Metodos quantitativos [unifacs] by EAD UNIFACS

MÉTODOS QUANTITATIVOS Autores: P rof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo

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P293m Pastore, Osmar Métodos quantitativos. / Osmar Pastore e Francisco Merlo. – Salvador: UNIFACS, 2014. 87 p. ISBN 978-85-8344-012-3 1. Métodos quantitativos. I. Merlo, Francisco. II. Título. CDD: 519.72

SUMÁRIO AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS.............................................................................................. 9 Objetivo................................................................................................................... 9 Representações numéricas................................................................................... 10 Conjuntos Numéricos............................................................................................ 11 1. Conjunto dos Números Naturais.................................................................. 11 2. Conjunto dos Números Inteiros................................................................... 11 3. Conjunto dos Números Racionais ............................................................... 12 4. Conjunto dos Números Irracionais .............................................................. 12 5. Conjunto dos Números Reais....................................................................... 12 Notação Posicional................................................................................................ 13 Frações.................................................................................................................. 14 Frações Equivalentes............................................................................................ 15 MMC - Mínimo Múltiplo Comum........................................................................... 15 Operações com Frações........................................................................................ 16 Adição e Subtração de Frações........................................................................ 16 Multiplicação de Frações.................................................................................. 18 Divisão de Frações........................................................................................... 18 Comparação de Frações................................................................................... 18 Porcentagem......................................................................................................... 19 Regra de Três........................................................................................................ 19 Regra de Três Composta....................................................................................... 21 Porcentagem, de novo!........................................................................................ 22 Equações e Inequações......................................................................................... 23 Inequações............................................................................................................ 25 Dízimas Periódicas................................................................................................ 26 Exercícios de Fixação............................................................................................ 28 Respostas dos Exercícios de Fixação................................................................ 29 Bibliografia............................................................................................................ 30 AULA 2 - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E EQUAÇÕES................................................................. 31 Objetivo................................................................................................................. 31 Conceito e Características das Funções................................................................ 31 Equações Matemáticas.......................................................................................... 36 Inequações............................................................................................................ 39 Funções de Primeiro Grau: Forma Geral............................................................... 40 Funções de Segundo Grau: Forma Geral; Mínimos e Máximos............................ 44

Raízes (ou Zeros) da Função do 2º Grau.............................................................. 45 Esboçando o Gráfico da Função do 2° Grau......................................................... 47 Esboçando o Gráfico da Função do 2° Grau.......................................................... 48 Regra de Soma e do Produto............................................................................... 48 Inequações do 2° Grau......................................................................................... 49 Exercícios de Fixação............................................................................................ 51 Respostas dos Exercícios de Fixação................................................................ 52 Bibliografia............................................................................................................ 52 AULA 3 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS. PROGRESSÕES MATEMÁTICAS.......... 53 Objetivos desta Unidade....................................................................................... 53 Funções Exponenciais........................................................................................... 53 Comportamento das Funções Exponenciais.......................................................... 54 Propriedades das Funções Exponenciais............................................................... 55 Equações Exponenciais......................................................................................... 56 Funções Logarítmicas............................................................................................ 57 Gráfico de uma Função Logarítmica..................................................................... 57 Propriedade da Função Logarítmica..................................................................... 58 Mudança de Base.................................................................................................. 59 Progressões Aritméticas........................................................................................ 61 Termo Geral de uma PA........................................................................................ 62 Soma dos “n” Primeiros Termos de uma PA....................................................... 63 Progressões Geométricas...................................................................................... 63 Propriedade dos Termos de uma PG............................................................... 65 Termo Geral de uma PG................................................................................... 65 Soma dos “n” primeiros termos de uma PG.................................................. 65 Aplicações de Progressões............................................................................... 66 Exercícios de Fixação............................................................................................ 69 Respostas dos Exercícios.................................................................................. 70 Bibliografia............................................................................................................ 70 AULA 4 - INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA........................................................... 71 Introdução............................................................................................................. 71 Fatorial.................................................................................................................. 71 Princípio fundamental da contagem - PFC........................................................... 72 Permutações Simples............................................................................................ 73 Anagramas............................................................................................................ 73 Permutações com elementos repetidos.......................................................... 74 Arranjos Simples.............................................................................................. 74

Arranjos com repetição......................................................................................... 75 Combinações Simples........................................................................................... 75 Propriedade das Combinações Simples................................................................ 77 Combinações com repetição................................................................................. 77 Arranjo ou Combinação......................................................................................... 78 Exercícios Resolvidos............................................................................................ 79 Exercícios de Fixação............................................................................................ 81 Respostas dos Exercícios....................................................................................... 82 Bibliografia............................................................................................................ 82 AULA 5 - INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA............................................................................... 83 Conceitos Iniciais................................................................................................... 83 A ESTATÍSTICA................................................................................................... 83 POPULAÇÃO E AMOSTRA................................................................................... 84 VARIÁVEIS......................................................................................................... 84 Resumindo:...................................................................................................... 85 SÉRIES E GRÁFICOS ESTATÍSTICOS........................................................................... 85 DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS........................................................................... 87 DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS....................................................................... 88 Cálculo das frequências................................................................................... 88 Representação Gráfica da Distribuição de Frequências........................................ 89 Exemplo de Aplicação...................................................................................... 89 Bibliografia............................................................................................................ 94 AULA 6 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO.............................................................. 95 Média, Mediana e Moda....................................................................................... 95 Média:.............................................................................................................. 95 Mediana........................................................................................................... 98 Moda................................................................................................................... 103 Amplitude Total, Variância e Desvio Padrão...................................................... 104 Amplitude Total (AT)...................................................................................... 104 Variância e Desvio Padrão............................................................................. 106 Coeficiente de Variação (CV).............................................................................. 108 Exercícios de Fixação.......................................................................................... 109 Respostas....................................................................................................... 110 Bibliografia.......................................................................................................... 113

AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES.................................. 115 Probabilidade...................................................................................................... 115 Introdução...................................................................................................... 115 Definições...................................................................................................... 116 Espaço Amostral (S):...................................................................................... 116 Definição de Probabilidade:................................................................................ 117 Axiomas de Probabilidade............................................................................. 118 Teoremas de Probabilidade........................................................................... 118 Probabilidade de eventos independentes..................................................... 119 Probabilidade condicional.............................................................................. 119 Distribuição discreta de Probabilidades.............................................................. 121 Introdução...................................................................................................... 121 Variáveis Aleatórias....................................................................................... 121 Distribuição de probabilidades...................................................................... 121 Distribuição Binomial..................................................................................... 122 Esperança e Variância.................................................................................... 124 Distribuição Contínua de Probabilidades............................................................ 125 Introdução...................................................................................................... 125 Distribuição Normal....................................................................................... 125 Definição e conceito de probabilidade.......................................................... 125 Características da Distribuição Normal.......................................................... 125 Cálculo das probabilidades............................................................................ 126 Uso da tabela................................................................................................. 126 Exercícios de Fixação.......................................................................................... 131 Respostas....................................................................................................... 133 Bibliografia.......................................................................................................... 137

AULA 8 - ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO........................................................... 139 Introdução........................................................................................................... 139 Correlação........................................................................................................... 140 Definição de correlação linear....................................................................... 140 Tipos de correlação linear.............................................................................. 140 Coeficiente de correlação linear.................................................................... 140 Variação de r.................................................................................................. 141 Valor de r como medida da correlação......................................................... 142

Regressão............................................................................................................ 142 Exemplo de Aplicação.................................................................................... 142 Tutorial Passo a Passo para determinação da Equação de Regressão Linear utilizando o Microsoft Excel........................................................................... 143 Exercícios De Fixação.......................................................................................... 145 Respostas....................................................................................................... 147 Bibliografia.......................................................................................................... 147

AULA 1 Conceitos Iniciais Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo

OBJETIVO

sta unidade tem o objetivo de fornecer uma visão geral dos conceitos básicos fundamentais para o entendimento dos demais tópicos de conteúdo, assim como fornecer uma pequena introdução sobre as equações e inequações algébricas – que serão tratadas com mais detalhe na segunda unidade; e apresentar uma visão geral da teoria de conjuntos, como subsídio para um melhor entendimento da maneira correta de se entender e tratar sobre classificações múltiplas de elementos, segundo critérios não mutuamente exclusivos.

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REPRESENTAÇÕES NUMÉRICAS Nos primórdios da história do homem, a necessidade da contagem inexistia, pois os homens retiravam seu sustento diretamente da natureza, sem acumularem qualquer tipo de posse que não conseguissem carregar consigo. A contagem começou com a sofisticação das atividades humanas, quando o homem progressivamente abandonou as atividades nômades para fixar-se à terra. Com o começo da produção, tornou-se criador de animais domésticos, por exemplo. Desta época, remontam também as primeiras formas de calendário, dada a necessidade de registro das fases do ano, correspondentes às épocas mais propícias ao plantio. Com relação à contagem de animais, o pastor, pela manhã, soltava os seus carneiros e analisava, ao final da tarde, se algum tinha se extraviado ou acrescentado ao rebanho. Assim, eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco. Cada animal correspondia a uma pedra que era posta em um saco de couro, quando ia para o pasto. Quando os animais voltavam, era feita a operação inversa, isto é, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, isto seria notado porque as pedras acabariam dentro do saco antes do final do recolhimento dos animais. Este é um dos primeiros processos analógicos de que se tem notícia: era feita uma analogia entre as pedras e os animais, quando o tratamento de um equivalia ao tratamento do outro. Curiosamente, a palavra cálculo é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha (é só lembrarse de cálculos renais). Mas, outras analogias eram também usadas: nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos etc. A partir daí, a necessidade de se avaliar quantitativamente o espaço habitado, levou o homem a desenvolver inúmeros sistemas de contagem e representação numérica, o que nos trouxe aos dias de hoje, através de iniciativas de diversos povos: os egípcios, os babilônicos, os chineses, os hindus e os árabes. É do norte da Índia, nos meados do século V, que vem às primeiras referências históricas ao nosso sistema numérico atual, onde surgiram os primeiros símbolos que evoluíram para se transformarem nos algarismos arábicos, erroneamente assim designados, embora os árabes tenham tido forte influência na disseminação destes símbolos e do sistema numérico a eles associado. Note que, inicialmente, o ZERO era uma ideia numérica de difícil concepção e por esta razão, representada como um espaço vazio por muitos povos (sem um símbolo a ela associado), o que é comprovado pela inexistência de uma representação para ele em outros sistemas numéricos anteriores, com o sistema romano. A ideia de uma representação para o ZERO e de seu significado é mais recente, associada por muitos ao trabalho de Fibonacci (1175 a 1240): um matemático com vários trabalhos importantes que chegam aos nossos dias e que teria estudado matemática em suas viagens pelo Islã. Mas... chega de história e comecemos a considerar as representações numéricas que são utilizadas hoje.

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS

O conceito de “conjunto” será tratado mais adiante, ainda nesta unidade. O conceito de “subconjunto” será tratado mais adiante, nesta unidade.

1 2

CONJUNTOS NUMÉRICOS1 Os conjuntos numéricos foram surgindo conforme a necessidade de representar quantidades progressivamente mais complexas ou sofisticadas. Pela própria sequência de apresentação dos conjuntos numéricos se percebe isto:

1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS É o grupamento de todos os números inteiros positivos, o que inclui a quantidade ZERO. Este conjunto é representado pela letra maiúscula N. Em muitos casos, se destaca o conjunto dos números naturais não nulos (que exclui o zero). Neste caso, se coloca um asterisco ao lado da letra N para representar tal conjunto: N*={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…} N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…}

2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS É o grupamento de todos os números que pertencem ao conjunto N (dos naturais), mais ampliado com as suas respectivas representações negativa. Este conjunto é representado pela letra Z. Z={…-3,-2,-1,0,1,2,3…} O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos2 de destaque:

» » Os inteiros não negativos: todos os números inteiros que não são negativos (inclui o ZERO). Este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais e pode ser representado alternativamente por Z+. » » Os inteiros não positivos: todos os números inteiros que não são positivos (inclui o ZERO). Pode ser representado alternativamente por Z-. » » Os inteiros não negativos e não nulos: equivalente ao conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se por Z*+. » » Os inteiros não positivos e não nulos: equivalente ao conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.

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3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS um conjunto que engloba todo e qualquer número que pode ser expresso por uma divisão de números inteiros. A palavra racional, neste caso, está associada a um de seus significados menos usual: fração. Este conjunto é representado pela letra Q. Estes números englobam números decimais finitos e os infinitos periódicos (que repetem uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente). Estes últimos são também conhecidos como dízimas periódicas. Naturalmente, este conjunto engloba os números inteiros por que todos eles podem ser representados por uma fração do tipo:

A letra “I”, neste caso, pode ser substituída por qualquer número inteiro.

4. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS Analogamente, este conjunto é formado pelos números que não podem ser representados por uma divisão de números inteiros. Não se deve tomar a palavra irracional como sendo algo insensato ou ilógico, mas sim como algo incapaz de ser expresso exatamente como a razão entre dois números inteiros. Este conjunto é representado pela letra I. Excelentes exemplos de números irracionais são o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265…; e todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135…).

5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS É o conjunto formado por todos os conjuntos citados anteriormente, ou mais simplesmente, pela união do conjunto dos racionais com conjunto dos irracionais. Este conjunto é representado pela letra R. Esquematicamente se poderia assim associar os conjuntos numéricos. Figura 1 - Correspondência dos Conjuntos Numéricos

Note que a cada nível superior se acrescenta mais elementos aos conjuntos.

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS

NOTAÇÃO POSICIONAL O sistema de numeração posicional é datado do século V, surgido junto com os trabalhos que deram origem aos algarismos que utilizamos hoje. No entanto, este princípio já era, de certa forma, utilizado nos sistemas numéricos egípcios e chineses. A notação (ou valor) posicional é empregada quando atribuímos a cada algarismo um determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele ocupa na representação do numeral. Isto significa que, mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valor por ele representado. A ideia é simples: embora se utilize os mesmos algarismos, os números 34 e 43 têm significado diferente porque seus algarismos mudaram de posição. Na prática, a primeira posição da direita representa a quantidade de unidades envolvida e a segunda a quantidade de dezenas. 3×10+4×1=34 4×10+3×1=43 O ZERO surge aqui como importante elemento para representar a ausência de valores em uma determinada posição: 3 centenas+ZERO dezenas+7 unidades=307 Note que as posições representam potências sucessivas de 10 (100=1, 101=10, 102=100 e assim por diante). Daí se dizer que nosso sistema de numeração usa a base dez, com correspondência direta e natural, com os dedos das mãos de um indivíduo normal. Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta. Este sistema chega até nossos dias através da divisão do círculo em 360 graus, por exemplo. Os romanos preferiam a base doze. Também este sistema chega até hoje com a tradição de se comprar dúzias de frutas nas feiras livres. O sistema de numeração que utilizamos acaba por retratar o velho mais importante ábaco chinês. Em cada posição que um número se encontra, seu valor é diferente. Figura 2 - Ábaco Chinês

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E esta é a razão porque precisamos posicionar adequadamente os algarismos dos números quando fazemos operações de soma ou subtração: para associar corretamente unidades com unidades, dezenas com dezenas e assim sucessivamente.

FRAÇÕES São números que exprimem uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma “coisa” inteira. O exemplo clássico é a pizza: se dividirmos uma pizza em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na prática, a fração representa a divisão de algo em partes iguais. Então, um quarto significa que temos a unidade dividida em quatro partes iguais. O número na parte de cima do traço de fração é chamado de “numerador” e o número na parte de baixo é chamado de “denominador”. Note que não há possibilidade de divisão em “zero” partes. A razão disto é relativamente simples de se explicar. Primeiro se supõe que exista um número igual a uma divisão por ZERO. Por exemplo:

Neste caso, “N” seria este suposto número. Agora, por uma regra simples de tratamento de igualdades, que veremos mais adiante, se pode passar o denominador do lado direito, que divide o valor 10, para o lado esquerdo, multiplicando. Ficaria assim:

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS

Mas isto é impossível, porque qualquer número multiplicado por ZERO dá como resultado ZERO. Então, nossa suposição inicial estava errada. Não existe um número que seja o resultado de uma divisão por ZERO. Nós vimos frações com o numerador igual à “1”, mas o que significaria uma fração com numerador diferente de “1”? Significaria que temos mais que uma parte daquelas em que originalmente foi dividida a “coisa”. Exemplo: 2/4 significa que temos dois pedaços de uma unidade (a “coisa”) que foi originalmente dividida em quatro pedaços iguais.

FRAÇÕES EQUIVALENTES Dá-se o nome de frações equivalentes às frações que representam a mesma parte de um todo, como o próprio nome já indica. As frações equivalentes são produzidas multiplicando-se tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo número inteiro. Por exemplo:

Para se entender a equivalência de frações, recorre-se novamente à nossa pizza. Dividir uma pizza em duas partes iguais e comer uma é “equivalente” a dividir a mesma pizza em quatro partes iguais e comer duas destas partes. Ou se dividir a pizza em oito partes iguais e comer quatro destas partes. As frações equivalentes também podem ser produzidas dividindo-se tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo número inteiro. Seria o caso de se considerar a expressão anterior de trás para frente:

Neste último caso se diz que estamos simplificando as frações.

MMC - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM O próprio nome, que designa o termo, explica seu significado. Trata-se do menor múltiplo de dois ou mais números que se pode encontrar. Vamos a um exemplo:

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Qual é o MMC de 6 e 8? Ou seja, qual é o menor múltiplo de 6 e 8 simultaneamente? Neste caso, será 24! Vejam que 24:4=6, assim como 242:3=8. Portanto, o MMC é 24. Vejamos outros exemplos. Tabela 1 - Exemplos de MMC

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES Para tratarmos a adição e a subtração de frações, dividimos as considerações em dois casos: Quando os denominadores de todas as frações envolvidas forem iguais. Neste caso, basta executar as operações com os numeradores e o resultado final se escrever sobre o denominador comum: 3 4

3+ 5 7

+ - =

1 4

Mas, quando os denominadores são diferentes, precisa usar um artifício que faça com que possamos igualar os denominadores e tratar o resultado desta transformação pelo mesmo método do primeiro caso. O que fazemos então é substituir cada uma das frações originais por frações equivalentes (que representam a mesma quantidade), com um denominador igual a um mesmo múltiplo comum a todos os denominadores originais: em geral, se usa o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores originais. Vamos a um exemplo:

Neste caso, o MMC entre 6 e 4 foi mostrado nos exemplos dados anteriormente. É igual a 12. Então vamos substituir cada fração por uma fração equivalente com denominador igual a 12:

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS

Com esta substituição se transforma o problema original em outro, que pode ser tratado pelo primeiro método, já que temos denominadores iguais agora:

Não importa quantas frações estejam envolvidas e se temos adições ou subtrações, o método é sempre o mesmo. O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30: Múltiplos de 20: 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120... Múltiplos de 30: 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180... O MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60, por ser o menor valor numérico que ocorre ao mesmo tempo na lista de múltiplos dos dois números. Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30, ou de qualquer outro conjunto de valores, é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os fatores não comuns. Observe:

Pela definição, escolhe-se os fatores “2” e “5” (que são comuns aos dois números), com o maior expoente observado; e o fator “3” (que não é comum aos números).

E já que falamos em MMC, vamos conceituar também o máximo divisor comum. O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30: Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10. Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse método.

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Pela definição, escolhe-se os fatores “2” e “5” (que são comuns aos dois números), com o menor expoente observado.

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Multiplicar exige um processo bem mais simples: basta multiplicar o numerador com o numerador e denominador com o denominador, gerando uma nova fração com os resultados destas multiplicações. Quando julgado oportuno, se pode simplificar o resultado. Vamos ao exemplo:

DIVISÃO DE FRAÇÕES Na divisão de frações, podemos tratar a operação como se fosse a multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda. Novamente, podemos simplificar o resultado final.

COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES O processo de comparação de frações, para determinar qual a maior, também se divide em dois casos a serem considerados de forma semelhante ao que se fez no caso de adição ou subtração de frações. Se os denominadores das frações comparadas forem iguais, basta comparar os numeradores:

Como os numeradores, neste caso, funcionam como a contagem das partes que temos, fica fácil perceber que duas partes são menos (menores) que três partes, já que estas partes são iguais entre si. No caso de denominadores diferentes, se substitui igualmente as frações originais por frações equivalentes de mesmo denominador e se procede à comparação da mesma forma que no primeiro caso.

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS

PORCENTAGEM A porcentagem é de uso frequente em uma grande quantidade de situações, mais comumente envolvendo operações financeiras, sendo usada para calcular juros, expressar índices (por exemplo, de inflação), descontos ou aumentos de preço, multas etc. Na Estatística é utilizada para apresentar dados comparativos de maneira geral. A melhor forma de se entender a porcentagem é dizer que ela representa uma fração com denominador 100, isto é, a porcentagem é uma razão (fração) centesimal. Os números percentuais possuem representações na forma de fração centesimal e, quando escritos, para simplificar a apresentação do denominador sempre igual a 110, utilizam-se do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número decimal. Observe os números a seguir:

A passagem do primeiro para o segundo número se deu gerando uma fração equivalente a sete vinte e cinco avos com denominador igual a 100 (neste caso, bastaria se multiplicar o numerador e o denominador por 4). Mas, como o denominador é 100, pode-se substituir este denominador pelo símbolo de porcentagem. Finalmente, a última representação (dita decimal) é produzida fazendo a divisão do numerador pelo denominador, em qualquer um dos casos: 7 dividido por 25 ou 28 dividido por 100. Com a porcentagem, se introduz um novo significado para as frações: o de proporção. Uma fração (e a porcentagem não deixa de ser uma fração também) pode ser lida como a relação entre duas medidas. Por exemplo, quando um jogador costuma acertar 4 cobranças de pênaltis em 10 tentativas, isto pode ser expresso da seguinte forma:

Estabelecido o conceito de porcentagem, podemos proceder às considerações de como se podem resolver problemas envolvendo porcentagens. Mas isto é um caso particular daquilo que é tratado no próximo item.

REGRA DE TRÊS A regra de três deriva da consideração de um conceito de que já tratamos: as frações equivalentes.

Caso haja dúvida com relação ao tratamento dos números, para determinar o valor de “x”, basta consultar a unidade que se trata da resolução de equações de 1ª grau.

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Existe uma propriedade básica que envolve as frações equivalentes: a multiplicação cruzada de numeradores com denominadores produzirá sempre um mesmo resultado. Vamos ao exemplo:

Esta propriedade se verifica sempre quando temos frações equivalentes. Agora, dá-se o nome de regra de três a um processo de resolução de problemas de quatro valores, dos quais três são conhecidos, onde se pede que seja determinado quarto valor. A resolução desse tipo de problema é muito simples, porque basta montar uma estrutura semelhante à comparação de frações equivalentes. E para entender isto, vamos supor que não sabemos o valor 12, na comparação anterior, mas que sabemos que se tratava de uma comparação de frações equivalentes. Neste caso, teríamos:

Note-se que, neste caso, podemos dizer que as frações comparadas são equivalentes, ou que existe a mesma “proporcionalidade” entre os termos à esquerda e à direita da comparação original. Isto para estabelecermos uma ligação com aquilo que foi comentado no final do item anterior, sobre o outro significado que pode ser atribuído às frações. Mas, para resolvermos problemas de regra de três, resta antes estabelecer como a proporção deve ser montada: se direta ou inversamente. Exemplo 1 Um atleta percorre 20 km em 2 horas, mantendo o mesmo ritmo. Em quanto tempo ele percorrerá 30 km? Neste caso, devemos perceber (e isto se faz caso a caso) que quanto maior à distância, maior será o tempo necessário para percorrê-la. Assim se tem uma proporcionalidade direta entre a distância e o tempo: quando uma cresce, o outro também. O problema seria montado da seguinte forma:

Exemplo 2 Quatro trabalhadores constroem uma casa em oito dias. Em quanto tempo dois trabalhadores constroem uma casa?

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS

Neste caso, devemos perceber um comportamento diferente entre as medidas (grandezas) envolvidas. Quanto maior a quantidade de trabalhadores, menos tempo levaria para fazer o serviço. O contrário também seria verdade: quanto menor a quantidade de trabalhadores, mais tempo levaria para fazer o serviço. Assim se tem uma proporcionalidade inversa entre a quantidade de trabalhadores e o tempo para a execução da obra: quando uma cresce, o outro decresce. O problema seria montado invertendo as relações, como se segue:

A resolução de problemas de regra de três envolve, então, a consideração se temos uma relação direta ou inversa entre as grandezas. Nos casos em que temos apenas duas grandezas envolvidas, classificamos estes problemas como sendo Regra de Três Simples.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para resolver este problema, sugere-se um procedimento padrão simples:

» » Monte uma tabela com número de colunas igual à quantidade de grandezas envolvidas; e três linhas a preencher. » » Na primeira coluna, escreva os valores correspondentes à grandeza que se quer determinar. » » Nas demais colunas, lance os valores das outras grandezas, não importando a ordem. » » Nas duas primeiras linhas, devem transcrever os dados do problema para cada situação apresentada: aquela que serve de base e a nova situação, onde se deseja calcular uma grandeza ainda não determinada. » » Na terceira linha, a partir da segunda coluna, anote o tipo de relação entre a grandeza considerada e a grandeza anotada na primeira coluna, isto é, aquela que desejamos determinar. » » Por fim, transcreva os números da tabela para um modelo de comparação de frações, onde - do lado da esquerda - se tem a transcrição direta dos números anotados na primeira coluna e, do lado da direita, a transcrição de uma série de frações correspondentes a cada uma das demais colunas, invertendo-se os valores da tabela, sempre que a relação definida na terceira linha for inversa. Para entender o processo, vamos a um exemplo: Exemplo 3 Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m3?

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Para isso, montamos a tabela de seguinte maneira: Tabela 2 - Exemplo de Regra de Três Composta

Note que o preenchimento da terceira linha nada tem a ver com a variação dos valores na coluna em questão. A comparação é genérica com a grandeza da primeira coluna:

» » Quando temos mais horas para trabalhar, precisamos de menos caminhões: inversa. » » Quando temos mais areia a transportar, precisamos de mais caminhões: direta. Por fim, montemos a comparação final:

Serão necessários 25 caminhões.

PORCENTAGEM, DE NOVO! Os problemas de porcentagem são problemas de regra de três. Mas lembre-se que, quando se dá uma porcentagem, dois valores já estão determinados na comparação das frações equivalentes envolvidas, porque a porcentagem é uma fração, onde o denominador é sempre zero. Existem três tipos de problemas básicos envolvendo porcentagens:

» » Pode-se desejar saber a que número corresponde uma porcentagem de um valor básico. » » Pode-se desejar saber a que valor básico corresponde um número, dada a porcentagem. » » Pode-se desejar saber a que porcentagem corresponde a relação entre um número e um valor de base. O valor de base corresponde ao termo geral de comparação, que será equivalente ao denominador 100, na porcentagem. Vamos aos exemplos.

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS

Exemplo 4 Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Qual o preço da mercadoria na compra à vista? Neste caso, temos a seguinte relação:

Note que o valor básico é o preço original da mercadoria, com o que comparamos o desconto praticado. O valor calculado é o desconto. Logo o valor a ser pago é:

Exemplo 5 O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine se o depósito efetuado pelo empregador, em um determinado mês, foi de R$ 96,00 e calcule o salário bruto correspondente. Neste caso, temos a seguinte relação:

Note que R$ 96,00 correspondem aos 8% depositados e que o valor base (com que o depósito mantém uma relação de 8%) é o que desejamos saber. Exemplo 6 Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de alunos que utilizam bicicleta. Neste caso, temos a seguinte relação:

Este problema pede a proporcionalidade entre os usuários de bicicleta e a quantidade total de alunos. Pede-se, então, a porcentagem correspondente a esta relação.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES A aritmética foi, durante muito tempo, a forma usual que se tinha para resolver problemas numéricos. A aritmética é a parte da matemática que estuda as operações básicas com os números: adição, subtração, multiplicação e divisão. Em certos casos, se podem incluir outras operações, como a exponenciação, vista neste caso como a multiplicação, repetidas vezes, por um mesmo fator. Entretanto, em certas situações, esse processo não conseguia resolver determinados problemas. Isto exigiu que começasse a trabalhar com elementos algébricos, constituindo, assim, as equações, que são expressões escritas em linguagem matemática (álgebra), representando uma determinada situaçãoproblema. Mas não basta conseguir esquematizar um problema com expressões algébricas: é preciso saber tratar (resolver) essas expressões. Para tanto, realizaram-se estudos acerca dos métodos de obtenção da solução das equações e isto é feito através de manipulações aritméticas envolvendo letras (incógnitas). As letras utilizadas nas expressões algébricas possuem a propriedade de representar qualquer número cujo valor ainda não foi determinado, ou que pode ser usado na expressão, para calcularmos outro valor, a ele correspondente. Neste último caso, temos aquilo que chamamos de coeficiente. Portanto, ao encontrarmos expressões que nos auxiliam a determinar a solução de um número para equações - que possuem apenas letras -, quer dizer que determinamos um método de obter a solução para qualquer tipo daquela equação. Por exemplo, considere o cálculo de 30% de um número N:

A equação resultante determina como, a partir do valor de um número “N” se pode calcular 30% deste valor. Veja que “x” é a incógnita, ou seja, o valor que queremos determinar e, neste caso, “N” é um coeficiente dessa equação que representa qualquer número que seja fornecido. Resolver uma equação consiste em realizar uma sequência de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar as raízes da equação, isto é, o(s) valor(es) que deve(m) ser atribuído(s) às letras envolvidas, para que a equação seja coerente, matematicamente falando. Por exemplo: A manipulação desta equação nos deve levar a conclusão de que o valor de “x”, que a torna coerente matematicamente falando, é 3. Para gerarmos equações equivalentes, podemos proceder de duas maneiras básicas:

» » Adicionando ou subtraindo de ambos os lados (membros) d’uma equação a mesma quantidade. » » Multiplicando ou dividindo ambos os lados (membros) de uma equação por uma quantidade diferente de zero.

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS

Resolver uma equação é, finalmente, proceder a uma série de operações que gerem sucessivas equações equivalentes, para, ao final, ter a letra que representa a incógnita cujo valor se quer determinar, isolada em um dos lados da equação e, do outro, um valor numérico que dá solução ao nosso problema. Resolver equações envolve treino e atenção, mas o processo é simples. Vamos a um exemplo:

Para começarmos a manipulação, podemos multiplicar ambos os lados por 6, o que fará com que os denominadores sumam. Na prática, se multiplica pelo MMC dos denominadores existentes.

A seguir, retira-se o equivalente a um dos termos onde “x” aparece dos dois lados da equação. Isto fará com que apenas um lado passe a ter termos com a incógnita “x”.

O próximo passo é deixar apenas o termo com o “x” do lado da esquerda, somando-se 1 aos dois lados.

Por fim, dividem-se os dois lados por 4, o que faz com que a incógnita fique sozinha do lado da direita.

INEQUAÇÕES Inequações são sentenças matemáticas abertas, isto é, sem um valor definido, expressas por uma desigualdade entre duas expressões algébricas. Na prática, uma inequação é equivalente a uma equação onde se substitui o sinal da igualdade por sinais de desigualdade, a saber:

» » Maior: > » » Menor: < » » Maior ou igual: >= » » Menor ou igual: <= » » Diferente: ≠ O processo de resolução de equações é equivalente ao processo de resolução das equações, com uma única diferença: quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados da inequação por um valor negativo a relação, inverte-se:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

» » Maior vira menor. » » Menor vira maior. » » Maior ou igual vira menor ou igual. » » Menor ou igual vira maior ou igual. » » A relação diferente é a única que não se altera. Isto se deve ao fato de que a relação entre números com sinais invertidos também se inverte: 2 < 5 mas -2 > -5 Vamos a um exemplo: 2x + 3 > 11 2x + 3 > 11 - 3 → 2x > 8 2x 8 > →x>4 2 2 A solução da inequação foi encontrada utilizando-se a mesma técnica usada para as equações, como afirmamos originalmente. Vejamos outro exemplo: 20 - 2X > 30 20 - 2X > 30 - 20 → -2x > 10 -2x 10 > →x<5 -2 -2 Neste caso, ao final, dividimos ambos os lados por um número negativo (-2) e, por esta razão, a relação se inverteu.

DÍZIMAS PERIÓDICAS Há frações que não possuem representações decimais exatas. Por exemplo: 1 = 0,33333 ... 3 Quando há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, ao final de um número, dá-se o nome a este tipo de número de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. As dízimas periódicas são indicadas pela colocação de três pontos à direita do número, como no exemplo acima. Numa dízima periódica, o algarismo (ou algarismos) que se repete infinitamente, constitui o que se chama de período dessa dízima.

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS

E é possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Existem diversos procedimentos para que se determine a geratriz da dízima periódica. Eis uma sequência que permite isto.

» » Acha-se o múltiplo de 10 que alinha a dízima periódica com o número original. Na prática será um múltiplo que tenha tantos zeros quantos são os algarismos que constituem o período da dízima. » » O numerador será igual ao número original multiplicado por aquela potencia, subtraído pelo seu valor original. » » O denominador será igual à potência encontrada subtraída de “1”. » » Finalmente, se no numerador houver um número com casas decimais, multiplicam-se o numerador e o denominador por 10 até que as casas decimais desapareçam do numerador. Vamos a um exemplo. Considere a dízima 23,45343434... O período da dízima é 34: esta é a sequência de algarismos que se repetem indefinidamente. Então, o múltiplo de 10 que usaremos é 100: 2 zeros correspondendo aos dois algarismos de 34. A geratriz ficaria assim:

Mas, como no numerador restam casas decimais, deve-se multiplicar numerador e denominador por 10 até as casas decimais desaparecerem.

Esta é a geratriz da dízima. Para conferir o resultado, basta calcular o resultado da divisão de 232.189 por 9.900.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Efetue as seguintes operações com frações:

2) Resolva os seguintes problemas de regra de três: a) 10 funcionários escavam um túnel de 100 metros de extensão em 30 horas. Quantos funcionários serão necessários para escavar um túnel de 200 metros em 20 horas? b) Em uma liquidação, 3 vendedores vendem 50 pares de sapato em 6 horas de trabalho. Assumindo que houvesse clientes esperando, quantos pares seriam vendidos se fossem 6 vendedores trabalhando por 12 horas? c) Em um salão de beleza, 2 funcionários atendem 10 clientes em 3 horas. Quantos funcionários conseguiriam atender 80 clientes em 12 horas? d) Em 5 dias, 10 motoboys entregam 3000 livros. Se houvesse a necessidade de entregar 9000 livros em 10 dias, quantos motoboys deveriam ser contratados? e) Estima-se que, em uma agência dos Correios, um grupo de 6 funcionários, igualmente eficientes, atenda 100 clientes em 45 minutos. Nessa situação, se outros 4 funcionários, com a mesma eficiência dos primeiros, forem adicionados ao grupo, então essas 100 pessoas serão atendidas em quanto tempo? 3) Resolva os seguintes problemas de porcentagem: a) 23% de 250. b) 0,12% de 60. c) Qual a porcentagem correspondente a R$ 30 em R$ 220? d) Se um desconto de 15% sobre uma compra resultou na economia de R$ 200, qual o valor original da compra?

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS

4) Numa loja, um determinado produto é vendido com descontos de 15% ou de 20% sobre o preço de tabela, dependendo da condição de pagamento. Sabe-se que a diferença entre o preço obtido após o desconto de 15% e o preço obtido após o desconto de 20% é de R$ 120,00. Nesse caso, qual é o preço de tabela? 5) Resolva as equações e inequações: a) 18x – 43 = 65 b) 23x – 16 = 14 – 17x c) 7x – 2 = -4x + 5 d) 2x + 1 <= x + 6 e) 2 – 3x >= x + 14

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Frações:

2) Regra de três: a) 30 funcionários. b) 200 pares. c) 4 funcionários. d) 5 motoboys deveriam ser contratados, porque a necessidade total seria de 15 motoboys. e) 27 minutos.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

3) Porcentagem: a) 57,5. b) 0,072. Note que a porcentagem pode ser um número não inteiro. Procede-se da mesma forma, neste caso, usando-se o número fornecido dividido por 100. c) 13,64%. d) R$ 1.333,33 e) R$ 2.400,00. Note que R$ 120,00 correspondem a 5% do preço, já que é a diferença entre 20% e 15%. 4) Equações e inequações: a) 6 b) ¾ ou 0,75 c) 7/11 d) x <= 5 e) x <= -3

BIBLIOGRAFIA IEZZI, G. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo, 1993. IEZZI, G. et al. Matemática. São Paulo, 1995. SILVA, S. M. D. Matemática Básica Para Cursos Superiores. São Paulo, 2002. ZOLD, H. H. N.; CORRÊA, S. Novíssimo Curso Vestibular. São Paulo, I e II, 1991.

AULA 2 Funções Matemáticas e Equações Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo

OBJETIVO

sta unidade tem o objetivo de fornecer uma visão geral do conceito de função, seus diversos elementos e, a partir do entendimento deste embasamento inicial, se estudar os principais tipos de função que são usados frequentemente para resolver problemas.

Também é objetivo desta unidade se verificar como podem ser resolvidos estes problemas com o uso de equações algébricas.

CONCEITO E CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES A importância do estudo das funções não se restringe apenas aos interesses da matemática pura, mas colocado em prática em outras áreas do saber, como a administração e a economia, ajuda a resolver diversos problemas que são característicos em cada uma destas áreas.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Muitas vezes nos deparamos com um gráfico dentro de um texto qualquer, que nada mais é que uma função: a comparação (relação) de duas grandezas representada graficamente. Para que esse gráfico tome forma, é necessário que essa relação (comparação) seja representada em uma função na forma algébrica. O estudo das funções se inicia com a observação:

» » Das suas características; » » Dos seus elementos; e » » Dos diferentes tipos de funções. E, para dar continuidade ao estudo de função, é necessário o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações. Uma relação estabelecida entre dois conjuntos “A” e “B”, na qual existe uma associação entre cada elemento de A com um único de B - através de uma lei de formação - é considerada uma função. Observe o exemplo: Figura 3 - Representação Esquemática de uma Função

Cada tipo de função possui uma propriedade e é definida por leis generalizadas. As funções possuem representações geométricas no Plano Cartesiano e as relações entre pares ordenados (x; y) são de extrema importância no estudo dos gráficos de funções, pois a análise dos gráficos demonstra, de forma geral, as soluções dos problemas propostos com o uso de relações de dependência. Chama-se Plano Cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado “espaço” com dimensões. Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático francês e filósofo Descartes. As dimensões, na prática, correspondem aos valores que são relacionados entre os conjuntos “A” e “B”. Os pares ordenados representam exatamente os valores numéricos associados entre aqueles conjuntos. Na figura anterior teriamos, então, os pares ordenados (1; 4), (2; 8), (3; 12) e assim por diante. Observe a figura a seguir:

AULA 2 - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E EQUAÇÕES

Figura 4 - Plano Cartesiano

Lembre-se cada eleme5ento do conjunto imagem. Se isto não acontecer, não temos uma função.

Nela aparecem exemplos de pares ordenados, lançados no Plano Cartesiano: (-5; 3), (6; 5) e (4,5; -3,5). O Plano Cartesiano pode ser entendido, de uma forma mais prática, como a base que se usa para a criação de gráficos que representam funções. As funções possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de imagem da função. No Plano Cartesiano, o eixo “x” representa o domínio da função, enquanto o eixo “y” representa os valores obtidos em função de “x”, constituindo a imagem da função. No exemplo anterior, da maneira como foi definida a relação, o conjunto “A” seria o domínio e o conjunto “B” seria o contradomínio da função. Observe a direção das linhas (de “A” para “B”). Isto deve significar que, em função do valor considerado em “A”, pode-se determinar o valor correspondente em “B”. Quando se diz que há uma função de “x”, significa dizer que deve fazer um cálculo com o valor de “x” para determinar “y”, e não o contrário. A definição de que variável assume a posição equivalente a “x” é uma questão prática. Suponhamos que estudemos a relação entre a temperatura média do dia e o número de resfriados que ocorrem em cada dia. É razoável que a temperatura condicione quanto resfriados ocorrerão e não o contrário. Neste caso, a temperatura assumiria a posição equivalente a “x” e o número de resfriados a posição de “y”. Isto é, assumiria que o número de resfriados observados é função da temperatura média de cada dia.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Um exemplo de relação de função pode ser expresso por uma lei de formação que relaciona o preço a ser pago em função da quantidade de litros de combustível abastecidos. Considerando o preço do combustível igual a R$ 2,50, temos a seguinte lei de formação:

f(x) indica o preço a pagar e “x” a quantidade de litros. Neste caso, podemos dizer que o preço a pagar é função da quantidade de litros abastecida, isto é, a partir da quantidade de litros, determina o preço a pagar. Eis outros exemplos de função que poderíamos citar:

» » O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida. » » A altura de uma criança é função de sua idade. » » O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade média desenvolvida. » » O perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados. Um conceito importante referente às funções dita que cada elemento do conjunto domínio da função deve estar “ligado” com apenas um elemento do conjunto imagem. Se isto não acontecer, não temos uma função. Do que vimos até agora, podemos concluir que, em uma função, temos:

» » O conjunto dos valores de “x” (também chamada variável independente), denominado domínio da função; » » O conjunto dos valores de “y” (também chamada variável dependente), denominado contradomínio da função; e » » A lei que descreve a relação de dependência entre as variáveis “x” e “y”. No caso do combustível, esta lei seria a indicação de que devemos multiplicar cada valor de “x” por 2,5 para determinarmos o valor correspondente de “y”. Dentro do contradomínio podemos ter valores que não correspondem a nenhum valor de “x”. É o caso do valor “31” na figura que representava o esquema de uma função (Figura 3). Esta observação é importante porque temos um novo conceito. Chamamos de conjunto imagem aos valores do conjunto contradomínio que satisfazem à lei de correspondência. Então, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio. Observemos, agora, outra representação gráfica de função.

AULA 2 - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E EQUAÇÕES

Figura 5 - Uma Função Genérica

Nesta nova figura temos a função representada por uma linha contínua, variando entre os valores de “x” de -2 a 12. Significaria dizer que, para cada valor de “x”, neste intervalo, teríamos determinado o valor da função. Note que existem valores de “x” que correspondem a valores da função iguais a zero. È o caso dos valores de “x” correspondentes a -2, 5 e 11. Dá-se o nome de zeros ou raízes da função aos valores de “x” que correspondem a um valor calculado para a função igual a zero. Outro conceito importante é o sinal da função. Observe que os valores da função estão associados aos valores correspondentes ao eixo vertical (o eixo “y”). Neste caso, a função é dita positiva quando estes valores são positivos. Veja a tabela abaixo, associando os valores de “x” aos sinais da função. Tabela 3 - Sinais da Função

O sentido de variação da função indica se ela é crescente, decrescente ou constante em um determinado ponto, isto é, qual a tendência de variação da função num ponto, quando se aumenta o valor de “x”. Vamos observar a tabela abaixo, que associa os valores de “x” ao sentido de variação da função.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Tabela 4 - Sentido de Variação da Função

Dá-se o nome de máximos de uma função aos valores da função em que a tendência da função, para trás e para frente do ponto considerado, é de redução do valor. Dá-se o nome de máximo global ou absoluto ao maior valor que a função pode assumir. Aos demais pontos de máximo, dá-se o nome de máximos relativos. Dá-se o nome de mínimos de uma função aos valores da função em que a tendência da função, para trás e para frente do ponto considerado, é de aumento do valor. Dá-se o nome de mínimo global ou absoluto ao menor valor que a função pode assumir. Aos demais pontos de mínimo, dá-se o nome de mínimos relativos. Vamos à tabela: Tabela 5 - Máximos e Mínimos da Função

EQUAÇÕES MATEMÁTICAS Antigamente as pessoas buscavam solucionar problemas cotidianos que envolviam cálculos numéricos através de processos aritméticos, isto é, com o uso das operações aritméticas básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão; e suas derivadas, a exemplo da exponenciação que pode ser vista, em determinado contexto, como uma sequência de multiplicações sucessivas. Contudo, em certas situações, esse processo não conseguia resolver os problemas que surgiam. Com isso, passou-se a trabalhar com elementos algébricos, constituindo, assim, as equações que nada mais são do que expressões representando uma determinada situação-problema. Estas expressões traduzem os problemas da linguagem natural do dia a dia para uma linguagem matemática formal. Mas não basta conseguir esquematizar um problema apenas com expressões algébricas, é preciso saber resolvê-las. Para tanto, realizaram-se estudos acerca dos métodos de obtenção da solução das equações. A obtenção da solução de uma equação é feita através de manipulações aritméticas envolvendo letras (incógnitas).

AULA 2 - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E EQUAÇÕES

Porém, qual é o objetivo dessas letras ou palavras em meio a números? As incógnitas utilizadas nas expressões algébricas possuem a propriedade de representar qualquer número. Portanto, ao encontrarmos expressões que nos auxiliam a determinar a solução de um número para equações que possuem apenas incógnitas, quer dizer que determinamos um método de obter a solução para qualquer tipo daquela equação. Por exemplo, considere a solução de uma equação do tipo: 2×x+3=0 A solução é dada pela expressão:

Neste caso, “x” é a incógnita, ou seja, o valor que queremos determinar. Nós poderíamos generalizar a solução do problema introduzindo novas letras:

“a” e “b” seriam, então, os coeficientes dessa equação, representados por números quaisquer que, submetidos à operação da segunda equação, forneceriam automaticamente o valor de “x”. Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incógnita que tornem a igualdade verdadeira. A equação mostrada no exemplo acima pode ser interpretada e resolvida facilmente: o valor de “x” que, colocado em seu lugar, na equação produz uma igualdade é -1,5. A resolução das equações implica num processo que tenta isolar a incógnita em um dos lados da equação e deixar os coeficientes (outras letras) ou os valores numéricos do outro lado. Para tal, existem duas transformações básicas. Dada uma equação, as seguintes operações podem ser efetuadas sem que modifique a igualdade previamente estabelecida:

» » Somar (ou subtrair) um mesmo número real em cada lado da igualdade. » » Multiplicar (ou dividir) cada lado da igualdade por uma mesma constante não nula. Note que resolução da equação original seguiu este processo, na qual detalhamos agora. Parte-se da equação inicial e se subtrai o valor 3 de ambos os lados: 2×x+3-3 =0-3 2×x=-3

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Em seguida, se dividem ambos os lados da nova igualdade por 2:

Na prática, para resolver equações mais complexas, pode-se aplicar qualquer operação aritmética em ambos os lados da equação: raiz quadrada, exponenciação, logaritmos etc. Dá-se o nome de sistemas de equações a duas ou mais expressões que devem ser resolvidas simultaneamente: x-y=8 x+y=30 As soluções dos sistemas de equações podem ser interpretadas geometricamente como sendo os pontos de intersecção dos gráficos determinados por cada equação. No exemplo dado, a solução do sistema é o ponto de interseção das duas funções, a saber, o ponto de coordenadas (19; 11). Veja a figura: Figura 6 - Resolução de um Sistema de Equações

O método algébrico de resolução dos sistemas de equações envolve a criação de uma expressão que isola uma incógnita em uma das equações e substitui a ocorrência desta incógnita na outra equação pela expressão encontrada.

AULA 2 - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E EQUAÇÕES

A partir da substituição, podemos resolver a equação onde só ocorre a incógnita “y”:

Conhecido o valor de “y”, pode-se determinar o valor de “x”:

INEQUAÇÕES Inequações podem ser definidas como desigualdades de expressões algébricas. Isso significa que iremos estabelecer uma relação, entre as duas expressões, diferente da igualdade. Inequações podem envolver relações do tipo:

» » Maior que; » » Maior ou igual; » » Menor que; » » Menor ou igual; » » Diferente Na prática, o processo de resolução de inequações é muito semelhante ao usado para resolver equações. No entanto, temos uma grande exceção: quando tivermos que multiplicar ambos os lados da inequação por “-1” (menos um), a relação de maior ou menor se inverte. É fácil perceber esta necessidade. Veja a expressão abaixo: 3<5 Se multiplicarmos ambos os lados por “-1”, sem invertermos a relação, teremos: -3<-5, o que é matematicamente errado. Assim sendo, ao multiplicar uma inequação por “-1”, deve-se inverter a relação de maior ou menor. No nosso exemplo, o resultado final deverá ser: -3>-5 A título de exemplo, vamos resolver uma inequação aplicando o mesmo processo usado para a solução de uma equação. Siga os passos a seguir:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

A interpretação do resultado de uma inequação é mais ou menos intuitiva: para que a inequação original seja satisfeita (seja uma expressão verdadeira), é necessário que o valor de “x” seja maior que 4. Você pode testar isto substituindo diferentes valores na inequação inicial e verificando que, somente para valores de “x” maiores que 4, a expressão será verdadeira ou matematicamente correta. E aqui se destaca outra diferença entre equações e inequações: enquanto as equações definem valores pontuais que lhe servem de resposta ou solução, nas inequações há um intervalo de valores, como sendo a resposta desejada. No caso anterior, se ao invés de ter uma inequação produzisse uma equação, teríamos: 3x+12=24 A solução para esta equação seria x = 4: um valor preciso e bem definido. Já a inequação correspondente tem como resposta um conjunto de valores, isto é, todo e qualquer valor numérico que seja maior que 4.

FUNÇÕES DE PRIMEIRO GRAU: FORMA GERAL Como dissemos antes, uma função é utilizada para relacionar valores numéricos a uma variável “x”, através de uma determinada expressão algébrica que envolve o uso do valor de “x”. Uma função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo: F(x)=ax+b Note que, para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau, isto é, o maior expoente que é aplicado à variável “x” deve ser 1 (um). Vejamos um exemplo: F(x)=x-2 Neste caso, teremos a =1 e b = -2. A partir daí, podemos determinar o valor da função para cada possibilidade de valoração de “x” simplesmente se substituindo o valor desejado de “x” na expressão da função. Veja a tabela a seguir:

AULA 2 - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E EQUAÇÕES

Tabela 6 - Valores da Função F(x) = x - 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de “x” é alterado. Assim, obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x; f(x)). Veja que, para cada coordenada “x”, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções. O gráfico correspondente a esta função é mostrado a seguir: Figura 7 - Função F(x) = x - 2

As funções de 1º grau, ao serem representadas no Plano Cartesiano, conforme se observa na Figura 7, constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a função é chamada de constante. Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de seu gráfico, e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado na função pela letra “b”, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y). Conforme vimos na figura anterior, a reta corta o eixo vertical (eixo “y”) no ponto -2. Outra maneira de definir o coeficiente linear da função de 1º grau seria dizer que ele é igual ao valor da função para “x” igual a zero, o que se comprova na observação da Tabela 6. As funções de 1º grau podem ser classificadas de acordo com o valor do “a”, denominado coeficiente angular da função de 1º grau.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Se a > 0, a função é crescente; caso a < 0, a função se torna decrescente. A função anterior era crescente e o valor de “a” era igual a 1 (maior que zero). Na prática, o coeficiente angular recebe este nome porque é numericamente igual à tangente do ângulo formado pela reta com o eixo “x”. Existe ainda outra interpretação para o valor de “a” (coeficiente angular). Ele corresponde à relação entre as variações de dois valores de F(x) e dos valores de “x” correspondentes. Observe na Tabela 6 que, quando “x” varia de 1 para 2, o valor de F(x) varia de -1 para zero. Se fizermos a relação entre estas variações, teremos:

O valor encontrado é igual ao coeficiente angular. Quando temos a = 0, a função é dita constante porque, para qualquer valor de “x”, F(x) será sempre igual a “b”. Retomando o conceito de raiz da função (o valor de “x” que faz com que o valor da função seja igual a zero), tem-se que:

Significa dizer que, sempre que “x” for igual à divisão do coeficiente “b” pelo coeficiente “a”, multiplicado por -1 (menos um), terá o valor da função igual a zero. Com esta última informação (como achar a raiz da função de 1º grau) fica fácil esboçar o gráfico de qualquer função deste tipo. Observe a figura abaixo: Figura 8 - Montagem do gráfico de uma Função do 1º Grau

Observe que o ponto onde a reta corta o eixo “x” (horizontal) é numericamente igual à raiz da reta:

AULA 2 - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E EQUAÇÕES

E o ponto onde a reta corta o eixo “y” é igual ao valor do parâmetro “b” (coeficiente linear). Uma única situação não permite que desenhe a reta usando este procedimento: quando ela tem o parâmetro “b” igual a zero. Neste caso, ela passa pela origem dos eixos (o ponto onde eles se cruzam). Para desenhar a reta, nesta última situação, é preciso que se escolha um valor para “x” e se calcule a função. Com este par de valores, marca-se um ponto no Plano Cartesiano e o liga à origem dos eixos. Veja o novo exemplo: Figura 9 - Reta passando pela origem dos eixos

Você poderia escolher o valor 6 para “x”, que geraria um resultado para a função igual a 15: F(x)=2,5x=2,5×6=15 Ligando este ponto à origem, você terá a imagem da reta correspondente à função, como mostra a figura. Vamos, agora, a uma aplicação prática das funções de 1º grau. Exemplo 1 Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. As condições gerais dos planos são:

» » Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta, num certo período. » » Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta, num certo período. Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas “x” dentro do período preestabelecido. Comecemos por determinar a função correspondente a cada plano. Depois, vamos estudar em qual situação o plano A é mais econômico; em qual situação o plano B é mais econômico; e quando os dois se equivalem. As equações correspondentes aos planos serão: Plano A=20x+140 Plano B=25x+110 Para que o plano A seja mais econômico, precisa observar que: Plano A<Plano B 20x+140<25x+110 Isto nos leva a: x>6

MÉTODOS QUANTITATIVOS

É mais ou menos intuitivo que, quando “x” for menor que 6, o Plano B será mais econômico. Mais isto também pode ser validado com a inequação correspondente: 20x+140>25x+110

x<6

Finalmente, para que os planos sejam equivalentes, tem-se que: 20x+140=25x+110

x=6

Nossa avaliação pode ser comprovada pelo gráfico a seguir: Figura 10 - Comparação dos Planos

Note-se que até atingir o número de 6 consultas (eixo dos “x”), o custo do Plano B é menor. A partir de 6 consultas, o Plano A é mais econômico, conforme já apontavam os nossos cálculos anteriores.

FUNÇÕES DE SEGUNDO GRAU: FORMA GERAL; MÍNIMOS E MÁXIMOS A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: F(x)=ax2+bx+c Este tipo de função é chamado de 2º grau porque o maior expoente que aparece aplicado à variável “x” é 2. Daí pode-se generalizar que uma função de grau “n” recebe este nome porque tem como maior expoente da variável “x” o valor “n”. E o gráfico associado a uma função do 2º grau é uma parábola.

AULA 2 - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E EQUAÇÕES

Figura 11 - A Parábola

Ao construir o gráfico de uma função do 2º grau, notaremos sempre que:

» » Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; e » » Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo (caso da Figura 11). Se você quiser visualizar uma parábola, basta ver as antenas parabólicas de televisão: elas têm este nome porque seu formato segue as exatas relações de uma parábola. Note que a parábola tem um ponto (representado na figura pela letra “V”) chamado de vértice da parábola. As coordenadas do vértice são:

O símbolo (chamado “delta” em função de originar-se a partir da letra grega com este mesmo nome) representa uma expressão numérica que veremos mais adiante.

RAÍZES (OU ZEROS) DA FUNÇÃO DO 2º GRAU Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de “x” para os quais ela se anula. Este conceito é totalmente equivalente ao que vimos para as funções de 1º grau.

Na pratica, as raízes são definidas pela fórmula de Bháskara:

Exemplo: na função y = x² - 4x + 3, as raízes da função serão:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Note que o símbolo original “±” - na fórmula - significa que, para uma raiz, deve-se proceder ao cálculo usando “+” (mais) e para a outra “-“ (menos). O valor de expressão, da qual se tira a raiz, tem o nome de delta1.

Este valor é importante porque a partir dele se pode determinar como se comportam as raízes da função (ou equação) de 2º grau. Veja a tabela: Tabela 7 - Raízes e Valor de Delta

Delta é também chamado de discriminante da função de 2º grau.

Quando for maior que zero, teremos um gráfico de parábola que corta o eixo “x” em dois pontos, como na Figura 11. Quando for igual a zero, o gráfico da parábola encostar-se-á ao eixo “x”, sem cruzá-lo (o vértice da parábola estará sobre o eixo “x”). Finalmente, quando for menor que zero, a parábola estará totalmente definida acima ou abaixo do eixo “x”, sem cruzá-lo ou nele tocar. Se a parábola vai ficar acima do eixo “x” ou abaixo dele, isto dependerá do sinal do parâmetro “a”. Quando a parábola ficar totalmente acima do eixo “x”, isto implicará que todos os valores de F(x) serão positivos. E, quando a parábola ficar totalmente abaixo do eixo “x”, isto implicará que todos os valores de F(x) serão negativos.

AULA 2 - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E EQUAÇÕES

ESBOÇANDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2° GRAU Para desenhar o gráfico da função de 2º grau, é preciso seguir um procedimento básico. Usaremos como exemplo a mesma função referenciada anteriormente:

Eis os passos a serem seguidos:

» » Ache as raízes da equação. » » Determine a orientação da concavidade (verificar o sinal do parâmetro “a”). » » Determine o ponto onde a parábola corta o eixo “y” (este ponto é numericamente igual ao parâmetro “c”, que corresponde ao valor da função quando a variável “x” for igual a zero). » » Determine as coordenadas do vértice da parábola. Neste caso, já temos calculadas as raízes: x1=3 e x2=1 Já que o valor de “a” é positivo (1), a parábola era concavidade para cima. O valor de “c” (3) indica onde a parábola cortará o eixo “y”. E as coordenadas do vértice são:

Temos, então, a representação gráfica da função conforme a figura a seguir: Figura 12 - Representação da Função

MÉTODOS QUANTITATIVOS

ESBOÇANDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2° GRAU Dá-se o nome de ponto de máximo ou ponto de mínimo de uma função de 2º grau à posição de seu vértice. Se a concavidade da parábola for voltada para cima (a > 0), teremos um ponto de mínimo. Mas se a concavidade da parábola for voltada para baixo (a < 0), teremos um ponto de máximo. O significado disto é intuitivo e pode ser verificado nas representações gráficas das parábolas: um ponto de mínimo representa o conjunto de valores de “x” e F(x) que corresponde ao menor valor possível para F(x). O raciocínio recíproco se aplica ao ponto de máximo: representa o conjunto de valores de “x” e F(x) que corresponde ao maior valor possível para F(x).

REGRA DE SOMA E DO PRODUTO Para construir uma equação de 2º grau, a partir das raízes, basta desenvolver a seguinte expressão: a×(x-R1 )×(x-R2 ) Nesta expressão, R1 e R2 representam as raízes que deseja e “a” é um valor qualquer que multiplica as subexpressões entre parênteses. Vamos tentar gerar uma função de 2º grau com raízes iguais a 1 e 3 e a = 1. Seguindo a orientação anterior, teremos:

Esta é exatamente a função que utilizamos no exemplo anterior, para a qual calculamos as raízes (1 e 3), o que comprova a validade do procedimento. Dá-se o nome de regra da soma e do produto a uma característica adicional dos parâmetros “b” e “c” das equações de 2º grau:

» » A soma das raízes da equação é sempre igual a:

» » O produto das raízes da equação é sempre igual a:

AULA 2 - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E EQUAÇÕES

Saber destas características - das equações do 2º grau - pode ajudar a achar as raízes das mesmas, sem precisar usar a fórmula de Bháskara. No exemplo anterior, bastaria tentar descobrir dois números que, somados, são iguais a 4 e, multiplicados entre si, dão como resultado 3. A resposta natural seria 1 e 3, isto é, as raízes da equação. Exemplo 2 Vamos tentar achar as raízes da seguinte equação, sem usar a fórmula de Bháskara:

Sabemos, pela regra da soma e do produto que as duas raízes somadas devem dar 17 e que o produto delas deve ser igual a 70. Logo, tentando alguns valores, poderíamos chegar a 7 e 10, isto é, aos valores das raízes desta equação, por que:

Mas é preciso prestar atenção: a soma tem sinal invertido em relação ao cálculo

INEQUAÇÕES DO 2° GRAU As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de definir a solução desejada. Primeiramente devemos passar todos os termos da inequação para um dos lados, deixando o outro igual a zero. Veja o exemplo a seguir:

Neste caso, passaríamos os termos “4x” e “-3” para a direita da inequação. Isto pode ser feito subtraindo os termos de ambos os lados da inequação:

O próximo passo é determinar as raízes da equação correspondente, na qual sabemos que são 3 e 1. A seguir, esboçamos o gráfico da função, que deve corresponder à Figura 12. Agora, observando o gráfico, vemos que uma parte da parábola fica acima do eixo “x” e outra abaixo:

» » A parábola fica acima do eixo “x” para valores de “x” inferiores a 1 e superiores a 3. » » A parábola fica abaixo do eixo “x” para valores de “x” entre 1 e 3. 49

MÉTODOS QUANTITATIVOS

A inequação pede que os valores da expressão sejam positivos (> 0). Neste caso, resolver a inequação é indicar que valores de “x” forçam que o cálculo de F(x) seja positivo, isto é:

Deste exemplo conclui-se que, resolver inequações de 2º grau pode ser uma tarefa muito simples, desde que consiga fazer o esboço do gráfico da parábola correspondente. Exemplo 3 Considere que a curva de custo total mensal, para uma mercadoria, seja dada pela equação C(x) abaixo e que a função de receita total seja dada pela equação R(x) abaixo, onde “x” é a quantidade produzida. Determine o(s) ponto(s) de equilíbrio, a quantidade de produção para o lucro máximo e a condição em que se tem prejuízo.

Dá-se o nome de ponto de equilíbrio à condição em que o resultado geral das vendas de uma empresa não gera lucro nem prejuízo. Significa dizer que o resultado, ou o lucro, é zero. Nós podemos escrever a expressão do lucro como:

Ao resolver esta equação, teremos o seguinte gráfico: Figura 13 - Representação da Função do Lucro

As raízes desta equação são 20 e 180.

AULA 2 - FUNÇÕES MATEMÁTICAS E EQUAÇÕES

» » Os pontos de equilíbrio acontecem quando o cálculo da função lucro é igual a zero: para “x” igual a 20 ou 180. » » O lucro máximo é obtido no vértice da parábola, isto é, quando x = 100, o que gera um lucro de 640 unidades monetárias.

» » A primeira expressão é resultante da substituição do valor de “x” na equação do lucro. A segunda resulta da aplicação da fórmula da coordenada do vértice da parábola. » » O prejuízo acontece quando o lucro é negativo, isto é, quando x < 20 ou quando x > 180. Significa dizer que uma produção de menos de 20 unidades ou mais de 180 unidades causará prejuízo à empresa.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Esboce o gráfico da função: F(x)= 5x + 30. 2) Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo “x” o número de peças unitárias produzidas, determine: a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças; b) Calcule o custo de produção de 400 peças. 3) Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90 por quilômetro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 quilômetros. 4) Esboce o gráfico da função: 5) Considere que a curva de custo total mensal para uma mercadoria seja dada pela equação C(x) abaixo e que a função de receita total seja dada pela equação R(x) abaixo, onde “x” é a quantidade produzida. Determine o(s) ponto(s) de equilíbrio, a quantidade de produção para o lucro máximo e a condição em que se tem prejuízo.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1)

2) 3) 4)

5) Pontos de equilíbrio: 50 e 40. Lucro máximo para uma produção de 45 unidades. Ter-se-á prejuízo quando a produção for inferior a 40 ou superior a 50 unidades.

BIBLIOGRAFIA IEZZI, G. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo, 1993. IEZZI, G. et al. Matemática. São Paulo, 1995. SILVA, S. M. D. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo, 2002. ZOLD, H. H. N.; CORRÊA, S. Novíssimo Curso Vestibular. São Paulo, I e II, 1991.

AULA 3 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo

OBJETIVOS DESTA UNIDADE

sta unidade tem o objetivo de dar continuidade ao estudo das funções, abordando as funções exponenciais e logarítmicas, frequentemente, utilizadas para resolver problemas de administração e, em especial, aqueles que envolvem cálculos financeiros. Complementarmente, estudar-se-á as progressões aritméticas e geométricas, que são a base para o cálculo de juros na matemática financeira.

FUNÇÕES EXPONENCIAIS Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número “a” estão definidas por:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

“a” é chamada de base da potência; e “n”, o seu expoente. Na prática, um expoente fracionário é equivalente a tirar a raiz do número. Veja o exemplo:

Se “a” for negativo, então, algumas das potências fracionárias de “a” terão valores fora do campo dos números reais, como, por exemplo:

Este tipo de consideração, no entanto, foge ao escopo de nosso estudo, pelo que, para expoentes fracionários, sempre consideraremos a condição de a≥0. Nestas condições, uma função ou equação exponencial nunca terá uma raiz (terá como resultado de cálculo um valor igual a zero). Por consequência, a função sempre será positiva.

COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS Considerando o valor de “a”, temos duas condições:

» » Quando “a” está compreendido entre 0 e 1, a função é decrescente. » » Quando “a” é maior que 1, a função é crescente. Veja os gráficos: Figura 14 - Potências de bases maiores que 1

AULA 3 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS. PROGRESSÕES MATEMÁTICAS

Figura 15 - Potências de bases entre 0 e 1

Observe que se a = 1, teremos uma função constante.

PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS A seguir, apresenta-se as principais propriedades das funções exponenciais. As propriedades básicas, das quais todas as outras derivam, são:

» » O produto de exponenciais de mesma base é igual a esta base elevada à soma dos expoentes dos fatores multiplicados:

» » A divisão de exponenciais de mesma base é igual a esta base elevada à diferença entre o expoente do numerador e o expoente do denominador.

Outras propriedades derivadas das propriedades básicas são:

» » Qualquer número diferente de zero, elevado a zero, resulta em 1:

» » Qualquer número elevado a 1 é igual é este mesmo número:

Qualquer potência de um número, elevada a outra potência, é igual a este número elevado ao produto das duas potências:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

» » Duas potências iguais de bases diferentes, quando multiplicadas, dão como resultado o produto das bases elevado àquela potência:

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita encontra-se no expoente de, pelo menos, uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. São exemplos de equações exponenciais:

Para resolvermos uma equação exponencial, precisamos aplicar técnicas para igualar as bases. Assim, considerando a equação como um todo, podemos dizer que os expoentes também serão iguais. Observe a resolução da seguinte equação exponencial:

Se fatorarmos o número 2187, veremos que ele é igual a 37. Substituindo isto na equação original, temos:

E, considerando a igualdade como um todo, podemos concluir que x = 7. Vejamos outra equação:

Após a fatoração de 1024, temos:

Exemplo 1

Para igualarmos as bases, é preciso lembrar que qualquer base elevada a zero é igual a 1. Então teremos:

AULA 3 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS. PROGRESSÕES MATEMÁTICAS

Disto resulta que: Para saber o(s) valor(es) de “x”, basta resolver a equação do 2º grau que acabamos de determinar.

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Toda função é denominada função logarítmica de base “a” se for definida pela lei de formação:

Lê-se a expressão acima como logaritmo de “x” na base “a”. Em especial, a variável “x”, neste caso, recebe o nome de logaritmando ou antilogaritmo. Nesse tipo de função, o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Na prática, achar um logaritmo de um número equivale a achar o expoente que transforma a base considerada neste número. Veja o exemplo: A resposta para esta equação exponencial é simples: “x” deve ser igual a 2 para que a igualdade seja verdadeira. Mas muitos não sabem que estamos resolvendo um problema de logaritmos quando tratamos de equações exponenciais deste tipo:

Se dizer que o logaritmo de 9 na base 3 é igual a 2 significa que 3 elevado a 2 será igual a 9. Na prática, pode-se transformar qualquer problema de logaritmos em um problema exponencial equivalente.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Assim como procedemos com as funções exponenciais, devemos dividir as considerações da representação gráfica das funções logarítmicas em dois casos:

» » Quando a base do logaritmo for maior que 1, teremos uma função crescente.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Figura 16 - Log em uma base maior que 1

» » Quando a base do logaritmo estiver entre 0 e 1, teremos uma função decrescente. Figura 17 - Log em uma base entre 0 e 1

Note que, em qualquer situação, o gráfico da função logarítmica está sempre à direita do eixo “y” e que a raiz da função logarítmica, em qualquer base, é 1.

PROPRIEDADE DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA As propriedades da função logarítmica são totalmente equivalentes às propriedades das funções exponenciais. Veja a tabela comparativa: Tabela 8 - Relação entre as Propriedades dos Logaritmos e as das Exponenciais

AULA 3 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS. PROGRESSÕES MATEMÁTICAS

Eis alguns exemplos de logaritmos:

MUDANÇA DE BASE As calculadoras existentes no mercado conseguem calcular o logaritmo de qualquer número, mas trabalham, em geral, apenas em duas bases: a base decimal e a base neperiana. A base neperiana é assim chamada porque o valor da base é igual à constante de Neper: 2,71828183. Esta constante é frequentemente referenciada em cálculos financeiros ou de economia, entre outros, daí dá-se destaque ao uso dela quando utilizada como base para cálculo dos logaritmos. Neste ponto, vale a pena mencionar duas convenções utilizadas quando trabalhamos com logaritmos. Assim, como acontece com as operações de raiz, onde sempre queremos calcular a raiz quadrada de um número, não precisamos indicar o “2” na raiz, no caso dos logaritmos temos duas convenções equivalentes. Quando a base do logaritmo desejado é 10, usualmente, não escrevemos a base:

E quando usamos a base neperiana, ao invés de escrever “log”, escreve-se “ln”:

Agora, suponha que você queira calcular o logaritmo de 49 na base 7: É claro que, pela definição inicial, a resposta para isto é 2, porque 7 elevado ao quadrado é igual a 49. Mas vamos supor que você não soubesse disto e desejasse calcular este resultado com uma calculadora que tenha uma função logarítmica: decimal ou neperiana. Neste caso, existe um recurso simples. Para todo e qualquer logaritmo, em uma base, pode-se escrever:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Isto significa que, se não temos como calcular o logaritmo de um número em uma determinada base porque não tem uma calculadora que o faça de forma direta -, temos o recurso de calcular o logaritmo deste número em outra base; calcular o logaritmo da base original nesta outra base; e, se dividir um resultado pelo outro, conseguindo da resposta ao problema original: Para o nosso caso teríamos:

O mesmo vale para uma calculadora que só tenha a função logarítmica na base neperiana (que é o caso da calculadora HP 12c):

Resumidamente, temos um problema típico de logaritmo quando nossa incógnita está em um expoente. Exemplo 2 Se um cavalo engorda 10% ao mês. A partir de um peso inicial (x), quando ele irá dobrar o seu peso (x)? Primeiramente, devemos entender como cresce o peso do cavalo do problema. Se o peso inicial dele era 100 kg, a tabela a seguir mostra a evolução do peso ao longo dos três primeiros meses: Tabela 9 - Evolução do peso de um cavalo

Note que, para cada mês, deve-se multiplicar o peso anterior por 1,1. Neste caso, para o mês “m”, deverá multiplicar o peso inicial “m” vezes por 1,1. E quando esperar que o peso esteja dobrado, teremos a equação:

AULA 3 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS. PROGRESSÕES MATEMÁTICAS

Neste caso, percebe-se que não importa qual é o peso inicial do cavalo, porque para resolver a equação podemos simplificar o fator “P” nos dois lados da equação:

Agora, já que temos uma igualdade, se aplicarmos a mesma operação dos dois lados da igualdade, continuaremos a ter uma igualdade. A operação que iremos aplicar é o logaritmo:

Usando a propriedade dos logaritmos, referente ao logaritmo de uma potência, nós teremos:

Substituindo esta expressão na igualdade inicial:

Isto significa que o cavalo levará pouco mais de 7 meses para dobrar de peso. Você precisa fixar este tipo de encaminhamento de solução de problemas, porque o mesmo raciocínio se aplica ao cálculo do tempo necessário para que uma determinada aplicação tenha um rendimento previamente desejado.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Sequência numérica é todo conjunto de números cujos elementos obedecem a uma determinada ordem. Existem sequências infinitas como, por exemplo, a sequência dos números naturais pares em ordem crescente: (0, 2, 4, 6, 8,...). Cada elemento de uma sequência também pode ser denominado de termo da sequência e em uma sequência. O termo que ocupa a posição de número “n” é indicado pelo símbolo an. Isto é:

» » a1 indica o primeiro termo da sequência; » » a2 indica o segundo termo da sequência; » » a3 indica o terceiro termo da sequência; » » ... » » an indica o “enésimo” termo da sequência.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Toda sequência numérica tem uma Lei de Formação, isto é, um conjunto de informações capazes de determinar todos os termos da sequência, assim como a ordem em que se apresentam. Consideremos, agora, a situação descrita a seguir. Quando a quantidade de água de um reservatório atinge o mínimo de 5 m3, é aberto um registro, automaticamente, despejando-se 4 m3 de água por hora neste reservatório, até completar sua capacidade, que é de 45 m3. A sequência a seguir apresenta a quantidade, em metros cúbicos, contida no reservatório, de hora em hora, a partir do instante que foi atingida a quantidade mínima: (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45) Essa sequência numérica é chamada de Progressão Aritmética (PA), porque, adicionando uma mesma constante a cada termo, obtém-se o termo seguinte: neste caso a constante adicionada é 4. Progressão Aritmética é, então, toda sequência numérica em cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo precedente (anterior) com uma constante “r”. O número “r” é chamado de razão de progressão aritmética. As Progressões Aritméticas podem ser:

» » Crescentes: quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a razão seja positiva. Exemplo: (2,4,6,8...). » » Decrescentes: quando, em cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecedente. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a razão seja negativa. Exemplo: (15,12, 9,6...). » » Constantes: quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a razão seja igual a zero. Exemplo: (5, 5, 5, 5...).

TERMO GERAL DE UMA PA Consideremos a PA de razão “r”: (a1, a2, a3, a4, a5,... an...) Qualquer termo dessa PA pode ser representada em função de a e de “r”: observe: (a1 + 0r; a1+ 1r, a1+ 2r, a1+ 3r,...), Isto quer dizer que qualquer termo an é igual à soma de a1 com o produto: (n-1) × r Ou seja, a fórmula do termo geral da PA pode ser expressa como: an=a1+(n-1) × r Desta fórmula se pode deduzir que numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Veja o exemplo anterior: (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45) Temos então: 5+45=9+41=13+37=17+33=21+29

AULA 3 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS. PROGRESSÕES MATEMÁTICAS

E se a PA tiver um número de termos ímpar, o termo central será igual à metade da soma dos extremos:

SOMA DOS “N” PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA A soma Sn dos “n” primeiros termos da PA (a1, a2, a3,... an...) é dada por:

E se você substituir an pela expressão do termo geral terá outra fórmula equivalente:

Com o uso das fórmulas do termo geral, e da soma dos “n” primeiros termos de uma PA, os problemas de PA (e também de PG, como veremos a seguir) se resumem a identificar três das grandezas que são utilizadas na primeira fórmula, para se calcular a quarta grandeza. Vamos a um exemplo. Calcular a soma dos termos da PA (2, 5, 8,... 65). O problema nos fornece a1 (2), “r” (3) e an (65). Para calcularmos a soma, precisamos saber quantos termos tem a PA, ou a ordem do último termo. Nos falta “n”. Usando a fórmula do termo geral, temos:

+ (n – 1) x r

65 = 2 + (n – 1) x 3 (n – 1) =

65 2 2

Substituindo os valores na fórmula da soma, temos:

= 21

n = 22

MÉTODOS QUANTITATIVOS

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo precedente (anterior) por uma constante “q”. O número “q” é chamado de razão da Progressão Geométrica. Vejamos um exemplo de uso de PG: Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado durante cinco anos à taxa de juros composto de 20% ao ano. A seguir, apresenta-se os montantes (resultado acumulado do investimento), em reais, ano a ano, a partir do início da aplicação: Tabela 10 - Montantes de uma Aplicação Financeira

Essa sequência numérica é chamada de Progressão Geométrica (PG), porque, multiplicando cada termo por uma mesma constante, obtém-se o termo seguinte: nesse caso, multiplicou-se cada termo pela constante “1,2”. As Progressões Geométricas podem ser:

» » Crescentes: quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a1>0 e q>1, ou a1<0 e 0<q<1. Exemplo: (2, 4, 8, 16...).

» » Decrescentes: quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a1>0 e 0<q<1, ou a1<0 e q>1. Exemplo: (250, 50, 10, 2...). » » Constantes: quando os seus termos são iguais. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que sua razão seja 1 ou que todos os seus termos sejam nulos. Exemplo: (5, 5, 5, 5...).

» » Oscilante: quando todos os seus termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais opostos. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a 1≠0 e q< 0.

AULA 3 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS. PROGRESSÕES MATEMÁTICAS

Exemplo: (2, -4, 8, -16...).

PROPRIEDADE DOS TERMOS DE UMA PG Uma sequência de três termos, em que o primeiro é diferente de zero, é uma PG se, e somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois, isto é, sendo a≠ 0, temos:

TERMO GERAL DE UMA PG Consideremos a PG de razão “q”: Qualquer termo dessa PG pode ser representada em função de a e de “r”: observe:

Isto quer dizer que qualquer termo an é igual ao produto de a1 pela exponencial: Ou seja, a fórmula do termo geral da PA pode ser expressa como:

SOMA DOS “N” PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG A soma dos “n” primeiros termos de uma PG não constante, com o primeiro termo a1 e a razão “q”, é dada por:

Existe um caso particular de emprego desta fórmula, quando a razão está compreendida entre 0 (zero) e 1; e o número de termos é infinito. Neste caso, o termo qn (a razão elevada ao número de termos) tende a ficar tão pequeno que pode ser desprezado, o que reduz a fórmula a:

Assim como no caso da PA, com o uso das fórmulas do termo geral e da soma dos “n” primeiros termos de uma PG, os problemas se resumem a identificar três das grandezas que são utilizadas na primeira fórmula, para se calcular a quarta grandeza. Note que para se determinar o valor de “n”, em uma PG, por se tratar que uma variável que aparece em um expoente, em alguns casos se pode (ou tem de) lançar mão do uso de logaritmos.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

APLICAÇÕES DE PROGRESSÕES As progressões aritméticas e geométricas são modelos matemáticos cujas aplicações nos ajudaram a entender muitos comportamentos de evolução de valores em diversos ramos da atividade humana. Exemplo 3 A companhia que administra uma rodovia quer colocar radares eletrônicos de controle de velocidade ao longo de 500 quilômetros. Dessa forma, segue tabela com os seguintes dados:

» » O primeiro radar será colocado no quilômetro 10. » » Um novo radar será instalado a cada 40 km, a partir da colocação do primeiro. Quantos radares eletrônicos serão colocados no trecho planejado? Seguindo o procedimento proposto, devemos levantar o tipo de progressão envolvida no problema e que dados temos em mãos. Como a distância entre os radares é constante, pode-se assumir que se trata de um problema de PA. E os dados disponíveis são:

» » a1: 10 » » an: estima-se que seja 500, já que não se sabe se o último radar coincidirá com o término da rodovia, mas estará dentro dela. » » r: igual a 40 km. » » n: é o que se deseja calcular. Usando a fórmula do termo geral, teremos:

Este resultado sugere que o último radar não coincidiria com o final da estrada, mas haveria 13 radares instalados, e o último seria colocado no quilômetro: Exemplo 4 Num jogo de basquete, pudemos observar que, com 10 minutos de jogo, o time A tinha 4 pontos marcados no placar; com 20 minutos, o mesmo time tinha 8 pontos; com 30 minutos tinha 16 pontos; e assim sucessivamente. Ao término do jogo, que tem duração de 60 minutos, qual será a pontuação do time A? Fazendo o inventário do que se tem, conclui-se que os pontos crescem pela multiplicação do fator 2 (razão) e chega-se a seguinte situação:

AULA 3 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS. PROGRESSÕES MATEMÁTICAS

Usando a fórmula do termo geral da PG, temos:

Exemplo 5 Em uma experiência de laboratório, um frasco recebe, no primeiro dia do mês, 3 gotas de um determinado líquido; no segundo dia recebe 9 gotas; no terceiro dia recebe 27 gotas; e assim por diante. No dia em que recebeu 2187 gotas ficou completamente cheio. Em que dia do mês isso aconteceu? Fazendo o inventário do que se tem, conclui-se que os pontos crescem pela multiplicação do fator 3 (razão) e chega-se a seguinte situação:

Usando a fórmula do termo geral da PG, temos:

Pode-se resolver esta equação de duas maneiras:

» » Fatorando 729 e verificando se podemos igualar as bases. Ao usar este método, pode-se perceber que 729 é igual a 36.

» » Aplicando o logaritmo dos dois lados e isolando o termo “n-1”:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Exemplo 6 Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo, após a aplicação, o montante será de R$ 3.500,00? No regime de juros compostos, o rendimento é sempre calculado sobre o saldo atualizado da aplicação:

Na prática, a cada período, deve-se multiplicar o valor investido atualizado por: Onde “i” é a taxa da aplicação. Neste caso, temos uma aplicação típica de PG, mas devemos tomar cuidado: o valor inicial corresponde ao instante inicial da aplicação, logo, no mês 1 já temos rendimento. Isto pode ser representado pela fórmula do termo geral da PG adaptada:

Em matemática financeira “M” designa o montante ou total do saldo do investimento e “C” representa o valor inicial investido. Então, teremos:

Logo:

Exemplo 7 Uma máquina comprada por uma indústria sofre uma depreciação de 8% ao ano. Após quantos anos, aproximadamente, essa máquina estará valendo um quarto de seu valor inicial? Este problema é muito semelhante ao anterior, mas ao invés de somar a porcentagem relativa à depreciação a 1, deve diminuir este valor, resultando - a cada mês - um valor total do bem menor que o do mês anterior. Nossa expressão geral ficaria assim:

AULA 3 - FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS. PROGRESSÕES MATEMÁTICAS

Onde Va seria o valor da máquina no ano “a” e V0 seria o valor inicial da máquina.

A máquina terá um quarto de seu valor original em, aproximadamente, 17 anos (16,6).

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Qual é o número para o qual deve convergir a soma: (Soma de uma PG com infinitos termos) 2) Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? 3) Um investimento foi realizado sob uma taxa fixa de 3% ao mês (juros compostos). Após quanto tempo o montante final será igual ao DOBRO do capital inicial?

MÉTODOS QUANTITATIVOS

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 1) ¾ ou 0,75. 2) 23,45 anos. 3) 2 anos.

AULA 4 Introdução à Análise Combinatória Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo

INTRODUÇÃO

oi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). Mas chega de história e vamos ao estudo propriamente dito! A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

FATORIAL Seja “n” um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de “n” (indicado pelo símbolo n!) como sendo:

Para n = 0, teremos: 0! = 1. Para n = 1, teremos: 1! = 1 Exemplos: 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 4! = 4.3.2.1 = 24 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

Se você somar 1 ao produto de quatro números inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.

Existe uma propriedade fundamental do fatorial: o fatorial de um número “n” é igual a este número multiplicado pelo fatorial do número imediatamente anterior. n!=n×(n-1)! Exemplo: 4!=4×3!=4×3×2×1=24

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC Se determinado acontecimento ocorre em “n” etapas diferentes; e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes – e assim sucessivamente –, então o número total “T” de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:

Exemplo: O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Solução: Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.

AULA 4 - INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que:

» » Para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Dado qualquer número com três algarismos, repita este número em sua frente e divida o número assim construído por 13. Em seguida, pegue o resultado da divisão e divida por 11, e, novamente, divida o resultado obtido por 7. O resultado final será sempre o número inicialmente escolhido.

» » Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos, então, afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que, se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?

PERMUTAÇÕES SIMPLES Permutações simples de “n” elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os “n” elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos A, B, C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. O número total de permutações simples de “n” elementos distintos é dado por “n!”, isto é:

Exemplos:

» » P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 » » Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

MÉTODOS QUANTITATIVOS

ANAGRAMAS Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra que podem ter ou não significado na linguagem comum. Por exemplo, os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Definir a quantidade de anagramas de certa palavra ou sequência de letras é um problema típico de permutações.

PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS Se entre os “n” elementos de um conjunto existem “a” elementos repetidos de um mesmo tipo, “b” elementos repetidos de outro tipo, “c” elementos repetidos de um terceiro tipo, e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:

Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA (não considere o acento). Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra “M” está repetida duas vezes, a letra “A” três, a letra “T”, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo “K” o número procurado, podemos escrever:

Então, temos 151.200 anagramas possíveis.

ARRANJOS SIMPLES Dado um conjunto com “n” elementos, chama-se arranjo simples de taxa “k” a todo agrupamento de “k” elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem-se entre si, neste caso, se a ordem de colocação dos elementos for alterada. Este é um problema típico da montagem de uma fila, em que a alteração da ordem das pessoas torna a fila diferente. Assim, no conjunto E = {a, b, c}, teremos:

» » Arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. » » Arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

AULA 4 - INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA

Representando o número total de arranjos de “n” elementos tomados “k” a “k” (taxa “k”) por As(n, k), teremos a seguinte fórmula:

Observação: é fácil perceber que As(n, n) = n! = Pn, isto é, neste caso o número de arranjos é igual à permutação de todos os elementos disponíveis. Exemplo: Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ... 9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas ela deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? As sequências serão do tipo “xyz”. Para a primeira posição, teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas - pelo princípio fundamental de contagem - chegaremos ao mesmo resultado: 10×9×8=720 Observe que 720 é exatamente igual a As(10,3).

ARRANJOS COM REPETIÇÃO Neste caso, todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de “p” elementos. A fórmula é mais simples. Para “m” elementos totais, agrupados “p” a “p”, com possibilidade de repetição, temos:

Exemplo: Seja C={A, B, C, D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos, tomados 2 a 2, são 16 grupos onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto: Ar={AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} O cálculo seria:

Pelo PFC teríamos que, para a primeira opção de posição, estão disponíveis 4 letras e para a segunda posição também, porque as letras podem se repetir. Logo, o cálculo seria:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

COMBINAÇÕES SIMPLES Denominamos combinações simples de “n” elementos distintos tomados “k” a “k” (taxa “k”) aos subconjuntos formados por “k” elementos distintos escolhidos entre os “n” elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. Este é um problema típico da montagem de uma equipe de trabalho, onde todas as pessoas têm o mesmo perfil. Assim sendo, a ordem da escolha destas pessoas não altera a equipe formada. Por exemplo, no conjunto E= {a, b, c, d} podemos considerar:

» » Combinações de taxa 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd. » » Combinações de taxa 3: abc, abd, acd, bcd. » » Combinações de taxa 4: abcd. Representando por C(n, k) o número total de combinações de “n” elementos tomados “k” a “k” (taxa “k”), temos a seguinte fórmula:

Nota: o número acima é também conhecido como Número Binomial e pode também ser representado por:

Exemplo: Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:

O raciocínio pelo PFC é o seguinte:

» » Para a primeira escolha, o aluno tem 15 opções; para a segunda, 14, e assim por diante (devem ser desconsideradas as perguntas já escolhidas). » » Mas a ordem das perguntas escolhidas não afeta a escolha, logo, deve dividir o cálculo pelo fatorial de 5, que representa quantas vezes repete a mesma escolha, embora com ordenamento diferente. O resultado seria:

AULA 4 - INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA

Lembre-se: o número de combinações com taxas complementares tem valores iguais.

PROPRIEDADE DAS COMBINAÇÕES SIMPLES A propriedade das combinações simples diz respeito ao cálculo de combinações com taxas complementares:

A demonstração disto é simples:

As expressões finais, em ambos os casos, são as mesmas. Uma forma de entender isto – de maneira intuitiva – é considerar que, dentro de um grupo de 10 pessoas, as possibilidades de escolher 4, para formar uma equipe de trabalho, são iguais às possibilidades de deixar 6 de fora da escolha. Assim, teríamos que:

COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO Neste caso, todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até “p” vezes. A fórmula a ser usada é:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Exemplo: Seja C={A, B, C, D} As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos, não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral, neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos: Cr={AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD} Mas, para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois: AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC Assim, as combinações com repetição dos elementos tomados 2 a 2, são: Cr={AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD} Com o uso da fórmula, temos:

ARRANJO OU COMBINAÇÃO Ao resolvermos uma situação-problema de análise combinatória, encontraremos um agrupamento. É, nesse momento, surge a seguinte dúvida: “esse agrupamento é uma combinação ou um arranjo?”. É preciso identificar corretamente que tipo de agrupamento o exercício está trabalhando e para isso é possível utilizar o seguinte critério: Escrevemos um dos agrupamentos que o exercício sugere, mudamos a ordem dos seus elementos. A partir dessa mudança, concluiremos que:

» » Será um arranjo se essa mudança alterar o agrupamento original, pois sabemos que um arranjo pode ser diferenciado tanto pela natureza de seus elementos como pela ordem desses elementos. » » Será uma combinação se essa mudança não alterar o agrupamento original, pois sabemos que uma combinação é um arranjo que se difere apenas pela alteração na natureza de seus elementos. Exemplo 1: Um pintor, dispondo de cinco cores diferentes de tinta, pretende misturar três delas, em quantidades iguais, para obter uma nova cor. Quantas novas cores ele poderá obter? Para verificarmos se os agrupamentos sugeridos são arranjos ou combinações, vamos supor que as 5 cores que o pedreiro possui são: amarelo, branco, verde, vermelho, azul. Escolhendo um dos agrupamentos formados pela combinação de 3 tintas teremos: {azul, amarelo, branco} 78

AULA 4 - INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA

Se mudarmos a ordem desses elementos {amarelo, branco, azul} não irá alterar o agrupamento. Portanto, os agrupamentos montados serão combinações simples. Para encontrar a quantidade de combinações possíveis, basta aplicar a fórmula:

Portanto, é possível montar 10 combinações de 3 tintas com o grupo de 5 tintas. Exemplo 2: O Conselho de Administração de uma empresa precisa nomear cargos de diretoria de três unidades operacionais distintas. Existem 5 candidatos para estas posições. Quantas opções de nomeação o Conselho Diretor têm? Para verificarmos se os agrupamentos sugeridos são arranjos ou combinações, vamos supor que os 5 diretores são: Antônio, Carlos, Jorge, Marcos e João. Escolhendo um dos agrupamentos formados pela combinação de 3 nomes, teremos: {Unidade 1: Carlos, Unidade 2: José, Unidade 3: João} Se mudarmos a ordem desses elementos, alterará a nomeação, porque as pessoas estarão ocupando unidades distintas, embora sejam os mesmos nomes escolhidos. Portanto, os agrupamentos montados serão arranjos simples. Para encontrar a quantidade de arranjos possíveis, basta aplicar a fórmula:

Portanto, é possível montar 60 combinações (nomeações) de 3 pessoas escolhidas em um grupo com 5 pessoas no total. Mas, se as posições ou cargos fossem totalmente equivalentes, isto é, não houvesse distinção entre os cargos, voltaria a ter um problema de combinações. Agora que você viu o resumo da teoria, vamos resolver os problemas seguintes.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? Devemos dividir este problema em coquetéis com número de bebidas diferentes e somar o resultado para cada opção.

» » Com 7 bebidas: 1 opção (usamos todas e a ordem não importa, porque todas serão misturadas). » » Com 6 bebidas: fica 1 de fora. Então, basta analisar quantas opções temos para tirar uma bebida: 7 opções.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

» » Com 5 bebidas: é uma combinação simples Cs(7,5): 21 opções. » » Com 4 bebidas: é uma combinação simples Cs(7,4): 35 opções. » » Com 3 bebidas: é uma combinação simples Cs(7,3): 35 opções. » » Com 2 bebidas: é uma combinação simples Cs(7,2): 21 opções. Total: 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 = 120 opções. 2) Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? Trata-se de uma combinação simples, porque a ordem dos pontos não alterará o triângulo formado ao final:

3) Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? Pelo princípio fundamental da contagem, teremos:

» » 2 opções para o motorista; » » 4 opções para o banco da frente; » » 3 opções para o canto esquerdo de trás; » » 2 opções para o meio do banco de trás; » » 1 opção para o canto direito de trás. Multiplicando tudo, temos: 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 opções. 4) Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

» » Para a primeira porta, temos duas opções: aberta ou fechada. » » Para a segunda porta, temos também duas opções, e assim sucessivamente. » » Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:

Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos, então, o número procurado que é igual a 64 - 1 = 63. A resposta será que o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis. 5) Uma caixa automática de banco só trabalha com notas de 5 e de 10 reais. Um usuário deseja fazer um saque de R$ 100,00. De quantas maneiras distintas o caixa eletrônico poderá fazer esse pagamento? Este problema é simples, desde que se pense nas possibilidades que existem de aparecimento das notas de 10.

» » Na pior hipótese, não temos notas de 10. 80

AULA 4 - INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA

» » Na melhor hipótese, temos 10 notas de 10. Assim, as possibilidades são de ter de 0 a 10 notas de 10, isto é, 11 opções. 6) Em uma sala estão 6 rapazes e 5 moças. Quantas comissões podemos formar, tendo, em cada comissão, 3 rapazes e 2 moças? Neste problema precisa perceber que temos duas condições a serem tratadas e que podem ser combinadas entre si: o grupo de rapazes e o grupo de moças. Para o grupo de rapazes temos combinações simples de 6, 3 a 3; para as moças, temos combinações simples de 5, 2 a 2. O resultado será:

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Thiago possui 3 blusas diferentes e 2 calças diferentes. De quantas maneiras ele poderá escolher uma blusa e uma calça para se vestir? 2) Quantos números de 2 algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? 3) Quantos números de 2 algarismos diferentes podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? 4) Quantos números de 3 algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? 5) Quantos números de 3 algarismos diferentes podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? 6) Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse estádio? 7) Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse estádio utilizando, para sair, um portão diferente do que entrou? 8) Mariana desenhou uma bandeira retangular de 3 listras e deseja pintá-la, de modo que duas listras consecutivas não sejam pintadas da mesma cor. Se ela possui 4 lápis de cores diferentes, de quantas maneiras poderá pintar sua bandeira? 9) Numa prova, havia 4 itens para que os alunos respondessem V (verdadeiro) ou F (falso). De quantas maneiras diferentes um aluno, que vai “chutar” todas as repostas, poderá responder esses itens? 10) Um painel luminoso retangular é composto por 5 lâmpadas. De quantas maneiras diferentes esse painel pode estar iluminado? (Considera-se o painel iluminado se, pelo menos, uma de suas lâmpadas estiver acesa). 11) Um estudante possui um livro de Matemática, um de Biologia, um de Física, um de Química, um de História e um de Geografia. Desejando organizá-los lado a lado em uma instante, de quantos modos poderá fazê-lo? 12) Considerando os numerais 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 4 algarismos poderão ser formados?

MÉTODOS QUANTITATIVOS

13) Seis amigos decidiram formar uma chapa para concorrer na eleição para a Diretoria do seu clube. Sabemos que a Diretoria é formada por um Presidente, um Vice-Presidente, um Secretário e um Tesoureiro. De quantas maneiras distintas eles poderão formar sua chapa? (Considere que, se as mesmas pessoas ocuparem cargos diferentes, a chapa não será a mesma). 14) De quantas maneiras diferentes um professor poderá formar um grupo de 3 alunos escolhidos a partir de um grupo de 6? 15) Num grupo onde há 4 médicos e 5 professores, quantas comissões podem ser formadas com 4 desses profissionais?

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 1) 6 maneiras. 2) 9 números. 3) 6 números. 4) 27 números. 5) 6 números. 6) 16 maneiras. 7) 12 maneiras. 8) 36 maneiras. 9) 16 maneiras. 10) 31 maneiras. 11) 720 modos. 12) 1296 números. 13) 360 maneiras. 14) 20 maneiras. 15) 126 comissões.

AULA 5 Introdução a Estatística Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo

CONCEITOS INICIAIS A ESTATÍSTICA

Estatística é uma ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise e interpretação de dados. A Estatística tem pelo menos três significados:

1) Coleção de informações numéricas ou dados. 2) Medidas resultantes de um conjunto de dados como a média e o desvio padrão. 3) Métodos usados na coleta e interpretação de dados.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Em resumo, a Estatística tem o propósito de investigar, isto é, responder a uma questão, científica ou não (formulação do problema), que é o objetivo de uma pesquisa ou de uma coleta de dados. O método estatístico é um processo para se obter, apresentar e analisar características ou valores numéricos para uma melhor tomada de decisão em situações de incerteza. Suas aplicações abrangem diversas áreas, tais como: administração, economia, contabilidade, hotelaria, turismo, medicina, etc. A Estatística Descritiva é utilizada para descrever os dados numericamente, isto é, são medidas resumos do conjunto de dados. Limita-se a calcular e/ou mostrar a distribuição dos dados, frequência, média, moda, mediana, desvio padrão e gráficos, fornecendo-nos indicação resumida ou informação sobre os dados analisados.

POPULAÇÃO E AMOSTRA População: é um conjunto definido de elementos que possuem determinadas características. Normalmente fala-se de população como referência ao total de habitantes de determinado lugar. Todavia, em termos estatísticos, uma população pode ser definida como um conjunto de alunos matriculados numa universidade, de veículos de uma montadora ou de valores de uma instituição financeira. O tamanho de uma população estatística é denominado de “n”. Amostra: subconjunto da população ou do universo, por meio do qual se estabelecem ou se estimam as características desse universo ou população. O tamanho de uma amostra estatística é denominado de “n”.

VARIÁVEIS Variável: é a atribuição numérica a cada característica observada em determinado estudo estatístico. As variáveis podem ser qualitativas (atributos) ou quantitativas (numéricas). As qualitativas são classificadas em nominal e ordinal; enquanto as quantitativas, em discretas e contínuas. Se, por exemplo, numa pesquisa de mercado fossem levantadas as seguintes variáveis das pessoas entrevistadas: idade, estado civil, grau de instrução, número de filhos, faixa salarial e estado de origem, poderíamos afirmar que as variáveis: estado civil e grau de instrução são atributos do indivíduo entrevistado e, portanto, são variáveis qualitativas. Por outro lado, as variáveis: idade, número de filhos e faixa salarial são resultados de uma contagem ou mensuração e, então, são denominadas de variáveis quantitativas. Variável qualitativa nominal é aquela onde não existe nenhuma ordenação, como no exemplo, o estado de origem. A variável qualitativa ordinal apresenta uma ordem em seus resultados, como o grau de instrução no exemplo acima, pois ensino fundamental, médio e superior corresponde a uma ordenação baseada no número de anos de escolaridade. As variáveis quantitativas são classificadas em discretas e contínuas. As discretas são aquelas que podem assumir apenas determinados valores e resultam de uma contagem como, por exemplo, a quantidade de alunos desta universidade. As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor dentro de uma determinada faixa de valores e resultam de uma medição, como, por exemplo, a altura dos alunos desta universidade.

AULA 5 - INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA

RESUMINDO:

SÉRIES E GRÁFICOS ESTATÍSTICOS Séries Estatísticas: são tabelas que resumem um conjunto de observações nas quais existe um critério distinto que as especifica e diferencia. O comportamento de determinada variável deve ser demonstrado de forma simples e objetivo, para fácil compreensão do fenômeno em estudo. As tabelas estatísticas são compostas basicamente de três partes: cabeçalho, corpo e rodapé. O cabeçalho deve indicar o que está sendo representado, onde e quando ocorreu. O corpo é formado por linhas e colunas e deve conter todas as informações sobre a variável em estudo. Finalmente, no rodapé, deve estar explícita a fonte dos dados e as notas pertinentes à tabela. Segundo o critério de agrupamento, as séries estatísticas podem ser classificadas em: Histórica, Geográfica, Específica, Composta e Distribuição de Frequência. A Distribuição de Frequências, por apresentar conceito estatístico, é de vital importância em nosso estudo e será analisada detalhadamente. Exemplos: Figura 18 - Série histórica e série geográfica

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Figura 19 - Série composta

Gráficos Estatísticos: As séries estatísticas podem ser representadas na forma de gráficos. Com a tabela consegue-se uma maior precisão e detalhamento das informações, enquanto que com os gráficos obtêm-se uma visualização rápida e fácil das variáveis envolvidas. Um bom gráfico estatístico deve contemplar três requisitos básicos: Simplicidade, Clareza e Veracidade das informações. Os principais tipos de gráficos estatísticos são os diagramas (gráficos em linha, em barra, em coluna, em setores e polar), cartogramas e pictogramas. Exemplos: Figura 20 - Gráfico em linha

Figura 21 - Gráfico em colunas

AULA 5 - INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA

Figura 22 - Gráfico em setores

Figura 23 - Cartograma

Figura 24 - Pictograma

DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS É a mais importante das séries estatísticas e tem como principal finalidade agrupar e resumir os dados coletados, possibilitando uma melhor informação sobre seu comportamento. A distribuição de frequências contém basicamente as quatro principais frequências de uma distribuição, sendo denominadas de:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Para a correta representação de uma amostra utilizando as distribuições de frequências devese construir a tabela das frequências e os gráficos relativos à distribuição, tais como histograma, polígono de frequências e curva polida, entre outros.

DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS » » Dados Brutos: é o conjunto de dados numéricos dos valores coletados. » » Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente. » » Amplitude Total ou “Range”: é a diferença entre o maior e o menor valor observado no rol: AT = xMÁX - xMIN. » » Intervalo e Limite de classes: Define o limite inferior (Li) e o limite superior (Ls) de cada classe de frequência, sendo representado pelo símbolo: Li |--------- Ls. A notação I------ significa que o Li está contido na classe em questão, enquanto que o Ls não, sendo que este será o Li da próxima classe. Observação importante: Por exemplo, se o intervalo de classe fosse de 10 |------- 15 isto significa que este intervalo começa com 10,0000 e termina em 14,9999 sendo que o valor 15,000 começará no intervalo seguinte. » » Número de intervalos de classes (k): O número de intervalos de classes é determinado pela fórmula de Sturges, onde “n” é o tamanho da amostra. k = 1 + 3,3 log “n”. » » Amplitude do intervalo de classes (h): É a razão entre a amplitude total (AT) e o número de intervalos de classe (k): h = AT / k, ou ainda pode ser determinado pela diferença entre os limites (superior e inferior) de qualquer intervalo: h = Ls - Li. » » Ponto médio das classes (PM): O ponto médio de uma classe é a média aritmética entre o Li e o Ls da mesma: PM = (Li + Ls) / 2.

CÁLCULO DAS FREQUÊNCIAS » » Frequência absoluta simples (Fi): é o número de vezes que o elemento aparece na amostra ou o número de elementos pertencentes a uma classe. A partir do Rol contam--se quantos elementos estão contidos em cada intervalo de classe. » » Frequência absoluta acumulada(FA): de uma classe é a soma da frequência dessa classe com as frequências das classes anteriores.

AULA 5 - INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA

» » Frequência relativa simples (fi): é o quociente entre a Frequência absoluta simples (Fi) da classe e o n.º total de ocorrências, que é igual ao tamanho da amostra (n): fi = Fi / n. Como a soma das frequências absolutas é igual ao número total de ocorrências, a frequência relativa simples também pode ser definida como: fi = Fi / ΣFi. Pela definição pode-se concluir que a frequência relativa indica a participação (ou porcentagem) de uma determinada frequência absoluta no total da amostra e, portanto, a soma dessas frequências deve ser igual ao todo, sendo válida a relação: Σfi = 1,0. » » Frequência relativa acumulada (fA): Analogamente à frequência absoluta acumulada (fA), a frequência relativa acumulada (fA) é a soma da frequência relativas dessa classe com as frequências relativas das classes anteriores.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS A distribuição de frequências pode ser representada pelo Histograma, Polígono de Frequências ou Polígono de Frequências Acumuladas. » » Histograma: É a representação gráfica através de retângulos justapostos onde a base colocada no eixo das abcissas corresponde aos intervalos das classes e a altura é dada pela frequência absoluta das classes. » » Polígono de Frequências: Gráfico de linha, sendo que a frequência é marcada sobre perpendiculares ao eixo horizontal, nos pontos médios dos intervalos de classe. » » Polígono de frequências acumulada: Também conhecido como Ogiva de Galton. É traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos médios dos intervalos de classe.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO Construir a tabela de distribuição de frequências, para os dados brutos do peso de 30 alunos de uma universidade. Tabela 11 - Dados brutos

1º passo: Rol. Para arranjar os dados brutos em rol, utiliza-se a técnica da contagem dos dados brutos. Marcar os valores que aparecem nos dados brutos, numa relação com os possíveis valores, entre o menor e o maior valor, listados em ordem crescente.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Dessa forma pode-se construir o rol: Tabela 12 - Rol

2º passo: Amplitude Total: AT = xMÁX - xMIN → AT = 93 – 52 = 41. 3º passo: Número de intervalos de classes: k = 1 + 3,3 log n → k = 1+3,3 log 30 → k= 5,87 ≈ 6 intervalos de classe. 4º passo: Amplitude do intervalo de classes: h = AT / k → h = 41/6 = 6,83 ≈ 7,0. 5º passo: Construção da tabela de distribuição de frequências: Inicia-se com o menor valor do rol (52) e somase a amplitude do intervalo da classe (7), sucessivamente, até atingir a sexta classe (k=6). O ponto médio é obtido pela média aritmética dos limites das classes. Por exemplo, para a primeira classe, o ponto médio será: (52 + 59) / 2 = 55,5, e assim por diante.

AULA 5 - INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA

6º passo: Determinar as frequências absolutas da distribuição: Verifica-se no Rol a quantidade de valores compreendidos entre 52 e 58 (pois o intervalo é aberto no limite superior). Em seguida, a quantidade de valores compreendidos entre 59 e 65, e assim por diante.

Essas quantidades são a Frequência Absoluta (Fi) da amostra e são colocadas na tabela. Notar que a soma dessas frequências resulta no tamanho da amostra (n), que neste caso é 30.

7º passo: Determinar as frequências acumuladas da distribuição; repetir o primeiro valor, pois não há nada acima para acumular. A partir do segundo, somar com o anterior e acumular na classe posterior, conforme indicado pelas setas na tabela abaixo:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

8º passo:

Determinar as frequências relativas simples (fi = Fi / n) e a acumulada de modo análogo ao anterior (acumulando os valores).

Para o exemplo dado acima, da distribuição de frequências do peso de 30 alunos de uma universidade, resultam os seguintes gráficos: Figura 25 - Histograma

Figura 26 - Polígono de frequências

AULA 5 - INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA

Figura 27 - Polígono de frequências acumuladas

Observação importante normalmente as tabelas de distribuição de frequências possuem intervalos de classe necessários para a representação de variáveis contínuas (aquelas que se medem) ou para grandes quantidades de dados de qualquer tipo de variável, onde o agrupamento torna-se desejável. Porém, podem existir tabelas de frequência, para variáveis discretas (aquelas que se conta), onde as classes não possuem intervalos e são listados todos os dados disponíveis. O tratamento será idêntico ao acima apresentado, com a diferença de que não será necessário o cálculo do número de classes (k) e do intervalo de classes (h). Veja um exemplo: Idade de 20 alunos da universidade.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

BIBLIOGRAFIA BÁSICA CRESPO A. A. Estatística Fácil. 19ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009. TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

COMPLEMENTAR ANATEL. Disponível em <www.anatel.gov.br> Acesso em__________. ANFAVEA. Disponível em www.anfavea.com.br> Acesso em____________. BUSSAB, W.O; MORETITIN, P. A. Estatística básica. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2002. IBGE. www.ibge. gov.br IBS. Disponível em: <www.ibs.org.br>.

AULA 6 Medidas de Posição e de Dispersão Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo

MÉDIA, MEDIANA E MODA

s medidas de posição permitem representar um conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma resumida. São também conhecidas como medidas de tendência central e representam estes fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a se concentrar os dados.

As medidas de posição mais comuns em Estatística são a média, a mediana e a moda. A média representa todos os valores de um conjunto de dados, sendo a mais utilizada. A mediana elimina a influência de valores extremos, enquanto a moda apresenta um valor típico no conjunto de dados em estudo.

MÉDIA: Média Aritmética (x) para dados não agrupados: É obtida pelo quociente entre a soma de todos os elementos da distribuição e a quantidade de elementos considerados:

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Exemplos: a) Calcular a Média Aritmética Simples para os valores: 1, 5, 6, 7, 10, 18, 20, 23 e 28

b) Calcular o faturamento médio mensal da Indústria Metalúrgica Boreal no primeiro semestre de 2010, conforme dados da tabela abaixo:

Média Aritmética (x) para dados agrupados sem intervalo de classes: Para séries agrupadas, arranjadas em classes simples de frequência, sem intervalo de classes, a média aritmética é dada pela fórmula:

Observação: Como ∑ Fi = na média também pode ser escrita na forma:

AULA 6 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO

Exemplo: Dada a distribuição, determinar a média aritmética:

Solução: Construir a tabela:

Aplicar a fórmula da média: A Média aritmética ponderada (xp) é um caso particular, definida pela relação abaixo, onde “pi” é o peso associado a cada elemento da distribuição.

Exemplo: Uma empresa é constituída de 20 funcionários, sendo os seus salários representados pela tabela a seguir. Qual o salário médio dos funcionários dessa empresa?

Média Aritmética (x) para dados agrupados com intervalo de classes: neste caso, a média deve ser obtida pela fórmula:

Onde PM é o ponto médio dos intervalos de classe da distribuição de frequências e substitui o xi na fórmula, sendo o representante da classe

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Exemplo: Calcular a média da renda familiar de um grupo de 40 famílias de um condomínio, conforme tabela abaixo:

Neste caso, as classes deverão ser representadas pelos seus pontos médios porque não há um único valor de xi, mas sim um intervalo de valores. Portanto:

Como a renda familiar é dada em milhares, pode-se dizer que a renda média desse grupo de 40 famílias é de R$ 6.700,00.

MEDIANA Mediana (Md) para dados não agrupados: Com os dados brutos arranjados em ordem crescente, isto é, na forma de Rol, a mediana (Md) é o valor que divide a série em partes iguais.

Se o número de elementos (n) for impar, a mediana será o termo de ordem: Se o número de elementos (n) for par, a mediana será a média dos termos de ordem:

Exemplos: a) Calcular a mediana dos valores de faturamento da Metalúrgica Boreal. Inicialmente precisamos colocar os dados na forma de Rol (organizados do menor para o maior valor). Como o número de elementos da série “n” é igual a 6, par, a posição n/2 corresponderá à terceira posição e a n/2 +1 à quarta. A mediana será, então, a média aritmética dos valores destas posições.

AULA 6 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO

Md = (4.310.585,25 + 4.425.725,42) / 2 Md = R$ 4.368.155,34 b) Calcular a mediana para a série: 02, 05, 06, 09, 12, 17, 20. Neste caso, “n” vale 7 e os dados já estão na forma de Rol. Como “n” é impar a mediana será o valor da posição (n+1)/2 ou (7+1) / 2 = 4ª posição. Portanto, o valor da mediana será: Md = 09. Notar que este valor deixa três elementos de cada lado, dividindo a série em duas partes exatamente iguais.

Mediana (Md) para dados agrupados sem intervalo de classes: Para séries agrupadas, arranjadas em classes simples de frequência, a mediana deve ser determinada da seguinte forma: Se “n” impar Na coluna da frequência acumulada (FA), verificar em que classe o valor da posição(n+1)/2 ≤ FA. O valor da variável desta classe (xi) será a mediana. Exemplo: Calcular a mediana para a distribuição de frequência:

Construindo a tabela de frequências, verifica-se que “n” é igual a 11, e a posição da mediana será (n+1)/2 = (11+1)/2 = 6 (sexta posição). Pela tabela, a condição (n+1)/2 ≤ FA ocorre na terceira classe (6 < 9) e, portanto, a mediana será o valor correspondente de xi, Md = 3.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

De fato, abrindo a série, verifica-se tal condição:

Se “n” par Na coluna da frequência acumulada (FA), verificar em que classe o valor da posição n/2 ≤ FA e da posição n/2 + 1 ≤ FA. A mediana será a média aritmética dos valores da variável (xi) destas classes. Exemplo: Calcular a mediana para a distribuição de frequência:

Construindo a tabela de frequências, verifica-se que “n” é igual a 10 e, então, a posição n/2 = 5 (quinta posição) e a n/2 +1 = 6 (sexta posição). Pela tabela, a condição n/2 ≤ FA ocorre na segunda classe (5 = 5) e a condição n/2 + 1 ≤ FA ocorre na terceira classe (6 < 9). Portanto, a mediana será o valor correspondente à média dos valores de xi, ou seja: Md = (2 + 3) /2 Md = 2,5. De fato, abrindo a série, verifica-se tal condição:

Mediana (Md) para dados agrupados com intervalo de classes: Neste caso, para o calculo da mediana, deve-se seguir a sequência: 1) calcular n/2; 2) identificar a classe que contém a mediana (classe Md) na coluna de FA da tabela de frequências verificando a condição: n/2 ≤ FA; 3) aplicar a fórmula:

100

AULA 6 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO

Exemplo: Calcular a mediana da renda familiar, conforme tabela abaixo:

Solução: Construir a tabela de frequências.

O valor de n/2 será de 40/2 = 20. A condição: n/2 ≤ FA ocorre na terceira classe que será, então, a classe mediana. Aplicar a fórmula.

A mediana da renda familiar será de R$ 6.710,00.

101

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Separatrizes: são medidas de posição particulares, baseadas no conceito da mediana. Assim, são muito utilizados os Quartis, Decis e Percentis, que dividem a distribuição em, respectivamente, quatro, dez ou cem partes iguais. A figura abaixo, onde estão colocadas comparativamente com a mediana todas as separatrizes, mostra de maneira simples como se posicionam estas medidas na distribuição.

Observando a figura, fica fácil concluir que: Md = Q2 = D5 = P50. Cálculo das Separatrizes: baseado no estudo da mediana, as separatrizes têm a seguintes fórmulas genéricas: Analogamente:

LiQx = limite inferior da classe que contém o quartil n = tamanho da amostra x = posição do quartil (x=1,2,3 ou 4) FAQx = frequência acumulada da classe anterior à classe quartil FiQx = frequência absoluta simples da classe que contém o quartil h = amplitude do intervalo da classe que contém o quartil

Exemplo de aplicação: Para a distribuição abaixo, calcule o Q3, D6 e P90. A tabela de frequências já foi calculada em exemplos anteriores:

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AULA 6 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO

MODA 1) Moda (Mo) para dados não agrupados: A moda de uma amostra ou população é o valor que ocorre com a maior frequência, isto é, o valor mais comum ou o que mais se repete. Portanto, basta observar a série para determinar sua moda. Exemplos: a) A série 2, 5, 6, 9, 12, 17, 20 e 28 não tem moda, porque todos os valores aparecem apenas uma vez. b) A série 2, 3, 5, 5, 5, 7, 9, 13, 15 tem moda igual a 5, pois é o valor que ocorre com maior frequência. 2) Moda (Mo) para dados agrupados sem intervalo de classes: Basta observar qual é a maior frequência absoluta (Fi) da distribuição. Exemplo: Dada a distribuição abaixo, determinar a moda:

A maior frequência absoluta (Fi = 5) corresponde à variável xi = 3 e, portanto, a moda desta distribuição será: Mo = 3. 3) Moda (Mo) para dados agrupados com intervalo de classes: Neste caso, para o cálculo da moda, deve-se seguir a sequência: 1) Identificar a classe modal, como sendo aquela que apresentar o maior valor de Fi; 2) Calcular a moda através da fórmula:

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

L(i Mo)=limite inferior da classe modal d1=diferença entre as frequência da classe modal e anterior d2=diferença entre as frequência da classe modal e posterio h=amplitude do intervalo da classe modal Exemplo: Calcular a moda da renda familiar, conforme tabela abaixo. A maior frequência absoluta (Fi = 5) corresponde à variável xi = 3 e, portanto, a moda desta distribuição será: Mo = 3.

Solução: Construir a tabela da frequência. A classe modal será a terceira, pois é a que apresenta a maior frequência absoluta (Fi). O valor de d1 será 14 – 10 = 4, enquanto o valor de d2 será 14 – 8 = 6. Aplicar a fórmula:

A moda da renda familiar será de R$ 6.800,00.

AMPLITUDE TOTAL, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Medidas de Dispersão são medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos valores em torno da média. Medem o afastamento do valor considerado em relação à média. As medidas de dispersão mais utilizadas são a amplitude total, a variância e o desvio padrão.

AMPLITUDE TOTAL (AT) Amplitude total (AT) para dados não agrupados: É calculada pela diferença entre os valores máximo e mínimo da série. Tem o inconveniente de só considerar os extremos das séries:

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AULA 6 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO

Exemplo: Sejam três séries numéricas A, B e C com média x=20. Calcular a amplitude total (AT):

» » Série A → 20, 20, 20. → x =20. → AT = 20 – 20 = 0 » » Série B² →10, 15, 20, 25, 30.→ x=20. 0 → AT= 30 – 10 = 20 » » Série C → 5, 7, 12, 20, 28, 33, 35.→ x=20. → AT = 35 – 5 = 30

Apesar de as três séries apresentarem a mesma média, a série A tem a menor dispersão de dados em relação à média, enquanto a série C tem a maior dispersão. Amplitude Total (AT) para dados agrupados sem intervalo de classes: Neste caso, ainda vale a relação anterior:

Exemplo: Dada a distribuição, determinar a amplitude total:

Amplitude total (AT) para dados agrupados com intervalo de classes: Neste caso, a amplitude total é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira:

Exemplo: Para a distribuição de frequências, determinar a amplitude total:

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Variância e Desvio Padrão para dados não agrupados:

» » Variância Amostral (s2): É definida como sendo a média aritmética do quadrado dos desvios:

Exemplo: Calcular a variância das séries abaixo:

» » Série A → 20, 20, 20. → x=20.

» » Desvio Padrão Amostral (s): É definido como sendo a raiz quadrada da variância:

Exemplo: Calcular o desvio padrão das séries abaixo:

» » Série A → 20, 20, 20. → x= 20 → s^2=0 → s=√0=0 » » Série B → 10, 15, 20, 25, 30 → s^2=62,50 → s=√62,5=7,91 » » Série C → 5, 7, 12, 20, 28, 33, 35 → s^2=152,67 → s=√152,67=12,36 Variância e Desvio Padrão para dados agrupados sem intervalo de classes:

» » Variância Amostral (s2): Neste caso, poderíamos aplicar a fórmula original da variância, ponderada com as frequências absolutas Fi. Porém, é mais conveniente aproveitar a tabela de frequências e utilizar a fórmula prática dada abaixo. Inicialmente deve-se calcular duas novas colunas (xiFi e xi2Fi) na tabela de distribuição de frequências para facilitar os cálculos:

Exemplo: Dada a distribuição, determinar a variância:

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AULA 6 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO

Construir a tabela de frequências com as colunas xiFi e xi2Fi, calcular o somatório e aplicar a fórmula:

»»

Desvio Padrão Amostral (s): Neste caso também é definido como sendo a raiz quadrada da variância:

Para o exemplo acima, o desvio padrão vale: Variância e Desvio Padrão para dados agrupados com intervalo de classes. Variância Amostral (s2): Neste caso, como há intervalo nas classes de frequência, a variável xi é substituída pelo ponto médio do intervalo de classes (PM), e a fórmula de cálculo se torna:

Exemplo: Calcular a variância para a distribuição de frequências abaixo:

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

Desvio Padrão Amostral (s): Neste caso também é definido como sendo a raiz quadrada da variância:

Para o exemplo acima, o desvio padrão vale:

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. É dado por:

Exemplo 1: Calcular o coeficiente de variação CV para as séries numéricas:

» » Série A → 20, 20, 20 → x =20 → s2=0 → s=0 → CV= 0/20×100=0% » » Série B → 10, 15, 20, 25, 30 → x=20→ s2 =62,50 → s=7,91 → CV=7,91/20×100=39,55% » » Série C → 5, 7, 12, 20, 28, 33, 35 → x=20 → s2=152,67 → s=12,36 → CV=12,36/20×100=61,80% Exemplo 2: Calcular o coeficiente de variação (CV) para a distribuição de frequências abaixo:

Nos exemplos anteriores, foi determinado o desvio padrão (s) e a média (x) para esta distribuição de frequências: s= 2,24 e x= 6,7. Portanto, o CV será: CV=2,24/6,7×100=33,43%. Quanto à medida da dispersão ou variabilidade dos dados com o auxílio do CV, pode-se considerar:

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AULA 6 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Os pesos de 60 atletas brasileiros que irão participar dos Jogos Olímpicos de Londres estão relacionados a seguir: a) Construir a tabela de distribuição de frequências (absolutas, relativas e acumuladas); b) Construir os gráficos da distribuição (histograma e frequência acumulada); c) Qual o valor do ponto médio da classe com maior frequência? E com menor frequência? d) calcular a média, a mediana e a moda; e) calcular a variância e o desvio padrão.

2) Os salários de sete funcionários de uma empresa são: R$ 1.000, R$ 1250, R$ 1050, R$ 1450, R$ 1350, R$ 950 e R$ 1750. Determinar: a) a) a média dos salários; b) o salário mediano. 3) Entre 100 números, vinte são 4, quarenta são 5, trinta são 6 e os restantes são 7. Calcular a média aritmética destes números. 4) Calcule a média, a mediana, a moda, o desvio padrão e o coeficiente de variação da distribuição:

5) Calcule para cada uma das distribuições abaixo a média, a mediana, a moda, a variância e o desvio padrão:

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

RESPOSTAS 1) a) R = Xmáx – Xmin = 114 – 45 = 69 b)

c) Classe com maior frequência → k =4 → xi = 80 Classe com menor frequência → k =1 → xi = 50 d)

2) a)

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AULA 6 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO

a) R$ 1257,14 b) R$ 1250,00 3) média = 5,30 4) media 5,27; mediana 5,29; moda 5,20; DP 2,46; CV 0,47

5) a)

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

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AULA 6 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO

BIBLIOGRAFIA BÁSICA CRESPO A. A. Estatística Fácil. 18ª ed. São Paulo: Saraiva 2002. MARTINS, G.de A. Estatística Geral e Aplicada. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2006. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

COMPLEMENTAR BUSSAB, W.O; MORETITIN, P. A. Estatística básica. 5ª ed. São Paulo: Saraiva. SPIEGEL, M. R. Estatística. 3ª ed. São Paulo: Makron Books, 2004.

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AULA 7 Probabilidades e Distribuição de Probabilidades Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo

PROBABILIDADE INTRODUÇÃO

teoria das probabilidades é uma ferramenta importante da Estatística para tomada de decisão em situações de incerteza. O conhecimento da probabilidade é fundamental, por exemplo, no estudo da Inferência Estatística.

Historicamente, a teoria das probabilidades teve início como teoria dos jogos de azar no século XVI, com Pascal e Fermat, onde estudaram diversos problemas relativos a esses jogos. Mais adiante, em 1713, J. Bernoulli demonstrou que em experimentos aleatórios isto é, ao acaso, a frequência relativa se aproxima da probabilidade. Um marco no desenvolvimento da probabilidade ocorreu em 1812, quando Laplace publica o seu livro “Theorie Analytique des Probabilités”. Atualmente é aplicada na área de seguros, engenharia de segurança, aeronáutica, eletrônica, economia, administração industrial e patrimonial e numa infinidade de outras aplicações.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

DEFINIÇÕES Experimentos aleatórios (E): São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis, sendo impossível prever, com certeza, qual resultado será obtido. Exemplos:

» » Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas obtidas. » » Jogar um dado e observar o número obtido na face superior. » » Retirar uma bola de uma urna e observar sua cor.

ESPAÇO AMOSTRAL (S): Para cada experimento aleatório E, define-se Espaço Amostral S como sendo o conjunto de todos os resultados possíveis deste experimento. Exemplo Se o experimento aleatório considerado for E = Jogar um dado e observar o resultado. O espaço amostral deste experimento aleatório E será dado pelo conjunto: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, uma vez que apenas esses são os resultados possíveis daquele experimento. Cada um dos elementos de S, que correspondem a um resultado possível, recebe o nome de Ponto Amostral. Dessa forma, por exemplo, o 5 é um ponto amostral, do espaço amostral, do experimento aleatório jogar um dado e observar o resultado. Evento: É um conjunto de resultados de um experimento, ou seja, é um subconjunto do espaço amostral S. Sejam, como exemplo, os seguintes eventos quando do lançamento de 1 dado: Evento A: Obter número par na face superior de um dado;

» » Como o espaço amostral é dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos: A= {2, 4, 6} à A é um evento de S. Evento B: Obter o número 1 na face superior de um dado;

» » Como o espaço amostral é dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos: B = {1} à B é um evento elementar de S. Podem-se definir os seguintes eventos:

» » Evento Simples ou Elementar: É o evento formado apenas por um elemento do espaço amostral. Exemplo: A = {5}B = {cara}

» » Evento certo: É aquele que ocorre em qualquer uma das realizações do experimento. Exemplo: Obter um número entre 1 e 6 no lançamento de 1 dado. » » Evento Impossível: É aquele que não ocorre em qualquer uma das realizações do experimento. Exemplo: Obter 0 no lançamento de 1 dado. » » Evento Complementar: Um evento complementar de A é o evento Ac formado por todos os elementos do espaço amostral que não pertencem a A.

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AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

Exemplo: No lançamento de um dado seja o evento A obter um número ímpar. Portanto, A = { 1, 3, 5 }. O complementar de A será: Ac = { 2, 4, 6 }. Para eventos complementares são válidas as relações:

» » Eventos Mutuamente Exclusivos: Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos quando não possuírem elementos em comum, ou seja, quando: » » Eventos Independentes: Dois eventos A e B são ditos independentes quando o resultado de um deles não interferir no resultado do outro. Exemplo: O lançamento simultâneo de dois lados. » » Eventos Condicionais: Dois eventos são ditos condicionais quando a ocorrência de um interferir na ocorrência do outro. Exemplo: Extração de cartas de um baralho

» » Evento Soma (união): É o evento constituído por todos os elementos dos eventos que serão reunidos. Exemplo: A = { 2, 3, 4 } B = { 3, 5. 7 } → Soma = { 2, 3, 4, 5, 7 }.

» » Evento Produto (intersecção): É o evento formado pelos elementos comuns a ambos. Exemplo: A = { 2, 3, 4 } e B = { 3, 5. 7 } Produto = { 3 }.

DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: Chama-se Probabilidade de um evento A, pertencente ao espaço amostral S, o número P(A) tal que:

Ou simplesmente:

Exemplos: Evento A: Obter número par na face superior de um dado; Como o espaço amostral é dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} temos A = {2, 4, 6} Probabilidade de A → P(A) = 3/6 = 1/2 Evento B: Obter o número 1 na face superior de um dado; Como o espaço amostral é dado por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} temos B = {1} Probabilidade de B → P(B) = 1/6.

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

O valor da probabilidade tem obrigatoriamente que estar contido no intervalo de 0 a 1 (ou de 0% a 100%). Não tem sentido falar em probabilidade maior do que 1 ou menor do que zero.

AXIOMAS DE PROBABILIDADE Sendo P(A) a probabilidade de ocorrência de um determinado evento A, sendo que A está contido num espaço amostral S, então: a) A probabilidade de ocorrência de um evento qualquer é um número real tal que: 0 ≤ P(A) ≤ 1. b) A probabilidade do evento certo (sucesso total) é igual à unidade: P(S) = 1. c) Se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos, então é valida a relação:

Exemplo: No lançamento de um dado, a probabilidade de se obter o ponto 3 ou o ponto 5 será:

Note que os pontos de um dado são mutuamente exclusivos.

TEOREMAS DE PROBABILIDADE a) A Probabilidade do evento impossível Exemplo: Numa urna há 5 bolas vermelhas. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola branca? Como não há bolas brancas na urna, este evento é impossível e, portanto a probabilidade é

b) Se Ac é um evento complementar de

Exemplo: Sabemos que a probabilidade de tirar o 2 no lançamento de um dado é P(A) = 1/6. Logo, a probabilidade de não tirar o 2 será P(Ac) = 1 – 1/6 = 5/6. c) Se o evento A estiver contido no evento B, Exemplo: Seja o evento B sair ponto impar quando do lançamento de um dado: B = { 1, 3, 5 } e o evento A sair o ponto 1:

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AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

d) Se A e B são dois eventos quaisquer Exemplo: Qual a probabilidade de se retirar de um baralho de 52 cartas uma carta vermelha ou um rei? Neste caso os eventos não são mutuamente exclusivos, pois existem duas cartas vermelhas do rei. Então P (vermelha ou rei) = P (vermelha) + P (rei) – P (vermelha e rei). Se não pensarmos assim, contaríamos duas cartas por duas vezes Dessa forma teremos: P (vermelha ou rei) = 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52 = 7/13 ou 52 %.

PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES Se A e B são eventos independentes: Exemplo: Lançando dois dados, qual a probabilidade de se obter 1 no primeiro e 5 no segundo? A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado será: P(A) = 1/6. A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado será: P(B) = 1/6. Logo, a probabilidade de obtermos simultaneamente 1 no primeiro e 5 no segundo será: P(1 e 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36 (2,8 %).

PROBABILIDADE CONDICIONAL Sejam dois eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S. Denominamos P(A/B) à probabilidade de ocorrência do evento A sabendo-se que o evento B já ocorreu. (lê-se: probabilidade condicional de A dado B) P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B). Exemplo: Consideremos 250 funcionários de uma grande empresa dos quais 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M). 110 são gerentes (G) dos quais 40 são homens e 140 são diretores (D), sendo que 80 são mulheres. Um funcionário é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que seja diretor, dado que é mulher? Observamos que P(D ∩ M) = 80/250 e P(M) = 150/250. Aplicando a definição de Probabilidade Condicional: P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B) que no exemplo corresponde a: P(D/M) = P(D ∩ M) / P(M) ∩ P(D/M) = P(80/250) / P(150/250) = 80/150. A probabilidade condicional, via de regra, pode ser determinada pela observação de um quadro resumo das ocorrências. No exemplo acima, poderíamos montar a seguinte tabela:

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

Fica fácil perceber que P(D/M) = 80/150, pois se pode visualizar que dado mulher resume o espaço amostral de 250 para 150, e que diretoras são 80. Nesta linha de raciocínio, como ficaria P(G/H)? Homens somam 100 e gerentes homens são 40. Então P(G/H) = 40/100. E se fosse pedido o inverso, P(H/G)? Gerentes são 110 e gerentes homens são 40. Portanto, P(H/G) = 40/110. Cuidado! Se fosse pedida a probabilidade de um homem ser gerente seria apenas 40/250, pois não foi dito a prior que só seriam considerados os homens!

Relembrando a teoria dos conjuntos e aplicando em probabilidades União (u) significa “ou” e então se somam as probabilidades P(A u B) = P(A) + P(B) → caso de mutuamente exclusivos; P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) → caso geral; “OU” significa alternância (tanto faz) Intersecção (∩) significa “e” e então se multiplicam as probabilidades P(A ∩ B) = P(A) x P(B); “E” significa simultaneidade (obrigatoriedade). Exemplo: UNIÃO: No lançamento de um dado, a probabilidade de se obter 2 ou 6? (mutuamente exclusivos). P(A u B) = P(A ou B) = P(3u 5) = P(3 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 =1/3. INTERSECÇÃO: No lançando dois dados, qual a probabilidade de se obter 1 no primeiro e 5 no segundo? P(A ∩ B) = P(A e B) =P(1∩ 5) =P(1 e 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36

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AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADES INTRODUÇÃO A distribuição de probabilidade é um modelo estatístico que descreve o que provavelmente ocorrerá em vez do que realmente aconteceu. Por exemplo, jogando-se repetidamente um dado, usando o conceito de estatística descritiva, coletar-se-ia os dados amostrais. Usando o conceito de probabilidades, calculase a probabilidade de cada resultado possível. Pode-se construir uma distribuição de probabilidade apresentando os resultados possíveis junto com as frequências esperadas.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS O resultado de um experimento probabilístico, frequentemente uma contagem ou uma medida, é chamado de variável aleatória. Uma variável aleatória será discreta se houver um número finito ou contável de resultados possíveis que possam ser enumerados. Seja S o espaço amostral associado a um determinado experimento aleatório. Uma função X que associe a cada elemento de S, um número real X, é denominada variável aleatória. Exemplo: Seja X o número de coroas obtido no lançamento de duas moedas. (X é variável aleatória). Para este experimento o espaço amostral será S = {cc, ck, kc, kk} onde c = cara e k = coroa. A variável X poderá assumir os valores: 0, 1 e 2: X = 0 → corresponde ao resultado do evento cc → nenhuma coroa. X = 1 → corresponde ao resultado do evento ck ou kc → uma coroa. X = 2 → corresponde ao resultado do evento kk → duas coroas.

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES Seja “X” uma variável aleatória que pode assumir os valores X1, X2, X3,..., Xn. A cada valor Xi correspondem pontos do espaço amostral. Associamos, então, a cada valor Xi a probabilidade P(Xi) de ocorrência de tais pontos no espaço amostral. Assim, temos:

Os valores X1, X2, X3,..., Xn e seus correspondentes P(X1), P(X2), P(X3),..., P(Xn) definem uma distribuição de probabilidade. Para o exemplo acima: Lançamento de duas moedas S = {cc, ck, kc, kk}. → X = número de coroas = 0, 1, 2.

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

X1 = 0 → cc → P(x1) = 1/4 X2 = 1→ ck, kc → P(x2) = 2/4 X3 = 2 → kk → P(x3) = 1/4 A distribuição de probabilidades será:

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL É uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o processo de amostragem considerar “n” tentativas independentes de um experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados: Fracasso com probabilidade “q” e sucesso com probabilidade “p”, com p + q = 1. Seja X = número de sucessos em “n” tentativas então:

Exemplo 1 No ano de 2010, 70% dos dias apresentaram uma valorização do IBOVESPA. Sorteia- -se quatro dias ao acaso: a) determine a probabilidade de que em nenhum deles tenha havido valorização; b) determine a probabilidade de que em todos eles tenha havido valorização; c) determine a probabilidade de que, em ao menos, a metade deles tenha havido valorização. Solução: Pelo enunciado, imediatamente se obtém: n = 4; p = 0,7 e q = 0,3. a) n = 4 e k = 0 → C4, 0 = 4!/0!(4 - 0)! → C4, 0 = 4x3x2x1 / (1)x(4x3x2x1) = 1 P(X = 0) = 1 x (0,7) 0 x (0,3) 4→ P(X = 0) = 0,008

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AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

b) n = 4 e k = 4→ C4, 4 = 4!/ 4! (4 - 4)! → C4, 4 = 4x3x2x1 / (4x3x2x1)x(1) = 1 P(X = 4) = 1 x (0,7) 4 x (0,3) 0→ P(X = 4) = 0,240 c) n = 4 e k = 2→ C4, 2 = 4! /2! (4 - 2)! → C4, 2 = 4x3x2x1 / (2x1)x(2x1) = 6 P(X = 2) = 6 x (0,7) 2 x (0,3) 2→ P(X = 2) = 0,265 Números Binomiais Dados dois números naturais n e p com n > p, chama-se número binomial n sobre p indicado. Portanto, número definido pela relação:

Ao número n chamamos numerador do binomial; e ao numero p, denominador do binomial. Este operador matemático também é utilizado em Análise Combinatória: Representando por Cn, k o número total de combinações de n elementos tomados kak (taxa k), temos a seguinte fórmula para combinações simples:

Que nada mais é do que o número binomial n sobre k, citado acima na fórmula da distribuição binomial e que deve ser utilizada para os cálculos.

Exemplo 2 Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcule as seguintes probabilidades: a) de ocorrer 6 caras; b) de ocorrer pelo menos duas caras; c) de não ocorrer nenhuma coroa; d) de ocorrer pelo menos uma coroa. Solução: Neste caso trata-se de uma distribuição binomial onde: n = 10; p = q = 1/2. Condição: (X= k) = sucesso = obter cara a) k = 6 →v C10, 6 = 10! / 6! (10 - 6)! → C10, 6 = (10x9x8x7x6!) / (6!) x (4x3x2x1) = 210 P(X = 6) = 210 x (1/2)6 x (1/2)4 = 210 x 1/64 x 1/16 = 210/1024 = 105/512 = 0,2051 =20,51%

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

b) Para ocorrer pelo menos duas caras, não podem ocorrer 0 caras e nem 1 cara. Portanto, basta calcular estas probabilidades e subtrair do total: K = 0 ou k = 1 → C10, 0 = 1; C10, 1 = 10 P(X = 0) = 1 x (1/2)0 x (1/2)10 = 1/1024 P(X = 1) = 10 x (1/2)1 x (1/2)9 = 10/1024 P(X ≥ 2) = 1 – 11/1024 = 1013/1024 = 0,9893 = 98,93% c) k = 10 → C10, 10 = 1 P(X = 10) = 1 x (1/2)10 x (1/2)0 = 1/1024 = 0,00098 = 0,098% d) Para ocorrer pelo menos uma coroa, não pode ocorrer 0 coroa, ou seja, não podem ocorrer 10 caras. Basta calcular estas probabilidades e subtrair do total. Do item anterior, P(X = 10) = 1/1024, Portanto: P(X ≤ 9) = 1 – 1/1024 = 1023/1024 = 0,9990 = 99,90%

ESPERANÇA E VARIÂNCIA Se a variável “X” tem distribuição Binomial, com parâmetros “n” e “p”, então temos que o valor esperado de X ou esperança matemática de X ou ainda a média de X é definida pela relação: E(X) = n.p A variância de uma variável aleatória X é o grau de espalhamento da variável. É a medida que dá a dispersão (ou concentração) dos valores da variável em torno da média. Se a variável “X” tem distribuição Binomial, com parâmetros “n” e “p”, então temos que: Var(X) = n.p.q Exemplo: Qual a média diária esperada de cheques sem fundo emitidos por clientes de uma determinada agência bancária, considerando que a probabilidade de um cheque não ter fundos é 0,05 e que os clientes daquela agência emitam 200 cheques por dia? Qual a variância? p = 0,05 q = 0,95 n = 200 E(X ) = n × p = 200×0,05 → E( X ) = 10 Var(X) = n× p × q = 200×0,05×0,95 → Var(X ) = 9,5

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AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADES INTRODUÇÃO Existem diversos tipos de distribuição de probabilidades de variáveis aleatórias contínuas, tais como: a distribuição uniforme, a exponencial, a normal, a distribuição gama, a chi-quadrado, a distribuição t de Student e a F de Snedecor. Devido a sua maior importância e uso, será abordada apenas a distribuição normal.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL É a mais importante distribuição de probabilidades. É conhecida como curva normal, curva de Gauss, curva dos erros acidentais ou distribuição de Gauss, sendo que este deduziu matematicamente a distribuição normal como distribuição de probabilidade dos erros de observação, denominando-a, então, “lei normal dos erros”. De um modo geral, a maior parte dos fenômenos probabilísticos de natureza contínua - e mesmo alguns de natureza discreta - tendem a seguir uma lei de distribuição designada por função de distribuição normal, ou de Gauss. Esta lei de distribuição estabelece que os valores mais frequentes (isto é, os valores a que correspondem às maiores probabilidades) se encontram em torno da média da variável aleatória; quanto mais afastados os valores estão da média (este afastamento é quantificado em termos de variância), quer acima quer abaixo desta, menos frequentes serão.

DEFINIÇÃO E CONCEITO DE PROBABILIDADE » » Definição: Seja X uma variável aleatória contínua. X terá uma distribuição normal se:

Conceito fundamental: A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob acurva normal entre aqueles pontos.

CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL a) A curva normal tem a forma de um sino.

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

b) Como a curva é simétrica em torno de x, a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é igual a probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5. c) A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo sem, contudo, alcançá-lo. Prolonga-se de

d) Cada distribuição normal fica completamente caracterizada por sua média μ e seu desvio padrão σ e há uma distribuição normal distinta para cada combinação de média e desvio padrão. e) A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é aproximadamente igual a 1 (100 %). f) Como há um número ilimitado de valores no intervalo de , a probabilidade de uma variável aleatória normal tomar exatamente determinado valor é aproximadamente zero. As probabilidades sempre se referem a intervalos de valores.

CÁLCULO DAS PROBABILIDADES Como fica praticamente impossível o cálculo das áreas sob a curva normal para infinitas combinações de média e desvio padrão, a fim de se determinar a probabilidade de uma variável aleatória contínua, utilizase a Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida, através de uma transformação de variáveis. Então, se X é uma variável aleatória com distribuição normal, a transformação linear de X para Z será:

Onde Z é uma variável aleatória com distribuição normal padronizada de média 0 e desvio padrão 1. Existe uma tabela das áreas sob a curva normal padronizada, para cálculo (fácil) de probabilidades. Esta tabela pode ser encontrada no anexo.

USO DA TABELA A tabela padronizada de áreas sob a curva normal em função de Z é uma tabela de dupla entrada, onde com o valor calculado de Z se determina a respectiva área sob a curva. Exemplo: Determinar a área sob a curva normal padronizada para Z = 2,65.

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AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

Entrando na tabela com 2,6 e 0,05, no cruzamento destes valores será encontrado o valor 0,4960, o qual será a área sob a curva normal para z = 2,65. ATENÇÃO! Esta área está contida no intervalo 0 < Z < 2,65.

A tabela só é válida para valores de Z à partir da origem! Existirão três possibilidades para as áreas sob a curva normal padronizada Z:

CASO A: A área sob a curva inicia na origem. É o caso acima, onde se lê diretamente na tabela a área desejada no intervalo 0 < Z < Z1. CASO B: A área sob a curva transpassa a origem. Neste caso, deve-se efetuar uma leitura entre Z1 < Z < 0, outra entre 0 < Z < Z2 e somar as áreas obtidas. Exemplo: Calcular a área sob a curva normal padronizada no intervalo: -1,53 < Z < 2,15. Conforme a figura, a área será: 0,4370 + 0,4842 = 0,9212. Utiliza-se duas vezes a tabela, sempre determinando as áreas a partir da origem de Z.

CASO C: A área sob curva está afastada da origem. Neste caso, deve-se calcular a área sob a curva normal padronizada no intervalo 0 < Z < Z1 e subtrair de 0,5 que corresponde à área da

metade da curva, conforme ilustrado na figura. Exemplo: Calcular a área sob a curva normal padronizada para Z > 0,74. A área desejada é obtida pela subtração de 0,5000 (área que corresponde à metade da curva) da área determinada pela tabela entre 0 e 0,74.

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

Dois casos são consequência dos anteriores:

1) Cálculo da área sob a curva normal padronizada quando Z1 < Z < Z2 e ambos estiverem do mesmo lado da curva. Exemplo: Calcular a área sob a curva normal padronizada quando 1,23 < Z < 1,78. Neste caso, deve-se calcular a área entre 0 e 1,23, a área entre 0 e 1,78 e subtraí-las.

2) Cálculo da área sob a curva normal padronizada quando Z > Z1 e estiver à esquerda da origem ou quando Z < Z1 e estiver à direita da origem. Exemplo: Calcular a área sob a curva normal padronizada quando Z < 2,25. Neste caso, deve-se calcular a área entre 0 e 2,25 e somar 0,5, pois não se definiu o limite inferior. O mesmo raciocínio é válido para o caso em que Z > Z1 e estiver à esquerda da origem.

Exemplos de Aplicação 1) A duração de certo tipo de pneu, em km rodados, é uma variável aleatória normal com média de 60.000 km e desvio padrão de 10.000 km. Qual a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso durar: a) Mais de 75.000 km? b) Entre 63.500 e 70.000 km? c) Entre 50.000 e 70.000 km? d) Exatamente 65.555 km? Solução:

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AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

a) A probabilidade procurada P(X > 75.000),é igual à área sombreada da figura abaixo. Utilizando a transformação Z, podemos utilizar as áreas tabeladas da curva normal padronizada. Então:

A probabilidade desejada P(X > 75.000), também será igual à área sombreada da figura.

Entrando com Z = 1,5 na tabela da normal reduzida, encontra-se o valor 0,4332 que é a probabilidade P(0 < Z < 1,5). Como se trata do caso C, deve-se subtrair o valor encontrado na tabela de 0,5 (que corresponde à área da metade da curva normal). P(X > 75.000) = P(Z > 1,5) = 0,5 – P(0 < Z < 1,5) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668

b) P(63.500 < X < 70.000) = P(Z1 < Z < Z2)

Portanto:

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

d) Como em qualquer tipo de variável aleatória contínua, a probabilidade da variável ser exatamente igual a um único valor é zero. Portanto: P(X = 65.555) = 0 2) O gerente de Marketing desta fabrica de pneus deseja fixar uma garantia de km rodados, de tal forma que, se a duração do pneu for inferior à garantia, o pneu será trocado. De quanto deve ser essa garantia para que somente 1% dos pneus sejam trocados?

A garantia procurada será o valor de X1 tal que P(X < X1) = 0,01, conforme mostra a figura. Deve-se procurar na tabela da normal reduzida qual o valor Z1 que determina uma área de 0,5 – 0,01 = 0,49. O valor mais próximo é Z1 = 2,33 que leva a uma área de 0,4901. Logo, utilizando a transformação da normal reduzida, obtém-se a seguinte relação:

O sinal negativo é determinado pelo fato de Continuando:

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, logo Z1 < 0.

AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Qual a probabilidade do algarismo das unidades do número da chapa de um carro ser zero? 2) O número de chapa de um carro é par. Qual a probabilidade do algarismo das unidades ser zero? 3) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, qual a probabilidade de todos errarem? 4) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. Qual é a probabilidade de que: a) Tenham pelo menos um menino? b) Tenham filhos de ambos os sexos? c) Tenham dois filhos de cada sexo? 5) Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado “honesto” de seis faces numeradas de 1 a 6, verificar se os eventos “número dois” e “número par” são independentes. 6) Numa urna existem apenas 6 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. As bolas vermelhas são numeradas de 1 a 6 e as azuis, se 1 a 4. Retirando, aleatoriamente, uma bola dessa urna, verificar se os eventos “bola vermelha” e “número par” são independentes. 7) Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30 %, a probabilidade de que um animal sadio venha a contrair a doença só no 3° mês é igual a: a) 21 % b) 49 % c) 6,3 % d) 14,7 % e) 26 % 8) A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um único tiro é 0,2. Com apenas tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo só duas vezes ? 9) Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma dos pontos ser maior do que 4 é: a) 3/5 b) 2/5 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3 10) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde? 11) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima?

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

12) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? 13) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? 14) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel? 15) Um credor está à sua procura. A probabilidade de ele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa? 16) Determine a área sob a curva normal em função do valor de Z: a) 0≤Z≤1,2 b) -0,68≤Z≤0 c) -0,46≤Z≤2,21 d) 0,81≤Z≤1,94 e) Z≤-0,6f) Z≥-1,28 17) Determine o valor de Z para que a área compreendida entre: a) 0 e Z seja igual a 0,3770 b) -∞ e Z seja igual a 0,8621 c) -1,5 e Z seja igual a 0,0217 d) –Z e Z seja igual a 0,6680 18) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por certa máquina é de 1,300 cm e desvio padrão 0,002 cm. A finalidade para quais estas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima de 1,298 a 1,302 cm. Caso isto não se verifique, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determine o percentual de arruelas defeituosas que serão produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. 19) Chama-se de escore reduzido de um estudante em uma prova a medida equivalente ao cálculo de “Z” em função da nota do estudante, da média das notas e do desvio padrão encontrado. Um exame de estatística mostra uma média de 78 com desvio padrão de 10. (a) Determine os escores reduzidos de 2 estudantes cujas notas foram 93 e 62, respectivamente, e interprete o valor do escore “Z”. (b) Determine a nota de 2 estudantes cujos escores reduzidos foram, respectivamente, -0,6 e 1,2. 20) Dois estudantes, em um concurso alcançaram os seguintes escores (conforme definição do problema anterior) 0,8 e -0,4, respectivamente. Se suas notas foram 88 e 64, respectivamente, determine a média e o desvio padrão das notas deste concurso.

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AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

RESPOSTAS 1) Temos 10 unidades possíveis para compor a chapa de um carro: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Então, a probabilidade da chapa ser final zero será: 1/10. 2) Para a chapa ser par, o espaço amostral do algarismo das unidades deverá ser: S = {0, 2, 4, 6, 8}. Então, a probabilidade de este algarismo ser zero será: 1/5. 3) Para que todos errem teremos as probabilidades (1-1/2) para o primeiro, (1-2/5) para o segundo e (1-5/6) para o terceiro. Como os eventos são independentes: P = 1/2 x 3/5 x 1/6 = 3/60 ou 5 %. 4) a) Pelo menos um = 1 – nenhum → P = 1 – (1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2) = 1 – 1/16 = 15/16 ou 93,75 %. b) 93,75 %. c) S={hhhh, hhhm, hhmh, hhmm, hmhh, hmhm, hmmh, hmmm, mhhh, mhhm, mhmh, mhmm, mmhh, mmhm, mmmh, mmmm} → dois filhos de cada sexo = 6/16 ou 37,50%. 5) Os eventos “número dois” e “número par” não são independentes, uma vez que o dois também é par. 6) Os eventos “bola vermelha” e “número par” são independentes porque nem todas as bolas vermelhas são pares e nem todas as bolas azuis são impares. 7) Resposta (d) → P = 0,7 x 0,7 x 0,3 = 0,1470 ou 14,7 %. 8) S={aaee, aeae, aeea, eeaa, eaea, eaae} = 6 possibilidades. Para cada uma: P = 0,2 x 0,2 x 0,8 x 0,8 = 0,0256 → para as 6 possibilidades P = 6 x 0,0256 = 0,1536 ou 15,36.%. 9) a) → 1/3 x 2/5 + 1/3 x 3/5 + 1/3 x 4/5 = 9/15 = 3/5. 10) Neste exercício, o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas. Portanto, a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12. Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim:

A probabilidade de esta bola ser verde é 5/12. 11) Através do princípio fundamental da contagem, podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 x 2 x 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral. Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por: A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 2/8 = 1/4 ou 0,25, ou ainda 25 %. 12) Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8. Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então, a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais.

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MÉTODOS QUANTITATIVOS

Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo: P = 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,2 → p = 0,1024 → 0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%. Então: A probabilidade da mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%. 13) Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula P (A u B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar P(A∩B) = P(A) + P(B). Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral. Neste exercício, os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há fichas verdes que são também amarelas. Neste caso, então, podemos utilizar a fórmula: P(A ∩ B) = P(A) + P(B). Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos. O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/14:

Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a 2/14:

Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então 7/14 passaria a 1/2 e 2/14 a 1/7, no entanto, isto não foi feito, já que para somarmos as duas probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum: 7/14 + 2/14 = 9/14. Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo resolvido de outra forma que, em alguns casos, pode tornar a resolução mais rápida. Vejamos: Note que a probabilidade de se obter ficha azul é 5 em 14, ou seja, 5/14. Então a probabilidade de não se obter ficha azul é 9 em 14, pois o 1 que aparece na expressão acima se refere à probabilidade do espaço amostral. Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos uma ficha azul, só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha amarela, pois não há outra opção. A probabilidade dela ser verde ou amarela é 9/14. 14) A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual 1/2. A probabilidade de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3/8 e como a probabilidade de escolhermos a primeira travessa é 1/2, temos: P(A) = 1/2 x 3/8 = 3/16. A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda travessa é 4 em 6, isto é 4/6 e como a probabilidade de escolhermos a segunda travessa é igual a 1/2, temos: P(B) = 1/2 x 4/6 = 4/12 = 1/3. Então a probabilidade de

escolhermos um pastel é igual a: 3/16 + 1/3 = 9 + 16/48 = 25/48. A probabilidade de se ter pegado um pastel é 25/48.

134

AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

15) Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra, como em cada tentativa estamos tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade. Além do fato da probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton:

n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5. k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1. p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4. q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6. Substituindo tais valores na fórmula temos: O número binomial (5/1) é assim resolvido:

Então, temos:

Assim: A probabilidade do credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592. 16) a) Pela tabela de z → quando z = 1,2 → área = 0,3849 ou 38,49 %. b) Pela tabela de z → quando z = -0,68 = +0,68 → área = 0,2518 ou 25,18 %. c) Pela tabela de z → quando z = -0,46 = +0,46 → área = 0,1772. Pela tabela de z → quando z = 2,21 → área = 0,4864. Caso B → 0,1772 + 0,4864 = 0,6636 ou 66,36 %. d) Pela tabela de z → quando z = 0,81 → área = 0,2910 Pela tabela de z → quando z = 1,94 → área = 0,4738 Caso C especial → 0,4738 - 0,2910 = 0,1828 ou 18,28 %. e) Pela tabela de z → quando z = - 0,60 = +0,60 → área = 0,2257. Caso C → 0,5000 - 0,2257 = 0,2743 ou 27,43 %. f) Pela tabela de z → quando z = - 1,28 = +1,28 → área = 0,3997. Caso C especial → 0,5000 + 0,3997 = 0,8997 ou 89,97 %. 17) a) Pela tabela, a área de 0,3770 corresponde a Z = 1, 16. b) Neste caso, temos 50% mais uma área → 0,8621 – 0,5000 = 0,3621. Pela tabela, a área de 0,3621 corresponde a Z = 1,09. c) Pela tabela, a área de 0,4332 corresponde a z = -1,5 Portanto 0,4332 – AZ = 0,0217→ AZ = 0,4115 Pela tabela → Z = -1,35. d) Como a curva é simétrica → 0,6680/2 = 0,3340→ pela tabela → Z = 0,97.

135

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Portanto Z = 0,97 e –Z = - 0,97. 18)

A soma das áreas resulta em 0,6826, que corresponde à probabilidade de se obter arruela boas. A diferença para 1 será a probabilidade de se obter arruelas com defeito → 1,000 – 0,6826 = 0,3174 ou 31,74%. 19) a)

b) Como para a média z = 1, este estudante está com a sua nota acima da média.

Como para a média z = 1, este estudante está com a sua nota abaixo da média. 20)

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AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

BIBLIOGRAFIA BÁSICA CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. 18ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009. MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2006. TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

COMPLEMENTAR TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. BUSSAB, W de O; MORETITIN, P. A. Estatística básica. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2002. SPIEGEL, Murray Ralph. Estatística. 3ª ed. São Paulo: Makron Books, 2004. COSTA NETO, P. L. O; CYMBALISTA, M. Probabilidades. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.

137

AULA 8 Análise de Correlação e Regressão Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo

INTRODUÇÃO

a fundamentação da Estatística, a preocupação era descrever a distribuição de valores de uma única variável. Com esse objetivo, foram calculadas as medidas de tendência central e de variabilidade ou dispersão. Quando, porém, se consideram observações de duas ou mais variáveis, surge um novo problema: as relações que podem existir entre as variáveis estudadas. Nesse caso, as medidas já apresentadas não são eficientes. Assim, quando se consideram variáveis como: peso e altura de um grupo de pessoas, vocabulário e compreensão da leitura, volume de vendas e classe social ou propaganda e volume de vendas, procura-se verificar se existe alguma relação entre as variáveis de cada um dos pares e qual o grau dessa relação. Para isso, é necessário o conhecimento de novas medidas. Sendo a relação entre as variáveis de natureza quantitativa, utiliza-se a correlação para descobrir e medir esta relação. Uma vez caracterizada a relação, procura-se descrevê-la através de uma função matemática. A regressão é o instrumento adequado para a determinação dos parâmetros dessa função.

MÉTODOS QUANTITATIVOS

CORRELAÇÃO DEFINIÇÃO DE CORRELAÇÃO LINEAR Considere a relação que existe entre o peso e a estatura de um grupo de pessoas. É evidente que essa relação não é precisa. Assim, pode acontecer que a estaturas diferentes correspondam pesos iguais ou que a estaturas iguais correspondam pesos diferentes. Porém, em média, quanto maior a estatura, maior o peso. As relações do tipo peso-estatura são conhecidas como relações estatísticas. Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe correlação entre elas. Considere uma amostra aleatória, formada por dez cidades onde foram observadas, durante um mês, a renda média da população e o consumo de pizzas. A tabela mostra os valores obtidos que podem ser arranjados num diagrama de dispersão.

Os pontos obtidos, vistos em conjunto, formam uma elipse em diagonal. Podemos imaginar que, quanto mais fina for esta elipse, mais ela se aproximará de uma reta. Dizemos, então, que a correlação de forma elíptica tem como “imagem” uma reta, sendo, por isso, denominada correlação linear.

TIPOS DE CORRELAÇÃO LINEAR A correlação é chamada de linear positiva se os pontos do diagrama têm como “imagem” uma reta ascendente, de linear negativa se os pontos do diagrama têm como “imagem” uma reta descendente e não linear se os pontos do diagrama têm como “imagem” uma curva. Se os pontos apresentam-se dispersos, não oferecendo uma “imagem” definida, concluímos que não há relação alguma entre as variáveis em estudo.

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR O instrumento empregado para a medida da correlação linear é o coeficiente de correlação. Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (positivo ou negativo) O coeficiente de correlação linear – r é dado pela fórmula de Pearson, onde x e y são as variáveis a se correlacionar e n é o número de observações. 140

AULA 8 - ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

Observação: Esta fórmula é trabalhosa e de difícil aplicação, necessitando de um algoritmo em forma de tabela, onde são calculados os produtos, os quadrados e as somatórias das variáveis x e y. Aqui, adotaremos a resolução do coeficiente r de uma forma prática e simples, através de uma ferramenta do Excel, própria para este cálculo.

VARIAÇÃO DE R Os valores limites de r são -1 e +1, isto é, o valor de r pertence ao intervalo [ -1, +1]. Assim se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então r = + 1; se a correlação entre duas variáveis é perfeita e negativa, então r = - 1; se não há correlação entre as variáveis, então r = 0 Pode-se resumir a variação de r conforme a figura abaixo:

Observação Importante: Para que uma relação possa ser descrita por meio do coeficiente de correlação de Pearson é imprescindível que ela se aproxime de uma função linear. Uma maneira prática de verificarmos a linearidade da relação é a inspeção do diagrama de dispersão: se a elipse apresenta saliências ou reentrâncias muito acentuadas, provavelmente trata-se de correlação curvilínea.

141

MÉTODOS QUANTITATIVOS

VALOR DE R COMO MEDIDA DA CORRELAÇÃO De uma maneira prática, pode-se associar o valor de r com a correlação linear em estudo. Se 0,0 < l r l < 0,3 a correlação é muito fraca e, praticamente, nada podemos concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo. Se 0,3 < l r l < 0,6, há uma correlação relativamente fraca entre as variáveis. Se 0,6 < l r l < 1,0, há uma correlação relativamente forte entre as variáveis.

REGRESSÃO Sempre que se deseja estudar determinada variável em função de outra, faz-se uma análise de regressão (restrito neste curso à regressão linear simples). Pode-se dizer que a análise de regressão tem por objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações da mesma. A variável sobre a qual se deseja fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente. Assim, supondo X a variável independente e Y a variável dependente, deve-se determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis. Observação O método mais utilizado no ajustamento de retas de regressão é o dos mínimos quadrados de Pearson. Aqui também adotaremos a resolução da equação da reta de regressão de uma forma prática e simples, através de uma ferramenta do Excel, própria para este cálculo.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO Um produto industrial apresentou as vendas dos últimos cinco anos, conforme a tabela abaixo. Pede-se: ajustar uma reta e calcular sua equação, calcular o coeficiente de correlação r e determinar a previsão de vendas para os anos de 2010 e 2011.

Vamos resolver esse exemplo com a ferramenta de correlação e regressão linear do Excel.

142

AULA 8 - ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

TUTORIAL PASSO A PASSO PARA DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE REGRESSÃO LINEAR UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL 1. Digite a tabela de f(x) em função de x no Excel. Para gerar uma equação mais simples, transforme a variável temporal (ANO) em numérica (no exemplo, vale a relação: x = ANO – 2005).

2. Marque somente os valores numéricos e cline na aba INSERIR e depois em DISPERSÃO

3. Na aba que se abre, selecione o primeiro tipo de gráfico.

143

MÉTODOS QUANTITATIVOS

4. Aparecerá o gráfico da dispersão solicitado, somente com os pontos da tabela.

5. Agora, clique com o botão direito do mouse em cima de qualquer um dos pontos do gráfico e surgirá um menu de opções. Escolha ADICIONAR LINHA DE TENDÊNCIA.

6. Aparecerá uma tela de opções: marque LINEAR, EXIBIR EQUAÇÃO NO GRÁFICO e EXIBIR VALOR DE R QUADRADO NO GRÁFICO.

144

AULA 8 - ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

7. Pronto! Aparece a equação da reta, e o R quadrado, que mostra o grau de aderência da regressão. Para o cálculo do coeficiente de correlação r, basta extrair a raiz quadrada do indicador R2, que resulta em um coeficiente r = 0,8247.

8. Para o cálculo da previsão de vendas para 2010 e 2011, basta substituir x, na equação da reta, por 5 (2010) e por 6 (2011) resultando: Previsão para 2010: y = 4,7 (5) + 108,4 y = 131,90 Previsão para 2011: y = 4,7 (6) + 108,4 y = 136,60 Estes valores de y, que correspondem às previsões de vendas de 2010 e 2011, são denominados de valores estimados, pois o fato ainda não ocorreu.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Um produto industrial apresentou as vendas dos últimos seis meses, conforme a tabela abaixo. Pede-se para ajustar uma reta e calcular sua equação, calcular o coeficiente de correlação r e determinar a previsão de vendas para os meses de julho, agosto e setembro. VENDAS EM UNIDADES Mês

Jan

Fev

Mar

Abr

Mai

Jun

Consumo real

340

355

365

375

390

401

2) Dada a produção de ferro, em toneladas, de uma grande mineradora, ajustar uma reta aos dados, calcular o coeficiente de correlação linear r e estimar a produção para 1985. Ano

1980

1981

1982

1983

1984

Produção de ferro (t)

17,5

23,3

28,7

145

MÉTODOS QUANTITATIVOS

3) Consideremos uma amostra aleatória, formada por 10 dos 98 alunos de uma classe da Universidade A e pelas notas obtidas por estes em Matemática Financeira e Estatística. Dada a tabela abaixo: ALUNO Nº

NOTAS

MATEMÁTICA (X) 5,0

ESTATÍSTICA (Y) 6,0

8,0

9,0

7,0

8,0

10,0

6,0

5,0

7,0

9,0

8,0

3,0

4,0

8,0

6,0

2,0

a) Determinar o diagrama de dispersão de Yi = f (Xi). b) Calcular o coeficiente de correlação linear entre as variáveis X e Y. c) Calcular a equação da reta de regressão. d) A correlação é positiva ou negativa? A correlação é forte ou fraca? 4) Suponha as seguintes observações de renda média familiar da população de várias cidades e a venda de veículos 0 km, realizadas pela principal loja da cidade em um mês. CIDADE

RENDA ($1.000)

VEÍCULOS 0 KM VENDIDOS

a) Determinar o diagrama de dispersão de Yi = f (Xi). b) Calcular o coeficiente de correlação linear entre as variáveis X e Y. c) A correlação é positiva ou negativa? A correlação é forte ou fraca? d) Calcule a reta de regressão linear. e) Para uma renda de 30.000,00 estime a quantidade de carros que seriam vendidas. f) E para uma renda de 2.000,00?

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AULA 8 - ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

RESPOSTAS 1) y = 329 + 12x r = 0,998 2) y = 24,7 + 4,47x

julho = 413

r = 0,9797

agosto =425

setembro = 437

1985 = 38,11 toneladas

4) (a), (b) e (d) Vide gráfico abaixo; (c) Positiva e forte; e) Aprox.: 102 carros vendidos; (f) Aprox.: 20 carros vendidos.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA: CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. 18ª ed. São Paulo: Saraiva, 2009. MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2006. TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

COMPLEMENTAR: BUSSAB, W de O; MORETITIN, P. A. Estatística básica. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2003. TRIOLA, Mário F. Introdução à Estatística. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. SPIEGEL, Murray Ralph. Estatística. 3ª ed. São Paulo: Makron Books, 2004.

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