Cuaderno de Trabajo de Física 4to Semestre

CECYTEJ

Cuaderno de Trabajo FĂ­sica 4to Semestre Alumno:__________________________ Grado y Grupo:___ Especialidad:_____________

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

PRIMER PARCIAL Unidad de Aprendizaje Relaciona el Conocimiento Científico y las Magnitudes Físicas como herramientas básicas para aprender los Fenómenos Naturales Competencia a Desarrollar 

Se expresa y se comunica



Piensa, critica y reflexivamente



Trabaja en forma colaborativa



Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en contextos históricos y sociales específicos.



Fundamenta opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en su vida cotidiana, asumiendo consideraciones éticas

Dimensión del Aprendizaje 

Actitud y Percepciones

Generalidades La Física y su impacto en la Ciencia y la Tecnología Física es la Ciencia dedicada al estudio de la materia, la energía y sus transformaciones, cuando no hay cambios en la estructura de la materia.

La frase “cuando no hay cambios en la estructura de la materia” significa que los procesos en donde los cambios si existen, ya no podrán ser explicados por la Física sino por su “hija”, La Química

A la física también se le conoce como “La ciencia de las 4 fuerzas”: a)

La Fuerza de la gravedad

b)

La Fuerza Electromagnética

c)

La Fuerza Nuclear Fuerte

d)

La Fuerza Nuclear Débil

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Mediciones Técnicas y Vectores Magnitudes Físicas Una magnitud física es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición. Las magnitudes físicas se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón. Por ejemplo, se considera que el patrón principal de longitud es el metro en el Sistema Internacional de Unidades.

Las primeras magnitudes definidas estaban relacionadas con la medición de longitudes, áreas, volúmenes, masas patrón, y la duración de periodos de tiempo.

Existen magnitudes básicas y derivadas, y constituyen ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la longitud, el tiempo, la carga eléctrica, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración, y la energía. En términos generales, es toda propiedad de los cuerpos que puede ser medida. De lo dicho se desprende la importancia fundamental del instrumento de medición en la definición de la magnitud.

Tipos de Magnitudes Físicas Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas de acuerdo a varios criterios: Según su expresión matemática, las magnitudes se clasifican en escalares, vectoriales o tensoriales. Según su actividad, se clasifican en magnitudes extensivas e intensivas.

Magnitudes Escalares son aquellas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático más simple, por un número. Podemos decir que poseen un módulo, pero que carecen de dirección. Su valor puede ser independiente del observador (v.g.: la masa, la temperatura, la densidad, etc.) o depender de la posición o estado de movimiento del observador (v.g.: la energía cinética)

Magnitudes Vectoriales.- son aquellas que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), y una dirección. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa mediante un segmento orientado. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, intensidad luminosa, etc. Además, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no presentan invariancia de cada uno de los componentes del vector y, por tanto, para relacionar las medidas de diferentes observadores se necesitan relaciones de transformación vectorial. En mecánica clásica también el campo electrostático se considera un vector; sin embargo, de acuerdo con la teoría de la relatividad esta magnitud, al igual que el campo magnético, debe ser tratada como parte de una magnitud tensorial.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Magnitudes Tensoriales.- son las que caracterizan propiedades o comportamientos físicos modelizables mediante un conjunto de números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación. De acuerdo con el tipo de magnitud, debemos escoger leyes de transformación de las componentes físicas de las magnitudes medidas, para poder ver si diferentes observadores hicieron la misma medida o para saber qué medidas obtendrá un observador, conocidas las de otro cuya orientación y estado de movimiento respecto al primero sean conocidos.

Magnitud Intensiva.- es aquella cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema. Las magnitudes intensivas tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como subsistemas. Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un sistema termodinámico en equilibrio.

Magnitud Extensiva.- es una magnitud que depende de la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema.

Las magnitudes extensivas son aditivas. Si consideramos un sistema físico formado por dos partes o subsistemas, el valor total de una magnitud extensiva resulta ser la suma de sus valores en cada una de las dos partes. Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o sistema, la energía de un sistema termodinámico, etc.

El Sistema Internacional de Unidades El Sistema Internacional de Unidades se basa en dos tipos de magnitudes físicas: 1.

Las siete que toma como fundamentales, de las que derivan todas las demás. Son longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia e intensidad luminosa.

Las unidades derivadas, que son las restantes y que pueden ser expresadas con una combinación matemática de las anteriores.

Unidades Básicas o Fundamentales del Sistema Internacional

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Las magnitudes básicas no derivadas del Sistema Internacional son las siguientes: 

Longitud: metro (m). El metro es la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos.

Este patrón fue establecido en el año 1983.



Tiempo: segundo (s). El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del cesio-133. Este patrón fue establecido en el año 1967.



Masa: kilogramo (kg). El kilogramo es la masa de un cilindro de aleación de Platino-Iridio depositado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. Este patrón fue establecido en el año 1887.



Cantidad de Sustancia: mol (mol). El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos.



Intensidad de Corriente Eléctrica: amperio (A). El amperio o ampere es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro, en el vacío, produciría una fuerza igual a 2×10-7 newton por metro de longitud.



Temperatura: kelvin (K). El kelvin es la fracción 1/273,16 de la temperatura del punto triple del agua.



Intensidad Luminosa: candela (cd). La candela es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540×10 12 Hz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 vatios por estereorradián.

Unidades Fundamentales en el Sistema Cegesimal C.G.S.



Longitud: centímetro (cm): 1/100 del metro (m) S.I.



Tiempo: segundo (s): La misma definición del S.I.



Masa: gramo (g): 1/1000 del kilogramo (kg) del S.I. Unidades Fundamentales en el Sistema Gravitacional Métrico Técnico



Longitud: metro (m). La misma definición del Sistema Internacional.



Tiempo: segundo (s).La misma definición del Sistema Internacional.



Fuerza: kilogramo-fuerza (kgf). El peso de una masa de 1 kg (S.I.), en condiciones normales de gravedad (g = 9,80665 m/s2).

Unidad Sistema Internacional Base Cantidad Física

Nombre

Símbolo

Metro

m

Kilogramo

Kg

Tiempo

Segundo

seg

Corriente Eléctrica

Ampere

A

Kelvin

K

Mol

mol

Candela

cd

Longitud Masa

Temperatura Termodinámica Cantidad de Substancia Intensidad Luminosa

Unidad Sistema Internacional Sumplementarias Cantidad Física

Nombre

Símbolo

Ángulo Plano

radián

rad

Ángulo Sólido

estereorradián

srad

Magnitudes Físicas Derivadas Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Una vez definidas las magnitudes que se consideran básicas, las demás resultan derivadas y se pueden expresar como combinación de las primeras.

Las unidades derivadas se usan para las siguientes magnitudes: superficie, volumen, velocidad, aceleración, densidad, frecuencia, periodo, fuerza, presión, trabajo, calor, energía, potencia, carga eléctrica, diferencia de potencial, potencial eléctrico, resistencia eléctrica, etcétera.

Algunas de las unidades usadas para esas magnitudes derivadas son: 

Fuerza: newton (N) que es igual a kg·m/s2



Energía: julio (J) que es igual a kg·m2/s2 Cantidad Física Frecuencia Energía Fuerza Potencia Presión Carga Eléctrica Diferencia de Potencial Eléctrico Resistencia Eléctrica Conductancia Eléctrica Capacidad Eléctrica Flujo Magnético Inductancia Densidad de Flujo Magnético 1.8 Flujo Luminoso Iluminación

Nombre

Símbolo

Hertz Joule Newton Watt Pascal Coulomb Volt Ohm Siemens Farad Weber Henry Tesla Lumen Lux

Hz J N W Pa C V Ω S F Wb H T lm Lx

Medición de Longitud y Tiempo Es determinar la dimensión de la magnitud de una variable en relación con una unidad de medida preestablecida y convencional. Se conocen algunos sistemas convencionales para establecer las unidades de medida: El Sistema Internacional y el Sistema Inglés.

Medición es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad conocida de la misma magnitud, que elegimos como unidad. Teniendo como punto de referencia dos cosas: un objeto (lo que se quiere medir) y una unidad de medida ya establecida ya sea en Sistema Inglés, Sistema Internacional, o una unidad arbitraria. Al resultado de medir lo llamamos Medida.

Cuando medimos algo se debe hacer con gran cuidado, para evitar alterar el sistema que observamos. Por otro lado, no hemos de perder de vista que las medidas se realizan con algún tipo de error, debido a imperfecciones del instrumental o a limitaciones del medidor, errores experimentales, por eso, se ha de realizar la medida de forma que la alteración producida sea mucho menor que el error experimental que se pueda cometer.

Los Múltiplos, Prefijos y Factores de Conversión de Unidades Por ser un sistema decimal, es decir, base 10, el sistema internacional de unidades es muy ventajoso para expresar unidades más grandes o pequeñas multiplicando o dividiendo una unidad fundamental por potencias de 10, tal como aparece en la tabla siguiente:

Prefijos Usados con Unidades SI Nombre de

Nombre de Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Factor đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;–

Prefijo deca hecto kilo mega giga tera peta exa

SĂ­mbolo da h k M G T P E

Factor 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18

Prefijo deci centi mili micro nano pico fento atto

SĂ­mbolo d c m đ?œ‡ n p f a

Generalmente los prefijos T(tera), G(giga) y M(mega) se utilizan en unidades de frecuencia (inverso de la unidad de tiempo) y potencia elĂŠctrica.

Ejemplos: 1 femtosegundo = 1 fm = 10-15 s 1 gigahertz = 1 GHZ = 109 Hz 1 nanĂłmetro = 1 nm = 10-9 m 1 megawatt = 1 MW = 106 W Los siguientes son los factores de conversiĂłn mĂĄs importantes entre el sistema inglĂŠs de unidades y el SI. Longitud

Volumen

Masa

1 pulgada = 1 in. = 2,54 cm

1 litro = 1000 cm 3

1 slug = 14,59 kg

1 pie = 1 ft = 30,48 cm

1 galĂłn = 3,788 litros

1 u = 1unidad atĂłmica de masa = 1,661 x 10-27 kg

1 yarda = 1 yd = 91,44 cm

1 quarter = 0,947 litros

1 milla = 1 mi = 1,609 km

NotaciĂłn CientĂ­fica La notaciĂłn cientĂ­fica (o notaciĂłn Ă­ndice estĂĄndar) es una manera rĂĄpida de representar un nĂşmero utilizando potencias de base diez. Esta notaciĂłn se utiliza para poder expresar fĂĄcilmente nĂşmeros muy grandes o muy pequeĂąos.

Los nĂşmeros se escriben como un producto: đ?‘Ž ∗ 10đ?‘› siendo:  un nĂşmero entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.  un nĂşmero entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

La notaciĂłn cientĂ­fica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en paĂ­ses de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.

Escritura

100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 104 = 10 000 105 = 100 000 106 = 1 000 000 107 = 10 000 000 108 = 100 000 000 109 = 1 000 000 000 1010 = 10 000 000 000 1020 = 100 000 000 000 000 000 000 1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n–1 ceros)

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 10–1 = 1/10 = 0,1 10–2 = 1/100 = 0,01 10–3 = 1/1 000 = 0,001 10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como, 1,56234 ∗ 10−31 y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939kg (masa de un electrón) puede ser escrito como 9,10939 ∗ 10−31 kg.

Operaciones Matemáticas con Notación Científica Suma y resta Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente.

Ejemplo: (2 ∗ 10

4)

(2 × 105 ) + (3 × 105 ) = 5 × 105 − (3 ∗ 10 − (6 ∗ 103 ) = (tomamos el exponente 5 como referencia) (0.2 ∗ 105 ) − (3 ∗ 105 ) − (0.06 ∗ 105 ) = 3.14 ∗ 105 5)

Multiplicación Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

Ejemplo: (4 × 1012 )(2 × 105 ) = 8 × 1017 División Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador).

Ejemplo: (4 ∗ 1012 ) = 2 ∗ 107 (2 ∗ 105 ) (4 ∗ 1012 ) = 2 ∗ 1019 (2 ∗ 10−7 )

Potenciación

Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3 ∗ 106 )2 = 9 ∗ 1012 Radicación Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz.

Ejemplos: 26

√9 ∗ 1026 = √9 ∗ 10 2 = 3 ∗ 1013 12

3

√27 ∗ 1012 = 3√27 ∗ 10 3 = 3 ∗ 104

4

64

4

√256 ∗ 1064 = √256 ∗ 10 4 = 4 ∗ 1016

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Secuencia 1 Actividad 1 1.

Sitúa en la escala de Potencias de Decimales: a) 7,2 ∗ 105 b) 3,67 ∗ 104 c) 8,92 ∗ 10−3 d) 3,34 ∗ 10−1 e) 3 ∗ 10−13 f) 6.255 ∗ 103 g) 3 ∗ 10−13 h) 5.56 ∗ 10−3 i)

3209 ∗ 10−6

j)

3000000000 ∗ 103

2. Expresa en Notación Científica las siguientes cantidades. a)

300,000,000

b)

0.000 0001

c)

0.000 00062

d)

−18,400,000,000

e)

−7,894.34

f)

456.987

g)

0.00000000093

h)

−5.5

i)

300,000,000

j)

18,400,000,000

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 3. Realiza la Operación (

0.00000000000663∗30 000 0.00 000 009 116

) pasa primero a Notación Científica

4. Efectúa los Productos y Cocientes siguientes usando las propiedades de las Potencias: a)

(9∗10−3 )(5∗10−4 )

b)

(1.6∗10−2 )(5∗105 )

c)

(1.5∗108 )

(1.5∗10−6 )

(7.2∗10−6 ) (1.2∗10−6 )(3∗10−1 )

(8.5∗10−8 )

d)

(1.4∗10−9 )(1.3∗10−7 )

e)

(1.4∗10−9 )(1.3∗10−7 )

f) g)

(9∗10−3 )(5∗10−4 )

(1.6∗10−7 )(5∗10−6 ) (1.4∗103 )(1.3∗107 )

(3.2∗107 )∗0.7 (2∗1014 )(6∗10−5 )

h) (3 ∗ 105 )(8 ∗ 10−4 ) i)

(3.74 ∗ 10−10 )(1.8 ∗ 1018 )

j)

(5.4 ∗ 108 )(6.8 ∗ 1012 )

5. Efectúa las Sumas, Restas, Productos y Cocientes de las siguientes expresiones usando la transformación decimal y el resultado expresa en Notación Científica: a) (3 ∗ 10−1 ) − (5 ∗ 10−2 ) + (3 ∗ 10−3 ) b)

(5∗10−5 )−(3∗10−7 ) (2∗103 )+3

c) (1.2 ∗ 102 ) + (1.8 ∗ 103 ) d) (2.5 ∗ 10−3 ) − (7.3 ∗ 10−5 ) e) (5.6 ∗ 10−2 )((4.2 ∗ 102 ) + (3.3 ∗ 103 )) f) (9.8 ∗ 10−3 ) + (3.2 ∗ 102 ) g) (8.6 ∗ 10−3 )((64.2 ∗ 104 ) + (33 ∗ 105 ))

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 6. EfectĂşa las siguientes Operaciones: a) √9 ∗ 1032 b) √27 ∗ 1024 3

c)

3

√512 ∗ 10128

d) √3125 ∗ 10125 5

e)

4

√4096 ∗ 1032

f) (3 ∗ 108 )4 g) (7 ∗ 1012 )2 h) (5 ∗ 109 )3 i)

(6 ∗ 106 )5

j)

(2 ∗ 1016 )6

7. La masa del Sol es aproximadamente 2 ∗ 103 đ?‘˜đ?‘”, la masa del electrĂłn es aproximadamente 1.6 ∗ 10−27 đ?‘˜đ?‘”.

Utilizando NotaciĂłn CientĂ­fica y Fracciones Generatrices, estima cuantas veces es mĂĄs pesado el sol que el electrĂłn.

8. Expresa en NotaciĂłn CientĂ­fica: a)

Distancia de la Tierra a la luna 384,000 km

b)

Distancia de la Tierra al Sol 150,000,000 km

c)

Distancia de la Tierra a Neptuno 4,308,000,000 km

d)

Virus de la gripe 0. 000 000 002 2 m

e)

Radio del ProtĂłn 0. 000 000 000 05m

9. Resuelve los siguiente problemas utilizando NotaciĂłn CientĂ­fica: a.

El presupuesto de un paĂ­s es de quince trillones de dĂłlares. ÂżCuĂĄnto tiene que aportar un individuo en promedio si el paĂ­s tiene doscientos cincuenta millones de habitantes?

b. Un aùo luz es la distancia que viaja la luz en un aùo, es decir, aproximadamente 5,869’713,600 millas, se estima que la vía låctea tiene un diåmetro de 200,000 aùos luz. ¿Cuåntas millas tiene la vía låctea de diåmetro?

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 c.

La edad del sol es aproximadamente 5 ∗ 109 đ??´Ăąđ?‘œđ?‘ . Sin embargo hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del sol. ÂżCuĂĄl es la Edad de estos Cuerpos?

d. Se calcula que en la vĂ­a lĂĄctea hay aproximadamente 1.2 ∗ 1011 đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘Žđ?‘ . ÂżCuĂĄnto le tomara a una persona contar las estrellas si cuenta una por segundo? e.

Suponga que tiene que escribir los nĂşmeros hasta un millĂłn. ÂżCuĂĄntos ceros abra escrito?

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Cifras Significativas Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.

Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5432,4764 m con un error de 0,8 m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las cifras del número que ocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar el número con precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc., pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.

Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras no significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusión.

Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras significativas. Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no significativas de un número.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes: 

Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.



Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra retenida.



Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.

Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si se sigue siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso.

Cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen por ceros. Por ejemplo, el número 3875 redondeado a una cifra significativa resulta 4000. En este caso suele preferirse la notación exponencial, puesto que si escribimos “4000” puede no estar claro si los ceros son cifras significativas o no.

En efecto, al escribir 4103 queda claro que sólo la cifra “4” es significativa, puesto que si los ceros también lo fueran escribiríamos 4.000103 Reglas de operaciones con cifras significativas: a.

Regla 1: Los resultados experimentales se expresan con sólo una cifra dudosa, e indicando con ± la incertidumbre en la medida. b. Regla 2: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el dígito dudoso. c. Regla 3: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.

Atención: Un caso de especial interés es el de la resta.

Citemos el siguiente ejemplo: 30,3475 – 30,3472 = 0,0003.

Observemos que cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y el resultado posee tan solo una.

Al restar se han perdido cifras significativas. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja con calculadoras o computadores en donde haya cifras que se sumen y se resten.

Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para perder el menor número de cifras significativas posible.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 d. Regla 4: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.

Instrumentos de Medición Es un aparato que se usa para comparar magnitudes físicas mediante un proceso de medición. Como unidades de medida se utilizan objetos y sucesos previamente establecidos como estándares o patrones y de la medición resulta un número que es la relación entre el objeto de estudio y la unidad de referencia. Los instrumentos de medición son el medio por el que se hace esta conversión.

Para Medir Longitud: a.

REGLA: Instrumento de forma rectangular y de poco espesor, el cual puede estar hecho de distintos materiales rígidos, que sirve principalmente para medir la distancia entre dos puntos o para trazar líneas rectas. Al medir con la regla debemos tener la precaución de iniciar la medida desde el cero de la escala, que no siempre coincide con el extremo de la misma, si no que en muchas reglas el cero se encuentra a una pequeña distancia de dicho extremo, lo que puede conducir a un error de medición si no se presta atención a este detalle.

b.

METRO plegable: se utiliza para medir distancias con una apreciación de 1 mm. Este instrumento suele tener el cero de la escala coincidiendo con su extremo, por lo que en este caso se debe medir partiendo del mismo. Suelen tener una longitud de 1m o de 2m.

c.

CINTA MÉTRICA: se utiliza para medir distancias con una apreciación de 1 mm y en pulgadas, también suelen tener el cero de la escala coincidiendo con su extremo, por lo que en este caso se debe medir partiendo del mismo, donde tiene una pata de apoyo para colocar en el borde de la pieza, facilitando la medición. Tienen de 1m a 5m de longitud.

d.

CALIBRE: instrumento para medir pequeñas longitudes con apreciación de 0,1 mm en los modelos más comunes con nonio de 10 divisiones, apreciación de 0,02 mm si tiene nonio de 50 divisiones, además de 1/128”en el nonio de pulgadas, por lo tanto su apreciación dependerá de la cantidad de divisiones del nonio: a)

10 divisiones = 1/10 mm o 0,1 mm

b)

20 divisiones = 1/20 mm o 0,05 mm

c)

50 divisiones = 1/50 mm o 0,02 mm

Este instrumento tiene además accesorios para facilitar distintos tipos de medidas de longitud sobre piezas, por ejemplo: medidas exteriores con las patas fija y móvil, medidas en interiores con las puntas fija y móvil, medidas de profundidad en cavidades con la varilla de profundidad. En cualquiera de los casos anteriores la lectura siempre se realiza sobre la zona a consultar, donde se encuentren el nonio y la regla, observando la cantidad de milímetros enteros a la izquierda del cero del nonio y los decimales Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 contando en el nonio hasta llegar a los trazos coincidentes. Lectura: 62,8 mm (62 mm a la izquierda del cero y 8 divisiones del nonio). e.

MICRĂ“METRO: instrumento de precisiĂłn para medir longitudes con una apreciaciĂłn de centĂŠsimas de milĂ­metro (0,01mm) capaz de realizar estas mediciones gracias a un tornillo de precisiĂłn con una escala convenientemente graduada.

Conversiones de Unidades En muchas situaciones en FĂ­sica, tenemos que realizar operaciones con magnitudes que vienen expresadas en unidades que no son homogĂŠneas. Para que los cĂĄlculos que realicemos sean correctos, debemos transformar las unidades de forma que se cumpla el principio de homogeneidad. Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un mĂłvil que se mueve a velocidad constante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30 segundos, debemos aplicar la sencilla ecuaciĂłn đ?‘ = đ?‘Ł ∗ đ?‘Ą, pero tenemos el problema de que la velocidad viene expresada en kilĂłmetros/hora, mientras que el tiempo viene en segundos. Esto nos obliga a transformar una de las dos unidades, de forma que ambas sean la misma, para no violar el principio de homogeneidad y que el cĂĄlculo sea acertado.

Para realizar la transformaciĂłn utilizamos los factores de conversiĂłn. Llamamos factor de conversiĂłn a la relaciĂłn de equivalencia entre dos unidades de la misma magnitud, es decir, un cociente que nos indica los valores numĂŠricos de equivalencia entre ambas unidades. Por ejemplo, en nuestro caso, el factor de conversiĂłn entre horas y segundos viene dado por la expresiĂłn 1 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž 3600 đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘‘đ?‘œđ?‘

o la equivalente

3600 đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘‘đ?‘œđ?‘ 1 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž

, ya que 1 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž = 3600 đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘‘đ?‘œđ?‘

Para realizar la conversiĂłn, simplemente colocamos la unidad de partida y usamos la relaciĂłn o factor adecuado, de manera que se nos simplifiquen las unidades de partida y obtengamos el valor en las unidades que nos interesa. En nuestro caso, deseamos transformar la velocidad de Km/hora a Km/segundo, por lo cual usaremos la primera de las expresiones, ya que asĂ­ simplificamos la unidad hora đ?‘˜đ?‘š 1â„Ž 72 ∗ â„Ž 3600 đ?‘ đ?‘’đ?‘” = 0.02 đ?‘˜đ?‘šâ „đ?‘ đ?‘’đ?‘” Si tenemos que transformar mĂĄs de una unidad, utilizamos todos los factores de conversiĂłn sucesivamente y realizamos las operaciones. Por ejemplo, transformemos los 72 Km/h a m/s. đ?‘˜đ?‘š 1â„Ž 1000 đ?‘š 72 ∗ ∗ â„Ž 3600 đ?‘ đ?‘’đ?‘” 1đ?‘˜ đ?‘š = 20 â „đ?‘ đ?‘’đ?‘” Con el fin de utilizar siempre el mismo sistema de unidades y tener un criterio de homogeneizaciĂłn, utilizamos el Sistema Internacional de Unidades.

Medidas de Peso Convertir de toneladas cortas

toneladas largas

a...

Kilogramos Libras toneladas largas toneladas mĂŠtricas Kilogramos Libras toneladas cortas toneladas mĂŠtricas

Multiplicar por 907.18 2000 0.89 0.91 1016.05 2240 1.12 1.02

1 tonelada 1 quintal 1 quintal z 1 kilo 1 libra 1 gramo

= = = = = = = =

1000 kgs.

100 kgs.

100 libras 1000 grs.

2.2046 libras 453.597 grs.

16 onzas 1000 mgs.

Ing. Edison VillacrĂŠs

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toneladas métricas

Kilogramos Libras Onzas Quintales Arroba Convertir de Centímetros

Metros

Decámetros Hectómetros Kilómetros Miriámetros Yardas

Millas

Pies Pulgadas

Convertir de metros cúbicos

decímetros cúbicos centímetros cúbicos

Kilogramos Libras toneladas cortas toneladas largas Libras Gramos Onzas Kilogramos Gramos Kilogramos Libras a...

Pulgadas Metros Milímetros Decímetros Centímetros Pulgadas Pies Yardas Metros Metros Metros Yardas Pies Millas Metros Metros Pies Kilómetros Pies Yardas Metros Centímetros Pulgadas Yardas Centímetros Pies

1000 2204.62 1.10 0.98 2.20 1000 16 0.45 28.35 46 25 Medidas de longitud Multiplicar por 0.39 0.010 10 10 100 39.37 3.28 1.09 10 100 1000 1093.61 3280.83 0.62 1000 0.914 3 1.61 5280.25 1759.62 1609.34 30.48 12 0.33 2.54 0.083

a... pulgadas cubicas pies cúbicos yardas cubicas galones americanos pulgadas cubicas pies cúbicos yardas cubicas pulgadas cubicas pies cúbicos

Medidas de Volumen Multiplicar por 61023.19 35.31 1.31 264.2 61.02 0.035 0.0013 0.061 0.000035

1 onza

1 arroba

= = = =

28.35 grs 205 mgs.

11.502 kgs.

25 libras

1m 1m 1 cm 1m 1m 1m 1 km 1 in 1 ft 1 ft 1 ft 1 mi 1 mi 1 yd (yardas) 1 yd (yardas) 1 in (pulgadas)

= = = = = = = = = = = = = = = =

1 000 mm 100 cm 10 mm 39.37 in 3.28 ft 1.094 yd 1000 m 2.54 cm 0.305 m 30.48 cm 12 in 1.61 m 5280 ft 3.0 ft 91.44 cm 0.0254 m

1 quilate

in (pulgadas) ft (pies) mi (millas) yd (yardas)

1 m3 1 dm3 1 galón

= = = = = =

1000 dm3 1000 litros 1 litro 1000 cm3 8 pintas 4.55 litros

Ing. Edison Villacrés

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yardas cubicas

pies cúbicos

pulgadas cubicas

Convertir de celsius (c) fahrenheit (f)

Convertir de centímetros cuadrados decímetros cuadrados

metros cuadrados

hectáreas

centímetros cúbicos decímetros cúbicos metros cúbicos pulgadas cubicas pies cúbicos galones americanos decímetros cúbicos metros cúbicos pulgadas cubicas yardas cubicas galones americanos centímetros cúbicos decímetros cúbicos metros cúbicos pies cúbicos yardas cubicas galones americanos

a… fahrenheit (f) celsius (c)

764555.56 764.56 0.765 46656 27 202.01 28.31 0.028 1,73 0.037 7.48 16.39 0.016 0.000016 0.00058 0.0000214 0.0043

Conversión de Temperaturas Multiplicar por c x 9 /5+32 f-32) x 5/9

Medidas de Superficie a...

Multiplicar por pulgadas cuadradas 0.155 pies cuadrados 0.108 decímetros cuadrados 100 centímetros cuadrados 10000 pulgadas cuadradas 1549.99 pies cuadrados 10.76 yardas cuadradas 1.196 metros cuadrados 10000

c -17.77 0 5 10 15 18 20 21 22 23 24 25 30 32 35 37 40 50 60 70

1 km2 1 hectárea 1 acre 1 m2 1 c m2

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

= = = = = =

f 0 32 41 50 59 64.4 68 69.8 71.6 73.4 75.2 77 86 89.6 95 98.6 104 122 140 158

100 hectáreas 10000 m2 2.47 acres 4046.9 m2 10000 c m2 100 m m2

Ing. Edison Villacrés

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pulgadas cuadradas

pies cuadrados

yardas cuadradas áreas acres kilómetros cuadrados

millas cuadradas

Convertir de

galones americanos

galones ingleses

litros

metros cúbicos pies cúbicos barril de aceite

Áreas centímetros cuadrados pies cuadrados pulgadas cuadradas decímetros cuadrados metros cuadrados yardas cuadradas metros cuadrados pies cuadrados metros cuadrados Áreas Hectáreas metros cuadrados yardas cuadradas kilómetros cuadrados kilómetros cuadrados Hectáreas yardas cuadradas

100 6.452 0.0069 144 9.29 0.093 0.11 0.84 9 100 40.47 0.405 1000000 1’195985.02 0.39 2.59 258.99 3097.60

Medidas de Líquidos a...

Multiplicar por galones ingleses 0.83 pulgadas cubicas 230.97 pies cúbicos 0.14 centímetros cúbicos 3,785.31 metros cúbicos 0.0038 Litros 3.79 cuartos americanos 4 pintas americanas 8 galones americanos 1.201 pulgadas cubicas 277.42 pies cúbicos 0.161 centímetros cúbicos 4545.96 metros cúbicos 0.00455 Litros 4.55 cuartos ingleses 4 pintas inglesas 8 galones americanos 0.26 galones ingleses 0.22 pies cúbicos 0.035 metros cúbicos 0.001 galones americanos 264.17 galones ingleses 220 galones americanos 7.48 galones ingleses 6.23 Litros 28.32 galones americanos 42

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Secuencia 1 Actividad II 1.

Teniendo en cuenta la equivalencia entre las unidades fundamentales, determinar los factores de conversión de: 

400 km en millas,



100 km/h en m/s,



12 pulgadas en milímetros.



6080 pies en metros,



420 litros en centímetros cúbicos.

2. Determine en metros cuadrados (m2) el área de un cuadrado que tiene un pie de lado.

3. Si un avión está volando a 30 mil pies de altura, ¿cuantos metros lo separan de la superficie?

4. ¿Cuántos galones pueden almacenarse en un recipiente esférico que tiene una capacidad de 100000 litros?

5. Si la masa de la tierra es de 6 x 1024 kg y pudiera suponerse que es una esfera de 6400 km de radio, ¿cuál sería su radio en centímetros?

6. Una sala de estar tiene 18 ft de ancho y 33 ft de largo ¿Cuál es el área de la sala en m 2?

7. Una acera requiere de 40 yd3 de concreto ¿Cuántos m3 se necesitan?

8. Convertir 18.4567° a Grados, Minutos y Segundos 9.

Convertir 18° 27' 24'' a Grados

10. Convertir 38 ° 15' 16 '' a Radianes 11. Realiza la conversión de las siguientes unidades: 3



1,3 kg/l a kg/ m



6 g / cm a kg / m

3

3



980 g / l a kg / m

3



20 km / h a m / s Ing. Edison Villacrés

20

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 

20 m / s a km / h



20 cm / s a km / h



2593 Pies a Yardas.27,356 Metros a Millas



386 Kilogramos a Libras



2,352 Segundos a Año



1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo.



46 m en cm



540 m2 en cm2

12. Efectúa las siguientes conversiones 

875 km a mi



1250 in a m



0.6 m2 a cm2



9 ft2 a m2

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Cantidades Vectoriales y Escalares Algunas cantidades quedan totalmente descritas si se expresan con un número y una unidad. Por ejemplo, una masa de 30 kg. La masa queda totalmente descrita por su magnitud representada por el número (para el caso, 30 es la magnitud) y las unidades correspondientes para la masa: kilogramos. Estas cantidades son escalares. *Definición: Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad.

Las operaciones entre cantidades escalares deben ser dimensionalmente coherentes; es decir, las cantidades deben tener las mismas unidades para poder operarse.

30 kg + 40 kg = 70 kg 20 s + 43 s = 63 s Algunas cantidades escalares comunes son la masa, rapidez, distancia, tiempo, volúmenes, áreas entre otras.

Para el caso de algunas cantidades, no basta con definirlas solo con un número y una cantidad, sino además se debe especificar una dirección y un sentido que las defina completamente. Estas cantidades son vectoriales. *Definición: Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en un número, una unidad y una dirección.

Las cantidades vectoriales son representadas por medio de vectores.

Por ejemplo, "una velocidad de 30 km/h" queda totalmente descrita si se define su dirección y sentido: "una velocidad de 30 km/h hacia el norte" a partir de un marco de referencia determinado (los puntos cardinales).

Entre algunas cantidades vectoriales comunes en física son: la velocidad, aceleración, desplazamiento, fuerza, cantidad de movimiento entre otras.

Existen diferentes formas de expresar una cantidad vectorial. Una de ellas es la forma polar, que se escribe como un par de coordenadas, en las cuales denotan su magnitud y su dirección. Por ejemplo, La velocidad (30 m/s, 60º), quiere decir "velocidad de 30 m/s a 60º desde el origen del marco de referencia dado".

Características de los Vectores.

Los vectores se representan por medio de flechas. El sentido del vector está dado por medio del indicador de la flecha o punta de flecha; la magnitud del vector está dado por el tamaño del vector y la dirección por

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 la inclinación que tenga la flecha. Generalmente el marco de referencia utilizado es el plano cartesiano, con el eje x positivo dirigido hacia la derecha y el eje y positivo dirigido hacia arriba.

Ejemplo. Considere los vectores D1 (verde) y D2 (azul) representados en la figura. El vector D2 tiene mayor magnitud que el vector D1 (observe el tamaño). Según el marco de referencia propuesto, ambos tienen sentidos opuestos y la dirección para D1 es 60º y para D2 es de 80º desde el eje negativo y (es decir, 190º).

Generalmente los vectores se representan con una letra (comunmente la letra inicial de la propiedad que denota la cantidad) y encima de esa letra una flecha hacia la derecha. Por ejemplo: Vector velocidad: La magnitud de un vector se representa por medio de barras verticales: Magnitud del vector velocidad.

La dirección del vector está dada por un ángulo θ con respecto al marco de referencia. Generalmente, éste ángulo se mide a partir del eje x positivo.

El sentido del vector está dado por el signo que lo antepone. Por ejemplo, si el vector

está dirigido hacia

el norte, entonces el vector está dirigido hacia el sur.

Las operaciones con vectores suelen ser más complejas debido a la introducción de las nuevas propiedades (dirección y sentido). En las siguientes lecciones, se muestran algunos métodos para poder realizar sumas y restas de vectores.

Operaciones con Vectores por el Método del Paralelogramo.

Para utilizar métodos gráficos en la suma o resta de vectores, es necesario representar las cantidades en una escala de medición manipulable. Es decir, podemos representar un vector velocidad de 10 m/s hacia el norte con una flecha indicando hacia el eje y positivo que mida 10 cm, en la cual, cada cm representa una unidad de magnitud real para la cantidad (1 m/s).

El vector que resulta de operar dos o más vectores, es conocido como el vector resultante, o simplemente la resultante.

El método del paralelogramo permite sumar dos vectores de manera sencilla. Consiste en colocar los dos vectores, con su magnitud a escala, dirección y sentido originales, en el origen, de manera que los dos vectores inicien en el mismo punto. Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo. Los otros lados se construyen trazando lineas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud. El vector suma resultante se representa a escala mediante un segmento de recta dado por la diagonal del paralelogramo, partiendo del origen en el que se unen los vectores hasta la intersección de las paralelas trazadas.

Ejemplo. Una bicicleta parte desde un taller de reparación y se desplaza (4 m, 30º) y luego (3 m, 0º).

Encuentre el desplazamiento total de la bicicleta, indicando la dirección tomada desde el taller.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 El desplazamiento total se da en dos tramos. Cada tramo desplazado se representa por los vectores d1 y d2.

El desplazamiento total es D = d1 y d2.

Los dos vectores son dibujados a la misma escala, y se colocan en el mismo origen. Luego se trazan las lineas paralelas.

Si medimos con una regla, a la escala dada, el tamaño del vector resultante debe dar aproximadamente 6.75 unidades de la escala; es decir, la magnitud del vector desplazamiento total es de 6.75 m.

La medida de la dirección se toma con la ayuda de un transportador, y debe dar aproximadamente 17º desde el origen propuesto. El sentido del vector resultante es positivo, según el marco de referencia común (plano cartesiano, hacia x positivo y hacia y positivo). Entonces como resultado, la bicicleta se desplaza (6.75 m, 17º).

Operaciones con Vectores por el Método del Polígono. Éste es el método gráfico más utilizado para realizar operaciones con vectores, debido a que se pueden sumar o restar dos o más vectores a la vez. El método consiste en colocar en secuencia los vectores manteniendo su magnitud, a escala, dirección y sentido; es decir, se coloca un vector a partir de la punta flecha del anterior. El vector resultante está dado por el segmento de recta que une el origen o la cola del primer vector y la punta flecha del último vector.

Ejemplo. Sean los vectores:

Encontrar .

Resolviendo por el método del polígono, la figura resultante es:

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

Si se utilizan los instrumentos de medición prácticos, se obtiene que : y que θ es aproximadamente 80ª.

Cuando dos vectores se restan, el procedimiento anterior es el mismo, lo único que cambia es el sentido del vector que le sigue al signo menos. Por ejemplo, al restar el vector D2 del vector D1 se tiene: D1- D2 = D1+ (-D2).

La expresión del miembro derecho de la ecuación anterior designa un cambio en el sentido del vector D2; entonces, la expresión queda como una suma, y por lo tanto, se sigue el procedimiento del método gráfico mostrado anteriormente.

Los métodos gráficos ofrecen una manera sencilla de sumar o restar dos o más vectores; pero cuando las magnitudes de los vectores son demasiado grandes o poseen una gran cantidad de decimales, éstos métodos se vuelven imprecisos y difíciles de manipular a escalas de medición menores. Es por eso, la necesidad de un método matemático nemotécnico, que permita dar una mayor precisión en el cálculo de vectores resultantes, no sólo en la magnitud, sino además en la dirección de ellas Componentes Rectangulares de un Vector.

La eficacia de una cantidad vectorial depende de la dirección en la que actúa. Por ejemplo, suponga una fuerza (cantidad vectorial) que mueve una caja grande arrastrándola por el suelo. La caja se moverá más fácil si se hala por medio de una cuerda inclinada (como se muestra en la figura) que si se empuja, debido a que la cuerda levanta la caja y la mueve hacia adelante al mismo tiempo. En forma similar, al empujar la caja, se produce el efecto de añadir peso. Esto da la idea de que una fuerza, y en general, un vector, tiene componentes verticales y horizontales que podrían reemplazar al vector.

En general, las componentes de un vector son otros vectores, en direcciones particulares. El eje de referencia principal más utilizado es el plano cartesiano. Según éste marco de referencia, las componentes horizontales son vectores en dirección al eje x y las componentes verticales son vectores en dirección al eje y.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Las magnitudes de las componentes se encuentran relacionadas con la magnitud del vector principal por medio del teorema de Pitágoras, tomando como catetos las componentes, y como hipotenusa el vector principal. La dirección del vector principal relaciona también a las magnitudes de las componentes por medio de las relaciones trigonométricas conocidas para un triángulo rectángulo simple. Las relaciones más utilizadas son el seno, coseno y tangente.

Ejemplo. Encuentre la magnitud de las componentes en x e y del vector (3.5 u,60º).

La componente en x se puede encontrar fácilmente utilizando la relación del cosena:

Resolviendo: Componente en x = (3.5 u)*cos(60º) = 1.75 u.

De manera similar, se puede encontrar la magnitud de la componente en y por medio de la relación del seno; pero además se conoce la magnitud del vector principal, lo cual permite utilizar el teorema de pitágoras:

Resolviendo:

Componente en y = 3.03 u En general, las componentes de un vector pueden verse como efectos o proyecciones a lo largo de los ejes x e y. Considere el vector V. Podemos escribir las componentes en x e y del vector V en términos de su magnitud V y su dirección θ: - Componente en x, o Vx = V cos θ - Componente en y, o Vy = V sen θ donde θ es el ángulo, medido en dirección antihoraria, entre el vector V y el lado positivo del eje x.

Operaciones con Vectores por el Método de las Componentes. Éste método mejora la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante por medio del conocimiento de las componentes del vector; además tiene la ventaja de sumar o restar dos o más vectores a la vez, mediante un proceso algebraico.

El método consiste en sumar o restar las componentes en x de los vectores principales, y el resultado de ésta operación es la componente en x del vector resultante. De igual manera, se operan las componentes en y de los vectores principales y el resultado es la componente en y del vector resultante. Obtenidas las componentes de la resultante, se pueden encontrar la magnitud, dirección y sentido de éste vector.

Cuando una componente, en x o en y, tiene un valor negativo, el sentido de ésa componente es contrario a los lados positivos del marco de referencia. Por ejemplo, si una componente en y tiene un valor negativo, la proyección en el eje y de ése vector apunta hacia abajo.

Ejemplo. Calcule la resultante de las fuerzas que se presentan en la figura.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

Note que θ para los vectores B y C no son los que se presentan en la figura, sino que se deben calcular a partir del eje x positivo (ángulos suplementarios).

Para el vector B, θ = 180º - 45º = 135º Para el vector C, θ = 180º + 55º = 235º Calculando las componentes en x de los vectores A, B y C: Ax = (200 N) cos (30º) = 173.20 N Bx = (300 N) cos (135º) = - 212.13 N Cx = (155 N) cos (235º) = - 88.90 N Calculando las componentes en y de los vectores A, B y C: Ay = (200 N) sen (30º) = 100 N By = (300 N) sen (135º) = 212.13 N Cy = (155 N) sen (235º) = - 126.97 N Luego se calcula la fuerza resultante, encontrando las componentes de ésta fuerza, a partir de una simple suma de componentes de fuerzas individuales.

Operaciones con Vectores por el Método de las Componentes.

La Fuerza Resultante F es la suma de las fuerzas individuales; es decir, de los vectores anteriores: Fx = Ax + Bx + Cx = 173.20 N + (- 212.13 N) + (- 88.90 N) = - 127.83 N. Fy = Ay + By + Cy = 100 N + 212.13 N + (- 126.97 N) = 185.16 N. Si dibujamos esas componentes resultantes, obtenemos un vector como se muestra en la siguiente figura:

La magnitud del vetor resultante se encuentra por el teorema de pitágoras: Para el cálculo del ángulo θ, se introduce el valor de un nuevo ángulo φ, que es aquel formado por la componente en x del vector resultante y el vector resultante. Esto se hace debido a que al utilizar una función Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 trigonométrica que relacione las componentes, ésta es válida si y sólo si la relación es de un triángulo rectángulo. Para el caso, al encontrar φ, se puede calcular el valor de θ, así: θ = 180º - φ La función trigonométrica que relaciona las dos componentes es la de tangente:

Note que para utilizar la función trigonométrica se deben operar los valores absolutos de las magnitudes de las componentes, para que el resultado sea el valor absoluto del ángulo.

La relación θ = 180º - φ es válida para los vectores que estén en el 2º cuadrante del plano cartesiano; si el vector está en el 3º o 4º cuadrante, se procede así: Tercer cuadrante: θ = 180º + φ Cuarto cuadrante: θ = 360 º - φ

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 1.

Secuencia 1 Actividad III Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste. Calcular: a. ¿Cuál es la diferencia total que recorren? b. ¿Cuál es su desplazamiento?

2.

Un vector situado en el plano XY tiene una magnitud de 25 unidades y forma un ángulo de 37º con la abscisa. Determine sus componentes rectangulares.

3.

La componente x de un vector que está en el plano XY es de 12 unidades, y la componente y es de 16 unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector?

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 4.

Encuentre las componentes rectangulares, las magnitudes y los ĂĄngulos directores de los vectores A, B y C que van desde el punto a hasta el punto b, desde el punto c hasta el punto d y desde el punto e hasta el punto f, respectivamente, en el espacio coordenado cartesiano.

A(2,-1,7); B(9,4,2); C(9,4,2); D(2,-1,7); E(0,0,0); F(2,2.1)

5.

Dado el vector đ??´Ě… = 2đ?‘–Ě‚ + 4đ?‘—Ě‚ − 4đ?‘˜Ě‚ determine sus ĂĄngulos directores.

6.

Dados los vectores: đ??´Ě… = 10đ?‘–Ě‚ + 5đ?‘—Ě‚ + 3đ?‘˜Ě‚ , đ??ľĚ… = 3đ?‘–Ě‚ − 4đ?‘—Ě‚ + 2đ?‘˜Ě‚, đ??śĚ… = 2đ?‘–Ě‚ + 6đ?‘—Ě‚ − 4đ?‘˜Ě‚ Encontrar: a. đ??´Ě… + đ??ľĚ… b. đ??´Ě… − đ??ľĚ… , đ??śĚ… c. 2đ??´Ě… − 3đ??ľĚ… − 2

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 7.

Un barco avanza hacia el norte 60 [km]; luego cambia de curso y navega en alguna direcciĂłn hacia el sureste (no necesariamente S 45Âş E) hasta llegar a una posiciĂłn a 50 [km] de distancia del punto de partida, en una direcciĂłn E 20,6Âş N respecto de dicho punto. Determine la longitud y el rumbo de la segunda parte de la travesĂ­a.

8.

Encontrar el ĂĄrea y los ĂĄngulos interiores de un triĂĄngulo cuyos vĂŠrtices son las coordenadas: (3, -1,2), (1,-1,-3) y (4,-3,1).

9.

Hallar el valor de r tal que los vectores đ??´Ě… = 2đ?‘–Ě‚ + rđ?‘—Ě‚ + đ?‘˜Ě‚ y đ??¸Ě… = 4đ?‘–Ě‚ − 2đ?‘—Ě‚ − 2đ?‘˜Ě‚ sean perpendiculares.

10. Sumar dos vectores de magnitudes 8 y 5 que forman un ĂĄngulo de 60Âş entre sĂ­.

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 11.

Secuencia 1 Actividad IV Dados los vectores đ??´Ě… = 3đ?‘–Ě‚ − 2đ?‘—Ě‚ y đ??ľĚ… = đ?‘–Ě‚ − 2đ?‘—Ě‚, encontrar su producto vectorial y comprobar que ese vector es perpendicular đ?‘Ž đ??´Ě… đ?‘Ś đ?‘Ž đ??ľĚ…

12. Dados los vectores đ??´Ě… = −3đ?‘–Ě‚ + 2đ?‘—Ě‚ − đ?‘˜Ě‚ ; B en el plano XY de mĂłdulo 10 y direcciĂłn 120Âş respecto de +X; y đ??śĚ… = −4đ?‘—Ě‚ Determinar: a. La magnitud de đ??´Ě… + đ??ľĚ… − đ??śĚ… b. El ĂĄngulo que forma đ??´Ě… ∗ đ??ľĚ… con el eje Z c. ProyecciĂłn de đ??ľĚ… − đ??śĚ… en direcciĂłn de đ??´Ě…

13. Hallar el ĂĄrea del triĂĄngulo formado por los vectores đ??´Ě… = 3đ?‘–Ě‚ + 2đ?‘—Ě‚ + đ?‘˜Ě‚; đ??ľĚ… = −đ?‘–Ě‚ + 5đ?‘—Ě‚ − 4đ?‘˜Ě‚ y su diferencia.

14. Tres vectores situados en un plano tienen 6, 5 y 4 unidades de magnitud. El primero y el segundo forman un ĂĄngulo de 50Âş mientras que el segundo y el tercero forman un ĂĄngulo de 75Âş. Encontrar la magnitud del vector resultante y su direcciĂłn respecto del mayor.

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 15. Un vector ⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ tienen de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3).

⃗ = (2, −1), determinar dos vectores equipolentes a đ?‘ˆ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 16. Dado el vector đ?‘ˆ đ??´đ??ľ đ?‘Œ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ??śđ??ˇ, sabiendo que A(1, −3) y D(2, 0).

17. Calcular la distancia entre los puntos: đ??´(2,1)

đ??ľ(−3,2)

18. Si đ?‘Ł es un vector de componentes (3, 4), Hallar un vector unitario de su misma direcciĂłn y sentido

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 19. Una persona en su trote diario, desde su casa, corre 7km al Norte, 2km al Oeste, 7km al Norte y 11km al Este. Encuentre la distancia a su casa a que se encuentra la persona.

20. Una caja tiene 16 cm de largo, 18 cm de ancho y 10 cm de alto. Encuentre la longitud de la diagonal de la caja y el ángulo que ésta forma con cada uno de los ejes.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Secuencia 1 Actividad V 21. A partir de los vectores que se muestran en la figura, en que los mĂłdulos de đ??´Ě…, đ??ľĚ… y đ??śĚ… son 10, 20 y 30 respectivamente, determine: a. ProyecciĂłn de đ??´Ě… en direcciĂłn de đ??śĚ… − đ??ľĚ… Ě… tal que 2đ??´Ě… + đ??ľĚ… − 2đ??´Ě… = 0 b. Un vector đ??ˇ

22. Dados los vectores đ??´Ě… = 4đ?‘–Ě‚ + 6đ?‘—Ě‚ y đ??ľĚ… = −6đ?‘–Ě‚ − đ?‘—Ě‚ Encontrar: a. El ĂĄngulo formado por los vectores. b. Un vector unitario en la direcciĂłn del vector đ??´Ě… − 2đ??ľĚ…

23. Hallar el ĂĄrea del paralelogramo cuyas diagonales son: đ??¸Ě… = 3đ?‘–Ě‚ + đ?‘—Ě‚ − 2đ?‘˜Ě‚ y đ?‘‡Ě… = đ?‘–Ě‚ − 3đ?‘—Ě‚ + 4đ?‘˜Ě‚

24. Los vectores đ??´Ě… đ?‘Ś đ??ľĚ… forman entre sĂ­ un ĂĄngulo de 45Âş y el mĂłdulo de đ??´Ě… vale 3. Encontrar el valor de la magnitud de đ??ľĚ… para que la diferencia đ??´Ě… − đ??ľĚ… sea perpendicular a đ??´Ě…

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 25. Un vector đ??´Ě… tiene una magnitud de 9 [cm] y estĂĄ dirigido hacia +đ?‘‹ Otro vector đ??ľĚ… tiene una magnitud de 6 [cm] y forma un ĂĄngulo de 45Âş respecto de la abscisa positiva. El vector đ??śĚ… tiene una magnitud de 15 [cm] y forma un ĂĄngulo de 75Âş respecto del eje +đ?‘‹. Determine el vector resultante.

26. Hallar la resultante de los siguientes desplazamientos: 3 [m] hacia el este; 12 [m] hacia el este 40Âş hacia el norte y 7 [m] hacia el oeste 60Âş hacia el sur.

27. Un barco se desplaza sobre una superficie de agua tranquila a razĂłn de 10 đ??žđ?‘šâ „â„Ž y entra en direcciĂłn O 60Âş S en una corriente cuya direcciĂłn es E y que se mueve con una velocidad de 12 đ??žđ?‘šâ „â„Ž ÂżCuĂĄl serĂĄ su velocidad resultante?

28. Desde una determinada posiciĂłn en un camino, una persona observa la parte mĂĄs alta de una torre de alta tensiĂłn con un ĂĄngulo de elevaciĂłn de 25o. Si avanza 45m en lĂ­nea recta hacia la base de la torre, divisa la parte mĂĄs alta con un ĂĄngulo de elevaciĂłn de 55o. Considerando que la vista del observador estĂĄ a 1,7m. Determine la altura h de la torre.

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 29. Desde un avión de reconocimiento que vuela a una altura de 2500m, el piloto observa dos embarcaciones que se encuentran en un mismo plano vertical con ángulos de depresión de 62o240 y 37o180 respectivamente. Encuentre la distancia x entre las embarcaciones.

30. Una persona se encuentra en la mitad de la distancia que separa dos edificios y observa la parte más alta de éstos con ángulos de elevación de 30o y 60o respectivamente. Demuestre la que las alturas de los edificios están en la relación 1:3.

31. Un mástil por efecto del viento se ha quebrado en dos partes, la parte que quedó vertical en el piso mide 3m y la parte derribada quedó atada al extremo superior de la parte vertical, formando un ángulo de 30º con el piso. Encontrar la altura del mástil.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

Segundo Parcial Unidad de Aprendizaje Identifica las diferencias entre los distintos tipos de movimientos.

Competencia a Desarrollar a)

Se expresa y se comunica

b)

Piensa, critica y reflexivamente

c)

Trabaja en forma colaborativa

d)

Establece la interrelaciĂłn entre la ciencia, la tecnologĂ­a, la sociedad y el ambiente en tontextos histĂłricos y sociales especĂ­ficos.

Dimensión del Aprendizaje 

Actitud y Percepciones CinemĂĄtica

La descripciĂłn matemĂĄtica del movimiento constituye el objeto de una parte de la fĂ­sica denominada cinemĂĄtica. Tal descripciĂłn se apoya en la definiciĂłn de una serie de magnitudes que son caracterĂ­sticas de cada movimiento o de cada tipo de movimientos. Los movimientos mĂĄs sencillos son los rectilĂ­neos y dentro de ĂŠstos los uniformes. Los movimientos circulares son los mĂĄs simples de los de trayectoria curva. Unos y otros han sido estudiados desde la antigĂźedad ayudando al hombre a forjarse una imagen o representaciĂłn del mundo fĂ­sico.

Movimiento RectilĂ­neo Uniforme Cuando una partĂ­cula se mueve en una lĂ­nea recta, su posiciĂłn estĂĄ descrita por una sola coordenada, los desplazamientos son entonces todos sobre una misma lĂ­nea y no es necesario considerar el carĂĄcter vectorial de ellos, lo cual simplifica el estudio del movimiento. Si usamos coordenadas cartesianas la posiciĂłn de un punto mĂłvil estarĂĄ determinada por su coordenada x la cual si el punto se mueve, serĂĄ alguna funciĂłn del tiempo: đ?‘Ľ = đ?‘Ľ(đ?‘Ą) đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ Donde x representa la coordenada y đ?‘Ľ(đ?‘Ą) alguna funciĂłn del tiempo generalmente indicada con el mismo nombre que la coordenada.  

  



Concepto de movimiento.- Movimiento es el cambio de posiciĂłn de un objeto con respecto a un punto o lugar de referencia, mientras transcurre el tiempo.

Concepto de tiempo.- En la formulaciĂłn Newtoniana de la MecĂĄnica ClĂĄsica, el concepto de tiempo es un concepto absoluto, es decir para todos los observadores, independientemente de su movimientoel tiempo transcurre de la misma forma. Esto significa entre otras cosas que el concepto de simultaneidad es absoluto; Si dos sucesos ocurren simultĂĄneamente para algĂşn observador, entonces ellos ocurren simultĂĄneamente para todos.

Desplazamientos.- El desplazqamiento es la longitud con direcciĂłn del tramo que se forma desde el punto de partida de un mĂłvil, hasta su punto de terminaciĂłn.

Distancia.- Es la longitud del tramo que recorre un cuerpo en movimiento a travĂŠs de su trayectoria.

Espacio Recorrido.- El espacio recorrido por el mĂłvil serĂĄ denotado por una d y que se expresa en metros (m), es la magnitud del desplazamiento si acaso el mĂłvil no cambia el sentido del movimiento. Si el mĂłvil cambia el sentido del movimiento, el espacio recorrido es la suma de las magnitudes de los desplazamientos que ocurren entre sucesivos cambios de sentido del movimiento. đ?’… = đ?’—đ?’• Velocidad media.- La velocidad media cuando ocurre un desplazamiento ΔX en un intervalo de tiempo Δt = t2 − t1 se define mediante: Δx đ?‘šâ „ vm = đ?‘ đ?‘’đ?‘” Δt

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 

Velocidad instantĂĄnea.- La velocidad instantĂĄnea o simplemente la llamada velocidad đ?‘Ł(đ?‘Ą)) se define como el lĂ­mite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, es decir: đ?‘Ľ(đ?‘Ą) − đ?‘Ľ(đ?‘Ą1 ) đ?‘Ł(đ?‘Ą) = lim đ?‘Ą1 −0 đ?‘Ą − đ?‘Ą1 Una definiciĂłn equivalente es: đ?‘Ľ(đ?‘Ą + Δt) − đ?‘Ľ(đ?‘Ą) Δt→0 Δt 0 Este lĂ­mite que permite levantar la indeterminaciĂłn tipo que se produce, se conoce como la derivada đ?‘Ł(đ?‘Ą) = lim

0

de đ?‘Ľ(đ?‘Ą) respecto al tiempo:

đ?‘‘đ?‘Ľ(đ?‘Ą) = đ?‘Ľ(đ?‘Ą) = đ?‘Ľ ′ (đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą En matemĂĄticas usualmente la variable independiente se denomina x, y las funciones đ?‘Ś(đ?‘Ľ) đ?‘œ đ?‘“(đ?‘Ľ). En tal caso la derivada se indicarĂĄ: đ?‘‘đ?‘Ś(đ?‘Ľ) đ?‘“(đ?‘Ľ + Δx) − đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ś ′ (đ?‘Ľ) = đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) = lim Δx→0 đ?‘‘đ?‘Ľ Δx Rapidez.- La rapidez de una partĂ­cula en el instante de tiempo đ?‘Ą se define como la magnitud de la velocidad, es la cantidad que resulta de dividir la distancia recorrida por un mĂłvil, entre el tiempo que le toma hacerlo, en el caso unidimensional esto simplemente es: Δd đ?‘‘đ?‘“ − đ?‘‘0 đ?‘&#x;= = Δt đ?‘Ąđ?‘“ − đ?‘Ą0 d đ?‘&#x;= t Velocidad- es la cantidad que resulta de dividir el desplazamiento realizado por un mĂłvil, entre el tiempo que le toma en hacerlo. Δd đ?‘‘đ?‘“ − đ?‘‘0 đ?‘Ł= = Δt đ?‘Ąđ?‘“ − đ?‘Ą0 d đ?‘Ł= t AceleraciĂłn media.- La aceleraciĂłn de la partĂ­cula en el intervalo de tiempo de đ?‘Ą1 đ?‘Ž đ?‘Ą2 se define mediante đ?‘Ł(đ?‘Ą2 ) − đ?‘Ł(đ?‘Ą1 ) đ?‘Žđ?‘š = đ?‘šđ?‘ −1 đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 đ?‘Ł(đ?‘Ą) =







O bien: �� = 

Δv Δt

Donde Δt = t2 − t1 y Δv = v(t2) − v(t1)

AceleraciĂłn instantĂĄnea.- La aceleraciĂłn instantĂĄnea de la partĂ­cula en el instante t se define como el lĂ­mite de la aceleraciĂłn media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. đ?‘Ł(đ?‘Ą) − đ?‘Ł(đ?‘Ą1 ) đ?‘‘đ?‘Ł(đ?‘Ą) đ?‘Ž(đ?‘Ą) = lim = đ?‘Ą1 −đ?‘Ą đ?‘Ą − đ?‘Ą1 đ?‘‘đ?‘Ą Esto es la derivada de la velocidad respecto al tiempo đ?‘‘đ?‘Ł(đ?‘Ą) đ?‘‘ 2 đ?‘Ľ đ?‘Ž(đ?‘Ą) = = 2 đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą FĂłrmulas para el Movimiento Rectilinio Uniforme đ?‘‘ đ?‘Ł Velocidad đ?‘Ł= Distancia đ?‘‘ = đ?‘Łđ?‘Ą Tiempo đ?‘Ą= đ?‘Ą

đ?‘‘

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 1.

Secuencia 2 Actividad I ¿Cuál es la velocidad en m/s de un coche que recorre 180km en 2 horas?:Resp: 90km/h

2. Una persona camina a velocidad constante de 5 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer una distancia de 6000m?

3. Un avión se desplaza a una velocidad de 1080 km/h, ¿cuál es el tiempo que transcurre en recorrer una distancia de 100000km? Resp:0.093h

4. Una persona A recorre 9 km en 130 minutos, otra persona B recorre 1500 m en 900 s y una tercera persona C lleva una velocidad de 5 km/h. ¿Cuál es la más rápida? Resp:B

5. Si voy desde el punto A hasta el B, que se encuentra a 10 km de distancia, y luego regreso al punto de partida el desplazamiento total será. Resp:20km

6. Un delfín nada a una velocidad de 54km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el delfín en recorrer 450km?.

Resp:8.333h

7. ¿Cuál es la velocidad de un animal, expresada en m/s, sabiendo que recorre en 3 minutos la misma distancia que una persona caminando a 5,4 km/h durante 2 minutos? Resp:10m/seg

8. Un automóvil de carreras recorre un giro a una pista de 5km de longitud aun tiempo de 2min. ¿Cuál es su velocidad media? Resp:150.015km/h

9. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad de 1200cm/s durante 9s, y luego con velocidad de 480cm/s durante 7s, siendo ambas velocidades del mismo sentido: a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16s? Resp:14160cm b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo? Resp:885cm/seg

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 10. Una partícula se mueve en la dirección del eje x y en sentido de los x > 0. Sabiendo que la velocidad es 2 m/s, y su posición es x0 = 4 m, ¿calcular el tiempo recorrido? Resp:2seg

11. Dos jóvenes, Rubén y Cecilia, caminan a razón de 1.2m/s y 0.9m/seg respectivamente. Determine la distancia que los separa luego de 20s, sí partiendo desde el mismo punto: a) se mueven en el mismo sentido, Resp:0.6m b) si se mueven en sentidos contrarios. Resp:4.2m

12. Un móvil recorre 98km en 2h, calcular: a. Su velocidad. Resp:49km/h b. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad? Resp:150km

13. Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía en oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s? Resp:6.18seg

14. La velocidad del sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 km/s. Se produce un relámpago a 50 km de un observador. a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido? Resp: La luz b) ¿Con qué diferencia de tiempo los registra? Resp:151.50seg

15. ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000 km/s y el sol se encuentra a 150.000.000 km de distancia. Resp:0.5seg

16. ¿Cuál será la distancia recorrida por un móvil a razón de 90 km/h, después de un día y medio de viaje?

Resp:3240km

17. ¿Cuál de los siguientes móviles se mueve con mayor velocidad: el (a) que se desplaza a 120 km/h o el (b) que lo hace a 45 m/s? Resp: automóvil B

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 18. ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h para recorrer una distancia de 25.000 m? Resp:0.27h

19. ¿Qué tiempo empleará un móvil que viaja a 80 km/h para recorrer una distancia de 640 km? Resp:8h

20. Dos puntos A y B están separados por una distancia de 100 m. En un mismo momento pasan dos móviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con M.R.U., de tal manera que uno de ellos tarda 2s en llegar al punto B y el otro 1,5 s en llegar al punto A .. Hallar: a) El punto de encuentro. b) El instante del encuentro.

21. Se tira una bolita A con una velocidad de 10m/s y en el mismo momento, pero 5m más adelante, se tira una bolita B con una velocidad de 8 m/s. a) ¿Cuánto tiempo después la bolita A pasa a la B? b) ¿A qué distancia de la posición inicial de la bolita B?

22. Dos ciclistas pasan al mismo tiempo por un punto con velocidades constantes: 30km/h y 15km/h. ¿Qué distancia los separará luego de 2 minutos?

23. Sale un avión de A hacia B con una velocidad constante de 500 km/h, al mismo tiempo otro avión con la misma dirección pero en sentido contrario despega con velocidad constante de 300 km/h. Si los puntos A y B están separados 1000 km, calcular: a) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse? b) ¿A qué distancia de A lo lograrán?

24. Un barco zarpa de A con destino a B con una velocidad de 80 km/h, luego de 3 horas otro sale de B con el mismo sentido que el primero pero, con una velocidad de 50 km/h, si la distancia entre A y B es de 500 km, calcular: a. ¿Cuánto tiempo después que zarpó el segundo se encontrarán? b. ¿A qué distancia de B?

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 25. Un motociclista pasa por un semáforo con velocidad constante de 50 km/h, en el mismo momento un camión pasa por el mismo lugar y con igual sentido a una velocidad constante de 80 km/h, ¿cuánto tiempo después estarán separados por 300 m?

26. Supongamos que alguien va en una camioneta a razón de 120 km/h, respecto a un observador en reposo fuera de la camioneta. Y el conductor de la camioneta enciende las luces. Para el conductor la luz de los focos se mueve por delante de la camioneta a la velocidad de la luz (c=300000 km/s). ¿Qué velocidad diría que tiene la luz de los focos, el mismo observador en reposo fuera de la camioneta?

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Movimiento Uniformemente Acelerado Se dice que un movimiento es uniformemente acelerado si la aceleraciĂłn del mĂłvil es constante. En general, si la aceleraciĂłn a es constante se tiene que: đ?‘‘đ?‘Ł(đ?‘Ą) =đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘Ą ExpresiĂłn que podemos integrar dos veces obteniendo đ?‘Ą

đ?‘Ł(đ?‘Ą) − đ?‘Ł(0) = âˆŤ đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ą 0

O sea

v(t) = v(0) + at E integrando de nuevo đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ł(đ?‘Ą) − đ?‘Ł(0) = âˆŤ đ?‘Ł(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤ (đ?‘Ł(0) + đ?‘Žđ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą Luego, realizando la integral resulta

0

0

1 đ?‘Ł(đ?‘Ą) = đ?‘Ľ(0) − đ?‘Ł(0)đ?‘Ą + đ?‘Žđ?‘Ą 2 2 AquĂ­ đ?‘‹(0) representa la posiciĂłn inicial y V(0) la velocidad inicial. Si despejamos el tiempo de la primera y reemplazamos en la segunda se obtiene đ?‘Ł 2 (đ?‘Ą) − đ?‘Ł 2 (0) x(t) − x(0) = 2đ?‘Ž Que tiene importancia en ciertas situaciones. Por ejemplo si la aceleraciĂłn es negativa (movimiento desacelerado), el espacio recorrido hasta detenerse serĂĄ: −đ?‘Ł 2 (0) x(t) − x(0) = 2đ?‘Ž Nota Se habla de movimiento desacelerado cuando la aceleraciĂłn tiene signo contrario a la velocidad. En movimientos mĂĄs generales se dice que el movimiento es desacelerado cuando la aceleraciĂłn tiene sentido contrario a la velocidad.

SoluciĂłn grĂĄfica En algunos casos simples la integral no es necesaria. Por ejemplo si la aceleraciĂłn es constante, entonces el grĂĄfico velocidad tiempo es una lĂ­nea recta. La figura siguiente lo ilustra la aceleraciĂłn, es decir la pendiente de la curva, es đ?’—(đ?’•đ?&#x;? ) − đ?’—(đ?’•đ?&#x;? ) đ?’‚= đ?’•đ?&#x;? − đ?’•đ?&#x;?

De donde đ?‘Ł(đ?‘Ą2 ) − đ?‘Ł(đ?‘Ą1 ) = đ?‘Ž(đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 ) el desplazamiento que es el ĂĄrea serĂĄ (ĂĄrea de un rectĂĄngulo mĂĄs ĂĄrea de un triĂĄngulo) resulta 1 đ??´ = đ?‘Ľ(đ?‘Ą2 ) − đ?‘Ľ(đ?‘Ą1 ) = đ?‘Ł(đ?‘Ą1 )(đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 ) + (đ?‘Ł(đ?‘Ą2 ) − đ?‘Ł(đ?‘Ą1 ))(đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 ) 2 Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Y 1 đ?‘Ľ(đ?‘Ą2 ) − đ?‘Ľ(đ?‘Ą1 ) = đ?‘Ł(đ?‘Ą1 )(đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 ) + đ?‘Ž(đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 )2 2 1 đ?‘Ľ(đ?‘Ą2 ) = đ?‘Ľ(đ?‘Ą1 ) + đ?‘Ł(đ?‘Ą1 )(đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 ) + đ?‘Ž(đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 )2 2 Que generaliza el resultado anterior. AdemĂĄs podemos obtener otro resultado aplicable al cĂĄlculo de la velocidad media. La velocidad media en el intervalo de tiempo [t1, t2] estĂĄ definida mediante đ?‘Ľ(đ?‘Ą2 ) − đ?‘Ľ(đ?‘Ą1 ) đ?‘˘đ?‘š = đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 Utilizando los resultados anteriores la podemos escribir: 1 đ?‘Ł(đ?‘Ą1 )(đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 ) + đ?‘Ž(đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 )2 1 2 đ?‘˘đ?‘š = = đ?‘Ł(đ?‘Ą1 ) + đ?‘Ž(đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 ) đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 2 1 đ?‘˘đ?‘š = đ?‘Ł(đ?‘Ą1 ) + (đ?‘Ł(đ?‘Ą2 ) − đ?‘Ł(đ?‘Ą1 )) 2 1 đ?‘˘đ?‘š = (đ?‘Ł(đ?‘Ą1 ) + đ?‘Ł(đ?‘Ą2 )) 2 Resultado vĂĄlido cuando la aceleraciĂłn es constante. Para aceleraciĂłn constante la velocidad media es el promedio de las velocidades en los extremos del intervalo.

Velocidad AceleraciĂłn

Fórmulas para el Movimiento Uniformemente Acelerado � �= �

đ?‘Ž=

đ?‘Łđ?‘“ −đ?‘Łđ?‘œ đ?‘Ą đ?‘Łđ?‘œ +đ?‘Łđ?‘“

Velocidad Media

đ?‘ŁĚ… =

Velocidad Final

đ?‘Łđ?‘“ = đ?‘Łđ?‘œ + đ?‘Žđ?‘Ą

đ?‘Łđ?‘“ 2 = đ?‘Łđ?‘œ 2 + 2đ?‘Žđ?‘‘

đ?‘Łđ?‘“ = đ?‘Žđ?‘Ą

đ?‘Łđ?‘“ 2 = 2đ?‘Žđ?‘‘

Distancia

1

đ?‘‘ = đ?‘Łđ?‘œ đ?‘Ą + đ?‘Žđ?‘Ą 2 2

đ?‘‘=( Tiempo

2

đ?‘Ł0 +đ?‘Łđ?‘“ 2

đ?‘Łđ?‘“ 2 −đ?‘Łđ?‘œ 2 2đ?‘Ž

)đ?‘Ą đ?‘Łđ?‘“

2đ?‘‘

đ?‘Ą=√

đ?‘‘=

đ?‘Ą=√

đ?‘Ž

đ?‘Ž

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 1.

Secuencia 2 Actividad II Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30s una velocidad de 588m/s.

Calcular: a. La Aceleración. b. ¿Qué espacio recorrió en esos 30s?

2. Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25s y recorre 400m hasta detenerse. Calcular: a. ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?. b. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

3. ¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 km/h, si parte del reposo acelerando constantemente con una aceleración de 20 km/h²?

4. Un móvil parte del reposo con una aceleración de 20 m/s ² constante. Calcular: a. ¿Qué velocidad tendrá después de 15 s? b. ¿Qué espacio recorrió en esos 15 s?

5. Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de 90 km/h, si su aceleración es constante, calcular: a. ¿Cuánto vale la aceleración? b. ¿Qué espacio recorrió en esos 5 s? c. ¿Qué velocidad tendrá a los 11 s?

6. Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. ¿Qué tiempo necesitará para alcanzar 40 km/h y a que aceleración?

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 7. Un móvil se desplaza con MUV partiendo del reposo con una aceleración de 5m/s², calcular: a. ¿Qué velocidad tendrá a los 10 s? b. ¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 s de la partida?

8. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 30m/s², transcurridos 2 minutos deja de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar: a. ¿Cuántos km recorrió en los 2 primeros minutos? b. ¿Qué distancia habrá recorrido a las 2 horas de la partida?

9. Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 120 km/h, demora 10s en detenerse. Calcular: a. ¿Qué espacio necesitó para detenerse? b. ¿Con qué velocidad chocaría a otro vehículo ubicado a 30 m del lugar donde aplicó los frenos?

10. Un ciclista que va a 30 km/h, aplica los frenos y logra detener la bicicleta en 4 segundos. Calcular: a. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? b. ¿Qué espacio necesito para frenar?

11. Un avión, cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan una desaceleración de 20 m/s², necesita 100 metros para detenerse. Calcular: a. ¿Con qué velocidad toca pista? b. ¿Qué tiempo demoró en detener el avión?

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 12. Un camión viene disminuyendo su velocidad en forma uniforme, de 100 km/h a 50 km/h. Si para esto tuvo que frenar durante 1.500 m. Calcular: a. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? b. ¿Cuánto tiempo empleó para el frenado?

13. La bala de un rifle, cuyo cañón mide 1,4 m, sale con una velocidad de 1.400 m/s. Calcular: a. ¿Qué aceleración experimenta la bala? b. ¿Cuánto tarda en salir del rifle?

14. Un móvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25s, y recorre una distancia de 400m hasta detenerse. Determinar: a. ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos? b. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

15. Un auto marcha a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante en que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegar al pozo. Determinar a qué distancia del obstáculo el conductor aplico los frenos, suponiendo que la aceleración fue constante.

16. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s², determinar: a. ¿Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento? b. ¿Qué distancia habrá recorrido en ese lapso?

17. Un ciclista baja por una pendiente con una aceleración constante, si en un momento de su recorrido lleva una velocidad de 5m/s y al transcurrir 12s su velocidad incrementa a 16m/s, ¿cuál es su aceleración?

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18. Calcula la velocidad final que adquiere un objeto que es disparado de la luna a la tierra con una velocidad inicial de 30m/s. supón una aceleración fija con valor de 9.8m/s 2, y una distancia entre la Tierra y la Luna de 300000km.

19. Un ciclista baja por una pendiente con una aceleración constante, si en un momento de su recorrido lleva una velocidad de 5m/s y al transcurrir 12seg su velocidad incrementa a 16m/seg. ¿Cuál es su aceleración?

20. Calcula la Velocidad final que adquiere un objeto que es disparado de la luna a la tierra con una velocidad inicial de 30m/Seg supón una aceleración fija con valor de 9.8m/seg 2 y una distancia entre la Tierra y la Luna de 300000km.

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Gravedad y CaĂ­da Libre de Cuerpos En tiempos antiguos, los griegos buscaron la respuesta a los problemas fĂ­sicos mediante especulaciones, razonamientos en base a propiedades que se conocĂ­an del fenĂłmeno.

Y muchos de nuestros conocimientos se deben al Italiano Galileo Galilei (1564 - 1642), ĂŠl fue el primero en demostrar, que, en ausencia de fricciĂłn, todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeĂąos, ligeros o pesados, caen en la Tierra con la misma aceleraciĂłn.

Existe una paradoja en donde se dice que los cuerpos mĂĄs pesados son proporcionalmente mĂĄs difĂ­ciles de acelerar. Esta resistencia al movimiento que mencionamos es una propiedad de los cuerpos llamada Inercia.

AsĂ­, por ejemplo, en el vacio, una pluma y una bola de acero caerĂĄn al mismo tiempo porque el efecto inercial mayor de la bola compensa exactamente su mayor peso.

Todos los cuerpos, si no hay resistencia del aire caen con la misma aceleraciĂłn constante en un mismo lugar de la tierra. đ?‘ŽĚ… = đ?‘” La Gravedad siempre es la misma en todos los cuerpos en caĂ­da libre.

GRAVEDAD CAIDA DE CUERPOS LIBRES SISTEMA EQUIVALENCIA đ?‘š 9.8 MKS đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘?đ?‘š 980 CGS đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘ 32 INGLÉS đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 La AceleraciĂłn con que cae libremente un cuerpo se llama: AceleraciĂłn de Gravedad La CaĂ­da es un movimiento uniformemente acelerado por lo que podrĂ­a decirse que las fĂłrmulas del Movimiento Uniformente Acelerado pueden aplicarse a ĂŠste fenĂłmeno.

Para empezar a desarrollar Ejercicios de Caida Libre, es necesario aclarar que d (Distancia) va a ser igual que h (Altura), asĂ­ como mencionamos anteriormente, que AceleraciĂłn es igual a Gravedad.

PROBLEMAS DE APLICACIĂ“N (C.L.C) ÂżQuĂŠ Velocidad adquiere un cuerpo al momento de llegar al suelo cuando se ha dejado caer libremente desde una altura de 35m. y cuĂĄnto tiempo tarda en su caĂ­da? đ?‘š â„Ž = 35đ?‘š đ?‘” = 9.8 đ?‘Ł0 = 0 đ?‘Łđ?‘“ =? đ?‘Ą =? đ?‘ đ?‘’đ?‘” 2 2 đ?‘Ł − đ?‘Ł đ?‘“ 0 đ?‘Łđ?‘“ = 2đ?‘”đ?‘‘ + đ?‘Ł0 đ?‘”= đ?‘š đ?‘Ą đ?‘š đ?‘Łđ?‘“ 2 = 2 (9.8 ) 35 đ?‘š + 02 26.19 −0 đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘š 9.8 = 2 đ?‘Łđ?‘“ = (19.6 ) 35 đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘Ą đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘š 2 26.19 đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘Łđ?‘“ 2 = 686 đ?‘Ą= 2 đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘” 9.8 đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 2 đ?‘š đ?‘š đ?‘Łđ?‘“ = √686 đ?‘Ą = 2.672 đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘š đ?‘Łđ?‘“ = 26.19 đ?‘ đ?‘’đ?‘” 2. CuĂĄnto tiempo se tardarĂĄ en caer libremente una piedra desde una altura de 400 m đ?‘š â„Ž = 400đ?‘š đ?‘” = 9.8 đ?‘Ł0 = 0 đ?‘Łđ?‘“ =? đ?‘Ą =?

1.

đ?‘ đ?‘’đ?‘”

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 2 2 đ?‘Łđ?‘“ − đ?‘Ł0 đ?‘Łđ?‘“ = 2đ?‘”đ?‘‘ + đ?‘Ł0 đ?‘”= đ?‘š đ?‘Ą đ?‘š đ?‘Łđ?‘“ 2 = 2 (9.8 ) 400 đ?‘š + 02 26.19 −0 đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘š 9.8 = 2 đ?‘Łđ?‘“ = (19.6 ) 400 đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘Ą đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘š 2 26.19 đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘Łđ?‘“ 2 = 7840 đ?‘Ą= 2 đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘” 9.8 đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 2 đ?‘š đ?‘š đ?‘Łđ?‘“ = √7840 đ?‘Ą = 2.672 đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘š đ?‘Łđ?‘“ = 88.543 đ?‘ đ?‘’đ?‘” 3. Se tira verticalmente hacia arriba una pelota con una Velocidad de 24.38 đ?‘š/đ?‘ đ?‘’đ?‘” ÂżCuĂĄl es la Altura mĂĄxima que alcanza y cuĂĄnto tiempo tarda en llegar a esta altura? đ?‘š â„Ž =? đ?‘” = 9.8 đ?‘Ł0 =? đ?‘Łđ?‘“ = 0 đ?‘Ą =? đ?‘ đ?‘’đ?‘”

đ?‘Łđ?‘“ 2 − đ?‘Ł0 2 â„Ž= 2đ?‘” đ?‘š 2 02 − (24.38 đ?‘ đ?‘’đ?‘”) â„Ž= đ?‘š 2 (9.8 ) đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘š2 −594.3844 đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 â„Ž= đ?‘š 19.6 đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 â„Ž = −30.33đ?‘š

đ?‘Łđ?‘“ = đ?‘Ł0 − đ?‘”đ?‘Ą đ?‘š đ?‘š 0 = 24.38 − 9.8 đ?‘Ą đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘š đ?‘š −24.38 = −9.8 đ?‘Ą đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘š −24.38 đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘Ą= đ?‘š −9.8 đ?‘Ą đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘Ą = 2.48 đ?‘ đ?‘’đ?‘”

4. Desde un puente se deja caer una piedra que tarda en llegar al agua 5 segundos. Calcular la altura del puente y la velocidad de la piedra en el momento de llegar al agua. đ?‘š â„Ž =? đ?‘” = 9.8 đ?‘Ł0 = 0 đ?‘Łđ?‘“ =? đ?‘Ą = 5đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘ đ?‘’đ?‘”

đ?‘Łđ?‘“ 2 − đ?‘Ł0 2 â„Ž= 2đ?‘” đ?‘š 2 (49 đ?‘ đ?‘’đ?‘”) − 02 â„Ž= đ?‘š 2 (9.8 ) đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘š2 2401 đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 â„Ž= đ?‘š 19.6 đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 â„Ž = 122.5 đ?‘š

đ?‘Łđ?‘“ = đ?‘Ł0 − đ?‘”đ?‘Ą đ?‘š đ?‘Łđ?‘“ = + (9.8 ) 5đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘ đ?‘’đ?‘”2 đ?‘š đ?‘Łđ?‘“ = 49 đ?‘ đ?‘’đ?‘”

5. Un caùón antiaÊreo lanza granada con velocidad inicial de 500

m seg

a) La mĂĄxima altura que alcanzarĂĄ la granada b) Tiempo empleado en alcanzar dicha altura c) La velocidad instantĂĄnea al final de los 40 y 60 segundos. đ?‘š đ?‘š â„Ž =? đ?‘” = −9.8 đ?‘Ł0 = 500 đ?‘ đ?‘’đ?‘”

đ?‘ đ?‘’đ?‘”

calcular:

đ?‘Łđ?‘“ =?

đ?‘Ą = 40đ?‘ đ?‘’đ?‘” đ?‘Ś 60 đ?‘ đ?‘’đ?‘”

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𝑣𝑓 2 − 𝑣0 2 2𝑔 𝑚 2 2 0 − (500 𝑠𝑒𝑔) ℎ= 𝑚 2 (−9.8 ) 𝑠𝑒𝑔2 𝑚2 −250000 𝑠𝑒𝑔2 ℎ= 𝑚 −19.6 𝑠𝑒𝑔2 ℎ = 12755.102 𝑚

𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑔𝑡 𝑚 𝑚 0 = 500 + (−9.8 )𝑡 𝑠𝑒𝑔 𝑠𝑒𝑔2 𝑚 500 𝑠𝑒𝑔 𝑡= 𝑚 9.8 𝑠𝑒𝑔2 𝑡 = 51.02 𝑠𝑒𝑔

ℎ=

𝑣𝑓 = 𝑣0 − 𝑔𝑡 𝑚 𝑚 𝑣𝑓 = 500 + (−9.8 ) (40 𝑠𝑒𝑔) 𝑠𝑒𝑔 𝑠𝑒𝑔2 𝑚 𝑚 𝑣𝑓 = 500 − 392 𝑠𝑒𝑔 𝑠𝑒𝑔 𝑚 𝑣𝑓 = 108 𝑠𝑒𝑔

𝑣𝑓 = 𝑣0 − 𝑔𝑡 𝑚 𝑚 𝑣𝑓 = 500 + (−9.8 ) (60 𝑠𝑒𝑔) 𝑠𝑒𝑔 𝑠𝑒𝑔2 𝑚 𝑚 𝑣𝑓 = 500 − 588 𝑠𝑒𝑔 𝑠𝑒𝑔 𝑚 𝑣𝑓 = −88 𝑠𝑒𝑔 Velocidad Aceleración

Fórmulas para la Gravedad y Caída Libre de Cuerpos 𝑥 𝑉= 𝑡

𝑔=

𝑣𝑓 −𝑣𝑜 𝑡 𝑣𝑜 +𝑣𝑓

Velocidad Media

𝑣̅ =

Velocidad Final

𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑔𝑡

𝑣𝑓 2 = 𝑣𝑜 2 + 2𝑔𝑑

𝑣𝑓 = 𝑔𝑡

𝑣𝑓 2 = 2𝑎𝑔

Distancia

1

h= 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑔𝑡 2 2

h= ( Tiempo

2

𝑣0 +𝑣𝑓 2

𝑣𝑓 2 −𝑣𝑜 2 2𝑔

)𝑡

2ℎ

𝑡=√

h=

𝑡=√

𝑔

𝑣𝑓 𝑔

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 1.

Secuencia 2 Actividad III Se deja caer una pelota desde la parte alta de un edificio, si tarda 3s en llegar al piso ¿Cuál es la altura del edificio? ¿Con qué velocidad se impacta contra el piso?

2. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 30 m/calcula: d) Tiempo que tarda en alcanzar su altura máx. e) Altura máx. f) Posición y velocidad de la pelota a los 2s de haberse lanzado g) V y posición de la pelota a los 5s de haber sido lanzado h) Tiempo que la pelota estuvo en el aire.

3. Desde un avión fue arrojado un cuerpo con una velocidad de 3.5 m/s, calcular el tiempo y la velocidad que alcanzó al caer 0.8 km.

4. Desde el balcón de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5s. a) ¿Desde qué piso se dejó caer, si cada piso mide 2,88 m? b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?

Respuesta: a) 43, b) 50 m/s

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 5. Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 s en llegar al suelo.

Calcular: a) A qué altura estaría esa terraza. b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso.

Respuesta: a) 180 m b) 60 m/s

6. ¿De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 s en llegar al suelo? Respuesta: 80 m

7. Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 1,96 km de altura, ¿cuánto demora en llegar al suelo? Respuesta: 19,8 s

8. A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 25 m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar: a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B? b) ¿Cuál es la distancia entre A y B? c) ¿Cuál será su velocidad 6 s después de pasar por B? Respuesta: a) 1,5 s b) 48,75 m c) 100 m/s

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 9. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 40m/seg. Hallar qué velocidad lleva a los tres segundos.

10. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 60m/seg. Hallar que velocidad lleva a los 10seg.

11. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 50m/seg. Hallar el espacio recorrido a los 2 segundos.

12. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg; hallar la distancia recorrida a los 10seg.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 13. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 70m/seg; hallar a qué altura se encuentra del suelo a los 12seg.

14. Desde un talud de 100m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 40m/seg. Hallar cuánto tarda en llegar al suelo desde el momento del lanzamiento.

15. Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una veloc idad de 50m/seg. Hallar el tiempo que transcurre desde el lanzamiento hasta caer sobre un edificio de 30m de altura.

16. Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto y a los 2seg va subiendo con una velocidad de 80m/seg. Hallar la altura máxima alcanzada y la velocidad que lleva a los 15seg.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 17. Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto de forma que a los 2 segundos lleva una velocidad de 60m/seg. Hallar: a) La velocidad con lo cual se disparó el objeto. b) A qué altura se encuentra a los 2 segundos. c) Cuánto tiempo ha de transcurrir para que llegue a la parte superior de la trayectoria.

18. Desde el suelo se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg. Se desea saber qué velocidad lleva cuándo ha recorrido 300m.

19. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil que tarda 10 segundos en llegar al punto de partida.

Hallar: a) La altura máxima alcanzada b) Qué velocidad lleva a los 3 seg.

20. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg. Hallara) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que su velocidad sea de 50m/seg? b) ¿Cuál será su velocidad cuando haya descendido 50m?

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Secuencia 2 Actividad IV 21. Se dispara desde el suelo un móvil con velocidad de 60m/seg. a) ¿Diga usted a qué altura se encuentra a los diez segundos?, b) ¿Qué velocidad lleva a los diez segundos?, c) ¿qué distancia ha recorrido en ése tiempo?

22. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil cuyo tiempo total de vuelo es igual a 20 seg. Hallar: a) ¿Qué velocidad lleva a los 3/5 del tiempo total de vuelo? b) ¿A qué altura se encuentra del suelo a los 4/5 del tiempo total de vuelo?

23. Desde 200 metros de altura se deja caer un cuerpo, a los cinco segundos a) ¿qué velocidad lleva?, b) ¿a qué altura se encuentra a los cinco segundos?, c) ¿Cuánto tiempo le falta por caer antes de llegar al suelo?

24. Se lanza desde el nivel del suelo un objeto con velocidad de 60m/seg. a) ¿Cuándo ha recorrido 200 metros b) ¿qué velocidad lleva?, c) ¿a qué altura se encuentra?, d) ¿Cuánto es su tiempo de vuelo?

25. Desde un globo que sube con una velocidad constante de 10m/seg se deja caer libremente un objeto que tarda 10 segundos en llegar al suelo. Hallar Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 a) La altura del globo en el momento de soltar el objeto. b) La velocidad con que llega al suelo

26. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/seg. a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 seg? b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 seg? c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14m? d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo? e) ¿Con qué velocidad lo hará?

27. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/seg, luego de 4 sede efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/seg. a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia? c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo? d) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?

28. Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta velocidad y acabo de 10 seg lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en módulo pero de distinto sentido. a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del móvil? b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 29. Desde un 5° piso de un edificio se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de90 km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la altura máxima?

30. Un auto choca a 60 km/h contra una pared sólida, ¿desde qué altura habría que dejarlo caer para producir el mismo efecto?

31. Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 seg, calcular: a) ¿Con qué velocidad fue lanzada? b) ¿Qué altura alcanzó?

32. Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/seg. a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 seg? b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?

33. Se lanza una pelota desde lo alto de un faro de 80 m de altura, con una velocidad inicial de 4 m/segaría abajo. a) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? b) ¿Con qué velocidad llega? c) ¿A qué altura está luego de 2 seg de haberla arrojado?

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 34. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 250 m/seg, determinar: a) ¿Cuál es la velocidad a los 4 seg? b) ¿Qué altura alcanzó en esos 4 seg? c) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la altura máxima?

35. Determinar la velocidad inicial de un cuerpo lanzado hacia arriba y que alcanza una altura máxima de 48 m.

36. Desde un puente se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de 8 m/seg, si la piedra tarda 2,5 seg en llegar al agua, determinar: a) ¿Con qué velocidad llega al agua? b) ¿Cuál es la altura del puente?

37. Desde el balcón de un edificio se deja caer una naranja y llega a la planta baja en 5 seg. a) ¿Desde qué piso se dejó caer, si cada piso mide 2,88 m? b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja? c) ¿Desde qué edificio se lanzó la naranja?

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 38. Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 seg en llegar al suelo. Calcular: a) A qué altura estaría esa terraza. b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso. c) En qué ciudad de Venezuela se efectuó el experimento

39. ¿De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 seg en llegar al suelo?

40. Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 1,96km de altura, ¿cuánto demora en llegar al suelo?

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Movimientos de Proyectiles Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial de dirección arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano. Un proyectil es un objeto al cual se ha comunicado una velocidad inicial y se ha dejado en libertad para que realice un movimiento bajo la acción de la gravedad. Los proyectiles que están cerca de la Tierra siguen una trayectoria curva muy simple que se conoce como parábola. Para describir el movimiento es útil separarlo en sus componentes horizontal y vertical.

Por eso es importante explicar el movimiento de un proyectil como resultado de la superposición de un movimiento rectilíneo uniforme y uno uniformemente variado, estableciendo las ecuaciones de la curva representativa, tiempo de vuelo, tiempo máximo, altura máxima, alcance máximo, velocidad y coordenadas de posición en el plano. ¿Qué es un proyectil?

El movimiento de un proyectil es un ejemplo clásico del movimiento en dos dimensiones con aceleración constante. Un proyectil es cualquier cuerpo que se lanza o proyecta por medio de alguna fuerza y continúa en movimiento por inercia propia. Un proyectil es un objeto sobre el cual la única fuerza que actúa es la aceleración de la gravedad. La gravedad actúa para influenciar el movimiento vertical del proyectil. El movimiento horizontal del proyectil es el resultado de la tendencia de cualquier objeto a permanecer en movimiento a velocidad constante

El término proyectil se aplica por ejemplo a una bala disparada por un arma de fuego, a un cohete después de consumir su combustible, a un objeto lanzado desde un avión o en muchas actividades deportivas (golf, tenis, fútbol, béisbol, atletismo etc.). L os fuegos artificiales y las fuentes del agua son ejemplos del movimiento de proyectiles. El camino seguido por un proyectil se denomina trayectoria. El estudio del movimiento de proyectiles es complejo debido a la influencia de la resistencia del aire, la rotación de la Tierra, variación en la aceleración de la gravedad

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La ciencia encargada de hacer el estudio del movimiento de los proyectiles se llama balística.

Experiencia de Galileo Galilei El hombre conocía las trayectorias parabólicas aunque no las denominaba así y experimentaba con tiros parabólicos (Por ejemplo, recuerde las destrezas de David frente a Goliat). Galileo fue el primero que dio una descripción moderna y cualitativa del movimiento de proyectiles dando las bases para su conocimiento y demostró que la trayectoria de cualquier proyectil es una parábola

Galileo realizó un experimento con dos objetos: impulsó uno horizontalmente desde una mesa y dejó caer otro cuerpo desde el borde verticalmente. Al dejar caer un cuerpo A verticalmente = 0 y lanzando horizontalmente en el mismo instante un objeto B con una velocidad horizontal ( ), Galileo Galilei comprobó que ambos caen al mismo tiempo; es decir tardan lo mismo en llegar al suelo.

El objeto A, en Caída libre tiene solamente la velocidad vertical en un instante t y posee una aceleración que es la de gravedad, luego está dotado de un movimiento uniformemente acelerado. El objeto B está animado en ese instante t de dos movimientos y como consecuencia de dos velocidades perpendiculares: la velocidad vertical de caída y la velocidad horizontal debido al impulso de lanzamiento.

Como los objetos A y B tardan lo mismo en caer, Galileo concluyó que la velocidad horizontal debido al movimiento uniforme, ya que el cuerpo no posee aceleración, no influye en el movimiento de caída del cuerpo B , o sea, que las velocidades y actúan simultáneamente sobre B , pero en forma independiente la una de otra. Quiere decir que el cuerpo B se mueve como consecuencia de la acción de dos movimientos: uno uniformemente acelerado (vertical), con una aceleración igual a la de gravedad ( ) y otro uniforme (horizontal), con aceleración igual a cero.

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El principio de superposición de movimientos:” Si el movimiento de un cuerpo es el resultado de otros dos movimientos simultáneos, la posición que ocupa al cabo de un tiempo t es la misma que ocuparía si ambos movimientos se hubiesen cumplido sucesiva e independientemente uno de otro y cada uno de ellos durante el mismo tiempo t” Análisis del movimiento de proyectiles Se examina sólo trayectorias suficientemente cortas para que la fuerza gravitacional se pueda considerar constante en magnitud y dirección. También hay que analizar no tener en cuenta los efectos de la resistencia del aire; Estas hipótesis simplificadas constituyen la base de un modelo idealizado del problema físico. Como, en este caso idealizado, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso considerado constante en magnitud y dirección, es mejor referir el movimiento a un sistema de ejes coordenadas rectangulares. Se toma el eje x horizontal y el eje y verticalmente hacia arriba

La componente x de la fuerza que actúa sobre el proyectil es nula y la componente y es el peso del proyectil – mg. Esto es, la componente horizontal de la aceleración es nula, y la componente vertical hacia abajo, es igual a la de un cuerpo que cae libremente. Puesto que la aceleración nula significa velocidad constante, el movimiento puede definirse como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante.

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Estos dos movimientos hacen que el movimiento resultante sea de trayectoria parabólica. Dichos movimientos son completamente independientes uno del otro.

Considérese un Proyectil Sencillo La componente horizontal del movimiento de un proyectil es igual al movimiento horizontal de una pelota que rueda libremente sobre la superficie plana de la mesa. Si podemos despreciar el efecto de la fricción, la bola se mueve a velocidad constante, recorriendo distancias iguales en intervalos de tiempos iguales.

La componente vertical del movimiento de un proyectil que describe una trayectoria curva es exactamente igual que el movimiento de un objeto en caída libre. El movimiento del proyectil de una pelota que se deja caer, tiene una componente vertical en la dirección de la gravedad terrestre, el proyectil se acelera hacia abajo. El aumento de la rapidez en la dirección vertical hace que el objeto recorra distancias cada vez mayores a intervalos de tiempos iguales. Es interesante notar que la componente horizontal del movimiento de un proyectil es totalmente independiente de la componente vertical. Cada uno de ellas actúa de manera independiente. Sus efectos combinados producen toda la gama de trayectorias curvas que describen los proyectiles.

Una Fotografía real con luz estroboscópica de dos pelotas de golf que caen simultáneamente, una libremente y la otra que se lanza en forma horizontal revela que el movimiento curvilíneo de la pelota es una combinación de los movimientos horizontal y vertical.

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Más consideraciones del Movimiento de Proyectiles Considérese una bala de cañón que se dispara con determinado ángulo de elevación. Suponga por un momento que no hay gravedad; entonces a causa de la inercia, la bala de cañón seguirá la trayectoria rectilínea representada por la línea discontinua. Pero la gravedad existe, por lo que esto no sucede. Lo que realidad ocurre es que la bala cae continuamente por debajo de la línea imaginaria, hasta que por último llega al suelo.

Es importante notar que la distancia vertical que un objeto cae por debajo de cualquier punto de la línea discontinua es la misma distancia vertical que caería si se soltara desde el reposo en el mismo tiempo.

Si se desprecian los efectos de la resistencia del aire, cualquier objeto que se lanza en este medio describirá una trayectoria parabólica. No obstante en situaciones prácticas la resistencia del aire puede considerarse despreciable sólo en el caso de objetos que se mueven lentamente y que posean altas densidades. Como una roca o una esfera sólida. Los proyectiles de alta-velocidad, como balas de rifles o cañón, son frenados en forma continua por la resistencia del aire y su trayectoria difiere de una parábola.

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La altura vertical y el alcance horizontal de un proyectil dependen de su velocidad inicial y su ĂĄngulo de proyecciĂłn.

Se obtiene la altura mĂĄxima cuando la proyecciĂłn es vertical hacia arriba 90Âş y la distancia horizontal mĂĄxima cuando el ĂĄngulo de proyecciĂłn es de 45Âş.

Se puede obtener la misma distancia horizontal, o alcance para dos ĂĄngulos de proyecciĂłn diferentes. Esto es verdad para todos los pares de ĂĄngulos que suman 90Âş.

Un objeto lanzado al aire a un ĂĄngulo de 30Âş, por ejemplo, tocarĂĄ tierra tan lejos como si hubiera sido lanzado a la misma velocidad a un ĂĄngulo de 60Âş. Sin embargo, es obvio que el objeto lanzado a mayor ĂĄngulo permanece en el aire mĂĄs tiempo.

Lanzamiento horizontal Una pelota de bĂŠisbol se proyecta horizontalmente en el vacĂ­o desde un punto O con velocidad ⃗⃗⃗ đ?‘Łđ?‘œ . Si la tierra no ejerciera ninguna atracciĂłn sobre la pelota, y se supone nula la resistencia del aire, la pelota se moverĂ­a en el vacĂ­o y en tiempos t1, t2, t3‌ ocuparĂ­a posiciones tales como A, B, C, D,‌ y el movimiento serĂ­a rectilĂ­neo uniforme de velocidad constante ⃗⃗⃗ đ?‘Łđ?‘œ . Sin embargo como la pelota estĂĄ sometida a la atracciĂłn gravitatoria, a la vez que se mueve horizontalmente, cae verticalmente con aceleraciĂłn constante - đ?‘” y al final de los tiempos indicados, las posiciones de la pelota son, respectivamente, A', B',C',D' ,‌ La curva que une a estos puntos corresponde a una parĂĄbola.

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La trayectoria seguida por la pelota puede considerarse como el resultado de dos movimientos: Uno horizontal uniforme a lo largo del eje x y de velocidad constante ⃗⃗⃗ đ?‘Łđ?‘œ (đ?‘Ž = 0), y otro vertical de caĂ­da, uniformemente variado a lo largo del eje y de aceleraciĂłn constante đ?‘Ž = −đ?‘” Ecuaciones de la velocidad La componente horizontal de la velocidad đ?‘Łđ?‘Ľ serĂĄ de magnitud constante a travĂŠs de todo el recorrido e igual a đ?‘Łđ?‘œ . Esto se debe a que el movimiento en esta direcciĂłn es con velocidad constante. En toda la trayectoria la componente horizontal (đ?‘Ł đ?‘Ľ) serĂĄ la misma velocidad inicial; esto es đ?‘Ł đ?‘Ľ − đ?‘Ł đ?‘œ en mĂłdulo: La componente vertical đ?‘Łđ?‘Ś en un instante de tiempo cualquiera, viene dada por:

La magnitud de la velocidad resultante V, viene dada en mĂłdulo por la expresiĂłn:

Para determinar la direcciĂłn del vector đ?‘Ł , es decir el ĂĄngulo a que forma đ?‘Ł con el eje x , basta con aplicar la relaciĂłn trigonomĂŠtrica

Ecuaciones del desplazamiento Como se puede notar el movimiento tiene simultĂĄneamente un desplazamiento horizontal (đ?‘Ľ ) y un desplazamiento vertical (đ?‘Ľ ) en un instante de tiempo cualesquiera.

La ecuaciĂłn de desplazamiento horizontal (X) en mĂłdulo, es la misma del movimiento rectilĂ­neo uniforme puesto que la rapidez en ese sentido es constante.

El desplazamiento vertical (y) en mĂłdulo se calcula como si el cuerpo se moviese en caĂ­da libre

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 La posición a lo largo del eje y, en el tiempo t.

El desplazamiento total (d) en módulo viene dado por:

La dirección del desplazamiento se obtiene aplicando la definición de tangente

El tiempo de vuelo (𝒕𝒗 ) Es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta tocar el suelo

El alcance horizontal ( R ) es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo. La ecuación para calcular el alcance horizontal, pero con

Ecuación de la Trayectoria La idea consiste en demostrar que la trayectoria del proyectil es parabólica. En efecto, el desplazamiento horizontal para un cierto tiempo t viene dado por:

Por otra parte, el desplazamiento vertical al mismo tiempo t es:

Como el tiempo para ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir t de la ecuación (a) en tde la ecuación (b) quedando:

Como , y g son constantes se pueden sustituir lo que está dentro del paréntesis por k, adoptando la expresión la forma siguiente: Por lo tanto las coordenadas ( x ,y ) que determinan la posición de la partícula en el plano serán: Por lo tanto las coordenadas ( x ,y ) que determinan la posición de la partícula en el plano serán:

Ejemplo Un avión vuela con una velocidad horizontal constante de 600km/h a una altura de 6 km y se dirige hacia un punto que se encuentra directamente arriba de su objetivo ¿ Cuál es el ángulo de mira al que debe arrojarse un paquete de supervivencia para que llegue a su objetivo?

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Solución Se escoge un referencial fijo respecto de la Tierra con su origen 0 en el punto que se suelta el paquete, cuya velocidad en el momento de ser soltado, es igual a la del avión. = 600 Km/h = 166,66 m/seg De aquí que la velocidad inicial del paquete Vo sea horizontal y su magnitud sea de 600 Km/h. El ángulo de tiro es cero.

El tiempo de vuelo se calcula con la expresión tiro es horizontal) . El alcance horizontal es

= 34,99 seg (No depende de la rapidez del avión cuando el

Lanzamiento Inclinado Consiste en estudiar el caso de una partícula o proyectil que se lanza con una velocidad inicial , formando un ángulo q0 con la dirección horizontal. Su velocidad cambia constantemente debido a la acción del campo gravitatorio.

Los componentes rectangulares de la velocidad inicial

y

. (Los subíndices se utilizan para indicar los

valores iniciales de en cada uno de los ejes). Si no existiera la atracción gravitatoria, en tiempos t1, t2, t3, … ocuparía respectivamente posiciones tales como A, B, C, D, y el movimiento sería rectilíneo uniforme de velocidad constante , Sin embargo como el proyectil está sometido a la fuerza de atracción gravitatoria, a la vez que se mueve según la recta AE, cae verticalmente, y al final de los tiempos indicados las posiciones del proyectil son respectivamente A', B',C,'D' … La curva que une estos puntos determina la trayectoria del proyectil, que corresponde a una parábola

Cuando el cuerpo es lanzado forma un ángulo q0 con la horizontal y la única fuerza que actúa es la atracción gravitatoria. Luego en la dirección horizontal no existe aceleración, en tanto que en la dirección vertical el Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 cuerpo está sometido a la acción de la fuerza de la gravedad y por ello, en dicha dirección se manifiesta un movimiento con aceleración constante. Por lo tanto, el movimiento del proyectil será el resultado de la composición de dos movimientos, uno con velocidad constante en el eje x o eje de las abscisas y otro con aceleración constante en el eje y o eje de las ordenadas.

El proyectil en su movimiento ascendente está dotado de un movimiento uniformemente retardado con aceleración = - g. Se observa que la componente de la velocidad a lo largo del eje y ( ), cuando el proyectil sube, va disminuyendo hasta hacerse igual a cero en el punto de máxima altura de la curva. A partir de este punto, cuando el proyectil empieza a bajar comienza un movimiento uniformemente acelerado = g, luego la componente de la velocidad cambia de sentido y aumenta en magnitud a medida que el cuerpo continúa su caída libre. Se nota que durante todo el movimiento, la componente horizontal de la velocidad a lo largo del eje horizontal (eje x) se mantiene constante y por consiguiente el movimiento a lo largo de este eje es rectilíneo uniforme.

De acuerdo con lo anterior, como la partícula describe un movimiento que resulta de la superposición de un movimiento rectilíneo uniforme ( = constante) y un movimiento uniformemente variado ( = constante) a lo largo de los ejes x y y, respectivamente, podemos encontrar las coordenadas de posición ( x,y ) del proyectil en cualquier instante t a partir de las siguientes ecuaciones.

Ecuaciones de la velocidad en el momento del lanzamiento (t = 0) Se supone que se dispara un proyectil, con una velocidad inicial Las componentes del vector

, formando con la horizontal un ángulo q0.

en las direcciones de los ejes vienen dadas en módulo por:

Ecuaciones de la velocidad para un instante después del lanzamiento.

Cuando el proyectil ocupa una determinada posición en un instante t después de haber sido lanzado la velocidad

, tendrá una componente horizontal que se llama

y una componente vertical que se llama Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Ecuaciones del desplazamiento El movimiento horizontal lo realiza el proyectil con velocidad constante, por lo que el desplazamiento horizontal x viene dado por la ecuación: La magnitud de la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante a través de todo el recorrido y vendrá dada por:

La magnitud de la componente vertical en cualquier instante viene dada por:

La magnitud de la velocidad en cualquier instante viene dada como:

El ángulo que dicho vector forma con el eje horizontal representa la dirección de la velocidad y viene dado por:

El movimiento vertical lo realiza con aceleración constante desplazamiento vertical y vendrá dada por:

Si la anterior ecuación se resuelve para

, dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación del

se obtiene:

Esta ecuación es válida para ángulos de lanzamientos ubicados dentro del rango 0 < q0 < p / 2. La ecuación es válida para cualquier punto (x,y) a lo largo de la trayectoria del proyectil. Esta expresión es de la forma y = ax-bx2, que es la ecuación de una parábola que pasa por el origen. Se advierte que la trayectoria está completamente especificada si se conoce tanto la rapidez inicial como el ángulo de lanzamiento q0 Ecuación del tiempo máximo Se llama tiempo máximo, al tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la altura máxima ( ).

A medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad hasta llegar un momento en que la misma se hace cero. Para ello hacemos = 0 en la ecuación

Ecuación de la altura máxima ( La altura máxima se obtiene haciendo

)

en la ecuación

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Ecuación del tiempo de vuelo ( ) El tiempo de vuelo es el tiempo transcurrido por el proyectil desde su punto partida.

Alcance horizontal ( R ) Es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo.

Ejemplo 2 José Manuel Rey, un notable futbolista de la Vinotinto patea el balón con un ángulo de inclinación sobre la horizontal de 37º y con una velocidad inicial de 20 m/seg. A 36 m del punto de partida se encuentra un vertical de la Portería con el cual choca la esférica. ¿A que altura del poste respecto a la horizontal pega el balón?

Solución

La posición se denota por la ecuación:

Ejemplo 3 Un día un Cazador salió a capturar monos. Pronto encontró uno colgado tranquilamente en la rama de un árbol.

El cazador no era muy buen físico y pensó que si apuntaba directamente al mono, seguramente le daría. El cazador apunta directamente al mono sin tener en cuenta que el dardo seguirá una trayectoria parabólica y por lo tanto pasará debajo del mono. Pero el mono había visto el cazador y mientras éste apuntaba hacia él, el mono pensaba cuidadosamente que hacer.

Decidió que abandonaría la rama justo cuando viera salir el dardo de la cerbatana, se suelta de la rama y cae del árbol esperando evitar el dardo. Demostrar que el mono será alcanzado por el dardo independiente de cual sea la velocidad inicial del dardo, con tal que sea suficientemente grande para recorrer la distancia horizontal que hay hasta el árbol.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Solución El mono y el dardo se aceleran hacia abajo en la misma cantidad.

La altura del dardo en cualquier instante es:

La altura del mono en cualquier instante es:

Efectivamente el mono es alcanzado por el dardo.

Nota: Una colisión puede ocurrir cuando Demostrar que H = Voy. t;

d es la elevación inicial del blanco sobre el suelo.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 1.

Secuencia 2 Actividad V Superman vuela al nivel de los árboles cuando ve que el elevador de la torre Eiffel empieza a desplomarse (el cable se rompe), su visión de rayos X le indica que Luisa Lane está en el interior. Si Superman se encuentra a 1 km de distancia de la torre y el elevador cae desde una altura de 240 metros. ¿Cuánto tarda Superman en salvar a Luisa y cuál debe ser su velocidad promedio?

2. Un pateador de lugar debe patear un balón de fútbol desde un punto a 36 metros (casi 40 yardas) de la zona de gol y la bola debe librar los postes, que están a 3,05 metros de alto. Cuando se patea, el balón abandona el suelo con una velocidad de 20 m/seg y un ángulo de 530 respecto de la horizontal. a) Por cuanta distancia el balón libra o no los postes. b) El balón se aproxima a los postes mientras continúa ascendiendo o cuando van descendiendo.

3. Hallar a qué velocidad hay que realizar un tiro parabólico para que llegue a una altura máxima de 100 m si el ángulo de tiro es de 30o.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 4. Hallar a qué ´ángulo hay que realizar un tiro parabólico para que el alcance y la altura máxima sean iguales.

5. Un arquero quiere efectuar un tiro parabólico entre dos acantilados tal y como indica la figura. El acantilado de la izquierda se halla 4 m por arriba con respecto al de la derecha. Si el arquero sólo puede disparar con un ángulo de 30! y quiere lanzar las flechas a 5 m del acantilado de la derecha, calcula con qué velocidad mínima ha de lanzarlas. Calcula el tiempo de vuelo.

6. Un reloj de manecillas marca las 6:00 h. Hallar a qué hora se superponen las dos manecillas.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 7. Si un cuerpo recorre una circunferencia de 5 m de radio con la velocidad constante de 10 vueltas por minuto, ¿cuál es el valor del periodo, la frecuencia, la velocidad lineal, la velocidad angular y la aceleración normal?

8. ¿Qué velocidad angular, expresada en radianes por segundo, ha de tener una centrifugadora, para que en un punto situado a 10 cm del eje de giro produzca una aceleración normal 100 veces mayor que la de la gravedad

9. Una rueda, puesta en movimiento por un motor, ha girado 0.5 radianes durante el primer segundo. ¿Cuantas vueltas daría la rueda en los 10 primeros segundos, suponiendo que la aceleración angular es constante durante ese tiempo? ¿Cuál será en ese instante la velocidad lineal de un punto de la llanta, si el radio de la rueda es de 50 cm? ¿Qué valor tendría la aceleración negativa de frenado, si el motor dejase de funcionar cuando la rueda gira a razón de 120 vueltas por segundo y ´esta tardase 6 minutos en pararse?

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 10. Un motor gira a 2000 rpm y disminuye su velocidad pasando a 1000 rpm en 5 segundos. Calcular: a) La aceleración angular del motor; b) El número de revoluciones efectuadas en ese tiempo; c) la aceleración lineal de un punto de la periferia si el radio de giro es de 20 cm.

11. La velocidad angular de un motor que gira a 900 rpm desciende uniformemente hasta 300 rpm efectuando 50 revoluciones. Hallar: a) La aceleración angular; b) El tiempo necesario para realizar las 50 revoluciones.

Ing. Edison Villacrés

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Tercer Parcial Unidad de Aprendizaje Comprende la utilidad práctica de las Leyes del Movimiento de Isaac Newton.

Competencia a Desarrollar a) Se expresa y se comunica b) Piensa, critica y reflexivamente c) Trabaja en forma colaborativa Dimensión del Aprendizaje  Actitud y Percepciones

DINAMICA Equilibrio Traslacional y Fricción Primera Ley de Newton La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a cero, entonces no existe algún agente externo que altere el movimiento de dicho cuerpo. Esta es la idea principal que se plantea en el enunciado de ésta ley: “Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con velocidad constante (que puede ser cero) y cero aceleración”.

La tendencia de un cuerpo a seguir moviéndose una vez puesto en movimiento resulta de una propiedad llamada inercia. Ésta ley es conocida como la ley de la inercia, y también explica el estado de equilibrio de un cuerpo: si sobre un cuerpo no actúan fuerzas, o actúan varias fuerzas cuya suma vectorial es cero, entonces el cuerpo está en equilibrio. Se debe cumplir que: ∑F = 0.

Para analizar un cuerpo en su estado de equilibrio, se debe hacer a partir de un marco de referencia inercial, definidos así los que están en un punto en equilibrio con respecto al cuerpo en análisis. La tierra es aproximadamente un marco de referencia inercial (despreciando los movimientos mínimos que tiene con relación a su eje), pero un vehículo acelerando constantemente no lo es, debido a que su velocidad cambia.

Segunda Ley de Newton.

En la primera ley se describe el estado en el que un cuerpo no siente alguna fuerza externa. Pero, cuando existe una fuerza externa actuando o varias fuerzas cuya resultante es distinta de cero, el movimiento del cuerpo tiende a cambiar su movimiento. En la segunda ley del movimiento se describe que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración del cuerpo: ∑F α = 0 La constante de proporcionalidad para ésta relación es la masa, debido a que la masa es inversamente proporcional a la aceleración del cuerpo de masa m: m α 1/a.

Dadas estas relaciones, se plantea la siguiente ley: Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Si una fuerza externa neta actĂşa sobre un cuerpo, ĂŠste se acelera. La direcciĂłn y el sentido de la aceleraciĂłn es la misma que la de la fuerza neta. El vector fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleraciĂłn. â&#x2C6;&#x2018; đ??š = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; Note que tambiĂŠn se plantea la direcciĂłn y el sentido de la fuerza neta. Como la masa es una cantidad escalar y siempre es positiva, la aceleraciĂłn tiene el mismo signo que el de la fuerza neta.

El peso es la fuerza ejercida por el campo gravitacional, que provoca que un cuerpo de masa m tenga una aceleraciĂłn igual al valor de la gravedad. Entonces, se define el peso w de un cuerpo como: w = m â&#x2C6;&#x2014; g (una fuerza dirigida siempre hacia abajo) Tercera Ley de Newton.

Una fuerza de contacto es una interacciĂłn entre dos cuerpos. Entonces, los dos cuerpos sufren la misma fuerza entre si, pero en diferente sentido desde un mismo marco de referencia. Por ejemplo, si una persona patea un balĂłn de fĂştbol con una fuerza F, el balĂłn ejerce una fuerza de igual magnitud, pero en direcciĂłn a la persona: -F, sobre el pie de la persona. Estas dos fuerzas son conocidas como el par de fuerzas acciĂłn reacciĂłn, y forman el enunciado de la tercera ley de movimiento: Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B (una "acciĂłn"), entonces B ejerce una fuerza sobre A (una "reacciĂłn). Estas fuerzas tienen la misma magnitud pero direcciĂłn opuesta, y actĂşan sobre diferentes cuerpos.

MatemĂĄticamente se define como: đ?&#x2018;­đ?&#x2018;¨ đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2018;Š = đ?&#x2018;­đ?&#x2018;Š đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2018;¨ Donde el signo define el sentido contrario de ambas fuerzas. La direcciĂłn de ambas fuerzas difieren en una cantidad de 180Âş; es decir, los dos vectores fuerza tienen la misma inclinaciĂłn, pero sentidos opuestos.

Diagramas de Cuerpo Libre I. Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que actĂşan sobre un cuerpo u objeto en particular. Consiste en colocar la partĂ­cula en el origen de un plano de coordenadas, y representar a las fuerzas que actĂşan sobre ella por medio de los vectores correspondientes, todos concurrentes en el origen.

La mayor aplicaciĂłn de los DCL es visualizar mejor el sistema de fuerzas que actĂşan sobre un cuerpo; ademĂĄs, se identifican mejor las fuerzas pares, como la de acciĂłn - reacciĂłn y las componentes de las fuerzas. Si en un sistema existen dos o mĂĄs cuerpos de interĂŠs, ĂŠstos se deben separar y cada uno tiene un DCL propio con sus respectivas fuerzas actuando.

Ejemplo.

Construya el DCL para el siguiente sistema: Ing. Edison VillacrĂŠs

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La partícula de interés para éste caso es el bloque de masa m, pero para el caso, las fuerzas concurren en un mismo punto, el nodo que une las tres cuerdas de la figura. Entonces, el origen de coordenadas se situará en ése punto. Las fuerzas que actúan son: la tensión de la cuerda A (Ta), la tensión de la cuerda B (Tb) y el peso w del bloque de masa m.

En algunos casos, es conveniente girar el eje de coordenadas. Esto normalmente se hace cuando la partícula tiene un movimiento sobre una superficie inclinada, y se facilita el cálculo de las componentes si los ejes tienen la misma dirección de la superficie.

Diagramas de Cuerpo Libre II. Ejemplo.

Construya el DCL para el bloque de masa M de la figura:

El bloque de masa M tiene un movimiento sobre un plano inclinado. Para el caso, el DCL será mejor manipulado si se inclinan los ejes. Las fuerzas que actúan son tres. Dos de ellas son el peso w del bloque, siempre dirigido hacia abajo y la tensión de la cuerda con la que el autobús hala el bloque.

La tercera fuerza es debida a la tercera ley de Newton: el bloque ejerce una fuerza sobre el plano que la sostiene, así como el plano hace una fuerza sobre el bloque, pero en dirección contraria. Ésta fuerza se llama fuerza normal N, debido a que es perpendicular (normal) a la superficie del plano. Se representan éstas tres fuerzas en el DCL del bloque M: Ing. Edison Villacrés

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ÂżCĂłmo construir un diagrama de cuerpo libre? d) Identifique las condiciones del problema. AsegĂşrese de colocar todas las fuerzas que actĂşan sobre el cuerpo de anĂĄlisis. Estas fuerzas deben tener las direcciones (ĂĄngulos) y sentidos correctos. e) Si son varios cuerpos de estudio, sepĂĄrelos. Cada uno tiene su propio DCL. Si el sistema es de dos cuerpos y aparece una fuerza entre ellas, no olvide colocar las de acciĂłn y reacciĂłn en su respectivo DCL. f) Las fuerzas se representan como vectores con su origen situado al centro de un sistema de coordenadas rectangulares. Generalmente es el plano cartesiano, aunque puede estar inclinado.

Problemas de AplicaciĂłn de la Primera Ley del Movimiento I. La aplicaciĂłn mĂĄs importante de la primera ley de Newton es encontrar el valor de las fuerzas que actĂşan sobre una partĂ­cula, a partir de la condiciĂłn de equilibrio.

En la primera ley, se plantea que si una partĂ­cula estĂĄ en equilibrio, se cumple que: â&#x2C6;&#x2018;F = 0. Como la fuerza es una cantidad vectorial, podemos plantear que: â&#x2C6;&#x2018;Fx = 0 y â&#x2C6;&#x2018;Fy = 0 (Componentes rectangulares de las fuerzas).

Ejemplo.

1. Un cuadro de 2 Kg se cuelga de un clavo como se muestra en la figura, de manera que las cuerdas que lo sostienen forman un ĂĄngulo de 60Âş. ÂżCuĂĄl es la tensiĂłn en cada segmento de la cuerda?

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ś = 0 0

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ľ = 0 0

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D; cos 600 + đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? cos 600 = 0 Ta cos 600 = Tb cos 600 cos 600 Ta = Tb cos 600 Ta = Tb đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D; = 11.32 đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D; sin 60 + đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? sin 60 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤ = 0 Ta sen 600 + Tb sen 600 = w (1) Tb sen 600 = mg â&#x2C6;&#x2019; Tb sen 600 Ta en 1 Tb sen 600 + Tb sen 600 = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;&#x161; (2 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D;) (9.8 ) = 2 Tb sen 600 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 đ?&#x2018;&#x161; 19.6 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? = 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 600 đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? = 11.32 đ?&#x2018; 2. Calcule la tensiĂłn en cada cordel de la figura, si el peso del objeto suspendido es de 10 N.

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ś = 0 0

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ľ = 0 0

đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D; sin 30 + đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? sin 45 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤ = 0 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D; cos 300 + đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? cos 450 = 0 0 0 (1) Ta sen 30 + Tb sen 45 = 10N Ta cos 300 = Tb cos 450 cos 450 Ta en 1 Ta = Tb 0 cos 45 cos 300 Tb ( ) sen 300 + Tb sen 450 = 10đ?&#x2018; cos 450 0 cos 30 đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D; = 8.93 cos 300 sin 300 0 đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D; = 8.93 â&#x2C6;&#x2014; 0.82 đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? (cos 450 ) + đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;?sen 45 = 10đ?&#x2018; cos 300 đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D; = 7.32đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;?(cos 450 tan 300 ) + đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? sin 450 = 10đ?&#x2018; 0.41đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? + 0.71đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? = 10đ?&#x2018; 1.12đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? = 10đ?&#x2018; 10đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? = 1.12 đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? = 8.93đ?&#x2018; 3. Una bolsa de cemento de 325 Newton de peso cuelga de 3 alambres como muestra la figura. Dos de los alambres forman ĂĄngulos 600 y 250 con la horizontal. Si el sistema estĂĄ en equilibrio encuentre las tensiones T1 y T2

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ś = 0 0

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ľ = 0 0

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021;1 cos 600 + đ?&#x2018;&#x2021;2 cos 250 = 0

đ?&#x2018;&#x2021;1 sin 60 + đ?&#x2018;&#x2021;2 sin 25 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤ = 0

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 (1) T1 sen 600 + Tb sen 250 = 325N Ta en 1 cos 600 đ?&#x2018;&#x2021;1 sen 600 + đ?&#x2018;&#x2021;1 = 325đ?&#x2018; cos 250 sin 250 đ?&#x2018;&#x2021;1 sen 600 + đ?&#x2018;&#x2021;1 (cos 600 ) = 325đ?&#x2018; cos 250 0 0 0 đ?&#x2018;&#x2021;1 sin 60 + đ?&#x2018;&#x2021;1 (cos 60 tan 25 ) = 325đ?&#x2018; 0.8660đ?&#x2018;&#x2021;1 + 0.2331đ?&#x2018;&#x2021;1 = 325đ?&#x2018; 1.099đ?&#x2018;&#x2021;1 = 325đ?&#x2018; 325đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;1 = 1.099 đ?&#x2018;&#x2021;1 = 295.72đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2021;2 cos 250 = đ?&#x2018;&#x2021;1 cos 600 cos 600 đ?&#x2018;&#x2021;2 = đ?&#x2018;&#x2021;1 cos 250 0.5 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 295.72 0.91 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 295.72 â&#x2C6;&#x2014; 0.552 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 163.23 đ?&#x2018;

4. Encuentre la tensiĂłn en cada cuerda para el sistema mostrado en la figura. Ignore la masa de las cuerdas.

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ś = 0 0

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ľ = 0 0

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021;1 cos 400 + đ?&#x2018;&#x2021;2 cos 500 = 0 đ?&#x2018;&#x2021;2 cos 500 = đ?&#x2018;&#x2021;1 cos 400 cos 400 đ?&#x2018;&#x2021;2 = đ?&#x2018;&#x2021;1 cos 500 0.77 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 31.49 0.643 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 31.49 â&#x2C6;&#x2014; 1.192 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 37.54 đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2021;1 sin 40 + đ?&#x2018;&#x2021;2 sin 50 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤ = 0

m (1) đ?&#x2018;&#x2021;1 sen 400 + đ?&#x2018;&#x2021;2 sen 500 = 5kg â&#x2C6;&#x2014; 9.8 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018;&#x2021;2 en 1 cos 400 đ?&#x2018;&#x2021;1 sen 400 + đ?&#x2018;&#x2021;1 = 49 đ?&#x2018; cos 500 sin 500 đ?&#x2018;&#x2021;1 sen 400 + đ?&#x2018;&#x2021;1 (cos 400 ) = 49 đ?&#x2018; cos 500 đ?&#x2018;&#x2021;1 sin 400 + đ?&#x2018;&#x2021;1 (cos 400 tan 500 ) = 49 đ?&#x2018; 0.6643đ?&#x2018;&#x2021;1 + 0.913đ?&#x2018;&#x2021;1 = 49 đ?&#x2018; 1.58đ?&#x2018;&#x2021;1 = 49đ?&#x2018; 49 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;1 = 1.556 đ?&#x2018;&#x2021;1 = 31.49đ?&#x2018;

5. Encuentre la tensiĂłn en cada cuerda para el sistema mostrado en la figura. Ignore la masa de las cuerdas.

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â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ś = 0

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ľ = 0

0

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021;1 cos 600 + đ?&#x2018;&#x2021;2 = 0 đ?&#x2018;&#x2021;2 = đ?&#x2018;&#x2021;1 cos 600 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 113.16 cos 600 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 113.16 â&#x2C6;&#x2014; 0.5 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 56.58 đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2021;1 sin 60 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x160; = 0

m đ?&#x2018;&#x2021;1 sen 600 = 10kg â&#x2C6;&#x2014; 9.8 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 98 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;1 = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 600 đ?&#x2018;&#x2021;1 = 113.161 đ?&#x2018;

6. Un farol de 3,6 kg permanece en reposo, colgado como se indica en la figura. Determinar la fuerza que ejerce cada cuerda.

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ś = 0

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ľ = 0

0

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľ cos 370 + đ?&#x2018;&#x2021;đ??´ = 0 đ?&#x2018;&#x2021;đ??´ = đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľ cos 370 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 58.623 cos 370 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 58.623 â&#x2C6;&#x2014; 0.799 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 46.84 đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľ sin 37 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x160; = 0

m đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľ sen 370 = 3.6kg â&#x2C6;&#x2014; 9.8 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 35.28 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľ = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 370 đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľ = 58.623 đ?&#x2018;

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 7. Un pequeĂąo aro tiene una carga vertical de peso P y estĂĄ sostenido por dos cuerdas AB y BC, la Ăşltima de las cuales soporta en su extremo libre un peso đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x201E; = 100đ?&#x2018; , como se observa en la figura. Determinar la magnitud del peso de la carga P y la tensiĂłn de la cuerda AB, si el sistema se encuentra en equilibrio.

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ś = 0 0

â&#x2C6;&#x2018; đ??šđ?&#x2018;Ľ = 0 0

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021;đ??´đ??ľ cos 450 + đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľđ??ś cos 300 = 0 đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľđ??ś cos 300 = đ?&#x2018;&#x2021;đ??´đ??ľ cos 450 100 cos 300 đ?&#x2018;&#x2021;đ??´đ??ľ = cos 450 100 â&#x2C6;&#x2014; 0.87 đ?&#x2018;&#x2021;đ??´đ??ľ = 0.71 87 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ??´đ??ľ = 0.71 đ?&#x2018;&#x2021;đ??´đ??ľ = 122.54đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2021;đ??´đ??ľ sin 45 + đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľđ??ś sin 30 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192; = 0 đ?&#x2018;&#x2021;đ??´đ??ľ sen 450 + 100 sin 300 = P đ?&#x2018;&#x192; = 122.54đ?&#x2018; sin 450 + 100đ?&#x2018; sin 300 đ?&#x2018;&#x192; = 122.54 â&#x2C6;&#x2014; 0.71đ?&#x2018; + 100 â&#x2C6;&#x2014; 0.5đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x192; = 87đ?&#x2018; + 50đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x192; = 137đ?&#x2018;

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 1.

Secuencia 3 Actividad I Determinar el valor del mĂłdulo y la direcciĂłn de la fuerza F2 de la figura adjunta para que el bloque de 780 N de peso se encuentre en equilibrio si el mĂłdulo de la fuerza F1 es de 460 N. Respuesta: â&#x2C6;?= 35.80 đ??š2 = 575 đ?&#x2018;

2. En el esquema de la figura, el bloque de peso P se mantiene en equilibrio cuando se aplica una fuerza F = 500 N en el punto B del sistema de cables. Determinar las tensiones en los cables y el peso P. Respuesta: đ?&#x2018;&#x2021;đ??´đ??ľ = 2879 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľđ??ś = 2835 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ??ˇđ??ś = 8289 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x192; = 7790 đ?&#x2018;

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 3. Un cuerpo de masa m = 250 kg estĂĄ unido al sistema de cables indicado en la figura y se mantiene en equilibrio en la posiciĂłn indicada. Determinar las tensiones en los cables. Respuesta: đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľđ??´ = 1414 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ??ľđ??ś = 2829 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ??ˇđ??ś = 1505 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2021;đ??ˇđ??ś = 2965 đ?&#x2018;

4. En el esquema de la figura adjunta los tres cuerpos unidos por cables estĂĄn en equilibrio. Los bloques A y B pesan 60 N cada uno y el bloque C pesa 80 N. Determinar el valor de h

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 5. En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 600 N de peso pende de dos cables. Determinar: a) el intervalo de valores de la fuerza F para que ambos cables estĂŠn tensos; b) el valor de las tensiones en los cables para F = 500 N. Dato: tg a = 4/3. Respuesta: đ??š1 = 326.2 đ?&#x2018; đ??š1 = 750 đ?&#x2018; đ??šđ??ľ = 184.5 đ?&#x2018; đ??šđ??´ = 230.9 đ?&#x2018;

6. Dos cuerpos puntuales de pesos P1 = 1960 N y P2 = 2940 N estĂĄn unidos mediante un cable y se poyan sobre una superficie cilĂ­ndrica lisa tal como se ve en la figura adjunta. Determinar la tensiĂłn del cable, đ?&#x2018;&#x153; las normales en los apoyos y el ĂĄngulo de equilibrio. Respuesta: â&#x2C6;?= 33,69 ; đ?&#x2018;&#x2021; = 1630.8 N; đ?&#x2018; A =

1087,2 N; đ?&#x2018; đ??ľ = 2446,2 N

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 7. En la figura adjunta el bloque de 500 N de peso se mantiene en equilibrio en la posición indicada bajo la acción de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la cuerda que pasa por la polea B. Determinar el valor de la fuerza.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Secuencia 3 Actividad II 8. En el esquema de la figura adjunta, el cable AC está unido por su extremo C a un muelle cuya constante de rigidez es k = 50 N/m. Si se aplica en el extremo C del cable una fuerza vertical descendente F0 = 80 N el sistema está en equilibrio cuando el ángulo q = 60º. Determinar la longitud natural lo del muelle.

9. Una barra homogénea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar: a) el valor de la fuerza F para mantener la barra en equilibrio en la posición indicada; b) las reacciones en los apoyos.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 10. Una barra homogénea de 300 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Se mantiene en equilibrio bajo la acción que le ejerce un muelle unido a su extremo B de constante k = 500 N/m. Determinar el alargamiento del muelle.

11. Una barra homogénea de 369 N de peso y longitud l está articulada en su extremo A y se apoya en su extremo B sobre una superficie lisa tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar la reacción en la articulación.

12. Una barra homogénea peso P y longitud l esta en equilibrio en una cavidad semiesférica lisa de radio R tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar el valor del ángulo de equilibrio a si l = 3R.

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

13. Una barra homogénea de longitud l y peso P está unida por uno de sus extremos a un pasador que puede deslizar sin rozamiento por una guía vertical. La barra se apoya sobre una superficie cilíndrica lisa de radio R. Si la longitud de la barra es 3R , determinar el ángulo a de equilibrio.

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Problemas de AplicaciĂłn de la Segunda Ley del Movimiento I. Ă&#x2030;sta ley centra su aplicaciĂłn en la dinĂĄmica de partĂ­culas, en los que se analizan cuerpos con aceleraciĂłn. En ĂŠste caso, la fuerza neta que actĂşa sobre una partĂ­cula no es cero, sino: â&#x2C6;&#x2018;F = m â&#x2C6;&#x2014; a Al igual que en la primera ley, esto se puede plantear por medio de las componentes de los vectores: â&#x2C6;&#x2018;Fx = m â&#x2C6;&#x2014; ax y â&#x2C6;&#x2018;Fy = m â&#x2C6;&#x2014; ay Ejemplo.

1. ÂżQuĂŠ fuerza neta se requiere para impartir a un refrigerador de 125 Kg una aceleraciĂłn de1.20 m/seg 2 ?

Los datos son la masa y la magnitud de aceleraciĂłn, y solamente se pide encontrar la magnitud de la fuerza que se le debe aplicar al refrigerador. Por la 2a ley de Newton: Fuerza Neta = (125 Kg) (1.20 m/đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 ) = 150 N 2. Un carrito de juguete de 3 Kg parte del reposo y se mueve una distancia de 4 m en 2 s bajo la acciĂłn de una fuerza constante Ăşnica. Encuentre la magnitud de la fuerza.

Se sabe que la fuerza que impulsa al carrito es constante; por lo tanto, su aceleraciĂłn tambiĂŠn lo es. Se pueden aplicar las fĂłrmulas de M.R.U.A. (aceleraciĂłn constante y movimiento rectilĂ­neo) para encontrar la aceleraciĂłn del juguete y luego se multiplica por la masa para obtener la magnitud de la fuerza. De la ecuaciĂłn: 1 đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;Ł0 đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą 2 2 đ?&#x2018;&#x161; Despejamos a. AdemĂĄs đ?&#x2018;Ł0 = 0 , entonces: đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D; 1 4đ?&#x2018;&#x161; = 0 + đ?&#x2018;&#x17D;(2đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;)2 2 1 4đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x17D; 4 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 2 4đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x17D;= 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018;&#x17D; = 2 đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 y de la 2da. Ley: F = (3 Kg) (2 m/đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 ) = 6 N 3. Una carga de 15 Kg cuelga de una cuerda que pasa por una polea pequeĂąa sin fricciĂłn y tiene un contrapeso de 28 Kg en el otro extremo (vĂŠase la figura). El sistema se libera del reposo. ÂżCalcule la aceleraciĂłn hacia arriba de la carga?

Como son dos cuerpos los que se deben analizar, para cada uno debe hacerse un DCL. Sea el objeto Al peso de 15 Kg y el objeto B el contrapeso de 28 Kg.

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

Se tienen diagramas de cuerpo libre casi iguales, con la diferencia de las masas de los objetos. Como se trata de una cuerda que une a los dos pesos, existe una Ăşnica tensiĂłn a lo largo de ella; por lo tanto, las tensiones T en ambos diagramas son las mismas. Por otra parte, si los pesos se mueven, lo hace tambiĂŠn la cuerda. Tomando en cuenta que la cuerda es una "cuerda ideal", que es aquella que no se deforma cuando fuerzas se aplican sobre ella, la cuerda se mueve con una aceleraciĂłn uniforme; por lo tanto, las aceleraciones de los dos pesos son iguales en magnitud, pero los sentidos son diferentes. Suponga que el objeto B se mueve hacia abajo, por lo tanto, tiene aceleraciĂłn negativa.

Planteado lo anterior se tienen dos ecuaciones: â&#x2C6;&#x2018;đ??&#x2026;đ??&#x161; = đ??Śđ??&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ??&#x20AC;, donde A es la aceleraciĂłn. đ??&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ??°đ??&#x161; = đ??Śđ??&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ??&#x20AC; Despejando T: đ??&#x201C; = đ??Śđ??&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ??&#x20AC; + đ??Śđ??&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?? (đ?&#x;?).

Para el objeto B, â&#x2C6;&#x2018;đ??&#x2026;đ??&#x203A; = đ??Śđ??&#x203A; â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019;đ??&#x20AC; đ??&#x201C; = đ??Śđ??&#x203A; â&#x2C6;&#x2014; đ?? â&#x2C6;&#x2019; đ??Śđ??&#x203A; â&#x2C6;&#x2014; đ??&#x20AC; (đ?&#x;?)

Igualando (1) y (2): đ??Śđ??&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ??&#x20AC; + đ??Śđ??&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?? = đ??Śđ??&#x203A; â&#x2C6;&#x2014; đ?? â&#x2C6;&#x2019; đ??Śđ??&#x203A; â&#x2C6;&#x2014; đ??&#x20AC; Despejando A: đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;¨ + đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x192; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;¨ = đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x192; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2019;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2018;¨(đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A; + đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x192;) = đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x192; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A;) đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x192; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A;) đ?&#x2018;¨= (đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201A; + đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x192;) đ?&#x2019;&#x17D; (đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6;) đ?&#x;&#x2014;. đ?&#x;&#x2013; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? đ?&#x2018;¨= (đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6; + đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6;) đ?&#x2019;&#x17D; (đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6;) đ?&#x;&#x2014;. đ?&#x;&#x2013; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? đ?&#x2018;¨= (đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6;) đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;. đ?&#x;&#x2019;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? đ?&#x2018;¨= (đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6;) đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2018;¨ = đ?&#x;?. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;?

Es positiva. Por lo tanto la suposiciĂłn de que B se mueve hacia abajo es verdadera. Si el resultado hubiese dado negativo, habrĂ­a que cambiar el sentido supuesto.

Problemas de AplicaciĂłn de la Tercera Ley del Movimiento I. A partir de ĂŠsta tercera ley del movimiento se definen dos fuerzas de uso comĂşn en el estudio de la cinĂŠtica.

La fuerza de contacto entre dos cuerpos siempre puede representarse en tĂŠrminos de la fuerza normal N perpendicular a la superficie de interacciĂłn. Generalmente ĂŠsta fuerza se utiliza cuando un cuerpo estĂĄ en contacto con una superficie plana o inclinada, entonces, el vector de la fuerza normal es perpendicular a ĂŠsa superficie.

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Cuando un cuerpo se desplaza haciendo contacto con una superficie, ĂŠsta, por sus propiedades fĂ­sicas, realiza una fuerza que se opone al movimiento, la cual es conocida como fuerza de fricciĂłn Ff. Ă&#x2030;stas dos fuerzas tienen una relaciĂłn que se estudiarĂĄ en lecciones posteriores.

Ejemplo.

1. Dos bloques, con masa m1 = 4.6 Kg y m2 = 3.8 Kg, estĂĄn unidos por un resorte ligero sobre una mesa horizontal sin fricciĂłn. En cierto instante, m2 tiene una aceleraciĂłn a2 = 2.6 m/s^2. a) ÂżCuĂĄl es la fuerza sobre m2?; b) ÂżCuĂĄl es la aceleraciĂłn de m1?.

a) La Ăşnica fuerza que actĂşa sobre m2 en el sentido del movimiento (en el eje x) es la del resorte (haga el DCL para comprobarlo). Por la segunda ley de Newton: đ??&#x2026; = đ??Śđ?&#x;? â&#x2C6;&#x2014; đ??&#x161; = (đ?&#x;&#x2018;. đ?&#x;&#x2013; đ??&#x160;đ?? )(đ?&#x;?. đ?&#x;&#x201D; đ??Ś/đ??Ź^đ?&#x;?) = đ?&#x;&#x2014;. đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x2013; đ???. b) La Ăşnica fuerza que actĂşa en el sentido del movimiento sobre m1 es la del resorte. Pero el resorte hace una fuerza sobre m2 y ĂŠste hace una fuerza sobre el resorte, por acciĂłn y reacciĂłn. Suponiendo que el resorte no se deforma, ĂŠste hace una fuerza sobre m1 igual a la fuerza que hace sobre m2.

Entonces: đ?&#x2018;­ đ?&#x;&#x2014;. đ?&#x;&#x2013;đ?&#x;&#x2013;đ?&#x2018;ľ đ??Ś đ??&#x161; = = = đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x;? đ?&#x;&#x2019;. đ?&#x;&#x201D;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6; đ??Źđ??&#x17E;đ?? đ?&#x;?

2. Una niĂąa de 40 Kg y un trineo de 8.4 Kg estĂĄn sobre la superficie de un lago congelado, separados uno del otro por una distancia de 15 m. Por medio de una cuerda, la niĂąa ejerce una fuerza de 5.2 N sobre el trineo, halĂĄndolo hacia ella. a) ÂżCuĂĄl es la aceleraciĂłn del trineo?; b) ÂżCuĂĄl es la aceleraciĂłn de la niĂąa?; c) ÂżA quĂŠ distancia de la posiciĂłn inicial de la niĂąa se encontrarĂĄn, suponiendo que la fuerza permanece constante?

La niĂąa ejerce una fuerza, por medio de una cuerda, sobre el trineo. Por la tercera ley del movimiento, el trineo ejerce una fuerza sobre ella de igual magnitud pero sentido contrario. a) Como es un lago congelado, no existe fricciĂłn que impida el movimiento. Entonces, la Ăşnica fuerza que actĂşa en direcciĂłn del movimiento es la de la niĂąa sobre el trineo. Por la segunda ley de Newton: đ?&#x2018;­ đ?&#x;&#x201C;. đ?&#x;?đ?&#x2018;ľ đ??Ś (đ??­đ??Ťđ??˘đ??§đ??&#x17E;đ??¨) = â&#x2C6;&#x2019; đ??&#x161;(đ??­đ??Ťđ??˘đ??§đ??&#x17E;đ??¨) = = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x;&#x2013;. đ?&#x;&#x2019;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;?

La fuerza es negativa debido a que la fuerza que recibe el trineo estĂĄ dirigida hacia el eje x negativo. b) Ă&#x2030;sa fuerza que la niĂąa ejerce es la misma, en magnitud, que el trineo ejerce sobre ella, por medio de la cuerda: đ?&#x2018;­ đ?&#x;&#x201C;. đ?&#x;?đ?&#x2018;ľ đ??Ś đ??&#x161;(đ??§đ??˘Ăąđ??&#x161;) = (đ??§đ??˘Ăąđ??&#x161;) = = đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;?

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 c) La fuerza es constante, por lo que las aceleraciones calculadas en a) y en b) son constantes. Se pueden utilizar las fĂłrmulas para M.R.U.A. Tanto la niĂąa como el trineo parten del reposo. Tenemos dos ecuaciones de la posiciĂłn: đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2021; (đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;) = đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;) + đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2022; + đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;)đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? (đ?&#x;?) đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2021; (đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;) = đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;)đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;? đ?&#x;?

Donde đ??ą đ?&#x2019;&#x2021; đ??˛ đ??ą đ?&#x;&#x17D; son las posiciones finales e iniciales respectivamente. Para el trineo: đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2021; (đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?) = đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?) + đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2022; + đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?)đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;? đ?&#x;?

Pero đ??ąđ??&#x; (đ??­đ??Ťđ??˘đ??§đ??&#x17E;đ??¨) = đ??ąđ??&#x; (đ??§đ??˘Ăąđ??&#x161;), debido a que se encuentran en el mismo punto: đ?&#x;? (đ?&#x;?) đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2021; (đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;) = đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?) + đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?)đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;? đ?&#x;?

La niĂąa y el trineo se desplazarĂĄn hacia un sĂłlo punto, en el cual se encontrarĂĄn. Si ambos parten en el mismo instante, el tiempo en que tardarĂĄn en llegar es el mismo para ambos. Entonces đ??­(đ??§đ??˘Ăąđ??&#x161;) = đ??­(đ??­đ??Ťđ??˘đ??§đ??&#x17E;đ??¨). Igualando (1) y (2) y despejando el tiempo: đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2021; (đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?) = đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?)đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;)đ?&#x2019;&#x2022; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?) = đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?)đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2022; (đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?)) = đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?) đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?) đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;? = đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?) đ?&#x2019;&#x2022;=â&#x2C6;&#x161; đ?&#x2019;&#x2022;=â&#x2C6;&#x161;

đ?&#x;?(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D; (đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?)) đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?)

đ?&#x;?(đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6;) đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;? ) đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2022;=â&#x2C6;&#x161;

(đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6;) đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x2022; = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2022; = đ?&#x;&#x201D;. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6; El tiempo se sustituye en (1) o en (2): đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D; (đ?&#x;&#x201D;. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;)đ?&#x;? đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x17D; (đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2014;. đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? ) đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2021; (đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;) = đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2021; (đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;) = đ?&#x;?. đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;&#x2014; đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2021; (đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x160;Ăąđ?&#x2019;&#x201A;) =

Fuerzas de FricciĂłn.

La fuerza de fricciĂłn se da a partir del contacto entre dos cuerpos. En realidad, ĂŠste efecto siempre estĂĄ presente en el movimiento de un cuerpo debido a que siempre se desplaza haciendo contacto con otro (el aire en la mayorĂ­a de los casos); en algunos casos, ĂŠste efecto es muy pequeĂąo y es una buena aproximaciĂłn despreciar su valor, pero en otros, es necesario tomar en cuenta ĂŠsta fuerza, debido a que determina el valor del movimiento.

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

FricciĂłn cinĂŠtica.

Cuando un cuerpo descansa sobre una superficie, podemos expresar la fuerza de contacto (por tercera ley del movimiento) en tĂŠrminos de sus componentes paralela y perpendicular a la superficie: la componente perpendicular es la fuerza normal N y la paralela a la superficie es la de fricciĂłn đ??šđ?&#x2018;&#x201C; La direcciĂłn de đ??šđ?&#x2018;&#x201C; siempre es opuesta al movimiento relativo de las dos superficies.

El tipo de fricciĂłn que actĂşa cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie es la fuerza de fricciĂłn cinĂŠtica, đ??šđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2DC; (â&#x2C6;&#x2014;). Ă&#x2030;sta fuerza es proporcional a la normal: đ??šđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2DC; Îą đ?&#x2018; .

La constante de proporcionalidad para la relaciĂłn anterior recibe el nombre de coeficiente de fricciĂłn cinĂŠtica Âľk y su valor depende de la superficie: mientras mĂĄs lisa (como el lago congelado del ejemplo de la lecciĂłn anterior) es la superficie, menor serĂĄ el valor de la constante. Entonces, la fuerza de fricciĂłn cinĂŠtica se define como: đ??šđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2DC; = Âľk â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; Ă&#x2030;sta es una ecuaciĂłn escalar y vĂĄlida solo para las magnitudes de las componentes de la fuerza de contacto.

La fuerza de fricciĂłn tambiĂŠn puede actuar cuando no hay movimiento. En ĂŠste caso recibe el nombre de fuerza de fricciĂłn estĂĄtica đ??šđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; . Suponga que una persona empuja una caja sobre el piso tratando de moverla, pero no lo consigue, debido a que el piso ejerce una fuerza đ??šđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; . Ă&#x2030;sta fuerza tambiĂŠn es proporcional a la normal y la constante de proporcionalidad se conoce como coeficiente de fricciĂłn estĂĄtica Âľđ?&#x2018; . En algĂşn punto, đ??šđ?&#x2018;&#x201C; es mayor que Âľđ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; , que es cuando hay movimiento y đ??šđ?&#x2018;&#x201C; es đ??šđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2DC; = Âľđ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; . Pero, mientras no exista movimiento, đ??šđ?&#x2018;&#x201C; es: đ??šđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; â&#x2030;¤ Âľđ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; . Es decir, đ??šđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018; estĂĄ entre 0 đ?&#x2018;Ś (Âľđ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; ).

DefiniciĂłn de Trabajo.

En la vida cotidiana, el tĂŠrmino trabajo se relaciona con cualquier actividad que requiere algĂşn tipo de esfuerzo fĂ­sico o mental. En la mecĂĄnica y estudio de la cinĂŠtica, estos esfuerzos son fuerzas externas que actĂşan sobre un cuerpo desplazĂĄndolo cierta distancia desde su punto inicial; por lo tanto, siempre que una fuerza actĂşa a lo largo de una distancia, sobre una partĂ­cula, se realiza trabajo. Su valor se relaciona con el valor de la fuerza aplicada y el desplazamiento causado por la fuerza.

Considere las siguientes figuras. Ignore el efecto de la fricciĂłn en la superficie plana. La fuerza Fa estĂĄ aplicada verticalmente sobre el objeto; pero ĂŠsta fuerza no logra desplazar al objeto por el eje x, debido a que la fuerza resultante no tiene componente en ĂŠse eje, y por la segunda ley del movimiento, ĂŠste objeto no tiene aceleraciĂłn en ĂŠsa direcciĂłn.

La fuerza Fb logra desplazar cierta distancia al objeto por la superficie plana, debido a que tiene una componente paralela al movimiento, y el objeto obtiene una componente en x de la aceleraciĂłn.

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

La fuerza Fc desplaza al objeto cierta distancia d, mayor al de la fuerza Fb, debido a que la fuerza estĂĄ totalmente en direcciĂłn al desplazamiento.

Por lo anterior, el trabajo mecĂĄnico W es realizado por la componente paralela al desplazamiento d de la fuerza que lo realiza, y se define como: W = F â&#x2C6;&#x2014; d Donde F es la fuerza paralela al desplazamiento que realiza trabajo. El trabajo total realizado sobre una partĂ­cula es el producto de la fuerza resultante por el valor del desplazamiento d.

La expresiĂłn anterior que define el trabajo W es un producto escalar, y sĂłlo interesa la magnitud y sentido de F y d. Es decir, a partir de un marco de referencia propuesto, se puede obtener un trabajo negativo si la fuerza estĂĄ dirigida en sentido contrario al desplazamiento, como una fuerza de fricciĂłn de la superficie.

El trabajo W tiene unidades de đ?&#x2018; . đ?&#x2018;&#x161;. en el sistema internacional (Newton - metro), lbf - pulgada en el sistema inglĂŠs. En el sistema internacional de medidas, un đ?&#x2018; . đ?&#x2018;&#x161; es un Joule, representado por J, que son las unidades que definen la energĂ­a, concepto que se define en las siguientes lecciones.

1.

Problemas de AplicaciĂłn del Trabajo.

Se empuja un libro 1.20 m sobre una mesa horizontal con una fuerza horizontal de 3.0 N. La fuerza de fricciĂłn opuesta es de 0.6 N. a) ÂżQuĂŠ trabajo efectĂşa la fuerza de 3.0 N?; b) ÂżY la fricciĂłn?; c) ÂżQuĂŠ trabajo total se efectĂşa sobre el libro?

a) La fuerza de 3 N estĂĄ en direcciĂłn al desplazamiento. Entonces: đ?&#x2018;&#x160; = (3.0 N) â&#x2C6;&#x2014; (1.20 m) = 3.6 đ?&#x2018; . đ?&#x2018;&#x161; = 3.6 đ??˝ b) La fricciĂłn tambiĂŠn estĂĄ dirigida hacia el eje x, pero con sentido contrario: đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C; = (â&#x2C6;&#x2019; 0.6 N) â&#x2C6;&#x2014; (1.20 m) = â&#x2C6;&#x2019; 0.72 đ??˝ c) El trabajo total estĂĄ dado por la componente de la fuerza resultante en direcciĂłn al movimiento. Las fuerzas que actĂşan en direcciĂłn al movimiento son la de 3.0 N y la fricciĂłn: â&#x2C6;&#x2018;đ??šđ?&#x2018;Ľ = 3.0 đ?&#x2018; + (â&#x2C6;&#x2019; 0.6 đ?&#x2018; ) = 2.4 đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;Ą = (2.4 đ?&#x2018; ) â&#x2C6;&#x2014; (1.2 đ?&#x2018;&#x161;) = 2.88 đ??˝.

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Donde đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;Ą es el trabajo total efectuado. Ă&#x2030;ste resultado es el mismo si se suman los trabajos individuales de cada fuerza que actĂşa sobre el cuerpo: đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x160; + đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C; = 3.6 đ??˝ + (â&#x2C6;&#x2019; 0.72 đ??˝) = 2.88 đ??˝ 2. El baĂşl de la figura es arrastrado en una distancia horizontal de 24 m por una cuerda que forma un ĂĄngulo de 60Âş con el piso. Si la tensiĂłn en la cuerda es de 8 N, ÂżCuĂĄl es el trabajo realizado por la cuerda?

La fuerza no estĂĄ en direcciĂłn al desplazamiento, pero tiene una componente paralela a ĂŠl, que es igual a: đ??š = (8 đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 60Âş Y el trabajo es igual a: đ?&#x2018;&#x160; = đ??š â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; = ((8 đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 60Âş ) â&#x2C6;&#x2014; (24 đ?&#x2018;&#x161;) = 96 đ??˝ EnergĂ­a CinĂŠtica La importancia del concepto de energĂ­a surge del principio de conservaciĂłn de la energĂ­a: la energĂ­a se puede convertir de una forma a otra pero no puede crearse ni destruirse. Por ejemplo, un horno microondas recibe energĂ­a electromagnĂŠtica para convertirla en energĂ­a tĂŠrmica en los alimentos, aumentando su temperatura, por lo tanto, no hay una pĂŠrdida de energĂ­a en ĂŠste proceso.

Por ello, la energĂ­a se relaciona por la capacidad que tiene la materia para realizar cambios, a partir de un estado de referencia. Existen muchos tipos de energĂ­a, que estĂĄn asociados con diferentes propiedades de la materia. Sin embargo, en cinĂŠtica, se estudia la energĂ­a mecĂĄnica, es decir, la energĂ­a asociada con las propiedades que determinan el movimiento.

Una de ellas, es la energĂ­a cinĂŠtica, que es la energĂ­a asociada con la rapidez de una partĂ­cula. Como la energĂ­a se define a partir de un estado de referencia, la energĂ­a cinĂŠtica es cero cuando la partĂ­cula no tiene rapidez, es decir, estĂĄ en reposo.

1

La energĂ­a cinĂŠtica, denotada por đ??ž y medida en đ??˝đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; (đ??˝), se define como: đ??ž = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ł 2 donde m es la masa de 2

la partĂ­cula (đ??žđ?&#x2018;&#x201D;) y v es su rapidez (đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; ).

El concepto de energĂ­a se relaciona con el cambio de un estado. Por ello, en el estudio de la energĂ­a a veces interesa saber el cambio de energĂ­a. El sĂ­mbolo â&#x2C6;&#x2020; (đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;) indica un cambio en la propiedad a la que acompaĂąa.

Suponga que en un estado 1, una partĂ­cula tiene una energĂ­a cinĂŠtica đ??ž(1), y que en el estado 2 tiene una energĂ­a cinĂŠtica đ??ž(2). El cambio de energĂ­a cinĂŠtica de ĂŠsta partĂ­cula, medido en đ??˝đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; (đ??˝) para los estados 1 1 1 1 y 2 es: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018;&#x2DC;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;1 = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ł2 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ł1 2 = đ?&#x2018;&#x161;(đ?&#x2018;Ł2 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ł1 2 ) 2

2

2

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Teorema del Trabajo y la EnergĂ­a.

El trabajo, por sus unidades, es una forma de transferencia o cambio en la energĂ­a: cambia la posiciĂłn de una partĂ­cula (la partĂ­cula se mueve). Ă&#x2030;ste cambio en la energĂ­a se mide a partir de todos los efectos que la partĂ­cula sufre, para el trabajo, los efectos son todas las fuerzas que se aplican sobre ella (trabajo neto o trabajo total Wt).

El teorema del trabajo y la energĂ­a relaciona ĂŠstos dos conceptos: El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partĂ­cula es igual al cambio de energĂ­a cinĂŠtica de la partĂ­cula: đ?&#x2018;&#x160; = â&#x2C6;&#x2020;đ??ž = đ??ž(2) â&#x2C6;&#x2019; đ??ž(1) Este teorema facilita muchos cĂĄlculos de problemas que involucran ĂŠstas propiedades.

1.

Problemas de AplicaciĂłn del Trabajo y la EnergĂ­a.

Una bala de 20 g choca contra un banco de fango, como se muestra en la figura, y penetra una distancia de 6 cm antes de detenerse. Calcule la fuerza de frenado F, si la velocidad de entrada fue de 80 m/s.

Se tienen como datos la rapidez inicial y la rapidez final, ademĂĄs de la masa de la bala como la cantidad desplazada mientras se le aplica la fuerza. Por el teorema del trabajo y la energĂ­a se puede encontrar el valor de esa fuerza: 1 1 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018;&#x2DC;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;1 = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ł2 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ł1 2 = đ?&#x2018;&#x161;(đ?&#x2018;Ł2 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ł1 2 ) 2 2 2 La rapidez đ?&#x2018;Ł(2) es el estado final (0 đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; ), y la rapidez đ?&#x2018;Ł(1) es el estado inicial antes de entrar al banco de fango (80 đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; ). La masa de la bala es 20 đ?&#x2018;&#x201D; = 0.02 đ??žđ?&#x2018;&#x201D;. Entonces: 1 đ?&#x2018;&#x161; 2 đ?&#x2018;&#x161; 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2DC; = (0.02đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D;) ((0 ) â&#x2C6;&#x2019; (80 ) ) 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2DC; = 0.01đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D; (0 â&#x2C6;&#x2019; 6400 ) đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2DC; = â&#x2C6;&#x2019;64 đ??˝ Esto es igual al trabajo neto efectuado por todas las fuerzas. En ĂŠste caso, la Ăşnica fuerza que actĂşa es la que detiene a la bala (la fricciĂłn del fluido viscoso): đ?&#x2018;&#x160; = đ??š â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; = â&#x2C6;&#x2020;đ??ž = â&#x2C6;&#x2019; 64 đ??˝ đ??śđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018; = 6 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; = 0.06 đ?&#x2018;&#x161; 64đ??˝ đ??š = â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; 1066.67đ?&#x2018; 0.06đ?&#x2018;&#x161; Note que el signo negativo indica que la fuerza tiene sentido opuesto al desplazamiento (como en la definiciĂłn de trabajo).

1.

Problema de AplicaciĂłn del Teorema del Trabajo y la EnergĂ­a Un trabajador empuja una caja por el piso. La fuerza que ejerce forma un ĂĄngulo de 30Âş con la horizontal, como se muestra en la figura. La masa de la caja es de 100 Kg y el coeficiente de fricciĂłn cinĂŠtica entre ella y el piso es de 0.6. Una vez en movimiento, la caja se mueve con rapidez constante.

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 a) ÂżCuĂĄnto trabajo debe efectuar el trabajador para moverla 100 m?; b) ÂżCuĂĄnto es el trabajo neto sobre la caja?

a) El trabajo efectuado por el trabajador es igual a: đ?&#x2018;&#x160; = (đ??š đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 30Âş) â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; Pero no se conoce el valor de F:

â&#x2C6;&#x2018;đ??šđ?&#x2018;Ľ = 0 (đ??ˇđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;ĄĂ­đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;ĄĂĄ đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;, đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;). â&#x2C6;&#x2019; đ??šđ?&#x2018;&#x201C; + đ??š đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 30Âş = 0 đ??š = đ??šđ?&#x2018;&#x201C; / đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 30Âş (1) đ??żđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x153;: â&#x2C6;&#x2018;đ??šđ?&#x2018;Ś = 0 đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2019; đ??š đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 30Âş = 0 đ??š = (đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤) / đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 30Âş (2) đ??źđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; (1) đ?&#x2018;Ś (2): đ??šđ?&#x2018;&#x201C; / đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 30Âş = (đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤) / đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 30Âş đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ??šđ?&#x2018;&#x201C; = Âľđ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; , đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019; (đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 30Âş / đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 30Âş) = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; 30Âş: (Âľđ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; 30Âş = đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤ Despejando N: đ?&#x2018;&#x161; (100đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D;) (9.8 ) đ?&#x2018;¤ 980đ?&#x2018; 980đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ?&#x2018; = = = = = 1499.6174đ?&#x2018; 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2DC; tan 300 1 â&#x2C6;&#x2019; (0.6 tan 300 ) 1 â&#x2C6;&#x2019; 0.3464 0.6535 Sustituyendo ĂŠste valor en (2): đ?&#x2018;&#x161; 1499.6174đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; (100đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D;) (9.8 ) 1499.6174đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 980đ?&#x2018; 519.61đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 đ??š= = = = 1039.22đ?&#x2018; sin 300 0.50 0.50 Y el trabajo es: đ?&#x2018;&#x160; = ((1040 đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 30Âş) â&#x2C6;&#x2014; (100 đ?&#x2018;&#x161;) = 90,066.65 đ??˝ b) El trabajo neto es: đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x160; + đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C; Donde đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C; es el trabajo realizado por la fricciĂłn. Pero por el teorema del trabajo y la energĂ­a:đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2020;đ??ž = 0 debido a que no hay cambio en la energĂ­a cinĂŠtica (no hay cambio en la rapidez de la partĂ­cula, es constante, y đ??ž(1) = đ??ž(2)). Este resultado se puede demostrar encontrando el trabajo realizado por la fricciĂłn y sumar ĂŠse valor al trabajo efectuado por la fuerza F.

EnergĂ­a Potencial Gravitatoria Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 En varias situaciones parece que se almacena energĂ­a en un cuerpo para recuperarse despuĂŠs. Por ejemplo, una persona levanta un libro de masa m. La persona debe aplicar una fuerza mayor al peso m*g del libro para levantarlo, y por lo tanto, realizar trabajo sobre ĂŠl. Pero si el libro se deja caer desde la altura llevada, el libro aumenta su energĂ­a cinĂŠtica aumentando su rapidez en la caĂ­da. Si la persona levanta el libro mĂĄs alto, al dejarse caer, el libro obtiene mayor rapidez cuando llega al piso (debido a la aceleraciĂłn de la gravedad).

Lo anterior da una idea que si un cuerpo o partĂ­cula estĂĄ en una posiciĂłn mĂĄs alta, tiene una mayor cantidad de energĂ­a almacenada. AsĂ­ se define la energĂ­a potencial, como la energĂ­a asociada a la posiciĂłn de una partĂ­cula, y es una medida del potencial o posibilidad de efectuar trabajo.

Una forma de energĂ­a potencial es la que estĂĄ asociada con el campo gravitacional, que hace efecto en los cuerpos por medio de su peso. Ă&#x2030;sta es la energĂ­a potencial gravitatoria đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D;, que relaciona el peso de un cuerpo y su altura sobre el suelo.

Para encontrar su valor, considere un cuerpo de masa m que estĂĄ en reposo a una altura â&#x201E;&#x17D;(1) como se muestra en la figura. La Ăşnica fuerza que actĂşa sobre el cuerpo es su peso đ?&#x2018;¤ = đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D;. Entonces, el trabajo neto sobre ella es: đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;.

Donde d es la distancia en la que se aplica la fuerza.

Si el objeto se deja caer hasta la altura â&#x201E;&#x17D;(2), entonces đ?&#x2018;&#x2018; = â&#x201E;&#x17D;(1) â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;(2) đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; (â&#x201E;&#x17D;(1) â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;(2)) La energĂ­a potencial gravitatoria đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D; se define como el producto de la masa por la aceleraciĂłn de la gravedad por la alturaâ&#x201E;&#x17D;: đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D; Entonces el trabajo es: đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;(1) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;(2) = đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D;(1) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D;(2) đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D;(2) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D;(1): đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201D; = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D; Esta relaciĂłn sĂłlo es vĂĄlida para el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad.

Problemas de AplicaciĂłn de EnergĂ­a Potencial Gravitatoria.

Para resolver problemas que involucran el valor de la energĂ­a potencial gravitatoria se debe tener en cuenta el marco de referencia, y definir los valores de energĂ­a para ĂŠse marco, debido a que la energĂ­a es medida a partir de un punto de referencia arbitrario. En la mayorĂ­a de los casos, ĂŠste punto de referencia es el piso o superficie plana cercana.

1. ÂżQuĂŠ energĂ­a potencial tiene un ascensor de 800 Kg en la parte superior de un edificio, a 380 m sobre el suelo? Suponga que la energĂ­a potencial en el suelo es 0.

Se tiene el valor de la altura y la masa del ascensor. De la definiciĂłn de la energĂ­a potencial gravitatoria: đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D; = (800 đ??žđ?&#x2018;&#x201D;) â&#x2C6;&#x2014; (9.8 2 ) â&#x2C6;&#x2014; (380 đ?&#x2018;&#x161;) = 2,979,200 đ??˝ = 2.9 đ?&#x2018;&#x20AC;đ??˝ đ?&#x2018; 2. Un horno de microondas de 12 Kg se empuja para subirlo 14 m de una superficie de una rampa inclinada 37Âş sobre la horizontal aplicando una fuerza constante de 120 N y paralela a la rampa. El coeficiente de fricciĂłn cinĂŠtica entre el horno y la rampa es de 0.25. a) ÂżQuĂŠ trabajo realiza la fuerza sobre el horno?; b) ÂżY la fuerza de fricciĂłn?; c) Calcule el aumento de energĂ­a potencial del horno.

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

a) El trabajo de la fuerza estĂĄ dado por el producto de la magnitud de la fuerza por la distancia desplazada: đ?&#x2018;&#x160; = (120 đ?&#x2018; ) (14 đ?&#x2018;&#x161;) = 1680 đ??˝ b) El valor de la fuerza de fricciĂłn no es un dato dado del problema. Para determinarlo, se debe hacer un DCL:

A partir de ĂŠste nuevo marco de referencia: â&#x2C6;&#x2018;đ??šđ?&#x2018;Ś = 0 (Debido a que no hay desplazamiento en ĂŠste eje). đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 37Âş = 0 đ?&#x2018; = đ?&#x2018;¤ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 37Âş = đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 37Âş. đ??żđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; Âľđ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; , đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; : đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C; = đ??šđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; = Âľđ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; Sustituyendo: đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C; = Âľđ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 37Âş â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C; = (0.25) (12 đ??žđ?&#x2018;&#x201D;) (9.8 đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; ^2) (14 đ?&#x2018;&#x161;) (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 37Âş) = 328.72 đ??˝ c) El aumento de energĂ­a potencial estĂĄ dado por: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x2018;&#x2C6;(2) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2C6;(1) = đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;(2) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;(1) đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x201E;&#x17D;(1) = 0 đ?&#x2018;Ś â&#x201E;&#x17D;(2) = â&#x201E;&#x17D;: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D; Por trigonometrĂ­a, sabemos que h = d * sen 37Âş: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;37Âş â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D; = (12 đ??žđ?&#x2018;&#x201D;) (9.8 đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; ^2) (14 đ?&#x2018;&#x161;) (đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 37Âş) = 990.83 đ??˝ Note que los maros de referencia para b) y c) son distintos: cuando se trabaja con energĂ­a potencial, sĂłlo interesa datos de altura. Para el caso de un movimiento vertical con trayectoria curvilĂ­nea (movimiento de proyectil, por ejemplo), se debe encontrar la proyecciĂłn del movimiento en el eje vertical para definir la diferencia de alturas.

EnergĂ­a Potencial ElĂĄstica.

Un cuerpo elĂĄstico es aquel cuerpo deformable que recupera su forma y tamaĂąo originales despuĂŠs de deformarse. La deformaciĂłn de estos cuerpos es causada por una fuerza externa que actĂşa sobre ellos.

Para definir la energĂ­a potencial elĂĄstica se introduce el concepto de un resorte ideal, que es aquel que se comporta como un cuerpo elĂĄstico, ejerciendo una fuerza en su proceso de deformaciĂłn. Cuando un resorte

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 ideal estĂĄ estirado cierta longitud x (m), ĂŠste quiere volver a su longitud y forma original; es decir, cuando no estĂĄ estirado. Para intentar lograrlo, el resorte ejerce una fuerza Fe definida por: đ??šđ?&#x2018;&#x2019; = đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ľ Donde k es la constante de fuerza del resorte, medido en N/m, y x es la deformaciĂłn del resorte, medido en m.

Cuando un cuerpo llega con una rapidez v, como se muestra en la figura anterior, el resorte se deforma y detiene al cuerpo; pero luego, cuando el resorte quiere volver a su longitud original, "empuja" al cuerpo dĂĄndole la misma rapidez v anterior. Ă&#x2030;sta y otras situaciones describen que el resorte "almacena energĂ­a", convirtiĂŠndola en energĂ­a cinĂŠtica (el cuerpo sale con la misma rapidez de entrada al resorte).

En realidad, el resorte realiza trabajo, debido a que desplaza al cuerpo aplicĂĄndole una fuerza por una distancia d. Ă&#x2030;sta distancia coincide con la deformaciĂłn del resorte x. Entonces, el trabajo efectuado por el 1 resorte es: đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ 2 2

Donde k es la constante de fuerza del resorte. Pero cuando un cuerpo deforma al resorte aplicĂĄndole una fuerza, se realiza trabajo sobre ĂŠl, y esa fuerza es igual a la fuerza del resorte đ??šđ?&#x2018;&#x2019; = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ (tercera ley del movimiento). Ă&#x2030;ste trabajo efectuado sobre el resorte es negativo, debido a que la fuerza tiene direcciĂłn contraria a la deformaciĂłn del resorte.

La energĂ­a potencial elĂĄstica U ĂŠl se define de igual manera que la energĂ­a potencial elĂĄstica: a partir del 1 trabajo realizado por la fuerza presente. Entonces: đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ 2 2

Suponga que entre la deformaciĂłn x, existen dos puntos đ?&#x2018;Ľ(1) đ?&#x2018;&#x152; đ?&#x2018;Ľ(2), como se muestra en la figura siguiente.

El resorte estĂĄ inicialmente deformado.

El trabajo realizado sobre el bloque (trabajo hecho por el resorte) de đ?&#x2018;Ľ(1) đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ(2) es: 1 1 đ?&#x2018;¤đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ1 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ2 2 2 2 El cambio de energĂ­a potencial elĂĄstica â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; = đ?&#x2018;&#x2C6;(2) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2C6;(1); de đ?&#x2018;Ľ(1) đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ(2) es igual a: Que es una relaciĂłn muy parecida a la del trabajo realizado por el peso de un cuerpo y su energĂ­a potencial gravitatoria.

1.

Problemas de AplicaciĂłn de EnergĂ­a Potencial ElĂĄstica Una fuerza de 540 N estira cierto resorte una distancia de 0.150 m ÂżQuĂŠ energĂ­a potencial tiene el resorte cuando una masa de 60 Kg cuelga verticalmente de ĂŠl?

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

Para conocer la energĂ­a potencial elĂĄstica almacenada en el resorte, se debe conocer la constante de fuerza del resorte y su deformaciĂłn causada por el peso de la masa de 60 Kg. Una fuerza de 540 N estira el resorte hasta 0.150 m. La constante de fuerza es: đ?&#x2018;&#x2DC; = đ??šđ?&#x2018;&#x2019; / đ?&#x2018;Ľ = 540 đ?&#x2018; / 0.150 đ?&#x2018;&#x161; = 3600 đ?&#x2018; / đ?&#x2018;&#x161;.

Luego, la deformaciĂłn x del resorte causada por el peso del bloque es: đ?&#x2018;Ľ = đ??šđ?&#x2018;&#x2019; / đ?&#x2018;&#x2DC; = (đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D;) / đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ = ((60 đ??žđ?&#x2018;&#x201D;) â&#x2C6;&#x2014; (9.8 đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; ^2)) / (3600 đ?&#x2018; /đ?&#x2018;&#x161;) = 0.163 đ?&#x2018;&#x161; La energĂ­a potencial elĂĄstica almacenada en el resorte es: đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; = 1/2 â&#x2C6;&#x2014; (3600 đ?&#x2018; /đ?&#x2018;&#x161;) â&#x2C6;&#x2014; (0.163 đ?&#x2018;&#x161;)^2 = 47.82 đ??˝ 2. Un resorte tiene una constante de fuerza k = 1200 N/m, ÂżCuĂĄnto debe estirarse el resorte para almacenar en ĂŠl 80 J de energĂ­a potencial?

Se tiene el valor de la energĂ­a potencial elĂĄstica y la constante de fuerza del resorte. De la ecuaciĂłn de energĂ­a potencial: 2 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Ľ=â&#x2C6;&#x161; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ=â&#x2C6;&#x161;

2 â&#x2C6;&#x2014; (80đ??˝) 160đ??˝ =â&#x2C6;&#x161; = â&#x2C6;&#x161;0.13333đ?&#x2018;&#x161;2 = 0.3651đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 1200 1200 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;

ConservaciĂłn de la EnergĂ­a.

Para el caso de la fuerza aplicada por un resorte y la fuerza ejercida por la gravedad, las fuerzas permiten "almacenar energĂ­a", siendo ĂŠsta la energĂ­a potencial asociada al trabajo realizado por ĂŠstas fuerzas. Ă&#x2030;sta energĂ­a potencial permite convertirse en energĂ­a cinĂŠtica despuĂŠs; por ejemplo, cuando un resorte empuja a un cuerpo para volver a su longitud natural, o cuando un cuerpo se deja caer desde lo alto, perdiendo asĂ­ energĂ­a potencial pero ganando rapidez.

Las fuerzas que permiten ĂŠsta conversiĂłn de energĂ­a potencial a energĂ­a cinĂŠtica son llamadas fuerzas conservativas. Es decir, se puede invertir energĂ­a pero se puede recuperar despuĂŠs.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa siempre tiene ĂŠstas propiedades: 1. Siempre puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y final de una funciĂłn de energĂ­a potencial.

2. Es reversible.

3. Es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende sĂłlo de los puntos inicial y final.

4. Si los puntos inicial y final son el mismo, el trabajo total es cero.

Si las Ăşnicas fuerzas que realizan trabajo son conservativas, la energĂ­a mecĂĄnica total đ??¸ =đ??ž+đ?&#x2018;&#x2C6; Es constante.

Pero no todas las fuerzas son conservativas.

La fuerza de fricciĂłn que actĂşa sobre un cuerpo siempre se opone al movimiento, y como đ?&#x2018;&#x160; = đ??š â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;, la fuerza de fricciĂłn siempre es negativa en ĂŠste producto; por lo tanto, el trabajo no es reversible.

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Ă&#x2030;ste tipo de fuerzas son conocidas como fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas, y si una de ellas realiza trabajo, se debe tomar en cuenta en la energĂ­a mecĂĄnica total E. La ley de la conservaciĂłn de la energĂ­a dice que la energĂ­a nunca se crea ni se destruye, sĂłlo cambia de forma.

Considerando para el estudio de la cinĂŠtica que sĂłlo se toman en cuenta las energĂ­as mecĂĄnicas, entonces: â&#x2C6;&#x2020;đ??ž + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D; + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; + đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A; = 0 Donde đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A; es el trabajo realizado por las fuerzas disipativas. En la mayorĂ­a de casos aplicados a la cinĂŠtica, estas fuerzas son las de fricciĂłn ejercida por los cuerpos (fricciĂłn cinĂŠtica, resistencia del aire, etc).

En algunos casos, đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A; se considera como una pĂŠrdida de energĂ­a, debido a que se realiza un trabajo opuesto al movimiento de una partĂ­cula (trabajo negativo).

Problema de AplicaciĂłn de ConservaciĂłn de la EnergĂ­a.

Una forma diferente de plantear la ecuaciĂłn de la ley de la conservaciĂłn de la energĂ­a es: đ??ž(1) + đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D;(1) + đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;(1) = đ??ž(2) + đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D;(2) + đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;(2) + đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C; Donde đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C; es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas de ĂŠse movimiento.

Para resolver problemas de aplicaciĂłn es necesario definir los estados 1 y 2 para utilizar la ecuaciĂłn anterior y determinar los valores de la rapidez, la posiciĂłn o la deformaciĂłn del resorte ideal en ĂŠse estado.

1. Un bloque de 2 Kg situado sobre una pendiente rugosa se conecta a un resorte de masa despreciable que tiene una constante de resorte de 100 N/m (vĂŠase la figura). El bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no estĂĄ deformado, y la polea no presenta fricciĂłn. El bloque se mueve 20 cm hacia abajo de la pendiente antes de detenerse. Encuentre el coeficiente de fricciĂłn cinĂŠtico entre el bloque y la pendiente.

El sistema muestra que el bloque estĂĄ ligado a un resorte, por lo que hay una Uel asociada; el bloque tiene una elevaciĂłn por encima del suelo en algĂşn estado, por lo que hay una Ug asociada; el sistema se mueve, K tiene un valor y finalmente el bloque se desplaza por un plano inclinado riguso, con un valor de fricciĂłn entre ellos.

Si el estado 1 es cuando el bloque estĂĄ en reposo antes de soltarse, y si el estado 2 es cuando el bloque se detiene 20 cm despuĂŠs; entonces la ecuaciĂłn: đ??ž(1) + đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D;(1) + đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;(1) = đ??ž(2) + đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D;(2) + đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;(2) + đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C; Se reduce a: đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D;(1) = đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;(2) + đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x201C; Debido a que: En el estado 1, el cuerpo estĂĄ en reposo y no tiene rapidez, entonces đ??ž(1) = 0, el resorte estĂĄ sin estirarse, y đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; = 0.

En el estado 2, el cuerpo se detiene cuando cae y no tiene rapidez, entonces đ??ž(2) = 0, segĂşn el marco de referencia, el cuerpo llega a una altura igual a cero, y đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201D; = 0.

1 Sustituyendo los valores de la ecuaciĂłn anterior: đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D; = đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ľ 2 + đ??šđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ľ 2

Donde đ??šđ?&#x2018;&#x201C; = Âľđ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; .

De la ecuaciĂłn anterior, se tienen los valores de đ?&#x2018;&#x161;, đ?&#x2018;&#x201D;, đ?&#x2018;&#x2DC;, đ?&#x2018;Ľ (la deformaciĂłn del resorte tiene el mismo valor de la distancia desplazada por el bloque, es decir, đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;) y d. El valor de h se encuentra por trigonometrĂ­a: Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 â&#x201E;&#x17D; = (20 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;) đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 37Âş = 12.03 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; = 0.12 đ?&#x2018;&#x161; El valor de la fuerza normal se encuentra por DCL:

â&#x2C6;&#x2018;đ??šđ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛ = 0 (đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; ĂŠđ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2019;). đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 37Âş = 0 đ??żđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; : đ?&#x2018; = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 37Âş Sustituyendo ĂŠsos valores en la ecuaciĂłn de la conservaciĂłn de la energĂ­a, se tiene: 1 đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D; = đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;Ľ 2 Despejando Âľk: đ?&#x2018;&#x161; 1 đ?&#x2018; 2 1 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ 2 (2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D;) (9.8 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 ) (0.12đ?&#x2018;&#x161;) â&#x2C6;&#x2019; 2 (100 đ?&#x2018;&#x161;) (0.2đ?&#x2018;&#x161;) 2.352đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018; 0.352đ?&#x2018; 2 đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2DC; = = = = = 0.112 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ 3.131đ?&#x2018; 3.131đ?&#x2018; 0 (2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D;) (9.8 ) (0.2đ?&#x2018;&#x161;)(cos 37 ) đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2

Recuerde que el valor de Âľk es adimensional.

Ing. Edison VillacrĂŠs

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

1.

Secuencia 3 Actividad III Equilibrio Estático Dos pesas de 3 y 2 kg están unidas por una cuerda que pasa a través de una polea (ambas de masa despreciable). Tómese g=10 m/s2. Calcular a. La aceleración de los pesos b. La tensión de la cuerda.

2. Hallar, en el problema de la figura: a) La aceleración del sistema b) La tensión de la cuerda.

Tómese g=10 m/s2. Suponer que los cuerpos deslizan sin fricción. La polea tiene masa despreciable

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 3. Un bloque de 750 kg es empujado hacia arriba por una pista inclinada 15º respecto de la horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son 0.4 y 0.3 respectivamente. Determinar la fuerza necesaria, a) para iniciar la subida del bloque por la pista. b) para mantener el bloque en movimiento con velocidad constante, una vez que este se ha iniciado.

(Tómese g=9.8 m/s2)

4.

Una camioneta transporta un cajón de 20 kg. El cajón no está sujeto a la plataforma de carga, pero el coeficiente de rozamiento estático entre el cajón y la plataforma es de 0.7, y el coeficiente dinámico 0.65.

Estudiar la dinámica del cajón sobre la plataforma, determinando la fuerza de rozamiento entre el cajón y la plataforma y la aceleración del cajón, cuando la aceleración del camión tiene los siguientes valores. (Tomar g=10 m/s2) a) Está parado b) Lleva una aceleración de 3 m/s2. c) Lleva una aceleración de 7 m/s2. d) Lleva una aceleración de 8 m/s2. e) ¿Cuál es la máxima aceleración con que puede arrancar la camioneta en un semáforo sobre una calle horizontal, de forma que el cajón no deslice hacia atrás en la plataforma? f) Indíquese en los distintos casos la aceleración del cajón respecto del conductor del camión.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 5. Sobre un tablero inclinado un ángulo de 30º se colocan dos cuerpos A y B, de masa 4 y 3 kg, respectivamente. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano inclinado es 0.1, y entre el bloque B y dicho plano 0.2. a) ¿Cómo deslizarán los cuerpos, juntos o separados?. b) Hállese la aceleración de cada cuerpo y la reacción en la superficie de contacto entre ambos (si la hubiere). c) Tómese g=10 m/s2

6.

Determinar la aceleración de los bloques. El coeficiente de rozamiento entre las superficies en contacto es μ=0.2. La polea tiene masa despreciable. Tómese g=9.8 m/s2

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 7.

Un bloque de 4 kg asciende a lo largo de un plano inclinado 30º, al serle aplicada una fuerza F que hace 15º, tal como se indica en la figura. Sabiendo que el bloque, parte del reposo, en la base del plano inclinado, y alcanza una velocidad de 6 m/s después de recorrer 10 m a lo largo del plano.  Determinar el valor de la fuerza F. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado es 0.2, tómese g=9.8 m/s2

8.

Calcular la aceleración de los cuerpos m1, m2 y m3 de la figura

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 9.

Dos cuerpos A y B de masas 20 y 5 kg respectivamente, que están unidos mediante una cuerda de 1 m de longitud, deslizan a lo largo de un plano inclinado 30º respecto de la horizontal. Ambos cuerpos parten inicialmente del reposo, encontrándose el cuerpo B 5 m por encima de la horizontal. Sabiendo que los coeficientes de rozamiento dinámico entre los cuerpos A y B y el plano son 0.2 y 0.4 respectivamente, calcular: a) La aceleración de ambos cuerpos. b) La tensión de la cuerda. c) La velocidad con que cada cuerpo llega a la base del plano inclinado.

Tómese g=9.8 m/s2

10. Un científico explora una cueva. sigue un pasadizo de 210 m al oeste, luego desciende 4m, luego sigue 180m 45º al este del norte, luego 110m 60º al sur y tras un último desplazamiento retorna al origen. a) Determine la longitud del último trecho; b) Determine las componentes vectoriales del último trecho; c) ¿Cuál es el ángulo que forma con el plano horizontal?

R/a) 39.41m; b) Componente en x:-27.72m; componente en y: 28.02m c) 134.69º

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 11. El vector A posee un módulo de 2,80 cm, y está 60º sobre el eje x en el primer cuadrante. El vector B posee un módulo de 1.90 cm y está 60º abajo del eje x en el cuarto cuadrante. Obtenga las componentes vectoriales de: a) A + B; b) A – B R/ a) Componente en x: 0.45 cm; componente en y: 0.77 cm b) Componente en x: 2.35 cm; componente en y: 4.07 cm

12. Una mujer camina 4 km hacia el este y después camina 8 km hacia el norte. a) Aplique el método del polígono para hallar su desplazamiento resultante; b) Compruebe el resultado con el método del paralelogramo.

R/ 8.94 km, 63.4º

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 Secuencia 3 Actividad IV Equilibrio Estático 13. Un agrimensor inicia su tarea en la esquina sudeste de una parcela y registra los siguientes desplazamientos: A = 600 m, N; B = 400 m, O; C = 200 m, S; y D = 100 m; E. ¿Cuál es el desplazamiento neto desde el punto de partida? R/ 500 m, 126.9º

14. Dos fuerzas actúan sobre el automóvil ilustrado en la figura. La fuerza A es igual a 120 N, hacia el oeste, y la fuerza B es igual a 200 N a 60º NO. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre el automóvil? R/ 280 N, 38.2º NO.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 15. Un avión militar vuela horizontalmente con una rapidez de 120 m/s y accidentalmente suelta una bomba (por suerte, no armada) a una altitud de 2000m. Puede ignorarse la resistencia del aire. a) ¿Cuánto tiempo tarda la bomba en llegar a la tierra? b) ¿Qué distancia horizontal viaja mientras cae? c) Obtenga las componentes horizontal y vertical de su velocidad justo antes de tocar tierra.

R/ a) 20.2 s; b) 2424 m; c) Vx = 120 m/s, Vfy =197.96 m/s

16. Una pelota que rueda cae del borde de una mesa a 1.00 m sobre el suelo y toca el piso a 2.80 m horizontalmente desde el borde de la mesa. Puede ignorar la resistencia del aire. a) Calcule el tiempo de vuelo. b) Calcule la magnitud de la velocidad inicial. c) Calcule la magnitud y dirección de la velocidad de la bola justo antes de tocar el piso.

R/ a) 0.45 s; b) 6.2 m/s; Vf = 7.62 m/s, en un ángulo de 35.5º abajo de la horizontal.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 17. Un niño hace girar a una piedra en un círculo horizontal situado a 1.9 m sobre el suelo por medio de una cuerda de 1.4 m de longitud. La cuerda se rompe, y la piedra sale disparada horizontalmente, golpeando el suelo a 11 m de distancia. ¿Cuál fue la aceleración centrípeta de la piedra mientras estaba en movimiento circular? R/ 224.79 m/s2.

18. Dos esferas idénticas de masa m = 10 Kg, están colgadas con cuerdas de longitud L = 1.0 m de dos puntos separados una distancia 1/2 * L (véase la figura). Las esferas están unidas por una cuerda de longitud 1/4 * L. Calcule la tensión en cada una de las tres cuerdas. R/ T(1) = 98.9 N en las líneas largas; T(2) = 12.36 N en la línea corta.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 19. Un elevador y su carga tienen una masa combinada de 1600 Kg. Halle la tensión en el cable de sustentación cuando el elevador, que originalmente se mueve hacia abajo a razón de 12 m/s, es traído al reposo con aceleración constante en una distancia de 42 m. R/ T = 18400 N.

20. Un bloque de masa m = 2 Kg se mueve a lo largo de una superficie horizontal bajo la influencia de las fuerzas que se muestran en la figura. Asumiendo que el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es de 0.20, a) Determine la normal sobre el bloque por la superficie; b) Determine la magnitud de la fricción actuando sobre el bloque; c) Encuentre la aceleración del bloque.

R/ a) 24 N; b) 4.8 N; c) 3.6 m/s2.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 21. Una lancha tira de un esquiador por medio de una cuerda horizontal. El deportista esquía hacia un lado, hasta que la cuerda forma un ángulo con la dirección opuesta del movimiento de θ = 15º y luego sigue en línea recta. La tensión en la cuerda es de 160 N, ¿Cuánto trabajo realiza la cuerda sobre el esquiador durante 250 m? R/ 38640 J.

22. Un trineo de 9 Kg se mueve en línea recta sobre una superficie horizontal sin fricción. En cierto punto, su rapidez es de 4 m/s; 3 m más adelante es de 6 m/s. Calcule la fuerza que actúa sobre el trineo, suponiendo que es constante y que actúa en dirección del movimiento, primero por Leyes de Newton y cinemática, luego aplicando el teorema del trabajo y energía. R/ 30 N.

Ing. Edison Villacrés

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Colegio de Estudios CientĂ­ficos y TecnolĂłgicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11 23. La figura siguiente muestra dos masas que estĂĄn conectadas entre sĂ­ por medio de una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricciĂłn y sin masa. La masa de đ?&#x2018;&#x161;(1) se suelta desde el reposo. Utilizando la ley de conservaciĂłn de la energĂ­a: a) Determine la velocidad de la masa de đ?&#x2018;&#x161;(2) cuando la masa de đ?&#x2018;&#x161;(1) golpea el suelo; b) Encuentre la altura mĂĄxima a la cual sube la masa đ?&#x2018;&#x161;(2).

R/ a) 8.87 m/s; b) 1.25 m.

24. Un bloque de 5 Kg se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado con una velocidad inicial de 8 m/s. El bloque se detiene despuĂŠs de recorrer 3 m a lo largo del plano, el cual estĂĄ inclinado a un ĂĄngulo de 30Âş con la horizontal. Determine: a) El cambio de energĂ­a cinĂŠtica del bloque; b) El cambio de su energĂ­a potencial; c) El coeficiente de fricciĂłn cinĂŠtica.

R/ a) - 160 J; b) 73.5 J; c) 0.59.

Ing. Edison VillacrĂŠs

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