Equação geral do plano
α : ax + by + cz + d = 0 a, b e c
são coordenadas do vetor
v n que é ortogonal ao plano
Para termos a equação geral do plano precisamos de: 1.
v n e um ponto (P(x,y,z)): com v n já temos os valores de a,b,c e com P os valores de x,y,z, substituindo na equação do plano ficará como incógnita somente o “d”.
2. Três pontos: criamos dois vetores, e fazemos o produto vetorial entre eles, encontramos situação 1.(basta escolher um dos três pontos , tem
v n e voltamos pra
v n e um ponto).
3. Dois vetores paralelos ao plano e um ponto: •
Fazemos o produto vetorial entre os vetores, exemplo
e
u (pois o resultado é um vetor ortogonal
u ,mas como t e u são paralelos ao plano o vetor ortogonal a eles também é ortogonal ao plano) , e encontramos v n , com v n e um ponto voltamos pra 1° situação.
simultaneamente a
t
t
e
u t α
4. Planos paralelos e um ponto. •
O
v n de α é ortogonal ao plano β,então podemos usar v n de α como v n de β e com o ponto dado
criar a equação do plano β
α
β 5. Plano µ simultaneamente perpendicular a outros dois planos (β e α) e um ponto. •
O
v n de µ = ( v n de α ) X ( v n de β ) .E com um ponto, voltamos para a 1° situação.
6. Ângulo entre planos. •
É o menor ângulo entre os vetores normais dos planos: θ
= arccos
| vnα ⋅ vnβ | || vnα ||| vnβ |
Equação da reta Equação vetorial da reta: r:
( x, y, z) = ( x0 , y0 , z 0 ) + t ( a, b, c ) ,onde ( x0 , y0 , z0 ) é um ponto que pertence a reta , (a, b, c) o
vetor diretor da reta e t um parâmetro. Equação paramétrica
r : ( x, y, z) = ( x0 , y0 , z 0 ) + t (a, b, c) ⇒ ( x, y,z) = ( x0 + at , y0 + bt , z 0 + ct ) x = x0 + at r : y = y0 + bt z = z + ct 0 Equação simétrica
x − x0 a x = x0 + at y − y0 x − x0 y − y0 z − z 0 r : y = y0 + bt ⇒ t = ⇒ = b a b c z = z + ct 0 z − z0 t= c t=
1. O vetor diretor e um ponto. ~ Observação: um vetor paralelo a uma reta pode ser usado como vetor diretor da reta~ •
Simplesmente jogamos na fórmula
( x, y, z) = ( x0 , y0 , z 0 ) + t ( a, b, c )
2. Dois pontos (por exemplo, P e Q) •
Criamos o vetor
PQ
(ou
QP ) que será o vetor diretor da reta , e voltamos pra primeira situação(vetor
diretor e um ponto) 3. Dois planos ou são paralelos ou se cortam segundo uma reta. •
Paralelos: se o ângulo entre eles é igual a zero=Ângulo entre planos: θ
•
Cortam-se segundo uma reta: se o ângulo entre eles for diferente de zero.
= arccos
| vnα ⋅ vnβ | || vnα ||| vnβ |