Luiz Marengão
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FRENTE
A
FÍSICA Por falar nisso EVOLUÇÃO DA BICICLETA Documentos históricos guardados no Museu de Madrid mostram projetos de uma bicicleta do grande inventor italiano Leonardo da Vinci. Esses projetos, elaborados no século XV, não foram executados. A mais antiga das bicicletas foi chamada em seu país de origem, a França, de “cavalinho-de-pau”. Esse importante meio de transporte surgiu na cidade de Paris em 1818. Essa primeira versão não possuía pedais e provocava muito cansaço em quem andava com ela. Em 1855, o ferreiro francês especialista em carruagens, Pierre Michaux, inventou o pedal, que foi instalado em um veículo de duas rodas traseiras e uma dianteira. Chamado de velocípede, é considerada a primeira bicicleta moderna. Já a primeira bicicleta a possuir um sistema de corrente ligada às rodas foi projetada por H.J.Lawson, no ano de 1874. Seu terceiro modelo, a “Bicyclette”, foi desenhado em 1879 e já possuía maior estabilidade e segurança. Na década de 1880, o inventor inglês John Kemp Starley projetou uma bicicleta semelhante às atuais. Ela possuía guidão, rodas de borracha, quadro, pedais e correntes. A primeira fábrica de bicicletas do mundo foi criada em 1875 e chamava-se Companhia Michaux. Foi a primeira fábrica a produzir bicicletas em série. Em 1898, as primeiras bicicletas chegaram ao Brasil vindas da Europa. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas
A13 A14 A15 A16
Transmissão de movimento circular uniforme..............................118 Movimento circular uniformemente variado................................125 Quantidade de movimento...........................................................130 Impulso de uma força....................................................................136
FRENTE
A
FÍSICA
MÓDULO A13
ASSUNTOS ABORDADOS
TRANSMISSÃO DE MCU
nn Transmissão de MCU
Existem basicamente três maneiras de transmitir um movimento circular entre duas ou mais polias: por contato, por correia ou por eixo.
nn Transmissão por contato nn Transmissão por correia nn Transmissão por eixo
Transmissão por contato
Observe que na transmissão por contato, o sentido do movimento é invertido. Se a polia A gira no sentido horário, a polia B girará no sentido anti-horário.
Transmissão por correia
Observe que nesse caso, o sentido do movimento da polia A é o mesmo sentido do movimento da polia B. Em ambos os casos, as velocidades escalares dos pontos periféricos das duas polias, em cada instante, são iguais: v A = vB Lembrando-se das aulas anteriores, temos que: v = ω.r Então, podemos escrever: ωA ⋅ rA =ωB ⋅ rB Analisando a expressão anterior, podemos concluir que a velocidade angular (ω) é inversamente proporcional ao raio da polia (r), ou seja, quanto maior o raio menor é a velocidade angular da polia. Engrenagens As engrenagens também têm ampla aplicação na indústria mecânica. Basicamente, elas são discos dentados que podem ser feitos de diversos metais ou ligas resistentes (para serviços mais pesados, como máquinas, câmbios e motores) ou de plástico (para usos mais leves, como em relógios de parede, por exemplo). Por meio da combinação de engrenagens de diferentes características, é possível transmitir movimentos e ampliar ou reduzir forças. Nesse caso, é possível dispensar as correias ou polias, fazendo a transmissão diretamente pelo contato entre as engrenagens. 118
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
As engrenagens possuem algumas vantagens sobre outros sistemas, quando se utiliza o funcionamento por meio do contato direto dos dentes: nn Evita-se o deslizamento entre as engrenagens, fazen-
do com que os eixos ligados a elas estejam sempre sincronizados um com o outro. nn Torna-se
possível determinar relações de marchas exatas. Assim, se uma engrenagem tem 60 dentes e a outra tem 20, a relação de marcha quando elas estão engrenadas é de 3:1.
Além disso: nn São
feitas de tal maneira que elas podem trabalhar mesmo que haja imperfeições no diâmetro e na circunferência reais das duas engrenagens, pois a relação de marcha é controlada pelo número de dentes. de discos dentados, acionados por corrente de aço.
Opirus/Arte
nn As bicicletas com câmbio funcionam com um conjunto
nn Conforme mudamos a combinação entre os discos dentados, conseguimos mais
força ou maior velocidade.
Transmissão por eixo
A13 Transmissão de MCU
Nesse caso, as velocidades angulares das polias serão iguais, pois elas terão a mesma velocidade angular do eixo do motor.
As frequências e os períodos das polias também serão iguais. A polia de maior raio terá, para pontos de sua periferia, velocidade escalar maior, isto é, a velocidade escalar ou linear é diretamente proporcional ao raio da polia. ω1 =ω2 = ω
⇒ v R
⇒
f1 =f2 e T1 =T2 v1 v 2 = R1 R2 119
Física
EXEMPLO (UEM PR) Duas polias rígidas circulares, A e B, de raios RA e RB, respectivamente, giram em torno de seus eixos, acopladas a uma correia inextensível e que não desliza. A correia é colocada de tal forma que circunda as extremidades das duas polias, e a distância entre os eixos das duas polias é maior do que a somatória de RA com RB. Considerando um ponto PA na polia A, distante RA do eixo da polia A, e um ponto PB na polia B, distante RB do eixo da polia B, e que RA = 2RB, assinale o que for correto. 01. As velocidades angulares dos pontos PA e PB são idênticas. 02. A velocidade angular do ponto PA é igual à de um ponto PA2 da R polia A, distante A do eixo da polia A. 2 04. Se VA é a velocidade tangencial do ponto PA, então a velocidade tangencial do ponto PB é 2VA. 08. A frequência de rotação do ponto PB é maior do que a do ponto PA. 16. A aceleração centrípeta do ponto PB é numericamente idêntica à do ponto PA.
01. (F) De acordo com o que estudamos, as velocidades escalares dos pontos A e B são iguais, mas, as velocidades angulares das polias são inversamente proporcionais aos respectivos raios. 02. (V) Qualquer ponto da polia A terá a mesma velocidade angular da polia. 04. (F) As velocidades escalares de PA e PB são iguais, isto é, PA = PB 08. (V) As frequências também são inversamente proporcionais aos respectivos raios, portanto, fA < fB.
RESOLUÇÃO Inicialmente vamos representar as duas polias acopladas pela correia, conforme mostra a figura a seguir.
16. (F) A aceleração centrípeta é dada por ac = samente proporcional ao raio, acA < acB.
v2 , portanto é inverR
Exercícios de Fixação 01. (Mackenzie SP) Duas rodas são acopladas de modo que suas bandas de rodagem sejam tangentes, como ilustra a figura a seguir. O movimento ocorre devido ao atrito entre as superfícies em contato. Considerando que não haja escorregamento relativo entre as rodas, o raio da roda menor (R2) é a metade do raio da roda maior (R1) e elas realizam um movimento circular uniforme, podemos afirmar que:
roda da mesma bicicleta possui 70 cm de diâmetro. Se a velocidade angular da catraca é 60 rad/s, a velocidade linear da roda, em km/h, é igual a a) 75,6 b) 60,0 c) 40,6 d) 80,3
A13 Transmissão de MCU
03. (Fac. Cultura Inglesa SP) Em uma máquina, quatro roletes estão conectados, por toque ou por correia, sem escorregamentos, como mostra a figura.
a) o deslocamento angular da roda maior é a metade da roda menor e seu sentido de rotação é oposto ao da roda menor. b) o deslocamento angular da roda maior é o dobro da roda menor e seu sentido de rotação é oposto ao da roda menor. c) o deslocamento angular da roda maior é a metade da roda menor e de mesmo sentido de rotação da roda menor. d) o deslocamento angular da roda maior é o dobro da roda menor e de mesmo sentido de rotação da roda menor. e) o deslocamento angular da roda maior é o mesmo da roda menor e de mesmo sentido de rotação da roda menor. 02. (Unimontes MG) Uma das catracas de uma bicicleta de marchas possui, aproximadamente, 10 cm de diâmetro. A
120
Quando o rolete maior gira no sentido horário, com velocidade angular constante, o menor dos roletes gira com uma velocidade angular relativamente a) igual e de sentido horário. b) igual e de sentido anti-horário. c) menor e de sentido horário. d) maior e de sentido horário. e) maior e de sentido anti-horário.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
04. (Puc Campinas SP) As rodas dentadas constituem engrenagens úteis para a transmissão de movimento. Duas rodas dentadas perfeitamente ajustadas são denominadas A e B. Enquanto a roda A, de 144 dentes, gira em torno de seu eixo com velocidade angular de 0,21 rad/s, a roda B, de 126 dentes, tem velocidade angular em torno de seu eixo, em rad/s, de a) 0,18 b) 0,21 c) 0,24 d) 0,28 e) 0,31 05. (UEFS BA) A figura representa um tipo específico de engrenagens, denominado trem de engrenagens planetárias, utilizado quando se necessita que a rotação de entrada gire no mesmo sentido da rotação de saída.
Disponível em: <http://carros.hsw.uol.com.br/relacao-de-marchas4.htm> Acesso em: 25 jun. 2013.
Sabendo-se que o diâmetro da engrenagem maior é seis vezes o diâmetro da engrenagem menor, é correto afirmar que, quando o eixo de um motor, que gira com frequência f, for introduzido no centro da engrenagem maior, a frequência de rotação da engrenagem menor será igual a a) f b) 3 f c) 6 f d) 12 f e) 24 f
Em relação à situação acima, marque com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas. ( ) A velocidade linear de um ponto na periferia da catraca é igual a de um ponto na periferia de coroa. ( ) A velocidade linear de um ponto na periferia da catraca é menor que a de um ponto na periferia da roda. ( ) A velocidade angular da coroa é menor que a velocidade angular da catraca. ( ) A velocidade angular da catraca é igual a velocidade angular da roda. A sequência correta, de cima para baixo, é: a) F - F - V - F c) V - V - V - V b) F - V - F - V d) V - F - F – V 07. (UEPG PR) A figura abaixo ilustra três polias A, B e C executando um movimento circular uniforme. A polia B está fixada à polia C e estas ligadas à polia A por meio de uma correia que faz o sistema girar sem deslizar. Sobre o assunto, assinale o que for correto. 14
01. A velocidade escalar do ponto 1 é maior que a do ponto 2. 02. A velocidade angular da polia B é igual a da polia C. 04. A velocidade escalar do ponto 3 é maior que a velocidade escalar do ponto 1. 08. A velocidade angular da polia C é maior do que a velocidade angular da polia A. 08. (Espcex PS) Uma máquina industrial é movida por um motor elétrico que utiliza um conjunto de duas polias, acopladas por uma correia, conforme figura abaixo. A polia de raio R1 = 15 cm está acoplada ao eixo do motor e executa 3 000 rotações por minuto. Não ocorre escorregamento no contato da correia com as polias. O número de rotações por minuto, que a polia de raio R2 = 60 cm executa, é de
Desenho Ilustrativo
a) 250 b) 500 c) 750 d) 1 000 e) 1 200 121
A13 Transmissão de MCU
06. (Acafe SC) Uma melhor mobilidade urbana aumenta a segurança no trânsito e passa pela “convivência pacífica” entre carros e bicicletas. A figura abaixo mostra uma bicicleta com as rodas de transmissão, coroa e catraca, sendo que a catraca é ligada à roda traseira, girando juntamente com ela quando o ciclista está pedalando.
Física
Exercícios Complementares 01. (Unesp SP) Um pequeno motor a pilha é utilizado para movimentar um carrinho de brinquedo. Um sistema de engrenagens transforma a velocidade de rotação desse motor na velocidade de rotação adequada às rodas do carrinho. Esse sistema é formado por quatro engrenagens, A, B, C e D, sendo que A está presa ao eixo do motor, B e C estão presas a um segundo eixo e D a um terceiro eixo, no qual também estão presas duas das quatro rodas do carrinho.
(www.mecatronicaatual.com.br. Adaptado.)
Nessas condições, quando o motor girar com frequência fM, as duas rodas do carrinho girarão com frequência fR. Sabendo que as engrenagens A e C possuem 8 dentes, que as engrenagens B e D possuem 24 dentes, que não há escorregamento entre elas e que fM = 13,5 Hz, é correto afirmar que fR, em Hz, é igual a a) 1,5 c) 2,0 e) 2,5 b) 3,0 d) 1,0 02. (IF SP) A vida da sociedade moderna não tem sido nada fácil: jornada de trabalho estendida, sedentarismo, má alimentação, trânsito caótico, entre outros. Nesse contexto, a bicicleta, que desde o século XIX integra, de forma ativa, o cotidiano nos grandes centros, retorna ao centro das atenções, tanto por ser um meio de transporte eficaz e limpo (não emite poluentes), quanto por trazer bem-estar e saúde para as pessoas que a utilizam. No quadro abaixo, há uma descrição sucinta de dois modelos que fizeram parte da evolução das bicicletas ao longo da história.
Modelo desenhado por James Starley, em 1816, construída em aço, com roda raiada, pneus em borracha maciça e sistema de freios. Sua roda dianteira possuía 125cm de diâmetro, sendo uma verdadeira máquina de propulsão.
Uma draisiana simples, precursora da bicicleta como a conhecemos hoje, não possuía correntes ligando coroa e catraca, mas, à época (século XIX), era o que existia de mais moderno no ciclismo. Desenvolvida por Karl Frederich Von Drais (17851851), tinha pedais na roda dianteira com 80 cm de diâmetro. A partir da sua leitura e de conceitos físicos sobre o movimento dos corpos, analise as assertivas abaixo. Dados: o comprimento da circunferência e dado por C = 2.π.R, onde R e o raio da circunferência. Considere π = 3 I.
A cada pedalada, as bicicletas 1 e 2 percorrem a mesma distância, pois os raios não interferem na distância percorrida por elas. II. A bicicleta 1 era chamada de máquina de propulsão, pois, devido a seu grande raio, a cada pedalada a distância percorrida era maior em relação a uma roda com raio menor. III. A cada pedalada, a bicicleta 1 percorre a distância de 3,75 m e a bicicleta 2 percorre a distância de 2,4 m. É correto o que afirma em a) I, apenas. b) I e II, apenas. c) II, apenas. d) III, apenas. e) II e III, apenas.
A13 Transmissão de MCU
03. (Unesp SP) A figura representa, de forma simplificada, parte de um sistema de engrenagens que tem a função de fazer girar duas hélices, H1 e H2. Um eixo ligado a um motor gira com velocidade angular constante e nele estão presas duas engrenagens, A e B. Esse eixo pode se movimentar horizontalmente assumindo a posição 1 ou 2. Na posição 1, a engrenagem B acopla-se à engrenagem C e, na posição 2, a engrenagem A acopla-se à engrenagem D. Com as engrenagens B e C acopladas, a hélice H1 gira com velocidade angular constante ω1 e, com as engrenagens A e D acopladas, a hélice H2 gira com velocidade angular constante ω2.
122
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
01. Se os raios da coroa e da catraca são, respectivamente, R R e r, então cada volta completa da coroa corresponde a r voltas da catraca. 02. Para um dado R fixo, quanto menor for o raio da catraca, maior será o deslocamento da bicicleta por pedalada realizada. 04. As velocidades angulares da coroa e da catraca são sempre iguais, independentemente do valor de seus raios. 08. Se a coroa de uma bicicleta tem raio igual a 15 cm, e a catraca tem raio igual a 1/5 do raio da roda e 1/4 do raio da coroa, então cada pedalada corresponde a um deslocamento de 1,5 m. 16. Se as rodas de uma bicicleta têm raio igual a 50 cm e se o raio da coroa é o dobro do raio da catraca, então um ciclista que realiza duas pedaladas por segundo nessa bicicleta movimenta-se a 4 πm/s.
Considere rA, rB, rC e rD os raios das engrenagens A, B, C e D, respectivamente. Sabendo que rB = 2 · rA e que rC = rD , é correto ω afirmar que a relação 1 é igual a ω2 a) 1,0 b) 0,2 c) 0,5 d) 2,0 e) 2,2 04. (Uem PR) Um modelo padrão para dar movimento a uma bicicleta consiste em duas polias conectadas por uma corrente. Uma das polias, chamada de coroa, fica conectada aos pedais, enquanto a outra polia, chamada de catraca, fica acoplada à roda traseira da bicicleta. Cada pedalada, isto é, cada giro completo dos pedais, corresponde a um giro completo da coroa, enquanto cada volta completa da catraca corresponde a uma volta completa da roda à qual está acoplada. Sabe-se, ainda, que o número de voltas da catraca é proporcional ao número de voltas da coroa, com razão de proporção igual à razão entre os raios da coroa (R) e da catraca (r). Considerando que a bicicleta, a partir do modelo apresentado, desloca-se em linha reta em uma superfície plana e que não haja deslizamento entre as rodas da bicicleta e a superfície, assinale o que for correto. 19
A figura a seguir representa o acoplamento realizado.
Quando acionado o motor, a relação entre as velocidades (V) verificadas nos pontos A, B e C e o número de rotações por minuto (RPM) de cada polia é: a) VA> VB> VC e RPM1 = RPM2 = RPM3 b) VA = VB = VC e RPM1 < RPM2< RPM3 c) VA = VB> VC e RPM1 < RPM2< RPM3 d) VA< VB< VC e RPM1 < RPM2< RPM3 06. (Uniube MG) A figura a seguir representa um motor elétrico que movimenta, por meio da ligação por correia entre duas polias, um guincho. Nesse sistema, a polia conduzida está acoplada ao eixo rotativo no qual se enrola uma corda. A polia acoplada ao eixo do motor apresenta menor diâmetro quando comparada à polia conduzida. O eixo rotativo no qual se enrola a corda, quando o motor entra em movimento, apresenta diâmetro aproximadamente igual à polia conduzida. 123
A13 Transmissão de MCU
(http://carros.hsw.uol.com.br. Adaptado.)
05. (Ufu MG) Uma pessoa dispõe de um motor que gira a 5 000 rpm e o acopla, usando correias que não escorregam, a três polias (1, 2 e 3), de modo a buscar novas configurações de velocidade e de rotação, diferentes das que o motor proporciona. A, B e C são três pontos marcados nas extremidades das polias 1, 2 e 3, respectivamente. Considere, também, que Ra > Rb > Rc.
Física
A ‘cura de carnes’ é um procedimento cujo fim é conservar a carne por um tempo maior a partir da adição de sais, açúcar, condimentos e compostos que fixam a cor, conferem aroma agradável e evitam contaminação. Entre esses, estão os nitratos e nitritos, que dão cor avermelhada ao alimento e funcionam como agente bacteriostático. (PERIGO oculto, 2009, p. 60-61).
Fonte: Disponível em http://elearning.iefp.pt/pluginfi le.php/47218/ mod_resource/content/0/CD-rom/Estudo/Mecanica/D_-_Transmiss_ o_de_Movimento/MC3_004a.gif . Acesso em 28 de set. 2014
Considere que não há deslizamento da correia em relação às polias e analise as afirmativas seguintes, considerando que o motor esteja em funcionamento: I. A velocidade de movimento da corda é, aproximadamente, igual à velocidade linear da correia. II. A frequência de giro da polia do motor é igual à frequência de giro do eixo do guincho. III. A velocidade angular da polia condutora é igual à velocidade angular do motor. IV. A frequência de giro do eixo do guincho é superior à frequência de giro do motor. V. As velocidades escalares de dois pontos nas periferias de cada uma das polias apresentam mesmo valor. São CORRETAS as afirmações contidas em: a) II e IV, apenas b) III e IV, apenas c) I e II, apenas d) I, III e V, apenas e) I e V, apenas 07. (Ubeb BA) Bastante consumida no Brasil, a linguiça frescal está no barzinho da esquina e na mesa dos brasileiros. Mas a qualidade do produto varia de região para região, devido aos diferentes métodos de processamento empregados, principalmente se for preparado de modo artesanal, linguiça caseira. Nesta, os sais de cura, compostos adicionados a carnes com finalidade bactericida e também para dar-lhes cor e sabor atraentes, não conseguem controlar, mesmo sob refrigeração, a bactéria patogênica Staphylococcus aureus, comum em contaminações nesse tipo de alimento.
A13 Transmissão de MCU
Os níveis de sal de cura usados em linguiças, como o nitrito e o nitrato de sódio, são insuficientes para combater S. aureus. Mas, como ainda não se tem espécies químicas com ação bactericida igual ou superior à do nitrito, nesse tipo de produto para combater essa e outras bactérias, como a Salmonella, a espécie química ainda é empregada. A higiene passa a ser então, segundo o pesquisador, um item essencial para evitar que a linguiça caseira seja contaminada durante o processo de produção. 124
Disponível em:<http://produto.mercadolivre.com.br/MLB-498953242-maquina-para-moer-carne-e-legumes-n-03-_JM>. Acesso em: 28 ago. 2013.
A figura representa peças que compõe uma máquina de moer manual, utilizada para o preparo de linguiça artesanal. Considerando-se que uma pessoa opera a máquina, girando a manivela (26) com uma frequência de 0,5 Hz, e sabendo-se que o diâmetro da navalha (12) é o dobro do tamanho da borboleta de fixação (8), é correto afirmar: 01 01. A velocidade linear da navalha é o dobro da velocidade linear da borboleta de fixação.. 02. As peças utilizadas, quando a máquina está em funcionamento, giram com a mesma velocidade linear. 03. As peças unidas coaxialmente descrevem um ângulo de 80° a cada segundo. 04. A frequência angular ω da navalha é igual a 0,5 rad/s. 05. Todas as peças efetuam uma volta em 1,0 s. 08. (Puc Campinas SP) A roda dentada acoplada aos pedais de uma bicicleta possui 49 dentes. Essa roda está ligada, por meio de uma corrente, a uma outra roda dentada, acoplada à roda traseira da bicicleta, e que possui 21 dentes. Desconsiderando qualquer tipo de deslizamento do pneu da bicicleta no chão e considerando apenas o movimento da bicicleta gerado pelas pedaladas, uma pessoa que pedalar o suficiente para que a roda dentada acoplada aos pedais gire 6 voltas completas, fará com que a bicicleta, cujas rodas têm comprimento aproximado de 1,8 m, percorra a distância, em metros, de, aproximadamente, a) 6 b) 15 c) 20 d) 25 e) 32
FRENTE
A
FÍSICA
MÓDULO A14
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO Vamos considerar uma partícula que se movimenta sobre uma circunferência, com velocidade linear v e velocidade angular ω num dado referencial. Caso não apenas a direção da velocidade linear, mas também o seu módulo sejam variáveis no tempo (∆v ≠ 0 e, portanto, também ∆ω ≠ 0), a partícula tem três acelerações: a aceleração centrípeta ou radial, apontando para o centro da trajetória; a aceleração linear ou tangencial, com direção e sentido da velocidade linear; e a aceleração angular, perpendicular ao plano da trajetória, com sentido dado pela regra da mão direita.
ASSUNTOS ABORDADOS nn Movimento circular uniforme-
mente variado
nn Funções do movimento circular uniformemente variado nn Vetores aceleração centrípeta, tangencial e resultante
No caso do movimento circular uniformemente variado (MCUV), além da aceleração centrípeta instantânea, cujo módulo é dado por: aC =
v2 (m/s2); R
definimos também a aceleração linear (ou tangencial), com módulo: aT = e a aceleração angular, com módulo: γ = Como v = ωR, é fácil ver que: γ =
∆v (m/s2); ∆t
∆ω (rad/s2). ∆t
aT . R
Funções do movimento circular uniformemente variado Função horária da posição Na aula de movimento uniformemente variado, aprendemos que a função horária da posição escalar de uma partícula descrevendo um movimento uniformemente variado é: S =S0 + v 0 t +
at2 2
em que: S representa a posição final, S0 representa a posição inicial, v0 representa a velocidade escalar inicial, a representa a aceleração escalar (módulo da aceleração tangencial) e t representa o instante de tempo, considerando o instante inicial t0 = 0. Se dividirmos a expressão acima pelo raio R, teremos: S S0 v 0 t at2 = + + R R R 2R
sendo que:
S0 v0 S a = ϕ; = ϕ0 ; = ω0 e = γ R R R R
teremos: ϕ = ϕ0 + ω0 t +
γt2 2
em que: ϕ representa a posição angular final, ϕ0 representa a posição angular inicial, ω0 representa a velocidade angular inicial, γ representa a aceleração angular e t o instante de tempo, considerando o instante inicial t0 = 0. 125
Física
Função horária da velocidade A função horária da velocidade escalar no MUV é dada por: = v v 0 + at Se dividirmos a expressão acima pelo raio R, teremos: v v at = 0+ R R R Sendo que:
v0 v a = ω; = ω0 ; = γ R R R
2 2 teremos: ω = ω0 + 2γ∆φ
Vetores aceleração centrípeta, tangencial e resultante A figura a seguir representa os vetores aceleração resul tante ( aR ), aceleração tangencial ( aT ) e aceleração centrí peta ( aC ).
teremos: ω = ω0 + γt em que: ω representa a velocidade angular final, ω0 representa a velocidade angular inicial, γ representa a aceleração angular e t o instante de tempo, considerando o instante inicial t0 = 0. Equação de Torricelli A equação de Torricelli para o movimento uniformemente variado é dada por: v2 = v20 + 2a∆S . Se pensarmos em dividir a expressão acima pelo raio R², v2 v2 a ∆S teremos: 2 = 02 + 2 ⋅ . R R R R v ∆S v a = ∆φ Sendo que: = ω; 0 = ω0 ; = γ; R R R R
O vetor aceleração resultante ( aR ) é definido como sendo o vetor soma entre os vetores aceleração tangencial ( aT ) e aceleração centrípeta ( aC ). Portanto: a= aT + aC R 2 Em módulo: a= a2T + a2C R
EXEMPLO Um objeto inicia o seu movimento, a partir do repouso, deslocando-se numa trajetória circular de raio igual a 20 m. A sua aceleração tangencial tem módulo de 2 m/s2. O objeto movimenta-se no sentido anti-horário. Após 10 segundos
Através da função horária da velocidade, vamos calcular o seu módulo: v =v 0 + aT ∆t
⇒
v =0 + 2.10
⇒
v =20 m/s
b) A aceleração angular ( γ ) tem valor dado por:
aT R
= γ
⇒= γ
2 20
⇒= γ 0,1 rad/s2
c) A velocidade angular (ω) é dada por:
= ω
v R
⇒ = ω
20 20
⇒ = ω 1 rad/s
A14 Movimento circular uniformemente variado
d) O comprimento do arco (∆S) é dado por: ∆S = v 0 t + determine: a) o módulo da velocidade tangencial. b) a aceleração angular. c) a velocidade angular. d) o comprimento do arco que o objeto percorreu durante os 10s. e) ângulo ∆ϕ percorrido. f) a aceleração centrípeta. g) a aceleração total. RESOLUÇÃO a) De acordo com o texto, temos: = v 0 0; = aT 2m/s2= ; R 20m; = ∆t 10s .
126
aT .t2 2
⇒
∆S = 0 +
2.102 2
⇒
∆S = 100 m
e) O deslocamento angular (∆ϕ) é dado por:
= ∆ϕ
∆S R
⇒ = ∆ϕ
100 20
⇒ = ∆S 5 rad
f) O módulo da aceleração centrípeta é dado por: aC =
v2 R
⇒
aC =
202 20
⇒
aC = 20 m/s2
g) A aceleração total ou resultante ( aR ) tem módulo dado por: aR2 =+ a2T a2C
⇒
aR2 =+ 22 202
⇒
aR =404 ≈ 20,1 m/s2
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Exercícios de Fixação 01. (Puc SP) Lucas foi presenteado com um ventilador que, 20 s após ser ligado, atinge uma frequência de 300 rpm em um movimento uniformemente acelerado. O espírito científico de Lucas o fez se perguntar qual seria o número de voltas efetuadas pelas pás do ventilador durante esse intervalo de tempo. Usando seus conhecimentos de Física, ele encontrou:
cidade constante de p/40 rad/s. Simultaneamente, o veículo começa a mover-se retilineamente em direção ao portão, com aceleração constante. A aceleração que o motorista deve imprimir ao veículo para que atinja a saída do estacionamento no exato instante em que o portão acaba de descrever um ângulo de p/2 rad, abrindo-se totalmente, tem módulo de: a) 0,01 m/s2 b) 0,10 m/s2 c) 1,00 m/s2 d) 0,80 m/s2 e) 0,08 m/s2 04. (Puc RS) Um astronauta está consertando um equipamento do lado de fora da nave espacial que se encontra em órbita circular em torno da Terra, quando, por um motivo qualquer, solta-se da nave. Tal como está, pode-se afirmar que, em relação à Terra, o astronauta executa um movimento:
d) 50 voltas e) 6 000 voltas
02. (UFSC) Um carro com velocidade de módulo constante de 20 m/s percorre a trajetória descrita na figura, sendo que de A a C a trajetória é retilínea e de D a F é circular, no sentido indicado.
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 11 01. O carro tem movimento uniforme de A até C. 02. O carro tem movimento uniforme de A até F. 04. O carro tem aceleração de A até C. 08. O carro tem aceleração de D até F. 16. O carro tem movimento retilíneo uniformemente variado de D até F. 03. (UFV MG) Um automóvel encontra-se em repouso no interior de um estacionamento, a 20 m de um portão eletrônico inicialmente fechado. O motorista aciona, então, o controle remoto do portão, que passa a girar em torno de seu eixo fixo à velo-
a) retilíneo uniforme. b) retilíneo com aceleração de módulo constante. c) circular com aceleração de módulo constante. d) circular com vetor velocidade tangencial constante. e) circular sujeito a uma aceleração gravitacional nula. 05. (Uel PR) Uma pista é constituída por três trechos: dois retilíneos, AB e CD, e um circular, BC, conforme mostra a figura. Se um móvel percorre toda a pista com velocidade escalar constante, o módulo de sua aceleração será:
a) nula em todos os trechos. b) constante, não nula, em todos os trechos. c) constante, não nula, nos trechos AB e CD. d) constante, não nula, apenas no trecho BC. e) variável apenas no trecho BC. 06. (UFCE) Um automóvel entra numa curva de 200 m de raio, de uma estrada cujas condições permitem uma aceleração centrípeta máxima de apenas 2 m/s2 sem que aconteça derrapamento. Determine a maior velocidade, em km/h, com que o automóvel pode ser conduzido na curva, sem derrapar. 72 km/h
127
A14 Movimento circular uniformemente variado
a) 300 voltas b) 900 voltas c) 18 000 voltas
Física
07. (UFPR) Um ventilador gira à razão de 900 rpm. Ao desliga-lo, seu movimento passa a ser uniformemente retardado, até parar após 75 voltas. Qual o tempo decorrido desde o momento em que foi desligado até sua parada completa? 10 s 08. (UECE) Uma roda de raio R, dado em metros, tem uma aceleração angular constante de 3,0 rad/s2. Supondo que a roda parta do repouso, assinale a alternativa que contém o valor aproximado do modulo da aceleração linear total, em m/s2, de um ponto na sua periferia, depois de 1 segundo da partida.
a) 3,6R b) 6,0R c) 9,5R d) 8,0R 09. (UEFS BA) A velocidade angular de um disco que se movimentava com aceleração angular constante variou de 2,0 rad/s para 22,0 rad/s, no intervalo de 10,0 s. Nesse intervalo de tempo, admitindo-se π igual a 3, o disco realizou um número de rotações igual a a) 22 c) 18 e) 12 b) 20 d) 14
Exercícios Complementares 01. (UFPE) O eixo de um motor que gira a 3 600 rotações por minuto é frenado, desacelerando uniformemente a 20π rad/ s2, até parar completamente. Calcule quanto tempo foi necessário, em segundos, para o motor parar completamente. 6 Justificativa: A equação para a velocidade angular é dada por: ω = ωo−αt = 60 × (2π) − 20πt = 0 ⇒ t = 6s
A14 Movimento circular uniformemente variado
02. (Efei) Um disco está girando no sentido horário com velocidade angular constante durante um certo intervalo de tempo, quando então o seu motor é desligado e ele gira até parar. Nessas condições, pergunta-se: qual das alternativas abaixo melhor representa a direção e o sentido da aceleração de um ponto P, localizado na borda do disco, antes e depois de o motor ser desligado?
03. (Unifor CE) Numa trajetória circular de raio 20 m, um corpo parte do repouso e mantém movimento circular uniformemente variado percorrendo 64 m em 4,0 s. A componente centrípeta da aceleração no instante 1,0 s tem módulo: a) 1,6 b) 2,0 c) 3,2 d) 4,8 e) 6,4 04. (UFC CE) Uma partícula descreve trajetória circular, de raio r = 1,0 m, com velocidade variável. A figura abaixo mostra a partícula em um dado instante de tempo em que sua aceleração tem módulo, a = 32 m/s2, e aponta na direção e sentido indicados. Nesse instante, o módulo da velocidade da partícula é:
a) 2,0 m/s b) 4,0 m/s c) 6,0 m/s d) 8,0 m/s e) 10,0 m/s 05. (Unioeste PR) A polia A de raio 10 cm está acoplada à polia B de raio 36 cm por uma correia, conforme mostra a figura. A polia A parte do repouso e aumenta uniformemente sua velocidade angular à razão de 3,14 rad/s2. Supondo que a correia não deslize e que a polia B parte do repouso, o tempo necessário para a polia B alcançar a frequência de 100 revoluções/minuto será de 128
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
d) 3,00 s e) 3,60 s
06. (UERJ) A cidade de São Paulo tem cerca de 23 km de raio. Numa certa madrugada, parte-se de carro, inicialmente em repouso, de um ponto qualquer de uma das avenidas marginais que circundam a cidade. Durante os primeiros 20 segundos, o movimento ocorre com aceleração constante de 1,0 m/s². Ao final desse período, a aceleração torna-se nula e o movimento prossegue mantendo-se a velocidade adquirida. Considerando que o movimento foi circular, determine: a) a distância percorrida pelo carro durante os primeiros 20 segundos; 0,2 km b) o tempo gasto para alcançar-se o ponto diametralmente oposto à posição inicial, ou seja, o extremo oposto da cidade. 1h 07. (UFG GO) A figura abaixo ilustra duas catracas fixas, cujos dentes têm o mesmo passo, da roda traseira de uma bicicleta de marchas que se desloca com velocidade constante, pela ação do ciclista.
Os dentes P e Q estão sempre alinhados e localizados a distâncias RP e RQ (RP> RQ) em relação ao eixo da roda. As grandezas ω, v, α, e a, representam, respectivamente, a velocidade angular, a velocidade tangencial, a aceleração angular e a aceleração centrípeta. As duas grandezas físicas que variam linearmente com o raio e a razão de cada uma delas entre as posições Q e P são: a) v, ω e 0,7 b) a, v e 1,4 c) α, v e 1,4 d) v, a e 0,7 e) ω, α e 1,4 08. (Puc Campinas SP) O relógio que está na torre do Big Ben foi construído com o ponteiro grande medindo 4,7 metros e o ponteiro pequeno medindo 2,7 metros. Exatamente às 2 ho-
09. (Unirv GO) A Física estuda e analisa vários tipos de movimentos, dentre eles, o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), Movimento Circular Uniforme (MCU) e Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV). Sobre os movimentos, julguem as afirmativas em V para verdadeiras ou F para falsas. Gab: F-F-V-F a) No MCUV a aceleração possui apenas uma componente, sendo esta, a centrípeta. b) No MCU a aceleração possui apenas uma componente, sendo esta, a tangencial. c) No MRUV a aceleração possui apenas uma componente, sendo esta, a tangencial, cujo o módulo é calculado da mesma forma que a aceleração tangencial no MCUV. d) No MRU a aceleração possui apenas uma componente, em que os sinais algébricos, positivo e negativo, representam o sentido do movimento. 10. (Uel PR) Supondo que um tornado tenha movimento circular uniforme e que seu raio aumente gradativamente com a altura, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o comportamento da grandeza física relacionada a eventuais objetos localizados em pontos da superfície externa do tornado. a) A velocidade angular desses objetos é maior nos pontos mais altos do tornado. b) A velocidade angular desses objetos é a mesma em qualquer altura do tornado. c) A velocidade linear desses objetos tem sentido e direção constante em qualquer altura do tornado. d) A aceleração centrípeta desses objetos tem o mesmo sentido e direção da velocidade linear. e) A aceleração centrípeta desses objetos é a mesma em qualquer altura do tornado. 11. (UFPE) A parte mais externa de um disco, com 0,25 m de raio, gira com uma velocidade linear de 15 m/s. O disco começa então a desacelerar uniformemente até parar, em um tempo de 0,5 minutos. Qual o módulo da aceleração angular do disco em rad/s2? 2 129
A14 Movimento circular uniformemente variado
a) 1,91 s b) 3,82 s c) 12,00 s
ras, a distância entre as pontas, que marcam o tempo, dos dois ponteiros é de, aproximadamente, Dados: sen2 A + cos2 A = 1 a b c = = senA senB senC a2 = b2 + c2 – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cosA sen 30° = 0,5 cos 30°= 0,866 tg 30° = 0,577 a) 5,0 m. b) 4,6 m. c) 4,4 m. d) 3,8 m. e) 4,1 m.
FRENTE
A
FÍSICA
MÓDULO A15
ASSUNTOS ABORDADOS nn Quantidade de movimento nn Airbags nn Quantidade de movimento de um ponto material nn Quantidade de movimento de um sistema de partículas
Fonte: Shutterstock.com
nn Variação da quantidade de movimento de um corpo
QUANTIDADE DE MOVIMENTO Airbags O airbag é formado basicamente por três partes: um saco inflável de material plástico, um gerador de gás dotado de sensores com microprocessador e um sistema de disparo elétrico. Um dos equipamentos mais eficientes para evitar lesões em batidas é o airbag. Colocado entre os bancos da frente e o painel ou nas laterais, ele infla rapidamente quando ocorre uma desaceleração violenta. No caso de colisões frontais, o motorista se choca contra o airbag, que é muito mais flexível que o painel. Considere duas colisões idênticas, mas leve em conta que em apenas uma das situações o carro possui airbag. A colisão motorista x airbag tem uma duração muito maior do que a colisão motorista x painel. Para os dois casos, a variação da quantidade de movimento do motorista é a mesma, mas o tempo que ele leva para parar é muito maior na situação com airbag, resultando, assim, em menor força. Em termos numéricos, o airbag pode aumentar o tempo de colisão em até dez vezes. Tempos típicos de parada seriam 0,05 segundo sem airbag e 0,5 segundo com airbag.
Quantidade de movimento de um ponto material
A quantidade de movimento (ou momento linear), Q , de um ponto material de massa m que se move com uma velocidade instantânea v é uma grandeza vetorial definida pela expressão: Figura 01 - Em caso de colisão, o airbag infla instantaneamente, protegendo o motorista.
130
Q= m ⋅ v
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
A quantidade de movimento é um vetor que tem a mesma direção e o mesmo sen tido do vetor velocidade v . A figura a seguir representa uma partícula de massa m em três instantes t1, t2 e t3. Observe que os vetores velocidade v1 ,v2 e v3 são tangentes à trajetória.
O vetor quantidade de movimento da partícula de massa m, também será tangente à trajetória em cada instante considerado. Veja a figura novamente.
Os vetores Q 1 ,Q 2 e Q 3 representam a quantidade de movimento da partícula de massa m nos três instantes considerados.
A unidade SI de medida do módulo da quantidade de movimento é obtida através do produto das unidades de massa e de velocidade. Portanto, temos: unidade de Q= kg ⋅ m/s
Quantidade de movimento de um sistema de partículas A figura representa um sistema de partículas de massas m1, m2 e m3 que se movem com velocidades v1 ,v2 e v3 .
A15 Quantidade de movimento
As quantidades de movimento de cada partícula serão: Q1 = m1 ⋅ v1 ; Q 2 = m2 ⋅ v2 ; Q 3 = m3 ⋅ v3 A quantidade de movimento do sistema, isto é, a quantidade total de movimento, ( Q sis ), será obtida por meio da soma vetorial das quantidades de movimento de cada partícula que compõe o sistema. Q sis = Q 1 + Q 2 + Q 3
131
Física
Variação da quantidade de movimento de um corpo
A variação da quantidade de movimento ( ∆Q ) de um corpo é definida como sendo a diferença vetorial entre a quantidade de movimento final do corpo ( Q f ) e a quantida de de movimento inicial desse mesmo corpo ( Q i ).
∆Q = Q f - Q i Observe que esta é uma subtração vetorial, portanto temos que analisar a direção e o sentido dos vetores quantidade de movimento inicial e final.
EXEMPLO 01. Em uma mesa de sinuca, três bolas, cada uma com 400 g de massa, estão em movimento com velocidades v1 ,v2 e v3 mostradas na figura a seguir. Sabendo-se que, em um determinado instante, os módulos das velocidades são v1 = 4,5 m/s, v2 = 1,5 m/s e v3 = 3,0 m/s, determine a quantidade de movimento total do sistema formado pelas três bolas nesse instante.
Portanto, o módulo da quantidade de movimento total do sistema será: Q= 1,2 = 2 1,2 × 1,4 sis Q sis ≈ 1,7 kgm/s
02. Uma bola de tênis de massa m = 20 g e velocidade igual a 25 m/s é lançada contra o solo, refletindo-se em seguida com velocidade de módulo igual a 20 m/s. A figura abaixo representa as velocidades da bola, antes e depois da colisão.
RESOLUÇÃO Inicialmente vamos calcular os módulos das quantidades de movimento de cada bola.
= Q 1 m= 0,4.4,5 = 1,8 kgm/s 1 .v1 = Q 2 m= 0,4.1,5 = 0,6 kgm/s 2 .v 2 = Q 3 m= 0,4.3,0 = 1,2 kgm/s 3 .v 3
Agora vamos representar os três vetores, Q 1 ,Q 2 e Q 3 , utilizando o método do polígono e em seguida representar o vetor quantidade de movimento total do sistema ( Q sis ).
Calcule o módulo, a direção e o sentido da variação da quantidade de movimento da bola. RESOLUÇÃO Inicialmente vamos calcular os módulos das quantidades de movimento inicial e final da bola.
= Q i m.v = 0,02.25 = 0,5 kgm/s. 1 = Q f m.v = 0,02.20 = 0,4 kgm/s. 2 Agora vamos fazer a diferença vetorial ∆Q = Q 2 - Q 1 , utilizando o método do polígono.
–Q i Q
90°
Utilizando os conhecimentos de Geometria Plana, podemos determinar o valor da quantidade de movimento total do sistema, veja:
Qf
A15 Quantidade de movimento
= x 2 1,22 + 1,22 x 2 = 2 × 1,22 x = 1,2 2
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
∆Q 2 = Q 2f + Q i2 ∆Q 2 = 0,42 + 0,52 ∆Q 2 = 0,16 + 0,25 ∆Q 2 = 0,41 = ∆Q
132
0,41
⇒
∆Q ≈ 0,64 kgm/s
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Exercícios de Fixação 01. (FGV) Uma ema pesa aproximadamente 360 N e consegue desenvolver uma velocidade de 60 km/h, o que lhe confere
Dados: Corpo
Velocidade (m/s)
Massa (kg)
Dado: aceleração da gravidade = 10 m/s2
A
36
1 000
a) 36
B
32
1 500
uma quantidade de movimento linear, em kg.m/s, de:
b) 360 c) 600 d) 2 160 e) 3 600 02. (Puc RS) Dois corpos de massas diferentes, tendo partido do repouso, movem-se em queda livre (a única força atuante sobre os corpos é seu peso). Após terem caído durante certo tempo,
a) 3,6 × 109 kg m/s b) 8,4 × 105 kg m/s c) 1,67 × 104 kg km/h d) 2,32 × 104 kg km/h e) N.D.A. 06. (Uerj RJ) Observe a tabela abaixo, que apresenta as massas de alguns corpos em movimento uniforme.
a) o corpo de maior massa apresenta menor aceleração. b) o corpo de menor peso apresenta maior velocidade.
Corpos
Massa (kg)
Velocidade (km/h)
leopardo
120
60
automóvel
1 100
70
caminhão
3 600
20
c) o corpo de maior peso apresenta maior velocidade. d) o corpo de maior massa apresenta maior quantidade de movimento. e) os dois corpos apresentam a mesma quantidade de movimento. 03. (UECE) Considere uma esfera metálica em queda livre sob a
Admita que um cofre de massa igual a 300 kg cai, a partir do
ação somente da força peso. Sobre o módulo do momento
repouso e em queda livre de uma altura de 5 m.
linear desse corpo, pode-se afirmar corretamente que
Considere Q1, Q2, Q3 e Q4, respectivamente, as quantidades
b) diminui durante a queda. c) é constante e diferente de zero durante a queda. d) é zero durante a queda. 04. (UECE) No instante em que uma bola de 0,5 kg atinge o ponto mais alto, após ter sido lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 10 m/s, seu momento linear tem módulo a) 0,5 b) 10 c) 0 d) 5 05. (Unimar SP) Dado um sistema com dois corpos deslocando-se por trajetórias que se cruzam perpendicularmente, deseja-se saber a intensidade da quantidade de movimento desse sistema.
de movimento do leopardo, do automóvel, do caminhão e do cofre ao atingir o solo. As magnitudes dessas grandezas obedecem relação indicada em: a) Q1< Q4< Q2< Q3 b) Q4 < Q1< Q2< Q3 c) Q1< Q4< Q3< Q2 d) Q4< Q1< Q3< Q2 07. (Cefet MG) Uma bola de futebol de massa m = 0,20 kg é chutada contra a parede a uma velocidade de 5,0 m / s. Após o choque, ela volta a 4,0 m / s. A variação da quantidade de movimento da bola durante o choque, em kg.m / s, é igual a
A15 Quantidade de movimento
a) aumenta durante a queda.
a) 0,2 b) 1,0 c) 1,8 d) 2,6
133
Física
Exercícios Complementares 01. (UFRN) O funcionamento de um gerador eólico é baseado na interação entre suas pás e o vento. Nessa interação, as pás do gerador funcionam como defletor para a massa de ar incidente. Durante a interação, o vetor quantidade de mo vimento do ar incidente Q inicial, tem a orientação alterada para quantidade de movimento do ar refletido, Q final, pela presença das pás, conforme mostrado na Figura abaixo.
A15 Quantidade de movimento
A variação da quantidade de movimento da massa de ar incidente sobre as pás faz com que elas girem em torno de seu eixo gerando energia elétrica. Tal variação na quantidade de movimento do ar, ∆Q , é expressa por ∆Q= Q final - Q inicial . Nesse sentido, a composição de vetores que melhor representa a variação da quantidade do movimento do ar está representada por:
02. (UEFS BA) Um carro de massa 10 toneladas parte do repouso e percorre, com aceleração constante, uma distância de 40,0 m, em 10 segundos. Sua quantidade de movimento, em kg.m/s, no final do percurso, é de a) 4,0 · 104 b) 6,4 ·105 c) 8,0 · 104 d) 8,0 · 103 e) 8,0 · 101
134
03. (UFTM) Em um trecho plano e horizontal de uma estrada, um carro faz uma curva mantendo constante o módulo da sua velocidade em 25 m/s. A figura mostra o carro em duas posições, movendo-se em direções que fazem, entre si, um ângulo de 120°.
Considerando a massa do carro igual a 1 000 kg, pode-se afirmar que, entre as duas posições indicadas, o módulo da variação da quantidade de movimento do veículo, em (kg ⋅ m)/s, é igual a a) 10 000 d) 12 500 2 b) 12 500 e) 25 000 2 c) 25 000 04. (Fameca SP) Sobre uma pista horizontal e circular, correm três veículos A, B e C, de massas mA = mB = 2 mC, com velocidades vA = vB = vC/2, no sentido anti-horário. Em determinado instante, eles ocupam as posições A, B e C, vistas de cima na figura apresentada.
A quantidade de movimento do sistema ABC é, nesse instante, corretamente representada na alternativa
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
05. (Mackenzie SP) Durante sua apresentação numa “pista de gelo”, um patinador de 60 kg, devido à ação exclusiva da gravidade, desliza por uma superfície plana, ligeiramente inclinada em relação à horizontal, conforme ilustra a figura a seguir. O atrito é praticamente desprezível. Quando esse patinador se encontra no topo da pista, sua velocidade é zero, e ao atingir o ponto mais baixo da trajetória, sua quantidade de movimento tem módulo
O vetor que melhor representa a direção e o sentido da quantidade de movimento do antineutrino é a)
d)
b)
e)
c)
a) 1,20 × 102kg.m/s b) 1,60 × 102kg.m/s c) 2,40 × 102 kg .m/s d) 3,60 × 102kg.m/s e) 4,80 × 102kg.m/s 06. (Unifor CE) Considere as informações que seguem. Um corpo de massa 8,0 kg move-se para sul com velocidade de 3,0 m/s e, após certo tempo, passa a mover-se para leste com velocidade de 4,0 m/s. A variação da quantidade de movimento do corpo nesse intervalo de tempo tem intensidade, em kg m/s, de a) 12 b) 24 c) 32 d) 40 e) 56 07. (Fuvest SP) A figura foi obtida em uma câmara de nuvens, equipamento que registra trajetórias deixadas por partículas eletricamente carregadas. Na figura, são mostradas as trajetórias dos produtos do decaimento de um isótopo do hélio 62He em repouso: um elétron (e–) e um isótopo de lítio 63Li , bem como
( )
(
)
08. (Mackenzie SP) As margens de um rio, retilíneas e paralelas, distam entre si 100 3 m e a água corre paralelamente a elas com velocidade constante de módulo 4,0 m/s. Um barqueiro deseja atravessar este rio com a proa de sua embarcação sempre disposta perpendicularmente à direção do deslocamento da água e o faz em 25 s, com velocidade constante em relação à água. Sabendo que a massa total dessa embarcação é 300 kg, o módulo de seu vetor quantidade de movimento no instante em que atinge a margem oposta é, em relação a esta margem: a) 2,4 3 ⋅103 kg m/s b) 2,4.103 kg m/s c) 1,2 3 ⋅103 kg m/s d) 1,2.103 kg m/s e) 1,0.103 kg m/s 09. (Uece CE) Considere uma esfera muito pequena, de massa 1 kg, deslocando-se a uma velocidade de 2 m/s, sem girar, durante 3 s. Nesse intervalo de tempo, o momento linear dessa partícula é a) 2 kg ⋅ m/s. b) 3 s. c) 6 kg ⋅ m/s. d) 6 m. 10. (Puc RS) O gráfico abaixo representa a quantidade de movimento Q em função da velocidade v para uma partícula de massa m.
Q
suas respectivas quantidades de movimento linear, no instante do decaimento, representadas, em escala, pelas setas. Uma terceira partícula, denominada antineutrino ( v , carga zero), é
0 6 3
Li
6 2
e
He Li e v 6 3
v
A área hachurada no gráfico é numericamente igual a qual grandeza física? a) Impulso b) Deslocamento c) Energia cinética d) Força resultante e) Torque
135
A15 Quantidade de movimento
também produzida nesse processo.
FRENTE
A
FÍSICA
MÓDULO A16
ASSUNTOS ABORDADOS nn Impulso de uma força nn A física e o cinto de segurança nn Impulso de uma força constante nn Impulso de uma força variável nn Força média nn Teorema do impulso
IMPULSO DE UMA FORÇA A física e o cinto de segurança O cinto de segurança é uma das aplicações práticas e importantes do teorema do impulso. O uso do cinto é obrigatório segundo o Código Nacional de Trânsito e tem como função aumentar o tempo de contato do passageiro com algo (em vez de ser com o para-brisa, será com o cinto de segurança). A força que o cinto aplica contra o peito do condutor do veículo é distribuída ao longo de um intervalo de tempo maior, apresentando menor intensidade. Caso o motorista não esteja utilizando o cinto, e seu veículo sofra uma colisão, devido à inércia, o carro tende a continuar em movimento, e, dessa forma, o motorista é projetado para frente, colidindo com o vidro. Nesse caso, a batida da cabeça no vidro ocorre em um intervalo de tempo tão pequeno que as forças envolvidas no processo adquirem grandes intensidades, podendo causar sérios riscos à saúde.
Impulso de uma força constante
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O impulso de uma força constante é uma grandeza vetorial cujo módulo é dado pelo produto do módulo da força pelo intervalo de tempo de atuação dessa força:
136
I= F .∆t O impulso tem a mesma direção e o mesmo sentido da força aplicada.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
A unidade de medir o impulso é igual ao produto da unidade de medir força pela unidade de medir o tempo. unidade de impulso = newton x segundo = N.s
Então, vamos utilizar uma propriedade gráfica que afirma que o módulo do impulso é numericamente igual à área da figura formada entre a reta e o eixo t.
Quando temos várias forças atuando em um corpo, cada força provocará um impulso. Nesse caso, definimos o impulso resultante como sendo a soma vetorial dos impulsos de cada força. Veja a figura:
→
n
I =A
Calculando a área do trapézio obteremos o módulo do impulso entre os instantes t1 e t2. I1= F1 ⋅ ∆t1 ;
I2= F2 ⋅ ∆t2 ; I3= F3 ⋅ ∆t3 IR = I1 + I2 + I3
Se o intervalo de tempo for o mesmo, podemos calcular o impulso resultante efetuando a soma vetorial das forças e depois multiplicando pelo intervalo de tempo. IR= FR ⋅ ∆t
Impulso de uma força variável Consideremos uma força de direção constante cujo módulo varia no decorrer do tempo como mostra o gráfico a seguir. Vamos calcular o módulo do impulso dessa força entre os instantes t1 e t2.
Força média Definimos força média em um dado intervalo de tempo como a força constante capaz de provocar no corpo o mesmo impulso que a força variável aplicada, durante o referido intervalo de tempo. Para determinar o módulo da força média, primeiro calculamos o valor do impulso usando a propriedade gráfica e, a seguir, aplicamos a definição do impulso de uma força constante. =I área= FM .∆t
Teorema do impulso A variação da quantidade de movimento de uma partícula ou de um sistema de partículas durante certo intervalo de tempo é igual ao impulso da força resultante que atuou durante esse intervalo de tempo.
∆v Itotal= FR ⋅ ∆t ⇒ FR= m ⋅ a ⇒ a= = ∆t m( v - v 0 ) Itotal= ⋅ ∆t ⇒ Itotal= mv - mv= 0 ∆t Nesse caso, como o módulo da força é variável, não podemos aplicar a fórmula I = F ⋅ Dt.
v - v0 ∆t Qf - Qi
Itotal = ∆Q
137
A16 Impulso de uma força
Itotal = ∆Q
Física
EXEMPLO Um corpo de massa 2 kg percorre um eixo orientado com velocidade escalar igual a 10 m/s. No instante t = 0, aplica-se sobre ele uma força resultante cujo módulo varia em função do tempo, conforme o gráfico a seguir:
B+b 6+4 = ⋅h ⋅ 20 = 100 2 2 B+b 4+3 A2 = ⋅h = ⋅ ( -8 ) =-28 2 2 A= 1
Admitindo que a força seja paralela ao eixo, calcule: a) O módulo do impulso da força entre t = 0 e t = 10 s. b) A velocidade escalar do corpo no instante t = 10 s. RESOLUÇÃO Inicialmente vamos calcular a área total do gráfico. Para isso, dividiremos o gráfico em duas áreas: A1 e A2 como mostra a figura:
O módulo do impulso é: N
=I área= A1 + A2= 100 + (-28)= 72 I = 72 N.s b) Utilizando o Teorema do Impulso, temos: I = Q f - Q i ⇒ I =m(v - v 0 ) ⇒ 72 =2(v - 10) v - 10= 36
⇒
v= 46 m/s
Exercícios de Fixação 01. (UEFS BA)Quando uma bola de massa m = 120,0 g é atingida por um bastão, sua velocidade varia de + 25,0 m/s para – 25,0 m/s.
A16 Impulso de uma força
Considerando-se que a bola fica em contato com o bastão por 1,5 ⋅ 10-3 s, é correto afirmar que o módulo da força média exercida sobre a bola pelo bastão, é igual a a) 1 000 N b) 2 000 N c) 3 000 N d) 4 000 N e) 5 000 N 02. (UEG GO) Imagine que, em um jogo da Seleção Brasileira pela Copa do Mundo Fifa 2014, o goleiro Júlio Cesar chute uma bola no tiro de meta, quando esta se encontra em repouso. Nesse chute, ele aplica uma força de 1,2 ⋅ 102 N em um intervalo de tempo de 0,2 s na bola de 400 g. Qual é a velocidade atingida pela bola, em km/h? a) 216 c) 240 b) 108 d) 134 03. (Mackenzie SP) Em uma competição de tênis, a raquete do jogador é atingida por uma bola de massa 60 g, com velocidade horizontal de 40 m/s. A bola é rebatida na mesma direção e sentido contrário com velocidade de 30 m/s. Se o tempo de contato da bola com a raquete é de 0,01 s, a intensidade da força aplicada pela raquete à bola é
138
a) 60 N b) 120 N c) 240 N d) 420 N e) 640 N 04. (UFG GO) Um jogador de hockey no gelo consegue imprimir uma velocidade de 162 km/h ao puck (disco), cuja massa é de 170 g. Considerando-se que o tempo de contato entre o puck e o stick (o taco) é da ordem de um centésimo de segundo, a força impulsiva média, em newton, é de: a) 7,65 b) 7,65 × 102 c) 2,75 × 103 d) 7,65 × 103 e) 2,75 × 104 05. (ITA SP) Um automóvel para quase que instantaneamente ao bater frontalmente numa árvore. A proteção oferecida pelo airbag, comparativamente ao carro que dele não dispõe, advém do fato de que a transferência para o carro de parte do momentum do motorista se dá em condição de: a) menor força em maior período de tempo. b) menor velocidade, com mesma aceleração. c) menor energia, numa distância menor. d) menor velocidade e maior desaceleração. e) mesmo tempo, com força menor.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
06. (UECE) Um projétil de 20 g de massa entra horizontalmente numa tábua fixa, de modo que, imediatamente antes de nela penetrar, sua velocidade é de 800 m/s e ao sair da tábua, a velocidade, também horizontal, é de 600 m/s. Sendo de 0,01 s o tempo que o projétil permaneceu no interior da tábua, a intensidade média da força que a tábua exerce sobre o projétil, em Newtons, é:
a) 400
b) 300
c) 200
a) cima e módulo 3,0 × 10–2N.s. b) baixo e módulo 3,0 × 10–2N.s. c) cima e módulo 6,0 × 10–2N.s. d) baixo e módulo 6,0 × 10–2N.s. e) cima e módulo igual a zero. 09. (Ufu MG) Um bloco de 2 Kg de massa desloca-se, inicialmente, ao longo de um plano horizontal sem atrito com uma energia cinética inicial de 100 J. Durante um intervalo de tempo de 4 s, uma força variável, como mostra o gráfico abaixo, é aplicada sobre o bloco, na mesma direção e no mesmo sentido da velocidade inicial.
d) 100
07. (UFG GO) O jogo de squash resume-se basicamente em arremessar com uma raquete a bola contra uma parede e rebatê-la novamente após cada colisão. Se após o saque a bola chocar-se perpendicularmente contra a parede e voltar na mesma direção, o impulso da força exercida pela parede sobre a bola será a) igual a zero, pois a energia cinética da bola se conserva quando o choque é perfeitamente elástico. b) diretamente proporcional à soma dos módulos das velocidades antes e após a colisão com a parede. c) igual ao produto da massa pela velocidade de retorno da bola. d) igual à soma vetorial das quantidades de movimento antes e depois do choque com a parede. e) igual ao impulso da raquete na bola. 08. (Unifesp SP) Uma menina deixa cair uma bolinha de massa de modelar que se choca verticalmente com o chão e para; a bolinha tem massa 10 g e atinge o chão com velocidade de 3,0 m/s. Pode-se afirmar que o impulso exercido pelo chão sobre essa bolinha é vertical, tem sentido para
Após a aplicação dessa força (t = 4 s), a velocidade final do bloco será a) 60 m/s c) 80 m/s b) 30 m/s d) 50 m/s 10. (Udesc SC) Um jogador de futebol, ao cobrar uma falta, chuta a bola de forma que ela deixa seu pé com uma velocidade de 25 m/s. Sabendo que a massa da bola é igual a 400 g e que o tempo de contato entre o pé do jogador e a bola, durante o chute, foi de 0,01 s, a força média exercida pelo pé sobre a bola é igual a: a) 100 N b) 6 250 N c) 2 500 N d) 1 000 N e) 10 000 N
Exercícios Complementares
a) 324,0 N b) 90,0 N c) 6,3 N d) 11,3 N
02. (Fameca SP) Devido a uma pane mecânica, três amigos precisaram empurrar um carro para movê-lo para um lugar seguro. A massa do veículo mais a do motorista que o guiava era de 1 000 kg.
O gráfico a seguir mostra como variou a força total horizontal aplicada pelos amigos sobre o veículo em função do tempo.
139
A16 Impulso de uma força
01. (Unicamp SP) Beisebol é um esporte que envolve o arremesso, com a mão, de uma bola de 140 g de massa na direção de outro jogador que irá rebatê-la com um taco sólido. Considere que, em um arremesso, o módulo da velocidade da bola chegou a 162 km/h, imediatamente após deixar a mão do arremessador. Sabendo que o tempo de contato entre a bola e a mão do jogador foi de 0,07 s, o módulo da força média aplicada na bola foi de
Física
Considerando a massa da bola igual a 0,4 kg, é correto afirmar que, nessa jogada, o módulo da força resultante máxima que atuou sobre a bola, indicada no gráfico por Fmáx, é igual, em newtons, a a) 68,8 b) 34,4 c) 59,2 Sabendo-se que durante todo o tempo também atuou sobre o veículo uma força resistiva total, horizontal e constante, de 200 N, e que no instante t = 0 o carro estava parado, a velocidade atingida pelo veículo, em m/s, ao final dos 10 s em que foi empurrado, foi de a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
d) 26,4 e) 88,8 04. (Famema SP) Um brinquedo consiste em um fole acoplado a um tubo plástico horizontal que se encaixa na traseira de um carrinho, inicialmente em repouso. Quando uma criança pisa no fole, comprimindo-o até o final, o ar expelido impulsiona o carrinho.
03. (Unesp SP) O gol da conquista do tetracampeonato pela Alemanha na Copa do Mundo de 2014 foi feito pelo jogador Götze. Nessa jogada, ele recebeu um cruzamento, matou a bola no peito, amortecendo-a, e chutou de esquerda para fazer o gol. Considere que, imediatamente antes de tocar o jogador, a bola tinha velocidade de módulo V1 = 8 m/s em uma direção perpendicular ao seu peito e que, imediatamente depois de tocar o jogador, sua velocidade manteve-se perpendicular ao peito do jogador, porém com módulo V2 = 0,6 m/s e em sentido contrário.
Considere que a massa do carrinho seja de 300 g, que o tempo necessário para que a criança comprima completamente o fole seja de 0,2 s e que ao final desse intervalo de tempo o carrinho adquira uma velocidade de 8 m/s. Admitindo desprezíveis todas as forças de resistência ao movimento do carrinho, o mó dulo da força média ( Fméd ) aplicada pelo ar expelido pelo tubo sobre o carrinho, nesse intervalo de tempo, é igual a a) 10 N (www.colorir-e-pintar.com. Adaptado.)
A16 Impulso de uma força
Admita que, nessa jogada, a bola ficou em contato com o peito do jogador por 0,2 s e que, nesse intervalo de tempo, a intensidade da força resultante (FR), que atuou sobre ela, variou em função do tempo, conforme o gráfico.
b) 14 N c) 12 N d) 8 N e) 16 N 05. (IF SC) Um ciclista está pedalando sua bicicleta em um trecho retilíneo de uma ciclovia, em uma famosa avenida de Florianópolis. No instante t = 0, a velocidade do ciclista é 18 km/h no sentido positivo da trajetória, isto é, eixo 0x, e sua posição é 20 m em relação a uma parada de ônibus. A aceleração do ciclista é ax = 4,0 m/s2. Considerando o conjunto ciclista e bicicleta como um ponto material e com massa de 70 kg, assinale no cartão-resposta a soma da(s) proposição(ões) CORRETA(S). 20
140
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
01. O movimento da bicicleta é retilíneo e uniforme. 02. A expressão matemática que define a posição da bicicleta é x = 20 + 5t + 4t2. 04. A força resultante a qual o conjunto está sujeito é 280 N. 08. O trabalho total realizado sobre o conjunto, no intervalo de tempo de 0 a 2 s, foi de 3 600 J. 16. A quantidade de movimento do conjunto no instante 2s foi de 910 kg.m/s. 32. O impulso sofrido pelo conjunto no intervalo de tempo de 0 a 2 s foi de 910 Ns. 06. (Famerp SP) Uma bola de tênis, de massa 60 g, se chocou com uma parede vertical. O gráfico representa a força, em função do tempo, exercida pela parede sobre a bola, no qual FM é o valor médio da força no intervalo de tempo entre 0 s e 0,02 s.
recebe o impulso de uma força externa aplicada na mesma direção e sentido de seu movimento. A intensidade dessa força, em função do tempo, é dada pelo gráfico abaixo. A partir desse gráfico, pode-se afirmar que o módulo da velocidade do bloco após o impulso recebido é, em m/s, de
a) –6 b) 1 c) 5 d) 7 e) 9 09. (UEFS BA) Um jogador de futebol marcou uma falta, chutando uma bola que se encontrava parada sobre o gramado e, depois do chute, atingiu o interior da trave do time adversário com velocidade de 108,0 km/h.
07. (UECE) Uma esfera de massa m é lançada do solo verticalmente para cima, com velocidade inicial V, em módulo, e atinge o solo 1 s depois. Desprezando todos os atritos, a variação no momento linear entre o instante do lançamento e o instante imediatamente antes do retorno ao solo é, em módulo, a) 2mV b) mV c) mV2/2 d) mV/2 08. (UFRGS) Um bloco de massa 1 kg move-se retilineamente com velocidade de módulo constante igual a 3 m/s, sobre uma superfície horizontal sem atrito. A partir de dado instante, o bloco
10. (Uem PR) Um bloco está deslizando sobre uma superfície plana, horizontal e sem atrito, com velocidade de 5,0 m/s. Considerando que a massa do bloco é de 2,0 kg e que, no instante t = 0 s, passa a agir sobre o bloco uma força externa constante, de módulo 10,0 N, na mesma direção e com sentido oposto ao da velocidade do bloco, assinale o que for correto. 23 01. O momento linear (quantidade de movimento) antes da ação da força externa era de 10 kg.m/s. 02. O módulo do impulso da força externa sobre o bloco, no intervalo de tempo de 0 s a 4 s, é de 40 kg.m/s. 04. A velocidade do bloco no instante t = 1,0 s é nula. 08. As direções dos vetores velocidade do bloco nos instantes t = 0,5 s e t = 2,5 s são diferentes. 16. O gráfico da velocidade em função do tempo, para t > 0 s, apresenta um comportamento linear.
141
A16 Impulso de uma força
Sabendo que a velocidade da bola, imediatamente antes da colisão, era perpendicular à superfície da parede com valor 20 m/s e que, após a colisão, continua perpendicular à parede, é correto afirmar que a velocidade da bola, em m/s, imediatamente após a colisão foi a) 24 b) 20 c) 18 d) 38 e) 15
Sabendo-se que a bola com massa de 450,0 g não foi interceptada durante seu movimento e considerando-se que a interação entre a chuteira do jogador e a bola teve duração de um centésimo de segundo, a intensidade da força média aplicada pelo jogador na bola, em newtons, foi de a) 1500,0 b) 1450,0 c) 1400,0 d) 1350,0 e) 1300,0
FRENTE
A
FÍSICA
Exercícios de Aprofundamento 01. (Uesc BA) A figura representa uma parte de um toca-discos que opera nas frequências de 33rpm, 45rpm e 78rpm. Uma peça metálica, cilíndrica C, apresentando três regiões I, II e III de raios, respectivamente, iguais a R1, R2 e R3, que gira no sentido indicado, acoplada ao eixo de um motor. Um disco rígido de borracha D, de raio RD, entra em contato com uma das regiões da peça C, adquirindo, assim, um movimento de rotação. Esse disco também está em contato com o prato P, sobre o qual é colocado o disco fonográfico. Quando se aciona o comando para passar de uma frequência para outra, o disco D desloca-se para cima ou para baixo, entrando em contato com outra região da peça C.
DOCA, Ricardo Helou. Tópicos de Física, São Paulo: Saraiva, 2007. v. 1, Mecânica, p 86.
A análise da figura, com base nos conhecimentos sobre movimento circular uniforme, permite afirmar: 05 01. A velocidade linear de um ponto periférico da região I, do cilindro C, é igual a 2,6πR1 cm/s, com raio medido em cm. 02. A peça C e o disco D realizam movimentos de rotação com a mesma velocidade angular. 03. O disco D e o prato P executam movimentos de rotação com a mesma frequência. 04. Todos os pontos periféricos da peça C têm a mesma velocidade linear. 05. A frequência do disco D é igual a 0,75R2/RD. 02. (FGV) Sobre o teto da cabine do elevador, um engenhoso dispositivo coordena a abertura das folhas da porta de aço. No topo, a polia engatada ao motor gira uma polia grande por intermédio de uma correia. Fixa ao mesmo eixo da polia grande, uma engrenagem movimenta a corrente esticada que se mantém assim devido a existência de outra engrenagem de igual diâmetro, fixa na extremidade oposta da cabine. As folhas da porta, movimentando-se com velocidade constante, devem demorar 5 s para sua abertura completa fazen142
do com que o vão de entrada na cabine do elevador seja de 1,2 m de largura.
Dados: diâmetro das engrenagens = 6 cm diâmetro da polia menor = 6 cm diâmetro da polia maior = 36 cm p =3 Nessas condições, admitindo insignificante o tempo de aceleração do mecanismo, a freqüência de rotação do eixo do motor deve ser, em Hz, de a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 03. (UFTM) Para uma boa pescaria, além de um bom local e boas iscas, é fundamental, também, usar equipamentos adequados. Com a finalidade de facilitar o arremesso da isca e possibilitar maior força de tração depois da fisgada, muitos pescadores utilizam carretilhas, que consistem em um carretel onde a linha de pesca é enrolada, e numa manivela que faz o carretel girar. Uma característica importante em uma carretilha é a velocidade de giro que, em geral, vem impressa no equipamento com números representados, por exemplo, assim: 4:1, ou seja, com uma volta na manivela, o carretel gira quatro vezes.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Considere que um pescador, depois de fisgar um peixe e retirá-lo da água, mantenha a vara de pescar em repouso e, para trazê-lo para seu barco, esteja girando a manivela de sua carretilha, que tem velocidade de giro 4:1, com uma frequência constante de 4 Hz. a) Admitindo que o peixe fisgado esteja subindo verticalmente, e que o carretel com a linha enrolada tenha a forma de um cilindro com 3cm de raio, determine a velocidade escalar de subida do peixe. Adote p =3 e considere desprezível a espessura da linha de pesca. 2,88 m/s b) Suponha que, para infelicidade do pescador, durante o movimento de subida o peixe escape do anzol e, caindo verticalmente, atinja a água com velocidade escalar de 6 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s2, determine, em relação ao nível da água, a máxima altura atingida pelo peixe, enquanto estava subindo. 1,8 m 04. (Unesp SP) Como indica a figura, dois atletas, A e B, percorrem uma pista circular em duas faixas diferentes, uma de raio 3 m e outra de raio 4 m, com velocidades constantes em módulo. Em
km / h A variação na aceleração centrípeta do carro, em , vale: s a) –25π b) –30π c) –10π d) –15π e) –50π 06. (Mackenzie SP) Em um centro de diversões, existe um brinquedo em que dois competidores “dirigem”, cada um, certo carrinho, de pequenas dimensões (P1 e P2). O Carrinho P1 é acelerado constantemente, a partir do repouso, no ponto A, e, após 3,0 s, se choca com um obstáculo localizado no ponto B. O carrinho P2 se desloca com velocidade escalar constante e percorre o arco de circunferência CD no mesmo intervalo de tempo em que o carrinho P1 percorreu o segmento de reta AB, paralelo a MN . Sabendo-se que M é ponto médio de AC e que o módulo da aceleração do carrinho P1 é 2,0 m/s2, a velocidade angular e o módulo aproximado da velocidade tangencial do carrinho P2 são, respectivamente,
um certo instante, os atletas passam simultaneamente pelos pontos 1 e 2 indicados, estando o atleta B à frente do atleta A p por um ângulo de . 2 A partir desse instante, os dois atletas demoraram o mesmo intervalo de tempo para cruzarem juntos, pela primeira vez, a Linha de Chegada. Determine a razão R entre o módulo da
a) b) c) d) 05. (Udesc SC) Um carro a uma velocidade de 100 Km/h entra numa curva com raio de curvatura constante e igual a R. O motorista freia de tal modo que sua velocidade diminui uniformemente para 25 km/h, após 1,5 s. Nesse instante, o carro encontra-se na metade da curva, conforme mostra a Figura 2.
e)
p rad/s e 0,5m/s 18 p rad/s e 1m/s 18 p rad/s e 1,5m/s 18 p rad/s e 0,5m/s 9 p rad/s e 1m/s 9
07. (Fuvest SP) Um DJ, ao preparar seu equipamento, esquece uma caixa de fósforos sobre o disco de vinil, em um toca-discos desligado. A caixa se encontra a 10 cm do centro do disco. Quando o toca-discos é ligado, no instante t = 0, ele passa a girar com 143
FRENTE A Exercícios de Aprofundamento
velocidade tangencial do atleta A em relação ao atleta B. R = 1
Física
aceleração angular constante α = 1,1 rad/s2, até que o disco atinja a frequência final f = 33 rpm que permanece constante. O coeficiente de atrito estático entre a caixa de fósforos e o disco é µe = 0,09. Determine a) a velocidade angular final do disco, ωf, em rad/s; ωf = 3,3 rad/s b) o instante tf em que o disco atinge a velocidade angular ωf; tf = 3s c) a velocidade angular ωcdo disco no instante tc em que a caixa de fósforos passa a se deslocar em relação ao mesmo; ωc = 3 rad/s d) o ângulo total ∆θ percorrido pela caixa de fósforos desde o instante t = 0 até o instante t = tc. ∆θ = 4,1 rad Note e adote: Aceleração da gravidade local g =10 m/s2. π=3 08. (Unesp SP)Um bloco de massa 0,10 kg desce ao longo da superfície curva mostrada na figura, e cai num ponto situado a 0,60 m da borda da superfície, 0,40 s depois de abandoná-la.
a) 40 3N ⋅ s b) 60 3N ⋅ s c) 70 3N ⋅ s d) 180 3N ⋅ s e) 240 3N ⋅ s 10. (Uerj RJ) Na rampa de saída do supermercado, uma pessoa abandona, no instante t= 0, um carrinho de compras de massa 5 kg que adquire uma aceleração constante. Considere cada um dos três primeiros intervalos de tempo do movimento iguais a 1 s. No primeiro e no segundo intervalos de tempo, o carrinho percorre, respectivamente, as distâncias de 0,5 m e 1,5 m. a) 15 kgm/s b) 2,5 m Calcule: a) o momento linear que o carrinho adquire no instante t=3 s; b) a distância percorrida pelo carrinho no terceiro intervalo de tempo. 11. (UFJF MG) Uma partícula de massa m1 = 25,0 g e com velocidade inicial v1 = 100m/s colide, frontalmente, com outra partícula de massa m2 = 200 g, inicialmente em repouso. Durante o processo de colisão, o gráfico da força de interação entre as duas partículas é mostrado na figura ao lado. Com base nessas informações, calcule:
FRENTE A Exercícios de Aprofundamento
Desprezando-se a resistência oferecida pelo ar, pode-se afirmar que o módulo (intensidade) da quantidade de movimento do bloco, no instante em que abandona a superfície curva é, em kg.m/s, a) 0,10 d) 0,25 b) 0,15 e) 0,30 c) 0,20 09. (ESPCEX) Em um parque aquático, um menino encontra-se sentado sobre uma prancha e desce uma rampa plana inclinada que termina em uma piscina no ponto B, conforme figura abaixo. O conjunto menino-prancha possui massa de 60 kg, e parte do repouso do ponto A da rampa. O coeficiente de atrito cinético entre a prancha e a rampa vale 0,25 e β é o ângulo entre a horizontal e o plano da rampa. Desprezando a resistência do ar, a variação da quantidade de movimento do conjunto menino-prancha entre os pontos A e B é de Dados: intensidade da aceleração da gravidade g=10 m/s2 considere o conjunto menino-prancha uma partícula cos β = 0,8 sen β = 0,6
a) O impulso sofrido por cada partícula. I1 = –0,945N.s e I2 = 0,945 N.s b) A velocidade final de cada partícula imediatamente após a colisão.v1D = 62,2 m/s v2D = 4,725 m/s 12. (UFBA) Ao saltar-se de um lugar alto, é comum dobrar os joelhos enquanto se encosta no solo. Isso é feito de modo instintivo, a fim de minimizar a força de interação entre o chão e o corpo, diminuindo o impacto sobre a articulação do joelho. Desprezando a resistência do ar e considerando uma pessoa de massa igual a 60,0kg caindo de uma altura de 80,0 cm, em um local cujo módulo da aceleração da gravidade é de 10m/s2, calcule a diferença, em módulo, da força de impacto entre o chão e o corpo, com e sem dobrar os joelhos, sabendo que o tempo do impacto sem dobrar os joelhos é de 0,25s e que, dobrando-os, é de 1,0 segundo. A diferença será 720 N 13. (UFPE) Uma partícula de massa 0,2kg move-se ao longo do eixo x. No instante t = 0, a sua velocidade tem módulo 10m/s ao longo do sentido positivo do eixo. A figura a seguir ilustra o impulso da força resultante na direção x agindo sobre a partícula.
144
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Qual o módulo da quantidade de movimento da partícula (em kg ⋅ m/s) no instante t = 15 s? 52
14. (Unesp SP) Ao lançar um pacote de 4 kg, um rapaz o empurra em linha reta, a partir do repouso, sobre uma superfície hori zontal, exercendo sobre ele uma força F também horizontal, mantendo-o em movimento acelerado por 2,0 s.
O gráfico mostra como varia a intensidade da resultante das forças (R) que atuam sobre o pacote durante os 2,0 s em que ele foi empurrado.
16. (UFG GO) Um jogador de vôlei (levantador) lança verticalmente uma bola, que é golpeada a 3,6 m de altura, no ponto mais alto de sua trajetória, por um outro jogador (atacante). A bola atinge a quadra adversária 0,25 s depois, a uma distância horizontal de 4,8 m da posição em que foi golpeada. Considerando que o tempo de contato da mão do atacante com a bola foi de 0,01 s e que a massa da bola é de 270 g, determine a força média que o atacante exerceu sobre a bola, desprezando os efeitos gravitacionais a partir do momento em que a bola foi golpeada. F = 648 N 17. (UFCE) A única força horizontal (ao longo do eixo x) que atua em uma partícula de massa m = 2 kg é descrita, em um dado intervalo de tempo, pelo gráfico abaixo. A partícula está sujeita a um campo gravitacional uniforme cuja aceleração é constante, apontando para baixo ao longo da vertical, de módulo g = 10 m/s2 . Despreze quaisquer efeitos de atrito.
a superfície vale 0,2 e que g = 10 m/s2, determine o módulo da
a) Determine o módulo da força resultante sobre a partícula
velocidade atingida pelo pacote ao final dos 2,0 s e a intensida de da força F exercida pelo rapaz entre 0,8 s e 2,0 s.
entre os instantes t1 = 1 s e t2 = 3 s , sabendo que o impulso ao longo da direção horizontal foi de 30 N.s no referido
V = 1,6 m/s e F = 12,0 N
intervalo de tempo. 25N
15. (UFPE) O martelo de ferro de 1,5 toneladas, de um bate-es-
b) Determine a variação da quantidade de movimento da partícu-
taca, cai em queda livre de uma altura de 5,0 m, a partir do
la, na direção horizontal, entre os instantes t2 = 3s e t3 = 7s. 70 N.s
repouso, sobre uma estaca de cimento. O martelo não rebate após a colisão, isto é, permanece em contato com a estaca. A força exercida pela estaca sobre o martelo varia com o tempo de acordo com o gráfico a seguir. Calcule o valor da força máxima Fmax, em unidades de 103 N. Despreze todas as perdas de energia existentes entre o martelo e a guia, bem como com as demais engrenagens. 75 x 10
3
N
18. (Uerj RJ) Uma funcionária, de massa 50 kg, utiliza patins para se movimentar no interior do supermercado. Ela se desloca de um caixa a outro, sob a ação de uma força F, durante um intervalo de tempo de 0,5 s, com aceleração igual a 3,2 m/s2. Desprezando as forças dissipativas, determine: a) o impulso produzido por essa força F; 80 N.s b) a energia cinética adquirida pela funcionária. 64 J 145
FRENTE A Exercícios de Aprofundamento
Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o pacote e
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FRENTE
B
FÍSICA Por falar nisso Física no esporte: corrida 200 metros rasos Na corrida de 200 metros rasos, 8 competidores correm 200 m, largando na curva da pista. Quem chegar primeiro vence. Após a largada, os corredores aumentam as passadas gradativamente até que atinjam o máximo da velocidade. A partir de então, é necessário manter o máximo de velocidade possível, o que conta com amplos movimentos dos braços. Como a largada acontece em uma curva, o que ocorre é que a força centrípeta, que puxa o corpo para o centro da trajetória em um movimento curvilíneo ou circular, age como um elástico que é alongado na curva e então solto na reta. Por isso, geralmente nos 100 primeiros metros da corrida os competidores apresentam uma velocidade abaixo dos 100 metros finais. Outro ponto interessante nesse caso é a posição do corpo do atleta, que não pode se inclinar muito para o lado interno, para não perder o sincronismo e consequentemente a velocidade. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas
B13 B14 B15 B16
Força de atrito................................................................................148 Força em trajetórias curvilíneas....................................................155 Aplicações da força centrípeta......................................................162 Trabalho e potência de uma força.................................................170
FRENTE
B
FÍSICA
MÓDULO B13
ASSUNTOS ABORDADOS
FORÇA DE ATRITO
nn Força de atrito
Atrito, em Física, é a força de contato que atua sempre que dois corpos interagem entre si e há tendência ao movimento. É gerada pela rugosidade dos corpos (veja a figura.
nn Força de atrito estático nn Força de atrito cinético
Fonte: Wikimedia Commons
nn A importância da força de atrito
A força de atrito é sempre paralela às superfícies em contato e contrária ao movimento relativo entre elas. Apesar de sempre paralelo às superfícies em interação, o atrito entre essas superfícies depende da força normal, a componente vertical da força de contato; quanto maior for a força normal, maior será o atrito. Passar um dedo pelo tampo de uma mesa pode ser usado como exemplo prático: ao pressionar-se com força o dedo sobre o tampo, o atrito aumenta e é mais difícil manter o dedo se movendo pela superfície. Entretanto, ao contrário do que se poderia imaginar, mantidas as demais variáveis constantes, a força de atrito não depende da área de contato entre as superfícies. Apenas da natureza dessas superfícies e da força normal que tende a evitar que uma superfície “penetre” na outra. A energia dissipada pelo atrito é, geralmente, convertida em calor e/ou quebra de ligações entre moléculas, como ocorre quando se lixa alguma superfície. Existem dois tipos de força de atrito: força de atrito estático e força de atrito dinâmico ou cinético.
Força de atrito estático Imagine que o bloco da figura a seguir esteja em repouso, mas deseja-se colocá-lo em movimento.
Inicialmente aplicamos uma força F , porém, ele continua em repouso, pois a força de atrito aumentará conforme se aumenta a intensidade da força F . Enquanto o bloco, mesmo sob a ação dessa força, continuar em repouso, a força de atrito é denominada força de atrito estático. 148
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Existe um determinado valor de F em que o bloco fica na iminência de movimento, isto é, quase entrando em movimento, mas ainda em repouso. Nesse ponto, a força de atrito é máxima e recebe o nome de força de atrito estático máxima. Assim, movimento somente iniciará quando o módulo da força F for superior a essa força. Além disso, módulo da força de atrito estático máxima é proporcional ao módulo da força normal e a constante de proporcionalidade é chamada de coeficiente de atrito estático.
destaque, e quando as rodas travam, a força de atrito passa a ser do tipo cinética com valor constante e menor que a força de atrito de destaque.
FE(max) = µE .FN Sendo: nn
FE(max) → módulo da força de atrito estático;
nn
µE
→ coeficiente de atrito estático;
nn
FN
→ módulo da força normal.
Força de atrito cinético
Com o mecanismo ABS, quando a força de atrito requisitada aproxima-se da força de atrito de destaque, o sistema libera parcialmente a roda por um breve intervalo de tempo. Tal procedimento repete-se sucessivamente evitando o travamento da roda.
Vamos considerar o corpo representado na figura abaixo:
O módulo força de atrito cinético é proporcional ao módulo da força normal. A constante de proporcionalidade recebe o nome de coeficiente de atrito cinético ou dinâmico. FATC = µC .FN nn
FATC é o módulo da força de atrito cinético;
nn
FN é o módulo da força normal que o corpo troca com a superfície do apoio;
nn
µC é o coeficiente de atrito cinético.
Gráfico da força de atrito em função da força motora para automóveis com freios comuns e com ABS
O atrito, muitas vezes, é visto como algo negativo. Quer ver alguns exemplos? O atrito provoca desgaste em peças de máquinas, em solas de sapato. Para vencer o atrito, os automóveis gastam mais combustível, entre outros. Porém, sem o atrito, seria impossível realizar algumas atividades essenciais, como andar ou colocar um automóvel em movimento. Entenda a razão: Uma pessoa, ao caminhar, empurra o chão para trás com os seus pés. Isso faz com que surja uma força atrito em sentido contrário, ou seja, o chão passa a exercer uma força sobre a pessoa, empurrando-a para frente. Se não houvesse o atrito, ocorreria algo semelhante a quando se tenta andar sobre um chão muito bem encerado ou com sabão. As pessoas escorregariam e jamais conseguiriam andar.
Fonte: Shutterstock.com
Sem o mecanismo ABS, a força de atrito aumenta até atingir a força de atrito máxima, também chamada de atrito de
A importância da força de atrito
B13 Força de atrito
Se o corpo está escorregando na superfície de apoio, significa que a força de atrito que age nele é cinética ou dinâmica.
149
Física
Quando as rodas de um automóvel começam a girar, passa a existir um atrito entre elas e o chão que as impulsiona para frente. Se não houvesse o atrito, as rodas girariam, mas o carro não se movimentaria. n n Os
coeficientes de atrito estático e dinâmico são grandezas adimensionais, ou seja, não possuem unidade de medida e são representadas apenas pelo seu valor numérico.
nn Também é importante observar que o módulo do atrito dinâmico sem-
pre será menor ou igual do que o módulo do atrito estático máximo. Isso se deve ao fato de que o coeficiente de atrito estático é maior ou igual ao o coeficiente de atrito dinâmico: µE ≥ µD Veja na tabela abaixo alguns valores de coeficientes de atrito estático e cinético para alguns materiais: Materiais
μe
µc
Madeira sobre madeira
0,4
0,2
Gelo sobre gelo
0,1
0,03
Borracha sobre cimento seco
1
0,8
Aço sobre aço (seco)
0,8
0,6
Aço sobre aço (lubrificado)
0,1
0,05
Madeira sobre neve
0,5
0,2
EXEMPLO Suponha que o bloco da figura a seguir pese 20 N. Os coeficientes de atrito entre ele e a superfície valem µE = 0,40 e µC = 0,20.
RESOLUÇÃO a) De acordo com a 1ª Lei de Newton, Princípio da Inércia, se um corpo está em repouso, então, a resultante das forças deve ser nula, logo podemos afirmar que: FR =0 ⇒ fe =F ⇒ fe =5 N
b) Para o bloco entrar em movimento, o módulo da força motora F deve ser ligeiramente maior que o módulo da força de atrito está tico máxima ( femax ). femax = µe .FN ⇒ femax = 0,4 × 20 ⇒ femax = 8N ⇒ F > 8 N
B13 Força de atrito
a)Exercendo no bloco uma força de 5,0 N, verificamos que ele perma nece parado. Qual o valor da força de atrito estático, fe , que está atuando no bloco? b) Qual deve ser o mínimo valor de F para que o bloco entre em movimento? c) Uma vez iniciado o movimento, qual deve ser o valor de F para manter o bloco em movimento retilíneo uniforme?
150
c) Durante o movimento do bloco, atua a força de atrito cinético. Novamente vamos utilizar a 1ª Lei de Newton para calcular o valor da força F . F = fc (equilíbrio) fc = µc .FN
⇒
fc =× 0,2 20 ⇒ fc = 4N ⇒
F= 4N
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Exercícios de Fixação
Tal fato ocorre porque a folha a) intacta, por ter uma grande superfície, recebe o efeito retardador da resistência do ar. b) amassada, devido à alteração na sua forma, modifica o valor da sua densidade. c) amassada, por estar embolada, tem efeitos da gravidade terrestre acentuados. d) intacta, por ser maior em área transversa, influencia o campo gravitacional na descida. 02. (UCS RS) O mito grego do Rei Midas fala de um governante que, após um ato benévolo, solicita ao deus Baco a capacidade de transformar tudo o que tocar em ouro. Se no início parecia um poder maravilhoso, com o passar do tempo o Rei percebeu se tratar de uma maldição, pois ele a ninguém podia tocar, ou nada podia comer, porque efetivamente tudo virava ouro. Tome-se uma adaptação dessa história grega: uma pessoa muito curiosa vai dormir pensando em como seria um mundo sem atrito e, no outro dia, acorda com a condição de possuir coeficiente de atrito zero, tanto o estático quanto o cinético, com tudo o que tocar, em qualquer parte do seu corpo, independente de estar usando roupas ou calçados. O que acontecerá com essa pessoa? a) A quantidade de calor gerada por ela ao tocar qualquer coisa será muito grande, pois a função do atrito é limitar a quantidade de calor trocada entre sistemas. b) Ela se transformará em um espelho com forma humana, pois é a ausência de atrito estático que dá aos materiais a propriedade de reflexão da luz visível. c) O ato de caminhar a partir do contato dos pés com o chão necessita da presença do atrito, portanto ela não poderá mais se deslocar puramente caminhando. d) O atrito barra a transferência de cargas elétricas entre os átomos, assim ela levaria uma descarga elétrica em qualquer tentativa de contato com alguma coisa. e) Ela aumentaria a pressão que a pessoa exerce sobre os objetos que toca, podendo levar à deformação ou até a destruição deles. 03. (Enem MEC) O freio ABS é um sistema que evita que as rodas de um automóvel sejam bloqueadas durante uma frenagem forte e entrem em derrapagem. Testes demonstram que, a partir de uma dada velocidade, a distância de frenagem será menor se for evitado o bloqueio das rodas.
O ganho na eficiência da frenagem na ausência de bloqueio das rodas resulta do fato de a) o coeficiente de atrito estático tornar-se igual ao dinâmico momentos antes da derrapagem. b) o coeficiente de atrito estático ser maior que o dinâmico, independentemente da superfície de contato entre os pneus e o pavimento. c) o coeficiente de atrito estático ser menor que o dinâmico, independentemente da superfície de contato entre os pneus e o pavimento. d) a superfície de contato entre os pneus e o pavimento ser maior com as rodas desbloqueadas, independentemente do coeficiente de atrito. e) a superfície de contato entre os pneus e o pavimento ser maior com as rodas desbloqueadas e o coeficiente de atrito estático ser maior que o dinâmico. 04. (Unicamp SP) O sistema de freios ABS (do alemão “Antiblockier-Bremssystem”) impede o travamento das rodas do veículo, de forma que elas não deslizem no chão, o que leva a um menor desgaste do pneu. Não havendo deslizamento, a distância percorrida pelo veículo até a parada completa é reduzida, pois a força de atrito aplicada pelo chão nas rodas é estática, e seu valor máximo é sempre maior que a força de atrito cinético. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é µe = 0,80 e o cinético vale µc = 0,60. Sendo g = 10 m/s2 e a massa do carro m = 1 200 kg , o módulo da força de atrito estático máxima e a da força de atrito cinético são, respectivamente, iguais a a) 1 200 N e 12 000 N b) 12 000 N e 120 N c) 20 000 N e 15 000 N d) 9 600 N e 7 200 N 05. (Unitau SP) Um objeto, cujas dimensões são desprezíveis, desliza apoiado sobre uma superfície horizontal e plana. A massa do objeto é de 3 kg e a trajetória do movimento é uma linha reta. O movimento do objeto deve-se à ação de duas forças: a força aplicada F, que tem direção horizontal e intensidade constante de 21 N, e a força de atrito, sendo o coeficiente de atrito cinético igual a 0,3. O sentido da força de atrito é oposto ao da força aplicada. O módulo da aceleração gravitacional terrestre é 10 m/s2. A aceleração do objeto durante o movimento será dada por a) 4,0 m/s2 b) 8,0 m/s2 c) 9,8 m/s2 d) 4,9 m/s2 e) 6,7 m/s2
151
B13 Força de atrito
01. (Unievangélica GO) Considere duas folhas de papel sulfite de tamanho A4, sendo que uma delas é amassada na forma de uma bola e a outra se mantém intacta. Soltando-se ambas de uma mesma altura e após certo instante, a amassada chega ao solo primeiro.
Física
06. (Puc RJ) Um bloco de massa 1,0 kg com velocidade inicial de 10 m/s desliza em uma superfície horizontal com atrito. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é µ = 0,50.
10. (Mackenzie SP) Um corpo de massa 2,0 kg é lançado sobre um plano horizontal rugoso com uma velocidade inicial de 5,0 m/s e sua velocidade varia com o tempo, segundo o gráfico acima.
A distância que o bloco percorre ao longo dessa superfície até parar é, em metros: Considere: g = 10 m/s2 a) 1,0 b) 5,0
c) 100 d) 10
e) 0,5
07. (Ufu MG) Um teste é feito para avaliar os freios de um novo modelo de carro, de 1200 kg de massa. Para isso, foi analisada a distância que o veículo percorre até parar totalmente, a partir do momento em que seus pneus são travados, com uma velocidade de 108 Km/h. O teste é feito em uma pista totalmente plana, cujo coeficiente de atrito cinético entre o pavimento e os pneus é de 0,7. Em tal situação, considerou-se que é desprezível o atrito oferecido pelos rolamentos, assim como efeitos resistivos do ar, e que g = 10m/s2. A partir da situação descrita, a distância que o novo modelo de carro percorre até parar totalmente é, aproximadamente, de: a) 833 m c) 64 m b) 8 m d) 154 m 08. (Enem MEC) Uma pessoa necessita da força de atrito em seus pés para se deslocar sobre uma superfície. Logo, uma pessoa que sobe uma rampa em linha reta será auxiliada pela força de atrito exercida pelo chão em seus pés. Em relação ao movimento dessa pessoa, quais são a direção e o sentido da força de atrito mencionada no texto? a) Perpendicular ao plano e no mesmo sentido do movimento. b) Paralelo ao plano e no sentido contrário ao movimento. c) Paralelo ao plano e no mesmo sentido do movimento. d) Horizontal e no mesmo sentido do movimento. e) Vertical e sentido para cima.
Considerando a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s2, o coeficiente de atrito cinético entre o corpo e o plano vale a) 5,0×10–2 c) 1,0×10–1 e) 2,0×10–2 –1 –1 b) 5,0×10 d) 2,0×10 11. (UFG GO) A força muscular origina-se nas fibras musculares, conforme figura (a), como resultado das interações entre certas proteínas que experimentam mudanças de configuração e proporcionam a contração rápida e voluntária do músculo. A força máxima que um músculo pode exercer depende da sua área da seção reta e vale cerca de 30 N/cm2. Considere um operário que movimenta com uma velocidade constante uma caixa de 120 kg sobre uma superfície rugosa, de coeficiente de atrito 0,8, usando os dois braços, conforme ilustrado na figura (b).
09. (Unimontes MG) Os blocos 1 e 2, com massas m1 = 4 kg e m2 = 1 kg, respectivamente, estão unidos por uma corda e encontram-se em equilíbrio estático (veja a figura). Sabe-se que o coeficiente de atrito entre a mesa horizontal e o bloco 1 é igual a µ. O valor de µ é
B13 Força de atrito
Dados: g = 10 m/s2
a) 0,35. b) 0,25. 152
c) 0,40. d) 0,50.
Dessa forma, a menor seção reta dos músculos de um dos braços do operário, em cm2, e uma das proteínas responsáveis pela contração das miofibrilas são: Dados: g = 10,0 m/s2 a) 16 e actina. b) 16 e mielina. c) 20 e miosina. d) 32 e actina. e) 32 e miosina.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Exercícios Complementares 01. (Enem MEC) Em um sistema de freio convencional, as rodas do carro travam e os pneus derrapam no solo, caso a força exercida sobre o pedal seja muito intensa. O sistema ABS evita o travamento das rodas, mantendo a força de atrito no seu valor estático máximo, sem derrapagem. O coeficiente de atrito estático da borracha em contato com o concreto vale µe = 1,0 e o coeficiente de atrito cinético para o mesmo par de materiais é µc =0,75 . Dois carros, com velocidades iniciais iguais a 108 km/h, iniciam a frenagem numa estrada perfeitamente horizontal de concreto no mesmo ponto. O carro 1 tem sistema ABS e utiliza a força de atrito estática máxima para a frenagem; já o carro 2 trava as rodas, de maneira que a força de atrito efetiva é a cinética. Considere g = 10 m/s2. As distâncias, medidas a partir do ponto em que iniciam a frenagem, que os carros 1 (d1) e 2 (d2) percorrem até parar são, respectivamente, a) d1 = 45 m e d2 = 60 m. b) d1 = 60 m e d2 = 45 m. c) d1 = 90 m e d2 = 120 m. d) d1 = 5,8 × 102 m e d2 = 7,8 × 102 m. e) d1 = 7,8 × 102 m e d2 = 5,8 × 102 m.
Considerando-se que o módulo da aceleração da gravidade é igual 10 m/s2, cos37° = 0,8, sen37° = 0,6 e que o corpo desliza horizontalmente com velocidade constante, é correto afirmar que o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície horizontal é igual a a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,7 e) 0,8 04. (IF PE) Um estudante do campus Recife do IFPE faz uso de uma cadeira de rodas. Ele pretende descer a rampa de acesso ao estacionamento e nota que ela tem 1,5 m de altura e 2,5 m de comprimento. Ele percebe que está chovendo e, quando está no topo da rampa, trava as rodas da sua cadeira. Ela, então, escorrega sobre a rampa até atingir a sua base. Sabendo-se que o coeficiente de atrito dinâmico de escorregamento entre as rodas da cadeira e a rampa é 0,5 e a aceleração da gravidade local é 10 m/s2, a aceleração do conjunto (estudante + cadeira de rodas) durante a descida é, em m/s2, igual a:
02. (Puc Campinas SP) Para se calcular o coeficiente de atrito dinâmico entre uma moeda e uma chapa de fórmica, a moeda foi colocada para deslizar pela chapa, colocada em um ângulo de 37° com a horizontal.
Adote g = 10 m/s2, sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80. Nessas condições, o coeficiente de atrito dinâmico entre as superfícies vale a) 0,15. c) 0,25. e) 0,40. b) 0,20. d) 0,30. 03. (UEFS BA) Segundo Newton, a única propriedade dos corpos que interessa é a sua massa, sendo possível descrever as leis da natureza, considerando-se a matéria como constituída por pontos materiais. A figura representa um corpo de massa m = 3,2kg sendo puxado por uma força de intensidade F = 20,0N, que forma um ângulo de 37° com a direção do movimento.
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) 5
05. (Unesp SP) Ao tentar arrastar um móvel de 120 kg sobre uma superfície plana e horizontal, Dona Elvira percebeu que, mesmo exercendo sua máxima força sobre ele, não conseguiria movê-lo, devido à força de atrito entre o móvel e a superfície do solo. Chamou, então, Dona Dolores, para ajudá-la. Empurrando juntas, elas conseguiram arrastar o móvel em linha reta, com aceleração escalar constante de módulo 0,2 m/s2. Sabendo que as forças aplicadas pelas duas senhoras tinham a mesma direção e o mesmo sentido do movimento do móvel, que Dona Elvira aplicou uma força de módulo igual ao dobro da aplicada por Dona Dolores e que durante o movimento atuou sobre o móvel uma força de atrito de intensidade constante e igual a 240 N, é correto afirmar que o módulo da força aplicada por Dona Elvira, em newtons, foi igual a a) 340. b) 60. c) 256. d) 176. e) 120.
153
B13 Força de atrito
Foi possível medir que a moeda, partindo do repouso, deslizou 2,0 m em um intervalo de tempo de 1,0 s, em movimento uniformemente variado.
Física
06. (UFSC) Um professor de Física realiza um experimento sobre dinâmica para mostrar aos seus alunos. Ele puxa um bloco de 400 kg a partir do repouso, aplicando sobre a corda uma força constante de 350 N, como mostra a figura abaixo. O sistema é constituído por fios inextensíveis e duas roldanas, todos de massa desprezível. Existe atrito entre a superfície horizontal e o bloco. Os coeficientes de atrito estático e de atrito cinético são 0,30 e 0,25, respectivamente.
Com base no que foi exposto, é CORRETO afirmar que: 09 01. a força de tração no fio ligado ao bloco é de 1400 N. 02. o bloco adquire uma aceleração de 2,0 m/s2. 04. apenas três forças atuam sobre o bloco: o peso, a força de atrito e a tração. 08. a força resultante sobre o bloco é de 400 N. 16. a força mínima que o professor deve aplicar sobre a corda para movimentar o bloco é de 290 N.
B13 Força de atrito
07. (UFPR) O sistema representado na figura abaixo corresponde a um corpo 1, com massa 20 kg, apoiado sobre uma superfície plana horizontal, e um corpo 2, com massa de 6 kg, o qual está apoiado em um plano inclinado que faz 60° com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre cada um dos corpos e a superfície de apoio é 0,1. Uma força F de 200 N, aplicada sobre o corpo 1, movimenta o sistema, e um sistema que não aparece na figura faz com que a direção da força F seja mantida constante e igual a 30° em relação à horizontal. Uma corda inextensível e de massa desprezível une os dois corpos por meio de uma polia. Considere que a massa e todas as formas de atrito na polia são desprezíveis. Também considere, para esta questão, a aceleração gravitacional como sendo de 10 m/s2 e o cos 30° igual a 0,87. Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta a tensão na corda que une os dois corpos.
a) 12,4 N. b) 48,4 N. c) 62,5 N. 154
d) 80,3 N. e) 120,6 N.
08. (Acafe SC) O tratamento de tração é a aplicação de uma força de tração sobre uma parte do corpo. A tração ainda é usada principalmente como uma prescrição em curto prazo até que outras modalidades, como a fixação externa ou interna, sejam possíveis. Isso reduz o risco da síndrome do desuso. Seja um paciente de massa 50 kg submetido a um tratamento de tração como na figura abaixo, que está deitado em uma cama onde o coeficiente de atrito entre a mesma e o paciente é µ = 0,26.
Sabendo-se que o ângulo entre a força de tração e a horizontal é 30°, a alternativa correta que apresenta a máxima massa, em kg, que deve ser utilizada para produzir tal força de tração sem que o paciente se desloque em cima da cama é: a) 25 b) 13 c) 10 d) 50 09. (Enem MEC) Os freios ABS são uma importante medida de segurança no trânsito, os quais funcionam para impedir o travamento das rodas do carro quando o sistema de freios é acionado, liberando as rodas quando estão no limiar do desliza mento. Quando as rodas travam, a força de frenagem é governada pelo atrito cinético. As representações esquemáticas da força de atrito fat entre os pneus e a pista, em função da pressão p aplicada no pedal de freio, para carros sem ABS e com ABS, respectivamente, são:
FRENTE
B
FÍSICA
MÓDULO B14
FORÇAS EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
ASSUNTOS ABORDADOS nn Forças em trajetórias curvilíneas
Força resultante centrípeta
nn Força resultante centrípeta
Força centrípeta é a força resultante que puxa o corpo para o centro da trajetória em um movimento curvilíneo ou circular. A força centrípeta não provoca variação no módulo do vetor velocidade. Sua função é simplesmente provocar variação na direção do vetor velocidade.
nn Força resultante tangencial nn Força resultante total
Objetos que se deslocam em movimento retilíneo uniforme possuem velocidade modular constante. Entretanto, um objeto que se desloca em curva, mesmo com o valor da velocidade constante, possui uma variação na direção do movimento. Como a velocidade é um vetor de módulo, direção e sentido, uma alteração na direção implica uma mudança no vetor velocidade. A razão dessa mudança na velocidade é a aceleração centrípeta.
Como o módulo da força resultante é dado pela fórmula: FR = m.a (Segunda Lei de Newton), a aceleração, nesse caso particular, corresponde à aceleração centrípeta cujo módulo é dado pela fórmula: aC =
v2 R
Temos que o módulo da força centrípeta pode ser calculado como: = FC m.aC nn m
⇒
FC =
m.v2 R
é a massa em quilogramas (kg).
nn v
é o módulo do vetor velocidade em metros por segundo (m/s).
nn R
é o raio da trajetória em metros (m).
n n FC
é o módulo da força centrípeta.
Em todo movimento circular existe uma força resultante na direção radial que atua como força centrípeta, de modo que a força centrípeta não existe por si só. Por exemplo, o atrito entre o solo e o pneu do carro faz o papel da força centrípeta quando o carro faz curvas. A força gravitacional faz o mesmo papel no movimento de satélites em torno da Terra. 155
Física
Observe que no ponto A o movimento é circular acelerado porque os vetores força tangencial e velocidade têm a mesma direção e o mesmo sentido. Já no ponto B o movimento é circular e retardado porque os vetores força tangencial e velocidade têm sentidos opostos.
Força resultante total
Força resultante tangencial A força tangencial tem por função variar o módulo do vetor velocidade, mas ela não interfere na direção desse vetor. Sua direção é sempre tangente à trajetória, isto é, a força tangencial tem a mesma direção do vetor velocidade.
A força resultante total ( FR ) que atua em uma partícula descrevendo uma curva é obtida por meio da soma vetorial entre a resultante centrípeta ( FC ) e a força resultante tan gencial ( FT ). Como as duas componentes são perpendiculares entre si, o módulo da resultante total das forças é obtido utilizando o Teorema de Pitágoras.
Veja a figura:
Se o movimento for acelerado, a força tangencial terá o mesmo sentido do vetor velocidade; caso o movimento seja retardado, ela terá sentido contrário ao vetor velocidade. Na figura a seguir, estão representados os vetores força tangencial e força centrípeta nos pontos A e B.
Vetorialmente, temos: FR= FC + FT FR2= FC2 + FT2
Em módulo, temos:
EXEMPLO
B14 Forças em trajetórias curvilíneas
Uma partícula de massa 6,0 kg realiza um movimento circular e uniforme, no sentido horário, ao longo de uma circunferência contida num plano vertical de raio igual a 20 m. Sua velocidade escalar é igual a 10 m/s e, no local, g = 10 m/s2. No ponto A indicado na figura, além da força peso P , atua na partícula somente outra força F . Caracterize F , calculando seu módulo e representando graficamente sua direção e sentido.
de mesmo valor. Veja a figura:
Em módulo, temos: FY = P= 60N mv2 6 × 100 FX = FC = = R 20 RESOLUÇÃO Como o movimento é uniforme, a força resultante é centrípeta, logo existe uma componente da força F contrária ao peso da partícula e
156
⇒ FX = 30 N
O módulo da força F é obtido aplicando o Teorema de Pitágoras. F2 = FX2 + FY2 = F 4500 2
⇒
F2 = 302 + 602
⇒= F
4500
⇒ F2 = 900 + 3600 ⇒= F 67,1 N
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Exercícios de Fixação 01. (Enem MEC) Uma criança está em um carrossel em um parque de diversões. Esse brinquedo descreve um movimento circular com intervalo de tempo regular. A força resultante que atua sobre a criança a) é nula. b) é oblíqua à velocidade do carrossel. c) é paralela à velocidade do carrossel. d) está direcionada para fora do brinquedo. e) está direcionada para o centro do brinquedo.
O correto esquema de forças atuantes sobre a criança para um observador parado no chão fora do tablado é: (Dados: F: força do tablado; N: reação normal do tablado; P: peso da criança)
02. (Unifor CE) O lançamento do martelo é esporte olímpico praticado por ambos os sexos. O recorde mundial deste esporte foi batido pela alemã Betty Heidler em 2011 em Stuttgart. O esporte consiste em fazer girar um peso esférico (martelo) amarrado em uma corrente, lançando-o para alcançar certa distância. O recorde que pertence a esta atleta é de 79,42m. Ao largar o martelo, este segue uma trajetória retilínea, tangente ao círculo do movimento inicial. Desprezando o atrito com o ar, a força resultante que atua no martelo, no instante que é abandonado, ao deixar o círculo, é:
04. (UECE) Um carro trafega com velocidade constante, em módulo, em uma estrada onde um trecho pode ser aproximado por uma circunferência no plano vertical, conforme a figura a seguir.
a) A força peso e a força centrípeta. b) A força peso e a força centrífuga. c) Somente a força peso. d) Somente a força centrípeta. e) Somente a força centrífuga. 03. (FGV MG) Uma criança está parada em pé sobre o tablado circular girante de um carrossel em movimento circular e uniforme, como mostra o esquema (uma vista de cima e outra de perfil).
Ao longo do trecho em que essa aproximação é válida, a soma de todas as forças atuando no carro, incluindo o vetor força normal da estrada sobre o carro e o vetor força peso do carro, é um vetor que aponta na direção a) tangente à trajetória e tem módulo constante. b) do centro da trajetória e tem módulo variável. c) do centro da trajetória e tem módulo constante. d) tangente à trajetória e tem módulo variável. 05. (Unicastelo SP) Em uma visita a um museu, um garotinho se encanta com um aparelho que até então não conhecia: um toca-discos de vinil. Enquanto o disco girava no apare-
157
B14 Forças em trajetórias curvilíneas
(Fonte: http://favoritos2012.blogspot.com.br/2012/09/ atletismo-f-lancamento-de-martelo.html)
Física
lho, o garoto colocou sobre ele sua borracha escolar e ficou observando-a girar junto com o disco, sem que escorregasse em relação a ele.
(www.somvintage.com. Adaptado.)
Sendo m = 0,02 kg a massa da borracha, r = 0,12 m o raio da trajetória circular que ela percorre e considerando a frequência de rotação do disco constante e igual a 30 rpm, é correto afirmar que o módulo da força de atrito, em newtons, entre a borracha e a superfície do disco é igual a
B14 Forças em trajetórias curvilíneas
a) 0,0030 ⋅π2. b) 0,0036 ⋅π2. c) 0,0024 ⋅π2. d) 0,0042 ⋅π2. e) 0,0048 ⋅π2. 06. (Escs DF) No processo de centrifugação, uma amostra é submetida a um movimento de rotação a fim de se promover a separação entre uma fase sólida e uma fase líquida, ou dos componentes líquidos imiscíveis de diferentes densidades, via sedimentação. Partículas insolúveis em uma amostra depositam-se no fundo do tubo da centrífuga, restando a fase líquida por cima do sedimento, que é então aspirado e retirado do tubo. Esse processo tem diferentes aplicações laboratoriais, industriais e domésticas. Como exemplo, ele é usado na separação dos elementos figurados do sangue e o plasma sanguíneo; e na separação de membranas celulares (insolúveis em água) e citoplasma (solvente celular aquoso), após ruptura de células. O funcionamento das centrífugas fundamenta-se em uma grandeza denominada força centrífuga, uma pseudoforça ou força inercial, fictícia, que não existe como força real, ou seja, como expressão da interação entre dois elementos físicos. O termo ultracentrifugação aplica-se quando as velocidades alcançadas pelos rotores nas centrífugas são muito elevadas, obtendo-se acelerações de até 500 000 g, em que g é a aceleração da gravidade. 158
Com base nessas informações e acerca de assuntos a elas relacionados, assinale a opção correta. a) A força dita centrífuga aparece quando o sistema de referência tem um movimento de rotação. b) A força centrípeta que age em um objeto em movimento circular e uniforme tem sempre a direção do vetor velocidade. c) É possível ocorrer um movimento curvilíneo na ausência de forças. d) Uma partícula de massa igual a um grama, quando submetida a uma aceleração centrípeta de 500 000 g, estará sujeita a uma força de módulo igual a 500 N. 07. (IF GO) Podemos dizer que uma partícula se encontra em movimento quando suas posições sofrem alterações no decorrer do tempo em relação a um dado referencial. Estando em movimento, ainda podemos dizer que a partícula pode estar em movimento uniforme ou em movimento variado. Acerca de um satélite geoestacionário que se encontra sobre a linha do equador terrestre, podemos afirmar corretamente que a) não possui aceleração pelo fato de sua velocidade ter módulo constante. b) a aceleração tangencial é nula e a aceleração centrípeta dependerá da altitude que se encontrar em relação à superfície da Terra. c) possui aceleração escalar constante e diferente de zero. d) sua aceleração resultante é a própria aceleração tangencial. e) a aceleração vetorial desse satélite não pode ser nula pois o satélite deverá possuir velocidade tangencial muito grande. 08. (Unesp SP) A figura representa, de forma simplificada, o autódromo de Tarumã, localizado na cidade de Viamão, na Grande Porto Alegre. Em um evento comemorativo, três veículos de diferentes categorias do automobilismo, um kart (K), um fórmula 1 (F) e um stock-car (S), passam por diferentes curvas do circuito, com velocidades escalares iguais e constantes.
As tabelas 1 e 2 indicam, respectivamente e de forma comparativa, as massas de cada veículo e os raios de curvatura das curvas representadas na figura, nas posições onde se encontram os veículos.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Tabela 1
Veículo
Massa
kart
M
fórmula 1
3M
stock-car
6M
Curva
Raio
Tala Larga
2R
do Laço
R
Um
3R
Tabela 2
a) 2,2 b) 4,8 c) 8,4
d) 12,0 e) 14,4
10. (Uea AM) Um carro pode fazer uma curva plana e horizontal segundo os dois traçados mostrados na figura, vistos de cima. Os dois traçados são arcos de circunferência, sendo que no traçado 2 o raio de curvatura da curva é quatro vezes maior do que pelo traçado 1.
Sendo FK, FF e FS os módulos das forças resultantes centrípetas que atuam em cada um dos veículos nas posições em que eles se encontram na figura, é correto afirmar que a) FS< FK < FF. d) FF< FS< FK. b) FK < FS< FF. e) FS< FF< FK. c) FK< FF< FS. 09. (UEFS BA) Quando um motorista vira o volante, ao entrar em uma curva, aparece como reação da estrada sobre os pneus uma força de atrito F, dirigida para o centro da curva. Essa força de atrito é a força centrípeta desse movimento. Um carro, de massa, uma tonelada, vai descrever uma curva, cujo raio mede 30 metros, em uma estrada de coeficiente de atrito igual a 0,48. Considerando-se o módulo da aceleração da gravidade igual a 10,0 m/s2, o valor máximo da velocidade que o automóvel poderá desenvolver, nessa curva, em m/s, sem derrapar, é igual a
(ligaportuguesalfs.forumeiros.com. Adaptado.)
Sendo V1 e V2 as velocidades de um mesmo carro nos traçados 1 e 2, respectivamente, a condição para que as resultantes centrípetas sobre ele nos dois traçados sejam iguais em módulo, é a) V1 = 2V2. d) V2 = 4V1. b) V2 = 2V1. e) V1 = 4V2. c) V2 = V1.
Exercícios Complementares ele mantém constante a velocidade adquirida até o ponto D; de D até E, ele reduz uniformemente a velocidade até parar em E. O valor absoluto de sua aceleração vetorial está qualitativa e corretamente representado na alternativa:
B14 Forças em trajetórias curvilíneas
01. (FGV MG) Um veículo desloca-se por uma pista horizontal, retilínea nos trechos AB, CD e DE, e curvilínea no trecho BC, este em forma de quarto de circunferência, como ilustra a figura.
Partindo do repouso no ponto A, o referido veículo aumenta sua velocidade uniformemente até o ponto B; a partir de B,
159
Física
02. (Unimontes MG) Um carro de massa m = 8 × 102 kg move-se com movimento circular uniforme (MCU) em uma pista circular com raio de 0,5 km. Se em duas voltas o carro gasta 80 segundos, a força de atrito dos pneus que o mantém preso à pista deve valer, em Newtons: a) π2/103. b) π2.52. c) π2.103. d) π2/52.
05. (UFSC) O ciclismo praticado em uma pista oval e coberta, mais conhecida como velódromo, é uma das modalidades de competição dos Jogos Olímpicos. Vamos considerar um velódromo com pista circular de madeira, que possua uma inclinação de 45° com a horizontal e raio de curvatura de 18,0 m na parte interna e 24,0 m na parte externa. A circunferência da pista varia de 113,1 m na parte interna e 150,8 m na parte externa. Admita que a massa do conjunto bicicleta + atleta é de 80 kg. (Dados: sen45° = cos45° = 0,7; tan45° = 1,0)
03. (Uncisal AL) Uma das recomendações contidas nos manuais de direção é, em caso de chuva, evitar frear em curvas a ponto de travar as rodas, pois esse procedimento pode causar a derrapagem do automóvel e, consequentemente, acidentes graves. Do ponto de vista científico, a derrapagem devido às condições descritas ocorre porque a) o travamento das rodas faz o atrito superar a força centrípeta, reduzindo a capacidade do automóvel de realizar uma curva. b) a frenagem reduz a velocidade do automóvel, reduzindo a capacidade da força centrípeta de realizar uma curva. c) a fina camada de água na pista provoca uma redução da força normal, implicando a redução da força centrípeta. d) a pista molhada e o travamento de roda reduzem o atrito estático, impedindo a realização da curva. e) o travamento das rodas faz o atrito estático responsável pela força centrípeta parar de atuar.
B14 Forças em trajetórias curvilíneas
04. (Unesp SP) Em um show de patinação no gelo, duas garotas de massas iguais giram em movimento circular uniforme em torno de uma haste vertical fixa, perpendicular ao plano horizontal. Duas fitas, F1 e F2, inextensíveis, de massas desprezíveis e mantidas na horizontal, ligam uma garota à outra, e uma delas à haste. Enquanto as garotas patinam, as fitas, a haste e os centros de massa das garotas mantêm-se em um mesmo plano perpendicular ao piso plano e horizontal.
Considerando as informações indicadas na figura, que o módulo da força de tração na fita F1 é igual a 120 N e desprezando o atrito e a resistência do ar, é correto afirmar que o módulo da força de tração, em newtons, na fita F2 é igual a a) 120. b) 240. c) 60. d) 210. e) 180. 160
Disponível em: <http://pan.uol.com.br/2011/ultimas-noticias/2011/10/14/ cbat-confirma-doping-e-suspende-atleta-dos-10-mil-metros-do-pan.htm>. Acesso em: 13 ago. 2012.
Com base no que foi exposto, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 42 01. A velocidade angular do ciclista que corre na parte externa da pista é sempre maior do que a do ciclista que corre na parte interna da pista. 02. Largando alinhados e no mesmo instante, o ciclista que corre na parte externa da pista deve possuir uma velocidade linear 1,33 vezes maior do que a do ciclista que corre na parte interna da pista, para não ficar para trás. 04. Caso a pista esteja escorregadia (sem atrito), a sua inclinação permitirá que o ciclista faça a curva, na parte interna, com uma velocidade de 180 m/s. 08. Supondo que um ciclista faça três voltas com velocidade linear de módulo constante, podemos afirmar que ele está sob a ação de uma força resultante com módulo diferente de zero. 16. A inclinação das curvas serve para garantir que a força centrípeta que atua sobre o ciclista seja paralela à pista, permitindo que ele faça as curvas mais rapidamente. 32. Ao final de uma prova e analisando o deslocamento do ciclista que finalizou a prova, podemos afirmar que o seu deslocamento foi zero. 06. (FGV MG) A figura ilustra os vetores velocidade (v) e acele ração resultante (a) de um veículo que passa pelo ponto S da estrada PR.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
08. (FMJ SP) Após formar um disco com a massa, o pizzaiolo arremessa-o verticalmente para cima. Enquanto o disco se movimenta verticalmente, gira horizontalmente com velocidade angular constante, ação que permitirá que ele aumente seu diâmetro.
07. (Enem MEC) Partículas suspensas em um fluido apresentam contínua movimentação aleatória, chamado movimento browniano, causado pelos choques das partículas que compõem o fluido. A ideia de um inventor era construir uma série de palhetas, montadas sobre um eixo, que seriam postas em movimento pela agitação das partículas ao seu redor. Como o movimento ocorreria igualmente em ambos os sentidos de rotação, o cientista concebeu um segundo elemento, um dente de engrenagem assimétrico. Assim, em escala muito pequena, este tipo de motor poderia executar trabalho, por exemplo, puxando um pequeno peso para cima. O esquema, que já foi testado, é mostrado a seguir.
Inovação Tecnológica. Disponível em: http://www.inovacaotecnologica. com.br. Acesso em: 22 jul. 2010 (adaptado).
A explicação para a necessidade do uso da engrenagem com trava é: a) o travamento do motor, para que ele não se solte aleatoriamente. b) a seleção da velocidade, controlada pela pressão nos dentes da engrenagem. c) o controle do sentido da velocidade tangencial, permitindo, inclusive, uma fácil leitura do seu valor. d) a determinação do movimento, devido ao caráter aleatório, cuja tendência é o equilíbrio. e) a escolha do ângulo a ser girado, sendo possível, inclusive, medi-lo pelo número de dentes da engrenagem.
Está correto o contido em a) I, apenas. b) III, apenas. c) I e II, apenas. d) I e III, apenas. e) I, II e III. 09. (Unesp SP) Curvas com ligeiras inclinações em circuitos automobilísticos são indicadas para aumentar a segurança do carro a altas velocidades, como, por exemplo, no Talladega Superspeedway, um circuito utilizado para corridas promovidas pela NASCAR (NationalAssociation for Stock Car Auto Racing). Considere um carro como sendo um ponto material percorrendo uma pista circular, de centro C, inclinada de um ângulo α e com raio R, constantes, como mostra a figura, que apresenta a frente do carro em um dos trechos da pista.
Se a velocidade do carro tem módulo constante, é correto afirmar que o carro a) não possui aceleração vetorial. b) possui aceleração com módulo variável, direção radial e no sentido para o ponto C. c) possui aceleração com módulo variável e tangente à trajetória circular. d) possui aceleração com módulo constante, direção radial e no sentido para o ponto C. e) possui aceleração com módulo constante e tangente à trajetória circular.
161
B14 Forças em trajetórias curvilíneas
Esse veículo, nesse instante, está descrevendo um movimento a) curvilíneo e acelerado. d) retilíneo e acelerado. b) curvilíneo e retardado. e) retilíneo e retardado. c) curvilíneo e uniforme.
Analise, segundo os princípios da mecânica newtoniana: I. a única aceleração que atua sobre o disco de pizza é a aceleração da gravidade; II. o diâmetro do disco aumenta devido a uma força chamada força centrífuga; III. conforme o disco aumenta seu diâmetro, a velocidade escalar de um ponto em seu extremo aumenta.
FRENTE
B
FÍSICA
MÓDULO B15
ASSUNTOS ABORDADOS nn Aplicações da força centrípeta nn Pêndulo simples nn Globo da morte nn Lombada
APLICAÇÕES DA FORÇA CENTRÍPETA Pêndulo Simples Um pêndulo simples é constituído por uma massa m, que oscila em um plano vertical, presa à extremidade de um fio de comprimento L.
nn Depressão
Os pontos A e B são os extremos e o ponto M é o ponto de equilíbrio. Em A e B a velocidade da massa pendular é momentaneamente igual a zero, e, em M, a velocidade é máxima. Em qualquer posição, agem somente duas forças sobre a massa pendular: o peso da massa pendular e a tração no fio. Ao ser abandonado do ponto A, o corpo de massa m é acelerado até atingir o ponto M, em que a velocidade é máxima; em seguida, ele é desacelerado, isto é, perde velocidade, até atingir o ponto B, onde inicia o retorno. Representando o diagrama de forças, nos pontos A, M e B, temos:
A intensidade da força peso é a mesma em todos os pontos, mas, a intensidade da força de tração depende do ponto considerado. Vamos calcular a tração máxima que acontece quando a massa pendular está passando pela posição M. A força resultante no ponto M é centrípeta, portanto temos: FC =
162
mv2 R
⇒
T= -P
mv2 L
⇒
mv2 T - mg = L
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Globo da morte O Globo da Morte consiste em uma espécie de jaula em forma de esfera de aço onde motoqueiros, em número de um a cinco, andam com suas motos por dentro dele. Essa é uma atração muito usada em circos. O Globo da Morte foi idealizado nos USA por um americano em 1904. Guido Conci, um engenheiro Italiano, trouxe a ideia para o Brasil e, após fazer o projeto, construiu sozinho o primeiro Globo em Petrópolis/RJ nos anos 30. Eugenie Hundadze Conci, sua esposa, foi a primeira globista e também a primeira mulher a realizar acrobacias em um globo. Ela sofreu uma queda, quando de sua primeira gravidez e perdeu os gêmeos; decidiu então não mais se arriscar na atração. Assim, Guido Conci passou a treinar globistas para se apresentarem no Globo da Morte. Dessa forma, conseguiu comercializar a atração em diversos países. https://pt.wikipedia.org/wiki/Globo_da_morte
B15 Aplicações da força centrípeta
No ponto mais alto da trajetória, as duas forças, peso e normal, estão dirigidas para baixo.
Fonte: Shutterstock.com
Desprezando as forças de atrito, atuam na motocicleta, em cada posição, o peso total (motocicleta + motociclista), ( P ), e a reação normal, ( N ), do globo. A força normal aparece como reação da compressão que a motocicleta exerce sobre o globo, em virtude da sua tendência de se mover em linha reta.
163
Física
No ponto mais baixo da trajetória, a força normal aponta para cima e o peso aponta para baixo.
A lombada impõe ao veículo uma trajetória curva e, consequentemente, uma força resultante centrípeta.
A intensidade da força resultante centrípeta ( FC ) é dada por: A força resultante centrípeta que atua no conjunto é a soma vetorial das forças normal e peso. O seu módulo é calculado da seguinte maneira: Ponto mais alto: FC =+ N P
2
mv N P =+ R
⇒
⇒
FC = N-P
⇒
mv N - mg = R
mv T - mg = L
N ⇒ =
N= 0
⇒
2 = vmin Rg
⇒
⇒
mv2 mg - N = R
N ⇒ =
mv2 + mg R
Existe uma velocidade máxima para o veículo não perder contato com a pista, o que acontece quando a força de contato se anula. Essa velocidade é calculada da seguinte forma:
2
mv + mg R
Existe uma velocidade mínima para a motocicleta completar o looping, que acontece quando a força de contato entre a moto e o globo se anula (iminência de queda). 2 mvmin 0= - mg R
⇒
De acordo com a expressão acima, quanto maior a velocidade do veículo ao passar pelo ponto mais alto da lombada, menor a intensidade da força normal e, consequentemente, menor a força de contato entre o veículo e a pista.
2
Ponto mais baixo: 2
FC = P -N
N =0
⇒
0 =mg -
2 = vmax Rg
2 mvmin = mg R
2 mvmax R
⇒
⇒
2 mvmax =mg R
vmax = Rg
Depressão
vmin = Rg
Lombada
Fonte: Shutterstock.com
B15 Aplicações da força centrípeta
Na depressão, a força resultante centrípeta aponta para cima, isto é, no sentido do centro da curva.
Trata-se de um dispositivo desenvolvido na Inglaterra, tornando-se o equipamento redutor de velocidade mais utilizado no Brasil, devido à eficiência com que o mesmo alcança seu objetivo. 164
O módulo da força centrípeta, nesse caso, é calculado de modo semelhante ao Globo da Morte no ponto mais baixo. Portanto, temos: FC = N-P
= N
⇒
mv2 N - mg = R
mv2 + mg R
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
EXEMPLO Uma partícula de massa m = 0,5 kg está presa na extremidade de um fio inextensível de comprimento L = 1,0 m, formando um pêndulo simples descrito na figura abaixo. A partícula está em repouso e é solta, partindo do ponto inicial A na horizontal. Considere que a aceleração local da gravidade vale 10 m/s2.
RESOLUÇÃO a) Por meio da Equação de Torricelli, podemos calcular a velocidade da massa pendular ao passar pelo ponto B.
= v2 2gL (= ∆S L) v2= 2.10.1
⇒
v=
20
⇒
v= 2 5 m/s
b) Representando as forças que atuam na massa pendular no ponto B, temos: T -P = Fc
a) Calcule a velocidade da partícula no ponto B, ponto mais baixo da sua trajetória. b) Calcule a força de tensão na corda, quando a partícula passa pelo ponto B.
mv2 T = + mg (R = L) R 0,5.20 = + 0,5.10 T 1 T =10 + 5 ⇒ T =15 N
Exercícios de Fixação
a) vertical e tem maior módulo. b) horizontal e tem menor módulo. c) horizontal e tem maior módulo. d) vertical e tem menor módulo. 02. (Uepa PA) Um ônibus do sistema de transporte BRT (Bus Rapid Transit) da cidade de Belém-PA percorre um trecho retilíneo da Av. Almirante Barroso com aceleração constante. No interior do ônibus, há um passageiro que, para escutar suas músicas preferidas, pendura seu celular com um fio na barra localizada no teto do ônibus. Outro passageiro observa a cena e verifica que o fio está esticado e inclinado em relação à vertical. Considerando o fio que prende o celular como ideal, analise as afirmativas abaixo: I. Se a velocidade do ônibus fosse constante, o fio estaria alinhado com a direção vertical. II. A única força que age sobre o celular durante a situação descrita é o peso. III. A variação de velocidade do ônibus é diretamente proporcional à tangente do ângulo de inclinação do fio. IV. O peso do celular é igual à força aplicada pelo fio à barra.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: a) I e II c) II e III e) II e IV b) I e III d) I e IV 03. (Puc Campinas SP) Um motociclista em sua moto descreve uma curva num plano vertical no interior de um globo da morte num espetáculo de circo. O raio da trajetória é de 4,9 m e adota-se g = 10 m/s2. A mínima velocidade para a moto não perder contato com a pista é, em m/s, a) 4,0. c) 6,0. e) 5,0. b) 8,0. d) 7,0. 04. (Fuvest SP) O pêndulo de um relógio é constituído por uma haste rígida com um disco de metal preso em uma de suas extremidades. O disco oscila entre as posições A e C, enquanto a outra extremidade da haste permanece imóvel no ponto P. A figura abaixo ilustra o sistema. A força resultante que atua no disco quando ele passa por B, com a haste na direção vertical, é
B15 Aplicações da força centrípeta
01. (UECE) Considere um pêndulo construído com uma esfera de 1 kg presa ao teto por um fio inextensível, completamente flexível e com massa desprezível. Note que essa massa se desloca dentro de um fluido, o ar, que exerce na esfera uma força de arrasto em sentido oposto ao seu vetor velocidade. De modo simplificado, a força de arrasto na esfera pode ser descrita como F = -bV , em que V é o vetor velocidade da massa e b uma constante positiva. Assim, é correto afirmar que no ponto mais baixo da trajetória a força de arrasto é
a) nula. b) vertical, com sentido para cima. c) vertical, com sentido para baixo. d) horizontal, com sentido para a direita. e) horizontal, com sentido para a esquerda. Note e adote: g é a aceleração local da gravidade.
165
Física
05. (Ibmec RJ) Um avião de acrobacias descreve a seguinte trajetória descrita na figura abaixo:
Ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória a força exercida pelo banco da aeronave sobre o piloto que a comanda é: a) igual ao peso do piloto. b) maior que o peso do piloto. c) menor que o peso do piloto. d) nula e) duas vezes maior do que o peso do piloto. 06. (Udesc SC) Considere o “looping” mostrado na figura 2, constituído por um trilho inclinado seguido de um círculo. Quando uma pequena esfera é abandonada no trecho inclinado do trilho, a partir de determinada altura, percorrerá toda a trajetória curva do trilho, sempre em contato com ele.
Figura 2
B15 Aplicações da força centrípeta
Sendo v a velocidade instantânea e a a aceleração centrípeta da esfera, o esquema que melhor representa estes dois vetores no ponto mais alto da trajetória no interior do círculo é:
166
07. (UFT) Durante uma apresentação circense um artista se apresenta com sua motocicleta em um globo da morte de raio R. Em um dado instante da apresentação a motocicleta passa pelo ponto mais alto do globo, conforme ilustrado na figura. Para não cair verticalmente a motocicleta deve possuir uma velocidade mínima v. Considere M a massa total (motociclista+artista), Fn a força normal e g a aceleração da gravidade.
Desprezando o atrito dos pneus da motocicleta com o globo qual é a expressão CORRETA da velocidade mínima? a)
Rg
d)
(Fn + Mg)R M
b)
MRg
e)
(Fn - Mg)R M
c)
Rg M
08. (Puc RS) Imponderabilidade é a sensação de ausência de peso. Essa sensação também ocorre quando a aceleração do corpo é a aceleração da gravidade, como numa queda livre, e não necessariamente pela ausência de gravidade, como se poderia imaginar. A imponderabilidade é sentida pelos astronautas quando em órbita numa estação espacial ou até mesmo por você, quando o carro em que você está passa muito rápido sobre uma lombada. A imponderabilidade pode ser sentida também pelos tripulantes de um avião que faça manobras especialmente planejadas para tal. A figura a seguir mostra a trajetória de um avião durante uma manobra planejada para produzir a sensação de imponderabilidade na qual se pretende que, em um determinado ponto da trajetória, a força resultante seja centrípeta e proporcionada pelo peso. Qual deve ser a velocidade do avião, em módulo, para que no ponto P indicado na trajetória os passageiros fiquem em queda livre e, portanto, sintam-se imponderáveis?
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
a) 2 b) 4 c) 200 d) 400 e) 20 000
a) v = 2gR b) v = gR c) v = gR d) v = g e) v = g / R 09. (Ufal AL) Um carro passa por uma elevação na pista com velocidade de módulo constante e igual a 10 km/h. A elevação corresponde a um arco de uma circunferência de raio R = 5 m, centrada no ponto O (ver figura). Considerando o carro como uma partícula material, qual a sua aceleração centrípeta, em km/h2, sobre a elevação?
10. (Puc SP) Um automóvel de massa 800 kg, dirigido por um motorista de massa igual a 60 kg, passa pela parte mais baixa de uma depressão de raio = 20 m com velocidade escalar de 72 km/h. Nesse momento, a intensidade da força de reação que a pista aplica no veículo é (Adote g = 10m/s2).
a) 231 512 N b) 215 360 N c) 1 800 N d) 25 800 N e) 24 000 N
Exercícios Complementares 02. (IME RJ) Uma pedra está presa a um fio e oscila da maneira mostrada na figura abaixo. Chamando T a tração no fio e θ o ângulo entre o fio e a vertical, considere as seguintes afirmativas:
I. II. a)
mrg e mr
d)
rg e nula
b)
rg e mg
e)
rg e g
c)
mr r e g g
III.
O módulo da força resultante que atua na pedra é igual a Tsenθ. O módulo da componente, na direção do movimento, da força resultante que atua na pedra é máximo quando a pedra atinge a altura máxima. A componente, na direção do fio, da força resultante que atua na pedra é nula no ponto em que a pedra atinge a altura máxima.
167
B15 Aplicações da força centrípeta
01. (Puc SP) Considere que, em uma montanha russa de um parque de diversões, os carrinhos do brinquedo, de massa total m, passem pelo ponto mais alto do loop, de tal forma que a intensidade da reação normal nesse instante seja nula. Adotando como o raio do loop e g a aceleração da gravidade local, podemos afirmar que a velocidade e a aceleração centrípeta sobre os carrinhos na situação considerada valem, respectivamente,
Física
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): a) I e II, apenas b) I e III, apenas c) II e III, apenas d) I, II e III e) II, apenas 03. (UECE) Uma partícula de massa m se desloca ao longo de um trilho em forma de círculo vertical de raio r. Despreze os atritos e considere o módulo da aceleração da gravidade igual a g. Em um ponto em que o vetor velocidade esteja na direção vertical e com módulo v, a força que o trilho exerce sobre a partícula é a) mv2/r
a) 25 b) 5 c) 3,5 d) 40 e) 10 06. (FGV MG) Inicialmente, Mariana foi se divertir no balanço. Solta, do repouso, de uma certa altura, ela oscilou entre dois extremos elevados, a partir dos quais iniciou o retorno até o extremo oposto. Imagine-a no extremo da direita como na figura.
b) m(v2/r + g) 1 c) mv2/r 2 1 d) m(v2/r + g) 2 04. (Puc Campinas SP) Num trecho retilíneo de uma pista de automobilismo há uma lombada cujo raio de curvatura é de 50 m. Um carro passa pelo ponto mais alto da elevação com velocidade v, de forma que a interação entre o veículo e o solo (peso mg aparente) é neste ponto. Adote g = 10 m/s2. 5
Desconsiderando o seu tamanho, bem como o do balanço, e imaginando apenas um cabo sustentando o sistema, o correto esquema das forças agentes sobre ela nessa posição, em que cada seta representa uma força, é o da alternativa:
Nestas condições, em m/s, o valor de v é a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 05. (UPE) A figura abaixo representa um trecho de uma montanha russa na qual os carrinhos foram projetados para que cada ocupante não experimente uma força normal contra seu assento com intensidade maior do que 3,5 vezes seu próprio peso. Considerando que os carrinhos tenham velocidade de 5 m / s no início da descida e que os atritos sejam desprezíveis, o menor raio de curvatura R que o trilho deve ter no seu ponto mais baixo vale em m
B15 Aplicações da força centrípeta
07. (ITA SP) Um pêndulo simples oscila com uma amplitude máxima de 60° em relação à vertical, momento em que a tensão no cabo é de 10 N. Assinale a opção com o valor da tensão no ponto em que ele atinge sua velocidade máxima. a) 10 N b) 20 N c) 30 N d) 40 N e) 50 N
168
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Sobre o fato, analise as afirmações: I. A força exercida sobre as paredes do globo pela passagem da moto foi a mesma nos pontos A, B, C, e D devido às velocidades terem sido iguais e constantes. II. Em qualquer ponto da trajetória horizontal, o peso conjugado da moto e motociclista é equilibrado pela força centrípeta. III. O valor mínimo da velocidade da moto, necessário para a realização da trajetória vertical, é 5 m/s. IV.
Em relação ao plano horizontal que passa pelo ponto B, a energia mecânica total da moto e do motociclista tem valores iguais, nas trajetórias vertical e horizontal.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): Use, se necessário: aceleração da gravidade 10 m/s2 a) II, apenas b) III, apenas c) II e IV d) II e III e) I e IV 09. (UFPR) Suponha uma máquina de lavar e centrifugar roupa com cuba interna cilíndrica que gira em torno de um eixo vertical. Um observador externo à máquina, cujo referencial está fixo ao solo, acompanha o processo pelo visor da tampa e vê a roupa “grudada” em um ponto da cuba interna, que gira com velocidade angular constante. Se estivesse no interior da máquina, situado sobre a peça de roupa sendo centrifugada, o observador veria essa peça em repouso. De acordo com a mecânica, para aplicar a segunda Lei de Newton ao movimento da roupa no processo de centrifugação, cada observador deve inicialmente identificar o conjunto de forças que atua sobre ela. Com base no texto acima e nos conceitos da Física, considere as seguintes afirmativas:
1. O observador externo à máquina deverá considerar a força peso da roupa, apontada verticalmente para baixo, a força de atrito entre a roupa e a cuba, apontada verticalmente para cima, e a força normal exercida pela cuba sobre a roupa, apontada para o eixo da cuba, denominada de força centrípeta. 2. Um observador que estivesse situado sobre a peça de roupa sendo centrifugada deveria considerar a força peso da roupa, apontada verticalmente para baixo, a força de atrito entre a roupa e a cuba, apontada verticalmente para cima, a força normal exercida pela cuba sobre a roupa, apontada para o eixo da cuba, e também uma outra força exercida pela roupa sobre a cuba, apontada para fora desta, denominada de força centrífuga, necessária para explicar o repouso da roupa. 3. O referencial fixo ao solo, utilizado pelo observador externo à máquina, é chamado de não inercial, e o referencial utilizado pelo observador postado sobre a roupa sendo centrifugada é denominado de inercial. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 10. (Fuvest SP) Para passar de uma margem a outra de um rio, uma pessoa se pendura na extremidade de um cipó esticado, formando um ângulo de 30° com a vertical, e inicia, com velocidade nula, um movimento pendular. Do outro lado do rio, a pessoa se solta do cipó no instante em que sua velocidade fica novamente igual a zero. Imediatamente antes de se soltar, sua aceleração tem a) valor nulo. b) direção que forma um ângulo de 30° com a vertical e módulo 9 m/s2. c) direção que forma um ângulo de 30° com a vertical e módulo 5 m/s2. d) direção que forma um ângulo de 60° com a vertical e módulo 9 m/s2. e) direção que forma um ângulo de 60° com a vertical e módulo 5 m/s2. Note e adote: nn Forças dissipativas e o tamanho da pessoa devem ser ig-
norados. nn A aceleração da gravidade local é g = 10 m/s2. nn sen 30° = cos 60° = 0,5 nn cos 30° = sen 60° = 0,9
169
B15 Aplicações da força centrípeta
08. (UFPA) Em um circo, na apresentação do número conhecido como globo da morte, um motociclista com sua moto descreveu no interior da esfera duas trajetórias circulares de raios 2,5m, sendo uma horizontal e outra vertical, como na figura abaixo, ambas com a mesma velocidade constante.
FRENTE
B
FÍSICA
MÓDULO B16
ASSUNTOS ABORDADOS nn Trabalho de uma força nn Trabalho de uma força constante paralela ao deslocamento nn Trabalho de uma força constante não paralela ao deslocamento nn Trabalho de uma força de módulo variável e paralela ao deslocamento nn Teorema da energia cinética
TRABALHO DE UMA FORÇA A maior parte dos problemas de física que se referem ao movimento dos corpos pode ser resolvida aplicando as Leis de Newton. Mas, em alguns casos, essa resolução se torna muito complicada, por isso, iremos estudar, nesta aula, novas grandezas físicas que facilitarão a resolução de alguns problemas de movimento, são elas: Trabalho e Energia Cinética. Os princípios de Trabalho e Energia são generalizações das leis de Newton e trazem, incorporados, essas leis. A sua aplicação na solução dos problemas geralmente leva a uma grande economia de cálculos algébricos, permitindo soluções rápidas e diretas. Quando um arqueiro realiza trabalho para esticar um arco, este adquire a capacidade de realizar trabalho sobre a flecha. Para erguer o martelo de um bate-estacas é necessário realizar trabalho, e, em consequência, o martelo adquire a capacidade de realizar trabalho sobre uma estaca abaixo, caindo sobre ela.
Em cada caso algo foi ganho. Esse “algo” dado ao objeto capacitou-o a realizar trabalho. Assim, esse “algo” que torna um objeto capaz de realizar trabalho é a energia.
Trabalho de uma força constante paralela ao deslocamento Vejamos a seguinte figura:
A força F é constante e paralela ao deslocamento AB que o corpo executa devido como sendo o produto entre o à ação de F . Definimos trabalho ( τ , letra grega “tau”) módulo da força F e o módulo do deslocamento d , isto é:
τAB = ±F.d Se o vetor deslocamento tiver o mesmo sentido do vetor força, o trabalho será positivo. Nesse caso, dizemos que o trabalho é motor. Se o vetor deslocamento tiver sentido contrário ao do vetor força, o trabalho será negativo. Nesse caso, dizemos que o trabalho é resistente. 170
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
O trabalho de uma força é uma grandeza escalar, embora seja obtido por meio do produto de duas grandezas vetoriais.
O sinal do trabalho, nesse caso, é dado pelo cosseno do ângulo θ.
A unidade SI de medir o trabalho é dada pelo produto da unidade de força pela unidade de deslocamento, isto é: newton x metro (N.m). Essa unidade recebeu o nome de joule (J) em homenagem ao físico britânico James Joule.
A tabela abaixo mostra a relação entre o ângulo θ e o sinal do trabalho. Ângulo
Trabalho
θ = 0°
τ = +Fd
θ = 90°
τ=0
θ = 180°
τ = - Fd
0 < θ < 90°
τ = + Fd cosθ
90° < θ < 180°
τ = - Fd cosθ
Trabalho de uma força de módulo variável e paralela ao deslocamento
Trabalho de uma força constante não paralela ao deslocamento Observe a figura:
N
τ =A
Teorema da energia cinética A energia cinética de um corpo é uma forma de energia associada ao movimento do corpo. Essa energia é diretamente proporcional ao produto da massa do corpo pelo quadrado de sua velocidade. Ec =
A força F é constante, mas não é paralela ao desloca mento. A componente de F na direção do deslocamento é a força que realiza trabalho, porque é ela que efetivamente desloca o bloco. Portanto, podemos escrever:
τ= F.d.cos θ AB
mv2 2
O teorema O trabalho total realizado pelas forças que atuam sobre um corpo, num deslocamento AB, é igual à variação da energia cinética do corpo entre os pontos A e B. τtotal = ∆Ec = EcB - EcA
171
B16 Trabalho de uma força
Figura 01 - James Prescott Joule. 24/12/1818 —11/10/1889.
Fonte: Wikimedia Commons
Quando o módulo da força F for variável ao longo do deslocamento, mas sua direção for paralela ao vetor deslocamento, podemos calcular o trabalho realizado por essa força construindo o gráfico (Fxd) e calculando a área entre a curva e o eixo das posições.
Física
EXEMPLO
= 10.20 = 200 A= b.h 1
Uma partícula de massa 2,0 kg, inicialmente em repouso na posição x0 = 0 de um eixo 0x, submete-se à ação de uma força resultante paralela ao eixo 0x. O gráfico a seguir mostra a variação da intensidade da força em função das posições ocupadas pela partícula:
Calcule:
A área total é numericamente igual ao trabalho.
a) o trabalho realizado pela força de x0 = 0 a x = 25 m. b) a velocidade escalar da partícula na posição x = 25 m. RESOLUÇÃO a) Vamos dividir o gráfico em três etapas e calcular as áreas de cada etapa.
= 10.20 = 200 A= b.h 1 b.h 10.20 = = 100 A= 2 2 2 b.h 5.(-8) A3 = = = -20 Exercícios de Fixação 2 2
01. (UFRR) O teorema da energia cinética diz que, o trabalho total efetuado sobre uma partícula é igual a variação da energia cinética da partícula. Se uma partícula de massa m = 2000,00 g tem velocidade inicial de vi = 2,50 m/s e depois passados certo tempo tem velocidade final de vf = 5,00 m/s. O trabalho total τ, em Joule, realizado sobre a partícula será de: a) 37,00 J d) 18,75 J b) 5,00 J e) 0,00 J c) 37,70 J
B16 Trabalho de uma força
02. (Unitau SP) Uma força F(N) é exercida sobre um bloco de massa m. Como consequência, o bloco desloca-se em uma trajetória retilínea, apoiado sobre a superfície horizontal de uma mesa. O atrito entre as superfícies do bloco e da mesa é desprezível. A relação entre a força aplicada e a posição do bloco em relação a um referencial inercial é mostrada na figura abaixo. Sabendo que h é a altura da mesa medida com relação à superfície terrestre, é CORRETO afirmar:
172
b.h 10.20 = = 100 2 2 b.h 5.(-8) A3 = = = -20 2 2 A= 2
A total = A1 + A2 + A3 = 200 + 100 - 20 ⇒ A total = 280 ⇒ τ = 280 J b) Vamos aplicar o Teorema da Energia Cinética.
= τ Ec
final 2
- Ec
mv Ec = 2 = v 280
inicial
⇒ ⇒
⇒
= Ec 280 2
final
2v ⇒ 280 = 2 = v 16,7 m/s
-0
⇒ Ec= 280 J final
v = 280 2
a) A força é constante em toda a trajetória ao longo da mesa. b) Sabendo que o bloco estava em repouso em x = 0 metros, ele tem velocidade nula em x = 10 metros. c) O trabalho realizado pela força F(N) sobre o bloco é nulo. d) Houve variação da energia potencial do bloco ao longo da trajetória. e) O trabalho realizado pela força sobre o bloco é de 40 joules. 03. (Uespi PI) Um objeto de massa m = 30 Kg em uma superfície horizontal lisa e sem atrito. Uma força F, de módulo igual a 3 N, é aplicada sobre o corpo que se desloca uma distância d = 5,0 m. Considerando que a direção da força aplicada é a mesma do deslocamento, assinale nas alternativas abaixo aquela que representa a velocidade final do objeto. a) 1,0 m/s b) 2,3 m/s c) 15,0 m/s
d) 6,0 m/s e) 3,7 m/s
04. (FPS PE) Uma caixa é deslocada na direção horizontal por uma força constante cujo módulo vale 4,0 N. A força é aplicada em uma direção que está a θ = 30° da direção horizontal, conforme indica a figura abaixo. A caixa é deslocada da posição A até a posição B, realizando um deslocamento d = 5,0 metros. Considere que sen(30°) = 0.5; cos(30°) = 0.87. O trabalho realizado pela força aplicada para mover a caixa será de aproximadamente:
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
d) 34,8 joules e) 2,2 joules
05. (Puc MG) Um objeto se move em linha reta. A força F sobre ele, paralela ao seu deslocamento, varia com a distância d percorrida pelo objeto conforme representado no gráfico. O trabalho realizado por essa força durante um deslocamento de 12 m é, em joules:
a) 19
b) 13
c) 21
d) 26
06. (Unicamp SP) Qual o trabalho executado pela força de atrito entre o pneu e o solo para parar um carro de massa m = 1 000 kg, inicialmente a v = 72 km/h, sabendo que os pneus travam no instante da frenagem, deixando de girar, e o carro desliza durante todo o tempo de frenagem? a) 3,6 × 104 J c) 4,0 × 105 J b) 2,0 × 105 J d) 2,6 × 106 J 07. (Fuvest SP) Usando um sistema formado por uma corda e uma roldana, um homem levanta uma caixa de massa m, aplicando na corda uma força F que forma um ângulo θ com a direção vertical, como mostra a figura. O trabalho realizado pela resultante das forças que atuam na caixa − peso e força da corda −, quando o centro de massa da caixa é elevado, com velocidade constante v, desde a altura ya até a altura yb, é:
a) nulo b) F (yb – ya) c) mg (yb – ya)
d) F cos (θ) (yb – ya) e) mg (yb – ya) + mv2/2
08. (Centro Universitário de Franca SP) Um bloco de massa m desce escorregando por uma rampa inclinada, inicialmente com velocidade v, até atingir a base inferior da rampa com velocidade 2v, como mostra a figura.
Sabendo que não há força de atrito e nem resistência do ar atuando no bloco durante a descida, o trabalho realizado pela força peso neste movimento, em função de m e v, é 1 a) mv2 c) 2 mv2 e) 3 mv2 2 3 5 b) mv2 d) mv2 2 2 09. (Enem MEC) Uma análise criteriosa do desempenho de Usain Bolt na quebra do recorde mundial dos 100 metros rasos mostrou que, apesar de ser o último dos corredores a reagir ao tiro e iniciar a corrida, seus primeiros 30 metros foram os mais velozes já feitos em um recorde mundial, cruzando essa marca em 3,78 segundos. Até se colocar com o corpo reto, foram 13 passadas, mostrando sua potência durante a aceleração, o momento mais importante da corrida. Ao final desse percurso, Bolt havia atingido a velocidade máxima de 12 m/s. Supondo que a massa desse corredor seja igual a 90 kg, o trabalho total realizado nas 13 primeiras passadas é mais próximo de: a) 5,4 × 102 J c) 8,6 × 103 J e) 3,2 × 104 J 3 4 b) 6,5 × 10 J d) 1,3 × 10 J 10. (Unifor CE) O recorde mundial dos 100,0 metros rasos pertence ao jamaicano Usain Bolt, conquistado no Campeonato Mundial de Atletismo em Berlim em 2009. Seu tempo foi de 9,58 segundos.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Usain_Bolt_smiling_Berlin_2009.JPG
Sabendo-se que sua massa, quando conquistou esta marca, era de 94,0 kg e, considerando sua aceleração constante, o trabalho realizado pelos seus músculos para percorrer os 100,0 metros foi aproximadamente de: a) 5,1 kJ c) 20,5 kJ e) 94,0 kJ b) 10,2 kJ d) 40,8 kJ 173
B16 Trabalho de uma força
a) 17,4 joules b) 8,7 joules c) 4,4 joules
Física
Exercícios Complementares 01. (Unicamp SP) Músculos artificiais feitos de nanotubos de
um computador com um visor que informa o tempo, dis-
carbono embebidos em cera de parafina podem suportar
tância percorrida, batimentos cardíacos e as calorias gastas
até duzentas vezes mais peso que um músculo natural do
entre outras funções. Em uma academia, uma jovem anda
mesmo tamanho. Considere uma fibra de músculo arti-
em uma bicicleta ergométrica que não tem motor. O visor
ficial de 1 mm de comprimento, suspensa verticalmente
informa que ela se exercitou a uma velocidade constante de
por uma de suas extremidades e com uma massa de 50
15 km/h por 30 minutos e que foram consumidas 250 kcal.
gramas pendurada, em repouso, em sua outra extremi-
Considerando-se que a energia consumida pela bicicleta er-
dade. O trabalho realizado pela fibra sobre a massa, ao
gométrica se deve à força constante que a jovem exerceu
se contrair 10%, erguendo a massa até uma nova posição
para movimentá-la, a intensidade dessa força, em newtons,
de repouso, é
é, aproximadamente:
a) 5 × 10–3 J
Considere 1 cal = 4,0 J
b) 5 × 10–4 J
a) 3,33 × 101
c) 5 × 10–5 J
b) 2,66 × 102
d) 5 × 10–6 J
c) 1,33 × 102
Se necessário, utilize g = 10 m/s2.
d) 6,66 × 101
02. (Unisc RS) Um corpo de massa m desliza sobre um plano horizontal com velocidade constante. Sabendo que existe uma força de atrito cujo coeficiente de atrito é µ = 0,5 entre o corpo e o plano e após ter percorrido uma distância de 20 m, o trabalho da força de atrito foi de W= –2000 J. Considerando que g = 10 m/s2, podemos afirmar que a massa m em quilogramas do corpo é de
to, a esposa, irritada, ao cortar com a faca uma azeitona para tirar o caroço, em vez de aplicar a força da faca no sentido de descascar o fruto quis cortar o caroço, o que não deu certo e fez a azeitona sair do seu prato. Supoesposa totalmente na horizontal com uma velocidade de
b) 200
5 m/s. Se a azeitona de 10 gramas estava inicialmente em
c) 20
repouso, qual foi o trabalho executado pela componente
d) 25
horizontal da força aplicada pela faca sobre a azeitona?
e) 40
Ignore efeitos de atrito.
03. (Puc Campinas SP) Um corpo de massa 0,30 kg é lançado
a) 0,010 J
verticalmente para cima com velocidade de 40 m/s. Ado-
b) 0,055 J
ta-se para a aceleração da gravidade g = 10 m/s . A altura
c) 0,125 J
máxima atingida pelo corpo é de 60 m acima do ponto de
d) 0,500 J
lançamento.
e) 0,650 J
2
B16 Trabalho de uma força
mas para não chamar a atenção falam baixo. Entretan-
nha, para simplificação, que a azeitona saiu do prato da
a) 50
Pode-se afirmar corretamente que, no movimento de su-
06. (Uefs BA) Teoricamente, a energia é uma grandeza escalar
bida do corpo, o trabalho da força de resistência do ar vale
associada ao estado de um ou mais objetos, enquanto tra-
em joules
balho é a energia transferida para um objeto ou de um obje-
a) –60
to por meio de uma força que age sobre o objeto.
b) 90 c) –120 d) 180 e) –240 04. (Unimontes MG) A bicicleta ergométrica é um aparelho muito usado nas academias. As mais modernas possuem
174
05. (UCS RS) Um casal discute na mesa de um restaurante,
Admitindo-se um bloco de massa m = 23,0 kg, inicialmente na origem e em repouso, que passa a estar sujeito a uma força horizontal que varia com a posição, de acordo com o diagrama, conclui-se que a velocidade do bloco, após ter sido deslocado uma distância de 8,0 m, em m/s, é igual a
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
O trabalho realizado pela força Fz , em N ⋅ m, ao longo desse deslocamento, é a)
6 6
b)
6 3
c)
6 2
d) 2 e) 3
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5
09. (Uepa PA) Em alguns cruzamentos com semáforos onde há
d) 2,0
radar instalado, o tempo médio de duração do sinal ama-
e) 2,5
relo é de dois segundos. Considere um automóvel de massa
07. (Puc GO) O trecho “Te dou um tiro!” indica a possibilidade de uso de arma de fogo. No estudo balístico, temos a análise do poder de impacto de projéteis com alvos e dos danos causados por esse impacto. Para se analisar os efeitos de impactos, pode-se usar diferentes projéteis e diferentes alvos. Para se determinar a velocidade no momento de impacto, um projétil de 25 gramas é disparado horizontalmente contra um bloco cúbico de argila de 10 kg de massa, que está fixo em um determinado local. Sabe-se que o projétil chega ao repouso após penetrar 15 cm no bloco de
igual a 1.500 kg aproximando-se em linha reta de um desses cruzamentos, com velocidade escalar de 72 km/h. Quando o automóvel encontra-se a uma distância de 15 m da faixa de pedestres, o sinal fica amarelo, levando o motorista a frear imediatamente, imprimindo um movimento uniformemente retardado ao automóvel. Admitindo-se que este consiga parar a tempo, sem infringir as leis de trânsito, afirma-se que o trabalho da força de atrito exercida pelo sistema de freios nas rodas do carro durante a frenagem, em kJ, é igual a:
argila e que a força média que a argila exerce sobre o projétil é de
a) 200
3 × 10 N. Considerando-se que o bloco de argila permaneça em
b) 250
repouso, a velocidade do projétil no momento do impacto com o
c) 300
bloco tem o valor de (marque a alternativa correta):
d) 350
4
a) 30 m/s b) 190 m/s c) 430 m/s d) 600 m/s 08. (FM Petrópolis RJ) A Figura a seguir ilustra um paralelepípedo reto-retângulo associado a um sistema de eixos ortogonais no
e) 400 10. (Uerj RJ) Uma pessoa empurrou um carro por uma distância de 26 m, aplicando uma força F de mesma direção e sentido do deslocamento desse carro. O gráfico abaixo representa a variação da intensidade de F, em newtons, em função do deslocamento d, em metros.
IR3 de tal modo que um de seus vértices está na origem. As
Desprezando o atrito, o trabalho total, em joules, realizado por F, equivale a: Um objeto se desloca do vértice P até o vértice Q, em linha reta, devido à ação de forças que nele atuam. Uma dessas for ças é Fz que tem a direção e o sentido do eixo z e intensidade igual a 3 newtons.
a) 117 b) 130 c) 143 d) 156
175
B16 Trabalho de uma força
arestas do paralelepípedo são dadas em metros.
FRENTE
B
FÍSICA
Exercícios de Aprofundamento 01. (Ufu MG) A partir de janeiro de 2014, todo veículo produzido no Brasil passa a contar com freios ABS, que é um sistema antibloqueio de frenagem, ou seja, regula a pressão que o condutor imprime nos pedais do freio de modo que as rodas não travem durante a frenagem. Isso, porque, quando um carro está em movimento e suas rodas rolam sem deslizar, é o atrito estático que atua entre elas e o pavimento, ao passo que, se as rodas travarem na frenagem, algo que o ABS evita, será o atrito dinâmico que atuará entre os pneus e o solo. Considere um veículo de massa m, que trafega à velocidade V, sobre uma superfície, cujo coeficiente de atrito estático é µe e o dinâmico é µd. a) Expresse a relação que representa a distância percorrida (d) por um carro até parar completamente, numa situação em V2 que esteja equipado com freios ABS. d = 2µ g e b) Se considerarmos dois carros idênticos, trafegando à mesma velocidade sobre um mesmo tipo de solo, por que a distância de frenagem será menor naquele equipado com os freios ABS em relação àquele em que as rodas travam ao serem freadas? 02. (UFPR) Um bloco B de massa 400 g está apoiado sobre um bloco A de massa 800 g, o qual está sobre uma superfície horizontal. Os dois blocos estão unidos por uma corda inextensível e sem massa, que passa por uma polia presa na parede, conforme ilustra a figura ao lado. O coeficiente de atrito cinético entre os dois blocos e entre o bloco A e a superfície horizontal é o mesmo e vale 0,35. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e desprezando a massa da polia, assinale a alter nativa correta para o módulo da força F necessária para que os dois blocos se movam com velocidade constante.
Dados: nn mA = 24 kg nn mB = 36 kg nn F = 120 N nn g = 10 m/s2 a) Supondo que os roletes de ambos os caixotes deslizem perfeitamente, determine a intensidade da força resultante sobre o caixote A. 48 N b) Em um dado momento, devido à falta de lubrificação, os roletes em que o caixote B se apoia deixam de girar livremente, interagindo com o trilho, com uma força de atrito de coeficiente 0,2. Nessas condições, determine a nova aceleração a que o sistema fica submetido. 0,8 m/s2 04. (ITA SP) Um caminhão baú de 2,00 m de largura e centro de gravidade a 3,00 m do chão percorre um trecho de estrada em curva com 76,8 m de raio. Para manter a estabilidade do veículo nesse trecho, sem derrapar, sua velocidade não deve exceder a a) 5,06 m/s b) 11,3 m/s c) 16,0 m/s d) 19,6 m/s e) 22,3 m/s 05. (Fuvest SP) Uma criança com uma bola nas mãos está sentada em um “gira‐gira” que roda com velocidade angular constante e frequência f = 0,25 Hz.
a) 1,4 N b) 4,2 N c) 7,0 N d) 8,5 N e) 9,3 N.
Gabarito questão 01 b) A distância de frenagem com ABS (atrito estático) será menor que a distância de frenagem sem ABS (atrito dinâmico) porque o coeficiente de atrito estático é maior que o coeficiente de atrito dinâmico (me > md) e a distância de frenagem 1 é inversamente proporcional ao coeficiente de atrito dα . µ
03. (UFTM) Sob roletes ideais, dois caixotes são empurrados juntos, guiados por um trilho retilíneo e horizontal, devido à aplicação de uma força de intensidade 120 N. 176
a) Considerando que a distância da bola ao centro do “gira‐gira” é 2 m, determine os módulos da velocidade VT e da acelera ção a da bola, em relação ao chão. vT = 3 m/s e ac = 4,5 m/s2 Em um certo instante, a criança arremessa a bola horizontalmente em direção ao centro do “gira‐gira”, com velocidade VR de módulo 4 m/s, em relação a si. Determine, para um instante imediatamente após o lançamento, b) o módulo da velocidade U da bola em relação ao chão; U = 5 m/s c) o ângulo θ entre as direções das velocidades U e VR da bola. θ = arccos 0,8 Note e adote: π = 3
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
06. (UFPE) Uma carga está apoiada sobre um caminhão que trafega sobre uma superfície horizontal (a vista de cima está ilustra-
5,25°
6,10°
7,15°
8,20°
9,10°
da na figura a seguir). O coeficiente de atrito estático entre a
sen
0,0992
0,106
0,124
0,143
0,158
carga e o caminhão é 0,40. Calcule qual a maior velocidade, em
cos
0,996
0,994
0,992
0,990
0,987
tan
0,092
0,107
0,125
0,144
0,160
metros por segundo, com que o caminhão pode realizar uma curva circular de raio 100 m, sem que a carga deslize. 20
g = 10m / s2 a) 5,25° b) 6,10° c) 7,15°
07. (Fuvest SP) Nina e José estão sentados em cadeiras, diametralmente opostas, de uma roda gigante que gira com velocidade angular constante. Em um certo momento, Nina se encontra no ponto mais alto do percurso e José, no mais baixo; após 15 s, antes de a roda completar uma volta, suas posições estão invertidas. A roda gigante tem raio R = 20 m e as massas de Nina e José são, respectivamente, MN = 60 kg e MJ = 70 kg. Calcule
d) 8,20° e) 9,10°
09. (UFRJ) Uma bolinha de massa 0,20 kg está em repouso suspensa por um fio ideal de comprimento 1,20 m preso ao teto, conforme indica a figura 1. A bolinha recebe uma pancada horizontal e sobe em movimento circular até que o fio faça um ângulo máximo de 60° com a vertical, como indica a figura 2. Despreze os atritos e considere g = 10 m/s2.
v = 4m/s
08. (Mackenzie SP) No trecho de estrada ilustrado, a curva pontilhada é um arco circular e o raio da circunferência que o contém mede 500 m. A placa sinaliza que a velocidade máxima permitida, ao longo dessa linha, é 90 km/h. Considerando a segurança da estrada e admitindo-se que essa velocidade máxima possa ocorrer independentemente do atrito entre os pneus do automóvel e a pavimentação plana da pista, o ângulo de inclinação mínimo, entre o plano da pista e a horizontal, indicado na figura, deve medir, aproximadamente,
a) │T0│= 2,0 N b) │T1│= 1,0 N │T2│=4,0 N
a) Calcule o valor T0 da tensão no fio na situação inicial em que a bolinha estava em repouso antes da pancada. b) Calcule o valor T1 da tensão no fio quando o fio faz o ângulo máximo de 60º com a vertical e o valor T2 da tensão quando ele passa de volta pela posição vertical. 10. (Mackenzie SP) O pêndulo cônico da figura abaixo é constituído por um fio ideal de comprimento L e um corpo de massa m = 4,00 kg preso em uma de suas extremidades e a outra é fixada no ponto P, descrevendo uma trajetória circular de raio R no plano horizontal. O fio forma um ângulo θ em relação a vertical. Considere: g = 10,0 m/s2 ; senθ = 0,600 ; cos θ = 0,800.
177
FRENTE B Exercícios de Aprofundamento
a) o módulo v da velocidade linear das cadeiras da roda gigante; b) o módulo aR da aceleração radial de Nina e de José; aR = 0,8m/s2 c) os módulos NN e NJ das forças normais que as cadeiras exercem, respectivamente, sobre Nina e sobre José no instante em que Nina se encontra no ponto mais alto do percurso e José, no mais baixo. NN = 552N e NJ = 756N NOTE E ADOTE: π = 3 Aceleração da gravidade g = 10 m/s2
Física
A força centrípeta que atua sobre o corpo é a) 10,0 N b) 20,0 N c) 30,0 N d) 40,0 N e) 50,0 N
A força F2 varia de acordo com o gráfico a seguir:
11. (Fuvest SP) Um menino puxa, com uma corda, na direção horizontal, um cachorro de brinquedo formado por duas partes, A e B, ligadas entre si por uma mola, como ilustra a figura abaixo. As partes A e B têm, respectivamente, massas mA= 0,5 kg e mB= 1 kg, sendo µ = 0,3 o coeficiente de atrito cinético entre cada parte e o piso. A constante elástica da mola é k = 10 N/m e, na posição relaxada, seu comprimento é x0= 10 cm. O conjunto se move com velocidade constante v = 0,1 m/s. Nessas condições, determine: a) T = 4,5 N b) W = 54 J c) F = 1,5 N d) x = 0,25 m ou x = 25 cm
Dados: sen 30° = cos 60° = 1/2 O trabalho realizado pelas forças F1 e F2, para que o corpo sofra um deslocamento de 0 a 4m, em joules, vale a) 20 b) 47 c) 27
a) O módulo T da força exercida pelo menino sobre a parte B. b) O trabalho W realizado pela força que o menino faz para puxar o brinquedo por 2 minutos. c) O módulo F da força exercida pela mola sobre a parte A. d) O comprimento x da mola, com o brinquedo em movimento. NOTE E ADOTE Aceleração da gravidade no local: g = 10 m/s2 Despreze a massa da mola. 12. (IF PE) Um bloco com massa 8 kg desce uma rampa de 5,0 m de comprimento e 3 m de altura, conforme a figura abaixo. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é 0,4 e a aceleração da gravidade é 10 m/s2. O trabalho realizado sobre o bloco pela força resultante, em joules, é:
d) 50 e) 40 14. (UCB DF) Um protótipo de carro de 10 kg está sob a ação de uma força constante de 100 N. Esse protótipo move-se no sentido da força, com uma velocidade de 28,8 km/h e, alguns segundos mais tarde, move-se com uma velocidade de 43,2 km/h. Qual é o valor do trabalho, em joules, realizado por essa força? Divida o resultado obtido por 10. Marque a resposta no cartão de respostas, desprezando, se houver, a parte decimal do resultado final. 40 15. (UFRN) O conceito de energia é considerado fundamental para a ciência. No entanto, as variações de energia só são percebidas nos processos de transformação desta, durante a realiza-
FRENTE B Exercícios de Aprofundamento
ção de um trabalho e/ou a transferência de calor. Para ilustrar a afirmação acima, considere que um caixote está sendo empurrado, ao longo de uma distância de 9,0m, sobre o a) 112 b) 120 c) 256 d) 480 e) 510 13. (UPE) Um corpo de massa m desliza sobre o plano horizontal, sem atrito ao longo do eixo AB, sob a ação de duas forças F1 e F2, de acordo com a figura a seguir. A força F1 é constante, tem módulo igual a 10 N e forma com a vertical um ângulo θ = 30°. 178
piso horizontal de um armazém, por um operário que realiza uma força horizontal constante de 100,0 N. Considere, ainda, que existe uma força de atrito de 90,0 N, produzida pelo contato entre o piso e o caixote. Dados: nn Trabalho realizado sobre um corpo por uma força constante: = W Fd cos θ , onde F é o módulo da força que atua sobre o corpo, d é o módulo do vetor deslocamento do corpo e θ o ângulo entre a força e o vetor deslocamento.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
nn Teorema do trabalho-energia: WFr = ∆Ec , onde Fré o módulo
da força resultante.
A partir dessas informações, calcule a) o trabalho realizado pelo operário sobre o caixote; 900J b) o trabalho que é convertido em energia térmica; –810J c) a variação da energia cinética do caixote no processo. DEc = 90J
a) Considere que, no experimento realizado pelo estudo citado acima, um bloco de massa m = 2 kg foi colocado sobre uma superfície de areia úmida e puxado por uma mola de massa desprezível e constante elástica k = 840 N/m, com velocidade constante, como indica a figura abaixo. Se a mola em repouso tinha comprimento lrepouso = 0,10 m, qual é o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e a areia?
16. (UEPG PR) Um bloco com massa de 2 kg é lançado num plano horizontal, com velocidade inicial de 4 m/s. O bloco desliza sobre o piso e percorre uma distância de 1 m até parar. Sobre esse evento físico, considerando a aceleração da gravidade como 10 m/s2, assinale o que for correto. 15 01. O módulo da força de atrito média exercida pelo piso sobre o bloco é 16 N. 02. O coeficiente de atrito cinético entre o piso e o bloco é 0,8. 04. Desprezando qualquer tipo de força de atrito, a velocidade do bloco seria constante e igual a 4 m/s. 08. A variação da energia cinética do bloco, entre o momento em que é lançado até o momento em que ela para, é –16 J. 16. O trabalho realizado pela força peso, sobre o bloco, entre a impulsão e até ele parar foi de 20 J. 17. (Uel PR) Suponha que o conjunto formado pelo satélite e pelo foguete lançador possua massa de 1,0 × 103 toneladas e seja impulsionado por uma força propulsora de aproximadamente 5,0 × 107N, sendo o sentido de lançamento desse foguete perpendicular ao solo. Desconsiderando a resistência do ar e
b) Nesse experimento, o menor valor de coeficiente de atrito entre a areia e o trenó é obtido com a quantidade de água que torna a areia rígida ao cisalhamento. Esta rigidez pode ser caracterizada pelo seu módulo de cisalhamento, dado por= G Fl / A∆x , em que F é o módulo da força aplicada tangencialmente a uma superfície de área A de um material de espessura l, e que a deforma por uma distância Dx, como indica a figura abaixo. Considere que a figura representa o experimento realizado para medir G da areia e também o coeficiente de atrito dinâmico entre a areia e o bloco, ambos em função da quantidade de água na areia. O resultado do experimento é mostrado no gráfico apresentado abaixo. Com base no experimento descrito, qual é o valor da razão l / ∆x da medida que resultou no menor coeficiente de atrito dinâmico?
a perda de massa devido à queima de combustível, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o trabalho realizado, em joules, pela força resultante aplicada ao conjunto nos primeiros 2, 0 km de sua decolagem. Considere a aceleração da gravidade g = 10, 0 m/s2 em todo o a) 4,0 × 10 J 7
b) 8,0 × 107J c) 4,0 × 1010J d) 8,0 × 1010 J e) 10,0 × 1010J
Questão 18. b) Da leitura do gráfico conclui-se que 5% de água na areia correspondem ao menor coeficiente de atrito dinâmico, logo, também a partir do gráfico, temos: G = 5 × 105 Pa F.l l A.G G= ⇒ = A.∆x ∆x F l 80 × 10−4 × 5 × 105 l = ⇒ = 400 ∆x 10 ∆x
a)
Fat = µ × N = µ × m × g = K × ∆l K∆l 840 × 0,01 µ= = = 0,42 mg 2 × 10
18. (Unicamp SP) Um estudo publicado em 2014 na renomada revista científica Physical Review Letters (http://journals.aps.org/ prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.112.175502) descreve como a antiga civilização egípcia reduzia o atrito entre a areia e os trenós que levavam pedras de até algumas toneladas para o local de construção das pirâmides. O artigo demonstrou que a areia na frente do trenó era molhada com a quantidade certa de água para que ficasse mais rígida, diminuindo a força necessária para puxar o trenó. Caso necessário, use g = 10 m/s2 para resolver as questões abaixo.
Note que há duas escalas para o eixo das ordenadas, uma para cada curva. A legenda e as setas indicam as escalas de cada curva.
179
FRENTE B Exercícios de Aprofundamento
percurso descrito.
FRENTE
C
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FÍSICA Por falar nisso A humanidade sempre buscou na natureza recursos que pudessem facilitar sua vida e, desde a Idade da Pedra, vem desenvolvendo artefatos que o auxiliam de alguma maneira em seu dia a dia. As alavancas nada mais são do que uma façanha dos seres humanos para realizar tarefas cada vez mais difíceis. Arquimedes é considerado um dos maiores matemáticos da Antiguidade. Ele viveu de 287 a 212 a.C. e passou quase toda a sua vida em Siracusa, na costa da Sicília, atual Itália. Um de seus trabalhos mais famosos é relacionado ao empuxo, mas a utilização e explicação do funcionamento das alavancas foi também de grande importância. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas
C13 C14 C15 C16
Centro de gravidade......................................................................182 Alavancas.......................................................................................190 Gravitação universal......................................................................196 As leis de Kepler.............................................................................202
FRENTE
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FÍSICA
MÓDULO C13
ASSUNTOS ABORDADOS nn Centro de gravidade nn Localização do centro de gravidade nn Tipos de equilíbrio nn Coordenadas do centro de gravidade nn Binário
CENTRO DE GRAVIDADE É comum encontrar rodas de pilotos da aviação geral imersos em conversas sobre, quase sempre, temas relacionados à aviação. Decolagem, pouso, potência, velocidade, além de segurança e procedimentos padrão, são assuntos recorrentes. Se aviões foram feitos para chegar rápido, nada mais natural que discutir o quão veloz cada um é. A rapidez de fluir no ar não depende tão somente do projeto da máquina, mas, também, de alguns fatores operacionais. O voo à baixa altura, por exemplo, tende a ser mais lento, uma vez que a densidade do ar cria maior arrasto. Quanto mais alto, menos moléculas há na atmosfera e o avião flui mais livre, portanto, desde que tenha potência, maior será sua velocidade. Outro fator, cuja importância está muito relacionada com a segurança de voo, mas que influencia sobremaneira na velocidade, é a distribuição de pesos no interior da aeronave. Cargas fora da posição correta obrigam o piloto a defletir o profundor para compensar tendências de nariz ou cauda pesados. A deflexão aumenta a área frontal de arrasto e faz cair a velocidade.
Centro de gravidade
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O segundo ponto de cálculo do balanceamento de uma aeronave é o centro de gravidade (CG). É nele que os pesos das partes da aeronave e da carga se concentram. Num projeto tradicional de aeronave civil, o CG precisa estar sempre à frente do CP (centro de pressão ou sustentação). Dependendo da distância entre eles a aeronave pode criar um movimento de subida ou descida do nariz diante da diferença de atuação das forças: o CP gera sustentação (para cima) e o CG é o peso (para baixo). Cabe ao piloto, ou piloto automático, aplicar uma correta deflexão do profundor para manter a estabilidade da aeronave. A importância da distribuição de pesos no interior da aeronave é fundamental para um voo seguro. Em aeronaves pequenas, por exemplo, até mesmo a distribuição dos passageiros é importante. Se um passageiro vier ao lado do piloto, no banco da frente, o CG estará adiantado. Se resolver viajar no banco de trás, o CG corre em direção à cauda.
Na Física, o centro de gravidade (CG) ou baricentro de um corpo é o ponto onde pode ser considerada a aplicação da força peso do corpo ou de um sistema de corpos. A palavra “baricentro” é de origem grega (bari = peso) e designa o centro dos pesos. Arquimedes foi o primeiro a estudar o baricentro de dois pontos de massa. No caso de a força peso resultar de um campo gravitacional uniforme, o centro de gravidade é coincidente com o centro de massa. Essa é a aproximação natural no estudo da física de objetos de pequenas dimensões sujeitos ao campo gravitacional terrestre. 182
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Localização do centro de gravidade Para objetos homogêneos, de forma geométrica definida, o centro de gravidade estará no seu centro de simetria. Nas figuras a seguir, são mostrados os centros de gravidade de alguns objetos homogêneos.
O centro de gravidade de qualquer objeto livremente suspenso situa-se diretamente abaixo do ponto de suspensão, ou nele. Se uma linha vertical for traçada através do ponto de suspensão, o centro de gravidade estará em algum lugar sobre essa linha. Para determinar exatamente onde ele se encontra sobre a linha, temos apenas que suspender o objeto por outro ponto e traçar uma segunda linha vertical através do ponto de suspensão. O centro de gravidade estará na interseção dessas duas linhas.
O centro de gravidade de um objeto pode ser um ponto fora dele. Por exemplo, o centro de gravidade de um anel ou de uma esfera oca se encontra no centro geométrico do objeto, onde não há matéria.
de um bumerangue
Quando suspendemos um objeto pelo seu centro de gravidade, ele fica em equilíbrio de translação e de rotação, pois estamos aplicando nele uma força igual, de sentido contrário e na mesma linha de ação de seu peso. C13 Centro de gravidade
Tipos de equilíbrio Equilíbrio Estável Se traçarmos uma reta para baixo, perpendicular à base, a partir do centro de gravidade de um objeto e ela incidir num ponto do interior da base do objeto, então o objeto está em equilíbrio estável. Veja as figuras.
183
Física
Observe que se a placa sofrer uma rotação qualquer ela permanecerá na nova posição.
Coordenadas do centro de gravidade Façamos inicialmente uma análise do centro de gravidade de um sistema de partículas em um mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir:
Note que na posição A o corpo está estável e a projeção CM do seu centro de massa cai bem no centro da base. Na posição B, o corpo foi empurrado para a direita e sofreu um leve giro. Mas a projeção CM’ ainda está dentro da base. Se o corpo for solto nesta posição o seu peso P provocará um giro anti-horário que o fará voltar para a posição A (estável). Inclinando-o um pouco mais, na posição C, a projeção CM’ está no limite crítico de cair fora da base. Esta é a máxima inclinação que o corpo pode ter para não tombar definitivamente. Equilíbrio Instável
Diagrama para o cálculo do centro de gravidade em um conjunto de partículas
O ponto C, localizado em um ponto intermediário do conjunto de partículas, representa o centro de gravidade desse sistema. As coordenadas desse ponto (xCG, yCG) são calculadas a partir das médias ponderadas, conforme as equações a seguir:
Se a reta traçada, a partir do centro de gravidade, incidir sobre um ponto fora da base, o equilíbrio do objeto é instável. Nesse caso a placa tombará. P1 x1 + P2 x 2 + P3 x 3 P y +P y +P y = x CG = e y CG 1 1 2 2 3 3 P1 + P2 + P3 P1 + P2 + P3
Essa equação pode ser utilizada para qualquer número de partículas.
Binário
Para reduzir a chance de tombamento, geralmente se procura projetar os objetos com uma base larga e um centro de gravidade baixo.
Binário é um sistema constituído de duas forças de mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos, cujas linhas de ação estão a certa distância d. A distância d chama-se braço do binário.
Equilíbrio Indiferente
C13 Centro de gravidade
Considere uma placa de centro de gravidade CG suspensa pelo ponto O através de uma força T . Se o ponto de suspensão O coincidir com o centro de gravidade, o equilíbrio é indiferente.
Momento do binário O momento do binário é a soma algébrica dos momentos das forças que o constituem. Assim, considerando um polo O arbitrário e levando em conta a convenção de sinais, temos: 184
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
O binário da figura tem sentido anti-horário e, por convenção, seu momento resultou positivo; se tivesse sentido horário, seu momento seria negativo. Da expressão obtida podemos concluir que o momento de um binário independe do polo escolhido. A resultante do binário é nula, pois as forças que o constituem têm mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos. Desse modo, se aplicarmos um binário a um sólido, inicialmente em repouso, este não adquire movimento de translação (pois a resultante é nula), mas adquire movimento de rotação não uniforme (pois o momento não é nulo).
EXEMPLO (UFPE) Deseja-se localizar a posição do centro de massa (CM) de uma tora de madeira de comprimento L = 1,0 m. A tora é colocada em repouso na horizontal, com uma extremidade apoiada em um suporte fixo e a outra sobre uma balança. Com o arranjo mostrado na figura à esquerda, a balança indica uma leitura igual a P1 = 300 N. A seguir, invertem-se as extremidades da tora e a nova pesagem da balança é reduzida para P2 = 200 N. Determine a distância x(figura à esquerda), em centímetros, do centro de massa da tora ao eixo do suporte fixo.
nn N1 e N2 representam as indicações da balança nn P representa o peso da tora
Vamos calcular os momentos de cada força em relação aos pontos O e O’. MNO =0; MPO =-P ⋅ x; MNO1 =+N1 ⋅ L ⇒ - P ⋅ x + N1 ⋅ L =0 ⇒ N1 .L =P.x Substituindo os valores, temos: 300 ⋅ 1 = P ⋅ x ⇒ P ⋅ x = 300 MN'O' =0; MPO' =-P ⋅ (L - x ) ; MNO'2 =N2 ⋅ L ⇒
⇒- P (L - x ) + N2 ⋅ L = 0 ⇒ N2 ⋅ L = P (L - x )
Substituindo os valores, temos: 200 ⋅ 1= P (1 - x ) ⇒
⇒ 200 = P - P ⋅ x mas P ⋅ x = 300
Inicialmente vamos representar os diagramas de forças das duas situações.
Portanto: 200 = P - 300
Em que: nn N representa reação do apoio no primeiro caso nn N' representa a reação do apoio no segundo caso
Voltando à equação N1 .L = P.x
⇒
P= 500N
⇒
300.1 = 500.x
⇒
x = 0,6m
185
C13 Centro de gravidade
RESOLUÇÃO
Física
Exercícios de Fixação 01. (UFSC) Símbolo de beleza e elegância, os sapatos de salto alto são usados e desejados por mulheres de todas as idades. Todavia, o seu uso excessivo pode trazer sérios riscos à saúde, associados a alterações de variáveis físicas importantes para o caminhar, como lesões, lordose (curvatura acentuada da coluna para dentro) e deformidades nos pés, por exemplo. Na figura ao lado, são apresentados dois modelos (A e B) bastante comuns de sapatos de salto alto, ambos número 34.
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 11 01. O sapato A permite maior estabilidade no caminhar que o sapato B. 02. Com o uso do sapato de salto alto, o centro de gravidade do corpo é deslocado para a frente em relação a sua posição normal (sem o sapato de salto). 04. O sapato B permite uma distribuição mais homogênea do peso do corpo, nas partes da frente e de trás do pé, que o sapato A. 08. Caminhar com sapato de salto alto pode ser comparado a caminhar descendo um plano inclinado. 16. A pressão sobre o solo em uma caminhada com o sapato A é maior que com o sapato B, para uma mesma pessoa. 02. (Unifor CE) O binário é um sistema de forças de mesma intensidade, mesma direção, sentidos opostos, mas com linhas de ação não coincidentes, ou seja, em níveis diferentes. A resultante dessas forças neste sistema é nula, o que deixa de acelerar o centro de massa do corpo ou sistema em que atuam, mas são capazes de rotacioná-lo em torno de um eixo. Assim, são muitos os casos no nosso dia a dia que servem como exemplo de binário. Analise as opções a seguir. I. II.
C13 Centro de gravidade
III. IV.
Saca-rolhas de garrafa de vinho e agulha magnética de uma bússola. Torneira de lavatório e tampa de garrafa plástica de refrigerante. Tampa de pasta de dentes e lâmpadas incandescentes. Avenidas paralelas de trânsito de veículos e maçaneta de uma porta.
Apresenta(m) possibilidade de ocorrência do binário somente o(s) item(ns): a) I e III. d) II, III e IV. b) II. e) III e IV. c) I, II e III.
186
03. (UFT TO)As figuras abaixo representam sólidos rígidos em equilíbrio, apoiados sobre um plano horizontal, onde existe uma força de atrito que não os deixam escorregar. O ponto marcado indica a localização do centro de gravidade (CG) de cada objeto. Se aplicarmos uma força rotacional na extremidade superior de cada objeto de forma a provocar um pequeno deslocamento e, em seguida, abandonarmos o objeto, o sólido que apresenta equilíbrio indiferente é:
04. (Unifor CE) Três corpos completamente iguais, com a forma de um cilindro, encontram-se na posição inicial sobre uma superfície plana e horizontal indicados nas figuras (1), (2) e (3) a seguir:
Analise as proposições a seguir e após assinale a opção abaixo que melhor descreve a situação final de cada corpo quando abandonados: I. Na figura (1), o corpo se encontra em equilíbrio estável; II. Na figura (2), o corpo se encontra em equilíbrio instável; III. Na figura (3), o corpo se encontra em equilíbrio indiferente. a) Estão corretos I e III. b) Estão corretos II e III. c) Somente I é correto. d) Somente II é correto. e) Somente III é correto. 05. (UECE) Duas forças F1 e F2 horizontais de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos são aplicadas em uma haste muito fina, rígida e de massa m que repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito, conforme ilustrado na figura a seguir.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Se o módulo do peso do atleta é 600 N, então FM e FP valem, respectivamente: a) 300 N e 300 N; d) 300 N e 150 N; b) 400 N e 200 N; e) 450 N e 300 N. c) 450 N e 150 N; 08. (UFRN) Rafael gosta de fazer “pegadinhas” com seus colegas. Ele começou demonstrando um exercício físico de flexibilidade, tocando nos pés sem dobrar os joelhos (figura 1). Nestas condições, é correto afirmar-se que a) a haste não se moverá pela ação dessas forças, pois a soma F1 + F2 = 0. b) a soma dos momentos das forças F1 e F2 sobre a haste é nula. c) a soma dos momentos das forças F1 e F2 sobre a haste é diferente de zero. d) a haste se moverá pela ação dessas forças, pois a soma F1 + F2 ≠ 0.
O bem-humorado Rafael, com ar de gozação, disse que seus colegas não seriam capazes de fazer esse exercício sem perder o equilíbrio do corpo e, por isso, daria a chance de eles realizarem o exercício, encostados na parede (figura 2).
06. (UFTM MG) Ao apontar seu lápis, além de uma pequena força aplicada sobre ele na direção do apontador, o menino aplica um binário de forças, orientado conforme o desenho. FIGURA 1 – Exercício feito por Rafael.
07. (Escs DF) Um atleta está fazendo flexões apoiado no solo. No instante considerado na figura, ele está em repouso e tanto a força do solo sobre seus pés, de módulo FP, quanto a força do solo sobre suas mãos, de módulo FM, são verticais. Suponha que o peso P do atleta atue em seu centro de massa, com linha de ação a 90 cm de distância de seus pés, e que suas mãos estejam a 120 cm de seus pés, como indica a figura a seguir:
FIGURA 2 – Colega de Rafael, encostado na parede, tentando repetir o exercício. Esse procedimento, proposto por Rafael, em vez de auxiliar, dificulta ainda mais o equilíbrio corporal da pessoa, pois a parede faz com que: a) o centro de gravidade da pessoa seja deslocado para uma posição que impede o equilíbrio. b) a força normal exercida na pessoa, pela parede, seja maior do que a força que a pessoa faz na parede. c) o torque exercido na pessoa, pela parede, seja maior do que o torque que a pessoa faz na parede, ambos em relação aos pés da pessoa. d) o centro de gravidade da pessoa não coincida com o seu próprio centro de massa. 187
C13 Centro de gravidade
Se a intensidade do momento total do binário aplicado sobre o lápis tem intensidade de 5 N.m, supondo que a força de atrito entre os dois dedos que giram o lápis tem a mesma intensidade, a força impressa por cada dedo ao girar o lápis de diâmetro 1 cm é, em N, a) 500. d) 2 000. b) 1 000. e) 2 500. c) 1 500.
Física
Exercícios Complementares 01. (UFJF MG) Pode ser considerado um sólido perfeito aquele corpo em que a distância entre duas partículas quaisquer é inalterável. Esse corpo perfeito, chamamos de CORPO RÍGIDO. O conceito de Corpo Rígido é uma idealização, uma vez que todo corpo real pode ser deformado pela aplicação de forças. Entretanto, muitos sólidos do nosso dia a dia comportam-se, praticamente, como um corpo rígido em diversas situações. Sobre esse assunto, considere as afirmativas, a seguir, verdadeiras (V) ou falsas (F). I. Um corpo rígido está em equilíbrio de translação quando seu centro de massa está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme. II. Um corpo rígido está em equilíbrio de rotação quando está em repouso (não roda) ou em movimento de rotação uniforme (roda com velocidade angular constante). III. A condição de equilíbrio de translação de um corpo rígido é que a resultante das forças externas atuantes no corpo seja nula. IV. Denomina-se centro de gravidade (G) de um corpo ou sistema de pontos materiais um determinado ponto por onde passa a linha de ação do peso resultante. Assinale a alternativa CORRETA. a) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. b) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas I, II e IV são verdadeiras. d) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
C13 Centro de gravidade
02. (UEPG PR) Sobre o sistema de forças que atuam sobre um corpo, conforme esquematizado na figura abaixo, assinale o que for correto. 28
01. Se F1 for igual à soma algébrica de F2 e F3 o corpo está em equilíbrio translacional. 02. Se os módulos das forças forem diferentes umas das outras, o sistema admitirá uma resultante não nula independentemente dos ângulos que elas formam entre si.
188
04. Se o sistema admitir uma resultante não nula cuja linha de ação passe fora do centro de gravidade, o corpo está sujeito a executar um movimento de rotação. 08. Se F1= F2= F3 , os ângulos entre F1 e F2 ; F2 e F3 forem 120°, o corpo estará em repouso ou em movimento uniforme. 16. Se o sistema admitir uma resultante não nula, cuja linha de ação passe pelo centro de gravidade do corpo, este executa um movimento retilíneo uniformemente variado. 03. (UFTM MG) Três corpos A, B e C, de massas respectivamente iguais a m, 3 m e 6 m, distam entre si de um valor , conforme a figura. A posição do centro de massa do sistema está à distância:
a) de A, à esquerda de A. b) 0,2 de A, à esquerda de A. c) 0,3 de A, entre A e B. d) 0,5 de B, entre B e C. e) 1,5 de B, à direita de C. 04. (Fuvest SP) Um avião, com massa M = 90 toneladas, para que esteja em equilíbrio em voo, deve manter seu centro de gravidade sobre a linha vertical CG, que dista 16 m do eixo da roda dianteira e 4,0 m do eixo das rodas traseiras, como na figura abaixo. Para estudar a distribuição de massas do avião, em solo, três balanças são colocadas sob as rodas do trem de aterrissagem. A balança sob a roda dianteira indica MD e cada uma das que estão sob as rodas traseiras indica MT.
Uma distribuição de massas, compatível com o equilíbrio do avião em voo, poderia resultar em indicações das balanças, em toneladas, correspondendo aproximadamente a a) MD = 0 MT = 45 b) MD = 10 MT = 40 c) MD = 18 MT = 36 d) MD = 30 MT = 30 e) MD = 72 MT = 9,0
Ciências da Natureza e suas Tecnologias Gabarito questão 07 1. x = 1,0 m 2. Esse deslizamento ocorre mais facilmente se o automóvel tiver tração nas rodas traseiras, pois a reação normal nessas rodas é menor (corresponde a 40% do peso do automóvel), fazendo com que o atrito estático máximo, no limite do deslizamento, seja menor nas rodas traseiras do que nas dianteiras.
05. (UFRJ) Um portão retangular de massa igual a 50 kg tem 2,50 m de comprimento, 1,45 m de altura e está preso a duas dobra-
07. (UFMG) O Manual do Usuário de um automóvel contém estas informações:
diças A e B. O vértice da dobradiça A dista 0,10 m do topo do
nn a distância entre os eixos das rodas é de 2,5 m; e
portão, e o vértice da dobradiça B, 0,10 m da base, como indica
nn 60% do peso do veículo está concentrado sobre as rodas
dianteiras e 40%, sobre as rodas traseiras.
a figura a seguir.
1. Considerando essas informações, CALCULE a distância horizontal entre o eixo da roda dianteira e o centro de gravidade desse automóvel. 2. Durante uma arrancada, a roda desse automóvel pode deslizar sobre o solo. Considerando a situação descrita e as informações do Manual, RESPONDA: Esse tipo de deslizamento ocorre mais facilmente se o automóvel tiver tração nas rodas dianteiras ou nas rodas traseiras? JUSTIFIQUE sua resposta. a) |FA + FB |= 500N; b) FAh = 500N.
Suponha que o sistema esteja em repouso, que o peso do portão esteja aplicado em seu centro geométrico e que a aceleração g da gravidade local seja 10 m/s2.
08. (UFC CE) Cada um dos quadrados mostrados na figura abaixo tem lado b e massa uniformemente distribuída. Determine as coordenadas (x,y) do centro de massa do sistema formado pelos quadrados. x = 1,5b; y = 1,5b
a) Calcule o módulo da força resultante exercida pelas duas dobradiças sobre o portão. b) Calcule o módulo da componente horizontal da força exercida pela dobradiça A sobre o portão e determine seu sentido. 06. (Unesp SP) A figura mostra, em corte, um trator florestal “derrubador–amontoador” de massa 13 000 kg; x é a abscissa de seu centro de gravidade (CG). A distância entre seus eixos, traseiro e dianteiro, é DE = 2,5 m.
09. (UECE) Uma caixa cúbica, sem o tampo superior, é constituída de cinco lâminas metálicas iguais, finas, uniformes e de mesmo material, conforme a figura a seguir.
Admita que 55% do peso total do trator são exercidos sobre os pontos de contato dos pneus dianteiros com o solo (2) e o restante sobre os pontos de contato dos pneus traseiros com o solo (1). Determine a abscissa x do centro de gravidade desse trator, em relação ao ponto 1. x = 1,4 m Adote g = 10 m/s2 e dê a resposta com dois algarismos significativos.
No sistema de referência da figura, as coordenas x, y e z do centro de massa da caixa são a) (a/2, a/2, 2a/5). b) (a/2, a/2, a/2). c) (2a/5, 2a/5, 2a/5). d) (4a/5, a/5, a/5).
189
C13 Centro de gravidade
(J.S.S. de Lima et al. I n www.scielo.br/pdf/rarv/v28n6/23984.pdf)
FRENTE
C
FÍSICA
MÓDULO C14
ASSUNTOS ABORDADOS
ALAVANCAS
nn Alavancas nn Princípio de funcionamento de uma alavanca nn Tipos de alavancas nn Polias
Em Física, a alavanca é um objeto rígido que é usado com um ponto fixo apropriado (fulcro) para multiplicar a força mecânica que pode ser aplicada a outro objeto (resistência). Isso é denominado também vantagem mecânica, e é um exemplo do princípio dos momentos. O princípio da força de alavanca pode também ser analisado usando as leis de Newton.
Princípio de funcionamento de uma alavanca A força aplicada em pontos de extremidade da alavanca é proporcional à relação do comprimento do braço de alavanca medido entre o fulcro e o ponto da aplicação da força em cada extremidade da alavanca. A equação fundamental das alavancas é: F P × bP =FR × bR , em que: nn FP
é o módulo da força potente; é o módulo da força resistente; nn bP é o braço potente; e nn bR é o braço resistente. nn FR
Tipos de alavancas As alavancas podem ser classificadas em três tipos, de acordo com o elemento que fica entre os pontos. nn Interfixa:
é aquela cujo ponto fixo está em algum lugar entre a força potente e a força resistente.
nn Interpotente:
é aquela cuja força potente está em algum lugar entre o ponto fixo e a força resistente.
nn Inter-resistente:
é aquela cuja força resistente está em algum lugar entre o ponto fixo e a força potente.
Dizemos que uma alavanca é do tipo interfixa quando o ponto fixo ocupa um lugar qualquer entre a força potente e a força resistente, como mostra a figura abaixo.
Exemplos: alicate, tesoura etc. 190
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Uma alavanca é considerada do tipo interpotente quando a força potente está localizada em algum lugar entre a força resistente e o ponto fixo. Veja a ilustração abaixo.
Exemplo: pinça, vara de pescar etc. Uma alavanca é considerada inter-resistente quando a força resistente se encontra em algum lugar entre a força potente e o ponto fixo. Veja a figura abaixo.
Exemplos: carrinho de mão, quebra-nozes etc.
Polias A polia (também conhecida como roldana ou moitão) é uma peça mecânica muito comum a diversas máquinas, utilizada para transferir força e energia cinética. A polia também é um tipo de máquina simples. Uma polia é constituída por uma roda de material rígido, normalmente metal, madeira lisa ou sulcada, em sua periferia. Acionada por uma correia, corda ou corrente metálica, a polia gira em um eixo, transferindo movimento e energia a outro objeto. Quando associada à outra polia de diâmetro igual ou não, ela realiza o trabalho. Polias móveis A figura abaixo mostra uma aplicação de polias para reduzir a força necessária para levantar um objeto. Nessa configuração com duas polias, a força de tração T necessária para segurar um objeto de peso P é igual à metade de P:
Para o caso de n polias móveis, temos a seguinte relação: P 2n
C14 Alavancas
T= onde n: número de polias móveis P: peso do objeto
191
Física
EXEMPLO (ESCS DF) A figura mostra um antebraço em equilíbrio na vertical, mantendo uma mola horizontal esticada. O bíceps braquial está puxando o rádio com uma força F, perpendicular a esse osso, aplicada a uma distância de 4,0 cm da articulação do cotovelo, como indicado na figura.
c) 25 N d) 80 N. e) 3200 N. RESOLUÇÃO A figura corresponde a uma alavanca interpotente, porque a força potente está entre o fulcro (ponto de apoio) e a força resistente (força elástica da mola). Vamos representar o diagrama de forças que atuam no antebraço (alavanca). Aplicando a equação das alavancas:
FP ⋅ bP =FR ⋅ bR FP ⋅ 4= 100 ⋅ 32 FP = 800 N A distância entre a articulação do cotovelo e a horizontal da mola é de 32 cm e a tensão na mola é de 100 N. O módulo da força F do bíceps braquial sobre o rádio é: a) 100 N b) 800 N
Exercícios de Fixação 01. (IF PE) Dois baldes A e B, de massas desprezíveis, estão suspensos por roldanas e fios ideais, como está representado na figura abaixo.
C14 Alavancas
Eles contêm água e, quando o sistema está em equilíbrio, as massas de água nos baldes podem ser a) iguais. b) desiguais, sendo a massa de água do balde A o dobro da massa de água do balde B. c) diferentes, sendo a massa de água do balde B o dobro da massa de água do balde A. d) desiguais, sendo a massa de água do balde A o quádruplo da massa de água do balde B. e) diferentes, sendo a massa de água do balde B o quádruplo da massa de água do balde A.
192
02. (IF SP) Em um parque de diversão, Carlos e Isabela brincam em uma gangorra que dispõe de dois lugares possíveis de se sentar nas suas extremidades. As distâncias relativas ao ponto de apoio (eixo) estão representadas conforme a figura a seguir.
Sabendo-se que Carlos tem 70 kg de massa e que a barra deve permanecer em equilíbrio horizontal, assinale a alternativa correta que indica respectivamente o tipo de alavanca da gangorra e a massa de Isabela comparada com a de Carlos. a) Interfixa e maior que 70 kg. b) Inter-resistente e menor que 70 kg. c) Interpotente e igual a 70 kg. d) Inter-resistente e igual a 70 kg. e) Interfixa e menor que 70 kg. 03. (Acafe SC) Um instrumento utilizado com frequência no ambiente ambulatorial é uma pinça. Considere a situação em que se aplica simultaneamente uma força F de módulo 10 N como se indica na figura a seguir.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
cabo, e o índice 2 está relacionado à lâmina de corte. Sobre a vantagem mecânica da tesoura, é correto afirmar:
O módulo da força, em newtons, que cada braço exerce sobre o objeto colocado entre eles é: a) 15 b) 8 c) 10 d) 4 04. (Unir RO)A coluna da esquerda apresenta os tipos de alavanca e da direita, exemplo de cada um. Numere a coluna da direita de acordo com a da esquerda. 1. Interfixa 2. Interpotente 3. Inter - resistente Marque a sequência correta. a) 3, 1, 2 b) 1, 3, 2 c) 1, 2, 3
a) Se d1 for menor que d2, F2 é maior que F1. b) Se d1 for menor que d2, F1 é igual a F2. c) Se d1 for maior que d2, F2 é maior que F1. d) Se d1 for maior que d2, F1 é maior que F2. e) Se d1 for igual a d2, F1 é maior que F2. 07. (Fatec SP) De acordo com a mecânica clássica, são reconhecidos três tipos básicos de alavancas: a interfixa, a inter-resistente e a interpotente, definidas de acordo com a posição relativa da força potente (F), da força resistente (R) e do ponto de apoio (P), conforme a figura 1.
( ) Quebra-nozes ( ) Alicate ( ) Pinça d) 3, 2, 1 e) 2, 1, 3
05. (Fuvest SP) O guindaste da figura abaixo pesa 50 000 N sem carga e os pontos de apoio de suas rodas no solo horizontal estão em x = 0 e x = –5 m. O centro de massa (CM) do guindaste sem carga está localizado na posição (x = –3 m, y = 2 m). Na situação mostrada na figura, a maior carga P que esse guindaste pode levantar pesa
Os seres vivos utilizam esse tipo de mecanismo para a realização de diversos movimentos. Isso ocorre com o corpo humano quando, por exemplo, os elementos ósseos e musculares do braço e do antebraço interagem para produzir movimentos e funcionam como uma alavanca, conforme a figura 2.
a) 7 000 N b) 50 000 N c) 75 000 N d) 100 000 N e) 150 000 N 06. (Uel PR) Uma tesoura é uma ferramenta construída para ampliar a força exercida pela mão que a utiliza para cortar os objetos. A essa ampliação de força dá-se o nome de “vantagem F d mecânica” dada por 2 = 1 , em que o índice 1 é relativo ao F1 d2
Nessa alavanca, o ponto de apoio está localizado na articulação entre o úmero, o rádio e a ulna. A força potente é aplicada próximo à base do rádio, onde o tendão do bíceps se insere, e a força resistente corresponde ao peso do próprio antebraço. Com base nessas informações, é possível concluir, corretamente, que a contração do bíceps provoca no membro superior um movimento de a) extensão, por um sistema de alavanca interfixa. b) extensão, por um sistema de alavanca interpotente. c) flexão, por um sistema de alavanca inter-resistente. d) flexão, por um sistema de alavanca interpotente. e) flexão, por um sistema de alavanca interfixa. 193
C14 Alavancas
(commons.wikimedia.org/wiki/File:Biceps_(PSF).png Acesso em: 12.09.2013. Adaptado)
Física
Exercícios Complementares 01. (Expcex SP) O desenho abaixo representa um sistema composto por cordas e polias ideais de mesmo diâmetro. O sistema sustenta um bloco com peso de intensidade P e uma barra rígida AB de material homogêneo de comprimento L. A barra AB tem peso desprezível e está fixada a uma parede por meio de uma articulação em A. Em um ponto X da barra é aplicada uma força de intensidade F e na sua extremidade B está presa uma corda do sistema polias-cordas. Desprezando as forças de atrito, o valor da distância AX para que a força F mantenha a barra AB em equilíbrio na posição horizontal é
03. (FCM MG) A figura mostra uma barra rígida, homogênea, quadriculada, de peso P, que está apoiada a uma distância X de uma de suas extremidades e encontra-se em equilíbrio na horizontal. Uma esfera de peso P está pendurada na extremidade direita da barra e na esquerda está preso um fio fino, que passa por 3 roldanas de atrito desprezível, até fixar-se no teto.
Um bloco de peso p está pendurado na roldana móvel. A relação entre o peso p do bloco e o peso P da barra e da esfera é: a) p = 2P. c) p = 6P. b) p = 4P. d) p = 8P.
a)
P ⋅L 8 ⋅F
c)
P ⋅L 4 ⋅F
b)
P ⋅L 6 ⋅F
d)
P ⋅L 3 ⋅F
e)
P ⋅L 2 ⋅F
02. (Acafe SC) Uma família comprou uma casa nova e estava se preparando para a mudança. Os homens carregando a mobília e a mãe com a filha empacotando os objetos menores. De repente, a mãe pega um porta-retrato com uma foto tirada na construção da antiga casa. A menina observa que era possível ver na foto dois pedreiros trabalhando, um deles usando o carrinho de mão para carregar massa e o outro usando o martelo para arrancar um prego da madeira. Sua avó aparecia com a vassoura na mão varrendo a varanda e sua mãe aparência através da janela com uma pinça na mão, aparando a sobrancelha. Com isso, lembrou-se das aulas de Física e percebeu que todos os personagens da foto portavam máquinas simples.
C14 Alavancas
Assinale o nome das máquinas simples associadas aos quatro objetos vistos na foto, respectivamente com os citados. a) Inter-resistente / interfixa / interpotente / interpotente. b) Interpotente / interfixa / inter-resistente / interpotente. c) Interfixa / interpotente / interpotente / inter-resistente d) Inter-resistente / interpotente / interfixa / interpotente.
194
04. (UEPG PR) Sobre o equilíbrio de pontos materiais e/ou corpos rígidos, assinale o que for correto. 05 01. Para que um corpo gire em torno de um ponto por ação de uma força, é necessário que a linha de ação da força não passe pelo ponto. 02. Quando um corpo se encontra em equilíbrio sob a ação de três forças apenas, elas devem ser coplanares e concorrentes. 04. Binário é um sistema constituído por duas forças de linhas de ação paralelas, de mesma intensidade e de sentidos opostos, cujo único efeito ao agir sobre um corpo é produzir rotação. 08. Centro de gravidade de um corpo é o ponto no qual se concentra toda a massa do corpo. 05. (UFSM RS) Suponha que, do eixo das articulações dos maxilares até os dentes da frente (incisivos), a distância seja de 8 cm e que o músculo responsável pela mastigação, que liga o maxilar à mandíbula, esteja a 2 cm do eixo, conforme o esquema.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Se a força máxima que o músculo exerce sobre a mandíbula for de 1 200 N, o módulo da força exercida pelos dentes da frente, uns contra os outros, em N, é de a) 200 d) 800 b) 300 e) 1 000 c) 400 06. (FMABC SP) Observando a talha exponencial representada na figura, podemos dizer que a vantagem mecânica e o valor da tração (T) no outro extremo da corda valem, respectivamente,
08. (Acafe SC) Uma máquina simples é um dispositivo formado por uma única peça capaz de alterar uma força (seja no sentido, direção ou intensidade) e, assim, ajudar o homem a realizar um trabalho com maior comodidade. Essas máquinas estão presentes no cotidiano das pessoas em algumas tarefas diárias. Nesse sentido, correlacione as situações e os objetos descritos na primeira coluna com as denominações das máquinas simples da segunda coluna. (1) Utilização de uma tesoura para cortar um pedaço de papel. (2) A utilização de um parafuso para penetrar na madeira. (3) Utilização do carrinho de mão para carregar pedras. (4) A pinça facilita a retirada dos pelos da sobrancelha. ( ( ( (
) Alavanca interpotente ) Plano inclinado ) Alavanca interfixa ) Alavanca inter-resistente
A sequência correta, de cima para baixo, é: a) 1 - 3 - 4 - 2 b) 3 - 4 - 1 - 2 c) 4 - 2 - 1 - 3 d) 2 - 4 - 3 – 1
a) 4 e P/4 b) 8 e P/8 c) 3 e P/4
d) 16 e P/16 e) 8 e P/3
09. (Uerj RJ) A figura abaixo representa um sistema composto por uma roldana com eixo fixo e três roldanas móveis, no qual um corpo R é mantido em equilíbrio pela aplicação de uma força F, de uma determinada intensidade.
a) 3H b) H c) 2H d) 4H
Considere um sistema análogo, com maior número de roldanas móveis e intensidade de F inferior a 0,1% do peso de R. O menor número possível de roldanas móveis para manter esse novo sistema em equilíbrio deverá ser igual a: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11
195
C14 Alavancas
07. (Unimontes MG) Um operário usa um sistema de roldanas para elevar um objeto de peso P a uma altura H em relação ao solo (veja a figura). Para tanto, ele exerce uma força F puxando a corda do sistema de roldanas. O comprimento de corda que o operário puxa para erguer o objeto é
FRENTE
C
FÍSICA
MÓDULO C15
ASSUNTOS ABORDADOS nn Gravitação universal nn As leis de kepler
GRAVITAÇÃO UNIVERSAL Um dos objetivos mais antigos da Física é compreender a força gravitacional, ou seja, a força que nos mantém na superfície da Terra, que mantém a Lua em órbita em torno da Terra e que mantém a Terra em órbita em torno do Sol. A força gravitacional também se estende ao espaço intergaláctico mantendo unidas as galáxias do Grupo Local, que inclui, além da Via Láctea, a galáxia de Andrômeda e várias galáxias anãs mais próximas, como a Grande Nuvem de Magalhães. A força gravitacional também é responsável por uma das entidades mais misteriosas do universo, o buraco negro. Quando uma estrela consideravelmente maior que o Sol se apaga, a força gravitacional entre suas partículas pode fazer com que a estrela se contraia indefinidamente, formando um buraco negro. A força gravitacional na superfície de uma estrela desse tipo é tão intensa que nem a luz pode escapar (daí o nome “buraco negro”).
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As Leis de Kepler
196
Desde os tempos remotos, os movimentos aparentemente aleatórios dos planetas em relação às estrelas intrigaram os observadores do céu. Desde a Antiguidade, vários povos observavam corpos celestes e falavam de fenômenos astronômicos, trabalhavam a cultura da lavoura ou até colocavam os seus deuses no céu e atribuíam-lhes as manifestações divinas. O estudo dos astros teve início com os gregos antigos. Foram eles os primeiros a tentar explicar o movimento dos corpos celestes. O mais importante desses pensadores foi Cláudio Ptolomeu, que propôs o sistema planetário geocêntrico (Terra como centro do universo). Segundo esse sistema, a Terra é o centro de todo o Universo e o Sol e a Lua descreviam órbitas circulares ao redor da Terra. Quanto aos outros planetas, cada um deles descreveria órbitas circulares em torno de um centro, isto é, ao redor da Terra.
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
O sistema geocêntrico prevaleceu por muitos anos. Somente séculos mais tarde é que foram feitas contestações e levantadas novas hipóteses sobre o movimento dos corpos celestes e todo o universo. Nicolau Copérnico (1473 –1543), em seus estudos, propôs o Sol como centro do Universo, ou heliocentrismo, ideia segundo a qual os planetas então conhecidos descreveriam órbitas circulares ao redor do Sol. Esse sistema permaneceu durante um bom tempo, até que anos mais tarde Johannes Kepler (1571 –1630), discípulo de Tycho Brahe (1546 – 1601), determinou as leis do Universo assim como as conhecemos hoje. Essas leis podem ser usadas para estudar o movimento de satélites, naturais ou artificiais, em volta da Terra ou de qualquer outro corpo cuja massa seja muito maior que a do satélite. Primeira Lei de Kepler – Lei das Órbitas
a uma distância e.a do centro da elipse (O), onde e é a excentricidade e a é o semieixo maior da elipse. A excentricidade e é um número adimensional entre 0 e 1. Quando e = 0, a elipse se transforma em uma circunferência. A excentricidade da Terra, por exemplo, é e = 0,017. O periélio corresponde ao ponto mais próximo do Sol na órbita do planeta, e o afélio corresponde ao ponto mais afastado do Sol na órbita do planeta. Segunda Lei de Kepler – Lei das Áreas “A reta que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais”. Kepler também achava que os planetas não se deslocavam ao redor do Sol com velocidade constante, mas que se moviam mais rapidamente quando estavam mais próximos ao Sol e mais lentamente quando estavam mais afastados dele.
“Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos”. Os estudos de Kepler o levaram a concluir que, realmente, os planetas se movem em torno do Sol, mas suas órbitas são elípticas e não circulares, como supunha Copérnico. Além disso, Kepler verificou que o Sol está em um dos focos da elipse e não no seu centro. Uma elipse é uma curva específica: uma trajetória fechada descrita por um ponto que se move de maneira tal que a soma de suas distâncias até dois pontos fixos (chamados de focos) é constante. Devemos salientar que a órbita de um planeta não é uma elipse tão alongada como sugere a figura seguinte. Na realidade, as órbitas pouco diferem de uma circunferência e é realmente impressionante como as medidas de Tycho Brahe puderam ser tão precisas que possibilitaram ao gênio Kepler descobrir que as órbitas são elipses.
Enquanto o planeta se desloca de A para B, a reta que o une ao Sol “varre” a área 1. Ao se deslocar de C para D, essa reta “varre” a área 2. Kepler verificou que, se o tempo que o planeta gasta para ir de A até B for igual ao necessário para ir de C até D, as áreas 1 e 2 serão iguais. Sendo A a área varrida e ∆t o intervalo de tempo transcorrido, podemos escrever que: A= v A ⋅ ∆t A constante de proporcionalidade vA denomina-se velocidade areolar e representa a rapidez com que a área é varrida.
“O quadrado do período de revolução de cada planeta é proporcional ao cubo do raio médio da respectiva órbita”. T 2 = k.R3 A figura acima mostra um planeta em órbita elíptica em torno do Sol. O Sol ocupa um dos focos (F) da elipse. O outro foco (F’) está localizado no espaço vazio. Os dois focos ficam
Sendo: nn T
o tempo gasto para um planeta dar uma volta completa ao redor do Sol (período), 197
C15 Gravitação universal
Terceira Lei de Kepler – Lei dos Períodos
Física
nn R
a medida do semieixo maior de sua órbita (denominado raio médio) e
nn K
uma constante de proporcionalidade que só depende da massa do Sol.
Essa relação mostra que, quanto mais distante um planeta estiver do Sol, maior será seu tempo de revolução ao redor da estrela. Para todos os planetas de nosso Sistema Solar, a relação acima possui praticamente o mesmo valor. Observe na tabela abaixo que, ao aplicar a terceira lei de Kepler para os planetas, os valores convergirão para 1.
Planeta
Raio médio da órbita (UA*)
Período em anos terrestres
T2/R3
Mercúrio
0,387
0,241
1,002
Vênus
0,723
0,615
1,001
Terra
1,000
1,000
1,000
Marte
1,524
1,881
1,000
Júpiter
5,203
11,860
0,999
Saturno
9,539
29,460
1,000
Urano
19,190
84,010
0,999
Netuno
30,060
164,800
1,000
* UA = Unidade astronômica. Equivale à distância da Terra ao Sol (1,48 x 108 Km)
As leis de Kepler dão uma visão cinemática do Universo, mas não basta só entender os movimentos dos planetas, é também necessário entender como eles conseguem permanecer sempre na mesma trajetória, descrevendo as mesmas órbitas elípticas e não caem, como é o caso da relação da Lua com a Terra. Kepler estava familiarizado com as ideias de Galileu sobre a inércia e o movimento acelerado, mas deixou de aplicá-las ao seu próprio trabalho. Kepler jamais apreciou muito o conceito de inércia de Galileu. Este, por outro lado, jamais apreciou muito o trabalho de Kepler e manteve sua convicção de que os planetas moviam-se em círculos. Uma compreensão mais avançada do movimento planetário requeria alguém que pudesse integrar as descobertas desses dois grandes cientistas. A lei da Gravitação Universal de Isaac Newton explica como isso é possível.
EXEMPLO
C15 Gravitação universal
Considere um planeta X gravitando em órbita circular em torno do Sol. Admita que o raio da órbita desse planeta seja 4 vezes maior que o raio da órbita da Terra. Nessas condições calcule o período de translação desse planeta, expresso em anos terrestres.
período de X: TX = ? Utilizando a Terceira Lei de Kepler, podemos escrever que: TT2 TX2 = R3T R3X
RESOLUÇÃO De acordo com o texto, temos os seguintes dados: raio da órbita da Terra: RT = R raio da órbita de X: Rx = 4R período da Terra: TT = 1 ano
198
2 TX=
64R3 R3
⇒
⇒
Tx = 8 anos terrestres
TX2 12 = 3 R ( 4R )3 2 TX= 64
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Exercícios de Fixação 01. (Famerp SP) Cometa e Rosetta atingem ponto mais próximo do Sol O cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko e a sonda Rosetta, que o orbita há mais de um ano, chegaram ao ponto de maior aproximação do Sol. O periélio, a cerca de 186 milhões de quilômetros do Sol, foi atingido pelo cometa em agosto de 2015. A partir daí, o cometa começou mais uma órbita oval, que durará 6,5 anos. O afélio da órbita desse cometa está a cerca de 852 milhões de quilômetros do Sol. Espera-se que Rosetta o monitore por, pelo menos, mais um ano.
quês Tycho Brahe, propôs um modelo que mudou definitivamente o entendimento a respeito das órbitas dos planetas. Kepler propôs que a trajetória dos planetas assume uma forma ovalada (ver figura a seguir).
(www.inovacaotecnologica.com.br. Adaptado.)
02. (Unifor CE) A terceira Lei de Kepler preconiza que os quadrados dos períodos de revolução dos planetas em torno do Sol é proporcional aos cubos dos seus respectivos raios médios de órbitas. De acordo com esta Lei, podemos afirmar que a) quanto maior a distância do planeta ao Sol, menor a sua velocidade. b) o Sol se encontra no centro da órbita elíptica descrita pelos planetas. c) quanto maior a distância do planeta ao Sol, maior a sua velocidade. d) quanto maior for a massa de um planeta, menor é o seu período de revolução e) quanto menor for a massa de um planeta, menor é o seu período de revolução. 03. (IF GO) Desde muito cedo na história do homem, existem registros das observações do céu. A evolução a respeito da astronomia passou por diversos pensadores, entre eles se destaca o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630), que, de posse dos dados obtidos pelo astrônomo dinamar-
04. (Famerp SP) Atualmente, a Lua afasta-se da Terra a uma razão média aproximada de 4 cm/ano. Considerando as Leis de Kepler, é correto concluir que o período de a) rotação da Lua não se altera. b) rotação da Lua está diminuindo. c) translação da Lua ao redor da Terra não se altera. d) translação da Lua ao redor da Terra está aumentando. e) translação da Lua ao redor da Terra está diminuindo. 05. (Unicamp SP) A primeira lei de Kepler demonstrou que os planetas se movem em órbitas elípticas e não circulares. A segunda lei mostrou que os planetas não se movem a uma velocidade constante. (Adaptado Marvin Perry, Civilização Ocidental: uma história concisa. São Paulo: Martins Fontes, 1999, p. 289.)
É correto afirmar que as leis de Kepler a) confirmaram as teorias definidas por Copérnico e são exemplos do modelo científico que passou a vigorar a partir da Alta Idade Média. b) confirmaram as teorias defendidas por Ptolomeu e permitiram a produção das cartas náuticas usadas no período do descobrimento da América. c) são a base do modelo planetário geocêntrico e se tornaram as premissas cientificas que vigoram até hoje. d) forneceram subsídios para demonstrar o modelo planetário heliocêntrico e criticar as posições defendidas pela Igreja naquela época.
199
C15 Gravitação universal
De acordo com as informações, é correto afirmar que a) o cometa atingirá sua maior distância em relação ao Sol aproximadamente em agosto de 2017. b) a órbita elíptica do cometa está de acordo com o modelo do movimento planetário proposto por Copérnico. c) o cometa atingiu sua menor velocidade escalar de translação ao redor do Sol em agosto de 2015. d) o cometa estava em movimento acelerado entre os meses de janeiro e julho de 2015. e) a velocidade escalar do cometa será sempre crescente, em módulo, após agosto de 2015.
De acordo com as proposições de Kepler a respeito da órbita do movimento dos planetas, é correto afirmar: a) É circular, com o Sol no centro das órbitas. b) É circular, com a Terra no centro das órbitas. c) É elíptica, de grande excentricidade com o Sol em um dos focos. d) É elíptica de baixa excentricidade, com o Sol em um dos focos. e) É elíptica de baixa excentricidade, com a Terra em um dos focos.
Física
C15 Gravitação universal
Exercícios Complementares 01. (Udesc SC) Analise as proposições sobre o planeta Mercúrio, com base nas três leis de Kepler. I. A órbita de Mercúrio é circular, com o Sol localizado no centro da circunferência. II. A magnitude da velocidade de translação de Mercúrio varia ao longo de sua trajetória. III. A magnitude da velocidade de translação de Mercúrio é constante em toda a sua trajetória. IV. O período de translação de Mercúrio independe do raio de sua órbita circular. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa III é verdadeira. b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. c) Somente a afirmativa II é verdadeira. d) Somente as afirmativa II e IV são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
000 km de Saturno e tem um período de translação de, aproximadamente, 16 dias terrestres ao redor do planeta.
02. (UFJF MG) Muitas teorias sobre o Sistema Solar se sucederam, até que, no século XVI, o polonês Nicolau Copérnico apresentou uma versão revolucionária. Para Copérnico, o Sol, e não a Terra, era o centro do sistema. Atualmente, o modelo aceito para o Sistema Solar é, basicamente, o de Copérnico, feitas as correções propostas pelo alemão Johannes Keppler e por cientistas subsequentes.
Tétis é outro dos maiores satélites de Saturno e está a uma distância média de Saturno de 300 000 km. Considere:
(http://caronteiff.blogspot.com.br. Adaptado.)
Sobre Gravitação e as Leis de Kepler, considere as afirmativas, a seguir, verdadeiras (V) ou falsas (F). I. Adotando-se o Sol como referencial, todos os planetas movem-se descrevendo órbitas elípticas, tendo o Sol como um dos focos da elipse. II. O vetor posição do centro de massa de um planeta do Sistema Solar, em relação ao centro de massa do Sol, varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais, não importando a posição do planeta em sua órbita. III. O vetor posição do centro de massa de um planeta do Sistema Solar, em relação ao centro de massa do Sol, varre áreas proporcionais em intervalos de tempo iguais, não importando a posição do planeta em sua órbita. IV. Para qualquer planeta do Sistema Solar, o quociente do cubo do raio médio da órbita pelo quadrado do período de revolução em torno do Sol é constante. Assinale a alternativa CORRETA. a) Todas as afirmativas são verdadeiras. b) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras. c) Apenas as afirmativas I, II e IV são verdadeiras. d) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. e) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 03. (Unesp SP) Saturno é o sexto planeta a partir do Sol e o segundo maior, em tamanho, do sistema solar. Hoje, são conhecidos mais de sessenta satélites naturais de Saturno, sendo que o maior deles, Titã, está a uma distância média de 1 200
200
a
a
a
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
04. (UFTM MG) Em um determinado sistema planetário, um planeta descreve um movimento de translação ao redor de uma estrela, segundo a trajetória e o sentido representados na figura. Sabe-se que o deslocamento entre os pontos A e B ocorre em quatro meses terrestres e que as áreas A1 e A2 são iguais.
Considerando válidas as leis de Kepler para o movimento planetário e sabendo que o período de translação do planeta ao redor de sua estrela é igual a 20 meses terrestres, o intervalo de tempo para que ele percorra o trecho CA, em meses terrestres, é igual a a) 11. c) 14. e) 13. b) 12. d) 10. 05. (Unifor CE) O período de translação do planeta Mercúrio em torno do Sol é de aproximadamente 3 meses, comparado ao período terrestre. Gabrielle, de 48 anos de idade, ficou imaginando se fosse possível morar em Mercúrio, qual seria sua idade. Pegando uma folha de papel e lápis, verificou que teria, naquele planeta, a idade de: a) 34 anos. b) 88 anos. c) 144 anos. d) 192 anos. e) 205 anos. 06. (Unicamp SP) Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos anos. As figuras abaixo ilustram a situação de maior afastamento e a de maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são circulares, que o raio da órbita terrestre (RT) mede 1,5 × 1011 m e que o raio da órbita de Júpiter (RJ) equivale a 7,5 × 1011 m.
De acordo com a terceira lei de Kepler, o período de revolução e o raio da órbita desses planetas em torno do Sol obedecem 2
3
T R à relação J = J , em que TJ e TT são os períodos de TT R T Júpiter e da Terra, respectivamente. Considerando as órbitas circulares representadas na figura, o valor de TJ em anos terrestres é mais próximo de a) 0,1. c) 12. b) 5. d) 125. 07. (UEMG) O Sol é uma estrela que tem oito planetas movendo-se em torno dele. Na ordem de afastamento do Sol, temos, em sequência: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. Três estudantes fizeram afirmações sobre o Sistema Solar: Margarete: “Marte leva mais de um ano para dar uma volta completa em torno do Sol”; Mardânio: “Forças gravitacionais mantêm o planeta Netuno girando em torno do Sol”; Fabiano: “Mercúrio é o planeta que leva mais tempo para dar uma volta em torno do Sol”. Fizeram afirmações CORRETAS a) todos eles. b) apenas Mardânio e Fabiano. c) apenas Margarete e Mardânio. d) apenas Margarete e Fabiano. 08. (UEA AM) Em dezembro de 2011, astrônomos anunciaram ter encontrado dois planetas de tamanho muito próximo ao da Terra em órbita ao redor de Kepler-20, uma estrela similar ao Sol. Um deles, Kepler 20-f, demora aproximadamente 18 dias terrestres para dar uma volta completa em torno de sua estrela. O outro, Kepler 20-e, demora 6 dias terrestres para fazer o mesmo. (veja.abril.com.br. Adaptado.)
(buzzbox.com)
Sendo Rf o raio médio da órbita de Kepler 20-f em torno de sua estrela e Re o raio médio da órbita de Kepler 20-e, a razão Re / Rf é igual a 1 1 a) . d) . 3 9 1 1 . b) e) 3 3 9 1 c) 3 . 3 201
C15 Gravitação universal
O período aproximado de translação de Tétis ao redor de Saturno, em dias terrestres, é a) 4. c) 6. e) 10. b) 2. d) 8.
FRENTE
C
FÍSICA
MÓDULO C16
ASSUNTOS ABORDADOS nn Lei de Newton para a gravitação nn Lei da gravitação universal nn A importância da força gravitacional
LEI DE NEWTON PARA A GRAVITAÇÃO De acordo com uma lenda popular, Newton estava sentado à sombra de uma macieira quando repentinamente lhe surgiu a ideia de que a gravidade se estendia além da Terra. Talvez ele tenha olhado através dos ramos da árvore para descobrir a origem da queda da maçã e tenha visto a Lua. Qualquer que tenha sido o evento, Newton teve o discernimento para compreender que a força entre a Terra e a maçã que caiu é a mesma força que atrai a Lua para uma órbita em torno da Terra. Reunindo as ideias de que o Sol atrai os planetas e a Terra atrai a Lua e a maçã, Newton concluiu: Essa atração deve ser um fenômeno geral (universal) e deve se manifestar entre dois objetos materiais quaisquer.
Lei da Gravitação Universal “Dois objetos quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros”.
Figura 01 - Isaac Newton nasceu em Londres, no ano de 1643, e viveu até o ano de 1727. Cientista, químico, físico, mecânico e matemático, trabalhou junto com Leibniz na elaboração do cálculo infinitesimal. Durante sua trajetória, ele descobriu várias leis da física, entre elas, a lei da gravidade.
202
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A lei da gravitação universal de Newton é expressa matematicamente pela equação abaixo:
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Em que:
Vamos ao gráfico:
nn F
é o módulo da força de atração gravitacional nn M1 e M2 são as massas dos dois corpos que se atraem nn d é a distância entre os centros dos dois corpos nn G é a constante de gravitação universal G = 6,67.10 -11 N.m2 / kg2 Foi o físico e químico inglês Henry Cavendish (1731 – 1810) quem mediu pela primeira vez o valor da constante de gravitação universal G, bem depois da época de Newton. Cavendish realizou uma experiência medindo a minúscula força de atração entre massas de chumbo com uma balança de torção extremamente sensível.
nn É
importante enfatizar que a distância d, na equação de Newton para a gravidade, é a distância entre os centros de massa dos objetos. nn A força de atração gravitacional sobre um objeto corresponde ao peso do objeto. nn O gráfico anterior mostra-nos que se um objeto, na superfície da Terra, for atraído com uma força de 1 N a uma distância duas vezes maior, ele será atraído com uma força 4 vezes menor, isto é, 1 4 N. nn A força gravitacional nunca será nula. Mesmo que um
objeto seja transportado para regiões longínquas da Terra, a influência da gravidade ainda existiria lá. Ela poderia ser sobrepujada pelas influências gravitacionais de corpos mais próximos.
A importância da força gravitacional A força gravitacional é a força mais importante na escala de planetas, estrelas e galáxias. Ela é responsável por manter a nossa Terra agregada e por manter os planetas girando ao redor do Sol.
O valor de G revela-nos que a força da gravidade é uma força muito fraca. Ela é a mais fraca das quatro forças fundamentais conhecidas. As outras três são: força eletromagnética, força nuclear forte e força nuclear fraca.
Levando em consideração que a força gravitacional é inversamente proporcional ao quadrado da distância, temos a tabela: Distância
d
2d
3d
4d
Força
F
F/4
F/9
F/16
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Gráfico F x d
203
C16 Lei de Newton para a gravitação
Assim, duas pequenas massas são fixadas nas pontas de uma barra suspensa por um fio. Essas pequenas massas podem se deslocar. Duas outras massas (bolas maiores) são mantidas fixas nas proximidades das massas menores. Inicialmente, a distância entre as massas é d. A força de interação gravitacional provocará um deslocamento da massa menor em direção à massa maior. Esse deslocamento causará uma torção no fio que sustenta a barra. Desse modo, a medida do ângulo de torção permite a determinação da constante da gravitação universal (G), presente na lei da gravitação universal de Newton.
Física
A força gravitacional é muito importante em escala cósmica porque ela atua à distância, sem nenhum contato entre os corpos. As forças elétricas e magnéticas também possuem essa notável propriedade, mas são menos importantes em escala astronômica porque grandes acumulações de matéria são eletricamente neutras. As interações fortes e fracas também agem à distância, porém sua influência é desprezível em distâncias maiores do que o diâmetro de um núcleo atômico, cerca de 10-14 m. Marés O fenômeno das marés também pode ser explicado pela teoria da gravitação de Newton. Ele mostrou que as marés eram causadas pelas diferenças na atração gravitacional entre a Lua e a Terra. A força gravitacional entre a Lua e a Terra é mais intensa sobre o lado da Terra que está mais próximo da Lua e mais fraca sobre o lado oposto, que está mais afastado da Lua. Isso ocorre simplesmente porque a força gravitacional torna-se mais fraca com o aumento da distância. O Sol também contribui para as marés, embora de maneira menos eficaz do que a Lua. Por causa de sua grande distância da Terra, a diferença entre suas atrações gravitacionais sobre lados opostos da Terra é muito pequena. Quando o Sol, a Terra e a Lua estão alinhados, as marés produzidas pelo Sol e pela Lua coincidem. Então nós temos marés altas acima da média e marés baixas abaixo da média. Quando a Lua está a meio caminho entre uma fase nova e uma fase cheia (quarto crescente ou quarto minguante), em ambos os lados, as marés provocadas pela Lua e pelo Sol anulam-se parcialmente. Então, as marés altas são mais baixas do que a média e as marés baixas são mais altas do que a média. Veja a figura ao lado: As estações do ano A sucessão das estações do ano é resultado da inclinação do eixo de rotação da Terra por 66,6° relativo ao seu plano de translação (23,4° em relação à normal ao plano). O eixo de rotação da Terra é a linha imaginária que une o polo Norte ao polo Sul e sua inclinação faz com que, em certas épocas do ano, um hemisfério receba a luz do Sol mais diretamente que o outro. Essa é a principal causa das estações do ano: primavera, verão, outono e inverno. Comparados às regiões tropicais, os polos, por exemplo, recebem os raios solares bastante inclinados e, por isso, absorvem apenas uma fração da luz do Sol; o que se reflete em temperaturas mais baixas nas extremidades polares. C16 Lei de Newton para a gravitação
Existe uma distribuição desigual de luz e calor solar nas diversas partes da Terra. Em função disso, diferentes partes recebem diferentes quantidades de luz e calor solar ao longo do ano. Assim, no verão, teremos mais luz e calor e, no inverno, menos luz e calor. Podemos observar que em qualquer momento, uma parte do planeta estará mais diretamente exposta aos raios do Sol do que outra. Essa exposição alterna conforme a Terra gira em sua órbita, portanto, a qualquer momento, independentemente da época, os hemisférios norte e sul experimentam estações opostas.
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Ciências da Natureza e suas Tecnologias
EXEMPLO Considere três corpos, A, B e C, de massas respectivamente iguais a 9M, M e 3M, alinhados conforme mostra a figura a seguir.
Utilizando a equação de Newton para a gravitação, vamos calcular os módulos das forças FAB e FCB . MA .MB 9M.M 9M2 = FAB G = G= G 2 2 dAB 25d2 ( 5d) MC .MB 3M.M 3M2 FCB G = G= G 2 = 2 2 dCB 4d (2d) A força resultante é dada por:
Sendo conhecidas a distância d e a constante de gravitação universal G, calcule em função de M, G e d a intensidade da força gravitacional resultante que atua sobre B. RESOLUÇÃO Inicialmente vamos representar o diagrama de forças sobre o corpo B.
FR = FCB - FAB = G
= FR
= FR
3M2 9M2 -G 4d2 25d2
25G.3M2 - 4G.9M2 75GM2 - 36GM2 = 100d2 100d2 39 GM2 GM2 ≈ 0,4 2 2 100 d d
Exercícios de Fixação
02. (Uefs BA) A gravidade é a mais fraca das quatro forças básicas. Apenas nos casos em que os corpos são de dimensões astronômicas, como a lua, os planetas e as estrelas, a gravidade se torna de fundamental importância. Com base nos conhecimentos sobre a Gravitação Universal, analise as afirmativas e marque V para as verdadeiras e F, para as falsas. ( ) As leis de Kepler são observações empíricas e podem ser deduzidas a partir das leis de Newton. ( ) Quando um planeta está mais próximo do Sol, ele se move mais rápido do que quando está mais afastado. ( ) O cubo do período de qualquer planeta é proporcional ao quadrado do semieixo maior de sua órbita. ( ) O Sol e a Lua exercem forças gravitacionais idênticas sobre os oceanos da Terra e provocam as marés. A alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo, é a a) V F F V d) F V F V b) V F V F e) F F V V c) V V F F
03. (Puc MG) O movimento dos planetas passou a ser descrito matematicamente no início do século XVII quando Johanes Kepler apresentou suas três leis que descreviam o movimento dos planetas ao redor do Sol. Cinquenta anos mais tarde, Newton reafirmou as leis de Kepler propondo a lei da gravitação universal. Assinale a alternativa que NÃO está de acordo com as ideias de Kepler e Newton. a) A força gravitacional entre dois corpos pode ser de atração e de repulsão. b) Ao longo de uma órbita, a velocidade do planeta, quando ele está mais próximo do Sol (periélio), é maior do que quando ele está mais distante (afélio). c) O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol. d) As órbitas dos planetas são elípticas com o Sol em um dos focos da elipse. 04. (Udesc SC) Recentemente, um grupo de astrônomos brasileiros da Universidade de São Paulo (USP) e da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) em parceria com o Observatório Europeu do Sul (ESO) descobriram a estrela gêmea do Sol mais velha já identificada, com 8,2 bilhões de anos – quase o dobro da idade do Sol, o qual tem 4,6 bilhões de anos. A estrela Hipparcos 102152 fica a 250 anos-luz da Terra, na constelação de Capricórnio. Considerando esta informação, analise as proposições. I. A luz gasta 250 anos para percorrer a distância entre Hipparcos 102152 e a Terra.
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C16 Lei de Newton para a gravitação
01. (UECE) Os planetas orbitam em torno do Sol pela ação de forças. Sobre a força gravitacional que determina a órbita da Terra, é correto afirmar que depende a) das massas de todos os corpos do sistema solar. b) somente das massas da Terra e do Sol. c) somente da massa do Sol. d) das massas de todos os corpos do sistema solar, exceto da própria massa da Terra.
Física
II. III.
A idade da estrela Hipparcos 102152 é de 250 anos. Qualquer fenômeno que ocorra, hoje, na estrela Hipparcos 102152, será percebido na Terra somente daqui a 250 anos. IV. Uma foto da estrela Hipparcos 102152 tirada hoje mostra como ela será daqui a 250 anos. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. b) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 05. (Unitau SP) A lei de gravitação universal nos dá a equação da força de interação mútua entre todos os corpos massivos do universo. Assim sendo, é possível calcular a força com que a Terra atrai e é atraída pelos demais corpos do universo. Um satélite cuja massa é de 103 kg foi colocado em órbita e em repouso a uma distância de 103 km, a partir da superfície média da Terra. Sabendo que o raio médio da Terra é de 6 400 km, pode-se afirmar que a força de atração gravitacional entre a Terra e esse satélite é aproximadamente de Dados: considere que a massa da Terra é igual a 6 × 1024 kg e que a constante de gravitação universal é igual a 6,67 × 10–11 N.m2/kg2. a) 1 000 N b) 5 000 N c) 5 600 N
d) 7 300 N e) 3 700 N
06. (Uem PR) Considerando as leis de Kepler e a lei da gravitação universal, assinale o que for correto. 15 01. Dois corpos quaisquer se atraem com forças cujos módulos são diretamente proporcionais ao produto das massas dos mesmos e inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre seus centros de massa.
02. Os planetas descrevem órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos da elipse. 04. O segmento de reta que liga qualquer planeta ao Sol “varre” áreas iguais em intervalos de tempos iguais. 08. O quadrado do período de translação de um planeta qualquer em torno do Sol é diretamente proporcional ao cubo do raio médio da órbita do planeta. 16. O período de translação de qualquer planeta ao redor do Sol é inversamente proporcional à massa do planeta. 07. (UEA AM) Existem asteroides que, em determinado trecho de suas órbitas, ficam mais próximos do Sol do que a Terra. Um desses asteroides é Apophis, cuja massa estimada é 2,8 × 1015 kg. Sendo a massa da Terra 6,0 × 1024 kg, a razão entre as intensidades das forças gravitacionais que o Sol exerce sobre a Terra e F sobre Apophis, T , quando ambos estão à mesma distância do FA Sol, é aproximadamente a) 0,25 × 10–9 b) 0,50 × 10–9 c) 1,0 × 105 d) 2,0 × 109 e) 4,0 × 109 08. (Udesc SC) A magnitude da força gravitacional entre um satélite e a Terra é igual a F. Se a massa do satélite e a distância entre o satélite e o centro da Terra diminuírem pela metade, a magnitude da força gravitacional é: a) F b) F/2 c) F/4 d) 4F e) 2F
C16 Lei de Newton para a gravitação
Exercícios Complementares 01. (FGV SP) A massa da Terra é de 6,0 × 1024 kg, e a de Netuno é de 1,0 × 1026 kg. A distância média da Terra ao Sol é de 1,5 × 1011 m, e a de Netuno ao sol é de 4,5×1012 m. A razão entre as forças de interação Sol-Terra e Sol-Netuno, nessa ordem, é mais próxima de a) 0,05 b) 0,5 c) 5 d) 50 e) 500 02. (UFGD MS) Conta a lenda que, repousando sob uma macieira, Isaac Newton foi atingido por uma maçã, e isso levou
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à descoberta da teoria da gravidade. Trata-se, porém, de uma historieta apenas, sem qualquer registro histórico que a sustente. No entanto, é possível usar essa história como pano de fundo para estimar a massa da Terra. Considere que a massa da maçã é 150 g, o raio da Terra é da ordem de 6,4 × 106 m, g = 10 m/s2 e a constante gravitacional G é da ordem de 6,7 × 10–11 Nm2/kg2. Se a maçã está em repouso no solo, a massa estimada da Terra é da ordem de a) 12 × 1020 kg b) 6 × 1024 kg c) 18 × 1020 kg d) 12 × 1024 kg e) 24 × 1020 kg
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
03. (UECE) Uma espaçonave está em uma trajetória em linha reta da Terra para a Lua. Considerando somente interações sobre a espaçonave devidas à Terra e à Lua, o ponto onde a força gravitacional da Terra sobre a espaçonave é máxima localiza-se a) no centro da trajetória. b) na superfície lunar. c) na superfície da Terra. d) a uma distância da Lua igual ao raio da Terra.
07. (Udesc SC) A maré é o fenômeno natural de subida e descida do nível das águas, percebido principalmente nos oceanos, causado pela atração gravitacional do Sol e da Lua. A ilustração abaixo esquematiza a variação do nível das águas ao longo de uma rotação completa da Terra.
04. (Uem PR) Com relação ao movimento de translação da Terra em torno do Sol, assinale o que for correto. 10 01. A Terra realiza seu movimento de translação em torno do Sol em uma órbita elíptica, com o Sol posicionado no centro da elipse. 02. No periélio, a velocidade de translação da Terra atinge o valor máximo. 04. No solstício, a duração do dia (período claro) é a mesma que a duração da noite (período escuro). 08. A intensidade da força gravitacional que o Sol exerce sobre a Terra é maior no periélio. 16. As estações do ano decorrem direta e unicamente do movimento de translação da Terra em torno do Sol.
Considerando tanto a Lua quanto os satélites geoestacionários, pode-se afirmar que a) as órbitas dos satélites geoestacionários obedecem às Leis de Kepler, mas não obedecem à Lei de Newton da Gravitação Universal. b) a órbita da Lua obedece às Leis de Kepler, mas não obedece à Lei de Newton da Gravitação Universal. c) suas órbitas obedecem às Leis de Kepler e à Lei de Newton da Gravitação Universal. d) suas órbitas obedecem às Leis de Kepler, mas não obedecem à Lei de Newton da Gravitação Universal. 06. (Ufpel RS) Suponha que a massa da Terra aumente em 9 vezes o seu valor. Baseado na Gravitação e no texto, a distância entre a Terra e a Lua para que a força de atração gravitacional entre ambas permanecesse a mesma deveria ser a) 3 vezes menor. b) 3 vezes maior. c) 9 vezes maior. d) 9 vezes menor. e) 6 vezes menor.
Considere as seguintes proposições sobre maré, e assinale a alternativa incorreta. a) As marés de maior amplitude ocorrem próximo das situações de Lua Nova ou Lua Cheia, quando as forças atrativas, devido ao Sol e à Lua, se reforçam mutuamente. b) A influência da Lua é maior do que a do Sol, pois, embora a sua massa seja muito menor do que a do Sol, esse fato é compensado pela menor distância da Terra. c) A maré cheia é vista por um observador quando a Lua passa por cima dele, ou quando a Lua passa por baixo dele. d) As massas de água que estão mais próximas da Lua ou do Sol sofrem atração maior do que as massas de água que estão mais afastadas, devido à rotação da Terra. e) As marés alta e baixa sucedem-se em intervalos de aproximadamente 6 horas. 08. (Ufop MG) Imagine que a massa do Sol se tornasse subitamente 4 vezes maior do que é. Para que a força de atração do Sol sobre a Terra não sofresse alteração, a distância entre a Terra e o Sol deveria se tornar: a) 4 vezes maior c) 8 vezes maior b) 2 vezes maior d) 3 vezes maior 09. (Ufac AC) O planeta Terra está a uma distância média do Sol igual a 1,5 × 108 km. Sendo 6,0 x 1024 kg a massa da Terra e 2,0× 1030 kg a massa do Sol, qual a intensidade da força de atração entre os astros? (Dado: G = 6,7 × 10−11N.m2/ kg2). a) 3,57 × 1022 N d) 5,36 × 1021 N b) 5,36 × 1033 N e) 3,57 × 1021 N 21 c) 7,14 × 10 N
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C16 Lei de Newton para a gravitação
05. (UFRN) A partir do final da década de 1950, a Terra deixou de ter apenas seu único satélite natural – a Lua –, e passou a ter também satélites artificiais, entre eles os satélites usados para comunicações e observações de regiões específicas da Terra. Tais satélites precisam permanecer sempre parados em relação a um ponto fixo sobre a Terra, por isso são chamados de “satélites geoestacionários”, isto é, giram com a mesma velocidade angular da Terra.
FRENTE
C
FÍSICA
Exercícios de Aprofundamento 01. (Unificado RJ) Na figura a seguir, associada a um sistema de eixos cartesianos, ilustra-se uma chapa uniforme e homogênea formada pela união de um triângulo equilátero de lado 6 dm e de um quadrado.
Se o sistema cartesiano está graduado em decímetro, ou seja, uma unidade no sistema cartesiano corresponde a um decímetro, a coordenada y do Centro de Gravidade da chapa é a)
3+ 3 2
d)
9 3 + 42 13
b)
9+ 3 2
e)
60 - 15 3 13
c)
9 3 + 14 13
02. (UFPA) Na figura abaixo está representado um brinquedo bastante popular, denominado pássaro equilibrista. O brinquedo, cujo peso vale 2 N, é apoiado em S (ponto de sustentação) e tem, quando em repouso, seu centro de gravidade G na mesma vertical que passa por S (situação 1). Deslocado da posição de equilíbrio (situação 2), o corpo tende a girar, devido à ação do binário formado pelas forças peso P e F aplicada no ponto de sustentação, oscilando algumas vezes em torno de S, mas novamente voltando à posição de equilíbrio inicial, que era o repouso. Para tal situação, são feitas as seguintes afirmações: (considere, caso necessário, sen 30o = 0,5 e cos 30o = 0,8 )
I.
Na situação 1 o equilíbrio do pássaro é estável e a energia potencial nesse caso é mínima. II. O torque exercido pelo binário na situação 2 vale 0,03 N.m. III. Quanto menor a distância entre S e G, maior a estabilidade do brinquedo. IV. O trabalho realizado para deslocar o pássaro para a posição 2 vale 1,2 J. Estão corretas somente a) I e II b) II e III c) I e IV d) I, II e IV e) II, III e IV 03. (UFMS) Um pião está girando em torno de seu próprio eixo, que está inclinado com relação à direção vertical. Sua fina ponteira permanece sobre um ponto O fixo no chão. O centro de gravidade CG do pião orbita sempre no mesmo plano, em torno do eixo vertical. As vizinhanças que interagem com o pião são o campo gravitacional, aplicando a força peso P vertical para baixo, e o chão aplicando uma força em sua ponteira. A figura representa o pião e várias forças contidas no plano do papel. Assinale a(s) afirmativa(s) correta(s). 26
01. O torque aplicado pela força peso P com relação ao ponto O, possui direção vertical e sentido para o solo. 02. O torque aplicado pela força que o solo faz na ponteira, com relação ao ponto O, é nulo. 04. A força resultante que o solo faz no pião tem módulo igual ao peso do pião. 08. A força F4 pode representar a força resultante que o chão aplica na ponteira do pião. 16. A única força que realiza torque, com relação ao ponto O, é a força peso P.
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Ciências da Natureza e suas Tecnologias
05. (UnB DF) Em certos animais, e em particular no homem, os músculos são ligados aos diferentes ossos por tendões, denominados pontos de inserção ou ligamentos. No caso do braço humano, o cotovelo funciona como um ponto de articulação entre o braço e o antebraço, e os movimentos de flexão e extensão são realizados pelos músculos bíceps e tríceps, respectivamente. Sabe-se, também, que apesar de chimpanzés adultos terem uma massa muscular três vezes menor que a de um homem adulto, eles são duas vezes mais fortes em alguns movimentos, em especial naqueles relacionados à flexão dos braços. Essa diferença de desempenho está relacionada com a anatomia do braço dos dois animais. As figuras abaixo ilustram os pontos principais da anatomia do braço humano, em que d1, d2 e d3 são, respectivamente, as distâncias do cotovelo ao ligamento do bíceps, do cotovelo ao centro de massa do braço (CM) e do cotovelo ao centro de massa de um objeto de massa m segurado pela mão, FCM é a força peso do braço e FM é a força peso do objeto de massa m.
Com base nas informações e nas figuras acima, julgue os itens que se seguem. E-E-E 01. Para manter o objeto fixo na posição mostrada na figura II, desprezando-se o peso do braço, a força exercida pelo d bíceps no braço é diretamente proporcional à razão d13 . 02. A diferença de desempenho entre o homem e o chimpanzé poderia ser explicada se fosse admitido que d1 para o chimpanzé é menor que d1 para o homem. 03. A razão entre os módulos dos torques exercidos pelo bíceps em relação ao cotovelo nas situações mostradas nas figuras III e II, respectivamente, é igual a sen(α). 06. (UFSC) A figura abaixo representa de maneira esquemática um equipamento para exercícios físicos, encontrado praticamente em qualquer academia de musculação. A proposta do equipa mento é aplicar uma força F na extremidade do braço de alavanca, fixo ao disco metálico, fazendo-o girar. Na extremidade do disco, encontra-se fixado um cabo de aço que se conecta, através de duas polias fixas, a 5 barras de ferro de 5,0 kg cada uma. O disco do equipamento possui um raio de 0,50 m e o braço de alavanca possui 1,0 m de comprimento. Despreze a massa do disco metálico e qualquer tipo de atrito.
Supondo que a força F seja aplicada perpendicularmente ao braço de alavanca, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 11 01. A força F mínima necessária, aplicada no braço de alavanca para manter suspensas as 5 barras de ferro, é de 125,0 N. 02. Se as barras de ferro se movem para cima com velocidade constante de 2,0 m/s, significa que o disco do equipamento gira com velocidade angular de 4,0 rad/s, enquanto que a extremidade do braço de alavanca se move com uma velocidade de 4,0 m/s. 04. Uma força de 250,0 N aplicada no braço de alavanca fará com que as 5 barras de ferro possuam uma aceleração de 2,0 m/s2. 08. O braço de alavanca com o disco metálico em questão é um exemplo de máquina simples (alavanca) do tipo interfixa. 16. O ângulo entre a força F aplicada e o braço de alavanca não altera o valor da força aplicada às barras de ferro.
07. (ITA SP) Considere duas estrelas de um sistema binário em que cada qual descreve uma órbita circular em torno do centro de massa comum. Sobre tal sistema são feitas as seguintes afirmações: 209
FRENTE C Exercícios de Aprofundamento
04. (Unicamp SP) Um freio a tambor funciona de acordo com o esquema da figura abaixo. A peça de borracha B é pressionada por uma alavanca sobre um tambor cilíndrico que gira junto com a roda. A alavanca é acionada pela força F e o pino no ponto C é fixo. O coeficiente de atrito cinético entre a peça de borracha e o tambor é µc =0,40 . a) Qual é o módulo da força normal que a borracha B exerce sobre o tambor quando F = 750 N? Despreze a massa da alavanca. 2,5 x 103 N b) Qual é o módulo da força de atrito entre a borracha e o tambor? 1,0 x 103 N c) Qual é o módulo da força aplicada pelo pino sobre a alavanca no ponto C? 2,0 x 103 N
Física
O período de revolução é o mesmo para as duas estrelas. Esse período é função apenas da constante gravitacional, da massa total do sistema e da distância entre ambas as estrelas. III. Sendo R1 e R2 os vetores posição que unem o centro de massa dos sistema aos respectivos centros de massa das estrelas, tanto R1 como R2 varrem áreas de mesma magnitude num mesmo intervalo de tempo. Assinale a alternativa correta. a) Apenas a afirmação I é verdadeira. b) Apenas a afirmação II é verdadeira. c) Apenas a afirmação III é verdadeira. d) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. e) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
Dados: Constante universal de Gravitação = 6,7 x 10-11N.m2 / kg2 Aceleração da gravidade = 10m/s2 Raio médio da Terra = 6.400km Utilize p ≈ 3 .
I. II.
08. (UFPE) Um planeta realiza uma órbita elíptica com uma estrela em um dos focos. Em dois meses, o segmento de reta que liga a estrela ao planeta varre uma área A no plano da órbita do planeta. Em 32 meses tal segmento varre uma área igual a αA. Qual o valor de α? 16 09. (Unesp SP) A tabela apresenta as características de dois planetas que giram ao redor de uma mesma estrela, tal como os planetas do sistema solar giram em torno do Sol. T1 = 3 × 1010 medido em segundos
Características
Planeta 1
Planeta 2
Período (s)
T1
3 × 10
Distância média do planeta à estrela
1 × 10
7
13
1 × 10
11
Sabendo-se que a 3 Lei de Kepler afirma que o quadrado do período de revolução (T2) de cada planeta em torno de uma estrela é diretamente proporcional ao cubo da distância média (d3) desse planeta à estrela, determine o período de revolução T1 do planeta 1, em segundos, em relação à estrela. a
10. (Ufop MG) As distâncias que separam a Terra da Lua e a Terra do Sol são, respectivamente, 400 000 km e 150 milhões de quilômetros. A massa da Terra é, aproximadamente, 6x1024 kg e a a) d' = 4 × 105 ⋅ 3 km; do Sol é, aproximadamente, 2x1030 kg . FSL
FRENTE C Exercícios de Aprofundamento
b)
FTL
= 2,37
a) Considerando-se apenas o sistema Terra-Lua, se a massa da Terra triplicasse, qual deveria ser a distância entre a Lua e a Terra, para que a força gravitacional se mantivesse constante? b) Calcule a razão entre a força gravitacional que o Sol faz sobre a Lua e aquela que a Terra exerce sobre a Lua. Considere a distância Lua-Sol, aproximadamente, igual à distância Terra-Sol. 11. (UFR RJ) Henry Cavendish, físico e químico inglês, em uma carta enviada em 1783 ao seu amigo Rev. John Michell, discutiu a possibilidade de construir um instrumento para “pesar a Terra”. Na realidade, por meio da lei de gravitação de Isaac Newton, ele estava determinando o valor da constante G. Com base na Lei da Gravitação de Newton, calcule um valor aproximado para a densidade média da Terra. d ≅ 6 ⋅ 103 kg/m3 210
12. (Uerj RJ) A figura abaixo representa o instante no qual a resultante das forças de interação gravitacional entre um asteroide X e os planetas A, B e C é nula. Gabarito questão 13 2 24 F m d2 0,15 −2 a) gT = 2T P = 6 × 10 = 1,5 × 10 22 FgP dTmP 10 30 b)
v2 GMP = 2 rP rP v=
GMP = 2 × 102 m / s rP
Admita que: nn dA, dB e dC representam as distâncias entre cada planeta e o asteroide; nn os segmentos de reta que ligam os planetas A e B ao aste-
roide são perpendiculares e dC = 2dA = 3dB; nn mA, mB, mC e mX representam, respectivamente, as massas
de A, B, C e X e mA = 3mB.
Determine a razão
MC M nas condições indicadas. MC B MB
= 15
13. (Unicamp SP) Plutão é considerado um planeta anão, com massa MP = 1 × 1022 kg, bem menor que a massa da Terra. O módulo da força gravitacional entre duas massas m1 e m2 é dado por mm Fg = G 1 2 2 , em que r é a distância entre as massas e G é a r constante gravitacional. Em situações que envolvem distâncias astronômicas, a unidade de comprimento comumente utilizada é a Unidade Astronômica (UA). a) Considere que, durante a sua aproximação a Plutão, a sonda se encontra em uma posição que está dP = 0,15 UA distante do centro de Plutão e dT = 30 UA distante do centro da Terra.
F Calcule a razão gT entre o módulo da força gravitacional F gP com que a Terra atrai a sonda e o módulo da força gravitacional com que Plutão atrai a sonda. Caso necessário, use a massa da Terra MT = 6 × 1024 kg. b) Suponha que a sonda New Horizons estabeleça uma órbita circular com velocidade escalar orbital constante em torno de Plutão com um raio de rP = 1 × 10–4 UA. Obtenha o módulo da velocidade orbital nesse caso. Se necessário, use a constante gravitacional G = 6 × 10–11N.m2/kg2. Caso necessário, use 1 UA (Unidade astronômica) = 1,5 × 108 km.