Introdução à Geometria Diferencial by Editora Blucher

Introdução à Geometria Diferencial Keti Tenenblat

Lançamento 2008 ISBN: 9788521204671 Páginas: 280 Formato: 17x24 cm Peso: 0.470 kg

Conteúdo

Capítulo 0 – CÁLCULO NO ESPAÇO EUCLIDIANO 1. Cálculo Vetorial no Espaço Euclidiano ................................................................1 2. Cálculo Diferencial no Espaço Euclidiano .........................................................12

Capítulo I – CURVAS PLANAS 1. Curva Parametrizada Diferenciável ....................................................................28 2. Vetor Tangente; Curva Regular...........................................................................32 3. Mudança de Parâmetro; Comprimento de Arco .................................................36 4. Teoria Local das Curvas Planas; Fórmulas de Frenet .........................................42 5. Teorema Fundamental das Curvas Planas ..........................................................52

Capítulo II – CURVAS NO ESPAÇO 1. Curva Parametrizada Diferenciável ....................................................................55 2. Vetor Tangente; Curva Regular; Mudança de Parâmetro ...................................57 3. Teoria Local das Curvas; Fórmulas de Frenet ....................................................61 4. Aplicações ...........................................................................................................71 5. Representação Canônica das Curvas ..................................................................78 6. Isometrias do ⺢3; Teorema Fundamental das Curvas .........................................81 7. Teoria do Contato ...............................................................................................97 8. Involutas e Evolutas..........................................................................................104

Capítulo III – TEORIA LOCAL DE SUPERFíCIES 1. Superfície Parametrizada Regular ....................................................................109 2. Mudança de Parâmetros....................................................................................125 3. Plano Tangente; Vetor Normal..........................................................................131

X 4. Primeira Forma Quadrática ..............................................................................138 5. Segunda Forma Quadrática; Curvatura Normal ...............................................152 6. Curvaturas Principais; Curvatura de Gauss; Curvatura Média .........................160 7. Classiﬁcação dos Pontos de uma Superfície.....................................................174 8. Linhas de Curvatura; Linhas Assintóticas; Geodésicas ....................................187 9. Teorema Egregium de Gauss; Equações de Compatibilidade; Teorema Fundamental das Superfícies .............................................................207 10. Aplicações Computacionais ............................................................................212

Capítulo IV – MÉTODO DO TRIEDRO MÓVEL 1. Formas Diferenciais em ⺢2 ...............................................................................217 2. Triedro Móvel; Equações de Estrutura .............................................................233 3. Aplicações: Teorema de Bonnet; Teorema de Bäcklund ..................................254

Referências Bibliográﬁcas ........................................................................................266

Índice Alfabético Remissivo .....................................................................................268

Cap´ıtulo 0 ´ CALCULO NO ESPAC ¸ O EUCLIDIANO

No estudo de curvas e superf´ıcies, serão utilizados os conceitos fundamentais do cálculo vetorial e do cálculo diferencial de funço˜ es de uma ou mais variáveis. Por esse motivo, julgamos conveniente reunir neste cap´ıtulo inicial as noço˜ es necessárias, muito embora, admitindo que são do conhecimento do leitor.

1. Cálculo Vetorial no Espaço Euclidiano Denotamos por R3 o espaço euclidiano de dimensão três, isto e´ , o conjunto de termos ordenados de números reais p = (x, y, z), chamados pontos de R3 . A distância entre dois pontos p1 = (x1 , y1 , z1 ) e p2 = (x2 , y2 , z2 ) e´ dada por q d(p1 , p2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 . Dados dois pontos distintos p1 e p2 de R3 , o segmento orientado de p1 a p2 e´ chamado vetor. O comprimento do segmento e´ dito módulo do vetor. Portanto, a cada vetor podemos associar uma direça˜ o, um sentido e o módulo. Se w e´ o vetor determinado pelo segmento orientado de p1 a p2 , então (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) são as componentes do vetor w. Dizemos que dois vetores são iguais se têm o mesmo módulo, direça˜ o e sentido. Portanto, dois vetores são iguais se, e só se, têm as mesmas componentes. Vamos incluir o vetor nulo de componentes nulas, que denotamos por 0. Observamos que existe uma correspondência bijetora entre os pontos e os

18. Verifique a identidade de Lagrange

hw1 , w3 i

hw1 × w2 , w3 × w4 i =

hw1 , w4 i

hw2 , w3 i

hw2 , w4 i

19. Sejam w1 e w2 dois vetores de R3 linearmente independentes. Prove que: a) w1 , w2 , w1 × w2 formam uma base de R3 ; b) se hw, w1 i = 0 e hw, w2 i = 0, então w = λ w1 × w2 para algum número real λ . 20. Considere os planos de R3 determinados pelas equaço˜ es hp − p0 , w1 i = 0 e hp − p0 , w2 i = 0, onde w1 e w2 são vetores linearmente independentes. Seja w = w1 × w2 . a) Verifique que a reta determinada por p = p0 + tw está contida nos dois planos. b) Prove que, se p e´ um ponto que pertence a ambos os planos, então p = p0 + t0 w.

2. Cálculo Diferencial no Espaço Euclidiano Nesta seça˜ o, vamos rever os conceitos básicos do cálculo diferencial em espaços euclidianos e enunciar os resultados relevantes para o estudo de curvas e superf´ıcies em R3 . Uma funça˜ o vetorial α de um subconjunto I de R em R3 , denotada por α : I ⊂ R → R3 , e´ uma correspondência que, para cada t ∈ I, associa α(t) ∈ R3 . Uma funça˜ o vetorial α : I ⊂ R → R3 pode ser representada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)),

usada para as derivadas parciais de segunda ordem e´ ∂ ∂xj

∂F ∂ xi

∂ ∂ xi

∂F ∂ xi

∂ 2F = Fxi x j , ∂ x j ∂ xi

∂ 2F = Fxi xi . ∂ xi2

Para as derivadas parciais de terceira ordem, usamos ∂ ∂ xk

∂ 2F ∂ x j ∂ xi

∂ 3F = = Fxi x j xk , etc. ∂ xk ∂ x j ∂ xi

Dizemos que uma funça˜ o F : A ⊂ Rn → Rm e´ diferenciável em p0 se existe uma aplicaça˜ o linear de Rn em Rm , denotada por dFp0 : Rn → Rm , tal que, para todo vetor w ∈ Rn , F(p0 + w) = F(p0 ) + dFp0 (w) + R(w), R(w) = 0. A aplicaça˜ o dFp0 e´ denominada diferencial de F em w→0 |w| p0 . A funça˜ o F e´ dita diferenciável se F e´ diferenciável em p, para todo p ∈ A.

onde lim

Pode-se verificar que, se F e´ diferenciável em p0 , então, para todo vetor w ∈ Rn , F(p0 + tw) − F(p0 ) dFp0 (w) = lim . t→t0 t Portanto, se F e´ diferenciável em p0 , então a derivada direcional de F em p0 existe, em qualquer direça˜ o. Observamos que a rec´ıproca não e´ verdadeira, isto e´ , uma funça˜ o pode ter todas as derivadas direcionais em um ponto, sem ser diferenciável no ponto. Seja F : A ⊂ Rn → Rm uma funça˜ o diferenciável em p0 ∈ A. Como dFp0 : Rn → Rm e´ uma aplicaça˜ o linear, temos a matriz associada a dFp0 ,

Cap´ıtulo I CURVAS PLANAS

1. Curva Parametrizada Diferenciável Uma curva no plano e´ descrita dando-se as coordenadas de seus pontos como funço˜ es de uma variável independente. 1.1 Definiça˜ o. Uma curva parametrizada diferenciável do plano e´ uma aplicaça˜ o diferenciável α de classe C∞ , de um intervalo aberto I ⊂ R em R2 . A variável t ∈ I e´ dita parâmetro da curva, e o subconjunto de R2 dos pontos α(t), t ∈ I, e´ chamado traço da curva. Observamos que uma curva parametrizada diferenciável do plano e´ uma aplicaça˜ o α : I → R2 que para cada t associa α(t) = (x(t), y(t)), onde as funço˜ es x(t) e y(t) são diferenciáveis de classe C∞ . 1.2 Exemplos a) A aplicaça˜ o α(t) = (x0 + at, y0 + bt), t ∈ R, onde a2 + b2 6= 0, e´ uma curva parametrizada diferenciável cujo traço e´ uma linha reta passando pelo ponto (x0 , y0 ), paralela ao vetor de coordenadas (a, b) (ver Figura 1). b) A aplicaça˜ o α, que para cada t ∈ R associa α(t) = (cost, sent),

Figura 4

A aplicac¸a˜ o   (t, se t ≤ 0, 0) 1 α(t) = se t > 0,  t, t 2 sen t

Figura 5

não e´ uma curva parametrizada diferenciável (ver Figura 5), já que a funça˜ o ( 0 se t ≤ 0, 1 y(t) = t 2 sen se t > 0, t

diferenciável cujo traço e´ a epiciclóide. Descreva a epiciclóide para o caso particular em que r = R. 9. Considere o conjunto C = {(x, y) ∈ R2 ; x3 + y3 = 3axy} denominado fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço e´ C, de tal forma que o parâmetro t seja a tangente do aˆ ngulo compreendido entre o eixo dos x e o vetor posiça˜ o (x, y). 10. Seja α(t) = ( f (t), g(t)), t ∈ R, uma curva regular e P = (x0 , y0 ) um ponto fixo do plano. A curva pedal de α em relaça˜ o a P e´ descrita pelos pés das perpendiculares baixadas de P sobre as retas tangentes a` curva α. Obtenha uma curva parametrizada cujo traço e´ a curva pedal de α em relaça˜ o a P. Determine a curva pedal de uma circunferência: a) em relaça˜ o ao seu centro e b) em relaça˜ o a um ponto P da circunferência.

3. Mudança de Parâmetro; Comprimento de Arco Já vimos na seça˜ o 1 que duas curvas planas podem ter o mesmo traço. Dada uma curva regular α, podemos obter várias curvas regulares que têm o mesmo traço que α, da seguinte forma: 3.1 Definiça˜ o. Sejam I e J intervalos abertos de R, α : I → R2 uma curva regular e h : J → I uma funça˜ o diferenciável (C∞ ), cuja derivada de primeira ordem e´ não-nula em todos os pontos de J e tal que h(J) = I. Então, a funça˜ o composta β = αoh : J → R2 e´ uma curva regular, que tem o mesmo traço que α, chamada reparametrizaça˜ o de α por h. A funça˜ o h e´ dita mudança de parâmetro (ver Figura 8).

Consideremos agora uma reparametrizac¸a˜ o de α, dada por s s β (s) = (a + b cos , c − b sen ). b b Ent˜ao, a curvatura de β (s) e´ igual a −

1 (ver Figura 11). b

Figura 11

Observamos que o sinal da curvatura depende da orientaça˜ o da curva. Mais adiante veremos a interpretaça˜ o geométrica do sinal da curvatura. O referencial de Frenet e a curvatura foram definidos para curvas regulares parametrizadas por comprimento de arco. Como vimos na Proposiça˜ o 3.6, toda curva regular admite uma tal reparametrizaça˜ o, entretanto, gostar´ıamos de poder realizar o estudo das curvas sem ter que, necessariamente, mudar a parametrizaça˜ o. A seguir, vamos considerar o referencial de Frenet e a curvatura de uma curva regular com qualquer parâmetro. Seja α : I → R2 uma curva regular de parâmetro qualquer r ∈ I. Consideremos β : J → R2 uma reparametrizaça˜ o de α pelo comprimento de arco s, isto e´ , β (s(r)) = α(r). Se t(s), n(s) e´ o referencial de Frenet de β (s) e k(s) e´ a curvatura, então diremos que t(r) = t(s(r)), n(r) = n(s(r)) e´ o referencial de Frenet de α, e k(r) = k(s(r)) e´ a curvatura.

Figura 13

Uma involuta de uma curva regular β e´ uma curva que e´ ortogonal a` s retas tangentes de β . Portanto, se β e´ evoluta de α, então α e´ uma involuta de β. Observamos que o aˆ ngulo entre duas curvas regulares que se interceptam e´ definido como sendo o aˆ ngulo entre os vetores tangentes a` s curvas no ponto de interseça˜ o. 4.4 Exerc´ıcios 1. Obtenha a curvatura das seguintes curvas regulares: a) α(t) = (t, t 4 ), t ∈ R; b) α(t) = (cost (2 cost − 1), sent (2 cost − 1)), t ∈ R (cardióide); c) α(t) = (t, cosh t), t ∈ R (catenária). 2. Considere a curva regular α(t) = (t, t 2 − 4t − 3), t ∈ R. Para que valor de t a curvatura de α e´ máxima? 3. Considere a elipse β (t) = (a cost, b sent), t ∈ R, onde a > 0, b > 0 e a 6= b. Obtenha os valores de t onde a curvatura de β e´ máxima e m´ınima.

Cap´ıtulo II CURVAS NO ESPAC ¸O

Neste cap´ıtulo será desenvolvida a teoria local de curvas no espaço euclidiano R3 . Como veremos a seguir, muitos conceitos básicos para curvas no espaço são introduzidos de modo análogo ao de curvas planas.

1. Curva Parametrizada Diferenciável 1.1 Definiça˜ o. Uma curva parametrizada diferenciável de R3 e´ uma aplicaça˜ o diferenciável α, de classe C∞ , de um intervalo aberto I ⊂ R em R3 . A variável t ∈ I e´ o parâmetro da curva, e o subconjunto de R3 formado pelos pontos α(t), t ∈ I, e´ o traço da curva. Observamos que uma curva parametrizada diferenciável de R3 e´ uma aplicaça˜ o α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ I, onde x(t), y(t) e z(t) são funço˜ es diferenciáveis de classe C∞ . 1.2 Exemplos a) A aplicaça˜ o α(t) = (x0 + at, y0 + bt, z0 + ct), t ∈ R, onde a2 + b2 + c2 6= 0 e´ uma curva parametrizada diferenciável, cujo traço e´ uma linha reta passando pelo ponto (x0 , y0 , z0 ) e paralela ao vetor de coordenadas (a, b, c). b) A curva parametrizada diferenciável α(t) = (a cos t, a sen t, bt)

14. Seja α(t) uma curva regular. Prove que, se β (s) e γ(s¯ ) são duas reparametrizaço˜ es de α por comprimento de arco, então s = ± s¯ + a, onde a e´ uma constante.

3. Teoria Local das Curvas; Fórmulas de Frenet No cap´ıtulo anterior, vimos que a teoria local das curvas planas está contida essencialmente nas fórmulas de Frenet, que são obtidas considerando um diedro ortonormal associado naturalmente a uma curva plana. A seguir, vamos desenvolver um estudo análogo, considerando um triedro ortonormal associado a uma curva regular de R3 . Seja α : I → R3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. A velocidade com que as retas tangentes mudam de direça˜ o e´ denominada curvatura de α, isto e´ , 3.1 Definiça˜ o. Se α : I → R3 e´ uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, então a curvatura de α em s ∈ I e´ o número real k(s) = |α 00 (s)|. 3.2 Exemplos a) Consideremos a curva parametrizada pelo comprimento de arco s s α(s) = a cos , a sen , 0 , s ∈ R, a a cujo traço e´ uma circunferência contida no plano x ◦ y, de raio a > 0. A 1 curvatura de α e´ k(s) = , ∀ s ∈ R. a b) A curva regular ! 3 3 (1 + s) 2 (1 − s) 2 s , ,√ , s ∈ (−1, 1), α(s) = 3 3 2

Observamos que b0 (s) e´ paralelo a n(s). De fato, derivando b(s) = t(s) × n(s), obtemos b0 (s) = t 0 (s) × n(s) + t(s) × n0 (s) = t(s) × n0 (s).

Portanto, b0 (s) e´ ortogonal a t(s). Como |b(s)| = 1, temos que b0 (s) e´ ortogonal a b(s). Donde conclu´ımos que b0 (s) e´ paralelo a n(s), isto e´ , b0 (s) e´ igual ao produto de n(s) por um número real. 3.6 Definiça˜ o. O número real τ(s) definido por b0 (s) = τ(s)n(s) e´ denominado torça˜ o da curva em s. 3.7 Exemplo. Vamos obter o triedro de Frenet, a curvatura e torça˜ o da hélice circular parametrizada pelo comprimento de arco α(s) = a cos √

s a2 + b2

, a sen √

s a2 + b2

, √ , s ∈ R, a2 + b2

onde a > 0 e´ uma constante.

t(s) = √

−a sen √ , a cos √ ,b , a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 s s −a , sen √ ,0 , α 00 (s) = 2 cos √ 2 2 2 2 a +b a +b a + b2 a k(s) = |α 00 (s)| = 2 . a + b2

3.9 Exerc´ıcios 1. Considere as seguintes curvas regulares: a) α(t) = (4 cos t, 5 − 5 sen t, −3 cos t), t ∈ R, b) β (t) = (1 − cos t, sen t, t), t ∈ R, √ c) γ(t) = (et , e−t , 2 t), t ∈ R. Reparametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torça˜ o de cada curva. 2. Calcule a curvatura e a torça˜ o das seguintes curvas: a) α(t) = (t, t 2 , t 3 ), b) β (t) = (cost, sent, et ), c) γ(t) = (t, cosh t, senh t). 3. Obtenha uma curva parametrizada cujo traço e´ a interseça˜ o do plano x ◦ y com o plano normal a` curva α(t) = (cost, sent, t) em t = π2 . 4. Seja α : I → R3 uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) > 0, ∀ s ∈ I. Obtenha α 000 (s) como combinaça˜ o linear do triedro de Frenet de α em s. 5. Seja α : I → R3 uma curva regular. Prove que: a) Se todas as retas tangentes a α têm um ponto em comum, então o traço de α e´ um segmento de reta. b) Se para cada t ∈ I os vetores α 00 (t) e α 0 (t) são colineares, então α(I) e´ um segmento de reta. 6. Seja α(t) uma curva regular onde t e´ um parâmetro qualquer. a) Verifique que α 00 (t) e´ paralelo ao plano osculador de α em t.

13. Seja α : I → R3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. Prove que α e´ uma hélice se, e só se, ∀ s ∈ I, as retas que passam por α(s), na direça˜ o de n(s), são paralelas a um plano fixo. 14. Prove que a indicatriz esférica tangente ou binormal (ver Exerc´ıcios 12 e 13 da seça˜ o anterior) de uma curva α e´ uma circunferência se, e só se, α e´ uma hélice.

5. Representaça˜ o Canônica das Curvas Consideremos uma curva regular α(s) = (x(s), y(s), z(s)), s ∈ I, parametrizada pelo comprimento de arco e de curvatura k(s) 6= 0, ∀ s ∈ I. Para investigar o comportamento da curva em uma vizinhança de um de seus pontos, vamos expandir a funça˜ o vetorial α(s) pela fórmula de Taylor. Sem perda de generalidade, vamos fixar s = 0 e vamos considerar o sistema de coordenadas de R3 tal que α(0) = (0, 0, 0), t(0) = (1, 0, 0), n(0) = (0, 1, 0), b(0) = (0, 0, 1). Então, s3 s2 000 α(s) = α(0) + α (0)s + α (0) + α (0) + R, 2! 3! onde R contém potências de s de ordem maior ou igual a quatro. Usando as fórmulas de Frenet, temos 0

α 0 (0) = t(0), α 00 (0) = k(0)n(0), α 000 (0) = k(0)n0 (0) + k0 (0)n(0) = = −k2 (0)t(0) + k0 (0)n(0) − k(0)τ(0)b(0). Portanto, k2 (0) 3 k(0) 2 k0 (0) 3 α(s) = s − s t(0) + s + s n(0) − 6 2 6 k(0)τ(0) 3 − s b(0) + R. 6

6.15 Teorema fundamental das curvas a) Dadas duas funço˜ es diferenciáveis, k(s) > 0 e τ(s), s ∈ I ⊂ R, existe uma curva regular α(s) parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) e´ a curvatura e τ(s) e´ a torça˜ o de α em s. b) A curva α(s) e´ u´ nica se fixarmos um ponto α(s0 ) = p0 ∈ R3 , α 0 (s0 ) = v1 , α 00 (s0 ) = k(s0 )v2 , onde v1 e v2 são vetores ortonormais de R3 . c) Se duas curvas α(s) e β (s) têm a mesma curvatura e torça˜ o (a menos de sinal), então α e β são congruentes. Demonstraça˜ o. Vamos iniciar provando c). A idéia e´ considerar uma isometria F conveniente e a curva α¯ = F ◦ α que e´ congruente a α, em seguida provar que α¯ = β . Fixemos s0 ∈ I e suponhamos que τα = τβ (resp. τα = −τβ ). Usaremos os ´ındices α e β para indicar a curva a` qual se refere a curvatura, torça˜ o, etc. Seja F a isometria de R3 , tal que F(α(s0 )) = β (s0 ) e dFα(s0 ) (tα (s0 )) = tβ (s0 ), dFα(s0 ) (nα (s0 )) = nβ (s0 ), dFα(s0 ) (bα (s0 )) = bβ (s0 ) (resp. dFα(s0 ) (bα (s0 )) = −bβ (s0 )). Observamos que a existência de F e´ garantida pela Proposiça˜ o 6.12. Seja ¯ τ, ¯ etc., a curvatura, torça˜ o, etc., relativos a` α¯ = F ◦ α, denotaremos por k, ¯ Segue-se da Proposiça˜ o 6.14 e da escolha de F que curva α. ¯ 0 ) = β (s0 ), α(s k¯ = kα = kβ ,

t¯(s0 ) = tβ (s0 ),

n(s ¯ 0 ) = nβ (s0 ), ¯ 0 ) = bβ (s0 ). τ¯ = τα = τβ (resp. τ¯ = −τα = τβ ), b(s

Para provar que α¯ = β , basta mostrar que t¯ = tβ , pois neste caso tere¯ − β (s) constante e, como α(s ¯ 0 ) = β (s0 ), poderemos concluir que mos α(s)

7. Teoria do Contato Dada uma curva regular α : I → R3 , dentre todas as retas de R3 que passam por α(t0 ), intuitivamente, parece-nos que a reta tangente a α em t0 e´ aquela que tem maior “contato” com a curva. Além disso, dentre todos os planos que contêm a reta tangente a α em t0 , o plano osculador parece ter maior “contato” com a curva. A fim de precisar melhor essas idéias, consideremos a seguinte 7.1 Definiça˜ o. Sejam α : I → R3 e β : I¯ → R3 curvas regulares tal que ¯ Dizemos que α e β têm contato de ordem α(t0 ) = β (t0 ), onde t0 ∈ I ∩ I. n em t0 (n inteiro ≥ 1) se todas as derivadas de ordem ≤ n das funço˜ es α e β coincidem em t0 e as derivadas de ordem n + 1 em t0 são distintas. 7.2 Exemplos a) As curvas α(t) = (t, t n , 0), t ∈ R, e β (t) = (t, 0, 0), t ∈ R, têm contato de ordem n − 1 em t = 0. 1 b) As curvas regulares α(t) = (t, cosh t, 0), t ∈ R, e β (t) = (t, t 2 + 2 1, 0), t ∈ R, têm contato de ordem 3 em t = 0. Observamos que, se α e β são curvas regulares tais que α(t0 ) = β (t0 ) e todas as derivadas de ordem ≤ n de α e β coincidem em t0 , então α e β têm contato de ordem ≥ n em t0 . 7.3 Proposiça˜ o. Seja α : I → R3 uma curva regular. Uma reta β tem contato ≥ 1 com α em t0 se, e só se, β e´ a reta tangente a α em t0 . Demonstraça˜ o. Seja β : R → R3 uma reta qualquer, que podemos considerar definida por β (t) = a + (t − t0 )v

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c) Uma esfera que tem contato de ordem ≥ 2 com α em s0 intercepta o plano osculador de α em s0 ao longo do c´ırculo osculador em s0 . d) A esfera osculatriz de α em s0 tem contato de ordem ≥ 3 com α em s0 . 10. Obtenha a ordem de contato da curva α(s) = (s, r, 0) e a esfera S = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 + z2 = r2 }, onde r e´ uma constante positiva. 11. Sejam α(s) uma curva regular, π um plano de R3 e S uma esfera. a) Suponha que α(s) e π têm contato de ordem n em s0 . Prove que, se n e´ ´ımpar, então, para s suficientemente próximo de s0 , α(s) pertence a um mesmo semi-espaço de R3 determinado por π. Se n e´ par, então existem s1 e s2 tal que α(s1 ) e α(s2 ) pertencem a semiespaços distintos determinados por π (isto e´ , α atravessa o plano π). b) Suponha que α(s) e S têm contato de ordem n em s0 . Prove que, se n e´ ´ımpar, então, para s suficientemente próximo de s0 , α(s) pertence a um mesmo subespaço de R3 (interior ou exterior a` esfera) determinado por S. Se n e´ par, então existem s1 e s2 tal que α(s1 ) e α(s2 ) pertencem a subespaços distintos determinados por S.

8. Involutas e Evolutas Nesta seça˜ o veremos que uma curva α de R3 determina duas fam´ılias de curvas, que são as involutas e evolutas de α. O estudo das evolutas de uma curva no espaço difere bastante de estudo das evolutas de uma curva plana. Uma curva plana tem uma u´ nica evoluta descrita pelos centros de curvatura (ver seça˜ o 4 do Cap´ıtulo I), enquanto que uma curva no espaço tem uma fam´ılia infinita de evolutas. Como veremos a seguir, as curvas descritas pelos centros de curvatura ou pelos centros de curvatura esférica de uma curva α, cuja torça˜ o não se anula, não são evolutas de α. Entretanto, existe uma

Cap´ıtulo III ´ TEORIA LOCAL DE SUPERFICIES

1. Superf´ıcie Parametrizada Regular Neste cap´ıtulo, vamos investigar as propriedades geométricas locais de superf´ıcies no espaço euclidiano R3 . O conceito de superf´ıcie parametrizada será introduzido de modo análogo ao de curvas. Assumimos que temos um sistema de coordenadas cartesianas x, y, z em R3 e consideramos uma funça˜ o X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), de duas variáveis u, v que variam em um aberto U ⊂ R2 . Para cada (u, v) ∈ U, X(u, v) determina um ponto de R3 . Denotamos por S o subconjunto de R3 formado pelos pontos X(u, v). A fim de que possamos utilizar as técnicas de cálculo diferencial no estudo de superf´ıcies, vamos exigir a diferenciabilidade da funça˜ o X. Além disso, vamos nos restringir ao estudo de superf´ıcies que em cada ponto admitem um plano tangente. 1.1 Definiça˜ o. Uma superf´ıcie parametrizada regular ou simplesmente uma superf´ıcie e´ um aplicaça˜ o X : U ⊂ R2 → R3 , onde U e´ um aberto de R2 , tal que: a) X e´ diferenciável de classe C∞ ; b) Para todo q = (u, v) ∈ U, a diferencial de X em q, dXq : R2 → R3 , e´ injetora. As variáveis u, v são os parâmetros da superf´ıcie. O subconjunto S de R3 obtido pela imagem da aplicaça˜ o X e´ denominado traço de X.

113

Figura 24 d) Consideremos a aplicac¸a˜ o X : U ⊂ R2 → R3 definida por X(u, v) = (a sen v cos u, a sen v sen u, a cos v), onde a > 0 e U = R × (0, π) = {(u, v) ∈ R2 ; u ∈ R e 0 < v < π} (ver Figura 25).

Figura 25 A aplicac¸a˜ o X e´ diferenci´avel e os vetores Xu = (−a sen v sen u, a sen v cos u, 0), Xv = (a cos v cos u, a cos v sen u, −a sen v),

119

Considerando a rotac¸a˜ o de α em torno do eixo 0z, obtemos a superf´ıcie de rotac¸a˜ o X(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sen v, r sen u), (u, v) ∈ R2 , que descreve o toro (ver Figura 32).

Figura 32 Observamos que o traço de uma superf´ıcie parametrizada regular X(u, v) admite auto-interseça˜ o, isto e´ , podem existir dois pontos distintos (u0 , v0 ) 6= (u1 , v1 ), tal que X(u0 , v0 ) = X(u1 , v1 ). Por exemplo, em uma superf´ıcie de rotaça˜ o X(u, v) = ( f (u) cos v, f (u) sen v, g(u)), onde u ∈ I e v ∈ R, temos X(u, 0) = X(u, 2π), para todo u ∈ I. Outro exemplo de uma superf´ıcie que admite auto-interseça˜ o e´ dado por X(u, v) = (cos u (2 cos u − 1), sen u (2 cos u − 1), v),

(u, v) ∈ R2 .

O trac¸o de X e´ o subconjunto de R3 gerado pelas retas que passam por α(u) = (cos u (2 cos u − 1), sen u (2 cos u − 1), 0) (ver Cap´ıtulo I, 1.2c)) paralelas ao eixo 0z (ver Figura 33).

125

8. Verifique que a aplicaça˜ o X(u, v) = (u cos v, sen v, φ (v)), onde u ∈ (0, ∞), v ∈ R e φ e´ uma funça˜ o diferenciável, e´ uma superf´ıcie parametrizada regular. Determine a funça˜ o φ de modo que o traço de X esteja contido no parabolóide hiperbólico {(x, y, z) ∈ R3 ; ax = yz}. 9. Seja X(u, v) uma superf´ıcie parametrizada regular. Prove que, se F : R3 → R3 e´ uma difeomorfismo, então X¯ = F ◦ X e´ uma superf´ıcie parametrizada regular.

2. Mudança de Parâmetros Duas superf´ıcies parametrizadas podem ter o mesmo traço. Por exemplo, as superf´ıcies X(u, v) = (u + v, u − v, 4uv), Y (u, ¯ v) ¯ = (u, ¯ v, ¯ u¯ 2 − v¯ 2 ),

(u, v) ∈ R2 ,

(u, ¯ v) ¯ ∈ R2 ,

têm o mesmo traço S = {(x , y, z) ∈ R3 ; z = x2 − y2 }, que e´ um parabolóide hiperbólico. Dada a superf´ıcie parametrizada regular X, podemos obter várias superf´ıcies parametrizadas que têm o mesmo traço que X, da seguinte forma. 2.1 Proposiça˜ o. Seja X : U ⊂ R2 → R3 uma superf´ıcie parametrizada regular. Se h : U¯ ⊂ R2 → U e´ uma aplicaça˜ o diferenciável, cujo determi¯ = U, então Y = X ◦ h e´ uma nante da matriz jacobiana não se anula, e h(U) superf´ıcie parametrizada regular que tem o mesmo traço que X.

131

3. Verifique que uma reparametrizac¸a˜ o do caten´oide X(u, v) = (u, cosh u cos v, cosh u sen v), (u, v) ∈ R2 , e´ dada por ¯ u, X( ¯ v) ¯ = (arc senh u, ¯

p p 1 + u¯ 2 cos v, ¯ 1 + u¯ 2 sen v), ¯ (u, v) ∈ R2 .

Obtenha a mudança de parâmetros. 4. Considere uma superf´ıcie de rotaça˜ o da forma X(u, v) = ( f (u) cos v, f (u) sen v, u), (u, v) ∈ U, onde U = I × R e I e´ um intervalo aberto de R. Para cada (u0 , v0 ) ∈ U, obtenha um aberto V, (u0 , v0 ) ∈ V ⊂ U, e uma mudança de parâmetros h : U¯ → V tal que o traço de Y = X ◦ h e´ o gráfico de uma funça˜ o diferenciável.

3. Plano Tangente; Vetor Normal Seja X(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ R2 , uma superf´ıcie parametrizada regular. Considerando u e v como funço˜ es diferenciáveis de um parâmetro t, t ∈ I ⊂ R, obtemos uma curva diferenciável α(t) = X(u(t), v(t)) cujo traço está contido na superf´ıcie descrita por X. Dizemos que α e´ uma curva da superf´ıcie. Vamos definir um vetor tangente a` superf´ıcie como sendo o vetor tangente a uma curva da superf´ıcie. Mais precisamente, 3.1 Definiça˜ o. Se X(u, v) e´ uma superf´ıcie parametrizada regular, dizemos que um vetor w de R3 e´ um vetor tangente a X em q = (u0 , v0 ) se w = α 0 (t0 ), onde α(t) = X(u(t), v(t)) e´ uma curva da superf´ıcie, tal que (u(t0 ), v(t0 )) = (u0 , v0 ) (ver Figura 36).

155

Figura 45

Como IIq (w) e kn (w) não dependem da curva α escolhida, vamos aplicar a relaça˜ o (2) para a curva mais conveniente. Esta curva e´ a chamada seça˜ o normal da superf´ıcie determinada por w, que e´ obtida pela interseça˜ o do traço de X(u, v), para (u, v) suficientemente próximos de (u0 , v0 ), com o plano que passa por X(u0 , v0 ), ortogonal a w × N(u0 , v0 ) (ver Figura 46).

Figura 46

Nestas condiço˜ es, a seça˜ o normal e´ o traço de uma curva regular plana definida por α(s) = X(u(s), v(s)), parametrizada pelo comprimento de arco, tal que

177

onde N0 =

Xu × Xv (0, 0). |Xu × Xv |

Figura 51 Observamos que o sinal da funça˜ o h(u, v) indica o semi-espaço determinado por Tq X, ao qual X(u, v) pertence. Consideremos o desenvolvimento de Taylor da funça˜ o X(u, v) em torno de (0, 0), X(u, v) = X(0, 0) + Xu (0, 0) u + Xv (0, 0) v + 1 + (Xuu (0, 0) u2 + 2Xuv (0, 0) uv + Xvv (0, 0) v2 ) + R(u, v), 2 onde R(u, v) e´ de grau maior ou igual a 3 em relaça˜ o a u e v. Denotando por e0 , f0 , g0 os coeficientes da segunda forma quadrática em q = (0, 0), segue-se que 1 h(u, v) = (e0 u2 + 2 f0 uv + g0 v2 ) + hR(u, v), N0 i = 2 1 ¯ = IIq (w) + R(u, v), 2 ¯ onde w = u Xu (q) + v Xv (q), definimos R(u, v) = hR(u, v), N0 i e temos ¯ lim R(u, v) = 0. Portanto, para w 6= 0, temos que (u, v)→(0, 0)

1 ¯ h(u, v) = kn (w)|w|2 + R(u, v), 2

(10)

187

12. Seja X(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ R2 , uma superf´ıcie parametrizada regular e q = (0, 0). Considere um plano de R3 paralelo ao plano tangente a X em q, passando pelo ponto X(q) + ε N(q), onde ε e´ uma constante suficientemente pequena. Seja C o conjunto dos pontos da superf´ıcie que interceptam este plano. Prove que: a) Se q e´ um ponto el´ıtico, então os pontos (u, v) ∈ U, tais que X(u, v) ∈ C, descrevem aproximadamente uma elipse. b) Se q e´ um ponto hiperbólico, então os pontos (u, v) ∈ U, tais que X(u, v) ∈ C, descrevem aproximadamente uma hipérbole.

8. Linhas de Curvatura; Linhas Assintóticas; Geodésicas Se X(u, v), (u, v) ∈ U, e´ uma superf´ıcie parametrizada regular de R3 e u e v são funço˜ es diferenciáveis de um parâmetro t, t ∈ I ⊂ R, então a curva diferenciável α(t) = X(u(t), v(t)) e´ uma curva da superf´ıcie X. Se α e´ regular, dizemos que α e´ uma curva regular da superf´ıcie. Dentre as diversas curvas regulares de uma superf´ıcie, vamos apresentar três tipos de curvas que merecem um estudo especial. São as chamadas linhas de curvatura, linhas assintóticas e as geodésicas. 8.1 Definiça˜ o. Seja X(u, v) uma superf´ıcie parametrizada regular. Uma curva regular α(t) = X(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R, e´ uma linha de curvatura da superf´ıcie X se, para todo t ∈ I, o vetor α 0 (t) e´ uma direça˜ o principal de X em (u(t), v(t)). 8.2 Exemplos a) Toda curva regular de um plano e´ uma linha de curvatura. b) Toda curva regular de uma esfera e´ uma linha de curvatura. c) Os paralelos e os meridianos de uma superf´ıcie de rotaça˜ o são linhas de curvatura (Exerc´ıcio 2).

213

.......... . ... .. . . .. . .. . .... . .......... ........................................................................................................ ..................... .. ... .. ... .. ............ ........ ....................................................................................................................... .................................... ................. .................................. ......................................... ................................... ..................................................................................................... ........................................................................................................ ................................. .. .. .................................. ................................................................................................................................... ........ ... ... ............ ....... ........ ................ .... ......... ...................... . ... ... .. ....................... ........................................................... .............................................. ........ . ... .. . . .. . . ... . ........ Figura 52 curvas pela parametrizac¸a˜ o, obtemos as linhas de curvatura X(u(t), v(t)) sobre a superf´ıcie. Vamos visualizar as linhas de curvatura da sela do macaco (Exemplo 5.4) em uma regi˜ao que exclui a origem que e´ um ponto umb´ılico.

Figura 53 Inicialmente, resolvemos a equac¸a˜ o (23) em cada uma das quatro regi˜oes

Cap´ıtulo IV ´ ´ METODO DO TRIEDRO MOVEL

A teoria das superf´ıcies, apresentada no cap´ıtulo anterior, foi desenvolvida considerando os vetores Xu , Xv , N associados a uma superf´ıcie X(u, v). Para cada (u, v), esses vetores formam uma base de R3 que, de modo geral, não e´ ortonormal. Neste cap´ıtulo, vamos desenvolver a teoria das superf´ıcies utilizando o chamado método do triedro móvel. Esse método, que foi introduzido por E. Cartan, consiste essencialmente em escolher adequadamente, para cada ponto da superf´ıcie, uma base ortonormal e1 (u, v), e2 (u, v), e3 (u, v) de R3 de tal forma que os vetores e1 , e2 são tangentes a` superf´ıcie. Vamos iniciar introduzindo a noça˜ o de formas diferenciais em R2 .

1. Formas Diferenciais em R2 ∗

Consideremos o espaço vetorial R2 e denotemos por R2 o espaço dual de R2 , isto e´ , o conjunto das aplicaço˜ es lineares de R2 em R. O espaço dual, munido com as operaço˜ es usuais de funço˜ es, e´ um espaço vetorial. Dada uma ∗ base e1 , e2 de R2 , definimos uma base f1 , f2 de R2 por: fi (e j ) = 0 se i 6= j, e fi (e j ) = 1 se i = j, 1 ≤ i, j ≤ 2. f1 , f2 e´ chamada base dual de e1 , e2 . Denotemos por q = (u, v) os pontos de um aberto U de R2 . Daqui por diante, vamos denotar por ∂∂u = (1, 0), ∂∂v = (0, 1) a base canônica de R2 . Denotemos também por u e v as projeço˜ es de U ⊂ R2 em R na primeira e segunda coordenadas, respectivamente. As funço˜ es u e v são diferenciáveis e, para cada q ∈ U, as diferenciais de u e v em q, duq , dvq formam a base dual da base canônica de R2 . Portanto, se consideramos um vetor

233

b) A diferencial exterior da func¸a˜ o real hF, Gi e´ a 1-forma diferencial dada por d hF, Gi = hdF, Gi + hF, dGi . c) d(Fω) = dF ∧ ω + F dω.

2. Triedro Móvel; Equaço˜ es de Estrutura Seja X : U ⊂ R2 → R3 uma superf´ıcie parametrizada regular. Denotemos por q = (u, v) os pontos de U. Um triedro móvel associado a` superf´ıcie X e´ um terno de funço˜ es diferenciáveis e1 , e2 , e3 de U em R3 tal que, para todo q ∈ U, o conjunto de vetores e1 (q), e2 (q), e3 (q) e´ uma base ortonormal de R3 e e1 (q), e2 (q) são vetores tangentes a` superf´ıcie X em q. Segue-se dessa definiça˜ o que os vetores e1 (q), e2 (q) formam uma base no plano tangente Tq X e e3 (q) e´ um vetor normal a` superf´ıcie X em q. Observamos que um triedro móvel existe para qualquer superf´ıcie parametrizada regular. De fato, basta considerar, por exemplo, e3 (q) =

Xu × Xv (q), |Xu × Xv |

e1 (q) =

Xu (q) |Xu |

e2 (q) = e3 (q) × e1 (q).

Além disso, podemos sempre nos restringir a triedros tais que he1 × e2 , e3 i = 1. 2.1 Exemplos. a) Consideremos uma superf´ıcie de rotaça˜ o X(u, v) = ( f (u) cos v, f (u) sen v, g(u)) gerada por uma curva regular α(u) = ( f (u), 0, g(u)), onde a funça˜ o f não se anula. Como os vetores Xu e Xv são ortogonais, as funço˜ es definidas por e1 =

Xu , |Xu |

e2 =

Xv , |Xv |

e3 =

Xu × Xv , |Xu × Xv |

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