Actimath pour se qualifier 4 + (4p/s) - Officiel by Éditions VAN IN - Secondaire

pour se qualifier

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Actimath pour se qualifier

4 périodes/semaine

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4 périodes/semaine

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p .r 2.h

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ISBN 978-90-306-9294-2 590872

9 789030 692942

vanin.be

Maryse Bams Michaël Chevalier Coordination Philippe Ancia Aline Want

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Composition d’Actimath pour se qualifier + 4 (réseau officiel • 4 périodes/semaine) Pour l’élève un livre-cahier un accès aux exercices supplémentaires via Udiddit Pour le professeur un accès au contenu de Udiddit comprenant : – le corrigé du livre-cahier – le Manuel Numérique – des exercices supplémentaires Actimath pour se qualifier + 4 (réseau officiel • 4 périodes/semaine) Auteurs : Coordination :

Maryse Bams et Michaël Chevalier Philippe Ancia et Aline Want

Couverture : Mise en page :

Alinea Graphics Alinea Graphics

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi. L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2019 Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition : 2019 ISBN 978-90-306-9294-2 D/2019/0078/203 Art. 590872/01

Introduction – Mode d’emploi Voici ton nouveau livre-cahier de mathématiques. Il fait partie de la collection ACTIMATH POUR SE QUALIFIER + que tu as peut-être déjà utilisée en 3e année. Les objectifs qui ont motivé notre travail sont les suivants. •

Consolider l’usage des notions mises en place au premier degré et en 3e année.

•

Construire de nouveaux outils à partir de l’étude de situations concrètes et te permettre d’appliquer ces connaissances nouvelles.

•

Développer tes capacités de raisonnement et encourager ta participation active.

Actimath pour se qualiﬁer + 4 comprend onze chapitres divisés en activités. L’ordre dans lequel tu parcourras les différents chapitres du manuel dépend de ton professeur. Chaque chapitre commence par une page de garde sur laquelle sont notés les compétences à développer ainsi que les processus (connaître, appliquer, transférer) à mettre en œuvre dans les activités. Ton professeur te fera cocher ceux (celles) que tu auras rencontré(e)s lors des différents exercices solutionnés en classe. Chaque activité est construite de la même manière. •

Une mise en situation tirée, le plus souvent possible, de la vie de tous les jours ou d’un défi mathématique te permet de découvrir de nouvelles notions.

•

Ensuite, un pavé théorique (sous fond bordeaux) énonce les notions que tu viens de découvrir.

•

Enfin, des exercices de fixation te permettent d’assimiler celles-ci.

Les notions développées dans certains chapitres ont débouché sur des exercices supplémentaires nécessitant davantage de recherche et de réﬂexion. Les mathématiques sont souvent proches de la réalité quotidienne, mais tu ne le vois pas toujours. Si tu veux utiliser ton cours de mathématiques pour mieux comprendre le monde qui t’entoure, tu devras étudier les notions reprises dans les pavés théoriques et vérifier que tu sais refaire les exercices vus en classe. Ta calculatrice sera, dans certains cas, un outil performant pour explorer les différentes notions abordées dans ton livre-cahier. N’oublie pas de te servir de l’index figurant à la fin du livre (p. 291); il t’aidera à retrouver les mots importants. Pour mener à bien ton travail, ton professeur sera un guide précieux. N’hésite donc pas à lui poser des questions sur les points de matière qui te semblent difficiles à maîtriser. Les auteurs – Les coordinateurs

Table des matières Mode d’emploi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chapitre 1 ● Notions de statistiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Activité 1 Traitement de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Activité 2 Classement et représentation de données dans le cas des variables qualitative et quantitative discrète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Activité 3 Classement et représentation de données dans le cas d’une variable quantitative continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chapitre 2 ● Valeurs centrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Activité 1 Valeurs centrales d’une série discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Activité 2 Valeurs centrales d’une série continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Chapitre 3 ● Indices de dispersion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Activité 1 Quartiles et boîte à moustaches d’une série discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Activité 2 Schématiser une série continue - Boîte à moustaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Activité 3 Indices de dispersion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Activité 4 Réalisation d’une enquête . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Chapitre 4 ● Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques . . . . . . 99 Activité 1 Découverte de graphiques de fonctions du second degré . . . . . . . . . . . . . 100 Activité 2 Caractéristiques du graphique de la fonction f : x Æ y = ax2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Activité 3 Caractéristiques du graphique de la fonction f : x Æ y = a(x – a)2 + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Activité 4 Formes de l’expression analytique de la fonction du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Activité 5 Caractéristiques de la parabole d’équation y = ax2 + bx + c . . . . . . . . . . 128 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Chapitre 5 ● Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Activité 1 Produit nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Activité 2 Produit nul et équations particulières du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Activité 3 Résolution de l’équation générale ax2 + bx + c = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Activité 4 Plan de résolution d’une équation du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Activité 5 Forme factorisée de l’expression du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Activité 6 Problèmes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Chapitre 6 ● Étude de la fonction du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Activité 1 Signe de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c . . . . . . . 174 Activité 2 Variations de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Activité 3 Étude de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Activité 4 Problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Chapitre 7 ● Inéquations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Activité 1 Inéquations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Chapitre 8 ● Fonction x2 et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Activité 1 Fonction « carré » et sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Chapitre 9 ● Solides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Activité 1 Perspective cavalière et vues coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Activité 2 Prisme droit et cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Activité 3 Pyramide et cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Activité 4 Sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Activité 5 Transformations de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Chapitre 10 ● Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Activité 1 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Activité 2 Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Chapitre 11 ● Trigonométrie dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Activité 1 Cosinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Activité 2 Recherche d’un angle à partir de son cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Activité 3 Sinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Activité 4 Tangente d’un angle aigu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Activité 5 Formules de trigonométrie dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Activité 6 Valeurs trigonométriques particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Activité 7 Problèmes : quelle formule trigonométrique utiliser ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Chapitre 1

Notions de statistiques

Compétences à développer Lire et construire un tableau de nombres, un graphique, un diagramme relatif à un ensemble de données statistiques.

Processus Connaître Expliquer en situation le vocabulaire caractérisant un ensemble de données statistiques. Lire les informations fournies par une représentation graphique liée à un ensemble de données statistiques. Identifier les différents types de variables statistiques et décrire les informations graphiques et numériques qui peuvent y être associées.

Appliquer Construire un tableau à partir de données brutes ou recensées. Construire des représentations graphiques liées à un ensemble de données statistiques. Extraire des informations d’une représentation graphique de données statistiques.

Transférer Commenter des représentations graphiques liées à un ensemble de données statistiques. Commenter l’intérêt et les limites d’une étude statistique. Traiter des données statistiques en utilisant l’outil informatique (tableur).

Notions de statistiques

Activité 1 • Traitement de données Une société a réalisé une enquête portant sur l’ensemble des élèves des écoles secondaires wallonnes. Celle-ci a pour sujet la pratique sportive des élèves en dehors du cadre scolaire. Faute de budget et de temps, elle a interrogé 700 élèves, parmi lesquels on compte 400 filles et 300 garçons. Voici les résultats obtenus. Temps hebdomadaire moyen consacré au sport

Tenniss Natation n

100

Jogging g

112

106

Sports

150

50 6

Footballll Équitation n Danse e

[360 ; 420[

[180 ; 240[

[60 ; 120[

[0 ; 60[

[420 ; 480[

50 0

Volley-ballll

184

[300 ; 360[

200

Sport principal pratiqué

➋

228

[120 ; 180[

Nombre d’élèves

250

[240 ; 300[

➊

Basket-ballll Athlétisme e Autre e Aucun n

Temps (min)

Affiliation à un club des élèves pratiquant du sport

Nombre d’élèves

➌

200

15 %

150

100

50 %

50 0

Non affiliés

Filles

25 %

Garçons

Argent dépensé par mois pour la pratique du sport

➎ 800 700 Nombre d’élèves

10 %

Affiliés

Santé

Plaisir

Contact avec les autres

Apparence physique

Nombre de sports pratiqués

➏

aucun sport

1 sport

2 sports

3 sports

4 sports

5 sports

600

4%1%

500

12 %

400

24 %

300 200 100

18 %

50 ’à

Ju sq u

u’ sq Ju

à u’ sq Ju

Argent dépensé

€

€ 40

€ 30

€ 20 ’à

10 ’à

Ju sq u

€

10 15 20 25 Pourcentage d’élèves

Motivation principale des élèves pratiquant du sport

➍

217 207

250

41 %

Notions de statistiques 1

a) Dans le tableau ci-dessous, note les nombres d’élèves concernés. Garçons

Filles

Tous

Font partie de l’enquête Font du sport Ne font pas de sport b) Quel graphique t’a permis de réaliser ces calculs ? ...................................................................................................................................................

En t’aidant du tableau de la question 1, réponds aux questions ci-dessous et indique si un autre graphique t’a été nécessaire pour trouver la solution. n° (1)

Quel pourcentage d’élèves pratique une activité sportive ?

(2)

Quel pourcentage de filles ne fait pas de sport ?

(3)

Combien d’élèves ont le basket-ball comme sport principal ?

(4)

Combien d’élèves consacrent plus de 30 € par mois à la pratique d’un sport ?

(5)

Combien d’élèves pratiquant un sport en font moins d’une heure par semaine ?

(6)

Combien d’élèves pratiquent deux sports ?

(7)

Combien d’élèves pratiquent leur sport principalement pour le plaisir ?

(8)

Quel pourcentage d’élèves pratiquant un sport dépense plus de 20 et moins de 30 € par mois pour la pratique de celui-ci ?

(9)

Quel est le sport le plus populaire auprès des élèves ?

(10)

À combien s’élève le budget maximal des 220 jeunes qui dépensent le moins pour la pratique d’un sport ?

(11)

Combien d’élèves pratiquent plus de 5 h de sport par semaine ?

(12)

Quelle est la motivation principale de la pratique d’un sport la moins souvent citée par les élèves ?

(13)

Combien de sports pratique la majorité des élèves ? 9

Notions de statistiques 3

Vrai ou faux ? Justifie et indique le numéro du graphique que tu as utilisé. Les trois sports principaux les plus pratiqués regroupent plus de 45 % des élèves.

....................................................................

.....

....................................................................

.....

....................................................................

La majorité des garçons est affiliée à un club.

.....

....................................................................

.....

....................................................................

La majorité des élèves pratique moins de 2 h de sport par semaine.

.....

....................................................................

.....

....................................................................

La moitié des élèves dépense jusqu’à 20 € par mois pour la pratique d’un sport.

....................................................................

.....

....................................................................

.....

....................................................................

a) Quel est l’échantillon de cette enquête sur le sport, c’est-à-dire l’ensemble des individus interrogés ? ...................................................................................................................................................

b) Quelle est la population, c’est-à-dire l’ensemble des individus sur lequel porte l’étude ? ...................................................................................................................................................

a) Complète le tableau en indiquant le type de graphique et la variable statistique étudiée; précise si cette dernière est qualitative (Q) ou quantitative (q).

➊

➋

➌

➍

➎

➏ 10

Type de graphique

Variable statistique

........................................................

Q ou q

............

Notions de statistiques

b) Complète le tableau ci-dessous afin de préciser si la variable est continue ou discrète.

Ta réponse

Quelle somme dépenses-tu en moyenne par mois pour pratiquer du sport ? Combien de sports pratiques-tu ?

Quel sport principal pratiques-tu ?

Quelques Variable Nombre de réponses qualitative ou réponses des élèves quantitative possibles de ta classe

Variable continue ou discrète

....................

Traitement de données A. Déﬁnitions La statistique est une science qui a pour objet la collecte, le traitement, l’interprétation et la présentation d'ensembles d’observations relatives à un même phénomène et pouvant être quantifiées. Exemples d’études statistiques Une enquête sur le sport et les jeunes Une enquête sur les smartphones vendus en Belgique La population est l’ensemble des individus (personnes ou objets) sur lequel porte une étude statistique. Exemples L’ensemble des élèves des écoles secondaires wallonnes L’ensemble des smartphones vendus en Belgique cette année Un échantillon est un ensemble d’individus représentatifs d’une population. On choisit un (des) échantillon(s) lorsque, pour diverses raisons, il est impossible d’effectuer l’étude sur toute la population. Exemples Les 700 élèves interrogés, représentant les élèves des écoles wallonnes Les 2500 smartphones des personnes ayant répondu à l’enquête, représentant les smartphones vendus en Belgique cette année La variable statistique (ou le caractère) est la caractéristique étudiée sur une population. Exemples Le nombre de sports pratiqués Le temps hebdomadaire consacré au sport La marque de smartphone

Notions de statistiques Une série statistique est la liste complète des valeurs que prend la variable statistique. Exemples : le nombre de sports pratiqués : 1, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 1, … le temps consacré au sport (min) : 60, 180, 270, 180, 120, 120, … la marque de smartphone : Motorola, Samsung, Samsung, Apple, Sony, Samsung, Apple, Samsung, …

B. Types de variables statistiques Une variable statistique qualitative est une variable dont les différentes valeurs ne sont pas mesurables; le plus souvent, ces valeurs sont exprimées par des mots. Exemple : la marque de smartphone Une variable statistique quantitative est une variable dont les différentes valeurs sont mesurables; ces valeurs sont exprimées par des nombres. Une variable quantitative discrète possède un nombre limité de valeurs. Exemple : le nombre de sports pratiqués Une variable quantitative continue possède un nombre illimité de valeurs. Exemple : le temps hebdomadaire consacré au sport En résumé Variable statistique qualitative

quantitative discrète

continue

Exercices Pour chaque étude statistique, retrouve la population et la variable étudiée. Indique une croix s’il s’agit d’une variable qualitative (Q), quantitative discrète (qd) ou quantitative continue (qc). Séries statistiques 1

Couleur préférée des 13 élèves de l’option Arts Plastiques : noir – vert – noir – rouge – bleu – violet – bleu – rouge – jaune – noir – blanc – orange – rouge Population

Variable statistique

..............................................................

................................................

..............................................................

................................................

➠

Q qd qc

Notions de statistiques 2

Nombre de personnes vivant sous le même toit dans les 25 habitations d’un quartier : 1–2–2–3–7–2–1–3–4–4–4–5–2–3–6–1–2–4–4–2–3–4–3–2–4 Population

Variable statistique

..............................................................

................................................

..............................................................

................................................

➠

Q qd qc

Température moyenne au mois de juillet dans les 28 pays de l’Union européenne : 15,3°C – 17°C – 17,2°C – 17,2°C – 17,7°C – 18°C – 18°C – 18,1°C – 18,5°C – 18,5°C – 18,6°C – 19°C – 19,2°C – 19,5°C – 19,8°C – 20,5°C – 20,5°C – 21°C – 21,3°C – 22,2°C – 22,6°C – 24°C – 24°C – 24,4°C – 26,4°C – 26,8°C – 27,5°C – 28,6°C Population

Variable statistique

..............................................................

................................................

..............................................................

................................................

➠

Q qd qc

Extraits d’études statistiques 1

Dans une entreprise de fabrication de meubles, le dernier carnet de bord révèle que les employés ont en moyenne 78 minutes de pause par jour. Population

Variable statistique

..............................................................

................................................

..............................................................

................................................

➠

Q qd qc

Le moyen de transport le plus utilisé par les jeunes européens pour se rendre à l’école reste le bus bien qu’on ait constaté une légère hausse du transport automobile. Population

Variable statistique

..............................................................

................................................

..............................................................

................................................

➠

Q qd qc

Grâce à de nombreux radars, les autorités ont pu constater une baisse de la vitesse moyenne des véhicules aux abords des chantiers sur les autoroutes belges. Population

Variable statistique

..............................................................

................................................

..............................................................

................................................

➠

Q qd qc

À la gare du Nord à Bruxelles, on constate que le temps d’attente moyen des voyageurs qui passent au guichet augmente d’heure en heure pour diminuer à partir de 19 h. Population

Variable statistique

..............................................................

................................................

..............................................................

................................................

➠

Q qd qc 13

Notions de statistiques Graphiques d’études statistiques 1

De nombreux articles de journaux ont fait part des ventes de voitures pour l’année 2015. Population Voitures les mieux vendues en 2015 ........................................................

Marques de voitures

Opel

........................................................

Peugeot

Variable statistique

BMW

Volkswagen

........................................................

Renault

........................................................

10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 Nombre de voitures

Un professeur de mathématiques a réalisé un graphique illustrant les résultats de ses 20 élèves lors de la dernière interrogation cotée sur 10. Population

Cotes obtenues lors d’une interrogation de math 8

........................................................

Nombre d’élèves

7 ........................................................

6 5

Variable statistique

4 3

........................................................

2 ........................................................

1 0

10 Cotes

Le site www.populationdata.com nous informe sur les langues les plus parlées dans le monde. Population

Les 10 langues les plus parlées dans le monde 5% 5%

4%4%

Chinois-Mandarin 22 %

........................................................

Espagnol Anglais

........................................................

Hindi

Variable statistique

Français

Portugais 19 %

11 %

........................................................

Arabe Malais-Indonésien Russe

18 %

Bengali

........................................................

Notions de statistiques 4

Pour trouver son indice de masse corporelle (IMC), il suffit de diviser sa masse (en kg) par sa taille (en m) au carré. Voici la répartition des IMC de 300 hommes âgés entre 15 et 19 ans. Population IMC de jeunes hommes 4%

12 %

........................................................

11 %

Faible [0; 20[ 23 %

........................................................

Bas [20; 21[

Variable statistique

Moyen [21; 22[ ........................................................

Haut [22; 23[

Élevé [23; 24[

50 %

Tableaux d'études statistiques 1

Taille des membres d’une équipe de volley-ball Prénom Taille (cm)

Caroline

Lucie

Marine

Mégane

Sarah

Sophie

Vicky

162

155

168

161

165

170

172

Variable statistique

..............................................................

................................................

..............................................................

................................................

Q qd qc

Nombre de frère(s) et sœur(s) des élèves de 4e année d’un collège Nombre de frère(s) et sœur(s)

Nombre d’élèves

➠

Population

Variable statistique

..............................................................

................................................

..............................................................

................................................

Q qd qc

Prix d’achat des smartphones d’un groupe de jeunes Prix (€)

[0 ; 100[

[100 ; 200[

[200 ; 300[

[300 ; 400[

[400 ; 500[

Nombre de jeunes

➠

Population

Variable statistique

..............................................................

................................................

..............................................................

................................................

➠

Q qd qc

Vote pour le logo du T-shirt des rhétos Logos Nombre de voix

Enfin fini !

Merci les profs !

2011 – 2016

128

Population

Variable statistique

..............................................................

................................................

..............................................................

................................................

➠

Q qd qc

Notions de statistiques

Activité 2 • Classement et représentation de données dans le cas des variables qualitative et quantitative discrète Le secrétariat d’une école a réalisé une enquête sur la mobilité. 1

Le tableau ci-dessous reprend le moyen de transport utilisé par les 216 élèves de l’école. Réponds aux questions ci-dessous en complétant le tableau au fur et à mesure de tes réponses.

Moyen de transport

Nombre d’élèves utilisant ce moyen de transport

Modalités

Eﬀectifs

À pied

Vélo

Cyclomoteur

Voiture

Bus

Train

9 216

Proportion d’élèves utilisant ce moyen de transport Fréquences à 0,01 près

à 1 % près

100 %

Amplitudes des angles au centre (à 1° près)

360°

.............

a) Décris la population. ...................................................................................................................................................

b) Décris la variable statistique étudiée et précise son type. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) Combien d’élèves se rendent à l’école en voiture ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Quel est le moyen de transport le plus utilisé ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e) Pour connaître la fréquence d’utilisation de chaque moyen de transport, complète les 3e et 4e colonnes de ce tableau. Confirmes-tu la réponse apportée à la question d) ? Justifie. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Notions de statistiques

f) Ce type de variable statistique peut être représenté par un diagramme circulaire. (1) Indique sur les flèches se trouvant en bas du tableau de la page précédente les calculs à effectuer pour déterminer l’amplitude de chaque angle au centre. (2) Calcule ensuite chacune de ces amplitudes et complète la dernière colonne du tableau. (3) Construis le diagramme en indiquant dans chaque secteur la fréquence de chaque modalité et en complétant la légende. Fréquence d’utilisation des moyens de transport

.................

g) Ce type de variable statistique peut aussi être représentée par un histogramme des eﬀectifs ou des fréquences. Ci-dessous, construis l’histogramme des effectifs. Moyens de transport pour se rendre à l’école

Nombre d’élèves 70 60 50 40 30 20 10 0 À pied

Vélo

Cyclomoteur

Voiture

Bus Train Moyens de transport

Notions de statistiques 2

Voici le temps nécessaire (en min) mis par les 24 élèves habitant dans la rue de l’école pour s’y rendre le lundi matin. 4

a) Décris la population. ...................................................................................................................................................

b) Décris la variable statistique étudiée. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) De quel type est cette variable ?

.............................................................................................

d) Complète le tableau de distribution ci-dessous afin de répondre plus facilement aux questions posées. Veille à classer les modalités par ordre croissant. Temps de trajet (en min) Modalités

Pourcentage d’élèves Nombre d’élèves ayant chronométré ce ayant chronométré ce temps temps (à 0,01 % près) Eﬀectifs

Fréquences

(1) Quels sont les temps de trajet les plus fréquents ?

............................................................

(2) Quel pourcentage d’élèves a un temps de trajet de 8 min ?

..............................................

Notions de statistiques

e) (1) Construis un histogramme des effectifs. (2) Construis un diagramme circulaire des fréquences. Pour cela, ajoute une colonne au tableau de la page précédente afin d’y indiquer les amplitudes des angles au centre (au degré près).

(3) Vrai ou faux ? Justifie tes réponses en utilisant les graphiques que tu viens de réaliser. Il y a autant d’élèves qui mettent 5 minutes pour venir à l’école que d’élèves qui en mettent 3. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Il n’y a aucun élève qui a un temps de trajet de 7 minutes. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Il y a moins de 50 % d’élèves qui mettent au plus 4 minutes pour venir à l’école. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Il y a plus de 25 % d’élèves qui mettent 6 minutes ou plus pour venir à l’école. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Notions de statistiques f) Pour illustrer cette étude statistique, un élève a construit le polygone des effectifs. Pensestu qu’il s’agisse du meilleur graphique ? Justifie.

Effectifs

Temps de trajet (min) 7 6 5 4 3 2 1 0

Temps (min)

...................................................................................................................................................

g) (1) Dans le cas des variables quantitatives, les eﬀectifs cumulés et les fréquences cumulées peuvent fournir des informations pertinentes. Complète les colonnes eﬀectifs cumulés et fréquences cumulées du tableau de distribution et réponds aux questions.

Temps de trajet (en min)

Nombre d’élèves ayant chronométré ce temps

Nombre d’élèves ayant chronométré au maximum ce temps

Pourcentage d’élèves ayant chronométré ce temps (à 1 % près)

Pourcentage d’élèves ayant chronométré au maximum ce temps (à 1 % près)

Modalités

Eﬀectifs

Eﬀectifs cumulés

Fréquences

Fréquences cumulées

25 %

17 %

25 %

13 %

100 %

Notions de statistiques Combien d’élèves mettent 5 min ou moins pour venir à l’école ?

.......................................

Combien d’élèves mettent moins de 5 min pour venir à l’école ?

.......................................

Combien d’élèves mettent au moins 5 min pour venir à l’école ?

.......................................

Quel pourcentage d’élèves a un temps de trajet inférieur à 8 min ?

...................................

Quel pourcentage d’élèves a un temps de trajet supérieur à 6 min ?

.................................

(2) Les eﬀectifs cumulés peuvent être représentés par un graphique en escaliers. Pour le réaliser, il suffit de construire un graphique en bâtonnets (en pointillés), puis de tracer un segment horizontal du sommet d'un bâtonnet au bâtonnet suivant. Les extrémités de ce segment sont d’une part en vert, lorsque l’effectif cumulé est celui de la modalité, et d’autre part en rouge lorsqu’il ne l’est pas. Poursuis la construction du graphique ci-dessous et réponds aux questions. Temps de trajet mis par les élèves habitant la rue de l’école Effectifs cumulés

1 1

Combien d’élèves ont un temps de trajet inférieur à 7 min ?

Modalités ..............................................

Combien d’élèves ont un temps de trajet inférieur ou égal à 3 min ?

.................................

Si les élèves sont classés par ordre croissant du temps de trajet, – combien de temps met le 15e élève pour venir à l’école ?

.............................................

– combien de temps met le 21e élève pour venir à l’école ?

.............................................

(3) Le graphique des fréquences cumulées est identique à celui des effectifs cumulés. Pour l’obtenir, il suffit de modifier l’échelle de l’axe vertical. Indique dans une autre couleur les graduations 25 %, 50 % et 100 %.

Notions de statistiques

Classement et représentation de données dans le cas des variables qualitative et quantitative discrète A. Modalité et effectif Une modalité est une valeur prise par la variable statistique. L’effectif d’une modalité est le nombre de fois que cette modalité apparaît. Ces exemples et les suivants sont issus des pages 16 et 18. Exemples (1) Variable statistique : moyen de transport pour se rendre à l’école Si l’effectif de la modalité « Voiture » est 72, cela signifie que 72 élèves utilisent la voiture pour se rendre à l’école. (2) Variable statistique : temps de trajet (en min) pour se rendre à l’école Si l’effectif de la modalité « 2 » est 6, cela signifie que 6 élèves mettent 2 minutes pour se rendre à l’école. Si la variable est quantitative discrète, une fois les modalités indiquées dans l’ordre croissant, l’effectif cumulé d’une valeur est la somme des effectifs des valeurs qui lui sont inférieures ou égales. Exemple (2) Si l’effectif cumulé de la modalité « 5 » est 19, cela signifie que 19 élèves ont un temps de trajet inférieur ou égal à 5 minutes. L’effectif total de l’échantillon ou de la population est le nombre d’individus de cet échantillon ou de cette population. Exemple (1) L’effectif total est de 216 élèves.

B. Fréquence La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total. Effectif Fréquence = Effectif total Elle s’exprime par une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage. Exemple : (1) Calcul de la fréquence de la modalité « Bus » 74 = 74 : 216 @ 0,34 = 34 % 216 Cela signiﬁe que 34 % des élèves ont le bus comme moyen de transport pour se rendre à l’école. Si la variable est quantitative discrète, une fois les modalités indiquées dans l’ordre croissant, la fréquence cumulée d’une valeur est la somme des fréquences des valeurs qui lui sont inférieures ou égales. Exemple (2) Si la fréquence cumulée de la modalité « 6 » est 88 %, cela signiﬁe que 88 % des élèves ont un temps de trajet inférieur ou égal à 6 minutes.

Notions de statistiques

C. Tableau de distribution Le tableau de distribution d’une série statistique qualitative est un tableau dans lequel apparaît chaque modalité de la variable, son effectif et sa fréquence. Le tableau de distribution d’une série statistique quantitative discrète est un tableau dans lequel apparaît chaque modalité de la variable, son effectif, son effectif cumulé, sa fréquence et sa fréquence cumulée. Exemple : tableau de distribution du temps de trajet (en min) pour se rendre à l’école le lundi matin des 216 élèves d’un établissement scolaire Fréquences

Fréquences cumulées

Modalités

Eﬀectifs

Eﬀectifs cumulés

0,25

25 %

0,25

25 %

0,17

17 %

0,42

42 %

0,25

25 %

0,67

67 %

0,13

13 %

0,80

80 %

0,08

0,88

88 %

0,88

88 %

0,08

0,96

96 %

0,04

à 0,01 près à 1 % près à 0,01 près à 1 % près

100 %

D. Graphiques 1. Diagramme circulaire Un diagramme circulaire est utilisé pour représenter des données dont on connaît la répartition par rapport à un tout. L’amplitude de chaque secteur est proportionnelle à la fréquence de la modalité correspondante. L’amplitude de chaque angle au centre se calcule en multipliant chaque fréquence… par 360 si elle est exprimée par un nombre décimal, par 3,6 si elle est exprimée par un pourcentage. Le diagramme est accompagné d’une légende et, généralement, les fréquences sont indiquées auprès de chacun des secteurs. Exemples

Variable qualitative

Variable quantitative discrète

Moyens de transport pour Moyens de transport se rendre à l’écolepour se rendre à l’école 4% 4%

17 % 17 % 6% 6% 6% 6%

34 % 34 %

33 % 33 %

À pied À pied Vélo Vélo Cyclomoteur Cyclomoteur Voiture Voiture Bus Bus Train Train

Temps de trajet (min) pour se rendre à l’école 8% 0% 8%

25 %

2 3 4 5

13 %

17 % 25 %

6 7 8 9

Notions de statistiques 2. Histogramme Dans un histogramme ou diagramme en bâtonnets, les différentes modalités sont indiquées en abscisse (sur l’axe x). L’axe y est gradué de façon à indiquer les effectifs. Exemples Variable qualitative Moyens de transport pour se rendre à l’école

Variable quantitative discrète Temps de trajet (min) pour se rendre à l’école

Nombre d’élèves

40 20 0 À

d pie

lo Vé

lom

u ote

re itu

s Bu

in Tra

8 6 4 2 0

7 8 9 Temps de trajet (min)

Moyens de transport

3. Polygone Un polygone est un graphique en ligne brisée qui indique une évolution. Ce graphique n’est pas utilisé dans le cas d’une variable qualitative et l’est rarement dans le cas d’une variable quantitative discrète. Il est utile afin de mieux visualiser les variations d’effectifs. Les différentes modalités sont indiquées en abscisse (sur l’axe x) et l’axe y est gradué de façon à indiquer les effectifs. Exemple Variable quantitative discrète

Effectifs

Temps de trajet (min) 7 6 5 4 3 2 1 0

5 Temps (min)

Notions de statistiques

4. Graphique en escaliers Le graphique en escaliers est utilisé pour représenter les effectifs cumulés ou les fréquences cumulées dans le cas d’une variable quantitative discrète. Les différentes modalités sont indiquées en abscisse (sur l’axe x). L’échelle de l’axe y dépend de la valeur maximale qu’il faut pouvoir y indiquer. Exemple Variable quantitative discrète Effectifs cumulés 24 23

Temps de trajet (min) mis par les élèves habitant la rue de l'école

21 19

1 1

Modalités

Notions de statistiques

Exercices 1

Le graphique ci-dessous représente les ventes de smartphones d’une boutique en ligne, durant le mois de mai. Ventes du mois de mai Nombre de ventes

160

Ventes du mois de mai

147

140

.................

125

120

.................

100 80

73 .................

.................

20 .................

ny So

a Sa m

ot or ol

ua w H

Marques de smartphones

a) Décris la population. ...................................................................................................................................................

b) Décris la variable statistique. Est-elle qualitative, quantitative discrète ou quantitative continue ? ...................................................................................................................................................

c) Complète le tableau de distribution et construis ci-dessus un graphique circulaire des fréquences. Modalités

Effectifs

Fréquences (à 0,1 % près)

Amplitudes (à 1° près)

d) Quelle marque de smartphones a rencontré le plus de succès durant ce mois de mai ? ...................................................................................................................................................

e) Estime le nombre de smartphones de la marque Huawei vendus par ce site en un an. ...................................................................................................................................................

Notions de statistiques 2

Un club de natation compte 60 membres âgés de 10 à 20 ans. Voici l’âge de chacun d’eux. 15

a) Complète le tableau de distribution.

Modalités

Effectifs

Fréquences Effectifs Fréquences cumulées cumulés (à 1 % près) (à 1 % près)

(1) Décris la population. .........................................

.........................................

(2) Décris la variable statistique et précise son type. .........................................

.........................................

(3) Pour pouvoir postuler comme moniteur, il faut avoir au moins 18 ans. Combien de membres pourraient être candidats potentiels ? ..............................................................................................................................................

(4) Certains entraînements ne sont accessibles qu’aux 10-15 ans et d’autres aux 16-20 ans. Ces deux groupes d’âges comptent-ils le même nombre de membres ? Justifie. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(5) Quels sont les âges les plus fréquents ?

............................................................................

(6) Les membres du club ont-ils en majorité moins de 16 ans ? Justifie. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Notions de statistiques b) (1) Construis l’histogramme des fréquences.

(2) Quel est l’âge le moins fréquent ?

......................................................................................

Colorie en vert le rectangle correspondant. (3) Un quart des membres a-t-il plus de 18 ans ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Justifie et colorie en bleu les rectangles qui t’ont permis d’effectuer le calcul. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Lors des Olympiades scolaires annuelles, chaque élève participe à 15 épreuves sportives. Chaque épreuve réussie donne droit à un point. Voici ce que chacun des 22 élèves d’une classe de 4e année a comptabilisé : 6

a) (1) Décris la population.

...........................................................................................................

(2) Décris la variable statistique. Précise son type. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(3) S’il faut comptabiliser au moins 13 points pour recevoir une médaille, combien d’élèves sont dans le cas ? ..............................................................................................................................................

(4) Quels sont le meilleur et le moins bon score ? ..............................................................................................................................................

(5) Combien d’élèves ont réussi exactement quatre épreuves ? ..............................................................................................................................................

Notions de statistiques

b) Complète le tableau de distribution et réponds aux questions. Modalités

Effectifs cumulés

Effectifs

Fréquences (à 1 % près)

Fréquences cumulées (à 1 % près)

(1) Quel pourcentage des élèves a réussi exactement un tiers des épreuves ? ..............................................................................................................................................

(2) Quel pourcentage des élèves a réussi moins de huit épreuves ? ..............................................................................................................................................

c) Construis un graphique en escaliers des effectifs cumulés et réponds aux questions. Effectifs cumulés

1 0

13 Modalités

Notions de statistiques (1) Combien d’élèves ont réussi moins de trois épreuves ? ..............................................................................................................................................

(2) Combien d’élèves ont réussi moins de la moitié des épreuves ? Indique un point bleu sur le segment qui t’as permis de trouver la réponse. ..............................................................................................................................................

(3) Combien d’élèves ont réussi au moins les deux tiers des épreuves ? ..............................................................................................................................................

Calcule le pourcentage que cela représente. ..............................................................................................................................................

Utilise les données du tableau pour calculer ce pourcentage d’une autre manière. ..............................................................................................................................................

À partir du graphique en escaliers ci-dessous, complète le tableau de distribution et réponds aux questions. Effectifs cumulés

Modalités

Effectifs

Effectifs cumulés

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

3 4 5 Nombre de frères et sœurs

a) Combien de personnes ont été interrogées ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Combien de personnes ont cinq frères et sœurs ? c) Combien de personnes n’ont ni frère ni sœur ?

..................................................................

......................................................................

d) Combien de personnes ont moins de quatre frères et sœurs ?

..............................................

Notions de statistiques

Activité 3 • Classement et représentation de données dans le cas d’une variable quantitative continue Dans le cadre de la même enquête sur la mobilité présentée à l’activité précédente, le secrétariat de l’école a demandé à tous les élèves le temps de trajet (en min) qui leur est nécessaire pour se rendre de leur domicile à l’école le lundi matin. Voici les réponses apportées. 8 75 22 12 3 14 16 21 6 10 14 5 1

13 45 24 11 3 9 9 12 42 13 4 70

17 14 16 9 13 17 5 52 36 38 2 65

3 16 14 54 15 19 82 51 60 14 22 20

19 22 2 24 88 22 26 5 7 13 11 15

11 19 7 23 25 17 20 19 4 18 12 9

12 36 8 10 14 15 24 31 12 2 21 13

6 38 4 9 10 9 4 6 12 30 32 4

4 5 5 28 15 18 42 8 27 20 10 12

6 18 31 21 2 16 21 36 3 9 8 20

53 16 12 8 11 12 10 5 14 16 17 3

2 25 15 16 60 21 13 17 7 11 19 11

12 41 19 19 11 8 4 12 27 8 28 42

50 53 20 17 12 19 6 8 58 15 17 8

27 24 30 31 31 36 21 27 96 24 20 6

7 12 52 12 25 37 18 26 7 26 5 14

2 65 25 17 5 25 15 4 9 32 34 5

62 90 29 20 27 12 16 25 14 11 17 20

Vu le grand nombre de réponses différentes, il est nécessaire de les regrouper dans des intervalles appelés classes. Repère la plus petite et la plus grande modalité.

..........................................................................

Pour t’aider, les deux premières classes sont indiquées dans le tableau ci-dessous. Indique les suivantes en respectant la même amplitude, en fermant les intervalles sur la borne inférieure et en les ouvrant sur la borne supérieure. Complète ensuite les autres colonnes du tableau et réponds aux questions. Classes

Effectifs

Effectifs cumulés

Fréquences (à 1 % près)

Fréquences cumulées (à 1 % près)

[0 ; 10[ [10 ; 20[

Notions de statistiques a) Quelle est la classe de temps avec la fréquence la plus élevée ? b) Combien d’élèves se rendent à l’école en moins d’une heure ?

...........................................

.............................................

c) À quelles classes appartiennent les 135 élèves qui mettent le moins de temps pour se rendre à l’école ? 2

......................................................................................................................

Une variable quantitative continue peut être représentée par un diagramme en ligne brisée (polygone) des eﬀectifs cumulés ou des fréquences cumulées. a) Termine la construction du polygone des fréquences cumulées ci-dessous.

Fréquences cumulées (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 26 20 10

100

Temps de trajet (min)

b) Quel pourcentage d’élèves se rend à l’école en moins de 30 minutes ?

................................

c) Estime, à l’aide du graphique, le temps de trajet maximum des 70 % des élèves qui arrivent à l’école le plus rapidement. ...................................................................................................................................................

d) Estime, à l’aide du graphique, le pourcentage d’élèves qui met moins de 55 minutes pour se rendre à l’école. ...................................................................................................................................................

Notions de statistiques

Classement et représentation de données dans le cas d'une variable quantitative continue A. Classe Une classe est un intervalle de valeurs. On utilise des classes lorsque les données à traiter sont en trop grand nombre. Chaque intervalle est fermé sur la borne inférieure et ouvert sur la borne supérieure. Cette année, les problèmes traités avec des classes le seront toujours avec des classes de même amplitude. Exemple La classe [70 ; 80[ regroupe les temps des trajets d’une durée supérieure ou égale à 70 minutes et inférieure à 80 minutes.

B. Effectif L’effectif d’une classe est le nombre de fois qu’apparaît une des valeurs de cette classe. Exemple Si l’effectif de la classe [70 ; 80[ est 2, cela signifie que 2 élèves ont un temps de trajet supérieur ou égal à 70 minutes et inférieur à 80 minutes. Une fois les classes indiquées dans l’ordre croissant, l’effectif cumulé d’une classe est la somme des effectifs de cette classe et des classes précédentes. Exemple Si l’effectif cumulé de la classe [70 ; 80[ est 212, cela signifie que 212 élèves ont un temps de trajet inférieur à 80 minutes.

C. Fréquence La fréquence d’une classe est le quotient de l’effectif de cette classe par l’effectif total. Effectif Fréquence = Effectif total Elle s’exprime par une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage. Exemple Calcul de la fréquence de la classe [70 ; 80[ 2 = 2 : 216 @ 0,01 = 1 % 216 Cela signiﬁe que 1 % des élèves ont un temps de trajet supérieur ou égal à 70 minutes et inférieur à 80 minutes. Une fois les valeurs ou les classes indiquées dans l’ordre croissant, la fréquence cumulée d’une classe est la somme des fréquences de cette classe et des classes précédentes. Exemple Si la fréquence cumulée de la classe [70 ; 80[ est 98 %, cela signiﬁe que 98 % des élèves ont un temps de trajet inférieur à 80 minutes.

Notions de statistiques

D. Tableau de distribution Le tableau de distribution d’une série statistique quantitative continue est un tableau dans lequel apparaît chaque classe, son effectif, son effectif cumulé, sa fréquence et sa fréquence cumulée. Exemple de tableau de distribution du temps de trajet (en min) de 216 élèves d’une école Classes

Eﬀectifs

Eﬀectifs cumulés

Fréquences (à 1 % près)

Fréquences cumulées (à 1 % près)

[0 ; 10[

26 %

[10 ; 20[

135

37 %

63 %

[20 ; 30[

176

19 %

82 %

[30 ; 40[

192

89 %

[40 ; 50[

197

91 %

[50 ; 60[

205

95 %

[60 ; 70[

210

97 %

[70 ; 80[

212

98 %

[80 ; 90[

214

99 %

[90 ; 100[

216

100 %

216

100 %

E. Graphique Dans le cas d’une variable quantitative continue, la série statistique est souvent représentée par un diagramme en ligne brisée (ou polygone) des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées. Exemple

Fréquences cumulées (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

80 90 100 110 Temps de trajet (min)

Exercices Le graphique ci-dessous représente la fréquence des classes de tailles de 160 jeunes de 4e année. En utilisant ce graphique, réponds aux questions de la page suivante. Classes de tailles (cm)

[170 ; 175[ [165 ; 170[ [160 ; 165[ [155 ; 160[ [150 ; 155[ [145 ; 150[ 0

35 40 Fréquences (%)

Notions de statistiques a) Décris la population.

......................................................................................

b) Décris la variable statistique étudiée.

......................................................................................

Quel est son type ?

......................................................................................

c) (1) Complète le tableau de distribution. Classes

Effectifs cumulés

Effectifs

Fréquences cumulées (à 1 % près)

Fréquences (à 1 % près)

(2) Construis le polygone des effectifs cumulés.

Effectifs cumulés

150

100

10 145

150

155

160

165

170

175 Taille (cm)

(3) Combien d’élèves mesurent moins de 1,60 m ?

................................................................

(4) Combien d’élèves mesurent moins de 1,62 m ?

................................................................

Notions de statistiques 2

Un site d’analyse statistique sur les réseaux sociaux fournit les données ci-dessous pour les utilisateurs de Facebook âgés entre 13 et 63 ans. Répartition des utilisateurs de Facebook en Belgique par tranches d’âges 6% 3%

14 %

6% 6% 7%

22 %

6% 5%

[13 ; 18[

[38 ; 43[

[18 ; 23[

[43 ; 48[

[23 ; 28[

[48 ; 53[

[28 ; 33[

[53 ; 58[

[33 ; 38[

[58 ; 63[

25 %

a) On compte 5,5 millions de membres actifs (se connectant au moins une fois par mois) en Belgique. Complète le tableau de distribution ci-dessous. Classes

Effectifs

Effectifs cumulés

Fréquences (à 1 % près)

Fréquences cumulées (à 1 % près)

b) Combien de jeunes belges de la même classe d’âge que toi sont membres actifs ? ...................................................................................................................................................

c) Combien de membres actifs ont moins de 53 ans ? d) Combien de membres actifs sont majeurs ?

...............................................................

...........................................................................

e) On compte un milliard de membres actifs dans le monde. Si on considère les membres actifs belges comme étant un échantillon représentatif des membres actifs du monde entier, combien de jeunes de la même classe d’âges que toi sont membres de Facebook dans le monde ? ...................................................................................................................................................

Notions de statistiques Deux statisticiens ont compilé les temps de parcours, en minutes, des participants à un semi-marathon à l’aide de classes. Comme le montre les deux tableaux et les deux graphiques ci-dessous, ils n’ont pas fait le même choix de classes. Statisticien 1

Classes

Effectifs

Classes

Effectifs

[60 ; 70[

[65 ; 80[

[70 ; 80[

[80 ; 95[

[80 ; 90[

[95 ; 110[

111

[90 ; 100[

[110 ; 125[

103

[100 ; 110[

[125 ; 140[

[110 ; 120[

[140 ; 155[

[120 ; 130[

[130 ; 140[

[140 ; 150[

Statisticien 2

120

100

70 60

Effectifs

40 30

10 0

90 100 110 120 130 140 150 Temps de course (min)

95 110 125 140 Temps de course (min)

155

a) Roxanne et Sylvie ont couru ce semi-marathon en respectivement 98 et 92 minutes. Sur chaque graphique indique à l’aide de l’initiale du prénom les classes dans lesquelles se trouvent les temps de parcours des deux filles. b) En te basant sur les études des statisticiens, indique à l’aide de croix qui a pu prononcer chacune des affirmations ci-dessous. Statisticien 1 Statisticien 2 Les temps de Roxanne et Sylvie sont dans la même classe. Le résultat de Roxanne se situe dans la classe de plus grand effectif. Le dernier coureur a mis moins de 150 minutes. Le vainqueur a couru en 65 minutes ou plus. Le vainqueur a couru en moins de 80 minutes. Toutes les classes ont un effectif inférieur à 100. Il y a 348 coureurs qui ont terminé la course. Lors de cette course, personne n’a battu le record du monde qui est de 58 minutes. c) Quelle conclusion peux-tu tirer en comparant les deux colonnes de réponses ? ...................................................................................................................................................

Notions de statistiques

Exercices supplémentaires 1

Associe le mot ou le groupe de mots à la partie de phrase colorée qui convient. classe

fréquence

eﬀectif

variable quantitative

population

étude statistique

modalité variable qualitative

« L’asbl APSQ (Activités Parascolaires et Sport au Quotidien) a collecté, traité et interprété diverses données. Cette association a interrogé 2000 jeunes de 14 à 17 ans. Une partie de l’étude porte sur le sport que ces jeunes pratiquent. Entre autres, elle a pu établir un top 10 des sports les plus pratiqués ainsi qu’un budget mensuel moyen consacré à la pratique du sport. Parmi les sports les plus pratiqués figure le football qui ne compte pas moins de 983 adeptes chez les jeunes interrogés. Quant au budget, plus de la moitié de ces jeunes dépensent souvent entre 20 et 30 € par mois pour leur inscription, leur abonnement et le matériel spécifique. L’asbl a aussi pu constater que 60 % de ces 2000 jeunes pratiquaient leur sport au moins une fois par semaine. » 2

Pour chaque situation, détermine la population et la variable statistique. Précise de quel type de variable il s’agit. Établis ensuite un tableau de distribution et réalise un graphique adéquat. Veille à varier les représentations graphiques. a) Une enquête auprès de 10 000 jeunes âgés entre 15 et 24 ans rapporte que leur activité culturelle favorite est d’écouter de la musique. La majorité d’entre eux en écoute plus de deux heures par jour. Les supports les plus utilisés sont le smartphone, le baladeur mp3 et la radio. Les préférences musicales sont variées, mais le RnB est en tête de classement avec 28 %. Viennent ensuite le rap avec 22 %, l’électro avec 17 % et la chanson française avec 13 %. La pop et le rock ne sont pas en reste et se partagent de manière équitable la dernière part.

b) Pour un travail scolaire à propos des animaux de compagnie, Noah a voulu interroger les habitants des 76 maisons de son village. Une des questions portait sur le nombre de chats abrités dans chaque foyer. Voici le relevé du nombre d’habitations en fonction du nombre de chats.

c) Dans les supermarchés, une grande variété de céréales est mise en vente. Malgré leurs mérites nutritifs vantés par la publicité, si on regarde l’étiquette de plus près, on peut constater que la quantité de sucre par portion de 30 g est souvent très élevée : l’une d’elles indique 21 g ! Voici la quantité de sucre, en g, que nous avons pu relever sur les étiquettes des différentes variétés .

d) Les allergies alimentaires sont assez fréquentes. Une puéricultrice d’une crèche accueillant 120 enfants affirme que près de la moitié d’entre eux présente une allergie au lait, à l’œuf, au blé, aux arachides, au soja ou aux poissons. Voici ce qu’elle a pu constater dans les dossiers : parmi les plus jeunes, deux enfants de moins de 6 mois et six enfants âgés de 6 à 12 mois présentent une allergie. Un pic est atteint auprès des enfants de 1 à 2 ans et demi : 12 enfants âgés de 12 à 18 mois, 16 entre 18 et 24 mois, 14 de 24 à 30 mois. Son constat s’allège parmi les plus grands où on en compte cinq âgés de 30 à 36 mois.

13,3 12,4 10,3

7,9

9,9

5,5

6,2

5,8

7,8

4,8

7,6

5,5

12,6 10,5

5,6

6,7

7,8

10,8

4,8

9,8

13,6 11,8

5,6

4,5

6,5

11,8

5,4

13,5

|||| |||| |||| ||

|||| |||| ||

|||| |||| |||| |||

|||| ||||

Noah n’a pas reçu d’informations pour les autres maisons.

Chapitre 2

Valeurs centrales

Compétences à développer Lire et construire un tableau de nombres, un graphique, un diagramme relatif à un ensemble de données statistiques. Calculer et interpréter des valeurs caractéristiques d’un ensemble de données statistiques.

Appliquer Calculer des valeurs caractéristiques d’un ensemble de données statistiques. Construire un tableau à partir de données brutes ou recensées. Construire des représentations graphiques liées à un ensemble de données statistiques. Extraire des informations d’une représentation graphique de données statistiques.

Transférer Interpréter en contexte les valeurs caractéristiques d’un ensemble de données statistiques. Commenter des représentations graphiques liées à un ensemble de données statistiques. Traiter des données statistiques en utilisant l’outil informatique (tableur).

Valeurs centrales

Activité 1 • Valeurs centrales d’une série discrète a) Dans un club de football, les 15 membres d’une équipe ont fait une séance de tirs au but lors d’un entraînement. Leurs résultats sont représentés sur le graphique ci-contre.

Tirs au but 6 Nombre de joueurs

5 4 3 2 1 0 3

5 6 7 10 12 15 Nombre de goals marqués

(1) Complète les quatre premières colonnes du tableau de distribution de cette série. Modalités x

Effectifs n

Effectifs cumulés

Fréquences (à 1 % près)

(2) Combien de joueurs ont marqué 6 goals chacun ? Combien de joueurs ont marqué moins de 7 goals chacun ?

x.n

...........................................

(3) Combien de buts ont été marqués lors de cet entraînement ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Complète la cinquième colonne du tableau en notant tes calculs et tes réponses. (4) L’entraîneur félicite ses joueurs car, en moyenne, ils ont marqué plus de goals que lors du dernier entraînement. Quelle est cette moyenne ? ..............................................................................................................................................

(5) Les défenseurs ont tous marqué le même nombre de goals. Détermine ce nombre sachant qu’il s’agit de la valeur la plus fréquente : le mode. ..............................................................................................................................................

Valeurs centrales Combien de défenseurs au maximum ont pris part à l’entraînement ? ..............................................................................................................................................

(6) L’entraîneur encourage Christian et lui dit : « Si on classe les joueurs par ordre croissant de goals marqués, tu te situes au milieu de ce classement ! ». Si le numéro sur le maillot indique le classement, écris sous chaque maillot le nombre de goals marqués.

.....

Détermine la position qu’occupe Christian dans le classement et précise le nombre de goals qu’il a marqués. Ce nombre est la médiane de la série. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Comment aurais-tu pu trouver la médiane à partir du tableau de distribution ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(7) Le papa de Christian, professeur de mathématique, s’est amusé à réaliser les graphiques des effectifs et des effectifs cumulés pour les résultats de cette séance de tirs au but. Effectifs cumulés

Effectifs 5

15 14

12 10

Tirs au but 2 1

5 6 7

Nombre de joueurs

5 2 1

3 15 Modalités 2

5 6 7

15 Modalités

Le mode et la médiane peuvent rapidement être lus en utilisant ces graphiques. Précise 1 le graphique à utiliser et décris la procédure. 0

Mode

5 6 7 10 12 15 Nombre de goals marqués

.............................................................................................................................

Médiane

.............................................................................................................................

Valeurs centrales b) Les minimes, qui s’entraînaient sur un terrain voisin, ont aussi comptabilisé leurs goals. Ils voudraient comparer leurs exploits à ceux de l’équipe des grands. Voici un tableau reprenant les résultats de leur entraînement. Modalités x

Effectifs n

Effectifs cumulés

x.n

Fréquences

20 (1) Détermine le mode.

.............................................................................................................

(2) Complète les troisième et quatrième colonnes du tableau. (3) Complète la dernière colonne du tableau et déduis-en la moyenne. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(4) Si le numéro sur le maillot indique le classement, écris sous chaque maillot le nombre de goals marqués. Détermine ensuite la médiane en utilisant le classement des joueurs.

.....

..............................................................................................................................................

Valeurs centrales

(5) Vérifie tes réponses pour le mode et la médiane en utilisant le graphique adéquat. Effectifs

Effectifs cumulés 20 19 18

5 10 9 3 4 1 1 0

Mode

5 6

1415 Modalités

5 6

1415 Modalités

.............................................................................................................................

Médiane

.............................................................................................................................

c) Pour se rendre à l’entraînement, les minimes ont utilisé différents moyens de transport : 5 sont venus à pied, 8 en voiture, 4 à vélo et 3 en bus. (1) Quel est le caractère étudié ? ..............................................................................................................................................

(2) Si possible, détermine la moyenne, le mode et la médiane de cette série. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(3) Construis l’histogramme des effectifs et vérifie ta réponse pour les valeurs centrales que tu as pu déterminer. Effectifs ............................................................

............................................................

Modalités

Valeurs centrales 2

Pertinence relative des valeurs centrales a) Un chocolatier teste, en faisant varier son pourcentage de cacao, une nouvelle barre de chocolat qui sera mise en vente dans les distributeurs automatiques des écoles primaires de sa région. Il propose à 60 jeunes élèves de goûter ses préparations et de choisir leur préférée. Voici les résultats obtenus. Pourcentage de cacao

Effectifs

Effectifs cumulés

(1) Détermine les valeurs centrales. Moyenne

Mode

Médiane

.......................................................................................

...............

........................

.......................................................................................

...............

........................

.......................................................................................

...............

........................

(2) À quelle valeur centrale le chocolatier pourrait-il se fier pour lancer sa production ? ..............................................................................................................................................

b) Voici les résultats obtenus par 10 élèves lors d’une interrogation cotée sur 10. 0

(1) Détermine les valeurs centrales. Moyenne

Mode

Médiane

.......................................................................................

...............

........................

(2) Quelle valeur centrale illustre le mieux la tendance de la série ? Justifie. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

c) Un couple a comptabilisé les dépenses qu’il a réalisées chaque mois dans la même grande surface. Voici les sommes en euros.

320

370

383

452

312

389

210

573

340

435

365

573

Valeurs centrales (1) Calcule la moyenne.

............................................................................................................

(2) Détermine le mode.

.............................................................................................................

(3) Que dois-tu faire avant de pouvoir déterminer la médiane ? ..............................................................................................................................................

Détermine cette médiane. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(4) Quelle valeur centrale permettrait à ce couple d’établir un budget mensuel ? ..............................................................................................................................................

d) Complète, par oui ou par non, chaque case du tableau. Valeur …

Moyenne

Mode

Médiane

rencontrée dans la vie de tous les jours toujours déterminée sans effectuer de calcul faisant toujours partie de la série dépendante des valeurs extrêmes toujours possible à déterminer

Valeurs centrales d’une série discrète A. Déﬁnitions 1. Mode Le mode d’une série statistique est la modalité qui a le plus grand effectif. Exemple : pour la série 1 1 2 2 2 3 3 4 6 6, le mode est 2. Modalités

Eﬀectifs

Le tableau de distribution permet de constater que la modalité 2 est celle qui a le plus grand eﬀectif.

Valeurs centrales Remarques Il y a parfois plusieurs modes pour une même série. Exemple : pour la série 10 20 20 20 40 50 50 60 60 60, les modes sont 20 et 60. Le mode est la seule valeur centrale pouvant être déterminée lorsque le caractère est qualitatif. Exemple : pour la série bus bus vélo voiture bus bus vélo, le mode est « bus ». 2. Moyenne La moyenne arithmétique d’une série statistique est le quotient de la somme des valeurs par l’effectif total. Moyenne =

somme des valeurs effectif total

Exemple : calcul de la moyenne de la série 1 1 2 2 2 3 3 4 6 6 1re méthode : À partir des données brutes Moyenne =

1+1+2+2+2+3+3+4+6+ 6 30 = =3 10 10

2e méthode : À partir du tableau de distribution Modalités x

Eﬀectifs n

x.n

Moyenne =

On effectue dans une nouvelle colonne du tableau de distribution les produits des modalités (x) par les effectifs correspondants (n). On calcule la somme de ces produits. On divise cette somme par l’effectif total pour obtenir la moyenne.

30 =3 10

3. Médiane La médiane d’une série statistique est la valeur qui sépare une série ordonnée en deux groupes de même effectif. Exemple : pour la série 10 20 20 30 30 40 50, la médiane est 30. En eﬀet, 10 20 20 30 30 40 50 3 valeurs

3 valeurs

Valeurs centrales

B. Comment calculer la médiane ? 1. L’eﬀectif total est impair On classe les valeurs par ordre croissant. La médiane est la valeur située au milieu de la série. Exemple À partir de la série ordonnée : 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 6 5 valeurs

Médiane : 4

5 valeurs

À partir du tableau de distribution Modalités

Eﬀectifs

Eﬀectifs cumulés

L’eﬀectif total étant de 11 individus, la valeur située au milieu de la série est la 6e. On cherche donc le 6e individu. Pour cela, on repère la plus petite modalité pour laquelle l’eﬀectif cumulé est égal ou supérieur à 6. Il s’agit de la modalité 4. Médiane : 4

À partir du graphique des eﬀectifs cumulés Effectifs cumulés

L’effectif total étant de 11 individus, la valeur située au milieu de la série est la 6e. On repère 6 sur l’axe des effectifs cumulés et on identifie la plus petite modalité pour laquelle l’effectif cumulé est égal ou supérieur à 6. Il s’agit de la modalité 4.

11 8 7 6 5 2 0

Médiane : 4

6 Modalités

2. L’eﬀectif total est pair On classe les valeurs par ordre croissant. La médiane est la moyenne arithmétique des deux valeurs situées au milieu de la série. Exemple À partir de la série ordonnée : 15 25 35 35 35 55 55 65 65 65 5 valeurs Médiane =

5 valeurs

35 + 55 90 = = 45 2 2

Valeurs centrales À partir du tableau de distribution Modalités

Eﬀectifs

Eﬀectifs cumulés

L’eﬀectif total étant de 10 individus, les valeurs situées au milieu de la série sont la 5e et la 6e. On repère alors les plus petites modalités pour lesquelles les eﬀectifs cumulés sont égaux ou supérieurs à 5 et à 6. Il s’agit des modalités 35 et 55. La médiane est la moyenne arithmétique de ces deux modalités. Médiane =

35 + 55 90 = = 45 2 2

À partir du graphique des effectifs cumulés L’effectif total étant de 10 individus, les valeurs situées au milieu de la série sont la 5e et la 6e. On repère 5 et 6 sur l’axe des effectifs cumulés et on identifie les plus petites modalités pour lesquelles les effectifs cumulés sont égaux ou supérieurs à 5 et à 6. Il s’agit des modalités 35 et 55. La médiane est la moyenne arithmétique de ces deux modalités.

Effectifs cumulés 10 7 6 5 2 1 0

65 Modalités

Médiane =

35 + 55 90 = = 45 2 2

C. Quelle valeur centrale choisir ? Suivant la façon dont les données sont réparties, certaines valeurs centrales sont plus proches que d’autres de la tendance centrale de la série. La moyenne est la valeur centrale la plus couramment utilisée car elle tient compte de toutes les valeurs de la série. Mais elle nécessite un calcul parfois long. Elle est influencée par des valeurs extrêmes qui peuvent fausser la tendance. Elle peut ne pas faire partie de la série. Le mode est simple à déterminer car il fait partie de la série et apparaît clairement dans le tableau ou sur le graphique. De plus, c’est la seule valeur centrale pouvant être déterminée lorsque le caractère est qualitatif. Par contre, il peut être très éloigné de toutes les autres valeurs de la série. La médiane porte bien son nom de valeur centrale car elle est située au milieu de la série : elle est supérieure ou égale à la moitié des valeurs de la série et inférieure ou égale à l’autre moitié. Elle n’est pas influencée par d’éventuelles valeurs extrêmes. Elle ne tient d’ailleurs compte d’aucune autre valeur de la série.

Valeurs centrales

Exercices 1

Voici les surfaces habitables, en m2, de neuf maisons d’un même quartier. 82

104

107

126

196

210

225

230

250

..............

a) Quelle est la surface habitable moyenne, en m2, de ces neuf maisons ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Quelle est la surface habitable de la maison qui se situe au milieu de la série ? Quelle valeur centrale représente-t-elle ?

....................

................................................................................

c) Si on ajoute à cette liste le château de 3600 m2 situé dans le même quartier, quelle en sera l’influence sur ces deux valeurs centrales ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Les graphiques ci-dessous représentent les résultats obtenus par deux groupes d’élèves lors d’une interrogation cotée sur dix. Groupe A

Nombre d’élèves 7

Groupe B

Nombre d’élèves 7

1 0

0 1

5 6 7 Cotes (/10)

4 5 6 Cotes (/10)

a) Le graphique t’indique-t-il quel groupe a le mieux travaillé ? Explique. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Calcule la moyenne de chaque groupe à 0,1 près. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Valeurs centrales Cette moyenne t’indique-t-elle quel groupe a le mieux travaillé ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) Quel est le mode de chaque groupe ? ...................................................................................................................................................

Ce mode t’indique-t-il quel groupe a le mieux travaillé ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Quelle est la médiane de chaque groupe ? ...................................................................................................................................................

Cette médiane t’indique-t-elle quel groupe a le mieux travaillé ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Un groupe d’élèves voudrait créer une mini-entreprise qui fabriquerait et vendrait des pochettes pour cartes de fidélité. Ces pochettes doivent pouvoir contenir suffisamment de cartes mais ne pas être trop encombrantes. D’après les renseignements fournis par le graphique, combien de cartes devrait pouvoir contenir la pochette qui permettrait de satisfaire un maximum de clients potentiels ? Justifie en utilisant la valeur centrale la mieux adaptée. ...........................................................................................

Nombre de cartes de fidélité dans le portefeuille des 300 professeurs des écoles de la ville 6%

4% 25 %

4 8 10 12

45 %

20 %

...........................................................................................

Détermine le mode à partir des graphiques ci-dessous.

40 Effectifs

Fréquences (%)

50 30 20 10 0

100 150 200 250 Modalités

...............................................

14 12 10 8 6 4 2 0

Effectifs cumulés

70 80 90 Modalités

...............................................

80 70 60 50 40 30 20 10 0

2 3 4 5 Modalités

...............................................

Valeurs centrales

100 150 200 250 Modalités

...............................................

50 40 30 20 10 0

40 50 60 70 80 Modalités

...............................................

Fréquences cumulées

14 12 10 8 6 4 2 0

Effectifs cumulés

Détermine la médiane à partir des graphiques ci-dessous.

Effectifs

100 80 60 40 20 0

2 3 4 Modalités

...............................................

Ajoute une croix dans la colonne de la valeur utilisée pour déterminer le nombre en gras. Mode

Moyenne Médiane

Lors d’une compétition régionale de tir à l’arc, seule la moitié des archers accèdent au second tour. Pour cela, ils doivent avoir obtenu au moins 470 points. Douze amis se rendent au restaurant. À la fin de la soirée, ils décident de partager l'addition et de payer chacun le même montant qui s’élève à 43 €. Une entreprise employant 140 personnes constate que le nombre d’absents est toujours plus important le vendredi. Un rapport de la Direction Générale des Finances d’une société indique qu’en 2015, 50 % des employés gagnaient au moins 32 615 € annuellement (revenu brut). 7

Mélodie possède 160 pièces de monnaie dans sa tirelire pour une valeur totale de 58,29 €. Elle possède au moins une pièce de chaque valeur et a autant de pièces rouges que d'autres pièces. a) À partir de ces informations, détermine, si possible, les valeurs centrales. Exprime tes réponses en cents. ................................................................................................

................................................................................................

b) Son amie lui offre cinq pièces de 0,05 €, que deviennent ces valeurs centrales ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Valeurs centrales c) Avec les pièces offertes par son amie, la collection de Mélodie a-t-elle gagné ou perdu de la valeur ? Discute. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Un commerçant ambulant se rend à Liège chaque semaine et propose des cafés à la vente. La semaine dernière, il a vendu 500 petits cafés à 1 € et 520 grands cafés à 1,5 €. Cette semaine, il a décidé d’ajouter à sa carte des Irish-coffee à 6 € et d'augmenter tous les autres prix de 10 cents. Ses ventes se sont alors réparties comme suit : 560 petits cafés, 420 grands cafés et 80 Irish-coffee. a) Complète les tableaux de distribution pour chacune des deux semaines. Semaine dernière 1

1,5

Cette semaine 6

1,1

1,6

b) Détermine pour chaque semaine les valeurs centrales. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) Quels arguments peut-il utiliser auprès de ses clients pour montrer que son échoppe n’est pas devenue plus onéreuse cette semaine ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Quels arguments peut-il utiliser auprès de son patron pour montrer que son affaire s’est développée ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Valeurs centrales

Activité 2 • Valeurs centrales d’une série continue 1

Benoit souhaite acheter un PC portable d’occasion. Après avoir déterminé les caractéristiques souhaitées, il a consulté un site web de vente aux enchères et a relevé les différents prix proposés. Voici le tableau qu’il a obtenu.

Classes (en €)

Centres des classes c

Effectifs n

[80 ; 100[

[100 ; 120[

[120 ; 140[

[140 ; 160[

[160 ; 180[

[180 ; 200[

Fréquences (%)

Effectifs cumulés

Fréquences cumulées (%)

a) Complète le tableau de distribution. b ) Calcule la moyenne. Pour cela, inspire-toi du calcul réalisé avec les séries discrètes et utilise les centres des classes. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) De façon similaire à la détermination des valeurs centrales d'une série discrète, trouve la classe modale et la classe médiane. classe modale :

............................................

classe médiane :

..........................................

En utilisant le centre de ces classes, donne une estimation du mode et de la médiane. mode :

..........................................................

médiane :

.....................................................

Valeurs centrales d) Benoit pense alors qu’un bon compromis entre qualité et prix serait de classer toutes les offres par ordre croissant en considérant que les données sont uniformément réparties dans les classes et ensuite de considérer celle située juste au milieu de cette série. Trace le polygone des fréquences cumulées et choisi, parmi les propositions, l'offre de Benoit. C'est la médiane de la série. 25 €

50 €

110 €

118 €

124 €

128 €

134 €

138 €

142 €

160 €

Fréquences cumulées

100

120

140

160

180

200 Prix

Valeurs centrales d’une série continue (cas des classes de même largeur)

A. Classe modale La classe modale d’une série statistique continue est la classe qui a le plus grand effectif. Exemple

Histogramme des effectifs Effectifs 20

Classes

Eﬀectifs

[35 ; 40[

[40 ; 45[

[45 ; 50[

[50 ; 55[

10 6 5

La classe modale est [45 ; 50[.

Valeurs centrales

B. Classe médiane La classe médiane d’une série statistique continue est la classe dans laquelle la fréquence cumulée atteint 50 %. Exemple Classes

Eﬀectifs

Fréquences

Fréquences cumulées

[35 ; 40[

30 %

[40 ; 45[

26 %

56 %

[45 ; 50[

32 %

88 %

[50 ; 55[

12 %

100 %

Polygone des fréquences cumulées Fréquences cumulées (%) 100 88

56 50 30

La classe médiane est [40 ; 45[. Remarque : La classe médiane d’une série statistique continue est la classe dans laquelle les effectifs cumulés atteignent la moitié de l’effectif total. Exemple

Polygone des effectifs cumulés Effectifs cumulés

Classes

Eﬀectifs

Eﬀectifs cumulés

[35 ; 40[

[40 ; 45[

[45 ; 50[

[50 ; 55[

50 44

28 25 15

50 0

Eﬀectif total = 50 Effectif total 12,5 = 25 2 La classe médiane est [40 ; 45[.

Valeurs centrales

C. Comment calculer le mode, la moyenne et la médiane d’une série statistique continue ? 1. Mode On considère que le mode est le centre de la classe modale. Exemple : Si la classe modale est [45 ; 50[, alors le mode est le centre de cette classe, c’est-à-dire 47,5. 2. Moyenne Pour calculer la moyenne d'une série statistique continue, on effectue : – les produits des centres de classe par les effectifs correspondants; – la somme de ces produits; – le quotient de cette somme par l’effectif total. Le nombre obtenu est la moyenne. Exemple 1re méthode : à l’aide du tableau Classes x

Centres des classes c

Eﬀectifs n

c.n

[35 ; 40[

37,5

562,5

[40 ; 45[

42,5

552,5

[45 ; 50[

47,5

760

[50 ; 55[

52,5

315

2190

Moyenne =

2190 = 43,8 50

2e méthode : calcul immédiat 37 ,5 . 15 + 42,5 . 13 + 47,5 . 16 + 52,5 . 6 50 562,5 + 552,5 + 760 + 315 2190 = = = 43,8 8 50 50

Moyenne =

3. Médiane a) Une première approximation de la médiane est le centre de la classe médiane. Exemple : Si la classe médiane est [40 ; 45[, alors la médiane est le centre de cette classe, c’est-à-dire 42,5. b) Pour obtenir une meilleure approximation, on utilise le polygone des effectifs cumulés ou celui des fréquences cumulées. On recherche l’abscisse du point de la courbe dont l’ordonnée vaut – la moitié de l’effectif total dans le cas du polygone des effectifs cumulés; – 50 % dans le cas du polygone des fréquences cumulées.

Valeurs centrales Exemple

Centres des classes c

[35 ; 40[

37,5

30 %

[40 ; 45[

42,5

26 %

56 %

[45 ; 50[

47,5

32 %

88 %

[50 ; 55[

52,5

12 %

100 %

Classes

Eﬀectifs n

Eﬀectifs cumulés

Fréquences

Fréquences cumulées

100 %

Polygone des fréquences cumulées

Polygone des effectifs cumulés Effectifs cumulés

Fréquences cumulées (%) 100

56 50

28 25

45 44

Sur chacun des graphiques, on peut lire que la médiane vaut approximativement 44.

Exercices 1

Un lundi de 8 h à 12 h, on a relevé le temps (en minutes) passé au téléphone par 30 secrétaires d’un hôpital. Voici les résultats obtenus. Classes x

Centres des classes c

Effectifs n

[20 ; 40[

[40 ; 60[

[60 ; 80[

[80 ; 100[

[100 ; 120[

[120 ; 140[

Effectifs cumulés

c.n

a) Complète le tableau de distribution. 57

Valeurs centrales b) Béatrice fait partie du groupe le plus nombreux de secrétaires qui ont téléphoné pendant un même intervalle de temps. Combien de minutes a-t-elle passé au téléphone ? ...................................................................................................................................................

De quelle notion s’agit-il ?

.......................................................................................................

c) Suzy affirme « être dans la moyenne ». Combien de temps a-t-elle passé au téléphone ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Vivianne dit qu’il y a autant de secrétaires qui téléphonent plus qu’elle que de secrétaires qui téléphonent moins. Détermine la valeur centrale qui permet de connaître le temps passé au téléphone par Vivianne. Construis le polygone des effectifs cumulés pour obtenir une réponse suffisamment précise. Effectifs cumulés

100

120

140 Temps (min)

...................................................................................................................................................

On a demandé à 100 amateurs de tennis le nombre de matchs d’un tournoi du grand chelem qu’ils ont visionnés cette année à la télévision parmi les 60 matchs diffusés par la même chaîne. Voici leurs réponses. 50

Valeurs centrales

a) Complète le tableau de distribution. Classes x

Centres des classes c

Effectifs n

Effectifs cumulés

[10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[ [50 ; 60[

b) Combien de matchs ont été visionnés en moyenne ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) Le plus souvent, combien de matchs ont été visionnés ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Construis le polygone des effectifs cumulés et détermine la médiane. Effectifs cumulés

Nombres de matchs

...................................................................................................................................................

Valeurs centrales

Exercices supplémentaires 1

Lors des compétitions de patinage artistique, chaque participant est coté sur un maximum de six points. Pour cette discipline, il y a dix juges. Après chaque prestation, on enlève la meilleure et la moins bonne cote attribuées par les juges. a) Quelle valeur centrale ne sera jamais modifiée suite au retrait de ces deux cotes ? Justifie. b) Un patineur a obtenu les cotes suivantes : 5,1 - 5,3 - 5,8 - 5,8 - 5,8 - 5,8 - 5,9 - 5,9 - 5,9 - 6. Calcule les valeurs centrales avant et après le retrait des deux cotes extrêmes.

Les dix élèves d’une même classe ont subi trois tests, cotés chacun sur 20. Voici les résultats. Test 1

Test 2

Test 3

Toto, qui est loin d’être un élève brillant, a obtenu 8/20 aux trois tests. Il se demande comment justifier ces mauvaises cotes à ses parents. Voici, dans le désordre, les justifications qu’il compte leur donner. Justification 1 : « C’est bien, car au moins la moitié des élèves de la classe a obtenu un résultat inférieur au mien. » Justification 2 : « C’est bien, car ma cote si situe au-dessus de la moyenne de la classe. » Justification 3 : « C’est bien, car j’ai la cote la plus souvent obtenue dans la classe. » a) Quelle justification doit-il donner pour chacun des tests ? b) Parmi les trois justifications, quelle est celle liée à la médiane et celle liée au mode ? 3

Chaque année, la boutique du club de basket passe une commande de chaussures de sport aux couleurs du club. Pour cela, elle interroge quelques-uns de ses adhérents pour connaître leur pointure. Voici les résultats de l’enquête. Filles

Garçons

Pointures

Fréquences (%)

Pointures

Fréquences (%)

Sachant qu’il y a deux fois plus de garçons que de filles parmi les adhérents de ce club, détermine les valeurs centrales de la série complète de données. 4

Ce tableau incomplet est destiné à contenir la répartition des élèves d’une classe selon le nombre de frères et de sœurs. Nombre de frères et de sœurs

Nombre d’élèves Complète le tableau ci-dessus en observant attentivement le calcul correct de la moyenne effectué par Maryse : (2 . 4 + 5 . 2 + 3 . 3 + 9) : 30. Explique ton raisonnement. 5

Comme indemnité pour le carburant utilisé lors de ses déplacements, Benoit reçoit un montant équivalent à 5 % du nombre de kilomètres parcourus multiplié par la moyenne du prix journalier maximum du diesel durant l’année. Le tableau ci-dessous reprend les prix du diesel pour 2015, année durant laquelle Benoit a parcouru 20 000 km. a) Calcule le montant de ses frais de déplacements pour l’année 2015. b) Aurait-il été préférable d’utiliser une autre valeur centrale pour obtenir un remboursement supérieur ? Prix

Nombre de jours

[1,10 ; 1,15[

[1,15 ; 1,20[

[1,20 ; 1,25[

[1,25 ; 1,30[

[1,30 ; 1,35[

146

129

Chapitre 3

Indices de dispersion

Appliquer Calculer des valeurs caractéristiques d’un ensemble de données statistiques. Construire un tableau à partir de données brutes ou recensées. Extraire des informations d’une représentation graphique de données statistiques.

Transférer Interpréter en contexte les valeurs caractéristiques d’un ensemble de données statistiques. Commenter des représentations graphiques liées à un ensemble de données statistiques. Commenter l’intérêt et les limites d’une étude statistique de vulgarisation. Traiter des données statistiques en utilisant l’outil informatique (tableur).

Indices de dispersion

Activité 1 • Quartiles et boîte à moustaches d’une série discrète 1

Un professeur de mathématiques doit sélectionner un de ses quatre groupes de 20 élèves pour participer à un concours national de logique. Afin de prendre une bonne décision, il a soumis à tous les élèves de chaque groupe une série de dix questions. Les histogrammes ci-dessous présentent les résultats pour chaque groupe. Nombre y d’élèves 4

Nombre y d’élèves 4

Groupe A

9 10 x

Nombre de réponses correctes Nombre y d’élèves 5

1 2

Nombre y d’élèves 5

Groupe C

9 10 x

Nombre de réponses correctes

Groupe B

9 10 x

Nombre de réponses correctes

Groupe D

9 10 x

Nombre de réponses correctes

a) Détermine la médiane de chaque série.

mA = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

mB = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

mC = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

mD = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Le professeur a ensuite utilisé des représentations simplifiées pour illustrer les résultats des différents groupes. Relie chaque groupe à la représentation qui convient. Groupes

Représentations

A B C D

x 0

c) Précise ce que représentent les trois barres verticales situées sur les représentations simplifiées. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Indices de dispersion d) Deux groupes ont la même représentation simplifiée et pourtant les séries de données sont assez différentes. Le professeur décide alors d’indiquer sur les représentations les valeurs qui divisent chaque série de données en quatre parties égales. Ces valeurs, notées Q1, Q2 et Q3 sont appelées quartiles. 25%

25%

En pratique, Q2 est aussi la médiane de la série; Q1 est la plus petite valeur de la série qui est supérieure ou égale à 25 % des valeurs de la série; Q3 est la plus petite valeur de la série qui est supérieure ou égale à 75 % des valeurs de la série. (1) Dans un groupe de 20 élèves, combien d’élèves représentent 25 % des données ?

75 % des données ?

..................................

Les 20 élèves ci-dessous sont classés par ordre croissant de leur résultat. Indique où se situent (a) la médiane M (c’est-à-dire Q2); (b) les quartiles Q1 et Q3. 1er

20e

(2) Détermine les quartiles pour les groupes A, B, C et D. Groupe

Groupe

.............

(3) Complète les représentations pour les groupes B, C et D en t’inspirant de celle déjà réalisée pour le groupe A.

Groupe A

Groupe B

Groupe C

Groupe D x 0

(4) Précise ce que représentent les rectangles sur le schéma. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Indices de dispersion

Quartiles et boîte à moustaches d’une série discrète A. Déﬁnition Les quartiles Q1, Q2 et Q3 d’une série statistique sont les valeurs qui partagent la série ordonnée en quatre groupes de même effectif. 25%

25% Q1

25%

25% Q2

Exemple : 10 15 20 20 25 30 30 40 45 50 60 Q1

B. Comment calculer les quartiles d’une série ordonnée discrète ? 1. Le deuxième quartile Q2 Le deuxième quartile est la médiane. 2. Le premier quartile Q1 On admet que le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série qui est supérieure ou égale à 25 % des données de la série. N On effectue le quotient . 4 N N est un entier, Q1 est la valeur dont le rang est l'entier . Si 4 4 N Si n'est pas un entier, Q1 est la valeur dont le rang est le plus petit entier 4 N supérieur à . 4 3. Le troisième quartile Q3 On admet que le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur de la série qui est supérieure ou égale à 75 % des données de la série. 3N On effectue le quotient . 4 Si

3N 3N est un entier, Q3 est la valeur dont le rang est l'entier . 4 4

3N n'est pas un entier, Q3 est la valeur dont le rang est le plus petit entier 4

supérieur à

3N . 4

Remarque : Avec la méthode proposée, les premier et troisième quartiles Q1 et Q3 font toujours partie de la série de données. Par contre, dans certains cas, la médiane (donc aussi Q2) ne fait pas partie de la série de données.

Indices de dispersion

Exemples Série A : 15 21 24 28 28 31 35 41 46 52 54 62 Q1

Q2 = 33

Eﬀectif total : N = 12 Détermination de Q2 La médiane est

31 + 35 66 = = 33. Donc le deuxième quartile Q2 est 33. 2 2

Détermination de Q1 N 12 = = 3 est un entier. Le premier quartile est le 3e terme de la série : Q1 = 24. 4 4 Détermination de Q3 3 . 12 3N = = 9 est un entier. Le troisième quartile est le 9e terme de la série : 4 4 Q3 = 46. Série B : 8 8 18 18 20 26 26 41 44 45 54 Q1

Eﬀectif total : N = 11 Détermination de Q2 La médiane étant 26, le deuxième quartile Q2 est 26. Détermination de Q1 N 11 = = 2,75 n’est pas entier. Le plus petit entier supérieur à 2,75 est 3. 4 4 Le premier quartile est le 3e terme de la série : Q1 = 18. Détermination de Q3 3 . 11 3N = = 8,25 n’est pas entier. Le plus petit entier supérieur à 8,25 est 9. 4 4 Le troisième quartile est le 9e terme de la série : Q3 = 44.

C. Comment schématiser une série de données à l’aide d’une boîte à moustaches ? Sur une droite graduée, on indique les valeurs extrêmes de la série et les quartiles à l’aide de petits traits de même longueur. On trace ensuite un rectangle dont deux côtés parallèles sont les traits correspondant aux premier et troisième quartiles. Exemples Série A

15 21 24 28 28 31 35 41 46 52 54 62

Min

Max

Indices de dispersion 8 8 18 18 20 26 26 41 44 45 54

Série B

Min

Max

Exercices 1

Chaque boîte à moustaches ci-dessous représente une série statistique. Pour chacune d’elles, détermine les valeurs extrêmes, la médiane, les premier et troisième quartiles. a)

Valeur minimale

Valeur maximale

Premier quartile

Médiane

Troisième quartile

Valeur minimale

Valeur maximale

Premier quartile

Médiane

Troisième quartile

300

400

Valeur minimale

Valeur maximale

500

600 Premier quartile

Médiane

Troisième quartile

Pour chacune des séries de données, détermine les valeurs extrêmes, la médiane, les premier et troisième quartiles. Représente ensuite leur boîte à moustaches. Série A

........................................................................................................................................................

Indices de dispersion

Série B

........................................................................................................................................................

Série C Modalités

Effectifs

........................................................................................................................................................

Indices de dispersion Série D Effectifs 5

........................................................

12 13 14 15 16 17

21 Modalités ........................................................

........................................................................................................................................................

Série E Effectifs cumulés

........................................................

10 ........................................................

........................................................

9 10

12 13 14 15

Modalités ........................................................

........................................................................................................................................................

Indices de dispersion

Activité 2 • Schématiser une série continue Boîte à moustaches 1

Dans le cadre d’une campagne de sécurité routière, un radar a mesuré la vitesse (en km/h) des automobilistes sur l’autoroute E42 un samedi matin de 11 h à 12 h. Voici les résultats de ces mesures et le graphique des fréquences cumulées correspondant.

Vitesse (km/h)

[60 ; 80[

[80 ; 100[

[100 ; 120[ [120 ; 140[ [140 ; 160[ [160 ; 180[

Nombre de conducteurs

151

Fréquence

0,034

0,159

0,462

0,266

0,073

0,006

Fréquences cumulées 1

0,5

100

120

140

160

180 Vitesse

a) À l’aide du tableau ou du graphique, détermine chacun des éléments suivants. (1) La borne inférieure de la première classe d’effectif non nul :

...................................

(2) La borne supérieure de la dernière classe d’effectif non nul :

...................................

(3) La médiane (à l’unité près) :

...................................

(4) Le premier quartile (à l’unité près) :

...................................

(5) Le troisième quartile (à l’unité près) :

...................................

b) Généralement, la boîte à moustaches d’une série continue est construite à partir des cinq données que tu viens de déterminer. Construis celle de la série donnée.

100

120

140

160

180

Indices de dispersion c) La méthode proposée à la page précédente présente quelques imprécisions. Discutes-en avec les autres élèves et ton professeur, et résume les problèmes soulevés. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Schématiser une série continue – Boîte à moustaches A. Comment déterminer les quartiles d’une série continue ? 1. Le deuxième quartile Q2 Le deuxième quartile est la médiane. 2. Les premier et troisième quartiles Q1 et Q3

Polygone des effectifs cumulés

Polygone des fréquences cumulées

Pour Q1, le premier quartile, on recherche l’abscisse du point de la courbe dont l’ordonnée vaut le quart de l’effectif total.

Pour Q1, le premier quartile, on recherche l’abscisse du point de la courbe dont l’ordonnée vaut 25 %.

Pour Q3, le troisième quartile, on recherche l’abscisse du point de la courbe dont l’ordonnée vaut les trois quarts de l’effectif total.

Pour Q3, le troisième quartile, on recherche l’abscisse du point de la courbe dont l’ordonnée vaut 75 %.

Indices de dispersion Exemple

Centres des classes c

[35 ; 40[

37,5

30 %

[40 ; 45[

42,5

26 %

56 %

[45 ; 50[

47,5

32 %

88 %

[50 ; 55[

52,5

12 %

100 %

Classes

Eﬀectifs n

Eﬀectifs cumulés

Fréquences

Fréquences cumulées

50 Polygone des eﬀectifs cumulés

100 % Polygone des fréquences cumulées

Effectifs cumulés 50 44 37,5

Fréquences cumulées (%) 100 88 75

28 25

56 50

15 12,5

30 25 x 35

40 45 50 39 44 48

40 39

45 50 44 48

Q1 = 39 ; Q2 = médiane = 44 ; Q3 = 48

B. Comment construire la boîte à moustaches d’une série continue ? On utilise comme valeurs extrêmes la borne inférieure de la première classe d’effectif non nul et la borne supérieure de la dernière classe d’effectif non nul. Ensuite, la construction de la boîte à moustaches d’une série continue est similaire à celle d’une série discrète. Exemple En utilisant la série de données de l’exemple ci-dessus : [35;40[ étant la première classe d’eﬀectif non nul, la valeur minimale à considérer est 35. [50;55[ étant la dernière classe d’eﬀectif non nul, la valeur maximale à considérer est 55.

Min

Max

Indices de dispersion

Exercices 1

Pour chacune des séries de données, représente la boîte à moustaches. Effectifs cumulés

a) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

x 120

130

140

150

160

170

180

...................................................................................................................................................

Classes

Effectifs

[0 ; 10[

[10 ; 20[

[20 ; 30[

[30 ; 40[

[40 ; 50[

[50 ; 60[

[60 ; 70[

[70 ; 80[

[80 ; 90[

Indices de dispersion

...................................

Activité 3 • Indices de dispersion 1

Dans l’activité 1, le professeur avait soumis quatre groupes d’élèves à une série de questions. Revoici les histogrammes permettant de connaître les résultats des élèves de chaque groupe. Nombre y d’élèves 4

Nombre y d’élèves 4

Groupe A

9 10 x

Nombre de réponses correctes Nombre y d’élèves 5

1 2

Nombre y d’élèves 5

Groupe C

9 10 x

Nombre de réponses correctes

9 10 x

Nombre de réponses correctes

Groupe B

Groupe D

9 10 x

Nombre de réponses correctes

Indices de dispersion Le professeur souhaite sélectionner pour le concours le groupe le plus homogène, c’est-à-dire celui dont les résultats sont les moins dispersés. a) Quel groupe doit-il choisir ?

.....................................................................................................

b) Les boîtes à moustaches permettent de calculer rapidement deux valeurs qui donnent une bonne indication sur la dispersion des données d’une série. De telles valeurs sont appelées indices de dispersion. L’étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série et l’écart interquartile est la différence entre le troisième et le premier quartiles Q3 – Q1. Pour chaque groupe, en utilisant les boîtes à moustaches représentées page 59, calcule ces deux indices de dispersion et vérifie ta réponse à la question a). Groupe A

Groupe B

Groupe C

Groupe D

Étendue

..................

Intervalle interquartile [Q1, Q3]

..................

Écart interquartile (Q3 – Q1)

..................

...................................................................................................................................................

Il existe un autre indice de dispersion souvent utilisé en statistique qui se nomme écart type. Il indique si les valeurs de la série sont groupées ou non autour de la moyenne. Dans l’exercice qui suit, tu vas calculer cet indice pour les groupes C et D afin de vérifier les conclusions de l’exercice précédent. a) Calcule la moyenne de la série de données du groupe C. mC =

.........................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

b) À l’aide des graphiques repris à la page précédente, complète les deux premières colonnes du tableau de la page suivante en indiquant les modalités (x) et leurs effectifs (n). c) Complète la troisième colonne du tableau en calculant les différences entre chaque modalité et la moyenne (m) de la série. d) Puisque certaines réponses sont négatives, un artifice de calcul va nous permettre de faire disparaître ces nombres négatifs; il s’agit d'élever au carré chaque nombre de la troisième colonne. Complète ainsi la quatrième colonne du tableau. e) En général, pour calculer une moyenne, il faut tenir compte de l’effectif de chaque valeur. De la même façon, complète la dernière colonne du tableau en multipliant chaque réponse précédente par l’effectif correspondant. f) Totalise les nombres de cette dernière colonne.

Indices de dispersion

Groupe C Modalités x

Effectifs n

x–m

(x – m)2

n . (x – m)2

1 – 6 = –5

(–5)2 = 25

1 . 25 = 25

g) Pour calculer une moyenne, on additionne toutes les valeurs et on divise cette somme par l’effectif total. De la même façon, divise le total obtenu à la dernière colonne du tableau par l’effectif total de la série. Tu obtiens un nombre qui s’appelle la variance. Variance =

Total dernière colonne = Effectif total

.........................................................................................

h) La variance n’exprime pas un nombre de bonnes réponses puisque, pour éviter les nombres négatifs, on a élevé au carré à l’étape d). Pour retrouver l’écart du nombre de bonnes réponses par rapport à la moyenne de la série, calcule la racine carrée de la variance. Tu obtiens l'indice de dispersion appelé écart type. Écart type =

Variance = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (à 0,01 près)

i) Calcule la moyenne de la série de données du groupe D. mD =

.........................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

Indices de dispersion Calcule l’écart type. Groupe D Modalités x

Variance =

Effectifs n

Total dernière colonne = Effectif total

Écart type =

x–m

(x – m)2

n . (x – m)2

.........................................................................................

Variance = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (à 0,01 près)

j) Utilisation des moyens modernes de calculs Les calculatrices scientifiques et les tableurs possèdent une fonction qui donne automatiquement l’écart type. Pour les calculatrices, les séquences à entrer différent d’un modèle à l’autre; pour les tableurs, la fonction à utiliser est ECARTTYPEP. À l’aide d’une calculatrice scientifique ou d’un tableur, vérifie les écarts types des séries de données des groupes A et B fournis ci-dessous. Groupe A : Écart type @ 2,25

Groupe B : Écart type @ 2,60

k) Pour quel groupe l’écart type est-il le plus petit ?

...................................................................

L’écart type confirme-t-il ton choix du groupe le plus homogène ?

.........................................

Indices de dispersion

Indices de dispersion A. Notions Un indice de dispersion indique si les valeurs sont fortement ou faiblement dispersées par rapport aux valeurs centrales. Trois indices de dispersion sont souvent utilisés : l’étendue, l’écart interquartile et l’écart type. L’étendue d’une série statistique est la différence entre la valeur maximale de la série et la valeur minimale de celle-ci. L’intervalle interquartile d’une série statistique est l’intervalle [Q1 ; Q3]. L’écart interquartile d’une série statistique est la différence entre le troisième et le premier quartiles Q3 – Q1. L’écart type d’une série statistique est un indice qui permet de vérifier la dispersion autour de la moyenne.

B. Comment calculer l’étendue ? Pour une série discrète, il suffit de calculer la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. Exemple (cette série sera également utilisée aux points C, D et E) Série discrète

8 8 18 18 20 26 26 41 44 45 54

La plus petite valeur est 8, la plus grande valeur est 54. Étendue : 54 – 8 = 46 Pour une série continue, on calcule la différence entre la borne inférieure de la première classe d’effectif non nul et la borne supérieure de la dernière classe d’effectif non nul. Exemple (cette série sera également utilisée aux points C et D) Série continue

Centres des classes c

[35 ; 40[

37,5

30 %

[40 ; 45[

42,5

26 %

56 %

[45 ; 50[

47,5

32 %

88 %

[50 ; 55[

52,5

12 %

100 %

Classes

Eﬀectifs n

Eﬀectifs cumulés

Fréquences

Fréquences cumulées

100 %

La borne inférieure de la première classe d’eﬀectif non nul est 35. La borne supérieure de la dernière classe d’eﬀectif non nul est 55. Étendue : 55 – 35 = 20

Indices de dispersion

C. Comment calculer l’écart interquartile ? On détermine les premier et troisième quartiles (Q1 et Q3). On calcule la différence entre le troisième quartile Q3 et le premier quartile Q1. Exemples Avec la série discrète Q1 = 18 et Q3 = 44 (voir pavé théorique, série B page 62) Intervalle interquartile : [18 ; 44] Écart interquartile : 44 – 18 = 26 Avec la série continue Q1 = 39 et Q3 = 48 (voir pavé, page 67) Intervalle interquartile : [39 ; 48] Écart interquartile : 48 – 39 = 9

D. Comment calculer l’écart type ? On complète un tableau en suivant la démarche ci-dessous. 1) On complète les deux premières colonnes avec les modalités (x) et leurs effectifs (n). 2) On complète la troisième colonne avec les différences entre chaque modalité (x) et la moyenne (m) de la série : x – m. 3) On complète la quatrième colonne avec les carrés des nombres de la colonne précédente afin de faire disparaître les nombres négatifs : (x – m)2. 4) On complète la dernière colonne avec les produits des nombres de la colonne précédente et des effectifs correspondants : n . (x – m)2. 5) On totalise les nombres de cette dernière colonne. 6) On divise la somme obtenue par l’effectif total. Variance =

Total dernière colonne Effectif total

7) On calcule la racine carrée du dernier résultat obtenu. Écart type =

Variance

Dans le cas d’une variable continue, on remplace les modalités par les centres des classes.

Indices de dispersion

Exemples Série discrète Moyenne : m = (8 . 2 + 18 . 2 + 20 + 26 . 2 + 41 + 44 + 45 + 54) : 11 = 308 : 11 = 28 Modalités x

Eﬀectifs n

x–m

(x – m)2

n . (x – m)2

8 – 28 = –20

(–20)2 = 400

2 . 400 = 800

–10

100

200

–8

–2

169

256

289

676

11 Variance =

2462

2462 = 223,8181... 11

Écart type = 223 ,8181... ≅ 14,96

(à 0,01 près)

Série continue Moyenne : m = (37,5 . 15 + 42,5 . 13 + 47,5 . 16 + 52,5 . 6) : 50 = 2190 : 50 = 43,8

Centres des classes c

[35 ; 40[

37,5

[40 ; 45[

Classes

Eﬀectifs

c–m

(c – m)2

n . (c – m)2

–6,3

39,69

595,35

42,5

–1,3

1,69

21,97

[45 ; 50[

47,5

3,7

13,69

219,04

[50 ; 55[

52,5

8,7

75,69

454,14

50 Variance =

1290,5

1290 = 25,81 50

Écart type = 25 ,81 ≅ 5,08

(à 0,01 près)

Indices de dispersion

E. Remarques Les boîtes à moustaches permettent d’identifier rapidement les valeurs utiles au calcul de l’étendue et de l’écart interquartile. L’étendue est la longueur totale de la boîte à moustaches et l’écart interquartile est représenté par la longueur du rectangle de la boîte à moustaches. Exemple (avec la série discrète des exemples précédents) 8

Min

Max

Étendue

Étendue : 54 – 8 = 46

Écart interquartile

Écart interquartile : 44 – 18 = 26

F. Utilisation d'une calculatrice ou d'un tableur Séquence :

...............................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Exercices 1

Le tableau ci-dessous répertorie, à la date du 1er janvier 2016, la population belge, exprimée en milliers, en fonction du groupe d’âge. a) Complète le tableau de distribution. Classes d’âges

Centres des classes

Effectifs

[0 ; 20[

2577

[20 ; 40[

2904

[40 ; 60[

3183

[60 ; 80[

2033

[80 ; 100[

552

[100 ; 120[

Effectifs cumulés

Fréquences (à 0,01% près)

Fréquences cumulées (à 0,01 % près)

Indices de dispersion b) Quelle est la classe modale ?

......................

Illustre ta réponse avec un graphique adéquat.

c) Après avoir construit un graphique adéquat, détermine, à l’unité près, l’âge situé au milieu de la série, c’est-à-dire l’âge médian.

........................................................................................................................................................

Indices de dispersion d) Une société d’assurance maladie souhaite rembourser totalement les soins dentaires aux 25 % des plus jeunes de la population. Benoit qui est âgé de 24 ans pourra-t-il bénéficier d’un remboursement ? Précise le nom de la valeur statistique qui t’a permis de répondre à cette question. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

e) La même société d’assurance maladie souhaite rembourser une partie des soins médicaux aux 25 % des plus âgés de la population. Alphonse qui est âgé de 61 ans pourra-t-il bénéficier d’un remboursement ? Précise le nom de la valeur statistique qui t’a permis de répondre à cette question. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

f) Calcule la moyenne d’âge, à l’unité près, de la population belge au 1er janvier 2016. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

g) Calcule l’étendue de la série.

....................................................................................................

Penses-tu que cette valeur soit fiable ? Est-elle vraie ? Pourquoi ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

h) Détermine l’intervalle interquartile et l’écart interquartile. Intervalle interquartile :

..................................

Écart interquartile : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Estime rapidement le nombre de Belges dans cet intervalle. Justifie. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Indices de dispersion i) Calcule la variance à 0,01 près et déduis-en l’écart type à 0,1 près.

...................................................................................................................................................

Une école primaire organise une journée « Jeux sportifs et jeux de société » pour ses 220 élèves. Les 120 élèves des classes de 1re, 2e et 3e années font partie de l’équipe numéro 1, les 100 autres de l’équipe numéro 2. Chaque partie gagnée par un élève donne droit à un point pour son équipe. L’équipe gagnante de la journée sera celle dont la moyenne des points par élève sera la plus élevée. Voici le détail des points comptabilisés en fin de journée. Équipe n°1 Nombre de points Nombre d’élèves

Équipe n°2

12 14 17 19

11 22 13 32 18 16

Nombre de points

Nombre d’élèves

10 25 27 11

12 14 16 20 9

La directrice calcule les valeurs centrales pour chaque équipe et obtient une égalité parfaite entre les deux classes (mode 12, médiane 12 et moyenne 11). Ne sachant les départager, elle décide alors de récompenser l’équipe la plus homogène. a) Calcule l’étendue de chacune des séries. Permet-elle de départager les deux équipes ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Indices de dispersion b) Calcule l’écart type pour chacune des séries, à 0,1 près. Permet-il de départager les deux équipes ? Équipe n°1

Variance ....................................

....................................

Écart type ....................................

....................................

Équipe n°2

Variance ....................................

....................................

Écart type ....................................

....................................

...................................................................................................................................................

c) Construis la boîte à moustaches de la série de données de l’équipe 1 en utilisant l’échelle proposée. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Indices de dispersion

Compare la boîte à moustaches de la série de données de l’équipe 2 représentée ci-dessous avec celle de la série de l’équipe 1 que tu as construite. Cette comparaison te permet-elle d’arriver à la même conclusion qu’avec l’écart type ? 2

...................................................................................................................................................

Fit’Ness Club 30 25 20 15 10 5 0

Nombre de membres

Les graphiques ci-dessous illustrent la fréquentation de deux clubs de sport durant la même semaine. Nombre de membres

1 2 3 4 5 6 Nombre de jours de fréquentation hebdomadaire

fitness.com 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 Nombre de jours de fréquentation hebdomadaire

a) Combien de membres compte chaque club ? ...................................................................................................................................................

b) Calcule la moyenne à 0,1 près. Fit’Ness club :

..........................................................................................................................

fitness.com :

..........................................................................................................................

Indices de dispersion c) Calcule la variance à 0,01 près. Fit’Ness club x

Variance :

x–m

fitness.com

(x – m)2 n . (x – m)2

......................................................

Variance :

x–m

(x – m)2 n . (x – m)2

.....................................................

d) Calcule l’écart type à 0,1 près. Fit’Ness club :

..............................................

fitness.com :

................................................

e) Quelle conclusion peux-tu en tirer ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Dans un club de natation, Monsieur Dofin entraîne deux groupes. Martin, 20 ans, voudrait rejoindre un des deux groupes. Voici les histogrammes élaborés à partir des âges des membres de chaque groupe. Groupe B

6 5 4 3 2

Effectifs

Groupe A

1 0

6 5 4 3 2 1 0

19 20 Âges

20 23 Âges

a) Dans quel groupe les âges se rapprochent-ils le plus de l’âge de Martin ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Indices de dispersion

b) Calcul l’âge moyen de chaque groupe. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) Calcule, au dixième près, les écarts types de chacun de ces groupes. Confirmes-tu ta réponse à la question a) ? Explique. x

x–m

(x – m)2 n . (x – m)2

x–m

(x – m)2 n . (x – m)2

...................................................................................................................................................

d) Les deux graphiques présentés en début d’exercice ne tiennent pas compte des modalités dont l’effectif est nul. En utilisant les mêmes données, complète les nouveaux graphiques ci-dessous. Confirmes-tu la conclusion que nous apporte le calcul de l’écart type ? Explique. 6 5 4 3 2

Groupe B

Effectifs

Groupe A

1 0

6 5 4 3 2 1 0

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Âges

...................................................................................................................................................

Indices de dispersion

Activité 4 • Réalisation d’une enquête 1

a) Complète ce questionnaire concernant tes habitudes alimentaires. S’il y a des propositions, place une croix dans le(s) carré(s) adéquat(s). (1) Quel est ton sexe ? Féminin

Masculin

(2) (a) Parmi les propositions ci-dessous, quels repas et en-cas prends-tu généralement ? Repas Petit déjeuner

Dîner

Souper

Dans l’aprèsmidi

Goûter

En-cas En matinée

En soirée

(b) Comptabilise le nombre de repas et en-cas que tu viens de cocher. 1

(3) Combien de fois par semaine prends-tu au moins un repas par jour en famille ? 0

(4) Participes-tu à la préparation des repas ? Jamais

Parfois

Souvent

Toujours

(5) Quel temps moyen (en minutes) consacres-tu au souper ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6) (a) Consommes-tu des légumes ? Oui

Non

(b) Si oui, quel légume consommes-tu le plus souvent ? Haricot

Salade

Carotte

Poireau

Tomate

Courgette

Chou

Asperge

Poivron

Artichaut

Autre. Lequel ?

..................................

(7) (a) Consommes-tu des pommes de terre ? Oui

Non

(b) Si oui, sous quelle forme les préfères-tu ? Nature

Rissolées

En purée

En frites

En gratin

En robe des champs

En chips

Autre. Laquelle ? . . . . . . . . . .

(8) Combien de fois par mois te rends-tu dans un fast-food ?

...........

Indices de dispersion

b) Soumets le questionnaire à d’autres élèves de ton école et récolte entre 50 et 100 formulaires. Veille à ce que la population de ton enquête soit composée d’environ 50 % de filles et 50 % de garçons âgés entre 15 et 18 ans. 2

Après avoir identifié le type de variable étudiée, illustre chacune des questions 3, 4 et 7 à l’aide d’un graphique de ton choix. Veille toutefois à ne pas utiliser deux fois le même type de graphique. Pour chaque question, complète le tableau de distribution en créant les colonnes qui te permettront d’indiquer les données nécessaires à la réalisation du graphique. Question 3 : Combien de fois par semaine prends-tu au moins un repas par jour en famille ? Variable

...............................................

Graphique :

...........................................................

Modalités 0 1 2 3 4 5 6 7

Indices de dispersion Question 4 : Participes-tu à la préparation des repas ? Variable

.....................................

Graphique :

...........................................................

Modalités Jamais Parfois Souvent Toujours

Indices de dispersion

Question 7b : Si tu consommes des pommes de terre, sous quelle forme les préfères-tu ? Variable

.....................................

Graphique :

.....................................................................

Modalités Nature Rissolées En purée En frites En gratin En robe des champs En chips

Indices de dispersion 3

La démarche qui suit va te permettre de traiter les réponses recueillies à la question 6 portant sur la consommation éventuelle de légumes. a) Complète la première colonne du tableau. N’indique pas les légumes qui n’ont jamais été choisis. b) Détermine ensuite les effectifs de chaque modalité en différenciant les réponses des filles de celles des garçons. c) Calcule les fréquences de consommation pour chaque modalité. Effectifs

Fréquences (à 1 % près)

Modalités Filles Aucun

Garçons

Filles

Garçons

Indices de dispersion

d) Construis deux histogrammes des effectifs, l’un pour les filles et l’autre pour les garçons, en faisant apparaître chaque fois toutes les modalités présentes dans le tableau.

e) À l’aide des tableaux ou des graphiques, réponds aux questions ci-dessous. (1) Quel pourcentage de filles ne consomme pas de légumes ?

.............................................

Quel pourcentage de garçons ne consomme pas de légumes ? (2) Quel est le légume le plus consommé par les filles ?

.......................................

.........................................................

Quel est le légume le plus consommé par les garçons ?

...................................................

Indices de dispersion 4

L’équipe d’auteurs de ton livre « Actimath pour se qualifier » a réalisé cette enquête auprès de 400 jeunes, 200 filles et 200 garçons, âgés entre 15 et 18 ans. Les résultats de la question 2 concernant le nombre de repas ou d’en-cas consommés par jour sont présentés ci-dessous. Suis la même démarche que les auteurs avec les résultats à la question 2b de ton enquête et réalise ton travail en face du leur. Enquête des auteurs

Ton enquête

Modalités

Effectifs

Modalités

147

131

Effectifs

400 Moyenne : 4,1

.........................................................................................

Mode : 4

.........................................................................................

Médiane : 4

.........................................................................................

x – m (x – m)2 n . (x – m)2

–3,1

9,61

2 20

–2,1

4,41

88,2

3 82

–1,1

1,21

99,22

4 147 –0,1

0,01

1,47

5 131

0,9

0,81

106,11

6 14

1,9

3,61

50,54

2,9

8,41

50,46

6 400

396

x–m

(x – m)2

n . (x – m)2

Indices de dispersion Variance :

396 = 0,99 400

.........................................................................................

0, 99 ≅ 0,9950

Écart type :

.........................................................................................

Minimum : 2

.........................................................................................

Maximum : 7

.........................................................................................

Étendue : 7 – 2 = 5

.........................................................................................

Q1 : 3

.........................................................................................

Q2 : 4 2

Q3 : 5 4

........................................................................................................................................................

La démarche qui suit va te permettre de traiter les réponses recueillies à la question 5 portant sur le temps consacré au souper. a) Crée des classes et complète le tableau de distribution. Classes

Effectifs

Effectifs cumulés

Fréquences (à 1 % près)

Fréquences cumulées

Indices de dispersion b) (1) Construis le polygone des effectifs cumulés et celui des fréquences cumulées.

Effectifs cumulés

Fréquences cumulées (%)

Temps (en min)

(2) Compare les deux graphiques.

Temps (en min)

...........................................................................................

..............................................................................................................................................

(3) À l’aide des graphiques, détermine la médiane et explique ce qu’elle signifie. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

c) Calcule la moyenne et compare-la à la médiane. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Indices de dispersion 6

La démarche qui suit va te permettre de traiter les réponses recueillies à la question 8 portant sur la fréquentation mensuelle des fast-foods. a) Complète le tableau qui te permettra de réaliser le graphique en escaliers des effectifs cumulés.

b) Construis la boîte à moustaches de cette série statistique. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Exercices supplémentaires

Exercices supplémentaires 1

À quel indice de dispersion correspond chaque description ci-dessous ? Il est simple à calculer et à interpréter. Il ne tient pas compte de toutes les données, n’utilisant que les valeurs extrêmes. Il est utile pour déterminer le nombre et la largeur des classes lors de regroupements.

Il est simple à calculer et à interpréter. Il ne tient pas compte de toutes les données et n’est donc pas influencé par les valeurs extrêmes. Il est utilisé lorsque la distribution des valeurs n’est pas symétrique.

Son calcul est long et son interprétation moins immédiate. Il tient compte de toutes les données et est influencé par les valeurs extrêmes. Le calcul des carrés accorde de l’importance aux grands écarts.

Michaël, le capitaine d’une équipe de hockey, a comptabilisé le nombre de buts marqués et le nombre de buts encaissés lors de la dernière saison. Buts marqués Nombre de matchs

0 7

1 2

2 5

3 14

4 14

5 9

8 2

10 1

Buts encaissés 0 1 2 3 4 6 8 10 Nombre de matchs 13 12 9 1 3 1 8 7 a) Précise le type de variable statistique. b) Pour chaque série, calcule… (1) la moyenne à 0,1 près; (3) l’écart type à 0,01 près; (2) l’étendue; (4) l’écart interquartile et construis la boîte à moustaches. c) En t’aidant des valeurs calculées ci-dessus, détermine si c’est la défense ou l’attaque qui est plus régulière dans ses prestations. Justifie. 3

Aline et Philippe s’entraînent pour participer à un jogging au profit d’une œuvre caritative. Voici un récapitulatif de leurs temps, en minutes, lors de leurs entraînements respectifs sur des parcours de 10 km. Temps d’Aline

Temps de Philippe

71,6 70,9 74,8 61,2 54,6 57,7

68,6 67,7 67,5 54,6 54,8 64,2

67,3 73,2 59,4 59,9 59,8 56,3

64,3 58,6 57,3 55,3 53,5 54,9

a) b) c) d) e) f) g)

Précise le type de variable statistique. Calcule leur temps moyen au dixième de minute près et en minutes secondes. Calcule l’étendue de ces séries et propose un groupement en classes de même amplitude. Calcule l’écart type au dixième de minute près. Construis un polygone des effectifs cumulés et calcule l’écart interquartile de chaque série. Construis la boîte à moustaches de chaque série. En t’aidant des valeurs calculées ci-dessus, réponds aux questions et justifie. (1) Qui devrait réaliser le meilleur temps lors du jogging ? (2) Qui est le plus régulier lors des entraînements ?

Caroline participe à un quizz en six manches de dix questions chacune. La première manche rapporte un point par bonne réponse, la deuxième, deux points, et ainsi de suite jusqu’aux questions valant six points dans la sixième manche. Voici un tableau comptabilisant le nombre total de points de Caroline à la fin de chaque manche. Manche Nombre total de points en fin de manche

1 8

2 20

3 38

4 58

5 93

6 117

a) Détermine le nombre (1) de points obtenus à chaque manche. (3) total de réponses correctes. (2) de réponses correctes à chaque manche. (4) total de réponses incorrectes. b) Dans la suite, on étudie le nombre de réponses correctes en fonction du nombre de points attribués par réponse correcte. (1) Construis la boîte à moustaches de cette série et donnes-en une interprétation par rapport à la situation. (2) Combien de points, en moyenne, a rapporté à Caroline chaque question correcte ? (3) Calcule, à 0,1 près, l’écart type de cette série.

Chapitre 4

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Compétences à développer Traiter un problème en utilisant des fonctions du deuxième degré.

Processus Connaître Lier les diverses écritures de la fonction du deuxième degré avec certaines caractéristiques de la fonction ou de son graphique.

Appliquer Construire un graphique à partir d’un tableau de nombres ou d’une formule. Associer l’expression analytique d’une fonction du deuxième degré à son graphique et réciproquement. Rechercher des caractéristiques d’une fonction du deuxième degré. Rechercher des caractéristiques d’une parabole d’axe vertical.

Transférer Modéliser et résoudre des problèmes issus de situations diverses.

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Activité 1 • Découverte de graphiques de fonctions du second degré 1

Voici la représentation d’un terrain de tennis. Celui-ci est muni d’un système d’axes afin de pouvoir envisager le calcul de la trajectoire d’une balle.

Lors d’un match, une balle a parcouru le trajet du point A au point B situés dans le plan formé par les axes. Ce trajet est représenté sur le graphique ci-dessous. Hauteur (m)

Distance horizontale (m)

Réponds aux questions ci-dessous. a) Quelle est la distance horizontale entre le filet et la balle au moment où... (1) elle est frappée?

..................................................................................................................

(2) elle touche le sol?

................................................................................................................

b) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ?

..............................................................

À ce moment, détermine la distance horizontale entre la balle et (1) le filet.

.....................................................................................................

(2) son point de départ A.

.....................................................................................................

(3) son point de chute B.

.....................................................................................................

c) Lorsque la balle passe au-dessus du filet, à quelle distance de celui-ci se situe-t-elle sachant que le filet mesure 90 cm de haut en son milieu ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

100

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 2

Alex est sportif et aime les sensations fortes. Voici quatre situations qu’il a vécues cet été et qui ont pu être représentées par des graphiques. Observe-les et réponds aux questions de la page suivante. À Walibi, Alex a testé la chute libre d’environ 70 mètres de la Dalton Terror. Si on déclenche le chronomètre lorsque la nacelle est au sommet de la tour et débute sa chute et qu’on mesure le temps à partir de cet endroit, la position de la nacelle est donnée par la fonction : –9, 81 2 f:xÆy= x 2 x, temps en secondes y, hauteur, en mètres, par rapport au sommet de la tour

Alex a réalisé un vol en montgolfière. Lors de la descente, à l’approche du sol, le pilote a réchauffé l’air de l’enveloppe pour repartir vers le haut. La trajectoire de la nacelle est représentée par le graphique de la fonction : f : x Æ y = 0,2x2 – 2x + 7 x, distance horizontale, en mètres, par rapport à un observateur fixe y, hauteur, en mètres, par rapport au sol y

y 1 0

1 0

Lors d’un coup franc au football, Alex a réalisé un lob du mur défensif, mais son ballon a atterri à 1 m du gardien.

Alex a plongé dans une rivière à partir d’un rocher abrupt haut de 4 m. Sa trajectoire est représentée par le graphique de la fonction : f : x Æ y = –0,5x2 + 4 x, distance horizontale, en mètres, par rapport au flan du rocher y, hauteur, en mètres, par rapport à la surface de l’eau y

La trajectoire du ballon est représentée par le graphique de la fonction : f : x Æ y = –0,02x2 + 0,44x – 0,42 x, distance horizontale, en mètres, par rapport au gardien y, hauteur, en mètres, par rapport au sol y

1 0

1 0 1

101

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques a) Quel est le nom des courbes qui représentent ces fonctions ?

..............................................

b) Quelle est la caractéristique de la variable x figurant dans les quatre expressions analytiques ?

............................................................................................................................

c) Pour chaque situation, complète le tableau ci-dessous. Dalton Terror Montgolfière

Plongeon

Football

Concavité tournée vers... Équation de l’axe de symétrie Coordonnées du sommet Coordonnées du point d’intersection avec l’axe y Coordonnées des points d’intersection avec l’axe x

Découverte de graphiques de fonctions du second degré A. Notion Une fonction du second degré est une fonction dont l’expression analytique peut s’écrire sous la forme générale : f : x Æ y = ax2 + bx + c Exemple :

(a ≠ 0)

f : x Æ y = 0,25x2 + 2x – 2

Une fonction du second degré possède une ordonnée à l’origine et d’éventuels zéros. Le domaine d’une fonction du second degré est R. On note dom f = R.

B. Caractéristiques des graphiques des fonctions du second degré Le graphique d’une fonction du second degré est une parabole qui a pour équation y = ax2 + bx + c et présentant les caractéristiques suivantes : – La concavité est tournée vers le haut ou vers le bas . – L’axe de symétrie est vertical et son équation est de la forme x = k.

Exemple Le point d’intersection avec l’axe y a pour coordonnées (0 ; 3). y

L’axe de symétrie a pour équation x = 2.

– Le sommet est le point d’intersection de la parabole avec son axe de symétrie.

– Une parabole possède un point d’intersection avec l’axe y dont l’abscisse est nulle. – Une parabole possède au maximum deux points d’intersection avec l’axe x dont les ordonnées sont nulles.

Le sommet a pour coordonnées (2 ; 4).

1 –2

Les points d’intersection avec l’axe x ont pour coordonnées (–2 ; 0) et (6 ; 0). 102

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Exercices 1

Parmi les fonctions suivantes, entoure celles du second degré. f1 : x Æ y = 2x2 – 3x + 7

f2 : x Æ y = –5x + 2

f3 : x Æ y = –x – x2

f4 : x Æ y = 5 (1 – x)

f5 : x Æ y = x (x + 2)

f6 : x Æ y =

f7 : x Æ y = (2x + 1)2

f8 : x Æ y =

3 x

x2 3

f9 : x Æ y = 4x

Parmi les graphiques ci-dessous, entoure la lettre de ceux qui représentent des fonctions du second degré. A

E y

F y

y 1 0

1 0

La partie de parabole ci-dessous représente la trajectoire d’une craie lancée du troisième étage d’un bâtiment scolaire. a) De quelle hauteur la craie est-elle lancée ? ..........................................................................................................

h (m)

À quelle caractéristique de la parabole peux-tu associer cette réponse ? ..........................................................................................................

..........................................................................................................

b) À quelle distance (en m) du pied du mur la craie atterrit-elle ? ..........................................................................................................

À quelle caractéristique de la parabole peux-tu associer cette réponse ?

1 0

d (m) 1

..........................................................................................................

103

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 4

La hauteur h, exprimée en mètres, d'une balle de golf peut être déterminée à tout instant t, exprimé en secondes, grâce à la parabole ci-dessous. Réponds aux questions du tableau et associe à chacune de tes réponses une caractéristique de la parabole. h (m) La position de la balle est donnée par la fonction :

1 t (s) 0

f : t Æ h = –0,2t2 + 1,2t

Questions

Réponses

Caractéristiques

a) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ?

b) Après combien de temps atteintelle sa hauteur maximale ?

c) Après combien de temps commence-t-elle à descendre ?

d) Après combien de temps atteintelle une hauteur de 1 m ?

e) À quelle hauteur se situe-t-elle après 2 ou 4 secondes ?

f) Après combien de temps retombe-t-elle sur le sol ?

Repère les caractéristiques des deux paraboles, graphiques des fonctions f et g, représentées ci-dessous et complète le tableau. y

Graphique de f

f Concavité tournée vers... Équation de l’axe de symétrie

1 0 g

1 x

Coordonnées du sommet Abscisse(s) du (des) point(s) d’intersection avec l’axe x Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y

104

Graphique de g

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 6

Repère la ou les paraboles dont les caractéristiques sont données. L’axe de symétrie est x = 3.

.............................................................

L’axe de symétrie est x = –2. .............................................................

L’axe de symétrie est x =

3 . 2

.............................................................

Le sommet a pour coordonnées (–2 ; –3). .............................................................

h Le sommet a pour coordonnées (3 ; 0).

.............................................................

Le sommet a pour coordonnées (3 ; –4). .............................................................

g La concavité est tournée vers le bas. .............................................................

f La concavité est tournée vers le haut. .............................................................

L’ordonnée du point d’intersection avec l’axe y est –2.

Les abscisses des points d’intersection avec l’axe x sont –1 et 4.

..........................................................................

.......................................................................

L’ordonnée du point d’intersection avec l’axe y est –7.

Il n'existe pas de point d'intersection avec l'axe x.

..........................................................................

.......................................................................

105

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 7

La parabole f ci-contre a pour équation y = 3x2 – 13x + 5,3. a) Trace en pointillés l’axe de symétrie.

b) Parmi les équations ci-dessous, entoure celle de cet axe. x=2

x = –9

7 3

13 6

8 3

5 2

c) Détermine graphiquement les coordonnées des points d’intersection de la parabole avec l’axe x.

(. . . . . . . . . . . . . . . ; 0) et (. . . . . . . . . . . . . . . ; 0) d) Détermine graphiquement les coordonnées du point d’intersection de la parabole avec l’axe y (0 ; . . . . . . . . . . . . . . .) e) Les réponses apportées aux questions c) et d) sont-elles déterminées facilement avec précision? Explique. .................................................................................

.................................................................................

En observant la parabole, coche la réponse exacte dans chaque série.

a) L’équation de l’axe de symétrie est

❑ x = –0,5 ❑ x = –0,4 ❑ x = –0,3 ❑ Je ne peux pas déterminer l’équation de

l’axe de symétrie avec précision. b) Les coordonnées du point d’intersection avec l’axe y sont

❑ (0 ; 3) ❑ (0 ; –3) ❑ Je ne peux pas déterminer les coordonnées du point d’intersection avec l’axe y avec précision. c) Les coordonnées d’un des points d’intersection avec l’axe x sont

❑ (1,7 ; 0) ❑ (1,8 ; 0) ❑ Je ne peux pas déterminer les coordonnées des points d’intersection avec l’axe x avec précision. 106

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Activité 2 • Caractéristiques du graphique de la fonction f : x Æ y = ax2 1

a) Retrouve parmi les graphiques ci-dessous celui de la fonction f : x Æ y = x2. Explique pourquoi les autres sont faux. y y y

..............................................

b) Complète le tableau de valeurs de la fonction f : x Æ y = x2. x

–3

–2

–1

y c) Le graphique de la fonction f : x Æ y = x2 possède un axe de symétrie. Précise-le et donne son équation. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

107

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 2

a) Associe à chaque fonction le graphique correspondant. g

1 0

f1 : x Æ y = 0,5x2 •

•

f2 : x Æ y = –x2

•

f3 : x Æ y = 3x2

•

f4 : x Æ y = –2x2

•

f5 : x Æ y = 2x2

•

f6 : x Æ y = x2

•

b) Explique ton procédé. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) Entoure la forme générale correspondant aux expressions analytiques des fonctions ci-dessus. f : x Æ y = ax2 + bx + c 3

f : x Æ y = ax2 + bx

f : x Æ y = ax2

f : x Æ y = ax2 + c

a) Classe les paraboles en fonction du sens de leur concavité et dans l’ordre croissant de leur . amplitude Vérifie ensuite ton classement en déterminant, pour chacune d’elles, la valeur de a.

j m

Concavités tournées vers le bas

y Paraboles dans l’ordre croissant des amplitudes Valeurs de a 1 0

Concavités tournées vers le haut Paraboles dans l’ordre croissant des amplitudes

108

n l

Valeurs de a

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

b) Complète l’expression analytique de chaque fonction. f:xÆy=

............................

g:xÆy=

...........................

h:xÆy=

j:xÆy=

............................

k:xÆy=

...........................

l:xÆy=

n:xÆy=

...........................

m:xÆy=

..........................

...........................

............................

c) Propose l’expression analytique de fonctions du même type que celles présentes dans les exercices ci-dessus et répondant aux conditions émises. Justifie chacune de tes propositions. (1) La concavité de la parabole est tournée vers le bas. ..............................................................................................................................................

(2) La concavité de la parabole est tournée vers le haut. ..............................................................................................................................................

(3) L’amplitude de la parabole est plus grande que celle de la parabole représentant la fonction j : x Æ y = 3x2. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Caractéristiques du graphique de la fonction f : x Æ y = ax2 A. Graphique de la fonction f : x Æ y = x2 Tableau de valeurs

Graphique

–3

–2

–1

Caractéristiques du graphique Le graphique est une parabole présentant les caractéristiques suivantes : – concavité tournée vers le haut. – axe de symétrie : axe des ordonnées (y) d’équation x = 0. – sommet : origine du repère O (0 ; 0). – coordonnées de l’intersection avec les axes : (0 ; 0).

1 0

109

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

B. Graphique de la fonction f : x Æ y = ax2 Rôles de a Exemples

1. Sens de la concavité de la parabole Si a > 0, la concavité est tournée vers le haut.

f : x Æ y = 0,5x2

Exemples : f et g

g : x Æ y = 2x2

Si a < 0, la concavité est tournée vers le bas.

h : x Æ y = –x2

Exemples : h et i

i : x Æ y = –0,25x2

2. Amplitude de la parabole Plus la valeur absolue de a est grande, plus l’amplitude de la parabole est petite.

Exemple : l’amplitude de la parabole représentant la fonction g est plus petite que celle de la parabole représentant la fonction f.

3. Le point (1 ; a) appartient à la parabole.

Caractéristiques du graphique de la fonction f : x Æ y = ax2

Équation de l’axe de symétrie

x=0

Coordonnées du sommet

(0 ; 0)

Coordonnées du point d’intersection avec les axes x et y.

(0 ; 0)

Exercices 1

Les paraboles ci-dessous ont été représentées dans un même repère cartésien mais ce dernier a été effacé. En utilisant les propriétés du coefficient de x2 (a), associe à chaque équation son graphique. f

g 110

h j l

y = 0,5x2

...............

y = –0,4x2

...............

y = 4x2

...............

y = –0,2x2

...............

y = –2x2

...............

y = x2

...............

y = 2x2

...............

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 2

À l’aide des graphiques des fonctions représentés ci-dessous, complète l’expression analytique de chacune d’elles. y f4

f1 : x Æ y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 f3

f2 : x Æ y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f3 : x Æ y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f1 f4 : x Æ y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

f5 f6

x f5 : x Æ y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f6 : x Æ y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f7 : x Æ y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f7 f8 : x Æ y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f8

Activité 3 • Caractéristiques du graphique de la fonction f : x Æ y = a(x – a)2 + b 1. Rôle de b (bêta) 1

Lorsque le papa de Mélodie et de Benoit va à l’aéroport, il gare sa voiture dans un parking construit à flanc de colline. Depuis celui-ci, il est possible de lancer des projectiles vers l’extérieur. Mélodie et Benoit s’amusent régulièrement à lancer des bouts de gommes depuis différents étages.

4 3 2 Entrée du parking au niveau 0

1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6

Entrée du parking au niveau -7

111

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques Ci-contre, une partie de la parabole f, graphique de la fonction f, représente la trajectoire suivie par un bout de gomme lancé du niveau 0, et une partie de la parabole g, graphique de la fonction g, celle d’un bout de gomme lancé de la même manière du niveau 2.

y 1 0

f a) Complète les caractéristiques de chaque parabole en utilisant le graphique ci-dessus. Caractéristiques

Parabole f

Parabole g

Concavité Équation de l’axe de symétrie Coordonnées du sommet Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y b) (1) Quelle transformation du plan permet de passer de la parabole f à la parabole g ? ..............................................................................................................................................

(2) Précise les caractéristiques de cette transformation. ..............................................................................................................................................

c) Entoure, dans le tableau de la question a), la (les) caractéristique(s) invariante(s). d) L’amplitude de la parabole est-elle conservée ? Justifie. ...................................................................................................................................................

e) Les expressions analytiques ci-dessous sont celles des fonctions f et g. Détermine quelle est celle de f et celle de g. 8 2 8 2 x x +2 ............. : x → y = – ............. : x → y = – 9 9 f) Comment établir l’expression analytique de la fonction g à partir de celle de f ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

g) Vérifie algébriquement l’ordonnée à l’origine de la fonction g à l’aide de son expression analytique. ...................................................................................................................................................

112

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 2

Les équations des paraboles ci-dessous sont écrites sous la forme y = ax2 + b. a) Complète avec <, > ou =. y

b ........ 0

a ........ 0

b ........ 0

a ........ 0

a . b ........ 0

a ........ 0

b ........ 0

a . b ........ 0

b ........ 0

a ........ 0

a . b ........ 0

a ........ 0

b ........ 0

a . b ........ 0

a ........ 0

b ........ 0

a . b ........ 0

b) Sur chaque graphique, marque les éventuels points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses. c) Quel lien peux-tu établir entre le signe du produit a . b et le nombre de points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Vérifie ta réponse à l’aide d’autres exemples pour lesquels tu construiras la parabole à l’aide d’un logiciel de géométrie ou d’un calculatrice graphique. Exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................

.................................................................................................................................

113

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Rôle de b – Translation verticale La parabole g ∫ y = ax2 + b est obtenue par une translation de la parabole f ∫ y = ax2. Exemple

y g

1 0

Cette translation est verticale, de b unités, vers le haut si b est positif, ou vers le bas si b est négatif. Les paraboles f et g ont la même amplitude. Parabole g ∫ y = ax2 + b

Parabole f ∫ y = ax2

Caractéristiques Concavité

Si a < 0 : tournée vers le bas Si a > 0 : tournée vers le haut

Équation de l’axe de symétrie

x=0

Coordonnées du sommet

(0 ; 0)

(0 ; b)

Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y

x = 0 fi y = a . 02 + b = b

Remarque : Les signes de a et b peuvent prédire le nombre de points d’intersection entre la parabole g Æ y = ax2 + b et l’axe des abscisses. Si a et b sont de même signe (a . b > 0), il n’y a pas de point d’intersection. Si a et b sont de signes différents (a . b < 0), il y a deux points d’intersection.

Exercices 1

a) Les paraboles f, g et h sont obtenues par une translation d’une parabole dont l’équation est de la forme y = ax2. Pour chacune d’elles, indique l’équation de la parabole initiale et décris la translation appliquée à celle-ci. Équation de la parabole

114

Parabole initiale

f ∫ y = 2x2 – 3

j∫

g ∫ y = 0,3x2 + 1,5

k∫

3 h ∫ y = – x2 – 1 4

l∫

Description de la translation

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques b) Complète le tableau ci-dessous avec les caractéristiques de chaque parabole. f ∫ y = 2x2 – 3

Caractéristiques

g ∫ y = 0,3x2 + 1,5

3 h ∫ y = – x2 – 1 4

Concavité Équation de l’axe de symétrie Coordonnées du sommet Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y c) Schématise chaque parabole en faisant apparaître, si possible, les caractéristiques relevées dans le tableau.

d) Afin de vérifier tes réponses, construis les paraboles à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice graphique. 2. Rôle de a (alpha) 1

Une mouette tentant de capturer un poisson à la surface de l’eau suit une trajectoire parabolique.

Ci-contre, les paraboles f et g, graphiques des fonctions f et g, représentent les trajectoires de deux essais successifs de la mouette, sachant que le poisson s’est déplacé entre les deux tentatives.

1 0

115

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques a) Complète les caractéristiques de chaque parabole en utilisant le graphique ci-dessus. Caractéristiques

Parabole f

Parabole g

c) Entoure, dans le tableau de la question a), la ou les caractéristique(s) invariante(s) du graphique. d) L’amplitude de la parabole est-elle conservée ? Justifie. ...................................................................................................................................................

e) L’expression analytique de la fonction f est f : x Æ y = 0,15x2. g : x Æ y = 0,15 . (x + 3)2

Voici deux propositions pour la fonction g : ou

g : x Æ y = 0,15 . (x – 3)2

Utilise les coordonnées du sommet de la parabole g pour faire ton choix. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

f) Comment établir l’expression analytique de la fonction g à partir de celle de f ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

g) Détermine avec précision l’ordonnée à l’origine de la fonction g à l’aide de son expression analytique. ...................................................................................................................................................

116

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Rôle de a - Translation horizontale La parabole g ∫ y = a(x – a)2 est obtenue par une translation de la parabole f ∫ y = ax2. Exemple

1 0

Cette translation est horizontale, de a unités, vers la droite si a est positif ou vers la gauche si a est négatif. Les paraboles f et g ont la même amplitude. Parabole f ∫ y = ax2

Caractéristiques

Parabole g ∫ y = a(x – a)2

Si a < 0 : tournée vers le bas Si a > 0 : tournée vers le haut

Concavité

Équation de l’axe de symétrie

x=0

x=a

Coordonnées du sommet

(0 ; 0)

(a ; 0)

Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y

x = 0 fi y = a . (0 – a)2 y = a . (–a)2 y = a . a2

Remarque : Une translation horizontale n’affecte pas le nombre de points d’intersection entre une parabole et l’axe des abscisses.

Exercices 1

Parabole initiale

f ∫ y = 2(x – 3)2

j∫

g ∫ y = 0,3(x + 2)2

k∫

–3 (x – 1)2 4

l∫

h∫y=

Description de la translation

117

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques b) Complète le tableau ci-dessous avec les caractéristiques de chaque parabole. Caractéristiques

f ∫ y = 2(x – 3)2

g ∫ y = 0,3(x + 2)2

h∫y=

–3 (x – 1)2 4

Concavité Équation de l’axe de symétrie Coordonnées du sommet Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y

c) Schématise chaque parabole en faisant apparaître, si possible, les caractéristiques relevées dans le tableau.

1 0

118

d) Afin de vérifier tes réponses, construis les paraboles à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice graphique.

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 3. Rôles de a et b – Composée de deux translations 1

La parabole g est l’image de la parabole f par la composée d’une translation horizontale et d’une translation verticale.

y g

a) (1) À l’aide de vecteurs, indique sur le graphique les deux translations consécutives qui permettent de passer de la parabole f à la parabole g.

(2) Précise les caractéristiques de ces transformations. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

b) Complète les caractéristiques de chaque parabole en utilisant le graphique ci-dessus. Caractéristiques

Parabole f

Parabole g

Concavité Équation de l’axe de symétrie Coordonnées du sommet Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y c) Entoure dans le tableau de la question b), la ou les caractéristique(s) invariante(s) du graphique. d) L’amplitude de la parabole est-elle conservée ? Justifie. ...................................................................................................................................................

e) Les deux expressions analytiques ci-dessous sont celles des fonctions f et g. Détermine quelle est celle de f et celle de g. .............

: x Æ y = 0,2 (x + 4)2 – 2

.............

: x Æ y = 0,2x2

...................................................................................................................................................

119

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Rôles de a et b - Composée de deux translations L’expression analytique d’une fonction du second degré peut s’écrire sous la forme canonique : f : x Æ y = a(x – a)2 + b

(a ≠ 0)

La parabole g ∫ y = a(x – a)2 + b est obtenue par la composée de deux translations de la parabole f ∫ y = ax2.

Exemple y g

Une translation horizontale, de a unités, vers la droite si a est positif ou vers la gauche si a est négatif

–4

f 1

–2 –4

et une translation verticale, de b unités, vers le haut si b est positif ou vers le bas si b est négatif.

–2

Les paraboles f et g ont la même amplitude. Parabole f ∫ y = ax2

Caractéristiques

Parabole g ∫ y = a(x – a)2 + b

Si a < 0 : tournée vers le bas Si a > 0 : tournée vers le haut

Concavité Équation de l’axe de symétrie

x=0

x=a

Coordonnées du sommet

(0 ; 0)

(a ; b)

x = 0 fi y = a . (0 – a)2 + b y = a . (–a)2 + b y = a . a2 + b

Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y

Exercices 1

a) Les paraboles f, g, h et i sont obtenues par une translation ou la composée de deux translations d’une parabole dont l’équation est de la forme y = ax2. Pour chacune d’elles, indique l’équation de la parabole initiale et décris la translation ou la composée des translations appliquée à celle-ci. Équation de la parabole

f ∫ y = 3(x – 2)2 + 1

Parabole initiale

k∫

g ∫ y = –0,5(x + 2)2 + 2 l ∫

120

h∫y=

1 2 x –4 5

m∫

i∫y=

–2 (x + 4)2 3

n∫

Description de la (des) translation(s)

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques b) Complète le tableau ci-dessous avec les caractéristiques de chaque parabole. Caractéristiques

f ∫ y = 3(x – 2)2 + 1

g ∫ y = –0,5(x + 2)2 + 2

Concavité

............................................

Équation de l’axe de symétrie

............................................

Coordonnées du sommet

............................................

Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y

Caractéristiques

h∫y=

1 2 x –4 5

i∫y=

–2 (x + 4)2 3

Concavité Équation de l’axe de symétrie Coordonnées du sommet

Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y

c) Schématise chaque parabole en faisant apparaître, si possible, les caractéristiques relevées dans le tableau.

0 1

d) Afin de vérifier tes réponses, construis les paraboles à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice graphique. 121

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 4. Valeur de « a » à partir du graphique de f : x Æ y = a(x – a)2 + b 1

(a ou b non nuls)

Les paraboles f’, g’ et h’ sont obtenues respectivement par une composée de translations des paraboles f, g et h. a) (1) En observant les graphiques, complète l’équation des paraboles f, g et h.

y g

f∫y=

............................................

g∫y=

...........................................

h∫y=

...........................................

g’

h’

1 0

f’ h

(2) Explique ton procédé pour déterminer la valeur de « a » de chaque équation. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

b) (1) À l’aide des translations qu’ont subies les paraboles, complète l’équation de f’, g’ et h’. f’ ∫ y =

................................

g’ ∫ y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h’ ∫ y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2) Pour déterminer les valeurs de "a", complète les coordonnées du sommet de chaque parabole et celles du point dont l'abscisse vaut une unité de plus que celle du sommet. Complète ensuite les flèches supérieures en comparant les ordonnées que tu viens d'écrire. Compare tes réponses avec les valeurs de "a" trouvées au (1). Parabole f’

Parabole g’

+ ........

Parabole h’

+ ........

(........ ; ........)

(........ ; ........) (........ ; ........)

(........ ; ........)

..............................................................................................................................................

122

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Valeur de « a » à partir du graphique de f : x Æ y = a(x – a)2 + b (a ou b non nuls) Comment déterminer la valeur de « a » de l’équation d’une parabole à partir de son graphique ? 1. On détermine les coordonnées du sommet. 2. On repère le point de la parabole dont l’abscisse est d’une unité supérieure à celle du sommet. 3. On lit l’ordonnée de ce point. 4. La valeur de a s’obtient en calculant la différence entre cette ordonnée et l’ordonnée du sommet. +a S (x ; y)

(x + 1 ; y + a) +1

Exemples g ∫ y = 3(x – 1)2 + 2 g

h ∫ y = –2(x + 2)2 – 1

y 1

S +1 0

+3 1

–2 P

S +1

+3 S (1 ; 2)

P (2 ; 5)

1 x

–2

fi a = 3

S (–2 ; –1)

P (–1 ; –3)

fi a = –2

Exercices 1

Associe à chaque équation sa parabole.

g h

.............

∫ y = 2(x +

.............

∫ y = –(x – 3)2 + 1

.............

∫ y = 2(x + 1)2 – 2

.............

∫ y = –2(x – 3)2 + 1

.............

∫ y = 2(x + 3)2 – 2

.............

∫ y = 3(x – 2)2 + 3

.............

∫ y = 0,5(x – 2)2 + 3

3)2

f 1

123

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 2

Associe à chaque équation sa parabole.

...........

f g h

∫ y = 0,6(x – 0,5)2 + 0,5

1 ...........

∫ y = –0,7(x + 0,3)2 + 0,4

...........

∫ y = –0,9(x + 0,3)2 + 0,4

...........

∫ y = 0,5(x – 0,5)2 + 0,5 0,1

...........

∫ y = –0,3(x + 0,3)2 + 0,4

...........

∫ y = 0,8(x – 0,5)2 + 0,5

0 0,1

j 3

Détermine l’équation de chaque parabole. f

g j

1 0

f∫y=

...........................................................

k∫y=

..........................................................

g∫y=

..........................................................

l∫y=

...........................................................

h∫y=

..........................................................

m∫y=

.........................................................

...........................................................

n∫y=

..........................................................

j∫y=

124

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Activité 4 • Formes de l’expression analytique de la fonction du second degré 1

a) Chaque parabole ci-dessous est le graphique d'une fonction du second degré pouvant être écrite sous des formes différentes. Associe chaque fonction à deux des formes proposées. y

6 ............

: x Æ y = 2(x – 2)2 – 4

............

: x Æ y = –2(x – 2)2 + 1

............

: x Æ y = –2(x + 2)2 + 1

............

: x Æ y = 2(x + 1)2 + 2

............

: x Æ y = –2x2 + 8x – 7

............

: x Æ y = –2x2 – 8x – 7

.. . . . . . . . . . . .

: x Æ y = 2x2 + 4x + 4

............

: x Æ y = 2x2 – 8x + 4

5 4 3 2 1

–3

–2

–1

–1 –2

–3 h

–4

b) Tu as associé deux expressions analytiques à chaque fonction. Pour chacune d'elles, montre que ces expressions sont équivalentes en développant les expressions ci-dessous. 2(x – 2)2 – 4

–2(x + 2)2 + 1

.......................................................................

–2(x – 2)2 + 1

2(x + 1)2 + 2

.......................................................................

125

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Formes de l’expression analytique de la fonction du second degré A. Écritures de l’expression analytique de la fonction du second degré L’expression analytique d’une fonction du second degré peut s’écrire sous plusieurs formes. f : x Æ y = ax2 + bx + c

(a ≠ 0)

Forme canonique : f : x Æ y = a(x – a)2 + b

(a ≠ 0)

Forme générale :

B. Comment déterminer la forme générale de l'expression d'une fonction du second degré à partir de sa forme canonique ? Il suffit de faire disparaître les parenthèses de l’expression canonique à l’aide de techniques algébriques puis de réduire les termes semblables. Exemple L'expression analytique de la fonction représentée par la parabole ci-contre peut s'écrire: f : x Æ y = 2(x – 1)2 – 3

f : x Æ y = 2x2 – 4x – 1

Forme canonique

Forme générale

y 1 0

En eﬀet, y = 2(x – 1)2 – 3 y = 2(x2 – 2x + 1) – 3

(carré d’une diﬀérence)

y = 2x2 – 4x + 2 – 3

(simple distributivité)

y = 2x2 – 4x – 1

(réduction d’une somme)

Exercices 1

Écris sous la forme générale les expressions données sous leur forme canonique. a) y = 2(x + 1)2

c) y = –(x – 2)2

..........................................

d) y = –4x2 + 2

126

b) y = –3(x + 4)2

1 3 e) y = (x + 1)2 + 2 2

f) y = 0,3(x – 1,1)2 – 2

..........................................

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 2

Écris l’équation de chaque parabole sous la forme canonique puis sous la forme générale. Forme canonique

Forme générale

1 0

.................................................

1 0

y 1 0

127

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Activité 5 • Caractéristiques de la parabole d’équation y = ax2 + bx + c 1

On a représenté ci-dessous la parabole d’équation y = 2(x – 1)2 – 3. a) Trace l’axe de symétrie de cette parabole.

b) Quelle est l’équation de cet axe de symétrie ? c) Quelles sont les coordonnées du sommet ?

.....................

........................

1 d) Développe et réduis l’expression 2(x –

1)2

– 3.

Détermine ensuite les valeurs de a, b et c.

................................................................................................

...................................................................................................................................................

On considère la parabole d’équation y = a(x – a)2 + b. a) Quelle est l’équation de l’axe de symétrie ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Quelles sont les coordonnées du sommet ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Développe l’expression a(x – a)2 + b et réduis les termes semblables. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) (1) Complète le tableau ci-dessous. Dans la forme générale y = ax2 + bx + c

Dans la réponse du 2c)

Coefficient de x2 Coefficient de x Terme indépendant (2) Que constates-tu sur la ligne du coefficient de x2 ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(3) Complète la première égalité en comparant les valeurs du coefficient de x du tableau, puis isole a. b=

128

.......................

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

(4) Complète l’égalité en comparant les valeurs du terme indépendant du tableau, puis remplace a par l’expression trouvée au 3). c=

.......................................................................................................................................

Isole b et réduis l’expression pour obtenir une fraction. b=

.......................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

e) Complète le tableau ci-dessous. Caractéristiques

Dans la forme canonique y = a(x – a)2 + b

Dans la forme générale y = ax2 + bx + c

Équation de l’axe de symétrie

Coordonnées du sommet

a) Calcule l’ordonnée du point d’intersection de la parabole d’équation y = 2x2 – 4x – 1 avec l’axe y. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Calcule l’ordonnée du point d’intersection de la parabole d’équation y = ax2 + bx + c avec l’axe y. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) Complète le tableau ci-dessous. Caractéristique

Dans la forme canonique y = a(x – a)2 + b

Dans la forme générale y = ax2 + bx + c

Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y

129

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Caractéristiques de la parabole d’équation y = ax2 + bx + c Caractéristiques de la parabole La concavité est tournée vers le haut si a est positif, vers le bas si a est négatif. L’équation de l’axe de symétrie est x =

–b . 2a

 –b 4ac – b2 Les coordonnées du sommet sont  ; 4a  2a

 . 

Remarque On peut aussi obtenir l'ordonnée du sommet en remplaçant x par la valeur de son  –b  abscisse   dans l'équation de le parabole.  2a  L’ordonnée du point d’intersection de la parabole avec l’axe y est c. Exemples f ∫ y = 2x2 – 4x – 1

a = 2 ; b = –4 ; c = –1

y g

– La concavité est tournée vers le haut car a = 2 > 0. – L’équation de l’axe de symétrie est x = 1 –b –(–4) 4 car = = = 1. 2a 2.2 4 – Les coordonnées du sommet sont (1 ; –3) car y =

1 Ordonnée à l’origine

0 –1

4ac – b 2 4 . 2 (–1) – (–4)2 –8 – 16 –24 = = = = –3 4a 4 .2 8 8

x (1 ; –3)

ou y = 2 . 12 – 4 . 1 – 1 = 2 – 4 – 1 = –3 – L’ordonnée du point d’intersection de la parabole avec l’axe y est –1 car c = –1.

g ∫ y= –0,5x2 + 3x – 2

a = –0,5 ; b = 3 ; c = –2

– La concavité est tournée vers le bas car a = –0,5 < 0. – L’équation de l’axe de symétrie est x = 3 –b –3 –3 = = = 3. car 2a 2 . (–0,5) –1  5 – Les coordonnées du sommet sont  3 ;  = (3 ; 2,5) 2  car y =

(3 ; 2,5)

1 0

–2 g

Ordonnée à l’origine

4ac – b 2 4 . (–0,5) . (–2) – 3 2 4–9 –5 5 = = = = 4a 4 . (–0,5) –2 –2 2

ou y = –0,5 . 32 + 3 . 3 – 2 = –0,5 . 9 + 9 – 2 = –4,5 + 9 – 2 = 2,5 – L’ordonnée du point d’intersection de la parabole avec l’axe y est –2 car c = –2.

130

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Exercices 1

a) Détermine les éléments caractéristiques des paraboles à partir de leur équation. y = 3x2 – 6x + 1 a

Sens de la concavité

y = –2x2 + 7x – 5 c

.............................................

y = x2 + 2x

y = –3 – x2 – 2x

Axe de symétrie

Sommet

Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y

Sens de la concavité

.............................................

Axe de symétrie

Sommet

Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y

131

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques b) Voici les paraboles étudiées en a). Associe chacune d’elles à son équation.

1 0

y = 3x2 – 6x + 1

•

• f

y = –2x2 + 7x – 5

•

• g

y = x2 + 2x

•

• h

y = –3 – x2 – 2x

•

• i

c) Écris chaque équation sous sa forme canonique.

y = 3x2 – 6x + 1

................................................................................................................

y = –2x2 + 7x – 5

................................................................................................................

y = x2 + 2x

................................................................................................................

y = –3 – x2 – 2x

................................................................................................................

Écris chaque équation sous sa forme canonique. a) f ∫ y = 4x2 – 8x + 7

132

b) g ∫ y = 9x2 – 6x + 3

c) h ∫ y = –2x2 – 4x – 2

...........................................

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques 3

a) Détermine les caractéristiques de la parabole ci-dessous et compète le tableau. Concavité tournée vers...

Équation de l’axe de symétrie Coordonnées du sommet Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y Abscisse des points d’intersection avec l’axe x b) Écris l’équation de la parabole sous sa forme canonique. ............................................................................

............................................................................

c) Vérifie l’ordonnée du point d’intersection de la parabole avec l'axe y à partir de la forme canonique de l’équation. ............................................................................

d) Écris l’équation de cette parabole sous sa forme générale.

1 0

............................................................................

e) Vérifie tes réponses en déterminant les caractéristiques de la parabole à partir de l’équation écrite sous sa forme générale.

Concavité Équation de l’axe de symétrie

Sommet

Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y

133

Fonctions du second degré et caractéristiques de leurs graphiques

Exercices supplémentaires 1

Détermine les éléments caractéristiques des paraboles à partir de leur équation. f ∫ y = 4x2 – 8x + 7

h ∫ y = –3x2 + 2

j ∫ y = 0,1x2 – 0,04x + 0,725

g ∫ y = –2x2 – 8x – 8

i ∫ y = 2x2 + 5x

k∫y=

Détermine les éléments caractéristiques des paraboles représentées ci-contre. Pour chacune d’elles, donne ensuite son équation sous forme canonique et sous forme générale.

1 2 1 13 x – x+ 3 3 12 x h 1

Détermine les valeurs inconnues dans l’expression analytique de la fonction f : x Æ y = ax2 + bx + c pour que son graphique vérifie la(les) caractéristiques(s) donnée(s). Caractéristiques du graphique

a) Il comprend le point (–1 ; 3).

b) Les coordonnées du sommet sont (3 ; 0).

c) L’équation de l’axe de symétrie est x = –2.

4 8

d) L’ordonnée du point d’intersection avec l’axe y est 5.

e) Les coordonnées du sommet sont (–1 ; 4).

f) L’équation de l’axe de symétrie est x = 1 et l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe y est 7.

–2

g) Les coordonnées du sommet sont (0 ; 3) et il comprend le point (1 ; 5).

Lors d’un test balistique, des chercheurs ont lancé dans les airs à partir d’un même point quatre projectiles qui ont suivi des trajectoires paraboliques. Un repère, gradué en mètres, a été placé de telle sorte que le point de départ soit à l’origine et que l’axe x représente le sol (supposé horizontal). Dans ce repère, les équations des trajectoires sont les suivantes.

f ∫ y = –0,24x² + 2,4x

h ∫ y = 9 – (x – 3)²

g ∫ y = 0,2 . (36 – (x – 6)²)

i ∫ y = –0,05 (x – 7)² + 8

a) Détermine le projectile ayant atteint la plus haute altitude. Quelle est cette altitude ? b) Détermine le projectile ayant atterri le plus loin de son point de départ. Quelle distance sépare son point de départ de celui d’arrivée ?

134

Chapitre 5

Équations du second degré

Compétences à développer Traiter un problème en utilisant des fonctions du deuxième degré.

Processus Connaître Lier les diverses écritures de la fonction du deuxième degré avec certaines caractéristiques de la fonction ou de son graphique. Interpréter graphiquement les solutions d’une équation ou d’une inéquation du deuxième degré.

Appliquer Associer l’expression analytique d’une fonction du deuxième degré à son graphique et réciproquement. Rechercher des caractéristiques d'une fonction du deuxième degré. Rechercher des caractéristiques d’une parabole d’axe vertical. Résoudre une équation du deuxième degré.

Transférer Modéliser et résoudre des problèmes issus de situations diverses.

135

Équations du second degré

Activité 1 • Produit nul 1

Résous les équations. x–1=0

x–6=0

2x + 2 = 0

3–x=0

..................................

Voici les expressions analytiques de deux fonctions f1 et f2 et leur graphique.

f1 : x Æ y = (x – 1) . (x – 6) f2 : x Æ y = (2x + 2) . (3 – x) a) Montre qu’il s’agit de fonctions du second degré. Justifie. ...........................................................................................

1 0

...........................................................................................

b) Pour chaque fonction, en utilisant sa forme factorisée, écris l’équation te permettant de trouver les abscisses des points d’intersection du graphique avec l’axe x. f1 :

..................................................................

f2 :

.................................................................

Résous graphiquement les équations que tu viens d’écrire. .......................................................................

.......................................................................

c) Comment aurais-tu pu trouver ces solutions algébriquement ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Produit nul Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. a . b = 0 ¤ a = 0 ou b = 0

136

Équations du second degré Exemples x (x – 3) = 0 x = 0 ou x – 3 = 0 x=3

(x – 2) (2x + 3) = 0

(x – 5)2 = 0

x – 2 = 0 ou 2x + 3 = 0 x = 2 ou

x=–

x–5=0 3 2

x=5

Exercices 1

Résous les équations. (x – 2) (x + 4) = 0

2x (1 – 2x) = 0

2 (3 – 4x) (x – 2) = 0

................................................

(x + 5)2 = 0

(2x + 3) (2 – x) = 0

–3 (1 – x) (x + 3) = 0

................................................

a) Résous les équations. (x + 1) (x – 3) = 0

3x (x – 2) = 0

(x + 2) (3 – x) = 0

..............................................

b) Voici, dans un même repère, les graphiques de trois fonctions. En utilisant les solutions trouvées au a), associe chaque parabole à la fonction qu’elle représente. f1 : x Æ y = (x + 1) (x – 3) f2 : x Æ y = 3x (x – 2)

y .......

.......

1 0

f3 : x Æ y = (x + 2) (3 – x) .......

137

Équations du second degré 3

Entoure les solutions des équations suivantes. Équations

Solutions proposées

x (x + 3) = 0

–2

–3

(4 – x) (x + 1) = 0

–1

1 4

–4

(2x + 3) (x – 3) = 0

–3

−

(x + 2)2

–7x (1 – 4x) = 0

1 7

−

3 (2 – x) (2 + 3x) = 0

3 2

2 3

3 2

–2

–4

1 4

−

2 3

−

3 2

Activité 2 • Produit nul et équations particulières du second degré 1

Équations de la forme ax2 + bx = 0 Ci-dessous, les trajectoires paraboliques d’un nageur réalisant des apnées sont données sous la forme d’équations et/ou représentées par des paraboles. Pour chaque situation, a) écris l’équation permettant de trouver les abscisses des points d’intersection de chaque parabole avec l’axe x. b) détermine ces abscisses. y = 3x2 – 6x y

138

y = x2 – 3x

y = 3x (x – 2)

.........................................

Équations du second degré y = 2x2 + 4x

y = 2x (x + 2)

y = 4x2 – 4x

.........................................

Lorsque l’équation ne se présentait pas sous la forme d’un produit nul, quelle technique as-tu utilisée pour la ramener sous cette forme ? ...................................................................................................................................................

Équations de la forme ax2 + c = 0 a) Lors de la Coupe du monde, un rugbyman botte le ballon entre les poteaux afin de marquer deux points. Le ballon suit une trajectoire parabolique d’équation y = 9 – x2. (1) Détermine graphiquement les abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe x. .................................................................................

(2) Indique l’équation permettant de déterminer algébriquement ces abscisses.

Poteau

.................................................................................

(3) Complète. Le premier membre de l'équation se présente sous la forme d’une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En effet, 9 – x2 peut s’écrire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4) Parmi ces trois expressions (a –

b)2

(a +

b)2

1 Sol

(a – b) . (a + b),

écris celle qui te permet de compléter l'égalité ci-dessous. Justifie ta réponse. a2 – b2 =

...............................................................................................................................

..............................................................................................................................................

139

Équations du second degré (5) Résous l’équation indiquée au point (2) en utilisant le produit remarquable que tu viens d'écrire et précise la signification de la (des) solution(s) sur le terrain de rugby. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

b) Lors d’un concours, un juge regarde du sol un pilote d’avion qui réalise une acrobatie suivant la trajectoire parabolique d’équation y = x2 + 6 représentée ci-dessous. (1) Détermine graphiquement l’abscisse du (des) point(s) d'intersection éventuel(s) de la parabole avec l’axe x et justifie en t’aidant de la situation concrète. ............................................................................

............................................................................

(2) Indique l’équation qui aurait permis de déterminer algébriquement cette (ces) abscisse(s). ............................................................................

(3) Isole le terme en x2 de cette équation. ............................................................................

(4) Compare le signe des membres de cette dernière équation et justifie algébriquement la réponse à la question (1). ............................................................................

............................................................................

Juge

1 Sol

............................................................................

..............................................................................................................................................

140

Équations du second degré 3

Équations particulières de la forme ax2 + bx + c = 0 a) Un martin-pêcheur désirant attraper un poisson nageant en surface se lance du tronc d’un arbre en suivant une trajectoire parabolique d’équation y = x2 – 6x + 9. (1) Détermine graphiquement l’abscisse du (des) point(s) d'intersection éventuel(s) de la parabole avec l’axe x. ............................................................................

(2) Indique l’équation permettant de déterminer algébriquement cette ou ces abscisse(s). ............................................................................

(3) Parmi ces trois expressions (a – b)2

(a + b)2

(a – b) . (a + b),

écris celle qui te permet de compléter l'égalité ci-dessous. Justifie ta réponse.

a2 – 2ab + b2 =

...................................................

Surface de l’eau 1

..............................................................................................................................................

(4) Résous l’équation notée au point (2) en utilisant ce produit remarquable et précise la signification de la (des) solution(s) pour le martin-pêcheur. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

b) Dans cette activité, tu as déjà factorisé des expressions à l'aide des formules suivantes : a² – b² = (a – b) . (a + b)

a² – 2ab + b² = (a – b)²

De façon similaire, tu vas découvrir comment factoriser une expression en utilisant le carré d’une somme. Tu pourras ensuite utiliser cette formule pour résoudre certaines équations du second degré. (1) Développe. (a + b)2 =

.........................................................................................................

(2) Complète la formule permettant de factoriser un « trinôme carré parfait » sous la forme du carré d’une somme. ..................................................

= (a + b)2

(3) Utilise la formule que tu viens d’établir pour résoudre l’équation x2 + 8x +16 = 0. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

141

Équations du second degré

Produit nul et équations particulières du second degré A. Factorisation Factoriser une somme algébrique, c’est la transformer en un produit de facteurs.

B. Comment factoriser une expression du second degré ? Exemples 15x2 – 20x = 5x (3x – 4)

– On met en évidence le(s) facteur(s) commun(s).

4 (x – 2) – x (x – 2) = (x – 2) (4 – x) – On factorise à l’aide des produits remarquables. a2 – b2 = (a – b) (a + b)

4x2 – 1 = (2x – 1) (2x + 1)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

9x2 + 6x + 1 = (3x + 1)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

x2 – 8x + 16 = (x – 4)2

Remarque : Dans certains cas, il est utile d’utiliser d’abord la mise en évidence et ensuite un produit remarquable. Exemples : 3x2 – 27 = 3 (x2 – 9) = 3 (x – 3) (x + 3) 7x2 + 14x + 7 = 7 (x2 + 2x + 1) = 7 (x + 1)2

C. Comment résoudre une équation particulière du second degré ? 1) On écrit l’équation sous la forme ax2 + bx + c = 0. 2) On factorise le premier membre de l’équation. 3) On applique la règle du produit nul. Exemples 21x2 = 14x

9x2 = 1

4x2 + 9 = 12x

21x2 – 14x = 0

9x2 – 1 = 0

4x2 – 12x + 9 = 0

7x (3x – 2) = 0

(3x – 1) (3x + 1) = 0

(2x – 3)2 = 0

7x = 0 ou 3x – 2 = 0 2 x = 0 ou x= 3

3x – 1 = 0 ou 3x + 1= 0 1 1 x = ou x=− 3 3

2x – 3 = 0 3 x= 2

Cas particulier Certaines équations sont impossibles à résoudre. Exemples 25x2 + 9 = 0 25x2 = –9

3x2 + 2 = 0 3x2 = –2

Ces équations sont impossibles, elles ne possèdent pas de solution.

142

Équations du second degré

Exercices 1

Factorise les expressions suivantes. Série 1 .......................................................

20x2 + 12x =

....................................................

........................................................

49x2 + 48x =

....................................................

35x + 50 = 7x2 – 7x =

25x – 45x2 =

....................................................

6x + 9x2 =

........................................................

Série 2 x2 – 36 =

..........................................................

36 – 49x2 =

4x2 – 9 =

..........................................................

–16 + x2 =

9x2 + 25 =

........................................................

......................................................

........................................................

–25x2 + 81 =

....................................................

Série 3 x2 + 6x + 9 =

....................................................

4 + 4x2 – 8x =

x2 + 1 + 2x =

....................................................

10x + 1 + 25x2 =

4x2 – 4x + 1 =

..................................................

..............................................

25 – 60x + 36x2 =

............................................

Série 4 9x2 – 24x + 16 = 9x2 – 25 =

..............................................

........................................................

25x2 + 100x =

..................................................

81x – 45x2 =

....................................................

1 + 8x + 16x2 = 25x2 – 9 =

................................................

........................................................

Série 5 5x2 – 10x + 5 = 20x2 – 125 =

...............................................................................................................................

...................................................................................................................................

4x2 + 36 – 24x =

.............................................................................................................................

2x2 + 12x + 18 =

.............................................................................................................................

100x2 + 25 = 12x2 – 27 =

...................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

Série 6 (x + 2) (x – 3) – 5 (x – 3) =

................................................................................................................

....................................................................................................................

(2x – 3)2 + 5 =

.................................................................................................................................

(3x – 1)2 – 9 =

..................................................................................................................................

143

Équations du second degré (3x – 2) (4x – 3) + (x – 4) (3x – 2) =

..................................................................................................

.....................................................................................................

(5x + 3)2 – (4 – 3x)2 =

.......................................................................................................................

..........................................................................................................................

4 (3x + 2)2 – 144 =

..........................................................................................................................

.............................................................................................................................

(5x + 1)2 –

1 = 9

.................................................................................................................................

Résous les équations suivantes. a) 9x2 + 11x = 0 ....................................................................

....................................................................

c) 16x2 + 8x + 1 = 0

d) 5x2 + 1 = 0

....................................................................

e) 35x = 5x2

144

b) 4x2 – 9 = 0

f ) x2 = 64

....................................................................

Équations du second degré g) 1 = 12x – 36x2

h) (5x – 2)2 + 2 = 0

....................................................................

i ) 3x2 + 3 = –6x

j ) (x + 4)2 = 3 (x + 4)

....................................................................

k) 2 (3x – 5)2 – 98 = 0

l ) 25 (4x + 5)2 – 100 = 0

....................................................................

m) (3x + 4)2 = 9

n) 2 (3x + 1)2 + (6x +2)2 = 0

....................................................................

145

Équations du second degré

Activité 3 • Résolution de l’équation générale ax2 + bx + c = 0 Lors de l’activité précédente, tu as découvert comment résoudre des équations par la méthode du produit nul. Tu vas maintenant découvrir une méthode pour trouver les solutions d’une équation générale de la forme ax2 + bx + c = 0. 1

Voici trois paraboles et leur équation. Applique les différentes consignes du tableau pour chacune d’elles. y

1 0

y = 4x2 + 8x – 5

y = 2x2 + 12x + 18

y = 2x2 + 12x + 26

a) Écris l’équation te permettant de trouver les abscisses du (des) point(s) d’intersection du graphique avec l’axe x. .............................................

.............................................

............................................

b) En utilisant le graphique, transforme la forme générale de l’équation pour l’écrire sous la forme canonique : a (x – a)2 + b = 0 a=

......................................

.....................................

......................................

.....................................

......................................

.....................................

.............................................

c) Divise les deux membres de l’équation par a : (x – a)2 +

.............................................

............................................

β =0 a

.............................................

............................................

d) Est-il possible de résoudre chacune de ces équations ? Justifie.

146

.............................................

............................................

.............................................

............................................

.............................................

............................................

Équations du second degré

e) Détermine, sans les calculer, le nombre de solutions de chaque équation. Vérifie ta réponse sur les graphiques des paraboles. .............................................

.............................................

............................................

 –β  f) Écris le premier membre sous la forme d’une différence : (x – a)2 –   = 0.  a  .............................................

e) Détermine la valeur de

............................................

−β . Complète par < , > ou = 0. a

−β = .................................... a −β ......... 0 a 2

.............................................

−β = .................................... a −β ......... 0 a

−β = ................................... a −β ......... 0 a

−β influence le nombre de Tu as pu observer dans le tableau de l'exercice 1 que le signe de a solutions de chaque équation. −β 4ac – b2 pour l’écrire en fonction de a, b et c en utilisant la valeur de b = . a) Développe a 4a −β = a

...........................................................................................................................................

b) Pour simplifier l’expression trouvée, on pose D = b2 – 4ac. Écris ta dernière réponse en utilisant D. (D est appelé discriminant et se lit « delta ».) −β = a

...........................................................................................................................................

−β ne dépend que du signe de D. Calcule la a −β pour chacune de tes équations. valeur de D et vérifie qu’il a le même signe que a

c) L'expression 4a2 étant positive, le signe de

D = b2 – 4ac

..............................................

Complète cette première conclusion. si D > 0, l’équation admet . . . . . . . . . . . . . . solution(s). D = ................................

si D = 0, l’équation admet . . . . . . . . . . . . . . solution(s). si D < 0, l’équation admet . . . . . . . . . . . . . . solution(s).

147

Équations du second degré 3

La suite du raisonnement commencé à l'exercice 2 dépend donc du signe de D. Applique les différentes consignes pour chaque cas. a) 1er cas : D > 0 1) Écris l’équation trouvée au 1c) pour laquelle D > 0 et résous-la. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

 –b  2) Cette équation s'écrit, de façon générale, (x – a )2 –   = 0.  a  –b –b Remplace, dans cette équation, a par et par l'expression trouvée à l'exercice 2b). 2a a Ensuite, résous-la. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

148

Équations du second degré

b) 2e cas : D = 0 1) Écris l’équation trouvée au 1c) pour laquelle D = 0 et résous-la. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

2) Cette équation s'écrit, de façon générale, (x – a)2 = 0. –b . Ensuite, résous-la. Remplace, dans cette équation, a par 2a ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

c) 3e cas : D < 0 1) Écris l’équation trouvée au 1c) pour laquelle D < 0 et explique pourquoi cette équation est impossible. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

 –b   = 0. 2) Cette équation s'écrit, de façon générale, (x – a)2 –   a  –b –b et par l'expression trouvée au 2b). Remplace, dans cette équation, a par 2a a Étudie ensuite le signe de chacun des termes de cette équation et déduis-en qu’elle n’admet pas de solution. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

149

Équations du second degré

Résolution de l’équation générale ax2 + bx + c = 0 Comment résoudre une équation du type ax2 + bx + c = 0 ? (a ≠ 0) On calcule le discriminant D = b2 – 4ac.

(La lettre grecque D se lit "delta".)

Ensuite, selon le signe de ce dernier, on détermine les éventuelles solutions. Illustrations graphiques 1er cas : D > 0

L’équation admet deux solutions distinctes : x1 =

–b + D –b – D et x 2 = 2a 2a

2e cas : D = 0

L’équation admet une solution : –b x= 2a

3e cas : D < 0

L’équation n'admet aucune solution. x

Exemples 2x2 – 3x – 2 = 0 Coeﬃcients : a = 2 ; b = –3 ; c = –2 Calcul de D : D = b2 – 4ac = (–3)2 – 4 . 2 . (–2) = 9 + 16 = 25 > 0 L’équation admet deux solutions :

x1 =

–b + D –(–3) + 25 3+5 8 = = = =2 2.2 4 4 2a

x2 =

–b – D –(–3) – 25 3–5 –2 –1 = = = = 2a 2.2 4 4 2

9x2 – 6x + 1 = 0 Coeﬃcients : a = 9 ; b = –6 ; c = 1 Calcul de D : D = b2 – 4ac = (–6)2 – 4 . 9 . 1 = 36 – 36 = 0 L’équation admet une solution :

–b –(–6) 6 1 = = = 2a 2.9 18 3

–2x2 + 5x – 4 = 0 Coeﬃcients : a = –2 ; b = 5 ; c = –4 Calcul de D : D = b2 – 4ac = 52 – 4 . (–2) . (–4) = 25 – 32 = –7 < 0 L’équation n’admet aucune solution. 150

Équations du second degré

Remarques – Dans le cas où l’équation admet deux solutions (D > 0), on écrit parfois les deux solutions en utilisant la formule unique :

= x12 ,

–b ± D 2a

Exemple : 2x2 – 3x – 2 = 0 Coeﬃcients : a = 2 ; b = –3 ; c = –2 Calcul de D :

D = b2 – 4ac = (–3)2 – 4 . 2 . (–2) = 9 + 16 = 25 > 0

L’équation admet deux solutions. x1,2

–b ± D –(–3) ± 25 3±5 = = = = 2a 2.2 4

3+5 8 = =2 4 4 –2 –1 3–5 = = 4 4 2

– Le discriminant D se note aussi parfois à l’aide de la lettre grecque r (« rhô ») et s’appelle réalisant.

Exercices 1

Résous les équations suivantes. Pour chacune d’elles, vérifie à l’aide de ta calculatrice si la ou les solutions trouvées sont correctes. Série A a) x2 + 5x + 6 = 0

b) 2x2 + 7x – 4 = 0

....................................................................

c) 4x2 – 20x + 25 = 0

d) 3x2 – 4x + 2 = 0

....................................................................

151

Équations du second degré e) 3x2 – 2x – 1 = 0

f) –2x2 – 9x + 5 = 0

....................................................................

g) –x2 + 5x – 4 = 0

h) x2 + 3x + 1 = 0

....................................................................

Série B a) –x + 3x2 – 14 = 0

152

b) 3x2 + 2 = –8x – 2x2 – 3

....................................................................

Équations du second degré c) 2 (x2 – 12) – 8x + 32 = 0

d) –4x2 + 4x – 3 = –6

....................................................................

e) 6x2 – 6 = 36x + 12

f) 2 (x – 1)2 = –3x + 17

....................................................................

153

Équations du second degré

Activité 4 • Plan de résolution d’une équation du second degré 1

a) Si possible, résous les équations de deux manières différentes. Équation

Par factorisation

Par la méthode du discriminant

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

..............................................

.............................................................

–2x2 + 4x – 2 = 0

3x2 – x = 0

x2 – 16 = 0

x2 – 4x + 5 = 0

2x2 + 2x – 4 = 0

b) Quelle méthode est toujours applicable ?

................................................................................

c) Lorsque les deux méthodes sont applicables, laquelle est la plus rapide ? ...................................................................................................................................................

154

Équations du second degré

Plan de résolution d’une équation du second degré Comment résoudre une équation du second degré ? 1. On place tous les termes dans un même membre. 2. De préférence, si possible, on factorise et on résout l’équation par la règle du produit nul. Sinon, on utilise la méthode du discriminant pour rechercher les éventuelles solutions. Exemples –2x2 = –8 –2x2 + 8 = 0 –2 (x2 – 4) = 0 –2 (x + 2) (x – 2) = 0

3x2 – 6x = 0 3x (x – 2) = 0 3x = 0 ou x – 2 = 0 x = 0 ou x=2

x + 2 = –0 ou x – 2 = 0 x = –2 ou x=2 12 (x2 + x) = –3 12x2 + 12x + 3 = 0 3 (4x2 + 4x + 1) = 0 3 (2x + 1)2 = 0 2x + 1 = 0 2x = –1 1 x=– 2

3x2 + x – 2 = 0 a = 3 ; b = 1 ; c = –2 Δ = 12 – 4 . 3 . (–2) = 1 + 24 = 25 > 0 x1 =

–1 + 25 4 2 –1 + 5 = = = 2 .3 6 6 3

x2 =

–1 – 25 –1 – 5 –6 = = = –1 2 .3 6 6

Exercices 1

Résous les équations suivantes en utilisant la méthode la mieux adaptée. a) 4x2 = 4x

b) 2x2 – 4x – 30 = 0

....................................................................

155

Équations du second degré c) –x2 + 6x – 9 = 0 ....................................................................

....................................................................

e) 4x2 = 25

f) 9x2 – 12 x + 4 = 0

....................................................................

g) 2 (x – 1) = x2 – 5

h) 4x2 + 2x + 1 = 2x + 2

....................................................................

i) 16x2 – 2x = 30x

156

d) 4 (x – 3)2 + 9 = 0

j) (x + 2)2 – 9 = 0

....................................................................

Équations du second degré

Activité 5 • Forme factorisée de l’expression du second degré 1

Complète les trois tableaux. Fonctions Formes factorisées

Formes générales

Zéros

Coefficients de x2 (a)

Zéros

Coefficients de x2 (a)

5 et 3

–2 et 4

0 et 1

f1 : x Æ y = (x – 1) (x – 2)

f2 : x Æ y = (x + 2) (x – 3)

f3 : x Æ y = 2 (x + 2) (x – 3)

f4 : x Æ y = –7 (x + 2) (x – 3)

Fonctions Formes factorisées

Formes générales

157

Équations du second degré Fonctions Formes factorisées

Formes générales

Zéros

Coefficients de x2 (a)

f1 : x Æ y = x2 – 6x + 8 f2 : x Æ y = 2x2 + 5x – 3 f3 : x Æ y = –3x2 – 27x – 42

........................................................................................................................................................

Factorise les expressions suivantes. x2 – 9 =

............................................................

2x2 + 4x + 2 =

158

...................................................

..................................................

..........................................................................

.....................................................

..........................................................................

........................................................

..........................................................................

...........................................................

..........................................................................

..........................................................

..........................................................................

3x2 – 12 =

4x2 + x =

2x2 + x – 6 =

Équations du second degré 3

La fonction f : x Æ y = –2x2 + 3x + 2 est représentée par la parabole ci-dessous. a) Détermine graphiquement les zéros de f.

.................................................................................

b) Déduis-en le signe du discriminant de l’équation –2x2 + 3x + 2 = 0. .................................................................................

c) À l’aide de ses zéros, factorise l’expression algébrique de la fonction f.

x –2x2 + 3x + 2 =

........................................................

d) Afin de vérifier ta réponse, applique la distibutivité à la forme factorisée de l’expression. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Voici deux fonctions et leur représentation graphique. g : x Æ y = 3x2 – 2x + 1

f : x Æ y = –2x2 + 4x – 2

1 0

f a) Détermine les zéros de ces fonctions. Zéro(s) de f :

..............................................

Zéro(s) de g :

..............

b) Déduis-en le signe du discriminant de chacune des équations. –2x2 + 4x – 2 = 0 ....................................................................

3x2 – 2x + 1 = 0 ....................................................................

c) Factorise si possible chaque expression. –2x2 + 4x – 2 =

...........................................

...............................................

3x2 – 2x + 1 =

.............................................

................................................

159

Équations du second degré 5

On a représenté ci-contre la fonction f : x Æ y = x2 + 1.

a) Détermine graphiquement les zéros de la fonction f. ...........................................................................................

b) Déduis-en le signe du discirminant D.

.............................

c) Vérifie ta réponse en calculant le discriminant D.

...........................................................................................

d) Factorise si possible l’expression x2 + 1. ...................................................................................................................................................

e) Justifie pourquoi une somme de deux carrés ne sera jamais factorisable. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Associe chaque parabole à son équation factorisée. y = 2 (x – 1) (x + 3) y=

3 (x – 1) (x + 3) 4

..........

y = (x – 3) (x + 2)

..........

y = (x – 2) (x + 1)

..........

y = (x – 1) (x + 1)

..........

1 0

160

..........

1 (x – 1) (x + 3) 4

..........

Équations du second degré

Forme factorisée de l’expression du second degré A. Comment factoriser ax2 + bx + c par la méthode du discriminant ? On détermine les solutions de l’équation ax2 + bx + c = 0 par la méthode du discriminant. Si D > 0, l’équation possède 2 solutions (x1 et x2) et on peut écrire : ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) Si D = 0, l’équation possède 1 solution (x1) et on peut écrire : ax2 + bx + c = a (x – x1)2 Si D < 0, l’équation ne possède pas de solution et l’expression n’est pas factorisable. Exemples 2x2 – x – 3

2x2 – x – 3 = 0 Δ = 25 > 0 x1 =

3 2

x2 = –1  3 2x2 – x – 3 = 2  x –  ( x + 1) 2  9x2 – 6x + 1

9x2 – 6x + 1 = 0 Δ=0 x= 9x2

–2x2 + 3x – 2

1 3

 1 – 6x + 1 = 9  x –  3 

–2x2 + 3x – 2 = 0 Δ = –7 < 0 –2x2 + 3x – 2 n’est pas factorisable.

Remarque : Une somme de deux carrés n’est pas factorisable avec la méthode du discriminant. Exemples x2 + 1 n’est pas factorisable car Δ = 02 – 4 . 1 . 1 = –4 < 0

25x2 + 9 n’est pas factorisable car Δ = 02 – 4 . 25 . 9 = –900 < 0

B. Comment factoriser une expression du second degré ? On utilise la mise en évidence et/ou les produits remarquables. Si ces deux méthodes ne sont pas applicables ou si l’expression obtenue contient encore un facteur du second degré, on emploie la méthode du discriminant. 161

Équations du second degré Exemples 4x2 + 6x = 2x (2x + 3)

Mise en évidence

6x2 + 3 = 3 (2x2 + 1)

Mise en évidence

9x2 – 25 = (3x – 5) (3x + 5)

Diﬀérence de deux carrés

2x2 + 4x + 2 = 2 (x2 + 2x + 1)

Mise en évidence et, trinôme carré parfait

= 2 (x + 1)2 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2

Trinôme carré parfait

 1 2x2 + 5x – 3 = 2  x –  (x – 3) 2 

Méthode du discriminant

Δ = 49 > 0 x1 = 1 2

x2 = 3 Mise en évidence et,

2x2 – 4x – 6 = 2 (x2 – 2x – 3)

méthode du discriminant

= 2 (x – 3) (x + 1) Δ = 16 > 0 x1 = 3

x2 = –1

C. Comment écrire l’expression factorisée d’une fonction du second degré à partir de son graphique ? On détermine graphiquement la valeur de a et les zéros de la fonction. Si la fonction admet deux zéros (x1 et x2), on écrit l’expression analytique de la fonction sous la forme f : x Æ y = a (x – x1) (x – x2). Si la fonction admet un zéro (x1), on écrit l’expression analytique de la fonction sous la forme f : x Æ y = a (x – x1)2. Si la fonction n’admet pas de zéros, l’expression n’est pas factorisable. Exemples y

1 2 Zéros : –1 et 3

Fonction f : a =

1 –3

–1 0

3 x

donc f : x Æ y =

1 (x + 1) (x – 3) 2

Fonction g : a = –1 Zéro : –3 donc g : x Æ y = –(x + 3)2

162

Fonction h : a = –2 La fonction h n'admet pas de zéro, donc son expression analytique n'est pas factorisable.

Équations du second degré

D. Rôles de a, x1 et x2 dans l’expression f : x Æ y = a (x – x1) (x – x2) Dans l’expression f : x Æ y = a (x – x1) (x – x2), – a joue le même rôle dans la forme générale et dans la forme canonique; – x1 et x2 sont les zéros de la fonction f. Exemples f : x Æ y = 2 (x – 1) (x + 2) y = 2 (x – 1) (x – (–2))

g : x Æ y = –3 (x + 2) (x + 1) y = –3 (x – (–2)) (x – (–1))

La concavité est tournée vers le haut car a = 2 > 0

La concavité est tournée vers le bas car a = –3 < 0

1 et –2 sont les zéros de f.

–2 et –1 sont les zéros de g.

1 –2

1 1

0 –3

–2 –1

Exercices 1

Factorise en utilisant la méthode la plus rapide. Série A a) 2x2 – 50 =

...................................................

c) x2 – 3x – 10 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) 4x2 – 12x + 9 = d) 4x2 + 2x – 2 =

...........................................

.............................................

....................................................................

163

Équations du second degré e) 3x2 – 21x + 36 =

f) 2x2 + 11x + 12 =

.........................................

....................................................................

g) 5x2 + x – 6 =

...............................................

h) 3x2 – 2x – 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....................................................................

i) –3x2 – 2x – 1 =

............................................

j) 25x2 – 9 =

...................................................

....................................................................

k) 5x2 + 5x + 5 =

164

.........................................

.............................................

l) –3x2 – 6x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....................................................................

Équations du second degré

Série B a) –5x + 2 (x2 + 1) =

........................................

b) 9x – 6 (1 – x2) =

...........................................

....................................................................

c) (4x – 7) (–x – 1) – (4x – 7) (2x – 4) =

.................................................................

d) x2 + 7 – 2 (x2 + 8x – 1) =

.................................................................

....................................................................

e) (3x – 2)2 – 4 =

.................................................................

f) (3x + 4)2 – (2x – 1)2 =

.................................................................

....................................................................

165

Équations du second degré 2

Écris l’expression algébrique d’une fonction du second degré a) dont les zéros sont 3 et –6.

...........................................................................................

b) qui admet 7 pour unique zéro.

...........................................................................................

c) dont les zéros sont identiques à ceux de la fonction g : x Æ y = 2x2 – 8. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

a) Pour chaque fonction représentée ci-dessous, détermine la valeur de a et les zéros. f2

1 0

x 1 0

f3 a = ..........

x1 = . . . . . . . . . .

x2 = . . . . . . . . . .

a = .......... x1 = . . . . . . . . . .

x2 = . . . . . . . . . .

a = .......... x1 = . . . . . . . . . .

x2 = . . . . . . . . . .

b) Écris chaque fonction sous une forme factorisée et ensuite sous la forme générale. Forme factorisée

166

Forme générale

Équations du second degré

Activité 6 • Problèmes simples 1

Un jardinier est chargé d’aménager un terrain carré de 8 m de côté. Il doit y placer quatre parterres qui couvriront un quart du terrain. Ces parterres, disposés comme l’indique la figure ci-contre, doivent être triangulaires et identiques.

E 8

Pelouse

Le raisonnement qui suit va te permettre d’aider le jardinier à calculer à quelle distance des coins du terrain il doit placer les sommets de la pelouse.

D H a) Si x désigne la mesure |DH|, détermine l’expression algébrique de la mesure |DE|.

G C

...................................................................................................................................................

b) (1) Détermine l’expression algébrique de l’aire du parterre triangulaire DHE. ..............................................................................................................................................

(2) Déduis-en une expression algébrique réduite de l’aire des quatre parterres. Aparterres = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) (1) Calcule l’aire totale en m2 du terrain. Atotale =

.................................................................................................................................

(2) Calcule l’aire en m2 souhaitée par le client pour l’ensemble des quatre parterres. Aparterres = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) Observe tes réponses aux questions b)(2) et c)(2) ; tu as découvert deux expressions de l’aire des quatre parterres. Égale ces expressions pour former une équation. ...................................................................................................................................................

e) Détermine, à 0,01 près, les solutions de cette équation. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

167

Équations du second degré f) Exprime la solution du problème dans un langage correct. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

g) Représente chaque solution et vérifie qu’elle convient à l’énoncé du problème en complétant le tableau.

Échelle : 1/200

Aire totale du terrain

............................................

Aire d’un parterre

............................................

Aire des quatre parterres

............................................

Aire des parterres Aire totale du terrain

Problèmes simples Comment résoudre un problème ? 1) Choix de l’inconnue : on choisit l’inconnue qui sera notée x et on exprime les autres éléments utiles du problème en fonction de x. 2) Mise en équation : on écrit une équation qui traduit l’énoncé du problème. 3) Résolution de l’équation : on détermine les solutions de l’équation. 4) Solution du problème : on répond à la question posée dans le problème par une phrase correctement construite en rejetant éventuellement les solutions n’ayant aucun sens dans le contexte du problème. 5) Vérification : on vérifie que chaque solution trouvée convient pour l’énoncé du problème.

168

Équations du second degré

Exercices 1

En découpant quatre bandes d’une même largeur le long de chaque côté d’une feuille de format A4 (210 297 mm), on obtient une nouvelle feuille rectangulaire. Quelle doit être la largeur, au mm près, de ces bandes pour que l’aire de la nouvelle feuille représente la moitié de celle de la feuille initiale ?

✂

........................................................................................................................................................

169

Équations du second degré 2

Lors de la réunion annuelle des jeunes entrepreneurs, chaque participant offre un échantillon d’un de ses produits aux autres. a) Sachant qu’en 2015, 35 entrepreneurs ont participé à cette réunion, détermine le nombre d’échantillons échangés. ..............................................................................................

..............................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Sachant qu’en 2016, 2862 échantillons ont été échangés, détermine le nombre de participants à la réunion. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

170

Équations du second degré 3

Afin d’organiser un lancer de fléchettes lors d’une fête scolaire, les élèves souhaitent construire une cible circulaire. Celle-ci doit être composée de deux cercles concentriques formant deux zones de même aire. Si la zone externe, notée zone B sur le dessin ci-contre, a une largeur de 10 cm, détermine le rayon du petit cercle au millimètre près.

zone A zone B

........................................................................................................................................................

171

Équations du second degré

Exercices supplémentaires Vérifie chacune de tes solutions à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice graphique. 1

Détermine la valeur de x pour que l’aire de chaque figure soit celle indiquée. Les mesures sont exprimées en m. a) b) c) x + 12 x+6 x+4

x–6

3x – 8 A = 1326 m2

A = 1519 m2 2

A = 2500 m2

Détermine x, à 0,001 près, pour que les aires des surfaces ci-dessous soient égales. Les mesures sont exprimées en cm.

2x 4 4x

Détermine les dimensions d’un rectangle dont le périmètre est égal à 62 cm et l’aire à 234 cm2.

Un artificier prépare un spectacle pyrotechnique pour la fête des mathématiques. Une de ses fusées doit exploser exactement à 200 mètres d’altitude. La hauteur de la fusée en fonction du temps écoulé depuis son lancement est donnée par la fonction f(t) = –5t2 + 70t dans laquelle t est exprimé en secondes. a) Détermine combien de temps après son lancement la fusée doit exploser. b) Si un problème technique survient et que la fusée n’explose pas, détermine après combien de temps elle va toucher le sol.

172

y La photo ci-contre représente le type de fontaine qu'un architecte prévoit d'installer dans le hall d’entrée d’un bâtiment pour permettre aux visiteurs de se désaltérer. Afin d’évacuer l’eau, il souhaite placer un orifice circulaire dans le plan horizontal à l’endroit où elle touche celui-ci. x Dans le plan du jet, il a placé un repère gradué en 5 cm centimètres. L’intersection des axes est située à la sortie du jet, 5 cm plus haut que la surface horizontale et 2 cm 2 cm Orifice à droite de l’axe vertical du robinet. L’eau suit une trajectoire parabolique dont l’équation est y = –0,393x2 + 2,036x. Détermine, à 0,1 cm près, à quelle distance horizontale mesurée à partir de l’axe du robinet, il doit placer le centre de cet orifice.

Détermine algébriquement les points d’intersection des paraboles d’équations y = 2x2 – x – 3 et y = –x2 + 2x + 3.

Chapitre 6

Étude de la fonction du second degré

Compétences à développer Traiter un problème en utilisant des fonctions du deuxième degré.

Processus Connaître Lier les diverses écritures de la fonction du deuxième degré avec certaines caractéristiques de la fonction ou de son graphique.

Appliquer Construire un graphique à partir d’un tableau de nombres ou d’une formule. Rechercher des caractéristiques d’une fonction du deuxième degré. Rechercher des caractéristiques d’une parabole d’axe vertical. Établir le tableau de signe d'une fonction du second degré. Résoudre une équation du second degré.

Transférer Modéliser et résoudre des problèmes issus de situations diverses.

173

Étude de la fonction du second degré

Activité 1 • Signe de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c 1

Voici les graphiques de six fonctions du second degré. a) Pour chacune d’elles, complète leur tableau de signes. Pour cela, complète la première ligne du tableau en y indiquant les zéros éventuels, classés par ordre croissant, et la seconde en y indiquant leurs images. Ensuite, complète les espaces vides de la seconde ligne du tableau avec le symbole « + » lorsque les ordonnées des points correspondants sont positives et le symbole « – » lorsqu’elles sont négatives. a>0 y

y y

174

a<0

Étude de la fonction du second degré

b) Détermine les abscisses des points des paraboles qui ont une ordonnée de même signe que a. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

a) Dans chaque cas, schématise le graphique d’une fonction du second degré répondant aux conditions demandées; complète ensuite son tableau de signes. a > 0 et D > 0

a < 0 et D > 0

y a > 0 et D = 0

1 1

y a > 0 et D < 0

1 1

a < 0 et D < 0

a < 0 et D = 0

b) Confirmes-tu la conclusion émise à la question 1.b) ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

175

Étude de la fonction du second degré

Signe de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c A. Zéro de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c Un zéro d’une fonction est l’abscisse d’un point d’intersection du graphique de cette fonction avec l’axe horizontal. Une fonction du second degré admet au plus deux zéros.

B. Étude du signe de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c a > 0 : concavité tournée vers le haut D=0 1 zéro (x1)

D>0 2 zéros (x1 et x2) y

x1 +

x2 0

D<0 Pas de zéro

x2 –

x +

x1 +

a < 0 : concavité tournée vers le bas D=0 1 zéro (x1)

D>0 2 zéros (x1 et x2) y

x y

x1 –

1 x1

x2 0

x2 +

D<0 Pas de zéro

x –

x1 –

x –

–

C. Règle de signes de la fonction du second degré x Æ y = ax2 + bx + c Le signe d’une fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c est toujours le signe de a sauf pour les éventuels zéros de la fonction et entre ces zéros. 176

Étude de la fonction du second degré

D. Comment déterminer le signe d’une fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c ? 1) On recherche les zéros éventuels de f. 2) On construit le tableau de signes : – on place sur la première ligne les zéros de f dans l’ordre croissant, – on complète la seconde ligne en utilisant la règle de signes. D>0

D=0

D<0

2 zéros : x1 et x2

1 zéro : x1

Pas de zéro

Signe de a

f : x Æ y = x2 + x – 2

f : x Æ y = –x2 – 4x – 4

f : x Æ y = 2x2 + x + 1

Recherche des zéros de f

Signe contraire de a Signe de a

Exemples

x2 + x – 2 = 0

–x2 – 4x – 4 = 0

D = 12 – 4 . 1 . (–2)

–(x2 + 4x + 4) = 0

=1+8=9>0 x1 =

D = 12 – 4 . 2 . 1

–(x + 2)2 = 0

–1 + 9 2 .1

= 1 – 8 = –7 < 0

Pas de solution

x+2=0

–1 + 3 2 = = =1 2 2 x2 =

2x2 + x + 1 = 0

x = –2

f n'admet pas de zéro.

Le zéro de f est –2.

–1 – 9 2 .1 –1 – 3 –4 = = –2 2 2

Les zéros de f sont 1 et –2. Tableau de signes (a = 1 > 0) x y

–2 +

1 –

Tableau de signes (a = –1 < 0) x

–2 –

Tableau de signes (a = 2 > 0) x

–

177

Étude de la fonction du second degré

Exercices 1

Étudie le signe des fonctions représentées ci-dessous. a)

y x

1 0

y 1 0

x y

y x 1 0

y 1 0

x 1

x y

y 1 0

x 1

x y

y x 1 0

178

Étude de la fonction du second degré 2

Étudie le signe des fonctions suivantes. a) f : x Æ y = 2x2 – x – 3

b) f : x Æ y = –3x2 – 12x – 12

....................................................................

c) f : x Æ y = x2 + 4

d) f : x Æ y = 10x2 + x – 2

....................................................................

179

Étude de la fonction du second degré e) f : x Æ y = 4x – 4x2 – 1 ....................................................................

....................................................................

g) f : x Æ y =

2 2 4 2 x + x+ 3 3 3

h) f : x Æ y = x – 3x2 – 5

....................................................................

Écris, sous sa forme générale, une fonction correspondant aux différents tableaux de signes. x y

180

f) f : x Æ y = 9 – x2

–2 +

x +

–4 –

3 +

x –

...............................................

Étude de la fonction du second degré 4

Les fonctions f1, f2 et f3 sont représentées graphiquement tandis que les fonctions f4, f5 et f6 sont définies par leurs expressions analytiques. Associe à chaque tableau de signes la fonction qui lui correspond. y 1 0

x f ... 1

–2 –

f ... y

–2 +

–

0 –

f2 x

1 0

f ... 1

1 +

x x f ...

1 0

x f ...

f3 f4 : x Æ y = x2 + x + 1 f5 : x Æ y = –x2 + x – 1

f ...

–

f6 : x Æ y = x2 + 2x Note, éventuellement, ta recherche personnelle. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

181

Étude de la fonction du second degré

Activité 2 • Variations de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c 1

Pour chacune des fonctions ci-dessous, précise le sens de la concavité du graphique et dresse le tableau de variations. y

182

f3 : x Æ y = –

1 2 5 x –x– 2 2

f1 : x Æ y = –2x2 + 4x +1

f2 : x Æ y = 2x2 – 8x + 6

................................................

f4 : x Æ y = 2x2 – 16x + 30

f5 : x Æ y = –x2 + 2x + 8

f6 : x Æ y = –x2 – 4x

................................................

Étude de la fonction du second degré

Quel lien peux-tu établir entre la concavité du graphique et le type d’extremum (maximumminimum) ? ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Voici le graphique incomplet d’une fonction du second degré f. a) Complète le tableau de variations de la fonction f. y x 18 1 0

y 1

b) Comment as-tu déterminé l’abscisse du sommet de la parabole ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Variations de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c Lien entre concavité et extremum, croissance-décroissance La fonction f admet un maximum absolu si la concavité de la parabole est tournée vers le bas (a < 0).

La fonction f admet un minimum absolu si la concavité de la parabole est tournée vers le haut (a > 0).

La fonction est

 b – strictement croissante sur  –∞ ; –  a 

 b – strictement décroissante sur  –∞ ; –  a 

 b  – strictement décroissante sur  – ; +∞ .  a 

 b  – strictement croissante sur  – ; +∞ .  a 

Tableau de variations

x y

–

b a

 b f–   a Max. absolu

x y

–

b a

 b f–   a min. absolu

Remarque Dans ce chapitre, nous abordons uniquement les fonctions du second degré. Comme elles n’admettent qu’un seul maximum ou minimum absolu, nous les appellerons simplement maximum ou minimum.

183

Étude de la fonction du second degré Propriété Lorsque la fonction admet deux zéros, l’abscisse de l’extremum (maximum ou minimum) est la moyenne arithmétique de ces deux zéros. Exemples f1 : x Æ y = –x2 + 2x + 3

f2 : x Æ y = x2 + 6x + 8

maximum (1 ; 4)

y 1

1 f1

1 x

minimum (–3 ; –1)

a<0

a>0

Concavité tournée vers le bas

Concavité tournée vers le haut

–3

4 Max.

–1 min.

Remarques

Les zéros sont –1 et 3.

Les zéros sont –4 et –2.

L’abscisse du maximum est

L’abscisse du minimum est

–1+ 3 2 = =1 2 2

–4 + (–2) –6 = = –3 2 2

Exercices 1

Dresse le tableau de variations de chacune des fonctions ci-dessous. y f1 1 0

184

Étude de la fonction du second degré d)

y f4

1 0

g) f7 : x Æ y = x2 + 2x – 3

h) f8 : x Æ y = –x2 + 4x – 4

i) f9 : x Æ y = x2 – 16

..............................................

Voici une partie du graphique d’une fonction f du second degré et son tableau de variations. Détermine les zéros de cette fonction. ......................................................................................................

......................................................................................................

1 0

......................................................................................................

x y

–

7 2

–4 min.

......................................................................................................

185

Étude de la fonction du second degré

Activité 3 • Étude de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c 1

La trajectoire du saut d’un dauphin est donnée par le graphique la fonction f : x Æ y = –0,5x2 + 3x – 2,5. Le repère se situe au niveau de la bouée et les axes sont gradués en mètres. y

1 0

Suis la démarche proposée ci-dessous afin de représenter la fonction f le plus précisément possible. a) Comment est tournée la concavité de la parabole, graphique de la fonction f ? Justifie. ...................................................................................................................................................

b) (1) Quelle caractéristique de la parabole te permet de déterminer la position horizontale pour laquelle le dauphin se trouve à égale distance du lieu où il sort de l’eau et du lieu où il y entre ? ..............................................................................................................................................

(2) Détermine cette position.

..............................................................................................................................................

(3) Représente cette droite d en pointillés sur le graphique. c) (1) Quelle caractéristique de la parabole te permet de déterminer le point le plus haut atteint par le dauphin ? ..............................................................................................................................................

186

Étude de la fonction du second degré

(2) Calcule les coordonnées de ce point S et repère-le avec précision sur le graphique.

..............................................................................................................................................

d) (1) Quelles caractéristiques de la parabole te permettent de déterminer les lieux où le dauphin sort et entre dans l’eau ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(2) Calcule ces positions. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(3) Repère, sur le graphique, les points B et C correspondant à ces positions. e) Les informations trouvées dans les réponses aux questions a) à d) peuvent être synthétisées dans le tableau de signes et le tableau de variations de la fonction f. Complète ces deux tableaux. Tableau de signes

Tableau de variations

f) (1) Quelle caractéristique de la parabole te permet de déterminer à quelle profondeur le dauphin se situe lorsqu’il passe sous la bouée ? ..............................................................................................................................................

(2) Calcule cette profondeur. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(3) Repère, sur le graphique, le point N correspondant à cette position.

187

Étude de la fonction du second degré g) (1) Lorsque le dauphin se trouve à une distance horizontale de 1 m de son point le plus haut, à quelle distance horizontale de la bouée se situe-t-il ? Aide-toi du graphique pour répondre. ..............................................................................................................................................

(2) Détermine sa hauteur à ces endroits-là. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(3) Que constates-tu ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(4) Repère, sur le graphique, les points F et F’ correspondant à ces positions. h) Trace la parabole à l’aide des points déjà placés sur le graphique et de leurs symétriques.

Étude de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c Comment réaliser l’étude complète d’une fonction du second degré ? Exercice résolu pour f : x Æ y = x2 – 2x – 8 1. On détermine la concavité et on précise si le sommet est un maximum ou un minimum. a=1>0

Æ La concavité est tournée vers le haut et le sommet est un minimum.

2. On détermine l’équation de l’axe de symétrie. x=

–b –(–2) 2 = = =1 2a 2 .1 2

Æ L’équation de l’axe de symétrie est x = 1.

3. On calcule les coordonnées du sommet. x = 1 fi y = 12 – 2 . 1 – 8 = 1 – 2 – 8 = –9

Æ Les coordonnées du sommet sont (1 ; –9).

4. On calcule les zéros. x2 – 2x – 8 = 0 Δ = b2 – 4ac = (–2)2 – 4 . 1. (–8) = 4 + 32 = 36 > 0

188

x1 =

–b + ∆ –(–2 ) + 36 2 +6 8 = = =4 = 2a 2 .1 2 2

x2 =

–(–2 ) – 36 2 –6 –4 –b – ∆ = = = = –2 2a 2 .1 2 2

Æ Les zéros sont 4 et –2.

Étude de la fonction du second degré

x 5. On synthétise les quatre étapes précédentes dans le tableau de signes et le tableau de variations de la fonction. Tableau de signes x

–2

Tableau de variations 4

–

–9

min. 6.

On détermine l’ordonnée à l’origine. c = –8

Æ L’ordonnée à l’origine est –8.

7. On calcule les coordonnées de points supplémentaires. Æ Les coordonnées des points sont (3 ; –5) et (5 ; 7).

x = 3 fi y = 32 – 2 . 3 – 8 = 9 – 6 – 8 = –5 x = 5 fi y = 8.

– 2 . 5 – 8 = 25 – 10 – 8 = 7

On représente la parabole, graphique de la fonction. On repère les points On trace l’axe de symétrie et d’intersection de la parabole On trace le repère cartésien on repère le sommet S. avec l’axe x. de façon judicieuse. d ∫ x = 1 et S (1 ; –9) Zéros : –2 et 4 y

1 0

1 1

–2 0

1 0

On trace la parabole en reliant tous les points à main levée.

1 1

On repère le point On repère des points d’intersection de la parabole supplémentaires ainsi que avec l’axe y ainsi que le leurs symétriques par symétrique de ce point par rapport à l’axe de symétrie. rapport à l’axe de symétrie. Points (3 ; –5) et (5 ; 7) Ordonnée à l'origine : c = –8 et leurs symétriques y

1 1

–8 S

189

Étude de la fonction du second degré

Exercices 1

Pour chaque exercice, utilise une calculatrice graphique ou un logiciel afin de vérifier ta construction.

Réalise l’étude complète de la fonction. a) f1 : x Æ y = x2 + 4x – 5 Concavité :

.................................................

Concavité :

.................................................

....................................................................

Équation de l’axe de symétrie ....................................................................

Coordonnées du sommet

Équation de l’axe de symétrie ....................................................................

Coordonnées du sommet

....................................................................

Zéro(s) :

......................................................

Zéro(s) :

......................................................

....................................................................

Tableau de signes

Tableau de variations

Ordonnée à l’origine :

.................................

Coordonnées de points supplémentaires

190

b) f2 : x Æ y = –x2 + 4x – 4

Ordonnée à l’origine :

.................................

Coordonnées de points supplémentaires

Étude de la fonction du second degré Graphique de f1

Graphique de f2

c) f3 : x Æ y = –x2 + 9 .......................................................................

.......................................................................

191

Étude de la fonction du second degré Graphique de f3 ................................................................................................

................................................................................................

Entre deux rebonds, l’un avant et l’autre après le filet, une balle de tennis de table suit une trajectoire parabolique donnée par la fonction f : x Æ y = –0,5x2 – 0,25x + 0,25. Le repère se situe au niveau du filet et les axes sont gradués en mètres. a) Relie les caractéristiques de la parabole aux éléments de la situation. Axe de symétrie : x = –0,25

•

• La balle se situe au-dessus du filet.

Sommet : S(–0,25 ; 0,281 25)

•

• La balle se situe au milieu de sa trajectoire.

Ordonnée du point d’intersection avec l’axe y : 0,25

•

• La balle se situe sur la table.

Abscisses des points d’intersection avec l’axe x : –1 et 0,5

•

• La balle se situe au point le plus haut.

b) Indique ces caractéristiques sur le graphique ainsi que les points supplémentaires dont tu calcules les coordonnées ci-dessous. x

–0,2

–0,1

0,1

0,2

0,3

0,4

y c) Repère les symétriques des points déjà placés et construis la trajectoire de la balle entre les deux rebonds. y

0,1

192

0,1

Étude de la fonction du second degré 3

Lors d’un match de hockey sur glace, Nicolas, dans un geste désespéré pour égaliser à la toute dernière minute, frappe le palet qui retombe aux pieds d’un défenseur. Ce palet a suivi une trajectoire donnée par la fonction f : x Æ y = –0,125x2 + 1,25x – 2. Le repère se situe au centre de la patinoire et les axes sont gradués en mètres. a) Relie les caractéristiques de la parabole aux éléments de la situation. Abscisse du sommet

•

• Hauteur maximale atteinte par le palet

Ordonnée du sommet

•

Positions de Nicolas et du défenseur par rapport au centre de la patinoire

Abscisses des points • d’intersection avec l’axe x.

•

Position pour laquelle le palet se trouve à égale distance de Nicolas et du défenseur

b) Comment est tournée la concavité de cette parabole ?

..........................................................

c) Détermine l’équation de l’axe de symétrie (d) et trace-le sur le graphique. ...................................................................................................................................................

d) Détermine les coordonnées du sommet (S) et repère-le sur le graphique. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

e) Calcule les zéros de f et repère les points (N et N’) correspondants sur le graphique. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

f) Détermine l’ordonnée à l’origine et repère le point (E) correspondant sur le graphique ainsi que son symétrique (E’).

..........................................................................................................

g) Calcule l’ordonnée du point (F) d’abscisse 4 et repère-le sur le graphique ainsi que son symétrique (F’).

.........................................................................................................................

h) Trace, en trait plein, la partie de parabole correspondant au trajet du palet et, en pointillés, les parties ne représentant pas la situation réelle. Centre de la patinoire

y 1 0

193

Étude de la fonction du second degré

Activité 4 • Problèmes d’optimisation 1

Lors d’un camp d’été, le chef d’une troupe de scouts doit délimiter un terrain de jeu rectangulaire à l’aide d’une corde de 60 m. Il se demande quelles dimensions donner au terrain pour que son aire soit optimale. Le raisonnement qui suit va te permettre de l’aider à répondre à cette question. a) (1) Ci-contre, représente à l'échelle 1/1000 un terrain de jeu rectangulaire que le chef pourrait réaliser. Indique les mesures du terrain sur ton dessin. (2) Calcule l’aire du terrain que tu as dessiné. ......................................................................................................

b) Le tableau suivant fournit les dimensions de quelques terrains de jeu que le chef pourrait construire. (1) Complète ce tableau. Numéro du terrain

Mesure du « premier » côté (m)

Mesure du « second » côté (m)

Aire (m2)

(2) Parmi ces terrains, indique le numéro de celui dont l’aire est la plus grande. ..............................................................................................................................................

c) Si x désigne la mesure du « premier » côté du terrain, écris l’expression algébrique de – la mesure de son second côté : – son aire :

..........................................................................................

.............................................................................................................................

d) Écris l’expression analytique développée de la fonction f représentant l’aire du terrain de jeu en fonction de x. ...................................................................................................................................................

e) Réalise l’étude complète de la fonction f. Concavité :

................................................................................................

Équation de l’axe de symétrie :

................................................................................................

Coordonnées du sommet :

................................................................................................

Ordonnée à l’origine : 194

................................................................................................

Étude de la fonction du second degré Zéro(s)

............................................................................

Coordonnées de points supplémentaires

25 0

y f) (1) À partir du graphique, détermine les éléments ci-dessous. – La mesure du « premier » côté du rectangle que le chef scout doit tracer pour obtenir une aire maximale :

.........................................................................................................

– l’aire de ce rectangle :

.....................................................................................................

(2) Quelle caractéristique du graphique t’a permis de déterminer les dimensions demandées ? ..............................................................................................................................................

g) Détermine les dimensions du rectangle que le chef scout doit tracer pour obtenir une aire maximale. Quelle est la particularité de ce terrain de jeu ? ...................................................................................................................................................

Problèmes d’optimisation

A. Déﬁnitions Optimiser une grandeur (maximiser un profit, minimiser des dépenses) consiste à obtenir les valeurs les plus favorables dans un contexte donné. Pour obtenir la valeur optimale d’une grandeur, il suffit de trouver le minimum ou le maximum d’une fonction.

B. Comment résoudre un problème d’optimisation ? a) On choisit l’inconnue qui sera notée x et on exprime les autres éléments utiles du problème en fonction de x. b) On écrit la fonction qui représente la grandeur à optimiser en fonction de l’inconnue x. c) On détermine si le sommet est un maximum ou un minimum en étudiant la concavité afin de vérifier la cohérence du problème. –b d) On calcule l’abscisse du sommet à l’aide de la formule x = . 2a On calcule si cela est demandé, l’ordonnée du sommet 4ac – b2 – soit à l’aide de la formule , 4a – soit en remplaçant x par l’abscisse du sommet dans l’expression analytique de la fonction. e) On répond à la question posée dans le problème par une phrase correctement construite. 195

Étude de la fonction du second degré

Exercices 1

Martin effectue un stage de maître nageur aux Lacs de l’Eau d’Heure. Il a à sa disposition une corde, munie de bouées, d’une longueur de 150 m. Il doit concevoir une zone de baignade rectangulaire adossée à une digue rectiligne. Quelles dimensions doit-il lui donner pour que l’espace réservé à la baignade soit maximal ? Quelle sera alors l’aire cette zone ? ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

On dispose d’un fil de fer rectiligne de 60 cm de A longueur représenté ci-contre par le segment [AB]. On le plie en un point C selon un angle droit. Détermine à quelle distance du point A il faut plier le fil pour que l’aire du triangle ABC soit maximale. Quelle sera alors l’aire de ce triangle ?

C A

........................................................................................................................................................

196

Étude de la fonction du second degré

........................................................................................................................................................

Quelle est la nature de ce triangle d’aire maximale ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Une classe décide de vendre des porte-clés humoristiques au profit d’une association caritative. Une étude de marché a permis de connaître deux éléments essentiels pour déterminer le prix de vente : – s’il était fixé à 5 €, 300 porte-clés seraient vendus; – à chaque diminution du prix de 0,10 €, le nombre de porte-clés vendus augmenterait de 10 unités. a) (1) Complète le tableau ci-dessous. Diminution du prix de vente (€)

Prix de vente (€)

Nombre de porte-clés vendus Chiffre d’affaires (€)

0,10 5– =

.............

...............

300 +

300

........

...............

0,20 5– =

.............

...............

300 + =

........

...............

0,30 5– =

.............

...............

300 + =

........

...............

0,40 5– =

.............

...............

300 + =

........

...............

..................

(2) Si x représente la diminution du prix de vente, détermine l’expression algébrique réduite – du prix de vente :

...........................................................................................................

– du nombre de porte-clés vendus : – du chiffre d’affaires :

.................................................................................

......................................................................................................

b) Détermine l’expression analytique de la fonction à optimiser. ...................................................................................................................................................

c) Étudie la concavité de cette fonction. ...................................................................................................................................................

197

Étude de la fonction du second degré d) Détermine les coordonnées du sommet. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

e) (1) Calcule le prix à appliquer pour obtenir un chiffre d’affaires maximal. ..............................................................................................................................................

(2) Calcule le nombre de porte-clés qui seront vendus avec ce prix. ..............................................................................................................................................

(3) Détermine le chiffre d’affaire obtenu avec cette vente. ..............................................................................................................................................

Exercices supplémentaires 1

a) Détermine la forme générale de l’expression analytique de la fonction f sachant que le sommet S et un des points A de la parabole qui la représente ont pour coordonnées respectives S (–3 ; 8) et A (–4 ; 6). b) Réalise l’étude complète de cette fonction.

Dans chaque cas, détermine la (les) valeurs de m. a) L’équation de l’axe de symétrie de la parabole p ∫ y = 2x2 + mx + 6 est x = 4. b) La concavité de la parabole p ∫ y = 2mx2 + 3x + 4 est tournée vers le haut. c) Les abscisses des points d’intersection de la parabole p ∫ y = x2 + mx avec l’axe x sont 0 et –4. Vérifie ensuite ta solution à l'aide d’une calculatrice graphique ou d’un logiciel.

Pour leur voyage de fin d’année, les élèves d’une section de 4e technique de qualification consultent une société d’autocars. Cette dernière leur proposant un prix de 35 € par personne, 28 élèves prévoient de participer à ce voyage. D’après son statisticien, la société de transport estime que pour chaque diminution de prix de 0,50 €, un élève supplémentaire se déciderait à participer au voyage. Détermine le prix auquel la société doit fixer le voyage afin d’optimiser son profit. Dans ce cas, combien d’élèves pourraient prendre part au voyage ?

Albert est content car la récolte de choux-fleurs de son potager est prometteuse cette année. Il hésite à attendre encore quelques jours pour que ces derniers grossissent ou à les récolter dès à présent alors que leur cours est au plus haut. Pour l’aider dans sa décision, son fils, Pierre, lui propose d’utiliser ses connaissances mathématiques et s’enquiert des données suivantes : – le cours actuel est de 1,11 €/kg avec une diminution de 0,03 € par jour; – la récolte actuelle est d’environ 50 kg et augmente d’environ 2 kg par jour. Relève le même défi que Pierre.

198

Chapitre 7

Inéquations du second degré

Compétences à développer Traiter un problème en utilisant des fonctions du deuxième degré.

Processus Connaître Interpréter graphiquement les solutions d’une équation ou d’une inéquation du deuxième degré.

Appliquer Rechercher des caractéristiques d'une fonction du deuxième degré. Rechercher des caractéristiques d’une parabole d’axe vertical. Résoudre une équation du deuxième degré. Établir le tableau de signe d’une fonction du second degré. Résoudre une inéquation du deuxième degré.

Transférer Modéliser et résoudre des problèmes issus de situations diverses.

199

Inéquations du second degré

Activité 1 • Inéquations du second degré 1

En t’aidant de l’exemple, complète le tableau. Inégalité

Notation

x £ –1

]– • ; –1]

Représentation –1

x£3

[–2 ; + •[

0<x<2

[2 ; 3] –1

x £ –2 et x ≥ 3

y (m)

Lors d’un show aérien, un pilote réalise une acrobatie suivant une trajectoire définie par la fonction

Plafond de sécurité

f : x Æ y = 0,1x2 – 2,2x + 52,1. Pour éviter que le public soit exposé inutilement au danger, le « plafond de sécurité » se situe à 50 m de hauteur. L’origine du repère se trouve au poste d’observation du juge et les axes sont gradués en mètres.

10 Juge Sol

200

x (m)

Inéquations du second degré

La démarche qui suit va t’aider à déterminer algébriquement les abscisses des points pour lesquels l’avion se situe sous le plafond de sécurité. a) Écris l’inégalité exprimant que l’avion se situe sous le plafond de sécurité. ...................................................................................................................................................

b) Regroupe tous les termes dans le premier membre et réduis-le. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) Le premier membre de l’inéquation que tu viens d’écrire est une expression du second degré. Construis son tableau de signes. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Détermine l’intervalle des abscisses pour lequel les ordonnées correspondent à la condition découverte en b). ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

e) Vérifie graphiquement que ta solution correspond à l’intervalle pendant lequel le pilote réalisant la cascade se trouve en dessous du plafond de sécurité. f ) Quelle distance horizontale parcourt-il lorsqu’il met les spectateurs en danger ? ...................................................................................................................................................

201

Inéquations du second degré

Inéquations du second degré Comment résoudre une inéquation du second degré ? Exemple 1) On regroupe tous les termes de l’inéquation dans le premier membre afin d’y faire apparaître une expression de la forme ax2 + bx + c. 2) On détermine le signe de la fonction du second degré f : x Æ y = ax2 + bx + c créée à l’aide de l’expression que l’on vient de découvrir.

–x2

5x – 4 £ x2 + 5x – 4 £ 0

Solutions de –x² + 5x – 4 = 0 ∆ = 5² – 4 . (–1) . (–4) = 25 – 16 = 9 > 0 x1 =

–5 + 9 –5 + 3 –2 = = =1 2 . (–1) –2 –2

x2 =

–5 – 9 –5 – 3 –8 = = =4 2 . (–1) –2 –2

Tableau de signes x –x2 + 5x – 4 3) On écrit l’ensemble des solutions en déterminant l’intervalle des abscisses qui répondent à la condition donnée.

1 –

4 +

–

L’ensemble des solutions se note : S = ]–• ; 1 ]

[ 4 ; +•[

Exercices 1

Résous les inéquations suivantes. a) x2 + 7x + 12 > 0 ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

202

Inéquations du second degré

b) x2 £ 9 ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) 9x2 + 6x ≥ – 1 ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) –4 – 3x2 > 8x ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

e) x2 + 3 > 0 ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

203

Inéquations du second degré f ) –5x2 £ –20 ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

g) 10x + 6x2 ≥ 7x2 + 25 ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

h) x2 – x + 7 < 2x + 2 ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

204

Inéquations du second degré 2

Les élèves de la section menuiserie sont très fiers de pouvoir exposer leurs réalisations dans la galerie marchande d’une grande surface. Le responsable leur propose de délimiter un espace d’exposition rectangulaire à l’aide de quatre poteaux et d’une corde de 60 m. Si les élèves souhaitent disposer d’un espace d’au moins 125 m2, détermine les dimensions possibles de celui-ci. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

205

Inéquations du second degré

Exercices supplémentaires Vérifie chacune de tes solutions à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice graphique. 1

Dans un magasin multimédia, le prix d'un téléviseur est de 600 €. La première semaine des soldes, le commerçant diminue le prix affiché d'un certain pourcentage. La semaine suivante, il diminue le prix déjà réduit du même pourcentage en souhaitant toutefois que ce nouveau prix reste supérieur à la moitié du prix avant soldes. Détermine ce pourcentage.

Trois amis se sont inscrits à un stage d’initiation à la plongée dans une piscine dotée d’une fosse d’une profondeur de 20 mètres. À la fin du stage, un brevet est remis aux participants qui ont effectué une descente à une profondeur d’au moins 15 mètres. Sur ce brevet, figure un nombre d’étoiles dépendant de la durée passée à une profondeur supérieure ou égale à 15 mètres durant la plongée. Pour une durée inférieure ou égale à 5 secondes, le brevet est muni d’une étoile, deux pour une durée comprise entre 5 et 20 secondes, et trois pour une durée supérieure ou égale à 20 secondes. y Les fonctions f, g et h décrivent dans le repère x représenté ci-contre la profondeur, en mètres, de chaque stagiaire en fonction du temps, mesuré en secondes depuis leur immersion. Florence f : x Æ y = 0,06x2 – 2x –15 Gabriel g : x Æ y = 0,05x2 – 2x Hélène h : x Æ y = 0,04x2 – 1,5x

 

Détermine si ces stagiaires ont obtenu leur brevet et le nombre d’étoiles de celui-ci. 3

Le produit de deux naturels consécutifs est compris entre 1500 et 2000. Détermine ces deux nombres.

On donne deux fonctions : – la fonction f : x Æ y = 2x2 – x – 2; – la fonction g dont on sait que le graphique est une parabole de sommet S (1 ; 5) et comprenant le point A (2 ; 4). Détermine l’ensemble des réels x tels que g(x) < f(x).

Détermine les valeurs de x telles que l’aire du triangle soit inférieure ou égale à celle du rectangle.

x–2

x–3 x+3

206

x+1

Chapitre 8

Fonction x2 et sa réciproque

Processus Connaître

Expliquer le lien entre les fonctions x Æ x2 et x Æ x .

Appliquer Construire un graphique à partir d'un tableau de nombres ou d’une formule.

207

Fonction x2 et sa réciproque

Activité 1 • Fonction « carré » et sa réciproque 1

Pour chacune des paraboles ci-dessous, indique si elle représente une fonction. Si ce n'est pas le cas, justifie ta réponse. y

208

............................................

a) (1) Complète les coordonnées des points ci-dessous si tu sais qu’ils appartiennent au graphique de la fonction f : x Æ y = x². A ( –3 ; . . . . . . . . . . .)

B ( –2 ; . . . . . . . . . . .)

C ( –1 ; . . . . . . . . . . .)

D ( –0,5 ; . . . . . . . . . . .)

E ( 0 ; . . . . . . . . . . .)

F ( 0,5 ; . . . . . . . . . . .)

G ( 1 ; . . . . . . . . . . .)

H ( 2 ; . . . . . . . . . . .)

I ( 3 ; . . . . . . . . . . .)

Fonction x2 et sa réciproque

(2) Place les points dans le repère cartésien ci-dessous et trace la parabole f, graphique de la fonction f.

1 0

b) (1) Dans le même repère, représente la droite d ∫ y = x après avoir complèté le tableau de valeurs. x d y

(2) Quelle est l’image de l’axe x par la symétrie orthogonale d’axe d ?

..................................

Quelle est l’image de l’axe y par la symétrie orthogonale d’axe d ?

..................................

c) Par la symétrie orthogonale d'axe d, construis l'image – des points A, B, C, D, E, F, G, H et I; – de la parabole f; appelle-la g. d) La parabole g est-elle le graphique d’une fonction ? Justifie. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

209

Fonction x2 et sa réciproque 3

a) Représente dans le repère cartésien ci-dessous la fonction f : x Æ y = x2 pour x ≥ 0, c’est-à-dire en n’utilisant que des points d’abscisse positive.

0,5

1 0

b) Construis l’image du graphique de f par la symétrie orthogonale d’axe d ∫ y = x. Nomme cette courbe g. c) La courbe g est le graphique d’une fonction appelée fonction réciproque de f. Utilise ton graphique pour compléter le tableau de valeurs de cette nouvelle fonction. x g y Observe le tableau de valeurs que tu viens de compléter et retrouve le nom de cette nouvelle fonction.

......................................................................................................................

d) Observe les tableaux de valeurs des fonctions f et g. Comment aurais-tu pu construire rapidement le tableau de valeurs de g à partir de celui de f ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

a) Complète les nombres manquants en recherchant les images proposées.

210

...............

1,1

...............

2,25

...............

Fonction x2 et sa réciproque Que constates-tu ?

...................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Les fonctions sur les flèches ont été effacées. À toi de les retrouver ! ..........

..........

1,52

..........

2,3104

..........

Fonction « carré » et sa réciproque A. Notion Les fonctions f : x Æ y = x2 (pour x ≥ 0) et g : x Æ y = x sont des fonctions réciproques. Si on les applique successivement à un nombre réel positif, on retrouve ce nombre réel. g

f a2

(a ≥ 0)

Exemples

(a ≥ 0)

g 49 = 72

7 49 = 7

52=

5 = 25

1,5 2 ,25 = 1,5

1,21

2,25 = 1,52 2,25

1,12

1,1 = 1 ,21 1,1

= 1,21

B. Graphiques Les graphiques des fonctions

f d∫y=x

f : x Æ y = x2 (pour x ≥ 0) et g:xÆy= x sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

g 1 0

211

Fonction x2 et sa réciproque Remarque Le tableau de valeurs d’une de ces fonctions peut être obtenu à partir du tableau de valeurs de l’autre en permutant les valeurs de x et de y. x

0,5

1,5

y = x2

0,25

2,25

0,25

2,25

y= x

0,5

1,5

Exercices 1

Voici les graphiques des fonctions f : x Æ y = x2 (pour x ≥ 0) et g : x Æ y = x . Utilise-les pour compléter les informations demandées. g:xÆy= x

f : x Æ y = x2 f

1 0

dom f im f Zéros Ordonnée à l’origine

Tableau de signes

Tableau de variations

212

Fonction x2 et sa réciproque 2

a) Complète le tableau de valeurs de la fonction f : x Æ y = x – 1 et représente-la dans le repère ci-dessous. x f y y

1 0

b) Trace l’image du graphique de la fonction f par la symétrie orthogonale d’axe d ∫ y = x. Nomme g la courbe obtenue. c) La courbe g est-elle le graphique d’une fonction ? Justifie.

....................................................

...................................................................................................................................................

d) Complète le tableau de valeurs de la fonction g, réciproque de la fonction f. x g y e) Écris l’expression analytique de la fonction g. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

213

Fonction x2 et sa réciproque 3

a) Complète le tableau de valeurs de la fonction f : x Æ y = x2 – 1 pour x ≥ 0 et représente-la dans le repère ci-dessous.

x y

1 0

b) Trace l’image du graphique de la fonction f par la symétrie orthogonale d’axe d ∫ y = x. Nomme g la courbe obtenue. c) La courbe g est-elle le graphique d’une fonction ? Justifie.

....................................................

..................................................................................................................................................

d) Complète le tableau de valeurs de la fonction g, réciproque de la fonction f.

x y

e) Écris l’expression analytique de la fonction g. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

f) Explique pourquoi on a dû restreindre la fonction f à l’ensemble des réels positifs, c’est-à-dire ne construire que les points d’abscisse positive du graphique de la fonction f. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

214

Chapitre 9 Solides

Compétences à développer Utiliser les caractéristiques d’une ﬁgure plane ou d’un solide dans une situation concrète. Représenter dans le plan un objet de l’espace.

Processus Connaître Reconnaître et décrire des caractéristiques de solides en utilisant le vocabulaire propre à la géométrie.

Appliquer Construire une ﬁgure ou représenter un solide par un usage raisonné d’instruments tels que règle, équerre, compas, rapporteur ou d’un logiciel. Calculer une aire et le volume d’un solide.

Transférer Résoudre un problème de périmètre, d’aire ou de volume. Exploiter des caractéristiques de solides dans une situation contextualisée.

215

Solides

Activité 1 • Perspective cavalière et vues coordonnées 1

Observe la perspective de cet ensemble de bâtiments ainsi que la rose des vents.

N O

E S

a) Dans chaque situation, entoure le point cardinal qui correspond à l’emplacement de l’observateur. O–N–E–S

O–N–E–S

b) Où se situe l’observateur s’il voit l’ensemble des bâtiments sous la vue représentée ci-dessous ?

..................................................................................................

a) On a représenté ci-contre en perspective cavalière le solide obtenu à partir d’un cube de 2 cm d’arête duquel on a enlevé un prisme à base triangulaire.

A D

(1) Mesure les représentations des arêtes [AB], [AC] et [AD]. |AB| =

....................

|AC| =

....................

|AD| =

....................

(2) Quelles sont les arêtes qui ont une représentation dont la longueur est diﬀérente de leur longueur réelle ? ..............................................................................................................................................

Cette longueur est-elle supérieure ou inférieure à la longueur réelle ?

................................

Vériﬁe ta réponse en calculant le rapport entre la longueur de la représentation de [AD] et sa longueur réelle. ..............................................................................................................................................

216

Solides b) Sur le dessin ci-dessous, on a projeté orthogonalement le même solide sur trois plans : horizontal, vertical et de profil. Les arêtes cachées sont, par convention, représentées en pointillés. Reproduis en vraie grandeur et dans leurs couleurs respectives, les différentes projections dans les cadres prévus à cet effet. Pour t’aider, on a déjà placé dans chacun des plans, le sommet D, intersection de trois faces du solide. Vue de face

il of e pr ch de gau an e Pl e d Vu

Plan vertical Vue de face

Vue de gauche

Vue du dessus Plan horizontal

D Vue du dessus

Perspective cavalière et vues coordonnées A. Perspective cavalière 1. Caractéristiques La perspective cavalière permet d’obtenir une représentation plane d’un objet de l’espace. Le plan frontal est le plan vu de face par l’observateur. Une fuyante est la représentation d’une droite qui, en réalité, est perpendiculaire au plan frontal. L’angle de fuite est l’angle aigu formé sur le dessin par les fuyantes et l’horizontale. En général, l’angle de fuite est de 30° ou de 45°. Le rapport de réduction est le rapport entre la longueur de la représentation d’un segment porté par une fuyante et la longueur réelle de celui-ci. En général, le rapport de réduction est de 0,5 ou de 0,7. Par convention, les éventuelles arêtes cachées sont représentées en pointillés.

217

Solides Exemple : Représentation d’un cube de 3 cm d’arête à l’aide d’une perspective cavalière de 45° d’angle de fuite et de 0,7 de rapport de réduction sur les fuyantes G

Objet

Dessin

|AB|

3 cm

|AD|

3 cm

|AE|

3 cm

3 . 0,7 = 2,1 cm

AE, BF, CG et DH sont les fuyantes.

L’angle de fuite vaut 45°.

45° A

Les plans des faces ABCD et EFGH sont des plans frontaux.

2. Propriétés La perspective cavalière conserve l’alignement, le parallélisme et le rapport des longueurs de deux segments parallèles. Exemple : Les arêtes [BF] et [CG] sont représentées par des segments parallèles. Toute ﬁgure située dans un plan frontal est représentée en vraie grandeur (longueurs des segments et amplitudes des angles). Exemple : Les arêtes [EF] et [EH] ainsi que l’angle FEH sont représentés en vraie grandeur puisqu’ils sont situés dans un plan frontal.

B. Vues coordonnées 1. Notions L’objet est placé en « suspension » à l’intérieur de trois plans qui se coupent perpendiculairement deux à deux. Ce sont les plans de projection qui sont appelés plan vertical, plan de proﬁl et plan horizontal. Les vues sont des ﬁgures planes obtenues par projection orthogonale de l’objet sur chacun des plans de projection. Elles sont appelées vue de face, vue de gauche et vue du dessus. Plan vertical - Vue de face

Pla n

pro

fil -

Vue

gau

Plan horizontal - Vue du dessus

218

che

Solides

2. Comment représenter les vues coordonnées d’un solide ? Projeter les sommets du solide orthogonalement sur les plans de projection.

Dans chaque plan de projection, construire la projection de chaque arête en reliant les images des sommets.

Rabattre la vue du dessus et la vue de gauche aﬁn de les amener dans le plan vertical. Les vues ainsi obtenues donnent les dimensions réelles de l’objet.

Exercices 1

Observe le cube et les vues qui lui sont associées. Indique, au-dessus de sa représentation, le nom de la vue. Colorie de façon adéquate la vue qui ne l’est pas. Vue

..................

Vue

..................

Vue

..................

219

Solides 2

Les faces opposées du cube ci-dessous ont été garnies par un même motif. À partir du cube initial, on a eﬀectué une rotation de 90° dans la direction et le sens indiqués. Complète la représentation des faces du cube après chacune de ces rotations.

Les solides ci-dessous sont formés de quatre cubes identiques. Représente rapidement les trois vues de chaque solide en coloriant les carrés. Vue de face

220

Vue du dessus

Les dimensions d’un parallélépipède rectangle sont de 2 cm, 2 cm et 3 cm. Représente-le, posé sur sa base carrée, en perspective cavalière et en utilisant les paramètres donnés. a) Rapport de réduction : 0,5 Angle de fuite : 45°

Vue de gauche

b) Rapport de réduction : 0,7 Angle de fuite : 30°

On a disposé un miroir sur le couvercle de la boîte ci-dessous. La représentation en perspective cavalière utilise un angle de fuite de 30° et un rapport de réduction de 0,7. Représente le miroir vu de face dans la même échelle que la boîte.

Solides 6

a) Le solide ci-dessous est représenté en perspective cavalière avec un rapport de réduction de 0,5. Construis les projections orthogonales de celui-ci sur les trois plans de projection. Pour t’aider, on a déjà dessiné les images d’un sommet du solide.

b) Représente les vues coordonnées de ce solide, le même sommet étant également représenté.

221

Solides

Activité 2 • Prisme droit et cylindre 1

Aires latérales Pour confectionner un jeu de blocs en bois pour enfants, un artisan a taillé des prismes et des cylindres. Il voudrait ensuite peindre toutes les faces. Chaque jeu est composé de dix cubes, de huit parallélépipèdes rectangles, de six prismes à base triangulaire et de quatre cylindres. Le rendement de la peinture qu’il a choisie est d’un décilitre par mètre carré. La série de consignes qui suit va t’aider à prévoir la quantité de peinture nécessaire pour peindre les faces des blocs de cinquante jeux complets. a) Construis le développement de chaque solide à l’échelle 1 : 2 et indique les dimensions réelles des faces. b) Colorie, sur chaque développement, les bases dans une couleur et les autres faces dans une autre couleur. c) Pour chaque solide, calcule : (1) l’aire de ses deux bases. (2) son aire latérale. (3) l’aire totale à peindre pour les cinquante jeux. Cubes

Développement à l’échelle 1/2

3 cm

222

Aire des deux bases

.........................................................................................................

Aire latérale

.........................................................................................................

Aire à peindre pour les 10 cubes des 50 jeux

.........................................................................................................

Solides Parallélépipèdes rectangles

3 cm

Développement à l’échelle 1/2

3 cm

6 cm

Aire des deux bases

.........................................................................................................

Aire latérale

.........................................................................................................

Aire à peindre pour les 8 parallélépipèdes rectangles des 50 jeux

.........................................................................................................

Prismes à base triangulaire

Développement à l’échelle 1/2

5 cm 3 cm 3 cm

4 cm

Aire des deux bases

.........................................................................................................

Aire latérale

.........................................................................................................

Aire à peindre pour les 6 prismes à base triangulaire des 50 jeux

.........................................................................................................

223

Solides Cylindres

Développement à l’échelle 1/2

3 cm

6 cm

Aire des deux bases

.........................................................................................................

Aire latérale

.........................................................................................................

Aire à peindre pour les 4 cylindres des 50 jeux

.........................................................................................................

d) Quelle quantité de peinture l’artisan doit-il prévoir ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

e) Dans les développements proposés, les faces latérales forment toujours un rectangle. À quelle dimension des solides correspond la largeur de ces rectangles ? ...................................................................................................................................................

À quelle dimension des solides correspond la longueur de ces rectangles ? ...................................................................................................................................................

f ) Établis une formule unique qui permet de calculer l’aire latérale d’un cylindre et de n’importe quel prisme droit (cube, parallélépipède rectangle, prisme à base triangulaire). ...................................................................................................................................................

224

Solides 2

Volumes a) Voici un rectangle de 2 cm sur 3 cm. Quelle est son aire ? ..........................................................................................................

On recouvre ce rectangle d’une couche de cubes d’1 cm d’arête. Quel est le volume du solide obtenu ?

Quel serait le volume si on le recouvrait de 2 couches ?

Et pour le recouvrir de h couches ?

.............................................

Établis la formule générale pour calculer le volume d’un prisme droit ou d’un cylindre. ...................................................................................................................................................

b) Sur base de cette formule, établis les formules de volume des solides ci-dessous. Cylindre

........................................................................

Cube

........................................................................

Parallélépipède rectangle

........................................................................

Prisme à base triangulaire

........................................................................

Prisme droit et cylindre A. Vocabulaire Un prisme droit est un solide qui possède deux bases parallèles et identiques reliées par des rectangles.

Prisme droit

Les trois prismes rencontrés dans l’introduction sont le cube, le parallélépipède rectangle et le prisme à base triangulaire. Le seul prisme droit régulier est le cube car toutes ses faces sont des carrés identiques.

225

Solides

B. Formulaire L’aire latérale d’un solide se calcule à l’aide de la formule

Le volume d’un solide se calcule à l’aide de la formule

Alatérale

V = aire de la base . hauteur

Alatérale = Pbase . h

V = Abase . h

Alatérale = (4 . a) . a

V = a2 . a

= périmètre de la base . hauteur

Cube

Alatérale = 4 . a2

V = a3

Alatérale = (2 . (L + l)) . h

V = (L . l) . h

Alatérale = 2 . (L + l) . h

V=L.l.h

Alatérale = (c1 + c2 + c3 ) . h

b . h  t V= t  .h  2  b . ht V= t .h 2

Alatérale = (2 . p . r) . h

V = (p . r2) . h

Prallélépipède rectangle

h l

L Prisme à base triangulaire

= bt

Cylindre h

Alatérale = 2 . p . r . h

V = p . r2 . h

Exercices 1

a) Quel sera le coût du parement intérieur d’une piscine de 6 m de long, 4 m de large et 1,6 m de profondeur, si les pavés carrés mesurent 200 mm de côté et coûtent 95 cents la pièce ? ............................................................................................

............................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Quelle quantité d’eau sera nécessaire pour remplir cette piscine jusqu’à 20 cm du bord ? ...................................................................................................................................................

226

Solides 2

Quelle est la masse de la toile de cette tente deux personnes si elle est fabriquée entièrement, y compris le revêtement de sol, dans le même tissu imperméable et ultra léger de 20 g/m2 ? .......................................................................................

.......................................................................................

1,2 m

1,5 m .......................................................................................

2,25 m

1,8 m

.......................................................................................

À partir d’un grand carré de tissu de 50 cm de côté, une couturière voudrait confectionner un tour de traversin. a) Quelle serait l’aire latérale du traversin ? ................................................................................................

b) Pour les bases, elle doit prévoir des disques en tissu. Quel serait le diamètre de ces disques au mm près ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) La mousse a une masse volumique de 35 kg/m3. Si tu sais qu’elle est vendue au kilogramme ou au litre, exprime, dans les deux unités, la quantité à prévoir pour le rembourrage du traversin. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

On a représenté ci-dessous une carafe et un verre. a) Calcule le volume du contenu actuel de cette carafe. ............................................................................

b) Calcule le volume du verre. ............................................................................

............................................................................

c) Combien de verres peut-on remplir à ras bord avec le contenu de la carafe ?

100 mm

16 cm

............................................................................

m 14 c

60 mm

............................................................................

227

Solides 5

Les solides ci-dessous sont dessinés en perspective cavalière à l’échelle 1 : 1. a) Estime le rapport entre les volumes de ces solides.

.................................................................

b) Après avoir déterminé leurs mesures réelles, calcule leur volume. (1) Rapport de réduction : 0,5 Angle de fuite : 45°

(2) Rapport de réduction : 0,7 Angle de fuite : 30°

.......................................................................

c) Aﬁn de vériﬁer ta réponse donnée au a), détermine le rapport des volumes calculés au b). ...................................................................................................................................................

Calcule l’aire latérale et le volume du parallélépipède rectangle et du cylindre à partir de leurs vues coordonnées représentées à l’échelle 1 : 1. Arrondis tes réponses à 0,001 près si nécessaire. Vue de face

Vue de gauche

Vue du dessus

228

Vue de face

Vue de gauche

Vue du dessus

........................................................................

Solides

Activité 3 • Pyramide et cône 1

Aire latérale de la pyramide régulière et du cône a) Dessine, à l’aide du quadrillage, le développement 1 de la pyramide à base carrée à l’échelle 200 représentée ci-dessous.

h=2m a = 2,5 m c=3m

c b) Calcule l’aire latérale de cette pyramide. ...................................................................................................................................................

c) Élabore une formule pour calculer l’aire latérale qui utilise le périmètre de la base et l’apothème (distance entre le sommet et un côté de la base). ...................................................................................................................................................

d) Utilise la formule trouvée à l’exercice c) pour exprimer plus simplement… (1) l’aire latérale de la pyramide régulière de côté c et d’apothème a. ..............................................................................................................................................

(2) l’aire latérale du cône de rayon r et d’apothème a. ..............................................................................................................................................

Volume de la pyramide et du cône a) Voici les formules de volume de deux pyramides et du cône. Une partie de chacune d’elles est la formule du volume d’un solide élémentaire. Dans chaque cas, retrouve ce solide et la formule de son volume. Pyramide à base rectangulaire L .l.h V= 3

Pyramide à base triangulaire bt . ht V=

Cône

p . r2 . h 3

.............................................

229

Solides À l’aide de ce que tu viens de découvrir, élabore la formule générale du volume d’une pyramide ou d’un cône. ...................................................................................................................................................

b) Décris une expérience qui permet de vériﬁer ces formules. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Pyramide et cône A. Aire latérale de la pyramide régulière et du cône Formule générale

Alatérale =

Formules particulières

périmètre de la base . apothème Pbase . a = 2 2

Pyramide régulière

Cône Alatérale =

Alatérale

Pbase . a 2

4.c.a 2

a h

Alatérale = 2 . c . a

Alatérale = Alatérale =

Formules particulières

aire de la base . hauteur A base . h = 3 3

Pyramide à base rectangulaire

Pyramide à base carrée

h l

L V=

230

A base . h 3

L.l.h 3

c V=

2.p.r.a 2

Alatérale = p . r . a

B. Volume de la pyramide régulière et du cône Formule générale

Pbase . a

A base . h 3

c2 . h 3

Solides Pyramide à base triangulaire

Cône

bt V=

A base . h 3

bt . ht =

A base . h 3

p . r2 . h 3

Exercices 1

Pour remplacer la toiture de la tour du module ﬁgurant sur la photo ci-contre, le responsable de la plaine utilise un panneau de contreplaqué marin de 214 × 112 cm, en découpant quatre panneaux triangulaires. Si tu sais que le côté de la base carrée de la pyramide mesure 80 cm et que son apothème mesure 110 cm, calcule le pourcentage de déchets dans les découpes. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Sachant que toutes les longueurs sont exprimées en dm, calcule la hauteur des pyramides 2 et 3 pour qu’elles aient le même volume que la pyramide 1.

➁

➀

➂

2 3

3 3

..............................................

231

Solides 3

a) La photo ci-contre représente un château construit avec des blocs de bois. Pour peindre l’entièreté des cônes au sommet des six tours de cent châteaux, on utilise une peinture rouge d’un rendement de 1 dl par m2. Sachant que chaque cône a un rayon de 2 cm, une hauteur de 1,8 cm et une apothème de 2,7 cm, calcule la quantité de peinture nécessaire. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Si le bois utilisé pèse 0,42 g par cm3, quelle sera la masse des cônes de cent châteaux ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Voici une pyramide alimentaire qui permet de guider le consommateur vers une alimentation saine s’il respecte certaines proportions. Chacun des six étages de la pyramide a une hauteur de 1 cm. Le côté du grand carré de base mesure 6 cm et diminue de 1 cm à chaque étage. Il ne s’agit que d’une représentation, mais pour pouvoir manger les sucreries contenues dans une boîte cubique de 5 cm d’arête, quelle quantité d’eau faudrait-il boire et quelle quantité de féculents faudrait-il manger ?

viandes et poissons fruits

sucreries matières grasses produits laitiers légumes féculents eau

a) Calcule le volume à 0,01 cm3 près occupé par les sucreries dans cette pyramide. ..................................................................

b) Calcule le volume à 0,01 cm3 près occupé par les féculents dans cette pyramide. ..................................................................

c) Calcule le volume à 0,01 cm3 près occupé par l’eau dans cette pyramide. ...................................................................................................................................................

d) Calcule le volume de la boîte de sucreries.

.............................................................................

e) Complète le tableau de proportionnalité pour connaître la quantité de féculents et d’eau correspondant à la quantité de sucreries de la boîte.

Volume dans la pyramide Volume consommé 232

Sucreries

Féculents

Eau

..................................

Solides

f) Quelle quantité d’eau, en litres, faudrait-il boire ? ...................................................................................................................................................

................................................................................................

2 cm 19 cm (hauteur de riz)

g) D’après les renseignements ﬁgurant sur l’illustration ci-contre, quelle quantité de riz (féculent), en kg, faudrait-il manger ?

................................................................................................

6 cm ................................................................................................

15 cm

La pyramide ci-dessous est représentée en perspective cavalière à l’échelle 1 : 1 avec un angle de fuite de 30° et un rapport de réduction de 0,7. Après avoir déterminé ses mesures réelles, calcule son volume. .............................................................................

.............................................................................

Calcule, à 0,01 près, le volume du cône à partir de ses vues coordonnées représentées à l’échelle 1 : 1. ..............................................

..............................................

233

Solides

Activité 4 • Sphère 1

Aﬁn de déterminer la formule du volume d’une sphère, les élèves d’un atelier de mathématique ont réalisé une expérience. Ils ont rempli d’eau des cylindres dont le diamètre et la hauteur sont identiques, puis ont plongé dans chacun d’eux une sphère de même diamètre, comme le montre le schéma ci-contre. Ils ont ensuite retiré la sphère et mesuré la hauteur de liquide restant.

Voici les résultats expérimentaux obtenus.

➀

➁

➂

➃

➄

➅

Hauteur du cylindre (mm)

150

230

120

320

Hauteur de liquide restant (mm)

107

a) Quelle fraction du volume du cylindre la sphère occupe-t-elle dans chaque cas ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) De tes observations, déduis la formule du volume de la sphère. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Le globe terrestre peut être assimilé à une sphère d’un diamètre de 6371 km. Les eaux couvrent une surface d’environ 362 millions de km2. a) Sachant que l’aire d’une sphère se calcule grâce à la formule A = 4 . p . r2, calcule le pourcentage de la surface terrestre recouverte par les eaux. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Calcule la surface terrestre recouverte par les terres. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) Calcule la densité de population mondiale moyenne (hab/km2), si tu sais qu’il y a 7 370 000 000 d’habitants sur Terre. ...................................................................................................................................................

234

Solides

Sphère Aire et volume de la sphère Aire

A = 4 . p . r2

Volume

4 . p . r3 3

Exercices 1

L’Atomium, construit en 1958, culmine à 102 m et représente la maille du cristal de fer agrandie 165 milliards de fois. Cette structure cubique, composée de neuf sphères de 18 mètres de diamètre, pèse 2400 tonnes. Calcule le nombre de plaques d’aluminium de 1 m2 nécessaires pour recouvrir une des sphères. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

L’enveloppe d’un ballon de baudruche pèse 2 grammes. Une fois gonﬂé, il prend approximativement la forme d’une sphère de 21 cm de diamètre. a) Calcule la masse, en grammes, de dix ballons gonﬂés d’air, si tu sais que ce dernier a une masse volumique de 1,2 kg/m3. ...............................................................................................................

...............................................................................................................

b) Calcule la masse, en grammes, de dix ballons gonﬂés d’hélium, si tu sais que ce gaz a une masse volumique de 0,163 kg/m3. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

235

Solides 3

Un bol parfaitement hémisphérique a un diamètre intérieur de 12,6 cm. Sa capacité est-elle inférieure ou supérieure à un demi-litre ? ...............................................................................................................

...............................................................................................................

........................................................................................................................................................

Un jeu de quilles artisanal en bois est formé de douze quilles et d’une boule. Chaque quille est l’assemblage d’un cylindre dont le diamètre de la base est de 7 cm et d’une sphère de même diamètre. La hauteur totale de la quille est de 28 cm. La boule a un diamètre de 15 cm. a) Calcule la masse totale du jeu sachant que la masse volumique du bois est de 0,8 kg/dm3. ..........................................................................................................

..........................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) Pour peindre les sphères situées au sommet des quilles, l’artisan utilise une peinture au rendement de 0,01 ml par cm2. Calcule le nombre de sphères qu’il pourra peindre avec un pot de 1 l. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

236

Solides

Activité 5 • Transformations de formules 1

Pour un projet au cours de technologie, Romain doit confectionner des pyramides à base carrée de 32 cm3 de volume. Calcule, à 0,01 près si nécessaire, la hauteur de la pyramide en faisant varier la longueur du côté de la base comme indiqué dans le tableau ci-dessous. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Côté (cm)

Hauteur (cm)

Reconnais la formule et complète les énoncés si tu sais qu’il faut isoler la grandeur indiquée en gras. Isole ensuite celle-ci. a) Isole

.........................................

V = p . r2 . h b) Isole

.........................................

V=L.l.h c) Isole

.........................................

Alatérale = p . r . a d) Isole

.........................................

Alatérale = (c1 + c2 + c3) . h e) Isole

.........................................

b t . ht

V= f) Isole

.........................................

Alatérale = 4 . a2 g) Isole

.........................................

A = 4 . p . r2

dans la formule

...................................................................

dans la formule

...................................................................

dans la formule

...................................................................

dans la formule

...................................................................

dans la formule

...................................................................

dans la formule

...................................................................

dans la formule

...................................................................

237

Solides

Exercices supplémentaires Voici diﬀérentes représentations d’un bâtiment. Toutes les mesures indiquées sont exprimées en mètres. Vue de face

Vue de gauche 5

2,5

2 3

Vue du dessus

Perspective cavalière

2,5

➁

➀

➄

3 2,5

➅

➃

➂

Cite les solides qui composent les diﬀérentes parties de ce bâtiment ainsi que leurs dimensions.

Aﬁn de prévoir le carrelage de l’entièreté du rez-de-chaussée, calcule la surface au sol, à 0,01 m2 près.

Aﬁn de prévoir l’installation d’une chaudière pouvant subvenir au chauﬀage de l’entièreté du bâtiment, calcule le volume intérieur total, à 0,01 m3 près.

La fourniture et la pose d’une couverture en ardoises revient à 115 €/m2. a) Calcule l’aire de la toiture de la partie ➁. b) Calcule l’aire de la toiture de la partie ➄. c) Calcule l’aire de la toiture de la partie ➀. d) Calcule l’aire totale des toitures. e) Calcule le prix de revient des toitures.

238

À l’aide éventuellement d’un logiciel informatique, dessine les développements des six parties du bâtiment à l’échelle 1 : 100. Ensuite, reproduis-les sur du papier cartonné aﬁn de pouvoir construire les volumes correspondants et d’assembler l’habitation complète.

Chapitre 10

Théorème de Pythagore

Compétences à développer Utiliser les caractéristiques d’une ﬁgure plane ou d’un solide dans une situation concrète.

Processus Connaître Connaître le théorème de Pythagore et sa réciproque.

Appliquer Calculer une longueur en utilisant le théorème de Pythagore. Vériﬁer si un triangle est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.

Transférer Calculer une longueur dans un solide en utilisant le théorème de Pythagore.

239

Théorème de Pythagore

Activité 1 • Théorème de Pythagore 1

Lors d’une brocante, Martin a acquis une chaîne d’arpenteur. Il s'agit d'un instrument, long de 10 m, servant à prendre des mesures. Martin se demande s’il pourra l’étendre dans sa pièce de séjour, de forme parallélépipédique, dont voici une représentation en perspective cavalière. Pour ce faire, il en ﬁxe une extrémité au point A.

D A

3,40 m C 5,80 m

7,80 m

a) (1) Représente à l’échelle 1 : 200 le sol de la pièce de séjour en annotant les sommets.

(2) Détermine le point du sol de la pièce de séjour le plus éloigné de A.

.................................

Déduis-en le plus long segment au sol ayant A comme extrémité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) Sur ta représentation, colorie en bleu et cite un triangle rectangle ayant ce segment pour hypoténuse. ..............................................................................................................................................

Trace-le dans la même couleur sur la représentation en trois dimensions ci-dessus. (4) À l’aide du Théorème de Pythagore, calcule la mesure de l’hypoténuse de ce triangle au centimètre près. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(5) Martin peut-il dérouler entièrement de façon rectiligne sa chaîne sur le sol de la pièce de séjour ? Justiﬁe. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

240

Théorème de Pythagore

b) Martin pense ensuite qu’il pourrait peut-être étendre la chaîne en soulevant une extrémité de celle-ci. (1) Détermine dans la pièce de séjour, le point le plus éloigné de A.

.......................................

Déduis-en le plus long segment de la pièce ayant A comme extrémité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2) Cite un triangle rectangle ayant ce segment pour hypoténuse. ..............................................................................................................................................

(3) Représente ci-dessous ce triangle à l’échelle 1: 200 et ajoute-le en vert sur la représentation en trois dimensions de la page précédente.

(4) À l’aide du Théorème de Pythagore, calcule la mesure de l’hypoténuse de ce triangle au centimètre près. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(5) Martin peut-il dérouler entièrement de façon rectiligne sa chaîne dans la pièce de séjour ? Justiﬁe. ..............................................................................................................................................

c) Détermine quelle aurait dû être la hauteur de la pièce au centimètre près pour que la chaîne puisse joindre exactement les points A et G. Schéma ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

241

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore A. Énoncé du théorème de Pythagore Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

Relation de Pythagore

C a

b c

| A | = 90°

  

| BC |2 = | AC |2 + | AB |2 a2 =

+ c2

Exemple a2 = b2 + c2

a = 17

b=8

172 = 82 + 152 289 = 64 + 225 289 = 289

c = 15

B. Comment calculer la mesure de la diagonale intérieure d'un parallélépipède rectangle ? Exemple : Calcul de la mesure de la diagonale [AG] du parallélépipède rectangle représenté ci-contre.

H E 2

G ?

F 3

1) On identiﬁe un triangle rectangle dont [AG] est l'hypoténuse et on écrit la relation de Pythagore dans ce triangle.

H E 2

G ?

|AG|2 = |AC|2 + |CG|2

F 3

242

Dans le triangle ACG rectangle en C, on a

|AG|2 = |AC|2 + 22 |AG|2 = |AC|2 + 4 ?

Théorème de Pythagore 2) Le mesure de [AC] étant inconnue, on identiﬁe un second triangle rectangle dont [AC] est l'hypoténuse. On écrit la relation de Pythagore dans ce triangle et on calcule la mesure de [AC].

H E 2

Dans le triangle ABC rectangle en B, on a

G ?

|AC|2 = 52 + 32

3 A

|AC|2 = |AB|2 + |BC|2 |AC|2 = 25 + 9

|AC|2 = 34

|AC| =

3) On remplace la mesure de [AC] dans la relation écrite au 1) et on déduit la mesure de [AG].

H E 2

Dans le triangle ACG rectangle en C, on a

G ?

34 + 22

|AG|2 = 34 + 4

|AG|2 = 38 38

|AG| =

|AG|2 =

3 A

|AG|2 = |AC|2 + |CG|2

Exercices 1

a) Sur chaque triangle rectangle coloré, ajoute la marque de l’angle droit. H

V U

C P

R Q

b) Pour chacun d’eux, écris la relation de Pythagore. ............................................

............................................

a) Trace et colorie les triangles rectangles demandés sans oublier de marquer l’angle droit. Triangle ECG H E

F D

Triangle NQU U T R

F D

Triangle AGB

C B

Q M

P N

b) Pour chacun d’eux, écris la relation de Pythagore. ............................................

............................................

243

Théorème de Pythagore 3

Les arêtes du cube représenté ci-contre mesurent 2 cm. Calcule, au mm près :

a) la mesure de [AH]. b) la mesure de [HB].

D A

...................................................................................................................................................

Parmi les solides creux représentés ci-dessous, détermine celui qui pourrait contenir la plus grande baguette, si tu sais que toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité. ...................................................................................................

...................................................................................................

5 ...................................................................................................

...................................................................................................

244

Théorème de Pythagore

...................................................................................................

2 ...................................................................................................

...................................................................................................

4,3

...................................................................................................

........................................................................................................................................................

Chaque solide ci-dessous peut contenir une baguette d’une longueur maximale de 9 cm. Détermine la valeur de x, à 0,01 cm près, si tu sais que toutes les mesures sont exprimées en centimètres.

............................................................................................

C 6

............................................................................................

E 9

............................................................................................

C x

............................................................................................

245

Théorème de Pythagore 6

Voici diﬀérentes vues d’une villa. Vue de face

Façade sud-est Vue de gauche

Façade sud-ouest

3,2 12

Vue du dessus

8 N

a) Replace, sur la perspective et sur les diﬀérentes vues ci-dessus, les mesures réelles que tu peux y lire. b) Les propriétaires souhaitent placer sur la façade sud-ouest un habillage composé de plaques de bois vendues au mètre carré. Cette façade présente trois fenêtres identiques de 2 m sur 1,5 m qu’il ne faut pas couvrir. Détermine le nombre de mètres carrés qu’ils doivent commander s’ils souhaitent prévoir un supplément de 10 % pour les chutes et les pertes. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

246

Théorème de Pythagore

...................................................................................................................................................

c) Les propriétaires ont récemment installé un modem-routeur dont la portée est de 15 mètres. Ils l’ont placé au point J, situé dans l’angle sud de leur habitation à 80 centimètres du sol. Afin de sécuriser leur habitation, ils ont également fixé une caméra wi-fi au point F, situé à l’angle est de la maison, au niveau inférieur de la toiture. (1) Quand cela est possible, indique sur les différentes vues et sur la perspective de la page précédente, les points J et F. (2) Est-il possible pour la caméra de se connecter au modem ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(3) Détermine s'ils peuvent se connecter au modem depuis n'importe quel point du sol du rez-de-chaussée. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

247

Théorème de Pythagore 7

La figure ci-contre est un octaèdre régulier. Il a été construit à l’aide de fils métalliques soudés aux extrémités de trois fines tiges rigides de 14 cm fixées perpendiculairement en leur milieu O. (1) Effectue quelques recherches (web, dictionnaire, …) et explique ce qu’est un octaèdre régulier.

D A

C B

...........................................................................................

(2) Détermine, à 0,1 cm près, la longueur totale de ﬁls métalliques nécessaire pour réaliser cet octaèdre. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

(3) Détermine la surface de bois, à 0,1 cm² près, qui devrait être utilisée pour réaliser le même octaèdre composé de faces pleines en bois. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

248

...................................................................................................................................................

Théorème de Pythagore

...................................................................................................................................................

Activité 2 • Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore 1

Un stagiaire en ébénisterie a réalisé un tétraèdre en eﬀectuant plusieurs découpes dans une pièce de bois. À partir des informations fournies, détermine par calcul quelles sont les faces qui sont des triangles rectangles. |AB| = 16 cm

[BC| = 33 cm

|AC| = 40 cm

|AD| = 63 cm

|CD| = 56 cm

|BD| = 65 cm

........................................................................................................................................................

249

Théorème de Pythagore ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore Énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore

Énoncé de la contraposée du théorème de Pythagore

Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.

Si |BC|2 = |AB|2 + |AC|2, alors ABC est un triangle rectangle en A.

Si |BC|2 ≠ |AB|2 + |AC|2, alors ABC n’est pas un triangle rectangle en A.

Exemple : Les dimensions des arêtes du tétraèdre ci-dessous sont toutes exprimées dans la même unité. D

C 33

56 A

Le triangle ABC est-il rectangle ?

Le triangle ACD est-il rectangle ?

Vériﬁcation : | AB |2 = | AC |2 + | BC |2

Vériﬁcation : | AD |2 ≠ | AC |2 + | CD |2

652 = 562 + 332

250

73² ≠ 56² + 48²

4225 = 3136 + 1089

5329 ≠ 3136 + 2304

4225 = 4225

5329 ≠ 5440

Oui, le triangle ABC est rectangle en A.

Non, le triangle ACD n’est pas rectangle.

(réciproque du théorème de Pythagore)

(contraposée du théorème de Pythagore)

Théorème de Pythagore

Exercices 1

Un ébéniste a taillé une section triangulaire AFC dans un bloc de chêne de forme parallélépipédique dont les dimensions ﬁgurent sur le dessin ci-contre. Le triangle AFC est-il rectangle ?

........................................................................................................................................................

251

Théorème de Pythagore 2

Un ébéniste a taillé une pyramide à base carrée dans un bloc de chêne de forme parallélépipédique dont les dimensions ﬁgurent sur le dessin ci-contre.

H E

a) Parmi les faces triangulaires de la pyramide, entoure celles qui te semblent être des triangles rectangles. ABP

BCP

CDP

G 20 cm

50 cm

ADP

b) Vériﬁe tes réponses à la question précédente par calcul. .......................................................................................

.......................................................................................

25 cm

...................................................................................................................................................

252

Théorème de Pythagore

...................................................................................................................................................

Le sommet X du triangle DGX représenté ci-contre est situé sur la diagonale [AF] de la face ABFE du parallélépipède rectangle à 8 cm du point F.

E X A

Si tu sais que toutes les mesures sont exprimées en cm, détermine si le triangle DGX est rectangle.

8 B

H D

6 G 7,5

........................................................................................................................................................

253

Théorème de Pythagore

Exercices supplémentaires 1

Calcule la longueur de la diagonale intérieure d’un cube de 8 cm d’arête à 0,1 cm près.

Calcule, à 0,1 cm près, la longueur de la diagonale intérieure d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont les suivantes : longueur 100 cm, largeur 60 cm et hauteur 50 cm.

Romain souhaite acheter la malle de rangement représentée sur la publicité ci-dessous. Avant de procéder à son achat, il désire vériﬁer si sa canne à pêche télescopique pourra être rangée dans la malle. Si tu sais que sa canne à pêche, une fois repliée mesure 135 cm, vériﬁe si cela est possible.

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Le présentoir à bijoux représenté ci-contre est une pyramide à base carrée. Ses arêtes sont réalisées en laiton et les cinq faces sont en verre. Le fabriquant précise que son volume est de 2500 cm3 et que le côté de sa base mesure 20 cm. Estime, pour sa réalisation, a) la longueur des arêtes en laiton à 0,1 cm près. b) la surface de verre nécessaire à 0,1 cm² près.

Le solide représenté ci-contre est un parallélépipède rectangle sectionné par le plan BEG. Vériﬁe par calcul si le triangle BEG est rectangle.

E 6 cm

Le solide représenté ci-contre est un cube de 4 cm d’arête. Les points X, Y et Z sont les milieux respectifs des segments [AE], [BC] et [CG]. Détermine la nature du triangle XYZ.

12 cm

C 5 cm

D A

254

Y B

Chapitre 11

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Compétences à développer Utiliser les caractéristiques d’une figure ou d’un solide dans une situation concrète.

Processus Connaître Écrire les liens entre côtés et angles dans un triangle rectangle.

Appliquer Calculer une longueur ou l’amplitude d’un angle dans un triangle rectangle.

Transférer Exploiter des caractéristiques des familles de figures planes dans une situation contextualisée.

Remarque préliminaire : Dans ce chapitre, sauf indication contraire, les valeurs des nombres trigonométriques seront arrondies au centième près et les amplitudes des angles arrondies au degré près.

255

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Activité 1 • Cosinus d’un angle aigu 1

Pour grimper sur une échelle en toute sécurité, l’amplitude de l’angle formé par celle-ci et le sol doit être comprise entre 60° et 78°. a) (1) On a représenté, à l’échelle 1 : 100, les vues de profil d’une échelle de 5 m posée contre un mur dans les deux positions « extrêmes ». Dans chaque situation, effectue une mesure sur le schéma et déduis-en la distance, à 0,1 m près, entre le pied de l’échelle et le mur. Pour mieux visualiser les situations, indique les mesures connues sur chaque schéma. E B

.....................................................

(2) Pour chaque situation, calcule le rapport entre la distance du mur au pied de l’échelle et la longueur de l’échelle. .....................................................

.....................................................

Dans un triangle rectangle, ce rapport est appelé cosinus de l’angle. En utilisant la touche cosinus de ta calculatrice, vérifie les rapports obtenus. cos 60° =

.....................................

cos 78° =

.....................................

b) (1) Sur un même schéma à l’échelle 1 : 100, représente la vue de profil d’une échelle de 6 m et celle d’une échelle de 4 m posées toutes deux contre un même mur afin de déterminer la distance maximale entre le mur et le pied de chaque échelle. ................................................................................................

................................................................................................

(2) Détermine la valeur du cosinus de l’angle de 60° en utilisant les deux situations. Quelle conclusion peux-tu en tirer ? ................................................................................................

................................................................................................

256

................................................................................................

Trigonométrie dans le triangle rectangle 2

a) Relie le côté proposé et sa notation mathématique. A

Côté de l’angle droit opposé à l’angle C

•

[AB]

Hypoténuse

•

[CB]

Côté de l’angle droit adjacent à l’angle C

•

[CA]

b) Complète la définition. Le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal au rapport entre la longueur du ...............................................................................

et celle

.....................................................

c) En t’aidant de la définition du cosinus, entoure les propositions correctes. B

cos C = a

cos C = A

cos C =

BC c b

cos C =

BC c a

cos C =

AC b a

Cosinus d’un angle aigu A. Notation B En trigonométrie, nous désignerons : – un angle (et son amplitude) par la lettre majuscule qui désigne son sommet ; – la longueur d’un côté par la lettre minuscule qui correspond au sommet opposé.

B. Déﬁnition Le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal au rapport entre la longueur du côté de l’angle droit adjacent à l’angle et celle de l’hypoténuse. B

côté adjacent cos C =

b cos C = a

hypoténuse

257

Trigonométrie dans le triangle rectangle

C. Utilisation de la calculatrice Séquence pour calculer le cosinus d’un angle avec ta calculatrice ...................................................................................................................................................

Exemple : calcul de cos 40°

.....................................................................................................

Exercices 1

Écris une expression littérale du cosinus des angles aigus des triangles rectangles suivants.

m a b

cos B =

...............................

cos M =

...............................

cos R =

...............................

cos C =

...............................

cos N =

...............................

cos T =

...............................

Après avoir effectué les mesures nécessaires, calcule dans chaque triangle rectangle le cosinus de l’angle aigu marqué.

M T

cos B =

...............................

...................................

258

cos S =

...............................

...................................

cos M =

...............................

...................................

Trigonométrie dans le triangle rectangle 3

Utilise ta calculatrice pour déterminer les valeurs suivantes. cos 60° =

............................

cos 21° =

............................

cos 15° =

............................

cos 30° =

............................

cos 80° =

............................

cos 41° =

............................

cos 45° =

............................

cos 56° =

............................

cos 9° =

............................

Dans sa chambre mansardée, Aline voudrait aménager des armoires sur un pan de mur comme le montre le schéma ci-contre. À l’aide du cosinus de l’angle de 40°, vérifie, au centième près, si les dimensions obliques qu’elle a indiquées sont exactes.

1, 96

1, 3

.......................................................................................................

........................................................................................................................................................

Dans chaque triangle rectangle, utilise le cosinus de l’angle connu pour déterminer la longueur x au centième près. a)

......................................................................................................

3 ......................................................................................................

60°

......................................................................................................

40°

c) M

......................................................................................................

29° ......................................................................................................

3,2

......................................................................................................

259

Trigonométrie dans le triangle rectangle 6

Dans chaque triangle rectangle, utilise le cosinus de l’angle connu pour déterminer la longueur de l’hypoténuse au centième près. a) C

53°

2,42

58°

40°

3,5

..........................................

Activité 2 • Recherche d’un angle à partir de son cosinus 1

dont le cosinus vaut 0,5. Explique ta construction. a) Construis un angle C

..............................................................................................

au degré près. b) Mesure l’amplitude de l’angle C c) Vérifie ta réponse en utilisant ta calculatrice.

260

......................................................................

..........................................................................

Trigonométrie dans le triangle rectangle 2

dont le cosinus a) Construis un angle C 3 vaut . 4

au b) Mesure l’amplitude de l’angle C degré près.

dont le cosinus a) Construis un angle C vaut 0,62.

au b) Mesure l’amplitude de l’angle C degré près.

...........................................

c) Vérifie ta réponse avec ta calculatrice.

...............................................................

...........................................

...............................................................

a) Dans chaque cas, achève si possible, la construction du triangle ABC rectangle en A pour vérifie la condition donnée. que le cosinus de l’angle C

2 cos C =

1,5

2 3

..............................................

cos C = 0,6

..............................................

cos C =

A 4 5

3 cos C = –

4 cos C =

..............................................

A 1 2

..............................................

A 4 3

..............................................

cos C = 2

..............................................

261

Trigonométrie dans le triangle rectangle b) Sans utiliser de dessin, à l’aide de ta calculatrice, détermine, si possible, l’amplitude de tel que … l’angle C (1) cos C =

4 5

(2) cos C = 0,486

(3) cos C =

3 2

..........................................

(4) cos C = 0,01

..........................................

(5) cos C = –0,5

..........................................

(6) cos C = 3

..........................................

c) Complète la propriété et sa justification. est un angle aigu d’un triangle rectangle, . . . . . . £ cos C £ . . . . . . Si C En effet,

.....................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Recherche d’un angle à partir de son cosinus A. Comment déterminer l’amplitude d’un angle dont on connait le cosinus ? Séquence à suivre avec ta calculatrice ...................................................................................................................................................

B. Synthèse des procédures ..................

35°

cos 35° = 0,819...

..................

C. Propriété est un angle aigu d’un triangle rectangle, alors 0 £ cos C £ 1. Si C

262

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Exercices 1

Utilise ta calculatrice pour déterminer l’amplitude des angles dont on connaît le cosinus. cos A = 0,6

cos C =

7 8

cos E =

1 4

cos G = 0,08

..............................................

cos B = 0,52

..............................................

cos D =

5 12

..............................................

cos F =

1 2

..............................................

cos H = 1,2

..............................................

Le triangle ABC représenté ci-dessous est rectangle en A. . a) Calcule le cosinus de l’angle B C ............................................................................................

. b) Détermine l’amplitude de l’angle B

4,90 2,97

............................................................................................

. c) Déduis-en l’amplitude de l’angle C

3,90

............................................................................................

Le triangle MNP représenté ci-dessous est rectangle en N. Détermine l’amplitude de chacun de ses angles. N

.............................................................................

5,6

3,3 .............................................................................

P 4

6,5

.............................................................................

Un triangle ABC rectangle en A est tel que | AB | = 48 mm, | AC | = 20 mm et | BC | = 52 mm. Détermine l’amplitude de chacun de ses angles. .............................................................................

.............................................................................

263

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Activité 3 • Sinus d’un angle aigu Tu as sans doute reconnu sur la photo ci-contre, la butte du Lion de Waterloo. B

Il s’agit d’un monument qui rappelle la bataille de Waterloo du 18 juin 1815 ayant opposé les troupes françaises de Napoléon Bonaparte aux troupes anglaises de Wellington.

a c

C 1

Le cône de terre sur lequel repose le lion a une hauteur de 41 mètres. Pour passer du pied jusqu’au somment de la butte, un touriste doit parcourir 174 mètres.

Afin de déterminer le rayon du cône de terre, suis la démarche çi-dessous. a) Sur la photo ci-dessus, on a tracé un triangle ABC rectangle en A. Quel côté de ce triangle représente le rayon du cône de terre ?

.............................................

. b) À partir des données fournies, calcule le cosinus de l’angle B ...................................................................................................................................................

. c) À l’aide de ta calculatrice, recherche l’amplitude de l’angle B . d) Déduis-en l’amplitude de l’angle C

...............................................

.........................................................................................

pour déterminer la longueur du segment [AC]. e) Utilise le cosinus de l’angle C ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Il existe un autre rapport trigonométrique, le sinus d’un angle, qui permet de trouver cette . solution plus rapidement à l’aide de l’amplitude de l’angle B Le sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal au rapport entre la longueur du côté de l’angle droit opposé à cet angle et celle de l’hypoténuse. du triangle rectangle ABC. f ) Écris une expression littérale du sinus de l’angle B ...................................................................................................................................................

g) En utilisant cette expression, détermine la longueur du segment [AC] et vérifie la réponse trouvée à la question e).

264

...................................................................................................................................................

Trigonométrie dans le triangle rectangle 2

et le sinus de l’angle B . a) Compare le cosinus de l’angle C et C ? Pourquoi ? b) Comment qualifier les angles B

......................................................

..................................................................

...................................................................................................................................................

c) En t’inspirant de ce qui a été fait avec le cosinus et en utilisant ta calculatrice, retrouve à partir de son sinus. l’amplitude de l’angle B ...................................................................................................................................................

Complète la propriété et sa justification. est un angle aigu d’un triangle rectangle, . . . . . . £ sin C £ . . . . . . Si C En effet,

.....................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Sinus d’un angle aigu A. Déﬁnition Le sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal au rapport entre la longueur du côté de l’angle droit opposé à l’angle et celle de l’hypoténuse. B

côté opposé sin C =

c sin C = a

hypoténuse

B. Propriétés est un angle aigu d’un triangle rectangle, alors 0 £ sin C £ 1. 1. Si C 2. Le sinus d’un angle est égal au cosinus de son complément et inversement. Exemple AC  sin B =  BC   fi sin B = cos C AC  cos C = BC 

C 70°

20°

sin 20° = cos 70° = 0,342...

265

Trigonométrie dans le triangle rectangle

C. Utilisation de la calculatrice Séquence pour calculer le sinus d’un angle avec ta calculatrice ...................................................................................................................................................

Séquence pour déterminer l’amplitude d’un angle dont on connaît le sinus ...................................................................................................................................................

D. Synthèse des procédures ..................

35°

sin 35° = 0,573...

..................

Exercices 1

Écris une expression littérale du sinus des angles aigus des triangles rectangles suivants. N

C a b

.............................................

Après avoir effectué les mesures nécessaires, calcule dans chaque triangle rectangle le sinus de l’angle aigu marqué. C

B S P

266

sin B =

................................

sin S =

................................

sin M =

N ...............................

Trigonométrie dans le triangle rectangle 3

Utilise ta calculatrice pour déterminer les valeurs suivantes. sin 30° =

.................

sin 78° . . . . . . sin 12°

cos 20° . . . . . . sin 70°

sin 35° . . . . . . cos 35°

sin 42°

cos 42°

cos 48°

cos 76°

sin 48°

cos 65°

cos 25°

sin 76°

cos 45°

sin 45°

sin 14°

sin 24°

............

Dans chaque triangle rectangle, utilise le sinus de l’angle connu pour déterminer la longueur x au centième près. a) A

30°

40°

x 68°

sin 43° =

.................

Complète les égalités ci-dessous à l’aide de nombres trigonométriques choisis dans la liste proposée.

............

sin 78° =

.................

Sans utiliser ta calculatrice, complète par = ou ≠. cos 15° . . . . . . sin 75°

sin 45° =

3,8

..........................................

Dans chaque triangle rectangle, utilise le sinus de l’angle connu pour déterminer la longueur de l’hypoténuse au centième près. a)

.........................................................................................

2,6 .........................................................................................

33°

.........................................................................................

48°

.........................................................................................

2,69

M .........................................................................................

267

Trigonométrie dans le triangle rectangle c)

S .........................................................................................

2,52 .........................................................................................

.........................................................................................

42° .........................................................................................

Utilise ta calculatrice pour déterminer l’amplitude des angles dont on connaît le sinus. sin A = 0,7

..............................................

sin B = 0,07

..............................................

sin C = 0,62

..............................................

sin D = 0,5

..............................................

sin E =

1 5

..............................................

sin F =

4 7

sin G =

3 11

..............................................

sin H = 1,4

..............................................

Le triangle ABC représenté ci-dessous est rectangle en A. . a) Calcule le sinus de l’angle B ....................................................................................

. b) Détermine l’amplitude de l’angle B

C 2,12

5,21

....................................................................................

. c) Déduis-en l’amplitude de l’angle C

4,76

....................................................................................

10 Le triangle JKL représenté ci-dessous est rectangle en J. Détermine l’amplitude de chacun de ses angles. K

.................................................................................

5,91

L .................................................................................

4,53 3,79

268

.................................................................................

Trigonométrie dans le triangle rectangle

11 Un triangle ABC rectangle en A est tel que | AB | = 14 mm, | AC | = 48 mm et | BC | = 50 mm. Détermine l’amplitude de chacun de ses angles. .............................................................................

.............................................................................

. et D 12 a) En utilisant les données fournies sur les dessins, détermine l’amplitude des angles A D ..................................................................................

..................................................................................

? et D b) Comment qualifier les angles A

.....................................................................................

c) Calcule la longueur des côtés [AC] et [EF]. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Compare les amplitudes des angles et les longueurs des côtés de ces deux triangles. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

269

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Activité 4 • Tangente d’un angle aigu Julien et ses parents habitent dans la Haute Levée à Stavelot. Cette route, empruntée lors de la course cycliste Liège-Bastogne-Liège, est connue pour sa pente élevée. Ils ont décidé d’acheter une nouvelle voiture munie d’un système d’aide au démarrage en côte. Ce dispositif est automatiquement activé lors d’un démarrage dans une pente supérieure à 9 % et empêche ainsi le véhicule de reculer. Afin de tester ce système, ils décident de grimper la côte depuis le point A jusqu’au point B marqués sur la carte ci-dessous. Bellaire

400

ier

ièg

L de

Les

ps N622

Les

Bas

300

N68

u Ha

e ssir

Me Pré

Stavelot

ids he i z ur sB Le vée e Le

res

su Clo

ard

ich Erl

nnes Marle

e leri Col La

320m

e Ru

100m

Hau

40m

Erlichamp Les

te-Le

360

vée

m 380

a) Utilise la carte pour répondre aux questions suivantes. (1) Quelle est la distance à vol d’oiseau entre le point A et le point B ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(2) Quelle est la différence de niveau entre ces deux points ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

270

Trigonométrie dans le triangle rectangle

b) Reporte les distances trouvées à la question précédente sur le dessin ci-dessous. B A

c) La pente d’une route s’exprime comme le rapport entre la dénivellation et la distance horizontale entre deux points. (1) Calcule la pente de la route.

...............................................................................................

(2) Exprime la pente sous forme d’un pourcentage.

................................................................

d) Le système d’aide au démarrage automatique va-t-il s’enclencher lorsque le papa de Julien démarrera sa voiture pour aller du point A au point B ? Explique. ...................................................................................................................................................

La pente de la route dépend de l’angle formé par celle-ci et l’horizontale. Dans la situation . précédente, il s’agit de l’angle A a) En utilisant le dessin de la question 1 b), exprime la pente sous forme d’un rapport entre deux côtés du triangle rectangle ABC. ...................................................................................................................................................

. Ce rapport est appelé la tangente de l’angle A ? b) Quelle est la valeur de la tangente de l’angle A

....................................................................

dont tu connais la tangente. c) Utilise ta calculatrice pour déterminer l’amplitude de l’angle A ...................................................................................................................................................

Tangente d’un angle aigu A. Déﬁnition La tangente d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal au rapport entre la longueur du côté de l’angle droit opposé à l’angle et celle du côté de l’angle droit qui lui est adjacent. B

côté opposé tan C =

c tan C = b

côté adjacent

271

Trigonométrie dans le triangle rectangle

B. Utilisation de la calculatrice Séquence pour calculer la tangente d’un angle avec ta calculatrice ...................................................................................................................................................

Séquence pour déterminer l’amplitude d’un angle dont on connaît la tangente ...................................................................................................................................................

D. Synthèse des procédures ..................

35°

tan 35° = 0,700...

..................

Exercices 1

Écris une expression littérale de la tangente des angles aigus des triangles rectangles suivants. M

C a

N b

t R

.............................................

Après avoir effectué les mesures nécessaires, calcule dans chaque triangle rectangle la tangente de l’angle marqué. R

M N

P tan B =

272

...............................

tan S =

...............................

tan M =

...............................

Trigonométrie dans le triangle rectangle 3

Utilise ta calculatrice pour déterminer les valeurs suivantes. tan 30° =

.............................

tan 25° =

.............................

tan 85° =

.............................

tan 60° =

.............................

tan 71° =

.............................

tan 43° =

.............................

tan 45° =

.............................

tan 34° =

.............................

tan 8° =

.............................

Dans chaque triangle rectangle, utilise la tangente de l’angle connu pour déterminer la longueur x au centième près. a)

C ....................................................................................

38° ....................................................................................

3,2 ....................................................................................

....................................................................................

b) ....................................................................................

....................................................................................

2,1 59°

....................................................................................

J ....................................................................................

M ....................................................................................

49° 2,94

....................................................................................

P d)

C ....................................................................................

2,7

....................................................................................

31°

....................................................................................

273

Trigonométrie dans le triangle rectangle e)

....................................................................................

42° ....................................................................................

3,22 ....................................................................................

....................................................................................

f) ....................................................................................

C 74°

5,05

x A

....................................................................................

a) Utilise ta calculatrice pour déterminer l’amplitude des angles dont on connaît la tangente. tan A = 0,6

..............................................

tan E =

13 7

..............................................

tan B = 1,35

..............................................

tan F = 10

..............................................

tan C = 1

..............................................

tan G = 100

..............................................

2 5

..............................................

tan H = 1000

..............................................

tan D =

et H ? b) Que peux-tu dire des angles G ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Le triangle ABC représenté ci-contre est rectangle en A. . a) Calcule la tangente de l’angle B ..........................................................................................................

. b) Détermine l’amplitude de l’angle B

5,81

5,36

..........................................................................................................

. c) Déduis-en l’amplitude de l’angle C C ..........................................................................................................

274

2,24

Trigonométrie dans le triangle rectangle 7

Le triangle MNP représenté ci-dessous est rectangle en P. Détermine l’amplitude de chacun de ses angles. M .................................................................................

N .................................................................................

4,76 3,33

.................................................................................

P 8

Un triangle ABC rectangle en A est tel que | AB | = 23 mm et | AC | = 35 mm. Détermine l’amplitude de chacun de ses angles. .................................................................................

.................................................................................

Le panneau routier ci-contre indique que la route monte fortement. Selon les sources, le pourcentage présent sur ce panneau est interprété de manières différentes. Certains affirment que le panneau représente la pente et donc que si l’on progresse horizontalement de 100 m, on s’élève de 10 m. D’autres pensent que si on parcourt 100 m sur la route, on monte de 10 m ; dans ce cas on parle d’inclinaison ou de déclivité.

10%

a) On a représenté ci-dessous chacune de ces situations à l’échelle 1 : 100. formé par la route et l’horizontale. Dans chaque cas, calcule l’amplitude de l’angle C Compare-les.

Pente : 10 % B 1 C

....................................

Inclinaison : 10 % 10 C

B 1 A

....................................

...................................................................................................................................................

275

Trigonométrie dans le triangle rectangle b) Complète le tableau. Arrondis tes réponses à 0,01 près (au pourcent près). Amplitude de l’angle formé par la route et l’horizontale

5°

10°

15°

30°

45°

80°

................

Pente

Inclinaison

Compare les pentes et les inclinaisons trouvées.

.....................................................................

...................................................................................................................................................

Activité 5 • Formules de trigonométrie dans le triangle rectangle 1

Le triangle ABC représenté ci-contre est rectangle en A. . a) Détermine les valeurs du cosinus et du sinus de l’angle B cos B =

................................

sin B =

3 .................................

b) Calcule la valeur de l’expression cos2 B + sin2 B. cos2

B lorsqu’on (Afin d’éviter toute confusion, on note et sin2 B lorsqu’on parle du carré du cosinus de l’angle B .) parle du carré du sinus de l’angle B

...................................................................................................................................................

À l’aide de ta calculatrice, complète le tableau. | |B 12° 38° 73°

276

cos B

sin B

cos2 B (à 0,01 près)

sin² B (à 0,01 près)

cos2 B + sin2 B

Trigonométrie dans le triangle rectangle 3

a) Dans le triangle ABC rectangle en A, écris les expressions littérales du cosinus et du sinus . de l’angle B

C cos B =

sin B =

......................

.......................

b) Recherche une expression réduite de cos2 B + sin2 B. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Le triangle ABC représenté ci-contre est rectangle en A. a) Détermine les valeurs du sinus, du cosinus et de la . tangente de l’angle B sin B =

.............................................................................

cos B =

.............................................................................

tan B =

.............................................................................

b) Calcule le rapport

sin B . cos B

...................................................................................................................................................

c) Compare les réponses des questions a) et b). Déduis-en une égalité.

...................................................................................................................................................

277

Trigonométrie dans le triangle rectangle 5

À l’aide de ta calculatrice, complète le tableau et vérifie que l’égalité que tu viens d’écrire est proposées. encore vérifiée pour les valeurs de l’angle B

| |B

sin B cos B

tan B

(à 0,01 près) 14° 42° 78°

a) Dans le triangle ABC rectangle en A, écris les expressions littérales du cosinus, du sinus et . de la tangente de l’angle B

C sin B =

.................

cos B =

................

tan B =

.................

sin B b) Recherche une expression réduite du rapport et compare-la avec tes réponses à la cos B question précédente.

...................................................................................................................................................

Formules de trigonométrie dans le triangle rectangle A. Relation fondamentale La somme des carrés du cosinus et du sinus d’un angle aigu est égale à 1. cos2 A + sin2 A = 1 Exemple : cos² 60° + sin² 60° = 1

B. Tangente d’un angle aigu La tangente d’un angle aigu est égale au rapport entre son sinus et son cosinus. tan A = Exemple : tan 60° =

278

sin 60° cos 60°

sin A cos A

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Exercices 1

est un angle aigu, complète les tableaux suivants. Sachant que A a) Sans calculatrice sin A

cos A

tan A

sin² A

cos² A

3 5

7 25

25 169

b) Avec calculatrice sin A

cos A

tan A

sin² A

cos² A

0,3

0,3025

0,24

279

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Activité 6 • Valeurs trigonométriques particulières 1

On a représenté ci-contre un triangle ABC rectangle isocèle en A. a) Détermine l’amplitude de chacun de ses angles. | = ............. | = ............. | = ............. |A |B |C b) Utilise le théorème de Pythagore pour exprimer la mesure de l’hypoténuse (|BC|) en fonction de la mesure d’un seul côté de l’angle droit (|AB| ou |AC|).

...................................................................................................................................................

c) Détermine la valeur de cos B, sin B et tan B. cos B =

................................

sin B =

.................................

tan B =

.................................

..............................................

d) De tes réponses précédentes, déduis les valeurs trigonométriques demandées. cos 45° =

.............................

sin 45° =

..............................

tan 45° =

On a représenté la hauteur AH du triangle équilatéral ABC. a) Détermine l’amplitude des angles suivants. | = ............. | = .......... |B | BAC

| A 1 | =

280

..............................

.............

| A 2 | =

.............

1 2

| = ............. |C

| H 1 | =

.............

| H 2 | =

1 .............

Trigonométrie dans le triangle rectangle

. b) Nomme le triangle rectangle dont un des angles est B ...................................................................................................................................................

c) Détermine la valeur de cos B, sin B et tan B. ..............................................

..............................................

d) De tes réponses précédentes, déduis les valeurs trigonométriques demandées. cos 60° =

.............................

sin 60° =

..............................

tan 60° =

..............................

e) En utilisant la propriété des angles complémentaires, calcule la valeur de cos 30° et sin 30°. cos 30° = sin 30° =

...................................................................................................................................

....................................................................................................................................

f) De ta réponse précédente, déduis la valeur de tan 30°. tan 30° =

....................................................................................................................................

281

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Valeurs trigonométriques particulières 30°

45°

60°

sin

1 2

2 2

3 2

cos

3 2

2 2

1 2

tan

3 3

Exercices 1

Sans utiliser ta calculatrice, complète avec < , > ou = . Justifie. a)

1 sin 30°

.........

tan 45°

...........................................................................................................

1 sin 30°

.........

1 cos 30°

...........................................................................................................

Activité 7 • Problèmes : quelle formule trigonométrique utiliser ? 1

Recherche de la longueur d’un côté en connaissant la longueur d’un autre côté et l’amplitude d’un angle aigu , on sait Dans le triangle ABC rectangle en A | = 22° et que | BC | = 5 cm. Calcule | AC |. que | B

a) Indique les mesures connues sur le schéma. C b) Identifie l’angle aigu dont l’amplitude est connue :

.................................................................

Identifie le côté dont la longueur est connue et précise s’il s’agit de l’hypoténuse, du côté de l’angle droit adjacent à l’angle aigu connu ou de son côté opposé : ...................................................................................................................................................

Identifie le côté dont on cherche la longueur et précise s’il s’agit de l’hypoténuse, du côté de l’angle droit adjacent à l’angle aigu connu ou de son côté opposé : ...................................................................................................................................................

282

Trigonométrie dans le triangle rectangle c) Écris la formule qui lie l’angle et les côtés que tu viens de citer :

...........................................

d) À l’aide de cette formule, calcule la longueur demandée. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Recherche de l’amplitude d’un angle aigu en connaissant les longueurs de deux côtés , on sait Dans le triangle ABC rectangle en A |. que | BC | = 5 cm et que | AC | = 2 cm. Calcule | C

a) Indique les mesures connues sur le schéma. B

C b) Identifie l’angle aigu dont on cherche l’amplitude :

.................................................................

Identifie les côtés dont la longueur est connue et précise pour chacun d’eux s’il s’agit de l’hypoténuse, du côté de l’angle droit adjacent à l’angle aigu recherché ou de son côté opposé : ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) Écris la formule qui lie l’angle et les côtés que tu viens de citer :

...........................................

. d) À l’aide de cette formule, calcule l’amplitude de l’angle C ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Problèmes : quelle formule trigonométrique utiliser ? A. Comment calculer la longueur d’un côté en connaissant la longueur d’un autre côté et l’amplitude d’un angle aigu ? a) Réaliser ou compléter un schéma en faisant apparaître un triangle rectangle et en y indiquant les dimensions connues. b) Analyser la situation – Identifier l’angle aigu dont l’amplitude est connue. – Identifier le côté dont la longueur est connue et préciser s’il s’agit de l’hypoténuse, du côté de l’angle droit adjacent ou opposé à l’angle aigu. – Identifier le côté dont la longueur est recherchée et préciser s’il s’agit de l’hypoténuse, du côté de l’angle droit adjacent ou opposé à l’angle aigu. c) Choisir la formule qui lie l’angle et les côtés repérés précédemment. d) À l’aide de cette formule, calculer la longueur demandée. 283

Trigonométrie dans le triangle rectangle

B. Comment calculer l’amplitude d’un angle aigu en connaissant les longueurs de deux côtés ? a) Réaliser ou compléter un schéma en faisant apparaître un triangle rectangle et en y indiquant les dimensions connues. b) Analyser la situation – Identifier l’angle aigu dont l’amplitude est recherchée. – Identifier les côtés dont la longueur est connue et préciser pour chacun d’eux s’il s’agit de l’hypoténuse, du côté de l’angle droit adjacent ou opposé à l’angle aigu. c) Choisir la formule qui lie l’angle et les côtés repérés précédemment. d) À l’aide de cette formule, calculer l’amplitude demandée.

Exercices 1

Formule

..........................................................................

Analyse

Résolution

..........................................................................

Formule

..........................................................................

284

Analyse

Résolution

..........................................................................

Trigonométrie dans le triangle rectangle 3

Une société fabrique des étagères murales composées de deux planches en bois perpendiculaires. Afin de consolider l’ensemble, deux fines tiges de fer maintiennent la planche horizontale comme indiqué sur le dessin ci-contre. Sachant que la largeur de la planche horizontale est de 30 cm et que l’angle formé par celle-ci et la tige est de 37°, détermine au millimètre près, la dimension des tiges de fer nécessaires pour consolider l’étagère. Schéma

Formule

..........................................................................

Analyse

Résolution

..........................................................................

Une piste rectiligne de ski mesure 480 m de long. On a relevé une différence d’altitude de 220 m entre le sommet et le bas de la piste. Lorsqu’une piste présente une pente moyenne dont l’amplitude de l’angle est supérieure à 25°, elle comporte un risque accru d’avalanches. Détermine si cette piste présente ce risque. Schéma

Formule

..........................................................................

Analyse

Résolution

..........................................................................

........................................................................................................................................................

285

Trigonométrie dans le triangle rectangle 5

Lors de la préparation d’une randonnée cyclotouristique, Freddy envisage la montée de la côte de « La Gayolle », située entre Yvoir et Évrehailles. Pour cela, il a besoin de connaître la pente moyenne de cette côte. Sachant que pour une distance parcourue de 1700 m, le dénivelé est de 162 m, aide-le à déterminer cette pente, à 0,1 % près. Schéma

Formule

C ...................................................

A Analyse

Résolution

.................................................................................................

...................................................

.................................................................................................

...................................................

.................................................................................................

...................................................

.................................................................................................

...................................................

........................................................................................................................................................

Afin de déterminer la hauteur d’un arbre, Marc se place à 30 m du pied de celui-ci. Ses yeux sont situés à 1,52 m du sol et, à l’aide d’un théodolite (appareil permettant de mesurer les angles), il peut déterminer que la demi-droite joignant ses yeux au sommet de l’arbre forme avec l’horizontale un angle de 42°. Calcule la hauteur de l’arbre au cm près. Schéma

Formule

...................................................

286

30 m

Analyse

Résolution

.................................................................................................

...................................................

.................................................................................................

...................................................

.................................................................................................

...................................................

.................................................................................................

...................................................

.................................................................................................

...................................................

.................................................................................................

...................................................

........................................................................................................................................................

Trigonométrie dans le triangle rectangle 7

L’ombre d’un pylône vertical a une longueur de 43 m. Le rayon solaire passant par le sommet du pylône forme avec le sol (horizontal) un angle de 38°. Quelle est la hauteur, au centimètre près, de ce pylône ? Schéma