Fundamentos de cálculo aulas 1 a 6 [unifacs] by EAD UNIFACS

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Autor – Dr. Alessandro Ferreira Alves

Universidade Anhembi Morumbi

Universidade Salvador

Janes Fidelis Tomelin Diretor de EaD

Adriano Lima Barbosa Miranda Diretor de Educação Corporativa e Novos Projetos

Fabiano Prado Marques Diretor Acadêmico – Escola de Engenharia e Tecnologia

Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo Diretor da Escola de Engenharia e TI

Francisco Carlos Damante Revisor Técnico

Alex Soares Caldas Revisor Técnico

Universidade Potiguar

Rede Laureate Internacional de Universidades

Barney Vilela Coordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância Catarina de Sena Pinheiro Diretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas Raimundo Cícero Araújo Montenegro Revisor Técnico

Daniella Loureiro Koncz Coordenadora de Novos Negócios André Torres Gregório Designer Instrucional

FabriCO Projeto educacional Projeto gráfico Autoria do conteúdo Revisão ortográfica e gramatical

SUMÁRIO CARTA AO ALUNO.................................................................................................... 6 AULA 1 - CÁLCULOS ALGÉBRICOS......................................................................................... 7 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 7 OBJETIVOS................................................................................................................ 8 1.1 Conjuntos numéricos.................................................................................... 8 1.2 Razão......................................................................................................... 10 1.3 Proporção................................................................................................... 11 1.4 Propriedades básicas da Álgebra............................................................... 15 1.5 Potenciação com expoentes inteiros......................................................... 17 1.6 Notação científica...................................................................................... 19 1.7 Radiciação.................................................................................................. 20 1.8 Racionalização de denominadores............................................................ 22 1.9 Potência de expoente racional.................................................................. 23 1.10 Técnicas de fatoração e polinômios........................................................ 24 1.11 Fatoração................................................................................................. 24 1.12 Simplificação de expressões fracionárias................................................ 26 1.13 Regras operacionais................................................................................. 27 1.14 Equações.................................................................................................. 29 1.15 Equações do segundo grau...................................................................... 32 1.16.1 Inequação do primeiro grau, ou inequação linear em x...................... 36 CONCLUSÃO........................................................................................................... 37 AULA 2 - INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES................................................................ 39 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 39 OBJETIVOS.............................................................................................................. 40 2.1 Noção intuitiva de função.......................................................................... 40 2.2 Teoria dos conjuntos.................................................................................. 41 2.3 Intervalos: subconjuntos especiais do conjunto dos números reais......... 49 2.4 Funções...................................................................................................... 49 2.4.1 Par ordenado.......................................................................................... 50 2.5 Domínio, contradomínio e conjunto imagem............................................ 62 CONCLUSÃO........................................................................................................... 72 AULA 3 - FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES .................................................... 73 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 73 OBJETIVOS.............................................................................................................. 74

3.1 Função polinomial...................................................................................... 74 3.2 Função identidade..................................................................................... 75 3.3 Função linear............................................................................................. 76 3.4 Função afim............................................................................................... 76 3.5 Como resolver um sistema de duas equações lineares............................ 80 3.6 Coeficientes da função afim e equação fundamental da reta.................. 85 3.7 Equação fundamental da reta.................................................................... 87 3.8 Crescimento e decrescimento.................................................................... 89 CONCLUSÃO........................................................................................................... 93 AULA 4 - FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES .................................................... 95 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 95 OBJETIVOS.............................................................................................................. 96 4.1 História envolvendo a função quadrática.................................................. 96 4.2 Função quadrática...................................................................................... 98 4.3 Função quadrática – aplicações................................................................. 98 4.4 Discriminante da função quadrática – fórmula de Bhaskara..................... 99 4.5 Valor da função quadrática em um ponto............................................... 100 4.6 Zeros da função quadrática..................................................................... 101 4.7 Forma canônica da função quadrática..................................................... 104 4.8 Gráfico da função quadrática................................................................... 107 4.9 Propriedade relevante da parábola......................................................... 113 4.10 Outras aplicações envolvendo as funções quadráticas......................... 115 4.11 Inequação do segundo grau.................................................................. 117 CONCLUSÃO......................................................................................................... 120 AULA 5 - COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR .......................... 121 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 121 OBJETIVOS............................................................................................................ 122 5.1 Paridade de funções................................................................................ 122 5.2 Álgebra das funções................................................................................ 126 5.3 Função composta..................................................................................... 128 5.4 A função inversa de f(x).......................................................................... 133 5.5 Como reconhecer a tipologia de funções através de gráficos................ 141 5.6 A função modular.................................................................................... 143 5.7 Propriedades envolvendo o valor absoluto ............................................ 146 5.8 Equações modulares ............................................................................... 146 5.9 Inequações modulares ............................................................................ 147 CONCLUSÃO......................................................................................................... 149

AULA 6 - FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA... 151 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 151 OBJETIVOS............................................................................................................ 152 6.1 Equações exponenciais............................................................................ 152 6.2 A função exponencial.............................................................................. 155 6.3 Inequações exponenciais ........................................................................ 161 6.4 Definição formal de logaritmo e propriedades imediatas...................... 163 6.5 Função logarítmica ................................................................................. 168 6.6. Equações logarítmicas............................................................................ 173 6.7 Inequações logarítmicas.......................................................................... 174 CONCLUSÃO......................................................................................................... 175

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

CARTA AO ALUNO Prof.ª Esp. Ana Karolina Rodrigues Aires

Seja bem-vindo! A partir de agora, vamos estudar uma das disciplinas que compõem o seu curso de graduação em Engenharia: Fundamentos de Cálculo. Podemos pensá-la como um aparato teórico sobre pontos da Matemática Elementar, área do conhecimento indispensável para um futuro engenheiro. Algumas perguntas costumam surgir com relação ao aprendizado desta matéria, questionando, principalmente, a utilidade prática do conteúdo estudado (entre elas, as recorrentes “para que servem tantas fórmulas, regras e expressões complicadas? Tenho mesmo de aprender tudo isso?”) Primeiro, podemos responder que a matemática é produto da cultura humana e faz parte do nosso cotidiano. É uma ciência exata, cuja produção envolve o pensar crítico e criativo. Atualmente, ela está presente em todas as áreas do conhecimento, participando de forma significativa no desenvolvimento de novas teorias e resolvendo diversas situações, principalmente no contexto da Engenharia. Em outras palavras, um engenheiro com sólida formação deve dominar os conceitos e as técnicas da Matemática. Como disse Platão, “os números governam o mundo”, e citando Laisant, “zero, esse nada que é tudo”. Falando um pouco mais de forma específica sobre a disciplina, vamos trabalhar desde a parte relacionada aos conjuntos numéricos, às funções, às funções do primeiro e segundo graus até a Geometria Plana e Espacial. Vale destacar, porém, que é de fundamental importância que você acesse, busque e pesquise os livros apresentados nas referências bibliográficas de cada aula, para complementar seus estudos. A verdade é que ninguém aprende Matemática ouvindo e/ou assistindo ao professor em sala de aula (virtual ou presencial), por mais organizadas e claras que sejam as suas explicações teóricas, por mais que se entenda tudo o que ele explica. Isso é muito importante, no entanto, é necessário estudar por conta própria, logo após as aulas, os conteúdos disponibilizados. Portanto, você, aluno, não vai aprender Matemática somente porque assiste às aulas e lê o material apresentado, mas porque estuda e resolve mais exercícios relacionados. Mãos à obra e bom estudo!

AULA 1 Cálculos algébricos

Dr. Alessandro Ferreira Alves

INTRODUÇÃO Sabemos que a necessidade de apresentar modelos que permitam explicar e compreender o mundo físico tem sido uma das grandes motivações para o desenvolvimento da Matemática. Podemos dizer que números foram criados para contar e medir, ao passo que desigualdades foram introduzidas para comparar grandezas e as funções matemáticas foram inventadas para expressar dependência ou relação entre coisas. É evidente que muitos problemas importantes e significativos da Engenharia, por mais complexos que sejam e formulados em termos matemáticos, exigem quase sempre procedimentos e cálculos que passam por operações e propriedades básicas. De outra forma, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Estes são apenas alguns

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

exemplos de situações envolvendo um modelo matemático que, certamente, aparecerão na sua vida acadêmica e/ou profissional em Engenharia. Nossa primeira aula tem como objetivo apresentar alguns conceitos, regras e resultados básicos da Matemática elementar, desde a explicação simples sobre razões e proporções até a resolução de equações e inequações do primeiro grau. Sem dúvida, estes aspectos teóricos contribuirão para a sua sólida formação como Engenheiro, podendo ser aplicados, por exemplo, nos problemas da Física.

OBJETIVOS Os objetivos de aprendizagem desta aula são: » » Conhecer os principais produtos notáveis. » » Entender problemas simulados envolvendo as equações do primeiro grau. » » Entender problemas simulados envolvendo as equações do segundo grau. » » Compreender os principais métodos para fatoração envolvendo polinômios. » » Compreender e aplicar os conceitos e as propriedades envolvendo razões e proporções. » » Interpretar e resolver sistemas de equações do primeiro grau. » » Entender problemas simulados envolvendo as inequações do primeiro grau.

1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Os conjuntos numéricos são muito importantes para os nossos propósitos e possuem uma denotação universalmente aceita. Qualquer número que resulte de uma contagem de unidades é chamado de número natural. Indicamos por IN o conjunto dos números naturais. Veja a seguir: IN = {0, 1, 2, 3, 4,...} Como a operação da subtração nem sempre é possível em IN, foi criado o conjunto dos números inteiros. Neste conjunto, a diferença 3 - 5 é representada por -2. Além disso, denotamos por Z o conjunto dos números inteiros e por Z* o conjunto dos inteiros não nulos. Acompanhe: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} Saiba que, de outro modo, a divisão nem sempre é possível em Z. Por exemplo, não existe número inteiro que represente o quociente -3 ÷ 2. Desta forma, nasceu o conjunto dos números racionais. Aqui o quociente é indicado −3 ou -1,5. Denota-se o conjunto dos números racionais por Q e por

2 Q* o conjunto dos racionais não nulos.

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

1.1.1 Conjunto dos números racionais Chamamos de número racional todo número que pode ser escrito na forma p em que p e q são

q números inteiros, com q ≠ 0, ou seja, Q = {x / x = p ; p ∈ Z, q ∈ Z e q ≠ 0} (PAIVA, 1999).

q Segundo Paiva (1999), um número racional é aquele que você pode escrever na forma de fração. Nessa definição, encaixam-se todos os números naturais, inteiros, decimais e também as dízimas periódicas. Exemplos de números racionais: 1) 0,7222222222... 2) 1 = 0,3333333...

3 3) 0,584444444...

1.1.2 Dízima periódica Paiva (1999, p. 1) afirma que “dízimas periódicas são números racionais cuja representação decimal é infinita. São originadas da divisão entre 2 números inteiros, sendo que a fração que a caracteriza é a fração geratriz.” Entre os números decimais existem as dízimas não periódicas, que são números com infinitas casas decimais e não periódicos. Esses números são chamados de irracionais, e o conjunto formado por eles é representado por I. Os dois números irracionais mais importantes são π = 3,14... e e = 2,71... (constante de Euler). Por fim, qualquer número racional ou irracional é chamado de número real. Indica-se por ℜ o conjunto dos reais. Desta maneira, temos a relação de inclusão entre os conjuntos numéricos citados. Veja na figura a seguir.

Figura 1 - Relação de inclusão entre os principais conjuntos numéricos. Fonte: PAIVA, 1999.

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Note que todo número natural é um número inteiro, que, por sua vez, é um número racional. Observe que não temos um número que seja racional e irracional ao mesmo tempo. Quando unimos o conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais encontramos o conjunto dos números reais.

1.2 RAZÃO Para que você entenda inicialmente o conceito de razão entre dois números, vamos considerar a seguinte situação: imagine que o preço de determinado produto tivesse um aumento de R$ 1,00. Esse aumento foi baixo ou elevado? Qual é a sua interpretação? Para responder, precisamos de mais informações. Um dado importante é o preço do produto antes do referido aumento, mas como relacionar o aumento e o preço inicial? Uma forma possível é dividir um pelo outro. Vamos admitir, como exemplo, duas possibilidades. 1a possibilidade: o preço inicial era de R$ 20,00. Assim, temos:

aumento 1 real 1 = = preço 20 reais 20 2a possibilidade: o preço inicial era de R$ 2,00. Assim, temos:

aumento 1 real 1 = = preço 2 reais 2

Perceba que responder se o aumento foi baixo ou elevado é uma questão que envolve subjetividade, porém podemos afirmar que na 1a possibilidade houve um aumento relativo menor do que na 2a possibilidade, pois podemos escrever:

1 1 < 20 2

Essa forma de relacionar números é o que chamamos de razão. Então, o que é razão? Chamamos de razão de um número a para um número b, com b ≠ 0, ao quociente de a para b, ao qual indicamos por a .

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

Veja alguns exemplos: 1) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, dos quais há 100 moças e 400 rapazes. Assim: a) A razão do número de moças para o número de rapazes é 100

400 b) A razão do número de rapazes para o número de moças é 400

100

1 = 0,25. 4

4 = 0,25. 1

2) A razão do número 1 para o número 5 é:

6 1 2 = 1 ÷5 = 1×6 = 3 5 2 6 2 5 5 6

Observe que aqui usamos a regra básica que diz: na divisão entre duas frações conservamos a primeira (no caso 1 ) e multiplicamos pelo inverso da segunda (no caso 6 ).

1.2.1 Razão entre duas grandezas A razão de duas grandezas, dadas em certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. Contrariamente, se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo: Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso é:

160 km 160 km = 80 km/h = 2h 2 h

1.3 PROPORÇÃO O conceito de proporção tem uma importância muito grande, não apenas na matemática, como também no nosso cotidiano. Empregamos proporções no dia a dia, embora sem utilizar símbolos matemáticos. Por exemplo, quando falamos que uma estátua tem a cabeça muito grande, não estamos nos referindo à medida absoluta da cabeça. Em uma estátua, a cabeça pode ser muito grande mesmo que meça a metade, um quarto ou um décimo da cabeça verdadeira. Ou seja, ela é muito grande proporcionalmente ao conjunto da própria estátua. Dados quatro números (15, 3, 20 e 4), como a razão entre os dois primeiros números (15 e 3) é igual à razão entre os dois números (20 e 4), isto é:

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

15 e 20 , =5 =5 3 4 dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, formam uma proporção, que expressamos mediante a igualdade das duas razões:

15 20 = 3 4 Então, o que é proporção? Em geral, dados em certa ordem quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, falamos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d). Ou seja, uma proporção nada mais é que a igualdade entre duas razões. Simbolicamente, representamos uma proporção por:

a c = b d Em que: a, b, c e d: termos da proporção a e c: antecedentes b e d: consequentes a e d: extremos b e c: meios

Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Esta é uma propriedade fundamental das proporções.

1.3.1 Grandezas proporcionais É interessante ressaltar que a maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia a dia ligam duas grandezas relacionadas de tal forma que quando uma delas varia, como consequência, varia também a outra. Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados. A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas em relação à outra. Segundo esta lei, as grandezas relacionadas podem ser direta ou indiretamente proporcionais. 12

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

Diretamente Proporcionais

Indiretamente Proporcionais

Grandezas

Figura 2 - Tipos de grandezas. Fonte: FERREIRA, 2013.

1.3.2 Grandezas diretamente proporcionais Veja o seguinte exemplo: uma barra de alumínio de 100 cm3 de volume pesa 270 g. Nas mesmas condições, uma barra de 200 cm3 pesará 450 g e uma de 300 cm3, 810 g. Podemos então escrever o quadro 1 da seguinte forma: VOLUME (CM3)

100

200

300

500

MASSA (G)

270

540

810

1.350

Quadro 1 - Grandezas diretamente proporcionais.

Fonte: FERREIRA, 2013.

Ao examinar este quadro, podemos perceber claramente que a grandeza massa depende da grandeza volume, pois aumentando uma (volume) a outra (massa) também aumenta. Além disso, notamos que:

270 540 810 1350 = 2,7 = = = 100 200 300 500

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Curiosidade! O valor 2,7 corresponde à massa específica do Alumínio, expressa em g/cm3.

Chamando de x a grandeza volume e y a grandeza massa, temos:

y = 2,7 x Ou y = 2,7 · x Dizemos, neste caso, que as sequências de números 100, 200, 300, 500 e 270, 540, 810, 1350 são diretamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são diretamente proporcionais e 2,7 é a razão ou o coeficiente de proporcionalidade.

1.3.3 Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando os valores correspondentes x e y são expressos por uma lei do tipo y = k · x, em que k é um número real constante, diferente de zero.

Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.

1.3.4 Grandezas inversamente proporcionais Vejamos este exemplo: uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos então escrever o quadro 2 da seguinte maneira:

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

VELOCIDADE (KM/H)

100

200

300

400

TEMPO (H)

Quadro 2 - Grandezas inversamente proporcionais.

Fonte: FERREIRA, 2013.

Perceba que a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que, aumentando a velocidade, o tempo diminui. Porém, agora temos: 12 × 100 = 6 × 200 = 4 × 300 = 3 × 400 = 1.200 Ou:

12 6 4 3 = 1.200 = = = 1 1 1 1 100 200 300 400 Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos: y · x = 1.200 Ou y = 1.200 · 1

x Dizemos, neste caso, que as sequências de números (100, 200, 300, 400) e (12, 6, 4, 3) são inversamente proporcionais ou, então, que as grandezas x e y são inversamente proporcionais e 1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade. Então, o que são grandezas inversamente proporcionais? Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais quando os valores correspondentes x e y são expressos por uma lei do tipo y = k · 1 , em que k é um número real constante, diferente de zero.

x Pergunta: O comprimento de uma barra de ferro e seu preço são grandezas diretamente proporcionais? Por quê? Resposta: Sim, porque, se multiplicarmos o comprimento da barra por um número diferente de zero, o preço fica multiplicado por esse número.

1.4 PROPRIEDADES BÁSICAS DA ÁLGEBRA Sabemos que a Álgebra é a parte da matemática que envolve o uso de letras e outros símbolos para representar números reais. Segundo Demana e Kennedy (2009, p. 7), uma variável é uma letra ou um símbolo (por exemplo, x, y, z, t, φ, θ) que representa um número real não específico. Além disso, uma constante é uma letra ou um símbolo (por exemplo, -2, 0, 3 , π) que representa

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

um número específico, e uma expressão algébrica é a combinação de variáveis e constantes envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão, potências e raízes.

Constante

Álgebra Variável

Expressão Algébrica

Figura 3 - Tipos de grandezas. Fonte: FERREIRA, 2013.

Antes de trabalhar com potenciação e radiciação, vamos fazer uma breve revisão com relação a algumas das propriedades das operações aritméticas básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão, representadas pelos símbolos +, -, × (ou ·) e (÷ ou /), respectivamente.

Adição

Subtração

Multiplicação

Divisão

Figura 4 - Operações aritméticas fundamentais. Fonte: FERREIRA, 2013.

Desta forma, definimos: » » a - b = a + (-b), em que (-b) é o inverso aditivo de b. » » a = a · 1 , b ≠ 0, 1 é o inverso multiplicativo de b.

Assim, temos as seguintes propriedades associadas: 16

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

P1) Propriedade comutativa: Adição: u + v = v + u (a ordem dos fatores não altera a soma) Multiplicação: u · v = v · u (a ordem dos fatores não altera o produto) P2) Propriedade associativa: Adição: (u + v) + w = u + (v + w) Multiplicação: (u · v) · w = u · (v · w) P3) Propriedade do elemento neutro: Adição: u + 0 = u Multiplicação: u · 1 = u P4) Propriedade do elemento inverso: Adição: u + (-u) = 0 Multiplicação: u ·

1 = 1, com u ≠ 0 u

P5) Propriedade distributiva:

u.( v + w) = u.v + u.w (u + v). w = u.w + v.w

Multiplicação com relação à adição: 

Multiplicação com relação à subtração: u.( v − w) = u.v − u.w

 (u − v). w = u.w − v.w

Veja a seguir alguns exemplos que ilustram a aplicação destas propriedades: a) 2 + 3 = 3 + 2 = 5 b) 4 · 5 = 5 · 4 = 20 c) (4 + 3) + 2 = 4 + (3 + 2) = 9 d) (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 e) 8 + 0 = 8 = 0 + 8 f) 3 · 1 = 1 · 3 = 3 g) 2 · 1 = 1

2 1.5 POTENCIAÇÃO COM EXPOENTES INTEIROS Em diversas situações envolvendo cálculos algébricos, percebemos a repetição de alguns fatores. Assim, a notação com expoentes é muito útil para diminuir a escrita destes. Por exemplo, se considerarmos: (-4) · (-4) · (-4) · (-4) · (-4) · (-4) = (-4)6 e (3 · x - 5) · (3 · x - 5) · (3 · x - 5) = (3 · x - 5)3 17

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

1.5.1 Enésima potência de a Considere a um número real, uma variável ou uma expressão algébrica e n um inteiro positivo. Então: an = a .a .a .a. a...  a n vezes

Em que n é o expoente, a é a base e an é a enésima potência de a (lemos: “a elevado a n”) (DEMANA; KENNEDY, 2009, p. 9). Veja estes exemplos. 1) (-5)4, a base é -5. 2) -74, a base é 7, já que -74 = (-1) · 74. 3) 32, a base é 3 e o expoente é 2.

1.5.2 Propriedades da potenciação Sendo a e b números reais, m e n inteiros, temos: P1) am · an = am+n P2) a m = am-n

an P3) a0 = 1 P4) a-n = 1

an P5) (a · b)m = am · bm P6) (am)n = am · n m

am   = m b b

P7)  a 

Exemplos 1) 83 · 84 = 83 + 4 = 87 2) x10 = x10 - 4 = x6

x4 3) 50 = 1 (qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1) 4) y-3 = 1

y3 5) (2 · x)5 = 25 · x5 = 32 · x5 6) (x2)3 = x2 · 3 = x6

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

7)  x 

x7 . =   y7  y

8) 22.3−2 = 22.21 = 23 = −1

2 .3

3 .3

8 243

1.6 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Em diversas situações do cotidiano do engenheiro, aparecem números muito grandes ou demasiado pequenos. Desta maneira, a notação científica auxilia na escrita destes números por meio do uso de potências de 10. Saiba que todo número A, não nulo, pode ser representado em uma das seguintes formas: A = c · 10m ou A = -c · 10m com 1 ≤ c < 10 e m um inteiro, conforme A seja positivo ou negativo. Essa forma de escrever um número é chamada de notação científica. Exemplo: a distância entre a Terra e o Sol é de, aproximadamente, 149.597.870,691 quilômetros. Em notação científica, esta distância pode ser escrita como 149.597.870,691 km ≅ 1,5 · 108 km. Para escrever um número em notação científica, devemos observar as seguintes regras: R1) Multiplicar um número por 10p, p > 0, é o mesmo que deslocar a vírgula para a direita de p ”casas” decimais. Se p é negativo, desloca-se para a esquerda. 0,00037 · 104 = 3,7 2.500 · 10-3 = 2,5 R2) O valor de um número não se altera ao ser multiplicado por 10p · 10-p.

Notação científica

Reescrever números muito grandes

Padronização de escrita de números

Reescrever números muito pequenos

Potências de 10

Figura 5 - A importância da notação científica. Fonte: FERREIRA, 2013. 19

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Exercício Vamos simplificar a seguinte expressão: . Solução: Neste caso, temos: =

9,25 × 1010 = 92.500.000.000

1.7 RADICIAÇÃO Considere o seguinte problema: qual é a medida do lado de um quadrado com 5 cm2 de área? Para resolver, vamos supor que a medida do lado do quadrado seja x (x > 0).

x Figura 6 - O quadrado de lado x e área 5 cm2. Fonte: FERREIRA, 2013.

Sabemos que a área deste quadrado é dada por x2, e pelo enunciado devemos ter: x2 = 5 Nessas condições, o problema estará resolvido somente quando determinarmos o valor positivo de x que torne verdadeira a sentença x2 = 5. O número x, não negativo, cujo quadrado é igual a 5, será indicado por 2 5 , que devemos ler “raiz quadrada de cinco”. Portanto, o lado do quadrado mede x = 2 5 cm.

1.7.1 Raiz enésima de a Vamos supor a sentença xn = a, em que n é um natural não nulo e a ≥ 0. O valor não negativo que satisfaz esta igualdade será indicado por n a , e devemos ler “raiz enésima de a”. As nomenclaturas utilizadas para esta simbologia são dadas por: n

a : radical

n: índice do radical 20

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

a: radicando Veja no quadro a seguir algumas nomenclaturas da raiz enésima. LEITURA

RADICAL

ÍNDICE

RADICANDO

Raiz quinta de 4

Raiz cúbica de 8

Raiz quadrada de 9

Quadro 3 - Algumas nomenclaturas da raiz enésima.

Fonte: FERREIRA, 2013.

Devido à raiz quadrada de um número não negativo a, isto é, muito utilizada, padronizou-se escrever apenas a .

a ser

Exercício Vamos calcular a medida da aresta de um cubo de volume 64 cm3, sendo x a medida da aresta do cubo, conforme figura a seguir:

Figura 7 - O cubo de aresta x. Fonte: FERREIRA, 2013.

Então, sabemos que o volume de um cubo de aresta x é dado por: x3 = 64 e x > 0 Pela definição de raiz, temos que: x=

64 21

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

x = 4, pois 43 = 64 e 4 ≥ 0. Solução: a aresta do cubo mede 4 cm. Existem dois valores de x que tornam verdadeira a sentença x2 = 25: 5 ou -5. O valor positivo 5 é indicado por 25 , e o valor negativo -5 é indicado por - 25 . Assim: x2 = 25 ⇒ x = ± 5

1.7.2 Propriedades dos radicais Sendo a e b números reais não negativos, e os índices números naturais não nulos, temos: P1)

a . n b = n a.b

P2)

a na = b b

P3)

a mp = n a m m

P4) ( n a ) = a n m

P5)

a = nm a

Exemplos

2. 3 5 = 3 2.5 = 3 10

8 58 5 = = 2 5 4 P2 4

59 = 27 ÷9 a 9÷9 = 3 5 P3

4) ( 3 2)12 = 3 212 = 3 3 212÷3 = 24 P4

3 4

2 = 3.4 2 = 12 2 P5

1.8 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Em alguns casos, podemos evitar a divisão por números irracionais, minimizando os possíveis erros propagados pelos cálculos em questão. Segundo Demana e Kennedy (2009), racionalização é o processo de reescrever frações contendo radicais, de modo que o denominador fique sem esses radicais. Exemplos: 22

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

2 2 2 3 6 = = = . 3 3 3 3 3

2) 1

x2 = y3

x 3 (| x | é o módulo de x que aprenderemos mais adiante). x

x 2 .y 2 5

x 2 .y 2 y

1.9 POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL Já sabemos calcular potências do tipo 52 ,86 , 4−2 , isto é, potências que envolvem expoentes inteiros. Mas como podemos trabalhar com expoentes racionais (frações), ou seja, como interpretar, por exemplo, a potência 3

75 ? Bem, vamos chamar a potência de x, logo:

x = 75

Elevando à quinta potência ambos os membros da igualdade, temos que: 3

x5 = (7 5 )5 Daí,

x 5 = 73 E pela definição de raiz, segue que: x=

Isso nos sugere a definição relacionada à potenciação envolvendo números racionais ou fracionários, como segue.

1.9.1 Expoentes racionais

Considere um número real a > 0, m e n inteiros com n > 0. Neste caso, definimos a n = n a m . Note que para a = 0 deve ter m > 0. Exemplos 2

1) 5 3 = 3 52 1

2) 90,5 = 9 2 = 9 3) 6

−0,1

−1 10

= 10 6−1 23

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

1.10 TÉCNICAS DE FATORAÇÃO E POLINÔMIOS Quando trabalhamos com cálculos algébricos, percebemos que o desenvolvimento de um produto requer apenas mão de obra e, portanto, não nos cria grandes dificuldades. O que pode causar problemas é a passagem no sentido contrário. Como fatorar? Isto é, como passar da forma desenvolvida para a forma fatorada? Neste sentido, vamos trabalhar com algumas identidades fundamentais (produtos notáveis) que são ferramentas indispensáveis para as técnicas de fatoração associadas aos polinômios. Polinômios Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma: an · xn + an-1 · xn-1 + an-2 · xn-2 + ... + a1 · x + a0 em que n é um inteiro não negativo e an ≠ 0. Os números an-1, ..., a1, a0 são todos reais conhecidos como coeficientes. De outro modo, o grau do polinômio é n e o coeficiente principal é o número an. Veja que polinômios com um, dois e três termos são ditos monômios, binômios e trinômios, respectivamente. Um polinômio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na forma padrão. Além disso, para somarmos ou subtrairmos polinômios, nós somamos ou subtraímos termos semelhantes usando a propriedade da distributiva (DEMANA; KENNEDY, 2009).

1.10.1 Adição e subtração de polinômios Veja alguns exemplos: 1) (3x + 4) + (7x - 10) = (3x + 7x) + (4 - 10) = 10x - 6 2) (2x + 5) - (3x - 1) = (2x - 3x) + (5 - (-1)) = -x + 6 3) (2x3 - 3) + (5x3 + x2 + x - 2) = (2x3 + 5x3) + x2 + x + (-3 - 2) = 7x3 + x2 + x - 5

1.10.2 Produtos notáveis Segundo Demana e Kennedy (2009), os polinômios que aparecem frequentemente e com certa regularidade nos cálculos algébricos são chamados de produtos notáveis.

1.11 FATORAÇÃO Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la numa outra equivalente que esteja na forma de produto. 6 x 2 + 8 x → 2 x.(3 x + 4) Por exemplo:

fatorando

x − 9 → ( x + 3).( x − 3) fatorando

Primeiro caso de fatoração: fator comum em evidência

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

Quando existe um fator que é comum a todas as parcelas, então este fator comum deve ser colocado em evidência. Exemplo: 1) 4 x + 6 = 2.(2 x + 3) 2) 8 x 2 − 4 x = 4 x.(2 x − 1) Segundo caso de fatoração: agrupamento É uma aplicação repetida do primeiro caso. Exemplos: 3 2 2 2 1) x + 2 x + 2 x + 4 = x .( x + 2) + 2.( x + 2) = ( x + 2).( x + 2) 2) xy + 1 − x − y = xy − x + 1 − y = x.( y − 1) + 1.(1 − y ) = x.( y − 1) − 1.( y − 1) = ( y − 1).( x − 1)

Terceiro caso de fatoração: diferença de dois quadrados

a 2 − b 2 = (a − b).(a + b) Exemplos: 2 2 2 1) 4.x − 9 = (2 x) − 3 (As bases são 2x e 3).

4.x 2 − 9 = (2 x + 3).(2 x − 3) 2 2 2 2) x − 1 = x − 1 (As bases são x e 1).

x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1) Quarto caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 Exemplos: 2 2 1) x + 2 x + 1 = ( x + 1) 2 2 2) x − 6 x + 9 = ( x − 3)

Quinto caso de fatoração: soma de cubos

a 3 + b3 = (a + b).(a 2 − ab + b 2 ) Exemplos: 3 3 3 1) x + 8 = x + 2 (as bases são x e 2).

x3 + 8 = ( x + 2).( x 2 − 2 x + 4) 3 3 3 2) x + 1 = x + 1 (as bases são x e 1).

x 3 + 1 = ( x + 1).( x 2 − x + 1) Sexto caso de fatoração: diferença de cubos

a 3 − b3 = (a − b).(a 2 + ab + b 2 ) Exemplos: 3 3 3 1) x − 64 = x − 4 (as bases são x e 4).

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

x 3 − 64 = ( x − 4).( x 2 + 4 x + 16) 3 3 3 2) x − 1 = x − 1 (as bases são x e 1).

x3 − 1 = ( x − 1).( x 2 + x + 1) Sétimo caso de fatoração: cubo perfeito

a 3 + 3.a 2 .b + 3.a.b 2 + b3 = (a + b)3 a 3 − 3.a 2 .b + 3.a.b 2 − b3 = (a − b)3 Exemplos: 3 2 3 1) 8a + 36a + 54a + 27 = (2a + 3) 3 2 3 2) x − 3.x + 3 x + 1 = ( x − 1)

1.12 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS Neste ponto, vamos trabalhar com a simplificação envolvendo as expressões fracionárias e nos familiarizar com as expressões racionais.

1.12.1 Expressão fracionária Denominamos expressão fracionária um quociente envolvendo duas expressões algébricas (DEMANA; KENNEDY, 2009). Exemplos: 1)

x +1

x 2) x + 2 x + 1 x 2 +1 2

x. y 2 2+ x

x−2 2x + 3

1.12.2 Expressão racional Denominamos expressão racional um quociente envolvendo dois polinômios (DEMANA; KENNEDY, 2009). Exemplos: 1) 7 x − 2

2x + 3 2)

x x+4

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

3x + 1 x − 2x + 3 2

4) x 2 + 2 x + 1

x 3 − 5x + 4 5) 2 x 3 − x 2 + 1

5x 2 − x − 3

Figura 8 - Expressão fracionária e expressão racional. Fonte: FERREIRA, 2013

1.13 REGRAS OPERACIONAIS A seguir, listamos as principais regras operacionais envolvendo frações. Para isso, considere u, v, w e z como números reais quaisquer, variáveis ou expressões algébricas. Todos os denominadores são considerados como não nulos, isto é, diferentes de zero. Veja a seguir:

u w u+w + R1) v v = v

u w u.z + v.w + = v.z v z u w u.w R3) . = v z v.z u u z u w R4) ÷ = v = . (conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da v z v w w z R2)

segunda) R5) Para subtração, substituímos “+” por “-” em (1) e (2).

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

1.13.1 Multiplicação e divisão de expressões racionais = ( x + 1).( x − 1) ( x + 4) = ( x + 1).( x − 1) . ( x + 4) = x − 1 ,

. ( x + 4).( x − 4) ( x + 1)

( x + 4).( x − 4) ( x + 1)

x−4

sendo que devemos ter x ≠ -4, x ≠ -1 e x ≠ 4. = ( x + 2 ).( x − 2 ) . ( x + 5).( x − 5) = x + 2 , sendo que

( x + 5)

devemos ter x ≠ -5 e x ≠

(x − 2)

x −5

(2 x − 3).( x + 7) ( x − 2).( x 2 + 2 x + 4) 2 x − 3 = . x ( x − 2).( x + 7) x.( x 2 + 2 x + 4)

, sendo que devemos ter x ≠ 2, x ≠ -7 e x ≠ 0.

1 2 = 1 = 1 x 2 = x , sendo que devemos ter x ≠ 0. ÷ . x x x2 2 x 2 2 x2 x3 x7 x3 x4 3 . 2+ x 5) x ÷ 4 = x + 1 = ( x + 1) (2 + x) = ( x + 1).(2 + x) , sendo que nesta situação ( x + 1) x 2+ x x4 4)

devemos ter x ≠ -1 e x ≠ -2.

1.13.2 Simplificação de frações compostas Segundo Demana e Kennedy (2009), uma fração composta ou fração complexa é uma fração na qual os numeradores e denominadores podem eles mesmos conter frações. Vamos simplificar as frações compostas a seguir?

1 2x + 1 x = x a) = 2 x + 1 · x = 2 x + 1 , com x ≠ -1. x +1 x +1 x x +1 x +1 x x 7 3.( x + 2) − 7 3 x − 1 b) 3 − = = = , em que devemos ter x ≠ 3, x ≠ -2 x+2 x+2 x+2 x−4 1 ( x − 3) − 1 1− x −3 x −3 x −3 2−

e x ≠ 4.

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

1 1 b2 − a2 − (b − a ).(b + a ) a.b a.b b+a b2 − a2 a 2 .b 2 a2 b2 2 2 2 (a.b) c) 1 1 = b − a = a .b · (b − a ) = · (b − a ) = a.b , em − a.b a b que devemos ter a ≠ 0, b ≠ 0 e a ≠ b.

1.14 EQUAÇÕES Agora vamos estudar as equações de 1o grau e de 2o grau com uma variável e as equações que se reduzem a elas. Comumente chamamos as variáveis de incógnitas e os valores que satisfazem as equações de raízes. Além disso, resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, isto é, o conjunto de suas raízes. Segundo Demana e Kennedy (2009), quando queremos encontrar uma solução de uma equação em x queremos encontrar todos os valores de x para os quais a equação é verdadeira ou, ainda, todas as soluções da equação. O nosso ambiente de estudo para a resolução das equações será o conjunto dos números reais. Cabe ressaltar que a resolução de equações é um aparato amplamente utilizado para a interpretação de modelagens dentro da Engenharia.

1.14.1 Equações do primeiro grau ou equação linear em x Segundo Demana e Kennedy (2009), uma equação linear em x pode ser escrita na forma: ax + b = 0 com a e b números reais e a ≠ 0. Exemplos: 1) x + 2 = 0 2) 3x - 4 = 0 3) 7x -

3 =0 4

4) 2z - 6 = 0 (equação linear na variável z)

Uma equação linear em uma variável tem exatamente uma solução. Por exemplo, 2x - 8 = 0 tem como solução x = 4, ou seja, o seu conjunto solução é S = {4}.

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1.14.1.1 Equações equivalentes Duas ou mais equações são ditas equivalentes quando elas apresentam o mesmo conjunto solução, isto é, se têm as mesmas soluções. Para obter equações equivalentes, devemos utilizar algumas operações que podem: » » combinar termos semelhantes; » » simplificar frações; » » remover símbolos por meio de agrupamento; » » aplicar a mesma operação em ambos os lados da equação. Exercícios 1) Vamos resolver a equação: 3x - 2 = 4x + 9 Solução: Neste caso, temos: 3x - 2 = 4x + 9 3x - 4x = 9 + 2 -x = 11 Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade anterior, vem: x = -11 portanto, a solução da equação linear anterior é x = -11 ou o seu conjunto solução é S = {-11}. 2) Vamos resolver a equação: 2 · (3x - 3) + 3 · (x - 1) = 5x + 3 Solução: Neste caso, temos: 2 · (3x - 3) + 3 · (x - 1) = 5x + 3 6x - 6 + 3x - 3 = 5x + 3 9x - 9 = 5x + 3 9x - 5x = 3 + 9 4x = 12 x=3 Portanto, a solução da equação linear anterior é x = 3 ou, ainda, o seu conjunto solução é S = {3}. Você pode averiguar se os cálculos estão corretos substituindo o valor x = 3 e encontrando uma identidade, como segue: 2 · (3(3) - 3) + 3 · ((3) - 1) = 5(3) + 3 2 · (9 - 3) + 3 · (3 - 1) = 15 + 3 2 · (6) + 3 · (2) = 18 12 + 6 = 18 30

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

18 = 18 (Verdadeiro) Agora este:

5x − 2 x. = 2+ 8 4 Solução: Quando estivermos diante de equações lineares com frações, devemos tomar um cuidado maior com os cálculos, já que são comuns alguns enganos, principalmente na caracterização do mínimo múltiplo comum envolvendo os denominadores. Inicialmente, note que os denominadores são 8, 1 e 4 e o mínimo múltiplo comum é 8.

5x − 2 x = 2+ 8 4 Assim, vamos multiplicar os membros da igualdade anterior por 8, resultando em:

x  5x − 2   8.   = 8.  2 +  4  8   Ou seja,

5x − 2 x = 8.2 + 8. 8 4

Ou 5x - 2 = 16 + 2x 5x - 2x = 16 + 2 3x = 18 x=6 Portanto, x = 6 é a solução da equação linear do exemplo ou S = {6}.

Sejam a e b dois números reais, se a.b = 0 então a = 0 ou b = 0.

4) Se uma empresa comercializa um produto em que a cada venda sobram R$ 2,50, quantos produtos deverá vender para juntar uma sobra de R$ 6.250,00? Solução: Neste caso, podemos escrever: 2,5 · x = 6.250

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Ou seja x = 6250

2,5 x = 2500 A empresa deverá vender 2.500 unidades do referido produto. 5) Uma empresa é composta por três departamentos: o primeiro faturou R$ 80.000,00 e o segundo faturou três quintos do primeiro. Quanto deverá faturar o terceiro, se o faturamento total precisa ser o dobro dos dois primeiros departamentos? Solução: Vamos denotar o faturamento do terceiro departamento de x, assim, de acordo com o enunciado, podemos escrever:

3 .(80000) + x = 2 · (80000 + 3 · 80000) 5 faturamento total 5

80000 +

80.000 + 48.000 + x = 160.000 + 96.000 x = 256.000 - 12.8000 x = 128.000 Portanto, o investimento do terceiro departamento deve ser igual a 128.000.

1.15 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU Já vimos as equações do primeiro grau, não é mesmo? Então podemos dar um passo mais adiante, trabalhando agora com as equações do segundo grau, ou equações quadráticas, nas quais aparece o quadrado da incógnita, como, por exemplo, 2.x 2 − 5 x + 2 = 0 . As raízes dessas equações nem sempre são obtidas de maneira tão cômoda quanto nas equações do 1o grau. Chamamos de equação do segundo grau aquela que pode ser escrita na forma:

a .x 2 + bx + c = 0 Em que a, b e c são números reais com a ≠ 0. Os números a, b e c são os coeficientes. Exercício Qual a soma dos coeficientes da equação 5 x 2 + 2 x − 5 = 0 ? Solução: Neste caso, temos a = 5, b = 2 e c = -5, logo a soma a + b + c é dada por 5 + 2 + (-5) = 2.

1.15.2 Raiz de uma equação do 2o grau Um número r será chamado de raiz, ou solução da equação a .x 2 + bx + c = 0 , se, e somente se, a igualdade a .r 2 + br + c = 0 for uma sentença verdadeira. Exercício: Verifique se o número r = 2 é uma raiz da equação quadrática 2 x 2 − 5 x + 2 = 0 ?

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

Solução: Substituindo x por 2, temos: 2.(2) 2 − 5.(2) + 2 = 8 − 10 + 2 = 0 .

1.15.3 Conjunto solução de uma equação do 2o grau 2 Resolver a equação do 2o grau a .x + bx + c = 0 no conjunto universo dos números reais significa obter o conjunto de todas as raízes reais dessa equação. O conjunto das raízes é chamado de conjunto solução, ou conjunto verdade da equação quadrática em questão. Exemplo: Considerando o conjunto universo como o conjunto dos números reais, o conjunto solução 2 da equação x = 4 é S = {2, -2}.

O matemático indiano Bhaskara (séc. XII) foi um dos primeiros que estudou a equação do 2o grau de modo geral, isto é, incluindo casos em que as raízes são números irracionais. Já os gregos e babilônios, ao contrário, não consideravam a existência desse tipo de números.

Fórmula resolutiva (Fórmula de Bhaskara): Tendo como universo o conjunto ℜ dos números reais, podemos provar que a equação a .x 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) com b 2 − 4.a.c ≥ 0 possui duas raízes, que indicaremos por x1 e x2 . Estas podem ser obtidas pelas fórmulas:

x1 = − b + ∆ e x2 = −b − ∆ 2.a 2.a A expressão b 2 − 4.a.c , normalmente indicada pela letra grega ∆ (delta maiúscula), é chamada de discriminante da equação. Importante: além disso, com relação ao discriminante ∆ podemos ter três situações distintas, que são: 1) Delta maior que zero ( ∆ > 0): duas raízes reais e distintas (

≠

x x 2) Delta igual a zero ( ∆ = 0): duas raízes reais e iguais ( 1 = 2 ). 3) Delta menor que zero ( ∆ < 0): não existem raízes reais.

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Figura 9 - Quadro-resumo para as situações envolvendo o discriminante de uma equação do segundo grau. Fonte: FERREIRA, 2013.

Tendo como universo o conjunto ℜ dos números reais, podemos provar que a equação a .x 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) com b 2 − 4.a.c ≥ 0 possui duas raízes, que indicaremos por x1 e x2 .

Exercício (Fórmula de Bhaskara): Vamos resolver as seguintes equações do segundo grau, considerando o conjunto universo ℜ . a) x2 + 3x + 2 = 0 b) -x2 + 6x - 9 = 0 c) x2 + 4x + 9 = 0 Solução: Neste caso, temos: a) Aqui, a = 1, b = 3 e c = 2, desta forma:

∆ = b2 - 4 · a · c ∆ = 32 - 4 · (1) · (2) ∆ =9-8 ∆ =1 Logo, as raízes são:

x1 = − b + ∆ = − 3 + 1 = − 2 = -1 2.a 2.( 1) 2 x2 = − b − ∆ = − 3 − 1 = − 4 = -2 2.a 2.( 1) 2

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

Note que se substituirmos os valores de x encontrados, obviamente a equação nos levará a 0 = 0. b) Aqui, temos a = -1, b = 6 e c = -9, desta forma:

∆ = b2 - 4 · a · c ∆ = 62 - 4 · (-1) · (-9) ∆ = 36 - 36 ∆ =0 Logo, as raízes são:

x1 = − b + ∆ = − 6 + 0 = − 6 = 3 2.a 2.( −1) −2 x2 = − b − ∆ = − 6 + 0 = − 6 = 3 2.a 2.( −1) −2 c) Aqui, temos a = 1, b = 4 e c = 9, desta forma:

∆ = b2 - 4 · a · c ∆ = 42 - 4 · (1) · (9) ∆ = 16 - 36 ∆ = -20 Logo, como não podemos extrair a raiz de -20, ou seja, não existem raízes reais, isso significa que não existe um único número real que substituindo x na equação a torne igual a zero.

Nas aulas subsequentes sobre funções, vamos discutir mais uma vez aspectos teóricos relacionados às equações de 1o e 2o graus.

1.16 INEQUAÇÕES Bem, já trabalhamos com as equações, que, como vimos, tratam-se da igualdade entre expressões. Agora vamos estudar as inequações, que representam desigualdades entre expressões matemáticas. Elas também são do 1o grau e do 2o grau. Preste atenção aos sinais a seguir, pois eles separam dois membros de uma inequação: > Maior ≥ Maior ou Igual < Menor

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≤ Menor ou Igual Diferentemente do que ocorre com as equações, quando queremos resolver uma determinada inequação não estamos buscando um valor que a satisfaça, mas um conjunto de valores ou intervalo que a atenda.

1.16.1 INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU, OU INEQUAÇÃO LINEAR EM X É uma inequação que pode ser escrita na forma: ax + b < 0 ou ax + b > 0 ou ax + b ≥ 0 ou ax + b ≤ 0 com a e b números reais e a ≠ 0. Exercício: Vamos resolver a inequação do 1o grau: 2x + 4 > 0. Solução: Precisamos isolar x, como fizemos com as equações. Para tal: 2x + 4 > 0 2x > -4 x > −4

Portanto, temos: x > -2 Se tomarmos qualquer valor real maior que -2 e o colocarmos no lugar de x, encontraremos um resultado maior que 0. Ao resolvemos inequações, é importante tomar cuidado quando o coeficiente que multiplica x for negativo. Neste caso, devemos multiplicar os dois membros por -1, o que nos obriga a inverter o sinal de desigualdade.

Exemplo -x ≥ 4 Multiplicando por (-1), segue que: -x · (-1) ≥ 4 · (-1)

AULA 1 – CÁLCULOS ALGÉBRICOS

Ou seja, x ≤ -4 Exercício Numa indústria de tênis, cada funcionário produz em média 200 tênis por dia. Considerando que há 5.000 tênis prontos em estoque, quantos funcionários deverão trabalhar para que, ao final de 10 dias, possam ser entregues mais de 20.000 tênis? Solução: Note que, de acordo com o enunciado, podemos escrever: Produção média por funcionário/dia = 200 Estoque Atual = 5.000 Dias disponíveis = 10 Meta a ser atingida > 20.000 Ou, ainda, podemos visualizar a situação da seguinte forma:

Ou seja, em símbolos, temos: 10.200 · x + 5.000 > 20.000 2.000x + 5.000 > 20.000 2.000x > 20.000 - 5.000 x > 15.000 ÷ 2.000 x > 7,5 Portanto, é necessário pelo menos oito funcionários trabalhando para que ao final de 10 dias haja mais de 20.000 tênis em estoque.

CONCLUSÃO Nesta primeira aula trabalhamos com a descrição dos conjuntos numéricos e visualizamos como conjunto universo, para os nossos propósitos, o conjunto dos números reais. Na sequência, vimos os aspectos relacionados às proporções, grandezas proporcionais, potenciação e radiciação, fatoração, polinômios e produtos notáveis, assim como a parte relacionada às equações e inequações. Na próxima aula vamos estudar toda a teoria acerca das funções, tais como domínio, contradomínio, conjunto imagem, crescimento e decrescimento.

AULA 2 Introdução à teoria das funções

Dr. Alessandro Ferreira Alves

INTRODUÇÃO A noção de função surge quando procuramos entender fenômenos e fatos do nosso mundo nos mais diversos campos do conhecimento. Quantas vezes criamos ou procuramos relacionar as coisas entre si? Por exemplo, ao estudar a relação do lucro com a quantidade vendida de determinado produto, indiretamente estamos utilizando a noção de função de uma variável real, que será a base do nosso estudo nesta aula. Segundo Demana e Kenneddy (2009), ao observarmos fenômenos da nossa realidade, podemos caracterizar dois conjuntos e alguma lei que associa os elementos de um dos conjuntos aos elementos do outro. Uma análise destas três coisas – os dois conjuntos e a lei – podem esclarecer detalhes sobre a interdependência dos elementos destes conjuntos e descrever o fenômeno em observação.

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Neste sentido, nossa segunda aula tem como objetivos apresentar alguns conceitos, regras e resultados básicos da Teoria dos Conjuntos e definir e aplicar o conceito formal de função – além, é claro, de discutir as principais propriedades associadas. Saiba, ainda, que este conceito de função é um dos mais importantes da matemática aplicável no contexto da Engenharia. Por isso, antes de começar a estudar todo o aparato teórico sobre funções, vamos fazer uma breve revisão sobre conjuntos.

OBJETIVOS Os objetivos de aprendizagem desta aula são: » » Compreender as propriedades e operações básicas envolvendo os conjuntos imagem e numéricos. » » Compreender as principais formas de representação de conjuntos. » » Diferenciar relação de função. » » Entender e aplicar os conceitos básicos de funções em problemas simulados. » » Compreender a importância do estudo de funções no contexto da engenharia. » » Caracterizar algebricamente o domínio, contradomínio e conjunto imagem de funções. » » Caracterizar geometricamente o domínio, contradomínio e conjunto imagem de funções. » » Representar geometricamente funções elementares.

2.1 NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO

Conjuntos

Funções Lei

Figura 10 - Teoria de conjuntos é a base para o estudo das funções. Fonte: FERREIRA, 2013.

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

Vamos considerar a seguinte situação: seja T um conjunto de pessoas num dado instante e seja IN o conjunto dos números naturais. Ao associarmos a cada elemento de T a sua idade (que é um número natural), fica estabelecida uma função de T em IN. Repare que é possível, talvez até muito provável, que haja em T várias pessoas com a mesma idade, mas existem, pelo menos, dois aspectos matemáticos importantes, que são: » » a todo elemento de T corresponde um elemento de IN, já que toda pessoa tem uma idade; » » nenhuma pessoa tem duas ou mais idades. Resumindo, para cada elemento x de T, corresponde um único elemento y de IN.

2.2 TEORIA DOS CONJUNTOS Agora vamos revisar as principais noções da teoria dos conjuntos, fundamentais para a criação de toda teoria envolvendo as funções. “Conjunto é uma estrutura que agrupa objetos e constitui uma base para a construção de estruturas mais complexas” (IEZZI; MURAKAMI, 1993, p. 18).

2.2.1 Conjuntos e elementos de um conjunto Segundo Iezzi e Murakami (1993), o ponto de partida deste tópico é construído pelas seguintes noções não definidas, aceitas como conceitos primitivos: de igualdade, conjunto, elemento e a de elemento de um conjunto. De uma forma geral, para indicar que x é um elemento do conjunto A, escrevemos x ∈ A, em que lemos “x pertence a A”. Contrariamente, se y não for elemento de A, escrevemos y ∉ B. Veja na figura a seguir.

Figura 11 - Diagrama de Venn. Fonte: FERREIRA, 2013.

2.2.2 Representações de conjuntos Um conjunto pode ser representado por três formas distintas, como você pode ver a seguir. 41

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

1) Por representação gráfica, chamada de Diagrama de Venn (conforme figura anterior). 2) Por enumeração de seus elementos. » » {a, e, i, o, u} conjunto das vogais. » » {0, 1, 2, 3, 4, ..., 1989, ...} conjunto dos números naturais (IN). » » {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} conjunto dos inteiros (Z). 3) Ao descrever os elementos do conjunto por uma propriedade exclusiva: IN = {x | x é um número natural}.

Os Diagramas de Venn, criados pelo matemático inglês John Venn (1834–1923), são conhecidos no mundo inteiro e largamente usados nos estudos da Teoria dos Conjuntos. Eles usam figuras geométricas, em geral representadas no plano, para expressar as estruturas da Teoria dos Conjuntos.

2.2.3 Conjunto universo Ao escrever, por exemplo, A = {x ∈ Z | x > -1}, consideramos Z como o conjunto universo, isto é, os elementos a considerar devem ser pertencentes a Z. Observamos, então, que 1 não é elemento

2 do conjunto A = {x ∈ Z | x > -1}, pois não é um número inteiro. Geralmente, representamos o conjunto universo por U.

U A

.4 .5

.7 .9

B Figura 12 - Representação geométrica do conjunto universo. Fonte: Ferreira, 2013.

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

2.2.4 Conjunto vazio Uma ferramenta teórica que se revelará muito útil no decorrer da disciplina é o conceito do conjunto sem elementos. Este conjunto é chamado de vazio e é representado por ∅ ou { }. Exemplos: 1) {x ∈ Z | 2x - 1 = 6}, pois não existe x inteiro tal que 2x - 1 = 6. 2) {x ∈ IN | x ≠ x}, pois não existe natural que seja diferente dele mesmo.

2.2.5 Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são ditos iguais se ambos tiverem os mesmos elementos ou forem conjuntos vazios. Exemplo: Os conjuntos {1, 2} = {2, 1} = {1, 2, 2, 2, 1, 1, 2} são iguais, já que possuem os mesmos elementos, que neste caso são os números 1 e 2.

2.2.6 Subconjuntos de um conjunto Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 3, 5, 7}. Observe que, se x é um elemento qualquer de B, então x é um elemento de A, isto é, todo elemento de B é também um elemento de A. “Dizemos que B é um subconjunto de A e indicamos isso por B ⊂ A, somente se todo elemento de B for também elemento de A. Esta relação entre conjuntos é conhecida como relação de inclusão.” (IEZZI; MURAKAMI, 1993, p. 25). Assim: 1) O conjunto A = {1, 2} é um subconjunto de B = {0, 1, 2, 3, 4}, já que todo elemento de A é um elemento de B. 2) O conjunto dos naturais IN é um subconjunto dos inteiros Z. 3) O conjunto dos inteiros Z é um subconjunto dos racionais Q. O conjunto vazio é considerado um subconjunto de qualquer conjunto, já que não possui elementos.

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Ao invés de falar que B é um subconjunto de A, é comum dizer que B está contido em A, o que não deve ser confundido com a expressão “pertence a A”. Podemos afirmar que B ⊄ A (B não está contido) se, e somente se, existir pelo menos um elemento de B que não seja elemento de A, em resumo: B ⊄ A ⇔ existe x, x ∈ B e x ∉ . Quando tratamos da relação entre conjuntos, temos a Relação de Inclusão. De outra forma, quando falamos da relação entre elemento e conjunto, temos a Relação de Pertinência. Em outras palavras, é importante não confundirmos o uso dos símbolos ∈ ou ⊂ . O primeiro serve para indicar que um objeto é elemento de um conjunto. O segundo serve para indicar que um conjunto está contido em outro conjunto.

Figura 13 - Relação pertinência e inclusão. Fonte: FERREIRA, 2013.

2.2.7 Conjunto das partes de um conjunto Consideremos um conjunto A. O conjunto das partes de A, ou conjunto potência de A, denotado por: P(A) ou 2A É definido da seguinte forma, segundo Iezzi e Murakami (1993, p. 26): P(A) = {X | X ⊆ A} Exemplo: sejam A = {a}, B = {a, b} e C = {a, b, c}. Então: P( ∅ ) = ∅ P(A) = { ∅ , {a}} P(B) = { ∅ , {a}, {b}, {c}, {a,b}} 44

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

P(C) = { ∅ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

2.2.8 Operações com conjuntos Sendo A e B conjuntos quaisquer, definimos as seguintes operações com A e B, que frequentemente retratam situações tanto na teoria quanto na prática: » » intersecção; » » união; » » diferença; » » complementar de um conjunto. Dados os conjuntos A e B, chamamos de interseção de A e B ao conjunto A ∩ B formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Em símbolos, podemos escrever: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Figura 14 - Interseção entre conjuntos. Fonte: IEZZI; MURAKAMI, 1993.

Exemplos 1) Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, neste caso temos que A ∩ B = {3, 4}. 2) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6}, os elementos comuns a A e B são 2 e 4, ou seja, temos que o conjunto intersecção de A e B é dado por A ∩ B = {2, 4}. 3) Conjuntos disjuntos: suponha os conjuntos A = {x ∈ IN | x > 2} e B = {x ∈ IN | x2 = x}. Então, A ∩ B = ∅ . Desta maneira, falamos que os conjuntos A e B são conjuntos disjuntos quando a interseção entre eles resultar no conjunto vazio.

2.2.9 União de conjuntos Dados os conjuntos A e B, chamamos de união de A e B ao conjunto A ∪ B formado pelos elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Em símbolos, podemos escrever: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Figura 15 - União entre conjuntos. Fonte: IEZZI; MURAKAMI, 1993.

Exemplos: 1) Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, neste caso temos que A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. 2) Considerando A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6}, o conjunto união de A com B é dado por A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}. 3) Sejam A = {x ∈ IN | x > 2} e B = {x ∈ IN | x2 = x}. Então, A ∪ B = {0, 1, 3, 4, 5, 6, ...}.

2.2.10 Diferença de conjuntos Dados os conjuntos A e B, chamamos de diferença A - B ao conjunto dos elementos que pertencem a A (ao primeiro) e não pertencem a B (ao segundo) (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Em símbolos, podemos escrever: A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B} Exemplos: 1) Consideremos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 5}, então A - B = {1, 3, 4}. 2) Consideremos agora os conjuntos A = {x ∈ IN | x > 2} e B = {x ∈ IN | x2 = x}. Então: A - B = {3, 4, 5, 6, ...} e B - A = {0, 1}. 3) Consideremos os conjuntos ℜ (reais), Q (racionais) e I (irracionais). Então:

ℜ -Q=I ℜ -I=Q Q-I=Q

2.2.11 Complemento de um conjunto Consideremos o conjunto universo U. O complemento de um conjunto A ⊆ U, denotado por A’ ou ~A é o conjunto dos elementos que estão em U e não pertencem a A (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Ou seja, em símbolos escrevemos: ~A = {x ∈ U | x ∉ A}

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

Exemplos: 1) Suponhamos o conjunto universo IN. Seja A = {0, 1, 2}. Então: ~A = {x ∈ IN | x > 2} 2) Para qualquer conjunto universo U, são válidas as seguintes relações: ~∅ = U ~U = ∅ 3) Suponhamos o conjunto ℜ (reais) como conjunto universo. Então: ~Q = I ~I = Q 4) Complemento, união e intersecção: suponhamos que U seja o conjunto universo. Então, para qualquer conjunto A ⊆ U, são válidas: A ∪ ~A = U A ∩ ~A = ∅ Exercícios 1) De uma prova constituída por dois problemas, 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? Solução: Vamos resolver o exercício utilizando o Diagrama de Venn. Então, considere os conjuntos: A = {alunos que acertaram o primeiro problema} B = {alunos que acertaram o segundo problema}

Sempre devemos começar pela interseção entre os conjuntos envolvidos na questão.

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Figura 16 - Diagrama de Venn do exemplo. Fonte: FERREIRA, 2013.

Desta forma, temos: Primeiro passo: colocar o valor 100 (A ∩ B). Segundo passo: colocar o valor 160 (260 - 100). Terceiro passo: colocar o valor 210 (210 = número de alunos que erraram o primeiro problema). Quarto passo: colocar o valor 140 (140 = 300 - 160). Portanto, o total de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450 alunos 2) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as seguintes afirmações: a) 4 ∈ Q (Verdadeiro)

9 b) 2 ∈ I (Falso)

3 c) 2 ∉ Q (Falso)

7 d) 2 ∈ ℜ (Verdadeiro)

3 e) 2 ∉ ℜ (Falso)

7 f) e ∈ ℜ (Verdadeiro) g) π ∈ ℜ (Verdadeiro) 48

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

h) 2 ∉ ℜ (Falso)

7 i) 2 ∉ ℜ (Falso)

7 j) 0 ∉ ℜ (Falso) k) 0 ∉ I (Verdadeiro) l) 1 ∉ I (Verdadeiro)

2.3 INTERVALOS: SUBCONJUNTOS ESPECIAIS DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Acabamos de ver que o conjunto dos números irracionais é, portanto, o complementar do conjunto Q (dos números racionais) em relação ao conjunto ℜ dos números reais. Desta maneira, definimos alguns subconjuntos dos números reais que são muito importantes, entre eles os intervalos. Todavia, antes de definir os intervalos, definimos:

ℜ − = {x ∈ ℜ | x ≤ 0} ℜ *− = {x ∈ ℜ | x < 0}

ℜ + = {x ∈ ℜ | x ≥ 0} ℜ *+ = {x ∈ ℜ | x > 0} Similarmente, podemos definir os associados a IN, Z e Q. Além disso, se considerarmos a e b dois números reais, com a < b, consideraremos, na nossa disciplina e ao longo do curso, os seguintes subconjuntos de ℜ chamados de intervalos, definidos como segue: [a, b] = {x ∈ ℜ | a ≤ x ≤ b} (intervalo fechado com extremos a e b) ]a, b[ = {x ∈ ℜ | a < x < b} (intervalo aberto com extremos a e b) [a, b[ = {x ∈ ℜ | a ≤ x < b} ]a, b] = {x ∈ ℜ | a < x ≤ b} [a, ∞ [ = {x ∈ ℜ | x ≥ a} ]a, ∞ [ = {x ∈ ℜ | x > a} ]- ∞ , a] = {x ∈ ℜ | x ≤ a} ]- ∞ , a[ = {x ∈ ℜ | x < a}

2.4 FUNÇÕES Agora você conhecerá os conceitos referentes às funções, mas para isso terá de aprender alguns conceitos preliminares, tais como: par ordenado, produto cartesiano e relação entre conjuntos.

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

2.4.1 PAR ORDENADO Vimos que dois conjuntos não vazios são iguais se somente tiverem os mesmos elementos. Desta forma, temos em particular, que: {x, y} = {y, x} Porém, muitas vezes teremos de considerar também a ordem de disposição dos elementos. Surge, assim, o conceito de par ordenado. Segundo Iezzi e Murakami (1993), a cada par de elementos x e y podemos associar o par ordenado (x; y), de tal modo que: (x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.

Par Ordenado Abscissa (primeira coordenada do par)

Ordenada (segunda coordenada do par)

Figura 17 - Interpretação das coordenadas do par ordenado. Fonte: FERREIRA, 2013.

Se x ∈ ℜ e y ∈ ℜ , representamos o par ordenado (x; y) pelo ponto P do plano cartesiano que possui abscissa x e a ordenada y. Além disso, o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado de eixo das ordenadas.

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Figura 18 - Plano cartesiano xOy. Fonte: FERREIRA, 2013.

Exercício Localize os pontos a seguir no plano cartesiano xOy. a) (2, 0) b) (0, -3) c) (2, 5) d) (-3, 4) e) (-7, -3) f) (4, -5) g) ( 5 , − 9 )

h) ( − 5 , − 9 )

Solução: A seguir, veja a representação de cada um destes pontos no plano cartesiano. Note que cada “pequeno quadrado” da figura a seguir representa uma unidade de comprimento.

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Figura 19 - Representação dos pares ordenados do exemplo em questão. Fonte: FERREIRA, 2013.

2.4.2 Produto cartesiano Sejam A e B dois conjuntos não vazios, denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A × B cujos elementos são todos pares ordenados (x; y), em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B (IEZZI; MURAKAMI, 1993). A × B = {(x; y) | x ∈ A e y ∈ B}

1) Em geral, A × B é diferente de B × A. 2) A × B = ∅ se e somente se A = ∅ ou B = ∅ .

Exercício Sendo A = {1, 2} e B = {3, 4, 5}, determine A × B e B × A. Solução Neste caso, de acordo com a definição de produto cartesiano, temos: A × B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} e

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

B × A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)} Claramente percebemos que A × B é diferente de B × A, já que não possuem os mesmos elementos ou pares ordenados. Exemplo: Vamos considerar os seguintes conjuntos: A = {1, 2, 3} e B = {1, 2} Temos: A × B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} e B × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} Cujas representações no plano cartesiano são mostradas na figura a seguir.

Figura 20 - Representações no plano cartesiano de A × B e B × A. Fonte: FERREIRA, 2013.

Exemplo: Considere agora A = {x ∈ ℜ | 1 ≤ x < 3} e B = {2}, então temos: A × B = {(x, 2) | x ∈ A} A representação gráfica de A × B dá como resultado o conjunto de pontos do segmento paralelo ao eixo dos x da figura a seguir.

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Figura 21 - Representação de A × B. Fonte: FERREIRA, 2013.

Note que neste caso A × B é o conjunto dos pares ordenados (x, 2), pois x pertence ao conjunto A, ou seja, está no intervalo {x ∈ ℜ | 1 ≤ x < 3}.

O produto cartesiano não possui a propriedade comutativa, isto é, nem sempre os produtos A × B e B × A são iguais.

2.4.3 Relação de A em B Dados os conjuntos A e B, chamamos de relação de A em B a qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B. Em outras palavras, uma relação de A em B é qualquer conjunto de pares ordenados (x; y), com x ∈ A e y ∈ B ou o conjunto vazio. Às vezes a relação de A em B é também denominada de relação binária de A em B (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

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Produto Cartesiano

Relação

Figura 22 - Relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano. Fonte: FERREIRA, 2013.

Exemplo: Considere os conjuntos A = ℜ e B = ℜ . Temos que o conjunto {(x; y) ∈ A × B | y = x2} é uma relação de A em B, como podemos visualizar na figura a seguir.

Figura 23 - Representação gráfica da relação R do exemplo. Fonte: FERREIRA, 2013.

Exercício Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elementos da relação binária R de A em A definida da seguinte forma? xRy ⇔ y=x+2

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Solução: Perceba que fazem parte da relação todos os pares ordenados (x, y), tais que x ∈ A, y ∈ B e y = x + 2. Veja a representação gráfica da relação R do exemplo na figura a seguir.

Figura 24 - Representação gráfica da relação R do exemplo. Fonte: FERREIRA, 2013.

Exercício: Considere o conjunto A = {-1, 0, 1, 2}. Quais são os elementos da relação R = {(x, y) ∈ A × A | x2 = y2}? Solução: Notamos, neste caso, que: R = {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, -1), (-1, 1), (2, 2)} A representação gráfica da relação R do exemplo está na figura a seguir.

Figura 25 - Representação gráfica da relação R do exemplo. Fonte: FERREIRA, 2013.

2.4.4 Função de A em B Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função somente se, nesta relação, para cada x, x ∈ A, tivermos um único y, y ∈ B. Genericamente, esta definição pode ser vista na figura a seguir.

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

Figura 26 - Representação gráfica da definição de função. Fonte: FERREIRA, 2013.

Note que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. Na função, um elemento x do conjunto partida só pode se associar a um único elemento y do conjunto chegada.

Relação

Função

Figura 27 - Toda função é uma relação. Fonte: FERREIRA, 2013.

Exemplos: 1) Sejam A o conjunto dos alunos de um colégio e Z o conjunto dos números inteiros: se associarmos a cada aluno a sua idade, estabeleceremos uma função de A em Z, pois desta maneira relacionamos a cada elemento de A um único elemento de Z.

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2) Considere os conjuntos A = { x ∈ Z / −1 ≤ x ≤ 2 } e B = { y ∈ Z / 0 ≤ y ≤ 4 }. Associando a cada elemento de A o seu quadrado em B, estabelecemos uma função de A em B. Indicando genericamente um elemento de A por x e o seu quadrado em B por y, temos então y = x2 é uma função de A em B.

1 0 3

Figura 28 - Exemplo da função y = x2. Fonte: FERREIRA, 2013.

2.4.5 Outra notação de função Consideremos a função f definida de ℜ em ℜ , tal que y = 2 · x +3. Assim temos, por exemplo, x = 2 ⇒ y = 7. Dizemos que 7 é a imagem de 2 pela função f e escrevemos f(2) = 7. Analogamente, temos f(0) = 3, f(-1) = 1, e assim por diante. Inicialmente, em vez de escrevermos y = 2 · x + 3, podemos escrever f(x) = 2 · x + 3; e, para indicar que a função foi definida de ℜ em ℜ ,escrevemos f: ℜ → ℜ .

f(x) = 2.x + 3

y = f(x) Função Também chamada de aplicação

f(2) = 7

Figura 29 - Diretrizes diversas sobre função. Fonte: FERREIRA, 2013.

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2.4.6 Gráfico de uma função Agora vamos conhecer a definição formal de gráfico de uma função e interpretar geometricamente funções através deste gráfico. Muitas vezes, ao longo da Engenharia, encontraremos funções que envolvem apenas números reais, e na maioria destes casos será vantajoso usarmos uma representação gráfica da uma função em estudo. Gráfico de uma função Sejam A e B dois subconjuntos não vazios de ℜ , e considerando f uma função definida de A em B, isto é, f: A → B, chamamos de gráfico da função f ao conjunto de todos os pontos P(x; y) do plano cartesiano, tal que x ∈ A, y ∈ B e y = f(x) (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Exemplo: 1) Considere a função f: ℜ → ℜ | f(x) = x. O gráfico desta função é apresentado na figura a seguir. Vale destacar que o gráfico característico da função f(x) = x, que é uma reta, recebe o nome de bissetriz dos quadrantes ímpares.

Figura 30 - Representação da função f:

ℜ→ℜ

| f(x) = x.

Fonte: FERREIRA, 2013.

2) Considere a função f: ℜ → ℜ | f(x) = x2 + 1. Veja o gráfico desta função na figura a seguir. Note que o seu gráfico característico é uma parábola, como veremos com mais detalhes ao estudarmos as funções quadráticas.

Figura 31 - Representação da função f:

ℜ→ℜ

| f(x) = x2 + 1.

Fonte: FERREIRA, 2013. 59

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Exercícios 1) Sendo f(x) = 2.x − 1 , pede-se: a) f(7)

x2 +1

b) f(2) + f(5) Solução: Neste caso, devemos encontrar a imagem de cada um dos valores solicitados, via lei de formação da função f(x) = 2.x − 1 ou, ainda, substituindo o valor de x por cada valor pedido. Logo: x2 +1 a) f(7) =

b) Aqui, devemos encontrar f(2) e f(5) e depois efetuar a soma entre esses dois valores, logo: = 4 −1 = 3

f(2) =

4 +1 f(5) =

5 =

E, portanto, f(2) + f(5) = 3 +

= 123

130

2) Obtenha o valor de m, sabendo que f(x) = x2 + x + m e f(-3) = 0. Solução: Neste caso, na lei de formação da função f(x), vamos substituir x por (-3) e f(x) por 0 (zero), ou seja: f(-3) = 0 (-3)2 + (-3) + m = 0 9-3+m=0 Ou seja, m = -6 3) Considere a função f: ℜ → ℜ , f(x) = 2 · x + 3, cujo gráfico é representado a seguir.

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Figura 32 - Gráfico da função f(x) = 2 · x + 3. Fonte: FERREIRA, 2013.

Agora, obtenha: a) f(0) + f(1) + f(2) b) f(0 + 1 + 2) c) x tal que f(x) = 0 Solução: Neste caso: a) Devemos encontrar os valores de f(0), f(1) e f(2) e depois somá-los. Daí: f(0) = 2 · (0) + 3 = 0 + 3 = 3 f(1) = 2 · (1) + 3 = 2 + 3 = 5 f(2) = 2 · (2) + 3 = 7 Logo, f(0) + f(1) + f(2) = 3 + 5 + 7 = 12 b) Note que 0 + 1 + 2 = 3 e, portanto, f(0 + 1 + 2) = f(3), daí: f(3) = 2 · (3) + 3 = 9 Logo, f(0 + 1 + 2) = f(3) = 9 c) Aqui, perceba que: f(x) = 0 ⇔ 2x + 3 = 0 2x + 3 = 0 ⇔ x = − 3

2 Logo, 61

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f(x) = 0 ⇔ x = − 3

2 2.5 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM Ao considerar uma função definida de A em B, chamamos A e B respectivamente de domínio e contradomínio da função. Ao conjunto de todas as imagens, chamamos de conjunto imagem.

Domínio

Contradomínio

Conjunto Imagem

É o conjuto partida. São os elementos para os quais a função está deﬁnida.

É o conjuto chegada. O contradomínio contém o conjunto imagem.

São os pontos do contradomínio que são imagem de algum elemento do domínio É um subconjunto do contradomínio.

Figura 33 - Interpretação do domínio, contradomínio e conjunto imagem. Fonte: FERREIRA, 2013.

Exemplos: 1) Considere a função y = 2 · x. Neste caso, com 2 · x ∈ ℜ para todo x, temos que o domínio da função em questão é o conjunto dos números reais, isto é, D = ℜ . Além disso, o conjunto imagem é igual ao contradomínio, ou seja, neste caso temos que ambos são iguais ao conjunto dos números reais ( ℜ ), como podemos visualizar na figura a seguir.

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

Figura 34 - Interpretação do domínio, contradomínio e conjunto imagem da função do exemplo. Fonte: FERREIRA, 2013.

2) Considere os conjuntos A = { x ∈ Z / −1 ≤ x ≤ 2 } e B = { y ∈ Z / 0 ≤ y ≤ 4 } e a função y = x2. Neste caso, temos: Domínio de f: A = {-1, 0, 1, 2} Contradomínio de f: B = {0, 1, 2, 3, 4} Imagem de f: Im f = {0, 1, 4} 0

1 0 3

Figura 35 - Domínio, contradomínio e conjunto imagem da função y = x2. Fonte: FERREIRA, 2013.

3) Considerando a função representada pela figura a seguir, temos: D = Df = {x ∈ ℜ | -2 ≤ x ≤ 1} Contradomínio: ℜ Im = Imf = {y ∈ ℜ | -2 ≤ y ≤ 1}

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Figura 36 - Interpretação do domínio, contradomínio e conjunto imagem da função do exemplo. Fonte: FERREIRA, 2013.

4) Considerando a função representada pela figura a seguir, temos: D = Df = {x ∈ ℜ | -2 ≤ x ≤ 3} Contradomínio: ℜ Im = Imf = {y ∈ ℜ | -1 ≤ y ≤ 4}

Figura 37 - A interpretação do domínio, contradomínio e conjunto imagem da função do exemplo. Fonte: FERREIRA, 2013.

5) Considerando a função representada pela figura a seguir, temos: D = Df = {x ∈ ℜ | x ≠ 0} Contradomínio: ℜ Im = Imf = {y ∈ ℜ | -2 < y < 0 ou 1 < y < 2} 64

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

Figura 38 - A interpretação do domínio, contradomínio e conjunto imagem da função do exemplo. Fonte: FERREIRA, 2013.

Exemplo Considerando a função f(x) = 1 , notamos que 1 ∈ ℜ se, e somente se, x é real e diferente de

zero. Assim, neste caso, temos que seu domínio é o conjunto D = ℜ - {0}, como podemos verificar no gráfico da função a seguir, implementado no programa Winplot. A curva característica desta função é denominada de hipérbole equilátera. Veja esta curva na figura a seguir.

Figura 39 - O gráfico da função f(x) =

1. x

Fonte: FERREIRA, 2013.

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1) A projeção do gráfico de uma função sobre o eixo das abscissas é das abscissas dos pontos, tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f. 2) A projeção do gráfico de uma função sobre o eixo das ordenadas é a sua imagem, i.e., o conjunto imagem. Em outras palavras, o conjunto imagem de uma função (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos, tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f. 3) Repare que o conjunto imagem de uma função é sempre um subconjunto do seu contradomínio.

Exercícios Determine o domínio das funções: a) f(x) =

x−5

b) g(x) = 2 x + 1

x−5 Solução: Neste caso, temos que: a) Para que x − 5 seja definida em ℜ , devemos ter x - 5 ≥ 0, isto é, x ≥ 5. Portanto, o domínio de f é o conjunto D = {x ∈ ℜ | x ≥ 5}. b) Para que 2 x + 1 seja definida em ℜ , devemos ter x - 5 > 0, isto é, x > 5. Portanto, o

x−5 domínio de f é o conjunto D = {x ∈ ℜ | x > 5}. 2)Qual o conjunto imagem da função f(x) = x2 + 3 definida em ℜ ? Solução: Neste caso, temos que: x ∈ ℜ ⇒ x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 3 ≥ 0 + 3 Resumindo, x ∈ ℜ ⇒ x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 3 ≥ 3 Em que concluímos que a imagem de f é o conjunto: Im f = {y ∈ ℜ | y ≥ 3}. 3) Qual o domínio e qual o conjunto imagem da função f(x) = 3 + Solução: Neste caso, para caracterizar o domínio de f, devemos ter: -2x + 1 ≥ 0 Ou seja,

− 2x + 1 ?

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

-2x ≥ -1 Ou, ainda, x ≤ −1

−2 x≤ 1

2 Em que concluímos que o domínio de f é dado por: D = {x ∈ ℜ | x ≤ 1 }

2 Por outro lado, para caracterizar a imagem da função f, repare que para x ≤ 1 temos que

− 2 x + 1 ≥ 0 e, por consequência, temos que f(x) ≥ 3, em que concluímos que o conjunto imagem de f é: Im f = {y ∈ ℜ | y ≥ 3} 4) Sejam A = {-1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Obter o conjunto imagem da função f: A → B, g(x) = x2. Solução: Neste caso, temos que o conjunto imagem da função g(x) é o conjunto formado pelos y ∈ B, que são imagem de algum x em A, ou seja, como: g(-1) = 1, g(0) = 0 e g(2) = 4 Concluímos que o conjunto imagem de G, é o conjunto Im(g) = {0, 1, 4}.

2.5.1 Continuidade de funções Segundo Demana e Kennedy (2003), uma das mais importantes propriedades das funções que modelam o comportamento de situações da Engenharia é o fato de elas serem consideradas funções contínuas. Num linguajar bem simples, falar geometricamente que uma função é contínua num ponto significa dizer que o seu gráfico não sofre nenhum tipo de “furo” (“falha” ou “salto” ou “quebra”) naquele ponto. Contrariamente, se a função sofre um salto num determinado ponto, dizemos que ela é descontínua naquele ponto. Exemplos: 1) A função f: ℜ → ℜ | f(x) = x é contínua em qualquer ponto x real, já que o seu gráfico não sofre nenhum tipo de salto, como podemos ver na figura seguinte.

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Figura 40 - A função f:

ℜ→ℜ

| f(x) = x é contínua em qualquer ponto x real.

Fonte: FERREIRA, 2013.

2) A função f: ℜ → ℜ | f(x) = x2 é contínua em qualquer ponto x real. Veja a seguir.

Figura 41 - =Representação da função f:

ℜ→ℜ

| f(x) = x.

Fonte: FERREIRA, 2013.

3) A função f(x) = | x | (função modular), que estudaremos mais adiante, também é uma função contínua para qualquer número real x. Seu gráfico é apresentado na figura a seguir.

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

Figura 42 - Representação da função f:

ℜ→ℜ

| f(x) = | x |.

Fonte: FERREIRA, 2013.

Exemplo de função descontínua: A função f(x) = 1 é descontínua no ponto x = 0, já que seu gráfico sofre um furo em x = 0, como

x você pode ver na figura a seguir.

Figura 43 - Figura 33. Gráfico da função f(x) = Fonte: FERREIRA, 2013.

1. x

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2.5.2 Crescimento de uma função Outro conceito simples para visualizar geometricamente, e importante para a análise de funções numéricas mais complexas, é a propriedade de uma função ser crescente, decrescente ou constante sobre um intervalo. Função crescente Uma função f é crescente sobre um intervalo I se, para quaisquer dois valores x no intervalo, uma variação positiva em x resultar em uma variação positiva em f(x). Em outras palavras, se x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2), ou, ainda, quando x aumenta f(x) aumenta (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Exemplo: A função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = x + 3 é uma função crescente, como podemos averiguar na figura 34. Note que para quaisquer valores de x em ℜ , se x aumenta a imagem, f(x) também aumenta.

Figura 44 - Gráfico da função f(x) = x + 3. Fonte: FERREIRA, 2013.

2.5.3 Função decrescente Uma função f é decrescente sobre um intervalo I, se, para quaisquer dois valores x no intervalo, uma variação positiva em x resulta em uma variação negativa em f(x). Em outras palavras, se x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2), ou, ainda, quando x aumenta f(x) diminui. (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

AULA 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FUNÇÕES

Exemplo: A função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = -2x + 4 é uma função decrescente, como podemos averiguar na figura seguinte. Note que, para quaisquer valores de x em ℜ , se x aumenta, a imagem f(x) diminui.

Figura 45 - Gráfico da função f(x) = -2x + 4. Fonte: FERREIRA, 2013.

2.5.4 Função constante Uma função f é constante sobre um intervalo I, se para quaisquer dois valores x no intervalo uma variação positiva em x resultar em uma variação nula em f(x). Em outras palavras, isso quer dizer que se x1 < x2 ⇒ f(x1) = f(x2) (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Exemplo A função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = 3 é uma função constante, como podemos ver na próxima figura. Note que para quaisquer valores de x em ℜ os valores de f(x) são sempre iguais a 3. Lembre-se: o gráfico de uma função constante sempre será uma reta paralela ao eixo x das abscissas.

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Figura 46 - Gráfico da função f(x) = 3. Fonte: FERREIRA, 2013.

CONCLUSÃO Nesta aula, vimos alguns aspectos básicos dos conjuntos e a teoria de funções, ferramenta muito importante para as modelagens no contexto da Engenharia. Especificamente falando, caracterizamos o domínio, o contradomínio, o conjunto imagem, e descrevemos geometricamente funções elementares no plano euclidiano. É interessante ressaltar que visualizamos no plano funções contínuas, crescentes e decrescentes, propriedades relevantes para a interpretação de funções. Na próxima aula vamos estudar a função do primeiro grau ou função afim, além de trabalhar com algumas situações práticas envolvendo esta função elementar da Matemática. Por exemplo, descobriremos que uma função afim do tipo f(x) = ax + b é crescente quando a > 0 e, no caso, sua representação gráfica é uma reta. Até lá!

AULA 3 Funções do primeiro grau e aplicações

Dr. Alessandro Ferreira Alves

INTRODUÇÃO Vamos agora estudar a descrição formal dos principais tipos de funções e explorar aplicações que as envolvem. Prepare-se para conhecer as propriedades fundamentais da função do primeiro grau, também chamada de função afim, desde as informações algébricas até as geométricas associadas. A função afim encontra-se presente em vários ramos da ciência, como as engenharias, a medicina, geologia, música, economia, matemática financeira, física etc. Vale lembrar que o gráfico característico da função afim é uma reta. Quando se fala na função afim, percebe-se, por exemplo, que em sistemas produtivos (custo total de produção e quantidade produzida) a determinação dos custos fixos é um elemento-chave. Ele pode ser visualizado através do ponto de interseção do gráfico da função afim com o eixo das ordenadas

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(intercepto). Ou seja, aqui temos uma função y = f(x), com y representando o custo total de produção e x a quantidade em unidades produzidas. Além disso, outro conhecimento importante para o engenheiro é saber interpretar se uma função afim é crescente ou decrescente, já que isso pode auxiliar na caracterização do comportamento entre grandezas. Boa aula!

OBJETIVOS » » Entender e aplicar os conceitos básicos de funções do primeiro grau em problemas simulados. » » Compreender a importância do estudo de funções do primeiro grau no contexto da engenharia. » » Caracterizar a raiz de uma função do primeiro grau. » » Representar geometricamente funções do primeiro grau. » » Entender o crescimento e o decrescimento das funções do primeiro grau. » » Compreender a variação de sinais envolvendo funções do primeiro grau. » » Resolver sistemas envolvendo duas equações lineares.

3.1 FUNÇÃO POLINOMIAL Na aula 1, definimos o conceito de polinômio. Agora vamos associá-lo à noção de função, ou seja, definir o que é uma função polinomial. Na verdade, as funções polinomiais estão entre as mais familiares, já que incluem também as de primeiro e segundo graus. Seja n um número inteiro não negativo e sejam a0, a1, ..., an - 1, an números reais com an ≠ 0, a função dada por: f(x) = an · xn + an - 1 · xn - 1 + an - 2 · xn - 2 + ... + a1 · x + a0 é uma função polinomial de grau n. O coeficiente principal é an. A função zero dada por f(x) = 0 é uma função polinomial, e não possui nem grau nem coeficiente principal (DEMANA; KENNEDY, 2009). Veja estes exemplos. 1) f(x) = x + 2 é uma função polinomial de grau 1; 2) f(x) = x2 - 3x + 7 é uma função polinomial de grau 2; 3) f(x) = 2x3 + 5x2 + 4x - 2 é uma função polinomial de grau 3; 4) f(x) = x4 + 8x3 + 3x2 + 2x + 1 é uma função polinomial de grau 4; 5) A função zero (f(x) = 0) e todas as funções constantes (f(x) = k, k real) são funções polinomiais. Exercício Quais das funções a seguir são polinomiais? 1) f(x) = 7x3 - 5x - 2 2) f(x) = 3 · x-5 + 4

AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES

3) f(x) =

x−2

4) f(x) = 13x - 2x4 Solução Neste caso, temos: 1) f(x) = 7x3 - 5x - 2 é uma função polinomial de grau 3, com coeficiente principal 7. 2) f(x) = 3x-5 + 4 não é uma função polinomial por causa do expoente -5. 3) f(x) =

x − 2 não é uma função polinomial, pois não pode ser simplificada na forma polinomial.

4) f(x) = 13x - 2x4 é uma função polinomial de grau 4, com coeficiente principal -2.

3.2 FUNÇÃO IDENTIDADE Uma função f: ℜ→ℜ definida por f(x) = x é denominada de função identidade, já que a cada elemento x ∈ℜ se associa o próprio x. Note que o domínio e o conjunto imagem desta função são o próprio ℜ (IEZZI; MURAKAMI, 1993).

Figura 47 - Representação da função identidade f(x) = x Fonte: FERREIRA, 2013.

Lembre-se que o gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1o e do 3o quadrantes.

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3.3 FUNÇÃO LINEAR Uma função f: ℜ→ℜ é denominada de função linear quando a cada elemento x ∈ℜ associamos o elemento a . x ∈ℜ com a ≠ 0, isto é, f(x) = a . x. O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem, e o seu conjunto imagem é ℜ (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Exemplos 1) A função f(x) = 3x é um exemplo de função linear, com a = 3. Seu gráfico é apresentado na figura a seguir.

Figura 48 - Representação da função linear f(x) = 3x Fonte: FERREIRA, 2013.

3.4 FUNÇÃO AFIM Uma função f: ℜ→ℜ é denominada de função afim quando a cada elemento x ∈ℜ associa o elemento (a . x + b) ∈ℜ, em que a ≠ 0 e b são números reais dados (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Escrevemos: f(x) = a . x + b, com a, b ∈ℜ e a ≠ 0. Exemplos 1) f(x) = 5x + 2 com a = 5 e b = 2 2) f(x) = x - 3 com a = 1 e b = -3 3) f(x) = 2x com a = 2 e b = 0. Assim, para b = 0, a função afim y = ax + b se transforma na função linear y = ax. Portanto, concluímos que toda função linear é uma função afim com b = 0.

AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES

3.4.1 Gráfico da função afim O gráfico característico da função afim é uma reta. Para desenhar uma reta, precisamos de dois pontos distintos. Por exemplo, se uma reta s representa geometricamente uma função f(x) = ax + b, então, considerando dois valores de x distintos no domínio de f, x1 e x2, calculamos os respectivos valores de f(x1) e f(x2) e traçamos no plano cartesiano a reta s, unindo os pontos (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)).

Dois pontos distintos

Caracterizam uma reta

Gráfico da função afim

Figura 49 - Dois pontos distintos caracterizam uma reta Fonte: FERREIRA, 2013.

Exemplo A função f(x) = 3x definida em ℜ tem como gráfico a reta apresentada na figura a seguir.

Figura 50 - Gráfico da função f(x) = 3 · x Fonte: FERREIRA, 2013.

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Para desenhar a reta no plano, a partir da descrição dos dois pontos distintos, podemos tomar dois valores quaisquer para x. Em seguida, calculamos os y correspondentes e identificamos os dois pontos distintos. Por exemplo: x1 = 0 ⇒ f(x1) = 0 x2 = 1 ⇒ f(x2) = 3 Em outras palavras, a reta que representa o gráfico da função f(x) = 3x passa pelos pontos P(0; 0) e Q(1; 3). Daí, basta unirmos os dois pontos pelo segmento de reta. Observe que podemos tomar quaisquer outros valores para x1 e x2. Veja que a função f(x) = -x definida em ℜ tem como gráfico a reta apresentada na próxima figura.

Figura 51 - Gráfico da função f(x) = -x Fonte: FERREIRA, 2013.

Geometricamente falando, repare que em todos os casos a reta que representa a função f(x) = ax + b (a ≠ 0) intercepta o eixo y das ordenadas no ponto (0; b), o qual denominamos de intercepto.

f(x) = a.x + b

Interseção (eixo y)

Intercepto (0 ; b)

Figura 52 - Interpretação do intercepto Fonte: FERREIRA, 2013.

Exercício O custo C de produção de x litros de uma substância da indústria AFA Ltda. é dado por uma função linear de x, com x ≥ 0, cujo gráfico você pode ver na figura a seguir.

AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES

Figura 53 - Gráfico do custo C de produção de x litros da substância do exemplo Fonte: FERREIRA, 2013.

Nessas condições, o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros? Solução: neste caso, C(x) = a . x + b Para obter a resposta, devemos inicialmente encontrar a lei de formação da função custo em questão. Analisando o gráfico, temos que a função custo passa pelos pontos (0; 400) e (8; 520), logo: » » para o ponto (0; 400): a·(0) + b = 400, em que b = 400 (intercepto). » » para o ponto (8; 520): a·(8) + b = 520 e, como b = 400, obtemos: 8a + b = 520 8a + 400 = 520 8a = 520 - 400 = 120 a = 120 = 15 Então,

8 C(x) = a·x + b C(x) = 15·x + 400

Agora, para encontrar a produção correspondente ao custo de R$ 700,00, basta substituir a expressão característica do custo C(x) por 700 e encontrar o respectivo valor de x, ou seja: C(x) = 15·x + 400 700 = 15·x + 400 15·x = 700 - 400 15·x = 300 x = 300

Portanto, concluímos que o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de 20 litros de tal substância da indústria AFA Ltda.

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3.5 COMO RESOLVER UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES Existem diversos métodos analíticos pelos quais podemos resolver um sistema de equações, como o método da substituição, da adição etc. Além disso, como estamos trabalhando sobre o gráfico de funções do primeiro grau, podemos também resolver um sistema com duas equações lineares através da análise gráfica das funções que compõem as equações em questão (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Acompanhe. Vamos resolver analiticamente e geometricamente este sistema de equações.

x − y = −3 2x + 3y = 4 Para isso, devemos usar duas formas distintas, ou seja, a forma analítica e a geométrica.

3.5.1 Resolução analítica 1o – Processo da substituição: consiste em substituir o valor de uma das incógnitas, obtido a partir de uma das equações, pela outra. Resolvendo, por exemplo, a primeira equação na incógnita x, obtemos: x - y = -3 ⇔ x = y - 3 Então, substituímos x por esse valor na segunda equação: 2 · (y - 3) + 3y = 4 ⇔ 2y - 6 + 3y = 4 ⇔ y = 2 Agora, basta levarmos o valor y = 2 à primeira equação, encontrando: x - 2 = -3 ⇔ x = 2 - 3 ⇔ x = -1 Portanto, a solução do sistema do exemplo é dada por x = -1 e y = 2, ou seja, pelo par ordenado (-1; 2). 2o – Processo da adição: note que este método se baseia nas seguintes propriedades: I. Num sistema de equações, se multiplicarmos todos os coeficientes de uma equação por um número não nulo, o sistema que obtemos é equivalente ao anterior. Dois sistemas são ditos equivalentes quando apresentam as mesmas soluções.

a1 x + b1 y = c1 ka x + kb1 y = kc1 (k ≠ 0) ⇔ 1  a2 x + b2 y = c2 a2 x + b2 y = c2 II. Num sistema de equações, se substituirmos uma das equações pela sua soma com outra equação do sistema, o novo sistema é equivalente ao anterior.

a1 x + b1 y = c1 (a + a ) x + (b1 + b2 ) y = c1 + c2 ⇔ 1 2  a2 x + b2 y = c2 a2 x + b2 y = c2 A base do processo da adição consiste em aplicarmos a primeira propriedade, multiplicando cada equação por números convenientes, de modo que os coeficientes de determinada incógnita sejam

AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES

opostos e, aplicando a segunda propriedade, substituindo uma das equações pela soma das duas equações. Desta forma, no sistema do exemplo, multiplicamos a primeira equação por 3, obtendo o sistema:

3 x − 3 y = −9  2 x + 3 y = 4 Substituindo a primeira equação pela soma das duas equações, temos o resultado:

5 x = −5  2 x + 3 y = 4 Que é equivalente ao sistema:

 x = −1  2 x + 3 y = 4 E, então, substituindo x = -1 em 2x + 3y = 4, encontramos: 2 · (-1) + 3y = 4 ⇒ y = 2 Ou seja, a solução do sistema é o par ordenado (-1; 2).

3.5.2 Resolução geométrica Ainda trabalhando sobre o sistema proposto no exemplo, que é:

 x − y = −3  2 x + 3 y = 4 Percebemos que ele equivale a:

y = x −3  −2 x + 4   y = 3 Assim, construímos os gráficos das funções: y=x-3ey=

A solução do sistema são as coordenadas do ponto de interseção das retas, portanto (-1; 2). Observe, na figura a seguir, a interpretação geométrica da interseção entre as duas funções.

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−2 x + 4 3 y=x–3

Figura 54 - Interseção dos gráficos das funções y = x - 3 e y = Fonte: FERREIRA, 2013.

Exercícios 1) Dadas as retas r e s com equações (r): 2x - 3y = 12 e (s): 4x + 3y = 6, vamos fazer um esboço e caracterizar as coordenadas do seu ponto de interseção. Solução Para traçar o gráfico da reta r, encontramos os valores de a e b com relação à interseção com os eixos coordenados. Na equação de r, substituímos x por 0 e obtemos b = -4. Depois, substituindo y por 0, obtemos a = 6. Ou seja, a equação da reta (r): 2x - 3y = 12 passa pelos pontos (0; -4) e (6; 0). Similarmente, realizamos o mesmo procedimento para a reta (s): 4x + 3y = 6, isto é, 3 fazendo x = 0 segue que y = 2, enquanto tomando y = 0 vem que x = . Então, a reta s passa 2 pelos pontos de coordenadas (0; 2) e ( 3 ; 0). A representação geométrica dos gráficos das duas 2 equações está na figura a seguir.

AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES

r Figura 55 - Representação geométrica das retas r e s. Fonte: FERREIRA, 2013.

Para encontrar as coordenadas do ponto de interseção entre r e s, resolvemos as duas equações simultaneamente. Como o ponto precisa estar em ambas as retas, ele deve satisfazer as duas equações. Passando as equações na forma inclinação-intercepto vem: (r): y = 2 x - 4

(s): y = -4x + 2

Eliminando y, obtemos:

2 x - 4 = -4x + 2 3 3

2x - 12 = -4x + 6 (multiplicamos a igualdade acima por 3) 2x + 4x = 6 + 12 6x = 18 x=3 Então, y = 2x - 4

y = 2 (3) - 4

y = -2 Portanto, o ponto de interseção entre as retas r e s é o ponto de abscissa 3 e ordenada -2, isto é, (3; -2). 83

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2) O gráfico da figura a seguir pode representar qual das expressões?

Figura 56 - Gráfico da função do exemplo. Fonte: FERREIRA, 2013.

a) y = 2x - 3 b) y = -2x + 3 c) y = 1,5x + 3 d) y = -1,5x + 3 e) 3y = -2x Solução: Observe inicialmente que a reta em questão passa pelos pontos P(-2; 0) e Q(0; 3). Além disso, como se trata de uma função afim, sua lei de formação é dada por f(x) = ax + b. Daí: » » para o ponto P(-2; 0): f(-2) = 0, ou seja, a · (-2) + b = 0, então -2a + b = 0; » » para o ponto Q(0; 3): f(0) = 3, ou seja, a · (0) + b = 3, então b = 3. Substituindo b = 3 na igualdade -2a + b = 0, vem: -2a + 3 = 0 2a = -3 a= 3

Portanto, o gráfico representa a expressão y = 1,5x + 3 e a alternativa correta é a letra (c).

A função afim f: ℜ→ℜ, definida por f(x) = a · x + b, com a, b e a ≠ 0, possui as seguintes propriedades:

AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES

» » Domínio: ℜ » » Contradomínio: ℜ » » Conjunto imagem: ℜ » » Raiz da função afim: vimos que a raiz de uma função é todo número x cuja imagem é nula, assim, para encontrar a raiz da função afim, basta resolver a equação do primeiro grau f(x) = ax + b = 0, a qual resulta que x = -b é a raiz de f(x) = ax +b. Logo, a reta intercepta o eixo das abscissas x no ponto (-b; 0). a

3.6 COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM E EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA Com relação à função afim f: ℜ→ℜ, definida por f(x) = a · x + b, com a, b∈ℜ e a ≠ 0, os dois números reais a e b recebem nomenclaturas especiais, descritas a seguir. Coeficiente angular ou declive ou declividade O coeficiente a da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente angular, ou declividade da reta representada no plano cartesiano (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Ou seja, o coeficiente angular é o número que especifica a direção da reta que descreve a função do primeiro grau e, em alguns casos, teremos de calculá-lo. Uma das maneiras de fazer este cálculo é por meio da fórmula a seguir, em que devemos conhecer dois pontos quaisquer que pertençam à reta considerada, definidos pelos pares ordenados genéricos de pontos P(x1; y1,) e Q(x2; y2):

y 2 − y1 x 2 − x1

Coeficiente linear O coeficiente b da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente linear da reta representada no plano cartesiano (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Exercício: qual é o coeficiente angular da reta cuja equação é y = 9x + 7 ?

Solução: Nesse caso, note que a equação da reta pode ser visualizada como: y = 9x + 7

Ou seja, o coeficiente da reta é dado por a = 9 = 3. Veja este exemplo.

Pode ser provado que a tangente do ângulo α é igual ao coeficiente angular da reta, ou seja, a = tgα, como você pode ver nas figuras 1 a seguir. Note que no primeiro caso a > 0 e no segundo caso a < 0.

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Figura 57 - Igualdade a = tgα (a > 0). Fonte: FERREIRA, 2013.

Vamos praticar um pouco mais? Exercícios 1) Identifique a função dada pelo gráfico da figura a seguir.

Figura 58 - Gráfico da função da questão. Fonte: IEZZI; MURAKAMI, 1993.

Solução: O gráfico é uma reta, então f(x) = a · x + b e, como podemos observar na figura 12, a =

2 tg 45° = 2 = 1. Além disso, para x = 0, temos que: y = 2 ⇒ f(0) = 2 ⇒ a · (0) + b = 2 ⇒ 2 2 b = 2. Então concluímos que a função é dada por f(x) = x + 2. 2) Se f(x) = ax + b, simplifique a expressão:

AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES

f ( x0 + h) − f ( x0 ) , onde x0 ∈ℜ e h > 0. h Solução: Nesse caso, temos: f(x) = ax + b ⇒  f ( x0 ) = a.x0 + b

  f ( x0 + h) = a.( x0 + h) + b

Daí:

f ( x0 + h) − f ( x0 ) a.( x0 + h) + b − (a .x0 + b) a .x0 + ah + b − a .x0 − b ah = = a. = = h h h h Em um curso introdutório de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável real, podemos associar a noção de derivada com a inclinação da reta tangente num ponto de abscissa x do gráfico de uma função y = f(x). Na verdade, esta inclinação da reta nada mais é do que o coeficiente angular que acabamos de discutir. Através da derivada podemos resolver problemas envolvendo taxas de variação, como acontece na física, em que caracterizamos que a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo é a aceleração. A interpretação da derivada é muito importante para a engenharia, já que vários outros problemas demandam da resolução de equações que envolvem derivadas ordinárias de uma dada função.

O conceito de derivada foi introduzido em meados dos séculos XVIII e XVIII em estudos de problemas da física ligados aos movimentos. Entre os gênios que se dedicaram à questão, destacam-se o físico e matemático inglês Isaac Newton (1642–1727), o filósofo e matemático Gottfried Leibniz (1646–1716) e o matemático francês Joseph-Louis Lagrange (1736–1813). Lagrange nasceu em Turim, na Itália, mas passou praticamente toda a sua vida na França.

3.7 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA Outro foco importante na caracterização da reta associada a uma função afim é conhecer um ponto qualquer que pertença à reta e o seu coeficiente angular (a), que é a chamada equação fundamental. Desta maneira, conhecendo um ponto qualquer desta reta definido pelo par ordenado (x0; y0) e seu coeficiente angular m, sua expressão será dada por: y - y0 = a . (x - x0)

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Exercícios 1) Qual é a equação da reta que passa pelos pontos (1; 3) e (2; 7)? Solução: Primeiramente devemos encontrar o coeficiente angular da reta. Depois disso, usamos a equação fundamental de uma reta, ou seja, a equação aplicada quando conhecemos um ponto qualquer da reta e o seu coeficiente angular. Desta maneira, temos:

Coeficiente Angular = a =

y 2 − y1 7 − 3 4 = = =4 x 2 − x1 2 −1 1

Logo, utilizando o ponto (x0; y0) = (1; 3), temos que a equação fundamental da reta é dada por: y - y0 = a · (x - x0) y - 3 = 4 · (x - 1) y-3=4·x-4 y=4·x-4+3 y=4.x-1 Portanto, a equação da reta que passa pelos pontos (1, 3) e (2, 7) é dada por y = 4 · x 2) A forma de escrever a lei de formação da função afim, ou seja, a equação y = ax + b, com a ≠ 0, é chamada de inclinação-intercepto da equação da reta. Neste sentido, encontre a forma inclinação-intercepto de uma equação da reta que passa por (-4; -1) e (-7; -3) e esboce geometricamente a reta. Solução: Se a é a inclinação reta, então: a=

−3 − (−1) −2 2 = = −7 − (−4) −3 3

Logo, utilizando a equação fundamental da reta e considerando o ponto (x0; y0) = (-4; -1), temos: y - y0 = a · (x - x0) y - (-1) = y+1= y= Ou seja,

2 · [x - (-4)] 3 2 8 ·x+ 3 3

2 8 ·x+ -1 3 3

2 5 ·x+ 3 3

Veja a representação geométrica desta equação na figura a seguir.

AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES

Figura 59 - Gráfico da equação y = 2 · x + 5 . 3 3 Fonte: FERREIRA, 2013.

3.8 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Conhecemos na aula 2 as definições formais das funções crescente e decrescente. Assim, temos dois resultados que associam essas definições ao contexto das funções afins. Teorema 1 – a função afim f(x) = ax + b é crescente se, e somente se, o coeficiente angular a for positivo (a > 0) (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Teorema 2 – a função afim f(x) = ax + b é decrescente se, e somente se, o coeficiente angular a for negativo (a < 0) (IEZZI; MURAKAMI, 1993). Exercícios 1) Especifique se cada uma das funções a seguir é crescente ou decrescente no conjunto dos números reais. a) f(x) = 4x - 2 b) f(x) = -3x + 7 c) f(x) = -x d) f(x) = 3 Solução: Nesse caso, temos: a) f(x) = 4x - 2 é uma função crescente, pois o seu coeficiente angular é positivo, ou seja, a = 4 > 0. b) f(x) = -3x + 7 é uma função decrescente, pois o seu coeficiente angular é negativo, ou seja, a = -3 < 0. c) f(x) = -x é uma função decrescente, pois o seu coeficiente angular é negativo, ou seja, a = -1 < 0. d) f(x) = 3 é uma função constante.

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2) Examinando o gráfico da função f mostrado na figura a seguir, que é uma reta, o que concluímos?

Figura 60 - Gráfico da função do exercício. Fonte: IEZZI; MURAKAMI, 1993.

a) Se f(x) < 0, então x > 3. b) Se x > 2, então f(x) > f(2). c) Se x < 0, então f(x) < 0. d) Se f(x) < 0, então x < 0. e) Se x > 0, então f(x) > 0. Solução: Nesse caso, percebemos que a resposta correta é a alternativa A. Observe que para valores de x > 3 a função f do gráfico toma valores negativos, ou seja, f(x) < 0. 3) Uma empresa investe R$ 1.800,00 em equipamentos. O contador da empresa usa o método da linha reta para a depreciação em 10 anos, que é a estimativa de vida do equipamento – isto é, o valor contábil do equipamento decresce a uma taxa constante, de tal forma que ao fim dos 10 anos, aquele valor contábil será zero. Qual a função que caracteriza a relação entre o valor contábil do equipamento em relação ao tempo em anos? Solução: Suponha que o valor contábil do equipamento seja y ao fim de x anos. De acordo com o enunciado, temos que x = 0 implica em y = 1.800, enquanto que para x = 10 segue que y = 0. Logo, o gráfico que dá a relação entre x e y é o segmento de reta no primeiro quadrante que une os pontos (0; 1.800) e (10; 0), sendo a o coeficiente angular da reta. Então: a=

0 − 1800 = -180 10 − 0

Assim, tomando a forma inclinação-intercepto da equação da reta em questão com a = -180 e b = 1.800, podemos escrever: y = -180 . x + 1.800, com 0 ≤ x ≤ 10. Note que a inclinação da reta é -180, e que esse número determina a quantia segundo a qual o valor contábil muda a cada ano, isto é, decresce R$ 180,00 por ano.

AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES

3.8.1 Sinal da função afim Considere uma função f: A → B definida por y = f(x). Quando queremos saber “para quais valores de x temos f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0?”. Bem, isso acontece ao estudarmos o sinal da função y = f(x) para cada x pertencente ao seu domínio. Assim, se você quiser descobrir o sinal de uma função representada geometricamente no plano cartesiano, basta examinar se a ordenada de cada ponto da curva é positiva, nula ou negativa. Especificamente falando, no caso da função afim f(x) = ax + b, temos: » » Para x =

−b −b −b ⇒ f(x) = ax + b = 0 (x = é a raiz de f), ou seja, ax + b se anula em x = . a a a

» » Para x >

−b : a

 se a > 0 ⇒ f ( x) = ax + b > 0 .   se a < 0 ⇒ f ( x) = ax + b < 0

» » Para x <

−b : a

 se a > 0 ⇒ f ( x) = ax + b < 0 .   se a < 0 ⇒ f ( x) = ax + b > 0

Exercícios

1) Estude os sinais da função f(x) = 2x - 1. Solução: Então, f(x) = 0 ⇒ 2x - 1 = 0 ⇒ x = a = 2 ⇒ a > 0 e -a < 0

1 2

Logo, » » Para x >

1 ⇒ f(x) > 0 (sinal de a) 2

» » Para x <

1 ⇒ f(x) < 0 (sinal de -a) 2

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Figura 61 - Gráfico da função f(x) = 2x - 1. Fonte: FERREIRA, 2013.

2) Considere a função de ℜ em ℜ definida por f(x) = 4x - 5. Agora, determine os valores do domínio da função que produzem imagens maiores que 2. Solução: Os valores do domínio da função que produzem imagens maiores que w são os valores de x ∈ℜ , tais que: 4x - 5 > 2 E, portanto, x>

7 4

3.8.2 Inequações simultâneas e função afim Segundo Iezzi e Murakami (1993), a dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) se decompõe em duas inequações simultâneas, isto é, equivale a um sistema de duas equações em x, separadas pelo conectivo e:

 f ( x) < g ( x)  f(x) < g(x) < h(x) ⇔ e  g ( x ) < h( x )  Desta forma, quando f(x), g(x) e h(x) são funções afins, temos então as inequações simultâneas com funções do primeiro grau. Exercício: Resolva a inequação simultânea:

AULA 3 – FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E APLICAÇÕES

3x + 2 < -x + 3 ≤ x + 4. Solução: Antes temos que resolver duas inequações: I. 3x + 2 < -x + 3 ⇒ 4x < 1 ⇒ x <

1 4

II. -x + 3 ≤ x + 4 ⇒ -2x ≤ 1 ⇒ x ≥

−1 2

Logo, a interseção entre esses dois conjuntos é: S = {x ∈ℜ |

−1 1 ≤ x < }. 2 4

CONCLUSÃO Neste capítulo, estudamos a função do primeiro grau, ou função afim – denotada por f(x) = ax + b. Além disso, interpretamos geometricamente que o gráfico dessa função é uma reta, e que a função é crescente desde que a > 0 e decrescente se a < 0. Além disso, identificamos a nomenclatura dos coeficientes associados à função afim em coeficiente angular e linear. Também resolvemos equações e inequações lineares e discutimos dois contextos para a resolução de sistemas lineares com duas incógnitas. Para completar, resolvemos algumas aplicações envolvendo a função do primeiro grau que podem surgir na vida cotidiana do engenheiro e, ainda, interpretamos geométrica e algebricamente uma função do primeiro grau. Na próxima aula, vamos conhecer as principais propriedades algébricas e geométricas da função do segundo grau, desde a parte relacionada à concavidade da parábola que a representa geometricamente até problemas envolvendo máximos e mínimos. Até lá!

AULA 4 Funções do segundo grau e aplicações

Dr. Alessandro Ferreira Alves

INTRODUÇÃO Você já conheceu os principais aspectos teóricos relacionados à função do primeiro grau, não é mesmo? Agora, vamos discutir as principais propriedades da função do segundo grau, cuja representação gráfica é dada por uma parábola. Para visualizar as aplicabilidades da função quadrática, vamos pensar em uma situação bem comum do nosso dia a dia. Imagine um garoto sentado em um ônibus, indo para a escola, jogando um lápis para cima e pegan¬do de volta. Aparentemente, para o garoto, a caneta só vai para cima e para baixo, mas quem está de fora do ônibus consegue ver a caneta fazer um movimento de parábola, com concavi¬dade para baixo. Assim, temos dois movimentos distintos: além de a caneta ir para cima, o ônibus movimenta-se para frente.

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As funções quadráticas possuem diversas aplicações, principalmente em situações relacionadas à Física e à Engenharia, como lançamento oblíquo, movimento uniforme-mente variado, cálculos envolvendo áreas máximas e mínimas etc. – até na Biologia, ao estudar o processo de fotossíntese das plan¬tas. Nesta aula, vamos estudar conceitos de zeros, ou raízes, e máximo e mínimo de uma função do segundo grau. Construiremos seus gráficos e analisaremos suas aplicações. Bom estudo!

OBJETIVOS » » Entender e aplicar os conceitos básicos de funções do segundo grau em problemas simulados. » » Compreender a importância do estudo de funções do segundo grau no contexto da Engenharia. » » Caracterizar as raízes de uma função do segundo grau. » » Representar geometricamente funções do segundo grau. » » Estar plenamente familiarizado com o estudo sobre crescimento e decrescimento de funções do segundo grau. » » Compreender a variação de sinais envolvendo funções do segundo grau. »» » » Interpretar e resolver problemas práticos envolvendo máximos e mínimos no contexto de funções quadráticas.

4.1 HISTÓRIA ENVOLVENDO A FUNÇÃO QUADRÁTICA Há relatos de um passatempo muito popular entre os matemáticos da Índia antiga: a solução de quebra-cabeças em competições públicas, em que um competidor apresentava problemas para o outro resolver. Escritos por sacerdotes brâmanes, os grandes clássicos matemáticos misturavam ciência e religião. Cada assunto consistia de um texto básico chamado sutra, que o professor lia em voz alta e os alunos repetiam centenas de vezes até decorar. Na verdade, os sutras eram integrados por ditados populares, em forma de versos. Veja o exemplo (GUELLI, 1992, p. 7): Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos: sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava. Com alegres gritos, doze gritando no campo estão. Sabes quantos macacos há na manada total? Que relação isso tem com a função quadrática, que é o tema da nossa aula? Bem, hoje podemos traduzir esse quebra-cabeça para o idioma da Álgebra, como a equação descrita a seguir:

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos: x

x sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava.  8   

Com alegres gritos, doze gritando no campo estão: 12

x 8

Sabes quantos macacos há na manada total? x =   + 12 Desenvolvendo a equação, temos: 2

x x =   + 12 8 x=

x2 + 12 64

64x = x 2 +12.(64)

x 2 – 64x + 768 = 0 Note que obtivemos uma equação contendo o termo . Ela é chamada de equação do segundo grau. Levou muito tempo para que os matemáticos descobrissem uma fórmula resolutiva desse tipo de equação. Porém, mesmo sem conhecer a fórmula, os bravos matemáticos da Antiguidade, que escreviam as equações totalmente em palavras – inclusive os números –, conseguiam resolver a maioria delas. Daí, podemos indagar: mas como isso era possível? Quando falamos em equação do segundo grau, ou quadrática, vem em mente o nome do matemático indiano Bhaskara Akaria (1114-1185). Foi ele que, no século XII, se dispôs a resolver essa equação e a divulgar ao mundo suas descobertas. O maior problema dos matemáticos que tentavam achar valores para a equação era o fato de haver um x de expoente 2 junto a um x de expoente 1. De maneira sábia, Bhaskara aplicou princípios básicos, porém inteligentes, para finalmente achar um valor definitivo de x. A partir da descoberta de sua fórmula, diversas outras se derivaram, como as de Soma e Produto, Relações entre as Raízes ou os valores dos vértices de uma função quadrática. Resumindo, as equações de segundo grau são resolvidas através de uma expressão matemática atribuída ao matemático indiano Bhaskara, conhecida popularmente por fórmula de Bhaskara, ou delta. Mas, analisando a linha cronológica dos fatos, identificamos diversos povos ligados ao desenvolvimento da Matemática e que contribuíram de forma significativa na elaboração de uma forma prática para o desenvolvimento de tais equações. Incrível, não? Babilônios, egípcios e gregos

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utilizavam técnicas capazes de resolver esse tipo de equação anos antes de Cristo. Babilônios e egípcios utilizavam-se de textos e símbolos como ferramentas para ajudar na resolução. Os gregos conseguiam concluir suas resoluções por meio de associações com a geometria, pois possuíam uma forma geométrica para solucionar problemas ligados às equações quadráticas. Cabe ressaltar, também, que foi com o francês Viéte que o método resolutivo das equações de segundo grau ganhou símbolos e letras. Viéte é o responsável pela modernização da Álgebra. Seus trabalhos foram desenvolvidos por outro francês, denominado René Descartes.

4.2 FUNÇÃO QUADRÁTICA Chamamos de função polinomial do segundo grau, ou simplesmente de função quadrática, aquela redutível à forma: f(x) = ax2 + b.x + c Em que a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0. Vejamos alguns exemplos. 1) A função f: ℜ → ℜ tal que f(x) = x2, com a = 1, b = 0 e c = 0. 2) A função f: ℜ → ℜ tal que f(x) = x2 + 2x – 1, com a = 1, b = 2 e c = – 1. 3) A função f: ℜ → ℜ tal que f(x) = – x2, com a = – 1, b = 0 e c = 0. 4) A função f: ℜ → ℜ tal que f(x) = – 3.x2 + 5x – 2, com a = – 3, b = 5 e c = – 2. 5) A função f: ℜ → ℜ tal que f(x) = x2 – 3x – 4, com a = 1, b = 0 e c = 0.

4.3 FUNÇÃO QUADRÁTICA – APLICAÇÕES Em diversas situações, podemos aplicar as funções quadráticas. Acompanhe os exemplos: Na geometria O número de diagonais (d) de um polígono convexo de n lados é dado por uma função quadrática, ou seja, dado um polígono de n lados. Temos que d é função de n, isto é, d = f(n) ou, ainda, escrevemos d(n) =

n 2 − 3n 1 2 3 = n − n , que é uma função do segundo grau. 2 2 2

Nos fenômenos físicos Na queda livre dos corpos, o espaço (s) percorrido é dado em função do tempo (t) por uma função quadrática s(t) = 4,9. t 2 , em que a constante 4,9 é a metade da aceleração da gravidade, que é 9,8 m/s². No esporte Num campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número p de partidas do campeonato é dado em função do número n de clubes participantes, conforme você pode ver no quadro a seguir.

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

NÚMERO DE CLUBES

NÚMERO DE PARTIDAS

2.(2 – 1) = 2

3.(3 – 1) = 6

4.(4 – 1) = 12

5.(5 – 1) = 20

...

n.(n – 1) Quadro 4 - Disposição das informações.

Fonte: FERREIRA, 2013.

Ao analisar o quadro, podemos perceber que o número p de partidas é dado por p(n) = n.(n – 1) = n² – n. Note que n² – n é o número de pares ordenados (pois existe o mando de campo) menos os jogos de cada time com ele próprio, que não existem.

Assim como visualizamos no estudo das funções do primeiro grau, as funções quadráticas são uma ferramenta importante para o engenheiro.

4.4 DISCRIMINANTE DA FUNÇÃO QUADRÁTICA – FÓRMULA DE BHASKARA

Considerando a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, temos a conhecida fórmula de Bhaskara, ou delta, ou discriminante associada a f(x), que é dada por ∆ = b 2 − 4.a.c . Além disso, para encontrar as raízes da equação associada, basta utilizar a expressão x =

−b ± ∆ . Ou seja, se denotarmos por x’ e x’’ as raízes de f(x), no 2a

caso de ≥ 0, então x ' =

−b + ∆ −b − ∆ e x '' = . 2a 2a

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Vamos discutir com mais detalhes as raízes ou os zeros da função quadrática um pouco mais adiante.

Dica! A representação geométrica das raízes de uma equação do segundo grau é que estas correspondem aos valores das abscissas onde a parábola corta o eixo dos x.

4.5 VALOR DA FUNÇÃO QUADRÁTICA EM UM PONTO Se f: ℜ → ℜ é dada por f(x) = ax + bx + c, dois problemas são importantes. Dado x0 ∈ℜ , calcular f( x0 ). Dada f( x0 ), calcular x0 . Vamos resolver os seguintes exercícios: 1) Se f: ℜ → ℜ é dada por f(x) = 3x2 + 2x + 1, qual é o valor de f(1)? Solução: basta substituirmos o valor de x por 1 para calcular f(1), ou seja: f(1) = 3(1)2 + 2.(1) + 1 f(1) = 3 + 2 + 1 f(1) = 6 2) Sobre uma circunferência, são marcados pontos distintos e traçados todos os segmentos possíveis, com extremidades nesses pontos. O número de segmento (s) é dado em função do número x de pontos marcados. Por exemplo:

Com base nesses dados, faça o seguinte: a) caracterize a lei dessa função quadrática: quais são os coeficientes a, b e c?

100

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

b) quantos são os segmentos quando marcados cinco pontos? c) quantos pontos precisam ser marcados para que o número de segmentos seja igual a 21? Solução: neste caso, temos: a) a lei de formação dessa função é dada por:

s ( x) = Os coeficientes são a =

x.( x − 1) x 2 − x 1 2 1 = = x − x x 2 2 2

1 1 , b =− e c = 0. 2 2

b) Aqui, basta pegarmos a expressão da letra (a) e substituir x por 5, como segue:

s ( x = 5) =

5.(5 − 1) 5.4 = =4 5 5

x2 − x c) Aqui, devemos resolver a equação = 21, ou seja: 2 x2 − x = 21 2

x 2 – x – 42 = 0 ∆ = 1 + 168 = 169 Daí:

1 ± 13 2

Logo: x’ = 7 e x’’ = – 6 (não convém) Portanto, precisam ser marcados 7 pontos.

4.6 ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Saiba que o estudo da função quadrática foi iniciado com relação à equação quadrática. Um problema antigo que recai em uma equação do segundo grau é este: “determinar dois números conhecendo a sua soma s e seu produto p.” Se chamarmos de x um dos números, o outro será dado por s – x. Assim, p = x.(s – x), ou p = sx – x2 , ou ainda x2 – sx + p = 0. Para encontrar x (e, portanto, s – x), basta resolver a equação de segundo grau x2 – sx + p = 0, ou seja, basta determinar os valores x para os quais a função quadrática f(x) = x2 – sx + p = 0 se anula. Esses valores são chamados zeros da função quadrática ou raízes da equação de segundo grau correspondente a f(x) = 0.

101

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Note que esta definição é semelhante ao que vimos na Aula 3 sobre funções do primeiro grau. Por exemplo, os dois números cuja soma é 7 e cujo produto é 12 são 3 e 4, que são as raízes da equação x2 – 7x + 12 = 0, ou zeros da função quadrática f(x) = x2 – 7x + 12 = 0.

4.6.1 Determinação dos zeros por fatoração Agora, queremos determinar os zeros de algumas funções quadráticas usando o procedimento da fatoração. Para entender melhor, vamos resolver alguns exercícios. 1) Determine os zeros das seguintes funções quadráticas: a) f(x) = x 2 – 16 b) f(x) = x 2 + 2x c) f(x) = x 2 – 6x + 9 Solução: neste caso, temos: a) A equação de segundo grau correspondente é x 2 – 16 = 0. Fatorando o primeiro membro da equação, temos x 2 – 16 = 0 ↔ (x – 4).(x + 4) = 0. Para que um produto seja zero, pelo menos um dos fatores precisa ser zero. Logo, (x – 4) = 0 ou (x + 4) = 0, ou seja, x = 4 ou x = – 4. Assim, as raízes da equação x 2 – 16 = 0 são 4 e – 4, ou os zeros da função quadrática f(x) = x 2 – 16 = 0 são 4 e – 4. b) A equação de segundo grau associada é x 2 + 2x = 0. Fatorando o primeiro membro da equação, temos: x 2 + 2x = 0 ↔ x.(x + 2) = 0. Logo, x = 0 ou (x + 2) = 0, ou seja, x = 0 ou x = – 2. Assim, os zeros da função x 2 + 2x = 0 são 0 e – 2. c) A equação de segundo grau associada é x 2 – 6x + 9 = 0. Fatorando o primeiro membro da equação, temos: x 2 – 6x + 9 = 0 ↔ (x – 3)2 = 0. Logo, (x – 3) = 0 ou (x – 3) = 0, ou seja, x = 3 ou x = 3. Assim, dizemos que x = 3 é um zero “duplo” da função quadrática f(x) = x 2 – 6x + 9.

4.6.2 Determinação dos zeros por completamento do quadrado O completamento de quadrado é um procedimento muito utilizado no estudo da função quadrática. Veja alguns exemplos:

x 2 + 6 x =  x 2 + 2.3. x + 32 − 32 = ( x + 3) 2 − 9 logo x 2 + 6 x = ( x + 3) 2 − 9 .  ( x + 3)2

x 2 − 10 x =  x 2 − 2.5. x + 52 − 52 = ( x − 5) 2 − 25 logo x 2 − 10 x = ( x − 5) 2 − 25 .  ( x −5)2

102

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

5 5 5 25 5 5 5 5 25 x − x = x 2 − 2. .x +   −   = ( x − ) 2 − logo x 2 − x = ( x − ) 2 − . 2 4 4 4 4 16      2 4 16   2

5 ( x − )2 2

Em geral, podemos escrever x 2 + px = ( x + Vamos aos exercícios.

p 2 p2 ) − . 2 4

1) Determine os zeros das funções quadráticas: a) f(x) = x 2 + 6x + 5 b) f(x) = 2 x 2 – 5x + 3 Solução: a) A equação de segundo grau correspondente é x 2 + 6x + 5 = 0, ou seja, x 2 + 6x = – 5. Completando o quadrado, vem que x 2 + 6x + 9 = – 5 + 9 → ( x + 3) 2 . Extraindo a raiz quadrada de ambos, segue:

 x + 3 = 2 ⇒ x = −1 `( x + 3) = ± 2 ⇒   x + 3 = −2 ⇒ x = −5

Portanto, os zeros da função são – 1 e – 5.

b) a equação do segundo grau correspondente é 2 – 5x + 3 = 0. Essa equação é equivalente a outra em que dividimos todos os termos por 2:

x2 −

5 3 5 3 x + = 0 ⇒ x2 − x = − 2 2 2 2

Completando o quadrado, temos: 2

5 25 3 25  5 1 5 1 x − x+ =− + ⇒x−  = ⇒ x− =± 2 16 2 16 4  16 4 4  2

Daí,

5 1   x − 4 = + 4 ⇒ x = 5 1 x− =± ⇒ 4 4 x − 5 = − 1 ⇒ x =  4 4

6 3 = 4 2 4 =1 4

103

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Portanto, os zeros da função são

3 e 1. 2

4.7 FORMA CANÔNICA DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Segundo Dante (2011, p. 92), dada a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, podemos escrever:

b c  f ( x) = ax 2 + bx + c = a.  x 2 + x +  a a  As duas primeiras parcelas dentro dos colchetes são as mesmas do desenvolvimento do quadrado: 2

b  b b2 b b2  2 2 x+  = x + 2.x. + 2 = x + x + 2 2a  2a 4a a 4a  Dessa maneira, completando o quadrado, vem:

 b b2 b2 c  f ( x) = ax 2 + bx + c = a.  x 2 + 2. x + 2 − 2 +  2a 4a 4a a  Ou seja,

2  b  4.a.c − b 2  f ( x) = ax 2 + bx + c = a.  x +  +  2a  4a 2     forma canônica

Ou ainda: 2

b  4.a.c − b 2  f ( x) = a.  x +  + 2a  4a 2 

Agora, tomando m =

4.a.c − b 2 −b ek= , concluímos que f(m) = k. 4a 2 2a

Portanto, para todo x ∈ ℜ e a ≠ 0 podemos escrever qualquer função quadrática f(x) = = ax + bx + c da seguinte maneira: f(x) = a.(x – m)2 + k, em que m =

104

−b e k = f(m). 2a

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

Essa expressão é chamada forma canônica de f(x) = ax2 + bx + c, sendo teoricamente muito importante. Vejamos agora algumas consequências diretas com relação à forma canônica da função de segundo grau. 1) Valor mínimo e valor máximo da função f(x) = ax2 + bx + c Seja a função quadrática f(x) = = 3x2 – 5x + 2. Nesse caso, temos que m=

5 5 5 5 −1 e k = f( ) = 3.( ) – 5.( ) + 2 = e a forma canônica é dada por: 6 6 6 6 12 f(x) = 3.(x –

5 2 1 ) – 6 12

Dessa maneira, olhando para a expressão anterior, podemos concluir que o menor valor de f(x) para x ∈ℜ é

−1 5 . Isso ocorre quando x = . 12 6

Em geral, da forma canônica f(x) = a.(x – m)2 + k, conclui-se que para qualquer x ∈ℜ : » » a > 0, o menor valor de f(x) é k = f(m). » » a < 0, o maior valor de f(x) é k = f(m). 2) Zeros da função quadrática e raízes da equação f(x) = ax2 + bx + c = 0 Considerando a função quadrática f(x) = = 3x2 – 5x + 2, então sua forma canônica é: f(x) = 3.(x –

5 6

)2 – 12

Daí,

1  5 x − = + ⇒ x =1 2 2 2 5 1 5 1 5 1 5 1  6    6 3.  x −  − = 0 ⇒ 3.  x −  = ⇒  x −  = ⇒ x− =± ⇒ 1 2 6  12 6  12  6  36 6 6  5   x− =− ⇒ x =  6 6 3

Logo, os zeros de f(x) = = 3x2 – 5x + 2 são 1 e , que são também as raízes da equação 3x2 – 5x + 3 2 = 0. Geralmente, da forma canônica de f(x) = = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, que é a.(x – m)2 + k, em que m =

−b e k = f(m), podemos chegar à fórmula que fornece os zeros da função, como já vimos 2a

nesta aula pela fórmula de Bhaskara. Vale lembrar, também, que com relação ao discriminante da função quadrática f(x) = = ax2 +bx + c, temos:

105

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

» » ∆ > 0: a função f(x) = ax2 +bx + c admite duas raízes reais e distintas. » » ∆ < 0: a função f(x) = ax2 +bx + c não admite raízes reais. » » ∆ = 0: a função f(x) = ax2 +bx + c admite duas raízes reais e iguais. Exercício: a partir de agora, você já pode escolher a maneira pela qual determinará os zeros da função quadrática. Para tal, determine, se existirem, os zeros da função f(x) = x – 2x – 3. Solução: podemos verificar a existência e, em caso afirmativo, calcular as raízes de f(x) = x – 2x – 3 de dois modos diferentes, como segue: » » Primeiro modo: usando a forma canônica: x2 – 2x – 3 = 0, então m =

− (−2) = 1 e k = f(m) = f(1) = (1)2 – 2.(1) – 3 = – 4 , logo: 2(1)

x −1 = 2 ⇒ x = 3 x 2 − 2 x − 3 = 0 = 1.( x − 1) 2 − 4 = 0 ⇔ ( x − 1) 2 = 4 ⇔ x − 1 = ±2   x − 1 = −2 ⇒ x = −1 Portanto, os zeros da função são 3 e – 1. » » Segundo modo: usando a Fórmula de Bhaskara: x2 – 2x – 3 = 0, então a = 1, b = – 2 e c = – 3, daí: ∆ = b2 – 4ac = (– 2) – 4.(1). (– 3) ∆ = 16 > 0 Logo, a função admite duas raízes reais e diferentes, que são dadas por:

x' =

−b + ∆ 2 + 4 6 = = =3 2a 2 2

x '' =

− b − ∆ 2 − 4 −2 = = = −1 2a 2 2

Portanto, os zeros da função são 3 e – 1 ou, ainda, as raízes da equação são 3 e – 1. 3) Relação entre os coeficientes da função quadrática e zeros da equação correspondente Se existirem os zeros reais da função quadrática f(x) = ax2 +bx + c, então:

x' =

−b + ∆ −b − ∆ x '' = 2a 2a e

Logo, podemos calcular a soma x’ + x’’ e o produto x’.x’’, obtendo:

(x’ + x’’) =

106

− b + ∆ − b − ∆ − 2b + ∆ − ∆ − b e + = = 2a 2a 2a a

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

(x’ . x’’) = (

−b + ∆ −b − ∆ b 2 − ( ∆ ) 2 b 2 − b 2 + 4 ac 4 ac c ).( )= = = 2 = 2a 2a 4a 2 4a 2 4a a

Ou seja, x’ + x’’ = e x’ . x’’ =

−b a c a

4) Forma fatorada do trinômio ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 Quando temos ∆ ≥ 0, ou seja, quando a equação ax2 + bx + c = 0 admite duas raízes reais e distintas x’ e x’’, podemos escrever: b c  ax 2 + bx + c = a.  x 2 + x +  = a.[ x 2 − ( x '+ x '').x + x '.x ''] = a.[ x 2 − x '.x − x ''.x + x '.x ''] = a.( x − x ').( x − x '') a a 

Portanto, ax2 + bx + c = a.( x − x ').( x − x '') (forma fatorada)

4.8 GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA O gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva característica que recebe o nome de parábola. Vejamos alguns exemplos de parábolas representando gráficos de funções de segundo grau. 1) A parábola que representa a função f: ℜ → ℜ ,tal que f(x) = x2 é mostrada na figura a seguir.

Figura 62 - Gráfico da função f(x) = x2. Fonte: Ferreira (2013).

2) Veja agora o gráfico que representa a função f: ℜ → ℜ, tal que f(x) = – x2 .

107

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Figura 63 - Gráfico da função f(x) = -x2. Fonte: Ferreira (2013).

3) A representação geométrica da função f: ℜ → ℜ, tal que f(x) = x2 – 1, é mostrada na figura a seguir.

Figura 64 - O gráfico da função f(x) = x2 – 1. Fonte: Ferreira (2013).

4) A parábola que representa a função f: ℜ → ℜ, tal que f(x) = 2x2 – 2x + 2, é apresentada na figura a seguir.

Figura 65 - O gráfico da função f(x) = 2x2 – 2x + 2. Fonte: Ferreira (2013).

Vejamos algumas considerações relacionadas às funções polinomiais do segundo grau (funções quadráticas), que são importantes para a resolução e interpretação de problemas simulados envolvendo essas funções. 1) A parábola que representa a função f(x) = ax2 + bx + c tem a concavidade para cima caso a > 0, e a concavidade para baixo caso a < 0.

108

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

Figura 66 - A parábola tem concavidade voltada para cima quando a > 0 Fonte: Ferreira (2013).

Contrariamente:

Figura 67 - A parábola tem concavidade voltada para cima quando a > 0 Fonte: Ferreira (2013).

Resumindo:

Figura 68 - Interpretação da concavidade de uma parábola. Fonte: Ferreira (2013).

109

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

2) Em todos os casos, o vértice da parábola é o ponto V ( seja, a abscissa do vértice da parábola tem tem coordenada

−b −∆ ; ), em que ∆ = b2 - 4ac. Ou 2a 4a

−b , enquanto a ordenada do vértice da parábola 2a

−∆ . 4a

Figura 69 - Interpretação geométrica do vértice de uma parábola. Fonte: Ferreira (2013).

3o) Quando o discriminante ∆ = b2 – 4ac for positivo, a parábola intercepta o eixo x das abscissas em dois pontos distintos: (x’; 0) e (x’’; 0), em que x’ e x’’ são dados pela fórmula

−b±∆ . Em 2a

outras palavras, x’ e x’’ são as duas raízes reais distintas da equação do segundo grau em questão.

Figura 70 - Interpretação geométrica das raízes quando ∆ > 0. Fonte: Ferreira (2013).

4o) Quando o discriminante ∆ = b2 – 4ac for igual a zero, então a parábola é tangente ao eixo x

−b

das abscissas no ponto xv = . Ou, ainda, nesse caso a função quadrática possui duas raízes 2 a reais e iguais.

110

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

Figura 71 - Interpretação geométrica das raízes quando ∆ = 0. Fonte: Ferreira (2013).

5) Quando o discriminante ∆ = b2 – 4ac for negativo, significa que a função quadrática do segundo grau não admite raízes reais. Geometricamente, isso quer dizer que a parábola não toca o eixo x das abscissas.

Figura 72 - Interpretação geométrica das raízes quando ∆ < 0. Fonte: Ferreira (2013).

6) O trinômio do 2o grau ax2 + bx + c é positivo para todo x real se, e somente se, a > 0 e ∆ < 0. 7) O trinômio do 2o grau ax2 + bx + c é negativo para todo x real se, e somente se, a < 0 e ∆ < 0. 8) A determinação do vértice da parábola ajuda, e muito, a) na caracterização geométrica da função quadrática associada; b) na interpretação do seu conjunto imagem; c) nos seus valores de Máximo e de Mínimo. Vejamos então uma série de exercícios resolvidos que ilustram a aplicabilidade de toda teoria já discutida sobre as equações quadráticas, principalmente com relação às últimas observações apontadas. 1) Entre todos os números reais de soma igual a oito, determine aqueles cujo produto é Máximo. Solução: vamos denotar esses números por x e z, e por y o produto que os envolve. Dessa maneira, x+z=8 e y=x.z Como precisamos ficar com uma só das variáveis, x ou z, fazemos: x+z=8↔z=8–x E, portanto, y = x . z → y = x.(8 – x) = – x2 + 8.x 111

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Como a = – 1 < 0, y é Máximo quando: x = xv =

−8 −b = → x = 4. 2.( −1) 2a

Substituindo em z = 8 – x, vem que z = 4. Portanto, os números procurados são 4 e 4.

A partir do momento em que a parábola apresentar a concavidade voltada para baixo (a < 0), significa que ela estará admitindo um ponto de Máximo no vértice.>

2) Esboce, no mesmo plano, os gráficos das funções quadráticas f(x) = x2 e g(x) = –2. Solução: a figura a seguir mostra a disposição geométrica da resolução da questão, ou seja, apresenta os gráficos das duas funções no mesmo plano cartesiano.

Figura 73 - Representação geométrica da situação da questão. Fonte: Ferreira (2013).

3) Faça um esboço do gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3. Solução: inicialmente, note que como a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. Com relação à função quadrática f(x) = x2 – 4x + 3, temos que x = 1 e x = 3 são as suas raízes. O vértice da parábola que representa f(x) = x2 – 4x + 3 é o ponto V (

−b −∆ ; ), em que 2a 4a

∆ = b 2 − 4ac , logo V(2; -1). Veja na figura a seguir o gráfico da função quadrática f(x) = x2 – 4x + 3.

112

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

Figura 74 - Gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3. Fonte: Ferreira (2013).

4) Obtenha o valor de k, sabendo que f(x) = x2 + x + 4.k e f(-2) = 0. Solução: na lei de formação da função f(x), vamos substituir x por (– 2) e f(x) por 0, ou seja: f(–2) = 0 (– 2)2 + (– 2) + 4.k = 0 4 – 2 + 4.k = 0 4.k = – 2 Então, k=–½

Lembre-se de que, a partir do momento em que a parábola apresentar a concavidade voltada para cima (a > 0), significa que ela estará admitindo um ponto de Mínimo no vértice.

4.9 PROPRIEDADE RELEVANTE DA PARÁBOLA Se girarmos uma parábola em torno do seu eixo, ela vai gerar uma superfície chamada paraboloide de revolução, também conhecida como superfície parabólica. Essa superfície possui inúmeras aplicações interessantes; todas elas decorrentes de uma propriedade geométrica da parábola.

113

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Figura 75 - Paraboloide de revolução. Fonte: Ferreira (2013).

Segundo Elon (1997, p. 134), a fama das superfícies parabólicas remonta à Antiguidade. Há uma lenda segundo a qual o extraordinário matemático grego Arquimedes, que viveu em Siracusa, em torno do ano 250 a.C., destruiu a frota que sitiava aquela cidade incendiando os navios com os raios de sol refletidos em espelhos parabólicos. Embora isso seja teoricamente possível, há sérias dúvidas sobre a capacidade tecnológica da época para fabricar esses espelhos. Mas a história se perpetuou, e com ela a ideia de que ondas (de luz, de calor, de rádio ou de qualquer outra natureza), quando refletidas numa superfície parabólica, concentram-se sobre o foco, ampliando a intensidade do sinal recebido. Da lenda de Arquimedes restam hoje um interessante acendedor solar de cigarros e outros artefatos que provocam ignição fazendo convergir os raios de sol para o foco de uma superfície parabólica polida.

Outros instrumentos atuam inversamente, concentrando na direção paralela ao eixo os raios de luz que emanam do foco. Podemos citar os holofotes, os faróis de automóveis e as simples lanternas de mão, que têm fontes luminosas à frente de uma superfície parabólica refletora. Além disso, também segundo Elon, (1997, p. 134), um importante uso recente dessas superfícies é dado pelas antenas parabólicas, empregadas na radioastronomia e na transmissão das redes de televisão. Essas antenas refletem os débeis sinais provenientes de um satélite sobre sua superfície, fazendo-os convergir para um único ponto – o foco – e desse modo amplificando consideravelmente sua intensidade.

114

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

As antenas parabólicas geralmente têm um grande diâmetro (parábola mais aberta, coeficiente a pequeno) para captar uma quantidade maior de sinais do satélite. Portanto, a distância focal é em geral grande (c grande).

4.10 OUTRAS APLICAÇÕES ENVOLVENDO AS FUNÇÕES QUADRÁTICAS Vejamos mais algumas situações em que utilizamos diretamente as funções do segundo grau. Exercícios 1) Um engenheiro precisa cortar um pedaço de arame, com 98 cm de comprimento, em duas partes. Com uma das partes, ele quer construir um quadrado, e com a outra um retângulo, com base e altura na razão de 3 para 2. Além disso, a soma das áreas do quadrado e do retângulo deve ser mínimas. Assim, determine o comprimento da parte destinada à construção do quadrado. Solução: interpretando os dizeres da aplicação em questão, temos a seguinte disposição gráfica:

Dessa maneira, obtemos:

De (I), segue que v =

. Substituindo (I) em (II), temos: Soma das áreas = S = A1 + A2 = u2 + 6.

Ou seja, S=

→ S é mínima para u = 12

Então, concluímos que a área é mínima para u = 12. Além disso, o comprimento da parte destinada à construção do quadrado é dado por: 4u = 48 (cm) 2) Um engenheiro recém-formado, chegando à fazenda de seu tio, se deparou com a seguinte situação: o tio queria construir um novo galinheiro, no qual um muro seria usado como um dos lados, que, no caso, teria um formato retangular. Para erguer os outros lados do galinheiro, ele

115

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

usaria um rolo de 25 metros de tela de arame. Dessa maneira, o homem perguntou ao sobrinho: quais devem ser as dimensões do galinheiro para que eu obtenha a área máxima? E, então, como o engenheiro resolveu a questão? Solução: observe a disposição gráfica da situação descrita na figura a seguir.

Figura 76 - Disposição gráfica da aplicação. Fonte: Ferreira (2013).

Sendo u e v as dimensões do galinheiro, temos: u + 2.v = 25 Ou seja, v = 25 – 2.u A área do galinheiro será igual a A = u.v Ou, ainda, A = v.(25 – 2.v) Então, A = – 2.v2 + 25.v Veja na figura a seguir o gráfico da área A em função de v. É fácil concluir que a área será máxima para: v= Nessas condições, temos u = 25 – 2.v = 12,5.

116

= 6,25

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

Figura 77 - Gráfico de A em função de v. Fonte: Ferreira (2013).

4.11 INEQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU Segundo Demana e Kennedy (2009, p. 53), uma inequação quadrática em x ou uma inequação do segundo grau em x pode ser escrita na forma: a.x² + bx + c > 0 ou a.x² + bx + c < 0 ou a.x² + bx + c < 0 ou a.x² + bx + c ≤ 0 com a, b e c números reais e a ≠ 0. Método de resolução Para resolver uma inequação quadrática em x, siga os passos a seguir. » » Iguale a inequação a zero, transformando-a em uma inequação. » » Calcule o discriminante da equação (delta). » » No caso de delta maior ou igual a zero, calcule as raízes e . » » Faça a análise de sinais, conforme apresentamos a seguir Delta > 0 e a > 0 Observe que entre as raízes o sinal é o contrário de a (ca), o que significa que qualquer valor entre x1 e x2 nos dará um resultado negativo, enquanto que à esquerda e à direita das raízes x1 e x2 o resultado será o mesmo sinal de a (ma), portanto, positivo.

117

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Delta > 0 e a < 0 Note que entre as raízes o sinal continua contrário de a (ca), o que significa que qualquer valor entre x’ e x’’ nos dará um resultado positivo, pois a é maior que zero. Já à esquerda e à direita das raízes x’ e x’’, o resultado terá o mesmo sinal de a (ma), portanto, negativo.

Delta = 0 Nesse caso, as duas raízes x’ e x’’ são iguais, portanto não existe o intervalo entre as raízes, fazendo com que o sinal seja sempre o mesmo de a. Isso fará com que a inequação só tenha solução se o sinal da desigualdade for igual ao sinal de a.

Delta < 0 Aqui, não existem raízes reais. Isso também fará com que a inequação só tenha solução se o sinal da desigualdade for igual ao sinal de a.

Vamos aos exercícios? 1 – Resolva a seguinte inequação do segundo grau: x2 + 3x + 2 > 0. Solução: observe que a = 1, b = 3 e c = 2, dessa forma: ∆ = b2 – 4.a.c ∆ = 32 – 4.(1).(2) ∆=9–8 ∆=1 Logo, as raízes são: x1 =

118

−b+ ∆ −3+ 1 −2 = = = -1 2.a 2 2.( 1)

AULA 4 – FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU E APLICAÇÕES

x2 =

−b− ∆ −3− 1 − 4 = = = -2 2.a 2 2.( 1)

Assim, como a = 1 > 0 e ∆ = 1 >, temos a seguinte disposição geométrica:

Note que, se substituirmos qualquer valor menor do que (–2), ou maior do que (–1), encontraremos um resultado positivo, pois a é positivo. Substituindo –3 no lugar de x x2 + 3x + 2 > 0 (-3)2 + 3.(-3) + 2 > 0 9–9+2>0 2>0 Substituindo +2 no lugar de x x2 + 3x + 2 > 0 (2)2 + 3.(2) + 2 > 0 4+6+2>0 12 > 0 Agora, vamos substituir um valor que fica entre as raízes. Por exemplo, –1,5. Substituindo – 1,5 no lugar de x x2 + 3x + 2 > 0 (–1,5)2 + 3.(–1,5) + 2 > 0 – 2,25 – 4,5 + 2 > 0 – 8,75 > 0 (falso) Portanto, os valores de x que satisfazem a inequação quadrática em x do exemplo são todos os valores de x menores que –2, ou todos os valores de x maiores que –2.

119

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

CONCLUSÃO Nesta aula, você conheceu algumas aplicações práticas envolvendo a equação de segundo grau. Na sequência, aplicamos a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes da função quadrática. Vimos que o valor do delta caracteriza o número de raízes associadas à função, e para delta > 0 temos duas raízes reais e diferentes. É importante lembrar que o gráfico que representa uma função do segundo grau é uma parábola, e que suas raízes são os pontos pelos quais o gráfico toca o eixo das abscissas. Na próxima aula, estudaremos as propriedades adicionais da teoria das funções, como paridade, composição e inversão. Além disso, discutiremos os principais aspectos teóricos relacionados à função modular. Até lá!

120

AULA 5 Composição, Inversão de Funções e Função Modular

INTRODUÇÃO Nesta aula, vamos discutir mais alguns aspectos teóricos relacionados às funções do primeiro e do segundo grau. Você vai conhecer algumas propriedades adicionais da teoria de funções, como paridade, criação de novas funções a partir de operações entre elas e composição e inversão de funções. Além disso, se familiarizará com as principais propriedades acerca da função modular. Diversas aplicações práticas envolvem, por exemplo, as funções trigonométricas seno e cosseno, principalmente quando falamos de desenho técnico. Vale destacar, também, que uma das ferramentas básicas da engenharia é o cálculo diferencial e integral. Nesse sentido, uma propriedade interessante das funções reais e muito usada no cálculo e em séries de Fourier é a paridade, isto é, saber se uma função é par ou ímpar reduz muito os cálculos de integrais definidas e a dedução de algumas fórmulas trigonométricas. De outro modo, quando falamos em distância, lembramos diretamente da função modular ou do módulo de x, que representa a distância de qualquer ponto até a origem do sistema em uma dimensão. Bom estudo!

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

OBJETIVOS » » Caracterizar algebricamente e geometricamente a paridade de funções.Interpretar e aplicar o conceito de composição de funções na resolução de problemas simulados.Estar plenamente familiarizado com a álgebra das funções.Interpretar e aplicar o conceito de função inversa na resolução de problemas simulados.Compreender as principais propriedades acerca das funções compostas.Interpretar geometricamente funções compostas e funções inversas.Interpretar e aplicar a noção de valor absoluto de um número real como distância da origem da reta real. Compreender as principais propriedades acerca das funções modulares.

5.1 PARIDADE DE FUNÇÕES Quando falamos em paridade de funções, na verdade estamos caracterizando a função como sendo par ou ímpar, já que nesse contexto temos algumas simetrias importantes na representação geométrica. Esta análise gráfica é uma poderosa ferramenta para o engenheiro interpretar situações que exigem funções mais complexas. Para saber se determinada função é par ou ímpar, é necessário definir conjunto simétrico, como segue: Isto é: A é um conjunto simétrico ⇔ x ∈A implica que – x ∈A Podemos perceber claramente que os conjuntos a seguir são simétricos:

A = {– 3, 3} B = [–3, 3] C = Z (conjunto dos números inteiros) Q = conjunto dos números racionais ℜ = conjunto dos números reais De outro modo, não são conjuntos simétricos: A = [–3, 4] IN = conjunto dos números naturais

5.1.1 Função par Considere f uma função cujo domínio é um conjunto simétrico. Diremos que f é uma função par se, e somente se, f(– x) = f(x), para todo x pertencente ao domínio de f. Exemplos: 1) A função f(x) = x²(função quadrática) é uma função par, já que: f(x) = x²= f(– x) = (–x)² = x²

122

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

Figura 78 - A função f(x) = x² é uma função par. Fonte: Ferreira (2013).

2) A função f(x) = | x | (função modular: módulo de x) que será estudada também nesta aula é uma função par, pois: f(x) = | x | = x = f(– x) = | – x | = x

Figura 79 - A função f(x) = | x | é uma função par. Fonte: Ferreira (2013).

A função trigonométrica f(x) = cosx (função co-seno) que será apresentada mais a frente é uma função par, já que: f(x) = cos x = f(– x) = cos (– x) = cos x

123

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Figura 80 - A função f(x) = cosx é uma função par. Fonte: Ferreira (2013).

Perceba que o gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo das ordenadas.

5.1.2 Função ímpar. Considere f uma função cujo domínio é um conjunto simétrico. Diremos que f é uma função ímpar se, e somente se, f(– x) = – f(x), para todo x pertencente ao domínio de f. Exemplos: 1) A função f(x) = x³(polinomial) é uma função ímpar, pois: f(– x) = (– x)³ = – x³ = – f(x)

Figura 81 - A função polinomial f(x) = x³ é uma função ímpar. Fonte: Ferreira (2013).

A função f(x) = senx (função seno) é uma função ímpar, já que: f(– x) = sen (– x) = – senx = – f(x) 124

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

Figura 82 - A função f(x) = senx é uma função par. Fonte: Ferreira (2013).

Contrariamente às funções pares, as funções ímpares possuem o gráfico simétrico à origem do plano cartesiano. Além disso, uma função que não se classifica em nenhum desses casos, isto é, que não seja par nem ímpar, é chamada de função sem paridade.

Figura 83 - Interpretação de funções pares e ímpares. Fonte: Ferreira (2013).

Exercícios 1) Verifique a paridade entre os seguintes tipos de funções: a) f(x) = 3 b) f(x) = x c) f(x) = x²+ 7 d) f(x) = 2.x + 7 e) f(x) = g(x) + g(– x), em que g é uma função de ℜ em ℜ.

125

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Solução: nesse caso, temos: a) f(– x) = 3 = f(x), portanto f é uma função par. a) f(– x) = – x = – f(x), logo f é uma função ímpar. a) f(– x) = (– x)² + 7 = x² + 7 = f(x), logo f é uma função par. a) f(– x) = – 2x + 7. Aqui, note que f(– x) = f(x) e f(– x) = – f(x). Portanto, concluímos que f não possui paridade. a) f(– x) = g(– x) + g(x) = f(x), logo f é uma função par. 2) Mostre que g(x) =

f ( x) + f (− x) é uma função par. 2

Solução: para provar que a função g(x) é uma função par, devemos mostrar que g(x) = g( – x), daí: g(– x) = f (− x) + f (−(− x)) = f ( x) + f (− x) = g( x)

Portanto, g é uma função par.

5.2 ÁLGEBRA DAS FUNÇÕES Uma maneira de construir novas funções é aplicar as operações usuais soma, diferença, produto e quociente (DEMANA; KENNEDY, 2009, p. 163). Para isso, vamos considerar as funções f e g reais e de variável real. O quadro a seguir define quatro novas funções, obtidas de maneira natural das funções f e g, que são: soma, diferença, produto e quociente. NOME DA FUNÇÃO

NOTAÇÃO

DOMÍNIO

CONTRADOMÍNIO

Soma

f+g

Df ∩ Dg

ℜ

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Diferença

f–g

Df ∩ Dg

ℜ

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

Produto

f.g

Df ∩ Dg

ℜ

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

Df ∩ Dg, g(x) ≠ 0

ℜ

Quociente

f g

Quadro 5 - Álgebra das funções.

Fonte: Ferreira (2013).

Exemplo: sejam as funções f e g definidas pelas sentenças abertas: f(x) = x² g(x) =

Dessa forma, temos: Df = ℜ Dg = ℜ+ Df ∩ Dg = ℜ+ 126

SENTENÇA ABERTA QUE A DEFINE

(

f ( x) f ) (x) = g ( x) g

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

Logo, as funções (f + g), (f – g) e (f.g) têm domínio ℜ+ e são definidas, respectivamente, por: (f + g)(x) = x² +

(f – g)(x) = x² –

(f.g)(x) = x² .

x  f   possui domínio: g

Por outro lado, a função quociente 

D f  = {x / x ∈ D f ∩ Dg ∧ g ( x) ≠ 0}   g

Ou seja,

D f  = ℜ*+   g

Exercícios 1 – Considere a função f: ℜ→ℜ, tal que f(x1). f(x2) = f(x1 + x2) para todo x1 e x2 reais e f(1) = 3. Nessas condições, calcule: a) f(0) b) f(2) c) f(3) d) f(-1) Solução a) Para x1 = 0 e x2= 1, temos f(0).f(1) = f(0 + 1) = f(1) ⇒ f(0).f(0) = f(1) e, como f(1) = 3, concluímos que f(0) = 1. b) Para x1 = 1 e x2 = 1, temos f(1).f(1) = f(1 + 1) = f(2) ⇒ 3.3 = f(2), ou seja, f(2) = 9. c) Para x1 = 1 e x2 = 2, temos f(1).f(2) = f(1 + 2) = f(3) ⇒ 3.9 = f(3), ou seja, f(3) = 27. d) Para x1 = -1 e x2 = 1, temos f(-1).f(1) = f(-1 + 1) = f(0) ⇒ f(-1).3 = f(0) e, portanto, f(-1).3 = 1, ou eja, f(-1) = 1 . 3 2 – Mostre que se f e g são funções ímpares em ℜ, então h(x) = [f(x)].[g(x)] é uma função par. Solução: nesse caso, temos: h(x) = [f(x)].[g(x)] ⇒ h(– x) = [f(–x)].[g(–x)] Como f e g são funções ímpares, escrevemos f( – x) = – f(x) e g( – x) = – g(x). Assim, h(– x) = [f(–x)].[g(–x)] = [f(x)].[g(x)] Portanto, h( – x) = h(x), e concluímos que h é uma função par. 3 – Mostre que g(x) = f ( x) − f (− x) com domínio em ℜ é uma função ímpar.

127

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Solução: para provar que a função g(x) é uma função ímpar, devemos mostrar que g(– x) = – g(x). Daí, g(– x) =

f (− x) − f (−(− x)) f (− x) − f ( x)  f ( x) − f (− x)  = = −  = – g( x) 2 2 2 

Portanto, g é uma função ímpar. 4 – A função f: ℜ→ℜ possui a propriedade: f(m.x) = m.f(x) para m e x reais. Qual é o valor de f(0)? Solução: nesse caso, a relação f(m.x) = m.f(x) é válida para m e x reais, em particular para m =0. Assim, f(0.x) = 0.f(x) Ou seja, f(0) = 0 Portanto, o valor de f(0) é zero. 5 – A função f de ℜ em ℜ é tal que, para todo x real, f(3x) = 3.f(x). Se f(9) = 45. Dessa forma, pede-se para determinar o valor de f(1). Solução: Inicialmente, fazemos 3x = 9 ⇒ x = 3. Daí: f(9) = f(3.3) = 3.f(3) = 45 = 3.15 ⇒ f(3) = 15 Analogamente, vamos fazer agora 3x = 3 ⇒ x = 1. Logo: f(3) = f(3.1) = 3.f(1) = 15 = 3. 5 ⇒ f(1) = 5 Portanto, f(1) = 5.

5.3 FUNÇÃO COMPOSTA Podemos dizer que a ideia básica da composição de funções é a de uma “reação em cadeia”, em que as funções “atuam” uma após a outra em sequência. Na verdade, criamos uma função composta quando substituímos a variável independente x de uma função por outra função.

Figura 84 - Como surge a função composta. Fonte: Ferreira (2013).

Assim, antes de definir formalmente o conceito de função composta, vejamos dois exemplos.

128

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

1) É comum, em nosso dia a dia, raciocínios como o seguinte: “o Imposto de Renda (IR) pago por um cidadão é ‘função’ do seu salário, enquanto o seu salário é ‘função’ do número de horas que ele trabalha. Dizemos então que o IR pago pelo cidadão é ‘função’ do número de horas que ele trabalha”. Vamos raciocinar de uma forma mais específica com relação a este exemplo: imagine que o cidadão A receba R$50,00 por hora trabalhada. Logo, podemos considerar a função: s(t) = 50.t

(I)

que determina, em reais, o salário S do cidadão A quando ele trabalha certo número t de horas. De outra forma, vamos imaginar que a Receita Federal adote a seguinte “fórmula” para obter o IR a pagar, a partir do salário s: IR(s) =

1 6 (s – 300)

(II)

Então, se o cidadão A trabalha 60 horas, qual é o IR devido? De início, vamos calcular o seu salário pela expressão (I), como segue: s(60) = 50.(60) = R$3.000,00 A seguir, a partir do salário de R$ 3.000,00, vamos determinar o imposto de renda a pagar através da expressão (II), ou seja:

IR(3000) = 6 (3000 – 300) = R$450,00 Note que o IR a pagar é função das horas que o cidadão A trabalhou. Para calculá-lo, determinamos s para o número 60 e, em seguida, ao resultado obtido (3000), aplicamos a função IR, obtendo então o imposto devido. Assim, podemos sintetizar o cálculo determinando uma única função (fórmula ou lei de formação) que dá o imposto devido pelo cidadão. Conhecendo-se o número de horas que ele trabalhou, temos: IR(s) = IR[s(t)] =

1 (s – 300) 6

1 [s(t) – 300] 6

IR[s(t)] = 1 [50t – 300]

Então, o IR é função das horas de trabalho, dada pela fórmula: IR(t) =

1 [50t – 300] 6

(III)

Portanto, para as 60 horas que o cidadão A trabalhou, o IR devido pode ser calculado fazendo t = 60 na expressão (III), como segue: IR(60) =

1 [50.(60) – 300] = R$450,00 6

2) Agora, vamos exemplificar por meio da simbologia matemática. Para tal, considere as funções f e g, definidas respectivamente pelas sentenças abertas: 129

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

f(x) = 9x g(x) =

Observe: Df = ℜ Dg = {x ∈ ℜ /x ≥ 0} Se x ≥ 0, então f(x) = 9x é não negativo, isto é, f(x) ≥ 0, logo f(x) pertence ao domínio da função g. Dessa maneira, temos: g[f(x)] =

f ( x) =

9x = 3 x

Veja que se define uma nova função, denominada composta de g com f, representada por g  f (leia “g bola f”). Note que o domínio de f é ℜ, e elementos desse domínio são excluídos para obtermos o domínio da composta, ou seja, o domínio de g  f é: se x é negativo, então f(x) é negativo e não existiria g[f(x)] = f ( x) . Resumindo, o domínio de g  f é constituído por todo x do domínio de f, tal que f(x) está no domínio de g. No nosso exemplo, Dg f = {x ∈ ℜ /x ≥ 0} .

5.3.1 Função composta de g com f Considere f uma função definida de A em B, e seja g uma função definida de B em C. Denominamos de função composta de g com f a função h, definida de A em C, tal que h(x) = g(f(x)) para todo x pertencente a A, a qual é denotada por g  f(x). (DEMANA; KENNEDY, 2009, p. 164).

Figura 85 - Interpretação geométrica da função composta. Fonte: Ferreira (2013).

Vamos aos exercícios. 1) Sejam as funções: f: ℜ→ℜ / f(x) = – 2x + 3 e g: ℜ→ℜ/ g(x) = 3x – 4.Solução: dessa forma, temos: g  f(x) = g(f(x)) = 3.f(x) – 4 = 3.(-2x + 3) – 4 Portanto, 130

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

g  f(x) = – 6x + 5. 2) Considere as funções: f: ℜ→ℜ/ f(x) = – 2x + 3 e g: ℜ→ℜ / g(x) = 3x – 4. Vamos encontrar g  f(x). Solução: temos: f(2) = – 2.2 + 3 = – 1 E, assim: g  f(2) = g(f(2)) = g(– 1) = 3. (– 1) – 4 = – 7 3) Considerando f(x) = x² e g(x) = x³, vamos encontrar o valor de f(g(2)). Solução: temos: g(2) = 2³= 8 Logo, f  g(2) = f(g(2)) = f(8) = 8²= 64 4) Considerando f(x) = a.xn, n ∈Ν* e (f  f)(x) = 3.x4, determine a e n Solução: nesse caso, temos: f(x) = a.xn, n∈ IΝ Logo, (f  f)(x) = f(f(x)) = a.(f(x))n Daí, (f  f)(x) = f(f(x)) = a.( a.xn)n = a. an.x n

(f  f)(x) = an+1 .x n = 3.x4 2

(f  f)(x) = 3.x4 Dessa maneira, concluímos que: n² = 4 e n ∈Ν* ⇒ n = 2 an+1 = 3 ⇒ a³ = 3 ⇒ a =

5) Considere as funções f: ℜ→ℜ e g: ℜ→ℜ dadas por: f: ℜ→ℜ/ f(x) = 2x + b e g: ℜ→ℜ/ g(x) = x² Em que b é uma constante. Conhecendo-se a composta g  f: ℜ→ℜ x → g(f(x)) = 4x² – 12x + 9, podemos afirmar que b é elemento de qual conjunto? 131

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

a) A = (-4; 0) b) B = (0; 2) c) C = (2; 4)d) D = (4; - ∞) e) E = {

}

Solução: temos f(x) = 2x + b

g(x) = x²

Daí, g(f(x)) = ((f(x))² = g(f(x)) = (2x + b)² Por outro lado, g(f(x)) = 4x² – 12x + 9 Portanto, temos a igualdade: (2x + b)² = 4x²– 12x + 9 Ou seja, da identidade entre polinômios, segue: b=–3 Dessa forma, b é um elemento do conjunto A = (-4; 0) e, portanto, a resposta correta é a letra A. 6) Se f(2x+1) = x com x ∈ ℜ, encontre f(x). Solução: nesse caso, vamos pensar da seguinte forma: 2x + 1 = t Temos

t −1 x= 2

Daí, f(2x + 1) = x Segue que: f(t) =

x −1 2

i) N ão podemos confundir a notação g f com a notação g.f. Observe também que a grafia g f está “às avessas”, ou seja, a primeira função que se aplica é f e a segunda é g. ii) Q uando tomamos duas funções f e g, podemos pensar em duas funções compostas, g f e f g, para as quais se têm respectivamente: (g f)(x) = g(f(x)) e (f g)(x) = f(g(x)) iii) N ote que a composição de funções não é comutativa, ou seja, (g f) (x) em geral é diferente de (f g).

132

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

7) Sejam f e g funções definidas por f(x) = 5x – 3 e g(x) = 2x + k, determine o valor de k para que tenhamos (g  f) = (f  g). Solução: observe que f  g e g  f são funções de ℜ em ℜ, pois f e g são funções definidas em ℜ. Então, para que ocorra a igualdade f  g = g  f, deve-se ter (f  g)(x) = (g  f) (x) = ou seja: (f  g)(x) = f[g(x)] = 5.g(x) – 3 = 5.(2x + k) – 3 = 10x + 5k – 3 (g  f) (x) = g[f(x)] = 2.f(x) + k = 2.(5x – 3) + k Logo, devemos ter: 5k – 3 = – 6 + k 4k = – 3 k = −3

5.4 A FUNÇÃO INVERSA DE F(X) Agora vamos trabalhar com outro conceito importante, relacionado à inversão de funções ou o conhecimento da função inversa de uma dada função y = f(x). Nesse contexto, de forma bastante simples, percebemos que a variável dependente se torna a variável independente e vice-versa.

Figura 86 - A inversão de papéis das variáveis dependente e independente. Fonte: Ferreira (2013).

Porém, para definir formalmente o conceito de função inversa, necessitamos de alguns conceitos auxiliares – já que não é toda função que admite função inversa. São eles: função injetora, função sobrejetora e função bijetora.

133

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Figura 87 - Conceitos necessários para a definição de função inversa. Fonte: Ferreira (2013).

5.4.1 Função injetora Dizemos que uma função f: A → B é uma função injetora se, e somente se, para cada par de valores distintos em A tivermos imagens distintas em B, isto é: x1 ≠ x2

f(x1) ≠ f(x2)

⇒

Ou, equivalentemente: f(x1) = f(x2)

⇒

x1 = x2

Figura 88 - A interpretação da definição de função injetora. Fonte: Ferreira (2013).

134

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

5.4.2 Função sobrejetora Dizemos que uma função f: A → B é uma função sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao seu próprio contradomínio B.

Figura 89 - Interpretação da definição de função sobrejetora. Fonte: Ferreira (2013).

5.4.3 Função bijetora Dizemos que uma função f: A → B é uma função bijetora se, e somente se, ela for injetora e também sobrejetora.

Figura 90 - Interpretação da definição de função bijetora. Fonte: Ferreira (2013).

Resumindo:

Figura 91 - Caracterização da função bijetora. Fonte: Ferreira (2013). 135

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Vejamos alguns exercícios. 1) A função f, de ℜ em ℜ, definida por f(x) = x³, é bijetora? Solução: Sim, pois para qualquer ponto y do seu contradomínio existe um único x em seu domínio, x = 3 y , tal que f(x) = y. Note que f é sobrejetora e injetora. 2) Considerando as funções a seguir, classifique-as da seguinte forma: I – se ela for injetora e não sobrejetora; II – se ela for sobrejetora e não injetora; III – se ela for bijetora; IV – se ela não for nem injetora nem sobrejetora. a) f: ℜ→ℜ / f(x) = x² f: ℜ→ℜ+ / f(x) = x² b) f: ℜ+→ℜ / f(x) = x² c) f: ℜ+→ℜ+ / f(x) = x² d) f: ℜ-→ℜ+ / f(x) = x² Solução: nesse caso, temos: a) em f: ℜ→ℜ / f(x) = x², o domínio da função é o conjunto dos números reais e o contradomínio.

Figura 92 - Interpretação da letra (a). Fonte: Ferreira (2013).

Além disso, temos f(x) = x², x ∈ℜ ⇒ x² ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (a) é Imf = ℜ+. Por outro lado, note que não podemos afirmar que x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2), já que, por exemplo, – 4 ≠ 4 e f(– 4) = f(4) = 16. Portanto, concluímos que a função f:ℜ→ℜ / f(x) = x² não é injetora nem sobrejetora, ou, ainda, seria classificada como tipo IV. b) Em f:ℜ→ℜ+/ f(x) = x², o domínio da função é o conjunto dos números reais e o contradomínio é o conjunto ℜ+.

Figura 93 - Interpretação da letra (b). Fonte: Ferreira (2013). 136

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

Além disso, temos f(x) = x², x ∈ℜ ⇒ x² ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (b) é Imf = ℜ+. Assim, concluímos que a função é sobrejetora. Por outro lado, não podemos afirmar que x¹ ≠ x² ⇒ f(x¹) ≠ f(x²), já que, por exemplo, – 4 ≠ 4 e f(– 4) = f(4) = 16. Portanto, concluímos que a função f: ℜ→ℜ+/ f(x) = x² é sobrejetora e não injetora, ou, ainda, seria classificada como tipo II. c) Em f: ℜ→ℜ+/ f(x) = x², o domínio é o conjunto ℜ+e o contradomínio é o conjunto ℜ.

Figura 94 - Interpretação da letra (c). Fonte: Ferreira (2013).

Além disso, temos f(x) = x², x ∈ℜ+ ⇒ x² ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (c) é Imf = ℜ+. Concluímos que a função não é sobrejetora. Além disso, observe que x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x²), pois não existem dois números positivos distintos cujos quadrados não sejam distintos, ou seja, a função é injetora. Portanto, concluímos que a função f:ℜ+→ℜ/ f(x) = x² não é sobrejetora, porém é injetora, ou, ainda, seria classificada como tipo I. d) Em f: ℜ+→ℜ+/ f(x) = x², o domínio é o conjunto ℜ+, e o contradomínio é o conjunto ℜ+.

Figura 95 - Interpretação da letra (d). Fonte: Ferreira (2013).

Além disso, temos f(x) = x², x ∈ℜ⇒ x² ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (d) é Imf = ℜ+, daí concluímos que a função é sobrejetora. Além disso, temos x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2), pois mais uma vez, claramente, não existem dois números positivos distintos cujos quadrados não sejam distintos, portanto, a função é injetora. Então, concluímos que a função f: ℜ+→ℜ+ / f(x) = x² é sobrejetora e injetora, ou seja, a função é bijetora, classificada como tipo III.

137

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

e) Em f: ℜ-→ℜ+ / f(x) = x², o domínio é o conjunto ℜ-, e o contradomínio é o conjunto ℜ+.

Figura 96 - Interpretação da letra (e). Fonte: Ferreira (2013).

Além disso, temos f(x) = x², x ∈ℜ- ⇒ x² ≥ 0, ou seja, o conjunto imagem da função da letra (d) é Imf = ℜ+, e concluímos que a função é sobrejetora. Além disso, temos que x1 ≠ x2⇒ f(x1) ≠ f(x2), já que dois números negativos distintos possuem quadrados distintos, ou seja, a função é injetora. Portanto, concluímos que a função f: ℜ-→ℜ+ / f(x) = x² é sobrejetora e injetora, ou seja, a função é bijetora, classificada como tipo III. Vamos aos exercícios: 1) Considere f uma função bijetora tal que f(0) = 0, f(1) = – 2, f(5) =

1 . Encontre f-1(0), f-1(– 2) e 3

f-1(5), em que f-1 é a inversa da função f. Solução: nessas condições, (u; v) ∈ f, então (v; u) ∈ f-1, temos: f(0) = 0 ⇒ f (0) = 0 -1

f(1) = – 2 ⇒ f (– 2) = 1 -1

-1 f(5) = 1 ⇒ f ( 1 ) = 5

-1

f (5) = ? (faltam dados para encontrar a inversa de 5). 2) Sendo f: ℜ→ℜ tal que f(x) = 2x – 1, encontre f-1. Solução: na função f, segue que y = 2x – 1. Como (u; v) ∈ f implica (v; u) ∈ f-1, temos na função inversa f-1 que x = 2y – 1. x = 2y – 1 ⇒ x + 1 = 2y ⇒ y =

x +1 2

3) Sendo f uma função bijetora, tal que f(x) = 2 x − 1 , encontre f-1.

5x + 2

Solução: na função f, y = x=

138

2x − 1 , e, consequentemente, em f-1, temos: 5x + 2

2y −1 ⇒ 5xy + 2x = 2y – 1 ⇒ 2x + 1 = 2y – 5xy ⇒ 2x + 1 = y.(2 – 5x) ⇒ 5y + 2 2x + 1 y = 2 − 5x

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

4) Sendo f:ℜ-→ℜ+ / f(x) = x², encontre f-1.

Solução: na função f, v = x², logo em f-1 temos que x = y², isto é, y = x ou y = – x . Como f foi definida de ℜ- em ℜ+, a sua inversa f-1, conforme a definição, é determinada de ℜ+ em ℜ -.

Figura 97 - Interpretação da função f do exemplo. Fonte: Ferreira (2013).

Logo, para a função f-1, temos:

Figura 98 - A interpretação da função f do exemplo. Fonte: Ferreira (2013).

Portanto, afirmamos que f-1 = –

1) S e f é uma função bijetora de A em B, então o domínio e o contradomínio de f são respectivamente o contradomínio e o domínio da sua inversa f . 2) C onsiderando f uma função bijetora e f a sua inversa, então f(f (x)) = f (f(x)) = x para todo x no domínio. 3) S e f é uma função bijetora e (u; v) f, então (v; u) f e, por consequência, os gráficos de f e f são curvas simétricas com relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

139

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Figura 99 - Simetria entre os gráficos de f e f-1. Fonte: Ferreira (2013).

1) Assinale a alternativa verdadeira: se duas funções são inversas, como são seus gráficos? a) Simétricos em relação ao eixo x. b) Simétricos em relação ao eixo y. c) Simétricos em relação à origem. d) Simétricos em relação à bissetriz do segundo e quarto quadrantes. e) Simétricos em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Solução: A resposta correta é a letra (e), já que os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares que, na verdade, são o primeiro e terceiro quadrantes. 2) Das figuras a seguir, qual representa o gráfico de uma função f e sua inversa f-1?

Figura 100 - Gráficos de f e f-1 das alternativas que aparecem no exemplo. Fonte: Ferreira (2013).

140

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

Solução: a resposta correta é a letra c, já que os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. 3) Entre os gráficos a seguir, qual o melhor que se adapta a uma função bijetora (injetora e sobrejetora) com domínio IR e IR+?

Figura 101 - Gráficos de f das alternativas que aparecem no exemplo. Fonte: Ferreira (2013).

Solução: de acordo com os aspectos teóricos discutidos, concluímos que a alternativa correta é a letra B.

5.5 COMO RECONHECER A TIPOLOGIA DE FUNÇÕES ATRAVÉS DE GRÁFICOS Seja f uma função de ℜ em ℜ, podemos verificar graficamente se f é sobrejetora, injetora ou bijetora, a partir do momento em que traçamos retas paralelas ao eixo das abscissas x pelos pontos (0; y). Dessa maneira, temos:

141

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

se essas retas encontram o gráfico de f em “pelo menos um” ponto, f é sobrejetora;

Figura 102 - Visualizando geometricamente uma função sobrejetora. Fonte: Ferreira (2013).

2) se essas retas encontram o gráfico de f “no máximo” em um ponto (há retas que não o encontram, mas aquelas que encontram o fazem em um único ponto), a função é injetora.

Figura 103 - Visualizando geometricamente uma função injetora. Fonte: Ferreira (2013).

142

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

3) Se essas retas encontram o gráfico de f “no máximo” em um e só um ponto, a função é bijetora.

Figura 104 - Visualizando geometricamente uma função bijetora. Fonte: Ferreira (2013).

5.6 A FUNÇÃO MODULAR A função modular é definida a partir do que já conhecemos como sendo o valor absoluto ou o módulo de x, que, como vimos, é definido pela função de dupla sentença:

|x|=

 x, se x ≥ 0  − x, se x < 0

Assim, temos: |0|=0 |1|=1 | – 2| = – (– 2 ) = 2 |4|=4 |8|=8 | – 9| = – (– 9) = 9 | – 0,8| = – (– 0,8) = 0,8 | – 1,3| = – (– 1,3) = 1,3 | – 90| = – (– 90) = 9 143

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Dessa maneira, surge naturalmente a função módulo de x e as funções que levam em sua lei de formação o valor absoluto, denominadas de funções modulares. Vejamos alguns exercícios que exemplificam essas funções. 1) Vamos representar geometricamente a função módulo de x, a qual denotamos por f(x) = | x |. Solução: fazendo a plotagem de f(x) = x para x ≥ 0 e de f(x) = – x para x < 0, construimos o gráfico da função f(x) = | x |, como você pode ver na figura a seguir.

Figura 105 - O gráfico da função f(x) = | x |. Fonte: Ferreira (2013).

Conhecendo o gráfico de uma função f(x), podemos obter de maneira muito simples o da função y = | f(x) |, da seguinte maneira: • mantemos a curva y = f(x) nos intervalos em que f(x) ≥ 0; • t omamos o simétrico da curva y = f(x) com relação ao eixo das abscissas nos intervalos em que f(x) < 0.

2) Vamos representar geometricamente a função f definida por f(x) = | x + 2 |.

 x + 2, se x ≥ −2 , logo, de acordo com −( x + 2), se x < −2

Solução: inicialmente, devemos perceber que f(x) = 

a observação anterior, representamos seu gráfico como segue.

144

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

Figura 106 - O gráfico da função f(x) = | x + 2 |. Fonte: Ferreira (2013).

3) Vamos representar geometricamente a função f definida por f(x) = | x – 2 |.

 x − 2, se x ≥ 2 , ou seja, podemos escrever f(x) = x – 2 para x ≥ 2 −( x − 2), se x < 2

Solução: note que f(x) =  e f(x) = – x + 2 para x < 2.

Figura 107 - O gráfico da função f(x) = | x – 2 |. Fonte: Ferreira (2013).

145

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

5.7 PROPRIEDADES ENVOLVENDO O VALOR ABSOLUTO Vamos enumerar algumas propriedades importantes envolvendo o valor absoluto. 1) Para todo número real x, temos | x | = | – x |. |7|=|–7|=7 |4|=|–4|=4 2) Para todo número real x, temos |x²| = |x|². x = 6 ⇒ x² = 36, |x²| = |36| = 36 e |x|² = |6|² = 6² = 36 x = 0 ⇒ x² = 0, |x²| = |0| = 0 e |x|² = |0|² = 0² = 0 x = -5 ⇒ x² = 25, |x²| = |25| = 25 e |x|² = |-5|² = 5² = 25

Note que não é correto considerar

x 2 = x igual a x, pois isso é

verdadeiro para x ≥ 0, mas é falso para x < 0. Vejamos: 2 2 • x =3⇒ x = 3 = 9 =3= x

• x = − 4 ⇒ x 2 = (−4) 2 = 16 = 4 ≠ x

Dessa maneira, o correto é afirmar que, para todo x ∈ℜ, temos

x2 = | x | .

3) Para todo x, y ∈ℜ, temos |x.y| = |x| . |y|. x = 2, y = 3 ⇒ |2.3| = |6| = 6 e |2| . |3| = 2.3 = 6 x = 1, y =-2 ⇒ |1.(-2) |-2| = 2 e |1| . |-2| = 1.2 = 2 4) (primeira desigualdade triangular) Para todo x, y ∈ℜ, temos |x.y| ≤ |x| . |y|. 5) (segunda desigualdade triangular) Para todo x, y ∈ℜ, temos ||x.y|| ≤ |x - y|.

5.8 EQUAÇÕES MODULARES Chamamos de equações modulares aquelas em que a variável aparece dentro do valor absoluto. Para resolver essas equações é necessário ter em mente as propriedades que acabamos de listar com relação ao valor absoluto de x. Vejamos alguns exercícios envolvendo equações modulares. 1) Resolva: a) | x | = 0 b) | x | = – 3 c) | x | = 6 d) |x – 5| = 3

146

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

e) |3x – 1|= – 5 f) |x|² + 2|x| – 15 = 0 g) |3x – 5| = |x + 3| Solução: nesses casos, temos: a) | x | = 0 então x = 0, ou seja, 0 é o único número real cujo módulo é igual a zero. Então S = {0}. b) | x | = – 3. Note que não existe valor real de x, pois o valor de um módulo nunca é negativo. Logo S = { }. c) | x | = 6 ⇒ x = 6 ou x = – 6, pois | 6 | = 6 e | – 6 | = 6. Daí S = {6, – 6}. d) |x – 5| = 3 ⇔ x – 5 = 3 ou x – 5 = – 3, logo, resolvendo as equações, obteremos x = 8 ou x = 2. Portanto, S = {2, 8}. e) |3x – 1|= – 5. Aqui, mais uma vez, note que não existe módulo com valor negativo, logo não existe valor real para x que satisfaça a igualdade e, portanto, S = { }. f) |x|²+ 2.|x| – 15 = 0, aqui vamos fazer a substituição y = | x |, e y necessariamente tem de ser maior ou igual a zero, logo: + 2y – 15 = 0 ∆ = 64 y’ = 3 e y’’ = – 5 (valor não convém, pois y ≥ 0 ) Como |x| = y e y = 3, segue que: |x| = 3 ⇔ x = 3 ou x = – 3 S = {– 3, 3} g) |2x - 1|= x + 3 Condição: x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 3 (o módulo de um número real é sempre positivo ou nulo), daí: |2x – 1| = x + 3 ⇔ 2x – 1 = x + 3 ou 2x – 1 = – (x + 3) (definição de módulo) Resolvendo as equações obtidas, segue: » » 3x – 5 = x + 3 ⇒ 3x – x = 3 + 5 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4 » » 3x – 5 = – (x + 3) ⇒ 3x + x = – 3 + 5 ⇒ 4x = 2 ⇒ x = 1

1 Portanto, S = { , 4}. 2 5.9 INEQUAÇÕES MODULARES

São as que envolvem uma variável dentro do valor absoluto.Vamos analisar algumas desigualdades que podem ser resolvidas usando apenas a definição de valor absoluto. I)

|x| ≥ – 4 ⇒ S = ℜ (todo número real tem módulo ≥ 0 e, portanto, ≥ – 4).

II) |x| ≤ – 4 ⇒ S = {

} (não existe número real com módulo negativo).

147

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

III) |x| ≥ – 4 ⇒S = ℜ. IV) |x| > 0 ⇒ S = ℜ. V) |x| < 0 ⇒ S = {

VI ) |x| ≤ 0 ⇒ S = {0}. VII) |x| < 4 ⇒ S = {x ∈ℜ / – 4 < x < 4}. VIII) |x| > 4 ⇒ S = {x ∈ℜ / x < – 4 ou x > 4}. A partir das desigualdades descritas anteriormente, podemos visualizar duas importantes propriedades direcionadas à resolução de inequações modulares: i) | x | < a ⇒ – a < x < a; ii) | x | > a ⇒ x < – a ou x > a. Preste atenção nos exercícios a seguir. 1) Vamos resolver as seguintes inequações modulares: a) | x – 3 | < 7 b) | x – 1 | ≥ – 5 c) | 5x – 3 | ≤ – 2 d) 2 < | x – 1 | < 4 Solução: a) |x – 3| < 7 |x – 3| < 7 ⇔ – 7 < x – 3 < 7 ⇔ – 7 < x – 3 < 7 ⇔ – 7 + 3 < x < 7 + 3 ⇔ – 4 < x < 10. Ou seja, S = {x ∈ℜ / – 4 < x << 10}. b) |x – 1| ≥ 5 |x – 1|≥ 5 ⇔ x – 1 ≤ – 5 x–1≥5⇒x≥6

(I)

x – 1 ≤ – 5 ⇒ x ≤ – 4 (II) Fazendo a união, vamos obter S = {x ∈ℜ / x ≤ – 4 ou x ≥ 6}. c) |5x – 3|≤ ≤ – 2 Todo módulo é maior ou igual a zero, portanto nunca pode ser menor ou igual a – 2. Logo, S = { }. d) 2 < |x – 1| < 4

| x − 1| < 4 | x − 1| < 2

2 < |x–1| < 4 equivale ao sistema  Daí,

1) | x – 1 | < 4 ⇔ – 4 < x – 1 < 4 ⇔ – 4 + 1 < x – 1 + 1 < 4 + 1 ⇔ – 3 < x < 5 2) | x – 1 | > 2 ⇔ x – 1 > 2 ou x – 1 < – 2 ⇔ x > 3 ou x < – 1 Portanto, S = {x ∈ℜ / – 3 < x < 1 ou 3 < x < 5}. 148

AULA 5 – COMPOSIÇÃO, INVERSÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÃO MODULAR

CONCLUSÃO Nesta aula, apresentamos as propriedades adicionais sobre a teoria de funções, especificamente a paridade, composição e inversão de funções, e trabalhamos com a função modular. É interessante ressaltar que essas propriedades são muito importantes para visualizar o comportamento de funções mais complexas. Trabalharemos na sequência com a função exponencial e logarítmica, e muitas informações acerca das duas serão interpretadas a partir do momento em que uma é a função inversa da outra. Também estudaremos com mais detalhes as funções trigonométricas principais, como seno e cosseno, e a paridade entre elas será muito importante para a interpretação geométrica.

149

AULA 6 Função Exponencial e Aplicações, Logaritmo e Função Logarítmica INTRODUÇÃO Nesta aula, vamos estudar as principais propriedades acerca das funções exponenciais, utilizadas especialmente em problemas relacionados à meia-vida, uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. Em outras palavras, é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. A função exponencial também é aplicada em problemas relacionados ao crescimento de populações diversas. Vamos começar resolvendo equações exponenciais, e logo na sequência veremos os principais aspectos relacionados à função exponencial. Nesta aula, você também estudará o conceito de logaritmo e propriedades relacionadas. A partir disso, poderemos definir a função logarítmica e interpretá-la geometricamente. Boa aula!

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

OBJETIVOS » » Estar plenamente familiarizado com as equações exponenciais. » » Compreender a definição formal da função exponencial. » » Caracterizar algébrica e geometricamente o domínio e conjunto imagem de funções exponenciais. » » Identificar e representar geometricamente funções exponenciais. » » Estar plenamente familiarizado com as principais propriedades operatórias envolvendo a potenciação. » » Compreender as principais propriedades sobre as funções exponenciais. » » Caracterizar funções exponenciais crescentes e decrescentes. » » Interpretar e resolver problemas simulados envolvendo as funções exponenciais. » » Compreender e aplicar a definição formal de logaritmo na resolução de problemas simulados. » » Estar plenamente familiarizado com as propriedades operatórias dos logaritmos. » » Interpretar a utilização dos logaritmos dentro do contexto da Engenharia Econômica. » » Compreender a definição formal da função logarítmica. » » Caracterizar algébrica e geometricamente o domínio e conjunto imagem de funções logarítmicas. » » Identificar e representar geometricamente funções logarítmicas. » » Compreender as principais propriedades acerca das funções logarítmicas. » » Caracterizar funções logarítmicas crescentes e decrescentes. » » Interpretar e resolver problemas simulados envolvendo as funções logarítmicas.

6.1 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Quando o assunto são as equações exponenciais, falamos sobre equações em que a incógnita ou variável aparece como expoente. Observe: quando escrevemos f(x) = x², por exemplo, temos a função potência. Já a função exponencial aparece como f(x) = 2x. Perceba que na função potência a base é a variável independente, enquanto na exponencial, o expoente é a variável. Desta forma, para resolver uma equação exponencial, vamos considerar b ∈ℜ tal que 0 < b ≠ 1. Então: bf(x) = bg(x) ⇔ f(x) = g(x) Ou seja, este resultado permite reduzir uma equação exponencial a uma equação equivalente que não apresenta incógnita como expoente. Exemplos 1) Se 2x = 27, podemos garantir que x = 7. x 10 2) Se tivermos 5 = 5 , então x = 10.

3) Note que, se 1x = 15, não podemos garantir que x = 5.

152

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

4) Se (-1)x = (-1)³, não podemos garantir que x = 3. Veja alguns exercícios envolvendo equações exponenciais diversas, ou seja, vamos caracterizar o conjunto solução de equações exponenciais. 1) Resolva a equação 23x+1 = 128. Solução: neste caso, temos: 23x+1 = 128 ⇔ 23x+1 = 27 ⇔ 3x + 1 = ⇔ x = 2 Logo, o conjunto solução desta equação é dado por S = {2}, ou seja, o único valor de x que faz com que a igualdade anterior se torne uma identidade é x = 2. 2

2) Caracterize o conjunto solução da equação 5 x -5x+6 = 1. Solução: 2

5 x -5x+6 = 1 ⇔ 5 x -5x+6 = 50 ⇔ x² - 5x + 1 = 0 ⇔ x = 3 ou x = 2 Portanto, S = {2, 3}. 3) Resolva a equação (5x)² - 4.5x = 5. Solução: aqui, inicialmente vamos tomar 5x = t, daí: t² - 4t = 5 ⇒ t² - 4t - 5 = 0 ⇒ t = 5 ou t = -1 Então, » » 5x = 5 ⇒ x = 1 » » Não existe x real tal que 5x = -1 Portanto, S = {1}. x x 4) Caracterize o conjunto solução da equação 4 − (2 + 2).2 + 2. 2 = 0 . Solução: fazendo 2x = t, vem que:

t 2 − (2 + 2).t + 2. 2 = 0 ⇒ t = 2 ou t = 2 Daí, »»

2x = 2 ⇒ x = 1 . 1

»» 2x = 2 ⇒ 2x = 2 2 ⇒ x = Portanto, S = {

1. 2

1 ,1}. 2

5) Caracterize o conjunto solução da equação

3x −1 + 2.3x +1 − 3x =

16 27 .

Solução: inicialmente, note que podemos reescrever esta equação da seguinte forma:

153

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

3x 16 + 2.3x.31 − 3x = 1 3 27 Agora, fazendo 3x = t, vem que:

t 16 t 16 16t 16 1 + 6t − t = ⇒ + 5t = ⇒ = ⇒t = 3 27 3 27 3 27 9 Logo,

3x =

1 ⇒ 3x = 3−2 ⇒ x = −2 9

Portanto, S = {– 2}.

1 6) Resolva a equação  x   

 1  =   x .

Solução: neste caso, observe que temos a condição x > 0, já que há uma raiz quadrada envolvida no problema. Daí:

− x

−x 2

⇒− x = x ≠1

−x ⇒ x = 0 ou x = 4 ou x = 1 2

Observe que x = 0 (não convém) por conta da condição inicial x > 0. Portanto, S = {1, 4}. 7) Caracterize o conjunto solução da equação 7x + 5x + 1 = 0. Solução: observe primeiramente que: 7x > 0 5x > 0 1>0 Desta maneira, percebemos que o primeiro membro da equação do problema nunca se anula. Em outras palavras, isso significa que não existe x real, de tal forma que a igualdade anterior se torne uma identidade. Portanto, S = { }. 8) Resolva a equação 4x - 2.6x + 9x = 0. Solução: esta equação pode ser reescrita como: (2²)x - 2.(2.3)x + (3²)x = 0 Ou seja, 2²x - 2.2x.3x + 3²x = 0 154

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Agora, divida ambos os membros por 3²x, obtendo:

22 x 2 x.3x 32 x 2. − + =0 32 x 2 x 32 x x 32 x 2 2   − 2.   + 1 = 0 3 3

2 =t Fazendo  3  , vem que:

t² - 2t + 1 = 0 ⇒ (t - 1)² = 0 ⇒ t = 1 Logo, x

2 2 2   =1⇒   =   ⇒ x = 0 3 3 3 Portanto, S = {0}.

Perceba que a resolução de equações exponenciais, ou a descrição do seu conjunto solução, possui procedimentos algébricos que visam principalmente à simplificação delas em potências com bases iguais na variável incógnita.

9) Determine o valor de m, de modo que a equação 4x - m.2x + m - 1 = 0 admita raízes reais e distintas. Solução: vamos fazer 2x = y, logo: y² - my + (m - 1) = 0 Observe que, se esta equação admitir 2 raízes reais e negativas (y’ e y’’), ela não admitirá raízes reais, pois (2x > 0, ∀x∈ℜ). No entanto, se esta equação admitir 2 raízes de sinais contrários, ela terá uma raiz. Desta forma, para que a equação proposta admita duas raízes reais e distintas, é necessário que a equação y² - my + (m - 1) = 0 admita duas raízes reais e positivas. Para tal, de acordo com os aspectos teóricos discutidos sobre as funções do segundo grau, devemos ter ∆ > 0, m > 0 e (m – 1) > 0. Daí: » » ∆ = m² - 4. (m-1) = m² - 4m + 4 = (m-2)², ou seja, ∆ > 0 para todo m real com m ≠ 2. » » Para (m – 1) ser maior do que zero, é preciso ter m > 1. » » E, por fim, devemos ter também m > 0. Assim, concluímos que a equação 4x - m.2x + m - 1 = 0 admitirá raízes reais e distintas para m > 1 e m ≠ 2.

6.2 A FUNÇÃO EXPONENCIAL Sendo b um número real positivo e diferente da unidade (b ≠ 1), chamamos de função exponencial a função definida por: 155

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

f: ℜ →ℜ*+ x  f(x) = bx Veja alguns exemplos. 1) A função f: ℜ →ℜ + definida por f(x) = 2 . *

Figura 108 - Gráfico da função exponencial f(x) = 2x. Fonte: FERREIRA (2013). x

1   * Exemplo: a função f: ℜ → ℜ + definida por f(x) =  2  .

Figura 109 - O gráfico da função exponencial f(x) = Fonte: FERREIRA (2013).

156

1   2

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

* 2) A função f:ℜ → ℜ + definida por f(x) = 3x.

Figura 110 - Gráfico da função exponencial f(x) = 3x. Fonte: FERREIRA (2013).

3) A função f: ℜ → ℜ + definida por f(x) = 5x. *

Figura 111 - Gráfico da função exponencial f(x) = 5x. Fonte: FERREIRA (2013).

157

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

1   * 4) A função f: ℜ → ℜ + definida por f(x) =  3  .

1   Figura 112 - Gráfico da função exponencial f(x) =  3  .

Fonte: FERREIRA (2013).

1) De acordo com os exemplos anteriores envolvendo a funçãox exponencial, temos que o seu conjunto imagem é ℜ*+,já que para todo x real, 2x> 0 e  1  > 0. Portanto, concluímos que o 2

conjunto imagem da função exponencial f(x) = bx, com b > 0 e b ≠ 1, é ℜ*+, ou seja, qualquer que seja o número real x, teremos bx> 0. x1

2) Se x1> x2, então 2 > 2 , isto é, a função f(x) = 2x é crescente. Generalizando, concluímos x x que, se b > 1, x1> x2, então b 1 > b 2 , isto é, a função exponencial f(x) = bx é crescente.

1 3) Se x1> x2, então   2

1 <  2

1 , isto é, a função f(x) =  2  é decrescente. Generalizando,  

x x concluímos que, sendo 0 < b < 1, x1> x2, então b 1 < b 2 , isto é, a função exponencial f(x) =

bx é decrescente.

158

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Figura 113 - Propriedades fundamentais da função exponencial. Fonte: FERREIRA (2013).

Em símbolos, podemos resumir as principais propriedades da função exponencial de base b, conforme o quadro a seguir. PROPRIEDADE

DESCRIÇÃO

O conjunto imagem da função exponencial f(x) = bx, com 0 < b ≠ 1, é ℜ*+. Isto é, qualquer que seja o número real x, teremos bx > 0.

Sendo b > 1, então se x1> x2 ⇒ b x1 > b x 2 , isto é, a função exponencial f(x) = bx é crescente.

III

Sendo 0 < b < 1, então x1> x2 ⇒ b

< b x 2 , isto é, a função exponencial f(x) = bx é

decrescente. Quadro 7 - Propriedades da função exponencial bx.

Geometricamente, como mostra a figura a seguir, temos a seguinte disposição:

159

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

1   2

Figura 114 - Gráficos da função exponencial mostrando seu crescimento e decrescimento. Fonte: FERREIRA (2013).

A fim de se comparar as potências ax e aα, devemos estabelecer qual das três sentenças seguintes é verdadeira: ax > aα, ax = aα, ax < aα Ou seja, para isso, devemos examinar o comportamento da função exponencial f(x) = ax. Note que aqui temos de observar os casos para a > 1 e 0 < a < 1.>

Veja mais alguns exercícios resolvidos envolvendo a função exponencial. 1) Qual o conjunto imagem da função f: ℜ→ℜ*+ definida por f(x) = 2x+ 1? Solução: neste caso, temos: x ∈ ℜ ⇒ 2x > 0 ⇒ 2x + 1 > 0 + 1 = 1 ⇒ f(x) > 1 Logo, o conjunto imagem de f(x) = 2x + 1 é o conjunto: Imf = {y ∈ ℜ / y > 1} 2) Considere os números reais (0,01)

e (0,01)π. Qual dos dois é maior?

Solução: neste caso, vamos desenhar no programa Winplot o gráfico da função y = (0,01)x. Veja a figura a seguir.

160

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Figura 115 - Gráfico da função y = (0,01)x. Fonte: FERREIRA (2013).

Desta forma, como o número π é maior que

2 , concluímos que (0,01)π é menor que (0,01)

3) Qual o conjunto imagem da função f(x) = 2

x2 −2 x

Solução: vamos fazer a mudança de variável t = x² – 2 x. Logo, o valor mínimo que t pode assumir é – 1. Isto é, para todo x real, temos que t ≥ – 1, portanto 2t ≥ 2-1, ou, ainda, 2

x2 −2 x

≥2

. Figura 116 - Gráfico de t = x2 – 2 x. Fonte: FERREIRA (2013).

6.3 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS De acordo com a análise geométrica dos gráficos da função exponencial, conforme feito anteriormente, temos duas afirmações a fazer: f ( x) > b g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x) . Afirmação 1: se b ∈ℜ e b>1, então b

Afirmação 2: se b ∈ℜ e 0 < b < 1, então b

f ( x)

> b g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) . 161

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Note que as duas afirmações permitem reduzir uma inequação exponencial a uma inequação equivalente que não apresenta incógnita como expoente. Exercícios 1) Resolva a seguinte inequação: 7x + 5x+ 1 > 0. x

Solução: vimos que a interpretação geométrica do gráfico de y = 7 mostra que 7 > 0, para todo x real, como apresentado na figura a seguir.

Figura 117 - O gráfico da função y = 7x. Fonte: FERREIRA (2013). x

Analogamente, para y = 5 , temos que 5 > 0 para todo x real. Como 1 > 0, concluímos que 7 + 5 + 1 > 0 para todo x real. Ou, ainda, o conjunto solução de tal inequação é S = ℜ. x 2) Caracterize o conjunto solução da inequação 2

−1

< 23 .

Solução: como a base é menor do que 1, vamos usar a Afirmação 1. Então:

−1

< 23 ⇒ x 2 − 1 < 3 ⇒ x 2 − 4 < 0 ⇒ x 2 < 4 ⇒ −2 < x < 2

Portanto, S = {x∈ℜ/ – 2 < x < 2}. 3) Resolva (0,375)2x-1 < (0,375)x-7. Solução: como a base está entre 0 e 1, usaremos a Afirmação 2. Logo: (0,375)2x-1 < (0,375)x-7 ⇒ 2x - 1 > x - 7 ⇒ x > -6 Então, S = {x ∈ℜ / x > – 6}.

162

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

(0,5) x

4) Para que valores de x existe

x Solução: devemos impor que (0,5)

(0,5) x

−x

− 1 ≥ 0 ⇒ (0,5) x

−x

−1

− 1 ≥ 0, daí:

≥ 1 ⇒ (0,5) x

−x

≥ (0,5)0 ⇒ x 2 − x ≤ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1

Logo, S = {x∈ℜ/ 0 ≤ x ≤ 1}. 5) Caracterize o conjunto solução da inequação 2 x <

2x + 2 2x .

Solução: fazendo 2x = t, temos:

t+2 ⇒ t 2 − t − 2 < 0 ⇒ −1 < t < 2 t

Daí, -1 < 2x < 2 ⇒ x < 1 Portanto, S = {x∈ℜ/x < 1}. A Matemática Financeira é a parte da Matemática Aplicada que trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa, verificados em diferentes momentos. Desta maneira, chamamos de valor futuro (FV) a quantia que um indivíduo deve receber após aplicar um capital inicial (PV), com juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O valor futuro pode ser calculado pela fórmula FV = PV . (1 + i)n. Ou seja, aqui temos o comportamento exponencial aplicado mais uma vez. É interessante ressaltar que o esquema segundo o qual será cobrado juro por um capital aplicado é denominado de regime de capitalização, e juro é o valor que se paga pelo aluguel do dinheiro ao longo do tempo.

6.4 DEFINIÇÃO FORMAL DE LOGARITMO E PROPRIEDADES IMEDIATAS Para definir logaritmo, pense na seguinte pergunta: para quais valores de a e b a equação exponencial bx=a apresenta sempre uma única solução? A resposta nos leva ao conhecimento ou definição de logaritmo. Veja algumas situações numéricas: » » 2x = 8 apresenta uma única solução, que é x = 3, já que 2x = 8 = 2³.

163

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

 1  2

 1  apresenta uma única solução, que é x = 4, já que  16 

»»   = 

 1  1 1   = =  .  16   2  2

» » 3x = 9 apresenta uma única solução: x = 2. » » 1x = 4 não apresenta solução. » » 0x = 4 não apresenta solução. » » (-1)x = 2 não apresenta solução. » » 5x = -1 não apresenta solução. Desta maneira, observe que a equação bx = a admite sempre uma única solução se b > 0, b ≠ 1 e a > 0. Logo, temos naturalmente a seguinte definição de logaritmo: dados dois números reais a e b, ambos positivos com b ≠ 1, existe sempre um único número real x, tal que bx = a. Este expoente x, que deve ser colocado na base b para que o resultado seja a, recebe o nome de logaritmo de a na base b. Em símbolos: x = log b a ⇔ bx= a O número a é chamado de logaritmando e b é a base. Alguns logaritmos são fáceis de serem encontrados. Outros são achados em tabelas específicas. Vamos aos exercícios? 1) Encontre os seguintes logaritmos: a) log 4 16 b) log 25 5 c) log 3 1 d) log 9 27 e) log 8

1 2

f) log10 0,1 g) log 2 3 2 h) log125 3 25 Solução: a) log 4 16 = x, então 4x = 16 = 4², então concluímos que x = 2. Ou seja, log 4 16 = 2. b) log 25 5 = x, então 25x = 5, ou seja, (5²)x = 5. Então, concluímos que 2x = 1, ou seja, x = ½ e, portanto, concluímos que log 25 5 = ½. c) log 3 1 = x, então 3x= 1 = 30, então concluímos que x = 0, ou seja, log 3 1 = 0.

164

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

De forma geral, para um número b qualquer, positivo e diferente de 1, temos que log b 1 = 0.

a) log 9 27 = x, então 27x = 9, ou seja, (3³)x = 3². Logo, concluímos que 3x = 2, ou seja, x = 2/3 e, portanto, log 9 27 = 2/3. b) log 8

1 1 1 −1 = x, então 8x = , ou seja, (2³)x = = 2-1. Concluímos que 3x = – 1, ou seja, x = 2 2 2 3

e, portanto, log 8 c)

1 −1 = . 2 3

log10 0,1 = x, então 10x = 0,1, ou seja, (10)x = 10-1. Concluímos que x = – 1, isto é, log 0,1 10

= – 1.

3 3 d) log 2 2 = x, então 2x = 2 , ou seja, 2x = 1 3 , ou seja, log 2 2 = . 3 3 e) log125 25 = x, então 125x =

1 3

2 = 2 . Dessa forma, concluímos que x =

25 , ou seja, (5³)x =

1 3

2 5 = 5 . Logo, 3x = 3 , ou ainda, x 2

2 3

2 2 3 e, portanto, temos log125 25 = 9 . 9

2) Encontre um número x, tal que log x 36 = 2. Solução: De

log x 36 = 2,

Segue que x² = 36, Ou seja, x=±

Ou, ainda, x=±6 Como não existe sentido em falarmos log −6 36 , já que a base deve ser um número positivo, ficaremos somente com x = 6 e, portanto, x = 6.

165

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Assim, a partir dos exemplos discutidos anteriormente, enumeramos no quadro a seguir algumas ∗ ∗ ∈ ℜ ∈ ℜ + + consequências imediatas da definição de logaritmo. Isto é, se b – {1} e a , surgem naturalmente tais considerações. CONSEQUÊNCIA I II

DESCRIÇÃO

log b 1 = x ⇔

b =1

⇔ b x = b 0 ⇔ x = 0 ⇔ log b 1 = 0

log b b = x ⇔

b =b

⇔ b x = b 1 ⇔ x = 1 ⇔ log b b = 1

III

log b b k = x ⇔ b x = b k ⇔ x = k ⇔ log b b k = k

log b a

⇔ b c = a ⇔ b logb a = a

Quadro 8 - Consequências imediatas da definição de logaritmo.

Vimos que, na expressão log b a , a é o logaritmando e b é a base do logaritmo. Se x > 0, então log10 x chama-se logaritmo decimal de x (convencionaremos omitir o número 10 na notação do logaritmo decimal). Se x > 0, então log x chama-se logaritmo neperiano de e

x, ou logaritmo natural de x.

Quatro propriedades são de fundamental importância nos cálculos envolvendo os logaritmos, a fim de simplificá-los e entendê-los melhor. Desta forma, considerando b ∈ℜ*+ – {1} e a ∈ℜ*+, temos as seguintes propriedades operatórias dos logaritmos enumeradas: PROPRIEDADE

DESCRIÇÃO

log b (a1 . a 2 ) = log b a1 + log b a 2

a log b  1  a2

log b a α = α . log b a

log c a log b a = log c b , com 0 < b ≠ 1 (mudança de base)

(logaritmo do produto)

  = log b a1 – log b a 2 (logaritmo do quociente)  (logaritmo da potência)

Quadro 9 - Propriedades dos Logaritmos.

166

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Veja alguns exercícios envolvendo o conceito formal e as propriedades relacionadas aos logaritmos. 1) Qual é o conjunto dos valores reais de x para os quais existe log x− 2 (x + 5)

Solução: pela definição de logaritmo, devemos ter como condição de existência que: » » x + 5 > 0 ⇒ x > – 5 (I) » » x – 2 > 0 ⇒ x > 2 (II) » » x – 2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3 (III) Como x deve satisfazer simultaneamente as três condições, segue que o conjunto dos valores reais de x, para os quais existe o logaritmo em questão, é {x∈ℜ/ x > 2 e x ≠ 3}. 3 2 2) Dados log a m = 11e log a n = 6, qual é o valor de log a (m n ) ?

Solução: neste caso, temos:

log a (m3n 2 ) = log a m3 + log a n 2 = 3.log a m + 2.log a n = 3.11 + 2.6 = 45 3) Escreva as expressões a seguir por meio de um único logaritmo: a) 3. log 4 7 b) log 3 x – log 3 2 c) log 5 4 + log 5 x – log 5 3 Solução: a partir das propriedades operatórias sobre os logaritmos, podemos escrever: a) 3. log 4 7 b)

log 4 73 = log 4 243

x log 3 x – log 3 2 = log 3 2

4x log 4 log x log 3 log 4 x − log 3 = log 5 5 5 5 5 5 c) + – = 3 4) Em quantos anos 500 g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao − rt ano, se reduzirão a 100 g? Use Q = Q0 .e , em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. Solução: sabemos que: Q = Q0 .e

− rt

Então: 100 = 500.

e −0,03.t

Que é equivalente a:

1 e −0,03.t ⇒ ln( 1 ) = ln( e −0,03.t ) ⇒ ln1 – ln5 = – 0,03.t.(lne) ⇒ – ln5 = – 0,03.t 5 = 5 167

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Logo, t=

ln 5 1, 6094 = ≅ 53, 6 anos 0, 03 0, 03

5) Resolva a equação e x − 27 = 0 , dados log e = 0, 43 e log 3 = 0, 48 . Solução: neste caso, temos:

e x − 27 = 0 e x = 27

log e x = log 27 log e x = log 33 x.log e = 3.log 3 x = 3.log 3 = 1, 44 ≅ 3,34

log e

0, 43

6.5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Considerando b um número real positivo e diferente da unidade (0 < b ≠ 1), chamamos de função logarítmica: g: ℜ*+ → ℜ x  g(x) = log b x Note que, de acordo com a definição formal de logaritmo, ele só é definido para números positivos, por isso o domínio da função logarítmica é o conjunto ℜ*+. Se a base for um número entre 0 e 1, e o logaritmando for maior que 1, o logaritmo será um número negativo. Caso o logaritmando seja menor que 1, o logaritmo será um número positivo. Veja exemplos: Na figura a seguir, apresentamos geometricamente a função logarítmica g: ℜ*+→ℜ dada por g(x) = log 3 x .

168

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Figura 118 - O gráfico da função

log 3 x

Fonte: FERREIRA (2013).

Agora, veja a representação geométrica da função logarítmica g: ℜ*+ →ℜ dada por g(x) =

Figura 119 - O gráfico da função

log 1 x 2

. Fonte: FERREIRA (2013).

O gráfico da função logarítmica g: ℜ →ℜ dada por g(x) = * +

log 1 x 3

é apresentado na figura a

seguir.

169

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Figura 120 - O gráfico da função

log 1 x 3

Fonte: FERREIRA (2013).

Note que, da definição de logaritmo, se

logb x1 = y1 e logb x2 = y2 , então x1 = b y1 e

x2 = b y 2 , em que {x , x } ⊂ ℜ∗+ . Considerando x > x , temos: 1 2 1 2  y1 > y2 , isto é , logb x1 > logb x2 , se b > 1   y1 < y2 , isto é , logb x1 < logb x2 , se 0 < b < 1 Ou seja, de modo resumido, segue: b > 1 ⇔ a função g(x) =

170

logb x é crescente.

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Figura 121 - O gráfico da função f(x) =

log 2 x

– função crescente.

Fonte: FERREIRA (2013).

De outra forma, 0 < b < 1 ⇔ a função g(x) = log b x é decrescente.

Figura 122 - O gráfico da função f(x) =

log 1 x 2

– função decrescente.

Fonte: FERREIRA (2013).

171

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

log x

b Repare que f: ℜ→ℜ*+, f(x) = bx e g: ℜ*+ → ℜ, g(x) = são funções bijetoras (b > 0 e b≠1), ou seja, são sobrejetoras e injetoras. Desta forma, podemos pensar nas inversas de cada uma delas. Na verdade, uma é a função inversa da outra. Para tal, observe que:

f(g(x)) = b

g ( x)

log b x

= x, para todo x, x ∈ℜ +, *

e g(f(x)) = log b b

= x, para todo x real. Portanto, com base nesta constatação, podemos afirmar

log x

b que g(x) = é a função inversa de f(x) = bx e vice-versa. Geometricamente, isso significa que os gráficos de g e f são curvas simétricas com relação à reta y = x, i.e., bissetriz dos quadrantes ímpares, como discutimos na parte de inversão de funções.

Geometricamente, esta simetria é apresentada na figura a seguir.

log 2 x

Figura 123 - Figura 6 – A simetria entre os gráficos das funções f(x) = 2x(vermelho) e a função g(x) =

log 2 x

(azul).

Fonte: FERREIRA (2013).

Em linhas gerais, para os valores de b, temos a representação da simetria entre os gráficos mostrados na figura a seguir.

172

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Figura 124 - A simetria entre os gráficos das funções logarítmica e exponencial. Fonte: FERREIRA (2013).

6.6. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Vamos verificar agora como resolver as equações nas quais a incógnita está envolvida no logaritmando ou na base do logaritmo. Exercícios Caracterize o conjunto solução da equação log 2 ( x − 3) + log 2 x = 2

Solução: inicialmente, você deve analisar a condição de existência dos logaritmos que aparecem na equação, ou seja: x – 3 > 0 e x > 0, então x > 3 e x > 0. Isto é, x > 3. Temos dois modos diferentes de resolução. Primeiro modo: definição de logaritmo

log 2 ( x − 3) + log 2 x = 2 ⇒ log 2 [( x − 3).x] = 2 Usando a definição de logaritmo: (x – 3).x = 2² ⇒ x² – 3x – 4 = 0 ∆ = 9 + 16 = 25 x’ = 4

x’’ = – 1

Segundo modo: injetividade da função logarítmica

log 2 ( x − 3) + log 2 x = log 2 2² ⇒ log 2 [( x − 3).x] = log 2 4 Usando o fato que a função logarítmica é injetiva, temos: (x – 3).x = 4 ⇒ x² – 3x – 4 = 0 ∆= 25 x’ = 4

x’’ = – 1 173

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

Note que, como a condição de existência é x > 3, então 4 ∈S e – 1 ∉S. Portanto, concluímos que S = {4}. 2

Para quais valores de x temos a igualdade log 3 ( x − 3 x − 1) = 1 + log 3 ( x − 2) ? Solução: aqui, a condição de existência é dada por: x² – 3x – 1 > 0 e x – 2 > 0, logo:

log 3 ( x 2 − 3 x − 1) = 1 + log 3 ( x − 2) ⇒ log 3 ( x 2 − 3 x − 1) = log 3 3 + log 3 ( x − 2) Ou seja,

log 3 ( x 2 − 3 x − 1) = log 3 3.( x − 2) ⇒ x 2 − 3 x − 1 = 3 x − 6 ⇒ x 2 − 6 x + 5 = 0 Logo, ∆ = 16 x’ = 5

x’’ = 1

Verificação:

 x ² − 3 x − 1 = 25 − 15 − 1 = 9 > 0 •x =5  x − 2 = 5 − 2 = 3 > 0

»» E

»•» x = 1  x ² − 3 x − 1 = 1 − 3 − 1 = −3 < 0

 1 − 2 = −1 < 0

Daí concluímos que 5∈S e 1∉S e, portanto, S = {5}.

6.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Como o nome já diz, são inequações que envolvem as funções logarítmicas. Desta forma:

log 2 ( x + 1) ≥ log 2 6 log 1 x ≥ 1 2

log 3 x + log 3 ( x − 8) < 3 Estes são exemplos típicos de inequações logarítmicas. Para resolver uma inequação deste tipo, é necessário usar as informações já discutidas sobre os logaritmos e a função logarítmica.

174

AULA 6 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E APLICAÇÕES, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

log x

a A função logarítmica f(x) = é crescente quando a > 1. Neste caso, conservamos o sentido da desigualdade. Por exemplo, para x > 0, temos log 7 x > log 7 3 ⇔ x > 3 . 4

log x

a A função logarítmica f(x) = é decrescente quando 0 < a < 1. Neste caso, trocamos o sentido da desigualdade. Por exemplo, para x > 0, temos log 3 x > log 3 3 ⇔ x < 3 . 5

Exercícios Resolva a inequação log 2 ( x + 1) > log 2 6 . Solução: neste caso, temos: a) condição de existência: x + 1 > 0 ⇒ x > – 1 (I) b) base a = 2 ( a > 1) → mantém-se o sentido da desigualdade:

log 2 ( x + 1) > log 2 6 ⇒ x + 1 > 6 ⇒ x > 5 (II) Como as condições (I) e (II) devem ser satisfeitas simultaneamente, concluímos que o conjunto solução da inequação é S = {x ∈ ℜ / x > 5}. Caracterize o conjunto solução da inequação log 1 x ≥ 1 . 2

Solução: desse modo, temos: » » condição de existência: x > 0 (I) Como 1 = log 1 2

1 1 , a inequação pode ser escrita como log 1 x ≥ log 1 . 2 2 2 2

1 1 1 » » base a = 2 (0 < a < 1 ) < a < 1) → troca-se o sentido da desigualdade: log 1 x ≥ log 1 ⇒ x ≤ 2 2 2 2 (II)

log 2 ( x + 1) > log 2 6 ⇒ x + 1 > 6 ⇒ x > 5 (III) 1 Portanto, S = {x ∈ℜ/ 0 < x ≤ 2 }.

CONCLUSÃO Nesta aula, apresentamos as principais propriedades da função exponencial e trabalhamos com a resolução de equações que as envolvem. Você também aprendeu sobre a função logarítmica, inversa à exponencial. Lembre-se: quanto mais você resolver equações e se aprofundar no assunto, mais você aprenderá sobre este importante capítulo da Matemática. Até a próxima aula!

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