Análise Linear de Sistemas Dinâmicos - 2ª Edição by Editora Blucher

Análise Linear de Sistemas Dinâmicos - 2ª Edição Teoria, Ensaios Práticos e Exercícios

José C. Geromel Alvaro G. B. Palhares

Lançamento 2011 ISBN: 9788521205890 Páginas: 390 Formato: 20,5x25,5 cm Peso: 0,942 kg

4a CAPA

Conte´ udo Pref´ acio & Agradecimentos

vii

omenos 1 Prolegˆ 1.1 Discuss˜ao Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1

2 Modelagem de Processos Dinˆ amicos 2.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mecânica Translacional e Rotacional . . . . . . . . 2.2.1 Sistemas de Referência para Movimentos de 2.2.2 Sistemas de Referência para Movimentos de 2.2.3 Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . 2.3 Eletricidade e Eletromagnetismo . . . . . . . . . . 2.3.1 Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Dinâmica Econômica . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Notas e Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . Transla¸c˜ao Rota¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

13 13 16 21 24 42 57 58 68 76 82 83

3 Fundamentos de Dinˆ amica Cont´ınua 3.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Equa¸cões Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Propriedades da Transformada de Laplace 3.3.2 Inversa da Transformada de Laplace . . . 3.3.3 Solu¸cão de Equa¸cões Diferenciais . . . . . 3.4 Resposta em Frequência . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Notas e Referências . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

95 95 100 114 124 143 151 168 187

. . . . . . . .

vi 3.6

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4 Fundamentos de Dinˆ amica Discreta 4.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Equa¸cões a Diferen¸cas . . . . . . . . . . . 4.3 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Propriedades da Transformada Z . 4.3.2 Inversa da Transformada Z . . . . 4.3.3 Solu¸cão de Equa¸cões a Diferen¸cas . 4.4 Resposta em Frequência . . . . . . . . . . 4.5 Discretiza¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Notas e Referências . . . . . . . . . . . . . 4.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

195 195 199 213 221 227 233 247 258 274 274

5 Modelagem e Ensaios Pr´ aticos 5.1 Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Identifica¸cão de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Sistemas a Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Sistemas a Tempo Cont´ınuo . . . . . . . . . . . . 5.3 Motor de Corrente Cont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Identifica¸cão dos Parâmetros do Motor . . . . . . 5.3.2 Valida¸cão do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Alimenta¸cão com Fonte Chaveada . . . . . . . . 5.4 For¸ca de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Movimentos com Dois Graus de Liberdade . . . . . . . . 5.5.1 Juntas Robóticas Rotacionais . . . . . . . . . . . 5.5.2 Juntas Robóticas Rotacionais com Atrito Viscoso 5.5.3 Juntas Robóticas Subatuadas . . . . . . . . . . . 5.6 Linha de Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Notas e Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

283 283 283 284 289 296 298 300 302 304 310 311 316 319 326 339 340

. . . . . . . . . .

A Vetores e Matrizes

345

B Fun¸ c˜ oes de Vari´ aveis Complexas

355

Bibliografia

369

´Indice

373

Cap´ıtulo 5

Modelagem e Ensaios Pr´ aticos 5.1

Introdu¸ c˜ ao

Neste cap´ıtulo, apresentamos alguns sistemas dinâmicos a tempo cont´ınuo e a tempo discreto que são modelados a partir dos procedimentos introduzidos no Cap´ıtulo 2. Para cada um deles, desenvolvemos o modelo matemático o qual, em seguida, é simulado e confrontado com os respectivos dados reais colhidos em montagens experimentais de laboratório. Antes porém, tendo em mãos um determinado modelo matemático, é imperativo determinar os diversos parâmetros nele presentes a partir de medidas realizadas durante o ensaio prático. Nesta importante etapa, os valores dos parâmetros são determinados e, em seguida, devem ser validados através de compara¸cão do modelo final obtido com as medidas dispon´ıveis. Neste sentido, iniciamos este cap´ıtulo pelo desenvolvimento de um procedimento clássico de identifica¸cão de parâmetros baseado na minimiza¸cão da norma do erro de estima¸cão.

5.2

Identifica¸ c˜ ao de Parˆ ametros

Naturalmente os modelos matemáticos, que representam sistemas reais, dependem de parâmetros que devem ser adequadamente identificados. Em várias situa¸cões os referidos parâmetros só podem ser determinados a partir do conhecimento da evolu¸cão dinâmica do sistema. Por exemplo, um corpo sujeito a uma for¸ca externa que se move em um ambiente com atrito viscoso, tem o seu deslocamento definido pela Segunda Lei de Newton. Para aplicá-la é preciso conhecer a massa e o coefi283

´ CAP´ITULO 5. MODELAGEM E ENSAIOS PRATICOS

312

τ2

φ2

α1

β2

α2

β1

τ1

φ1

φ2 i φ1 φ3

Figura 5.10: Manipulador planar com duas juntas

ℓ2 , tem seu centro de massa situado a uma distância ℓc2 do centro de rota¸cão que se localiza na extremidade do bra¸co. Nos dois centros de rota¸cão do bra¸co e do antebra¸co são aplicados torques externos τ1 e τ2 , conseguidos geralmente através de motores de corrente cont´ınua convenientemente posicionados. Como temos dois centros de rota¸cão com movimentos planares independentes, na Figura 5.10 mostramos também os três sistemas de referência que são utilizados: O referencial inercial SF definido através dos versores (i, j, k) e dois referenciais expressos em coordenadas cil´ındricas SC1 e SC2 . Estes, móveis em rela¸cão ao referencial inercial SF , são definidos pelos versores (α1 , β1 , k) que acompanham o movimento do centro de massa do bra¸co e (α2 , β2 , k) que acompanham o movimento do centro de massa do antebra¸co, respectivamente. Assumindo que são conhecidas as massas m1 e m2 , bem como os momentos de inércia Jc1 e Jc2 em rela¸cão aos centros de massa do bra¸co e do antebra¸co respectivamente, com aux´ılio da Figura 5.11 podemos imediatamente aplicar as leis que regem o movimento de cada elo, desconsiderando, neste primeiro instante, a eventual existência de qualquer tipo de atrito. A resultante de todas as for¸cas que agem no antebra¸co escrita na base, que define

Apˆ endice A

Vetores e Matrizes Neste apêndice, oferecemos um breve estudo das mais importantes propriedades de vetores e matrizes que são utilizadas no decorrer do texto. As propriedades aqui elencadas estão presentes na maioria dos bons livros de cálculo e análise matricial, como aqueles citados nas referências bibliográficas. Vetor é uma cole¸cão de n ≥ 2 escalares, denominados componentes, que assumiremos sempre estarem dispostas em uma coluna. Assim sendo, x ∈ Rn indica um vetor com n componentes reais e ao estar associado a um sistema de referência, permite localizar um ponto no espa¸co de dimensão n. Denotamos   x1  x2    x :=  .  ∈ Rn (A.1) .  .  xn

como sendo um vetor genérico com todas as suas componentes reais sendo que n é a sua dimensão. Podemos também ter um vetor coluna formado por n n´ umeros n complexos quando então denotamos x ∈ C . Todas as opera¸cões e propriedades que passaremos a exibir valem indistintamente para vetores definidos no Rn ou Cn . O vetor linha x′ := x1 x2 · · · xn ∈ Rn (A.2) é, por defini¸cão, o transposto de x ∈ Rn ficando claro que a opera¸cão de transposi¸cão não altera a dimensão do vetor. O vetor linha x∼ := (x∗ )′ é o conjugado transposto ´ de x e suas componentes são as conjugadas das respectivas componentes de x′ . E n ∼ ′ n claro que para todo x ∈ R tem-se x = x ∈ R . 345

ˆ ˜ ´ APENDICE B. FUNC ¸ OES DE VARIAVEIS COMPLEXAS

358

para qualquer ∆z ∈ C o que implica que a fun¸cão em considera¸cão satisfaz f0 = f (z0 ) = z02 sendo, portanto, cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio. De fato, fazer z se aproximar de z0 sobre qualquer trajetória poss´ıvel, é equivalente a afirmar apenas que |∆z| se aproxima de zero o que leva a |f (z) − z02 | a também se aproximar arbitrariamente de zero, estabelecendo a sua continuidade em z0 ∈ C. A derivada de f (z) definida segundo (B.10) em z0 ∈ D é dada por f ′ (z0 ) := lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) z − z0

(B.14)

onde deve-se obviamente exigir que o limite indicado exista e que, como já comentado, seja invariante com qualquer trajetória segundo a qual z tende a z0 . Assim sendo, muito embora a diferencial complexa seja dz = dx + jdy com as diferenciais dx e dy independentes, não há ambiguidade alguma em escrever f ′ (z) = df (z)/dz. A exigência de se ter o mesmo valor para o limite indicado em (B.14), é equivalente a exigir que a derivada direcional da fun¸cão seja a mesma em todas as dire¸cões. Isso faz com que as fun¸cões u(x, y) e v(x, y) não possam ser genéricas mas tenham que exibir alguma propriedade para que f (z) seja diferenciável. Para obtermos essa propriedade, é preciso lembrar que a rela¸cão q :=

a∆x2 + b∆x∆y + c∆y 2 ∆x2 + ∆y 2

(B.15)

com a, b e c reais ´e constante para todo ∆x ∈ R e ∆y ∈ R se e somente se a = c e b = 0 quando, ent˜ao, q = a = c. Explicitando o limite indicado em (B.14), temos f ′ (z0 ) =

lim

x→x0 y→y0

∆u∆x + ∆v∆y ∆v∆x − ∆u∆y + j lim 2 2 x→x 0 ∆x + ∆y ∆x2 + ∆y 2 y→y

(B.16)

onde as quantidades ∆u e ∆v, assumindo diferenciabilidade e, eliminando os termos de ordens superiores não importantes para o cálculo de (B.16), são dadas por ∆u =

∂u ∂v ∂v ∂u ∆x + ∆y , ∆v = ∆x + ∆y ∂x ∂y ∂x ∂y

(B.17)

com as derivadas parciais calculadas em x = x0 e y = y0 . Substituindo (B.17) em (B.16), notamos que a parte real e a parte imagin´aria de f ′ (z0 ) s˜ao do tipo (B.15) o que nos leva ao resultado f ′ (z0 ) =

∂v ∂v ∂u ∂u +j = −j ∂x ∂x ∂y ∂y

(B.18)

Cap´ıtulo 1

Prolegˆ omenos 1.1

Discuss˜ ao Preliminar

Este livro pretende oferecer ao leitor uma visão abrangente a respeito da problemática que envolve a modelagem e análise de processos dinâmicos cont´ınuos ou discretos no tempo, cujo comportamento é descrito através de equa¸cões diferenciais ou de equa¸cões a diferen¸cas finitas, respectivamente. O esfor¸co para desenvolver modelos matemáticos nas mais diversas áreas do conhecimento é notável e, certamente, tem um impacto importante na história do desenvolvimento humano. Vale aqui relembrar, por exemplo, o monumental esfor¸co realizado por séculos para se construir um modelo matemático para a matéria o qual, ainda nos dias atuais, não está inteiramente acabado. O mesmo esfor¸co se verificou na astronomia, culminando com a contribui¸cão ´ımpar da Lei da Gravita¸cão de Newton e da Teoria da Relatividade Geral de Einstein. Em outras áreas da ciência tais como Qu´ımica, Biologia, Economia etc., algo similar aconteceu e certamente continuará acontecendo tendo em vista que, como hipótese de base, aprimoramentos sempre são poss´ıveis e desejáveis. O modelo matemático de um determinado fenômeno abre a possibilidade para que o seu comportamento futuro possa ser previsto com certa precisão e, em consequência, o seu impacto possa ser devidamente avaliado e, até mesmo, ser alterado através de a¸cões determinadas para tal fim. Por exemplo, existem atualmente modelos bastante precisos que permitem prever o clima em uma determinada região com grande antecedência e determinar como os poluentes emitidos por ind´ ustrias, automóveis etc. se dissolvem ou reagem na atmosfera indicando o impacto negativo 1

ˆ CAP´ITULO 1. PROLEGOMENOS

6 T y

q ℓ

mg φ

m˜ ao x

Figura 1.2: O equilibrista considerar a equa¸c˜ao diferencial linear de segunda ordem b d d2 y(t) + y(t) + g = 0 2 dt m dt

(1.8)

como sendo um modelo mais adequado, onde b é uma constante denominada coeficiente de atrito viscoso e que será objeto de estudo mais adiante. Resolvendo essa equa¸cão, obtemos a posi¸cão do corpo em fun¸cão do tempo a qual, após simples deriva¸cão, fornece sua velocidade como sendo mg −(b/m)t e −1 (1.9) v(t) = b

Comparando essa fun¸cão com aquela que consta em (1.7), notamos que ambas e suas respectivas derivadas em rela¸cão ao tempo são iguais em t = 0. Assim sendo, no in´ıcio da queda, os dois modelos se comportam de forma semelhante. Porém, ` a medida que o tempo passa, eles se distanciam de forma marcante tendo em vista que segundo (1.9) a velocidade não aumenta indefinidamente mas atinge o valor máximo v∞ = −mg/b, o que é bastante concordante com o que podemos observar na prática. Quanto maior a massa, maior será a velocidade v∞ mas, em contra partida, ela torna-se menor conforme o coeficiente de atrito viscoso aumenta. O projeto de um bom para-quedas deve resultar em um b suficientemente grande para oferecer maior conforto e seguran¸ca ao usuário. Em toda modelagem, um passo importante é ser capaz de selecionar as leis básicas adequadas e aplicá-las corretamente, sobretudo observando as condi¸cões e hipóteses em que elas são válidas. Para ilustrar esse fato, vamos considerar a Segunda Lei de Newton e discutir sua validade, que é restrita a referenciais ditos inerciais.

Cap´ıtulo 2

Modelagem de Processos amicos Dinˆ 2.1

Introdu¸ c˜ ao

Neste cap´ıtulo, revemos algumas das principais leis fundamentais que exprimem as rela¸cões dinâmicas de processos, tais como: eletro-eletrônicos, eletromagnéticos, eletromecânicos, mecânicos, térmicos, econômicos etc. A finalidade deste estudo é preparar o leitor para uma sistematiza¸cão com vistas à obten¸cão de modelos matemáticos para diversas classes de processos dinâmicos. As leis fundamentais utilizadas nos mais variados ramos da ciência, como a F´ısica, Biologia, Qu´ımica, Economia etc., são enunciadas a partir de observa¸cões de fenômenos estáticos e/ou dinâmicos feitas de tal modo a obter-se um modelo matemático que as represente. Considera-se como fenômenos dinâmicos aqueles caracterizados por propriedades que associam, ao seu comportamento atual e futuro, as ocorrências em tempos passados. Os fenômenos estáticos, pelo contrário, têm sua ocorrência dependente somente de altera¸cões instantâneas dos agentes externos ao processo em observa¸cão. Essas leis são enunciadas com o propósito de se ter uma descri¸cão quantitativa dos fenômenos observados e, por conseguinte, elaborar através de rela¸cões precisas o respectivo modelo matemático ou experimental. De maneira genérica, podemos descrever um modelo experimental como um conjunto de elementos que interagem entre si e com o meio externo, trocando ou dissipando energia. A cada um desses elementos, associamos variáveis ou fun¸cões matemáticas que exprimem a quantidade de energia que é por ele dissipada ou ar13

ˆ CAP´ITULO 2. MODELAGEM DE PROCESSOS DINAMICOS y CM trajet´ oria do CM j k

rc (t) x

Figura 2.1: Sistema de referˆencia para movimentos translacionais barra r´ıgida sem massa CM1

CM2

κ1 • b

y1 (t)

κ2

y2 (t)

•

Figura 2.2: Sistema massa-mola-amortecedor n˜ ao imprimam nenhuma for¸ca às massas. Consequentemente, os vetores de posi¸cão de cada centro de massa CM1 e CM2 são dados por rc1 = −y1 j rc2 = −y2 j

´ importante observar que o sentido de cada um desses vetores pode ser arbitrado, porém E uma norma, que sempre facilita a determina¸cão das equa¸cões, é arbitrar o mesmo sentido para o deslocamento de todos os corpos, com movimentos numa dada dire¸cão. Embora n˜ ao seja fundamental, o uso dessa conven¸cão permite que consideremos, sempre, que as posi¸c˜ oes e velocidades relativas, necessárias para a determina¸cão das intensidades das for¸cas definidas pelas equa¸c˜ oes (2.14) e (2.15), sejam dadas pelas diferen¸cas entre esses dois vetores e pela diferen¸cas entre as suas derivadas respectivamente, obtendo-se portanto as intensidades dessas for¸cas externas aplicadas em cada um dos corpos isolados, na forma fκ1 = κ1 (y1 − y2 ) f κ2 = κ2 y 2 fb = b(y˙ 1 − y˙ 2 )

(2.16)

Cap´ıtulo 3

Fundamentos de Dinˆ amica Cont´ınua 3.1

Introdu¸ c˜ ao

No cap´ıtulo anterior, estudamos com detalhes o comportamento de diversos sistema dinˆ amicos. Genericamente, como já sabemos, um sistema caracteriza-se por um conjunto de componentes acoplados que desenvolvem uma determinada fun¸cão. Com o adjetivo dinˆ amico, desejamos colocar em evidência que o seu comportamento em um determinado instante de tempo, depende das ocorrências a que foi submetido em outros instantes de tempo. No mundo real, podemos afirmar que o comportamento futuro de um determinado sistema dinâmico só depende das ocorrências a que foi submetido no passado e no presente. Um passo fundamental para podermos descrever e, consequentemente, analisar e prever a evolu¸cão temporal de um determinado sistema dinâmico é dado ao fazermos sua representa¸cão matemática. Obtemos, assim, seu modelo matem´ atico. Como já vimos anteriormente, o modelo matemático de um sistema dinâmico é normalmente obtido a partir de leis fundamentais. Ao associá-las de maneira adequada, podemos descrever seu comportamento, naturalmente restrito às condi¸cões em que tais leis são válidas. Assim sendo, um conjunto de equa¸cões diferenciais pode representar um determinado motor elétrico e permite prever seu comportamento através de sua solu¸cão. Um modelo pode ser mais ou menos preciso no que diz respeito à representa¸cão de um certo fenômeno. Geralmente, maior precisão implica em maior complexidade matemática do modelo proposto. Por exemplo, o deslocamento x(t) 95

˜ 3.2. EQUAC ¸ OES DIFERENCIAIS

113

ea (t)

3 0

−5

−10

−15

−20 0

Figura 3.4: Evolu¸c˜ao temporal do erro que substitu´ıda na equa¸c˜ ao dada permite determinar os coeficientes indicados, ou seja d1 = −d2 = 1/2j(1 − a2 ) =⇒ yp (t) =

sen(at) 1 − a2

A solu¸c˜ao geral fica ent˜ ao na forma y(t) = c1 ejt + c2 e−jt +

sen(at) 1 − a2

sendo que as duas constantes indicadas são obtidas, impondo-se as condi¸cões iniciais dadas. Todas as contas feitas, permitem explicitar a solu¸cão procurada, isto é y(t) = ya (t) :=

1 [sen(at) − a sen(t)] , a 6= 1 1 − a2

(3.37)

Considerando agora a = 1, temos a solu¸c˜ao particular da forma yp (t) = d1 tejt + d2 te−jt e, novamente, por simples substitui¸c˜ ao, vem d1 = d2 = −1/4 =⇒ yp (t) = −

t cos(t) 2

Finalmente, escrevendo a solu¸c˜ ao geral e impondo as condi¸c˜oes iniciais, obtemos y(t) = y1 (t) :=

sen(t) − t cos(t) 2

(3.38)

Cap´ıtulo 4

Fundamentos de Dinˆ amica Discreta 4.1

Introdu¸ c˜ ao

O objetivo deste cap´ıtulo é estudar sistemas dinâmicos discretos. Por serem dinâmicos, são primeiramente caracterizados pelo fato de que o seu comportamento em um determinado instante de tempo depende de eventos ocorridos naquele instante e em instantes de tempo passados. O fato marcante a ser, desde logo, enfatizado é que sua evolu¸cão não é caracterizada continuamente, mas sim em instantes isolados ou discretos de tempo. Assim sendo, seu modelo matemático não é descrito através de equa¸cões diferenciais as quais, como já sabemos, envolvem derivadas sucessivas de uma determinada variável de interesse, mas sim através de equa¸cões a diferen¸cas que relacionam os valores da grandeza em estudo em intervalos finitos de tempo. Diversos sistemas dinâmicos são naturalmente representados de forma discreta. Por exemplo, suponha que um bem qualquer foi adquirido em um determinado ano, no passado, por V0 unidades monetárias e deseja-se determinar seu valor presente em um ambiente sujeito a uma infla¸cão anual de i %. Considerando k = 0 o ano da compra e k = L o ano atual então o seu valor em cada ano é dado por V (k) = (1 + i/100)k V0 , k = 0, 1, · · · , L

(4.1)

De fato, no ano inicial k = 0 o seu valor é dado por V (0) = V0 , no ano k = 1 o seu valor já deflacionado, expresso nas mesmas unidades monetárias, é dado por V (1) = rV0 com r := 1 + i/100 e assim sucessivamente para k = 2, · · · , L. A fun¸cão 195

4.3. TRANSFORMADA Z

229

Im D(fˆ)

Figura 4.2: Caminho de integra¸c˜ao Sendo pi um polo qualquer com multiplicidade mi , o desenvolvimento em s´erie de Laurent em uma vizinhan¸ca de pi permite escrever mi fil fˆ(z) X = + Ei (z) z (z − pi )l l=1

onde Ei (z) é uma fun¸cão polinomial apenas com potências não negativas da série, sendo assim anal´ıtica em todo o plano complexo. O mesmo ocorre com a fun¸cão z k , k ∈ N que pode ser desenvolvida em série de Taylor, ou seja,

∞ X 1 dl k

k z (z − pi )l z = l! dz l z=pi l=0

onde a soma foi feita até o infinito por simples conveniência de nota¸cão, muito embora a derivada indicada torne-se nula para l > k. Consequentemente, o res´ıduo do polo em questão é dado por

mi X dl−1 k

fil z ri (k) = (l − 1)! dz l−1 z=pi l=1

e a transformada Z inversa é determinada somando-se os res´ıduos de todos os polos da fun¸cão fˆ(z)/z os quais, como já foi alertado, pode incluir um polo na origem

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