Cuaderno de Trabajo de Geometría y Trigonometría

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría

Geometría y Trigonometría Cuaderno de Trabajo Nombre: _________________________ El cuernillo de trabajo es una estrategia de aprendizaje para facilitarle al alumno el trabajo por medio de un cuaderno que ya tenga todos los ejercicios que se llevaran durante el desarrollo de la materia. Bienvenidos jóvenes al fascinante mundo de las matemáticas.

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2013

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a Primer Parcial Secuencia 1 Actividad I Prueba de DiagnĂłstico Nombre: ______________________________

Grupo: ___________

Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas. 1. SegĂşn tu propia percepciĂłn, escribe la definiciĂłn de GeometrĂ­a: ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 2. ÂżquĂŠ es un punto? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 3. La recta, es una lĂ­nea que tiene todos sus puntos en una misma direcciĂłn, cuando los puntos no siguen una misma direcciĂłn la lĂ­nea puede ser: curva, quebrada o mixta, segĂşn tu percepciĂłn, clasifica las siguientes lĂ­neas:  Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ _______________ Ě…Ě…Ě…Ě… _______________  đ??śđ??ˇ  Ě…Ě…Ě…Ě… đ??¸đ??š _______________ Ě…Ě…Ě…Ě… _______________  đ??şđ??ť 4. ÂżQuĂŠ entiendes por superficie? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 5. Cuando dos rectas se cortan entre sĂ­ forman ĂĄngulos, cuando decimos que dos rectas son perpendiculares, Âżen quĂŠ nos basamos para afirmar esta aseveraciĂłn? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 6. Escribe el significado de hipĂłtesis: ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 7. ÂżCuĂĄles son las rectas paralelas? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 8. El teorema de PitĂĄgoras de Sarrios enuncia la relaciĂłn que existe entre la hipotenusa y los lados de un triĂĄngulo rectĂĄngulo, escribe como se enuncia esta relaciĂłn: ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 9. ÂżQuĂŠ es un segmento? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 10. En los Juegos OlĂ­mpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ÂżCĂłmo crees tĂş que influye el ĂĄngulo en el que el competidor lanza el objeto? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 2

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Puntos y Rectas Puntos

Un punto no tiene dimensiones. Sirve para indicar una posición. Se nombran con letras mayúsculas. Rectas

Una recta tiene una dimensión, longitud; se designan mediante dos de sus puntos o mediante una letra minúscula. Dos puntos determinan una recta.

Dos rectas que se cortan determinan un punto.

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios, según se recorra la recta de izquierda a derecha o de derecha izquierda. Semirrectas

Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos. 3

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Planos

Un plano posee dos dimensiones: longitud y anchura. Se nombran mediante letras griegas: α (alfa), β (beta)... Dos planos que se cortan determinan una recta . Un plano viene determinado por: 

Tres puntos no alineados.

Dos Rectas que se Cortan.

Dos Rectas Paralelas.

Por u n Punto y u na Recta.

Semiplanos

Un semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas. 4

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Posiciones Relativas de Rectas en un Plano Rectas Paralelas.- Son las que estando en el mismo plano, no son secantes.

Rectas Secantes.-Son las que se cortan en un único punto, llamado punto de intersección.

Rectas Coincidentes.-Son aquellas en las que todos sus puntos se superponen. Rectas Perpendiculares.- Son dos rectas secantes que dividen un plano en cuatro partes iguales.

Segmentos Definición de Segmento.- Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.

Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula. Tipos de Segmentos 

Segmento Nulo.- Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.

Segmentos Concatenados.- Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo en c o m ú n .

Segmentos Consecutivos.- Dos segmentos son consecutivos cuando además de tener un extremo en común pertenecen a la misma recta. 5

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Mediatriz de un Segmento.- La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular a él.

Operaciones con Segmentos 

Suma de Segmentos.- La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer segmento y como final el final del segundo segmento

La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman. 

Resta de Segmentos.- La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del segmento menor y por final el final del segmento mayor.

La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos. 

Producto de un Número por un Segmento.- El producto de un número con un segmento es otro segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica

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La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial. 

División de un Segmento por un Número.- La división de un segmento por un número es otro segmento tal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento original

La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número. 

División de un Segmento en Partes.- Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

1.

Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Secuencia 1 Actividad II 1. Observen la figura y respondan lo que se les pide: a. Determina tres segmentos_______________________________ b. Determina cinco puntos _________________________________ c. Determina una figura plana_______________________________ d. Determina dos Segmentos Paralelos ________________________ e. Determina dos segmentos perpendiculares____________________ f. Determina un ángulo ___________________________________.

2. Relaciona las definiciones de la derecha con el número correspondiente al enunciado de la izquierda. a. b. c. d.

e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o.

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Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son iguales. Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta y solo una. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo valen un ángulo recto. Llámese así a toda proposición que puede ser demostrada mediante un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad. Elemento geométrico elemental que no tiene partes, solo posición. A un conjunto de puntos continuos, en una misma dirección le llamamos. Límite que separa los cuerpos del espacio que los rodea y que tiene dos dimensiones (largo y ancho). Fin y término del procedimiento deductivo, que establece absolutamente convincente una verdad. Se le llama así al conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos señalados en una recta. ¿Nombre que reciben las rectas de un plano, cuando al prolongarse no tienen ningún punto en común? Son dos rectas que se intersecan en un punto formando un ángulo de 90°. Es un par de rectas que se cortan entre sí formando un par de ángulos más grandes que otro par. Tienen su sentido definido de arriba hacia abajo o de abajo hacia arriba. Es la línea imaginaria que se traza respecto al horizonte al atardecer. Etimológicamente su nombre alude a las raíces griegas que significan "medir la Tierra".

(

) Geometría

(

) Axioma

(

) Vertical

(

) Corolario

(

) Superficie

(

) Paralelas

(

) Punto

(

) Teorema

(

) Demostración

(

) Perpendiculares

(

) Horizontal

(

) Segmento

(

) Oblicuas

(

) Línea recta

(

) Postulado

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 3. Completen los enunciados a las preguntas siguientes: a. Para que un segmento se transforme en una semirrecta, es necesario que:__________________ b. Para que un segmento se transforme en recta se necesita que:___________________________ c. Si tuvieran dos rectas diferentes, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?___________________ d. Si fueran paralelas, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?_____________________________ e. Si fueran perpendiculares ¿en cuántos puntos podrían coincidir?_________________________ f. ¿Qué ángulos se forman al cortarse dos rectas perpendicularmente? ______________________ g. Si se sabe que no tiene dimensiones, sino sólo posición, se habla de: _______________________ h. Si se sabe que sólo tiene una dimensión, se habla de:__________________________________ i. ¿Qué entienden por semiplano? _________________________________________________ 4. De acuerdo a la posición que guardan las siguientes rectas escribe de cual se trata. A con B

_______________

F con C

_______________

F con A

_______________

E con B

_______________

E con D

_______________

D con B

_______________

A con D

_______________

A con E

_______________

B con F

_______________

D con F

_______________

5. Con base en las figuras, escriban lo que se pide en cada caso:

a.

Dos parejas de segmentos perpendiculares

b. Una pareja de segmentos paralelos

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c.

Una pareja de segmentos paralelos

d. Una pareja de segmentos perpendiculares

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e.

Dos parejas de segmentos paralelos

f.

Tres puntos

g.

Cuatro puntos

6. Tracen lo que se pide en cada caso: a. Dos rectas paralelas

b. Un punto P

c.

Un plano

d. Dos rectas perpendiculares

e.

Una semirrecta

f.

Un segmento AB

g.

Una recta m

h. Un segmento RS de 3 cm

i.

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Un sólido geométrico

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría j.

Una recta horizontal

k.

Es una parte del plano limitada por una recta

l.

Es la porción de recta limitada por dos puntos

m. Es la recta perpendicular al horizonte

7. Resuelvan los problemas siguientes: a. Tracen un polígono que tenga cinco segmentos

b. Tracen un plano y en él tres puntos no colineales

c.

Representen la intersección de dos planos

d. Señalen dos puntos y tracen todas las rectas que los unan

8. Completen cada enunciado a. Son dos rectas que al cortarse forman ángulos de 90°

b. son dos rectas que al prolongarse se cortan en un punto

9. Realicen lo que se pide en cada caso: a. Dibujen algo que esté formado por planos.

b. Dibujen algo que esté formado por rectas paralelas.

c.

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Dibujen algo que contenga al menos tres parejas de segmentos perpendiculares.

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 10. Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas son perpendiculares, ¿en qué nos basamos para hacer esta aseveración?

11. Escribe el significado de hipótesis

12. ¿Cuáles son las rectas paralelas?

13. El Teorema de Pitágoras de Samos enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de un triángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación:

14. ¿Qué es un segmento?

15. En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees tú que influye el ángulo en el que el competidor lanza dicho objeto?

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a Ă ngulos Un ĂĄngulo es la regiĂłn del plano comprendida entre dos semirrectas con origen comĂşn. A las semirrectas se las llama lados y al origen comĂşn vĂŠrtice.

MediciĂłn de ĂĄngulos Para m e d i r ĂĄ n g u l o s utilizamos el g r a d o s e x a g e s i m a l ( ° ) Grado sexagesimal es la amplitud del ĂĄngulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. 1đ?‘œ = 60′ = 3600′′ 1′ = 60′′ RadiĂĄn. - RadiĂĄn (rad) es la medida del ĂĄngulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.

1 đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ = 57đ?‘œ 17′ 44.8′′ 360đ?‘œ = 2đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ Operaciones con ĂĄngulos Suma de Ă ngulos a. GrĂĄfica La s u m a de dos ĂĄ n g u l o s es otro ĂĄ n g u l o cuya a m p l i t u d e s l a s u m a d e l a s a m p l i t u d e s d e los dos ĂĄngulos iniciales.

b. NumĂŠrica 1.

Para s u m a r å n g u l o s se colocan los g r a d o s debajo de los g r a d o s , los m i n u t o s debajo de los m i n u t o s y los s e g u n d o s debajo de los s e g u n d o s ; y s e s u m a n . 320 24′ 48′′ +

430 49′ 25′′ 750 73′ 73′′

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a 2. Si los s e g u n d o s s u m a n m ĂĄ s d e 6 0 , se d i v i d e dicho nĂşmero e n t r e 6 0 ; el r e s t o serĂĄn los s e g u n d o s y el c o c i e n t e se aĂąadirĂĄn a los m i n u t o s . 73′′ 60 13′′ 1′ 0 ′ 75 74 13′′ 3. Se hace lo mismo para los minutos. 60 14 1đ?‘œ 0 ′ 76 14 13′′ 74′ ′

Resta de Ă ngulos a. GrĂĄfica La r e s t a de dos ĂĄ n g u l o s es otro ĂĄ n g u l o cuya amplitud es l a d i f e r e n c i a e n t r e l a a m p l i t u d del ĂĄngulo mayor y la del ĂĄngulo menor.

b. NumĂŠrica 1.

Para r e s t a r å n g u l o s se colocan los g r a d o s debajo de los g r a d o s , los m i n u t o s debajo de los m i n u t o s y los s e g u n d o s debajo de los s e g u n d o s . 520 23′ 78′′ -

430 49′ 25′′

2. Se r e s t a n l o s s e g u n d o s . Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos. 520 23′ 78′′ -

430 49′ 25′′ 53′′

3. Hacemos lo mismo con los minutos. 520 23′ 78′′ -

430 49′ 25′′ 08đ?‘œ 33′ 53′′

MultiplicaciĂłn de Ă ngulos a. GrĂĄfica La multiplicaciĂłn de un nĂşmero por un ĂĄngulo es otro ĂĄngulo cuya amplitud es la suma de tantos ĂĄngulos iguales al dado como indique el nĂşmero.

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a b. NumĂŠrica 1.

Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número. 320 23′ 49′′ *

5 đ?‘œ

′

160 115 245′′ 2. Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serån los segundos y el cociente se aùadirån a los minutos. 60 4′

245′′ ′′

5 1600 119′ 5′′ 3. Se hace lo mismo para los minutos. 119′′ ′′

59 1610 59′ 5′′

60 1′

DivisiĂłn de ĂĄngulos a. GrĂĄfica La divisiĂłn de un ĂĄngulo por un n Ăş m e r o es hallar otro ĂĄ n g u l o tal que multiplicado por ese nĂşmero da como resultado el ĂĄ n g u l o original.

/4 = b. NumĂŠrica Dividir 37Âş 48' 25'' entre 5 1.

Se dividen los grados entre el nĂşmero. 37đ?‘œ 2

5 7đ?‘œ

2. El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos. 37đ?‘œ 5 7đ?‘œ 2 ′ 2 ∗ 60 = 120 3. Se aĂąaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos. 48 + 120′ = 168đ?‘œ 168đ?‘œ 5 18 3

33′ 3 ∗ 60 = 180′′

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a 4. Se aĂąaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos. 25 + 180′ = 205đ?‘œ 205′′ 5 5 0

41′ 7đ?‘œ 33′ 41′′

Tipos de ångulos Clasificación de ångulos según su medida Agudo < 90°

Recto = 90°

Obtuso>90°

Convexo < 180°

Llano = 180°

Cóncavo > 180°

Nulo = 0Âş

Completo = 360°

Negativo < 0Âş

Mayor de 360°

Tipos de Ă ngulos SegĂşn su PosiciĂłn a. Ă ngulos Consecutivos

Ă ngulos consecutivos son aquellos que tienen el vĂŠrtice y un lado comĂşn. 16

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría b. Ángulos Adyacentes

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un Ángulo Llano. a. Ángulos Opuestos por el Vértice

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales. Clases de Ángulos según su Suma a. Ángulos Complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90°. b. Ángulos Suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. Ángulos entre Paralelas y una Recta Transversal a. Ángulos Correspondientes

Los ángulos 1 y 2 son iguales. 17

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría b. Ángulos Alternos Internos

Los ángulos 2 y 3 son iguales. c. Ángulos Alternos Externos

Los ángulos 1 y 4 son iguales. Ángulos en la Circunferencia a. Ángulo Central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un a r c o es la de su á n g u l o c e n t r a l correspondiente. b. Ángulo Inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. Mide la m i t a d d e l a r c o que abarca.

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría c. Ángulo Semiinscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca.

d. Ángulo Interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la m i t a d d e l a s u m a de las medidas de los a r c o s que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

e. Ángulo Exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o s e c a n t e s a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los a r c o s que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

f. Ángulos de un polígono regular

g. Ángulo central de un polígono regular Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360°: n Ángulo central del pentágono regular= 3 6 0 ° : 5 = 7 2 º 19

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría h. Ángulo interior de un polígono regular Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior =180° − Ángulo central. Ángulo interior del pentágono regular = 1 8 0 ° − 7 2 º = 1 0 8 º i.

Ángulo exterior de un polígono regular Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

j.

Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono regular = 7 2 º Bisectriz

Definición de bisectriz La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.

Trazar la bisectriz 1.

Se traza un arco correspondiente al ángulo

2. Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos que han de cortarse en un punto. 3. La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.

Otra forma de dibujar la bisectriz de un ángulo 1.

Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.

2. Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio. 3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la bisectriz.

Incentro

El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo. El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. 20

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1.

2.

Secuencia 1 Actividad III Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas: Mide con un trasportador las siguientes figuras e indica con tres letras los ángulos: adyacentes, consecutivos, opuestos por el vértice, rectos, agudos, y obtusos.

Contesta brevemente lo que se te pide. a. ¿Cómo se designan (nombran) los ángulos?

b. ¿Qué tipos de ángulos conoces?

c.

¿Qué es un ángulo?

d. ¿Cuánto mide un Ángulo Recto?

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 3.

Halla el Conjugado de los siguientes Ángulos Ángulo Conjugado

Gráfica

300º

20º

150º

359º

180º

4.

En las siguientes figuras encuentra el valor de “X”

22

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Calcula el valor de los siguientes ángulos. ÁNGULOS

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SOLUCIÓN

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a En la siguiente figura

= 110đ?‘œ đ?‘Ś = 53đ?‘œ obtĂŠn los valores de los ĂĄngulos b, c, d y e, tambiĂŠn demostrar que b + d + e = 180đ?‘œ Ă NGULOS SOLUCIĂ“N

6.

7.

Realiza las conversiones de grados a radianes o radianes a grados, segĂşn lo que se pide Grados a Radianes Radianes a Grados  78đ?‘‚  5 đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘



175đ?‘‚



64� 27′ 35′′



143� 56′ 19′′



245đ?‘‚

24



3đ?œ‹



12 đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘



3.5 đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘



đ?œ‹

5

7

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘

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Escribe el nombre correspondiente a los ĂĄngulos seĂąalados, segĂşn su posiciĂłn de sus lados

9.

Identifica los ĂĄngulos y completen correctamente lo que sigue:

10. Complete cada enunciado:

a.

Ă ngulo equivalente a dos rectas

b. Si mide 78đ?‘œ , entonces es un Ă ngulo c.

Si el Angulo đ?›˝ = 200đ?‘œ es un Ă ngulo

d. Si đ??šĚ‚ = 106đ?‘œ es un Ă ngulo e.

11.

ÂżQuĂŠ sucede si đ?›źĚ‚ = 400đ?‘œ ?

Realice lo que se pide, para lo cual usen la figura. a.

Nombren tres ĂĄngulos rectos

b. Nombren cinco ĂĄngulos agudos c.

Nombren cuatro ĂĄngulos obtusos

d. Nombren tres ĂĄngulos llanos e. 25

Nombren dos ĂĄngulos convexos Ing. Edison VillacrĂŠs

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a 12. Resuelvan los problemas siguientes:

a.

Si se tiene un ĂĄngulo recto y se coloca un tercer lado para formar un triĂĄngulo, ÂżquĂŠ clase de ĂĄngulos serĂĄn los otros dos?

b. En un reloj de manecillas, si se toma a la aguja pequeĂąa como lado inicial y a la aguja grande como lado final, ÂżquĂŠ ĂĄngulo se forma a las 10:30, 3:05, 12:00? Nombren tres horas diferentes donde se formen ĂĄngulos rectos.

13. De Acuerdo con las figuras, determinar la medida de los ĂĄngulos:

�=

đ?›˝=

đ?‘ƒ = 4đ?‘‹ + 5 đ?‘„=đ?‘‹ đ?‘… =đ?‘‹âˆ’5

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𝐴= 𝐵= 𝐶=

𝑎 = 55𝑜 𝑏 𝑐 = 53𝑜 𝑑=

𝑎+

b=

∆𝐴𝐵𝐶 Es rectángulo ̅​̅​̅​̅ 𝐴𝐵 = ̅​̅​̅​̅ 𝐵𝐷 Α= Β= ϒ= ϴ= 𝐶𝐷𝐵 =

a= b= c= 𝑎+

27

b+

c=

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đ??´đ??ľđ??ś = 40đ?‘‚ đ??ľđ??śđ??´ = đ??śđ??´đ??ľ = 120đ?‘‚ đ??ˇđ??´đ??ś =

1= 65đ?‘‚ 2= 3= 4= 5= 6= 7= 14. De acuerdo con la figura, completen correctamente y justifiquen:

a.

ÂżCĂłmo son entre sĂ­ los ĂĄngulos a y Îą?

b. ¿Cómo son entre sí los ångulos b y β? c.

đ?‘Ž+Ď’+

d.

Îą+

đ?‘?+

Ď’=

e.

Îą+

β+

Ď’ = _______ y

28

b=

a+

đ?‘? + Ď’ = _______ ÂżQuĂŠ puede concluir? Ing. Edison VillacrĂŠs

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a

15. Calcule la medida de los ĂĄngulos indicados:

Îą=

e=

β=

f=

Ď’= a= đ?‘?= c= d=

1 = 500 2= 3= 4=

16. Completar correctamente:

a.

El Complemento de 65đ?‘‚

b. El Complemento de 72đ?‘‚ c.

El Complemento 30đ?‘‚ 30đ?‘‚

d. El Suplemento de 130� 45′ e.

El Suplemento de 89đ?‘‚

f.

El Suplemento de 45đ?‘‚ 45đ?‘‚

29

Ing. Edison VillacrĂŠs

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Polígonos Definición.-Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos. Elementos de un polígono

Lados.-Son los segmentos que lo limitan. Vértices.-Son los puntos donde concurren dos lados. Ángulos interiores de un polígono.- Son los determinados por dos lados consecutivos. Suma de ángulos interiores de un polígono.-Si n es el número de lados de un polígono: La suma de los ángulos de un polígono = (n − 2) · 180° Diagonal.- Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos Número de diagonales de un polígono.- Si n es el número de lados de un polígono: El Número de diagonales = n · (n − 3) : 2 4 · (4 − 3) : 2 = 2

5 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9

30

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Tipos de polígonos Según sus lados

31

Triángulos

Cuadriláteros

Pentágonos

Tienen 3 lados

Tienen 4 lados

Tienen 5 lados

Hexágonos

Heptágonos

Octágonos

Tienen 6 lados

Tienen 7 lados

Tienen 8 lados

Eneágono

Decágono

Endecágono

Tiene los 9 lados

Tiene 10 lados.

Tiene 11 lados

Dodecágono

Tridecágono

Tetradecágono

Tiene 12 lados

Tienen 13 lados

Tiene 14 lados. Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Pentadecágono

Hexadecágono

Heptadecágono

Tiene 15 lados

Tiene 16 lados

Tiene 17 lados

Octadecágono

Eneadecágono

Icoságono

Tiene 18 lado

Tienen 19 lados

Tiene 20 lados

Según sus ángulos Convexos

Todos sus ángulos menores que 180°. Todas sus diagonales son interiores. Cóncavos

Si un ángulo mide más de 180°. Si una de sus diagonales es exterior. 32

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Elementos de un Polígono Regular Polígonos Regulares.- Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales. Elementos de un polígono regular

Centro.- Punto interior que equidista de cada vértice Radio.- Es el segmento que va del centro a cada vértice. Apotema.- Distancia del centro al punto medio de un lado. Ángulos de un polígono regular Clases de ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular.- Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360°: n. Ángulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72º Ángulo interior de un polígono regular Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior=180° − Ángulo central, Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º Ángulo exterior de un polígono regular Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º. Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

33

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Clasificación de Polígonos Regulares Triángulo Equilátero

Cuadrado

Pentágono Regular

Tiene los 3 lados y ángulos

Tiene 4 lados y ángulos iguales

Tiene 5 lados y ángulos iguales

Hexágono Regular

Heptágono Regular

Octágono Regular

Tiene 6 lados y ángulos iguales

Tienen 7 lados y ángulos iguales

Tiene 8 lados y ángulos iguales.

Eneágono Regular

Decágono regular

Endecágono Regular

Tiene los 9 lados y ángulos

Tiene 10 lados y ángulos iguales.

Tiene 11 lados y ángulos iguales

Dodecágono regular

Tridecágono Regular

Tetradecágono Regular

Tiene 12 lados y ángulos iguales.

Tienen 13 lados y ángulos iguales

Tiene 14 lados y ángulos iguales.

Pentadecágono Regular

Hexadecágono Regular

Heptadecágono Regular

Tiene 15 lados y ángulos iguales.

Tiene 16 lados y ángulos iguales

Tiene 17 lados y ángulos iguales.

iguales

iguales

34

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Octadecágono Regular

Eneadecágono Regular

Icoságono Regular

Tiene 18 lados y ángulos iguales.

Tienen 19 lados y ángulos iguales

Tiene 20 lados y ángulos iguales

Polígono Inscrito Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella. Circunferencia Circunscrita

Es la que toca a cada vértice del polígono. Su centro equidista de todos los vértices. Su radio es el radio del polígono. Circunferencia Inscrita

Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado. Su centro equidista de todos los lados. Su radio es la a p o t e m a del polígono. Tipos de triángulos Un triángulo es un polígono con tres lados. Propiedades de los triángulos 1.

Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. 3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. 35

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Según sus Lados Triángulo Equilátero

Triángulo Isósceles

Triángulo Escaleno

Tres lados iguales

Dos lados iguales

Tres lados desiguales

Triángulo Rectángulo

Triángulo Obtusángulo

Según sus Ángulos Triángulo Acutángulo

Tres ángulos agudos

Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores

Un ángulo obtuso.

son los catetos Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un Triángulo Alturas de un triángulo Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas. Medianas de un Triángulo Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Baricentro.- Es el punto de corte de las tres medianas

36

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto. BG = 2GA Mediatrices de un Triángulo Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. Circuncentro

Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo. Bisectrices de un Triángulo Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Incentro

Es el punto de corte de las tres bisectrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. Recta de Euler

Cuadriláteros Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°. Clasificación de Cuadriláteros Paralelogramos Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en: 37

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Tiene los 4 lados iguales y los 4

Tiene lados iguales dos a dos y los

Tiene los cuatro lados iguales

ángulos rectos

4 ángulos rectos

Romboide

Tiene lados iguales dos a dos Trapecios Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en: Trapecio Rectángulo

Trapecio Isósceles

Trapecio Escaleno

Tiene un ángulo recto

Tiene dos lados no paralelos

No tiene ningún lado igual ni

iguales

ángulo recto

Trapezoides

Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo

38

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Circunferencia

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. Centro de la Circunferencia.- Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia. Radio de la Circunferencia.- Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Elementos de la circunferencia Cuerda

Diámetro

Segmento que uneñ. dos puntos

Cuerda que pasa por el centro

de la circunferencia

Arco

Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita

Semicircunferencia

Círculo

Cada uno de los arcos iguales que

Es la figura plana comprendida en

abarca un diámetro.

el interior de una circunferencia

Elementos de un círculo Segmento circular

Semicírculo

Zona circular

Porción de círculo limitada por

Porción del círculo limitada por un

Porción de círculo limitada por

una

diámetro y el arco correspondiente.

dos cuerdas.

cuerda

correspondiente 39

y

el

arco

Equivale a la mitad del círculo. Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Sector circular

Corona circular

Trapecio circular

Porción de círculo limitada por

Porción de círculo limitada por dos

Porción de círculo limitada por

dos radios

círculos concéntricos.

dos

radios

y

una

corona

circular. Posiciones relativas de Circunferencias.- Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia Interior

Punto sobre la circunferencia.

Punto exterior a la circunferencia

Su distancia al centro es

Su distancia al centro es mayor que el

menor que el radio.

radio

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia Recta Secante

Recta Tangente

Recta Exterior

La recta corta a la circunferencia

La recta corta a la circunferencia

No tiene ningún punto de corte

en dos puntos

en un punto

con la circunferencia

Posiciones relativas de dos circunferencias.- Ningún punto en común Exteriores

Interiores

La distancia entre los centros es

La distancia entre los centros es

mayor que la suma de las radios.

Concéntricas

Los centros coinciden.

menor que la diferencia de los radios.

40

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Un punto común Tangentes Exteriores

Tangentes Interiores

La distancia entre los centros es

La distancia entre los centros es

igual a la suma de los radios.

igual a la diferencia de los radios.

Dos puntos en común Secantes

La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios. Ángulos en la Circunferencia Ángulo central

Ángulo Inscrito

Ángulo Semiinscrito

El ángulo central tiene su vértice

El ángulo inscrito tiene su vértice

El vértice de ángulo semiinscrito

en el centro de la circunferencia y

está en la circunferencia y sus

está en la circunferencia, un lado

sus lados son dos radios.

lados son secantes a ella.

secante y el otro tangente a ella.

La medida de un arco es la de su

Mide la mitad del arco que

Mide

ángulo central correspondiente.

abarca.

abarca.

Ángulo Interior

la

mitad

del

arco

que

Ángulo Exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

41

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

Áreas Longitud de una circunferencia

Longitud de un arco de

Área de un círculo

circunferencia

Área de un sector circular

Área de una corona circular

Área de un trapecio circular

Es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.

Es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor.

42

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Área de un segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB Lúnula de Hipócrates Construcción de una lúnula de Hipócrates

Partimos de un triángulo isósceles rectángulo.

Con centro en O se traza el arco AB.

Con centro en M, que es el punto medio de la hipotenusa, se traza el otro arco. La parte enmarcada por el color verde se llama lúnula de Hipócrates.

43

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Secuencia 1 Actividad IV Circunferencia y círculo. Ejercicios 1.

La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

2. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente? 1 milla = 1 852 m

3. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

44

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 4. El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

5. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

6. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

45

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 7. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

8. la superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

9. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.

46

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 10. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

11. Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.

12. Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.

47

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 13. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

14. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del círculo mide 3 cm.

15. En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.

48

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Triángulos Definición de triángulo Un triángulo es un polígono de tres lados. Propiedades de los triángulos

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. 3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Clasificación de triángulos Según sus lados Triángulo Equilátero

Triángulo Isósceles

Triángulo Escaleno

Tres lados Iguales

Dos lados iguales.

Tres lados desiguales

Según sus Ángulos Triángulo Acutángulo

Triángulo Rectángulo

Tres ángulos agudos

Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso

son los catetos Elementos notables de un triángulo Alturas de un triángulo Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas Ortocentro.- Es el punto de corte de las tres alturas

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Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Medianas de un triángulo.- Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Baricentro.-Es el punto de corte de las tres medianas

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto. BG = 2GA Mediatrices de un triángulo.- Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. Circuncentro.- Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un Triángulo.- Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. Recta de Euler

50

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler. Teorema del cateto En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. a

hipotenusa

byc

catetos

m

proyección del cateto b sobre la hipotenusa

n

proyección del cateto c sobre la hipotenusa

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.

Teorema de la altura En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

51

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras 1.

Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

2.

Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

52

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría

3.

Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores. Determinar si el triángulo es rectángulo.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras Diagonal del cuadrado

Diagonal del rectángulo

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Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría

Aplicaciones del teorema de Pitágoras I Lado oblicuo del trapecio rectángulo

Altura del trapecio isósceles

Altura del triángulo equilátero

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Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría

Aplicaciones del teorema de Pitágoras II Apotema de un polígono regular

Apotema del Hexágono Inscrito

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Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría

Aplicaciones del teorema de Pitágoras III Lado de un triángulo equilátero inscrito

Lado de un Cuadrado Inscrito

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Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría Secuencia 1 Actividad V Aplicaciones del teorema de Pitágoras. Ejercicios 1.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular: a.

Los catetos.

b. La altura relativa a la hipotenusa. c.

El área del triángulo.

2. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa del mismo √24 cm.

3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

57

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 4. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

5. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

6. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.

7. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

58

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 8. El p e r í m e t r o de un t r a p e c i o isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

9. A un h e x á g o n o regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

10. En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

11. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

59

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 12. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del s e g m e n t o c i r c u l a r comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

13. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

14. Calcular el área de la c o r o n a c i r c u l a r determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

15. Si los lados no paralelos de un t r a p e c i o isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.

60

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 16. El área de un c u a d r a d o es 2304 cm². Calcular el área del h e x á g o n o regular que tiene su mismo perímetro.

17. En una c i r c u n f e r e n c i a de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

61

Ing. Edison Villacrés

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a TrigonometrĂ­a Medida de ĂĄngulos.- Es la regiĂłn del plano comprendida entre dos semirrectas con origen comĂşn. A las semirrectas se las llama lados y al origen comĂşn vĂŠrtice.

El ĂĄngulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario. Para medir ĂĄngulos se utilizan las siguientes unidades: 1. Grado sexagesimal (°).- Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ĂĄngulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ĂĄngulo de un grado (1°) sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos (''). 2. RadiĂĄn (rad).- Es la medida de un ĂĄngulo cuyo arco mide un radio. 2 đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ = 360° đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ = 180° Ejemplos đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ??¨ → đ?’“đ?’‚đ?’… 180đ?‘œ = đ?‘œ 30 đ?œ‹âˆ—30đ?‘œ đ?œ‡ = 180đ?‘œ đ?œ‹ đ?œ‡ = 6 đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?œ‹ đ?œ‡

đ??… đ?’“đ?’‚đ?’…

đ?œ‹ đ?œ‹ 3

→ đ?? đ??Ťđ??šđ???đ??¨đ??Ź

=

đ?œ‡= đ?œ‡=

180đ?‘œ đ?œ‡ đ?œ‹ 3

180đ?‘œ ∗

đ?œ‹ 180đ?‘œ đ?œ‹ 3đ?œ‹ đ?‘œ

đ?œ‡ = 60 Razones TrigonomĂŠtricas

Seno

Seno del ĂĄngulo B: es la razĂłn entre el cateto opuesto al ĂĄngulo y la hipotenusa. Se denota por sin đ??ľ.

Coseno Coseno del ĂĄngulo B: es la razĂłn entre el cateto contiguo al ĂĄngulo y la hipotenusa. Se denota por cos đ??ľ.

62

Ing. Edison VillacrĂŠs

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a

Tangente Tangente del ĂĄngulo B: es la razĂłn entre el cateto opuesto al ĂĄngulo y el cateto contiguo al ĂĄngulo. Se denota por tan đ??ľ

Cosecante Cosecante del ĂĄngulo B: es la razĂłn inversa del seno de B. Se denota por đ??œđ??Źđ??œ đ?‘Š.

Secante Secante del ĂĄngulo B: es la razĂłn inversa del coseno de B. Se denota por đ??Źđ??žđ??œ đ?‘Š.

Cotangente Cotangente del ĂĄngulo B: es la razĂłn inversa de la tangente de B. Se denota por đ??œđ??¨đ??­ đ?‘Š.

Razones TrigonomĂŠtricas de Cualquier Ă ngulo Se llama circunferencia gonio mĂŠtrica a aquĂŠlla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia gonio mĂŠtrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. QOP y TOS son triĂĄngulos semejantes. QOP y T'OS′ son triĂĄngulos semejantes. El seno es la ordenada. El coseno es la abscisa. −1 ≤ sin âˆ? ≤ 1 −1 ≤ cos âˆ? ≤ 1

đ?‘ƒđ?‘„

sin âˆ? = đ?‘‚đ?‘ƒ =

đ?‘ƒđ?‘„ đ?‘&#x;

= đ?‘ƒđ?‘„

đ?‘‚đ?‘„ = đ?‘‚đ?‘„ đ?‘‚đ?‘ƒ đ?‘ƒđ?‘„ đ?‘†đ?‘‡ đ?‘†đ?‘‡ = đ?‘‚đ?‘‡ = đ?‘&#x; đ?‘‚đ?‘„

cos � = tan � =

63

= ��

đ?‘‚đ?‘ƒ

��′

đ?‘‚đ?‘†â€˛ = đ?‘‚đ?‘†â€˛ đ?‘&#x; đ?‘‚đ?‘ƒ đ?‘‚đ?‘† đ?‘‚đ?‘† sec âˆ? = = = = đ?‘‚đ?‘†â€˛ đ?‘‚đ?‘„ đ?‘‚đ?‘‡ đ?‘&#x; đ?‘‚đ?‘„ đ?‘†đ?‘‡â€˛ đ?‘†đ?‘‡â€˛ cot âˆ? = đ?‘ƒđ?‘„ = đ?‘‚đ?‘‡â€˛ = đ?‘&#x; = đ?‘†đ?‘‡â€˛

csc âˆ? = đ?‘ƒđ?‘„ = đ?‘‚đ?‘‡â€˛ =

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Signo de las Razones TrigonomĂŠtricas

�

đ?&#x;Žđ?‘ś

đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?‘ś

đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?‘ś

đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?‘ś

đ??Źđ??˘đ??§

0

1

0

-1

đ??œđ??¨đ??Ź

1

0

-1

0

đ??­đ??šđ??§

0

→∞

0

→ −∞

Razones TrigonomĂŠtricas de đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?’? , đ?&#x;’đ?&#x;“đ?’? đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?’? Seno, coseno y tangente de 30Âş y 60Âş Si dibujamos un triĂĄngulo equilĂĄtero ABC, cada uno de sus tres ĂĄngulos mide 60Âş y, si trazamos una altura del mismo, h, el ĂĄngulo del vĂŠrtice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30Âş cada uno. Recurriendo al Teorema de PitĂĄgoras, tenemos que la altura es: Seno, coseno y tangente de 30đ?‘œ y 60đ?‘œ đ?‘™ 2

â„Ž = √đ?‘™ 2 − (2) = √đ?‘™ 2 −

đ?‘™2 4

=√

sin 30đ?‘œ =

đ?‘™ 2

đ?‘™

cos 30đ?‘œ = tan 30đ?‘œ =

1 2 √3 2

=

1 √3

4đ?‘™ 2 −đ?‘™2 4

=

√3 đ?‘™ 2

đ?‘™

=

=√

3đ?‘™ 2 4

=

√3 đ?‘™ 2

đ?‘™ 2

=

sin 60đ?‘œ = √3 2

√3 đ?‘™ 2

1

coss 60đ?‘œ =

√3 3

tan 60đ?‘œ =

đ?‘™ 2

đ?‘™

√3 2 1 2

=

√3 2 đ?‘™

=2 =

2√3 2

= √3

Seno, coseno y tangente de 45đ?‘œ = √đ?‘™ 2 + đ?‘™ 2 = √2đ?‘™ 2 = đ?‘™ √2 sin 45đ?‘œ = cos 45đ?‘œ =

đ?‘™ đ?‘™âˆš2 đ?‘™ đ?‘™âˆš2

tan 45đ?‘œ =

64

đ?‘™ √2 2 đ?‘™ √2 2

= =

đ?‘™ √2 đ?‘™

=

√2 2

=

√2 2

√2 đ?‘™ √2 √2

=đ?‘™

=1

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Razones TrigonomĂŠtricas de Ă ngulos Notables âˆ?

đ?&#x;Žđ?‘ś

đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?‘ś

đ?&#x;’đ?&#x;“đ?‘ś

đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?‘ś

đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?‘ś

đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?‘ś

đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?‘ś

đ??Źđ??˘đ??§

0

đ?&#x;?â „ đ?&#x;?

√đ?&#x;‘â „ đ?&#x;?

1

0

-1

đ??œđ??¨đ??Ź

1

√đ?&#x;‘â „ đ?&#x;?

√2 2 √2 2

đ?&#x;?â „ đ?&#x;?

0

-1

0

√đ?&#x;‘â „ 0 1 →∞ → −∞ √đ?&#x;‘ đ?&#x;‘ Identidades TrigonomĂŠtricas Fundamentales đ?‘?đ?‘œđ?‘ ² đ?›ź + đ?‘ đ?‘’đ?‘›² đ?›ź = 1 đ?‘ đ?‘’đ?‘?² đ?›ź = 1 + đ?‘Ąđ?‘”² đ?›ź đ?‘?đ?‘ đ?‘?² đ?›ź = 1 + đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘”² đ?›ź 1 csc âˆ? = sin âˆ? 1 sec âˆ? = cos âˆ? 1 cos âˆ? cot âˆ? = = tan âˆ? sin âˆ? 3 đ?‘‚ đ?‘‚ Sabiendo que sin âˆ? = , y que 90 <âˆ? < 180 . Calcular las restantes razones trigonomĂŠtricas del ĂĄngulo Îą. 0

đ??­đ??šđ??§

5

sin � =

3 5

cos � =

5 3

3 2 25 − 9 16 4 cos � = −√1 − ( ) = −√ = −√ = − 5 25 25 5

sec � = −

5 4

3 3 4 tan âˆ? = − 5 = − cot âˆ? = − 4 4 3 5 Sabiendo que tan âˆ? = 2, y que 180đ?‘‚ < âˆ? < 270đ?‘‚ . Calcular las restantes razones trigonomĂŠtricas del ĂĄngulo đ?›ź. cos âˆ? = −

1 √5

= −

sin � = 2 (−

√5 5

sec � = −√1 + 4 = −√5

2√5 √5 )=− 5 5

csc � = −

tan � = 2

cot � =

√5 2

1 2

Identidades TrigonomĂŠtricas đ?œ‹

Ă ngulos Complementarios.- Son aquĂŠllos cuya suma es 90đ?‘œ Ăł 2 radianes. đ?œ‹ sin ( −âˆ?) = cos âˆ? 2 đ?œ‹ cos ( −âˆ?) = sin âˆ? 2 đ?œ‹ tan ( −âˆ?) = cot âˆ? 2 65

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√3 2 1 cos 60đ?‘œ = cos(90đ?‘œ − 30đ?‘œ ) = sen 30đ?‘œ = 2 tan 60đ?‘œ = tan(90đ?‘œ − 30đ?‘œ ) = cot 30đ?‘œ = √3 sin 60đ?‘œ = sin(90đ?‘œ − 30đ?‘œ ) = cos 30đ?‘œ =

Ă ngulos suplementarios.- Son aquĂŠllos cuya suma es 180° Ăł đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘ . sin(đ?œ‹âˆ’âˆ?) = sin âˆ? cos(đ?œ‹âˆ’âˆ?) = −cos âˆ? tan(đ?œ‹âˆ’âˆ?) = −tan âˆ?

sin 150đ?‘œ = sin(180đ?‘œ − 30đ?‘œ ) = sin 30đ?‘œ =

1 2

√3 2 √3 tan 150đ?‘œ = tan(180đ?‘œ − 30đ?‘œ ) = − tan 30đ?‘œ = − 3 Ă ngulos que se diferencian en đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Žđ??¨ .- Son aquĂŠllos cuya resta es 180đ?‘œ Ăł đ?œ‹ radianes. sin(đ?œ‹+âˆ?) = − sin âˆ? cos(đ?œ‹+âˆ?) = −cos âˆ? tan(đ?œ‹+âˆ?) = tan âˆ? cos 150đ?‘œ = cos(180đ?‘œ − 30đ?‘œ ) = − cos 30đ?‘œ = −

66

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1 2 √3 cos 210đ?‘œ = cos(180đ?‘œ + 30đ?‘œ ) = − cos 30đ?‘œ = − 2 √3 tan 210đ?‘œ = tan(180đ?‘œ + 30đ?‘œ ) = tan 30đ?‘œ = 3 sin 210đ?‘œ = sin(180đ?‘œ + 30đ?‘œ ) = − sin 30đ?‘œ = −

Ă ngulos Opuestos Son aquĂŠllos cuya suma es đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?’? Ăł đ?&#x;?đ??… radianes. sin(2đ?œ‹âˆ’âˆ?) = − sin âˆ? cos(2đ?œ‹âˆ’âˆ?) = cos âˆ? tan(2đ?œ‹âˆ’âˆ?) = − tan âˆ? 1 2 √3 cos 330đ?‘œ = cos(360đ?‘œ − 30đ?‘œ ) = cos 30đ?‘œ = 2 √3 tan 330đ?‘œ = tan(360đ?‘œ − 30đ?‘œ ) = −tan 30đ?‘œ = − 3 sin 330đ?‘œ = sin(360đ?‘œ − 30đ?‘œ ) = − sin 30đ?‘œ = −

Ă ngulos Negativos.- El ĂĄngulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj. −đ?›ź = 360° − đ?›ź sin(−âˆ?) = − sin âˆ? cos(−âˆ?) = cos âˆ? tan(−âˆ?) = − tan âˆ? 1 2 √3 cos(−30đ?‘œ ) = cos 30đ?‘œ = 2 √3 tan(−30đ?‘œ ) = − tan 30đ?‘œ = − 3 sin(−30đ?‘œ ) = − sin 30đ?‘œ = −

Mayores de đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?’? .- Ă ngulos que se diferencian en un nĂşmero entero de vueltas. sin(âˆ? +2đ?œ‹đ?‘˜) = sin âˆ? cos(âˆ? +2đ?œ‹đ?‘˜) = cos âˆ? tan(âˆ? +2đ?œ‹đ?‘˜) = tan âˆ? 67

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750đ?‘œ 360đ?‘œ = 30đ?‘œ 2

1 2 √3 cos 750đ?‘œ = cos(30đ?‘œ + 2(360đ?‘œ )) = cos 30đ?‘œ = 2 √3 tan 750đ?‘œ = tan(30đ?‘œ + 2(360đ?‘œ )) = tan 30đ?‘œ = 3 sin 750đ?‘œ = sin(30đ?‘œ + 2(360đ?‘œ )) = sin 30đ?‘œ =

đ?œ‹

Razones TrigonomĂŠtricas de otros Ă ngulos.- Ă ngulos que difieren en 90đ?‘œ Ăł 2 đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?œ‹ sin ( +âˆ?) = cos âˆ? 2 đ?œ‹ cos ( +âˆ?) = −sin âˆ? 2 đ?œ‹ tan ( +âˆ?) = −cot âˆ? 2 180đ?‘œ √3 + 30đ?‘œ ) = − cos 30đ?‘œ = − 2 2 đ?‘œ 180 1 cos 120đ?‘œ = cos ( + 30đ?‘œ ) = − sin 30đ?‘œ = − 2 2 đ?‘œ 180 tan 120đ?‘œ = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› ( + 30đ?‘œ ) = − cot 30đ?‘œ = −√3 2 sin 120đ?‘œ = sin (

3 2

Ă ngulos que suman 270đ?‘œ Ăł đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ 3đ?œ‹ sin ( −âˆ?) = −cos âˆ? 2 3đ?œ‹ cos ( −âˆ?) = −sin âˆ? 2 3đ?œ‹ tan ( −âˆ?) = cot âˆ? 2

3(180đ?‘œ ) √3 − 30đ?‘œ ) = − cos 30đ?‘œ = − 2 2 đ?‘œ) 3(180 1 cos 240đ?‘œ = cos ( − 30đ?‘œ ) = − sin 30đ?‘œ = − 2 2 đ?‘œ) 3(180 tan 240đ?‘œ = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› ( − 30đ?‘œ ) = cot 30đ?‘œ = √3 2

sin 240đ?‘œ = sin (

68

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Ă ngulos que difieren en 270đ?‘œ Ăł 2 đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ 3đ?œ‹ sin ( +âˆ?) = −cos âˆ? 2 3đ?œ‹ cos ( +âˆ?) = sin âˆ? 2 3đ?œ‹ tan ( +âˆ?) = − cot âˆ? 2 3(180đ?‘œ ) √3 + 30đ?‘œ ) = − cos 30đ?‘œ = − 2 2 đ?‘œ) 3(180 1 cos 240đ?‘œ = cos ( + 30đ?‘œ ) = sin 30đ?‘œ = 2 2 đ?‘œ) 3(180 tan 240đ?‘œ = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› ( + 30đ?‘œ ) = − cot 30đ?‘œ = −√3 2 sin 240đ?‘œ = sin (

69

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Secuencia 2 Actividad 1 TrigonometrĂ­a 1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ĂĄngulos: a. 3 đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘

b.

2đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘. 5

c.

3đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘. 10

2. Expresa en radianes los siguientes ångulos: a. 316°

b. 10°

c. 127°

70

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3. Sabiendo que đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?›ź = Âź , y que 270° < đ?›ź < 360°. Calcular las restantes razones trigonomĂŠtricas del ĂĄngulo Îą.

4. Sabiendo que đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› đ?›ź = 2, y que 180° < Îą < 270° Calcular las restantes razones trigonomĂŠtricas del ĂĄngulo Îą.

đ?œ‹ 2

5. Sabiendo que đ?‘ đ?‘’đ?‘? đ?›ź = 2, 0 < đ?›ź < , calcular las restantes razones trigonomĂŠtricas.

6. Calcula las razones de los siguientes ångulos: a. 225°

b. 330°

c. 2655°

d. −840°

71

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7. Comprobar las identidades: a. tan � + cot � = sec � csc �

b. cot 2 đ?‘Ž cos 2 đ?‘Ž + (đ?‘?đ?‘œđ?‘Ą đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ž )2

c.

1 sec2 đ?‘Ž

= sin2 đ?‘Ž cos 2 đ?‘Ž + cos4 đ?‘Ž

d. cot đ?‘Ž sec đ?‘Ž csc đ?‘Ž

1

e. sec 2 đ?‘Ž csc 2 đ?‘Ž = sin2 đ?‘Ž cos2 đ?‘Ž

72

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría 8. Demostrar las siguientes identidades: a) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

b) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥

c) 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 𝑥

d) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥

e) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥

73

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría f)

𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 1

g) (1 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥) 𝑐𝑠𝑐² 𝑥 = 1

h) (1 − 𝑠𝑖𝑛² 𝑥) 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 = 1

i)

𝑐𝑜𝑡² 𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠² 𝑥

j)

(1 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥) 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛² 𝑥

74

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría k) 𝑐𝑠𝑐 𝑥 √1 − 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 𝑥

l)

(1 + 𝑡𝑎𝑛² 𝑥) 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 = 1

m) (𝑠𝑒𝑐² 𝑥 − 1) 𝑐𝑜𝑡² 𝑥 = 1

n) (1 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥)(1 + 𝑡𝑎𝑛² 𝑥) = 𝑡𝑎𝑛² 𝑥

o) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥 √𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 = 1

75

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO Geometría y Trigonometría p) 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 (1 + 𝑐𝑜𝑡² 𝑥) = 1

q) (𝑐𝑠𝑐² 𝑥 − 1) 𝑡𝑎𝑛² 𝑥 = 1

r) (1 − 𝑐𝑜𝑠² 𝑥)(1 + 𝑐𝑜𝑡² 𝑥) = 1

s) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 √𝑐𝑠𝑐² 𝑥 − 1 = 1

t) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 √𝑐𝑜𝑡² 𝑥 + 1 = √𝑐𝑠𝑐² 𝑥 – 1

76

Ing. Edison Villacrés

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u) 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 𝑐𝑜𝑡² 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 = 1

v) (1 + 𝑡𝑎𝑛² 𝑥)(1 − 𝑠𝑖𝑛² 𝑥) = 1

w) 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐² 𝑥 – 1

x) 𝑐𝑠𝑐² 𝑥 𝑡𝑎𝑛² 𝑥 − 1 = 𝑡𝑎𝑛² 𝑥

77

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ResoluciĂłn de TriĂĄngulos RectĂĄngulos Resolver un triĂĄngulo es hallar sus lados, ĂĄngulos y ĂĄrea. Es necesario conocer dos lados del triĂĄngulo, o bien un lado y un ĂĄngulo distinto del recto. 1. Se conocen la hipotenusa y un cateto đ?‘? đ?‘? đ??ľ: sin đ??ľ = đ??ľ = sin−1 đ?‘Ž đ?‘Ž đ??ś = 90đ?‘œ − đ??ľ đ?‘? cos đ??ľ = đ?‘? = đ?‘Ž cos đ??ľ đ?‘Ž đ??ś: { đ?‘? = √đ?‘Ž2 − đ?‘? 2

Resolver el triĂĄngulo conociendo: đ?‘Ž = 415 đ?‘š đ?‘Ś đ?‘? = 280 đ?‘š 280 sin đ??ľ = = 0.6747 415 đ??ľ = sin−1 0.6747 = 42° 25′ đ??ś = 90đ?‘‚ − 42đ?‘‚ 42′ = 47đ?‘‚ 35′ đ?‘? = đ?‘Ž sin đ??ľ đ?‘? = 415 ∗ 0.7381 đ?’„ = 306. 31 đ?‘š 2. Se conocen los dos catetos đ??ľ: tan đ??ľ =

đ?‘Ž: {

sin đ??ľ =

đ?‘? đ?‘?

đ??ľ = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ??ś = 90đ?‘œ − đ??ľ

đ?‘? đ?‘Ž

đ?‘Ž=

đ?‘? đ?‘?

đ?‘? sin đ??ľ

đ?‘Ž = √đ?‘? 2 + đ?‘? 2

Resolver el triĂĄngulo conociendo: 78

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đ?‘? = 33 đ?‘š đ?‘Ś đ?‘? = 21 đ?‘š 33 tan đ??ľ = = 1.5714 21 đ??ľ = 57° 32′ đ??ś = 90° − 57° 32′ = 32° 28′ đ?‘Ž = đ?‘?/đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ľ đ?‘Ž = 33/0.8347 = 39.12 đ?‘š 3. Se conocen la hipotenusa y un ĂĄngulo agudo đ??ś = 90đ?‘œ − đ??ľ đ?‘?: sin đ??ľ = đ?‘?: {

cos đ??ľ =

đ?‘? đ?‘Ž

đ?‘? đ?‘Ž

đ?‘? = đ?‘Ž sin đ??ľ đ?‘? = đ?‘Ž cos đ??ś đ?‘? = √đ?‘Ž2 − đ?‘? 2

Resolver el triĂĄngulo conociendo: đ?‘Ž = 45 đ?‘š đ?‘Ś đ??ľ = 22°. đ??ś = 90° − 22° = 68° đ?‘? = đ?‘Ž sin 22đ?‘œ đ?‘? = 45 ∗ 0.3746 đ?’ƒ = 16.85 đ?‘š đ?‘? = đ?‘Ž cos 22đ?‘œ đ?‘? = 45 ∗ 0.9272 đ?’„ = 41.72 đ?‘š 4. Se conocen un cateto y un ĂĄngulo agudo đ??ś = 90đ?‘œ − đ??ľ đ?‘? đ?‘? đ?‘Ž: sin đ??ľ = đ?‘Ž= đ?‘Ž sin đ??ľ đ?‘? cot đ??ľ = đ?‘? = đ?‘? cot đ??ś đ?‘? đ?‘?: { đ?‘? = √đ?‘Ž2 − đ?‘? 2

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Resolver el triĂĄngulo conociendo: đ?‘? = 5.2 đ?‘š đ?‘Ś đ??ľ = 37Âş đ??ś = 90đ?‘œ − 37° = 53Âş đ?‘? đ?‘Ž = sin đ??ľ 5.2 đ?‘Ž = 0.6018 đ??š = 8.64 đ?‘š đ?‘? = đ?‘? ∗ tan đ??ľ đ?‘? = 5.2 ∗ 1.3270 đ?’„ = 6. 9 đ?‘š

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a

Secuencia 2 Actividad 2 9.

De un triĂĄngulo rectĂĄngulo ABC, se conocen đ?‘Ž = 5 đ?‘š đ?‘Ś đ??ľ = 41.7°. Resolver el triĂĄngulo

10. De un triĂĄngulo rectĂĄngulo ABC, se conocen đ?‘? = 3 đ?‘š đ?‘Ś đ??ľ = 54.6°. Resolver el triĂĄngulo.

11. De un triĂĄngulo rectĂĄngulo ABC, se conocen đ?‘Ž = 6 đ?‘š đ?‘Ś đ?‘? = 4 đ?‘š. Resolver el triĂĄngulo.

12. De un triĂĄngulo rectĂĄngulo ABC, se conocen đ?‘? = 3 đ?‘š đ?‘Ś đ?‘? = 5 đ?‘š. Resolver el triĂĄngulo.

13. Un ĂĄrbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ĂĄngulo de elevaciĂłn del sol en ese momento.

81

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14. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

15. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°

16. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

17. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

18. La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

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Secuencia 2 Actividad 3 Ejercicios de TrigonometrĂ­a 19. Sabiendo que csc âˆ? = 3, calcular las restantes razones trigonomĂŠtricas.

20. Calcula las razones de los siguientes ĂĄngulos: a. −150°

b. 1740°

21. Simplificar las fracciones: 2 1+tan đ?‘‹ a. 2 1+cot đ?‘‹

b.

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sec2 đ?‘Žâˆ’cos2 đ?‘Ž tan2 đ?‘Ľ

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c.

csc2 đ?‘Ž −sin2 đ?‘Ž csc2 đ?‘Ž (2−cos2 đ?‘Ž)

22. Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octĂłgono regular inscrito en una circunferencia de 49 centĂ­metros de radio.

23. Tres pueblos đ??´, đ??ľ đ?‘Ś đ??ś estĂĄn unidos por carreteras. La distancia de đ??´ đ?‘Ž đ??ś đ?‘’đ?‘ 6 đ?‘˜đ?‘š y la de đ??ľ đ?‘Ž đ??ś 9 đ?‘˜đ?‘š. El ĂĄngulo que forman estas carreteras es 120đ?‘œ . ÂżCuĂĄnto distan đ??´ đ?‘Ś đ??ľ?

24. El vigĂ­a de un barco pirata observa el punto mĂĄs alto de un acantilado bajo un ĂĄngulo de 60Âş. Si el barco se aleja 100đ?‘š se observa bajo un ĂĄngulo de 45đ?‘œ . Calcula la altura del acantilado. SoluciĂłn: 150 + 50√3 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ .

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25. Resuelve el triĂĄngulo conociendo đ??ľ = 60đ?‘‚ y el cateto b = 25 cm. SoluciĂłn: đ??ś = 30đ?‘‚ , la hipotenusa 50√3 đ?‘?đ?‘š 3

y el otro cateto

25√3 đ?‘?đ?‘š 3

26. Calcula la longitud de los lados de un triĂĄngulo, sabiendo que su altura mide 10 m y que el ĂĄngulo desigual es de 120Âş. SoluciĂłn: Los lados iguales miden 20 đ?‘š, y el lado desigual, 20√3đ?‘š

27. Calcula la altura de una torre, sabiendo que a 300đ?‘š de su pie se ve bajo un ĂĄngulo de 10đ?‘œ . SoluciĂłn: â„Ž = 52,89 đ?‘š

28. Halla la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y distantes entre sĂ­ 80m, se ve bajo ĂĄngulos de 60đ?‘œ đ?‘Ś 45đ?‘œ , respectivamente. SoluciĂłn: đ?‘Ľ = 197,37đ?‘š

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Secuencia 2 Actividad 4 29. Dos caminos rectos que se cortan forman un ĂĄngulo de 30đ?‘œ . En uno de ellos, a 1000đ?‘š del cruce, hay una gasolinera. Encontrar la menor distancia desde la estaciĂłn de gasolina hasta el otro camino.

30. Una carretera asciende 3m por cada 100đ?‘š de recorrido. ÂżQuĂŠ ĂĄngulo forma con la horizontal? SoluciĂłn: 1đ?‘œ 43’ 9’’

31. Calcula la longitud de los lados de un triĂĄngulo isĂłsceles, sabiendo que su altura mide 10đ?‘š y que el ĂĄngulo desigual es de 120đ?‘œ .

32. En el punto mĂĄs alto de una pequeĂąa elevaciĂłn de terreno hay un poste de 3đ?‘š de altura. Desde un punto A situado en el terreno llano se ve el pie B, del poste, bajo un ĂĄngulo de 38đ?‘œ 30′ y el extremo superior c bajo un ĂĄngulo de 45đ?‘œ 15đ?‘œ . Hallar la altura del montĂ­culo:

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33. Un faro tiene una altura de 36 m sobre el nivel del mar. El ĂĄngulo de depresiĂłn de una embarcaciĂłn es de 15đ?‘œ . Hallar a quĂŠ distancia estĂĄ la embarcaciĂłn del faro.

34. Desde F, el punto mĂĄs alto de un faro situado a 200đ?‘š sobre el nivel del mar, se divisa un barco B, con ĂĄngulo de depresiĂłn igual a 18đ?‘œ 45′ . Cinco minutos mĂĄs tarde la posiciĂłn del barco es C y se divisa desde F bajo un ĂĄngulo de 15đ?‘œ 15′ . Calcular la velocidad del barco sabiendo que la trayectoria đ??śđ??ľ es perpendicular a la đ?‘ƒđ??ľ, siendo P el pie del

35. La hipotenusa y uno de los catetos de un triĂĄngulo rectĂĄngulo miden 4 y 2 centĂ­metros, respectivamente Halla las medidas de sus ĂĄngulos.

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36. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sobre la hipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos.

37. Ana y Blanca se encuentran a ambos lados de la orilla de un río en los puntos A y B. ¿Qué anchura tiene el río?

38. Los brazos de un compás miden 12 centímetros. ¿Qué ángulo forman cuando se traza un arco de 7 centímetros de radio?

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Secuencia 2 Actividad 5 39. Resuelve estos triĂĄngulos. a. đ?‘Ž = 25đ?‘š, đ?‘? = 20đ?‘š, đ??´đ?‘? = 90đ?‘œ

b. đ?‘Ž = 6đ?‘?đ?‘š, đ??ľđ?‘? = 45đ?‘œ , đ??śđ?‘? = 1050

c. đ?‘Ž = 10đ?‘šđ?‘š, đ?‘? = 7 đ?‘šđ?‘š, đ??ľđ?‘? = 30đ?‘œ

40. El lado de un octĂłgono regular mide 12 metros. Calcula la longitud de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.

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41. Los lados de un paralelogramo forman un ĂĄngulo de 70_. Sus medidas son 7 y 8 centĂ­metros. a) Calcula la longitud de la diagonal menor. b) Halla el ĂĄrea del paralelogramo.

42. Halla el ĂĄrea de un pentĂĄgono regular inscrito en una circunferencia de 10 centĂ­metros de radio.

43. ÂżQuĂŠ volumen de tierra se necesita para llenar una maceta de interior que tiene la forma de un tronco de cono si los radios de las bases miden 10 y 20 centĂ­metros, y la generatriz forma un ĂĄngulo de 60đ?‘œ con el suelo?

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44. Calcula el área lateral y el área total de estos cuerpos.

45. Halla el volumen de estos cuerpos.

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a 46. Se quiere forrar una maceta con forma de tronco de cono. Si el diĂĄmetro de la base mide 20 centĂ­metros y la generatriz, que tiene la misma longitud, forma un ĂĄngulo de 60_ con el suelo, ÂżquĂŠ cantidad de papel se necesita

47. Calcula la medida de los lados y los ĂĄngulos que faltan en los siguientes triĂĄngulos rectĂĄngulos

48. Resuelve los triĂĄngulos sabiendo que đ??śđ?‘? es un ĂĄngulo recto.

a) đ??´đ?‘? = 55đ?‘œ , đ?‘Ž = 18 đ?‘?đ?‘š

b) đ?‘? = 10 đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 6 đ?‘?đ?‘š

c) đ?‘Ž = 18 đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 15 đ?‘?đ?‘š

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49. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 centímetros de lado.

50. El lado desigual de un triángulo isósceles mide 16 metros, y el ángulo desigual, 80_. ¿Cuál es la medida de la altura sobre este lado?

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Secuencia 3 Actividad 1 51. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6,4 y 3,6 centímetros. Halla la longitud de los lados.

52. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 centímetros, y la proyección de uno de los catetos sobre ella, 4 centímetros. Resuelve el triángulo.

53. La diagonal mayor de un rombo mide 8 centímetros y forma con cada lado contiguo un ángulo de 26 ¿Cuánto mide el lado del rombo?

54. Halla la medida de los ángulos de este trapecio rectángulo.

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55. Resuelve estos triĂĄngulos

56. Halla la medida de los ĂĄngulos y los lados desconocidos en cada caso. a) đ??´đ?‘? = 56, đ?‘? = 14 đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 8đ?‘?đ?‘š

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b) đ?‘Ž = 38đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 46đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 22đ?‘?đ?‘š

c) đ??ľđ?‘? = 45, đ??śđ?‘? = 75, đ?‘Ž = 25đ?‘?đ?‘š

d) đ??´đ?‘? = 42, đ??śđ?‘? = 65, đ?‘? = 14 đ?‘?đ?‘š

57. Resuelve el triĂĄngulo. ÂżDe quĂŠ tipo es?

58. Resuelve los siguientes triĂĄngulos. a) đ?‘Ž = 3 đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 2đ?‘?đ?‘š, đ??śđ?‘? = 140đ?‘œ

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b) đ?‘Ž = 19 đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 8đ?‘?đ?‘š, đ??ľđ?‘? = 62đ?‘œ

59. Halla la medida de la diagonal del paralelogramo

60. Calcula la medida de las diagonales dibujadas en el pentĂĄgono regular de la figura

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Secuencia 3 Actividad 2 61. Longitudes y ĂĄreas de figuras planas Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triĂĄngulo rectĂĄngulo miden 14,4 y 25,6 centĂ­metros. Calcula el ĂĄrea del triĂĄngulo.

62. La diagonal de un rectĂĄngulo mide 28,84 decĂ­metros y forma con la base un ĂĄngulo de 33đ?‘œ , 41đ?‘œ , 24đ?‘œ . Halla su perĂ­metro y su ĂĄrea.

63. El lado de un octĂłgono regular mide 20 centĂ­metros. Calcula la medida de la apotema y el ĂĄrea del OctĂłgono.

64. Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compĂĄs cuyos brazos miden 7 centĂ­metros y forman un ĂĄngulo de 70đ?‘œ .

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65. Halla el área de este paralelogramo.

66. Calcula el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos

67. Calcula el volumen del cilindro

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68. Halla el área total y el volumen del ortoedro.

69. Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen la misma medida, ¿cómo es el triángulo? ¿Cuánto miden sus ángulos agudos?

70. Responde a las siguientes preguntas. a) ¿Qué elementos de un triángulo rectángulo hay que conocer para resolverlo?

b) ¿Y de un triángulo cualquiera?

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c) Dos: dos lados, o un ángulo agudo y un lado.

d) Tres: los tres lados, o dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado.

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Secuencia 3 Actividad 3 71. ¿Se pueden utilizar los teoremas del seno y del coseno para resolver un triángulo rectángulo? Razona tu respuesta.

72. Es más rápido utilizar las razones trigonométricas, pero también se pueden utilizar esos teoremas.

73. Al unir los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado se obtienen dos rectángulos, y al trazar una diagonal, dos triángulos.

74. ¿Cuál es la relación entre las áreas de los rectángulos y los triángulos obtenidos?

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75. Al resolver un triángulo, los resultados son los siguientes: a = 30 cm, b = 42 cm, c = 23 cm, Ap = 58o , Bp = 35o y Cp = 87o

76. De un triángulo se conocen los tres lados y un ángulo. Si se quiere calcular uno de los ángulos desconocidos, ¿se puede utilizar el teorema del seno? ¿Y el del coseno? En caso de poder utilizar los dos, ¿cuál es el más conveniente?

79. El radio de la Tierra mide, aproximadamente, 6378 kilómetros. Desde un satélite se dirigen las visuales a dos puntos como muestra el dibujo. ¿A qué distancia del centro se encuentra el satélite? ¿Y de los puntos determinados por las visuales?

80. Juan ha decidido donar sus muebles. Como tiene una mesa muy grande y vive en un cuarto piso, antes de trasladarla quiere comprobar si la puede bajar en el ascensor una vez quitadas las patas. 103

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81. Cuando se hace una fotografía con una cámara compacta se produce lo que se denomina paralaje: la imagen que captura el visor no coincide con la del objetivo porque no están situados a la misma distancia. Calcula el ángulo a que mide la paralaje.

82. Una balda se va a sujetar con unas piezas que tienen forma de triángulo rectángulo para colocar un objeto pesado. Al situarlas en la pared se observa que ha habido un error y que las piezas no tienen ningún ángulo recto. Si el lado de 22 centímetros es el que sujetará la balda, ¿qué dimensiones tendrá el triángulo que hay que cortar para que se obtenga el ángulo recto necesario?

83. Para conocer la distancia entre varios puntos se realiza una triangulación, esto es, se unen los puntos de modo que formen triángulos no solapados.

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