UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICERRECTORADO ACADÉMICO DECANATO DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN
Compendio de técnicas para la toma de decisiones
Participante: Eliecer Cuicas C.I.- 11.787.074 Cátedra: Análisis de Problemas y Toma de Decisiones Sección: SAIA B
1. Programación lineal La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. Función objetivo La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables: f(x,y) = ax + by. Restricciones La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales: a 1x + b 1y ≤ c 1 a2x + b2y ≤c2 ... ... ... anx + bny ≤cn Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.
Solución factible El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.
Solución óptima El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).
Valor del programa lineal El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal. Pasos para resolver un problema de programación lineal 1. Elegir las incógnitas. 2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema. 3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones. 4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones. 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos). 6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).
Ejemplo de programación lineal Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? 1Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = número de chaquetas 2Función objetivo f(x,y)= 50x + 40y 3Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones chaquetas disponible algodón 1
1,5
750
poliéster 2
1
1000
x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500 2x + y ≤ 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x≥0 y≥0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
2·0 + 3·0 ≤ 1 500 Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000. 2·0 + 0 ≤ 1 00 La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)
6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000 €
f(500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000 € f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750 € Máximo La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.
2. MÉTODO SIMPLEX
El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución. Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables. ¿QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD? Una matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos, (o listado finito de elementos), los cuales pueden ser números reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de columnas.
La matriz idéntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo número tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y todos los demás componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idéntica o identidad de orden n, y se denota por:
La importancia de la teoría de matrices en el Método Simplex es fundamental, dado que el algoritmo se basa en dicha teoría para la resolución de sus problemas. OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MÉTODO SIMPLEX VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex.
Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".
Por ejemplo:
VARIABLE ARTIFICIAL / MÉTODO DE LA "M" Una variable artificial es un truco matemático para convertir inecuaciones ">=" en ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, la característica principal de estas variables es que no deben formar parte de la solución, dado que no representan recursos. El objetivo fundamental de estas variables es la formación de la matriz identidad.
Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones, su coeficiente es M (por esto se le denomina Método de la M grande, donde M significa un número demasiado grande
muy poco atractivo para la función objetivo), y el signo en la función objetivo va en contra del sentido de la misma, es decir, en problemas de Maximización su signo es menos (-) y en problemas de Minimización su signo es (+), repetimos con el objetivo de que su valor en la solución sea cero (0).
3. EL MODELO BAYESIANO El llamado MODELO BAYESIANO, como bien lo señala su nombre, no es otra cosa que la aplicación de las fórmulas derivadas del TEOREMA DE BAYES a la determinación de las llamadas PROBABILIDADES REVISADAS; asociadas a un conjunto dado de HIPOTESIS (Escenarios factibles de presentarse) mutuamente excluyentes, como consecuencia de las EVIDENCIAS (hechos) observados. Formalmente hablando se trata de “ estimar” el valor de las probabilidades revisadas asociadas a cada hipótesis (Escenarios) a través de la siguiente formula: Hi i * ...P H & E1 & E 2 & .....& En i ( H ) * P E1 & E2 & .....En 0 En E1 m P i i i i H H H & E1 H & E1 & E 2 & .....& En P 0 ( H i ) * P * P * ...P En E1 E2
P i 1
1
Tal expresión [ 1] aunque aparenta ser engorrosa, es muy fácil de aplicar. Ante todo, vamos a explicar el significado de cada término en [ 1] : El término:
Hi P E1 & E 2 & ..En Representa la probabilidad de ocurrencia de la HIPOTESIS (ESCENARIO) “ Hi”, dado que han ocurrido los EVENTOS E1 E2...... En; es decir , la Probabilidad de que ocurra “ Hi”, en base a LAS EVIDENCIAS OBSERVADAS. El término: P0 Hi Representa la probabilidad de ocurrencia de “ Hi” SIN EVIDENCIAS ( EVENTOS) observados. Esta probabilidad suele llamarse la probabilidad a priori de la HIPOTESIS“ Hi” o también la probabilidad inicial. Esta probabilidad es asignada al inicio del EJERCICIO DE PRONOSTICO. El término:
Ej P H & E1 & E 2 & ..Ej 1 i Representa la probabilidad (condicionada) de ocurrencia de “Ej” dado que “ Hi” ES CIERTA y han ocurrido los EVENTOS E1, E2........, Ej-1.
Estas probabilidades SON EL INSUMO BASICO DEL MODELO, por ello su interpretación tiene que estar muy clara, para evitar errores conceptuales que desvirtúen el uso del modelo. Así, es importante entender que estas probabilidades son la estimación (a juicio del grupo ) de que OCURRA el EVENTO “ Ej”, sobre la base de que la HIPOTESIS “ Hi” ES CIERTA; y además de esto, se han observado los hechos o eventos E1, E2 , ........., Ej-1. EL MODELO BAYESIANO El modelo Bayesiano está circunscrito, como TECNICA DE PRONOSTICO en las llamadas TECNICAS CUALITATIVAS, cuya principal característica es que SUS INSUMOS SON JUICIOS DE VALORES; es decir, opiniones que dan una valoración o cualificación a hechos o datos observados. Su rol como instrumento de pronóstico es muy importante ya que permite HACER INFERENCIAS sobre la probabilidad de ocurrencia de una SITUACION DADA (HIPOTESIS / ESCENARIO), sobre la base de LAS EVIDENCIAS OBSERVADAS; por ello, es un instrumento extraordinario para EL MONITOREO o SEGUIMIENTO de situaciones de interés. Dentro de este contexto, juega un rol fundamental como herramienta de ALERTA, ante las evidencias obtenidas como consecuencia de la DINAMICA DE LOS ACONTENCIMIENTOS. La aplicación del MODELO BAYESIANO como TECNICA DE PRONOSTICO está sujeta a la posibilidad de HACER SEGUIMIENTO a una situación de interés determinada. Téngase presente de que si las EVIDENCIAS no favorecen de manera significativa y relevante a ninguna de las HIPOTESIS (ESCENARIOS) planteadas; entonces NO SERA POSIBLE INFERIR LA OCURRENCIA DE ALGUNO DE LOS ESCENARIOS, sobre la base de las evidencias observadas.
4. La teoría de juegos Evidentemente definir la Teoría de Juegos es tan absurdo como su lógica, pero la realidad es que la Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. Por naturaleza, a los humanos no se les da muy bien pensar sobre los problemas de las relaciones estratégicas, pues generalmente la solución es la lógica a la inversa. En la Teoría de Juegos la intuición no educada no es muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar tomando en consideración ejemplos instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales. Por lo contrario en muchas ocasiones disfrutaremos de ventajas sustanciales estudiando juegos, si se eligen cuidadosamente los mismos. En estos juegos-juegos, se pueden desentender de todos los detalles. Si en lugar de utilizar personajes ficticios utilizamos personajes reales para los juegos si se observase qué tan honesto es ese personaje, cómo manipularía la información obtenida, etc. Para un especialista en Teoría de Juegos el ser deshonesto, etc., sería un error comparable al de un
matemático que no respeta las leyes de la aritmética porque no le gustan los resultados que está obteniendo. Origen de la teoría de juegos La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern en su libro clásico The Theory of Games Behavior, publicado en 1944. Otros habían anticipado algunas ideas.Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por los matemáticos Borel y Zermelo. El mismo Von Neumann ya había puesto los fundamentos en el artículo publicado en 1928. Sin embargo, no fue hasta que apareció el libro de Von Neumann y Morgenstern que el mundo comprendió cuán potente era el instrumento descubierto para estudiar las relaciones humanas. Tengo opiniones muy decididas sobre la dirección que la teoría de juegos debería tomar, y es reconfortante ver las cosas parece que se mueven en la dirección correcta. Es justo, sin embargo, que en algún momento ponga las cartas boca arriba. Así pues tengo que decir que creo que la mayor parte de la literatura sobre "refinamientos del equilibrio de Nash" ha de ser catalogada junto con las obras de la escolástica medieval. Para ser incluso más polémico, quiero añadir que los intentos por hacer del bayesianismo los fundamentos de la teoría de juegos no deben ser comparados a la construcción de casas sobre arena, sino a la construcción de castillos en el aire. Visto retrospectivamente, nos parecerán realmente muy extraños los intentos actuales de hacer de la teoría bayesiana de la decisión algo más que un instrumento analítico conveniente. Aplicaciones de la teoría de juegos La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economía es el principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teoría de Juego. Entre las disciplinas donde hay aplicación de la Teoría de Juegos tenemos: La economía En la ciencia política En la biología En la filosofía
5. MÉTODO DE TRANSPORTE Esta técnica es una aplicación de la programación lineal. Para este tipo de problemas se considera que existe una red de fábricas, almacenes o cualquier otro tipo de puntos, orígenes o destinos de unos flujos de bienes. La localización de nuevos puntos en la red afectará a toda ella, provocando reasignaciones y reajustes dentro del sistema. El método de transporte permite encontrar la mejor
distribución de los flujos mencionados basándose, normalmente en la optimización de los costes de transporte (o, alternativamente, del tiempo, la distancia, el beneficio, etc.) En los problemas de localización, este método puede utilizarse para analizar la mejor ubicación de un nuevo centro, de varios a la vez y en general para cualquier reconfiguración de la red. En cualquier caso, debe ser aplicado a cada una de las alternativas a considerar para determinar la asignación de flujos óptima. Para utilizar el método de transporte hay que considerar los siguientes pasos: 1. Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno. 2. Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno. 3. El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino. El primer paso en el procedimiento de este tipo de problema es establecer una matriz de transporte, la cual tiene como objetivo resumir de manera provechosa y concisa todos los datos relevantes y continuar los cálculos del algoritmo.
Para crear la matriz de transporte deben seguirse los siguientes pasos:
1. Crear una fila que corresponda a cada planta (existente o nueva) que se esté considerando y crear una columna para cada almacén.
2. Agregar una columna para las capacidades de las plantas y una fila para las demandas de los almacenes, e insertar después sus valores numéricos específicos.
3. Cada celda que no se encuentre en la fila de requisitos ni en la columna de capacidad representa una ruta de embarque desde una planta hasta un almacén. Insertar los costos unitarios en la esquina superior derecha de cada una de esas celdas.
En muchos problemas reales, a veces sucede que la capacidad excede a los requisitos unidades, se agrega una columna (un almacén ficticio) con una demanda de unidades y los costos de embarque en las nuevas celdas creadas son igual a $0, pues en realidad esos embarques no se realizan, por lo que representan capacidad de planta no utilizada. Igualmente, si los requerimientos exceden a la capacidad por unidades, se agrega una fila más (una planta ficticia) con capacidad de unidades y se asignan costos de embarque iguales a los costos faltantes de las nuevas celdas. Si estos últimos costos no se conocen o su valor es el mismo para todos los almacenes, se le asigna $0 por unidad a los costos de embarque de cada celda de la fila ficticia. La solución óptima no resulta afectada, pues el mismo faltante de unidades se necesita en todos los casos. Para lograr que la suma de todas las capacidades sea igual a la suma de todas las demandas es que se añade una planta ficticia o un almacén ficticio.
Cuando la matriz inicial está conformada, el objetivo es establecer el patrón de asignación de menor costo que satisfaga todas las demandas y agote todas las capacidades. Este patrón se determina mediante el método de transporte, el cual garantiza que se hallará la solución óptima. La matriz inicial se completa con una solución que cumpla dos condiciones: sea factible y satisfaga las demandas de todos los almacenes y agote las capacidades de todas las plantas. Luego se crea una nueva matriz con una solución nueva, teniendo ésta un costo total más bajo. Este procedimiento iterativo se debe realizar hasta que no sea posible mejorar la solución anterior, cuando esto ocurra la solución óptima se ha encontrado.
En este método es obligatorio que se cumpla que el número de embarques no iguales a 0 en la solución óptima nunca sea mayor que la suma del número de planta y almacenes menos 1. En el caso que se emplee un paquete de software sólo se introducen los datos correspondientes a la primera matriz.
6.
El método Monte Carlo.
Una de las técnicas estadísticas más usadas en simulación es el método de Monte Carlo. Según Naylor, el método Monte Carlo es una técnica de simulación para problemas que tienen una base estocástica o probabilística. Existen dos tipos diferentes de problemas que dan lugar al empleo de esta técnica; primero, aquellos problemas que implican algún tipo de proceso estocástico como la demanda del consumidor y la prioridad en la producción e inversión total para la expansión de plantas industriales; segundo, ciertos problemas matemáticos completamente determinísticos, que no pueden resolverse fácilmente (si es que admiten solución) por métodos estrictamente determinísticos, por ejemplo, evaluar integrales. En este texto nos dedicaremos al caso probabilístico. A continuación se describe el método Monte Carlo: 1. 2. 3. 4. 5.
Identificar el experimento o sistema a simular. Identificar el espacio muestral y definir la variable aleatoria. Definir la función de probabilidad. Construir la función acumulada de probabilidad. Calcular o construir la tabla de la transformación inversa de la función acumulada de probabilidad. La transformación inversa utiliza la función acumulada de probabilidad de la variable aleatoria que se va a simular. Puesto que la función acumulada está definida en el intervalo (0,1), se puede generar un número aleatorio uniforme en (0,1) RND, y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para la cual su distribución acumulada es igual al valor de RND. 6. Generar un número aleatorio y ubicarlo en la tabla de transformada inversa para simular un valor específico de la variable aleatoria.
En general, un modelo de simulación requiere de: 1. La definición del sistema con sus variables, parámetros, funciones de probabilidad, relaciones funcionales y medidas de efectividad. 2. La definición del estado del sistema, es decir, el establecimiento de las condiciones iniciales de operación. 3. La identificación de los posibles estados del sistema y sus componentes que pueden ocurrir. 4. La previsión de los posibles eventos que pueden cambiar el estado del sistema y de sus componentes. 5. La disponibilidad de un mecanismo que mida el transcurso del tiempo de simulación: el tiempo reloj (clock). 6. Procedimientos para la generación aleatoria de los diversos eventos. 7. Las relaciones lógicas que enlazaran transiciones de estado que son generadas por los diversos eventos que ocurren.
Referencias Bibliográficas: http://www.ditutor.com/programacion_lineal/programacion_lineal.html http://www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml#ixzz2sCSnmOYp http://www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml#ixzz2sCSnmOYp http://www.buenastareas.com/ensayos/Modelo-De-Transporte-Como-Tecnica-De/2338054.html http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/doc/SIMULACI -N-111.htm