x. Esse é o processo mais utilizado no cálculo de derivadas pela regra da cadeia. Embora exija atenção, facilita e reduz o trabalho dispensado na derivação de funções compostas.

Se for necessário, por exemplo, determinar a derivada de f em x=0, temos que:

Podemos afirmar que a inclinação da reta tangente à função f em x=0 é igual a 144.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Caso tenha em mãos uma calculadora científica, determine o ângulo cuja tangente é igual a 144. Utilize a função tg-1.

Exemplo: Para derivar a função conforme o item (c) do teorema 4:

consideramos

que, por sua vez, é derivável

Assim:

Para finalizar esta aula, os resultados apresentados nos teoremas até aqui foram reunidos em um quadro. Em uma aula futura, quando você já tiver adquirido novos conhecimentos, o quadro será atualizado com novas regras. Tenha-o sempre em mãos para facilitar a resolução de exercícios envolvendo derivadas. Tabela 2 - Derivadas

FUNÇÃO

DERIVADA

Fonte: Silva (2014).

AULA 4 – REGRAS DE DERIVAÇÃO

CONCLUSÃO Nesta aula, você tratou algebricamente o processo de derivação, eliminando a exaustiva verificação da existência do limite da sua definição. Assim, é possível facilitar os cálculos a partir de regras estabelecidas por teoremas. Ao final, você conheceu a regra da cadeia, que aumenta o alcance das regras de derivação, fornecendo um algoritmo rápido para a derivada de funções compostas. As regras aqui apresentadas foram organizadas em um quadro, que será atualizado com novas regras no decorrer da disciplina. Desse modo, ficará mais fácil encontrar o procedimento adequado para o cálculo da derivada em diversas situações. Na próxima aula, você conhecerá derivada de funções trigonométricas. Até lá!

AULA 5 Derivadas de Funções Trigonométricas, Exponenciais e Logarítmicas INTRODUÇÃO Em seu cotidiano como engenheiro, você provavelmente se deparará com fenômenos periódicos, ou seja, situações que apresentam repetição de comportamento, como as frequências eletromagnéticas e os sistemas analógicos de sinais. Para resolver problemas desse tipo, as funções trigonométricas serão muito úteis. Elas também são utilizadas no estudo das marés, nos mapas topográficos, na navegação, na meteorologia e na sismologia. Aqui, você verá um panorama teórico do assunto, com fórmulas específicas para que você aprenda a derivar funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. O conteúdo aqui apresentado complementará os conhecimentos que você adquiriu em aulas anteriores. Você se lembra que, na aula 4, as regras de derivação vistas até ali foram organizadas em um quadro? No final desta aula, você será apresentado a uma versão atualizada. Com isso, seu quadro de derivadas terá uma relação importante de regras de derivação, que serão úteis aos seus estudos daqui em diante. Boa leitura para você!

CÁLCULO DIFERENCIAL

OBJETIVO » » Entender como trabalhar com as regras de derivação de funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas comumente utilizadas.

5.1 AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As funções trigonométricas são relações entre números reais, e seus elementos são essenciais ao estudo do Cálculo Diferencial. Um exemplo simples de aplicação de funções trigonométricas vem da eletricidade. É o sinal senoidal, um modelo de sinais de tensão de corrente alternada cuja intensidade varia continuamente e a polaridade se inverte periodicamente. Esse é um comportamento da senoide, curva representativa da função trigonométrica seno. As funções trigonométricas são apresentadas a partir do conceito das relações trigonométricas seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico, que é uma circunferência com uma unidade de raio e cujo centro fica na origem do sistema cartesiano.

0 -1

(0,0) 0

-1

Figura 44 - Ciclo trigonométrico. Fonte: Silva (2014).

Como forma de associar o conceito de relações trigonométricas à definição de função, consideramos radiano como a unidade dos ângulos. Com isso, podemos associá-los aos reais e, assim, constituir as funções trigonométricas a partir do sistema cartesiano de eixos. O quadro a seguir apresenta alguns ângulos elementares em graus e radianos para auxiliá-lo no estudo das derivadas de funções trigonométricas. GRAU

0º

RADIANO

30º

45º

60º

90º

180º

270º

π Tabela 2 - Ângulos elementares em grau e radiano.

Fonte: Silva (2014).

360º 2π

AULA 5 – DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Para entender a dinâmica das funções trigonométricas, primeiro você estudará as funções seno e cosseno. A partir daí, você verá as principais características dessas funções e as suas derivadas, como domínio, imagem e comportamento periódico.

5.1.1 Função Seno Seja x um número real e um ponto P sobre a circunferência na qual o segmento que une P à origem (0,0) determina um ângulo x, conforme a figura.

P x

0 -1

-1

Figura 45 - Seno de x. Fonte: Silva (2014).

Dizemos que o seno de x, denotado por sen(x), é a medida da origem até y, ou seja, sen(x)=y. Observe que y é a projeção do ponto P no eixo vertical. A partir do conceito de seno de um ângulo, definimos a função seno como a função f:R→R que associa a cada x real o número real y=f(x)=sen(x). Relacionamos alguns elementos importantes quanto à função seno. » » O domínio da função seno é o conjunto dos números reais e a imagem compreende os reais de -1 a 1: . De fato, como o ponto P pertence ao círculo, no sistema cartesiano a sua ordenada vai variar de 1 a 1. » » No primeiro e no segundo quadrantes, a função seno é positiva, variando de 0 a 1. Já no terceiro e quarto, ela é negativa, variando de 1 a 0. » » A função seno é periódica, ou seja, a cada volta (de 0 a ), o valor do seno se repete. Para o gráfico da função seno, vamos fazer com que percorra uma volta completa, ou seja, de 0 a 2π.

Para elaborar o gráfico, basta usar o mesmo procedimento que foi apresentado a você na aula 1.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Atribuímos valores para e calculamos a imagem f(x)=sen(x). Faça isso para os ângulos 0, , π,

e 2π e você fará uma boa leitura do comportamento da função seno. O quadro a seguir

sintetiza informações para o esboço do gráfico. X

SEN(X)

2π

π 1

-1

Tabela 3 - Seno de ângulos elementares.

Fonte: Silva (2014).

Os dados do quadro podem ser observados no gráfico da função f(x)=sen(x), que é chamado senoide. 3

Um período da função seno 2

3π π

0 f

-2

-1

2 4

2π

-1

Figura 46 - Função seno. Fonte: Silva (2014).

O retângulo sombreado destaca apenas um período da função seno, que se repete a cada . Você pode observar que a imagem varia, então, de -1 a 1. Agora, você verá a derivada da função seno. Lembre-se da aula 3. As regras de derivação são estabelecidas a partir da definição de derivada. Nesta aula, omitiremos o cálculo da derivada da função f(x)=sen(x),com x em radianos pela definição. Partiremos para as regras propriamente ditas, que simplificam o processo de derivação. Assim, a regra de derivação da função seno é:

O cosseno de um ângulo e a função cosseno serão definidos na próxima seção.

AULA 5 – DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Exemplo: A derivada da função f(x)=3x²-sen(x) é, pela regra da soma:

Podemos estender a derivada da função, considerando a regra da cadeia:

e, assim:

Exemplo: A derivada de f(x)=sen(3x4-4x) é dada por:

A próxima seção retoma alguns elementos envolvendo a função cosseno para, então, apresentar a sua derivada.

5.1.2 Função Cosseno Seguindo o raciocínio empregado para a função seno, considere um número real e P um ponto pertencente ao ciclo trigonométrico. Denominamos cosseno de x, e denotamos por cos(x), a função f real tal que f(x)=cos(x) é a medida da origem à projeção de P sobre o eixo horizontal.

1 y x

0 -1

Cosseno do ângulo x -1

Figura 47 - Cosseno de x. Fonte: Silva (2014).

A próxima figura reúne seno e cosseno do ângulo x em um mesmo ciclo trigonométrico com os segmentos indicados. 91

CÁLCULO DIFERENCIAL

Segmento OQ: sen(x) 1

Q x

0 -1

Segmento OR: cos(x) -1

Figura 48 - Seno e cosseno do ângulo x. Fonte: Silva (2014).

A medida do segmento OR é o cosseno de x. Já a medida de OQ é o seno de x. Seguem algumas informações importantes da função cosseno. » » A imagem da função cosseno é, também, o intervalo [-1,1]. » » A função cosseno é positiva no 1o e no 4o quadrante e negativa nos demais. » » A função cosseno é periódica e seu período é 2π. Destacamos os valores assumidos pela função cosseno em alguns ângulos elementares, que auxiliam na construção do seu gráfico. X

COS(X)

2π

π 0

-1

Tabela 4 - Cosseno de ângulos elementares.

Fonte: Silva (2014).

Construímos o gráfico da função cosseno pela relação entre radianos e o valor do seu cosseno. O gráfico da função cosseno é chamado cossenoide.

Figura 49 - Função cosseno. Fonte: Silva (2014). 92

AULA 5 – DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

A exemplo da função seno, a derivada da função cosseno é:

Exemplo: Derivando a função h(x)=4⋅cos(x), temos que, pela regra da multiplicação de uma constante por uma função:

Além disso, para f(x)=cosu, em que u é uma função de x, pela regra da cadeia:

Exemplo: A derivada de f(x)=5 cos(x²-4) é igual a

Exemplo: Seja a função . Para calcular a derivada de f, o primeiro passo é aplicar a derivada do quociente:

, em que

Reduzindo os termos semelhantes, temos que: .

CÁLCULO DIFERENCIAL

Observe que a regra da cadeia foi aplicada em e foi “embutida” na derivada do quociente. Esse processo é usualmente empregado na derivação de funções.

Exemplo: Derivando a função f(x)=-7x4+cos(x2), temos:

A próxima seção apresenta a função tangente.

5.1.3 Função Tangente Ao pensarmos em tangente como relação trigonométrica no triângulo retângulo, ela é a razão entre a medida do seno e do cosseno, ou seja, a tangente de um ângulo x é Uma aplicação relevante da tangente na Engenharia, a exemplo dos senos e cossenos é nos estudos topográficos. Em conjunto com seno e cosseno, é possível fazer medições de terrenos e relevos em estudos topográficos de uma região.

Topografia: É a ciência que tem como objeto de estudo as variações geográficas a partir de sua localização na Terra, valendo-se de métodos para descrever superfícies, como: o cálculo de medidas de área e perímetro, a orientação, localização e descrição de relevos.

A tangente de um ângulo é, para , a medida entre a reta OP e a sua interseção com o eixo das tangentes, em que k é um número inteiro qualquer. É este k que forma os tais múltiplos de . Por exemplo, para k=5, temos que é um múltiplo de . Observe a figura.

AULA 5 – DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

1 P tg(x)

0.5 x

0 -1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

2.5

-0.5

-1 -1.5 Figura 50 - Tangente de um ângulo. Fonte: Silva (2014).

A função tangente pode ser definida primeiramente em termos das relações trigonométricas do triângulo retângulo, a saber:

Como cos(x) é zero para todos os múltiplos de , a função tangente não está definida para esses valores de x. Observe a definição, portanto, como viemos definindo até aqui. A função tangente é a função de D em R, em que D é formado por

Algumas propriedades da função tangente são listadas a seguir. » » O domínio da função tangente é . De fato, se você tentar, por exemplo, calcular a tangente do ângulo , que é o ângulo de 90°, verá que a reta que passa pela origem e pela extremidade desse ângulo é paralela ao eixo das tangentes. Logo, não é possível a medida de nem de qualquer um de seus múltiplos. » » A sua imagem é R, pois, para qualquer y real, existe um x tal que tg x=y. » » No 1o e 3o quadrantes, a tangente é positiva. No 2o e no 4o quadrantes, ela é negativa. » » A função tangente é periódica e seu período é π. Para esboçar o gráfico da função tangente, vamos considerar o intervalo [0,2π]. Sabemos que, em todos os a função não está definida, ou seja, o gráfico não terá pontos sobre retas formadas por estes valores. Observe o quadro. X

TG(X)

2π

π Não existe

Não existe

Tabela 5 - – Tangente de ângulos elementares.

Fonte: Silva (2014).

CÁLCULO DIFERENCIAL

Considerando as propriedades e informações destacadas, o esboço gráfico da função f(x)=tg(x) é o que segue. 4 3 2

-2

-1

3π

2 5

5π

2π

2 11 12

-1 -2 -3 -4 Figura 51 - Esboço gráfico da função tangente. Fonte: Silva (2014).

Observe que a função tangente é crescente em todos os intervalos em que está bem definida. Agora, vamos à sua derivada. A derivada da função tangente f(x)=tg(x) é:

Exemplo: Para calcular a derivada da função f(x)=xtg(x), aplicamos a regra do produto que você viu na aula 4:

Pela regra da cadeia, sendo u=u(x), temos que a derivada da função tangente é:

Acompanhe passo a passo a aplicação da regra da cadeia nos exemplos que seguem. Exemplo: Considere a função f(x)=4x-tg(x²). Para calcular a derivada de f, aplicamos primeiramente a regra da soma.

AULA 5 – DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Derivando cada uma das expressões envolvidas, temos que: .

Imagine que, para essa função, buscamos a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) em . Retomando as aulas anteriores, temos, então, que a inclinação da reta é dada por:

Com uma calculadora científica, você pode encontrar a secante de

que é igual a √2. Logo:

Algumas calculadoras científicas podem ser formatadas para considerar a notação de fração e raiz, indicando-as no visor. Outras só consideram a notação decimal, com número finito de casas. Afinal, a linguagem da máquina é finita. Assim, para as funções trigonométricas, você pode considerar as aproximações (arredondamentos) decimais. Para o exemplo, teríamos, então, a indicação do resultado aproximado:

O site <www.brasilescola.com/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm> descreve em detalhes as relações trigonométricas no triângulo retângulo. Sugerimos que você busque estas informações para consolidar seus conhecimentos de funções trigonométricas.

A próxima seção apresenta resumidamente as derivadas de outras funções trigonométricas.

5.1.4 Outras funções trigonométricas e suas derivadas Com base nas funções seno e cosseno, podemos definir outras funções trigonométricas, como fizemos para a tangente. As chamadas identidades trigonométricas relacionam seno e cosseno com cotangente, secante e cossecante. Observe:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Com essas relações, a regra do quociente e as derivadas de seno, cosseno e tangente, é possível deduzir as derivadas, conforme segue:

Considerando a regra da cadeia, estende-se a:

Essas regras de derivação também estão no quadro ao final desta aula, para facilitar seu trabalho na derivação de funções. Nos exemplos a seguir, as funções trigonométricas aparecem combinadas e, assim, você pode exercitar a regra da cadeia e as regras de derivação, reforçando seus estudos. Exemplo: Considere a função f(x)=(x²-3)[sen(x)+3 sec(x)]. Você deve aplicar a regra do produto.

Exemplo: Seja a função

. Para derivar , aplica-se a regra do quociente.

AULA 5 – DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Você verá, na próxima seção, a derivada de funções exponenciais e logarítmicas.

5.2 AS FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E SUAS DERIVADAS As funções exponenciais e logarítmicas são aplicadas nos mais diversos contextos. Ao realizar um pagamento parcelado, por exemplo, você precisa pagar taxas de juros, certo? O cálculo de juros compostos, ou “juros sobre juros”, é uma situação prática na qual é preciso usar a função exponencial. Já os logaritmos foram empregados inicialmente como facilitador em cálculos aritméticos. Eles são muito úteis, por exemplo, para simplificar operações que envolvem números muito grandes. Agora, vamos relembrar rapidamente os conceitos de função exponencial e logarítmica para, então, estudar as suas derivadas.

5.2.1 Função Exponencial Chamamos função exponencial com base aquela que associa um número (f:R→R) ( em ax, em que a>0,a≠1: f:R→R x↦f(x)=ax Veja alguns elementos importantes na construção de funções exponenciais: » » a imagem da função exponencial é: Im(f)=R+0, ou seja, são os reais positivos, excluindo o zero; » » a função exponencial corta o eixo vertical (eixo y) no ponto (0,1). Afinal, f(0)=a0=1, para qualquer base nas condições da definição; » » o gráfico de f é totalmente positivo, ou seja, a curva está integralmente acima do eixo horizontal x; » » se a>1, f é crescente; se 0<a<1, f é decrescente; » » o gráfico da função exponencial não intercepta o eixo horizontal x. De fato, não há real x tal que ax=0. » » Como exemplo, observe o esboço do gráfico da função exponencial considerando a=2>1 e :

CÁLCULO DIFERENCIAL

6 5 4 3

f(x) = 2 x

g(x) = (1/2) x

P = (0, 1)

1 0 -4

-3

-2

-1

Figura 52 - Funções exponenciais f(x)=2x e g(x)=

Fonte: Silva (2014).

A derivada da função exponencial f(x)=ax, 0<a e a≠1, é dada por:

Exemplo: A derivada da função f(x)=5x é igual a:

Para f(u), em que u=u(x), pela regra da cadeia:

Exemplo: Para determinar a derivada de Assim:

100

, considere u=x3-3x, cuja derivada é:

AULA 5 – DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

O último passo foi feito apenas para deixar a derivada mais “elegante” matematicamente. Procure exercitar esse processo, que ajudará a fixar alguns artifícios algébricos comuns no estudo do Cálculo.

Uma função exponencial que requer destaque é a função f(x)=ex, considerada por muitos uma das mais importantes da Matemática. Ela aparece no estudo de ondas eletromagnéticas, na Economia e muitas outras áreas. Uma de tantas aplicações desta função é, por exemplo, no cálculo de juros contínuos.

Lembre-se de que e=2,71828... é um número real irracional.

A figura a seguir apresenta o esboço gráfico de f(x)=ex. 6 5 4 3 2

f(x) = e x

1 0 -4

-3

-2

-1

Figura 53 - Esboço gráfico de f(x)=ex. Fonte: Silva (2014).

Observe que, para derivar a função f(x)=ex.

101

CÁLCULO DIFERENCIAL

Como lne=1, temos que

5.2.2 Função Logarítmica e sua derivada Seja a um número real positivo e diferente de 1, ou seja, a>0,a≠1. A função logarítmica de base a associa todo x real positivo não nulo, ou seja, x∈R+*,ao seu logaritmo logax:

Por exemplo, a função f(x)=log2x é uma função logarítmica. A base 2 satisfaz a condição de ser positiva diferente de 1. O comportamento gráfico da função logarítmica segue o padrão apresentado na figura a seguir, com o exemplo da função f(x)=log2x. g 2

g(x) = log 1/2 x

1 0 -2

-1

-1 -2

f(x) = log2(x)

-3

Figura 54 - Esboço de f(x)=log2x e log1/2x.. Fonte: Silva (2014).

Utilizamos a notação logx sem referência à base sempre que ela for igual a 10. Quando a base do logaritmo é o irracional e=2,71828…, chamado Constante de Euler, há um logaritmo natural ou neperiano, denotado por lnx.

Conheça algumas características da função logarítmica: » » o gráfico de f(x)=log(x) corta o eixo horizontal x no ponto (1,0), pois f(1)=loga1=0. Isso ocorre para qualquer base a; » » o gráfico da função logarítmica está todo à direita do eixo vertical y; » » a função logarítmica é crescente sempre que a>1. Para 0<a<1, ela é decrescente. A derivada da função logarítmica é:

102

AULA 5 – DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Então, a derivada de f(x)=logx é igual a:

Já para a função composta f(u)=loga u,u=u(x), a sua derivada pela regra da cadeia é dada por:

Exemplo: A derivada de f(x)=log(5x-x2 ) é:

Exemplo: Seja a função f(x)=ln(5x2). Pela regra da cadeia, temos que:

Simplificando:

Mas, pela definição de logaritmo, lne=1. Logo:

Você deve praticar a aplicação das regras de derivação executando exercícios similares aos apresentados como exemplo nesta aula. Sugerimos as atividades das páginas 185 e 186 do livro “Cálculo Volume 1” de George B. Thomas, Maurice Weir e Joel Hass.

Para finalizar esta aula, os resultados apresentados foram incluídos no quadro síntese da aula 4. Além disso, foram incorporadas as regras de derivação das funções exponencial, logarítmica e algumas mais expressivas para o momento. Agora, seu quadro está atualizado. Lembre-se de tê-lo ao seu alcance quando for resolver exercícios envolvendo derivadas.

103

CÁLCULO DIFERENCIAL

FUNÇÃO

DERIVADA

f(x)=c, c constante f(x)=xn f(x)=c⋅g(x) h(x)=(f(x)+g(x)) h(x)=f(x)⋅g(x)

f(u)=sen(u) f(u)=cos(u) f(u)=tg(u) f(x)=sec u

f(u)=cotg(u) f(u)=cosec u f(u)=eu

f(u)= au (a>0, a≠1)

f(u)=logau

f(x)=ln(u) Tabela 6 - Derivadas.

Fonte: Silva (2014).

104

AULA 5 – DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

CONCLUSÃO Você tem visto derivações de funções desde a aula 3. Aqui, você deu continuidade aos seus estudos, conhecendo as derivadas de funções trigonométricas. A estas, foram acrescentadas as derivadas das funções exponencial e logarítmica. Nesta aula, resgatamos uma síntese das funções seno, cosseno e tangente, importantes para o estudo do Cálculo Diferencial, especialmente na aplicação de derivadas. Ao final, o quadro com regras de derivação foi atualizado. Ele acompanhará você ainda por algum tempo, pois as derivadas ainda serão abordadas não só nas próximas aulas como também em disciplinas futuras. Na próxima aula, as derivadas serão aplicadas no estudo do comportamento de funções em geral, com foco nos valores extremos, da concavidade e ponto de inflexão de funções. Até lá!

105

AULA 6 Máximos e mínimos, concavidade e ponto de inflexão

INTRODUÇÃO Muitas situações modeladas matematicamente por meio de funções vão exigir que você determine a melhor maneira, ou os melhores valores, para a resolução dos problemas. Isso ocorre, por exemplo, quando é necessário determinar a aceleração máxima que a estrutura de uma aeronave suporta, e ao buscar a forma e as dimensões ideais de uma caixa coletora de resíduos para garantir que ela cumprirá suas funções com o menor custo de fabricação possível. São os chamados problemas de otimização. Nesses casos, você deverá buscar os valores ótimos que resolvem cada uma das situações. No primeiro, o objetivo é obter um valor máximo. O segundo, por sua vez, exige um valor mínimo. Nesta aula, você estudará ferramentas de busca por valores máximos e mínimos de funções deriváveis, uma das aplicações mais importantes de derivadas. Boa leitura!

CÁLCULO DIFERENCIAL

OBJETIVOS Calcular pontos de máximo e de mínimo de uma função. » » Estudar a concavidade e o ponto de inflexão de funções.

6.1 VALORES EXTREMOS As derivadas são muito úteis para resolver problemas matemáticos, especialmente aqueles que envolvem os valores extremos ou simplesmente extremos. Ou seja, os maiores e os menores valores assumidos pelas funções. Iniciaremos com a definição de máximos e mínimos. Considere f uma função real e c∈R um elemento do seu domínio D(f). Dizemos que f tem um máximo absoluto (ou máximo global) no ponto c se f(c)≥f(x) para todo x∈D(f). O valor da função em c é o valor máximo da função. Da mesma forma, f tem um mínimo absoluto (ou mínimo global) em c sempre que f(c)≤f(x) para todo x∈D(f). Nesse caso, é o valor mínimo da função. Os valores máximo e mínimo são os extremos absolutos (ou globais) da função. A figura mostra o comportamento gráfico dos máximos e mínimos absolutos.

Máximo absoluto

f(c2)

f(x)

f(c1)

i Mínimo absoluto c2

Figura 55 - Função com mínimo e máximo absolutos em e . Fonte: Silva (2014).

Observe que a função f tem um ponto mínimo absoluto em (c1,f(c1)) e um ponto máximo absoluto em (c2,f(c2)). Exemplo: Considere a função g(x)=x2-4 definida no intervalo fechado de zero a 3, [0,3], conforme mostra o gráfico.

108

AULA 6 – MÁXIMOS E MÍNIMOS, CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO

f(3) 5 4 3

f(x) = x2 - 4

2 1 0 -2

-1

-1 -2 -3 f(0) -4

Figura 56 - Extremos absolutos de f(x)=x2-4 em x∈[0,3]. Fonte: Silva (2014).

Calculando a imagem de e , temos que: » » f(0)=02-4=-4; » » f(3)=32-4=5. No intervalo [0,3], a função f assume o valor mínimo -4 em em x=0 e o valor máximo 5 em x=3. Assim, f tem ponto mínimo global (0,-4) e máximo global (3,5). Imagine que f é a função receita líquida para fabricação e venda de determinado produto. Assim, a receita líquida será de 5 unidades monetárias se a indústria fabricar e comercializar 3 unidades.

Receita líquida: é a diferença entre a receita e o custo para produção e venda de determinado bem ou serviço.

109

CÁLCULO DIFERENCIAL

Nesse exemplo, os valores extremos se encontram nas extremidades, ou seja, são as imagens dos limites 0 e 3 do intervalo em que a função está definida. Mas nem sempre isso ocorre. Você pode verificar isso retornando ao primeiro gráfico desta aula.

Certas funções, dependendo do intervalo de definição, podem não apresentar máximo ou mínimo. Por exemplo, a função quadrática f(x)=x2-5x+6 definida em todo o conjunto dos números reais tem como gráfico a parábola, conforme a figura que segue.

2,5

0 -0,25

-1

Figura 57 - Mínimo absoluto de f(x)=x2-5x+6. Fonte: Silva (2014).

Observe que existe um mínimo absoluto em x=2,5, componente em x do vértice da parábola. No entanto, como f está definida em todos os reais, para valores à esquerda e à direita de x=2,5 a função cresce indefinidamente. Isso caracteriza a ausência de um valor máximo em f.

No caso de funções quadráticas definidas em todos os reais e com concavidade voltada para cima, ela terá valor mínimo absoluto coincidente com o seu vértice. Caso a concavidade seja voltada para baixo, seu vértice passa a ser um ponto de máximo.>

Agora, você aprenderá como identificar a existência de valores extremos em uma situação específica: quando a função for contínua e definida em um intervalo fechado.

110

AULA 6 – MÁXIMOS E MÍNIMOS, CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO

6.1.2 Extremos em funções contínuas definidas em intervalos fechados Preste bastante atenção ao próximo teorema, conhecido como Teorema do Valor Extremo (TVE) ou Teorema de Weierstrass. Teorema 6: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b]. Então, f tem um valor máximo M e um valor mínimo m em [a,b]. Ou seja, existem x1,x2∈[a,b] de modo que f(x1 )=M e f(x2 )=m. Esse teorema garante a existência de máximo e mínimo para funções contínuas definidas em intervalos fechados. Assim, pela definição de máximo (M) e mínimo (m) absolutos, para qualquer x∈[a,b], m≤f(x)≤M. A figura a seguir apresenta o esboço gráfico das funções g, h e q, todas contínuas em intervalos fechados. Observe os extremos absolutos em cada uma delas. 4

Função h(x)

4 3 Função g(x)

Máximo

3 Máximo 2

Função q(x)

0 0

2 Mínimo

-2

-1

Função q(x)

1 0 0

-1

5 6 Mínimo

-2

-1

Mínimo

-2

Figura 58 - Aplicação do TVE em g, h e q. Fonte: Silva (2014).

Retomando, então, se uma função é contínua em um intervalo fechado [a,b], certamente ela assumirá um maior e um menor valor.

Esses extremos não são necessariamente os valores f(a) e f(b).

Apesar da relevância do Teorema do Valor Extremo, ele não pode ser aplicado nos casos em que a condição de continuidade em um intervalo fechado não for satisfeita. Veja um exemplo: Exemplo: Considere a função

. Ela está definida no intervalo fechado [-2,3],

mas há uma descontinuidade em x=1. Observe o gráfico.

111

CÁLCULO DIFERENCIAL

Valor máximo em x=3 5 4 3 2 1 0 -2

-1

-1 Não há valor mínimo.

-2

Figura 59 - Esboço gráfico de f. Fonte: Silva (2014).

A função tem um máximo absoluto em x=3. No entanto, ela apresenta uma descontinuidade por salto, uma vez que x=1 gera um ponto (1,-2) que não é calculado pela sentença x2-3 . Logo, a função não assume o valor -2, portanto, não existe o ponto de mínimo em f. Por isso, o teorema não pode ser aplicado. Sabemos que a função f em [-2,3] tem máximo absoluto, mas não mínimo absoluto. E se olharmos apenas para o intervalo ? Ao considerar um subintervalo do domínio de , podemos obter máximos e mínimos locais (ou relativos). Seja f uma função definida no conjunto dos reais. Dizemos que f tem um valor máximo local ou relativo em c∈D(f) se f(x)≤f(c) para qualquer em um intervalo aberto que contenha c. Da mesma forma, f tem um mínimo local ou relativo em c∈D(f) se f(x)≥f(c) para qualquer c em um intervalo aberto que contenha c. Os máximos e mínimos locais são importantes quando avaliamos o comportamento das funções para valores próximos de , ou seja, o que ocorre com a função na proximidade de em termos de extremos. Avalie a figura.

Máximo local

f(0) A

f(x1)

Mínimo local

Figura 60 - Máximo e mínimo locais. Fonte: Silva (2014).

112

AULA 6 – MÁXIMOS E MÍNIMOS, CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO

A figura indica que não há máximo nem mínimo absolutos, já que a função segue indefinidamente para valores negativos e positivos, conforme indicam as setas. No entanto, se calcularmos valores próximos a x1 veremos que f(x1) é um valor mínimo local e, nas proximidades de x=0, temos em f(0) um máximo local. Assim, em um intervalo aberto contendo x1, o ponto A (x1,f(x1)) é dito ponto mínimo local e, analogamente, em um intervalo aberto contendo x=0, temos que B(0,f(0)) é um ponto máximo local. Em síntese, o estudo dos máximos e mínimos locais nos leva a identificar algumas “depressões” ou “elevações” no comportamento gráfico e não apenas extremos absolutos. Mesmo com os extremos absolutos identificados, entre um e outro a função pode apresentar picos ou depressões importantes no seu comportamento. Agora é a hora de mostrar como identificar os máximos e mínimos locais, caso existam. Para isso, é preciso empregar as derivadas. Você consegue imaginar como fazer isso? É o que você estudará a partir de agora.

6.2 OS PONTOS CRÍTICOS E OS EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO O próximo teorema explica como investigar possíveis candidatos a extremos locais de uma função. Teorema 7: Considere f uma função real e c um ponto interior ao seu domínio. Se c é um ponto mínimo ou máximo local de f e existe a derivada de f em c, ou seja, existe, então:

Ponto interior: é aquele que pertence a um intervalo I e cujo um entorno (vizinhança) está inteiramente contido em I. Pense que 0,5 é um ponto interior do intervalo [0,1]. Por exemplo, 0,5 pertence ao intervalo aberto (0,4;0,6) que, por sua vez, está totalmente contido em [0,1].

O Teorema 7 afirma que, se existe um máximo ou mínimo para a função, então a sua derivada nesse ponto é igual a zero. Você deve ficar atento em relação ao Teorema 7. Ele não afirma que o contrário é verdadeiro. Isto é, se a derivada em c é nula, não podemos concluir que c é um máximo ou mínimo local. Por exemplo, em f(x)=x3+1, sua derivada é , que é nula em 0. Ou seja, . No entanto, x=0 não é ponto de mínimo.

113

CÁLCULO DIFERENCIAL

Esse teorema fornece um mecanismo para verificar se algum valor é ou não um extremo local. Mas ele vai além disso. Se buscarmos os valores do domínio para os quais é igual a zero, temos neles os “candidatos” a extremos da função. Exemplo: Seja a função f(x)=x3-3x+1, contínua e derivável em todos os reais. É hora de aplicar o Teorema 7 para identificar os possíveis extremos locais. O primeiro passo é calcular a derivada da função para, na sequência, encontrar os valores que a anulam. Assim, pelas regras de derivação e a regra da cadeia:

A próxima etapa é igualar a derivada a zero para identificar os valores para os quais ela se anula. Estes serão os prováveis extremos. Logo: 3x²-3=0. Resolvendo essa equação: x=-1 ou x=1. Você sabe o que isso quer dizer? Esses resultados significam que os candidatos a extremos relativos de f são: x=-1 e x=1. Sabemos, então, que os possíveis extremos estão nos valores -1 e 1. É importante que você observe o comportamento da função em todo o seu domínio. A função decresce indefinidamente para valores menores que -1 e cresce indefinidamente para valores maiores que 1. Isso nos leva a concluir que, se houver máximo e mínimo local, eles serão -1 e 1. Agora falta classificá-los em máximo e mínimo. Para isso, vamos calcular a imagem de cada um deles: » » f(-1)=(-1)3-3⋅(-1)+1=3; » » f(1)=13+-3⋅(1)+1=-1. Assim, como f(-1)>f(1) e a função cresce e decresce indefinidamente para valores maiores que 1 e menores que -1, respectivamente, temos que: » » em x=-1 , a função tem um máximo local; » » em x=1, um mínimo local.

O exemplo que você acabou de ver mostra uma forma de identificar máximos e mínimos locais, mas ela é específica para o caso. Não tome como procedimento geral.

114

AULA 6 – MÁXIMOS E MÍNIMOS, CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO

Note que estamos avaliando extremos locais. Para f, nesse caso, não há extremos absolutos. Ela está definida para todos os reais e, para valores indefinidamente negativos, f assume valores cada vez menores. O mesmo acontece para valores indefinidamente positivos. Para estes, a função aumenta e tende ao infinito. Observe o gráfico.

f(x) = x3 - 3 x + 1

Máximo local 3

1 0 -3

-2

-1

-1 Mínimo local -2

Figura 61 - Esboço gráfico de f(x)=x3-3x+1. Fonte: Silva (2014).

Você percebeu que o resultado das operações coincide com a sua observação do gráfico da função? Mas será que sempre poderemos encontrar os candidatos a extremos locais sempre dessa forma? E se não encontrarmos valores que anulam a derivada? E se a derivada de f não existir? Para responder a esses questionamentos, veja a próxima definição: Dizemos que um ponto interior c do domínio de uma função F onde um ponto crítico de f.

ou não existe é

No exemplo anterior, os pontos críticos encontrados foram x=-1 e x=1 .Nesses pontos, a derivada de f é nula. Identificamos os pontos críticos e somente depois verificamos que eram extremos locais. Saiba queo ponto crítico c de uma função f pode não ser um extremo local. Basta pensar que a função cúbica f(x)=x3 tem um ponto crítico em x=0, pois

que é igual a zero somente

quando x=0. No entanto, x=0 não é nem máximo nem mínimo local. Observe o gráfico de f(x)=x3.

115

CÁLCULO DIFERENCIAL

1 0 -2

-1

-1 f(x) = x3 -2 Figura 62 - Esboço gráfico de f(x)=x3. Fonte: Silva (2014).

Em x=0, a função f(x)=x3 tem um ponto de inflexão, ou seja, um ponto no qual a função alterna a sua concavidade. No caso de f(x)=x3, observando da esquerda para a direita, f muda de concavidade voltada para baixo para concavidade voltada para cima. Situações como essa, onde pontos críticos podem não ser extremos, serão descritas na próxima aula. Exemplo: Para calcular os possíveis máximos ou mínimos absolutos e locais da função f(x)=x2+x+1 no intervalo [-2,2], vamos proceder conforme os passos 1 a 4. Passo 1:

=2x+1.

Passo 2: Os pontos críticos são aqueles que anulam a derivada. Então: =2x+1=0 implica em Passo 3: Temos o ponto crítico

e os extremos -2 e 2. As suas imagens são: f(-2)=(-2)2+(-2)+1=3

Passo 4: Avaliando os valores encontrados no Passo 3, o maior valor é 7 em x=2. Portanto, temos aí um ponto de absoluto. Já o menor valor é ¾, encontrado em . Logo, este é um mínimo absoluto. A figura mostra que, de fato, f tem máximo em x=2 e mínimo em

116

AULA 6 – MÁXIMOS E MÍNIMOS, CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO

Máximo absoluto

6 5 4 3 2 1 0 -4

-3

-1

-2

Mínimo absoluto -1

Figura 63 - Esboço gráfico de f(x)=x2+x+1. Fonte: Silva (2014).

Como você pôde perceber nesse exemplo, nem sempre encontramos máximos ou mínimos nas extremidades de uma uma função. Em x=-2, não temos nem ponto crítico nem máximo nem mínimo absoluto. Exemplo: Considere a função f(x)=sen(x) definida de zero a 2π. Para identificar possíveis valores máximos ou mínimos, devemos seguir novamente os passos de 1 a 4. Primeiramente, calculamos a derivada de f e encontramos os valores que a anulam. Veja:

Logo, esses valores de x são os pontos críticos de f em [0,2π]. Em seguinda, calculamos a imagem das extremidades 0 e 2π e dos pontos críticos. »» »»

; ;

»» »»

Analisando um por um dos valores encontrados, dizemos que, em a função assume o seu valor mínimo absoluto. Em a função tem seu máximo absoluto. Observe o gráfico de x=π na figura a seguir. Em x=π há um ponto de inflexão. Isso significa que a concavidade está voltada para baixo até x=π. Depois, a concavidade está voltada para cima.

117

CÁLCULO DIFERENCIAL

2 Máximo absoluto A

3π/2

0 0

π/2 2

-1

2π 5

B Mínimo absoluto

Figura 64 - Figura 63 – Esboço gráfico de f(x)=sen(x). Fonte: Silva (2014).

Retorne à aula 5 para revisar as funções trigonométricas. Assim, compreenderá mais facilmente o exemplo.

CONCLUSÃO Até a aula 5, você construiu um conjunto de conhecimentos de limites e derivadas, incluindo as regras de derivação. Agora, nesta aula, você começou a aplicar esses conceitos para encontrar máximos e mínimos absolutos e locais de uma função. Aqui, as derivadas serviram como ferramenta para determinar possíveis extremos locais e os extremos absolutos em funções contínuas e deriváveis em um intervalo aberto. Acrescentamos aos seus conhecimentos anteriores o Teorema do Valor Extremo e o teorema que relaciona a existência de extremos locais com derivadas (Teorema 7). Com os conhecimentos adquiridos, você está apto a encontrar os extremos de uma função para, por exemplo, determinar o melhor nível de pressão, a menor temperatura, a maior receita e o menor custo e dimensão de um contêiner de modo a suportar uma maior quantidade de caixas. Associando valores extremos locais e globais à descrição de intervalos de crescimento e decrescimento, é possível esboçar gráficos de funções e avaliar seu comportamento. Esse

será o tema da próxima aula. Até lá!

118

AULA 7 Aplicações de derivadas

INTRODUÇÃO Na aula 6, você viu como utilizar a derivada nos pontos críticos de uma função para encontrar seus extremos. No entanto, o processo que descrevemos não é geral, ou seja, nem sempre pode ser aplicado de forma segura. Utilizando derivadas, é possível determinar intervalos do domínio de uma função nos quais ela é crescente e/ou decrescente. Essa análise o ajudará a classificar pontos críticos em máximos ou mínimos. Temos, para isso, o Critério da Primeira Derivada, uma forma segura de verificar e classificar pontos críticos das funções. Esse procedimento é muito útil, por exemplo, para estudar fenômenos elétricos. Através de uma derivada, você pode descobrir qual é o maior valor de uma corrente que percorre um circuito para, então, avaliar outros aspectos, como o aumento da temperatura do circuito. Em síntese, não apenas o valor máximo é importante, já que o intervalo de crescimento fornece informações importantes sobre o funcionamento do circuito.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Na sequência, com o auxílio do conceito de derivação sucessiva, chegaremos ao Teste da Concavidade. Depois, você verá o Critério da Segunda Derivada, que o ajudará a estabelecer extremos locais. Boa leitura!

OBJETIVOS Estudo de taxa de variação, valores extremos de funções e teorema do valor médio. » » Aplicação em problemas de derivadas.

7.1 TEOREMAS ENVOLVENDO DERIVADAS Para que você possa entender os critérios de derivada para avaliar o comportamento de funções, é preciso, antes, conhecer alguns teoremas. O primeiro é o Teorema de Rolle, que é empregado na demonstração do Teorema do Valor Médio.

O Teorema de Rolle foi publicado pela primeira vez pelo matemático francês Michel Rolle, que viveu no século XVIII.

Esse teorema afirma que, sob certas condições, é possível garantir a existência de um número pertencente a um intervalo (a,b) contido no domínio de uma função f de tal forma que a tangente ao gráfico de em c seja horizontal. E sabe por que isso é importante? Porque a reta tangente em horizontal, ou seja, com inclinação zero, pode indicar um ponto de máximo ou mínimo da função. Observe a figura.

c2 Figura 65 - Esboço gráfico de f(x). Fonte: Silva (2014).

120

AULA 7 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Na função f, os pontos A e B são, respectivamente, máximo e mínimo relativos. Nesses pontos, a reta tangente é horizontal e, portanto, forma α = 0º com o eixo x. Assim, a sua inclinação é tg α=0. Na aula 3, você viu que derivada é inclinação de reta. Assim,

Retome o conceito de derivada como inclinação de reta (aula 3) e ponto crítico (aula 6).

Ao traçar o gráfico de uma função, geometricamente podemos ser levados a afirmar que, entre dois pontos quaisquer em que existe a sua derivada e esta cruza o eixo horizontal, há ao menos um ponto sobre o gráfico no qual a tangente é horizontal (WEIR; HASS, 2012). Assim, chegamos ao enunciado do Teorema de Rolle. Teorema 8 (Teorema de Rolle): seja f uma função de tal forma que são satisfeitas as seguintes condições: (I) f(x) é contínua no intervalo [a,b]; (II) f é derivável em ]a,b[; (III) f(a)=f(b). Então, existe c∈]a,b[ tal que

Observe que, para funções constantes, as condições (I) a (III) são satisfeitas para qualquer valor de x. Assim, pelo teorema, c pode ser tomado como qualquer valor entre a e b (STEWART, 2013).

f(a)=f(b)

Figura 66 - Condições do Teorema de Rolle. Fonte: Corrêa da Silva (2014).

No intervalo fechado [a,b], a função f é contínua. No intervalo aberto ]a,b[, é derivável. Além disso, f(a)=f(b). Logo, existe um c∈]a,b[ tal que

121

CÁLCULO DIFERENCIAL

Exemplo 1 Considere a função f(x)=x3-3x definida em [-2,1] cujo esboço gráfico é apresentado na figura.

3 2 f(x) = x3 - 3x

1 0 -3

-2

-1

-1 -2 Figura 67 - Função f(x)=x3-3x definida em [-2,1]. Fonte: Corrêa da Silva (2014).

Para aplicar um teorema, é necessário que as condições (hipóteses) sejam satisfeitas. Vamos, então, verificar as hipóteses do Teorema de Rolle. (I) A função f é contínua em [-2,1]. (II) f é derivável em ]-2,1[. Sua derivada é

Temos, até aqui, que as condições (I) e (II) são satisfeitas. Além disso: f(-2)=(-2)3-3⋅(-2)=-2 , igual a f(1)=13-3⋅1=-2. Ou seja, a hipótese (III) também é satisfeita. Logo, pelo Teorema de Rolle, podemos concluir que existe ao menos um c em ]-2,1[, tal que . Nesse caso: , o que implica: 3(x2-1)=0, ou: x2-1=0. Os valores de x que resolvem a equação x2-1=0 são +1 e -1. Como c deve pertencer ao intervalo aberto ]-2,1[, a única possibilidade é c=-1. Pela figura, é possível verificar que, de fato, em c=-1, a função f assume um valor o qual

122

AULA 7 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Agora, você está pronto para compreender o Teorema do Valor Médio, que permite estabelecer considerando os valores de a, b, f(a) e f(b). Teorema 9 (Teorema do Valor Médio): seja f uma função contínua em um intervalo [a,b] e derivável em ]a,b[. Então, há ao menos um c em ]a,b[ tal que:

Ou seja, a tangente a f em c é paralela à secante da curva que passa por A(a,f(a)) e B(b,f(b)).

A f

Figura 68 - Esboço gráfico de nas condições do Teorema do Valor Médio. Fonte: Silva (2014).

Mas aonde está o Teorema de Rolle? Em primeiro lugar, ele é aplicado na demonstração do Teorema do Valor Médio. Além disso, pense que, se o eixo x estiver ao longo do segmento de reta que vai de A a B, então o Teorema do Valor Médio será uma generalização do Teorema de Rolle (LEITHOLD, 2001). Os teoremas são afirmações comprovadas por meio de demonstrações. No caso do Teorema do Valor Médio e do Teorema de Rolle, sugerimos que você leia atentamente as suas demonstrações que aplicam em certos momentos alguns mecanismos e afirmações relevantes à aplicação de derivadas. Tais demonstrações são facilmente encontraras em livros de Cálculo, como o “Cálculo com geometria analítica”, de Louis Leithold.

Observando a expressão estabelecida pelo Teorema do Valor Médio, compare com a taxa média de variação entre pontos A(a,f(a)) e B(b,f(b)), e , que é igual à derivada:

Associando o Teorema do Valor Médio com a taxa de variação, é possível interpretar que, em , a taxa instantânea é idêntica à taxa média de variação. Por exemplo, em problemas de Física envolvendo 123

CÁLCULO DIFERENCIAL

movimento, há um instante em que a velocidade média é igual à velocidade instantânea. Em síntese, o Teorema do Valor Médio afirma que existe um ponto do gráfico de uma função f entre A e B em que a reta tangente é paralela à reta secante que passa por eles. Assim, está garantida a existência de um número c em ]a,b[ tal que . Exemplo 2 Seja f(x)=-x2+7x-10 contínua em [1,5].

Retome a aula 2 e reveja o conceito de continuidade de uma função em um ponto.

Vamos verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio. (I) No intervalo [1,5], ela é contínua. Na verdade, a função f é contínua em todos os reais. (II) A derivada de é igual a

, que existe para todo x∈ ]1,5[.

(III) f(1)=-12+7⋅1-10=-4 e f(5)=-52+7⋅5-10=0. Assim, pelo Teorema do Valor Médio, existe c em ]1,5[ tal que:

Como

, temos que: ,

implicando em: -2c=-7+1=-6 e

Agora, compare os resultados obtidos pelo Teorema do Valor Médio com o esboço gráfico de f.

124

AULA 7 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS

2 1 0 0

-1

-1 -2 -3 -4

-5

Figura 69 - Esboço gráfico de f segundo o Teorema do Valor Médio. Fonte: Corrêa da Silva (2014).

A figura mostra que a reta que passa por (1,f(1)) e (5,f(5)) tem mesma direção da tangente a f em c=(3,f(3)), ou seja, são paralelas. E é justamente isso que afirma o Teorema do Valor Médio. Segundo Weir e Hass (2012), o quociente

é a variação média da função f de a até b

e f´(c) é a variação instantânea em c. Em outras palavras, pelo Teorema do Valor Médio, podemos afirmar que, em algum ponto interior ao intervalo, a variação instantânea deve ser exatamente igual à variação média ao longo de ]a,b[. Feitas as apresentações dos teoremas, é hora de empregá-los no estudo do crescimento e decrescimento de funções.

7.2 DERIVADAS – CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Você sabe que, no gráfico, as funções quadráticas são sempre parábolas, e as afins, retas, certo? Mas como saber como deve ser o esboço de funções que não têm o mesmo comportamento gráfico? Seu aliado nessa atividade será o estudo do comportamento das funções em termos de crescimento e decrescimento. Essa análise nos levará aos extremos absolutos e relativos. E a associação dos intervalos de crescimento e decrescimento com pontos extremos permite construir um esboço gráfico de funções com mais facilidade. Suponha que pretendemos esboçar graficamente uma função f definida em um intervalo fechado [a,b] e x1, x2, x3 interiores a ele, conforme a figura.

125

CÁLCULO DIFERENCIAL

3 f(x3)

2 P1

f(x1)

A a

-1

f(x2)

Figura 70 - Crescimento e decrescimento de funções. Fonte: Corrêa da Silva (2014).

Observe que ao mover um ponto ao longo da curva de A para P1, os valores de f(x) aumentam na medida em que x aumenta de a para x1. Isso também ocorre ao mover um ponto de P2 para . Dizemos, então, que f é crescente nos intervalos [a,x1] e [x2, x3]. Da mesma forma, se um ponto percorre a curva de para , os valores de diminuem na medida em que os valores de aumentam. A função é, assim, decrescente no intervalo [x1,x2]. A função é também decrescente em [x3,b]. Uma função f é dita crescente em [a,b] quando, para x1 e x2 pertencentes ao intervalo tal que x1<x2, temos f(x1 )<f(x2 ) Da mesma forma, f é decrescente no intervalo quando x1<x2 implicar f(x2 )<f(x1 ). Em termos gráficos, a avaliação de crescimento e decrescimento é visual. Mas e se desconhecemos a representação gráfica da função? É por isso que as derivadas são ferramentas extremamente úteis! Para mostrar a relação entre crescimento/decrescimento e derivada, basta observar que, se a inclinação da reta tangente é positiva em um intervalo, a função é crescente. Isso ocorre pela própria definição de inclinação de reta. Quando o ângulo que a reta forma com a horizontal está entre 0 e 90º, ela é crescente. Quando a inclinação da reta tangente à curva é negativa em todo intervalo (entre 90º e 180º), a função é decrescente. Como a inclinação de reta é derivada, a função é crescente para valores de x em que decrescente quando . Observe a figura.

126

AULA 7 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS

df dx df dx

(x) > 0

(x) < 0

Figura 71 - Derivada e crescimento/decrescimento. Fonte: Corrêa da Silva (2014).

É importante destacar que a derivada é nula em c, ou seja, a reta tangente à curva em c é paralela ao eixo horizontal. Isso significa que a sua inclinação é nula. Formalizando a relação entre crescimento e decrescimento de funções e inclinações de retas tangentes, podemos expor o próximo teorema. Teorema 10: seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto ]a,b[. Então: (I) se

para todo x∈]a,b[, então f é crescente em [a,b];

(II) se

para todo x∈]a,b[, então f é decrescente em [a,b].

Esse teorema nos mostra um caminho para identificar os intervalos de crescimento e decrescimento de função. Para sua melhor compreensão, acompanhe o exemplo a seguir. Exemplo 3 Seja a função f(x)=x2-2x-1 definida no intervalo fechado [0,3]. Pelo Teorema 10, em primeiro lugar devemos calcular a derivada de f para, na sequência, avaliar em qual intervalo ela é negativa e em qual ela é positiva. Vamos lá. A derivada de f é: . Agora, vamos à aplicação do teorema. »»

implica em 2x>2 ou x>1. Então, a função é crescente no intervalo de 1 a 3, [1,3].

127

CÁLCULO DIFERENCIAL

»»

implica em ou . Da mesma forma, a função f é decrescente no intervalo fechado de 0 a 1, [0,1].

Compare os resultados com o gráfico da função. Visualmente, podemos confirmar que, de 0 a 1, a função decresce. De 1 a 3, ela cresce. 3 2 1 0 -4

-3

-2

-1

-1 Inclinação negativa

Inclinação positiva

-2

-3 Figura 72 - Função f definida em [0,3]. Fonte: Silva (2014).

Pense agora em Para esse ponto, temos que: Como você aprendeu na aula 6, a função tem aí um ponto extremo. Mas como identificar se é nesse ponto que a função assume valor máximo ou mínimo? A aplicação do Teorema 10 nos leva ao chamado teste da primeira derivada para extremos relativos de uma função em um intervalo, o que responde a esse questionamento. Teorema 11 – Teste da Primeira Derivada: seja f uma função contínua em um intervalo aberto ]a,b[ contendo c. Se a derivada de f existe em ]a,b[ e c é um ponto crítico nesse intervalo, então: (I) se o sinal de local em c;

mudar de positivo para negativo na vizinhança de c, então f tem um máximo

(II) se o sinal de local em c;

mudar de negativo para positivo na vizinhança de c, então f tem um mínimo

(III) se o sinal de mínimo locais em c.

não mudar de sinal na vizinhança c, então f não tem nem máximo nem

O Teste da Primeira Derivada é consequência imediata do Teorema 10. Por exemplo, se o sinal da derivada mudar de positivo para negativo, significa que, até a derivada é maior que 0 e, portanto, a função é crescente, decrescendo a partir de c. Isso caracteriza o máximo local.

128

AULA 7 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Se a derivada é sempre positiva, a função é totalmente crescente. Se é sempre negativa, totalmente decrescente.

A figura indica as possibilidades de acordo com o Teste da Primeira Derivada. Totalmente crescente

df dx

df >0

Máximo local c

c Mínimo local dx

Totalmente decrescente

c df

Figura 73 - Teste da Primeira Derivada. Fonte: Adaptado de Stewart (2013).

Leia atentamente o passo a passo da aplicação do Teste da Primeira Derivada no exemplo que segue. Exemplo 4 Considere a função f(x)=x3-12x+3 definida para todos os reais. Para estabelecer os intervalos de crescimento e decrescimento pelo Teste da Primeira Derivada, devemos primeiramente determinar os pontos críticos, ou seja, os possíveis extremos. São aqueles cuja derivada se anula, ou seja, são os valores de x de forma que . Então: , que equivale a: . Ou seja, x1=-2 e x2=2 . São eles, portanto, os pontos críticos da função f. Considerando os pontos críticos x1=-2 e x2=2, avaliamos os intervalos, conforme indica a figura. -2 < x < 2

x < -2 -2

x >2 2

Figura 74 - Intervalos de crescimento/decrescimento. Fonte: Silva (2014). 129

CÁLCULO DIFERENCIAL

Os intervalos de avaliação do crescimento e decrescimento da função são: (-∞,-2[,]-2,2[ e ]2,+∞). É nesses intervalos que devemos avaliar o sinal da sua derivada, o que deve ser feito algebricamente. Assim, para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, é necessário identificar para quais valores a sua derivada é positiva e negativa. Acompanhe o raciocínio. Devemos avaliar as duas situações: e Como a derivada é uma função quadrática (grau 2) e o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima (a>0), devemos considerar que, entre as raízes -2 e 2, a função derivada é negativa e, para os extremos esquerdo e direito, positiva. Temos, então, que: » » para valores entre -2 e 2, ou seja, para aqueles que pertencem ao intervalo ]-2,2[, a derivada é negativa e, portanto, a função f decresce; » » para valores inferiores a -2 e maiores que 2, a função f é crescente. O quadro a seguir resume as informações obtidas algebricamente. INTERVALO

SINAL DE

CONCLUSÃO

x<-2

Positivo

Crescente

-2<x<2

Negativo

Decrescente

x>2

Positivo

Crescente

Tabela 7 - Resumo da aplicação do Teste da Primeira Derivada.

Fonte: Silva (2014).

O quadro pode nos levar à classificação dos extremos relativos da função f. Basta incluir linhas contendo os pontos críticos e, na sequência, avaliar o comportamento da função nas linhas anteriores e posteriores. INTERVALO

F(X)

x<-2

x=-2

f(-2)=(-2) -12⋅(-2)+3=19 3

-2<x<2

x=2

f(0)=(2) -12⋅2+3=-13

x>2

SINAL DE

CONCLUSÃO

Positivo

Crescente

Máximo local

Negativo

Decrescente

Mínimo local

Positivo

Crescente

Tabela 8 - Resumo da aplicação do Teste da Primeira Derivada.

Fonte: Silva (2014).

130

Crescente para decrescente = máximo

AULA 7 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Agora, faça uma avaliação entre as informações obtidas pelo Teste da Primeira Derivada e o gráfico da função f(x)=x3-12x+3. 60 40 Máximo local 20 0 -5

-4

-3

-2

-1

0 20 -20

Mínimo local

-40 f(x) = x3 - 12 x + 3

Figura 75 - Intervalos de crescimento/decrescimento. Fonte: Corrêa da Silva (2014).

A aplicação do Teste da Primeira Derivada nos levou aos intervalos de crescimento e decrescimento que, por sua vez, nos permitiram classificar os pontos críticos em extremos locais x=-2 (máximo local) e x=2 (mínimo local). O próximo exemplo reforça a aplicação do Teste da Primeira Derivada, agora com uma função polinomial de grau 4. Exemplo 5 Seja a função f(x)=2+2x2-x4. Para identificar os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os extremos locais, caso existam, o primeiro passo é determinar os pontos críticos. Esses são os candidatos a extremos relativos, isto é, aqueles que anulam a derivada. Primeiro: , que, fatorando, fornece a equação: 4x(1-x2 )=0. Os valores de x para resolvê-la são: x=0 ou x=±1. São eles, portanto, os pontos críticos da função f. Pelos pontos críticos, temos quatro intervalos a analisar. Veja a sua indicação na reta numerada. x < -1

-1

-1 < x < 0

x >1

0 < x <1

Figura 76 - Intervalos de crescimento/decrescimento. Fonte: Corrêa da Silva (2014).

131

CÁLCULO DIFERENCIAL

O sinal da derivada pode ser definido algebricamente. Por exemplo, para determinar os intervalos de crescimento, é necessário identificar para quais valores a sua derivada é positiva. Acompanhe o raciocínio. Derivada positiva: equivale a quando: 4x>0 e (1-x2 )>0 ou 4x<0 e (1-x2 )<0.

As conjunções “e” sinalizam interseção dos intervalos em questão. Já a disjunção “ou” indica união.>

Assim, temos que: 4x>0 implica x>0: ]0,+∞) (1-x2 )>0 implica -1<x<1: ]-1,1[ Pela interseção, (0,+∞[ ∩ ]-1,1[=]0,1[. Da mesma forma: 4x<0 implica x<0: (-∞,0[ (1-x2 )<0 implica x<-1 ou x>1: (-∞,-1[∪]1,+∞) A interseção determina: (-∞,0[∩[(-∞,-1[∪]1,+∞)]=(-∞,-1[. Assim, a função é crescente em (-∞,-1[ e ]0,1[. Quer tentar avaliar os intervalos de decrescimento? Basta proceder de forma análoga, avaliando os intervalos em que a derivada assume valores negativos. Uma possiblidade considerada por muitos para confirmar os resultados do teste é atribuir valores para em cada um dos intervalos determinados e definir o sinal da derivada. Esse processo é simples e você poderá empregá-lo como um artifício. Por exemplo, x=3 está no intervalo ]1,∞). A derivada de f em x=3 é: , que é negativo. Mas atenção: isso garante que a função f é decrescente numa vizinhança pequena de x=3. Tenha cuidado para estender esta informação ao intervalo ],1,+∞).. Assim, a derivada em ]1,∞) é negativa na vizinhança de x=3 e, com o auxílio do resultado da aplicação do Teste da Primeira Derivada, associamos as informações para concluir que a função f é decrescente nesse intervalo.

132

AULA 7 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Com os intervalos de crescimento e decrescimento, você está apto a classificar os pontos críticos. Para organizar melhor os resultados do Teste da Primeira Derivada, sintetizamos as informações em um quadro. INTERVALO

F(X)

SINAL DE

x<-1

x=-1

f(-1)=2+2⋅1 -1 =3

-1<x<0

x=0

f(0)=2+2⋅0-04=2

0<x<1

x=1

f(1)=2+2⋅1-1 =3

x>1

CONCLUSÃO

Positivo

Crescente

Máximo local

Negativo

Decrescente

Mínimo local

Positivo

Crescente

Máximo local

Negativo

Decrescente

Tabela 9 - Resumo da aplicação do Teste da Primeira Derivada.

Fonte: Silva (2014).

O quadro apresenta o sinal da derivada em cada intervalo. Na linha correspondente ao ponto crítico, a sua classificação em máximo ou mínimo é feita a partir do sinal da derivada da linha anterior e da linha posterior a ele. De positivo a negativo, o ponto é mínimo, como ocorre em x=0. Já de positivo para negativo, indica que o ponto é o máximo local. É o caso de x= ±1. Compare os resultados do quadro com o esboço da função.

f(x) = 2 + 2 x2 - x4

4 Máximo local

Máximo local

3 2

C Mínimo local

1 0 -2

-1

Figura 77 - Extremos locais de f(x)=2+2x2-x4. Fonte: Corrêa da Silva (2014).

Na sequência, você verá o caso de uma função que é totalmente crescente. Exemplo 5 Considerando a função cúbica f(x)=2+2x2-x4., temos que a sua derivada é: , que se anula apenas em x=0, ou seja: em x=0.

133

CÁLCULO DIFERENCIAL

Logo, a função tem um ponto crítico em x=0. Sabemos também que

para qualquer valor de x. Afinal, o quadrado de um

número real é sempre positivo. Pelo Teste da Primeira Derivada, a função é totalmente crescente. Então, o que ocorre com o ponto crítico já que ele não é nem máximo nem mínimo? Como você aprendeu na aula 6, os pontos críticos indicam os candidatos a máximos e mínimos, mas não garantem que eles, de fato, sejam extremos locais. No caso, o ponto crítico é um ponto de inflexão. A próxima seção conduzirá você ao Teste da Concavidade, que é uma forma de determinar a concavidade de uma função e que, por sua vez, permite identificar pontos de inflexão. Ele também nos leva a uma forma alternativa para estabelecer extremos locais: o Teste da Segunda Derivada.

7.3 DERIVADAS E CONCAVIDADE Você acabou de ver como determinar extremos locais em pontos críticos por meio do sinal da derivada em intervalos à esquerda e à direita deles. Agora, você será apresentado a um novo teste para extremos relativos e para estabelecer a concavidade de uma função. Antes, porém, é necessário definir derivação sucessiva.

7.3.1 Derivação sucessiva Suponha uma função f e a função derivada

de f.

Retome o conceito de função derivada apresentado na aula 3.

Temos aí uma função derivada que também é chamada derivada primeira, ou derivada de primeira ordem. Se

é uma função e é derivável, então existe a derivada da derivada, não é

mesmo? Nesse caso, temos, então: ,

que é a derivada segunda, ou derivada de segunda ordem, de f. Denota-se também por f”(x) ou . Daremos preferência a f”(x) pela simplicidade da expressão. Lê-se “derivada segunda”, ou “derivada duas linhas”, de f. Pode existir também a derivada de terceira ordem, de quarta e assim sucessivamente. Isto é, podemos definir a derivada n-ésima de f, caso exista. Denota-se por f(n) (x).

134

AULA 7 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Exemplo 6 A derivada de terceira ordem da função g(x)=sen(3x)+x2 deve ser determinada por: = 3 cos(3x)+2x, f”(x)=-9sen(3x)+2, f’’’ (x)=-27cos(3x). Você já conhece, portanto, derivadas de ordem superior. Então, vamos à aplicação desse conceito no estudo da concavidade de funções. Definimos concavidade de uma função da seguinte forma, de acordo com Stewart (2013): » » se o gráfico estiver acima de todas as suas tangentes em um intervalo I, então a função f é chamada côncava para cima, ou com concavidade voltada para cima, em I; » » se o gráfico de f estiver abaixo de todas as tangentes a ele em I, então f é dita côncava para baixo, ou com concavidade voltada para baixo, em I. Exemplo 7 A função f(x)=sen(x)+3 definida no intervalo aberto ]0,2π[ tem a concavidade voltada para baixo no intervalo aberto ]0,π[ e voltada para cima em ]π,2π[. As retas tangentes à curva estão totalmente acima da curva no intervalo da concavidade voltada para baixo. Da mesma forma, as tangentes à curva estão sempre abaixo dela no intervalo cuja concavidade está voltada para cima.

2π

Figura 78 - Concavidade de f em ]0,2π[. Fonte: Corrêa da Silva (2014).

Como já dissemos, esboçar gráficos de funções não é tão simples assim. Imagine estabelecer a concavidade sem nenhuma ferramenta auxiliar! Vamos, então, descrever o teorema que estabelece a derivada como instrumento com a finalidade de classificar a concavidade de uma função em um intervalo. Teorema 12 – Teste da Concavidade: seja f uma função derivável em um intervalo aberto I no qual está definida também a segunda derivada f”(x). Então: (I) se f”(x)>0 para todo x∈I, então o gráfico de f tem concavidade voltada para cima; (II) se f”(x)<0 para todo x∈I, então o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo.

135

CÁLCULO DIFERENCIAL

Exemplo 8 Veja o gráfico apresentado na figura a seguir, que representa a quantidade de argamassa utilizada por m² em função da umidade do ar no momento de descarregá-la na obra. A quantidade de massa é expressa por f(x)=(x-1)3+2, em que x é o tempo de descarga em minutos. Sabe-se que o descarregamento se dá em até 4 minutos a partir da chegada da carga de argamassa. Para identificar os intervalos cuja função quantidade de massa é côncava para cima ou para baixo, derivamos a função f até a segunda ordem e depois aplicamos o Teste da Concavidade. e f”(x)=6(x-1) Avaliando o sinal da segunda derivada: (I) f”(x)=6(x-1)>0 sempre que (x-1)>0, ou seja, x>1; (II) f”(x)=6(x-1)<0 sempre que (x-1)<0, ou seja, x<1. Assim, pelo Teste da Concavidade, concluímos que a função f está voltada para baixo no intervalo aberto de 0 a 1 e voltada para cima no intervalo de 1 a 4, conforme indica a figura. Quantidade 30 29

15 Ponto de inflexão 10

5 0 -2

-1

5 6 Tempo (minutos)

-5

Figura 79 - Gráfico da quantidade de argamassa utilizada em função do tempo. Fonte: Silva (2014).

O Teste da Concavidade permite formalizar ponto de inflexão. Um ponto sobre a curva de uma função f é chamado ponto de inflexão se f é contínua em c e a curva passar de uma concavidade para outra. Ou seja, se a curva passa de voltada para cima a voltada para baixo e vice-versa. No caso da quantidade de argamassa, em x=1 a função f tem um ponto de inflexão. Na sequência, você conhecerá o Teste da Segunda Derivada, que é outra aplicação da derivada de segunda ordem e consequência do Teste da Concavidade. 136

AULA 7 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Teorema 13 – Teste da Segunda Derivada: seja um ponto crítico de uma função f para o qual existe para todo x em um intervalo aberto I contendo c. Então, se a derivada segunda f”(x) existe: (I) se f”(c)<0, então f tem um valor máximo local em c; (II) se f”(c)>0, f tem um mínimo local em c. Exemplo 9 Considere a função f(x)=x4-2x3+1. Para determinar possíveis máximos e mínimos de f pelo Teste da Derivada Segunda, iniciamos determinando a concavidade, juntamente com os pontos críticos: =4x3-6x2 e f”(x)=12x3-12x. Pela derivada primeira, determinamos os pontos críticos. =4x3-6x2=0 implica, pela fatoração, .

=2x2 (2x-3)=0 sempre que x=0 ou 2x-3=0, ou seja,

Assim, a função f tem os seguintes pontos críticos: 0 e . A derivada de segunda ordem da função f é a função: f”(x)= 12x2-12x. Para cada um dos pontos críticos, avaliamos o sinal da derivada segunda. » » f”(0)=12⋅02-12⋅0=0; » » f”(3/2)=12⋅(3/2)2 -12⋅3/2=9. Vamos, então, fazer a análise. Iniciamos com f”(3/2)=9 que é positivo. Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, a função f tem um mínimo local em . Mas o que podemos concluir em relação à x=0, em que f”(0)=0? Nesses casos, o Teste da Segunda Derivada não nos permite identificar se, em x = 0, a função assume mínimo ou máximo local, ou seja, o teste é inconclusivo. Quando isso ocorre, devemos buscar a resposta por meio do Teste da Concavidade. Observe o quadro. INTERVALO

F(X)

SINAL DE

x<0

x=0

f(0)=0 -2⋅0 +1=1

0<x<

x= x>

f(0)=( )4-2⋅( )3+1=11/16 -

CONCLUSÃO

Negativo

Decrescente

Negativo

Decrescente

Mínimo local

Positivo

Crescente

Tabela 10 - Extremos locais para f(x)=x4-2x3+1.

Fonte: Silva (2014). 137

CÁLCULO DIFERENCIAL

Note que x=0 não é nem máximo nem mínimo local. Ele é um ponto de inflexão, segundo o Teste da Concavidade. Essa análise também pode ser organizada por meio de um quadro. INTERVALO

SINAL DE F”(X)

CONCAVIDADE

(∞,0[

Positivo

Para cima

]0,1[

Negativo

Para baixo

]1,+∞)

Positivo

Para cima

Tabela 11 - Concavidade de f(x)=x4-2x3+1.

Fonte: Silva (2014).

Como a concavidade altera a orientação em x=0, temos aí um ponto de inflexão. A figura a seguir apresenta o esboço da função f no qual você pode identificar cada um dos resultados dos testes aplicados.

f(x) = x4 - 2 x3 + 1

0 -1

Figura 80 - Esboço gráfico de f(x)=x4-2x3+1. Fonte: Silva (2014).

Com o Teste da Segunda Derivada, encerramos o estudo das aplicações de derivadas na avaliação do comportamento das funções quanto a extremos locais, concavidade e ponto de inflexão.

CONCLUSÃO Nesta aula, você observou que a derivada de uma função pode ser uma ferramenta importante ao identificar extremos locais, crescimento, decrescimento, concavidade e pontos de inflexão de funções deriváveis. Essas informações são de grande valia quando estamos buscando avaliar o comportamento de uma situação que se apresenta por meio de um modelo matemático. É o caso, por exemplo, de problemas de otimização de volumes e áreas, e do estudo da densidade de determinado material líquido que compõe uma solução qualquer.

138

AULA 7 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Com a avaliação de crescimento e decrescimento, juntamente com a concavidade e os extremos, é possível, além de obter informações sobre o comportamento das funções, esboçar seu gráfico com mais facilidade. Agora, você está apto a aplicar os conceitos e testes apresentados ao longo desta disciplina em situações reais ou simuladas envolvendo diferentes áreas de sua formação e que fazem parte dos conhecimentos exigidos em atividades de Engenharia. Esse será o objetivo da próxima aula. Até lá!

139

AULA 8 Resolução de problemas envolvendo derivadas

INTRODUÇÃO No decorrer desta disciplina, você revisou fundamentos de Matemática, conheceu limites e derivadas e viu alguns exemplos de aplicação desses conceitos. Agora, é hora de exercitar mais seu raciocínio, estudando exemplos na forma de exercícios resolvidos. Aqui, você empregará conceitos tratados nas aulas anteriores, em especial o conceito de derivada e suas aplicações. Vamos descrever situações-problemas que exigem os conhecimentos de Cálculo que você adquiriu até agora. Leia os enunciados com atenção e procure sempre que necessário retomar as aulas anteriores para melhor compreender a resolução apresentada. Não se aprende Cálculo apenas com teoremas e definições. É fundamental que você perceba o Cálculo como uma área da Matemática aplicada, ou seja, uma teoria que busca desde a sua concepção resolver problemas do cotidiano. Boa leitura!

CÁLCULO DIFERENCIAL

OBJETIVO » » Aprender a utilizar derivadas para resolver problemas.

8.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Nesta aula, você verá como utilizar todo o conteúdo que foi estudado na disciplina para entender situações e resolver problemas que poderão surgir durante sua atuação como Engenheiro. O grau de dificuldade dos exercícios descritos e resolvidos obedece à ordem dos conteúdos apresentados até o momento. Inicialmente, você analisará situações que envolvem taxa média de variação, relembrando a aplicação de derivada como variação instantânea. A aula segue explorando crescimento e decrescimento para, então, finalizar com situações específicas de problemas de otimização. Situação 1 – Adaptada de Leithold (2001) Considere que a água de uma piscina será escoada e V litros é o volume de água na piscina t minutos após ter começado o escoamento. Considerando que V=250(40-t)2, encontre: a) a taxa média na qual a água escoa da piscina durante os 5 primeiros minutos; b) a velocidade em que a água flui da piscina após 5 minutos do início do escoamento. Resolução a) Primeiro, é importante relacionar as variáveis envolvidas: V: volume de água da piscina após t minutos de escoamento; t: tempo de escoamento da água, que, no caso, varia de 0 a 5 minutos. Iniciaremos a contagem do tempo em 0 minuto. Para determinarmos a taxa média de variação do volume V de água da piscina de 0 a 5 minutos, utilizamos a razão que foi exposta na aula 2:

No caso do nosso problema, a função é Logo, a expressão fica:

Como t=0 e a variação ∆t é de 5 minutos, a taxa média de variação do volume da piscina é: =-18.750 litros por minuto. A taxa na qual a água escoa durante os primeiros 5 minutos é de 18.750 litros por minuto. O valor negativo da taxa média de variação indica que há uma redução no volume. Ou seja, a piscina sofre uma perda média de 18.750 litros a cada minuto de escoamento. Em outras palavras, o sinal negativo indica o decrescimento da função volume.

142

AULA 8 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO DERIVADAS

b) Como você estudou na aula 3, a derivada de uma função em determinado ponto pertencente ao seu domínio é a variação instantânea que ela sofre nesse ponto. Assim, se pretendemos calcular a rapidez com que a água escoa aos 5 minutos, esse dado é fornecido pela derivada em t=5. A derivada de V é: =-500(40-5)=-17.500 litros. Portanto, a razão de variação instantânea do volume será de 17.500 litros por minuto. Essa é a velocidade com a qual a água escoa no instante 5 minutos.

Sempre que iniciar a leitura de uma situação-problema, tenha em mãos seu material de estudo – texto e complementares. Assim, sempre que necessário, você retoma os conceitos envolvidos na descrição da resolução.

Situação 2 – Adaptada de Weir, Hass e Giordano (2012) Um objeto é largado do alto de uma torre de 100 m de altura. A distância do objeto em relação ao solo é dada por por s=100-4,9t2 m, em que t é o tempo de queda em segundos. Qual é a velocidade instantânea aos 2 segundos de queda? A velocidade média é a variação do deslocamento em relação ao tempo decorrido no trajeto. Logo, se a distância é s=100-4,9t2, a velocidade média (vm) é dada por:

Sabendo que a velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando a variação do tempo tende a 0, temos aí a derivada: . Em 2 segundos de queda, a velocidade instantânea é igual a: v(t)=-9,8⋅2=-19,6 metros por segundo. A exemplo da Situação 1, o sinal negativo indica que a distância do objeto em relação ao solo está diminuindo. As próximas aplicações em diferentes áreas envolvem, em essência, máximos e mínimos. Levamos em consideração especialmente o Teste da Primeira Derivada e o Teste da Segunda Derivada. Situação 3 – Adaptada de Morettin et al. (2003) Dada a função Custo Anual de uma empresa C(x)=40x-10x2+x3, determine os intervalos de crescimento e decrescimento do custo médio, ou seja, , indicando eventuais pontos de máximo e mínimo.

143

CÁLCULO DIFERENCIAL

A situação envolve custo médio, que é a razão entre o custo anual e a quantidade de produtos fabricados. Assim:

Ou seja: Cm(x)=40-10x+x2 Essa é a função que devemos considerar para a solução do problema. Antecipadamente, podemos observar que a função Cm(x) é quadrática. Portanto, seu gráfico tem a forma de uma parábola, com concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo. Veja a figura.

100 Mínimo 50

0 0

Figura 81 - Gráfico da função custo. Fonte: Silva (2014).

Podemos determinar intervalos de crescimento e decrescimento por meio do Teste da Primeira Derivada, que você estudou na aula 7. O primeiro passo é encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x para os quais a derivada da função Cm(x) se anula. =-10+2x=0→2x=10→x=5 O ponto crítico é, portanto, x=5. Agora, vamos determinar os intervalos requeridos: » » a função é decrescente nos valores de para os quais (2x-10)<0, ou seja, x<5; » » a função cresce para x tal que 2x-10>0, ou seja, x>5. Assim, a função é decrescente para valores inferiores a 5 e crescente para valores maiores que 5. Observe a figura.

Figura 82 - Comportamento da função custo médio. Fonte: Silva (2014).

144

AULA 8 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO DERIVADAS

Concluimos, então, que o custo médio atinge seu valor mínimo para 5 unidades produzidas. Esse custo é de Cm(x=5)=40-10⋅5+52=15 unidades monetárias. Situação 4 – Adaptada de Morettin et al. (2003) Considerando a função custo C(x)=0,1x3-4x2+70x+50, determinada empresa concluiu que o seu custo é sempre crescente, independentemente de produzir mais. Isto é, os custos não são diluídos na medida em que aumenta a produção. Mostre que a interpretação do gestor da empresa está correta. Aqui, devemos mostrar que a função é totalmente crescente. Para isso, vamos determinar possíveis pontos críticos. Se entre eles não houver máximos nem mínimos, a função custo será totalmente crescente ou totalmente decrescente. Vamos lá! Encontraremos eventuais pontos críticos a partir da derivada da função C(x): =3⋅0,1x2-8x+70 = 0,3x2-8x+70 Igualando-a a 0, temos: 0,3x2-8x+70=0 Resolvendo a equação de 2o grau utilizando a fórmula de Bhaskara, é possível identificar que o resultado não possui raízes reais, uma vez que ∆<0: ∆=(-8)2-4⋅0,3⋅70=64-84=-20 Nesse caso, a função custo não tem máximos nem mínimos. Mas você sabe dizer se ela é totalmente crescente ou totalmente decrescente? Para classificar a função em relação ao crescimento, pelo Teste da Primeira Derivada, temos que =0,3x2-8x+70 é totalmente positiva. Descobrimos isso ao igualar a expressão a 0. Como a concavidade da parábola que a representa está voltada para cima (a=0,1>0) e não há raízes reais, então ela está toda acima do eixo horizontal. Logo, a função é positiva qualquer que seja x. Com isso, podemos concluir que a função custo é totalmente crescente. A figura a seguir apresenta o gráfico da função custo para que você confirme as informações fornecidas com o auxílio da derivada. 6000 Custo 4000

2000

0 -40

-20

Quantidade Produzidas -2000

Figura 83 - Gráfico da função custo. Fonte: Silva (2014).

145

CÁLCULO DIFERENCIAL

Observando o gráfico, é possível perceber que a função custo, apesar de totalmente crescente, apresenta um ponto de inflexão. Para determinarmos esse ponto, empregamos o Teste da Segunda Derivada. Assim: f”(x)=2⋅0,3x-8=0,6x-8 O ponto de inflexão é aquele no qual a segunda derivada é nula: f”(x)=0→0,6x-8=0→x=

≅13,333

Logo, a função custo apresenta um ponto de inflexão em x≅13,333. Situação 5 Imagine que uma beneficiadora de arroz resolve construir uma caixa aberta que comporte o maior volume possível do seu produto. Ela deve ser confeccionada com um quadrado de material resistente medindo 12 cm de lado. Qual quantidade de arroz caberá na caixa? Inicialmente, é importante planificar a caixa para que possamos compreender como serão feitas as dobras no material. É pelas dobras que construiremos a função volume V, que deveremos maximizar.

Planificar: é organizar polígonos dispostos por arestas contíguas e que indicam as dobras a serem feitas para que se dê a forma de um poliedro, como é o caso da caixa sem tampa.

Observe a figura. Ela mostra a você a planificação da caixa, incluindo as medidas necessárias para a construção do modelo matemático que fornecerá o seu volume. 12 cm x

x 12 - 2x

12 cm x

x x

Figura 84 - Planificação da caixa de arroz. Fonte: Silva (2014).

O volume de uma caixa é dado pelo produto entre a sua altura e a área da base. Pela imagem, podemos perceber que a base será quadrada, com lado medindo 12-2x. Consideramos a altura da caixa que determina, portanto, a medida do lado do quadrado utilizado para a dobradura e que dará a forma da caixa. Assim, o volume da caixa sem a tampa em função da altura x é dado por:

146

AULA 8 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO DERIVADAS

Agora, para resolver o problema da beneficiadora, vamos à maximização de V(x). Em primeiro lugar, vamos identificar os extremos locais da função V por meio do Teste da Primeira Derivada. A derivada de V é: =144-96x+12x2 Seus pontos críticos são aqueles que anulam a primeira derivada que, nesse caso, foram encontrados por meio da fórmula de Bhaskara: =144-96x+12x2=0→x1=2 e x2=6 Pelo Teste da Segunda Derivada, vamos classificá-los. A derivada de segunda ordem de V é: V”(x)=-96+24x. Aplicando a derivada segunda nos pontos críticos, temos que: V”(2)=-96+24⋅ 2=-96+48=-48<0. Pelo Teste da Segunda Derivada, em x = 2, a função V tem um máximo local. Da mesma forma: V”(6)=-96+24⋅6=-96+144=48>0. Pelo Teste da Segunda Derivada, a função tem um mínimo local em x=6. Nesse caso, o volume seria nulo. De fato, V(6)=144⋅6-48⋅62+4⋅63=0. Assim, concluímos que a caixa deve ter altura de 2 cm para que comporte o volume máximo para o transporte de arroz. Como a base tem como lado a diferença 12-2x, o quadrado que forma a caixa tem lado 12-2⋅2=8 cm. Com os dados encontrados, o fabricante tem acesso à capacidade da caixa, que é dada por V(2)=144⋅2-48⋅22+4⋅23=288-192+32=128 cm3. Situação 6 – Adaptada de Flemming e Gonçalves (2006) Um fio de comprimento x é cortado em dois pedaços. Com um deles, será feito um círculo. Com o outro, um quadrado. Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima? Observe a figura. Comprimento = 10 unidades de medida

Figura 85 - Divisão do fio de comprimento . Fonte: Silva (2014).

147

CÁLCULO DIFERENCIAL

O primeiro passo é encontrar o modelo matemático que representa a soma das áreas do círculo e do quadrado. As informações que temos são: » » comprimento do fio: 10 unidades de medida; » » área do quadrado de lado lado l: l2; » » área do círculo de raio r: πr2. Além disso, a soma dos perímetros do círculo e do quadrado é igual a:

O objetivo é estabelecer uma lei de formação que forneça o comprimento do fio que cabe a cada uma das figuras, círculo e quadrado. O processo de construção de modelos matemáticos é importante no estudo do Cálculo e em diversas áreas da sua formação. Esse processo é chamado modelagem. Livros de Cálculo apresentam, em geral, exercícios resolvidos e que podem auxiliar você nesse tipo de situação. Uma sugestão é o livro “Cálculo A”, de Diva Flemming e Miriam Buss Gonçalves.

Vamos supor que o comprimento do círculo seja denotado por x e, para o quadrado, seu perímetro é y. Então: s=x+y=2r+4l=10 Como estamos considerando funções de uma variável, o comprimento s pode ser expresso apenas em função de x. Basta que consideremos:

Além disso, se y=4l, então

Substituimos as informações relacionadas na expressão da soma das áreas: , que é a expressão da soma das áreas expressa em função apenas de x, ou seja, A(x). Reunindo os termos semelhantes, temos:

Por sua vez, efetuando o quadrado na expressão (10-x)2:

148

AULA 8 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO DERIVADAS

e, simplificando:

Fatorando a expressão πx2+4x2: . Chegamos, assim, ao modelo matemático que expressa a soma das áreas do quadrado e do círculo em função do comprimento do fio destinado ao círculo. Como a medida total do fio é de 10 unidades de medida, primeiro você precisa encontrar x. Depois, para descobrir qual é o comprimento necessário para formar o quadrado, basta efetuar a diferença: y=10-x. Vamos, então, encontrar a medida x. Lembre-se de que queremos os comprimentos x e y de modo que a soma das áreas (A) seja a menor possível. Então, buscaremos os intervalos de crescimento e decrescimento pelo Teste da Primeira Derivada. Primeiramente, identificamos se há pontos críticos na função A:

Então, vamos prosseguir, igualando a derivada

a 0 para determinar possíveis pontos críticos:

=0 sempre que -20π+2(π+4)x=0. Isso implica em:

Logo, o ponto crítico da função A é em Assim, para avaliar os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que: » » A(x)>0 implica que x> » » A(x)<0 implica que em x<

, indicando que A é crescente; , logo, A é decrescente.

Para o Teste da Primeira Derivada, a avaliação considerará apenas dois intervalos, sendo eles x< e x> . As informações obtidas pela derivada são apresentadas no quadro a seguir.

149

CÁLCULO DIFERENCIAL

INTERVALO

F(X)

SINAL DE

Negativo

Positivo

df dx

CONCLUSÃO Decrescente

Mínimo

Crescente

Tabela 12 - Extremos locais para A(x).

Fonte: Silva (2014).

Podemos observar, então, que, em

ou seja, o comprimento destinado ao círculo, as

áreas compreendidas pelas figuras são mínimas. Nesse caso, o comprimento destinado ao quadrado é igual a: unidades de medida. Faça a soma e verifique: x+y=10 unidades de medida!

CONCLUSÃO Nesta aula, você observou em detalhes como empregar os conceitos envolvendo derivadas em situações que podem surgir no dia a dia do engenheiro. Não esgotamos as possibilidades, é

claro, nem aprofundamos as situações apresentadas. O objetivo é ajudá-lo a entender a importância prática dos conteúdos estudados e inspirá-lo a procurar outras aplicações. Sugerimos a você que recorra às referências indicadas ao longo das aulas para dar corpo às aplicações do conceito de derivada em situações práticas. Todas as indicações contemplam exemplos e exercícios propostos dessa natureza.

Com os conhecimentos adquiridos e após estudar detalhadamente cada exercício proposto, você estará pronto para seguir para as próximas etapas rumo à sua formação profissional.

150

ENCERRAMENTO

CARTA DE ENCERRAMENTO Caro estudante,

Enfim, chegou a hora de finalizar a disciplina Cálculo Diferencial. Os conhecimentos adquiridos aqui, além de formarem a sua base científica, ajudarão você a desenvolver certas habilidades importantes, como as capacidades de abstração, generalização e raciocínio dedutivo. Por isso, ao longo do material, buscamos manter um equilíbrio entre o cálculo formal e as aplicações dos temas abordados, acompanhados, sempre que possível, de deduções intuitivas. Nos primeiros momentos, você foi conduzido a rever conceitos de Matemática importantes para o desenvolvimento da disciplina, como as funções. Elas o levaram à noção de limites e, posteriormente, às taxas de variação. A partir daí, chegamos ao conceito de derivada de uma função, apresentada como taxa média e instantânea e, também, como inclinação de reta tangente a uma curva representativa de função. A formalização do conceito levou às regras de derivação, que facilitam seus cálculos, fazendo com que você encontre a derivada de funções com aplicação direta delas, sem que seja necessário lançar mão do limite de definição. A partir daí, você teve contato com aplicações do conceito de derivada no Cálculo, em especial no estudo do comportamento de funções envolvendo valores extremos, crescimento e decrescimento e na avaliação de concavidade e pontos de inflexão. A teoria aqui apresentada inicia você na resolução de problemas

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INTRODUÇÃO À ENGENHARIA

específicos da Engenharia, como a maximização da área de um espaço de convivência e do volume de um contêiner, e o estudo da elevação de temperatura de um motor em funcionamento. Lembre-se de que estamos norteando seus estudos, mas sem a intenção de esgotar totalmente a teoria. A busca de leituras e materiais complementares para consolidar cada um dos temas contemplados na disciplina deve fazer parte do seu cotidiano.

Bom estudo!

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ENCERRAMENTO

REFERÊNCIAS

BRASIL ESCOLA. Seno, cosseno e tangente de ângulos. Disponível em: <www.brasilescola.com/matematica/ seno-cosseno-tangente-angulos.htm>. Acesso em: 5 ago. 2014. ______. Polinômios. Disponível em: <www.brasilescola.com/matematica/polinomios.htm>. Acesso em: 31 jul. 2014. CARDOSO, L. F. Dicionário de matemática: edição de bolso. Porto Alegre: L&PM, 2007. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 5. ed. São Paulo: Ática, 2011. v. 2. E-CÁLCULO. Bhaskara (1114-1185). Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/bhaskara.htm>. Acesso em: 14 jul. 2014. FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2006. INFO ESCOLA. Polinômios. Disponível em: <www.infoescola.com/matematica/polinomios>. Acesso em: 31 jul. 2014. LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra, 2001. ______. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. de O. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003. ROONEY, A. A história da matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. Trad. Mario Fecchio. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2012. 153

INTRODUÇÃO À ENGENHARIA

STEWART, J. Cálculo Volume 1. 7. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2013. THOMAS, G.; WEIR, M.; HASS, J. Cálculo Volume 1. 12. ed. São Paulo: Pearson do Brasil, 2012.

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