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Módulo de Resolución de Problemas - Resolvamos 2 Cuaderno de trabajo para el estudiante 2do. Grado de Educación Secundaria
Elaboración David Ernesto Palomino Alva Colaboración en la elaboración Jenny Rios Poma Revisión académica Luis Enrique Eyzaguirre Espino (coordinador) Carlos Alberto Calderón Arévalo Daniel Giovanni Proleón Patricio Fernando Del Castillo Oyarce Luis Alberto Díaz Nunja Luis Daniel Chumpitaz Malpartida Marco Antonio Tello Mena Terry Revisión pedagógica Pedro David Collanqui Díaz Roger Justiniano Saavedra Salas Corrección de estilo Raquel Socorro Tinoco Casallo Diseño, diagramación e ilustraciones Diana Angélica Ganao Contreras
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Ministerio de Educación Calle El Comercio N.o 193 - San Borja Lima 41 - Perú Teléfono: 615-5800 www.minedu.gob.pe Primera edición: 2012 Tiraje: 510 908 ejemplares Impreso en el Perú / Printed in Peru Empresa Editora El Comercio S.A. Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318 Chacra Ríos Sur, Lima 01
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N.o 2012 - 11168 ©Ministerio de Educación Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del editor.
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Presentación
E
n muchas ocasiones, seguramente, te has preguntado para qué aprendes matemática, cómo te sirve en la vida diaria y en tu proyecto de vida como futuro ciudadano. Asimismo, es posible que hayas considerado que la matemática es difícil de aprender, que tiene muchos contenidos y procesos, y que solo interesa que apliques la misma forma de solución a cierto tipo de problemas. Aprender matemática es importante porque en la vida diaria estás siempre en contacto con situaciones que se relacionan con la matemática, y esta te permite un mejor entendimiento y desenvolvimiento en el mundo que te rodea. El Cuaderno de trabajo Resolvamos 2 está compuesto por una serie de actividades, sobre situaciones cotidianas, cuyo desarrollo te permitirá comprender que la matemática es útil para la vida, que su aprendizaje es fascinante y que dinamiza tu forma de pensar. Los problemas planteados en este cuaderno se presentan en orden creciente de dificultad y podrás resolverlos de manera individual, en pareja o en grupo. Con tu esfuerzo y dedicación, y el de tus compañeros, lograrás desarrollar estrategias y aplicarlas a otros contextos, despertando así tu ingenio matemático. Esta será también una ocasión para que tus padres te brinden apoyo y valoren tu aprendizaje. Por todo ello, Resolvamos 2 ha sido elaborado pensando en ti, para que disfrutes aplicando la matemática a tu vida diaria. Esperamos que le “saques el jugo” a esta experiencia y te diviertas recorriendo el maravilloso mundo de la resolución de problemas.
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Conoce tu Cuaderno de trabajo Con el objeto de brindarte orientaciones para el uso adecuado de tu Cuaderno de trabajo, te presentamos este apartado en el que describimos los objetivos principales de este material, algunas recomendaciones para que obtengas el mayor provecho de él y la forma en que se encuentra organizado.
Antes de empezar a desarrollar las actividades:
Te recomendamos leer la sección titulada ¿Cómo resolver un problema?, en la que se proporcionan orientaciones y pasos a seguir para la resolución de un problema y se brindan ejemplos sobre cómo desarrollar las actividades que presenta este cuaderno.
También encontrarás Organizadores visuales frecuentes, con diversas estrategias para organizar la información, las cuales te facilitarán la resolución de los problemas.
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Estructura del Cuaderno de trabajo: El cuaderno está compuesto por 28 actividades. Cada una propone cuatro tareas o situaciones problema que deberás desarrollar de manera personal o colectiva. A continuación, describimos la estructura de una actividad. La Tarea 1 presenta una situación de la vida cotidiana y preguntas que te conducirán a la resolución del problema planteado.
Las Tareas 2 y 3 presentan situaciones algo más complejas que la de la Tarea 1 y proponen una metodología de cuatro pasos, con preguntas y orientaciones para resolver el problema.
La Tarea 4 presenta una situación problema en la que deberás poner en práctica los conocimientos y habilidades aprendidos. Asimismo, plantea preguntas orientadoras que te ayudarán a tener éxito en su solución.
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Antes de iniciar el desarrollo de cada tarea, observa el ícono que se encuentra en la parte superior derecha de la página; este símbolo indica si la actividad debe desarrollarse en forma individual, en pares o en grupos de 3 o 4 estudiantes.
Trabajo individual.
Trabajo en grupo de dos estudiantes.
Trabajo en grupo de tres a cuatro estudiantes.
La sección ¿Qué aprendí? detalla los aprendizajes que has desarrollado al concluir la actividad y relaciona su importancia con las situaciones cotidianas.
La sección Autoevaluación plantea una pregunta referida a tu actuación en el desarrollo de la actividad. Te invitamos a marcar en ella el nivel que consideras haber alcanzado.
Al final de tu cuaderno te proponemos Bibliografía y Enlaces web en los que encontrarás información y ejemplos sobre el arte de resolver problemas, diversos juegos, enigmas y acertijos que te divertirán y despertarán tu curiosidad por investigar el mundo de la matemática.
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Índice
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1. ¿Cómo resolver un problema?
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2. Organizadores visuales frecuentes
12
Actividad 1
Números en la realidad
14
Actividad 2
La cotidianidad de los cálculos
18
Actividad 3
Porcentaje y proporcionalidad
22
Actividad 4
Números que modelan el mundo
26
Actividad 5
Cantidades por todas partes
30
Actividad 6
No basta multiplicar y dividir
34
Actividad 7
Decisiones lógicas
38
Actividad 8
En el país de la lógica
42
Actividad 9
De variables y números
46
Actividad 10 Matematizando con ecuaciones
50
Actividad 11 Funciones que se ven
54
Actividad 12 Las funciones sí funcionan
58
Actividad 13 Interpretando la realidad
62
Actividad 14 Segmentos que cuentan historias
66
Actividad 15 Practicando con la geometría
70
Actividad 16 Problematizando con triángulos
74
Actividad 17 Aplicando áreas en la vida cotidiana
78
Actividad 18 La medición geométrica
82
Actividad 19 Circulemos por los círculos
86
Actividad 20 Reconociendo longitudes
90
Actividad 21 Mediciones adecuadas
94
Actividad 22 Mediciones para convivir mejor
98
Actividad 23 ¿De cuántas formas?
102
Actividad 24 Juega, aprende y combina
106
Actividad 25 El conteo matemático no usa dedos
110
Actividad 26 Datos en tablas para calcular
114
Actividad 27 El azar en sociedad
118
Actividad 28 ¿Es o no probable?
122
Bibliografía
126
Enlaces web
127
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1. ¿Cómo resolver un problema? Todos los días resuelves problemas en tu casa, en el colegio, en tus juegos... ; pero muchas veces lo haces tanteando o por intuición. En esos casos, no usas un método que te permita decidir, justificar o explicar el porqué de tu decisión. La Matemática es mucho más que números, operaciones y fórmulas: es un método que te ayuda a razonar mejor, a resolver problemas y a tomar decisiones en muchas actividades de tu vida diaria. Esta ciencia te brinda un conjunto de valiosas herramientas que puedes usar, no solo en la solución de problemas matemáticos escolares, sino también en situaciones que enfrentas a diario. En este cuaderno conocerás métodos para entender y enfrentar con éxito los problemas y te ejercitarás en la búsqueda de un método propio para resolverlos. En la primera lección observarás cómo se resuelven algunos problemas utilizando un plan de cuatro fases. Estas son:
Me familiarizo y comprendo. De hecho, antes de ponerte a hacer cálculos o a escribir ecuaciones, debes leer y releer el problema hasta comprenderlo. Para ello, intenta representarlo, tal vez con un gráfico que te ayude a entender de qué trata la historia. Una buena forma es explicar a un compañero de qué trata el problema, quiénes son y qué hacen los personajes, qué es lo conocido y qué es lo desconocido. Debes tener muy claro qué es lo que te piden.
Luego de entender el problema, debes iniciar la búsqueda de las estrategias que te serán útiles para resolverlo: trazar un plan de acción, preguntarte si has visto un caso parecido antes o si conoces algún método que te ayude a solucionarlo, etc.
Busco estrategias y diseño un plan de solución.
Ejecuto mi plan y lo controlo paso a paso.
No.
¿Me acerco a la solución?
Sí. Después de que hayas elegido qué hacer, aplica la estrategia. Debes asegurarte de que cada paso esté bien hecho; de esta forma, te acercarás cada vez más a la solución. Si finalmente no obtienes la respuesta, tendrás que cambiar de plan y volver a la fase anterior para elaborar otro.
Reviso mi solución y veo si el método usado me va a servir en el futuro.
Encontrar la respuesta de un problema no significa haber terminado el trabajo: debes verificar que sea la correcta y que cumpla con todo lo solicitado. Asimismo, además de comprobar tu respuesta, debes reflexionar sobre lo que hiciste: de qué métodos te serviste, qué otros problemas puedes resolver con el método usado, hacer suposiciones, cambiar condiciones y datos. Recuerda: cada vez que resuelves problemas, tu capacidad para solucionarlos mejora. Sé consciente de ello y esfuérzate.
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Un ejemplo Veamos, mediante un ejemplo, cómo aplicamos este método a la solución de un problema no muy bien definido. Para construir un vitral ornamental, un vidriero necesita pedazos triangulares de vidrio. Él desea aprovechar una pieza rectangular defectuosa de ese material, que tiene diez burbujas de aire en su superficie. Sabe, además, que no hay tres burbujas alineadas entre sí y que ninguna burbuja se encuentra en los vértices del rectángulo ni sobre sus lados. Para evitar las burbujas de aire en su proyecto final, él decidió cortar los pedazos triangulares de un modo en el que los vértices coincidan con una burbuja de aire o con dos cantos del vidrio original. ¿Cuántos pedazos triangulares pudo cortar?
1) ¿De qué trata el problema?
1) ¿Es posible obtener la respuesta con 10 burbujas?
De un vidriero que va a construir un vitral ornamental para el que necesita piezas triangulares de vidrio. Él quiere aprovechar los defectos de una pieza de vidrio, que tiene 10 burbujas, para obtener de ahí los pedazos de triángulos.
Es complejo el trabajo con diez burbujas, por lo que sería conveniente hacer uso de un menor número de ellas.
2) ¿Qué forma tiene la pieza de vidrio? Tiene forma rectangular.
2) Entonces, ¿qué estrategias puedes seleccionar? Se pueden reconocer dos estrategias:
• Buscar un caso más simple relacionado con el problema. • Buscar un patrón de formación.
3) ¿Qué te solicita el problema? Identificar el número de piezas triangulares que se pueden obtener, respetando las condiciones del problema.
1) Ensaya el trazo de los triángulos en tres rectángulos, con una, dos y tres burbujas. ¿Cuántos triángulos se pueden formar?
4 triángulos
6 triángulos
8 triángulos
3) A partir de esta situación, organiza los datos obtenidos en una tabla: Número de burbujas
1
2
3
4
...
n
10
Número de triángulos
4
6
8
10
...
2n + 2
22
2) ¿Puedes percibir algún patrón formado con el número de burbujas?
4) Considerando los resultados de la tabla, ¿cuál es el patrón de formación?
Sí, observo que al agregar una burbuja se transforma un triángulo en tres nuevos triángulos, es decir, se crean dos triángulos más.
El patrón de formación es 2n + 2.
1) Explica los procedimientos que empleaste para solucionar el problema. Primero, realicé representaciones gráficas; luego, tracé formas triangulares; después, reconocí una regularidad a partir de ensayar con una, dos y tres burbujas; organicé la información en una tabla de datos, y, finalmente, reconocí la regularidad.
5) ¿Cuántos pedazos triangulares pudo cortar el vidriero? 22 pedazos triangulares.
2) ¿Qué tipo de organizador te ayudó a ordenar los datos? Un esquema tabular donde expresé el número de burbujas y el número de triángulos.
Cuaderno de trabajo
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Un ejemplo más Los hermanos Jorge, Alberto y Daniel Culqui tienen, en total, 66 ovejas. Cada uno es dueño de una parte del rebaño. Cuando Jorge y Alberto llevan sus ovejas a pastar, conducen 34 ovejas; cuando son Alberto y Daniel los que salen, llevan 45 ovejas, y cuando son Jorge y Daniel, 53. ¿Cuántas ovejas posee cada uno?
1) ¿Qué poseen los hermanos? Poseen ovejas 2) ¿Qué te dicen acerca de Jorge y Alberto? Que juntos tienen 34 ovejas. 3) ¿Qué te dicen acerca de Alberto y Daniel? Que juntos tienen 45 ovejas.
4) ¿Qué te dicen acerca de Jorge y Daniel? Que juntos tienen 53 ovejas. 5) ¿Qué debes averiguar? Cuántas ovejas tiene cada uno.
1) Es una situación en la que un todo se reparte entre tres personas. ¿Qué tipo de diagrama te conviene utilizar?
a) Diagrama de Venn b) Diagrama de tiras c ) Gráfico cartesiano
1) Completa el siguiente gráfico según corresponda.
Muestra cómo hacerlo:
66 ovejas Jorge
Alberto
Jorge
Alberto
Daniel
66 ovejas
Alberto
Daniel
Alberto
Daniel
Jorge
45 ovejas
34 ovejas
Jorge tiene 66- 45 = 21 ovejas. 66 ovejas
2) ¿Es posible utilizar este gráfico para saber cuántas ovejas tiene Daniel? Sí. Muestra cómo: Lo que tiene Daniel es 66-34 =32 ovejas.
3) ¿Puedes utilizar diagramas análogos para averiguar lo que tienen los otros dos hermanos? Sí.
Jorge
Daniel
Jorge
Daniel
Alberto
53 ovejas
Alberto tiene 66-53 = 13 ovejas.
1) ¿Cómo compruebas que tu respuesta es correcta? La suma es 66 ovejas (21 + 13 + 32 = 66). Entre Jorge y Alberto tienen 21 + 13 = 34 ovejas, entre Alberto y Daniel tienen 32 + 13 = 45 ovejas y entre Jorge y Daniel tienen 21 + 32 = 53 ovejas. Estos datos coinciden con los dados en el problema. 2) ¿Qué estrategia te sirvió para resolver el problema? Hacer un diagrama de tiras que representó la relación parte-todo. 3) ¿Es necesario saber que tenían en total 66 ovejas? Si no lo es, muestra cómo se puede resolver este problema sin ese dato. No es necesario, al ver el gráfico se concluye que sumando todo (34 + 45 Jorge Alberto + 53 = 112) se obtiene el doble del rebaño, pues cada pastor se cuenta Alberto Daniel dos veces. Entonces, lo que tienen en total será la mitad de 112. Con Jorge Daniel esta información, estamos como en el problema inicial ya resuelto. 10
34 45 53
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Para que resuelvas problemas... ¡no solo de Matemática!
• Lee el problema detenidamente. • Familiarízate con él, piérdele el miedo. • Identifica qué te piden, qué te dan. • Expresa la situación con tus propias palabras.
• Busca semejanzas con otros problemas que ya sabes resolver. • Empezar por lo fácil hace fácil lo difícil, ponte ejemplos particulares o usa números más pequeños. • Experimenta y busca regularidades, pautas, patrones. • Haz un diagrama o un esquema para visualizar la situación. • Organiza la información mediante una tabla, un diagrama de árbol, un diagrama de flujo, etc. • Escoge una buena notación. • Aprovecha la simetría si es posible. • Imagina que el problema está resuelto. • Ponte en el caso de que el problema no esté resuelto, ¿a dónde nos lleva esta afirmación? • Empieza por el final. • Piensa en métodos generales: usar un algoritmo, una tabla, un diagrama de flujo, una fórmula, pensar inductivamente, razonar lógicamente, plantear una ecuación, buscar casos críticos, etc.
• Pon en acción las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la etapa anterior. Una por una. En principio, no las mezcles. • Si no avanzas, no te rindas fácilmente. Pero tampoco te detengas en una sola idea. Si las cosas se complican demasiado, quizá haya otro camino. • ¿Salió? ¿Estás seguro? Observa detenidamente tu solución.
• Examina, paso a paso, el camino que has seguido. • Comprueba tu solución. ¿Es razonable? ¿Se ajusta al problema? • ¿Cómo has llegado a la solución? ¿O por qué no has llegado a la solución? • Identifica qué te dio la clave o qué te confundió. • Ahora mira, si se te ocurre hacerlo de un modo más simple. • Cambia los datos, las condiciones o el contexto. Vuelve a resolver estas nuevas situaciones. • Analiza si el método utilizado te puede servir en otras circunstancias. • Reflexiona sobre tus emociones y tu proceso de razonamiento, al solucionar el problema, y extrae conclusiones que puedan servirte frente a otros problemas en el futuro.
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2. Organizadores visuales frecuentes Aquí te presentamos algunos organizadores de información que se utilizan frecuentemente en el proceso de resolver problemas matemáticos.
Diagramas de tiras
Diagramas analógicos
Se utilizan mayormente cuando la cantidad que interviene en el problema varía en el tiempo o es dividida en partes que se relacionan entre sí.
Se suelen utilizar en problemas geométricos. Son dibujos que representan la realidad de manera similar, pero esquemática, sin considerar los elementos irrelevantes al problema. Mediante esta representación es posible visualizar las relaciones entre los datos y las incógnitas.
Ejemplo: La tercera parte de las entradas para el estreno de una película se vendió días antes de la función y el día del estreno se vendió 1/3 del resto. Finalmente, quedaron 48 entradas sin vender. ¿Cuál era el número total de entradas previsto para la función de estreno? Solución: Cantidad: Número total de entradas.
Ejemplo: Un hombre de 1,8 m de estatura camina hacia un edificio a razón de 1,5 m/s. Si hay una lámpara sobre el suelo a 15 m del edificio, ¿cuánto mide la sombra del hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 9 m de él? Solución: Hagamos un diagrama que represente la situación narrada.
Elabora un diagrama de tiras.
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Diagramas tabulares (tablas)
Diagramas conjuntistas
Se emplean cuando se brinda información sobre características que relacionan dos grupos. También en problemas sobre edades o de proporcionalidad, en los que hay que buscar algún patrón o regla de formación.
Se suele recurrir a estos cuando se trata de información acerca de dos o más grupos, cuyos elementos pueden pertenecer a más de un conjunto. También cuando se deben realizar clasificaciones. Los más conocidos son los diagramas de Venn y los de Carroll.
Ejemplo: Dos amigos tienen lápices, borradores y tajadores en sus cartucheras. Hay 8 borradores en total. Mónica tiene el doble de lápices que Felipe, quien tiene 5 tajadores más que lápices. Mónica tiene tantos tajadores como lápices tiene Felipe. Mónica tiene 18 útiles y no tiene borradores. ¿Cuántos lápices, tajadores y borradores tiene cada uno?
Ejemplo: De los 35 estudiantes de un aula, 23 usan lentes y 20 usan reloj. ¿Cuántos usan ambas cosas? Solución: Grupo 1: Estudiantes que usan lentes. Grupo 2: Estudiantes que usan reloj. U
Solución: Grupo 1: Mónica, Felipe. Grupo 2: Lápices, borradores, tajadores. Lápices
Borradores
Tajadores
TOTAL
Mónica
2x
0
x
18
Felipe
x
8
x+5
TOTAL
8
Diagramas de flujo Se emplean cuando una cantidad varía a lo largo de la historia o cuando tenemos la situación final de esta cantidad. También cuando se dan secuencias de pasos para encontrar objetos matemáticos, entre otras aplicaciones. Ejemplo: Un número se duplica, luego se le resta 8, después se invierten las cifras de este número. Finalmente, se divide por 6 y se obtiene 8. ¿Cuál era el número? Solución: Haremos un diagrama que indique las fases por las que pasó el número. x2
12
-8
Invertir
÷6
8
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Diagramas cartesianos
Diagramas de árbol
Son de gran utilidad cuando se requiere representar funciones o cuando tenemos pares ordenados o relaciones entre dos variables.
Se suelen utilizar en conteos de casos posibles o para hacer listas sistemáticas. Es la representación gráfica de los principios de adición y multiplicación.
Ejemplo: El crecimiento de un grupo de bacterias se da con el paso de los días de manera constante. Al inicio, había 3 bacterias; después de 8 días hay 20. ¿Cuántos días transcurrirán desde el inicio para que la colonia tenga 400 bacterias?
Ejemplo: Un productor de cumbia quiere armar un dúo mixto (varón y mujer). El productor puede elegir entre 3 cantantes mujeres y 2 cantantes varones. ¿Cuántos dúos mixtos diferentes puede formar?
Solución: Cantidad: Organizaremos los datos en un gráfico cartesiano. Pares ordenados: (0;3) (8;20)
José Rosa Raúl José Ana Raúl José Nancy Raúl
Diagramas lineales Se usan cuando se cuenta con información acerca de una característica de un solo grupo. Generalmente se emplean para ordenar los elementos del grupo con respecto a esa característica. Ejemplo: Si tanto Roberto como Alfredo están más alegres que Tomás, mientras que Alberto estás menos alegre que Roberto, pero más alegre que Alfredo, ¿quién está menos alegre? Solución: Grupo: Alfredo, Alberto, Roberto, Tomás. Característica: Alegría. Roberto
Alberto
Alfredo
Tomás
+
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Números en la realidad
Ejercitarse es bueno Javier Ariel desea competir en la bicicleteada de su barrio. Para ello, ha decidido entrenar diariamente. Sin embargo, manejar bicicleta no es algo sencillo. Para prevenir que el cansancio venza a las ganas de ejercitarse, piensa manejar el primer día una hora y durante los días sucesivos aumentará el tiempo de manejo diez minutos por cada día. Él trata de mantener una velocidad promedio constante de 6 m/s. D
L
M
M
J
V
S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Completa la tabla mostrada para organizar el tiempo que Javier le dedica a su entrenamiento. Día
Lunes 1
Martes 2
Miércoles 3
Jueves 4
Viernes 5
Sábado 6
Domingo 7
Tiempo de entrenamiento (min)
1) ¿Cuánto tiempo entrenó el fin de semana?
6) Reflexiona y responde. Siempre es bueno alternar actividades; por ello, Javier decidió trotar durante la mitad del tiempo de recorrido en bicicleta. ¿Cuánto tiempo ha destinado Javier a trotar durante la primera 2) Al término de una semana, ¿cuánto tiempo habrá entrenado? semana? 3) ¿Qué diferencia de tiempo hay entre el primer día y el segundo? 7) ¿Se ha realizado correctamente el cálculo de los tiempos realizados por Javier? Justifica. 5) Si la rutina de Javier fue durante un mes, ¿cuál es la diferencia de tiempo que hay entre el primer viernes y el último viernes 8) ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre el 15 y 27 del referido de entrenamiento? mes? 4) ¿Entre el quinto día y el tercero?
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Joel Mercado al mercado A Joel Mercado le encanta hacer las compras semanales para su casa. Desde los 11 años, es él quien decide dónde comprar los artículos. Es el orgullo de sus padres. Joel es una persona muy curiosa, lee todos los folletos de oferta, los pesos netos, analiza los recipientes, etc. Por eso, en los dos mercados de su localidad, ha indagado los precios de artículos que consume siempre, con lo que tiene una base objetiva para decidir en qué lugar puede comprar cada uno de ellos. Él ha creado una tabla con la diferencia de precios de los artículos que necesita.
Artículo
En el mercado 1 es
que en el mercado 2
Botella de aceite
60 céntimos más barato
Bolsa de galletas
72 céntimos más caro
Lechuga
9 céntimos más barato
Kilo de tomate
3 céntimos más caro
Kilo de arroz
23 céntimos más barato
¿En qué mercado es más barato en relación con los productos que compra? ¿Cuánto dinero se ahorrará?
1) ¿De quién te hablan en el problema?
4) ¿Será necesario separar lo barato de lo caro?
2) ¿De qué forma ayuda Joel a sus padres? 3) ¿Qué implica decir: más barato o más caro?
5) ¿Qué te piden averiguar?
1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema?
b) Hacer una tabla con lo más caro y lo más barato.
a) Tantear los precios de los productos.
1) Decir que el mercado 1 es más barato que el mercado 2 implica que el precio de un producto en el mercado 1 es menor que el precio del mismo producto en el mercado 2. Entonces, esta diferencia podemos representarla con signo negativo. De manera contraria, si el precio del mercado 1 es mayor que el precio del mercado 2, la diferencia es positiva. Con esta consideración desarrolla la estrategia propuesta, indicando la diferencia en céntimos de los productos que son más baratos o más caros en el mercado 1:
c) Suponer valores de productos y compararlos.
Artículo
En el mercado 1 es
que en el mercado 2
Botella de aceite Bolsa de galletas Lechuga Kilo de tomate Kilo de arroz Total
Para conocer la diferencia, suma ambas cantidades y completa. El mercado más barato es: , ya que se ahorrarán céntimos.
1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver el problema.
3) Agrega tres productos más (ponles un precio aproximado, de acuerdo con tu experiencia), de tal manera que ambos mercados sean igual de convenientes. 4) Plantea otra estrategia que te permita resolver el problema. 2) ¿Crees que es útil organizar los datos con la estrategia empleada antes de hacer las compras? Cuaderno de trabajo
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¡Todos a la banda! La banda de la IE Alfonso Ugarte de Tacna se prepara para el desfile escolar. En los últimos años, el maestro director de la banda ordena a los muchachos en filas de cuatro. La banda es tan conocida y ha ganado tantos concursos que la mayoría de estudiantes quiere pertenecer a ella. Por eso, el número de estudiantes ha aumentado este año. El director se da cuenta de que esta vez no podrán marchar en filas de cuatro, ya que la última no se completa. Tampoco pueden hacerlo en filas de tres, ya que, al agruparlos de ese modo, hay tres filas más que cuando se les agrupa de cuatro en cuatro (sin considerar la que no está completa). Y si marcharan en filas de dos, la última tampoco se completaría; con el agregado de que habría ocho filas más que si marchasen en filas de cuatro. ¿Cuántos miembros componen la banda?
1) ¿De qué trata el problema?
3) ¿En filas de cuántos estudiantes se disponen los integrantes? ¿Por qué no pueden agruparse de ese modo este año? 2) ¿Qué datos te dan? 4) ¿Qué desea hacer el maestro director de la banda?
1) Sabemos que cada fila está conformada por 4 estudiantes. Según el problema, con los nuevos estudiantes hay dificultades para formar filas de 2, 3 y 4. ¿Qué estrategia te podría ayudar a resolver este problema? a) Hacer una tabla y buscar datos que coincidan entre múltiplos de 2, 3 y 4. b) Hacer dibujos que representen la distribución de las filas. c) Buscar un patrón común entre ellos.
1) ¿Los miembros de la banda son un número impar? 2) ¿Los miembros de la banda son un múltiplo de 3?
Estudiantes En fila de 2 sobrando 1
En fila de 3
En fila de 4 sobrando 1o3
3) Al ir en filas de 2, ¿cuántas filas más habrá que si hubieran ido en filas de cuatro? 4) Completa el cuadro de la derecha e identifica: ¿cuál es el ordenamiento que cumple con la condición del problema? 5) ¿Cuántos miembros hay en la banda?
1) ¿Qué estrategia te permitió resolver el problema? Descríbela. 2) ¿En qué situación has tenido dificultades y cómo las superaste? 16
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La ganancia del día En una feria de productos hechos a mano, un artesano vende aretes y pulseras en material de alpaca. El par de aretes lo vende en S/.10 y las pulseras, a S/.30 cada una. También tiene una oferta especial: vende un juego de un par de aretes y una pulsera en S/.20.
“Oferta especial“
Un sábado el artesano vendió 72 pulseras, algunas en juegos y otras sueltas, y 80 pares de aretes, algunos en los juegos y otros sueltos. Al revisar detalladamente las ventas del día, resultó que había vendido 52 juegos, que se habían pagado, según lo ofrecido, como oferta especial. Por otro lado, el artesano compra cada paquete de 25 metros de material a S/.100. Si por cada arete invierte aproximadamente 20 cm y por una pulsera, 80 cm, ¿cuál es el porcentaje de ganancia respecto al costo del material invertido en las ventas de ese día? Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y resuelvan el problema: 1) ¿En qué consiste la oferta especial? 5) ¿Cuántos paquetes del material compró el artesano? ¿Cuánto gastó en total en el material? 2) ¿Cuánto ahorra un comprador si adquiere un juego de la oferta especial? 3) Completen la siguiente tabla referida a los artículos vendidos: 6) Completen el cuadro para hallar la ganancia obtenida: Artículo
Cantidad
Precio (S/.) Ingreso (S/.)
Par de aretes
Total ventas (S/.)
Costo del material (S/.)
Ganancia (S/.)
Pulsera Juego de aretes y pulsera (en oferta)
7) ¿Cuál es el porcentaje de ganancia respecto al costo del material invertido en las ventas de ese día?
Venta total del día
4) En la tabla mostrada registren la información solicitada para definir la cantidad de material empleado en la elaboración de los artículos vendidos: Artículo
Cantidad
Cantidad de material empleado (m)
Par de aretes Pulsera Juego de aretes y pulsera (en oferta)
Costo del material Ganancia
Total de material empleado
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran números naturales, enteros, racionales y los he relacionado con las operaciones básicas. Ello me sirve para conocer el comportamiento de cantidades en situaciones cotidianas y, de este modo, tomar decisiones acertadas. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He participado de forma significativa.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
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La cotidianidad de los cálculos
Un paseo bien pensado Jenny y su familia están planeando una visita a sus tíos que viven en una población rural a 395 km de distancia. Para llegar a su destino, ellos tienen dos opciones. Opción A: Viajar en la camioneta familiar que usa gasolina de 90 octanos. Este vehículo puede alcanzar una velocidad promedio de 70 km/h, su rendimiento (es decir, los kilómetros que puede recorrer por cada galón de gasolina consumido) es de 40 km/galón y el costo actual del galón de gasolina de 90 octanos es de S/.11,50.
PASAJE S/. 21,50
Opción B: Viajar en un autobús de la empresa Star Tours. La velocidad promedio permitida es de 50 km/h y el pasaje cuesta S/.21,50 por persona. es
1) Haz una estimación de cuántos litros necesita la camioneta para recorrer 100 km. (1 galón = 3,786 litros) 2) ¿Cuántos galones necesitará la camioneta para recorrer 400 km? 3) ¿Cuántos galones empleará la camioneta familiar para su recorrido? 4) ¿Cuánto costará el viaje si solo se traslada una persona en camioneta o en autobús? 5) ¿Y si van dos? ¿Hasta cuántas personas conviene más una opción que otra? 6) Haz una estimación del tiempo que se requiere para realizar el viaje en camioneta y en autobús. 7) Reflexiona y responde. ¿Qué factores deben tomarse en cuenta para elegir una opción?
8) ¿Cuál es la mejor opción si lo que quieren es llegar lo más rápido posible? 9) ¿Cuál es la opción más barata? 10) ¿Cuál es la mejor decisión si solo Jenny va con sus padres? ¿Y si van el padre, la madre y los dos hijos? 18
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El mejor alquiler Un empresario desea alquilar los terrenos agrícolas del señor Pérez. Para ello, él ha propuesto dos sistemas de pago del alquiler. a) USD 4000 por el primer año de alquiler y un aumento de USD 800 por cada año subsiguiente. b) USD 2000 por los primeros seis meses y un aumento de USD 200 cada seis meses subsiguientes. Ayuda al señor Pérez a decidir, ¿cuál crees que es la mejor opción? Explica por qué.
1) ¿Acerca de qué tienes que decidir?
3) Explica cómo es el pago en la opción b). Da un ejemplo de los tres primeros pagos.
4) A simple vista, ¿cuál de los dos sistemas te parece mejor? 2) Explica cómo es el pago en la opción a). Da un ejemplo de los tres primeros pagos.
1) Una tabla es una buena forma de organizar los datos para cada opción. Explica por qué esto es así. 2) ¿Qué información debe mostrar la tabla para tomar decisiones?
1) Llena las tablas mostradas: Opción A
Año 1
Año 2
Año 3
Año 4
Año 5
Año 6
Año 7
Año 8
Año 9
Año 10
Alquiler USD
Opción B Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Año 6 Año 7 Año 8 Año 9 Año 10 Alquiler USD
2) ¿Cuál de las opciones es la mejor?
1) Explica los procedimientos que empleaste para solucionar el problema. 2) ¿Qué tipo de organizador te ayudó a ordenar los datos?
3) ¿Qué opción le convendría al empresario? ¿Por qué?
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Juntos pero no revueltos La señora López está tratando de pesar a su bebé, a su perro y a ella en una balanza pública. No puede pesar al perro solo porque no quiere subir a la balanza, por lo que primero se pesa ella sola, luego pesa a su bebé, después pesa al perro y a su bebé. Finalmente, se pesan los tres juntos. Si ella pesa 30 kg más que el peso combinado del perro y su bebé, el perro pesa 2/5 del peso del bebé y los tres juntos pesan 72 kg, ¿cuál es el peso de su perro?
1) ¿Qué trata de hacer la señora López?
3) ¿Cuántos son los que se están pesando?
2) ¿En qué tipo de balanza se está pesando?
4) ¿Qué tienes que averiguar?
1) ¿De qué característica común de los personajes se habla en la historia?
3) ¿Qué estrategia vas a desarrollar?
2) ¿Es posible relacionar a los personajes mediante esa característica?
1) ¿Cuál es la relación entre el peso del bebé y el del perro?
3) ¿Entre los tres, cuántos kilos pesan?
Si esta tira representa el peso del bebé, pinta de color los bloques que representen el peso del perro:
4) Dibuja la tira que represente a los tres:
2) Dibuja la tira que represente el peso de la señora López: 5) ¿Cuál es el peso del perro?
1) ¿Qué estrategia fue útil para resolver este problema?
3) Redacta al menos dos problemas que tengan similares características al planteado.
2) Resuelve el problema mediante ensayo y error (tanteando). Trata de utilizar el menor número de tanteos.
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Sistemas de préstamo de libros* La biblioteca de la IE Miguel Grau tiene un sistema simple de préstamo de libros: para el personal interno, el periodo de préstamo es de 28 días; para los estudiantes, el periodo de préstamo es de 7 días. El esquema que se presenta es un diagrama de flujo que muestra este sistema simple. La biblioteca de la IE Julio C. Tello tiene un sistema de préstamo similar, aunque más complejo: • Las publicaciones clasificadas como reservadas tienen un periodo de préstamo de 2 días. • El periodo de préstamo para los libros (no las revistas) que no estén en la lista reservada es de 28 días para el personal interno y de 14 días para los estudiantes. • El periodo de préstamo de las revistas no incluidas en la lista reservada es, para todos, de 7 días. • Las personas con documentos que hayan sobrepasado la fecha de devolución no pueden recibir ningún nuevo préstamo.
Inicio
¿El usuario forma parte del personal interno?
Sí
El periodo de préstamo es de 28 dias.
No El periodo de préstamo es de 7 dias.
Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades:
Inicio
1) Si fueran estudiantes de la IE Julio C. Tello, no tienen ningún documento que sobrepase la fecha de devolución y quieren pedir prestado un libro que no está en la lista de los libros reservados, ¿durante cuánto tiempo pueden tomar prestado el libro? 2) Dibujen un diagrama de flujo para el sistema de préstamo bibliotecario de la IE Julio C. Tello, de modo que sirva para diseñar un sistema automatizado de comprobación para manejar el préstamo de libros y revistas en la biblioteca. El sistema de comprobación que diseñen deberá ser lo más eficiente posible (es decir, deberá tener el menor número posible de pasos de comprobación). Tengan en cuenta que cada paso de comprobación debe tener solo dos resultados, que deben estar adecuadamente etiquetados (por ejemplo, Sí y No).
*Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE). PISA 2003: Pruebas de Matemáticas y de Solución de problemas. Página 68.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números naturales y sus operaciones, que son útiles en actividades comerciales, al estimar, medir y organizar cantidades. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
Realicé aportes muy relevantes.
He colaborado de forma significativa.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
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Porcentaje y proporcionalidad
Rebajas sobre rebajas La tienda de ropa “El buen vestir”, durante cierto mes del año, ofrece cualquier prenda de su sección caballeros con el 20 % de descuento sobre el precio que marque la etiqueta. Pero si se trata de un día de fin de semana (sábado o domingo), las ofrece con un descuento adicional de 20 % sobre el precio ya rebajado. Producto
Precio del producto con IGV (S/.)
Pantalón de casimir
200
Pantalón de cardif
160
Camisa de lino-algodón entretejido
120
Camisa de algodón-poliéster entretejido
80
Corbata gruesa
60
Corbata delgada
40
Terno
450
Saco
300
1) Si no es fin de semana, ¿la tienda ofrece algún descuento? 2) Si es lunes, ¿cuánto se pagará por un pantalón de casimir?
Descuento 20 % + 20 %
6) Se tiene S/.400 y se desea comprar una camisa, un pantalón y un saco cuyos precios de etiqueta son S/.60, S/.150 y S/.300, respectivamente. Si se hace la compra un fin de semana, ¿le alcanzará para pagar todo? Completa la tabla adjunta.
3) Si es fin de semana, ¿qué descuentos corresponde aplicar a la corbata gruesa?
Prenda Camisa
Pantalón
Saco
Precio de etiqueta (S/.)
Rebaja (S/.)
Rebaja sobre rebaja (S/.)
60
12
20% de ( 60-12 )
Valor final (S/.)
150 300
4) Calcula, ¿cuánto se pagará por un pantalón de casimir, una camisa de algodón-poliéster entretejido y una corbata gruesa en un fin de semana?
5) Reflexiona y responde. El total a pagar por un producto que incluye el Impuesto General a las Ventas (IGV) es: el precio del producto más 19 % del precio. ¿Cuánto se estará pagando respecto al precio del producto? Presenta un ejemplo.
7) ¿Cuánto es el valor del IGV por las compras realizadas?
8) ¿Cuál es el descuento porcentual total los fines de semana? 22
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Trabajo colaborativo Julio y sus dos hermanos están planeando la cosecha del algodón que han sembrado en su pequeño campo. Por experiencias anteriores, ellos saben que cada uno tiene diferente ritmo de trabajo. Mientras que Julio demora 12 días en cosechar el sembrío, su hermano Andrés lo hace en 18 días y el tercero, Miguel, en 15 días. ¿Si cosechan juntos el sembrío, cuántos días demorarán?
1) ¿De quiénes te hablan en la historia?
3) Estima cuánto tiempo demorarán si hacen juntos el trabajo. ¿Será más o menos de 12 días?
4) ¿Qué debes averiguar? 2) ¿Cuánto tiempo le toma a cada uno hacer el trabajo?
1) ¿Por qué se dice que tienen diferente ritmo de trabajo?
1) ¿Qué parte del sembrío cosecha cada uno por separado en un día? 2) ¿Cuánto cosecharán juntos en un día? 2) Completa según corresponda: Hay que calcular el aporte de cada trabajador y luego sumarlo para tener el aporte diario de los 3) Si el resultado representa una parte de todo el trabajo de un trabajadores. día, ¿cuántos días demorarán en cosechar el sembrío?
1) ¿Cuál fue la estrategia que te sirvió para resolver este problema? 2) Elabora tres tiras. Si la tira representa el campo, grafica en cada una de ellas el aporte diario de cada trabajador.
3) ¿Cómo puedes usar las tiras para resolver el problema? 4) Explica en qué se parece este problema al siguiente: Un tanque de agua se vacía en 2 horas si se abre solo un grifo. ¿En cuánto tiempo se vaciará el tanque si se abren los dos grifos a la vez? 5) En el caso inicial, si el tercer trabajador, Miguel, deja el trabajo a los dos días, ¿cuánto demorarán los otros dos en terminar la cosecha? Cuaderno de trabajo
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Costos de impresión El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de páginas e inversamente proporcional al número de ejemplares que se imprimen. Imprimir 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas cuesta S/.6,00 por ejemplar. ¿Cuánto costará imprimir un ejemplar cuyo tiraje será de 2700 libros de 360 páginas?
1) ¿Qué significa que una magnitud A sea directamente proporcional a otra B?
3) ¿Qué te piden averiguar?
2) ¿Qué significa que una magnitud C sea inversamente proporcional a otra D?
1) ¿Qué magnitudes intervienen en el problema?
3) También hay que definir las variables. Completa el nombre de las variables elegidas. C: costo de ejemplar n: número de t: número de a imprimir (tiraje) 2) ¿Qué tipo de relación hay que establecer entre las magnitudes?
1) Escribe la relación de proporcionalidad entre C y n
4) A partir de la interrogante anterior, ¿cómo vas a usar el dato “Imprimir 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas cuesta S/.6 por ejemplar”? 2) Escribe la relación de proporcionalidad entre C y t. 3) Escribe la relación de proporcionalidad conjunta entre C, n y t.
1) ¿Qué estrategia te ayudó a resolver el problema?
5) ¿Cuánto costará imprimir 2700 libros de 360 páginas?
F
F P=A A 2) Explica con palabras las relaciones de proporcionalidad entre 2 2 la presión P (kg/cm ), la fuerza F (kg) y el área A (cm ), en esta fórmula: 24
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El juego de manejar bien Los accidentes de tránsito son un problema constante en nuestro país. Hay muchos conductores a quienes se les debería quitar la licencia de conducir, pues han acumulado un número considerable de papeletas. Sin embargo, las autoridades no cuantifican las faltas de los conductores y estos vuelven a infringir la norma. En otros países, se han elaborado sistemas para hacerlo. En España, el 1 de julio de 2006, entró en vigor el permiso de conducir por puntos. Este sistema se basa en que cada conductor parte con una serie de puntos (12 si es un conductor con más de 3 años de experiencia y 8 si tiene menos de 3 años de conducción o ya ha perdido todos los puntos alguna vez) y los va perdiendo cada vez que cometa una infracción.
Límite de velocidad 40 km/h
Una de las faltas más usuales es el exceso de velocidad. Este es un resumen de los puntos que puede perder un conductor según el tipo de infracción. Puntos
Motivo de la sanción
6
Superar en 50 % o más el límite de velocidad si eso supone superarlo al menos en 30 km/h.
4
Exceder los límites en más de 40 km/h si ello no supone un exceso del 50 %.
3
Exceder los límites en más de 30 km/h (pero no más de 40 km/h) si ello no supone un exceso del 50 %.
2
Circular entre 20 km/h y 30 km/h por encima del límite.
1) Teniendo en cuenta esta información, ¿cuáles serían las sanciones en las situaciones que se muestran en la tabla? Límite de velocidad (km/h)
Velocidad de conducción (km/h)
90
120
120
180
100
140
50
95
Puntos a restar
2) Solo en el primer fin de semana de entrada en vigor del permiso por puntos, se tramitaron 4895 infracciones graves o muy graves en carretera. De ellas, el 28,87 % fueron por exceder los límites a más de 40 km/h, sin suponer un exceso del 50 % del límite de velocidad. ¿Cuántos conductores fueron sancionados por este tipo de infracción? 3) De los 4895 primeros sancionados, el 88,3 % eran hombres. Está claro que, al menos en ese primer fin de semana, los hombres cometieron más infracciones. Sin embargo, en España, los conductores de sexo masculino suponen solo un 62 % del total. Si consideramos que el 100 % de conductores han sido sancionados, ¿cuántas de las personas que perdieron puntos ese primer fin de semana hubiera sido esperable que fueran hombres? ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con porcentajes y proporcionalidad. Estos números y sus propiedades son útiles en actividades comerciales, como repartir ganancias, medir tiempos de trabajo, hacer presupuestos, entre otras. Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de participación.
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Números que modelan el mundo
Tiempo de reacción* En una carrera de alta velocidad, el tiempo de reacción es el intervalo de tiempo que transcurre entre el disparo de partida y el instante que el atleta abandona el bloque de salida. El tiempo final incluye tanto el tiempo de reacción como el tiempo de la carrera.
Carril
La siguiente tabla presenta el tiempo de reacción y el tiempo final de 8 corredores en una carrera de 100 metros planos.
Tiempo de reacción en Tiempo final en segundos segundos (s) (s)
1
0,147
10,09
2
0,136
9,99
3
0,197
9,87
4
0,180
No terminó la carrera
5
0,210
10,17
6
0,216
10,04
7
0,174
10,08
8
0,193
10,13
Aproximando tiempo final a cifra decimal
1) Identifica a los ganadores de las medallas de oro, plata y bronce de esta carrera. En la tabla, llena el número de carril, el tiempo de reacción y el tiempo final de los medallistas. Medalla
Carril
Tiempo de reacción en segundos (s)
Tiempo final en segundos (s)
Oro Plata Bronce 2) Identifica a los que llegaron en el sexto, séptimo y octavo lugar en esta carrera. En la tabla, llena el número de carril, el tiempo de reacción y el tiempo final de estos corredores. Lugar
Carril
Tiempo de reacción en segundos (s)
Tiempo final en segundos (s)
Sexto Séptimo Octavo 3) Completa, en la tabla inicial, la columna que indica “Aproximando tiempo final a cifra decimal”. 4) Reflexiona y responde. Luego de aproximar a una cifra decimal cada tiempo final, se reconoce que algunos tienen el mismo tiempo. Con estos datos, ¿cómo podrías , en el siguiente cuadro, plantear un orden de llegada? Orden
Carril
Diferencia entre tiempo final y tiempo de reacción
1 2 3 4 5 6 7 *OCDE. Marcos teóricos de PISA 2003. Conocimientos y destrezas en Matemáticas, Lectura, Ciencias y Solución de problemas. Página 70.
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De botes y rebotes Una pequeña bola de silicona es lanzada desde lo alto de un edificio de 5,8 m de altura. La bola cae en la acera y empieza a botar. En cada rebote, la bola alcanza solo las 2/5 partes de la altura anterior. ¿Cuánto habrá recorrido la bola hasta llegar al piso por cuarta vez?
1) ¿Desde qué altura lanzan la bola? 2) Un estudiante señala que, en cada bote, la bola sube las 2/5 partes de 5,8 m. ¿Estás de acuerdo con esta afirmación? ¿Por qué?
1) ¿Cómo se relaciona la altura inicial con la altura en el segundo bote? 2) ¿La relación anterior se mantiene para cada rebote?
1) Haz el diagrama propuesto para resolver la situación:
3) ¿Qué significa que “En cada rebote, la bola alcanza solo las 2/5 partes de la altura anterior”? 4) ¿Qué te piden en el problema?
3) Es una situación que cambia con el tiempo, ¿cuál de los siguientes diagramas utilizarías para ver la relación entre los datos y la incógnita? a) Un diagrama de flujo b) Un diagrama de árbol c) Un diagrama análogo a la situación
3) Realiza este cálculo y el registro para el segundo y tercer rebote. 4) ¿Cuándo termina el proceso de calcular y registrar en el diagrama para este problema? Explica por qué.
2) Calcula la altura en el primer rebote y colócala en el diagrama.
1) ¿Cuál fue la estrategia que más te sirvió para resolver este problema? 2) ¿Cuánto habrá recorrido la bola entre el primer y segundo rebote?
5) ¿Cuál es el recorrido de la bola según el problema? (Suma las longitudes recorridas por la bola, tanto en su ascenso como en su descenso).
3) ¿Es posible plantear una relación entre el número de rebotes y la altura que alcanza la bola? . Si es así, trata de hallarla. Cuaderno de trabajo
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Uno gratis ya llegó Para incrementar las ventas de su negocio, Raúl Huapaya, dueño del minimercado La Yapa, cada día saca promociones del tipo “uno gratis”. La de hoy se muestra en el aviso. Si cada bebida cuesta S/.5 y cada caja de jugo cuesta S/.3, ¿cuánto se gasta si se debe comprar solo una docena de bebidas y una docena de cajas de jugo?
1) ¿Por qué a estas promociones se les llama “uno gratis”?
4) ¿En qué consiste la oferta? 5) ¿Qué te solicita el problema? 2) ¿Cuánto cuesta cada bebida? 3) ¿Cuánto cuesta cada jugo?
1) Completa como corresponda: Al comprar
bebidas, solo pagas
Al comprar
cajas de jugo, solo pagas
4) Si llevas 8 cajas de jugo, ¿cuántas pagarás? bebidas. cajas de jugo.
2) Si llevas 12 bebidas, ¿cuántas pagarás? 3) Si llevas 10 cajas de jugo, ¿cuántas pagarás?
5) ¿Crees que es una buena estrategia ir a comprar dos veces: la primera, tres bebidas y la segunda, cuatro bebidas? 6) ¿Cómo aprovecharías al máximo la promoción?
1) En la compra de bebidas, ¿cuántas debemos agrupar?
3) ¿Cuánto se pagará por 12 bebidas?
2) En la compra de cajas de jugo, ¿cuántas debemos agrupar?
4) ¿Cuánto se pagará por 12 cajas de jugo?
5) ¿Cuánto se pagará en total?
1) Revisa el proceso seguido. ¿Qué estrategia te fue más útil para 3) Si se aprovecha la promoción, ¿a cuánto sale realmente cada resolver el problema? bebida? 2) ¿Es conveniente salir a comprar un número fijo de productos, 4) ¿Cuánto es el ahorro porcentual por cada bebida? antes de ver las ofertas? Explica. 28
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El mejor empaque Jorge y Luis fabrican rompecabezas de la piedra de los doce ángulos. Ellos colocan las piezas en cajitas cúbicas de 1 pie de arista. Desde Lima, les han hecho un pedido de rompecabezas para varias tiendas del centro de la ciudad. Ellos deben decidir qué cajas comprar para hacer el envío a Lima. El proveedor solo ofrece cuatro tamaños de paquetes: small, medium, large y extra large. ¿Cómo deberían Jorge y Luis empaquetar 200 rompecabezas, de tal forma que les permita ahorrar costos? Paquete
Small
Medium
Large
Extra large
Capacidad (pies cúbicos)
1
8
27
64
S/. 0,10
S/. 0,25
S/. 0,50
S/. 1,75
Costo por caja Otros factores:
• Al menos dos cajas extra large deben ser utilizadas. • Las cajas restantes deben utilizarse al menos una vez. • No más de cuatro cajas de un tamaño deben ser usadas. Con tus compañeros, ayuden a Jorge y a Luis a encontrar la respuesta: 1) ¿Qué capacidad tiene la cajita del rompecabezas? 2) ¿Por qué creen que se prefieren estas medidas (pie, pie cúbico) a las que usamos en otras actividades cotidianas? 3) ¿Qué significa pie cúbico?
4) Desarrollen el procedimiento para hallar su respuesta.
5) ¿Cuántas cajas son usadas para empaquetar? a) 12 cajas
b) 10 cajas
c) 16 cajas
d) 8 cajas
6) ¿Cuál es el costo de las cajas que deberán ser utilizadas según el tamaño del paquete? Small:
Medium:
Large:
Extra large:
7) ¿Qué otros factores se deben tomar en cuenta al momento de ver el transporte y el costo? 8) ¿Cómo podrán Jorge y Luis empaquetar sus productos si consideran contar con un mayor número de cajas? ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números racionales y sus operaciones. Estos números y sus propiedades son útiles en actividades comerciales, como repartir ganancias, medir tiempos de trabajo, hacer presupuestos, entre otras. Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?
Muy interesantes.
Interesantes.
Poco interesantes.
Nada interesantes.
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Cantidades por todas partes
Armando la fiesta La empresa Óptimus, líder en la producción y comercialización de materiales de construcción, decide organizar una fiesta por sus 50 años de creación. Debido al éxito en el mercado, el equipo directivo considera invitar a sus cuatro principales sucursales, ubicadas en Chiclayo, Huancayo, Tarapoto e Ica. Estas, a su vez, podrán invitar a otras sucursales provinciales de su región. Para ello, se ha previsto hacer extensiva la comunicación en 6 días.
Sede central
Sucursal Chiclayo
Sucursal Huancayo
1) Completa la tabla:
Sucursal Tarapoto
Sucursal Ica
3) Al término de 5 días, ¿cuántas sucursales conocerán sobre la fiesta?
Día
Cantidad de invitados
1
4
2
16
4) ¿Cuántas sucursales conocerán ya sobre la fiesta al sexto día?
3
4
5) Reflexiona y responde, ¿cuál es el conocimiento matemático que te ha permitido dar solución a los problemas?
5 6
2) En el segundo día se habrá invitado a
sucursales.
6) Si para la remisión de las invitaciones la empresa contrata al servicio postal “La tortuga”, cuyo costo por unidad es de S/.5, ¿cuál será el monto de la inversión de la empresa para el envío?
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Matemática celular Es bien conocido que la célula se reproduce por bipartición, es decir, que se divide en dos células hijas. Luego de determinado tiempo, una célula ya se ha dividido por quinta vez. ¿Cuántas células se producen en esta quinta división? ¿Luego de cuántas divisiones se obtienen 126 células? ¿Cuántas células habrá, en total, al término de 40 divisiones?
1) ¿Qué información te da el texto?
4) Luego de la primera división, ¿cuántas células hay?
2) ¿En cuántas partes se divide cada célula?
5) ¿Qué te pide averiguar el problema?
3) ¿Cuál es la característica de cada una de las células que se dividen?
1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema?
a) Realizar el conteo.
b) Buscar un patrón.
1) Haz lo que mencionaste anteriormente para resolver el problema:
c) Hacer un diagrama de árbol.
2) Completa la tabla con información sobre las células que se producen en cada división y el total de ellas. División 1.
Cantidad de células
Total
a
2.a 3.a 4.a 5.a
3) A partir de la tabla, generaliza el patrón para hallar el total de células para n divisiones. 4) ¿Después de cuántas divisiones se obtienen 126 células? 5) ¿Cuántas células habrá en total después de 40 divisiones?
1) ¿Necesitaste dividir para conocer la respuesta al problema?
2) Explica qué estrategia utilizaste para resolver el problema.
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De cuadrados y vueltas En la IE Antonio Raymondi, se ha comprado un terreno de forma cuadrada para que sus estudiantes realicen actividades recreativas y deportivas allí. El área de dicho terreno es de 7225 m2. Los estudiantes, muy entusiasmados, van a su primera clase de Educación Física y su profesor les indica que deberán correr alrededor de la cancha. Dependiendo del esfuerzo físico que hagan, se divide la carrera en categorías: media vuelta, una vuelta, dos vueltas. ¿Cuántos metros deberán correr los estudiantes por cada una de las categorías?
1) ¿De quiénes te hablan en el problema?
4) ¿Es necesario calcular algún dato importante?
5) ¿Cuántas categorías se reconocen en la carrera? 2) ¿Qué forma tiene el terreno? ¿Cuál es su área? 6) ¿Qué te piden hallar? 3) ¿Cuántas categorías para la carrera hay?
1) ¿Con el dato de que el terreno es cuadrado, es posible saber sus dimensiones?
2) ¿Cuál consideras que es una estrategia para resolver el problema?
a) Realizar un gráfico considerando distancias. b) Representar en un gráfico que incluya la longitud del terterreno. c) Hacer una tabla.
1) Representa, a continuación, la estrategia que seleccionaste anteriormente:
2) ¿Se conoce la medida del área del terreno?
¿Cuál es?
3) ¿Cuánto mide uno de los lados de la cancha? 4) ¿Cuántos metros deberá correr un estudiante en cada una de las categorías?
El terreno es de forma cuadrada, es decir, sus cuatro lados tienen la misma medida.
Primera categoría: Segunda categoría: Tercera categoría:
1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver el problema.
2) ¿Qué habría pasado si la cancha hubiera tenido forma circular? Muestra tus resultados. 32
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Propagación de rumores Resulta sorprendente cómo se difunde un rumor entre las personas. Alguien inicia un chisme sobre algún político, artista, o sobre la escasez de determinado producto, y rápidamente está en boca de casi todos los pobladores. Aunque parezca sorprendente, el hecho no entraña ninguna sorpresa. Efectuando algunos cálculos podremos observar lo que ocurre. Analicemos el siguiente caso hipotético: A las 8 de la mañana, arribó a una ciudad de 9000 habitantes un ciudadano capitalino, quien trajo una noticia de interés general. En el hostal donde se alojó, comunicó la noticia a tres pobladores. Convengamos en que ha transcurrido un cuarto de hora, es decir, a las 8:15 conocen la noticia: el capitalino y tres personas más. Cada uno de los tres pobladores se apresuró a comunicarla a tres vecinos más que desconocen la noticia, y así continuaron, sucesivamente. Hagamos un esquema gráfico para analizar la evolución del rumor en la primera hora, después de que el forastero llegó al pueblo. 1) Completen el gráfico: Hora
Cantidad de personas que conocen la noticia
8:00 a. m. 8:15 a. m. 8:30 a. m. 8:45 a. m. 2) Organicen los datos en una tabla:
3) Después de 1 hora, ¿cuántas personas se han enterado?
Hora
N.° de personas
8:00 a. m.
1
4) ¿Entre qué intervalo de tiempo, aproximadamente, se enterarán de la noticia todos los habitantes de la ciudad?
8:15 a. m.
4
8:30 a. m.
13
5) Encuentren un modelo que permita conocer el número de habitantes que se enteran de la noticia en un intervalo de tiempo, considerando las características del problema.
8:45 a. m. 9:00 a. m.
Para un intervalo de tiempo cualquiera, el número de personas sería:
9:15 a. m. 9:30 a. m.
6) Investiguen la población de una ciudad de su región. Siguiendo la pauta del problema presentado, encuentren el tiempo requerido para difundir un rumor a toda la población de la ciudad.
9:45 a. m. 10:00 a. m.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran cálculos de potenciación y radicación en expresiones con números. Ellas se emplean en diversas situaciones donde una constante se repite una cantidad determinada de veces, en casos de producción o crecimiento, por ejemplo. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He participado de forma significativa.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
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No basta multiplicar y dividir
Lluvia de televisores Dentro de diez años será el apagón mundial, los televisores que tenemos hoy en día ya no servirán, salvo que tengan incorporado el nuevo sistema HD. Algunas tiendas que venden a plazo han desarrollado campañas para las personas que ingresen a este proceso de cambio tecnológico. Sin embargo, algunos comerciantes han utilizado campañas no muy creíbles como la que te presentamos aquí. La campaña ofrecía un televisor de 24 pulgadas por solo USD 120. El volante correspondiente que cayó en nuestras manos decía:
TV con
HD
LLÉVATE UN TELEVISOR DE 24” POR USD 120 Ahora con el plan ELECTRICASH, puedes adquirir un TV de 24” por tan solo USD 120 (pago único). Aprovecha esta ocasión - Precio real del TV : USD 600. Ahorra USD 480. Pide nuestro prospecto con las condiciones de compra. electricash@freemail.com
Al escribir al correo, nos enviaron la siguiente información:
Por el momento, debe pagar primero USD 120 y no recibirá el televisor, con la condición de que reparta cuatro bonos a igual cantidad de conocidos suyos y que estos hayan abonado USD 120 cada uno. Sin embargo, cada nuevo aportante de los USD 120 no recibirá su televisor hasta que se cumpla la condición anterior.
1) ¿Cuánto paga el primer comprador por el televisor y cuáles son las condiciones?
6) ¿Cuántos serán los compradores reclutados para la tercera etapa?
7) Reflexiona y responde. ¿Crees que es conveniente este sistema de compra? ¿Por qué? 2) ¿Cuánto cuesta realmente el televisor? 3) ¿Quiénes pagan el saldo? 4) ¿Qué beneficio alcanza quien compra un bono? 8) Suponiendo que ahora la empresa ofrece un pago único de
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5) En la primera vuelta, solo estás tú involucrado. ¿Cuántos estarán involucrados en la segunda vuelta?
USD 200, con las mismas condiciones, ¿cuántos serán los compradores reclutados para la cuarta etapa?
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Regalos reales Luisa quiere decorar las cajas de unos regalos navideños con cinta roja de 0,5 cm de ancho tal como se indica en la ilustración. Las cajas tienen forma cúbica con un volumen de 7 dm3. ¿Cuántos metros de cinta necesitarás como mínimo para poder decorar 1000 cajas?
1) ¿Qué desea hacer Luisa?
3) ¿Cuántos regalos adornará?
4) ¿Qué te preguntan? 2) ¿Qué parte del cubo es la que adorna con cinta?
1) Observa la ilustración y completa:
3) ¿Cuántos lados del cubo se decorarán con la cinta? Las cintas formadas van paralelas y son de igual longitud a 4) ¿Conoces una fórmula que relacione el volumen de un cubo 2) Como cuentas con el dato del volumen, puedes calcular la con su arista? Escríbela. longitud de la . ¿Cómo puedes hallarla?
1) Elabora el gráfico que representa la forma geométrica de las cajas.
2) Halla la arista del cubo cuyo volumen es de 7 dm3. 3) ¿Cuántos cm de cinta necesitará para adornar un regalo? 4) ¿Cuántos m de cinta necesitará para adornar los 1000 regalos? Redondea al entero más cercano por exceso.
1) Explica los procedimientos empleados para resolver el problema .
3) Si hubieses trabajado con decimales redondeados desde el comienzo, ¿el número de metros habría sido mayor o menor?
2) Si la cinta se vende en rollos de 40 m de largo, ¿cuántos rollos de cinta debe comprar Luisa?
4) ¿Cómo habrías resuelto el problema si las cajas hubiesen tenido forma de tetraedro regular?
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El vigilante Los vecinos de una cuadra le ofrecen a un agente de seguridad la suma de S/.1000 en efectivo más un televisor, como pago anual por cuidar la cuadra. Al cabo de 7 meses, el agente renuncia y recibe como pago el televisor y S/.200. ¿Cuál es el valor del televisor?
1) ¿Qué le ofrecen al vigilante como pago por un año?
3) ¿Cuánto tiempo trabajó en realidad?
4) ¿Qué se le dio por el trabajo realizado? 2) ¿Cuánto tiempo iba a trabajar el vigilante? 5) ¿Qué te piden averiguar?
Plantea el problema por etapas.
3) ¿Qué tipo de organizador eliges para resolver el problema?
1) Si trabajó 7 meses, ¿cuántos meses le falta para cumplir un año?
a) Un diagrama de Venn
b) Una tabla de datos
2) Si iba a recibir S/.1000 + 1 televisor por un año y le dieron S/.200 + 1 televisor por siete meses, ¿cuánto recibirá por los 5 meses restantes?
c) Un diagrama de tiras
1) Desarrolla la estrategia elegida siguiendo las siguientes pautas:
2) De acuerdo con el gráfico, ¿cuánto ganó en 5 meses?
a) Primero elabora un organizador considerando el número de partes que debería tener si el vigilante trabajara un año.
b) Paralelo a este, representa en otro organizador el costo del 3) ¿Cuál era su pago mensual? televisor y el dinero que recibirá. c) En un tercer organizador, simboliza solo lo que recibió el vigilante por los siete meses trabajados. 4) ¿Cuál era el pago anual? 5) ¿Cuál es el precio del televisor?
1) ¿Qué estrategia fue la más útil para resolver este problema?
3) Escribe un problema de estructura similar a los formulados. Dáselo a tu compañero(a) para que lo resuelva.
2) Aplica la misma estrategia para resolver el siguiente problema. Para ganar S/.500 en la rifa de una moto, se hicieron 900 boletos; pero solo se vendieron 750, lo que originó una pérdida de S/.100. ¿Cuánto vale la moto?
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La vendedora de sandías Una vendedora llevó cierto número de sandías al mercado. Primero vendió la mitad del total que llevó, más media sandía; luego vendió la mitad de lo que le quedó después de la primera venta, más media sandía. Si luego de estas dos ventas le quedó 1 sandía, ¿cuántas de estas frutas había llevado al mercado, si se sabe, además, que en ningún momento cortó ninguna sandía? En algunas situaciones de la vida cotidiana, conviene volver sobre lo actuado. Cuando se te extravía algo en tu casa, un buen método es repasar los lugares por los que anduviste. Asimismo, para reconstruir la escena del crimen, los detectives tienen que pensar hacia atrás, a fin de descubrir qué pudo haber sucedido antes de que ellos llegaran. La situación presentada narra las ventas de una comerciante a lo largo de un día. Si se hubiese grabado lo hecho y se retrocedieran luego las imágenes, podríamos ir del final al comienzo de la situación. Algo similar haremos aquí.
Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y resuelvan la incógnita: 1) El diagrama mostrado narra la historia sintéticamente. Multiplico por 2
Sumo 1/2
Multiplico por 2
Sumo 1/2
1 INICIO
FINAL
Completen los lugares faltantes. Partan del final, colocando debajo las operaciones inversas para llegar al inicio. 2) Comprueben que el número hallado cumple las condiciones del problema. 3) Escriban, en la segunda columna, la representación algebraica de cada situación. Expresión verbal Primero vendió la mitad del total que llevó, más media sandía.
Vendió
5) ¿Qué método les parece más sencillo? 6) ¿Cómo pueden reconocer este tipo de problemas? 7) Utilicen razonamiento regresivo para resolver este problema: Elisa le da a Patricia tanto dinero como Patricia tenía. Luego Patricia le da a Elisa tanto dinero como Elisa tenía en ese momento. Ahora cada una de ellas tiene S/.16. ¿Cuántos nuevos soles tenía Elisa al principio?
Le quedan
x/2 + 1/2
Luego vendió la mitad de lo que le quedó después de la primera venta, más media sandía.
-
y
+
x
+
y
-
x
4) Planteen la ecuación correspondiente y resuélvanla. ¿Coinciden los resultados? ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran cálculos de multiplicación, división y potenciación en expresiones con números. Ellas se emplean en diversas situaciones en las que una constante se repite una cantidad determinada de veces, en casos de producción o crecimiento, por ejemplo. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
Realicé aportes muy relevantes.
He colaborado de forma significativa.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
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Decisiones lógicas
Cada coche en su lugar En una zona de estacionamiento hay 6 carros formando una fila. Están dispuestos de modo tal que: Condición 1: El carro azul está a dos lugares del carro verde. Condición 2: El carro amarillo está a tres lugares del carro rojo. Condición 3: El carro negro está en uno de los extremos de la fila. Condición 4: El carro blanco está junto al carro rojo. Condición 5: El carro verde está a tres lugares del carro negro. Condición 6: El carro azul no está junto al carro negro. Condición 7: El carro rojo ocupa la segunda posición. A continuación, te presentamos 7 casos de ordenamiento de los automóviles. Casos
Posición 1.
2.
a
a
3.
a
4.a
5.a
6.a
1
Negro
Azul
Amarillo
Verde
Rojo
Blanco
2
Negro
Azul
Amarillo
Verde
Blanco
Rojo
3
Negro
Rojo
Blanco
Verde
Amarillo
Azul
4
Azul
Amarillo
Verde
Rojo
Blanco
Negro
5
Azul
Amarillo
Verde
Blanco
Rojo
Negro
6
Rojo
Blanco
Verde
Amarillo
Azul
Negro
7
Blanco
Rojo
Verde
Amarillo
Azul
Negro
1) Observa el cuadro y responde las siguientes preguntas: a) ¿En cuántos casos se cumple la condición 3? b) ¿En cuántos casos se cumple la condición 5? c) ¿En cuántos casos se cumple la condición 1? d) ¿En cuántos casos se cumple la condición 4? e) ¿En cuántos casos se cumple la condición 2? f) ¿En cuántos casos se cumple la condición 6? 2) Reflexiona y responde. Explica qué procedimiento, en forma ordenada y jerarquizada, te permitiría hallar la respuesta a las condiciones de la playa de estacionamiento. 3) ¿Cuál de los casos cumple con el ordenamiento en la zona de estacionamiento? 4) Dos carros intercambian su posición, de manera que en la nueva disposición el verde está junto al rojo y el blanco está a tres lugares del negro. ¿Cuál(es) de estas nuevas afirmaciones es(son) correcta(s)? a) El carro blanco está junto al amarillo. b) El verde está junto al azul. c) El rojo es uno de los que se han intercambiado. 38
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Uno cada día La señora Fátima tiene siete hijos. Ellos hicieron un horario en el que se indica quién limpiaría la casa cada uno de los 31 días de un mes. Jaime limpia los lunes; Pedro, los martes; Lupe, los miércoles; Alejandro, los jueves; Sebastián, los viernes; Wilder, los sábados, y Lina, los domingos. Si Jaime y Sebastián dijeron que, en este mes, ellos limpiaron exactamente cuatro veces, ¿quién limpió el primer día de este mes?
1) ¿Cuántos hijos tiene la Sra. Fátima?
4) Expresa con otras palabras el hecho de que Jaime y Sebastián barrieron exactamente cuatro veces en el mes.
5) ¿Qué te piden en el problema? 2) ¿Cómo se distribuye el trabajo a la semana?
3) ¿Cuántos días tiene el mes?
1) Si tú fueras uno de los encargados de la limpieza, ¿cómo podrías determinar cuántos días te van a tocar en un mes cualquiera? 2) ¿Crees que un tanteo organizado te ayude? Explica. 3) ¿Sobre qué información tantearías?
1) Realiza tus planteamientos considerando el siguiente organizador: L
M
M
J
V
S
D
3) ¿Puede ser el viernes primero? Explica tu razonamiento. 4) Ensaya un poco. Si el martes es primero, ¿se cumplen las condiciones? 5) ¿Con qué otro día puedes tantear?
6) ¿En qué día o días habría empezado el mes? 2) Si el primer día del mes fuera lunes, ¿cuántos días limpiaría Jaime? ¿Se resuelve el problema? Explica.
7) ¿Quién o quiénes habrían limpiado ese día?
1) ¿Cuál fue la estrategia principal que te permitió hallar la solución del problema?
2) ¿Considerando las condiciones de los hijos, es posible que el mes hubiese tenido 28 días?
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Pilas de monedas Tienes 20 monedas ordenadas en 4 pilas. Todas las pilas tienen un número par de monedas. La segunda pila tiene el doble de monedas que la cuarta. Cada pila tiene un número distinto de monedas. Cada pila tiene al menos una moneda. La tercera tiene más monedas. ¿Cuántas monedas hay en cada pila?
3) ¿Cuántas monedas hay en total?
1) ¿Cuántas pilas de monedas se han construido? 2) ¿Puede haber una pila sin monedas?
Explica por qué.
4) ¿Qué te solicita el problema?
1) ¿Es posible relacionar una pila con otra?
3) Es posible organizar la información en una tabla. ¿Cuántas incógnitas deben aparecer en ella? 2) Suponiendo que si tienes 20 monedas en la pila 2, entonces tienes monedas en la pila 4. ¿Crees que tantear es una buena estrategia? Explica.
1) ¿Cuántas monedas puede haber en la pila cuatro? Incorpora en la tabla. 2) ¿Cuál es la condición de la pila 3? 3) Completa la tabla siguiendo las pistas: Pila 1
Pila 2
Pila 3
Pila 4
Total de monedas
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 4) ¿Cuál de los casos cumple con la condición del problema? ¿Cuántas monedas hay en cada pila?
1) Describe las estrategias principales que te permitieron hallar la solución del problema.
2) Inventa un problema con 30 monedas dispuestas en 4 pilas. Ten cuidado al redactar las pistas.
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Jugadores de ajedrez El profesor Atilio desea conformar un equipo de cuatro jugadores para un torneo de ajedrez. En el salón ha seleccionado a siete posibles jugadores: los hombres A, B, C y las mujeres M, N, O, P. Todos ellos son de igual capacidad y cada equipo debe tener al menos dos hombres. Para un equipo de cuatro, todos los integrantes deben comprenderse y colaborar entre sí, pero: * El ajedrecista B no puede jugar con la ajedrecista M. * El ajedrecista C no puede jugar con la ajedrecista P. * La ajedrecista M no puede jugar con el ajedrecista C.
Tu grupo ha sido elegido para asesorar al profesor. Busquen una notación adecuada para expresar con símbolos cada una de las condiciones del problema y ayúdenlo a responder estas tres interrogantes. 1) Si se selecciona a la jugadora O y se rechaza al jugador B, ¿cómo podría estar conformado el equipo? (Pueden marcar más de una opción). a) A, C, M y O b) A, C, N y O c) A, C, P y O d) A, N, P y O e) C, P, N, y O 2) ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas? I. Los jugadores B y P nunca pueden ser ambos seleccionados juntos. II. Los jugadores C y O nunca pueden ser ambos seleccionados juntos. III. Los jugadores C y M nunca pueden ser ambos seleccionados juntos. 3) ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones deben ser siempre ciertas? I. Si M juega, A juega. II. Si O juega, B juega. III. Si A juega, P juega.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas referidos al razonamiento lógico, que en la cotidianidad se utiliza para formular hipótesis y extraer conclusiones a partir de pistas. Los detectives y fiscales lo utilizan con frecuencia para hacer sus investigaciones. Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de participación.
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En el país de la lógica
Aventuras con la dama y el tigre* En un país lejano, a un rey se le ocurrió el siguiente método para dar la oportunidad a los aventureros capturados de conseguir su libertad. Cada aventurero debe elegir entre dos habitaciones: si escoge una en la que hay una bella dama, es liberado y se casa con ella; si encuentra un tigre, será devorado por él. Los tres aventureros fueron conducidos ante la presencia del rey, quien les explicó que en cada una de las dos habitaciones había una dama o un tigre (o una dama en cada una o un tigre en cada una), no estando vacía alguna de ellas.
1) El primer aventurero avanzó hacia las habitaciones. El rey señaló los letreros de sus respectivas puertas: I En esta habitación hay una dama y en la otra, un tigre.
II En una de estas habitaciones hay una dama y en la otra hay un tigre.
–¿Es verdad lo que dicen los letreros? –preguntó el aventurero. –Uno de ellos dice la verdad, el otro no –replicó el rey. ¿Cuál le recomendarías elegir para salvar su vida?
3) Reflexiona y responde, ¿los letreros mostrados para cada situación determinan la solución al problema? 4) El rey estaba molesto, pues todos los aventureros se estaban salvando, así que cambió las reglas. Al aventurero que quedaba se le dijo que si en la habitación I hay una dama, el letrero de su puerta dirá la verdad; pero si hay un tigre, el letrero mentirá. En la habitación II, ocurrirá lo contrario: si hay una dama, el letrero mentirá; si hay un tigre, el letrero dirá la verdad.
El tercer aventurero vio estos carteles en las puertas: I II 2) El primer aventurero salvó su vida. Entonces el rey, para confundir al segundo aventurero, cambió los letreros y se seleccionaron nuevos ocupantes para las habitaciones. Al llegar el segundo, vio esto: I Al menos en una de las habitaciones hay una dama.
II Hay un tigre en la otra habitación.
Hay damas en ambas habitaciones.
Hay damas en ambas habitaciones.
¿Cuál le recomendarías que escoja?
El rey avisó que, o bien los dos letreros dicen la verdad, o bien ambos mienten. ¿Qué habitación debe escogerse? *Merrill, R. ¿La dama o el tigre? 42
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Los isleños upf, upf* Una isla está habitada por dos comunidades. Los miembros de la comunidad A siempre dicen la verdad, los miembros de la comunidad B mienten todo el tiempo. Un extranjero se encontró con dos de estos pobladores, uno alto y otro bajo. “¿Eres de los que dicen la verdad?”, preguntó al más alto. “Upf”, le respondió el isleño. El extranjero reconoció la palabra como el término que significa sí o no, pero no podía recordar cuál de los dos. El poblador bajo hablaba la lengua del extranjero, así que este le preguntó qué era lo que había dicho su compañero. “Dijo sí”, replicó el poblador bajo; “pero él miente”, añadió. ¿A qué comunidad pertenecía cada uno de los pobladores?
1) ¿Cuántas comunidades habitan la isla?
4) ¿Qué significa “upf”?
2) ¿Qué características tienen los isleños de la comunidad A?
5) ¿Qué te piden averiguar?
1) ¿Cuántas posibilidades de respuesta existen?
3) ¿Cómo determinas cuál caso es la solución?
3) ¿Qué características tienen los isleños de la comunidad B?
2) Completa estas posibles respuestas:
a) El poblador alto es y el bajo es
b) El poblador alto es y el bajo,
Formula hipótesis y, para cada una, coloca los valores de verdad.
4) Explica por qué una tabla te ayuda a organizar mejor la información.
2) Hipótesis 2: El alto es mentiroso y el bajo es veraz.
1) Hipótesis 1: El alto es veraz y el bajo, mentiroso. Dijo Poblador alto
Upf.
Poblador bajo
Dijo sí; pero él miente.
Dijo
Valor de verdad
Poblador alto
Upf.
Poblador bajo
Dijo sí; pero él miente.
Valor de verdad
3) ¿A qué comunidad pertenece cada uno de los pobladores?
1) ¿Cuál es la estrategia que más te ayudó a resolver el problema? 2) Menciona tres actividades en las que es necesario formular hipótesis acerca de algo. * Gardner, M. Matemática para divertirse. Página 77. Cuaderno de trabajo
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Los recipientes de dulce Supongamos que se tienen tres recipientes iguales que contienen dulces. No se puede ver lo que hay en el interior de cada uno, pues son de plástico opaco. Cada recipiente tiene colocado un letrero como se muestra. Un bromista despegó todas las etiquetas que había y las puso, a propósito, en recipientes que no correspondían. ¿Cuántos dulces se deben sacar y de cuántos recipientes para tener la seguridad del contenido de cada uno?
4) ¿Cuál es la condición de este problema?
1) ¿Qué contienen los recipientes?
2) ¿Qué quiere decir el letrero “Mezcla”? 5) ¿Qué es lo que te piden?
3) ¿Pueden estar los dulces de menta en el que dice “Menta”?
1) ¿Cuántos grupos de datos hay?
3) Explica por qué una tabla puede servir para organizar la información.
2) ¿Qué es lo que hay que relacionar?
1) Completa donde corresponda y marca con un aspa (X) aquellas combinaciones que no son posibles.
Letrero
Contenido
Menta
Mezcla
Menta Limón
2) ¿Qué posibilidades le quedan al recipiente con el letrero “Mezcla”?
3) Si abres el recipiente que dice “Mezcla” y el caramelo es: a) De limón, ¿qué concluyes? b) De menta, ¿qué concluyes? 4) ¿Cuántos dulces se deben sacar y de cuántos recipientes?
1) ¿Qué estrategia te ayudó a resolver el problema?
3) ¿Hubiese convenido abrir el recipiente con letrero “Menta”?
2) Reflexiona y responde, ¿hubiese convenido abrir el recipiente con letrero “Limón”?
4) ¿Qué razonamiento, a tu juicio, fue la clave para resolver el problema?
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¡Las cuatro al túnel! Cuatro amigas necesitan cruzar un túnel. Las cuatro comienzan del mismo lado. Solo tienen 19 (diecinueve) minutos para llegar al otro extremo del túnel. Es de noche y solo cuentan con una linterna. No pueden cruzar más de dos de ellas al mismo tiempo, y cada vez que hay una (o dos) que cruzan el túnel, necesitan llevar la linterna siempre. La linterna tiene que ser transportada por cada grupo que cruza en cualquier dirección. No se puede “arrojar” de un extremo al otro. Eso sí: como las mujeres caminan a velocidades diferentes, cuando dos de ellas viajan juntas por el túnel, lo hacen a la velocidad de la que va más lento. Por ejemplo, si Ana y Carmen cruzaran de un lado al otro, tardarían 5 minutos en hacer el recorrido. Luego, si Carmen retorna con la linterna, en total habrán usado 10 minutos en cubrir el trayecto.
Nombre
Ana
Brenda
Carmen
Dalila
Tiempo que tarda en cruzar
1 min
2 min
5 min
10 min
Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades para facilitar que Ana, Brenda, Carmen y Dalila crucen el túnel: 1) ¿Pueden Brenda y Carmen cruzar juntas el túnel? 2) ¿Qué estrategia proponen para que todas las amigas crucen el túnel en 19 minutos?
3) Elijan una notación adecuada que les informe acerca de lo siguiente: ¿Quiénes están cruzando el túnel? ¿Cuánto tiempo demoran? ¿Cuánto tiempo acumulado llevan en el trayecto? La tabla mostrada les da una pista de cómo organizar la información. Personas que parten
Tiempo transcurrido
Personas que llegan
Tiempo de retorno
Persona que retorna
Tiempo acumulado
Persona(s) que se queda(n)
4) Expresen en orden la secuencia en que las amigas cruzan el túnel.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas referidos al razonamiento lógico, que en la cotidianidad se utiliza para formular hipótesis y extraer conclusiones a partir de pistas. Los detectives y fiscales lo utilizan con frecuencia para hacer sus investigaciones. Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?
Muy interesantes.
Interesantes.
Poco interesantes.
Nada interesantes.
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De variables y números
Elecciones a la orden En Chulquillo, se están realizando las elecciones para elegir al nuevo alcalde del distrito. Se presentaron tres candidatos que pertenecen a dos agrupaciones políticas y un candidato independiente. El 14 de mayo, un día después de las elecciones, el periódico local publicó la siguiente noticia: El Observador. Viernes, 7 de octubre de 2011.
CHULQUILLO DIO SU VOTO Las elecciones entre los candidatos Alberto Luna, Bernardo Caycho y Carolina Huanta se desarrollaron con total normalidad. Votaron 3500 hombres y 5500 mujeres. Bernardo obtuvo 500 votos menos que Alberto, pero 800 votos más que Carolina.
1) ¿Cuál es el total de votos que hay en la elección? 2) ¿Cuántos candidatos postularon? 3) Si al candidato Alberto Luna se le atribuye un término incógnita, ¿cuántos votaron por él? 4) ¿Y en el caso del candidato Bernardo Caycho? 5) ¿Cuántas personas votaron por la candidata Carolina Huanta? 6) Reflexiona y responde, ¿es posible calcular cuál de los candidatos ganó la elección?, ¿mediante qué procedimiento? 7) ¿Cuántos votos obtuvo el candidato triunfante? 8) ¿Lo realizado anteriormente, en qué otros contextos te podría ayudar? 46
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Luces, matemática… acción Por una disposición de Defensa Civil, se exigía que todos los cines de la ciudad tengan el mismo número de filas que de asientos por fila, también que hayan tres grupos de asientos: uno central y dos laterales. Los laterales debían tener, al menos, cinco asientos por fila. En la actualidad, Defensa Civil dejó sin efecto estas disposiciones y algunos cines hicieron modificaciones. Carlos, administrador de un cine, decide remodelarlo quitando dos filas (sin variar la cantidad de asientos). Después de la remodelación, el número de asientos que quedó fue 323. ¿Cuántas filas tenía el cine antes de la remodelación?
1) ¿Qué desea hacer Carlos?
3) ¿Cuál es el número de asientos luego de la remodelación?
2) ¿Cuál era la distribución de asientos y filas por sala en el cine? 4) ¿Qué te solicita el problema?
1) ¿Qué estrategia conviene desarrollar? a) Hacer un gráfico que simule la situación.
b) Hacer una tabla.
1) Haz lo que indicaste en la pregunta anterior: Llama x al número de filas y de asientos por fila. Cantidad total de asientos: Considera que si se eliminan 2 filas, esto se expresará
1) Describe la estrategia empleada para resolver el problema. 2) ¿La estrategia que has reconocido se puede aplicar en otros problemas?, ¿de qué tipo? Plantea un problema como ejemplo.
c) Hacer un diagrama de Venn.
2) ¿Tiene sentido trabajar con el valor negativo? 3) ¿Cuántas filas tenía el cine antes de la remodelación?
3) Si Carlos hubiera quitado dos columnas en lugar de filas, ¿cómo cambiaría la respuesta?
4) Formula un problema que requiera el uso de la estrategia empleada. Cuaderno de trabajo
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Mezclando cantidades Un grupo de estudiantes tiene que conseguir una solución de alcohol metílico al 14 %. En el laboratorio de la institución educativa, hay dos recipientes con soluciones de alcohol como se muestra. Si se quiere utilizar toda la solución del recipiente I, ¿cuántos litros de la otra solución se deben usar?
1) ¿De qué trata el problema?
Alcohol metílico 6 litros (10 %)
Alcohol metílico 12 litros (30 %)
Recipiente I
Recipiente II
3) ¿Qué te pide el problema?
2) ¿Qué datos te da el problema?
1) ¿Qué elementos formarían parte de la mezcla?
3) ¿Qué estrategia puedes desarrollar para resolver la situación?
a) Elaborar una tabla de datos. b) Realizar un esquema. 2) Si se tiene 10 litros de la mezcla al 20 %, ¿qué elementos lo c) Hacer un diagrama de tiras. componen? d) Hacer un diagrama de árbol. Está compuesto por litros de agua, litros de alcohol y litros de mezcla. e) Plantear una ecuación. Experimenta con otros porcentajes.
1) Completa la tabla siguiente, considerando que no conoces la cantidad de litros de uno de los recipientes. Cantidad de mezcla
Porcentaje de alcohol
Cantidad de alcohol (Iitros)
2) ¿Cómo calcularías la mezcla resultante?
Cantidad de mezcla (Iitros)
Recipiente I Recipiente II Recipiente nuevo
3) ¿Cuántos litros se tiene que agregar para que el primer componente quede al 14 %?
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema.
2) ¿Cómo cambiaría tu respuesta si se hubiera agregado alcohol metílico al 25 %?, ¿sería necesario cambiar algún dato en el problema? 48
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Sana diversión, buen ahorro Julio Pérez trabaja en un exclusivo restaurante del centro de Huaraz, donde le pagan un sueldo básico de S/.140 semanales. Como Julio es una persona muy atenta y servicial hacia sus clientes, por cada mesa que atiende le dejan entre S/.2 y S/.4 de propina. Los gastos semanales de Julio, entre cine, libros, paseos, etc., ascienden a S/.50; pero desea ahorrar cada semana S/.204 como mínimo. La situación mostrada es bastante común en los pagos a personas que atienden en restaurantes. Lo primero que tendremos que hacer será asumir un pago de propina promedio. Para elaborar un modelo, fijaremos este pago en S/.3 por mesa atendida. Hagamos una tabla para averiguar lo que recauda Julio en una semana si: no atiende ninguna mesa o atiende 1, 2, 3 o más mesas.
Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades: 1) Completen la tabla que representa las posibles situaciones de ingreso para Julio en una semana. Consideren que todas las mesas atendidas dejan propina. N.° de mesas atendidas en la semana
Propina
Sueldo semanal + propina
0
0
140
1
3x1
2
2) Luego, el sueldo semanal de Julio se puede simbolizar por: 3) Acorde con la respuesta anterior y sabiendo que Julio gasta semanalmente S/.50, ¿cuánto ahorra? 4) Él desea ahorrar semanalmente S/.204 como mínimo, ¿cuál sería la relación?
3
5) Resuelvan la inecuación planteada en el problema. 6) Interpreten la solución de la inecuación planteada.
Generalizando
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran ecuaciones de una incógnita. Ellas nos sirven para tomar decisiones acertadas, por lo que se emplean en diversas situaciones comerciales y productivas. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He participado de forma significativa.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
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Matematizando con ecuaciones
El premio mayor Juan, Felipe y María juntaron un dinero para adquirir un boleto de la lotería local. El número comprado entre los tres resultó ser el ganador del premio mayor. Al enterarse de ello, no llegaron a un acuerdo de repartirse el dinero en tres partes iguales, sino que comenzaron a discutir. Luego de que dialogaron, quedaron que se iba a repartir del siguiente modo: A Felipe le corresponde el doble que a Juan. A María, S/. 200 más que a Felipe.
Como no se conocen las cantidades, supongamos que a Juan le corresponde “x” nuevos soles. 1) ¿Cuánto le corresponde a Felipe? 2) ¿Cuánto le corresponde a María? 3) Si tuvieran que repartirse S/.1400, ¿cuál sería el planteamiento final que realizarías? 4) ¿Cuánto le correspondería a cada uno? 5) Reflexiona y responde, ¿consideras que es justa la repartición? 6) Tres amigos, Julio, Marcos y Alejandro se reparten S/. 2100, de tal forma que uno recibe el doble y otro el triple de lo que tiene Marcos. ¿Cuáles eran los montos repartidos? 50
Resolvamos 2
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Camarón que se duerme... El señor Ramírez tiene que recorrer cada mañana un largo camino en autobús hasta su lugar de trabajo. Hoy el señor Ramírez está muy cansado y se duerme cuando todavía le queda el doble del camino que ya ha recorrido. En la mitad del viaje total, le despierta el alboroto de unos estudiantes y solo consigue dormirse de nuevo cuando todavía le queda por recorrer la mitad del tramo que ya lleva hecho. El señor Ramírez ya no despertará hasta llegar al final del viaje. La parte del trayecto total durante la que el señor Ramírez ha estado durmiendo es:
1) ¿De qué trata el problema? 4) ¿Cuándo es que se despierta por el ruido de los estudiantes? 5) ¿Cuándo se duerme nuevamente? 2) ¿El camino que recorre el Sr. Ramírez durante toda su travesía es el mismo? 6) ¿Qué se desea conocer? 3) ¿Cuánto ha recorrido antes de dormir?
1) ¿Cuáles son las características del viaje del Sr. Ramírez, según los datos expresados?
2) ¿Qué estrategia puedes utilizar para resolver el problema?
a) Realizar un gráfico. b) Plantear la ecuación. c) Elaborar una tabla.
1) Organiza la información considerando cuándo se durmió y despertó el señor Ramírez. Condición del problema
Forma de expresión
2) Representa, haciendo uso de fracciones, el recorrido del señor Ramírez paso a paso: 3) El trayecto que ha recorrido durmiendo es:
1) ¿Qué estrategias te sirvieron para tomar la decisión?
2) ¿Hubiera cambiado el resultado final del problema si es que el señor Ramírez no se hubiera despertado? Cuaderno de trabajo
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Para elaborar ladrillos Cerca a la comunidad de Orejuelas, se ha instalado una planta artesanal de ladrillos. El dueño trabaja con una antigua receta heredada de su abuelo. Para conseguir 500 toneladas de arcilla, cuyo precio es de S/.76 la tonelada, se prepara, diariamente, una mezcla con dos tipos de arcilla: una que cuesta S/.28 la media tonelada y la otra cuyo precio es S/.93 la tonelada. ¿Cuántas toneladas de cada clase de arcilla se debe emplear para obtener la mezcla?
1) ¿Qué quiere lograr el dueño de la fábrica de ladrillos?
4) ¿Se conoce la cantidad de mezcla final?
2) ¿Cuántos elementos forman parte de la mezcla? 3) ¿Cuáles son los precios de cada ingrediente?
5) ¿Qué se quiere conocer?
1) ¿Cuáles son los datos disponibles?
3) ¿Qué estrategia conviene realizar?
a) Transferir los datos a una tabla de doble entrada.
2) Suponiendo que quieres conseguir 200 toneladas con dos b) Trabajar con los precios para conocer el total. cantidades y una de ellas tiene x toneladas, ¿cuánto tendrá c) Trabajar con los precios de cada elemento para diferenciar la otra cantidad? ¿Crees que sea suficiente su cada caso. desarrollo?
1) Completa la siguiente tabla con la información solicitada y responde, ¿cuántas toneladas de cada clase de arcilla se debe emplear para obtener la mezcla? Tipo de arcilla
Precio por tonelada (S/.)
Cantidad
Costo
1.a arcilla
2) Para obtener 500 toneladas de la mezcla, ¿cuántas toneladas de arcilla cuyo costo es S/.56 la tonelada se usarán?
2.a arcilla
3) ¿Cuántas toneladas de arcilla de S/.93 se usarán?
Mezcla
1) Comprueba si lo obtenido responde al problema. 2) ¿Qué estrategia te sirvió para tomar la decisión?
3) Imagina que trabajas en esta fábrica de ladrillos y quieren aumentar la calidad de la arcilla agregando a la mezcla final otro compuesto. ¿Es ello posible o viable? Plantea el caso y resuélvelo.
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Resolvamos 2
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Cadena alimenticia En el planeta Urrantia 243, existen tres tipos de animales extraños: ulanos, orencos y sarapios. Los científicos de este planeta han estudiado las costumbres de alimentación de estos animales, llegando a establecer una cadena alimenticia. Diariamente: • • • •
Cada ulano desayuna un orenco. Cada sarapio almuerza un ulano. Cada orenco cena un sarapio. Se sabe que no hay otras muertes ni nacimientos.
Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y resuelvan la incógnita: 1) Propongan una expresión para el número de orencos antes del desayuno, en el primer día de ese mes. 2) Planteen una expresión para el número de sarapios. 3) Formulen una expresión para el número de ulanos. 4) Luego de varios días, cuya cantidad no se conoce, un orenco se convierte en el único ser viviente del planeta. Asumamos que pasaron w días y debe ser después de la cena. ¿Es posible calcular la cantidad de animales que hubo en el día 1 del mes? 5) Con la información inicial, ¿es posible conocer después de qué comida queda un solo orenco?
6) Un astronauta, que llegó z días antes de que el orenco se convirtiera en el único sobreviviente, dijo que en total había más de 38 pero menos de 42 animales. Si hoy fuera 1 de febrero, ¿en qué fecha el orenco se convierte en el único sobreviviente? ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran ecuaciones de una incógnita. Ellas nos sirven para poder tomar decisiones acertadas, por lo que se emplean en diversas situaciones comerciales y productivas. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
Realicé aportes muy relevantes.
He colaborado de forma significativa.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
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Funciones que se ven
Estética matemática En las historias clínicas podrás encontrar, algunas veces, gráficas que te describen el estado de tu salud. Por ejemplo, la que observamos aquí, muestra el aumento del peso en kilos de dos personas, con el aumento de la edad en años . de
CURVAS DE PESO Peso (kg)
80 70 60 50
Sofía David
40 30 20 10 0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
Edad (años)
1) ¿Cuál es el peso de David y Sofía a las edades de 10 y 16 años, respectivamente? 2) ¿Cuáles eran las edades de David y Sofía cuando él pesaba 50 kg y ella, 20 kg? 3) ¿A qué edades, respectivamente, David pesaba más de 30 kg y Sofía, menos de 40 kg?
4) ¿A partir de qué edad(es) David pesó más que Sofía?
5) ¿En cuántos kilos se incrementó el peso de David entre los 18 y 20 años?
6) ¿De cuánto fue el incremento de Sofía entre los 15 y 20 años? ¿Cuál fue el crecimiento promedio en ese periodo? 7) Reflexiona: ¿es posible representar la situación pero tomando el peso en el eje x y la edad en el eje y? 54
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Los docentes conversan En la sala de reuniones, están conversando los docentes del 2.° A de la IE Micaela Bastidas. Sandra ha sacado buena nota en la última prueba. Pero se distrae fácilmente y su conducta no la ayuda. Si se concentra un poco más, le va a ir mejor.
Sí pues, el esfuerzo de los chicos es muy importante. Norma se ha esmerado bastante, por ello merece sus excelentes calificaciones.
Así es, Dante también ha cumplido regularmente con las tareas y tiene un resultado satisfactorio en el examen.
Esfuerzo
1
5 2
En cambio, Arturo ha estado muy relajado y ha sacado una nota muy baja.
4
3
Nota del examen
En el gráfico adjunto, se han representado por puntos los informes de los docentes. ¿Qué puntos representan a Arturo, Sandra, Norma y Dante?
1) ¿Qué están haciendo los docentes? 2) ¿A qué característica de los estudiantes se refieren las palabras: no ha trabajado bien, ha trabajado bien, ha trabajado razonablemente bien?
3) ¿Qué otras características de los estudiantes están comparando los docentes? 4) ¿Qué tienes que encontrar?, ¿qué te solicita el problema?
1) ¿Qué información vas a utilizar?
2) ¿Para qué te sirve esta información?
1) ¿Quién tiene el más bajo esfuerzo y la más baja nota? 2) ¿Qué punto tiene el más bajo esfuerzo y la más baja nota?
4) Usa razonamientos similares para completar la tabla: Punto Nombre
Norma
Dante
Arturo
Sandra
3) Con las respuestas anteriores, ¿puedes identificar a quiénes representan los puntos del gráfico mostrado?
1) ¿Qué estrategia fue la que más te sirvió para resolver este problema?
2) Describe las características del estudiante que se ubica en el punto no considerado en tu respuesta.
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Llamadas telefónicas Cinco personas han realizado llamadas telefónicas desde sus teléfonos fijos a cinco destinos del país. Ellos anotaron, en el siguiente gráfico, el costo de estas llamadas y el tiempo que estuvieron comunicándose. ¿Quién llamó al lugar más alejado? Explica con cuidado tu razonamiento. Costo de la llamada
Jhon
Sara Clara
David
Jaime
Duración de la llamada
1) ¿Qué representa el gráfico?
4) ¿Todos han pagado lo mismo por el minuto de llamada? ¿Por qué? 2) ¿Qué se representa en el eje x? 5) ¿Qué te solicita el problema? 3) ¿Qué se representa en el eje y?
1) Debes extraer conclusiones a partir de la disposición de los puntos en el gráfico. Completa según corresponda: La persona que llama al lugar más alejado... a) paga menos por minuto.
b) paga más por minuto.
c) paga lo mismo.
2) Hay que buscar una forma de comparar las distancias a las que se llamó. ¿Qué indicador podría darte esa información?
1) Supón datos y, a partir de la estrategia reconocida, organiza la información en la siguiente tabla: Jhon
Sara
Clara
David
Jaime
2) ¿En quién la razón es mayor y en quién es menor?
Costo de la llamada
3) ¿Qué significa esto?
Duración de la llamada
4) ¿Quién llamó al lugar más lejano?
1) ¿La estrategia utilizada es parecida a una anterior que empleaste?, ¿en qué se diferencian?
2) ¿Fue importante establecer una razón en este problema?
3) Los puntos de David, Clara y Sara se encuentran sobre una misma recta. ¿Qué concluyes al respecto? (Observa el cuadro comparativo). 56
Resolvamos 2
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Pago del estacionamiento El administrador de una empresa dedicada al parqueo de automóviles quiere mejorar su oferta de servicio a sus clientes debido al incremento de la competencia a su alrededor. Para ello, contrata a un servicio de consultoría que le propone la información adjunta. Pago (S/.)
Si t > 4, entonces el pago adicional será de S/.8 por el tiempo transcurrido hasta la hora siguiente. Se mantiene la misma condición para más tiempo transcurrido.
40 32 15 10
Nota: tiempo está expresado en “t“. 1
2
3
4
Tiempo (horas)
Formulen un modelo que exprese la condición de la situación planteada. 1) Observen la gráfica y completen:
4) Expliquen, ¿cómo realizaron el cálculo del pago del estacionamiento F en la tabla de la pregunta anterior?
El eje x indica la variación en El eje y indica la variación en 2) Según la gráfica, ¿cuánto se debe pagar por estacionar 30 minutos, 1 hora con 45 minutos y 2 horas? 5) Si alguien estaciona n horas m minutos, siendo n > 4 y m < 60, ¿cuánto debe pagar? Completen la siguiente tabla, experimentando diversos datos para hallar la respuesta. Tiempo por el que 3) Un día, de 6 a. m. a 12 m., se estacionaron varios autos. Los n h m min Costo se debe pagar vehículos ocuparon las zonas de estacionamiento A, B, C, D, E y F durante los tiempos que se indican en la tabla. ¿De cuánto Caso 1 4 h 20 min 5 h será el ingreso para la empresa? Caso 2 6 h 35 min Estacionamiento
Tiempo
A
100 min
B
1h 35 min
C
15 min
D
2,5 h
E
168 min
F
256 min
Pago (S/.)
Caso 3 Caso 4 Reconozcan un patrón en la relación entre n horas y m minutos.
Ingresos
6) Expliquen cómo hallaron la respuesta.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas referidos a funciones discretas, que en la cotidianidad se utilizan para formular un evento y analizarlo. Es importante conocer el procedimiento correcto, ya que si no se aplica correctamente el análisis, no podremos obtener buenos resultados. Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de participación.
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Las funciones sí funcionan
Avisos periodísticos El cuadro muestra las tarifas de los avisos clasificados de un diario.
Avisos clasificados de El Observador S/. por palabra
Tarifa
Dom
Costo fijo por Orden de Publicación
7,71
Lun-Sáb Clasificado con 1 estrella (*) 7,71
INMOBILIARIA i1
i6
2,26
0,85
AUTOMOTORES a1
a3
2,18
0,78
(autos / camionetas / camiones, buses y maquinaria pesada) a4
a6
1,90
0,72
(motos, bicicletas, embarcaciones y otros accesorios y servicios / maquinarias y motores) EMPLEOS Y OFICIOS e1 e3
1,90
0,72
OPORTUNIDADES 1,90
0,72
Relax o12
2,75
2,21
Clasificado con 2 estrellas (**)
3,52
Clasificado con título centrado
7,70
Clasificado con negritas
4,94
Clasificado con viñeta
11,00
S/.
Avisos destacados
Dom
Lun-Sáb
2 x 1 cm/col (hasta 20 palabras)
91,10
59,00
3 x 1 cm/col (hasta 25 palabras)
122,00
89,44
S/. por cm/col
Avisos desplegados 5
o1, o2, o4, o20
S/.
Otras tarifas. Pago único por Orden de Publicación
30 cm/col
Dom
Sáb
Lun - Vie
12,39
7,60
7,60
31
30 cm/col
14,04
8,92
8,67
101
30 cm/col
16,52
10,33
9,91
2,28
Consultar tarifas a color y fecha de cierre de avisos. Todas las tarifas incluyen I.G.V.
1) ¿Qué significa el dato de S/.7,71 en la tarifa? 2) ¿Cuánto costará un aviso de venta de una casa, que tenga cinco palabras y que se quiera publicar el domingo? 3) ¿Cuánto costará publicar el aviso de una moto, que tenga diez palabras para el viernes y que sea un clasificado de dos estrellas? 4) ¿De qué factores depende el costo de publicación de un aviso para vender una casa?
6) En cualquier sección (inmobiliaria, automotores, empleos, oportunidades, relax), ¿el incremento por palabra es constante o varía? 7) ¿Si un aviso de venta de un auto de 10 palabras cuesta x, un aviso de 20 palabras costará 2x? Explica. 8) Reflexiona y responde. El precio de un aviso se compone de costos fijos y variables, ¿te parece razonable esta división? Explica.
5) ¿Cuánto costará publicar un aviso de venta de un auto, que tenga diez palabras y que se quiera publicar los lunes, 9) Observa la sección Empleos y oficios y registra en la tabla la información que te permitirá saber el costo total por palabra miércoles y viernes? para los días de la semana, menos el domingo: Costo fijo por orden de publicación
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Costo por palabra, en un día de lunes a sábado
Cantidad de palabras
Número de días
Costo total por x palabras y por y días
Resolvamos 2
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Producción de botellas de agua Una empresa embotelladora ha adquirido una nueva máquina que produce cápsulas de plástico que servirán como envases para agua mineral, a razón de 3 botellas cada 4 segundos. ¿Cuántas botellas son fabricadas en 5 horas? Representa gráficamente el número N de botellas producidas, en función de la duración t (en horas) del proceso de fabricación.
1) ¿De qué trata la situación problemática?
1) ¿Qué variables del proceso de fabricación debes relacionar?
2) A medida que pasa el tiempo, ¿qué ocurre en el proceso? 2) ¿Qué datos te da el problema? 3) Describe las estrategias que elegirías para resolver el problema. 3) ¿Qué te solicita el problema?
1) ¿Cuántas botellas se producen en un minuto?
La gráfica es:
Botellas
2) Completa la tabla siguiente: Tiempo
N.° botellas
1 min 15 min 30 min 0
1 hora
1
2
3
4
1,5 horas
3) Elabora una tabla donde se registre el número de botellas en horas. Luego, realiza la gráfica solicitada con la información registrada en la tabla. Tiempo (horas)
1
2
3
4
5
6
N.° botellas
5
6
7 Tiempo (horas)
4) ¿Qué tipo de gráfico resulta? 5) ¿Cuántas botellas se fabrican en 5 horas?
1) Describe el procedimiento que te permitió hallar las respuestas al problema.
3) ¿Al cabo de cuántas horas se logra producir más de 1 millón de botellas?
2) A partir del problema, ¿cómo se expresa N en función de t?
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Bienes que se deprecian Los activos de una empresa son sus bienes inmuebles y maquinarias, los cuales tienen un valor que disminuye con el tiempo. Para comprender mejor sobre el tema, usaremos cifras aproximadas que se asemejan a datos reales que existen en la actualidad; por ejemplo, un edificio se deprecia totalmente en 20 años. Es decir, que en 20 años pierde el 100 % de su valor total por el uso a que es sometido, lo cual significa que cada año pierde el 5 % de dicho valor. Supón que un edificio, en el año 2005, estaba valorizado en USD 400 000, averigua, según el porcentaje de depreciación indicado, ¿en cuánto se deprecia anualmente? ¿Qué valor tenía en el año 2010?
1) ¿De qué trata el problema?
1) ¿Cuál es la característica que se desea analizar?
2) ¿Cuáles son los datos expresados en el problema?
2) ¿Qué variables se tienen que identificar para resolver el problema? 3) ¿Cuál es la variable independiente? 3) ¿Qué te solicita el problema? 4) ¿Qué estrategias podrías utilizar?
1) ¿Cuál es la depreciación anual? 2) Completa la tabla:
Año
Valor del edificio (en miles de dólares)
2005
400
3) Esboza la gráfica correspondiente a la tabla elaborada en la pregunta anterior. Valor (en miles de dólares)
2006 2007 2008 2009 2010 0
2005 2006 2007 2008 2009 2010 Tiempo (Años)
4) ¿Qué tipo de gráfico resulta? 5) ¿Qué valor tenía el edificio en el año 2010?
1) Describe la estrategia empleada.
3) ¿Cuál será el “valor” del edificio al cabo de 15 años?
2) ¿Cómo se expresa el “valor“ v del edificio en función de t? 60
Resolvamos 2
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El costo de estar en forma El gimnasio “Ponte en forma” cobra un derecho de inscripción de S/.250 y una mensualidad de S/.100, mientras que el gimnasio “Cuerpo y salud” cobra S/.150 por derecho de inscripción y S/.150 de mensualidad. Ambos gimnasios están ubicados en el mismo distrito y poseen instalaciones semejantes, por lo que la decisión para elegir uno de ellos solo depende de los pagos que se deben efectuar. ¿Para cuántos meses es más conveniente elegir el segundo gimnasio?
Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema: 1) Si una persona desea estar solo un mes, ¿cuánto pagará en cada gimnasio?
7) ¿Para qué valor de t es menor el pago en el segundo gimnasio? Comprueben.
8) En el plano cartesiano mostrado, tracen la gráfica de los costos para los dos gimnasios. Costo 2) ¿Cuánto pagará por 5 meses en el gimnasio “Ponte en forma”?
3) ¿Cuánto pagará por “t” meses en el gimnasio “Ponte en forma”?
(S/.)
700 600
500
4) ¿Cuánto pagará por “t” meses en el gimnasio “Cuerpo y salud”?
400
300
5) Planteen una inecuación que considere menor o igual el pago en el segundo gimnasio (Cuerpo y salud).
200 100
¿Por qué se considera menor o igual el segundo gimnasio?
0
6) Resuelvan la inecuación que han planteado.
1
2
3
4
5
Tiempo (Meses)
Gimnasio “Ponte en forma” Gimnasio “Cuerpo y salud”
9) ¿Para qué valor de t es más conveniente el primer gimnasio? ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas referidos a funciones lineales, que en la cotidianidad se utilizan para formular un evento y analizarlo. Esto se presenta comúnmente en situaciones en las que dos magnitudes se encuentran relacionadas directamente, tales como las tarifas de servicios, distancias y duración de un movimiento, etc. Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?
Muy interesantes.
Interesantes.
Poco interesantes.
Nada interesantes.
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Interpretando la realidad
Calentamiento global Habrás observado que en los últimos años el clima está variando mucho; asimismo, te habrás enterado de que la Tierra se está calentando cada vez más y que esto causa que los glaciares se derritan. Los gobiernos del mundo están muy preocupados por esta situación. Por ello, están iniciando proyectos relacionados con la descontaminación, entre los que se incluyen planes para reducir el incremento de gases que contaminan la atmósfera. Los gráficos mostrados, que fueron publicados en tres diarios diferentes, tratan de dar a conocer a la población cómo se ha incrementado la presencia de gases contaminantes en la atmósfera en los últimos 4 años. Gases contaminantes (Millones de m3)
400
D
300
400
F
100
A Tiempo (Años)
400 300 200 100
G
200
B
1 2 3 4
H
300
C
200 100
Gases contaminantes (Millones de m3)
Gases contaminantes (Millones de m3)
E 1
2
3
4
Tiempo (Años)
M Z Y X 1
2
3
4
Tiempo (Años)
1) ¿Cuáles son los datos que muestran los gráficos?
6) ¿A qué crees que se deba la diferencia en la presentación de la misma información en cada uno de los tres diarios? 7) Con respecto al gráfico, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es 2) ¿Cuál es la cantidad de gas contaminante en el 1.er año? correcta en relación con el peligro del calentamiento global?, ¿qué conclusiones puedes dar? a) La contaminación por gases debe reducirse, pues la 3) ¿Cuál es la cantidad de gas contaminante en el 3.er año? tendencia actual es a crecer de forma constante, lo que acelera la destrucción de la capa de ozono. b) La contaminación por gases debe considerarse como una 4) ¿Cuál es la proyección que darías en el 5.° año? alerta a nivel mundial, debido a que está creciendo de forma exponencial, acelerando la destrucción de la capa de ozono. c) La contaminación por gases se mantiene constante en todos estos años; sin embargo, hay que considerar reducir 5) Reflexiona y responde, ¿consideras que alguno de los tres la propagación de gases. diarios haya representado la información de forma incorrecta? Conclusiones: Justifica. 62
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Carrera graficada En las olimpiadas por el aniversario del colegio, se ha organizado una carrera que consiste en dar una vuelta al estadio cuya longitud es de 400 m. En la carrera, participaron cuatro estudiantes y se han registrado las siguientes marcas: Claudia partió muy rápido y recorrió 150 m en medio minuto; pero disminuyó su velocidad, la mantuvo de manera constante y llegó a la meta casi caminando. Eva salió rápidamente y después de un minuto, cuando había recorrido 200 m, tropezó, se cayó y al levantarse ya no pudo correr como al inicio. Llegó hasta 300 m, pero ya no pudo continuar más. María salió lentamente e hizo la cuarta parte de la carrera en medio minuto; por lo que mantuvo su velocidad hasta llegar a la meta y fue primera. Luisa mantuvo la misma velocidad a lo largo de toda la carrera. Así, a los 3 minutos ya había recorrido 300 m, pero no consiguió ganar. Haz una única gráfica representando las carreras de cada una de ellas.
1) ¿De qué trata el problema?
5) ¿Cómo corrió la estudiante que llegó primera?
2) ¿Cuántas estudiantes han participado? 3) ¿Cuáles son las magnitudes que se encuentran representadas en la situación? 6) ¿Qué te piden realizar? 4) ¿Qué sucedió con la última en llegar?
1) ¿Qué elementos se deberían considerar para realizar un gráfico de la situación de cada una de ellas?
4) Si una persona abandona un trayecto, ¿qué crees que pase en la representación gráfica?
2) Si una persona es más rápida que otra, en un mismo tiempo recorrerá más espacio, ¿cómo crees que sea su representación gráfica?
5) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones te ayuda a trazar un plan de acción?
a) Expresar cuatro gráficos relacionando el tiempo y la longitud. b) Expresar cuatro gráficos relacionando el tiempo y la velocidad. 3) Dos personas son lentas y si una lo es más que la otra, en un c) Expresar una misma escala para el desarrollo de los gráficos. mismo tiempo recorrerá menos espacio, ¿cómo crees que sea su representación gráfica? d) Expresar escalas diferentes para cada gráfico. e) Representar las pendientes más y menos empinadas y relacionarlas con los participantes. f) Representar las trayectorias con los participantes. Cuaderno de trabajo
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1) Representa gráficamente las carreras realizadas por Claudia, Eva, María y Luisa alrededor del estadio. Claudia
Eva
Distancia (m)
Distancia (m)
400
400
350
350
300
300
250
250
200
200
150
150
100
100
50
50 0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300 Tiempo (seg.)
María
Distancia (m)
0
400
350
350
300
300
250
250
200
200
150
150
100
100
50
50 30
60
90
120
150
180
60
90
120
210
240
270
300 Tiempo (seg.)
1) Comprueba si lo obtenido te ha servido para resolver el problema.
0
150
180
210
240
270
300 Tiempo (seg.)
210
240
270
300 Tiempo (seg.)
Luisa
Distancia (m)
400
0
30
30
60
90
120
150
180
5) Representa en una misma gráfica las carreras de las cuatro competidoras.
Distancia (m) 2) ¿En qué momento has tenido dificultad para resolver el problema? 3) ¿Crees que el problema se podría resolver a partir de otros procedimientos? Explica, brevemente, alguno de ellos.
400 350 300 250 200 150
100 50
4) ¿Qué habría sucedido si ninguna de las participantes hubiera ganado la carrera?, ¿cambiaría mucho la gráfica?
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300 Tiempo (seg.)
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Resolvamos 2
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El diario de dos monos* César y José, los veterinarios de un zoológico, se encuentran analizando el comportamiento de dos nuevos monos, un macho y una hembra, que llegaron hace unos días. En el gráfico, se muestra el tiempo que emplean cada uno de ellos en diversas actividades durante 12 horas. Tiempo (en minutos)
Hembra Macho
330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 0
Reposando
Moviéndose
Rebuscando
Comiendo
Actividades
Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas e investiguen el comportamiento de los dos monos: 1) ¿En qué actividad emplea más tiempo cada mono?
5) ¿En qué actividades emplean el mono y la mona más de 240 minutos? 2) ¿En qué actividad emplean menos tiempo? 6) ¿Consideran que hay diferencias entre los monos machos y hembras? 3) ¿Cuántos minutos está reposando el mono más que la mona? 4) ¿En qué actividades emplean el mono y la mona entre 30 y 7) Esta información presentada, ¿es importante? Justifiquen. 180 minutos? * Santillana Educación, S.L. (s/f). Prensa y Matemáticas 1.° ESO. Página 166.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con diagramas lineales, a partir del gráfico y de su interpretación. Es importante conocer estos contenidos, ya que son muy utilizados para representar información sobre eventos reales. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He participado de forma significativa.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
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Segmentos que cuentan historias
Encomiendas pensadas Las tarifas postales suelen establecerse en función del peso de los envíos y de la distancia que viajará el paquete. En una localidad de Piura, las autoridades postales han establecido tarifas de envío a la ciudad de Lima como se muestra en la tabla. Los pesos se aproximan al gramo entero más cercano. Supón que estás en Piura y quieres encargar algunas encomiendas a tus familiares en Lima.
ENCOMIENDAS PESO EN GRAMOS
LOCAL VALOR DE VENTA
Hasta 500
NACIONAL
I.G.V.
PRECIO DE VENTA
VALOR DE VENTA
I.G.V.
PRECIO DE VENTA
4,24
0,76
5,00
6,36
1,14
7,50
De 501 a 1000
5,93
1,07
7,00
8,05
1,45
9,50
De 1001 a 2000
8,05
1,45
9,50
11,44
2,06
13,50
De 2001 a 3000
10,17
1,83
12,00
14,83
2,67
17,50
De 3001 a 4000
12,29
2,21
14,50
18,22
3,28
21,50
De 4001 a 5000
14,41
2,59
17,00
21,61
3,89
25,50
Tarifas de Serpost, vigentes al 1 de noviembre del 2011
1) ¿Cuánto te costará el envío de un paquete que pese 348 g?
6) El peso de unas vasijas en su caja es de 125 g. Si tienes disponible S/.30, ¿hasta cuántas vasijas puedes enviar? 2) ¿Cuánto te costará el envío de un paquete que pese 740 g? 7) Reflexiona y responde. ¿Consideras que existe una relación de dependencia entre el costo de la encomienda y su peso? 3) ¿Cuánto es el valor del IGV de un paquete de 3 kilos que se envía a Cajamarca? 4) ¿Cuánto será el valor de venta de un paquete de 4800 gramos que se envía a Catacaos? 8) ¿Para cada valor del costo, existe un único peso de la encomienda? 5) Si deseas enviar a Lima dos paquetes: uno que pesa 2,5 kg y otro que pesa 1,9 kg, ¿te conviene enviarlos juntos o por 9) Si tienes 4 jarrones de Catacaos que pesan 340 g cada uno, separado? Explica. te conviene enviar los cuatro o debes comprar más para aprovechar mejor las condiciones de venta. Explica tu razonamiento. 66
Resolvamos 2
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Ventas y comisiones José trabaja en un minimercado de su barrio, su sueldo básico es S/.600. Además, la tienda le ofrece un pago del 10 % de las ventas mensuales que él produzca, a modo de comisión, si las ventas no exceden de S/.5000. Pero si las ventas superan este monto, José recibirá un pago fijo de S/.500 por concepto de comisión. ¿Cuál será la expresion matemática adecuada que le permita a José conocer su sueldo rápidamente?
1) ¿De qué depende el pago que recibe José?
3) ¿Qué es una comisión?
2) ¿Qué significa que recibe un sueldo básico de S/.600?
4) ¿Qué tienes que averiguar?
1) ¿Si vende S/.3000, cuánto recibe de comisión? ¿Y si vende S/.4000?
3) De las interrogantes anteriores, ¿de qué depende la comisión?
4) Explica la estrategia y los procedimientos que te ayudarán a resolver el problema. 2) ¿Si vende S/.9000, cuál es la comisión? ¿Y si vende S/.1000?
1) Coloca el nombre a cada una de las variables. x: y: 2) Organiza los datos en un cuadro.
Venta al mes (S/.)
Enero
3000
Febrero
2000
Marzo
1000
Abril
2500
Mayo
5000
Junio
5400
Julio
6000
Comisión
Sueldo básico
Sueldo mensual (y)
x < 5000 x > 5000
1) Halla el sueldo total de José para cada mes que se indica. Mes
Ventas del mes (x)
Sueldo + comisión (S/.)
2) Haz una gráfica que indique estos puntos a considerar. x: y:
Sueldo (S/.)
Ventas (S/.) 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
3) ¿Sobre qué lugar geométrico se encuentran estos puntos? Cuaderno de trabajo
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Copias y marketing Para mejorar sus ingresos, una tienda de fotocopias del Jr. Azángaro ha diseñado una estrategia de ventas para los siguientes meses del año. El gerente reúne a sus empleados y explica la promoción:“En Azángaro todos cobran S/.0,05 por copia simple, sea cual sea la cantidad de copias. Nosotros propondremos ese precio si el número de copias no es mayor de 50; pero si saca más de 50 hasta 100 copias, el precio será S/.0,04 por copia, y si saca más de 100, será de S/.0,03”. El gerente te solicita ayudar a los empleados a calcular rápidamente el precio de cualquier número de copias solicitado. ¿Qué propones?
1) ¿De qué trata el problema? 1) Partiendo de supuestos: a) ¿Cuál es el precio por copia que debe pagar un cliente que ha sacado 40 copias? 2) ¿Cuáles son las condiciones del problema?
b) ¿Cuál es el precio por copia que pagará un cliente que ha sacado 60 copias? c) ¿Cuál es el precio por copia para un cliente que ha sacado 120 copias? 2) ¿Qué actividad te ayudará a resolver el problema? 3) ¿Qué te solicita el problema? a) Realizar más supuestos de valores y cantidades de copias. b) Relacionar las condiciones del problema con los datos supuestos. c) Hacer un presupuesto para cada cantidad de copias.
1) ¿Cuánto deberá pagar un cliente que ha sacado “x” copias menores que 50, y en qué condiciones varía “x”?
5) Escribe lo desarrollado en la tabla anterior como expresiones que relacionan el costo de las copias “y“ con el número de copias “x“ para cada variación del número de copias.
2) ¿Cuánto deberá pagar un cliente si ha sacado un número de copias x, entre 50 y 100?, ¿en qué condiciones varía x?
Función
Variación del número de copias
3) ¿Cuánto pagará un cliente que sacó más de cien copias?, ¿en qué condiciones varía x? 4) Completa el siguiente cuadro: Enunciado literal
Ejemplo
1) ¿Qué estrategia fue la que te sirvió para resolver este problema? 68
Enunciado algebraico
2) ¿En qué otros casos puedes aplicar esa estrategia?
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Impuestos para vivir mejor Los impuestos son la fuente principal de ingresos que los gobiernos tienen para invertir en aspectos prioritarios para el desarrollo, como la educación, la salud, los servicios de atención social, la infraestructura vial, entre otros. Los contribuyentes abonan impuestos de acuerdo con sus ingresos mensuales. Tanto los ingresos como los impuestos están en nuevos soles. Los que ganan menos de S/.500 no pagan. y
75
26 x 800
1000
1500
Con tus compañeros, hallen el modelo matemático que expresa este comportamiento. 1) En el gráfico mostrado: 6) Si se mantiene la tendencia de la gráfica, ¿cuánto de impuestos a) x representa se paga si se tiene un ingreso de S/.1800? b) y representa 2) ¿Cuánto paga de impuesto un vecino cuyo ingreso es de S/. 800 mensuales? 3) ¿Cuánto paga de impuesto un vecino cuyo ingreso es de S/. 1500 mensuales? 7) ¿Cuánto paga de impuestos un contribuyente cuyo ingreso es de S/.500 mensuales? Anoten sus operaciones y expliquen. 4) En el eje x se ha graficado el incremento del ingreso, de S/.100 en S/.100, a partir de S/.800. Por cada S/.100 más de ingresos, ¿en cuánto se incrementa el impuesto a pagar? 8) Para N > 500, ¿cuánto paga de impuestos un contribuyente cuyo ingreso es de S/.N mensuales? 5) ¿Cuánto paga de impuesto un vecino cuyo ingreso es de 9) ¿Cuánto paga de impuestos un contribuyente que gana S/. 1000 mensuales? Anoten sus operaciones y expliquen. S/.1250? ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la formulación de modelos de fenómenos del mundo real con funciones lineales. Estas actividades son importantes, puesto que me permitirán entender el comportamiento de un hecho constante y predecir nueva información a partir de lo ya analizado. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
Realicé aportes muy relevantes.
He colaborado de forma significativa.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
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Practicando con la geometría
Construyendo con madera La madera como material de construcción tiene mucho éxito frente a otros, pues, en tanto sea de calidad, no presenta los inconvenientes usuales: no se pudre ni se tuerce o raja. Es un material que se caracteriza por su resistencia, dureza, rigidez y densidad. Con este material pueden construirse cabañas, casas prefabricadas y demás obras con gran resistencia. Si se utiliza madera adecuada, puede dar lugar a construcciones de diseños versátiles, estéticos, prácticos y económicos, esto debido a los diseños técnicos que hacen uso de la geometría. Por ejemplo, en la figura se muestra la estructura simétrica de la cara frontal de una construcción en madera en la que podrás reconocer formas y objetos geométricos.
A
X
Q
3
O P 1
2
4 6
5
S
T
R
1) Identifica cuatro rectas, como mínimo, de las que se presentan en la estructura frontal de la casa prefabricada. 2) A partir de la situación, representa: a) 5 segmentos paralelos: b) 2 segmentos secantes: c) 3 grupos de ángulos alternos internos: d) 3 grupos de ángulos alternos externos: 3) Reflexiona y responde, ¿cómo están relacionados los < 1 y < 2? 4) Si la base del diseño y la viga son equidistantes y se reconoce una región cuadrada ROXT, halla cómo están relacionados OR y RS, sabiendo que ORT mide 90°. 70
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Las calles de Colorinche*
Calle Verde
La figura muestra el plano de la imaginaria ciudad de Colorinche. Considera las calles como líneas rectas:
Calle Roja
le B
lan
co Calle Arco Iris
Cal
Calle Amarillo
Calle Azul
a) ¿Qué calles son paralelas a la calle Arco Iris? b) ¿Qué calles son perpendiculares a la calle Arco Iris? c) ¿Cuáles son secantes a la calle Arco Iris? d) ¿Cómo son entre sí las calles Añil y Verde? e) ¿Cómo son entre sí las calles Roja y Añil?
Calle Añil
1) ¿De qué se habla en el problema?
4) ¿Existen rectas perpendiculares?
2) ¿En qué forma se encuentran distribuidas las calles en Colorinche?
5) ¿Cómo se llaman a las rectas que no son ni paralelas ni perpendiculares?
6) ¿Qué te piden resolver? 3) ¿Existen rectas paralelas?
1) ¿Qué estrategia consideras aplicar para resolver el problema? a) Replantear el dibujo.
1) Realiza la estrategia elegida en el paso anterior:
b) Utilizar colores para señalar el tipo de posición entre rectas. c) Seleccionar la respuesta de una lista.
2) A partir del plano, relaciona las calles que tienen las características de ser paralelas, perpendiculares o secantes.
1) ¿Qué estrategia utilizaste para resolver el problema? 2) Supón que el alcalde de Colorinche hará un cambio en las calles, de modo que todas sean perpendiculares o paralelas, ¿cuáles tendría que cambiar?
3) Copia en tu cuaderno el plano del lugar donde vives y selecciona de él 3 avenidas o calles que son paralelas y 3 que son perpendiculares.
* Santillana. Matemáticas 1.° ESO. Biblioteca del profesorado. Solucionario. Página 227. Cuaderno de trabajo
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Carretera cruzando la granja Un agricultor desea hacer un camino en dos partes entre sus parcelas de cultivo. Para ello, solicita ayuda a un ingeniero quien le manifiesta: “este camino es preferible hacerlo de tal manera que los bordes opuestos del terreno sean paralelos y la línea media de la carretera sea una secante a los bordes del terreno”. Al ver la confusión del agricultor, el ingeniero le presenta un plano como el que se muestra. Halla el valor de los ángulos.
1) ¿Qué desea hacer el agricultor?
1 2 4 3
Se sabe que: m < 2 = 3x - 11 m < 3 = 5y + 6 m < 8 = x + 19
5 6 8 7
3) ¿Qué te pide el problema?
2) ¿Qué datos te da el problema?
1) ¿Qué tipo de rectas observas en el diagrama?
3) ¿Qué estrategia podrías utilizar?
2) ¿Qué tipo de ángulos identificas?
4) ¿Qué propiedades cumplen las medidas de los ángulos marcados?
1) Los ángulos 2 y 6 tienen igual medida porque 2) ¿Qué se puede decir de los ángulos 2 y 8?
5) Determina m < 2. 6) ¿Cómo calcular y?
3) ¿Cómo calcular x?
7) ¿Cuál es el valor de y?
4) Determina el valor de x.
1) Describe las estrategias que te ayudaron a resolver el problema.
4) Crea un problema de similares características y plantea otras formas de resolverlo.
8) ¿Cuánto mide el ángulo 5?
2) ¿Qué otra estrategia habría ayudado a resolver el problema? 3) Halla los valores de todos los ángulos. 72
Resolvamos 2
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Trayectorias de rebote Cuando una pelota choca con una pared, rebota de manera que la trayectoria final y la pared forman el mismo ángulo que la trayectoria inicial con la pared. Utilicen este principio para determinar la medida del ángulo x. La pelota se lanza en línea recta desde el punto P y rebota en las dos paredes, como muestra el esquema. Para el primer rebote, la trayectoria forma un ángulo de 37° con la pared. Asuman que l y m son paralelas.
m x°
c
P
100°
I
143°
Con tus compañeros, resuelvan las siguientes preguntas y hallen el valor de x. 1) ¿Cómo incide y cómo rebota la pelota en la primera pared? 2) ¿Cómo incide y cómo rebota la pelota en la segunda pared? 3) Si a es la medida del ángulo con que incide la pelota en el primer rebote y b, la medida correspondiente al segundo rebote, ubiquen estas medidas en el diagrama. m
x°
4) Considerando las rectas paralelas, establece una relación entre los ángulos para hallar el < c. 5) Suponiendo que a = 35°, calcula el valor de b.
c
6) ¿Cuál es el nuevo valor de x?
P
100°
7) Calculen el valor que tendría x si la pelota rebota desde P con un ángulo de 30°. 8) Considerando la pregunta 4, propongan otras formas para resolver el problema.
143°
I
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas de contexto matemático que involucran el cálculo de ángulos formados por una recta secante a dos paralelas. Las formas paralelas y perpendiculares las encontramos en objetos, calles, avenidas, edificios, etc., y es importante saber interpretarlas para tomar decisiones. Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de participación.
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Problematizando con triángulos
Un problema de cables tensados Un circo es un espectáculo artístico que puede incluir a acróbatas, payasos, magos, adiestradores de animales y otros artistas. Es presentado en el interior de una gran carpa que cuenta con pistas y galerías con asientos para el público. En la actualidad, existen circos estables y circos itinerantes. Es precisamente en este último tipo de circos que, para darle estabilidad al toldo, los expertos cirqueros instalan postes que se encuentran inclinados respecto al terreno horizontal y están sostenidos por cables anclados al suelo. A continuación, se muestra un diseño que expresa las características de los postes de instalación para este tipo de toldo.
- Poste inclinado 80o respecto al terreno horizontal. - Cables AB y CD anclados al suelo. - Ángulo BAC mide 20o. - Ángulo CDB mide 30o.
1) ¿Cuántos triángulos reconoces en el esquema?
5) Halla la medida del ángulo R.
2) Anota los siguientes datos en el gráfico inicial: a) Ángulo BAC mide 20°. b) Ángulo CDB mide 30°. c) Angulo de 80° respecto al poste y el terreno horizontal.
6) En la figura, se reconoce el ángulo ARD. La medida que has hallado, ¿satisface la condición de ser ángulo obtuso? ¿Por qué?
3) Completa la tabla en el orden indicado. Ángulos
Medida
Argumento
CPD
100°
Es un ángulo suplementario 180° - 80° = 100°
PCD ABP ACR
7) En la relación establecida, referida al ángulo ARD, ¿qué propiedad de los ángulos se cumple con respecto a los triángulos? 8) A continuación, se muestra otro diseño para la instalación del poste. ¿Cuánto mide al ángulo ADE?
ARC ARD
4) Reflexiona y responde. Con relación al argumento planteado en la tabla, ¿qué propiedad referida a los ángulos, reconoces en los triángulos usados? 74
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Trabajando con medidas En un triángulo del que no se conoce tipo específico, se tienen las siguientes características: • Uno de los ángulos mide el 50 % de uno de los otros dos. • El mismo ángulo mide el 33 13 % de la medida del tercero. Con estos datos, indica el tipo de triángulo del que se habla y determina la medida de su ángulo menor.
1) ¿De qué forma geométrica se habla en el problema? 4) ¿Cómo están expresadas las relaciones entre los ángulos del triángulo? 2) ¿Se conocen las medidas de los ángulos del triángulo?
5) ¿Qué se quiere saber en el problema?
3) ¿Se conoce la suma de los tres ángulos?
1) ¿Cómo podemos relacionar esta información con las medidas de un triángulo?
3) Describe las estrategias que te permitirán solucionar el problema.
2) ¿Cómo podremos establecer las relaciones entre el primer, el segundo y el tercer ángulo?
1) Haz lo que indicaste en el paso anterior:
3) El mismo ángulo mide 33 13 % del tercer ángulo, entonces se puede decir que 4) Realiza los cálculos necesarios. 5) ¿Cuáles son las medidas del primer, segundo y tercer ángulo?
2) Uno de los ángulos mide el 50 % de uno de los otros, entonces 6) ¿Qué tipo de triángulo es y cuánto mide el ángulo menor? se puede decir que
1) ¿Cuál es la estrategia que utilizaste para resolver el problema?
3) ¿Cuáles serían los porcentajes en el caso de un triángulo equilátero? 2) ¿Cómo cambiarán tus respuestas si el primer ángulo es igual 4) ¿Cuáles son las relaciones entre el primer ángulo, el segundo que la suma de los otros dos? y el tercero? Cuaderno de trabajo
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Calculando las incógnitas En el siguiente triángulo, calcula la medida del ángulo α.
δ
γ δ γ
40°
α
1) ¿Con qué datos se cuenta para poder calcular el valor de α? 5) ¿Cuál es la característica que destaca en ese triángulo? 2) La medida del ángulo de 40°, ¿es importante para resolver el caso?
6) ¿Es posible calcular desde un principio el ángulo α resolviendo este triángulo? 3) ¿Cuántos triángulos tienen que ser resueltos antes de calcular el valor de α? 7) ¿Qué te pide el problema? 4) El triángulo formado por los ángulos γ, δ y δ, ¿qué tipo de triángulo es?
1) ¿Qué estrategia conviene realizar? a) Analizar cada uno de los triángulos que forman la figura. b) Completar los otros valores con las propiedades de suma de triángulos. c) Rehacer el gráfico.
1) Haz lo que indicaste en el punto anterior para resolver el problema: 2) Calcula las medidas de los siguientes ángulos: δ =
1) ¿El diagrama presentado te permitió resolver el problema con rapidez? 2) Describe las estrategias que te sirvieron para resolver el problema.
γ =
α =
3) Crea un problema similar (verifica que el resultado se pueda calcular) y preséntalo a tus compañeros. Que ellos resuelvan el caso que creaste y te brinden sugerencias para mejorar el problema.
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La señal secreta de Pitágoras Buena parte de la Geometría Pitagórica se dedica al estudio y descubrimiento de diversas formas geométricas, siendo una de ellas el pentágono regular. Este tiene la característica de ser una figura en forma de estrella de cinco puntas que se forma al trazar las cinco diagonales de una cara pentagonal de un dodecaedro regular*, llamado pentágono estrellado, Pentacle, Pentalfa o pentagrama místico. Este parece haber sido una especie de símbolo esotérico A de identificación, a modo de anagrama, en la Escuela Pitagórica. El pentagrama místico fue uno de los tópicos geométricos más importantes de la Escuela Pitagórica por sus bellísimas propiedades geométricas de las que nace su simbolismo místico. Por ello, los pitagóricos estudiaron exhaustivamente la construcción y propiedades del pentagrama. Veamos una de ellas.
B
M
N F
R T
Observen la figura. Con cinco líneas se ha formado una estrella de cinco puntas. Se quiere determinar una característica de interés sobre esta figura y sus ángulos: ¿cuál es la suma de los ángulos marcados?
S E
C
*Dodecaedro regular: Figura geométrica regular de doce lados. Para resolver la incógnita, con tus compañeros realicen algunas actividades preliminares: 1) ¿Qué formas geométricas se asocian a la figura? 2) ¿Consideran aplicar propiedades relativas a los ángulos de un triángulo? Indiquen algunas. 3) Observen ahora, ¿qué ocurre si agrupamos los ángulos por parejas, agregando a la figura las medidas x, y? Completen las siguientes afirmaciones: A b N M m < EST = a + F a
c B
m < ETC = + Ty R x S d e C E
4) Al momento ya conocen las medidas del triángulo ETS. ¿Qué propiedad se cumple con esas medidas?
5) x, y representan a la suma de otras medidas. ¿Qué ocurre al reemplazar x, y luego y, por la suma correspondiente? Indiquen el proceso y el resultado. 6) Reflexionen sobre este caso: si las cinco líneas que forman la estrella de cinco puntas fuesen todas congruentes, ¿la suma de los ángulos marcados sería la misma? Fundamenten su respuesta. 7) Según el caso planteado, ¿cuánto mide cada ángulo? 8) En el problema original, donde se supone que los lados de la figura no son regulares, ¿sería posible hallar la medida de cada ángulo?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran suma de ángulos interiores y exteriores de un triángulo, que en la cotidianidad se utilizan para resolver situaciones en las que se ven involucradas formas triangulares, tales como construcciones, soportes, etc. Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?
Muy interesantes.
Interesantes.
Poco interesantes.
Nada interesantes.
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Aplicando áreas en la vida cotidiana
Construyendo el huerto escolar Los estudiantes del 2° B de la IE Fermín Tangüis desean construir un biohuerto para la clase de Ciencia, Tecnología y Ambiente. El 8m terreno se muestra en verde. 8m 8m 6m
8m
10 m
26 m 6m
1) El terreno destinado para el biohuerto está compuesto por formas geométricas conocidas. ¿Cuáles son?
4) Si se desea cercar el biohuerto, ¿cuántos metros de alambre se necesitarán como mínimo? Elabora un gráfico que te ayude a dar respuesta al problema. 2) ¿Cuánto miden las dimensiones que tienen las formas geométricas que has reconocido? Elabora un gráfico para dar tu respuesta.
5) Reflexiona y responde, ¿el cálculo del perímetro de las figuras reconocidas en el biohuerto es diferente a los metros de alambre que se necesitarán como mínimo para cercar el terreno? ¿A qué se debe esto?
3) Completa el cuadro para obtener el perímetro y el área de las formas geométricas en el biohuerto. Forma geométrica Semicírculo
Perímetro
Área
6) El profesor que asesora a los estudiantes recomienda cercar usando el siguiente modelo. ¿Cuántos metros de alambre necesitará para realizar dicha propuesta?
Rectángulo Triángulo Total
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Urbanizando el vecindario El señor Paredes ha recibido una propuesta interesante de una empresa que quiere comprar su terreno para la construcción de un centro comercial. La empresa le propuso un pago de S/.975 000, argumentando que lo ofertado es un aproximado de S/.300 el metro cuadrado. Para comprobar si le conviene el pago que hará la empresa, el señor Paredes ha buscado los planos del terreno, cuyas dimensiones son: Ancho: 65 m Largo: 93 m
2
el m 300 . / S
¿Es cierto lo que afirma la empresa? ¿Le pagarían S/.300 el metro cuadrado?
1) ¿Qué información te da el texto?
4) ¿Cuál es el costo aproximado por metro cuadrado, según la empresa? 2) ¿Qué forma tiene el terreno? 5) ¿Qué te pide el problema? 3) ¿Cuáles son sus dimensiones?
1) A partir de los datos identificados en el problema, ¿qué estrategia es la más adecuada para resolver el problema? Justifica tu respuesta. a) Elaborar un esquema.
b) Hacer un gráfico.
c) Trabajar los datos en una tabla.
1) Desarrolla tu estrategia:
3) A continuación, relaciona el área con el monto que piensan pagarle, a fin de conocer si el precio por metro cuadrado coincide con lo propuesto.Entonces, ¿cuál es el precio por metro cuadrado conociendo su área total? 4) ¿Hay alguna diferencia con el precio ofrecido por la empresa?
2) Calcula el área del terreno en metros cuadrados.
5) ¿Es cierta la propuesta del comprador?
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema.
2) Si el Sr. Paredes quisiera vender su terreno por un precio de S/.100 más por m2 que la propuesta de la constructora, ¿cuál será el precio real de venta? Cuaderno de trabajo
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Pintando y presupuestando Juan se dedica desde hace mucho tiempo a realizar el servicio de pintura de interiores y exteriores. Le han encargado pintar el segundo piso de una casa. Para estimar cuánto de pintura debe comprar, ha tomado las medidas y encontró las siguientes formas y dimensiones: 6,6 m
• Dos paredes en forma de trapecio. • Una pared rectangular de 13 x 4,6 m; otra de 13 x 3,2 m con dos ventanas que miden 0,9 x 1 m cada una. • El techo de la habitación es del mismo ancho que la base menor de la pared. • Un balde de pintura alcanza para 10 m2. ¿Cuánto de pintura necesitará Juan para pintar las paredes y el techo?
1) ¿De qué trata el problema?
4,6 m
3,2 m
8,2 m
3) ¿Qué otro dato presenta el problema?
4) ¿Qué te pide el problema? 2) ¿Qué formas geométricas identificas en el problema?
1) ¿Cuántas áreas va a pintar Juan?
3) ¿Cómo calcularás las dimensiones para el pintado?
2) ¿Qué formas tienen?
4) ¿Qué otra estrategia te ayudará a encontrar la solución? a) Hacer una tabla. b) Buscar un patrón. c) Hacer un dibujo.
1) Incorpora los datos de la estrategia desarrollada en la siguiente tabla: Forma de la pared
Cantidad
1) ¿Qué fue lo que te dio la pista?
Área
2) ¿Cuánto de pintura necesitará?
2) Explica la estrategia que utilizaste.
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Afiches económicos Con el fin de promocionar un concierto musical, pro fondos de la biblioteca, los estudiantes de la IE César Vallejo han decidido elaborar unos afiches publicitarios. Los profesores han propuesto colaborar con la impresión de los afiches, de modo que los estudiantes solo financiarían la compra de papel. Este servicio, por parte de los docentes, debe cumplir con lo siguiente: • La donación de los profesores alcanza para tener unos 600 cm2 de impresión, por cada afiche. • La donación solo debe ser utilizada para la impresión y en su totalidad. • Los márgenes superior e inferior libres deben ser iguales a 3 cm. • Los márgenes izquierdo y derecho libres deben ser iguales a 2 cm. • El tamaño de papel a utilizarse debe ser el más económico posible. • El costo del papel es proporcional al área de este. Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades: 1) Hagan un diagrama que les permita visualizar las condiciones del servicio:
6) Continúen llenando la tabla que les mostramos, a fin de saber con qué ancho obtendremos la menor área de papel. Ancho de impresión (cm)
Largo de la impresión (cm)
Ancho de la hoja (cm)
Largo de la hoja (cm)
Área de la hoja (cm2)
6
100
10
106
1060
12
50
18 24 30 36 42
2) ¿Es correcto decir que, para hallar el costo mínimo de papel, deberemos hallar el área mínima? ¿Por qué?
48 56
7) ¿Podrían afirmar, categóricamente, que estas dimensiones son las correctas? ¿Por qué? 3) Si la impresión tiene un ancho de 10 cm, ¿cuál será el largo? ¿Cuál será el área del papel utilizado? 4) Si la impresión tiene un ancho de 12 cm, ¿cuál será el largo? 8) ¿Cuáles serán las dimensiones de papel más ventajosas? ¿Cuál será el área del papel utilizado? 5) ¿El área del papel utilizado varía conforme cambia el ancho de la impresión? ¿Cómo? ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que implican el cálculo sistemático o con fórmulas del perímetro o de las áreas de figuras geométricas planas, que en la cotidianidad son muy utilizados para calcular la superficie de terrenos o de figuras en construcciones, perímetro, entre otros. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He participado de forma significativa.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
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La medición geométrica
Cercos perimétricos* En un jardín comunal, se ha dispuesto un espacio para colocar juegos infantiles. El municipio dispone solo de 32 metros de cerca. Un diseñador ha presentado estas cuatro propuestas para el área infantil, que debe ser cercado con el material disponible.
A
B 6m
6m
10 m C
10 m D
6m
6m
10 m
10 m
1) ¿Cuánto mide el perímetro de la figura D? Calcula este perímetro de dos maneras distintas.
5) Se desea utilizar los 32 m del material disponible para cercar estas secciones. Escribe Sí o No para indicar si, para cada propuesta, se puede o no se puede construir el cerco con esa cantidad de material. Propuesta ¿Se puede cercar con 32 m 2) ¿Cuánto mide el perímetro de la figura A? ¿Es posible calcular su área? Explica.
del material disponible?
A B C D
3) ¿Cómo son los perímetros de las figuras A y D? ¿Qué características comunes tienen ambas figuras?
6) Reflexiona y responde, ¿qué concepto geométrico está relacionado con cercar esta figura? 7) Si se tuviera que pavimentar la sección infantil, ¿qué concepto geométrico utilizarías? 4) ¿Cuánto mide el perímetro de la figura C? 8) Según los datos expresados en las figuras, ¿en qué figura es posible conocer la medida de su superficie y cuál es esta? * Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE). PISA 2003: Pruebas de Matemáticas y de Solución de problemas. Página 36.
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El terreno dividido
Ellos quieren saber el área de la herencia en total y cuál es su perímetro. ¿Puedes ayudar a calcularlos?
x
81 m2
18 m2
Los hermanos Mendívil heredaron un terreno cuadrangular. Hasta ahora solo dos de ellos siembran en dicho lugar. Santiago cultiva papas huayro en una extensión de 81 m2; mientras que Rolando siembra otro tipo de papa en 18 m2, como se muestra en el diagrama.
x
1) ¿Qué heredaron los hermanos?
4) ¿Qué forma tiene el terreno que siembra Rolando?
2) ¿Qué forma tiene ese terreno? 3) ¿Qué forma tiene el terreno que siembra Santiago?
5) ¿Qué significa x en el diagrama?
6) ¿Qué debes calcular para ayudar a los hermanos?
1) ¿Tienes las áreas de los terrenos de Santiago y Rolando?
4) Utiliza una figura para representar la situación y coloca los datos que vas encontrando.
2) ¿De qué manera puedes calcular los lados de los terrenos? 3) ¿Por cuál de los terrenos empezarás el cálculo? Explica.
1) ¿Cuál es el lado del terreno de Santiago?
4) ¿Cuál es el área de la herencia?
2) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno de Rolando?
5) ¿Cuál es el perímetro de la herencia?
3) ¿Cuál es el valor de x?
1) ¿Cuál fue la estrategia que más te ayudó a resolver el problema?
2) ¿Cuál es el área de los otros terrenos?
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Nadando bajo los reflectores L a Asociación de Padres de Familia del colegio decidió iluminar el recinto de prácticas de natación. Para este fin se decidió instalar, a modo de cerco rectangular, un reflector cada 3 m, lo cual implicaba utilizar 36 reflectores, incluyendo uno en cada esquina. Observa la ilustración, ahí puedes apreciar que el cerco tiene el doble de largo que de ancho. Cada reflector está representado por una bolita amarilla.
2a
a
¿Cuál es el largo y el ancho del recinto a iluminar?, ¿cuál es el área de la región cercada?
1) ¿De qué trata la situación planteada? 3) ¿Qué te solicita el problema? 2) ¿Qué datos te da el problema?
1) ¿Qué forma geométrica predomina en el problema? 2) Recuerda las fórmulas para hallar el perímetro y el área de la figura geométrica asociada al problema. Escríbelas.
4) ¿Qué estrategia eliges para resolver el problema? (Puedes marcar más de una opción). a) Ensayo y error b) Hacer una representación gráfica
c) Buscar regularidades d) Expresar variables y datos 3) El plano de instalación de los reflectores muestra una relación e) Hacer los cálculos entre el largo y el ancho. ¿Cuál es?
1) Elabora un dibujo y expresa los datos que te dan en el problema.
2) Comienza por lo más fácil, el perímetro. ¿Cuánto mide? 3) A partir del perímetro, completa: La suma del largo y del ancho es . El largo mide y el ancho es de . 4) ¿Cuál es el área de la región cercada?
1) ¿Cuál es la estrategia que utilizaste para resolver el problema? 84
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Comederos para aves Edad (En semanas)
Pollos de engorde (espacio de comedero en cm por ave)
Aves de postura Razas livianas
Razas pesadas
0–1
Comederos de charola de 35 – 45 cm de diámetro y de 3 – 5 cm de altura, o bien las cajas donde vienen los pollitos, debidamente cortadas, usadas a razón de 1 para cada 100 aves.
2–3
2,5 cm/ave
2,5 cm/ave
2,5 cm/ave
4–6
5 cm/ave
5 cm/ave
5 cm/ave
7 – 11
7,5 cm/ave o 30 comederos colgantes 6,7 cm/ave o 25 comederos colgantes 7,5 cm/ave o 30 comederos colgantes de 42 cm de diámetro para mil aves de 42 cm de diámetro para mil aves de 42 cm de diámetro para mil aves
12 – 16
7,5 cm/ave o 25 comederos colgantes 8,9 cm/ave o 30 comederos colgantes de 42 cm de diámetro para mil aves de 42 cm de diámetro para mil aves
17 – 20
8,9 cm/ave o 30 comederos colgantes 10 cm/ave o 40 comederos colgantes de 42 cm de diámetro para mil aves de 42 cm de diámetro para mil aves
21 – 80 Durante la postura
10 a 12 cm/ave o 50 comederos 12,5 a 15 cm/ave o 60 comederos colgantes de 42 cm de diámetro para colgantes de 42 cm de diámetro para mil aves mil aves
Nota: Para hacer los cálculos de espacio de comederos o de bebederos en centímetros lineales, se consideran ambos lados. Por un comedero de 150 cm tiene un total de 300 cm porque las aves comen en ambos lados. Considerar π = 3,14 Fuente: Navarro, C. Curso de Avicultura. Página 31.
1) ¿Cuántas aves de 2 a 3 semanas de vida pueden comer en un comedero de 2 m de largo?
4) ¿Cuáles son las dimensiones para un comedero de pollos de razas livianas si tienen 17 semanas de vida?
3) Manuel ha adquirido 200 pollos de una semana de edad. Él quiere diseñar un comedero de charola para sus animales. ¿Cuántos cm2 de material como mínimo y máximo debe comprar para poder hacer su comedero?
2m
2,5 m
1m 2,5 m
5) El corral de Manuel tiene la forma mostrada en la figura. Calculen el área de este corral de cuatro maneras distintas. 1,5 m
2) ¿Cuántas aves de 6 semanas de vida pueden comer en un comedero de 2 m de largo?
3m
6m 6) Calculen la cantidad de metros lineales necesarios para cercar este corral. Háganlo de dos maneras distintas. ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que implican el cálculo sistemático o con fórmulas tanto del perímetro como de las áreas de figuras geométricas planas. En la cotidianidad, estos conocimientos son muy utilizados para calcular superficies de figuras o de terrenos en construcciones, perímetros y aplicaciones. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
Realicé aportes muy relevantes.
He colaborado de forma significativa.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
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Circulemos por los círculos
Bordando sueños
En muchos logotipos que reconocemos en la vida cotidiana se usan expresiones circulares donde se reconocen el diámetro y, en otras, semicircunferencias. Mónica tiene un taller de bordado y ha recibido el pedido de hacer parches con el logo “caracol” y el símbolo del “yin y yang”. Su equipo de trabajo necesita reconocer las formas geométricas en los logos que deben elaborar, para lo cual solicitan tu apoyo. Figura 1 Figura 2
M
2a
2a
a
a
2a
N +
+ X R
8a
1) ¿Qué figura tiene forma de espiral? 2) ¿Qué figura geométrica reconoces en las curvas del logo de forma de espiral?
10a
7) ¿Cuál es la longitud de bordado necesario para el logo en forma de espiral?
8) Calcula la longitud del bordado de las partes del logo de la figura 2. Considerar D = 10a. 4) ¿Qué es necesario conocer si se quiere construir los diseños de las figuras? 3) ¿Qué tipo de curvas forman el otro logo?
5) ¿Qué fórmulas se van a necesitar? Escríbelas.
9) ¿Cuál es la longitud de alambre necesario para el otro logo?
6) Completa. Los operarios desean hacer un bordado del logo de forma espiral que está formado por cinco semicircunferencias. Tomando en cuenta que D = 8a, las longitudes de las 10) Reflexiona y responde, ¿qué logo requiere más material? circunferencias serán: 1.a semicircunferencia 2.a semicircunferencia 3.a semicircunferencia 4.a semicircunferencia 5.a semicircunferencia
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La limitada vida de Fido Fido está atado a una cadena que le permite un alcance máximo de 2 m. La cadena está unida a una argolla que se desplaza en una barra en forma de ángulo recto, cuyos lados miden 2 m y 4 m. La argolla de la barra puede desplazarse por toda la barra a ambos lados. Hallar la medida de la superficie máxima en que se desplaza Fido.
4m
A
x 2m 2m
Nota: Considerar π = 3,14
1) ¿Cuál es el alcance máximo de la cadena a la que está atado Fido?
3) ¿Qué forma tiene la barra?
2) Señala, en el gráfico inicial, puntos donde puede estar fija la argolla de la cadena que sujeta a Fido.
4) ¿Qué te piden averiguar?
B
1) Si Fido estuviera atado a una estaca, ¿qué forma tendría la región en la que podría desplazarse?
3) Para el caso de Fido, ¿cómo podrías representar la situación planteada en el problema?
2) ¿Cómo podrías representar mejor tal situación?
1) En este espacio, dibuja a escala los desplazamientos máximos que puede hacer Fido.
2) En la gráfica, descompón la figura elaborada en otras que sean conocidas y calcula su área. Ubica los valores hallados en la siguiente tabla. Figura
Operaciones para hallar el área
Área (m2)
1
A
x
2 3 4
B
5 6 Total
3) ¿Cuál es la superficie máxima en la que se desplaza Fido?
1) ¿Qué estrategia te ayudó más a resolver este problema?
2) Si se mantiene constante la cadena y la barra tiene la forma y medidas indicadas (3 m x 3 m), ¿la superficie que alcanza Fido es mayor o menor que la anterior?, ¿por cuánto? Cuaderno de trabajo
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La jirafa hambrienta Una jirafa se encuentra cautiva dentro de un terreno triangular cercado, como se muestra en la figura. Las medidas de los lados de ese lugar son 20 m, 16 m y 12 m.
20
m
12 m
Gracias a su largo cuello, la jirafa puede comer la hierba que está fuera del terreno cercado, exactamente hasta una distancia de 2 m alrededor de todo el cerco. ¿Cuál es el área en metros cuadrados del terreno que está fuera del cerco y del cual podría comer la jirafa? 16 m
1) ¿Qué hace la jirafa?
3) En cada vértice, ¿qué figura describe la jirafa al comer las hierbas fuera del cerco? 2) ¿Qué forma y qué medidas tiene el terreno cercado?
4) ¿Qué debes averiguar?
1) ¿Qué concepto geométrico está asociado a la medida de lo que está disponible para la jirafa? 2) Este problema es parecido a otro. ¿Qué estrategia o procedimiento realizarías para resolver el problema? 3) ¿Consideras que descomponer la figura desconocida en otras más conocidas es una buena estrategia?
1) Haz un diagrama para representar la situación y descompón la figura en rectángulos y sectores circulares.
2) Coloca los datos en la siguiente tabla e indica el área de cada figura. ¿Cuál es el área de la superficie de hierba de la cual la jirafa puede comer? Figura
Fórmula del área
Operaciones para hallar el área
Área (m2)
1 2 3 4 5 6 Total
1) ¿Cuál fue la estrategia que más te ayudó a resolver el problema? 88
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Guirnaldas circulares Para recibir a una procesión en la IE Virgen del Carmen, los estudiantes están fabricando guirnaldas con papel crepé de colores. Primero cortan anillas circulares de 1 cm de espesor, luego son entrelazadas como se muestra para formar eslabones gigantes.
4 cm 5 cm Con tus compañeros, hagan el experimento con papel y formen una cadena de dos eslabones con las dimensiones indicadas en el texto. ¿Cuánto mide de largo esa cadena? Agréguenle un eslabón más. ¿Cuánto mide ahora el largo de esta cadena de tres eslabones? Elaboren un diagrama análogo a la cadena, considerando las dimensiones rectangulares necesarias para hallar su largo. Nota: Forma circular mayor = 5 cm Forma circular menor = 4 cm 1) Con tu equipo reflexionen y describan la secuencia de pasos utilizada para calcular el largo de una cadena de dos eslabones.
4) ¿Observan algún patrón en esta tabla? Descríbanlo.
2) Hagan un dibujo de tres eslabones. ¿Identifican un método similar al anterior para calcular su largo?
5) Generalicen el patrón de tal forma que les permita calcular el largo de la cadena cuando se conoce el número de eslabones.
6) ¿Cuántos metros medirá una cadena que tiene 100 eslabones? 7) Si para cubrir el patio del colegio se necesitan cadenas de 3) Organicen los datos encontrados en una tabla. 1,70 m, una para cada pared, ¿cuántas anillas se tendrán que N.° de eslabones Largo (cm) utilizar? 1 2 3 4 ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran el cálculo de la circunferencia de un círculo. Este conocimiento me sirve para resolver situaciones en las que hay que aplicar el concepto de perímetro de circunferencia y analizar casos en los que hay que trabajar con formas circulares. Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de participación.
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Reconociendo longitudes
Se acerca la Navidad La familia Pérez va a celebrar por primera vez las fiestas de Navidad invitando a sus demás familiares. Ellos quieren que este año sea inolvidable. Por eso, han comprado 9 mesas circulares que van a colocar en todo el jardín para recibir a los invitados. Cada mesa tiene un diámetro de 90 cm y alrededor de ella se sentarán 4 personas. La mesa tendrá, por lo tanto, 4 sillas distribuidas simétricamente. Una de las hijas decide adornar cada mesa con una cinta que cubra el borde superior, encima de los manteles. La cinta mide 2 cm de ancho. ¿Cuál es la longitud y el área total de la cinta para una mesa? Nota: Considerar π = 3,14
1) ¿Qué forma tiene la mesa?
7) Reflexiona y responde, ¿qué conocimientos geométricos has empleado para el desarrollo de los problemas?
8 ) El Sr. Pérez, al enterarse del costo, sugiere una alternativa para el adorno, como se muestra en la figura: 3) ¿Qué forma geométrica tiene la cinta que adornará las mesas? 2) Para que pueda comprar la cinta, ¿qué necesita calcular?
4) ¿Cuánto de cinta en cm2 usará para el borde de una mesa? 5) ¿Qué longitud de cinta comprará en total para todos sus invitados? 6) En el bazar, venden la cinta requerida a S/.3 el metro. ¿Cuál es el costo total de adornar las mesas?
¿Esta alternativa es más económica que la anterior? ¿Por qué?
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Un negocio creativo Carmen fabrica móviles para diversas tiendas de artesanía. Ella quiere producir 450 móviles que tengan la forma mostrada. La altura de cada móvil es de 32 cm. Para hacerlo, utilizará alambre de aluminio N.° 14, cuyo costo por metro es de S/.32,50.
256 cm2
¿Cuánto dinero tiene que invertir en adquirir el alambre necesario para su elaboración? Nota: Considerar π = 3,14 Aproximar a centécimas el valor hallado.
1) ¿De qué trata el problema?
1
2
4) ¿Qué información se necesita conocer?
2) ¿Qué forma tiene el adorno?
5) ¿Qué te pide averiguar el problema?
3) ¿Qué dato explícito está en la figura?
1) ¿Qué figuras geométricas reconoces en la figura ?
3) ¿Qué datos tienes para poder calcular su longitud?
2) ¿Qué figuras son las que Carmen debería trabajar?
4) ¿Qué estrategia puedes utilizar para resolver el problema?
a) Hacer un dibujo. b) Elaborar una tabla. c) Hacer un diagrama de Venn.
1) Desarrolla la estrategia propuesta.
4) ¿Qué necesitas conocer para calcular cuánto de material será necesario? 5) ¿Cuál es el perímetro de cada una de las formas? Utiliza para ello la estrategia que indicaste antes.
Figura 1: Figura 2: 2) En la figura 1 (la más grande), ¿qué elementos tienes de ella y cuál es su longitud? 6) ¿Cuánto de material será necesario? 3) En la figura 2, ¿qué elementos tienes de ella? 7) ¿Cuánto debe invertir Carmen?
1) ¿Qué estrategia te sirvió más para poder calcular la cantidad necesaria de alambre?
2) ¿Consideras que el cuadrado de 256 cm2 de área es importante en la resolución del problema?
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Presupuestando costos 16 cm
Un carpintero metálico tiene que fabricar 180 piezas como la que se muestra.
16 cm
Si el metro cuadrado del material con el que se va a fabricar vale S/.8,45, ¿cuánto cobrará por todo? Nota: Considerar π = 3,14
1) ¿De qué trata el problema?
4) ¿Tienes alguna dimensión que te ayude a calcular cuánto de material necesitará? 2) ¿Cuántas piezas tiene que construir el carpintero? 3) ¿Qué forma tienen las piezas?
5) ¿Qué quiere hacer el carpintero al final?
1) Imagina que cada una de las piezas pueden moverse, ¿cuál podría ser su ubicación dentro del cuadrado de 32 cm de lado o dentro de los otros de 16 cm de lado?
1) Realiza el gráfico de lo que imaginaste:
2) Calcula el área de cada uno de ellos. Considera la medida del cuadrado. 3) ¿Cuál es el área total?
4) Cada metro cuadrado vale S/.8,45. ¿Cuánto gastará por todo? En total tenemos círculos.
1) ¿En qué momento has tenido dificultad para hallar la solución? 2) ¿Cómo reorientaste el problema para hallar la solución?
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3) ¿Qué conceptos matemáticos has utilizado para resolver este problema? 4) ¿Crees que habría algún cambio significativo si la forma fuera cuadrada en vez de circular? Sustenta tu respuesta.
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Formas complejas Un vitral tiene la forma de la flor que se indica en la figura, donde la letra R representa a la región roja; la M, a la morada, y la V, a la verde. Se desea decorar con alambre cada uno de los bordes del vitral, con el fin de cubrir así los bordes que queden entre cada una de las formas. Cada sección está marcada en el patrón. Nota: Considerar π = 3,14
V M V
M
V
R
R
R
R M
M V
Con tus compañeros, resuelvan la incógnita y hallen la respuesta. 1) ¿Cómo son las circunferencias proyectadas en la sección roja y sección morada?
4) ¿Cuánto de alambre se necesitará para cubrir todas las secciones rojas?
5) Ahora, considerando la sección morada (M), ¿cuántos centímetros de alambre serán necesarios? 2) ¿Cuál es la relación entre la forma que proyecta la zona morada y la zona verde? 6) Para la sección verde, ¿cuántos centímetros de alambre serán necesarios? 3) Para cubrir el borde de una sección roja, se necesitaron 31,4 cm de alambre. B R B R
R
R
R
R
7) En total, serán necesarios metros de alambre.
R
8) ¿Qué relación pueden encontrar entre la sección roja, morada y verde?
B B R Si trasladan uno a uno cada segmento circular, ¿qué figura formarán?
9) ¿Creen que sin haber analizado el caso paso a paso hubieran dado con la respuesta? ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran el cálculo de la circunferencia de un círculo. Este conocimiento nos sirve para resolver situaciones en las que hay que aplicar el concepto de perímetro de circunferencia y analizar casos en los que hay que trabajar con formas circulares. Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?
Muy interesantes.
Interesantes.
Poco interesantes.
Nada interesantes.
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Mediciones adecuadas
Proyecto de construcción La empresa “Tierra firme” ganó un proyecto de obra en el que se realizará la construcción de un pozo de forma cilíndrica. Al momento de elaborar los planos, han decidido que necesitan excavar 50 metros de profundidad con un diámetro de 2,7 m. La excavadora extrae 9 m3 por hora. Una vez terminada la excavación, un camión, que puede hacer cuatro viajes por hora, se encarga de retirar la tierra en su contenedor de 500 cm x 250 cm x 150 cm. Por cada hora, el operario de la excavadora gana S/.60 y el chofer del camión, S/.30. ¿Cuánto se gasta en el salario del operario de la excavadora? Nota: Considerar π = 3,14
1) ¿De qué trata el problema?
8) Completa las tablas considerando las actividades referidas al pozo. Pozo Contenedor 2) ¿Qué forma tiene el pozo que se va a excavar?
Volumen (m3)
3) ¿Cuáles son las dimensiones del pozo que se desea construir?
Excavadora
Camión
Rendimiento por hora (m3) 4) ¿Qué volumen de tierra remueve la excavadora por hora? 5) ¿Cuántos viajes por hora hace el camión?
Costo del operario por hora (S/.) Número de horas
Pago total del operario (S/.) 6) ¿Cuál es el salario por hora del operario de la excavadora y del conductor del camión?
9) ¿Cuál es el salario del operario de la excavadora?
10) Reflexiona y responde. ¿Qué condiciones pueden afectar el pago del chofer? Explica. 7) ¿Qué fórmulas relacionadas con ciertos elementos geométricos utilizarás? 11) ¿Cuál es el salario del chofer según el cuadro? 94
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A mayor consumo, mayor gasto Supongamos que se tiene un medidor de agua que expresa la cantidad consumida en m3 y dm3. La familia Sotil ha consumido 14 m3 y 21 dm3 de agua durante el mes de enero. La empresa de servico de agua potable y alcantarillado tiene una tarifa, según el consumo durante el mes, con los siguientes precios: Tarifa S/. por m3 De 0 a 10 m3
0,94
De 10 a 25 m
3
1,091
De 25 a 50 m
3
2,414
De 50 m a más 3
4,095
¿Cuánto tienen que pagar por el consumo realizado el mes de enero?
1) ¿Qué quiere saber la familia Sotil?
3) ¿Cuánto de agua han consumido?
2) ¿Cuáles son las unidades de medida que están involucradas en el caso?
4) ¿Qué pide el problema?
1) ¿Qué dato es importante considerar para resolver el problema?
2) ¿Necesitas realizar alguna conversión? ¿Cuál es el esquema a seguir? Recuerda que deberías considerar conversiones de 3 dm a m3 y viceversa.
Con el dato que has mencionado anteriormente, calcula cuánto de agua han consumido durante el mes de enero. Considera el siguiente esquema de conversión:
1 metro cúbico (m3)
103 dm3 3 (dm = decímetro cúbico) 103 l (l = litro)
106 cm3 (cm = centímetro cúbico) 3
1) Plantea la conversión necesaria a realizar para el problema. 2) ¿Dentro de qué categoría estarán? 3) ¿Cuánto van a pagar por el consumo realizado?
1) ¿Qué estrategia te sirvió más para tomar la decisión?
3) ¿Crees que es útil un problema de este tipo? Justifica.
2) ¿La estrategia utilizada te permitió resolver el problema?
4) Revisa en tu casa el recibo de agua, compara la cantidad de m3 que consumes, así como el monto por cm3 consumido. Cuaderno de trabajo
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Propuesta de ahorro En el distrito de Villa Eternidad, con una población de 15 200 habitantes (que aproximadamente representan 3800 familias), la postulante a alcaldesa ha propuesto lo siguiente para iniciar el plan de ahorro de agua.
2,5 cm
Si en cada una de las viviendas colocaran un cilindro pequeño con arena al interior del tanque del inodoro durante un mes, ahorraríamos el agua suficiente para regar los jardines durante ese tiempo. Las dimensiones del cilindro son un radio de 2,5 cm y una altura de 23 cm. Por otro lado, durante un mes, se necesitan 5400 m3 de agua para regar los jardines. ¿Resultará efectivo lo planificado por la postulante a la alcaldía?
1) Explica con tus propias palabras en qué consiste el problema.
23 cm
Nota: π = 3,14
4) ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro?
2) ¿Cuántos habitantes tiene Villa Eternidad y cuántas familias hay allí?
5) ¿Qué debe hacer cada poblador para ahorrar agua?
6) ¿Cuánto de agua, en total, quieren ahorrar en todo el distrito? 3) ¿Cuál es la propuesta de la alcaldesa? 7) ¿Qué te pide el problema?
1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema? c) Hacer un dibujo. a) Hacer una tabla. b) Buscar un patrón.
1) ¿Cuánto de agua se ahorra utilizando el cilindro con arena?
3) Por estudios realizados, una familia jala la cadena, en promedio, 16 veces al día. Con ello, el ahorro diario de agua es: 2) Si se quiere ahorrar un total de 5400 m3 de agua, ¿cuántas veces será necesario jalar de la cadena? 4) ¿Es posible ejecutar esta propuesta en el tiempo planteado?
1) ¿Has tenido dificultades para llegar a la solución del problema? 2) De ser cierto lo anterior, ¿cómo has llegado a superar este inconveniente? 3) Si tú fueras el oponente de la alcaldesa, ¿qué le dirías a la población de Villa Eternidad con respecto a la propuesta presentada y qué volumen de cilindro ahorrador recomendarías? 96
4) ¿Sería correcta tu contrapropuesta?, ¿de qué depende para que sea la indicada?
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A más cilindros, más potencia La energía generada por el motor hace que las ruedas de un vehículo giren y, por ello, este se mueve. Los motores usuales son los de combustión interna, donde el combustible (la gasolina) se quema dentro de los cilindros (en la cámara de combustión). Es frecuente leer, en la parte trasera de los vehículos, datos como los siguientes: 1,3 litros; 1,6 litros; 2,0 litros; 4,0 litros; 16 litros, entre otros. Los números se refieren a la cilindrada del vehículo, esto es, al volumen útil de los cilindros. Por ejemplo, un vehículo tiene las siguientes especificaciones técnicas en su manual:
Componente
Especificaciones técnicas
Motor
Inyector de gasolina
Válvula de escape
Toma de aire Pistón
1,6 l
Cilindros
4 en línea
Válvulas
2 por cilindro
Diámetro de los cilindros
82,07 mm
Carrera
75,48 mm
Cilindrada
1597 cm3
Cigüeñal Aceite
Nota: Carrera = altura de un cilindro Con tus compañeros, comprueben si lo que indican los datos, efectivamente, corresponden al volumen. 1) Calculen el volumen de cada cilindro.
4) En otro caso, un modelo de automóvil tiene las siguientes características: Número de cilindros 4 en línea Distribución Por cadena, DOHC, 16 válvulas Cilindrada 1998 cm3 2) ¿Cuál es el volumen total en los cilindros?
¿Su motor, de cuántos litros es?
3 3) El volumen está expresado en cm ; sin embargo, el motor indica 1,6 litros. ¿Cumple con esa característica? 5) Investiguen a qué se deben estas diferencias y si hay alguna ventaja o desventaja en poseer mayor cilindraje. ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la conversión de unidades cúbicas en el sistema métrico decimal. En nuestra vida, necesitamos elegir las unidades para medir adecuadamente diversos objetos, así como para realizar comparaciones, estimaciones y aproximaciones. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He participado de forma significativa.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
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Mediciones para convivir mejor
Ampliando la biblioteca La biblioteca de la institución educativa tiene las dimensiones mostradas en la figura y no puede contar con más terreno. La bibliotecaria ha informado que ya no es posible ingresar más estantes con libros, a menos que se reduzca el área de lectura. Ella ha señalado al director que se necesita ampliar la biblioteca en 60 m3. 3m
2m
Vista superior
4m
Vista frontal
3m
3m
¿Cómo podremos ampliar la biblioteca?
2m
Altura: 3 m Aforo: 20 personas
1) ¿Qué forma tiene la biblioteca según sus dimensiones?
4) Reflexiona y responde, ¿cómo se calculó la longitud de la altura que se quiere aumentar? 2) ¿Cuál es su volumen antes de querer aumentar sus dimensiones? 5) Si permitieran ampliar la superficie del terreno y ya no quisieran que se aumente hacia el techo, sino alargar uno de los lados, ¿qué se podría hacer? Plantea una propuesta y luego preséntala en clase. 3) Si el volumen que se desea aumentar es 60 m3, ¿en cuánto debe incrementarse la altura de la sala? 98
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Ante una emergencia El incremento del caudal del río Mantaro ha originado que varias casas se inunden. En promedio, el agua ha llegado hasta 60 cm de alto en el primer piso; pero en algunas casas, más pegadas a la orilla del río, la inundación ha sido mayor. Tal es la situación de la vivienda de la familia Gálvez, en cuyo caso la altura del agua ha llegado a 1,65 m. Los bomberos están ayudando a retirar el agua; para ello, utilizan una bomba que extrae 6 l/min. ¿Cuántas horas tardarán en extraerla? Las dimensiones del piso de la casa de la familia Gálvez son: 6 m x 3,5 m. Nota: 1 litro equivale a 1000 cm3
1) ¿De qué trata el problema?
4) ¿Cuál es la cantidad de agua que extrae la bomba?
2) ¿Cuáles son las dimensiones de la casa de la familia Gálvez? ¿Qué forma tiene?
5) ¿Qué pide el problema? 3) ¿A qué altura ha llegado el agua en la vivienda?
1) ¿Cómo puedes reconocer la situación planteada en el problema? 2) La motobomba extrae 6 litros de agua por 1 minuto, ¿cómo puede ayudar este dato a resolver el problema?
1) Completa los datos solicitados en la tabla y dibuja el gráfico que represente la vivienda de la familia Gálvez. Dimensiones del terreno
Altura del agua
Volumen en litros
Razón de bombeo
Tiempo en horas
2) ¿Cuál es el volumen de agua que provocó la inundación? 3) ¿Es necesario convertir esta medida en otra? 4) La bomba saca 6 litros por minuto, ¿cuánto de agua sacará en 10 minutos? 5) ¿En 20 minutos? 6) ¿En cuánto tiempo sacará toda el agua?
1) ¿Qué estrategias te fueron útiles para resolver el problema?
2) ¿Qué hubiera sucedido si en vez de 1,65 m se hubiera inundado solo 0,6 m?, ¿en cuánto tiempo se hubiera retirado el agua? Cuaderno de trabajo
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Salud en verano La Municipalidad de Piura ha dado una ordenanza de salud pública, que garantizará tener el agua de las piscinas en óptimas condiciones. Por ello, se añaden 2 mg de cloro por 15 cm3 de agua cada 5 días. El complejo deportivo “Daniel Carpio” tiene una piscina para adultos como la del gráfico.
10 m
25 m 2m
5m
¿Cuántos gramos de cloro se necesitarán para el mantenimiento de la piscina durante 60 días?
1) ¿De qué trata el problema?
4) ¿Cuáles son sus dimensiones?
2) ¿Qué datos te dan? 5) ¿Qué te solicita el problema? 3) ¿Qué forma tiene la piscina?
1) Este problema es similar o parecido a otro desarrollado, ¿qué estrategia emplearás para resolverlo? 2) ¿Qué puedes hacer para calcular el volumen de agua de la piscina?
1) Completa la siguiente tabla con los datos solicitados: Procedimiento
Resultado
3) La dosis de 2 mg por 15 cm3 cada 5 días se puede relacionar con el mantenimiento de la piscina durante 60 días, ¿con qué otro dato más se puede relacionar?
2) Si cada 5 días se añaden 2 mg de cloro al agua, ¿cuánto de cloro se habrá añadido para el volumen hallado en la piscina? Cloro
Volumen
Área de la base Altura Volumen total
3) Si se está planificando el mantenimiento de la piscina para 60 días, ¿cuántas veces habrá que añadirle cloro? 4) ¿Cuánto de cloro será necesario para los 60 días?
1) Explica, con tus propias palabras, la estrategia utilizada para resolver el problema.
2) Si desean construir una piscina para niños, ¿qué modelo podrían utilizar? Indica, para ese caso, la cantidad de cloro que habrá de usarse. 100
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Dándoles forma a los materiales En el taller de Educación para el Trabajo, el equipo de Luis debe fabricar una pieza mecánica cuyo diseño se muestra.
2 cm
2 cm
2 cm 2 cm
2 cm
2 cm 3 cm
8 cm
Con tus compañeros, ayuden al equipo de Luis, utilicen las medidas que se indican y calculen el volumen del objeto. 1) ¿Qué formas geométricas se observan en el diseño? 5) Calculen el volumen del hueco cilíndrico. 2) Escriban las fórmulas de volumen que van a aplicar. 6) Utilicen los resultados de las preguntas 4 y 5, y calculen el volumen del objeto. 3) Si dejan el volumen del hueco en forma de cilindro para el final, ¿qué partes tendría el diseño? Indiquen sus medidas en centímetros. 7) ¿De qué otro modo podrían calcular el volumen del objeto? 4) Calculen el volumen de las partes que anotaron en la pregunta anterior. ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la conversión de unidades cúbicas en el sistema métrico decimal. En la vida cotidiana, necesitamos elegir las unidades para medir adecuadamente diversos objetos, así como para realizar comparaciones, estimaciones y aproximaciones. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
Realicé aportes muy relevantes.
He colaborado de forma significativa.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
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¿De cuántas formas?
El miriorama El miriorama o paisaje infinito es un juego que surgió al principio del siglo XIX (los primeros ejemplos se elaboraron en Francia e Inglaterra) y en el que una serie de tarjetas pueden combinarse de diferentes maneras, encajando siempre para formar distintos paisajes.
Fuente: Piezas originales elaboradas por Jean-Pierre Brès, ca. 1802. http://mengambrea.org/miriorama/bres.html
1) Imagina que te regalan un miriorama con solo tres partes: A, B y C. Haz una lista de los paisajes posibles. N.°
Paisajes posibles
1 2 3 4 5 6
2) ¿Cuántos diferentes paisajes se pueden formar con este miriorama? 3) ¿Y si el miriorama tuviera cuatro partes? Para saberlo, haz la lista de todos los paisajes que se pueden formar.
6) Organiza tu información mediante un diagrama de árbol y responde, ¿cuántos paisajes diferentes se podrán formar con un miriorama de cuatro partes? 7) Organiza estos números en un cuadro como se muestra. Partes
Números de paisajes
2
2
3 4
8) ¿Reconoces algún patrón en la lista de la columna “Número de paisajes”?
9) Generaliza tu patrón y calcula cuántos paisajes diferentes se obtienen con un miriorama de 6 partes. 4) ¿Cuántos diferentes paisajes se pueden formar? 5) Reflexiona y responde, ¿puedes hacer uso del diagrama de árbol para resolver los problemas anteriores? Experimenta en tu cuaderno. 102
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Placas sospechosas Un testigo de un asalto informó a la policía que el auto utilizado por los ladrones para la fuga tenía una placa de seis símbolos: los dos primeros eran vocales y los cuatro últimos eran dígitos mayores que cuatro. ¿Cuántos autos deberá investigar la policía?
1) ¿Cuántos símbolos tenía la placa?
3) Da tres ejemplos de la placa del auto a investigar.
2) ¿Cómo se distribuyen estos símbolos?
4) ¿Qué es lo que te piden?
1) Completa la expresión:
3) ¿Qué principio de conteo se puede utilizar?
Hay que saber cuántas placas se pueden formar con símbolos, si los primeros son vocales y los 4 últimos son
a) El principio de la suma.
2) ¿Cómo podría reconocer todas las posibles situaciones respecto al problema?
b) El principio de la multiplicación. c) Una combinación de ambos.
1) El cuadro muestra los espacios a llenar para la placa sospechosa, completa en él las posibles situaciones. Vocal
Vocal
Número Número Número Número
4) ¿De cuántas diferentes maneras se pueden llenar la primera y la segunda casilla? Explica. 5) ¿De cuántas formas se puede llenar la tercera casilla?
2) ¿De cuántas formas diferentes se puede llenar la primera casilla? 3) ¿Y la segunda?
6) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden llenar la primera, segunda y tercera casillas?
7) ¿Cuántas formas distintas existen de llenar las seis casillas?
1) ¿Qué estrategia es la que más te ayudó a resolver el problema? 2) ¿Crees que organizar los datos en casillas te fue útil?, ¿por qué? 3) Si el testigo hubiese dicho que ningún dígito se repite, ¿cuántas placas sospechosas debería investigar la policía? Cuaderno de trabajo
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Andrés y Betty, juntos para siempre Andrés, Betty, Ciro, Diana, Eduardo y Felicia tienen reservados seis lugares consecutivos en la fila de un teatro. El primer asiento se encuentra junto al pasillo. Pasillo
¿De cuántas formas pueden acomodarse, de modo que Andrés y Betty ocupen lugares vecinos?
1
2
3
4
5
6
1) ¿En qué forma se ubican los asientos?
3) ¿Cuántas de ellas deben ocupar lugares vecinos?
2) ¿Cuántas personas forman el grupo?
4) ¿Qué te solicita el problema?
1) ¿Qué estrategia eliges para resolver el problema?
2) ¿Qué acción sugieres realizar primero?
a) Hacer una lista. b) Buscar regularidades. c) Calcular directamente.
1) Estando todos los asientos sin ocupar, ¿cuántas posibilidades tienen Andrés y Betty de ocupar pares de asientos contiguos? Completa en el cuadro las posibilidades para hallar la respuesta.
3) ¿Cuántos asientos disponibles quedan para Ciro, Diana, Eduardo y Felicia?
Asiento 1
Asiento 2
Asiento 3
Asiento 4
Asiento 5
Asiento 6
3) ¿Qué otra acción propones realizar después?
4) Si el esquema representa las posibilidades, ¿de cuántas formas pueden acomodarse los jóvenes de acuerdo con la condición del problema?
2) Elegidos los dos asientos, ¿de cuántas maneras los pueden ocupar Andrés y Betty?
1) ¿Cuál es la estrategia que utilizaste para resolver el problema?
3) Considera esta variante y resuélvela. ¿De cuántas formas pueden sentarse si los hombres y las mujeres deben ocupar posiciones alternadas y en el asiento junto al pasillo debe 2) ¿Qué principio de conteo utilizaste? sentarse un hombre? 104
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Una comida gratis Diez jóvenes (cinco hombres y cinco mujeres) decidieron celebrar la culminación de sus exámenes de semestre comiendo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a la mesa redonda. Unos propusieron que la ubicación fuera por orden alfabético o con arreglo a la edad; otros, por los resultados de los exámenes, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba y nadie se sentaba a la mesa. Entonces Joel, el dueño del restaurante, les dijo: – Señores, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme. Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. Joel continuó: – Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vuelven para comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo y se sientan en orden distinto, y así, sucesivamente, hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que tengan ustedes que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente que, en lo sucesivo, les invitaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y escogidos. La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos posibles de ubicación alrededor de la mesa, con el fin de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas. Estimen después de cuántos días Joel empezará a darles la comida gratis. 1) Busquen con tus compañeros un problema más sencillo. ¿Qué es lo que se puede reducir aquí?
4) ¿De cuántas maneras pueden sentarse a comer cuatro personas?
5) Llenen la tabla con los datos encontrados. Número de personas Formas de sentarse 2) ¿De cuántas maneras pueden sentarse a comer dos personas? Hagan un diagrama mostrando los casos. 6) Escriban una fórmula para hallar el número de formas en que n personas pueden sentarse a una mesa redonda.
7) ¿De cuántas maneras se sentarán 10 personas a la mesa? 3) ¿De cuántas maneras pueden sentarse a comer tres personas? 8) ¿Después de cuántos años, entonces, los jóvenes del problema podrán disfrutar una comida gratis? Hagan un diagrama mostrando los casos posibles.
9) ¿Es posible la propuesta del dueño del restaurante?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran permutaciones, variaciones y combinaciones. Estos son útiles, pues ayudan a contar casos posibles sin necesidad de enumerarlos todos.
Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de participación.
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Juega, aprende y combina
Conteo de rutas Gonzalo, comerciante de abarrotes, siempre viaja entre las ciudades A, B y C, empleando diversos medios de transporte. Según el plano mostrado, de A a B puede ir a pie o en bicicleta, y una vez que llega a B, tiene 3 maneras de continuar a la ciudad C: en moto, en auto o a caballo.
Vamos por partes: 1) Si Gonzalo elige ir a pie de la ciudad A a la ciudad B, ¿de cuántas maneras podrá continuar hasta la ciudad C? 2) Si de A a B elige ir en bicicleta, ¿de cuántas maneras podrá continuar hasta C? 3) Representa, por medio de un diagrama de árbol, las opciones que tiene Gonzalo para trasladarse. Observa que la primera bifurcación corresponde a las opciones que tiene para ir de A a B. Completa el diagrama indicando el medio de transporte que puede emplear para ir por las otras bifurcaciones.
4) Determina el número de maneras en que podrá realizar el viaje de A a C pasando por B. 5) Reflexiona sobre los resultados. Si de A a B hay dos maneras y de B a C hay 3, ¿qué operación te da el total de maneras? Comprueba. 6) Aplica el principio multiplicativo a esta situación: ¿de cuántas maneras diferentes podrá vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones diferentes y 2 pares de calzado también diferentes? 7) Regresa al problema original, el de viajar por las ciudades A, B y C y resuelve este caso: ¿de cuántas maneras podrá ir Gonzalo de A a C, pasando por B y luego regresar de C a A pasando por B? 106
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Alineaciones estratégicas El equipo de fútbol “La Resistencia” tiene tres arqueros, siete defensas, cinco mediocampistas y siete delanteros. El equipo siempre juega bajo el sistema uno, cuatro, tres, tres (arquero, defensas, mediocampistas, delanteros). Cada jugador solo puede jugar en su posición. ¿Cuántas alineaciones distintas podrá hacer el director técnico de dicho equipo si no cambia a los jugadores de sus líneas habituales?
1) ¿De quiénes te hablan en el problema? 2) ¿Cuántas posiciones hay dentro del equipo? 3) ¿Cómo es la alineación que el director técnico deberá considerar?
4) ¿Cuántos jugadores necesita para cada posición? 5) ¿Un mediocampista podrá jugar como delantero? 6) ¿Será necesario conocer otros datos? 7) ¿Qué te piden averiguar?
1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema? a) Hacer una tabla.
b) Buscar un patrón.
1) Dibuja la alineación que propone el director técnico.
c) Hacer un dibujo.
3) ¿De cuántas formas distintas podrán ir los delanteros? 4) ¿De cuántas formas distintas podrán ir los arqueros? 5) ¿De cuántas formas distintas podrán ir los defensas? 6) ¿Para conocer el total de alineaciones, basta con sumar todas las cantidades resultantes anteriormente?
2) ¿De cuántas formas distintas podrán ir los mediocampistas?
7) ¿De cuántas formas el director técnico podrá alinear a sus jugadores para todas las fechas del partido?
1) Describe la estrategia empleada para resolver el problema.
2) ¿En otros problemas, se puede aplicar la estrategia que has reconocido? Plantea el problema con un ejemplo. Cuaderno de trabajo
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Manteniendo seguros nuestros celulares Para la seguridad del teléfono celular, se han diseñado claves de acceso de 4 dígitos. Recientemente, una empresa internacional está innovando la seguridad de sus teléfonos y permite que la clave pueda incluir los números del 0 al 9, además de las letras a, b, c, d y e. Con esta nueva idea de seguridad, ¿cuál es el número de códigos diferentes que podemos poner en el celular?
1) ¿Sobre qué trata el problema?
4) ¿Según la referida propuesta innovadora, cuántos elementos entre números y letras dispones para formar la clave? 2) ¿Cuántos números hábiles se tiene para generar una clave? 5) ¿Qué te pide el problema? 3) ¿Con cuántos números se forma la clave?
1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema? Puedes marcar más de una alternativa.
4) Menciona 4 posibles claves que se pueden formar en la propuesta innovadora.
a) Hacer un diagrama de árbol. c) Hacer un dibujo.
b) Buscar un patrón.
2) ¿Qué principio de conteo es útil para resolver el problema?
5) ¿En la propuesta innovadora, es posible elegir las mismas claves por las que se podía optar originalmente?
a) Permutaciones con repetición. c) Permutaciones.
b) Combinatoria.
3) Menciona 4 posibles claves que se pueden formar originalmente.
6) ¿Puedes elegir el mismo número o letra más de 1 vez en la clave?
1) ¿De cuántas formas puedes elegir los 4 dígitos originalmente?
2) ¿De cuántas formas puedes elegir entre las letras y números en la propuesta innovadora?
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema.
3) Mientras más posibilidades hay de tener una clave, menor es el riesgo que se tenga para que alguien la descubra. Si quieres tener 1 000 000 de posibilidades para crear una clave, ¿de cuántos dígitos debería estar conformada? 2) Para cada uno de los casos (convencional y propuesta innovadora), ¿la estrategia es la misma? 108
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Eligiendo al nuevo comité estudiantil Tenemos a seis estudiantes de esta sección, digamos A, B, C, D, E, F, para conformar un comité estudiantil cuyos cargos son presidente, secretario y tesorero. Se trata de elegir a los candidatos, según algunas condiciones, y determinar de cuántas maneras es posible realizar la elección.
Con tus compañeros, resuelvan las interrogantes que a continuación se exponen. 1) ¿Cuántos cargos se van a cubrir? 2) ¿Cuántos son los candidatos?
7) A y B no postulan como presidentes y tampoco para ser secretarios y tesoreros, ¿cuántos comités pueden conformarse?
3) ¿Un candidato puede ocupar dos cargos? 4) ¿Cuántos comités pueden conformarse? Completen el siguiente diagrama que les facilitará hallar la respuesta.
Presidente
Secretario
Tesorero
Primer cargo: maneras. Segundo cargo: maneras. Tercer cargo: maneras. Pueden conformarse comités. 8) ¿Qué principio(s) aplicaron en la pregunta anterior?
Primer cargo: maneras. Segundo cargo: maneras. Tercer cargo: maneras. Pueden conformarse comités.
9) Del número de comisiones conformadas según la pregunta 4, ¿cuántas tienen a A en algún puesto?
5) ¿Qué principio aplicaron? 6) Si A y B solo se postulan para presidente, ¿cuántos comités pueden conformarse?
Presidente
Secretario
Tesorero
Presidente Secretario Tesorero Primer cargo: maneras. Segundo cargo: maneras. Tercer cargo: maneras. Pueden conformarse comités.
10) ¿Qué estrategia aplicaron en la pregunta anterior?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran permutaciones, variaciones y combinaciones. Estos son útiles, pues ayudan a contar casos posibles sin necesidad de enumerarlos todos. Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?
Muy interesantes.
Interesantes.
Poco interesantes.
Nada interesantes.
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El conteo matemático no usa dedos
Turismo guiado por la ciudad maravillosa Una compañía de turismo y aventura ofrece un tour por la ciudad del Cusco, que contempla la visita a cinco lugares de interés de la ciudad y sus alrededores: la Catedral, el Koricancha, el mercado de artesanos y los sitios arqueológicos de Tambomachay y Sacsayhuaman. El turista puede elegir en qué orden visitar estos lugares, ¿de cuántas maneras podrá organizar el recorrido?
(3) Mercado artesanal
(4) Tambomachay
1) ¿Cuántos lugares se van a visitar? 2) ¿En qué orden se visitarán? 3) Para indicar de modo abreviado los lugares, usaremos la letra inicial de cada lugar. Completa la relación: Catedral
(1) Catedral
C
Koricancha Mercado Tambomachay Sacsayhuaman 4) ¿De cuántas maneras puede elegirse el primero de los lugares a ser visitado? 5) Una vez escogido el primer lugar que será visitado, ¿cuántos lugares quedan para ser escogidos como segundo destino? 6) De modo similar, ya escogidos los dos primeros lugares, ¿de cuántas maneras se puede escoger los siguientes? Completa. El tercer lugar: El cuarto lugar: El quinto lugar: 7) Recuerda el principio multiplicativo: “Si una actividad se realiza por etapas y la primera puede hacerse de m maneras, la segunda de n maneras, y así, sucesivamente, hasta que la última se puede hacer de k maneras, la actividad completa se puede realizar de m × n × p × … × k maneras”. Aplica el principio al problema: ¿de cuántas maneras podrá el turista organizar el recorrido?
(2) Koricancha
(5) Sacsayhuaman
8) Escribe algunas propuestas del orden en el que el turista puede visitar los cinco lugares. 9) Si el turista decide empezar por la Catedral, ¿de cuántas maneras podrá organizar su recorrido? Escribe algún recorrido que puede seguir. Ejemplo: C 10) Reflexiona y responde. Considera la operación factorial n! que se define como el producto de los naturales consecutivos desde 1 hasta n. ¿Cuáles de las interrogantes antes desarrolladas se pueden responder con la expresión factorial? ¿Cuáles serían las respuestas para esas preguntas? 11) Si la misma empresa ofrece otro paquete turístico a Chachapoyas, esta vez para 7 lugares, ¿de cuántas maneras se puede organizar la visita? (1 y 2) http://www.municusco.gob.pe/web/contenido.php?id_item=48 (3) http://www.ptsperu.com/galeria-fotos2.php?pag=7
(4) http://www.hoycuscoperu.com/tambomachay/ (5) http://municusco.gob.pe/gerencias/plan%20maestro/images/ visita_virtual/saqsaywaman.gif 110
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Por este puente solo pasa uno En lugares alejados del país, los pobladores construyen puentes artesanales de totora que permiten cruzar los ríos. Estas ingeniosas construcciones se denominan puentes colgantes y, por lo general, dada su estrechez, hay que cruzarlos en fila de uno. Ocurre que llegan a uno de estos puentes los excursionistas: Andrés, Diana, Juan, María, Pedro y Tomás. Ellos deciden atravesarlo, pero nadie se anima a ser el primero. a) ¿De cuántas maneras pueden cruzar el puente? b) ¿En cuántas de ellas Diana cruzará inmediatamente después de Juan?
1) ¿De qué trata el problema?
3) ¿Qué te solicita la situación problemática?
2) ¿Cuáles son los datos del problema?
1) ¿Qué estrategias podrías utilizar? 2) Si los representas por sus iniciales, escribe algunas listas que indiquen cómo cruzan del primero al último excursionista.
3) ¿Qué denominación tienen los ordenamientos posibles que has escrito? 4) ¿En qué orden deben hacerlo?
1) Aplica el principio multiplicativo para determinar de cuántos modos pueden cruzar el puente.
3) ¿En cuántos de los ordenamientos Diana cruza inmediatamente después de Juan?
2) Si cada ordenamiento posible es una permutación, ¿cuántas permutaciones son?
1) ¿Qué tipo de ordenamiento corresponde a este caso? 2) ¿Se debe hacer una lista completa de los ordenamientos para saber cuántos son? 3) ¿Qué tipo de operación se realiza?
4) Si decidieran cruzar primero los varones y luego las damas, ¿de cuántas formas podrían cruzar? 5) Si decidieran cruzar primero un varón seguido de una dama y así, sucesivamente, ¿de cuántas formas podrían cruzar? Cuaderno de trabajo
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Organizándonos sí podemos Quince estudiantes de 2.° grado son elegibles para integrar una comisión de tres miembros, con la finalidad de organizar una actividad sobre el calentamiento global. a) ¿De cuántas maneras se puede formar la comisión? b) ¿De cuántas maneras se puede formar la comisión, si se nombra un presidente, un secretario y un vocal?
1) ¿De qué trata el problema?
1) ¿De qué trata el problema?
2) ¿Quiénes pueden ser elegidos?
2) ¿Cuál de las dos incógnitas a resolver implica considerar combinaciones? ¿Por qué?
3) ¿En qué orden deben hacerlo? 4) ¿Qué te solicita el problema?
3) Si en la comisión se asignan cargos, ¿qué denominación tienen los ordenamientos posibles?
1) Escribe las fórmulas para permutaciones y combinaciones.
1) ¿Qué tipo de ordenamiento corresponde a cada situación?
2) ¿De cuántas maneras se puede formar la comisión, sin definir los cargos? 2) ¿Era previsible que los resultados fuesen distintos? 3) ¿En qué caso el resultado fue mayor? ¿Por qué? 3) ¿De cuántas maneras se puede formar la comisión, si se nombra un presidente, un secretario y un vocal?
4) Si uno de los 15 estudiantes es Juan y tiene condiciones de líder, ¿de cuántas maneras se podrá formar la comisión con Juan de presidente y los otros dos miembros de vicepresidentes? 112
Resolvamos 2
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Las tres primeras eran obligatorias Es época de exámenes y ya se han rendido varios. Pablo, estudiante del 2.° grado, recuerda en especial el de Matemática, pues según las instrucciones había que contestar 8 de 10 preguntas y las tres primeras eran de carácter obligatorio. Pablo desea conocer, ¿de cuántas maneras podría haber elegido las preguntas que debía contestar?
Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y resuelvan la incógnita de Pablo: 1) ¿Cuántas preguntas tenía el examen de Matemática?
7) ¿Qué tipo de ordenamiento corresponde a este caso?
2) ¿Se debían contestar todas las preguntas? 3) ¿Cuáles eran las preguntas obligatorias? 4) ¿Cuántas preguntas eran obligatorias y cuántas podían ser elegidas? Planteen una nomenclatura para identificar cada pregunta.
8) Calculen nPr o nCr, según su respuesta anterior. 9) ¿Es el resultado de la pregunta anterior la respuesta al problema?, ¿por qué?
10) Cambiemos algunas especificaciones: Que el examen tenga 12 preguntas. Hay que responder 8, 5) ¿De cuántas maneras pudo elegir Pablo las preguntas que pero las 4 últimas son obligatorias. Para este nuevo caso, debía contestar? determinen n y r. Utilicen la experiencia ganada. n = r = 6) Representen con n el número de preguntas elegibles y con r a las preguntas que de ahí se deben contestar y completen: n =
11) Dados los cambios en la pregunta anterior, ¿de cuántas maneras podría elegir Pablo las preguntas a contestar?
r =
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran permutaciones, variaciones y combinaciones. Estas son útiles, pues ayudan a contar casos posibles sin necesidad de enumerarlos todos.
Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He participado de forma significativa.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
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Datos en tablas para calcular
Entrevistando a las familias Se ha realizado una encuesta sobre la cantidad de hijos que tienen algunas familias en el distrito de Caramarca. Los resultados han sido organizados en la siguiente tabla: N.° de hijos
0
N.° de familias
1
131 127
2
3
4
5
6
57
61
12
9
3
1) ¿Cuántas familias fueron entrevistadas?
7) ¿Qué puedes interpretar con ese dato?
2) ¿Cuántos hijos tienen como máximo? 3) ¿Cuántos hijos tienen como mínimo?
8) Completa la tabla y responde, ¿cuál es el promedio de los datos presentados?
Número de hijos 1
Es bien sabido que en estadística la moda es el valor que
2
5) ¿Cuál es el valor de la moda en este caso?
4
3
5
6) Registra la información en la siguiente tabla y responde, ¿cuál es la mediana de los datos?
6
0 1 2 3 4 5
Frecuencia
Acumulado
Producto
0
4) Completa la oración:
Número de hijos
Frecuencia
Promedio
9) Reflexiona y responde, ¿qué se entiende en los datos por promedio?
10) ¿Qué datos de número de familias deben aumentar o disminuir en la tabla, de forma que el promedio y la mediana tengan el mismo valor? 6
114
Resolvamos 2
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¿Soy el más alto en mi ciudad? Javier y César son dos compañeros de aula. Ellos quieren saber quién es realmente el más alto en el lugar donde viven. Javier mide 1,75 m y vive en la ciudad de Buena Esperanza, donde la estatura promedio es de 1,60 m. Su mejor amigo César, quien mide 1,80 m, vive en la ciudad de Santa Teresa, donde la estatura promedio es de 1,70 m. ¿Cuál de las dos personas es más alta con respecto a sus vecinos?
1) Explica, con tus propias palabras, lo que pide el problema. 4) ¿Cuál es el tamaño de César? 5) ¿Cuáles son los promedios de estatura entre sus vecinos? 2) ¿A qué magnitudes hace referencia? 6) ¿Es posible determinar quién es más alto? 3) ¿Cuál es el tamaño de Javier?
1) ¿Qué te indica el promedio de las estaturas con respecto a la de Javier?
2) ¿Qué te indica el promedio de las estaturas con relación a la de César?
1) Compara la estatura promedio de cada una de las ciudades con las de Javier y César. Estatura
Buena Esperanza
3) Completa el siguiente cuadro y responde, ¿quién es más alto realmente? Buena Esperanza
Santa Teresa
Promedio Javier César Diferencia
Santa Teresa
Diferencia Promedio (Diferencia promedio)*100
2) ¿Cuáles son las diferencias?
1) ¿Qué estrategia utilizaste para resolver el problema? 2) ¿Fue necesario realizar una división para hacer la comparación?
4) ¿Crees que si tanto Javier como César se compararan en relación con un tercer amigo (que mide 1,74), la diferencia de estaturas sería la misma?
3) Comprueba si lo obtenido responde al problema.
5) ¿Cómo crees que es tu estatura con respecto a la de tus compañeros de aula?
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Números para ganar Estos son los puntos anotados por dos jugadores de básquet en los seis últimos partidos. Partidos Jugadores
1.°
2.°
3.°
4.°
5.°
6.°
Andrés
10
12
11
13
11
9
Pablo
2
14
7
22
4
17
El equipo está jugando un partido decisivo y ambos jugadores se encuentran en la banca. Si fueras el entrenador, ¿a cuál de ellos elegirías para que ingrese a jugar?
1) ¿De quiénes te habla el problema?
4) ¿En qué se basaría el entrenador para elegir a uno de ellos para el juego?
5) ¿Qué dato te pide el problema? 3) ¿Cuál es la situación de cada jugador antes del partido? 2) ¿A qué hace referencia el problema?
1) ¿Qué estrategia seguirías para resolver el problema? a) Realizar un gráfico.
b) Elaborar una tabla.
1) En la siguiente tabla registra la información solicitada, referida a los puntajes anotados por cada jugador.
Andrés
Pablo
Promedio aritmético Mediana Moda 2) ¿Es necesario comparar cada uno de los resultados? 3) ¿Cuál es la cantidad de puntos que tiene cada jugador?
1) ¿Cuál fue la estrategia que utilizaste para resolver el problema? 2) ¿Te fue sencillo dar con la respuesta? Explica brevemente.
c) Listar uno a uno los datos presentados.
4) Calcula el promedio de puntos de ambos jugadores. 5) ¿Qué tipo de promedio ayuda al entrenador a decidir qué jugador pondrá en el juego? 6) ¿Qué conclusiones puedes sacar de ello?
3) ¿De qué te sirve calcular y comparar los promedios de cantidades diferentes?
4) ¿Quién crees que debe mejorar la cantidad de sus puntos anotados? 116
Resolvamos 2
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Los goles de la Copa del Mundo Los 64 goles anotados en un campeonato de la Copa del Mundo se distribuyeron como se muestra a continuación: N.° de goles anotados
0
1
2
3
4
5
6
7
8
N.° de partidos
3
12
11
18
10
6
1
2
1
Cuando Juan, el mejor futbolista del colegio, les pregunta a sus compañeras ¿cuál es la mediana de estos datos?, tres de ellas responden así: Amalia: La mediana es 4 porque es el quinto valor de los 9 dados. Patricia: La mediana es 2,9 porque la suma de todos los goles anotados es 186, dividido entre 64 partidos. Vanesa: La mediana es 3 porque los dos datos centrales son 3. Juan está confundido, ¿quién tiene la razón y por qué?
Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades para ayudar a Juan a resolver la incógnita: 1) Recuerden el concepto de mediana y escríbanlo.
5) Calculen los dos datos centrales.
2) ¿Tiene razón Amalia? ¿Por qué? 3) ¿Tiene razón Patricia? ¿Por qué? 4) ¿Tiene razón Vanesa? ¿Qué plantea?
6) ¿Quién tenía la razón? ¿Por qué? 7) ¿Qué clase de medida es la mediana?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de promedios aritméticos, mediana y moda. Estas medidas se aplican para reconocer perfiles de grupos conformados por lectores, consumidores, amas de casa, entre otros. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
Realicé aportes muy relevantes.
He colaborado de forma significativa.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
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El azar en sociedad
El diseñador de juegos En una feria de un pequeño pueblo de Áncash, un famoso tombolero de la zona ha presentado a los pobladores el siguiente juego: Primero, se hace girar una ruleta en la que pueden aparecer los colores verde, rojo y amarillo con la misma probabilidad. • Si sale verde, lanzas un dado de cuatro caras. • Si sale rojo, lanzas una moneda. • Si sale amarillo, el juego termina. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara o sello? 2) ¿Cómo son las tres regiones de la ruleta? 3) ¿Cuál es la probabilidad de que salga uno de los tres colores? Completa el cuadro. P (azul) P (rojo) P (amarillo)
4) En la figura se reconoce el desarrollo del dado de cuatro lados. ¿Cómo se llama a este sólido? Coloca los números del 1 al 4 en el desarrollo. ¿Cómo son las regiones en el dado? 5) ¿Cuál es la probabilidad de que salga uno de los cuatro números? 6) Reflexiona y responde. ¿Por qué se dice que este es un juego de azar? 7) El juego tiene dos etapas y se realizan una a continuación de la otra. En el siguiente diagrama de árbol escribe los eventos y sus probabilidades: EVENTOS p=
p=
amarillo
verde: lanza dado
Ruleta
p=
118
rojo: lanza moneda
PROBABILIDADES El juego termina.
P=
sale 1
P=
sale 2
P=
sale 3
P=
sale 4
P=
sale cara
P=
sale sello
Resolvamos 2
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Gana con rulebol* En una tómbola de barrio, se presentó el rulebol, un juego en dos etapas. Primero, se hace girar una ruleta; luego, si se detiene en un número par, se le permite al jugador sacar al azar una bolita de la bolsa. Cuando la que se toma es una bolita negra, se gana un premio. La ruleta y la bolsa con bolitas se muestran aquí. Olivia juega una vez. ¿Qué probabilidad tiene ella de ganar un premio?
1) ¿Qué se está jugando? ¿De qué dependen las salidas del juego?
3) ¿Qué se realiza en segundo lugar?
4) ¿Cuándo se gana un premio? 2) ¿Qué se realiza primero? 5) ¿Qué te piden averiguar?
1) Completa según corresponda: a) La ruleta puede detenerse en un número o en un número b) De la bolsa se puede extraer una bolita o una bolita
1) Haz el diagrama y completa en él las respuestas a las preguntas siguientes.
2) Mediante qué diagrama puedes organizar la información anterior. a) Diagrama lineal. b) Diagrama de árbol. c) Diagrama de barras.
3) ¿Cuál es la probabilidad de que en la ruleta salga un número par? 4) ¿Cuántas bolas hay en la bolsa? 5) ¿Cuántas bolas son negras? 6) ¿Cuál es la probabilidad de que saques una bola negra?
2) ¿Cuántos números hay en la ruleta?
7) ¿Cuál es la probabilidad de que Olivia gane un premio?
1) ¿Qué estrategia fue la que más te ayudó a resolver este problema?
2) ¿Qué tipo de probabilidad ocurre en este juego?
* Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE). PISA 2003: Pruebas de Matemáticas y de Solución de problemas. Página 45. Cuaderno de trabajo
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El que espera desespera La empresa de buses Sulca tiene salidas a Chimbote solo los fines de semana. Después de realizar un estudio respecto del flujo de viajeros en el último año, se ha podido estimar la probabilidad de tener una determinada cantidad de pasajeros los fines de semana.
N.° de pasajeros
Probabilidad
300
0,4
200
0,3
100
0,2
50
0,1
Mediante esta tabla, la empresa planea tener operativos los buses en cantidad suficiente para atender a los pasajeros. En los fines de semana, ¿cuál es el número de pasajeros con el que debería contar la empresa?
1) ¿Cuándo tiene salidas la empresa Sulca? 2) ¿Cuál es la probabilidad de que un fin de semana lleguen 300 pasajeros?
3) ¿Cuál es la probabilidad de que un fin de semana lleguen 100 pasajeros? 4) ¿Qué te piden averiguar?
1) En la tabla, la probabilidad de 0,4 significa que de cada fines de semana han llegado 300 pasajeros.
3) ¿Puedes hallar el promedio por semana del número de pasajeros que llega a la empresa?
2) De diez posibles, ¿en cuántos fines de semana llegaron 200 pasajeros?, ¿y 100?, ¿y 50?
1) Completa la siguiente tabla con la información solicitada: Número de fines de semana
Pasajeros por cada fin de semana
Total número de pasajeros
3) ¿Cuántos pasajeros llegaron, en total, en los diez fines de semana?
4
4) ¿Cuántos pasajeros llegaron, en promedio, por semana?
3
2
5) ¿Crees que ese número es una buena predicción de lo que la empresa debe esperar cada fin de semana?
1 10
2) Según la tabla, ¿cuántos llegaron, en total, en cuatro, tres, dos y un fin de semana?
6) ¿Cuál es la cantidad de pasajeros que se espera tener en un fin de semana?
1) ¿Cuál es la estrategia que te fue más útil para resolver el problema?
2) Si el número de pasajeros esperados es 250, ¿significa que todos los fines de semana llegará esa cantidad de pasajeros? Explica. 120
Resolvamos 2
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Jugando con dados Para realizar un experimento sobre sucesos probabilísticos, podemos emplear dados. El resultado se determina cuando los dados dejan de rodar y se suman los puntos que indican sus caras superiores. Si se lanzan dos dados, determinen con sus compañeros la probabilidad de que la suma sea: a) igual a 1.
b) igual a 4.
c) menor que 13.
1) Conviene analizar primero el espacio muestral, es decir, el conjunto de resultados posibles. Por cada valor que aparezca en uno de los dados, en el otro pueden aparecer seis. Completen la lista:
6) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4?
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1, )
(1, )
(1, )
(2,1)
( ,2)
( ,3)
(2,4)
(2, )
(2, )
7) ¿En cuántos de los resultados la suma es menor que 13?
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3, )
(3, )
(3, )
(4,1)
(4,2)
(4, )
(4,4)
(4, )
(4, )
(5,1)
(5, )
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5, )
8) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menor que 13?
(6,1)
(6,2)
( ,3)
(6, )
(6, )
(6, )
2) ¿Cuántos resultados o pares ordenados forman el espacio muestral?
9) ¿Cuántas sumas distintas pueden obtenerse con dos dados? ¿Cuáles son? 3) ¿En cuáles de esos resultados la suma es 1? 10) Reflexionando sobre lo que han realizado, ¿es posible calcular probabilidades para otras sumas? Indiquen algunas sumas con sus respectivas probabilidades. 4) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 1? 11) De todas las sumas posibles, ¿cuál es la que tiene mayor probabilidad? 5) ¿En cuántos de los resultados la suma es 4? 12) En un juego con dos dados de predicción de sumas, ¿a qué suma les convendría apostar? ¿Por qué? ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace. Esto es importante, ya que permite calcular la probabilidad de un suceso determinado, sea de nivel cotidiano, comercial, entre otros, donde los casos que se van a analizar sean posibles.
Autoevaluación ¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de participación.
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¿Es o no probable?
Recorrido al azar Un agricultor diseña las rutas de los canales de regadío para sus parcelas, de modo que solamente se permitan movimientos descendentes del agua por estos y para que, en cada intersección de los canales, se elija un camino al azar y se cierre otro que lleve el agua a los reservorios T, V, Q y S. El siguiente esquema expresa este diseño:
P
¿Cuál es la probabilidad de que al partir de P se llegue a Q?
1) ¿De qué trata el problema?
8) ¿De cuántas maneras se puede llegar a “Q”?
9) ¿Cuál es el total de recorridos posibles? 2) ¿Dónde se inicia el recorrido? 3) ¿Dónde termina el recorrido?
10) ¿Qué fórmula se aplica?
4) ¿De cuántas maneras se puede llegar a “T”?
11) ¿Cuál es la probabilidad de llegar a “Q”?
5) ¿Observas alguna simetría en los recorridos?
12) ¿Cuáles son los puntos con menor probabilidad? ¿Por qué?
13) ¿Cuál es el punto con mayor probabilidad? 6) ¿De cuántas maneras se puede llegar a “S”? 14) ¿Cuáles son las probabilidades para cada punto? ¿Cuánto suman? Explica. 7) ¿De cuántas maneras se puede llegar a “V”?, ¿y a “R”? 122
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Leyendo el periódico En un distrito, el 30 % de los habitantes lee el periódico X; el 20 % , el periódico Y, y el 7 %, ambos periódicos. Los encuestadores pasan por las calles del distrito a preguntar cuál es el diario que leen más a menudo, ¿qué probabilidad hay de que, escogiendo alguien al azar, lea solo un periódico?
1) ¿Cuál es el dato que se ha analizado en la encuesta?
3) ¿En qué forma están representados estos datos?
4) ¿Qué te solicita el problema? 2) ¿Cuántos periódicos leen en el distrito?
1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema? a) Elaborar un organizador. b) Hacer un cuadro de doble entrada. c) Hacer un diagrama de Venn.
1) Elabora la estrategia elegida en el paso anterior e incorpora la información indicada en el problema.
2) El dato que se pide sobre la probabilidad de que, al escoger a una persona al azar, esta lea solo un periódico, ¿qué significa? 3) ¿Cuántos leen los periódicos X e Y? 4) ¿Cuánto es la probabilidad solicitada?
1) Plantea una pregunta con tres alternativas y encuesta a tus compañeros, luego saca las probabilidades de cada uno de los eventos analizados.
2) ¿Es relevante calcular probabilidades en sucesos de este tipo? ¿Cuál sería tu propuesta de mejora?
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Dados mágicos Dos personas juegan a obtener la puntuación más alta, lanzando cada una sus dados A y B. El dado A tiene cuatro caras con un 6 y las otras dos con un 10. El dado B tiene una cara con la puntuación 3, cuatro caras con la puntuación 6 y la cara restante con un 12. Cada jugador lanza su dado y gana quien tenga la puntuación más alta. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada jugador y la probabilidad de empatar?
1) ¿Cuáles son las características del dado A? 2) ¿Cuáles son las características del dado B? 3) ¿Qué te solicita el problema?
1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema? a) Realizar un gráfico. b) Buscar un patrón. c) Hacer un diagrama de árbol.
1) ¿Cuáles son los resultados posibles al lanzar los dados A y B?
3) ¿Cuál es la probabilidad de que gane el jugador que lanza el dado A?
2) Para saber quién ganará, si las dos personas lanzan los dados a la vez, se deberá multiplicar las probabilidades de cada dado. Completa la siguiente tabla para resolver el problema. 4) ¿Cuál es la probabilidad de que gane el jugador que lanza el dado B? Puntuación
Posibilidad
Dado A Dado B
Dado A Dado B
Resultado probable del evento
(
,
) =
x
=
;
5) ¿Cuál es la probabilidad de que empaten?
(
,
) =
x
=
;
(
,
) =
x
=
;
(
,
) =
x
=
;
6) ¿Las probabilidades son las mismas?, ¿qué podemos concluir de los resultados?
(
,
) =
x
=
;
(
,
) =
x
=
;
1) Experimenta con unos cubitos, colócales puntos a cada uno de los dados y calcula la probabilidad de obtener cada resultado al lanzarlos. 2) Luego, en grupos de 4 integrantes, analiza cada caso (procura que sean diferentes) y anota tus conclusiones. 124
3) ¿Es relevante calcular probabilidades en eventos de este tipo? Explica brevemente.
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Competencia de dardos Con motivo del aniversario de la institución educativa, se ha celebrado un campeonato de dardos. Tras varias eliminaciones, han quedado Ana, Bernardo, Camila y Juan como finalistas. En la siguiente tabla, se observan las partidas que han jugado y los ganadores de ellas. Juan contra: Ana
Partidas jugadas
Partidas ganadas por Juan
36
22
Bernardo
44
35
Camila
31
12
Ana contra: Partidas jugadas
Partidas ganadas por Ana
Bernardo
27
16
Camila
29
13
Bernardo contra: Partidas jugadas
Partidas ganadas por Bernardo
32
9
Camila
La final se jugará bajo la modalidad “todos contra todos”. Cada victoria otorgará 1 punto al ganador y 0 puntos al perdedor. Al finalizar la liga, ganará el concursante con mayor puntuación.
Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y descubran sus posibilidades de ganar: 1) Según los datos anotados, ¿qué probabilidad hay de que Juan gane el campeonato?
3) Para cada caso, las probabilidades de ganar de Juan son:
Ganar a Ana: 2) Elaboren un diagrama de árbol para el caso de que Juan gane o pierda en las partidas con cada oponente. Ganar a Bernardo: Ganar a Camila:
4) Entonces, la probabilidad de que Juan gane el campeonato es: 5) ¿De cuántas formas pueden hallar la respuesta? ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de probabilidades. Este concepto se aplica para estudiar situaciones de incertidumbre. Ayuda a tomar decisiones razonadas y a planificar de manera objetiva. Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?
Muy interesantes.
Interesantes.
Poco interesantes.
Nada interesantes.
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Cuaderno de trabajo
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