Geometria analítica e álgebra linear aulas 1 a 8 [unifacs] by EAD UNIFACS

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Autor: Alessandro Ferreira

Universidade Anhembi Morumbi

Universidade Salvador

Janes Fidelis Tomelin Diretor de EaD

Adriano Lima Barbosa Miranda Diretor de Educação Corporativa e Novos Projetos

Fabiano Prado Marques Diretor Acadêmico – Escola de Engenharia e Tecnologia

Rafael Gonçalves Bezerra de Araújo Diretor da Escola de Engenharia e TI

Greice Freitas Revisor Técnico

Ilka Rebouças Freire Revisor Técnico

Universidade Potiguar

Rede Laureate Internacional de Universidades

Barney Vilela Coordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância Catarina de Sena Pinheiro Diretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas

Daniella Loureiro Koncz Coordenadora de Novos Negócios André Torres Gregório Designer Instrucional

FabriCO Projeto educacional Projeto gráfico Autoria do conteúdo Revisão ortográfica e gramatical

Unit 1 - Introductions

SUMÁRIO AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES....................................................................................... 7 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 7 OBJETIVOS................................................................................................................ 8 1.1 Segmento Orientado......................................................................................... 8 1.1.1 Equipolência entre segmentos orientados............................................. 11 1.2 O conceito formal de vetor............................................................................ 11 1.3 Multiplicação por escalar................................................................................ 14 1.4 Adição de vetores........................................................................................... 15 1.5 Representação analítica de vetores............................................................... 16 1.5.1 Sistema de coordenadas......................................................................... 16 1.5.2 Vetores Colineares e Paralelos............................................................... 23 1.5.3 Norma..................................................................................................... 23 1.6 Produtos entre vetores................................................................................... 25 1.6.1 Produto escalar....................................................................................... 25 1.6.2. Ângulo entre vetores............................................................................. 26 1.6.3 Produto vetorial...................................................................................... 28 1.6.4 Produto Misto........................................................................................ 31 CONCLUSÃO........................................................................................................... 32 AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO.................................................................... 33 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 33 OBJETIVOS.............................................................................................................. 34 2.1 A Reta ............................................................................................................ 34 2.1.1 Equação Vetorial da Reta ....................................................................... 34 2.1.2 Equações Paramétricas da Reta ............................................................. 36 2.1.3 Equações Simétricas da Reta ................................................................. 38 2.1.4 Ângulo entre Duas Retas ....................................................................... 38 2.2 O Plano .......................................................................................................... 40 2.2.1 Equação Geral do Plano ......................................................................... 40 2.2.2 Equação Vetorial do Plano ..................................................................... 41 2.2.3 Ângulo entre Dois Planos ...................................................................... 42 2.3 Seções Cônicas ............................................................................................... 43 2.4 Parábola ......................................................................................................... 46 2.4.1 Equações Reduzidas da Parábola .......................................................... 47 2.5 Elipse ............................................................................................................. 48 2.5.1 Equações Reduzidas da Elipse................................................................ 49

2.6 Hipérbole ....................................................................................................... 50 2.6.1 Equações Reduzidas da Hipérbole.......................................................... 51 2.7 Superfícies Quádricas Centradas .................................................................... 53 2.8 Superfícies Quádricas Não Centradas............................................................. 56 CONCLUSÃO........................................................................................................... 58 AULA 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES..................................................................... 59 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 59 OBJETIVOS.............................................................................................................. 59 3.1 Equação Linear: Coeficientes – Variáveis – Termo Independente.................. 60 3.2 Sistema Linear................................................................................................ 61 3.2.1 Matrizes Associadas a um Sistema Linear.............................................. 62 3.3 Resolução de Sistemas Lineares..................................................................... 64 3.4 Classificação Quanto ao Número de Soluções .............................................. 65 3.5 Discussão de Um Sistema Linear ................................................................... 68 3.6 Regra de Cramer ............................................................................................ 69 3.7 Sistemas Homogêneos .................................................................................. 71 3.8 Aplicações Envolvendo os Sistemas Lineares ................................................ 73 CONCLUSÃO........................................................................................................... 77 AULA 4 - ESPAÇOS VETORIAIS REAIS.................................................................................. 79 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 79 OBJETIVOS.............................................................................................................. 80 4.1 Espaços Vetoriais............................................................................................ 80 4.2 Propriedades Imediatas dos Espaços Vetoriais............................................... 82 4.3 Subespaços Vetoriais...................................................................................... 83 4.3.1 Somas de Subespaços............................................................................. 84 4.4 Combinações Lineares.................................................................................... 86 4.5 Espaços Vetoriais Finitamente Gerados.......................................................... 86 4.6 Dependência Linear........................................................................................ 87 CONCLUSÃO........................................................................................................... 88 AULA 5 - BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇOS VETORIAIS......................................................... 89 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 89 OBJETIVOS.............................................................................................................. 90 5.1 Base de um Espaço Finitamente Gerado........................................................ 90 5.2 Dimensão........................................................................................................ 92 5.3 Dispositivo Prático para Caracterização de Uma Base para um Subespaço de rn..................................................................................... 94

5.4 Dimensão da Soma Envolvendo dois Subespaços Vetoriais de um Espaço... 95 5.5 Coordenadas................................................................................................... 96 5.6 Mudança de Base........................................................................................... 98 CONCLUSÃO......................................................................................................... 100 AULA 6 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES............................................................................ 101 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 101 OBJETIVOS............................................................................................................ 102 6.1 Conceitos Fundamentais............................................................................... 102 6.2 Transformações Lineares.............................................................................. 105 6.3 O Núcleo e o Conjunto Imagem de Uma Transformação Linear.................. 106 6.5 Matriz de Uma Transformação Linear........................................................... 108 6.6 Transformações do Plano no Plano.............................................................. 110 6.6.1 Expansão (ou Contração) Uniforme...................................................... 110 6.6.2 Reflexão em Torno do Eixo das Abscissas x......................................... 111 6.6.3 Reflexão na Origem.............................................................................. 112 6.6.4 Rotação de um Ângulo θ (no sentido anti-horário)............................. 112 6.6.5 Cisalhamento Horizontal....................................................................... 113 6.6.6 Translação............................................................................................. 114 CONCLUSÃO......................................................................................................... 115 AULA 7 - AUTOVALORES E AUTOVETORES......................................................................... 117 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 117 OBJETIVOS............................................................................................................ 118 7.1 Informações Básicas sobre Autovalores e Autovetores............................... 118 7.2 Polinômios e Matrizes ................................................................................. 118 7.3 Polinômio Característico e Teorema de Cayley-Hamilton ........................... 119 7.4 Polinômio Característico de Grau 2.............................................................. 121 7.5 Polinômios Característicos e Matrizes Triangulares em Bloco .................... 121 7.6 Autovalores e Autovetores........................................................................... 122 7.7 Autovalores, Autovetores e Polinômio Característico.................................. 127 CONCLUSÃO......................................................................................................... 130 AULA 8 - DIAGONALIZAÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES......................................... 131 INTRODUÇÃO....................................................................................................... 131 OBJETIVOS............................................................................................................ 132 8.1 Base de Autovetores.................................................................................... 132 8.2 Operador Diagonalizável.............................................................................. 134 8.3. Diagonalização de Matrizes Reais Simétricas.............................................. 137 8.4. Aplicação às Formas Quadráticas ............................................................... 138

8.5 Polinômio Mínimo ou Polinômio Minimal ................................................... 143 8.6 Polinômio Mínimo e Matrizes Diagonais em Blocos.................................... 144 CONCLUSÃO......................................................................................................... 145 CARTA DE ENCERRAMENTO.............................................................................................. 147

AULA 1 O Estudo dos Vetores

INTRODUÇÃO A Geometria Analítica, criada por René Descartes (1596-1650), é a parte da Matemática que trata de resolver problemas cujo enunciado é geométrico com o emprego de processos algébricos. Essa integração da Geometria com a Álgebra é muito rica em seus resultados, em suas propriedades e em suas interpretações. As aplicações da Geometria Analítica à Engenharia são muitas. Por exemplo, a Ford Motor Company tem economizado milhões de dólares a cada ano em projetos assistidos por computador através do uso de vetores, grandezas vetoriais e propriedades associadas, assuntos que você vai estudar nesta aula. A partir de agora, você estudará os vetores como instrumento importante na constituição de referenciais e na busca por ferramentas que nos levem a representar movimentos específicos sobre corpos. Você também conhecerá as principais operações, como o produto escalar e vetorial.

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

OBJETIVOS Os objetivos de aprendizagem desta aula são: » » compreender o conceito de vetor; » » representar vetores analítica e geometricamente em duas e três dimensões; » » operar vetores entre si e com escalares, segundo adição, multiplicação por escalar, produto escalar, produto vetorial e produto misto.

1.1 SEGMENTO ORIENTADO Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares ficam completamente definidas por um número real acompanhado de uma unidade adequada. Como exemplo, estão o comprimento, a área, o volume, a massa e a temperatura. As grandezas vetoriais, para serem devidamente caracterizadas, necessitam também de módulo, direção e sentido. Força, velocidade e aceleração são exemplos desse tipo de grandeza. Desta forma, os vetores são apresentados na formação básica como grandezas que têm direção, sentido e comprimento. Você se lembra das forças resultantes em Física? Elas são representadas, em geral, por vetores reunidos pela origem. A figura mostra um exemplo:

Figura 1 - Forças na física. Fonte: Ferreira (2014).

O conceito de vetor é, no ponto de vista da Geometria Analítica e da Álgebra Linear, mais do que apenas um ente geométrico como na Física. Portanto, você será apresentado à construção passo a passo de uma forma diferente de conceber vetor, o que dá sentido a muitas das situações enfrentadas por você até o momento. É necessário retomar considerações sobre ponto, reta e plano. Euclides de Alexandria (século IV a.C.) estabeleceu sistemas axiomáticos da Geometria a partir de noções primitivas desses elementos.

Axiomas são proposições primitivas aceitas como verdadeiras sem demonstrações. Os axiomas também são chamados de postulados ou proposições primitivas.

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

Segundo a definição dada pelo pai da Geometria, Euclides (1855, p. 121), no seu livro “Elementos”, “[...] ponto é o que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma. Além disso, encontramos que reta “[...] é o que tem comprimento sem largura”. Uma versão traduzida da obra está disponível no endereço: <http://www.mat. uc.pt/~jaimecs/euclid/elem.html.

Para estudar os vetores, adotaremos as noções de ponto, reta e plano. Segundo Dante (2011), temos um conhecimento intuitivo de cada um destes entes, decorrente da experiência e da observação. Para representá-los, siga as regras. a) Letras: Ponto – letras maiúsculas latinas: A, B, C, ... Reta – letras minúsculas latinas: a, b, c, ... Plano – letras gregas minúsculas: α, β, γ, ... b) Notações Gráficas: P ·

Figura 2 - Os entes primitivos. Fonte: Ferreira (2014).

Agora, podemos iniciar o estudo dos vetores com a definição de segmento orientado de reta. Um segmento orientado de reta é determinado por dois pontos, sendo o primeiro a origem do segmento e o segundo, a extremidade. Assim, dados os pontos A e B, denota-se o segmento orientado de reta que tem origem em A e extremidade em B por AB.

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Figura 3 - O segmento orientado. Fonte: Ferreira (2014).

Indicamos o segmento por uma flecha para que você possa identificar a origem e a extremidade. Neste caso, o segmento AB parte de A e termina em B. Os elementos que caracterizam um segmento orientado são: direção, sentido e comprimento. Este segmento pertence a uma reta que o contém. Logo, ao falarmos em direção de um segmento orientado, fala-se na direção desta reta. É uma referência, por exemplo, pelas posições vertical e horizontal, assim como 45 graus em relação ao eixo horizontal. O sentido de um segmento orientado é, fixada a sua direção, a referência ao caminho da origem para a extremidade. Por exemplo, um segmento orientado AB tem o sentido de A para B, enquanto BA tem sentido de B para A. Observe os segmentos das figuras a seguir.

Figura 4 - Caracterização de um segmento orientado. Fonte: Winterle (2000).

Ao fixar uma unidade de medida (u.m.), por exemplo, 1 centímetro, o comprimento de um segmento orientado é igual à quantidade de vezes que essa unidade compõe o segmento. A partir do conceito de segmento orientado, para chegar ao conceito proposto para vetor, é importante definir uma relação importante entre segmentos orientados.

Figura 5 - Mais exemplos de segmentos orientados. Fonte: Winterle (2000).

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

1.1.1 Equipolência entre segmentos orientados Dois segmentos orientados são ditos equipolentes sempre que têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Observe.

Figura 6 - Segmentos orientados equipolentes. Fonte: Steinbrush; Winterle (1987).

A relação de equipolência satisfaz três propriedades que a caracterizam como equivalência. Ou seja, segmentos equipolentes são equivalentes. São elas: » » propriedade reflexiva: um segmento orientado AB é equipolente a ele mesmo, ou seja, AB~AB; » » propriedade simétrica (simetria): dados dois segmentos orientados AB e CD, se AB~CD então CD~AB; » » propriedade transitiva: considerando segmentos orientados AB, CD e EF, se AB~CD e CD~EF, então AB~EF.

1.2 O CONCEITO FORMAL DE VETOR Imagine um segmento orientado AB qualquer e um conjunto formado por todos os segmentos orientados equipolentes a ele. É possível preencher, por exemplo, toda uma página de um livro com segmentos orientados equipolentes, não é mesmo? Nestas condições, o conjunto de todos os equipolentes a AB, incluindo-o, é chamado vetor AB.





Notação: v ou AB .



Em síntese, um vetor v é um representante de um conjunto de segmentos orientados equipolentes. Este conjunto é também chamado classe de equivalência de v. É essa forma de conceituar vetor que permite, por exemplo, agrupar duas forças que atuam sobre um corpo de forma a determinar a sua resultante. Ao reunir tais forças com origens coincidentes, você não está transpondo as forças para outra posição. Na verdade, como a força é um vetor (portanto, um segmento orientado), você considera um equipolente a ele na posição desejada.

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Figura 7 - Resultante entre vetores. Fonte: Winterle (2000).

Os vetores podem também ser usualmente denotados por letras minúsculas, tais como u,v e w. É importante destacar que o vetor é um representante do conjunto que o constitui. No entanto, qualquer segmento orientado pertencente ao conjunto pode ser também um representante desta classe de equivalência.

Exercite sua habilidade de abstração e busque elementos em sua imaginação para consolidar a construção apresentada para o conceito de vetor.

   v O comprimento do vetor v também é chamado de módulo de v e é denotado por . Segue do  Teorema de Pitágoras o módulo de um vetor pode ser calculado usando as suas componentes,  que 2 v = (v1 , v2 ) , então: v ∈ � por exemplo, se com v = v12 + v22 Desta forma, um vetor é dito unitário se o seu comprimento for igual a 1 unidade de medida. É importante destacar que todo vetor está associado a outro de mesma direção, mesmo sentido e 1  unitário associado é chamado versor. Observe na figura a unidade de comprimento.  Este  vetor u u 1 seguir que os vetores são e 2 unitários.

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

Figura 8 - Versor. Fonte: Steinbrush; Winterle (1987).

Quanto à posição de um vetor em relação a outros, destacamos três situações importantes: a) sempre que dois vetores têm mesma direção são ditos colineares; b) vetores não nulos e pertencentes a um mesmo plano são coplanares;

 comprimento, mas sentidos  contrários, c) sempre que dois vetores têm mesma direção e mesmo − v v são ditos vetores opostos e escrevemos então para denotar o oposto de .

Figura 9 - Vetores coplanares. Fonte: Winterle (2000).

E no caso de vetores não coplanares observe.

Figura 10 - Vetores não coplanares. Fonte: Winterle (2000).

O estudo de vetores foi apresentado, até o momento, em termos geométricos. Mas vivemos em um espaço com três dimensões: largura, comprimento e altura. Por esse motivo, é comum reconhecer esse espaço como tridimensional, ou 3D.

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1.3 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Você deve se lembrar de que grandezas escalares são aquelas que se caracterizam apenas por uma medida (quantidade, comprimento, tempo etc.). Os números reais, por exemplo, são grandezas escalares e agem sobre o módulo de vetores. Multiplicação por escalar significa multiplicar vetores por números reais.

Há multiplicação de vetores por escalares de outra natureza, mas esse é um assunto para a álgebra abstrata. Aqui, nosso escopo requer o conjunto dos números reais.

Considere um vetor v não nulo e um número real a, que pode ser positivo, negativo ou nulo. Assim, o a .v produto resulta em um vetor com comprimento vezes o comprimento de , de modo que: a) se a > 0, a .v é um vetor que mantém a mesma direção e sentido de v, mas com comprimento a vezes o comprimento de v; b) se a < 0, a .v é um vetor que mantém a mesma direção, mas com comprimento a vezes o comprimento de v e sentido contrário ao de v; c) se a = 0, a .v resulta no vetor nulo ∅. Por exemplo, para o vetor v a seguir, temos que 2v e –2v, bem como 3v e –3v são vetores que dobram o comprimento de v, mas para a = -2, os sentidos são opostos.

Figura 11 - Multiplicação de um vetor por um escalar. Fonte: Winterle (2000).

É importante destacar que 1v = v. Afinal, a unidade é positiva, o que mantém o sentido de . Por ser a unidade, mantém o comprimento. Já -1v = -v, ou seja, mantém o comprimento, mas inverte o sentido do vetor. Neste caso, diz-se que -v é o vetor oposto de v.

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

1.4 ADIÇÃO DE VETORES Considere dois vetores u e v tais que u=AB. Para efetuar a soma u + v, considere os equipolentes aos vetores de tal forma que a extremidade de u coincida com a origem de v e, assim, u+v=AD. Aqui, temos o procedimento padrão para determinarmos a soma entre dois vetores conhecida como regra do triângulo. Da mesma forma, ao somar v + u, tem-se que v + u.

Figura 12 - Adição de vetores. Fonte: Ferreira (2014).

A operação pode envolver qualquer quantidade de vetores. Por exemplo, u + v + w + j. Para isso, você deve agrupar os vetores da mesma forma: a origem de v com a extremidade de u; a origem de w com extremidade de v, e assim por diante.

Figura 13 - Adição de três ou mais vetores. Fonte: Ferreira (2014).

A seguir, são apresentadas algumas destas propriedades, considere os vetores . a) Propriedade Comutativa: u + v = v + u. b) Propriedade Associativa: (u + v )+ w = u + (v + w). Por ser válida a comutatividade, podemos excluir os parênteses, deixando ao seu critério associar as somas à sua escolha: (u + v)+ w = u + (v + w) = u + v + w. c) Existência do elemento neutro da adição de vetores: ∅ + v = v + ∅ = v. d) Existência do oposto de v: o vetor oposto de v é o vetor -v, pois v + (-v ) = (-v )+ v =

É bastante comum, em especial na Física, efetuar a soma de vetores u + v por meio de um mecanismo simples que se constitui em considerar equipolentes a u e v com origens coincidentes de modo obter um paralelogramo. Este mecanismo é conhecido como regra do paralelogramo. Neste caso, o vetor u + v coincide com a diagonal deste paralelogramo, onde a origem coincide com a origem de u.

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Figura 14 - Regra do Paralelogramo. Fonte: Ferreira (2014).

O vetor u1 é equipolente a u e v1 equipolente a v. Essas equipolências garantem que a regra do paralelogramo forneça um vetor equipolente à soma u + v. Você pode estar se perguntando sobre a diferença entre vetores. Em geral, a diferença u - v não é definida como outra operação. O que ocorre é a soma pelo oposto, ou seja, u - v = u + (-v). Geometricamente, podemos visualizar u - v pela regra do paralelogramo. Basta considerar os vetores envolvidos conforme a figura, note que o vetor u1 é paralelo a u e tem o mesmo comprimento.

Figura 15 - Adição u + (-v). Fonte: Ferreira (2014).

1.5 REPRESENTAÇÃO ANALÍTICA DE VETORES Esta seção busca representar analiticamente os vetores que pertencem ao espaço em três dimensões. Estamos iniciando o tratamento analítico para vetores no plano e no espaço. Para tal, iniciamos com a construção do sistema cartesiano de eixos coordenados no plano e no espaço.

1.5.1 Sistema de coordenadas Imagine um vetor i unitário, ou seja, com comprimento igual a 1, na direção horizontal com sentido da esquerda para a direita. Ao multiplicarmos i por todos os números reais, incluindo o zero, obtemos vetores que, sobrepostos, dão origem ao eixo horizontal usualmente conhecido como eixo x. Da mesma forma, pense em um vetor unitário j na direção vertical e sentido para cima de modo que a sua origem coincida com a origem do vetor i. Ao multiplicar j por todos os reais, a exemplo do que foi pensado para , tem-se um eixo vertical a que chamamos de modo usual por eixo y.

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

Figura 16 - Os versores i e j do plano euclidiano. Fonte: Winterle (2000).

Associe a construção algébrica do plano cartesiano àquela costumeiramente apresentada na formação básica durante o estudo das relações entre conjuntos e o produto cartesiano ℝ X ℝ.

A reunião das origens dos eixos é conhecida como origem do sistema cartesiano e denota-se por O (0,0). Esse sistema é o marco inicial para a caracterização analítica de vetores. Acompanhe a situação proposta: represente analiticamente o vetor v conforme a figura. Os vetores i e j estão representados juntamente com o sistema cartesiano de eixos.

Figura 17 - Representação analítica de vetor no plano. Fonte: Ferreira (2014).

Para isso, observe que o produto do vetor i por 3i e de j por 2 determina um par de vetores 3i e 2j. Ao somar tais vetores, obtém-se o vetor 3i + 2j. O vetor v pode, nestas condições, ser expresso por v = 3i + 2j. Esta é a representação analítica para o vetor v. Estamos caracterizando-o por meio de uma expressão algébrica! Os vetores 3i e 2j são as componentes ou coordenadas de v. Outra notação equivalente para v = 3i + 2j é v = 3,2. Observe que (3,2) coincide com as coordenadas da extremidade de v.

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Diferencie as representações de ponto e vetor pelo sinal de igual. Os pontos são denotados sem a igualdade. Por exemplo, A(3,-4) . Já os vetores são representados na sua notação. Veja: v = (-4,6).

Generalizando, se multiplicarmos i e j por x e y, respectivamente, temos que: v = xi + yj = (x,y) Neste sentido, os vetores i e j são expressos por: i = 1i + 0j e j = 0i + 1j Caso o vetor tenha origem e extremidade diferentes da origem, as componentes não são determinadas diretamente como foi estabelecido para o vetor com origem em O. Dados dois pontos A e B, formamos AO e OB e determinamos AB com início em A e fim em B. Observe.

Figura 18 - Vetores formados por dois pontos A e B. Fonte: Ferreira (2014).

Logo, o vetor v = AB é a diferença OB - OA. Essa representação se reduz à diferença entre as coordenadas do ponto B e do ponto A, o que permite denotar o vetor v = AB por v = AB = B - A. Para sua melhor compreensão, considere e A(2,5) e B(7,1). O vetor v = AB é representado analiticamente por v = B - A = (7,1)-(2,5)=(5,-4). Observe a figura.

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

Figura 19 - Representação analítica de vetores quaisquer. Fonte: Ferreira (2014).

Agora pense na área à sua volta. Não vivemos em planos, mas, sim, em um espaço tridimensional. Os vetores podem ser considerados como elementos desse espaço. Assim, devemos construir a representação destes entes geométricos também nesse contexto. A construção apresentada até o momento é estendida para o espaço utilizando a mesma ideia. Até agora, temos que v = xi + yj. Agora, vamos acrescentar mais um eixo a este plano, que incluirá um novo elemento: a altura. Considere um vetor unitário k com direção vertical. Ao multiplicar k por todos os reais, você vai obter um eixo vertical. Ao coincidir o vetor nulo 0k com a origem do plano cartesiano e com os produtos de reais positivos por k para cima, surge um sistema composto de três eixos, todos ortogonais entre si. Em perspectiva, tem-se a formação conforme a figura.

Figura 20 - Sistema cartesiano tridimensional. Fonte: Winterle (2000).

Para cada par de eixos, temos a formação de um plano ilimitado. Esses planos se interceptam pelos eixos X, Y e Z e cada uma das oito regiões formadas é chamada octante, como na figura a seguir.

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Figura 21 - Octante no ℝ³ Fonte: Winterle (2000).

Desta forma, pode-se perceber que qualquer ponto A neste espaço tridimensional é referenciado por três coordenadas A (xyz), assim como os vetores. Neste caso, diz-se que: Para visualizarmos melhor este aparato geométrico, consideremos o paralelepípedo da figura a seguir, onde o ponto P(2, 4, 3).

Figura 22 - Visualização de pontos no espaço tridimensional. Fonte: Winterle (2000).

Assim, podemos notar que: » » o ponto A possui coordenadas x = 2, y = 0 e z = 0, pois quando o ponto se encontra sobre o eixo dos x y = 0 e z = 0, donde escrevemos A(2, 0, 0). Analogamente, percebe-se que C(0, 4, 0) e E(0, 0, 3); » » temos que B(2, 4, 0), pois aqui o ponto (x, y, z) está no plano xy e assim z = 0. Similarmente, F(2, 0, 3) (no plano xz) e D(0, 4, 3) (no plano yz).

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

Vejamos os casos especiais dos pontos pertencentes aos eixos e aos planos coordenados como podemos verificar na figura a seguir.

Figura 23 - Casos especiais no espaço tridimensional. Fonte: Winterle (2000).

Segundo Winterle (2000, p. 34) se desejarmos marcar um ponto no espaço, por exemplo, o ponto A(3, – 2, 4), procedemos da seguinte forma: 1) marcamos o ponto A’(3, – 2, 0) no plano xy; 2) deslocamos A’ paralelamente ao eixo z, 4 unidades para cima (se fosse – 4 seriam 4 unidades para baixo) para caracterizarmos o ponto A.

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Figura 24 - Representando um ponto A no espaço tridimensional. Fonte: Winterle (2000).

Em síntese, o sistema cartesiano tridimensional (a exemplo do sistema bidimensional) consiste em três eixos (x, y e z) perpendiculares entre si dois a dois, cuja interseção entre eles é a origem. Por ser percebido também pelo produto cartesiano ℝ x ℝ x ℝ, logo o sistema cartesiano tridimensional é denotado por ℝ³. Da mesma forma, ℝ² designa o sistema cartesiano bidimensional. Destacamos também que os vetores em suas representações analíticas partem da origem O (0,0,0). Para o caso de um vetor v = AB, em que A (x1,y1,z1) e B (x2,y2,z2), o procedimento é o mesmo para definir v analiticamente para vetores no espaço bidimensional: v = AB = B-A = (x2-x1,y2-y1,z2-z1) Observe a figura. seg (4,6,10) to (9,12,4)

(x,y,z) = (9,12,4) z

z1 A v

z2 B

OB x2

y2 y

Figura 25 - Vetor formado por dois pontos no ℝ². Fonte: Ferreira (2014).

O vetor é a diferença entre os vetores OB e OA, a exemplo do ℝ². Assim, tem-se que v = B-A.

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

1.5.2 Vetores Colineares e Paralelos A representação analítica permite identificar vetores com mesma direção. Neste caso, diz-se que os vetores são colineares. Se dois vetores u=(x1,y1,z1 ) e v=(x2,y2,z2) têm mesma direção, então, as retas suportes destes vetores são paralelas.

Figura 26 - Vetores colineares no ℝ³. Fonte: Ferreira (2014).

Você pode observar que a diferença entre eles está no sentido e no comprimento. Logo, a multiplicação por escalar, que atua sobre seus componentes, indica a relação entre os vetores. Desta forma, temos que , em que é um número real não nulo, e: v = (x2,y2,z2) = a = (x1,y1,z1) = (ax1,ay1,a az1) Portanto, se v =au, pelas coordenadas: x2=ax1; y2=ay1e z2=az1 Equivalentemente,

Por exemplo, os vetores u=(-1,3,15) e v=(4,-12,-45) são colineares. De fato, a constante entre eles é a = 3: 4=-3. (-1); -12 = -3 . 3 e -45=-3 . 5. Você já descreveu direções, sentidos, colinearidade e outras caracterizações de vetores. É chegado o momento de determinar comprimento ou norma de um vetor.

1.5.3 Norma Considerando a reta numerada, é possível medir distâncias entre números. Por exemplo, a distância entre 0 e 7, ou entre -7 e 0, é igual a 7. Conclui-se que o módulo de 7, denotado entre barras é igual a |7| e, portanto, |7| = |-7| = 7. Quando falamos em vetores, estamos tratando grandezas com comprimento, direção e sentido. Por isso, costumamos atribuir a expressão norma quando falamos em distâncias e comprimentos neste contexto. Denota-se a norma de um vetor v por ||v||. Para calcular a norma de um vetor, você deve usar o Teorema de Pitágoras, conforme indica a figura.

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Figura 27 - Norma no ℝ². Fonte: Ferreira (2014).

A norma do vetor coincide com a medida da hipotenusa do triângulo destacado na figura, a saber:

Por exemplo, se v=0i-5j que tem origem coincidente com O (0,0), a norma unidades de medida. Generalizando, para vetores que partem da origem,

No espaço tridimensional, a ideia é a mesma, incluindo a aplicação recursiva do triângulo retângulo. Logo: A expressão para calcular a norma de um vetor qualquer no espaço tridimensional está fundamentada nos triângulos retângulos formados, conforme indica a figura. Por exemplo, seja v=AB, em que A(2,5,-4) e B(3,0,-6). Então a norma de v é igual a: Por exemplo, seja , em que e . Então a norma de é igual a:

Se o vetor parte da origem, a expressão reduz-se a:

A norma do vetor é, na verdade, a distância entre os pontos A e B. Esse raciocínio pode ser estendido, então, para calcular a distância entre dois pontos.

A partir da norma, podemos determinar o versor de um vetor. Como o versor de v tem mesma direção e sentido, mas comprimento igual a 1, ele é obtido por . Sendo v=(x,y,z), o versor é expresso por .

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

A norma do vetor nulo é igual a zero!

Você se lembra de que os vetores são usados, em Física, para representar as forças que atuam sobre corpos? Saiba que a resultante que você deve determinar é resultado de uma operação entre vetores, que você conhecerá a seguir.

1.6 PRODUTOS ENTRE VETORES Agora, você será apresentado aos produtos entre vetores: produto escalar, vetorial e misto.

1.6.1 Produto escalar O produto escalar entre dois vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) é determinado pela soma dos produtos das coordenadas correspondentes. Notação: u. v. u∙v = x1∙ x2 + y1∙ y2 + z1∙ z2 Por exemplo, para u=(-1,3,7) e v=(0,2,-4), tem-se que u∙v = (-1)∙0+3∙2+7∙(-4) = -22. Observe que o produto escalar é definido também para vetores no ℝ² de modo idêntico. Se u=(x1,y1) e v=(x2,y2) , então u ∙ v = x1 x2 + y1 y2.

O produto escalar satisfaz algumas propriedades algébricas importantes para o estudo da Álgebra Linear e da Geometria Analítica. Dados os vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2) : De fato, ao comparar com a expressão que fornece a norma de um vetor, tem-se que:

As três próximas propriedades são estabelecidas por extensão de propriedades do conjunto dos números reais. » » u∙v=v∙u. » » u∙(v+w)=u∙v+u∙w. » » k(u∙v)=(ku)∙v.

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A próxima propriedade é chamada positividade. » » u∙u ≥ 0 e u∙u=0 e sempre que u=∅, ou seja, u for o vetor nulo. Como u∙u = ||u||², conclui-se que u∙u é sempre positivo, sendo igual a zero quando as coordenadas do vetor são todas nulas, ou seja, u=∅.

O produto escalar é aplicado na construção dos códigos ISBN (International Standard Book Number) utilizados mundialmente para identificação de livros. Esses códigos consistem em 10 dígitos divididos em três grupos. Você pode conhecer como é feita esta aplicação no livro “Álgebra linear contemporânea”, de Howard Anton e Robert Busby.

O produto escalar em ℝ² e ℝ³ é uma ferramenta importante para determinar o ângulo formado por vetores nestes espaços.

1.6.2. Ângulo entre vetores Considera-se o ângulo entre dois vetores não nulos como o menor ângulo formado por eles.

Figura 28 - Ângulo entre vetores. Fonte: Ferreira (2014).

O ângulo a é tal que que 0 ≤ a ≤ 180°. Alguns valores de a valem destaque.

Figura 29 - Ângulos elementares. Fonte: Ferreira (2014).

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

Se o ângulo entre os vetores for nulo, ambos têm mesma direção. Se a for igual a 90º, diz-se que os vetores são ortogonais. Caso a seja igual a 180º, os vetores têm sentidos contrários. Teorema 1: Segundo Winterle (2000, p. 56), sejam vetores u, v em ℝ² ou ℝ³ e θ o ângulo formado por eles. Então:

Com relação à demonstração deste resultado, você pode encontrar todos os detalhes em Winterle (2000, p. 56). Equivalente, pode-se considerar o resultado do Teorema 1 como

Por exemplo, considere os vetores u=(0,3) e v=(2,2). Pelo teorema:

Figura 30 - Ângulo entre dois vetores no plano. Fonte: Ferreira (2014).

As funções trigonométricas aplicadas aos ângulos fundamentais (0°, 30°, 45°, 60° e 90°) devem ser suas conhecidas. No entanto, você conta com calculadoras científicas, que podem auxiliá-lo. Nesses equipamentos, utilize a função e expoente -1. São as funções inversas arc seno, arc cos e arc tg. Para calcular o ângulo cujo cosseno é , por exemplo, a função aplicada em uma calculadora científica é: graus. Essa notação é equivalente à .

Como o produto escalar o conduz a determinar ângulo entre vetores, você pode verificar facilmente se dois vetores são ortogonais. Afinal, essa é uma posição relativa entre dois vetores que muito se destaca no estudo da Geometria Analítica e da Álgebra Linear. Sejam dois vetores u,v ortogonais, ou seja, θ = 90º Como cos90°=0, temos que

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Essa relação nos leva a uma forma simples de verificar se dois vetores são ortogonais. Basta calcular o produto escalar entre eles. Se u∙v=0, então u e v são ortogonais. Denota-se usualmente por u ⊥ v.

A sistemática para determinar ângulo entre vetores por meio do produto escalar no espaço tridimensional é a mesma aplicada ao plano.

Em especial no ℝ³, a perspectiva e pouca precisão nos esboços gráficos não nos permitem estabelecer ortogonalidade. Portanto, lance mão das ferramentas algébricas para tal.

1.6.3 Produto vetorial Sejam dois vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em ℝ. O produto vetorial, denotado por u x v, resulta em um vetor determinado por: É importante destacar que o produto vetorial obedece à ordem u x v. Desta forma, para:

você pode calcular o determinante por meio de qualquer técnica que seja de seu conhecimento. As mais utilizadas são Laplace, Triangulação e Sarrus, sendo esta última limitada para matrizes de ordem 3.

Não confunda produto vetorial com determinante! Determinante de uma matriz é um número real. Ele aparece aqui como forma de memorizar mais facilmente o produto vetorial e a aplicação é resultado de pura observação. Steinbruch (1987) atribui a expressão determinante simbólico a esta forma de calcular o produto vetorial.

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

Exemplo: Considere os vetores u=(-1,3,0) e v=(3,1,2). O produto vetorial u x v, calculado pelo desenvolvimento de Laplace, é:

Comparando os dois produtos, o escalar resulta em um escalar. Por sua vez, produto vetorial resulta em um vetor.

O produto vetorial não está definido no ℝ². Essa afirmação se justifica de forma simples por meio do determinante. Determinante existe para matrizes quadradas. Se os vetores são bidimensionais, teremos três linhas e duas colunas, o que inviabiliza o produto.

Observa-se, pela propriedade de determinante, que permutar (trocar de posição) linhas da matriz altera o sinal do determinante. Neste caso, esta propriedade também se aplica. » » Se efetuarmos u x v, encontraremos como resultado – (u x v). Para o exemplo, u x v = -6i - 2j + 10k. Além dessa propriedade, nos determinantes, linhas múltiplas o anulam. Transposto para o produto vetorial, se os vetores u e v e são colineares, então suas coordenadas são proporcionais, portanto, respectivamente múltiplas. Logo, o produto vetorial é o vetor nulo. Esta afirmação se estende para o produto u x v = 0. Mas lembre-se que é para o caso de termos vetores colineares. As aplicações de produto vetorial na Geometria Analítica e na Álgebra Linear se voltam especialmente para a posição relativa entre os vetores u e ve o vetor resultante de u x v. » » O vetor u x v é ortogonal simultaneamente aos vetores u e v e , o mesmo ocorrendo com u x v. A figura possibilita melhor compreensão desta afirmação.

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Figura 31 - Definição geométrica de produto vetorial. Fonte: Ferreira (2014).

Assim, se quisermos encontrar um vetor simultaneamente ortogonal a outros dois, basta efetuar o produto vetorial entre eles. Lembre-se que u x v e v x u diferem apenas de sinal, ou sentido. Logo, você tem ao menos dois vetores nessas condições. Além disso, qualquer vetor múltiplo ao produto vetorial também satisfaz tal condição. Há uma relação importante entre produto vetorial, ângulo entre vetores e área de paralelogramos. É o que afirma o Teorema 2. Teorema 2: Segundo Winterle (2000, p. 79), sejam u e v vetores em ℝ³. Então, para θ o ângulo formado por u e v, Além disso, ||u x v|| é a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v. Para mais detalhes sobre a demonstração deste resultado, você pode encontrar em Winterle (2000, p. 79). Observe a figura.

Figura 32 - Área do paralelogramo. Fonte: Ferreira (2014).

AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES

Por exemplo, consideremos os vetores, u=(4,1,2) e v=(1,-1,0). A área do paralelogramo formado por u e v é calculada a partir do produto vetorial:

Logo, unidades de área.

1.6.4 Produto Misto O produto misto entre vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) e w=(x3,y3,z3), denotado por (u, v, w) é o número real determinado por: (u, v, w) = u, (v x w) Exemplificando, para u=(-2,2,6), v=(0,3,1) e w=(1,2,0), o produto misto (u, v, w) é igual a:

Seguindo o raciocínio do produto vetorial, o produto misto é calculado com analogia ao cálculo de determinantes, a saber:

Para o exemplo, o produto misto calculado por meio de determinante, pelo desenvolvimento de Laplace, escolhida a segunda linha como parâmetro, é:

O produto misto satisfaz algumas propriedades importantes para o seu estudo. (u, v, w) = 0 se, e somente se, os vetores obedecem às seguintes condições: » » um dos vetores é nulo (∅); » » dois deles são colineares, gerando a matriz com linhas proporcionais, o que anula o determinante; » » os três vetores são coplanares. Neste caso, se os vetores são coplanares, o vetor v x w é ortogonal também a u. Ao efetuarmos o produto u∙(v x w) resulta em 0, indicando 90° entre u e v x w. O módulo do produto misto é interpretado geometricamente como o volume do paralelepípedo formado pelos vetores. Observe a figura.

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Figura 33 - Volume de um paralelepípedo. Fonte: Ferreira (2014).

A relação entre o produto misto e o volume do paralelepípedo formado pelos vetores se dá pelos ângulos θ e β observados em relação aos vetores e a altura do paralelepípedo. Lembre-se que o volume de um paralelepípedo é o produto entre a área da base e a altura. Aqui, a área da base é dada pelo módulo do produto vetorial. Para os vetores do exemplo anterior, o volume do paralelepípedo formado por eles é igual a: unidades de volume. Agora é o momento de buscar representação analítica para os vetores. Isso significa pensar os entes geométricos por meio de sistemas de coordenadas e representações algébricas, o que estabelece toda uma base para definir curvas e corpos no sistema cartesiano de coordenadas.

CONCLUSÃO Nesta aula, você deve ter percebido que podemos referenciar analiticamente entes geométricos no plano e no espaço tridimensional, considerando-se o conceito formal de vetores. Além disso, as operações envolvendo esses vetores são ferramentas aliadas à manipulação de entes geométricos para cálculos específicos de área, volume e ângulos.

AULA 2 Curvas e Superfícies no Espaço

INTRODUÇÃO Nesta aula, você estudará os conceitos formais e os métodos de visualização das curvas e superfícies no espaço. Vamos discutir os principais aspectos teóricos das representações das retas e dos planos, tais como equações vetoriais e paramétricas, e as interpretações geométricas das equações das cônicas (elipse, hipérbole e parábola) e das superfícies quádricas. Você já viu que o conhecimento das grandezas vetoriais é primordial para a Engenharia. Agora, é interessante ressaltar que o tratamento geométrico sobre curvas e superfícies no espaço é de fundamental importância para problemas de planificação de superfícies, associados às indústrias metalúrgicas. Você também utilizará o que aprender aqui no desenvolvimento de novos modelos de peças e em situações que envolvem guindastes, pontes, elevadores, automóveis, dimensionamento de vigas e treliças. É necessário entender as grandezas vetoriais envolvidas e curvas associadas. Mãos à obra!

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OBJETIVOS » » Compreender as principais equações de retas e planos. » » Representar analiticamente retas e planos. » » Reconhecer seções cônicas e superfícies usuais e seus elementos. » » Representar analiticamente as seções cônicas e superfícies quádricas.

2.1 A RETA Vamos começar a aula discutindo as equações e a representação no espaço da reta. Você aprenderá, por exemplo, a apresentar a equação vetorial e as equações paramétricas da reta.

2.1.1 Equação Vetorial da Reta

→

Considere um ponto A(x1, y1, z1) e um vetor→não nulo v = (a,b,c). Assim, existe apenas uma reta r que passa por A e tem a direção do vetor v . Logo, um ponto P(x,y,z) pertence a r se, e somente se, o vetor é paralelo a v. Isto é, para um valor de t real: →

= t v (2.1) Da igualdade supracitada, temos que: →

P–A=tv Ou seja, →

P = A+ t v

(2.2)

Ou, ainda, podemos escrever em coordenadas: (x,y,z) = (x1, y1, z1) + t(a,b,c)

(2.3)

Desta maneira, segundo Steinbruch→ (1987, p. 100), qualquer uma das equações é chamada equação vetorial da reta r. O vetor v é o vetor diretor da reta r, e t é o parâmetro.

AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

Figura 33 - A equação vetorial da reta. Fonte: Steinbruch e Winterle (1987).

Exemplo: → Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(1, -1, 4) e tem vetor diretor v = (2, 3, 2). Solução: De acordo com a equação 2.3, podemos escrever: r:

(x, y, z) = (1,-1,4) + t.(2,3,2)

Em que (x, y, z) representa um ponto qualquer de r. Ou seja, a igualdade anterior representa a equação vetorial da reta descrita no exemplo.

Figura 34 - A interpretação geométrica da reta do exemplo. Fonte: Winterle (2000).

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Se você quiser obter pontos da reta r, basta atribuir valores para o parâmetro t. Por exemplo, para t = 1, (x, y, z) = (1, -1, 4) + 1(2, 3, 2) = (1, -1, 4) + (2, 3, 2) = (3, 2, 6). Portanto, P1 (3, 2, 6) ∈ r.

2.1.2 Equações Paramétricas da Reta Tendo como referência a equação vetorial da reta: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t.(a, b, c) Ou, ainda: (x, y, z) = (x1 + at, y1 + bt, z1 +ct) Pela condição de igualdade entre vetores, podemos escrever:

(2.4)

As equações 2.4 são chamadas equações paramétricas da reta. Exemplo: Com base em Steinbruch e Winterle (1987, p. 105), considere o ponto A(2, 3, -4) e o → vetor v = (1, -2, 3): a) determine os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente; b) caracterize o ponto da reta r cuja abscissa é igual a 4; c) responda: Os pontos D(4, -1, 2) e E(5, -4, 3) pertencem à reta do exemplo?; d) caracterize para quais valores de m e de n o ponto F(m, 5, n) pertence a reta r dada; Solução a) De acordo com a descrição das equações paramétricas, segue que:

b) De acordo com a letra (a), obtemos: » » para t = 1:

e, portanto, B(3, 1, -1);

AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

» » para t = 4:  x = 2 + (4) = 6 e, portanto, B(6, -5, 8).

  y = 3 − 2(4) = −5  z = −4 + 3(4) = 8 

c) Basta considerar x = 4, já que este tem abscissa 4. Assim, tem-se a igualdade 4 = 2 + t, logo, t = 2. Daí:

 y = 3 − 2.(2) = −1 , ou seja, o ponto procurado é (4, -1, 2).  z = −4 + 3.(2) = 2

t=2 ⇒

d) Interpretamos que um ponto pertence à reta r se existir um número real t que satisfaz simultaneamente as equações de t. Dessa forma: » » para D(4, -1, 2), as equações  4 = 2 + t se verificam para t = 2, em que se conclui que D∈r;

  −1 = 3 − 2t 2 = −4 + 3t 

» » para E(5, -4, 3), as equações  5 = 2 + t

  −4 = 3 − 2t −3 = −4 + 3t 

não são satisfeitas para o mesmo valor de t (t = 3

satisfaz a primeira equação, mas não as demais), logo, conclui-se que E ∉r.

 m = 2+t  e) Como F∈r, as equações  5 = 3 − 2t se verificam para algum número real t. Da equação 5 n = −4 + 3t  = 3 – 2t, segue que t = – 1 e, portanto: m = 2 + (– 1) = 1 n = – 4 +3.( – 1) = – 7

Você viu que a caracterização das equações paramétricas da reta surge diretamente da equação vetorial. Porém, não existe apenas uma equação vetorial para a reta, mas sim infinitas, já que podemos tomar infinitos pontos distintos da mesma reta.

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A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a direção do vetor =

2.1.3 Equações Simétricas da Reta Para trabalhar com as equações simétricas da reta, você precisa retomar as equações paramétricas discutidas anteriormente. Delas, você pode obter: x= x1+ a.t, y= y1 + b.t, z= z1 + c.t Desta maneira, sem perda de generalidade, vamos supor que o produto abc seja não nulo, isto é, que abc ≠ 0. Logo:

x − x1 y − y1 z − z1 t= t= a b c

Para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, assim obtemos as igualdades: x − x1 y − y1 z − z1 (2.5)

Essas equações são chamadas de equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x1, y1, z1) e → tem a direção do vetor v = (a,b,c). →

Exemplo: As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0, -5) e vetor diretor v = (2, 2, -1) são dadas por:

x −3 y z +5 = = 2 2 −1 2.1.4 Ângulo entre Duas Retas

→

v e 2 , respectivamente. Segundo Steinbruch

Considere duas retas, r1 e r2, com as direções de (1987), denomina-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor de r2. Logo, se representarmos por θ esse ângulo, podemos escrever:

 

| v1.v2 | , com 0 ≤ θ ≤ π . cos θ =   | v1 | . | v2 |

AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

Figura 35 - A interpretação do ângulo formado por duas retas. Fonte: Steinbruch (1987).

Exemplo: Calcule o ângulo formado pelas retas:

x = 3 + t  r1 :  y = t  z = −1 − 2t 

r2 :

x + 2 y −3 z = = −2 1 1 →

→

Solução: Observe que os vetores diretores das retas dadas são v1 = (1, 1, -2) e v2 = (-2, 1, 1), respectivamente. Logo, sendo θ o ângulo entre r1 e r2 :

  | v1.v2 | cos θ =   = | v1 | . | v2 | Portanto, θ = arc cos(

| (1,1, −2).(−2,1,1) | 12 + 12 + (−2) 2 . (−2) 2 + 12 + 12

| −2 + 1 − 2 | 3 1 = = 6 2 6. 6

1 π )= rad = 60° 2 3

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→

Dadas duas retas r1 e r2 com as direções de

→

v2 →

, respectivamen→

te, então r1 e r2 são ortogonais se, e somente se, v . v = 0. 1 2

2.2 O PLANO Um plano é formado por três pontos não colineares. Tomando como referência o espaço, a partir de agora você estudará as principais equações do plano.

2.2.1 Equação Geral do Plano

→

Considere um ponto A(x1, y1, z1) pertencente a um plano π e n = (a,b,c), com n não sendo o vetor nulo, conforme mostramos na figura a seguir.

Figura 36 - O plano →

→

π.

Fonte: Winterle (2000).

Observe que n ⊥ π e n é ortogonal a todo vetor representado em π . Então, um ponto P(x,y,z) → pertence a π se, e somente se, o vetor for ortogonal a n . Isto é, se for possível verificar a igualdade: →

n . (P – A) = 0

Ou, ainda, se tivermos: (a, b, c).(x-x1, y-y1, z-z1)=0 Ou seja: a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0

AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0

Resultando em:

ax+by+cz-ax1-by1-cz1=0

Considerando:

- ax1 - by1 - cz1 = d, A equação geral do plano π é: ax + by + cz + d = 0 →

Note que, como n = (a, b, c) é um vetor normal a π, qualquer vetor →

k. n , com k ≠ 0, é também um vetor normal ao plano, ou seja, ortogonal a qualquer vetor representado no plano π.

Exemplo: Caracterize a equação geral do plano ∈ que passa pelo ponto A(1, – 1, – 3) e tem como → vetor normal o vetor n = (2, 3, 2). Solução: Neste caso, como = (2, 3, 2) é normal a π , temos: 2x + 3y + 2z + d = 0 Como A é um ponto do plano π, suas coordenadas devem satisfazer a equação, isto é: 2.(1) + 3.(– 1) + 2.( – 3) + d = 0 2–3–6+d=0 d=7 Dessa forma, concluímos que a equação geral do plano π é dada por: 3x + 2y – 4z + 7 = 0 Se um plano π intercepta os eixos coordenados nos pontos (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) com p.q.r ≠ 0, então π admite a equação: , x y z

chamada equação segmentária do plano π.

2.2.2 Equação Vetorial do Plano

→

Considere um ponto A(x0, y0, z0) pertencente a um plano π e dois vetores: u = (a1 , b1 , c1 ) e → v = (a , b , c ) paralelos ao plano π, conforme a figura a seguir. 2

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Figura 37 - Interpretação da equação vetorial do plano π. Fonte: Steinbruch (1987).

→

Desta forma, podemos pensar que, para qualquer ponto P do plano, os vetores , u e v pertencem ao mesmo plano. Assim, segundo Steinbruch (1987), um ponto P(x,y,z) pertence a π se, e somente se, existirem números reais h e t, tais que: →

→

P – A = h u +t v Ou seja:

→

P = A+ h. u + t. v Ou, em coordenadas:

(x,y,z) = (x0, y0, z0) + (a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2) com h, t ∈ℝ. →

→

Essa equação é chamada equação vetorial de π. Os vetores u e v são chamados vetores diretores do plano π.

2.2.3 Ângulo entre Dois Planos

→

Considere os planos π1 e π2 com vetores normais n1 e n2 , respectivamente. Steinbruch (1987) conceitua o ângulo de dois planos π1 e π2 como o menor ângulo que um vetor normal a π1 forma com um vetor normal a π2. Logo, considerando θ esse ângulo:

  π | n1.n2 | cos θ =   , com 0 ≤ θ ≤ 2 . | n1 | . | n2 |

→

n n Imagine dois planos π1 e π2, e 1 e 2 como vetores normais a π1 e π2, respectivamente. Nesse caso, dizemos que π1 e π2 são perpendicu→ →

lares se n1 . n2 = 0.

AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

Exemplo: Caracterize o ângulo formado pelos planos π1: 2x + y – z + 3 = 0 e π2: x + y – 4 = 0. Solução: Inicialmente, note que os planos em questão possuem como vetores normais: →

→

n1 = (2,1,-1) e n2 = (1,1,0) Logo:

Ou seja:

 3 π = cos  6 2   θ = arc

2.3 SEÇÕES CÔNICAS Para começar o tratamento formal sobre as cônicas, considere duas retas e e g concorrentes no ponto O e não perpendiculares. Conservando fixa a reta e, faça a reta g girar 360° graus em torno de e, mantendo constante o ângulo entre tais retas, conforme mostra a figura a seguir.

Figura 38 - Interpretação da superfície cônica. Fonte: Steinbruch (1987).

Sendo assim, segundo Camargo e Boulos (1987), a reta g gera uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice O. Utiliza-se a seguinte nomenclatura:

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» » geratriz – a reta g; » » eixo – a reta e; » » seção cônica (ou cônica) – conjunto de pontos que formam a interseção de um plano com uma superfície cônica.

As curvas cônicas têm sido estudadas desde a antiguidade por matemáticos de referência, como Euclides e Apolônio. Inicialmente abordadas apenas como curiosidade, elas passaram a ter funções práticas importantes em diversas áreas do conhecimento. As cônicas foram fundamentais para o desenvolvimento da astronomia, por exemplo. Kepler e Galileu mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos naturais, como as órbitas dos planetas em torno do sol

Você deve esta se perguntando: cônica não seria uma parábola, uma elipse ou uma hipérbole? A resposta é: sim, quando uma superfície cônica é seccionada por um plano π cujo ponto p não pertence a ele. Segundo Camargo e Boulos (1987), a cônica será classificada como uma: a) parábola – se π for paralelo a uma geratriz da superfície;

Figura 39 - A parábola. Fonte: Steinbruch (1987).

b) elipse – se π não for paralelo a uma geratriz e interceptar apenas uma das folhas da superfície;

AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

Figura 40 - A elipse. Fonte: Steinbruch (1987).

c) hipérbole – se π não for paralelo a uma geratriz da superfície e se interceptar as duas folhas da superfície.

Figura 41 - A hipérbole. Fonte: Steinbruch (1987).

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Observe que as cônicas são curvas planas. Dessa forma, toda argumentação com relação à parábola, elipse e hipérbole se passa em um plano.

2.4 PARÁBOLA A parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo (chamado foco) e de uma reta fixa desse plano (chamada diretriz).

Figura 42 - A interpretação geométrica da parábola. Fonte: Winterle (2000).

Dessa maneira, são elementos fundamentais da parábola: » » foco: é o ponto F; » » diretriz: é a reta d; » » eixo: é a reta e que passa por F e é particular a d; » » vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo.

A parábola é simétrica em relação ao seu eixo.

AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

2.4.1 Equações Reduzidas da Parábola Para descrever as equações reduzidas de uma parábola com vértice V(0, 0), há dois casos a considerar: quando o eixo da parábola for o eixo dos y e quando o eixo da parábola for o eixo dos x. Não iremos formalizar todos os procedimentos de cálculos referentes às equações reduzidas. Estas surgem diretamente da definição formal da parábola e de cálculos algébricos. Caso 1: O eixo da parábola é o eixo dos y.

Figura 43 - A parábola cujo eixo é o eixo dos y. Fonte: Steinbruch (1987).

p Na figura anterior, considerando P(x, y) um ponto qualquer da parábola de foco F(0, 2 ) e diretriz p de equação y = − , segundo Steinbruch (1987), sua equação reduzida é dada por x² = 2.p.y. 2 O número real p não nulo é denominado parâmetro da parábola. Se p > 0, a parábola tem abertura para cima. Se p < 0, a parábola tem abertura para baixo.

Exemplo: Caracterize o foco e a equação da diretriz da parábola x² = 2y. Solução: Nesta equação, para cada valor de y, temos dois valores correspondentes de x simétricos. Por exemplo, se y = 2, segue que x = 4 ou x = – 4. Ou, ainda, perceba que os pontos (4, 2) e (– 4, 2) pertencem à parábola do exemplo. Da equação: x² = 2py temos que: 2p = 8

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

p=4

p =2 2 Logo, o foco é F(0, 2), e a diretriz é y = – 2. Caso 2: Se o eixo da parábola for o eixo do x, analogamente, considerando P(x, y) um ponto p p qualquer da parábola de foco F( , 0) e diretriz de equação x = − , segundo Steinbruch (1987),

sua equação reduzida é dada por y² = 2.p.x.

Se p > 0, a parábola tem abertura para a direita. Se p < 0, a parábola tem abertura para a esquerda.

2.5 ELIPSE Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias aos focos desse plano é constante.

Figura 44 - A interpretação geométrica da elipse. Fonte: Steinbruch (1987).

Os elementos da elipse são: » » focos: são os pontos

F1 e F2 ;

» » distância focal: é a distância 2c entre os focos; » » centro: é o ponto médio C do segmento 48

F1 F2 ;

AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

» » eixo maior: é o segmento » » eixo menor: é o segmento médio.; » » vértices: são os pontos

A1 A2

de comprimento 2a (esse segmento contém os focos);

B1 B2 de comprimento 2b e perpendicular a A1 A2 no seu ponto

A1 , A2 , B1 e B2 .

A excentricidade de uma elipse é o número real e = a (0 < e < 1), e ela é quem define a forma da elipse. Grosso modo, quando a excentricidade se aproxima de zero, as elipses são aproximadamente circulares, enquanto elipses com excentricidade próxima de 1 são achatadas.

2.5.1 Equações Reduzidas da Elipse Neste caso, o raciocínio é similar ao da parábola. A caracterização das equações reduzidas da elipse surgem da definição formal e de procedimentos algébricos. Assim, considere uma elipse de centro C(0, 0). Para descrever as suas equações reduzidas, há dois casos a considerar: quando o eixo maior está sobre o eixo do x e quando o eixo maior está sobre o eixo do y. Caso 1: O eixo maior está sobre o eixo do x.

Figura 45 - A elipse com eixo maior está sobre o eixo do x.

x2 y 2 + 2 =1 2 b Deste modo, conforme Steinbruch (1987), sua equação reduzida é dada por a . Para Fonte: Winterle (2000).

chegar a tal equação, é necessário utilizar a definição formal de elipse e efetuar alguns cálculos algébricos com o objetivo de simplificação.

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Caso 2: Se o eixo maior está sobre o eixo do y, com raciocínio similar ao primeiro caso, segundo 2 y2 Steinbruch (1987), sua equação reduzida é dada por x .

Pela definição, em qualquer elipse é verificado que a > b, o que nos dá a² > b². Dessa maneira, para averiguar se a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo do x ou sobre o eixo do y, basta verificar onde se encontra o maior denominador (a² ) na sua equação reduzida.

Exemplo: Considere a elipse 9x² + 25y² = 225. Caracterize: a) a medida dos semieixos; b) os focos; c) a excentricidade. Solução: Para descrever a equação reduzida da elipse, basta dividir ambos os membros da equação anterior por 225, obtendo:

9x2 y2 225 + = 225 225 225 Ou seja,

x2 y 2 + =1 25 9 Como o maior denominador é 25, segue que a² = 25. Assim, você pode perceber que o eixo maior da elipse se encontra sobre o eixo das abscissas. Então: a² = 25 ⇒ a = 5 b² = 9 ⇒ b = 3 » » Focos: F1 ( – 4, 0) e F2 (4, 0). » » A excentricidade: e = c = 4

2.6 HIPÉRBOLE Hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias entre os focos desse plano, em valor absoluto, é constante.

AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

Figura 46 - A interpretação geométrica da hipérbole. Fonte: Steinbruch e Winterle (1987).

Os elementos da hipérbole são: » » focos: são os pontos

;

» » distância focal: é a distância 2c entre os focos; » » centro: é o ponto médio C do segmento

F1 F2

A A » » vértices: são os pontos 1 e 2 ;

;

A1 A2 de comprimento 2a; » » eixo imaginário ou não-transverso: é o segmento B1 B2 de comprimento 2b, com B1 B2 ⊥ A1 A2 em C;

» » eixo real ou transverso: é o segmento

» » assíntotas: são as retas r e s; » » abertura: é o ângulo θ;

» » excentricidade: e = c (e > 1).

2.6.1 Equações Reduzidas da Hipérbole Analogamente ao que você fez para a parábola e a elipse, é possível caracterizar as equações reduzidas da hipérbole, porém, de acordo com o eixo real situado sobre o eixo x ou sobre o eixo y. De acordo com Steinbruch (1987), as equações reduzidas da hipérbole são dadas por: 2 2 Caso 1: O eixo real está sobre o eixo do x: x − y = 1 . 2 2

2 Caso 02: O eixo real está sobre o eixo do y: y − x = 1 . 2 2

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Exemplo: Considere a hipérbole x² – 4y² + 16 = 0. Determine: a) a medida dos semieixos; b) os vértices; c) os focos; d) a excentricidade; e) as equações das assíntotas.

Assíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais, à medida que os pontos se afastam dos vértices..

Solução: Inicialmente, passe a equação para a forma reduzida: x² – 4y² + 16 = 0 ou x² – 4y² = – 16

y 2 x2 − =1 ou 4 16

Ela nos mostra uma hipérbole com eixo real sobre o eixo das ordenadas, de onde concluímos que: a² = 4 ⇒ a = 2 b² = 16 ⇒ b = 4 Vértices: A1 (0, – 2) e A2 (0, 2). Para determinar os focos, você precisará do valor de c, que pode ser calculado a partir de: c² = a² + b² c² = 4 + 16 c² = 20 c=

20 = 2 5

Focos: F1 (0, −2 5 ) e F2 (0, 2 5 ). Excentricidade: e =

c 2 5 = = 5 a 2

1 a 2 1 ± .x = = Assíntotas: y = 2 (pois b 4 2 ).

AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

2.7 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS CENTRADAS Uma equação geral do segundo grau com três variáveis nos leva ao que chamamos de superfície quádrica:. a.x2+ b.y2+ c.z² + 2d.x.y + 2e.x.z + 2f.y.z + mx + ny+ pz + q = 0,

(2.6)

Na equação, pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é não nulo. Se a superfície quádrica dada pela equação for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção é uma cônica. Simplificar a equação geral das superfícies quádricas às suas formas mais simples (reduzidas) exige uma série de cálculos algébricos, que não vamos abordar nesta aula. Entretanto, temos uma família de cônicas que são representadas por algumas equações ditas canônicas (ou padrão), como os elipsoides e hiperboloides. Tais superfícies podem ainda ser chamadas de superfícies quádricas centradas. De outra forma, os paraboloides são exemplos de superfícies não centradas. Por uma mudança de coordenadas, a equação 2.6 pode ser reescrita em uma das seguintes formas: A.x² + B.y² + C.z² = D

(2.7)

 A.x ² + B. y ² + R.z = 0  (2.8) (2.8)  A.x ² + R. y + C.z ² = 0  R.x + B. y ² + C.z ² = 0  A equação 2.7 representa uma quádrica centrada, e as equações 2.8, quádricas não centradas. Segundo Camargo e Boulos (1987), se nenhum dos coeficientes da equação for nulo, podemos reescrevê-la sob uma das formas:

x2 y 2 z 2 ± ± = 1 (2.9) (2.9) a 2 b2 c2

Sendo cada uma delas exatamente a forma canônica ou forma padrão de uma superfície centrada. Os principais exemplos de superfícies quádricas centradas são o elipsoide, o hiperboloide de uma folha e o hiperboloide de duas folhas, apresentados respectivamente nas figuras a seguir.

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Figura 47 - A representação geométrica do elipsoide. Fonte: Steinbruch e Winterle (1987).

Figura 48 - A representação geométrica do hiperboloide de uma folha. Fonte: Steinbruch e Winterle (1987).

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Figura 49 - A representação geométrica do hiperboloide de duas folhas. Fonte: Steinbruch e Winterle (1987).

SUPERFÍCIE

DESCRIÇÃO

Elipsoide

É a superfície cuja equação canônica tem todos os coeficientes dos termos do primeiro membro positivos. Ou seja, em que a, b e c são números reais positivos e caracterizam as medidas dos semieixos do elipsoide.

Hiperboloide de Uma Folha

Quando a equação canônica de dois coeficientes dos termos do 1º membro são positivos e um é negativo.

Hiperboloide de Duas Folhas

Quando, na equação canônica, dois coeficientes dos termos do 1º membro são negativos e um é positivo.

Tabela 1 - Descrição das superfícies quádricas centradas e não centradas.

Fonte: Ferreira (2014).

Figura 50 - A representação geométrica do elipsoide. Fonte: Steinbruch e Winterle (1987).

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2.8 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS NÃO CENTRADAS Os exemplos típicos envolvendo as superfícies quádricas não centradas são os paraboloides, especificamente, o paraboloide elíptico e o paraboloide hiperbólico. Eles surgem a partir das equações:

 A.x ² + B. y ² + C.z = 0   A.x ² + R. y + C.z ² = 0 (2.10)(2.10)  R.x + B. y ² + C.z ² = 0  Segundo Camargo e Boulos (1987, p. 403), se nenhum dos coeficientes das equações for nulo, elas podem assumir uma das formas:

x2 y 2 x2 z 2 y2 z2 ± = cz ; ± ± = by ; ± ± = ax; (2.11) (2.10) a 2 b2 a2 c2 b2 c2

Veja uma rápida descrição com relação aos paraboloides. » » Paraboloide elíptico – quando, nas equações (2.11), os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais iguais, a equação caracteriza um paraboloide elíptico.

Figura 51 - A representação geométrica do paraboloide elíptico. Fonte: Steinbruch e Winterle (1987).

» » Paraboloide hiperbólico – quando, nas equações (2.11), os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais contrários, a equação representa um paraboloide hiperbólico.

AULA 2 - CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO

Figura 52 - A representação geométrica do paraboloide hiperbólico. Fonte: Steinbruch e Winterle (1987).

Uma superfície cônica é uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numa curva plana qualquer e passando sempre por um ponto dado não situado no plano dessa curva.

Figura 53 - Um exemplo de representação geométrica de uma superfície quádrica. Fonte: Ferreira (2014).

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CONCLUSÃO Nesta aula, você viu a descrição das curvas no plano e no espaço. Inicialmente, você conheceu as equações características e as propriedades relacionadas das retas e dos planos. Na sequência, foram apresentadas as cônicas, com seus elementos específicos e as descrições geométricas peculiares. Vimos analiticamente e geometricamente como descrever uma parábola, uma hipérbole e uma elipse. Por fim, apresentamos o tratamento algébrico e geométrico das quádricas centradas e das quádricas não centradas. Na próxima aula, você começará a estudar especificamente as ferramentas da Álgebra Linear.

AULA 3 Sistemas de Equações Lineares

INTRODUÇÃO Na Engenharia, os sistemas de equações lineares técnicas são uma poderosa ferramenta para a resolução de questões. Mais de 75% de todos os problemas matemáticos encontrados em aplicações científicas e industriais envolvem a resolução de um sistema linear em alguma etapa. Anton e Busby (2006) apontam que esses sistemas, com milhares ou até mesmo milhões de variáveis, são utilizados em diversos setores, como análise econômica, imagens de ressonância magnética, análise de fluxo de tráfego, previsão do tempo e formulação de decisões e estratégias comerciais.

OBJETIVOS » » Reconhecer sistemas de equações lineares, representando-os matricialmente. » » Classificar sistemas lineares quanto às soluções.

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» » Resolução de sistemas de equações lineares por redução de linhas. » » Aplicar a teoria dos sistemas de equações lineares em problemas de Engenharia.

3.1 EQUAÇÃO LINEAR: COEFICIENTES – VARIÁVEIS – TERMO INDEPENDENTE Segundo Dante (2011), uma equação linear é toda equação do tipo a1.x1+ a2.x2+ ...+ an.xn= b, em que a1, a2,..., an são números reais chamados coeficientes, b é um número real chamado termo independente e x1, x2, ..., xn são variáveis. Exemplo: São exemplos de equações lineares: a) 5.x1+ 2.x2 = – 2 b) x1– 3.x2 = 0 c) 4x + 2y = 7 d) 2 x1 + 3. x2– 3. x3= 5 e) 5x – 4y = 10

Uma equação linear é uma combinação linear das incógnitas x1, x2, ..., xn. Ela é do primeiro grau com relação a qualquer uma das incógnitas x1, x2, ..., xn.

Dizemos que a ênupla (α1, α2,..., αn) de números reais é solução da equação a1 .x1 + a2.x2 + ...+ an.xn = b, se para x1 = α1, x2 = α2, xn = αn a equação dada é verificada. Dessa forma, por exemplo, a tripla (3, 1, 7) é uma solução da equação 2.x1+ x2 – x3 = 0, pois 2.3 + 1 – 7 = 0.

Ênupla (também conhecida como n-upla) – é uma sequência ordenada de n elementos, que pode ser definida pela recursão do par ordenado.

De acordo com Dante (2011), uma equação linear é chamada homogênea quando o seu termo independente é zero. Assim, 2.x1+ x2+3.x3 = 0 é uma equação homogênea.

AULA 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Figura 54 - Elementos básicos de um sistema linear. Fonte: Ferreira (2014).

3.2 SISTEMA LINEAR Antes de definirmos propriamente um sistema linear, vejamos um exemplo bem simples do nosso dia a dia. Exemplo introdutório: Consideremos que um litro de álcool custa 60 centavos e um litro de gasolina custa 80 centavos. Se um litro de uma mistura de álcool e gasolina custa 75 centavos, quanto de álcool contém um litro de gasolina? Solução: Para encontramos a solução deste problema simples do nosso cotidiano, devemos chamar x e y como sendo as frações de álcool e gasolina, respectivamente, presentes na quantidade de um litro da referida mistura. Dessa forma, devemos ter:

x + y = 1  y = 1− x ⇒  60 x + 80 y = 75 60 x + 80 y = 75

(I ) ( II )

Daí, podemos substituir a equação (I) na equação (II). Observe que na equação (I) isolamos a variável x em função da variável y, obtendo: 60x + 80.( 1 – y )= 75 60x + 80 – 80y = 75 – 20x = – 5 x=

1 = 0,25 4

Logo, cada litro da mistura contém 0,25 litros de álcool. Recorremos a esse exemplo prático para mostrar o quanto são frequentes, em nosso dia a dia, os sistemas lineares envolvendo equações do primeiro grau, tais como as apresentadas nesse exemplo. Assim, para um estudo geral sobre os sistemas lineares com n equações e m incógnitas é necessário uma série de conceitos fundamentais e resultados associados, que serão apresentados nesta aula.

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Boldrini (1980) conceitua sistema linear como aquele formado por equações lineares. Assim, por exemplo,  x + x + x = 5 é um sistema linear nas incógnitas x1, x2, x3. 1

 2.x1 + 4.x 2 − x 3 = 1 3.x − x + 2.x = 0 2 3  1

De maneira geral, podemos representar um sistema linear de m equações nas incógnitas x1, x2,..., xn por:

em que os índices i e j do coeficiente aj indicam, respectivamente, a equação e a incógnita às quais ele está relacionado. Um sistema linear é dito homogêneo quando todas as suas equações são homogêneas. Assim, é um sistema linear homogêneo. x + y + z = 0

 2.x − y + 3.z = 0

Dizemos que a ênupla (α1, α2, ..., αn) de números reais é solução de um sistema linear nas incógnitas x1, x2, ..., xn, se para x1= α1, x2= α2, xn= αn, todas as equações do sistema são verificadas. Dessa forma, a dupla (1, 2) é solução do sistema: , pois 5 . 1 + 4 . 2 = 13 e 3 . 1 + 2 = 5.

3.2.1 Matrizes Associadas a um Sistema Linear Considere um sistema linear com m equações e n incógnitas:

a1 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a x + a x + ... + a x = b  21 1 212 2 2n n 2  ...  a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm Associamos a ele as seguintes matrizes: A =  a1

a  21  ...  a m1

a12 a2 ... a m2

... a1n  – matriz incompleta ... a 2 n  ... ...   ... a mn 

AULA 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

B =  a1

... a1n a  21 ... a 2 n  ... ... ...  a m1 ... a mn

b1  – matriz completa b2  ...   bm 

Figura 55 - Matrizes Associadas a um sistema linear. Fonte: Ferreira (2014).

Exemplo: Dados os sistemas lineares a seguir, escreva as suas matrizes incompleta e completa. a)  x + y = 7

 − 2 x + y − z = 4 x + y + z + t = 8 

 1 1 0 0   Matriz Incompleta: −2 1 −1 0    1 1 1 1   1 1 0 0 7   −2 1 −1 0 4   1 1 1 1 8 

Matriz Completa: 

1 1 −1 0  1 1 1 1   Matriz Incompleta:  1 1 −1 0 17  Matriz Completa:  1 1 1 1 2   

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3.3 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES Resolver um sistema é encontrar o seu conjunto-solução, ou seja, o conjunto formado por todas as soluções do sistema. Dois sistemas são chamados equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Dado um sistema linear, é possível, através de transformações elementares, transformá-lo em um sistema equivalente mais simples e daí obter o seu conjunto solução. As transformações elementares são as listadas a seguir. I Permutar entre si duas equações de um sistema linear.

2 x + y = 5  x − y = 2 e  são equivalentes.  x − y = 2 2 x + y = 5

II. Multiplicar ou dividir qualquer equação de um sistema linear por um número diferente de zero. são equivalentes. III. Multiplicar uma equação do sistema por um número diferente de zero e adicionar o resultado a outra equação.

2 x + y = 5 e  x − y = 2

são equivalentes.

Chamamos sistema escalonado aquele que apresenta a matriz completa na forma escalonada. Isto é, o número de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta linha por linha até que sobrem, eventualmente, linhas nulas. O sistema linear a seguir está na forma escalonada.

x + 3 y − z = 4  2 y + z = 2 3 z = 6  Note que o sistema linear anterior está na sua forma escalonada, na qual você pode facilmente encontrar a solução. No caso, z = 2, y = 0 e x = 6.

Figura 56 - Transformações elementares. Fonte: Ferreira (2014).

AULA 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Dado um sistema linear, iremos escaloná-lo através das transformações elementares e trabalhando, por comodidade, com a matriz completa do sistema.

3.4 CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES Um sistema linear pode ter uma única solução, infinitas ou nenhuma solução. Um sistema linear é: » » possível e determinado, quando tem uma única solução; » » possível e indeterminado, quando tem infinitas soluções; » » impossível, quando não tem solução.

Figura 57 - Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções. Fonte: Ferreira (2014).

Veja alguns exemplos de como escalonar e classificar um sistema linear. Exemplo: Resolva o sistema 2 x + 4 y = 8 .

 3 x + y = 7

Solução: A matriz completa associada ao sistema é dada por:

2 4 8 3 1 7   Por conveniência, divida por dois (isto é, multiplique por ½) a 1a equação, a fim de que o coeficiente da 1a incógnita seja igual a 1.

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

1 2 4  3 1 7    Agora, multiplique por (-3) à 1a equação e, adicionando-a a 2a equação, anule o coeficiente da 1a incógnita na 2a equação.

1 2 4  0 −5 −5   Esta é a matriz completa associada ao sistema linear do exemplo na forma escalonada, ou seja, o sistema dado pode ser escrito como:

x + 2 y = 4  0.x − 5 y = −5

(1) (2)

Em (2), temos y = 1, que, colocado em substituição em (1), resulta em x = 2. Portanto, o conjunto solução do sistema do exemplo é S = {(2, 1)}. Observe que o nosso sistema é possível e determinado, ou seja, só admite uma única solução. Exemplo: Resolva o sistema  x + 2 y = 1 .

 2 x + 4 y = 4

Solução: Aqui, a matriz completa é:

1 2 1  2 4 4   Multiplique por (-2) a 1a equação e some com a 2a equação, para anular o coeficiente da 1a incógnita na 2a equação. Temos:

1 2 1  0 0 2    Que é a matriz completa na sua forma escalonada. Assim, o sistema fica:

x + 2 y = 1  0.x + 0. y = 2

(1) (2)

Observe que a equação (2) nunca é verificada. Portanto, concluímos que o conjunto solução do sistema dado é S = ∅, ou seja, o nosso sistema não admite nenhuma solução. Exemplo: Resolva o sistema  x + y + z = 6

 2 x + 4 y + 4 z = 22 3 x + 2 y + z = 10 

AULA 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Solução: Neste caso, a matriz completa associada ao sistema é dada por:

1 1 1 6   2 4 4 22     3 2 1 10  Multiplicando, respectivamente, por (-2) e por (-3) a 1a equação e adicionando, respectivamente, a 2a e a 3a equações, temos:

1 1 1 6  0 2 2 10    0 −1 −2 −8 Agora, por comodidade, divida por 2 a 2a equação, a fim de que o coeficiente da 2a incógnita seja 1.

1 1 1 6  0 1 1 5    0 −1 −2 −8 Neste momento, multiplicando por 1 a 2a equação e somando a 3a equação, temos a matriz escalonada como segue:

1 1 1 6  0 1 1 5    0 0 −1 −3 Logo, na forma de sistema, podemos escrever:

x + y + z = 6  0 x + y + z = 5 30 x + 0 y − z = −3 

(1) (2) (3)

De (3) obtemos z = 3. Substituindo em (2) temos y = 2. Finalmente, em (1) vem x= 1. Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2, 3)}. Ou seja, o nosso sistema admite uma única solução, logo é classificado como possível e determinado.

x+ y =3 Exemplo: Resolva o sistema  

2 x + 2 y = 6

Solução: Aqui, a matriz completa é:

1 1 3 2 2 6   Multiplique por (-2) a 1a equação e adicione à 2a equação, obtendo:

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1 1 3  0 0 0    O sistema fica:

(1) x + y = 3  0.x + 0. y = 0 (2)

Observe que a equação (2) sempre é verificada. De (1), temos que: x + y = 3 ⇒ x = 3 - y. Concluímos que o sistema admite infinitas soluções. Ou seja, atribuindo para y um valor α qualquer, temos para x o valor 3 - α. Dizemos, nesse caso, que y é uma variável livre ou arbitrária. O conjunto solução é S = {(3 - α, α)}. Chamamos de característica (ou posto, ou rank) de uma matriz, indicado por q, o número de linhas não nulas que ela possui na sua forma escalonada. Assim, por exemplo, dada a matriz 1 2 1 ,

 2 3 5   3 5 6

temos que sua característica q é igual a 2, ou seja, q = 2.

3.5 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Considere um sistema linear de m equações com n incógnitas. As matrizes incompleta e completa desse sistema possuem, em cada linha, n e n + 1 elementos. Sendo qi e qc, respectivamente, as características da matriz incompleta e da completa escalonada, temos as três seguintes conclusões: » » qi < qc: sistema impossível; » » qi = qc= n: sistema possível e determinado; » » qi = qc < n: sistema possível e indeterminado. Segundo Dante (2011), essas conclusões são conhecidas como Teorema de Rouché-Capelli.

AULA 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Figura 58 - Discussão de um sistema linear – Teorema de Rouché-Capelli. Fonte: Ferreira (2014).

Exemplo: Discuta, em função de k, o sistema  x + y = 2

 3 x + 4 y = k

Solução: Inicialmente, note que a matriz incompleta é dada por:

1 1  3 4  

Matriz Incompleta

Além disso, a matriz completa é:

1 1 2  3 4 k   Matriz completa

Multiplicando por (-3) a 1a linha e adicionando à 2a linha, vem que:

2  1 1 0 1 k − 6    Observe que, para qualquer valor de k, a característica da matriz incompleta é qi = 2 e da matriz completa é qc = 2. Como o número de incógnitas é n = 2, então qi = qc = n, para todo k. Logo o sistema é possível e determinado.

3.6 REGRA DE CRAMER Conforme Dante (2011), se em um sistema linear de m equações com n incógnitas o determinante D da matriz incompleta for diferente de zero, então o sistema é possível e determinado. Suas incógnitas x1, x2, ..., xn são dadas por: x1=

D D1 D , x2= 2 ,..., xn= n D D D 69

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

em que D1, D2, ..., Dn são os determinantes obtidos ao substituirmos, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x1, x2, ..., xn, respectivamente, pela coluna dos termos independentes.

Figura 59 - Classificação de um sistema linear quanto à Regra de Cramer. Fonte: Ferreira (2014).

Essa regra é conhecida como Regra de Cramer devido ao matemático Gabriel Cramer (1704-1752), que a publicou em 1750.

Exemplo: Resolver, pela Regra de Cramer, o sistema

Solução:

AULA 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Logo:

Portanto, o sistema é possível e determinado, já que admite uma única solução, que é x = 62, y = 45 e z = 29. Ou seja, o seu conjunto solução é S = {62, 45, 29)}. Exemplo: Determine o valor de a para que o sistema: , seja possível e determinado

Solução: Para que o sistema seja possível e determinado, devemos ter D ≠ 0, ou seja:

Isto é: -6a - 5 ≠ 0 6a ≠ - 5

Logo, para que o sistema seja possível e determinado, deveremos ter a ≠

−5 . 6

3.7 SISTEMAS HOMOGÊNEOS Inicialmente, note que todo sistema linear homogêneo a n incógnitas admite, pelo menos, uma solução, que é a ênupla (0,0, ...0). Ela é denominada solução trivial (solução nula ou solução imprópria). Dessa forma, um sistema linear homogêneo só pode ser classificado em: » » sistema determinado – tem apenas a solução trivial (ou solução nula); ou » » sistema indeterminado – tem a solução trivial e outras soluções, denominadas soluções próprias. No caso de um sistema linear homogêneo S de n equações a n incógnitas, sendo D o determinante da matriz incompleta, temos:

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

» » D ≠ 0 ⇔ S é possível e determinado; » » D = 0 ⇔ S é possível e indeterminado

Figura 60 - Classificação de um sistema linear homogêneo. Fonte: Ferreira (2014).

Exemplo: Resolva o sistema:

Solução: Nesse caso, temos que:

Se D ≠ 0 e o sistema é homogêneo, então a única solução do sistema é a trivial, ou seja, S = {(0, 0, 0)} Exemplo: Discuta o sistema:

Em termos do parâmetro a. Solução: Primeiramente, determine o valor do determinante D:

Portanto: a³ + 1 ≠ 0 => a³ ≠ - 1 => a ≠ -1 ⇒ o sistema é possível e determinado. a³ + 1 = 0 => a³ = - 1 => a = -1 ⇒ o sistema é possível e indeterminado.

AULA 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

3.8 APLICAÇÕES ENVOLVENDO OS SISTEMAS LINEARES Vários problemas nas mais diversas áreas são resolvidos através da teoria dos sistemas lineares. Por exemplo, o sistema usado em navios, celulares e automóveis para determinar sua localização precisa através de um sistema de satélites terrestres é denominado GPS (das iniciais de Global Positioning System, em inglês). Esses satélites se movem em seis planos orbitais que foram escolhidos de tal maneira que, de cada ponto da Terra, sejam visíveis de cinco a oito satélites. Esses pontos são encontrados a partir da resolução de um sistema de variáveis com muitas equações e incógnitas. Outro problema importante em outras aplicações é encontrar um polinômio, chamado polinômio interpolador, cujo gráfico passa por uma coleção de pontos especificados no plano. Na verdade, ele é um polinômio linear encontrado a partir da resolução de um sistema linear 2 x 2. Outra maneira de aplicarmos a teoria envolvendo as equações e inequações lineares e os sistemas lineares está nos problemas de otimização relacionados à Pesquisa Operacional. Trata-se de uma metodologia administrativa para a tomada de decisão, mais especificamente em problemas de programação linear, tais como racionalização da produção, problemas de transportes e localização industrial. Veja uma aplicação detalhada sobre a aplicabilidade dos sistemas lineares. Exemplo: Dante (2011) expõe o uso dos sistemas lineares no estudo das equações químicas. O número de átomos dos elementos em cada um dos lados da equação deve ser idêntico, ou seja, a equação deve estar balanceada. Para realizar esse balanceamento, é necessário colocar um número, chamado coeficiente estequiométrico, antecedendo os símbolos.

Os coeficientes usados no balanceamento de uma equação química devem ser sempre os menores números inteiros possíveis. Não podemos, por exemplo, imaginar ½ molécula de algum elemento químico.

Veja detalhadamente o balanceamento da água. Considere a equação H2 + O2 → H2O Ela não está balanceada. Observe que a quantidade de oxigênio em ambos os lados da equação não é a mesma. Assim, se os coeficientes estequiométricos forem respectivamente x, y e z, temos que: xH2 + yO2 → zH2O, Ou seja, temos o sistema linear associado:

2 x = 2 z  2 y = z Que é, na verdade, um sistema possível e indeterminado, por admitir mais de uma solução (x, y, z). Nesse caso, o que nos interessa é a menor solução inteira. A solução geral desse sistema é 73

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

(2α, α, 2α), portanto, temos a menor solução inteira para α = 1. Assim, x = 2, y = 1 e z = 2, e a equação balanceada é: 2H2 + O2 → 2H2O Exemplo: A AFA consultoria é uma empresa que presta serviços na área de engenharia civil. Comumente, ela possui três tipos de contentores, aqui designados por I, II, e III, que carregam cargas em três tipos de recipientes, chamados de A, B e C. O número de recipientes por contentor é dado pelo quadro a seguir. TIPO DE RECIPIENTE I II III

A 4 4 2

B 3 2 2

C 4 3 2

Tabela 1 - Dados do exemplo.

Fonte: Ferreira (2014).

Dessa forma, quantos contentores de cada tipo são necessários se a AFA necessita transportar 38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C? Solução: De acordo com o enunciado, temos um problema que pode ser solucionado mediante a resolução de um sistema linear do tipo 3 x 3, ou seja, com três equações e três incógnitas. Dessa maneira, vamos chamar: x1: a quantidade de contentores do tipo I x2: a quantidade de contentores do tipo II x3: a quantidade de contentores do tipo IIII Logo, temos o sistema linear associado:

4 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 38  3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 24 2 x + 2 x + 2 x = 32 2 3  1 Pela Regra de Cramer, podemos perceber que o sistema é possível e determinado, já que a matriz A =  4 4 2  tem determinante | A | = 2, diferente de zero. Além disso, escalonando a matriz

   3 2 2  2 2 2  

completa ao sistema, obtemos:

 4 4 2 38   4 4 2 38   1 2 2 19   1 2 2 19           3 2 2 24  →  2 2 3 24  →  0 −2 −1 −14  →  0 −1 −2 −14   2 2 2 32   2 3 4 32   0 −1 0 −6   0 0 −1 −6          O que nos leva à solução: x1 = 2

AULA 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

x2 = 6 x3 = 3 Portanto, para que a AFA transporte 38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C, são necessários dois contentores do tipo I, seis do tipo II e três do tipo III. Exemplo: Uma firma comercial tem 40 unidades de mercadoria do depósito D1 e 50 unidades no depósito D2. Devem ser enviadas 30 unidades ao cliente A e 40 unidades ao cliente B (DANTE, 2011). Os gastos de transporte por unidade de mercadoria estão indicados na figura a seguir. De que maneira essas mercadorias devem ser enviadas para que o gasto com transporte seja mínimo?

Figura 61 - Os dados do exemplo – fluxograma da malha de distribuição. Fonte: Ferreira (2014).

Solução: Antes de resolver tal problema, tenha em mente que o problema dos transportes é uma técnica muito utilizada dentro da Engenharia, que denominamos de Pesquisa Operacional (PO). Ela é definida como uma metodologia administrativa voltada para a tomada de decisão de forma confiável, amplamente utilizada por empresas de grande, médio ou pequeno porte. Tal abordagem se enquadra no que chamamos de formulação de modelos de programação linear, em que um modelo matemático descreve o que acontece em uma dada situação real. Para resolver o problema, primeiramente levante as variáveis de decisão, que são as quantidades a serem encontradas como solução da situação em questão. Nesse caso, considere x a quantidade que devemos enviar ao cliente A do depósito D1 e y a quantidade que se deve enviar ao cliente B do mesmo depósito. Assim, (30 – x) será a quantidade que devemos enviar ao cliente A do depósito D2, e (40 – y) ao cliente B do depósito D2. Logo, os parâmetros que contemplam a formulação do modelo de programação linear são: » » função objetivo: descreve matematicamente o objetivo do modelo em questão. No nosso caso, temos uma função de minimização, e então escrevemos: G (gasto do transporte total): G = 10x + 14y + 12.(30 – x) + 15.(40 – y) = 960 – 2x – y » » restrições: são divididas em restrições de não negatividade (variáveis não negativas) e restrições técnicas, que são as regulamentações específicas que a situação real nos apresenta. No problema exposto, você deve respeitar as quantidades ofertadas dos depósitos e as quantidades demandadas pelos clientes, ou seja:

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x ≥ 0, y ≥ 0 (são as unidades de mercadoria) x ≤ 30, x ≤ 40 x + y ≤ 40 (em D1 existem somente 40 unidades) (30 – x) + (40 – y) ≤ 50 (ou, de modo equivalente, x + y ≥ 20, já que em D2 existem somente 50 unidades). A solução gráfica para tal problema, em que montamos as equações lineares associadas às inequações lineares, é apresentada na figura a seguir. Tal procedimento é dito solução gráfica do modelo de programação linear que descreve a nossa situação.

Figura 62 - Solução gráfica do nosso problema. Fonte: Ferreira (2014).

As coordenadas dos vértices do polígono formado são (0, 20), (0, 40), (20, 0), (30, 0), (30, 10). Agora, devemos caracterizar os valores da função objetivo em cada vértice. Considere o quadro a seguir. VÉRTICE (0, 20) (0, 40) (20, 0) (30, 0) (30, 10)

VALOR DO GASTO G = 960 – 2X – Y 960 – 2.0 – 20 = 940 ← máximo 960 – 2.0 – 40 = 920 960 – 2.20 – 0 = 920 960 – 2.30 – 0 = 900 960 – 2.30 – 10 = 890 ← mínimo Tabela 2 - Valor da função objetivo nos vértices correspondentes.

Fonte: Ferreira (2014).

Dessa forma, concluímos que a solução ótima (melhor solução) para o nosso problema dos transportes é (x , y) = (30, 10). Logo, 30 – x = 0 e 40 – y = 30. Em outras palavras, o gasto mínimo será obtido enviando 30 unidades de mercadoria de D1 a A, 10 de D1 a B, 30 de D2 a B e nenhuma de D2 a A.

AULA 3 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

CONCLUSÃO Nesta aula, você viu os conceitos fundamentais para a descrição da teoria envolvendo os sistemas lineares. Você verificou nas entrelinhas a resolução dos sistemas lineares com relação ao número de soluções e pela Regra de Cramer. É importante ressaltar que os sistemas lineares são amplamente utilizados não só na Engenharia, mas também na Economia, Biologia, entre outras áreas. Na Aula 4, você conhecerá a estrutura de espaço vetorial, suas principais propriedades e os resultados relacionados.

AULA 4 Espaços Vetoriais Reais

INTRODUÇÃO Quando os problemas se tornam mais complexos, temos de criar novas teorias mais avançadas. Quando falamos em conjuntos, em algumas situações específicas, novas estruturas mais complexas são necessárias. Assim, surge uma das principais bases da Álgebra Linear, a noção de espaço vetorial. O primeiro ônibus espacial americano, o US Columbia, partiu de sua plataforma de lançamento em 1981, após dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento. Ele foi uma vitória da engenharia de controle de sistemas. Esses sistemas são parâmetros de grande importância para o voo. Matematicamente, os sinais de entrada e saída de um sistema de engenharia são funções, que podem ser somadas e multiplicadas e, portanto, estudadas como um espaço vetorial. Nesta aula, você conhecerá a definição formal, as principais propriedades e os resultados associados aos espaços vetoriais.

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

OBJETIVOS » » Reconhecer estrutura de espaço vetorial em conjuntos munidos de operação entre vetores e com escalares reais. » » Reconhecer subespaços de espaços vetoriais. » » Definir combinação linear, classificando conjuntos de vetores em Linearmente Dependentes ou Linearmente Independentes.

4.1 ESPAÇOS VETORIAIS A nossa visualização geométrica não se expande além do espaço em três dimensões. Mas, segundo Anton e Rorres (2006), é possível estender muitas das ideias familiares além desse espaço, trabalhando não com o contexto geométrico de pontos e vetores, mas com suas propriedades numéricas e algébricas. A descrição precisa desse aparato é feita a partir da noção de espaço vetorial, estrutura que constitui o estudo central da Álgebra Linear. Calliolli, Domingues e Costa (1990) definem que um conjunto V ≠ ∅ é um espaço vetorial sobre quando, e somente quando: I – existe uma adição (u, v) u + v em V, com as seguintes propriedades: a) u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V; b) (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ v; c) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u, ∀ u ∈ V; d) existe (– u) ∈ V tal que u + (– u) = 0, ∀ u ∈ V. II – está definida uma multiplicação de IR x V em V, o que significa que, para cada par de termos (α, u) em IR x V, está associado um único elemento em V que indicamos por α⋅u. Para quaisquer que sejam u, v ∈ V e α, β ∈ IR, essa multiplicação satisfaz as seguintes propriedades: a) (αβ).u = α(β.u); b) (α + β).u = α.u + β.u; c) α.(u + v) = α.u + α.v; d) 1.u = u.

Cada elemento de um espaço vetorial recebe o nome de vetor. Trabalharemos com espaços vetoriais dos mais variados tipos, como de matrizes, polinômios, funções etc.

AULA 4 - ESPAÇOS VETORIAIS REAIS

Figura 54 - Descrição algébrica de um espaço vetorial. Fonte: Ferreira (2014).

Para mostrar que um dado conjunto é um espaço vetorial, você deve provar que ele satisfaz as oito propriedades descritas anteriormente. Tais propriedades são conhecidas como os Axiomas de Espaço Vetorial.

É interessante salientar que grande parte dos espaços que já trabalhamos são espaços vetoriais. Existem, porém, vários outros que não são tão familiares para nós, que também possuem a estrutura de espaço vetorial. Veja alguns exemplos. 1) O espaço vetorial dos números reais IR – para tal, basta considerar que a adição de números reais e o produto de um número real por outro é também um número real. Ou seja, aqui claramente ambas as operações satisfazem as propriedades que caracterizam um espaço vetorial. Portanto, IR é um espaço vetorial sobre IR. 2) O conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentos orientados (como discutidos na Aula 1) é um espaço vetorial sobre IR. 3) O conjunto Mmxn (IR) das matrizes do tipo m x n com entradas reais é um espaço vetorial sobre IR. Basta considerar a operação usual de matrizes e a operação usual de multiplicação de um escalar por uma matriz. 4) O espaço IRn – aqui, tomando uma ênupla de números, que é uma sequência finita de n números reais que indicamos por (a1, a2,..., an). O conjunto de todas as ênuplas de números reais é denotado por IRn. O IRn pode ser visto como um espaço vetorial, desde que definamos a adição e multiplicação da seguinte maneira:

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

(a1 , a2 ,..., an ) + (b1 , b2 ,..., bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ,..., an + bn) α.(a1 , a2 ,..., an ) = (α a1 , α a2 ,..., α an ) Em particular, se n = 2, temos o plano bidimensional euclidiano IR2. Se n = 3, temos o espaço tridimensional euclidiano IR3. Ambos são bastante conhecidos por nós.

Em IRn , salientamos que 0 = (0, 0, ..., 0) é o elemento neutro da adição, e se tivermos u = (a1 , a2 ,..., an ), então – u = (-a1 , -a2 ,..., -an ) é o inverso aditivo.

5) O espaço Pn(IR) – seja n ≥ 0 um número natural. Pn(IR) é o conjunto dos polinômios reais de grau ≤ n mais o polinômio nulo. Aqui, definimos as duas operações como seguem: (a) f(t), g(t) ∈ Pn(IR) → f(t) + g(t) ∈ Pn(IR) (b) α ∈ IR , f(t) ∈ Pn(IR) → α .f(t) ∈ Pn(IR) 6) Seja X um conjunto qualquer diferente do vazio. F(X, R) é o conjunto das funções reais f, g : X → IR. Definindo neste conjunto as operações: (i) (f + g)(x) = f(x) + g(x) (ii) (αf) (x) = αf (x) O conjunto F(X, R) é um espaço vetorial sobre IR. 7) O conjunto dos números racionais, com as operações usuais de adição e multiplicação, é também um espaço vetorial sobre IR.

4.2 PROPRIEDADES IMEDIATAS DOS ESPAÇOS VETORIAIS Considere V um espaço vetorial sobre IR. Veja a seguir algumas propriedades que são consequências imediatas da definição de espaço vetorial, ressaltando que não será de nosso interesse demonstrá-las.

AULA 4 - ESPAÇOS VETORIAIS REAIS

Você pode encontrar maiores detalhes sobre as demonstrações das propriedades no livro “Álgebra Linear e Aplicações”, de Carlos A. Callioli, Hygino H. Domingues e Roberto C. F. Costa

a) Para todo α ∈ IR, α . 0 = 0. b) Para todo u ∈ V , 0.u = 0. c) Uma igualdade α . u = 0, com α ∈ IR e u ∈ V, só é possível se α = 0 ou u = 0. d) Para todo α ∈ IR e todo u de V, (–α).u = α.(– u). = –(α.u). e) Quaisquer que sejam α, β ∈ IR e u em V, (α - β).u = α.u – β.u. f) Quaisquer que sejam α ∈ IR, u e v em V, α.(u – v) = α.u – α.v. g) Para cada u em V, temos que – (– u) = u. h) Se u, v e w ∈ V e u + v = u + w, então v = w, ou seja, é válida a lei do cancelamento da adição.

O vetor nulo de um espaço é único, ou seja, o elemento neutro da adição é único. Além disso, para cada vetor u de um espaço vetorial V existe um único vetor (– u), oposto de u.

4.3 SUBESPAÇOS VETORIAIS Na teoria dos conjuntos, existem subconjuntos de um conjunto. De forma análoga, aqui podemos falar em subespaço de um espaço vetorial. De acordo com Calliolli, Domingues e Costa (1990), se V é um espaço vetorial V sobre IR, um subespaço vetorial de V é um subconjunto W ⊂ V, tal que: a) 0 ∈ W. b) ∀ u, v ∈ W, u + v ∈ W. c) ∀ α ∈ IR e ∀ u ∈ W, α.u ∈ W.

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Se W é um subespaço vetorial de V, então W também é um espaço vetorial sobre IR.

Figura 55 - Relação entre espaço e subespaço vetorial. Fonte: Ferreira (2014).

4.3.1 Somas de Subespaços Considere U e V subespaços vetoriais de um espaço vetorial W. De acordo com Calliolli, Domingues e Costa (1990), chamamos de soma de U com V, denotado por U + V, o subconjunto de W: U + V = {u + v / u ∈ U e v ∈ V}.

Observe que U + V = V + U e que U + {0} = U, para todos os subespaços U e V de W.

AULA 4 - ESPAÇOS VETORIAIS REAIS

Além disso, considerando U e V subespaços vetoriais de W tais que U ∩ V = {0}, dizemos que U + V é soma direta dos subespaços U e V e denotamos por U ⊕ V. Tais definições são importantes para o detalhamento do contexto de base, da dimensão, das transformações lineares, dos operadores lineares e da diagonalização de operadores. A seguir, enunciamos dois resultados referentes às definições anteriores. Proposição 1: “Se U e V são subespaços vetoriais de W, então U + V também é um subespaço vetorial de W.” (CALLIOLI; DOMINGUES; COSTA, 1990, p. 56). Proposição 2: “Sejam U e V subespaços vetoriais de um espaço vetorial W. Então W = U ⊕ V se, e somente se, cada vetor w W admite uma única decomposição w = u + v, com u ∈ U e v ∈ V.” (CALLIOLI; DOMINGUES; COSTA, 1990, p. 56). Exemplo: O espaço vetorial IR3 é soma direta dos subespaços: U = {(x, 0, 0) ∈ IR3 / x ∈ IR} e V = {(0, y, z) ∈ IR3 / y, z ∈ IR} Inicialmente, devemos notar que U e V correspondem ao eixo dos x e ao plano YZ, respectivamente. Além disso, temos que U ∩ V ={(0, 0, 0)}. De outro modo, se pegarmos um elemento qualquer (x, y, z) em IR3, temos que: (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, z) ∈ U + V.

Figura 56 - Exemplos de subespaços. Fonte: Ferreira (2014).

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4.4 COMBINAÇÕES LINEARES Segundo Boldrini e Figueiredo (1980), se considerarmos os vetores v1, v2,..., vn de um espaço vetorial V com a1, a2,..., an ∈ IR, então o vetor: v = a1 .v1 + a2 .v2 + ... + an .vn pertencente a V é denominado combinação linear de v1, v2,..., vn. Por exemplo, o vetor v = (1, 2) é combinação linear dos vetores (1, 0) e (0, 1), já que: v = (1, 2) = 1.(1, 0) + 2.(0, 1) Além disso, quando escrevemos z = 2x + 3y, estamos escrevendo a incógnita z como combinação linear das incógnitas x e y. Agora, trabalharemos em um contexto mais geral. Para tal, considere V um espaço vetorial sobre IR. Tome um subconjunto S = {u1, u2,..., un} ⊂ V, indicado por [S]: [S] = {α1 u1 + α2 u2 +...+ αn un / α1,α2, ...,αn ∈ IR} Temos que [S] é um subespaço vetorial de V. De acordo com Calliolli, Domingues e Costa (1990), o subespaço [S] que acabamos de montar é denominado subespaço gerado por S. Cada elemento de [S] é uma combinação linear de S ou combinação linear de u1, u2,..., un.

Às vezes você pode encontrar a notação [u1, u2,..., un] para o subespaço gerado pelos vetores u1, u2,..., un. Dizemos também que u1, u2,..., un geram [S], ou então que são um sistema de geradores de [S].>

4.5 ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS Observe o conjunto do espaço tridimensional IR3: S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} Como para todo (a, b, c) ∈ IR3, vale a igualdade: (a, b, c) = a.(1, 0, 0) + b.(0, 1, 0) + c.(0, 0, 1) Falamos que os vetores do conjunto S geram o espaço IR3. Nesse sentido, você poderia indagar: esse conjunto que gera o IR3 é único? A resposta é não, já que muitos outros subconjuntos finitos do IR3 (com três elementos) possuem essa propriedade de gerar o espaço em questão. Assim, segundo Callioli, Domingues e Costa (1990), dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe S ⊂ V tal que V = [S].

AULA 4 - ESPAÇOS VETORIAIS REAIS

Exemplos: 1) O espaço vetorial dos vetores da geometria definidos por segmentos orientados é finitamente

 



gerado. Afinal, considerando a terna canônica { i, j , k }, para qualquer vetor u ∈ V, existem



números reais a, b e c. Assim, u = a.i + b. j + c.k . 2) Se 0 indica o vetor nulo de um espaço vetorial qualquer, então V = {0} é finitamente gerado, já que tomando S = {0}, temos a validade V = [S]. 3) O espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais M2x2(IR) é finitamente

1 0 0 1 0 0 0 0 , , ,  } gera M2x2(IR), pois para quaisquer 0 0 0 0 1 0 0 1

gerado. O conjunto S = { 

a, b, c, d reais temos que:

a b 1 0 0 1 0 0 0 0   = a.   + b.   + c.   + d .  c d 0 0 0 0 1 0 0 1 4) O espaço euclidiano n-dimensional IRn é finitamente gerado. De fato, se considerarmos o conjunto S = {(1, 0,0, ..., 0), (0, 1,0, ..., 0), (0, 0,1, ..., 0), ..., (0, 0,0, ..., 1)}, ele gera o espaço IRn. Note que o conjunto S é formado por n elementos.

Figura 57 - Exemplos clássicos de espaços finitamente gerados Fonte: Ferreira (2014).

4.6 DEPENDÊNCIA LINEAR Considere V um espaço vetorial sobre IR. Callioli, Domingues e Costa (1990) afirmam que um conjunto L = {u1, u2,..., un} ⊂ V é linearmente independente (LI) se, e somente se, houver uma igualdade do tipo: α1 u1 + α2 u2 +...+ αn un = 0

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Com α1, α2, ..., αn ∈ IR implicando que todos os escalares sejam nulos, ou seja, que α1 = α2 = ...= = αn = 0. De outro modo, dizemos que L = {u1, u2,..., un} V é linearmente dependente (LD) se, e somente se, L não é LI, ou seja, é possível uma igualdade do tipo: α1 u1 + α2 u2 +...+ αn un = 0 Sem que os escalares α1, α2, ..., αn ∈ IR sejam todos iguais ao número zero.

Figura 58 - Tipos de dependência linear. Fonte: Ferreira (2014).

CONCLUSÃO Nesta aula, introduzimos uma importante estrutura que nasceu da noção de conjunto – o espaço vetorial – elemento básico de estudo da Álgebra Linear. Discutimos de forma detalhada suas principais propriedades relacionadas e os teoremas associados e caracterizamos também os subespaços vetoriais, subespaços gerados e o tipo de dependência linear que um dado conjunto pode apresentar. Na aula seguinte, continuaremos os estudos falando em base e dimensão.

AULA 5 Base e Dimensão de Espaços Vetoriais

INTRODUÇÃO Nesta aula, você saberá como encontrar, dentro de um espaço vetorial V, um conjunto finito de vetores, de forma que qualquer outro vetor de V seja escrito como uma combinação linear deles. É isso que constitui os alicerces de nosso espaço vetorial em questão. Em resumo, é uma continuação direta da aula anterior, quando introduzimos a dependência linear entre vetores. Segundo Anton e Rorres (2006), as noções de dimensão e estrutura no espaço n-dimensional tornam possível a visualização e interpretação de dados utilizando objetos geométricos familiares. Praticamente todas as aplicações envolvendo a Álgebra Linear utilizam essas ideias de alguma forma.

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

OBJETIVOS » » Conhecer a estrutura de espaços vetoriais finitamente gerados. » » Determinar bases e dimensão de subespaços finitamente gerados.

5.1 BASE DE UM ESPAÇO FINITAMENTE GERADO Segundo Callioli, Domingues e Costa (1990), considerando V um espaço vetorial finitamente gerado, uma base de V é um subconjunto finito B ⊂ V para a qual as seguintes condições são satisfeitas: a) o conjunto B gera o espaço V ou, ainda, qualquer elemento v∈V se escreve como combinação linear dos elementos de B, isto é, [B] = V; b) B é LI: se B = {v1, v2, ..., vn} ⊂ V e se α1u1+ α2u2 +...+αnun = 0 com α1, α2, ..., αn ∈V, então α1= α2= ...= αn= 0. Ou seja, neste caso temos uma única solução para os escalares, isto é, todos sendo nulos.

B gera V

B é uma base para V

B é LI

Figura 59 - Base de um espaço vetorial. Fonte: Ferreira (2014).

Veja alguns exemplos ilustrativos. 1) O conjunto B = {(1, 0), (0, 1)} é uma base para o plano euclidiano bidimensional R2, já que B é linearmente independente, como você viu na aula 4. Além disso, podemos perceber claramente que, para qualquer vetor (x, y) ∈R2, temos que: (x, y) = x.(1, 0) + y. (0, 1) Ou seja, qualquer elemento de V se escreve como combinação linear dos elementos de B. Também é possível dizer que B gera V. Em particular, temos que o vetor v = (1, -2) se escreve como combinação linear dos vetores de B, já que podemos escrever (1, -2) = 1.(1, 0) + (-2).(0, 1). 2) O conjunto B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base para o espaço euclidiano tridimensional B3. Para justificarmos tal afirmação, utilizamos um raciocínio similar ao do exemplo anterior.

AULA 5 - BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇOS VETORIAIS

3) Generalizando de forma similar, percebemos que o conjunto B = {(1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ...,0, 1)} é uma base para o espaço euclidiano n-dimensional Rn. Observe mais uma vez que o conjunto B possui n elementos, cada um com n coordenadas. Assim, por exemplo, no espaço tridimensional euclidiano R³, o vetor (2, 3, 1) se escreve como combinação linear de (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), já que (2, 3, 1) = 2.(1, 0, 0) + 3.(0, 1, 0) +1.(0, 0, 1). 4) O conjunto B formado pelas m.n matrizes reais: B =  1

  0  0  0   0

0 ... 0 0   0   0 ... 0 0   0 0 ... 0 0  ,  0   0 ... 0 0   0 0 ... 0 0   0

1 ... 0 0  0   0 ... 0 0  0 0 ... 0 0  ,...,  0   0 ... 0 0  0 0 0 ... 0 0  

0 ... 0 0    0 ... 0 0    0 ... 0 0    0 ... 0 0    0 ... 0 1  

é uma base do espaço das matrizes do tipo m x n com entradas reais Mmxn (R) 5) Os (n + 1) polinômios 1, t, t², ..., tn formam uma base para o espaço dos polinômios reais de grau ≤ n mais o polinômio nulo, Pn (R), já que: a) dado f ∈ Pn (R) , existem de forma única a0, a1, a2,..., an ∈R de modo que podemos escrever: f(t) = a0+ a1.t + a2.t² + ... + an.tn, para todo t ∈R, que surge diretamente da própria definição de polinômio; b) se tivermos a0+ a1.t + a2.t² + ... + an.tn = 0, para todo t ∈R, então temos que a0= a1= a2= ... = an= 0. Isso ocorre devido à igualdade entre polinômios, ressaltando que 0, neste caso, representan o polinômio identicamente nulo. As bases explicadas nos exemplos anteriores são chamadas de bases canônicas, por conta de suas facilidades e naturalidades para a sua montagem em cada espaço relacionado. Cada um desses espaços possuem outras bases, como você verá mais adiante. Por exemplo, o conjunto B1 = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, -1, 1)} é também uma base para R³, já que ele é LI e gera o espaço em questão. Além disso, o conjunto B2 = {1, 1 – t, (1 – t)², ..., (1-t)n-1, (1-t)n} é também uma base para o espaço dos polinômios de grau ≤ n, juntamente com o polinômio nulo. Teorema: Todo espaço vetorial finitamente gerado admite uma base.

Não vamos detalhar a demonstração do teorema. Você pode conferir mais informações no livro “Álgebra Linear e Aplicações”, de Carlos A. Callioli, Hygino H. Domingues e Roberto C. F. Costa.

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5.2 DIMENSÃO Se V é um espaço vetorial finitamente gerado, o número de vetores de qualquer uma de suas bases é denominado dimensão de V, representado por dim V. Neste caso, também falamos que o espaço vetorial V é de dimensão finita. Dizemos então que V tem dimensão n, ou seja, dim V = n. Se V é um espaço vetorial finitamente gerado, então duas bases quaisquer de V possuem o mesmo número de vetores. Por exemplo, vimos que os conjuntos B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B¹ = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, -1, 1)} são duas bases para o espaço IR³. Observe que ambas as bases possuem três elementos.

Assim, podemos dizer que: » » o plano euclidiano bidimensional IR² é de dimensão finita. No caso, dim IR² = 2; » » o espaço euclidiano tridimensional IR³ é de dimensão finita. No caso, dim IR³ = 3; » » o espaço euclidiano n-dimensional IRn possui dimensão n; » » o espaço vetorial das matrizes m x n com entradas reais Mmxn (IR) tem dimensão m.n; » » o espaço vetorial Pn (IR) dos polinômios de grau ≤ n mais o polinômio nulo têm dimensão n + 1.

B gera V

B é uma base para V

B é LI

Figura 60 - Dimensão de um espaço vetorial. Fonte: Ferreira (2014).

Agora que você já sabe interpretar a dimensão de um dado espaço vetorial, veja algumas proposições importantes. 1) Teorema do Completamento: considere V um espaço vetorial de dimensão n ≥ 1. Se {u1, u2,..., ur}⊂ V é um subconjunto LI com r vetores, e r < n, então existem (n – r) vetores ur+1, ur+2,..., un∈V. Assim, B = {u1, u2,..., ur, ur+1, ur+2,..., un} é uma base de V. 92

AULA 5 - BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇOS VETORIAIS

2) Todo subespaço vetorial de um espaço vetorial finitamente gerado é também finitamente gerado. 3) Considere W um subespaço vetorial de V. Se dim W = dim V, então W = V.

Você se lembra dos estudos sobre sistemas lineares da aula 3? Quando quiser caracterizar o conjunto solução de um sistema linear, você pode associar uma base ao espaço solução.

Exemplo: Encontre a dimensão e uma base do espaço das soluções W do sistema linear homogêneo a seguir:

 x + 2 y + 2 z − s + 3t = 0   x + 2 y + 3z + s + t = 0 3 x + 6 y + 8 z + s + 5t = 0  Solução: Note que o nosso sistema possui três equações e cinco incógnitas. Através das operações elementares vistas na aula 3, você pode encontrar um sistema equivalente ao sistema dado na sua forma escalonada, como segue:

 x + 2 y + 2 z − s + 3t = 0  x + 2 y + 2 z − s + 3t = 0  x + 2 y + 2 z − s + 3t = 0   ~  z + 2 s − 2t = 0 ~   x + 2 y + 3z + s + t = 0  z + 2 s − 2t = 0 3 x + 6 y + 8 z + s + 5t = 0 2 z + 4 s − 4t = 0   Daí, observamos que o sistema na sua forma escalonada tem duas equações não nulas em cinco incógnitas. Para obter uma base de W: i) y = 1, s = 0 e t = 0, obtendo a solução (-2, 1, 0, 0, 0); ii) y = 0, s = 1, t = 0, obtendo (5, 0, -2, 1, 0); iii) y = 0, s = 0 e t = 1, obtendo (-7, 0, 2, 0, 1). Ou seja, o conjunto B = {(-2, 1, 0, 0, 0), (5, 0, -2, 1, 0), (-7, 0, 2, 0, 1)} é uma base para W. Portanto, a dimensão do espaço das soluções W é 5 – 2 = 3, e as variáveis livres são y, s e t, ou seja, escrevemos dim W = 3.

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5.3 DISPOSITIVO PRÁTICO PARA CARACTERIZAÇÃO DE UMA BASE PARA UM SUBESPAÇO DE Rn Um subespaço de IRn geralmente é caracterizado pelos seus geradores ou é possível graças à determinação desses geradores. Desta forma, temos um processo prático para a caracterização dos geradores, pautado em três considerações descritas a seguir. Considere um subespaço vetorial V = [u1, u2, ..., ur] do espaço euclidiano n-dimensional IRn. I) S e no segundo membro da igualdade dois dos seus vetores permutarem, evidentemente não alteramos o subespaço gerado. V = [u1, ...,ui,...,uj , ..., ur] = [u1, ..., uj, ...,ui, ..., ur] II) Para qualquer número real α, tem-se a seguinte igualdade: V = [u1, ...,ui,. ...,uj + α . ui , ..., ur] Isto significa que alguns dos elementos geradores podem ser caracterizados a partir da combinação linear envolvendo vetores múltiplos de outros geradores a partir do escalar α. III) Se u1, u2, ..., ur se apresentam na forma escalonada, ou seja, se o número de zeros iniciais de u2 é maior que o de u1, de modo sucessivo, os vetores u1, u2, ..., ur formam um conjunto LI Portanto, dim V = r. Aqui podemos relacionar com as operações elementares discutidas no escalonamento de uma matriz. Em outras palavras, se colocarmos as coordenadas dos vetores numa matriz e visualizá-la na sua forma escalonada, concluímos que tais vetores são LI. Exemplo: Considerando W o subespaço de IR4 gerado pelos vetores (1, -2, 5, -3), (2, 3, 1, -4) e (3, 8, -3, -5), pede-se: a) encontre uma base e a dimensão do subespaço W; b) estenda a base de W a uma base do espaço todo IR4 . Solução: Neste caso, temos que: a) formamos a matriz cujas linhas são os vetores dados como geradores de W e a escalonamos, como segue:

 1 −2 5 −3   1 −2 5 −3   1 −2 5 −3         2 3 1 −4  ~  0 7 −9 2  ~  0 7 −9 2   3 8 −3 −5   0 14 −18 4  0 0 0 0        Assim, concluímos que as linhas não nulas (1, -2, 5, -3) e (0, 7, -9, 2) da matriz na forma escalonada formam uma base para W, em particular, segue que dim W = 2. Observe também que W é diferente de IR4, ou seja, um subespaço próprio dele; b) para estendermos para uma base do espaço IR4, procuramos quatro vetores independentes que incluam os dois vetores encontrados na letra (a) formando a base para W. Assim, note que os vetores (1, -2, 5, -3), (0, 7, -9, 2), (0, 0, 1, 0) e (0, 0, 0, 1) são LI, pois eles formam claramente uma matriz na forma escalonada e logo formam uma base do IR4 que é uma extensão da base de W. 94

AULA 5 - BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇOS VETORIAIS

5.4 DIMENSÃO DA SOMA ENVOLVENDO DOIS SUBESPAÇOS VETORIAIS DE UM ESPAÇO Na aula 3, você aprendeu o seguinte: se W é um espaço vetorial sobre IR, e U e V são dois subespaços de W, então U ∩ V e U + V também são subespaços de W. Desse modo, como relacionar as dimensões dos espaços citados anteriormente? Considere W de dimensão finita. Logo, tem-se a seguinte relação: dim (U ∩ V) + dim (U + V) = dim U + dim V. Exemplo: Suponhamos que U e W são subespaços diferentes de dimensão 4 de um espaço vetorial V de dimensão 6. Quais são as possíveis dimensões do subespaço U∩W de V? Solução: Como U e W são subespaços distintos de V, então U e W são subespaços próprios de U + W, em que concluímos que dim(U + W) > 4. Porém, notemos que a dim (U + W) não pode ser maior do que 6, porque a dim V = 6. Portanto, temos duas possibilidades: i) dim (U + W) = 5 ou ii) dim (U + W) = 6 Dessa maneira, utilizando a expressão: dim (U + W) = dim U + dim W – dim (U ∩ W) Temos que: i) 5 = 4 + 4 – dim (U ∩ W), ou seja, dim (U ∩ W) = 3; ou ii) 6 = 4 + 4 – dim (U ∩ W) que nos dá dim (U ∩ W) = 2. Exemplo: Sejam U e W os subespaços do IR4 gerados por {(1, 1, 0, -1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3, -1)} e {(1, 2, 2, -2), (2, 3, 2, -3), (1, 3, 4, -3)}, respectivamente. Pede-se: a) dim (U + W). b) dim (U ∩ W). Solução: Neste caso, temos que: a) U + W é o espaço gerado por todos os seis vetores. Portanto, vamos formar a matriz cujas linhas são os seis vetores dados e depois vamos escaloná-la.

1  1 2  1 2  1

1 2 3 2 3 3

0 3 3 2 2 4

−1   1   0  0 −1   0 → −2   0 −3   0   −3   0

1 1 1 1 1 2

0 3 3 2 2 4

−1   1   1  0 1  0 → −1   0 −1   0   −2   0

1 1 1 0 0 0

0 −1  1 1 0 −1     3 1  0 1 3 1  2 −1  0 0 −1 −2  →  0 0  0 0 0 0  0 0  0 0 0 0     0 0   0 0 0 0 

Como a matriz na forma escalonada possui três linhas não nulas, segue que dim(U + W) = 3;

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

b) inicialmente, você deve encontrar dim U e dim W. Para tal, é preciso formar duas matrizes cujas linhas são os vetores geradores de U e de W, respectivamente. Então, é só escaloná-las:

 1 1 0 −1  1 1 0 −1  1 1 0 −1       1 2 3 0  → 0 1 3 1  → 0 1 3 1   2 3 3 −1  0 1 3 1   0 0 0 0       

Então concluímos que dim U = 2. Analogamente:

 1 2 2 −2   1 2 2 −2   1 2 2 −2         2 3 2 −3  →  0 −1 −2 1  →  0 −1 −2 1         1 3 4 −3   0 1 2 −1   0 0 0 0  Ou seja,dim W = 2. Logo: dim (U + W) = dim U + dim W – dim (U∩W) 3 = 2 + 2 – dim (U∩W) dim (U∩W) = 4 – 3 dim (U∩W) = 1 Uma boa maneira para você interpretar o conceito de Base de um Espaço Vetorial é pensar nas cores primárias: amarelo, magenta e azul. Ao determinar as proporções corretas que devem ser misturadas, é possível criar qualquer outra cor. Similarmente, na base de um espaço vetorial, ao misturarmos seus vetores, podemos obter um vetor desejado.

5.5 COORDENADAS Vamos tentar ordenar uma dada base de um espaço vetorial V. Mas o que seria isso? Vamos trabalhar com o que chamamos de bases ordenadas. Em outras palavras, vamos fixar qual seria o primeiro vetor, o segundo vetor, e assim por diante. Para tanto, considere V um espaço vetorial de dimensão finita. Dada uma base ordenada de V, B = {u1, u2, ..., un}, então qualquer vetor v de V é escrito como combinação linear dos elementos de B. Ou seja, existem escalares α1, α2, ..., αn∈IR, de modo que: v = α1 . u1 + α2 . u2 + ... + αn . un Esses escalares são únicos e são denominados coordenadas do vetor v em relação à base ordenada B.

AULA 5 - BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇOS VETORIAIS

Você pode associar uma matriz do tipo n x 1 às coordenadas do vetor v em termos da base ordenada B = {u1, u2,..., un}, como segue:

 α1     .   .     .  α   n  B ou

 α1     .   .     .  α   n

Exemplo: Considere o vetor v = (1, 2) do IR² e a base B = {(1, 0), (0, 1)}. Desta forma, a matriz 2 x 1 relacionada às coordenadas do vetor v em relação à base ordenada B é dada por:

1    2  B ou

1    2,

já que: v = (1, 2) = 1.(1, 0) + 2.(0, 1). Exemplo: Sejam o vetor v = (4, -3, 2) e a base B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} do IR³, caracterize o vetor coordenada de v em relação à base B. Solução: Aqui, escrevemos: v = (4, -3, 2) = x.(1, 1, 1) + y.(1, 1, 0) + z.(1, 0, 0) Daí, (4, -3, 2) = (x, x, x) +(y, y, 0) + (z, 0, 0) (4, -3, 2) = (x + y + z, x + y, x) Ou seja, obtemos o sistema linear:

x + y + z = 4   x + y = −3 x = 2  Cuja solução é dada por x = 2, y = – 5 e z = 7. Portanto, o vetor coordenada de v em relação à base B é:

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

 2    −5  7   B ou

2    −5  7  .

5.6 MUDANÇA DE BASE Vamos considerar V um espaço vetorial de dimensão n e duas bases de V, denotadas por B = {u1, u2,..., un} e C = {v1, v2,...,vn]. Assim, existe uma única família de escalares αij, de modo que:

v1 = α11.u1 + ... + α n1.un  ................................... v = α .u + ... + α .u 1n 1 nn n  n Ou, na notação de somatório: n

v j = ∑ α ij .ui , (j = 1, 2, ..., n). i =1

A matriz quadrada de ordem obtida das n equações anteriores, chamada matriz de mudança da base B para a base C, é dada por:

 α11

P= 

α 21 ... α1n  α 22 ... α 2 n 

 α 21  ... ... ... ...     α1n α n 2 ... α nn 

Exemplo: Encontre a matriz mudança da base B = {(1, -2), (3, -4)} para a base C = {(1, 3), (3, 8)} do plano euclidiano IR². Solução: Neste caso, primeiramente vamos escrever os vetores da base C como combinação linear dos vetores da base B, ou seja, escrevemos as igualdades: (1, 3) = a.(1, -2) + b.(3, -4) (3, 8) = c.(1, -2) + d.(3, -4) Que nos levam aos sistemas lineares:

a + 3b = 1  −2a − 4b = 3 e E, então:

5 a = −13 , b = ; c = – 18, d = 7 2

c + 3d = 3  −2c − 4d = 8

AULA 5 - BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇOS VETORIAIS

Logo, a matriz mudança de base solicitada é dada por:

 −13  −18   2    5 7    2  Você poderia indagar: qual a vantagem de trabalhar com a matriz mudança de base? Esse tipo de matriz simplifica os cálculos, ou seja, “corta caminho” para gerar as representações dos vetores coordenadas em bases diferentes. Por exemplo, considere as bases B = {(1, 2), (3, 5)} e E = {(1, 0), (0, 1)} e o vetor v = (2, 4) do IR². As coordenadas de v em relação a tais bases são:

 2   , já que: (2, 4) = 2.(1, 2) + 0.(3, 5).  0 B e

 2   , pois: (2, 4) = 2.(1, 0) + 4.(0, 1).  4 E

Assim, observe que a matriz mudança de base de B para a base E é dada por: P =  −5

 2

3  −1

cuja inversa é: P-1 =  1

3    2 5

Agora, vamos fazer o produto matricial entre as matrizes

 1 3 .  2  =      2 5   0 B

 2   0 e   B , como segue:

 2    4 E

Ou seja, obtemos como resultado o vetor coordenadas de v = (2, 4) em relação à base E. Exemplo: Considere a base B = {(1, 2, 0), (1, 3, 2), (0, 1, 3)} do IR³. Determine a matriz mudança de base da base B para a base canônica deste espaço. Solução: Primeiro expresse cada vetor da base canônica como combinação linear dos vetores da base B: (1, 0, 0) = a. (1, 2, 0) + b.(1, 3, 2) + c. (0, 1, 3) (0, 1, 0) = d. (1, 2, 0) + e.(1, 3, 2) + f. (0, 1, 3) (0, 0, 1) = g.(1, 2, 0) + h.(1, 3, 2) + i. (0, 1, 3)

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Que nos levam aos sistemas lineares:

a + b = 1  2a + 3b + c = 0 2b + 3c = 0 

d + e = 0  2d + 3e + f = 1 2e + 3 f = 0 

g + h = 0  2 g + 3h + i = 0 2h + 3i = 1 

E, então: a = 7, b = – 6 , c = 4, d = – 3, e = 3, f = –2, g = 1, h = – 1, i = 1 Portanto, a matriz mudança de base solicitada é dada por:

 7 −3 1     −6 3 −1  4 −2 1   

CONCLUSÃO Nesta aula, você estudou a base e a dimensão de um espaço vetorial. Na verdade, trata-se de um conjunto que gera o espaço em questão. Isto é, qualquer elemento genérico do espaço se escreve como combinação linear dos elementos da base. Você também viu a matriz mudança de base, um aparato muito importante para a discussão das transformações lineares e da diagonalização, que você estudará nas próximas aulas.

100

AULA 6 Transformações Lineares

INTRODUÇÃO A noção de função ou aplicação no contexto de conjuntos numéricos surge quando procuramos entender fenômenos e fatos do nosso mundo nos mais diversos campos do conhecimento. Quantas vezes criamos ou procuramos relacionar as coisas entre si? Por exemplo, ao estudar a relação do lucro com a quantidade vendida de determinado produto, indiretamente estamos utilizando a noção de função ou aplicação. Neste sentido, funções ou transformações lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis, só que agora no mundo dos espaços vetoriais. Nas duas aulas anteriores, você estudou os aspectos dos espaços finitamente gerados, em particular a base e a dimensão. Agora, você aprenderá as correspondências entre espaços vetoriais e as suas principais propriedades e os resultados associados, ou seja, as transformações lineares. Elas podem ser utilizadas no estudo de projetos caóticos e no projeto de sistemas de controle na Engenharia, além de serem importantes em aplicações como filtragem de ruído em sinais acústicos e elétricos e em computação gráfica.

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

OBJETIVOS » » Identificar transformações lineares. » » Relacionar espaços vetoriais por meio de transformações lineares. » » Determinar a matriz de uma transformação linear. » » Identificar núcleo e imagem de transformações lineares. » » Compreender o conceito de operador linear e efeitos geométricos, mais especificamente as reflexões, as rotações e as projeções, representando-os matricialmente. » » Efetuar mudança de bases em espaços vetoriais finitamente gerados.

6.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Dados dois conjuntos não vazios U e V, uma aplicação de U em V é uma lei pela qual a cada elemento de U está associado um único elemento de V. Em outras palavras, se indicarmos por F essa lei de associação e u indicar um elemento qualquer de U, então o elemento associado a u é representado por F(u) e é chamado de imagem de u por F.

Note que a definição de aplicação entre os espaços vetoriais U e V tem o mesmo sentido da definição da função f entre dois conjuntos numéricos A e B, ou seja, a cada elemento de A existe um único y em B, tal que y = f(x).

Observe.

Figura 61 - Uma aplicação entre os espaços U e V. Fonte: Ferreira (2014).

102

AULA 6 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES

O conjunto U é o domínio e o conjunto V é o contradomínio da aplicação F. Para indicarmos que F é uma aplicação de U em V, costumamos escrever F: U → V. Ou, ainda, sendo u um elemento qualquer de U, u  F(u).

De outra forma, dizemos que duas aplicações F: U → V e G: U → V são iguais se, e somente se, F(u) = G(u), ∀ u ∈ U. Além disso, dado W ⊂ U, denominamos de imagem de W por F o subconjunto: F(W) = {F(u) / u ∈W} Se W = U, então F(U) recebe o nome de imagem de F e a notação será Im(F). Exemplo: Consideremos S: R² → R² a aplicação dada por S(x, y) = (x, – y), ∀(x, y) ∈ R². Desta forma, a representação geométrica da transformação S é mostrada na figura a seguir. Observe que S transforma cada ponto do R² no seu simétrico em relação ao eixo das abscissas x. Além disso, em particular, a imagem da reta y = x é a reta x + y = 0. A imagem do eixo x é o próprio eixo x e a imagem do eixo y é o próprio eixo y.

Figura 62 - Uma aplicação entre os espaços U e V. Fonte: Callioli, Domingues e Costa (1990, p. 103).

De modo resumido, escrevemos sempre S(x, y) para representar a imagem de (x, y) por S.

Como é estudado nas funções entre conjuntos, aqui também definimos transformações injetoras e sobrejetoras generalizando naturalmente. Assim, falamos que uma aplicação F: U → V é injetora (ou injetiva ou 1 a 1) se, e somente se:

103

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

∀u1, u2 ∈ U, F(u1) = F(u2) ⇒ u1 = u2 Ou equivalentemente ∀u1, u2 ∈ U, u1 ≠ u2, F(u1) ≠ F(u2) De outra maneira, uma aplicação F: U → V é sobrejetora (ou sobrejetiva) se, e somente se, para todo v ∈V, existe u ∈U tal que F(U) = V.

Em outras palavras, uma aplicação F: U → V é sobrejetora se o seu conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Quando a aplicação F: U → V é simultaneamente sobrejetora e injetora, falamos que ela é bijetora (ou bijetiva). Exemplo: Seja S: R² → R² a aplicação dada por S(x, y) = (x, – y), ∀(x, y) ∈ R², temos que: a) S é injetora, pois se u1 = (x1, y1) e u2 = (x2, y2), então: F(u1) = F(u2) ⇒ (x1, - y1) = (x2, y2) ⇒ x1 = x2, y1, y2 b) S é sobrejetora, já que, dado v = (c, d) ∈ R², basta tomarmos u = (c, – d) para termos F(u) = v. De (a) e (b), concluímos que S é bijetora. Toda aplicação bijetora admite uma aplicação inversa. Se F: U → V é bijetora, então cada elemento de V é do tipo F(u), com u ∈ U bem definido. Se fizermos a associação F(u)  v, teremos uma aplicação de V em U. Essa nova aplicação (no caso de F ser bijetora) é denominada aplicação inversa de F e a denotamos por F-1. Temos então: F-1(F(u)) = u E F(F-1 (v)) = v ∀ u ∈U e ∀ v∈V. Observe.

Figura 63 - A aplicação inversa F-1. Fonte: Callioli, Domingues e Costa (1990, p. 104).

104

AULA 6 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES

6.2 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Considerando U e V espaços vetoriais sobre R, uma aplicação F: U → V é dita transformação linear de U em V se satisfaz as duas condições a seguir: a) F(u1 + u2) = F(u1) + F(u2), ∀u1, u2 ∈ U; b) F(αu) = αF(u), ∀u ∈U, ∀α ∈ R

Toda vez que o espaço vetorial U coincidir com o espaço V, ou seja, se U = V, dizemos que a transformação linear F: U → U é um operador linear.

Exemplos: 1) A aplicação O: U → V definida por O(u) = 0 (vetor nulo de V), para todo u em U, é linear, pois: a) O(u1 + u2) = 0 = 0 + 0 = O(u1) + O(u2), ∀ u1, u2 ∈ U; b) O(αu) = 0 = α0 = αO(u), ∀u∈U. 2) Seja I: U → U definida por I(u) = u, para todo u em U. Ela é linear, já que: a) I(u1 + u2) = u1 + u2 = I(u1) + I(u2), ∀ u1 , u2 ∈ U b) I(αu) = αu = αI(u), ∀u ∈U. 3) F: R³ → R² definida por F(x, y, z) = (x, 2x – z), ∀(x, y, z) ∈R³, também é linear, pois considerando u1 = x1, y1, z1) e u2 = x2, y2, z2 vem que: a) F(u1 + u2) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1+z2) = ((x1 + x2), 2 (x1 + x2) - (z1 + z2)) (x1, 2.x1 - z1) + (x2, 2.x2 - z2) = F(u1) + F(u2). b) F(αu) = F(α.(x, y, z)) = F(α.x, αy, αz) = (α.x, 2αx – αz) = α.(x, 2x – z) = αF(u). 4) A transformação F: R → R² definida por F(x) = (x, 3) para todo x real não é uma transformação linear, pois: ∀x, y ∈R, F(x + y) = (x + y, 3) ≠ (x, 3) + (y, 3) = (x + y, 6) 5) A transformação F: R² → R² definida por F(x, y) = (x² + y², x) não é uma transformação linear, já que para u = (x1, y1) e v = (x2, y2) ∈ R² temos que: F(u + V) = F (x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2)² + (y1 + y2)², x1 +x2 = (x1² + y1², x1) + (x2² + y2², x1) + 2.(x1.x2 + y1.y2,0) Observe que, apesar de F não ser linear, temos que F(0, 0) = (0,0). Agora, vamos listar algumas propriedades envolvendo as transformações lineares, ressaltando que não estaremos preocupados com as suas justificativas.

105

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Para obter informações detalhadas sobre as propriedades, consulte o livro “Álgebra Linear e Aplicações”, de Carlos Callioli, Hygino Domingues e Roberto Costa.

Considere U e V dois espaços vetoriais sobre R e F: U → V uma transformação linear. Desta maneira, são válidas as propriedades: 1) F(0) = 0, ou seja, F leva o vetor nulo de U no vetor nulo de V; 2) F(– u) = – F( u), ∀u ∈U; 3) F(u1– u2) = F(u1) – F(u2), ∀ u1, u2 ∈ U

∀u1 , u2 ∈ U

;

4) Se W é um subespaço de U, então a imagem de W por F é um subespaço de V; 5) Se F: U → V é linear então: F(

∑ aiui ) =

∑ a F (u ) . i =1

6) Uma transformação linear fica determinada se conhecemos as imagens dos elementos de uma base. Exemplo: Sabendo que F: R² → R² é um operador linear e que F(1, 2) = (3, – 1) e F(0, 1) = (1, 2), encontre F(x, y), em que (x, y) é um vetor qualquer do R². Solução: Primeiramente, você deve observar que {(1, 2), (0, 1)} é uma base de R². Determine as coordenadas (x, y) ∈ R² em relação a essa base, como segue: (x, y) = a.(1, 2) + b.(0, 1) ⇒ a = x e 2a + b = y ⇒ a = x e b = y – 2x Logo, (x, y) = x.(1, 2) + (y – 2x).(0, 1) Portanto, F(x, y) = x.F(1, 2) + (y – 2x).F(0, 1) = x.(3, – 1) + (y – 2x).(1, 2) = (x + y, – 5x + 2y)

6.3 O NÚCLEO E O CONJUNTO IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Sendo U e V espaços vetoriais sobre R e F: U → V uma transformação linear, chamamos de núcleo de F ou Kernel de F o seguinte subconjunto de U: Ker(F) = {u ∈ U / F(u) = 0} Exemplo: Sendo F: R² → R² a transformação linear dada por: F(x, y) = (0, x + y, 0). Caracterize o seu núcleo.

106

AULA 6 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Solução: Neste caso, temos que: x ∈Ker(F) ⇔ (0, x + y, 0) = (0, 0, 0) ⇔ x = – y Logo, Ker(F) = {(x, – x) / x ∈ R}. Observe a imagem a seguir.

Figura 64 - Representação geométrica do exemplo. Fonte: Callioli, Domingues e Costa (1990, p. 111).

Sendo F: U → V uma transformação linear, então: a) Ker(F) é um subespaço vetorial de U; b) a transformação linear F é injetora se, e somente se, Ker(F) = {0}.>

Teorema 1 (Teorema do Núcleo e da Imagem): Considere U e V como espaços vetoriais de dimensão finita sobre R. Dada uma transformação linear F: U → V, então: dim U = dim Ker(F) + dim Im(F)

Se quiser verificar a demonstração desse resultado em detalhes, consulte a obra “Álgebra Linear e Aplicações”, de Carlos Callioli, Hygino Domingues e Roberto Costa.

Considerando U e V espaços vetoriais sobre R e F: U → V uma transformação linear, são equivalentes às seguintes afirmações: (I) F é sobrejetora.

107

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

(II) F é bijetora. (III) F é injetora. (IV) F transforma uma base de U em uma base de V, o que significa que se B é uma base de U então F(B) é uma base de V. Exemplo: Seja F: R³ → R² a transformação linear dada por: F(x, y, z) = (x + y, 2x – y + z). a) Encontrar uma base e a dimensão de Ker(F). b) Dar uma base e a dimensão de Im(F). Solução: Neste caso, temos que: a) Ker(F) = {(x, y, z) ∈ R³ / (x + y, 2x – y + z) = (0, 0)}. Como:

x + y = 0  2 x − y + z = 0

x + y = 0 ~  −3 y + z = 0

Cuja solução geral é (– y, y, 3y), y ∈ R, então Ker(F) = {(– y, y, 3y) / y ∈ R} = {y.(– 1, 1, 3) / y ∈ R}. Portanto, Ker(F) = [.(– 1, 1, 3)] e {.(– 1, 1, 3)} é uma base de Ker(F) ou, ainda, dim Ker(F) = 1. a) Encontre um conjunto de geradores de Im(F): (x + y, 2x – y + z) = x.(1, 2) + y.(1, – 1) + z.(0, 1). Logo, Im(F) = [(1, 2), (1, – 1), (0, 1)]. Daí:

1 2  1 2  1 2 1 2          1 −1 →  0 −3  →  0 1  →  0 1  0 1  0 1  0 1 0 0         Assim, uma base de Im(F) é {(1, 2), (0, 1)} e então dim Im(F) = 2. Além disso, segue que Im(F) = R² e F é sobrejetora.

Uma transformação linear F: U → V que é bijetora é um isomorfismo, enquanto que um isomorfismo F: U → U é dito um automorfismo de U. Dois espaços vetoriais U e V de dimensão finita são isomorfos se, e somente se, dim U = dim V.

6.5 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Considere U e V espaços vetoriais de dimensão n e m, respectivamente, sobre o conjunto dos reais. Seja F: U → V uma transformação linear. Dadas as bases B = {u1, u2, ..., un} de U e C = {v1, v2, ..., vn} de V, então cada um dos vetores F(u1), ..., F(un) está em V e, por consequência, é combinação linear da base C:

108

AULA 6 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES

F(u1) = α11.v1 + α21.v2 + ... +αm1.vm F(u2) = α12.v1 + α22.v2 + ... +αm2.vm .......................................................... F(un) = α1n.v1 + α2n.v2 + ... +αmn.vm Ou seja,

F (u j ) = ∑ α ij .vi , (j = 1, 2, ..., n) i =1

Em que os αij são determinados de forma única. A matriz m x n sobre R é dada por:

 α11 α12   α 21 α 22  ... ...   α m1 α m 2

... α1n   ... α 2 n  ... ...   ... α mn 

A matriz, obtida com base nas considerações anteriores, é chamada matriz de F em relação às bases B e C. Denotaremos tal matriz por (F)B,C.

Sendo U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m respectivamente, então o conjunto de todas as transformações L de U em V é representado por L(U, V).

Exemplo: Encontre a matriz de F: R³ → R² dada por F(x, y, z) = (x + y, y + z), em relação às bases: B = {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 1)} C = {(1, 0), (0, 1)} Solução: De acordo com a descrição anterior, escrevemos: F(u1) = (1, 0) = 1.v1 + 0.v2 F(u2) = (1, 1) = 0. v1 + 1. v2 F(u3) = (0, 1) = – 1. v1 + 1. v2 Portanto:

( F ) B ,C

 1 0 −1 = 0 1 1   

109

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Exemplo: Dada a matriz:

1 2 3   0 1 0 Encontrar F: R³ → R²de tal forma que, sendo B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, tenhamos M = (F)B,C. Solução: Da definição de matriz de F, vem que: F(1, 0, 0) = 1.(1, 0) + 0.(1, 1) = (1, 0) F(0, 1, 0) = 2.(1, 0) + 1.(1, 1) = (3, 1) F(0, 1, 2) = 3.(1, 0) + 0.(1, 1) = (3, 0) Seja (a, b, c) ∈ R³. Supondo que: (a, b, c) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 1, 2) Obtemos: x = a, y = b – Logo:

c c ez= 2 2

c c F(a, b, c) = F(a.(1, 0, 0) + (b – 2 ).(0, 1, 0) + 2 .(0, 1, 2))

Ou seja, F(a, b, c) = a.(1, 0) + (b –

c c ).(3, 1) + 2 .(3, 0) 2

F(a, b, c) = (a + 3b, b –

c ) 2

6.6 TRANSFORMAÇÕES DO PLANO NO PLANO Quando falamos em transformações lineares, um aparato importante é a sua visão geométrica. Veja alguns exemplos ilustrativos de transformações do plano R² no próprio R². Você conseguirá ver uma expansão, uma rotação e alguns tipos de deformações caracterizadas como transformações lineares.

6.6.1 Expansão (ou Contração) Uniforme T: R² → R² v  α.v Por exemplo: T: R² → R² v  2.v ou T(x, y) = 2.(x, y)

110

AULA 6 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Esta aplicação transforma cada vetor do plano num vetor de mesma direção e sentido de v, mas de módulo maior.

Figura 65 - A expansão T do exemplo. Fonte: Boldrini e Figueiredo (1980, p. 147).

Na forma matricial, podemos escrever:

 x  x   x  2 0  x   y  → 2  y   y  → 0 2  y        ou    Se tomarmos F: R² → R² tal que F(x, y) =

(x, y), F seria uma contração, referenciada em relação

à base canônica do R².

6.6.2 Reflexão em Torno do Eixo das Abscissas x F: R² → R² (x, y)  (x, – y)

Figura 66 - A reflexão F em torno do eixo x. Fonte: Boldrini e Figueiredo (1980, p. 148).

Matricialmente, em relação à base canônica:

 x  x   y  → − y      ou

 x  1 0   x   y  → 0 −1  y      

111

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

6.6.3 Reflexão na Origem T: R² → R² v  – v, ou seja, T(x, y) = (– x, – y)

Figura 67 - A reflexão T na origem. Fonte: Boldrini e Figueiredo (1980, p. 148).

Matricialmente, em relação à base canônica do R², pode-se escrever:

 x −x  y  → − y      ou

 x   −1 0   x   y  →  0 −1  y      

6.6.4 Rotação de um Ângulo θ (no sentido anti-horário) Primeiro, veja a figura a seguir.

Figura 68 - Rotação de um ângulo θ. Fonte: Boldrini e Figueiredo (1980, p. 149).

Observe que: x’ = r.cos(α + θ) = r.cos α .cos θ – r.sen α .sen θ Porém, como r.cos θ = x e r.sen α.= y, vem que: x’ = r.cos θ – y.sen θ Similarmente, temos: y’ = r.sen(α + θ) = r.(sen α .cos θ+ r.cos α.sen θ) = y. cos θ + x. sen θ 112

AULA 6 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Assim, Rθ(x, y) = (x.cos θ – y.sen θ, y.cos θ + x.sen θ). Na forma matricial:

 x   x.cos θ − y.senθ  cos θ  y  →  y.cos θ + x.senθ   senθ     Exemplo: Veja o caso particular para θ =

π 2

− senθ   x  cos θ   y 

. Aqui, cos θ = 0 e sen θ = 1. Matricialmente, com base

na matriz relacionada à base canônica do R²:

 x   − y  0 −1  x   y  →  x  = 1 0   y         0 −1  é referenciada à base canônica do R². 1 0 

Note que a matriz 

A representação geométrica para a rotação particular do ângulo θ =

π 2

é mostrada na figura a

seguir.

Figura 69 - Rotação do ângulo θ =

π 2

Fonte: Boldrini e Figueiredo (1980, p. 149).

6.6.5 Cisalhamento Horizontal T: R² → R² (x, y)  T(x, y) = (x + α y, y), α ∈ R Por exemplo: T: R² → R² (x, y)  T(x, y) = (x + 2y, y)

113

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Matricialmente, em relação à base canônica do R²:

 x   x + 2 y  1 2   x   y  →  y  = 0 1   y        

1 2    Em que 0 1  é a matriz da transformação com relação à base canônica de R².

Figura 70 - Cisalhamento horizontal. Fonte: Boldrini e Figueiredo (1980, p. 150).

Note que todas as transformações do plano no plano descritas são lineares, já que são dadas por v  A.v, em que A é uma matriz 2 x 2, e em todos os seus casos a base canônica do espaço R² é referenciada.

6.6.6 Translação T: R² → R² (x, y)  T(x, y) = (x + a, y + b) Ou

 x  1 0   x   a   y  → 0 1   y  + b         Esta é uma translação do plano segundo um vetor (a, b) e, a menos que a = b = 0, T não é linear. Note que, em uma transformação linear, o vetor nulo do espaço vetorial de partida é levado ao vetor nulo do espaço vetorial chegada.

114

AULA 6 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES

CONCLUSÃO Nesta aula, você estudou toda a teoria sobre as transformações lineares. Lembre-se de que elas são funções definidas em espaços vetoriais satisfazendo algumas propriedades específicas. Você também visualizou uma transformação linear como uma matriz e conheceu algumas das principais transformações lineares do plano R² definidas nele mesmo. Na próxima aula, você entenderá a caracterização dos autovalores e autovetores associados às transformações lineares.

115

AULA 7 Autovalores e Autovetores

INTRODUÇÃO Nesta aula vamos discutir as equações lineares da forma Ax = x e, de uma forma mais geral, equações da forma Ax = λx, em que λ é uma constante real. Essas equações aparecem em uma variedade de aplicações importantes do contexto da Engenharia, especificamente em problemas relacionados aos sistemas dinâmicos discretos. Segundo Anton e Rorres (2006), vetores não nulos que são levados em múltiplos escalares deles mesmos por um operador linear aparecem naturalmente no estudo de vibrações e da dinâmica populacional, na Mecânica Quântica e na Economia. Eles são chamados de autovalores ou valores próprios da matriz A, que juntamente com os autovetores ou vetores próprios serão objeto de estudo nesta aula.

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

OBJETIVOS » » Calcular autovalores e autovetores de operadores lineares. » » Reconhecer propriedades dos autovalores e autovetores.

7.1 INFORMAÇÕES BÁSICAS SOBRE AUTOVALORES E AUTOVETORES Seja V o espaço vetorial constituído dos vetores definidos por meio de segmentos  orientados. u Considere   um operador linear T: V → V. Vamos tomar de modo aleatório um vetor ∈ V. Em geral, u e T( u ) não têm a mesma direção.



Às vezes, porém, certos vetores privilegiados em que T( u ) = λ u , com λ real. Isso   existem significa que T( u ) e u possuem a mesma direção. Equivalentemente, isso nos diz que o efeito da transformação T sobre o vetor u é apenas uma mudança de módulo ou uma mudança de sentido. Esses vetores são denominados autovetores associados aos autovalores λ. A partir desses vetores, também podemos formar uma base com eles e, neste sentido, trataremos tal base como uma base privilegiada, por conta de propriedades relevantes. Lembre-se de que matriz é uma disposição retangular de números, ou seja, é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. São usadas para a resolução de sistemas lineares, como você já viu em aulas anteriores, e para armazenar e manipular informações tabuladas. Matrizes também servem como ferramentas na transmissão de imagens e sons digitalizados na internet.

7.2 POLINÔMIOS E MATRIZES Considere um polinômio f(t) sobre o corpo dos R: n f(t) = an .t + ... + a1.t + a0

Desta forma, se tivermos uma matriz quadrada sobre R, podemos definir: f(A) = an .A n + ... + a1.A + a0 .I em que I é a matriz identidade de mesma ordem. Em particular, dizemos que A é uma raiz ou zero do polinômio f(t) se f(A) = 0.

118

AULA 7 - AUTOVALORES E AUTOVETORES

Podemos pensar que a matriz A pode ser a matriz que representa a função f em relação à base usual E para Rn.

Exemplo: Considere: A = 1

2   3 4

f(t) = 2.t² – 3t + 7 g(t) = t² – 5t– 2 Desta forma, temos que: 2

f(A) = 2.  1 

2 1 2  1 0   18 14   − 3.   + 7.  =  3 4 3 4  0 1   21 39  2

1 2 1 2 1 0 0 0  − 5.   − 2.  =  g(A) =  3 4 3 4 0 1 0 0 Note que a matriz A é um zero ou uma raiz para o polinômio g(t). Se considerarmos f e g polinômios sobre R, e A uma matriz quadrada de ordem n em R, então: a) (f + g)(A) = f(A) + g(A); b) (kf)(A) = kf(A), para qualquer k real.

Note que f(t)g(t) = g(t)f(t) para quaisquer polinômios f(t) e g(t). Logo, f(A)g(A) = g(A)f(A), ou seja, dois polinômios quaisquer na matriz A comutam.

7.3 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO E TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Considere uma matriz quadrada de ordem n sobre R:

 a11  a21 A=   ...   an1

a12 a22 ... an 2

... a1n   ... a2 n  ... ...   ... ann  119

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Assim, a matriz quadrada de ordem n, λ In – A , em que In é a matriz identidade de ordem n e λ uma indeterminada (um parâmetro desconhecido a priori), é chamada matriz característica de A.

−a12  λ − a11  −a21 λ − a22 λ In – A =   ... ...  −an 2  −an1

−a1n   ... −a2 n  ... ...   ... λ − ann  ...

Seu determinante ∆A(t)= det(λ In – A ), que é um polinômio em t, é o que denominamos de polinômio característico de A. Dizemos também que a equação det(λ In – A ) = 0 é a equação característica de A. 1 2





Exemplo: Considere A =  3 2  . Desta forma, o seu polinômio característico é dado por:

t −1

∆A(t)= | t.I – A | = −3

−2 t − 2 = (t – 1).(t – 2) = t² – 3t – 4

O determinante de uma matriz 2 x 2 é igual ao produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.

Note que A é um zero de ∆(t) = t² – 3t – 4, já que: 2

1 2 1 2 1 0 ∆(A) = A² – 3A – 4 =   − 3.   − 4.   3 2 3 2 0 1  7 6   −3 −6   −4 0   0 0  ∆(A) =  9 10  +  −9 −6  +  0 −4   0 0         

Toda matriz é um zero do seu polinômio característico.

120

AULA 7 - AUTOVALORES E AUTOVETORES

Figura 71 - Elementos-chave para a diagonalização de operadores. Fonte: Ferreira (2014).

7.4 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO DE GRAU 2 Considere A uma matriz de ordem 2. Existe uma expressão fácil para expressar o seu polinômio característico ∆(t) . Especificamente se supormos A =  a11 a12  , então:

a11 a a ∆(t) = t² – ( 11 + 22 ).t + a21

   a21 a22 

a12 a22 = t² – (trA).t + det(A)

Aqui, trA denota o traço de A, isto é, a soma dos elementos da diagonal principal de A.

7.5 POLINÔMIOS CARACTERÍSTICOS E MATRIZES TRIANGULARES EM BLOCO Seja A uma matriz triangular em bloco M =  A1 B  em que e A2 são matrizes quadradas.    0 A2  Então, a matriz característica de M é dada por:

−B   tI − A1  tI − A2   0

tI – M = 

que também é uma matriz triangular em bloco, com blocos diagonais ( tI − A1 ) e ( tI − A2 ). Assim, podemos escrever: |tI – M | =

tI − A1 −B = | tI − A1 | . | tI − A2 | 0 tI − A2

121

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Ou seja, o polinômio característico de M é o produto dos polinômios característicos dos blocos diagonais A1 e A2 . Esse fato pode ser generalizado, isto é, considerando M uma matriz triangular em blocos, com blocos diagonais A1 , A2 ,..., An . Então, o polinômio característico de M é o produto dos polinômios característicos dos blocos diagonais Ai . Formalmente, podemos escrever:

∆ M (t ) = ∆ A1 (t )∆ A2 (t )...∆ Ar (t )

Exemplo: Considere a matriz:

 9 −1 5 7    8 3 2 −4   M= 0 0 3 6     0 0 −1 8 

Observe que M é uma matriz triangular em bloco, com blocos diagonais:

 9 −1  8 3 

A=  e

 3 6 B =  −1 8 

Desta forma, podemos escrever: trA = 9 + 3 = 12, det(A) = 27 + 8 = 35. Assim, ∆ A (t ) = t² – 12t + 35 = (t – 5).(t – 7) trB = 3 + 8 = 11, det(B) = 24 + 6 = 30. Assim, ∆ B (t ) = t² – 11t + 30 = (t – 5).(t – 6) Consequentemente, o polinômio característico da matriz M é dado por: ∆M(t) = ∆A(t). ∆B(t) = (t – 5)².(t – 6).(t – 7)

Matriz triangular superior é uma matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i > j.

7.6 AUTOVALORES E AUTOVETORES Seja V um espaço vetorial sobre R e T: V→ V um operador linear. Um vetor u∈V, com u ≠ 0, é um autovetor (ou vetor próprio) de T se existir um escalar λ∈R tal que T(u) = λu. Neste caso, dizemos que λé um autovalor (ou valor próprio) de T associado a u.

122

AULA 7 - AUTOVALORES E AUTOVETORES

Segundo Callioli, Domingues e Costa (1990), as expressões “vetor próprio”, “autovetor” e “vetor característico” são sinônimas, assim como, “valor próprio”, “autovalor” e “valor característico”.

Exemplo: Considere:

1 6   5 2 

A= 

6   −5

u= 

3

v =  −2    Podemos afirmar que u e v são autovetores de A? Solução: Neste caso, de acordo com a definição formal de autovetores, temos que:

1 6   6 

 −24 

6

Au = 5 2  .  −5 =  20  = – 4.  −5 = – 4.u        

1 6   3 

 −9 

3

Av = 5 2  .  −2  =   ≠ λ .  −2       11    Portanto, concluímos que u é um autovetor associado ao autovalor – 4, porém o vetor v não é um autovetor de A, pois Av não é múltiplo escalar de V. Exemplo: T: R² → R² v  2.v

 x  2 0  x   2 x  x  y  →  0 2   y  =   = 2.         2 y   y Neste caso, 2 é um autovalor de T e qualquer (x, y) ≠ (0, 0) é um autovetor de T associado ao autovalor . Observe:

123

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Figura 72 - A disposição geométrica do exemplo. Fonte: Boldrini e Figueiredo (1980, p. 181).

De um modo geral, toda transformação: T: R² → R² v  α.v, α≠ 0 tem α como autovalor e qualquer (x, y) ≠ (0, 0) como autovetor associado. Note também que T(v) é sempre um vetor que possui a mesma direção de v. Além disso, temos que: a) α < 0 , T inverte o sentido do vetor; b) | α | > 1, T dilata o vetor; c) | α | < 1, T contrai o vetor; d) α = 1, T é a identidade. Exemplo: Considere T: R² → R² definida por T(x, y) = (y, x). Note que T é a reflexão dos vetores em torno da bissetriz dos quadrantes ímpares ∆. Assim, se tivermos um vetor no eixo das abscissas, sua imagem está sobre o eixo das ordenadas, logo não temos vetores próprios no eixo das abscissas. Todavia, se o vetor estiver na diagonal ∆, teremos T(x,y) = (x, y) e, então, todo vetor de ∆ é um vetor próprio de valor próprio igual a 1.

Figura 73 - A disposição geométrica do exemplo. Fonte: Calioli e Domingues (1990, p. 247).

124

AULA 7 - AUTOVALORES E AUTOVETORES

1 2   Exemplo: Vamos encontrar os autovalores e os respectivos autovetores da matriz A =  3 2  . Solução: Estamos procurando um número real λ e um vetor não nulo v =  x  tal que:    y Av = λ.v Ou seja,

 x 1 2  x  . = λ.        y 3 2  y  A equação matricial anterior é equivalente ao sistema homogêneo:

x + 2 y = λ x  3 x + 2 y = λ y ou

(λ − 1) x − 2 y = 0  −3 x + (λ − 2) y = 0

Lembremos que um sistema homogêneo tem solução não nula se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes é zero. Daí:

λ −1 −3

2 −2 = λ − 3λ − 4 = (λ − 4)(λ + 1) λ −2

Desta forma, λ é um autovalor de A se, e somente se, λ = 4 ou λ = – 1. Fazendo λ= 4 no sistema homogêneo anterior vem que:

3 x − 2 y = 0  −3 x + 2 y = 0 ou, simplesmente:

 x   2 3x – 2y = 0.     y 3 Assim, v =   =   é um autovetor não nulo pertencente ao autovalor λ = 4, e qualquer outro autovetor pertencente a λ = 4 é um múltiplo de v. De outra forma, fazendo λ = – 1 no mesmo sistema, segue que:

−2 x − 2 y = 0  −3 x − 3 y = 0 ou ainda: x+y=0  x  1  Logo, w =  y  =  −1 é um autovetor não nulo pertencente ao autovalor λ = – 1, e qualquer     outro autovetor pertencente a λ = – 1 é um múltiplo de w. De outra forma, conforme definição de autovalor, salientamos que o escalar λ é univocamente determinado por T e u, já que podemos observar que: T(u) = λu = λ'u ⇒(λ - λ').u = 0 ⇒ λ = λ' 125

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Assim, se fixarmos λ, o conjunto {u∈V / T(u) = λu} é um subespaço vetorial de V, chamado de subespaço próprio de λ, denotado por V(λ). Exemplo: Seja T a rotação de ângulo θ no R³, tendo como eixo fixo o eixo das cotas (eixo z). Em outras palavras, a transformação T é um operador linear cuja matriz na base canônica do R³ é dada por:

 cos θ  − senθ   0

senθ cos θ 0

0 0  1 

O vetor (0, 0, 1) é vetor próprio com valor próprio 1, já que: T(0, 0, 1) = (0, 0, 1)

Observe que não existem outros vetores próprios para 0 < θ < 2 . Portanto, V(1) = eixo das cotas. Exemplo: Seja T: R² → R² dada por T(1, 0) = (0, 1) e T(0, 1) = (– 1, 0). Logo, a transformação pode ser escrita como: T(x, y) = x.T(1, 0) + y.T(0, 1) = x.(0, 1) + y. (– 1, 0) = (– y, x). Observe que T é uma rotação de 90°. Além disso, podemos perceber que não temos λ de tal forma que T(x, y) = λ.(x, y) com (x, y) ≠ (0, 0). Em outras palavras, concluímos que a transformação T não admite vetores próprios, ou ainda V(λ) = {0}, para qualquer λ real.

Figura 74 - A disposição geométrica do exemplo. Fonte: Calioli e Domingues (1990, p. 247).

Exemplo: Seja T: R³ → R³ a transformação definida por T(x, y, z) = (x, y, 0). Note que tal transformação representa a projeção sobre o plano xy, conforme figura a seguir.

126

AULA 7 - AUTOVALORES E AUTOVETORES

Figura 75 - A projeção sobre o plano xy. Fonte: Calioli e Domingues (1990, p. 247).

Aqui, perceba que o vetor v = (0, 0, 1) é um autovetor com autovalor 0, já que: P(0, 0, 1) = (0, 0, 0) Além disso, observe que todo vetor do plano xy é autovetor com autovalor 1, pois: P(x, y, 0) = (x, y, 0) Transformações lineares x → Ax com elementos facilmente descritos são amplamente utilizadas em sistemas dinâmicos discretos. Particularmente, os autovalores e autovetores são úteis no estudo de equações diferenciais ordinárias e sistemas dinâmicos contínuos, que podem fornecer informações críticas em projetos de Engenharia em geral. Durante a Segunda Guerra Mundial, por exemplo, as aeronaves da época enfrentavam problemas crônicos de vibrações, que envolviam cálculos muito complexos. Para a solução destes problemas era necessário localizar os autovalores de uma matriz 6 x 6. Os autovalores estão relacionados aos modos de frequência de vibração, entendida como o movimento de um ponto oscilando em torno de um ponto de referência. A amplitude do movimento é indicada em milímetros ou polegadas. O número de vezes que ocorre o movimento completo em determinado tempo é chamado de frequência, em geral, indicada em Hertz (Hz). Os autovetores correspondentes a cada autovalor são os deslocamentos (ou deformações) que a estrutura sofre devido à vibração. Com este estudo, o engenheiro pode projetar estruturas que resistam bem a essas vibrações e usar recursos de amortecimento, para evitar que essas estruturas entrem em colapso. Uma das características mais importantes dos modos naturais de vibração é a propriedade de ortogonalidade em relação à matriz de massa e rigidez, que está diretamente relacionada a um problema de autovetores e autovalores. Isso é apenas um exemplo de aplicação prática dos conceitos desta aula no dia a dia do engenheiro, mas você ainda não tem todo o aparato teórico para a resolução desse problema. Para um completo entendimento de problemas similares, você precisará se aprofundar no estudo das equações diferenciais ordinárias, do cálculo numérico e da dinâmica.

127

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

7.7 AUTOVALORES, AUTOVETORES E POLINÔMIO CARACTERÍSTICO A determinação dos autovalores e, consequentemente, dos autovetores associados não é uma tarefa muito simples. Desta forma, você pode estar se perguntando se existe um procedimento mais fácil. Para respondermos a essa indagação de forma direta, aqui vamos relacionar os autovalores e o polinômio característico de uma matriz associada a uma transformação linear. Teorema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais R de dimensão n. Então, os autovalores de T são as raízes de ∆r(t), ou seja, de seu polinômio característico em R. Não demonstraremos o teorema, mas sim vamos mostrar como aplicá-lo no cálculo de autovetores e autovalores associados. Exemplo: Veja alguns exemplos que ilustram o teorema. 1) Sendo T: R² → R² definida por T(x, y) = (y, x), então sua matriz T com relação à base canônica é dada por:

0 1  1 0

T=  Logo, seu polinômio característico é dado por:

−λ 1 − λ ∆r(t) = det(T – λI) = 1 − λ −λ = λ² – 1 Suas raízes em R são 1 e – 1, o que significa que T possui dois autovalores. 2) A transformação T: R³ → R³ é dada por T(x, y, z) = (x, y, 0). Logo, sua matriz com relação à base canônica é:

1 0 0   T = 0 1 0 0 0 0   E, desta forma:

1− λ 0 1− λ ∆r(t) = det(T – λI) = 0 0 0

0 0 = (1 − λ ) 2 .λ −λ

Suas raízes são dadas por 0 e 1. Note que a raiz 1 é de multiplicidade 2. 3) Se T: R² → R² é dada por T(x, y) = (– y, x), então sua matriz com relação à base canônica é:

 0 −1 T =  1 0  Daí, seu polinômio característico é: ∆r(t) = det(T – λI) =

−λ 1

−1 = λ² + 1 −λ

que não admite raízes reais, ou seja, T não possui autovalores. 128

AULA 7 - AUTOVALORES E AUTOVETORES

A partir do momento em que você encontrar os autovetores da transformação T, você pode caracterizar os respectivos autovetores associados. Se λ for um autovalor, que é uma raiz de seu polinômio característico, então os autovetores relacionados a λ são os vetores não nulos do núcleo de (T – λI).

Exemplo: Determine todos os autovalores e autovetores associados da transformação representada pela matriz T =  1 4  .

   2 3

Solução: Inicialmente, forme a matriz característica (tI – A):

 λ 0   1 4   λ − 1 −4  − =   0 λ   2 3   −2 λ − 3 

λI – A = 

(1)

Logo, o seu polinômio característico pode ser escrito como: ∆r(t) = |λI – A| = λ − 1

−2

−4 = λ² – 4.λ– 5 = (λ – 5).(λ +1) λ −3

Observe que, alternativamente, podemos caracterizar o polinômio característico de T da seguinte forma: trT = 1 + 3 = 4 e det(T) = 3 – 8 = – 5 de modo que ∆(t) = λ² – 4.λ– 5. As raízes λ1 = 5 e λ2 = – 1 do polinômio característico ∆(t) são os autovalores de T. Agora, vamos caracterizar os autovetores associados a λ1 = 5 e λ2 = – 1: » » Para λ1 = 5

 4 −4   . Assim, os  −2 2 

Substitua λ1 = 5 na matriz característica (1) para obter a matriz M = 

autovetores pertencentes a λ1 = 5 constituem a solução do sistema homogêneo MX = 0, ou seja:

 4 −4   x   0    .   =   ou  −2 2   y   0 

4 x − 4 y = 0 ou x – y = 0  −2 x + 2 y = 0

Observe que o sistema possui apenas uma solução independente, por exemplo, para x = 1 segue que y = 1. Assim, v1 = (1, 1) é um autovetor que gera o autoespaço de λ1 = 5. » » Para λ2 = – 1, com raciocínio similar, vem que:

 −2 −4    −2 −4 

M=  Daí:

−2 x − 4 y = 0  −2 −4   x   0    .   =  0  ou, ainda, −2 x − 4 y = 0 ou x +2y = 0   −2 −4   y    129

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

que nos dá uma única solução independente, por exemplo, x = 2, y = – 1. Desta maneira, v2 = (2, – 1) é um autovetor que gera o autoespaço de λ2 = – 1.

CONCLUSÃO Nesta aula, você estudou toda a teoria acerca dos autovalores e autovetores associados a uma matriz de ordem n, que pode representar uma transformação linear e também um operador linear. Discutimos o aparato algébrico e geométrico da sua caracterização, a partir da matriz característica e do polinômio característico. Salienta-se que este aparato matricial e algébrico será de fundamental importância para a descrição dos aspectos teóricos envolvendo a diagonalização de matrizes e, consequentemente, a de operadores, que você estudará na aula 8. Até lá!

130

AULA 8 Diagonalização de Transformações Lineares

INTRODUÇÃO Você aprendeu, nas aulas anteriores, as transformações, os autovalores e autovetores. Agora, a sequência natural é trabalharmos com a diagonalização de matrizes, especificamente a diagonalização de transformações lineares, que é o objetivo central desta aula. Nesse sentido, é interessante salientarmos que as matrizes canônicas de transformações lineares nos dão um modo conveniente de utilizarmos operações entre matrizes para a realização de cálculos com transformações. Além disso, tomando como referência outra direção, outros tipos especiais de matrizes podem ser usados para a visualização de propriedades geométricas de uma transformação linear que poderia não ser tão óbvia a partir de sua representação canônica. A transformação de matrizes para uma forma diagonal é muito importante matematicamente. Você utilizará esse recurso em problemas sobre vibrações e estruturas, reconhecimento facial e de impressões digitais e também na área da Estatística.

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

OBJETIVOS » » Representar transformações lineares por meio de matrizes diagonais em relação à determinada base. » » Determinar matrizes ortogonais que diagonalizam matrizes simétricas. » » Reconhecer formas quadráticas no plano reduzidas à forma canônica.

8.1 BASE DE AUTOVETORES Dada uma transformação linear T: V → V, você deverá obter uma base, e a matriz em relação a essa base deve ser uma matriz diagonal. Essa é a forma mais simples de representarmos uma transformação.

Figura 71 - Surgimento da diagonalização. Fonte: Ferreira (2014).

Lembre-se de que um operador linear é um caso particular de uma transformação linear.

Exemplo: Sejam os dois operadores lineares representados matricialmente como:

0 1  1 0

T= 

132

 1 1   0 1

S= 

AULA 8 - DIAGONALIZAÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Seus respectivos polinômios característicos são: ∆(T) = λ² – 1 ∆(s) = (1 - λ)², cujas raízes são 1 e – 1 para ∆(T) e 1 (raiz dupla) para ∆(S). Além disso, você pode perceber que são autovetores LI de T: u = (1, 1), associado a λ = 1 v = (1, – 1) relacionado a λ = – 1 Desta forma, {(1, 1), (1, – 1)} é uma base para o espaço R². De outra maneira, quando olhamos para S, observamos que seus autovetores devem satisfazer a condição S(x, y) = (x, y), ou seja, (x + y, y) = (x, y), que é equivalente ao sistema:

x + y = x  y = y cuja solução geral é y = 0. Logo, percebe-se que o subespaço próprio de S é formado, então, pelos múltiplos do vetor (1, 0) e, portanto a sua dimensão é 1. Em outras palavras, é impossível caracterizar uma base para R² com autovetores de S, de forma contrária ao que você viu com T. Para T, se B = {(1, 1), (1, – 1)}, então:

1 0  TB =    0 −1 1 1    1 −1 a matriz mudança de base da base canônica {(1, 0), (0, 1)} Observe que, sendo M =  para a base B, temos que:

 1 0  −1  −1 −1  0 1  1 1    = 2 .  −1 1  .  1 0  . 1 −1      0 −1 Ou seja, podemos escrever que:

TB = M −1.T .M Resumindo, existe uma base do R² em relação à qual a matriz de T é diagonal. Note que isso não acontece com a matriz de S. Também é possível dizer que a matriz de T é semelhante a uma matriz diagonal, o que não acontece com a de S.

Sendo A e B duas matrizes quadradas para as quais existe uma matriz −1 inversível P tal que B = P . A.P , então dizemos que B é semelhante a A.

133

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Você verá mais adiante a definição formal de operador diagonalizável. Antes, porém, é importante que você preste atenção em duas observações importantes. » » Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes. » » Se V é um espaço vetorial de dimensão finita n e T: V → V é um operador linear que possui n autovetores distintos, então V possui uma base cujos vetores são todos autovetores de T.

Se conseguirmos encontrar tantos autovetores diferentes quanto for a dimensão do espaço vetorial em questão, podemos garantir a existência de uma base de autovetores.

8.2 OPERADOR DIAGONALIZÁVEL Considere V um espaço vetorial de dimensão finita e T: V → V um operador linear. Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T. Assim, se B = { e1 , e2 ,..., en } for uma base formada de autovetores de T, então:

 λ1 0  0 λ2 TB =   ... ...  0 0

... ...

0  0 ... ...   ... λn 

Em que λ1 , λ2 ,..., λn são os autovalores de T. Logo, podemos escrever o polinômio característico de T, como segue:

λ1 − λ ∆(T ) =

0 ... 0

0 ... λ2 − λ ... ... 0

0 0

... ... ... λn − λ

= (λ1 − λ ).(λ2 − λ )...(λn − λ )

Assim, ∆(T) se escreve como um produto de fatores lineares.

Os números λ1 , λ2 ,..., λn são dois a dois distintos, ou seja, para cada par de valores λi , λ j com i ≠ j, então λi ≠ λ j .

134

AULA 8 - DIAGONALIZAÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Para organizar de uma forma mais simples a ideia para diagonalizar uma matriz e, consequentemente, um operador, você pode seguir o algoritmo descrito a seguir, chamado de Algoritmo da Diagonalização. Veja a sequência de passos desse procedimento, tendo como entrada uma matriz A quadrada de ordem n. Passo 1: Encontre o polinômio característico ∆(A) de A. Passo 2: Caracterize as raízes de ∆(A) para obter os autovalores de A. Passo 3: Repita (a) e (b) para cada autovalor λ de A. a) Forme M = A – λI, subtraindo λ da diagonal de A, ou forme M’ = λI – A fazendo t = λ em tI – A. b) Ache uma base para o espaço solução do sistema homogêneo MX = 0. Note que os vetores da base são autovetores linearmente independentes de A pertencentes a λ. Passo 4: Considere o conjunto S = { v1 , v2 ,..., vm } de todos os autovalores obtidos no Passo 3. a) Se m ≠ n, então A não é diagonalizável. b) Se m = n, sendo P a matriz cujas colunas são os autovetores v1 , v2 ,..., vm . Então:

 λ1 0  0 λ2 −1 P .A. P D= =  ... ...  0 0 Em que

... 0   ... 0  ... ...   ... λn 

λi é o autovalor correspondente ao autovetor vi .

Figura 72 - Passos do Algoritmo da Diagonalização. Fonte: Ferreira (2014).

4 2    Exemplo: Considere a matriz A =  3 −1 . A é diagonalizável? Solução: Aplique o Algoritmo da Diagonalização para resolver o problema. Neste caso, temos que: 1) o polinômio característico de A é ∆(A) =

t − 4 −2 = t² – 3t – 10 = (t – 5).(t + 2) −3 t + 1

135

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Lembre-se da Aula 7: você pode considerar trA = 4 – 1 = 3 e detA = – 4 – 6 = – 10, logo ∆ (A) = (t – 5).(t + 2).

2) realize a operação ∆(A) = (t – 5).(t + 2) = 0. As raízes λ1=5 e λ2=-2 são os autovalores de A. 3) siga os passos: a) encontre um autovetor v1 de A pertencente ao autovalor λ1=5.

 −1 2    3 −6  . Os autovetores pertencentes Subtraia λ1=5 da diagonal de A, obtendo a matriz M =  a λ1=5 constituem a solução do sistema homogêneo MX = 0, isto é:

 −1 2   x   0    .  =    3 −6   y   0 

− x + 2 y = 0  3 x − 6 y = 0

– x + 2y = 0

O sistema tem apenas uma solução independente, por exemplo, x = 2 e y = 1. Assim, v1 = (2, 1) é um autovetor que gera o autoespaço de λ1=5;

6 2   3 1 Com raciocínio similar, subtraia – 2 (ou some 2) da diagonal de A, obtendo a matriz M =  , b) encontre um autovetor v2 de A pertencente ao autovalor λ2=-2.

que nos dá o sistema homogêneo:

6 x + 2 y = 0  3 x + y = 0

3x + y = 0

O sistema tem apenas uma solução independente, por exemplo, x = – 1 e y = 3. Assim, v2 = (– 1, 3)  2 −1 é um autovetor que gera o autoespaço de λ2=-2.



4) seja P a matriz cujas colunas são os autovalores citados: P =  1

 3  7 P −1 =   −1   7

 3  . Daí:

1 7  2  7

−1 D = P .A.P é a matriz diagonal cujos elementos diagonais são os respectivos autovalores:

 3  7 −1 D = P .A.P =  −1    7

1 7   4 2   2 −1  5 0       2  .  3 −1 .  1 3  =  0 −2   7

Consequentemente, A admite a “fatoração diagonal” dada por:

136

AULA 8 - DIAGONALIZAÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES

A = P.D.P −1

 3 2 − 1 5 0      7 =      1 3  .  0 −2  .  −1   7

1 7  2  7

Ou seja, concluímos que A é diagonalizável. Exemplo: Seja T: R³ → R³ a transformação linear cuja matriz em relação à base canônica B é  3 −3 4  . T é diagonalizável?

 TB =  0 0 

3 0

 5 −1

Solução: Primeiramente, note que ∆(T) = (3 – λ)².( – 1 – λ), logo os autovalores são λ1=3 e λ2=-1. Daí, associado a λ1=3, conseguimos um único autovetor LI, por exemplo, v = (1, 0, 0). Com relação a λ2=-1, temos o autovetor LI, u = (– 1, – 20, 16). Desta maneira, temos apenas dois autovetores LI para T e, portanto, não existe uma base de R³constituída só de autovetores. Em outras palavras, entendemos que, em nenhuma base, a matriz de T é uma matriz diagonal. Ou seja, T não é diagonalizável.

8.3. DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES REAIS SIMÉTRICAS Como você acabou de ver, existem matrizes reais A que não são diagonalizáveis. Na verdade, algumas dessas matrizes podem não ter quaisquer autovalores reais. Ou seja, temos casos extremos em que não podemos determinar os autovalores de uma dada matriz e, consequentemente, de uma transformação linear. Porém, existem situações nas quais isso não acontece: quando há uma matriz simétrica. Uma t matriz A é dita simétrica quando a sua transposta é igual a ela mesma, ou seja, se A = A . Além t −1 disso, dizemos que A é uma matriz ortogonal se A = A . Desta forma, tenha em mente algumas observações importantes. a) Se A é uma matriz real simétrica, então cada raiz λ de seu polinômio característico é real. b) Seja A uma matriz real simétrica. Suponha u e v autovetores não nulos de A pertencentes a autovalores distintos λ1 e λ2. Então, u e v são ortogonais, isto é, <u, v> = 0. c) Se A é uma matriz real simétrica, então existe uma matriz ortogonal P tal que D = P-1 . A.P é diagonal. 2 −2

  −2 Exemplo: Sendo A = 

  5  , determine uma matriz ortogonal P tal que P-1 . A.P seja diagonal.

Solução: Aqui, temos trA = 2 + 5 = 7 e detA = 10 – 4 = 6, logo: ∆(A) = t² – 7t + 6 = (t – 6).(t – 1) é o polinômio característico de A. Os autovalores de A são 6 e 1. Agora, encaixe λ = 6 na matriz λI – A, obtendo o sistema homogêneo de equações lineares a seguir.

137

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

4x + 2y = 0

2x + y = 0

Uma solução não nula é v1 = (1, –2). Em seguida, faça λ = 1 na matriz λI – A, obtendo o sistema homogêneo correspondente: – x + 2y = 0

2x – 4y = 0

Uma solução não nula é v2 = (2, 1).

Note que v1 e v2 são ortogonais, como declaramos anteriormente em (a).

Normalizando v1 e v2, você obtém os vetores ortonormais:

 1 −2  u1 =  ,   5 5 Finalmente, seja P a matriz cujas colunas são

  P=    

1 5 −2 5

2  5  1   5

 2 1  u2 =  ,   5 5

u1 e u2 , respectivamente. Então:

6 0 P −1.A.P =   0 1

8.4. APLICAÇÃO ÀS FORMAS QUADRÁTICAS Existem várias aplicações no contexto da Engenharia que dependem da noção de forma quadrática e forma bilinear, já que a diagonalização de matrizes e operadores é necessária para a resolução de tais problemas. Entre as várias situações que demandam de tais conceitos, estão a descrição do algoritmo de montagem do carro matemático – que constitui uma modelagem matemática do protótipo de um carro – e o tratamento de sistemas dinâmicos. Outro exemplo peculiar da importância das formas quadráticas diz respeito à geração de imagens por satélites do globo terrestre. Temos alguns satélites que sobrevoam cada quilômetro quadrado da Terra em 16 dias, enviando imagens que podem ser utilizadas por empreiteiros, urbanistas e engenheiros para estudar a taxa e a direção do crescimento urbano, do desenvolvimento industrial e outras variações no uso da terra. Com essas imagens, pode-se analisar a umidade do solo, classificar a vegetação em regiões remotas e localizar lagos e rios em seus interiores. Os governos podem detectar e avaliar danos causados por desastres naturais, como incêndios florestais, movimentos de lava, inundações e ciclones. Nesses equipamentos, cada imagem é digitalizada e armazenada na forma de uma matriz retangular, que pode ser visualizada como uma transformação linear na qual cada elemento indica a intensidade do sinal em um pequeno ponto correspondente (ou pixel) na imagem. Para

138

AULA 8 - DIAGONALIZAÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES

a finalização do processo, leva-se em consideração o que chamamos de forma quadrática, que é definida formalmente a seguir. Considere U e V dois espaços vetoriais sobre R. Uma função f: U x V → R é uma forma bilinear se, e somente se: » » f(u1 + u2, v) = f(u1 , v) + f(u2, v) » » f(au, v) = a.f(u, v) » » f(u, v1 + v2) = f(u, v1) + f(u, v2) » » f(u, av) = a.f(u, v) para quaisquer vetores u, u1 e u2 em U e v, v1 e 21 de V e para todos os escalares a reais. Uma forma bilinear simétrica é uma forma bilinear de tal forma que f(u, v) = f(v, u) para todo par de vetores (u, v) em V x V. Daí, sendo f: V x V→R uma forma bilinear simétrica, considere a função qf: V → R definida por qf (V) = f(v,v) para todo v em V. Essa função de uma variável, que podemos por comodidade representar por q, é denominada forma quadrática de V associada à forma bilinear f. Veja alguns exemplos. 1) É uma forma quadrática do R² a função f definida por: 2 2 q( x1 , x2 ) = x1 + x2

2) É uma forma bilinear simétrica do R³ a função f definida como: f(u, v) = x1 y1 + 2 x2 y2 + 3 x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 em que u = ( x1 , x2 , x3 ) e v = ( y1 , y2 , y3 ). Podemos visualizar uma forma bilinear no formato matricial. Considere U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n, respectivamente. Tome uma base B = { u1 , u2 ,..., um } de U e uma base C = { v1 , v2 ,..., vn } de V. m

Se u = ∑ ai ui ∈ U e v = i =1

∑b v j =1

n  m  a u , f(u, v) = f  ∑ i i ∑ b j v j  = j =1  i =1 

∈ V , então: n

∑∑ a b i =1 j =1

f (ui ,v j )

Logo, a matriz m x n dada por:

 f (u1 , v1 )  ( f (ui , v j )) =  ...  f (u , v ) m 1 

f (u1 , v2 ) ... ... ... f (um , v2 ) ...

f (u1 , vn )   ...  f (um , vn ) 

é chamada matriz da forma bilinear de f em relação às bases B e C. Exemplo: Sejam u = ( x1 , x2 ) e v = ( y1 , y2 , y3 ) vetores genéricos do R² e do R³, respectivamente. A função f: R² x R³ → R dada por f(u, v) = x1. y1 + 3 x1. y2 − x1. y3 + x2 . y1 − 3 x2 . y3 é uma forma bilinear. Assim, vamos encontrar a sua matriz em relação às bases canônicas.

139

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Solução: Neste caso, como: f((1, 0), (1, 0, 0)) = 1, f((1, 0), (0, 1, 0) = 3, f((1, 0), (0, 0, 1) = – 1 f((0, 1), (1, 0, 0)) = 1, f((0, 1), (0, 1, 0) = 0, f((0, 1), (0, 0, 1) = – 3 A matriz é dada por:

1 3 −1    1 0 −3  T Uma forma quadrática real q( x1 , x2 ,..., xn) pode ser escrita na forma matricial q(X) = X . A. X , T em que X = ( x1 , x2 ,..., xn ) e A é uma matriz simétrica real.

Note também que, por uma mudança de variáveis X = PY, em que Y = ( y1 , y2 ,..., yn ) e P é uma matriz inversível, a forma quadrática pode ser reescrita como: T q(Y) = Y .B.Y T com B = P .A.P . Observe que, se P for uma matriz ortogonal, então PT = P-1. Nesse caso, B = T P .A.P = P −1. A.P .

A matriz de f em relação à base canônica do R³ é:

1 1 0   A = 1 2 0  0 0 3   que é uma matriz simétrica. A forma quadrática associada a f é a função:

x12 + 2 x22 + 3 x32 + x1 x2 + x2 x1

 5 −3    −3 8  . Exemplo: Encontre a forma quadrática q(x, y) correspondente à matriz simétrica A =  q(v) =

Solução: Para encontrar a forma quadrática q(x, y), escreva a igualdade:

 5 −3   x     = (5x – 3y, – 3x + 8y).  −3 8   y 

q(x, y) = (x, y). 

 x   = 5.x² – 3xy – 3xy + 8y²  y

Ou seja, q(x, y) = 5x² – 6xy + 8.y² Exemplo: Vamos determinar a matriz simétrica A correspondente à forma quadrática: q(x, y, z) = 3x² + 4xy – y² + 8xz – 6yz + z² Solução: Note que a matriz simétrica A = ( aij ) que representa q( x1 , x2 ,..., xn ) tem o elemento 2 diagonal aij igual ao coeficiente de xi e tem os elementos aij e a ji com cada um deles na metade do coeficiente de xi x j , logo:

3 2 4    A =  2 −1 −3   4 −3 1   

140

AULA 8 - DIAGONALIZAÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Assim, percebe-se que o método da diagonalização de uma matriz simétrica A discutido anteriormente pode ser utilizado para diagonalizar uma forma quadrática q, sob uma mudança ortogonal de coordenadas. Observe o Algoritmo da Diagonalização Ortogonal. Passo 1: Encontre a matriz simétrica A que representa q e determine seu polinômio característico∆(A). Passo 2: Ache os autovalores de A que são raízes de ∆(A). Passo 3: Para cada autovalor λ de A no Passo 2, ache uma base ortogonal de seu autoespaço. Passo 4: Normalize todos os autovetores no Passo 3, o que forma uma base ortonormal para Rn. Passo 5: Considere P uma matriz cujas colunas são os autovetores normalizados no Passo 4. Então, X = PY é a mudança ortogonal de coordenadas procurada, e os elementos diagonais de PT .A.P serão os autovalores λ1 , λ2 ,..., λn que correspondem às colunas de P.

Figura 73 - Elementos importantes para aplicação das formas quadráticas. Fonte: Ferreira (2014).

 11 −8 4    Exemplo: Para aplicar os passos descritos, considere A =  −8 −1 −2  . Encontre:  4 −2 −4    a) o polinômio característico ∆ (A) de A; b) os autovalores de A ou, em outras palavras, as raízes de ∆ (A); c) um conjunto máximo S de autovetores ortogonais não nulos de A; −1 d) uma matriz ortogonal P tal que P AP seja diagonal.

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

Solução: a) Temos:

3−t

−1 − t

∆(A) = det (A – tI) = 2

−3

−3 = t³ – 6.t² – 135.t – 400 1− t

b) Se ∆(A) tem uma raiz racional, ela deve dividir 400. Fazendo o teste para t = – 5, obtemos que: ∆(A) = (t + 5)(t² – 11t – 80) = (t + 5)².(t – 16) Consequentemente, os autovalores de A são λ= – 5 (com multiplicidade 2) e λ = 16 (com multiplicidade 1). c) Encontre uma base ortogonal para cada autoespaço. Subtraindo λ = – 5 na diagonal de A, obtemos o sistema homogêneo: 16x – 8y + 4z = 0

– 8x + 4y – 2z = 0

4x – 2y + z = 0

Isto é, 4x – 2y + z = 0. O sistema tem duas soluções LI. Uma solução é v1 = (0, 1, 2). Vamos procurar outra solução v2 = (a, b, c) que seja ortogonal a v1, ou seja, tal que: 4a – 2b + c = 0 e também b – 2c = 0 Em que tal solução é v2 = (– 5, – 8, 4). Subtraindo λ = 16 na diagonal de A, obtemos o sistema homogêneo: – 5x – 8y + 4z = 0

– 8x – 17y –2z = 0

4x – 2y – 20z = 0

Esse sistema admite uma solução não nula v3 = (4, – 2, 1). Note que v3 é ortogonal a v1 e v2. Logo, {v1, v2, v3} formam um conjunto máximo de autovetores ortogonais não nulos de A. d) Normalize v1, v2, v3 obtendo a base ortonormal como segue:

 1 2 , u1 =  0, ,  5 5 

−8 4   −5 u2 =  , ,   105 105 105 

Então, P é a matriz cujas colunas são u1, u2, u3. Assim: P=  0 

      

142

1 5 2 5

−5 105 −8 105 4 105

4   21  −2   21  1   21 

 −5    −5 P −1 AP =     16  

−2 1   4 u3 =  , ,   21 21 21 

AULA 8 - DIAGONALIZAÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES

8.5 POLINÔMIO MÍNIMO OU POLINÔMIO MINIMAL Considere A uma matriz quadrada sobre R. Vamos denotar por J(A) a coleção de todos os polinômios f(t) para os quais f(A) = 0. Note que J(A) é não vazio, pois o polinômio característico ∆(A) pertence a J(A). Considere m(t) o polinômio mônico de menor grau em J(A). Então m(t) é o polinômio mínimo de A.

Polinômio mônico: um polinômio é dito mônico quando o seu coeficiente líder for igual a 1.

A partir dessa definição, podemos fazer algumas considerações. a) O polinômio mínimo de A divide todo polinômio que tem A como raiz. Em particular, m(t) divide o polinômio característico ∆(A) de A. b) Os polinômios característicos e polinômio mínimo de uma matriz A têm os mesmos fatores irredutíveis. c) Um escalar λ é um autovalor de uma matriz A se, e somente se, λ for uma raiz do polinômio mínimo de A.

 2 2 −5    Exemplo: Ache o polinômio mínimo m(t) de A = 3 7 −15 .    1 2 −4   

Solução: Primeiramente, encontre o polinômio característico ∆(A) de A:

t −2 ∆(A) = −3

−1

t − 7 15 = t ³ − 5.t ² + 7t − 3 = (t − 1)².(t − 3) −2 t + 4

O polinômio mínimo m(t) deve dividir ∆(A). Assim, cada fator irredutível de ∆(A), isto é (t – 1) e (t – 3), deve também ser um fator de m(t), pois m(t) é exatamente um dos seguintes: f(t) = (t – 3).(t – 1)

g(t) = (t – 3).(t – 1)²

Pelo Teorema de Cayley-Hamilton discutido na Aula 7, sabemos que g(A) = ∆(A) = 0. Logo, basta testar f(t). Temos que:

 1 2 −5   −1 2 −5   0 0 0       f(A) = (A – I).(A – 3I) = 3 6 −15 . 3 4 −15 = 0 0 0       1 2 −5   1 2 −7   0 0 0      

Dessa forma, f(t) = m(t) = (t – 1).(t – 3) = t² – 4t + 3 é o polinômio mínimo de A.

143

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

O polinômio mínimo deve dividir o polinômio característico.

8.6 POLINÔMIO MÍNIMO E MATRIZES DIAGONAIS EM BLOCOS Quando relacionamos o polinômio mínimo com matrizes diagonais por blocos, há a seguinte observação a ser considerada: sendo M uma matriz diagonal em bloco, com blocos diagonais A1 , A2 ,..., Ar , então o polinômio mínimo de M é igual ao mínimo múltiplo comum (MMC) dos polinômios mínimos dos blocos diagonais Ai . Exemplo: Determine o polinômio característico ∆ (A) e o polinômio mínimo m(t) da matriz

2  0 A = 0  0 0 

5 2 0 0 0

0 0 4 3 0

0 0 2 5 0

0  0 0.  0 7 

Solução: Primeiro observe que A é uma matriz diagonal em blocos, com blocos diagonais:

2 5 A1 =    0 2  4 2 A2 =   3 5

A3 = (7) Então, ∆(A) é o produto dos polinômios característicos ∆1(A), ∆2 (A) e ∆3 (A) de A1 , A2 e A3 , respectivamente. Como A1 e A3 são triangulares, ∆1 (A) = (t – 2)² e ∆3 (A) = (t – 7). Assim, ∆2 (A) = t² – (tr A2 ) + det( A2 ) = t² – 9t + 14 = (t – 2).(t – 7) Logo, ∆(A) = (t – 2)³.(t – 7)². Além disso, os polinômios mínimos m1 (t), m2 (t) e m3 (t) dos blocos diagonais A1 , A2 e A3 , respectivamente, são iguais aos polinômios característicos, isto é:

m1 (t) = (t – 2)²,

m2 (t) = (t – 2).(t – 7)

e m3 (t) = t – 7

Porém, m(t) é igual ao MMC de m1 (t), m2 (t) e m3 (t). Assim, m(t) = (t – 2)².(t – 7).

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AULA 8 - DIAGONALIZAÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES

A diagonalização de operadores lineares é muito utilizada no estudo de equações diferenciais ordinárias e de sistemas dinâmicos contínuos, que podem fornecer informações importantes em projetos de Engenharia em geral. Um exemplo prático é o estudo de vibrações, detalhado por Boldrini e Figueiredo (1980). Por exemplo, imagine dois corpos de dimensões desprezíveis e m m massas 1 e 2 , respectivamente, presos a 3 molas de constantes elásticas k1, k2 e k3, como mostra a imagem a seguir.

Figura 74 - A disposição geométrica do exemplo. Fonte: Boldrini e Figueiredo (1980, p. 203).

Supondo que o movimento só ocorra na direção horizontal, como podemos estudar a posição dos dois corpos em função do tempo a partir de uma posição diferente da de equilíbrio? Para responder a essa pergunta, inicialmente temos de considerar x e y como os deslocamentos horizontais em relação à posição de equilíbrio de m1 e m2 e lembrarmos as Leis de Newton, que nos dizem que o produto da massa pela aceleração é igual à força aplicada. Além disso, a força que uma mola exerce é igual à força aplicada subtraindo o produto da sua constante de elasticidade pelo deslocamento em relação à posição de equilíbrio. A partir daí, para chegar à descrição final da posição dos dois corpos, é preciso trabalhar diretamente com a noção de autovalores, autovetores e com a representação matricial de operadores e sistemas. Você também precisará, no entanto, de conhecimentos de Cálculo Diferencial e Integral. Com esse exemplo rápido, ainda sem se preocupar com os cálculos, você pode ter uma ideia de como os procedimentos teóricos desta aula podem ajudar o engenheiro em diversas situações do seu cotidiano.

CONCLUSÃO Nesta aula você trabalhou com os aspectos teóricos relacionados à diagonalização de matrizes e à diagonalização de operadores lineares, que constituem aplicações diretas envolvendo os autovalores e autovetores. Lembre-se de que a transformação de matrizes para uma forma diagonal é muito importante em problemas sobre vibrações e estruturas, reconhecimento facial e de impressões digitais e também na área da Estatística para a interpretação de dados. Observe que, no desenvolvimento destas situações, é de fundamental importância a descrição dos autovalores relacionados a operadores lineares, que nos levam aos autovetores associados que nos permitem diretamente estudar a posição dos corpos em função do tempo a partir de uma posição distinta da de equilíbrio. De outro modo, a Criptografia, que é o estudo dos códigos, também trabalha diretamente com a parte da diagonalização de operadores, que servem como alicerce para a criação de fontes de codificação mais seguras. 145

ENCERRAMENTO

CARTA DE ENCERRAMENTO Você viu, ao longo desta disciplina, que as ferramentas da Álgebra Linear e da Geometria Analítica são importantes como componente teórico e prático para o engenheiro, funcionando como alicerces para a resolução de problemas simples e complexos da profissão. O conhecimento das grandezas vetoriais, por exemplo, é um instrumento importante na constituição de referenciais e na busca por ferramentas que ajudem na representação de movimentos específicos sobre corpos. Já o tratamento geométrico sobre curvas e superfícies no espaço vai ajudá-lo a resolver problemas de planificação de superfícies associados às indústrias metalúrgicas. Você poderá, por exemplo, descrever novos modelos de elevadores e automóveis. Além disso, grande parte dos problemas matemáticos que são encontrados em aplicações científicas e industriais exigem a resolução de sistemas lineares em alguma de suas etapas. As funções ou transformações lineares, por sua vez, descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis, só que agora no mundo dos espaços vetoriais. Você usará esses conhecimentos no estudo de projetos caóticos e de sistemas de controle. A partir dos tópicos teóricos discutidos, você terá um embasamento maior para discutir, interpretar e resolver problemas que são amplamente visualizados não só na Matemática, Física e Engenharia, mas nas diversas áreas do conhecimento. Lembre-se: nunca deixe de buscar novas situações. Assim, você continuará desvendando o maravilhoso mundo da Matemática Aplicada à Engenharia, aprimorando novas teorias para resolução de problemas na sua área de atuação.

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