OLUTIONNAIRE DU CHAPITRE 4 NYA
S1. Solution de E1
Données et inconnues + schématisation
h = 100 m : hauteur de la falaise
v0 = 10 m/s : module de la vitesse initiale du projectile
θ0 = 25° : angle de la vitesse initiale par rapport à l’horizontale
g = 9,81 m/s2 : module de l’accélération gravitationnelle
d = ? : portée du projectile
Concepts, lois et principes
Bilan des variables cinématiques :
Selon x Selon y
h
0
Équations de la cinématique à accélération constante :
Résolution
On substitue les valeurs numériques dans l’Éq. (2) :
0 = 100 m + (10 m s ) sin(25
(9,
où t s’exprime en s. L’Éq. (3) est une équation quadratique dont les racines sont 4,969 s et –4,107 s. Puisque le projectile est lancé à t = 0 s et que, par conséquent, les temps négatifs n’ont pas de sens physique, on ne conserve que la racine positive : t = 4, 969 s . (4)
Réponse
À l’aide de l’Éq. (1), on obtient : d = (10 m s ) cos(25° )( 4, 969 s ) = 45, 0 m
(a) Distance sous le centre de la cible
Données et inconnues + schématisation
v0 = 30 m/s : module de la vitesse initiale du projectile
d = 15 m : portée du projectile
θ0 = 0° : angle de la vitesse initiale par rapport à l’horizontale
g = 9,81 m/s2 : module de l’accélération gravitationnelle
ℓ = ? : distance sous le centre de la cible
Concepts, lois et principes
Bilan des variables cinématiques : Selon x Selon y
Équations de la cinématique à accélération constante :
Résolution
Éq. (1) → Éq. (2) :
Réponse ℓ = (9,
(b) Angle de la vitesse initiale pour atteindre la cible
Données et inconnues + schématisation
v0 = 30 m/s : module de la vitesse initiale du projectile
d = 15 m : portée du projectile
g = 9,81 m/s2 : module de l’accélération gravitationnelle
θ0 = ? : angle de la vitesse initiale par rapport à l’horizontale
Concepts, lois et principes
Bilan des variables cinématiques :
x Selon y
Équations de la cinématique à accélération constante :
Résolution
Éq. (4) → Éq. (5) :
Identité trigonométrique
Éq. (7) → Éq. (6) :
Réponse
Données et inconnues + schématisation
v0 = 10 m/s : module de la vitesse initiale du projectile
θ0 = 40° : angle de la vitesse initiale par rapport à l’horizontale
d = 15 m : portée du projectile
g = 9,81 m/s2 : module de l’accélération gravitationnelle
H = ? : hauteur de l’édifice
hmax = ? : hauteur maximale du projectile par rapport au sol
θ = ? : angle du projectile à l’arrivée au sol
(a) Hauteur de l’édifice
Concepts, lois et principes
Bilan des variables cinématiques : Selon x Selon y
Équations de la cinématique à accélération constante :
Résolution Éq. (1) → Éq. (2) :
Réponse
On obtient : H = (15 m ) tan
(b) Hauteur maximale du projectile
Concepts, lois et principes
Bilan des variables cinématiques : Selon x Selon y
Équations du carré de la composante verticale de la vitesse
Lorsque le projectile atteint le sommet de sa trajectoire, c’est-à-dire lorsqu’il atteint sa hauteur maximale, la composante y de sa vitesse vaut zéro.
Réponse
On obtient : hmax = 6, 20 m + (10 m s )2 sin 2 40° 2(9, 81 m s 2 ) = 8, 31 m
(c) Angle de la vitesse à l’arrivée au sol
Schématisation
Concepts, lois et principes
L’angle de la vitesse par rapport à l’horizontale est donné par (voir le schéma) :
Équations des composantes de la vitesse du projectile :
Le temps de vol du projectile dans les airs est donné par l’Éq. (1).
Résolution
Éq. (1) → Éq. (7)
Éqs. (6) et (8) → Éq. (5) : tan θ =
Réponse
On obtient : tan
Donc θ = arctan(1,668) = 59,0°, mesuré sous l’horizontale.
(a) Le projectile heurtera-t-il la montagne ?
Données et inconnues + schématisation
v0 = 60 m/s : module de la vitesse initiale du projectile
θ0 = 50° : angle de la vitesse initiale par rapport à l’horizontale
h = 100 m : hauteur du sommet de la montagne par rapport au sol
L = 15 m : position du sommet de la montagne
g = 9,81 m/s2 : module de l’accélération gravitationnelle
y = ? : position verticale du projectile à x = L
Concepts, lois et principes
Bilan des variables cinématiques : Selon x Selon y
Équations de la cinématique à accélération constante :
Résolution
Éq. (1) → Éq. (2) : y = v
Réponse
Donc, le projectile passe 5 m au-dessus du sommet de la montagne.
(b) Portée du projectile
Données et inconnues + schématisation
v0 = 60 m/s : module de la vitesse initiale du projectile
θ0 = 50° : angle de la vitesse initiale par rapport à l’horizontale
g = 9,81 m/s2 : module de l’accélération gravitationnelle
d = ? : portée du projectile
Concepts, lois et principes
Bilan des variables cinématiques :
Équations de la cinématique à accélération constante :
Résolution Éq. (6) → Éq. (5) :
Réponse
(a) Distance d
Données et inconnues + schématisation
v0 = 40 m/s : module de la vitesse initiale du projectile
θ0 = 50° : angle de la vitesse initiale par rapport à l’horizontale
D = 60 m : distance horizontale entre le canon et l’édifice
h = 1 m : hauteur de la bouche du canon par rapport au sol
H = 21 m : hauteur de l’édifice par rapport au sol
g = 9,81 m/s2 : module de l’accélération gravitationnelle
d = ?
Concepts, lois et principes
Bilan des variables cinématiques : Selon x Selon y
Équations de la cinématique à accélération constante :
Résolution
On substitue les valeurs numériques dans l’Éq. (2) : 21 m = 1 m + ( 40 m s ) sin(50
où t s’exprime en s. L’Éq. (3) est une équation quadratique dont les racines sont 0,740 s et 5,513 s. Il faut choisir le temps le plus long, car le projectile passe deux fois par la coordonnée y = H (avant et après que le projectile ait atteint sa hauteur maximale) et on verra plus loin que le temps auquel le projectile atteint sa hauteur maximale est supérieur à 0,740s. Donc, le temps cherché est ici : t = 5, 513 s (4)
Réponse
Éq. (4) → Éq. (1) : d = ( 40 m s ) cos 50°(5, 513 s ) (60 m ) = 81, 7 m
(b) Angle d’impact du projectile sur le toit
Données et inconnues + schématisation
v0 = 40 m/s : module de la vitesse initiale du projectile
θ0 = 50° : angle de la vitesse initiale par rapport à l’horizontale
t = 5,513 s : temps de vol du projectile
g = 9,81 m/s2 : module de l’accélération gravitationnelle
θ = ? : angle d’impact du projectile, mesuré sous l’horizontale
Concepts, lois et principes
L’angle de la vitesse par rapport à l’horizontale est donné par (voir le schéma) :
Équations des composantes de la vitesse du projectile :
Résolution
Éqs. (6) et (7) → Éq. (5) :
Réponse
On calcule : tan
Donc, θ = 42,3°, mesuré sous l’horizontale.
(c) Hauteur maximale du projectile
Données et inconnues + schématisation
v0 = 40 m/s : module de la vitesse initiale du projectile
θ0 = 50° : angle de la vitesse initiale par rapport à l’horizontale
h = 1 m : hauteur de la bouche du canon par rapport au sol
g = 9,81 m/s2 : module de l’accélération gravitationnelle hmax = ?
Concepts, lois et principes
Bilan des variables cinématiques : Selon x Selon y x0 = 0 y0 = h x = ? y = h
Équations de la cinématique à accélération constante :
Lorsque le projectile atteint le sommet de sa trajectoire, c’est-à-dire lorsqu’il atteint sa hauteur maximale, la composante y de sa vitesse vaut zéro. x
Réponse
On obtient : hmax = 1 m + ( 40 m s )2
2(9, 81 m s
) = 48, 9 m
(d) Distance L
Données et inconnues + schématisation
v0 = 40 m/s : module de la vitesse initiale du projectile
θ0 = 50° : angle de la vitesse initiale par rapport à l’horizontale
D = 60 m : distance horizontale entre le canon et l’édifice
hmax = 48,9 m : hauteur maximale du projectile par rapport au sol
g = 9,81 m/s2 : module de l’accélération gravitationnelle
L = ?
Concepts, lois et principes
Bilan des variables cinématiques : Selon x Selon y
0 = 0 y0 = 0
= D + L y = hmax
Au sommet de la trajectoire, la composante y de la vitesse du projectile est nulle :
Équation de la cinématique à accélération constante selon x :
Résolution
Éq. (11) → Éq. (12) :
Réponse
On obtient : L = ( 40 m s )2 sin 50° cos 50° 9, 81 m s 2 60 m = 20, 4 m x
Données et inconnues + schématisation
h = 20 m : hauteur de la bouche du canon par rapport à la cible
v0 = 30 m/s : module de la vitesse initiale de l’obus
d = 50 m : portée de l’obus
g = 9,81 m/s2 : module de l’accélération gravitationnelle
θ0 = ? : angle de la vitesse initiale par rapport à l’horizontale
Concepts, lois et principes
Bilan des variables cinématiques : Selon x Selon y
Équations de la cinématique à accélération constante :
Résolution
Identité trigonométrique :
Éq. (4) → Éq. (3)
On substitue les valeurs numériques dans l’Éq. (5) : (9, 81 m s 2 )(50 m )2
(6) ou plus simplement :
L’Éq. (7) est une équation quadratique en tanθ0, dont les solutions sont 3,7971 et –0,1236
Réponse
(7)
On obtient : tan θ0 = 3, 7971 ⇒ θ0 = 75, 2° (mesuré au-dessus de l’horizontale) (8) et tan θ0 = –0,1236 ⇒ θ0 = 7, 05° (mesuré sous l’horizontale). (9)
Les deux réponses sont possibles et ont un sens physique.