Monitoria algebra linear plano e reta

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Equação geral do plano

α : ax + by + cz + d = 0 a, b e c

são coordenadas do vetor

v n que é ortogonal ao plano

Para termos a equação geral do plano precisamos de: 1.

v n e um ponto (P(x,y,z)): com v n já temos os valores de a,b,c e com P os valores de x,y,z, substituindo na equação do plano ficará como incógnita somente o “d”.

2. Três pontos: criamos dois vetores, e fazemos o produto vetorial entre eles, encontramos situação 1.(basta escolher um dos três pontos , tem

v n e voltamos pra

v n e um ponto).

3. Dois vetores paralelos ao plano e um ponto: •

Fazemos o produto vetorial entre os vetores, exemplo

e

u (pois o resultado é um vetor ortogonal

u ,mas como t e u são paralelos ao plano o vetor ortogonal a eles também é ortogonal ao plano) , e encontramos v n , com v n e um ponto voltamos pra 1° situação.

simultaneamente a

t

t

e

u t α

4. Planos paralelos e um ponto. •

O

v n de α é ortogonal ao plano β,então podemos usar v n de α como v n de β e com o ponto dado

criar a equação do plano β

α

β 5. Plano µ simultaneamente perpendicular a outros dois planos (β e α) e um ponto. •

O

v n de µ = ( v n de α ) X ( v n de β ) .E com um ponto, voltamos para a 1° situação.

6. Ângulo entre planos. •

É o menor ângulo entre os vetores normais dos planos: θ

= arccos

| vnα ⋅ vnβ | || vnα ||| vnβ |


Equação da reta Equação vetorial da reta: r:

( x, y, z) = ( x0 , y0 , z 0 ) + t ( a, b, c ) ,onde ( x0 , y0 , z0 ) é um ponto que pertence a reta , (a, b, c) o

vetor diretor da reta e t um parâmetro. Equação paramétrica

r : ( x, y, z) = ( x0 , y0 , z 0 ) + t (a, b, c) ⇒ ( x, y,z) = ( x0 + at , y0 + bt , z 0 + ct )  x = x0 + at  r :  y = y0 + bt  z = z + ct 0  Equação simétrica

x − x0 a  x = x0 + at y − y0 x − x0 y − y0 z − z 0  r :  y = y0 + bt ⇒ t = ⇒ = b a b c  z = z + ct 0  z − z0 t= c t=

1. O vetor diretor e um ponto. ~ Observação: um vetor paralelo a uma reta pode ser usado como vetor diretor da reta~ •

Simplesmente jogamos na fórmula

( x, y, z) = ( x0 , y0 , z 0 ) + t ( a, b, c )

2. Dois pontos (por exemplo, P e Q) •

Criamos o vetor

PQ

(ou

QP ) que será o vetor diretor da reta , e voltamos pra primeira situação(vetor

diretor e um ponto) 3. Dois planos ou são paralelos ou se cortam segundo uma reta. •

Paralelos: se o ângulo entre eles é igual a zero=Ângulo entre planos: θ

Cortam-se segundo uma reta: se o ângulo entre eles for diferente de zero.

= arccos

| vnα ⋅ vnβ | || vnα ||| vnβ |


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