Universidad Nororiental Privada "Gran Mariscal de Ayacucho” Escuela de Ingeniería en Mantenimiento Industrial Núcleo El Tigre
Raíces de Ecuaciones
Profesor. Carlena Astudillo Alumnos.Edgardo Luna Rodolfo Hidalgo Jackelin Yordi Alejandro Pérez Andrea Obando
Junio, 2015.
Análisis de punto de equilibrio. En la práctica de la ingeniería óptima se requiere que los proyectos, productos y la planificación de los mismos sean enfocados de tal manera que resulten económicos. Los puntos de equilibrio. Se usa para determinar el punto en el cual dos alternativas tienen valores equivalentes. Estos problemas se encuentran en todos los campos de la ingeniería y se puede tomar como prototipo de otros problemas de análisis de puntos de equilibrio, que se encuentran a menudo en la vida profesional.
Ejemplo. Se está considerando la compra de una o dos microcomputadoras: La “Micro-uno’’ y la “Micro-dos”. Si se puede pedir un préstamo con un interés del 20% (i = 0.20), ¿cuánto tiempo se deberá poseer las máquinas, de manera que tengan un valor equivalente? En otras palabras, ¿cuál es el punto de equilibrio medido en años?
Análisis de punto de equilibrio. Costos y beneficios de dos microcomputadoras. Los signos negativos indican un costo o una perdida mientras que un signo positivo indica una ganancia Computadoras Micro-uno
Micro-dos
Costo de Compra.
-3000
-10.000
Incremento de mantenimiento de costo por año.
-200
-50
Ganancia y beneficios anuales
1000
4000
Diagrama de flujo de efectivos de costos y beneficias de la Micro-uno. La abscisa muestra el número de años que se posee la computadora. El flujo de efectivos se mide en lo ordenada, con los beneficios positivos y los costos negativos.
Análisis de punto de equilibrio. Para valorar las dos opciones estos costos se deben convertir en medidas comparables. Una manera de hacerlo es expresando todos los costos individuales como si fuesen pagos anuales, esto es, el costo equivalente por año sobre toda la vida útil de la computadora.
Debido a que los costos son expresados en base a una anualidad debido a un gradiente, en los puntos de equilibrio, de acuerdo a la cantidad de años en realizarse los proyectos, se pueden expresar de la siguiente forma
Leyes de los gases ideales y no ideales En química, la ley de los gases ideales está dada por: pV=nRT Donde P es la presión absoluta, V es el volumen, n el numero de moles, R es la constante universal de los gases y T es la temperatura absoluta. Ejemplo. Un proyecto de ingeniería química requiere que se calcule exactamente el volumen molar (u) del bióxido de carbono y del oxígeno para combinaciones diferentes de la temperatura y de la presión, de tal forma que se pueda seleccionar una vasija apropiada que los contenga. Asimismo, es importante examinar que tan bien se apega cada gas a la ley de los gases ideales, comparando los volúmenes molares calculados con las ecuaciones.
Datos R = 0.082 054 1 .atm/(mol . K) a = 3.592 Bióxido de carbono
b = 0.042 67 a = 1.360 Oxigeno
b = 0.031 83
Las presiones de interés en el diseño son de 1, 10 y 100 atm. para combinaciones de la temperatura de 300, 500 y 700°K.
Leyes de los gases ideales y no ideales Los volúmenes molares de ambos gases se calculan con la ley de los gases ideales, con n = 1. Por ejemplo, si p = 1 atm y T = 300°K, entonces:
Estos cálculos se repiten para todas las combinaciones de presión y temperatura. Los cálculos del volumen molar a partir de la ecuación de van der Waals se pueden llevar a cabo usando cualquier método numérico que encuentre raíces de la siguiente manera:
Debido a que es conveniente integrar al uso del método de NewtonRaphson, ya que le daría uso al calculo de la raíz, quedaría:
Leyes de los gases ideales y no ideales Al usar el método de NewtonRaphson se examinó una ecuación del estado gaseoso complicada. Los resultados variaron significativament e en varios casos usando la ley de los gases ideales. Desde un punto de vista práctico, el método de Newton-Raphson fue apropiado en este caso ya que f’ (u) fue fácil de calcular.
El método de Newton-Raphson ilustra en este caso de estudio lo atractivo que es cuando se requiere una gran cantidad de cálculos. Debido a la velocidad de las microcomputadoras, la eficiencia de cada uno de los métodos en la solución de la mayor parte de raíces de ecuaciones se vuelve indistinguible en un cálculo simple.
Dinámica de crecimiento demográfico La dinámica del crecimiento demográfico es de importancia en todos los planes de estudio de ingeniería. Los programas de construcción y de distribución de recursos en proyectos a gran escala, tales como el abastecimiento de agua y sistemas de transporte dependen en gran medida de las tendencias de la población. Ejemplo. Los modelos de crecimiento en un grupo de microbios suponen que el promedio de cambio de la población (p) es proporcional a la población existente en un tiempo (t). La población crece en un medio en el que existe alimento suficiente de manera que k no es una función de la concentración.
Con el tiempo, estos factores retardan la tasa de crecimiento de la población y la detienen completamente cuando ésta alcanza una densidad máxima
Dinámica de crecimiento demográfico Esta ecuación diferencial se puede integrar de forma analítica dando. Como ejemplo de aplicación de este modelo en el área de la ingeniería civil, considérese el crecimiento de una población bacteriológica en un lago. La población es pequeña en la primavera del año en donde f = O, p(f = O) = 10 células por litro. Es sabido que la población alcanza una densidad de 15O00 células por litro cuando t = 60 días y que la tasa de crecimiento K es de 2 X litros por célula por día. Se requiere calcular la densidad de la población bacterial cuando t = 90 días.
Dinámica de crecimiento demográfico Ya que pmax es implícita, no se puede obtener directamente de la ecuación, por lo tanto, se debe usar un método numérico. No se usará el método de Newton Raphson ya que la derivada de la ecuación es difícil de determinar. Sin embargo, se pueden aplicar fácilmente los métodos de bisección, de la regla falsa y de la secante. Con un error relativo del 0.01 % los valores iniciales dados de 60 O00 y 70 O00 células por litro generan las siguientes aproximaciones de pmax.
Este nivel demográfico sobrepasa el límite estándar en cuanto a calidad del agua que es de 40 O00 células por litro y por lo tanto, se debe tomar alguna medida de corrección. Este ejemplo, ilustra la eficiencia computacional relativa de tres métodos diferentes para encontrar raíces de ecuaciones en un problema de diseño de ingeniería civil.
Diseño de un circuito erétrico Los ingenieros electrónicos usan a menudo la ley de Kirchoff para estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricos en estado estacionario (que no varían con el tiempo).
Ejemplo. Esta situación ocurre cuando se cierra el interruptor de la figura. Después de cerrar el interruptor hay un periodo de ajuste hasta que se alcanza un estado estacionario. La longitud de este periodo de ajuste está relacionada con las propiedades de almacenamiento de carga del capacitor y con el almacenamiento de energía dentro del inductor. El almacenamiento de energía puede oscilar entre estos dos elementos durante un periodo transitorio. El flujo de corriente a través de la resistencia causa una caída de voltaje (V,) dado por: En donde i es la corriente y R es la resistencia del circuito.
Diseño de un circuito erétrico De manera semejante, un inductor resiste el cambio en la corriente, de forma tal que la caída de voltaje (V,) al cruzarlo es de: Entonces, tomando en cuenta que: La caída de voltaje a través del capacitor depende de la carga sobre el mismo, la segunda ley de Kirchoff indica que la suma algebraica de las caídas de voltaje en un circuito cerrado es cero, la corriente está dada en función de la carga. Se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se puede resolver usando los métodos de cálculo.
Es necesario resolver para R la ecuación, usando los valores conocidos de q, qo, L y C. Sin embargo, se debe emplear un método numérico ya que R es una variable implícita de la ecuación. Se usará el método de bisección para este propósito.
Diseño de un circuito erétrico Examinando esta ecuación puede verse que un rango inicial razonable de R es de O a 400 Q (ya que 2 O00 - 0.01 R2 debe ser mayor de cero).
La grafica de la ecuación lo confirma con veintiún iteraciones del método de bisección se obtiene R= 328.1515, con un error menor al 0.000 1%. De esta forma, se puede especificar una resistencia con este valor en el diagrama de la figura y esperar que la disipación sea consistente con los requisitos del problema.