Coleção 10 V - Livro 3 - Física - Aluno by Editora Elabore

Luiz Marengão

FRENTE

oneinchpunch/shutterstock.com

FÍSICA Por falar nisso Tempo de voo Quando um jogador de basquete salta para fazer uma enterrada, ele pode parecer estar suspenso no ar durante o ponto mais alto desse salto. Isso é uma consequência do movimento parabólico. Quando um objeto é lançado no ar, ele irá passar a maior parte do tempo no ápice do lançamento. Um jogador de basquete pode saltar até 1,2 m no ar, verticalmente, e quanto mais alto ele saltar, maior será o tempo de voo, e maior será o tempo em que ele parecerá estar suspenso no ar durante o ápice do salto. Tipicamente, há um elemento vertical e horizontal na velocidade do salto ao abandonar o chão. A magnitude do elemento vertical determinará o tempo que o jogador permanecerá “voando” (levando em consideração que a gravidade atua no eixo vertical e empurrará o jogador para baixo). Desse modo, esse elemento vertical variará conforme o tempo, enquanto o elemento horizontal, por outro lado, permanecerá constante por não ser afetado pela gravidade. Aqui está a física. Quando você salta, a força desse salto é aplicada apenas enquanto seus pés fazem contato com o solo. Quando seus pés deixam o chão, sua velocidade para cima começa imediatamente a diminuir. No topo do salto, ela terá se tornado nula. Então você inicia sua queda na mesma razão da subida. O tempo de queda será igual ao tempo de subida; o tempo de voo será a soma dos dois tempos. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

A09 A10 A11 A12

Lançamento horizontal..................................................................130 Lançamento oblíquo......................................................................135 Grandezas angulares......................................................................141 Movimento circular uniforme.......................................................146

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO A09

ASSUNTOS ABORDADOS nn Lançamento horizontal no vácuo nn Equações nn Vetor velocidade

LANÇAMENTO HORIZONTAL NO VÁCUO Consideremos uma partícula lançada de um ponto qualquer, próximo da superfície  terrestre, com velocidade inicial v0 , de direção horizontal. Desprezando a resistência do ar, sua trajetória será curvilínea (parabólica), como mostra a figura. A trajetória é  curvilínea porque a única aceleração atuante na partícula é a gravitacional g . v0

horizontal

solo

Para facilitar o estudo, vamos traçar um sistema de eixos ortogonais xOy com a origem no ponto de lançamento da partícula. No início do lançamento t0 = 0, a componente do vetor velocidade inicial na direção vertical (y) é nula. Num instante posterior t > t0, o vetor velocidade terá duas componentes, uma na direção horizontal (x) e outra na direção vertical (y). Veja a figura.

Equações Na horizontal, temos um movimento uniforme, pois a velocidade nessa direção não varia. Portanto, a posição da partícula, em relação ao eixo x (abscissa), pode ser determinada pela expressão: O

horizontal x

vx = v0 vy

solo

x = x0 + v x ⋅ t Mas, x 0 =0 e v x =v 0 ⇒ x =v 0 ⋅ t Na vertical, atua a aceleração da gravidade. Aí temos um movimento uniformemente variado, cuja velocidade inicial é nula. Então, podemos utilizar as equações da queda livre. 1 y = gt2 2 v = gt v2= 2g∆y

Em que y representa a posição da partícula em relação ao eixo vertical e ∆y representa o módulo do deslocamento vertical. Considerando a aceleração da gravidade constante, o tempo de queda da partícula não depende da sua velocidade inicial; depende somente da altura de onde é feito o lançamento horizontal. 130

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Vetor velocidade O vetor velocidade da partícula, em qualquer instante, pode ser representado da seguinte maneira: vx v vy

   v vx + vy Vetorialmente, temos: = 2 v2x + v2y Em módulo, temos: v=  Obs.: o vetor velocidade v tem direção tangente à trajetória no ponto considerado.

EXEMPLO (Puc RS) Uma esteira horizontal despeja minério dentro de um vagão. As pedras de minério saem da esteira com velocidade horizontal de 8,0 m/s e levam 0,60 s numa trajetória parabólica até o centro do vagão. Considerando o peso como força resultante atuando em cada pedra e a aceleração da gravidade como 10 m/s2, os módulos dos deslocamentos horizontal e vertical, bem como o da velocidade das pedras quando chegam ao vagão são, respectivamente, a) b) c) d) e)

6,0 m 6,0 m 4,8 m 4,8 m 4,8 m

6,0 m 4,8 m 3,6 m 1,8 m 1,8 m

14 m/s 14 m/s 10 m/s 10 m/s 6,0 m/s

RESOLUÇÃO v= v= 8m / s; x 0

= t 0,6s;

= g 10m / s2

x = v 0 ⋅ t = 8 ⋅ 0,6

⇒

x = 4,8m

⇒

∆y = 1,8m

v2 = v2x + v2y = 82 + 62 = 100 ⇒

v = 10m / s

1 ∆y = gt2 = 5 ⋅ 0,62 2 v y = g ⋅ t = 10 ⋅ 0,6 = 6m

Exercícios de Fixação

Tempo de queda (s)

Bolas

Material

Velocidade inicial (m ⋅ s-1)

Chumbo

4,0

Vidro

4,0

Madeira

2,0

Plástico

2,0

A relação entre os tempos de queda de cada bola pode ser expressa como: a) t1 = t2 < t3 = t4 c) t1 < t2 < t3 < t4 b) t1 = t2 > t3 = t4 d) t1 = t2 = t3 = t4 02. (Uncisal AL) Em um experimento, são utilizadas duas bolas de bilhar idênticas, um lançador de bolas horizontal e um ambiente com ar muito rarefeito, de maneira que os corpos em movimento apresentam resistência do ar desprezível. Por meio de sensores e fotografia estroboscópica, o experimento consiste em acompanhar o tempo de queda das duas bolas e caracterizar o tipo de movimento que elas descrevem durante a queda. As duas são colocadas numa

mesma altura inicial (h), ficando a bola (B) sobre uma plataforma. A bola (A) é abandonada no mesmo instante que a bola (B) é lançada horizontalmente com velocidade →v.. lançador A

Assumindo que a aceleração da gravidade é constante, é correto afirmar que: a) A bola (A) tem o tempo de queda menor que o tempo de queda da bola (B). b) A bola (A) tem o tempo de queda maior que o tempo de queda da bola (B). c) Os tempos de queda das duas bolas são iguais e a bola (B) descreve um movimento uniforme. d) As duas componentes da velocidade da bola (B) são descritas por um movimento uniforme variado. e) Os tempos de queda das duas bolas são iguais e a bola (A) descreve um movimento uniformemente variado.

131

A09  Lançamento horizontal no vácuo

01. (Uerj RJ) Quatro bolas são lançadas horizontalmente no espaço, a partir da borda de uma mesa que está sobre o solo. Veja, na tabela abaixo, algumas características dessas bolas.

Física

03. (Unesp SP) A fotografia mostra um avião bombardeiro norte-americano B52 despejando bombas sobre determinada cidade no Vietnã do Norte, em dezembro de 1972.

(www.nationalmuseum.af.mil. Adaptado.)

A09  Lançamento horizontal no vácuo

Durante essa operação, o avião bombardeiro sobrevoou, horizontalmente e com velocidade vetorial constante, a região atacada, enquanto abandonava as bombas que, na fotografia tirada de outro avião em repouso em relação ao bombardeiro, aparecem alinhadas verticalmente sob ele, durante a queda. Desprezando a resistência do ar e a atuação de forças horizontais sobre as bombas, é correto afirmar que: a) no referencial em repouso sobre a superfície da Terra, cada bomba percorreu uma trajetória parabólica diferente. b) no referencial em repouso sobre a superfície da Terra, as bombas estavam em movimento retilíneo acelerado. c) no referencial do avião bombardeiro, a trajetória de cada bomba é representada por um arco de parábola. d) enquanto caíam, as bombas estavam todas em repouso, uma em relação às outras. e) as bombas atingiram um mesmo ponto sobre a superfície da Terra, uma vez que caíram verticalmente. 04. (Unirg TO) Um jogador de vôlei, ao realizar um saque, joga a bola para cima e, quando ela se encontra no ponto mais alto, a uma altura de h, atinge a mesma com um golpe violento, imprimindo-lhe uma velocidade horizontal. Sabendo-se que a bola leva 0,75 s para atingir a quadra adversária em um ponto a 18,0 m do jogador, conclui-se que a altura h, em metros, da bola quando o jogador a atingiu era a seguinte: a) 2,6 c) 3,0 b) 2,8 d) 3,2 05. (Puc Campinas SP) Durante a Segunda Guerra, um canhão situado no alto de um morro a 500 m de altura do solo horizontal, lança horizontalmente uma bala com velocidade de 80 m/s. Adotando g = 10 m/s2 e desprezando a resistência do ar, pode-se prever que a bala atinge o solo após percorrer uma distância horizontal, em metros, de aproximadamente a) 1 600. d) 1 200. b) 600. e) 400. c) 800. 132

06. (Uefs BA) Considere o lançamento horizontal de uma partícula nas proximidades da superfície da Terra e no vácuo. Nessas condições, é correto afirmar que: a) A partícula realiza uma trajetória parabólica. b) A aceleração atuante sobre a partícula é nula. c) O alcance da partícula dependerá da massa da partícula. d) O tempo que permanece no ar independe da altura em que a partícula foi lançada. e) A velocidade vetorial da partícula se mantém constante durante todo o movimento. 07. (UEPA) Um avião de salvamento foi utilizado para lançar dois botes auto-infláveis contendo kits de sobrevivência para um grupo de náufragos. Admita que os botes tenham caído exatamente na posição dos náufragos e que o lançamento tenha sido feito a partir de uma altura de 45 m. Sabendo-se que, no momento do lançamento o avião deslocava-se horizontalmente a uma velocidade de 108 km/h, a distância horizontal percorrida pelos botes desde o seu lançamento até a sua chegada à superfície da água, em metros, foi igual a: Dado: Aceleração da Gravidade = 10 m/s2. a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100 08. (Uncisal AL) Uma bola de golfe é lançada horizontalmente de um penhasco de 19,6 m de altura, conforme mostra a figura a seguir. No nível do solo, a 7 m da base do penhasco, há um buraco. Qual deve ser a velocidade de lançamento para que a bola atinja o buraco em uma única tacada? (Adote g = 9,8 m/s2 e despreze a resistência do ar). B

19,6m

a) 3,50 km/h b) 1,75 km/h c) 12,60 km/h d) 2,80 km/h e) 14,00 km/h 09. (Fuvest SP) Uma menina, segurando uma bola de tênis, corre com velocidade constante, de módulo igual a 10,8 km/h, em trajetória retilínea, numa quadra plana e horizontal. Em um certo instante, a menina, com o braço esticado horizontalmen-

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

te ao lado do corpo, sem alterar o seu estado de movimento, solta a bola, que leva 0,5 s para atingir o solo. As distâncias sm e sb percorridas, respectivamente, pela menina e pela bola, na direção horizontal, entre o instante em que a menina soltou a bola (t = 0 s) e o instante t = 0,5 s, valem: NOTE E ADOTE Desconsiderar efeitos dissipativos. a) sm = 1,25 m e sb = 0 m b) sm = 1,25 m e sb = 1,50 m c) sm = 1,50 m e sb = 0 m d) sm = 1,50 m e sb = 1,25 m e) sm = 1,50 m e sb = 1,50 m

10. (Puc Campinas SP) Do alto de uma montanha em Marte, na altura de 740 m em relação ao solo horizontal, é atirada horizontalmente uma pequena esfera de aço com velocidade de 30 m/s. Na superfície desse planeta, a aceleração gravitacional é de 3,7 m/s2. A partir da vertical do ponto de lançamento, a esfera toca o solo numa distância de, em metros, a) 100 b) 200 c) 300 d) 450 e) 600

Exercícios Complementares 01. (Acafe SC) O puma é um animal que alcança velocidade de até 18 m/s e pode caçar desde roedores e coelhos até animais maiores como alces e veados. Considere um desses animais que deseja saltar sobre sua presa, nesse caso um pequeno coelho, conforme a figura. A

03. (FMABC SP) Uma esfera é lançada com velocidade inicial v0 do alto de uma plataforma horizontal de altura h, num local onde a aceleração da gravidade vale g e deve cair no interior da caçamba de um caminhão que, partindo de um dado ponto, vai percorrer uma distância L, num plano horizontal, com velocidade constante vc. A velocidade vc do caminhão em função de L, g e h será dada por v0

1,8m B

O puma chega ao ponto A com velocidade horizontal de 5 m/s e se lança para chegar a presa que permanece imóvel no ponto B. Desconsiderando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s2, a alternativa correta é: a) O puma não vai cair sobre a presa, pois vai tocar o solo a 20 cm antes da posição do coelho. b) O puma cairá exatamente sobre o coelho, alcançando sua presa. c) O puma vai chegar ao solo, no nível do coelho, após 0,5 s do início de seu salto. d) O puma vai cair 30 cm a frente do coelho, dando possibilidade da presa escapar. 02. (IF GO) Um projétil, ao ser lançado horizontalmente do alto de uma torre, com uma velocidade inicial de 30 m ⋅ s–1, em um local onde a aceleração gravitacional tem intensidade de 10 m ⋅ s-2 e as resistências ao movimento sejam desprezadas, atingirá o solo, considerado plano e horizontal, a 80 m abaixo do plano de lançamento, com uma velocidade de: a) 10 m ⋅ s–1 b) 20 m ⋅ s–1 c) 30 m ⋅ s–1 d) 40 m ⋅ s–1 e) 50 m ⋅ s–1

h Vc L

a) v c = L ⋅

g 2h

d) v= 2g ⋅ c

L h

b) v c = L ⋅

2h 8

e) v= 2L ⋅ c

g h

c) v= 2g ⋅ c

h L

04. (Uefs BA) Um pequeno corpo foi lançado, horizontalmente, da janela de um apartamento a 20,0 m do solo, caindo em um ponto situado a 12,0 m da base da parede em que se encontra a janela. Desprezando-se a resistência do ar e considerando-se o módulo da aceleração da gravidade igual a 10,0 m/s2, a velocidade do corpo, no instante do lançamento, em m/s, era igual a a) 4,0 b) 6,0 c) 8,0 d) 12,0 e) 20,0

133

A09  Lançamento horizontal no vácuo

3,2 m

Física

05. (UFTM MG) A figura mostra uma série de fotografias estroboscópicas de duas esferas, A e B, de massas diferentes. A esfera A foi abandonada em queda livre e, no mesmo instante, B foi lançada horizontalmente, com velocidade inicial V0. 1,2 m V0

1,8 m

(www.fsc.ufsc.br. Adaptado.)

Considere as medidas indicadas na figura, a resistência do ar desprezível e g = 10 m/s2. Nessas condições, o módulo de V0, em m/s, é a) 2,4. c) 1,6. e) 2,2. b) 1,8. d) 2,0. 06. (Puc Campinas SP) Da murada de um castelo, a 45 m de altura do solo plano, uma flecha é lançada horizontalmente com velocidade de 40 m/s. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. O módulo da velocidade da flecha ao chegar ao solo, em m/s, e a distância horizontal percorrida pela flecha, em m, são, respectivamente, a) 30 e 60. d) 50 e 90. b) 30 e 80. e) 50 e 120. c) 40 e 80. 07. (Uniube MG) Uma ousada nadadora salta, correndo e horizontalmente, do topo de um rochedo para dar um mergulho na água. Conforme ilustra a figura abaixo, em seu salto, a nadadora deverá ultrapassar a saliência no “pé” do rochedo, com largura de 1,6 m e localizada 9,0 m abaixo do topo, para então cair na água. As forças de resistência do ar que atuam sobre a nadadora durante sua queda podem ser desprezadas, e o valor da aceleração gravitacional atuante no movimento pode ser adotado igual a 10 m/s2.

Dentre as alternativas abaixo, aquela que indica o menor valor da velocidade v0, para que a nadadora consiga ultrapassar a saliência e atingir a água, é: a) 0,8 m/s b) 1,3 m/s c) 1,9 m/s d) 1,0 m/s e) 2,1 m/s 08. (Puc GO) Em um exercício de manobra militar, um tanque de guerra atira um projétil horizontalmente com uma velocidade de 720 km/h. Se o canhão do tanque está a uma altura de 1,8 metros do solo e considerando g = 10 m/s2, a distância horizontal alcançada pelo projétil é: a) 120 km. b) 120 m. c) 720 m. d) 432 m. 09. (Puc MG) Um avião voa a 100 m/s em relação ao solo, horizontalmente, a certa altura. Em dado momento, o avião solta um pacote, que atinge o solo em 30 segundos. A componente horizontal da velocidade do pacote, relativamente ao solo, desconsiderando-se a resistência do ar, é em m/s igual a: a) 0 b) 100 c) 294 d) 394 10. (UFMS) Uma bola de bilhar de massa m é lançada horizontalmente com velocidade Voda borda de uma mesa que está a uma altura H do solo também horizontal. A aceleração da gravidade no local é g e é uniforme, veja a figura. Considerando que o ar exerce uma força Fade arrasto na bola dada pelo formalismo vetorial Fa= -bV, em que b é uma constante de proporcionalidade, e V é o vetor velocidade da bola vista de um referencial inercial, assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 17

A09  Lançamento horizontal no vácuo

U0 A

9,0 m 1,6 m Saliência Água

Fonte: adaptado de Física para Cientistas e Engenheiros, 5 ed. LTC: 2006.

134

01. A trajetória da bola não será uma parábola. 02. A componente da velocidade da bola na direção horizontal permanece constante durante a queda. 04. A força de arrasto é sempre vertical para cima. 08. O alcance A na horizontal é igual a Vo(2H/g)1/2. 16. A intensidade do vetor aceleração da bola vai diminuindo durante a queda.

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO A10

LANÇAMENTO OBLÍQUO NO VÁCUO

ASSUNTOS ABORDADOS

 A figura representa um projétil lançado obliquamente com velocidade v0 fazendo um ângulo θ0 com a horizontal.

nn Lançamento oblíquo no vácuo nn Equações

Vo Voy o x

Vox

Desprezando a resistência do ar, a única força que atua no projétil é a força gravitacional. Nesse caso, a trajetória descrita pelo projétil é uma parábola. Na horizontal, eixo x, temos um movimento retilíneo uniforme, porque não existe nenhuma força provocando aceleração no projétil. Na vertical, eixo y, como já dissemos, a única força atuando é o próprio peso do objeto que lhe comunica uma aceleração igual à aceleração da gravidade no local do lançamento. Considerando o módulo da aceleração constante, na direção vertical, temos um movimento uniformemente variado.

Equações Na direção horizontal:

= x x 0 + v 0x t , em que v0x = v0 ⋅ cos q é a componente horizontal da velocidade inicial e x 0 é a posição inicial do movimento na direção horizontal. Portanto, podemos escrever: x x0 v 0 .cos .t

Na direção vertical:

Função horária da posição: 1 y= y 0 + v 0y .t + g.t2 , em que y0 é a posição inicial do movi2 mento vertical, v0y = v0 ⋅ sen q é a componente vertical da velocidade inicial. Portanto, temos:

y y 0 v 0 sen t

1 2 g t 2

Função horária da velocidade:

vy v0y g t

v y= v 0 ⋅ senθ - g ⋅ t

Equação de Torricelli: v2y v20 y 2g y

2 v= y

( v0 ⋅ senθ )

- 2g ⋅ ∆y

135

Física

Casos particulares 1. Cálculo do tempo de subida (ts) O tempo de subida é o intervalo de tempo que o projétil gasta para atingir a altura máxima (ymax). Considerando que o projétil retornará a um ponto de mesma altura de onde partiu, mesmo nível, o tempo de subida será igual ao tempo de queda (tq). y

vy = 0 Vo Voy

ymax o

y=0 x

Vox

xmax

No instante que o projétil atinge a altura máxima, sua velocidade vertical instantânea se anula. Substituindo na função horária da velocidade, temos: v y v 0 sen gt

ts =

0 v 0 sen g ts

v 0 ⋅ senθ g

2. Cálculo do tempo de voo O tempo de voo é a soma do tempo de subida com o tempo de queda. Considerando que o tempo de subida é igual ao tempo de queda, temos: t ts tq

t 2ts

2v 0 ⋅ senθ g

3. Cálculo da altura máxima Fazendo vy = 0 na equação de Torricelli, temos:

02 v 0 sen 2g ymax 2

( v0 ⋅ senθ )

ymax =

4. Cálculo do alcance horizontal (A) O alcance horizontal é o deslocamento horizontal sofrido pelo projétil. = x x 0 + v 0 .cos θ.t ⇒ ∆= x v 0 .cos θ.t ⇒ = A v 0 .cos θ.t A10  Lançamento oblíquo no vácuo

Considerando que o projétil retornará ao mesmo nível horizontal do lançamento, temos: t

2v 0 sen 2v sen x v 0 cos 0 g g

x então: A =

2v20 sen cos g

mas

2 sen cos sen 2

v20 ⋅ sen( 2θ ) g

O alcance será máximo quando sen(2θ) = 1, ou seja, 2θ = 90° ⇒ θ = 45° 136

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

EXEMPLO (UFG) Seja um motoqueiro de 60 kg pilotando uma moto de 150 kg em uma pista de motocross. Ao passar por uma das ondulações da pista perde contato com o solo a uma altura de 5 m em relação a um trecho horizontal. Nesse ponto, possui uma velocidade de 54 km/h numa direção q com a horizontal. Dados : g = 10 m/s2, sen q = 0,6 e cos q = 0,8 a) Em que instante ele atinge o ponto mais alto de sua trajetória? A que altura ele se encontra nesse instante? Qual sua velocidade nesse instante? b) Ele conseguirá passar por cima de uma outra ondulação de 4 m de altura em relação ao mesmo trecho horizontal, cujo pico se encontra a 24 m do ponto em que ele perdeu o contato com o solo? Justifique. RESOLUÇÃO Considerando o motoqueiro como sendo um projétil, vamos traçar a sua trajetória.

a) O instante que ele atinge a altura máxima pode ser calculado pela expressão: ts =

v 0 ⋅ senθ g

= ts

15 ⋅ 0,6 10

⇒

= ts 0,9s

A altura do motoqueiro é calculada através da expressão:

( v0 ⋅ senθ )

ymax = y0 +

⇒

81 ymax = 5+ 20

⇒

ymax = 9,05 m

Nesse instante, o motoqueiro possui velocidade somente no eixo x, que pode ser calculada pela expressão: v x = v 0 ⋅ cos θ

⇒

v x =15 ⋅ 0,8

⇒

v x =12 m/s

b) Vamos calcular o instante que o motoqueiro passa pela posição x = 24 m. x= v 0 ⋅ cos θ ⋅ t

⇒

24= 15 ⋅ 0,8 ⋅ t

24 = 2s 12

⇒

y= 3 m

⇒

Agora vamos calcular sua altura nesse momento: 1 y = y 0 + v 0 ⋅ senθ ⋅ t - g ⋅ t2 = 5 + 9 ⋅ 2 - 5.4 2

Portanto, o motoqueiro não conseguirá passar pela ondulação de 4 m de altura.

01. (Mackenzie SP) Um zagueiro chuta uma bola na direção do atacante de seu time, descrevendo uma trajetória parabólica. Desprezando-se a resistência do ar, um torcedor afirmou que: I. A aceleração da bola é constante no decorrer de todo movimento. II. A velocidade da bola na direção horizontal é constante no decorrer de todo movimento. III. A velocidade escalar da bola no ponto de altura máxima é nula. Assinale a) se somente a afirmação I estiver correta. b) se somente as afirmações I e III estiverem corretas. c) se somente as afirmações II e III estiverem corretas. d) se as afirmações I, II e III estiverem corretas. e) se somente as afirmações I e II estiverem corretas.

01. No lançamento oblíquo, quando o corpo alcança a altura máxima, sua velocidade é diferente de zero. 02. De uma mesa, deixa-se cair uma esfera A e, no mesmo instante, lança-se horizontalmente uma esfera B, de mesma massa que A. No instante em que tocam o solo, a velocidade das duas é a mesma. 04. Dois corpos são lançados com velocidades iguais e ângulos de lançamento com a horizontal, 30° e 60°. Assim, o alcance é o mesmo para os dois corpos. 08. Dois corpos A e B são lançados horizontalmente de alturas iguais. A velocidade de lançamento do corpo A é 5 m/s e de B é 10 m/s. Desse modo, o corpo B chega ao solo antes do corpo A. 16. No lançamento oblíquo, o alcance máximo ocorre quando o ângulo de lançamento é de 45°.

02. (UEPG PR) O movimento de um corpo lançado no vácuo, horizontalmente ou obliquamente, pode ser estudado como a composição de dois movimentos, um vertical, uniformemente variado e outro, horizontal uniforme. Sobre esses tipos de movimentos, assinale o que for correto. 21

03. (UFRGS) Em uma região onde a aceleração da gravidade tem módulo constante, um projétil é disparado a partir do solo, em uma direção que faz um ângulo a com a direção horizontal, conforme representado na figura a seguir.

137

A10  Lançamento oblíquo no vácuo

Exercícios de Fixação

Física

Assinale a opção que, desconsiderando a resistência do ar, indica os gráficos que melhor representam, respectivamente, o comportamento da componente horizontal e o da componente vertical, da velocidade do projétil, em função do tempo. IV)

tvôo tvôo

II)

V) tvôo tvôo

III) tvôo

A10  Lançamento oblíquo no vácuo

a) I e V. b) II e V.

c)II e III. d) IV e V.

e) V e II.

04. (Unitau SP) Uma esfera, cuja massa é de 300 gramas, foi lançada por um canhão de molas em uma vasta região plana. O módulo da velocidade inicial da esfera foi de 30 m/s, e a direção de lançamento fez um ângulo de 30° com a superfície horizontal. Despreze o atrito entre a esfera e o ar e adote g = 10 m/s2. Também desconsiderando as dimensões do canhão e da esfera, é possível constatar que a distância horizontal entre o ponto de lançamento da esfera e o ponto em que ela tocou novamente o solo será de Dados: sen 30° = 0,50 e supondo que cos 30° = 0,90. a) 90 m c) 85 m e) 81 m b) 78 m d) 58 m 05. (Udesc SC) Considere o lançamento de um projétil de massa m  e velocidade inicial v0 fazendo um ângulo q com a horizontal, conforme mostra a figura.

138

Com relação ao movimento desse projétil, analise as proposições. I. Na direção vertical, o projétil apresenta uma velocidade constante. II. Na direção horizontal, o projétil está sujeito à aceleração  gravitacional g . III. Na vertical, o projétil apresenta um movimento retilíneo uniformemente variado. IV. Na horizontal, o projétil apresenta um movimento retilíneo uniforme. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras. d) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

 06. (Uem PR) Um corpo é lançado com velocidade v0 de um ponto  sobre uma superfície plana e horizontal. A velocidade v0 forma um angulo θ com a superfície plana e horizontal. Considerando que θ é positivo e 0 < θ < 90° e desprezando o atrito com o ar, assinale o que for correto. 25 01. A equação horária da posição do corpo na direção vertical é uma função de segundo grau. 02. O módulo do vetor velocidade é nulo quando o corpo atinge a altura máxima da trajetória. 04. Em nenhum momento, o vetor velocidade é paralelo ao eixo horizontal. 08. O alcance do lançamento é dado por ( v20 sen(2θ)) / g , em que g é a aceleração gravitacional. 16. A altura máxima atingida pelo corpo é proporcional ao sen2 θ. 07. (Enem MEC) Na Antiguidade, algumas pessoas acreditavam que, no lançamento oblíquo de um objeto, a resultante das forças que atuavam sobre ele tinha o mesmo sentido da velocidade em todos os instantes do movimento. Isso não está de acordo com as interpretações científicas atualmente utilizadas para explicar esse fenômeno. Desprezando a resistência do ar, qual é a direção e o sentido do vetor força resultante que atua sobre o objeto no ponto mais alto da trajetória? a) Indefinido, pois ele é nulo, assim como a velocidade vertical nesse ponto. b) Vertical para baixo, pois somente o peso está presente durante o movimento. c) Horizontal no sentido do movimento, pois devido à inércia o objeto mantém seu movimento. d) Inclinado na direção do lançamento, pois a força inicial que atua sobre o objeto é constante. e) Inclinado para baixo e no sentido do movimento, pois aponta para o ponto onde o objeto cairá.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

08. (Unicamp SP) Um menino, andando de “skate” com velocidade v = 2,5 m/s num plano horizontal lança para cima uma bolinha de gude com velocidade vo = 4,0 m/s e o apanha de volta. (g = 10 m/s2). a) Esboce a trajetória descrita pela bolinha em relação à Terra. b) Qual é a altura máxima que a bolinha atinge? HM = 0,8m; c) Que distância horizontal a bolinha percorre? D = 2m 09. (Puc RJ) Um projétil é lançado com uma velocidade escalar inicial de 20 m/s com uma inclinação de 30° com a horizontal, estando inicialmente a uma altura de 5,0 m em relação ao solo. A altura máxima que o projétil atinge, em relação ao solo, medida em metros, é: Considere a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 a) 5,0 c) 15 e) 25 b) 10 d) 20

10. (Espcex SP) Um projétil é lançado obliquamente, a partir de um solo plano e horizontal, com uma velocidade que forma com a horizontal um ângulo a e atinge a altura máxima de 8,45 m. Sabendo que, no ponto mais alto da trajetória, a velocidade escalar do projétil é 9,0 m/s, pode-se afirmar que o alcance horizontal do lançamento é: Dados: intensidade da aceleração da gravidade g = 10 m/s2 despreze a resistência do ar a) 11,7 m Gabarito questão 08 a) b) 17,5 m c) 19,4 m d) 23,4 m e) 30,4 m

Exercícios Complementares 01. (UFF RJ) Após um ataque frustrado do time adversário, o goleiro se prepara para lançar a bola e armar um contra-ataque. Para dificultar a recuperação da defesa adversária, a bola deve chegar aos pés de um atacante no menor tempo possível. O goleiro vai chutar a bola, imprimindo sempre a mesma velocidade, e deve controlar apenas o ângulo de lançamento. A figura mostra as duas trajetórias possíveis da bola num certo momento da partida.

Usando as informações do enunciado, assinale a alternativa correta. a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas I e II são verdadeiras. c) Apenas II e III são verdadeiras. d) Apenas II é verdadeira. 03. (Espcex SP) Um lançador de granadas deve ser posicionado a uma distância D da linha vertical que passa por um ponto A. Esse ponto está localizado em uma montanha a 300 m de altura em relação à extremidade de saída da granada, conforme o desenho abaixo. Linha Ver cal

02. (Ufu MG) Uma pedra é lançada do solo com velocidade de 36 km/h fazendo um ângulo de 45° com a horizontal. Considerando g = 10 m/s2 e desprezando a resistência do ar, analise as afirmações abaixo. I. A pedra atinge a altura máxima de 2,5 m. II. A pedra retorna ao solo ao percorrer a distância de 10 m na horizontal. III. No ponto mais alto da trajetória, a componente horizontal da velocidade é nula.

Saída Lançador de granadas

300m D

Montanha

A velocidade da granada, ao sair do lançador, é de 100 m/s e forma um ângulo “α” com a horizontal; a aceleração da gravidade é igual a 10 m/s2 e todos os atritos são desprezíveis. Para que a granada atinja o ponto A, somente após a sua passagem pelo ponto de maior altura possível de ser atingido por ela, a distância D deve ser de: Dados: Cos α = 0,6; Sen α = 0,8 a) 240 m c) 480 m e) 960 m b) 360 m d) 600 m 04. (Puc RJ) Um superatleta de salto em distância realiza o seu salto procurando atingir o maior alcance possível. Se ele se lança ao ar com uma velocidade cujo módulo é 10 m/s, e fazendo um ângulo de 45° em relação a horizontal, é correto afirmar que o alcance atingido pelo atleta no salto é de: 139

A10  Lançamento oblíquo no vácuo

Assinale a alternativa que expressa se é possível ou não determinar qual desses dois jogadores receberia a bola no menor tempo. Despreze o efeito da resistência do ar. a) Sim, é possível, e o jogador mais próximo receberia a bola no menor tempo. b) Sim, é possível, e o jogador mais distante receberia a bola no menor tempo. c) Os dois jogadores receberiam a bola em tempos iguais. d) Não, pois é necessário conhecer os valores da velocidade inicial e dos ângulos de lançamento. e) Não, pois é necessário conhecer o valor da velocidade inicial.

Física

(Considere g = 10 m/s2) a) 2 m b) 4 m c) 6 m d) 8 m e) 10 m 05. (UFG GO) O Comitê Olímpico se preocupa com alguns fatores aparentemente “irrelevantes” na realização das provas, como a velocidade do vento, o tempo chuvoso, a altitude etc., os quais podem influenciar os resultados e recordes mundiais. Por exemplo, na prova de salto em distância, a atleta brasileira Maurren Maggi ganhou a medalha de ouro em Pequim com a marca de 7,04 m, enquanto a medalha de prata foi obtida com a marca de 7,03 m. Tipicamente, o ângulo de projeção para esse tipo de prova varia entre 15° e 25°. Considerando que em Pequim o salto de Maurren Maggi foi realizado com um ângulo de 22,5°, ∴ v0 = 10 m/s a) qual o módulo da velocidade da atleta no momento do salto? b) Se esse salto fosse realizado em outro local, cuja aceleração da gravidade fosse 1% menor, qual seria a marca atingida por Maurren Maggi? A’ = 7,11 m Dados: Considere 2 ≅ 1,408 Aceleração da gravidade g = 10 m/s2

A10  Lançamento oblíquo no vácuo

06. (Ufam AM) Numa partida de futebol a bola é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 20 m/s, com o vetor velocidade de seu centro de massa fazendo um ângulo de 30° com gramado. No mesmo instante, um jogador do time, a 44,8 m de distância, começa a correr na direção do ponto em que a bola foi chutada, de modo que alcance a bola imediatamente antes que toque o gramado. Nessa situação, para que esse jogador consiga tocar na bola, deve correr numa velocidade média de: a) 5 km/h d) 18 km/h b) 10 km/h e) 20 km/h c) 15 km/h 07. (Uepa PA) Mauro Vinícius da Silva, o Duda, é um atleta brasileiro especializado no salto em distância. No ano de 2014, Duda conseguiu se tornar o primeiro brasileiro bicampeão mundial da prova, vencendo o campeonato em Sopot, na Polônia, com a marca de aproximadamente 8,3 m. No momento inicial do salto, a velocidade de Duda tinha módulo igual 9,0 m/s, formando um ângulo de 39,6° com a horizontal. Nesse sentido, a altura máxima atingida por Duda no salto do bicampeonato mundial foi, em m, aproximadamente igual a: Dados: Aceleração da gravidade = 10 m/s2 sen (39,6°) ≈ 0,64 a) 1,1 b) 1,4 c) 1,7 d) 2,0 e) 2,3 140

08. (Unesp SP) O gol que Pelé não fez Na copa de 1970, na partida entre Brasil e Tchecoslováquia, Pelé pega a bola um pouco antes do meio de campo, vê o goleiro tcheco adiantado, e arrisca um chute que entrou para a história do futebol brasileiro. No início do lance, a bola parte do solo com velocidade de 108 km/h (30 m/s), e três segundos depois toca novamente o solo atrás da linha de fundo, depois de descrever uma parábola no ar e passar rente à trave, para alívio do assustado goleiro. Na figura vemos uma simulação do chute de Pelé.

Considerando que o vetor velocidade inicial da bola após o chute de Pelé fazia um ângulo de 30° com a horizontal (sen30° = 0,50 e cos30° = 0,85) e desconsiderando a resistência do ar e a rotação da bola, pode-se afirmar que a distância horizontal entre o ponto de onde a bola partiu do solo depois do chute e o ponto onde ela tocou o solo atrás da linha de fundo era, em metros, um valor mais próximo de a) 52,0 c) 76,5 e) 86,6 b) 64,5 d) 80,4 09. (Unifor CE) Uma partícula é lançada do solo a uma velocidade inicial de 10,0 m/s, com um ângulo de 60° acima da horizontal, atingindo o alto de um penhasco que encontra-se a 4,5 m de distância do lançamento, caindo em uma superfície plana e horizontal em 1,0 segundo, exatamente no ponto B, conforme figura abaixo. Desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade no local como sendo 10,0 m/s2, determine a distância AB, da borda do penhasco ao ponto onde a partícula caiu, em metros. Adote cos 60° = 0,5 e sen 60° = 0,8. B

10 m/s

Penhasco 60°

4,5m

a) 0,5 b) 0,8

c) 1,2 d) 1,6

e) 2,0

10. (Unesp SP) Um jogador de futebol deve bater uma falta. A bola deverá ultrapassar a barreira formada 10 m à sua frente. Despreze efeitos de resistência do ar e das dimensões da bola. Considere um ângulo de lançamento de 45°, g = 10 m/s2 , o o cos45 = sen45 = 2 / 2 , e uma velocidade inicial de lançamento v 0 = 5 5 m/s . Determine qual é a altura máxima dos jogadores da barreira para que a bola a ultrapasse. 2m

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO A11

GRANDEZAS ANGULARES

ASSUNTOS ABORDADOS

Nesta aula, estudaremos os movimentos circulares, que merecem uma atenção especial por terem uma grande importância prática, principalmente quando são uniformes. No estudo dos movimentos circulares, surgem algumas grandezas denominadas de angulares. Conhecê-las e saber compará-las com as grandezas lineares (escalares) é muito importante para a compreensão total dos fenômenos que envolvem trajetórias curvilíneas.

nn Grandezas angulares nn Posição angular (φ) nn Velocidade angular média (ωM) nn Aceleração angular média (γM)

Antes de entrarmos em detalhes sobre as grandezas angulares, vamos fazer um estudo sobre as unidades de medir ângulos. 1 Um grau (°) é a medida do ângulo central que corresponde a do ângulo de uma 360 volta completa de uma circunferência. Então, uma volta completa na circunferência corresponde a 360°. Um radiano (rad) é a medida do ângulo central que corresponde a um arco de comprimento igual ao raio da circunferência.

L é o arco correspondente ao ângulo central φ (fi). L φ = , então se L = R, então φ = 1 rad. R O comprimento da circunferência corresponde a 2pR, então, uma circunferência tem 2π rad.

Posição angular (φ) Posição angular ou espaço angular (φ) de uma partícula, que percorre uma circunferência, é o ângulo central correspondente, medido em radianos. Geralmente medimos o ângulo no sentido anti-horário. B

L R

141

Física

Deslocamento angular (∆φ) é a variação do espaço angular sofrido pela partícula entre dois instantes quaisquer. ∆φ = φ - φ0

ω = lim

∆t→0

∆φ ∆t

Aceleração angular média (γM)

Se adotarmos a origem na posição inicial, isto é, quando t0 = 0 ⇒ f0 = 0 ⇒ ∆φ = f

Aceleração angular média é a razão entre a variação da velocidade angular (∆ω) e o intervalo de tempo (∆t).

O deslocamento escalar (∆S) corresponde à distância percorrida pela partícula, acompanhando a trajetória, isto é, corresponde ao arco visto pelo ângulo central.

∆ω γM = ∆t

∆= S L

⇒

∆φ =

∆S R

A unidade de medida da aceleração angular é: rad/s2. Quando o intervalo de tempo tender a zero, temos a aceleração angular instantânea (γ).

Essa equação é válida somente quando ∆φ for expresso em radianos.

Velocidade angular média (ωM)

A razão entre o deslocamento angular (∆φ) e o intervalo de tempo (∆t) é chamada de velocidade angular média (ωM). ∆φ ωM = ∆t A unidade de medir a velocidade angular é: rad/s. Quando o intervalo de tempo tender a zero, temos a velocidade angular instantânea (ω); matematicamente escrevemos assim:

γ = lim

∆t→0

∆ω ∆t

Relação entre as grandezas angulares e escalares ∆S = ∆φ ⇒ R

∆S → deslocamento escalar (m) ∆φ → deslocamento angular (rad) R → raio da circunferência (m)

= ω

v R

⇒

v → velocidade escalar (m/s) ω → velocidade angular (rad/s)

= γ

a R

⇒

a → aceleração escalar (m/s2 ) γ → aceleração angular (rad/s2 )

EXEMPLO Um consórcio internacional, que reúne dezenas de países, milhares de cientistas e emprega bilhões de dólares, é responsável pelo Large Hadrons Colider (LHC), um túnel circular subterrâneo, de alto vácuo, com 27 km de extensão, no qual eletromagnetos aceleram partículas, como prótons e antiprótons, até que alcancem 11 000 voltas por segundo para, então, colidirem entre si. As experiências realizadas no LHC investigam componentes elementares da matéria e reproduzem condições de energia que teriam existido por ocasião do Big Bang. a) Calcule a distância percorrida por um próton até o instante da colisão. b) Calcule a velocidade do próton, em km/s, relativamente ao solo, no instante da colisão. c) Calcule o percentual dessa velocidade em relação à velocidade da luz, considerada, para esse cálculo, igual a 300.000 km/s. d) Calcule a velocidade angular do próton até o instante da colisão.

∆S 297 000 b) v == ∆t 1

A11  Grandezas angulares

1 volta → 11 000 voltas → ∆S =297 000 km

142

27 km ∆S

v= 297 000 km/s

300 000 km/s → 100% 297 000 km/s → x 297 000 × 100 = x = → x 99% 300 000 c)

d) Primeiro precisamos calcular o deslocamento angular (∆φ). Em cada volta realizada, o deslocamento angular é 2π radianos, então por regra de três podemos calcular o deslocamento angular total. 1 volta → 2p rad 11 000 voltas → ∆φ 11 000 5 500 = ∆φ = ⇒ ∆φ rad p 2p

RESOLUÇÃO a) Em cada volta o próton percorre 27 km. Então por regra de três podemos calcular a distância percorrida em 11 000 voltas.

→

Agora vamos calcular a velocidade angular através da sua definição: = ω

5 500 ∆φ 5 500 p = ⇒ = ω ⇒ ω ≈ 1 833 rad/s ∆t 1 3

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação

02. (UFTM MG) Devido à prática, uma empacotadeira retira pedaços de fita adesiva com velocidade constante de 0,6 m/s.

Em um dia, como o número de pacotes era grande, a fita acabou e, na substituição, a empacotadeira percebeu que só possuía rolos de diâmetro da metade do que era costumeiro. A fim de evitar que o novo rolo saltasse de seu encaixe no suporte, adaptou o modo com que extraía a fita de forma que a velocidade angular do disco fosse a mesma que antes. Assim sendo, a nova velocidade de retirada da fita adesiva é a) 1,2 m/s. b) 0,6 m/s. c) 0,4 m/s. d) 0,3 m/s. e) 0,2 m/s. 03. (UFF RJ) No parque de diversões, a mãe leva o filho para andar num carrossel que gira com certa velocidade angular. Por precaução, senta-se com a criança no colo, próximo do eixo de rotação do carrossel. Essa decisão foi tomada, porque a) a velocidade angular e a linear são menores perto do eixo do carrossel. b) a velocidade angular é menor perto do eixo do carrossel, enquanto a linear é a mesma em qualquer ponto do carrossel. c) a velocidade angular é menor perto do eixo do carrossel, enquanto a linear é maior. d) a velocidade angular é a mesma em qualquer ponto do carrossel, enquanto a linear é menor perto do eixo do carrossel. e) a velocidade angular e a linear são iguais em qualquer ponto do carrossel.

04. (Unirg TO) Um ciclista, ao pedalar uma bicicleta, observa que o velocímetro dela mostra que sua velocidade é de 36 km/h. Sabendo que as rodas têm raio médio de 50 cm, qual é a velocidade angular que o ciclista está pedalando em rads/s? Dado: π ≈ 3,0 a) 0,2 b) 5,0 c) 20 d) 500 05. (Puc MG) Um carro move-se em trajetória retilínea com velocidade constante. Seus pneus, montados sobre as rodas, têm um diâmetro de 50 cm e giram com uma velocidade angular ω = 40 rad/s. Assinale a distância percorrida por esse veículo ao final de um minuto. a) 200 m c) 1200 m b) 600 m d) 2400 m 06. (Uea AM) A vantagem de se construir bases de lançamento de foguetes nas proximidades da linha do equador terrestre é que o foguete já parte com uma velocidade maior, dada pela rotação da Terra. No Brasil, o Centro de Lançamento de Alcântara (CLA) apresenta esse requisito.

(www.cta.br. Adaptado.)

Sendo a velocidade angular de rotação da Terra p ω = rad / h e supondo que no CLA o raio de rotação seja 12 de 6 360 km, a velocidade escalar, em km/h, de um foguete instalado na superfície do CLA é p a) 530 p b) 350 c) 12 ⋅ p d) 350 ⋅ p e) 530 ⋅ p

143

A11  Grandezas angulares

01. (Uefs BA) A velocidade angular de um disco que se movimentava com aceleração angular constante variou de 2,0 rad/s para 22,0 rad/s, no intervalo de 10,0 s. Nesse intervalo de tempo, admitindo-se π igual a 3, o disco realizou um número de rotações igual a a) 22 b) 20 c) 18 d) 14 e) 12

Física

07. (Mackenzie SP) Devido ao movimento de rotação da Terra, uma pessoa sentada sobre a linha do Equador tem velocidade escalar, em relação ao centro da Terra, igual a: 22 Adote: Raio equatorial da Terra = 6 300 km e p = 7 a) 2 250 km/h d) 980 km/h b) 1 650 km/h e) 460 km/h c) 1 300 km/h

09. (Puc SP) Uma partícula percorre uma trajetória circular de raio 20 cm, com velocidade constante de 40 cm/s. A velocidade e a aceleração angulares da partícula valem, respectivamente: a) 2 rad/s e 0 b) 2 rad/s e 2 rad/s2 c) 0 e 2 rad/s2 d) 2 rad/s e 4 rad/s2 e) 4 rad/s e 2 rad/s2

08. (Uerj RJ) A distância média entre o Sol e a Terra é de cerca de 150 milhões de quilômetros. Assim, a velocidade média de translação da Terra em relação ao Sol é, aproximadamente, de: Dados: 1 ano ≈ 3,1 ⋅ 107 s; p = 3,1 a) 3 km/s c) 300 km/s b) 30 km/s d) 3 000 km/s

10. (Puc RS) A velocidade angular do movimento de rotação da Terra é, aproximadamente, a) (π/12) rad/h b) (π/6) rad/h c) (π/4) rad/h d) π rad/h e) 2π rad/h

Exercícios Complementares

A11  Grandezas angulares

01. (Puc RJ) A Lua leva 28 dias para dar uma volta completa ao redor da Terra. Aproximando a órbita como circular, sua distância ao centro da Terra é de cerca de 380 mil quilômetros. A velocidade aproximada da Lua, em km/s, é: a) 13 c) 59 e) 1,0 b) 0,16 d) 24 02. (IF SC) O Blu-Ray Disc, que é uma evolução do DVD, representa considerável evolução no armazenamento de dados, principalmente para filmes em alta definição. A principal diferença entre os formatos está no laser usado para gravar e ler os dados armazenados. Enquanto o DVD usa um laser de comprimento de onda de 650 nm o Blu-Ray usa um laser de comprimento de onda de 405 nm. O disco ou a mídia de armazenamento de dados do Blu-Ray tem um diâmetro de 12 cm. A taxa de transferência de dados do disco para o leitor é função da rotação do disco, que deve ser variável para garantir que esta taxa de transferência seja constante. Admitindo que os dados são armazenados do centro para a borda do disco, qual deve ser a relação entre as velocidades lineares e angulares do centro para a borda do disco? Assinale a alternativa CORRETA. a) vcentro> vborda; ωcentro>ωborda. b) vcentro< vborda; ωcentro>ωborda. c) vcentro = vborda; ωcentro>ωborda. d) vcentro = vborda; ωcentro<ωborda. e) vcentro = vborda; ωcentro = ωborda. 03. (Mackenzie SP) Em um centro de diversões, existe um brinquedo em que dois competidores “dirigem”, cada um, certo carrinho, de pequenas dimensões (P1 e P2). O Carrinho P1 é acelerado constantemente, a partir do repouso, no ponto A, e, após 3,0 s, se choca com um obstáculo localizado no ponto B. O carrinho P2 se desloca com velocidade escalar constante

144

e percorre o arco de circunferência CD no mesmo intervalo de tempo em que o carrinho P1 percorreu o segmento de reta AB, paralelo a MN . Sabendo-se que M é ponto médio de AC e que o módulo da aceleração do carrinho P1 é 2,0 m/s2, a velocidade angular e o módulo aproximado da velocidade tangencial do carrinho P2 são, respectivamente, P2 C

60°

60° 60° O

p rad/s e 0,5m/s 18 p b) rad/s e 1m/s 18 p c) rad/s e 1,5m/s 18

p rad/s e 0,5m/s 9 p e) rad/s e 1m/s 9

04. (Uel PR) Um ciclista descreve uma volta completa em uma pista que se compõe de duas retas de comprimento L e duas semicircunferências de raio R conforme representado na figura a seguir. L R R L

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

A volta dá-se de forma que a velocidade escalar média nos tre2 chos retos é v e nos trechos curvos é v . O ciclista completa 3 a volta com uma velocidade escalar média em todo o percurso 4 igual a v . 5 A partir dessas informações, é correto afirmar que o raio dos semicírculos é dado pela expressão: pR a) L = πR d) L = 4 pR 3pR b) L = e) L = 2 2 pR c) L = 3 05. (Ufu MG) As figuras abaixo representam dois pontos A e B sobre a superfície terrestre, em um mesmo meridiano. O ponto A está no equador e o ponto B se encontra no hemisfério norte a uma latitude de 60°. Pólo Norte

R A

a) π ⋅ v / (2R) b) v / (π ⋅ R) c) π / (v ⋅ R) d) 2π R/v e) v / (2π R) 08. (UFJF MG) Duas rodas de raios R1 e R2 = R1/2 são lançadas com uma velocidade angular ω1 e ω2. As duas rodas giram sem deslizar e são lançadas juntas no instante t = 0 e na posição x = 0. Qual deve ser a relação entre as velocidades angulares das duas rodas, tal que ambas cheguem juntas após percorrer uma distância L? y

Pólo Norte

z L

A R

Pólo Sul

Sabendo que a Terra gira com velocidade angular w e supondo que a Terra é de forma esférica com raio R, a alternativa que apresenta a relação entre as velocidades lineares desses dois pontos A e B é v v 1 a) A = 2 c) A = vB vB 2 b)

vA 2 3 = vB 3

vA = 3 vB

06. (UFT TO) Mariana deseja medir a velocidade que sua bicicleta desenvolve. Para isso, ela gruda um chiclete mascado na parte exterior de um dos pneus, cujo diâmetro mede 0,40 m, e põe-se a pedalar a uma velocidade constante. A cada vez que a parte do pneu com o chiclete toca o solo, ela ouve um “clec”. Com base nessa observação, Mariana conta 15 “clecs” em um intervalo de 10 s. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que a velocidade que a bicicleta de Mariana desenvolve, nesse caso, é de, aproximadamente, a) 0,27 m/s. c) 1,9 m/s. b) 0,60 m/s. d) 3,8 m/s. 07. (Ufu MG) Um ciclista parte de A para B com velocidade constan te v , em linha reta. Seu pássaro de estimação, partindo no mesmo instante que ele, acompanha-o, descrevendo a trajetória semicircular de raio R da figura, com velocidade escalar constante. A velocidade angular constante ω que deverá ter o pássaro para que chegue em B no mesmo instante que o ciclista será:

a) ω1 = 4 ω2 b) ω2 = 2 ω1 c) ω1 = ω2

d) ω2 = 4 ω1 e) ω2 = ω1/2

09. (UFF RJ) João e Maria estão sobre uma plataforma horizontal e circular de um parque de diversões. O raio da plataforma é de 3,0 m. Inicialmente eles se encontram em posições diametralmente opostas, como mostra a figura:

V R

A plataforma gira em torno de seu eixo vertical de simetria com velocidade angular constante de 2,0 rotações por minuto. Maria não se move em relação à plataforma, mas João vai ao seu encontro caminhando ao longo do diâmetro XY. João parte no instante em que ele passa diante do poste P e chega até Maria no instante em que ela passa pelo mesmo poste P, pela primeira vez, após a saída de João. Assim, a velocidade escalar média de João, em relação à plataforma, terá sido de: a) 1,5 cm/s b) 6,0 cm/s c) 20 cm/s d) 40 cm/s e) 1,5 × 102 cm/s 145

A11  Grandezas angulares

maria

60°

Equador

60°

joão

Equador

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO A12

ASSUNTOS ABORDADOS nn Movimento circular uniforme nn Definição nn Período e frequência nn Relação entre o período e a frequência com as velocidades nn Função horária do mcu nn Aceleração centrípeta

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Definição É o tipo de movimento em que a partícula percorre uma trajetória circular mantendo sua velocidade angular instantânea constante. Como a velocidade escalar ou linear da partícula é proporcional à sua velocidade angular, podemos dizer que, no movimento circular uniforme (mcu), a velocidade linear instantânea também é constante e não nula. O movimento circular uniforme é periódico, isto é, todas as suas características se repetem em intervalos de tempos iguais. Como exemplo de mcu, podemos citar as rodas gigantes dos parques de diversões, que realizam um movimento praticamente uniforme.

Período e frequência Período (T) é o intervalo de tempo que a partícula leva para realizar uma volta completa. O período é medido em segundos. Se uma partícula executa “n” voltas num intervalo de tempo “∆t”, podemos calcular o período por meio de uma regra de três simples. T=

Fonte: Nomad_Soul / Shutterstock.com

Figura 01 - Em nosso dia a dia, diversos dispositivos executam movimento circular uniforme para o seu devido funcionamento. Como exemplo, podemos citar a roda gigante, as pás de um ventilador e as pás de um liquidificador.

∆t n

146

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Frequência é o número de voltas realizadas pela partícula na unidade de tempo. A unidade de medir a frequência é o inverso do segundo (1/s), que recebeu o nome de hertz (Hz), em homenagem ao físico Heinrich Rudolf Hertz. Se uma partícula executa “n” voltas em um intervalo de tempo “∆t”, podemos calcular a frequência por meio de uma regra de três simples. f=

n ∆t

ω= v=

2p ∆φ ⇒ ω= T ∆t

2pR ∆S ⇒ v= T ∆t

Mas T =

Analisando as duas fórmulas apresentadas, podemos chegar à conclusão que o período e a frequência são grandezas inversas, ou seja, f=

Aplicando as definições de velocidade angular e velocidade escalar, temos:

1 T

1 então: ω = 2pf e v = 2pfR f

Comparando as equações, temos: v = ωR

Função horária do mcu Como já estudamos, a função horária da posição escalar de um corpo que descreve um movimento uniforme é dada por: = S S0 + vt

SAIBA MAIS

No caso particular do mcu, teremos também uma função horária da posição angular, por analogia, dada por:

HEINRICH HERTZ

φ = φ0 + ω t em que f0 representa a posição angular inicial e ω a velocidade angular instantânea.

Hertz nasceu em Hamburgo a 22 de Fevereiro de 1857. Interessou-se desde muito cedo pela construção de mecanismos, tema que sempre o atraiu, mesmo enquanto trabalhou na área da física. Em 1888, apresentou os resultados das suas experiências à comunidade científica, os quais obtiveram o sucesso merecido. Cinco anos mais tarde, no início de 1893, Hertz adoece e é operado de um tumor na orelha. No entanto, no final desse ano, adoece de novo e, no dia 1 de Janeiro de 1894, antes de completar 37 anos, morre de bacteremia.

O mcu não possui aceleração escalar e nem aceleração angular, porque tanto a velocidade escalar quanto a velocidade angular são constantes no decorrer do tempo. Como a trajetória é curvilínea, a direção do vetor velocidade varia, então, existe uma grandeza responsável por essa variação, que recebe o nome de aceleração centrípeta. Essa grandeza é vetorial, portanto, tem um módulo, uma direção e um sentido. v2 2 ou ac = ω R R Direção: Radial, isto é, na direção do raio. Módulo: ac =

Sentido: Para o centro da circunferência. Na figura a seguir, representamos os vetores velocidade   ( v ) e aceleração centrípeta ( ac ) em duas posições diferentes, 1 e 2. Observe que o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória, no ponto considerado.

Relação entre o período e a frequência com as velocidades Ao completar uma volta na circunferência, o intervalo de tempo corresponde ao período do movimento; o deslocamento angular (∆φ) corresponde a 2π, e o deslocamento escalar (∆S) corresponde ao comprimento da circunferência, 2pR, em que R é o raio da circunferência.

A12  Movimento circular uniforme

Fonte: Wikimedia Commons

Aceleração centrípeta

v1 ac1 ac2

147

Física

EXEMPLO (UniCesumar SP) Uma partícula realiza um movimento circular e uniforme numa trajetória de raio (R) igual a 2,5 m, obedecendo à seguinte função horária dos espaços lineares: S = 5 + 10t, em unidades do Sistema Internacional. Calcule: (Adote π = 3)

RESOLUÇÃO a) Analisando a função horária dada, podemos afirmar que a velocidade escalar v = 10 m/s. A relação entre a velocidade escalar e o período é: v=

2pR T

⇒

2 × 3 × 2,5 10

⇒

T = 1,5 s

b) A frequência é o inverso do período, portanto: = f

1 ⇒ 1,5

f = 0,67 Hz

c) A aceleração centrípeta tem módulo dado por: a) o período (T) b) a frequência (f) c) aceleração centrípeta (acp)

a= c

v2 100 = ⇒ R 2,5

ac = 40 m/s2

Exercícios de Fixação

A12  Movimento circular uniforme

01. (Unicamp SP) Anemômetros são instrumentos usados para medir a velocidade do vento. A sua construção mais conhecida é a proposta por Robinson em 1846, que consiste em um rotor com quatro conchas hemisféricas presas por hastes, conforme figura abaixo. Em um anemômetro de Robinson ideal, a velocidade do vento é dada pela velocidade linear das conchas. Um anemômetro em que a distância entre as conchas e o centro de rotação é r = 25 cm, em um dia cuja velocidade do vento é v =18 km/h, teria uma frequência de rotação de

a) 3 rpm. b) 200 rpm. c) 720 rpm. d) 1 200 rpm. Se necessário, considere p ≈ 3 .

148

02. (UERN) Dois exaustores eólicos instalados no telhado de um galpão se encontram em movimento circular uniforme com frequências iguais a 2,0 Hz e 2,5 Hz. A diferença entre os períodos desses dois movimentos é igual a a) 0,1 s. c) 0,5 s. b) 0,3 s. d) 0,6 s. 03. (IF PE) Sabe-se que uma partícula executa um movimento circular uniforme de raio 2 m e período igual a 5 s, em um determinado intervalo de tempo. Assim, é correto afirmar que: a) A frequência do movimento dessa partícula é 20 rpm (rotações por minuto). b) Em qualquer instante do intervalo de tempo considerado, a força centrípeta é nula. c) O vetor velocidade, em cada instante do intervalo de tempo considerado, tem módulo igual a 2π m/s. d) Uma das unidades para se medir a velocidade angular dessa partícula é m/s. e) A sua aceleração centrípeta, em cada instante do intervalo de tempo considerado, tem módulo igual a 0,32π2 m/s2. 04. (Uem PR) Um corpo descrevendo uma circunferência horizontal com velocidade constante em módulo realiza cada volta completa em 20 s. Considerando que o raio da trajetória é de 0,4 m, assinale o que for correto. 27 01. A velocidade angular do corpo é de 0,1π rad/s. 02. A frequência desse movimento é de 0,05 Hz. 04. A aceleração centrípeta é nula, pois o módulo da velocidade não varia. 08. A cada volta, o corpo percorre 0,8π m. 16. A energia cinética do corpo em toda a trajetória é constante.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

06. (UCS RS) Na história bíblica de Davi e Golias, o pastor Davi, de porte físico pequeno, diante do gigante guerreiro Golias, derrotou-o usando uma funda, instrumento caracterizado por um arranjo adequado de cordas ou tiras, no qual gira-se uma pedra até que ela adquira velocidade tangencial suficiente para atingir o alvo, provocando forte impacto. Supondo que Davi tenha usado uma funda que girava uma pedra num raio de 0,5 m e a pedra, depois de solta, tenha atingido a face de Golias com velocidade de 5 m/s, qual era a aceleração centrípeta da pedra? a) 0,25 m/s2 d) 50,0 m/s2 2 b) 2,50 m/s e) 500,0 m/s2 2 c) 25,0 m/s 07. (Uem PR) Em relação ao Movimento Circular e Uniforme, analise as alternativas abaixo e assinale o que for correto. 15 01. No Sistema Internacional de Unidades, a unidade da velocidade angular é o rad/s. 02. O período de rotação é o intervalo de tempo em que um móvel, que descreve um Movimento Circular e Uniforme, percorre um ciclo completo. 04. A aceleração centrípeta é proporcional à velocidade angular ao quadrado. 08. O módulo da velocidade tangencial é constante. 16. A aceleração tangencial é proporcional à velocidade tangencial ao quadrado. 08. (UPE PE) Um problema para a vida humana em uma estação no espaço exterior é o peso aparente igual a zero. Com a intenção de contornar este problema, faz-se a estação girar em torno do seu centro com uma taxa constante para criar uma “gravidade artificial” na sua borda externa. Considerando o diâmetro da estação igual a 125 m e p = 3, o número de revoluções por minuto necessárias a fim de que a gravidade artificial seja igual a 10 m/s2 vale a) 4 c) 6 e) 10 b) 2 d) 8 09. (UFJF MG) A Lua está situada a uma distância de 3,8 × 108 m da Terra e completa uma volta a cada 27,3 dias. Com essas informações e admitindo a órbita da Lua como circular, calcule a sua aceleração centrípeta e, depois, marque a opção CORRETA. a) 3,75 × 10–4 m/s2 b) 5,82 × 10–3 m/s2 c) 2,45 × 10–3 m/s2 d) 3,70 × 10–3 m/h2 e) 4,80 × 10–3 m/h2

10. (IF SP) A vida da sociedade moderna não tem sido nada fácil: jornada de trabalho estendida, sedentarismo, má alimentação, trânsito caótico, entre outros. Nesse contexto, a bicicleta, que desde o século XIX integra, de forma ativa, o cotidiano nos grandes centros, retorna ao centro das atenções, tanto por ser um meio de transporte eficaz e limpo (não emite poluentes), quanto por trazer bem-estar e saúde para as pessoas que a utilizam. No quadro abaixo, há uma descrição sucinta de dois modelos que fizeram parte da evolução das bicicletas ao longo da história.

Modelo desenhado por James Starley, em 1816, construída em aço, com roda raiada, pneus em borracha maciça e sistema de freios. Sua roda dianteira possuía 125 cm de diâmetro, sendo uma verdadeira máquina de propulsão.

Uma draisiana simples, precursora da bicicleta como a conhecemos hoje, não possuía correntes ligando coroa e catraca, mas, à época (século XIX), era o que existia de mais moderno no ciclismo. Desenvolvida por Karl Frederich Von Drais (17851851), tinha pedais na roda dianteira com 80 cm de diâmetro. A partir da sua leitura e de conceitos físicos sobre o movimento dos corpos, analise as assertivas abaixo. Dados: o comprimento da circunferência é dado por C = 2.π.R, em que R é o raio da circunferência. Considere π = 3 I. A cada pedalada, as bicicletas 1 e 2 percorrem a mesma distância, pois os raios não interferem na distância percorrida por elas. II. A bicicleta 1 era chamada de máquina de propulsão, pois, devido a seu grande raio, a cada pedalada a distância percorrida era maior em relação a uma roda com raio menor. III. A cada pedalada, a bicicleta 1 percorre a distância de 3,75 m e a bicicleta 2 percorre a distância de 2,4 m. É correto o que afirma em a) I, apenas. b) I e II, apenas. c) II, apenas.

d) III, apenas. e) II e III, apenas.

149

A12  Movimento circular uniforme

05. (FMJ SP) A furadeira cirúrgica é um equipamento de larga utilização em procedimentos cirúrgicos, nas mais diversas especialidades da medicina. Considere uma dessas furadeiras cuja broca, de 0,5 mm de diâmetro, gire com frequência de 3 000 rpm e que π = 3. A velocidade escalar de um ponto periférico desta broca é, em m/s, a) 1,5 × 10–2. d) 6,0 × 10–2. b) 6,0 × 10–1. e) 1,5 × 10–1. –2 c) 7,5 × 10 .

Física

Exercícios Complementares 01. (Unicamp SP) As máquinas cortadeiras e colheitadeiras de cana-de-açúcar podem substituir dezenas de trabalhadores rurais, o que pode alterar de forma significativa a relação de trabalho nas lavouras de cana-de-açúcar. A pá cortadeira da máquina ilustrada na figura abaixo gira em movimento circular uniforme a uma frequência de 300 rpm. A velocidade de um ponto extremo P da pá vale (Considere π = 3)

04. (Fuvest SP) Uma estação espacial foi projetada com formato cilíndrico, de raio R igual a 100 m, como ilustra a figura abaixo. Para simular o efeito gravitacional e permitir que as pessoas caminhem na parte interna da casca cilíndrica, a estação gira em torno de seu eixo, com velocidade angular constante ω. As pessoas terão sensação de peso, como se estivessem na Terra, se a velocidade ω for de, aproximadamente,

R = 60 cm

a) 9 m/s.

b) 15 m/s.

Considerando as medidas mostradas e sabendo que as rodas dianteiras do trator dão uma volta completa em 1,25 segundo, é correto afirmar que a frequência de rotação, em hertz, das rodas traseiras do trator é igual a a) 0,4. b) 0,7. c) 0,3. d) 0,5. e) 0,6.

c) 18 m/s.

d) 60 m/s.

02. (UFPA) O escalpelamento é um grave acidente que ocorre nas pequenas embarcações que fazem transporte de ribeirinhos nos rios da Amazônia. O acidente ocorre quando fios de cabelos longos são presos ao eixo desprotegido do motor. As vitimas são mulheres e crianças que acabam tendo o couro cabeludo arrancado. Um barco típico que trafega nos rios da Amazônia, conhecido como “rabeta”, possui um motor com um eixo de 80 mm de diâmetro, e este motor, quando em operação, executa 3 000 rpm.

A12  Movimento circular uniforme

Considerando que, nesta situação de escalpelamento, há um fio ideal que não estica e não desliza preso ao eixo do motor e que o tempo médio da reação humana seja de 0,8 s (necessário para um condutor desligar o motor), é correto afirmar que o comprimento deste fio que se enrola sobre o eixo do motor, neste intervalo de tempo, é de: a) 602,8 m c) 30,0 m e) 10,0 m b) 96,0 m d) 20,0 m 03. (UEA AM) O trator mostrado na figura move-se em linha reta, com velocidade constante e sem escorregar sobre uma superfície plana e horizontal. movimento

1,6 m 1,0 m

(www.pt.dreamstime.com. Adaptado.)

150

a) 0,1 rad/s b) 0,3 rad/s c) 1 rad/s d) 3 rad/s e) 10 rad/s Note e adote: A aceleração gravitacional na superfície da Terra é g = 10 m/s2. 05. (Unifor CE) Uma das modalidades de corridas de automóveis muito populares nos Estados Unidos são as corridas de arrancadas, lá chamadas de Dragsters Races. Esses carros são construídos para percorrerem pequenas distâncias no menor tempo. Uma das características desses carros é a diferença entre os diâmetros dos seus pneus dianteiros e traseiros. Considere um Dragster cujos pneus traseiros e dianteiros tenham respectivamente diâmetros de d1= 1,00 m e d2= 50,00 cm. Para percorrer uma distância de 300,00 m, a razão (n1/n2), entre o número de voltas que os pneus traseiros e dianteiros, supondo que em nenhum momento haverá deslizamento dos pneus com o solo, será:

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

08. (UFRJ) No dia 10 de setembro de 2008, foi inaugurado o mais potente acelerador de partículas já construído. O acelerador tem um anel, considerado nesta questão como circular, de 27 km de comprimento, no qual prótons são postos a girar em movimento uniforme.

(Fonte:http://www.bankspower.com/news/ show/39-banks-dragster-development-continues)

a) 150,00 b) 50,00 c) 25,00

d) 2,00 e) 0,50

06. (Uema MA) Um ciclista saiu de uma cidade “A” às 06h20min e chegou a uma cidade “B” às 10h50min. Ao verificar o velocímetro, na chegada, o ciclista constatou que estava com defeito, informando apenas o horário e o número de revoluções n = 56 000. Considerando que sua bicicleta tem pneus de aro 26 (diâmetro 26”) e que não houve deslizamento, a distância percorrida e a velocidade média, nesse percurso, são: Adote π = 3,14 e 1 pol = 2,54 cm a) 457 km e 102 km/h d) 45,7 m e 102 m/h b) 1 160 m e 10,2 m/h e) 116,0 km e 25,8 km/h c) 4 570 m e 10,2 km/h 07. (Unesp SP) Admita que em um trator semelhante ao da foto a relação entre o raio dos pneus de trás (rT) e o raio dos pneus da rT 1,5 ⋅ rF . frente (rF) é =

Supondo que um dos prótons se mova em uma circunferência de 27 km de comprimento, com velocidade de módulo v = 240 000km/s, calcule o número de voltas que esse próton dá no anel em uma hora. 32 000 000 voltas 09. (Fuvest SP) É conhecido o processo utilizado por povos primitivos para fazer fogo. Um jovem, tentando imitar parcialmente tal processo, mantém entre suas mãos um lápis de forma cilíndrica e com raio igual a 0,40 cm de tal forma que, quando movimenta a mão esquerda para a frente e a direita para trás, em direção horizontal, imprime ao lápis um rápido movimento de rotação. O lápis gira, mantendo seu eixo fixo na direção vertical, como mostra a figura ao lado. Realizando diversos deslocamentos sucessivos e medindo o tempo necessário para executá-los, o jovem conclui que pode deslocar a ponta dos dedos de sua mão direita de uma distância L = 15 cm, com velocidade constante, em aproximadamente 0,30 s. Podemos afirmar que, enquanto gira num sentido, o número de rotações por segundo executadas pelo lápis é aproximadamente igual:

Chamando de vT e vF os módulos das velocidades de pontos desses pneus em contato com o solo e de fT e fF as suas respectivas frequências de rotação, pode-se afirmar que, quando esse trator se movimenta, sem derrapar, são válidas as relações: a) vT = vF e fT = fF. b) vT = vF e 1,5·fT = fF. c) vT = vF e fT = 1,5·fF. d) vT = 1,5·vF e fT = fF. e) 1,5·vT = vF e fT = fF.

A12  Movimento circular uniforme

(www.greenhorse.com.br/site/pops/204.html)

a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 20 151

FRENTE

FÍSICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Ufu MG) Um avião, deslocando-se paralelamente a uma planície a uma altura H e com velocidade horizontal vo, libera em um dado instante um artefato.

O motociclista salta o vão com certa velocidade u0 e alcança a plataforma inferior, tocando-a com as duas rodas da motocicleta ao mesmo tempo. Sabendo-se que a distância entre os eixos das rodas é 1,0 m e admitindo g = 10 m/s2, determine: a) o tempo gasto entre os instantes em que ele deixa a plataforma superior e atinge a inferior. t = 0,50 s b) qual é a menor velocidade com que o motociclista deve deixar a plataforma superior, para que não caia no fosso. v = 10 m/s 03. (Fuvest SP) Um motociclista de motocross move-se com velocidade v = 10 m/s, sobre uma superfície plana, até atingir uma rampa (em A), inclinada de 45° com a horizontal, como indicado na figura.

g H

v A

g A

P X

As componentes horizontal (vx) e vertical (vy) da velocidade do artefato no exato instante em que esse artefato passa pelo ponto A, a uma altura p do solo, são: a) v x v o

v v 2g p H

b) v x 2gp

v v 2gH

c) v x 2gH

v v 2gp

d) v x v o

v v 2g H p

02. (Unesp SP) Um motociclista deseja saltar um fosso de largura d = 4,0 m, que separa duas plataformas horizontais. As plataformas estão em níveis diferentes, sendo que a primeira encontra-se a uma altura h = 1,25 m acima do nível da segunda, como mostra a figura.

h = 1,25 m 1,0 m

d = 4,0 m

152

H 45° D

A trajetória do motociclista deverá atingir novamente a rampa a uma distância horizontal D (D = H), do ponto A, aproximadamente igual a: a) 20 m d) 7,5 m b) 15 m e) 5 m c) 10 m 04. (ITA SP) Uma bola é lançada horizontalmente do alto de um edifício, tocando o solo decorridos aproximadamente 2 s. Sendo de 2,5 m a altura de cada andar, o número de andares do edifício é a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) indeterminado pois a velocidade horizontal de arremesso da bola não foi fornecida. 05. (Uerj RJ) Um avião, em trajetória retilínea paralela à superfície horizontal do solo, sobrevoa uma região com velocidade constante igual a 360 km/h. Três pequenas caixas são largadas, com velocidade inicial nula, de um compartimento na base do avião, uma a uma, a intervalos regulares iguais a 1 segundo. Desprezando-se os efeitos do ar no movimento de queda das caixas, determine as distâncias entre os respectivos pontos de impacto das caixas no solo. 100 m

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

06. (UECE) Um projétil é lançado horizontalmente sob a ação de gravidade constante, de cima de uma mesa, com velocidade inicial cujo módulo é V0. Ao atingir o nível do solo, o módulo de sua velocidade é 3V0. Logo, o módulo de sua velocidade vertical neste nível, desprezando-se qualquer tipo de atrito, é

um ângulo de 30° com a horizontal. Considerando g = 10 m/s2, assinale a distância entre as bolas no instante em que a primeira alcança sua máxima altura. a) d = 6250 m b) d = 7217 m

a) 2 V0.

c) d = 17100 m

b) 4 V0. c)

2 V0.

d) d = 19375 m

8 V0.

e) d = 26875 m

Dados: g = 10 m/s2 3 ≈ 1,7 a) a velocidade de lançamento da bola; vo = 24 m/s b) o alcance do lançamento da bola. 49 m 08. (Fuvest SP) O salto que conferiu a medalha de ouro a uma atleta brasileira, na Olimpíada de 2008, está representado no esquema, reconstruído a partir de fotografias múltiplas. Nessa representação, está indicada, também, em linha tracejada, a trajetória do centro de massa da atleta (CM). Utilizando a escala estabelecida pelo comprimento do salto, de 7,04 m, é possível estimar que o centro de massa da atleta atingiu uma altura máxima de 1,25 m (acima de sua altura inicial), e que isso ocorreu a uma distância de 3,0 m, na horizontal, a partir do início do salto, como indicado na figura. Considerando essas informações, estime: 1,25 m

10. (ITA SP) Durante as Olimpíadas de 1968, na cidade do México, Bob Beamow bateu o recorde de salto em distância, cobrindo 8,9 m de extensão. Suponha que, durante o salto, o centro de gravidade do atleta teve sua altura variando de 1,0 m no início, chegando ao máximo de 2,0 m e terminando a 0,20 m no fim do salto. Desprezando o atrito com o ar, pode-se afirmar que o componente horizontal da velocidade inicial do salto foi de a) 8,5 m/s . b) 7,5 m/s . c) 6,5 m/s . d) 5,2 m/s . e) 4,5 m/s . 11. (Unicamp SP) Uma bola de tênis rebatida numa das extremidades da quadra descreve a trajetória representada na figura abaixo, atingindo o chão na outra extremidade da quadra. O comprimento da quadra é de 24 m. altura (cm)

07. (UFG GO) Um torcedor sentado na arquibancada, a uma altura de 2,2 m em relação ao nível do campo, vê um jogador fazer um lançamento e percebe que a bola permaneceu por 2,0 segundos acima do nível em que se encontra. Considerando-se que o ângulo de lançamento foi de 30°, calcule:

125,0 62,5 0,0 0

rede 4

8 12 16 distância (m)

3m 7,04 m

a) O intervalo de tempo t1, em s, entre o instante do início do salto e o instante em que o centro de massa da atleta atingiu sua altura máxima. t1 = 0,50 s b) A velocidade horizontal média, VH, em m/s, da atleta durante o salto. VH = 6,0 m/s c) O intervalo de tempo t2, em s, entre o instante em que a atleta atingiu sua altura máxima e o instante final do salto. t2 = 0,67 s NOTE E ADOTE: Desconsidere os efeitos da resistência do ar. 09. (ITA SP) Considere hipoteticamente duas bolas lançadas de um mesmo lugar ao mesmo tempo: a bola 1, com velocidade para cima de 30 m/s, e a bola 2, com velocidade de 50 m/s formando

a) Calcule o tempo de voo da bola, antes de atingir o chão. Desconsidere a resistência do ar nesse caso. 0,75 s; b) Qual é a velocidade horizontal da bola no caso acima? 32 m/s 12. (Uerj RJ) A cidade de São Paulo tem cerca de 23 km de raio. Numa certa madrugada, parte-se de carro, inicialmente em repouso, de um ponto qualquer de uma das avenidas marginais que circundam a cidade. Durante os primeiros 20 segundos, o movimento ocorre com aceleração constante de 1,0 m/s². Ao final desse período, a aceleração torna-se nula e o movimento prossegue mantendo-se a velocidade adquirida. Considerando que o movimento foi circular, determine: a) a distância percorrida pelo carro durante os primeiros 20 segundos; 0,2 km b) o tempo gasto para alcançar-se o ponto diametralmente oposto à posição inicial, ou seja, o extremo oposto da cidade. 1 h 153

FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

7,04 m

Física

13. (Unicamp SP) Utilize g = 10 m/s2 sempre que necessário na resolução dos problemas. A velocidade linear de leitura de um CD é 1,2 m/s. a) Um CD de música toca durante 70 minutos, qual é o comprimento da trilha gravada? d = 5 040 m; b) Um CD também pode ser usado para gravar dados. Nesse caso, as marcações que representam um caracter (letra, número ou espaço em branco) têm 8 µm de comprimento. Se essa prova de Física fosse gravada em um CD, quanto tempo seria necessário para ler o item a) desta questão? r = 5,53 ⋅ 10–4 s 1µm = 10–6m. 14. (UFV MG) Um automóvel encontra-se em repouso no interior de um estacionamento, a 20 m de um portão eletrônico inicialmente fechado. O motorista aciona, então, o controle remoto do portão, que passa a girar em torno de seu eixo fixo à velocidade constante de p /40 rad/s. Simultaneamente, o veículo começa a mover-se retilineamente em direção ao portão, com aceleração constante. A aceleração que o motorista deve imprimir ao veículo para que atinja a saída do estacionamento no exato instante em que o portão acaba de descrever um ângulo de p /2 rad, abrindo-se totalmente, tem módulo de: a) 0,01 m/s2 b) 0,10 m/s2 c) 1,00 m/s2 d) 0,80 m/s2 e) 0,08 m/s2 15. (Unicamp SP) Considere um computador que armazena informações em um disco rígido que gira a uma frequência de 120 Hz. Cada unidade de informação ocupa um comprimento físico de 0,2 µm na direção do movimento de rotação do disco. Quantas informações magnéticas passam, por segundo, pela cabeça de leitura, se ela estiver posicionada a 3 cm do centro de seu eixo, como mostra o esquema simplificado apresentado abaixo?

16. (Uem PR) Considere uma pista de ciclismo de forma circular com extensão de 900 m e largura para comportar dois ciclistas lado a lado e, também, dois ciclistas A e B partindo do mesmo ponto inicial P dessa pista e no mesmo instante, sendo que A parte com velocidade constante de 36 km/h no sentido anti-horário e B, com velocidade constante de 54 km/h no sentido horário. Desprezando-se pequenas mudanças de trajetória e posição, para que não ocorra colisão entre os ciclistas, assinale o que for correto. 21 01. Após 1 min de corrida, o ângulo central, correspondente ao arco de menor medida delimitado pelas posições dos dois 2p ciclistas, mede, aproximadamente, rad . 3 02. Os dois ciclistas se cruzam pela primeira vez, após a partida inicial, no tempo t = 23 s, aproximadamente. p 04. A velocidade angular média do ciclista A é de rad/s. 45 08. Após 2 h de corrida, a diferença entre as distâncias totais percorridas pelos dois ciclistas é de, aproximadamente, 18 km. p 16. A aceleração centrípeta do ciclista B é de m/s2. 2 17. (UFBA) A medida da velocidade da luz, durante muitos séculos, intrigou os homens. A figura mostra um diagrama de um procedimento utilizado por Albert Michelson, físico americano nascido na antiga Prússia. Um prisma octogonal regular com faces espelhadas é colocado no caminho óptico de um raio de luz. A luz é refletida na face A do prisma e caminha cerca de 36,0 km atingindo o espelho, no qual é novamente refletida, retornando em direção ao prisma espelhado onde sofre uma terceira reflexão na face C e é finalmente detectada na luneta. O procedimento de Michelson consiste em girar o prisma de modo que, quando o pulso de luz retornar, encontre a face B exatamente no lugar da face C. Feixe de luz

Espelho

(Considere π≈ 3.)

FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

Prisma Espelhado

36 km Luneta

a) 1,62 × 106. b) 1,8 × 106. c) 64,8 × 108. d) 1,08 × 10 . 8

154

Considerando que a velocidade da luz é igual a 3,0.105 km/s e que a aresta do prisma é muito menor do que a distância entre o prisma e o espelho, t = 2,4.10–4 s; f ≅ 5,18 ⋅ 102 Hz nn calcule o tempo que um pulso de luz gasta para percorrer, ida e volta, a distância do prisma espelhado até o espelho; nn calcule a frequência de giro do prisma de modo que a face B

esteja na posição da face C, quando o pulso de luz retornar.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

18. (Unicamp SP) b)

PNU

O quadro (a), acima, refere-se à imagem de televisão de um carro parado, em que podemos distinguir claramente a marca do pneu (“PNU”). Quando o carro está em movimento, a imagem da marca aparece como um borrão em volta de toda a roda, como ilustrado em (b). A marca do pneu volta a ser nítida, mesmo com o carro em movimento, quando este atinge uma determinada velocidade. Essa ilusão de movimento na imagem gravada é devido à frequência de gravação de 30 quadros por segundo (30 Hz). Considerando que o diâmetro do pneu é igual a 0,6 m e π = 3,0, responda: a) Quantas voltas o pneu completa em um segundo, quando a marca filmada pela câmara aparece parada na imagem, mesmo estando o carro em movimento? 30 voltas (ou múltiplos inteiros de 30). b) Qual a menor frequência angular ω do pneu em movimento, quando a marca aparece parada? ω = 2πν = 2 × 3 × 30 = 180 rad/s c) Qual a menor velocidade linear (em m/s) que o carro pode ter na figura (c)? v = ωR = 180 × 0,3 = 54 m/s 19. (Fuvest SP) Num toca fitas, a fita F do cassete passa em frente da cabeça de leitura C com uma velocidade constante v = 4,80 cm/s. O diâmetro do núcleo dos carretéis vale 2,0 cm. Com a fita completamente enrolada num dos carretéis, o diâmetro externo do rolo de fita vale 5,0 cm. A figura representa a situação em que a fita começa a se desenrolar do carretel A e a se enrolar no núcleo do carretel B. Enquanto a fita é totalmente transferida de A para B, o número de rotações completas por segundo (rps) do carretel V

a b c = = senA senB senC

a2 = b2 + c2 – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cosA sen 30° = 0,5 cos 30° = 0,866 tg 30° = 0,577 sen 60° = 0,866 cos 60° = 0,5 tg 60° = 1,732 sen 90° = 1 cos 90° = 0 a) 5,0 m. b) 4,6 m. c) 4,4 m. d) 3,8 m. e) 4,1 m. 21. (UCS RS) Quando um jogador de futebol é muito veloz, uma forma divertida de se referir a essa qualidade é dizer que ele é capaz de cobrar escanteio para a área adversária e ele mesmo correr e conseguir chutar a bola antes de ela tocar o chão. Suponha um jogador ficcional que seja capaz de fazer isso. Se ele cobrar o escanteio para dentro da área fornecendo à bola uma velocidade inicial de 20 m/s, fazendo um ângulo de 60° com a horizontal, qual distância o jogador precisa correr, em linha reta, saindo praticamente de forma simultânea à cobrança de escanteio, para chutar no gol sem deixar a bola tocar no chão? Para fins de simplificação, considere que a altura do chute ao gol seja desprezível, que sen60° = 0,8, cos60° = 0,5, e que a aceleração da gravidade seja 10 m/s2. a) 6 m b) 12 m c) 24 m d) 32 m e) 44 m 22. (Uem PR) Em um evento esportivo, um atleta faz um lançamento de um disco de metal de 2 kg. Assim que o disco deixa a mão do atleta, sua trajetória no plano xy pode ser represen-

5,0 cm

3 2

tada pela função y = + x 2,0cm

F V F

Cabeça de leitura C

a) varia de 0,32 a 0,80 rps. b) varia de 0,96 a 2,40 rps. c) varia de 1,92 a 4,80 rps. d) permanece igual a 1,92 rps. e) varia de 11,5 a 28,8 rps. 20. (Puc Campinas SP) O relógio que está na torre do Big Ben foi construído com o ponteiro grande medindo 4,7 metros e o ponteiro pequeno medindo 2,7 metros. Exatamente às 2 horas, a distância entre as pontas, que marcam o tempo, dos dois ponteiros é de, aproximadamente,

x2 , definida no intervalo entre x = 68

0 e x = A. Nesta expressão, y representa a altura em metros do disco em relação ao solo, x representa a distância horizontal em metros do disco em relação ao ponto de lançamento, e A representa o alcance horizontal máximo em metros. Sobre esse lançamento, assinale o que for correto. Dado: A equação da trajetória num lançamento oblíquo pode ser escrita como y - y= 0

v 0y v 0x

( x - x0 ) -

g 2 ( x - x 0 ) , em que x0 e y0 são as 2v20x

coordenadas iniciais, v 0 e v 0 são as projeções do vetor velocidade inicial nas direções x e y, respectivamente, e g = 10 m s2 é a aceleração gravitacional. Gab: 13 01. No ponto mais alto da trajetória, y > 17 m. 02. No ponto mais alto da trajetória, x = 35 m. 04. A > 68 m. 08. O módulo da velocidade inicial é 680 m/s. 16. O vetor velocidade inicial faz um ângulo de 42º com a horizontal. x

155

FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

Dados: sen2 A + cos2 A = 1

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FRENTE

FÍSICA Por falar nisso Muitos de nós já entramos em um elevador. No início, ficamos com um pouco de receio. O que aconteceria se ele parasse no meio de seu percurso? Se os cabos de sustentação arrebentassem e ele caísse com toda velocidade, como vemos em alguns filmes? Bom, não é tão perigoso como às vezes vemos no cinema. Na verdade, o elevador é um instrumento bem interessante para estudarmos alguns conceitos sobre Física.

FN P v

Na maior parte do percurso o elevador descreve um movimento uniforme. Só perceberemos a variação de velocidade em seu movimento inicial ou final. Quando entramos em um elevador, de acordo com o seu movimento podemos sentir diferentes sensações. Lembre-se de que, de acordo com a 1ª Lei de Newton, o corpo, por inércia, tende a manter seu estado, seja ele de repouso ou de MRU. E de acordo com o princípio fundamental da Dinâmica, a força resultante (FR) pode ser calculada por FR = m⋅a, em que m é a massa do corpo e a é a aceleração desenvolvida por este corpo. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

B09 B10 B11 B12

Segunda Lei de Newton................................................................. 158 Terceira Lei de Newton.................................................................. 163 Aplicações das leis de Newton...................................................... 169 Plano inclinado............................................................................... 175

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO B09

ASSUNTOS ABORDADOS nn Segunda Lei de Newton nn Força Peso

SEGUNDA LEI DE NEWTON A maioria dos movimentos que observamos sofre alterações, que são o resultado de uma ou mais forças aplicadas. Toda a força resultante, seja ela de uma única fonte ou de uma combinação de fontes, produz aceleração. A mesma força aplicada a uma massa duas vezes maior produz a metade da aceleração. Para uma massa três vezes maior, um terço da aceleração. Dizemos que, para uma determinada força, a aceleração produzida é inversamente proporcional à massa. A relação da força resultante e a inércia é dada pela segunda lei de Newton: “A aceleração de um objeto é diretamente proporcional à força resultante atuando sobre ele; tem a mesma direção e o mesmo sentido que esta força e é inversamente proporcional à massa do objeto”.

  F Matematicamente, podemos escrevê-la da seguinte maneira: a = R m nn De acordo com a segunda lei de Newton, o vetor aceleração tem a mesma direção e sentido do vetor força resultante. nn Também, de acordo com a segunda lei de Newton, a unidade de medir força é obtida a partir do produto da unidade de medir massa multiplicado pela unidade de aceleração. Então:

[m] → kg [a] → m/s2 [F] → kg⋅m/s2 Em homenagem a Isaac Newton, a unidade de medir força foi chamada de newton (N). 1 N = 1 kg⋅m/s2 nn A

Fonte: Wikimedia Commons

segunda lei de Newton é uma das leis básicas da Mecânica, sendo muito utilizada na análise dos movimentos que observamos próximos à superfície terrestre e no estudo dos movimentos celestes. nn A segunda lei de Newton também é chamada de Princípio Fundamental da Dinâmica, uma vez que é a partir dela que se define a força como uma grandeza necessária para se vencer a inércia de um corpo.

Força Peso A partir da segunda lei de Newton, também chegamos à outra importante definição na Física: o Peso. A Força Peso corresponde à atração exercida por um planeta sobre um corpo em sua superfície. Ela é calculada com a equação:   P = m.g

em que g é a aceleração da gravidade local.

Figura 01 - Isaac Newton (1642 - 1727), físico e matemático inglês.

158

Apesar de a massa de um corpo ser fixa, não é o que ocorre com o peso. Veja um exemplo:

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Um corpo de massa 20 kg no planeta Terra, onde a aceleração da gravidade é 9,8 m/s², possui o seguinte módulo do peso: P = 20. 9,8 P = 196 N O mesmo corpo em Marte, onde g = 3,711 m/s2, possui o peso: P = 20.3,711 P = 74,22 N Vemos que o módulo do peso do objeto, no planeta Marte, é bem menor que na Terra, pois a gravidade em Marte é menor. Elevadores Consideremos um bloco de massa m sobre uma balança graduada em newtons,  apoiada no piso  de um elevador. Sobre o bloco atuam duas forças: a força peso (P) e a força normal (FN ) cabo de susentação

balança

nn 1º caso: Elevador em repouso, descendo ou subindo com movimento uniforme.

Nesse caso, a força resultante que atua no bloco, de acordo com a 1ª Lei de Newton, é nula, então:

FR = 0 ⇒ FN = P

A balança indica o valor da força peso.

A balança indica o valor da força normal, como, neste caso, a força normal tem o mesmo módulo da força peso, a balança indicará o valor do peso do bloco. nn 2º caso: Elevador acelerado para cima. Temos dois casos: movimento acelerado

ou movimento retardado.

Se o movimento for acelerado, o vetor força resultante tem o mesmo sentido do movimento, que é o mesmo sentido da força normal. FR = m⋅a ⇒ FN − P = m⋅a ⇒ FN > P

A balança indica um valor maior que o peso.

Se o movimento for retardado, isto é, se o elevador estiver parando, o vetor força resultante tem sentido contrário ao sentido do movimento, que é o mesmo sentido da força peso. FR = m⋅a ⇒ P − FN = m⋅a ⇒ FN < P

A balança indica um valor menor que o peso.

nn 3º caso: Elevador acelerado para baixo. Temos dois casos: movimento acelerado B09  Segunda Lei de Newton

ou movimento retardado.

Se o movimento for acelerado, o vetor força resultante tem o mesmo sentido do movimento, que é o mesmo sentido da força peso. FR = m⋅a ⇒ P − FN = m⋅a ⇒ FN < P

A balança indica um valor menor que o peso.

Se o movimento for retardado, isto é,se o elevador estiver parando, o vetor força resultante tem sentido contrário ao sentido do movimento, que é o mesmo sentido da força normal. FR = m⋅a ⇒ FN − P = m⋅a ⇒ FN > P

A balança indica um valor maior que o peso. 159

Física

EXEMPLOS Um automóvel de massa 1 500 kg está se deslocando em linha reta, com velocidade v1 = 10 m/s. O motorista pisa no acelerador, durante um intervalo de tempo de 2 s, e a velocidade do carro atinge o valor v2 = 15 m/s. Desprezando as forças de resistência ao movimento, a) b) c) d)

faça um esquema colocando todas as forças que atuam no veículo. determine o valor da aceleração comunicada ao carro. determine o valor da força resultante que atua no carro. determine o valor da força normal que o asfalto faz sobre o carro. RESOLUÇÃO

b) Para calcular a aceleração, vamos considerar o movimento do carro como sendo uniformemente variado e aplicar o conceito de aceleração escalar.

∆v 15 - 10 5 = a= = ∆t 2 2

⇒

2,5 m/s m/s22 aa== 2,5

c) A única força que atua na direção do movimento é a força do motor.   Portanto ela é a força resultante. FR = F Aplicando a segunda lei de Newton, temos: FN = m⋅g ⇒ FN = 1.500⋅2,5 = 3.750 N

FN F

sen do do movimento

P a) Vamos considerar o veículo como sendo um ponto material. Sobre  ele atuam as seguintes forças: força  peso ( P ), força normal ( FN ) e a força transmitida pelo motor ( F ). Veja a figura.

d) A força normal e a força peso atuam na direção perpendicular ao movimento. Nessa direção, a força resultante é nula. Portanto, em módulo, a força normal é igual à força peso. FN = P ⇒ FN = m⋅g = 1.500⋅10 ⇒ FN = 15.000 N

Exercícios de Fixação 01. (Cefet MG) Um veículo segue em uma estrada horizontal e retilínea e o seu velocímetro registra um valor constante. Referindo-se a essa situação, assinale (V) para as afirmativas verdadeiras ou (F), para as falsas. ( ) A aceleração do veículo é nula. ( ) A resultante das forças que atuam sobre o veículo é nula. ( ) A força resultante que atua sobre o veículo tem o mesmo sentido do vetor velocidade. A sequência correta encontrada é a) V F F b) F V F c) V V F d) V F V

B09  Segunda Lei de Newton

02. (IF GO) Um octocóptero com seus equipamentos tem massa de 20,0 kg e consegue ascender (subir) verticalmente com uma aceleração de 3,0 m/s2.

Disponível em: <http://www.casadodetetive.com.br>.Acesso em: 30 Dez. 2014.

160

Sabendo que a aceleração gravitacional tem valor de 10,0 m/s2, podemos afirmar que a força resultante que atua sobre esse octocóptero é a) vertical, para baixo e tem módulo de 200,0 N. b) vertical, para cima e tem módulo de 60,0 N. c) vertical, para cima e tem módulo de 30,0 N. d) horizontal, para a esquerda e tem módulo de 100,0 N. e) horizontal, para a direita e tem módulo de 60,0 N. 03. (Unitau SP) Um objeto, cujas dimensões são desprezíveis, desliza apoiado sobre uma superfície horizontal e plana. A massa do objeto é de 10 kg e a trajetória do movimento é uma linha reta. Considere desprezível o atrito entre o objeto e a superfície, bem como entre o objeto e o ar. O movimento do objeto deve-se somente à ação de uma força aplicada F, que tem direção horizontal e intensidade constante de 30 N. Considerando-se o objeto inicialmente em repouso, calcule o módulo de sua velocidade após ter sido deslocado por uma distância de 6 m. a) 4,0 m/s b) 6,0 m/s c) 8,0 m/s d) 10,0 m/s e) 12,0 m/s

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

05. (UEA AM) Num intervalo de tempo de 30 segundos, uma lancha de massa 120 000 kg é acelerada a partir do repouso até a velocidade de 15 m/s. A força resultante média, em newtons, que atuou sobre a lancha nesse intervalo de tempo foi de a) 15 000 b) 30 000 c) 60 000 d) 90 000 e) 120 000 06. (Unificado RJ) Dentro de um elevador, um objeto de peso 100 N está apoiado sobre uma superfície. O elevador está descendo e freando com aceleração vertical e para cima de 0,1 m/s2. Considere a aceleração da gravidade como 10 m/s2. Durante o tempo de frenagem, a força que sustenta o objeto vale, em newtons, a) 101 b) 99 c) 110 d) 90 e) 100 07. (Uerj RJ) Uma empresa japonesa anunciou que pretende construir o elevador mais rápido do mundo. Ele alcançaria a velocidade de 72 km/h, demorando apenas 43 segundos para chegar do térreo ao 95º andar de um determinado prédio. Gab: ≅ 1233 N Considere os seguintes dados: nn aceleração constante do elevador; nn altura de cada andar do prédio igual a 4 m; nn massa do elevador, mais sua carga máxima, igual a 3000 kg. Estime a força média que atua sobre o elevador, quando está com carga máxima, no percurso entre o térreo e o 95º andar. 08. (UECE) Duas únicas forças, uma de 3 N e outra de 4 N, atuam sobre uma massa puntiforme. Sobre o módulo da aceleração dessa massa, é correto afirmar-se que a) é o menor possível se os dois vetores força forem perpendiculares entre si. b) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido. c) é o maior possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e sentidos contrários.

d) é o menor possível se os dois vetores força tiverem mesma direção e mesmo sentido. 09. (Fac. Santa Marcelina SP) Um pequeno avião a jato, de massa 1×104 kg, partindo do repouso, percorre 1×103 m de uma pista plana e retilínea até decolar. Nesse percurso, a resultante das forças aplicadas no avião tem intensidade igual a 18×103 N. A velocidade final da aeronave no final do percurso, no momento da decolagem, em km/h, tem intensidade igual a a) 157 b) 118 c) 255 d) 216 e) 294 10. (Uepa PA) Ao comprar uma passagem de avião, um passageiro foi informado que teria uma franquia de bagagem de 23 kg. Admitindo que a balança da companhia aérea apresente uma margem de erro de 10%, o peso máximo que o passageiro poderá transportar para não ser obrigado a pagar a taxa por excesso de bagagem, em N, é igual a: Dado: Aceleração da Gravidade = 10 m/s2. a) 248 b) 250 c) 253 d) 257 e) 261 11. (Puc RJ) Uma caixa de massa 10 kg, inicialmente em repouso em uma superfície horizontal sem atrito, começa a ser puxada por uma força constante de módulo F = 10 N, como mostrado na figura.

F 30°

A velocidade da caixa após 2,0 segundos é, em m/s: Considere: = 2 1,4 = e 3 1,7

sen 30° = 1

B09  Segunda Lei de Newton

04. (Unitau SP) Sabe-se que a aceleração local gravitacional lunar é de 1,6 m/s2. O peso de um objeto na superfície da Terra, onde o campo gravitacional local é de aproximadamente 10 m/s2, é de 30 N. Nesse caso, é CORRETO afirmar que o peso desse mesmo corpo na superfície da Lua seria de a) 10,0 N b) 20,0 N c) 15,0 N d) 30,0 N e) 4,80 N

2 cos 30° = 3 / 2 a) 1,7 b) 1,0 c) 2,0 d) 0,86 e) 3,4

161

Física

Exercícios Complementares 01. (Puc RJ) Duas forças F1 e F2 no plano xy e perpendiculares entre si atuam em um objeto de massa 3,0 kg imprimindo uma aceleração de módulo 2,0 m/s2. A força F1 tem módulo 3,0 N e aponta ao longo do sentido positivo do eixo x. Calcule o módulo da força F2 em newtons. Considere: = 2 1,4 = e 3 1,7 a) 5,1 b) 4,2 c) 3,0 d) 1,2 e) 0,5 02. (Puc Ccampinas SP) Uma caixa de massa 2,0 kg está apoiada numa superfície horizontal perfeitamente lisa, estando   sujeita a duas forças F1 e F2 horizontais e perpendiculares  entre si. A força F1 tem intensidade 8,0 N e a caixa apresenta aceleração de 5,0 m/s2. Nestas condições, a intensidade  da força F2 é, em newtons, a) 4,0 b) 5,0 c) 6,0 d) 8,0 e) 10 03. (UERN) Um pai e seu filho estão em elevadores diferentes, cada um deles sobre uma balança, sendo que o elevador onde se encontra o pai desce com aceleração constante de 3 m/s2, e o do filho sobe com aceleração constante de 2 m/s2. Se a massa do pai é de 60 kg, qual é a massa do filho, sabendo-se que as indicações das duas balanças durante o movimento dos elevadores são iguais? (Adote g = 10 m/s2) a) 30 kg b) 35 kg c) 40 kg d) 45 kg

B09  Segunda Lei de Newton

04. (FM Petrópolis RJ) Um helicóptero transporta, preso por uma corda, um pacote de massa 100 kg. O helicóptero está subindo com aceleração constante vertical e para cima de 0,5 m/s2. Se a aceleração da gravidade no local vale 10 m/s2, a tração na corda, em newtons, que sustenta o peso vale a) 1 500 b) 1 050 c) 500 d) 1 000 e) 950 05. (UECE) Um trem, durante os primeiros minutos de sua partida, tem o módulo de sua velocidade dado por v = 2t, em que t é o tempo em segundos e v a velocidade, em m/s.

162

Considerando que um dos vagões pese 3 × 103 kg, qual o módulo da força resultante sobre esse vagão, em newtons? a) 3000 b) 6000

c) 1500 d) 30000

06. (Uefs BA) Um elevador está descendo e atinge o repouso com uma aceleração cuja intensidade é de 5,0 m/s2. Considerando-se uma pessoa de massa m = 60,0 kg, em pé sobre uma balança no interior do elevador, a leitura da balança, durante a parada do elevador, em N, é igual a a) 1080 b) 900 c) 620 d) 450 e) 300 07. (Puc MG) O peso de um homem obtido em uma balança no solo é 800 N. Em seguida, ele é novamente pesado numa balança colocada em um elevador, que sobe com uma aceleração de 2m/s2. Nessa situação, o peso do homem será de: Dado: g = 10 m/s2 a) 740 N b) 680 N c) 960 N d) 900 N 08. (Espcxex SP) Uma pessoa de massa igual a 80 kg está dentro de um elevador sobre uma balança calibrada que indica o peso em newtons, conforme desenho abaixo. Quando o elevador está acelerado para cima com uma aceleração constante de intensidade a = 2,0 m/s2, a pessoa observa que a balança indica o valor de Dado: intensidade da aceleração da gravidade g = 10 m/s2 a) 160 N b) 640 N a c) 800 N d) 960 N e) 1600 N Elevador 09. (Unificado RJ) Duas forças, F1 e F2, de mesma direção e sentidos opostos, agem sobre um objeto de massa 2,0 kg, imprimindo-lhe uma aceleração horizontal de módulo 8,0 m/s2. Se a força F1 é 5 vezes maior que a força F2, o módulo da força F2, em newtons, é a) 1,0 b) 2,7 c) 3,2 d) 4,0 e) 10,0

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO B10

TERCEIRA LEI DE NEWTON A terceira lei de Newton, também chamada de princípio da ação e reação, estabelece o seguinte:

ASSUNTOS ABORDADOS nn Terceira Lei de Newton nn Dinamômetro

A toda força de ação corresponde a uma força de reação, de modo que essas forças têm sempre o mesmo módulo, a mesma direção, sentidos opostos e estão aplicadas em corpos diferentes. Assim, para Newton, as forças sempre aparecem aos pares, e, como estão aplicadas em corpos distintos, nunca se anulam mutuamente.

Dinamômetro

Fonte: Wikimedia Commons

Um caso interessante é o da força gravitacional. Um corpo A nas proximidades da Terra  sofre uma força de atração que é o peso ( P ) do corpo (veja a figura). Portanto, pelo princípio da ação e reação, a Terra também é atraída pelo corpo A, com uma força de mesmo  módulo, mesma direção e sentido oposto. Vamos chamar essa força de -P , que deve estar aplicada no centro da Terra.

É o instrumento utilizado para medir forças. É constituído de uma mola com um ponteiro e uma escala graduada em newtons. O dinamômetro baseia-se no princípio da ação e reação. A força que é aplicada na extremidade livre da mola é transmitida para a outra extremidade que deve estar fixa, como mostra a figura. Quando um objeto é pendurado na extremidade livre da mola, esta se deforma e, de acordo com a Lei de Hooke, a deformação sofrida pela mola é proporcional à sua força elástica, que nesse caso será igual ao peso do objeto.

Figura 01 - O dinamômetro, utilizado para medir forças, baseia-se no princípio da ação e reação.

163

Física

Lei de Hooke Consideremos a figura a seguir, em que uma mola ideal, isto é, uma mola de massa desprezível tem uma de suas extremidades fixas.

SAIBA MAIS

normal x normal

deformada de x

Fonte: Wikimedia Commons

 Uma força F foi aplicada à extremidade livre da mola, provocando nela uma deformação x.

  F= Fel= k.x (Lei de Hooke) k → constante elástica da mola (N/m) x → deformação sofrida pela mola (m)

Robert Hooke (1635 – 1703) foi um cientista inglês, nascido em Freshwater. Seu primeiro invento foi o relógio portátil de corda, em 1657. Enunciou a lei da elasticidade ou a lei de Hooke (1660), segundo a qual as deformações sofridas pelos corpos são proporcionais às forças que são aplicadas sobre eles. Hooke formulou também a teoria do movimento planetário, a primeira teoria sobre as propriedades elásticas da matéria, descreveu a estrutura celular da cortiça e publicou o livro Micrographia sobre suas descobertas realizando suas análises dos efeitos do prisma, esferas e lâminas com a utilização do microscópio.

EXEMPLOS (UFRRJ) Em uma obra, realizada na cobertura de um prédio, há um sistema para subir e descer material entre o térreo e o último andar através de baldes e cordas. Um dos operários, interessado em Física, colocou um dinamômetro na extremidade de uma corda. Durante o transporte de um dos baldes, ele percebeu que o dinamômetro marcava 100 N com o balde em repouso e 120 N quando o balde passava por um ponto A no meio do trajeto. (Considere g = 10 m/s2).

O diagrama das forças que atuam no balde é o seguinte:

dinamômetro

a) Com o sistema em repouso, temos: T =P ⇒ 100 =P ⇒ mg =100 ⇒ m =10 kg

Com o sistema em movimento, temos: B10  Terceira Lei de Newton

a) Determine a aceleração do balde nesse instante em que ele passa pelo ponto A. b) É possível concluir se, nesse instante, o balde está subindo ou descendo? Justifique. RESOLUÇÃO Quando o dinamômetro é colocado em um fio, ele medirá a tração no fio, portanto a força de tração no fio é igual a 100 N quando o sistema está em repouso e 120 N quando o sistema está em movimento.

164

F= ma ⇒ T - P= ma ⇒ 120 - 100= 10a R a=

20 2

⇒

a = 2 m/s2

b) Não. O balde pode estar subindo com movimento acelerado ou descendo com movimento retardado (parando).

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação

a) da Terra sobre a mão do garoto. b) do pássaro sobre a mão do garoto. c) da Terra sobre o pássaro. d) do pássaro sobre a Terra. e) da mão do garoto sobre o pássaro. 02. (UFRN) Em uma experiência realizada para a determinação da constante elástica, k, de uma mola, mediu-se a força, F, exercida sobre corpos de massas diferentes, suspensos na extremidade da mola, em função do seu alongamento, ∆x. Os dados obtidos desse experimento são representados no gráfico abaixo.

Sabendo-se que a mola obedece à Lei de Hooke, o valor da constante k para essa mola é: a) 50,0 N/m b) 5,0 N/m c) 0,20 m/N d) 0,02 m/N 03. (IF GO) Um nadador, conforme mostrado na figura, imprime uma força com as mãos na água (F1) trazendo-a na direção de seu tórax. A água, por sua vez, imprime uma força no nadador (F2) para que ele se mova para frente durante o nado.

Assinale a resposta correta: a) Esse princípio obedece a Lei da Inércia, uma vez que o nadador permanece em seu estado de movimento. b) Obedecendo à Lei da Ação e Reação, o nadador imprime uma força na água para trás e a água, por sua vez, empurra-o para frente. c) O nadador puxa a água e a água empurra o nadador, obedecendo a Lei das Forças (segunda Lei de Newton). d) Nesse caso, é o nadador que puxa seu corpo, aplicando uma força nele próprio para se movimentar sobre a água. e) O nadador poderá se mover, pois a força que ele aplica na água é maior do que a resultante das forças que a água aplica sobre ele. 04. (UFV MG) Na figura abaixo, estão representados um corpo pendurado no teto de uma sala por uma corda inextensível e de massa desprezível, bem como as forças que atuam na corda e no corpo. Admitindo-se que o sistema esteja em equilíbrio e fundamentado nas Leis de Newton, é CORRETO afirmar que:

a) pelo princípio da inércia, ou 1ª Lei de Newton, P = T = F1 = F2. b) pelo princípio da ação e reação, ou 3ª Lei de Newton, P = T = F1 = F2. c) pelo princípio da ação e reação, ou 3ª Lei de Newton, P = T e F1 = F2. d) pelo princípio da inércia, ou 1ª Lei de Newton, P = T e F1 = F2. 05. (UEA AM) Ao ser colocado sobre uma mesa, um livro permanece em repouso, o que significa que a força resultante sobre ele é nula. A força que forma o par ação-reação com a força peso do livro é a força a) gravitacional exercida pelo livro sobre a Terra. b) gravitacional exercida pela Terra sobre o livro. c) de apoio exercida pelo livro sobre a mesa. d) de apoio exercida pela mesa sobre o livro. e) de apoio exercida pelo piso sobre a mesa.

165

B10  Terceira Lei de Newton

01. (IF SC) Um pássaro está em pé sobre uma das mãos de um garoto. É CORRETO afirmar que a reação à força que o pássaro exerce sobre a mão do garoto é a força:

Física

06. (Uniube MG) No movimento de uma carroça puxada por um cavalo, ainda que o movimento seja acelerado, as forças trocadas entre o cavalo e a carroça tem mesma intensidade, como ilustra a figura a seguir:

Qual argumento a mãe utilizará para apontar o erro de interpretação do garoto? a) A força de ação é aquela exercida pelo garoto. b) A força resultante sobre o móvel é sempre nula. c) As forças que o chão exerce sobre o garoto se anulam. d) A força de ação é um pouco maior que a força de reação. e) O par de forças de ação e reação não atua em um mesmo corpo. 09. (Uerj RJ) Observe o “carrinho de água” abaixo representando:

Fonte: <http://caioruan.blogspot.com.br>. Acesso 01 out. 2014

A lei física que explica essa situação e a: a) Segunda lei de Newton b) Terceira lei de Newton c) Lei da gravitação universal d) Lei de Hook e) Primeira Lei de Kepler 07. (Univag MT) A figura mostra duas pessoas, P1 e P2, disputando um cabo de guerra. Os pontos cardeais indicam a direção e os sentidos para os quais o carrinho pode se deslocar. Desse modo, enquanto o pistão se desloca para baixo, comprimindo a água, um observador fixo à Terra vê o carrinho na seguinte situação: a) mover-se para oeste b) mover-se para leste c) permanecer em repouso (www.6yka.com. Adaptado.)

F1 e F2 são as forças de tração nas extremidades da corda e F3 e F4 são as forças de atrito entre as pessoas e o piso. Considerando as forças indicadas na figura e supondo que P2 vença a disputa, é correto afirmar que a) F1< F2 e F3> F4.

B10  Terceira Lei de Newton

b) F1< F2 e F3< F4. c) F1 = F2 e F3< F4. d) F1 = F2 e F3 = F4. e) F1> F2 e F3< F4. 08. (Enem MEC) Durante uma faxina, a mãe pediu que o filho a ajudasse, deslocando um móvel para mudá-lo de lugar. Para escapar da tarefa, o filho disse ter aprendido na escola que não poderia puxar o móvel, pois a Terceira Lei de Newton define que se puxar o móvel, o móvel o puxará igualmente de volta, e assim não conseguirá exercer uma força que possa colocá-lo em movimento.

166

d) oscilar entre leste e oeste 10. (Unifor CE) Considere as seguintes situações: I.

Um atleta brasileiro, treinando para a próxima Olimpíada, exerce uma força F horizontalmente, sobre um dinamômetro que está preso a uma parede rígida de sua academia, e o segura estaticamente.

II.

Dois atletas do mesmo grupo exercem, cada um, uma força F sobre o mesmo dinamômetro, horizontalmente, mantendo-o em equilíbrio.

Com respeito à força medida pelo dinamômetro,podemos afirmar: a) O dinamômetro medirá F na situação 1 e 2F na situação 2. b) O dinamômetro medirá 2F na situação 1 e 2F na situação 2. c) O dinamômetro medirá F na situação 1 e nenhuma força na situação 2. d) O dinamômetro não medirá nenhuma força nas duas situações. e) O dinamômetro medirá F na situação 1 e F na situação 2.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Unitau SP) A mecânica clássica newtoniana está baseada em três leis da Física, usualmente conhecidas como as Leis de Newton. Sobre essas leis, é totalmente CORRETO afirmar que: a) A segunda lei de Newton só se aplica a uma partícula quando sua massa permanece constante ao longo do movimento. b) A primeira lei de Newton estabelece que um corpo permanece em repouso ou em movimento acelerado sempre que a resultante das forças que atuam sobre ele for nula. c) A segunda lei de Newton só se aplica para sistema de partículas de massas constantes em regime estático. d) A primeira lei de Newton estabelece que um corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme sempre que a resultante das forças que atuam sobre esse corpo for nula. e) A terceira lei de Newton aplica-se, por exemplo, na interação de dois corpos de massas constantes somente quando esses se encontram em repouso.

II.

As intensidades da força normal e da força peso são iguais e têm origem em interações de tipos diferentes. III. A força normal sobre o livro, devida à interação do livro com a mesa, é de origem gravitacional. IV. A força normal sobre o livro é de origem eletromagnética. Estão corretas apenas as afirmativas: a) I e II. b) I e III. c) II e IV. d) III e IV. e) II, III e IV. 04. (Unifesp SP) Na figura, está representado um lustre pendurado no teto de uma sala.

02. (UFRN) Em Tirinhas, é muito comum encontrarmos situações que envolvem conceitos de Física e que, inclusive, têm sua parte cômica relacionada, de alguma forma, com a Física.

Supondo que o sistema se encontra em equilíbrio, é correto afirmar que, de acordo com a Lei da Ação e Reação (3ª Lei de Newton), a) a força que a Mônica exerce sobre a corda e a força que os meninos exercem sobre a corda formam um par ação-reação. b) a força que a Mônica exerce sobre o chão e a força que a corda faz sobre a Mônica formam um par ação-reação. c) a força que a Mônica exerce sobre a corda e a força que a corda faz sobre a Mônica formam um par ação-reação. d) a força que a Mônica exerce sobre a corda e a força que os meninos exercem sobre o chão formam um par ação-reação. 03. (Puc RS) Um livro encontra-se apoiado sobre uma mesa plana e horizontal. Considerando apenas a força de reação normal e a força peso que atuam sobre o livro, são feitas as seguintes afirmativas: I.

As intensidades da força normal e da força peso são iguais e uma é a reação da outra.

Nessa situação, considere as seguintes forças: I. O peso do lustre, exercido pela Terra, aplicado no centro de gravidade do lustre. II. A tração que sustenta o lustre, aplicada no ponto em que o lustre se prende ao fio. III. A tração exercida pelo fio no teto da sala, aplicada no ponto em que o fio se prende ao teto. IV. A força que o teto exerce no fio, aplicada no ponto em que o fio se prende ao teto. Dessas forças, quais configuram um par ação-reação, de acordo com a Terceira Lei de Newton? a) I e II. b) II e III. c) III e IV. d) I e III. e) II e IV. 05. (Ufam AM) A Mecânica Clássica se baseia em três leis fundamentais, estabelecidas por Sir Isaac Newton (16421727) e apresentadas pela primeira vez em 1686 na sua obra Principia Mathematica Philosophiae Naturalis (Os

167

B10  Terceira Lei de Newton

Considere a tirinha envolvendo a “Turma da Mônica”, mostrada a seguir.

Física

Princípios Matemáticos da Filosofia Natural), usualmente chamada de Principia. Com relação às leis de Newton, podemos afirmar que: I.

Uma das consequências da primeira lei é o fato de que qualquer variação do vetor velocidade, em relação a um referencial inercial, ou seja, qualquer aceleração deve estar associada à ação de forças. II. A segunda lei, conhecida como princípio fundamental da dinâmica, estabelece que a aceleração de um corpo submetido a uma força externa resultante é diretamente proporcional à sua massa. III. As forças que atuam em um corpo originam-se em outros corpos que constituem sua vizinhança. Uma força é apenas o resultado da interação mútua entre dois corpos. Assim, de acordo com a terceira lei, é impossível existir uma única força isolada. Assinale a alternativa correta: a) Somente a afirmativa II está correta. b) Somente a afirmativa III está correta. c) Somente as afirmativas I e II estão corretas. d) Somente as afirmativas I e III estão corretas. e) Somente as afirmativas II e III estão corretas. 06. (UFJF MG) Em relação às Leis de Newton, é CORRETO afirmar que: a) Sobre um corpo que realiza um movimento circular uniforme, o somatório das forças é nulo. b) Em um corpo em repouso ou em movimento uniforme, em relação ao mesmo referencial, não existe a ação de forças. c) A ação de uma força sobre um corpo não necessariamente altera seu estado de movimento. d) A toda ação tem uma reação, que resulta na mudança de estado de movimento de um corpo. e) A força centrípeta é responsável por manter a resultante das forças igual a zero.

08. (UPE PE) A mecânica clássica, também conhecida como mecânica newtoniana, fundamenta-se em princípios que podem ser sintetizados em um conjunto de três afirmações conhecidas como as leis de Newton do movimento. Pode-se afirmar que: Gab: FVVFV 00. Se o motor de uma espaçonave que se move no espaço sideral suficientemente afastada de qualquer influência gravitacional deixar de funcionar, a espaçonave diminui sua velocidade e fica em repouso. 01. As forças de ação e reação agem em corpos diferentes. 02. Massa é a propriedade de um corpo que determina a sua resistência a uma mudança de movimento. 03. Se um corpo está se dirigindo para o norte, podemos concluir que podem existir várias forças sobre o objeto, mas a maior deve estar direcionada para o norte. 04. Se a resultante das forças que atuam sobre um corpo é nula, pode-se concluir que esse se encontra em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. 09. (UFPB) Em uma performance de patinação no gelo, um casal de bailarinos apresenta um número em que, em um determinado momento, os bailarinos se empurram mutuamente, a fim de se afastarem um do outro em linha reta. Durante o empurrão, a bailarina, que tem uma massa de 64 kg, adquire uma aceleração de módulo 0,25 m/s2 em relação à pista de patinação, e, consequentemente, o bailarino, com 80 kg de massa, adquire também uma aceleração, no sentido oposto ao da bailarina. No caso descrito, considere que o atrito entre os patins e a pista é desprezível. Nessas circunstâncias, a aceleração, em módulo, que o bailarino adquiriu, em relação à pista de patinação, é igual a: a) 0,10 m/s2 b) 0,14 m/s2 c) 0,16 m/s2 d) 0,20 m/s2 e) 0,24 m/s2 10. (Puc RJ) Os gráficos abaixo mostram a variação da força feita sobre uma mola (F) em função de seu alongamento (x).

Basicamente ele possui uma fonte térmica e um recipiente contendo água que será aquecida para produzir o vapor. O movimento do automóvel ocorre quando o motorista abre a válvula V, permitindo que o vapor escape. Utilizando seus conhecimentos dos princípios da mecânica, explique como é possível a esse automóvel locomover-se.

Qual a mola mais dura? Qual o valor da constante elástica dessa mola? a) mola 1; K = 2 N/cm b) mola 3; K = 4 N/cm c) mola 2; K = 2,5 N/cm d) mola 1; K = 4 N/cm e) mola 3; K = 8 N/cm

B10  Terceira Lei de Newton

07. (UFRJ) A figura ilustra um dos mais antigos modelos de automóvel a vapor, supostamente inventado por Newton.

168

Questão 07: De acordo com a 3ª Lei de Newton, toda ação corresponde a uma reação de mesma intensidade, na mesma direção, porém de sentido oposto. Como a ação e a reação atuam em corpos distintos, concluímos que quando o vapor é ejetado para trás pelo carro, este exerce sobre o mesmo uma força em sentido oposto, impulsionando-o para a frente.

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO B11

APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON

ASSUNTOS ABORDADOS

As leis de Newton, embora sejam importantíssimas na solução de problemas envolvendo movimento de corpos, têm validade restrita ao chamado referencial inercial.

nn Aplicações das leis de Newton

Referencial inercial é um referencial que está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação a um referencial inercial padrão. Consideramos como referencial inercial padrão as estrelas distantes. A Terra, a rigor, não é um referencial inercial. Esse fato decorre, principalmente, do movimento de rotação que ela executa em torno do seu eixo. A maioria dos fenômenos estudados sobre a superfície da Terra tem duração muito breve, quando comparados ao seu período de rotação (24 horas) em torno do próprio eixo. Por esse motivo, o efeito de rotação da Terra pode ser desprezado na maioria dos problemas envolvendo as leis de Newton. Nos problemas propostos nesse livro, caso não seja dito nada em contrário, a Terra será considerada um referencial inercial. Nos próximos exemplos, envolveremos sistemas de corpos em movimento e aplicaremos as leis de Newton na sua resolução. É importante saber traduzir uma dada situação em um diagrama de forças aplicadas a todos os corpos envolvidos, escolhendo um sistema de eixos cartesianos adequado, para que as leis de Newton possam ser aplicadas.

Fonte: Wikimedia Commons

Figura 01 - A rigor, a Terra não é considerada um referencial inercial. Isso decorre, principalmente, do movimento de rotação que ela executa em torno do seu eixo.

169

Física

EXEMPLOS 01. Os blocos A, B e C, mostrados na figura a seguir, têm massas mA = 1 kg, mB = 2 kg e mC = 3 kg e estão apoiados sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa. Uma força, também horizontal, de módulo igual a 18 N, é aplicada no bloco A, empurrando o conjunto.

RESOLUÇÃO

Determine: a) a aceleração do conjunto. b) a força de contato entre C e B. RESOLUÇÃO Representando os diagramas de forças, em cada bloco, temos:

Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada bloco. Os blocos se movem somente na direção paralela ao plano. Na direção perpendicular ao plano, a força resultante é nula. bloco A:

F= mAa RA

⇒

F - F= mAa CA

bloco B:

FRB = mBa

⇒

FCB = mBa

bloco C:

F= mCa RC

⇒

FAC - F= mCa BC

Observe que, enquanto o vagão estiver em movimento retilíneo e uniforme ou em repouso, o fio do pêndulo permanecerá na posição vertical (fig.1). Quando o vagão estiver em movimento retilíneo acelerado, o fio inclina-se para trás (fig.2). Se o vagão adquirir um movimento retilíneo retardado, o fio inclinará para frente. Vamos representar o diagrama de forças que atuam na esfera do pêndulo.

Como não há movimento na vertical, podemos dizer que

FRY =0

⇒

TY =P

Observe o triângulo:

Lembrando que:

= FAC FCA = e FBC FCB porque formam pares ação-reação. Fazendo FAC= FCA= f1

FBC= FCB= f2

= F - f1 mAa  f2 mCa = f - f m a = B 1 2

= 18 - f1 1a  f2 3a ⇒ = f - f 2a = 1 2

sen = θ

TX T

⇒ = TX T.senθ

mas = TX ma então Tsen = θ ma (1)

a) Somando as três equações, temos: 18 = 1a + 2a + 3a

⇒

6a = 18

⇒

a = 3 m/s2

b) Substituindo o valor de a na equação do bloco B, temos:

B11  Aplicações das leis de Newton

FCB = FBC = mBa

⇒

FCB = 2.3

⇒

TY T

⇒

TY = Tcos θ mas Tcos θ = P = mg (2)

Dividindo membro a membro (1) : (2), teremos:

FCB = 6N

02. Um pêndulo simples é constituído por uma partícula de massa m presa em uma das extremidades de um fio ideal cuja outra extremidade está presa num ponto O. Consideremos um pêndulo simples pendendo verticalmente, preso ao teto de um vagão inicialmente em repouso (fig.1). Suponhamos que, a partir de determinado instante, o vagão adquira movimento retilíneo acelerado, com aceleração escalar constante (fig.2). Calcule o módulo da aceleração do vagão, em função de sua massa, da aceleração da gravidade local g e do ângulo de inclinação do fio, θ.

170

cos θ =

senθ ma = cos θ mg

⇒ tg= θ

a g

⇒ = a g.tgθ

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação

Considerando desprezível a resistência do ar sobre o pêndulo e sabendo que senθ = 0,6, cosθ = 0,8 e g = 10 m/s2, a velocidade atingida pelo avião, em m/s, em sua corrida para a decolagem, após percorrer os 1 500 m, foi de a) 150 b) 200 c) 300 d) 100 e) 250 02. (Ibmec RJ) Dois blocos de massa m e m estão ligados por um fio inextensível de massa desprezível, que passa por uma roldana pequena de massa também desprezível e sem atrito conforme apresentado na figura abaixo.

b) A aceleração do bloco de massa m1 é maior do que a aceleração do bloco de massa m2. c) As acelerações dos dois blocos têm o mesmo modulo. d) A velocidade do bloco de massa m2 é maior do que a do bloco de massa m1. e) O bloco de massa m1 sobe com velocidade constante. 03. (UFPA) Belém tem sofrido com a carga de tráfego em suas vias de trânsito. Os motoristas de ônibus fazem frequentemente verdadeiros malabarismos, que impõem desconforto aos usuários devido às forças inerciais. Se fixarmos um pêndulo no teto do ônibus, podemos observar a presença de tais forças. Sem levar em conta os efeitos do ar em todas as situações hipotéticas, ilustradas abaixo, considere que o pêndulo está em repouso com relação ao ônibus e que o ônibus move-se horizontalmente.

Sendo v a velocidade do ônibus e a sua aceleração, a posição do pêndulo está ilustrada corretamente a) na situação (I). b) nas situações (II) e (V). c) nas situações (II) e (IV). d) nas situações (III) e (V). e) nas situações (III) e (IV). 04. (UFTM MG) A empilhadeira, mostrada na figura, está parada sobre uma superfície plana e horizontal de um galpão, com três caixas A, B e C, também em repouso, empilhadas em sua plataforma horizontal. B11  Aplicações das leis de Newton

01. (UFTM MG) Um passageiro de um avião segura um pêndulo constituído de um fio inextensível de massa desprezível e de uma esfera. Inicialmente, enquanto o avião está em repouso na pista do aeroporto, o pêndulo é mantido na vertical com a esfera em repouso em relação à Terra, conforme a figura 1. O piloto imprime ao avião uma aceleração escalar constante para que o avião atinja a velocidade necessária para a decolagem, percorrendo a distância de 1 500 m em linha reta. Nesse intervalo de tempo, o pêndulo permanece inclinado de um ângulo θ constante em relação à vertical, como representado na figura 2.

Com relação à situação descrita, a afirmativa correta é: a) A aceleração do bloco de massa m é maior do que a ace2 leração do bloco de massa m1.

171

Física

Sabendo que a massa da caixa A é 100 kg, a massa da caixa B é 90 kg e que a massa da caixa C é 50 kg, e considerando g = 10 m/s2, as intensidades das forças que a caixa C exerce sobre a caixa B, que a caixa B exerce sobre a caixa A e que a caixa A exerce sobre a plataforma da empilhadeira valem, respectivamente, em N, a) 900, 500 e 1 000. b) 500, 1 400 e 2 400. c) 1 000, 500 e 900. d) 1 400, 1 900 e 2 400. e) 2 400, 1 900 e 1 000.

B11  Aplicações das leis de Newton

05. (UFTM MG) A Dinâmica é muitas vezes prejudicada por um tratamento puramente matemático de seus problemas. Exemplo disso é a vasta coleção de problemas que tratam de “bloquinhos” ou “corpos” que, sob a ação de forças, movimentam-se em superfícies ideais, etc. Desejando reverter essa visão da Dinâmica, um professor aplica para seus alunos o exercício: dois blocos A e B, de massas respectivamente iguais a 2 kg e 3 kg, encontram-se atados por um fio ideal e inextensível, apoiados sobre um piso  plano e horizontal. Sobre o corpo B, uma força F de intensidade 20 N faz o conjunto se movimentar, a partir do repouso.

Para surpresa dos alunos, em vez das esperadas perguntas “qual a aceleração do conjunto?” e “qual a tração no fio?”, o professor elabora afirmações para que seus alunos julguem corretamente se certas ou erradas. I. Em cada bloco, a força peso e força normal da superfície se anulam, visto que são, pela terceira lei de Newton, ação e reação, tendo a mesma intensidade, direção e sentidos opostos. II. Para esse problema, a Lei da Inércia não se aplica na direção horizontal, uma vez que o sistema de blocos assume um movimento acelerado. III. Da esquerda para a direita, as forças resultantes sobre os bloquinhos crescem, em termos de sua intensidade. É correto o contido em apenas a) I b) II c) I e II d) I e III e) II e III 06. (Uespi PI) Um fio com um extremo fixo no teto de um ônibus em movimento retilíneo possui uma partícula presa na sua outra extremidade. No instante ilustrado na figura, o fio faz um ângulo de 30° com a vertical. Considere a aceleração da gravidade g = 10 m/s2, sen(30°) = 1/2 e cos(30°) = 3 / 2 . Nesse instante, o módulo da aceleração do ônibus vale, em m/s2:

172

a) 10 / 3 b) 10 3 c) 5 d) 5 / 3 e) 5 3 07. (Unifesp SP) Na representação da figura, o bloco A desce verticalmente e traciona o bloco B, que se movimenta em um plano horizontal por meio de um fio inextensível. Considere desprezíveis as massas do fio e da roldana e todas as forças de resistência ao movimento.

Suponha que, no instante representado na figura, o fio se quebre. Pode-se afirmar que, a partir desse instante, a) o bloco A adquire aceleração igual à da gravidade; o bloco B para. b) o bloco A adquire aceleração igual à da gravidade; o bloco B passa a se mover com velocidade constante. c) o bloco A adquire aceleração igual à da gravidade; o bloco B reduz sua velocidade e tende a parar. d) os dois blocos passam a se mover com velocidade constante. e) os dois blocos passam a se mover com a mesma aceleração. 08. (Unimontes MG) Dois blocos unidos por um fio de massa desprezível (veja a figura) são liberados a partir do repouso. As polias são fixas (não giram) e o atrito entre elas e a corda é também desprezível. O módulo da aceleração da gravidade no local é g = 10 m/s2. Sendo m1 = 6 kg a massa do bloco 1, e m2 = 4 kg a massa do bloco 2, o módulo da aceleração dos blocos vale, em m/s2,

a) 4 b) 10 c) 6 d) 2

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Unesp SP) Algumas embalagens trazem, impressas em sua superfície externa, informações sobre a quantidade máxima de caixas iguais a ela que podem ser empilhadas, sem que haja risco de danificar a embalagem ou os produtos contidos na primeira caixa da pilha, de baixo para cima. Considere a situação em que três caixas iguais estejam empilhadas dentro de um elevador e que, em cada uma delas, esteja impressa uma imagem que indica que, no máximo, seis caixas iguais a ela podem ser empilhadas.

do peso do conjunto formado pelos 20 vagões, atuou sobre eles nesse trecho. Adotando g = 10 m/s2, calcule a distância percorrida pela frente da locomotiva, desde o repouso até atingir a velocidade de 12 m/s, e a massa de cada vagão da composição. Distância percorrida: 720 m Massa de cada vagão: 15000 kg

03. (Ufu MG) A figura abaixo representa um sistema com três polias que auxiliam no içamento de caixas do nível A para o nível B, utilizando como contrapeso um bloco de 500 Kg de massa, que desce até o nível C, de forma acelerada. A massa do cabo é desprezível frente à dos blocos, e as polias possuem funcionamento ideal. Dado: g = 10m/s2.

Suponha que esse elevador esteja parado no andar térreo de um edifício e que passe a descrever um movimento uniformemente acelerado para cima. Adotando g = 10 m/s2, é correto afirmar que a maior aceleração vertical que esse elevador pode experimentar, de modo que a caixa em contato com o piso receba desse, no máximo, a mesma força que receberia se o elevador estivesse parado e, na pilha, houvesse seis caixas, é igual a a) 4 m/s2 b) 8 m/s2 c) 10 m/s2 d) 6 m/s2 e) 2 m/s2

Para levantar uma caixa de 300 Kg de massa, a tração a que o cabo será submetido, será de a) 3 000 N b) 4 980 N c) 3 750 N d) 8 000 N 04. (UERN) O sistema a seguir apresenta aceleração de 2 m/s2 e a tração no fio é igual a 72 N. Considere que a massa de A é maior que a massa de B, o fio é inextensível e não há atrito na polia. A diferença entre as massas desses dois corpos é igual a (Considere g = 10 m/s2.)

Considere que uma força total de resistência ao movimento, horizontal e de intensidade média correspondente a 3%

B11  Aplicações das leis de Newton

02. (Unesp SP) Em um trecho retilíneo e horizontal de uma ferrovia, uma composição constituída por uma locomotiva e 20 vagões idênticos partiu do repouso e, em 2 minutos, atingiu a velocidade de 12 m/s. Ao longo de todo o percurso, um dinamômetro ideal acoplado à locomotiva e ao primeiro vagão indicou uma força de módulo constante e igual a 120 000 N.

a) 1 kg. b) 3 kg. c) 4 kg. d) 6 kg.

173

Física

05. (Unesp SP) Em uma operação de resgate, um helicóptero sobrevoa horizontalmente uma região levando pendurado um recipiente de 200 kg com mantimentos e materiais de primeiros socorros. O recipiente é transportado em movimento retilíneo  e uniforme, sujeito às forças peso (P) , de resistência do ar ho  rizontal (F) e tração (T) , exercida pelo cabo inextensível que o prende ao helicóptero.

Sabendo que o ângulo entre o cabo e a vertical vale θ, que senθ = 0,6, cosθ = 0,8 e g = 10 m/s2, a intensidade da força de resistência do ar que atua sobre o recipiente vale, em N, a) 500 b) 1 250 c) 1 500 d) 1 750 e) 2 000 06. (UFSC) A figura representa um automóvel A, rebocando um trailer B, em uma estrada plana e horizontal. A massa do automóvel e a massa do trailer são, respectivamente, iguais a 1.500 kg e 500 kg. Inicialmente, o conjunto parte do repouso atingindo a velocidade de 90 km/h em 20 segundos. Desprezam-se os efeitos da força de resistência do ar sobre o veículo e o reboque.

B11  Aplicações das leis de Newton

Em relação à situação descrita, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). Gab: 46 01. Não havendo nenhuma força que se oponha ao movimento do trailer, o automóvel não necessita fazer nenhuma força adicional para acelerá-lo. 02. Até atingirem a velocidade de 90 km/h, o automóvel e seu reboque terão percorrido 250 m. 04. O trailer exerce uma força de 625 N sobre o automóvel. 08. A força resultante sobre o conjunto é igual a 2500 N. 16. A intensidade da força transmitida ao trailer é a mesma da força resultante sobre o conjunto. 32. A aceleração do conjunto é igual a 1,25 m/s2.

174

64. A força que o automóvel faz sobre o trailer não pode ter a mesma intensidade da força que o trailer faz sobre o automóvel porque, nesse caso, o sistema permaneceria em repouso. 07. (Fatec SP) Dois blocos A e B de massas 10 kg e 20 kg, respectivamente, unidos por um fio de massa desprezível, estão em repouso sobre um plano horizontal sem atrito. Uma força, também horizontal, de intensidade F = 60 N é aplicada no bloco B, conforme mostra a figura.

O módulo da força de tração no fio que une os dois blocos, em newtons, vale a) 60 b) 50 c) 40 d) 30 e) 20 08. (UFT TO) Uma pequena esfera de chumbo com massa igual a 50 g é amarrada por um fio, de comprimento igual a 10 cm e massa desprezível, e fixada no interior de um automóvel conforme figura. O carro se move horizontalmente com aceleração constante. Considerando-se hipoteticamente o ângulo que o fio faz com a vertical igual a 45 graus, qual seria o melhor valor para representar o módulo da aceleração do carro? Desconsidere o atrito com o ar, e considere o módulo da aceleração da gravidade igual a 9,8 m/s2.

a) 5,3 m/s2 b) 8,2 m/s2 c) 9,8 m/s2 d) 7,4 m/s2 e) 6,8 m/s2 09. (UFSC) A figura abaixo mostra o bloco A de 6kg em contato com o bloco B de 4kg, ambos em movimento sobre uma superfície  horizontal sem atrito, sob a ação da força horizontal F , de módulo 50N. O módulo, em newtons, da resultante das forças que atuam sobre o bloco A é: Gab: 30

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO B12

PLANO INCLINADO

ASSUNTOS ABORDADOS

Observe a figura abaixo. Ela representa uma situação que chamamos, na física, de plano inclinado. Nesse plano inclinado sem atrito, há um bloco de massa m, e as forças que  nele atuam são: a força peso P , direcionada para baixo em virtude da atração da Terra,  e a força normal FN , exercida pelo plano inclinado, perpendicular à superfície de contato. Podemos ver que essas duas forças não possuem a mesma direção, portanto elas nunca irão se equilibrar. Nesse caso, como são as únicas forças exercidas sobre o bloco, elas ad mitem uma resultante que faz o bloco descer o plano com aceleração constante a

nn Plano inclinado

Para determinar o valor da aceleração desse bloco no plano inclinado, é necessário calcular o valor da força resultante exercida no bloco. Para isso, devemos decompor o   vetor peso P em duas componentes: uma componente perpendicular ao plano ( PY ) e  outra paralela ao plano ( PX ) .   nn Para calcular o módulo das componentes PX e PY vamos utilizar a trigonometria do triângulo retângulo.

sen = θ

cat. op. PX = hip. P

cos = θ

⇒

cat. adj. PY = hip. P

= PPXX = P⋅senθ P.sen = θ = mg mgsen senθθ

⇒

PYY = P⋅cosθ cosθθ = P.cos = θ = mg mgcos

nn Para calcular o módulo da força normal, utilizaremos a 1ª Lei de Newton, porque

na direção perpendicular o bloco está em equilíbrio, então: FRY =0

⇒

FN =PY

⇒

FFNN = θ = mgcos mg cosθ

nn Para

calcular a aceleração do bloco, na direção paralela ao plano, utilizaremos a 2ª Lei de Newton, porque nessa direção o movimento é acelerado. FRX = ma

⇒

FRX = PX

⇒

ma = mgsenθ

⇒

aa == ggsen senθ θ

Observe que a aceleração do bloco não depende de sua massa. Quanto mais inclinado for o plano, maior será a aceleração do bloco. 175

Física

EXEMPLOS 01. (Unesp SP) Considere dois blocos A e B, com massas mA e mB respectivamente, em um plano inclinado, como apresentado na figura.

1ª) Se o bloco A desce acelerado, do Princípio Fundamental da Dinâmica, vem: Bloco A: - T mAa PX =

⇒

- T mA mA gsen30° =

1 1 mA g - mA g = T 2 4

g 4

⇒

1 T = mA g 4

⇒

Bloco B: Desprezando forças de atrito, representando a aceleração da gravidade por g e utilizando dados da tabela cos θ

sen θ

3/2

1/2

3/2

Inicialmente vamos representar o diagrama de forças que atuam em cada partícula.

Agora vamos calcular os valores das componentes do vetor peso do bloco A. ⇒ = PX

= PY mA gcos30 = ° mA g

3 2

⇒ = PY

B12  Plano Inclinado

⇒

Bloco B: T = PB

⇒

3 mA g 2

b) temos duas possibilidades:

176

1 5 T =mB g + mB g ⇒ T = mB g 4 4 Igualando as duas equações, temos: mA = 5 mB

⇒

g 1 3 + mA g ⇒ T= mA g 4 2 4 g 3 ⇒ T = mB g Bloco B: PB - T =mBa ⇒ T =mB g - mB 4 4 mA 3 3 Igualando as duas equações, temos: mA g = mB g ⇒ = 1 4 4 mB

Bloco A: T - P= mAa X

⇒

T= mA

02. (Ufam AM) Um bloco de massa m é lançado da base de um plano inclinado sem atrito com uma velocidade inicial V0 e atinge o seu deslocamento máximo d sobre o plano num instante de tempo t = 2 s, conforme mostra a figura

Sendo g = 10 m/s2 a aceleração da gravidade local, o deslocamento d é:

= sen 30o 0,5 = e cos 30o (Dados:

= a gsen30°

1 mA g 2 T = mB g

3 /2 )

mA =2 mB

⇒ = a 10.

1 2

⇒

= a 5 m/s2

A aceleração tem sentido contrário da velocidade inicial, portanto, o movimento é retardado, isto é, a = − 5m/s2. Aplicando a função horária da velocidade calculamos o valor de V0. V= V0 + at

⇒

Nesse caso, atuam somente a força peso e a força normal, portanto podemos utilizar calcular o módulo da aceleração pela fórmula:

1 Igualando as duas equações, temos: mA g = mB g 2

g 4

RESOLUÇÃO

1 mA g 2

a) Como os blocos estão em equilíbrio, vamos aplicar a 1ª Lei de Newton. Bloco A : T = PX

T - m= B g mB

2ª) Se o bloco A desce retardado ou o bloco B sobe acelerado, analogamente temos:

RESOLUÇÃO

1 2

⇒

1 5 mA g = mB g 4 4

a) determine a razão mA/mB para que os blocos A e B permaneçam em equilíbrio estático. b) determine a razão mA/mB para que o bloco A desça o plano com aceleração g/4.

= PX mA gsen30 = ° mA g

T -= PB mBa

⇒

0= V0 - 5.2

⇒

V0 = 10 m/s

Agora vamos aplicar a equação de Torricelli para calcular a distância solicitada. V2 = V02 + 2a∆S

⇒

0 = 102 - 2.5.d

⇒

10d = 100

⇒

d = 10 m

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação

A bola parte de uma velocidade inicial zero e, conforme desce pela rampa, vai ganhando velocidade. Desconsiderando o atrito e considerando a gravidade 10 m/s2, o tempo que levará para que a bola atinja o ponto mais baixo da rampa é a) 2 segundos. b) 3 segundos. c) 4 segundos. d) 6 segundos. e) 8 segundos. 02. (Unitau SP) No sistema mecânico abaixo, os dois blocos estão inicialmente em repouso. Os blocos são, então, abandonados e caem até atingir o solo. Despreze qualquer forma de atrito e a resistência do ar e considere que as massas são mA = 2mB. Sobre o módulo da aceleração dos blocos, é totalmente CORRETO afirmar:

a) A aceleração do bloco B é igual à aceleração gravitacional (g), ao passo que a de A é igual à g.sen θ. b) A aceleração do bloco A é igual à aceleração gravitacional (g), ao passo que a de B é igual à g.sen θ. c) A aceleração do bloco B é igual à aceleração gravitacional (g), ao passo que a de A é igual à g.cos θ. d) A aceleração do bloco A é igual à aceleração gravitacional (g), ao passo que a de B é igual à g.cos θ. e) A aceleração do bloco A é igual à aceleração do bloco B, sendo ambas iguais à aceleração gravitacional (g).

03. (Uncisal AL) A fim de preservar a vida útil dos freios, os manuais de direção recomendam que, ao descer uma ladeira muito íngreme ou muito extensa, o motorista deve manter uma marcha reduzida engatada e tirar o pé do acelerador. Com isso, o carro é freado e mantido com velocidade constante através do chamado “freio motor”, sem necessitar do uso dos freios convencionais.

Para um automóvel de massa m = 950 kg descendo uma ladeira de inclinação α = 30°, qual é a força aplicada pelo freio motor para manter sua velocidade constante? (Desconsidere qualquer outra força dissipativa e assuma g = 10 m/s2.) Dado: 1 kgf = 10 N a) 577 kgf b) 822 kgf c) 950 kgf d) 1 732 kgf e) 475 kgf 04. (FMABC SP) Considere um escorregador radical constituído de uma mega rampa de 31,25 m de altura e que forma com o plano horizontal 30°. Para escorregar, a partir do repouso, as pessoas devem vestir roupas especialmente desenvolvidas com materiais revolucionários que reduzem o atrito com a plataforma da rampa e com o ar a valores desprezíveis. Qual o intervalo de tempo gasto para as pessoas escorregarem do topo até a base da rampa? Adote para o módulo da aceleração da gravidade o valor de 10 m/s2.

a) 5,0s b) 4,0s c) 3,5s d) 3,0s e) 2,5s 05. (Escs DF) Um plano inclinado tem ângulo de máximo aclive  igual a 30°, como indicado na figura. Uma força F , aplicada na direção de máximo aclive com o sentido de subida no

177

B12  Plano Inclinado

01. (Fac. Direito de Sorocaba SP) Uma bola de canhão de 10 kg é solta no topo de uma rampa, como mostra o esquema a seguir.

Física

plano inclinado, empurra um bloco de massa m = 1,0 kg, que  sobe na direção e sentido da força F .

 Sabendo que o módulo de F é 10 N e considerando o módulo da aceleração da gravidade como 10 m/s2, concluímos que a aceleração do bloco tem módulo igual a: a) 20 m/s2 b) 15 m/s2 c) 10 m/s2 d) 5,0 m/s2 e) 0,0 m/s2 06. (UECE) Um bloco de massa 2 kg, próximo à superfície da Terra, desliza subindo um plano inclinado de 30° sob a ação de uma força constante e da força peso. Desprezando-se todas as forças de atrito e assumindo-se a aceleração devida à gravidade como sendo constante, se a aceleração do bloco tem módulo 1 m/s2, o módulo da força resultante nessa massa, em N, vale a) 2 b) 0,5 3 c) 2 d) 1 07. (Uem PR) Dois corpos, A e B, estão conectados por um fio inextensível que passa por uma polia, como ilustra a figura que segue:

B12  Plano Inclinado

Os corpos A e B estão inicialmente em repouso e possuem massas mA e mB, respectivamente. Com base nessas informações, despreze as massas do fio e da polia e o atrito entre as superfícies em contato, analise as alternativas e assinale o que for correto. Gab: 26 01. Se mA = mB, os corpos A e B continuarão em repouso. 02. Se mA = 2mB, o módulo do vetor aceleração é dado por 2g - gsenθ , em que g é a aceleração gravitacional e θ é a= 3 o ângulo entre o plano inclinado e a superfície horizontal. 04. Quando os corpos A e B estão em repouso, nenhuma força atua sobre esses corpos. 08. As forças de tração que o fio exerce no corpo A e no corpo B têm o mesmo módulo. 16. Na direção normal à superfície do plano inclinado, a força resultante que atua sobre o corpo B é nula.

178

08. (Unimontes MG) Um corpo de massa m = 8 kg é puxado por uma força F = 100 N sobre uma superfície lisa, sem atrito (veja a figura). A aceleração do corpo, durante a subida, é:

g = 10 m/s2 sen 30° = 0,50 cos 30° = 0,86 a) 7,5 m/s2. b) 10,5 m/s2. c) 2,5 m/s2. d) 5,0 m/s2. 09. (Unifor CE) Uma mola de constante elástica k = 100 N/m tem uma de suas extremidades presa à parte superior de um plano inclinado de ângulo θ com a horizontal. Sua outra extremidade é presa a um corpo de massa m = 2,0 kg, cujo atrito com a superfície em que se apoia é desprezível.

Adotando g = 10 m/s2, sen = 0,60 e cos = 0,80, a deformação apresentada pela mola é, em centímetros, a) 20 b) 16 c) 12 d) 8,0 e) 4,0 10. (Unesp SP) Ao começar a subir um morro com uma inclinação de 30°, o motorista de um caminhão, que vinha se movendo a 30 m/s, avista um obstáculo no topo do morro e, uma vez que o atrito dos pneus com a estrada naquele trecho é desprezível, verifica aflito que a utilização dos freios é inútil. Considerando g = 10 m/s2 , sen30o = 0,5 e cos30o = 0,9 e desprezando a resistência do ar, para que não ocorra colisão entre o caminhão e o obstáculo, a distância mínima entre esses, no início da subida, deve ser de a) 72 m. b) 90 m. c) 98 m. d) 106 m. e) 205 m.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Unifor CE) Um corpo escorrega por um plano inclinado, sem a ação de forças dissipativas. A aceleração da gravidade é de 10 m/s2. Partindo do repouso, ele desce 10 m em 2,0 s. Nessas condições, o ângulo que o plano inclinado forma com a horizontal mede a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75° 02. (Fuvest SP) O mostrador de uma balança, quando um objeto é colocado sobre ela, indica 100 N, como esquematizado em A. Se tal balança estiver desnivelada, como se observa em B, seu mostrador deverá indicar, para esse mesmo objeto, o valor de:

Ele parte do repouso no ponto A e, após percorrer 3,0 m, chega ao ponto B, na base da pista inclinada. O atrito é desprezível, a aceleração local da gravidade é 10 m/s2, sen 37°= 0,60 e cos 37°= 0,80. Analise as afirmações relativas à situação apresentada. 00. O peso do corpo tem módulo 2,0 N. 01. A reação normal entre a superfície e o corpo vale 16 N. 02. A aceleração do corpo tem módulo 6,0 m/s2. 03. O tempo gasto no trajeto AB é de 1,0 s. 04. A velocidade do corpo no ponto B é maior que 6,0 m/s. Gab: F-V-V-V-F

05. (UFMG) As figuras mostram uma pessoa erguendo um bloco até uma altura h em três situações distintas.

a) 125 N b) 120 N c) 100 N d) 80 N e) 75 N

Na situação I , o bloco é erguido verticalmente; na situação II , é arrastado sobre um plano inclinado; e, na situação III , é elevado utilizando-se uma roldana fixa. Considere que o bloco se move com velocidade constante e que são desprezíveis a massa da corda e qualquer tipo de atrito.

As massas dos corpos são mA = 2,0 kg e mB = 3,0 kg e a aceleração local de gravidade é 10 m/s2. Nessas condições, a tração no fio que une A a B vale, em newtons: a) 2,0 b) 12 c) 15 d) 20 e) 25

Considerando-se as três situações descritas, a força que a pessoa faz é a) igual ao peso do bloco em II e maior que o peso do bloco em I e III . b) igual ao peso do bloco em I , II e III . c) igual ao peso do bloco em I e menor que o peso do bloco em II e III . d) igual ao peso do bloco em I e III e menor que o peso do bloco em II .

04. (Ufal AL) Um corpo de massa 2,0 kg desliza por um plano inclinado de 37o com a horizontal.

06. (UFG GO) No esquema da figura, as massas movem-se com aceleração constante.

179

B12  Plano Inclinado

 03. (Unifor CE) Uma força o F , de intensidade 30 N puxa os corpos A e B sobre um plano inclinado de atrito desprezível.

Física

Dado: g =10 m/s2 Considerando os fios e a polia ideais e desprezando o atrito entre o bloco e o plano, a tensão no fio é a) 37,5 N b) 375 N c) 25 (1+ 3 /2) N d) 25 N e) 12,5 3 N 07. (UFRR) Um bloco de massa de 6 kg está unido a outro bloco de massa de 4 kg por meio de um fio ideal e de massa desprezível que passa por uma polia sem atrito. O bloco de maior massa está sobre um plano inclinado que faz um ângulo de 30°em relação à horizontal. O bloco de massa menor está suspenso na vertical, conforme a figura. Desprezando qualquer tipo de atrito, podemos afirmar que a aceleração dos blocos e a tração no fio são respectivamente:

a) 8 m/s2 e 36 N b) 10 m/s2 e 3,6 N c) 1 m/s2 e 36 N d) 1 m/s2 e 3,6 N e) 36 m/s2 e 1 N

B12  Plano Inclinado

08. (UFSC) Na montagem da estrutura para um show musical, será necessário transportar um piano de cauda de 500 kg para o palco. Para facilitar esse trabalho, foi montado um plano inclinado e um sistema de roldanas, como representado na figura.

Se os fios e as polias utilizados forem ideais, se desprezarmos o atrito entre o piano e a superfície inclinada e considerarmos g = 10 m/s2, o módulo da força vertical que o homem deverá fa180

zer para que o piano suba pelo plano inclinado com velocidade constante deverá ser, em newtons, igual a a) 1 250 b) 2 500 c) 3 750 d) 5 000 e) 750 09. (Udesc SC) A Figura 2 mostra dois blocos de massa mA e mB conectados por um fio inextensível e de massa desprezível, que passa por duas polias também de massa desprezível. O bloco de massa mA está sobre um plano inclinado que forma um ângulo α com a horizontal e sustenta o bloco de massa mB.

Assinale a alternativa que apresenta o valor de mB capaz de fazer com que o sistema permaneça em equilíbrio, desprezando todas as forças de atrito. a) mB = mA cos(α) b) mB = mA sen(α) c) mB = 2mA d) mB = 2mA sen(α) e) mB = 2mA cos(α) 10. (UFTM MG) A figura 1 mostra um carrinho transportando um corpo de massa m por um plano sem atrito, inclinado em 30° com a horizontal. Ele é empurrado para cima, em linha reta e com velocidade constante, por uma força constante de intensidade F1 = 80 N. A figura 2 mostra o mesmo carrinho, já sem o corpo de massa m, descendo em linha reta, e mantido com velocidade constante por uma força também constante de intensidade F2 = 60 N.

Adotando g = 10 m/s2, pode-se afirmar que a massa m vale, em kg, a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

FRENTE

FÍSICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (UFG GO) Um objeto de 5 kg move-se em linha reta sob a ação de uma força. O gráfico a seguir representa sua velocidade em função do tempo.

A partir desse instante, passa a navegar com velocidade constante. Se o barco navegou 25 m em movimento uniformemente acelerado, qual é o valor da força aplicada sobre o barco? Despreze resistências ao movimento do barco. R = 80 N

6 Velocidade (m/s)

03. (Uefs BA) 4 2 0 –2 –2

–1

0 tempo (s)

Considerando-se os dados apresentados, conclui-se que o gráfico, que representa a força que atua no objeto em função do tempo, é o seguinte:

Fonte: <http://www.google.com.br>. Acesso em: 12 jun. 2013.

A figura, vista de cima, representa três forças coplanares que atuam sobre um objeto de massa igual a 100,0 g, que se deslo ca na direção da força F3 . Desprezando-se a força de atrito, admitindo-se que 2 é igual a 1,4 e que a intensidade de cada força é igual a 1,0 N, é correto afirmar que o módulo da aceleração do objeto é igual, em m/s2, a a) 2,4 b) 3,0 c) 4,0 d) 5,0 e) 5,4 04. (Uerj RJ) Um elevador que se encontra em repouso no andar térreo é acionado e começa a subir em movimento uniformemente acelerado durante 8 segundos, enquanto a tração no cabo que o suspende é igual a 16.250 N. Imediatamente após esse intervalo de tempo, ele é freado com aceleração constante de módulo igual a 5 m/s2, até parar. 02. (Unesp SP) Uma das modalidades esportivas em que nossos atletas têm sido premiados em competições olímpicas é a de barco a vela. Considere uma situação em que um barco de 100 kg, conduzido por um velejador com massa de 60 kg, partindo do repouso, se desloca sob a ação do vento em movimento uniformemente acelerado, até atingir a velocidade de 18 km/h.

Determine a altura máxima alcançada pelo elevador, sabendo que sua massa é igual a 1.300 kg. ∆S = 120 m 05. (UFPE) A figura a seguir mostra um bloco de massa 10 kg, apoiado sobre uma superfície horizontal. Ao longo da direção horizontal, indicada pelo eixo x, o bloco encontra-se sob a ação de uma força constante de módulo F e de uma força constante 181

Física Questão 07 a) As molas estão empregadas de forma errada e invertida, pois a mola da curva “A” sofre uma deformação maior com uma força menor se comparada com a mola da curva “B”. Como a mola para as pernas devem ser “mais firmes”, recomenda-se que use a representada pela curva “B”. Para o braço, a mola cujo comportamento é expresso pela curva “A”. b) F = 250 N

de módulo 30 N no sentido oposto. A equação horária da posição do bloco é dada pela expressão x = 150 + 12t – 0,60t2, onde x é dado em metros, e t é dado em segundos. Qual é o valor de F em newtons? Gab: 18

06. (UFG GO) Para proteção e conforto, os tênis modernos são equipados com amortecedores constituídos de molas. Um determinado modelo que possui três molas idênticas sofre uma deformação de 4 mm ao ser calçado por uma pessoa de 84 kg. Considerando-se que essa pessoa permaneça parada, a constante elástica de uma das molas será, em kN/m, de Dado: g = 10 m/s2 a) 35,0 b) 70,0 c) 105,0 d) 157,5 e) 210,0

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

07. (Ufu MG) Na atualidade, têm-se difundido exercícios de alongamento e respiração conhecidos como Pilates. Algumas das atividades são realizadas em aparelhos específicos, muitos dos quais empregam molas em seu funcionamento. O gráfico abaixo revela a intensidade de força F que age sobre as molas, devido à deformação (x). No instrumento para exercícios com as pernas, a mola se comporta segundo a curva A, ao passo que, em outro, para exercitar os braços, a mola se comporta segundo a curva B.

a) Supondo que, para o exercício com as pernas, sejam necessárias molas “mais firmes”, ao passo que, para os braços, utilizem-se molas “mais maleáveis”, avalie se a forma como elas estão empregadas nos respectivos instrumentos está correta ou não e explique sua resposta. b) Para uma pessoa distender 50 cm a mola usada no exercício com as pernas, que força deverá aplicar? 08. (UFPE) A figura abaixo mostra um bloco de peso P = 10 N suspenso por duas molas de massas desprezíveis e constantes elásticas k1 = 500 N/m e k2 = 200 N/m. Logo, podemos afirmar que as elongações das molas 1 e 2 são, respectivamente:

182

a) x1 = 2,0 cm e x2 = 5,0 cm b) x1 = 1,0 cm e x2 = 2,5 cm c) x1 = 5,0 cm e x2 = 2,0 cm d) x1 = 2,5 cm e x2 = 1,0 cm e) x1 = 2,0 cm e x2 = 1,0 cm 09. (Uerj RJ) Dois blocos de massas m1 = 6,0 kg e m2 = 4,0 kg estão ligados por uma mola de massa desprezível e comprimento inicial x0. Quando o sistema é suspenso por um fio ideal, como indicado na figura 1, o comprimento da mola passa a valer x1 = 8,0 cm. Quando se apoia o sistema em um plano horizontal, como indicado na figura 2, o comprimento da mola diminui para x2 = 3,0 cm.

Calcule: a) 100N; b) xo = 6,0 cm. a) A tração no fio ideal que sustenta o sistema na situação ilustrada pela figura 1. Dado: aceleração da gravidade: g = 10 m.s-2 b) O comprimento inicial x0 da mola. 10. (UFRJ) Uma mola de constante elástica k e comprimento natural L está presa, por uma de suas extremidades, ao teto de um elevador e, pela outra extremidade, a um balde vazio de massa M que pende na vertical. Suponha que a mola seja ideal, isto é, que tenha massa desprezível e satisfaça à lei de Hooke.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

a) Calcule a elongação x0 da mola supondo que tanto o elevador quanto o balde estejam em repouso, situação ilustrada na figura 1, em função de M, k e do módulo g da aceleração da gravidade. b) Considere, agora, uma situação na qual o elevador se mova com aceleração constante para cima e o balde esteja em repouso relativamente ao elevador. Verifica-se que a elongação da mola é maior do que a anterior por um valor d, como ilustra a figura 2.

Calcule o módulo da aceleração do balde em termos de k, M e d.

Gab: a) xo = Mg/k; b) a = kd/M.

11. (UFRJ) Duas pequenas esferas homogêneas de massas m1 e m2 estão unidas por um fio elástico muito fino de massa desprezível. Com a esfera de massa m1 em repouso e apoiada no chão, a esfera de massa m2 é lançada para cima ao longo da reta vertical que passa pelos centros das esferas, como indica a figura 1.

a) a tensão no fio. b) a aceleração da esfera de massa m2. 12. (UECE) Dois cubos de mesma densidade e tamanhos diferentes repousam sobre uma mesa horizontal e mantêm contato entre si por uma de suas faces. A aresta de um dos cubos mede o dobro da aresta do outro. Em um dado instante, uma força  constante F , horizontal, é aplicada sobre o cubo menor que, por sua vez, empurra o maior, conforme a figura a seguir.

 Despreze todos os atritos. A razão entre o módulo de F e o módulo da força de contato entre os cubos é a) 8 b) 2 c) 1/8 d) 9/8 13. (UFG GO) No arranjo esquematizado na figura abaixo, o corpo de massa m 1 é ligado por um fio inextensível a uma

A esfera lançada sobe esticando o fio até suspender a outra

bandeja, passando por uma polia. Sobre a bandeja há um

esfera do chão. A figura 2 ilustra o instante em que a esfera de

corpo de massa m2.

massa m1 perde contato com o chão, instante no qual o fio está

O gráfico da velocidade do corpo de massa m1, em função do tempo, é:

Considerando como dados m1, m2 e o módulo da aceleração da gravidade g, calcule no instante em que a esfera de massa m1 m + m2 perde o contato com o chão: g a) T = m1g; b) a2 = 1 m2

183

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

ao longo da reta que passa pelos centros das esferas.

Física

Despreze as forças de atrito e as massas da bandeja, fio e polia. Considere m1 = 1,0 kg, g = 10,0 m/s2 e determine:

a) a massa m2.

1 kg; b) 0,5N. 19

b) a força que a bandeja exerce sobre o corpo de massa m2. 14. (Unicemp PR) A figura ao abaixo representa esquematicamente um elevador de massa 500 kg e três pessoas que totalizam mais 200 kg de massa.

Em dado instante do transporte de mercadorias, a última caixa se desprende, estando à altura h = 5 m. Considerando que o atrito é desprezível na rampa e que a caixa fica livre a partir do instante em que se solta, a) desenhe um diagrama contendo as forças que atuam sobre a caixa e determine sua aceleração.

Eixo girador

b) calcule o tempo que a caixa levará para retornar à base da fio-1

fio-P

rampa. 16. (FCM MG) Um carrinho à pilha sobe com velocidade constante de 50 cm/s uma rampa inclinada de 30° em relação à horizontal. Uma esfera é lançada para cima na mesma rampa, ao lado

elevador

do carrinho, com velocidade inicial de 300 cm/s, na linha trace-

contrapeso

jada P, como na figura abaixo.

O contrapeso, ligado ao elevador por meio de um fio ideal, possui massa de 400 kg e auxilia bastante a movimentação do conjunto. Determine qual o valor da força de tração no fio 1 para que o elevador suba em movimento acelerado com aceleração de 1m/s2. (Adote g = 10 m/s2)

Questão 15 a)

a) 3000 N

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

c) 3500 N

de uma montanha em uma estação de esqui, usa-se um trenó para subir uma rampa cuja inclinação é θ = 30°. O trenó é puxado por um motor e sobe com uma velocidade constante

184

distância da linha P em que a esfera se encontra, na volta, com o carrinho é de: a) 25 cm b) 50 cm c) 75 cm

por uma mola de massa desprezível e o conjunto é puxado ao a = 5 m/s2 b) 4,0 s

15. (UFG GO) Para se levar caixas contendo mercadorias ao topo

Dado: g = 10 m/s2

para e, na volta, encontra-se novamente com o carrinho. A

17. (Fuvest SP) Dois vagões de massas M1 e M2 estão interligados

d) 3900 N

de 7,5 m/s.

vidade é de 10 m/s2. A esfera, inicialmente, sobe a rampa,

d) 100 cm

b) 3100 N

e) 4100 N

O atrito sobre a esfera é desprezível e a aceleração da gra-

longo de trilhos retilíneos e horizontais por uma força que tem a direção dos trilhos. Tanto o módulo da força quanto o comprimento da mola podem variar com o tempo. Em um determinado, instante os módulos da força e da aceleração do vagão de massa M1 valem, respectivamente F e a1, tendo ambas o mesmo sentido. O módulo da aceleração do vagão de massa M2 nesse mesmo instante, vale

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

b) No mesmo sistema, o bloco de massa M2 é preso agora a uma segunda roldana. A corda em uma das extremidades está fixada no ponto A, conforme figura abaixo.

(F - M1a1 ) M2

F (M1 + M2 )

F M2 Desprezando o peso da corda e da segunda roldana, bem

 F  d)   - a1  M2 

como os efeitos de atrito, determine o vetor aceleração para cada um dos dois blocos.

 F  e)   + a1  M2 

20. (Upe PE) Próximo a um abismo, é solto do repouso um blo-

18. (Uerj RJ) Um jovem, utilizando peças de um brinquedo de montar, constrói uma estrutura na qual consegue equilibrar dois

co de massa M = 5,0 kg, de uma altura de h = 5,0 m acima do nível do início da parede do referido abismo, do alto de

corpos, ligados por um fio ideal que passa por uma roldana.

uma rampa com ângulo de inclinação θ = 30°, sem atrito,

Observe o esquema.

adjacente à parede do abismo de altura H = 10,0 m, como observado na figura a seguir:

Admita as seguintes informações: nn os corpos 1 e 2 têm massas respectivamente iguais a 0,4 kg e 0,6 kg; nn a massa do fio e os atritos entre os corpos e as superfícies e entre o fio e a roldana são desprezíveis. 1 Nessa situação, determine o valor do ângulo β. Gab: β = arc sen

sen30° = 0,5 e cos30° = 0,87.

a) a = 2,5 m/s2; b) a = 0 (repouso).

a) Em um plano inclinado de 30° em relação à horizontal, são colocados dois blocos de massas M1 = 10 kg e M2 = 10 kg , sustentados por uma única roldana, como mostra figura abaixo.

Analise as proposições a seguir e conclua.

V-V-V-F-F

00. A aceleração do bloco, enquanto ele desce escorregando pela rampa, é de 5,0 m/s2. 01. A velocidade escalar do bloco, quando ele deixa a rampa, é de 10,0 m/s. 02. A distância A da parede do abismo até o bloco atingir o solo é de 8,7 m. 03. O tempo que o bloco leva desde o momento em que é solto até o instante em que atinge o solo é de 1,0 s.

A aceleração da gravidade é de 10 m/s , sen 30 = 0,50 e o

04. A aceleração do bloco depende da sua massa M.

cos 30o = 0,87 . Desprezando o peso da corda, bem como os efeitos de atrito, determine o vetor aceleração do bloco de massa M1. 185

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

19. (Ufu MG)

Dados: considere a aceleração da gravidade g = 10 m/s2;

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FRENTE

FÍSICA Por falar nisso Além de trabalho em equipe e muita habilidade, o resultado de uma partida de futebol também depende da física. Talvez seja estranho você pensar assim, mas um boa cobrança de falta ou um pênalti indefensável estão diretamente estruturados em conceitos físicos. Para uma cobrança de pênalti com distâncias oficiais de marca do pênalti a 11 m de distância do centro do gol e cuja área do gol é de 17,86 m2, por exemplo, basta que o jogador chute a bola a uma velocidade igual ou superior a 104 km/h, além de chutá-la exatamente no ângulo. Nessas condições, é impossível o goleiro reagir em tempo e agarrar a bola. Por outro lado, em uma cobrança de falta a longa distância e com barreira, os jogadores mais habilidosos conseguem chutes de tal forma que a trajetória da bola seja curva, se desviando da barreira de jogadores entre o ponto de cobrança e o gol. Para fazer um movimento curvo, uma Força precisa interagir com o vetor velocidade da bola, nesse caso a força da gravidade. Esse comportamento de movimento em curva é chamado de Efeito Magnus: quando um objeto cilíndrico (a bola) gira em seu próprio eixo enquanto está em movimento, o fluxo de ar é mais rápido em sua direção de giro do que na direção oposta, resultando um movimento curvo. Além disso, quanto maior a distância a ser percorrida, mais energia cinética se perde, e maior será o efeito curvo provocado pela força da gravidade atuando sobre a bola. O Efeito Magnus é um tópico de estudo da dinâmica dos fluidos. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

C09 C10 C11 C12

Noções de hidrodinâmica.............................................................. 188 Princípio de Bernoulli..................................................................... 193 Estática do ponto material............................................................. 201 Estática do corpo extenso.............................................................. 207

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO C09

ASSUNTOS ABORDADOS nn Noções de hidrodinâmica nn Líquido ideal nn Vazão de um escoamento (Z) nn Equação da continuidade

NOÇÕES DE HIDRODINÂMICA A hidrodinâmica estuda o movimento dos fluidos em geral, como o escoamento da água em rios e tubulações, a circulação do sangue no corpo e o deslocamento da fumaça expelida por chaminés. Esses movimentos podem ser bem complexos, como os atmosféricos, ou mais simples, como o de um rio em curso suave, sem obstáculos. No nosso estudo, trataremos apenas dos líquidos ideais.

Líquido ideal Chamaremos de líquido ideal, aquele que apresenta algumas características, tais como: nn Incompressibilidade:

o líquido apresenta a mesma densidade em qualquer ponto, independente de acréscimos de pressão.

nn Escoamento

não viscoso: é o tipo de escoamento cujas camadas líquidas não trocam forças de atrito entre si. Quanto maior o coeficiente de viscosidade de um líquido, mais lento é o seu escoamento e maior é a dissipação de energia mecânica. Em nosso estudo, levaremos em conta apenas os líquidos não viscosos, ou seja, aqueles que não apresentam força de resistência ao deslocamento das partículas.

Fonte: Anastasiia Kachkova / Shutterstock.com

nn Regime estacionário de escoamento: a velocidade das partículas em um deter-

Figura 01 - Escoamento estacionário; Escoamento turbulento.

188

minado ponto é constante no decorrer do tempo. Isso não significa que todas as partículas tenham a mesma velocidade em pontos diferentes; elas podem ter velocidades diferentes em pontos diferentes. O fluxo das águas calmas de um rio pode ser considerado estacionário. Ao passar por obstáculos, como uma rocha, o fluxo torna-se turbulento, isto é, em cada ponto a velocidade das partículas de água varia com o tempo.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Vazão de um escoamento (Z)

Equação da continuidade

É a razão entre o volume de líquido que atravessa uma secção transversal do tubo e o intervalo de tempo.

Na figura a seguir, estão destacadas duas secções de áreas A1 e A2 de um recipiente, em que supomos que as partículas do líquido tenham velocidades de módulos v1 e v2, respectivamente.

A vazão na região 1 é igual à vazão na região 2, portanto, temos:

∆V ∆t

= Z1 Z2

Unidades SI: ∆V → m3 m3 ⇒ Z→ s ∆t → s O volume de um cilindro é igual à área da base multiplicada pela altura ∆V = A.∆S ⇒ Z =

A.∆S ⇒ ∆t

A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v2

⇒

De acordo com a equação da continuidade, a velocidade de escoamento de um líquido é inversamente proporcional à área da secção transversal, ou seja, onde a área é maior, a velocidade é menor. Podemos observar esse fato por meio do escoamento de um filete de água pela torneira. Veja a figura a seguir.

Z = Av

em que v é a velocidade e A é a área.

Fonte: ittipon / Shutterstock.com

A vazão também pode ser definida como a razão entre a massa e o intervalo de tempo. ∆m ∆t

Nesse caso a unidade de medida da vazão é kg/s.

Figura 02 - Conforme a água cai o diâmetro do filete diminui

Um reservatório é abastecido com 300 litros de água por meio de uma tubulação de diâmetro igual a 8 cm em 5 minutos. Considere π = 3. a) Qual a velocidade de escoamento da água? b) Qual será a velocidade de saída da água se o diâmetro na saída do tubo for reduzido à metade? RESOLUÇÃO Inicialmente vamos transformar as unidades para o SI. 3 = = 0,3m = V 300L 3.10 -1 m3

= = 0,04m = 4.10 -2 m R 4cm = ∆t 5min = 300s = 3.102 s

a) Utilizando a definição de vazão e lembrando que a área do círculo é dada por pR2, temos: ∆V = Z = A.v ∆t 3.10 -1 1.10 -3 = pR2 .v ⇒ 1.10 -3 = 3.16.10 -4.v ⇒ v = -3 3.102 4,8.10 1 = v ⇒ v = 0,21 m/s 4,8 b) Se o diâmetro for reduzido à metade, o raio também será. A velocidade é inversamente proporcional à área e esta depende do quadrado do raio. Quando o raio é reduzido à metade, a área é reduzida quatro vezes, então, a velocidade aumentará quatro vezes. v' = 4 × v = 4 × 0,21

⇒

v' = 0,84 m/s

189

C09  Noções de hidrodinâmica

EXEMPLOS

Física

Exercícios de Fixação 01. (Puc RS) Leia o texto e selecione as palavras para preencher as lacunas. Ao observar como a água escoa verticalmente e sem turbulência de uma torneira parcialmente aberta, pode-se notar que esse líquido assume a forma de um filete que se estreita à medida que se afasta da torneira. Esse fenômeno ocorre porque a área da secção transversal do filete de água deve diminuir quando a _________ do fluido aumenta para que a _________ seja constante. A sequência de palavras que completa correta e respectivamente as lacunas é a) velocidade vazão b) velocidade pressão c) pressão vazão d) pressão velocidade e) vazão velocidade 02. (UFPE) Uma certa quantidade de água é bombeada com velocidade constante para uma caixa d’água com capacidade de 15 mil litros, por meio de tubulações de área de seção reta uniforme A = 2,5 × 10-3 m2. Sabendo-se que, para encher completamente essa caixa, são necessários 50 minutos, qual é a velocidade de escoamento da água, em m/s? a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 03. (UFG GO) No sistema circulatório humano, o sangue é levado do coração aos demais órgãos do corpo por vasos sanguíneos de diferentes características. Na tabela a seguir, estão relacionados dois vasos, I e II, com valores médios de algumas de suas características. Características

Número total de vasos

2 × 109

Área total

240 mm2

2400 cm2

C09  Noções de hidrodinâmica

O sangue, que pode ser tratado como um fluido ideal e incompressível, possui velocidade média de 30 cm/s no vaso I. O nome do vaso I e a velocidade média do sangue em cm/s no vaso II são, respectivamente, a) cava e 3,0. b) aorta e 3,0. c) aorta e 0,03. d) arteríola e 0,03. e) arteríola e 300,0.

190

04. (Unifra RS) Como varia a velocidade de um líquido que flui, em regime estacionário, num tubo de seção transversal variável? A velocidade a) aumenta onde a área da seção transversal diminui. b) aumenta onde a área da seção transversal aumenta. c) diminui onde a área da seção transversal diminui. d) permanece igual mesmo quando a área da seção transversal diminui. e) não se altera em momento algum, porque o regime é estacionário. 05. (Ufal AL) Uma mangueira cilíndrica, de 20 m de comprimento, encontra-se conectada a uma torneira inicialmente fechada. Quando a torneira é aberta, a água é liberada a uma taxa constante de 100 mL = 10–4 m3 por segundo. Se a área da seção transversal da mangueira é de 3 cm2 = 3 × 10–4 m2, em quanto tempo, após a abertura da torneira, a água começará a sair pela extremidade não conectada? Dado: o volume de um cilindro é igual ao produto da área da seção transversal (igual à área da base) pela sua altura. Considere, também, que a torneira e a mangueira encontram-se no nível do solo e que o fluxo de água é uniforme dentro da mangueira. a) 10 s b) 20 s

c) 40 s d) 60 s

e) 80 s

06. (FMABC SP) Neste funil, a área de entrada (AENTRADA) é 6 vezes maior que a saída (ASAÍDA). Quando preenchido com água, esta escoa de modo que seu nível abaixa uniformemente. Quando esse nível diminuiu de uma altura h = 12cm, em um intervalo de tempo de ∆t = 3,0s, podemos afirmar que a velocidade (vSAÍDA) com que a água abandona o funil na saída e a vazão (φ) valem, respectivamente,

a) 6 cm/s e φ = (AENTRADA ÷ ASAÍDA) b) 16 cm/s e φ = (ASAÍDA ÷ AENTRADA) c) 24 cm/s e φ = (VSAÍDA ⋅ ASAÍDA) d) 1,5 cm/s e φ = (h ⋅ vSAÍDA) e) 0,67 cm/s e φ = (∆t ⋅ h ⋅ vSAÍDA)

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

07. (UFRJ) Um jardineiro dispõe de mangueiras de dois tipos, porém com a mesma vazão. Na primeira, a água sai com velocidade de módulo v e, na segunda, sai com velocidade de módulo 2v. A primeira mangueira apresenta: a) a metade da área transversal da segunda. b) o dobro da área transversal da segunda. c) um quarto da área transversal da segunda. d) o quádruplo da área transversal da segunda. e) dois quintos da área transversal da segunda.

vel de capacidade de 40 litros, encontra-se inicialmente vazio. Quanto tempo demorará para encher um quarto do tanque? a) 10 s c) 30 s e) 60 s b) 12 s d) 45 s 10. (UFJF MG) A figura representa uma caixa-d’água ligada a duas torneiras T1 e T2. A superfície livre da água na caixa tem área A = 0,8 m2 e as vazões das torneiras são 5 litros/minuto e 3 litros/minuto, respectivamente. Pode-se afirmar que o módulo da velocidade v, com que a superfície de água desce, vale:

08. (UFPE) O sistema de abastecimento de água de uma rua, que possui 10 casas, está ilustrado na figura abaixo. A vazão do tubo principal é de 0,01 m3/s. Supondo que cada casa possui uma caixa-d’água de 1 500 litros de capacidade e que estão todas inicialmente vazias, em quantos minutos todas as caixas estarão cheias? Suponha que durante o período de abastecimento nenhuma caixa estará fornecendo água para as suas respectivas residências.

A v

a) 15 min b) 20 min

c) 25 min d) 30 min

e) 35 min

09. (Favip PE) A vazão de uma bomba de gasolina de um posto de combustível dá uma medida do volume de gasolina que é injetado no tanque de um automóvel por unidade de tempo. Suponha que uma bomba de gasolina tenha vazão constante de 50 litros por minuto. O tanque de combustível de um automó-

a) 1 m/min b) 1 m/s c) 1 cm/min d) 1 cm/s e) 2 cm/s

01. (Unirio RJ) Um menino deve regar o jardim de sua mãe e pretende fazer isso da varanda de sua residência, segurando uma mangueira na posição horizontal, conforme a figura. Durante toda a tarefa, a altura da mangueira, em relação ao jardim, permanecerá constante. Inicialmente a vazão de água, que pode ser definida como o volume de água que atravessa a área transversal da mangueira na unidade de tempo, é φ0. Para que a água da mangueira atinja a planta mais distante no jardim, ele percebe que o alcance inicial deve ser quadruplicado. A mangueira tem em sua extremidade um dispositivo com orifício circular de raio variável. Para que consiga molhar todas as plantas do jardim sem molhar o resto do terreno, ele deve:

a) reduzir o raio do orifício em 50% e quadruplicar a vazão de água. b) manter a vazão constante e diminuir a área do orifício em 50%. c) manter a vazão constante e diminuir o raio do orifício em 50%. d) manter constante a área do orifício e dobrar a vazão de água. e) reduzir o raio do orifício em 50% e dobrar a vazão de água. 02. (Acafe SC) O sistema circulatório é constituído de artérias, veias e capilares que levam o sangue do coração aos órgãos

191

C09  Noções de hidrodinâmica

Exercícios Complementares

Física

e o retorno do mesmo ao coração. Esse sistema trabalha de maneira que se minimize a energia consumida pelo coração para bombear o sangue. Em particular, essa energia se reduz quando se baixa a resistência ao fluxo de sangue. O célebre físico francês Poiseuille estabeleceu que a resistência do fluxo L de sangue (ρ) é dada por ρ =k 4 onde L é o comprimento da r artéria, r é seu raio e k é uma constante positiva determinada pela viscosidade do sangue. A figura abaixo mostra duas artérias A e B de mesmo comprimento L, sendo que a artéria B tem 1/3 do diâmetro da artéria A.

A relação de resistência ao fluxo sanguíneo entre as duas artérias é: a) A resistência na artéria B é 81 vezes menor que a resistência na artéria A. b) A resistência na artéria B é 9 vezes maior que a resistência na artéria A. c) A resistência na artéria B é 81 vezes maior que a resistência na artéria A. d) A resistência na artéria B é 9 vezes menor que a resistência na artéria A.

C09  Noções de hidrodinâmica

03. (Puc RS) Em uma tubulação horizontal, a água em escoamento laminar (não turbulento) passa de uma secção do tubo com diâmetro maior para outra secção com diâmetro menor. Nessas condições, é correto afirmar que a _________ da água _________. a) velocidade / diminui b) velocidade / não se altera c) vazão / diminui d) vazão / permanece a mesma e) pressão / aumenta 04. (UFCG PB) O sistema cardiovascular é constituído pelo coração, que é o órgão propulsor do sangue, e uma rede vascular de distribuição. Excitados periodicamente, os músculos do coração se contraem impulsionando o sangue através dos vasos a todas as partes do corpo. Esses vasos são as artérias. Elas se ramificam tornando-se progressivamente de menor calibre terminando em diminutos vasos denominados arteríolas. A partir destes vasos o sangue é capaz de realizar suas funções de nutrição e absorção atravessando uma rede de vasos denominados capilares de paredes muito finas e permeáveis à troca de substâncias entre ele e os tecidos. O fluxo de sangue bombeado pelo coração para a artéria aorta, de seção transversal média para uma pessoa normal em repouso de 3 cm2 (3 x 10-4 m2 ) , é da ordem de 5 litros por minuto e ao chegar aos capilares, de diâmetro médio igual a 6 µm(área ≈ 3x10-11 m2 ) , o fluxo sanguíneo continua aproximadamente o mesmo e a velocidade média do sangue nesses vasos é da ordem de 5 x 10-4 m/s . 192

Baseado no texto, pode-se afirmar que a velocidade média do sangue na aorta e o número estimado de vasos capilares de uma pessoa normal, valem respectivamente, a) 3 m/s; 6 × 109. d) 1,6 m/s; 6 × 106. 6 b) 30 m/s; 6 × 10 . e) 16 m/s; 3 × 1010. c) 0,3 m/s; 6 × 109. 05. (Fuvest SP) A artéria aorta de um adulto tem um raio de cerca de 1 cm, e o sangue nela flui com velocidade de 33 cm/s. a) Quantos litros de sangue por segundo são transportados pela aorta? 0,1 L/s b) Sendo 5 litros o volume de sangue no organismo, use o resultado anterior para estimar o tempo médio que o sangue leva para retornar ao coração. 50 s 06. (UFPA) Considere duas regiões distintas do leito de um rio: uma larga A com área de 200 m2, e outra estreita B, com área de 40 m2 de área de secção transversal. A velocidade do rio na região A tem módulo igual a 1 m/s. De acordo com a equação da continuidade aplicada ao fluxo de água, podemos concluir que a velocidade do rio na região B tem módulo igual a: a) 1,0 m/s d) 4,0 m/s b) 2,0 m/s e) 5,0 m/s c) 3,0 m/s 07. (UFSM RS) Um líquido, suposto incompressível, escoa através de uma mangueira cilíndrica de raio r e enche um recipiente de volume V em um intervalo de tempo t. A velocidade de escoamento do líquido, suposta constante, tem módulo igual a: V V a) d) rt 2prt V b) 2 e) Vpr2t pr t c)

Vpr2 t

08. (UFJF MG) Um fazendeiro decide medir a vazão de um riacho que passa em sua propriedade e, para isso, escolhe um trecho retilíneo de 30 m de canal. Ele observa que objetos flutuantes gastam em média 60 s para percorrer esse trecho. No mesmo lugar, observa que a profundidade média é de 0,3 m e a largura média, 1,5 m. A vazão do riacho, em litros de água por segundo, é: a) 1,35 b) 3,65 c) 225 d) 365 e) 450 09. (UFPE) A velocidade do sangue na artéria aorta de um adulto, que possui em média 5,4 litros de sangue, tem módulo aproximadamente igual a 30 cm/s. A área transversal da artéria é cerca de 2,5 cm2. Qual o intervalo de tempo, em segundos, necessário para a aorta transportar o volume de sangue de um adulto? 72 s

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO C10

PRINCÍPIO DE BERNOULLI Daniel Bernoulli, um cientista suíço do século XVIII, estudou o movimento de fluidos em tubos. Sua descoberta, hoje conhecida como Princípio de Bernoulli, pode ser enunciada assim:

ASSUNTOS ABORDADOS nn Princípio de Bernoulli nn Equação de Bernoulli

À medida que a velocidade de um fluido cresce, a sua pressão interna decresce. O movimento de um fluido em fluxo estacionário segue linhas de corrente imaginárias, representadas pelas linhas finas no desenho abaixo.

As linhas de corrente são os caminhos suaves, ou trajetórias, de pequenas porções de fluido. Elas se aproximam nas regiões em que o fluxo se estreita, em que a velocidade do fluido torna-se maior. Uma vez que as linhas de corrente tornam-se mais próximas entre si, a velocidade do movimento do fluido aumenta e a pressão interna diminui. As alterações na pressão interna são evidentes no fluxo da água com bolhas de ar em seu interior. Onde a água torna-se mais rápida, a pressão interna diminui e as bolhas tornam-se maiores. Veja a figura.

A pressão interna é maior na parte mais larga do tubo, onde a água se movimenta com menor velocidade, como fica evidente a partir da diminuição do tamanho das bolhas de ar.

Equação de Bernoulli Considere um fluido incompressível e não viscoso escoando através de uma tubulação. Existem três fatores que podem interferir no escoamento do fluido em questão: 1) A pressão que age nas extremidades da tubulação pode ser diferente uma da outra. 2) Se houver variação na área de secção transversal reta da tubulação acarretará variação na velocidade do fluido. 3) A altura da primeira extremidade pode ser diferente da altura da segunda extremidade. 193

Física

Observe a figura 01:

Observe a figura 02:

A extremidade 1 encontra-se na altura y1. Uma força F1é aplicada sobre a área da secção transversal reta da extremidade 1 (entrada) do tubo. Esta pode ser escrita como o produto da pressão p1 com a área A1. O fluido sofre um deslocamento Δx1. A quantidade de massa Δm possui velocidade v1. Na extremidade direita (saída), atua uma força F2, produto da pressão p2 pela área A2. Essa força pode ser devido ao fluido existente à direita da parte do sistema que está sendo analisado. Ela é contrária à F1. Nessa extremidade, o fluido se movimenta com velocidade v1 através da área A1 de modo que uma quantidade de massa igual a Δm, representada pelo azul escuro, que ocupava o volume V1 delimitado por A1 e Δx1, passe a ocupar o espaço delimitando um volume V2, que é encerrado pela área A2 e pelo deslocamento Δx2. Bernoulli relacionou as grandezas citadas por meio de uma expressão capaz de explicar vários fenômenos relacionados com a hidrodinâmica. C10  Princípio de Bernoulli

1 1 p1 + ρ ⋅ g ⋅ y1 + ρ ⋅ v12= p2 + ρ ⋅ g ⋅ y2 + ⋅ρ ⋅ v22 2 2 Nessa equação, as parcelas ( p + ρ ⋅ g ⋅ y ) correspondem à pressão hidrostática no fluido. 1 A parcela ( ⋅ ρ ⋅ v2 ) é chamada de pressão hidrodinâmica. 2 194

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Aplicações do Princípio de Bernoulli nn Tubo

de Venturi

Em diversas aplicações práticas é necessário medir a pressão de um fluido que se desloca. É o que acontece nas redes de fornecimento de água e de gás. Para tanto, recorre-se ao tubo de Venturi, cujo funcionamento se baseia no princípio de Bernoulli. nn Efeito

Magnus

Ao ser chutada com efeito, uma bola de futebol adquire movimento de rotação; no lado em que a velocidade de rotação da bola tem o mesmo sentido do fluxo de ar (região A), este se torna mais veloz.

Na parte estreita, a coluna de mercúrio (r2) sobe, por causa da menor pressão nessa região. A diferença de pressão é dada pela diferença de altura da coluna de mercúrio. p1 - p2 =ρ2 ⋅ g ⋅ h nn Soprando

uma tira de papel de seda

Ao soprar uma tira de papel de seda, conforme indica a figura, a velocidade do ar na região acima da tira é maior do que na região abaixo e consequentemente a pressão na região superior é menor. Por isso, a tira se eleva.

No lado oposto (região B), a velocidade do fluxo é menor. Assim, a pressão no lado B é maior, o que resulta uma força que tende a desviar a bola para o lado do giro.

EXEMPLOS

A1 = 2,0 cm

0,50m

A2 = 1,0cm

Adotando-se g = 10 m/s2, a pressão atmosférica igual a 1,0 ⋅ 105 Pa e supondo-se o escoamento em regime estacionário, calcule: a) As velocidades nos pontos 1 e 2. b) A pressão no ponto 1.

RESOLUÇÃO a) Aplicando o conceito de vazão nos pontos 1 e 2, temos: 400 v1 = 2 m/s Z= A1 ⋅ v1 ⇒ v1 = = 200 cm / s ⇒ 2 400 Z= A2 ⋅ v 2 ⇒ v 2 = = 400 cm / s ⇒ v2 = 4 m/s 1 b) Aplicando a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 2, temos: 1 1 p1 + ρgy1 + ρv12= p2 + ρgy2 + ρv22 mas y1= y2 então: 2 2 1 1 3 2 3 p1 + ⋅ 1.10 ⋅ 2 =p2 + ⋅ 1.10 ⋅ 42 ⇒ p1 - p2 =6 ⋅ 103 2 2 = ρgh 1.105 + 1.103 ⋅ 10 = ⋅ 0,5 1.105 + 0,05.105 ⇒= p2 patm + = p2 1,05.105 Pa p1 = 6.103 + 1,05.105 = 0,06.105 + 1,05.105

⇒

v2 = 4 m/s

195

C10  Princípio de Bernoulli

Na tubulação horizontal esquematizada na figura a seguir, o líquido escoa com vazão de 400 cm3/s e atinge a altura de 0,50 m no tubo vertical. A densidade do líquido, admitido ideal, é 1,0 g/cm3.

Física

Exercícios de Fixação 01. (UFT TO) Em um jogo de futebol, são comuns jogadas em que o jogador ao chutar a bola consegue “dar um efeito” nela de modo a adquirir uma trajetória totalmente inesperada, enganando o goleiro. Esse fenômeno é conhecido como efeito Magnus, que surge quando a bola é lançada em rotação. Nessas condições, aparece uma força resultante, fazendo a trajetória da bola diferente daquela que seria descrita se ela não tivesse em rotação. Dado que o fluxo do ar desloca-se no sentido das setas apresentadas na figura a seguir e desconsiderando a ação da gravidade, qual a direção e o sentido da força Magnus que aparecem sobre a bola girando no sentido horário?

Estão corretas apenas as afirmativas a) I e II b) II e III c) III e IV d) I, II, e III e) II, III, e IV 03. (Puc RS) A figura abaixo representa um segmento de cano horizontal, com diâmetro variável, por onde flui água.

Considerando-se as secções retas A e B, é correto afirmar que: a) a pressão da água é menor em A do que em B. b) a velocidade da água é maior em A do que em B. c) através das duas secções retas A e B, a vazão de água é a mesma. d) a pressão da água é a mesma em A e em B. e) a velocidade de escoamento é a mesma em A e em B.

Marque a alternativa CORRETA.

04. (UnB DF) Considere as seguintes afirmações. nn Animais como coelhos e toupeiras constroem suas tocas com mais de uma abertura, cada abertura localizada a uma altura diferente, conforme ilustrado na figura I abaixo. nn Nas proximidades do solo, o módulo da velocidade do vento

aumenta com a altitude, conforme ilustra a figura II a seguir. nn O princípio de Bernoulli estabelece que a pressão que o

02. (UFPA) A figura abaixo representa uma tubulação posicionada horizontalmente em relação ao solo, pela qual escoa água, em regime permanente, através das secções S1 e S2.

C10  Princípio de Bernoulli

Sobre o fato, considere as afirmativas abaixo: I. A pressão do fluido em S1 é maior que em S2. II. As vazões da água através das secções S1 e S2, são iguais. III. Como o regime de escoamento é permanente, as vazões e velocidades da água têm valores iguais em S1 e S2. IV. A diferença de pressão do líquido, nas duas secções da tubulação, depende somente da velocidade de escoamento na maior secção.

196

ar em movimento exerce sobre superfícies ao longo das quais ele escoa varia com a velocidade de escoamento. Assim, na situação ilustrada na figura I, devido à velocidade do ar, as pressões P1 e P2 e as velocidades v1 e v2 nas aberturas 1 e 2, respectivamente, são relacionadas de forma aproximada pela equação P1 + 12 ρv12 = P2 + 12 ρv22 , em que ρ é a densidade do ar, supostamente constante. A análise dessa equação permite afirmar que, em regiões onde a velocidade do ar é alta, a pressão é baixa, e onde a velocidade é baixa, a pressão é alta.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Analisando a figura, pode-se afirmar que a a) diferença de pressão experimentada pelas células sanguíneas produz uma força que as empurra para as paredes da artéria. b) pressão sanguínea nas paredes da artéria é mínima. c) pressão sanguínea em todos os pontos da artéria é a mesma. d) pressão sanguínea aumenta, a partir das paredes da artéria, em direção ao centro. e) pressão sanguínea diminui, a partir das paredes da artéria, em direção ao centro. Com base nas afirmações acima, julgue os itens a seguir. E-C-E-C 01. Uma toca com duas aberturas no mesmo nível terá melhor ventilação que a apresentada na figura I, sob as mesmas condições de vento. 02. Se um arbusto crescer nas proximidades da abertura 1, de forma a dificultar a passagem do vento, sem bloquear a abertura, então a ventilação na toca será melhorada. 03. ∆P = P1 – P2 é diretamente proporcional à diferença dos módulos das velocidades v2 e v1. 04. A circulação de ar no interior da toca mostrada na figura I ocorre da abertura 1 para a abertura 2. 05. (UFMS) Em um tubo cilíndrico horizontal, onde o líquido escoa no sentido mostrado na figura ao lado, a pressão estática no eixo central da tubulação de maior diâmetro é (p1) enquanto no eixo central da tubulação de menor diâmetro a pressão estática é (p2). A densidade do líquido escoante é (ρ). É correto afirmar que: 05

01. A pressão cinética na tubulação de maior diâmetro é menor do que na tubulação de menor diâmetro. 02. A pressão estática na tubulação de maior diâmetro é menor do que na tubulação de menor diâmetro. 04. A vazão na tubulação de maior diâmetro é igual à da tubulação de menor diâmetro. 08. A velocidade de escoamento na tubulação de maior diâmetro é maior do que na tubulação de menor diâmetro. 16. A vazão na tubulação de maior diâmetro é maior do que a da tubulação de menor diâmetro.

07. (Uel PR) Um professor deseja demonstrar o “Princípio de Bernoulli” para o movimento de fluidos. Para isso, ele pendura duas bolas de pingue-pongue iguais à mesma altura, em dois fios idênticos, inextensíveis e independentes. As bolas, inicialmente, estão ligeiramente afastadas entre si com uma distância da ordem do diâmetro das bolas em questão. Uma vez montado o arranjo experimental, o professor chama um aluno e pede que ele assopre, com força, na região entre as bolas. Assinale a alternativa que indica o que irá acontecer: a) As bolas vão se aproximar, pois, com o sopro, criou-se uma região de baixa pressão entre elas. b) As bolas vão se afastar, pois, com o sopro, criou-se uma região de alta pressão entre elas. c) As bolas vão se afastar, pois, com o sopro, aumentou-se a quantidade de ar entre elas e, por isso, o excesso de ar vai afastá-las. d) As bolas vão balançar aleatoriamente, pois, com o sopro, aumentou-se a agitação das moléculas de ar próximas delas. e) O “Princípio de Bernoulli” não se aplica a esse experimento. 08. (UFPA) Duas garrafas de plástico vazias são suspensas paralelamente por uma haste fina horizontal, e um secador de cabelo é usado para produzir uma corrente de ar na temperatura ambiente, entre elas, conforme figura abaixo.

C10  Princípio de Bernoulli

06. (UFPA) A figura abaixo representa o corte longitudinal de um pequeno trecho de uma artéria ao longo da qual escoa sangue em regime laminar. As velocidades das células sanguíneas são representadas pelas setas à esquerda, o que mostra que a velocidade aumenta radialmente em direção ao centro e se anula nas paredes da artéria.

197

Física

Observa-se que durante o fluxo de ar gerado pelo secador existe movimento das garrafas. Sobre esse experimento, analise as afirmativas a seguir: I. A velocidade da corrente de ar produzida pelo secador causa o afastamento entre as garrafas em consequência do aumento da pressão entre elas. II. As garrafas permanecerão na posição original, pois não haverá modificação na pressão inicial da massa de ar que as circunda. III. As moléculas de ar em movimento apresentam maior grau de compressão do que as moléculas de ar em repouso; assim a corrente de ar entre as garrafas causa um aumento da pressão entre elas fazendo com que elas se afastem. IV. A corrente de ar produzida pelo secador faz com que a pressão entre as garrafas fique menor que a pressão atmosférica que atua nas faces externas de cada garrafa; então elas se aproximam. A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são) a) I, somente. d) III e IV. b) IV, somente. e) I, II e III. c) I e II. 09. (Unirg TO) A figura ilustra um experimento no qual são injetadas N bolhas de ar, de raio R, em um tubo cilíndrico de diâmetro variável. Dentro do tubo ocorre escoamento laminar de um líquido incompressível.

Quando as bolhas passam à região de raio d, o número de bolhas Nd e o raio das bolhas Rd são expressos por: a) Nd > N e Rd = R b) Nd < N e Rd = R c) Nd = N e Rd < R d) Nd = N e Rd > R 10. (Unicamp SP) Admita que a diferença de pressão entre as partes de baixo e de cima de uma asa delta seja dada por: ∆P = 12 ρV2 em que ρ = densidade do ar = 1,2 kg/m3 e V = a velocidade da asa em relação ao ar. a) Indique um valor razoável para a área da superfície de uma asa delta típica. 10 m2 b) Qual é a diferença de pressão ∆P para que a asa delta sustente uma massa total de 100kg (asa + pessoa)? ∆P = 100 N/m2 c) Qual é a velocidade da asa delta na situação do item (b)? V = 10 m/s

Exercícios Complementares 01. (UFCG PB) O perfil da asa de um avião está sob a ação de um fluxo de ar como mostra a simulação na figura.

www.demec.ufpe.br

C10  Princípio de Bernoulli

Em relação ao experimento é CORRETO afirmar que: a) O módulo da velocidade do ar é maior acima do perfil do que abaixo dele porque, aí, o ar percorre uma distância maior. b) A pressão exercida pelo ar sobre o perfil na parte de baixo é menor do que a pressão exercida por ele na parte de cima do perfil. c) A pressão do ar sobre o perfil é menor na parte de cima porque a velocidade do ar nessa região é maior.

198

d) A pressão exercida pelo ar sobre a parte superior do perfil é menor e, como consequência, sua velocidade é maior nessa região. e) Nenhuma das alternativas anteriores é satisfatória no contexto da análise do experimento. 02. (UFMS) As formigas constroem seus formigueiros, com várias galerias subterrâneas, que se comunicam entre si e com a superfície do solo. A figura a seguir mostra uma galeria que possui duas comunicações externas em alturas diferentes, sendo a abertura A mais alta e a B mais baixa. O gráfico ao lado mostra a distribuição da velocidade do vento com a altura y nessa região, e nota-se que, devido ao atrito entre o solo e o ar, a velocidade do vento aumenta com a altura y atingindo um valor limite a partir de uma determinada altura. As aberturas A e B possuem secções planas e paralelas ao plano horizontal e as velocidades do vento nessas aberturas também são horizontais. Considere todo o ar na mesma temperatura e como um fluido ideal, a abertura A muito distante da abertura B, e, com fundamentos na mecânica dos fluidos, assinale a(s) afirmação(ões) correta(s). 14

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Dado: g = 10 m/s2

y V B

01. A velocidade do ar, na abertura A, é menor que a velocidade do ar na abertura B. 02. A pressão do ar, na abertura A, é menor que a pressão do ar na abertura B. 04. O ar circulará pela galeria, entrando pela abertura B e saindo pela abertura A. 08. Se o vento nessa região estiver com a mesma distribuição de velocidades, não importa o seu sentido, isto é, da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita, a diferença entre a pressão da abertura A e a pressão da abertura B será a mesma. 16. Se as aberturas A e B estivessem na mesma altura, circularia ar pela galeria, da abertura A para a abertura B. 03. (UFT TO) Um reservatório aberto em sua extremidade superior é preenchido com água até o nível A. A água escoa por um orifício lateral localizado no nível B, conforme a figura abaixo. As pressões externas nos níveis A e B são iguais. Considere o m módulo da aceleração da gravidade g = 10 2 , a área da abers tura superior AA = 10 m2, a área do orifício lateral AB = 1 m2 e desconsidere o atrito com o ar.

Marque a alternativa que melhor representa o maior valor da distância X entre a base do reservatório e o ponto no qual a água toca o solo, conforme indicado na figura. a) 5,7 m b) 1,5 m c) 2,4 m d) 10,0 m e) 3,0 m 04. (Unimontes MG) Uma hidrelétrica possui energia potencial armazenada na água confinada na represa. Durante seu funcionamento, essa energia potencial armazenada transforma-se em energia cinética do movimento da coluna de água que escorre. De acordo com o desenho abaixo, a velocidade da água no ponto A, em m/s, é:

a) 10 6 b) 10 2 c) 10 d) 20 05. (Uem PR) A escala Saffir/Simpson (1974), apresentada no quadro a seguir, é utilizada pela Agência Nacional Norte-Americana de Administração da Atmosfera e do Oceano. Essa escala classifica os “furacões” em cinco categorias e relaciona a velocidade dos ventos, a pressão atmosférica local e a elevação local do nível do mar, quando ocorre esse tipo de tempestade. Considerando essas informações e a tabela a seguir, assinale o que for correto. 19

Categoria

Velocidade dos ventos (km/h)

Pressão atmosférica local (mmHg)

Elevação local do nível do mar (m)

119 a 153

Maior que 735

1,2 a 1,6

154 a 177

734 a 724

1,7 a 2,5

178 a 210

723 a 708

2,6 a 3,8

211 a 249

707 a 690

3,9 a 5,5

Maior que 249

Menor que 690

Maior que 5,5

01. Para todas as categorias de “furacões”, quanto maior a velocidade dos ventos, menor é a pressão atmosférica local. 02. A maioria dos “furacões”, formados no oceano Atlântico e que atingem o hemisfério norte, é desenvolvida em regiões de baixa latitude e se desloca em direção a regiões de altas latitudes. 04. Quanto maior a velocidade dos ventos, mais próximo o valor da pressão atmosférica local estará do valor da pressão atmosférica normal, ao nível do mar. 08. Em um furacão de categoria 3, a pressão atmosférica local é aproximadamente 42 mmHg maior que a pressão atmosférica normal ao nível do mar. 16. Para todas as categorias de furacões, quanto maior a velocidade dos ventos, maior é a elevação do nível do mar.

199

C10  Princípio de Bernoulli

Física

06. (UFMS) Um dos métodos utilizados pelos jardineiros, durante

08. (UFSM RS) As figuras representam seções de canalizações por

a irrigação de plantas, é diminuir a secção transversal da man-

onde flui, da esquerda para a direita, sem atrito e em regime

gueira por onde sai a água para que o jato de água tenha um

estacionário, um líquido incompressível. Além disso, cada se-

maior alcance.

ção apresenta duas saídas verticais para a atmosfera, ocupadas

Geralmente isso é feito através de esguichos. A figura abaixo

pelo líquido até as alturas indicadas.

mostra a extremidade de uma mangueira de secção transversal uniforme e na horizontal, conectada a um esguicho de forma cônica. A mangueira está sendo alimentada por um reservatório de água com nível constante e aberto. O jato de água sai na extremidade do esguicho com velocidade horizontal. Considere que as superfícies internas da mangueira e do esguicho não ofereçam resistência ao escoamento e que a água seja um fluido ideal. Com relação ao escoamento da água nessa extremidade da mangueira e no esguicho, é correto afirmar: 25 As figuras em acordo com a realidade física são: a) II e III b) I e IV c) II e IV d) III e IV e) I e III 09. (UnB DF) A figura ilustra uma tubulação que tinha, inicialmente, 01. Se, de alguma maneira, for impedida a saída de água pelo esguicho (tampar a saída), a pressão aumentará em todos os pontos. 02. O alcance do jato de água é maior quando se usa o esguicho, porque a menor secção transversal na saída do esguicho faz aumentar a vazão do jato de água. 04. A pressão, no ponto P2 (onde a secção transversal é me-

em toda a sua extensão, área seccional A1. Após um acidente, parte da tubulação sofreu modificações no seu diâmetro, e a área da seção transversal passou a ser igual a A2 = A1/2, como mostrado na figura. Sabia-se que, no início do acidente, o sistema tubulação-fluido trabalhava em um regime de pressão P1 máxima permitida, acima da qual ocorreria rompimento da tubulação sempre que a pressão máxima do fluido fosse superior a P1.

nor), é maior que a pressão no ponto P1 (onde a secção transversal é maior). 08. A pressão, na saída do esguicho, é igual à pressão no nível superior do reservatório. 16. A trajetória das partículas de água que saem do esguicho é parabólica quando se despreza a resistência do ar. 07. (ITA SP) Durante uma tempestade, Maria fecha as janelas do seu apartamento e ouve o zumbido do vento lá fora. Subitamente o vidro de uma janela se quebra. Considerando que o vento tenha soprado tangencialmente à janela, o acidente C10  Princípio de Bernoulli

pode ser melhor explicado pelo(a): a) princípio de conservação da massa. b) equação de Bernoulli. c) princípio de Arquimedes. d) princípio de Pascal. e) princípio de Stevin.

200

Com base nessas informações, considerando-se que não há variação de pressão com a altura e que a vazão do fluido é constante em toda a extensão da tubulação, assinale a opção correspondente à correta variação da pressão. a) P1 – P2 > 0 b) P1 – P2 < 0 c) P1 – P2 = 0 d) P1 + P2 = 0 e) ∆P pode ser positivo ou negativo

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO C11

ESTÁTICA DO PONTO MATERIAL Estática é a parte da Mecânica que estuda as condições de equilíbrio dos corpos. Nesta aula, vamos estudar o ponto material e, nas aulas seguintes, vamos falar do corpo extenso.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Estática do ponto material nn Equilíbrio do ponto material

Primeiramente vamos relembrar o conceito de ponto material ou partícula. Um corpo pode ser considerado um Ponto Material quando suas dimensões (comprimento, largura e profundidade) puderem ser desprezadas em comparação com as demais grandezas físicas que estão sendo estudadas.

Equilíbrio do ponto material Vamos recordar o que diz a Primeira Lei de Newton: “Um ponto material está em equilíbrio, repouso ou movimento retilíneo uniforme, quando a resultante das forças que nele atuam é igual a zero”. A recíproca também é verdadeira: se a resultante das forças que atuam no ponto material for nula, então, ele estará em equilíbrio.  Se FR= 0 ⇔ Equilíbrio A figura a seguir mostra quatro forças sendo aplicadas em numa partícula. F1

Essa partícula estará em equilíbrio se a resultante das forças que nela atuam for igual a zero.      FR = F1 + F2 + F3 + F4 = 0 Na maioria das vezes, a dificuldade está em obter essa força resultante, porque uma soma vetorial não é a mesma coisa que uma soma escalar. Pode até acontecer de o módulo das duas ser igual.

201

Física

EXEMPLOS 01. Um ponto material está sob a ação de três forças, conforme a figura abaixo. Demonstre que o ponto material está em equilíbrio. Dados: sen 36,9° = 0,6; cos 36,9° = 0,8.

Inicialmente, vamos representar o diagrama das forças que atuam no ponto B. Vamos utilizar o método do polígono de forças, que neste caso é um triângulo, porque temos somente três forças atuando no ponto material. Se um sistema está em equilíbrio sob a ação de três forças concorrentes, então, temos um triângulo formado pelos três vetores. Vamos utilizar o método da decomposição de forças, já estudado, sobre a 1ª Lei de Newton.

  = FRX 0= e FRY 0 Inicialmente, vamos traçar os eixos coordenados x e y e decompor a  força F2 .

Aplicando os conhecimentos de trigonometria do triângulo retângulo, temos:

Agora vamos calcular os módulos dessas componentes.

sen30 = °

P TAB

⇒

cos30 = °

TBC TAB

TBC 40x0.87 = 34.8 N ⇒=

F2x = F2 ⋅ cos36,9°= 150 ⋅ 0,8= 120 N F2y = F2 ⋅ sen36.9°= 150 ⋅ 0,6= 90 N Vamos calcular os módulos das resultantes no eixo x ( FRx ) e ( FRy ).

T= AB

20 = 40 N 0,5

Se o triângulo formado pelas três forças não for um triângulo retângulo, teremos que utilizar a Lei dos cossenos ou a Lei dos senos.

FRx =F1 - F2x =120 - 120 =0 FRy = F2y - F3 = 90 - 90 = 0 O módulo da resultante final ( FR ) é obtido por meio da expressão:

C11  Estática do ponto material

FR2 = FRx2 + FRy2 = 0 Como a resultante das forças é igual a zero, concluímos que a partícula está em equilíbrio. 02. O sistema mostrado na figura a seguir está em equilíbrio. Considerando g = 10 m/s2, sen 30° = 0,5 e cos 30° = 0,87, determine o módulo das trações nos fios AB e BC.

202

Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 - 2bccosA a b c Lei dos senos: = = senA senB senC em que a, b e c são os lados do triângulo; A, B e C são os ângulos opostos aos lados respectivos.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. (UFRN) É muito comum observarmos nas fachadas de edifícios em construção andaimes constituídos por uma tábua horizontal sustentada por cordas que passam por roldanas presas no topo da edificação. O fato de um dos operários se deslocar sobre o andaime em direção ao outro, por exemplo, quando vai entregar alguma ferramenta ao companheiro, afeta a distribuição de forças sobre as cordas. Nesse sentido, considere a situação mostrada na figura abaixo. Nela, um dos operários se encontra na extremidade esquerda do andaime, enquanto o outro, após ter caminhado em direção a ele, conduzindo uma marreta, encontra-se parado no meio do andaime.

Considerando a situação mostrada na figura, pode-se afirmar que a a) força resultante sobre o andaime é diferente de zero e a tensão na corda Y é maior que na corda X. b) força resultante sobre o andaime é igual a zero e a tensão na corda Y é maior que na corda X. c) força resultante sobre o andaime é diferente de zero e a tensão na corda X é maior que na corda Y. d) força resultante sobre o andaime é igual a zero e a tensão na corda X é maior que na corda Y.

03. (Fuvest SP) Um móbile pendurado no teto tem três elefantezinhos presos um ao outro por fios, como mostra a figura. As massas dos elefantes de cima, do meio e de baixo são, respectivamente, 20 g, 30 g e 70 g. Os valores de tensão, em newtons, nos fios superior, médio e inferior são, respectivamente, iguais a

NOTE E ADOTE Desconsidere as massas dos fios. Aceleração da gravidade g = 10 m/s2. a) 1,2; 1,0; 0,7 b) 1,2; 0,5; 0,2 c) 0,7; 0,3; 0,2

d) 0,2; 0,5; 1,2 e) 0,2; 0,3; 0,7

04. (Puc RS) Dois operários suspendem um balde por meio de cordas, conforme mostra o esquema a seguir.

a) 780 N b) 800 N c) 820 N

C11  Estática do ponto material

02. (Mackenzie SP) Um homem está pendurado no ponto médio de uma corda ideal, como mostra a figura. Sabendo-se que a tensão em cada ramo da corda tem intensidade de 800 N, podemos afirmar que o peso desse homem é:

d) 850 N e) 900 N

203

Física

São dados: sen 30° = cos 60° = 1 2 e sen 60° = cos 30° =

Sabe-se que o balde, com seu conteúdo, tem peso 50N, e que o ângulo formado entre as partes da corda no ponto de suspensão é 60°. A corda pode ser considerada como ideal (inextensível e de massa desprezível). Quando o balde está suspenso no ar, em equilíbrio, a força exercida por um operário, medida em newtons, vale: a) 50 b) 25 50 c) 3

06. (Unifesp SP) De posse de uma balança e de um dinamômetro (instrumento para medir forças), um estudante decide investigar a ação da força magnética de um ímã em forma de U sobre uma pequena barra de ferro. Inicialmente, distantes um do outro, o estudante coloca o ímã sobre uma balança e anota a indicação de sua massa. Em seguida, ainda distante do ímã, prende a barra ao dinamômetro e anota a indicação da força medida por ele. Finalmente, monta o sistema de tal forma que a barra de ferro, presa ao dinamômetro, interaja magneticamente com o ímã, ainda sobre a balança, como mostra a figura.

d) 25 2 e) 0,0 05. (UFTM) As dependências da escola não possuíam tomadas no local em que estava montada a barraca do churrasco e, por isso, uma extensão foi esticada, passando por uma janela do segundo andar do prédio das salas de aula.

Para posicionar a lâmpada logo à frente da barraca, uma corda presa à lona foi amarrada ao fio da extensão, obtendo-se a configuração indicada na figura. 3 1 Considere sen30o = , cos30o = e g = 10 m/s2. 2 2

A balança registra, agora, uma massa menor do que a registrada na situação anterior, e o dinamômetro registra uma força equivalente à a) força peso da barra. b) força magnética entre o ímã e a barra. c) soma da força peso da barra com metade do valor da força magnética entre o ímã e a barra. d) soma da força peso da barra com a força magnética entre o ímã e a barra. e) soma das forças peso da barra e magnética entre o ímã e a barra, menos a força elástica da mola do dinamômetro. 07. (Escs DF) Um corpo está submetido a três forças, medidas em Newton, de mesma direção. Para que esse corpo permaneça em equilíbrio, os módulos dessas forças devem ser iguais a: a) 3, 8 e 11 d) 3, 4 e 5 b) 5, 5 e 5 e) 5, 10 e 12 c) 7, 7 e 15

C11  Estática do ponto material

O conjunto formado pela cúpula, lâmpada e soquete, de massa total 0,5 kg, é sustentado pela corda e pelo fio condutor. Desprezando-se os pesos do fio e da corda, é possível afirmar que o fio condutor esticado através da janela sofre ação de uma força de intensidade, em newtons, de a) 10 b) 15 c) 10 3 d) 20 e) 15 3 204

08. (UFGD) Atualmente temos muitos esportes radicais. Um deles, o “Skydiving”, consiste na prática de pular de um avião com paraquedas. Um praticante desse esporte, com massa de 75 kg, com braços e pernas abertos, atinge a velocidade máxima de 200 km/h. Com essas informações, qual a força do ar exercida no esportista, quando o mesmo atinge velocidade máxima? Considere: g = 10 m/s2 a) 1 000 N d) 1 200 N b) 750 N e) 450 N c) 850 N

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (UFMG) Para pintar uma parede, Miguel está sobre um andaime suspenso por duas cordas. Em certo instante, ele está mais próximo da extremidade direita do andaime, como mostrado nesta figura:

Dados: sen a = cos b = 0,60 sen b = cos a = 0,80

02. (Unesp SP) Um professor de Física pendurou uma pequena esfera, pelo seu centro de gravidade, ao teto da sala de aula, conforme a figura:

Em um dos fios que sustentava a esfera ele acoplou um dinamômetro e verificou que, com o sistema em equilíbrio, ele marcava 10 N. O peso, em newtons, da esfera pendurada é de a) 5 3 . b) 10. c) 10 3 . d) 20. e) 20 3 . 03. (Mackenzie SP) Em uma experiência de laboratório, um estudante utilizou os dados do gráfico da figura 1, que se referiam à intensidade da força aplicada a uma mola helicoi dal, em função de sua deformação F = K ⋅ X . Com esses dados e uma montagem semelhante à da figura 2, determinou a massa (m) do corpo suspenso. Considerando que as massas da mola e dos fios (inextensíveis) são desprezíveis,  que g = 10 m / s 2 e que, na posição de equilíbrio, a mola

(

)

04. (UEFS BA) O diagrama vetorial da figura esquematiza as forças exercidas por dois elásticos em um dente de uma pessoa que faz tratamento ortodôntico.

Admitindo-se F = 10,0 N, sen 45° = 0,7 e cos 45° = 0,7, a intensidade da força aplicada pelos elásticos no dente, em N, é igual a a) 3 10 b) 2 30 c) 2 85 d) 3 35 e) 2 45 05. (Mackenzie SP) Um bloco de peso 200 N, apoiado sobre uma superfície horizontal e perfeitamente lisa, é mantido    em equilíbrio estático pela ação das forças F1 , F2 e F3 .   Sendo a intensidade das forças F2 e F3 respectivamente  iguais a 140 N e 80 N, a intensidade da força F1 é

está deformada de 6,4 cm, a massa (m) do corpo suspenso é

205

C11  Estática do ponto material

Sejam TE e TD os módulos das tensões nas cordas, respectivamente, da esquerda e da direita e P o módulo da soma do peso do andaime com o peso de Miguel. Analisando-se essas informações, é CORRETO afirmar que: a) TE = TD e TE + TD = P. c) TE < TD e TE + TD = P. b) TE = TD e TE + TD > P. d) TE < TD e TE + TD > P.

a) 12 kg b) 8,0 kg c) 4,0 kg d) 3,2 kg e) 2,0 kg

Física

b) O gancho da parede foi mal instalado e resiste apenas até 130 kgf. Quantas crianças de 30 kg a rede suporta? (suponha que o ângulo não mude) 4,33 08. (UFSC) Na figura abaixo, o corpo, suspenso pela corda C, tem peso igual a 100 N, e o sistema está em equilíbrio.

a) 60 N b) 80 N c) 100 N d) 120 N e) 140 N 06. (Efoa MG) A figura abaixo ilustra um bloco de massa igual a

Está(ão) correta(s) a(s) seguinte(s) proposição(ões): 53

10 kg, em equilíbrio, suspenso pelos fios 1 e 2. Considere que

01. O corpo suspenso não terá aceleração.

os fios têm massa desprezível, que a aceleração da gravidade

02. O corpo suspenso tem aceleração que é igual à aceleração

no local é de 10 m/s , e que sen(30°) = 0,5 e cos(30°) ≈ 0,9 .

da gravidade.

04. As cordas A e B suportam tensões idênticas. 08. As tensões nas cordas A e B serão maiores que 100 Newtons. 16. A somatória das forças que atuam no ponto O é nula. 32. As componentes horizontais das tensões nas cordas A e B se anulam mutuamente. 09. (Enem MEC) O mecanismo que permite articular uma porta (de um móvel ou de acesso) é a dobradiça. Normalmente, são neA tensão no fio 1 é aproximadamente: a) 100 N

cessárias duas ou mais dobradiças para que a porta seja fixada no móvel ou no portal, permanecendo em equilíbrio e poden-

b) 180 N

do ser articulada com facilidade.

c) 200 N

No plano, o diagrama vetorial das forças que as dobradiças

d) 110 N

exercem na porta está representado em

e) 300 N

07. (Unicamp SP) Quando um homem está deitado numa rede (de massa desprezível), as forças que esta aplica na parede formam um ângulo de 30° com a horizontal, e a intensidade de cada

C11  Estática do ponto material

uma é de 60 kgf (ver figura).

a) Qual é o peso do homem? 60 kgf;

206

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO C12

ESTÁTICA DO CORPO EXTENSO Um corpo pode ser considerado extenso ou rígido quando suas dimensões (comprimento, largura e profundidade) não puderem ser desprezadas em um dado fenômeno em comparação com as demais grandezas físicas que estão sendo estudadas.

Momento de uma força em relação a um eixo

ASSUNTOS ABORDADOS nn Estática do corpo extenso nn Momento de uma força em relação a um eixo nn Equilíbrio do corpo extenso

O momento de uma força em relação a um ponto (eixo) é a grandeza física que dá uma medida da tendência de aquela força provocar rotação em torno de um ponto (eixo). O momento de uma força em relação  a um ponto também pode ser denominado de torque. O momento de uma força ( M ) em relação a um eixo é uma grandeza vetorial. O módulo do momento (M) é definido como sendo o produto do módulo da força (F) pela distância (d) entre a linha de ação da força e o eixo.    M= F × d Como se trata de um produto vetorial, podemos dizer que o módulo do Momento da Força é: = M F.d.senθ Sendo: M = módulo do momento da força. F = módulo da força. d = distância entre o ponto de aplicação da força e o ponto de giro; braço de alavanca. sen θ = menor ângulo formado entre os dois vetores. Como sen 90° = 1, se a aplicação da força for perpendicular ao braço de alavanca (d), o momento será máximo; Como sen 0° = 0, quando a aplicação da força é paralela ao braço (d), o momento é nulo. A unidade de momento de uma força no sistema internacional de unidades é N.m. Por convenção vamos considerar o momento de uma força: nn Positivo

quando girar no sentido anti-horário;

nn Negativo

quando girar no sentido horário;

Linha de ação de uma força

 Linha de ação de uma força é a reta que contém o vetor força ( F ), como mostrado na figura abaixo.

Momento resultante O momento resultante em relação a um determinado polo (centro de rotação) é igual à soma algébrica dos momentos de todas as forças aplicadas no objeto, em relação ao mesmo polo. MR = M1 + M2 + M3 = ΣM    Em que M1, M2, M3 representam os módulos dos momentos das forças F1 , F2 , F3 e ΣM representa a somatória dos momentos. 207

Física

Equilíbrio do corpo extenso

Teorema das três forças

Para que um corpo extenso esteja em equilíbrio, são necessárias duas condições: nn 1ª

condição: A resultante das forças que atuam no corpo extenso deve ser nula.  FR = 0   = FRx 0= e FRy 0

Essa condição é a mesma estabelecida para o equilíbrio do ponto material. nn 2ª

condição: A soma algébrica dos momentos das forças que agem sobre o corpo deve ser nula, em relação a qualquer ponto. Σ= M 0

⇒

M1 + M2 += ⋅⋅⋅ 0

Quando um corpo extenso está em equilíbrio sob a ação de três forças não paralelas, elas são coplanares e suas linhas de ação concorrem necessariamente num mesmo ponto. Na figura, temos uma viga sob a ação da força peso, da força que a parede exerce e da força que o solo exerce sobre ela. As linhas de ação dessas três forças, necessariamente, passam pelo ponto de concorrência. Observe que, se soubermos quais as direções de duas forças, podemos determinar a direção da terceira força.

EXEMPLOS 01. Para abrir uma porta, você aplica sobre a maçaneta, colocada a uma distância d da dobradiça, conforme a figura ao lado, uma força de módulo F perpendicular à porta.

02. A figura representa a força aplicada na vertical, sobre uma chave de boca, por um motorista de caminhão tentando desatarraxar uma das porcas que fixa uma roda. O ponto de aplicação da força dista 15 cm do centro da porca e o módulo da força máxima aplicada é F = 400 N. Nessa situação, suponha que o motorista está próximo de conseguir desatarraxar a porca. Em seguida, o motorista acopla uma extensão à chave de boca, de forma que o novo ponto de aplicação da força dista 75 cm do centro da porca. Calcule o novo valor do módulo da força, F’, em newtons, necessário para que o motorista novamente esteja próximo de desatarraxar a porca. RESOLUÇÃO

C12  Estática do corpo extenso

Para obter o mesmo efeito, calcule o módulo da força que você deve aplicar em uma maçaneta colocada a uma distância d/2 da dobradiça dessa mesma porta. RESOLUÇÃO Por meio da expressão: M = F.d notamos que o módulo da força é inversamente proporcional à distância, então, como a distância foi reduzida à metade a força deverá dobrar para que o momento da força continue o mesmo.

208

Na primeira situação : M = F.d = 400.0,15 = 60 N.m 60 Na segunda situação: = 60 F.0,75 ⇒= F ⇒ F = 80 N.m 0,75 03. Na figura abaixo, uma pessoa com massa de 60 kg encontra-se em repouso a 2,0 m da extremidade A de uma tábua cujo peso pode ser desprezado. O momento resultante em relação ao ponto B é nulo. Considere g = 10 m/s2.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

a) Calcule o módulo da força que o apoio A exerce sobre a barra. b) Calcule o módulo da força que o apoio B exerce sobre a barra.

a) Vamos calcular o módulo do momento de cada força em relação ao ponto B. MFA =-FA ⋅ dAB =-3FA

RESOLUÇÃO Isolando a tábua, isto é, fazendo um diagrama de todas as forças que nela atuam, e considerando o ponto B como centro de rotação, temos:

MFB =FB ⋅ dBB =0 MPB = P ⋅ dPB = 600 ⋅ 1 = 600 N.m

Agora vamos calcular o módulo do momento resultante e igualar a zero. MR M1 M2 M3 0 3FA 0 600 3FA 600 F = 80 N.m b) Devido ao fato da barra estar em repouso, podemos afirmar que a força resultante que nela atua é igual a zero. FR FA FB P 0 200 FB 600

FB = 400 N

Exercícios de Fixação 01. (Unifor CE) Marcos Levi vai dirigindo seu veículo por uma estrada, quando de repente um dos pneus fura ao passar por um prego que se encontrava em seu caminho, obrigando-o a parar e trocar o pneu. Com a chave de rodas em formato de L, ele não conseguiu soltar os parafusos da roda do carro. Levi, lembrando-se das aulas de Física, consegue liberar os parafusos, aumentando o braço da chave com um cano de ferro que conduzia no porta malas. Observe o esquema da chave L antes e depois da utilização do cano de ferro.

A grandeza física que aumentou com o uso do cano de ferro foi: a) energia b) torque c) quantidade de movimento d) impulso e) força

Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa II é verdadeira. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente a afirmativa IV é verdadeira. d) Somente a afirmativa III é verdadeira. e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 03. (Enem MEC) Em um experimento, um professor levou para a sala de aula um saco de arroz, um pedaço de madeira triangular e uma barra de ferro cilíndrica e homogênea. Ele propôs que fizessem a medição da massa da barra utilizando esses objetos. Para isso, os alunos fizeram marcações na barra, dividindo-a em oito partes iguais, e em seguida apoiaram-na sobre a base triangular, com o saco de arroz pendurado em uma de suas extremidades, até atingir a situação de equilíbrio.

Arroz 5,00 kg

Com relação ao movimento dessa porta, analise as proposições. I. Quanto maior a distância perpendicular entre a maçaneta e as dobradiças, menos efetivo é o torque da força. II. A unidade do torque da força no Sl é o N.m, podendo também ser medida em Joule (J). III. O torque da força depende da distância perpendicular entre a maçaneta e as dobradiças. IV. Qualquer que seja a direção da força, o seu torque será não nulo, consequentemente a porta rotacionará sempre.

Nessa situação, qual foi a massa da barra obtida pelos alunos? a) 3,00 kg b) 3,75 kg c) 5,00 kg d) 6,00 kg e) 15,00 kg 04. (FGV SP) Embora os avanços tecnológicos tenham contemplado a civilização com instrumentos de medida de alta precisão, há situações em que rudimentares aparelhos de medida se tornam indispensáveis. É o caso da balança portátil de dois braços, muito útil no campo agrícola.

209

C12  Estática do corpo extenso

02. (Udesc SC) Ao se fechar uma porta, aplica-se uma força na maçaneta para ela rotacionar em torno de um eixo fixo onde estão as dobradiças.

Física

Imagine uma saca repleta de certa fruta colhida em um pomar. Na figura que a esquematiza, o braço AC, em cuja extremidade está pendurada a saca, mede 3,5 cm, enquanto que o braço CB, em cuja extremidade há um bloco de peso aferido 5,0 kgf, mede 31,5 cm. A balança está em equilíbrio na direção horizontal, suspensa pelo ponto C. C A

Desprezado o peso próprio dos braços da balança, o peso da saca, em kgf, é de a) 34,5 d) 45,0 b) 38,0 e) 48,5 c) 41,5

a) É zero nos pontos mais baixo e mais alto da trajetória. b) É não nulo e assume um valor máximo no ponto mais alto e um mínimo no ponto mais baixo da trajetória. c) É não nulo e assume um valor máximo no ponto mais baixo e um mínimo no ponto mais alto da trajetória. d) É não nulo e tem valores iguais no ponto mais baixo e no mais alto da trajetória. 07. (IF GO) O móbile é um modelo abstrato que tem peças móveis, impulsionadas por motores ou pela força natural das correntes de ar. Suas partes giratórias criam uma experiência visual de dimensões e formas em constante equilíbrio. O móbile foi inicialmente sugerido por Marcel Duchamp para uma exibição de 1932, em Paris, sobre certas obras de Alexander Calder, que se converteu no maior exponente da escultura móbile. A origem latina do termo móbile remete à ideia de “móbil”, “movimento”. A figura a seguir representa um tipo de móbile.

05. (Uerj RJ) A figura abaixo ilustra uma ferramenta utilizada para apertar ou desapertar determinadas peças metálicas. Para que o equilíbrio do móbile ocorra é necessário e suficiente que a) as massas penduradas nas extremidades de cada haste sejam iguais. b) a força resultante e o torque sobre cada uma das hastes sejam nulas. c) a força resultante sobre cada haste seja nula. d) o torque jamais seja nulo. e) haja conservação da energia mecânica.

C12  Estática do corpo extenso

Para apertar uma peça, aplicando-se a menor intensidade de força possível, essa ferramenta deve ser segurada de acordo com o esquema indicado em:

06. (UECE) Em um parque de diversões, uma roda gigante gira com velocidade angular constante. De modo simplificado, pode-se descrever o brinquedo como um disco vertical e as pessoas como massas puntiformes presas na sua borda. A força peso exerce sobre uma pessoa um torque em relação ao ponto central do eixo da roda gigante. Sobre esse torque, é correto afirmar-se que: 210

08. (Unicastelo SP) Seis livros, com 2 kg cada um, estão em repouso sobre uma prateleira horizontal de massa desprezível, que se apoia sobre dois suportes A e B.

Adotando g = 10 m/s2 e considerando que a massa dos livros está uniformemente distribuída por seu volume, é correto afirmar que, na situação de equilíbrio, as intensidades das forças verticais, em newtons, que os suportes A e B exercem na prateleira são, respectivamente, AC a) 50 e 70 d) 40 e 80 b) 42 e 78 e) 55 e 65 c) 30 e 90

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Mackenzie SP) Uma cancela manual é constituída de uma barra homogênea AB de comprimento L = 2,40 m e massa M = 10,0 kg, está articulada no ponto O, onde o atrito é  desprezível. A força F tem direção vertical e sentido descendente, como mostra a figura abaixo.

Considerando a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s2, a intensidade da força mínima que se deve aplicar em A para iniciar o movimento de subida da cancela é a) 150 N b) 175 N c) 200 N d) 125 N e) 100 N

03. (FCM PB) O guindaste (também chamado de grua e, nos navios, pau de carga) é um equipamento utilizado para a elevação e a movimentação de cargas e materiais pesados, assim como, a ponte rolante usando o princípio da física no qual uma ou mais máquinas simples criam vantagem mecânica para mover cargas além da capacidade humana. São comumente empregados nas indústrias, terminais portuários e aeroportuários, onde se exige grande mobilidade no manuseio de cargas e transporte de uma fonte primária à embarcação, trem ou elemento de transporte primário, ou mesmo avião, para uma fonte secundária, um veículo de transportes ou depósitos local. Podem descarregar e carregar contêineres, organizar material pesado em grandes depósitos, movimentação de cargas pesadas na construção civil e as conhecidas pontes rolantes ou guindastes móveis muito utilizados nas indústrias de laminação e motores pesados.

Nessas condições, a alternativa correta que apresenta o valor mais aproximado dos módulos das forças, em N, que o pé A e o pé B fazem, respectivamente, para sustentar a tábua, é: a) 14,00 e 14,00 b) 20,05 e 7,95 c) 15,25 e 12,75 d) 17,64 e 10,36

Um aluno, de posse de um simulador, projeta a Grua acima com as seguintes características: o braço maior da grua tem comprimento de 16 metros, o braço menor 4m, o contra peso na extremidade do braço menor tem uma massa equivalente a 0,5 toneladas, cujo centro de massa coincide com a extremidade do braço menor. A barra horizontal possui massa de 200 kg, uniformemente distribuída e a barra vertical está rigidamente fixada. De acordo com o projeto acima descrito, qual o peso máximo que essa grua poderá levantar sem tombar? a) 2 000 N b) 1 500 N c) 1 000 N d) 50 N e) 500 N

211

C12  Estática do corpo extenso

02. (Acafe SC) Num banco estão apoiados três objetos: uma garrafa de massa 0,6 kg, um vaso com flores de massa 0,5 kg e um sapato de massa 0,3 kg. A tábua do banco que sustenta os objetos é homogênea, tem massa 1,4 kg e comprimento 2,00 m. Sabe-se que os pés do banco estão a 0,30 m das extremidades da tábua de sustentação dos objetos, a garrafa está 0,15 m à esquerda do pé A, o vaso está 0,40 m a direita do mesmo pé. O sapato está 0,20 m a esquerda do pé B.

Física

04. (UFSC) A BR-101, também conhecida como Rodovia Translitorânea, faz a ligação do Brasil de norte a sul. Sua duplicação, portanto, é uma obra de grande importância. A construção da nova ponte de Laguna, batizada em homenagem à lagunense Anita Garibaldi, a heroína de dois mundos (América Latina e Europa), faz parte da obra de duplicação dessa rodovia e substituirá a atual ponte de Laguna, a Ponte Henrique Lage, inaugurada em 1º de setembro de 1934. A construção da nova ponte de Laguna e a conclusão da duplicação da rodovia BR-101 darão um grande impulso ao desenvolvimento econômico desta região e, também, ao turismo. Disponível em: <www.pontedelaguna.com.br> [Adaptado] Acesso em: 17 ago. 2014.

C12  Estática do corpo extenso

O desenho abaixo ilustra o sistema de guindaste usado para suspender os blocos de concreto que darão a base para a pista de rolamento dos veículos. Uma estrutura metálica fica apoiada sobre dois pilares (A e C), dando suporte ao guindaste que suspende os blocos de concreto, para que sejam fixados aos demais. Vamos admitir que a estrutura metálica possua uma massa de 200 toneladas (200 × 103 kg) cujo centro de massa esteja a 80,0 m do pilar A, que cada bloco possua uma massa de 10 toneladas e que o guindaste tenha uma massa de 5 toneladas. Adote g = 10 m/s2.

Com base nos dados acima, é CORRETO afirmar que: 13 01. Para que todo o sistema (estrutura, guindaste e bloco) esteja em equilíbrio, é necessário que a soma dos momentos seja   zero, ∑ M = 0 , assim como a soma das forças, ∑ F = 0 . 02. A altura do bloco suspenso pelo guindaste influencia o seu torque em relação ao pilar A ou ao pilar C. 04. À medida que o guindaste se desloca em direção ao pilar B, a força de reação dos pilares A e C aumenta e diminui, respectivamente. 08. Supondo que o bloco suspenso esteja a 20,0 m do pilar C, as forças de reação nos pilares A e C são, respectivamente, 121,5×104 N e 93,5×104 N. 16. Inserir um novo ponto de sustentação da estrutura no pilar B não altera as forças de reação nos pilares A e C. 32. As forças de reação nos pilares A e C se alteram durante a subida do bloco, em velocidade constante, pelo guindaste. 05. (UFT TO) A figura mostra uma ginasta com 40,0 kg de massa, que está em pé na extremidade de uma trave. A trave tem 5,00 m de comprimento e uma massa de 200 kg (excluindo a massa dos dois suportes). Cada suporte está a 50,0 cm da extremidade mais próxima da trave. Para uma aceleração gravitacional de 9,8 m/s2, a força exercida sobre a trave pelo suporte 2 é: 212

a) 592 N b) 931 N c) 1176 N d) 1421 N e) 1960 N 06. (Uerj RJ) Um homem de massa igual a 80 kg está em repouso e em equilíbrio sobre uma prancha rígida de 2,0 m de comprimento, cuja massa é muito menor que a do homem. A prancha está posicionada horizontalmente sobre dois apoios, A e B, em suas extremidades, e o homem está a 0,2 m da extremidade apoiada em A. A intensidade da força, em newtons, que a prancha exerce sobre o apoio A equivale a: a) 200 b) 360 c) 400 d) 720 07. (Uerj RJ) Uma balança romana consiste em uma haste horizontal sustentada por um gancho em um ponto de articulação fixo. A partir desse ponto, um pequeno corpo P pode ser deslocado na direção de uma das extremidades, a fim de equilibrar um corpo colocado em um prato pendurado na extremidade oposta. Observe a ilustração:

Quando P equilibra um corpo de massa igual a 5 kg, a distância d de P até o ponto de articulação é igual a 15 centímetros. Para equilibrar um outro corpo de massa igual a 8 kg, a distância, em centímetros, de P até o ponto de articulação deve ser igual a: a) 28 b) 25 c) 24 d) 20

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

08. (Unicastelo SP) A figura mostra uma barra de aço para levantamento de pesos, com dois discos, um em cada extremidade, sustentada por dois apoios equidistantes das extremidades da barra.

10. (Escs DF) A figura abaixo ilustra um bloco de peso p colocado sobre uma mesa plana e quadrada, de lado L e peso P, apoiada em um plano horizontal. O centro de massa do bloco está a uma distância L/4 do lado AB e L/2 do lado BC. As reações nos pés A e B e nos pés C e D da mesa são identificados na figura, respectivamente, por F e f.

Um aluno de uma academia observa que a barra está na iminência de girar no sentido horário. Se a massa do disco colocado do lado direito da barra é igual a 20 kg e a massa da barra é igual a 7,5 kg, a massa do disco colocado do lado esquerdo, em kg, vale a) 8,0 b) 5,0 c) 1,0 d) 2,0 e) 10 09. (Unifor CE) Num espetáculo circense, dois palhaços seguram pelas extremidades uma barra homogênea de 3 m de comprimento que pesa 200 N. Um terceiro palhaço com massa total de 50 kg pode deslizar sobre a barra com seu monociclo. O palhaço na extremidade A da barra só pode suportar uma força até 400 N. Até que distância “x” da extremidade B o palhaço poderá deslizar em seu monociclo? (Considere g = 10m /s2)

Tendo como referência essa situação, assinale a opção correta. a) A compressão na seção transversal do pé B é igual a 2F/a, em que a é a área da seção transversal do pé B da mesa. b) Para a posição do bloco de peso p mostrado na figura, infeP 3p P p re-se que F= e f= + + . 4 8 4 8 c) As reações nos pés C e D são maiores que as reações nos pés A e B da mesa. d) O centro de massa do sistema mesa mais bloco localiza-se no centro da mesa. 11. (Uel PR) Uma das condições de equilíbrio é que a soma dos momentos das forças que atuam sobre um ponto de apoio seja igual a zero.

Modelo simplificado de um móbile

a) x = 1,5 m b) x = 1,8 m c) x = 2 m d) x = 2,4 m e) x = 2,5 m

presenta a distância entre o fio que sustenta m1 e o fio que sus1 tenta m2, e AB = AC , qual a relação entre as massas m1 e m2? 8 1 ⋅ m2 8 b) m1 = 7 ⋅ m2 c) m1 = 8 ⋅ m2 d) m1 = 21 ⋅ m2 e) m1 = 15 ⋅ m2

a) m1 =

213

C12  Estática do corpo extenso

Considerando o modelo simplificado de um móbile em que re-

FRENTE

FÍSICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Unicamp SP) Uma torneira é usada para controlar a vazão Φ da água que sai de um determinado encanamento. Essa vazão (volume de água por unidade de tempo) relaciona-se com a diferença de pressão dos dois lados da torneira (ver figura) pela seguinte expressão:

P1 - P0 = Z x Φ . Nessa expressão, Z é a resistência ao fluxo de água oferecida pela torneira. A densidade da água é 1,0 x 103 kg/m3 e a pressão atmosférica 3 P0 é igual a 1,0 × 105 N/m2. a) N2 = Uz m ⇒ Uz = Ns5 = kg4 m s m ms a) Qual é a unidade de Z no Sistema Internacional? b) Se a torneira estiver fechada, qual será a pressão P1? 1,5 × 105 N/m2 c) Faça uma estimativa da vazão de uma torneira doméstica, tomando como base sua experiência cotidiana. A partir dessa estimativa, encontre a resistência da torneira, supondo que a diferença de pressão (P1 – P0) seja igual a 4,0 × 104 N/m2. 4,0 × 108 kg/m4s

Se esse nível diminui de uma altura h = 9,0 cm, num intervalo de tempo de 3,0 s, determine, em cm/s, a velocidade com que o fluido abandona o funil na saída. 12 cm/s 04. (Unicamp SP) “Tornado destrói telhado de ginásio da Unicamp. Um tornado com ventos de 180 km/h destruiu o telhado do ginásio de esportes da Unicamp.... Segundo engenheiros da Unicamp, a estrutura destruída pesa aproximadamente 250 toneladas.” Folha de São Paulo, 29/11/95

Uma possível explicação para o fenômeno seria considerar uma diminuição da pressão atmosférica, devida ao vento, na parte superior do telhado. Para um escoamento de ar ideal, essa redução de pressão é por ρv2/2, onde ρ = 1,2 kg/m3 é a densidade do ar e V a velocidade do vento. Considere que o telhado do ginásio tem 5.400 m2 de área e que estava apenas apoiado nas paredes. a) Calcule a variação da pressão externa devida ao vento. 50 m/s b) Quantas toneladas poderiam ser levantadas pela força devida a esse vento? 8,1 ⋅ 102 toneladas c) Qual a menor velocidade do vento (em km/h) que levantaria o telhado? 100 km/h

02. (Ufal AL) Uma torneira é aberta com uma vazão de 1,0 litro/min de água em uma piscina cilíndrica de raio R = 2,0 m e altura H = 4,0 m. Dado: densidade da água igual a 1 g/cm3. a) Calcule a massa de água que está na piscina após a torneira ter ficado aberta em um intervalo de tempo de 18 horas. M = 1 080 kg b) Calcule a altura h do nível da água na piscina no mesmo intervalo de tempo. h = 8,6 cm c) Calcule a variação de pressão no fundo da piscina no mesmo intervalo de tempo. ∆P = 860,0 Pa 03. (UFPE) Um funil tem uma área de saída quatro vezes menor que a área de entrada, como indica a figura. Um fluido em seu interior escoa de modo que seu nível abaixa com velocidade constante. 214

05. (UFBA) Em um recipiente transparente, cuja área da secção transversal é igual a S1, é feita uma pequena abertura A, de área S2, a uma altura h2, sendo S1 muito maior que S2. Deve-se encontrar a altura da água, h1, de modo que, ao escoar pela pequena abertura, o filete de água atinja um tubo de ensaio a uma distância x do recipiente, como mostra a figura.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Sabe-se que a altura h1 pode ser determinada usando-se a ρV2 constante em qualquer equação de Bernoulli P + ρgh + 2 ponto do fluido, sendo nn P a pressão estática externa, no caso a pressão atmosférica; nn r a densidade do fluido; nn V a velocidade em um ponto do fluido; nn h a altura no ponto do fluido de velocidade V; nn g a aceleração da gravidade local. Com base nessas informações, — considerando que as velocidades V1 e V2, nos pontos 1 e 2, respectivamente, são tais que V1 S1 = V2 S2 e desprezando quaisquer forças dissipativas —, V2 mostre, utilizando a equação de Bernoulli, que h1 ≅ h2 + 2 e 2g 12 ≅ 1,0m calcule h1, para x=1m e h2=0,5m. h1 ≅ 0,5 + 4.0,5

06. (UFBA) A tragédia de um voo entre o Rio de Janeiro e Paris pôs em evidência um dispositivo, baseado na equação de Bernoulli, que é utilizado para medir a velocidade de um fluido, o chamado tubo de Pitot. Esse dispositivo permite medir a velocidade da aeronave com relação ao ar. Um diagrama é mostrado na figura. No dispositivo, manômetros são usados para medir as pressões pA e pB nas aberturas A e B, respectivamente.

Considere um avião voando em uma região onde a densidade do ar é igual a 0,60 kg/m3 e os manômetros indicam pA e pB iguais a 63630,0 N/m2 e a 60000,0 N/m2, respectivamente. Aplique a equação de Bernoulli nessa situação e determine a velocidade do avião com relação ao ar. 396 km/h.

tensível e também tem peso desprezível. Não há atrito entre o cabo e a roldana. No estado inicial, o carro encontra-se em uma posição tal que o alongamento na mola é nulo e o cabo não se encontra tracionado. A partir de um instante, o recipiente começa a ser completado lentamente com um fluido com massa específica de 3000 kg/m3. Sabendo que o coeficiente de rigidez da mola é 3300 N/m e a aceleração da gravidade é 10 m/s2, o alongamento da mola no instante em que o recipiente se encontrar totalmente cheio, em centímetros, é igual a a) 0,5 b) 1,5 c) 5,0 d) 10,0 e) 15,0 08. (UFG GO) Um passarinho pousa no ponto médio de um fio elástico de massa desprezível e constante elástica k, esticado horizontalmente entre duas paredes separadas por uma distância L. Sob a ação de seu peso, o fio passa a formar um ângulo θ com a horizontal. Determine a massa do passarinho em função de q, 2kL k, L e da aceleração da gravidade g. m = (tgθ − senθ) g

09. (UFJF MG) Um esporte que, a cada dia, fica mais popular é o slackline, conhecido também como corda bamba. Em uma montagem, uma fita é tensionada entre dois suportes a uma distância L = 10,0 m, e uma pessoa de massa m = 65,0 kg sobe exatamente no meio da fita e fica parada em equilíbrio, como ilustra a figura ao lado. Nessa situação, a fita desce, em relação 5 à horizontal, uma distância ∆y = m, no ponto onde a pes3 soa subiu. Com essas informações, e considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2

Gabarito questão 09 a)

A figura acima mostra um conjunto massa-mola conectado a uma roldana por meio de um cabo. Na extremidade do cabo há um recipiente na forma de um tronco de cone de 10 cm x 20 cm x 30 cm de dimensões (diâmetro da base superior x diâmetro da base inferior x altura) e com peso desprezível. O cabo é inex-

a) Faça um diagrama das forças que atuam no ponto P em que a pessoa se apoia sobre a fita. Identifique cada uma das forças. b) Calcule a tensão na fita com a pessoa sobre ela. T= 650 N c) Calcule a constante elástica da fita. K = 844,15 N/m 10. (Cefet MG) A figura mostra um bloco D de massa 0,50 kg preso a uma corda inextensível que passa por uma roldana. A outra extremidade da corda está presa à barra CA que pode girar em torno do eixo fixado à parede. Desprezando-se as forças de atrito e as massas da corda, da barra e da roldana, torna-se possível movimentar o bloco B, de 2,0 kg, ao longo da barra horizontal.

215

FRENTE C  Exercícios de Aprofundamento

07. (IME RJ)

Física

está posicionada a 1 m do apoio A, enquanto a carga variável só pode se posicionar entre a carga fixa e o apoio B. Para que as reações verticais (de baixo para cima) dos apoios A e B sejam iguais a 25 kN e 35 kN, respectivamente, a posição da carga variável, em relação ao apoio B, e o seu módulo devem ser a) 1,0 m e 50 kN b) 1,0 m e 40 kN c) 1,5 m e 40 kN d) 1,5 m e 50 kN A posição X, em cm, do bloco B para manter o sistema em equi-

e) 2,0 m e 40 kN 13. (Unicamp SP)

líbrio estático é a) 20

a) O ar atmosférico oferece uma resistência significativa ao

b) 15

movimento dos automóveis. Suponha que um determina-

c) 10

do automóvel movido a gasolina, trafegando em linha reta

d) 5,0

a uma velocidade constante de v = 72 km/h com relação ao

e) 2,5

ar, seja submetido a uma força de atrito de Far = 380 N. Em uma viagem de uma hora, aproximadamente quantos litros

11. (IME RJ)

de gasolina serão consumidos somente para “vencer” o atrito imposto pelo ar? 2,6 L Dados: calor de combustão da gasolina: 35 MJ/L. Rendimento do motor a gasolina: 30%. b) A má calibração dos pneus é outro fator que gera gasto extra de combustível. Isso porque o rolamento é real e a baixa pressão aumenta a superfície de contato entre o solo e o pneu. Como consequência, o ponto efetivo da aplicação da força normal de módulo N não está verticalmente abaixo do

Um bloco de massa M = 20kg está pendurado por três cabos em repouso, conforme mostra a figura acima. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2,

2 ≅ 1,414 ,

3 ≅ 1,732 , os valores das forças de tração, em newtons, nos cabos 1 e 2 são, respectivamente: a) 146 e 179 b) 179 e 146 c) 200 e 146 d) 200 e 179

FRENTE C  Exercícios de Aprofundamento

e) 146 e 200 12. (IME RJ)

A figura acima mostra uma viga em equilíbrio. Essa viga mede 4 m e seu peso é desprezível. Sobre ela, há duas cargas concentradas, sendo uma fixa e outra variável. A carga fixa de 20 kN

216

eixo de rotação da roda (ponto O) e sim ligeiramente deslocado para a frente a uma distância d, como indica a figura ao lado. As forças que atuam sobre a roda não tracionada são:   força F , que leva a roda para a frente, força peso P , força   de atrito estático Fat e força normal N . Para uma velocidade  de translação V constante, o torque em relação ao ponto O,   resultante das forças de atrito estático Fat e normal N , deve ser nulo. Sendo R = 30 cm, d = 0,3 cm e N = 2 500 N, calcule o módulo da força de atrito estático Fat. 25 N