CQFD 6 4p/s

4 pĂŠriodes / semaine

manuel 4 pĂŠriodes / semaine

Udiddit, la plate-forme d’apprentissage en ligne pour les élèves et les enseignants La plate-forme Udiddit te donne, par exemple*, accès à : – des exercices en ligne pour t’entraîner, – un aperçu de tes progrès et de tes résultats, – du matériel de cours, – des jeux captivants, – et bien plus encore... Ton professeur pourra t’indiquer comment accéder à Udiddit. * En fonction de la méthode

Couverture : Primo & Primo Mise en pages : Softwin Crédits : Erwan Guillard / Fotolia (p. 1), stringerphoto / Fotolia (p. 2), Eric Isselee / Shutterstock (p. 3), Asplosh / Fotolia (p. 49 ht), patarapong saraboon / Shutterstock (p. 50 ht), Fantasista / Fotolia (p. 50 bas), Mipan / Fotolia (p. 51), MM / Fotolia (p. 52), Everett Historical / Shutterstock (p. 55), Antonio Nardelli / Shutterstock (p. 58), Vadimsadovski / Fotolia (p. 59), M. Lenouvel / Fotolia (p. 63), Vertigo77 / Fotolia (p. 64), rayman7 / Fotolia (p. 102 ht), Jean-Marc RICHARD / Fotolia (p. 102 bas), Paul Heasman / Fotolia (p. 105), Julija Sapic / Fotolia (p. 109), Dule964 / Fotolia (p. 121), URRRA / Fotolia (p. 126), nickolae / Fotolia (p. 127), Apprendre à lire le monde, De Boeck, 2010, p. 115 (p. 154 ht), Bermnoi Photography / Shutterstock (p. 155), Billion Photos / Shutterstock (p. 156), Marzolino / Shutterstock (p. 157 ht), Igor Normann / Shutterstock (p. 157 bas), Aney (p. 159), Dunadicarta / Fotolia (p. 162), bandrat / Shutterstock (p. 180), Matthew Plotecher / Shutterstock (p. 182), Fabricio Simeoni / Fotolia (p. 186), timquo / Shutterstock (p. 188), Lculig / Fotolia (p. 192), Vintage Tone / Shutterstock (p. 193), bannosuke / Shutterstock (p. 194), Peter Hermes Furian / Shutterstock (p. 195), Dukes / Shutterstock (p. 197), rommma / Shutterstock (p. 205), Julia Kuznetsova / Shutterstock (p. 206), AR Images / Shutterstock (p. 207), Dan Kosmayer / Shutterstock (p. 209 bas), SofiaV / Shutterstock (p. 210 ht), Antoine Taveneaux (p. 214), Iamnee / Shutterstock (p. 215), agrino / Shutterstock (p. 217), Bertrand Manière / Fotolia (p. 244), Mikbiz / Shutterstock (p. 245), muzsy / Shutterstock (p. 248), Helder Almeida / Shutterstock (p. 253).

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2018, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 2e édition 2018 ISBN 978-2-8041-9728-5 D/2018/0078/187 Art. 580418/01

Avant-propos

Arrivés à la fin d’une démonstration, on écrit souvent : CQFD (« Ce Qu’il Fallait Démontrer ») ! Faire des mathématiques, c’est s’appuyer sur des arguments pour Démontrer, mais c’est aussi Découvrir, Décrire, Définir, Développer, Démystifier… Au fil des pages de la collection « CQFD », selon les contenus et les contextes, ces compétences alternent, se complètent… Cette nouvelle édition du manuel CQFD 6e (4 périodes/semaine) intègre les compétences et les ressources telles qu’elles sont décrites dans le document « Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques : humanités générales et technologiques », diffusé par la Fédération WallonieBruxelles, référentiel appliqué progressivement depuis septembre 2015. Les ressources et compétences énumérées dans les cinq unités d’acquis d’apprentissage (UAA) des « Mathématiques générales » en classe de 6e année sont développées dans les sept chapitres de ce manuel. Les correspondances sont indiquées dans le tableau des pages VI-VII. Dans chaque chapitre, un parcours identique structure les apprentissages : – l’introduction situe la nouvelle matière dans le parcours scolaire et/ou dans l’histoire, – l’exploration fournit des informations et des pistes de travail pour l’apprentissage des nouvelles notions, – la synthèse, organisée en questions-réponses, permet de structurer et de fixer les concepts ; elle donne des définitions, des exemples et des procédures, – les exercices, classés par compétences (Connaître, Appliquer, Transférer), testent les connaissances, développent l’habileté calculatoire ou procédurale ainsi que la capacité à résoudre des problèmes. Dans un monde où les technologies sont en constante évolution, on ne peut passer sous silence l’apport des calculatrices et de l’outil informatique dans l’apprentissage. Dans plusieurs chapitres, une rubrique « Outils numériques » développe quelques pistes d’utilisation de logiciels en rapport avec le contenu du chapitre pour l’illustrer ou pour résoudre l’un ou l’autre exercice. Des tableaux et des graphiques de ce manuel doivent être complétés par l’élève ; ils sont indiqués par le symbole et peuvent être téléchargés gratuitement par le professeur via Udiddit. La sélection des activités présentées vise à développer, chez l’élève, de multiples compétences : maîtriser ses connaissances, conjecturer, vérifier, argumenter avec un langage propre aux mathématiques, produire et analyser un graphique, un tableau, résoudre un problème. Nous souhaitons aux élèves qui utilisent ce livre de progresser et, pourquoi pas, de prendre goût et développer un réel intérêt pour les mathématiques ! Plusieurs passages de ce manuel sont le fruit d’une collaboration antérieure avec Françoise Van Dieren, directrice de collection, Sabine Hausmann et Emmanuel Bourgeois. Qu’ils en soient ici remerciés. Nos remerciements s’adressent aussi à Olivier Ruol et Rémi Bertrand, des éditions Van In (De Boeck), pour leur écoute et leur soutien. Les auteurs Avant-propos

Correspondance entre les chapitres et les UAA 6G UAA1 Probabilité Ressources

Chapitres

Outils d’appropriation et de calcul de probabilités arbre, diagramme de Venn, simulation, tableau Expérience aléatoire, catégorie d’épreuve, événements Probabilité d’un événement Propriétés des probabilités

Chapitre 5 Probabilités

Probabilité conditionnelle Événements indépendants Outils d’appropriation et de calcul de probabilités : analyse combinatoire – arrangements avec et sans répétitions – combinaisons sans répétitions – permutations avec et sans répétitions

Chapitre 6 Analyse combinatoire

6G UAA2 Lois de probabilités Ressources

Chapitre

Variable aléatoire Espérance mathématique Écart-type Distribution de probabilité Fonction de répartition Loi uniforme Espérance mathématique et écart-type Loi binomiale Épreuve et schéma de Bernoulli Espérance mathématique et écart-type Distribution de probabilité Loi normale Espérance mathématique et écart-type Graphique de la distribution de probabilité Table de la loi normale et outil informatique

Avant-propos

Chapitre 7 Variables aléatoires et lois de probabilités

6G UAA3 Intégrale Ressources

Chapitre

Encadrement d’une aire, d’un volume Intégrale définie Théorème fondamental Primitives

Chapitre 2 Intégrales et primitives

Aire d’une surface plane Volume d’un solide de révolution

6G UAA4 Fonctions exponentielles et logarithmes Ressources

Chapitre

Fonctions exponentielles Fonctions logarithmes Relation de réciprocité des fonctions exponentielles et logarithmes Fonctions exponentielles et logarithmes de base e Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmes

Chapitre 1 Fonctions exponentielles et logarithmes

Règle de l’Hospital Coordonnées logarithmique et semi-logarithmique

6G UAA5 Géométrie analytique de l’espace Ressources

Chapitres

Repère orthonormé Vecteurs de l’espace Coordonnées d’un point dans l’espace Addition de deux vecteurs Multiplication d’un vecteur par un réel

Chapitre 3 Calcul vectoriel dans l’espace

Distance entre deux points Condition analytique d’orthogonalité de deux vecteurs Condition d’alignement de trois points Condition de coplanarité de quatre points Équations vectorielle, paramétriques et cartésienne d’un plan Équations vectorielle, paramétriques et cartésiennes d’une droite dans l’espace Vecteur normal à un plan Condition de parallélisme de deux droites, de deux plans

Chapitre 4 Géométrie analytique de l’espace

Intersection de droites et de plans Avant-propos

VII

Probabilité

Comment s’y prendre ? On situe généralement la naissance des probabilités à l’échange de correspondance entre Blaise Pascal (1623-1662) et Pierre de Fermat (1601-1665) ; ils y relataient leur raisonnement en réponse à une question du Chevalier de Méré, joueur assidu, qui se demandait comment répartir les mises d’un jeu dont les parties avaient dû être interrompues avant la fin.

ploration

Le premier traité de probabilités est publié par Christiaan Huygens (1629-1695) en 1657. Il est suivi par l’Ars Conjectandi (« L’art de conjecturer »), œuvre posthume de Jacques Bernoulli (1654-1705) à qui l’on doit la loi des grands nombres. Cette loi Un candidat est éliminé s’il a moins de quatre bonnes réponses. permet de définir une probabilité ab.posteriori : lorsqu’on répète d’eux au hasard une expérience un très grand nombre L’un de fois, la répond fréquence d’un à chacune des questions. Quelle est la probabilité qu’il soit éliminé ? résultat se stabilise vers une valeur qu’on appelle « probabilité »

Le manuel est structuré en 7 chapitres qui proposent, chacun, un déroulement identique. c. On désigne par X le nombre de réponses exactes fournies par un candidat qui répond au hasard et par xi les différentes valeurs de X. Recopier et compléter le tableau suivant.

de ce résultat. Blaise Pascal à l’âge de 25 ans. Gravure de Domat (Paris, 1845)

Le concept de probabilité s’est progressivement mathématisé sous l’impulsion d’autres mathématiciens. On peut citer Pierre-Simon de laPlace (1749-1827), Adolphe Quételet (1796-1874), Andreï Kolmogorov (1903-1987).

La notion de probabilité apparaît sous deux formes. D’une part, la probabilité d’un événement peut être une valeur théorique, « limite » d’une fréquence, établie à la suite d’un très grand nombre d’expériences ; c’est ainsi qu’ont été découvertes plusieurs lois scientifiques, que sont construites des tables d’assurance… D’autre part, la probabilité d’un événement peut être déduite de symétries ou de régularités dans l’énoncé du problème : ainsi, lorsqu’on lance un dé parfaitement équilibré, on a une chance sur six d’avoir le résultat 1 (ou n’importe quel autre résultat de 1 à 6).

Lis attentivement l’introduction pour situer ce que l’on va apprendre.

– avoir une réponse exacte, avec une probabilité p,

– avoir une réponse fausse, avec une probabilité q =1 – p. 1) Déterminer la valeur de p dans le problème posé.

Les domaines d’application des probabilités sont nombreux et variés : contrôle de qualité ou de fabrication, diagnostic médical, finances, assurances… sans oublier les jeux de hasard.

2) Vérifier que P ( X = 1) = 5 p (1 − p)4 et que P ( X = 3) = 10 p3 (1 − p)2. 3) Écrire sous la même forme P ( X = 0 ), P ( X = 2), P ( X = 4 ) et P ( X = 5).

Introduction 157 e. Utiliser la fonction « loi binomiale » d’un tableur (voir « Outils numériques ») pour déterminer la loi de probabilité lorsque le questionnaire compte 8 questions et qu’il y a 3 réponses possibles (une seule correcte) pour chaque question. Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâtons.

Synthèse 4 Outils numériques Ba Exercices 4, 9 à 18

9 Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre le graphique d’une fonction, l’axe Ox et deux droites verticales ?

Exploration

Tourner la roue

3 y

Une roue est graduée de 1 à 12 (fig. 1). La flèche est positionnée initialement sur 0, ce qui correspond à la graduation 12. On lui donne une « bonne » impulsion ; on considère l’expérience aléatoire « point de la roue où s’est immobilisée la flèche ». b a a. Quelles sont les éventualités de cette expérience ? x 1 b. Pierre donne une impulsion à la flèche ; quelle est la probabilité qu’elle s’arrête sur 2,576 ? sur 5,891 ? sur n’importe quelle valeur entre 0 et 12 ?

En classe, avec le professeur UA et les autres élèves, tu découvres les nouvelles y = f(x) notions.

1 0

est la probabilité que la flèche s’arrête entre 1 et 2 ? entre c. Quelle y = f(x) 10 et 12 ? entre 5 et 8 ? entre 1,5 et 6,25 ?

1 0

toires et lois de probabilités

1 a

Exploration

∫

f ( x) dx

∫

f ( x) ≤ 0

10 Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre les graphiques de deux fonctions ?

f ( x) dx

y UA

Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.

2 y = f(x) 1 b

f ( x) ≥ g( x)

∫

( f ( x) − g( x) ) dx

–1

y = g(x)

fig. 27

VIII

2. Intégrales et primitives

Comment s’y prendre ?

217

fig. 26

fig. 25

f ( x) ≥ 0 Synthèse

fig. 1

Outils Outils numériques

numériques

Utiliser un tableur pour calculer une valeur approchée d’une intégrale Exemple On demande de calculer une valeur approchée de l’intégrale

∫ ( 0,1x

Tu découvres quelques utilisations des tableurs et logiciels graphiques.

−3

)

− 0, 9 x + 2 dx .

La fonction f : x → 0,1x3 − 0, 9 x + 2 est positive sur l’intervalle donné. On utilise le haut de la feuille pour y inscrire les données. Cellule

Contenu

Commentaires

Fonction

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite.

f(x)=0,1x^3-0,9x+2

Expression de la fonction

Nombre d’intervalles

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

Valeur de n (nombre de rectangles)

origine

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

-3

Valeur de a

Données : une fonction f, un intervalle [a ; b] que l’on subdivise en n parties de même longueur. Analyse : avant de calculer l’approximation, il faut déterminer la longueur des intervalles et les milieux. 1) Longueur des sous-intervalles : la longueur l est le quotient

b− a . n

l ; tous les 2 milieux suivants sont séparés l’un de l’autre de la longueur d’un sous-intervalle.

2) Milieux des sous-intervalles : le premier milieu est a +

Exercices

l l

À chaque graphique sa fonction exponentielle !

a+ 3l 2

Remarques 1) Si la fonction donnée est positive sur l’intervalle [a ; b], la démarche ci-dessous peut être appliquée pour approximer l’« aire sous une courbe ».

On a dessiné le graphique (fig. 38) de quatre fonctions dans un même repère. Associer chaque expression au graphique correspondant. y

a+ l 2

2) La démarche se rapporte à l’approximation par la méthode du « point milieu ».

f4 f2

a. f ( x) = 10 x

2. Intégrales et primitives

b. f ( x) = 10 x + 3 c. f ( x) = 2 + 10 x

d. f ( x) = 10( x −1) − 1 0

Vecteurs dans un parallélépipède

Tracer et lire un graphique

b. u + v +

1 t 2

3 2 graphique cartésien des fonctions f : x →   et g : x →   . 2 3

1 u + v  + t 2

d. u + v – t

Exercices

a. Dans un repère orthonormé du plan, dessiner point par point le x

Construire les vecteurs a. u + v + t

Dans le parallélépipède rectangle ABCDEFGH (fig. 15), on définit les vecteurs u = AB, v = AD et t = AE.

fig. 38

Les exercices Connaître permettent de fixer l’essentiel et d’appliquer directement ce que tu as étudié.

C B

fig. 15

b. Au départ de l’un de ces graphiques et sans effectuer de calcul, 2 construire le graphique des fonctions définies par h( x) =   3 x 9 i( x) =   et j( x) = 2 ⋅ f ( x) − 1. 4

x−2

Avec les exercices Appliquer, tu acquiers un « savoirfaire » qui s’appuie sur les énoncés et les méthodes découverts.

Appliquer

c. Pour chacune des fonctions, préciser 1) le domaine

3) les racines éventuelles

4) les asymptotes éventuelles

Vérifier que les points E, M et C sont alignés.

5) les limites en + ∞ et en – ∞.

Points alignés ? Points coplanaires ? a. Dans le cube ABCDEFGH (fig. 16), on considère M, point de rencontre des diagonales du quadrilatère ABGH.

2) l’ensemble image

b. Cinq points A, B, C, D et E de l’espace sont tels que AE + 2 BE = 0 et CE + 3 DE = 0.

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Vérifier que les points A, B, C et D sont coplanaires.

B fig. 16

Exercices

Coordonnées de points, composantes de vecteurs On donne le cube OABCDEFG (fig. 17) de côté 2, sur lequel on a construit un repère orthonormé.

z D

a. Préciser les coordonnées des sommets de ce cube. b. Calculer les coordonnées du point :

Transférer Une application topographique… Les courbes de niveau Lorsqu’on coupe une surface de l’espace par un plan d’équation z = k, on obtient une courbe plane. Cette courbe plane, projetée dans le plan xOy, est appelée courbe de niveau k. Cette représentation est utilisée en géographie pour représenter les reliefs et la profondeur des lacs et océans. Le relief étudié est coupé à intervalles réguliers par des plans horizontaux, qui sont projetés sur le plan de niveau zéro. Lorsqu’on se promène le long d’une courbe de niveau, on ne change pas d’altitude.

3) Q, centre de la face BCGF ;

EN PLAN 1/10 000 ligne de coupe

4) R, centre du cube.

150 145 140 135 130 125 120

Les courbes isothermes et isobares, représentées 115 sur les cartes météorologiques, sont construites sur le même principe ; les premières donnent les points de même température, les secondes les points de même pression atmosphérique.

distance en m 1/10 000

fig. 48

118

3. Calcul vectoriel dans l’espace

G F

Les problèmes proposés dans les exercices Transférer mobilisent les concepts dans des situations variées.

c. Calculer les composantes des vecteurs AB, AC, AG et DB.

EN COUPE

altitude en m 1/1 000

1) M, centre de la face OABC ; 1 2) P, tel que OP = OB ; 4

fig. 17

a. Les figures ci-dessous donnent la représentation, réalisée par un tableur, d’une surface conique et de ses courbes de niveau. Les légendes, à droite des graphiques, permettent de repérer sur les graphiques, les zones comprises entre deux courbes de niveau. Expliquer pourquoi les courbes de niveau sont des cercles concentriques équidistants. 4-5

3-4

4 3

2-3

2 1

1 –1

0 4 –3 –2 –1 –5 –-4 –1 0 –2 –3

–5 5

1-2 0-1 -1-0 -2--1 -3--2

fig. 49

152

4. Géométrie analytique de l’espace

Comment s’y prendre ?

Sommaire

Fonctions exponentielles et logarithmes

Intégrales et primitives

Calcul vectoriel dans l’espace

105

Géométrie analytique de l’espace

121

5. Probabilité

157

Analyse combinatoire

195

Variables aléatoires et lois de probabilités

215

Sommaire

Fonctions exponentielles et logarithmes

L’expression « croissance exponentielle » est souvent utilisée dans le domaine économique, démographique, dans la gestion des déchets, qu’ils soient ménagers ou nucléaires. Pour chacun, elle est l’image d’une croissance très rapide. Mais derrière cette expression se cache toute une famille : les fonctions exponentielles, dont la forme générale est f ( x) = a x. À chaque valeur strictement positive de a correspond une fonction de la famille. Et une telle fonction n’est pas une « fonction puissance » car la variable x est en exposant ! Pour isoler cette variable, il faut disposer de la fonction logarithme, réciproque de la fonction exponentielle ; elle permet d’exprimer la variable x connaissant a x . En remplaçant les multiplications par des additions et les divisions par des soustractions, les logarithmes ont facilité les calculs notamment sur les infiniment grands et les infiniment petits. Dès le xvie siècle, ils ont été utilisés en astronomie, navigation et commerce. Le mathématicien écossais John Napier (1550-1617), dit Neper, fut le premier à publier un traité et des tables de logarithmes. L’Anglais Henry Briggs (1556-1630) publia peu après une table de logarithmes décimaux. La première règle à calcul, basée sur l’échelle logarithmique, apparaît en Angleterre vers 1620. Perfectionnée au cours des siècles, elle reste, jusqu’au milieu des années 1970, l’outil indispensable du scientifique et de l’ingénieur pour effectuer des calculs approchés ; elle est remplacée aujourd’hui par la calculatrice électronique. Les logarithmes n’ont pourtant pas disparu de notre paysage : l’échelle de Richter, la mesure de l’intensité du son en dB (décibel), le pH d’une solution en sont quelques exemples…

Introduction

Exploration 1

Découvrir la réciproque d’une fonction Connaissant l’expression f(x) d’une fonction, est-il possible de définir une autre fonction permettant de trouver x ? A. Du dollar US à l’euro et vice-versa En novembre 2017, la banque affiche 1$US = 0,861 € et présente un graphique (fig. 1) de conversion de l’euro en dollar. a. Écrire l’expression analytique de la fonction de conversion de l’euro en dollar. fig. 1 pour tracer le graphique de b. Utiliser la la fonction de conversion du dollar en euros. Cette fonction est la réciproque de la fonction précédente. Tracer la droite d ≡ y = x et observer les trois graphiques. Quelle propriété peut-on conjecturer à propos des graphiques de ces fonctions réciproques dans le repère donné ?

y $US 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

euros 9 10 x fig. 1

B. Du cube à la racine cubique Pour réaliser les 39 petits cubes nécessaires pour terminer une maquette, François dispose de 20 cm3 de matière première. Il doit fabriquer un moule dans lequel il pourra couler la matière à l’état liquide. Quelles doivent être les dimensions intérieures de son moule ? a. Quelle fonction utilise-t-on pour résoudre les équations de la forme x3 = a ? Représenter cette fonction et la fonction d’expression f(x) = x3 dans un même repère orthonormé. b. Comment, à partir des coordonnées des points de l’une des fonctions, obtenir les coordonnées des points de la réciproque sans effectuer de nouveaux calculs ? c. Justifier que les graphiques obtenus sont symétriques par rapport à la droite y =x. C. Du carré à la racine carrée a. Dans un même repère orthonormé, représenter la fonction f : x → x2 et sa réciproque. Cette réciproque est-elle une fonction ? Justifier. b. À quelle partie de son domaine faut-il restreindre la fonction f : x → x2 pour que sa réciproque soit la fonction définie par y = x ?

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Synthèses 1 et 2 Exercice 1

Croissante ? Décroissante ? A. À 8h ce matin, un échantillon de yaourt contient 8 000 bactéries. Une heure plus tard, le nombre de bactéries présentes dans l’échantillon a quadruplé. a. Combien y a-t-il de bactéries dans cet échantillon à 9h ? à 11h ? à 14h ? b. Modéliser la fonction qui permet de calculer le nombre de bactéries x heures après le début de l’observation. Cette fonction, qui évolue d’une manière multiplicative stable, est dite exponentielle. c. Tracer le graphique de cette fonction exponentielle. d. Si le nombre de bactéries quadruple toutes les 30 minutes, que devient l’expression de la fonction trouvée en b ? B. À l’occasion du salon de l’automobile en janvier 2017, Jules achète une nouvelle voiture full options au prix de 29850 €. a. Sachant qu’une voiture se déprécie annuellement d’environ 15 % pendant les six premières années, modéliser l’évolution du prix du véhicule par une fonction qui permet de calculer la valeur de la voiture x années après l’achat. b. Tracer le graphique de cette fonction exponentielle. Peut-on parler de « bon placement » lors de l’achat d’une voiture ? c. Si la dépréciation continue au même taux, quelle sera la valeur de la voiture 10 ans après l’achat ? C. Lors d’observations, on a constaté que le nombre d’individus d’une population d’insectes doublait de semaine en semaine. On suppose que la population initiale est de 100 insectes. a. Combien y a-t-il d’insectes après 1 semaine, 3 semaines, 6 semaines ? b. Quel était le nombre d’insectes une semaine avant le début de l’observation ? c. Donner une représentation graphique de la fonction qui décrit l’évolution de cette population x semaines après le début de l’observation. d. Écrire une expression analytique de cette fonction et utiliser le graphique pour estimer le nombre d’insectes 10 jours après le début de l’observation. D. Au moment de la coupure d’électricité survenue dans sa région, Pierre a noté la température de son petit logement chauffé par deux radiateurs électriques. Comme la coupure se prolongeait, il a effectué des relevés à intervalles réguliers et consigné les résultats dans le tableau suivant.

Exploration

Heure du relevé

9h30

11h

12h30

14h

15h30

17h

18h30

20h

Température (en °C)

20°

18,2°

16,6°

15°

13,7°

12,5°

11,3°

10,3°

9,4°

a. Représenter les données dans un repère. b. Observer le nuage de points. La situation peut-elle être modélisée par une droite ? Une fonction du second degré ? Une suite géométrique ? Justifier. c. Quelle était la température de l’appartement à 16h ? à 21h30 ? d. Utiliser le graphique pour estimer à quel moment la température était de 10 °C. e. On désigne par x le temps en heures écoulé depuis le début de la coupure. Écrire l’expression de la fonction qui permet de modéliser la température de l’appartement à n’importe quel moment de la journée. Utiliser cette fonction pour vérifier la valeur obtenue en d.

Synthèses 3 à 6 Exercices 2 à 6, 30, 31

Un nouveau nombre Dans le roman Le théorème du Perroquet de Denis Guedj1, Léa et Jonathan se penchent sur ce e dont ils ne savent rien « sinon que c’était la première lettre d’exponentiel. »

Calcule ! Au bout d’un an, tu aurais eu P + P = 2P. Tu aurais doublé ton pécule. Si au lieu de toucher les intérêts à la fin de l’année, tu les avais touchés tous les 6 mois et que tu les aies replacés, au bout d’un an ça t’aurait fait P(1 + 1/2)2. Calcule ! Tu aurais plus que doublé ton pécule : tu aurais 2,25 P.

fait P(1 + 1/4)4. Calcule ! Tu aurais gagné encore plus : 2,441P. Si tu les avais touchés tous les mois et que tu les aies replacés, ça t’aurait fait P(1 + 1/12)12. Calcule ! 2,5996. Encore plus ! Puis, tous les jours : P(1 + 1/365)365. Encore plus ! Toutes les secondes, encore plus ! Et puis, tous les riens du tout, « en continu ». Tu n’en peux plus, tu t’envoles, tu planes, tu te dis que c’est Byzance, que ton pécule pécuple, qu’il va quadrupler, décupler, centupler, millionupler, milliardupler, […] Tes intérêts composés, ils ont eu beau se décomposer, eh bien, à l’arrivée, tu n’as même pas le triple de ton pécule, ni même 2,9 fois plus, ni même 2,8 fois plus, ni même 2,75 fois plus, ni même 2,72 fois plus…

Si au lieu de toucher les intérêts tous les 6 mois, tu les avais touchés tous les trimestres et que tu les aies replacés, au bout de l’année, ça t’aurait

Tu as seulement 2,718281828 !... Mon pauvre John, après toute cette richesse, te voilà seulement e fois moins pauvre qu’au départ ! »

« Quant à e, eh bien, euh ?... Suppose qu’il y a un an, tu aies amassé un beau pécule qui nous permettra de payer notre voyage pour Manaus. Soit P, ce pécule. Tu l’as placé en attendant. Coup de bol, ton banquier t’a proposé un taux d’intérêt mirobolant : 100 % ! Ne rigole pas, ça s’est vu. Pas avec les pauvres, mais avec les riches. Rêve !

1. Le Théorème du Perroquet, Denis Guedj © Éditions du Seuil, 1998, Points, 2000.

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

a. En supposant que le pécule P de départ soit de 1 €, compléter le tableau qui suit. Capitalisation après 1 an 6 mois 3 mois 1 mois 1 jour 1 heure 1 minute 1 seconde

Nombre de périodes sur une année 1 2

Taux périodique

Capital obtenu

100 % 50 % 25 %

2 2,25

365

1  b. Ce tableau permet de conjecturer une valeur de 1 +  lorsque x  x tend vers l’infini. Cette valeur est le nombre « e » découvert par le mathématicien Napier. En donner une valeur approchée au millième. Ce nombre e est la base de la fonction exponentielle népérienne (ou naturelle) exp e : x → e x .

John Napier (1550-1617), mathématicien écossais. Son nom est à l’origine du logarithme népérien.

Synthèse 7 Exercices 15, 16, 32

Retrouver l’antécédent a. Écrire les nombres suivants sous la forme d’une puissance de 10 : 100 ; 10 000 ; 0,1 ; 0,001. b. Curieux et observateur, Olivier a analysé les touches de sa nouvelle calculatrice. Il a constaté que pour les fonctions puissances, c’est via la même touche qu’on obtient les valeurs de x2 et x , x3 et 3 x , ainsi que xn et n x . Il s’interroge alors sur la touche « log » et « 10x » et introduit log 100, log 10 000, log 0,1 et log 0,001. Quel lien peut-il établir entre les résultats qu’il obtient et les réponses trouvées en a ? c. Pourrait-on écrire tout nombre réel comme une puissance de 10 ? À cet effet, utiliser la calculatrice pour obtenir a =log 2 puis 10 effectuer 10a. Répéter la séquence pour log , log 20, log (–7), 7 log 15.

Exploration

d. Dans un repère orthonormé, on donne le graphique de la fonction définie par f(x) = 10x (fig. 2) et un tableau qui indique, à deux décimales près, les coordonnées de cinq points. y

E D

1 C B A –1

Points

f (x) = 10 x

–1

0,1

– 0,3

0,5

– 0,1

0,79

0,1

1,26

0,2

1,58

x fig. 2

1) Ébaucher le graphique de la fonction obtenue en permutant l’abscisse et l’ordonnée des points du graphique de f fig. 2). Cette fonction est appelée fonction logarithme ( –1 en base 10.

Ainsi log 0,1 = – 1 et log 0,79 = – 0,1. 2) Observer la symétrie des graphiques de ces deux fonctions ; écrire l’équation de l’axe de symétrie. Quel lien y a-t-il entre les fonctions f et g définies par f(x) = 10x et g(x) = log x ? Soit les réels r et b (b > 0) tels que b = 10r. Écrire r en fonction de b. Généralisation : toute fonction exponentielle de base a 3) (a ∈  +0 \ {1}) admet une fonction réciproque appelée fonction logarithme de base a, notée loga. On donne y = loga x ; expri1 mer x en fonction de y, puis calculer log 2 4 , log 2 32 , log3 . 27 4) La réciproque de la fonction expe est appelée fonction logarithme népérien ; elle est notée ln. On donne y = ln x ; exprimer x en fonction de y puis calculer ln e, ln 1, ln e2, ln 3 e .

Synthèses 8 et 9 Exercices 7 à 9, 17 à 19

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Logarithme d’un produit, d’une puissance, d’un quotient a. Compléter la deuxième ligne des tableaux ci-dessous et indiquer l’opération correspondant à la flèche sous les tableaux. + –3

–2

–1

1 000

104

105

106

…

× x

0,001

0,01

0,1

100

log x …

Soient x et y deux réels strictement positifs. b. Utiliser les tableaux ci-dessus pour compléter les égalités suivantes : log ( xy ) = …………….

log xn = ……………..

log

x = …………….. y

c. On admet que les propriétés établies ci-dessus sont valables quelle que soit la base a ∈ +0 \ {1}. Compléter les égalités suivantes : log 2 ( xy ) =

log 2 xn =

log 2

ln ( xy ) =

ln xn =

log a ( xy ) =

log a xn =

log a

x = y

x = y x = y

Synthèse 10 Exercices 10, 11, 20 à 24, 33 à 36

Exploration

Une fonction égale à sa dérivée ? L’utilisation d’un logiciel graphique a permis de représenter dans un même repère quelques fonctions exponentielles et leur dérivée (fig. 3 à 6). y

y = 2x

y = 5x

y = (5x) y = (2x)

1 0

fig. 3

fig. 4

y y = 0,3x

y = 0,7x

1 0

1 1

y = (0,3x)

y = (0,7x)

fig. 5

fig. 6

a. Les dérivées des fonctions y = 0,7x et y = 0,3x sont négatives ; pourquoi ? b. On observe que la fonction dérivée d’une fonction exponentielle semble être un multiple de cette fonction exponentielle : (ax) ′ = k · ax. Estimer la valeur de k pour chacune des fonctions dont le graphique est donné et comparer cette valeur avec ln a. c. Quelle valeur faut-il donner à a pour que la fonction exponentielle considérée soit égale à sa dérivée ? d. Écrire l’équation de la tangente au graphique de f (x) = ex en son point de coordonnées (0 ; 1). 8

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Synthèses 11 et 12 Exercices 12, 13, 25 à 28, 37 à 42

Construction et sous-traitance Une entreprise de construction fait appel, pour certains types de travaux, à des sous-traitants. Elle souhaite comparer le chiffre d’affaires réalisé par son personnel et celui réalisé en sous-traitance. Les chiffres d’affaires pour les cinq années étudiées sont consignés dans le tableau ci-dessous. Année

CA propre

CA sous-traitance

86 000

7 900

97 180

13 080

115 400

18 400

140 780

29 100

169 000

52 500

a. Observer les graphiques (fig. 7) et comparer la croissance des CA sur les 5 ans. y

milliers d’euros e

150

d c

100

50 v 0

w 2

y années

fig. 7

b. Vérifier par calcul le pourcentage d’augmentation de chaque CA et comparer le résultat avec la conclusion de l’analyse graphique. Les valeurs initiales des CA étant très différentes, le graphique ne permet pas de comparer à vue la vitesse d’évolution de ces CA, objectif important dans l’analyse économique.

Exploration

Pour visualiser une vitesse d’évolution, on utilise une « échelle logarithmique » sur l’axe des ordonnées. Ce type de graphique s’appelle graphique semi-logarithmique. c. O bserver le graphique (fig. 8) et comparer l’évolution des deux chiffres d’affaires. d. Les calculs effectués en b confirment-ils ou infirment-ils ce que le graphique semi-logarithmique suggère ? Utiliser le graphique ( vantes. CA

fig. 8) pour répondre aux questions sui

euros

100 000

10 000

1 000

100

1 0

5 années

fig. 8

e. Quel est le montant d’un chiffre d’affaires qui se situe à 4 cm de l’origine ? f. À quelle distance de l’origine se situe un chiffre d’affaires d’un montant de 150 000 euros ? g. Les chiffres d’affaires de deux entreprises sont respectivement de 300 000 euros et de 2 500 000 euros. Pendant 4 ans, ces chiffres d’affaires croissent annuellement de 15 %. Comment se représentent ces augmentations sur un graphique semi-logarithmique ? Synthèse 13 Exercices 14, 29, 43 à 48

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Synthèse 1

Qu’appelle-t-on réciproque d’une fonction ? Comment la déterminer ?

a. Définition 1.1 Réciproque d’une fonction f: →

b. Expression analytique de la réciproque d’une fonction y= f x

Exemples y= x=

5 y −1

5 x −1 y = 1+

5 x f

y = x2 x= y

−1

( x) = 1 +

5 x

y=± x f :x→x

c. Graphique de la réciproque d’une fonction

y=x

Synthèse

Exemples y y=x

y = x2

y=1+ 1

y=x

5 x

y= x

5 x–1

1 x

x y=– x

fig. 9

1) f ( x) =

5 x −1

−1

( x) = 1 +

5 x

fig. 10

y = x2

y=± x

Comment procéder pour que la réciproque d’une fonction soit une fonction ? 1.2 Fonction injective f: →

∀ x1 , x2 ∈ dom f : f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2 ∀ x1 , x2 ∈ dom f : x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )

f ( x) = fig. 10

f ( x) = x2

f ( x) = x3

a. fig. 11

5 x −1

g( x) =

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

x=3a

f : R → R : x → x3 f–1 : R → R : x →

(b, a)

1 0

y =3 x

1 1

y=x

(a, b)

y = x3 fig. 11

f ( x) = x

y=± x

f ( x) = x

f ( x) = x2 f

−1

( x) =

y = x2

y=x

f : R+ → R+ : x → x2 f –1 :  + →  + : x → x

y= x 1

fig. 12

Synthèse

g ( x) = – x fig. 13

g( x) = x

–1

y = x2

g : R– → R+ : x → x2 g

–1

y y=x

–

: → :x→ – x (a , b)

1 0

1 (b , a)

y=– x

fig. 13

Comment reconnaître une croissance ou une décroissance exponentielle ?

Exemple

y = P0 ∙ 4x

8P0 ×2 4P0 ×2 2P0 P0

×2 +0,5+0,5+0,5

0,5

x fig. 14

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

1 1

Qu’appelle-t-on fonction exponentielle de base a ?

1.3 Fonction exponentielle de base a, définition a ∈  +0 \ {1} a

exp a

exp a :  →  +0 : x → a x Exemples

1 f ( x) = 2x f ( x) =   2 y 6

f ( x) = 10

y 6 5

y=10x

y=2x

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

5 x

-3 -2 -1 0 -1

fig. 15

1 y=  2 1

7 x fig. 16

Remarques f ( x) = x a f ( x) =

Synthèse

Quelles sont les propriétés des puissances à exposants réels ?

1.4 Propriétés des puissances à exposants réels ∀a, b ∈ 

∀r, s ∈ ar ⋅ a s = ar + s ar

= ar − s

( a ⋅ b)r

(a ) r

= a r ⋅ br

= ar ⋅ s

Quelles sont les caractéristiques graphiques des fonctions exponentielles ?

–3

y 6

–2 –1 0 –1

–3 –2 –1 0 –1

fig. 17

a ∈  +0 \ {1} ∀x ∈  : exp a ( x) = a x dom exp a =  im exp a =  +0

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

–2

fig. 18

( 0 ;1) AH ≡ y = 0 0 < a <1 −∞ +∞

+∞ 

lim a x = + ∞

x→− ∞

1 1

a >1



−∞





lim a x = 0+



lim a x = 0+

x→ + ∞



+∞ +∞

lim a x = + ∞

x→ − ∞

x→+ ∞

Qu’appelle-t-on exponentielle népérienne ? 1  x+  x 

1.5 Nombre d’Euler 1  e = lim 1 +  x→ ∞  x

y = ex

1.6 Fonction exponentielle népérienne

exp e :  →  +0 : x → e x

1 0

fig. 19

Synthèse

Comment définir les fonctions logarithmes ?

1.7 Fonction logarithme de base a

expa ℝ+0

ℝ loga 1.8 Relation de réciprocité

∀a ∈  +0 \ {1} , ∀x ∈  +0 , ∀y ∈  y = log a x ⇔ x = a y Conséquence ∀a ∈  +0 \ {1} , ∀x ∈  +0 : x = alog a 1.9 Fonctions logarithmes usuelles a.

Exemple 1

log r =

1 ⇔ r = 10 2 = 10 2

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

( )

x = log a a x

y = 10x y=x

1 0

1 1

y = log x x

fig. 20

Conséquence

y = ex

y = ln x

1 0

y=x

fig. 21

Synthèse

Quelles sont les caractéristiques graphiques des fonctions logarithmiques ?

y = ax

y=x

y = ax

(s , r)

(r , s)

y=x

y = logax

(s , r) 0

y = logax

fig. 23

fig. 22

(a ∈ 

+ 0

)

\ {1} : log a

 +0

dom log a = im log a = 

AV ≡ x = a >1

0 < a <1

+∞

+∞ +∞



lim log a x = + ∞

x →0 +



lim log a x = − ∞

x→+ ∞

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

−∞



lim log a x = − ∞

x →0 +



lim log a x = + ∞

x→+ ∞

+∞

Quelles sont les propriétés des logarithmes ?

1.10 Propriétés immédiates ∀a ∈  +0 \ {1} , ∀x ∈  +0 , ∀r ∈ log a = log a

1 1

log a a = log a x

1.11 Logarithme d’un produit

∀a ∈  +0 \ {1} , ∀x, y ∈  +0 : log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y Démonstration

( (a

log a ( x ⋅ y ) = log a alog a x ⋅ alog a y = log a

log a x + log a y

)

= log a x + log a y Exemple log 200 = log ( 2 ⋅ 100 ) = log 2 + log 100  0, 301 + 2  2, 301 1.12 Logarithme d’une puissance

∀a ∈  +0 \ {1} , ∀x ∈  +0 , ∀r ∈  : log a xr = r ⋅ log a x Démonstration

(

 log a xr = log a  alog a x 

(

= log a ar ⋅log a x

)  ) r

= r ⋅ log a x Exemple log 16 = log 24 = 4 log 2  4 ⋅ 0, 301  1, 204

Synthèse

1.13 Logarithme d’un quotient

∀a ∈  +0 \ {1} , ∀x, y ∈  +0 : log a

x = log a x − log a y y

Démonstration log a

 alog a x x = log a  log y a a y 

  

= log a alog a x − log a y = log a x − log a y Exemple ln

e = ln e − ln 3  1 − 1, 0986  − 0, 986 3

1.14 Changement de base ∀a, b ∈  +0 \ {1} , ∀x ∈  +0 : log a x =

log b x log b a

Démonstration y = log a x y

log b

= log b

y ⋅ log b a = log b y=

log b x log b a

log a x =

log b x log b a

log a x =

log b a

log x log a

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

log a x =

ln x ln a

Comment dériver les fonctions exponentielles et logarithmes ?

1.15 Dérivée des fonctions exponentielles

( e )′ = e x

( e )′ = f ′( x) ⋅ e

f ( x)

1 1

f ( x)

Exemple

( e )′ = (5x − 3)′ ⋅ e 5 x2 − 3

5 x2 − 3

= 10 x ⋅ e5 x

−3

( a )′ = f ′( x) ⋅ a

( a x )′ = a x ⋅ ln a

f ( x)

⋅ ln a

Démonstration

( a )′ =  e x

( ) ′ =

ln a x

 

( e )′ = e x ln a

= e x ln a ⋅ ln a = e

x ln a

⋅ ( x ln a )′

( ) ⋅ ln a = ax ln a

ln a x

Exemple

(3 )′ = ( x − x)′ ⋅ 3 x4 − x

x4 − x

(

)

⋅ ln 3 = 4 x3 − 1 ⋅ 3x

−x

⋅ ln 3

1.16 Dérivée des fonctions logarithmes 1 x

(ln x)′ =

( ln f ( x) )′ =

f ′( x) f ( x)

Exemple

(

)

′ 2 x2 + 4 4x 2x ′ ln(2 x2 + 4) = = 2 = 2 2 2x + 4 2x + 4 x + 2

)

1 x ⋅ ln a

(log a x)′ =

( log a f ( x) )′ =

f ′( x) f ( x) ⋅ ln a

Démonstration

1 1  ln x ′ x (log a x)′ =   = ln a = x ⋅ ln a ln a   Exemple

( log (2x 3

)

′

+ 4) =

( 2x

)

)′

+ 4 ⋅ ln 3

( 2x

4x 2

)

+ 4 ⋅ ln 3

2x 2

)

+ 2 ⋅ ln 3

Synthèse

Comment calculer une limite avec la règle de l’Hospital ? 0 " " 0

∞ ∞

1.17 Règle de l’Hospital * lim f ( x) =

lim g( x) =

x→ a

lim f ( x) = ± ∞

x→ a

* g ′( x) ≠ f′ x * lim x→ a g ′ x

+∞

lim g( x) = ± ∞ x→ a

−∞

f ( x) f ′( x) = lim x→ a g( x) x→ a g ′( x)

lim

Remarques lim 0 0

x→ a

∞ " ∞

x→+

f x g x

→

x → −∞

x → a+ x → a

Exemples lim

x→ 1

x3 + 4 x2 − 12 x + 7

0 =" " 0 x − 5 x + x + 21x − 18 4

H 

= lim

3 x2 + 8 x − 12 3

x→ 1 4 x

lim

x→ 1

0 =" " 0 x −1

− 15 x + 2 x + 21

ln x 2

H 

= lim

x→ 1

( ln x )′

1 1 1 = lim x = lim 2 = x → 1 x → 1 2x 2 ′ 2x

)

−1

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

−1 12

a∈

+∞ ex e+ ∞ = =" " x→ + ∞ x +∞ +∞

c. lim

′ e ) ( 2x ⋅ e = lim = lim x2

H 

x→ + ∞

( x )′

x→ + ∞

1 1

= + ∞ ⋅ e+ ∞ = + ∞

lim ( x ⋅ log3 x ) = " 0 ⋅ ( − ∞ ) "

x→ 0+

= lim+ x→ 0

log3 x −∞ =" " 1 +∞ x

1 ln 3 = lim − x = 0− x ⋅ = lim+ −1 x→ 0 x→ 0+ ln 3 2 x

H 

Qu’est-ce qu’un repère semi-logarithmique ? Comment lire ou construire une échelle logarithmique ?

fig. 24 log 1 = 0

Synthèse

Les différences d’un nombre au suivant sont de plus en plus grandes mais les écarts de distance par rapport à l’origine sont les mêmes.

log N

1 000 000

100 000

N 100

70 60 50 40 30

1,47

1,3

10 000 1 000 100

0,1 0,01

1 000 se situe à 3 unités au-dessus de l’origine du repère car log 1 000 = 3.

L’origine de l’échelle est 1. Son logarithme est 0. 0,1 se situe à 1 unité de l’origine, du côté négatif, car log 0,1 = – 1.

log N 2

7 6 5 4 3

0,47

0,3

–2 fig. 24

Remarque

Les différences d’un nombre au suivant sont les mêmes mais les écarts de distance par rapport à l’origine sont différents.

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

fig. 25

Outils numériques A. Utiliser un tableur pour reconnaître une fonction exponentielle Remarque Toute fonction exponentielle est définie en 0, mais ne s’annule pas en 0. Des observations effectuées à intervalles réguliers, dans le cadre d’une expérience, ont mené au tableau de données suivant. Moment de l’observation

10h

10h10

10h20 10h30 10h40 10h50

Résultat

125

104,37

89,25

77,04

63,51

56,31 47,14 39,36

34,18

104, 37 = 0, 835 0,855 125

0,863

0,824

0,887 0,837 0,835

0,868

Rapport de valeurs consécutives

11h

11h10 11h20

On observe que, sur des intervalles de temps égaux, les taux de variation sont quasi constants. On peut déterminer un taux moyen de variation à partir de la relation 125 ⋅ a8 = 34,18 dans laquelle on isole a : a8 = a=

34,18 125

34,18 = 0, 8503 . 125

Une fonction modélisant les données pourrait être la fonction f ( x) = 125 ⋅ 0, 8503x , avec x ∈ +. Avec un tableur, on procède de la manière suivante. 1) Introduire les données dans un tableur : on désigne les différents moments de l’observation par la suite 0, 1, 2, 3… 2) Sélectionner les deux colonnes de données et insérer un graphique en nuage de points (points non reliés). 3) Ajouter une courbe de tendance et demander son équation ainsi que le coefficient de détermination R2.

Outils numériques

fig. 26

Remarque La fonction exponentielle proposée par le tableur est donnée sous la forme b ⋅ e k⋅ x ( k > 0 si la fonction est croissante et k < 0 si la fonction est décroissante). Pour l’écrire sous la forme b ⋅ a x , on calcule a = e k . Dans l’exemple ci-dessus, on peut donc écrire f ( x) = 123, 87 ⋅ 0, 8504 x .

B. Utiliser un tableur pour modéliser une décroissance Une substance radioactive se désintègre au cours du temps : elle perd une partie de sa masse. Un laboratoire a étudié l’évolution de la masse d’un échantillon d’une telle substance à intervalles de temps réguliers. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous. Moment de l’observation Masse en grammes

400

300

225

168

126

Les données sont celles d’une série statistique à 2 variables qu’on peut introduire dans un tableur (voir cours de 5e). 1) Introduire les données en deux colonnes. 2) Sélectionner les deux colonnes de données et insérer un graphique en nuage de points (points non reliés). 3) Cliquer (clic droit) sur un point du graphique et choisir « ajouter une courbe de tendance » ; dans « options », choisir « linéaire » et demander d’afficher l’équation et le coefficient de détermination.

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

4) Tenter d’autres courbes de tendance : par exemple « polynomiale », « logarithmique » et afficher l’équation et le coefficient de détermination.

fig. 27

On constate que pour les données ci-dessus, c’est une fonction exponentielle qui modélise au mieux l’observation.

C. Avec Sine Qua Non, utiliser un repère semi-logarithmique pour modéliser une décroissance 1) Pour tracer un repère semi-logarithmique, cliquer sur l’icône (définir le repère) ; sur l’axe des ordonnées, choisir « échelle logarithmique ». 2) Sélectionner l’icône « définir une série statistique double » et introduire les données (voir B. ci-dessus). Choisir « aucune courbe » ; cliquer OK. On observe que les points semblent alignés.

Outils numériques

3) Pour faire apparaître le segment de droite sur lequel les points sont situés, on peut cliquer sur l’icône « définir un schéma » . Ensuite, dans « nouveaux éléments », choisir « point » et définir les points A et B de coordonnées (0 ; 400) et (10 ; 23) sans marque de nom ; ensuite choisir « segment » avec deux points déjà définis (A et B), OK. y

masse en grammes

1000

100

10 0

fig. 28

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Exercices Connaître 1

Réciproques ! a. Tracer ( fig. 29 à 33) le graphique de la réciproque de chacune des fonctions représentées ci-dessous. b. Donner l’expression analytique de chaque réciproque et préciser si cette réciproque est une fonction. y

1 x

0 1

1 0 1

x 1 0 1

fig. 29

fig. 30

x fig. 31

y y 6

3 2

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

1 -4 -3 -2 -1 0 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 x

–2 1

8 x

–3 –4

-2

–5 fig. 32

fig. 33

Exercices

Fonctions exponentielles ou pas ? Observer les graphiques (fig. 34 à 37) des fonctions suivantes. Représentent-ils des fonctions exponentielles ? Si oui, donner une équation cartésienne de ces courbes. y 9

y 6

8 5

7 6

5 4

3 2

2 1 -3 -2 -1 0 -1

1 1

4 x -3

-2

-1

5 x fig. 35

fig. 34

y 7 6 5 4 3 2

x fig. 36

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

-1

fig. 37

Modèle de croissance On donne les expressions de trois fonctions et trois situations. Associer chaque fonction à la situation qu’elle modélise. f1(x) = 2x f2(x) = (1,02)x f3(x) = 2x–1 a. La production d’un bien augmente mensuellement de 2 %. b. Un père donne, aujourd’hui, un cent à sa fille ; il promet de lui donner 2 cents le lendemain, 4 cents le surlendemain, 8 cents le jour suivant et ainsi de suite pendant un certain nombre de jours. c. Dans un étang, un nénuphar double de surface tous les jours.

Fonction exponentielle a. L’expression donnée est-elle celle d’une fonction exponentielle ? Justifier. 1) f(x) = 3x

4) f(x) = – 5x

7) f(x) = 4x+3

2) f(x) = x3

5) f(x) = (sin 2)x

8) f ( x) =

3) f ( x) =

1 4x

1 6) f ( x) =   4

1 x 4

9) f(x) = ex

b. Soit la fonction f ( x) = a x . Déterminer a sachant que : 1) f ( - 2) = 100

 2

2) f   = 4  3 c. Soit la fonction f ( x) = k ⋅ a x . Déterminer k et a sachant que : 1) f (0) = 10 et f (3) =

5 4

2) f ( - 1) = 3 et f (3) = 10

Exercices

À chaque graphique sa fonction exponentielle ! On a dessiné le graphique (fig. 38) de quatre fonctions dans un même repère. Associer chaque expression au graphique correspondant. y f3

f4 f2

a. f ( x) = 10 x b. f ( x) = 10 x + 3 c. f ( x) = 2 + 10 x ( x -1)

d. f ( x) = 10

1 -1 0

fig. 38

Tracer et lire un graphique a. Dans un repère orthonormé du plan, dessiner point par point le x

3 2 graphique cartésien des fonctions f : x →   et g : x →   . 2 3 b. Au départ de l’un de ces graphiques et sans effectuer de calcul, 2 construire le graphique des fonctions définies par h( x) =   3 x 9 i( x) =   et j( x) = 2 ⋅ f ( x) - 1. 4 c. Pour chacune des fonctions, préciser 1) le domaine 2) l’ensemble image 3) les racines éventuelles 4) les asymptotes éventuelles 5) les limites en + ∞ et en – ∞.

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

x-2

Pas besoin d’une calculatrice Calculer les logarithmes suivants. Indiquer les étapes de calcul.

a. log1000

f. log 0, 01

k. log 2 16

b. log100

g. log 0, 001

l. log 2 8

c. log10

h. log 1000

m. log 2 4

1 2 1 q. log 2 8 r. log 2 32

d. log1

i. log 0, 01 × 1000

n. log 2 2

s. log3

e. log 0,1

j. log

(

)

1000 0, 01

o. log 2 1

p. log 2

1 243 t. log5 15625

À chaque graphique sa fonction logarithme ! On a dessiné le graphique de quatre fonctions dans un même repère. Associer chaque expression au graphique correspondant. a. En utilisant la fig. 39

1) f ( x) = log x 2) f ( x) = log x + 2

3) f ( x) = log( x + 3)

4) f ( x) = 1 + log( x - 1)

f4 0

fig. 39

b. En utilisant la fig. 40

1) f ( x) = 10 x + 3

2) f ( x) = log x - 2 3) f ( x) = log( x - 5)

4) f ( x) = 10 x -4

f3 x

1 f4

fig. 40

Exercices

Fonction exponentielle ? Fonction logarithme ? a. Parmi les graphiques suivants (fig. 41 à 44), lesquels correspondent à une fonction exponentielle, lesquels à une fonction logarithme ? Préciser la base. y

1 0

fig. 41

fig. 42

1 0

fig. 44

fig. 43

b. Associer chaque graphique y = g(x) (fig. 45 et 46) à son expression analytique f (x).

y 3

f1( x) = 2 - log( x + 1) f2 ( x) = 2 - 10

2 g3

f3 ( x) = 2 ln x 1

f4 ( x) = log( x + 2)

f5 ( x) = 2e - x f6 ( x) = 2x - 1 f7 ( x) = ln 2 x f8 ( x) = e

- 2 x +1

–1

–1 fig. 45

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

g5 y 4

3 g7

1 g6 –2

–1

fig. 46

Vérifier graphiquement une propriété La fig. 47 fournit les graphiques des fonctions définies par f (x) = log x, g(x) = log x3 et h( x) = log x . a. Repérer le graphique de chaque fonction. y E A 1 B C D 0

F G H x

fig. 47 b. Compléter : AD = .... BD

EH =.... FH

CD = .... BD

GH = .... FH

c. Énoncer la propriété des logarithmes ainsi traduite graphiquement. Exercices

Égal ou différent ? d. log 3 ...

b. log 3 ... log 6 - log 2

e. log x- 1 ... log( - x) 1 f. - log ... log 5 5

c. log( - 5) ... - log 5

log 6 log 2

a. log x- 1 ... ( -1) log x

Quelques limites a. Dans un même repère, tracer les graphiques des fonctions définies par f (x) = e x, g(x) = x2, h(x) = x3 et i (x) = ln x. b. Utiliser les graphiques pour estimer les limites suivantes. 1) lim

x→ + ∞

ex x3

2) lim

x→ +∞

ln x x2

c. Utiliser un tableau de valeurs pour estimer les limites suivantes.

(

)

1) lim x ⋅ e x x→ - ∞

2) lim ( x ⋅ ln x ) x→ 0

Utiliser des notions connues a. Utiliser la définition du nombre dérivé et un tableau de valeurs pour vérifier (e x)′ = e x. b. Donner l’équation de la tangente au graphique de la fonction définie par f (x) = ln x en son point de coordonnées (1 ; 0). c. Vérifier que la tangente au graphique de la fonction définie par f (x) = ln x en son point de coordonnées (e ; 1) passe par l’origine.

Échelle logarithmique a. Sur la fig. 48, les nombres de 1 et 100 000 sont placés sur une échelle logarithmique. Le point A se situe à 2,5 unités au-dessus de l’origine du repère. Quel est le nombre correspondant ? Le point B se situe à 4,75 unités au-dessus de l’origine du repère. Quel est le nombre correspondant ? b. Sur une échelle logarithmique graduée de –5 à 10, porter les nombres suivants : 10 ; 10 000 ; 5 000 000 ; 235 ⋅ 107 ; 0,001. c. Tracer le graphique de y = x2 dans un repère semi-logarithmique.

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

N 100 000 B

log N 5

10 000

1 000 A 100

fig. 48

Appliquer 15

Transformations graphiques a. Dessiner dans un repère orthonormé le graphique de la fonction exp e : x → e x . b. Par transformations graphiques, tracer ensuite le graphique des fonctions définies par les expressions suivantes. 1) y = e x -1

2) y = e2 x

4) y = 3 ⋅ e x

3) y = e 2

5) y = e x + 1

Équations exponentielles a. Exercices résolus Exemple 1

Exemple 2

3x +1 = 12 - 3x + 2

e3 x +1 -

3x +1 + 3x + 2 = 12 3x ⋅ 3 + 3x ⋅ 32 = 12 x

3 (3 + 9) = 12 3x = 1

3 x +1

e3 x +1

e2 1

Exemple 3 e2x + ex – 2 = 0

Posons t = ex ; l’équation devient t2 + t – 2 = 0

e2 = e -2

D=9

3 x + 1 = -2

x = -1

-1 ± 3 = 2

1 -2

3 =3

Donc

x=0

• t = 1 ⇔ ex = 1 ⇔ x = 0 • t = – 2 ⇔ ex = – 2 (impossible) S = {0}

S = {– 1}

S = {0}

b. Résoudre les équations suivantes 11) 42x = 2

1) 2x = 16

6) 2x = 3 4

2) 5x = 1

3 2 7)   = 2 3

12)

3) 3x = 243

8) 10 x = 0, 01

13) 144 x = 2 3

4) 3x = 3

9) 8 x = 2

14) 3

5) 5x =

5 5

10)  5  = 0,16 2

8 x = 0,125

= 81

15) 43- x = 128

Exercices

16) e

17) e3 x +1 = 18)  5    3

 4 22)   = 0, 5625  3

20) 3x – 3x + 5 = 27

23) e2 x + 2 e x - 3 = 0

21) 102 – 3 x = 0,001

24) 4 x - 10 ⋅ 2x + 16 = 0

x2 - 3 x

3 =  5

2 x-2

1 19) 16 = 2 x

Graphiques de fonctions logarithmiques Associer chaque graphique (fig. 49 à 52) de fonction logarithmique à son expression analytique. f1 ( x) = log3 x

f2 ( x) = log3 ( x - 1)

f3 ( x) = log3 x - 1

f4 ( x) = 2 log3 ( x + 1)

fig. 49

1 1

fig. 51

fig. 50

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

fig. 52

Avec une calculatrice Calculer au dix millième près : a. 100,75 b.

103 4

log 21 log 57

g. log174 h. log

f. 3 × log 57

i. ln e- 5

c. 10 5

21 57

e. log(57 × 3)

Le pH en chimie Les chimistes déterminent l’acidité d’une solution aqueuse par son potentiel Hydrogène, c’est-à-dire sa concentration en ions H+ ou H3O+. Le pH varie de 0 à 14 et la concentration en ions H+ varie de 1 mole/ litre à 0,00000000000001 mole/litre. Un produit dont le pH est 7 est dit « neutre » ; si le pH est supérieur à 7, il s’agit d’une « base » ; si le pH est plus petit que 7, il s’agit d’un « acide ». Le graphique (fig. 53) illustre la relation entre la concentration en ions H+ et le pH. Plus la concentration en ions H+ est élevée, plus le pH diminue et plus l’acidité de la solution est forte. pH

[H3O+] 1 à 25 °C

12 13 14

10–1 10–2 10–3 10–4 10–5 10–6 10–7 10–8 10–9 10–10 10–1110–1210–1310–14 Acidité croissante

Point de neutralité

Acidité décroissante fig. 53

On constate par exemple que le cola, avec une concentration en ions H+ de 0,0031623 mole/litre et un pH de 2,5, est plus acide que l’eau. Les chimistes mesurent la concentration en ions H+ pour déterminer le pH par la formule pH = – log C dans laquelle C est la concentration en ions H+. a. Quelle est l’expression de la fonction qui permet de calculer la concentration en ions H+ quand on connaît le pH ?

Exercices

b. Rechercher les concentrations en ions H+ des produits repris dans le tableau. Substance

Acide chlorhydrique molaire

Acide gastrique

Jus de citron

2,4

Cola

2,5

Vinaigre

2,9

Jus d’orange ou pomme

3,5

Bière

4,5

Café

Thé

5,5

Lait

6,5

Eau pure

Sang

Concentration

0,0031623 mole/litre

0,00000001 mole/litre

7,4

Eau de mer

Savon

Exprimer autrement a. Sachant que log2 x = r, exprimer en fonction de r 1) log 2 x2

2) log 2 2x

3) log 2

x3 32

4) log 2 3

1 x2

b. Simplifier l’écriture des expressions suivantes. 5) log144 2 3

9) ln e - ln e2 -

2) e1+ln 3

6) 3 ln e4

10) e3 ln 2 + e- ln 5 - (ln e)2

3) log 1000

7) ln(ln e)

11) ( e2 )ln 3

4) log 5 0, 64

8) ln e

12) ln 4 + ln 5 + 2 ln 6 - ln 8 - ln 9 - ln 10

1 1 + ln ln e e

1) eln 5

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Sans calculatrice ! a. Connaissant log 2 = 0,30103, calculer sans machine. 1) log 8

3) log 4000

5) log 2048

2) log 0, 0002

4) log 5

6) log 125

b. On donne les valeurs arrondies de deux logarithmes : log a 25 = 3, 308 et log a 321 = 5, 932. Calculer les logarithmes suivants. 1) log a

25 321

2) log a 253

3) log a 321

4) log a 3

25 321

5) loga 625a3

Équations logarithmiques a. Exercices résolus Exemple 1

Exemple 2

log x 5 = 0, 5 CE : x ∈  +0 \ {1}

2 ln 2 + ln( x2 - 1) = ln(4 x - 1)

CE : 1) x2 - 1 > 0 2) 4 x - 1 > 0

x2 = 5

x >1

x = 25

ln 22 ( x2 - 1) = ln(4 x - 1)

S = {25}

4( x2 - 1) = 4 x - 1

Exemple 3

4 x2 - 4 - 4 x + 1 = 0

ln 2 x = ln 3 CE : 2x > 0

4 x2 - 4 x - 3 = 0 D = 64

x>0 2x = 3 x=

3 2

x1 =

3 1 et x2 = - (à rejeter) 2 2 3 S=  2

3 S=  2

b. Résoudre les équations suivantes (a ∈ +0 \ {1}) Série 1

(

)

1) log x 125 = 3

4) log a x = 1

7) log 4 x2 - 1 = 0

2) log x 2 = -2

5) log x 4 =

1 4

8) ln ( x + 2) = ln 3

3) log x 0, 4 = 2

6) log x 3 x = 2

9) log 2 ( log x 16 ) = 2

Exercices

Série 2

(

7) log 7 = log x3 - 1 - log ( x - 1)

2) ln x ⋅ (1 - ln x ) = 0

8) 1 + log ( 4 x - 2) = log 40

3) log ( x + 3) + log 3 = log 12

9) log3 x + log3 ( x - 8 ) = 2

4) log ( x - 2) + log ( x + 4 ) = 2 log 4

10) 2 ln ( x + 1) = ln 3 + ln ( 2 x - 1)

5) ln ( x + 2) + ln ( x + 1) = ln 2

11) ln ( x + 2) + ln ( - x ) = ln

(

)

6) 4 log x = log x2 - 2 + log 8

)

1) ln (1 - x ) = 1

(

)

12) log 2 2x +1 - 1 = 2 x

3 4

D’autres équations exponentielles a. Exercices résolus La résolution de certaines équations exponentielles nécessite l’utilisation des logarithmes. Voici deux exemples. Exemple 1

Exemple 2

12 ⋅ e1 - 3 x + 5 = 41

3x + 4 = 21 - 3 x

12 ⋅ e1 - 3 x = 36

3x ⋅ 34 = 2 ⋅ 2 - 3 x

e1 - 3 x = 3

3x ⋅ 23 x = 2 ⋅ 3 - 4

ln e1 - 3 x = ln 3

x log 3 + 3 x log 2 = log 2 - 4 log 3

3 x = 1 - ln 3

x ( log 3 + 3 log 2) = log 2 - 4 log 3

1 - ln 3  - 0, 0329 3

log 2 - 4 log 3  -1,1646 log 3 + 3 log 2

S = {- 0, 0329}

S = {-1,1646}

b. Résoudre les équations suivantes Série 1 1) 10 - x = 5

6) 4 x = 34

2) 8 = 1 + e x

7) 7 x - 2 = 3

3) 10 x+ 3 = 7, 3

8) 23x - 100 = 0

5 = 10 - e2 x 3

5) 3 - 10 x = 1

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

9) e3 x - 4 = 0 10) 4 e x = 0

Série 2 1) 3x + 3x +1 = 4 2) 2x + 2x -1 = 3) 5x + 3 - 5x +1 4) 2e

5 2 = 3000

- 7e + 3 = 0

7) 2e3 x - 9 e2 x - 2e x + 9 = 0

13) 5x +1 + 2 ⋅ 5- x = 7

8) 9 x - 30 ⋅ 3x + 81 = 0

14) 2x -1 + 21- x =

9) 3x + 10) e

2 3

15) 3x + 4 = 21-3 x

5 2

( )

2  1 1 16) 64 x ⋅   = 2x 2 8

- 15 ⋅ e-2 x = 2

5) e4 x - 3e2 x - 4 = 0

11) 2x + 3 + 4 x +1 = 320

17) 8 ⋅ 51-3 x + 5 = 21

6) 54 x - 29 ⋅ 52 x + 100 = 0

12) 81x + 811- x = 30

18) 4 x - 3

1 2

- 4x

Équations en mélange… a. Résoudre les équations suivantes Série 1 1) 5 ⋅ 10 x − 3 = 10 x

7) 4 ⋅ 2x = 0, 25

13) log ( 5 − x ) = log x + log ( x + 3)

2) 12 ⋅ e1 − 3 x + 5 = 41

8) 0, 5x − 1 = 2

14) 2 ln 2 x + 7 ln x − 4 = 0

3) 27 x =

1 3

9) x0,5 =

4) 11x − 3 = 7 5) 1 +

3 x2

10) 3

=9 6

6) 3 ⋅ 2x +

1 8 ( 2x )

15) e2 x + 2e x − 3 = 0

16) 3x + 1 + 18 ∙ 3–x = 29

= 243

x2 − 3 x

3 =  5

2x − 2

11) log3 ( log x 64 ) = 1

5 17)   3

12) log(x + 3) = –2

18) 2 ln 2 x − 5 ln x − 3 = 0

Série 2 1) ln ( 2 - x ) = 2

7) log 2 ( 3 x + 1) = 2

2) 4 x = 3

3) log x + 3 ( 2 x - 1) = 1 4)

1 52 x

-x

)(

x-1

x -1 x 3 +4

10) log6 ( x + 3) + log6 ( x - 1) = 1

= 1252- x

11) 2-3 x +1 - 1 = 0

5) e x+1 = 5 6)

(e )

)

12) ln ( x + 1) - ln ( x - 5) = 3 ln 2

+ 1 e2 x - 1 = 0

b. Les deux équations suivantes sont-elles équivalentes ? Justifier. 1) ln ( x - 2) = 1

2) ln ( x - 2) = 2 2

Exercices

Fonction dérivée Préciser le domaine et calculer la dérivée des fonctions définies par leur expression. Série 1 2 e. f ( x) = x ⋅ e

a. f ( x) = e3 x

(

b. f ( x) = e x

f. f ( x) = ln 3 x - x2

c. f ( x) = 7 x

g. f ( x) = log 4 + x2

(

)

i. f ( x) = 34 x - 1

(

) )

j. f ( x) = ln x + 1 k. f ( x) = ln ( x + 1)

h. f ( x) = log3 ( 2 x + 7 )

l. f ( x) = e x ⋅ ln x

e. f(x) = ecos x

i. f ( x) = ln x

b. f(x) = log0,5 (x2 – 5 x + 6)

x f. f ( x) = e x-3

j. f ( x) = log 4 1 - x2

c. f(x) = ln2 (x + 4)

g. f(x) = e2x + 2 e–x

k. f ( x) =

d. f(x) = ln (x + 4)2

h. f ( x) = x2 ⋅ ln ( x + 1)

l. f ( x) = 2

d. f ( x) = e x - 1 Série 2 a. f ( x) =

ln x 2x

ex + 3 2x x2 - 1

Série 3 a. f ( x) = e x - 1

(

)

3x + 2 3x - 2

i. f ( x) = log 2

b. f ( x) = log 2 x - 1

f. f ( x) = ( ln x ) - ln x

c. f ( x) = log3 x - 1

g. f ( x) =

d. f ( x) =

e. f ( x) = ln

1 e2 x - 5 e x

1 3x -1

h. f ( x) = x ⋅ ln x - x

1 j. f ( x ) =   2

1- x 1+ x

3 x2 - x

k. f ( x ) = log3 (2 x2 + 1) l. f ( x ) =

ex ex + 1

Dérivée et croissance Étudier la croissance des fonctions définies par les expressions suivantes a. f ( x) = e1 - x

c. f ( x) = ln ( 3 x - 5)

e. f ( x) = e- x

b. f ( x) = 2 log 1 x

d. f ( x) = x ⋅ e x

f. f ( x) = x2 ⋅ e x

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Limites et théorème de l’Hospital Calculer les limites suivantes et appliquer le théorème de l’Hospital si nécessaire. Série 1 j. lim

- x2

k. lim

d. lim 72 x + 3

g. lim ( 0, 35)

b. lim 2- x

e. lim 4 x

h. lim ( 0, 5)

x→+ ∞

x→- ∞

1- x

c. lim ( 0, 35)

x→ + ∞

e x→+ ∞ x

f. lim 2- x

x→- ∞

i. lim

x→- ∞

ex x→- ∞ x

1- x

a. lim 4 x

x→+ ∞

x ex

(

l. lim xe- x

x→+ ∞

)

Série 2 a. lim

x→+ ∞

b. lim

x→+ ∞

c. lim

x→± ∞

1- x

ex x

d. lim e x

g. lim log 1 x

x→+ ∞

e2 x

x→- ∞

e. lim ln ( 3 x )

h. lim

f. lim log3 x2

i. lim+

x→+ ∞

e x - 1 x

e +1

x→- ∞

ln x

k. lim

x→ + ∞

x→- ∞

j. lim

x→+ ∞

ln x e

x→ 0

l. lim

x→+ ∞

3x x3 3x x3 2x 2x

Graphique de fonction dérivée Associer chaque fonction f donnée par son expression avec le graphique (fig. 54 à 57) de sa dérivée g. f1 ( x) = x ⋅ e x f3 ( x) =

f2 ( x) =

ex + e - x 2

ln x x

f4 ( x) = 2 x ⋅ ln x

y g1(x)

1 0

x 1 0 fig. 54

g2(x) 1 x fig. 55

Exercices

y y

g3(x)

g4(x)

1 0

fig. 56

fig. 57

Évolution de la population mondiale L’axe horizontal de ce graphique ( fig. 58) porte sur une période qui s’étend de l’an – 65 000 à l’an 5 000. L’axe vertical indique l’effectif de la population mondiale. Pour représenter une telle variation de la population, l’axe vertical est gradué selon une échelle logarithmique. N 10 milliards

8 6 4

log N 10

2 1 milliard

8 6 4

2 100 millions

8 6 4

2 10 millions

8 6 4

2 1 million

8 6 4

2 100 000

– 60 000 – 50 000 – 40 000 – 30 000 – 20 000 – 10 000

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

0 5 000

fig. 58

a. Quelle est la population mondiale en l’an – 65 000, en l’an 2 000 ? b. Le graphique donne l’impression que les croissances entre – 40 000 et – 30 000 d’une part, entre – 8 000 et – 3 000 d’autre part, sont à peu près les mêmes. Est-ce vrai ? Comparer les croissances absolues et les taux de croissance.

Transférer 30

Des millions de disques vendus ! Un célèbre morceau de rock a été vendu à des millions d’exemplaires. Le nombre de disques vendus est donné par le tableau suivant. Année Disques vendus (en millions)

1980

1990

2000

2010

15,6

20,3

26,4

a. Le nombre de ventes suit-il une croissante exponentielle ? Justifier. b. Si oui, écrire l’expression analytique de la fonction qui modélise cette situation. Indication x = nombre de dizaines d’années depuis 1980 c. Que devient l’expression lorsque x s’exprime en nombre d’années écoulées depuis 1980 ? d. En supposant que le nombre de disques vendus progresse de la même manière, estimer ce nombre pour 2017, pour 2020.

Des nénuphars encombrants…

Dans un étang, un nénuphar double de surface tous les jours. On décide d’intervenir lorsque le huitième de la surface de l’étang sera recouvert. Si le nénuphar recouvre et étouffe l’étang en quatre vingt jours, quand faut-il intervenir ?

Exercices

La chaînette Entre les poteaux distants d’une portée p, le fil se courbe en forme de chaînette sous l’effet de sa propre masse (effet de la pesanteur). C’est la forme prise par les câbles des lignes à haute tension. L’équation de la courbe en forme de chaînette est de la fae x + e- x mille . 2 Construire le graphique de cette fonction au départ de la fig. 59. y 6 5 4 3 2 1 –2

–1,5

–1

–0,5

0 –1

0,5

1,5

fig. 59

Problèmes financiers a. On place 100 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,75 %. 1) Combien d’années sont-elles nécessaires pour que la valeur acquise par ces 100 euros dépasse 160 euros, 300 euros ? 2) Quel doit être le taux d’intérêt si l’on souhaite que ce capital de 100 euros double en 10 ans ? b. La valeur acquise V juste après le dernier versement par une suite de n versements annuels a égaux placés au taux d’intérêt composé i est donnée par V = a

(1 + i )n - 1 i

. Combien

de temps faut-il pour constituer un capital d’au moins 10 000 euros si a = 500 euros et i = 3 % ? c. Un ordinateur se déprécie de 22 % par an. Combien de temps après l’achat aura-t-il perdu la moitié de sa valeur ? 50

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Pas de roue de secours1 ! Les membres d’une organisation humanitaire circulent dans le désert. En mesurant la pression des pneus de leur véhicule tout terrain, ils s’aperçoivent que l’un des pneus a une fuite. Malheureusement, la roue de secours est inutilisable. Ils partent aussitôt vers le village le plus proche situé à une heure trente de route. On admet que l’expression f ( t) = 1 + e1 - t donne la pression du pneu percé, exprimée en kg/cm2, à l’instant t exprimé en heures. L’origine du temps est le moment où le véhicule se met en route. a. Tracer le graphique de la fonction f, pour des valeurs de t comprises entre 0 et 4. Faire apparaître sur le graphique les constructions utiles permetb. tant de répondre aux questions suivantes : quelle est la pression du pneu percé au moment où l’équipe se met en route ? Quelle sera la pression de ce pneu 45 minutes plus tard ? c. Pour rejoindre le village, le véhicule doit emprunter une piste caillouteuse sur laquelle la pression du pneu percé ne doit pas être inférieure à 1,5 kg/cm2. L’équipe pourra-t-elle rejoindre ce village en voiture ? (Justifier la réponse.) d. Déterminer par calcul le temps durant lequel le véhicule aurait pu rouler jusqu’à ce que la pression du pneu soit égale à 1,5 kg/cm2.

Des kilos à perdre Un acteur a dû prendre 30 kilos pour les besoins d’un rôle dans un film. Après le tournage, il consulte un médecin pour perdre au plus vite les kilos superflus. Le régime sévère proposé lui fera perdre 25 % des 30 kg le premier mois et ensuite, par mois, 25 % des kilos encore en surplus. a. Modéliser la fonction qui permet de calculer la perte de poids de mois en mois. b. Tracer le graphique de cette fonction. c. Combien de kilos l’acteur aura-t-il perdu après 7 mois ? d. Combien de mois lui faudra-t-il pour perdre les 30 kilos (à 400 grammes près) ?

1. Énoncé du Bac.

Exercices

Comparer des croissances de population En 2017, le taux de croissance2 de la population en France est de 0,39 % et au Burundi de 3,25 %. Si ce taux de croissance se maintient, combien de temps (années, mois et jours) faudra-t-il pour que la population de chacun de ces pays double ?

Les frettes de guitares Une corde vibrante émet un son caractérisé par sa fréquence. Beaucoup d’instruments de musique sont fabriqués sur ce principe (piano, guitare, violon…). La fréquence du son émis est d’autant plus élevée que la corde est courte. Si une corde émet une note n, la même corde deux fois plus petite émettra la même note n mais à l’octave3 supérieure. Entre ces deux notes se situent les sons composant la gamme. Depuis Jean-Sébastien Bach, on utilise une gamme de 7 notes (do, ré, mi, fa, sol, la, si) réparties en 12 demi-tons. De nombreuses observations ont conclu qu’à l’intérieur de la gamme f le rapport de fréquence entre deux demi-tons successifs n +1 fn doit rester constant. Partant de cette constatation, on peut tirer une règle mathématique permettant de calculer la position des frettes d’une guitare. Soit l1 la longueur de la corde vibrante quand le doigt est posé sur la première case en partant du haut du manche ; d’une manière analogue, on définit l2, l3, l4, …, l12. La longueur de corde lorsqu’on joue la corde à vide est notée l0. l1 l2 l = = ..... = 12 = q . l0 l1 l11 Lorsqu’on réduit la longueur de la corde de moitié, on obtient l’octave de la note fondamentale, soit une note plus haute de douze demi-tons. Cette note correspond à la 12e frette d’un manche de guitare, d’où 1 l12 = l0 . 2 a. Déterminer q et ln. b. En utilisant la relation établie pour ln, calculer l1 et l2 (à 10 - 3 près) sachant que la longueur d’une corde est 63 cm. c. Une frette se situe à 47,196 cm du chevalet ; de quelle frette s’agit-il ? 3 d. Vérifier que l9  l0 . 5 2. Source : CIA World Factbook. 3. L’octave est le plus petit intervalle séparant deux notes de même nom.

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

frette

Immobilier Un couple a payé 180 000 € pour l’achat d’une maison en 2010. On estime à 5,5 % l’augmentation annuelle de valeur de l’immobilier. Pour des raisons professionnelles, ils doivent s’expatrier en 2017. À quel prix peuvent-ils espérer raisonnablement vendre leur habitation ? (Arrondir la réponse aux milliers.)

Offre exceptionnelle ! Une entreprise décide d’offrir une promotion exceptionnelle pour relancer ses ventes. Le service d’étude modélise l’évolution des ventes consécutives à cette publicité par la fonction V(t) = 40(t3 · e– t) dans laquelle V(t) est le total des ventes en milliers d’euros et t le nombre de mois écoulés depuis le lancement de la campagne. Après combien de mois les ventes seront-elles maximales ?

Campagne publicitaire a. Le pourcentage de population répondant à la publicité d’un nouveau produit t jours après son lancement sur le marché est donné par p( t) = 1 - e - 0,2t . Le nombre de clients potentiels s’élève à 10 millions de personnes et chaque réaction positive à la publicité rapporte en moyenne 0,70 € à la compagnie. Les coûts fixes entraînés par la publicité sont de 30 000 € et les coûts variables s’élèvent à 5 000 € par jour de diffusion de la publicité. 1) Déterminer la valeur de p(t) lorsque t prend de grandes valeurs et interpréter le résultat. 2) Quel est le pourcentage de la population qui réagit après 10 jours de publicité ? 3) Quelle est la fonction coût C(t) ? 4) Quel est le bénéfice net après 28 jours de publicité ? b. Durant une campagne de promotion, les ventes mensuelles d’un 800 ; t est le produit augmentent suivant le modèle V ( t) = 1 + 3e- 0,5t nombre de mois écoulés depuis le début de la campagne. 1) Combien de mois faut-il, depuis le début de la campagne, pour que le volume des ventes soit doublé ? triplé ? 2) Quel est le volume de vente maximum ? Exercices

Marqueur radioactif Un marqueur radioactif est injecté à un patient afin d’améliorer la lisibilité de certaines radiographies. La dose injectée est habituellement de 35 unités (microcuries). À cause de la désintégration radioactive, le dosage résiduel au temps t est D( t) = 35 ⋅ 10 - 0,0018t dans laquelle t exprime le nombre d’heures écoulées depuis l’injection. L’efficacité du produit n’est avérée que si 20 unités sont présentes dans le corps au moment de la radiographie mais il existe un risque médical dès qu’il y a plus de 60 unités dans le corps. Un patient est hospitalisé pour une durée de 9 jours et doit pouvoir être radiographié à tout moment. Il reçoit une dose au début de son hospitalisation. a. Combien d’heures après cette première dose pourra-t-il en recevoir une deuxième ? b. Après combien d’heures faudra-t-il lui injecter une deuxième dose ?

Radioactivité Les éléments constitués d’atomes ayant des noyaux instables sont dits radioactifs ; lorsque ces noyaux instables changent d’état (se désintègrent), ils émettent une énergie considérable. L’énergie produite par une désintégration radioactive peut être utilisée à la production d’électricité, à des fins médicales ou militaires mais peut aussi avoir des effets désastreux sur l’homme, la nature et les matériaux… La désintégration radioactive est la réduction du nombre de noyaux radioactifs (instables) dans un échantillon. Les éléments radioactifs se désintègrent suivant la loi de désintégration N( t) = N0 ⋅ e - lt dans laquelle N0 désigne le nombre de noyaux radioactifs présents à l’instant t0 = 0 ; N(t) désigne le nombre de noyaux radioactifs présents à l’instant t ; l est la constante de désintégration radioactive, c’est-à-dire la probabilité de désintégration d’un noyau par unité de temps. Les physiciens appellent période ou demi-vie d’un échantillon radioactif, notée t1 , la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux 2

radioactifs initialement présents dans l’échantillon soient désintégrés.

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

a. Montrer que la demi-vie d’un élément radioactif est liée à ln 2 sa constante de désintégration par la relation t1 = . l 2 b. Calculer le temps de demi-vie du Polonium4 dont la constante de désintégration vaut 5,8 · 10–8 par seconde. Donner la réponse en jours. c. Le 26 avril 1986, un accident à la centrale nucléaire de Tchernobyl en Ukraine, provoque l’explosion d’un des réacteurs, libérant une très grande quantité de radioéléments. Ce « nuage radioactif » touche le nord-ouest de l’Europe et s’oriente ensuite vers le sud, touchant l’Europe centrale ainsi que le nord de la Méditerranée et les Balkans. Parmi les éléments radioactifs libérés dans l’atmosphère figurent le Césium 134 et le Césium 137. Déterminer la constante de désintégration du Césium 134 et du Césium 137 sachant que leur période vaut respectivement 2 ans et 30 ans.

Pierre et Marie Curie

d. Combien de temps faudra-t-il pour que 99 % du Césium 134 et du Césium 137 aient disparu ?

Maintenance Une entreprise est équipée d’un parc de machines-outils ; l’évolution du coût de maintenance est décrite par le graphique (fig. 60). Soit t le temps écoulé en années depuis une année de référence et f(t) le coût de l’entretien. a. Trouver une fonction de la forme f ( x) = k ⋅ at exprimant l’évolution du coût de maintenance. b. En combien de temps ce coût aura-t-il quadruplé ? f (t)

1 0

fig. 60

4. C’est le premier élément découvert par Pierre et Marie Curie en 1898 dans leurs recherches sur la radioactivité. Le mot polonium a été ainsi choisi en hommage aux origines polonaises de Marie Skłodowska-Curie.

Exercices

Décibels Surprenant mais vérifiable : lorsqu’on double l’intensité d’un appareil producteur de son, on perçoit à peine l’augmentation de niveau sonore ! Ainsi, par exemple, si un avion émet 120 dB au décollage, deux avions identiques décollant ensemble émettent 123 dB. Ou encore, un amplificateur qui multiplie un son par 100 ajoute 20 dB au son initialement émis. Dans le tableau suivant figurent ces observations complétées par d’autres résultats. Coefficient de variation d’intenI sité Vi = I0 Variation du nombre de décibels

0,5

100

1 000

10 000

– 3 dB

3 dB

10 dB

13 dB

20 dB

30 dB

40 dB

Le niveau sonore L (mesuré en décibel dB) est lié à l’intensité du son exprimée en watt/m2 (puissance acoustique sur une surface). Le coefficient de variation d’intensité est le rapport d’une intensité sonore I à une intensité sonore de référence I0 appelée seuil d’audibilité. a. Calculer le logarithme décimal de la variation d’intensité ; comparer les résultats obtenus à la variation du nombre de décibels et en déduire la formule qui permet de calculer le niveau sonore L en fonction de Vi.  I  b. Représenter la fonction L = f   dans un repère semi-logarith I0  I mique. Pour quelle valeur de , L est-elle égale à 18 dB ? À quel I0 niveau sonore (en dB) correspond une intensité de 80 I0 W/m² ? c. Un porte-voix permet de multiplier par 5 l’intensité de la voix. Calculer le gain en décibels. d. Transformer la formule pour déduire celle de l’intensité sonore I en fonction du niveau sonore L. Sachant que I0 = 1,0 × 10–12 W/m2, calculer l’intensité sonore admise au parc Walibi sachant que la réglementation impose un niveau de bruit compris entre 45 et 55 dB. e. Deux instruments émettent chacun un son respectivement de 60 dB et de 40 dB. Quel est le niveau sonore atteint lorsque les deux instruments sont joués ensemble ?

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Lecture de graphique en échelle semi-logarithmique Le graphique (fig. 61) représente l’évolution des émissions de dioxyde de carbone, du PIB et de la population de la France depuis 1820 (base 100 en 1820).

fig. 61

a. Par lecture de ce graphique (fig. 61), compléter les tableaux suivants : Année

1896

1923

1930

1934

1940

1950

1962

1896

1923

1930

1934

1940

1950

1962

Montant du PIB Année Emissions de CO2 Par combien a été multiplié le PIB

Par combien ont été multipliées les émissions de CO2

entre 1896 et 1923 entre 1923 et 1930 entre 1930 et 1940 entre 1940 et 1950 entre 1950 et 1962 entre 1962 et 2008

Que peut-on en conclure ? b. La différence des valeurs trouvées pour 1950 et 2008 correspondelle au taux d’évolution du montant du PIB entre ces deux dates ? Expliquer puis donner le taux correct. Exercices

Tremblement de terre Chaque jour des tremblements de terre plus ou moins importants secouent notre planète. À l’annonce d’un séisme, on parle toujours de sa magnitude sur l’échelle de Richter. Cette échelle, créée par Richter en 1935, permet de calculer la magnitude d’un séisme à partir de l’énergie émise au foyer sous forme d’ondes et de comparer les séismes entre eux. C’est une échelle logarithmique : lorsque l’énergie libérée par le séisme est multipliée par 10, la magnitude augmente d’une unité. On admet généralement qu’un séisme de magnitude 5 dégage une énergie équivalente à celle de la bombe atomique lancée sur Hiroshima en 1945.

Amatrice, en Italie (août 2016)

Voici les magnitudes de quelques séismes. Date 26 décembre 2004 juillet 2008 6 avril 2009 12 janvier 2010 27 février 2010 11 mars 2011 24 août 2016

Lieu ou pays Sumatra (Indonésie) Court-Saint-Étienne L’Aquila (Italie) Port-au-Prince (Haïti) Chili Japon Amatrice (Italie)

Magnitude 9,3 3,2 6,3 7 8,8 9 6,2

a. L’énergie E (en joules) dégagée par un séisme est liée à la magnitude M de ce séisme par la relation log E = 4, 8 + 1, 5M. Calculer l’énergie dégagée par les séismes donnés dans le tableau. b. Représenter les résultats sur un graphique semi-logarithmique (en abscisse, la magnitude et, en ordonnée, l’énergie dégagée). c. Au cours de recherches sur Internet, on a pu lire l’information suivante : « Une différence de deux degrés de magnitude corres pond à une énergie sismique mille fois plus importante. » Justifier cette affirmation. d. Quelle augmentation d’énergie correspond à une augmentation de magnitude de 0,2 ? de 1 ? e. La consommation finale d’énergie5 pour les ménages, services et commerces en Belgique pour l’année 2015 s’élève à 13 444 milliers de tep6. Quelle est la magnitude d’un séisme libérant la même quantité d’énergie ? 5. Source Eurostat. 6. 1 tep désigne une tonne équivalent pétrole, c’est à dire à 42 gigajoules (1GJ=109J).

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

Planètes et orbites Le tableau suivant donne les distances moyennes des planètes au Soleil en millions de km, ainsi que leurs périodes T de révolution en jours terrestres. La distance moyenne d’une planète au Soleil est le demi-grand axe a de son orbite.

Planète

Distance a au soleil (en 106 km)

Période de révolution (en jours terrestres)

Mercure

57,9

Vénus

108,2

225

Terre

149,6

365

Mars

227,9

687

Jupiter

778,3

4330

Saturne

1427,0

10752

Uranus

2870

30667

Neptune

4497,07

60140

a. Représenter les données des différentes planètes dans un repère log-log. b. La troisième loi de Kepler s’énonce comme suit : le carré de la période d’une planète autour du Soleil est proportionnel au cube de la longueur du demi-grand axe de son orbite. Calculer ce rapport de proportionnalité pour une des planètes. Comment peut-on justifier à partir du graphique que ce rapport est identique pour toutes les planètes ?

Situation d’une entreprise Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’affaires annuel en milliers d’euros d’une entreprise pendant ses 8 premières années d’activité. Rang de l’année

Chiffre d’affaires en milliers d’euros

112

132

190

260

a. Représenter la série par un nuage de points. b. Déterminer l’équation de la droite de régression et la tracer. c. Estimer le chiffre d’affaires de la 9e année. Exercices

d. Poser zi = ln yi (arrondir à 3 décimales). Établir le tableau correspondant à la série ( xi , zi ) et représenter le nuage de points. e. Déterminer l’équation de la droite de régression associée à la série ( xi , zi ). bx

f. Établir une relation entre y et x de la forme y = a ⋅ e (2 décimales pour les valeurs a et b). Estimer le chiffre d’affaires de la 9e année. g. Quel ajustement modélise au mieux la situation de l’entreprise ?

Pour aller plus loin 49

Résoudre une inéquation exponentielle a. Exercices résolus Exemple 2

Exemple 1 3x

-2

≤

1 3

3   4

3x ≤ 3–1 2 – 2

x2 – 1 ≤ 0 – 1

x +

1 –

3 ≤  4

2 x ≥ 7 (car 0 < base < 1) 7 x≥ 2 7  S =  ;→  2 

x2 – 2 ≤ – 1

x2 – 1

Exemple 3

S = [– 1; 1]

2   <3 5 x > log 2 3 (car 0 < base < 1) 5

  S =  log 2 3; →    5 b. Résoudre les inéquations suivantes Série 1 5) 5x ≥ 125

2) 2- x ≥ 1

6) ( 0, 5)

3) 1 - e4 x ≥ 0

7) ( 0,125)

4) e2 x -1 60

1) 2x+1 ≤ 4

1 > 0 e

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

x -1

≤ 1

1-3 x

3 8)   4

9) 0,1x > 0, 01

> 42 x + 3

16 9

10) 0, 5x > 0,125 11) e2- x ≤ 1 2

12) e x - e4 ≤ 0

Série 2 1) e x - 2 > 0

5) 4 e - x ≤ -1

9) 0, 5x - 1 < 2

2) 5e x + 1 ≥ 0

6) 6 - 3e2 x > 0

10) x e x - 1 ≥ 0

3) 3 - e x ≤ 0

7) e x - 2 4 - e x ≤ 0

4) 2 ⋅ 10 x - 1 ≤ 0

(

( )( ) 8) ( 5 ⋅ 2 + 1) ( 3 - 2 ) > 0 x

)

Résoudre une inéquation logarithmique a. Exercices résolus Exemple 1

Exemple 2

log3 ( x - 1) ≤ 2 CE : x > 1

log 1 ( x - 1) - log 1 ( 2 x - 3) > -1

log3 ( x - 1) ≤ log3 32 x -1 ≤ 9 x≤8 S = ]1 ; 8]

CE :

•x >1  3  3 x > 2 •x >  2

log 1

x -1 > log 1 2 2x - 3 2

x -1 < 2 (car 0 < base <1) 2x - 3

( x - 1) - 2 (2x - 3) < 0 2x - 3

-3 x + 5 <0 2x - 3

-3 x + 5 2x - 3

5 3

3 2

x –

–

Prenant en compte les CE, on obtient 5  S =  ;→ 3 

Exercices

b. Résoudre les inéquations suivantes. 1) ln ( 3 x + 1) < 0

6) ln ( - x + 4 ) < ln x

(

)

2) log 2 ( x + 1) ≤ 3

7) log ( x + 2) + log ( x + 1) < log 2

3) log ( 3 x - 4 ) ≤ 1

8) log 2 x2 - x > 3

13) log0,5 ( x2 - 9) > 0

4) ln ( -2 x + 3) < 2 ln x

9) log0,1 ( 3 x + 1) < -3

14) log x2 - 4 - log 2 x + x2 ≤ 0

5) log 1 ( x - 5) > 1

10) ln x2 + 9 x + 20 > ln ( x + 13)

(

11) log 2 ( x - 4) ≥ log 2 (2 - x)

1. Fonctions exponentielles et logarithmes

(

)

12) ln 3 x + 5 x - 27 > 0

(

)

(

)

15) 2 log 1 x2 - 3 x + 1 ≥ 0 4

)

Intégrales et primitives

En cinquième, la notion de dérivée a été abordée à partir de rapports dont le numérateur et le dénominateur devenaient de plus en plus petits. On a ainsi pu définir le concept de nombre dérivé et résoudre alors des problèmes de vitesse instantanée, de taux d’accroissement ponctuel, de pente d’une tangente… Dans ce chapitre-ci, on introduit la notion d’intégrale au départ de sommes dont le nombre de termes augmente indéfiniment, alors que ces termes deviennent de plus en plus petits. Cela conduit au calcul d’aires curvilignes, de volume de solides, d’espace parcouru en fonction de la vitesse… Archimède (287-212 avant J.-C.) fut un précurseur en la matière : on lui doit notamment le calcul de l’aire comprise entre un segment de parabole et une droite, et le rapport entre le volume d’une sphère et celui du cylindre circonscrit. La définition de l’intégrale, comme celle du nombre dérivé, utilise la notion de limite : limite d’une somme pour l’intégrale, limite d’un quotient pour le nombre dérivé. En passant du nombre dérivé à la fonction dérivée nous avons introduit des techniques de dérivation. La recherche des primitives d’une fonction – ce qu’on appelle intégration ou primitivation – permettra de résoudre plus rapidement des problèmes de calcul intégral. Dérivation et intégration sont des opérations réciproques ; dans le monde anglophone, on rencontre d’ailleurs le terme anti-dérivation pour désigner l’intégration.

Le découpage de la surface vitrée sous la coupole du bâtiment de la Défense à Paris illustre une des méthodes utilisées pour déterminer l’aire sous une courbe. Introduction

Exploration 1

Approvisionnement en mazout A. En prévision de l’hiver, l’économe a fait remplir la citerne de l’école. Le débit du camion de livraison est de 500 litres de mazout par minute. Ce débit est représenté par le graphique (fig. 1). débit (en litres par minute)

100 0

f (t)

t (en minutes) 1

fig. 1

a. Écrire l’expression de la fonction f qui donne le débit (en litres par minute) en fonction du temps écoulé. b. Combien de litres de mazout a-t-on livré après 3 minutes, 7 minutes ? c. Sur ce graphique (fig. 1), comment peut-on représenter le volume de mazout livré après 7 minutes ? d. Soit la fonction V « volume de mazout livré en fonction du temps écoulé ». Donner l’expression de cette fonction V et la représenter graphiquement. B. Répondre aux mêmes questions si le graphique de la fonction débit est celui de la fig. 2. débit (en l/min)

100 0

2. Intégrales et primitives

t (en minutes)

fig. 2

De la vitesse à l’espace parcouru Lors du salon de l’auto, Philippe a pu tester un nouveau véhicule. Le vendeur a relevé la vitesse toutes les cinq secondes et les valeurs obtenues ont été reportées dans le tableau ci-dessous. t (en s)

v (en m/s)

18,7

23,8

30,5

32,2

34,7

À l’aide d’un tableur, on a pu obtenir le graphique (fig. 3) d’une fonction qui modélise l’évolution de la vitesse au cours de ces quarante secondes. On demande d’estimer la distance totale parcourue par le véhicule pendant ces 40 secondes. Durant les 5 premières secondes, la vitesse passe de 0 à 11 m/s, la distance parcourue est donc comprise entre 5 × 0 et 5 × 11 m. Ce raisonnement peut être répété pour chaque intervalle de temps. La procédure s’achève par la somme des estimations.

a. Compléter le tableau suivant ( Intervalle de temps en secondes

Vitesse (en m/s) sur l’intervalle

v 35 30 25 20 15 10 5 0

10 15 20 25 30 35 40

tab. 1).

fig. 3

Distance parcourue (en m)

min

max

min

max

[0, 5]

5 × 11 = 55

[5, 10]

18,7

5 × 11 = 55

5 × 18,7 = 93,5

[10, 15] [15, 20] [20, 25] [25, 30] [30, 35] [35, 40]

tab. 1

b. Donner un encadrement de la distance totale parcourue pendant ces 40 secondes. c. Compléter les graphiques ( fig. 4 et 5) pour qu’ils correspondent aux valeurs reprises dans les deux dernières colonnes du tableau 1. Exploration

v 35

5 10

15 20 25

30 35 40 t

10 15

fig. 4

20 25 30 35 40 t

fig. 5

d. Utiliser le graphique de la fig. 3 pour estimer la vitesse de 2,5 en 2,5 secondes ; en déduire une meilleure approximation de la distance parcourue durant les 40 secondes. e. Comment peut-on représenter sur le graphique de la fig. 3 la distance parcourue pendant les 40 secondes de l’observation ?

Approximation de l’aire sous une courbe a. On souhaite déterminer l’aire de la surface colorée sur le graphique de la fig. 6. Cette surface est limitée par la courbe d’équation y = x2 et les droites d’équation x = 1, x = 2, y = 0.

L’unité d’aire (UA) est le rectangle construit sur une unité de chacun des axes. Estimer cette aire en se basant sur le quadrillage du graphique. b. Différentes méthodes numériques illustrées par les graphiques suivants (fig. 7 à 10) conduisent à de meilleures estimations. Pour ce faire, on a partagé l’intervalle [1 ; 2] en quatre parties égales et on cherche une valeur approchée de l’aire par une somme d’aires de rectangles ou de trapèzes.

4 UA 3

1) Comment peut-on déterminer avec précision les hauteurs des rectangles dans les fig. 7 et 8 ?

2) Calculer la somme des aires des rectangles dans la fig. 7. 3) Calculer la somme des aires des rectangles dans la fig. 8.

–1

2 fig. 6

2. Intégrales et primitives

–1

fig. 8

fig. 7

4) Dans la fig. 9, la hauteur des rectangles est donnée par l’image du point milieu du sous-intervalle correspondant. Calculer la somme des aires de ces rectangles. 5) Calculer la somme des aires des trapèzes dans la fig. 10. 6) Utiliser un tableur pour répéter la même démarche qu’en 4) et en 5) lorsqu’on partage l’intervalle [1 ; 2] en 8, puis en 16 parties égales. 7) Trouver une fonction F(x) dont f(x) = x2 est la dérivée. Calculer F(2) – F(1) et comparer la réponse avec les valeurs obtenues en 6).

–1

1 fig. 9

–1

Synthèses 1 à 3 Exercices 1 à 3, 7 et 8, 26 Outils numériques

fig. 10

Exploration

Dérivée et primitives a. Sur la fig. 11, les fonctions représentées en noir ont été obtenues x3 - 9 x , tracé en par translation du graphique de f : x → f ( x) = 10 rouge. En observant les variations de ces courbes, que peut-on dire des dérivées de ces fonctions ? y 6 5 4 3 2 1 –4

–3

–2

–1 0 –1

–2 –3 –4 –5

fig. 11

b. Donner l’expression de quelques fonctions F dont la dérivée est définie par f (x) = 4x3. Écrire, sous une forme générale, l’expression de ces fonctions F telles que F ′( x) = 4 x3 . Ces fonctions F telles que F ′ = f , s’appellent primitives de f. c. Parmi les primitives de la fonction f telle que f (x) = 4 x3, quelle est celle qui s’annule pour x = 1 ? d. Vrai ou faux ? 1) Les fonctions définies par tives de 2x. 2) Les fonctions définies par de la même fonction.

( x + 2 )2

et x2 - 3 sont des primi-

2 3x + 2 et 5 + sont des primitives x x

3) 2 sin 2 x est une primitive de cos 2x . 1 x 5) La fonction produit d’une primitive de f et d’une primitive de g est une primitive de f · g.

4) ln x et ln 5x sont des primitives de

2. Intégrales et primitives

Synthèses 5 à 8 Exercices 9 à 18, 27 et 28

Aire et intégrale a. Le plan de la parcelle de terrain de François est représenté sur la fig. 12. Calculer l’aire de ce terrain en utilisant les outils de la Géométrie.

60 m 25 m

60 m

fig. 12

b. Représenter ce plan dans un repère orthonormé gradué en dizaines de mètres. Calculer ensuite l’aire du terrain en utilisant

∫

b a

f ( x) dx . Comparer la réponse avec le résultat obtenu en a.

c. Calculer

∫

6 1

( - x + 4) dx . Comparer ce résultat avec l’aire de la

surface colorée sur la fig. 13. Est-il possible de calculer cette aire par intégrale ? y

1 0

fig. 13

Synthèses 9 à 11 Exercices 4 à 6, 19 à 25, 29 à 38

Exploration

Synthèse 1

Qu’appelle-t-on intégrale définie ?

[ a ; b]

y = f(x) A

[ a; b] bx

a fig. 14

[ a ; b] f ( a1 ) ⋅ ∆x + f ( a2 ) ⋅ ∆x + ... + f ( an ) ⋅ ∆x

A = lim ( f ( a1 ) ⋅ ∆x + f ( a2 ) ⋅ ∆x + ... + f ( an ) ⋅ ∆x ) n→+ ∞

= lim ( f ( a1 ) + f ( a2 ) + ... + f ( an ) ) ⋅ ∆ x n→+ ∞

∫

f ( x) dx

2.1 Intégrale définie lim ( f ( a1 ) ⋅ ∆x + f ( a2 ) ⋅ ∆x + ... + f ( an ) ⋅ ∆x )

∫

f ( x)

n→+ ∞

[ a; b]

2. Intégrales et primitives

Remarques 1)

[ a; b]

2) 3)

[ a ; b]

2 2 f ( a1 ) ⋅ ∆x + f ( a2 ) ⋅ ∆x + ... + f ( an ) ⋅ ∆x ≤ A ≤ f ( b1 ) ⋅ ∆x + f ( b2 ) ⋅ ∆x + ... + f ( bn ) ⋅ ∆x y

y f (b2)

y f (a2) y = f(x) A

f (a5)

a a1

fig. 15

b x a4 a5

fig. 16

∫

f ( x) dx = lim

n→+ ∞

∑ i =1

b1 b2 b3

b x

fig. 17

f ( ai ) ⋅ ∆x = lim

n→+ ∞

∑ f (b ) ⋅ ∆x i

i =1

∫

f ( x) dx

∫

f ( t) dt

∫

f (u) du ...

Synthèse

Comment approcher numériquement une intégrale définie ? synthèse 1

fig. 18

y 7 Approximation de l’intégrale = 33,1

y 7 Approximation de l’intégrale = 30,33

y 7 Approximation de l’intégrale : 31,627

9 x

fig. 18

9 x

fig. 19

fig. 20

fig. 21

f ( xi ) ⋅ ∆x

f ( xi )

[ −2 ; 3] fig. 22 1 ( f ( xi ) + f ( xi+1 ) ) ∆x 2 f ( xi ) f xi+1 y

y y = f(x)

y = f(x)

1 0

1 x

fig. 21

∫

-2

2. Intégrales et primitives

f ( x )dx

fig. 22

∫

-2

f ( x )dx

9 x

Quelles sont les propriétés de l’intégrale d’une fonction ?

∫ b. ∫ a.

a a b

f ( x) dx = 0 f ( x) dx = −

∫

y = f(x)

f ( x) dx

∫

a b

∫ ( f ( x) + g( x)) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ e. ∫ c ⋅ f ( x) dx = c ⋅ ∫ f ( x) dx f. ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx d.

f ( x) dx

g( x) dx

2 2

a b

fig. 23

Qu’appelle-t-on primitive d’une fonction ?

2.2 Primitive d’une fonction Exemples

est une primitive de

F : x → F( x) = x2 + 3 x + 5 f : x → f ( x) = x + ( x2 + 3 x + 5)′ = x + F : x → F ( x) = x2 + 3 x − 2

f : x → f ( x) = x +

( x + 3 x − 2 )′ = 2 x + 3 F : x → F( x) = ln 3 (ln 3 x)′ =

f : x → f ( x) =

3 1 = 3x x

F : x → F( x) = sin x

1 x

f ( x) = cos

2.3 Intégrale indéfinie d’une fonction F : x → F( x) F( x) +

f est la dérivée de

(sin x)′ = cos x

f : x → f (x

∫ f ( x) dx

Remarque

∫ f ( x)

∫

f ( x)

Synthèse

Quel est le lien entre l’intégrale définie et les primitives d’une fonction ?

2.4 Théorème d’existence

[ a ; b] A( x) =

a; b

∫

[ a ; b]

f ( t) dt

A′( x) = f ( x) y

[ a ; b] [ a ; b] y = f(t) y=f(t)

∫

A( x) =

f ( t) dt aire = A(x)

a; b

fig. 24

2.5 Lien entre primitives et intégrale

∫

A( x) =

∫

A( x) =

f ( t) dt = F( x) − F( a)

∫

f ( t) dt = F( b) − F( a)

Justification

A( a) = F ( a) + k =

2. Intégrales et primitives

f ( t) dt = F( x) + k

k = −F a

x = b A( b) = F( b) + k = F( b) − F( a)

A( x) =

∫

f ( t) dt = F( x) − F ( a)

Remarque

[ a ; b] G( x) = F( x) + k

G( b) − G( a) = F( b) + k − F( a) − k = F( b) − F( a) Notation

2 2 ∫

f ( x) dx = [ F( x)]a = F( b) − F( a) b

Exemple

∫

(

) (

)

(4 x3 + 2 x) dx =  x4 + x2  = 24 + 22 − ( −1)4 + ( −1)2 = 20 − 2 = 18 −1 −1

Quelles sont les primitives des fonctions usuelles et des fonctions composées ? a. Fonctions usuelles

cx+ k

sin x

− cos x + k

x2 +k 2

cos x

sin x + k

xn ( n ≠ −1)

xn+1 +k n +1

cos2 x

1 x

ln x + k

f ( x) + g( x)

F( x) + G( x) + k

ex + k

c ⋅ f ( x)

c ⋅ F( x) + k

ax +k ln a

= 1 + tan 2 x

tan x + k

Synthèse

Exemples 1) ⌠ 

⌡ x

∫

x−1/ 2 dx =

x1/ 2 +k=2 x+k 1 2

4 1  2) ⌠   2 sin x +  dx = 2 sin x dx + 4⌠ dx = −2 cos x + 4 ln x + k ⌡ x x ⌡

∫

x3 3 x2 + − 10 x + k 3 2

2 ∫ ( x − 2) ( x + 5) dx = ∫ ( x + 3x − 10 ) dx =

x2 + 2 ( x2 − 9) + 11 ⌠  x + 3 + 11  dx = x2 + 3 x + 11 ln x − 3 + k ⌠ dx = ⌠ dx =      x−3 x−3 ⌡ x−3 ⌡ ⌡

Remarque x2 +

x−

b. Fonctions composées Fg

( F ( g( x)) )′ = F ′ ( g( x)) ⋅ g′( x) = f ( g( x)) ⋅ g′( x)

∫ f ( g( x)) ⋅ g′( x) dx = F ( g( x)) + k

∫ f (u) ⋅ u′ dx = F(u) + k

u′ ⋅ un

un+1 +k n +1

u′ sin u

− cos u + k

u′ u

ln u + k

u′ cos u

sin u + k

u′ eu

eu + k

u′

tan u + k

u′au

au +k ln a

2. Intégrales et primitives

cos2 u

Exemples

∫ 2x sin x

dx = − cos x2 + k u′ = 2 x

2) ⌠

4x − 3

⌡ 2x − 3x + 5 2

dx = ln 2 x2 − 3 x + 5 + k

2 2

1) 1 −2 ⌠ dx = ∫ ( 2 x − 3) dx  2 ⌡ ( 2 x − 3) =

1 2

∫ 2 ( 2 x − 3)

−2

u′ ⋅ un

1  ( 2 x − 3)  +k   −1 2   −1 +k = 2 ( 2 x − 3) −1

u′ = 2 x

∫

x e4 x

−2

dx =

2 2 1 1 8 x e4 x −2 dx = e4 x −2 + k 8 8

∫

Quelles autres méthodes peut-on utiliser pour calculer des primitives ?

a. Intégration par substitution

∫ f ( g( x)) ⋅ g′( x) dx ∫ f ( g( x)) ⋅ g′( x)dx = F( g( x)) + k ∫ f (t)dt = F(t) + k

Synthèse

∫ f ( g( x)) ⋅ g′( x) dx = ∫ f ( t ) dt = F ( t ) + k = F ( g(

Exemple

)) +

1 ⌠ dx  ⌡ x+3

− 1 1 ⌠ dx = ⌠   dt = ∫ t 2 dt = 2 t + k = 2 x + 3 + k ⌡ x+3 ⌡ t

b. Intégration par changement de variable

∫ f ( x) dx = ∫ f ( g(t)) ⋅ g′(t) dt

Exemple

⌠ x dx  2 ⌡ ( x + 1)

⌠ x dx = ⌠ t − 1 dt = ⌠  1 − t−2  dt = ln t + 1 + k    2 t ⌡ t2 ⌡ t  ⌡ ( x + 1) = ln x + 1 +

1 +k x +1

c. Intégration par parties

( f ( x) ⋅ g( x) )′ = f ′( x) ⋅ g( x) + f ( x) ⋅ g′( x) f ( x) ⋅ g( x) =

∫ f ′( x) ⋅ g( x) dx + ∫ f ( x) ⋅ g′( x) dx ∫ f ( x) ⋅ g′( x) dx = f ( x) ⋅ g( x) − ∫ f ′( x) ⋅ g( x) dx

Exemple

2. Intégrales et primitives

∫ x cos x dx

∫ x cos x dx = x sin x − ∫ 1⋅ sin x dx = x sin x + cos x + k

2 2

Comment calculer une intégrale définie par substitution ou changement de variable ?

[ a ; b]

∫

f ( x) dx = [ F( x)]a = F( b) − F( a) b

Exemple e

1 ⌠ dx  2 ⌡1 x (1 + ln x )

= 1 + ln

dt =

1 x

1 1 1 dt ⌠ +k dx = ⌠ 2 = ∫ t −2 dt = − + k = −  2 + t 1 ln x ⌡t ⌡ x (1 + ln x ) e

1 1  1 1  ⌠ = − +1 = dx =  −   2 2 2  1 + ln x 1 ⌡1 x (1 + ln x ) t = 1 + ln 1 = 1 t = 1 + ln e = 2 e

2 2 1 1 dt 1  1 ⌠ dx = ⌠ 2 = ∫ t −2 dt =  −  = − + 1 =  2 1 t 2 2 ⌡  1 1 t ⌡1 x (1 + ln x )

Synthèse

Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre le graphique d’une fonction, l’axe Ox et deux droites verticales ?

y 1

a 0

y = f(x)

1 0

1 a

fig. 26

fig. 25

∫

f ( x) ≥ 0

f ( x) dx

∫

f ( x) ≤ 0

Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre les graphiques de deux fonctions ?

f ( x) dx

y UA

2 y = f(x) 1 b

f ( x) ≥ g( x)

∫

( f ( x) − g( x) ) dx

–1

y = g(x)

fig. 27

2. Intégrales et primitives

Comment utiliser le calcul intégral pour calculer le volume des solides de révolution ? y

y= f x

f(xi)

fig. 28

y = f(x) xi

f ( xi )

0 fig. 29

∆x

2 2

∆x

f xi

fig. 28

π ( f ( xi ) ) ⋅ ∆ x 2

y = f(x)

fig. 29

(

= π lim

n→∞

(( f ( x )) 1

⋅ ∆ x + ( f ( x2 ) ) ⋅ ∆ x + ... + ( f ( xn ) ) ⋅ ∆ x 2

V =π

∫

fig. 30

V = lim π ( f ( x1 ) ) ⋅ ∆ x + π ( f ( x2 ) ) ⋅ ∆ x + ... + π ( f ( xn ) ) ⋅ ∆ x n→∞

b a

)

( f ( x) )2 dx Synthèse

Outils numériques Utiliser un tableur pour calculer une valeur approchée d’une intégrale Données : une fonction f, un intervalle [a ; b] que l’on subdivise en n parties de même longueur. Analyse : avant de calculer l’approximation, il faut déterminer la longueur des intervalles et les milieux. 1) Longueur des sous-intervalles : la longueur l est le quotient

b- a . n

l ; tous les 2 milieux suivants sont séparés l’un de l’autre de la longueur d’un sous-intervalle.

2) Milieux des sous-intervalles : le premier milieu est a +

l l a

a+ 3l 2

a+ l 2

Remarques 1) Si la fonction donnée est positive sur l’intervalle [a ; b], la démarche ci-dessous peut être appliquée pour approximer l’« aire sous une courbe ». 2) La démarche se rapporte à l’approximation par la méthode du « point milieu ». Exemple On demande de calculer une valeur approchée de l’intégrale

∫ ( 0,1x 3

-3

)

- 0, 9 x + 2 dx .

La fonction f : x → 0,1x3 - 0, 9 x + 2 est positive sur l’intervalle donné. On utilise le haut de la feuille pour y inscrire les données.

Cellule

Contenu

Commentaires

Fonction

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite.

f(x)=0,1x^3-0,9x+2

Expression de la fonction

Nombre d’intervalles

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

Valeur de n (nombre de rectangles)

origine

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

-3

Valeur de a

2. Intégrales et primitives

extrémité

Ce qu’on va inscrire dans la cellule de droite

Valeur de b

Longueur d’un sousintervalle

Ce qu’on va calculer dans la cellule voisine

=(E3-E2)/C3

Formule

Milieu du sous-intervalle

Titre de la colonne

Image du point milieu Titre de la colonne

Produit longueur par image

b- a , à partir des données introduites n

Titre de la colonne

A8, A9… 1,2…15

On numérote les intervalles. En A8, écrire 1, en A9, écrire 2. Sélectionner les cellules A8 et A9, puis tirer vers le bas jusqu’à la valeur de n (15 dans cet exemple).

=E2+C4/2

Milieu du 1er sous-intervalle

=B8+$C$4

Milieu du 2e sous-intervalle

B10…

Pour obtenir les milieux suivants, sélectionner la cellule B9, faire apparaître la petite croix dans l’angle inférieur droit et double-cliquer. La colonne B se remplit automatiquement. =0,1*B8^3-0,9*B8+2

C9…

On introduit la formule de la fonction pour calculer l’image du premier milieu. Pour obtenir les images des milieux suivants, sélectionner la cellule C8, faire apparaître la petite croix dans l’angle inférieur droit et double-cliquer. La colonne C se remplit automatiquement.

=C8*$C$4

D9…

On multiplie la longueur du sous-intervalle par l’image du milieu. Pour obtenir les produits suivants, sélectionner la cellule D8, faire apparaître la petite croix dans l’angle inférieur droit et double-cliquer. La colonne D se remplit automatiquement.

C23

Somme

Ce qu’on va calculer dans la cellule de droite

D23

=somme(D8:D22)

Calcule la somme des nombres repris dans les cellules D8 à D22 ; c’est l’approximation cherchée.

Outils numériques

Voici la feuille de calculs (fig. 31) de l’exemple ci-dessus.

fig. 31

2. Intégrales et primitives

Exercices Connaître 1

Aire sous une courbe Tracer, dans un repère orthonormé, le graphique de la fonction f : x → x3 sur l’intervalle [0 ; 2]. À l’aide de rectangles, encadrer l’aire de la surface comprise entre la courbe, les axes et la droite d’équation x = 2, lorsqu’on divise l’intervalle [0 ; 2] a. en 4 parties égales, b. en 8 parties égales. Exprimer l’aire sous la courbe à l’aide d’une limite.

Justifier ! Justifier les propriétés de l’intégrale énoncées en synthèse 3, a, b et c.

Choisir… Si l’aire de la région limitée par la courbe y = f (x), l’axe Ox, les droites d’équation x = a et x = b est donnée par

∫

b a

f ( x) dx , quelles sont,

parmi les propositions suivantes, celles qui peuvent être vraies ? a. a < b et f (x) > 0 b. a < b et f (x) < 0 c. a > b et f (x) > 0 d. a > b et f (x) < 0

Vrai ou faux Vrai ou faux ? Justifier la réponse. L’aire de la surface limitée par la courbe d’équation y = x2 - 4 , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = – 2 et x = 2 est égale à

∫ (x 2

-2

)

- 4 dx .

Exercices

Aire d’une surface donnée On donne une partie de la courbe d’équation y = f (x). La droite T, d’équation y = h (x), est tangente à la courbe au point B. Quelles sont, parmi les affirmations suivantes, celles qui sont correctes ? L’aire (en UA) de la surface colorée (fig. 32) égale : a.

∫

( h( x) - f ( x) ) dx

∫ 0 [ f ( x) - h( x) ] dx - ∫ 1 [ f ( x) - h( x) ] dx

∫ [ f ( x) - h( x) ] dx + ∫ [ f ( x) - h( x) ] dx

∫

4 1

0 –1

f ( x) dx

y = f(x) UA

B A

–2 fig. 32

e. 3,3.

Aire et intégrale définie Écrire les intégrales définies permettant de calculer l’aire de la surface colorée. a.

b. y 1 0

x 1 y = − x+2

fig. 33 fig. 34

2. Intégrales et primitives

y y = x2 − 4

1 1

x fig. 35

fig. 36

1 x+3

1 0

1 x y = –2x +1 3

fig. 38

fig. 37

Exercices

Appliquer 7

Approximation numérique d’une aire

a. Cet exercice peut être résolu à l’aide d’un tableur.

Quelle est la fonction dont le graphique est donné par la fig. 39 ?

y = f(x)

Partager l’intervalle [1 ; 5] en huit sous-intervalles de même longueur et calculer une approximation au dixième près de l’aire sous la courbe (aire grisée sur fig. 39) par une somme d’aires de rectangles ou la de trapèzes.

1 0

fig. 39

y 4

b. Partager l’intervalle [0 ; 6] en 12 sous-intervalles pour calculer une valeur approchée de

∫0 ln ( x 6

)

+ 1 dx

( fig. 40) par une des méthodes d’intégration numérique.

2 1 0

6 x

fig. 40

Approximation numérique Cet exercice peut être résolu à l’aide d’un tableur.

fig. 41 donne le graphique de la 2 sin x fonction f ( x) = . x p 3p Partager l’intervalle  ;  en dix sous4 2  intervalles de même longueur et calculer

une approximation de

⌠ ⌡

3p 2 p 4

2 sin x dx par x

la méthode du point milieu ou la méthode des trapèzes.

2. Intégrales et primitives

3π/2 0

π/4

fig. 41

Associer de graphiques… Associer chaque graphique de fonction f (fig. 42 à 45) au graphique d’une primitive F (fig. 46 à 49). y

y y=f2(x)

y=f1(x)

1 0

fig. 42

y=f3(x)

fig. 44

fig. 43

y=f4(x)

y y=F2(x)

y=F1(x)

fig. 45

fig. 46

fig. 47

1 0

y=F4(x) 1 0

y=F3(x)

fig. 48

fig. 49

Exercices

Vérifier… Vérifier si F est une primitive de f lorsque ces fonctions sont définies par les expressions suivantes. a. F( x) = 6 x3 - 5 x + 3 et f ( x) = 18 x2 - 5 x

(

2 b. F( x) = 3 x - 5

)

(

2 et f ( x) = 12 x 3 x - 5

2 c. F( x) = ln x - x + 3 et f ( x) =

d. F( x) = e e. F ( x) =

-3 x +1

et f ( x) = -3e

)

2x - 1 2

x - x+3

-3 x +1

1 sin ( 3 x + 5 ) et f ( x) = cos ( 3 x + 5 ) 3

Quelle primitive ? Déterminer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée. a. f : x → f ( x) = 2 x + 5

F(1) = 0

-2 x c. f : x → f ( x) = 3 sin x

F( e) = 3

b. f : x → f ( x) =

F( p ) = 4

Primitives immédiates Déterminer les primitives de la fonction f définie par : Série 1 a. f ( x) = 7 x - 1

h. f ( t) = -5t4 + 3t2 - 4t

b. f ( x) = -2 x2 + 11x - 3

i. f ( x) =

c. f ( x) =

j. f ( x) = x2 - 1 ( 3 x - 5 )

q. f ( x) = x3 - 5 x2 + 3 x - 1

-2

k. f ( x) = x ⋅ (2 x - 3)

r. f ( x) = (3 x + 2)

1 x

l. f ( x) =

d. f ( x) =

e. f ( x) = 5 + f. f ( x) =

-1 x

+ x3

g. f ( x) = 3 x5 + 7 x -

)

2. Intégrales et primitives

n. f ( x) =

3 x7 - 4 x2 x

m. f ( x) = 1 3 x

p. f ( x) = 2x + 3

(

x 5

s. f ( x) = 1 -

1 x

4 x3 + 5 x 2

o. f ( x) = 3 x + 5e x

2 4 + 4 2 x x

(

t. f ( x) = ( x - 1) 2 x2 + 4

)

1  u. f ( x) = (2 x + 1)  - 3 x x 

Série 2 1 cos x - 3 4

d. f ( x) = 2 x - 3 +

b. f ( t) = - 4t3 + 5t2 - 4

e. f ( x) = e x + sin x

h. f ( t) = 5 sin t - 3 cos t

f. f ( x) = 12 sin x

i. f ( x) =

c. f ( x) = x2 +

4 x

a. f ( t) = 3t2 - 4t + 8

1 x2

g. f ( x) =

5 cos2 x

Primitives de fonctions composées Calculer les primitives suivantes, après ajustement numérique si nécessaire. a. b.

∫ ( 3x + 5 )

⌠ 5 dx ⌡ 2x - 1

2x ⌠ 2 x + 1 dx f. ⌠ dx 4  ⌡ x2 + x - 4 2 ⌡ ( 4x - 7 )

∫ x⋅ e

x2 +1

∫ x⋅

x2 + 1 dx

∫ 2x ( 3x

)

1 ⌠ dx  ⌡ ( 3 x + 2 )4

- 5 dx

∫ (e

ex ⌠  x dx ⌡ e +1

)

+ e- x dx

⌠  ⌡

∫ sin 3x dx

 1 -5 x  + 7 e4 x  dx  e  3

∫ sin x ⋅ cos

x dx

p  ⌠  cos  - t +  dt 3 ⌡

∫ 3 sin(5t + p ) dt

∫ tan x dx

Intégration par parties Calculer les primitives suivantes.

∫ 2x ⋅ e dx b. ∫ x ⋅ ln x dx c. ∫ ( x + 1) ⋅ sin x dx x

⌠ ln x dx ⌡ x

∫ (1 - x) ⋅ e dx h. ∫ ( x - 1) ⋅ ln x dx i. ∫ x ⋅ x - 1 dx g.

∫ e ⋅ sin x dx f. ∫ ln x dx e.

Intégration par substitution ou changement de variable Calculer les primitives suivantes. a.

∫ x⋅

∫x

x ⌠ dx (poser t = x + 1)  ⌡ x +1

x - 1 dx (poser t = x - 1)

( x - 3)5 dx

(poser t = x - 3 )

⌠ 3x dx  2 ⌡ (5 x + 3 )

dx ⌠  ⌡ 5x - 2

1 ⌠ dx  3 ⌡ (5 - 2x )

x ⌠ dx 4 ⌡ 3 + 4x

∫ (1 + x)

2 x + 3 dx

∫ x ( 2x + 1)

Exercices

Fonction, dérivée et primitive

On donne les courbes (fig. 50) de trois fonctions f1, f2, f3. L’une est le graphique d’une fonction f, la deuxième est le graphique de sa dérivée f ′ et la troisième est le graphique d’une primitive F de f.

a. Retrouver chaque courbe.

b. Donner l’expression analytique de f, de f ′ et de F.

f1 0

fig. 50

Intégrer des fonctions… Calculer les primitives suivantes Série 1 3  a. ⌠   3 x2 + 7 x -  dx x ⌡ 2x b. 3e + sin 3 x dx

∫(

∫

)

 x 3  2 +  dx 2x  

d. ⌠ 

4 x3 + 5 x

e. ⌠ 

x2 - 15 dx x-4

⌡ ⌡

3 cos3 x + 2

f. ⌠ 

⌡

cos x

∫ (5 + x ) dx h. ∫ x ( 5 x + 8 ) dx 5

⌠

4x - 1

i. 

⌡ ( 2 x2 - x + 4 )

j. ⌠ 

cos2 x + 1

⌡ cos x 2

∫ ( x + 1) x + 2x - 3 dx l. ∫ sin ( 3 x + 1) dx 3

m. ⌠ 

e3 x +1 + e x - 1

n. ⌠ 

x2 - 5 x + 1 dx x-2

⌡

(

∫

o. 3 x sin x2 - 1 dx

Série 2

∫

a. 2x sin x dx 2x + 3 dx b. ⌠ ⌡ 2x + 1 c.

∫4

2 - 3x

∫

d. x ( 2 x + 1) dx e. ⌠

⌡e

2. Intégrales et primitives

∫ g. ∫ x cos ( 3 x

h. ⌠ 

⌡ 2x + 1

∫ (4e

j. ⌠ 

⌡

)

+ 1 dx

m. ⌠ 

)

1 + x - 7x x3

ln x

⌡ x

+ 1 e x dx 2

∫ l. ∫ ln ( 3x ) dx k. x ⋅ 3x dx

f. x cos 3 x dx

)

∫

n. x2 1 - x dx

∫

o. x2 sin 2 x dx

Série 3

∫ b. ∫ x

∫

a. x ⋅ e x dx

∫x

ln x dx

e. ⌠ 

cos x dx

f. x x - 3 dx

⌡ 3x - 2

∫

g. x2 ( x - 3) dx

d. e x sin x dx

⌠ 1 + x dx 4 ⌡ (1 - x ) dx i. ⌠  ⌡ x+ 3 x

h. 

∫

Intégrales définies Calculer les intégrales définies suivantes Série 1 d.

4 ⌠ 1 dx ⌡1 x

(1 - 2x ) dx -1

4 ⌠ x - 1 dx ⌡1 x

∫ ( 2x - x ) dx

∫ ( 3x

∫ (x

∫

(1 + 3x ) dx 1 4

Série 2

∫ (x b. ∫ ( x a.

-1 1

-1

c. ⌠ 

⌡

)

- 3 x dx

( x - 1)  x2 1 2

0 2

)

- 7 x + 4 dx

)

-1

p 4 0 p 2

2 sin x dx

( sin x + 2 cos x ) dx

x  + 1 dx 2 

∫ ∫

x dx

∫ ( e + 1) dx h. ∫ (2 + e ) dx

1 2  e. ⌠   x - + 2  dx x x ⌡1

∫

+ 3 x dx

)

- 3 x2 + x dx

∫

ln 3

2 e x dx

∫

(1 + sin 2 x) dx

Calcul d’aires Observer les graphiques ci-dessous (fig. 51 à 60) et utiliser le calcul intégral pour calculer l’aire de la surface colorée. y

y 2

f(x) = x + 2

f(x) = x 1 0 1 0

x fig. 52

x fig. 51

Exercices

f (x) = –x + 2 g (x) = x2 – 4

f (x) = 4 – x22 g (x) = 2 – x 2

fig. 53

fig. 54

y 1

π/2

x f (x) = ex fig. 56

f (x) = sin 2x

fig. 55

y 5

y 2

4 3

2 –2

–1

f ( x) = x + 2

1 0 1

fig. 57

f ( x) =

2. Intégrales et primitives

5 x

4 et g(x) = – x2 + 4 x + 1 x

fig. 58

4 3

2 1 x –3 –2 –1 0 –1

x – π/2

π/2

–2 –3

f ( x) = cos 2 x +

–4

1 2

fig. 60

–5

f (x) = – x2 – 2x + 3 et g(x) = – 2x – 1 fig. 59

Vrai ou faux ? Vrai ou faux ? Justifier la réponse. L’aire de la surface limitée par l’axe des abscisses, la courbe d’équation y = x3 – 2x2 – x + 2, les droites d’équation x = –1 et x = 2 mesure 37 unités d’aire. 12

Archimède et les calculs d’aires Archimède (287-212 avant J.-C.) aurait déjà démontré qu’on pouvait, à l’aide de deux courbes joignant les sommets opposés d’un carré, partager ce carré en trois parties d’aires égales.

y 1 A

Vérifier que les trois surfaces A, B et C (fig. 61) définies dans le carré de côté 1 par les courbes y = x2 et y = x ont la même aire.

B C 0

fig. 61

Exercices

Différentes aires Associer au calcul d’aire de chacune des surfaces colorées l’expression correspondante. 1

  - x4 A1 =  + x  4  -1

(

)

A2 = 2 2 ln x2 + 1   0 1

 3 x2 x 4  A3 = 2   4   2 0

 3  A4 =    2 - x  -1

x 1

x fig. 63

fig. 62 y

2. Intégrales et primitives

fig. 64

fig. 65

Calculer des aires Calculer l’aire de la surface comprise entre : a. la parabole y = 4 x - x2 et l’axe Ox ; b. la courbe y = x3 - 6 x2 + 8 x et l’axe Ox ; c. la courbe y = x3 , la droite y = 8 et l’axe Oy ; d. les courbes y = x2 , y =

x2 et la droite y = 2 x . 2

Calculer le volume d’un solide Le cylindre droit, la boule et le cône droit sont des solides de révolution. Utiliser le calcul intégral pour établir les formules permettant de calculer le volume a. d’un cylindre droit de rayon R et de hauteur h, b. d’une boule de rayon R, c. d’un cône droit de rayon R et de hauteur h,

Comparer des volumes a. Établir des relations entre les volumes des trois solides représentés ci-dessous (cône droit, boule et cylindre droit). Les dimensions sont précisées sur la fig. 66.

a fig. 66

b. Comparer le volume du paraboloïde engendré par la rotation autour de l’axe Ox du plan limité par le segment de la parabole y = 1, 5 x limité à l’intervalle [0 ; 9] et celui du cylindre de rayon 4,5 et de hauteur 9. Les données sont exprimées en cm.

Exercices

Transférer 26

Ralentissement d’un train Un train circule à une vitesse de 20 m/s lorsqu’il commence à freiner. Sa vitesse, t secondes plus tard, est modélisée par la fonction v( t) = 20 - 0, 2t2 . a. Construire le graphique de cette fonction. b. Par approximation numérique, en prenant des intervalles de temps de 2 secondes, estimer la distance parcourue par le train avant de s’arrêter.

Sécurité ! Dans l’État de l’Illinois, le programme de sécurité impose aux motocyclistes de pouvoir arrêter leur moto sur une distance de 45 pieds lorsqu’ils roulent à 20 miles à l’heure (44 pieds/sec). Quelle est la décélération nécessaire pour satisfaire à cette exigence ?

Coûts a. Le coût marginal d’un bien dépend de la quantité produite et est calculé à partir de la dérivée du coût total. Le coût marginal de fabrication d’un produit est donné par la fonction f ( q) = 2 - 0, 004 q, dans laquelle q désigne la quantité produite. Déterminer le coût total et le coût moyen de production de q unités, si l’on sait que les frais fixes s’élèvent à 20 UM. b. Pour une quantité x ∈ [0 ; 50], le coût marginal en € est défini par C( x) = 2 x +

50 . Sachant que les coûts fixes s’élèvent à 50 €, x +1

déterminer l’expression du coût total.

2. Intégrales et primitives

Allongement d’un ressort a. Exercice résolu Une force de 100 N est nécessaire pour allonger de 0,5 cm un ressort dont la longueur au repos est de 25 cm. Calculer le travail effectué pour l’allonger de 27 à 33 cm.

25 27 29 31 33

0 2 4 6 8

Lorsque l’étirement n’est pas trop important, la force nécessaire pour tendre un ressort est proportionnelle à son allongement. La constante de proportionnalité k est appelée constante de rappel ou coefficient d’élasticité du ressort. On note x, l’allongement et f (x) = kx, la force de rappel. Le travail correspondant à un allongement supplémentaire Dx est W = f (x) · Dx. Le travail s’exprime en joules (1 joule = 1 newton × 1 mètre). Pour allonger un ressort de a à b, le travail à fournir est une somme de quantités de travail Wi = f (xi) · Dx. La limite de cette somme est W =

∫

f ( x) dx .

Pour x = 0,5, f (x) = 100 ; on en déduit que k = 200 et que f (x) = 200 x. Le travail correspondant est 8

 x2  W = 200 x dx = 200   = 100 ⋅ (64 - 4) = 6000 N × cm = 60 J . 2  2 2 b. Suivre la même démarche pour résoudre le problème ci-dessous.

∫

Un ressort qui, au repos, mesure 20 cm, s’étire de 3 cm sous une traction de 18 N. Quel est le travail effectué lorsque le ressort est étiré de 20 cm à 28 cm ? de 23 cm à 31 cm ? Comparer les deux résultats.

Valeur moyenne d’une fonction La valeur moyenne d’une fonction f sur un intervalle [ a ; b ] est donb 1 née par f ( x) dx . b- a a

∫

a. Calculer la valeur moyenne de la fonction f définie par f (x) = 0,1 x2 + 2,5 sur l’intervalle [1 ; 6 ]. b. Calculer la valeur moyenne de la fonction f définie par f (x) = 2 ex sur l’intervalle [ 0 ; ln 4 ] . Exercices

Stock moyen Une entreprise électronique dispose d’un stock de pièces identiques dont elle a besoin régulièrement. Le service gestion a établi qu’au cours des trente derniers jours, l’évolution de ce stock 1500 pouvait être modélisée par la fonction f ( t) = t + 15 (t en jours). Quel est le stock moyen sur cette période ? Indication Ce stock moyen est la hauteur du rectangle de base 30, qui a la même aire que la surface colorée dans la figure ci-contre (fig. 67).

nombre de pièces 100 stock moyen

80 60 40 20

25 t (en jours)

fig. 67

Problème de surplus La demande d’un bien par les consommateurs est modélisée par la fonction f (x) = e– 0,3 x+2 définie et dérivable sur [0 ; 8]. L’offre de ce même bien par les producteurs est donnée par la fonction g(x). Soit x la quantité du bien exprimée en milliers d’unités ; f (x) et g(x) sont les prix unitaires exprimés en dizaines de milliers d’euros. À l’équilibre du marché, la quantité offerte par les producteurs est égale à la quantité demandée par les consommateurs, au prix d’équilibre P. Les consommateurs étaient prêts à payer plus cher, au-dessus du prix d’équilibre. L’ensemble des consommateurs a donc fait une économie appelée « surplus des consommateurs ». Les producteurs étaient prêts à vendre moins cher, en dessous du prix d’équilibre. L’ensemble des producteurs a donc un bénéfice supplémentaire appelé « surplus des producteurs ».

Prix

y 7 g(x)

f (x)

5 4 3 P 2

1 –1 0

a. Observer le graphique (fig. 68) et préciser le prix et la quantité d’équilibre. b. Calculer la valeur exacte du surplus des consommateurs (partie colorée du graphique) ; donner ensuite la valeur en euros. c. À l’aide de l’aire d’un triangle, préciser si le surplus des producteurs est supérieur ou inférieur à 16 000 euros.

100

2. Intégrales et primitives

3 Q 4

7 x Quantité fig. 68

Un pont au-dessus de la voie ferrée Pour fluidifier le trafic, on décide de construire un pont qui permettra à la route de passer audessus de la voie ferrée. La fig. 69 donne une vue de face de ce pont, dont voici les dimensions : longueur 8 m, hauteur 6 m. L’ouverture pour le passage de la voie ferrée est limitée par un arc de parabole de 4 m de haut et de 6 m de large. Pour des raisons de sécurité, l’aire de l’ouverture doit être inférieure ou égale au tiers de l’aire totale de la façade.

4m 1

a. Vérifier que l’ouverture correspond au cahier des charges.

b. Quelle est la hauteur moyenne de l’ouverture ?

y 8m

x 3m fig. 69

Graduer un récipient Un gobelet a la forme d’un tronc de cône. Sa hauteur (intérieure) utile est de 12 cm ; le diamètre intérieur est de 6 cm au niveau 0 et de 8 cm à la hauteur utile. On voudrait le graduer de 100 en 100 ml. a. Quelle est la capacité maximale de ce gobelet ? b. Vérifier que les graduations doivent être placées à 3,2 cm, 6 cm, 8,5 cm et 10,7 cm de la base inférieure.

Une bille dans un verre Dans un verre de forme paraboloïdale de 9 cm de haut et de 9 cm de diamètre, rempli d’eau à ras bord, on introduit délicatement une bille de 3 cm de rayon. a. Quel est le volume d’eau expulsé par la bille ? b. Quel est la fraction du volume initial expulsée par la bille ? y

1 0

fig. 70

Exercices

101

Château d’eau Le réservoir sphérique d’un château d’eau a un rayon de 6 m. a. Calculer, en m3, la capacité maximum de ce réservoir. b. Calculer, en m3, le volume d’eau contenu dans la partie sphérique de ce réservoir lorsque la hauteur de l’eau y est 1) de 4 m, 2) de 7 m, 3) de x m (0 ≤ x ≤ 12).

Tour de refroidissement L’eau utilisée pour refroidir les centrales s’évapore au sommet de tours construites sur le site. La fumée qu’on aperçoit de loin est une vapeur d’eau ; ce n’est pas le résultat d’une combustion. La forme de ces tours est celle d’un hyperboloïde de révolution, c’est-à-dire un volume engendré par la rotation autour d’un axe d’une surface limitée par une partie de branche d’hyperbole. Considérons une tour de refroidissement, haute de 150 m. Les diamètres à la base et à la sortie sont respectivement de 150 m et de 90 m. On peut modéliser l’hyperbole qui la défi168, 75 , en prenant 10 mètres nit par la fonction y = x + 22, 5 comme unité de longueur sur chaque axe. a. Contrôler que les dimensions de la tour vérifient l’expression de la fonction. b. Calculer le volume de cette tour de refroidissement. y

1 0

102

2. Intégrales et primitives

fig. 71

Construire un terre-plein Au centre d’un rond-point1, on a construit un terre-plein. Ses dimensions sont indiquées sur la fig. 72. 1m

3m fig. 72

Il est constitué d’une construction extérieure en béton ; le volume intérieur, de forme cylindrique, est rempli de terre. a. Déterminer le volume de terre nécessaire au remplissage du terre-plein. b. Le volume total de l’édifice peut être considéré comme le volume d’un solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la surface limitée par une courbe C, les axes Ox et Oy, ainsi que la droite d’équation x = 1 (fig. 73). On admet que l’équation de la courbe est y = 3 · e– 0,95 x. Calculer le volume total de l’édifice. y 3 2 1

fig. 73

c. Calculer le volume de béton nécessaire à la construction de ce terre-plein. 1 D’après un énoncé du Bac

Exercices

103

Calcul vectoriel dans l’espace

Pour définir la position d’un point dans un plan muni d’un repère, on utilise deux coordonnées : l’abscisse et l’ordonnée. Connaissant les coordonnées de deux points, on écrit l’équation d’une droite. On établit un lien entre les positions relatives de droites et leurs équations. Le monde physique est à trois dimensions. À partir d’une origine fixée arbitrairement, on définit un repère en ajoutant un troisième axe de coordonnées, celui des cotes ou altitudes. Dans un repère donné, la position d’un point de l’espace est fixée par ses trois coordonnées. Dans ce chapitre, on généralise à l’espace la notion de vecteur rencontrée dans le plan.

La position des avions dans l’espace aérien est suivie sur les écrans de la tour de contrôle.

Introduction

105

Exploration 1

Se repérer dans l’espace Pour repérer la position de l’aimant déposé sur la table, on peut le situer par rapport aux trois plans du local de classe : à 1 m du mur latéral, à 1,2 m du mur du fond et à 80 cm du sol. a. Justifier que ces trois plans ont un seul point commun. Ce point commun O est choisi pour origine d’un système d’axes (fig. 1) formé de trois droites graduées non coplanaires et perpendiculaires deux à deux : l’axe Ox des abscisses, l’axe Oy des ordonnées et l’axe Oz des cotes. Dans un système d’axes donné, tout point A de l’espace est caractérisé par le triplet (xA ;  yA ;  zA) de ses coordonnées.

b. Quelles sont les coordonnées du point B représentant l’aimant dans le repère donné (fig. 1), si les axes sont gradués en mètres ?

c. Calculer la distance du point B à l’origine O du repère. Comment calculer la distance d’un point A(xA ;  yA ;  zA) à l’origine du repère ?

d. Écrire les coordonnées des sommets du parallélépipède OABCDEFG dessiné dans le repère orthonormé de la fig. 2. e. Déterminer les coordonnées du point M, milieu de [AG]. f. Calculer les distances OE et OF .

B O

106

3. Calcul vectoriel dans l’espace

F O 1

fig. 1

A x

y C

fig. 2

Utiliser des outils pour visualiser dans l’espace a. Un cube est un outil pour visualiser un repère dans l’espace. Trois arêtes d’un même sommet déterminent un repère orthonormé, comme indiqué dans la figure (fig. 3). z zM M(xM ; yM ; zM) 1 0

1 xM x

fig. 3

Dans un tel repère, un point M de l’espace est représenté par ses coordonnées (xM ; yM ; zM). Représenter le point A(3 ; 2 ; 1) dans un tel repère. b. Un trièdre trirectangle1 identique à celui représenté sur la photo ci-dessous permet de « voir » plus facilement un repère dans l’espace. Repérer dans le trièdre ainsi construit les axes Ox, Oy et Oz du repère ainsi que les plans xOy, xOz, et yOz.

Synthèses 1 et 2 Exercice 1

1. Source : SMP Cambridge University Press.

Exploration

107

Vecteurs de l’espace a. Quelle est la définition d’un vecteur dans le plan ? b. Étendre la définition de vecteur à l’espace. c. Définir la somme de deux vecteurs de l’espace. d. On donne trois vecteurs u, v et w non coplanaires ( Vérifier (u + v) + w = u + (v + w).

fig. 4).

v w

fig. 4

Exercices 2 à 4

Indication Construire un parallélépipède sur ces vecteurs.

Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires a. Parmi les propositions suivantes, quelles sont celles qui permettent de définir la colinéarité de deux vecteurs u et v non nuls ? 1) Les deux vecteurs ont même longueur.

D E

G F

2) Les deux vecteurs ont même direction. 3) Les deux vecteurs ont même sens. 4) Il existe un réel k tel que u = kv. b. Dans le cube OABCDEFG (fig. 5), on considère les vecteurs 1 3 DE, OC, BG et CG. Préciser deux vecteurs colinéaires à 2 4

chacun des vecteurs donnés. c. Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si leurs représentants issus d’un même point sont définis par quatre points coplanaires non alignés. Se baser sur le cube de la fig. 5 pour répondre à la question. Les vecteurs suivants sont-ils coplanaires ? 1) OA, 2 OB et –3 OC 2) OA, AE et FC 3) OB, 2 DF et OC 4) OA, OE et DG.

108

3. Calcul vectoriel dans l’espace

Synthèse 3 Exercice 5

fig. 5

Composantes d’un vecteur Des aiguilleurs du ciel relèvent les positions de deux avions par rapport à la tour de contrôle. Au moment de l’observation, le premier, qui vient de décoller, se trouve à 1 km dans la direction Est, 4 km dans la direction Nord et à une altitude de 700 m. Le second, qui va atterrir, est à 5 km direction Est, 6 km direction Nord et à une altitude de 4200 m.

À tout moment, on peut décrire la position d’un avion par rapport à la tour de contrôle (origine) par un vecteur dont la première composante est la position selon un axe pointant vers l’Est, la deuxième selon un axe pointant vers le Nord et la troisième est l’altitude. À tout moment, on peut également décrire la position d’un avion par rapport à l’autre par un vecteur dont la première composante est la position du deuxième avion par rapport au premier selon un axe Ouest-Est, la deuxième selon un axe Sud-Nord et la troisième est la différence d’altitude du deuxième avion par rapport au premier. a. Décrire la position de chaque avion au moment de l’observation  a   sous la forme  b  , en exprimant les composantes en km.  c   b. Représenter le vecteur-position de chaque avion dans un  repère orthonormé dont l’origine est la tour de contrôle. c. Calculer la distance de chaque avion à la tour de contrôle. d. Représenter le vecteur joignant la position du premier avion à celle du second et donner les composantes de ce vecteur. e. Quelle opération vectorielle doit-on effectuer pour retrouver le vecteur évoqué en d à partir des vecteurs-position des deux avions ? f. Dans un repère orthonormé, on donne les points A(1; –1; 2) et  repère et calB(2 ; 3 ; –1). Représenter ces points dans un tel culer les composantes du vecteur u = AB.

Synthèses 4 et 5 Exercices 6 à 8

Exploration

109

Vecteurs orthogonaux Deux vecteurs non nuls de l’espace sont orthogonaux si et seulement si leurs directions sont celles de droites perpendiculaires. On considère le cube OABCDEFG de côté 2 (fig. 6). z D E

G F

O x

y fig. 6

a. Les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux ? 1) u = OA et v = CG 2) u = OE et v = BG 1 OG 2 4) u = DF et v = GB

3) u = DE et v =

Indication Justifier la réponse à l’aide des propriétés du cube et de la relation d’Al Kashi. b. Pour chaque couple de vecteurs u et v définis en a, calculer xu ⋅ xv + yu ⋅ yv + zu ⋅ zv. c. Quelle relation peut-on conjecturer entre les composantes des vecteurs u et v lorsque ces vecteurs sont orthogonaux ? Synthèse 6 Exercices 9 à 14

110

3. Calcul vectoriel dans l’espace

Synthèse 1

Comment repérer un point dans l’espace ?

z zP 1 1

xP x

3 yP y

P′ fig. 7

A′ xA ; yA ;0

z A″ zA 1 1 xA x

A′

yA y

fig. 8

Synthèse

111

Comment calculer la distance d’un point à l’origine du repère ? z zA 2

OA′

A”

OA = OA′ + A′A OA′ xA

A 1

yA 1 2

OA′ = xA2 + yA2 A′A = zA

O O

A’

fig. 9

OA = xA2 + yA2 + zA2 3.1 Distance d’un point à l’origine du repère OA =

Comment caractériser un vecteur de l’espace ?

3.2 Unicité

3.3 Vecteurs égaux

112

3. Calcul vectoriel dans l’espace

xA2 + yA2 + zA2

3.4 Vecteurs colinéaires – Points alignés

Remarque 3.5 Vecteurs coplanaires – Points coplanaires

Propriétés

3 Remarque

Comment calculer et utiliser les composantes d’un vecteur de l’espace dans un repère orthonormé ? 3.6 Composantes d’un vecteur  xu     yu  z   u

 xu   xM       yu  =  yM  z  z   u  M

3.7 Composantes d’un vecteur et opérations  xu   xv     u  yu v  yv  z  z   u  v  xu + xv    1)  yu + yv  z +z  v   u 2)

 kxu     k yu   kz   u

Synthèse

113

Exemples 1   2  −1  

0   −2  5    3 ⋅1   3       3⋅2  =  6   3 ⋅ ( −1)   −3     

 1+ 0  1      2 − 2  = 0  −1 + 5   4      3.8 Composantes d’un vecteur u = AB  xB − xA     yB − yA  z −z  A   B Justification

O  xu   xB   xA   xB − xA           yu  =  yB  −  yA  =  yB − yA  z  z  z  z −z  A   u  B  A  B

B fig. 10

3.9 Coordonnées du point milieu d’un segment  xA + xB yA + yB zA + zB  ; ;  2 2 2   Justification fig. 11 A

M B

114

3. Calcul vectoriel dans l’espace

fig. 11

OA + OB 2

 xA + xB  1  yA + yB  2    zA + zB   xA + xB yA + yB zA + zB  ; ;  2 2 2  

Remarque

Comment calculer la distance entre deux points ? la norme d’un vecteur ?

a.  xB − xA     yB − yA  z −z  A   B

O B

fig. 12

AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − zA )2 = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − zA )2  xu    yu z  u

xu2 + yu2 + zu2

3.10 Distance entre deux points et norme d’un vecteur

( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − zA )2  xu     yu  z   u

xu2 + yu2 + zu2

Synthèse

115

Comment vérifier l’orthogonalité de deux vecteurs lorsqu’on connaît leurs composantes ?

 xu     yu  z   u

 xv   yv z  v

fig. 13

u y

O MP

= OM + OP

P x

xv2 − 2 xv xu + xu2 + yv2 − 2 yv yu + yu2 + zv2 − 2zv zu + zu2 = xu2 + yu2 + zu2 + xv2 + yv2 + zv2

3.12 Vecteurs orthogonaux, propriété  xu     yu  z   u

116

 xv    yv z  v

3. Calcul vectoriel dans l’espace

fig. 13

Exercices Connaître 1

Placer des points a. On considère un repère orthonormé de l’espace. Placer dans ce repère les points A ( 3 ; 0 ; 0 ), B ( 0 ; 2 ; 0 ) , C ( 0 ; 0 ; 4 ) et D ( 3 ; 2 ; 4 ). b. Dans un repère orthonormé de l’espace, placer les points M (1; - 1; 2) et N ( -3 ; 2 ; - 2). c. Dans un repère orthonormé de l’espace, placer les points P ( -2 ; - 3 ; 4 ) et Q ( 3 ; 2 ;- 2). d. Calculer la distance des points P et Q à l’origine du repère.

Additionner des vecteurs On donne un cube ABCDEFGH (fig. 14). Placer les points I, J, K, L définis par les relations suivantes. a. AI = EH + BF b. AJ = DC +

c. BK = AH +

1 EG 2

1 GE 2

H E

G F

d. DL = BF + DB + GC D

Vecteurs dans un cube

C B fig. 14

On considère le cube ABCDEFGH (fig. 14). a. Compléter les égalités suivantes. 1) AB + BF =

4) EF – BF =

2) CD + CG =

5) AC – HD =

3) AE + FG =

6) DB – HF =

b. Placer les points M, N et P définis par 1) AM = CG +

1 1 1 1 FG 2) EP =  AB +  AC 3) AN =  BF + BC 2 2 2 2

Exercices

117

Vecteurs dans un parallélépipède E

Construire les vecteurs a. u + v + t b. u + v +

1 t 2

Dans le parallélépipède rectangle ABCDEFGH (fig. 15), on définit les vecteurs u = AB, v = AD et t = AE.

1 u + v  + t 2

d. u + v – t

C B

fig. 15

Appliquer 5

Points alignés ? Points coplanaires ?

a. Dans le cube ABCDEFGH (fig. 16), on considère M, point de rencontre des diagonales du quadrilatère ABGH.

Vérifier que les points E, M et C sont alignés. b. Cinq points A, B, C, D et E de l’espace sont tels que AE + 2 BE = 0 et CE + 3 DE = 0. Vérifier que les points A, B, C et D sont coplanaires.

B fig. 16

Coordonnées de points, composantes de vecteurs On donne le cube OABCDEFG (fig. 17) de côté 2, sur lequel on a construit un repère orthonormé.

z D

a. Préciser les coordonnées des sommets de ce cube. b. Calculer les coordonnées du point :

1) M, centre de la face OABC ; 1 2) P, tel que OP =  OB ; 4 3) Q, centre de la face BCGF ; 4) R, centre du cube. c. Calculer les composantes des vecteurs AB, AC, AG et DB.

118

3. Calcul vectoriel dans l’espace

G F

O x

B fig. 17

Coordonnées du milieu Dans un repère orthonormé, on donne les points A(xA ;  yA ;  zA), B(xB ;  yB ;  zB). Utiliser l’égalité AM = MB pour calculer les coordonnées du point milieu M du segment [AB].

Calculer des composantes de vecteurs

On donne les points A (1; 2 ;- 1) , B ( 2 ;1; 0 ), C ( 3 ; 2 ;- 7 ) et D (1;1;1) . a. Calculer les composantes des vecteurs u = AB v = CD u + v

2 u – 3 v 1 b. Calculer les coordonnées du point M tel que BM =  AC. 2

Vecteurs orthogonaux  3  1      a. Les vecteurs u  1  et v  2  1  -5    

sont orthogonaux. Justifier.

1   b. Déterminer a et b pour que le vecteur w  a  soit orthogonal aux  b   vecteurs u et v.

Colinéaires ? Orthogonaux ? On donne les points A (1; 2 ;- 1) , B ( -3 ; m ;1), C ( 2 ; - 1; 2) et D ( 0 ; 2 ; 3). Quelle valeur faut-il donner à m pour que a. les vecteurs AB et CD soient colinéaires ? b. les vecteurs AB et CD soient orthogonaux ?

3 mètres

Longueur d’une poutre Une poutre repose sur le sol et à l’angle des murs d’un local. Utiliser les données de la fig. 18 pour déterminer la longueur de la poutre.

2 mètres 3 mètres fig. 18

Exercices

119

Transférer 12

Section d’un cube

Dans un repère orthonormé, on donne un cube ABCDEFGH (fig. 19) ; les coordonnées du sommet A sont ( 4 , 0 , 0 ) . Le point I est le milieu de [AE] et J le milieu de [GC].

a. Justifier que les points H, I, J et B sont coplanaires. I

b. Calculer l’aire du quadrilatère HIBJ.

D C

B fig. 19

Section d’un cube (2)

a. Justifier que les points M, N, P et Q sont coplanaires.

Dans le cube ABCDEFGH de côté 2 (fig. 20), le point M est le milieu de [AB], le point N le milieu de [BC], P le milieu de [GH] et Q le milieu de [HE].

Q E

b. Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un rectangle. c. Calculer l’aire de ce rectangle.

C N

Tétraèdre On donne un tétraèdre SABC (

fig. 20

fig. 21).

2 a. Placer sur la figure les points D, E, F et G définis par SD =  SA, 3 1 2 1 AE =  AB, BF =  BC et CG =  CS. 3 3 3 b. Exprimer DE en fonction de SB. c. Justifier que les points D, E, F et G sont coplanaires. d. Justifier que les droites SB et AC sont parallèles au plan (DEF).

C A B

120

3. Calcul vectoriel dans l’espace

fig. 21

Géométrie analytique de l’espace

Les Grecs, dès l’Antiquité, ont développé l’étude de la géométrie, « mesure de la terre ». Ils avaient une perception du monde familier en trois dimensions : largeur, longueur, profondeur. Leur science de l’espace s’est construite sur base d’observations et s’est enrichie de propriétés obtenues par déductions et démonstrations. La géométrie synthétique – ou euclidienne, en référence aux Éléments d’Euclide – décrit droites, plans et solides, étudie leurs propriétés, leurs positions relatives… ; elle a été développée dans le cours de 4e. L’étude des propriétés de parallélisme et de perpendicularité est facilitée par la géométrie vectorielle, développée notamment par William Hamilton (1805-1865). Dans un ensemble (droite, plan), un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur ; il est déterminé par deux points, son origine et son extrémité, et cela indépendamment du choix d’un repère ou d’un système de coordonnées. La géométrie analytique voit le jour au xviie siècle, initiée par Pierre de Fermat (1607-1665) et René Descartes (1596-1650). L’espace est muni d’un repère dans lequel on peut préciser la position de n’importe quel point. Caractériser une figure en termes de coordonnées, c’est expliciter une ou plusieurs relations algébriques qui caractérisent tous les points appartenant à une figure et rien que ceux-là. Les courbes et surfaces paramétrées sont décrites par des équations paramétriques à un ou deux paramètres. Les équations cartésiennes sont des relations entre les coordonnées d’un point d’un plan ou d’une surface ; les courbes – et en particulier les droites – sont des intersections de deux surfaces. On pense ici aux courbes de niveau, intersections de la surface de la terre avec des plans horizontaux, ou aux « vues en tranche » prises par les scanners en imagerie médicale… Ce chapitre est consacré à l’étude des plans et des droites de l’espace sous l’angle de la géométrie analytique. 10 – 15 5 – 10

0–5

–5 – 0 –10 – –5

–15 – –10

–5 –10

–15

–1 –4

Image du cerveau par scanner ; le plan de coupe est indiqué sur l’image inférieure.

–3

–2

–1 0 1 ordonnées (y)

–4

abscisses (x)

cotes (z)

Graphique du plan d’équation z = x + 2y réalisé par un tableur. Les différentes zones colorées correspondent aux régions du plan dont la cote (valeur de z) est indiquée dans la légende.

Introduction

121

Exploration 1

Caractériser des ensembles de points de l’espace On a représenté des plans et des droites de l’espace dans un repère orthonormé (fig. 1 à 8). a. Calculer les coordonnées de trois points de chaque ensemble représenté. 2

x (plan xOy )

1 x

fig. 1

(plan parallèle au plan xOy ) fig. 2

1 d

1 y

1 x

x (droite d confondue avec l’axe Oy ) fig. 3

(droite parallèle à l’axe Oz et située dans le plan yOz ) fig. 4

x fig. 5

4. Géométrie analytique de l’espace

122

fig. 6

1 y

x fig. 8

fig. 7

b. Dans la partie « géométrie analytique » du cours de 4e, on a établi les équations cartésiennes d’une droite, d’un cercle, d’une parabole ; ces équations sont des relations entre les coordonnées de n’importe quel point de l’ensemble considéré. C’est aussi possible lorsqu’on travaille dans un repère de l’espace. Choisir dans les équations ci-dessous celle(s) qui caractérise(nt) les plans et les droites représentées dans les fig. 1 à 8.

{

1) z = 2

3) x = 0 y=1

5) x + y = 1 z =1

2) x = 1

4) z = 0

6) x = 0 z=0

{

7) x = 1 y =1 8) y = x

c. Quels sont les ensembles de points de l’espace qui vérifient les équations suivantes ? 1) x = 0

2) x = y = 0

3) z = -1

{

4) x = 0 z=2

5) x + y = 1

Exercices 1 et 9

Exploration

123

Des vecteurs colinéaires aux équations de droites a. Soit les points A, B et C distincts de l’espace. Comment traduit-on vectoriellement l’alignement de ces trois points ?

On considère le parallélépipède quelconque ABCDEFGH (fig. 9)

b. À quelle droite appartient le point P si

1) AP = k · AB ? 2) AP = k · BC ?

3) AP = AE + k · AC ? 4) AP = AB + k · BH ?

fig. 9

c. Le point P est situé sur la diagonale [AG]. Exprimer le vecteur AP en fonction de AG si P est 1) le milieu de la diagonale, 2) situé à une distance de A double de sa distance à G. Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le parallélépipède rectangle OABCDEFG (fig. 10). Dans ce repère, on a O(0 ; 0 ; 0), A(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0) et D(0 ; 0 ; 3). Soit le point P de coordonnées P(x ; y ; z).

z D

d. Traduire la relation AP = k · AG en termes de composantes de vecteurs et en déduire les expressions des coordonnées du point P.

Soit les points P(x ; y ; z), dont les coordonnées, dans un repère orthonormé, sont données par le système  x = 1+ k   y = -1 + 2k . z = 1- k 

G F

O A

fig. 10

e. Représenter, dans un repère orthonormé, l’ensemble des points P vérifiant le système donné. Quelle est la nature de cet ensemble ? f. Éliminer k entre les équations du système. Caractériser les points vérifiant les équations obtenues.

Synthèses 1 et 2 Exercices 2, 3, 10

124

4. Géométrie analytique de l’espace

Des vecteurs coplanaires aux équations de plans Soit les points A, B, C et D de l’espace, non tous alignés. Comment traduit-on vectoriellement la coplanarité de ces points ? On considère un parallélépipède rectangle OABCDEFG (fig. 11) et un point P de l’espace.

a. À quel plan du parallélépipède appartient le point P si 1) AP = r · AB + s · OA ? 2) AP = r · AB + s · AE ? 3) AP = r · AE + s · OC ?

b. Le point P est situé dans le plan (AEC). Exprimer le vecteur AP en fonction des vecteurs AE et AC si P est

fig. 11

1) le centre de gravité du rectangle ACGE, 2) situé aux deux tiers de [AG] à partir de A, 3) au milieu de [GC], 4) sur la droite GE. Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère un parallélépipède rectangle OABCDEFG (fig. 12). Dans ce repère, on a O(0 ; 0 ; 0), A(2 ; 0 ; 0), C(0 ; 3 ; 0) et D(0 ; 0 ; 4). Soit un point P de coordonnées (x ; y ; z).

z D(0 ; 0 ; 4) E

On donne AP = r · AG + s · AE (1). c. À quel plan appartient le point P ? d. Traduire la relation (1) en termes de composantes de vecteurs et en déduire les expressions des coordonnées de P. e. Répondre aux mêmes questions pour un point Q défini par la relation BQ = r · DE + s · BD

1 y

1O x

A(2 ; 0 ; 0)

C(0 ; 3 ; 0) B

fig. 12

f. Soit les points P(x ; y ; z) dont les coordonnées, dans un repère  x = 1+ r + s  orthonormé, sont données par le système  y = 3r + 3s .  z = 4s  1) À quel plan appartiennent ces points P ? (fig. 12) 2) Éliminer r et s entre les équations pour n’obtenir qu’une seule équation, relation entre les différentes coordonnées du point P.

Synthèse 3 Exercices 4, 5, 11 (série1)

Exploration

125

Représenter un plan dans un système d’axes

Dans un repère orthonormé, on donne le plan α ≡ x + y + z = 4 et sa trace PQR (fig. 13) sur les plans du repère.

a. Comment obtient-on les coordonnées des points P, Q et R ? b. Déterminer et représenter la trace du plan β ≡ 3 x + y + 2z = 6 sur chacun des plans du repère.

1 0

Q x

fig. 13

Synthèse 4 Exercices 6 et 13

Une droite perpendiculaire à un plan Par définition, un vecteur est dit normal à un plan si et seulement s’il est orthogonal à tout vecteur directeur de ce plan. Soit les points A(1 ; 0 ; 3), B(3 ; – 2 ; 4) et C(4 ; 0 ; 10) dans un repère orthonormé de l’espace. On considère le plan p, comprenant le point C et la droite AB de vecteur directeur normal au plan π. La droite AB est alors perpendiculaire au plan π. a. Soit P(x ; y ; z) un point quelconque du plan p. Quelle relation existe-t-il entre les vecteurs AB et CP ? b. Traduire cette relation en fonction des composantes de ces vecteurs. c. Les points D(6 ; 1 ; 8) et E(4 ; – 3 ; 5) appartiennent-ils au plan p ?

Synthèses 5 à 8 Exercices 7, 8, 11 (série 2), 14 à 17

Trois plans et leurs positions relatives… a. Quelles sont les positions relatives de deux plans distincts ? b. Considérer deux faces parallèles d’un cube ou d’un parallélépipède rectangle pour déterminer les positions possibles d’un troisième plan par rapport à deux plans parallèles distincts. c. D écrire toutes les positions possibles d’un troisième plan par rapport à deux plans sécants, représentés par exemple par deux faces contiguës d’une boîte. d. Que pourrait être l’intersection de trois plans distincts ?

126

4. Géométrie analytique de l’espace

Synthèses 9 et 10

Résoudre un système d’équations à trois inconnues On donne les équations de trois plans α ≡ x + y + z = 6 , β ≡ 2 x - y + 3z = 8 et γ ≡ 2 x - 2 y + z = -5 . Pour déterminer les positions relatives de ces trois plans, il faut résoudre le système x+ y+ z = 6 (1)   2 x - y + 3z = 8 ( 2 )   2 x - 2 y + z = -5 ( 3 ) On peut résoudre ce système par la méthode des combinaisons ou la méthode de substitution. On va développer ici une méthode due au mathématicien allemand Gauss (1777-1855). Pour la découvrir, on résout, en parallèle, le système par la méthode des combinaisons et par la méthode de Gauss.

C. F. Gauss (1777-1855)

Les transformations successives du système de départ par des combinaisons linéaires donnent à chaque étape un système équivalent, c’est-à-dire un système ayant les mêmes solutions. La méthode de Gauss passe par une écriture simplifiée du système sous forme d’un tableau appelé matrice du système (voir colonne de droite ciaprès). D’étape en étape, on annule les termes sous la diagonale de cette matrice. Voici les étapes successives. 1) Écrire dans la matrice du système les coefficients des inconnues et les termes indépendants. 1 1 1 6  x+ y+ z = 6   2 -1 3 8  2 x y + 3 z = 8     2 x - 2 y + z = -5  2 -2 1 -5   2) Faire disparaître les termes en x des 2e et 3e équations en utilisant la méthode des combinaisons (soustraire de la 2e équation le double de la 1re et écrire le résultat à la place de la 2e équation ; soustraire de la 3e équation le double de la 1re et écrire le résultat à la place de la 3e équation). x+ y+ z = 6   -3 y + z = - 4  - 4 y - z = -17 

L1 L2 → L2 – 2L1 L3 → L3 – 2L1

1 6  1 1  0 -3 1 - 4     0 - 4 -1 -17 

Exploration

127

3) Faire disparaître le terme en y dans la 3e équation par combinaison des 2e et 3e équations (multiplier la 3e équation par 3, en soustraire la 2e multipliée par 4 ; écrire le résultat à la place de la 3e équation). x+ y+ z = 6   -3 y + z = - 4  -7z = -35 

L1 L2 L3 → 3L3 – 4L2

6  1 1 1  0 -3 1 - 4     0 0 -7 -35 

La dernière matrice obtenue s’appelle matrice échelonnée du système ; un triangle de zéros apparaît dans le coin inférieur gauche. x+ y+ z = 6  Elle correspond au système  -3 y + z = - 4 .  -7z = -35  Ce système est équivalent au système donné. La 3e équation donne z = 5. En substituant cette valeur dans la 2e équation, on trouve y = 3 et, en remplaçant y et z par leurs valeurs dans la 1re équation, on obtient x = – 2. La solution du système s’écrit (– 2 , 3 , 5). a. Comment peut-on interpréter géométriquement la solution de ce système ? b. Résoudre le système suivant en appliquant la méthode de Gauss et interpréter géométriquement la solution. x + y + z = 0  2 x - 2 y + z = -5 3 x + y + 2z = 1  c. E n résolvant un système par la méthode de Gauss, on a obtenu la matrice échelonnée 1 3 2 6  0 3 - 4 -1    0 0 0 0  Que peut-on en conclure à propos de l’intersection des trois plans ? Synthèses 11 à 13 Exercice 18 Exercices 19 à 28

128

4. Géométrie analytique de l’espace

Synthèse 1

Qu’appelle-t-on vecteur directeur d’une droite ou d’un plan ?

4.1 Vecteur directeur

w t d

π fig. 14

Comment écrire les différents types d’équations d’une droite ?

A xA ; yA ; zA

B ( xB ; yB ; zB )

 x = xA + k ( xB − xA )  AB ≡  y = yA + k ( yB − yA )   z = zA + k ( zB − zA )

Synthèse

129

 xu  y   u  z  u

A ( xA ; yA ; zA )

 x = xA + r xu  d ≡  y = yA + r yu z = z + r z A u   xu  y   u  z  u

d≡

x − xA y − yA z − zA = = xu yu zu

Remarque

Exemples  x = 1 + 2r  d ≡  y = −3r z = 2 − r 

x −1 y = 2− z = 2 −3

x −1 y = 2− = 2 −3

x = 1  d ≡  = 1+ 3 z = 2 − r  y −1 = 2− z 3

Remarque

130

d≡

4. Géométrie analytique de l’espace

x = 1 d≡  y + 3z = 7

Comment écrire les différents types d’équations d’un plan ? A ( xA , yA , zA ) B xB , yB , zC

C ( xC , yC , zC )

 x = xA + r ( xB − xA ) + s ( xC − xA )  π ≡  y = yA + r ( yB − yA ) + s ( yC − yA )   z = zA + r ( zB − zA ) + s ( zC − zA )  xu  y   u  z  u

A ( xA , yA , zA )

 xv  y   v  z  v

 x = xA + r xu + s xv  π ≡  y = yA + r yu + s yv z = z + r z + sz A u v 

ax + by + cz + d = 0

 a  b    c Remarque

Synthèse

131

Comment représenter un plan dont on connaît l’équation cartésienne ? π ≡ ax + by + cz + d = 0

Exemple π ≡ 4 x + 6 y + 3z − 12 = 0

Exemple π ≡ 4 x + 3z − 12 = 0

1 0

A x

1 0

1 y

A x

fig. 15

fig. 16

5 Comment

écrire une équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal et un point ?

4.2 Vecteur normal à un plan

s w

n d

132

4. Géométrie analytique de l’espace

fig. 17

A xA ; yA ; zA

 a  b    c

π ≡ a ( x − xA ) + b ( y − yA ) + c ( z − zA ) = 0 Exemple  1  −2     3

π ≡ 1( x − 1 ) − 2 ( y − 0 ) + 3 ( z + 4 ) = 0

π ≡ x − 2 y + 3z = − Remarques 1) 2)

ax + b y + cz = d

d = axA + b yA + czA

6 De

la géométrie synthétique à la géométrie vectorielle : comment caractériser une droite ou un plan ?

Synthèse

133

7 Qu’appelle-t-on

droites orthogonales dans l’espace ?

4.3 Droites orthogonales

Exemple fig. 18

[AB]

B fig. 18

Comment « traduire » en langage vectoriel le parallélisme et l’orthogonalité entre droites et plans dans l’espace ?

134

4. Géométrie analytique de l’espace

π ≡ ax + by + cz =

π ′ ≡ a′ x + b′ y + c ′ z = d ′  a  a′   b  = k  b′     c  c′ 

π ′ ≡ a′ x + b′ y + c ′ z = d ′ aa′ + bb′ + cc ′ = 0

Comment déterminer l’intersection de deux plans ? π ≡ ax + by + cz + d = 0  a  a′   b ≠ k  b′      c  c′ 

π ′ ≡ a′ x + b′ y + c ′ z + d ′ = 0

 ax + by + cz + d = 0 i≡  a ′ x + b′ y + c ′ z + d ′ = 0

Remarque i

π′

fig. 19

Synthèse

135

Quelles sont les positions relatives de trois plans dans l’espace ? a.

α=β=γ

α=β

fig. 22

fig. 21 fig. 20

γ γ α α=β

fig. 23

fig. 24

136

4. Géométrie analytique de l’espace

fig. 26

fig. 25

fig. 27

Comment résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues par la méthode de Gauss ?

Exemple  2 x + 3 y + 4 z = 53   3x + 5 y − 4z = 2  4 x + 7 y − 2z = 31 

 2 3 4 53   3 5 −4 2     4 7 −2 31   ... ... ... ...   0 ... ... ...     0 0 ... ... 

Synthèse

137

 1 −1 1 7   1 1 −1 1     −1 1 1 3 

2) 3) 4) 5)

138

4. Géométrie analytique de l’espace

L 2 → L3 L3 → L 2

L 2 → 2L 2

 1 −1 1 7   −1 1 1 3     1 1 −1 1 

 1 −1 1 7   2 2 −2 2     −1 1 1 3 

 1 −1 1 7   3 1 −1 9     −1 1 1 3 

Comment interpréter géométriquement les solutions d’un système de trois équations à trois inconnues ?

fig. 28

4 d

fig. 29

Synthèse

139

fig. 30

140

fig. 31

Comment résoudre un problème ?

4. Géométrie analytique de l’espace

fig. 32

Outils numériques Les logiciels de géométrie dynamique en 3D permettent de visualiser les positions relatives de droites et de plans dans l’espace. La méthode de Gauss, introduite pas à pas dans un tableur, permet d’obtenir la matrice échelonnée du système et la solution si elle est unique. La fonction « solveur » du tableur n’est pas développée dans le cadre de ce manuel.

A. Visualiser les positions relatives de plans et de droites avec GeoGebra Barre d’outils en affichage GRAPHIQUE

Barre d’outils en affichage GRAPHIQUE 3D

Voici un exemple. On souhaite visualiser les positions relatives des trois plans α ≡ x + y = 2, β ≡ 2 x - z = 3 et γ ≡ x + y + z = 4 ce qui revient à x+ y = 2  résoudre le système  2 x - z = 3 . x+ y+ z = 4  Ouvrir la section « Graphique 3D » de GeoGebra. Lorsque le système d’axes apparaît dans la fenêtre : – le faire tourner pour obtenir l’angle de vue habituel, – dans les préférences des axes, sélectionner « branche D/H » seulement (pour ne pas surcharger la figure). 1) Introduire les équations des plans Dans la « zone de saisie » sous le graphique, introduire successivement les équations des 3 plans ; ils apparaissent à l’écran et leur équation s’inscrit dans la zone « Algèbre » de la page. Pour modifier les paramètres (couleur…) d’un objet, cliquer sur cet objet avec le bouton droit de la souris dans la fenêtre graphique ou la fenêtre Algèbre, puis sur « propriétés » avec le bouton gauche dans la fenêtre qui apparaît. Outils numériques

141

2) Déterminer l’intersection des plans • Cliquer sur l’icône « intersection de deux surfaces » (G), puis sur les plans α et β de la figure ; la droite d’intersection « f » apparaît sur le graphique. Des équations paramétriques sont affichées dans la fenêtre « Algèbre » sous la forme « f: X = (1.58, 0.42, 0.17)  x = 1, 58 - r  + λ (– 1, 1, – 2) », ce qu’on peut traduire f ≡  y = 0, 42 + r .  z = 0,17 - 2r • Répéter la démarche pour les plans α et …, ce qui donne la droite « g » dont des équations paramétriques sont « g: X = (3, x = 3+ s  – 1, 2) + λ (1, – 1, 0) », ce qui correspond à f ≡  y = -1 - s.  z = 2 • On détermine alors le point d’intersection des deux droites qui est le point commun aux trois plans. Pour en déterminer les coordonnées, on affiche la barre d’outils « graphique » et on clique sur l’icône « Point » (2) ; dans le menu déroulant, on sélectionne « intersection » et on clique dans le graphique sur les droites « f » et « g ». Le point d’intersection A est indiqué sur le graphique et ses coordonnées apparaissent dans la fenêtre Algèbre. Les trois plans ont un seul point commun, le point A(2,5 ; – 0,5 ; 2). • En demandant l’intersection des plans β et γ, on peut vérifier que les trois droites d’intersection sont concourantes. On peut modifier les préférences de tous éléments apparaissant sur la figure via « CTRL+E ». Dans la fenêtre qui s’affiche (fig. 33), les différents éléments apparaissent dans la partie gauche ; on accède aux préférences d’un élément d’un clic droit sur celui-ci (un clic gauche efface l’affichage de l’élément sur la figure).

Ci-dessous (fig. 34), la page obtenue pour les données de l’exemple.

fig. 33

fig. 34

142

4. Géométrie analytique de l’espace

B. Utiliser un tableur pour résoudre un système par la méthode de Gauss  2 x - 4 y + 9 z = 28  Résoudre le système  7 x + 3 y - 6z = -1 par la méthode de Gauss.  7 x + 9 y - 9z = 5  1re étape Écrire la matrice associée du système 2e étape Transformer la 1re colonne (conserver la 1re ligne et faire apparaître un 0 dans la 1re colonne en 2e et 3e lignes)

fig. 35

1) Sélectionner la plage A8:D8 (placer la souris en A8, tirer vers la droite) et écrire = (il s’écrit dans A8), puis sélectionner A3:D3. Il faut transformer la formule en formule matricielle pour que le résultat s’applique à la zone sélectionnée, ce qui se fait en enfonçant les trois touches Ctrl Maj Enter (des accolades entourent alors la formule). 2) Sélectionner la plage A9:D9 et écrire =, sélectionner A3, écrire *, sélectionner A4:D4, écrire –, sélectionner A4, écrire *, sélectionner A3:D3 (dans la barre de formules apparaît =A3*A4:D4– A4*A3:D3), valider par Ctrl Maj Enter. 3) Sélectionner la plage A10:D10 et écrire =, sélectionner A3, écrire *, sélectionner A5:D5, écrire –, sélectionner A5, écrire *, sélectionner A3:D3 (dans la barre de formules apparaît =A3*A5:D5–A5*A3:D3), valider par Ctrl Maj Enter. On obtient alors la fig. 36

fig. 36

3e étape Transformer la 2e colonne (conserver la 2e ligne et faire apparaître un 0 dans la 2e colonne en 1re et 3e lignes) 1) Sélectionner A13:D13 et écrire =B9*A8:D8–B8*A9:D9 (les cellules sont sélectionnées à l’aide de la souris). Valider comme formule matricielle. 2) Sélectionner A14:D14 et écrire =A9:D9. Valider comme formule matricielle. 3) Sélectionner A15:D15 et écrire =B10*A9:D9– B9*A10:D10. Valider comme formule matricielle. On obtient alors la fig. 37

fig. 37

Outils numériques

143

4e étape Transformer la 3e colonne (conserver la 3e ligne et faire apparaître 0 dans la 3e colonne en 1re et 2e lignes) 1) S électionner A18:D18 et écrire =C15*A13:D13-C13*A15:D15. Valider comme formule matricielle. 2) S électionner A19:D19 et écrire =C14*A15:D15– C15*A14:D14. Valider comme formule matricielle. 3) S électionner A20:D20 et écrire =A15:D15. Valider comme formule matricielle. On obtient la fig. 38

fig. 38

5e étape Si A18, B19 et C20 sont tous non nuls, on peut écrire la solution. 1) Sélectionner A23:D23 et écrire =A18:D18/A18. Valider comme formule matricielle. 2) Sélectionner A24:D24 et écrire =A19:D19/B19. Valider comme formule matricielle. 3) Sélectionner A25:D25 et écrire =A20:D20/C20. Valider comme formule matricielle. La solution du système est écrite dans les cellules D23 à D25 (fig. 39). Pour le système donné, on a (x ; y ; z) = (2 ; 3 ; 4).

Remarques 1) Si, au cours des transformations, on obtient une matrice dont une ligne est entièrement constituée de 0, le système est indéterminé. On se réfère alors à la synthèse pour écrire les solutions. 2) Si, au cours des transformations, on obtient une matrice avec une ligne dont les termes des trois premières colonnes (A, B et C) sont nuls, et celui de la colonne des termes indépendants (colonne D) est non nul, le système est impossible, il n’a pas de solution. Le programme ci-dessus permet de résoudre tout système de 3) 3 équations linéaires à 3 inconnues. On change les données dans la 1e étape ; les étapes suivantes sont automatiquement adaptées.

144

4. Géométrie analytique de l’espace

fig. 39

Exercices Pour tous les exercices, l’espace est rapporté à un repère orthonormé.

Connaître 1

Travailler dans le repère Utiliser le trièdre des plans du repère ou le cube unité pour résoudre les exercices suivants. a. Donner des équations cartésiennes des plans et des axes d’un repère de l’espace. b. Écrire une équation cartésienne du plan : 1) p1 parallèle au plan xOy et situé 3 unités en dessous de celui-ci ; 2) p2 parallèle au plan yOz et passant par le point (4 ; – 3 ; 2) ; 3) p3 perpendiculaire à l’axe Oz au point (0 ; 0 ; 6) ; 4) p4 parallèle au plan xOz et situé 6 unités derrière celui-ci. c. Écrire des équations cartésiennes de la droite : 1) d1 parallèle à l’axe Oz et passant par le point (1 ; 2 ; 3) ; 2) d2 perpendiculaire au plan xOz et passant par le point (– 1 ; 2 ; 4).

Équations de droites : d’une forme à l’autre Établir les différentes formes d’équations de la droite AB en justifiant les étapes successives lorsque a. A(1 ; 2 ; – 3) et B(0 ; 4 ; 5)

b. A(1 ; 2 ; 3) et B(– 1 ; 0 ; 3).

Points d’une droite  x = 1+ r  a. On donne d ≡  y = 1 - 2r .  z = -3 + r  Calculer les coordonnées des points A, B et C de la droite d : 1) A d’abscisse – 3

2) B d’ordonnée 5

b. Même question si d ≡

x +1 z-2 = -y -1 = . 3 4

3) C de cote 0.

 x - 2 y + 3z = 6 . c. On donne d ≡   2 x + y - 4 z = -3 Calculer les coordonnées des points A, B et C de la droite d : 1) A d’abscisse 1

2) B d’ordonnée – 2

3) C de cote 3. Exercices

145

Équations de plans : d’une forme à l’autre Soit le plan p défini par les points A(1 ; 1 ; –1), B(2 ; 2 ; 0) et C(2 ; 5 ; 2). a. Vérifier que ces points ne sont pas alignés. b. Établir les différentes formes d’équations du plan p en justifiant les étapes successives.

Points d’un plan a. On donne α ≡ 3 x + 2 y - 5z = - 4 . Déterminer les coordonnées des points A, B et C de ce plan si 1) A d’abscisse 3 et d’ordonnée 1 2) B d’ordonnée 4 et de cote 1 3) C d’abscisse –5 et de cote 3. b. On donne α ≡ 2 x - 3 y + z = 1. 1) Calculer les coordonnées de deux points de ce plan. 2) En déduire les composantes d’un vecteur directeur du plan.

Trace d’un plan a. Représenter la trace du plan α ≡ 3 x + 2 y + 2z = 6 sur les plans d’un repère dessiné en perspective. b. On donne les points d’intersection A, B et C d’un plan π avec les trois axes du repère : A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 3 ; 0) et C(0 ; 0 ; – 2). y z Vérifier que l’équation x + - = 1 est une équation du plan π. 3 2 c. Soit trois réels non nuls a, b et c. Déterminer les points d’intersecx y z tion du plan p ≡ + + = 1 avec les axes du repère. a b c

Vrai ou faux ? Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Justifier. a. Tout multiple d’un vecteur directeur d’une droite est un vecteur directeur de cette droite. b. Si p ≡ ax + by + cz = d (a, b et c non tous nuls), alors le vecteur  a   n  b  est normal au plan π.  c  

146

4. Géométrie analytique de l’espace

 2 x - 4 y + 3z - 1 = 0 c. Le système  est un système d’équations  3 x - 6 y + 4, 5z + 7 = 0 cartésiennes d’une droite.

Parallélisme et orthogonalité : vrai ou faux ? Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier. a. Deux droites sont parallèles si elles ont un même vecteur directeur. b. Le vecteur n est normal au plan π signifie que n est un vecteur directeur d’une droite d parallèle au plan π. c. Deux plans sont parallèles si un vecteur directeur de l’un est un vecteur directeur de l’autre. d. Deux plans sont orthogonaux si un vecteur normal à l’un est un vecteur directeur de l’autre. e. Deux plans sont orthogonaux si un vecteur normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal à l’autre. f. Une droite est perpendiculaire à un plan si un vecteur directeur de la droite est un vecteur normal au plan. g. Deux plans sont parallèles s’ils ont un même vecteur normal. h. Deux droites parallèles à un même plan sont parallèles. i. Si une droite d1 est orthogonale à une droite d2 d’un plan π, alors elle est orthogonale au plan π.

Appliquer 9

Représenter Représenter dans un repère orthonormé les figures définies par les équations suivantes. Série 1 a. x = 0

d. y + 1 = 0

g. x + z = 0

b. x - 2 = 0

e. z - 3 = 0

h. y - z = 0

c. z = 0

f. x - y = 0

i. x + y = 0

Série 2 x = 0 a.  y = 0

x- 2 = 0 b.  z = 0

x+ 2 = 0 c.  y-3 = 0

y-5 = 0 d.  z -1 = 0 Exercices

147

Équations cartésiennes de droites Série 1 Écrire des équations paramétriques et des équations cartésiennes d’une droite passant par le point A(1 ; 2 ; – 3)  2 a. de vecteur directeur u  1     -1 b. parallèle à la droite d ≡ c. parallèle à l’axe Ox

x -1 y + 2 = z +1 = 3 5

d. parallèle à l’axe Oy e. parallèle à l’axe Oz. Série 2 Écrire des équations cartésiennes d’une droite passant par les points a. A(1 ; – 1 ; 2) et B(3 ; 1 ; 4) b. A(1 ; 0 ; 3) et B(1 ; 3 ; – 4) c. A(– 1 ; 2 ; 3) et B(– 1 ; 5 ; 3). Série 3 Écrire des équations paramétriques et des équations cartésiennes de la droite a. d’intersection des plans xOy et p ≡ 3 x - 2 y + z = 1.

 -1 b. passant par le point A(2 ; – 1 ; 3) et de vecteur directeur u  2  .    -1 c. passant par les points A(3 ; – 1 ; 2) et B(2 ; 1 ; – 1). d. comprenant le point M(1 ; 0 ; – 1) et orthogonale au plan p ≡ 2 x - y + 3z + 4 = 0 .

Équations de plans Série 1 Écrire une équation cartésienne du plan a. comprenant l’axe Ox et passant par le point P(– 1 ; 2 ; 3) b. passant par les points A(2 ; – 1 ; 1) et B(3 ; 1 ; 2) et parallèle à l’axe Oy c. passant par le point A(1 ; – 1 ; – 2) et parallèle au plan p ≡ 2 x - 3 y + 5z = 1

148

4. Géométrie analytique de l’espace

d. passant par les points A(3 ; – 1 ; 2), B(4 ; – 1 ; – 1) et C(2 ; 0 ; 2) Indication Vérifier d’abord que les trois points ne sont pas alignés. comprenant le point A(– 1 ; 2 ; – 3) et de vecteurs directeurs e. 1 1   u  0  et v  2  .   4 1     Série 2 Écrire une équation cartésienne du plan 1 a. passant par le point A(2 ; – 1 ; – 1) et de vecteur normal n  0    1   b. passant par le point A(2 ; – 1 ; 3) et perpendiculaire à la droite de  3   vecteur directeur u –1     – 4   c. passant par le point A(1 ; 2 ; – 1) et orthogonal à la droite AB avec B(3 ; – 4 ; – 2).

Points, plans et droites a. Quelle valeur faut-il donner à m

pour que le point A ( 2m - 3 ; m + 1 ; 1 - 2m ) appartienne au plan p ≡ 2 x - 3 y - z + 1 = 0 ?

b. Calculer a et b pour que le point A ( 1 - 2a ; b + 2 ; a - 4 b ) appartienne à la droite d ≡

x - 2 y z -1 = = . 4 2 3

c. Calculer a et b pour que le point A ( 1 - 2a ; b + 2 ; a - 4 b ) appar x = 2r - 1  tienne à la droite d ≡  y = r .  z = 3r + 1

Exercices

149

Associer plan et équation Associer chaque équation donnée au plan correspondant (fig. 40 à 45). a. 6 x + 3 y + 4 z = 12

c. 3x + 2y – 6 = 0

e. 3 x + 4 y + 3z = 12

b. z - 2 = 0

d. 5 x + y + z = 5

f. 3 x - 2 y + 2z - 6 = 0

1 1

fig. 40

fig. 42

Plan 2

Plan 3

fig. 43

Plan 4

fig. 41

Plan 1

fig. 44

fig. 45

Plan 6

Plan 5

Plans parallèles ? Plans perpendiculaires ? Parmi les équations suivantes, préciser celles qui définissent des plans parallèles et celles qui définissent des plans perpendiculaires.

a. p1 ≡ 2 x - 3 y + 5z = 7

d. p 4 ≡ x - 2z = 5

g. p7 ≡ 2 x - 4 z + 3 = 0

b. p 2 ≡ -3 x - y + 2z = 1

e. p5 ≡ 2 x - 5 y + z = 3

h. p8 ≡ x + 2z = -3

c. p3 ≡ x - y - z = 2

f. p6 ≡ 3 x + y - 2z = 8

Intersections a. Écrire des équations paramétriques de la droite d’intersection des plans α ≡ 2 x + y - z - 3 = 0 et β ≡ x + y + z - 1 = 0. b. Déterminer les coordonnées du point de percée de la droite  2x + y - z = 3 d≡ dans chacun des plans du repère Oxyz.  x + y + z = -1

150

4. Géométrie analytique de l’espace

c. Déterminer les coordonnées du point de percée de la droite passant par les points A(–2 ; 1 ; 2) et B(0 ; 3 ; 2) dans le plan p ≡ 2 x - y + 3z - 2 = 0 . d. Calculer les coordonnées du point d’intersection des droites y -1 z -1 x-2 z-4 d1 ≡ x - 1 = = et d2 ≡ = y-3 = . 2 3 2 4 e. Quelle est la position relative des droites x = 3+ t y +1  et d2 ≡ x - 4 = d1 ≡  y = t = 4 - z ? 6  z = 1 + 3t  f. Quelle est la position relative des droites x = 5- r x = 4+ s   d1 ≡  y = 1 - 4 r et d2 ≡  y = -1 + 6 s ?  z = 1 + 2r z = 4 - r   g. Quelle est la position relative des droites  x = 3 + 2r  x = -1 + 4 s   d1 ≡  y = -1 + r et d2 ≡  y = 2s ? z = 1- r  z = 4 - 2s  

Parallélisme…  x = -2 + 3r  a. Vérifier que la droite d ≡  y = 1 - 4 r est parallèle au plan  z = -5 + 4 r  p ≡ 4 x - 3 y - 6z - 5 = 0 .  5 x - 3 y + 2z - 5 = 0 b. Vérifier que la droite d ≡  est incluse dans le  2x - y - z - 1 = 0 plan p ≡ 4 x - 3 y + 7z - 7 = 0 . c. Quelle valeur faut-il donner à m pour que les plans p1 ≡ mx + ( m + 6) y + 2z - 1 = 0 et p 2 ≡ 3 x + my - 2z + 5 = 0 soient parallèles ?

Orthogonalité Déterminer m pour que a. les droites d1 ≡ orthogonales ;

x-2 z x+2 y = = z + 1 et d2 ≡ = y+2 = soient 3 2 2 m

b. les plans p1 ≡ x + my - z + 5 = 0 et p 2 ≡ 2mx - y + 2z = 0 soient perpendiculaires. Exercices

151

Interpréter les solutions Résoudre les systèmes suivants et interpréter géométriquement l’ensemble de solutions.  x - 2y + z - 7 = 0  a.  2 x + y - z + 2 = 0  x - 3 y + 2z - 11 = 0 

 x - y + 2z = 1  c.  x + 12 y + z = 5  3 x - 12 y + 8z = 1 

 7 x + 4 y + 7z + 1 = 0  b.  2 x - y - z + 2 = 0  x + 2 y + 3z - 1 = 0 

 x - 2 y + 3z = 3  d.  2 x + 3 y - 2z = 6  4 x - y + 4 z = 12 

Transférer 19

Section plane d’un cube On considère un cube OABCDEFG dont les arêtes sont de longueur 3. a. Dessiner le cube en perspective cavalière. b. Placer sur les arêtes les points P, Q et R définis par les relations 2 2 1 suivantes : AP = AB, FQ = FG, DR = DG. 3 3 3 c. Construire la section plane du cube par le plan (PQR). d. Écrire une équation cartésienne du plan (PQR). e. Vérifier la précision du tracé de la section en calculant les coordonnées des points d’intersection de ce plan avec les arêtes du cube.

Tétraèdre On donne trois points A(3 ; 0 ; 3), B(3 ; 3 ; 0) et C(0 ; 3 ; 3). Ces trois points forment un tétraèdre avec l’origine du système d’axes. a. Représenter ce tétraèdre. b. Ce tétraèdre est-il régulier ? Justifier la réponse en calculant la longueur des arêtes. c. Écrire des équations paramétriques et une équation cartésienne du plan (ABC). d. Calculer la distance du point O(0 ; 0 ; 0) au plan (ABC).

152

4. Géométrie analytique de l’espace

Cerf-volant

Dans le plan xOy, on trace un carré OABC de côté 2. Sur l’axe Oz, on considère le point D de cote 2. La pyramide OABCD est représentée sur la fig. 46.

a. Le plan π, passant par le point O et orthogonal à la droite DB, coupe les arêtes AD en E, DB en F et CD en G. Vérifier que le quadrilatère OEFG est un « cerf-volant », c’est-à-dire un quadrilatère ayant deux paires de côtés adjacents de même longueur.

F E

b. Vérifier que les diagonales du cerf-volant sont perpendiculaires. c. Dessiner le quadrilatère OEFG en vraie grandeur. x

fig. 46

Sélection… Une épreuve de sélection est organisée dans le cadre d’un jeu télévisé. Les candidats doivent répondre à trois questionnaires, cotés sur 20, mais avec des pondérations différentes. Le premier questionnaire porte sur l’histoire des sciences et des techniques (pondération 2), le deuxième sur la géographie de l’Europe (pondération 1) et le dernier comprend des questions de culture générale (pondération 2). Un candidat est sélectionné s’il a obtenu au moins 50 points sur 100. Les notes possibles d’un candidat dans chacune des matières sont représentées par les variables x (histoire des sciences et techniques), y (géographie) et z (culture générale). Un point P(x , y , z) est associé à chaque candidat.

G R

a. Dans quelle partie de l’espace sont situés les points P ? b. Dans quelle partie de l’espace sont situés les points associés aux candidats ayant obtenu 50 points ?

z D(0 , 0 , 20) S F

C(0 , 20 , 0) y

O N A(20 , 0 , 0)

c. Dans la fig. 47, on a tracé la section du cube OABCDEFG de côté 20, par le plan d’équation 2 x + y + 2z = 50 . Quelles sont les notes des candidats représentés par les côtés du polygone ?

Q T

B fig. 47

d. Quelle est la partie de l’espace qui correspond aux candidats qui ont réussi la sélection ? e. Vu le faible taux de réussite, le jury décide de ramener la note globale de sélection à 40 points. Refaire la fig. 47 en tenant compte de cette nouvelle donne.

Exercices

153

Une application topographique… Les courbes de niveau Lorsqu’on coupe une surface de l’espace par un plan d’équation z = k, on obtient une courbe plane. Cette courbe plane, projetée dans le plan xOy, est appelée courbe de niveau k. Cette représentation est utilisée en géographie pour représenter les reliefs et la profondeur des lacs et océans. Le relief étudié est coupé à intervalles réguliers par des plans horizontaux, qui sont projetés sur le plan de niveau zéro. Lorsqu’on se promène le long d’une courbe de niveau, on ne change pas d’altitude.

EN PLAN 1/10 000 ligne de coupe

EN COUPE 150 145 140 altitude en m 1/1 000

135 130 125 120

distance en m 1/10 000

fig. 48

Les figures ci-dessous donnent la représentation, réalisée par a. un tableur, d’une surface conique et de ses courbes de niveau. Les légendes, à droite des graphiques, permettent de repérer sur les graphiques, les zones comprises entre deux courbes de niveau. Expliquer pourquoi les courbes de niveau sont des cercles concentriques équidistants. 5

4-5

3-4

2-3

2 1

1 0 4 –3 –2 –1 –5 –-4 –1 0 –2 –3

–1 1

–5 5

1-2 0-1 -1-0 -2--1 -3--2

fig. 49

b. Dessiner les courbes de niveau d’une demi-sphère de 5 cm de rayon et d’un cylindre droit de 5 cm de rayon (les plans de coupe sont distants d’un cm). c. L’indice de masse corporelle est une grandeur qui permet d’estimer la corpulence d’une personne. Il est aussi appelé indice de Quételet, du nom du célèbre mathématicien et statisticien belge Adolphe Quételet (1796-1874). Cet indice est calculé en fonction de la taille et de la masse de la personne observée. Il s’obtient par poids la relation IMC = (rapport du poids1 en kg au carré de la 2 taille 1. Il s’agit de la masse.

154

4. Géométrie analytique de l’espace

taille exprimée en m). Le tableau ci-contre (source OMS) donne une interprétation de cet indice pour des personnes de taille normale âgées de 18 à 65 ans. On désigne la taille par la variable x, le poids par la variable y et l’IMC par la variable z. Représenter dans un plan xOy les courbes de niveau de la surface y d’équation z = 2 pour faire apparaître sur le graphique les interx prétations de l’IMC (1, 4 ≤ x ≤ 2,1 ; 25 ≤ y ≤ 120 ). Interprétation de l’IMC IMC (kg · m–2)

Interprétation

moins de 16,5

dénutrition

16,5 à 18,5

maigreur

18,5 à 25

corpulence normale

25 à 30

surpoids

30 à 35

obésité modérée

35 à 40

obésité sévère

plus de 40

obésité morbide ou massive

Contrat rivière Dans le cadre du contrat rivière, vingt-six jeunes ont accepté de nettoyer les abords d’un ruisseau. Le service de gestion leur a fourni des sacs et a même décidé de leur offrir une légère indemnité de 2 € par heure de travail prestée. Les jeunes sont répartis en trois équipes dont les responsables sont Alain, Béatrice et Claudio. Tous les membres de l’équipe d’Alain ont travaillé 8 heures et ont ramené chacun 3 sacs. Ceux de l’équipe de Béatrice ont travaillé 10 heures et ont ramené chacun 4 sacs. Les membres de l’équipe de Claudio ont travaillé 4 heures et ont ramené chacun 2 sacs. Le service de gestion a dépensé 344 € et a récolté 72 sacs de déchets. Combien y avait-il de jeunes dans chaque équipe ?

Retrouver leur âge On demandait à quelqu’un son âge, ainsi que celui de son père et de son grand-père. Il répondit : mon âge et celui de mon père font ensemble 56 ans ; mon père et mon grand-père ont ensemble 100 ans ; enfin mon âge et celui de mon grand-père font ensemble 80 ans. Déterminer l’âge de chacun. Exercices

155

Match de foot Plusieurs supporters ont décidé d’assister au prochain match de football de leur équipe favorite. Il y a trois tarifs : étudiant, abonné ou tarif général. Le groupe comprend 3 abonnés et 2 étudiants ; les 5 autres personnes paient le tarif général. Un des membres du groupe s’est proposé d’acheter les places et paie 133 €. Au match suivant, un abonné et un étudiant sont absents. Le prix total des places s’élève alors à 110 €. Tous les membres du groupe sont présents pour le troisième match, mais un des étudiants a oublié sa carte et doit donc payer le tarif général ; le prix total des places est alors de 137 €. Quel est le prix d’une place dans chaque catégorie ?

Atelier de maroquinerie Un atelier de maroquinerie vient de fabriquer mille sacs de voyage. Pour fabriquer un sac du modèle économique, il faut des matières premières pour un montant de 20 € et 6 heures de travail ; pour le sac standard, il faut 25 € de matières premières et 10 heures de travail. Le sac de luxe coûte 30 € en matières premières et nécessite 20 heures de travail. L’entreprise a consacré 20 700 € à l’achat des matières premières et les ouvriers ont presté 6 800 heures. Déterminer le nombre de sacs fabriqués dans chaque catégorie.

Détaillant en vins Un détaillant en vins a commandé 96 bouteilles de vin rosé, 72 bouteilles de vin blanc et 180 bouteilles de vin rouge à une coopérative. Cette commande lui est livrée en trois fois. À la première livraison, le détaillant reçoit 40 bouteilles de rosé, 24 bouteilles de blanc et 90 bouteilles de rouge et il paie 1 408 €. À la deuxième livraison, on lui fournit 25 bouteilles de rosé, 30 de blanc et 54 de rouge ; il paie 1042 €. La facture de la troisième livraison qui couvre le solde de sa commande s’élève à 814 €. Quel était le prix d’achat des différentes bouteilles de vin ?

156

4. Géométrie analytique de l’espace

Probabilité

Les questions suscitées par les jeux de hasard, en vogue dans la bourgeoisie du xviie siècle, sont à l’origine de l’étude des Probabilités. Le vocabulaire utilisé en probabilités y fait d’ailleurs référence : le mot hasard tient son origine dans l’arabe az-zaher (« dé à jouer »), le mot latin alea signifie « jeu de dés » et chance vient du latin cadere (« tomber »). On situe généralement la naissance des probabilités à l’échange de correspondance entre Blaise Pascal (1623-1662) et Pierre de Fermat (1601-1665) ; ils y relataient leur raisonnement en réponse à une question du Chevalier de Méré, joueur assidu, qui se demandait comment répartir les mises d’un jeu dont les parties avaient dû être interrompues avant la fin. Le premier traité de probabilités est publié par Christiaan Huygens (1629-1695) en 1657. Il est suivi par l’Ars Conjectandi (« L’art de conjecturer »), œuvre posthume de Jacques Bernoulli (1654-1705) à qui l’on doit la loi des grands nombres. Cette loi permet de définir une probabilité a posteriori : lorsqu’on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d’un résultat se stabilise vers une valeur qu’on appelle « probabilité » de ce résultat. Blaise Pascal à l’âge de 25 ans. Gravure de Domat (Paris, 1845)

Le concept de probabilité s’est progressivement mathématisé sous l’impulsion d’autres mathématiciens. On peut citer Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), Adolphe Quételet (1796-1874), Andreï Kolmogorov (1903-1987). La notion de probabilité apparaît sous deux formes. D’une part, la probabilité d’un événement peut être une valeur théorique, « limite » d’une fréquence, établie à la suite d’un très grand nombre d’expériences ; c’est ainsi qu’ont été découvertes plusieurs lois scientifiques, que sont construites des tables d’assurance… D’autre part, la probabilité d’un événement peut être déduite de symétries ou de régularités dans l’énoncé du problème : ainsi, lorsqu’on lance un dé parfaitement équilibré, on a une chance sur six d’avoir le résultat 1 (ou n’importe quel autre résultat de 1 à 6). Les domaines d’application des probabilités sont nombreux et variés : contrôle de qualité ou de fabrication, diagnostic médical, finances, assurances… sans oublier les jeux de hasard. Introduction

157

Exploration 1

Dé truqué ? On a lancé un dé cubique un très grand nombre de fois et noté, au fur et à mesure, le numéro de la face supérieure. Les résultats sont repris dans le tableau. Face Nombre de lancers 2 400

12 000

60 000

240 000

Nombre d’observations

416

229

406

411

559

379

Fréquence

0,173

Nombre d’observations

2 028

1 164

2 016

2 040

2 832

1 920

10 079

5 880

10 021

10 078

14 223

9 719

39 841

23 759

39 837

39 840

57 122

39 601

Fréquence Nombre d’observations Fréquence Nombre d’observations Fréquence tab. 1

a. Compléter le tableau

tab. 1 en y indiquant les fréquences.

b. La fréquence d’apparition de chaque face semble se stabiliser lorsqu’on augmente indéfiniment le nombre de lancers. Cette fréquence limite s’appelle probabilité. Estimer la probabilité de chaque face de ce dé. c. Que penser de la régularité de ce dé ?

Lancer un dé bien équilibré On lance un dé bien équilibré un grand nombre de fois et on note le numéro de la face supérieure. Dans la rubrique « Outils numériques », on explique comment simuler avec un tableur autant de lancers de dés qu’on le souhaite. La fig. 1 est un graphique qui relate les résultats de 100 lancers d’un dé. La fig. 2 montre les résultats de 1 000 lancers et la fig. 3 ceux de 10 000 lancers.

158

5. Probabilité

0,25 0,2 0,15

0,1 0,05

6 fig. 1

fig. 2

6 fig. 3

a. Quels commentaires peut-on faire à propos de ces résultats ? Si l’on fait de nouvelles simulations avec le même programme et pour le même nombre d’expériences, obtiendra-t-on exactement les mêmes diagrammes ? Discuter. b. Ainsi, quand on lance un dé parfaitement équilibré, les événements élémentaires « obtenir 1 », « obtenir 2 », …, « obtenir 6 » ont la même probabilité ; ils sont équiprobables. 1) Quelle est la probabilité d’apparition de chaque face ? 2) Calculer les probabilités P(A) et P(B) des événements A « obtenir un multiple de 3 » et B « obtenir un nombre premier ». 3) Comment peut-on décrire les événements « A ou B » et « A et B » ? Quelles sont leurs probabilités ? Peut-on écrire P(A ou B) = P(A) + P(B) ?

Dans les dés asiatiques, la face 1 possède un trou plus grand que les autres pour éviter un déséquilibre du dé.

Lancer deux dés a. On considère l’expérience aléatoire : lancer simultanément deux dés bien équilibrés, l’un orange et l’autre noir, et observer le résultat affiché sur la face supérieure de chaque dé. Alicia et Paul décident de se prêter au jeu. Alicia gagne si la somme des résultats donnés par les deux dés vaut 8 et Paul gagne si la somme est 5. 1) Présenter tous les résultats du lancer des deux dés sous forme d’un diagramme cartésien. Quelle est la probabilité de chaque résultat ? 2) Qui a le plus de chances de gagner la partie ? Justifier. b. On a simulé l’expérience « lancer deux dés et observer la somme des résultats » à l’aide d’un tableur (voir « Outils numériques »). Les fig. 4 à 6 illustrent les fréquences d’apparition des différentes sommes pour 100, 1 000 et 5 000 lancers.

Exploration

159

18,00% 16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00%

fig. 4

18,00% 16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00%

10 11 12

100 lancers 18,00% 16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00%

10 11 12

Synthèses 1 à 5 Exercices 1 à 5, 10 à 12, 19

Une urne contient 4 boules blanches, 6 boules noires et 2 boules rouges indiscernables au toucher. a. On tire une boule au hasard dans l’urne et on note sa couleur, puis on tire une seconde boule de l’urne sans remettre la première et on note également sa couleur. On peut représenter la situation sous forme d’un diagramme en arbre (fig. 7). On indique, sur un premier niveau, le résultat du premier tirage et, sur chaque branche, la probabilité correspondante ; puis, sur un second niveau, le résultat du second tirage et les probabilités. Recopier et compléter l’arbre pour calculer les probabilités des événements suivants : 1) A : « les deux boules tirées sont blanches » ; 2) B : « la première boule est noire et la seconde est rouge » ; 3) C : « au moins une boule est rouge ».

fig. 5

fig. 6

Des boules de couleur…

5. Probabilité

10 11 12

Estimer, en se basant sur la fig. 6, la probabilité d’obtenir un total égal à 5, un total égal à 8. Comparer les résultats avec ceux obtenus en a.1).

160

1 000 lancers

5 000 lancers

B N R

4 12 6 12

3 11

B N

N R

2 12

B R

N R fig. 7

b. On remet la première boule tirée dans l’urne avant de tirer la seconde boule. 1) Les probabilités des événements A, B et C sont-elles identiques ? Justifier. 2) On sait que la première boule tirée est noire. Quelle est alors la probabilité de l’événement « la seconde boule tirée est rouge » ? Comparer ce résultat avec celui obtenu en a.2). Le fait d’avoir obtenu une boule noire au premier tirage n’influence pas la probabilité d’obtenir une boule rouge au second tirage. Ces deux événements sont indépendants. c. L’événement « aucune des boules n’est blanche » est l’événement contraire de l’événement A : « au moins une des boules est blanche » ; il est noté A . Comment calculer P A connaissant P ( A ) ?

( )

Synthèse 6 Exercices 6, 13

Lecture préférée… a. Une enquête menée auprès de 120 élèves de sixième secondaire à propos de leur lecture a donné les résultats suivants : – 61 élèves ont lu un roman de Stephen King ; – 47 élèves ont lu un roman de la suite Millenium ; – 28 élèves ont lu un livre de chaque série. On définit les événements K : « l’élève a lu un roman de Stephen King », M : « l’élève a lu un roman de la suite Millenium » et A : « l’élève a lu un livre de chaque série ». 1) Compléter le diagramme de Venn (fig. 8) en indiquant dans chaque partie le nombre d’élèves correspondant. A=K∩M M K

Ω

fig. 8

2) Déterminer le nombre d’élèves n’ayant lu aucun livre de ces séries. 3) On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu’il n’ait lu aucun livre de ces séries ? Exploration

161

b. On peut aussi résoudre ce problème au moyen d’un tableau à double entrée. Pour ce faire, il faut considérer les événements et leurs contraires à savoir K: « l’élève n’a pas lu de roman de Stephen King » et M « l’élève n’a pas lu un roman de la suite Millenium ». 1) Recopier et compléter le tableau (tab. 2). K M

Totaux

120

M Totaux

tab. 2

2) Définir l’événement (M et K). Quelle est la probabilité de cet événement ?

Synthèses 7 et 8 Exercices 7 à 9, 14 à 19

Choix d’une langue… En deuxième année d’études supérieures, les étudiants doivent commencer l’apprentissage d’une troisième langue. Leur choix est présenté dans le tableau ci-dessous. Espagnol

Chinois

Russe

Filles

Garçons

Totaux

96 tab. 3

a. Recopier et compléter le tableau (tab. 3). b. On choisit un étudiant au hasard. Quelle est la probabilité de l’événement A « l’étudiant apprend le chinois » ? de l’événement B « l’étudiant est une fille » ? c. Définir l’événement (A et B). Quelle est la probabilité de cet événement ? Comparer P(A et B) avec P(A) × P(B). Si on cherche la probabilité qu’un étudiant pris au hasard étudie le chinois sachant que c’est une fille, on limite les résultats possibles à l’ensemble des filles. Ce type de probabilité s’appelle une probabilité conditionnelle. Elle est notée P(A si B) ou P(A | B), se lit « probabilité de A sachant B » et exprime la probabilité que l’événement A se produise sachant que l’événement B s’est réalisé. d. Calculer cette probabilité et vérifier que P( A si B) = Remarque P( A ∩ B) Cette égalité se note aussi P( A|B) = P(B) 162

5. Probabilité

P( A et B) . P(B) Synthèses 9 et 10 Exercices 20 à 38

Synthèse 1

Qu’appelle-t-on expérience aléatoire ? Qu’appelle-t-on événement ?

5.1 Expérience aléatoire

5.2 Catégorie d’épreuve(s)

Exemple

5.3 Événement

Exemples

Synthèse

163

Remarque

5.4 Événement élémentaire Exemple

5.5 Événement impossible

Exemple 5.6 Événement certain Exemple 5.7 Événements contraires

A Exemple =

Quelles sont les notions importantes relatives aux événements ?

5.8 Opérations sur les événements A∪B ( A ou B ) A et B

164

5. Probabilité

( A ∩ B)

Exemple

5.9 Événements indépendants

Exemple

5.10 Événements incompatibles

Exemple

Qu’appelle-t-on probabilité d’un événement ? Comment la déterminer ?

Exemple

Synthèse

165

Fréquence de l’événement « pile » 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 fig. 9

166

5. Probabilité

b. Exemples 1 6

P (A) =

14 26

Quelles sont les propriétés des probabilités ?

Synthèse

167

P ( A ou B ) = P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A et B )

P ( A ou B ) = P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P B Ae

( )

P A = 1− P (A)

P ( A et B) = P ( A ∩ B) = P ( A ) × P (B)

Qu’appelle-t-on cas d’équiprobabilité ? Comment alors calculer la probabilité d’un événement ? 5.11 Équiprobabilité

1 n Exemples 1)

1 . 6

Remarque

P (A) =

168

5. Probabilité

nombre de cas favorables nombre de cas possibles

Exemples 1)

P ( A ) = P ({3}) + P ({4}) + P ({5}) + P ({6}) =

P (A) = 2)

P (A) =

14 . 26

1 1 1 1 1 4 + + + = 4⋅ = 6 6 6 6 6 6

4 6

1 26

Exemple (contre-exemple)

P (E) =

5 11

Comment déterminer une probabilité à l’aide d’un arbre pondéré ?

Exemple

Synthèse

169

3 7

Bleue

4 7

3 7

4 7

3 7

Orange

premier tirage

4 7

170

5. Probabilité

Orange

Bleue

Orange

second tirage

P (A) =

P (E) =

Bleue

3 4 12 ⋅ = 7 7 49

3 4 4 4 12 16 28 ⋅ + ⋅ = + = 7 7 7 7 49 49 49

OO résultats possibles

fig.10

Comment déterminer une probabilité à l’aide d’un diagramme de Venn ?

Exemple

E∩F

(32)

(23)

Ω

(17) (48)

fig. 11

P (A) =

résultats favorables 32 = = 0, 2667 résultats possibles 120

P ( B) = P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P (F ) − P ( E ∩ F ) =

55 40 23 72 + − = = 0, 6 120 120 120 120

Synthèse

171

Comment calculer une probabilité à l’aide d’un tableau à double entrée ?

Exemple

32 tab. 4

P (A) =

résultats favorables 25 5 = = résultats possibles 60 12

Remarque

Qu’appelle-t-on probabilité conditionnelle ?

Exemple ♥

172

5. Probabilité

♦

♥

P (E) =

1 52 ♥

1 13

5.12 Probabilité conditionnelle

5.13 Événements indépendants

Comment déterminer une probabilité conditionnelle ?

Exemple

P (B | A ) =

15 28

15 15 60 P ( B ∩ A P (B | A ) = = = 28 28 P (A) 60

)

Synthèse

173

P (B | A ) =

P ( A ∩ B)

P ( B si A ) =

P (A)

P ( A et B ) P (A)

Remarque exploration 6 tab. 5

54 11 61

G 42 96

tab. 5

P(G | E)

P(E | G)

P(G)

E 24 42 11 42 7 42

E P(E)

16 96

37 54 5 54 12 54

fig. 12

C R fig. 13

P G∩E

P (E ∩ G)

5. Probabilité

P (G ∩ E ) = P (G) ⋅ P E G

P (G)

P (G ∩ E ) = P ( E ) ⋅ P (G E )

174

11 16 5 16

19 96

fig. 12

P (E | G) =

61 96 R

54 96

24 61 37 61

P (G | E ) =

P (E ∩ G) P (E)

7 19 12 19

Outils numériques A. Créer une suite de nombres (pseudo) aléatoires pour simuler un jeu avec un tableur La fonction ALEA() renvoie un nombre réel aléatoire supérieur ou égal à 0 et inférieur à 1. Pour obtenir un nombre compris entre 0 et 100, on introduit ALEA() *100. L’expression ALEA()*(b-a)+a permet de générer un nombre compris entre a et b. Comment simuler l’expérience « lancer un dé » ? Les résultats possibles de cette expérience sont les entiers 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Pour obtenir un de ces nombres avec la fonction ALEA d’Excel, il faut introduire la formule ENT(6*ALEA()+1). La fonction ENT donne la valeur entière du nombre calculé. Les instructions à introduire dans les différentes cellules du tableau sont indiquées dans la colonne « Contenu » ci-dessous et commentées dans la colonne droite. Les lignes vides en haut de la feuille Excel permettent d’écrire un titre. Cellule

Contenu

Commentaires

n° du lancer

Titre de la première colonne

résultat du lancer

Titre de la seconde colonne

A5…A102

3 …100

Pour remplir ces cellules, sélectionner les cellules A3 et A4, faire apparaître la petite croix noire et tirer jusqu’à la cellule A102.

=ENT(6*ALEA()+1)

La formule, introduite par le signe =, renvoie un nombre entier compris entre 1 et 6.

B4 à B102

(Recopier la formule précédente)

Sélectionner la cellule B3, faire apparaître la petite croix noire, double-cliquer (bouton gauche de la souris) ; les cellules B4 à B102 se complètent automatiquement.

Résultats

D3 … D8

1 …6

Sélectionner les =FREQUENCE cellules E3 à E8 (B3:B102;D3:D8)

On écrit les différents résultats possibles du lancer. Valider la fonction en appuyant sur CTRL+MAJ+ENTER

À chaque appui sur la touche F9, on fait une nouvelle simulation de 100 lancers. Outils numériques

175

B. Comment utiliser la fonction NB.SI ? La fonction NB.SI compte, à l’intérieur d’une plage de cellules, le nombre de cellules qui répondent à un critère donné. Reprendre l’expérience précédente « lancer un dé ». Cellule

Contenu

Commentaires

N° du lancer

Titre de la première colonne

Résultat du lancer

Titre de la deuxième colonne

A5 … A202

3 …200

Pour remplir ces cellules, sélectionner les cellules A3 et A4, faire apparaître la petite croix noire (dans le coin inférieur droit) et tirer jusqu’à la cellule A202

=ENT(6*ALEA()+1)

La formule, introduite par le signe =, renvoie un nombre entier compris entre 1 et 6

B4 à B202

(Recopier la formule précédente)

Sélectionner la cellule B3, faire apparaître la petite croix noire et tirer jusqu’à la cellule 202 ; les cellules B4 à B202 se complètent automatiquement.

Résultat

D3 … D8

1…6

Effectif

=NB.SI(B$3 :B$202 ;D3) Valider en appuyant sur Enter

176

On écrit les différents résultats possibles du lancer. Pour déterminer le nombre de fois qu’apparaît chaque face du dé sur les 200 lancers.

E4 à E8

(Recopier la formule précédente)

Sélectionner la cellule E3, faire apparaître la petite croix noire et tirer jusqu’à la cellule E8. Les cellules se complètent automatiquement.

(Somme automatique : donne l’effectif total ou le nombre total de lancers)

Cliquer sur « Formules », sélectionner les cellules E3 à E9 et cliquer sur Σ.

5. Probabilité

fig. 14

Outils numériques

177

C. Lancer deux dés et observer la somme des résultats (à adapter suivant la version d’Excel) Les instructions à introduire dans les différentes cellules du tableau sont indiquées dans la colonne « Contenu » ci-dessous et commentées dans la colonne droite. Les cellules vides dans le haut de la feuille Excel permettent d’écrire un titre. Cellule

Contenu

Commentaire

Dé 1

Titre de la première colonne.

Dé 2

Titre de la deuxième colonne.

Somme des résultats

Titre de la troisième colonne.

=ENT(ALEA()*6)+1

Affiche le résultat du premier lancer du dé 1.

=ENT(ALEA()*6)+1

Affiche le résultat du premier lancer du dé 2.

A6, B6…

(Recopier les formules précédentes)

Sélectionner les cellules A5 et B5 avec le bouton gauche de la souris ; lorsque la petite croix noire apparait dans le coin inférieur droit, faire glisser la souris, bouton gauche enfoncé, jusqu’aux cellules A104, B104. On a ainsi simulé 100 lancers des deux dés.

=A5+B5

Affiche la somme des résultats du premier lancer.

C6…C104

(Recopier la formule précédente)

Sélectionner la cellule C5 (bouton gauche de la souris) et faire apparaitre la petite croix noire dans le coin inférieur droit. Double-cliquer avec le bouton gauche de la souris; la colonne se remplit automatiquement.

somme

On indique dans cette colonne les différents résultats possibles pour la somme des deux dés.

E5…E15

2, 3…12

100 lancers

Dans cette colonne seront affichés le nombre de fois qu’apparait chaque résultat au cours des 100 derniers lancers.

Sélectionner les cellules F5 à F15

=FREQUENCE (C5:C104; E5:E15)

Valider la formule par CTRL+MAJ+ENTER.

A104, B104

Voici comment répéter la simulation, afficher les résultats cumulés et dessiner un histogramme. Avant de poursuivre, cliquer sur Fichier (dans le coin supérieur gauche de l’écran), puis sur Options (en bas de la colonne gauche). Choisir Formules et dans mode de calcul, sélectionner Activer le calcul itératif et indiquer 1 pour le nombre maximal d’itérations. Cette démarche est indispensable pour le fonctionnement du compteur défini à l’étape suivante.

178

5. Probabilité

Démarrage

1 (ou 0)

Entrer 0 pour recommencer la simulation. Entrer 1 pour démarrer la simulation.

Nombre de simulations

=SI($H$1=0;0;(H2+1))

Compte le nombre de répétitions de 100 lancers. Chaque appui sur la touche F9 du clavier effectue une nouvelle expérience de 100 lancers.

Résultats cumulés

Dans cette colonne seront affichés le nombre de fois qu’apparait chaque résultat au cours de tous les lancers effectués.

=SI($H$1=0;0;G5+F5)

Indique le nombre d’apparitions de la somme 2.

G6 à G15

(Recopier la formule précédente)

Sélectionner G5, faire apparaitre la petite croix noire et double-cliquer.

Fréquence

H5…H15

Sélectionner les cellules, cliquer avec le bouton droit et dans Format de cellule, préciser Pourcentage.

=(G6/$H$2)/100

Affiche la fréquence d’apparition de la somme 2 lors du nombre total de lancers.

H6…H15

(Recopier la formule précédente)

Sélectionner la cellule H5, faire apparaitre la petite croix noire et double-cliquer.

Pour représenter les résultats par un histogramme, sélectionner les cellules H5 à H15. Dans l’onglet Insertion du ruban, choisir Colonne, puis histogramme 2D (le premier graphique proposé). Un histogramme est tracé automatiquement (fig. 15). Pour corriger les « étiquettes » de l’axe horizontal, cliquer sur cet axe avec le bouton droit de la souris et dans le menu déroulant qui apparait, cliquer sur Sélectionner des données. Dans la fenêtre axe horizontal, cliquer sur modifier, sélectionner les cellules E5 à E15, puis OK. Chaque fois qu’on actionne la touche F9 du clavier, les données sont mises à jour et le graphique est adapté automatiquement.

fig. 15

Outils numériques

179

Exercices Connaître 1

Le lièvre et la tortue Le jeu du lièvre et de la tortue se joue avec un dé. Si le résultat est 6, le lièvre gagne ; si c’est un autre nombre, la tortue avance d’une case. La tortue gagne lorsqu’elle atteint l’arrivée avant qu’un 6 ne sorte (fig. 16). Lièvre

Arrivée

Tortue

fig. 16

a. Prévoir, sans effectuer de calculs, qui, du lièvre ou de la tortue, a le plus de chances de gagner. b. On peut simuler le jeu avec la fonction « rand# » d’une calculatrice scientifique2 ou avec la fonction « alea » d’un tableur (voir « Outils numériques »). Voici une suite de 220 nombres compris entre 1 et 6 obtenus de cette manière. On convient de lire le tableau de ligne en ligne. Les premières cases colorées correspondent aux 6 premiers lancers et on constate que le 6 n’apparaît pas, c’est donc la tortue qui gagne cette première partie. La deuxième partie, jouée en trois coups, est gagnée par le lièvre car le 6 est apparu au troisième lancer. 4

2. Par exemple la calculatrice Casio fx-92.

180

5. Probabilité

6 tab. 6

Analyser le tableau ( tab. 6) pour déterminer le nombre de parties gagnées par chacun. c. Peut-on calculer « a priori » (c’est-à-dire sans se référer aux expériences ou simulations) la probabilité que la tortue gagne, la probabilité que le lièvre gagne ?

Tirage dans une urne Une urne contient 100 jetons indiscernables numérotés de 1 à 100. On tire un jeton et on observe son numéro. a. Préciser l’expérience aléatoire et son ensemble de résultats Ω. b. Soit les événements A : « le résultat est un nombre pair » et B : « le résultat est un nombre divisible par 9 ». Écrire les événements sous forme d’ensemble puis calculer leur probabilité.

Identifier et préciser… a. Compléter le tableau (tab. 7) suivant en décrivant la catégorie d’épreuves et l’événement sous forme d’ensemble. Expérience aléatoire Jeter un dé à 6 faces et observer le résultat

Ω

Événement A « obtenir un nombre impair » B « obtenir un nombre ≥ 3 »

Jeter deux dés et noter le couple obtenu

A « avoir deux nombres identiques »

Jeter une pièce de monnaie trois fois de suite et noter la suite des piles et des faces obtenue

A « obtenir deux faces » B « obtenir deux piles et un face »

b. On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. Quel est le nombre de résultats possibles ?

tab. 7

Soit les événements A : « obtenir un cœur » et B : « obtenir un valet ». Quel est le nombre de résultats favorables associés à chacun de ces deux événements ? Exercices

181

Équiprobables ? Les événements suivants sont-ils équiprobables ? Si oui, préciser leur probabilité. a. Jeter un dé non pipé et noter la face supérieure. b. Choisir une personne au hasard parmi 3 Belges et 5 Italiens et noter sa nationalité. c. Tirer un carton au hasard parmi les cartons C, H, A, N, C et E et noter la lettre écrite sur le carton. d. Choisir au hasard une carte d’un jeu de 52 cartes et noter sa valeur. e. Choisir un élève au hasard dans la classe et noter son sexe.

Dé dodécaédrique On lance une fois un dé dodécaédrique bien équilibré (dé à 12 faces numérotées de 1 à 12) et on note le nombre inscrit sur la face supérieure. a. Préciser la catégorie d’épreuves de cette expérience aléatoire. b. Citer : – un événement impossible ; – un événement élémentaire ; – un événement certain. c. Calculer la probabilité de l’événement « obtenir un multiple de 4 ».

B 7 13 B

Des boules dans une urne… Une urne contient 8 boules bleues et 6 boules rouges, indiscernables au toucher. On procède à une expérience aléatoire dont l’arbre pondéré (fig. 17) décrit les résultats. a. Décrire l’expérience aléatoire. b. Expliciter l’événement (RR). c. Calculer la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.

6 13

8 14

6 14

B 8 13 R 5 13 R fig. 17

182

5. Probabilité

Daltonisme Voici les résultats d’une enquête menée auprès de 1 000 personnes. Hommes

Femmes

Daltoniens

Totaux

Non daltoniens Totaux

300

1 000

tab. 8

a. Compléter le tableau (tab. 8). b. On choisit une personne au hasard. Calculer la probabilité que la personne : 1) soit daltonienne, 2) soit une femme non atteinte de daltonisme.

Épreuve scientifique Dans le cadre d’une épreuve scientifique, 100 étudiants ont présenté un test en mathématique, en physique et en chimie. Les résultats sont présentés dans le diagramme (fig. 18).

(14)

(8)

(17) (6)

Réussite en mathématique

Ω

(11)

(16) (13)

Réussite en physique

Réussite en chimie fig. 18

a. Que représente la valeur « 8 » ? la valeur « 16 » ? b. On choisit au hasard un étudiant. Calculer la probabilité que l’étudiant : 1) ait réussi en chimie et en physique ? 2) ait échoué dans les trois matières ?

Exercices

183

En grande surface Une étude sur les habitudes des clients en grande surface a permis d’observer que les clients se servent davantage dans les rayons situés à hauteur des yeux ! Au rayon des conserves de légumes, les boîtes sont présentées sur trois étagères différentes. On a constaté que la probabilité : – qu’un client se serve en haut de rayon est triple de la probabilité qu’il se serve en bas, – qu’un client se serve sur l’étagère du milieu vaut quatre fois la probabilité qu’il se serve en bas de rayon. Énoncer les trois événements élémentaires et déterminer la probabilité de chacun d’eux.

Appliquer 10

Jeu 421 À dix reprises on a simulé 1 000 lancers de 3 dés bien équilibrés avec un tableur et on a relevé le nombre d’apparitions du « 421 », c’est-àdire une face 4, une face 2 et une face 1 affichées par les dés. Voici ce qu’on a obtenu. Expérience n°

Nombre d’apparitions

Donner une estimation de la probabilité d’avoir « 421 » lorsqu’on lance trois dés.

Événements indépendants Les événements suivants sont-ils indépendants ? a. Jeter un dé et une pièce de monnaie et noter le couple obtenu. b. Tirer successivement, sans remise, 2 billes d’une boîte contenant des billes de couleurs différentes et noter leur couleur. c. Lors d’un entrainement de foot, deux joueurs tentent, l’un après l’autre, un tir au but et on note leur succès. d. Tirer les 7 boules au Lotto et noter la suite gagnante.

184

5. Probabilité

Manger à la carte Dans un restaurant universitaire, 60 % des menus proposent de la viande, 30 % des menus proposent de la glace et 20 % des menus ne proposent ni viande ni glace. a. Présenter les données dans un tableau à double entrée. b. On considère les événements V : « le menu comprend de la viande », G : « le menu comprend de la glace ». Calculer : 1) P(V)

(

2) P(V et G)

) (

3) P( V et G )

4) P(V ou G)

)

c. V et G et V et G sont-ils des événements incompatibles ? Justifier.

Une urne et des boules a. On tire successivement et avec remise 3 boules d’une urne contenant 6 boules vertes et 4 boules jaunes, indiscernables au toucher. Utiliser un arbre pour calculer la probabilité des événements suivants : 1) A : « tirer 3 boules de même couleur » 2) B : « tirer 2 boules vertes et 1 boule jaune ». b. Même exercice en ne remettant pas la boule tirée dans l’urne.

Sport en vacances Un camp de vacances héberge 80 personnes ; 55 d’entre elles pratiquent la natation, 33 vacanciers dont 16 nageurs jouent au tennis. Utiliser un tableau à double entrée, un diagramme de Venn ou un arbre pour calculer la probabilité qu’une personne choisie au hasard ne pratique ni le tennis ni la natation.

Le courrier Une secrétaire colle au hasard 3 étiquettes portant des adresses différentes sur 3 enveloppes. Quelles sont les probabilités des événements suivants : A : « chaque destinataire reçoit l’enveloppe qui lui était destinée » ; B : « un seul destinataire reçoit son courrier » ; C : « aucun des destinataires ne reçoit son courrier ». Exercices

185

Dés truqués a. Un dé est truqué de telle sorte que la probabilité pour que « 1 » apparaisse est 1/3 tandis que les autres événements élémentaires sont équiprobables. On jette le dé une seule fois. Calculer la probabilité : 1) que « 2 » apparaisse ; 2) que « 2 » n’apparaisse pas ; 3) d’obtenir un nombre pair ; 4) d’obtenir un nombre impair. b. On truque un dé de telle sorte que les résultats pairs aient des chances égales d’apparaître et les résultats impairs aient aussi des chances égales d’apparaître. Mais on s’arrange pour que chaque résultat pair ait deux fois plus de chance d’apparaître que n’importe quel résultat impair. Calculer la probabilité d’obtenir : 1) un résultat pair ; 2) un résultat impair.

Panne Dans un lavoir industriel, un jour donné, chaque lessiveuse est susceptible de subir deux types de panne : l’une d’origine électronique avec une probabilité de 0,002 et l’autre, mécanique, avec une probabilité de 0,006. Calculer la probabilité, qu’un jour donné, a. la lessiveuse L1 ait les deux types de panne. b. la lessiveuse L2 n’ait aucune panne. c. les lessiveuses L1 et L2 soient toutes deux en panne.

Résoudre un problème Deux étudiants doivent résoudre un problème sans se consulter. Ils peuvent trouver la solution avec des probabilités respectivement égales à 0,7 et 0,4. Quelle est la probabilité que le problème ne soit pas résolu ?

Utiliser un tableur On lance deux dés à 8 faces, de couleurs différentes, et on examine la somme des résultats obtenus. a. Quels sont les différents résultats possibles ? b. Utiliser un tableur pour simuler l’expérience aléatoire 100 fois, 500 fois et 1000 fois. Représenter les résultats sous forme d’histogramme. c. Estimer les probabilités des différents résultats possibles.

186

5. Probabilité

Tirer les cartes On tire une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. On considère les événements suivants : A : tirer une carte rouge B : tirer une dame C : tirer une carte de pique D : tirer une figure (valet – dame – roi) a. Calculer la probabilité de chacun de ces événements. b. Donner la signification des événements suivants : ( A ∩ D), (B ∪ C), (B | C) , (D | A) . Déterminer ensuite leur probabilité. c. Vérifier si les événements B et C sont indépendants.

Application de propriétés Soit A et B des événements indépendants tels que P (A) = Calculer :

1 2 et P ( A ou B ) = . 2 3

a. P(B) b. P(A si B) c. P(B si A)

Salaire

L’histogramme (fig. 19) donne la répartition des salaires mensuels en euros dans une entreprise.

Effectifs

a. On interroge une personne au hasard. Quelle est la probabilité des événements suivants ?

1) A : son salaire est supérieur à 2 400 euros.

2) B : elle gagne moins de 2 000 euros.

b. On interroge une personne qui gagne plus de 2 400 euros.

9 5

1) Quelle est la probabilité qu’elle gagne plus de 3 200 euros ? 2) Quelle est probabilité qu’elle gagne au moins 2 800 euros ?

1 000

2 000

3000

Salaire 4 000 x

= 1,0 % fig. 19

Exercices

187

Mère et enfant L’annuaire statistique a répertorié dans le tableau ci-dessous les naissances en 2014 en Belgique selon l’âge de la mère et le sexe de l’enfant. Age de la mère

Garçons

Filles

Total

Age de la mère

Garçons

Filles

Total

≤ 16 ans

135

103

238

5 221

4 876

10 097

170

163

333

4 909

4 630

9 539

321

288

609

4 482

4 144

8 626

520

499

1 019

3 809

3 647

7 456

797

763

1 560

3 471

3 156

6 627

1 094

979

2 073

2 698

2 712

5 410

1 506

1 442

2 948

2 396

2 192

4 588

1 995

1 893

3 888

1 718

1 772

3 490

2 452

2 386

4 838

1 366

1 299

2 665

3 114

3 058

6 172

1 121

1 002

2 123

3 892

3 645

7 537

803

758

1 561

4 463

4 292

8 755

573

562

1 135

4 890

4 676

9 566

336

308

644

5 191

4 851

10 042

≥ 43 ans

411

413

824

Total

63 854

60 509

124 363

Source : Direction générale Statistique et information économique.

a. On tire au hasard le nom d’un enfant né en 2014. Quelle est la probabilité que l’âge de sa mère au moment de la naissance soit de 20 ans ? de 31 ans ? b. Pour une femme âgée de 26 ans en 2014, les probabilités d’avoir un garçon ou une fille sont-elles identiques ? c. Quelle est la probabilité qu’une femme qui a accouché d’un garçon en 2014 soit âgée de 29 ans ?

Lancer de dés a. On lance deux fois successivement un dé tétraédrique (dé à 4 faces) bien équilibré et on s’intéresse à la somme des points obtenus. Utiliser un diagramme cartésien pour représenter les points obtenus lors de chacun des lancers. Déterminer la probabilité de l’événement A : « obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 » ?

188

5. Probabilité

b. On lance deux dés cubiques, de couleurs différentes, bien équilibrés. Quelle est la probabilité des événements suivants ? 1) La somme des résultats est 7. 2) La somme des résultats obtenus est 9. 3) La somme des résultats est inférieure ou égale à 6. 4) La somme des résultats est 7 ou 11. 5) Les dés ont des résultats identiques. 6) La différence (positive) entre les deux résultats est supérieure ou égale à 3. 7) La somme des résultats est inférieure ou égale à 7, sachant qu’au moins un des résultats est pair.

Contrôle technique Des enquêtes concernant les véhicules refusés au contrôle technique ont montré que : – 20 % des véhicules présentés ont des freins défectueux, – parmi les véhicules présentant des freins défectueux, 30 % ont également un éclairage défectueux, – parmi les véhicules ayant des freins bien réglés, 15 % présentent un défaut d’éclairage. a. Représenter les données dans un diagramme de Venn. b. Calculer la probabilité qu’un véhicule arrivant au contrôle technique ait un éclairage défectueux. c. Sachant qu’un véhicule se présente au contrôle technique avec un bon éclairage, quelle est la probabilité que ses freins soient défectueux ?

Sondage pré-électoral Lors d’un sondage pré-électoral, 100 personnes, dont 60 femmes, ont été interrogées. On leur a demandé pour lequel des partis A, B ou C elles voteraient. Parmi les femmes, 25 % voteront pour le parti B et 15 % pour le parti A. Parmi les hommes, 30 % ont choisi le parti C. Au total, 35 % des personnes interrogées ont choisi le parti B. a. Introduire les données dans un tableau à double entrée et le compléter. b. On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité 1) qu’elle vote pour le parti A ? 2) qu’elle vote pour le parti A ou le parti C si on sait que c’est une femme ? 3) que cette personne soit un homme sachant qu’elle vote pour le parti B ? Exercices

189

Transférer 27

Groupe sanguin Le sang humain est classé en quatre groupes distincts : A, B, AB et O. Indépendamment du groupe, le sang peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang d’un individu possède ce facteur, il est dit de rhésus positif (noté Rh+) ; s’il ne possède pas ce facteur, il est dit de rhésus négatif (noté Rh–). Un individu du groupe O et de rhésus négatif est appelé donneur universel. Toute personne du groupe AB et de rhésus positif est receveur universel. Le tableau (tab. 9) fournit quelques informations sur les fréquences des groupes sanguins dans nos régions. A +

Totaux

1,5 %

15,3 %

10 %

45,1 %

34 %

–

Totaux

40 %

4,1 %

tab. 9

Recopier et compléter le tableau donné. a. On choisit une personne au hasard dans la population. Quelle est la probabilité que cette personne soit : 1) donneur universel ? 2) receveur universel ? 3) du groupe B sachant qu’elle est de rhésus négatif ? 4) de rhésus positif sachant qu’elle est du groupe A ? b. On sait que 84,7 % de la population a la caractéristique Rh+ et que les autres individus possèdent la caractéristique Rh–. 1) Quelle est la probabilité qu’un ménage soit constitué d’un homme Rh+ et d’une femme Rh– ? 2) D ans les ménages où l’homme est Rh+ et la femme Rh–, il se produit, dans 8 % des naissances, des accidents qui nécessitent un traitement spécial du nouveau-né. Déterminer la probabilité qu’un nouveau-né choisi au hasard doive subir ce traitement.

Bureau touristique Un bureau touristique compte 40 employés ; 18 d’entre eux parlent anglais, 22 parlent français, 17 parlent espagnol, 9 parlent anglais et français, 6 parlent anglais et espagnol, 5 parlent français et espagnol et 2 parlent les trois langues.

190

5. Probabilité

On demande un renseignement à un employé choisi au hasard. Quelle est la probabilité que cet employé : a. parle anglais ou espagnol ? b. ne parle que l’espagnol ? c. ne parle que l’anglais ? d. parle français ou espagnol ?

e. parle français ou anglais ? f. ne parle aucune des trois langues ? g.  parle anglais sachant qu’il parle espagnol ? h.  ne parle pas anglais sachant qu’il parle français ?

Fiabilité d’un test On a mis au point un nouveau test pour dépister une allergie à une certaine substance. Lorsqu’une personne est allergique à cette substance, le test est positif dans 95 % des cas. En revanche, lorsqu’une personne n’est pas allergique, on a un test positif dans 10 % des cas. Deux personnes se présentent au test. Quelle est la probabilité que le test soit positif pour les deux personnes si : a. elles sont toutes les deux allergiques à la substance ? b. une seule des deux y est allergique ? c. aucune des deux n’y est allergique ?

Anniversaire Rechercher la probabilité que, dans un groupe de six personnes, au moins deux d’entre elles aient leur anniversaire le même jour semble difficile sinon impossible. Pourtant, en inversant la question, on y arrive : on recherche la probabilité que ces six personnes aient toutes leur anniversaire un jour différent. Voici comment s’y prendre. a. Appeler A, B, C, D, E et F les six personnes. Quelle est la probabilité que B n’ait pas son anniversaire le même jour que A ? b. Si A et B n’ont pas leur anniversaire le même jour, quelle est la probabilité que C n’ait pas son anniversaire ces deux jours-là ? c. Si A, B et C n’ont pas leur anniversaire le même jour, quelle est la probabilité que D n’ait pas son anniversaire un de ces trois jours-là ? d. Quelle est la probabilité que deux personnes au moins aient leur anniversaire le même jour ? Indication On considère qu’il y a 365 jours dans une année. e. Quelle est la probabilité que deux élèves de la classe aient leur anniversaire le même jour ? Exercices

191

Détecteur de fumée Dans un bâtiment industriel, on évalue à 80 % la probabilité qu’un système de détection de fumée déclenche l’alarme suffisamment vite pour intervenir sans appeler les pompiers. Le chef d’atelier a fait installer 3 systèmes différents, indépendants les uns des autres, et affirme « comme cela on est certain ! ». a. Calculer la probabilité des événements : 1) A : « aucun des trois systèmes ne déclenche l’alarme à temps » ; 2) B : « au moins un des trois systèmes déclenche l’alarme à temps ». b. Quel lien y a-t-il entre les événements A et B ?

Prédire le sexe d’un enfant Des relevés statistiques sur plusieurs années ont montré une stabilisation de la fréquence de naissances de filles (48,65 %) et de naissances de garçons. Utiliser ces données pour calculer la probabilité qu’une famille de trois enfants compte : a. exactement un garçon ; b. au moins un garçon ; c. au moins un enfant de chaque sexe.

Souris en cavale Un laboratoire étudie le comportement des souris. L’expérience consiste à enfermer 14 souris, 6 blanches et 8 noires, dans une cage d’où elles ne peuvent sortir qu’une à une sans possibilité de retour. Si les souris sortent de manière aléatoire, calculer les probabilités des événements suivants : A : « la première souris qui sort est noire » ; B : « parmi les 2 premières souris qui sortent, il n’y a qu’une blanche » ; C : « parmi les 7 premières souris qui sortent, il y a 2 blanches et 5 noires ».

192

5. Probabilité

Vaccination Les trois-quarts des habitants d’une région ont été vaccinés. Parmi les personnes vaccinées, on compte 1/12 de malades. Et 1/5 des malades ne sont pas vaccinés. a. Calculer la probabilité : 1) qu’une personne malade soit vaccinée ; 2) qu’une personne soit vaccinée et malade ; 3) qu’une personne soit malade. b. En déduire la probabilité qu’une personne non-vaccinée tombe malade.

Dans la circulation Un automobiliste traverse successivement trois carrefours dont la circulation est réglée par des feux non synchronisés. Les durées des phases « vert », « orange » et « rouge » sont données dans le tableau. Vert

Orange

Rouge

25sec

5sec

30sec

40sec

5sec

30sec

25sec

5sec

30sec

1 Carrefour 2 Carrefour 3 Carrefour

Quelle est la probabilité pour que cet automobiliste : a. rencontre 3 feux verts ? b. rencontre 3 feux rouges ? c. rencontre 2 feux verts et 1 feu orange ? d. rencontre exactement 2 feux verts ?

Parachutisme Un parachutiste se pose au hasard dans l’une des zones Z1, Z2 ou Z3 d’une cible circulaire (fig. 20). On considère que la probabilité de se poser dans une zone est proportionnelle à l’aire de cette zone.

Z3 Z2

Z1 10 10

Soit P(1), P(2) et P(3) les probabilités respectives d’atterrir dans les zones Z1, Z2 et Z3. Calculer la probabilité que le parachutiste se pose dans la zone Z1 ou la zone Z2.

fig. 20

Exercices

193

Circuit hydraulique Un circuit hydraulique est équipé de 3 vannes V1, V2 et V3. Pour des raisons techniques, V1 est ouverte en moyenne durant 70 %, V2 durant 80 % et V3 durant 90 % du temps de mise sous pression. À un moment précis, on teste chacune des 3 vannes afin de déterminer si elle est ouverte ou fermée.

a. Réaliser un arbre qui permette de mettre en évidence les différents résultats possibles de ce triple test.

mixte type 1

b. Calculer les probabilités de chacun de ces résultats (événements élémentaires). c. Calculer la probabilité que le circuit global puisse laisser passer V2 un flux sous pression lorsque les vannes sont disposées : 1) en série ;

3) dans une configuration mixte de type 1 ;

4) dans une configuration mixte de type 2. mixte type 1 d. Un circuit monté en configuration mixte 2 est actuellement fermé, ce qui énerve un technicien. Celui-ci déclare : « C’est malin, s’il avait été monté dans l’autre configuration, neuf chances sur dix qu’il restait ouvert ! » Que faut-il en penser ?

Ordinateurs et tablettes Le responsable du rayon multimédia d’un magasin fait le bilan sur les ventes d’ordinateurs portables, de tablettes et d’ordinateurs fixes. À l’achat d’un de ces appareils, le vendeur propose toujours une extension de garantie. Le responsable a constaté que 23 % des acheteurs ont opté pour une tablette et 52 % pour un ordinateur portable. Les acheteurs n’ont acheté qu’un seul appareil et sont libres de souscrire ou non une extension de garantie. Le responsable a établi que 5 % des acheteurs de tablette ont souscrit une extension de garantie et qu’il en est de même pour 15 % des acheteurs d’ordinateurs portables et pour 12 % des acheteurs d’ordinateurs fixes. Quel que soit l’appareil, le coût de l’extension de garantie est de 50 €. Quelle recette supplémentaire peut espérer le responsable de rayon lorsque 1 000 appareils sont vendus ?

194

5. Probabilité

V1 V2

2) en parallèle ;

V3 mixte type 2

Analyse combinatoire

Calculer la probabilité d’un événement nécessite de dénombrer tous les résultats possibles de l’expérience ainsi que les résultats favorables à cet événement. Mais les supports tels les arbres, les diagrammes et les tableaux deviennent rapidement difficiles à manipuler. On recourt alors à l’analyse combinatoire, domaine des mathématiques qui permet d’effectuer des dénombrements en tenant compte de caractéristiques communes aux groupements observés. On trouve des traces de ces techniques de dénombrement dans les mathématiques arabes du xe siècle et dans des documents chinois du xive siècle. Vers 1640, « le mathématicien français Pierre de Fermat établit les bases de l’analyse combinatoire dans la théorie des carrés magiques » (Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, Tome 2, page 464). Et c’est Fermat qui, avant 1636, a établi la formule des combinaisons. Quelques techniques de dénombrement sont présentées et développées dans ce chapitre. Leur application constitue un outil utile au calcul des probabilités.

On laisse tomber 100 billes via l’entonnoir. Peut-on estimer le nombre de billes qui arriveront dans chacun des récipients placés en dessous ?

Introduction

195

Exploration 1

Introduire un code a. Pour former le code d’accès à l’immeuble de mon voisin, il faut taper une suite de trois lettres différentes choisies parmi les cinq premières lettres de l’alphabet. Je tape trois lettres au hasard. Quelle est la probabilité que la porte s’ouvre ? Indication Dessiner trois petites cases et inscrire dans chacune d’elles le nombre de choix possibles b. Si le code d’accès est composé de quatre chiffres non nuls, pas nécessairement différents, combien y-a-t-il de codes possibles ? c. Si le code comporte quatre chiffres différents choisis parmi les chiffres de 0 à 9, suivis d’une lettre choisie parmi les deux premières lettres de l’alphabet, quelle est la probabilité que la porte s’ouvre ?

Anagrammes Une anagramme d’un mot est un autre mot, ayant un sens ou non, obtenu par transposition des lettres du mot initial. Dans les questions qui suivent, on considère d’abord tous les mots obtenus par permutation des lettres du mot donné, le mot initial compris. a. Le délégué des classes de sixième se prénomme Karim. Combien y a-t-il de permutations des lettres de KARIM ? Quel est le nombre d’anagrammes de KARIM ? b. Ses copines s’appellent ANNE, YVETTE et CLEMENCE. Combien y a-t-il d’anagrammes de leurs prénoms ?

Former des équipes De combien de façons peut-on former une équipe de 3 élèves dans une classe qui en compte 22 ? Indication Calculer d’abord le nombre de suites ordonnées de trois personnes ; calculer ensuite le nombre de suites désignant la même équipe.

196

6. Analyse combinatoire

Synthèses 1 à 3 Exercices 1 à 3, 5 à 7

Vers une généralisation Dans l’exploration précédente, chaque équipe est une combinaison simple de 3 éléments choisis dans un ensemble de 22 éléments. a. Calculer le nombre de combinaisons simples de 7 éléments choisis parmi 30. b. Écrire la formule qui permet de calculer le nombre de combinaisons simples de p éléments choisis dans un ensemble de n éléments ; ce nombre est noté Cnp .

Synthèses 4 et 5 Exercices 4, 8 à 19

Retour aux probabilités Une boîte contient 15 ampoules électriques dont 4 défectueuses. On prend au hasard 3 ampoules dans la boîte. Calculer la probabilité pour que : a. les trois ampoules soient défectueuses ; b. exactement deux ampoules soient défectueuses ; c. aucune ampoule ne soit défectueuse.

Exercices 20 à 28 Complément : exercices 29 et 30

Exploration

197

Synthèse 1

Que signifie dénombrer ? Comment caractériser un groupement ?

Qu’est-ce qu’un arrangement ? Comment le reconnaître ?

6.1 Arrangement simple

Caractéristiques

6.2 Nombre d’arrangements simples Anp Anp = n( n − 1)( n − 2)...( n − p + 1)

198

6. Analyse combinatoire

Exemple

A64 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360

6.3 Arrangement avec répétitions,

Caractéristiques

6.4 Nombre d’arrangements avec répétitions Bnp Bnp = n p

Exemple

64 = 1296

Synthèse

199

Qu’est-ce qu’une permutation ? Comment la reconnaître ?

6.5 Permutation simple

Caractéristiques

6.6 Nombre de permutations simples P Pp = p ⋅ ( p − 1) ⋅ ( p − 2 ) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 = p!

Exemple

P4 = 4 ! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

E M R A M R

M R

R M

E R E M

R E M E

4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

Notation factorielle

n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Anp =

200

6. Analyse combinatoire

n! ( n − p )!

0! = 1

6.7 Permutation avec répétitions n = n1 + n2 + ... + np Caractéristiques

6.8 Nombre de permutations avec répétitions n , n ...n Qn1 2 p n = n1 + n2 + ... + n n , n2 ...np

Qn1

n! n1 ! n2 !... np !

Exemple

I, N, T1 , T2 , E1 , E2 , E3 , R1 , R 2 , P 10 ! = 151200 2! 3! 2!

Synthèse

201

Qu’est-ce qu’une combinaison simple ? Comment la reconnaître ?

6.9 Combinaison simple

Caractéristiques

6.10 Nombre de combinaisons simples Cnp Cnp =

Exemple

3 C10 =

10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 120 3!

Remarque

202

6. Analyse combinatoire

Anp n! = Pp p! ( n − p ) !

Comment aborder un exercice de dénombrement ? fig. 1 Est-ce que le groupement change si on permute deux de ses éléments ? autrement dit « l’ordre des éléments a-t-il de l’importance ? » non

oui

Chaque groupement est une combinaison. Combinaisons simples n! Cnp = p! ( n − p ) !

Utilise-t-on les mêmes éléments plusieurs fois ? oui

Utilise-t-on tous les éléments ? oui

Chaque groupement est une permutation avec répétition. n! n1 ,n2 ...np Qn = n1 ! n2 !... np !

non

Utilise-t-on tous les éléments ?

non

oui

Chaque groupement est un arrangement avec répétition.

Chaque groupement est une permutation simple.

Bnp = n p

Pn = n!

non

Chaque groupement est un arrangement simple. n! Anp = n − ( p)!

fig. 1

Synthèse

203

Exercices Connaître 1

Notation factorielle a. Calculer 1) 5!

2) 6!

3) 7!

4) 8!

70 ! 69 !

9! 6!

15! 11!

7! 10 !

b. Justifier 1) ( n + 1)! = ( n + 1) ⋅ n!

2) Anp =

n! n ( p )!

( n + 1)! = n2 + n ( n - 1)!

Le procédé des cases « juxtaposées » Appliquer le « procédé des cases » pour résoudre les exercices suivants. Exercice résolu Combien de nombres de cinq chiffres différents peut-on former ? Le premier chiffre doit être différent de zéro, il n’y a donc que 9 possibilités pour ce premier chiffre ; on inscrit 9 dans la première case. Pour le deuxième chiffre, il y a 10 - 1, donc 9 possibilités car on peut prendre 0 mais pas le chiffre choisi en première position… 1er chiffre

2e chiffre

3e chiffre

4e chiffre

5e chiffre

9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 27216 Il y a 27 216 nombres de cinq chiffres différents. a. Combien d’entre eux se terminent par 9 ? b. Combien d’entre eux commencent par 12 ? c. Combien d’entre eux contiennent le chiffre 5 ?

204

6. Analyse combinatoire

Des nombres de quatre chiffres a. Combien de nombres de quatre chiffres différents peut-on former ? b. Combien d’entre eux sont inférieurs à 4 000 ? c. Combien y en a-t-il qui commencent par 1 et se terminent par 0 ? d. Combien d’entre eux contiennent les chiffres 7 et 9 ? e. Combien d’entre eux sont pairs ? f. Combien d’entre eux sont des multiples de 5 ?

Reconnaître un groupement Utiliser le schéma donné dans la synthèse 5 pour préciser la nature du groupement demandé. Calculer ensuite le nombre de groupements possibles. a. Former un nombre de trois chiffres différents à partir de cinq chiffres non nuls donnés. b. Extraire une main de huit cartes d’un jeu de trente-deux cartes. c. Former une délégation de trois élèves à partir des élèves de la classe. d. Écrire un mot de trois lettres. e. Choisir trois questions dans un examen qui en comporte dix. f. Taper un code bancaire constitué de quatre chiffres différents. g. Donner la combinaison d’un coffre-fort dont le code est obtenu sur 4 roulettes portant chacune les 20 premières lettres de l’alphabet. h. Tirer deux boules rouges et une boule noire dans une urne qui contient cinq boules rouges et trois boules noires. i. Écrire un « mot » en utilisant toutes les lettres du mot « Verviers ». j. Donner deux cartes d’entrée pour un spectacle à deux personnes différentes appartenant à un groupe de six personnes. k. Former un nombre de quatre chiffres différents avec les chiffres 2, 3, 5 et 8. l. Former un bureau composé d’un président, d’un secrétaire et d’un trésorier dans un club comportant 34 membres.

Exercices

205

Appliquer 5

Équipement de skis Un marchand d’équipements sportifs propose des skis alpins et des skis de randonnée. Il a, en magasin, 12 marques de skis alpins et 14 marques de skis de randonnée. Pour chaque marque de skis alpins, il offre 3 modèles et 10 tailles ; pour chaque marque de skis de randonnée, il offre 5 modèles et 13 tailles. Combien de paires de skis différentes a-t-il en magasin ?

Des mots de 2 lettres Combien peut-on former de « mots » : a. de 2 lettres ? b. de 2 lettres distinctes ? c. de 2 lettres commençant par une consonne et se terminant par une voyelle ? d. de 2 lettres dont la première appartient à l’ensemble {b,c,d} et la seconde à l’ensemble {a,e,i,o} ?

Des chiffres et des nombres… a. Combien peut-on former de nombres de 4 chiffres à l’aide des chiffres 1, 3, 5 et 7 ? b. Combien peut-on former de nombres de 4 chiffres à l’aide des chiffres 0, 2, 3 et 5 ? c. À l’aide des chiffres 2, 3, 5, 6, 7 et 9, combien peut-on former de nombres de 3 chiffres distincts multiples de 5 ?

Diagonales d’un polygone convexe Déterminer le nombre de diagonales d’un polygone convexe à 4 côtés, 5 côtés, 7 côtés, 9 côtés, 10 côtés, 103 côtés.

206

6. Analyse combinatoire

Jeu de cartes a. Combien y a-t-il de mains de 13 cartes dans un jeu de 52 cartes ? b. Combien y en a-t-il qui comprennent les 4 as ? c. Combien y en a-t-il qui comprennent les 4 as, les 4 rois et les 4 dames ?

Un autre jeu de cartes… D’un jeu de 32 cartes, 3 cartes sont tirées au hasard. a. Combien de tirages différents y a-t-il ? b. Parmi ces tirages, combien comportent 3 carreaux ? c. Parmi ces tirages, combien comportent 1 as et 2 rois ?

Des mots plus longs… a. Combien y a-t-il de « mots » de 5 lettres ? b. Combien de « mots » différents peut-on former en permutant les lettres du mot « Namur » ? c. Avec les lettres a, b, c, d, e, combien peut-on former de mots

– de 3 lettres ? – de 3 lettres commençant par c ? – de 5 lettres où les lettres b, c et d sont groupées dans l’ordre alphabétique ? – de 5 lettres où les lettres b, c et d sont groupées dans un ordre quelconque ? d. Combien y a-t-il d’anagrammes du mot « chien » ? Du mot « calculatrice » ? e. Combien peut-on former de « mots » de 7 lettres distinctes commençant par une voyelle et se terminant par une consonne ?

Quelques jeux… a. Le jeu de dominos compte 28 pièces. Utiliser l’analyse combinatoire pour justifier le nombre de pièces du jeu. b. On lance simultanément deux dés cubiques bien équilibrés et on observe la paire des points obtenus. A-t-on le même nombre de résultats possibles si les deux dés sont identiques ou s’ils sont discernables (de couleurs différentes ou de tailles différentes…) ? Exercices

207

c. Les pièces du jeu de Triominos sont des triangles dont les angles portent un chiffre compris entre 0 et 5. Chacune des pièces du jeu est unique. Il y a trois types de pièces dans le jeu : des pièces dont les trois chiffres sont identiques, des pièces qui ont deux chiffres identiques et des pièces qui ont trois chiffres différents. Sur ces dernières pièces, les trois nombres, lus dans le sens horlogique à partir du plus petit, sont croissants. Utiliser les techniques de dénombrement pour déterminer le nombre de pièces du jeu.

Équipes de football a. De combien de manières les 11 élèves d’une classe peuvent-ils former une équipe de football de 11 joueurs ayant chacun une place déterminée ? b. Et s’il y a 14 élèves ? c. Et s’il y a 14 élèves mais que l’on n’indique pas la place de chacun ?

Plaques d’immatriculation Combien de plaques d’immatriculation peut-on fabriquer si les numéros de ces plaques comprennent : a. 2 lettres suivies de 3 chiffres ? b. 2 lettres différentes à l’exclusion du O et du I, suivies de 3 chiffres différents ?

Des livres à ranger… a. De combien de façons peut-on ranger sur une étagère de bibliothèque 6 livres de français, 3 livres de mathématique et 4 livres de sciences ? b. Même question si les livres doivent être rangés par discipline.

208

6. Analyse combinatoire

Bijoux de fantaisie a. Dans le cadre de leur Mini-Entreprise, les élèves de 6e Sciences Économiques ont choisi de réaliser et de vendre des colliers. Ces colliers sont constitués d’une chaine au centre de laquelle ils insèrent, à intervalles de 4 cm, 6 perles de couleurs différentes. Les couleurs des perles sont identiques d’un collier à l’autre, mais tous les colliers sont différents. Combien de perles de chaque couleur doivent-ils commander, s’ils ont décidé de fabriquer un maximum de colliers ? b. Après réflexion, les élèves décident de proposer des parures : adjoindre à chaque collier un bracelet assorti sur lequel les perles (de mêmes couleurs et dans le même ordre) sont insérées à intervalles réguliers. Ces bracelets sont fermés par un nœud glissé sous une des perles. Un des élèves lance alors : « Pour avoir un bracelet assorti à chaque collier, il faudra fabriquer chaque fois 6 bracelets identiques. » A-t-il raison ? Expliquer.

Repas entre amis a. Benoît a invité 5 amis pour un spaghetti. De combien de manières peuvent-ils prendre place si la table est ronde ? b. De combien de façons peut-il inviter 6 amis choisis parmi 10 sachant que 2 d’entre eux ne s’entendent pas et ne peuvent donc être ensemble au repas ? c. Combien de possibilités se présentent à Benoît si, parmi ses 10 amis, il y a un couple qu’il ne peut dissocier ?

Transférer 18

Poker Un joueur de poker tire 5 cartes dans un jeu de 32 cartes. Combien de « mains » différentes comportent : a. un carré (4 cartes de même hauteur) ? b. un brelan (3 cartes de même hauteur et 2 autres cartes de hauteurs différentes) ? c. une seule paire ? d. deux paires ?

Exercices

209

Cadeaux à partager De combien de manières peut-on distribuer 9 cadeaux à 4 enfants sachant que le plus jeune reçoit 3 cadeaux et chacun des autres reçoit 2 cadeaux ?

Machine à sous a. Une machine à sous comporte trois roues ; sur chacune d’elles sont dessinées huit images de fruits différents. En tirant le levier de la machine, les trois roues tournent et affichent au hasard l’image d’un des fruits. Combien y a-t-il d’affichages différents ? b. On gagne si les trois roues affichent l’image d’un même fruit. Quelle est la probabilité de gagner en jouant une fois ?

Tirer des cartes On tire au hasard 2 cartes d’un jeu de 52 cartes. Calculer la probabilité que les 2 cartes tirées soient des trèfles.

Boules de couleur Une urne contient 5 boules blanches, 2 boules rouges et 9 boules noires, indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise 3 boules de l’urne. a. Quelle est la probabilité que les 3 boules tirées soient de couleurs différentes ? b. Quelle est la probabilité que les 3 boules tirées soient de même couleur ? Répondre aux mêmes questions si on remet à chaque fois dans l’urne la boule tirée.

Des lettres et des mots… Un sac contient 26 jetons ; sur chaque jeton est gravée une lettre de l’alphabet. On tire successivement 4 jetons dans le sac et on les place sur la table l’un à la droite de l’autre dans l’ordre du tirage. Quelle est la probabilité de tirer : a. 4 consonnes ? b. le mot MARE ?

210

6. Analyse combinatoire

Prêt de calculatrices L’école a mis en place un service de « prêt de calculatrices ». Par erreur, le gestionnaire a mélangé 4 calculatrices défectueuses avec 20 calculatrices en bon état de fonctionnement. Un élève de 6e vient emprunter 3 calculatrices. Calculer la probabilité qu’aucune des 3 calculatrices soit défectueuse.

Plages d’un CD Cinq chansons, numérotées de 1 à 5, sont enregistrées sur un CD audio. Une touche du lecteur CD permet de diffuser les 5 chansons l’une après l’autre suivant un ordre aléatoire. a. Combien y-a-t-il d’ordres possibles ? b. Quelle est la probabilité que l’écoute commence par le morceau « 3 » ? c. Quelle est la probabilité que la diffusion commence par le numéro « 2 » et se termine par le « 4 » ?

Jouer au Lotto Une grille de Lotto comprend 45 cases numérotées de 1 à 45 ; on y coche 6 numéros. On remplit une seule grille. Au tirage, on tire d’abord 6 numéros, ensuite un numéro complémentaire. Quelle est la probabilité de gagner : a. le gros lot (les 6 premiers numéros exacts) ? b. au rang 2 (5 numéros exacts parmi les 6 numéros tirés et le numéro complémentaire) ?

Le paradoxe du prince de Toscane Le prince de Toscane était joueur et les dés le passionnaient ! Bien qu’il y ait autant de façons d’écrire 9 et 10 comme somme de 3 nombres compris entre 1 et 6, il avait remarqué qu’il obtenait plus souvent un total de 10 en lançant 3 dés. Expliquer ce paradoxe.

Exercices

211

À l’examen Pour l’examen oral de géographie, le professeur a préparé 60 fiches portant chacune sur un sujet différent de la matière. Pour présenter l’examen, chaque élève tire au hasard 4 fiches. Un élève mal organisé n’a étudié que 20 sujets. Calculer la probabilité qu’il connaisse les réponses : a. aux quatre fiches qu’il a tirées ? b. à aucune de ces fiches ? c. à trois des quatre fiches ?

Dans l’histoire des mathématiques… 29

Le triangle de Pascal et ses curiosités A. Triangle de Pascal a. On sait que ( a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 . Les coefficients des termes sont : 1, 2, 1. Calculer ( a + b)3 et écrire les coefficients des termes dans les cases correspondantes dans une copie du tab. 1. b. Calculer ( a + b)4 et écrire les coefficients des termes dans le tab. 1. c. On donne

( a + b)6 = a6 + 6 a5 b + 15 a4 b2 + 20 a3 b3 + 15 a2 b4 + 6 ab5 + b6 . Écrire le développement de ( a + b)7 . Comparer les coefficients des termes avec les C7p . 1

( a + b)0 1

( a + b)1 1

( a + b)2 1

( a + b)3 1

( a + b)

( a + b)5

1 2

1 1 1 1 tab. 1

212

6. Analyse combinatoire

Le triangle attribué à Pascal était connu des mathématiciens chinois dès 1303 et des mathématiciens du monde arabe dès le xe siècle.

B. Propriétés des Cnp Faire apparaître les propriétés suivantes sur le triangle de Pascal, puis les démontrer. b. Cnp = Cnp--11 + Cnp-1

a. Cn0 = Cnn = 1

c. Cnp = Cnn- p

C. Les curiosités du triangle a. Quel est le nombre de droites qui passent par des points dont trois ne sont jamais alignés s’il y a : 3 points, 4 points, 5 points, 6 points, 7 points, 10 points ? Pourquoi les résultats figurent-ils tous sur une même oblique du triangle de Pascal (voir fig. 1) ?

1 1 1

b. La somme des 12 premiers nombres naturels est-elle sur cette oblique ?

1 1

c. Quel est le nombre de poignées de mains échangées entre deux personnes dans un groupe de 8 personnes ? d. Quel est le nombre de façons de former une équipe de 3 personnes parmi 3 personnes, 4 personnes, 5 personnes, 6 personnes, n personnes ? Les réponses à ces questions peuventelles figurer sur une même oblique ? Laquelle ?

1 1

2 3

ligne 1 ligne 2

1 1 3 6

ligne 3 ligne 4

1 4

ligne 5

5 10 10 5 6 15 20 15 6

ligne 6

1 1

ligne 7 fig. 1

La planche de Galton On renverse un sac de billes dans un appareil (fig. 2) constitué d’une planche bien lisse sur laquelle on a disposé des écrous régulièrement espacés en lignes et en quinconce. Chaque bille finit sa trajectoire dans l’une des boîtes A, B, …, G.

G fig. 2

Exercices

213

a. Pour chacune des sept boîtes, déterminer le nombre de chemins que peut emprunter une bille pour y arriver. La fig. 3 indique comment commencer le calcul pour une planche qui ne comporte que quatre lignes. b. On verse dix mille billes. Estimer le nombre de billes qui aboutissent en C.

1 1 1

214

6. Analyse combinatoire

Ligne 2

1 1

2 3

c. De telles planches sont quelquefois utilisées comme jeu dans les foires. L’animateur du stand attribuera-t-il la même valeur à chaque boîte de la planche ? d. Quel est le nombre de chemins possibles pour une bille qui parcourt une « planche de Galton » qui comporte 2 lignes, 3 lignes, 4 lignes, 7 lignes, n lignes ? Comparer les résultats avec les nombres qui apparaissent dans le triangle de Pascal.

Ligne 1

Trois chemins arrivent ici

Ligne 3 1

Ligne 4

Un seul chemin arrive ici

fig. 3

Variables aléatoires et lois de probabilités

Dans les chapitres précédents, on a étudié la probabilité de réalisation d’un événement particulier d’une expérience aléatoire, qu’il soit dépendant ou non d’un autre événement de la même expérience. Dans ce chapitre, on va considérer tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire : chacun de ces résultats est une valeur de la fonction appelée « variable aléatoire ». La notion de caractère discret ou continu est connue : elle a été utilisée en statistiques pour les données numériques. Une variable aléatoire peut aussi être discrète – elle ne prend que des valeurs isolées ou en nombre fini – ou continue, lorsqu’elle peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle de l’ensemble des réels. En associant sa probabilité à chaque valeur d’une variable aléatoire discrète, on définit sa loi ou distribution de probabilité. Dans le cas d’une variable aléatoire continue, il est impossible d’attribuer une probabilité à chaque valeur de la variable puisque ces valeurs sont en nombre infini. On définit dans ce cas une densité de probabilité. Dans le chapitre 5, on a évoqué les liens entre les probabilités et les fréquences statistiques lorsqu’on a parlé d’une probabilité a posteriori. Dans son traité Ars conjectandi, Jacques Bernoulli (1654-1705) avait décrit l’estimation d’un phénomène aléatoire sous forme de fréquences : « Ce qu’il n’est pas donné d’obtenir a priori l’est du moins a posteriori, c’est-à-dire qu’il sera possible de l’extraire en observant l’issue de nombreux exemples semblables. » C’est de cette manière qu’on procède ici pour introduire la loi normale. La courbe en cloche associée à cette loi apparaît déjà dans les textes de De Moivre (1667-1754). Cette loi illustre aussi l’apport de l’analyse au calcul des probabilités : son expression fait appel à la fonction exponentielle de base e et au calcul intégral.

215

Exploration 1

Variable aléatoire et loi de probabilité a. Une urne contient 30 boules indiscernables au toucher : 15 boules rouges, 10 boules blanches et 5 boules bleues. On tire une boule au hasard. Si la boule tirée est rouge, on marque un point, si elle est blanche, on marque 2 points et si elle est bleue, on marque 3 points. On désigne par X le nombre de points que l’on peut obtenir en tirant une boule de l’urne. Dans la première ligne du tableau ci-dessous, on a écrit les valeurs que peut prendre X. Écrire dans la seconde ligne les probabilités correspondant à chacune de ces valeurs. xi

P ( X = xi ) On dit que X est une variable aléatoire. Le tableau ci-dessus définit la loi de probabilité ou la distribution de probabilité de X. b. On associe une valeur à chacune des cartes d’un jeu de 32 cartes : 0 pour les cartes de 7 à 10, 1 pour les valets, 2 pour les dames, 3 pour les rois et 5 pour les as. On tire une carte de ce jeu. 1) Définir X et préciser les valeurs que X peut prendre. 2) Écrire sous forme de tableau la loi de probabilité de X. 3) Calculer P ( X ≤ 3). c. On lance 3 fois une pièce de monnaie bien équilibrée. La variable aléatoire X désigne le nombre d’apparitions de « face » au terme des trois lancers. 1) Écrire la loi de probabilité de X. Indication Utiliser un arbre pour représenter la situation. e

2) Que vaut la somme des probabilités écrites sur la 2 ligne du tableau ?

Vers la loi binomiale On propose un questionnaire à choix multiple aux personnes qui se présentent pour participer à un jeu télévisé. Ce questionnaire comprend 5 questions et pour chaque question, un choix de 4 réponses possibles dont une seule est correcte. a. Un des candidats répond au hasard aux questions posées. Quelle est la probabilité qu’il ait exactement trois réponses correctes ?

216

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

Synthèses 1 à 3 Exercices 1 à 3, 7, 8

b. Un candidat est éliminé s’il a moins de quatre bonnes réponses. L’un d’eux répond au hasard à chacune des questions. Quelle est la probabilité qu’il soit éliminé ? c. On désigne par X le nombre de réponses exactes fournies par un candidat qui répond au hasard et par xi les différentes valeurs de X. Recopier et compléter le tableau suivant. xi

P ( X = xi ) d. Dans la situation qui vient d’être décrite, X ne peut prendre que des valeurs isolées. On dit que X est une variable aléatoire discrète. La variable X désigne le nombre de « succès » lors de n épreuves identiques et indépendantes : « choisir une réponse à chaque question ». Chaque épreuve ne comporte que deux éventualités : – avoir une réponse exacte, avec une probabilité p, – avoir une réponse fausse, avec une probabilité q =1 – p. 1) Déterminer la valeur de p dans le problème posé. 2) Vérifier que P ( X = 1) = 5 p (1 - p)4 et que P ( X = 3) = 10 p3 (1 - p)2. 3) Écrire sous la même forme P ( X = 0 ), P ( X = 2), P ( X = 4 ) et P ( X = 5).

e. Utiliser la fonction « loi binomiale » d’un tableur (voir « Outils numériques ») pour déterminer la loi de probabilité lorsque le questionnaire compte 8 questions et qu’il y a 3 réponses possibles (une seule correcte) pour chaque question. Représenter cette loi de probabilité à l’aide d’un diagramme en bâtons.

Synthèse 4 Outils numériques Ba Exercices 4, 9 à 18

Tourner la roue Une roue est graduée de 1 à 12 (fig. 1). La flèche est positionnée initialement sur 0, ce qui correspond à la graduation 12. On lui donne une « bonne » impulsion ; on considère l’expérience aléatoire « point de la roue où s’est immobilisée la flèche ». a. Quelles sont les éventualités de cette expérience ? b. Pierre donne une impulsion à la flèche ; quelle est la probabilité qu’elle s’arrête sur 2,576 ? sur 5,891 ? sur n’importe quelle valeur entre 0 et 12 ? c. Quelle est la probabilité que la flèche s’arrête entre 1 et 2 ? entre 10 et 12 ? entre 5 et 8 ? entre 1,5 et 6,25 ?

fig. 1

Exploration

217

d. La variable aléatoire X, définie par le point où s’est immobilisée la flèche, peut prendre toutes les valeurs réelles de l’intervalle [0 ;12]. Calculer P ( a < X < b) , sachant que a et b sont deux réels distincts de l’intervalle [0 ;12].

e. On peut représenter une série statistique à variable continue par un histogramme des fréquences. 1) En passant de la notion de fréquence sur un intervalle à celle de probabilité sur un intervalle, tracer l’histogramme des probabilités relatif à la situation donnée. 2) Comment sera représentée sur cet histogramme la probabilité totale sur l’intervalle [0 ;12]?

Synthèses 5 à 7 Exercices 5, 6, 19

Vers la loi normale Une sucrerie utilise une machine pour remplir des sachets avec du sucre en poudre. Cette machine est réglée pour que le poids1 unitaire moyen d’un sachet soit de 5 g. On a contrôlé 1000 sachets ; les résultats des pesées sont repris dans tab. 1). le tableau ( a. Utiliser un tableur pour compléter le tableau. b. Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série statistique.

Poids (en décigrammes)

Effectif ni

Fréquence fi

Centre de la classe xi

ni xi

[40 , 42[

0,007

287

[42 , 44[

0,025

[44 , 46[

[46 , 48[

148

[48 , 50[

246

[50 , 52[

238

[52 , 54[

157

[54 , 56[

[56 , 58[

[58 , 60[

1 Dans ce contexte, on utilise abusivement le mot poids. Il s’agit évidemment de la masse.

218

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

xi - x

(

ni xi - x

)

tab. 1

c. La fig. 2 fournit l’histogramme des fréquences qui correspond au tableau de cette distribution. Justifier que l’aire de l’histogramme est égale à 1. fréquence du « poids »

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 poids en décigrammes fig. 2 = 1,0 %

d. Quelle est la probabilité qu’un sachet pris au hasard ait un poids inférieur à 4,7 g ? e. Le même échantillon a été analysé en réduisant de moitié la longueur des classes (tab. 2). On a obtenu l’histogramme de la fig. 3. Répondre à la question d en utilisant cette nouvelle répartition. Poids

Poids

[40 , 41[

[50 , 51[

126

[41 , 42[

[51 , 52[

112

[42 , 43[

[52 , 53[

[43 , 44[

[53 , 54[

[44 , 45[

[54 , 55[

[45 , 46[

[55 , 56[

[46 , 47[

[56 , 57[

[47 , 48[

[57 , 58[

[48 , 49[

117

[58 , 59[

[49 , 50[

129

[59 , 60[

tab. 2

fréquence du « poids »

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 poids en décigrammes = 1,0 %

fig. 3

Exploration

219

f. Si l’on souhaite une réponse encore plus précise, il faut disposer d’un échantillon plus important et classer les observations dans des intervalles encore plus petits. On imagine qu’à « la limite », la somme cherchée pour répondre à la question d correspond à une aire sous une courbe (fig. 4). P(X) ≤ 47

fig. 4

La courbe en question est appelée courbe de Gauss (fig. 4 et 5) : elle modélise la loi normale. Cette loi est définie dès que l’on connaît la moyenne m et l’écart-type s de la série statistique. Que vaut l’aire sous cette courbe ? g. Utiliser la fonction « loi normale» d’un tableur (voir « Outils numériques ») pour répondre à la question d. Introduire comme valeur de la moyenne celle du réglage de la machine et, pour l’écart-type, la valeur associée à la fig. 3. h. Pour une loi normale, l’intervalle [ m - s , m + s ] contient 68,3 % des données. Vérifier, à l’aide d’un tableur, si cette condition est remplie pour le problème traité.

µ–σ

µ = 50

µ+σ

fig. 5 Synthèses 8 à 11 Outils numériques A et Bb Exercices 20 à 25, 26 à 33 Complément 34 à 43

220

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

Synthèse 1

Qu’appelle-t-on variable aléatoire discrète ? Comment définir sa loi de probabilité et sa fonction de répartition ?

7.1 Variable aléatoire

7.2 Loi de probabilité

5/8

Exemple

4/8 3/8 2/8 1/8 0

fig. 6

P ( X = xi )

4 8

1 8

1 8 4

∑P(X = x ) = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 =1 i

Synthèse

221

7.3 Fonction de répartition F ( x) = P X ≤ x

Exemple

F (2) = P ( X ≤ 2) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2) =

4 8

1 8

6 8

Quelles sont les caractéristiques d’une variable aléatoire discrète ?

7.4 Espérance mathématique E X

pi = P ( X = xi ) E ( X ) = p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn

E(X ) = 0⋅

4 1 1 1 1 11 + 1⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 5 ⋅ = = 1, 375 8 8 8 8 8 8

7.5 Variance et écart-type d’une variable aléatoire discrète V (X)

V (X) =

∑ p [ x − E( X )]

σ X

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

i =1

222

= 0, 75

σ X

E(X ) Exemple

4 1 1 1 1 ( 0 − 1, 375)2 + (1 − 1, 375)2 + ( 2 − 1, 375)2 + ( 3 − 1, 375)2 + (5 − 1, 375)2 8 8 8 8 8 = 2, 984375

V (X) =

σ ( X ) = 1, 727 Remarque

( )

V (X)

V ( X ) = E X 2 −  E ( X ) 

Qu’est-ce qu’une loi uniforme discrète ? Quelles sont ses caractéristiques ? 7.6 Loi uniforme discrète pi = P X = xi pi = P ( X = xi ) =

P ( X = xi )

1 n

Exemple

P ( X = xi )

1 7

Synthèse

223

E( X ) =

1 1 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ) = ⋅ 28 = 4 7 7

1 1 (1 − 4 )2 + ( 2 − 4 )2 + ( 3 − 4 )2 + ( 4 − 4 )2 + ( 5 − 4 )2 + ( 6 − 4 )2 + ( 7 − 4 )2  = ⋅ 28 = 4 7 7 1 2 + ( 7 − 4 ) = ⋅ 28 = 4  7 V(X) =

− 4) + (5 − 4) + (6 − 4) 2

σ(X) = 4 = 2 7.7 Espérance et écart-type E( X ) =

n +1 2

V(X) =

n2 − 1 12

Justifications

1 n E( X ) =

1 1 1 1 ⋅ 1 + ⋅ 2 + ... + ⋅ n = ( 1 + 2 + ... + n ) n n n n

1 n ( n + 1) n + 1 ⋅ = 2 2 n

E( X ) =

( ) 1 E ( X ) = ⋅1 n 1 = (1 n

E X2

+ 22 + 32 + ... + n2

( )

E X2 =

( n + 1 ) ( 2n + 1 ) − ( n + 1 )2

)

1 n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) ⋅ = n 6 6

6 4 4 n + 2 − 3n − 3  2n + 1 n + 1  − = ( n + 1)  = ( n + 1) ⋅ 12 4   6 =

224

( n + 1) ( n − 1) = 12

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

1 2 1 2 1 ⋅ 2 + ⋅ 3 + ... + ⋅ n2 n n n

n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )

V(X) =

( )

V ( X ) = E X 2 −  E ( X ) 

n2 − 1 . 12

Qu’est-ce qu’une loi binomiale ?

7.8 Épreuve de Bernoulli

P ( X = 1) = p

P( X = xi ) Exemples

p= 1− p =

2 3

exploration 2

7.9 Schéma de Bernoulli

7.10 Loi binomiale de paramètres n et p

7 P ( X = k ) = Cnk pk (1 − p)

n− k

Synthèse

225

Exemple

3 = 0, 8

P X = k C4

7.11 Espérance mathématique, variance et écart-type d’une loi binomiale E ( X ) = np V ( X ) = np(1 − p) σ ( X ) = V ( X ) = np(1 − p)

7.12 Représentation graphique d’une loi binomiale

loi binomiale 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

4 fig. 7

226

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

Qu’est-ce qu’une variable aléatoire continue ? Comment définit-on sa densité de probabilité et sa fonction de répartition ?

[0 ;12]

7.13 Variable aléatoire continue

7.14 Densité de probabilité 

u; v

∫

f ( t) dt = 1

a; b

[ a ; b] ⊂ [u ; v]

u; v P ( a ≤ X ≤ b) =

∫

f ( t) dt

[ a ; b] y=f(t)

P(a<X<b) u

v fig. 8

7.15 Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue

F ( x) = P ( X ≤ x)

Synthèse

227

P ( X = a) = 0 P ( X < a) = P ( X ≤ a) = F ( a) P ( X > a) = P ( X ≥ a) = 1 − F ( a) P ( a < X < b) = P ( a ≤ X < b) = P ( a < X ≤ b) = P ( a ≤ X ≤ b) = F ( b) − F ( a) 7.16 Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire continue définie sur I = [u ; v] E(X ) = V (X) =

∫

t ⋅ f ( t) dt

 t − E ( X )  ⋅ f ( t) dt u σ( X ) = V ( X )

Variable aléatoire discrète ? Variable aléatoire continue ?

E( X ) =

∑p x i

E( X ) =

i =1

V( X ) =

∑ p ( x − E( X )) i

i =1

σ( X ) = V ( X )

228

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

V( X ) =

∫

t f ( t) d

( t − E( X ) )2 f (t) dt

σ( X ) = V ( X )

Qu’est-ce qu’une loi uniforme continue ? Quelles sont ses propriétés ? a. Loi uniforme sur un intervalle [a ; b] exploration 3

1 12 P ( 0 ≤ X ≤ 0, 5) = P ( 0, 5 ≤ X ≤ 1) = ... = P (11, 5 ≤ X ≤ 12) =

1 24

[0 ;12]  f ( x) = 0 pour x < 0  1  pour 0 ≤ x ≤ 12  f ( x) = 12   f ( x) = 0 pour x > 12 7.17 Loi uniforme sur un intervalle [a ; b] a; b

[ a ; b]  f ( x) = 0 pour x < a  1  pour a ≤ x ≤ b  f ( x) = b− a   f ( x) = 0 pour x > b

7.18 Espérance mathématique et variance d’une loi uniforme

E(X ) =

( b − a) a+ b V (X) = 2 12

σ( X ) =

[ a ; b] b− a 2 3

exercice 6

Synthèse

229

b. Loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1]

[0 ;1] [0 ;1] P ( 0 ≤ X ≤ 0, 5) = P ( 0, 5 ≤ X ≤ 1) =

1 2

P ( 0, 25 ≤ X ≤ 0, 5) = P ( 0, 6 ≤ X ≤ 0, 85) =

[0 ;1]

[ a ; b] ⊂ [0 ;1] P ( a < X < b) = b − a 7.19 Loi uniforme continue sur [0 ; 1] 0 ;1  f ( x) = 0   f ( x) = 1  f ( x) = 0 

∫

pour 0 ≤ x ≤ 1 pour x > 1

∫

f ( t) dt = [ t ]a = b − b

F( x) = 0  F( x) = x F( x) = 1 

230

pour x < 0

dx = [ x] =

P ( a < X < b) =

1 4

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

pour x < 0 pour 0 ≤ x ≤ 1 pour x > 1

fig. 9 y

densité de

P(0,12 < x < 0,33) = 0,21

0 0,12 0,33

x fig. 10

fig. 9

[ a ; b] ⊂ [0 ;1] a; b

[0 ;1]

E(X ) =

1 1 V (X) = 2 12

σ( X ) =

1 2 3

Qu’est-ce qu’une loi (de distribution) normale ? exploration 4

7.20 Loi de distribution normale

f ( x) =

1 σ 2π

1  x −µ  −   e 2 σ 

E( X ) = µ

f ( x) =

 1  x − µ 2   exp  −   2  σ   σ 2π   1

Synthèse

231

σ=2

x=µ

σ=3

fig. 11

σ=4 σ=5

fig. 11

fig. 12

x=a

x=b P(a ≤ X ≤ b)

P ( a ≤ X ≤ b) =

∫

f ( t) dt

fig. 12

99,7 %

fig. 13

95,4 % 68,3 %

P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ)  68, 3 % P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ)  95, 4 % P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ)  99, 7 %

fig. 13

µ – 3σ µ – 2σ µ – σ

Comment calculer P (X ≤ a) pour une loi normale ? P( X ≤ a) P( X > a)

P( X > a) = 1 − P( X ≤ a)

f ( x) =

232

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

1 2π

−

x2 2

µ + σ µ + 2σ µ + 3σ

X −µ σ 1 1  X −µ 1 E (T ) = E   = E ( X − µ ) = ( E ( X ) − µ ) = (µ − µ ) = 0 σ σ  σ  σ 1 σ2  X −µ 1 V (T ) = V   = 2 V ( X − µ) = 2 V ( X ) = 2 = σ σ  σ  σ

E( X + k) = E ( X ) + k ; V ( kX ) = k V ( X ) 2

V ( X + k) = V ( X )

Comment s’assurer qu’une distribution statistique suit une loi normale ?

Dans quelles circonstances est-on amené à approximer une loi binomiale par une loi normale ?

C σ = np 1 − p

Synthèse

233

Outils numériques A. Utiliser la table de la loi normale centrée réduite La table de valeurs (page 237) de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite permet de calculer P ( X ≤ k ) lorsque X suit une loi normale de paramètres μ et σ. Pour utiliser la table, on effectue un changement de variable X-m ; cette nouvelle variable T est d’espérance 0 et d’écartT= s type 1. Les propositions « X suit une loi normale de paramètres μ et σ » et « T suit une loi normale centrée réduite » sont équivalentes. La table donne les valeurs de P ( T ≤ t ) pour des valeurs positives de t. Lorsque t est négatif, on utilise les propriétés de symétrie de la courbe « en cloche ». Un extrait de cette table est utilisé dans les exemples qui suivent.

234

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0,5000

0,5040

0,5080

0,5120

0,5160

0,5199

0,5239

0,5279

0,5319

0,5359

0,1

0,5398

0,5438

0,5478

0,5517

0,5557

0,5596

0,5636

0,5675

0,5714

0,5753

0,2

0,5793

0,5832

0,5871

0,5910

0,5948

0,5987

0,6026

0,6064

0,6103

0,6141

0,3

0,6179

0,6217

0,6255

0,6293

0,6331

0,6368

0,6406

0,6443

0,6480

0,6517

0,4

0,6554

0,6591

0,6628

0,6664

0,6700

0,6736

0,6772

0,6808

0,6844

0,6879

0,5

0,6915

0,6950

0,6985

0,7019

0,7054

0,7088

0,7123

0,7157

0,7190

0,7224

0,6

0,7257

0,7291

0,7324

0,7357

0,7389

0,7422

0,7454

0,7486

0,7517

0,7549

0,7

0,7580

0,7611

0,7642

0,7673

0,7703

0,7734

0,7764

0,7793

0,7823

0,7852

0,8

0,7881

0,7910

0,7939

0,7967

0,7995

0,8023

0,8051

0,8078

0,8106

0,8133

0,9

0,8159

0,8186

0,8212

0,8238

0,8264

0,8289

0,8315

0,8340

0,8365

0,8389

1,0

0,8413

0,8438

0,8461

0,8485

0,8508

0,8531

0,8554

0,8577

0,8599

0,8621

1,1 1,2

0,8643 0,8849

0,8665 0,8869

0,8686 0,8888

0,8708 0,8906

0,8729 0,8925

0,8749 0,8943

0,8770 0,8962

0,8790 0,8980

0,8810 0,8997

0,8830 0,9015

1,3

0,9032

0,9049

0,9066

0,9082

0,9099

0,9115

0,9131

0,9147

0,9162

0,9177

1,4

0,9192

0,9207

0,9222

0,9236

0,9251

0,9265

0,9279

0,9292

0,9306

0,9319

1,5

0,9332

0,9345

0,9357

0,9370

0,9382

0,9394

0,9406

0,9418

0,9429

0,9441

1,6

0,9452

0,9463

0,9474

0,9484

0,9495

0,9505

0,9515

0,9525

0,9535

0,9545

1,7

0,9554

0,9564

0,9573

0,9582

0,9591

0,9599

0,9608

0,9616

0,9625

0,9633

1,8

0,9641

0,9649

0,9656

0,9664

0,9671

0,9678

0,9686

0,9693

0,9699

0,9706

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

a. Soit la variable X suivant la loi N(8 ; 2). Calculer P ( X ≤ 9 ), P ( X > 9 ), P ( 5 ≤ X ≤ 11, 7 ) . X -8 ; T suit la loi N (0,1). 2 9-8 1   = P  T ≤  = 0, 6915 . Cette valeur 2)  P ( X ≤ 9 ) = P  T ≤    2  2

1)  Effectuer le changement de variable T =

est lue dans la table au croisement de la ligne 0,5 et de la colonne 0,00.

0,6915 8

ﬁg. 14a

0,5

ﬁg. 14b

1  P ( X ≤ 9) = P  T ≤  2  3) P ( X > 9 ) = 1 - P ( X ≤ 9 ) = 1 - 0, 6915 = 0, 3085 11, 7 - 8   5-8 ≤T ≤ 4) P ( 5 ≤ X ≤ 11, 7 ) = P    2 2 P ( 5 ≤ X ≤ 11, 7 ) = P ( -1, 5 ≤ T ≤ 1, 85) = P ( T ≤ 1, 85) - P ( T ≤ -1, 5) = P ( T ≤ 1, 85) - P ( T ≥ 1, 5)

= P ( T ≤ 1, 85) - (1 - P ( T ≤ 1, 5) ) P ( T ≤ 1, 85 ) se lit au croisement de la ligne 1,8 et de la colonne 0,05 du tableau. P ( 5 ≤ X ≤ 11, 7 ) = P ( -1, 5 ≤ T ≤ 1, 85 )

= 0, 9678 - ( 1 - 0, 9332 ) = 0, 901

-1,5

11,7

ﬁg. 15a

P ( 5 ≤ X ≤ 11,7 )

1,85

-1,5 ﬁg. 15b

P ( −1,5 ≤ T ≤ 1,85)

= P ( T ≤ 1,85) − P ( T ≤ −1,5)

1 1,5 ﬁg. 15c

P ( T ≤ −1,5) = P ( T ≥ 1,5)

= 1 − P ( T ≤ 1,5)

Outils numériques

235

b. Soit la variable X de loi N (150 ; 30). Déterminer a tel que P ( 150 - a ≤ X ≤ 150 + a ) = 0, 85 . 1) On applique le changement de variable T = donne

X - 150 , ce qui 30

a   -a P ( 150 - a ≤ X ≤ 150 + a ) = P  ≤T ≤   30 30  a   ; il faut donc déterminer t tel que 2)  On pose t = 30 P ( - t ≤ T ≤ t ) = 0, 85.

(

)

3) P ( - t ≤ T ≤ t ) = P ( T ≤ t ) - P ( T ≥ - t ) = P ( T ≤ t ) - 1 - P ( T ≤ t )

= 2P ( T ≤ t ) - 1 = 0, 85

Ce qui donne 2P ( T ≤ t ) = 1, 85. Il faut donc trouver t tel que P ( T ≤ t ) = 0, 925.

4)  On repère la valeur 0,925 (ou la plus proche) dans le tableau ; cette valeur est au croisement d’une ligne et d’une colonne qui donnent la valeur de t. On trouve t = 1,44 et donc a = 30t = 43,2. y

193,2

106,8 150

236

175

Loi normale de moyenne 150 et d’écart-type 30 p(106,8 < X <193,2) = 0,850

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

x fig. 16

Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite 1

⌠ e F (t) = P(T ≤ t) = 2p ⌡ - ∞ t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

- x2 2

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9787 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

dx 0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8906 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9788 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7703 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9788 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8943 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9789 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 09931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9889 0,9992 0,9994 0,9996 09997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7793 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9889 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9890 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9890 0,9993 0,9995 0,9997 0,99987 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

Outils numériques

237

B. Lois de probabilité Utiliser les fonctions d’Excel pour calculer les valeurs des lois de probabilité et des fonctions de répartition (explorations 2 à 4 et exercices). a. Loi binomiale Lorsque l’on sélectionne la fonction loi.binomiale, une fenêtre comme celle de la fig. 17 apparaît sur la feuille de calcul. Pour une loi binomiale B(n, p), k désigne le nombre de succès obtenus au cours des n répétitions de l’expérience et p, la probabilité d’un succès. Le tableau qui suit indique comment compléter les différents arguments pour calculer P(X = k) ou P(X ≤ k). P(X = k)

P(X ≤ k)

Nombre_succès

valeur de k

Tirages

valeur de n

Probabilité_succès

valeur de p

Cumulative

faux (ou 0)

vrai (ou 1)

fig. 17

b. Loi normale Pour définir une loi normale, il faut connaître μ et σ. Pour compléter les arguments de la fonction loi.normale (fig. 18) on se réfère au tableau ci-dessous. P(X = k)

P(X ≤ k)

valeur de k

Espérance

valeur de μ

Écart-type

valeur de σ

Cumulative

faux (ou 0)

vrai (ou 1)

fig. 18

238

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

Exercices Connaître 1

Lois de probabilité Quelle est la loi de probabilité des variables aléatoires définies dans les situations suivantes ? a. On jette deux dés bien équilibrés. X désigne la somme des points obtenus. b. On jette deux dés bien équilibrés. X désigne le nombre de « six » obtenus. c. On jette deux dés non truqués. X désigne la valeur absolue de la différence des points obtenus. d. Un groupe comprend 5 garçons et 3 filles. On choisit 4 personnes au hasard, X désigne le nombre de filles. e. Une urne contient trois boules blanches et cinq boules noires. On tire une boule de l’urne ; si elle est blanche, on arrête l’expérience. Si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne mais on tire une autre boule et on procède de même. La variable aléatoire X désigne le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche. f. Pour fêter son ouverture, un magasin offre, aux 50 premiers clients, un billet de loterie donnant droit à un bon d’achat. Les différents lots sont : un bon d’achat de 500 €, deux de 300 €, deux de 100 € et les autres de 20 €. X désigne le gain d’un possesseur de billet. Calculer l’espérance mathématique de ce gain.

Loi de probabilité et fonction de répartition Une variable aléatoire X prend ses valeurs dans {4 , 5 , 6 , 7}. On sait que P ( X > 6 ) =

2 1 ; P ( X < 6 ) = ; P ( X = 4 ) = P ( X = 5) . 5 5

a. Déterminer la loi de probabilité de X. b. Représenter graphiquement la fonction de répartition de X. c. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de X.

Exercices

239

Loi de probabilité, espérance et variance a. Le tableau suivant peut-il être celui d’une loi de probabilité ? Justifier. X

P ( X = xi )

0,1

0,45

0,05

0,35

0,15

b. Compléter le tableau suivant pour qu’il soit celui d’une loi de probabilité. X

P ( X = xi )

0,1

0,22

0,35

0,13

Calculer ensuite l’espérance et la variance de cette loi. c. Une urne contient 25 boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à 25. On tire une boule au hasard. X désigne le numéro de la boule tirée. Quelle loi suit cette variable ? Calculer l’espérance et la variance de X.

Épreuve ou schéma de Bernoulli A. Dans chacune des situations suivantes, reconnaître une épreuve de Bernoulli. Préciser les issues possibles et donner leur probabilité. a. On lance un dé bien équilibré et on note si le numéro obtenu est un nombre premier. b. On tire au hasard une carte d’un jeu de 52 cartes et on regarde si c’est une image. c. On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes et on regarde si c’est une carte rouge. d. On tire une boule d’une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes et on regarde si c’est une boule verte. B. Dans chacune des situations suivantes, reconnaître un schéma de Bernoulli. Préciser les issues possibles et donner leur probabilité. a. Un élève lance deux fois une pièce bien équilibrée. b. Un joueur tire 3 lancers francs au basket.

240

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

Variable aléatoire continue Soit X une variable aléatoire continue. Sa densité de probabilité est définie par x 1  + si 0 ≤ x ≤ 3 . f ( x) =  3 6 0 si x < 0 ou x > 3 a. Justifier que la fonction f est une densité de probabilité sur l’intervalle [0 ; 3]. b. Représenter graphiquement la fonction f. c. Calculer P (1 ≤ X ≤ 2)

Loi uniforme Soit X une variable aléatoire continue. Sa densité de probabilité est définie par  k si a ≤ x ≤ b f ( x) =  . 0 si x < a ou x > b a. Tracer le graphique de la densité de probabilité de cette variable X. b. Déterminer la valeur de k. c. Calculer l’espérance mathématique et la variance de X. d. Déterminer la fonction de répartition de la variable X. e. Répondre aux questions b à d si [ a ; b] = [ -1; 4]

Appliquer 7

File d’attente Le tableau ci-dessous donne la loi de probabilité de la variable X désignant le nombre de personnes dans la file d’attente à la caisse d’un magasin. X = xi

P ( X = xi )

0,1

0,12

0,15

0,17

0,16

0,13

0,1

0,07

Quelle est la probabilité qu’une personne se présentant à la caisse ait : a. au moins 5 personnes devant elle ? b. au plus 5 personnes devant elle ? Les événements définis en a et b sont-ils contraires ? Expliquer.

Exercices

241

Boules dans une urne Une urne contient cinq boules vertes, trois boules rouges et deux boules bleues indiscernables au toucher. Un joueur choisit une boule au hasard dans l’urne. Si la boule est bleue, il gagne 10 €, si elle est rouge, il gagne 5 € et si elle est verte, il perd 1 €. a. Écrire la loi de probabilité du gain du joueur. b. Calculer l’espérance mathématique de cette loi.

À l’examen L’oral d’un examen comporte 20 sujets différents. Le candidat en tire 3 au hasard et parmi ceux-ci, il choisit celui qu’il veut traiter. Le candidat qui se présente n’a révisé que 12 des 20 sujets. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de sujets révisés parmi les trois sujets tirés. a. Donner la loi de probabilité de cette variable aléatoire. b. Calculer l’espérance mathématique.

Factures impayées Un entrepreneur a constaté qu’une facture avait 4 chances sur 100 d’être impayée à l’échéance. En fin de mois, il a adressé 25 factures à 25 clients différents. a. Justifier que la variable X désignant le nombre de factures impayées suit une loi binomiale. b. Quelle est la probabilité que l’entrepreneur ait 5 factures impayées à l’échéance ?

Jouer à pile ou face On lance 20 fois une pièce de monnaie bien équilibrée. La variable aléatoire X désigne le nombre de faces obtenu au cours de ces lancers. a. Quelle est la loi de probabilité de la variable X ? b. Calculer la probabilité d’obtenir 12 fois « face » au cours de ces lancers. c. Calculer l’espérance mathématique de X et interpréter le résultat.

242

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

Nouveau produit Un commerçant propose un nouveau produit à ses clients. Il a constaté que 10 % d’entre eux étaient intéressés par ce produit. Un sondage est effectué sur un échantillon aléatoire de 20 clients potentiels. La variable aléatoire X désigne le nombre de clients intéressés par le produit. a. Quelle est la loi de probabilité de X ? b. Quelle est la probabilité qu’aucun client de l’échantillon ne choisisse ce produit ? c. Calculer la probabilité qu’au moins deux clients de l’échantillon choisissent le produit.

Loterie Dans une loterie de 500 billets, il y a 10 billets gagnants. a. Quelle est la probabilité de gagner au moins une fois si l’on achète 8 billets ? b. Combien faut-il acheter de billets pour que la probabilité de gagner au moins deux fois soit supérieure à 0,8 ?

Hérédité La probabilité qu’un certain caractère héréditaire se transmette des parents aux enfants est de 58 %. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre d’enfants ayant ce caractère dans une famille de 5 enfants. a. Quelle est la probabilité que ce caractère soit présent : 1) chez tous les enfants ? 2) chez deux enfants ? 3) chez au moins trois enfants ? b. Calculer l’espérance mathématique. Que représente-t-elle dans cette situation ?

Exercices

243

Atteindre une cible a. La probabilité qu’un tireur atteigne une cible est 0,2. 1) Il tire 6 fois. Quelle est la probabilité qu’il atteigne la cible au moins deux fois ? 2) Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois soit supérieure ou égale à 0,5 ? b. La probabilité qu’un tireur atteigne une cible est 0,7. Il tire trois fois consécutivement. 1) Calculer la probabilité qu’il atteigne la cible trois fois. 2) Soit X le nombre de fois où le tireur atteint la cible. Donner la loi de probabilité et la fonction de répartition de X. 3) Quelle est l’espérance mathématique de X ?

Au basket Un joueur de basket réussit ses tentatives de panier 7 fois sur 10. a. Quelle est la probabilité qu’il réussisse au moins un panier en 5 tentatives ? b. Calculer la probabilité qu’il réussisse au moins un panier en n tentatives ? c. Quel est le nombre minimal de tentatives que ce joueur doit effectuer pour que la probabilité de réussir au moins un panier soit supérieure à 95 % ?

Jeu équitable ? Dans un jeu de hasard, l’espérance mathématique est considérée comme le gain qu’un joueur peut espérer retirer du jeu. Si l’espérance mathématique est positive, le jeu est favorable au joueur ; dans le cas contraire, le jeu lui est défavorable. Si l’espérance mathématique est nulle, le jeu est dit équitable ou équilibré. a. Un joueur lance un dé bien équilibré. Si le résultat est un nombre premier, le joueur gagne en euros la valeur du point obtenu. Si le dé tombe sur un nombre non premier, le joueur perd, en euros, la valeur du point obtenu. Ce jeu est-il équitable ? b. Un joueur lance trois pièces de monnaie bien équilibrées. Il gagne 1 euro s’il obtient 3 faces, 50 cents s’il obtient 2 faces, 30 cents s’il obtient une face et 20 cents s’il n’obtient aucune face. Si le jeu doit être équitable, combien doit-il payer pour pouvoir jouer une partie ?

244

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

Voyages organisés Une compagnie de voyages dispose de 5 autocars. La probabilité pour qu’un jour, l’un d’eux soit non disponible est 0,08. On suppose que les causes de non disponibilité des différents cars sont indépendantes. Calculer la probabilité pour qu’un jour donné : a. aucun car ne soit disponible, b. tous les cars soient disponibles, c. un car au moins soit non disponible, d. deux cars soient non disponibles.

Tableur et loi uniforme a. Utiliser la fonction ALEA d’un tableur pour obtenir une liste de 3000 nombres (pseudo)aléatoires de l’intervalle [0 ;1]. Avec la fonction NB.SI, étudier la répartition des 3000 nombres donnés par le tableur dans les intervalles [0 ; 0,1], [0,1; 0, 2]…[0, 9 ;1]. b. Représenter graphiquement cette répartition. c. Peut-on en conjecturer que les probabilités sur les différents intervalles sont égales ?

Avec une table de valeurs Utiliser la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite pour résoudre les énoncés suivants. a. Une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite. Calculer 1) P ( X ≤ 0, 63 )

3) P ( -0, 78 ≤ X ≤ 1, 22 )

2) P ( X ≥ 1, 25 )

4) P ( 0, 52 ≤ X ≤ 2,12 )

b. Une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres m = 8 et s = 4. Calculer 1) P ( X ≤ 5 )

3) P ( 8 ≤ X ≤ 13 )

2) P ( X ≥ 13 )

4) P ( 5 ≤ X ≤ 10 )

Exercices

245

c. Une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite. Quelle valeur faut-il donner à t pour que 1) P ( X ≤ t ) = 0, 7326 2) P ( 0 ≤ X ≤ t ) = 0, 4212 3) P ( t ≤ X ≤ 2 ) = 0,15 d. Une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres μ = 8 et σ = 3. Quelle valeur faut-il donner à a pour que : 1) P ( X ≤ a ) = 0, 2736 2) P ( X ≥ a ) = 0, 3567 3) P ( 8 ≤ X ≤ a ) = 0, 4576 4) P ( a ≤ X ≤ 5 ) = 0, 8547

Loi binomiale et loi normale Utiliser un tableur pour comparer les résultats obtenus par la loi binomiale et la loi normale lorsque n = 50 et p = 0,4. Représenter graphiquement ces lois de probabilité.

Les exercices suivants peuvent être résolus avec un tableur ou une table de valeurs

Température d’été On suppose que la température maximale diurne pendant le mois de juillet suit une loi normale de moyenne 20°C et d’écart-type σ = 3°. Calculer la probabilité que la température soit comprise entre 21°C et 26°C.

Taille d’étudiants On suppose que la taille moyenne d’un groupe de 2000 étudiants de 18 ans suit une loi normale de moyenne 1,75 m et d’écart-type de 15 cm. Quelle est la probabilité qu’un de ces jeunes choisi au hasard a. ait une taille inférieure à 155 cm ? b. ait une taille comprise entre 165 et 180 cm ? c. ait une taille supérieure à 2 m ?

246

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

Globules rouges Des observations médicales ont permis d’établir que dans une population donnée, le nombre de globules rouges d’un individu est distribué suivant une loi normale représentée sur la fig. 19. Les normes précisent que, pour un individu donné, ce nombre doit être compris entre 3,9 et 5,6.

68,3 %

Dans une population de 100 000 individus, combien y a-t-il de personnes « hors normes » ?

3 4,2 5,4 6,6 Nombre de globules rouges (en millions par mm3) fig. 19

Pièce conforme ? Le réglage d’une machine est tel que la longueur (en mm) des pièces fabriquées suit une loi normale, représentée sur la fig. 20. Une pièce est correcte lorsque sa longueur est comprise entre 19,5 mm et 20,5 mm. Quelle est la probabilité qu’une pièce choisie au hasard soit rejetée ?

95,4 %

19,6

20,4 fig. 20

Transférer 26

Jeu télévisé Pour être sélectionné à un jeu télévisé, un candidat doit réussir deux épreuves indépendantes. La probabilité de réussir la première épreuve est égale à 0,1 ; celle de réussir la seconde épreuve est égale à 0,2. a. Quelle est la probabilité qu’un candidat ne réussisse aucune des épreuves ? b. Quelle est la probabilité qu’un candidat soit sélectionné ? c. Quelle est la probabilité que, parmi les n candidats qui se présentent, un au moins soit sélectionné ? d. Combien doit-on prévoir de candidats pour être sûr à 99 % qu’au moins un candidat sera sélectionné ?

Exercices

247

Fratrie Est-il plus probable que, dans une famille de quatre enfants, deux soient du même sexe ou trois soient du même sexe ?

Prédire le sexe de l’enfant attendu… Des relevés statistiques sur plusieurs années ont montré une stabilisation de la fréquence de naissances de filles (48,65 %) et de naissances de garçons. Utiliser ces données pour calculer la probabilité qu’une famille de trois enfants compte : a. exactement un garçon, b. au moins un garçon, c. au moins un enfant de chaque sexe.

Équipe championne ? Une équipe de handball gagne les matchs qu’elle dispute avec une probabilité de 65 %. Cette équipe doit encore jouer 4 matchs pour terminer sa saison. Calculer la probabilité qu’elle gagne : a. exactement deux matchs, b. au moins un match, c. plus de la moitié des matchs.

Tirer des cartes On prend une carte dans un jeu de 52 cartes et on la replace avant d’effectuer le tirage suivant. Combien de fois faut-il répéter le tirage pour que : a. la probabilité de tirer au moins une carte de pique soit supérieure à 0,5 ? b. la probabilité de tirer au moins un as soit supérieure à 0,5 ?

248

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

Concours On suppose que les notes obtenues à un concours sont réparties suivant une loi normale de moyenne 72 et d’écart-type 15. a. Les 20 % d’étudiants les mieux classés sont admis d’office. Quelle est la note minimale pour être admis ? b. Les 15 % d’étudiants les moins bien classés ne peuvent présenter l’épreuve orale. En dessous de quelle note les étudiants sont-ils exclus ?

Personnel4 hospitalier Le personnel d’un très grand hôpital est réparti en trois catégories : les médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique). On précise la répartition du personnel : – 12 % des membres du personnel sont des médecins et 71 % sont des soignants, – 67 % des médecins sont des hommes et 92 % des soignants sont des femmes. On donnera une valeur approchée de tous les résultats à 10– 4 près. a. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. 1) Quelle est la probabilité d’interroger une femme soignante ? 2) Quelle est la probabilité d’interroger une femme médecin ? 3) On sait que 80 % du personnel est féminin. Calculer la probabilité d’interroger une femme sachant que la personne interrogée fait partie du personnel AT. b. Tout le personnel de cet hôpital effectue le trajet domicile-hôpital en une heure maximum et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0 ;1]. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. Quelle est la probabilité que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15 min et 30 min ? c. Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard 40 noms de la liste. Quelle est la probabilité que, sur 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins ? 4. D’après Bac Liban 2004

Exercices

249

Voyage organisé Une agence de voyage propose des formules « voyage et hôtel » pour un weekend à Paris au départ de Bruxelles. Le client peut choisir la formule : « train + hôtel » à 240 € ou la formule « bus + hôtel » à 180 €. Il peut en outre compléter son choix par l’option « visites guidées » qui coûte 75 €. Sur base des réservations de l’année précédente, le responsable de l’agence a établi que : • 30 % des clients optent pour la formule « train + hôtel », • parmi les clients ayant choisi la formule « bus + hôtel », 45 % ont aussi choisi l’option « visites guidées », • 15 % des clients ont choisi la formule « train + hôtel » et l’option « visites guidées ». La variable aléatoire X désigne le montant payé par un client pour un tel weekend. Quel montant du chiffre d’affaires l’agence peut-elle espérer obtenir lorsque 80 clients réservent un weekend à Paris ?

Pour aller plus loin… 34

Standard téléphonique (exercice résolu) Un standard téléphonique reçoit en moyenne 0,7 appel à la minute. a. Calculer la probabilité pour qu’entre 10h29 et 10h30, 1) il ne reçoive aucun appel, 2) il reçoive un seul appel, 3) il reçoive plus d’un appel. b. Calculer la probabilité que le standard reçoive 12 appels entre 10h30 et 10h45. L’énoncé ci-dessus est celui d’un problème qui peut être résolu par la loi de Poisson. Cette loi, établie en 1838 par le mathématicien français Siméon Denis Poisson (1781-1840), s’applique aux variables aléatoires définies par le nombre d’occurrences d’événements qui se produisent dans un intervalle de temps fixé avec une espérance (fréquence moyenne) connue et indépendamment du temps écoulé depuis l’événement précédent. Cette loi s’applique également aux variables aléatoires discrètes définies sur un intervalle de longueur, une portion de surface ou de volume. Elle est parfois appelée loi des événements rares.

250

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ si ∀k ∈ , p ( X = k ) = On a E ( X ) = l et V ( X ) = l .

l k -l e . (1) k!

Dans l’expression (1), – λ est le nombre moyen d’occurrences dans l’intervalle considéré. – k est le nombre d’occurrences. La loi de Poisson est une loi à variable discrète. Solution a. Les appels sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire « X = nombre d’appels en une minute » suit une loi de 0, 7 k - 0,7 e . Poisson de paramètre λ = 0,7. On a donc p ( X = k ) = k! 0, 70 - 0,7 e = 0, 497 1) k = 0 ; p ( X = 0 ) = 0! 2) k = 1 ; p ( X = 0 ) =

0, 71 - 0,7 e = 0, 348 1!

3) k ≥ 1 ; p ( X > 1) = 1 - P ( X ≤ 1) = 1 - ( P ( X = 0 ) + P ( X = 1) ) = 1 0 ) + P ( X = 1) ) = 1 1 - P ( X ≤ 1) = 1 - ( P ( X =

0, 70 - 0,7 0, 71 e = 0,156 0! 1!

0, 70 - 0,7 0, 71 e = 0,156 . 0! 1!

b. Sur 15 minutes, le nombre d’appel est en moyenne de 0,7 ⋅ 15 = 10,5. La variable X = nombre d’appels sur 15 minutes suit une loi de Poisson de paramètre λ = 10,5. p ( X = 12) =

10, 512 - 10,5 e = 0,103. 12!

Loi binomiale et loi de Poisson Lorsque le nombre d’épreuves est élevé (n ≥ 30) et que la probabilité d’un succès est faible (p ≤ 0,1 et np ≤ 15), on peut obtenir une approximation de la loi binomiale B ( n ; p) par la loi de Poisson, dont l’expression est plus maniable que celle de la loi binomiale ; on pose alors λ = n ⋅ p. Utiliser un tableur pour comparer les résultats obtenus par la loi binomiale et la loi de Poisson dans la situation suivante : n = 100 et p = 0,09. Représenter graphiquement ces deux lois de probabilité. Exercices

251

Articles défectueux a. Dans une usine, on a observé que trois pour mille des articles produits sont défectueux. Quelle est la probabilité que dans une caisse de 100 articles, il y en ait trois défectueux ? b. On sait que 2 % des articles produits par une entreprise sont défectueux. Quelle est la probabilité que dans un échantillon de 100 pièces il y ait 4 articles défectueux ?

Péage d’autoroute On a pu observer qu’en moyenne, cinq voitures à la minute se présentent à un poste de péage d’une autoroute. a. Quelle est la probabilité qu’exactement 8 voitures se présentent à ce poste en une minute ? b. Quelle est la probabilité que 20 voitures se présentent à ce poste en 15 minutes ?

Virus Dans 100 cm³ de liquide, il y a 100 virus. On injecte 1 cm³ de ce liquide à 100 animaux. Il suffit d’un virus pour que l’animal tombe malade. Combien d’animaux ne tomberont pas malades ?

Anniversaire de l’entreprise À l’occasion du 50e anniversaire de la fondation de l’entreprise, le patron a invité les 500 membres du personnel. Quelle est la probabilité que 8 d’entre eux fêtent leur anniversaire ce jour-là ?

Erreurs typographiques On suppose que, dans la première épreuve d’un livre de 500 pages, il y a 300 fautes d’impression distribuées au hasard. Calculer la probabilité pour qu’une page donnée contienne a. exactement 2 fautes d’impression, b. au moins 2 fautes d’impression.

252

7. Variables aléatoires et lois de probabilités

Gauchers… On estime qu’en moyenne, 2 % des êtres humains sont gauchers. Quelle est la probabilité que, dans un groupe de 150 personnes, a. il y ait exactement 4 gauchers ? b. il y ait au maximum 2 gauchers ? c. le nombre de gauchers soit compris entre 4 et 6 ?

Maintenance Une société de maintenance informatique gère un parc de 500 ordinateurs. On admet que, chaque semaine, la probabilité qu’un ordinateur tombe en panne est de 8/1000. Calculer, à 10 –3 près, la probabilité que lors d’une semaine, il y ait : a. moins de 2 pannes, b. entre 5 et 10 pannes, c. plus de 4 pannes.

Allergie à un produit Sur base d’observations statistiques, on a pu établir que le pourcentage de personnes allergiques à un certain produit d’entretien est de 1 %. Quelle est la probabilité que, dans un groupe de 500 personnes, il y ait : a. 3 personnes allergiques au produit ? b. au moins 3 personnes allergiques au produit ? Effectuer les calculs avec un tableur en utilisant les fonctions « loi binomiale » et « loi de Poisson ». Comparer les résultats obtenus.

Exercices

253

Table des matières Avant-propos V Comment s’y prendre ?

VIII

Sommaire X 1.

Fonctions exponentielles et logarithmes

Introduction 1 Exploration 2 Synthèse 11 1. 2.

Qu’appelle-t-on réciproque d’une fonction ? Comment la déterminer ?

1.1 Réciproque d’une fonction

Comment procéder pour que la réciproque d’une fonction soit une fonction ?

1.2 Fonction injective

Comment reconnaître une croissance ou une décroissance exponentielle ?

Qu’appelle-t-on fonction exponentielle de base a ? 15 1.3 Fonction exponentielle de base a, définition

Quelles sont les propriétés des puissances à exposants réels ?

1.4 Propriétés des puissances à exposants réels

Quelles sont les caractéristiques graphiques des fonctions exponentielles ?

Qu’appelle-t-on exponentielle népérienne ?

1.5 Nombre d’Euler

1.6 Fonction exponentielle népérienne

Comment définir les fonctions logarithmes ?

1.7 Fonction logarithme de base a

1.8 Relation de réciprocité

1.9 Fonctions logarithmes usuelles

Quelles sont les caractéristiques graphiques des fonctions logarithmiques ?

10. Quelles sont les propriétés des logarithmes ?

1.10 Propriétés immédiates

1.11 Logarithme d’un produit

1.12 Logarithme d’une puissance

1.13 Logarithme d’un quotient

1.14 Changement de base

22 Table des matières

255

11. Comment dériver les fonctions exponentielles et logarithmes ?

1.15 Dérivée des fonctions exponentielles

1.16 Dérivée des fonctions logarithmes

12. Comment calculer une limite avec la règle de l’Hospital ? 1.17 Règle de l’Hospital 13. Qu’est-ce qu’un repère semi-logarithmique ? Comment lire ou construire une échelle logarithmique ? Outils numériques

24 24 25 27

Exercices 31

Intégrales et primitives

Introduction 63 Exploration 64 Synthèse 70 1.

Qu’appelle-t-on intégrale définie ?

2.1 Intégrale définie

Comment approcher numériquement une intégrale définie ?

Quelles sont les propriétés de l’intégrale d’une fonction ?

Qu’appelle-t-on primitive d’une fonction ?

2.2 Primitive d’une fonction

2.3 Intégrale indéfinie d’une fonction

Quel est le lien entre l’intégrale définie et les primitives d’une fonction ?

2.4 Théorème d’existence

2.5 Lien entre primitives et intégrale

Quelles sont les primitives des fonctions usuelles et des fonctions composées ?

Quelles autres méthodes peut-on utiliser pour calculer des primitives ?

Comment calculer une intégrale définie par substitution ou changement de variable ?

Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre le graphique d’une fonction, l’axe Ox et deux droites verticales ?

10. Comment calculer l’aire d’une surface comprise entre les graphiques de deux fonctions ?

11. Comment utiliser le calcul intégral pour calculer le volume des solides de révolution ? Outils numériques

81 82

Exercices 85

256

Table des matières

Calcul vectoriel dans l’espace

105

Introduction 105 Exploration 106 Synthèse 111 1.

Comment repérer un point dans l’espace ?

111

Comment calculer la distance d’un point à l’origine du repère ?

112

3.1 Distance d’un point à l’origine du repère

112

Comment caractériser un vecteur de l’espace ?

112

3.2 Unicité

112

3.3 Vecteurs égaux

112

3.4 Vecteurs colinéaires – Points alignés

113

3.5 Vecteurs coplanaires – Points coplanaires

113

Comment calculer et utiliser les composantes d’un vecteur de l’espace dans un repère orthonormé ?

113

3.6 Composantes d’un vecteur

113

3.7 Composantes d’un vecteur et opérations

113

3.8 Composantes d’un vecteur u = AB

114

3.9 Coordonnées du point milieu d’un segment

114

Comment calculer la distance entre deux points ? la norme d’un vecteur ?

115

3.10 Distance entre deux points et norme d’un vecteur

115

Comment vérifier l’orthogonalité de deux vecteurs lorsqu’on connaît leurs composantes ?

116

3.11 Vecteurs orthogonaux, définition

116

5. 6.

116 3.12 Vecteurs orthogonaux, propriété Exercices 117

Géométrie analytique de l’espace

121

Introduction 121 Exploration 122 Synthèse 129 Qu’appelle-t-on vecteur directeur d’une droite ou d’un plan ?

129

4.1 Vecteur directeur

129

Comment écrire les différents types d’équations d’une droite ?

129

Comment écrire les différents types d’équations d’un plan ?

131

Comment représenter un plan dont on connaît l’équation cartésienne ?

132

Comment écrire une équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal et un point ?

132

4.2 Vecteur normal à un plan

132

De la géométrie synthétique à la géométrie vectorielle : comment caractériser une droite ou un plan ?

133

Table des matières

257

7. 8. 9.

Qu’appelle-t-on droites orthogonales dans l’espace ?

134

4.3 Droites orthogonales

134

Comment « traduire » en langage vectoriel le parallélisme et l’orthogonalité entre droites et plans dans l’espace ?

134

Comment déterminer l’intersection de deux plans ?

135

10. Quelles sont les positions relatives de trois plans dans l’espace ?

136

11. Comment résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues par la méthode de Gauss ? 137 12. Comment interpréter géométriquement les solutions d’un système de trois équations à trois inconnues ?

139

13. Comment résoudre un problème ? Outils numériques

140 141

Exercices 145

Probabilité 157 Introduction 157 Exploration 158 Synthèse 163

163

5.1 Expérience aléatoire

163

5.2 Catégorie d’épreuve(s)

163

5.3 Événement

163

5.4 Événement élémentaire

164

5.5 Événement impossible

164

5.6 Événement certain

164

5.7 Événements contraires

164

Quelles sont les notions importantes relatives aux événements ?

164

5.8 Opérations sur les événements

164

5.9 Événements indépendants

165

5.10 Événements incompatibles

165

Qu’appelle-t-on probabilité d’un événement ? Comment la déterminer ?

165

Quelles sont les propriétés des probabilités ?

167

258

Qu’appelle-t-on expérience aléatoire ? Qu’appelle-t-on événement ?

Qu’appelle-t-on cas d’équiprobabilité ? Comment alors calculer la probabilité d’un événement ?

168

5.11 Équiprobabilité

168

Comment déterminer une probabilité à l’aide d’un arbre pondéré ?

169

Comment déterminer une probabilité à l’aide d’un diagramme de Venn ?

171

Comment calculer une probabilité à l’aide d’un tableau à double entrée ?

172

Table des matières

Qu’appelle-t-on probabilité conditionnelle ?

172

5.12 Probabilité conditionnelle

173

5.13 Événements indépendants

173

10. Comment déterminer une probabilité conditionnelle ? Outils numériques

173 175

Exercices 180

Analyse combinatoire

195

Introduction 195 Exploration 196 Synthèse 198 1.

Que signifie dénombrer ? Comment caractériser un groupement ?

198

Qu’est-ce qu’un arrangement ? Comment le reconnaître ?

198

6.1 Arrangement simple

198

6.2 Nombre d’arrangements simples

198

6.3 Arrangement avec répétitions,

199

6.4 Nombre d’arrangements avec répétitions

199

Qu’est-ce qu’une permutation ? Comment la reconnaître ?

200

6.5 Permutation simple

200

6.6 Nombre de permutations simples

200

6.7 Permutation avec répétitions

201

6.8 Nombre de permutations avec répétitions

201

Qu’est-ce qu’une combinaison simple ? Comment la reconnaître ?

202

6.9 Combinaison simple

202

6.10 Nombre de combinaisons simples

202

Comment aborder un exercice de dénombrement ? 203 Exercices 204

Variables aléatoires et lois de probabilités

215

Introduction 215 Exploration 216 Synthèse 221 1.

Qu’appelle-t-on variable aléatoire discrète ? Comment définir sa loi de probabilité et sa fonction de répartition ?

221

7.1 Variable aléatoire

221

7.2 Loi de probabilité

221

7.3 Fonction de répartition

222 Table des matières

259

6. 7.

8. 9.

Quelles sont les caractéristiques d’une variable aléatoire discrète ?

222

7.4 Espérance mathématique

222

7.5 Variance et écart-type d’une variable aléatoire discrète

222

Qu’est-ce qu’une loi uniforme discrète ? Quelles sont ses caractéristiques ?

223

7.6 Loi uniforme discrète

223

7.7 Espérance et écart-type

224

Qu’est-ce qu’une loi binomiale ?

225

7.8 Épreuve de Bernoulli

225

7.9 Schéma de Bernoulli

225

7.10 Loi binomiale de paramètres n et p

225

7.11 Espérance mathématique, variance et écart-type d’une loi binomiale

226

7.12 Représentation graphique d’une loi binomiale

226

Qu’est-ce qu’une variable aléatoire continue ? Comment définit-on sa densité de probabilité et sa fonction de répartition ?

227

7.13 Variable aléatoire continue

227

7.14 Densité de probabilité

227

7.15 Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue

227

7.16 Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire continue définie sur I = [u ; v]

228

Variable aléatoire discrète ? Variable aléatoire continue ?

228

Qu’est-ce qu’une loi uniforme continue ? Quelles sont ses propriétés ?

229

7.17 Loi uniforme sur un intervalle [a ; b]

229

7.18 Espérance mathématique et variance d’une loi uniforme

229

7.19 Loi uniforme continue sur [0 ; 1]

230

Qu’est-ce qu’une loi (de distribution) normale ?

231

7.20 Loi de distribution normale

231

Comment calculer P (X ≤ a) pour une loi normale ?

232

10. Comment s’assurer qu’une distribution statistique suit une loi normale ?

233

11. Dans quelles circonstances est-on amené à approximer une loi binomiale par une loi normale ? Outils numériques

233 234

Exercices 239

260

Table des matières