Enciclopédia de Automática - Volume 2 by Editora Blucher

Enciclopédia de Automática Controle & Automação Volume 2 Luis Antonio Aguirre

Lançamento 2007 ISBN: 9788521204091 Páginas: 420 Formato: 17x24 cm Peso: 0.795 kg

Sumário Prefácio .................................................................................................................................. 7 Apresentação ........................................................................................................................ 9 I

Sistemas lineares ......................................................................................................... 20 1 Definições e exemplos de sistemas lineares ....................................................22 1.1 Linearidade........................................................................................................23 1.2 Causalidade e memória .....................................................................................24 1.3 Estado de um sistema .......................................................................................25 1.4 Resposta temporal ............................................................................................26 1.5 Parâmetros concentrados e parâmetros distribuídos .....................................27 1.6 Sistemas mono e multivariáveis .......................................................................27 1.7 Tempo contínuo e tempo discreto ...................................................................28 1.8 Sistemas variantes e invariantes no tempo .....................................................30 1.9 Sistemas determinísticos e estocásticos ..........................................................32 1.10 Exemplos de modelos matemáticos ...........................................................32 1.11 Outros trabalhos na área .............................................................................39

Descrição matemática de sistemas lineares ........................................................... 40 2.1 Definições ..........................................................................................................40 2.1.1 Transformada de Laplace .....................................................................41 2.1.2 Sistemas lineares monovariáveis – função de transferência ..............42 2.1.3 Sistemas lineares multivariáveis – matriz de transferência ................42 2.1.4 Representação por variáveis de estado ...............................................44 2.1.5 Relação entre a representação de estados e função de transferência ....................................................................................46 2.2 Análise temporal via função de transferência .................................................46 2.2.1 Resposta ao impulso utilizando frações parciais .................................47 2.2.2 Índices de desempenho ........................................................................48 2.3 Análise temporal via representação de estados ..............................................51 2.3.1 Resposta à entrada nula .......................................................................52 2.3.2 Solução geral para a representação de estado ....................................53 2.3.3 Análise modal ........................................................................................53 2.4 Resposta em freqüência ...................................................................................60 2.5 Outros trabalhos na área ..................................................................................66

Estabilidade de Sistemas Dinâmicos Lineares ....................................................... 67 3.1 Introdução informal à estabilidade ..................................................................67 3.2 Estabilidade no sentido de Liapunov ...............................................................69 3.3 Estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo ................................72 3.3.1 Análise de estabilidade via a equação de Liapunov ............................73 3.3.2 Testes clássicos de estabilidade ...........................................................76 3.3.3 O critério de Nyquist ..........................................................................83 3.4 Estabilidade no sentido de entrada-saída (BIBO) ..........................................85 3.5 Estabilidade de sistemas lineares variantes no tempo ...................................88 3.6 Da estabilidade à estabilização .........................................................................90 3.7 Panorama de pesquisa sobre estabilidade no Brasil .......................................91

Controlabilidade e Observabilidade ......................................................................... 92 4.1 Sistemas contínuos ...........................................................................................93 4.1.1 Controlabilidade ....................................................................................94

Enciclopédia de Automática

4.1.2 Observabilidade ....................................................................................95 4.1.3 Formas canônicas .................................................................................97 4.1.4 Realizações monovariáveis não estritamente próprias .......................99 4.1.5 Decomposição de Kalman e realizações minimais ..............................99 4.1.6 Teoria da realização ............................................................................102 4.1.7 Equivalência ........................................................................................103 4.2 Sistemas discretos ..........................................................................................104 4.2.1 Controlabilidade ..................................................................................104 4.2.2 Observabilidade ..................................................................................104 4.2.3 Realizações e equivalências ................................................................105 4.3 Controlabilidade e observabilidade de sistemas variantes no tempo...........106 4.4 Bibliografia comentada ...................................................................................107 5

Sistemas lineares com atrasos de tempo ............................................................... 108 5.1 Introdução .......................................................................................................108 5.2 Definições básicas e classificações .................................................................111 5.2.1 Sistemas com atrasos × sistemas neutros .........................................111 5.2.2 Atrasos discretos × atrasos distribuídos ............................................111 5.2.3 Atrasos invariantes × atrasos variantes .............................................112 5.2.4 O estado em sistemas com atraso ......................................................112 5.2.5 Estabilidade .........................................................................................112 5.3 Abordagem freqüencial ..................................................................................114 5.3.1 Equações características ....................................................................114 5.3.2 Critérios de estabilidade .....................................................................115 5.3.3 Aproximações racionais para atrasos ................................................116 5.4 Abordagem no espaço de estados ..................................................................117 5.4.1 Análise de estabilidade: abordagem de Lyapunov – Krasovskii ...................................................................117 5.4.2 Análise de estabilidade: abordagem de Lyapunov – Razumikhin ................................................................119 5.4.3 Sistemas em tempo discreto ..............................................................120 5.5 Exemplos .........................................................................................................121 5.5.1 Outros trabalhos na área ....................................................................123

Sistemas não-lineares ................................................................................................ 125

Equilíbrio e estabilidade .......................................................................................... 129 6.1 Existência e unicidade das soluções ..............................................................129 6.2 Conjuntos limites ............................................................................................132 6.3 Estabilidade .....................................................................................................133 6.4 Estabilidade para sistemas autônomos ..........................................................136 6.5 Estabilidade para sistemas não-autônomos ..................................................147

Análise de sistemas não-lineares ............................................................................ 148 7.1 Comportamentos dinâmicos de sistemas não-lineares .................................148 7.1.1 A importância dos campos vetoriais ..................................................149 7.2 Análise qualitativa de fluxos ...........................................................................152 7.2.1 Pontos de equilíbrio e comportamento linear local ..........................152 7.2.2 Índice de curvas no espaço de estados ..............................................157 7.2.3 Existência de soluções periódicas .....................................................159 7.3 Determinação aproximada de trajetórias ......................................................162 7.3.1 O Método das Isóclinas .......................................................................162 7.3.2 O Método de expansão em série de potências ..................................164

SUMÁRIO

7.3.3 O Método de Krylov-Boguliubov-Mitropowsky .................................165 7.3.4 O Método da função descritiva...........................................................167 7.4 Considerações finais .......................................................................................172 8

Variedade central e bifurcações locais .................................................................. 174 8.1 Introdução .......................................................................................................174 8.2 Teoria da variedade central ............................................................................175 8.3 Bifurcações de codimensão um ......................................................................178 8.3.1 Bifurcação transcrítica .......................................................................179 8.3.2 Bifurcação de forquilha ......................................................................181 8.3.3 Bifurcação sela nó ...............................................................................182 8.3.4 Bifurcação de Hopf .............................................................................185 8.4 Outros trabalhos .............................................................................................186

Síntese de sistemas não-lineares ............................................................................ 188 9.0.1 Definições prévias ...............................................................................189 9.0.2 Controlabilidade, estabilidade e região de atração ...........................190 9.1 Projeto baseado em funções de Lyapunov ....................................................192 9.2 Projeto por estrutura variável ........................................................................197 9.2.1 Resultados prévios sobre SEV............................................................198 9.2.2 Projeto por estrutura variável baseado em Lyapunov ......................199 9.3 Método de Backstepping ...............................................................................212 9.4 Outros trabalhos .............................................................................................216

10 Controle de caos ....................................................................................................... 217 10.1 Dinâmica caótica .......................................................................................219 10.2 Propriedades da dinâmica caótica ............................................................222 10.2.1 O Circuito a Diodo ..............................................................................222 10.3 Controle de caos por OGY .........................................................................230 10.3.1 Controle OGY ......................................................................................231 10.4 Exemplo de aplicação ...............................................................................235 III Controle de processos e redes industriais.............................................................. 240 11 Controle preditivo baseado em modelo................................................................. 242 11.1 Introdução..................................................................................................242 11.1.1 Conceitos básicos de CPBM ...............................................................244 11.1.2 Perspectiva histórica ..........................................................................248 11.2 Controle preditivo generalizado ...............................................................249 11.2.1 O algoritmo GPC monovariável ..........................................................250 11.2.2 O GPC multivariável ...........................................................................252 11.3 Estudo de caso ..........................................................................................254 11.3.1 A planta-piloto ....................................................................................254 11.3.2 Formulação e ajuste do controlador ..................................................255 11.3.3 Resultados ...........................................................................................256 11.4 Problemas avançados e outros trabalhos .................................................257 11.4.1 Tratamento de restrições ...................................................................257 11.4.2 Controle preditivo não-linear .............................................................258 11.5 Outros trabalhos de CPBM .......................................................................259 11.6 Conclusões .................................................................................................259

Enciclopédia de Automática

12 Controlador PID: estruturas e métodos de sintonia ............................................ 261 12.1 Estrutura do controlador PID ...................................................................262 12.1.1 Ação proporcional ...............................................................................262 12.1.2 Ação integral .......................................................................................263 12.1.3 Ação derivativa....................................................................................264 12.1.4 Banda proporcional.............................................................................265 12.2 Implementação ..........................................................................................265 12.2.1 Implementação analógica ...................................................................266 12.2.2 Implementação digital ........................................................................268 12.3 Ajuste de controladores PID baseado em dados .....................................271 12.3.1 Método da resposta ao salto ...............................................................271 12.3.2 Método do ponto crítico .....................................................................275 12.4 Aplicação ....................................................................................................278 13 Controle adaptativo .................................................................................................. 281 13.1 Paradigmas para controle adaptativo .......................................................282 13.1.1 Escalonamento de ganho....................................................................282 13.1.2 Controle adaptativo por modelo de referência..................................283 13.1.3 Controle adaptativo auto-sintonizado ................................................285 13.2 Controle adaptativo auto-sintonizado ......................................................287 13.2.1 Controle adaptativo de variância mínima ..........................................287 13.2.2 Predição ótima de y(t) k passos à frente ..........................................289 13.2.3 Minimização do custo .........................................................................290 13.2.4 Controle adaptativo de variância mínima generalizada ....................294 13.3 Controle adaptativo de sistemas não-lineares .........................................297 13.4 Exemplo de aplicação ...............................................................................301 14 Sistemas de medição: terminologia e incerteza .................................................... 311 14.1 Sistemas de medição .................................................................................311 14.1.1 Princípio de medição e tipos de medição ..........................................312 14.1.2 Representação de um sistema de medição simples ..........................313 14.1.3 Grandezas e sensores .........................................................................317 14.1.4 Modos de operação de instrumentos de medição .............................320 14.1.5 Representação de geral de um sistema de medição digital ..............321 14.2 Incerteza e erros em sistemas de medição ..............................................323 14.2.1 Algumas definições .............................................................................323 14.2.2 Categorias de erros .............................................................................324 14.2.3 Propagação de erro .............................................................................325 14.2.4 Incerteza de medição ..........................................................................330 15 Redes de transdutores inteligentes ........................................................................ 332 15.1 Sensor/atuador inteligente ........................................................................333 15.2 Redes de sensores/atuadores inteligentes ...............................................335 15.2.1 Rede ASI ..............................................................................................335 15.2.2 Rede CAN ............................................................................................341 15.3 Redes de sensores sem fio ........................................................................350 15.3.1 O Padrão IEEE 802.11 (Wi-Fi)...........................................................352 15.3.2 O padrão IEEE 802.15.4 (ZigBee) .....................................................354 15.3.3 O padrão IEEE 802.16 (WiMax) ........................................................356 15.3.4 O padrão IEEE 802.11 (Bluetooth) ...................................................359

SUMÁRIO

15.4 Padrão para sensores/atuadores inteligentes ..........................................360 15.4.1 O padrão IEEE 1451.1 ........................................................................362 15.4.2 O padrão IEEE 1451.2 ........................................................................364 15.4.3 O padrão IEEE 1451.3 ........................................................................365 15.4.4 O padrão IEEE 1451.4 ........................................................................365 15.4.5 O padrão IEEE 1451.5 ........................................................................366 15.4.6 O padrão IEEE 1451.6 ........................................................................367 15.4.7 Situação atual e perspectivas .............................................................367 15.5 Conclusões .................................................................................................369 16 Protocolos de comunicação industriais ................................................................ 370 16.1 Evolução da arquitetura dos sistemas de automação..............................371 16.1.1 Arquitetura local .................................................................................371 16.1.2 Arquitetura centralizada.....................................................................371 16.1.3 Arquitetura distribuída nos controladores ........................................372 16.1.4 Arquitetura distribuída interconectada por rede de comunicação entre controladores.................................................372 16.1.5 Arquitetura distribuída nos sensores e atuadores ............................372 16.1.6 Vantagens da arquitetura do fieldbus ................................................373 16.1.7 Arquiteturas intermediárias do fieldbus ............................................375 16.2 Diferentes protocolos para o fieldbus.......................................................377 16.3 A robustez dos sistemas industriais .........................................................378 16.4 Equipamentos industriais e o fieldbuspara outras áreas de aplicação .....................................................................................................379 16.5 Conceitos de redes industriais ..................................................................379 16.5.1 Modelo de referência OSI da ISO .......................................................379 16.6 A norma IEC 61158 ...................................................................................382 16.7 Visão geral – principais protocolos industriais.........................................383 16.7.1 ModBus ................................................................................................383 16.7.2 DeviceNet ............................................................................................383 16.7.3 Profibus DP .........................................................................................384 16.7.4 Foundation Fieldbus ...........................................................................385 16.7.5 ASI – Actuator Sensor Interface ........................................................385 16.7.6 InterBus ...............................................................................................386 16.7.7 LonWorks.............................................................................................386 16.7.8 ADAM – exemplo de protocolo aberto para arquitetura intermediária .......................................................................................386 16.7.9 Protocolos Ethernet Industrial...........................................................387 16.7.10 Vantagens da Ethernet Industrial ...................................................388 16.7.11 Problemas da Ethernet Industrial ..................................................388 16.7.12 Soluções a caminho .........................................................................388 16.8 Outros protocolos digitais .........................................................................389 16.9 A arquitetura para Inter/Intranet .............................................................390 16.10 Barramento automobilístico......................................................................391 16.11 Barramentos residenciais e prediais.........................................................391 16.12 Considerações entre sistemas disponíveisno mercado ...........................392 Referências bibliográficas ............................................................................................... 393 Índice remissivo ................................................................................................................ 411

ª·¶¹¸ ®»º½¼ ¾

ÚÂÁÃ G ÅÄ

G ³ MÚÔ

Ú¨Æ Ú

´A G

ÚÔ

´ ¥

Ç Ú

Ú fÚ

Ç ¦ ¡M«¥¬2£ ¶ ¤ °9¦ ¡X¤a¬ ëc¡ª¦ ùa° º©¬k±"Ë ¡X »¦ v´ £M ¥£M³X ¢´ ¦v² ¬ ¤a £X ¢¡Ì¡X ¢²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ ¤a¬¨²r¬ ¡`°a´ ¦ ¡X ¢«Â¦ È»É ¬ º»¦ ° £ª¦ Í< ðÍ< ijE ¢ ³X¬aþ º©¬ ´k¬" Í ¤ ¥º»¦ ¤a¬ 9¦ §' ·2°a¡ª¦ PRQSPRQ ä0¡X »¦ È»É ¬ ¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦¡v £' ¢ ³M¡ð¦ ¤ ¦ £m Þ ibaº¢ ³ª¦ È©ò ©£ u , u ,...,u ¹¿ ¤ ¥º»¦ ¤ ¦"² ¢«Â¦ £ £ª¦ [¥¤ ¦ £ ¡X ©£M² ¬2£M³ª¦ £ Q è ¬ ³X ðÍ<£X é ° ¬2£ º©¬ 2÷ø°a µ³X¬2£ ¤a ¢ Í ³M¡ª¦ ¤ ¦ £v ¨£ª¦ [¥¤ ¦ £ ² ¬ ¤a ¢´ £X ¢¡ ¡X ¢²a¡X ©£X ¢ y³ª¦ ,¤ay¬2£v,...,y 9¦qjE¬ ¡M´ ¦!¤a " ¢³X¬ ¡X ©£) 1



  u= 

u1 u2 um y1 y2 yp

u1 uQ 2 QQ um



  , 



  y= 

y1 yQ 2 QQ yp



  . 

ö¿ ÜÌ½7 r ÂÈaî"È É v ¢²a¡X ©£X ¢ ³ª¦ È»É ¬ ¤a "°a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ Q

è ©£M³X º»¦ ² [ ³M°a«¥¬y£ªÉ ¬y¦ ²a¡X ©£X ¢ ³ª¦ ¤ ¦ £t¤a ih a ¥È©òµ ©£jù9ì £M ¥º»¦ £»þ iba ¢´!²a«¥¬2£t ´k¬ ¤a ¢«¥¬2£ ´ ¦ ³X ¢´ ì ³M ¥º©¬2£ ¤a ¨£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ « 9 ©¦ ¡ª ¢£ Q

Kâ 7 EÍ' Ò Ì 9¼ ú Õ'Ò c Ò Ò»Ã: 9¼ 'Ò 7 ' : Ò {0X ÎWÏ/è é ` a r} r (£ à ~ }W ±" ¢ ¬ ´! 9¦ Í<£X áo´Z± µ Ò ±³²Ï® ² ´iå¡µ_Òeáo®eÐC¤a j°a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦Ñ¬.º©¬ ´!²r¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬ ¤a f£M°9¦ £ª¦ [¥¤ ¦ y ¢w ´ jÞ°a È»É ¬k¤a¬K³X ¢´!² ¬aþ ¬ °t£X Î÷M¦ þ q¦ jÞ°a È»É ¬ Q ¶`´ßjÞ°a È»É ¬ ¤ ¦ 9¦ ³M°a¡X ¢ý ¦v¤ ¦ i baº¢ ³ª¦ È»É ¬aþ*¦¿¡X ©£M² ¬2y(t) £M³ª¦ ³X ¢´!²r¬ ¡ª¦ « ²r¬µ¤a C£X ¢¡'£X ¢²9¦ ¡ª¦ ¤ ¦ ¢g´ ¦

É ( & 7(L+)-dê9-_+ ¢ - H Ä¨¡X ©£M²r¬2£M³ª¦!¬ ùa³M ¥¤ ¦!é °9¦ ¤a¬ ¦Ki baº¢ ³ª¦ È»É ¬ i b ³X ¢¡M 9¦!¹" °a«Â$ É ( & 7(L+)-dë=7 .0- I - Ä¨¡X ©£M² ¬2£M³ª¦^¬ ùa³M ¥¤ ¦jé °9¦ ¤a¬j¬j£M ¥£M³X ¢´ ¦^ ¢ º©¬ µ³M¡ª¦ Í<£X k¡X ¢«ÂK¦ b ¦ ¤a¬ Þ ©£M³ª¦ ¤a¬! a ¥º¢ Â¦ «7 µ°a«¥¬ iQ äy¡X ©£M²r¬2£M³ª¦ 9¦ ³M°a¡ª¦ « ¤a ¢ ðÍ<£Xm v ¢ ¢¡M·2 ÂC¦ Þ¬ °K´ ¦ £X£ª¦ ¦ ¡M´ ¦ ý» ¢ 9¦ ¤ ¦" ¬¨£M ¥£M³X ¢´ ¦ ¢´ °a´ ¤ ¦ ¤a¬Z £M³ª¦ ³X ¤a ³X ¢´!² ¬aþµ ¢ é °r¦ ³X¬K¦¨¡X ©£M²r¬2£M³ªV¦ jE¬ ¡XÈ»¦ ¤ ¦ ¤a ¢ ðÍ<£X¡ v £Ci baº¢ ³ª¦ È©òµ ©£ i b ³X ¢¡M 9¦ £ Q ä áZ´Z± µ_Ò ±³²Ï® ¯oÒeå¡µ7Ð ´³²Ï® ¹ ¦ é ° ¢«Â¦.¬ ùa³X ¤9¦Ñ²r ¢«Â¦0£X¬ ´ ¦Ñ¤ ¦ £%¡X ©£M²r¬2£M³ª¦ £% 9¦ ³M°a¡ª¦ « jE¬ ¡XÈ»¦ ¤ ¦ Q Ê ÿLü\ËNÌ

{ EF $G & H d"bÑ ì ´Z± µ_Ò ±³²Ï®ó¯ZÒeå¡µ7Ð ´³²Ï® ì ´V±i¶À±³² ´iåC®óìe¶!·¢Ùeår¶ ¯oÒ

Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡X ¢´k¬2£v ¬» 2¦ ´k ¢ µ³X ¬!£M ¥£M³X ¢´ ¦g PRQSPK PRQ \0

dy(t) + 2y(t) = 3u(t). dt

Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤a¬f¦ ·*¬ ¡ª¦^º©¬ ¤ ¥È©òµ ©£ a ¥º¢ Â¦ ¥£ 9É ¬^ °a«Â¦ £»þ7² ¬ ¤a k£X ¢¡¨ ¢¡M h9º»¦ ¤a¬jé ° k£M°9¦ ¡X ©£M²r¬2£M³ª¦!º©¬ ´!²a«¥ ¢³ª¦ þ ²9¦ ¡ª¦!º»¦ ¤ ¦K £M³ª¦ ³X ¤a ¨³X ¢´!²r¬ t ≥ t þa¹¨¤ ¦ ¤ ¦K² ¬ ¡) 0

y(t) = e

−2(t−t0 )

y(t0 ) +

t t0

2λ

e u(λ)dλ 3e−2t .

PRQ XR

X³ ¢¡M´k¬ e y(t ) º©¬ ¡M¡X ©£M² ¬ ¤a 'v ¡X ©£M² ¬2£M³ª¦ 9¦ ³M°a¡ª¦ «-þ' ¢ é °9¦ ³X¬j¬^³X ¢¡M´k¬ º©¬ ¡M¡ª ¢£M² ¬ ¤a v"¡X ©£M²r¬2£M³ª¦ jE¬ ¡XÈ»¦ ¤ ¦ Q è ¬ ³X ðÍ<£X é ° 2þ2 ©£M³X º»¦ £X¬aþ e u(λ)dλ 3e é °9¦ « h9º»¦ Í<£X º©¬ ´k¬k ©£M³ª¦ ¤a¬k¤a¬!£M ¥£M³X ¢´ ¦ Q y(t ) 4 R

t 2λ t0

−2(t−t0 )

−2t

|Ñ} ~Eîu£ ' 9~E t ï T ' ` v 9~ }W K} ~Eîu£ ' 9~E ð T X a 9~ ;ñ ¡ òVó >9 0@A* !.0/ d"bÑ! ¥ÒOå ±i¶ ±³² íå'® õpìe¶N²ÏÒf¦ ²9¦ Z¡ Y ´k ¢³M¡ª¬2£ º©¬ º© ¢ ³M¡ª¦ ¤a¬*£D±)´Jµ_Ò ±Z±iÑ$¶ Ñ$å · æ å'íá^Òu#A·3¶N²ÏÒ'ì ó* ®eái¶ ðz*eí¶À± ì ´ ´Z±³²Ï®0ì0Ò à ® ±LÒó¯oÒe·7²Ná^ðeái¶ Ò<ÓôÒJ±Z¶À±³² íåC® õqìe¶N²ÏÒZ¦T²9¦ Z¡ Y Í × ´k ¢³M¡X¬2£v¤ ¥£M³M¡M ùa ° [¥¤a¬2£ × ÎWÏVí

Ú Ý

ª·¶¹¸ ®»º½¼ ¾

G ³ MÚÔ

´A G

MÚÔ

f AÝ

Ç Ú

Ú fÚ

¶ ¤a£X¬ tv¬ ù ¢¡M³X¬k±" ¨Ê` ¥ ¢¡M ¶`°a0· n¢ a ¥¬ Á Q Ç ¦ £M³X ¢«Â¦ vùa ¡ª¦ ÷M¦ ¡ª¦!§a¡ª¦ º©¬kóf¬ ¡X ¢ ¬ Úä ¦ 9ì « ¥£X ¬"²a¡X¬ ÷Î ¢³X¬ ¤a £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤a º©¬ µ³M¡X¬ «¥ ¬ ¡M´ ¦ « ´k ¢ µ³X v£ªÉ ¬"ù9¦ £X »¦ ¤a¬2£ ¢´ °a´ ´k¬µ¤a ¢«¥¬Z´ ¦ ³X ¢´ ì ³M ¥º©¬Ké ° ¤a ©£Xº¢¡X ¢ vº©¬ µ * ¢ a ¥ ¢ µ³X ¢´k ¢ ³ª ¬Z£M ¥£M³X ¢´ ¦ º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤a¬ Q ¶ £X£X ©£K´k¬ ¤a ¢«¥¬2£k²r¬µ¤a ¢´ £X ¢¡! ¢«¥¹¢³M¡M ¥º©¬2£»þC´k ©º)Y a ¥º©¬2£»þCùa ¥¬ «¥Ë ·2 ¥º©¬2£»þ= ¢º©¬ ô ´! ¥º©¬2£»þ¿ ¢ ³M¡X ¬ °a³M¡X¬2£ Q ¯µ¬ ùy¦f£M°a²r¬2£M ¥È»É ¬ ¤a %£X ³M¡ª¦ ³ª¦ ¡X ¢´ ¤a £M ¥£M³X ¢´ ¦ £K« »¦ ¡X ©£!¬ °.« »¦ ¡M ý ¦ ¤a¬2£ º©¬ ´ ²9¦ Z¡ Y ´k ¢³M¡X¬2£ º©¬ º© ¢ µ³M¡ª¦ ¤a¬2£»þrº©¬ _ jE¬ ¡M´k Z¤ai h a ¥¤a¬ ¬kº»¦ ² [ ³M°a«¥¬%¦ ³X ¢¡M ¥¬ ¡»þr¬kº©¬ ´KÍ ² ¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ ³X¬ ¤ 7 Y ´! ¥º©¬f¤a ©£X£X ©£Z£M ¥£M³X ¢´ ¦ £Z¹ ¤a ©£Xº¢¡M ³X¬t²r¬ ¡T ©é °9¦ È©òµ ©£T¤ jE ¢¡X ¢ º¢ Â¦ ¥£T ¬ º»¦ £X¬!º©¬ µ^³ [ µ° ¬k¬ °t ©é °9¦ È©ò ©£ ¦K¤ jE ¢¡X ¢ È»¦ £ ¬kº»¦ £X¬!¤ ¥£Xº¢¡X ¢³X¬ Q c £ ²a¡M º¢ ²9¦ ¥£v´k¹¢³X¬ ¤a¬2£v¤a Z¦ 9ì « ¥£X ¨¤a ¨²a¡X¬ ÷Î ¢³X¬k¤a º©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡X ©£vù9¦ £X ¢ Â¦ ´KÍ<£X ¢´ ¤ jE ¢¡X ¢ µ³X ©£ ¤a ©£Xº¢¡M ¥È©òµ ©£¿´ ¦ ³X ¢´ ì ³M ¥º»¦ £v¤a¬K£M ¥£M³X ¢´ _¦ ¦ £=²a¡M º¢ ²9¦ ¥£ £ªÉ ¬!¦ £¿¡X ¢«Â¦ È©ò ©£ ¤a¬!³M ² ¬k ¢ µ³M¡ª¦ ¤ ¦k £ª ¦ [¥¤ ¦ þ ¢´ ²9¦ ¡M³M ¥º¢°a«Â¦ ¡»3þ jÞ°a È©òµ ©£v¬ °j´ ¦ ³M¡M ý» ©£ ¤a ¨³M¡ª¦ k£ jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦k ¦ £ ¡X ¢«Â¦ È©ò ©£¨é ° T¤a ©£Xº¢¡X ¢ * ¢´jþ7¦ «¥¹¢´ ¤a¬%º©¬ ´!²r¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬^ ¢ µ³M¡ª¦ ¤ ¦ T£ª ¦ [¥¤ ¦ þr³ª¦ ´Zù ¹¢´ ¬!º©¬ ´!² ¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬k ³X ¢¡M ¬ ¤a¬!£M ¥£M³X ¢´ ¦T 9q¦ jE¬ ¡M´ ¦!¤a "°a´ ¦!¤a ©£Xº¢¡M ¥È»É ¬!²r¬ ¡ 2¦ ¡M Âì© ¢ ¥£ ¤a ©£M³ª¦ ¤a¬!¤a¬k£M ¥£M³X ¢´ ¦ Q c £M ¥£M³X ¢´ ¦"º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤a¬Z¹ ¦ é ° ¢«¥ ¿¡X ¢²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ ¤a¬¨ 9¦"§' ·2°a¡ª¦ PRQSPRQ ä £` ¢ µ³M¡ª¦ ¤ ¦ £C¬ ° i baº¢ ³ª¦ È©òµ ¢£ £ªÉ ¬ ¦ ²a« ¥º»¦ ¤ ¦ £` ¬2£`³X ¢¡M´! 9¦ ¥£C¤a ¿ ¢ µ³M¡ª¦ ¤ ¦¨ ¿£M°a² ò ðÍ<£X é ° ¦ £Ì¡X ©£M² ¬2£M³ª¦ £ ² ¬ ¤a ¢´ £X ¢u¡ ´k ¢¤a ¤9¦ £ 9¬2£ ³X ¢¡M´! 9¦ ¥£v¤a £ª ¦ [¥¤ ¦ Q y §K T " ` \ Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ´k¬2£ ¬2£¿£M ¥£M³X ¢´ ¦ £=« »¦ ¡X ©£¿¤a ©£Xº¢¡M ³X¬2£¿²r¬ ¡ ©é °9¦ È©òµ ©£¿¤ jE ¢¡X ¢ º¢ Â¦ ¥£»þaº¢°2÷M¦ ¤a ih a ¥È»É ¬k²9¦ ¡ª¦!¬!º»¦ £X¬K´k¬ ¬ 2¦ ¡M Âì© ¢«c¹ ¤ ¦ ¤ ¦k¦K£X ¢·2°a )¡ ÚoÏ9Î

öA÷ øoùNøoúNû³ü ýLþ ù!ÿóþ û NùNø³ÿ

WRa

Resposta ao degrau

1.4

1.2

Amplitude

0.8

0.6

0.4

0.2

t(s)

ö¿ ÜÌ½7 r ¨û î qÉ v ©£M²r¬2£M³ð¦K¤a "°a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦K¤a £X ¢·2°a ¤ ¦!¬ ¡X¤a ¢´

ä £ ©£M²r ©º¢ h9º»¦ È©òµ ©£Z£ªÉ ¬^¬ ùa³M ¥¤ ¦ £ ²9¦ ¡ª¦^£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤a !£X ¢·2°a ¤ ¦^¬ ¡X¤a ¢´ £X ¢´pý» ¢¡X¬2£ Q äx´ ¦ ¥¬ ¡M Â¦ ¤a¬2£ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¢ º©¬ ³M¡ª¦ ¤a¬2£" 9¦k²a¡ªì ³M ¥º»¦ £ªÉ ¬k´ ¦ ¥£"º©¬ ´!²a«¥ iba¬2£"é ° Z£M ¥£M³X ðÍ ´ ¦ £ ¤a !£X ¢·2°a ¤ ¦%¬ ¡X¤a ¢´ £X ¢´pý» ¢¡X¬2£ Q ä £¨ ©£M²r ©º¢ h9º»¦ È©òµ ©£VjE¬ ¡M ©º© ¢´ ²9¦ ¡ZY ´k ¢³M¡X¬2£Z¤a º©¬ ´!²9¦ ¡ª¦ È»É ¬ ¢ µ³M¡X £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ´ ¦ ¥£ º©¬ ´!²a«¥i ba¬2£v £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤a ¨£X ¢·2°a ¤ ¦!¬ ¡X¤a ¢´ Q äy¡X ©£M² ¬2£M³ª¦¨¦ ¬¨¤a ¢·2¡ª¦ °!°a ³ðì ¡M ¥¬¨¤a ¿°a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦"¤a £X ¢·2°a ¤ ¦"¬ ¡X¤a ¢´ ¹¿¤ ¦ ¤ ¦"²r¬ )¡ y(t) = 1 − e

−σt

σ cos ωd + sin ωd t ωd t

¬ ¤a ω = ω p1 − ζ σ = ζω Q Ê`¦ ¡ª¦K¦T¬ ùa³X ¢ È»É ¬!¤a¬K£X¬ ùa¡X ©£X£M 9¦ « ´ ìKb ´k¬K¤a ¢ ¢´k¬2£ ¢ º©¬ ³M¡ª¦ ¡v¬Z 2¦ «¥¬ ¡ ¤a t ³ª¦ « é ° ¦!¤a ¢¡M 2¦ ¤ ¦!¤ ¦K£ª¦ [¥¤ ¦!¹" µ°a«Â¦_ d

dy σ −σt = σe cos ωd t + sin ωd t − e−σt (−ωd sin ωd t + σ cos ωd t) = 0 dt ωd )

v © ©£Xº¢¡X ¢ ¢ ¤a¬k¦! ©é °9¦ È»É ¬ ¦ º¢ ´ ¦K³X ¢´k¬2£

σ2 −e−σt − sin ωd t + ωd sin ωd t = 0 ωd Kb ωd t = π

ä5²a¡M ´k ¢ ¡ª¦! * ¢ý é ° ¬K 2¦ «¥¬ ¡ ´ ì ´k¬k¬µº©¬ ¡M¡X ¹"²9¦ ¡ª¦ ωd t p = π ⇒ t p =

π π p = ωd ωn 1 − ζ 2

þ ¬ °j£X Î÷M¦_

ª·¶¹¸ ®»º½¼ ¾

xwÁ G´A GÇ« Ç Ú Ç G zÞ y AÝ ¥ ? { G

³ À

G ³ MÚÔ

Ú fÚ

] 6ÚBEDHdJ4 b}|cb } J p ` a r}NñK X T}W T W ¶ £M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ¨¹ °a´ ¤a¬2£¿³X ¢´ ¦ £¿´ ¦ ¥£ ¦ µ³M ·*¬2£¿ 9¦ £¿º¢ n¢ º¢ Â¦ £ ù9ì £M ¥º»¦ £ "¦ ² « ¥º»¦ ¤ ¦ £ Q Ê'¬µ¤a ðÍ<£X T¤ ý» ¢¡"é ° K¦!²a¡X ©¬µº¢°a²9¦ È»É ¬%º©¬ ´ ¬ ©£M³M° ¤a¬ £M £M³ª ð´ ì ³X º©¬%¤a Z ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a K¤a °a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ¤ 7Y ´! ¥º©¬Ñº©¬ ´k ©È©¬ °Ø«¥¬ ·*¬Ñ¦ ² Ë2£ ¦ ¤a ©£Xº©¬ ù ¢¡M³ª¦ ¤ ¦ £k«¥ ð ¥£ ¤a ^´k ©)º Y a ¥º»¦ º© ¢«¥ ©£M³M Â¦ «¿² ¬ ¡ Ç ¬ ² ¢¡M a ¥º¢° £»þ¿®¨¦ « «¥ ©¬a þ ¨ ¢²a«¥ ¢¡k è ³ § ³X¬ F ¦fé ° ©£M³ªÉ g¬ jÞ°a ¤ ¦ ´k ¢ µ³ª¦ «-þ jE¬ ¡M´ ¦ « ý ¦ ¤ ¦k´ ¦ ³X ¢´ ¦ ³M ¥º»¦ ´ ¢ µ³X T²r¬ ¡"è ³ § ³X¬ 7þr ¢¡ª¦ ¦ ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a T¤a¬%¯ ¥£M³X ¢´ ¦%¯µ¬ Í «Â¦ ¡J,é * Î÷M¦¨¬ Ç ¦ ² [ ³M°a«¥¬ \ ²9¦ ¡ª¦ ¦ ¦ 9ì « ¥£X v¤a ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a v¤a £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ 9É ¬ Í-« »¦ ¡X ©£ iQ ¶ £M³X ²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦f²r ¢¡M´ ¦ ©º© ¢°Ø£X ¢´ £X¬ « ° È»É ¬ ¤ai h a ³M 2¦ ¦ ³X¹%g¬ h 9¦ « ¤a¬ £X¹©ºð° « Å¬ è" ç è é °9¦ ¤a¬Ñ¬ ¡X ¢ c £Xº»¦ ¡ çMçK¤ ¦.¯ ° ¹©º¢ Â¦ ¬ jE ¢¡X ©º© ¢°7þ ¢´ P)]R]0X þ °a´ ²aZ¡ nð´! ¥¬Ñ²9¦ ¡ª¦ é ° ¢´ º©¬ £X ¢·2°a ¥£X£X ²a¡X¬» 2¦ ¡!¦t ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a %¤a¬ ¯ ¥£M³X ¢´ ¦ ¯µ¬ «Â¦ ¡ Q c ²ao¡ n¢´! ¥D¬ jE¬ =¬ °a³X¬ ¡M· ¦ ¤a¬ ¦ ¬j·2¡ð¦ ¤a ´ ¦ ³X ¢´ ì ³M ¥º©Å¬ © ¢ a¡M ¿Ê'¬ º»¦ ¡X¹2þ º¢°2÷Î¬t³M¡ª¦ ù9¦ « ¸ ¬aþ` ¢´Tùr¬ ¡ª¦t 9É ¬t¡X ©£X¬ « * ©£X£X ¬0²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦y¤ai h a ³M 2¦ ´k ¢ ³ª 2þ ¤a ¢°> [¥º¢ ¥Í¬ v0´k¬ ¤a ¢¡M 9¦ ³X ©¬ ¡M Â¦ ¤a º»¦ ¬2f£ ÞÁ ¦ ¡M¡XK¬ §¿Í ® ¡X © ¢ 7þ P)`R`0XR iQ ©"ìT ¢ µ ¥ ¤ n¢ º¢ Â¦ £ é ° ¦ ²r¬ µ³ª¦ ´ º©¬ ´!²r¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬ º»¦ Ë ³M ¥º©¬!¤a¬ ¯ ¥£M³X ¢´ ¦ ¯µ¬ «Â¦ ¡ T ¦ £Mü2¦ ¡»þ P)`R`Ra r¯ ° £X£M´ ¦ jV ÌQ ¥£X¤a¬ ´jþ P)`R`20{ iQ ót°a ³X¬2£=´ ¦ ³X ¢´ ì ³M ¥º©¬2£ m jN[¥£M ¥º©¬2£=¤a¬T£X¹©º¢°a«¥¬ P)] ©£M³M° ¤ ¦ ¡ª¦ ´ ¦ é ° ©£M³ªÉ ¬T¤a ©£M³ª¦ ùa « Í ¤ ¦ ¤a T¤a °a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦k¤ 7 Y ´! ¥º©¬aþ: Zv¬ °a³M¸7þró K¦ b_§¿ ¢« «-þ T Â¦ ²a°a ¬» þ ©v° ^¡ § ³MýT !¯µºX¸µ°a¡ £ªÉ ¬^¦ « ·2°a £¨¤a¬2£" ¬ ´k ©£"´ ¦ ¥¡£ jÞ¡X © é x ¢ µ³X ¢´k ¢ ³X k¦ £X£X¬µº¢ Â¦ ¤a¬%º©¬ ´ ©£M³X T³X ¢´ ¦ Q äv« ·2°a £ ¤a ©£M³X ©£cº¢ ¥ ¢ µ³M ¥£M³ª¦ £7³ª¦ ´Tù ¹ð´x ©£M³M° ¤ ¦ ¡ª¦ ´ é °9 ¢£M³ªò ©£c¤a C ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a C¬ ¡X ° ¤a¬2£'¤a C¦ £M³M¡X¬ Í ¬ ´! Â¦K °a´ ¦K¤ ¦ £¿²a¡M ´k ¢ ¡ª¦ £ ¦ ²a« ¥º»¦ È©ò ©£ ©£M² ¢³ª¦ º¢°a«Â¦ ¡X ©£ ¤ ¦K ¢ ³ªÉ ¬K º¢ ²a ¥ ¢ µ³X ¨³X ©¬ ¡M Â¦ ¤a v ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤aä jE¬ r¦ ¤a ¢´k¬ £M³M¡ª¦ È»É ¬aþµ² ¬ ¡=ó K¦ b_§= ¢« « P)]RWR`0 þ ¤a ©£Xº©¬ ùa¡M ¥¤a¬ ¡¿¤ ¦ £C ©é °9¦ Í È©ò ©£C¤a º»¦ ´!² ¬2£C ¢«¥ ¢³M¡X¬ ´ ¦ ·2 ¹¢³M Âº©¬2£»þµ¤a é ° ¬2£C¦ ¹¢ ¥£C¤a ¯ ¦ ³M°a¡M ¬ 9É ¬ ²r¬ ¤ ð¡X ¥¦ ´ £X ¢¡ £XË « ¥¤a¬2£»þ ² ¬ ¥£ ¤a ©£M µ³X ¢·2¡ª¦ ¡M Â¦ ´ ²r ¢«¥r¬ j-¦ ³X¬!¤aé jE¬ ¡M´ ¦ ¡X ¢´ °a´ ¦!º©¬ _ h ·2°a¡ª¦ È»É ¬k £M³ªì» * ¢«-þ á Ï9Î

~ 9~E 7 ¡ ,W X +)P ~ £

W `

U W W \&

-â.à=/[ BK9=;AP@IX"Oâ6 <[ > [ F<6BF4@{F4K [ X"O/@VMu6 KB> 6 = T<MW6ïSPT<@IX"O 9K(F4@ @IX"Oâ6 <[ > [ F46JF @ l9e VkRjrfBw AP? 9KïOY=â6 Oâ6BF<6 ?<@IX"O/@ 8;69L O/T<> K40 v?POY=/@VOâ69?PO/K4APK\@IX"O/TzF4KGF4@E@IX"Oâ6 <[ > [ F<6BF4@ïF4@ET<M LZKB?PO/KGF4@E@;SPT<[ > 4=/[ K4A 69XYXYT<?PO/K(F4@IX"O/@ 8;69L O/T<> K4Az@VX"O > [ J6BF4KW69K O/@IMW6 F4@G@IX"Oâ6 <[ > [ F<6BF4@GK9= <[ Oâ69> `@IKB?<K HZA ¢T4= [ ? @ PD<@IL @V> Y6IHPU4[^A`|;}B} â0

ßvÒ»Ã2 'ár 9 ' c Ñ c Ò»Ã: 9¼ 'ÒkâK b Ì¼ Õ'Ò Ý 7 ' : Ò

]RW

³/´

³/´ g(s)

g(s) : s = 2 i` to 0

α g(s) : s = −i∞ 0 g(s) : s = 0 i∞ ω = −1 ω=1 ω=∞ ω=0

µP¶ C

µP¶

Ç ¬ ³X¬ ¡M ¬ º©¬ ´ ¡ª¦ ¥¬ r _h a ³X¬ ö¿ ÜÌ½7 r x :î EÉ Ç ¬ µ³X¬ ¡M ¬ ± ¤a è é °a ¥£M³ v. ©£Xé ° ¢¡X¤ ¦ f¬.´ ¦ ² »¦ ´k ¢ ³X¬y¤a ©£M³X º©¬ ³X¬ ¡M ¬Í ¤ Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦ ¤a % è é °a ¥£M³ ² ¢«Âg¦ jÞ°a È»É ¬ g(s) = 1/(s + 1) Q Ç ¬ ´k¬ ¬ ¤ Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦t¤a è é °a ¥£M³ 9É ¬t ¢ µ *¬ « k¬j² ¬ ³X¬ −1 þ n = 0 `º©¬ ´k¬ g(s) 9É ¬j² ¬2£X£M°a ²rË «¥¬2£^ ¬ £X ¢´! ²a«Â¦ ¬ ¤ ¡X ¢ ³X¬aþ n = 0 Q ¯ ð·2°9 ¤ ¦ [ é ° n = 0 þ ¬ °>£X Î÷M¦ þv 9É ¬ ¸9ì!² Ë «¥¬2£v £M³ªì© ¢ ¥£ ¢´ ´ ¦ « ¸9J¦ jE ©ºX¸9¦ ¤ ¦ þr²r ¢¡M´! ³M ¤a¬^¦kº©¬ º¢« ° £ªÉ ¬ ¤a Z ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a 2þ ²9¦ ¡ª¦ k = 1 Q Ê'¬µ¤a ¢´k¬2£ º¢¬ 9ºð« °a ¡ ¦ ¤ ¦Té ° v¬Z£M ¥£M³X ¢´ ¦Z ¢´ ´ ¦ « ¸9V¦ jE ©ºª¸9¦ ¤ ¦Z¹v ©£M³ªì» * ¢« ²9¦ ¡ª¦ é °9¦ «¥é ° ¢¡ k ² ¬2£M ³M *¬aþ ² ¬ ¥£ k £XËf´T° ¤ ¦ D¬ j-¦ ³X¬ ¡k¤a ^ ©£Xº»¦ «Â¦ ¤a¬ ¤ Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦ ¤a è é °a ¥£M³»þµ² ¬ ¡X¹¢´ 9É ¬ ¦ « ³X ¢¡ª¦! ¬ j-¦ ³X¬k¤a ©£M³X " 9É ¬k ¢ µ *¬ « ¢¡ ¬K² ¬ ³ª¬kº¢^¡ [ ³M ¥º©¬ −1 Q ÊÌ¦ ¡ª¦ º©¬ º¢« °a ¡k ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a j¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦f ¢´ ´ ¦ « ¸9D¦ jE ©ºª¸9¦ ¤ ¦ þCé ° ¢¡X ¢´k¬2£ n = 0 Q ¦ jÞ°a È»É ¬K¤a ³M¡ª¦ k£ jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦ 9¬T ¢ ba¬T ´ ¦ ·2 9ì ¡M ¥¬aþ ¹ ²a¡X ©º¢ ¥£X¬ °9¦ ¤a¬K¸9ìZ²rË «¥¬2£ ¤ ´k¬ ¤ h9º»¦ ¡Ì¬ º©¬ ³X¬ ¡M ¬v¤a C è é °a ¥£M³»þ ¤a `´k¬ ¤a¬ ¦ ¢ µg(s) ³ª¦ ¡c ©£M³X ©£7²rË «¥¬2)£ :´ ¦ ¥¬ ¡X ©£'¤a ¢³ª¦ « ¸ ©£ ²r¬µ¤a ¢´ £X ¢¡ ¢ º©¬ µ³M¡ª¦ ¤a¬2£v ¢´jþa² ¬ ¡ i ba ¢´!²a«¥¬aþ9§a¡ª¦ aüµ« t ¢³v¦ « Q R{ aRa20{ iQ } ñK X TW} T O z 9 ` v r ½ T Ú ` v 9~:W} Z} ó } ò TÁ } Àz ~ %ÃÂ á Ï/è ã a rN Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡X ¨°a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦T« »¦ ¡ 2¦ ¡M Â¦ µ³X ¨ ¬K³X ¢´!² ¬kº©¬ ´ °a´ ¦! ¢ µ³M¡ª¦ ¤ ¦! "°a´ ¦ £ª ¦ [¥¤ ¦ þ º©¬ ´ º©¬ ¤ ¥È»É ¬k a ¥º¢ Â¦ «7 µ°a«Â¦ þ ¤a ©£Xº¢¡M ³X¬!²r ¢«Â¦K µ³X ¢·2¡ª¦ «c¤a º©¬ ¬ « ° È»É ¬ Z Z ¤ ¤ _ æ QSPRPK y(t) = g(t − τ )u(τ ) τ = g(τ )u(t − τ ) τ, ¬ ¤a "¬Z$ ñ º¢«¥ ©¬ g(t) ¤ ¦ µ³X ¢·2¡ª¦ «:¤a "º©¬ µ *¬ « ° È»É ¬!¹"¦Z¡X ©£M²r¬2£M³ª¦K¦ ¬T ´!² °a«¥£X¬ þ ¦ ²a« ¥º»¦ ¤a¬ ¢´ t = 0 ¦ ¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ¤ 7 Y ´! ¥º©¬% ¢´ é ° ©£M³ªÉ ¬aþ u(t) ¹T¦ ¢ ³M¡ª¦ ¤ ¦ ¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ y(t) ¹ ¦!£ª ¦ [¥¤ ¦K¤a¬k£M ¥£M³X ¢´ ¦ Q >9 0@A* !.0/ z Ñ! ¥ÒOåC®VíZÑ$·7æKç0Ò õJì ´i·,Òeår¶!·,®0ì0®j« ´! ³ª¦ ¤ Å ¦ ±)´ f : R → R : t 7→ f (t) g(s) : s = 0 to i`

´;ße¶À±³² ´ Ñ$åC® ¯oÒe· ±³²Ï®e·7² ´

²Ï®eÐï)³Ñ3´

|f (t)| ≤ c < ∞

oä

µ ®eá^®ó²ÏÒ)ì0Ò

t ≥ 0.

v´ £M ¥£M³X ¢´ ¦g æ_QSPRPK ¹ ¤a ¢ ¬ ´! 9¦ ¤a¬ ´Z±³²Ïðz*eíÐO·,ÒC±)í·7²N¶ ì0Ò í·7²Náo®0ì0®eîÏ±L®z! ì0®Å Þ¬ °ÅôêZî ´Z±³²Ïð<*RíÐ þµ¦v²9¦ ¡M³X ¡C¤ ¦"£M ·2«Â¦"¤a¬ ³ª ð¡X´k¬¨ ¢´z a·2« n©£ ^ÒeÑ$·,ì óìq¶!·Rµ7Ñ_² ÓG ^ÒeÑ$·,ì óìrÒeÑKµ7Ñ_²

ª·¶¹¸ ®»º½¼ ¾

Õ ¥ M f ¥´G xwÁ G´A GÇ« Ç Ö w ÅÚÜ D × xÁ w G´A GÇ« Ç

ÊÌ¦ °a«¥¬%¯µ¹¢¡M·2 ¥¬kÊ' ¢¡X ¢ ¡ª¦k¤ ¦ ¯ « 2¦ è ©£M³X Zº»¦ ² [ ³M°a«¥¬aþ9³M¡ª¦ ³ª¦ ¡X ¢´k¬2£"¬2£ ²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦ £"¤a º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤ T Z¤a Z¬ ù £X ¢¡M 2¦ Í ùa « ¥¤ ¦ ¤a ¢´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ « »¦ ¡X ©£Z¤ ¥£Xº¢¡X ¢³X¬2£T kº©¬ ³^[ µ° ¬2£ Q ä º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ùa ¥¤ ¦ ¤a ¹!°a´ ¦ é ° ©£M³ªÉ ¬JjÞ°a ¤ ¦ ´k ¢ ³ª¦ «Ì¤ ¦K³X ©¬ ¡M Â¦k¤a Zº©¬ µ³M¡X¬ «¥ Q ¬¨ì ¡M Â¦ £ ¬µÈ©ò ©£ ¤a Zº©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ùa « ¥¤ ¦2¤a £ªÉ ¬f ¢ º©¬ µ³M¡ª¦ ¤ ¦ £K 9¦j« ³X ¢¡ª¦ ³M°a¡ª¦ Q ä ´ ¦ ¥£Kº©¬ ´T°a´ ¹ º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤ ¦t ©£M³X º»¦ ² [ ³M°a«¥¬aþ £X ¢ ¤a¬ ¤a ¢ ¬ ´! 9¦ ¤ ¦Zº©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ùa « ¥¤ ¦2¤a v²r¬ µ³X¬Z¦"²r¬ µ³X¬aþµ º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ é ° °a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ¹Kº©¬ ³M¡X¬ «Âì» * ¢« £X Z²a° ¤a ¢¡M´k¬2£"«¥ ¢ 2ì Í-«¥¬%¤a T°a´ ¦ º©¬ ¤ ¥È»É ¬% a ¥º¢ Â¦ « é °9¦ «¥é ° ¢¡ ²9¦ ¡ª¦ °a´ ¦ º©¬ ¤ ¥È»É ¬ h 9¦ «ré °9¦ «¥é ° ¢¡»þ ¦ ³M¡ª¦» *¹©£=¤ ¦Z¦ ²a« ¥º»¦ È©É ¬K¤a °a´ ¦Z ¢ ³M¡ª¦ ¤ ¦T¦ ¤a ©é °9¦ ¤ ¦ Q è ©£M³X º»¦ ² [ ³M°a«¥¬k ¡X ¢´k¬2£v¦ ²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ ¡ 2ì ¡M ¥¬2£vº¢¡M ³X¹¢¡M ¥¬2£v ©é °a 2¦ «¥ ð µ³X ©£v¤a ¨º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤ Q äQ¬ ù9£X ð¡X ¦ ù « ¥¤ ¦ ¤a ¤a ¿° ´ £M ¥£M³X ¢´ ¦"¹v¦¨º»¦ ²9¦ º¢ ¥¤ ¦ ¤a v¤a ¤a ©¤ °aý© ¡M´k¬2£=¬¨ ©£M³ª¦ ¤ ¬ ¤a °a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦K¦Z²9¦ ¡M³M ¡v¤ ¦Z _ jE¬ ¡M´ ¦ È»É ¬k¤a "£M°9¦T£ª ¦ [¥¤ ¦K "¤ ¦K ¢ ³M¡ª¦ ¤ ¦!¦ ²a« ¥º»¦ ¤ ¦ Q ¬¨ì ¡M ¥¬2£ º¢¡M ³X¹¢¡M ¥¬2£v¤a ¬ ù £X ¢¡M 2¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a Z£X ð¡ðÉ ¬k¦ ²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ ¤a¬2£ ©£M³X º©¦ 3² [ ³X°a«¥¬ Q Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¡X ¢´k¬2£K¦ £ ²a¡M º¢ ²9¦ ¥ £ jE¬ ¡M´ ¦ £ º»¦ ô a ¥º»¦ £T ¦ ²a¡X ©£X ¢ ³ª¦ ¡X ¢´k¬2£K¦%³X ©¬ ¡M Â¦ ¤ ¦%¡X »¦ « ý ¦ È»É ¬t²9¦ ¡ª¦^£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ º©¬ µ^³ [ µ° ¬2ó£ Þé ° k¹ ¦ ù £X¬ « °a³ª¦ ´k ¢ µ³X ¦ 9ì «¥¬ · D¦ v%³X ©¬ ¡M Â¦ º©¬ ¡M¡X ©£M² ¬ ¤a ¢ ³X ²9¦ ¡ª¦!£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤ ¥£Xº¢¡X ¢³X¬2£ iQ ±¨¦ ¤ ¦.°a´ ¦.´ ¦ ³M¡M ý ¤a ³M¡ª¦ k£ jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦ G(s) þv°a´ ¦Ñ¡ª ©¦ « ý ¦ È»É ¬y¤a G(s) ¹f°a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦K« 9 ©¦ ¡ (A, B, C, D) û QSP ¦ x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) û QSP ù y(t) = Cx(t) + Du(t) û QSP º x(t ) = x , t ≤ t ³ª¦ « é ° ¦.£M°9¦.´ ¦ ³M¡M ý ¤a ³M¡ª¦ k£ jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦ º©¬ º¢ ¥¤ ¦ º©¬ ´ G(s) Q ëÌ¦ «¨²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦ ¹ ¢ µ ¥¤a ¢ µ³X ¢´k ¢ ³X T°a´ ²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦ ¤a T^£ [ ³X ©£X 2þr£X ¢ ¤a¬ ´k¬ ³M 2¦ ¤a¬ ²r ¢«Â¦ £ ³X¹©º¢ a ¥º»¦ £"¤a ´KÍ ²a«¥ ¢´k ¢ µ³ª¦ È»É ¬%¤ h « ³M¡X¬2£" T£M ¥£M³X ¢´ ¦ £"¤a Tº©¬ ³M¡ª¬ « k¦ 9¦ «¥Ë ·2 ¥º©¬2£ Q äz³X ©¬ ¡M Â¦ é °9 Z ©£M³M° ¤ ¦ ¬2£ ²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦ £v¤ "¡X »¦ « ý ¦ È»É ¬ ¹¨¤a ¢ ¬ ´! 9¦ ¤ ¦k¤aÆ ,´oÒeái¶ ®óì0®» ´^®eÐ ¶mÝ)®RæKç0Ò × ç< µ³M ´ ¦ ´k ¢ ³X j« · ¦ ¤ ¦ º©¬ ´ ¬ ²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦ ¤ ¦ ¡X »¦ « ý ¦ È»É ¬aþ¿ ©£M³ªì d¦ Ür´^¯oÒeå¡µ Ò ±i¶NæKç0Ò ì ´MØ ®eÐ åC®e·9þ é ° T£X ¢¡ªì ©£M³M° ¤ ¦ ¤ ¦ ©£M³X Kº»¦ ² [ ³M°a«¥¬ Q ÊÌ¬ ¡¨¬ °a³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬aþ:¬ ²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦%¤a 0

öA÷ øoùNøoúNû³ü ýLþ ù!ÿóþ û NùNø³ÿ

`R]

J} () K - .0/ f#qÑÀ1 ä Ð í¶N²ÏÒeáô·,ç0ÒV² íá^ð ìe¶ # ¯³Ñ$ÐSì0®0ì ´¡íåß¸ í· íá^®eÐ ¶mÝ)®eá ´Z±Z±L® ±ô¶ ì õi¶ ® ±Oµ_®eáo® ±i¶À±³² íåC® ±qì ´ Òeá^ì íå ìe¶ íLíáoí·7² ´ ì ´ 3×

êé

ëF3 eGM- 0-3* ,* ! 0- 7} () K 0 , H

Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ´k¬2£ ¬ 2¦ ´k ¢ µ³X t¬ ²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦ ¤a jE¬ ¡M ©º© ¢¡ °a´ ¦ ¡X »¦ « ý ¦ È©É ¬Ñ²9¦ ¡ª¦Ñ¦ jÞ°a È»É ¬ ¤a ^³M¡ª¦ £kjE ¢¡on¢ º¢ Â¦ û Q \0 iQ óf¬2£M³M¡ª¦ Í<£X jé ° ^¬ ¤ Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦ ¤ ¦ §' ·2°a¡ª¦ û Q æ ¹j¬ ©£Xé ° ¢´ ¦!¤a "¡X »¦ « ý ¦ È»É ¬p µ Â¦Kº©¬ ´!²a°a³ª¦ ¤ ¬ ¡"¦ 9¦ «¥Ë ·2 ¥º©¬ ¤ ¬!£M ¥£M³X ¢´ ¦g û Q \0 iQ u b2

兰

¿ö ÜÌ½7 r ; 7î É § ¬ ¡M´ ¦!º»¦ ô a ¥º»¦k¬ ù £X ¢¡M 2ì© ¢« ³X ¢¡Xº© ¢ ¡ª¦k¬ ¡X¤a ¢´ ±"¬k¤ Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦!¤ ¦!§' ·2°a¡ª¦Kû Q æ þ £X ¢·2° ðÍ<£X ¨é ° "² ¬ ¤a ¢´k¬2£ ¤a ih a ¡)

x1 = y = x˙ 1 = −a1 x1 + b1 u

x˙ 2 = −a2 x1 + b2 u

¤ ¦ ¤a¬k¬ ¡M ·* ¢´ Kv £X ¢·2°a ³X ¡X »¦ « ý ¦ È»É ¬

x˙ 3 = −a3 x1 + b3 u

û ¦

      b1 −a1 1 0 x1 (t) x˙ 1 (t) Q]  x˙ 2 (t)  =  −a2 0 1   x2 (t)  +  b2  u(t) b3 −a3 0 0 x3 (t) x˙ 3 (t)   x1 (t) Q] 1 0 0  x2 (t)  y = x3 (t) J} () K - .0/ f#qÑ z ä Ð í¶N²ÏÒeáô·,ç0ÒV² íá^ð ìe¶ # ¯³Ñ$ÐSì0®0ì ´¡íåß¸ í· íá^®eÐ ¶mÝ)®eá ´Z±Z±L® ±ô¶ ì õi¶ ® ±Oµ_®eáo® ±i¶À±³² íåC® ±qì ´ Òeá^ì íå ìe¶ íLíáoí·7² ´ ì ´ 3× 

û ù

% &%

' [ b=8øB #ab 21Ì[9\96QFO: Fb rb G B c[9B<\g: FÚ[9\ D2G BED2b=6Q[7:cD2[M¼CG8ìF¼CG B-b:\

è ¬ º»¦ £X¬ ¢´xé ° = n(s)/d(s) ¹C²a¡XË ²a¡M Â¦ þ2´ ¦ £' 9É ¬ ¹= ©£M³M¡M ³ª¦ ´k ¢ ³X ¿²a¡XË ²a¡M Â¦ þ a¤ ¢ ¢´k¬2£ j-¦ ý» ¢¡ ¦ ¤ µg(s) ¥£ªÉ ¬ n(s) = Dd(s) + r(s) þµ£X ¢ ¤a¬ D ¬Té ° ¬ º¢ ¥ ¢ µ³X r ©º© ©£X£ª¦ ¡M Â¦ Í ´k ¢ µ³X ¨¤a "·2¡ª¦ °^ý» ¢¡X¬ r(s) þa¬T² ¬ « ô ´! ¥¬!¡X ©£M³X¬aþ ©º© ©£X£ª¦ ¡M Â¦ ´k ¢ ³X Z¤a "·2¡ª¦ °^´k ¢ ¬ ¡

G ³ MÚÔ

ª·¶¹¸ ®»º½¼ ¾

MÚÔ

´A G

Ú fÚ Ý

M Å ¥

Æ*¬*É ¬kó ¦ ¬µ ¢«Ì®"¬ ´k ©£ ¤ ¦ ¯ « 2¦KÆ2¡ Q ¬=¦ « ³X ¢¡vRÆ ña a ¥¬ ¡v¤a T¯µ¬ °aý ¦ T ¢ ³X ¶ £M³X tº»¦ ² [ ³M°a«¥¬ ³X ¢´Uº©¬ ´k¬Ñ¬ ùa÷Î ¢³M ¬Ñ¦ ²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ ¡ º©¬ º© ¢ ³X¬2£ ù9ì £M ¥º©¬2£ j²a¡X¬ ²a¡M ¥ ðÍ ¤ ¦ ¤a ©£¨¤a T°a´ ¦ º¢«Â¦ £X£X T²9¦ ¡M³M ¥º¢°a«Â¦ ¡ ¤a K£M ¥£M³X ¢´ ¦ £"« »¦ ¡X ©£) £M ¥£M³X ¢´ ¦ £"º©¬ ´ ¦ ³M¡ª¦ £X¬2£¨¤a ³X ¢´!² ¬ Q ëÌ¦ « º¢«Â¦ £X£X v¤a "£M £M³ª ð´ ¦ £=² ¬ ¤a "£X ¢¡C°a³M « ý ¦ ¤ ¦Z 9¦ ´k¬µ¤a ¢«Â¦ ·* ¢´ ¤a v°a´ ¦T¦ ´!²a«Â¦ · ¦ ´ ¦v¤a =£M ¥£M³X ¢´ ¦ £OjN[¥£M º©¬2£ Q äv«¥¹¢´x¤ ¥£M³X¬aþ2¦vº©¬ ´!²a¡X © ¢ £ªÉ ¬"¤a¬2£' ijE ¢ ³X¬2£Ì¤a¬"¦ ³M¡ª¦ £X¬ £X¬ ùa¡X ¦ ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ! T¬ ¤a ©£X ¢´!² ¢ a¸ ¬%¤a ©£X£X ©£"£M ¥£M³X ¢´ ¦ £"¹T¤a jÞ°a ¤ ¦ ´k ¢ µ³ª¦ «Ì ´!² ¬ ¡MZ³ Y º¢ Â¦ ¢´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤a ¨º©¬ µ³M¡X¬ «¥ Q ² [ ³M°a«¥¬ ¤ µ ¥¤a ðÍ<£X %ù9¦ £M ¥º»¦ ´k ¢ ³X j ¢´ ¤ °9¦ £k¦ ù ¬ ¡X¤ ¦ ·* ¢ £k¤a %´k¬ ¤a ¢«Â¦ ·* ¢g´ t¦ c º»¦ jÞ¡X © é x ¢ º¢ Â¦ «a ¿¦ ²r¬ ¡` ©£M²9¦ È©¬ ¤a = ©£M³ª¦ ¤a¬2£ Q è"¦v¦ ù ¬ ¡X¤ ¦ ·* ¢Ô ´ jÞ¡X © é x ¢ º¢ Â¦ «a¦ ²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ Í<£X ¦ ´k¬µ¤a ¢«Â¦ ·* ¢´x² ¬ O¡ jÞ°a È©ò ©£Ì¤a C³M¡ª¦ k£ jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦ þ2º©¬ ´x°a´x ¢_ jE¬ é ° =¤ ¡X ©º¢ ¥¬ 9¦ ¤a ¬ vv¦ 9ì « ¥£X ¤a " ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ¤a "£M ¥£M³X ¢´ ¦ £=´k¬ ¬ 2¦ ¡M Âì© ¢ ¥£ ¡X »¦ « ´k ¢ ³ª¦ ¤a¬2£ ¦ ²a¡X ©£X ¢ ³ª¦ ¤a¬ ¦ ³M¡ª¦ £X¬2£ µ 2¦ ¡M Â¦ ³X ©£ ¬¨³X ¢´!² ¬ Q è"¦ ¦ ùr¬ ¡X¤ ¦ ·* ¢´ ²r¬ ¡ 2¦ ¡M Âì» * ¢ ¥£ ¤a ©£M³ª¦ ¤a¬aþ £ªÉ ¬ º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤ ¦ £ ¤ °9¦ £Kº¢«Â¦ £X£X ©£T²9¦ ¡M³M ¥º¢°a«Â¦ ¡X ©)£ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £Kº©¬ ´ ¦ ³M¡ª¦ £X¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £T ¢°a³M¡X¬2£ Q Ç ¡M ³X¹¢¡M ¥¬2£ ¤a ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ù9¦ £X »¦ ¤a¬2£ r¦^ë' ©¬ ¡M Â¦j¤a T ¦ ²a°a ¬ Í ¢¡ Ç ¦ ² [ ³M°a«¥¬ \0 þ'£ªÉ ¬t ¢ ³ªÉ ¬ ¦ ²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ ¤a¬2£ ³ª¦ ³ª¬K²9¦ ¡ª¦!£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ´T°a« ³M 2¦ ¡M Âì© ¢ ¥£vº©¬ ´ ¦ ³M¡ð¦ £X¬2£ ¬2£ ©£M³ª¦ ¤a¬2£ K Ê ¬ ° ¢ µ³M¡ª¦ ¤ ¦ £»þa²r¬µ¤a ¢ ¤a¬k£X ¢¡ 2¦ ¡M Â¦ ³X ©£v¬ °^ µ 2¦ ¡M Â¦ ³X ©£ ¬!³X ¢´!²r¬ Q íoÏ9Î ~ v 9E~ o ¡ ,W þ v £!º©¬ Í c ©£M³M° ¤a¬ ¤a j¦ ³M¡ª¦ £X¬2£k¤a %³X ¢´!²r¬ ¢´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £k¤a ¢ * ðÍ<£X 2þCº© ¢¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X 2m £X © é x3n¢ º¢ Â¦ £` ´!²r¬ ¡M³ª¦ µ³X ©£Cé ° ¿£ªÉ ¬"²a¡X¬ ¤ °aý© ¥¤ ¦ £ ² ¢«¥¬ ¦ ³M¡ª¦ £X¬¨£X¬ ùa¡X ¬"º©¬ ´!² ¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬ ¤a¬2£ ´k ©£M´k¬2£ Q è ¬ º»¦ £X¬ ¤ Z²a¡X¬ º© ©£X£X¬2£ ¤ ° £M³M¡M Â¦ ¥£»þ ¬2£"i jE ¢ ³ª¬2£v ¢· ¦ ³M ¬2£"¤a¬%¦ ³M¡ª¦ £X¬aþ ³ª¦ ´Tùr¹¢´xºª¸9¦ ´ ¦ ¤a¬ ¤a¡ ®R²Ná^® ±LÒ ì ´ã²Ná^®e· ± µ_Òeá³² ´7¬ ó° ² ´iå¡µ Ò¡åCÒeá³²ÏÒ2þv£X¬ ùa¡X C¬v¤a ©£X ¢´!²r ¢ a¸ ¬ ¤a ¨ 2¦ ¡M Âì» * ¢ ¥£vº©¬ ³X¡X¬ «Â¦ ¤ ¦ £C÷MìK£ªÉ ¬!ù9¦ £M³ª¦ µ³X º©¬ a¸ ©º¢ ¥¤a¬2£ Q ¶`´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £v¤a º©¬ ³M¡X¬ «¥ 2þ i b ¥£M³X ¢´ º»¦ £X¬2£ ¬2£ é °9¦ ¥£¿°a´ ² ©é ° ¢ ¬! 2¦ «¥¬ ¡ ¤a ¦ ³M¡ª¦ £X¬K ¬2£ ©£M³ª¦ ¤a¬2£»þ 9¦!¦ ²a« ¥º»¦ È»É ¬

»{2{

öA÷ øoùNøoúNû³ü ýLþ ù!ÿóþ û NùNø³ÿ

Lugar das ízes ra – sem atraso

0.2

0.5

0.4

0.5

0.2

1 0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

(a)

0.4 0.2

0.05

Diagrama de Nyquist

0.2

0.4

(b)

0.6

Detalhe do diagramaNyquist de

4 2

2 0 2

4 6

4 1.5

0.5

1.5

ö¿ ÜÌ½7 r î"È É T °a· ¦ ¡ ¤ ¦ £¨¡ª¦ [ ý» ©£¨²9¦ ¡ª¦ G(s) = 10e /(10s + 1) ö ®B÷T£X ¢´ ¦ ³M¡ª¦ £X¬ £ GöI â÷ º©¬ ´ ¦ ³M¡ª¦ £X¬g £ þGö ¯V÷"¬K¤ Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦k¤a ¨è é °a ¥£M³¿²9¦ ¡ª¦ τ ö =ìB÷"0¤a ¢³ª¦ « ¸ Z¤a¬!¤ Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦kτ¤a= è 10 é °a ¥£M³ ¢´ ³X¬ ¡M ¬k¤a¬K² ¬ ³X¬ −1 + 0j Q 0 ≤ τ ≤ 2 è ©£X£X kº»¦ £X¬j¹k¤a ¢³X ¢¡M´! 9¦ ¤a¬f¬^· ¦ ¸ ¬tºðo¡ [ ³X º©¬ þc ¥£M³X¬j¹2þ'¬^ 2¦ «¥¬ ¡T¤a K ³ª¦ «:é ° ¬T« °a· ¦ ¡ ¤ ¦ £=¡ª ¦ [ ý» ©£ º¢¡M°aý ¦Z² ¢«Â¦Z²a¡M ´k ¢ ¡ª¦T *K ¢ý¨¬T≈ ¢ 0,3 ba¬T ´ ¦ ·2 9ì ¡M ¥¬ Q ÊÌ¬ ¡M³ª¦ ³X¬aþ 2¦ «¥¬ ¡X ©£k¤a ³X¬ ¡M 9¦ ´ £M³ªì» * ¢« ¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ¢´ ´ ¦ « ¸9D¦ jE ©ºX¸r¦ ¤ ¦ Q Ç ¬ £M ¥¤a ðÍ ¡ª¦ ¤a¬ ¦ ·*¬ ¡ª¦KK>=K10 þ`¦j§' ·2°a¡ª¦ W_QSPRQ öI â÷k´k¬2£M³M¡ª¦j¬j« °a· ¦ ¡K¤ ¦ £Z¡ª ¦ [ ý» ©£T¤ ¦t ©é °9¦ È»É ¬ º»¦ ¡ª¦ º¢³X ¢^¡ [¥£M³M ¥º»¦j²9¦ ¡ª¦^ 2¦ ¡M Â¦ È©ò ©£T¤a Q Ê'¬µ¤a £X ¢¡Z¬ ùa³M ¥¤a¬ º©¬ ´k¬j« ´! ³X ¤a¬ ¦ ³M¡ª¦ £X¬k²9¦ ¡ª¦!é ° £M ¥£M³X ¢´ ¦K¡X »¦ « ´kτ ¢ ³ª¦ ¤a¬ ² ¢¡M´ ¦ ©È»¦kτ © £M³ª ì» * ¢=« Q 2,22 è ¬k ¢ µ³ª¦ ³X¬aþ9 ©£X£X 2¦ «¥¬ ¡=¹ ¦ ²a¡XL¬ b ´ ¦ ¤a¬K¦ µ³X ¦¨°a³M « ý ¦ È»É ¬T¤ ¦Z¦ ²a¡X)¬ b ´ ¦ È»É ¬K¤a vÊÌ¦ ¤a¹v²9¦ ¡ª¦¨¡X ¢²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ ¡ ¬K³X ¢¡M´k¬ e Q Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡X Z¦ ·*¬ ¡ª¦T°a´ ¦!¦ 9ì « ¥£X ¦ ³M¡ª¦© ¹©£ ¤a¬!º¢¡M ³X¹¢¡M ¥¬!¤a ¨ è é °a ¥£M³ Q Ê`¦ ¡ª¦ K = 10 þ 9¦ §' ·2°a¡ª¦ W_QSPRQ Þº ¬2£C¤ Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦ £¿¤a è é °a ¥£M³ ²9¦ ¡ª¦Z¦ « ·2°a £C 2¦ «¥¬ ¡X ©£C¤a τ ∈ [0, 2] £ªÉ ¬ ´k¬2£M³M¡ª¦ ¤a¬2£ Qôc ¤a ¢³ª¦ « ¸ ¨¤a ©£X£X ©£¿¤ Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦ £ ¢´ ³X¬ ¡M ¬!¤a¬Z² ¬ ³ª¬ −1 + 0j ¹¨¦ ²a¡X ©£X ¢ Í ³ª¦ ¤a¬% 9¦ §' ·2°a¡ª¦ W_QSPRQ Þ¤ iQJc ù £X ¢¡M Ké ° K¬j¦ °a´k ¢ ³X¬^ ¬ 2¦ «¥¬ ¡¨¤a τ j-¦ ý!º©¬ ´ é ° K¬ ¤ Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦ º©¬ ¡M¡X ©£M² ¬ ¤a ¢ ³ª ²9¦ £X£X 2þ ¢ * ¢ µ³M°9¦ « ´k ¢ ³ª þ*¦ ¢ a·2«¥¬ ù9¦ ¡'¬ ² ¬ ³X¬ −1+j0 Þ¤ ° Í ¦ £¿ * ¢ý» ©£= ¬K£X ¢ µ³M ¥¤a¬T¸ ¬ ¡ªì ¡M ¥¬ þ ¬ °^£X ø÷M¦ þ ¬K£M ¥£M³X ¢´ ¦Z¡X »¦ « ´k ¢ ³ª¦ ¤a¬!³X¬ ¡M 9¦ Í<£X £M³ªì» ¢« Q ²9¦ ¡ª¦j¬jé °9¦ «=¦^ ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ¹!· ¦ ¡ª¦ µ³M ¥¤ ¦^² ¬ ¤a £X ¢¡Z¤a ¢³X ¢¡ÎÍ c ´ Kì b ´k¬j 2¦ «¥¬ ¡T¤a ´! 9¦ ¤a¬%¦!²9¦ ¡M³M ¡"¤ ¦!´ τ ¦ ¡M·* ¢´p¤aV j-¦ £X' M F ¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦k£X ¢´ ¦ ³M¡ª¦ £X¬ Q è ©£M³X Zº»¦ £X¬ ¬ ùa³X¹¢´KÍ<£X vé ° ¡¦ jÞ¡X © é x3n¢ º¢ Â¦ ¤a vº¢¡M°aý ¦ ´k ¢ ³X¬K¤a · ¦ a¸ ¬T¹ ·2°9¦ « ¦ w ≈ 0,995¡ª¦ 7¤ Ê £ M F ≈ 95,74 Q Ç ¬ ´k¬%¬^¦ ³M¡ª¦ £X¬ _ ¥ ° ¢ º¢ Â¦^¦ ²r ¢ 9¦ £ J¦ j-¦ £X T¤ J¦ jÞ°a È»É ¬%¤a Z«Â¦ È©¬aþ ¬ ´ Kì b ´k¬Ñ¦ ³M¡ª¦ £X¬ ²9¦ ¡ª¦ ¬ é °9¦ «v¦ ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a t¹%· ¦ ¡ª¦ ³M ¥¤ Í¦ E¦f´ ¦ ¡M·* ¢´ ¤aó j-¦ £X º©¬ µ³M °9¦!²r¬2£M ³M 2¦ ²r¬µ¤a £X ¢¡ ¬ ùa³M ¥¤a¬ ¦K²9¦ ¡M³M ¡v¤ ¦K ©é °9¦ È»É ¬ (c)

(d)

−τ s

−(τ s)

180 = MF π

é ° f¡X ©£M°a« ³ª¦. ð´ °a´ 2¦ «¥¬ ¡%´ ìKb ´k¬0¤a ¦ ³M¡ª¦ £X¬ τ τ wg

= 1,678

QËc

ù £X ¢¡M * é ° f¬

vß ñ'½7 ár : ÕØ Ò»Ã* 'ár 9 ' c P»{R` 9É ¬ Í-« »¦ ¡X ©£ ¤a¬2£`¤ ¥£M²r¬2£M ³M ¬2£'²a¡ªì ³M ¥º©¬2£»þ*º©¬ ´k¬" ©é °a ²9¦ ´k ¢ µ³X¬2£ ¢«¥ ¢³M¡X¬ ´ ¦ ·2 ¹¢³M ¥º©¬*£ £ª¦ Í ³M°a¡ªì© ¢ ¥£q Þº©¬ ´ $ ñ º¢«¥ ©¬k¤a¡ jE ¢¡M¡X¬ þ º¢ ¡Xº¢°a ³X¬2£v ¢«¥ ¢³M¡Xô a ¥º©¬2£vº©¬ ´ ¤ ¥¬ ¤a¬2£v "³M¡ª¦ ^£ [¥£M³X¬ ¡X ©£»þ ¬ °f¤a ¢ µ ¤ ¬ ¦ ¬ ©é °9¦ º¢ ¥¬ 9¦ ´k ¢ µ³X¬ ²9¦ ¡M³M ¥º¢°a«Â¦ ¡"¤a °a´ ²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦ þ º©¬ ´k¬ ¦! ©é °9¦ È»É ¬ ¤a ± ¤A¶!·$¸k 9¦k¦ 9ì « ¥£X ¨¤a ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ¨³M¡ª¦ £M ³XË ¡M Â¦! ¢´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¢«¥¹¢³M¡M ¥º©¬2£v¤a ¨²r¬ o³ n¢ º¢ Â¦ Q Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡X ¬2£T£M ¥£M³X ¢´ ¦ £T¤ 7 Y ´! ¥º©¬2£»þÌ¡X ©£M²r ©º¢³M 2¦ ´k ¢ µ³X 2þÌ 9É ¬ Íø¦ °a³X¬ ¬ ´ ¬2£K ¦ °a³Xô 9¬ Í ´k¬2)£

Ê ÿLü\Ë

\_QSPK

˙ x(t) = f (t,x(t)) ,t ≥ 0,

{

\_Q 0

º©¬ _jE¬ ¡M´k ¤a ih a ¥¤a¬2£ ¬ Ç ¦ ² [ ³M°a«¥¬ è ©£M³X jº»¦ ² [ ³M°a«¥¬aþ ¬ ³X ¢¡M´k¬Ñ£M ¥£M³X ¢´ ¦ ¤ ´! ¥º©¬.£X ¢¡ªì °a³M « ý ¦ ¤a¬ ²9¦ ¡ª¦ ¡X ijE ¢¡X ¢¡M ¡ v ©é °9¦ È»É Å¬ \_QSPK iQVc ù µ Â¦ ´k ¢ µ³X 2þ ©£X£ª¦k ©é °9¦ È»É ¬ ¹Z°a´ ¦ º¢«Â¦ £X£X ²9¦ ¡M³M ¥º¢°a«Â¦ ¡¨¤a T£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤ 7 Y ´! ¥º©¬2£ Q ¶ é °9¦ È©ò ©£k¤a ^¤ jÞ ¢¡X ¢ È»¦ þC²r¬ ¡ki ba ¢´!²a«¥¬aþ ² ¬ ¤a ¢´ ¤ai h a ¡k£M ¥£M³X ¢´ ¦ £!¤ Í 7Y ´! ¥º©¬2£ 9É ¬ Í-« »¦ ¡X ©£ ¤ ¥£Xº¢¡X ¢³X¬2£ 9¦K 2¦ ¡M Âì© ¢«:³X ¢´!² D¬ Þ±" ¢ 2¦ ³ *þ P)`R]R` ù iQ ¶ é °9¦ È©òµ ©£ º©¬ ´ ¦ ³M¡ª¦ £X¬K£ªÉ ¬K¬ °a³M¡X¬!i ba ¢´!²a«¥¬!¤a ¨£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤ 7 Y ´! ¥º©¬2£ é ° 9É ¬!£X ¢¡ªÉ ¬Kº©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ Í ¤a¬2£ ©£M³X ¨³Xi b ³Xg¬ Þv¬µ¤ ¡M ·2° ©£»þ P)`0Xea0 iQ ä ©é °9¦ È»É ¬ \_QSPK ¹ ¦%¡X ¢²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ È»É ¬t´ ¦ ³X ¢´ ì ³M ¥º»¦f¤a k°a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ j![¥£M ¥º©¬j¡X »¦ « Q ±¨¦ ¤ ¦ °a´ ¦Zº©¬ ¤ ¥È»É ¬Z a ¥º¢ Â¦ «-þµ² ¬ ³X¬ (t ,x ) ∈ D þ ² ¬ ¤a ¢´k¬2£¿¤ai h a ¡ ¬ZÊ`¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦T¤a ¬C¦ «¥¬ ¡vç< a ¥º¢ Â¦ ô « ÞAÊ ¬"ç \_Q 0æ ˙ x(t) = f (t,x(t)) ,t ≥ t , x(t ) = x . v ©£X¬ « * ¢¡¨¬%AÊ ¬" ç \_Q 0æ º©¬ £M ¥£M³X K ¢´p ¢ º©¬ µ³M¡ª¦ ¡¨°a´p ³X ¢¡M 2¦ «¥¬ I ⊂ R º©¬ µ³X ¢ ¤a¬ °a´ r¦ jÞ°a È»É ¬ ¤a ¢²r ¢ ¤a ¢ µ³X K¤a¬k³X ¢´!²r¬ é ° Z£ª¦ ³M ¥k£ j-¦ ý*þ9£M ´T°a« ³ª¦ »¦ ´k ¢ ³X *þ:¦k¶ ± c t t¦ º©¬ ¤ ¥È»É ¬ a ¥º¢ Â¦ «" ¢ é °9¦ ³X¬.¬ ³X ¢´!² ¬ ²r ¢¡M´ ¦ ©º© ¢¡% ¬ µ³X ¢¡M 2¦ «¥¬ Q Ê'¬µ¤a ðÍ<£X ¤a ¢´k¬ £M³M¡ª¦ ¡ é ° ¦ £Ì£X¬ « ° È©òµ ©£`¤a ¢² ¢ ¤a ¢´ º©¬ ³X µ°9¦ ´k ¢ µ³X ¤ ¦ º©¬ ¤ ¥È»É ¬" aI ¥º¢ Â¦ « Q Ê`¦ ¡ª¦ ¢_ j-¦ ³M ý ¦ ¡ ©£M³ª¦ ¤a ¢²r ¢ ¤ n¢ º¢ Â¦Ñ¤a ¢ ¬ ³ª¦ Í<£X t¦ £X¬ « ° È»É ¬ ¤af \_QSPK a ¥º¢ Â¦ ¤a¬Ñ ¢´ x ¬ £M³ª¦ ³X t ² ¬ ¡ ϕ(t,t ,x ) Q è ©£X£X º»¦ £X¬aþc³X ¢´k¬2£Ké ° (t,ϕ(t,t ,x )) ∈ D ∀t ∈ I þ ©£M³ªì ùr ¢´ ¤ai h a ¥¤ ¦ þ ϕ(t,t þ ϕ(t,t ˙ ,x ) ˙ ,x ) = f (t,ϕ(t,t ,x )) ∀t ∈ I ϕ(t ,t ,x ) = QG °9¦ ¤a¬v¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ¹C¦ °a³Xô ¬ ´k¬aþ ²r¬µ¤a ¢´k¬2£Ì¦ ¤ ´! ³M ¡'£X ¢´5²r ¢¡X¤ ¦ ¤a ·* ¢ ¢¡ª¦ « ¥¤ ¦ ¤a x é ° t = 0 Q è ©£X£X º»¦ £X¬aþµ¬ £M³ª¦ µ³X a ¥º¢ Â¦ «r² ¬ ¤a £X ¢¡=¬ ´! ³M ¥¤a¬T¤ ¦¨ 9¬ ³ª¦ È»É ¬aþµ¬ °%£X Î÷M¦ þ ¦K£X¬ « ° È»É ¬k¤a' \_Q 0æ a ¥º¢ Â¦ ¤a¬k ¢´ x ¹¨¤a ¢ ¬ ³ª¦ ¤ ¦!²r¬ ¡ ϕ(t,x ) Q ä ¬jº©¬ ³M¡ªì ¡X ¬ ¤a¬2£Z£M ¥£M³X ¢´ ¦ £Z¤a , Y ´! º©¬2£T« »¦ ¡X ©£»þ'²9¦ ¡ª¦t¬2£Zé °9¦ ¥£ ² ¬ ¤a ¢´k¬2£Ki bµÍ ²a« ¥º¢ ³ª¦ ¡K¦^£X¬ « ° È»É ¬aþ' 9É ¬ji b ¥£M³X ¢´ ²a¡ª¬ º© ©¤ ´k ¢ µ³X¬2£T£M ¥£M³X ¢´ ì ³M ¥º©¬2£Z²9¦ ¡ª¦j£X k ¢ º©¬ ³M¡ª¦ ¡ £X¬ « ° È©ò ©£K¤a £M ¥£M³X ¢´ ¦ £T¤ 7 Y ´! ¥º©¬2£T 9É ¬ Í-« »¦ ¡X ©£ Q è"¦^´ ¦ ¥¬ ¡M Â¦f¤a¬2£Tº»¦ £X¬2£»þÌ£X¬ « ° È©ò ©£ ¦ 9¦ S« [ ³M ¥º»¦ £" 9É ¬ ² ¬ ¤a ¢´ ¢´ £X ¢¡" ¢ º©¬ µ³M¡ª¦ ¤ ¦ £»þ:£X ¢ ¤a¬ ©º© ©£X£ªì ¡M ¥¬ ¬ ùao³ nðÍ-«Â¦ £" °a´k ¢¡M Í º»¦ ´k ¢ ³X ¬ °Ñ ©£M³M ´ ì Í-«Â¦ £Té °9¦ « ³ª¦ ³M 2¦ ´k ¢ µ³X Q è ¬ Ç ¦ ² [ ³M°a«¥¬ X þ' ©£X£ª¦^é ° ©£M³ªÉ ¬j¹kùr ¢´ i b ²a«¥¬ ¡ª¦ ¤ ¦ Q Y ´! ¥º©¬j 9É ¬ Í-« »¦ ¡»þÌ¹! ¢¡M h9º»¦ ¡ c ²a¡M ´k ¢ ¡X¬j²9¦ £X£X¬aþÌ¦ ¬j ©£M³M° ¤ ¦ ¡ °a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦^¤ 7 ¦ i b ¥£Mo³ n¢ º¢ Â¦ Z°a a ¥º¢ ¥¤ ¦ ¤a K¤ ¦ £"£X¬ « ° È©òµ ©£ Q ¶`´Tùr¬ ¡ª¦%¦ i b ¥£Mo³ n¢ º¢ Â¦ ¤ ¦ £X¬ « ° È»É ¬ ¤a Z°a´ £M ¥£M³X ¢´ ô¦ jN[¥£M ¥º©¬ ¡X »¦ «*²r¬2£X£ª¦¿²9¦ ¡X ©º© ¢¡c³M¡M µ Â¦ « Q è"É ¬ ²r¬µ¤a ¢´k¬2£c ©£Xé ° ©º© ¢¡'é ° ¦ ¶ ± c \_QSPK ¹ ¦ ² ð r¦ £C¦ ¡X ¢²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ È»É ¬ ´ ¦ ³X ¢´ ì ³M ¥º»¦ ¤a ¿°a´z´k¬µ¤a ¢«¥¬ ¤a¬¨£M ¥£M³X ¢´ ¦"¡X »¦ « Q Ê'¬ ¡M³ª¦ µ³X¬aþ ²9¦ ¡ª¦ é ° ^ ©£X£X ^´k¬ ¤a ¢«¥¬Ñ¡X ¢²a¡X ©£X ¢ ³X jù ¢´ ¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ¬ ¡M ·2 9¦ «" ¹ jÞ°a ¤ ¦ ´k ¢ ³ª¦ «"é ° ¢«¥ K¡X ¢²a¡X¬ ¤ °aý ó¦ h9 ¢« ´k ¢ µ³X k¬^º©¬ ´!²r¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬t¤a ©£M³X Q ä i b ¥£Mo³ n¢ º¢ Â¦^ T°a a ¥º¢ ¥¤ ¦ ¤a k¤ ¦ £X¬ « ° È»É ¬ ¤a °a´ AÊ ¬"ç é¹ jÞ°a È»É ¬ ¤a º»¦ ¡ª¦ º¢³X ¢^¡ [¥£M³M ¥º»¦ £¨¤a¬kº»¦ ´!² ¬ * ¢³X¬ ¡M Â¦ « Q c ²a¡X)Ë b ´k¬ ˙ x(t) = f (x(t)), X$Q 7Y

0 0

öA÷ øoùNøoúNû³ü ýLþ ù!ÿóþ û NùNø³ÿ

P a

¶ b ²a«¥¬ ¡ª¦ ¤a¬ ¦% 2¦ ¡MÀ Y º¢ Â¦ þÌ£X ¢¡X ¢´k¬2£Tº»¦ ²9¦ ý» ¢£T¤a i b ³M¡ª¦ ¡ ´ ¦ ¥£ _ jE¬ ¡M´ ¦ È©òµ ©£K¦ ¡X ©£M² ¢ ³X¬"¤a¬"£M ¥£M³X ¢´ ¦ ¤ 7Y ´! ¥º©¬ Q è ¬"£M ¥£M³X ¢´ ¦ ¤a¬ ²,n¢ ¤ °a«¥¬ ¦ ´k¬ ¡M³X ©º¢ ¥¤a¬aþ iba ¢´!²a«¥¬ \_Q æ þ ¢´ ²9¦ ¡M³M ¥º¢°a«Â¦ ¡»þr£X ¢¡X ¢´k¬2£vº»¦ ²9¦ ý» ©£ ¤a ¨²a¡X¬ 2¦ ¡ ¦! ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a T¦ £X£M µ³XË ³M ¥º»¦k¤ ¦!¬ ¡M ·* ¢´ ° £ª¦ ¤a¬ q¦ jÞ°a È»É ¬k ¢ ¢¡M·2 Âg¦ \_QSP»0{ º©¬ ´kr¬ jÞ°a È»É ¬! ©£Xº»¦ «Â¦ ¡ ¦ _° b « Â¦ ¡ Q 6´

$3 $GM-f Ñ

h e N*O £!&

! MI gÃL* - e ! 3*O !-ÅI p -,~=- HNH ï ´" ³®eå f : Rn → Rn ï Z í $ Ñ 7 · 4 æ Z ´ ó ± Z ¯ e Ò 7 · N ² ! ¶ 3 · Ñ e ® ' å i ´ 7 · ² ó ´ e ì ¶ L í i ´ o á i ´ , · L ¯ N ¶ z ð e * ³ ´ ¶ ± " ´ ³ ® Ć±)´" ³® V : Rn → R L∈R Ω × ï Ñ$åC®g¯ZÒ åéµ_Òe· í·7² ´J¯ZÒe· ´;ß0®Dì0Òg¯oÒe4· ZÑ$·7²ÏÒ K Ñ µ e Ò · _ Ó ® )³Ñ3´ L {x ∈ Rn : V (x) < L} × ΩL ±)´" ³® Ð ¶!år¶N²Ï®0ì0ÒD´Þ)³Ñ3´ ˙ Ó Ü "´ #A·,® ´ V (x) ≤ 0 ∀x ∈ ΩL × E = {x ∈ ΩL : V˙ (x) = 0} ±)´" ³® Ò9åC®e¶ ÒeáJ¯ZÒe4· ZÑ$·7²ÏÒ9¶!v · * ®eái¶ ®e·7² ´J¯ZÒe·7²N¶ ì0Òpíå òô·7²Ïç0Ò<Óä²ÏÒ)ì0® ±C® ± ±LÒeÐ Ñ_æ4 ´Z± M E× ² í·,ì íå µ ®eá^® )³Ñ ®e·,ì0Ò ¶!·3¶ ¯³¶ ®e·,ì0Òóì í·7²Ná^Ò ì ´ ΩL M t → +∞ × L

X S

grad(V)

ö¿ ÜÌ½7 r :î^ûEÉ ç< ³X ¢¡M²a¡X ¢³ª¦ È»É ¬T·* ©¬ ´k¹¢³M¡M ¥º»¦T¤a¬TÊ`¡M º³[ ²a ¥¬K¤a ç< 2¦ ¡M ÀY º¢ Â¦T¤a T ¦*¯ ¦ « «¥ Q c Ê`¡M ³º [ ²a ¥¬t¤a kç< 2¦ ¡MÀ Y º¢ Â¦^ 9É ¬ji b ·* !é ° ¦%§ °a È»É ¬j¤a T µ¦ ²a°a ¬» £X Î÷M¦%¤a ðÍ h a ¥¤ ¦ ² ¬2£M ³X 2¦ Q ¶` ³M¡X ¢³ª¦ µ³X¬aþ ¡X ©é ° ¢¡ ¦ i b ¥£Mo³ n¢ º¢ Â¦ ¤a ^°a´ ña´k ¢¡X¬ ³ª¦ « é ° j¬ º©¬ 2÷ø°a µ³X¬ Ω £X Î÷M¦k« ´! ³ª¦ ¤a¬ Q äz§Ì ·2° ¡ª¦ \_Q { « ° £M³M¡ª¦ ·* ©¬ ´k ¢³M¡M ¥º»¦ ´k © ³X kL¬ Ê`¡M ³º [ ²a ¥¬ ¤a ç< 2¦ ¡MÀ Y º¢ Â¦f¤a T ¦*¯a¦ « «¥ Q Ê'¬µ¤a ðÍ<£XC j-¦ º¢ « ´k ¢ µ³X %¤a ¢´k¬ £M³M¡ª¦ ¡»þÌ° £ª¦ ¤a¬fg¬ j-¦ ³X¬f¤a é ° V˙ (·) ≤ 0 ¢´ Ω þCé ° Ω ¹%°a´ º©¬ 2÷ø°a ³X¬ ² ¬2£M ³M 2¦ ´k ¢ ³X j µ 2¦ ¡M Â¦ ³X^ ¸ þ=¬ ° £X Î÷M¦ þr¦ £v£X¬ « ° È©ò ©£v a ¥º¢ Â¦ ¤a¬ ¢´ Ω ¬k³X ¢´!²r¬ t ² ¢¡M´ ¦ ©º© ¢´ ¢´ Ω ²9¦ ¡ª¦!³X¬ ¤a¬ jE¬ ¡M´k "¬Të' ©¬ ¡X ¢´ ¦ \_Q { þ é ° "¦ £¿£X¬ « ° È©ò ©£= a ¥º¢ Â¦ ¤a¬! ¢´ Q çø£M³X¬ ´!²a« ¥º»¦ þaº©¬ _ t≥t £ªÉ ¬k« ´! ³ª¦ ¤ ¦ £" ©£M³ªÉ ¬ ¤ai h ¤9¦ £v²9¦ ¡ª¦k³X¬ ¤a¬ ³X ¢´!²rC¬ jÞ°a³M°a¡X¬ QmT ¬ ·*¬aþr¤a T¦ º©¬ ¡X¤a¬ º©¬ Ω´ ¬këc ©¬ ¡X ¢´ ¦ \_Q û þ ¬kº©¬ 2÷ø°a ³X¬ ωÍ-« ´! ³X Z¤ ¦ £ £X¬ « ° È©òµ ©£ a ¥º¢ Â¦ ¤a¬ ¢´ Ω ¹¨ 9É ¬ Í- 2¦ ý© ¥¬aþ jE ©ºª¸9¦ ¤a¬aþ2« ´! ³ª¦ ¤ ¬¨ ¿º©¬ i ba¬ Q ä « ¹¢´ ¤ ¥£X£X¬aþ2º©¬ ´k¬"¬"£M ¥£M³X ¢´ ¦ ¹ ¦ °a³Xô ¬ ´k¬ ¬ º©¬ 2÷ø°a µ³X¬ Í-« ´! ³X ³ð¦ ´Zù ¹¢´ ¹ 2¦ ¡M Â¦ µ³X 2þµ v¬ Ê`¡M ³º [ ²a ¥¬K¤a ç< µ 2¦ ¡MÀ Y º¢ Â¦¨· ¦ ¡ª¦ µ³X vé ° v ¢«¥ v ©£M³ªì ω º©¬ µ³M ¥¤a¬! ¬kº©¬ 2÷ø°a ³X¬ E Q ¹jº©¬ £M³M ³M ° [¥¤a¬ ¤ ¦ °a a ÂÉ ¬ ¤a ^³X¬µ¤a¬2£k¬2£ º©¬ 2÷ø°a ³X¬2£k µ 2¦ ¡M Â¦ ³X ©£ c º©¬ 2÷ø°a ³X¬ º©¬ µ³M ¥¤a¬2£Z ¢´ E þcM¬ ° £X Î÷M¦ þ7¬^´ ¦ ¥¬ ¡ ²r¬ ¡ º¢« ° £ªÉ ¬ Q ä £X£M ´jþ7£X M jE¬ é¡ jE¬ ¡M´ ¦ ¤a¬^²r¬ ¡ °a´ ña a ¥º©¬ º©¬ 2÷ø°a ³X¬ ¦ ³M¡ª¦ ³M ¬ H þ` ¢ ³ªÉ ¬ Ω ¹ °a´ ¦t ©£M³M ´ ¦ ³M 2¦fº©¬ £X ¢¡M 2¦ ¤a¬ ¡ª¦ ¤ ¦ ì ¡X »¦!¤a Z¦ ³M¡ª¦ È»É ¬aþ A(H) þ ¬!£X ¢ µ³M ¥¤a¬ké ° Ω ⊂ A(H) Q L

XY@BA

¼ ºïM 8IKB? T<?JO/K

∀x00 ∀t ≥ 0

{LZKBXY[ O/[ HB69MN@I?PO/@q[ ? HB6 =/[ 69?PO/@{8IKBMd=/@I> 6WVZU9K 69K2XY[ X"O/@IMW6(69T4O B?<KBMNK»\& 0 x ] A 6WXYKB> AT VZ⊂ 9K R U F4K ã âÓ A 8IKBM A X/6 O/[ X"Q^6W« ˙ ∈A ϕ(t,x ) x(0) = x ϕ(t,x ) ∈ A x(t) = f (x(t)) L

öA÷ øoùNøoúNû³ü ýLþ ù!ÿóþ û NùNø³ÿ

P ]

Ç ¬ ´!² ¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬ ç< £M³ªì» * ¢«/

Ç ¬ ´!² ¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬ ÊÌ ¢¡M ¥Ë ¤ ¥º©¬aþ9 ¢³Xº Q • çø£M³X¬ ¹2þr·* ¢¡ª¦ « ´k ¢ ³X K 9É ¬ V¹ j-¦ º¢^³ [ ¢«Ìº¢«¥¦ £X£M h9º»¦ ¡"³X¬ ¤ ¦ £¨¦ £v² ¬2£X£^[ * ¢ ¥£ £X¬ « ° È©òµ ©£"¤ ¦ £ ©é °9¦ È©òµ ©£C¤ jE ¢¡X ¢ º¢ Â¦ ¥£»þ ¤am jÞ¬ ¡X´ ¦"·2«¥¬ ù9¦ «-þ ¢´ °a´ º©¬ 2÷ø°a ³X¬Vh a ³X¬ ¤a ²r¬2£X£M ùa « ¥¤ ¦ ¤a ©£ é ° ¤a ©£Xº¢¡X ¢ 2¦ ´ ´ ¦ ¥£=¦ º¢°a¡ª¦ ¤ ¦ ´k ¢ ³ª ¦¨ ¢ *¬ « ° È»É ¬ ³X ¢´!²r¬ ¡ª¦ «r¤a¬2£C ©£M³ª¦ ¤a¬2£C¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ Þóf¬ µ³X ¢ ¡X¬aþ R{ aRa2{ ¦ iQ ±"ã j-¦ ³X¬aþ*´k ©£M´k¬ ²9¦ ¡ª¦Z¦ £=¦ ´!²a«Â¦ £=º¢«¥¦ £X£X ©£C¤a vº©¬ ´!²r¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬2£ « ¥£M³ª¦ ¤ ¦ £ ¦ º¢ ´ ¦ þa¹"º©¬ ´Z°a´ ¢ º©¬ ³M¡ª¦ ¡v£M ¥£M³X ¢´ ¦ £¿º¢°2÷M¦T ¢ *¬ « ° È»É ¬K³X ¢´!²r¬ ¡ª¦ «7 ©£M³ª¦ ¡ªìT ¢´ °a´ ¦!¬ °t¬ °a³M¡ª¦!º»¦ ³X ¢·*¬ ¡M Â¦ þ ¤a ¢² ¢ ¤a ¢ ¤a¬ ¤a £X ¢°j ©£M³ª¦ ¤a¬! a ¥º¢ ¥¦ « Q ¶ £X£Xr j-¦ ³X¬tº©¬ £M³M¡ª¦ £M³ª¦^²a¡X ¬ jÞ°a ¤ ¦ ´k ¢ ³X º©¬ ´ ¬jé ° ¬ º©¬ ¡M¡X ¢´ £X !³M¡ª¦ ³ª¦ ¤a¬f¤a £M ¥£M³X ¢´ ¦ £¿¤ 7 Y ´! ¥º©¬2é£ Ð ¶!· ´^®eáZ´Z±¡ -®" ¢¡X¬ ´k ¢«: Ê`¦ « ¸9¦ ¡X ©£»þ R{ aRa û ¦ iQ Ê'¬ ¡ i ba ¢´!²a«¥¬aþµ²9¦ ¡ª¦T¬ º»¦ £X ¬ X$Q 0{ x˙ = Ax £X ¢ ¤a¬ x(t) ∈ IR þ A ∈ IR º©¬ ¤ ¥È»É ¬ a ¥º¢ Â¦ « x(t ) = x þ* ¢´ é ° n = 2 *³X¬ ¤a¬2£ ¬2£!²r¬2£X^£ [ ¢ ¥£!º©¬ ´!² ¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ ³ª¬2£ ¤ 7 Y ´! ¥º©¬2£k² ¬ ¤a ¢´ £X ¢¡kº¢«Â¦ £X£M h9º»¦ ¤a¬2£k ¢´ £X¬ ´k ¢ ³X ´ v £ ²r¬2£X^£ [ ¢ ¥£k«¥¬ º»¦ « ý ¦ È©òµ ©£%¤a¬2£%¦ °a³X¬» 2¦ «¥¬ ¡X ©£%¤ ¦ ] º»¦ ³X ¢·*¬ ¡M Â¦ £»þ é ° jº©¬ ¡M¡X ©£M² ¬ ¤a ¢ ´ ¦ ³M¡M ý A ¬ ²a«Â¦ ¬"º©¬ ´!²a«¥i baC¬ Ç ¦ £M³M¡M° º©º¢ Ç °a¡M³M -þ P)`R]_P qù Á¿K¬ º© ¿ ¿± ¥Ê`¡M ´ ¦ þ R{ aRa2{

§' ¥ ©¤ «¥ ¢¡ÎÍ<§9 ¢¡M¡ª¦ ¡ª¦! "¤a¬KÊ`¡ª¦ ¤a¬aþ P)`R` û þ ¦T£ª¦ ù ¢)¡ W º»¦ £X¬2£= 9É ¬ Í<¤a ¢·* ¢ ¢¡ð¦ ¤a¬2 £ Þ§' · Q X$QSPK þ æ º»¦ £X¬2£ ¤a ¢·* ¢ ¢¡ª¦ ¤a¬2 £ §' Þ§' · Q X$Q 0{ iQ ò ] B 6 ¼ F7G2ZD '=:C_aBEbyA Fc\t_ =b 6 ¼ Fc \ 7[aD2F7G B-b:Bø\ ¯Z®eå¡µ_ÒÕ*R´³²ÏÒeái¶ ® Ð ¹ ù9¦ £M³ª¦ µ³X ´!²r¬ ¡M³ð¦ ³X ¨ 9¦K¦ 9ì « ¥£X "¤a "£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ c º©¬ º© ¢ ³X¬!¤aJ 9É ¬ Í-« »¦ ¡X ©£ Q ÊÌ¦ ¡ª¦ ©£X£X ©£!£M ¥£M³X ¢´ ¦ £!¹ ²a¡X ©º¢ ¥£Xp¬ j ° ¤ ¦ ´k ¢ ³ª¦ ¡ÎÍ<£X j ¢´ ²a¡X¬ ²a¡M ¥ ©¤ ¦ ¤a ©£ ´ j-¦ º¢ « ´k ¢ ³X * ¢¡M h9º»ì» * ¢ ¥£v¦ ³M¡ð¦© ¹©£ ©£M³M¡M°a³M°a¡ª¦ ¥£v¤a¬!º»¦ ´!² ¬! * ¢³X¬ ¡M Â¦ « f (t,x) þaé ° ¨£X Î÷M¦ « ¤a j¦ 9ì « ¥£X ©£ké °9¦ « ³ª¦ ³M 2¦ £»þ=¬ °y ¢´ ¦ ²a¡X)¬ b ´ ¦ È©ò ©£k²9¦ ¡ª¦ ¦ £!£X¬ « ° È©òµ ©£k¤ ¦ £k ©é °9¦ È©ò ©£ ¤ jE ¢¡X ¢ º¢ Â¦ ¥£»þ2º©¬ ´x¬v¬ ù ÷ø ¢³M ¬ ¤a C£X C¬ ùa³ª ð¡Ì°a´ ©£Mù ¬ È©¬ ¤aä¬ ¥ _° ba¬v·* ¢¡ª¦ ¤a¬v² ¢« ¬"£M ¥£M³X ¢´ ¦ Q Y ´! ¥º©¬T² ¬ ¤a £X ¢¡= µ ¥£M³X¬Zº©¬ ´k¬Z°a¹´ <º»¦ ´!² ¬ c º»¦ ´!²r¬T * ¢³X¬ ¡X ¥¦ «:¤a ° ´ £M ¥£M³X ¢´ ¦Z¤ 7 ¤a = * ¢«¥¬µº¢ ¥¤ ¦ ¤a ©I£ ¿é ° 2þ*¦vº»¦ ¤ ¦ ²r¬ µ³X¬"¤a¬" ©£M²9¦ È©¬"¤a ¿ ©£M³ª¦ ¤a¬2£»þ*¦ ³M¡M ùa°a °aì´ - ¢³X¬ I¡ C³ª¦ Í ·* ¢ µ³Xq vT³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦!¤a¬k£M ¥£M³X ¢´ ¦ Q c °t£X Î÷M¦ þ ´ ¦ ·2 r¦ ¤a¬ Í<£X T¦T³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦!¤a¬k£M ¥£M³X ¢´ ¦ þ ¦T²9¦ ¡M³M ¡v¤a ¨°a´ ¦K¤ ¦ ¤9¦Kº©¬ ¤ ¥È»É ¬k a ¥º¢ Â¦ «7 ¬! ©£M²9¦ È©¬k¤a ¨ ©£M³ª¦ ¤a¬2£»þ º©¬ ´k¬ ¦T³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦ ¤a °a´ ² ¬ ³X¬ ´ ¦ ³X ¢¡M Â¦ «Ì ¢´ °a´ ©£M²9¦ È©¬ nÍ<¤ ´k ¢ £M ¥¬ 9¦ «-þ ¬ º»¦ ´!²r¬ ¢³X¬ ¡M Â¦ F« jE¬ ¡M ©º© ¬2£ 2¦ «¥¬ ¡X ©£ ¤a ¨ * ¢«¥¬µº¢ ¥¤ ¦ ¤a ¢´ º»¦ ¤ ¦K² ¬ ³X¬k¤a¬k ©£M²9¦ È©g¬ Þ§' · Q X$Q 0æ iQ ä ¤a ©£M² ¢ ³X¬ ¤ ¦ ¦ ²9¦ ¡X ¢ µ³X j ©º©¬ ¬ ´! Â¦ ¤a j^£ [ ´Zù ¬ «¥¬2£ ¦ ² ¡X ©£X ð µ³ª¦ ¤ ¦ ²r ¢«Â¦ ©é °9¦ È»É ¬ ¤ jE ¢¡X ¢ º¢ Â¦ J« X$QSPK þ ¦ ´k ©£M´ ¦ ¡X ¢²a¡X ©£X ¢ ³ª¦ °a´ º©¬ 2÷ø°a µ³X¬Ñº©¬ £M ¥¤a ¢¡ªì» * ¢« ¤a t£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤ 7 Y ´! ¥º©¬2£»þa´k ¢´Tùa¡X¬2£ ¤ ¦Kº»¦ ³X ¢·*¬ ¡M Â¦!¤a¬2£ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤a ©£Xº¢¡M ³X¬2£ ²r¬ ¡ ©é °9¦ È©òµ ©£ ¤ jE ¢¡X ¢ Í º¢ Â¦ ¥£v¬ ¡X¤ 9ì ¡M Â¦ £ Q ¶ £M³ª¦!º»¦ ³X ¢·*¬ ¡M Â¦k²r¬µ¤a Z£X ¢¡v£M°aùr¤ µ ¥¤ ¥¤ ¦k ¢´ ¤a¬ ¥£ ¡ª¦ ´k¬2£ ¤ ¥£M³M ³X¬2)£ •

©YS

Y « A

n×n

E69XYKBX 4F @ B@I?<@V=â6BF4KBXGX 9Ko6BSPT<@I> @IXG@IM¨SPT<@ 6uLz6 =YO/@ =/@;69>bF4@ LZ@I> K MN@I?<KBX\T<M¨F4KBX(69T4O/K HB69> K9=/@IX F<6 MW6 OY=/[ G? T<> 6 0

Ê ÿLü\Ë

K E ' Ò c Ò Ò»Ã: 9¼ 'Òk Ô7Õ$#ª 7 ' : Ò

2æ

P)\

⫺1

⫺2

⫺3

⫺4 ⫺ 2.5

⫺2

⫺ 1.5

⫺1

⫺ 0.5

0.5

1.5

2.5

¿ö ÜÌ½7 r î s É óf¹¢³X¬ ¤a¬ ¤ ¦ £v ¥£XË º¢« 9¦ £¨¦ ²a« ¥º»¦ ¤a¬%¦ ¬ ¬2£Xº¢ «Â¦ ¤a¬ ¡"¤a 2¦ ¤a ¢¡ ÊÌ¬ «-þrº©¬ ´ Q ä £v ¥£XË º¢« 9¦ £¨ ©£M³ªÉ ¬ ¡X ¢²a¡X ©£X ¢ ³ª¦ ¤ ¦ £ ¢´ « a¸9¦ £ ³M¡ª¦ º© Î÷M¦ ¤ ¦ £»þ:º©¬ ´ £X ¢·2´k ¢ µ³X¬2£ µ=1 ¤a k¡X ¢³ª¦^ ¤ ¥º»¦ ³M ¬2£T¤ ¦ £Z º¢« 9¦ È©òµ ©£Kº©¬ ¡M¡X ©£M²r¬ ¤a ¢ µ³X ©£T²9¦ ¡ª¦tº»¦ ¤ ¦^ ¥£XËµº¢« 9¦ Q v´ ¦ ¤ ¦ £ ³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦ £v¤a¬k£M ¥£M³X ¢´ ¦K ©£M³ªìT¡X ¢²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ ¤ ¦k ¢´ « a¸9¦K¡Xi jE¬ ¡XÈ»¦ ¤ ¦ Q x1

ò !¾ !;

®=< ¯aD2F`A F>A [.[}ÿA¼Cb=:C\ FO[76 \ ¯ G B-[0A [ ¼ F:DZ 7:C_aB-b:\

Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡X °a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦K 9É ¬ Í-« »¦ ¡"¤a { ¬ ¡X¤a ¢´ ¤a ©£Xº¢¡M ³X¬!² ¢«Â¦!£X ¢·2°a µ³X ©é °9¦ Í È»É ¬k¤ jE ¢¡X ¢ º¢ ¥¦ «Ï a

y¨ + (ω0 ) y − µ h(y,y) ˙ =0⇒

X$QSP)`0

x˙ 1 = x2 , x˙ 2 = −(ω0 )2 y + µ h(x1 ,x2 ),

º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤a¬ Í<£X = A þ y(0) ^£X ¢ ¤a¬

²9¦ ¡ZY ´k ¢³M¡X¬2£=¤ ¦ ©é y(0) °9¦ È»É ¬Z¤ jE ¢¡X ¢˙ º¢ Â¦ «/= 0h(x ,x ) °ax´ ¦é=jÞ°a yÈ»É x¬Z¦ 9=¦ «Sy[ ˙³M ¥º»ω¦ 9É ¬ µÍ-« ∈ »¦ IR¡ Q ÊÌ¦ ¡ð¦ ¬Zº»¦ £X¬Z ¢´ é ° þ ¬ ùa³ª¹ð´KÍ<£X "¦ ©é °9¦ È»É ¬T¤a °a´ ¬2£Xº¢ «Â¦ ¤a¬ ¡=¸9¦ ¡M´kô a ¥º©¬ £M ´!²a«¥ ©£»þaº¢°2÷M¦!£X¬ « ° È»É ¬!²r ¢µ¡M ¥=Ëµ¤ 0 ¥º»¦K² ¬ ¤a £X ¢¡mj-¦ º¢ « ´k ¢ µ³X ¤ ð³ª ð¡X´! r¦ ¤ ¦_ X$Q R{ a0 y¨ + (ω ) y = 0 ⇒ y(t) = x (t) = A cos(ω t), £X ¢ ¤a¬ é ° x º©¬ ¡M¡X ©£M² ¬ ¤a =¦ º¢¬ ´!² ¬ ¢ µ³X =¤a jÞ¡X © é x3n¢ º¢ Âã¦ jÞ°a ¤ ¦ ´k ¢ µ³ª¦ «µ¤a C¬2£Xº¢ «Â¦ È»É ¬ ¤a¬!£M ¥£M³X ¢´ ¦ Q 1

0 1

û öA÷ øoùNøoúNû³ü ýLþ ù!ÿóþ û NùNø³ÿ v £¨ùa jÞ°a¡Xº»¦ È©òµ ©£ «¥¬ º»¦ ¥£Z¤a kº©¬ ¤ ´k ¢ £ªÉ ¬j°a´ é ° !¬µº©¬ ¡M¡X ¢´ ¢´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤ K³X ¢´!² ¬ º©¬ µ^³ [ ° ¬ Q Á= jÞ°a¡Xº»¦ È»É ¬K¹"¬Z ¬ ´k "¬ ¡M ·2 9¦ « ´k ¢ µ³X ¨¤ ¦ ¤a¬T² ¬ ¡ Ê'¬ º»¦ ¡X¹"²9¦ ¡ª¦T¤a ©£M ·2 9¦ ¡ °a´ ¦.´T° ¤ ¦ È»¦ é °9¦ « ³ª¦ ³M 2¦0é ° ¬µº¢¬ ¡X¡X ¬0¡X ¢³M¡ª¦ ³X¬y¤a ©£M³ª¦ ¤a¬2£j¤a °a´m£M ¥£M³X ¢´ ¦ ¤ 7 Y ´! ¥º©¬ ²a¡X¬ *¬µº»¦ ¤ ¦k² ¢«Â¦k 2¦ ¡M Â¦ È»É ¬%¤a¬k 2¦ «¥¬ ¡"¤a¬ ²9¦ Z¡ Y ´k ¢³M¡X¬^¤a Zº©¬ µ³M¡X¬ «¥ µ Q ¶ £X£ª¦ ¦ « ³X ¢¡ª¦ È»É ¬ é °9¦ « ³ª¦ ³M 2¦ ²r¬µ¤a ðÍ<£X C¤9¦ ¡c²r¬ ¡Xé ° 2þ ² ¬ ¡'i ba ¢´!²a«¥¬aþ2º¢¡M Â¦ ´KÍ<£X C¬ °T¤a ©£M³M¡X¬µ ¢´KÍ<£X ² ¬ ³X¬2£Ì¤a = ©é °a S« [ ùa¡M ¥¬ ¬ °Kº¢ ¥º¢«¥¬2£ÎÍ-« ´! ³X 2þ*¬ °!¦ « ³X ¢¡ª¦ ´KÍ<£X =£M°9¦ £Ì ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ©£»þ2º©¬ _ jE¬ ¡M´k ¬K 2¦ «¥¬ ¡v¤a µ ²9¦ £X£ª¦T² ¬ ¡ °a´ $ ña´k ¢¡X¬kº¢^¡ [ ³M ¥º©¬ Q ~ X } T¥ } C} ~ XG TW} T ' ` v 9~ W} ý ÏVÚ ú G Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡X é ° 2þ ¦ ¬ £X =« »¦ ¡M ý ¦ ¡ ¢´z³X¬ ¡M ¬ ¤a þ*¬ ùa³X¹¢´KÍ<£X ¦ ´ ¦ ³M¡X ý é ° ² ¬2£X£M°a e ¦ °a³X¬» 2¦ «¥¬ ¡X ©£ º©¬ ´ ²9¦ ¡M³ª "f~¡X »¦ « ¢· ¦ ³M 2¦ þ ~xi ¦ =°a³ª~x¬» 2¦ «¥¬ ¡X ©£ º©¬ ´ ²9¦ ¡M³X "¡X »A¦ « ² ¬2£M ³M 2¦ c ¦ °a³X¬ 2¦ «¥¬ ¡X ©£`º©¬ ´z²9¦ ¡M³X =¡X »¦ « µ°a«Â$¦ *¤ C´ ¦ 9 ð ¡ª¦"é ° e+i+c = n þ2£X ¢ ¤a¬ ¦"¤ ´k ¢ £ªÉ ¬ ¤a¬¨£M ¥£M³X ¢´ C¦ Þé ° ©é °a 2¦ «¥ä v¨¤ ´k ¢ £ªÉ ¬ ¤a¬¨ ©£M²9¦ È©¬ ¤a ©£M³ª¦ ¤a¬2£ iQ Ç ¬ ´ n ¬2£"¦ °a³X¬» 2¦ «¥¬ ¡X ©£ λ þ9 ¢ º©¬ µ³M¡ª¦ ´KÍ<£X T¬2£v¡X ©£M²r ©º¢³M ¬2£"¦ °a³X¬ * ¢³X¬ ¡X ©£ ~v ¦!²9¦ ¡M³M ¡ ¤a A ~v = ¦ °a³X¬ ¦ «¥¬ ¡X ©£Zº©¬ ´ ·* ¢¡ª¦ ´ Q'c £Z¦ °a³X¬ * ¢³X¬ ¡X ©£Zº©¬ ¡M¡X ©£M²r¬ ¤a ¢ µ³X ©£K¦ ¬2£ λ~v ¬k£M°aù ©£M²9¦ È©¬ ©£M³ªì© ¢« E 9¬2£ ¦ °a³X¬ * ¢³X¬ ¡X ©£ º©¬ e¡M¡X ©£M² ¬ ¤a ¢ ³X ©£¨¦ ¬2£ iRe(λ) ¦ °a³X¬» 2<¦ «¥¬ 0¡X ©£ º©¬ ´ ·* ¢¡ª¦ ´ ¬¨£M°aùr ©£M²9¦ È©¬" £M³ªì© ¢« E *¬2£ ¦ °a³X¬» ¢³X¬ ¡X ©£ º©¬ ¡M¡X ©£M²r¬ ¤a ¢ µ³X ©£=¦ ¬2£ c Re(λ) > 0 ¦ °a³X¬ 2¦ «¥¬ ¡X ©£=º©¬ ´ Re(λ) = 0 ·* ¢¡ª¦ ´ ¬Z£M°aùr ©£M²9¦ È©¬Zº© ¢ µ³M¡ª¦ « E Q Ç ¬ £X © é x ¢ ³X ¢´k ¢ µ³X 2þ

¬ °^£X Î÷M¦ þa¦T£X¬ ´ ¦T¤ ¡X ¢³ª¦K¤a¬2£¿£M°aù ©£M²9¦ È©¬2£ þ jE¬ ¡M´ ¦ E ⊕ E ⊕ E = IR E E E Q IR ¨ ¢« «¥³ P)`R\0XR ²a¡X¬ *¬ ° é ° 2þ9 ¬ ©£M²9¦ È©¬ ¤a Z ©£M³ª¦ ¤a¬2£"¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦! rÉ ¬ Í-« »¦ ¡¨¬ ¡M Í ·2 9¦ «-þ:i b ¥£M³XC Ñ$åC® æ ·3¶ ¯Z®% 2¦ ¡M ¥ ©¤ ¦ ¤a< ,C ³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦ W ¤a T¤ ´k ¢ £ªÉ ¬ e ³ª¦ a·* ¢ µ³X !¦ ¢´ ~x r Zi b ¥£M³XC Ñ$åC® æ ·3¶ ¯o®% 2¦ ¡M ¥ ©¤ ¦ ¤a W ¤a Z¤ ´k ¢ £ªÉ ¬ i ³ª¦ a·* ¢ µ³X K¦ E ¢´ E ¤a ! 2¦ ¡M ¥ ©¤ ¦ ¤a ©£M³ªì» * ¢«C W ¤ ! 2¦ ¡M ¥ ©¤ ¦ ¤a k £M³ªì© ¢«C¤a¬^² ¬ ³X¬ Q Ç ¸9¦ ´ ¦ Í<£X ~x W ¤a Z ©é °a S« [ ùa¡M ¥F¬ § ~x Q ¯µ ~x(0) ∈ W þ9 ¢ µ³ªÉ ¬ ~x(t) → ~x ²9¦ ¡ª¦ t → ∞ 9£X ~x(0) ∈ W þ ¢ µ³ªÉ ¬ ~x(t) → ~x ²9¦ ¡ª¦ t → −∞ Q ä §' ·2°a¡ª¦ ]_QSP « ° £M³M¡ª¦ ¬ º»¦ £X¬ ùa ¥¤ ´k ¢ £M ¥¬ 9¦ « ¢´ é ° ¸9ìj°a´ ¦ °a³X¬ 2¦ «¥¬ ¡!º©¬ ´ ²9¦ ¡M³X ¡X »¦ «¿ ¢· ¦ ³M 2¦t °a´ ¦ °a³X¬ 2¦ «¥¬ ¡!º©¬ ´ ²9¦ ¡M³X ¡X »¦ «r²r¬2£M ³M 2¦ Q c ù £X ¢¡M * º©¬ ´k¬T ©£X£X ©£ ¡X ©£M°a« ³ª¦ ¤a¬2£¿£X ¸9¦ ¡M´k¬ a ý ¦ ´ º©¬ ´ ¬ ³X ©¬ ¡X ¢´ ¦T¤a ©"¦ ¡M³M´ ¦ ÍÎ® ¡X¬ ùa´ ¦ Q ¨ ¢« «¥³ 0³ª¦ ´Zù ¹¢´ ´k¬2£M³M¡X¬ °Øé ° ^£X %¸9ì ¦ °a³X¬» 2¦ «¥¬ ¡ º©¬ ´ ²9¦ ¡M³X ^¡X »¦ « °a«Â¦ þ¿ ¢ ³ªÉ ¬ i b ¥£M³Xq µ ´iÐSÒÅå'´i·,Ò ± Ñ$åC®% 2¦ ¡M ¥ ©¤ ¦ ¤a W ¤ T¤ ´k ¢ £ªÉ ¬ c é ° T¹T³ª¦ a·* ¢ ³X k¦ E ¢´ þ ¹¨ ©º© ©£X£ªì ¡M ¥¬k¡X »¦ « ý ¦ ¡ º»ì «¥º¢°a«¥¬2£"¦ ¤ ¥º¢ ¥¬ 9¦ ¥£v²r¦ ¡ª¦!£X ¤a ¢³X ¢¡M´! 9¦ ¡ Q ¯µ ~x ~x(0) ∈ W ¬fé ° ¬ º©¬ ¡M¡X %º©¬ ´ ~x(t) ²9¦ ¡ª¦ t → ∞ Q c °0£X Î÷M_¦ k£ª¦ ùr ðÍ<£X é ° %¦ ¬t«¥¬ a·*¬ ¤a W þ ¦ ²a¡XL¬ b ´ ¦ Í<£X j¤a x j¦ ¬ «¥¬ a·*¬ ¤a W þ ~x(t) K¦ j-¦ £M³ª¦ Í<£X ^¤a x º©¬ _ jE¬ ¡M´k t¬ ~x(t) ³X ¢´!² ¬Z²9¦ £X£ª$¦ ´ ¦ £»þ ¦ ¬ «¥¬ a·*¬T¤a W þ ~x(t) ²r¬µ¤a £X K¦ jE¦ £M³ð¦ ¡=¬ ° £X ¦ ²a¡X)¬ b ´ ¦ ¡¿¤a ~x ¬ °7þ'¦ ¤ ¦ þ7² ¢¡M´ ¦ ©º© ¢¡T ¢´p¡X ¢² ¬ ° £X¬ Q Ç ¦ ¡Mó¡ P)`R]_PK ´k¬2£M³M¡X¬ °Ñº©¬ ´k¬j¤a ¢³X ¢¡M´! 9¦ ¡K¦ ¤ 7 Y ´! ¥º»¦ ¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦k¦ ¬k«¥¬ a·*¬ ¤ ¦! 2¦ ¡M ¥ ©¤ ¦ ¤a Zº© ¢ µ³M¡ª¦ « Q v´ ¦! * ¢ýT ¢ º©¬ ³M¡ª¦ ¤ ¦ ©£X£ª¦ ¤ 7 Y ´! ¥º»¦ þ9¤a ©£Xº©¬ ùa¡X ðÍ<£X Z¦K ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a Z¤a¬!²r¬ µ³X¬k¤a ¨ ©é °a S« [ ùa¡M ¥¬ ~x ¢´ é ° ©£M³ªÉ ¬ Q ±"p j-¦ ³X¬aþ"£XË0¸9ì _¤ ña µ ¥¤ ¦0é °9¦ µ³X¬ v ¢£M³ð¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤ ¤a £X Q ¯µ ¸9ì ¦ °a³X¬ 2¦ «¥¬ ¡^º©¬ ´ ²9¦ ¡M³X f¡X »¦ «¨²r¬2£M ³M 2¦. 2þ ²r¬ ¡M³ª¦ µ³X¬aþ E 6= ~x∅ þv ¢ µ³ªEÉ ¬0=i b ¥£M∅³X W 2þ PKX

↔

∗

↔

∗

1N 9\ ,O ^] ª ñ ª ©I Iª YV X

Iª VZU U WV

∗

- [ B[ ?<X "|;}B} B6 G6 <=/MW6 A`@IM XY@IT¯> [ HP=/K4A$SPT<@ 6 F4@ z?<[ 9K F4@ HB6 =/[ @;F<6BF4@ 69XYXYT<?PO/K Lz6 =â6WT<M 8IT4=/XYK40 [ MNL<> [ z8;6BF<69MN@I?PO/@BAvT<MW6oHB6 =/[ @;F<6BF4@7F4@ F4[ MN@I?<X 9K9] T<MÂXYT Z8IKB? T<?PO/K F4K @IXYLz6 IK»F4@ @IX"Oâ6BF4KBXïSPT<@BA4> KP8;69> MN@I?PO/@BA<LZKBXYXYT<[$6 @VX"OY=/T4O/T4=â6 F4K @IXYLz6 IK @IT<8Ik> [ F4[ 69?<K k 0 vXYX/69XïF4@ z?<[ P@IXqL K F4@IMXY@V= B@I?<@V=â69> [ ;6BF<69XïLz6 =â6 KBT4OY=/KBX{6 OY=â6 O/K9=/@IIRXI0

Ê ÿLü\Ë

' : r ' c Ñ :Ã: r ' f ár ½7 9 9 q EÍ' Ò Õ' 9 ' Ò

2æ

P)]

£X ¢ ¤a¬ µ ≡ k k V V /2 Q ä £X£M°a´ ¦ é ° ¦éj-¦ £X v¤a¬Z£M 9¦ « ¤a v ¢ ³X¡ª¦ ¤ ¦ θ (t) þ ·* ¢¡ª¦ ¤ ¦ ²r¬ ¡=°a´ ¡X ¢«¥Ë ·2 ¥¬ Í-´k ¢£M³X¡X 2þ ¦ ²a¡X ©£X ¢ ³X =°a´ ¦ 2¦ ¡M Â¦ È»É ¬ « »¦ ¡Ìº©¬ ´x¬v³X ¢´!²r¬aþ*¤ ¦ ¤ ¦ ²r¬ ¡ þ º©¬ ´ c = constante QVc ù £X ¢¡M * Té ° Té °9¦ ¤a¬ θ (t) 2¦ ¡M Â¦ º©¬ ´kθ¬ (t)¡ª¦ ´!=²9Ωt+c ¦ Ω 6= 0 þ Ω ¢ ≥³ªÉ 0¬ Å ² ¬ ¤a Q è ©£X£X Tº»¦ £X¬aþc¦ ©é °9¦ È»É ¬^¤ jE ¢¡X ¢ º¢ Â¦ «`²9¦ ¡ª¦ g(t) = µ µ Ω = constante ϕ(t) £X ¢¡¿¡X © ©£Xº¢¡M ³ª¦Kº©¬ ´k¬!¬K£X ¢·2°a µ³X ¨£M ¥£M³X ¢´ ¦T¤a ³Mo¡ n©£ ©é °9¦ È©ò ©£ ¤ jE ¢¡X ¢ º¢ Â¦ ¥£ ¤a ²a¡M ´k ¢ ¡ª¦ ¬ ¡X¤a ¢´ Þóf¬ µ³X ¢ ¡X¬aþ §' « ¸ ¬k ¨Ê` ¥é ° ¢ ¡ªg¦ R{ aRa û o 0

d o i o

1 2

dϕ(t) ≡ ω(t) dt dω(t) ≡ a(t) dt ]_Q 0 µ1 µ2 da(t) a(t) − µ1 µ2 ω(t) − µ0 µ1 µ2 sen ϕ(t) . = µ 1 µ2 Ω − µ2 + dt µ3 b ih TFT ^[ Q Ω v ϕ(t) = ϕ∗ = constante ω(t) = 0 a(t) = S[ 0 (ϕ∗ ,0,0) Q ϕ×ω×a ]_Q 0 S[ c ϕ∗1 = ∗ ∗ 0 ≤ ϕ1 ≤ π/2 ϕ2 = π − arcsen(Ω/µ0 ) arcsen(Ω/µ0 ) ib Q c Q ∗ π/2 ≤ ϕ2 ≤ π 0 ≤ Ω/µ0 ≤ 1 (ϕ∗1 ,0,0) (ϕ∗2 ,0,0) λ1,2,3 Á ]_Q 0 Q [ ^[

{ §r¦ ¦ ¤a jº»¦ ²a³M°a¡ª¦Ñ¤a ^°a´UÊ ¹j¤a a ¥¤ ¦Ñº©¬ ´k¬Ñ¬ º©¬ 2÷ø°a µ³X¬Ñ¤a ^ 2¦ «¥¬ ¡X ©£ ¤ ¦ * ¢«¥¬µº¢ ¥¤ ¦ ¤a ¦ a·2°a«Â¦ ¡ ²9¦ ¡ª¦¨¬Zé °9¦ «r¦"´ ¦ « ¸9¦ ¹ º»¦ ²9¦ ý ¤a v¦ ³M a·2 ¡=¬ ©£M³ª¦ ¤a¬Z£ º¢¡X¬ ¬ þ þ ¶ £X£X k ©£M³ª¦ ¤a¬fº©¬ ¡M¡X ©£M²r¬ ¤a j£X¬ « ° È»É ¬ é ° %¹ ¡X ¢²a¡X ©£X ¢ ³ª¦ ¤ ¦f² ¢«¥¬f²r¬ µ³X¬ ¤a ©é °a « ùa¡M ¥¬ ¬ ©£M²9¦ È©¬ ¤a ©£M³ª¦ ¤a¬2£ £M ¥£M³X ¢´ ¦ { ¦ ²a¡X ©£X ¢ ³ª¦ ¤a¬ ¥£K² ¬ ³X¬2£k¤a % ©é °a « ùa¡M ¥¬ °a´ ¤ ¦ ¤a¬f² ¬ ¡ º©¬ ´ þ' ¬ °a³M¡X¬t¤ ¦ ¤a¬j² ¬ ¡ º©¬ ´ ù £X ¢¡M * ¿é ° =³ª¦ ¥£'² ¬ ³X¬2£ ¥£M³X ¢´x£X¬ ´k ¢ µ³X ¿£X ä £= ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ©£ ¤a ¤a ²r¬µ¤a ¢´ £X ¢¡=¤a ¢³X ¢¡M´! 9¦ ¤ ¦ £v¦ ²9¦ ¡M³M ¡ ¤a¬2£¿¦ °a³X¬ 2¦ «¥¬ ¡X ©£ ¤ ¦ ´ ¦ ³M¡M ý=÷M¦ º©¬ ùa Â¦ 9¦ þ é °9 v¹v¬ ùa³M ¥¤ ¦Z« »¦ ¡M ý ¦ ¤a¬K¬Z£M ¥£M³X ¢´ ¦ ¤a ³X ¢¡Xº© ¢ ¡ª¦ ¬ ¡X¤a ¢´ { ¢´ ³X¬ ¡M ¬ ¤a º»¦ ¤ ¦t°a´ ¤a ©£X£X ©£T² ¬ ³X¬2£ ó ¬2£M³M¡ª¦ Í<£X é ° ©£X£X ©£ ¦ °a³X¬ 2¦ «¥¬ ¡X ©£v£ªÉ ¬k¦ £ ¡ª¦ ý» ©£v¤a¬K² ¬ « ô ´! ¥¬ º»¦ ¡ª¦ º¢³X ¢¡ ¥£M³M ¥º©¬ λ3 + a 1 λ2 + a 2 λ + a 3 = 0

º©¬ ´ þ Q ¯µ ¢·2°a ¤a¬k¬Kº¢¡M ³X¹¢¡M ¥¬ ¤a fva¬ °a³M=¸ Í µ©v°a+¡^§ (µ ³Mý*µþv¬2/µ£ ³M¡o)n©£^a ¦ °a=³X¬»µ 2¦ µ«¥¬ ¡X ©£%a²r¬2=£X£Mµ° ¢µ´Uµ²9¦ cos ¡M³X tφ¡X »¦ «" ¢· ¦ ³M 2¦Ñé °9¦ ¤a¬ þ þ Q a >0 a >0 a >0 a a −a >0 ¶`´ (Ω,ϕ ) = (µ , π/2) þ ¬ º©¬ ¡M¡X t°a´ ¦ ùa jÞ°a¡Xº»¦ È»É ¬.£X ¢«Â¦ Í- Ë.£M°aù ºðo¡ [ ³X º»_¦ ²9¦ ¡ª¦ 2¦ «¥¬ ¡X ©£7¤a Ω « ·* ¢ ¡ª¦ ´k ¢ ³X C´k ¢ ¬ ¡X ©£cé ° µ þ ¦ £7¤ °9¦ £c£X¬ « ° È©ò ©£c¤a ©é °a S« [ ùa¡M ¥¬ i b ¥£M³X ¢´ C²r¬2£X£M°9 ð´z ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ©£`º©¬ µ³M¡ªì ¡M Â¦ £ 2²9¦ ¡ª¦ Ω ´ ¦ ¬ ¡`é ° = ©£X£X C 2¦ «¥¬ ¡»þ 9É ¬ ¸9ìv£X¬ « ° È»É ¬ ¤a % ©é °a S« [ ùa¡M ¥¬ Q è ¬ º»¦ £X¬ £M°a²r ¢¡Xº¢^¡ [ ³M ¥º©¬aþ=£M°a¡M·* ¢´ ¤ °9¦ £!£X¬ « ° È©ò ©£k¤a % ©é °a S« [ ùa¡M ¥¬ º©¬ ´ ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ©£'º©¬ ³M¡ªì ¡M Â¦ £»þ º©¬ _ jE¬ ¡M´k C£X C¦ °a´k ¢ ³ª¦ ¬ 2¦ «¥¬ ¡c¤a¬ ²9¦ Z¡ Y ´k ¢³M¡X¬ ¤a º©¬ ³M¡X¬ «¥Z

¬!º»¦ £X¬k£M°aùrº¢^¡ [ ³M ¥º©¬aþ9 ¢«Â¦ £ ¤a ©£ª¦ ²9¦ ¡X ©º© ¢´ Q ä ²a¡M º¢ ²9¦ «'º»¦ ¡ª¦ º¢³X ¢^¡ [¥£M³M ¥º»¦ ¤ ¦Kùa jÞ°a¡Xº»¦ È»É ¬ £X ¢«Â¦ Í- Ë ¹ ¬k£M°a¡M·2 ´k ¢ ³X¬ ¬ °t¤a ©£ª¦ ²9¦ Í ¡X ©º¢ ´k ¢ ³X¬T¤a °a´ ²9¦ ¡=¤a ² ¬ µ³X¬2£C¤ ©é °a S« [ ùa¡M ¥¬Tº©¬ ´ ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ©é£ ¯ZÒe·7²Ná^ðeái¶ ® ± Q ¯ °9¦ jE¬ ¡M´ ¦K ¬ ¡M´ ¦ «c¹¨¤ ¦ ¤ ¦K² ¬ )¡ 1

1 2

∗

1 2

0 1 2

∗

¤a ´k¬µ¤a¬ é ° %¬ £M 9¦ « £M°aùrº¢¡^[ ³M ¥º©¬ Q

dx = fµ (x) = µ ± x2 dt

(−)

¡ª ð² ¡X ©£X ð µ³ª¦ ¬ º»¦ £X¬ £M°a² ¢¡Xº¢¡^[ ³M ¥º©¬ ¬ £M 9¦ «

(+)

þ ¬ º»¦ £X¬

öA÷ øoùNøoúNû³ü ýLþ ù!ÿóþ û NùNø³ÿ

P)]R]

´k¹¢³X¬µ¤a¬^¤a ! ©£M³M¡M°a³M°a¡ª¦ 2¦ ¡M Âì» ð«/ ô ´k¹¢³X¬µ¤a¬j¤a o®0¯i°)±³² ´ µ0µ7¶!·$¸ Q ÊÌ¦ ¡ª¦%³ª¦ «-þ:°a³M « ý ¦ Í ¡X ¢´k¬2£v¬2£vº©¬ º© ¢ ³X¬2£»þr¤ai h a ¥È©ò ©£ é jE ¢¡M¡ª¦ ´k ¢ µ³ª¦ £ ¤a Z¦ 9ì « ¥£X Z¦ ² ¡X ©£X ð µ³ª¦ ¤ ¦ £v ¬2£vº»¦ ² [ Í ³M°a«¥¬2£"¦ ³X ¢¡M ¥¬ ¡X ©£»þrº©¬ ¡M¡X ©£M²r¬ ¤a ¢ µ³X ©£"¦ ¬2£¨¯ ¥£M³X ¢´ ¦ £vè"É ¬ Í T »¦ ¡X ©£ Q c °a³M¡X¬2£v´k¹ð³ª¬ ¤a¬2£ ¤a %^£ [ µ³X ©£X %º©¬ ´k¬aþ ² ¬ ¡kZ ba ¢´!²a«¥¬aþC« »¦ ¡M ý ¦ È»É ¬ ²r¬ ¡!¡X »¦ « ´k ¢ ³ª¦ È»É2¬ ¤a % ©£M³ª¦ ¤a¬2£k¬ ° ¤a k£ª ¦ [¥¤ f¦ N "¸9¦ « «-þ R{ aRa20{ þ'³X¹©º¢ a ¥º»¦ £T¤a !²9¦ £X£M µ ¥¤ ¦ ¤ap c ¡M³X ¢· ¦ þ T ¬ ¡M Â¦ þ'èv ¥ºªüµ«Â¦ £X£X¬ Ñ ¯ ¡ª¦ Í< ¦ ´! ¡X ¢ý*þ P)`R`R]0 þ ¢³Xº Q þa 9É ¬k£X ¢¡ªÉ ¬K³M¡ª¦ ³ª¦ ¤a¬2£ ©£M³X ¨³M¡ª¦ ù9¦ « ¸ ¬ Q ¿ À<P a [ ã:CâB 21Ì[99\ ¼C8G ¯ B-b:\ Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡X T¦Kº¢«Â¦ £X£X ¨¤a £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ 9É ¬ Í-« »¦ ¡X ©£ ¡X ¢²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ ¤a¬2£ ² ¬ ¡) `_QSPK

x˙ = f (x,u,µ)

¹k¬j * ¢³X¬ ¡T¤a k ©£M³ª¦ ¤a¬2£T¤a k¤ ´k ¢ £ªÉ ¬

¹k¬j * ¢³X¬ ¡T¤a ¬ ¤a ¢ µ³M¡ª¦ ¤ x¦ £ ∈¤aR "º©¬ µ³M¡X¬ «¥ ¨¤a "¤a ´k ¢ £ªÉ ¬ p þa¬ ¤a U ¹"¬Kº©n¬ 2÷øu°a µ∈³X¬!U¤a ⊂¡X ©R£M³M¡M ¥È©òµ ©£ £X¬ ùa¡X ¨¬ º©¬ µ³M¡X¬ «¥r ²r¬ ¡¿i ba ¢´!²a«¥¬aþµ£ª¦ ³M°a¡ª¦ È»É ¬ µ ∈ R ¹ ¬ ¢³X¬ ¡=¤a ²9¦ ¡ZY ´k ¢³M¡X¬2£¿¤a¬T£M ¥£M³X ¢´ ¦$

y ∈ R ¹ ¬¨ ¢³X¬ ¡ ¤a £ª ¦ [¥¤ ¦ £C¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦¨º©¬ ´ ¤ ´k ¢ £ªÉ ¬ m Q ä jÞ°a È»É ¬ f (·) £M°9¦ £ ¤a ¢¡M 2¦ ¤ ¦ £C²9¦ ¡Xº¢ Â¦ ¥£=º©¬ ´ ¡X ©£M² ¢ ³X¬T¦ x ¦ u £ªÉ é¬ jÞ°a È©òµ ¢£=º©¬ µ^³ [ °9¦ £¿ ¤ jE ¢¡X ¢ º¢ Âì© ¢ ¥£ ä jÞ°a È»É ¬ h(x) ¹ ° ´ ¦ º©¬ ´Zùa 9¦ È»É ¬T« »¦ ¡=¬ ° rÉ ¬ Í-« »¦ ¡ ¤a¬2£C ©£M³ª¦ ¤a¬2£ iQ Í f (·) ∈ C ¤a¬%£M ¥£M³X ¢´ ¦ Q v ©£X£ª¦ « ³ª¦ Í<£X Té ° !¬%º©¬ ³M¡X¬ «¥ !²r¬µ¤a K£X ¢¡¨¤a ©£Xº©¬ µ^³ [ µ° ¬^ K ©£M³ª¦ ¡ £M°2÷Î ¢ ³X¬^¦ ¡X ©£M³M¡M ¥È©òµ ©£ QAc £`£M ¥£M³X ¢´ ¦ £`¤a ¿º©¬ µ³M¡X¬ «¥ º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤a¬2£` ©£M³X =³M¡ª¦ ù9¦ « ¸ ¬¨£ªÉ ¬"¤a¬ ³M ² ¬ ¡X »¦ Í « ´k ¢ a³ª¦ ¤a¬aþ:¬ ¤a u(x) ¹Z°a´ J¦ jÞ°a È»É ¬%¤a¬2£ ©£M³ª¦ ¤a¬2£"¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ þ é ° 2¦ ´k¬2£"£M°a²r¬ ¡ ¦ º© ©£X^£ [ ¢ ¥£»þ9¤a jE¬ ¡M´ ¦ é ° T¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ * ¢¡M h9é ° T¤a ¢³X ¢¡M´! 9¦ ¤ ¦ £ ¢£M² ©º¢ haÍ º»¦ È©òµ ©£Z¬ ° ¬ ù ÷ø ¢³M ¬2£ ¤a kº©¬ µ³M¡X¬ «¥ Q ±"¬ ¥£ ³M ²r¬2£Z¤a !²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦ £T¤a !º©¬ µ³M¡X¬ «¥ k²r¬µ¤a ¢´ £X ¢¡ ¢ º©¬ µ³M¡ª¦ ¤a¬2£ 9¦T²a¡ªì ³M ¥º»_¦ ´Z±³²Ï®` i¶!Ð ¶mÝ)®RæKç0Ò¨¤a ¨ ¢é ° S« [ ùa¡M ¥¬2£ ¬ °j¤a "¬2£Xº¢ «Â¦ È©òµ ©£ ¢´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¦ °a³Xô ¬ ´k¬2£»þ9' ±)´ ¸eÑ$¶!å'´i·7²ÏÒ9ì ´q²Náo®; L´³²/ eái¶ ® ±àöXW ²Ná^®0¯i°K¶!·$¸YWm÷ ¢´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ jE¬ ¡XÈ»¦ ¤a¬2£ Q - iq J}[Z³ 0+K À ,7(qI 0,*,+) H 3Ä=²r¬µ¤a ¢´ £X ¢¡=¤ai h a ¥¤a¬2£ ¤a v¤ jE ¢¡X ¢ µ³X © £ jE¬ ¡M´ ¦ £»þ ²r¬ Í ¡X¹¢´ £X ¢´!²a¡X k ¢ µ *¬ « ¢´ ¦^º©¬ ³X¡X¬ «Â¦ ùa « Â¤ ¦ ¤a ù9ì £M ¥º»¦%¤ ¬^£M ¥£M³X ¢´ ¦ Q çø£M³X¬^£M ·2 a h9º»¦%³X ¢¡ º»¦ ²9¦ º¢ ¥¤ ¦ ¤a K¤a ³M¡ª¦ k£ jE ¢¡M ¡ ¬ ©£M³ª¦ ¤a¬ ¤a¬ £M £M³ª ð´ ¦ ¤a ©£X¤a °a´ ¦kº©¬ ¤ ¥È»É ¬ a ¥º¢ Â¦ «`¦ ¡Mùa Í ³M¡ªì ¡M Â¦ ¦ ³X¹ ¬ °a³X¡X¬k ©£M³ª¦ ¤aJ¬ h 9¦ «c²a¡X ¢ µ Â¦ ´k ¢ ³X T ©£M²r ©º¢ h9º»¦ ¤aÅ¬ Þ ¢´ ·* ¢¡ª¦ «-þ °a´ ²r¬ µ³X¬ ¤a ©é °a S« [ ùa¡M ¥¬aþc´ ¦ £¨³ª¦ ´Zù ¹¢´ ² ¬ ¤a k£X ¢¡¨°a´ º¢ ¥º¢«¥¬^« ´! ³X þ7´k ©¤ Â¦ µ³X !°a´ ¦^¤a ¢³X ¢¡M´! 9¦ Í ¤ ¦k«¥ ¢ Ì¤a Kº¢¬ µ³M¡X¬ «¥ T¡X »¦ « ´k ¢ µ³ª¦ ¤a¬ u(x) T ¢´ °a´ ³X ¢´!² C¬ h a ³X¬ Q ¶ £M³X K ©£M³ª¦ ¤aC¬ h 9¦ « ² ¬ ¤a k£X ¢¡ ¤ai h a ¥¤a¬^² ¬ ¡¨°a´ º©¬ 2÷ø°a µ³X¬ X ⊂ R ¡X ¢²a¡X ©£X ¢ ³ª¦ ¤ ¬^²r¬ ¡ °a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦^¤a ©é °9¦ È©òµ ©£ `_Q 0{ X = {x / H(x) = 0}, H(x) = [h (x),h (x), . . . , h (x)]. ä «¥ ¢ =¤a º©¬ ³X¡X¬ «¥ ¤a ¢ k· ¦ ¡ª¦ ³M ¡!é ° R 9 ¬t£M ¥£M³X ¢´ ¦j¡X ©£M°a« ³ª¦ ³X £X Î÷M¦^«¥¬µº»¦ « ´k ð µ³X ¬ °j·2«¥¬ ù9¦ « ´k ¢ µ³X T ©£M³ªì© ¢/« O ¦!£ª ¦ [¥¤ ¦!¤a¬k£M ¥£M³X ¢´ ¦ y(t) * ¢¡M h9é ° Zº© ¢¡M³ª¦ £v ©£M²r ©º¢ h9º»¦ Í È©òµ ©£=¤a vº©¬ ´!² ¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬aþ ³ª¦ ³X¬Z ¬ ¡X ¢·2 ´k v³M¡ª¦ £M ³XË ¡M ¥9¬ Þ£X¬ ùa¡X ©¬2£Xº¢ «Â¦ È»É ¬aþµ³X ¢´!² ¬T¤a º¢¡X ©£Xº¢ ´k ¢ µ³X¬aþ ¢³Xº Q º©¬ ´k¬! ¬!¡X ¢·2 ´k ¨² ¢¡M´ ¦ ¢ ³Xó Þ ¢¡M¡X¬k ©£M³ª¦ º¢ ¥¬ 9ì ¡M ¥¬ iQ } i É (L+) e !.0B= (ÅI 0,*,+) H 3Ä 9¦^²a¡ªì ³M ¥º»¦ þÌ¬j ¢³X¬ ¡T¤a º©¬ ³M¡X¬ «¥ ² ¬ ¤a ©£M³ª¦ ¡ £M°2÷Î ¢ ³X¬ ¦Ñº© ¢¡M³X¬0º©¬ 2÷ø°a µ³X¬0¤a f¡X ©£M³M¡M ¥È©ò ©£ U þ ¤aD jE¬ ¡M´ ¦0¦Ñ£X f³X ¢¡ u ∈ U Q ¶ £M³ª¦ £ y = h(x),

öA÷ øoùNøoúNû³ü ýLþ ù!ÿóþ û NùNø³ÿ

P)`R\

¢´ é °

k>0

¯ °aù £M³M ³M°a ¤a¬p `_Q {R`0 ¢´

{ þa³X ¢´k¬2£ é °

`_Q R]0

æ 9É ¬ ¹%º©¬ µ³M °9¦ ´k ¢ µ³X j¤ Í c ù £X ¢¡M %é ° 2þ ©£M³X ña« ³M ´k¬ º»¦ £X¬aþ=¦DjÞ°a È»É ¬ V (σ) jE ¢¡X ¢ º¢ Âì ¢« ¢´p¡X ¢«Â¦ È»É ¬t¦ þc¬%é °9 !¦ ²a¡M º¢ ²a ¥¬tº©¬ ³M¡ª¦ ¡M Â¦%°a´ ¦^¤ ¦ £¨¸a ²rË ³X ©£X ©£Z¤a¬ ë' ©¬ ¡X ¢´ ¦!¤a T ¦ ² °a ¬» M \0σ þ ¢ µ³M¡X ¢³ª¦ ³X¬ ¦ £ ³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦ £v¤a¬k£M ¥£M³X ¢´ ¦Kº©¬ µ * ¢¡M·* ¢´ ¦ £ÎÍ £M µ³X¬ ³M ¥º»¦ ´k ¢ ³X ²9¦ ¡ª¦!¬kºð ¥º¢«¥¬!« ´! ³X Z ©£M³ªì© ¢« Q äv 9¦ « ¥£ª¦ ¤a¬K¦ £C ib ²a¡X ©£X£Xòµ ©£¡ `_Q {0XR q `_Q æRa0 þµ²r¬µ¤a ðÍ<£X ³X ¢¡ V˙ (σ) = 0 þ º©¬ ´ σ 6= 0 Q çø£M³X¬¨º©¬ ³M¡ª¦ ¡M Â¦ ¬¨ë' ©¬ ¡X ¢´ ¦¨¤a T ¦ ²a°a ¬ þ*²r¬ ¥£ ²9¦ ¡ª¦"£X ¿³X ¢¡C ©£M³ª¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ¦ £X£M ³XË ³M ¥º»¦ ²9¦ ¡ª¦ σ 6= 0 Q ¶ £M³ª¦¨£M ³M°9¦ È»É ¬Z¹ ²r¬2£X£^[ ¢«-þ2°a´ ¦¨ ¢ývé ° ¤ ¦¨¶ é Qo`_QSP)` þ ² ¬ ¤a ðÍ V˙ (σ) < 0 £X ³ª ð¡ σ 6= 0 é °9¦ ¤a¬ x = 0 Q Ç ¬ ´k¬%º©¬ £X © é x3n¢ º¢ Â¦%¦ ¦ ³M¡ª¦ ³M µ ¥¤ ¦ ¤a !¤ ¦ £M°a²r ¢k¡ jN[¥º¢ ¥ ¹j´T°a ³X¬Ñ²r ©é ° ¢ 9¦ ² ¢¡M³X¬.¤ ¦ º©¬ ¤ ¥È»É ¬ x ' 0 þ ¬Ñé ° j 9É ¬.¹t¤a ©£X Î÷Mì» * ¢« Q çø£M³X¬Ñ¹ ¤a ¢ µ ¥¤a¬Ø¦0é ° 9¦ £ji b ²a¡X ©£X£Xò ©f£ `_Q R{ \0 `_Q R{ `0 þ¨ ¬ ña« ³M ´k¬ ³X ¢¡M´k¬y¹ ¤a ¢²r ¢ ¤ ð µ³X ¤a x Q v´ ¦ £X¬ « ° È»É ¬ ²9¦ ¡ª¦ ©£M³X j²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦Ñº©¬ £M ¥£M³X t ¢´U¤ai h a ¡ k = þ¿º©¬ ´ ³X ¢´k¬2£ké ° %Å¬ ña« ³M ´k¬ ³X ¢¡M´k¬ ¤ ¦f«¥ ¢ ¤ Q ä £X£M°a´! ¤a¬ é ° α > 0 = sgn(x ) º©¬ µ³M¡X¬ «¥g `_Q R{ \0 ²9¦ £X£ª¦%¦ £X ¢¡ α σ sgn(x ) Þ¬ ° α sgn(σ) sgn(x ) ¢´ `_Q R{ `0 ^ iQ Ç ¬ ´ ©£M³ª¦Ñ¦ « ³X ¢¡ª¦ È»É ¬Ñ 9¦ «¥ ¢ ¤a tº©¬ µ³M¡X¬ «¥ 2þ¿· ¦ ¡ª¦ µ³M ´k¬2£%¦ º©¬ µ * ¢¡M0· n¢ º¢ Â¦.¦ £X£M µ³XË ³M ¥º»¦ ¤ ¦ £ ³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦ £=¤a¬Z£M ¥£M³X ¢´ ¦¨²9¦ ¡ª¦ ¬Zº¢ ¥º¢«¥¬ « ´! ³X Q äv²a« ¥º»¦ È©òµ ©£=¤a ©£M³X ´k¹¢³X¬ ¤a¬Z ¬Zº©¬ µ³M¡X¬ «¥ ¤a º©¬ µ * ¢¡X£X¬ ¡X ©£ ¤a ¢«¥ ¢³M¡Xô a ¥º»¦¨¤a ¿² ¬ o³ n¢ º¢ Â¦"²r¬µ¤a ¢´ £X ¢¡ ¢ º©¬ ³M¡ª¦ ¤9¦ £` 9¦ £`¡Xi jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦ £ N ¦ £M³X ¢¡v ¨Ê`¦ · ¦ ¬aþ R{ aRaRW ÊÌ¦ · ¦ ¬aþ9äv¡ª¦ º¢ «c Z®"¬ ¡X¤ « «¥¬aþ R{ aRaRW0 iQ 4 `_Q Ra0

V˙ = −k sgn2 (σ) x22 = −k x22 < 0.

α |x2 |

x2 |x2 |

0| ~E a ' ¢ ~ ` a 9~ ¡ ¡ ~ }¥ =} ~ ¤( v G c º©¬ µ³M¡X¬ «¥ %²r¬ ¡!¶ £M³M¡M°a³M°a¡ª¦p¬=¦ ¡M Âì© ¢«-þ`³ª¦ ´Zù ¹¢´ ¤a ¢ ¬ ´! 9¦ ¤a¬ ¤a %º©¬ µ³M¡X¬ «¥ %²r¬ ¡ óf¬µ¤a¬2£ ±" ¢£M« ý ¦ µ³X ©£»þa¹ °a´ ¦T¤ ¦ £¿²a¡M º¢ ²9¦ ¥£ ³X¹©º¢ a ¥º»¦ £ ¤a "º©¬ µ³M¡X¬ «¥ " 9É ¬ Í-« »¦ ¡ Q ót°a Í ³X¬2£=³M¡ª¦ ù9¦ « ¸ ¬2ã£ jE¬ ¡ª¦ ´ ¤a ©£X ¢ µ *¬ « µ ¥¤a¬2£ ¦ ¬Z«¥¬ a·*¬K¤a¬K£X¹©º¢°a«¥¬ è¡èOº©¬ ´ ¬T¬ ù ÷Î ð³X ¬K¤a £X ©£M³ª¦ ù ¢«¥ ©º© ð¡=³X¹©º¢ a ¥º»¦ £C¤a ²a¡X¬ ÷Î ¢³X¬ ²9¦ ¡ª¦¨º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡X ©£=¤a ©£M³M¡M°a³X°a¡ª¦" 2¦ ¡M Âì» * ¢«9i b ùa Í ¤a¬ ´k¬ ¤a¬2£Ì¤a ©£M« ý ¦ µ³X ©£»þ ²a¡M º¢ ²9¦ « ´k ¢ µ³X =²r ¢«Â¦ ©£Xº©¬ «Â¦ ¡M° £X£ª¦ º©¬ ´ äv ¤ ¡X¬ ¬ þ ¶`´k ¢S« µ¦ Í ¬ þ2ç<³Müµ ¥£»þ2 v³Müµ k ¿¬ °a³M¡X¬2£ Q ¶ baº© ¢«¥ ¢ ³X ©£ ¡X ¢ µ ¥£Xò ©£ ¤a ©£M³ª¦ £Ì³X¹©º¢ a ¥º»¦ £»þ»÷<° ³ª¦ ´k ¢ µ³X º©¬ ´ ¢«Â¦ ù ¬ ¡ª¦ È©ò ©£K´ ¦ ¥£T´k¬ ¤a ¢¡M 9¦ £»þ`²r¬µ¤a ¢´ £X ¢¡K ¢ º©¬ ³M¡ª¦ ¤ ¦ £K ¬2£T³M¡ª¦ ù9¦ « ¸ ¬2g£ Þ±" Ç ¦ ¡M«¥¬aþ Î ¦ üK ó ¦ ³M³M¸ ³ § £»þ P)`R]R] * v³Müµ 7þ P)`0XRX R©v°a a· þ ®¨¦ ¬¨m ©v°a a· þ P)`R`20æ ¿ 9¦ £`¡Xi jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦ £ ¢«¥ ©£vº¢ ³ª¦ ¤ ¦ £ Q c £=´k¬ ¤a¬2£ ¤a ©£M« ý ¦ ³X ©£ £ªÉ ¬Tº©¬ ´!²r¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬*£¿^³ [ ²a ¥º©¬2£¿ i baº¢« ° £M ¬2£=¤a ¨¯ ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤a t¶`£M³X¡M°a³M°a¡ª ¦ ¬C¦ ¡M Âì» ðr« -¯µA¶ ¬ iQ ¶ £X£X ©£k£M ¥£M³X ¢´ ¦ £k² ¬ ¤a ¢´U£X ¢¡ £X ð²r¦ ¡ª¦ ¤a¬2£ ¢´U¤ °9¦ £ j-¦ J ´ [ « Â¦ )£ ¦T²a¡M ´k ¢ ¡ª¦!º©¬ ´!²a¡X © ¢ ¤a ³X¬µ¤a¬2£ ¬2£ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £ é ° "²r¬2£X£M° ¢´ 9¦ ³M°a¡ª¦ « ´k ¢ µ³X ¦ « ·2°a´ ¢«¥ ¢´k ¢ ³X¬ ¬ °.²a¡X¬µº© ©£X£X¬t ³X ¢¡M ¬aþ º¢°2÷Î¬t´k¬ ¤a ¢«¥¬f´ ¦ ³X ¢´ ì ³M ¥º©¬ ¹ ¤a ©£Xº©¬ µ^³ [ µ° ¬ ² ¬ ¡v 9¦ ³M°a¡X ¢ý ¦ Q äx£X ¢·2°a ¤ r¦ j-¦ J´ [ « Â¦ é¹ jE¬ ¡M´ ¦ ¤9¦!²r¬ ¡"£M ¥£M³X ¢´ ¦ £v¤ 7 Y ´! ¥º©¬2£"º©¬ ^³ [ µ° ¬2£ ²9¦ ¡ª¦j¬2£ é °9¦ ¥£Z£X k¬ ²a³X¬ ° ² ¢«¥¬^° £X¬j¤a !°a´ º©¬ ³M¡X¬ «¥ ¤a ©£M³M¡M°a³M°a¡ª¦% 2¦ ¡M Âì» * ¢« Q è ©£M³X º»¦ £X¬aþ9¦ £ ¤a ©£Xº©¬ ³M µ°a ¥¤ ¦ ¤a ©£ £ªÉ ¬K ³M¡X¬µ¤ °aý© ¥¤ ¦ £v²r ¢«¥¬kº©¬ µ³M¡X¬ «¥ Q Y ´! ¥º©¬ º©¬ µ^³ [ µ° ¬ c ¬ ùa÷Î ¢³M ¬v¤a C£X ³M¡X¬µ¤ °aý© ¡Ì¤a ©£Xº©¬ µ³M °a ¥¤ ¦ ¤a = µ°a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ¤ 7 ¹ ²a¡X¬ *¬µº»¦ ¡ ¬!¦ ²9¦ ¡X ©º¢ ´k ¢ ³ª¬!¤a ° ´ ´k¬ ¤a¬!¤a ©£M« ý ¦ ³X ¨é ° «¥ ¢ * "¬K£M ¥£M³X ¢´ ¦Z²9¦ ¡ª¦Z°a´ ² ¬ ³X¬ ¤ ©é °a S« [ ùa¡M ¥¬ ¤a ©£X Î÷M¦ ¤a¬aþ é ° ²r¬µ¤a %£X ¢¡K¤ jE ¢¡X ¢ µ³X %¤a¬2£! ©é °a S« [ ùa¡M ¥¬2£K 9¦ ³M°a¡ª¦ ¥£ ¤a¬T£M ¥£M³X ¢´ ¦ Q ±" ¢² ¢ ¤a ¢ ¤a¬!¤ ¦ ³X¹©º¢ a ¥º»¦T¤a v²a¡X¬ ÷Î ¢³X¬T°a³M « ý ¦ ¤ ¦ þ ¦Z¤ 7 Y ´! ¥º»¦K¤a ¬ ¡X¤a ¢´ þ ÏVÚ

¨Ð Õ' :Ã: 9Õ' Ñ c 9 :Õ'Ò {_PKX ¦!£X ¢¡v ¬2£v¤ Â¦ £ ¤a ¸ ¬ ÷Î ¨°a´ ¦ ì ¡X »¦k´Z°a ³X¬ ¦ ³M 2¦k¤a ²r ©£Xé °a ¥£ª¦ þ9º¢°2÷Î¬2£ ¡ª ¢£M° « ³ð¦ ¤a¬2£ £ªÉ ¬ ¦ ²a« ¥º»ì© ¢ ¥£"¦!³X¬ ¤ ¦ £"¦ £"ì ¡X »¦ £ ¤ ¦kºð n¢ º¢ Â¦ ³X ©º¢ ¬ «¥¬ ·2 Â¦ Q è ¬ *¬2£v ¢_ jE¬µé ° ©£v ´k ¢³X¬ ¤a¬ Í «¥¬ ·2 Â¦ £T¤a kº©¬ µ³M¡X¬ «¥ ¤a º»¦ ¬2£Z£M°a¡M·* ¢´ º©¬ ´ ¡X ¢·2°a«Â¦ ¡M ¥¤ ¦ ¤aÅ ÞÁ¿ ¢« ùa¡M°a ¬aþ R{ aRa vû cÁ¿¬ « « ³T óf ¢ ¥£X£»þ P)`R`RW $¦ rÁ¿¬ « « ³" Zóf ¢ ¥£X£»þ P)`R`RW {ù ró ¦ º»¦ °7þ R{ aRaRa ró ¦ º»¦ °f Ç ¦ «¥¤ ¦ £»þ R{ aRa2{ ró ¦ Í º»¦ °7þ R{ aRa20æ þr¬ ùa÷Î ¢³M 2¦ ¤a¬%¦ ²r ¢k¡ jE ¢ ¥È©¬*¦ ¡ ´k¹¢³X¬µ¤a¬2£ º©¬ a¸ ©º¢ ¥¤a¬2£"¬ °f ©£M³X ¢ ¤a ¢¡ÎÍ-« ¸ ©£"£M°9¦ £ ²r¬2£X£M ùa « ¥¤ ¦ ¤a ©£v¤a Z¦ ²a« ¥º»¦ È©ò ©£ Q c ´k¹¢³X¬ ¤a¬Ñ¤a jº©¬ µ³M¡X¬ «¥ t¤a jº»¦ ¬2£k²a¡X¬ ² ¬2£M³X¬ ¢´ P)`R`Ra ^¸ ¬ ÷Î j¤a ¢ ¬ ´! 9¦ ¤a¬Ñ¤a ® º> ¢´ ¸ ¬ ´k ¢ 9¦ ·* ¢´ ¦ ¬2£C£X ¢° £` ¥¤a »¦ « ý ¦ ¤a¬ ¡X ©£¿¦ ²a¡X¬» ¢ ³ª¦¨é¬ j-¦ ³X¬¨¤a é ° ¬¨ a 2¦ ¡M Â¦ Í c ³X Cº»¦ Ë ³M ¥º©¬v²r¬2£X£M°a º¢¡M° £M³ª¦ ¤a¬ ¢´ £X ¢° µ³X ¢¡M ¥¬ ¡'°a´5 ña´k ¢¡X¬v _ h a ³X¬ C ¢ °a´k ¢¡ªì» * ¢« ¤a Ë ¡Mùa ³ª¦ £Ì²r ¢¡M ¥Ëµ¤ ¥º»¦ £Ì £M³ªì© ¢ ¥£Ì¤a C³X¬µ¤a¬2£Ì¬2£'² ¢^¡ [¥¬ ¤a¬2ä£ c ³M³»þ P)`R`20æ iQ ±" ¢ µ ¥¤aV¬ v ³M¡ª¦ £M ³M Í µ ¥¤ ¦ ¤a 2þ é ° ¹"¬ °a³M¡ª¦Z²a¡X¬ ²a¡M ¥ ©¤ ¦ ¤a " ¢¡X ¢ µ³XV vT¤ 7 Y ´! ¥º»¦Tº»¦ Ë ³M ¥º»9¦ c ³M³»þ P)`R`20æ þaË ¡Mùa Í ³ª¦ £`º»¦ Ë ³M ¥º»¦ £ µ ¥£M ³ª¦ ´ ¦ £Ì µ ý© a¸9¦ È»¦ £C¤a ©£X£ª¦ £`Ë ¡Mùa ³ª¦ £`² ¢¡M ¥Ë ¤ ¥º»¦ £ £M³ªì» * ¢ ¥£ QG °9¦ ¤a¬ °a´ ¦^³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦jº»¦ Ë ³M ¥º»¦j£X ¦ ²a¡X)¬ b ´ ¦j¬j£M ° h9º¢ ¢ µ³X ¤a k°a´ ¦jË ¡Mùa ³ª¦^²r ¢¡M ¥Ëµ¤ ¥º»¦j £ÎÍ ³ªì * ¢« ¤a ©£X Î÷M¦ ¤ ¦ þC²r ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©òµ ©£ £ªÉ ¬ ¦ ²a« º»¦ ¤ ¦ £ £X¬ ùa¡X %°a´ ²9¦ Z¡ Y ´k ¢³M¡X¬Ñ¦ º© ©£X^£ [ ¢« ¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ¤a j³ª¦ m« jE¬ ¡M´ ¦ é ° t¦ ¢ ¬ « ° È»É ¬Ñ¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £X ^´ ¦ ³X¹¢Ú²a¡XLË b ´ ¦Ñ¦ ©£M³X Ë ¡Mùa ³ª¦k²r ¢¡M ¥Ë ¤ ¥º»¦ £M³ªì© ¢« Q Ç ¬ ´k¬ º©¬ £X © é x3n¢ º¢ Â¦ þ ¬k£M ¥£M³X ¢´ ¦k£X Z ©£M³ª¦ ùa « ý ¦ þ9² ð¡X´ ¦ Í ©º© ¢ ¤a¬ °a´ ´k¬ µ ´k ¢ ³X¬ ¡X ¢·2°a«Â¦ ¡¨ ² ¢¡M ¥Ë ¤ ¥º©¬ Q c ù £X ¢¡M Zé ° T£X 9É ¬ i b ¥£M³M ¥£X£X T¦ £ ²r ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©òµ ©£v¦ ¤a ©é °9¦ ¤ ¦ ´k ¢ ³X ¦ ²a« ¥º»¦ ¤ ¦ £»þ ¦ ³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦Tº»¦ Ë ³M ¥º»¦T£X "¦ ²a¡X)¬ b ´ ¦ ¡M Â¦T¤ ¦ Ë ¡Mùa ³ª¦T² ¢¡M ¥Ë ¤ ¥º»¦K²9¦ ¡ª¦ þ «¥¬ ·*¬! ¢´ £X ¢·2°a ¥¤ ¦ þa£X ¨K¦ j-¦ £M³ª¦ ¡»þ £X ¢·2°a ¤a¬k ¢´ £M°9¦Z² ¢¡X ¢·2¡M 9¦ Í È»É ¬^º»¦ Ë ³M ¥º»¦^²r¬ ¡ ³X¬ ¤a¬j¬^º©¬ 2÷ø°a µ³X¬^ µ 2¦ ¡M Â¦ µ³X kº»¦ Ë ³M ¥º©¬ Q ¶ £X£X K´k¹¢³X¬ ¤a¬j¤a kº©¬ ³M¡X¬ «¥ ¤a vº»¦ ¬2£=ù9¦ £X »¦ ¤a¬T ¢´ ² ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©ò ©£ ¹ ² ¬2£X^£ [ * ¢«r¤a ¢ µ ¥¤ar¬ v¨²a¡ª¬ ²a¡M ¥ ©¤ ¦ ¤a jÞ°a ¤ ¦ ´k ¢ ³ª¦ « ¤ ¦ ± 7 Y ´! ¥º»¦ Ç ¦ Ë ³M ¥º»¦ þµé ° v¹ ¦ ±)í· ±i¶/ i¶!Ð ¶ ì0®0ì ´R$ ±u* ®eái¶ ®Ræ4 ´Z±Vì0® ±é¯oÒe·,ìe¶Næ4 ´Z±¡¶!·3¶ ¯³¶ ®e¶À± Q ¶`´ º©¬ £X © é x3n¢ º¢ Â¦ þÌ¦ £ ² ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©ò ©£T ©º© ©£X£ªì ¡M Â¦ £ v^ ©£M³ª¦ ùa « ý ¦ È»É ¬f¤a¬j£M ¥£M³X ¢´ ¦j£ªÉ ¬ ¤a ³X ¢ £M ¥¤ ¦ ¤a ´T°a ³X¬¨¡X ©¤ °aý© ¥¤ ¦ £»þµ¬¨é ° 2þ* µ°a´ ¦ ¦ ²a« ¥º»¦ È»É ¬ ³X ©º¢ ¬ «¥Ë ·2 ¥º»¦ þµ ´!² « ¥º»¦ ¢´ · ¦ £M³X¬2£Z¡X ©¤ °aý© ¥¤a¬2£K¤a ¢ ¢¡M·2 Â¦ Q Ç ¬ ´k¬f¬j$ ña´k ¢¡X¬f¤a Ë ¡Mùa ³ª¦ £T² ¢¡M ¥Ë ¤ ¥º»¦ £K £M³ªì© ¢ ¥£ º¢¡M° £M³ª¦ ¤ ¦ £ ¬ 2¦ ¡M Â¦ µ³X º»¦ Ë ³M ¥º©¬Z¹ _ h a ³X¬aþµº»¦ ¤ ¦¨°a´ ¦¨¤a ¢«Â¦ £ ²r¬µ¤a ©£M³ª¦ ¡=¦ £X£X¬2º¢ Â¦ Í ¤ ¦t¦%°a´ ¦j¤a ¢³X ¢¡M´! 9¦ ¤ ¦fº©¦ ¡ð¦ ºð³ª ðo¡ [ £M³X º»¦f¬ ²r ¢¡ª¦ º¢ ¥¬ 9¦ «¿¤a ©£X Î÷M¦ ¤ ¦j¤a¬t£M ¥£M³X ¢´ ¦ þ'¬té ° ²a¡X¬ ²r¬ ¡Xº¢ ¥¬ 9D¦ ¥9i b ùa « ¥¤ ¦ ¤a ña a ¥º»¦f ¢´ ³X ¢¡M´k¬2£K¤a ^¦ ²a« ¥º»¦ È©ò ©£K³X ©º¢ ¬ «¥Ë ·2 ¥º»¦ £!« · ¦ ¤ ¦ £ ¦ ¬!º©¬ µ³M¡X¬ «¥ ¤a º»¦ ¬2£ Q ¶`´ ³X ¢¡M´k¬2£%¤a t ´!²a«¥ ¢´k ¢ µ³ª¦ È»É ¬0²a¡ªì ³M ¥º»¦ þ"¦ ·2¡ª¦ ¤a º»¦ ¡ª¦ º¢³X ¢^¡ [¥£M³M ¥º»¦0¤a¬Ñ´k¹¢³X¬ Í ¤a¬ c ® º ¹t¬ ¤a ^³ð¦ ´Zù ¹¢´ ²r¬µ¤a ¢¡ £X ¢¡k°a³M « ý ¦ ¤a¬0¦ ²9¦ ¡M³M ¡ ¤a t¤ ¦ ¤a¬2£ ¬ ¡M °a ¤a¬2£ ¤a £X¹¢¡M ¥ ©£T³X ¢´!²r¬ ¡ª¦ ¥£ Q çø£X£X¬t£M ·2 a h9º»¦fé ° 9É ¬ £X k²a¡X ©º¢ ¥£ª¦fº©¬ a¸ ©º© ¢¡ ¦ £K ©é °9¦ È©ò ©£!é ° ¡X ¢·* ¢´ ¬T£M ¥£M³X ¢´ ¦ þ ´ ¦ £=³ªÉ ¬ Í<£X¬ ´k ¢ µ³X ¨£X v³ª ð¡v¦ º© ©£X£X¬K¦T¤ ¦ ¤a¬2£ ¤a ´k ©¤ ¥¤ ¦K¤a¬T´k ©£M´k¬ Q ¶ £X£Xó j-¦ ³Xp¬ jÞ¬ ¤a ¢´k¬ £M³M¡ª¦ ¤a¬.¦ ³M¡ª¦© ¹©£k¤a %°a´ ¦ £X¹¢¡M ¥ ^¤a î b ² ¢¡M ´k ¢ ³X¬2£»þ=³ª¦ ¥£kº©¬ ´k¬ ¬2£%¡X »¦ « ý ¦ ¤a¬2£j² ¬ f¡ Þ± ³M³X¬aþ" ¦ ° £X ©¬0 Ñ¯ ²9¦ ¬aþ P)`R`Ra v®¨¦ k¡ h ü* ¢«-þ ¯ ²9¦ ¬aþ"± ³M³X¬y Ì ¢ ¥£X£»þ P)`R`2{ ävý» ¢ * ©¤a¬ v ¢ý» ¢ ¤a 2þ P)`R`_P µ¯µºª¸a ^ ¢³=¦ « Q þ P)`R` v û Á= ¥ ¢«ÂL¦ § £Müµ -þ ±" ¢¡X¬ ý© ¥ ¢¡= ® «¥¬ ¡M Â¦ _° b:þ P)`R` vû aóf ¢° º©º¢ -þ9®¨¦ ¤a¬ ´k£Müµ -þ Ç ¥ ¬ h a 7 "äv¡X ©º©ºX¸a -þ P)`R` û þa ¢ µ³M¡X "¬ °a³M¡ª¬2£ Q ¶`´ ©£M²r ©º¢ Â¦ «-þ*´k ð¡ª ¢º© ¤a ©£M³ª¦ é ° ¿¬ ³M¡ª¦ ù9¦ « ¸ ¬T¯µºX¸a % º©¬ «Â¦ ùr¬ ¡ª¦ ¤a¬ ¡X ©¡£ -¯µºX¸a ^ ¢³ ¦ « Q þ P)`R` û þ é ° ¨ ¢´!²a¡X ¢· ¦ ¡ª¦ ´ ¬K´k¹¢³X¬ ¤a¬ ¤a c ® ºx °a´ i b ²r ¢¡M ´k ¢ µ³X¬ ùS÷~}8 Kù/ 1 ³û º©¬ ´ °a´ ³X ©º¢ ¥¤a¬ º© ¢¡X ¢ùa¡ª¦ «-þÌº¢°2÷M¦^¤ 7 Y ´! ¥º»¦jº»¦ Ë ³M ¥º» ¦ jE¬ Cº»¦ ¡ª¦ º¢³X ¢¡M ý ¦ ¤ ¦ þÌË ¡Mùa ³ª¦ £Z²r ¢¡M ¥Ëµ¤ ¥º»¦ £Z £M³ªì© ¢ ¥£ ¤a ¢³X ¢¡M´! 9¦ ¤ ¦ £ %¬ c ® ºp¦ ²a« ¥º»¦ ¤a¬ ²9¦ ¡ª¦ ©£M³ª¦ ùa « ý ¦ ¡k°a´ ¦f³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦ º»¦ Ë ³M ¥º»¦ 9¦ £ µ ý© a¸9¦ È»¦ £¿¤a v°a´ ¦TË ¡Mùa ³ª¦ ² ¢¡M ¥Ë ¤ ¥º»¦Z £M³ªì» * ¢« ©£Xº©¬ « ¸a ¥¤ ¦ þa¬ ¤a v³X¬ ¤a¬2£¿¬2£=²a¡X¬ º© ©¤ Í ´k ¢ ³X¬2m£ jE¬ ¡ª¦ ´ ¡X »¦ « ý ¦ ¤a¬2£ ¦K²9¦ ¡M³M ¡v¤a ¨¤ ¦ ¤a¬2£v¬ ¡M °a ¤a¬2£v¤a £X¹ð¡X ©£ ³X ¢´!²r¬ ¡ª¦ ¥£ Q ¶ £M³X ³Xi b ³X¬K³X ¢´ ² ¬ ¡ ¬ ù ÷Î ð³X ¬T²a¡X¬ ² ¬ ¡Xº¢ ¥¬ 9¦ ¡ °a´ ¦T ³M¡X¬µ¤ ° È»É ¬k °a´ ¦Z µ ¥£ªÉ ¬T²9¦ Í ¬ Z¡ Y ´! ¥º»¦ ¤a Ç ¬ ³M¡X¬ «¥ ^¤ Ç ¦ ¬2£»þ` ¬ ·* ð¡ð¦ «Eþ= %¤a¬f´k¹¢³X¬ ¤a¬ c ® º!þÌ ¢´ ²9¦ ¡M³M ¥º¢°a«Â¦ ¡ Q X|

Ê ÿLü\ËNÌ

¨Ð Õ' :Ã: 9Õ' Ñ c 9 :Õ'Ò {2{R` þÌ¬t³X ¢´!²r¬DjE¬ =¤a û P)\0X$P)`R`Ra ³X ¢¡ª¦ È©òµ ©£K¤a¬t´ ¦ ²9¦f¤a ÊÌ¬ º»¦ ¡X¹2þ ¬ °0£X Î÷M¦ þ = 10 ²9¦ ¡ª¦!°a´ ³X ¢´!²r¬ £M_° h9º¢ ¥ ¢ ³X ¢´k ¢ µ³X Z«¥¬ a·*Å¬ Z¤a ³X ¢¡ª¦ È©ò ©£ ¤a¬k´ ¦ ²9¦k¤ ÊÌ¬ º»¦ ¡X¹ þ ²r¬µ¤a ðÍ<£X 2þc¦ ²9¦ ¡M³M ¡Z¤a T°a´p²r¬ µ³X¬ x þ ²9¦ £X£ª¦ ¡¨³ªÉ ¬%²a¡XËLb ´k¬^é °9¦ µ³X¬%£X !¤a ©£X Î÷M¦Å ¤a °a´ ¬ °a³M¡X¬!²r¬ µ³X¬ y Q ä £X£M ´jþ £X ¢ ¤a¬aþ ² ¬ ¤a ¢´k¬2£ K¦ h ¡M´ ¦ ¡ é ° ¿¦ £ÌË ¡Mùa ³ª¦ £'² ¢¡M ¥Ë ¤ ¥º»¦ £` ´k ¢¡X£ª¦ £' ¬"¦ ³X¡ª¦ ³X¬ ¡ º»¦ Ë ³M ¥º©¬k£ªÉ ¬!¤a ¢ £ª¦ £v£X¬ ùa¡X ¨¬!´k ©£M´k¬ Q ¯ É ¬¨ ©£M³ª¦ £Ì´k ©£M´ ¦ £`º»¦ ¡ª¦ º¢³X ¢^¡ [¥£M³M ¥º»¦¨é ° =³X¬ ¡X 9¦ ´z²r¬2£X^£ [ ¢«a¬" ¢´!²a¡X ¢·*¬ ¤a =´k¹¢³X¬µ¤a¬2£ ¤a ¨º©¬ µ³M¡X¬ «¥ º©¬ ´k¬k¬!´k¹¢³X¬ ¤a¬ c ® ºz¤a ¨º©¬ µ³M¡X¬ «¥ ¤a º»¦ ¬2£ Q ¦ v 9E ~ W X T 'W} >à ~ % Î(ÿ Ïâá § ¡X ¢ ³Xg v ¤a ¢²r ¢ ¤ n¢ º¢ Â¦ £X ¢ ^£ [ * ¢ « v £!º©¬ ¤ ¥È©ò ©£k a ¥º¢ Â¦ ¥£k¤a¬2£k£M £M³ª ð´ ¦ £kº»¦ Ë ³M ¥º©¬2£ ¦ ¬ j-¦ ³X¬j¤a ké ° 2þc ¢´ ·* ¢¡ª¦ «-þ'º©¬ ¤ ¥È©ò ©£Z a ¥º¢ Â¦ ¥£Ti b ²r ¢¡M ´k ¢ µ³ª¦ ¥£Té °9¦ £X K µ°a º»¦j£ªÉ ¬ º©¬ a¸ ©º¢ ¥¤ ¦ £Ci b ¦ ³ª¦ ´k ¢ ³X 2þ*³ª¦ ¥£ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £`£ªÉ ¬" µ³M¡M £X ©º»¦ ´k ¢ µ³X ´!²a¡X ¢ µ ¥^£ [ ¢ ¥£ ¦ «¥¬ a·*¬ ²a¡ª¦ ý»¬ Q è"¦=¡X »¦ « ¥¤ ¦ ¤a 2þ2¦¿³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦¿²a¡X ¢ µ ¥£M³ª¦ ¤a `°a´ ¦ º©¬ ¤ ¥È»É ¬ a ¥º¢ Â¦ «*ù ¢´5 ©£M³M ´ ¦ ¤ ¦ K¦k³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦ ¡X »¦ «Ìé ° Z²9¦ ¡M³X K¤a T°a´ ¦ º©¬ ¤ ¥È»É ¬% a ¥º¢ Â¦ «Ì¡X »¦ «`¤ * ¢¡M·* ¢´p ¢´ ´k¹©¤ Â¦ i b ²r¬ ¢ º¢ Â¦ « ´k ¢ µ³X f ¬Ñ¤a ©º©¬ ¡M¡X ¢¡ ¤a¬ ³X ¢´!² ¬aþ ¬ °Q£X Î÷M¦ þ¿¬ ¢¡M¡ª¬Ñ¤a ^²a¡X ©¤ ¥È»É ¬.º¢¡X ©£Xº© ¢´ ´k¹©¤ Â¦ji b ²r¬ ¢ º¢ Â¦ « ´k © ³X º©¬ ´ ¬^³X ¢´!²r¬aþ`¦ ³X¹ké ° ¦ £ ³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦ £Z£X Î÷M¦ ´ 9É ¬ Í ¤a ©£Xº©¬ ¡M¡X ¢«Â¦ º¢ ¥¬ 9¦ ¤ ¦ r£ Þäv« « ·*¬µ¬ ¤t ð³ ¦ « Q þ P)`R`R\0 iQ äv«¥¹¢´ ¤ ¦^£X ¢ £M ùa « ¥¤ ¦ ¤aó v £ º©¬ ¤ ¥È©ò ©£Z a ¥º¢ Â¦ ¥£»þ'£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ º»¦ Ë ³M ¥º©¬2£K¦ ²a¡X ©£X ¢ ³ª¦ ´ ¤ °9¦ £ ¬ °a³M¡ª¦ £¿ ´!²r¬ ¡M³ª¦ µ³X ©£ ²a¡X¬ ²a¡M ¥ ©¤ ¦ ¤a ©£ Q Ê`¡M ´k ¢ ¡ª¦ ´k ¢ µ³X 2þa¸9ìZ°a´ $ ña´k ¢¡X¬T _ h ³ª¬ º©¬ ³ªì» * ¢« ¤a ^Ë ¡Mùa ³ª¦ £!²r ¢¡M ¥Ëµ¤ ¥º»¦ £! £M³ªì» * ¢ ¥£! ´k ¢¡X£ª¦ £K ¬2£!º©¬ 2÷ø°a µ³X¬2£kº»¦ Ë ³M ¥º©¬2£ Q ¶`´ ¬ °a³M¡ª¦ £"²9¦ «Â¦» µ¡ª¦ £»þ:¬% ©£Xé ° ¢«¥ ¢³X¬%¤a T°a´ ®R²Náo®R²ÏÒeáJ¯Z® R²N¶ ¯oÒj¹Z°a´ ¦%º©¬ «¥ ©È»É ¬^¤a T _ h a ³ª¦ £ Ë ¡Mùa ³ª¦ £"²r ¢¡M ¥Ëµ¤ ¥º»¦ C£ Þäv« « ·*¬µ¬ ¤ ¢³¨¦ « Q þ P)`R`R\0 iQ ¶`´p£X ¢·2°a ¤a¬ « °a· ¦ ¡»þ7¦ ¤ 7 Y ´! ¥º»¦ ¬2£ ¦ ³M¡ª¦ ³X¬ ¡X ©£"º»¦ Ë ³M ¥º©¬2£"9¹ ´iá ¸ Kìe¶ ¯o®f k²Ná^®e· ±i¶N²N¶ * ®9þ9²9¦ ¡ª¦ ¬2£v´ ¦ ³X ¢´ ì ³M ¥º©¬2£ þ:¬ é ° ´!²a« ¥º»¦ é ° 2þC¤ °a¡ª¦ µ³X t¦ ¢ *¬ « ° È»É ¬ ³X ¢´!²r¬ ¡ª¦ «-þ¿¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ¢¡M·*¬ ¤ ¥º»¦ ´k ¢ µ³X j µ ¥£M ³ª¦f²r ©é ° ¢ 9¦ £ µ ý© a¸9¦ È»¦ £j¤ f³ª¬ ¤a¬2£j¬2£^²r¬ µ³X¬2£j¤ ¦ £jË ¡Mùa ³ª¦ £^²r ¢¡M ¥Ëµ¤ ¥º»¦ £j £M³ªì© ¢ ¥£% ´k ¢¡X£ª¦ £^ ¬ ¦ ³M¡ª¦ ³X¬ ¡vº»¦ Ë ³M ¥º©p¬ c ³M³»þ P)`R`20æ iQ v´ ¦Kº©¬ £X © é x3n¢ º¢ Â¦K¡X ¢«¥ ¢ 2¦ µ³X ¨¤a ©£X£ª¦ £ ²a¡X¬ ²a¡M ¥ ©¤ ¦ ¤a ©£v¹¨é ° "°a´ ¦!¤ 7 Y ´! ¥º»¦!º»¦ Ë Í ³M ¥º»¦%² ¬ ¤a ¦ ²9¦ ¡X ¢ µ³ª¦ ¡Z°a´ º©¬ ´!²r¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬t¡X ¢·2°a«Â¦ ¡K ð´ ¤a ¢³X ¢¡M´! 9¦ ¤a¬t £M³ª¦ µ³X k¤a ³X ¢´!²r¬¨ 2þ ¡M¡X ¢·2°a«Â¦ ¡M´k ¢ µ³X -²a°a«Â¦ I¡ ¤ ¦ £Ì²a¡XL¬ b ´! ¥¤ ¦ ¤a ©£ ¤a =°a´ ¦ Ë ¡Mùa ³ª¦v² ð¡X Ëµ¤ ¥º»¦ ²9¦ ¡ª¦ ¬ °a³M¡ª¦ Q Íä [¥¤a¹¢ Â¦"¤a ¯ZÒe·7²Ná^ÒeÐ ´¡ì ´¡¯o®0Ò ±v¹ ¦"£X ¢·2°a ³XR Ìé °9¦ ¤a¬ ¦ ³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦ ¦ ²a¡XL¬ b ´ ¦ ¡ÎÍ £X ¤a °a´ ¦jË ¡Xùa ³ª¦j²r ¢¡M ¥Ëµ¤ ¥º»¦f¤a ©£X Î÷M¦ ¤ ¦^ ´k ¢¡X£ª¦j ¬ ¦ ³M¡ª¦ ³X¬ ¡»þ ¦ ²a« ¥º»¦ ´KÍ<£X ²r ©é ° ¢ 9¦ £ ²r ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©òµ ©£"²9¦ ¡ª¦ ©£M³ª¦ ùa « ý ¦ ¡"³ª¦ «`Ë ¡Mùa ³ª¦ Q äv²a« ¥º»¦ ¤a¬ ² ©é ° ¢ 9¦ £ ² ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©ò ©£»þc¦ ³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦^²r¬µ¤a !´k¬ * ¢¡ÎÍ<£X !²9¦ ¡ª¦j¦% µ ý© a¸9¦ È»¦j¤ ¦^Ë ¡Mùa ³ª¦%² ¢¡M ¥Ë ¤ ¥º»¦t¤a ©£X Î÷M¦ ¤ ¦^é ° ¢ ³ªÉ ¬aþ £X ¢¡ªì ©£M³ª¦ ùa « ý ¦ ¤ ¦ Q äy²9¦ ¡M³M ¡ ¤ ¥£X£X¬aþ2 ¬ j-¦ ³X¬¨¤a ¿£M ¥£M³X ¢´ ¦ £`º»¦ Ë ³M ¥º©¬2£ £X ¢¡X ¢´ £X ¢ ^£ [ Í * ¢ ¥£=¦ ² ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©ò ©£C 9¦ £Cº©¬ ¤ ¥È©ò ©£C a ¥º¢ Â¦ ¥£ ² ¬ ¤a v£X ¢¡»þ*¤aã j-¦ ³X¬aþ*´Z°a ³X¬Z¤a ©£X Î÷Mì© ¢« ¢´ £M ³M°9¦ È©ò ©£"i b ² ¢¡M ´k ¢ ³ª¦ ¥£ Q v »¦ « ´k ¢ ³X 2þ £X T¹ ¢¡X¤ ¦ ¤a Té ° Z²r ©é ° ¢ 9¦ £ ² ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©ò ©£ ²r¬µ¤a ¢´ «¥ ¢ 2¦ ¡ ¦ ·2¡ª¦ ¤a ©£=´T° ¤ ¦ È»¦ £¿ 9¦ ¡X ©£M²r¬2£M³ª¦T¤a¬T£M ¥£M³X ¢´ ¦T¦ ¬Z«¥¬ a·*¬T¤ ¬Z³X ¢´!²r¬aþa¹ ³ª¦ ´Zù ¹¢´ * ¢¡X¤ ¦ ¤a ¨é ° ¦K ©£Xº©¬ « ¸r¦Kº¢¡M ³X ¢¡M ¥¬2£ª¦K¤a "³ª¦ ¥£ ²r ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©òµ ©£ ²r¬µ¤a ¨¤ ¡X ©º¢ ¥¬ 9¦ ¡ ¦k³M¡ª¦ ÷Î ¢³XË ¡M Â¦ ²9¦ ¡ª¦ é °9¦ «¥é ° ¢¡"« °a· ¦ ¡" ¬^¦ ³M¡ª¦ ³X¬ ¡»þ ²a¡X¬µ¤ °aý© ¤a¬%°a´ ¦ £X¹¢¡M ¥ K¤a T ©£M³ª¦ ¤a¬2£ ¤a ©£X Î÷M¦ ¤a¬2q£ ÞÁ¿¬µº©º»¦ «¥ ð³X³M c ¢³ ¦ « Q þ R{ aRaRa0 iQ ñ Í c ²r¬ µ³X¬t ´!²r¬ ¡M³ª¦ µ³X %¦ é °a =¹ é ° 2þÌ¤a ¢ µ ¤ ¬f¦ ¬tº»¦ ¬2£»þ'¹k² ¬2£X^£ [ * ¢«=¬ ùa³X ¢¡Z°a´ ´k ¢¡X¬% _ h a ³X¬^¤a !º©¬ ´!²r¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬2£Z¤ 7 Y ´! ¥º©¬2£Z¤a ©£X Î÷M¦ ¤a¬2£"°a³M « ý ¦ ¤a¬ Í<£X k¬ ´k ©£M´k¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦Ñº»¦ Ë ³M ¥º©¬aþvº©¬ ´ ¬.¦ _° b_[ « ¥¬ ¦ ²r ¢ 9¦ £%¤a t² ©é ° ¢ 9¦ £ ²r ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©òµ ©£^ ©£Xº©¬ « ¸a ¥¤ ¦ £ X|

Ê ÿLü\ËNÌ

−4

{û{

öA÷ øoùNøoúNû³ü ýLþ ù!ÿóþ û NùNø³ÿ

c ú á ¼ 9É ¬ ¹%°a´ ¦ ©£M³M¡ª¦ ³X¹¢·2 Â¦ ¤a ^º©¬ ³M¡X¬ «¥ j ©£M²r ©³º [ h9º»¦ þC´ ¦ £k¹%¬ ¬ ´k ^¤ ¦ ¤a¬ ¦ °a´ º©¬ 2÷ø°a µ³X¬f´T°a ³X¬f·2¡ª¦ ¤a ^¤a ´k¹¢³X¬ ¤a¬2£k¤a %º©¬ ³M¡X¬ «¥ ^é ° 'jE¬ ¡ª¦ ´ ¤a ©£X ¢ ¬ « µ ¥¤a¬2£ º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤a¬ ¦ « ·2°a´ ¦ £ ¥¤a ¢ Â¦ £vº©¬ ´Z°a £ ù9¦ £X »¦ ¤ ¦ £ ¬!º©¬ º© ¢ ³X¬ ¤a "²a¡X ©¤ ¥È»É ¬ Q äv² ©£ª¦ ¡`¤a é ° £X ¿º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦¨é ° ¿¬ ú á ¼ ³X ¢ a¸9¦¨£M°a¡M·2 ¥¤a¬" ¬2£ ¦ ¬2£ Xea þ*¬"° £X¬¨¤a¬ º©¬ º© ¢ ³X¬ ¤a ²a¡X ©¤ ¥È»É ¬ °a´ £M ¥£M³X ¢´ ¦k¤a Zº©¬ ³M¡X¬ «¥ T¹ ù9¦ £M³ª¦ ³X Z´ ¦ ¥£ ¦ µ³M ·*¬ Q äz¦ È»É ¬ ²a¡X ©¤ ³M 2¦ ¤a °a´ º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡C² ¬ ¤a v£X ¢¡ µ³X ¢¡M²a¡X ¢³ª¦ ¤ ¦Zº©¬ ´k¬ °a´ ¦"´ ¦ ¢ ¡ª¦Z¤a ·* ¢¡ª¦ ¡ °a´ ¦ ¦ ³M°9¦ È»É ¬%é ° ² ¬2£X£ª¦!²a¡X ¢ ¢¡ °a´ ¤ ð³ª ð¡X´! r¦ ¤a¬%i jE ¢ ³X¬ 9¦k¡X ©£M²r¬2£M³ª¦ ¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ^ ¢ µ ³ªì Í-«¥¬ ¬ °Ø¦ ¬ ´k ¢ ¬2£k¤ ´! ° [ Í-«¥¬ Q w ä jE¬ ¡M´ ¦f´ ¦ ¥£k£M ´!²a«¥ ©£!¤a %²a¡X ©¤ ¥È»É ¬ ² ¬ ¤a £X ¢¡ ¢ º©¬ ³M¡ª¦ ¤ ¦ µ°a´ º©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡"²a¡X¬ ² ¬ ¡Xº¢ ¥¬ 9¦ «Ì¤ ð¡X 2¦ ³M p¬ ú þ ¬ ¤a T¦ ¦ È»É ¬ ¤a º©¬ µ³M¡X¬ «¥ u(t) þ é ° v¦ ³M°9¦ £X¬ ùa¡X ¬ ¢¡M¡X'¬ e(t) = r(t) − y(t) ¢ µ³M¡X ¦"¡Xi jE ¢o¡ n¢ º¢ Â'¦ r(t) T¦!£ª ¦ [¥¤ D¦ ¤ ¦!²a«Â¦ µ³ª¦!²r¬µ¤a Z£X ¢¡ µ ¥£M³ª¦!º©¬ ´k¬ °a´ ¦!²a¡X ©¤ ¥È»É ¬k« »¦ ¡ ¤a e(t) T °a a ¥¤ ¦ ¤a ©£v¤ay(t) ¨³X ¢´!²ró¬ vqjÞ¡X ¢ ³X ¤a t

u(t) = Kc [e(t) + Td

de (t)] ∼ = Kc eˆ(t + Td | t). dt

PRPRQSPK

è ©£M³ª¦ ©é °9¦ È»É ¬ K ¹C¬ · ¦ a¸ ¬ ¤a¬vº©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡»þ T ¬ ³X ¢´!² ¬ ¤a ¢¡M 2¦ ³M *¬ eˆ(t+T | t) ¹ ¦K²a¡X ©¤ ¥È»É ¬k¤a¬k ¢¡M¡X¬ e(t) ¬K³X ¢´!² ¬ t + T º©¬ ´ ¦K _jE¬ ¡M´ ¦ È»É ¬k¤ ¥£M² ¬ [ * ¢«c ¢´ t Q ¶ £M³ª¦K¦ È»É ¬Z²a¡X ©¤ ³M 2¦T¤a¬Kº©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡ ² ¢¡M´! ³X "é ° £X Î÷M¦ ²r¬2£X£^[ ¢«-þ ²r¬ ¡ iba ¢´!²a«¥¬aþ º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¡¨²a¡X¬ º© ©£X£X¬2£¨º©¬ ´ ² ©é ° ¢ ¬2£ ¦ ³M¡ª¦ £X¬2£"¤a T°a´ ¦ ´ ¦ ¢ ¡ª¦ ´ ¦ ¥£"i h9º¢ ¥ ¢ µ³X !é ° é °9¦ ¤a¬! 9É ¬k£X "° £ª¦!¦!¦ È»É ¬ 1 £M³M¡X¬ ´ ©"¦ ·2·2« °a ¤:þ P)`R`RW0 iQ c °a³M¡X¬2£=£M ¥£M³X ¢´ ¦ £C¤a vº©¬ ³M¡X¬ «¥ é ° °a³M « ý ¦ ´ ¦" ¥¤a¹¢ Â¦ ¤a ²a¡X ©¤ ¥È»É ¬T£ªÉ ¬ ¬ Ê`¡X ©¤ ³X¬ ¡ ¤a ¯ ´! ³MM¸ ú Ò þµ²a¡X¬ ² ¬2£M³X¬T ¬2£ ¦ ¬2£ WRa -¯ ´! ³M¸7þ P)`RW0XR þa £M°9¦ £= 2¦ ¡M Â¦ È©ò2 ©V£ Þè ¬ ¡M´k³ Í ¥º©¬ Ç ¦ ´ ¦ ºª¸ ¬aþ R{ aRa20{ iQ ¶ £M³X ©£Cº©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡X ©£C°a³M « ý ¦ ´ ³X ¢¡M 9¦ ´k ¢ µ³X °a´ ´k¬µ¤a ¢«¥¬ é ° º»¦ «¥º¢°a«Â¦ ¦j²a¡X ©¤ ¥È»É ¬ ¤ ¦f£ª ¦ [¥¤ ¦t¤a¬f²a¡X¬ º© ©£X£X¬ ¢´ t + L º©¬ ´ ¦j _ jE¬ ¡M´ ¦ È»É ¬f ¬ ³X ¢´!² ¬ t Þ¤a¬ ¡ª¦» 2¦ ³X yˆ(t + L | t) ²9¦ ¡ª¦t²r¬µ¤a ¢¡!º©¬ ´!²r ¢ £ª¦ ¡!¬2£Ki jE ¢ ³X¬2£K¤a¬ ¦ ³M¡ª¦ £X¬ ¤a ¨³M¡ª¦ £M² ¬ ¡M³X ²a¡X ©£X ¢ µ³X ¨ r¦!¤ 7 Y ´! ¥º»¦k¤ ¦K²a«Â¦ µ³ª¦ Q ¤a ¢ µ ¥¤a¬ ¦! ©£M³ª¦ £vº»¦ ¡ª¦ ³X ¢^¡ [¥£M³M ¥º»¦ £ ¬ ú Ò ²r¬ ¤ T£X ¢¡ Lº©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤a¬%º©¬ ´k¬%¬k²a¡M ´k ¢ ¡X¬%º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡"²a¡X ©¤ ³M ¬ ù9¦ £X »¦ ¤a¬ ¢´ ´k¬µ¤a ¢«¥¬!²a¡X¬ ² ¬2£M³X¬! 9¦T« ³X ¢¡ª¦ ³M°a¡ª¦ Q è"¦f¡X »¦ « ¥¤ ¦ ¤a 2þ¿¬2£k¦ « ·*¬ ¡M ³M´k¬2£%¦ ·2¡M°a²9¦ ¤a¬2£ ¤a ¢ ³M¡X¬ ¤ ¦ ¤a ¢ ¬ ´! 9¦ È»É ¬Ñ¤a ú á ¼ 9É ¬ £X "« ´! ³ª¦ ´p¦ ¬k ©£M³M° ¤a¬k¤a ²a¡X¬ º© ©£X£X¬2£vº©¬ ´ ¦ ³M¡ª¦ £X¬k i b ³X ¢ ¤a ¢´ ¦ £ ¥¤a¹¢ Â¦ £v¤a¬ ú Ò º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤a¬ ¦j²a¡X ©¤ ¥È»É ¬ ¤ ¦t£ª ¦ [¥¤ ¦f¤a¬t²a¡X¬ º© ©£X£X¬ ¦ ³X¹ °a´ ³X ¢´!²r¬ t + N N > 0 é °9¦ «¥é ° ¢¡ þ*² ¢¡M´! ³M ¤a¬T¦ °a³M « ý ¦ È»É ¬Z¤a ¤ jE ¢¡X ¢ ³X ©£ ´k¬µ¤a ¢«¥¬2£C¤a¬¨²a¡X¬ º© ©£X£X'¬ º¢« ° £M * 9É ¬ Í-« »¦ ¡X ©£ 2þc ¢´ ·* ¢¡ª¦ «-þcº»¦ «¥º¢°a«Â¦ ´ ¦ «¥ ¢ C¤a kº©¬ ³M¡X¬ «¥ k°a³M « ý ¦ ¤a¬f¦ « ·*¬ ¡M ³M´k¬2£T¤a ¬ ³M ´! ý ¦ È»É ¬ é ° "² ¬ ¤a ¢´ º¢« °a ¡v¬K³M¡ª¦ ³ª¦ ´k ¢ µ³X¬ ¤a "¡X ©£M³M¡M ¥È©ò2 ©£ Q ä> ©£M³M¡M°a³M°a¡ª¦ ·* ¢¡ª¦ « ¤a v°a´ ú á ¼ ¹ ¦ ²a¡X ©£X ¢ µ³ª¦ ¤ ¦ 9¦Z§' ·2°a¡ª¦ PRPRQSP ¬ ¤a v² ¬ ¤a £X ¢¡ ¬ ù £X ¢¡M 2¦ ¤a¬ ¬f£X ¢f° jÞ°a º¢ ¥¬ 9¦ ´k ¢ ³X ¬ º©¬ ´ ¬fº©¬ µ³M¡X¬ «¥ ^¦ ³M°9¦ « u(t) %¦f£ª ¦ [¥¤ ¦f¦ ³M°9¦ « ¦ jÞ°a³M°a¡ª¦T¤a¬K²a¡X¬ º© ©£X£X¬ °a´ ´k¬ ¤a ¢«¥¬!º»¦ «¥º¢°a«Â¦ Í<£X ¨²a¡M ´k ¢ ¡X¬k¦Z²a¡X ©¤ ¥È»É ¬k¤ ¦T£ª ¦ [¥¤ q y(t)

2º©¬ ´x ©£M³ª¦ £c _ jE¬ ¡M´ ¦ È©ò2 ©£'°a´ ´kË2¤ °a«¥¬ ¤a =¬ ³M ´! ý ¦ È»É ¬"º»¦ «¥º¢°a«Â¦v¬ £M 9¦ «µ¤a =º©¬ ³X¡X¬ «¥ ym ¦^£X ¢¡T¦ ²a« ¥º»¦ ¤a¬ ¦ ¬^²a¡X¬µº© ©£X£X¬^ ¬j²a¡X Ë b ´k¬j²9¦ £X£X¬^º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤ ¬f¦%´! a ´! ý ¦ È»É ¬ ¤a °a´ ¤a ¢³X ¢¡M´! 9¦ ¤a ¬ [ ¤ ¥º© ¤a ¤a ©£X ¢´!² ¢ a¸ ¬ ¦ £Ì¡X ©£M³M¡M ¥È©ò2 ©£ 9¦ £` 2¦ ¡M Âì * ¢ ¥£ ¤a ¿²a¡X¬µº¢ ©£X£X¬ K Ê ¬ °t¤a º©¬ ³M¡X¬ «¥ó Ç ¦ ´ ¦ ºX¸ ¬ ¨Á¿¬ ¡X¤a¬ £»þ R{ aRa û iQ v´ ¦Tº»¦ ¡ª¦ º¢³X ¢^¡ [¥£M³M ¥º»¦T ´!² ¬ ¡M³ª¦ ³X é ° ¤a ¢ "£X ð¡¿¡X ©£X£ª¦ « ³ª¦ ¤ ¦T¹"é ° "¦Z [ ¢«r ¤ ° £ÎÍ ³M¡M Â¦ « ¦t¦ ²a« ¥º»¦ È»É ¬f¤a¬ ú ¤a¬ ú Ò ³X ¢´ £X k¡X ©£M³M¡M a·2 ¥¤a¬fé °9¦ £X é ° k³X¬ ³ª¦ « ´k ¢ µ³X ^¦ ¬ º©¬ µ³M¡X¬ «¥ Z¤a ¨´ ¦ « ¸9¦ £v«¥¬ º»¦ ¥£v Z ð´ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £v¤a ¨°a´ ¦k ð µ³M¡ª¦ ¤ ¦k ¨°a´ ¦k£ª ¦ [¥¤ g¦ Þº©¬ µ³M¡X¬ Í «¥ k¤a K²a¡X ©£X£ªÉ ¬aþ7 [ ¢«-þ: 2¦ ý É ¬aþ' ¢³Xº iQ Æ ì^¬2£Z¦ « ·*¬ ¡M ³M´k¬2£Z¤a ú á ¼ Z³ nð´ ¦^£M°9¦ ´ ¦ ¥¬ ¡ c

Ð¨Õ' :Ã: 9Õ' Ñú : c ÂÃ: ¥À:ÕÚá 'Ò ' cÕÚ 9¼ ¼ Õ' c Õ {RWRW ¦ ¬2£¨´k¬ ¤a ¢«¥¬2£ PRPRQSP)` £ªÉ ¬ þ ) B = 0.324(1 − 0.867z ) B = 0.376 þ` ¬2£!¦ ³XB¡ª¦ £X¬2£T=²r0.19(1 ¬ ¡!£ª ¦ [¥¤ −¦ 0.928z Q ä £X£M ´jþ ˜ A = (1 − d = 1 d = 0 Q ä £C ©é °9¦ È©ò2 ©£ z )(1 − 0.867z )(1 − 0.928z ) A˜ = (1 − z )(1 − 0.934z ) ¤a "²a¡X ©¤ ¥È»É ¬ké ° "² ¢¡M´! ³X ¢´ ¬!º»ì «¥º¢°a«¥¬!¡X ©º¢°a¡X£M ¬!¤ ¦T¡X ©£M² ¬2£M³ª¦T« µ¡X ¨ ¨¤ ¦T´ ¦ ³M¡M ýZ¤a ¡X ©£M²r¬2£M³ª¦k¦ ¬!£ª¦ « ³X¬k£ªÉ ¬ Ê ÿLü\ËNÌZÌ

−1

ä ©£Xº¢¬ « ¸9¦%¤a¬2£"¸ ¬ ¡M ý»¬ ³X ©é£ jE¬ ¦ £X ¢·2°a µ³X Q ÊÌ¦ ¡ª¦^¦ £ª ¦ [¥¤ ¦ P ¤ ¦ ¤a¬^é ° T¸9ì °a´ ¦ ¦ ´k¬2£M³M¡ª¦T¤a ¨¦ ³M¡ª¦ £X¬K "¦Zº©¬ £M³ª¦ µ³X "¤a ³X ¢´!² ¬K¤a p ¹"¤a X ¦ ´k¬2£M³M¡ª¦ £»þ ©£Xº©¬ « ¸ ¢¡ª¦ ´KÍ £X N = 2 N = 17 þ ¤a pjE¬ ¡M´ ¦.³ª¦ « ¦.³X ¢¡^°a´ ¸ ¬ ¡M ý»¬ µ³X ¤a f²a¡X ©¤ ¥È»É ¬y¤a ¤ °9¦ £vº©¬ £M³ª¦ µ³X ©£ ¤a ³X ¢´!²r¬ Q £ª¦ ¤a¬ ¬!´k ©£M´k¬ º¢¡M ³X¹¢¡M ¥¬ ©£Xº©¬ « ¸ ¢¡ª¦ ´KÍ<£X N = 1 ¬ N =5 Qäc ¸ ¬ ¡M ý»¬ µ³X T¤a Zº©¬ ³M¡X¬ «¥ T ©£Xº©¬ « ¸ ¢°t°a´ ³X ¢¡XÈ©¬ ¤a¬ ¤a ²a¡X ©¤ ¥È»É N = 31 N = 10 Q ä £v² ¬ ¤a ¢¡ª¦ È©ò2 ©£ ¤a¬ ¢¡M¡X¬ Q T¤a¬%º©¬ ³M¡X¬ «¥ Q ©£Xº©¬ « ¸ ¢´p¤ Â¦ ·*¬ 9¦ ¥£ Q Ç ¬ ´k¬ ¬f· ¦ a¸ ¬ ¤ ¦ p ¹%¦ ²a¡X)¬ b ´ ¦ ¤ ¦ ´k ¢ µ³X %³Mo¡ n©£K * ¢ý» ©£!¬f¤ ¦ p ¦j² ¬ ¤a ¢¡ª¦ È»É ¬ ¤a¬0 ¢¡M¡X¬0 9¦0£ª ¦ [¥¤ ¦ P ©£Xº©¬ « ¸ a ¥º¢ Â¦ « ´k ¢ ³ª 9¦.¬ ¡X¤a ¢´m¤a ` * ¢ý» ©£j¦0¤ ¦.£ª ¦ [¥¤ ¦ { ²9¦ ¡ª¦fé ° ³X ¢ a¸9¦ ´ ² ©£X¬f ©é °a 2¦ «¥ ¢ ³X p¬ [ ¤ ¥º© J Q è ¬ 2¦ ´k ¢ ³X %º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤a¬ ¬2£ é °9¦ ¤ ¡ª¦ ¤a¬2£"¤a¬2£ · ¦ a¸ ¬2£¨ ©£M³ªì ³M ¥º©¬2£"¤a¬%£M £M³ª ð´ ¦ þ ©£Xº©¬ « ¸ ¢¡ª¦ ´KÍ<£X Q = diag[10 1] 11

Qδ = diag[20 25]

F !¾ !¾

' [9\e½ 8ED2b:A Fc\

v ³M « ý ¦ ¤a¬%¬2£¨¦ ÷ø° £M³X ©£ ¤a ih a ¥¤a¬2£¡jE¬ ¡ª¦ ´ ¡X »¦ « ý ¦ ¤a¬2£" aì ¡M ¥¬2£" ib ²r ¢¡M ´k ¢ µ³X¬2£¨¬ ¤a £X ¨¦ ²a« ¥º»¦ ¡ª¦ ´ ´Z° ¤ ¦ È»¦ £v¤a "¡X ijE ¢¡on¢ º¢ Â¦! "²r ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©ò2 ©£"¦ ¬!£M ¥£M³X ¢´ ¦K¤a ¨º©¬ ³M¡X¬ «¥ ¤a [ * ¢« %³X ¢´!² ¢¡ª¦ ³M°a¡ª¦ Q ä §' ·2°a¡ª¦ PRPRQ û ´k¬2£M³M¡ª¦ ¦ £ª¦ [¥¤ ¦ ¤a¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ j¦ ¦ È»É ¬ ¤a º©¬ ³M¡X¬ «¥ Z °a´ ¦k£X © é x3n¢ º¢ Â¦k¤a ¨´T° ¤ ¦ È»¦ £ ¤a ¨¡Xi jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦k¤a [ * ¢«c ¢ µ³M¡X 65 XeW º¢´ ¤a ³X ¢´!² ¢¡ª¦ ³M°a¡ª¦ ¤a ²9¦ ¡ª¦ ·2¡ª¦ ° £!º© ¢ ^³ [ ·2¡ª¦ ¤a¬2£! 9¦ £T²a¡M ´k ¢ ¡ª¦ £!¤ °9¦ £T¸ ¬ ¡ª¦ £ ¤a¬ ¢ £ª¦ ¥¬ Q ëÌ¦ ´Tù ¹¢´jþ7¦ 35²a¡XL¬ b ´ ¦ 55¤ ¦ ´k ¢ µ³XC v £ { ¸ ¬ ¡ª¦ £" P)a ´! °a³X¬2£»þ7¦k aì « µ°a«Â¦ ¤a £ª ¦ [¥¤ ¦¨¤a¬ ³ª¦ é ° ã jE¬ 3 jE ¢ºª¸9¦ ¤ ¦¨²r¬ ¡¿¦ « ·2°a £=£X ¢·2°a ¤a¬2£ ²9¦ ¡ª¦Z¦ ²a« ¥º»¦ ¡C°a´ ¦¨² ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È»É ¬ ¬!£M ¥£M³X ¢´ ¦ Q Ç ¬ ´k¬f£X ¬ ù £X ¢¡M 2¦ þÌ¬fº©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡!²r ¢¡M´! ³X %¤a ©£ª¦ º©¬ ²a«Â¦ ¡!¤aJ jE¬ ¡M´ ¦t£ª¦ ³M ¥k£ j-¦ ³XË ¡M Â¦ ¬2£ i jE ¢ ³X¬2£%¤ ¦ 2¦ ¡M Â¦ È»É ¬.¤a t [ ¢«v 9¦ ³X ¢´!² ¢¡ª¦ ³M°a¡ª¦.³ª¦ ³X¬Ñ ¬.º»¦ £X¬.¤a t´T° ¤ ¦ È»¦ £ ¤a ¡Xi jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦ º©¬ ´k¬ 9¦t¡X Î÷Î ¢ ¥È»É ¬ ¤a %²r ¢¡M³X°a¡Mù9¦ È©ò2 ©£ Q ë'¦ ´Tù ¹¢´ ¬ ù £X ¢¡M 2¦ Í<£X ^é ° ^¦ £ ¬2£M« ¥º»¦ È©ò2 ©£ ¤ ¦ ³X ¢´!²r ¢¡ª¦ ³X°a¡ª¦Ñ¤a j ¢ µ³M¡ª¦ ¤ ¦ ¤ ¦ ì ·2°9Í¦ Þé ° ^³X ¢´ °a´ ¦Ñ¦ ´!²a« ³M° ¤a t¤ ¦ ¬ ¡X¤a ¢´ ¤a æ ·2¡ª¦ ° £ £ªÉ ¬k¦ ¤a ©é °9¦ ¤ ¦ ´k ¢ ³X T ¢« ´! 9¦ ¤ ¦ £v¤ ¦K³X ¢´!²r ¢¡ª¦ ³M°a¡ª¦k¤a £ª ¦ [¥¤ ¦ Q óf ©£M´k¬^£X ¢ ¤a¬%°a´ º©¦ £X¬^£M ´!²a«¥ ©£»þ7¬^º©¬ ´!²r¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬j¡X »¦ « ¤a¬%²a¡X¬ º© ©£X£X¬^¹K 9É ¬ Í « »¦ ¡ " ©£M³ªìT£M°2÷Î ¢ ³X¬aþ ¢´ ¦ « ·2°a 9¦ £¿¡X ¢·2 ¥ò2 ©£ ¤a "¬ ² ¢¡ª¦ È»É ¬aþ ¦Z¡X ©£M³M¡M ¥È©ò2 ©£¿ 9¦K¦ ³M°9¦ È»É ¬! 9¦¨³X ¢´!² ¢¡ª¦ ³M°a¡ª¦ Q è ©£M³X vº»¦ £X¬aþµ¬Z ©£M³M° ¤a¬ ¡X »¦ « ý ¦ ¤a¬T²r ¢¡M´! ³X ¬ ùa³X ¢¡=°a´ ¤a ©£X ¢´!²r ¢ a¸ ¬ £ª¦ ³M ¥k£ j-¦ ³XË ¡M ¥¬ °a³M « ý ¦ ¤a¬.°a´ ú á ¼ « »¦ ¡%£X ¢´ ¡X ©£M³M¡M ¥È©ò2 ©£ Q Ê'¬ ¡X¹¢´jþvé °9¦ ¤a¬Ñ ¥£M³X¬ 9É ¬0¦ º©¬ µ³X ©º© 2þv¤a ¢ ªÍ<£X t°a³M « ý ¦ ¡%°a´ º¢¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡jé ° j º¢« °9¦0¦ £ ¡X ©£M³M¡M ¥È©ò2 ©£%K Ê ¬ °

¨Ð Õ' :Ã: 9Õ' 2 ' 'Õ' Ö XâÔÉ7 Ò»Ã: 9½:Ã:½7 'Òk ¼ ÏaÃ:Õ' cÕ'Òk c Ò :Ã:Õ' 7 ¥ {R\_P ¢· ¦ ³M 2¦ £ ¤a ©£X£X ©£äj-¦ ³X¬2£v£X¬ ùa¡X K¦ké °9¦ « ¥¤ ¦ ¤a T ²a¡X¬ ¤ °a³M µ ¥¤ ¦ ¤a K¤a¬2£v²a¡X¬ º© ©£X£X¬2£v ¤ ° £ÎÍ ³M¡M Â¦ ¥£ Q ó ¦ « ¸9¦ £ZÊ çø± ´ ¦ «=£M ³X¬ a ý ¦ ¤ ¦ £Tº»¦ ° £ª¦ ´ ² ¢¡X¤ ¦^¤a ké °9¦ « ¥¤ ¦ ¤a ¤a¬^²a¡X¬ ¤ °a³X¬ h 9¦ «-þ ¡X ©¤ ° È»É ¬ ¤ ¦Ñi h9º¢ n¢ º¢ Â¦0¤a¬.²a¡X¬ º© ©£X£X¬.²a¡X¬ ¤ °a³M ¬aþv· ¦ £M³X¬2£%¤a ©£M ©º© ©£X£ªì ¡M ¥¬2£%¤a ¢ ¢¡M·2 Â¦ þa¡X ©¤ ° È»É ¬ ¤a " µ ¥¤ r¦ ña³M «c¤a¬2£ ©é °a ²9¦ ´k ¢ ³X¬2£»þ9 ¢ ³M¡X ¬ °a³M¡X¬2£ ²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦ £ Q ±¨¦ ¤ ¦"¦ ´!² ¬ ¡MZ³ Y º¢ Â¦" ¿¦"¦ ²a« ¥º»¦ ùa « ¥¤ ¦ ¤a ¤a¬2£Ìº©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡X »£`Ê çø±Ñ÷Mìv¤a ©£M³ª¦ º»¦ ¤ ¦ £»þ 2¦ «¥ !¦ ²r ¢ 9¦%¬^ ©£M³M° ¤a¬^¤a ¢³ª¦ « ¸9¦ ¤a¬j¤a¬%º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡ZÊ çø± !¤a K³X¹©º¢ a ¥º»¦ £ ¤a K£M µ³X¬ a Â¦ ©£M²r ©³º [ h9º»¦ £¿é ° v²r ¢¡M´! ³ª¦ ´jþa¤am jE¬ ¡M´ ¦ ¡ªì ²a ¥¤ ¦Z v£M ¥£M³X ¢´ ì ³M ¥º»¦ þ ¬ ùa³X ¢¡ ¦ ÷ø° £M³X ©£=i h9º»¦ ý» ©£ ¤a¬2£Ì· ¦ a¸ ¬2£ ¤a¬¨º©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡=Ê çø±Ø²9¦ ¡ª¦ °a´ ¦ ·2¡ª¦ ¤a ¿· ¦ ´ ¦¨¤a =²a¡X¬µº© ©£X£X¬2£ Q ÊÌ¬ ¡ ¬ °a³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬aþ'´k¹¢³X¬µ¤a¬2£Tº¢«Âì £X£M ¥º©¬2£T¤a k²a¡X¬ ÷Î ¢³X¬aþÌù9¦ £X »¦ ¤a¬2£Z ¬tº©¬ a¸ ©º¢ ´k ¢ µ³X¬ ¤a¬j´k¬ ¤a ¢«¥¬f¤a¬ ²a¡X¬ º© ©£X£X¬aþ £ªÉ ¬ ³ª¦ ´Tùr¹¢´x¤ ¡X ¢³ª¦ ´k ¢ ³ª ¿¦ ²a« ¥º»ì» * ¢ ¥£Ì¦ ¬vº»¦ £X¬v¤ ¦ £M µ³X¬ a Â¦ ¤a¬vº©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡ Ê çø±Kþ ² ¢¡M´! ³M ¤a¬! ¢´ ·* ð¡ð¦ « °a´ ¦ ÷ø° £M³X ¤a ²9¦ Z¡ Y ´k ¢³M¡X¬2£ é ° º©¬ _ h ¡ª¦Tº»¦ ¡ª¦ º¢³X ¢^¡ [¥£M³M ¥º»¦ £ ¤a ¨¤a ©£X ¢´!² ¢ a¸ ¬k´ ¦ ¥£ ©£M²r ©³º [ h9º»¦ £ Q æ

Ê ÿLü\Ë Ì

Î2ÚoÏ9Î

a 9~ ¡ ¡ ~ } ï 9~E W X}W ~ | ~2

xä º©¬ ´Tùa 9¦ È»É ¬ ¤ ¦ £"¦ È©ò ©£v²a¡X¬ ² ¬ ¡Xº¢ ¥¬ 9¦ «-þr ³X ¢·2¡ª¦ «Ì ¤a ¢¡M 2¦ ³M 2¦k²9¦ ¡ª¦!·* ¢¡ª¦ ¡v°a´ £XË £M 9¦ «Ì¤a Zº©¬ µ³M¡X¬ «¥ K¤ ìk¬ ¡M ·* ¢´ ¦ ¬ é ° Zºª¸9¦ ´ ¦ ´k¬2£"¤a ¯oÒe·7²NáoÒeÐS®0ì0Òeá µ7á^Òiµ_Òeáo¯³¶ Òe·,®eÐ î ¶!·7² ´ ¸eáo®eÐ îkì ´iái¶ * ®R²N¶ * Ò ¬ °t£M ´!²a«¥ ©£M´k ¢ ³X Ê çø± Q7c º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡ Ê çø±x¹¨º»¦ ²9¦ ýZ¤a ¨ ¢« ´! Í 9¦ ¡= ¢¡M¡X¬2£¿¤a ¡X ¢·2 ´k v² ¢¡M´ ¦ ¢ ³X 2þ ¦ ³M¡ª¦© ¹©£=¤ ¦Z¦ È»É ¬Z µ³X ¢·2¡ª¦ «-þµùr ¢´ º©¬ ´k¬K¦ ³X ©º¢ ²9¦ ¡ ¬kº¢¬ ´!² ¬ ¡M³ª¦ ´k ¢ µ³X¬ ¤a¬K²a¡X¬µº© ©£X£X¬aþa·2¡ª¦ È»¦ ¡£ vk¦ È»É ¬k¤a ¢¡M 2¦ ³M 2¦ Q äx¦ È»É ¬!²a¡X¬ ² ¬ ¡Xº¢ ¬ r¦ «-þ ²r¬ ¡`£M°9¦ ¢ý*Kþ j-¦ ý¿º©¬ ´xé ° =¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ¡X »¦ ÷M¦ ¦ ¬ ¢¡M¡X¬ ²a¡X ©£X ¢ ³X 2þ2º©¬ _ jE ¢¡M ¤a¬¨¦ ¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ °a´ ¦k¡X »¦ È»É ¬ ´k ©¤ Â¦ ³ª¦ 2þ9²r¬ ¡X³ª¦ ³X¬aþr¡ªì ²a ¥¤ ó¦ v ¦ È»É ¬ ¤a Z²r ¢¡M³M°a¡Mù9¦ È©òµ ©£"¬ °f 2¦ ¡M Â¦ È©ò ©£ ¤a "¡Xi jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦k¤a "´ ¦ ·2 a ³M° ¤a ©£ £M ·2 a h9º»¦ ³M 2¦ £ Q c £M 9¦ «¿¤a º©¬ µ³M¡X¬ «¥ ·* ¢¡ª¦ ¤a¬f²r ¢«¥¬fº©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡!Ê çø± ²r¬µ¤a £X ¢¡T·* ¢ ¢¡M ¥º»¦ ´k ¢ ³ª i b ²a¡X ©£X£X¬!º©¬ ´k ¬

1 u(t) = K e(t) + Ti

t 0

de(t) e(τ )dτ + Td dt

»{

P _QSPK

±" ©£X£ª ¦ jE¬ ¡M´ ¦!³X ¢´KÍ<£X Z³M¡on©£ ²9¦ ¡iY ´k ð³X¡X¬2£"¤a Z£M ³X¬ a Â¦k ¬ º©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡) ¬!· ¦ a¸ ¬ ²a¡X¬ Í ²r¬ ¡Xº¢ ¥¬ 9¦ « K E¦ È»É ¬¨²a¡X¬ ² ¬ ¡Xº¢ ¥¬ 9¦ « þ ¬"³X ¢´!² ¬¨ ³ª ð·2¡ð¦ « T E¦ È»É ¬¨ ³X ¢·2¡ª¦ « ¬"³X ¢´!² ¬ ¤a ¢¡M 2¦ ³M *¬ T E¦ È»É ¬k¤a ¢¡M 2¦ ³M 2¦ iQ Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤a¬Z¦v ib ²a¡X ©£X£ªÉ ¬J P»{_QSPK þ*¬"£M 9¦ «a¤a º¢¬ µ³M¡X¬ «¥ ¬ ¡M °a ¤a¬¨¤a¬"º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡ Ê çø±5²r¬µ¤a "£X ¢¡¿ µ ¥£M³X¬Kº©¬ ´k¬!¦T£X¬ ´ ¦K¤a æ £M 9¦ ¥V£ p(t),i(t),d(t) ¬ ùa³M ¥¤a¬2£v¦Z²9¦ ¡M³M ¡ ¤a¬ £M 9¦ «7¤a ¢¡M¡X¬ Qôc ¤ Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦k¤ ¦ ¤a¬! 9¦!§' ·2°a¡ª¦ P»_{ QSP « ° £M³M¡ª¦! ©£X£X¡ j-¦ ³X¬ Q i

Ê ÿLü\Ë Ì

Ð¨Õ' :Ã: 9Õ' 2 ' 'Õ' Ö XâÔÉ7 Ò»Ã: 9½:Ã:½7 'Òk ¼ ÏaÃ:Õ' cÕ'Òk c Ò :Ã:Õ' 7 ¥ {R\0X

ÃLG & H $GM $*,+)- .0/ fI - - .0/ I e À -_+K À - ·ëm H +) - Ç7 $GÁ $G - H +)-M

×$*O !-

Ç ¬ ´k¬ µ ¥£M³X¬k 9¦k£X ©È»É ¬ P»_{ QSPRQ æ þ J¦ h ´ ¤a T ¢ µ ³ª¦ ¡v²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦ £"º©¬ ´ ¡M° [¥¤a¬2£"¤a T¦ « ³ª¦ Þ¡X ©é x3n¢ º¢ Â¦ þ é ° £X ¢¡M Â¦ ´ ¦ ´!²a« h9º»¦ ¤a¬2£¿ ¢´ ¤a ¢´ ¦ £M Â¦"² ¬ ¡ °a´ ¦ ¦ È»É ¬ ¤ ð¡X 2¦ ³M 2¦¨²a°a¡ª¦ þ ¤a ¢ * ðÍ<£X K« ´! ³ª¦ ¡Z¬ · ¦ a¸ ¬j¤a ©£M³ª¦%¦ È»É ¬j ¢´ ¦ « ³ª¦ £¡jÞ¡X ©é x3n¢ º¢ Â¦ £ º©¬ ´ ¦^¦ ¤ ¥È»É ¬^¤a K°a´ ²rË «¥¬ p Q ¶` ³M¡X ¢³ª¦ µ³X¬aþ ¢´ º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡X ©£ Ê çø± º©¬ ´k ¢¡Xº¢ Â¦ ¥£»þ ¦ ²r¬2£M ¥È»É ¬ ¤a ©£X£X %² Ë «¥¬ 9É ¬ ¹2þC ¢´ ·* ¢¡ª¦ «-þC _ jE¬ ¡M´ ¦ ¤ ¦ ²r ¢«¥Å¬ jE¦ ù ¡M ¥º©¦ µ³X j 9 ð´ ²r¬µ¤a ^£X ¢¡!´k¬ ¤ h9º»¦ ¤ ¦ ²r ¢«¥¬ ° £M°9ì ¡M ¥¬ Q ±" ©£X£ªq¦ jE¬ ¡M´ ¦ þ º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ Í<£X é ° Zq¦ jÞ¡X ©é x3n¢ º¢ Â¦k¤a¬K² Ë «¥¬k¹ £M°_h9º¢ ¥ ¢ ³X ¢´k ¢ µ³X ¦ « ³ª¦ þa²r¬µ¤a ¢ ¤a¬k£X ¢¡v¤a ©£M²a¡X ¢ý ¦ ¤ ¦K²9¦ ¡ª¦!i jE ¢ ³X¬2£ ¤a ¨²a¡X¬ ÷Î ¢³X¬ Q ¦ h b ¦ ¡ ¦Z² ¬2£M ¥È»É ¬K¤a º©¬ £M ¥£M³X " ¢´ °9¦ ¤a¬k¦ ÷ø° £M³ªì» * ¢«-þµ°a´ ¦T¡X ¢·2¡ª¦T²a¡ªì ³M ¥º»¦T²9¦ ¡ª µ º¢°a«Âì Í-«¥¬ ¦ ¬!· ¦ a¸ ¬ T º©¬ ´k¬k£X ¢·2° C ^ 1 £M³M¡X¬ ´ V ©"¦ ·2·2« °a ¤:þ P)`R`RW0 ^ p j

α Td P)a_Q¡c

¬ ¤a ¤a ¢ Z£X ¢¡ ©£Xº©¬ « ¸a ¥¤a¬ ¢ µ³M¡X ] °a³M¡ª¦ ¬ ² È»É ¬ ¹ ù9¦ £X »¦ ¡ ©£M³ª¦ ©£Xº©¬ « ¸r¦! ¬ ´k¹¢³X¬ ¤aα¬ ¤a¬K« °a· ¦ ¡v¤ ¦ £ ¡ª¦ [ ý» ©£ ²9¦ ¡ª¦K²a¡X¬ ÷Î ¢³X¬k¤a º©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡X ©£ Q %'& H ! 0- .0/ ()7} K D- ()- £ I -

è ¬ £M³ª¦ ³X ! ¢´pé ° K¬µº©¬ ¡M¡X T°a´ ¦ ´Z° ¤9¦ È»¦%¤a T¡Xi jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦%º©¬ £M³ª¦ ³ª þ7¬ 2¦ «¥¬ ¡ a¤ ¬T³X ¢¡M´k¬K¤a ¢¡M 2¦ ³M ¬T³X ¢ ¤a ¨¦T£X ¢¡=´T°a ³X¬T·2¡ª¦ ¤a Q ë'¦ «,j-¦ ³X¬T²r¬µ¤a «¥ ¢ 2¦ ¡ävT£ª¦ ³M°a¡ª¦ È»É ¬ ´k ©¤ Â¦ ³ª¦%¤a¬%º©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡»þc¬ é ° T²r¬µ¤a T 9É ¬%£X ¢¡¨¤a ©£X Î÷Mì© ¢«Ì ¢´ ¦ « ·2°a´ ¦ £ £M ³M°9¦ È©ò ©£ Q v´ ¦ãjE¬ ¡M´ ¦v¦ « ³X ¢¡M 9¦ ³M 2¦v¤a ´!²a«¥ ¢´k ¢ ³ª¦ È»É2¬ ¤ ¦v¦ È»É ¬ ¤a ¢¡M 2¦ ³M 2¦ ©£X£X Cº»¦ £X¬ º©¬ £M ¥£M³X ¢´ ¦ ² « ¥º»ì Í-«Â¦! 9É ¬k£X¬ ùa¡X ¨¬k ¢¡M¡X¬aþa´ ¦ £ £M ´ £X¬ ùa¡X Z¦K£ª ¦ [¥¤ ¦!¤a¬K²a¡X¬µº© ©£X£X¬ Q Ç ¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ ¤a¬ °a´ ¦k¡Xi jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦ º©¬ £M³ª¦ ³X = r Z¡X »¦ « ´k ¢ ³ª¦ È»É ¬%°a a ³ªì ¡M Â¦ þ ¦ ¬k¦ ²a« ¥º»¦ ¡ÎÍ<£X T¦!¦ È»É ¬k¤a ¢¡M 2¦ ³M 2¦!£X¬ ùa¡X ¨¬k ¢¡M¡X¬k¬ r(t) ùa³X¹¢´KÍ<£X R de(t) d(r − y(t)) d(y(t)) = =− dt dt dt

¬ °0£X Î÷M¦ þÌ ©é °a 2¦ «¥ %¦t¦ ²a« ¥º»ì Í-«Â¦f¤ ¡X ¢³ª¦ ´k ¢ µ³X ^¦ ¬f£M 9¦ «¿¤a £ª¦ [¥¤ ¦t¤ ¦j²a«Â¦ µ³ª¦ Q Ç ¬ ´k¬ ¦Ñ£ª¦ [¥¤ ¦Ñ¤a¬Ñ²a¡X¬ º© ©£X£X¬. 9É ¬Ñ 2¦ ¡M Â¦.¦ ùa¡M°a²a³ª¦ ´k ¢ µ³X é °9¦ ¤ ¬.£X f¦ ²a« ¥º»¦Ñ°a´ £ª¦ « ³X¬Ñ 9¦ ¡X ijE ¢¡on¢ º¢ Â¦f E¦ ¬jº©¬ ³M¡ªì ¡M ¥¬f¤a¬^ ¢¡M¡ª¬ þc ¢ µ ³ª¦ Í<£X ¦ £X£M ´ ¬^²a¡X¬ ùa«¥ ¢´ ¦j¤a ¦ ²9¦ ¡X ©º¢ ´k ¢ ³ª¬ ¤a "°a´ ²a ¥º©¬k¤a "·2¡ª¦ 9¤a Z¦ ´!²a« ³M° ¤a ¬!£M 9¦ «c¤a ¨º©¬ µ³M¡X¬ «¥ Q äO ©é °9¦ È»É ¬!¤a¬TÊ çø± º©¬ ´ ¦K¦ È»É ¬K¤a ¢¡M 2¦ ³M 2¦K¦ ²a« ¥º»¦ ¤ ¦K£X¬ ùa¡X ¨¦Z£ª ¦ [¥¤ ¦T¹ ¡X © ©£Xº¢¡M ³ª¦ º©¬ ´k ¬ Z P»_ 1 dy(t) { Q W0 u(t) = K(e(t) + e(τ )dτ − T ) T dt ´!² ¬ ¡M³ª¦ µ³X T¡X ©£X£ª¦ « ³ª¦ ¡¨é ° T ©£M³ª¦ £"º©¬ £M ¥¤a ¢¡ª¦ È©ò ©£ £X K¦ ²a« ¥º»¦ ´ ¦ ²r ¢ 9¦ £ ¦ ¬%º©¦ £X¬ ¤a "¡Xi jE ¢o¡ n¢ º¢ Â¦kº©¬ £M³ª¦ ³Xó ³M ²r¬k£ª¦ « ³X¬ iQ 7; !; !; 4 6 ¼ô8-7 [ 6Q7[ :cD2 b _ FQAC B AcBED2=b 8 ä5 ´!²a«¥ ¢´k ¢ ³ª¦ È»É2¬ ¤a¬!º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡ Ê çø± ² ¬ ¤a £X ¢ã¡ jE ¢ ³ª¦!¦K²9¦ ¡M³M ¡v¤a ¦ ²a¡X)¬ b ´ ¦ Í È©ò ©£T µ°a´k¹¢¡M ¥º»¦ £!¤ ¦ £T¤ ð¡X 2¦ ¤ ¦ £! ¤ ¦j ³X ¢·2¡ª¦ « é ° %¦ ²9¦ ¡X ©º© ¢´ 9¦t« ¢ ¤a º©¬ ³M¡X¬ «¥ Q ±" ©£X£ª ¦ jE¬ ¡M´ ¦ þ ¹Ì² ¬2£X^£ [ * ¢«*¤a ©£Xº¢¡X ¢ ¢¡cº»¦ ¤ ¦¿°a´ ¦ ¤ ¦ £c¦ È©òµ ¢£7² ¬ ¡7°a´ q¦ ´;)³Ñ ®RæKç0Ò ì ´ áZ´^¯oÒeáiî á "i·,¯³¶ ® ³ª¦ ´Zù ¹¢´ ºª¸9¦ ´ ¦ ¤ Å ¦ ´;)³Ñ ®RæKç0ÒDì ´Jìe¶ íL´iáo´i·7æK® ± iQ ä £ ©é °9¦ È©ò ©£"¤a ¡X ©º©¬ ¡Mo¡ n¢ º¢ Â¦ t

Ê ÿLü\ËNÌ

Ð¨Õ' :Ã: 9Õ' ' r 'úaÃ2 Ã: ¥À7Õ

{R]_P

lei de adapta ção

yref

controlador

planta

ö¿ ÜÌ½7 r ÂÈF :î"È É ± Â¦ ·2¡ª¦ ´ ¦!¤ "ùa«¥¬ º©¬2£ ·* ¢ ¹¢¡M ¥º©¬ ¤a "°a´ º©¬ µ³M¡X¬ «¥ Z¦ ¤ ¦ ²a³ª¦ ³M ¬ Q P)`0Xea P)`R]Ra þaº©¬ ´ ¬!¤a ©£X ¢ ¬ « µ ´k ¢ ³X¬ ¤a¬2£ ´! ¥º¢¡X¬ ²a¡X¬ º© ©£X£ª¦ ¤a¬ ¡X ©£»þ9¬!º©¬ µ³M¡X¬ «¥ Z¦ ¤ ¦ ² Í ³ª¦ ³M *¬t· ¦ ¸ ¬ °.°a´ ¬ *¬t ´!²a°a«¥£X¬aþ ¤a ¢ µ ¥¤aÅ¬ vj²r¬2£X£M ùa « ¥¤ ¦ ¤a %¤a ´!²a«¥ ¢´k ¢ ³ª¦ È É ¬ ¦ °a´ º¢° £M³X¬^¡ª¦ ý»¬*ì» * ¢« QDc ¤a ©£X ¢ ¬ « µ ´k ¢ ³X¬f¤a kº©¬ µ³M¡X¬ «¥ %¦ ¤ ¦ ²a³ª¦ ³M *¬t²9¦ ¡ª¦j£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ 9É ¬ Í-« »¦ ¡X ©£j¤a ¢° Í<£X f²a¡M º¢ ²9¦ « ´k ¢ µ³X 9¦.¤a¹©º»¦ ¤ ¦0¤a P)`R`Ra þ"¦ £X£M ´ º©¬ ´k¬0 ©£M³M° ¤a¬2£ ¦ ùr¬ ¡X¤ ¦ ¤a¬ ¦K¡X¬ ùa° £M³X ¢ýZ¤a ¨º©¬ µ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡X ©£"¦ ¤ ¦ ²a³ª¦ ³M *¬2£ Q Ç ¬ µ³M¡X¬ «¥ "¦ ¤ ¦ ²a³ª¦ ³M *¬T¹ ²9¦ ¡M³M ¥º¢°a«Â¦ ¡M´k ¢ µ³X v µ³X ¢¡X ©£X£ª¦ ³X v²9¦ ¡ª¦ £M ¥£M³X ¢´ ¦ £=º¢°2÷Î¬2£ ²9¦ Í ¡ZY ´k ¢³M¡X¬2£ ¤ ¦y²a«Â¦ µ³ª¦Ø£ªÉ ¬Q¤a ©£Xº©¬ a¸ ©º¢ ¥¤a¬2£ ¬ ° 2¦ ¡M Â¦ ´ º©¬ ´ ¬Ø³X ¢´!²r¬ Q c °x£X Î÷M¦ þ ¦ £X£M°a´k ðÍ<£X Cé ° C¦ ©£M³M¡M°a³M°a¡ª¦v¤ ¦ ²a«Â¦ µ³ª¦ ¹Cº©¬ a¸ ©º¢ ¥¤ ¦ þ ´ ¦ £'¬2£c 2¦ «¥¬ ¡X ©£'¤a¬2£7²9¦ Z¡ Y ´k ¢³M¡X¬2£ 9É ¬ ¬¨£ªÉ ¬ QAc ¢_ jE¬ é ° ° £M°9¦ « ´k ¢ ³X ¦ ¤a¬ ³ª¦ ¤a¬ ¹ º©¬ ´Tùa 9¦ ¡C³X¹©º¢ a ¥º»¦ £C¤a ©£M³M ´ ¦ È»É ¬ ¤a ²9¦ Z¡ Y ´k ¢³M¡X¬2£Zº©¬ ´ ³X¹©º¢ a ¥º»¦ £Z¤a !²a¡X¬ ÷Î ¢³X¬j¤a !£M ¥£M³X ¢´ ¦ £ ¤a kº©¬ ³M¡X¬ «¥ Q ä £X£M ´jþ:²r¬µ¤a ðÍ<£X ´ ¦ ·2 9¦ ¡v¤ * ¢¡X£ª¦ £ ©£M³M¡ª¦ ³X¹¢·2 Â¦ £ ¤a ¨º©¬ ³X¡X¬ «¥ ¦ ¤ ¦ ²a³ª¦ ³M ¬kº©¬ ´Zùa 9¦ ¤a¬ Í<£X Zº»¦ ¤ ¦T°a´ ¦ ¤ ¦ £¿² ¬2£X^£ [ * ¢ ¥£¿³X¹©º¢ a ¥º»¦ £ ¤a ¨ ©£M³M ´ ¦ È»É ¬!¤a "²9¦ Z¡ Y ´k ¢³M¡X¬2£vº©¬ ´ º»¦ ¤ ¦K°a´ ¦K¤ ¦ £¿³X¹©º¢ a ¥º»¦ £ ¤a "²a¡X¬2÷ø ¢³X¬k¤a º©¬ ³M¡X¬ «Â¦ ¤a¬ ¡X »£ Q | } ~ }W T &u£ } Ú K} ~ }p ï v 9~E W X }W T} Z r}¿ r ; W ± jE ¢¡X ¢ ³X ©£ ¢ _jE¬ é ° ©£Ì²9¦ ¡ª¦ ¬"º©¬ ³M¡X¬ «¥ ¦ ¤ ¦ ²a³ª¦ ³M ¬¡jÞ¬ ¡ð¦ ´x²a¡X¬ ²r¬2£M³X¬2£Ì 9¦v« ³X ¢¡ª¦ ³M° Í ¡ª¦ þ ´ ¦ £¿³Mo¡ n©£ ©£Xé ° ¢´ ¦ £ £ªÉ ¬K¬2£¿´ ¦ £ °a³M « ý ¦ ¤a¬2)£ ¶ £Xº»¦ «¥¬ 9¦ ´k ¢ ³X¬k¤a Z®¨¦ a¸ 9¬ ^÷ä®e¶!· ï ¯iÓ ´^ìeÑ$Ð ´ lt® ¯ þ Ç ¬ µ³M¡X¬ «¥ Kä ¤ ¦ ²a³ª¦ ³M ¬ ²r¬ ¡¨óf¬ ¤a ¢«¥¬ ¤a Tvi jE ¢o¡ n¢ º¢ Âp ¦ âøÅÒKì íÐ îY äŃíLíî áoí·,¯i´¡âäì0®iµ,²N¶ *e´ à Òe·7²NáoÒeÐ lkófvä Ç v ¢·2°a«Â¦ ¤a¬ ¡ äv°a³X¬ ÍÎ¯ µ³X¬ a ý ì© ¢ « ï íÐ íZîp Ñ$·3¶!·$¸ ä´^¸eÑ$ÐS®R²ÏÒeárl%¯µë iQ Î(á Ï9Î

Ø Ô±ÖmÑ=8 ÏO: Ñ=6ÍÓ7:[ÎXÏ¿Ð Ó·A[Ñ=:54 Ï Ù ÚÜÛ6Ý Þzß±à~Ý áãâxà·äÜßæå â ç©Ý à è ß¢é ß¢â,à j1ß·ê©ë â áìÝ ízÚîÝ à·ä í*ç ß¢â áìÝ ízÚ_í*à©ä ë í*ä í*ï©ßñð~Ý òQÝ Û>ß±à©ä òÜß±Þzâ Ý±å Ý ð äQÝ ä í*ï©ß Q ó ízå éxí ÝôÛ>ß±à Ú ízÚ äÜâ"âxáõë ä í*Þ*í*ö Ý ò Ý Þ*çXë áìÝôïXÝ ò í ÷>ï©âxÞ Ý ëmømí*Þ*í Ý ò6ù ê©ë â ÚÜâ8ú Ý Û>ß±ò òÜâxÞ Ý±Ûxízß±à~Ý±å ÝûÛ>ß±áüÝ±ÚãÝ Þ*äÜâxòQÝ±ý>þ·â>Ú à~Ý åmí*à~ÿ á ízÛ6Ý å Ý ð Þ Ý à©äQÝmù âx á 1ë à ý ±ß å Ý ê©ë~Ý Þ ßXÚ"ð~Ý òQÿ áãâxä òÜßXÚ å ßîÛ>ß±à·ä òÜß±Þ Ý±å ß±ò Ú ±ß Ý ú ë Ú äQÝ±å ßXÚ6ù$Û>ß±áãß_áãßXÚ ä òQÝ Ý çXë òQ Ý

9í*ð ízÛ6Ý áãâxà©äÜâ"ßXÚ ð~Ý òQÿ áãâxä òÜßXÚ9å ß Û>ß±à©ä òÜß±Þ Ý±å ß±ò Ú ±ß(ïXÝ ò í Ý±å ßXÚ å â eß±ò áìÝ å í*ÚÜÛxòÜâxäQÝ å âx à ä òÜß å âôë á Û>ß±àXú ë à·äÜßîð òÜ é Hå â à ízå ß ë£ÚÜâ8ú Ýmù Ú ±ß_ð òÜß±ú8âxäQÝ±å ßXÚ Û>ß±à©äÜòÜß±Þ Ý±å ß±òÜâ> Ú ø ßXÚ ð~Ý òQÝ åmí*ï âxòÜÚQÝ±Ú òÜâxçXízþ©â>Úôå âìß±ð âxòQÝ± ý ±ß å Ý ð ÞzÝ à·äQÝ âìß Ý Þ*ç ß±ò í*ä áãß å âìÛ>ß±à·ä òÜß±ÞzâîÝ±å Ý ð äQÝ ä í*ï ß Û>ß±à Ú ízÚ äÜâãâxá ÚÜâxÞzâ>Ûxí*ß±à Ý ò6ùYâx á 1ë à ý ±ß å Ý±Ú ïXÝ ò í ÷6ï âxízÚaÝ ëmømí*Þ*í Ý òÜâ>Ú6ùYê©ë Ý Þ å â>Ú äÜâ>Ú 7¾

½ )'":¾ ¿OÀ | }%~@ ; }% ( =% >=% = 6 } ê©ë â(ÚÜßO1òÜâ ÝaòÜâ6Ý±ý ±ßìå Ýaí*à éxòÜÛxí Ý â(å ßìÝ ä ò í*äÜß ï·ízÚÜÛ>ßXÚÜß J

¡ f

ùmð ß±ò äQÝ à©äÜßãäÜâxá± HÚÜâ

£j f ß±à å â é Ý Û>ß±à Ú äQÝ à©äÜâ å â"äÜß±òÜê©ë â å ß áãß±äÜß±ò â é Ý Û>ß±ò òÜâxà©äÜâ å â Ý ò áìÝ±åmë òQÝ

ó Û>ß±ò òÜâxà©äÜâ å â Ý ò áìÝ±åmë òQÝ éôå Ý±å Ýìð âxÞ Ý_â>ê©ë~Ý±ý ±ß å âaáìÝ Þ*è~Ýîå ßîÛxí*òÜÛxë í*äÜß å â Ý òQ áìÝ±åmë òQÝ τ = K T ia = J

dΩ + fΩ dt ia

dia + ea dt

ß±à å â R â L Ú ±ßãÝ òÜâ>Ú ízÚ ä kxà Ûxí Ýôâ Ý í*à åmë äQÿ à Ûxí Ý å â Ý ò áìÝ±åmë òQÝmù òÜâ>Ú ð â>Ûxä í*ïXÝ áãâxà©äÜâ â é(å Ý±å ß ð ß±ò e Va = ia Ra + La

ÜÚ âxà å ß K Ý Û>ß±à Ú äQÝ à©äÜâ å â Ý ò áìÝ±åmë òQÝãå ßôáãß±äÜß±òD

L ß±ò áìÝ Þ*áãâxà·äÜâXù Ý Û>ß±à Ú äQÝ à·äÜâ"å â äÜâxá ð ßôâxÞzéxä ò ízÛ6Ýaé á ë í*äÜßaáãâxà ß±ò å ßaê©ë â"Ý Û>ß±à ÚQ äQÝ à©äÜâ å â(äÜâxá ð ßãáãâ>Û6ÿ à ízÛ6Ýmù å â(áãß·å ßãê©ë â(ÚÜâ"ð ß·å â å â>Ú ð òÜâxö Ý ò L ù ßjB äÜâxà å ßO HÚÜâ ea = K a Ω

£j f #pjs mÑjsxÐCÐj¯ Kr s r ¬

Õ r t 9 Yâ(ß±ò9òÜâ>ß±ÚÜë ß±ä Þ*ï òÜßâxà Þ å Ý±å ßO Hß ÚÜù·â(åmð~ízÚÜÝ ÛxòQòÜÝ âxä í*ö Ý ÛQà è å âxßç©ÝD H ÚÜ â £jÝ f ð âxÞ Ý(òÜâxçXòQÝ å âsÙ ë Þzâxò Va = ia Ra + Ka Ω

J Ω(t + 1) − Ω(t) f + Ω(t) KT T KT

ê©ë â(Ú ë B Ú ä í*ä ë nzå Ýôà~Ýôï âxòÜÚ ±ßãåmízÚÜÛ,òQâ,ä,Ýôå â ia (t) =

Va (t) =

ß±ë

JRa Ra f Ω(t) + Ka Ω(t) (Ω(t + 1) − Ω(t)) + KT T KT

JRa Ω(t + 1) − Va (t) = KT T

â"òÜâ>ÚÜß±Þ*ï©âxà å ßO HÚÜâ(ð~Ý òQÝ

£j f òÜâ>Ú ë Þ*äQÝ

Ω(t + 1)

JRa Ra f − Ka Ω(t) − KT T KT

KT T fT Ka KT T Ω(t) Ω(t + 1) = Va (t) + 1 − − JRa J JRa

Ë%É4Å>ÆDÍ fÊ Ä G·â(ßXÚ9ð~Ý òQÿ áãâxä òÜßXÚ å ßôÚ ízÚ äÜâxáìÝMeß±òÜâxá å â>ÚÜÛ>ß±à è â>Ûxízå ßXÚ6ù ð ß·å âxá ÚÜâxò í*å â,à·ä íS ~Û6Ý±å ßXÚ Ý ä òQÝ>ï©é>Ú å ßãÝ Þ*ç ß±ò í*ä áãß gK %G> Ý òQÝaäQÝ à©äÜß é(Û>ß±à©ï©âxà ízâxà©äÜâ(òÜâxð òÜâ>ÚÜâxà©äQÝ ò ßôÚ ízÚ äÜâxáìÝað ß±ò ë á áãß©å âxÞzß ó g þ ¡f

t (

y(t + 1) = a1 y(t) + b1 u(t) + ω(t + 1)

' A ' 6 C A 6 d d < p A ¡ 6¢[ 6£¤ ¤ p £¤¥¤ A 6¦

ยฝ )'":ยพ ยฟ

6 @ย = ย ย -ย ย ]6 } ย @ย ; 6 ~<}%ย (} 8:6ย = ย 6 ~ ย ; @ย = _ Rc X ย ยฆยงX@ยฆยงX \ รผW_ ย c รฝ jBย รบ รถ ย n n ย รน รน B รฝ (ย ย L l jย B รบ รฝ ย รน #ย ย w รบ รถ รน #n n ย รน ย รน B ย รน รบ n 4k L VT

รฝ(รฒ รพ>รผ รถeรทFรท รพ

รป(รถ

รฒFรถeรท รฑ รด รธCรฐ8รป รพ

รธCรฐ8รปqรฐ

รน(รณ รพ

รถ<รธ รพ

รฒFรถ/รฐ รด

รถeรป รณ 8รพ

รปqรฐcรฏ

รฑ รฐยครน>รธ รณgรธCรฐยครธ รณgรต0รฐยครฏ

รณ รด รฑqรท รธ รฒCรฐ

รพ รฑ

รถ<รน&รธFรถ

รฒFรถ/รฐ รด

รฑ รถ#รทFรถ#รป(รถeรทFรถ รฐ

รฐcรณgรฏ4รฐ รฟ รถ<รฏรฆรปqรฐ

รฟ รฒCรฐยครนqรป(รถ

รฑ รฐ รด รณgรธCรฐยครธ รณgรต0รฐยครฏ

รฐGรน&รฑ(รฏMรป รพ รฏ

รฑqรถ

รถ<รน&รธFรถยกรฑqรทCรฐยครนqรป รพ

รถ

รน(รณ รพ

รผeรพ รน

รฑ(รฏ

x ห

รฟ รฒCรฐยครนqรป(รถ

รฐ

รฑ(รน&รธ รพ

รป(รถ

8รพ

รถeรป รณ 8รพ

รฏ

8รพ

รถ<รน>รธCรฐ

รป รพ

รฐยครฝ(รฒFรถeรทFรถ<รน

-รพ8รด1รพ รท

รป(รถยฒรท รฏ

Domรญnio abstrato objeto imagem ห x

รป รพ

รท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐ

รผ รถ<รน&รธFรถ

รถ<รฒ รณ 8รพ

รถeรป รณ 8รพ

รฏ

รธ รณgรฝ รพ

dรพ รฒ รฏ4รฐ

รป(รถ

รถ<รฏZรฝ(รฒFรถ รฟ รฐZรฒFรถ

รถeรป รณ 8รพ

รป(รถ<รธFรถ รผ

8รพ

รฝ รด รถeรท รฏ

รถ<รน&รธFรถJรทFรถJรถ รฑqรถยกรฐ

8รพ

รฑ(รน

รถ<รธ รพ รฒCรฐ &รพ รฑjรทFรถ รฐ

รถeรป รณ 8รพ

รผ รฐ8รปqรฐ

รพ

รทFรถ

รฒFรถ/รฐ รด รณ รฐ

รฐ

รธ รณgรฝ รพ รทGรป(รถ

8รพ

รฑ(รน

รธ รณgรฝ รพ

รท รฑ(รฒCรฐยครนqรป รพ

รถ

รฑqรถ รพ

รถ<รฏ

รถ รน รท รฑ(รฒCรฐยครนqรป รพ

รฏ

รถ<รฏ

รถeรทcรฝ-รถ<รฒ

cรผeรพ รฏZรฝ รฐยครฒCรฐ8รป รพ"รผeรพ รฏ

รธ รณgรฝ รพ

รป(รถ รฏ

รน 8รพ

รทFรถ

รถeรป รณ 8รพ

รฐ

รฑ(รน

รด รณgรนqรถ/รฐยครฒย รถZรถeรท รธCรฐยครฒ รพ

รน 8รพ

รฝ รพ รป(รถย รฐ

รพ รฒFรป รณgรน รฐ รด

รฝ(รฒFรถeรทFรท รพ

รถ

รผ รฒFรถeรท

รถeรทFรทFรถ4รธ รณgรฝ รพ

รท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐย รป(รถ#รฏ รต0รฐยครณ รถ

รพ

รฑ(รฏ

รฝ-รถ<รฒ รธCรถ รน

รท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐ

รถeรป รณ 8รพ

รฒFรถ

รป รพ

รทFรถ รฐ

รน(รณ รผeรพ

รท รณย รฏ

รฑqรถ<รฒ รทFรถ

รณ1รท รธ รณgรฒnรฐยครฝPรถ<รน รฐ8รทVรฑ(รฏ

รฝ(รฒ รพ รต>รถ<รน(รณ1รถ<รน>รธFรถJรฐยครฝPรถ<รน รฐ8รทcรป(รถZรฑqรฏ

รท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐJรป(รถ

รถeรป รณ 8รพ

รป(รถjรฏ

รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐ

รผ รฒFรถeรท รผ รถ<รน(รธFรถ

รผeรพ รน&รธ รฒ รพ8รด รถGรป รพ

รถ

รฒ รฏ4รฐยครฒ

8รพ

รฏ

รพ รฑ(รธ รฒ รพ

รพ รฑ

dรพ รฒ รฏ4รฐ

รฑ รฐ รด รฐGรฒCรฐ รผeรพ รฏ

รธ รณgรฝ รพ

รพ รน รพ

รน รผ รณtรฐ

รป(รถ รฏ

8รพ

รฑqรถ

รป(รถ รฏ

รพ รฑ

รธ รณgรฝ รพ

รน(รณ รผeรพ

รต0รฐ รด1รพ รฒย รป(รถ

รถeรป รณ 8รพ

cรท รณgรฏZรฝ รด รถeรท

รฑqรถ

รน รผ รณtรฐ

รถ<รฒ รพ

รพ รท รพ

รถ<รธ รพ รท

รป รณ รถ<รฒFรถ<รน รผ รณtรฐ

รถeรป รณ 8รพ

รฑqรถ

รฝ รพ รฒยกรถ

รถ<รฏZรฝ รด1รพ

รฒFรถeรท รฑ รด รธCรฐ8รป รพ

รฑqรถ

รฐGรฏ

รน 8รพ

รถeรท รธFรถ

รฝ

รถeรป รณ 8รพ

รฝ(รฒFรถ รผ รณ1รทCรฐGรทFรถ<รฒ

รถeรป รณ 8รพ [รผeรพ รฏ

รพ

รพ รน รพ รธ รพ รน(รณ รผ รฐยครฏ4รถ<รน>รธCรถ

รฝ รพ รป(รถร รทFรถ<รฒJรถ รฏZรฝqรฒFรถ รฟ รฐ8รปqรฐzรถ<รฏ

รถ<รฏ

รถ<รน

รถeรท รฝ-รถ รผ รณ รผ รฐ8รปqรฐย รถ

รป(รถGรฏ

รฏ4รฐ8รท รฐยครฝ-รถ<รน รฐ8รทnรฏ

รฑ(รฏ{รฏ

รพ

รถ

รถ<รน รพ รฒ

รถeรป รณ 8รพ

รท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐcรป(รถยกรฏ

รน(รณ1รปqรฐ8รป(รถeรท

รถ<รฏ

Aรฏ

รฐ รดgรฟ รฑ(รฏ4รฐ"รถeรท รผ รฐ รด รฐjรฝ รฐ8รป รฒ 8รพ

รน>รธFรถ<รฒ รน รฐ รผ รณ รพ รน รฐ รด รป(รถ รธ รณgรฝ รพ

รผeรพ รฏยบรฑ(รฏ4รฐ4รฒFรถ รถ<รฒ รฑqรถ

รน รผ รณtรฐGรป รพ

รป(รถยฒรธ รฒCรฐยครนqรท รถ<รฒ

รฑ รฐยครน&รธ รณgรธCรฐยครธ รณgรต0รฐ

Aรฏ4รฐยครณ รพ รฒ

รณ1รท รธFรถ รฑ(รฏ4รฐยกรฒFรถ รถ<รฒ

รฒFรถ รด รฐ รผ รณ รพ รน รฐ8รปqรฐ

รทFรทFรถ

รถeรป รณ 8รพ

รฑ(รฏ

dรพ รฒ รนqรถ รผ รณgรป รพ

รผeรพ รฏ

รฐยครฝPรถ<รน รฐ8รท

รถ<รฏZรฝ รด1รพ

รถ

รต0รฐ รด1รพ รฒnรป(รถ#รถ<รน>รธ รฒCรฐ8รปqรฐ

รปqรฐ

รผ รณgรน รผeรพ

รณ1รปqรฐ8รป(รถ

รฒFรถeรท รฑ รด รธCรฐ8รป รพ

รฐcรฒFรถeรท รฝ รพ รท รธCรฐGรป รพ

รฑqรถ

รน รผ รณtรฐcรป รพ

รฏ4รฐยครณ1รทcรท รณgรฏZรฝ รด รถeรทย รป(รถ

รถeรป รณ 8รพ

รปqรฐmรฏ

รปqรฐ

รถ<รน&รธ รฒCรฐ8รปqรฐ

โ ข

รฑqรถ<รฒ รณ1รปqรฐZรฝ รฐยครฒCรฐZรณgรฏ

รพ รฒFรป(รถ<รฏMรป(รถ รผeรพ รฏZรฝ รด รถ

รพ รฑรญรน 8รพ

รป(รถ#รธ รฒCรฐยครนqรท รถ<รฒ

รฝ รฐยครฒCรฐ

รณ1รท รธ รพ

รฑ(รฏ4รฐ

รพ รฑยพรน 8รพ

รผ รฐ8รปqรฐ"รฒFรถeรท รฑ รด รธCรฐ8รป รพ

รถ

รน รผ รณtรฐZรฒFรถ

รฑ(รธ รธFรถ<รน

รผ<รด รฐ8รทFรทFรถ รฐ

รถeรป รณ 8รพ

รฏ

รถeรท#รฝ รพ รป(รถ<รฏร รทFรถ<รฒย รฒFรถ/รฐ รด รณ รฐ8รปqรฐ8รทยฒรป(รถ

รถeรป รณ

รด รฐ8รทFรท รณ รผ รฐ

รณ1รท รธFรถ4รฝ(รฒFรถeรทFรถ<รน

รณรฟ

รถ

รป(รถ

รน รผ รณtรฐ4รฒFรถeรท รธ รฒ รณgรน รฟ รถ

รถeรป รณ 8รพ

รป(รถ4รฏ

ยฒรท รฏ

รฐZรป(รถยฒรฑ(รฏรฆรฐ รด รฐยครฒ รฏ

รป(รถยฒรฝqรฒFรถeรทFรถ รน

รน รฐ

รณรฟ

รทFรทCรฐjรถ

รฏ4รฐยครณgรทยซรท รณgรฏZรฝ รด รถeรทnรป(รถย รฏ

รฑ รฐ รด รณgรธCรฐยครธ รณgรต0รฐ

รฒFรถeรท รฑ รด รธCรฐ8รป รพ

รถ<รธFรถ

รฝ(รฒ รณgรน รผ รฝ(รณ รพ

ยฒรด รฐ0รฐ8รทFรทFรถ<รน

รฐjรฑ(รฏ4รฐJรป(รถ<รธFรถ<รฒ รฏZรณgรน รฐ8รปqรฐ

รฐยครฝPรถ<รน รฐ8รท

รป รพ

รฐยครฝ(รฒFรถeรทFรถ<รน&รธCรฐ8รปqรฐ8รทย รฐcรทFรถ รฟ รฑ(รณgรฒ รถ<รฏ

รท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐGรป(รถ

รณgรน

รทFรถ

รนqรถ รผ รถeรทFรท รณ1รปqรฐ8รป(รถย รป(รถย รฐ

dรพ รฒ รฏ4รฐ8รทยซรป รณ รถ<รฒFรถ<รน&รธFรถeรท

โ ข

รฑqรถ

รน รผ รณtรฐ รป รพ

รป(รถ4รธ รฒCรฐยครนqรท รถ<รฒ

รฏZรณgรธ รณ1รปqรฐ8รทยฒรถ รผ รถ<รน>รธFรถ

รณtรฐ รฟ รฒCรฐยครฏ4รฐGรณ รด รฑqรท รธ รฒCรฐยครธ รณgรต รพ

รท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐ4รป(รถcรฏ

รฐ

รพ

รฒFรถ<รฝ(รฒFรถeรทFรถ<รน&รธCรฐ

รท รธ รฒCรฐยครธ รพ

รฐ

รฟ รฒCรฐยครน

รฒFรถeรท รฑ รด

รท รธ รฒCรฐยครธCรฐ

รถ<รฏ

รถ<รนqรท รฑ(รฒCรฐยครนqรป รพ

รฏ

ย ย S รถ B

รป(รถeรท รผeรพ รน qรถ รผ รณ1รป รพ

#n รฝ

o รธ fk รฝ รธ fk รถ รฝ รฝ ย รน Xรน รฝ>รพ รฝ รณ รฝ>รพ รถ รน รธ รฝ ย ยฒ รน< ย ย ย ยขย ย รน] ย ย ย fย

ร ยคร ร ]ร ย ร ย รฝ ย รน U

i Cz รธ >รฝ รฝ รธ รฝ ย

L รฝ รฝ k รฝ รบ รบ รน รบ รน รน รธ P ย รน P ยข Cร Oร :ร ร ]ร ย !ร ย รฝ k ย รฝ " รธ $ย # &% '# &% {L รฝ รธ k รฝ รถ รน รฝ k รถD jBย รฝ รบ ยซL รฝ ย รน CG4ย ย G ( ย zรฝ ย ,รน รน รน รธ ย รน # *) % รธ รณgรฝ รพ

รฑ(รน

รถ<รธ รพ

รทFรถยกรถeรทFรทFรถยฒรฝ(รฒ รณgรน รผ รฝ(รณ รพ

รถeรป รณgรฒ รพ

รฏ

objeto de mediรงรฃo x

รฝ รด รถ<รฏ

รพ

รถ รฏMรฑ(รฏ4รฐGรณgรฏ4รฐ รฟ รถ<รฏร รฐ

Domรญnio empรญrico

576*8:9<;>=ร ย ร <? ย ย A รฝ รฝ รฝ k

Rl Q L PO

รฏ4รฐยครฝ-รถ/รฐยครฒยซรฑ(รฏ

รฏcรฑ(รนqรป รพ

รณ รฟ รฑ(รฒCรฐ

รฐ

รพย รพ

รฒ รณ รผeรพ

รถ<รฏZรฝ

รถeรป รณ 8รพ

รปqรฐย รฏ

รฒFรถ<รฝ(รฒFรถeรทFรถ<รน>รธCรฐ

Rl Q L PORlmW L ย O'U"QSl

รถeรป รณ 8รพcรผeรพ รนqรท รณ1รท รธFรถยฒรถ<รฏ

รป(รถ#รฏ

รถ<รฏยผรฑ(รฏรฆรป รพ รฏ

รฐ

รธCรฐ8รป รพ

L ORQSl

รท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐ8รทjรป(รถ รผeรพ รน&รธ รฒ รพ8รด รฐ8รป รพ รฒ

!#"%$'&( *) & +-,/. 01! 2 340 #)

iOย Oย

ย

ย ย

รต0รฐ รด1รพ รฒFรถeรทPKยครฒFรถ<รฝ(รฒFรถeรทFรถ<รน&รธCรฐ8รป รพ รท[รฝ รพ รฒ

รณ1รท รธ รพS ยค K รต0รฐ รด1รพ รฒFรถeรท[รถ<รฏร รป รณuldรถ<รฒFรถ<รน>รธCรถ<รท[รณgรนqรท รธCรฐยครน&รธFรถeรทย รป(รถnรฐยครฏ

{Yห d } ห ห k Yd (k), Yd (k โ 1), . . .

รธ รฒCรฐ รฟ รถ<รฏ

รทFรถ<รนqรท รพ รฒ รฑ(รธ รณ รด รณ2D รฐ8รป รพ

รฝ รฐยครฒCรฐZรป(รถ<รธFรถ<รฒ รฏZรณgรน รฐomPn รพ

รป(รถ

รพ รทBp

รผ รฒ รฑ D รฐ8รปqรฐ รฐ รฟ รฒCรฐยครนqรป(รถED รฐ8รท K รฑqรถย รป(รถ<รต รถ<รฏร รทFรถ<รฒย รฏ รถeรป รณ1รปqรฐ8รทยฒรฝ รฐยครฒCรฐZรฒFรถ/รฐ รด รณ2D รฐomPn รพ รปqรฐ V รผeรพ รฏZรฝPรถ<รนqรทCรฐomPn รพ รน รฐ รฝ รฐยครฒ รธFรถcรฐยครน รฐ รด 8รฟ รณ รผ รฐLK รฑ(รธ รณ รด รณ2D รฐยครนqรป รพJรพ รทยฒรท รณgรน รฐยครณ1รท ห K รพ รฑ รผeรพ รฒ รฒFรถ mPn รพ รน รฐZรฝ รฐยครฒ รธFรถ V k รป รณ รฟ รณgรธCรฐ รด รน รพ (รด1รพ>รผeรพ รปqรถ รถ รผeรพ รนqรท รธ รฒ รฑ mPn รพ ( K รฑ(รธ รณ รด รณ2D รฐยครนqรป รพ4รพ รท รต0รฐ รด1รพ รฒFรถeรท# รถeรท รธ รณgรฏ4รฐ8รป รพ รท Vห (รด1รพ&รผeรพ รป(รถ รผeรพ รน>รธ รฒ รพ8รด รถ ยฐ รธFรถ<รฏร รฐ l รฑ(รน mPn รพ รป(รถ รฟ รถ<รฒCรฐยครฒ#รต0รฐ รด1รพ รฒFรถeรทP( K รฝ รพ รป(รถ<รนqรป รพ รทFรถ<รฒ#รป(รถ;l รพ รฒ รฏ4รฐ รฐยครฑ(รธ รพ รฏ:Qยครธ รณ รผ รฐcรฑ(รธ รณ รด รณ2D/รฐยครน รป รพ รณgรนLl รพ รฒ รฏ4รฐomPn รพ รป(รถ รฟ รฒCรฐยครนqรป(รถED รฐ8รท รป รพ รฝ(รฒ รพ&รผ รถeรทFรท รพ K รฑqรถ#รทRn รพ รฐยครฝ รด รณ รผ รฐ8รป รพ รท รฐ รพ รทFรถ<รนqรท รพ รฒ รพ รฑร รฝ รด รฐยครน>รธCรฐJรฐยครธ รฒCรฐ/รต รทยกรป รพ (รด1รพ>รผeรพ รป(รถcรถeรท รธ รณgรฏย รฑ รด รฐomPn รพ k4I รถeรท รธ รณgรฏย รฑ รด รฐomPn รพ รฝ รพ รป(รถcรทFรถ<รฒ รฑ(รธ รณ รด รณ2D รฐ8รปqรฐ รฝ รฐยครฒCรฐSl รพ รฒ รนqรถ รผ รถ<รฒSรฑ(รฏ4รฐ รถ&M รผ รณgรธCรฐomPn รพ รฝ รฐยครฒCรฐยกรฑ(รฏร รทFรถ<รนqรท รพ รฒaรฏ รพ รป รฑ รด รฐยครน>รธFรถOK รฑqรถ รฝ รพ รป(รถย รทFรถ<รฒ รผeรพ รนqรท รธCรฐยครน&รธFรถ รพ รฑ รผeรพ รน&รธ รฒ รพ8รด รฐ8รปqรฐ รผeรพ รฏ รพ รน รพยกรผ รฐ8รท รพ รป(รถnรทFรถVรธFรถ<รฒย รป รณgรต>รถ<รฒFรท รพ รท[รฝ รพ รน&รธ รพ รทย รป(รถ รพ รฝ-รถ<รฒCรฐomPn รพ รป รพ รทFรถ<รนqรท รพ รฒยซรฏ รพ รป รฑ รด รฐยครน>รธFรถ รถ<รฏย l รฑ(รน mPn รพ รป(รถ รฐ รดgรฟ รฑ(รฏ4รฐ รฟ รฒCรฐยครนqรป(รถED รฐGรณย รน&รธFรถ<รฒBdl รถ<รฒFรถ<รน&รธFรถ &k/I รถeรท รธ รณgรฏย รฑ รด รฐomPn รพ รป รพ รฒ รพ&รผ รถeรทFรท รพ รฝ รพ รป(รถGรทFรถ<รฒยกรนqรถ รผ รถeรทFรทRยค Q รฒ รณtรฐ รผeรพ รฏ รพ รน รพ รท รผ รฐ8รท รพ รท รป รพ รทยกรธ รณgรฝ รพ รท รป(รถcรณgรนqรท รธ รฒ รฑ(รฏ รถ<รน&รธ รพ รท P รน&รฑ รด1รพ รถยกรป(รถยกรป รณudl รถ<รฒFรถ<รน / m รฐL K รน รพZรผ รฐ8รท รพ รป(รถยฒรฏ รถeรป รณ mPn รพ รณgรนqรป รณgรฒFรถ<รธCรฐ รผeรพ รฏยผรฒFรถ/รฐ รด รณgรฏ รถ<รน>รธCรฐomPn รพ K รพ รฑ รฐยครณgรนqรปqรฐLK รฝ รฐยครฒCรฐ#รทFรถaรฝ รพ รป(รถ<รฒย รถ& M รธ รฒCรฐยครณgรฒ'รณgรนLl รพ รฒ รฏ4รฐomPn รพ รปqรฐ รฟ รฒCรฐยครนqรป(รถED รฐ#รป(รถSรณgรน&รธFรถ<รฒFรถeรทFรทFรถVรป รพ รฝ(รฒ รพ&รผ รถeรทFรท รพ รผeรพ รฏ รพ รน รพ รผ รฐ8รท รพ รป(รถ#รฏ รถeรป รณ mPn รพ รป(รถยฒรป รณ1รท รธRยค w รน รผ รณtรฐย รฑ(รธ รณ รด รณ2D รฐยครนqรป รพ รธ รฒCรฐยครนqรทFรป รฑ(รธ รพ รฒFรถeรทยซรฑ รด รธ รฒCรฐ p รท ย รน(รณ รผeรพ รท &k/I รณgรนqรปqรฐL(K รฐ8รท รณgรนLl รพ รฒ รฏ4รฐom & ~ รถeรทยซรป(รถ รผeรพ รน&รธ รฒ รพ8รด รถ#รฝ รพ รป(รถ<รฏ รทFรถ<รฒVรนqรถ รผ รถeรทFรทRยคQ รฒ รณtรฐ8รทnรฝ รฐยครฒCรฐย รป(รถ<รธFรถ<รฒ รฏZรณgรน รฐomPn รพ รปqรฐ รฟ รฒCรฐยครน รป(รถE/D รฐ k x รฝ(รฒ รพ>รผ รถeรทFรท รพ K รพ รท[รทFรถ<รนqรท รพ รฒFรถeรท[รถ รพ รท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐ#รป(รถSรฏ รถeรป รณ mPn รพ รถeรท รธRn รพ รท รฑO6N รถ รณgรธ รพ รทaรฐย รป รณ1รท รธ รฒ รณ รพ รทPK P รธCรฐยครณ1รท รผeรพ รฏ รพ รฒFรฑ รป รพ รทP0 K รณgรฏZรฝ-รถ<รฒBdl รถ<รณ m &~ รถeรทSรน n รพ p รฑ รฐยครน>รธ รณur รผ รฐ8รป รฐ8รทP&K รฐยครฝ(รฒ รพ M รณgรฏ4รฐom >~ รถeรทVรถยซรต0รฐยครฒ รณtรฐom &~ รถeรทSรปqรฐ8รท รผ รฐยครฒCรฐ รผ รธFรถ<รฒ รท รธ รณ รผ รฐ8รทaรน รพ รฏZรณgรน รฐยครณ1รทaรป รพ รทย รป รณgรต>รถ<รฒFรท รพ รท รผeรพ รฏZรฝ รพ รนqรถ<รน&รธFรถeรทSรป รพ รท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐ k รทFรทFรถeรทย รป รณ1รท รธ รฒ รณ รพ รท รทRn รพ รฒFรถ<รฝ(รฒFรถeรทFรถ<รน&รธCรฐ8รป รพ รทย รน รฐ8รทย รต0รฐยครฒ รณqe Q รต>รถ<รณ1รท#รฐยครฝ(รฒ รพ M รณgรฏ4รฐ8รปqรฐ8รท ห K ห K ห รถ ห k รฝ รพ รป(รถย รฐยครฝ(รฒFรถeรทFรถ<รน>รธCรฐยครฒย รฑ(รฏ4รฐZรทFรถ<รนqรท รณ

ย ยป

รณgรน&รธFรถ<รฒBldรถ<รฒFรถ<รน>รธFรถeรทPK รฒFรถ<รฝ(รฒFรถeรทFรถ<รน&รธCรฐ8รปqรฐ8รท#รฝ รพ รฒ

ร B

ย

ย ย

รณ รด รณ1รปqรฐ8รป(รถ

ย

ย ย

PB PB

n n

Ys {Yd } V

ร Mร 1ร ย รก %รฅ:รฃVรข>รฅ รฏ%รฆ รฅย รฅ:รฃ>รฃ ร Uรฎย รฅ Vรฎ รฉ รฎ รข>รฅ รฆUรฎยฐรง/รฅ รฅ รง/รฉ Uร j&M B mPn ED LK G omPn&M K T mPn $ n ED jjl BB mPn k/ ED mPn ย ยผย k B ED Rw mPn B PK ur PK Ok ย om ~ PK ย BN LK k aย

cย

รถeรท รธ รฑqรป รพ

รท รพ

รฒFรถ รฏ

รถ qรฐยครธ รพ

รฟ รฒCรฐยครนqรป(รถ

รป(รถ"รฑ(รฏ4รฐ

รฒFรถeรท รฑ รด รธCรฐ8รป รพ

รฒ รฒ รพ รท4รถ<รฏ

รป(รถ

รป(รถ#รฑ(รฏ4รฐ

รป(รถย รณgรน รผ รถ<รฒ รธFรถ

รฏ

jB L X ย ยฆ Z ยฆยงX

รต0รฐ รด1รพ รฒย รป รพ

รท รพ

รฒFรถ

รฟ รฐยครน

รถ<รฒ รฒ รพ

ย ย fยฃ ย &k

รพ

รป(รถGรฐยครฏZรฝ รด รณ

รทRn รพ

ย รฑ(รฏ4รฐ8รท

^ ]ยจmc

RN U"QSl ย

รฐ รดgรฟ รฑ(รฏ4รฐ8รท รป(รถ&rqรน(รณ m ~&รถeรท รทRn รพ

รพ

รป รพ

รฑ(รนqรปqรฐยครฏ

รถ<รน>รธCรฐ รด

รทFรถ รผeรพ รนqรทFรถ รฟ รฑqรถ รพ

รผ รฐยครฝ(รณgรธ รฑ รด1รพ

รธFรถ<รฒ รพ

รต0รฐ รด1รพ รฒ

รฐรญรน รพ

รธ รณ1รป รพmรผeรพ รฏ

รฑ(รฏ

รฑqรถ รน

รพ

รต0รฐ รด1รพ รฒยซรปqรฐ

รฏ

รถ

รต0รฐ รด1รพ รฒ

รถeรป รณ

รท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐ4รป(รถย รฏ

รผ รฐ8รป รพ รฒFรถeรท รถ<รธ รผ

Fย [~

รพ

รฝPรถ<รฒ รธ รฑ(รฒ

รฐ

รพ

ยฒรผeรพ รนqรทFรถ

รน รผ รณtรฐ

รทFรถ<รนqรท รณ

รณ รด รณ1รปqรฐ8รป(รถ

รพ

รถeรป รณ

รพ รฑย รทFรถ รฐ -รถeรท รธFรถeรท

>รถeรท

รฑqรถSรป n รพย รพ รฒ รณ รฟ รถ<รฏร รฐnรฑqรฏยฑรถ<รฒ รฒ รพ รน รพ รฒFรถeรท รฑ รด รธCรฐ8รป รพ รปqรฐยซรฏ รทFรถ<รฒย รถeรท รธ รณgรฏ4รฐ8รป รพ k

รฐ รดgรฟ รฑ(รฏ4รฐ8รท"รป(รถ&rqรนqรณ2m ~&รถeรท"รถ l รฑ(รนqรปqรฐยครฏ

รถeรป รณ mPn รพ k

รถ<รน>รธ รพ รท

รถeรป รณ m n รพ

8รท รณ รผeรพ รท

L Lย ย l U

รต รถED/รถeรทPK รป(รถ&rqรนqรณ2m ~&รถeรท รถjรฑqรทCรฐ8รป รฐ8รท

รฐcรน รพ

รถ<รธ รฒ รพ รท

รฐยครฝ(รฒFรถeรทFรถ<รน&รธCรฐ8รปqรฐ8รท

รถ<รฒ รฒ รพ รทย รถ<รฏรฆรท รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐ8รทย รป(รถยกรฏ

รทRn รพย รผeรพ รนLl รฑ(รน รป รณ1รปqรฐ8รท

รณgรน รผ รถ<รฒ รธFรถ

รท รธCรฐ

รฐยครฝ-รถ<รน รฐ8รทย รฝ รพ รป(รถ

รถeรท รธCรฐmรทFรถ mPn รพ

I#รดgรฟ

รพ

รถeรป รณ

ยผ}

รถ รณ1รท รธFรถ"รฑ(รฏ4รฐรญรณgรน รผ รถ<รฒ รธFรถ

รทFรถ<รฏZรฝ(รฒFรถ

รฏรครณgรฏZรฝPรถ<รฒBldรถ<รณ m ~>รถeรท

รถ<รธ รฒ รพ รท'รธ

รถ รพ

รฐ

รถeรป รณ

รพ &รณ1รท รธ รพ รฝ รพ รฒ

รถ รน&รธCรฐ

รฐ8รทยกรน รพ รทยฒรต0รฐ รด1รพ รฒFรถeรทยกรป(รถย รฝ รฐยครฒ ยครฏ

รป(รถย รธ รฒCรฐยครนqรทFรป รฑ(รธ รพ รฒFรถeรท

รฝ รฐยครฒRwยครฏ

รณ1รท รธFรถ<รฏ4รฐ8รทjรป(รถ

รพย รพ รฑ4รป(รถยซรณgรนqรท รธ รฒ รฑqรฏ

รถeรป รณ

รผeรพ รฏ

รธCรฐยครณ1รท รพ รฏ

รถ<รท รฏ

ย ย ย ร l ยถ i

รถ&Mqรฐยครธ รณ1รป n รพ รพ รพ

รฐยครฝ(รฒFรถeรทFรถ<รน>รธCรฐ8รปqรฐ8รท#รฐย รทFรถ รฟ รฑ(รณgรฒ

P PK j ย ย Oย ย ยขLย ย

รถcรฝ(รฒFรถ รผ รณ1รทRn รพ p K รถ<รฒ รฒ รพ

รท รณ รฟ รน(รณur รผ รฐ8รป รพ k รถ รด รฒFรณ รผ

รถcรณgรน รผ รถ<รฒ รธFรถED รฐLK

รถ

รฐยครฒCรฐรญรถ รด รณgรฏZรณgรน รฐยครฒ4รป รพ รฝ(รฝPรถ<รฒ

รต&รณ1รปqรฐ8รทPK รฐ &รด1รพ รฒPK

ยณBg ย *\ ย /ยด6ย s^ ย [ยด6ย ยฃeย dย Aย &\ ย aยถ<ยนeย ยคย 8ย Aย BVzย nย dย 6ยฃeย Aย ^ n ย ย 6ย ย Aย 6ยฃo^ ย ^

ย ` Vย ยถCย -ย ยถRVAย Oย BVzย ยฃยคยดB\ ย ย ยฃo^ ย nย s^ยคยถSย Aย wย ย Aย ยถA^ ย ยด6ย ยฃeย dย Aย &\ ย ยฆ

} ¡}¢E£ ¤ ¥6 ¦ ¥ §S¨ © ªb¢P« ¬3ª} } E¦

iOiO

ñ(ï4ð

¡ ¡ ³ ¢ µ B

û(öe÷ ü ò ó mPn þ

ó ô ÷ þ ù K

¡ ¡ ³f &k

ó þ ï4ð¤øFö<ò ótð¤ó1÷Vñ(ø ó ô ó2D ð8û þ ÷nö<ï

û þ ÷

ó ôgô ùqö<ò#ö

ð¤øYDyK

ó þ ÷F÷Fö<ùq÷ þ òFöe÷aý þ û(ö ÷Fö<òVö<ù üeþ ù>ø òCð8ûqð

ÚeÄ Ü Ú å á/îVß ãHÅ«æ7â>ì/æUç/ß ãðé á-â>å ä é ÆUå áKâ>å I omPn mPn ED cl n Rn cl k B Q PK LK omPn Lp > B n B » k om n &M I mPn ED ;l n PK jB P n jp B PK &r p k L ¥ omPn

p Rn tN w ² ¶ omPn qQ UK ¶ · mPn LK ¡ ¡ o& m k n I 2D omPn ED l n L& K mPn Y K G Lp » RQ omPn 2D k PK mPn u j Ñ x s Ð m j Ñ s r ' t p v m j Ñ s r &r ON omPn l n k B /l P m n Rn ¢ j kKG & ED l n

l » k0 K 0 l ¥ Q p B B n ¼ ¢ & þ ù(ógø þ òCð

û(öe÷Fö<ù&õ þ8ô õ&ógï

ö<ù&ø þ

ö¡ï

û(ö

û ñq÷ ø ò ótð ô ö øCð¤ï

öeû ó

ý-öe÷

û(ö ÿ òCð¤ùqû(ö

ü ó ù ü ótð8÷

ñ(ó1÷Cð8÷ ö<ï

ïÍù-ð¡ógïZý ô ö<ï

ö<ù>øCð

÷²ø eü ù(ó ü ð8÷ üeþ ù>õ>ö<ù ü ó þ ù ð¤ó1÷ ûqö ï

ñ ð¤ù&ø þ

þ ö ô ø ò ó ü ð8÷ òFöe÷ ñ(ï

ö<ò þ ÷nû(ö ñ(ï4ð öe÷ ü ð ô ð

þ ÷

õ0ð ô1þ òFöe÷

÷Fö<ò õ0ð8û þ ÷c÷

û(ö

û þ ÷

ñ(ó1÷ ó

ñ(ø ó ô ó ð

ö<ù&ø þ

ø òCð¤øCð¤ï

û þ ÷nõ0ð ôgþ òCö<÷ þ

÷Fö<ò õ0ð8û þ ÷ üeþ ï

þ û(ö ô1þ

ñqö

û ógù ¤ïZó üeþ

ógò ótð¤ù ð

÷ ó ü ð pöGöe÷ øCð"ð

þ ÷

þ û(ö<ò ù ð8÷ üeþ ùq÷ ó1û(ö<òCð ÷Fö

öeû ó1ûqð

üeþ ù&ø ò þ8ô ö

û(ö

ý ð¤òCð

ó (úVñ(ò ó1÷ þ

ñ(ó1÷ ó

ý(ò þ&ü öe÷F÷ þ

ù ðjï4ð¤ó þ ò ótð

ñqö

òFö/ð ô ó ð8ûqð ð¤ý

ñ(ó1÷ ó

÷cð ôgÿ ñ(ï

ñ(ógò ó1û þ ÷

û(öe÷ øFöe÷ ü ð8÷ þ ÷ ñ(ï

ñqö<òVñ(ï

û(ö qù(ó1û þ®üeþ ï

÷Fö ò

ógù

ò ó þ

ö ô ø ò ó ü ð8÷

÷Fö<ùq÷ þ ò 8ð¤ø ñ ð8û þ ò ógïZý ô ó ü ð ù þ

ûqö#ñ(ï

õ>ö ô û(ö ô ð Pþ òCð¤ø

÷ ó ü ð8÷ øCð¤ù&ø þ

ð8÷

üeþ ï{ñ(ï{ï

ö<ù>øFö

ÿ òCð¤ùqû(ö

û(öGñ(ï4ð

û þ ÷ ûqð8û þ ÷²ð8û

ûqðZõ0ð¤ò ó eõ>ö ô ï

ð8÷F÷ þ>ü ótð8ûqð ðJñ(ï4ð

ñ ð ô

ý þ û(ö

ûqðJõ0ð¤ò ótð

ü ð8÷ þ ÷ öe÷ ø

ö<ù>ø þ ÷«ö<ïÑù

ð8÷Sø eü ù(ó ü ð8÷nï4ð¤ó1÷Vï

ò ó ü ð

ù&ñ(ï

ö<ù>øCð¤ó1÷#ù þ

ö<øCð¤ý ð8÷ ñ(ùqûqð¤ï

ÿ òCð¤ùqû(ö

û(ö

ñq÷Cð8û þ ÷ wñ(ù&øCð¤ï

ùqö ÿ ð

üeþ ïZý ð¤òCð

÷Fö

8÷ ó ü ð8÷ 'øFö ü ù þ8ô1þ8ÿ ótð að¤ñ(ø þ ï4ð

û(ö ö ýPö<ò ógï

öeû ó

û(ö qù(ó1ûqð

ÿ ö<òCð¤ò#ñ(ï4ðZòFö<ý(òFöe÷Fö<ù>øCð ý ð

ö<ï

÷ ó ü ð8÷ ÷

ð8÷

÷ óg÷ øCö ï4ð û(ö²ð

üeþ ù wñ(ù>ø þ

ñ(ï

û(öJòFö ü ñ(òF÷ þ ÷

û(öe÷ ø ógù ð8û þ ÷²ðcý(ò þ õ&ó1û(ö<ù ü ótð¤ò#ñ(ï4ðGòFö<ý(òFöe÷Fö<ù>øCð ÷ (ô1þ&üeþ ÷ ñ(ù ü ó þ ù ð¤ó1÷Sñq÷ ñ-ð¤óg÷nû(ö ñ(ï

û(ö²ûqð8û þ ÷nö üeþ ù&ø ò þ8ô ö

û(ö

öJû(ö

÷ ó üeþ

ýPö<ò ø ógùqö<ù>øFö û(ö ñ(ïM÷ ó1÷ øFö<ï4ð

÷ ó1÷ øFö<ï4ð

û(ö²ð

ñ(ó1÷ ó

û(ö ûqð8û þ ÷nö üeþ ù&ø ò þ8ô ö

ö<ùq÷ þ ò 8ð¤ø ñ ð8û þ ò

üeþ ù>õ>ö<ò øFö ð

ñqö

ü<þ ù û ó ü ó þ ù ð¤ï4ö<ù&ø þ

ö ô ø ò ó üeþ ÷#û(ö

ð¤ï

öe÷ øRQ ÿ ó þ

ý(ò þ>ü öe÷F÷Cð¤ï

ÿ óþ

öe÷ ø

ü ð

ûqð

ñ(ï4ð ð¤ò

ý ð8û þ ÷Zù>ñ(ï

ù(ó üeþ

÷F÷ ógïÍ÷Fö<ùqû þ

ý(ò ótð

ñ ð ô ÷Fö

ö<ógø þmþ

ø òCð¤øCð¤ï

ö<ù>ø þ

û þ ÷4÷ ógù ð¤ó1÷

ð8û(ö

ô1þ ÷

÷ ö<ù&ø òCð8ûqð8÷

W¢

øCð¤òFö&lAð8÷jû(ö"ïcñ ô ø ógý ô ö&MqðomPn þ

ðjòFö<ý(òFöe÷Fö<ù&øCðomPn þ

ü ð 1ô ü ñ ô ð

÷ þ

òFö

÷ ó1÷ øFö<ï4ð

þ ñ

÷ ó1÷ øFö<ï4ð

ü ö<ù&ø òCð ô ó2D ð8ûqðLKVø þ û þ ÷

ö<ù&ø þ k

÷ þ

ö<ù ü ó þ ù ð8û þ ÷

ð8÷Fö/ð8û þ

÷Fö<ùq÷ þ ò

ûqð qð

ó1û

ótð

öe÷ øFöZï

8÷ ó ü ð

ñ(ï

® ¯*¬

(

ý(ò þ&ü öe÷F÷Cð¤ò ð

þ û þ ' K ù ðJõ&ó2Deógù ð¤ù m/ð

÷Rn þ

ð¤ý ô óup

ð ÿ ò ñLp

¯*¬Vv§r s #ÑfÕ rEk RQ »p omPn

ù>ñ(ï

üeþ ïZý(ñ(øCð8û þ ò

ü ð¤ò ø ~>öe÷ û(ö

ógùqû ógõ&ó1û ñ ð ô û þ ógùLl þ ò ï4ð û(ö

ûqð8û þ ÷PK

ý(ò þ&ü öe÷F÷ þ k

òFö

þ ÷Göe÷ øRQ ÿ ó þ ÷Gï

÷ øFöJ÷ ó1÷ øFö<ï4ðÂý þ û(ö"÷Fö<ò

B n k:L·K

û þ ÷

ñ(ø ó ô ó2D ðZñ(ïÞð¤ø ñ ð8û þ ò#ý-ð¤òCð

ö<ù&øFö ÷Fö

ð ôø þ

û(ö

öe÷PKqö<ø ü q K ö

þ ñjù>ñ(ï¼÷ ó1÷ øFö<ï4ð û(ö#ï ñ ô ø ógý(ò þ&ü öe÷F÷Cð8û þ òFöe÷ üeþ ï

Kpù

ð l þ ò ï4ðZû ó ÿ ógøCð ô

ð ô ð¤ò ï

û(ö

ñ ð ô ñq÷ ñ ð ô ï

üeþ ù&ø ò þ8ô ö

ñ(ógøFö<ø ñ(òCðcû ó1÷ ø ò ó

þ ù&øFö 'ó1÷ ø þ

þ ò ï4ðZö ô øFò ó ü ð

øCð¤òFö&lAð8÷ û(ö4ö<ù>ø òCð8ûqðy ¤÷Cð ûqðLKað¤ò ï4ð*D/ö<ù ð ÿ ö<ï

÷Cð ûqðLKqù þ û(ö

ý ð¤òCð4ð

ñ ð ô òFö/ð ô ó2D ðzð8÷

÷ ógù ð ô ý ð¤òCð

ü ð8ûqð ÷Fö<ùq÷ þ ò& 8ð¤ø ñ ð8û þ ò # üeþ ùqö ü øCð8û þ

üeþ ùqû ó ü ó þ ù ð¤ï ðcð¤ò

û(ö

ñ(ógøFö<ø ñ(òCð

ýPöe÷F÷ þ ð ô

û þ

û þ ÷ ûqð8û þ ÷PKqö<ù>õ&ó þ

ðomPn þ

ñ ð ô

÷ ó ü ðGû(ö

ø ò ð¤ùq÷Fû ñ(ø þ òFöe÷ ý ð¤òCð

û ó ÿ ógøCð ô ' K ù þ

ö<ù&ø þ

÷FöGòFö/ð ô ó2D ð¤ï×ð8÷

³Lk0 omPn RQ L P i KK L!l O K

ö<ù>øFöe÷

û(ö û ó ÿ ógøCð ô ó2D ðomPn þ

ð¤ý(òFöe÷Fö<ù&øCðomPn þ

û(ö

÷Fö

þ ÷ ø òCð ÿ ö<ïÞö üeþ ù&õ ö<òF÷Rn þ

õ>ö ô ö

ð¤ù ð ô 8ÿ ó üeþ «ù þ

÷Cð ûqðGû þ ÷ ÷Fö<ùq÷ þ òFöe÷

û þ ÷ (ô1þ>üeþ ÷#÷ ñ

i k0

ÿ òCð¤ùqû(ö

÷Fö<ùq÷ þ ò

þ ñ

öe÷ ø

ù ð

ÿ óþ

ý(ò

ÿ ò ñqý þ

i Oµ

® ö r#vWpDp v*u Rn j k o¡ I r k n Ò OK ur p ® ö # r W v p p * v u k RQ Rn j j I Õ pjs r n ur omPn &r RQ omPn ® * ¯ ¬ t RQ k<I Br ur omPn K &r k uD om ~ t ï i Â K k k & k m j K b / / µ ¡ k j ³ *Ò l Lp ;l n R~ omPn {r SQ *Ò (N j K ï Yê µý Ò ISç &k9ç ur om n <î ® ö qr#n vWpDp v*u Rn keØî ® ö r#vWp p v*u l Rn Ò Rn µ ¡ k j ³Lk j keØî ® ö r#vWp p v*u RQ Rn j k k=· m ¡ ¡ LK *Ò h b / / ï Y ê Kol *D µ ¡ k j ³ *Ò l Rn / b / "µ ¡ k j ³Lk j k î ® ö r#vWpDp v* u Rn omE~ r Ò RQ N m OK Lr ;Ò p Ò *Ò PK #op ÍOt#v ¯aÕ t Ù pjö(t r t K PK OkA Ò om ~ » f Ñ j Ð W u D p Õ k RQ PK om ~ µý ISç oì ¯*s r ® r t tHóUr s t'pj¬>ÑO® s rxÑ Rn Mr#v m!pjsî ® &ö k r#vWp p v*u l z-µý ®Sv sxÑj ì ¯aÐ(rp îKÑj¬>ÐV &k ï zKRn µýÉR nî ® ö r#vWpDpjLv*l u omPn OÒ K k zKµý k 2D omPn CÌ É(ÇOÊ Ä DÍ fÊ ò î ® ö r#vWp p v*u RQ K k i ÖNYQ m !% Lp ksI % k z l omPn uM *Ò Em ED ðZöe÷ ýPö ü óur ü ðomPn þ!î

ö<ógòCðGû(ö ô ð8÷ ²þ

ý(ò ógï

ð¤ø òCð/õ

û þ ÷

(

û(ö qù(ó1û þ

üeþ ï

(ù

gô ó1ð

ü ð

4üeþ ï

dö<ógø þ

û ñ ð8÷

ý ð¤ò øFöe÷

þ ÷

ö<ù>øFòFö

û ó1÷ ý þ ÷ ógø ógõ þ ÷

ü ð

þ ùqû(ö

ý-ð¤òCðJòFö/ð ô ó ð¤òGð8÷ ð¤ý ô ó ü ð

û(ö ø òCð ð ô

ï4ð¤ò

&öe÷

û(ö þ

öe÷ ø

ÿ ò ñ(ý þ

û(ö ô ö þ þ

ñqö<ù þ

ýPö

ý ð¤òCð û(öe÷Fö<ù

û(ö ¤òFö/ð¡ýPöe÷F÷ þ ð ô

&öe÷«÷Fö<ï

ù>ñ(ï

ø òCð ð ô

û(ö

ý ð8û(ò

ð8÷Fö/ð8û þ

ð ô1ü ð¤ù ü ö q÷ ñ

ù>ñ(ï

÷ ó1÷ øFö<ï4ð

ü ó1ö<ù>øFö<ï

û(ö

ö<ù&øFö ð

øFö ü<ô ð8û þ ÷ (ö<ø ü

üeþ ïcñ(ù(ó ü ð

>öe÷nö<ù>ø òFö üeþ ïZý(ñ(øCð8û þ òFöe÷

÷ û(öZñ(ï4ð"òFöeû(ö

÷F÷Föe÷

þ4üeþ ù qö ü ó1û þ ÷ üeþ ï

ð¤øFö<ùqû(öc÷

wñ ô

ö<ï

ïÑý þ û(ö<ïÍ÷Fö<òañq÷Cð8û þ ÷aý ð¤òCð þ

û(ö

Að /ö<ùqû þ

þ ÷ û(ö²ógïZý(òFöe÷F÷ þ òCð8÷

üeþ ï

þ ó ü ò ótð8û þ

þ ü ð¤ùqû ó1ûqð¤øCð ð¡ñ(ïÍý ð8û ò

üeþ ïcñ(ù(ó ü ð

ý ð¤òCð

û(ö òFöeû(öe÷V÷Fö<ï

û(ö ø òCð ð ô

ýPö ô1þ

ý ð¤òCðcý(ò þ õ>ö<ò ÷Fö<ò õ&ó þ

þ ñm÷Fö<ò õ&ógò

ø ógý þ ÷ û(ö4ð¤ý ô ó ü ð

&öe÷

ñ(ø ñ(ò þ

û þ

ý ð8û ò

ý þ û(ö4öe÷ øCð¤ò

ó1÷ øFö<ï4ð8÷Vû(ö

û(ö

òFö

ð ô øCð

ñq÷Cð¤ï

ö<ø òCð8û þ ÷Vý ð¤òCð ø òCð¤ùq÷ ïZó1÷F÷

û(ö

ô ûqðJöe÷ ý-ö ü ó

ý-ö<ò

þ -ð8÷Fö û þ ý ð8û ò

öe÷Fû(ö

ø òCð ð ô

û ó1÷ ý þ ÷ ógø ógõ þ ÷aøCð¤ï

Zþ

ö<÷ ýPö ü ó

ö<ù&øFö Pð

ð8÷ ü ð¤òCð ü øFö<ò ÷ ø ó ü ð8÷ û(ö#ò 8û ó þ

ûqð8û þ ÷

ñq÷Cð8û þ ÷

÷Fö<ò

û þ ÿ ò ñ(ý þ

ö<ù&øFö4ù ð"õ>ö<òF÷ þ

ý ð¤òCð ÷Fö òFõ&ó ò üeþ ï

ý ð¤òCðG÷ ñ q÷ ø ógø ñ(ógò ü ð

ñqö

¡ÿ ò ñ(ý þ

ñ(ïÍý ð8û ò

ô ó ü ð¤ï

üeþ ïZý þ ÷ øCð

û(ö qù(ógùqû þ

÷Fö ÿ ñ(ùqûqðjý-ð¤ò øFö

ö<ógòCð òFö<ñ(ù(ó

öe÷ ü<þ8ô (ó1û þ

ý þ ò ø ¤øFö<ó1÷

û(ö ý ð8û ò >öe÷nû(ö üeþ ï ñ(ù(ó ü ð

ý(ò ógï

ý(ò þ 6ö<øCð8û þ

òCð¤ø þ

ü ð

õ>ö ô ý(ñ

4ö

ý ð¤òCð®ðÂø ò þ&ü ð û(ö

û(ö

ð8û þ ø þ ñ

ò 8û ó þ

þ ÷ ý(ò þ ø þ>üeþ8ô1þ ÷ ø

ö<øFö<ñJð öe÷ ýPö ü ó

þ óqö<ù&ø

ûqðcöe÷ ý-ö ü ó

üeþ ï ñ(ù(ó ü ð

û ó1÷ ý þ ù

ù ð"õ ö<òF÷

ïÑï4ð¤ò

÷ ñ (ï

ü ð

ö<ù&øFö

û(öGò 8û ó þ

õ þ8ô õ ö<òSñ(ï4ð Að¤ï

ð¤ø ñ ð ô ï

öe÷ ø

þ ÷Zý(ò þ ø þ>üeþ8ô1þ ÷jû(ö

õ>ö<òF÷

ü ðomPn þ¶î

þ ò ï4ð

ûqð¡ógù

ñqö<òFö<ïÞ÷ ógù ü ò þ ù(ó ð

ð8÷Fö/ð8û þ

ö<ï

õ>ö ô1þ>ü ó1ûqð8û(ö >ógïZý(ñ ô ÷ þ ÷Vý(òFö ü ó1÷Cð¤ï þ

ö<ïÑñ(ïÍöe÷ ýPö ü ø ò þ

ï ñ(ógø þ

ö<ù>øFö ü ò þ ù þ

ô ð¤ò ÿ þ

ñ ô÷ þ ÷

ý(òFö ü ó1÷CðGö<ù&ø òFö ø òCð¤ùq÷ ïZó1÷F÷ þ ò#ö¡òFö ü ö<ý(ø þ ò

( mY (

ñ ð¤ùqû þ ñ(ï

û ó1÷ ý þ ÷ ógø ógõ þ

ñ(ï

øCð¤ùqû þ cðGýPöe÷

öe÷ ü òCð/õ þ

ñ(ó1÷CðZû þ

Að8÷Fö¡û(ö²ógù&õ öe÷ ø ó ÿ ð

ñ(ï

û(ö<ó qð

öe÷ ø òFö

üeþ ò òFö<ù&øFö

ý ð¤òCðZù þ õ þ ÷#û ó1÷ ý þ ÷ ógø ógõ þ ÷#ö

öe÷ ø òFö

ö<ùqû(ö<òFö m þ

"û ó1÷ ý þ ÷ ógø ógõ þ

öe÷ ø òFö

÷Cð Pö<ò þ

ö<ùqûqö òCö

û þ

þ ï

òFöe÷ ý þ ùqû(öcð þ öe÷ ü òCðeõ þ

ö /ð

öe÷ ü ñ

öe÷ ø òFö

ï4ð õ>ö

ñqö

K ð üeþ ùqö&M n þ ý þ ûqö ÷Fö<òjð*Ò-ö<ò øCðíý ð¤òCð®öe÷ øFöOK ý þ ÷F÷ ó2Ò(ó ô ógøCð¤ùqû þ ñqö þ ÷ öe÷ ü òCð/õ þ ÷4% þ ñ m/ð¤ï %jð8÷ òFö ñ(ó1÷ ó m ~&öe÷ û(ö ý Q ÿ ógù ð k ï ö öe÷ øFö 4þ ü ð8÷ þ K þ öe÷ ü òCð/õ þ òFöe÷ ý þ ù û(ö"ð þ ý-öeû ó1û þ û(ö4ý Q ÿ ógù ð û þ ï öe÷ ø òFöJö þ ÷Gû þ ó1÷Zû ó1÷ ý þ ÷ ógø óup ü ógï4ð4ûqð ÷Fö õ þ ÷#÷ ógù ü ò þ ù(ó2D ð¤ï p ÷Föcö<ï ù ü ótð4û(ö ÷Cð ô ø þ ÷#ö<ïÖl òFö ù ü ótð ñqö í(ù(ó ü ð ð ü ð8ûqð ö û(ö ü ó1û ó1ûqð"ýPö ô1þ ï öe÷ ø òFö k=î ý(òFöeû(ö&q r ùqö4õOQ¤ò ó þ ÷ ø ógý þ ÷cû(ö üeþ ùqö&M n þ K ü ð8ûqðcñ(ï4ð üeþ ï üeþ ï ( Ò ógù ðomPn þ û óudl ö<òFö<ù>øFö û(ö ô ð¤ò ÿ ñ(òCðZû(öS Ò ð¤ù ûqðGû ó1÷ ý þ ù õ ö ô K ý(ò þ øFö mPn þ û(öGö<ò ò þ ö ñ ð ô ó1ûqð8û(öZû(öG÷Fö<ò õ&ó m þ k ï4ð4õ>öEG D öe÷ øCð*PÒ ö ô ö ü ógû ðjñ(ï4ð üeþ ùqö&M n þ K þ ÷«û ó1÷ ý þ ÷ ógø ógõ þ ÷ný þ û(ö<ï þ ý ü ó þ ù ð ô ï ö<ù&øFö ð¤ñ(øFö<ù&ø ó ü ð¤ò«ñ(ï¼ð þGþ ñ(ø ò þ ö²ö<ù&øRn þ ÷Fö üeþ ïcñLp ù(ó ü ð¤òFö<ï ke ï öe÷ ø òFö ö öe÷ ü òCðeõ þ ý þ û(ö<ïÑø ò þ>ü ð¤òVû(öný ð¤ý ó1÷PK þ ñqö«ý þ û(ö ÷Fö<ò ùqö ü öe÷F÷R¤ Q ò ó þ Õk ñ ð¤ùqû þ ñ(ïæû ó1÷ ý þ ÷ ógø ógõ þ ñqö<ò ý ð¤ò ø ó ü ógý ð¤ò#ö<ïMï4ð¤ó1÷ ûqö¡ñ(ï I ï ö ÿ ñ(òCð¤ù /m ðZù þ î û ógõ&ó1û ó1ûqðZö<ïMø ò ÷ ï þ û þ ÷ þ

÷Cð*ÒPö

ô ó ÿ ð8û þ öe÷ øFöný þ û(ö«øFö<ù>øCð¤ò þ ý-ö<òCð¤ò üeþ ï

öe÷ ø

û(ö

û þ

¼ k

ÓV¯aÕ pj¬ r#v

•

úÂþ

û þ

öe÷ ü òCð/õ þ

® ö r#vWp p v*u ¢ j n p ù

þ ÷Fö ÿ ñ(ò þ

® ö r#vWpDp v*u

¼ k

ÓV¯aÕ pj¬ r#v

£j¡ i

lþ

:¨ f¨

:¦ @¦

ô õô ÿ nþ

þ ï

ñ(ógøFö<ø ñ(òCð

ü ð¤ò þ ÷ øCð¤ï Ò

kAa

L W0l(W Sk N)Q L U W0k Lgf

ï ñ(ógøCð8÷

ö<ïZý(òFöe÷Cð8÷Zù n þ

¶ p

üeþ ïZý(ñ(øCð8û þ òFöe÷ û(ö Ò ð ü

¨mü

üeþ ïxð

ø ógù ð¤ï

üeþ ùqû ó m ~>öe÷4û(öjógùq÷ øCð ô ð¤ò õ&óqQ/õ ö ô«þ

ïZó ü ò þ ö ô ö<ø ò ù(ó ü ð ø þ ò ù ð¤ùqû þ

ñqö#ý þ û ótð¤ï¼÷Fö<ònógïZý ô ö<ï ÷ ø þ

þ ñ

&k3I

÷F÷ ógï

5 hP

ý ð¤òCð

üeþ ù&ø ò þ8ô ð8û þ òFöe÷

K>÷ ñ(ò ÿ ö#ñ(ï4ð õ&ó1÷ øCðcù ðU$[ó ÿ ñ(òCð!j Lk k_- ï4ð üeþ ü ð8ûqðZ÷ ó1÷ øFö<ï4ðGû(ö üeþ ù>øFò þ8ô ö k ?

ù þ õ0ð ð¤ò

ùq÷Fö

þ ñ¾ï4ð¤ù&øFö<òZñ(ï

ý-ö

%<ù

û þ

û(öe÷Fö ù&õ þ8ô õ&ógï

ñqö¡ð¤ñ(ø þ ï4ð¤ø óup

ö ù&ø þ

û(öZù þ õ þ ÷

ø ógý þ#W ÷ ógù ÿ0ô ö&p ô1þ&þ ý KPïcñ ô ø óup ô1þ>þ ý®ö

n þ p û(ö&pÕlUQ*Ò(ò ó ü ñ(ógøFö<ø ñ(òCð l þ ó þ

ù þcü

ñ(ógøFö<ø ñ(òCð

ü ótðZû(öe÷F÷CðZð¤ò

ñqö<ù þ ÷«ý(ò þ 6N ö<ø þ ÷

ý(ò þ&ü öe÷F÷ þ k

ö<ïZý(òFöe÷RQ¤ò ó þ ÷

þ ø ógõ þ ñmû ógõ>ö<òF÷ þ ÷

ö<ù(ø þ ÷PK ü ð¤ï4ð8û þ ÷ û(ö

þ þ

û(öjïZó ü ò þ ýqò þ>ü öe÷F÷Cð8û þ òFöe÷PK

ö<ù>øCð0û þ ÷ üeþ ï¼öe÷F÷Föe÷VïZó ü ò þ&üeþ ïZý(ñ(øCð8û þ òFöe÷ ö

ð¤õ0ð¤ïÞð ôgÿ ñ(ï4ð8÷SQ¤òFö/ð8÷ öe÷ ýPö ü "ur ü ð8÷#û þ

ý ð¤ï

üeþ ï

ñ(ógøFö<ø ñ(òCðtr üeþ ñGý(òFöBNwñqû ó ü ð8ûqð

ñq÷ þ

ü ù(ó üeþ ÷«ö²ö<ù ÿ ö<ù qö<ógò þ ÷ û(öe÷ øCð8÷«ö<ïZý(òFöe÷Cð8÷nõ&ó1÷ ñ ð ô ó2D ð¤òCð¤ï ïcñ(ógø þ ÷nø e D

ñqöOK

Añ(ý

AQSNGbSO'U T O b'W0k O KAN QSOpk l U

üeþ ïZý(ñ(øCð8û þ òFöe÷Sû(ö ÿ òCð¤ù û(öný þ ò øFöOK öe÷ øCð²ð¤ò

÷ ó1÷ øFö<ï4ð üeþ ï d þ

ð ÿ òFö ÿ ð8û þ ÷ ð¾öe÷ øCð¾ð¤ò

òCð¤ï

üeþ ïZý(ñ(øCð8û þ ò þ ò ó ÿ ógù ð ô K ö<òCð¤ï

« up

ñ(ó

ñqö ý þ û(ö²÷Fö<ò

ó1÷ þ8ô ð¤ï

ö<ù>ø þ

û(ö

PC Industrial CLP

®s¯ °9± ²>³D< ´21>=

:¦ @¦

ô õô

ï Ò

kAa i

L W0l(W Sk NzQ L U W0k Lgf

ð¤ò

þ òCðGð ð¤ò

ö<ù&ø þ

ï4ð¤ù&ñ ð ô ï ó1÷ ø þ ö<õ

f»

þ ñ)ð¤ø òCð/õ

û þ ÷ ó1÷ øFö<ï4ð²ö<ï

k I

:¦ @¦ I

k i k

òFöeû(ö«õ>ö ï

L W0l(W Sk N)Q L U W0k Lgf

ý(ò þ

ü ñq÷ ø þ k

÷ ñ(ò ÿ ógï

ö<ù>ø þ

û þ üeþ ù ü ö<ógø þ

òFöe÷ þ8ô õ ö<ùqû þ

ñqö"÷Fö<òZòFö/ð ô ógï

üeþ ù&õ ö<òF÷ þ òFöe÷

ÿ ö&p

ö<ù>øCð8ûqð8÷

û(öjógùLl þ ò ï4ðomPn þ k

±¥

û(ö ógù&øFö ÿ òCðomPn þ

ö<÷ ø ð²÷ ógø ñ ðomPn þ

ýPö òFïZó øFó1ð

üeþ ù>ø ò þ8ô öOK ÷ ñ(ý-ö<ò õ&ó1÷Rn þ

öJø ógù ð¤ï

ñqöe÷

üeþ ï

ð üeþ ý ô ð8û þ

þ ý þ û(ö ÷Fö<ò õ&ó1÷ ø þ

÷F÷Cð«ógù&øFö ÿ òCðomPn þ öe÷ øRQ ý þ ÷F÷ ó2Ò(ó ô ógøCð¤ùqû þ ð û ó1÷ ø ò ó2Ò(ñqó2mPn þ ûqð8÷[û óuldö<òFö<ù>øFöe÷

ýPöe÷Cð¤ònû(ö²öe÷ øCð ö<õ þ8ô ñ mPn þ

öe÷F÷Föe÷¡ý(ò þ

k l QSlmQSlzT O

õ&ó1÷ ñ ð ô ó2D ðom n þcÿ0ô1þ Ò ð ô üeþ ï

û(öJû ógõ>ö<òF÷ þ ÷Z÷ ó1÷ øFö<ï4ð8÷

:¨ f¨

kAa

øCð¤õ0ð¤ï{ð ôgÿ ñ(ùq÷

Opk

ö<ù&øFö²øFö<ù ð û óul ñ(ùqû ó1û þcþ ÷ üeþ ù(ø ò þ8ô ð8û þ

ógïZý-öeû ótðGð

û ógõ>ö<òF÷Cð8÷;l ñ(ù m ~>öe÷ û(ö

l ñ(ù m ~&öe÷¡û þ ÷ ó1÷ øFö<ï4ð4ógùqû ñq÷ ø ò ótð ô ö<ï ÿ 0ü ó þ ÷P( K ï4ð8÷ û(ö;l þ ò ï4ðcógù&øFö ÿ òCð8ûqð k ô õô

L bpW0lqk>T O bVl T&W0N QSN

ü ógøCð8ûqðGð¤ù>øFö<ò ó þ ò ï

ü ñq÷ ø þ k2k2k2k ð ô ø þ

ø ógù ðGñ(ï

ù ð $[ó ÿ ñ(òCð j]k

f»

ñ(ógøFö<ø ñ(òCð

ðcð¤ñ(ø þ ï4ðomPn þ ( K ö ôð

ö<ù>øCð¤ù&ø þ K ð þ ÷Vý þ ñ üeþ ÷PK þ þ

QSN

û(öJùqö ÿ >ü ó þ ÷4öe÷ øCð/õ0ð¤ïxöe÷ øCð¤ù

ö<ù>øFö

ø ñqû þ

ç²þ þ8ô ñ mPn

ü ö<ù>ø òCð ô ó2D ð8ûqð

ñ(ógøFö<ø ñ(òCð

¨mü

ù þ ÷ üeþ ù&ø ò þ8ô ð8û þ òFöe÷

L T N PORl b'W0k l¾T O b'W0k O KAN QSOpk l U

òFöe÷«ö#ö&M ý ð¤ùqû ó1û þ òFö<ù ü ótð¤ï

ù>ø ò þ8ô ö û ó1÷ ø ò ó2Ò(ñ#"1û þ

:¨ f¨

nþ

üeþ ù&ø ò þ8ô öOK ÷ ñ(ýPö<ò õ&ó1÷Rn þ

¨mü

AQSNGbSO'U U¤l bVU¤Opk l U

ÿ ö<òFö<ù ü ótð¤ï

ô ö<ï4ð8÷ ð¤ógùqûqðJý-ö<òF÷ ó1÷ ø ótð¤ï

Kpö<ï Ò

õ ö<òFûqð8û(öOKpý þ ò

þ ò ðJö<ï ï

ö<ù þ ò

û(ö ùqö&p

f¨

l¾N-W SN QSOpk l U

ø òCð*D/ö<ònõOQ¤ò ó þ ÷AÒ-ö<ùqö&l*" ü ó þ ÷ný ð¤ò ðcð

ô ö<ï4ð8÷PKpïZógù(ógïZó2D ð8û þ ÷PK

ö<ù&ø þ

ö<ïZý(òFöe÷CðLK(ð¤ógùqûqð òFöe÷Bp

öe÷F÷Cð"ð¤ò

ñ(ógøFö<ø ñ(òCð

ógù&øFö<ùq÷ ó1ûqð8û(ö

k<ú

ð8÷

òCð¤ï{ö ô öe÷ W

i µ l

öe÷ ü òCð/õ þ ÷PK þ

ñqö ù n þ üeþ ù&ø ò ó2Ò(ñ#"tð

øFöOK þ ñ(ø òCð õ ö<òF÷Rn þ ðGö&r ü ó %<ù ü ótð

ý þ ÷F÷ ó2Ò(ó ô ógøCðcð ý(ò þ ø þ>üeþ8ô1þ k

û(öe÷ øFö

ý ð¤òCð

û(öe÷Fö<ïZý-ö<ù þ

üeþ ïcñ(ù(ó ü ðomPn þ

û(öe÷ øFö#÷ ó1÷ øFö<ï4ð

#ö

ü ö<ù>øCö ï

û(ö#ñ(ï4ð ý ð ô ðeõ&òCð ï4ð¤ó þ òPK(ð¤ñ(ï

ö<ùLp

ö<ù&øCð¤ùqû þ

÷ øFö#ý(ò þ ø þ>üeþ8ô1þ #ÿ ö ò ð ô ï ö<ù&øFö þ ñ(ø ó ô ó2D ð8û þ ù þ ï4ð¤ó1÷eÒ ð¤óuM þ ù#"gõ ö ô-üeþ ï þ/d ò þ r Ò(ñq÷ · d9k - ï4ðjû(öc÷ ñ ð8÷ ü ð¤òCð ü øFö<ò+"1÷ ø ó ü ð8÷ ø+"gý(ó ü ð8÷ cþ ñq÷ þ ûqö ñ(ï ü ð*Ò þ ñqö ù n þ ýPö<ò ïZógøFö üeþ ùqö ü ø þ òFöe÷ öe÷ ý-ö ü ótð¤ó1÷ kv- ï ÷ ó1÷ øFö<ï4ð ð ógù>õ>ö<òF÷Rn þ ûqð ý þ8ô ð¤ò ó1ûqð8û(öOK ï4ð8÷«ö&M ó ÿ ö#øCð¤ï Ò ï ø+"gý(ó üeþGüeþ ï öe÷ øFö0 Ò ð¤ò òCð¤ï ö<ù>ø þZüeþ ùLl þ ò ï ö'? I ï Y K3 RPe ï þ ÷ ø òCð8û þ ù ð/$[ó ÿ ñ(òCð j]k k j 3k

¡ ¡ ¡

®s¯ °9± ²>³D< ´ <

:¦ %¦

ô ó2D ð8û þ

ï &Y k

lþ

ù ð!Q¤òFö/ð"ð¤ñ(ø þ ï

óaû(öe÷Fö<ù&õ þ8ô õ&ó1û þ

ñq÷ þ

û(ö

u9d

ýPö ô ð

k< ö<ï{ðjý ð¤ò ø ó ü k j µLk= aô ö ø òCð*Ò ð ô ð

þ ø ógõ0ð

ð¤ùqö ô õ&ó1÷ øCðJù ðE$[ó ÿ ñ(òCð$j]k þ

ö<ù&ø þ:I

bpW0lqkA

÷ øFöcý(ò þ ø þ>üeþ8ô1þ

ýPö<ò ïZógøFö

r>= n ð¤ò òCð¤ï

÷ þ ñ

þ ö<ù(óuM

ñ ô ð¤ò ó1ûqð8ûqö ü<þ ï

nþ

ù>øCð ü ø

cô ð¤ò

local

®s¯ °9± ²>³D< ´ <

>= [ þ ý þ8ô1þ8ÿ ótð

ÿ ð¤ï

ö<ù&øFöGñ(ø óup

û(öGñ(ø ó ô ó2D ð¤ò ðjø þ ý þ8ô1þ8ÿ ó1ð"ö<ï

üeþ ïcñ(ù(ó ü ðomPn þ

÷ ógùqû ñq÷ ø ò ótð¤ó1÷ ý ð¤òCð lAð*D/ö<ò þZüeþ ù&ø ò þ8ô ö

o ö<ïÞð¤ùqö ô û þ Y ù&øFö<ò nnñq÷

öe÷ ø òFö ¤öe÷ ü òCð/õ þ

R$ 89,00

Este livro estĂĄ Ă venda nas seguintes livrarias e sites especializados:

EXCELÊNCIA E INOVAÇÃO EM

ENGENHARIA ELETRÔNICA