GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Autor: Alessandro Ferreira
Universidade Anhembi Morumbi
Universidade Salvador
Janes Fidelis Tomelin Diretor de EaD
Adriano Lima Barbosa Miranda Diretor de Educação Corporativa e Novos Projetos
Fabiano Prado Marques Diretor Acadêmico – Escola de Engenharia e Tecnologia
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Alex Soares Caldas Revisor Técnico
Universidade Potiguar
Rede Laureate Internacional de Universidades
Barney Vilela Coordenador Geral do Núcleo de Coordenação a Distância Catarina de Sena Pinheiro Diretora da Escola de Engenharia e Ciências Exatas Raimundo Cícero Araújo Montenegro Revisor Técnico
Daniella Loureiro Koncz Coordenadora de Novos Negócios André Torres Gregório Designer Instrucional
FabriCO Projeto educacional Projeto gráfico Autoria do conteúdo Revisão ortográfica e gramatical
Unit 1 - Introductions
SUMÁRIO AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES....................................................................................... 5 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 5 OBJETIVOS................................................................................................................ 6 1.1 Segmento Orientado.................................................................................... 6 1.2 O conceito formal de vetor.......................................................................... 9 1.3 Multiplicação por escalar........................................................................... 12 1.4 Adição de vetores...................................................................................... 13 1.5 Representação analítica de vetores.......................................................... 14 1.6 Produtos entre vetores.............................................................................. 23 CONCLUSÃO........................................................................................................... 30
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AULA 1 O Estudo dos Vetores
INTRODUÇÃO A Geometria Analítica, criada por René Descartes (1596-1650), é a parte da Matemática que trata de resolver problemas cujo enunciado é geométrico com o emprego de processos algébricos. Essa integração da Geometria com a Álgebra é muito rica em seus resultados, em suas propriedades e em suas interpretações. As aplicações da Geometria Analítica à Engenharia são muitas. Por exemplo, a Ford Motor Company tem economizado milhões de dólares a cada ano em projetos assistidos por computador através do uso de vetores, grandezas vetoriais e propriedades associadas, assuntos que você vai estudar nesta aula. A partir de agora, você estudará os vetores como instrumento importante na constituição de referenciais e na busca por ferramentas que nos levem a representar movimentos específicos sobre corpos. Você também conhecerá as principais operações, como o produto escalar e vetorial.
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
OBJETIVOS Os objetivos de aprendizagem desta aula são: » » compreender o conceito de vetor; » » representar vetores analítica e geometricamente em duas e três dimensões; » » operar vetores entre si e com escalares, segundo adição, multiplicação por escalar, produto escalar, produto vetorial e produto misto.
1.1 SEGMENTO ORIENTADO Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares ficam completamente definidas por um número real acompanhado de uma unidade adequada. Como exemplo, estão o comprimento, a área, o volume, a massa e a temperatura. As grandezas vetoriais, para serem devidamente caracterizadas, necessitam também de módulo, direção e sentido. Força, velocidade e aceleração são exemplos desse tipo de grandeza. Desta forma, os vetores são apresentados na formação básica como grandezas que têm direção, sentido e comprimento. Você se lembra das forças resultantes em Física? Elas são representadas, em geral, por vetores reunidos pela origem. A figura mostra um exemplo:
Figura 1 - Forças na física. Fonte: Ferreira (2014).
O conceito de vetor é, no ponto de vista da Geometria Analítica e da Álgebra Linear, mais do que apenas um ente geométrico como na Física. Portanto, você será apresentado à construção passo a passo de uma forma diferente de conceber vetor, o que dá sentido a muitas das situações enfrentadas por você até o momento. É necessário retomar considerações sobre ponto, reta e plano. Euclides de Alexandria (século IV a.C.) estabeleceu sistemas axiomáticos da Geometria a partir de noções primitivas desses elementos.
Axiomas são proposições primitivas aceitas como verdadeiras sem demonstrações. Os axiomas também são chamados de postulados ou proposições primitivas.
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AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES
Segundo a definição dada pelo pai da Geometria, Euclides (1855, p. 121), no seu livro “Elementos”, “[...] ponto é o que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma. Além disso, encontramos que reta “[...] é o que tem comprimento sem largura”. Uma versão traduzida da obra está disponível no endereço: <http://www.mat. uc.pt/~jaimecs/euclid/elem.html>.
Para estudar os vetores, adotaremos as noções de ponto, reta e plano. Segundo Dante (2011), temos um conhecimento intuitivo de cada um destes entes, decorrente da experiência e da observação. Para representá-los, siga as regras. a) Letras: Ponto – letras maiúsculas latinas: A, B, C, ... Reta – letras minúsculas latinas: a, b, c, ... Plano – letras gregas minúsculas: α, β, γ, ... b) Notações Gráficas: P ·
Figura 2 - Os entes primitivos. Fonte: Ferreira (2014).
Agora, podemos iniciar o estudo dos vetores com a definição de segmento orientado de reta. Um segmento orientado de reta é determinado por dois pontos, sendo o primeiro a origem do segmento e o segundo, a extremidade. Assim, dados os pontos A e B, denota-se o segmento orientado de reta que tem origem em A e extremidade em B por AB.
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Figura 3 - O segmento orientado. Fonte: Ferreira (2014).
Indicamos o segmento por uma flecha para que você possa identificar a origem e a extremidade. Neste caso, o segmento AB parte de A e termina em B. Os elementos que caracterizam um segmento orientado são: direção, sentido e comprimento. Este segmento pertence a uma reta que o contém. Logo, ao falarmos em direção de um segmento orientado, fala-se na direção desta reta. É uma referência, por exemplo, pelas posições vertical e horizontal, assim como 45 graus em relação ao eixo horizontal. O sentido de um segmento orientado é, fixada a sua direção, a referência ao caminho da origem para a extremidade. Por exemplo, um segmento orientado AB tem o sentido de A para B, enquanto BA tem sentido de B para A. Observe os segmentos das figuras a seguir.
Figura 4 - Caracterização de um segmento orientado. Fonte: Winterle (2000).
Ao fixar uma unidade de medida (u.m.), por exemplo, 1 centímetro, o comprimento de um segmento orientado é igual à quantidade de vezes que essa unidade compõe o segmento. A partir do conceito de segmento orientado, para chegar ao conceito proposto para vetor, é importante definir uma relação importante entre segmentos orientados.
Figura 5 - Mais exemplos de segmentos orientados. Fonte: Winterle (2000).
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AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES
1.1.1 Equipolência entre segmentos orientados Dois segmentos orientados são ditos equipolentes sempre que têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Observe.
Figura 6 - Segmentos orientados equipolentes. Fonte: Steinbrush; Winterle (1987).
A relação de equipolência satisfaz três propriedades que a caracterizam como equivalência. Ou seja, segmentos equipolentes são equivalentes. São elas: » » propriedade reflexiva: um segmento orientado AB é equipolente a ele mesmo, ou seja, AB~AB; » » propriedade simétrica (simetria): dados dois segmentos orientados AB e CD, se AB~CD então CD~AB; » » propriedade transitiva: considerando segmentos orientados AB, CD e EF, se AB~CD e CD~EF, então AB~EF.
1.2 O CONCEITO FORMAL DE VETOR Imagine um segmento orientado AB qualquer e um conjunto formado por todos os segmentos orientados equipolentes a ele. É possível preencher, por exemplo, toda uma página de um livro com segmentos orientados equipolentes, não é mesmo? Nestas condições, o conjunto de todos os equipolentes a AB, incluindo-o, é chamado vetor AB.
Notação: v ou AB .
Em síntese, um vetor v é um representante de um conjunto de segmentos orientados equipolentes. Este conjunto é também chamado classe de equivalência de v. É essa forma de conceituar vetor que permite, por exemplo, agrupar duas forças que atuam sobre um corpo de forma a determinar a sua resultante. Ao reunir tais forças com origens coincidentes, você não está transpondo as forças para outra posição. Na verdade, como a força é um vetor (portanto, um segmento orientado), você considera um equipolente a ele na posição desejada.
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Figura 7 - Resultante entre vetores. Fonte: Winterle (2000).
Os vetores podem também ser usualmente denotados por letras minúsculas, tais como u,v e w. É importante destacar que o vetor é um representante do conjunto que o constitui. No entanto, qualquer segmento orientado pertencente ao conjunto pode ser também um representante desta classe de equivalência.
Exercite sua habilidade de abstração e busque elementos em sua imaginação para consolidar a construção apresentada para o conceito de vetor.
v O comprimento do vetor v também é chamado de módulo de v e é denotado por . Segue do Teorema de Pitágoras o módulo de um vetor pode ser calculado usando as suas componentes, que 2 v = (v1 , v2 ) , então: v ∈ � por exemplo, se com v = v12 + v22 Desta forma, um vetor é dito unitário se o seu comprimento for igual a 1 unidade de medida. É importante destacar que todo vetor está associado a outro de mesma direção, mesmo sentido e 1 unitário associado é chamado versor. Observe na figura a unidade de comprimento. Este vetor u u 1 seguir que os vetores são e 2 unitários.
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Figura 8 - Versor. Fonte: Steinbrush; Winterle (1987).
Quanto à posição de um vetor em relação a outros, destacamos três situações importantes: a) sempre que dois vetores têm mesma direção são ditos colineares; b) vetores não nulos e pertencentes a um mesmo plano são coplanares;
comprimento, mas sentidos contrários, c) sempre que dois vetores têm mesma direção e mesmo v v são ditos vetores opostos e escrevemos então para denotar o oposto de .
Figura 9 - Vetores coplanares. Fonte: Winterle (2000).
E no caso de vetores não coplanares observe.
Figura 10 - Vetores não coplanares. Fonte: Winterle (2000).
O estudo de vetores foi apresentado, até o momento, em termos geométricos. Mas vivemos em um espaço com três dimensões: largura, comprimento e altura. Por esse motivo, é comum reconhecer esse espaço como tridimensional, ou 3D.
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1.3 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Você deve se lembrar de que grandezas escalares são aquelas que se caracterizam apenas por uma medida (quantidade, comprimento, tempo etc.). Os números reais, por exemplo, são grandezas escalares e agem sobre o módulo de vetores. Multiplicação por escalar significa multiplicar vetores por números reais.
Há multiplicação de vetores por escalares de outra natureza, mas esse é um assunto para a álgebra abstrata. Aqui, nosso escopo requer o conjunto dos números reais.
Considere um vetor v não nulo e um número real a, que pode ser positivo, negativo ou nulo. Assim, o a .v produto resulta em um vetor com comprimento vezes o comprimento de , de modo que: a) se a > 0, a .v é um vetor que mantém a mesma direção e sentido de v, mas com comprimento a vezes o comprimento de v; b) se a < 0, a .v é um vetor que mantém a mesma direção, mas com comprimento a vezes o comprimento de v e sentido contrário ao de v; c) se a = 0, a .v resulta no vetor nulo ∅. Por exemplo, para o vetor v a seguir, temos que 2v e –2v, bem como 3v e –3v são vetores que dobram o comprimento de v, mas para a = -2, os sentidos são opostos.
Figura 11 - Multiplicação de um vetor por um escalar. Fonte: Winterle (2000).
É importante destacar que 1v = v. Afinal, a unidade é positiva, o que mantém o sentido de . Por ser a unidade, mantém o comprimento. Já -1v = -v, ou seja, mantém o comprimento, mas inverte o sentido do vetor. Neste caso, diz-se que -v é o vetor oposto de v.
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1.4 ADIÇÃO DE VETORES Considere dois vetores u e v tais que u=AB. Para efetuar a soma u + v, considere os equipolentes aos vetores de tal forma que a extremidade de u coincida com a origem de v e, assim, u+v=AD. Aqui, temos o procedimento padrão para determinarmos a soma entre dois vetores conhecida como regra do triângulo. Da mesma forma, ao somar v + u, tem-se que v + u.
Figura 12 - Adição de vetores. Fonte: Ferreira (2014).
A operação pode envolver qualquer quantidade de vetores. Por exemplo, u + v + w + j. Para isso, você deve agrupar os vetores da mesma forma: a origem de v com a extremidade de u; a origem de w com extremidade de v, e assim por diante.
Figura 13 - Adição de três ou mais vetores. Fonte: Ferreira (2014).
A seguir, são apresentadas algumas destas propriedades, considere os vetores . a) Propriedade Comutativa: u + v = v + u. b) Propriedade Associativa: (u + v )+ w = u + (v + w). Por ser válida a comutatividade, podemos excluir os parênteses, deixando ao seu critério associar as somas à sua escolha: (u + v)+ w = u + (v + w) = u + v + w. c) Existência do elemento neutro da adição de vetores: ∅ + v = v + ∅ = v. d) Existência do oposto de v: o vetor oposto de v é o vetor -v, pois v + (-v ) = (-v )+ v =
.
É bastante comum, em especial na Física, efetuar a soma de vetores u + v por meio de um mecanismo simples que se constitui em considerar equipolentes a u e v com origens coincidentes de modo obter um paralelogramo. Este mecanismo é conhecido como regra do paralelogramo. Neste caso, o vetor u + v coincide com a diagonal deste paralelogramo, onde a origem coincide com a origem de u.
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Figura 14 - Regra do Paralelogramo. Fonte: Ferreira (2014).
O vetor u1 é equipolente a u e v1 equipolente a v. Essas equipolências garantem que a regra do paralelogramo forneça um vetor equipolente à soma u + v. Você pode estar se perguntando sobre a diferença entre vetores. Em geral, a diferença u - v não é definida como outra operação. O que ocorre é a soma pelo oposto, ou seja, u - v = u + (-v). Geometricamente, podemos visualizar u - v pela regra do paralelogramo. Basta considerar os vetores envolvidos conforme a figura, note que o vetor u1 é paralelo a u e tem o mesmo comprimento.
Figura 15 - Adição u + (-v). Fonte: Ferreira (2014).
1.5 REPRESENTAÇÃO ANALÍTICA DE VETORES Esta seção busca representar analiticamente os vetores que pertencem ao espaço em três dimensões. Estamos iniciando o tratamento analítico para vetores no plano e no espaço. Para tal, iniciamos com a construção do sistema cartesiano de eixos coordenados no plano e no espaço.
1.3.1 Sistema de coordenadas Imagine um vetor i unitário, ou seja, com comprimento igual a 1, na direção horizontal com sentido da esquerda para a direita. Ao multiplicarmos i por todos os números reais, incluindo o zero, obtemos vetores que, sobrepostos, dão origem ao eixo horizontal usualmente conhecido como eixo x. Da mesma forma, pense em um vetor unitário j na direção vertical e sentido para cima de modo que a sua origem coincida com a origem do vetor i. Ao multiplicar j por todos os reais, a exemplo do que foi pensado para , tem-se um eixo vertical a que chamamos de modo usual por eixo y.
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AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES
Figura 16 - Os versores i e j do plano euclidiano. Fonte: Winterle (2000).
Associe a construção algébrica do plano cartesiano àquela costumeiramente apresentada na formação básica durante o estudo das relações entre conjuntos e o produto cartesiano ℝ X ℝ.
A reunião das origens dos eixos é conhecida como origem do sistema cartesiano e denota-se por O (0,0). Esse sistema é o marco inicial para a caracterização analítica de vetores. Acompanhe a situação proposta: represente analiticamente o vetor v conforme a figura. Os vetores i e j estão representados juntamente com o sistema cartesiano de eixos.
Figura 17 - Representação analítica de vetor no plano. Fonte: Ferreira (2014).
Para isso, observe que o produto do vetor i por 3i e de j por 2 determina um par de vetores 3i e 2j. Ao somar tais vetores, obtém-se o vetor 3i + 2j. O vetor v pode, nestas condições, ser expresso por v = 3i + 2j. Esta é a representação analítica para o vetor v. Estamos caracterizando-o por meio de uma expressão algébrica! Os vetores 3i e 2j são as componentes ou coordenadas de v. Outra notação equivalente para v = 3i + 2j é v = 3,2. Observe que (3,2) coincide com as coordenadas da extremidade de v.
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Diferencie as representações de ponto e vetor pelo sinal de igual. Os pontos são denotados sem a igualdade. Por exemplo, A(3,-4) . Já os vetores são representados na sua notação. Veja: v = (-4,6).
Generalizando, se multiplicarmos i e j por x e y, respectivamente, temos que: v = xi + yj = (x,y) Neste sentido, os vetores i e j são expressos por: i = 1i + 0j e j = 0i + 1j Caso o vetor tenha origem e extremidade diferentes da origem, as componentes não são determinadas diretamente como foi estabelecido para o vetor com origem em O. Dados dois pontos A e B, formamos AO e OB e determinamos AB com início em A e fim em B. Observe.
Figura 18 - Vetores formados por dois pontos A e B. Fonte: Ferreira (2014).
Logo, o vetor v = AB é a diferença OB - OA. Essa representação se reduz à diferença entre as coordenadas do ponto B e do ponto A, o que permite denotar o vetor v = AB por v = AB = B - A. Para sua melhor compreensão, considere e A(2,5) e B(7,1). O vetor v = AB é representado analiticamente por v = B - A = (7,1)-(2,5)=(5,-4). Observe a figura.
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Figura 19 - Representação analítica de vetores quaisquer. Fonte: Ferreira (2014).
Agora pense na área à sua volta. Não vivemos em planos, mas, sim, em um espaço tridimensional. Os vetores podem ser considerados como elementos desse espaço. Assim, devemos construir a representação destes entes geométricos também nesse contexto. A construção apresentada até o momento é estendida para o espaço utilizando a mesma ideia. Até agora, temos que v = xi + yj. Agora, vamos acrescentar mais um eixo a este plano, que incluirá um novo elemento: a altura. Considere um vetor unitário k com direção vertical. Ao multiplicar k por todos os reais, você vai obter um eixo vertical. Ao coincidir o vetor nulo 0k com a origem do plano cartesiano e com os produtos de reais positivos por k para cima, surge um sistema composto de três eixos, todos ortogonais entre si. Em perspectiva, tem-se a formação conforme a figura.
Figura 20 - Sistema cartesiano tridimensional. Fonte: Winterle (2000).
Para cada par de eixos, temos a formação de um plano ilimitado. Esses planos se interceptam pelos eixos X, Y e Z e cada uma das oito regiões formadas é chamada octante, como na figura a seguir.
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Figura 21 - Octante no ℝ³ Fonte: Winterle (2000).
Desta forma, pode-se perceber que qualquer ponto A neste espaço tridimensional é referenciado por três coordenadas A (xyz), assim como os vetores. Neste caso, diz-se que: Para visualizarmos melhor este aparato geométrico, consideremos o paralelepípedo da figura a seguir, onde o ponto P(2, 4, 3).
Figura 22 - Visualização de pontos no espaço tridimensional. Fonte: Winterle (2000).
Assim, podemos notar que: » » o ponto A possui coordenadas x = 2, y = 0 e z = 0, pois quando o ponto se encontra sobre o eixo dos x y = 0 e z = 0, donde escrevemos A(2, 0, 0). Analogamente, percebe-se que C(0, 4, 0) e E(0, 0, 3); » » temos que B(2, 4, 0), pois aqui o ponto (x, y, z) está no plano xy e assim z = 0. Similarmente, F(2, 0, 3) (no plano xz) e D(0, 4, 3) (no plano yz).
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Vejamos os casos especiais dos pontos pertencentes aos eixos e aos planos coordenados como podemos verificar na figura a seguir.
Figura 23 - Casos especiais no espaço tridimensional. Fonte: Winterle (2000).
Segundo Winterle (2000, p. 34) se desejarmos marcar um ponto no espaço, por exemplo, o ponto A(3, – 2, 4), procedemos da seguinte forma: 1) marcamos o ponto A’(3, – 2, 0) no plano xy; 2) deslocamos A’ paralelamente ao eixo z, 4 unidades para cima (se fosse – 4 seriam 4 unidades para baixo) para caracterizarmos o ponto A.
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Figura 24 - Representando um ponto A no espaço tridimensional. Fonte: Winterle (2000).
Em síntese, o sistema cartesiano tridimensional (a exemplo do sistema bidimensional) consiste em três eixos (x, y e z) perpendiculares entre si dois a dois, cuja interseção entre eles é a origem. Por ser percebido também pelo produto cartesiano ℝ x ℝ x ℝ, logo o sistema cartesiano tridimensional é denotado por ℝ³. Da mesma forma, ℝ² designa o sistema cartesiano bidimensional. Destacamos também que os vetores em suas representações analíticas partem da origem O (0,0,0). Para o caso de um vetor v = AB, em que A (x1,y1,z1) e B (x2,y2,z2), o procedimento é o mesmo para definir v analiticamente para vetores no espaço bidimensional: v = AB = B-A = (x2-x1,y2-y1,z2-z1) Observe a figura. seg (4,6,10) to (9,12,4)
(x,y,z) = (9,12,4) z
z1 A v
OA
v
z2 B
OB x2
x1
y1
y2 y
x
Figura 25 - Vetor formado por dois pontos no ℝ². Fonte: Ferreira (2014).
O vetor é a diferença entre os vetores OB e OA, a exemplo do ℝ². Assim, tem-se que v = B-A.
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1.3.2 Vetores Colineares e Paralelos A representação analítica permite identificar vetores com mesma direção. Neste caso, diz-se que os vetores são colineares. Se dois vetores u=(x1,y1,z1 ) e v=(x2,y2,z2) têm mesma direção, então, as retas suportes destes vetores são paralelas.
Figura 26 - Vetores colineares no ℝ³. Fonte: Ferreira (2014).
Você pode observar que a diferença entre eles está no sentido e no comprimento. Logo, a multiplicação por escalar, que atua sobre seus componentes, indica a relação entre os vetores. Desta forma, temos que , em que é um número real não nulo, e: v = (x2,y2,z2) = a = (x1,y1,z1) = (ax1,ay1,a az1) Portanto, se v =au, pelas coordenadas: x2=ax1; y2=ay1e z2=az1 Equivalentemente,
,e
Por exemplo, os vetores u=(-1,3,15) e v=(4,-12,-45) são colineares. De fato, a constante entre eles é a = 3: 4=-3. (-1); -12 = -3 . 3 e -45=-3 . 5. Você já descreveu direções, sentidos, colinearidade e outras caracterizações de vetores. É chegado o momento de determinar comprimento ou norma de um vetor.
1.3.3 Norma Considerando a reta numerada, é possível medir distâncias entre números. Por exemplo, a distância entre 0 e 7, ou entre -7 e 0, é igual a 7. Conclui-se que o módulo de 7, denotado entre barras é igual a |7| e, portanto, |7| = |-7| = 7. Quando falamos em vetores, estamos tratando grandezas com comprimento, direção e sentido. Por isso, costumamos atribuir a expressão norma quando falamos em distâncias e comprimentos neste contexto. Denota-se a norma de um vetor v por ||v||. Para calcular a norma de um vetor, você deve usar o Teorema de Pitágoras, conforme indica a figura.
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Figura 27 - Norma no ℝ². Fonte: Ferreira (2014).
A norma do vetor coincide com a medida da hipotenusa do triângulo destacado na figura, a saber:
Por exemplo, se v=0i-5j que tem origem coincidente com O (0,0), a norma unidades de medida. Generalizando, para vetores que partem da origem,
.
No espaço tridimensional, a ideia é a mesma, incluindo a aplicação recursiva do triângulo retângulo. Logo: A expressão para calcular a norma de um vetor qualquer no espaço tridimensional está fundamentada nos triângulos retângulos formados, conforme indica a figura. Por exemplo, seja v=AB, em que A(2,5,-4) e B(3,0,-6). Então a norma de v é igual a: Por exemplo, seja , em que e . Então a norma de é igual a:
Se o vetor parte da origem, a expressão reduz-se a:
.
A norma do vetor é, na verdade, a distância entre os pontos A e B. Esse raciocínio pode ser estendido, então, para calcular a distância entre dois pontos.
A partir da norma, podemos determinar o versor de um vetor. Como o versor de v tem mesma direção e sentido, mas comprimento igual a 1, ele é obtido por . Sendo v=(x,y,z), o versor é expresso por .
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A norma do vetor nulo é igual a zero!
Você se lembra de que os vetores são usados, em Física, para representar as forças que atuam sobre corpos? Saiba que a resultante que você deve determinar é resultado de uma operação entre vetores, que você conhecerá a seguir.
1.6 PRODUTOS ENTRE VETORES Agora, você será apresentado aos produtos entre vetores: produto escalar, vetorial e misto.
1.6.1 Produto escalar O produto escalar entre dois vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) é determinado pela soma dos produtos das coordenadas correspondentes. Notação: u. v. u∙v = x1∙ x2 + y1∙ y2 + z1∙ z2 Por exemplo, para u=(-1,3,7) e v=(0,2,-4), tem-se que u∙v = (-1)∙0+3∙2+7∙(-4) = -22. Observe que o produto escalar é definido também para vetores no ℝ² de modo idêntico. Se u=(x1,y1) e v=(x2,y2) , então u ∙ v = x1 x2 + y1 y2.
O produto escalar satisfaz algumas propriedades algébricas importantes para o estudo da Álgebra Linear e da Geometria Analítica. Dados os vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2) : De fato, ao comparar com a expressão que fornece a norma de um vetor, tem-se que:
As três próximas propriedades são estabelecidas por extensão de propriedades do conjunto dos números reais. » » u∙v=v∙u. » » u∙(v+w)=u∙v+u∙w. » » k(u∙v)=(ku)∙v.
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A próxima propriedade é chamada positividade. » » u∙u ≥ 0 e u∙u=0 e sempre que u=∅, ou seja, u for o vetor nulo. Como u∙u = ||u||², conclui-se que u∙u é sempre positivo, sendo igual a zero quando as coordenadas do vetor são todas nulas, ou seja, u=∅.
O produto escalar é aplicado na construção dos códigos ISBN (International Standard Book Number) utilizados mundialmente para identificação de livros. Esses códigos consistem em 10 dígitos divididos em três grupos. Você pode conhecer como é feita esta aplicação no livro “Álgebra linear contemporânea”, de Howard Anton e Robert Busby.
O produto escalar em ℝ² e ℝ³ é uma ferramenta importante para determinar o ângulo formado por vetores nestes espaços.
1.6.2. Ângulo entre vetores Considera-se o ângulo entre dois vetores não nulos como o menor ângulo formado por eles.
Figura 28 - Ângulo entre vetores. Fonte: Ferreira (2014).
O ângulo a é tal que que 0 ≤ a ≤ 180°. Alguns valores de a valem destaque.
Figura 29 - Ângulos elementares. Fonte: Ferreira (2014).
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AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES
Se o ângulo entre os vetores for nulo, ambos têm mesma direção. Se a for igual a 90º, diz-se que os vetores são ortogonais. Caso a seja igual a 180º, os vetores têm sentidos contrários. Teorema 1: Segundo Winterle (2000, p. 56), sejam vetores u, v em ℝ² ou ℝ³ e θ o ângulo formado por eles. Então:
Com relação à demonstração deste resultado, você pode encontrar todos os detalhes em Winterle (2000, p. 56). Equivalente, pode-se considerar o resultado do Teorema 1 como
:
Por exemplo, considere os vetores u=(0,3) e v=(2,2). Pelo teorema:
Figura 30 - Ângulo entre dois vetores no plano. Fonte: Ferreira (2014).
As funções trigonométricas aplicadas aos ângulos fundamentais (0°, 30°, 45°, 60° e 90°) devem ser suas conhecidas. No entanto, você conta com calculadoras científicas, que podem auxiliá-lo. Nesses equipamentos, utilize a função e expoente -1. São as funções inversas arc seno, arc cos e arc tg. Para calcular o ângulo cujo cosseno é , por exemplo, a função aplicada em uma calculadora científica é: graus. Essa notação é equivalente à .
Como o produto escalar o conduz a determinar ângulo entre vetores, você pode verificar facilmente se dois vetores são ortogonais. Afinal, essa é uma posição relativa entre dois vetores que muito se destaca no estudo da Geometria Analítica e da Álgebra Linear. Sejam dois vetores u,v ortogonais, ou seja, θ = 90º Como cos90°=0, temos que
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Essa relação nos leva a uma forma simples de verificar se dois vetores são ortogonais. Basta calcular o produto escalar entre eles. Se u∙v=0, então u e v são ortogonais. Denota-se usualmente por u ⊥ v.
A sistemática para determinar ângulo entre vetores por meio do produto escalar no espaço tridimensional é a mesma aplicada ao plano.
Em especial no ℝ³, a perspectiva e pouca precisão nos esboços gráficos não nos permitem estabelecer ortogonalidade. Portanto, lance mão das ferramentas algébricas para tal.
1.6.2 Produto vetorial Sejam dois vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em ℝ. O produto vetorial, denotado por u x v, resulta em um vetor determinado por: É importante destacar que o produto vetorial obedece à ordem u x v. Desta forma, para:
você pode calcular o determinante por meio de qualquer técnica que seja de seu conhecimento. As mais utilizadas são Laplace, Triangulação e Sarrus, sendo esta última limitada para matrizes de ordem 3.
Não confunda produto vetorial com determinante! Determinante de uma matriz é um número real. Ele aparece aqui como forma de memorizar mais facilmente o produto vetorial e a aplicação é resultado de pura observação. Steinbruch (1987) atribui a expressão determinante simbólico a esta forma de calcular o produto vetorial.
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AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES
Exemplo: Considere os vetores u=(-1,3,0) e v=(3,1,2). O produto vetorial u x v, calculado pelo desenvolvimento de Laplace, é:
Comparando os dois produtos, o escalar resulta em um escalar. Por sua vez, produto vetorial resulta em um vetor.
O produto vetorial não está definido no ℝ². Essa afirmação se justifica de forma simples por meio do determinante. Determinante existe para matrizes quadradas. Se os vetores são bidimensionais, teremos três linhas e duas colunas, o que inviabiliza o produto.
Observa-se, pela propriedade de determinante, que permutar (trocar de posição) linhas da matriz altera o sinal do determinante. Neste caso, esta propriedade também se aplica. » » Se efetuarmos u x v, encontraremos como resultado – (u x v). Para o exemplo, u x v = -6i - 2j + 10k. Além dessa propriedade, nos determinantes, linhas múltiplas o anulam. Transposto para o produto vetorial, se os vetores u e v e são colineares, então suas coordenadas são proporcionais, portanto, respectivamente múltiplas. Logo, o produto vetorial é o vetor nulo. Esta afirmação se estende para o produto u x v = 0. Mas lembre-se que é para o caso de termos vetores colineares. As aplicações de produto vetorial na Geometria Analítica e na Álgebra Linear se voltam especialmente para a posição relativa entre os vetores u e ve o vetor resultante de u x v. » » O vetor u x v é ortogonal simultaneamente aos vetores u e v e , o mesmo ocorrendo com u x v. A figura possibilita melhor compreensão desta afirmação.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Figura 31 - Definição geométrica de produto vetorial. Fonte: Ferreira (2014).
Assim, se quisermos encontrar um vetor simultaneamente ortogonal a outros dois, basta efetuar o produto vetorial entre eles. Lembre-se que u x v e v x u diferem apenas de sinal, ou sentido. Logo, você tem ao menos dois vetores nessas condições. Além disso, qualquer vetor múltiplo ao produto vetorial também satisfaz tal condição. Há uma relação importante entre produto vetorial, ângulo entre vetores e área de paralelogramos. É o que afirma o Teorema 2. Teorema 2: Segundo Winterle (2000, p. 79), sejam u e v vetores em ℝ³. Então, para θ o ângulo formado por u e v, Além disso, ||u x v|| é a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v. Para mais detalhes sobre a demonstração deste resultado, você pode encontrar em Winterle (2000, p. 79). Observe a figura.
Figura 32 - Área do paralelogramo. Fonte: Ferreira (2014).
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AULA 1 - O ESTUDO DOS VETORES
Por exemplo, consideremos os vetores, u=(4,1,2) e v=(1,-1,0). A área do paralelogramo formado por u e v é calculada a partir do produto vetorial:
Logo, unidades de área.
1.6.3 Produto Misto O produto misto entre vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) e w=(x3,y3,z3), denotado por (u, v, w) é o número real determinado por: (u, v, w) = u, (v x w) Exemplificando, para u=(-2,2,6), v=(0,3,1) e w=(1,2,0), o produto misto (u, v, w) é igual a:
Seguindo o raciocínio do produto vetorial, o produto misto é calculado com analogia ao cálculo de determinantes, a saber:
Para o exemplo, o produto misto calculado por meio de determinante, pelo desenvolvimento de Laplace, escolhida a segunda linha como parâmetro, é:
O produto misto satisfaz algumas propriedades importantes para o seu estudo. (u, v, w) = 0 se, e somente se, os vetores obedecem às seguintes condições: » » um dos vetores é nulo (∅); » » dois deles são colineares, gerando a matriz com linhas proporcionais, o que anula o determinante; » » os três vetores são coplanares. Neste caso, se os vetores são coplanares, o vetor v x w é ortogonal também a u. Ao efetuarmos o produto u∙(v x w) resulta em 0, indicando 90° entre u e v x w. O módulo do produto misto é interpretado geometricamente como o volume do paralelepípedo formado pelos vetores. Observe a figura.
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Figura 33 - Volume de um paralelepípedo. Fonte: Ferreira (2014).
A relação entre o produto misto e o volume do paralelepípedo formado pelos vetores se dá pelos ângulos θ e β observados em relação aos vetores e a altura do paralelepípedo. Lembre-se que o volume de um paralelepípedo é o produto entre a área da base e a altura. Aqui, a área da base é dada pelo módulo do produto vetorial. Para os vetores do exemplo anterior, o volume do paralelepípedo formado por eles é igual a: unidades de volume. Agora é o momento de buscar representação analítica para os vetores. Isso significa pensar os entes geométricos por meio de sistemas de coordenadas e representações algébricas, o que estabelece toda uma base para definir curvas e corpos no sistema cartesiano de coordenadas.
CONCLUSÃO Nesta aula, você deve ter percebido que podemos referenciar analiticamente entes geométricos no plano e no espaço tridimensional, considerando-se o conceito formal de vetores. Além disso, as operações envolvendo esses vetores são ferramentas aliadas à manipulação de entes geométricos para cálculos específicos de área, volume e ângulos.
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