TRIGONOMETRIA 4 DBH

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Tema 6. Trigonometría

Tema 6. Trigonometría 1. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo (ángulos agudos) 2. Relaciones Trigonométricas Fundamentales 3. Razones trigonométricas de 30º,60º y 45º 4. Uso de la calculadora 5. Resolución de triángulos rectángulos 5.1.Conociendo dos lados 5.2 Conociendo un lado y un ángulo 5.3Cálculo de la altura con Doble Medida 5.4 Estrategia de la altura para resolver triángulos oblicuángulos. 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. 6.1 Signo razones trigonométricas en los diferentes cuadrantes 6.2. Relación razones trigonométricas de ángulos complementarios 6.3. Relación razones trigonométricas de ángulos suplementarios 6.4. Relación razones trigonométricas de ángulos difieren 180º. 6.5 Relación razones trigonométricas de ángulos suman 360º. 7. Gráficas de las funciones trigonométricas

Tema elaborado por José L. Lorente (lorentejl@gmail.com)

Tema 6. Trigonometría

1. Razones Trigonométricas en triángulos (ángulos agudos) Como vimos en el tema anterior todos los triángulos rectángulos en los que uno de sus ángulos agudos son iguales se cumplen que son triángulos semejantes, y por tanto los lados proporcionales. De esta manera conociendo el valor de uno de los ángulos, α, las razones de sus lados están fijadas. Estas razones es lo que llamamos razones trigonométricas del ángulo α. Veámoslo gráficamente

a3

a2

a1

c2

c1

c3 α b1

b2 b3

c1 c 2 c3 cateto opuesto = = = sen(α ) = hipotenusa a1 a 2 a 3 b1 b2 b3 cateto contiguo = = = cos(α ) = a1 a 2 a 3 hipotenusa c1 c 2 c3 cateto opuesto = = = tg (α ) = b1 b2 b3 cateto contiguo Es importante darse cuenta que el valor de las razones trigonométricas depende del ángulo y no del triángulo. Como sabemos a partir del teorema de Pitágoras el valor de la hipotenusa (a) de un triángulo es mayor que el de los dos catetos (b y c), por tanto se cumple que: 0<sen(α)<1, 0<cos(α)<1 cuando α∈(0,90º). A partir de estas razones trigonométricas fundamentales podemos definir las siguientes:

1 hipotenusa = cos(α ) cateto opuesto 1 hipotenusa cos ec(α ) = = sen(α ) cateto contiguo cateto contiguo 1 cot g (α ) = = tg (α ) cateto opuesto

sec(α ) =

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2. Relaciones trigonométricas fundamentales Los valores de sen(α), cos(α) y tg(α) no son independientes, están relacionados entre sí como veremos en este apartado. De hecho sabiendo que α∈(0º,90º) conociendo el valor de una de las tres razones podemos obtener las otras dos:

Relación 1 tg (α ) =

sen(α ) cos(α )

Ralación 2 sen 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1 Ralación 3 1 + tg 2 (α ) =

1 cos 2 (α )

Notación: sen 2 (α ) = ( sen(α )) 2 cos 2 (α ) = (cos(α )) 2

Demostración: cat opue cat opue sen(α ) hip 1) = = = tg (α ) cos(α ) cat cont cat cont hip

 cat op   2) sen 2 (α ) + cos 2 (α ) =   hip 

3) 1 + tg 2 (α ) = 1 +

2

Pitagoras 6444 7444 8 2  cat cont  cat op + cat cont 2 hip 2  = +  = =1 hip 2 hip 2  hip  2

1 sen 2 (α ) cos 2 (α ) + sen 2 (α ) = = 2 2 cos (α ) cos (α ) cos 2 (α )

Ejercicio 1: calcular las restantes razones trigonométricas a) sen(45)=

2 2

cos2(45)+sen2(45)=1 cos2(45)+1/2=1 cos2(45)=1/2 cos(45)= ±

1 2 como 45<90 º solo soluciones positivas 2 =±         → = 2 2 2

2 sen( 45) tg ( 45) = = 2 =1 cos( 45) 2 2

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Tema 6. TrigonometrĂ­a 3 3

b) tg(30)=

30

sen

30

√ 30

1

cos

(1+1/3)x2=1 x2=3/4 x= Âą

√

√

√

y= x x x x y 1

1

3 3 x=cos(Îą)= (cuando Îąâˆˆ(0,90Âş) razones 2 2

trigonomĂŠtricas son positivas) √

y=sen(Îą)= cos(Îą)=1/2

3. Razones trigonomĂŠtricas de 30Âş, 45Âş y 60Âş. Las razones trigonomĂŠtricas de 30Âş, 45Âş y 60Âş son muy importantes, ya que se usan mucho. AdemĂĄs se caracterizan porque se pueden calcular a partir del teorema de PitĂĄgoras. Vamos a calcularlas a) Ă ngulo Îą=45Âş, si dibujamos un triĂĄngulo rectĂĄngulo con Îą=45Âş se caracteriza que es isĂłsceles, pues dos tiene dos ĂĄngulos iguales de 45Âş:

45Âş a

c=b

a2=b2+b2=2b2 a=√2"

sen(45)= #

√ $

#

√ $

$

cos(45)=

45Âş b

tg(45)=

$ $

&'

()* &'

1

%

√ %

√

√ √

b) Ă ngulo Îą=30Âş y Îą=60Âş, este ĂĄngulo es el que se forma al dividir un triĂĄngulo equilĂĄtero en dos:

30Âş a

a c 60Âş b=a/2

√

c2=a2-(a/2)2 c2=3a2/4 c= a

√+ ,

$

#/

sen(60Âş)=cos(30)= #

cos(60Âş)=sen(30)= tg(60Âş)=

/

=√3

()* /

tg(30)=

#

()*

%

√

#

#

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√

√ %

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4. Utilización de la calculadora En este apartado vamos a ver como se trabaja con la calculadora con la trigonometría. Veamos varias cosas:

1. El modo: la calculadora puede trabajar con grados y radianes. Generalmente en matemáticas se utiliza los grados, siendo utilizados en radianes en física. Recordemos que πrad=180º, por tanto por ejemplo 90º=π/2 rad. Los modos son los siguientes: a. Modo DEG: Grados (degree) b. Modo RAD: radianes c. Modo GRA: grados centesimales (de 0 a 400º, ¡¡¡no usaremos!!!) 2. Ángulos en grados minutos y segundo: las calculadoras nos permiten pasar los ángulos expresados de forma decimal en grado a grados, minutos y segundos y al revés. a. De º º ‘ “. Introduce los grados en forma decimal, pulsa la tecla shif y luego la tecla b. De º ’ “ º. Introduce los grado pulsa , introduce los minutos pulsa la tecla , introduce los segundos pulsa la tecla . Pulsa igual 3. Cálculo de razones trigonométrica: a. sen sin b. cos cos c. tg tan 4. Calcular el ángulo conociendo el valor de la razón trigonométricas: la calculadora permite obtener el valor del ángulo conociendo el valor de la razón trigonométrica. Como veremos en el apartado 6.4 hay dos posibles ángulos y la calculadora sólo nos da uno de ellos a. Calcular el ángulo cuyo seno es, por ejemplo, 0.3: Esta función se llama arcoseno (arco cuyo seno es 0.3) se escribe arcsen(0.3). Con la calculadora el arco-seno es shift+sin b. Calcular el ángulo cuyo coseno es, por ejemplo, 0.3: Esta función se llama arcocoseno (arco cuyo coseno es 0.3) se escribe arccos(0.3). Con la calculadora el arco-coseno es shift+cos c. Calcular el ángulo cuyo tangente es, por ejemplo, 0.3: Esta función se llama arcotangente (arco cuyo tangente es 0.3) se escribe arctg(0.3). Con la calculadora el arco-tangente es shift+tan Ejercicio 2: a) Pasar 55,232º a grados minutos y segundos 55,232º=55º 13’55.2” b) Pasar 22º13’31” a grados 22º13’31”≈22,22527 c) Calcular: sen(32º), cos(21º), tg(11º) sen(32º) ≈0.53,cos(21º) ≈0.93, tg(11º) ≈0.194 d) Calcular ángulos que cumple sen(α1)=0.3, cos(α2)=0.3, tg(α3)=0.3 α1=arcsen(0.3) ≈17,46º≈17º27’27.37” α2=arccos(0.3) ≈72,54º≈72º32’32.63” α3=arctg(0.3) ≈16.7º≈16º41’57.28” Tema elaborado por José L. Lorente (lorentejl@gmail.com)

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5. Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es obtener a partir de los datos conocidos todos los ángulos y lados de dicho triángulo. Para resolver un triángulo utilizaremos los siguientes teoremas: a. Teorema de Pitágoras b. Suma de ángulos es 180º c. Razones trigonométricas Todo triángulo rectángulo se puede calcular si conocemos dos datos, siempre que uno de ellos sea un lado. Vamos a ver dos casos

5.1. Conociendo dos lados Nos faltaría conocer un lado y dos ángulos (ya que el otro ángulo es 90º). Pasos a) El tercer lado se calcula por Pitágoras b) Calculamos los otros dos ángulo a partir de las razones trigonométricas

Ejemplo: resolver el siguiente triángulo B

c=√5 1 3 =4cm

cos Cˆ =3/5 Cˆ =arcos(3/5)=53º7’48” 5cm

C

3cm

c

Bˆ = 90 º −Cˆ = 36º 52'12"

A

5.2. Conociendo un lado y un ángulo Nos falta conocer otro ángulo y dos lados

a) Obtenemos el otro ángulo restando a 90º el que nos han dado b) Obtendremos los otros dos lados a partir de las razones trigonométricas Ejemplo: resolver el siguiente triángulo C

5cm

a

Bˆ = 90 º −Cˆ = 58º

sen(32)=5/a a=5/sen(32)≈9,4cm tg(32)=5/c c=5/tg(32) ≈8cm

B

32º c

A

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Tema 6. TrigonometrĂ­a 5.3. CĂĄlculo altura con doble medida Cuando queremos calcular la altura de una montaĂąa, casa, etc. pero no somos capaces de acercarnos a la base (como hicimos midiendo la altura del alumno), y por tanto no podemos calcular la distancia de un punto al objeto que deseamos medir tendremos que utilizar otro mĂŠtodo. Veamos como con dos medidas indirectas podemos obtener la altura. Donde conocemos l, Îą1, Îą2 h

tg(Îą1)=h/(l+x) tg(Îą2)=h/x es un sistema con dos ecuaciones y dos incĂłgnitas.

Îą2

Îą1 x

l

Ejemplo, cĂĄlculo de la altura de un alumno con doble medida: tg(20)=h/(3,2+x) tg(45)=1=h/x h

x=h tg(20)=x/(3.2+x) 3.2¡tg(20)+tg(20)x=x 0

20Âş

45Âş

x¡(1-tg(20))=3.2¡tg(20) . 34

x

l=3,2m

x=

%534

1.837

5.4. CĂĄlculo altura en triĂĄngulos no rectĂĄngulos El teorema de PitĂĄgoras y las razones trigonomĂŠtricas sĂłlo se puede utilizar en triĂĄngulos rectĂĄngulos. Si queremos resolver un triĂĄngulo no rectĂĄngulo tendremos que trazar la altura del triĂĄngulo, con lo que este se divide en dos triĂĄngulos rectĂĄngulos, donde podemos aplicar los teoremas. B

h A

Îą2

Îą1

C

M x 3m

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Tema 6. TrigonometrĂ­a ; tg(Îą1)=h/x TriĂĄngulo 89:

; tg(Îą2)=h/(3-x) TriĂĄngulo <9:

Tenemos asĂ­ que resolver un sistema con dos incĂłgnitas, h y x.

Ejemplo: calcular la altura que vuela un aviĂłn sabiendo que vuela entre dos personas separadas 10km y estas lo ven con ĂĄngulos de 30Âş y 60Âş cada uno.

B

h A

30Âş

60Âş

C

M x 10km m

; tg(60)=h/x TriĂĄngulo 89:

=

√3 >

; tg(30)=h/(10-x) √ TriĂĄngulo <9:

=

% 5>

h=√3? √3 10 1 ? =3√3? (3√3+√3)x=10√3 4√3?=10√3 x=2.5km h=√3¡2.5≈4,3km=4300m

6. Razones trigonomÊtricas de ångulo cualquiera. Circunferencia goniomÊtrica. Hasta ahora habíamos definido las razones trigonomÊtricas en triångulos rectångulos, de tal forma que los ångulos, no rectos, eran siempre menores a 90º. En este apartado vamos a extender las definiciones para cualquier ångulo dentro de la circunferencia (0º@ A @ 360°)

Definición: la circunferencia goniomÊtrica es una circunferencia de radio unidad en donde los ångulos se sitúan de la siguiente forma • • • •

vĂŠrtice en el centro el radio horizontal es el eje OX y el vertical OY un lado del ĂĄngulo situado en lado positivo del eje OX el otro lado formando ĂĄngulo Îą en el sentido contrario a las agujas del reloj.

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Tema 6. TrigonometrĂ­a

Ejemplo: situamos Îą=210Âş en la circunferencia goniomĂŠtrica: 1

Îą=210Âş 1

P

Definición de razones trigonomÊtricas en la circunferencia (0º@ A @ 360°): sen(ι)=coordenada vertical del punto P=Py

cos(Îą)=coordenada horizontal del punto P=Px tg(Îą)=

Îą

()* Îą

D

D>

Veamos grĂĄficamente los valores de sen(Îą), cos(Îą) y tg(Îą) 1

P

Py Îą

Px 1

ExplicaciĂłn de la tangente: tenemos que tg(Îą)=Py/Px. Se cumple que el triĂĄngulo rectĂĄngulo de catetos Py y Px es semejante al que tiene de lado horizontal 1 (radio circunferencia) y vertical la lĂ­nea verde (pongamos que su tamaĂąo es x). Al ser semejantes tg(Îą)=Py/Px=x/1=x=lĂ­nea verde. Nota: observamos que la definiciĂłn de tangente cuando Îą<90Âş (como el dibujo) coincide con la definiciĂłn dada en triĂĄngulos, recordemos que la circunferencia goniomĂŠtrica r=1 y por tanto la hipotenusa del triĂĄngulo vale tambiĂŠn 1.

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Tema 6. Trigonometría 6.1. Signo razones trigonométricas en los diferentes cuadrantes En este apartado vamos a ver el signo de las razones trigonométricas según el valor del ánguloα. Para entender esta tabla simplemente hay que recordar la definición del seno y el coseno y ver la posición de P para estos valores de α. El signo de la tangente se deduce de tg(α)=sen(α)/cos(α) sen(α)

cos(α)

tg(α)

0º<α<90º (cuadrante I)

+

+

+

90º<α<180º (cuadrante II)

+

-

-

180º<α<270º (cuadrante III)

-

-

+

270º<α<360º (cuadrante IV)

-

+

-

6.2. Relación entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios Definición: dos ángulos α y α2 se dicen complementarios si suman 90º (α+α2=90º). De esta forma llamaremos a α2=90-α. Veamos las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos complementarios, para esto apoyémonos en la circunferencia goniométrica.

sen(α)=cos(90-α) 90-α

cos(α)=sen(90-α)

α

tg(α)=1/tg(90-α)

6.3. Relación entre razones trigonométricas de ángulos suplementarios Definición: dos ángulos α y α2 se dicen suplementarios si suman 180º (α+α2=180º). De esta forma llamaremos a α2=180-α. Veamos las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos suplementarios, para esto apoyémonos en la circunferencia goniométrica.

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sen(α) = sen(180-α)

180-α α

cos(α) = -cos(180-α) tg(α) = -tg(180-α)

6.4. Relación entre razones trigonométricas de ángulos que difieren 180º En este apartado vamos a ver las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos que difieren 180º (α, α+180º), para esto apoyémonos en la circunferencia goniométrica.

sen(α) = -sen(180+α) 180+α

cos(α) = -cos(180+α) α

tg(α) = tg(180+α)

6.5. Relación entre razones trigonométricas de ángulos que suman 360º En este apartado vamos a ver las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos que suman 360º (α, 360º-α), para esto apoyémonos en la circunferencia goniométrica. Nota: en la calculadora los ángulos del IV cuadrante aparecen con signo negativo, es decir el giro en sentido horario de los ángulos se pueden considerar negativos. Ejemplos: 320º=-40º, 300º=-60º

sen(α) = -sen(360-α) α

cos(α) = cos(360-α) tg(α) = -tg(360-α)

360-α

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Tema 6. Trigonometría Ejercicio 3: calcular el valor de las siguientes razones trigonométricas sin utilizar la calculadora: 1) α=120º α=180-60. Son ángulos 120º y 60º son suplementarios, apliquemos las relaciones vistas en el apartado 6.2 sen(120º) = sen(60º)=

√

cos(120º) = -cos(60º)= -

%

tg(120º) = -tg(60º)= - √3

2) α=240º α=180º+60º. Los ángulos 240º y 60º se diferencian en 180º, apliquemos las relaciones vistas el apartado 6.3. sen(240º) = -sen(60º)=-

√

%

cos(240º) = -cos(60º)= - tg(240º) = tg(60)= √3

3) α=300º=-60º α=360º-60º. Los ángulos 300º y 60º suman 360º, apliquemos las relaciones vistas en el apartado 6.5. sen(300º) = -sen(60º)=

√

%

cos(300º) = cos(60º) =

tg(300º) = -tg(60º) = √3

4) α=260º, sabiendo que sen(10º)≈0,17, cos(10º)≈0.98, tg(10º)≈0.18, podemos relacionar este ángulo con 270º de la siguiente forma α=280º=270º+10º. Veamos con la circunferencia goniométrica como relacionarlos:

sen(α)=-cos(270º-α) α

cos(α)=-sen(270º-α) 270-α

tg(α)=1/tg(270º-α)

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Tema 6. Trigonometría A partir de esto podemos ver el valor de las razones trigonométricas de 260º sen(260º)=-cos(10º)≈-0.98 cos(260º)=-sen(10º)≈-0.17 tg(260º)=1/tg(10º) ≈-5.67 Ejercicio 4: calcular los ángulos que cumplen: a) sen(α)=0.25 b) cos(α)=-0.3 c) sen(α)=-0.1 d) cos(α)=0.7 y sen(α)<0 a) sen(α)=0.25 α=arcsen(0.25)=14.5º (calculadora). Si dibujamos el ángulo obtenemos el otro ángulo que cumple que el seno vale 0.25

La otra solución es α2=180º-α1=165.5º

180-α α

b) cos(α)=-0.3 α1=107.5º (calculadora). Si dibujamos el ángulo obtenemos el otro ángulo que cumple que el coseno vale -0.3 La otra solución es α2=270º-17.5º=252.5º α1=90º+17.5º

270º-17.5º

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Tema 6. Trigonometría c) sen(α)=-0.1 α1=-5.7º(calculadora) α1=354.3º. Si dibujamos el ángulo obtenemos el otro ángulo que cumple que el seno vale -0.1 α1=354.3

La otra solución es α2=180º+5.7º=185.7º

α2=180º+5.7º

d) cos(α)=0.7 y sen(α)<0 α1=45.6º, pero el sen(α1)>0 (cuadrante I), luego no es ángulo que buscamos. Veamos a partir de la circunferencia goniométrica otro ángulo,α2, que cumpla que su coseno es también 0.7 pero el seno sea negativo. Nota: Aunque 45.6º es muy próximo a 45º, a la hora de dibujarlo lo haremos más cerca de 90º a fin de que podamos distinguir el tamaño del seno y coseno que en 45º son iguales.

α=45.6º

El ángulo α2=360º-45.6º=314.4º cumple que cos(α2)=0.7 pero ahora si sen(α2)<0. Lugo la solución es α=314.4º

360º-45.6º

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Tema 6. Trigonometría

7. Gráficas de las funciones trigonométricas. En este apartado vamos a representar las funciones trigonométricas, es decir las siguientes funciones: y=f(x)=sen(x) y=g(x)=cos(x) En las gráficas el valor de x (ángulo) se dan en radianes en vez de grados, recordemos que π rad=180º. Hagamos la tabla de valores de y frente a x.

sen(x)

cos(x)

x

y

x

Y

0 rad

0

0 rad

1

30º=π/6 rad

0.5

30º=π/6 rad

0.866

45º=π/4 rad

0.707

45º=π/4 rad

0.707

60º=π/3 rad

0.866

60º=π/3 rad

0.5

90º=π/2 rad

1

90º=π/2 rad

0

120º=2π/3 rad

0.866

120º=2π/3 rad

-0.5

135º=3π/4rad

0.707

135º=3π/4rad

-0.707

150º=5π/3rad

0.5

150º=5π/3rad

-0.866

180º=π rad

0

180º=π rad

-1

210º=7π/3rad

-0.5

210º=7π/3rad

-0.866

225º=5π/4 rad

-0.707

225º=5π/4 rad

-0.707

240º=4π/3 rad

-0.866

240º=4π/3 rad

-0.5

270º=3π/2 rad

-1

270º=3π/2 rad

0

300º=5π/3 rad

-0.866

300º=5π/3 rad

0.5

315º=7π/4 rad

-0.707

315º=7π/4 rad

0.707

330º=11π/6 rad

-0.5

330º=11π/6 rad

0.866

360º=2π rad

0

360º=2π rad

1

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Tema 6. Trigonometría En las funciones se consideran que los ángulos pueden valer cualquier valor, también los mayores de 360º, así por ejemplo 400º=40º, de forma que la función se repite periódicamente. Veamos las gráficas: sen(x)

cos(x)

Estas gráficas son muy importantes en física ya que representan perfectamente muchos movimientos como el péndulo, el muelle, y otras oscilaciones periódicas.

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Tema 6. Trigonometría

Ejercicios finales: Relación entre las razones trigonométricas Ejercicio 5: Calcular sin hacer uso de la calculadora las demás razones trigonométricas a. sen(α)=0.2 (cuadrante II) b. cos(α)=-0.3 (cuadrante III) c. tg(α)=2 (cuadrante I) Solución a. sen2(α)+cos2(α)=1 0.22+cos2(α)=1 cos2(α)=0.96 cos(α)=E√0.96 la solución es cos(α)=-√0.96 al ser del cuadrante II tg(α)=sen(α)/cos(α) tg(α)=-0.2/√0.96 b. sen2(α)+cos2(α)=1 sen2(α)+(-0.3)2=1 sen2(α)=0.91 sen(α)=E√0.91 la solución es sen(α)=-√0.91 al ser del cuadrante III tg(α)=sen(α)/cos(α) tg(α)=√0.91/0.3

sen 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1 sen 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1 2 2   sen (α ) + cos (α ) = 1 sen(α ) sen ( ) α → → c.    tg (α ) = 2= 2 cos(α ) = sen(α )    cos(α ) cos(α ) Tenemos un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas fácilmente resoluble sustituyendo en la primera ecuación sen(α)=2cos(α): (2cos(α))2+cos2(α)=1 5cos2(α)=1 cos2(α)=1/5 cos(α)=E1/√5 la solución es cos(α)=1/√5 ya que es del cuadrante I sen(α)=2/√5 Ejercicio 6: Comprueba que son ciertas las siguientes igualdades: a.

1 + tg 2 (α ) = tg 2 (α ) 2 1 + cot g (α ) Solución:

b.

1 + tg 2 (α ) 1 + tg 2 (α ) 1 + tg 2 (α ) = = = tg 2 (α ) 2 2 1 1 + cot g (α ) 1 + tg (α ) 1+ 2 tg (α ) tg 2 (α )

cos 2 (α ) = 1 − sen(α ) 1 + sen(α ) Solución:

cos 2 (α ) 1 − sen 2 (α ) (1 − sen(α ))(1 + sen(α )) = = = 1 − sen(α ) 1 + sen(α ) 1 + sen(α ) (1 + sen(α ))

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Tema 6. Trigonometría c. sec2(x)+cosec2(x)=sec2(x)·cosec2(x) Solución:sec2(x)+cosec2(x)=

sen2 ( x) + cos2 (x) 1 1 + = = cos2 ( x) sen2 (x) cos2 ( x)·sen2 ( x)

 1  1  = =  2 2 cos ( x)·sen ( x)  cos( x) 

2

2

 1   = sec 2 ( x)·cos ec 2 ( x) ·  sen( x) 

Ejercicio 7: Simplifica las siguientes expresiones a. (sen(x)+cos(x))2+(sen(x)-cos(x))2 sen 3 ( x) + sen( x)·cos 2 ( x) b. sen( x) Solución: a) (sen(x)+cos(x))2+(sen(x)-cos(x))2= =sen2(x)+cos2(x)+2·sen(x)·cos(x)+sen2(x)+cos2(x)-2·sen(x)·cos(x)= =2·(sen2(x)+cos2(x))=2·1=2

b)

sen3 ( x) + sen( x)·cos2 ( x) sen(x)·(sen2 (x) + cos2 ( x)) sen(x) = = =1 sen( x) sen( x) sen(x)

Problemas de geometría Ejercicio 8: Calcular el perímetro de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 30cm de radio. Calcular su área Angulo del pentágono α=360º/5=72º

36º 30

h x

Lado pentágono=2x sen(36º)=x/30 x=30·sen(36º)=17.6cm Perímetro=10·x=176cm Apotema=h cos(36º)=x/30 x=30·cos(36º)=24.3cm área=

p·ap 176·24.3 = = 2138.4·cm 2 2 2

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Tema 6. TrigonometrĂ­a

Ejercicio 9: En un tramo de carretera la inclinaciĂłn es del 5% (sube 5m en 100m). Calcular el ĂĄngulo que forma con la horizontal la carretera. Sabemos que hemos subido 100m, ÂżCuĂĄnto hemos andado por la carretera?

100 5

Îą

sen(Îą)=

'

%

0.05 Îą=arcsen(0.05)=2.87Âş x

100

2.87Âş

sen(Îą)=0.05=100/x x=2000m Ejercicio 10: Desde un cierto punto del suelo se ve un ĂĄrbol bajo un ĂĄngulo de 42Âş Âżbajo quĂŠ ĂĄngulo se ve colocĂĄndose al doble de distancia?

h 42Âş

Îą

x

2x

tg(42Âş)=0.9=h/x tg(Îą)=h/2x=0.45 Îą=arctg(0.45)=24,2Âş Ejercicio 11: Desde un faro F se ve un barco A con ĂĄngulo de 43Âş con la costa, y el barco B con 21Âş. El barco B estĂĄ a 3km de la costa y el A a 5km. Calcular distancia entre los barcos.

5km 3km

43Âş 21Âş x y

tg(21)=3/x x=3/tg(21)=7.82km tg(43Âş)=5/y y=5/tg(43Âş)=5.4km Tema elaborado por JosĂŠ L. Lorente (lorentejl@gmail.com)

Tema 6. Trigonometría Así la distancia entre los dos barcos definida por la hipotenusa de un triángulo con catetos de 2km y de (x-y)=2.42km d=G2 2.42 3.14I7 Ejercicio 12: Calcular la altura del edificio:

y

x

250 m 10º 30º l

sen(30º)=x/250 x=250·sen(30º)=125m cos(30º)=l/250 l= 250·cos(30º)=216.5m tg(40º)=y/l y=216.5m·tg(40º)=181.7m hcasa=y-x=56.7m Ejercicio 13: Calcular la altura de la torre grande a partir del siguiente dibujo

y

50º l

x

30º 15m

x=15·sen(30º)=7.5m l=15·cos(30º)=13m tg(50º)=y/l y=l·tg(50º)=15.5m altura=y+x=23m

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Tema 6. Trigonometría Ecuaciones. Ejercicio 14: Resolver las siguientes ecuaciones a. sen2(x)-sen(x)=0 b. cos(x)+sen2(x)=1 c. 3tg2(x)=sec2(x) Solución a. sen(x)=y y2-y=0, y(y-1)=0 y=0,y=1.  0º +360k Si y=0 sen(x)=0 x=arcsen(0)=  180º +360k Si y=1 sen(x)=1 x=arcsen(1)=90º + 360k b. Tenemos expresar la ecuación sólo en función del seno o del coseno, para esto utilizamos sen2(x)+cos2(x)=1 sen2(x)=1-cos2(x) cos(x)+sen2(x)=1 cos(x)+1-cos2(x)=1 cos(x)-cos2(x)=0 Llamando y=cos(x) la ecuación será: y-y2=0 y(y-1)=0 y=0,y=1.  90º +360 k Si y=0 cos(x)=0 x=arccos(0)=  270 º +360 k Si y=1 cos(x)=1 x=arccos(1)=0º + 360k c. 3tg2(x)=sec2(x) 3·

sen 2 ( x) 1 1 1 3 = → sen 2 ( x) = → sen( x) = ± =± → 2 2 3 3 cos ( x) cos ( x) 3

 3   35,26º +360k = x = arcsen  180º −35,26º = 144.74º +360k 3     3   360º −35,26º = 324,74º +360k x = arcsen − =  3  180º +35,26º = 2154.26º +360k

Tema elaborado por José L. Lorente (lorentejl@gmail.com)

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