Fisicaeletricidade by EAD UNIFACS

FÍSICA E ELETRICIDADE Autor - Alzineide Dantas

Universidade Anhembi Morumbi

Universidade Salvador

Janes Fidelis Tomelin Diretor de EaD

Adriano Lima Barbosa Miranda Diretor de Educação Corporativa e Novos Projetos

Fabiano Prado Marques Diretor Acadêmico – Escola de Engenharia e Tecnologia

Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo Diretor da Escola de Engenharia e TI

Adriana Trigolo Revisor Técnico

Diniz Alves de Sant’Ana Silva Revisor Técnico

Universidade Potiguar

Rede Laureate Internacional de Universidades

Barney Vilela Coordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância Catarina de Sena Pinheiro Diretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas

Daniella Loureiro Koncz Coordenadora de Novos Negócios André Torres Gregório Designer Instrucional FabriCO Projeto educacional Projeto gráfico Autoria do conteúdo Revisão ortográfica e gramatical

SUMÁRIO UNIDADE 1 - LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO........................................... 5

1. Carga Elétrica............................................................................6 1.1 Condutores e isolantes .....................................................8 1.2 Carga por Indução .............................................................8 2. Lei de Coulomb........................................................................9 3. O Campo Elétrico....................................................................12 4. Fluxo e Lei de Gauss..............................................................20 UNIDADE 2 - POTENCIAL ELÉTRICO......................................................................27

1. Energia Potencial Gravitacional.............................................28 2. Energia Potencial Elétrica.......................................................29 3. Potencial Elétrico para Sistema de Cargas Puntiformes.......31 4. Cálculo do Campo Elétrico a partir do Potencial Elétrico......35 5. Cálculo do Potencial Elétrico para Distribuições Contínuas de Carga.....................................................................36 6. Superfícies Equipotenciais......................................................38 7. Cálculo do Potencial Elétrico para um Condutor Carregado.....39 UNIDADE 3 - CAPACITORES E DIELÉTRICOS..........................................................43

1. Capacitores.............................................................................44 1.1 Capacitância......................................................................45 1.2 Capacitor de placas paralelas..........................................46 1.3 Capacitor cilíndrico...........................................................47 1.4 Capacitor esférico.............................................................49 1.5 Energia armazenada em um capacitor............................51 2. Dielétricos...............................................................................52 3. Associação de capacitores.....................................................53 3.1 Associação em Paralelo...................................................54 3.2 Associação em Série........................................................55 UNIDADE 4 - CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA.................................59

1. Corrente Elétrica.....................................................................60 2. Lei de Ohm e Resistência elétrica.........................................65 3. Força eletromotriz (fem)........................................................70 4. Energia Elétrica e potência....................................................72 UNIDADE 5 - CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA..............................................77

1. Associação de resistores........................................................78

1.1 Associação em série.........................................................78 1.2 Associação em paralelo...................................................80 1.3 Associação Mista..............................................................82 2. Regras de Kirchhoff................................................................84 2.1 Circuitos RC.......................................................................89 2.2 Carregando um capacitor.................................................89 2.3 Descarregando um capacitor...........................................90 UNIDADE 6 - CAMPO MAGNÉTICO.......................................................................93

1. Polo magnético e campo magnético.....................................94 1.1 Comportamento de partículas carregadas em movimento imersas em campos magnéticos.......................97 1.2 Força magnética em condutores elétricos....................102 2. Motor elétrico.......................................................................108 UNIDADE 7 - LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY...............................................111

1. Lei de Biot-Savart.................................................................112 2. Lei de Ampère......................................................................116 3. Força magnética entre correntes paralelas.........................120 4. Indução Eletromagnética.....................................................121 4.1 Lei de Faraday................................................................124 4.2 Lei de Lenz.....................................................................128 4.3 Autoindutância...............................................................129 4.4 Circuitos RL.....................................................................131 4.5 Energia armazenada em um campo magnético...........134 UNIDADE 8 - CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA E EQUAÇÕES DE MAXWELL.........137

1. Circuitos RLC.........................................................................138 1.1 Associação entre indutor e capacitor (LC) sem resistências...........................................................................138 1.2 Associação entre resistores, indutores e capacitores (RLC)...... 141 2. Circuitos de corrente alternada............................................144 2.1 Resistor em corrente alternada.....................................145 2.2 Indutor em corrente alternada......................................147 2.3 Capacitor em corrente alternada...................................149 2.4 Circuito RLC em corrente alternada...............................150 2.5 Ressonância em circuito RLC..........................................154 3. Equações de Maxwell..........................................................155 3.1 Corrente de deslocamento............................................155 3.2 Equações de Maxwell na forma integral......................157

AULA 1 Lei de Coulomb e o Campo Elétrico

INTRODUÇÃO Muitos fenômenos com os quais nos deparamos em nosso cotidiano possuem relação com a eletricidade. Sua influência vai desde a união de átomos e moléculas, que constituem tudo que nos cerca, até aqueles choques que sentimos quando tocamos algum objeto metálico em dias secos ou após esfregar um balão cheio de ar em nossa blusa e brincarmos de levantar fios de cabelo. Todos esses fenômenos acontecem devido à existência do que chamamos de carga elétrica. Mas o que é uma carga elétrica? Quais são suas características? É isso que veremos a partir de agora.

FÍSICA E ELETRICIDADE

OBJETIVOS » » Compreender os conceitos de carga elétrica, conservação e quantização da carga. » » Conhecer e interpretar a Lei de Coulomb. » » Compreender o conceito de campo elétrico, simetria e linhas de campo e força elétrica. » » Conhecer e interpretar a Lei de Gauss. » » Estudar exercícios resolvidos.

1. CARGA ELÉTRICA Alguns fenômenos elétricos já eram conhecidos no século VII a.C., quando os gregos observavam que uma resina amarelada denominada âmbar, quando atritada em peles de animais, adquiria a propriedade de atrair pequenos objetos, como palhas.

Figura 1 – Algumas pedras de âmbar. Fonte: Shutterstock (2014).

Em grego, “âmbar” se chama “elektron”, palavra que dá origem ao nome elétron. Os elétrons, assim como prótons e nêutrons, são as partículas que formam os átomos.

Muitos foram os cientistas que contribuíram para a construção do conceito de carga elétrica. Hoje, sabemos que a carga elétrica é umas das propriedades fundamentais das partículas. Por exemplo, no processo de eletrização, os elétrons são transferidos de um corpo a outro, deixando os corpos eletrizados com determinada quantidade de carga elétrica. Convencionou-se que os elétrons possuem carga negativa (-), os prótons, carga positiva (+). Através de experimentos, determinou-se que o valor em módulo que cargas elétricas podem possuir são múltiplos de 1,6 x 10–19C, que corresponde à carga de um elétron ou de um próton. Os neutros não possuem carga. No Sistema Internacional (SI), o símbolo C (Coulomb) representa a unidade de carga elétrica. Com base em Sears et al. (2008), listamos importantes propriedades das cargas elétricas: 6

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

» » quantização da carga: qualquer quantidade de carga elétrica é sempre um múltiplo inteiro do módulo da carga fundamental (e) = 1,6 x 10–19C ; » » cargas de sinais contrários se atraem, enquanto que cargas com mesmo sinal se repelem; » » a soma algébrica de todas as cargas elétricas existentes em um sistema isolado permanece sempre constante.

Figura 2 – Atração entre cargas. Fonte: Mannrich (2014).

(a)

(b)

+ + + - - A

- - -

+ + +

+ + + A

+ +

+ + +

+ + + - - A

- - -

+ -

+ + + - - A

- - -

+ + + +

- -

+ + +

Figura 3 – Processo de eletrização por contato. Fonte: Mannrich (2014).

Na figura anterior, em (a), vemos que um corpo A eletrizado positivamente, quando em contato com um corpo B neutro, ganha elétrons deste, deixando o corpo B carregado positivamente. A carga total do corpo A (QA) é dividida com o corpo B, de forma que a carga total do sistema isolado é a soma das cargas que restou no corpo A (qA) e a carga adquirida pelo corpo B (qB). Assim: QA = qA + qB O mesmo processo ocorre em (b), porém o corpo A cede elétrons ao corpo B, deixando-o carregado negativamente.

Um experimento que se aproveita do fenômeno da eletrização e da repulsão entre cargas iguais é o Gerador de Van de Graaff, famoso por ser utilizado para arrepiar os cabelos de quem toca nele. Assista ao vídeo no link: <www.youtube.com/watch?v=uNR5WE_EXEU>

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Consegue, agora, entender por que conseguimos usar um balão cheio para atrair fios de cabelo? Quando o atritamos em um pedaço de lã, por exemplo, há um fluxo de cargas elétricas da lã para o balão. Assim, ele fica eletrizado com determinada quantidade de carga -q. Ao aproximarmos o balão de fios de cabelo, ele acaba atraindo os fios, pois estes também possuem cargas elétricas em seu interior. O processo é bem similar ao que você viu na figura anterior. Veja a seguir a classificação dos materiais em relação à condução de cargas elétricas.

1.1 CONDUTORES E ISOLANTES Sabemos que alguns materiais têm certa facilidade de deslocar cargas elétricas em seu interior. Esses materiais são denominados condutores. Já os materiais que não possuem essa facilidade são chamados de isolantes ou dielétricos. Os materiais que possuem características intermediárias são semicondutores, muito utilizados na indústria eletrônica. Os metais, de maneira geral, são bons condutores, pelo fato de suas ligações atômicas os permitirem terem muitos elétrons que podem se mover livremente em seu interior, enquanto materiais como vidro, plástico, borracha e madeira possuem elétrons muito mais presos aos átomos, o que os torna bons isolantes em condições normais. Isso explica por que os fios das conexões elétricas possuem uma parte metálica (em geral, cobre) em seu interior e uma capa plástica ao redor, fazendo com que as cargas elétricas não atravessem o material. Caso contrário, sentiríamos descargas elétricas cada vez que tocássemos em um fio eletrizado. Você já deve ter sentido esse efeito quando tentou ajustar a antena de uma tevê pela parte metálica estando com os pés descalços no chão. Veja a seguir outro efeito importante relacionado à eletrização de materiais condutores.

1.2 CARGA POR INDUÇÃO Materiais condutores podem ser carregados também pelo processo chamado de indução. Observe a figura a seguir: Uma esfera neutra tem quantidades iguais de cargas positivas e negativas

Elétrons se redistribuiem quando uma haste carregada se aproxima

Alguns elétrons deixam a esfera aterrada pelo fio terra

O excesso de carga positiva se distribui de forma não uniforme

Os elétrons restantes se distribuem uniformemente, e há uma rede uniforme de distribuição de cargas positivas sobre a esfera

d Figura 4 – Processo de eletrização por indução. Fonte: Adaptado de Serway e Jewett (2008, p. 692).

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Vemos, em (a), uma esfera condutora neutra, contendo a mesma quantidade de cargas positivas e negativas. Quando aproximamos um bastão carregado negativamente da esfera neutra sem tocá-la, como em (b), ocorre o processo de polarização. Ou seja, as cargas se separam no interior da esfera. Isso porque as cargas positivas são atraídas pelas cargas negativas do bastão, e as negativas são repelidas. Ao ligarmos um fio terra na esfera polarizada (c), haverá um fluxo de elétrons para a Terra, e a esfera ficará carregada positivamente (d) e (e).

No processo de indução, o bastão eletrizado não toca a esfera neutra, ou seja, não há transferência de cargas entre o bastão e a esfera

Vimos até agora algumas propriedades das cargas elétricas e as formas de eletrização. Você estudará, a seguir, como se dá a interação entre cargas elétricas do ponto de vista quantitativo.

2. LEI DE COULOMB Agora já compreendemos que, quando esfregamos (atritamos) um balão em nossa blusa, o balão fica eletrizado e é capaz de atrair, por exemplo, nosso cabelo ou, ainda, pedacinhos de papel. Agora, vamos investigar com mais detalhes como cargas elétricas são capazes de atraírem umas as outras. Após as descobertas descritas até aqui, Charles Augustin de Coulomb realizou experimentos com sua própria balança de torção, baseando-se no projeto de Henry Cavendish, para estudar forças gravitacionais. Acompanhe o esquema do experimento de Coulomb na figura:

Filamento de torção

A esfera com carga negativa atrai a esfera com carga positiva; a esfera positiva se move até as forças elásticas no filamento de torção equilibrarem a atração eletrostática.

Esferas do núcleo carregadas Escala

Figura 5 – Experimento de Coulomb para estudar a interação entre cargas elétricas. Fonte: Sears et al. (2008, p. 8).

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Com base nesses experimentos e em analogia à força de interação gravitacional, já conhecida na época, Coulomb chegou à seguinte formulação: o módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Em outras palavras, a força elétrica será maior quanto maior forem as cargas elétricas envolvidas e quanto mais próximas elas estiverem uma da outra. O modelo matemático que descreve a Lei de Coulomb é: (1.1) Em que F é o módulo da força entre as cargas, q1 e q2 são as cargas envolvidas, r é a distância que as separa e ȓ é o vetor unitário orientado para a linha que une as cargas. A constante ε0 (épsilon zero) é a permissividade elétrica do vácuo, que no Sistema Internacional (SI) vale ε0 = 8,8542 x 10-12C2/Nm2. É possível escrever ε0 em função de outra constante, representada por k chamada de constante de Coulomb, como:

, que no SI vale k = 8,9876 x 109 Nm2/C2.

Nunca se esqueça de escrever as unidades das grandezas físicas. Além de caracterizar a grandeza, a unidade pode auxiliar na identificação de erros na manipulação das equações físicas.

Note ainda que as flechas acima das grandezas físicas ( , ) indicam que tais grandezas são vetoriais, pois elas possuem certa orientação espacial (direção e sentido) em relação ao sistema. Na figura adiante, você pode acompanhar outro esquema que representa a interação entre cargas elétricas: F2 em 1 +

F 1 em 2 = _ F2 em 1

F 1 em 2 = F2 em 1 = k -

Cargas de sinal igual se repelem.

F 1 em 2

q1 q2 r2

Cargas de sinal contrário se atraem.

F2 em 1 F 1 em 2 + q2

Figura 6 – Interações de forças entre duas cargas elétricas puntiformes. Fonte: Sears et al. (2008, p. 8).

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Note que as forças têm o mesmo módulo e a mesma direção, mas sentido contrário em relação à linha que as une (direção de Ou seja, as forças entre cargas elétricas obedecem à Terceira Lei de Newton, que fala que toda ação corresponde a uma reação:

Quando as cargas são diferentes, as forças são atrativas, e quando possuem sinais iguais, as forças são repulsivas. Exemplo 1 – Aplicação da Lei de Coulomb: Considere um sistema composto por três cargas puntiformes alinhadas entre si, em que: q1 = 1,0nC q2 = – 3,0nC q3 = 5,0nC (utilizamos a unidade de nC para representar o nano Coulomb, ou seja, 10–9C). q1 está a 2cm de q2 q3 está a 2cm de q2 e a 4cm de q1 Determine o módulo, a direção e o sentido da força de q1 sobre q2 e sobre q3. Resolução: O primeiro passo é compreender bem o problema, fazendo um diagrama da situação. Como o exercício fala que as cargas estão alinhadas entre si e separadas por certa distância uma das outras, podemos escolher uma das cargas (escolhemos q1 neste caso) como o ponto zero de nosso sistema. Assim, traçamos um plano de coordenadas (plano x, y) e escolhemos o alinhamento horizontal (eixo x) para o posicionamento das cargas. Em seguida, posicionaremos as demais cargas em relação a q1. O plano de coordenadas fica assim:

y q1 = 1,0 nC +

2,0 cm

q2 = 3,0 nC -

q3 = 5,0 nC x +

4,0 cm Figura 7 – Esquema do exemplo. Fonte: Mannrich (2014).

Observe que posicionamos a carga q1 no marco zero do planos para facilitar os cálculos. Feito o diagrama, podemos determinar a intensidade da força elétrica de q1 em e de q2 em q3, utilizando a Lei de Coulomb. Fica assim:

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Usamos o micro Coulomb (mC) para apresentar os resultados, o que representa 10–6C. Observe que q1 e q3 possuem cargas de mesmo sinal (+), então a força será repulsiva. Já as cargas q1 e q2 têm sinais contrários, logo a força será atrativa. Colocando isso em um diagrama de forças em q1 e levando em conta que o módulo de é maior que o módulo de , teremos:

q1 Figura 8 – Representação vetorial de Fonte: Mannrich (2014).

A resultante das forças da direção x se dá pela somas das forças nesse eixo. Como elas possuem sentidos contrários, elas se subtraem. Assim: Fx = 67 mN – 28mN = 39mN Concluímos, então, que a força resultante sobre q1 é orientada para a direita (sentido positivo do eixo x) e possui módulo de 39mN = 3,9x10-5 N. No exemplo, as cargas estavam alinhadas em um único eixo (x), ou seja, as componentes y e z eram zero. Se tivéssemos cargas com componentes vetoriais em y e z também, a análise da situação e o cálculo das forças deveriam ser feitos de forma independente para cada eixo. Ou seja, a força total sobre uma carga possuiria componentes Fx, Fy e Fz, e a resposta seria dada em função delas.

Agora que você já conhece algumas características das cargas elétricas e viu como determinar a força elétrica entre elas, você entenderá melhor como é possível uma carga, ou um conjunto de cargas, sentir a presença de outras, gerando a força elétrica.

3. O CAMPO ELÉTRICO Um conceito construído para compreender como as cargas elétricas perturbam o espaço foi o de campo elétrico, muito influenciado pelos estudos de Michael Faraday. Esse cientista percebeu que uma limalha de ferro, quando aproximada de ímãs, organizava-se em linhas ao seu redor. Em analogia com essa ideia, ele pensou na interação entre cargas elétricas. Faraday chamou essas linhas de linhas de força, uma maneira de representar a perturbação das cargas elétricas no espaço, chamada de campo elétrico. Na figura adiante, você pode observar representações para as diferentes configurações entre linhas de força de carga elétricas:

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

(a) Uma única carga positiva

(b) Duas cargas de mesmo módulo, porém de sinais contrários (um dipolo)

E +

E E Linhas de campo sempre apontam para fora de cargas (+) e para dentro de cargas (-).

A cada ponto no espaço, o vetor do campo elétrico é tangente à linha de campo que passa pelo ponto considerado.

As linhas de campo ficam próximas quando o campo é forte e distantes quando o campo é fraco.

Figura 9 – Representação de linhas de força para três diferentes configurações de carga. Fonte: Sears et al. (2008, p. 24).

Com as linhas de força, podemos determinar a intensidade e a direção da força elétrica. Alguns aspectos importantes das linhas de força são: » » o vetor força elétrica em uma região do espaço é tangente às linhas de força nessa região; » » o número de linhas de força é proporcional ao módulo do vetor força elétrica nessa região, ou seja, quanto maior o número de linhas maior a força elétrica. Dessa forma, uma carga elétrica produz um campo elétrico ( ) no espaço, e tal campo irá exercer uma força em outra carga elétrica (q). A intensidade dessa força pode ser determinada pela seguinte relação físico-matemática: (1.2) Ou seja, a força elétrica é determinada pela multiplicação do valor da carga elétrica de uma carga elétrica qa e o campo elétrico proveniente de outra carga elétrica qb. A unidade de campo elétrico no SI é o Newton por Coulomb (N/C).

O campo elétrico gerado pelas cargas elétricas nos condutores elétricos domésticos é da ordem de 10–2 N/C, enquanto o campo elétrico produzido por um raio em uma tempestade é da ordem de 104 N/C, ou seja, seis vezes maior.

O campo elétrico pode ser calculado a partir da Lei de Coulomb. Se

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então podemos escrever o campo elétrico como: (1.3) em que q é carga que da qual se deseja determinar o campo elétrico. Assim, o campo elétrico pode ser calculado em determinado ponto p ao somar os campos, devido a cada carga envolvida no sistema, representadas pela letra i. Dessa forma, podemos escrever a expressão: (1.4)

Exemplo: Considere duas cargas elétricas: q1 = 9 nC q2 = 12 nC Determine o campo elétrico das cargas q1 e q2 em um ponto p qualquer do plano cartesiano (x,y). Resolução: Perceba que o problema fornece o valor das cargas, mas não especifica o ponto a ser calculado. Dessa forma, você pode escolher um ponto qualquer. Escolheremos o ponto x = 2 cm e y = 3 cm. Além disso, posicionaremos q1 na origem do sistema (x = 0 cm e y = 0 cm), o que facilitará o cálculo. Assim, a configuração do sistema fica como segue: Y(m)

22 + 3 2

q2 =12nC q1 =8nC 1

X(m)

Figura 10 – Configuração das cargas do exemplo. Fonte: Mannrich (2014).

Para calcular o campo , resultado da influência das duas cargas, precisamos determinar o módulo de e . Note que os campos e apontam para fora das cargas, pois elas possuem carga positiva. Em seguida, podemos calcular as componentes x e y de cada campo. Então, calculamos os campos resultantes para cada componente (Ex1, Ey1, Ex2, Ey2). 14

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Em seguida, fazemos a soma vetorial das componentes, e podemos determinar o módulo do campo ,. Para o cálculo dos módulos de

para q1 e q2. Acompanhe

, basta aplicarmos

o cálculo:

Agora que determinamos o módulo do campo elétrico, vamos calcular as componentes vetoriais x e y do campo de cada carga da seguinte forma:

Note que a componente x da carga q2 aponta para o lado negativo do eixo x. Então, essa componente possui sinal negativo. Lembrando as relações trigonométricas, podemos determinar senθ e cosθ, como segue:

CO = 2

sen θ =

cateto oposto CO 2 = = = 0,55 hipotenusa H 13

cos θ =

cateto adjacente CA 3 = = = 0,83 hipotenusa H 13

CA = 3 Figura 11 – Relações trigonométricas em um triângulo retângulo. Fonte: Mannrich (2014).

Substituindo os valores nas expressões, as componentes do campo elétrico ficam: Ex1 = (5,54 N/C)(0,55) = 3,05 N/C;

Ex2 = – (8,30 N/C)(0,55) = – 4,56 N/C;

Ey1 = (5,54 N/C)(0,83) = 4,60 N/C

Ey2 = (8,30 N/C)(0,83) = 6,89 N/C

Agora, vamos somar as componentes x e y do campo resultante

Ex = Ex1 + Ex2 = 3,05 N/C – 4,56 N/C = –1,51 N/C

Ey = Ey1 + Ey2 = 4,60 N/C + 6,89 N/C = 11,49 N/C O cálculo do módulo do campo

a partir de suas componentes Ex e Ey ocorre obtendo a raiz

quadrada da soma do quadrado das componentes, ou seja,

. O módulo fica:

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A direção e o sentido do campo podem ser obtidos de maneira precisa ao calcular o ângulo entre o vetor do campo elétrico e o eixo x: Y

tan θ =

sen θ cos θ

Ey Ex

θ = tan

-1

Ey Ex

θE X

Figura 12 – Representação vetorial dos campos elétricos do exemplo. Fonte: Mannrich (2014).

Dessa forma, obtemos o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico cargas q1 e q2.

resultante da ação das

Até o momento, estudamos algumas situações envolvendo poucas cargas, e vimos que o campo elétrico pode ser calculado a partir da soma do campo de cada carga envolvida. Podemos concluir que, se o número de cargas for muito grande, o trabalho para se determinar o campo em algum ponto, apesar de simples, será imenso. Vamos conhecer uma maneira de calcular campos elétricos para distribuições contínuas de carga. Para um elemento de carga infinitesimal dq a expressão (1.4) pode ser escrita como: (1.5) Para realizar o cálculo de distribuições de carga em linha, em superfícies ou em volumes, pode ser conveniente utilizar o conceito de densidade de carga. Se a carga total Q for distribuída uniformemente por todo o volume V, a densidade volumétrica de carga

(rô) será definida como

com

unidade no SI de C/m

No caso de uma superfície de área A, a densidade superficial de carga σ (sigma) é definida como com unidade no SI de C/m2. Se for uma linha de comprimento l, a densidade linear de carga será definida como

com unidade no SI de

Assim, um elemento infinitesimal de carga dq

para cada caso, pode ser escrito em função da densidade de carga como: .

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Exemplo: Anel carregado uniformemente Considere um anel de raio a carregado uniformemente com uma quantidade de carga Q. Calcule o campo elétrico em um ponto P a determinada distância x do eixo perpendicular ao centro do anel, como mostra a figura a seguir. dq

r x (a)

dE x

dE 1

dE2 0

x 2

(b)

dE1

Figura 13 – (a) Mostra o campo no ponto P sendo gerado pelo elemento de carga Fonte: Adaptado de Sears e Jewett (2008, p. 706).

Observe que a componente perpendicular do campo ( ) no eixo x do segmento 1 se cancela com a do segmento 2, pois geram campos opostos de mesma intensidade nesse eixo. Dessa forma, apenas a componente x do campo contribui para a resultante em P. Assim, o campo elétrico resultante em P é completamente descrito pelo componente Então nos resta determinar esta componente, rescrevendo a expressão (1.5) como:

Utilizando as relações trigonométricas no triângulo retângulo, podemos determinar a distância e componente

como

Substituindo estes resultados na expressão obtida para a

temos:

O campo elétrico em P pode ser determinado integrando a expressão anterior. Assim, temos:

Todos os segmentos do anel contribuem igualmente para o campo em P, uma vez que estão todos à mesma distância de P (x é constante). Assim, a expressão fica:

FÍSICA E ELETRICIDADE

A integral de dq (soma de toda a carga do anel) é a própria carga total Q. Assim, o resultado do campo E em P é:

em que representa o vetor unitário na direção x. Ou seja, apenas a componente x contribui para o campo resultante Exemplo: Campo elétrico produzido por um fio uniformemente carregado Considere um fio de comprimento 2a uniformemente carregado com uma carga positiva Q, situado sobre o eixo y. Determine o campo elétrico em um ponto P a uma distância perpendicular x do centro do fio, como mostra a figura a seguir.

y +a dy

dQ y

r y O

a dEy

dEx

-a

Figura 14 – Fio de comprimento 2a carregado uniformemente. Fonte: Sears et al. (2008, p. 21).

Assim como no exemplo anterior, as componentes do campo perpendicular ao eixo x não contribuem para a resultante do campo no ponto P, pois a componente superior ao eixo x cancela a componente inferior a esse eixo. Resta apenas determinar a componente do campo elétrico em P. Como no exemplo anterior, podemos reescrever a expressão (1.5) para o que resulta em:

Note que dq está a uma distância y da origem O, então

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Como a distância de cada elemento de carga dq varia em relação a P, precisamos escrever dq em função da densidade linear de carga. Assim, A densidade linear de carga pode ser obtida dividindo a carga total Q pelo comprimento do fio (2a). Assim,

Agora, podemos

substitui estes resultados na expressão da componente

Observe que a variável de integração agora é y, que varia de –a a +a. Como fizemos no exemplo anterior, para encontrar o campo resultante em P precisamos integrar a expressão. Assim, teremos:

Como k, Q, 2a e x são constantes, eles podem sair do procedimento de integração, e a expressão fica:

De uma tabela de integrais, temos que campo elétrico

Assim, determinamos o

como: ou

(1.6)

Quando a distância x é bem maior do que a, podemos desprezar este valor no denominador e a expressão se

o que corresponde a um campo produzido por uma carga puntiforme.

Agora, qual seria o valor do campo a uma distância x da linha de cargas se o comprimento fosse muito grande, ou melhor, infinito? Se reescrevermos a expressão (1.6) em função da densidade de cargas teremos:

em que

Se a for muito grande, o termo

tende a zero, e ficaremos com a expressão:

seja, se o fio for muito grande (infinito), qualquer ponto P a uma distância r perpendicular à linha de cargas terá como o módulo o campo: Nesse caso, a intensidade do campo cai com que cai com

diferentemente do campo para uma carga puntiforme

A seguir, você conhecerá outra forma de determinar campos elétricos, que, em alguns casos, é bem mais eficiente.

FÍSICA E ELETRICIDADE

4. FLUXO E LEI DE GAUSS Você viu que a Lei de Coulomb possibilita o cálculo de campos elétricos, inclusive para distribuições contínuas de carga. Porém, em algumas situações, esse cálculo pode ser bastante complicado. Outra maneira de calcular campos elétricos para distribuições contínuas de carga, por exemplo, para fios condutores, é utilizando a Lei de Gauss, que se torna mais poderosa em sistemas de alta simetria, como superfícies planas, cilíndricas ou esféricas. Essa lei é umas das equações fundamentais do eletromagnetismo e faz parte de umas das quatro equações de Maxwell, que você verá ao longo desta disciplina. O desenvolvimento da Lei de Gauss se aproveita das ideias das linhas de força do campo elétrico. Para compreendê-la, você precisa estudar o conceito de fluxo elétrico. O fluxo elétrico é definido como a quantidade de linhas de campo que atravessam determinada superfície, como mostra a próxima figura:

E A

Figura 15 – Linhas de campo elétrico atravessando uma superfície de área A. Fonte: Mannrich (2014).

Observe que, se o vetor campo elétrico e o vetor área forem perpendiculares, não haverá fluxo sobre a superfície. O fluxo elétrico (Φ) pode ser determinado pelo produto escalar do campo elétrico pelo vetor área . Ou seja:

A unidade do fluxo elétrico no SI é Nm2/C. Se considerarmos uma superfície fechada, ou seja, aquela que divide o sistema em duas regiões, uma interna e outra externa à superfície, poderemos definir que o número resultante de linhas que atravessam qualquer superfície que envolva cargas é proporcional à carga resultante envolvida pela superfície. Esse é o enunciado qualitativo da Lei de Gauss. Na figura adiante, você pode observar que as linhas de campo elétrico atravessam uma superfície fechada arbitrária.

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Figura 16 – Linhas de campo elétrico atravessando uma superfície fechada qualquer. Fonte: Mannrich (2014).

Matematicamente, a Lei de Gauss é escrita como:

Pode-se reescrever a Lei de Gauss também em função de outra constante, pois

, em

que ε0 é a constante de permissividade do vácuo, ou seja, ε0 = 8,85 x 10-12C2/Nm2 . Então, a Lei de Gauss fica:

Essa expressão significa que o campo elétrico normal à superfície multiplicado pela soma de cada elemento de área muito pequeno será proporcional à carga interna (Qint) da superfície. Na expressão anterior, o símbolo uma integral de linha sob uma superfície fechada. (a) A normal saindo da superfície irregular forma um ângulo Ø com o vetor campo elétrico E

(b)

dA Ø

dA cos Ø +

A projeção do elemento da área dA sobre a superfície esférica é dA cos Ø

Figura 17 – Cálculo do fluxo elétrico através de uma superfície não esférica. Fonte: Sears et al. (2008, p. 48).

FÍSICA E ELETRICIDADE

Note que, mesmo que a superfície tenha uma forma não simétrica, é possível escolher uma superfície simétrica, como a parte esférica imaginária de raio R que aparece na figura, construída unicamente para realizar o cálculo do campo elétrico pela Lei de Gauss. Isso é possível porque o fluxo elétrico sobre as superfícies independe da forma da superfície. Dessa forma, o cálculo do campo elétrico fica muito mais fácil. Uma analogia interessante para melhorar a compreensão sobre a Lei de Gauss é utilizar os raios de luz que atravessam uma lâmpada. Para conhecer a analogia e melhorar sua compreensão dessa importante lei do eletromagnetismo, leia o artigo intitulado “Um pouco de luz na Lei de Gauss”, disponível no link: <www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/vol03a21.pdf>.

É hora de descobrir como calcular o campo elétrico pela Lei de Gauss para algumas configurações de cargas. Exemplo 1 (adaptado de Sears et al., 2004, p. 53) Uma carga elétrica é distribuída uniformemente ao longo de um fio retilíneo infinito. A carga por unidade de comprimento é definida como λ (densidade de carga) positiva. Calcule o campo elétrico dessa configuração. Resolução: Podemos notar que essa representação se aproxima da distribuição de carga de um fio retilíneo finito, desde que a distância entre o ponto do campo e o fio seja muito menor do que seu comprimento. Para iniciar o cálculo, primeiro você precisa identificar qual o tipo de simetria que a distribuição de cargas permite. Neste caso, o sistema possui simetria cilíndrica. Logo, a superfície gaussiana escolhida será um cilindro de raio r e de comprimento l (observe que o comprimento l da superfície deveria ser bem menor do que o comprimento do fio, se este fosse um fio finito). Como as cargas são positivas, o campo elétrico aponta para fora da superfície. Podemos fazer um esquema da situação para visualizá-la melhor:

E1= E dA E1= 0

Superfície gaussiana

+++ ++++ + + + ++ ++++ ++++

l Figura 18 – Superfície gaussiana cilíndrica coaxial é usada para a determinação do campo elétrico produzido no exterior de um fio carregado, infinitamente longo. Fonte: Sears et al. (2008, p. 54).

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

Perceba que as linhas de campo elétrico do fio retilíneo infinito uniformemente carregado são radiais e estão contidas em planos perpendiculares ao fio. Assim, o módulo do campo elétrico só pode depender da distância radial entre o ponto e o fio. Observe que existem três regiões em nossa superfície cilíndrica: o cilindro que envolve o fio e as duas laterais (tampas do cilindro). Como sabemos que o fio é infinito, todas as linhas de campo elétrico são perpendiculares ao fio, logo, não há nenhuma componente do campo elétrico gerando fluxo nas superfícies laterais. Resta determinar o campo elétrico sobre a superfície cilíndrica ao redor do fio. Observe a Lei de Gauss para lembrar quais informações você precisa determinar:

Queremos saber a intensidade do campo elétrico En sobre a superfície. Como ele possui um valor constante, podemos tirá-lo do procedimento de integração. Observe:

Falta determinar a área total da superfície, que será a soma de cada elemento de área dA. Essa soma é dada pela integral sobre a superfície fechada dos elementos dA

A área da superfície lateral

de um cilindro pode ser obtida multiplicando o comprimento da circunferência do cilindro (2πr) pelo comprimento (l) do cilindro (A = 2πrl). Dessa forma, a expressão se resume a:

A carga interna resultante (Qint) pode ser obtida multiplicando a densidade de carga por todo o comprimento da superfície. Assim, temos: Qint = λl A expressão fica:

Ou seja, o campo elétrico, neste caso, será:

Reescrevendo esse resutado em termos da constante k, teremos:

que é o mesmo resultado obtido quando calculamos utilizando a forma coulombiana. Só que, agora, nosso trabalho foi bem menor. 23

FÍSICA E ELETRICIDADE

Apesar de a Lei de Gauss ser definida em função de uma integral, em muitos casos não será preciso resolver uma integral, pois bastará encontrar uma superfície adequada e uma expressão para o cálculo da área dessa superfície. Imagine realizar o mesmo cálculo utilizando a Lei de Coulomb! Seria bem mais complicado.

Exemplo 2 (Adaptado de Sears et al., 2004, p. 56): Uma carga elétrica positiva (Q) é distribuída uniformemente ao longo do volume de uma esfera isolante de raio R. Determine o módulo do campo elétrico em um ponto P. Resolução: A situação apresentada possui simetria esférica. Então, a superfície gaussiana escolhida será esférica e concêntrica à distribuição de cargas. Neste caso, o campo elétrico será radial para fora da superfície e normal à área da superfície. Vamos escolher uma superfície esférica de raio r no interior do isolante esférico. Como vimos no exemplo 1, podemos calcular a área da superfície gaussiana de raio r sem precisa resolver a integral. Observe o esquema da situação:

Isolante esférico

P R

Superfície gaussiana Figura 19 – Superfície gaussiana esférica de raio r, em que ρ é a densidade volumétrica de carga. Fonte: Adaptado de Sears et al. (2008, p. 56).

A área da superfície gaussiana será A = 4πr2. Dessa forma, a Lei de Gauss pode ser escrita como:

A dificuldade será determinar a carga interna (Qint) no interior da superfície gaussiana de raio r. Ela pode ser determinada utilizando a definição de densidade volumétrica da seguinte expressão:

em que o volume da esfera é

. O volume da superfície gaussiana é dado por:

AULA 1 – LEI DE COULOMB E O CAMPO ELÉTRICO

A carga Qint no interior da superfície gaussiana pode ser determinada da seguinte forma:

Substituindo esse resultado na expressão da Lei de Gauss no início da resolução, teremos:

Dessa forma, obtemos uma expressão que determina o campo elétrico em uma superfície gaussiana no interior de um isolante esférico. A carga total Q e o raio da esfera carregada foram disponibilizados no enunciado. Já o valor numérico do raio r da superfície gaussiana foi escolhido por nós para a resolução do problema: o importante é que ele seja menor que o raio R. Assim, podemos determinar qualquer campo elétrico no interior de um isolante esférico carregado com carga Q e raio R. Basta substituir os valores na expressão obtida. Se desejássemos obter o valor do campo elétrico fora da esfera carregada, bastaria escolhermos um valor para o raio r da superfície gaussiana maior do que o raio da esfera carregada R. Nesse caso, a carga interna Qint seria igual à carga total da esfera carregada. A expressão para determinar o campo elétrico seria:

Se estivéssemos tratando de uma superfície condutora, o campo elétrico em qualquer ponto de seu interior seria zero, pois toda a carga estaria distribuída nas extremidades do condutor devido à repulsão elétrica entre as cargas. Já para um ponto fora da superfície condutora, a expressão seria a mesma que a obtida anteriormente:

em que o raio r da superfície gaussiana deve ser maior do que o raio R do condutor. Com esse exemplo, finalizamos nossa primeira aula, na qual você estudou conceitos importantes que fundamentam todo o conhecimento sobre fenômenos elétricos.

FÍSICA E ELETRICIDADE

CONCLUSÃO Nesta aula, você viu um conceito de base do eletromagnetismo: a carga elétrica. Você estudou que cargas elétricas podem ser positivas e negativas, e são múltiplas inteiras da carga elétrica fundamental e = 1,6 x 10–19C. Relacionados às cargas elétricas, estão os processos de eletrização, responsáveis por diversos fenômenos com os quais nos deparamos no dia a dia: eletrização por atrito e eletrização por indução. Você ainda estudou que as cargas elétricas produzem uma perturbação no espaço, chamado de campo elétrico, que pode ser representado pelas linhas de força. Esse campo produz uma força em outras cargas elétricas, que pode ser determinada pela Lei de Coulomb ou pela Lei de Gauss. Por exemplo, se desejássemos saber o campo elétrico próximo da superfície terrestre, bastaria termos informações sobre a distribuição de carga na superfície e poderíamos facilmente determinar o campo elétrico na região desejada. Na próxima aula, você estudará o potencial elétrico. Com base nesses conhecimentos, você estará pronto para aplicar seus estudos na resolução de problemas envolvendo capacitores elétricos, correntes elétricas e circuitos, que serão apresentados em aulas posteriores. Até lá!

AULA 2 POTENCIAL ELÉTRICO

INTRODUÇÃO Na aula 1, você estudou as cargas elétricas e suas características. Você viu que as cargas interagem entre si através do campo elétrico e do sinal da carga, gerando uma força elétrica. Sabemos que o funcionamento de dispositivos eletrônicos, como lâmpadas, depende da existência da energia elétrica. Mas como é possível associar o conceito de energia a cargas elétricas? De que forma isso ocorre? Nesta aula, você verá um dos conceitos que o ajudará a compreender esse problema: o de potencial elétrico. Além de prover a energia que faz funcionar equipamentos eletrônicos, o potencial elétrico está ligado a outro fenômeno interessante: as descargas elétricas (raios) que ocorrem durante as tempestades. Você sabe como ocorrem estes processos? Prossiga a leitura desta e das próximas aulas e você conseguirá as respostas!

FÍSICA E ELETRICIDADE

OBJETIVOS » » Entender os conceitos de energia potencial, diferença de potencial e potencial elétrico. » » Conhecer o potencial de uma carga pontual e as distribuições de carga. » » Conceituar superfícies equipotenciais. » » Determinar o potencial elétrico de um material condutor. » » Aplicar os princípios estudados em exercícios resolvidos.

1. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Antes de estudar a energia potencial elétrica, vamos retomar o conceito de energia potencial na mecânica, para ajudá-lo a compreender o assunto. Em mecânica, a energia potencial é uma medida de energia relacionada ao estado em que um corpo com massa se encontra dentro de um campo de força gravitacional (por exemplo, dentro do campo gravitacional da Terra). A energia potencial, nesse caso, depende da massa m do corpo, da aceleração gravitacional g e da altura h em que o corpo se encontra no ponto definido como energia potencial zero (ponto mais baixo da trajetória). Matematicamente, ela é definida como: U = m x g x h, em que U representa a quantidade de energia potencial. Para compreender o que ocorre com a energia potencial, observe a figura a seguir. Objeto se movendo em um campo gravitacional uniforme a O trabalho realizado pela força gravitacional é o mesmo para qualquer trajetória de a para b; Wa b = - ΔU = mgh

w = mg h

Figura 13 – Objeto se movendo em um campo gravitacional uniforme. Fonte: Sears et al. (2008, p. 72).

Para que um corpo de massa m seja deslocado de um estado de energia potencial Ua para um ponto de energia potencial Ub, a força do campo gravitacional realiza trabalho sobre o copo. A variação da energia potencial de a → b é ∆U = Ub – Ua. E o trabalho é definido como a integral de linha: , em que é um deslocamento muito pequeno (infinitesimal) ao longo da trajetória a → b e é a força que atua na partícula naquele ponto. Dessa forma, o trabalho realizado pelo campo pode ser escrito como: 28

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

Observe que o trabalho necessário para levar o corpo do ponto a ao ponto b será igual à variação da energia potencial do corpo com sinal negativo. Isso porque, como o objeto está caindo, o trabalho ocorre no sentido do campo, portanto, é positivo e, nesse caso, diminui a energia potencial do corpo. Se o objeto fosse arremessado para cima, o trabalho realizado pelo campo gravitacional seria negativo, pois é contrário ao sentido do movimento. No entanto, a variação da energia potencial seria positiva, ou seja, o corpo aumentaria sua energia potencial. Usando as leis da conservação da energia, como a transformação de energia potencial gravitacional (U = m x g x h) em energia cinética (

) em que W = ∆K = –∆U muitos problemas de

mecânica podem ser resolvidos com mais facilidade do que quando se utilizam as Leis de Newton. Você verá que o mesmo conceito pode ser aplicado para fenômenos elétricos.

2. ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA Vamos agora aplicar a ideia de energia potencial gravitacional a uma carga dentro de um campo elétrico. Podemos entender o potencial como a quantidade de energia que um sistema pode prover para uma carga elétrica. Como você viu na aula 1, uma carga elétrica q dentro de um campo elétrico elétrica determinada por . Observe a figura a seguir. (a) A carga positiva se move no sentido de E: • O campo realiza trabalho positivo sobre a carga. • U diminui. y +

sofre uma força

(b) A carga positiva se move no sentido contrário ao de E: • O campo realiza trabalho negativo sobre a carga. • U aumenta. y +

b +

a + F = q0 E

yb a +

b + yb -

O -

ya -

O -

F = q0 E -

Figura 14 – Uma carga positiva se move dentro de um campo elétrico em (a) no mesmo sentido do campo e em (b) no sentido contrário. Fonte: Sears et al. (2008, p. 72).

Nesse caso, o trabalho W realizado pelo campo, que em (a) é positivo e em (b) é negativo, pode ser determinado pela expressão: , (2.1)

FÍSICA E ELETRICIDADE

em que representa um componente muito pequeno (infinitesimal) do deslocamento da carga em sua trajetória. Se o campo e a trajetória da carga forem paralelos (tiverem a mesma direção), como no caso da figura, o trabalho pode ser escrito simplesmente como: , em que d representa o deslocamento da partícula de a para b. No caso da imagem, o deslocamento é d = ya – yb, então o trabalho será:

Para cada ponto em que a carga se encontra dentro do campo elétrico, está associada determinada quantidade de energia potencial elétrica, dada por:

Sabemos que o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga de a para b será igual ao negativo da diferença de potencial elétrico (–∆U). Dessa forma, podemos escrever que:

Você se lembra do exemplo do tópico anterior, de um corpo que se deslocava do ponto a ao ponto b? Com a carga do nosso exemplo, ocorre o mesmo. Se ela fosse negativa, a energia potencial aumentaria quando ela se movesse no sentido do campo e diminuiria se ela se movesse no sentido contrário. Tanto para cargas positivas quanto para negativas, U aumenta se a carga se move no sentido contrário ao da força elétrica e diminui quando a carga se move no mesmo sentido da força elétrica. Esse comportamento se assemelha ao que ocorre com a energia potencial gravitacional (a da Terra, por exemplo), em que um corpo lançado para cima aumenta sua energia potencial – pois se move no sentido contrário ao campo – e diminui sua energia potencial gravitacional quando desce, por se mover no mesmo sentido do campo. A variação da energia potencial elétrica pode ser escrita em função da integral apresentada na expressão (2.1). Como sabemos que W = –∆U, teremos:

Note que a energia potencial é uma característica do sistema carga-campo, devido à interação entre o campo e a partícula carregada dentro do campo. A partir dessa ideia, definimos outro conceito, o de potencial elétrico (ou simplesmente potencial), que depende apenas das características do campo, independentemente da existência de uma partícula carregada no campo. A magnitude do potencial é obtida dividindo a energia potencial elétrica U pela carga q:

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

Com isso, podemos definir a diferença de potencial (ddp) ∆V pela expressão: (2.2) Podemos entender a ddp, também conhecida como voltagem, como a diferença do potencial elétrico entre dois pontos de um campo elétrico. Sua unidade, no SI, é o volt (V). Como é uma medida da energia potencial por unidade de carga, então: 1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 Joule/Coulomb

Ao contrário do que muita gente pensa, a voltagem não é algo que se move através do sistema, e sim uma diferença de energia por carga entre dois pontos. Por exemplo, uma pilha alcalina comum possui a capacidade de prover 1,5 volts de energia para cada carga que irá compor a corrente elétrica.

Quando um agente externo move uma carga elétrica de a até b muito lentamente no sentido contrário à força elétrica, ele realiza trabalho sobre a carga. Assim, o trabalho que deve ser realizado por unidade de carga é (Ua – Ub / q = Va – Vb = Vab) ou, ainda: W = q ∆V Ou seja, o trabalho realizado sobre a carga pode ser determinado pelo produto escalar entre a carga q e a ddp entre os pontos. Agora que você já conhece os conceitos de energia potencial elétrica, potencial elétrico e diferença de potencial elétrico, é hora de estudar o potencial para alguns sistemas de cargas.

3. POTENCIAL ELÉTRICO PARA SISTEMA DE CARGAS PUNTIFORMES Sabemos que uma carga elétrica positiva produz um campo elétrico na direção radial para fora dela, como você estudou na aula 1. Dessa forma, podemos encontrar o potencial elétrico a uma distância r da carga a partir da expressão (2.2). Observe o esquema a seguir.

FÍSICA E ELETRICIDADE

B r dr

θ ds

A r

+ q

Figura 15 – A diferença de potencial entre os pontos A e B depende apenas das coordenadas radiais iniciais e finais. Fonte: Adaptado de Sears e Jewett (2008, p. 752).

Vimos que a expressão (2.2) dá a ddp entre os pontos A e B. Sabendo que o campo elétrico em qualquer ponto do espaço para uma carga puntiforme é

Em que

, podemos reescrever (2.2) como:

Como é o vetor unitário da direção de r, a variação infinitesimal de r é dr. A componente de projetada em é dlcosθ, em que q é o ângulo entre e , como indicado na figura anterior. Então, . Substituindo esse resultado na expressão anterior e rearranjando alguns temos, obtemos: u Resolvendo a integral, obtemos:

Observe que a ddp entre dois pontos A e B depende apenas das coordenadas radiais rA e rB. É conveniente escolher um ponto em que o potencial elétrico é zero (VA = 0) obtido no infinito (rA = ∞). Dessa forma, a expressão anterior fica: (2.3) Essa expressão é chamada de potencial de Coulomb. Ou seja, o potencial devido a uma carga elétrica pontual em determinado ponto depende da distância r dele até a carga. Note que o potencial é

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

máximo (tende a infinito) na carga. Muito longe da carga (no infinito), o potencial é mínimo (tende a zero), ou seja, não há interação entre as cargas. A figura a seguir mostra o potencial V1 de uma carga q1 no ponto P. + q1

P q1 r

V=k

Figura 16 – Potencial da carga q1 no ponto P. Fonte: Adaptado de Sears e Jewett (2008, p. 753).

Para um conjunto de cargas, o potencial pode ser determinado pelo princípio da superposição, ou seja, pela soma do potencial de cada carga no ponto, dado por: . (2.4)

Se um agente externo traz uma carga q0 do infinito ao ponto P, ele realiza um trabalho sobre q0, que pode ser determinado por: W = q0 ∆V Esse trabalho representa uma transferência de energia para o sistema de duas cargas e aparece como energia potencial U quando as partículas estão separadas por uma distância r, como pode ser observado na figura a seguir. F elétrica q0

F mecânica

Figura 17 – Trabalho necessário para trazer uma carga q0 do infinito até um ponto P. Fonte: Tipler e Mosca (2005, p. 76).

FÍSICA E ELETRICIDADE

O trabalho será positivo quando as cargas tiverem mesmo sinal, pois o agente externo age contra a força repulsiva para aproximar as cargas. Se as cargas tiverem sinais opostos, o trabalho será negativo, pois o agente externo age contra a força atrativa. A energia potencial elétrica para esse sistema de duas cargas pode ser determinado da seguinte forma:

Exemplo Potencial elétrico devido a duas cargas pontuais (adaptado de Sears e Jeweet, 2009). A figura a seguir mostra uma carga q1 = 2µC localizada na origem e uma carga q2 = 6µC a 3 metros de distância de q1. Encontre: a) o potencial elétrico total devido a estas cargas no ponto P, x = 4 e y = 0 metros; b) a variação da energia potencial do sistema de duas cargas mais uma terceira carga q3 = 3µC que se move do infinito ao ponto P. y -

y -

- 6.00 µC

3.00m

- 6.00 µC

3.00m +

2.00 µC

4.00m

(a)

(b)

3.00 µC + x

Figura 18 – Configurações de carga do exemplo. Fonte: Adaptado de Sears e Jewett (2008).

Resposta: a) Como você estudou nesta aula, o potencial elétrico para um sistema de cargas em um dado ponto pode ser obtido pela soma do potencial elétrico de cada carga no ponto (equação 2.4). Assim, teremos:

b) A energia potencial de uma carga que se move do infinito (∆U∞ = 0) ao um ponto P pode ser determinada com ∆U = q0∆V. Assim, temos:

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

Então, como a energia potencial do sistema diminui, o trabalho realizado pelo agente externo para mover a carga q3 ao ponto P é positivo. Observe que calculamos a mudança na energia potencial do sistema com mudança na posição de q3. Ou seja, como q1 e q2 não sofrem nenhuma mudança no sistema, a energia potencial associada a elas não precisa ser considerada. Caso a três cargas fossem levadas do infinito ao ponto P, aí sim seria necessário somar a contribuição da energia potencial de cada uma delas na variação da energia do sistema. Agora que você já conhece os conceitos relacionados ao potencial elétrico, é hora de entender que é possível calcular o campo elétrico a partir do potencial.

4. CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL ELÉTRICO O campo elétrico e o potencial estão relacionados, como mostra a equação (2.2), que foi apresentada a você no início da aula. Você sabe como podemos calcular o campo elétrico a partir do potencial elétrico? Podemos encontrar a resposta pela relação (2.2), que está na forma integral e pode ser escrita na forma diferencial:

Se o potencial depender apenas de x, então

. Assim, a equação pode ser escrita como: (2.5)

Assim, a componente x do campo elétrico pode ser determinada pelo negativo da derivada do potencial em relação à coordenada x. O mesmo raciocínio se aplica quando o potencial depende de outras coordenadas, como y e z. O campo resultante é a soma das derivadas do potencial em cada uma das coordenadas. Se a distribuição de cargas criar um campo elétrico com simetria esférica, o potencial é função apenas da distância radial r. Assim, a expressão (2.5) se torna: (2.6) Então, se conhecemos a função potencial ou o campo elétrico em uma região do espaço, podemos utilizar um para calcular o outro. Por exemplo, o potencial V dentro de um condutor carregado é constante. A derivada de uma constante é zero, então –dV/dr = 0 logo o campo elétrico será nulo. Geralmente, o potencial é mais fácil de ser calculado, uma vez que é uma função escalar, enquanto o campo elétrico é uma função vetorial. Vamos a seguir descobrir como calcular o potencial elétrico para algumas situações.

FÍSICA E ELETRICIDADE

5. CÁLCULO DO POTENCIAL ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA No tópico 3, você viu como calcular o potencial elétrico para sistemas envolvendo poucas cargas. Agora você estudará como determinar o potencial elétrico com distribuições contínuas de cargas, como para um anel, um fio, um disco ou uma esfera uniformemente carregada. Adotando o elemento de carga dq, a expressão (2.3) pode ser reescrita como: , em que r é a distância entre o elemento de carga e o ponto P. Integrando essa expressão, obtemos o potencial V total, devido à distribuição de carga. Assim, temos: (2.7) Note que, a uma distância infinita (r = ∞) da distribuição de cargas, o potencial é zero (V = 0). Então, essa expressão não pode ser utilizada quando existe alguma carga no infinito, como quando há um segmento de reta infinito carregado ou um plano infinito carregado. Agora você verá o cálculo do potencial para alguns sistemas. Exemplo Potencial V no eixo de um anel uniformemente carregado Vamos encontrar uma expressão para o potencial elétrico no ponto P, perpendicular ao eixo central de um anel carregado uniformemente de raio a e carga total Q, como mostra a figura a seguir: dq a2+ x 2

P dE

Figura 19 – Anel de raio a carregado uniformemente com uma carga Q. Fonte: Sears e Jewett (2008).

Resolução: Note que todas as cargas estão à mesma distância ( ) do ponto P. Dado que o anel está carregado com uma distribuição contínua de cargas, podemos usar a expressão (2.7), como segue:

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

Perceba que k, a e x são todos constantes, o que restou apenas na integração de dq, que será a própria carga total Q do anel. E qual é o campo elétrico no ponto P? em P possui apenas a componente

Como você estudou na aula 1, por questões de simetria o campo x. Então, podemos usar a expressão (2.5):

Assim, obtivemos o campo elétrico a partir do potencial elétrico para um anel carregado. Exemplo Potencial elétrico para uma linha de cargas finita Uma haste de comprimento l localizada ao longo do eixo x possui uma carga total Q e uma densidade linear de carga λ. Encontre o potencial elétrico no ponto P localizado a uma distância a da origem sobre o eixo y, como mostra a figura a seguir. y P

x x

l Figura 20 – Linha comprimento l com densidade uniforme de carga λ. Fonte: Sears e Jewett (2008).

Resolução: Como a haste está carregada uniformemente com densidade de carga λ, podemos utilizar a expressão (2.7) na forma diferencial, escrevendo o elemento de carga dq como dq = λdx. Assim, o potencial devido à haste carregada em qualquer ponto pode ser determinado por:

Para encontrar o potencial no ponto P, é preciso integrar a expressão anterior. Como dq está distribuída em todo o comprimento l, a coordenada x varia de 0 até l. A expressão fica:

FÍSICA E ELETRICIDADE

Sabendo que k e λ são constantes, e que λ = Q/l, integramos a expressão e substituímos os limites de integração:

Observe que, para essa configuração, o cálculo do campo elétrico em P a partir do potencial não seria tão simples, devido à falta de simetria do sistema. Seria preciso determinar o potencial elétrico em função das coordenadas x e y para encontrar os componentes x e y do campo elétrico. Para que ocorram os raios nas tempestades, é preciso que se forme uma diferença de potencial entre as nuvens e a Terra, com intensidade suficiente para romper o que se chama de “ruptura dielétrica” do ar. Assim, o ar se torna condutor de eletricidade e a descarga pode ocorrer. Para entender um pouco mais do assunto, leia o breve artigo escrito pelo professor Marcelo Saba, do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, sobre o que são raios e como eles se formam. O texto está disponível em: <www.sbfisica.org.br/fne/Vol2/Num1/raios.pdf>.

6. SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS Existe uma região no espaço dentro de um campo elétrico cujo potencial elétrico é constante, ou seja:

Essa região do espaço é chamada de superfície equipotencial. As linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são perpendiculares entre si.

O fato de o potencial ser constante não significa que ele seja igual a zero naquela superfície equipotencial.

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

A figura a seguir mostra três configurações de superfícies equipotenciais em campos elétricos de diferentes formatos. Um campo elétrico uniforme produzido por uma folha infinita de carga

Um campo elétrico com simetria esférica produzida por uma carga pontual

Um campo elétrico produzido por um dipolo elétrico - uma carga positiva e outra negativa

Figura 21 – Superfícies equipotenciais (linhas pontilhadas azuis) para três configurações de cargas. Fonte: Adaptado de Sears e Jewett (2008).

Para as três situações, as superfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo elétrico em cada ponto.

7. CÁLCULO DO POTENCIAL ELÉTRICO PARA UM CONDUTOR CARREGADO Você viu que, se um condutor está carregado, as cargas elétricas se distribuem em sua superfície devido à repulsão elétrica. Você também estudou que o campo elétrico no interior do condutor será zero. Em qualquer ponto da superfície, o campo elétrico será perpendicular a ela. Então, para quaisquer dois pontos sobre a superfície do condutor, a ddp entre eles será zero. Observe a figura a seguir:

A E

Figura 22 – Condutor carregado em equilíbrio eletrostático. Fonte: Sears e Jewett (2008).

Se o campo é sempre perpendicular à superfície, então sob a superfície será:

. A ddp entre os pontos A e B

FÍSICA E ELETRICIDADE

Qualquer superfície de um condutor carregado em equilíbrio eletrostático é uma superfície equipotencial. É o caso, por exemplo, da superfície esférica do gerador de Van de Graaff, que você estudou na aula 1. Ainda que o campo elétrico seja nulo em seu interior, o potencial elétrico é constante em qualquer ponto dentro do condutor, sendo igual ao valor da superfície, como mostra o esquema a seguir. + a

+ +

+ R

KeQ r

KeQ R

KeQ r2

c R

Figura 23 – O potencial e o campo elétrico para um condutor carregado em equilíbrio estático. Fonte: Sears e Jewett (2008).

Como o potencial é constante dentro do condutor, nenhum trabalho é necessário para mover a carga do interior para a superfície. Note também que o potencial cai mais lentamente com a distância quando comparado com o campo elétrico para um ponto fora do condutor.

Para complementar seus estudos, assista ao vídeo da famosa série “O Universo Mecânico”, que fala sobre voltagem, energia e força. O vídeo apresenta algumas analogias e animações que podem melhorar seu entendimento sobre os assuntos estudados: <www.youtube.com/ watch?v=WdtTaojzapg>

AULA 2 – POTENCIAL ELÉTRICO

CONCLUSÃO Nesta aula, você estudou a energia associada a cargas elétricas imersas em campos elétricos, fazendo uma analogia com a energia associada a corpos com massa imersos em campos gravitacionais. Você viu que a energia potencial elétrica está relacionada com cargas, com o campo elétrico e com o deslocamento que as cargas realizam dentro do campo. Você também viu que, a partir da energia potencial elétrica e da diferença de energia potencial elétrica, é possível construir outros conceitos importantes: o potencial elétrico e a diferença de potencial elétrica (popularmente chamada de voltagem). Após conhecer o potencial e a diferença de potencial para algumas configurações de carga, você viu que o campo elétrico pode ser determinado através do potencial elétrico. Em alguns casos, isso torna os cálculos bem mais fáceis em comparação com o método coulombiano ou com a Lei de Gauss, vistos na aula 1. Em seguida, você conheceu o conceito de superfícies equipotenciais, ou seja, regiões no espaço em um campo elétrico em que o potencial elétrico é constante. Por fim, você verificou que, para um condutor elétrico carregado em equilíbrio eletrostático, a superfície do condutor é uma superfície equipotencial e que, apesar de o campo elétrico ser nulo em seu interior, o potencial elétrico é constante. O conceito de potencial elétrico tem grande valor prático no estudo de circuitos elétricos, como você estudará nas próximas aulas. Você verá, por exemplo, circuitos nos quais haverá uma fonte de energia (como uma pilha) provendo uma ddp ao sistema, gerando uma corrente elétrica. Isso explica o funcionamento de muitos aparelhos que você utiliza no seu dia a dia. Até lá!

AULA 3 Capacitores e Dielétricos

INTRODUÇÃO Você já levou um choque? É o que ocorre quando nos encostamos em objetos carregados eletricamente. Será que é possível controlar a quantidade de carga elétrica a ser armazenada? Como armazená-las melhor? Séculos atrás, os fenômenos elétricos ainda não eram abordados cientificamente, mas constantemente faziam parte de eventos da “nobreza”. Benjamin Franklin relatou em uma de suas cartas que utilizaria fenômenos elétricos para “apimentar” um jantar, eletrizando um peru ao assá-lo em um espeto elétrico, criando a centelha por uma descarga elétrica. Além disso, ele também ofereceria vinho em cálices eletrizados durante o brinde. Agora, imagine um garfo e um prato, feitos de uma liga metálica de estanho, cada um conectado a um polo elétrico de uma pilha (bem maior do que as pilhas atuais que você conhece). Assim, o garfo ficaria carregado com uma carga e o prato com a oposta. Quando o talher fosse encostado em um pedaço de comida, a aproximação das cargas em cada utensílio provocaria uma descarga elétrica, atravessando o alimento. Por fim, ao beber o vinho do cálice eletrizado, a pessoa levaria um choque, pois seria o meio por onde as cargas se deslocariam até o chão.

FÍSICA E ELETRICIDADE

Por que ocorreria a descarga somente ao aproximar os utensílios? A espessura do alimento afetaria o efeito? E se outros materiais estivessem envolvidos? A tensão da pilha influenciaria o processo de descarga elétrica na comida? Apesar da bizarrice desses eventos históricos, estudar para responder a essas perguntas é um caminho para entender capacitores. Vamos lá!

OBJETIVOS » » Compreender o uso de capacitores. » » Conceituar capacitância. » » Calcular a energia armazenada em circuito. » » Analisar a aplicação de capacitores em circuitos. » » Conceituar dielétricos. » » Estudar exercícios resolvidos.

1. CAPACITORES O primeiro capacitor ficou conhecido como Garrafa de Leiden (veja a figura a seguir), que consistia em uma garrafa de vidro (C) revestida externamente por uma lâmina metálica (B). Havia também uma haste metálica que atravessava a tampa, ficando com uma extremidade dentro e outra fora da garrafa. Ao encostar a extremidade externa da haste em alguma máquina eletrostática, ocorria um acúmulo de carga elétrica, que poderia ser descarregada posteriormente ao segurar simultaneamente na haste e no revestimento metálico. A garrafa era preenchida com água (A), mas será que isso era mesmo necessário? Preste bastante atenção nesta aula. Até o final, você será capaz de responder a essa pergunta.

Figura 24 – Garrafa de Leiden, composta de (A) água, (B) revestimento metálico, (C) jarro de vidro e uma haste metálica. Fonte: Shutterstock (2014).

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

Assista ao vídeo <www.youtube.com/watch?v=0H4riTHtUnI> e saiba como fazer uma Garrafa de Leiden caseira. Mas atenção! Cuidado para não levar um choque!

Dispositivos como esse, conhecidos como capacitores, têm a finalidade de armazenar cargas elétricas, de forma que possam ser utilizadas posteriormente. Para isso, eles agrupam cargas iguais em diferentes partes componentes do dispositivo, de forma que ainda se mantenha a ddp (ou tensão elétrica) do sistema (veja na figura a seguir a marcação dos polos). Afinal, sem tensão elétrica, não há como descarregar o capacitor, ou seja, não seria possível reutilizar a carga elétrica armazenada.

Figura 25 – Capacitores dourados em destaque num circuito elétrico. Note que os capacitores menores possuem um valor em destaque (22 e 47) cuja unidade é “µF”. Fonte: Shutterstock (2014).

Você verá a seguir como caracterizar os capacitores em função de sua capacidade em armazenar cargas.

1.1 CAPACITÂNCIA Como a função do capacitor é armazenar certa quantidade de carga elétrica, quanto mais carga elétrica armazenada por tensão elétrica aplicada, melhor. Assim, podemos caracterizar e diferenciar os capacitores com base na quantidade de carga elétrica que será armazenada quando submetidos a uma tensão elétrica. Isso é a capacitância. Chamando a capacitância de C, a carga elétrica de q e a ddp aplicada de ∆V, chegamos a esta definição matemática: (3.1) No SI, a unidade de capacitância é o farad (F), que equivale a Couloumb por volts (C∙V-1). Nos circuitos elétricos comuns, as capacitâncias na ordem de centenas de μFarad (1 µF = 1 x 10-6 F) são mais frequentes. Nos próximos tópicos, você estudará como aplicar essa definição em conjunto com Lei de Gauss - que você viu na aula 1 - para encontrar a capacitância em dois tipos de capacitores.

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Para calcular a capacitância de um capacitor qualquer, calcule o campo elétrico e a tensão elétrica entre os componentes carregados e identifique a distribuição das cargas.

1.2 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS Começaremos pelo modelo mais simplificado de capacitor, que consiste em duas placas paralelas iguais, mas carregadas com cargas opostas. Na figura a seguir, observe a área A das placas, a distância d de afastamento entre elas, a orientação do campo elétrico e as cargas –q e +q .

A +q

-q Figura 26 – Capacitor formado por duas placas carregadas eletricamente, separadas por uma distância d, gerando um campo elétrico uniforme em seu interior. Fonte: Mannrich (2014).

Aplicando a Lei de Gauss, podemos encontrar uma expressão do campo elétrico para um plano infinito uniformemente carregado, no qual a carga elétrica interna é dada por

Em um capacitor, como as placas estão muito próximas, o campo elétrico entre elas se comporta como em placas infinitas carregadas. Assim, levando em consideração os campos elétricos ( e ) gerados pelas placas, chegamos ao módulo do campo elétrico no interior das placas: (3.2)

O campo elétrico no interior desse capacitor é a soma dos módulos dos campos elétricos gerados individualmente pelas cargas das placas. Os campos se somam no interior e se anulam no exterior.

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

O campo elétrico no interior desse capacitor terá a mesma intensidade e será normal à superfície das placas, em quaisquer pontos, somente se assumirmos que as dimensões das placas são infinitamente maiores que a distância de separação entre elas, não esquecendo que são paralelas. Essa abstração é necessária pra aplicar as relações matemáticas presentes nesta aula e facilita o entendimento dos capacitores reais. Sabendo que a densidade de carga em uma das placas é σ = qint / A podemos reescrever a equação 3.2 para encontrar o módulo do campo elétrico produzido em função da carga e da área das placas: (3.3) Para encontrar a capacitância, devemos primeiramente encontrar a ddp (∆V.) Sendo: ∆V = E . d, aplicamos a equação 3.3 nessa relação e obtemos: (3.4) Por fim, basta aplicarmos a equação 3.4 à definição matemática de capacitância (equação 3.1): (3.5)

Perceba que, para encontrar a capacitância, basta conhecer os parâmetros geométricos desse capacitor: a área das placas e a distância entre elas.

Quanto maior a área, ou menor o afastamento, maior será a capacitância, já que mais cargas poderão estar armazenadas para determinada tensão elétrica.

1.3 CAPACITOR CILÍNDRICO Neste tópico, vamos calcular a capacitância de um capacitor cilíndrico, que se aproxima da Garrafa de Leiden. Podemos entender essa garrafa, de comprimento L, como uma casca cilíndrica de raio a e carga +q, encoberta por uma casca cilíndrica de raio b e carga –q, como mostra a próxima imagem. Note que há uma distância de separação entre ambos os cilindros (equivalente à subtração entre os raios b e a), que são coaxiais.

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-q

Figura 27 – Capacitor formado por uma casca cilíndrica de comprimento L. Fonte: Mannrich (2014).

Aplicando a Lei de Gauss, com uma superfície cilíndrica de raio r entre as cascas, deduzimos que o módulo do campo elétrico é:

Sendo λ a densidade de carga (

, reduzimos a equação para: (3.6)

A diferença de potencial interna será: h

(3.7) Assim, a equação 3.1 para o capacitor cilíndrico se torna:

(3.8) Assim como no caso das placas paralelas, a capacitância depende somente da geometria do dispositivo. Quanto mais próximo de zero for a razão b/a, maior será a capacitância.

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

1.4 CAPACITOR ESFÉRICO O capacitor esférico tem uma estrutura semelhante à do capacitor cilíndrico. A diferença é que ele é formado por cascas esféricas concêntricas. Avaliar essa configuração pode ser útil no entendimento de fenômenos atmosféricos, em situações em que a superfície terrestre e as camadas da atmosfera possam ser comparadas a esferas carregadas eletricamente. Isso ocorre, por exemplo, ao estudar as descargas elétricas na atmosfera e o surgimento e funcionamento da ionosfera.

a +q

-q

Figura 28 – Capacitor formado por cascas esféricas de raios a e b. Fonte: Mannrich (2014).

Em um capacitor esférico com uma esfera interna de raio a e carga +q e uma externa com raio b e carga –q, o campo elétrico será:

E=k

q (3.9) r2

E a diferença de potencial, por sua vez, é:

 b − a  (3.10) ∆V = kq    ab  Aplicando na equação 3.1, obtemos a capacitância:

(3.11) Como nos casos anteriores, são os parâmetros geométricos do capacitor esférico que podem alterar a sua capacitância. No entanto, aumentar somente o raio da esfera b fará com que a capacitância diminua. Como a subtração b – a é a distância entre as esferas carregadas, verificamos novamente que, quanto menor a distância, maior será a capacitância. 49

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Exemplo: a) Compare a capacitância de um capacitor esférico em relação a um cilíndrico, considerando que os raios internos e externos (a e b) são iguais para ambos e que a altura L do capacitor cilíndrico tenha o mesmo valor que b. Considere a = 20 cm e b = 20,1 cm. b) Depois, compare a capacitância da Terra, que vale 710 μF, com a desse capacitor esférico. Resolução: a) Primeiro, vamos comparar a capacitância dos capacitores esférico e cilíndrico de mesma dimensão. Para o capacitor cilíndrico:

Para o capacitor esférico:

Dividindo a capacitância do capacitor esférico pela do cilíndrico, para fazer a comparação, obtemos:

Simplificando os termos:

Isso significa que a capacitância do capacitor esférico é duas vezes maior que a do cilíndrico equivalente em dimensões. b) Comparando a capacitância do capacitor esférico com a da Terra:

Em suma, a capacitância terrestre é cerca de 160 mil vezes maior que a do capacitor esférico de 20 cm de raio.

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

1.5 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAPACITOR Como podemos descrever e calcular a energia elétrica armazenada em um capacitor? O armazenamento de energia elétrica, neste caso, ocorre da mesma forma que armazenar água ou pedras em algum recipiente? É possível retirar e inserir energia elétrica de um sistema com a mesma facilidade que água de uma garrafa? O que sabemos até o momento é que podemos armazenar certa quantidade de carga elétrica em capacitores, diante de uma diferença de potencial elétrico, e que as cargas geram um campo elétrico entre os componentes do dispositivo. Portanto, devemos buscar a partir desses parâmetros uma definição de energia elétrica em um capacitor. Se um capacitor está carregado com uma quantidade q de carga, a uma diferença de potencial ∆V, quanto de trabalho um gerador elétrico deve realizar para carregar o capacitor com uma quantidade dq? Lembre-se de que ∆V pode ser escrito como q/C, em que q é a carga submetida a ∆V. Podemos escrever o trabalho, que você viu na aula 2, como:

No caso de carregar completamente um capacitor, o trabalho será:

q2 (3.12) W= 2C Esse trabalho será transformado em energia potencial elétrica (W = Uel). Portanto, a energia armazenada no capacitor, em função da capacitância e carga elétrica, é:

U el =

q2 (3.13) 2C

Utilizando a equação 3.1, podemos reescrever a energia potencial elétrica como:

U el = ou

1 q∆V (3.14) 2

1 U el = C ⋅ ∆V 2 (3.15) 2

Qualquer um dos capacitores apresentados nesta aula terá sua energia elétrica definida pelas equações anteriores. Então, partindo da diferença de potencial, podemos relacionar a energia potencial em função do campo elétrico no capacitor. Vamos demonstrar como aplicar essa ideia ao capacitor de placas paralelas. O resultado, no entanto, também se aplica aos demais. Aplicando a equação 3.5 e ∆V = E∙d na equação 3.15, obtemos:

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(3.16) Considerando que o produto entre a área A e a distância d entre as placas é o volume em que o campo elétrico está distribuído, chegamos à relação de densidade de energia (u):

(3.17)

2. DIELÉTRICOS Nos cálculos anteriores, utilizamos a constante ε0, que você viu na aula 1, para determinar a capacitância. Ela representa a permissividade no vácuo. Também concluímos o quanto a geometria é determinante na capacitância. E se a permissividade ε for alterada? O que acontece se montarmos um capacitor com placas separadas por ar, água ou vidro, por exemplo? Ar e vácuo possuem uma permissividade muito próxima e, consequentemente, a alteração de um pelo outro afetaria pouco a capacitância. Contudo, a permissividade da água pode ser 80 vezes maior que a do vácuo, e a do vidro seria até 10 vezes maior. Esses materiais que preenchem os capacitores são chamados de dielétricos, e o fator relativo ao vácuo se chama constante dielétrica (κ - letra grega Kappa). Em outras palavras, existe um fator relativo entre a permissividade dos materiais e do vácuo, que multiplica a capacitância do capacitor. Matematicamente, representamos por:

(3.18) Esse aumento na capacitância surge pela reorientação dos dipolos elétricos (moleculares, em sua maioria) que compõem o material. Sem agentes externos, os dipolos elétricos estão aleatoriamente orientados, de modo que o campo elétrico gerado por eles é nulo. Quando se aplica um campo elétrico externo sobre o material dielétrico, os dipolos se alinham às linhas do campo. Entretanto, os polos positivos dos dipolos estarão apontados para a componente negativa do capacitor, ou seja, os dipolos gerarão um campo elétrico contrário ao do capacitor. No interior do dielétrico, os campos elétricos dos dipolos vizinhos se anulam, mas, nas superfícies próximas às placas do capacitor, não há nenhum dipolo anulando o outro. Surgirá um campo elétrico oposto, atraindo as cargas do capacitor, e, assim, o preenchimento com o dielétrico permite manter a mesma quantidade de carga elétrica com uma diferença de potencial menor. Resumindo, a polarização oposta ao capacitor na superfície do dielétrico produz uma redução na diferença de potencial e, consequentemente, um aumento na capacitância do dispositivo. Estudando as equações expostas até aqui, você pode pensar que, quanto maior a tensão elétrica, mais energia elétrica o capacitor armazenará, certo? Isso seria excelente, se não fosse a natureza e suas limitações.

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

Os capacitores da figura a seguir mostram a inscrição 16V e 22 µF. Essa diferença de potencial é a máxima que ele suporta. Isso ocorre porque aumentar a tensão acumulará mais carga, mas o campo elétrico pode ser tão intenso que as cargas se deslocariam diretamente entre as placas, rompendo o dielétrico.

Figura 29 – Capacitores em um circuito. Fonte: Shutterstock (2014).

Agora que você conhece os capacitores e os dielétricos, pense novamente no jantar “elétrico” proposto por Benjamin Franklin. Consegue responder às questões colocadas na introdução? Se você pensar no prato e no talher como placas opostas de um capacitor, o alimento seria o dielétrico. De modo análogo, no caso do cálice de vinho, a pele do lábio da pessoa e a taça são as placas do capacitor e o ar é o dielétrico. Em ambos os casos, a descarga ocorreria com a aproximação das cargas. Assim, o campo elétrico aumentaria a ponto de as cargas serem ejetadas entre as “placas” e atravessarem o dielétrico. A mudança no tipo de utensílio poderia afetar a capacitância e o alimento afetaria a constante dielétrica. Que tal tentar aplicar o mesmo raciocínio para responder se a Garrafa de Leiden realmente precisa ser preenchida com água?

3. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES Olhando algumas imagens desta aula, você deve ter percebido que os capacitores não ficam isolados em um circuito. Normalmente, eles estão acompanhados de outros. Você consegue imaginar como eles estão interligados? Como isso pode ajudar no armazenamento de energia elétrica? Em um circuito, como será abordado a seguir, tanto a fonte elétrica quanto os capacitores serão representados simbolicamente em esquemas. Verifique na figura a seguir que o símbolo representativo do capacitor (A) se assemelha ao de uma bateria ou fonte (B). No entanto, o símbolo de (B) são duas barras de tamanhos diferentes, enquanto o de (A) são duas barras iguais.

Figura 30 – Símbolos representativos para (A) capacitor e (B) fonte. Fonte: Mannrich (2014).

Estudaremos nesta seção quais são as maneiras de associar capacitores em um circuito, assim como as consequências disso no armazenamento de cargas e energia elétrica.

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Preste atenção na distribuição de carga nos capacitores e na diferença de potencial entre os terminais e encontre o que será somado ou constante no circuito.

3.1 ASSOCIAÇÃO EM PARALELO A associação em paralelo ocorre quando os capacitores estão submetidos à mesma diferença de potencial. No esquema da figura adiante, os terminais das placas dos capacitores C1 e C2 estão conectados diretamente aos terminais da fonte. As placas superiores estão carregadas positivamente, enquanto as inferiores, negativamente. Concluímos que a diferença de potencial em cada capacitor é a mesma, mas a distribuição de cargas dependerá da capacitância de cada um. Note que: » » C1 e C2 estão submetidos à mesma ∆V; » » a carga total armazenada no circuito é a soma da carga dos capacitores.

∆V

q1 q1

q2 q2

Figura 31 – Esquema de associação em paralelo dos capacitores C1 e C2, que armazenam, respectivamente, as cargas q1 e q2. Fonte: Mannrich (2014).

Assim, estabelecemos as seguintes relações matemáticas para o circuito:

qT = q1 + q2 (3.19) ∆V = ∆V1 = ∆V2 (3.20) Aplicando a equação 3.1 na 3.19 e substituindo as variáveis com base na equação 3.20, obtemos:

qT = (C1 + C2 )∆V (3.21) Podemos afirmar, portanto, que há uma capacitância equivalente quando se associam os capacitores. No nosso exemplo, é:

Ceq = C1 + C2 (3.22) 54

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

Na sua forma geral, para n capacitores em paralelo, a relação pode ser expressa como:

ou na forma reduzida: (3.23)

A capacitância equivalente de uma associação de capacitores em paralelo equivale à soma das capacitâncias de cada um.

3.2 ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE Na associação em série, os terminais dos capacitores estão conectados entre si e os extremos, à fonte elétrica, como mostra a próxima imagem. Quando submetidos à diferença de potencial elétrica da fonte, as placas diretamente conectadas aos polos serão carregadas na mesma quantidade, mas com cargas opostas. Essa diferença de potencial aplicada está dividida entre os capacitores, que demandarão mais ou menos tensão para armazenar a mesma quantidade de carga. Note que: » » as cargas são idênticas nos capacitores em série; » » a diferença de potencial será diferente para cada capacitor. Juntas, as diferenças de potencial de cada capacitor equivalem à da fonte.

C1 q

C2 q

∆V

Figura 32 – Esquema de associação em série dos capacitores C1 e C2, que armazenam uma carga q. Fonte: Mannrich (2014).

Sabendo das relações 3.19 e 3.20 e aplicando novamente a equação 3.1 e, em seguida, a 3.23, obtemos:

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1 1 1 (3.24) = + Ceq C1 C2 Na sua forma geral, para n capacitores em série, a fórmula pode ser expressa como:

ou na forma reduzida: (3.25)

O inverso da capacitância equivalente de uma associação de capacitores em série equivale à soma dos inversos das capacitâncias de cada um.

Exemplo: Um eletricista realizou testes com a mesma ddp (14V) para montar um circuito com 3 capacitores diferentes (C1 = 5 μF; C2 = 10 μF; C3 = 20 μF). Primeiro, ele montou um circuito em série. Depois, os mesmos capacitores foram arranjados em paralelo. Calcule para cada tipo de circuito: a capacitância equivalente, a quantidade de carga armazenada no capacitor C3 e a ddp à qual o capacitor C2 estará submetido. Resolução: a) Circuito em série Cálculo da capacitância equivalente:

1 4 + 2 +1 = ⇒ Ceq 20 ×10−6

= 2, 86

Para calcular a carga no circuito em série, lembre-se de que o valor é o mesmo para qualquer capacitor componente do circuito. Portanto, basta encontrar a carga total com base na capacitância calculada anteriormente e na ddp de 14V:

AULA 3 – CAPACITORES E DIELÉTRICOS

Para descobrir a tensão a que opera o capacitor C2, utilize o valor da carga anterior e da sua capacitância:

b) Circuito em paralelo Cálculo da capacitância equivalente:

Como a ddp é a mesma para todos os capacitores, C2 estará submetido diretamente aos 14 V. Essa informação facilita o cálculo da carga para C3:

Com este exemplo, finalizamos a terceira aula. Nas próximas aulas, você estudará situações em que as cargas elétricas estão em movimento, a partir dos conceitos de corrente e resistência elétrica. Em seguida, você verá alguns circuitos simples, que utilizam fontes de ddp, capacitores e resistores. Até lá!

CONCLUSÃO Nesta aula, caracterizamos o capacitor como um dispositivo capaz de armazenar energia elétrica devido ao campo elétrico que ele mantém ativo. Você estudou alguns capacitores, como de placas paralelas, cilíndricos e esféricos. Você também viu que a capacitância depende das características geométricas do capacitor e também do material que separa as superfícies condutoras. Você também aprendeu como a energia potencial elétrica é armazenada em um capacitor e como determinar o seu valor. Ao destacarmos a energia elétrica em função do campo elétrico gerado pelo capacitor, apresentamos a você o conceito de densidade de energia. Você viu o conceito de dielétricos, que são os materiais que preenchem os capacitores, isolando as placas, e que aumentam a capacitância do capacitor devido à polarização em sua superfície. Lembrese de que a capacitância, nesse caso, aumenta por um fator κ (constante dielétrica) em relação à capacitância no vácuo. Você também verificou que há duas formas de associar os capacitores: em série e em paralelo. Agora, você está pronto para estudar os circuitos elétricos, que utilizam dispositivos como os capacitores e os resistores. Até a próxima aula!

AULA 4 Corrente Elétrica e Resistência Elétrica

INTRODUÇÃO Até agora, você estudou conceitos importantes, como carga elétrica, campo elétrico, energia potencial elétrica, potencial elétrico e diferença de potencial elétrico. Viu que uma carga elétrica dentro de um campo elétrico sofrerá uma força F = qE e que a diferença de potencial, ou ddp, está associada a quanta energia uma fonte - por exemplo, uma pilha - pode prover para cada carga do sistema. Na maior parte do tempo, nossa discussão se deu em torno de situações em que as cargas permanecem em repouso, ou seja, fenômenos eletrostáticos. Com base nesses conceitos, você estudou que a ddp entre as nuvens e a Terra é responsável por gerar descargas elétricas durante as tempestades. Tal descarga gera uma corrente elétrica, e sua energia se transforma em som (trovão), luz (raio) e calor, o que assusta muita gente, com razão. Mas o que é corrente elétrica? É possível aproveitar essa energia para ligar circuitos elétricos? Como isso pode, de fato, prover energia para equipamentos eletrônicos? A partir de agora, você estudará detalhadamente sistemas em que as cargas elétricas estão em movimento. Você verá que é graças a este movimento que os dispositivos eletrônicos recebem energia para funcionar. Vamos lá!

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OBJETIVOS » » Dominar os conceitos de corrente elétrica, resistência, Lei de Ohm e força eletromotriz (fem). » » Entender a relação entre energia elétrica e potência (Efeito Joule). » » Estudar exercícios resolvidos.

1. CORRENTE ELÉTRICA Em um circuito fechado, como o da figura a seguir, o movimento ordenado de cargas elétricas gera uma transferência de energia elétrica, que pode ser armazenada, por exemplo, em uma bateria de celular, ou convertida em outras formas de energia, como a sonora, térmica, mecânica, luminosa etc. A esse movimento ordenado de elétrons chamamos de corrente elétrica. A corrente pode ser de dois tipos: alternada ou contínua. A primeira varia seu sentido com o tempo, enquanto a segunda tem seu sentido constante ao longo do tempo. Nesta aula, iremos considerar os efeitos e fenômenos de correntes continuas, embora, em alguns casos, possam ser estendidos com facilidade para a corrente alternada.

sentido convencional

sentido real

Figura 33 – Circuito fechado. Fonte: Sears et al. (2008, p. 137).

Você estudou, na aula 1, que os materiais possuem caraterísticas distintas e são classificados como condutores ou isolantes (dielétricos). Em geral, os metais são bons condutores de eletricidade. Ao se estabelecer uma ddp entre dois pontos no condutor, surgirá um campo elétrico , estacionário e constante, em seu interior. Dessa forma, os elétrons são submetidos a uma força, , fazendo com que migrem no sentido oposto ao campo aplicado, como mostra a figura a seguir. Trajetória do elétron sem o campo E. O movimento do elétron é caótico.

Material condutor sem o campo E interno

P1 P2

Va ∆t

P2‘

Trajetória do elétron com o campo E. O movimento é em grande parte caótico, porém...

... o campo E resulta em um deslocamento ao longo do fio.

Material condutor com o campo E interno E

F = qE

Um elétron possui carga negativa q, portanto a força que atua sobre ele em função do campo E está no sentido contrário ao de E.

Figura 34 – Corrente elétrica em um condutor quando aplicado um campo elétrico. Fonte: Sears et al. (2008, p. 136).

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

Foi convencionado que o sentido da corrente elétrica, chamado de corrente convencional, se dá no sentido do movimento de cargas positivas, e é indicado pela letra I. Já o sentido real é aquele em que os elétrons se deslocam. +

+ + +

Va Va Va +

+ +

Va Va

Figura 35 – (a) Sentido da corrente convencional e (b) da corrente real. Fonte: Adaptado de Sears et al. (2008, p. 137).

Define-se matematicamente a corrente elétrica como a quantidade de carga ∆Q que atravessa a seção transversal de um fio com área A em determinado tempo: (4.1) Se a corrente for constante em um intervalo de tempo ∆t, a carga que passa por essa seção entre os tempos t + ∆t pode ser obtida pela integral da carga no intervalo de tempo: (4.2) Considere uma corrente convencional atravessando um condutor. Como todas as partículas estão submetidas à mesma força , todas possuem a mesma velocidade. Imagine, então, uma seção transversal reta em um fio cilíndrico, atravessada por certa quantidade n de carga em determinado tempo, como você pode verificar na imagem a seguir. + + +

dQ Corrente I = _ dt Figura 36 – Quantidade de carga dQ atravessando a área A. Fonte: Sears et al. (2009, p. 137).

No Sistema Internacional (SI), a unidade de corrente é o Coulomb por segundo (C/s), que é denominada de Ampère (A).

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Acabamos de analisar a corrente elétrica atravessando um fio condutor com seção transversal constante, ou seja, com diâmetro que não varia ao longo de seu comprimento. Se fizermos a conexão entre dois fios de espessuras diferentes, como isso afeta a corrente elétrica? Digamos que um fio com diâmetro de 4 mm está conectado a uma lâmpada cujo filamento possui diâmetro de 0,5 mm. Como as cargas se conservam, o mesmo número de cargas deve atravessar ambos os fios (o de 4 mm e o de 0,5 mm). Como as áreas A das seções transversais são diferentes, podemos concluir que, no fio menor, há menos espaço entre essas cargas. Essa distribuição das cargas em movimento ordenado é definida como densidade de corrente J, dada por: (4.3) Sua unidade é Ampère/metro quadrado (A/m2). A corrente pode ser escrita como: I=J.A Como nem sempre J é perpendicular à área A, podemos definir a corrente que passa através de uma sessão transversal de área A integrando sua correspondente microscópica, que é o vetor . Então: , em que é o vetor unitário normal à superfície A e dA é a componente infinitesimal da área A, como esquematizado na figura a seguir.

J θ n̂. dA Figura 37 – Densidade de corrente formando um ângulo θ com o vetor normal à área. Fonte: Mannrich (2014).

Também podemos expressar uma corrente com base na velocidade das cargas que se movem. Considere um circuito fechado em que não exista um campo elétrico aplicado. O movimento das cargas é da ordem de 106 m/s, e é aleatório, de modo que o fluxo de cargas que atravessam uma seção reta transversal de área A é sempre 0, como mostra a figura adiante. Quando aplicado o campo elétrico, aparecerá uma resultante de velocidade vd no sentido do campo, pois as partículas estão sujeitas a uma mesma força. Essa velocidade é denominada velocidade de deriva.

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

(a)

(b)

Figura 38 – (a) Resultante da velocidade é zero. (b) Resultante da velocidade é Vd. Fonte: Sears e Jewett (2008, p. 810).

Imagine agora determinado elemento de volume ∆V com uma concentração n de partículas, atravessando uma seção reta transversal de área A, como apresentado na figura a seguir.

Vd A q

Figura 39 – Segmento de um condutor uniforme com seção transversal de área A. Fonte: Sears e Jewett (2008, p. 810).

Em um intervalo de tempo ∆t, as partículas se deslocam certa distância ∆x, que pode ser determinada multiplicando a velocidade de deriva pelo tempo (∆x = vd.∆t). Então, o volume V deslocado é a área A multiplicada por essa distância ∆x, (V = A.vd.∆t) e o número de partículas no seu interior é (n.A.vd.∆t). Se cada partícula possuir uma carga q, a carga Q total que passa por essa seção em um intervalo (∆t) é dada por: ∆Q = q(n . A . vd . ∆t) Dividindo os dois lados por ∆t, fica:

Como

, então: I = q . n . A . vd

Portanto, a equação anterior é a corrente elétrica em função da carga q, da concentração de partículas n, da área A e da velocidade de deriva vd. Vamos escrever a densidade de corrente em função de velocidade de deriva vd usando a equação 4.3:

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(4.4) Como adotamos o sentido convencional para a corrente elétrica, podemos reescrever a densidade de corrente J e a corrente I com o valor absoluto da carga |q|, assim: (4.5)

(4.6) Dessa forma, definimos um vetor densidade de corrente que inclui o sentido da velocidade de deriva. Exemplo 1 Um fio possui raio de 2,04 mm. Está conectado a uma lâmpada de 100 W e conduz uma corrente de 1,67 A. A densidade dos elétrons livres é de 8,5 x 1028 elétrons/metro3. Calcule: a) o módulo da densidade de corrente; b) o modulo da velocidade de deriva. Resolução a) conhecemos a corrente e as dimensões do fio. Primeiro temos de determinar a área da sessão transversal dada por A = πr2: A = 3,14 (2,04 x 10-3 m)2 A = 1,31 x 10-5 m2. Como já temos a corrente, que é 1,67 A, podemos encontrar a densidade de corrente com a equação 4.3:

b) Vamos determinar a velocidade de deriva utilizando a equação 4.6. A carga do elétron é e = 1,6x10-19C Então:

Observe que a velocidade de deriva do elétron é muito baixa. Reflita: com essa velocidade, quanto tempo o elétron levaria para percorrer um fio com 2 m de comprimento? Então, como explicar o fato de que, quando acionamos um interruptor elétrico, a luz acende quase instantaneamente? No próximo tópico, você conhecerá o Efeito Joule, gerado pela corrente elétrica.

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

2. LEI DE OHM E RESISTÊNCIA ELÉTRICA O físico alemão Georg Simon Ohm (1787-1854), ao estudar o comportamento de um material condutor quando atravessado por uma corrente, observou que, para alguns materiais a determinada temperatura, é quase diretamente proporcional a ( ∞ ). Ou seja, se aumenta, também amenta de forma proporcional. Dessa forma, a razão entre seus módulos ( / ) permanece constante. Essa relação é chamada de Lei de Ohm. Matematicamente, define-se resistividade elétrica de determinado material como: (4.7) A resistividade elétrica (ρ) pode ser entendida como a dificuldade que as cargas têm de percorrer determinado material. Na situação apresentada, e são proporcionais, e a equação (4.7) é uma interpretação microscópica da Lei de Ohm. As características intrínsecas dos materiais, como a forma da estrutura atômica, influenciam a passagem de corrente. A determinada temperatura, cada material tem resistividade diferente, tais como alumínio (ρ = 2,75 x 10–8Ω.m), cobre (ρ = 1,72 x 10–8Ω.m), madeira (ρ varia de 108 a 1011Ω.m). Vamos obter a relação macroscópica da Lei de Ohm a partir a equação (4.7). Considere uma diferença de potencial entre dois pontos de um fio (∆Va,b), quando aplicado um campo elétrico constante. Potencial menor

A corrente flui do potencial maior para o potencial menor Potencial maior

L E

J A

V = diferença de potencial entre as extremidades

Figura 40 – Condutor com seção reta uniforme. A densidade de corrente é uniforme em qualquer seção reta e o campo elétrico é constante ao longo do comprimento. Fonte: Sears et al. (2008, p. 141).

A corrente nesse condutor é I = J . A e a diferença de potencial é V = E . L . Utilizando essas relações e a expressão (4.7), é possível mostrar que:

A razão entre V e I denomina-se resistência elétrica R, dada por: (4.8),

FÍSICA E ELETRICIDADE

que representa a resistência à passagem de corrente elétrica em função de grandezas macroscópicas do fio, como: resistividade (ρ),comprimento L e área de sua seção transversal A. A unidade de resistência no SI é o Ohm (Ω), que é equivalente a um Volt por Ampère (1 Ω = V/A). Quanto maior for o comprimento do fio, maior será a resistência. E quanto maior for a sua área de seção transversal, menor será a resistência. Essa equação engloba resistores ôhmicos ou não ôhmicos, pois, ρ também pode variar se a temperatura do resistor mudar, como veremos mais adiante. Para utilizar a Lei de Ohm, porém, obrigatoriamente ρ deve ser constante. Em instalações elétricas, normalmente usamos fios mais grossos - com área de seção transversal maior quando uma corrente maior percorre o fio. Um exemplo é o cabo que liga uma residência à rede elétrica na rua. Fios assim oferecem menor resistência, logo, têm menor perda de energia, algo fundamental já que, nesse cabo, passará toda a corrente elétrica que os aparelhos da casa consomem. A resistência elétrica possui varias aplicações. Você sabe por que o seu chuveiro elétrico libera água quente? É porque ele possui um fio que gera grande resistência à passagem de corrente elétrica, aquecendo o material e, consequentemente, a água que passa por ele. As lâmpadas incandescentes também precisam de resistência para funcionar. Elas têm um filamento de tungstênio que, quando aquecido pela passagem de corrente elétrica, brilha, gerando a luz. Outro exemplo são os circuitos elétricos, em que existem dispositivos chamados de resistores, utilizados principalmente para controlar a corrente. De maneira simplificada, podemos pensar que, quando cargas fluem no interior do material, elas se chocam com íons que compõem o material. Esses choques acabam fazendo com que os elétrons percam energia para os íons, fazendo-os vibrarem mais, aumentando a temperatura do material e a probabilidade das colisões. Para determinados intervalos de temperatura, alguns resistores podem se comportar segundo a Lei de Ohm. Quando esse efeito afeta a resistividade ρ do material, e, consequentemente, aumenta sua resistência R, dizemos que o resistor é não ôhmico. A relação que descreve esse efeito é: ρ = ρ0 (1 + α (T - T0)), em que ρ0 é a resistividade do material à temperatura T0, T é a temperatura com a qual se deseja determinar a resistividade, e α é a constante de resistividade de temperatura, que determina a intensidade da alteração da resistividade do material com a variação da temperatura. Por exemplo, para o alumínio, α = 0,0039ºC–1 e, para o cobre, α = 0,00393ºC–1. As cargas fluindo no mesmo sentido de estão indo de uma região de maior potencial para uma de menor potencial. A Lei de Ohm está relacionada ao comportamento de ρ. Quando ρ for constante, a corrente elétrica I será proporcional à diferença de potencial V, e podemos escrever: V = R. I (4.9) A unidade de medida no SI é o Volt (V).

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

A lei de Ohm relaciona uma proporcionalidade direta entre a diferença de potencial V e a corrente I que percorre no fio, quando ρ for constante.

Para um resistor que obedece à Lei de Ohm, o gráfico da diferença de potencial V em função da corrente I é uma linha reta, e a inclinação é 1/R, como mostra a figura a seguir. I I 1 Inclinação = — R 0

No sentido da corrente e da voltagem positiva, I aumenta de forma não-linear a V V

No sentido da corrente e da voltagem negativa, é pequeno o fluxo de corrente

Figura 41 – (a) Gráfico para um resistor que obedece à Lei de Ohm. (b) Gráfico para um resistor que não obedece à Lei de Ohm. Fonte: Sears et al. (2008, p. 144).

Exemplo 2 Um fio de cobre possui um diâmetro de 2 mm e conduz uma corrente de I = 3,5 A. Calcule: a) o módulo do campo elétrico no fio; b) a diferença de potencial entre dois pontos do fio separados por uma distancia igual a 50 m; c) a resistência de um segmento Considere ρc = 1,72 x 10–8(Ω.m).

fio

comprimento

igual

Resolução: a) A densidade de corrente é dada por Substituindo J em E, temos

e o módulo do campo elétrico é dado por

. A área da seção é A = 3,14.10-6 m2.

Substituindo os valores:

FÍSICA E ELETRICIDADE

b) a diferença de potencial é dada pela equação V = E . L. V = (1,91 x 10–2)(50,0) = 9,58V c) a resistência é dada pela equação:

Exemplo 3 Cabos coaxiais, formados por dois condutores cilíndricos concêntricos, são muito utilizados em TVs a cabo e diversas aplicações eletrônicas. A região entre os condutores é completamente preenchida com polietileno, como mostra a figura a seguir. A corrente escoa radialmente pelo material. Note que o cabo é feito para a corrente se deslocar na direção de seu comprimento, mas não é o caso deste exemplo. O raio no interior do condutor é α = 0,500cm, o raio exterior é de b = 1,75cm e o comprimento do condutor é b = 15cm. Considere a resistividade do polietileno como 1,0 x 1013Ω.m. Determine a resistência do polietileno entre os dois condutores.

dr Polietileno r a b

Condutor interno

Condutor externo

(a)

Figura 42 – Cabo coaxial. Fonte: Sears e Jewett (2008, p. 815).

(b)

Resolução Como a resistência R não varia de forma constante com a área da seção reta A, não podemos usar a equação (4.8) diretamente. Precisamos dividir o polietileno em cascas cilíndricas coaxiais de raio r e espessura dr. Assim, a área A para cada elemento de casca será 2πrL. Desse modo, um elemento de resistência dR será: . Para determinar a resistência, integramos a expressão anterior, entre os raios a e b:

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

Substituindo os valores, teremos:

Compare este resultado para a resistência ao longo de um cabo de cobre (ρ = 1,7 x 10–8Ω.m) com 15 cm de comprimento utilizando a expressão (4.8). A resistência é maior ou menor? Em que proporção? Os resistores individuais usados em circuitos eletrônicos geralmente são cilíndricos com dimensões de alguns milímetros de diâmetro e de comprimento. O valor da resistência pode ser marcado sobre o resistor usando um código de cores mediante uma convenção. As duas primeiras faixas indicam dígitos, e a terceira faixa mostra o fator de multiplicação em potência de 10. Uma quarta faixa, quando existe, indica a precisão do valor. Para a faixa prateada, a precisão é ± 10%, para a faixa dourada, a precisão é ± 5%. Quando não aparece, é ± 20%. 4 - Código da faixa de cor

25kΩ ±5%

5 - Código da faixa de cor

460kΩ ±1%

6 - Código da faixa de cor

276Ω ±5%

1º Dígito

2º Dígito

3º Dígito

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Multiplicador 0.01 Silver 1.1 Gold

1 10 100 1k 10k 100k 1M 10M

Tolerância

±10% Silver ±15% Gold Coeficiente de Temperatura

±1% ±2% ±0.5% ±0.25% ±0.1%

100ppm 50ppm 15ppm 25ppm

(a)

(b) Figura 43 – (a) Código de cores utilizado em resistores. (b) Observe o detalhe das cores nos resistores em um circuito. Fonte: <http://www.michaels-electronics-lessons.com/resistor-color-code.html> e Shutterstock (2014).

FÍSICA E ELETRICIDADE

A seguir, você estudará uma característica importante dos dispositivos que fornecem energia aos circuitos: a força eletromotriz.

3. FORÇA ELETROMOTRIZ (FEM) Um dispositivo que atua em um circuito fechado fornecendo energia potencial é chamado de fonte eletromotriz. Observe o circuito fechado elementar a seguir.

Lembre-se de que as cargas em um circuito sempre fluem de um potencial mais alto para um potencial mais baixo.

Maior potencial

a i

Vb Menor potencial

Va - Vb = Vab Figura 44 – Circuito com uma fonte fem e um resistor R. Fonte: Mannrich (2014).

O símbolo

+ -

representa a fonte de fem, e o símbolo

representa a resistência.

Esse circuito é chamado de elementar porque é o mais simples que podemos construir. Indicamos épsilon ε como a diferença de potencial da bateria, então: ε = Va – Vb = Vab, que é a diferença de potencial entre o maior potencial e o menor potencial para uma fonte de fem ideal. Entre os pontos indicando a e b, destacados na figura, há um resistor que dissipa energia fornecida a ele pela fonte. Lembrando a Lei de Ohm, que determina que<<Eqn_a4_059.eps>>, e percorrendo o circuito do maior potencial para o menor potencial, chegamos à equação: ε – RI = 0 Ela nos diz que a energia provida pela fonte de fem será igual à energia consumida pelo resistor. Porém, a fonte de fem real em um circuito não se comporta exatamente assim. A diferença de potencial entre os terminais não é igual à fem. Isso nos indica que a própria fonte de fem possui uma resistência interna r, como esquematizado a seguir: 70

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

r + V

i R

Figura 45 – (a) Detalhe da resistência r interna da fonte de fem. Fonte: Mannrich (2014).

Repare que, associada à bateria, existe uma pequena resistência r. Isso significa que a própria bateria consome parte da energia que fornece. Vamos analisar o circuito simples apresentado. A energia envolvida no sistema pode ser determinada por: ε – rI – RI = 0 (4.11) e a corrente será: (4.12) Ou seja, nesse caso, a energia provida pela fonte de fem será igual à energia consumida por sua resistência interna r e pela resistência R ligada ao circuito, por exemplo, uma lâmpada incandescente.

É muito comum pensar que as cargas são consumidas pelos aparelhos elétricos e desaparecem. Na verdade, o que acontece é que, ao percorrer o circuito, as cargas perdem energia cinética. A função de um agente eletromotriz é exercer um trabalho sobre a carga provendo energia cinética para ela.

Exemplo 4 – Adaptado de Sears et al. (2008). O circuito elétrico do esquema a seguir, composto por uma bateria de 24 V, tem uma tensão de 21,2 V em seus terminais quando percorrido por uma corrente. Calcule: a) a resistência interna r da bateria; b) a resistência R do resistor do circuito. r 24,0 V + 4,0 A R

4,0 A

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Resolução a) Quando medimos a tensão diretamente em uma bateira, medimos a tensão entre os terminais dela. Porém, quando uma corrente percorre o circuito, parte dessa tensão é dissipada pela própria bateria. Então, como a bateria tem 24V entre seus terminais, quando percorrida por uma corrente de 21,2V, concluímos que a queda de tensão é de: 24 V– 21,2 V= 2,8 V A corrente é de I = 4,0 A. Usando a Lei de Ohm, temos:

b) Quando a corrente está percorrendo o circuito, sua tensão é de 21,2V. Novamente, vamos utilizar a lei de Ohm. h Você verá agora como determinar a energia consumida por cada um desses dispositivos.

4. ENERGIA ELÉTRICA E POTÊNCIA Quando conectamos um carregador na tomada para recarregar uma bateria, parte da energia elétrica é transformada em energia potencial química, para posteriormente ser usada. Isso é necessário porque quando a bateria alimenta um sistema, sua reserva de energia vai diminuindo até 0. É muito importante perceber a relação que existe entre potência elétrica e energia elétrica, pois isso influenciará no tempo de funcionamento do dispositivo que está dissipando a energia da fonte. Considere o circuito a seguir. Maior potencial

a i

Vb Menor potencial

Va - Vb = Vab Figura 46 – Circuito com uma fonte fem e um resistor R. Fonte: Mannrich (2014).

A potência elétrica é uma taxa com a qual um resistor consome energia durante certo tempo. Por exemplo: se se um resistor consumir 1.000 joules em um minuto, será duas vezes mais potente que outro que consumir 1.000 joules em 2 minutos. A potência dissipada por um resistor é dada pela expressão: P = VI 72

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

A unidade de potência no SI é o Watt (W) = (J/C) x (C/s) = 1 W. A bateria fornecerá energia para as cargas elétricas. Essa energia é dissipada pelo resistor. Em seguida, a fonte de fem renovará a energia das cargas. Se multiplicarmos a corrente I pela equação (4.11), obteremos a potência fornecida (εI) e consumida (rI2 + RI2) pelo sistema: εi – rI2 – RI2 = 0 Não existe um sistema perfeito que não dissipe energia. Esse fenômeno é chamado de Efeito Joule. Você pode sentir este fenômeno ligando as extremidades de um fio condutor fino nas extremidades de uma pilha. Ele rapidamente aquecerá. Este efeito é útil em alguns casos, como no chuveiro elétrico, no ferro de passar roupas, na torradeira elétrica, entre outros. Afinal, esses equipamentos necessitam de uma alta temperatura para serem úteis. Estudos de supercondutividade vêm tornando possível o desenvolvimento de materiais que conduzem eletricidade com resistências próximas de zero, efeito que aparece quando as temperaturas dos dispositivos estão próximas a 0 Kelvin. O gráfico a seguir mostra a mudança no potencial estabelecido por uma fonte fem segundo a expressão (4.11): V a

+ b

ε I

ε a

R f

(a)

0 (b)

Figura 47 – (a) Corrente I percorrendo o circuito no sentido horário. (b) Esquema representativo da mudança no potencial V do circuito (a) quando percorrido por uma corrente. Fonte: Sears e Jewett (2008).

Note que ∆V = ε somente quando não há corrente no sistema (I = 0). Caso contrário, a ddp fornecida para o sistema será ∆V = ε – rI, em que r é a resistência interna da fonte. Observe também que, reescrevendo a expressão (4.11) como (4.12), a corrente que circula no sistema depende também da resistência do circuito, e não apenas da fonte de fem ε.

O termo “dissipar“ não quer dizer que a energia desaparece. Significa que a energia que o dispositivo recebe da fonte é transformada em outro tipo de energia, como térmica ou luminosa, por exemplo.

FÍSICA E ELETRICIDADE

A potência dissipada em um circuito é sempre igual à potência fornecida pela fonte. Se desejarmos saber a energia consumida em um intervalo de tempo, podemos usar a expressão: E = ∆U = t .P A unidade no SI é o joule (J). Quando o elemento do circuito for um resistor, a diferença de potencial será dada por V = RI. A potência elétrica que a bateria fornece é:

A corrente através do potencial mais elevado do dispositivo e a equação anterior representam a taxa de transferência de energia potencial elétrica para dentro do circuito. Qual o destino dessa energia? As cargas que se movem colidem com os átomos, fazendo aumentar a tenperatura do material.

Acompanhe a determinação da energia consumida por um chuveiro elétrico comum pelo link: <www.sofisica.com.br/conteudos/Eletromagnetismo/Eletrodinamica/consumo.php>

Exemplo 5 – Adaptado de Sears et al. (2008). Uma lâmpada de 25 Ω está conectada aos terminas de uma bateria de 12 V com 3,5 Ω de resistência interna. Qual é a porcentagem da potência da bateria que é dissipada através da resistência interna e, portanto, não está disponível para a lâmpada? Resolução: Para encontrarmos a potência que é dissipada pela bateria, temos de encontrar primeiro a corrente total que circula nela:

A potência total é: V=R.I P = 12 . 0,42 = 5,04W

AULA 4 – CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA

A queda de tensão devido à corrente elétrica é: V = 3,5 . 0,42 = 1,47W E a potência dissipada é: P = 1,47 . 0,42 = 0,61W Vamos calcular, então, a fração da porcentagem da potência total que é dissipada na bateria:

x = 12% Ou seja, 12% da energia total fornecida pela fonte é consumida por sua resistência interna, sobrando 88% de energia para o sistema. Finalizamos mais uma aula. Na próxima, você estudará circuitos que contêm mais resistores e também circuitos compostos de resistores e capacitores.

CONCLUSÃO Nesta aula, você estudou o conceito de corrente elétrica em um condutor, que ocorre quando um campo elétrico é aplicado. Lembre-se: a corrente é a quantidade de cargas que atravessem determinado espaço em um intervalo de tempo. Você também viu que a quantidade de carga não poderá ser alterada em diferentes pontos do circuito. A isso, associamos a densidade de corrente, que depende da corrente e da área que ela atravessa. Você aprendeu que, ao percorrerem o circuito, as cargas elétricas sofrem resistência, pois elas colidem com os íons do material e perdem energia. Uma fonte de força eletromotriz (fem) repõe essa perda, garantido a circulação contínua da corrente. Você também viu que dispositivos como resistores consomem energia, o que podemos chamar de potência elétrica. Um efeito deste consumo de energia se dá através do aquecimento, denominado de Efeito Joule. Você também aprendeu que, em um circuito contendo uma fonte de fem, parte da energia será consumida por sua resistência interna e o restante será utilizado pelos demais componentes do circuito, como pelos resistores. Na aula seguinte, você estudará circuitos contendo diferentes associações de resistores. Nosso objetivo será determinar a resistência, a corrente e a potência nesses casos. Você também verá os circuitos RC, que são compostos de resistores e capacitores, além da fonte de fem. Até lá!

AULA 5 Circuitos em Corrente Contínua

INTRODUÇÃO Diversos dispositivos eletrônicos utilizados em seu cotidiano possuem ao menos um resistor em seu circuito. Nesta aula, você estudará situações nas quais existem vários resistores associados. Você também aprenderá sobre circuitos nos quais são inseridos componentes que modificam a resistência elétrica. Você compreenderá como a resistência pode ser utilizada para manipular as outras variáveis de um circuito, como a corrente e a diferença de potencial elétrico. Isso tem uma aplicação direta e de fácil identificação em eletrônica – para que os dispositivos operem na tensão e corrente elétrica adequada – e, também, é uma ferramenta para as pesquisas geológicas ou de materiais. Ao final, você verá como aplicar as Regras de Kirchoff para avaliar circuitos complexos. Também investigará como a associação entre capacitores e resistores pode afetar a corrente e a tensão elétrica em um circuito.

FÍSICA E ELETRICIDADE

OBJETIVOS » » Dominar associações de resistores em série, em paralelo e mista. » » Dominar as regras de Kirchhoff. » » Caracterizar e interpretar circuitos RC. » » Estudar exercícios resolvidos.

1. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES Você viu na aula 4 que os fios condutores reais possuem uma resistência. Aqui, entretanto, vamos considerá-los como ideais - sem resistência - para facilitar o estudo. Ao longo desta aula, você verá vários diagramas. Neles, os traços indicam a forma como os resistores estão conectados entre si.

Para entender os problemas propostos, leve em consideração a conservação da carga e que a diferença de potencial em um resistor pode ser escrita como ∆V = RI.

1.1 ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE Esta forma de associação ocorre quando o terminal positivo e o negativo dos resistores estão conectados ao terminal oposto do resistor seguinte, formando uma cadeia. A polarização depende da fonte aplicada. Note que se um dos resistores for retirado, a corrente cessará imediatamente, pois o circuito estará aberto. Esse problema é frequente nas lâmpadas de enfeite de árvore de Natal. Quando uma delas queima, todo o pisca-pisca para de funcionar. R2

∆V I

Figura 48 – Diagrama de dois resistores R1 e R2 conectados em série. Fonte: Mannrich (2014).

AULA 5 – CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA

Nesse tipo de associação, a quantidade de carga que atravessa os resistores é a mesma e, portanto, a corrente elétrica é igual em todo o circuito. Note que a corrente, ao atravessar os resistores R1 e R2, se desloca do ponto de menor para o de maior potencial. Assim, ocorrem duas quedas de potencial elétrico no circuito, com módulos equivalentes a: ∆V1 = R1.I ∆V2 = R2.I A soma das diferenças de potencial individuais equivale à diferença de potencial aplicada no circuito: ∆VT = ∆V1 + ∆V2 Substituindo as relações, obtemos: ∆VT = R1.I + R2.I ∆VT = (R1 + R2).I Esse circuito com dois resistores em série pode ser resumido a um único resistor, cuja resistência RT seria a soma das resistências individuais: ∆VT = RT.I . Para n resistores, temos: ∆VT = R1.I + R2.I + ... + Rn.I (5.1) (5.2) Como Req é a soma das resistências em série, toda vez que um novo resistor for acrescentado, a resistência total do circuito aumentará e a corrente diminuirá. Também podemos escrever a equação 5.1 como: (5.3)

Para calcular a corrente, é preciso conhecer a resistência equivalente ao circuito.

Exemplo 1 Um circuito possui dois resistores, de 25 Ω e 30 Ω, em série, submetidos a uma ddp de 220 V. Determine a corrente elétrica.

FÍSICA E ELETRICIDADE

Resolução: Aplicando a equação 5.1 pra os dois resistores, temos: ∆VT = (R1 + R2).I Isolando a variável, obtemos a corrente elétrica:

Agora, é hora de estudar a associação em paralelo.

1.2 ASSOCIAÇÃO EM PARALELO Você viu que, na associação em série, a mesma corrente atravessa todos os resistores em sequência. Isso não ocorre na associação em paralelo. Nela, cada resistor funciona de forma independente, pois a corrente que passa em cada um é diferente. Se um dos resistores – por quaisquer motivos – não permitir a passagem de corrente elétrica, o outro manterá o funcionamento. Perceba que a corrente total no circuito (IT) se divide em duas (I1 e I2). It It

∆V

Figura 49 – Duas formas comuns de diagramas representando resistores em paralelo. Fonte: Mannrich (2014).

Podemos afirmar, portanto, que a corrente total que atravessa o circuito é a soma das correntes individuais. Além disso, você pode descobrir o valor da corrente total a partir da resistência equivalente e da ddp do circuito. Perceba, olhando o diagrama, que os polos da bateria/fonte elétrica são conectados diretamente a cada resistor. Por isso, a ddp nos terminais de cada resistor é a mesma. Logo: ∆V = ∆V1 = ∆V2 IT = I1 + I2 (5.4) Uma vantagem dessa associação é que, mesmo inserindo ou retirando resistores, a corrente permanece de forma independente em cada um dos resistores já existentes. Em outras palavras, se você tiver um chuveiro elétrico associado paralelamente às instalações elétricas do banheiro, você pode estar com as lâmpadas acesas ou o secador de cabelo ligado sem precisar acionar o chuveiro. Se a ligação fosse em série, você teria de ligar tudo ao mesmo tempo!

AULA 5 – CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA

Assista ao vídeo a seguir e veja uma experiência feita com associação de lâmpadas incandescentes: <https://www.youtube.com/ watch?v=6c4PTdrZNsg>.

Reflita: a corrente na lâmpada vai se alterar se o chuveiro estiver ligado? A adição de resistores deveria aumentar a resistência total existente no circuito, não é? Portanto, deveria também reduzir a corrente total, afetando os outros aparelhos. Para responder a isso, você precisa entender como determinar a corrente que passa em cada resistor e qual é a resistência equivalente. Substituindo na equação 5.4 as correntes para explicitar as resistências, obtemos:

Como a ddp é a mesma para cada parte do circuito, obtemos a relação entre a resistência equivalente e os valores dos resistores individuais do circuito: (5.5) Podemos reescrever as equações 5.4 e 5.5 de forma generalizada para n resistores em paralelo como: (5.6) (5.7)

A resistência equivalente em um circuito em paralelo difere do total da soma das resistências. Já no circuito em série, a resistência equivalente é o total da soma das individuais.

Exemplo 2 Utilize os dois resistores do exemplo 1, de 25 Ω e 30 Ω, submetidos a uma ddp de 220 V, mas agora em paralelo. Calcule a corrente elétrica total e para cada resistor.

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Resolução: Como ∆V = R.I: I1 = 220 ⁄ 25,0= 8,80 A I2 = 220 ⁄ 30,0 = 7,33 A IT = I1 + I2 = 16,13 A Agora que você conhece a associação de resistores em série e em paralelo, é hora de estudar circuitos contendo os dois tipos de ligações.

1.3 ASSOCIAÇÃO MISTA Agora você estudará como resolver problemas com associações mistas de resistores. Para começar, vamos analisar alguns diagramas de circuitos na figura a seguir. Na parte A, temos um par de resistores (R1 e R2) acoplados em série, submetidos a uma ddp ΔV. A ddp em cada um equivale, portanto, a R1I e R2I, respectivamente. Na parte B, um terceiro resistor é posicionado paralelamente ao segundo. Note que, nessa configuração, R2 e R3 estão sob a mesma ddp, e que a associação de ambos está acoplada em série ao primeiro resistor. B)

A) R1

∆V

R3 R2

∆V

C) Req(p)

∆V

Figura 50 – Associações mistas de resistores. Na parte A, há uma associação simples. Na parte C, há a transformação de um circuito misto em um simples. Fonte: Mannrich (2014).

Para compreender o comportamento da corrente e das tensões nesse circuito, vamos transformar o circuito B em um sistema mais simples. Para isso, devemos primeiro encontrar a resistência equivalente dos capacitores em paralelo (R2 e R3), usando a equação 5.5:

Assim, o diagrama B pode ser redesenhado como o diagrama C, reduzindo o circuito para uma associação em série de R1 e Req(p). Para encontrar a corrente elétrica total, é preciso calcular a resistência equivalente total, que será a soma das resistências, conforme a equação 5.2:

AULA 5 – CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA

Aplicando esse resultado na equação 5.1, a corrente elétrica total pode ser escrita como:

Essa corrente é a mesma que passa por R1 e é a soma das correntes que passam individualmente por R2 e R3. A solução será: I1 = I2 + I3 = I As tensões em cada ponto podem ser descobertas com base nessas informações. Para o primeiro resistor, podemos encontrá-la de duas formas. Primeiro, utilizando a seguinte equação: ∆V1 = R1 . I Outra forma é em função da tensão nos resistores em paralelo: ∆V1 = ∆VT – ∆V(p) = ∆VT – Req . I Para os resistores R2 e R3, é possível encontrar as correntes usando as seguintes relações: ∆V(p) = ∆V2 = ∆V3 I2 + I3 = I Podemos reescrever a relação anterior como: ∆V2 = ∆V3 I2 . R2 = I3 . R3 Também podemos utilizar as relações anteriores para deixar as correntes I2 e I3 em função da ddp da fonte e de R1 e Req:

FÍSICA E ELETRICIDADE

Para resolver exercícios envolvendo resistores, desenhe um diagrama destacando os caminhos da corrente (incluindo as divisões) e os pontos de mesma tensão elétrica.

Circuitos com vários resistores, diversas fontes e associações serão explicados no tópico seguinte, que trata sobre as Regras de Kirchhoff.

2. REGRAS DE KIRCHHOFF Agora, você aprenderá como aplicar regras de análise e resolução de circuitos que dificilmente podem ser reduzidos em circuitos equivalentes, para determinar as correntes elétricas e as tensões em diversos resistores. Antes, é importante que você conheça os seguintes conceitos: a) nó: o ponto de junção de terminais dos elementos do circuito; b) ramo: trecho ou caminho entre dois nós nos quais a corrente é a mesma; c) malha: um caminho fechado que passa por vários ramos (inicia e encerra no mesmo nó). Sabemos que, em uma junção de resistores em paralelo, o total de carga elétrica que chega ao nó da junção é dividido entre os ramos do circuito sem que haja perda de cargas. Portanto, a corrente elétrica que atravessa o nó é dividida em correntes elétricas individuais cuja soma é igual à corrente de entrada. Matematicamente, chamando de I1 a corrente de entrada: I1 = I2 + I3 + ... + In Também podemos representar essa igualdade como: I1 – I2 – I3 – ... – In = 0 Note que, na soma anterior, as correntes que saem do nó estão precedidas de um sinal negativo, enquanto a corrente de entrada é positiva. Isso implica a 1a regra de Kirchhoff, a regra da junção: em qualquer junção, a soma das correntes é igual à zero. Matematicamente, essa regra é expressa como: (5.8) Observe novamente a segunda figura desta aula e perceba que as cargas se movem do ponto de maior potencial elétrico (polo positivo) para o de menor potencial elétrico (polo negativo), completando o circuito. Os resistores R1 e R2 provocarão quedas de potencial elétrico, de modo que, ao final, as cargas estarão submetidas ao potencial elétrico igual ao presente no terminal negativo da fonte. Por isso, podemos dizer que a soma das diferenças de potenciais de cada componente do circuito é nula. Isso é representado de forma geral pela 2a regra de Kirchhoff: em uma malha, a soma das diferenças de potencial elétrico de todos os componentes que estão nesse trecho é nula. 84

AULA 5 – CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA

Matematicamente, expressamos essa regra como: (5.9) Para determinar o sinal da ddp de cada componente, você deve considerar um sentido qualquer de corrente elétrica. Toda vez que a carga passar do menor para maior potencial, ∆V será positiva: +ε para uma fonte e + I ∙R para um resistor. No caso oposto, quando o sentido de movimento da carga for do ponto de maior para o de menor potencial, ∆V será negativa: –ε para uma fonte e – I ∙R para um resistor. c I3 R1

d e

∆V2

∆V1 Figura 51: Diagrama de um circuito para aplicação das regras de Kirchhoff. Fonte: Mannrich (2014).

Para entender a aplicação dessas regras, vamos analisar o circuito da figura que você acabou de ver. Note que há duas fontes e, também, resistores em paralelo e em série, mas não há como reduzir o circuito para um mais simples de resistência equivalente. Por isso, adotamos um sentido para as correntes, mesmo que não saibamos o real sentido. Em outro momento, para analisar as ddp nas malhas, utilizaremos os caminhos destacados em azul, laranja e roxo na figura a seguir.

c I3

b I2

e f

Figura 52 – Sentido de análise de três malhas no circuito para aplicação da 2a regra de Kirchhoff. Fonte: Mannrich (2014).

Marque os nós das junções com letras para facilitar a resolução de problemas.

FÍSICA E ELETRICIDADE

Aplicando a 1a regra: » » nó b: I1 – I2 – I3 = 0; » » nó e: I2 + I3 – I1 = 0. As equações anteriores são equivalentes. Então, até o momento, só temos uma equação. Aplicando a 2a regra: » » malha a-b-e-f-a: ∆V1 – R1.I1 – R2.I2 – ∆V2 = 0 » » malha b-c-d-e-b: – R3.I3 + ∆V2 + R2.I2 = 0 » » malha a-b-c-d-e-f-a: ∆V1 – R1.I1 – R3.I3 = 0 Perceba que ∆V2 e R2.I2 na segunda malha estão com sinais positivos. Isso porque, para analisar trechos ramos, consideramos o sentido do caminho como oposto ao de I2 , passando do menor para o maior potencial da fonte 2. Note também que a terceira equação equivale à soma das duas primeiras. Exemplo 3 Para o circuito da figura a seguir, encontre os valores das correntes considerando ∆V1 = 10V, ∆V2 = 10V, R1 = 5,0Ω e R3 = 8,0Ω. c I3 a

d e

∆ V2

∆ V1

Vamos dividir a resolução em partes. a) Isolar I2 e I3 em função de I1 na primeira e terceira equações provenientes da 2a regra.

AULA 5 – CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA

b) Utilizar a equação proveniente da 1a regra para isolar e encontrar I1.

c) Substituir os valores para encontrar I2 e I3.

Note que o valor da corrente I2 é negativo e que as equações se mantêm válidas somente se levarmos em consideração esse sinal. Você sabe o que significa esse sinal negativo? Ele indica que o sentido adotado para a corrente I2 está incorreto! Portanto, a corrente elétrica tem o sentido de e → b. Esse mesmo exemplo também pode ser analisado explicitamente sob a estrutura de Sistemas Lineares. Vamos considerar que as correntes sejam as variáveis e organizar as equações independentes obtidas pela análise das malhas:

Substituindo os valores das ddp e das resistências, o sistema se torna:

FÍSICA E ELETRICIDADE

Fazendo as simplificações, temos a seguir o sistema linear e a matriz correspondente:

Para resolver o sistema, considere E1, E2 e E3 como a ordem das equações de cima para baixo do sistema linear. Primeiro, faremos E1 – E2 + E3 para encontrar I3:

Com esse resultado, substituímos o valor em E2 para encontrar I2:

Por fim, substituímos os valores em E1 para encontrar I1: I2 = I1 – I3 = –1,1A Agora que você já sabe como resolver circuitos mais complexos com resistores, está preparado para estudar como se comporta um circuito envolvendo associação entre resistores e capacitores.

Se precisar se lembrar de como funcionam os capacitores, releia a aula 3.

AULA 5 – CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA

2.1 CIRCUITOS RC Você já observou que alguns leds de aparelhos, como notebooks, costumam permanecer acesos por um curto tempo logo após o desligamento do aparelho? Alguns manuais recomendam, para reiniciar um equipamento, a tirar o plugue da tomada e aguardar alguns segundos antes de religar, de modo que os capacitores estejam completamente descarregados. Agora, você estudará a taxa com que ocorre o carregamento de um capacitor e a sua descarga para um elemento resistivo.

Figura 53 – Foto de circuito contendo capacitores e resistores associados. Fonte: Shutterstock (2014).

2.2 CARREGANDO UM CAPACITOR Para carregar um capacitor, é necessária uma fonte elétrica que aplique uma ddp nos terminais do dispositivo. Considere um circuito em que um capacitor esteja acoplado a um resistor e que esteja totalmente descarregado (q0 = 0) imediatamente antes que a ddp da fonte (∆V) seja ligada ao circuito. A relação entre as ddp é:

Integrando ambos os lados para os intervalos q1 = 0, q2 = q, t1 = 0 e t2 = t:

FÍSICA E ELETRICIDADE

Em uma situação na qual o capacitor estivesse totalmente carregado, a corrente seria nula e a carga do capacitor equivaleria a C . ∆V . Portanto, podemos reescrever a equação que expressa a quantidade de carga em um capacitor em função do tempo como: (5.10) E a corrente será:

Quando se inicia o carregamento do capacitor (t = 0), a corrente é máxima e igual a

Também podemos reescrever a equação anterior como: (5.11)

2.3 DESCARREGANDO UM CAPACITOR Imagine que, agora, vamos retirar a fonte (∆V) do circuito. Vamos considerar que o capacitor esteja carregado com uma carga q e esteja diretamente acoplado a um circuito com resistência equivalente R. Se quisermos saber a taxa com que ocorre o descarregamento, temos de encontrar a derivada da carga por unidade de tempo. A relação entre a ddp do capacitor e do resistor pode ser expressa como:

AULA 5 – CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA

Substituindo I por dq/dt, temos:

Integrando ambos os lados para os limites qi = q0, qf = q, ti = 0 e tf = t.

Pela equação 5.12, podemos verificar que o tempo que um capacitor levaria para descarregar (q(t) = 0) seria infinito. No entanto, é possível descobrir o tempo para o descarregamento parcial. Suponha que queiramos encontrar o tempo para o capacitor descarregar para 75% (q = 3/4Q), 50% (q = 1/2Q) e 25% (q = 1/4Q). Primeiro, vamos ajustar a equação 5.12 para isolar a variável tempo:

Para os casos destacados, obtemos:

Podemos inferir que o tempo de descarregamento é afetado pela resistência do circuito e pela capacitância. Por isso, o produto R ∙ C, será uma constante característica de cada circuito. Ele costuma ser substituído pela letra grega tau: τ = RC. Se derivarmos a equação 5.13 em função do tempo, obtemos a corrente elétrica instantânea:

FÍSICA E ELETRICIDADE

Quando t = 0, o capacitor estará totalmente carregado e a corrente será máxima:

O sinal negativo indica que há queda na quantidade de carga armazenada ao longo do tempo.

Se quiser relembrar a associação de capacitores, releia a aula 3.

CONCLUSÃO Nesta aula, você conheceu os três tipos de associação de resistores. Na associação em série, a mesma corrente elétrica passa por todos os resistores. Na ligação em paralelo, a corrente é independente entre os resistores. Você estudou que a associação em série de novos resistores faz com que a resistência total do circuito aumente, diminuindo a corrente elétrica. Já no caso de resistores em paralelo, como cada um ficará submetido à mesma ddp, a adição de resistores aumentará a corrente elétrica total do circuito. Você também viu que nem todo circuito elétrico poderá ser reduzido a um equivalente mais simples. Nessa situação, precisamos utilizar as regras de Kirchhoff como ferramenta de análise. Por fim, você estudou as ligações entre capacitores e resistores, analisando as taxas de carregamento e descarregamento de capacitores. Você viu que a carga e a descarga dependem de uma função logarítmica e que cada associação entre resistores e capacitores pode ser caracterizada por uma constante temporal.

AULA 6 Campo Magnético

INTRODUÇÃO Há milhares de anos, buscamos compreender os fenômenos magnéticos. Textos gregos do século VII a.C. já falavam sobre a observação de propriedades em certos corpos feitos de um mineral proveniente da região da Magnésia – daí o nome magnetismo. Foi somente no século VII d.C., porém, que esses estudos passaram a ganhar interesse e importância. Desde então, uma série de aplicações e descobertas foram feitas e resultaram na invenção de aparelhos que utilizam eletricidade. Nós nos beneficiamos dos fenômenos magnéticos todo o tempo. Por exemplo, o campo magnético da Terra nos protege das partículas carregadas que vêm do sol. Praticamente toda a energia elétrica utilizada no planeta é produzida utilizando o fenômeno do eletromagnetismo. O funcionamento de motores elétricos, transformadores, entre muitos outros dispositivos presentes nos equipamentos eletrônicos é possível graças a esse fenômeno. Nesta aula, você começará a conhecer com detalhes o que é o campo magnético. Assim, você estará pronto para, nas aulas seguintes, aprofundar os estudos sobre as relações entre fenômenos elétricos e magnéticos.

FÍSICA E ELETRICIDADE

São conceitos fundamentais para entender o funcionamento de diversos dispositivos eletrônicos e até mesmo o próprio processo de geração de eletricidade.

OBJETIVOS » » Conceituar polo magnético e campo magnético. » » Compreender o comportamento de partículas carregadas em movimento imersas em campos magnéticos. » » Entender o conceito de força magnética em condutores elétricos. » » Compreender o conceito de motor elétrico. » » Estudar exercícios resolvidos

1. POLO MAGNÉTICO E CAMPO MAGNÉTICO Navegadores antigos precisavam utilizar diversos instrumentos durantes suas viagens. Entre eles, estava a bússola. Ela possui uma agulha de aço imantada (gerando um polo norte e um polo sul magnético) que interage com o campo magnético da Terra. Uma de suas extremidades geralmente é marcada e aponta no sentido do sul magnético, que é correspondente ao norte geográfico do planeta.

Figura 54 – Bússola com uma das pontas destacada em azul. Fonte: Shutterstock (2014).

Foi o físico Willian Gilbert que observou que havia regiões em um imã nas quais o campo magnético era mais forte. Essas áreas foram chamadas de Polo Norte e Polo Sul. Ele também verificou que, dependendo da forma com a qual dois ímãs eram aproximados, eles podiam atrair-se ou repelir-se. É justamente por causa da existência desses polos. Se tentarmos unir dois ímãs pelas extremidades com polos iguais, eles se afastam. Se aproximarmos os ímãs pelos polos contrários, eles se unem. Foi nessa época que Gilbert propôs que a própria Terra fosse um grande imã, explicando como a agulha imantada das bússolas poderia se alinhar sempre na mesma direção.

AULA 6 – CAMPO MAGNÉTICO

O inglês Willian Gilbert, além de físico, foi médico. Publicou suas descobertas em um importante tratado chamado “De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de Magno Magnete Telleure” (Sobre os ímãs, os corpos magnéticos e o grande ímã terrestre), que foi publicado em 1600.

Os polos são inseparáveis, ou seja, não é possível existir apenas o polo norte ou o polo sul de forma isolada. Se dividirmos um ímã ao meio, haverá um novo polo norte e um novo polo sul.

A imagem a seguir fornece um modelo para o campo magnético da Terra.

Figura 55 – Representação do campo magnético da Terra. Fonte: Sears et al. (2008).

Na primeira aula, você estudou cargas elétricas estáticas que produziam um campo elétrico, que por sua vez interagia com outras cargas elétricas. No magnetismo é diferente. A natureza fundamental do magnetismo está no movimento de cargas elétricas, o que gera uma perturbação no espaço ao seu redor, capaz de interagir com outro campo magnético. Isso resulta em uma força magnética entre ambas as cargas. Usaremos o símbolo para representar o campo magnético. Note que ele é uma grandeza vetorial, pois possui uma orientação espacial. Sua unidade no SI é o Tesla (T).

FÍSICA E ELETRICIDADE

Outra unidade bastante usada é o Gauss, sendo 1 Tesla = 104 Gauss.

A imagem a seguir mostra que, quando uma limalha de ferro é lançada sobre um ímã, forma um conjunto de curvas ao redor dele. A limalha de ferro se alinha ao que chamamos de linhas de campo magnético.

Figura 56 – Limalha de ferro ao redor de um ímã permanente. Fonte: Shutterstock (2014).

Vamos pontuar algumas características dos campos magnéticos. Primeiro, observe a imagem.

Figura 57 – Representação das linhas de campo magnético ao redor de um imã permanente. Fonte: Shutterstock (2014).

» » As setas e linhas indicam a orientação do campo. Elas sempre saem do polo norte e entram no polo sul do imã. 96

AULA 6 – CAMPO MAGNÉTICO

» » Os polos de um imã permanente são as regiões onde as linhas de campo magnético são mais condensadas. » » As linhas de campo magnético são fechadas. » » As linhas nunca se cruzam. » » Quanto mais as linhas estiverem próximas, mais intenso (forte) será o campo. » » Polos contrários se atraem. » » Polos iguais se repelem. O campo magnético terrestre protege a Terra de muitas partículas carregadas eletricamente provenientes do sol. Essas partículas em movimento produzem um campo magnético à sua volta, que interage com o da Terra. A interação entre esses campos resulta em uma força magnética, desviando as partículas para os polos. Saiba mais no link <www.on.br/ead_2012/pdf/modulo3/3.2_magnetosfera.pdf>.

Agora que você já conhece algumas características do campo magnético, é hora de estudar a interação dele com cargas em movimento.

1.1 COMPORTAMENTO DE PARTÍCULAS CARREGADAS EM MOVIMENTO IMERSAS EM CAMPOS MAGNÉTICOS Alguns experimentos permitiram a verificação do comportamento de partículas carregadas lançadas em campos magnéticos. A conclusão é que uma força magnética age sobre essas partículas e que essa força é proporcional à carga da partícula q, à sua velocidade em relação ao campo, à intensidade do campo magnético e ao senθ do ângulo que a direção da velocidade forma com o campo. Observe a figura a seguir.

Figura 58 – (a) Direção da força magnética atuando quando há uma partícula carregada com velocidade dentro de um campo magnético . (b) Forças magnéticas para cargas positivas e negativas. As linhas tracejadas representam a trajetória das partículas. Fonte: Serway e Jewett (2008).

Com base nisso, formula-se uma equação que descreve o módulo e a direção dessa força: (6.1)

FÍSICA E ELETRICIDADE

O senθ surge do produto vetorial entre

e , e o módulo de

fica:

Dessa equação, podemos determinar o módulo de :

Também é possível escrever a expressão da força magnética em função de suas componentes vetoriais por meio de uma matriz:

Dessa forma, com cada componente vetorial da velocidade das cargas e do campo aplicado, você consegue também determinar o módulo, a direção e o sentido da força.

Lembre-se de que os vetores direções x, y e z.

são os vetores unitários nas

Vamos analisar três exemplos para determinar o módulo da força resultante quando uma carga elétrica q é lançada com uma velocidade em uma região onde existe um campo magnético constante, com direção horizontal da esquerda para direita. O produto vetorial que estamos considerando é . Usaremos a regra da mão direita, pois ela pode nos fornecer a direção da força que age sobre uma partícula. Para isso, aponte o dedo indicador da mão direita na direção do movimento e o dedo maior na direção do campo magnético. Se o produto vetorial for e a partícula for positiva, então a direção da força é a mesma do polegar. Se o sinal da carga for negativo, a direção da força se inverte.

Figura 59 – Utilize a regra da mão direita para determinar a direção e o sentido da força magnética. Fonte: Serway e Jewett (2008).

AULA 6 – CAMPO MAGNÉTICO

Exemplo 1 Considere que a carga é lançada com uma velocidade a figura a seguir.

na mesma direção do campo , como mostra

Figura 60 – Carga q se movendo na mesma direção de Fonte: Sears et al. (2008).

A força magnética será igual a 0, pois a direção do movimento da carga é paralela ao campo magnético. Em outras palavras, senθ = 0, pois o ângulo entre e é 0 ou 180o.

Concluímos que nada aconteceria nessa situação, não importando o sentido de Exemplo 2 A carga é lançada com uma velocidade

fazendo um ângulo θ qualquer com a direção do campo

Nesse caso, a carga sofre influência de uma força magnética com módulo direção da força é perpendicular ao plano que contém e .

,ea

Assim, existe uma componente paralela a ( ) e uma outra componente perpendicular a ( ). A partícula, então, descreverá uma trajetória helicoidal, como mostra a figura a seguir. O campo não realiza trabalho sobre a partícula, portanto, sua velocidade escalar e energia cinética permanecem constantes.

Figura 61 – Trajetória helicoidal de uma particular carregada dentro de um campo magnético. Fonte: Sears et al. (2008).

FÍSICA E ELETRICIDADE

Exemplo 3 A carga é lançada com uma velocidade com direção perpendicular à direção do campo caso, a força magnética sobre a carga será máxima, pois senθ = sen90º = 1.

. Neste

Concluímos que uma força magnética constante atuará sobre a partícula e será sempre perpendicular a B e a v, fazendo a partícula descrever uma trajetória circular. A figura a seguir representa um exemplo disso. Usamos o símbolo para indicar um campo magnético entrando no plano da folha e o símbolo para indicar um campo saindo da folha.

Figura 62 – Quando a velocidade da partícula carregada é perpendicular ao campo magnético, a partícula se move em uma trajetória circular, em um plano perpendicular ao campo. Fonte: Serway e Jewett (2008).

O raio dessa trajetória poderá ser determinado se igualarmos a força magnética (que está na direção do centro) com a força centrífuga que age na particula, em que r é o raio da trajetória: e

(6.2) Podemos concluir que o raio do movimento circular depende da massa e da velocidade da partícula. O período é o tempo que a partícula leva para descrever uma volta completa. Sabemos que T.xv = 2pr, então:

100

AULA 6 – CAMPO MAGNÉTICO

Subistituindo o raio:

Como a frequência é o inverso do periodo:

A frequência angular é

e, substituindo f, temos: (6.3)

Observe que o período e a frequência são independentes de

e de r.

Uma aplicação deste fenômeno foi realizada em 1919, por Francis Aston, um aluno de J. J. Thomsom, que construiu a primeira versão de um intrumento atulmente conhecido como espectrômetro de massa. Nele, o campo magnético separa as partículas de acordo com a sua massa: quanto maior a massa da partícula, maior é o raio da trajetória.

J. J. Thomsom foi um cientista britânico que ganhou o Nobel de Física em 1906 por suas descobertas relacionadas ao elétron. Uma de suas principais contribuições foi determinar experimentalmente a relação entre a carga e a massa do elétron.

Figura 63 – Espectômetro de massa. Fonte: Serway e Jewett (2008).

101

FÍSICA E ELETRICIDADE

A primeira câmara seleciona as particulas de acordo com sua velocidade. Após atravessar essa área, a partícula entra em outra câmara, que contém somente um campo magnético. Assim, ela é desviada. Essa técnica permitiu a descoberta de átomos com propriedades químicas idênticas, mas com massas diferentes por causa dos diferentes números de nêutrons exixtentes em seus núcleos. Esses átomos são chamados de isótopos, uma vez que possuem mesmo número de prótons mas diferentes números de nêutrons.

Quando uma partícula carregada se move em uma região onde só existe campo magnético, o módulo de sua velocidade permanece sempre constante porque e são sempre perpendiculares entre si.

Até agora, você viu o efeito de cargas elétricas movimentando-se dentro de campos magnéticos. No próximo tópico, você estudará a força magnética em condutores elétricos quando percorridos por correntes elétricas.

1.2 FORÇA MAGNÉTICA EM CONDUTORES ELÉTRICOS Em aulas anteriores, você viu que a corrente elétrica se forma quando cargas elétricas estão em movimento no interior de um condutor. O movimento dessas cargas produz um campo magnético próximo ao fio, como você pode observar na imagem adiante. Usando a regra da mão direita para o campo magnético em torno de um fio que transporta corrente, aponte o polegar na direção da corrente no fio e os dedos indicarão a direção do campo magnético ao redor do fio.

Figura 64 – Corrente elétrica percorrendo um condutor. Fonte: Sears et al. (2008).

Consideramos um fio percorrido por uma corrente em uma região onde existe um campo magnético constante, como na figura a seguir.

102

AULA 6 – CAMPO MAGNÉTICO

Figura 65 – Fio percorrido por uma corrente, imerso em um campo magnético. Fonte: Sears et al. (2008).

Nesse exemplo, o campo magnético está entrando na página e é perpendicular à direção do movimento das partículas que estão no fio.

Faça o teste da regra da mão direita e verifique que a direção da força é da direita para esquerda. Se o sinal da carga fosse negativo, a direção da força seria oposta.

Como

são perpendiculares, o módulo da força é o mesmo do exemplo 3:

O número de cargas por unidade de volume é n. Um segmento do condutor de comprimento l possui um volume A . l e contém um número de cargas igual a n .A . l. A força total sobre todas as cargas nesse segmento possui módulo:

A densidade de corrente é dada possamos escrever a força como:

. O produto J .A fornece a corrente total I de modo que (6.4)

103

FÍSICA E ELETRICIDADE

O campo magnético total produzido por diversas cargas que se movem é a soma vetorial dos campos produzidos pelas cargas individuais.

A figura adiante representa um elemento infinitesimal de um pedacinho de um fio imerso em um campo magnético.

Figura 66 – Segmento de fio percorrido por uma corrente I imerso em um campo magnético. Fonte: Sears e Jewett (2008).

A força

que atua sobre ele é: (6.5)

Podemos, então, integrar a expressão anterior ao longo do fio para calcularmos a força total sobre um condutor com qualquer forma. A integral resultante é uma integral de linha. E a força sobre o fio é: (6.6)

Exemplo 4 – Adaptado de Sears et al. (2008, p. 219) Na figura a seguir, existe um campo magnético uniforme e perpendicular ao plano da figura, apontando para fora. O condutor possui um segmento retilíneo de comprimento L perpendicular ao plano da figura no lado direito, transportando uma corrente com sentido oposto ao do campo . A seguir, o fio continua sobre uma semicircunferência de raio R e, finalmente, continua com um segmento retilíneo de comprimento L, situado sobre o eixo Ox, conforme indicado. Calcule a força magnética total sobre os três segmentos de fio.

104

AULA 6 – CAMPO MAGNÉTICO

Figura 67 – Condutor percorrido por uma corrente I Fonte: Adaptado de Sears et al. (2008).

Lado direito: Não existe nenhuma força sobre os segmentos de fio retilíneos do lado direito porque seu vetor é antiparalelo a ( e têm sentidos contrários – o ângulo entre eles é de 180º). Lado esquerdo:

aponta da direita para esqueda perpendiculamente a

. O módulo da força é:

F = ILB e sua direção é vertical no sentido de baixo para cima. Segmento semicircular: Temos duas componentes para a força que está atuando sobre o fio. A figura mostra um elemento cujo comprimento é para um ângulo θ. A direção do produto X é radial e o sentido aponta para fora do centro. Como e são perpendiculares, o módulo da força sobre o segmento é dado por: dF = IdlB Portanto, obtemos: dF = I(Rdθ)B Os componentes da força

sobre o segmento

são:

dFx = IRd θ B cosθ dFy = IRd θ B senθ Para determinarmos as componentes da força total, integramos essas expressões, fazendo θ variar de 0 a π para levar em conta a semicircunferência:

105

FÍSICA E ELETRICIDADE

Somando as forças do segmento reto e do segmento circular, temos: Ftotal = IB(L + 2R). Exemplo 5 Agora, vamos analisar o caso de uma espira retangular transportando uma corrente e que está imersa em um campo magnético, como mostra a figura a seguir. A espira produzirá um campo que vai interagir com o campo magnético exterior a ela, resultando no giro da espira. Para determinar a direção do campo na espira, basta aplicar a regra da mão direita para um fio transportando uma corrente. Se considerarmos a espira como uma série de segmentos retilíneos, verificaremos que a força total atuando sobre ela é igual a 0, porém, existe um torque resultante atuando.

Figura 68 – Espira retangular percorrida por uma corrente I. Fonte: Sears et al. (2008).

Os dois pares de força que estão atuando sobre a espira se cancelam. Entretanto, essas forças sobre os segmentos a da espira produzem um torque sobre ela:

e–

O torque será máximo quando o plano da espira fizer um ângulo de 90º com a direção do campo magnético ao qual ela está submetida.

106

AULA 6 – CAMPO MAGNÉTICO

Figura 69 – Ângulo de 90o entre a força e o campo (φ = 90º). Fonte: Sears et al. (2008).

O torque será igual a 0 quando o plano da espira fizer um ângulo de 0º ou 180º com o campo magnético exterior ao qual ela está submetida. Quando φ = 0º, ela está em equilíbrio estável. Quando o ângulo for de 180º, a espira está em equilíbrio instável.

Figura 70 – Ângulo de 0º ou 180º entre a força e o campo (φ = 0). Fonte: Sears et al. (2008).

Como você já viu, o torque depende do ângulo φ do plano da espira formado com o campo exterior:

As dimensões a e b são os comprimentos do lado da espira. Então, a . b é a área A da espira e a equação anterior fica:

O produto AI denomina-se momento de dipolo magnético ou momento magnético para o qual usamos a letra μ. E a equação do torque sobre a espira ficará assim: (6.7) Essa equação também é chamada de dipolo magnético. Podemos também escrever uma expressão para a energia potencial associada ao momento magnético:

107

FÍSICA E ELETRICIDADE

(6.8) em que o produto escalar depende do ângulo entre os vetores. Agora que você já estudou a interação entre campos magnéticos e espiras quando percorridas por correntes, está pronto para observar como esse efeito se aplica nos motores elétricos.

2. MOTOR ELÉTRICO Motores elétricos são indispensáveis na sociedade moderna. São eles que conseguem transformar energia elétrica em energia mecânica, fazendo os aparelhos funcionarem. Esses motores são formados basicamente por bobinas (fios enrolados formando espiras - eletroímãs) ou ímãs permanentes, juntamente com um eixo central que permite a rotação relativa entre as bobinas/ímãs.

Figura 71 – Motor elétrico. Fonte: Sutterstock (2014).

Quando a corrente elétrica percorre essas bobinas, cria um campo magnético em torno delas, o que gera o torque necessário para que o eixo central gire. Agora, você entenderá o princípio básico de funcionamento desses motores com mais detalhes. Para efeito de simplificação, vamos considerar um motor formado por apenas uma espira. A parte central é o rotor, e seu eixo possui extremidades abertas a dois contatos. As extremidades da espira são ligadas ao comutador que, por sua vez, fica em contato com as escovas, como mostra a figura a seguir. O sistema é ligado a uma fonte fem, e uma corrente entra pelo lado esquerdo e sai pelo lado direito. O rotor está situado entre os polos opostos de um imã permanete, de modo que existe um campo magnético que exerce um torque sobre a espira:

Quando as escovas estão alinhas com os segmento do comutador, uma corrente fui do lado esquedo para o direito. Um torque faz o motor girar no sentido anti-horário.

108

AULA 6 – CAMPO MAGNÉTICO

Figura 72 – Esquema simplificado de um motor elétrico (a). Fonte: Sears et al. (2008).

A espira girou 90º. Nessa posição, as escovas estão em contato com ambos os segmentos do comutador. Logo, não há corrente fluindo pela espira e o torque é zero.

Figura 73 – Esquema simplificado de um motor elétrico (b). Fonte: Sears et al. (2008).

A espira girou 180º, invertendo o sentido da corrente, e as escovas estão alinhadas novamente com o comutador. E um torque volta atuar no sentido anti-horário.

Figura 74 – Esquema simplificado de um motor elétrico (c). Fonte: Sears et al. (2008)

109

FÍSICA E ELETRICIDADE

O processo mostrado nas figuras que você acabou de ver corresponde ao princípio de funcionamento de motores elétricos de corrente contínua. Na próxima aula, você verá como determinar campos magnéticos para algumas configurações, além de compreender como ele está relacionado à produção de energia elétrica. Até lá!

Que tal montar seu próprio motor elétrico?! Acesso o link <http:// www.feiradeciencias.com.br/sala22/Motor00.asp> e aprenda! Aproveite e faça alguns testes, como variar o número de espiras, a corrente elétrica e a distância (intensidade) do ímã em relação às espiras. Observe o que acontece no giro do motor.

CONCLUSÃO Nesta aula, você conheceu algumas características do campo magnético. Você observou alguns aspectos importantes em relação aos campos elétricos, como a existência de polos. Também viu que polos iguais se repelem e polos diferentes se atraem. Em seguida, você estudou a relação entre cargas elétricas e campos magnéticos. Viu que quando partículas carregadas se movem dentro de um campo magnético, elas sofrem a ação de uma força, que está relacionada à intensidade da carga, à sua velocidade e à intensidade do campo magnético. Por fim, você estudou o efeito da força magnética em condutores percorridos por uma corrente elétrica e viu que esse efeito pode ser utilizado para gerar movimento, utilizando, por exemplo, os motores elétricos.

110

AULA 7 Lei de Ampère e Lei de Faraday

INTRODUÇÃO Até agora, você estudou diversos conceitos e efeitos relacionados às partículas com carga, como campo elétrico, corrente elétrica e força eletromotriz (fem). Lembra-se da aula anterior, quando você começou a estudar os campos magnéticos? Perceba que nada foi dito sobre a origem do campo magnético, e como ele se relaciona com cargas elétricas. Também não entramos em detalhes sobre o funcionamento das fontes de fem, como hidrelétricas e termelétricas. Você viu que ímãs são fontes naturais de campo magnético. Mas será que é possível obter campo magnético de outra forma? Por que ele interage com cargas elétricas gerando uma força? De que forma esses conceitos estão relacionados com as fontes de fem? De onde vem a energia elétrica? Nesta aula, você vai perceber que os fenômenos elétricos e magnéticos estão intrinsicamente relacionados. Assim, você terá subsídios para responder a todas essas questões. Boa leitura!

FÍSICA E ELETRICIDADE

OBJETIVOS » » Conhecer e interpretar a Lei de Biot-Savart. » » Entender o efeito de forças magnéticas entre correntes paralelas. » » Conceituar a Lei de Ampère. » » Calcular o campo magnético de um solenoide. » » Conceituar fluxo magnético e o galvanômetro. » » Conhecer e interpretar a Lei de Faraday e a Lei de Lenz. » » Conceituar indutância. » » Compreender os circuitos RL. » » Conceituar e interpretar a energia magnética.

1. LEI DE BIOT-SAVART Na aula anterior, você viu que um condutor percorrido por uma corrente elétrica é capaz de interferir na orientação de uma bússola. Sabemos que essa interferência ocorre porque as cargas elétricas em movimento produzem campo magnético. Dessa forma, o campo magnético gerado pela corrente elétrica interage com o campo magnético da agulha da bússola que está magnetizada, gerando um torque. Jean-Baptiste Biot (1774-1862) e Félix Savart (1791-1841) realizaram experimentos sobre essa interação. Seus estudos levaram em conta um elemento de campo infinitesimal em um ponto P, proveniente de um fio de comprimento s e elemento infinitesimal percorrido por uma corrente I, como mostra a figura a seguir:

Figura 1 – Campo magnético no ponto P devido à corrente que atravessa o elemento Fonte: Adaptado de Searway e Jewett (2008).

Biot e Savart chegaram às seguintes conclusões: » » o vetor é perpendicular a orientado de para P; » » a intensidade de

112

(que aponta na direção da corrente), e o vetor unitário ȓ está

é inversamente proporcional a r2, em que r é a distância entre

e P;

AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

» » a intensidade de

é proporcional à corrente I e ao comprimento do elemento

» » a intensidade de

é proporcional a senθ, em que θ é o ângulo entre

;

e ȓ.

Essas observações foram sintetizadas matematicamente através da Lei de Biot-Savart, escrita como: , (7.1) em que μ0 é a constante de permeabilidade do vácuo, que vale μ0 = 4π x 10–7T. m/A. O campo total no ponto P pode ser obtido somando todos os elementos de corrente I basta integrar a expressão anterior para todo o comprimento do condutor:

. Para isso,

(7.2) Vamos determinar o campo magnético segundo a Lei de Biot-Savart para algumas configurações. Exemplo 1 - Campo magnético para um fio condutor percorrido por uma corrente. Considere um fio fino de comprimento finito percorrido por uma corrente I, como mostra a figura a seguir. Determine a intensidade do campo magnético no ponto P.

Figura 2 – Fio finito percorrido por uma corrente I. Fonte: Searway e Jewett (2008).

Como você viu na aula 6, podemos utilizar a regra da mão direita para determinar o sentido do campo magnético. Apontando o polegar no sentido da corrente, o campo magnético estará no sentido dos outros dedos quando fechamos a mão em torno do fio. Fazendo isso, concluímos que o campo magnético está saindo da página no ponto P. Para utilizar a Lei de Biot-Savart, é preciso determinar o produto vetorial , que dará um vetor resultante perpendicular a eles para fora da página, que representaremos pelo vetor unitário . A componente y do vetor ȓ é dada por 1cosθ = sen(π/2 – θ) e . Substituindo na expressão (7.1) temos:

A partir das noções de trigonometria, determinamos que cosθ = a/r e cosθ = –x/a. 113

FÍSICA E ELETRICIDADE

O sinal é negativo porque ds está no lado negativo do eixo x.

Agora podemos determinar dx como: . Substituindo esses valores na expressão que obtemos no início do exercício, teremos: ,

em que dB aponta para fora da página no ponto P. Integrando essa expressão para todos os elementos de comprimento do fio, obtemos o campo gerado no ponto P:

Note que, se conhecermos a geometria (θ1 e θ2) de qualquer fio percorrido por uma corrente em relação a um ponto P, podemos determinar a intensidade do campo magnético nele. Podemos fazer outra análise com esse resultado. Se o fio for infinitamente longo, então θ1 = π/2 e θ2 = –π/2 para elementos de comprimento entre x = –∞ e x = +∞. Isso significa que a expressão se torna: (7.3) Esse resultado nos mostra que o campo B é proporcional à corrente I e inversamente proporcional à distância entre o fio e o ponto. Exemplo 2 – Campo magnético para um anel condutor percorrido por uma corrente. Considere um anel condutor de raio a, como mostra a figura a seguir. Determine o campo magnético em um ponto P do eixo que passa pelo centro do anel.

114

AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

Figura 3 – Anel condutor percorrido por uma corrente I. Fonte: Searway e Jewett (2008).

Na aula 1, você viu que apenas a componente x do campo elétrico em um ponto P situado sob o eixo que passa pelo centro do anel contribui para a resultante do campo. O mesmo raciocínio vale para o cálculo do campo magnético. Assim, somente a componente dBx contribui para a resultante no ponto P. Como você já estudou, o campo magnético em um ponto pode ser determinado pela Lei de BiotSavart. Logo, precisamos determinar e r. Nesse caso, cada elemento ds é perpendicular ao vetor ȓ, então = ds . 1 . sen90º = ds. Todos os elementos do anel estão a uma mesma distância do ponto P, que pode ser determinado fazendo r2 = a2 + x2. Substituindo na Lei de Biot-Savart temos:

A componente x do campo pode ser obtida fazendo dBx = dB cosθ, então: , em que

Substituindo esse resultado na última expressão e integrando para obter o campo, teremos:

Note que a integral fica:

, e o campo Bx

dá o próprio comprimento do anel. Assim,

115

FÍSICA E ELETRICIDADE

No centro do anel, x = 0, então a expressão se torna

Com tudo o que você já estudou em aulas anteriores, você sabe que campos elétricos poderiam ser determinados pela forma coulombiana a partir de elementos infinitesimais dE , e que, em situações de alta simetria, é possível utilizar a Lei de Gauss. De forma análoga, existe uma maneira de determinar um campo magnético produzido por correntes elétricas em situações de alta simetria, utilizando a Lei de Ampère.

2. LEI DE AMPÈRE A Lei de Ampère possui características distintas da Lei de Gauss, que você conheceu na aula 1. A lei que você vai estudar agora se baseia na ideia de que o fluxo magnético de através de qualquer superfície fechada é sempre igual a 0, existindo ou não correntes no interior da superfície. Observe a imagem a seguir:

Figura 4 – Regra da mão direita usada para determinar o sentido do campo magnético. O polegar aponta no sentido da corrente e os demais dedos o sentido do campo. Fonte: Searway e Jewett (2008).

O campo magnético é constante para qualquer circunferência de raio a e paralelo à circunferência do fio, como mostra a figura. A Lei de Ampère é formulada em termos de uma integral de linha de em torno de uma trajetória fechada:

No início da aula, calculamos o campo magnético para um fio condutor. Podemos utilizar o resultado obtido lá para compreender a ideia básica da Lei de Ampère. Como os vetores e ds são paralelos, o produto se torna simplesmente B . ds. Com isso, podemos escrever a Lei de Ampère matematicamente como: , (7.4) em que r é a distância entre o condutor e o campo, e a integral de linha de ds é o próprio comprimento da circunferência (2πr).

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AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

Apesar de a expressão anterior ter sido obtida para um fio condutor, a Lei de Ampère vale para qualquer que seja a forma do condutor e do percurso escolhido. De forma geral, a Lei de Ampère pode ser escrita da maneira a seguir. A integral de linha de

ao redor de qualquer caminho fechado é igual a μ0I, em que I é a

corrente atravessando qualquer superfície delimitada por uma superfície fechada: (7.5) Observe alguns exemplos. Exemplo 3 – Campo magnético criado por um fio longo percorrido por uma corrente Considere um fio reto de raio R percorrido por uma corrente I. Calcule o campo magnético a uma distância r do centro do fio para r ≥ R e r ≤ R, como mostra a figura a seguir.

Figura 5 – Fio reto percorrido por uma corrente I. Fonte: Searway e Jewett (2008).

Sabemos que e ds são paralelos em qualquer ponto, então o produto pode ser escrito . simplesmente como B ds. Como é constante em qualquer ponto, podemos escrever a Lei de Ampère da seguinte forma:

(Para r ≥ R ). Note que esse resultado é idêntico à expressão (7.3) obtida no exemplo 1, calculada utilizando a Lei de Biot-Savart. No interior do condutor, em que r < R (círculo 2), a corrente será menor que I e chamaremos de I’. Sabemos que I’ = πr2, assim como I = πR2. Com isso, podemos estabelecer uma relação de proporção entre ambas e determinar I’ em função de I:

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FÍSICA E ELETRICIDADE

Assim, podemos calcular o campo no interior do condutor com a Lei de Ampère:

(Para r < R ). A figura a seguir mostra o comportamento do campo magnético para as diferentes regiões do fio.

Figura 6 – Módulo do campo magnético no interior e no exterior de um condutor cilíndrico percorrido por uma corrente I. Fonte: Sears et al. (2008).

Note que o campo cresce no interior do condutor até chegar em R, em que tem seu valor máximo. Em seguida, o campo cai com o inverso da distância (1/r), como indica a expressão nesse caso ( ).

Exemplo 4 – Campo magnético em um solenoide ideal Os solenoides consistem em um enrolamento de fios em forma de hélice (ou helicoidal). Estão presentes em diversos equipamentos eletrônicos, com os usos mais diversos. O acionamento de campainhas elétricas, a ignição de automóveis e os motores elétricos são apenas alguns exemplos de aplicação dos solenoides. No interior deles, o campo é praticamente constante e bastante intenso, pois as linhas estão bastante próximas. Fora dele, as linhas estão mais espaçadas e o campo é fraco. A imagem a seguir mostra as linhas de campo magnético.

Figura 7 – Campo magnético para um solenoide. Fonte: Adaptado de Searway e Jewett (2008).

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AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

Considerando cada volta muito próxima da outra, podemos aproximá-las a espiras circulares. Nesse caso, as linhas de campo magnético se parecem com as linhas de um ímã em barra, caracterizando os polos norte e sul. Vamos chamar essa configuração de solenoide ideal. Utilizaremos a Lei de Ampère para determinar o campo magnético no interior do condutor. Considere o esquema a seguir:

Figura 8 – Visão da seção transversal para um solenoide ideal. Fonte: Adaptado de Searway e Jewett (2008).

O laço 1 é perpendicular à página e está circulando no exterior do solenoide. Ele considera apenas o campo fraco exterior ao solenoide. Como estamos interessados no campo interno, vamos utilizar o laço 2 e analisar o produto . No exterior do solenoide ideal, consideramos que a contribuição do lado 3 do laço 2 é zero, pois B = 0. Nos lados 2 e 4 do laço 2, é perpendicular a ds, então = 0. Como no lado 1 do laço 2 é paralelo a ds, apenas ele constribui para o cálculo do campo. Assim, a integral considerando todos os lados do laço 2 fica:

A Lei de Ampère relaciona a corrente total que atravessa a área de integração (laço 1), que pode ser determinada multiplicando o número de espiras N pela corrente I que atravessa cada espira (N . I). Substituindo esses resultados na Lei de Ampère, temos:

, (7.6) em que n = N/ℓ é o número de espiras por unidade de comprimento. Note que o campo magnético no interior de um solenoide será mais intenso quando quanto maior for a corrente que percorre as espiras ou quanto maior for o número de espiras. 119

FÍSICA E ELETRICIDADE

Agora, imagine outra situação: você sabe dizer o que acontece quando dois condutores são percorridos por correntes elétricas? É isso que você estudará no próximo tópico.

3. FORÇA MAGNÉTICA ENTRE CORRENTES PARALELAS Lembre-se da aula 6, quando você estudou que, quando um condutor está imerso em um campo magnético, atua sobre ele uma força . Analisar a força entre dois condutores é importante não só em situações práticas como em ligações elétricas, mas também para definir o que é 1 ampère (A) e 1 coulomb (C), como você verá mais adiante. Considere dois fios condutores longos e paralelos separados por uma distância a e percorridos por correntes I1 e I2 , como mostra a figura a seguir.

Figura 9 – Força magnética em dois condutores percorridos por uma corrente. Fonte: Searway e Jewett (2008).

O fio 2 percorrido por I2 cria um campo magnético B2 no fio 1. A intensidade de B2 é a mesma em todos os pontos do fio 1, e é perpendicular ao seu comprimento. A força magnética sentida pelo fio 1 será . Sendo perpendicular a , a intensidade da força será F1 = I1 ℓ B2. Utilizando a expressão (7.3), podemos chegar a uma expressão que depende das correntes, do comprimento do fio e da distância entre eles.

Note que F1 aponta para o fio 2, pois o produto vetorial resulta nessa direção. Pela terceira lei de Newton, sabemos que a toda ação corresponde uma reação, então F2 aponta para o fio 1. Se as correntes estiverem em direções opostas, as forças serão repulsivas. Em outras palavras, as direções das forças serão contrárias. A força entre dois fios paralelos pode ser usada para definir o ampère. Um ampère (1 A) é definido como a corrente que percorre cada fio gerando uma força de 2 x 10–7 N/m. Consequentemente, daí também sai a definição de Coulomb, pois 1A = 1C/s. Note que a força, nesse caso, é escrita da seguinte forma: , em que I1 = I2 = 1 e a = 1m . Essa força é utilizada como referência para ajustar a deflexão de agulha de amperímetros analógicos, por exemplo.

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AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

Agora já sabemos que correntes elétricas geram campos magnéticos, e que esses campos interagem uns com os outros por meio de uma força magnética. Agora, é hora de entender como a energia elétrica é gerada.

4. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA Na aula 4, você estudou que, para que uma corrente elétrica possa fluir em um circuito, é necessária uma fonte de fem, provida, por exemplo, por uma pilha/bateria. Porém, a maior parte da energia elétrica que utilizamos vem das usinas geradoras (hidrelétricas, termelétricas, eólicas e nuclear). O princípio físico básico de geracão de energia elétrica é o mesmo para todas elas: a indução eletromagnética. Vamos entender melhor como isso acontece. Durante o início do século XIX, diversas investigações foram realizadas de forma independente pelo inglês Michael Faraday (1791-1867) e pelo americano Joseph Henry (1797-1878). O esquema a seguir ilustra alguns resultados gerais desses estudos.

Figura 10 – Experiementos utilizando ímãs e eletroímãs. Fonte: Sears et al. (2009).

Observe que em (a) uma bobina está conectada a um galvanômetro analógico, um dispositivo que possui basicamente uma bobina associada a um ímã e uma haste fina que se assemelha a uma agulha. Quando determinada corrente elétrica passa pela bobina, a haste imantada sofre uma deflexão, pois o campo magnético produzido pela corrente elétrica interage com o campo magnético do ímã por uma força magnética. Quando nao existe corrente na bobina, uma mola presa à haste faz com que ela retorne ao ponto inicial. Esse dispositivo é a base de funcionamento de amperímetros (dispositivo que mede corrente), voltímetros (dipostivo que mede voltagem ou ddp) e ohmímetros (dipositivo que mede resistência elétrica).

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FÍSICA E ELETRICIDADE

Figura 11 – Esquema básico de funciomanento de um galvanômentro. Fonte: Shutterstock (2014).

Aprenda a construir um galvanômetro analógico simples pelo link <https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/7296/15140>.

Se o ímã está parado (em repouso), nada acontece com o galvanômetro. Em (b), o ímã se move para cima ou para baixo e o gavanômetro detecta uma corrente, mas somente durante o movimento. Se o ímã ficar parado, mas a bobina for movida para cima ou para baixo, também é detectada uma corrente. Ela é chamada de corrente induzida, e a fem relacionada, de fem induzida. Quando substituimos o ímã por uma bobina ligada a uma bateria e não a movemos, nenhuma corrente é detectada. Porém, quando movemos umas das bobinas, uma corrente é detectada, como em (c). Quando as bobinas estão paradas, como em (d), e variamos a corrente em uma das bobinas por meio de uma chave, observamos uma corrente induzida na outra.

Em qualquer configuracão que faça variar o campo magnético no interior de uma bobina (seja movendo um ímã ou eletroímã em relação a uma bobina ou alterando as dimensões da bobina), uma corrente será induzida

Essa variação do campo magnético é definido em termos de fluxo, como fizemos na aula 1 para o campo elétrico. Considerando uma superfície qualquer, como mostra a imagem a seguir, podemos considerar um elemento de área por onde atravessa um campo magnético .

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AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

Figura 12 – Superfície arbitrária atravessada por um campo magnético. Fonte: Searway e Jewett (2008).

O fluxo magnético ΦB é definido como o produto entre o campo e a área da superfície que ele atravessa: (7.7) Considerando a existência de um ângulo θ entre e , a contribuição do campo para o fluxo será ΦB = B . dAcosθ. A imagem a seguir mostra três situações para o fluxo magnético através de uma superfície plana.

Figura 13 – Fluxo magnético para três configurações entre os vetores campo magnético e vetor normal à área. Fonte: Sears et al. (2008).

O fluxo magnético ΦB total sobre uma superfície é definido como: (7.8) 123

FÍSICA E ELETRICIDADE

O fluxo magnético possui diferenças em relação ao fluxo elétrico, que você viu na aula 1, como destacado na figura a seguir.

Figura 14 – Linhas de campo magnético à esquerda e linhas de campo elétrico à direita. Fonte: Adaptado de Searway e Jewett (2008).

O número de linhas do campo magnético que entram na superfície fechada é igual ao número de linhas que saem, assim o fluxo magnético é nulo. Já para o dipolo elétrico, as linhas de campo apenas saem da superfície, logo o campo elétrico não é nulo. Assim, podemos definir uma relação para o eletromagnetismo similar à Lei de Gauss da eletricidade. É a Lei de Gauss para o eletromagnetismo: » » o fluxo magnético ΦB através de uma superfície fechada é zero:

A natureza magnética da matéria está relacionada com uma propriedade intrínseca dos elétrons, chamada de spin. Para entender melhor como isso acontece, assista ao vídeo a seguir, da UFRGS TV. <http:// www.youtube.com/watch?v=JiZtwEKG048>.

4.1 LEI DE FARADAY Como você acabou de ver, a variação do fluxo magnético em uma espira ou bobina fechada induz uma corrente e uma fem nessa bobina. Este efeito é chamado de Lei de Faraday, e é definido como: (7.9) Note que o sinal negativo indica que o sentido da fem é oposto ao sentido da taxa de variação do fluxo magnético. Considerando uma bobina com N espiras, a fem induzida será proporcional ao número de espiras: 124

AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

(7.10) Uma das aplicações mais importantes da Lei de Faraday é a geração de energia elétrica para a sociedade. Nos exemplos a seguir, você entenderá melhor como isso ocorre. Exemplo 5 – Adaptado de Sears et al. (2008) – Alternador simples A figura adiante mostra uma versão simplificada de um alternador, dispositivo que gera uma fem. Uma espira retangular gira com velocidade angular ω em tono de um eixo. O campo magnético é uniforme e constante. No instante t = 0, φ = 0. Qual é a fem induzida pelo dispositivo?

Figura 15 – (a) A espira está na posição em que o ângulo f = ωt = 90º. (b) Gráfico do fluxo magnético através da espira e da fem resultante nos terminais ab. Fonte: Sears et al. (2008).

Resolução Sabemos que a fem induzida é dada pela Lei de Faraday. Precisamos determinar o fluxo magnético. Como o campo é uniforme, o eixo de rotação da espira é perpendicular ao campo e a variação do angulo φ é igual a ω, logo φ = ωt. O fluxo magnético pode ser escrito como: ΦB = B . Acos(wt) Substituindo na Lei de Faraday, teremos:

A fem induzida depende senoidalmente do tempo, atingindo seu valor máximo em módulo quando φ = 90 ou φ = 270. A corrente gerada no circuito é alternada e também varia senoidalmente em módulo, direção e sentido. Assim, um alternador é chamado de gerador de corrente alternada (ou gerador CA). Para aumentar a amplitude da fem, pode-se aumentar a velocidade de rotação, a intensidade do campo magnético, a área da espira ou o número N de espiras. Os alternadores são utilizados em

125

FÍSICA E ELETRICIDADE

automóveis, por exemplo, onde são ligados ao eixo motor para gerar a rotação, ou em usinas elétricas, só que com dimensões bem maiores. Exemplo 6 – Gerador com haste deslizante Considere um circuito formado por uma barra de comprimento ℓ que pode deslizar sobre dois condutores paralelos, como mostra o esquema a seguir. Para facilitar nossa análise, vamos admitir que a barra possui resistência 0 ligada a uma resistência R. Um campo magnético constante e uniforme é aplicado perpendicularmente ao plano do circuito. Como a barra se move para a direita com velocidade sob influência de uma força aplicada , as cargas livres na barra se movem em um campo magnético e sentem uma força magnética ao longo do comprimento da barra. Nesse caso, a fem induzida no sistema se dá pelo movimento da haste, que faz o fluxo magnético variar quando a área varia. Determine a fem induzida, a corrente, a potência gerada e a velocidade da barra.

Figura 16 – (a) Haste deslizante varia a área do sistema, que, quando imerso em um campo magnético, gera uma fem. (b) Um diagrama de um circuito equivalente. Fonte: Adaptado de Searway e Jewett (2008).

Resolução Novamente, precisamos determinar o fluxo magnético sobre a área. Como o campo e a área são perpendiculares, o fluxo pode ser escrito simplesmente como ΦB = B . A. A área em qualquer instante pode ser determinada fazendo: ΦB = B . ℓx Agora podemos utilizar a Lei de Faraday:

Como a variação do espaço percorrido no tempo dá a velocidade (dx/dt = v), a expressão anterior fica:

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AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

ε = –Bℓv (7.11) Essa é a fem gerada pela barra se movendo com velocidade v. A corrente que irá percorrer o circuito depende da resistência e será: (7.12) Note que a energia provida ao sistema se dá pelo trabalho realizado sobre a barra. Como a barra se move com velocidade constante ( ), então . Assim, a potência gerada pela força aplicada (potência mecânica) pode ser determinada fazendo: ,

que será igual à potência elétrica

, em que V = ε:

A velocidade pode ser determinada utilizando as Leis de Newton. Vamos considerar que a barra é lançada com uma velocidade inicial para a direita ( ), de forma que não haja força aplicada no sentido da velocidade após o lançamento, como mostra o esquema a seguir.

Figura 17 – Barra se movendo para a direita com uma velocidade inicial ( ). Fonte: Searway e Jewett (2008).

Quando a barra se move, surge uma corrente no sistema, que gera uma força magnética FB = IℓB no sentido contrário ao do movimento, que irá frear a barra. O sinal negativo indica que o sentido da força é para a esquerda. Como só há essa componente da força, fazemos:

Como I = Bℓv/R, fazemos:

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FÍSICA E ELETRICIDADE

Isolando a variável v, teremos:

Integrando a velocidade de vi até v e o tempo de 0 até t:

Como o termo B2ℓ2/mR é constante, podemos chamá-lo de τ. Utilizando uma propriedade dos logaritmos, a expressão para a final fica: v = vie–t/τ Note que a velocidade da barra cai exponencialmente com o tempo.

Assista ao vídeo disponível no link a seguir <https://www.youtube. com/watch?v=kPG5oYUnP5c> e confira alguns experimentos sobre indução eletromagnética.

4.2 LEI DE LENZ A Lei de Faraday indica que a fem induzida possui sinal contrário à mudança do fluxo magnético. Este efeito é chamado de Lei de Lenz, e pode ser enunciado como: A fem induzida em uma espira gera uma corrente cujo campo magnético se opõe à variação do fluxo magnético na área delimitada pela espira. Você conseguirá entender melhor esse efeito analisando duas situações para o movimento da barra do exemplo anterior, como mostrado pelo esquema a seguir.

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AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

Figura 18 – (a) O fluxo magnético aumenta com o tempo. (b) O fluxo magnético diminui com o tempo. Fonte: Adaptado de Searway e Jewett (2008).

Observe que em (b) o fluxo magnético sobre a área da espira diminui com o tempo. Como o campo é direcionado para dentro da página, a corrente induzida é invertida no sentido horário e produz um campo também para dentro da página. Tanto em (a) quanto em (b), a corrente induzida busca manter o fluxo original pela área delimitada pela espira. Para entender melhor, analise a situação do ponto de vista da lei da conservação da energia. Se a barra se movesse para a direita e a corrente fosse no sentido horário, a força magnética seria no mesmo sentido da velocidade. Isso faria a barra acelerar e aumentar o fluxo cada vez mais rápido e, consequentemente, ocorreria o aumento da fem. Desse modo, o sistema iria adquirir e aumentar sua energia sem que um agente externo realizasse trabalho sobre o sistema. Ou seja, ele seria o próprio fornecedor de sua energia, e não um dispositivo que utiliza uma forma de energia (por exemplo, cinética) para transformá-la em outra (como a elétrica). É como se uma pessoa não precisasse ingerir alimentos para obter energia. Seu próprio corpo forneceria energia para manter seu organismo funcionando. Dessa forma, a energia seria criada a partir do nada! Isso iria contra as leis de conservação de energia: ela nunca se cria, mas sempre se transforma.

4.3 AUTOINDUTÂNCIA Você estudou que, quando o fluxo magnético varia no interior de uma espira, ele gera uma fem e uma corrente induzida na espira. Agora, você verá que a própria variação da corrente no circuito produz uma fem induzida que se opõe à fem inicial do sistema. Isso porque a corrente no circuito produz um campo magnético, como mostra o esquema a seguir.

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FÍSICA E ELETRICIDADE

Figura 19 – Autoindutância em um circuito simples. Fonte: Adaptado de Searway e Jewett (2008).

Quando a chave S é fechada, a corrente no circuito não vai instantaneamente para o seu valor máximo (e/R), o que faz a corrente variar no tempo. O campo magnético produzido aumenta de intensidade e atravessa a espira causando uma variação do fluxo magnético sobre ela. Isso causa uma fem induzida no sistema. A direção da fem induzida é oposta à direção da fem original. Este efeito no circuito é chamado de autoindutância. Como a fem induzida é proporcional à taxa de variação da corrente, para uma bobina com N espiras, podemos reescrever a Lei de Faraday como: (7.13) em que L é uma constante de proporcionalidade chamada de indutância da bobina. Ela determinará a intensidade da fem induzida para determinada bobina e depende das características dela, como a sua geometria. A indutância também pode ser escrita como: ou

(7.14)

A unidade de indutância no SI é o Henry (H), em homenagem a Joseph Henry, que descobriu o fenômeno da autoindução. Você compreenderá melhor essas ideias por meio de um exemplo. Exemplo 7 – Indutância de um solenoide Considere um solenoide de comprimento ℓ com N espiras uniformemente enroladas. Assuma que o comprimento ℓ é muito maior do que o raio do solenoide e que seu núcleo esteja cheio de ar. a) Determine a indutância do solenoide. b) Calcule a indutância, considerando que o solenoide possui 300 espiras, 25 cm de comprimento e área de seção transversal de 4 cm2. c) Calcule a fem autoinduzida no solenoide se a corrente cair a uma taxa de 50 A/s.

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AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

Resolução a) A indutância L está relacionada com o fluxo da seguinte maneira:

(7.15) O fluxo magnético para um solenoide foi calculado no tópico 3 como:

Substituindo na expressão (7.15), obtemos a indutância do solenoide:

b) Primeiro, tente resolver essa questão você mesmo. Para conferir se fez tudo certo, acompanhe a resolução:

L = 1,81 x 10–4T m2/A = 0,181mH c) Aproveite e também tente resolver esta questão. Se quiser conferir, a resolução deve ser feita da seguinte forma:

εL = 9,05mV Agora que você já estudou a indução, é hora de aprender sobre circuitos contendo uma fonte de fem, um indutor (L) e uma resistência (R), chamados de circuitos RL.

4.4 CIRCUITOS RL Como você já aprendeu, um circuito contendo um solenoide indutor não aumenta nem diminui a intensidade da corrente instantaneamente. O dispositivo responsável por esse efeito é chamado de indutor (L), representado como . Você estudará os efeitos de um indutor através do circuito simples a seguir.

131

FÍSICA E ELETRICIDADE

Figura 20 – Circuito RL. Fonte: Searway e Jewett (2008).

Considere que a fonte não possui resistência interna, assim a fem é igual à ddp fornecida pela fonte. Inicialmente, as duas chaves (S1 e S2 ) estão abertas. Em um instante t = 0, fechamos S1. A corrente aumenta com uma taxa que depende de L. Se em um dado instante após o fechamento de S1 a corrente for I, a diferença de potencial no resistor será ∆VR = IR e a diferença de potencial no indutor será

Aplicando a regra das malhas de Kirchhoff - que você viu na aula 5 - para a queda de potencial do circuito, percorrendo a malha no sentido anti-horário, chegamos à expressão: (7.16) Essa expressão é uma equação diferencial. Para encontrar uma expressão para a corrente em função do tempo, é preciso resolvê-la. Se dividirmos toda a expressão por R, teremos:

Agora, fazemos uma substituição de variáveis arbitrária com x = (ε/R) e dx = – dI. Assim, a expressão fica:

Rearranjando os termos e integrando:

Como o logaritmo natural é uma função inversa da exponencial e (x = lny

y = ex), fazemos:

x = x0e–Rt/L Agora precisamos determinar as constantes x e x0. Note que, para t = 0, i = 0, então x0 = ε/R . Substituindo na expressão anterior temos: 132

AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

(7.17) Essa expressão dá a corrente obtida em um circuito RL. A variação da corrente em função do tempo é obtida fazendo:

Observe que, em t = 0, I = 0 e dI/dt = ε/L. Quando t

∞, I

ε/R e dI/dt

Podemos escrever também a expressão (7.17) em função de um constante τ como:

em que τ = L/R é a constante de tempo para um circuito RL. Fisicamente, essa constante representa o intervalo de tempo para a corrente chegar a 63,2% do valor final ε/R. A imagem a seguir mostra (a) o aumento na corrente em função do tempo e (b) a queda na taxa de variação da corrente em função do tempo.

Figura 21 – (a) Gráfico da corrente versus tempo para um circuito RL. (b) Gráfico da taxa de variação da corrente versus o tempo para um circuito RL. Fonte: Searway e Jewett (2008).

Agora vamos considerar que a chave S2 no circuito do nosso exemplo é movida de a para b. Nesse caso, a fonte de fem é desligada do circuito (ε = 0) e a expressão (7.17) se torna: (7.18) A solução para a equação diferencial anterior é: (7.19) em que

é a corrente no instante em que a chave é ligada em b. A figura a seguir mostra a

queda na corrente nesse caso. 133

FÍSICA E ELETRICIDADE

Figura 22 – Queda de corrente para um circuito RL quando desligado da fonte de fem. Fonte: Searway e Jewett (2008).

Note que, se o circuito não possuir um indutor, a corrente pode imediatamente cair a 0 se a fonte de fem for removida. Com um indutor, a corrente no circuito cai de forma exponencial. Você verá a seguir como a energia é armazenada no indutor.

4.5 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO MAGNÉTICO Você acabou de ver uma situação em que há uma queda de potencial no resistor e no indutor. O resistor dissipa parte da energia fornecida pela fonte. Supondo que o indutor possua resistência nula, a parte restante da energia é armazenada por ele. A energia fornecida para o indutor pode ser determinada pela potência fornecida:

Sabemos que a energia total pode ser calculada pelo produto da potência pelo tempo (∆U = P∆t). Para um tempo infinetisimal dt, teremos:

Então, a energia total U fornecida pela fonte quando a corrente aumenta de 0 até determinado valor I pode ser calculada integrando a expressão anterior:

Essa é a energia armazenada por um indutor e pode ser fornecida para o circuito quando necessário. É possível escrever também a densidade de energia (energia por unidade de volume) utilizando a expressão para a indutância de um solenoide (L = μ0n2Aℓ) em que B = μ0nI, como:

134

AULA 7 – LEI DE AMPÈRE E LEI DE FARADAY

Uma análise interessante pode ser feita quando o circuito é desligado repentinamente. Como a corrente diminui de forma muito rápida, a fem induzida se torna muito grande e a energia pode ser descarrega através de um arco voltaico (pequeno raio) entre os terminais da chave de desligamento, por exemplo. Observe que, quando há uma corrente estacionária no indutor (dI/dt = 0), nenhuma energia é liberada. Ela só será liberada quando a corrente diminuir. Uma aplicação desse efeito se dá na ignição de alguns automóveis. Uma bobina (indutor) primária com aproximadamente 250 espiras é conectada à bateria e produz um forte campo magnético. Essa bobina é cercada por outra com aproximadamente 25.000 espiras de um fio muito fino. Quando há a necessidade de produzir uma centelha (faísca) para dar a partida no motor, a bobina primária é interrompida. A taxa de variação do campo magnético cai a 0 muito rapidamente e induz uma fem muito forte, de centenas de volts, na bobina secundária. Assim, a energia armazenada nesta bobina é fornecida para a vela, que produz uma centelha para dar ignição da mistura de ar e combustível no motor.

Assista à animação no link <http://www.youtube.com/ watch?v=E1xAIdA6ai0> para visualizar, de forma esquemática, o efeito da indução no sistema de ignição de automóveis.

Esse dispositivo atua como um transformador. Ou seja, um sistema utilizando bobinas com características físicas diferentes pode ser utilizado para aumentar ou diminuir a ddp de um circuito. Os transformadores estão presentes em quase todos os dispositivos que utilizam eletricidade. Desde as usinas geradoras até as fontes e os carregadores que utilizamos com frequência nos celulares e computadores, por exemplo.

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FÍSICA E ELETRICIDADE

CONCLUSÃO Nesta aula, você estudou como determinar campos magnéticos produzidos por correntes elétricas percorrendo condutores através das Leis de Biot e Savart e de Ampère. Viu como calcular campos magnéticos para algumas configurações, como fios retilíneos e anéis condutores, e observou que surge uma força magnética sobre dois condutores quando percorridos por uma corrente. Em seguida, você leu sobre o fenômeno da Indução Eletromagnética e visualizou as Leis de Faraday e Lenz. Verificou que existe uma Lei para o fluxo magnético similar à Lei de Gauss para o fluxo elétrico, e que configurações que fazem o fluxo magnético variar no interior de espiras induzem uma fem e uma corrente nelas. Esse é o princípio físico do processo de produção de eletricidade e também do funcionamento de motores elétricos. Na sequência, você viu que o fenômeno da indutância pode ser aproveitado em um circuito através de um dispositivo chamado de indutor, que nada mais é do que uma bobina. Estudou como determinar a corrente de um circuito que possui uma fonte de fem, um resistor e um indutor (circuito RL), e viu que o resistor dissipa energia enquanto o indutor armazena energia. Finalizamos mais uma aula. Na próxima, você estudará os circuitos RLC e a contribuição de Maxwell para o eletromagnetismo. Apesar de os fenômenos terem sidos investigados e descobertos principalmente pelos cientistas que dão nome às leis, como Gauss, Faraday e Ampère, muito do formalismo matemático que vimos até agora não havia sido escrito da mesma forma por eles. Grande parte deste trabalho foi feito por Maxwell, o que permitiu também prever teoricamente a natureza ondulatória da luz, ou melhor, as ondas eletromagnéticas. Maxwell sintetizou todo esse conhecimento em quatro equações, chamadas de Equações de Maxwell, assunto da próxima aula. Até lá!

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AULA 8 Circuitos em Corrente Alternada e Equações de Maxwell

INTRODUÇÃO Você já teve a oportunidade de analisar modelos de circuitos elétricos de corrente contínua, bastante presente em alguns equipamentos. No entanto, a tensão elétrica da rede doméstica é alternada! Aparelhos como liquidificadores e geladeiras são ligados diretamente à tomada porque foram planejados para funcionar com esse tipo de corrente. Verifique a fonte carregadora/transformadora de algum dispositivo eletrônico como notebook ou celular. Você encontrará descrições parecidas com estas na etiqueta de qualquer carregador: Entrada: 100 - 240 V~ 1,6 A 50 - 60 Hz. Saída: 19 V 3,42 A 65 W. Os valores 50 - 60 Hz e o símbolo ~ indicam que a ddp oscila ao longo do tempo, enquanto o sinal representa ddp e corrente contínuas. Portanto, a tensão e a corrente elétrica de entrada na fonte são alternadas. Por outro lado, a corrente que sai dessa fonte e carrega a bateria do aparelho é contínua.

FÍSICA E ELETRICIDADE

Essa fonte possui capacitores, resistores e indutores em seu circuito. Você já viu que capacitores armazenam campo elétrico devido às cargas estáticas e que o indutor armazena campo magnético quando há corrente elétrica em suas espiras. Como esses dispositivos influenciam um ao outro, e um armazena energia elétrica com cargas estáticas e o outro quando em movimento? Para compreender isso, você estudará situações nas quais tanto o sentido quanto a intensidade da corrente variam ao longo do tempo. Isso pode ocorrer em ligações diretas entre indutores e capacitores ou também por causa da fonte. Você também verá os circuitos chamados RLC e as equações de Maxwell.

OBJETIVOS » » Conhecer e interpretar circuitos de corrente alternada. » » Conhecer e interpretar as equações de Maxwell. » » Estudar exercícios resolvidos.

1. CIRCUITOS RLC Antes de estudar as correntes alternadas, você analisará circuitos compostos por indutores e capacitores com corrente contínua. Assim, você conhecerá o comportamento da corrente elétrica em indutores e da carga elétrica em capacitores.

Utilizaremos as definições de energia elétrica e magnética que você estudou na aula 7. Se precisar, faça uma revisão!

1.1 ASSOCIAÇÃO ENTRE INDUTOR E CAPACITOR (LC) SEM RESISTÊNCIAS Primeiro você conhecerá o modelo mais simples de associação entre indutor e capacitor, como mostra o circuito da figura a seguir.

Figura 24 – Capacitor C e indutor L conectados entre si, mas separados por uma chave s. Fonte: Mannrich (2014).

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AULA 8 – CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA E EQUAÇÕES DE MAXWELL

A chave s, inicialmente, está aberta. Apenas quando ela for fechada é que as cargas poderão se deslocar ao longo do circuito. Considere que o capacitor esteja totalmente carregado (carga Q), que os fios sejam ideais (sem resistência elétrica) e que toda energia elétrica ou magnética envolvida não seja dissipada para fora do circuito. Podemos, portanto, descrever a energia do sistema como uma função dessas formas de energia. No entanto, precisamos avaliar quais são as condições iniciais imediatamente após a chave s ser fechada. No instante inicial ti, a carga elétrica no capacitor é Q e não há corrente elétrica no circuito, logo, podemos escrever a energia interna U do sistema como: (8.1)

(8.2) Podemos concluir que a energia total desse sistema equivale à energia potencial elétrica máxima do capacitor e, consequentemente, a soma das energias potenciais magnética e elétrica será igual a esse valor a qualquer instante. Porém, apesar de saber o valor total, ainda não sabemos como a energia do sistema varia ao longo do tempo. Se a energia potencial no sistema é constante no tempo, a taxa dU/dt é nula. Portanto, podemos desenvolver a equação 8.1 como:

Como a taxa dt/dq equivale à corrente I e a taxa dI/dt é a derivada segunda da carga no tempo, reescrevemos a equação como:

(8.3)

139

FÍSICA E ELETRICIDADE

Essa equação possui a mesma estrutura que a de um oscilador harmônico simples:

cuja solução é:

Em que ω é a frequência angular, que é a taxa de variação de ângulo por unidade de tempo (velocidade do ciclo) e φ, por sua vez, é a fase angular, representando o ângulo do ponto de partida do ciclo oscilatório. Ainda não é hora de entrar em detalhes sobre isso. Você terá a oportunidade de aprofundar-se nesse assunto na disciplina Física Ondas e Calor. A solução da equação 8.3 e seus parâmetros será: (8.4) (8.5) Sabendo como a carga q varia com o tempo a uma frequência angular ω, podemos utilizar dq/dt para encontrar a corrente e reescrever a energia do sistema em função do tempo. (8.6) (8.7) A constante φ, por sua vez, será considerada nula, pois a carga q será máxima (Q) no instante t = 0. Substituindo essas funções na equação da energia, obtemos:

(8.8) As funções seno e cosseno alternam os pontos em que atingem a amplitude máxima ou o valor nulo. Portanto, a energia do sistema vai oscilar entre a energia elétrica no capacitor e a energia magnética no indutor. Em outras palavras, ora a energia estará armazenada só no capacitor ( cos2(ωt) = 1, sen2(ωt) = 0) ora só no indutor (

140

quando

quando sen2(ωt)= 0, cos2(ωt) = 1).

AULA 8 – CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA E EQUAÇÕES DE MAXWELL

É preciso salientar, entretanto, que haverá um momento em que as quantidades de energia potencial do capacitor e do indutor irão se igualar. Partindo disso e do valor da energia total do sistema que já calculamos (veja a equação 8.2), podemos afirmar que: (8.9) Portanto, as amplitudes de energia potencial elétrica do capacitor e a da energia magnética do indutor são iguais. O gráfico a seguir representa a oscilação e alternância da energia potencial armazenada nos dispositivos ao longo do tempo. As funções cosseno e seno ao quadrado fornecem valores que oscilam entre 0 e 1.

Figura 25 – Fração da intensidade da energia potencial elétrica (azul) e da magnética (vermelho) ao longo do tempo. Fonte: Mannrich (2014).

Lembre-se de que a análise anterior considera a conservação de energia no circuito. Veja a seguir o que acontece quando incluímos um resistor.

1.2 ASSOCIAÇÃO ENTRE RESISTORES, INDUTORES E CAPACITORES (RLC) Agora, é hora de deixar a situação um pouco mais complexa. Você verá como se comporta uma associação entre resistores, indutores e capacitores nos chamados circuitos RLC. Por praticidade no cálculo, vamos considerar que toda a resistência possa ser representada por um resistor R. No circuito RLC ilustrado a seguir, quando a chave S for conectada no terminal b, haverá uma associação em série de um resistor, um indutor e um capacitor.

Figura 26 – Circuito em que o capacitor C está carregado totalmente pela fonte ε. Fonte: Mannrich (2014).

Você estudou na aula 4 que, ao ser atravessada por uma corrente elétrica, uma resistência R (constante) dissipa a energia elétrica a uma potência R . I2. É o efeito Joule. Na forma diferencial, ele pode ser escrito como:

141

FÍSICA E ELETRICIDADE

Assim, a energia do circuito RLC está sendo dissipada a uma taxa de –R . I2. Portanto, a equação da variação da energia pode ser escrita como: (8.10)

A inserção de um resistor faz do circuito RLC análogo a um oscilador harmônico amortecido, cuja solução, na condição de R < L, é: (8.11) A frequência angular ω é igual a: (8.12)

Note que a carga elétrica no capacitor também oscilará, bem como a energia potencial elétrica, mas o fator exponencial (dependente do valor de R e L) faz com que a função tenda a 0, como você pode ver na figura a seguir. A frequência angular fará com que a carga atinja o máximo de intensidade para um mesmo intervalo de tempo, mas essa intensidade cairá por um fator exponencial.

Figura 27 – Gráfico da variação na quantidade de carga do capacitor em função do tempo. Fonte: Serway e Jewett (2014).

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AULA 8 – CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA E EQUAÇÕES DE MAXWELL

Exemplo 1 No circuito a seguir, a chave S estava conectada ao conector há muito tempo. Assim, o capacitor e o resistor formavam um circuito fechado. Quando a chave for conectada ao terminal b, determine os valores: a) da frequência angular de oscilação do circuito LC; b) da carga máxima do capacitor; c) da corrente máxima no indutor; d) do total de energia no circuito LC.

Figura 28 – Circuito do exemplo 1, no qual a mudança de chave transforma um circuito RC em LC. Fonte: Serway e Jewett (2014).

Resolução A frequência angular de um circuito LC dependerá somente dos valores de capacitância e indutância:

Note que a frequência desse movimento seria:

Para calcular a carga máxima no capacitor, você precisa olhar para o circuito RC e utilizar as equações que você viu na aula 5. Relembre a equação 5.10. Sabemos por meio dela que, após um longo período de tempo, podemos considerar que o capacitor está totalmente carregado e a corrente nesse circuito será nula. Do ponto de vista teórico, o capacitor só estará totalmente carregado quando t ∞. Assim, a carga máxima no capacitor será: Q = C∆V Q = 1,00x10–6 . 12,0 = 1,20x10–5 C 143

FÍSICA E ELETRICIDADE

No circuito LC, a corrente máxima pode ser encontrada pela equação:

A intensidade da corrente será máxima quando sen(ωt + φ) for igual a +1 ou – 1. Logo, podemos dizer que: Imax = Qω

Imax = 1,20x10–5 . 1,00x107/2 Imax = 1,20x10–3/2 A = 39,9 mA Por fim, a energia total do sistema LC pode ser obtida apenas calculando quando a energia potencial magnética ou elétrica for máxima. Vamos considerar quando o capacitor estiver completamente descarregado:

Circuitos RLC podem parecer inviáveis, já que a carga elétrica é reduzida ao longo do tempo, como você acabou de aprender. Mesmo assim, eles têm várias aplicações. São utilizados, por exemplo, nas transmissões de ondas de rádio pelas emissoras e nos aparelhos de rádio. Como isso é possível? Como a resistência sempre está presente, é necessário diminuir o seu valor e também fornecer uma ddp externa para que a carga e a energia elétrica no circuito não diminuam. Você verá a seguir como a inserção de uma fonte altera esse processo.

2. CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Você sabia que a rede elétrica de sua casa oscila a 60 Hz? Olhe na fonte e em transformadores de alguns aparelhos e verifique que eles funcionam para uma faixa de frequência, por exemplo: de 50 a 60 Hz, como exemplificamos na introdução. Você viu que os componentes do circuito RLC sem fonte provocam uma oscilação na corrente ao longo do tempo em uma função senoidal. Agora, vamos considerar que exista uma fonte de tensão fornecendo uma ddp oscilante, que é o caso de qualquer residência. Uma fonte de corrente alternada gera uma ddp variável no tempo, com valor máximo igual a ∆Vmáx, cuja função é: 144

AULA 8 – CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA E EQUAÇÕES DE MAXWELL

∆V(t) = ∆Vmáx . sen(ωt) (8.13) em que ω é a frequência angular da função. Os 60 Hz da rede elétrica comum dizem respeito à frequência da rede (f), que equivale à frequência angular de 377 rad/s. Note que ∆V(t) poderá assumir valores tanto positivos quanto negativos e, portanto, a diferença de potencial irá se inverter e provocar correntes em sentidos alternados ao longo do tempo.

Se quiser conhecer os motivos que levaram à escolha de corrente alternada no lugar de corrente contínua, em uma disputa que é conhecida por “a guerra das correntes”, assista ao documentário “Guerra elétrica”, do Discovery Science.

2.1 RESISTOR EM CORRENTE ALTERNADA Considere um circuito simples, no qual um resistor R está conectado a uma fonte de corrente alternada de ddp ∆V(t). Podemos descrever a ddp nesse circuito como: ∆V(t) = RIR, em que IR é a corrente que passa pelo resistor. Com base na equação 8.13, a corrente no resistor pode ser expressa como: (8.14) (8.15) A diferença de potencial provocada pelo resistor também será dependente do tempo: ∆V(t) = RImáx . sen(ωt) (8.16) Se a corrente é variável, como analisar a potência dissipada no resistor? Oscilando entre –Imáx e +Imáx, pode-se dizer que é nula a média dos valores da corrente após um ciclo completo e, portanto, isso poderia levar à interpretação equivocada que a potência dissipada seria nula. No entanto, devemos considerar que a dissipação térmica (efeito Joule) no resistor ocorre independentemente do sentido da corrente, ou seja, a inversão da corrente não fará com que o resistor diminua a sua temperatura. Lembre-se de que a potência dissipada em um resistor é definida como P = R . I2. Isso implica que, independentemente do sentido da corrente e do sinal atribuído, a potência sempre será positiva. Note que, agora, a potência dissipada é variável ao longo do tempo e que somente em dois momentos pequenos de um ciclo ela atingirá seu valor máximo. Portanto, a maior parte da transmissão de calor de um aquecedor elétrico de ar e água, por exemplo, ocorre a potências intermediárias e o pico de potência é atingido duas vezes a cada ciclo de 60 Hz. 145

FÍSICA E ELETRICIDADE

A potência média dissipada poderá ser encontrada a partir do quadrado do valor médio da corrente elétrica. Primeiro, elevamos a corrente ao quadrado e, depois, aplicamos a média:

A média do lado direito da equação, por ter uma função seno, exige a seguinte fórmula:

Substituindo isso na relação anterior para o ciclo de intervalo [0, 2π/ω], obtemos:

Fazendo a substituição trigonométrica

(8.18) Com a equação anterior, podemos encontrar o valor médio da potência dissipada no resistor: (8.19) Muitas vezes, você encontrará em alguns aparelhos a potência indicada com uma inscrição “rms”. O valor rms (root-mean-square, em inglês) significa a raiz quadrada da média do quadrado dos valores. Encontramos que o valor médio do quadrado da corrente elétrica é I2máx/2. Portanto, o Irms equivale a: (8.20) Irms = 0,707 . Imáx (8.21) Atualizando a equação 8.18, obtemos que a potência média é: 146

AULA 8 – CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA E EQUAÇÕES DE MAXWELL

(8.22) Exemplo 2 Calcule: a) a potência máxima dissipada em um resistor R = 30,0 Ω quando ∆Vmáx = 220V b) a potência média (rms); c) o valor de Irms e Imáx. a) A potência no resistor será: P(t) = RI2máx . sen2(ωt) O valor máximo será quando sen2(ωt) = 1, logo:

b) O valor médio é:

c) Os valores de Irms e Imáx são:

Irms = 5,18A Imáx = 7,33A Em aparelhos de som, é muito comum a potência dos alto-falantes ser apresentada como potência rms. O som emitido, no entanto, tem sua origem por meio de indução, que você estudará a partir de agora.

2.2 INDUTOR EM CORRENTE ALTERNADA No interior de um alto-falante, você pode identificar um solenoide e um ímã, representados, respectivamente, pelo enrolamento de cobre no centro e pelo ímã anelar na parte inferior direita da figura adiante. Muitos deles funcionam com corrente alternada. A reação de um indutor a uma corrente alternada será objeto de estudo agora.

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FÍSICA E ELETRICIDADE

Figura 27 – “Vista explodida” de um alto-falante. O cone do alto-falante emite o som quando o solenoide se movimenta por repulsão e atração magnética com o ímã. Fonte: Shutterstock (2014).

Veja este ensaio sobre caixas de som feito pelo Inmetro. Nele, você poderá perceber a importância de utilizar a potência em rms. Acesse: <http://www.inmetro.gov.br/consumidor/produtos/potsonora.asp>.

Considere que somente o indutor de um alto-falante esteja conectado a uma fonte de corrente alternada. Lembrando a aula 7, a ddp sobre o indutor pode ser expressa da seguinte forma:

Para encontrar a corrente, vamos isolar dIL: (8.23) Integrando essa expressão, obtemos a corrente instantânea ao longo do tempo: (8.24)

(8.25) Portanto, a intensidade da corrente máxima Imáx será: (8.26)

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AULA 8 – CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA E EQUAÇÕES DE MAXWELL

Note que a diferença entre a corrente máxima no caso do indutor e a do resistor é que o produto ωL substitui a resistência. O comportamento da frequência angular e da indutância é de provocar alguma forma de resistência ao fluxo de cargas. O produto dessas variáveis é chamado de reatância do indutor XL: XL = ωL (8.27) Consequentemente, a equação 8.26 pode ser reescrita como: (8.28) A ddp em um indutor pode ser descrita da seguinte forma: ∆VL(t) = Imáx XL sen(ωt) (8.28) A corrente rms pode ser relacionada com a reatância pela relação: (8.28) Você vai estudar agora que o capacitor também apresenta essa característica de resistência e de quais aspectos ela depende.

2.3 CAPACITOR EM CORRENTE ALTERNADA De forma semelhante à adotada anteriormente, vamos avaliar um circuito simples para estudar o comportamento de um capacitor quando submetido a uma fonte de corrente alternada. A carga em um capacitor que esteja conectado à fonte de corrente alternada pode ser expressa por: q(t) = C∆Vmáx sen(ωt) (8.29) Consequentemente, a corrente elétrica será: IC(t) = ωC∆Vmáx cos(ωt) (8.30) (8.31) Da equação anterior obtemos que o módulo da intensidade máxima da corrente é: Imáx = ωC∆Vmáx (8.32) Por meio da equação anterior, podemos encontrar a reatância capacitiva (Xc), cuja definição é: (8.33)

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FÍSICA E ELETRICIDADE

Note que quanto maior a frequência ou a capacitância, menor será a intensidade com que o capacitor resistirá ao fluxo de cargas. A equação da corrente pode ser reescrita como: (8.34) Por fim, a ddp do capacitor pode ser expressa por: ∆VC(t) = ∆Vmáx sen(ωt) (8.35) ∆VC(t) = Imáx XC sen(ωt) (8.36) Agora que trabalhamos com cada componente separadamente, podemos estudar um circuito em que todos estejam atuantes ao mesmo tempo.

2.4 CIRCUITO RLC EM CORRENTE ALTERNADA Agora que vamos analisar todos os componentes atuando juntos e em série, é importante levar em consideração que a corrente elétrica deverá ser a mesma para todos a cada momento, ou seja, a corrente elétrica deverá estar em fase no resistor, no indutor e no capacitor. Outro ponto a ser considerado é que a ddp em cada componente não estará em fase um com o outro. Verifique nas equações anteriores a fase das ddp e das correntes para cada tipo de componente. Caso a fonte opere a: ∆V(t) = ∆Vmáx . sen(ωt) E a corrente obedeça, nesse circuito, a: I(t) = Imáx . sen(ωt – φ) A fase no resistor será igual à da fonte, pois a ddp no resistor será máxima quando a corrente for máxima: ∆VR(t) = RImáx . sen(ωt) (8.37) Para o capacitor, vimos que o máximo de ddp está defasado em ¼ de ciclo em relação à corrente: (8.38) No indutor, sempre há um adiantamento de ¼ de ciclo em relação à corrente elétrica: (8.39) A ddp do circuito com os componentes em série é: ∆V = ∆VR + ∆VL + ∆VC

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AULA 8 – CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA E EQUAÇÕES DE MAXWELL

(8.40) Uma possível solução para a equação diferencial anterior é: q(t) = Qcos(ωt – φ) (8.41) Substituindo 8.41 na 8.40: (8.42)

Vamos utilizar a condição t = 0 para encontrar a fase φ:

(8.43)

(8.44) Esse é o ângulo de fase entre a corrente e a ddp da fonte. Quando XL > XC, a corrente estará atrasada em relação à ddp em um fator –φ. No caso contrário, quando XC > XL, a corrente estará um ângulo +φ adiantada em relação à ddp da fonte. Assim, ligar e desligar eletrodomésticos com motores elétricos (indutivos) ou fontes de computador (capacitivos) altera a fase na rede doméstica. Controlar a capacitância e a indutância também afetará a potência e isso pode ser necessário para oferecer o máximo de corrente e potência ao maquinário de uma indústria, por exemplo. Usando as identidades trigonométricas para substituir cos

e sen

obtemos:

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FÍSICA E ELETRICIDADE

(8.45) Utilizando a equação 8.44, sabemos que:

Substituindo Imáx = – ωQ e a equação anterior na 8.45, obtemos:

Rearranjando os termos:

Substituindo φ e utilizando a relação :

(8.46)

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AULA 8 – CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA E EQUAÇÕES DE MAXWELL

Essa relação mostra que a expressão

caracteriza a resistência que o circuito RLC

exerce para a corrente. Atribuímos a ela o nome de impedância (Z), expressa matematicamente como: (8.47) E o módulo da corrente máxima é: (8.48) Quando XL > XC, diz-se que o circuito é mais indutivo que capacitivo. No caso contrário, quando XC > XL, diz-se que o sistema é mais capacitivo. Se as reatâncias tiverem a mesma intensidade, o sistema é dito puramente resistivo.

No site da Light, a distribuidora de energia do Rio de Janeiro, há uma breve discussão sobre como a reatância pode afetar a potência transmitida e a efetiva. Acesse em: <https://agenciavirtual.light.com.br/ gcav/energiaReativa.do>.

Para calcular a potência média nesse tipo de circuito, é necessário utilizar as funções de ddp e de corrente adotadas anteriormente e aplicar novamente a identidade trigonométrica utilizada para obter a equação 8.45:

Assim como no caso do resistor submetido à corrente alternada, é possível encontrar o valor médio dessa função de potência. Como o valor médio da função e do produto sen(ωt) cos(ωt) = 0, a potência média ( ) de um circuito RLC em série é definida por: (8.49) Em função dos valores em rms, obtemos:

(8.50)

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FÍSICA E ELETRICIDADE

Perceba que a potência depende da fase do circuito. Esta, por sua vez, depende das reatâncias e da resistência do circuito. Podemos concluir, então, que é possível manipular a potência dissipada ao inserir capacitores ou indutores. Se fizermos a substituição da impedância (8.47) e cos

na equação anterior (reveja os passos

para obter a equação 8.46), ficará evidente que a potência depende somente de R:

(8.51) Isso implica que o resistor é a única fonte de dissipação no circuito. Isso ocorre porque tanto o indutor quanto o capacitor retransmitem (idealmente) para o circuito toda energia potencial que for armazenada neles ao longo do ciclo. Exemplo 3 Encontre a impedância, a fase e a corrente máxima de um circuito RLC quando ΔVmáx = 220V, R = 20,0 Ω, XL= 40,0 Ω e XC= 30,0 Ω. Resolução Cálculo da impedância:

Cálculo da fase entre corrente e fonte:

Cálculo da corrente máxima:

Note que a corrente depende das reatâncias que, por sua vez, são dependentes da frequência angular. No próximo tópico, você aprenderá como essa frequência afeta a potência.

2.5 RESSONÂNCIA EM CIRCUITO RLC Você viu que a corrente no circuito e a ddp aplicada possuem frequências que ditam seu funcionamento. Nosso objetivo agora é encontrar qual seria a melhor frequência da fonte para otimizar a potência. Para isso, vamos reescrever a equação 8.51 para evidenciar as reatâncias e, consequentemente, relacionar a potência e a frequência da fonte: (8.52)

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AULA 8 – CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA E EQUAÇÕES DE MAXWELL

Vamos deixar a frequência separada dos demais termos para analisá-la melhor:

Note que, na expressão , o quadrado da frequência da fonte está sendo subtraído por outro termo. A raiz desse termo também se comporta como uma frequência, que chamaremos de ω0. Considere que . Assim, a equação que estamos estudando ficará: (8.53)

(8.54) A potência atingirá seu máximo quando a frequência da fonte for igual ao valor de ω0. Nessa situação, em que ω = ω0, dizemos que o sistema está em ressonância. Por esse motivo, ω0 é chamada de frequência de ressonância ou frequência natural do circuito. Ela depende exclusivamente da indutância e da capacitância do circuito. Para finalizar esta aula, você estudará o conjunto de equações que é a base teórica do eletromagnetismo.

3. EQUAÇÕES DE MAXWELL James Clerk Maxwell (1831-1879) apresentou o conjunto de equações existentes que serviam para explicar os fenômenos de eletricidade e magnetismo. Algumas equações foram reformuladas e outras apenas reescritas por ele. A consolidação dessas relações permitiu a geração de equipamentos emissores de ondas eletromagnéticas que estão presentes em diversos aparelhos comuns, em especial os dependentes de telecomunicação, como rádios e televisores.

3.1 CORRENTE DE DESLOCAMENTO Até o momento, você estudou resistores, indutores e capacitores e viu como eles afetam a ddp no circuito e a corrente elétrica. Uma diferença entre esses três dispositivos é que os dois primeiros evidenciam suas características (resistência e indutância) quando há a passagem de corrente elétrica

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FÍSICA E ELETRICIDADE

pelas suas estruturas. No entanto, isso não deve ocorrer nos capacitores! Se houver deslocamento de cargas entre as placas do capacitor, significa que a ddp rompeu o dielétrico e haverá descarregamento indevido e o campo elétrico armazenado será anulado. Mas qual a implicação disso? Na aula anterior, você aprendeu a Lei de Ampére, que diz respeito à geração de campo magnético quando há um fluxo de cargas. Ela é descrita matematicamente pela seguinte equação:

A integral de linha do campo magnético em um caminho C é proporcional à corrente que atravessa qualquer superfície fechada delimitada por essa curva. Essa afirmação é válida quando a corrente é constante, ou seja, enquanto o campo elétrico não está variando ao longo do tempo. No caso de um capacitor sendo carregado – como na figura a seguir –, haverá uma corrente nos terminais do capacitor, mas o movimento de cargas é interrompido entre as placas onde elas se acumulam.

Figura 30 – Aplicação da Lei de Ampère a um capacitor. A corrente que atravessa superfície S1 não atravessa a superfície S2, mesmo ambas estando delimitadas pelo mesmo caminho C. Fonte: Serway e Jewett (2014).

Assim, podemos desenhar as duas superfícies S1 (círculo) e S2 (metade de uma casca elipsoide) que estão delimitadas pelo mesmo caminho C. Sabemos que não haverá corrente entre as placas do capacitor. Haverá, portanto, uma corrente atravessando a superfície S1, mas não na superfície S2. Portanto, Para S1:

Para S2: Isso é inconsistente, pois o campo magnético no caminho C seria nulo para a segunda superfície. Isso contradiz a conservação de cargas. Diante desse problema na Lei de Ampère, Maxwell apresentou uma modificação, inserindo um termo chamado de corrente de deslocamento Id, que é expressa por: (8.55)

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AULA 8 – CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA E EQUAÇÕES DE MAXWELL

Com essa modificação, a Lei de Ampère (também chamada de Lei de Ampère-Maxwell) transforma-se em: (8.56) (8.57) Como a taxa de variação do fluxo do campo elétrico pode ser equiparada com a corrente no fio? Quando estudamos capacitores, concluímos que o campo elétrico entre as placas tem intensidade , sendo A a área de um disco entre as placas. Como o fluxo do campo elétrico será ΦE = EA, a corrente de deslocamento será:

Portanto, a corrente de deslocamento Id equivale matematicamente à corrente I nos terminais do capacitor. Contudo, a diferença é que o campo magnético gerado entre as placas do capacitor não é proveniente de um real deslocamento de carga, mas sim da variação do campo elétrico ao longo do tempo. Essa solução de Maxwell, juntamente com uma revisão que fez dos estudos de cientistas anteriores sobre fenômenos elétricos e magnéticos, culminou em uma obra fundamental sobre o que chamamos hoje de eletromagnetismo. Uma das principais consequências será estudada a seguir.

3.2 EQUAÇÕES DE MAXWELL NA FORMA INTEGRAL Você já estudou algumas das chamadas equações de Maxwell ao longo das aulas anteriores. São quatro equações que foram destacadas por Maxwell e, quando aplicadas em conjunto, dão conta de explicar uma imensa quantidade de fenômenos eletromagnéticos. Segue a lista das equações aplicadas para o vácuo (sem dielétrico). A primeira exprime a Lei de Gauss, na qual o fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada equivale à carga interna dividida por ϵ0: (8.58) Na segunda equação, a Lei de Gauss no magnetismo, o fluxo do campo magnético em uma superfície fechada é nulo. Isso implica que o número de linhas de campo que saem da superfície é igual à quantidade de linhas que entram. Em outras palavras, qualquer material com propriedades magnéticas será caracterizado por um dipolo magnético: (8.59) A Lei de Indução de Faraday indica que a variação de campo magnético gera um campo elétrico: (8.60)

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FÍSICA E ELETRICIDADE

Por último, a Lei de Ampère-Maxwell relaciona a geração de campo magnético devido ao movimento de carga ou variação do campo elétrico: (8.61)

Note a similaridade dessas equações. As duas primeiras dizem respeito à intensidade do campo elétrico e do campo magnético que atravessam uma superfície e como isso está relacionado à carga interna. Nas últimas equações, a integral de linha em um caminho fechado do campo elétrico e do magnético está relacionada, respectivamente, à variação do fluxo do campo magnético e do elétrico. As equações de Maxwell permitiram prever teoricamente que a luz é uma onda eletromagnética. A natureza eletromagnética das ondas de luz, assim como as de rádio, micro-ondas, infravermelho, ultravioleta e raios gama, foi corroborada experimentalmente por Heinrich Hertz (1857-1894). Tais descobertas permitiram o desenvolvimento de tecnologias principalmente nas telecomunicações, iniciando com a invenção do telégrafo.

Assista ao vídeo do Universo Mecânico e conheça um pouco mais sobre o desenvolvimento das equações de Maxwell e suas implicações para o desenvolvimento da sociedade moderna. Basta acessar o link: <https://www.youtube.com/watch?v=_9zwcFby3xA>.

CONCLUSÃO Nesta aula, você estudou circuitos nos quais a corrente oscila ao longo do tempo, seja pela fonte ou até mesmo pelos componentes que estão ligados entre si. A corrente e a tensão da fonte foram representadas segundo uma função senoidal, oscilando a uma taxa de frequência angular ω. Em um circuito RLC, a oscilação da fonte e da corrente não estarão em fase e será necessário diferenciá-las em um ângulo inicial φ. Tanto a corrente quanto a tensão, nesse caso, atingem valores máximos em um curto intervalo de tempo. Você pôde perceber que, nos circuitos RLC, tanto os indutores quanto os capacitores apresentam um comportamento resistivo ao longo do tempo, efeito que chamamos de reatância. No entanto, ao contrário da resistência, as reatâncias indutiva e capacitiva não são dissipativas, pois são dispositivos que transferem ao circuito a energia que armazenam durante seu funcionamento. Assim, a potência é dissipada somente pela resistência. A potência média, por sua vez, é expressa em função da corrente rms. Por fim, você analisou a solução de Maxwell para a Lei de Ampère e viu uma lista das equações de Maxwell. Nesse processo, você conferiu o conceito de corrente de deslocamento e verificou como a variação do fluxo de campo elétrico também pode gerar campo magnético.

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