Análise Linear de Sinais by Editora Blucher

Capa_Geromel_Analise de sinais_P2.pdf 3 28/02/2019 12:49:39

1 Considerações preliminares

Sinais

3 Análise de sinais periódicos C

4 Transformada de Fourier

5 Amostragem

CMY

6 Filtragem determinística

7 Filtragem estocástica

8 Modelagem e ensaios práticos

A Noções básicas de cálculo e simulação

B Probabilidade

ANÁLISE LINEAR DE SINAIS

Os mais importantes aspectos teóricos envolvendo sinais e sistemas expressos no domínio de tempo contínuo e no domínio de tempo discreto são abordados com a devida abrangência, mas com o cuidado de não exigir do leitor conhecimento além do esperado. Dezenas de exemplos são resolvidos para ilustrar resultados teóricos importantes e também para colocar em evidência alguma técnica de cálculo que deve ser aprendida de maneira sólida e definitiva. Várias informações suplementares na forma de discussões específicas ganham o devido destaque no decorrer do texto. Ademais, um capítulo é inteiramente dedicado a aplicações práticas e dois apêndices tratam de temas estratégicos para que a leitura possa ser feita com o devido cuidado.

Geromel • Deaecto

CONTEÚDO

Este livro trata de um conjunto de assuntos clássicos que permeia todos os programas de graduação em engenharia e ciências exatas. Ele estuda os sinais e os sistemas que os manipulam e os modificam para atender a alguma finalidade. A obra é resultado de uma visão pessoal dos autores a respeito dos assuntos abordados, proporcionando ao leitor um texto inédito sobre a área.

José C. Geromel

José C. Geromel Grace S. Deaecto

ANÁLISE LINEAR DE SINAIS Teoria, ensaios práticos e exercícios

Nasceu em Itatiba, São Paulo, em 1952. Graduou-se em 1975 e concluiu seu mestrado em 1976 na Faculdade de Engenharia Elétrica da Unicamp. Obteve o título de docteur d’État em 1979 no LAAS-CNRS, na França. Em 1987, atuou como professor convidado no Instituto Politécnico de Milão, na Itália. Desde 1990, é professor titular da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Unicamp, onde exerceu o cargo de pró-reitor de pós-graduação (1998-2002). Desde 1991, é pesquisador nível 1A do CNPq. Recebeu o prêmio Zeferino Vaz, concedido pela Unicamp, em 1994 e 2014, e o prêmio Scopus, concedido pela Elsevier e pela CAPES, em 2007. É membro titular da Academia Brasileira de Ciências, chevalier dans l’Ordre des Palmes Académiques da França e docteur honoris causa da Universidade Paul Sabatier, na França. Em 2011, tornou-se comendador da Ordem Nacional do Mérito Científico do Brasil, sendo agraciado, em 2018, com a Grã-Cruz da Ordem. Em 2011, tornou-se distinguished lecturer da IEEE Control Systems Society.

Grace S. Deaecto Graduou-se em Engenharia Elétrica pela Unesp , campus de Ilha Solteira, em 2005. Concluiu o mestrado em 2007 e o doutorado em 2010, ambos pela Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Unicamp. Durante o ano de 2011, realizou pós-doutorado no Centre de Recherche en Automatique de Nancy, na França, onde também participou de um projeto conjunto entre esse laboratório e a empresa ArcelorMittal. Atualmente, é professora da Faculdade de Engenharia Mecânica da Unicamp e bolsista nível 1D do CNPq.

ANÁLISE LINEAR DE SINAIS Teoria, ensaios práticos e exercı́cios

José C. Geromel Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, UNICAMP

Grace S. Deaecto Faculdade de Engenharia Mecânica, UNICAMP

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Angélica Ilacqua CRB-8/7057

Rua Pedroso Alvarenga, 1245, 4º andar 04531-934 – São Paulo – SP – Brasil Tel.: 55 11 3078-5366 contato@blucher.com.br www.blucher.com.br

Geromel, José C. Análise linear de sinais : teoria, ensaios práticos e exercícios / José C. Geromel e Grace S. Deaecto. – São Paulo : Blucher, 2019. 347 p. : il. Bibliografia

Segundo o Novo Acordo Ortográfico, conforme 5. ed. do Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa, Academia Brasileira de Letras, março de 2009.

ISBN 978-85-212-1415-1 (impresso) ISBN 978-85-212-1416-8 (e-book) 1. Processamento de sinais 2. Sistemas lineares 3. Análise de sistemas 4. Engenharia elétrica 5. Teoria dos sinais I. Deaecto, Grace S.

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18-2278

CDD 621.3823 Índice para catálogo sistemático:

1. Processamento de sinais – Engenharia elétrica

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Conteúdo Prefácio & Agradecimentos

1 Considerações Preliminares 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 A Função Zeta . . . . . . . . 1.1.2 Modelagem de Vazão . . . . . 1.1.3 Oscilações Mecânicas . . . . . 1.1.4 Oscilações Elétricas . . . . . 1.2 Requisitos Básicos . . . . . . . . . . 1.3 Descrição dos Capı́tulos e Apêndices 1.4 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Notas Bibliográficas . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

1 1 2 4 7 13 17 19 27 28

2 Sinais 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Propriedades Básicas . . . . . . . . 2.2.1 Sinais a Tempo Contı́nuo . 2.2.2 Sinais a Tempo Discreto . . 2.3 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Sistemas a Tempo Contı́nuo 2.3.2 Sistemas a Tempo Discreto 2.4 Notas Bibliográficas . . . . . . . . 2.5 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

29 29 33 33 40 48 50 56 63 63

. . . .

69 69 69 73 79

3 Análise de Sinais Periódicos 3.1 Introdução . . . . . . . . . . 3.2 Representação de Sinais . . 3.3 Sinais a Tempo Contı́nuo . 3.4 Sinais a Tempo Discreto . .

. . . .

vii

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viii

CONTEÚDO

3.5 3.6

Notas Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4 Transformada de Fourier 4.1 Introdução . . . . . . . . . . 4.2 Sinais a Tempo Contı́nuo . 4.2.1 Propriedades Básicas 4.2.2 Sistemas . . . . . . . 4.3 Sinais a Tempo Discreto . . 4.3.1 Propriedades Básicas 4.3.2 Sistemas . . . . . . . 4.4 Análise Numérica . . . . . . 4.5 Notas Bibliográficas . . . . 4.6 Exercı́cios . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

93 93 94 104 112 114 124 130 132 136 137

5 Amostragem 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Amostragem de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Amostragem e Reconstrução Aproximada de Sinais 5.2.2 Amostragem Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Discretização de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Função de Transferência Pulsada . . . . . . . . . . 5.4 Notas Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

141 141 142 153 162 165 168 173 174

6 Filtragem Determinı́stica 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . 6.2 Filtragem a Tempo Contı́nuo 6.2.1 O Filtro de Wiener . . 6.2.2 Filtros Analógicos . . 6.3 Filtragem a Tempo Discreto . 6.3.1 O Filtro de Wiener . . 6.3.2 Filtros Digitais . . . . 6.4 Notas Bibliográficas . . . . . 6.5 Exercı́cios . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

179 179 181 181 191 203 203 210 217 218

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7 Filtragem Estocástica 223 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.2 Filtragem a Tempo Contı́nuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.2.1 O Filtro de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

CONTEÚDO

7.3 7.4 7.5 7.6

Filtragem a Tempo Discreto . . . 7.3.1 O Filtro de Wiener . . . . Determinı́stico versus Estocástico Notas Bibliográficas . . . . . . . Exercı́cios . . . . . . . . . . . . .

8 Modelagem e Ensaios Práticos 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . 8.2 Eletrocardiograma . . . . . . 8.3 Rádio AM . . . . . . . . . . . 8.4 Vibrações Mecânicas . . . . . 8.5 Notas Bibliográficas . . . . . 8.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . .

. . . . .

240 242 253 258 258

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263 . 263 . 263 . 268 . 276 . 282 . 282

A Noções Básicas de Cálculo e Simulação A.1 Vetores e Matrizes . . . . . . . . . . . . A.2 Problema de Norma Mı́nima . . . . . . . A.3 Funções de Variáveis Complexas . . . . A.4 Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

285 285 289 293 296

B Probabilidade 299 B.1 Definições e Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 B.2 Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 B.3 Duas Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Bibliografia

317

Índice

319

Capı́tulo 1

Considerações Preliminares 1.1

Introdução

Começa uma aventura! Na verdade é uma aventura que continua, ela começou há pelo menos 2.300 anos com Euclides e sua obra monumental Os Elementos, livro que até os dias atuais inspira todos aqueles que desejam aprender os meandros fantásticos da Matemática e suas aplicações. O Teorema Fundamental da Aritmética (TFA), provado por Euclides, enuncia que todo número inteiro positivo (maior do que um) pode ser escrito como o produto de números primos. Deixando de lado permutações, esta forma de expressar os números inteiros positivos é única. Como consequência, Euclides também provou o que hoje chamamos de Teorema de Euclides, que diz: O conjunto dos números primos contém um número infinito de elementos. Tendo em vista que os números primos parecem se tornar cada vez mais raros à medida que se avança no eixo dos números inteiros positivos, este resultado causa certa surpresa e tem um impacto singular na teoria dos números e em várias áreas da ciência. Além disso, para poder provar tal afirmação, Euclides lançou mão, pela primeira vez, de um argumento lógico que seria muito utilizado em tempos futuros: a prova por redução ao absurdo. Mas o TFA permite uma outra interpretação muito interessante. O conjunto dos números primos é a parte fundamental do conjunto dos números inteiros positivos - embora seja apenas parte, com ela se gera o todo. A parte fundamental de qualquer conjunto recebe o nome de base. Conhecemos e operamos com muitos outros conjuntos e suas bases. Por exemplo, sendo R3 o conjunto de todos os vetores v com três componentes reais, se escolhermos três deles, v1 , v2 e v3 ,

CAPÍTULO 1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES

linearmente independentes, isto é, de tal forma que a matriz quadrada V = [v1 v2 v3 ] ∈ R3×3 seja não singular, então esses três vetores formam uma base (que não é única) para o R3 . Esta afirmação se comprova pela existência de três números reais α1 , α2 e α3 que são capazes de gerar qualquer vetor v ∈ R3 , através da operação v = α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 (1.1) denominada combinação linear. Existem outros conjuntos e suas bases que são de grande utilidade. Considere o intervalo de tempo t ∈ [−T0 /2, T0 /2] ⊂ R com T0 > 0 e as funções 2π i (1.2) fi (t) = ejωi t , ωi = T0 para todo i ∈ Z com domı́nio em R e imagem em C. São infinitas funções que formam uma base para o conjunto das funções contı́nuas g(t) com domı́nio |t| ≤ T0 /2 e imagem em C. Ou seja, toda e qualquer função g(t) desse conjunto pode ser escrita na forma de uma combinação linear com infinitos termos g(t) =

∞ X

αi fi (t)

(1.3)

i=−∞

desde que os coeficientes αi para todo i ∈ Z sejam apropriadamente determinados. O ponto central é que a base assegura a existência de coeficientes de tal forma que (1.3) seja satisfeita. A escolha desta base e a determinação surpreendentemente simples dos coeficientes αi para todo i ∈ Z resulta na célebre série de Fourier, que é uma das ferramentas matemáticas de maior uso no âmbito da análise e da sı́ntese de sinais e sistemas. Aliás, como tentaremos ilustrar em seguida, trata-se de uma ferramenta de largo uso em vários campos da engenharia e das ciências exatas.

1.1.1

A Função Zeta

Como primeira aplicação a ser estudada, vamos voltar a analisar um aspecto da teoria dos números. Foi Euler que aplicou o TFA de uma forma que levou a uma igualdade surpreendente, que permitiu a formulação de um problema matemático até hoje não resolvido - a hipótese de Riemann. Obviamente não é nosso propósito analisar de maneira geral este difı́cil problema, mas desejamos calcular, a partir de um ponto de vista alternativo, em alguns casos particulares, a chamada função zeta. Nesses casos, ela assume a forma mais simples ζ(n) =

∞ X 1 in i=1

(1.4)

Capı́tulo 3

Análise de Sinais Periódicos 3.1

Introdução

Este capı́tulo é inteiramente dedicado ao estudo de sinais periódicos a tempo contı́nuo e a tempo discreto. Uma entidade matemática absolutamente singular denominada Série de Fourier será apresentada e analisada com bastante detalhe. Em linhas gerais, podemos dizer que qualquer sinal periódico definido no domı́nio do tempo, em R ou Z, pode ser decomposto em um número infinito de componentes que compõem o seu espectro de frequências. A luz, por exemplo, é um sinal que tem um espectro denominado espectro eletromagnético bem conhecido. A série de Fourier permite decompor e aproximar um sinal através de uma combinação linear das suas componentes fundamentais. Como consequência, permite também calcular a sua potência média através de um resultado importante e famoso denominado Teorema de Parseval. O estudo começa com a formulação e resolução de um problema de erro quadrático mı́nimo, cuja solução se torna uma ferramenta essencial para o estudo de sinais e sistemas.

3.2

Representação de Sinais

Considere um conjunto de vetores vi ∈ Rn para todo i = 1, · · · , m em que m ≤ n. Uma pergunta importante que deve ser respondida é: Dado um vetor y ∈ Rn , existem constantes αi ∈ R, Pmi = 1, 2, · · · , m não todas nulas de tal forma que y seja expresso como y = i=1 αi vi ? A resposta a esta pergunta, que pode ou não ser afirmativa, permitiu o desenvolvimento de importantes conceitos em diversas áreas da matemática, tais como os de combinação linear e de base

CAPÍTULO 3. ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS

em um espaço vetorial. Como y é um vetor arbitrário com n componentes, a resposta, para ser afirmativa, exige que m = n e que os vetores sejam linearmente independentes, o que quer dizer que a matriz quadrada V = [v1 · · · vn ] ∈ Rn×n deve ser não singular det(V ) 6= 0. Mas existem outras importantes situações que devem ser consideradas. Por exemplo, como já discutimos no Capı́tulo 1, há mais de 23 séculos, Euclides provou o Teorema Fundamental da Aritmética (TFA), que diz: Todo número inteiro maior do que um pode se decomposto, de maneira única, no produto de números primos. O conjunto dos números primos forma uma base para o conjunto dos números naturais. No estudo de sinais a tempo contı́nuo g(t) com domı́nio R e imagem C, desejamos determinar um conjunto de m (que pode ser infinito) sinais fi (t), i = 1, 2, · · · , m com os mesmos domı́nios e imagens, de tal forma que existam escalares αi ∈ C, ∀i = 1, 2, · · · , m capazes de garantir a igualdade g(t) =

m X i=1

αi fi (t), ∀t ∈ R

(3.1)

Neste sentido, formulamos o seguinte problema de otimização denominado erro quadrático mı́nimo 2 m X αi fi min g − (3.2) α1 ,α2 ,··· ,αm i=1

em que k·k é a norma introduzida no capı́tulo anterior. A solução ótima deste problema remonta aos tempos do Teorema de Pitágoras, pois exige ortogonalidade. De fato, para cada conjunto de parâmetros α1 , α2 , · · · , αm escolhidos definimos o sinal de erro como sendo ǫ(t) = g(t) −

m X i=1

αi fi (t), ∀t ∈ R

(3.3)

e para resolver (3.2) devemos determinar os parâmetros, que são as nossas variáveis de decisão, de tal forma que a norma do erro seja a menor possı́vel (idealmente, zero). A Figura 3.1 ilustra o que ocorre com as funções transformadas em vetores para que a ilustração geométrica seja possı́vel. A combinação ótima de f1 e f2 deve gerar um ponto que é exatamente a projeção ortogonal do ponto O no plano definido por f1 e f2 , pois essa situação define a menor distância entre o ponto O e qualquer ponto do referido plano. Dito de outra forma, o erro deve ser ortogonal a f1 e a f2 . Retomando o problema (3.2), sua condição de otimalidade se expressa na forma hǫ, fn i = 0 para todo n = 1, 2, · · · , m, o que leva ao sistema de equações

Capı́tulo 5

Amostragem 5.1

Introdução

Este capı́tulo é inteiramente dedicado ao estudo de amostragem de sinais a tempo contı́nuo. Trata-se de uma manipulação muito útil que pode ser aplicada a sinais de classes bastante amplas, como por exemplo, que tenham domı́nio em R e imagem em C. Entretanto, em geral, ela se aplica com maior simplicidade a sinais reais, ou seja, aqueles com domı́nio e imagem em R. De maneira mais precisa, podemos dizer que amostrar um sinal s(t) : R → C significa colher amostras em instantes de tempo predeterminados tk ∈ R para todo k ∈ Z. Estas amostras são os valores {s(tk )}k∈Z que o sinal assume nestes instantes t = tk para todo k ∈ Z, denominados instantes de amostragem. O espaçamento temporal, denotado T > 0, entre duas amostras sucessivas, é denominado perı́odo de amostragem e impõe tk+1 − tk = T para todo k ∈ Z. Ao conjunto de amostras de um determinado sinal s(t) colhidas com um certo perı́odo de amostragem é conveniente associar um sinal a tempo contı́nuo definido na forma s∗ (t) = s(t)

∞ X

k=−∞

∞ X

k=−∞

δ(t − kT )

s(kT )δ(t − kT )

(5.1)

que foi escolhido por preencher duas propriedades básicas essenciais. A primeira é que o sinal s∗ (t) é igual ao produto do sinal original s(t) por um sinal periódico com perı́odo igual ao perı́odo de amostragem T > 0. A segunda é que o resultado deste produto é um sinal a tempo contı́nuo, mas que só de-

141

142

CAPÍTULO 5. AMOSTRAGEM

pende das amostras s(kT ) do sinal original. A periodicidade do sinal denominado trem de impulsos resulta de simples verificação, enquanto que a igualdade s(t)δ(t − kT ) = s(kT )δ(t − kT ) decorre de uma propriedade básica do impulso unitário deslocado δ(t − kT ) que, como já sabemos, é nulo para todo t 6= kT, ∀k ∈ Z. Neste capı́tulo, para simplificar a notação, em várias oportunidades utilizaremos sT (k) = s(kT ) para indicar as amostras do sinal s(t) que são avaliadas nos instantes tk = kT para todo k ∈ Z. O presente estudo é dividido em duas partes principais que contemplam diversos aspectos, dentre os quais desejamos ressaltar: • Amostragem de sinais: A amostragem de um sinal a tempo contı́nuo s(t), com um certo perı́odo de amostragem T > 0, determina um outro sinal s∗ (t) que é construı́do exclusivamente a partir de suas amostras. É natural se perguntar sob quais condições o conhecimento de s∗ (t) permite determinar s(t) exatamente. Ou seja, para qual classe de sinais o conhecimento de um certo número de amostras permite determiná-lo. A resposta a esta questão é dada pelo célebre Teorema da Amostragem. A reconstrução de sinais, de forma aproximada, também é um tema importante a ser abordado. • Discretização de sistemas: Sistemas a tempo contı́nuo precisam ser discretizados para que possam atuar em sinais amostrados, permitindo, assim, o seu processamento digital. Deve-se converter, segundo algum critério a ser bastante discutido, um sistema a tempo contı́nuo em um sistema a tempo discreto. Neste sentido, é imperativo manipular e obter a resposta ao impulso δ(k) a partir da resposta ao impulso δ(t) que o define. É preciso colocar em evidência a importância do aprendizado deste capı́tulo introdutório de amostragem de sinais a tempo contı́nuo, suas implicações e consequências. O motivo é simples, como vemos cada dia com maior ênfase, o mundo está se tornando uma aldeia digital que manipula e processa quase que exclusivamente sinais a tempo discreto. Vários deles resultam de algum processo de amostragem.

5.2

Amostragem de Sinais

Vale a pena reforçar que o sinal s∗ (t) é de fundamental importância, pois ele é construı́do exclusivamente com as amostras do sinal s(t), obtidas com um perı́odo de amostragem T > 0 dado. A partir da relação (5.1), ele pode ser reescrito como

Capı́tulo 7

Filtragem Estocástica 7.1

Introdução

Em linhas gerais, tudo o que foi dito a respeito de filtragem determinı́stica permanece válido no âmbito de filtragem estocástica em ambos os domı́nios de tempo contı́nuo e discreto. Nosso objetivo é projetar filtros LIT, os quais, como sabemos, são definidos por suas respectivas respostas ao impulso unitário. Desejamos então determinar f (t) para todo t ∈ R ou f (k) para todo k ∈ Z a partir de informações disponı́veis e do critério de desempenho adotado. Vamos trabalhar em um ambiente estocástico no qual as incertezas são modeladas por ruı́dos com caracterı́sticas aleatórias. Nosso objetivo é seguir, o mais próximo possı́vel, tudo o que foi feito no estudo de filtros determinı́sticos. Como ficará evidente, isso pode ser feito sem grandes dificuldades, tendo em vista a similaridade dos problemas a serem enfrentados. Sugere-se ao leitor que faça uma leitura detalhada e cuidadosa do material fornecido no Apêndice B, que serve como base do que será exposto em seguida. A situação usual que desejamos tratar é ilustrada na Figura 6.1. Ela mostra como opera um filtro que recebe na sua entrada o sinal g = s + r, composto por um sinal útil s corrompido por um ruı́do r. No presente caso, supomos que s e r sejam sinais aleatórios, definidos em cada instante de tempo, por uma variável aleatória com caracterı́sticas conhecidas. Definindo o erro de estimação como sendo ε = s − y, verifica-se pela figura mencionada que ε = s − f (·) ∗ (s + r)

(7.1)

é um sinal aleatório que resulta da ação do filtro escolhido. O nosso objetivo permanece o de minimizar uma medida deste erro pela escolha conveniente da

223

224

CAPÍTULO 7. FILTRAGEM ESTOCÁSTICA

resposta ao impulso do filtro ou, de forma equivalente, da sua função de transferência. Assim sendo, os seguintes problemas devem ser considerados: min kεk2 = min kε̂k2 f (·)

F (ω)

(7.2)

Propositadamente, em relação ao capı́tulo anterior, a notação mantém-se inalterada muito embora no presente contexto ela tenha um significado ligeiramente diferente. Segundo o que será visto em seguida, a função objetivo dos problemas indicados em (7.2) é um número real não negativo cuja raiz quadrada indica uma medida da amplitude do erro de estimação que se deseja minimizar. A seguinte definição é importante e delimita o contexto de nosso estudo. Definição 7.1 (Processo estocástico) O sinal s(t) a tempo contı́nuo é um processo estocástico se s(t) for uma variável aleatória para cada t ∈ R. Da mesma forma, o sinal s(k) a tempo discreto é um processo estocástico se s(k) for uma variável aleatória para cada k ∈ Z Desta forma, devemos manipular sinais aleatórios ou processos estocásticos, nos domı́nios de tempo contı́nuo e discreto que são caracterizados através de suas funções densidade e distribuição de probabilidade, as quais em geral dependem explicitamente do tempo contı́nuo t ∈ R ou discreto k ∈ Z. A principal caracterı́stica de um processo estocástico é ter o tempo, contı́nuo ou discreto, como variável independente. Tudo o que foi visto no Apêndice B com respeito ao estudo de probabilidade não envolveu variáveis aleatórias dependentes do tempo. Entretanto, os conceitos lá introduzidos são perfeitamente aplicáveis em processos estocásticos, conforme caracterização proposta pela Definição 7.1.

7.2

Filtragem a Tempo Contı́nuo

O projeto de filtros lineares invariantes no tempo, que atuam em ambientes estocásticos, se dá indiferentemente no domı́nio do tempo, no qual a resposta ao impulso f (t) : R → R é determinada, ou no domı́nio da frequência, quando o objetivo é calcular a função de transferência F (ω) : R → C. A equivalência entre essas duas versões do mesmo projeto é imediata, tendo em vista que a transformada de Fourier de f (t) resulta em F (ω). Ademais, como sabemos, a restrição f (t) = 0 para todo t < 0 fornece um filtro causal. Um processo estocástico s(t) é caracterizado por sua função distribuição de probabilidade Fs (ξ, t) = p(s(t) ≤ ξ) definida para todo ξ ∈ R, a qual, após simples diferenciação, resulta na função

Apêndice A

Noções Básicas de Cálculo e Simulação Este apêndice contém material de apoio para alguns tópicos importantes que devem ser discutidos com mais detalhes. Não tem a pretensão de ser exaustivo sobre os temas abordados, mas discute o que julgamos ser essencial para assegurar ao leitor um bom entendimento dos capı́tulos do livro sem ter que recorrer a referências adicionais. Evita a consulta amiúde enquanto enfatiza a boa prática de se obterem informações suplementares das mais variadas fontes.

A.1

Vetores e Matrizes

Um vetor é uma coleção de r ≥ 2 escalares, dispostos segundo uma coluna. A notação v ∈ Cr indica que os r escalares, cada qual definindo uma das suas componentes vi , i = 1, 2, · · · , r, são números complexos, isto é,   v1  v2    v =  .  ∈ Cr (A.1)  ..  vr

O número natural r ∈ N é a sua dimensão. Todas as componentes de um vetor podem pertencer ao conjunto dos números reais, o que é indicado pela notação v ∈ Rr . Neste texto consideramos o caso mais geral em que os vetores são complexos v ∈ Cr , mas o leitor sempre será alertado se um determinado resultado for válido apenas para vetores reais v ∈ Rr . 285

286

APÊNDICE A. NOÇÕES BÁSICAS DE CÁLCULO E SIMULAÇÃO

É possı́vel somar vetores de mesmas dimensões v, u ∈ Cr para obter um outro vetor com componentes vi + ui ∈ C, i = 1, 2, · · · , r. Com um escalar α ∈ C e um vetor v ∈ Cr pode-se multiplicar um vetor por um escalar que resulta em um novo vetor αv ∈ Cr com componentes αvi ∈ C, i = 1, 2, · · · , r. Um vetor linha denotado v ′ ∈ Cr é o transposto do vetor coluna v ∈ Cr . O vetor v ∗ ∈ Cr é o conjugado de v ∈ Cr e suas componentes são os complexos conjugados de cada componente de v ∈ Cr , a saber, vi∗ , i = 1, 2, · · · , r. O vetor conjugado transposto de v ∈ Cr recebe a notação especial v ∼ ∈ Cr . Talvez a operação mais importante entre vetores de mesmas dimensões v, u ∈ Cr seja a operação denominada produto escalar ou produto interno, definida na forma hv, ui =

r X

vi u∗i = u∼ v = v ′ u∗

(A.2)

i=1

Observe que para vetores complexos a ordem das operações é importante, pois hv, ui∗ = v ∼ u = hu, vi, mas o mesmo não acontece para vetores reais. Para qualquer vetor v ∈ Cr sempre tem-se hv, vi ≥ 0, sendo que a igualdade ocorre se e apenas se v = 0 ∈ Cr . Isto nos leva a definir uma norma induzida por este produto escalar, também chamada norma Euclidiana do vetor v ∈ Cr , na forma v u r p uX |vi |2 (A.3) kvk = hv, vi = t i=1

Para que esta definição seja consistente, calcula-se imediatamente que kαvk = |α|kvk para todo vetor v ∈ Cr e todo escalar α ∈ C. Deve-se também verificar a validade da chamada desigualdade triangular, o que é feito através do próximo lema.

Lema A.1 A desigualdade triangular kv+uk ≤ kvk+kuk é válida para quaisquer vetores v, u ∈ Cr . Prova: Se kvk = 0 a desigualdade se verifica trivialmente. Assumindo que kvk = 6 0, definimos o escalar real α = (v ∼ u + u∼ v)/(2kvk2 ) ∈ R. De fato, tratase de um número real resultado da soma de um número complexo com o seu conjugado, pois (v ∼ u)∗ = v ′ u∗ = u∼ v. Portanto, a definição de norma implica em que 0 ≤ kαv − uk2

= α2 kvk2 − α(v ∼ u + u∼ v) + kuk2 (v ∼ u + u∼ v)2 = kuk2 − 4kvk2

(A.4)

Capa_Geromel_Analise de sinais_P2.pdf 3 28/02/2019 12:49:39

1 Considerações preliminares

Sinais

3 Análise de sinais periódicos C

4 Transformada de Fourier

5 Amostragem

CMY

6 Filtragem determinística

7 Filtragem estocástica

8 Modelagem e ensaios práticos

A Noções básicas de cálculo e simulação

B Probabilidade

ANÁLISE LINEAR DE SINAIS

Geromel • Deaecto

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José C. Geromel

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Análise Linear de Sinais José C. Geromel Grace S. Deaecto ISBN: 9788521214151 Páginas: 334 Formato: 17 x 24 cm Ano de Publicação: 2019