Coleção 10 V - Livro 5 - Física - Professor by Editora Elabore

Luiz Marengão

FRENTE

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FÍSICA Por falar nisso Ao longo dos anos, o homem tentou explicar a formação do Sistema Solar. A maior parte dos cientistas de épocas passadas defendiam as ideias catastrofísicas, ou seja, o Sistema Solar tinha se criado através de uma catástrofe. Cálculos posteriores fizeram ruir a hipótese da colisão, pois a matéria arrancada do Sol teria temperatura bastante elevada e se desintegraria, o que impossibilitaria a formação dos planetas. Posteriormente surgiu outra teoria que defendia a ideia de uma possível aproximação entre duas estrelas, mas sem colisão. Essa nova teoria é conhecida como Hipótese de Aproximação de duas Estrelas ou a Hipótese de Chamberlain. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

A17 A18 A19 A20

Conservação da quantidade de movimento.................................120 Colisões mecânicas........................................................................126 Coeficiente de restituição..............................................................132 Centro de massa............................................................................137

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO A17

ASSUNTOS ABORDADOS nn Conservação da quantidade de

movimento

nn Forças internas e externas nn Sistema isolado de forças externas nn Princípio da conservação da quantidade de movimento

CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO Forças internas e externas As forças que atuam em um sistema de partículas podem ser classificadas como forças internas e forças externas. Se uma partícula do sistema exercer uma força em outra partícula que também pertença a ele, essa será uma força interna. Se a força que atua em uma partícula do sistema for exercida por um agente que não pertença a ele, ela será uma força externa.  Durante o contato entre A e B, o corpo A exerce uma força F no corpo B. Este corpo reage e exerce uma força de mesmo módulo, mesma direção e sentido con trário no corpo A ( −F ). A

–F

  As forças F e −F correspondem a um par ação-reação e são internas ao sistema formado pelos dois corpos. As forças internas podem provocar variações na quantidade de movimento de cada partícula de um sistema, mas não provocam variação na quantidade de movimento total do sistema.

Sistema isolado de forças externas Um sistema mecânico é isolado de forças externas quando a resultante dessas forças for nula. Na figura anterior, há um sistema isolado porque a força peso e a força normal que atuam nos dois corpos têm o mesmo módulo, a mesma direção, sentidos opostos e atuam no mesmo corpo. Portanto, equilibram-se. Veja a figura: NA A

NB B

–F

   As forças F e −F não se anulam porque atuam em corpos diferentes. A força F atua  em B e a força −F atua em A.

120

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Princípio da conservação da quantidade de movimento “Em um sistema mecânico isolado de forças externas, a quantidade de movimento total do sistema permanece constante”.

 Se FR = 0 ⇒

 Q total = 0 ⇒

  Q inicial = Q final

Em um sistema isolado: pode acontecer: nn Não

atuam forças externas ou a resultante delas é nula; forças internas; nn Podem atuar forças externas de resultante não nula, mas de duração desprezível; nn Podem atuar forças externas de resultante não nula, mas de módulo desprezível quando comparado com as forças internas. nn Atuam

EXEMPLOS 01. Um menino está sobre um skate segurando uma bola. A massa do menino mais o skate é de 50 kg e a massa da bola é de 500 g. O sistema está em repouso. O menino lança a bola horizontalmente com velocidade de módulo 10 m/s. Qual é o módulo da velocidade com que o menino e o skate se deslocam em sentido contrário ao da bola?

RESOLUÇÃO   Q antes = Q depois 5.10 − 7.4 = 7.vB' − 5.6

( adotamos para a direita positivo )

mA v A − mB vB = mB vB' − mA v'a ⇒

50 − 28 + 30 = 7vB'

v = 10 m/s = vB'

52 7

⇒

vB' = 7,4 m/s

03. Dois blocos A e B de massas respectivamente iguais a 3 kg e 2 kg estão amarrados por um fio e encostados numa mola ideal comprimida.

(antes)

Em certo instante, o fio é cortado e os blocos se movimentam em sentidos opostos como mostra a figura.

(depois) RESOLUÇÃO

  Q antes = Q depois

(Q antes = 0, porque o sistema estava em repouso)

0= 0,5.10 − 50.vM

⇒

vM = 0,1 m/s

50vM = 5 ⇒

02. Dois blocos A e B de massas mA = 5 kg e mB = 7 kg movendo-se em uma plano horizontal com velocidades de módulos iguais a vA = 10 m/s e vB = 4 m/s colidem um com o outro. Após a colisão os blocos invertem o sentido de suas velocidades. Se o módulo da velocidade do bloco

A, depois da colisão, é v'A = 6m/s , calcule a velocidade do bloco B.

B vA

0 = mBvB − mAvA

A mA

Sabendo que o bloco A se move com velocidade de módulo igual a 10 m/s, calcule o módulo da velocidade do bloco B.   Q antes = Q depois A quantidade de movimento total antes é nula, porque o conjunto está parado.

antes da colisão

v´

RESOLUÇÃO

mA v A =mB vB

(novamente adotamos para a direita positivo) ⇒

3.10 =2vB

⇒

vB = 15 m/s

depois da colisão

121

A17  Conservação da quantidade de movimento

0= mB .vB − mM .vM

Física

Exercícios de Fixação 01. (IF SC) Considere dois blocos A e B, em repouso, em contato

02. Após o objeto ter sido lançado, a quantidade de movi-

com uma mola comprimida, cuja massa é desprezível. Eles

mento do sistema constituído pelos dois patinadores e

estão colocados sobre uma superfície horizontal sem atri-

o objeto é alterada.

to e as suas massas são, respectivamente, 4,0 kg e 6,0 kg.

04. Considerando que a resultante das forças externas é

A mola não tem contato com a superfície. Abandonando o

nula, é possível afirmar que a quantidade de movimen-

sistema constituído pelos corpos, a mola se distende, em-

to total do sistema constituído pelos dois patinadores e

purrando os blocos em sentidos contrários.

o objeto se conserva.

As seguintes forças atuam nos blocos enquanto a mola se distende:

08. O patinador A, imediatamente após lançar o objeto  para o patinador B, afasta-se com velocidade v . 03. (Puc RJ) Um garoto de massa 30 kg está parado sobre uma

grande plataforma de massa 120 kg também em repouso em uma superfície de gelo. Ele começa a correr horizontalmente para a direita, e um observador, fora da plataforma,

  Pa e Pb − pesos dos blocos A e B;   Na e Nb − reações normais da superfície sobre os blocos AeBe   Fa e Fb − forças exercidas pela mola sobre os blocos A e B. Considere, também, que o bloco B adquira uma velocidade igual a 3 m/s. Leia e analise as proposições e marque a soma da(s) CORRETA(S).

Gab: 42

01. O bloco A adquire uma velocidade igual a 3m/s, mas em sentido contrário ao bloco B.

A17  Conservação da quantidade de movimento

Sabendo que não há atrito entre a plataforma e a superfície de gelo, a velocidade com que a plataforma se desloca para a esquerda, para esse observador, é, em m/s: a) 1,0 b) 2,0 c) 0,5 d) 8,0 e) 4,0 04. (Enem Mec) Durante um reparo na estação espacial inter-

02. Os pesos dos blocos A e B são forças externas ao sistema.

nacional, um cosmonauta, de massa 90 kg, substitui uma

04. As reações normais da superfície sobre os blocos A e B

bomba do sistema de refrigeração de massa 360 kg que es-

e as forças exercidas pela mola sobre esses blocos são

tava danificada. Inicialmente, o cosmonauta e a bomba es-

forças internas ao sistema.

tão em repouso em relação à estação. Quando ele empurra

08. A resultante das forças externas ao sistema é igual a zero.

a bomba para o espaço, ele é empurrado no sentido opos-

16. A quantidade de movimento de cada bloco se conserva.

to. Nesse processo, a bomba adquire uma velocidade de

32. A quantidade de movimento do sistema se conserva.

0,2 m/s em relação à estação.

02. (UEPG PR) Dois patinadores, A e B, encontram-se livres

Qual é o valor da velocidade escalar adquirida pelo cosmo-

sobre uma pista de gelo, na qual são desprezíveis as for-

nauta, em relação à estação, após o empurrão?

ças de atrito. Inicialmente, os dois patinadores estão em

a) 0,05 m/s

repouso em relação à pista de gelo. Em determinado ins-

b) 0,20 m/s

tante, o patinador A lança um objeto para o patinador B  com uma velocidade v . O patinador B agarra o objeto,

c) 0,40 m/s

mantendo-o consigo, enquanto se afasta.

e) 0,80 m/s

d) 0,50 m/s

Considerando a pista de patinação como referencial, assinale o que for correto. Gab: 05

05. (Puc RJ) Em uma pista de gelo, um patinador de 75 kg com

01. Antes de o objeto ter sido lançado, a quantidade de mo-

dora de 50 kg com velocidade de 2,0 km/h, que estava na

vimento total do sistema constituído pelos dois patinadores e o objeto era nula.

122

mede que sua velocidade é de 2,0 m/s.

velocidade de 5,0 km/h vem a se chocar com uma patinamesma direção e sentido que ele. Com o empurrão sofrido, a patinadora sai com velocidade de 5,0 km/h.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Qual é o valor em km/h da velocidade do patinador logo após a colisão?

a) 3,0 b) 2,0 c) 5,0 d) 0,0 e) 7,0 06. (Espex SP) Um canhão, inicialmente em repouso, de massa 600 kg, dispara um projétil de massa 3 kg com velocidade horizontal de 800 m/s. Desprezando todos os atritos, podemos afirmar que a velocidade de recuo do canhão é de:

Considerando o sistema isolado, uma figura que pode representar as partes da bomba imediatamente depois da explosão é a: a)

a) 2 m/s

V 60°

b) 4 m/s

c) 6 m/s

d) 8 m/s

60° V

e) 12 m/s

07. (UFSC) Um corpo de massa m1 e velocidade de módulo v1 (corpo 1) choca-se com outro de massa m2 e velocidade de módulo  v2 (corpo 2). Durante o choque, o corpo 1 exerce uma força F2  no corpo 2 e o corpo 2 exerce uma força F1 no corpo 1.

V 5,1 V

1,5 V

c) 1

1,5 V

V V 5,1

2 F2 V

V Gab: 05

01. No sistema internacional, a unidade da quantidade de movimento dos corpos é kg·m/s. 02. A variação da quantidade de movimento de cada um dos dois corpos é uma grandeza vetorial que tem sempre a direção e o sentido da sua velocidade.  04. O impulso produzido pela força F1 tem a mesma direção e  sentido de F1 . 08. Se a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema constituído pelos dois corpos for nula, a quantidade

09. (FGV MG) Em um sistema isolado de forças externas, em repouso, a resultante das forças internas e a quantidade de movimento total, são, ao longo do tempo, respectivamente, a) crescente e decrescente. b) decrescente e crescente. c) decrescente e nula. d) nula e constante. e) nula e crescente.

A17  Conservação da quantidade de movimento

Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

de movimento deste sistema também será nula. 16. Se a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema constituído pelos dois corpos for nula, o impulso que age em cada um dos corpos deste sistema também será nulo. 08. (Unicastelo SP) Uma bomba é lançada obliquamente e percorre uma trajetória parabólica no ar. Exatamente no instante em que atinge o ponto mais alto de sua trajetória, quando tinha velocidade de módulo V, ela explode e divide-se em três pedaços de mesma massa.

123

Física

Exercícios Complementares 01. (Fuvest SP) Um trabalhador de massa m está em pé, em repouso, sobre uma plataforma de massa M. O conjunto se move, sem atrito, sobre trilhos horizontais e retilíneos, com velocidade de módulo constante v. Em um certo instante, o trabalhador começa a caminhar sobre a plataforma e permanece com velocidade de módulo v, em relação a ela, e com sentido oposto ao do movimento dela em relação aos trilhos. Nessa situação, o módulo da velocidade da plataforma em relação aos trilhos é

d) 400 m/s e explodiu exatamente na altura máxima de sua trajetória. e) 400 m/s e explodiu depois de atingir a altura máxima de sua trajetória. 03. (Udesc SC) Um patinador está em pé e inicialmente em repouso sobre o gelo, segurando duas bolas maciças, A e B, de massas mA = 3,0 kg e mB = 5,0 kg. O patinador tem 80,0 kg de massa e lança a bola A horizontalmente para a frente, com velocidade de 0,5 m/s em relação ao solo.

a) (2m + M) v / (m + M)

A seguir, ele lança a bola B com a mesma velocidade, di-

b) (2m + M) v / M

reção e o mesmo sentido que lançou a bola A. Assinale

c) (2m + M) v / m

a alternativa que corresponde ao módulo da velocidade

d) (M – m) v / M

final do patinador.

e) (m + M) v / (M – m)

a) 0,0115 m/s

02. (Unesp SP) Enquanto se movia por uma trajetória para-

b) 0,05 m/s

bólica depois de ter sido lançada obliquamente e livre de

c) 20,0 m/s

resistência do ar, uma bomba de 400 g explodiu em três

d) 0,5 m/s

partes, A, B e C, de massas mA = 200 g e mB = mC = 100 g. A

e) 86,9 m/s

figura representa as três partes da bomba e suas respectivas velocidades em relação ao solo, imediatamente depois da explosão.

04. (Unisal AL) Um canhão dispara uma granada com velocidade de 100 m/s, em uma direção que forma um ângulo θ com a horizontal ( sen θ =0,60 e cos θ =0,80 ).

ver cal

Ao atingir a altura máxima a granada explode dividindo-se em duas partes iguais. Imediatamente após a explosão, uma VB = 200 m/s

das partes é lançada verticalmente para baixo com velocidade de 120 m/s. Nesse instante, o módulo da velocidade da

outra parte, em m/s, será de C

VC = 400 m/s horizontal

a) 60 b) 80 c) 100 d) 200

A VA = 100 m/s

e) 400

A17  Conservação da quantidade de movimento

05. (UFAC) Uma patinadora de 50 Kg, e um patinador de ver cal

Analisando a figura, é correto afirmar que a bomba, imediatamente antes de explodir, tinha velocidade de módulo igual a a) 100 m/s e explodiu antes de atingir a altura máxima de sua trajetória. b) 100 m/s e explodiu exatamente na altura máxima de sua trajetória. c) 200 m/s e explodiu depois de atingir a altura máxima de sua trajetória.

124

75 Kg, estão em repouso sobre a pista de patinação, na qual o atrito é desprezível. O patinador empurra a patinadora e desloca-se para trás com velocidade de 0,3 m/s em relação ao gelo. Após 5 segundos, qual será a separação entre eles, supondo que suas velocidades permaneçam praticamente constantes? a) 3,0 m b) 4,0 m c) 1,5 m d) 4,5 m e) 3,75 m

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

06. (Uem PR) Um bloco de 1,2 kg e um bloco de 1,8 kg estão ini-

09. (Uespi PI) Considere a situação em que um homem e uma cai-

cialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. Quan-

xa repousam frente a frente sobre uma superfície horizontal

do a mola que une os dois blocos é comprimida e, em segui-

sem atrito. A resistência do ar no local é desprezível. Sabe-se

da, solta, o bloco de 1,8 kg move-se com uma velocidade de

que a massa do homem é de 100 kg, enquanto que a massa

2,0 m/s. Qual é o módulo da velocidade do bloco de 1,2 kg

da caixa é de 50 kg. Em um dado instante, o homem empurra

depois que a mola é solta?

a caixa, que passa a se mover em linha reta com velocidade

1,2 kg

2,0 m/s

1,8 kg

escalar igual a 8 m/s. Nessas circunstâncias, qual é o módulo da velocidade de recuo do homem após empurrar a caixa? a) 4 m/s b) 5 m/s

a) 3,0 m/s b) 2,0 m/s c) 1,4 m/s

c) 8 m/s d) 10 m/s e) 12 m/s

d) 3,6 m/s

10. (Fameca SP) Em um experimento de laboratório, uma mola de

e) 4,0 m/s

massa desprezível inicialmente comprimida é liberada e, ao

07. (Puc GO) Considere o termo conservação em “um movimento de conservação [...] a guerra é a conservação”. Temos grandezas físicas que, em determinadas situações, obedecem ou não a um princípio de conservação. Considere um artefato que, de-

distender-se, empurra um carrinho, ao qual está presa, e uma caixa apoiada sobre ele. Antes da distensão da mola, o conjunto estava em repouso. Quando a caixa perde o contato com a mola, sua velocidade tem módulo v em relação ao solo.

vido aos seus componentes internos, pode explodir e separar-se em três partes. Esse artefato é lançado verticalmente para cima e, quando atinge sua altura máxima, explode dando origem a três fragmentos, A, B e C, com massas mA = 4 g, mB = 5 g e mC = 10 g. Considerando-se que somente forças internas entre as partes atuem no artefato durante a explosão e sabendo-se que imediatamente após a explosão a velocidade de A é de

Antes movimento da caixa

movimento do carro

100 m/s verticalmente para baixo e que a velocidade de B é de 60 m/s horizontalmente para a direita, pode-se afirmar que a velocidade de C imediatamente após a explosão tem um módulo de (assinale a resposta correta):

Depois

a) 10,00 m/s c) 50,00 m/s d) 116,62 m/s 08. (Unifra RS) Uma sonda espacial de duas toneladas, observada de um sistema inercial, encontra-se inicialmente em repouso no espaço. Seu propulsor é ligado em um determinado intervalo de tempo e os gases são ejetados a uma velocidade constante de 2490 m/s, em relação à sonda. Determine a massa aproximada de gases ejetados, sendo que no final do processo a sonda move-se a 10 m/s. a) 2 kg b) 4 kg c) 8 kg d) 16 kg e) 32 kg

Desprezando-se todos os atritos e sabendo que a massa do carrinho sem a caixa é 5 vezes maior do que a massa da caixa, o módulo da velocidade adquirida pelo carrinho, em relação ao solo, no instante em que a mola para de empurrar a caixa é a)

4 ⋅v 3

6 ⋅v 5

1 ⋅v 5

6 ⋅v 8

8 ⋅v 5

125

A17  Conservação da quantidade de movimento

b) 40,00 m/s

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO A18

ASSUNTOS ABORDADOS nn Colisões mecânicas nn Análise de uma colisão unidimensional nn Tipos de colisão

COLISÕES MECÂNICAS As colisões ou choques mecânicos, principalmente entre automóveis, fazem parte do nosso cotidiano moderno. Dificilmente temos um dia em que não ocorram colisões entre veículos. Durante uma colisão, as forças são muito grandes, mas atuam em intervalos de tempo muito pequenos. Outro exemplo de colisão acontece nos aceleradores de partículas, por exemplo, no LHC (Large Hadron Collider), que pode ser traduzido como Grande Colisor Elétron Pósitron. O LHC fica na periferia da cidade de Genebra, na Suíça, e é formado por um enorme tubo circular com circunferência de 26,7 km e diâmetro de 7 m. É subterrâneo e fica a cerca de 100 m abaixo do solo. Ele se encontra no maior complexo científico do mundo e sua construção envolveu milhares de cientistas, com duração de 20 anos e custou 10 bilhões de dólares. Ele é um dos experimentos do CERN (Organização Europeia para Pesquisa Nuclear), onde a internet foi inventada.

Figura 01 - Diagrama do LHC

Assim como os outros tipos de aceleradores de partículas, o seu funcionamento inicial consiste em acelerar partículas com carga elétrica, que, no caso, são prótons ou núcleos atômicos de íons de chumbo. Um feixe é acelerado e passa a rodar em uma direção do anel, enquanto que outro feixe acelerado roda na direção oposta. Até que, no momento certo, eles entram em rota de colisão, na qual as forças elétricas e nucleares serão tão intensas que partículas que ainda não foram estudadas poderão ser criadas.

Fonte: Wikimedia commons

Figura 02 - Visão panorâmica da localização do LHC

126

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Análise de uma colisão unidimensional Uma das aplicações mais importantes do conceito de quantidade de movimento é encontrada no estudo das colisões mecânicas. Para entender como essa grandeza está envolvida nesse fenômeno, consideremos duas esferas A e B deslocando-se ao longo de uma mesma linha reta, em sentidos opostos, como mostra a figura a seguir.

Antes da colisão, temos uma aproximação entre as duas esferas e, consequentemente, o choque entre elas.    Q= mA v A + mB vB antes (observe que temos uma equação vetorial). Adotando como positivo o sentido do movimento da esfera A, temos: Q= mA v A − mB vB antes (equação envolvendo módulos de vetores). Depois da colisão, suposta elástica, e, considerando que as duas esferas se movimentam no mesmo sentido, temos:

Esse tipo de colisão é chamado de choque unidimensional ou frontal, porque os corpos se movem sobre a mesma reta, antes e depois da colisão.

O mesmo não podemos dizer em relação à energia cinética do sistema. Quando dois corpos colidem, geralmente, há degradação da energia cinética se transformando em energia térmica, sonora, dentre outras dissipações. Por isso, na maioria das colisões, tem-se um sistema dissipativo de energia. Em algumas colisões, a perda de energia cinética é desprezível, nesse caso o sistema é conservativo.

Q= mA v ,A + mB vB, depois Aplicando o princípio da conservação da quantidade de movimento, temos: Q antes = Q depois

mA v A − mB vB = mA v ,A + mB vB, A equação anterior apresenta duas incógnitas. Para resolvê-la necessitamos de uma segunda equação com as mesmas incógnitas, que será obtida por meio da conservação da energia mecânica (cinética). EcŽŽŽŽŽ = Ec 2 A A

mv m v2 m v ,2 m v ,2 + B B = A A + B B 2 2 2 2

Resumindo, em qualquer tipo de colisão, temos:   Q antes = Q depois Ecantes ≤ Ecdepois

Tipos de colisão 1. Elástica ou Perfeitamente Elástica Nesse caso, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética total do sistema se conservam.   = Q antes Q= e Ecantes Ecdepois depois Vejamos um exemplo. Considere as duas esferas da figura anterior e suponha que após a colisão, as esferas se movam no mesmo sentido da esfera A, como mostra a figura a seguir.

Resolvendo o sistema formado pelas duas equações, encontraremos os valores das velocidades das esferas A e B depois da colisão. 2. Inelástica Nesse caso, somente a quantidade de movimento do sistema será conservada. Haverá uma grande dissipação da energia mecânica porque as duas esferas ficarão grudadas uma na outra, isto é, movendo-se juntas no mesmo sentido e com a mesma velocidade. Q antes = Q depois

mA v A ± mB vB =(mA + mB ) v , 127

A18  Colisões mecânicas

Conforme afirmamos na aula anterior, as colisões são exemplos de sistema isolado de forças externas, portanto a quantidade de movimento total do sistema permanece constante, isto é, a quantidade de movimento total imediatamente antes da colisão é igual à quantidade de movimento total imediatamente depois da colisão.   Q antes = Q depois

Física

EXEMPLOS 01. Dois objetos A e B de mesma massa movimentam-se no mesmo sentido, na mesma reta, com velocidades constantes, de módulos, vA = 3 m/s e vB = 1 m/s, colidindo elasticamente. Calcule os módulos das velocidades de A e B, após a colisão.

v ,A + vB, = 4 (1)  ,2 ,2 10 (2) v A + vB = De (1) ⇒ vB, =− 4 v ,A Substituindo em (2) ⇒ v ,2A + ( 4 − v ,A ) = 10 2

RESOLUÇÃO Vamos representar os dois objetos antes e depois da colisão.

v ,2A + 16 − 8v ,A + v ,2A = 10 ⇒ 2v ,2A − 8v ,A + 6 = 0 Resolvendo a equação do 2º grau, temos:

⇒

v ,2A − 4v ,A + 3 = 0

∆= b2 − 4ac= 16 − 12= 4 −b ± ∆ 4 ± 2 = ⇒ v ,A= 3 ou v ,A= 1 2a 2 vB, = 4 − 3 = 1 ou vB, = 4 − 1 = 3

= v ,A

Resp: v ,A 1m/s = = e vB, 3 m/s Na colisão elástica entre duas partículas de mesma massa, sempre haverá troca de velocidades. Aplicando o princípio da conservação da quantidade de movimento, temos: Q antes = Q depois

⇒

mA v A + mB vB = mA v ,A + mB vB,

3m + 1m = mv ,A + mvB,

v ,A + vB, = 4 (1)

02. Duas partículas A e B de massas mA = 5 kg e mB = 8 kg, movendo-se sobre a mesma reta, em sentidos opostos, com velocidades vA = 20 m/s e vB = 6 m/s colidem inelasticamente. Calcule a velocidade do conjunto após o choque. RESOLUÇÃO

Aplicando o princípio da conservação da energia mecânica (cinética), temos:

mA v2A mBvB2 mA v ,2A mBvB,2 + = + 2 2 2 2 m.32 m.12 mv ,2A mvB,2 + = + 2 2 2 2 ,2 ,2 9 + 1 = v A + vB

Ecantes = Ecdepois

⇒

v ,2A + 2vB,2 = 10 (2) Vamos resolver o sistema de duas equações e duas incógnitas.

Aplicando o princípio da conservação da quantidade de movimento, temos: mA v A − mB vB =(mA + mB ) v , 5.20 − 8.6 =(5 + 8)v ,

13v’ = 52

⇒

v , = 4 m/s

A18  Colisões mecânicas

Exercícios de Fixação 01. (Uncisal AL) Um veículo de passeio apresenta um defeito ao transitar numa via e o motorista decide pará-lo. Antes que ele pudesse descer do carro e sinalizar o local, uma caminhonete em movimento atinge o automóvel por trás. Quando houve a colisão, os dois veículos ficaram emaranhados (presos entre si). Marcas de pneu na estrada e estilhaços revelam a localização exata da colisão e que os veículos deslizaram 10,0 m antes de chegar ao repouso. Apesar da colisão, nenhum dos motoristas ficou ferido; entretanto, iniciaram uma discussão sobre a responsabilidade do acidente. O perito de trânsito foi chamado ao local para avaliar a situação e preencher um laudo sobre o ocorrido. Nesse instante,

128

o motorista do veículo de passeio alega que a caminhonete estava se movendo acima da velocidade permitida na via (80 km/h), sendo assim, responsável pelo acidente.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Além das observações já citadas, analisando os manuais dos veículos, o perito de trânsito verifica que a caminhonete possui 1 950 kg (já incluindo o motorista), que o veículo de passeio tem massa total de 975 kg (já incluindo o motorista) e estima que o coeficiente de atrito deslizante entre os pneus e a estrada é de 0,2. Assumindo a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s2, diante das informações, é correto afirmar que a colisão foi a) perfeitamente elástica e que a alegação do motorista do veículo de passeio está correta. b) perfeitamente inelástica e que a alegação do motorista do veículo de passeio está correta. c) perfeitamente inelástica e que a alegação do motorista do veículo de passeio está incorreta. d) perfeitamente elástica e que a alegação do motorista do veículo de passeio está incorreta. e) parcialmente inelástica e que a alegação do motorista do veículo de passeio está incorreta. 02. (UFRR) Considere as seguintes afirmações referentes a conservação de energia, conservação de momento linear e colisões. I. Num sistema isolado, a quantidade de movimento é constante. II. Numa colisão elástica, a energia cinética não se conserva e os corpos se separam após a colisão. III. Numa colisão inelástica, os corpos ficam unidos após a colisão e não existe perda de energia cinética. IV. A energia mecânica do corpo é constante, se as únicas forças que realizam trabalho não nulo são conservativas. É correto afirmar que somente: a) II e IV são verdadeiras b) II é verdadeira c) II e III são verdadeiras d) I e II são verdadeiras e) I e IV são verdadeiras 03. (Uerj RJ) Admita uma colisão frontal totalmente inelástica entre um objeto que se move com velocidade inicial v0 e outro objeto inicialmente em repouso, ambos com mesma massa. Nessa situação, a velocidade com a qual os dois objetos se movem após a colisão equivale a: c) 2v 0

A energia cinética se conserva tanto na colisão elástica quanto na colisão inelástica. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa III é verdadeira. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente a afirmativa IV é verdadeira. d) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 05. (Enem MEC) O trilho de ar é um dispositivo utilizado em laboratórios de física para analisar movimentos em que corpos de prova (carrinhos) podem se mover com atrito desprezível. A figura ilustra um trilho horizontal com dois carrinhos (1 e 2) em que se realiza um experimento para obter a massa do carrinho 2. No instante em que o carrinho 1, de massa 150,0 g, passa a se mover com velocidade escalar constante, o carrinho 2 está em repouso. No momento em que o carrinho 1 se choca com o carrinho 2, ambos passam a se movimentar juntos com velocidade escalar constante. Os sensores eletrônicos distribuídos ao longo do trilho determinam as posições e registram os instantes associados à passagem de cada carrinho, gerando os dados do quadro.

Carrinho 1

Carrinho 2

Posição (cm)

Instante (s)

Posição (cm)

Instante (s)

15,0

0,0

45,0

0,0

30,0

1,0

45,0

1,0

75,0

8,0

75,0

8,0

90,0

11,0

90,0

11,0

Com base nos dados experimentais, o valor da massa do carrinho 2 é igual a a) 50,0 g d) 450,0 g b) 250,0 g e) 600,0 g c) 300,0 g 06. (Unievangélica GO) Observe a figura a seguir.

d) 4v 0

04. (Udesc SC) Com relação às colisões elástica e inelástica, analise as proposições. I. Na colisão elástica, o momento linear e a energia cinética não se conservam. II. Na colisão inelástica, o momento linear e a energia cinética não se conservam. III. O momento linear se conserva tanto na colisão elástica quanto na colisão inelástica.

Qual é o módulo da velocidade do conjunto após a colisão, em m/s? a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,6 129

A18  Colisões mecânicas

v0 2 v0 b) 4

IV.

Física

Exercícios Complementares 01. (Udesc SC) Em uma colisão elástica frontal (em uma dimensão) entre duas partículas de massas m1 e m2, a partícula 2 estava em repouso antes da colisão. Analise as proposições em relação à colisão. I. A quantidade de movimento e a energia cinética do sistema se conservam. II. Se as massas são iguais, a magnitude da velocidade adquirida pela partícula 2, após a colisão, é igual à magnitude da velocidade da partícula 1, antes da colisão. III. Se m1 é maior que m2, a magnitude da velocidade adquirida pela partícula 2, após a colisão, será maior que a magnitude da velocidade da partícula 1, antes da colisão.

solo. Considere que as massas da bola e da lata são iguais, despreze forças dissipativas e adote g = 10 m/s2. No momento do impacto, bola e latinha estavam a uma altura de 1,80 m, considere ainda, para facilitar seus cálculos, desprezíveis dimensões da bolinha e da latinha.

IV.

Se m1 é menor que m2, o vetor velocidade da partícula 1, após a colisão, é igual ao vetor velocidade que ela tinha antes da colisão. Assinale a alternativa correta: a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. d) Somente a afirmativa II é verdadeira. e) Somente a afirmativa IV é verdadeira. 02. (UECE) Um projétil disparado horizontalmente de uma arma de fogo atinge um pedaço de madeira e fica encravado nele de modo que após o choque os dois se deslocam com mesma velocidade. Suponha que essa madeira tenha a mesma massa do projétil e esteja inicialmente em repouso sobre uma mesa sem atrito. A soma do momento linear do projétil e da madeira imediatamente antes da colisão é igual à soma imediatamente depois do choque. Qual a velocidade do projétil encravado imediatamente após a colisão em relação à sua velocidade inicial?

A18  Colisões mecânicas

a) O dobro b) A metade c) A mesma d) O triplo 03. (FCM PB) Mariana foi desafiada por suas coleguinhas para tombar a latinha, da figura abaixo que contém a primeira letra do seu primeiro nome e está a uma distância horizontal de 1,20 m dela. Então, ela prepara-se e arremessa uma bolinha de massa de modelar, que atinge a respectiva latinha com uma velocidade horizontal de 10 m/s. Após atingir a latinha, a bola gruda nela e as duas, bola e latinha, seguem juntas até atingir o solo. Determine a distância horizontal entre Mariana e onde o conjunto (bola e latinha) atingiu o

130

a) 4,20 m b) 1,20 m c) 2,00 m d) 3,00 m e) 3,20 m 04. (UFU MG) Uma pessoa arremessa um corpo de material deformável de massa m1, com velocidade v1 em sentido oposto a um outro corpo, também de mesmo material, porém com massa m2, que possuía velocidade v2 diferente de zero. Considere que m2 = m1/4. Os dois corpos se chocam frontalmente em uma colisão perfeitamente inelástica, parando imediatamente após o choque. Na situação descrita, a relação entre os módulos das velocidades iniciais dos dois corpos, antes do choque, é: a) v1 = 4.v2 b) v1 = v2/4 c) v1 = 5 – v2 d) v1 = v2 05. (Cefet MG) Um projétil de massa m = 10,0 g viaja a uma velocidade de 1,00 km / s e atinge um bloco de madeira de massa M = 2,00 kg, em repouso, sobre uma superfície sem atrito, conforme mostra a figura.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

sistivas, o valor aproximado da distância d percorrida pelo bloco sobre a rampa, em metros, é a) 1,25 b) 1,50 c) 2,00 d) 2,50 e) 3,00 06. (UESB) Duas massas idênticas são liberadas do repouso em um recipiente hemisférico liso de raio r, a partir das posições indicadas na figura.

Desprezando-se o atrito entre as massas e a superfície do recipiente e considerando-se que eles ficam unidos, ao colidirem, é correto afirmar que eles atingirão, após a colisão, uma altura acima da parte inferior do recipiente, em r, igual a 01. 0,25 02. 0,30 03. 0,35 04. 0,40 05. 0,45 07. (Uefs BA) Uma esfera, A, com massa de 50,0 g e velocidade de 8,0 m/s choca-se frontalmente com outra esfera, B, que se encontra em repouso sobre uma superfície plana e horizontal de atrito desprezível. Sabendo-se que a massa da esfera B é de 200,0 g e que o choque é perfeitamente elástico, os módulos das velocidades das esferas A e B, após o choque, em m/s, são iguais, respectivamente, a a) 4,8 e 3,2 b) 5,0 e 3,0 c) 5,5 e 2,5 d) 5,7 e 2,3 e) 6,0 e 2,0 08. (Fuvest SP) Um caminhão, parado em um semáforo, teve sua traseira atingida por um carro. Logo após o choque, ambos foram lançados juntos para frente (colisão inelástica), com uma

09. (Uem PR) Com relação aos conceitos de impulso e colisões, assinale o que for correto. Gab: 23 01. O impulso da força resultante exercida sobre um corpo durante um dado intervalo de tempo é igual à variação do momento linear (quantidade de movimento) do corpo neste mesmo intervalo de tempo. 02. Se o somatório das forças externas que atuam sobre um sistema for nulo, o momento linear (quantidade de movimento) total do sistema permanece constante. 04. Em uma colisão perfeitamente elástica, a energia cinética total e o momento linear (quantidade de movimento) total se mantêm constantes. 08. O momento linear (quantidade de movimento) e o impulso de uma força são grandezas escalares e têm unidades diferentes. 16. Em uma colisão perfeitamente inelástica, a energia cinética total não é conservada e os corpos se movimentam conjuntamente após a colisão. 10. (UPE) Na figura a seguir, observa-se que o bloco A de massa mA = 2,0 kg, com velocidade de 5,0 m/s, colide com um segundo bloco B de massa mB = 8,0 kg, inicialmente em repouso. Após a colisão, os blocos A e B ficam grudados e sobem juntos, numa rampa até uma altura h em relação ao solo. Despreze os atritos.

Analise as proposições a seguir e conclua. Gab: V-V-F-F-V 00. A velocidade dos blocos, imediatamente após a colisão, é igual a 1,0 m/s. 01. A colisão entre os blocos A e B é perfeitamente inelástica. 02. A energia mecânica do sistema formado pelos blocos A e B é conservada durante a colisão. 03. A quantidade de movimento do bloco A é conservada durante a colisão. 04. A altura h em relação ao solo é igual a 5 cm. 131

A18  Colisões mecânicas

Considerando-se que a colisão entre o projétil e o bloco seja perfeitamente inelástica e desprezando-se todas as forças re-

velocidade estimada em 5 m/s (18 km/h), na mesma direção em que o carro vinha. Sabendo–se que a massa do caminhão era cerca de três vezes a massa do carro, foi possível concluir que o carro, no momento da colisão, trafegava a uma velocidade aproximada de a) 72 km/h b) 60 km/h c) 54 km/h d) 36 km/h e) 18 km/h

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO A19

ASSUNTOS ABORDADOS nn Coeficiente de restituição nn Definição do coeficiente de restituição (e): nn Interpretando os valores do coeficiente de restituição

COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO Duas fases podem ser distinguidas em uma colisão mecânica: a de deformação e a de restituição. A primeira tem início no instante em que os corpos entram em contato, passando a se deformar mutuamente, e termina quando um corpo para em relação ao outro. Nesse instante, começa a segunda fase, que tem seu fim no momento em que os corpos se separam. A fase que antecede uma colisão é denominada aproximação e a fase que sucede uma colisão é denominada afastamento. Uma forma básica para se classificar uma colisão é levar em consideração a velocidade relativa de aproximação, antes da colisão, e a velocidade relativa de afastamento, depois da colisão. O coeficiente de restituição é uma grandeza adimensional que caracteriza os diferentes tipos de colisões existentes entre dois corpos. Ele é determinado pela relação entre as velocidades relativas dos corpos envolvidos imediatamente antes e após a colisão. Por meio do coeficiente de restituição, podemos entender se houve conservação total ou parcial da energia cinética e até se ela foi totalmente dissipada.

Definição do coeficiente de restituição (e): O coeficiente de restituição é definido como a razão entre a velocidade relativa de afastamento, imediatamente após a colisão, e a velocidade relativa de aproximação, imediatamente antes da colisão. e=

velocidade relativa de afastamento velocidade relativa de aproximação

A velocidade relativa de aproximação é calculada antes do choque, da seguinte maneira: nn Corpos

VA − VB se movendo no mesmo sentido: Vrel= ap

nn Corpos

VA + VB se movendo em sentidos opostos: Vrel= ap

A velocidade relativa de afastamento é calculada depois do choque, da seguinte maneira: nn Corpos

se movendo no mesmo sentido: Vrel' = VB' − VA' af

nn Corpos

se movendo em sentidos opostos: Vrel' = VB' + VA' af

nn Corpos

se movendo grudados um no outro: Vrel' af = 0

Veja os exemplos sobre aproximação e afastamento.

132

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Interpretando os valores do coeficiente de restituição nn Colisão

perfeitamente elástica:

A colisão perfeitamente elástica é caracterizada pela conservação total da energia cinética. Sendo assim, a velocidade relativa de aproximação e de afastamento dos móveis envolvidos na colisão será igual e, portanto, para esse tipo de colisão, o coeficiente de restituição assumirá valor igual a 1. e =1 nn Colisão

inelástica:

A colisão inelástica é caracterizada pelo fato de que, após a sua ocorrência, os corpos envolvidos permanecem juntos. Sendo assim, não existirá velocidade relativa de afastamento e, portanto, o coeficiente de restituição será nulo. Nesse tipo de colisão, há perda máxima de energia. e=0 nn Colisão

parcialmente elástica:

A colisão parcialmente elástica é caracterizada pela perda parcial de energia cinética, dissipada principalmente pelo som e calor gerados no momento da colisão. Nesse caso, a velocidade relativa de aproximação será maior que a velocidade relativa de afastamento e, portanto, o valor do coeficiente de restituição estará entre 0 e 1.

0 < e<1 A tabela abaixo ajuda na compreensão da relação entre coeficiente de restituição e colisões:

Tipo de colisão

Energia Cinética

Quantidade de Movimento

Coeficiente de restituição (e)

Elástica

Completamente conservada

Conservada

Parcialmente elástica

Parcialmente conservada

Conservada

0<e<1

Inelástica

Dissipação máxima

Conservada

nn O coeficiente de restituição (e) não depende da massa,

mas dos materiais dos corpos que participam da colisão. nn O

coeficiente de restituição não possui unidade de medida.

nn Os

critérios apresentados para o cálculo da velocidade relativa são aplicáveis somente aos casos em que as partículas têm velocidades muito menores que a velocidade da luz no vácuo.

nn Em

qualquer tipo de colisão, a quantidade de movimento total do sistema permanece constante.

EXEMPLOS Utilizando a definição de coeficiente de restituição, temos: = e

vB, − v ,A = 0,8 3+2 , , vB − v A = 0,8.5

Sabendo que a massa de B é o dobro da massa de A e que o coeficiente de restituição vale 0,8, calcule as velocidades das partículas A e B imediatamente depois da colisão. RESOLUÇÃO Vamos adotar o sentido positivo como sendo o sentido do movimento da partícula A. Aplicando o princípio da conservação da quantidade de movimento, temos:   Q antes = Q depois

Vrelafast = 0,8 Vrelaprox

vB, − v ,A = 4 (II) Somando (I) + (II), temos:

= 3vB, 3

⇒

vB, = 1 m/s

⇒

v ,A = −3 m/s

A19  Coeficiente de restituição

A figura representa a situação imediatamente antes da colisão unidimensional entre duas partículas A e B.

Substituindo em (II), temos: , 1 − v= 4 A

mA v A − mB vB = mA v ,A + mB vB,

Conclusão:

m.3 − 2m.2 =mv ,A + 2mvB,

As duas partículas inverteram o sentido de seu movimento.

v ,A + 2vB, = −1 (I)

133

Física

Exercícios de Fixação 01. (UEFS BA)

Os princípios de conservação na Física, tais

Considere g = 10 m/s2.

como a conservação da energia, da quantidade de movimento, da carga elétrica, entre outras, desempenham papéis fundamentais no entendimento de diversos fenômenos. Considere o estudo de uma colisão frontal entre duas partículas A e B que constituem um sistema isolado e se encontram sobre uma superfície lisa e horizontal. A partícula A, de massa 1,5 M, desloca-se para a direita com uma velocidade de 2,0 m/s, enquanto a partícula B, de massa M, se encontra em repouso. Se, após a colisão, a partícula A continua no mesmo sentido com velocidade de 1,0 m/s, o coeficiente de restituição dessa colisão é igual a

02. a altura máxima que os corpos atingem é de 7 m.

c) 0,31

03. a energia potencial que os blocos atingem ao parar é

d) 0,34

de 100 J.

e) 0,37

04. a quantidade de movimento após o choque foi reduzida

02. (UPE) O esquema a seguir mostra o movimento de dois corpos antes e depois do choque. Considere que o coeficiente de restituição é igual a 0,6.

Gab: V-V-F-F-F

00. A velocidade do corpo B após o choque é 18 m/s. 01. A massa do corpo A vale 2 kg. 02. O choque é perfeitamente elástico, pois os dois corpos têm massas iguais a 2 kg. 03. A quantidade de movimento depois do choque é menor do que antes do choque. 04. A energia dissipada, igual à diferença da energia cinéA19  Coeficiente de restituição

rência) e antes de se chocar com o corpo B, vale 20 m/s. corpos é de 100 J.

b) 0,28

tica antes do choque e da energia cinética depois do choque, é de 64 J. 03. (UPE) Na figura a seguir, o corpo A de massa igual a 1 kg é solto de uma altura igual a 20 m. Após descer, choca-se com o corpo B de massa 1 kg, inicialmente em repouso. Esse choque é inelástico, e o conjunto desloca-se até a altura h. Quaisquer forças dissipativas são desprezadas.

134

Gab: V-V-F-V-F

00. a velocidade do corpo A, ao chegar ao NR (nível de refe01. imediatamente após o choque, a energia cinética dos

a) 0,25

Analise as proposições a seguir e conclua.

Pode-se afirmar que

à metade daquela antes do choque. 04. (UFRR) Numa colisão perfeitamente elástica entre dois corpos rígidos, pode-se afirmar que: a) os dois corpos ficam em repouso após a colisão. b) a quantidade de movimento do sistema constituído pelos dois corpos aumenta após a colisão, pois calor é absorvido pelo sistema. c) a quantidade de movimento do sistema constituído pelos dois corpos é a mesma antes e após a colisão. d) a quantidade de movimento do sistema constituído pelos dois corpos diminui após a colisão, pois calor é liberado pelo sistema. e) a velocidade relativa de aproximação antes da colisão é maior que a velocidade relativa de afastamento após a colisão. 05. (UFSC) Uma esfera maciça, cuja massa é 2,0 kg, desloca-se, com velocidade de 10 m/s, no interior de uma canaleta que permite apenas o movimento unidimensional. Ela colide, então, com uma outra esfera que se desloca em sentido contrário, com o dobro da sua velocidade e cuja massa é 1,0 kg. Sabendo que o choque entre as esferas é parcialmente elástico e que o coeficiente de restituição é 0,5, determine o módulo da velocidade, em m/s, da esfera de menor massa, imediatamente após a colisão.

Gab: 10

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Unirv GO) Uma bola de aço de 1 kg de massa é presa a uma

E todas as alianças se desfizeram de súbito.

corda de 5 m de comprimento e fixa na outra ponta, e é

E todas as maldições ressoaram tremendas.

liberada quando a corda está na posição horizontal, confor-

E as espadas de fogo interceptaram o caminho da

me mostra a figura. No ponto mais baixo de sua trajetória,

[árvore da vida.

a bola atinge um bloco de aço de 4 kg inicialmente em re-

E as mãos abarcaram o pescoço do homem:

pouso sobre uma superfície sem atrito. A colisão é elástica.

nós te abarcaremos.

Considere g = 10 m/s2 e atritos desprezíveis.

[...] (LIMA, Jorge de. Melhores poemas. São Paulo: Global, 2006. p. 94.)

O texto faz menção figurada a um escudo. Como exemplo concreto de escudo, podemos citar o escudo tático militar, que é capaz defletir determinados projéteis. Suponha que um soldado use um desses escudos para se proteger de uma rajada de projéteis disparados por um fuzil com taxa de disparo de 600 balas por minuto. Considerando-se que o coeficiente de restituição (razão entre as velocidades relativas A respeito da situação descrita, assinale V (verdadeiro) ou F

de afastamento e aproximação) seja igual a 0,9 e que cada

(falso) para as alternativas.

bala com massa de 10 gramas atinja o escudo frontalmente

Gab: V-V-V-F

a) Para a situação, podemos considerar que a energia mecânica e o momento se conservam. b) A velocidade da bola, imediatamente antes de colidir com M, é de 10 m/s. c) Após a colisão, a bola se desloca no sentido horário com velocidade igual a 6 m/s. d) Após a colisão, a bola se desloca no sentido horário com velocidade igual a 10 m/s. 02. (Puc GO) As vozes do homem

a uma velocidade de 900 m/s, invertendo o sentido de seu movimento após a colisão, desprezando-se a resistência do ar, a força média exercida pelos projéteis sobre o escudo mantido estático será de (assinale a alternativa que apresenta a resposta correta): a) 100 N b) 171 N c) 342 N d) 540 N 03. (Fuvest SP) Dois discos, A e B, de mesma massa M, deslo-

Naquele momento de angústia,

cam-se com velocidades VA = V0 e VB = 2V0, como na figu-

o homem não sabia se era o mau ou o bom ladrão.

ra, vindo a chocar-se um contra o outro. Após o choque,

E quando a mais amarga das estrelas o oprimia demais,

que não é elástico, o disco B permanece parado. Sendo E1 a

eis que a sua boca ia dizendo:

energia cinética total inicial (E1 = 5 x (1/2 MV02)), a energia

eu sou anjo.

cinética total E2, após o choque, é:

E os pés do homem: nós somos asas. E as mãos: nós somos asas. E a testa do homem: eu sou a lei. A19  Coeficiente de restituição

E os braços: nós somos cetros. E o peito: eu sou o escudo. E as pernas: nós somos as colunas. E a palavra do homem: eu sou o Verbo.

a) E2 = E1

E o espírito do homem: eu sou o Verbo.

b) E2 = 0,8 E1

E o cérebro: eu sou o guia.

c) E2 = 0,4 E1

E o estômago: eu sou o alimento.

d) E2 = 0,2 E1

E se repetiram depois as acusações milenárias.

e) E2 = 0

135

Física

04. (Uem PR) Dois corpos, A e B, estão se deslocando sobre uma superfície horizontal sem atrito na mesma direção e sentido. Os corpos A e B têm massas mA e mB e os módulos das suas velocidades são respectivamente vAi e vBi. Considerando que o corpo B encontra-se inicialmente à frente do corpo A, assinale o que for correto.

Gab: 07

01. Se vAi>vBi e mA = 2mB, a velocidade do corpo A, após uma colisão perfeitamente inelástica com o corpo B, é igual a (2v Ai + VBi ) . 3 02. Se os dois corpos estiverem inicialmente a uma distância d um do outro, o intervalo de tempo até a colisão é de  d    , se VAi>VBi.  VAi − VBi  04. Se vAi = 2vBi e mA = mB, o módulo da velocidade vAf após uma colisão elástica é 3vBi – vBf, em que vBf é a velocidade do corpo B após a colisão. 08. Se inicialmente vBi for nula e a quantidade de movimento do corpo A for igual a 2mBvAi, após uma colisão perfeitamente inelástica a velocidade final do conjunto é de 5   VAi . 4 16. Em qualquer tipo de colisão a quantidade de movimento e a energia cinética sempre são conservadas. 05. (Fuvest SP) Uma pequena bola de borracha maciça é solta do repouso de uma altura de 1 m em relação a um piso liso e sólido. A colisão da bola com o piso tem coeficiente de restituição ε = 0,8. A altura máxima atingida pela bola, depois da sua terceira colisão com o piso, é NOTE E ADOTE ε = V2f/V2i, em que Vf e Vi são, respectivamente, os módulos das velocidades da bola logo após e imediatamente antes da colisão com o piso. Aceleração da gravidade g = 10 m/s2. a) 0,80 m b) 0,76 m c) 0,64 m d) 0,51 m e) 0,20 m 06. (UEG) A figura abaixo representa a situação de duas esferas A e A19  Coeficiente de restituição

B, ambas sobre um plano horizontal sem atrito, instantes antes de uma colisão frontal. A esfera A tem massa mA = 4,0 kg e velocidade VoA = 6,0 m/s; a esfera B tem massa mB = 2,0 kg e velocidade VoB = 2,0 m/s.

136

Com base na figura e nos dados acima, marque a alternativa CORRETA: a) A velocidade das esferas após o choque será, aproximadamente, VA = 6,7 m/s e VB = 5,1 m/s, se a colisão for parcialmente elástica, com coeficiente de restituição ε = 0,40. b) A velocidade das esferas após o choque será, aproximadamente, VA = 5,1 m/s e VB = 6,7 m/s, se a colisão for elástica, com coeficiente de restituição ε = 1,00. c) A velocidade das esferas após o choque será, aproximadamente, VA = 5,1 m/s e VB = 6,7 m/s, se a colisão for parcialmente elástica, com coeficiente de restituição ε = 0,40. d) A velocidade das esferas após o choque será, aproximadamente, VA = 2,3 m/s e VB = 5,5 m/s, se a colisão for parcialmente elástica, com coeficiente de restituição ε = 0,40, e a velocidade inicial de B tiver sentido contrário ao da figura. e) A velocidade das esferas após o choque será, aproximadamente, VA = 2,3 m/s e VB = 5,5 m/s, se a colisão for parcialmente elástica, com coeficiente de restituição ε = 0,40. 07. (UEPG PR) Considere duas esferas pequenas, uma feita de borracha, possuindo uma massa de 100 g, e outra feita de massa de modelar possuindo uma massa de 200 g. As duas são largadas, simultaneamente a partir do repouso, de uma altura de 5 m. Considere que a colisão da esfera de borracha com o solo é perfeitamente elástica e a da esfera feita de massa de modelar é perfeitamente inelástica. Desconsiderando a resistência do ar, assinale o que for correto. Gab: 21 Dados: aceleração da gravidade g = 10 m/s2 01. Os impulsos devidos aos choques de cada uma das esferas com o solo são iguais. 02. Podemos afirmar que a conservação da quantidade de movimento sempre terá como consequência a conservação da energia cinética. 04. O coeficiente de restituição para a colisão da esfera feita de massa de modelar é igual a zero. 08. As duas esferas irão atingir o solo ao mesmo tempo e terão neste instante valores idênticos de energias cinéticas. 16. Podemos afirmar que no caso da colisão da esfera feita de borracha com o solo, a energia cinética da esfera é conservada. 08. (UEPG PR) Dois móveis deslocam-se linearmente no mesmo sentido e, em determinado instante, ocorre colisão entre eles. Nessas condições, assinale o que for correto. Gab: 02-04-16 01. Após a colisão, os móveis necessariamente se movimentam unidos. 02. Se a colisão entre eles for perfeitamente elástica, o coeficiente de restituição é igual a 1. 04. Se a colisão entre eles for perfeitamente elástica, conservam-se a energia cinética e a quantidade de movimento. 08. Se a colisão entre eles for perfeitamente elástica, conserva-se apenas a quantidade de movimento. 16. Se a colisão entre eles for totalmente inelástica (rígida), conserva-se apenas a quantidade de movimento.

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO A20

COLISÕES OBLÍQUAS Quando, antes ou depois do choque, os corpos se movimentam em direções diferentes, dizemos que o choque é oblíquo.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Colisões oblíquas nn Análise de uma colisão oblíqua nn Choque oblíquo e elástico entre partículas de massas iguais, estando uma delas inicialmente em repouso nn Choque oblíquo contra obstáculo fixo

A maior parte das informações que temos a respeito das interações entre núcleos e partículas elementares vem de experiências de colisões, daí a grande importância dada a esse assunto. Em Física Nuclear, é costume chamar de espalhamento a colisão em que as partículas após o choque são as mesmas de antes do choque. Pode acontecer também uma mudança na “natureza” dos corpos, isto é, os corpos após a colisão não são idênticos aos corpos de antes da colisão.

Análise de uma colisão oblíqua Nos nossos estudos relacionados a colisões, vimos que durante uma colisão de dois corpos, as forças externas, se existirem, são desprezíveis se comparadas com as internas. Portanto, o sistema pode ser sempre considerado mecanicamente isolado. Vejamos a figura abaixo, na qual temos uma colisão oblíqua. Nela percebemos que, após se chocarem, as massas tomam direções diferentes da direção inicial. Nessa situação, em que a colisão é do tipo oblíqua, deve-se fazer a decomposição das velocidades em somente duas direções. Em seguida, basta aplicar, para cada uma das direções, o princípio da conservação da quantidade de movimento. Como exemplo, consideremos duas bolas de mesma massa m1 e m2 e velocidades v1 e v2, respectivamente, que se colidem. Na figura abaixo, temos a representação das bolas antes e depois da colisão.

Fazendo a decomposição das velocidades das duas massas na direção horizontal e vertical, para cada uma das direções, a conservação da quantidade de movimento, tem-se: Direção horizontal: m1 .v1 .cosA − m2 .v2 .cosB = m2 .v2, .cosD − m1 .v1, .cosC Direção vertical: m1 .v1 .senA − m2 .v2 .senB = m1 .v1, .senC − m2 .v2, .senD 137

Física

Choque oblíquo e elástico entre partículas de massas iguais, estando uma delas inicialmente em repouso Um caso de muito interesse em experiências de Física Nuclear é aquele em que as partículas têm a mesma massa. O choque é elástico e uma das partículas está em repouso. É possível provar, utilizando as equações anteriores e conhecimentos de Geometria, que as partículas se movem em direções perpendiculares após a colisão.

Choque oblíquo contra obstáculo fixo  Consideremos uma partícula arremessada com velocidade v contra um obstáculo fixo e liso, obliquamente a ele, como mostra a figura a seguir. Supondo que o choque  não seja inelástico, a partícula será rebatida com velocidade v , .

Utilizando a definição de coeficiente de restituição e alguns conhecimentos de Trigonometria do triângulo retângulo, podemos provar que: e=

tgα tgβ

o choque for elástico, teremos e = 1 e α = β. nn Se α = 0°, teremos β = 0. Nesse caso o coeficiente de restituição é calculado da seguinte maneira: nn Se

v, v

em que v’ é a velocidade depois do choque e v é a velocidade antes do choque. nn Se o obstáculo for uma superfície horizontal, desprezando a resistência do ar, teremos: = v

= 2gH e v,

2gh

A20  Colisões oblíquas

em que H é a altura da partícula, em relação ao plano horizontal, e h é a altura máxima atingida pela partícula depois do choque. nn Se o choque for inelástico, h = 0 e e = 0. nn Se o choque for elástico, h = H e e = 1. nn Se o choque for parcialmente elástico, 0 < h < H e 0 < e < 1.

138

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Uma partícula incide sobre uma superfície fixa, plana e sem atrito, com ângulo de incidência θ = 45° e velocidade de módulo igual a 10 2 m/s . Sabendo que o coeficiente de restituição é 0,80, determine:

tg = β 1,25 =

a) o ângulo de reflexão; b) o módulo da velocidade da partícula logo após o choque. RESOLUÇÃO

x 2 =+ 52 42

Façamos uma figura para ilustrar a situação descrita no texto.

⇒

= senβ = v,

5 ⇒ 4

x2 = 41

5 41

10. 41 5

⇒ ⇒

⇒

x =41

5 = v,. 10 41 v , = 2 41 m/s

02. Um bloco de massa m e velocidade v1 = 2 m/s colide elasticamente com outro bloco idêntico, que se encontra parado. Após a colisão, o segundo bloco desloca-se com velocidade v'2 = 1,74 m/s em uma direção que forma um ângulo θ = 30° com a direção do movimento inicial do primeiro bloco. Determine, imediatamente após a colisão: a) De acordo com a equação vista anteriormente, temos: e=

tg45° tgβ

⇒

0,8 =

1 tgβ

⇒

2 10 2 ⋅= v , .senβ 2

⇒

RESOLUÇÃO

tgβ =1,25

b) Na direção horizontal, a velocidade permanece constante, porque não existe nenhuma força atuando nessa direção. Então, decompondo as velocidades inicial e final, teremos: v.sen45 = ° v , .senβ

a) o desvio angular sofrido pela trajetória do primeiro bloco; b) a velocidade do primeiro bloco.

⇒

v , .senβ =10 Para determinar o valor do senβ, vamos usar o triângulo retângulo, cujos catetos são calculados a partir da tangente do ângulo.

a) Como o choque é elástico e oblíquo, os blocos se moverão fazendo um ângulo de 90°. Logo, 90 = 30 + β ⇒ β = 60°. b) Aplicando o princípio da conservação da quantidade de movimento, temos:

= m1 .v1 m1 .v1, .cos60° + m2 .v2 .cos30° 1 3 2= v1, . + 1,74. 2 2 2 =0,5v1, + 1,74.0,87 ⇒ 2 =0,5v1, + 1,5

m1 = m2

= v1,

⇒

0,5 0,5

⇒

v1, = 1 m/s

Exercícios de Fixação 01. (Unisal AL) Um corpo é largado de uma altura de 20 m; sabendo que o coeficiente de restituição entre o corpo e o

seguem em direções diferentes, as quais formam um ângulo θ. O valor de θ:

solo é 0,50, a nova altura atingida pelo corpo é de: a) 4,5 m b) 5,0 m c) 4,0 m e) 15 m 02. (Fund. Carlos Chagas) Uma bola de bilhar A choca-se com uma bola idêntica B, que estava inicialmente em repouso. Suponha que o choque é elástico e que não há atritos ou outras forças dissipativas a considerar. Após o choque as bolas

a) é igual a 90°. b) é superior a 90°. c) é não-nulo, maior que 0° e menor que 90°. d) não pode ser calculado, apenas com os dados fornecidos. e) é igual a 45°.

139

A20  Colisões oblíquas

d) 10 m

Física

03. (Uni Cesumar SP) Uma esfera de massa M é abandonada de uma altura H e sofre uma colisão parcialmente elástica com o solo, retornando pela mesma trajetória vertical, em relação ao solo e em sentido contrário, alcançando uma nova altura h. Considerando o coeficiente de restituição igual a 0,7 determine, em porcentagem, a razão h/H. a) 21% b) 28% c) 49% d) 7% e) 14% 04. (IF GO) Considere duas partículas de massas ma, mb, com a mesma velocidade, movendo-se conforme demonstrado na figura 3.

a) θ = 0° . b) θ = 45° . c) θ = 60° . d) θ = 90°. e) θ = 180° . 06. (Ufla MG) Um garoto abandona uma bola de borracha de 1,0 kg de uma altura de 3,0 m. Em cada colisão com o solo, ela perde 60% da energia mecânica. A altura que a bola atinge após sua segunda colisão com o solo é, em metros: (Considere g = 10 m/s2 e despreze o atrito com o ar) a) 5,0 m b) 2,0 m c) 1,0 m d) 0,48 m e) 4,8 m 07. (Uema MA) A figura ilustra uma bola “A”, com velocidade “V”, a ponto de colidir com outra bola “B”, que, por sua vez, colidirá com uma terceira bola “C”. Considerando as bolas de mesma massa e as colisões frontais e elásticas, as velocidade VA, VB e VC de A, B e C, imediatamente após as colisões, serão:

A20  Colisões oblíquas

As partículas estão em uma posição especular (em relação ao eixo x) e a posição da colisão é exatamente na origem do sistema, coordenada (0,0). Segundo a teoria das colisões, indique a alternativa correta. a) Se a massa da partícula A for igual ao dobro da massa da partícula B, ambas se moverão sobre o eixo x após o choque. b) No esquema da Figura 3, não existe nenhuma probabilidade do choque ocorrer na origem. c) Se o choque for inelástico, o momento linear não se conserva. d) Se o choque for perfeitamente inelástico, tanto o momento linear quanto a energia cinética se conservam. e) Se o choque for perfeitamente inelástico, o momento linear será conservado ao contrário da energia cinética do sistema de partículas. 05. (Unioeste PR) A descrição de colisões perfeitamente elásticas é um exemplo tradicional da aplicação dos princípios físicos da conservação do momento linear e da energia (cinética) totais. Suponha que duas esferas idênticas, com massa M e raio R, sofrem uma colisão perfeitamente elástica e não central: ou seja, suas velocidades iniciais de incidência não são paralelas à reta que liga seus respectivos centros. Admita que inicialmente uma  das esferas tenha velocidade ( V ) não nula, enquanto a outra está em repouso. Sabe-se que imediatamente após a colisão as   esferas assumem respectivamente as velocidades (U) e ( W ) formando um ângulo relativo θ. Neste caso, é correto afirmar que 140

a) VA = VB = VC = V b) VA = 0 e VB = VC = V/2 c) VA = VB = VC = 0 d) VA = VB = 0 e VC = V e) VA = VB = VC = V/3 08. (Fuvest SP) Dois caixotes de mesma altura e mesma massa, A e B, podem movimentar-se sobre uma superfície plana, sem atrito. Estando inicialmente A parado, próximo a uma parede, o caixote B aproxima-se perpendicularmente à parede, com velocidade VO, provocando uma sucessão de colisões elásticas no plano da figura. Após todas as colisões, é possível afirmar que os módulos das velocidades dos dois blocos serão aproximadamente

a) VA = VO e VB = 0 b) VA = VO/2 e VB = 2VO c) VA = 0 e VB = 2VO d) VA = VO/ 2 e VB = VO/ 2 e) VA = 0 e VB = 0

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Acafe SC) Aprendendo a jogar sinuca! Em um jogo de sinuca, a bola A deve colidir com a B, sem tocar na C. Supondo-se que a bola realiza trajetórias retilíneas antes e após o choque com a lateral da mesa, a alternativa VERDADEIRA, com a figura da trajetória da bola A, é:

representar a direção e sentido da quantidade de movimento do fóton, após a colisão, é

02. (Espcex SP) Dois caminhões de massa m1=2,0 ton e m2= 4,0 ton, com velocidades v1=30 m/s e v2=20 m/s, respectivamente, e trajetórias perpendiculares entre si, colidem em um cruzamento no ponto G e passam a se movimentar unidos até o ponto H, conforme a figura abaixo. Considerando o choque perfeitamente inelástico, o módulo da velocidade dos veículos imediatamente após a colisão é:

Note e adote: O princípio da conservação da quantidade de movimento é válido também para a interação entre fótons e elétrons.

03. (Fuvest SP) Um fóton, com quantidade de movimento na direção e sentido do eixo x, colide com um elétron em repouso. Depois da colisão, o elétron passa a se mover com  quantidade de movimento pe , no plano xy, como ilustra a  figura abaixo. Dos vetores pf abaixo, o único que poderia

05. (Puc SP) Nas grandes cidades é muito comum a colisão entre veículos nos cruzamentos de ruas e avenidas. Considere uma colisão inelástica entre dois veículos, ocorrida num cruzamento de duas avenidas largas e perpendiculares. Calcule a velocidade dos veículos, em m/s, após a colisão. Considere os seguintes dados dos veículos antes da colisão: Veículo 1: m1 = 800 kg; v1 = 90 km/h Veículo 2: m2 = 450 kg v2 = 120 km/h

141

A20  Colisões oblíquas

a) 30 km/h b) 40 km/h c) 60 km/h d) 70 km/h e) 75 km/h

04. (Puc RJ) Uma colisão parcialmente inelástica ocorre entre duas massas idênticas. As velocidades iniciais eram v1i = 5,0 m/s ao longo do eixo x e v2i = 0. Sabendo que, após a colisão, temos v1f = 1,0 m/s ao longo de x, calcule v2f após a colisão. a) 5,0 m/s b) 4,0 m/s c) 3,0 m/s d) 2,0 m/s e) 1,0 m/s

Física

Após a colisão, o disco afasta–se da parede com velocidade u, na direção definida pelo ângulo α, como indicado na figura a seguir. Considerando a colisão perfeitamente elástica e que a força exercida pela parede sobre o disco, durante a colisão, é constante, pode–se afirmar corretamente que:

a) 30 b) 20 c) 28 d) 25 e) 15 06. (Uerj RJ) Duas esferas, A e B, deslocam-se sobre uma mesa conforme mostra a figura a seguir.

Gab: 02-08-16

01. | v | > | u |. 02. θ = α. 04. o momento linear do disco é o mesmo, antes e depois da colisão (pi = pf ). 08. o módulo da variação do momento linear é |∆p| = 2 m v cosθ. 16. a intensidade da força da parede sobre o disco, durante a colisão, é de (2 m v cosθ) / ∆t , na qual ∆t é o tempo em que ocorre a colisão. 32. a intensidade da força da parede sobre o disco, durante a colisão, é maior que a intensidade da força do disco sobre

A20  Colisões oblíquas

Quando as esferas A e B atingem velocidades de 8 m/s e 1 m/s, respectivamente, ocorre uma colisão perfeitamente inelástica entre ambas. O gráfico abaixo relaciona o momento linear Q, em kg × m/s, e a velocidade v, em m/s, de cada esfera antes da colisão.

Após a colisão, as esferas adquirem a velocidade, em m/s, equivalente a: a) 8,8 b) 6,2 c) 3,0 d) 2,1 07. (Uem PR) Um disco de massa m escorrega sobre uma mesa horizontal, sem atrito, com velocidade v, chocando–se com uma parede, segundo um ângulo θ com a normal à parede. 142

a parede. 08. (Ufu MG) Uma bolinha de massa m = 0,10 kg é abandonada em queda livre, do repouso, de uma altura H = 1 m em relação ao solo. Ao bater no solo, a bolinha perde 0,8 J de sua energia total, subindo de volta até uma altura h, conforme a figura abaixo.

Sabendo-se que o valor da aceleração da gravidade local é de 10 m/s2 e que a única perda de energia da bolinha ocorre no momento do seu choque com o solo, podemos dizer que, após o choque, ela subirá até uma altura de: a) h = 0,1 m b) h = 0,2 m c) h = 0,8 m d) h = 1,0 m

FRENTE

FÍSICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (UFU MG) Um vagão plataforma de massa M, transportando um homem de massa m sentado sobre ele, desloca-se sobre trilhos retilíneos longos e sem atrito, com velocidade constante v0. O homem começa a se deslocar em sentido oposto ao movimento e, na extremidade do vagão, esse homem salta horizontalmente com velocidade u (em relação a v0, velocidade inicial do vagão).

NOTE E ADOTE V e v são velocidades em relação ao solo. Considere positivas as velocidades para a direita. Desconsidere efeitos dissipativos. a) 0 ; v – V b) –v ; v + V/2 c) –m v / M ; M V / m

v0 (em relação ao chão)

d) –m v / M ; (m v – M V) / (M + m) e) (M V/2 – m v) / M ; (m v – MV/2) / (M + m) 03. (Unicamp SP) Suponha que o esquilo do filme “A Era do Gelo” tenha desenvolvido uma técnica para recolher nozes durante o percurso para sua toca. Ele desliza por uma rampa até atingir uma superfície plana com velocidade de 10 m/s. Uma vez nessa

v0 (em relação ao chão)

u (em relação à v0, velocidade inicial do vagão)

A velocidade do vagão, em relação aos trilhos, após o homem saltar é M a) u +   v o m m b) v o −   u M

superfície, o esquilo passa a apanhar nozes em seu percurso. Todo o movimento se dá sobre o gelo, de forma que o atrito pode ser desprezado. A massa do esquilo é de 600 g e a massa de uma noz é de 40 g.

a) 7,5 m/s; b) ∆E = Efin - Ein = -7,5 J

a) Qual é a velocidade do esquilo após colher 5 nozes? b) Calcule a variação da energia cinética do conjunto formado pelo esquilo e pelas nozes entre o início e o final da coleta das 5 nozes. 04. (Unesp SP) Duas esferas, A e B, de mesma massa e de dimen-

M c) −u +   v o m

sões desprezíveis, estão inicialmente em repouso nas posições

m d) v o +   u M

fera A, presa por um fio ideal a um ponto fixo O, desce em mo-

indicadas na figura. Após ser abandonada de uma altura h, a esvimento circular acelerado e colide frontalmente com a esfera

02. (Fuvest SP) Maria e Luísa, ambas de massa M, patinam no gelo. Luísa vai ao encontro de Maria com velocidade de módulo V. Maria, parada na pista, segura uma bola de massa m e, em um certo instante, joga a bola para Luísa. A bola tem velocidade de  módulo v, na mesma direção de V . Depois que Luísa agarra a bola, as velocidades de Maria e Luísa, em relação ao solo, são, respectivamente,

B, que está apoiada sobre um suporte fixo no ponto mais baixo da trajetória da esfera A. Após a colisão, as esferas permanecem unidas e, juntas, se aproximam de um sensor S, situado à altura 0,2 m que, se for tocado, fará disparar um alarme sonoro e luminoso ligado a ele.

Maria

Luísa

143

Física

Compare as situações imediatamente antes e imediatamente depois da colisão entre as duas esferas, indicando se a energia mecânica e a quantidade de movimento do sistema formado pelas duas esferas se conservam ou não nessa colisão. Justifique sua resposta. Desprezando os atritos e a resistência do ar, calcule o menor valor da altura h, em metros, capaz de fazer o conjunto formado por ambas as esferas tocar o sensor S.

Na colisão: a quantidade de movimento conserva-se e a energia mecânica diminui.h = 0,8 m

05. (Unicamp SP) Acredita-se que a extinção dos dinossauros te-

nha sido causada por uma nuvem de pó levantada pela colisão de um asteroide com a Terra. Esta nuvem de pó teria bloquea-

Considerando o diâmetro das esferas desprezível e o choque

do a ação do Sol. Estima-se que a energia liberada pelo impacto

entre elas perfeitamente elástico, determine a velocidade das

do asteroide tenha sido de 108 megatons, equivalente a 1023J.

esferas após o choque, supondo todas as forças dissipativas

Considere a massa do asteroide m = 8,0 x 1015 kg e a massa da

desprezíveis, o módulo da aceleração da gravidade local igual v' − v' a 10 m/s2 e o coeficiente de restituição ε = 2 1 , em que v1 − v 2 v1' e v'2 são as velocidades finais das esferas e v1 e v2 as ve-

Terra M = 6,0 x 1024 kg.

a) v = 5 000 m/s, b) v’ ≈ 6,7 x 10-6 m/s.

a) Determine a velocidade da asteroide imediatamente antes da colisão. b) Determine a velocidade de recuo da Terra imediatamente após a colisão, supondo que o asteroide tenha ficado encravado nela.

locidades iniciais.

Gab: 3,0 m/s

08. (UFBA) Sobre uma superfície horizontal, encontra-se uma mola de constante elástica k = 100 N/m, comprimida de 8 mm. Na

06. (Unifesp SP) Em um acidente de trânsito, uma testemunha deu

sua extremidade livre, repousa uma esfera A de 10 g de mas-

o seguinte depoimento:

sa (Figura I). Liberada a mola, a esfera A sofre uma colisão

A moto vinha em alta velocidade, mas o semáforo estava ver-

frontal parcialmente elástica com outra esfera, B, de 12 g

melho para ela. O carro que vinha pela rua transversal parou

de massa, que se encontra inicialmente em repouso (Figura

quando viu a moto, mas já era tarde; a moto bateu violenta-

II). Após o choque,B se desloca com velocidade de 0,6 m/s.

mente na lateral do carro. A traseira da moto levantou e seu

Considera-se a mola ideal, e a resistência do ar, as forças de

piloto foi lançado por cima do carro.

atrito entre as esferas e a superfície, bem como a inércia de

A perícia supôs, pelas características do choque, que o moto-

rotação, desprezíveis.

ciclista foi lançado horizontalmente de uma altura de 1,25 m e caiu no solo a 5,0 m do ponto de lançamento, medidos na horizontal. As marcas de pneu no asfalto plano e horizontal mostraram que o motociclista acionou bruscamente os freios da moto, travando as rodas, 12,5 m antes da batida. Após análise das informações coletadas, a perícia concluiu que a moto deveria ter atingido o carro a uma velocidade de 54 km/h (15 m/s).

FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

Considerando g = 10 m/s2 e o coeficiente de atrito entre o asfalto e os pneus 0,7, determine:

a) v = 10 m/s, b) v0 = 20 m/s = 72 km/h.

a) a velocidade de lançamento do motociclista, em m/s; b) a velocidade da moto antes de começar a frear. 07. (UFBA) Uma esfera rígida de massa m1 = 0,5 kg, presa por um fio de comprimento L = 45,0 cm e massa desprezível, é suspensa em uma posição tal que, como mostra a figura, o fio suporte faz um ângulo de 90° com a direção vertical. Em um dado momento, a esfera é solta, indo se chocar com outra esfera de massa m2 = 0,5 kg, posicionada em repouso no solo.

Determine, em percentagem, o coeficiente de restituição da colisão.

Gab: 65

09. (Unicamp SP) Uma bola metálica cai da altura de 1,0m sobre um chão duro. A bola repica no chão várias vezes, conforme a figura. Em cad colisão, a bola perde 20% de sua energia. Despreze a resistência do ar (g = 10 m/s2) a)hA = 0,64m; b)v = 12,8 + vH2

144

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

sa desprezível e inextensível, formando um pêndulo de 20 cm de comprimento. Ele pode oscilar, sem atrito, no plano vertical, em torno da extremidade fixa do fio. A bola 1 é solta de um ângulo de 60° (cos θ = 0,50 e sen θ ≅ 0,87) com a vertical e colide frontalmente com a bola 2, idêntica à bola 1, lançando-a horizontalmente.

a) Qual é a altura máxima que a bola atinge após duas colisões (ponto A)? b) Qual é a velocidade com que a bola atinge o chão na terceira colisão? 10. (UFG) Uma maneira de se calcular experimentalmente o coeficiente de atrito entre duas superfícies é utilizando o arranjo apresentado na figura abaixo.

(C. Chesman, et al. Colisão elástica: um exemplo didático e lúdico. Física na Escola, 2005. Adaptado.)

Considerando o módulo da aceleração da gravidade igual a A massa m é liberada da posição indicada na figura, atingindo uma certa velocidade antes da colisão com o suporte, de massa M. no ponto de colisão, coloca-se massa de modelar de modo que a colisão seja completamente inelástica. Após a colisão, todo o sistema se arrasta pela superfície deslocando-se uma distância ∆x. Determine a expressão que forneça o coeficiente de atrito cinético médio entre a superfície e a base do suporte. Dê sua resposta em função de M, m, L e ∆x.

Gab: µ =

2Lm2

( m + M)

∆x

10 m/s2, que a bola 2 se encontrava em repouso à altura H = 40 cm da base do aparato e que a colisão entre as duas bolas é totalmente elástica, calcule a velocidade de lançamento da bola 2 e seu alcance horizontal D. V2 = 2,0m / s ≅ 1,4m / s e D = 0,40m

13. (Unicamp SP) As nuvens são formadas por gotículas de água que são facilmente arrastadas pelo vento. Em determinadas situações, várias gotículas se juntam para formar uma gota maior, que cai, produzindo a chuva. De forma simplificada, a queda da gota ocorre quando a força gravitacional que age sobre ela fica maior que a força do vento ascendente. A densida-

sentido ao longo do eixo x, com velocidades vA= 20, m/s e

de da água é ρágua = 1,0×103 kg/m3.

vB = 6,0 m/s, respectivamente.

a) O módulo da força, que é vertical e para cima, que certo

Em dado momento, a massa B alcança A, colidindo elasticamente com ela. Imediatamente após a colisão, a massa B fica em repouso e a massa A é impulsionada com velocidade uA = 4 0 m/s na direção x. a) Calcule a razão R = EA/EB entre as energias cinéticas das massas A e B antes da colisão. b) Calcule o valor da força média que agiu sobre a massa A, sabendo-se que seu valor é mA = 20, kg e que as massas estiveram em contato durante 8,0 x 10–4 s.

vento aplica sobre uma gota esférica de raio r pode ser aproximado por Fvento = b r, com b = 1,6 ×

10–3 N/m . Calcule

o raio mínimo da gota para que ela comece a cair. b) O volume de chuva e a velocidade com que as gotas atingem o solo são fatores importantes na erosão. O volume é usualmente expresso pelo índice pluviométrico, que corresponde à altura do nível da água da chuva acumulada em um recipiente aberto e disposto horizontalmente. Calcule o impulso transferido pelas gotas da chuva para

12. (Unesp SP) A figura apresenta um esquema do aparato

cada metro quadrado de solo horizontal, se a velocidade

experimental proposto para demonstrar a conservação da

média das gotas ao chegar ao solo é de 2,5 m/s e o índice

quantidade de movimento linear em processo de colisão.

pluviométrico é igual a 20 mm. Considere a colisão como

Uma pequena bola 1, rígida, é suspensa por um fio, de mas-

perfeitamente inelástica.

Gab11 1 a) R = 3 b) Fm = 5,0 x 103 N

13 Gab: a) r = 2 × 10–4 m b) |I| = 50 kg m/s

145

FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

11. (Unesp SP) Duas massas A e B locomovem-se no mesmo

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FRENTE

FÍSICA Por falar nisso Muitos passam pela euforia e apreensão ao andar em uma montanha-russa. Ao fazer isso, você deve ter se perguntando por que sempre há no início uma grande subida, a qual é seguida de uma sucessão de abismos abruptos e curvas inesperadas. A física pode dar uma explicação para essa questão. Nesse tipo de brinquedo, temos a energia potencial gravitacional aumentando, à medida que o carrinho sobe e, como consequência, a velocidade diminuindo. Quando o carrinho desce, ocorre o contrário, ou seja, a energia potencial diminui, transformandose em energia cinética e, com isso, aumentando a velocidade. Se considerarmos desprezível o atrito entre o carrinho e o trilho, podemos dizer que a energia mecânica se conserva. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

B17 B18 B19 B20

Trabalhos especiais........................................................................148 Potência de uma força...................................................................154 Energia potencial gravitacional e elástica.....................................160 Conservação da energia mecânica................................................166

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO B17

ASSUNTOS ABORDADOS nn Trabalhos especiais nn Trabalho da força peso nn Trabalho da força elástica nn Trabalho da força centrípeta

TRABALHOS ESPECIAIS Na aula anterior, estudamos a relação entre o trabalho e a energia cinética. Quando um carro acelera, seu ganho de velocidade e de energia cinética provém do trabalho realizado sobre ele pela força do motor. Quando um carro torna-se mais lento, é porque um trabalho foi realizado para reduzir sua velocidade e consequentemente sua energia cinética. Quando erguemos um objeto contra a gravidade da Terra, estamos realizando trabalho. Um halterofilista que sustenta um haltere acima de sua cabeça não está realizando nenhum trabalho sobre o haltere. O halterofilista realiza trabalho sobre o haltere quando está erguendo-o a partir do solo.

Nesta aula, vamos aprender a calcular o trabalho realizado por algumas forças que aparecem com frequência no nosso cotidiano.

Trabalho da força peso Consideremos uma partícula de massa m que vai ser transportada da posição A para  B, sob aação de diversas forças, incluindo o seu peso P . A partícula sofre o deslocamento d , como mostra a figura. As possíveis trajetórias da partícula estão também representadas na figura. Observe que a trajetória não coincide obrigatoriamente com o vetor deslocamento da partícula.

Para calcular o trabalho realizado pela força peso, vamos utilizar a expressão que vimos na aula anterior, ou seja: P t= P.d.cos θ AB

  Em que: θ é o ângulo entre a força P e o deslocamento d . 148

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Para utilizar essa expressão temos que conhecer o ângulo θ, que geralmente não é fornecido. Então vamos deduzir outra maneira de calcular o trabalho do peso independente do ângulo θ.

Na primeira situação, a mola não exerce nenhuma força sobre o bloco.

Observe a figura a seguir, que representa um triângulo retângulo envolvendo a altura do ponto A e o deslocamento AB.

Na terceira situação, a mola exerce, novamente, uma força elástica tentando trazer o bloco para a posição de equilíbrio.

Na segunda situação, a mola exerce uma força elástica tentando trazer o bloco para a posição de equilíbrio.

Segundo Robert Hooke, (1635 – 1703), a mola exercerá sobre o bloco uma força restauradora cujo módulo é diretamente proporcional à sua deformação, isto é:

Fel = k.x Aplicando a definição de cosseno de um ângulo, temos: cos = θ

h d

d ⇒ =

Como a força elástica não é constante, precisamos do gráfico da força elástica em função da deformação, para calcular o trabalho realizado pela mola sobre o bloco.

h cos θ

Substituindo na expressão do trabalho, temos: = tPAB P

h cos θ cos θ

⇒

tPAB = Ph = mgh

Qualquer que seja a trajetória escolhida entre A e B o trabalho do peso será o mesmo. nn O trabalho do peso não depende da trajetória, somente

dos pontos inicial e final. descida, isto é, de A para B, o trabalho do peso é a favor da gravidade, por isso é positivo. nn Na subida, isto é, de B para A, o trabalho do peso é contra a gravidade, por isso é negativo.

Calculando a área do gráfico, teremos o módulo do trabalho realizado por ela.

nn Na

Trabalho da força elástica

A= ∆

b.h 2

= A

⇒

k.x 2 2

A =

⇒

x.F 2

⇒

A =

x.kx 2

k.x 2 tmola = 2

nn O

sinal do trabalho realizado pela mola será positivo quando ela estiver voltando para a sua posição de equilíbrio. nn Quando a mola estiver sendo deformada, o trabalho realizado por ela será negativo. nn A deformação x da mola é medida em relação à sua posição de equilíbrio. 149

B17  Trabalhos especiais

Observe a figura a seguir, que mostra uma mola ideal inicialmente na sua posição de equilíbrio, depois a mesma mola sendo comprimida por uma força externa, que não aparece na figura, e por último a mesma mola sendo esticada pela mesma força externa.

Física

Trabalho da força centrípeta A força resultante centrípeta é, em cada instante, perpendicular à trajetória, portanto θ = 90°. Aplicando a definição de trabalho ( t F.d.cos θ ), chegamos à conclusão de que o trabalho será nulo, porque cos θ = 0. = tFC = 0 Podemos chegar a essa mesma conclusão analisando a variação da energia cinética, de uma partícula em movimento circular uniforme (MCU). A força resultante a qual atua em uma partícula que descreve um MCU é a força centrípeta. Como o módulo da velocidade é constante, aplicando o Teorema da Energia Cinética, temos:

tR =∆EC

mas

∆EC =0

tR =tFC

0 Então, tFC =

EXEMPLOS 01. (UPE) Considere um bloco de massa m ligado a uma mola de constante elástica k = 20 N/m, como mostrado na figura a seguir. O bloco encontra-se parado na posição x = 4,0 m. A posição de equilíbrio da mola é x = 0.

t4→2 = 160 − 40

t4→2 = 120 J

⇒

Uma segunda solução é utilizar a propriedade do gráfico Fxd . A área desse gráfico é numericamente igual ao trabalho realizado pela força. A área do trapézio destacado na figura é

O gráfico a seguir indica como o módulo da força elástica da mola varia com a posição x do bloco.

= A

O trabalho realizado pela força elástica para levar o bloco da posição x = 4,0 m até a posição x = 2,0 m, em joules, vale a) 120 d) 160 b) 80 e) –80 c) 40 RESOLUÇÃO

B17  Trabalhos especiais

Nesse problema, não podemos calcular o trabalho aplicando diretak.x 2 mente a fórmula tmola = , porque a variação de comprimento é de 2 x = 4 m até x = 2 m. A fórmula do trabalho da força elástica somente pode ser aplicada para uma variação até x = 0. Uma solução é calcular o trabalho de x= 4 m até x = 0 e diminuir do trabalho de x = 2 m até x = 0. Inicialmente vamos calcular o valor da constante elástica (k) da mola, utilizando dados do gráfico fornecido. Quando x = 4 m temos Felast = 80 N. Aplicando a Lei de Hooke, temos:

Felast = k.x

⇒

80 k= = 20 N/m. 4

Cálculo do trabalho:

20.42 = 2 2 20.2 t2→0 = = 2 t4→0 =

150

320 = 160 J 2 80 = 40 J 2

B+b 80 + 40 = ⋅h = ⋅ 2 120 2 2 t4→2 = área do trapézio t4→2 = 120 J

02. (UFG) Um carro percorre uma curva plana, horizontal e circular, de raio igual a 1.0 km, com energia cinética constante igual a 2.105 J. a) Calcule a força resultante atuando sobre o carro. b) Qual o trabalho realizado pela força resultante, sobre o carro, ao percorrer 1/4 de circunferência? RESOLUÇÃO a) A força resultante é centrípeta, porque o movimento é circular m.v2 e uniforme, então, temos: FC = . A velocidade é obtida por R meio da energia cinética: EC =

2.105 =

m.v2 2

⇒

m.v2 . 2 m.v2 = 4.105

Substituindo na fórmula da força centrípeta, temos:

= FC

4.105 4.105 = = 4.102 1000 1.103

⇒

FC = 400 N

b) O trabalho realizado por uma resultante centrípeta é nulo.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. (Mackenzie SP) Nas Olimpíadas Rio 2016, nosso medalhista de ouro em salto com vara, Thiago Braz, de 75,0 kg, atingiu a altura de 6,03 m, recorde mundial, caindo a 2,80 m do ponto de apoio da vara. Considerando o módulo da aceleração da gravidade g = 10,0 m/s2, o trabalho realizado pela força peso durante a descida foi aproximadamente de a) 2,10 kJ b) 2,84 kJ c) 4,52 kJ d) 4,97 kJ e) 5,10 kJ

d) Uma força que é sempre perpendicular à velocidade de uma partícula nunca realiza trabalho sobre a partícula. e) O trabalho realizado por uma força conservativa é igual ao aumento na energia potencial associada àquela força. 04. (Unifor CE) Três projéteis com pesos iguais são lançados de uma mesma altura com velocidade de mesmo módulo V . O primeiro é lançado verticalmente para cima, o segundo é lançado verticalmente para baixo e o terceiro é lançado horizontalmente para a direita. Assinale a opção que indica a relação entre os trabalhos (W) realizados pela força peso nos três casos? 0

02. (UFRGS) Considere, na figura abaixo, a representação de um automóvel, com velocidade de módulo constante, fazendo uma curva circular em uma pista horizontal.

a) W1 = W2 = W3 b) W1> W2> W3 c) W1< W2< W3 d) W1 = W2< W3 e) W1> W2 = W3

03. (UEFS BA) Com base nos conhecimentos sobre Mecânica e considerando-se que os conceitos de trabalho e energia são importantes tanto na Física quanto na vida cotidiana, é correto afirmar: a) Apenas as forças conservativas podem realizar trabalho. b) O trabalho é igual à área sob a curva força versus tempo. c) A força gravitacional não pode realizar trabalho porque ela atua a certa distância.

As setas indicam a direção e o sentido do vetor velocidade da massa. Nos instantâneos 1 e 4, a mola está parcialmente comprimida; em 2 e 3, a mola está parcialmente distendi-

151

B17  Trabalhos especiais

Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas do enunciado abaixo, na ordem em que aparecem. A força resultante sobre o automóvel é ........ e, portanto, o trabalho por ela realizado é ........ . a) nula – nulo b) perpendicular ao vetor velocidade – nulo c) paralela ao vetor velocidade – nulo d) perpendicular ao vetor velocidade – positivo e) paralela ao vetor velocidade – positivo

05. (UECE) Um sistema massa-mola oscila sem atrito. A figura a seguir ilustra alguns instantâneos desse movimento durante um tempo inferior a um período de oscilação. As duas linhas tracejadas indicam os extremos do deslocamento das massas.

Física

da. O trabalho realizado pela força elástica em um intervalo de tempo muito pequeno e em torno de cada um dos instantâneos é τ1, τ2, τ3 e τ4. Assim, é correto afirmar que a) τ1 > 0, τ2< 0, τ3 > 0 e τ4 < 0. b) τ1 < 0, τ2 > 0, τ3 < 0 e τ4 > 0. c) τ1 < 0, τ2 < 0, τ3 < 0 e τ4 < 0. d) τ1 > 0, τ2 > 0, τ3 > 0 e τ4 > 0. 06. (UCS RS) Uma moça comprou um par de brincos, de 50 gramas cada um, e os usou durante o período em que esteve num aniversário. Considerando que o evento aconteceu em lugar plano e que, portanto, os deslocamentos da moça ocorreram sempre em direções paralelas ao chão, qual foi o trabalho realizado pela força peso dos brincos, durante o tempo em que a moça esteve no aniversário? a) 0,05 J b) 0,025 J c) 1,00 J d) 0,1 J e) zero 07. (FMABC SP) Observe as figuras. Elas representam uma pessoa elevando de 30 cm uma carga de 1000 N. Quanto ao trabalho

(τ) realizado pela força gravitacional sobre a carga, nas três situações, podemos afirmar que:

a) τ1 > τ3 > τ2 b) τ3 > τ2 > τ1 c) τ3 > τ1 > τ2 d) τ1 > τ3 > τ2 e) τ1 = τ2 = τ3

Exercícios Complementares 01. (Unesp SP) Suponha que os tratores 1 e 2 da figura arrastem toras de mesma massa pelas rampas correspondentes, elevando-as à mesma altura h. Sabe-se que ambos se movimentam com velocidades constantes e que o comprimento da rampa 2 é o dobro do comprimento da rampa 1.

B17  Trabalhos especiais

Chamando de t1 e t2 os trabalhos realizados pela força gravitacional sobre essas toras, pode-se afirmar que: a) t1 = 2t2 ; t1 > 0 e t2 < 0 . b) t1 = 2t2 ; t1 < 0 e t2 > 0 . c) t1 =t2 ; t1 < 0 e t2 < 0 . d) 2t1 =t2 ; t1 > 0 e t2 > 0 . e) 2t1 =t2 ; t1 < 0 e t2 < 0 . 02. (UEPG PR) Um bloco com massa de 2 kg é lançado num plano horizontal, com velocidade inicial de 4 m/s. O bloco desliza sobre o piso e percorre uma distância de 1 m até parar. Sobre esse evento físico, considerando a aceleração da gravidade como 10 m/s2, assinale o que for correto. Gab: 15 01. O módulo da força de atrito média exercida pelo piso sobre o bloco é 16 N.

152

02. O coeficiente de atrito cinético entre o piso e o bloco é 0,8. 04. Desprezando qualquer tipo de força de atrito, a velocidade do bloco seria constante e igual a 4 m/s. 08. A variação da energia cinética do bloco, entre o momento em que é lançado até o momento em que ela para, é –16 J. 16. O trabalho realizado pela força peso, sobre o bloco, entre a impulsão e até ele parar foi de 20 J. 03. (UFG GO) Deseja-se transportar um corpo de massa m até uma plataforma situada a uma altura h do solo. Dois caminhos são possíveis, uma rampa R e uma escada E, conforme esboçado na figura.

Considere que se aplica uma força constante para levar o corpo de massa m até o topo, sendo FE e FR respectivamente as componentes da força paralela ao deslocamento do bloco da base da escada ao topo e da base da rampa ao topo. Sendo WE e WR os trabalhos realizados ao longo da escada e da rampa respectivamente, pode-se concluir que

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

a) FE > FR b) FE < FR c) FE = FE d) FE < FR e) FE = FR

e e e e e

06. (Puc RJ) O Cristo Redentor, localizado no Corcovado, encontra-

W E = WR W E > WR W E < WR W E = WR W E = WR

-se a 710 m do nível no mar e pesa 1 140 ton. Considerando-se g = 10 m/s2 é correto afirmar que o trabalho total realizado para levar todo o material que compõe a estátua até o topo do Corcovado foi de, no mínimo:

04. (UFAC) João e André empurram caixas idênticas e de mesma massa, com velocidade constante, do chão até a carroceria de um caminhão. As forças aplicadas pelos dois são paralelas às rampas. Desconsidere possíveis atritos, analise as afirmações abaixo e assinale a opção correta:

a) 114 000 kJ b) 505 875 kJ c) 1 010 750 kJ d) 2 023 500 kJ e) 8 094 000 kJ 07. (UFT) O trabalho realizado por uma força ao esticar uma determinada mola, sem alterar sua constante elástica, de seu tamanho original “x cm” até “(x+2) cm” é de 10 joules. Qual o trabalho realizado por uma força para esticar a mesma

MÁXIMO, A., ALVARENGA, B. Físic. São Paulo: Scipione, 1999, p. 225. (com adaptações).

a) O trabalho realizado por João é maior que o trabalho realizado por André. b) O trabalho realizado por João é menor que o trabalho realizado por André. c) O trabalho realizado por João é igual ao trabalho realizado por André. d) João faz uma força de maior intensidade que a de André, para empurrar a caixa até o caminhão. e) João faz a mesma força que André, para empurrar a caixa até o caminhão. 05. (Asces PE) Um bloco de peso 20 N é solto do repouso na situação mostrada na figura 1, em que a mola ideal de constante elástica 200 N/m está relaxada. A figura 2 ilustra o bloco após descer uma distância vertical de 20 cm. Sejam Wp e Wel os módulos dos trabalhos realizados pelas forças peso do bloco e elástica da mola entre os instantes mostrados nas figuras 1 e 2. Nesse caso, pode-se afirmar que a razão Wp / Wel é igual a:

mola de “(x+2) cm” até “(x+4) cm”? a) 20 joules b) 30 joules c) 40 joules d) 25 joules 08. (Unioeste PR) Uma peça cilíndrica A, com 1,00 kg de massa, possui um furo central que desliza sem atrito e a peça está encaixada em uma haste horizontal. Um elástico, que se comporta como uma mola e possui constante elástica igual a 200 N.m–1, é atado à peça em um suporte fixo B como indica a figura abaixo. O comprimento do elástico é igual a 20,0 cm quando não esticado e sua massa é desprezível. A peça cilíndrica é abandonada em repouso na posição 1 e inicia-se um movimento para a direita que passa pela posição 2 exatamente abaixo do suporte B. Considerando-se o sistema exposto, assinale a alternativa CORRETA.

a) A força que o elástico exerce na peça A quando na posição 1

a) 0,2 b) 1 c) 2 d) 4 e) 20

c) A aceleração instantânea da peça A, exatamente no instante em que é abandonada, é igual a 60,0 m.s–2. d) A peça A passa na posição 2 com velocidade igual a 4,00 m.s–1. e) O trabalho realizado pela força elástica no deslocamento da posição 1 para a posição 2 é igual a 16,0 J.

153

B17  Trabalhos especiais

possui intensidade igual a 100 N. b) Na posição 2, o elástico não exerce força na peça A.

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO B18

ASSUNTOS ABORDADOS nn Potência de uma força nn Potência média nn Potência instantânea

POTÊNCIA DE UMA FORÇA Um dos conceitos físicos mais importantes no nosso cotidiano é o de energia, pois ela está presente em praticamente tudo que fazemos diariamente. Ela é tão importante que até mesmo quando estamos em repouso, nosso corpo está produzindo e consumindo energia. Ela não pode ser criada e nem destruída, mas pode ser transformada. A potência de uma força representa a rapidez com que a energia é transformada em outras formas. Por outro lado, a potência mecânica é o trabalho que realiza um indivíduo ou uma máquina em um determinado período de tempo. Por exemplo, para uma pessoa subir até o quinto andar de um prédio, ela pode usar o elevador ou as escadas. Nos dois exemplos, escada ou elevador, o trabalho realizado será o mesmo, ou seja, o trabalho de elevar o corpo até o quinto andar. Mas se essa pessoa fizer uso das escadas, demorará mais tempo para realizar o mesmo trabalho. Dessa forma, dizemos que a potência associada à força realizada pelo corpo é menor do que a associada à força do motor do elevador.

Potência média Potência média de uma força ( PotM ) é a razão entre a energia transferida ( ∆E ) e o intervalo de tempo ( ∆t ) gasto na transferência da energia. PotM =

Fonte: shutterstock.com

Figura 01 - Transformação da energia eólica em energia elétrica.

154

∆E ∆t

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

A energia transferida (DE) corresponde ao trabalho realizado (t). Assim, a potência média também pode ser calculada pela expressão:

Portanto, teremos: Pot = F.v

t PotM = ∆t

Gráfico da potência em função do tempo

A unidade de potência no Sistema Internacional é o watt, representado pela letra W. Essa foi uma homenagem ao matemático e engenheiro escocês James Watt (1736-1819), autor do princípio da máquina a vapor. Watt construiu uma máquina industrial na qual a energia era obtida por cavalos, rodas hidráulicas e moinhos de vento.

J = W (watt) s

Outras medidas de potência são o cavalo-vapor (cv) e o horse-power (hp). O termo cavalo-vapor foi dado por James Watt. Um cavalo-vapor (cv), como foi definido por Watt, era a potência desenvolvida por um cavalo para erguer um objeto de 75 kgf de peso a uma altura de um metro durante um segundo.

O horse-power pertence ao sistema técnico inglês e corresponde a 746 W. 1hp = 746 W

Como vimos, a potência média é dada pela expressão:

t ∆t

t =F.d

⇒

A =∆t ⋅

t ∆t

⇒

A= t

Essa propriedade, embora deduzida para o caso em que a potência for constante, continua válida mesmo quando a potência não for constante. Potência de hidrelétricas

O trabalho realizado pela força da gravidade para transportar uma massa m de água desde o topo até o sopé da queda d’água é dado por:

A potência hídrica média teórica envolvida no processo é determinada pela relação:

Pot= M

Substituindo na primeira, temos:

Pot M = F.vM

t ∆t

A = ∆t.Pot

t =mgh

Considerando a força constante e paralela ao deslocamento, o trabalho pode ser calculado pela expressão:

F.d d = mas vM ∆t ∆t

Pot =

⇒

Vamos admitir, no cálculo da potência de uma queda d’água, que a água apresenta velocidade nula no início da queda.

Potência instantânea

= PotM

A área da figura é dada por: A = b.h

A área do gráfico da potência em função do tempo é numericamente igual ao trabalho realizado pela força.

F.d 735.1 = = = 735 W Pot ∆t 1 1 cv = 735 W

PotM =

Consideremos o caso em que a potência instantânea é constante, isto é, a potência média é igual à potência instantânea.

então

t mgh = ∆t ∆t

A massa de água (m) pode ser substituída pelo produto da densidade (ρ) e o volume (V).

PotM =

ρ.V.g.h ∆t

155

B18  Potência de uma força

Unidade de potência =

Quando o intervalo de tempo for muito pequeno, a velocidade média se transforma na velocidade instantânea e a potência média é chamada de potência instantânea (Pot).

Física

A razão entre o volume (V) e o intervalo de tempo (∆t) corresponde à vazão (Z) da queda d’água.

V ∆t

Finalmente, temos que a potência média da queda d’água será calculada pela expressão: PotM = ρ.Z.g.h Unidades nn A

densidade ρ deve ser expressa em kg/m3

nn A

vazão Z deve ser expressa em m3/s

nn A

aceleração da gravidade em m/s2

nn A

altura da queda h em m.

nn A

potência será dada em W.

Rendimento A noção de rendimento é muito utilizada nas áreas técnicas. Como exemplo, podemos citar o rendimento de um automóvel, o rendimento de um atleta etc. O rendimento (η) de um sistema físico qualquer é dado pela razão entre a potência utilizada (PotU) e a potência total recebida (PotT). η=

PotU Pot T

nn O rendimento é adimensional, isto é, não tem unidade de medida. Geralmente

ele é expresso em porcentagem, bastando para isso multiplicar o valor encontrado por 100%.

EXEMPLOS 01. Uma máquina ergue verticalmente um corpo, de massa 100 kg, a uma altura de 5,0 m, em 10 s, com velocidade constante. Sendo g = 10 m/s2, determine a potência da máquina. RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO

B18  Potência de uma força

Como o movimento é uniforme, a força necessária para erguer o objeto tem módulo igual ao peso do objeto. Portanto, temos:

= F mg = 100.10 = 1000 N . O trabalho realizado pela força é calculado pela expressão: t = F.d.cos θ

( θ = 0°) e (d = h)

= A potência da máquina será: Pot = Pot

156

100.10.5 10

⇒

02. Uma usina hidrelétrica foi construída para aproveitar uma queda d’água de 20 m de altura. Se a vazão da água é de 1,5.103 m3/s, qual a potência disponível, supondo que não haja perdas? Dados: densidade da água 1 000 kg/m3 e g = 10 m/s2.

⇒

t = F.h

t F.h m.g.h = = ∆t ∆t ∆t Pot = 500 W

As unidades estão todas expressas no SI, portanto, podemos aplicar a fórmula que calcula a potência teórica dessa queda d’água.

Pot = ρ.Z.g.h = 1.103.1,5.103.10.20 Pot = 3.108 W

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. (Unitau SP) Um halterofilista eleva um conjunto de barra e anilhas cuja massa total é de 200 kg. Inicialmente, o conjunto estava em equilíbrio estático, apoiado sobre a superfície do piso. O halterofilista eleva o conjunto até uma altura de dois metros em relação ao piso. O movimento de elevação do conjunto foi realizado em um intervalo de tempo de quatro segundos. Considere o módulo da aceleração gravitacional terrestre como 10 m/s2. A potência média gasta pelo halterofilista para elevar o conjunto de barra e halteres foi de a) 0,5 × 103 watts b) 102 watts c) 103 watts d) 2 × 103 watts e) 4 × 103 watts 02. (Enem MEC) A usina de Itaipu é uma das maiores hidrelétricas do mundo em geração de energia. Com 20 unidades geradoras e 14 000 MW de potência total instalada, apresenta uma queda de 118,4 m e vazão nominal de 690 m3/s por unidade geradora. O cálculo da potência teórica leva em conta a altura da massa de água represada pela barragem, a gravidade local (10 m/s2) e a densidade da água (1 000 kg/m3). A diferença entre a potência teórica e a instalada é a potência não aproveitada. Disponível em: www.itaipu.gov.br. Acesso em: 11 maio 2013 (adaptado).

a) 1,0 × 102 W b) 1,0 × 10 W c) 1,0 × 100 W d) 1,0 × 10–1 W e) 1,0 × 10–2 W 05. (Ufal AL) Para alcançar o topo de uma subida com menos esforço é muito comum utilizar a chamada “marcha reduzida”, em que o ciclista, apesar de pedalar com a mesma frequência, tem sua velocidade reduzida. Isso diminui o esforço físico, possibilitando atingir o topo de subidas íngremes com mais facilidade. A diminuição do esforço gerado pela marcha reduzida para se atingir o topo da subida está relacionada com a redução do(a) a) peso da bicicleta. b) força de atrito. c) potência aplicada à bicicleta. d) quantidade de energia transformada. e) tempo necessário para subir. 06. (Unificado RJ) Um corpo desloca-se em linha reta sob a  ação de uma força F , que tem a mesma direção do movimento, durante 5 segundos. A figura a seguir ilustra o gráfico da variação da intensidade dessa força em função do deslocamento d.

Qual é a potência, em MW, não aproveitada em cada unidade geradora de Itaipu? a) 0 b) 1,18 c) 116,96 d) 816,96 e) 13 183,04

04. (Puc RS) Uma caixa com um litro de leite tem aproximadamente 1,0 kg de massa. Considerando g = 10 m/s2, se ela for levantada verticalmente, com velocidade constante, 10 cm em 1,0 s, a potência desenvolvida será, aproximadamente, de

A potência média desenvolvida, em watts, é a) 1,40 b) 1,60 c) 1,75 d) 2,00 e) 2,10 07. (Puc MG) Considerando-se uma máquina que opere com uma potência de 2,0 × 104 W, o trabalho que ela realizaria em 1 hora é aproximadamente de: a) 7,2 × 107 J b) 4,8 × 105 J c) 3,6 × 108 J d) 2,0 × 105 J

157

B18  Potência de uma força

03. (Puc MG) Um halterofilista, ao realizar treinamentos, consegue levantar um haltere de 100 kg, a uma altura de 2,0 m em 10 s. Após uma semana de treinamentos, ele consegue realizar o mesmo exercício num tempo de 5,0 segundos. Na segunda semana, a grandeza física que mudou foi: a) a força de atração da Terra sobre o haltere. b) a variação da energia potencial gravitacional do haltere. c) o trabalho realizado sobre o haltere. d) a potência desenvolvida pelo halterofilista.

Física

Exercícios Complementares 01. (IF SP) O engenheiro de obras, Dejair observa um guindaste

da gravidade tem módulo g = 10 m/s2 e que a velocidade da

que ergue uma viga de cimento de 500 kg até uma altura

água no início da queda é desprezível?

de 3 metros do chão. Nesse mesmo intervalo de tempo, o

a) 0,25 MW

seu operário consegue içar, por meio de uma roldana fixa,

b) 0,50 MW

até uma altura de 8 metros do chão, 10 sacos de cimento

c) 0,75 MW

de 20 kg cada.

d) 1,00 MW

A partir desses dados e adotando a aceleração da gravidade de 10 m/s2 , ele faz as seguintes afirmações: I. II. III.

A potência média desenvolvida pelo operário é maior

e) 1,50 MW 04. (UFRGS) O termo horsepower, abreviado hp, foi inventado por James Watt (1783), durante seu trabalho no desenvol-

do que a do guindaste.

vimento das máquinas a vapor. Ele convencionou que um

A potência média desenvolvida pelo guindaste é de

cavalo, em média, eleva 3,30 × 104 libras de carvão (1 libra ~

15 000 W.

0,454 Kg) à altura de um pé (~.0,305 m) a cada minuto, defi-

Cada saco de cimento armazena 16 000 joules de ener-

nindo a potência correspondente como 1 hp (figura abaixo).

gia potencial aos 8 m de altura. Está (ão) correta(s) apenas a) I. b) II. c) I e II. d) I e III. e) II e III. 02. (IFSC) A arrancada de carros é uma modalidade esportiva automotiva em que dois carros, devidamente preparados, tentam percorrer 400 m no menor tempo. Para isso, os competidores investem muito em aumentar a potência do motor e diminuir a massa do carro. Suponha que um carro de 800 kg, partindo do repouso, consiga percorrer os 400 m em 10 segundos. Dessa maneira, é CORRETO afirmar que o carro em questão desenvolve, respectivamente, potência média e aceleração média iguais a: (dados: 1kW = 1,35 HP) a) 256,0 HP e 8,0 m/s2 b) 345,6 HP e 8,0 m/s2 c) 345,6 HP e 4,0 m/s2 d) 256,0 kW e 4,0 m/s2 e) 345,6 kW e 4,0 m/s2 03. (UPE PE) O Brasil é um dos países de maior potencial hidráulico do mundo, superado apenas pela China, pela Rússia e B18  Potência de uma força

pelo Congo. Esse potencial traduz a quantidade de energia aproveitável das águas dos rios por unidade de tempo. Considere que, por uma cachoeira no Rio São Francisco de altura h = 5 m, a água é escoada em uma vazão Z = 5 m3/s. Qual é a expressão que representa a potência hídrica média teórica oferecida pela cachoeira, considerando que a água possui uma densidade absoluta d = 1000 kg/m3, que a aceleração

158

Posteriormente, James Watt teve seu nome associado à unidade de potência no Sistema Internacional de Unidades, no qual a potência é expressa em watts (W). Com base nessa associação, 1hp corresponde aproximadamente a a) 76,2 W. b) 369 W. c) 405 W. d) 466 W. e) 746 W. 05. (FPS PE) A figura abaixo mostra uma força constante de módulo F = 20 N aplicada na direção horizontal a um caixote de massa 2 kg, o qual se encontra inicialmente parado. Desprezando o atrito entre o caixote e a superfície do piso, nota-se que o caixote realiza um deslocamento horizontal igual a

∆x = 5 m sob a ação exclusiva da força F. Com base nesses dados, pode-se afirmar que o módulo da velocidade final do caixote ao final do deslocamento ∆x e que a potência mecânica da força F serão respectivamente:

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

09. (Unicesumar SP) Um dispositivo mecânico deforma uma mola de 10 cm para 30 cm em apenas um centésimo de segundo. A deformação sofrida pela mola bem como as forças envolvidas estão representadas no gráfico. Determine a potência útil desa) 5 m/s e 100 Watts.

se dispositivo.

b) 10 m/s e 200 Watts. c) 20 m/s e 400 Watts. d) 30 m/s e 200 Watts. e) 50 m/s e 100 Watts. 06. (Puc RJ) Um elevador de 500 kg deve subir uma carga de 2,5 toneladas a uma altura de 20 metros, em um tempo inferior a 25 segundos. Qual deve ser a potência média mínima do motor do elevador, em kW?

a) 4k W

Dados: g = 10m/s2

b) 500 kW

a) 20

c) 400 kW

b) 16

d) 300 kW

c) 24

e) 40 kW

d) 38 e) 15

10. (FGV SP) Um atleta corre em uma pista retilínea, plana e ho-

07. (Uem PR) Uma força de intensidade de 10 N, que faz um ângulo de 60° com a horizontal, é empregada para puxar uma caixa de 2 kg sobre uma superfície horizontal por uma distância de 10 m em 10 s. Considerando que o coeficiente de atrito cinético entre a superfície horizontal e a caixa é 0,2, assinale o que for correto.

Gab: 15

Dados: g = 10 m/s2; sen 60° = 0,86 e cos 60° = 0,5. 01. A potência associada à componente horizontal da força é de 5 W. 02. A força normal à superfície é de 11,4 N. 04. O trabalho realizado pela componente horizontal da força resultante é de 27,2 J. 08. A força de atrito entre o bloco e a superfície é de 2,28 N. 16. O trabalho realizado pela força peso é de 10 J. 08. (UEPA) Um elevador de 750 kg de massa, carregando 6 pessoas, cada uma com 75 kg, percorre a distância entre o 1º e o 9º andar de um prédio em 16 s. Sabe-se que cada andar do prédio possui 3,0 m de altura e que o elevador se move com velocidade constante neste trecho. Nesse sentido, a potência fornecida

rizontal, com velocidade, em relação ao solo, constante e de módulo igual a 4 m/s. Não há vento, e a única força que se opõe ao seu movimento é a resistência do ar, que tem módulo proporcional ao quadrado da velocidade do atleta em relação ao ar, e a direção do seu movimento. Nessas condições, o atleta desenvolve uma potência P. Em certo instante, começa a soprar um vento de 4 m/s em relação ao solo, na direção do movimento do atleta e em sentido oposto. Nessa nova situação, a potência que o atleta desenvolve para manter a mesma velocidade de 4 m/s em relação ao solo é igual a a) 4 P b) 16 P c) 2 P d) 8 P e) P 11. (UEFS BA) Um guindaste com rendimento de 25% ergue uma carga de meia tonelada a uma altura de 75,0 cm no intervalo de 5,0 s. Considerando-se o módulo da aceleração da gravidade local

até o 7º andar é, em kW, igual a:

igual a 10,0 m/s2, a potência do guindaste, em kW, é

Dado: Aceleração da gravidade = 10 m/s2

a) 1,0

a) 10

b) 2,0

b) 12

c) 3,0

c) 14

d) 4,0

d) 16

e) 5,0

B18  Potência de uma força

pelo motor do elevador para transportar o sistema desde o 3º

e) 18

159

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO B19

ASSUNTOS ABORDADOS nn Energia potencial nn Energia potencial gravitacional nn Energia Potencial elástica

ENERGIA POTENCIAL Definir energia não é fácil, mas intuitivamente sabemos o que é. Já vimos muitos noticiários falando da busca por novas fontes de energia. A energia solar, e a energia nuclear, de forma a substituir as fontes de energia existentes que estão quase esgotadas, como as obtidas a partir do petróleo. No dia a dia, o termo energia é associado ao movimento. É por meio dos alimentos que obtemos a energia necessária para executar todas as atividades. Nos automóveis, a energia proveniente da queima dos combustíveis faz com que eles se movimentem. Por definição, energia é a capacidade que um corpo tem de realizar um trabalho ou uma ação. Energia potencial (simbolizada por U ou Ep) é a forma de energia que está associada a um sistema no qual ocorre interação entre diferentes corpos e está relacionada com a posição que um determinado corpo ocupa, e sua unidade no Sistema Internacional de Unidades (SI), assim como a do trabalho, é joule (J). A energia potencial é o nome dado à forma de energia quando está “armazenada”, isto é, quando ela pode a qualquer momento manifestar-se, por exemplo, sob a forma de movimento. A energia potencial é derivada de forças conservativas, ou seja, a trajetória do corpo não interfere no trabalho realizado força. O que importa são a posição final e a inicial, por isso o percurso não interfere no valor final da variação da energia potencial. A energia química nos combustíveis é também energia potencial devido às posições relativas dos átomos nas moléculas. Essa energia é disponibilizada quando os átomos são rearranjados, isto é, quando ocorrem transformações químicas. Os automóveis movidos a gasolina aproveitam a energia potencial química desta que, ao entrar em combustão, cria energia suficiente para mover o veículo.

Energia potencial gravitacional É necessário realizar trabalho para erguer objetos contra a gravidade terrestre. A energia de um corpo devido a sua posição elevada é chamada de energia potencial gravitacional. A água em um reservatório elevado e o martelo de um bate-estacas possuem energia potencial gravitacional. A quantidade dessa energia que um objeto elevado possui é igual ao trabalho que foi realizado contra a gravidade para erguê-lo. Assim, o trabalho realizado ao erguer um objeto de peso mg a uma altura h tem módulo dado pelo produto mgh, como vimos em aulas anteriores. EpG = mgh Note que a altura h é a distância acima de algum nível de referência, tal como o chão ou um piso de algum andar de um edifício. A energia potencial gravitacional é relativa àquele nível.

160

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

A energia potencial da bola de massa m é a mesma nos três casos, porque o trabalho realizado para elevá-la até a altura h é o mesmo, seja a bola erguida verticalmente, ou empurrada por meio da rampa, ou erguida a partir dos degraus. nn Diferentemente

da energia cinética, a energia potencial gravitacional pode assumir valores negativos. Isso acontece quando o objeto está abaixo do plano horizontal tomado como referência. nn A variação da energia potencial gravitacional (∆Ep) é a diferença entre a energia potencial final (Epf) e a energia potencial inicial (Epi). ∆Ep = Epf − Epi o centro de massa do corpo sobe, então Epf > Epi e ∆Ep > 0 . nn Se o centro de massa do corpo desce, então Epf < Epi e ∆Ep < 0 . nn A variação da energia potencial gravitacional ( ∆Ep ) independe do plano horizontal de referência. nn Se

Energia potencial elástica

Opirus/Arte

É a forma de energia que encontramos armazenada em sistemas elásticos deformados. Pode ser em uma mola esticada ou comprimida, ou em um arco flexionado.

B19  Energia potencial

Considere o sistema massa-mola da figura, no qual temos um corpo de massa m preso a uma mola de constante elástica k. Para deformar a mola devemos realizar um trabalho, pois temos que empurrá-la ou esticá-la. Quando fazemos isso, a mola adquire energia potencial elástica e, quando solta, realiza um movimento voltando para a sua posição inicial, onde não havia deformação.

Para obtermos a expressão matemática da energia potencial elástica devemos proceder da mesma forma que fizemos para a energia potencial gravitacional. Então, obteremos a expressão da energia potencial elástica armazenada num sistema massa-mola pelo trabalho que a força elástica exerce sobre o bloco. Epelast = tmola 161

Física

O trabalho realizado pela força elástica, quando a mola está voltando para a sua posição de equilíbrio, é dado por: k.x 2 tmola = 2

Então, podemos escrever: Epelast =

k.x 2 2

Não se esqueça de que k é a constante elástica da mola e x é a elongação sofrida pela mola desde a sua posição de equilíbrio até a posição considerada. nn A

energia potencial elástica nunca é negativa.

EXEMPLOS 01. (Unirv GO) Suponha que Zezinho está no alto de um edifício de 15 andares e que cada andar possui pé direito (altura) de 3 m. Querendo testar os conhecimentos adquiridos em uma aula de Física, Zezinho resolve abandonar do décimo andar, bem rente ao chão, uma bola de futebol de 400 g de massa. A partir do experimento de Zezinho ele fez as seguintes afirmações. Considerando a resistência do ar desprezível e a aceleração da gravidade no local 10 m/s2, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alternativas. a) A bola atinge o solo com um uma velocidade igual a 36 6 m/s. b) O trabalho realizado pela força gravitacional, nessa situação, pode ser obtido por meio da equação T = −(mg)h, em que m é a massa, g a aceleração da gravidade e h a altura de onde a bola foi abandonada. O sinal negativo é porque a força gravitacional é vertical para baixo. c) A energia potencial gravitacional da bola ao passar pelo quinto andar é igual em módulo à energia cinética. d) Se em vez da bola de futebol o experimento fosse realizado com uma bola de basquetebol com o dobro da massa da bola de fute-

EpG = mgh = 0,4.10.15

⇒

EpGG = = 60 J

d) A velocidade final não depende da massa da bola. Gabarito: F-F-V-F 02. (Favip PE) Em uma feira, um vendedor utiliza um dinamômetro, ou balança de peixeiro, para pesar mercadorias. Quando não está sendo utilizada, a mola da balança encontra-se relaxada. A figura a seguir ilustra a pesagem de uma mercadoria de peso 20 N. Despreze os atritos. Se a constante elástica da mola vale 100 N/m, de quanto foi o aumento da energia potencial elástica armazenada na mola em relação ao seu estado relaxado?

bol, a velocidade com que ela atingiria o solo seria 36 6 km/h. RESOLUÇÃO a) A bola cairá em queda livre, portanto, a velocidade da bola é dada por: v2 = 2gh . A altura de queda= h 10.3 = 30 m . Logo a velocidade será: v2 = 2.10.30 = 600 ⇒ v = 600 = 10 6 m/s. b) O trabalho realizado pela força gravitacional, durante a queda de

B19  Energia potencial

um corpo, é dado por: t = +mgh c) Ao passar pelo quinto andar, o corpo terá percorrido 15 m, portanto sua altura também será igual a 15 m. Aplicando novamente a equação de Torricelli para a queda livre, teremos: = v2 2.10.15 ⇒ = v2 300 A energia cinética é dada por: m.v2 0,4.300 Ec = = 2 2

A deformação sofrida pela mola pode ser calculada usando a Lei de Hooke: Felast = k.x . A força elástica tem módulo igual ao peso do bloco: Felast = 20 N .

20 ⇒ = x 0,2 m 100 A energia potencial gravitacional será igual a: x Portanto: =

⇒

Ec= =60 60 JJ Ec

A energia potencial gravitacional é dada por:

162

RESOLUÇÃO

k.x 2 100.0,22 Epelast = = = 50.0,04 2 2

⇒

Epelast =2 J Ep elast =

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação

02. (Acafe SC) Após uma cirurgia no ombro comumente o médico indica exercícios fisioterápicos para o fortalecimento dos músculos. Esses, por sua vez, podem ser realizados com auxílio de alguns equipamentos, como por exemplo: bolas, pesos e elásticos. Considere um exercício realizado com a ajuda do elástico, em que o paciente deve puxá-lo até seu corpo e depois soltá-lo lentamente. A figura abaixo ilustra a posição do paciente.

Considerando o exposto, assinale a alternativa correta que completa as lacunas das frases a seguir. Quando o paciente puxa o elástico, fornece energia para o mesmo, que a armazena na forma de ___________. A força aplicada pelo elástico na mão do paciente é uma força __________ e __________. a) energia potencial elástica - constante - conservativa. b) energia potencial gravitacional - constante - não conservativa. c) energia potencial elástica - variável - conservativa. d) energia potencial gravitacional- variável- não conservativa. 03. (UECE) O período atual de estiagem no Ceará tem tornado bastante comum o uso do popularmente conhecido poço profundo. Considere um poço desse tipo com uma profundidade

de 80 m abaixo da superfície. Suponha também que o nível do espelho d’água esteja a 10 m do fundo. Assuma que o nível referência para cálculo da energia potencial seja a superfície onde se localiza a parte superior do poço, ou seja, massas localizadas na superfície têm energia potencial gravitacional zero. Durante o bombeamento, a energia potencial gravitacional da água desde o fundo do poço até chegar ao nível do solo a) diminui. b) é constante e positiva. c) aumenta. d) é constante e negativa. 04. (UFPR) Com relação aos conceitos relativos a energia, identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F): ( ) Se um automóvel tem a sua velocidade dobrada, a sua energia cinética também dobra de valor. ( ) A energia potencial gravitacional de um objeto pode ser positiva, negativa ou zero, dependendo do nível tomado como referência. ( ) A soma das energias cinética e potencial de um sistema mecânico oscilatório é sempre constante. ( ) A energia cinética de uma partícula pode ser negativa se a velocidade tiver sinal negativo. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo. a) V – V – F – V. b) F – F – V – F. c) F – V – F – V. d) V – F – V – V. e) F – V – F – F. 05. (UECE) Duas massas iguais são presas entre si por uma mola ideal que obedece à lei de Hooke. Considere duas situações: (i) a mola é comprimida a 50% de seu tamanho original; e (ii) a mola é distendida de 50% de seu comprimento original. O termo tamanho original se refere à mola sem compressão nem distensão. Sobre a energia elástica armazenada na mola nas situações (i) e (ii), é correto afirmar que a) é a mesma nos dois casos. b) é maior no caso (i). c) é maior no caso (ii). d) é nula em um dos casos. 06. (UECE) Na geração de energia elétrica com usinas termelétricas, há transformação de energia térmica em elétrica. Na geração a partir de hidrelétricas, a conversão para energia elétrica se dá primariamente a partir de energia a) potencial elétrica da água nos reservatórios. b) potencial gravitacional da água nas represas. c) potencial elástica nas turbinas. d) cinética da água armazenada em repouso nas represas.

163

B19  Energia potencial

01. (UCS RS) Um marido sai do estádio de futebol após o jogo e resolve esticar a conversa com os amigos em um bar. Às três da manhã, ele lembra que tinha prometido para a esposa chegar a casa à meia-noite, porque é o horário em que ela costuma dormir. Ele correu para casa e conseguiu fazer tudo que precisava em silêncio, para não acordá-la. Porém, no momento em que foi deitar na cama, pronto para mentir no dia seguinte, que tinha chegado um pouco depois da meia-noite, por descuido, esbarra o cotovelo no abajur do criado-mudo, que cai e quebra. Se ele tivesse que culpar diretamente alguma forma de energia pela queda do abajur (que o obrigou a dar explicações até o amanhecer), seria a energia a) potencial gravitacional. b) interna. c) potencial química. d) potencial elástica. e) potencial elétrica.

Física

Exercícios Complementares 01. (Unirv GO) “Na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma” (Antoine Lavoisier). O postulado de Lavoisier é recorrente nas Ciências. Seu postulado para a conservação das massas em uma reação química pode ser interpretado também para a energia mecânica. Sobre os princípios da Energia Mecânica, julgue as afirmativas em V para verdadeiras ou F para falsas. Gab: VVVF a) Um estilingue, muito utilizado por crianças, quanto mais esticado, mais energia potencial elástica se armazena; em seguida, essa energia é transferida para a pedra, que adquire energia cinética. b) Desprezando-se todas as formas de atrito, podemos afirmar que uma pessoa com massa 70 kg escorregando por um tobogã (brinquedo de parques aquáticos) de 10 m de altura atinge a parte mais baixa do brinquedo com uma velocidade de aproximadamente 14 m/s. c) Um automóvel de 1 tonelada a 36 km/h aciona os freios e para 10 m após o acionamento dos freios. O módulo da força aplicada pelos freios do automóvel equivale a 5 × 103 N. d) A força gravitacional é uma força não conservativa, pois o trabalho realizado por essa força depende da trajetória. 02. (IF SC) Um livro de Física foi elevado do chão e colocado sobre uma mesa. É CORRETO afirmar que a energia utilizada para conseguir tal fato: a) Transforma-se em calor durante a subida. b) Fica armazenada no livro sob a forma de energia potencial gravitacional. c) Transforma-se em energia cinética. d) Fica armazenada no corpo sob a forma de energia química. e) A energia se perdeu para o meio. 03. (Enem MEC) Um garoto foi à loja comprar um estilingue e encontrou dois modelos: um com borracha mais “dura” e outro com borracha mais “mole”. O garoto concluiu que o mais adequado seria o que proporcionasse maior alcance horizontal, D, para as mesmas condições de arremesso, quando submetidos à mesma força aplicada. Sabe-se que a constante elástica kd (do estilingue mais “duro”) é o dobro da constante elástica km (do estilingue mais “mole”). D A razão entre os alcances d , referentes aos estilingues Dm com borrachas “dura” e “mole”, respectivamente, é igual a 1 . 4 1 b) . 6 c) 1. d) 2. e) 4.

B19  Energia potencial

164

04. (Anhembi Morumbi SP) Considere um ônibus espacial, de massa aproximada 1,0 × 105 kg, que, dois minutos após ser lançado, atingiu a velocidade de 1,34 × 103 m/s e a altura de 4,5 × 104 m.

(www.nasa.gov)

Sabendo que a aceleração gravitacional terrestre vale 10 m/s2, é correto afirmar que, naquele momento, as energias cinética e potencial, aproximadas, em joules, desse ônibus espacial, em relação ao solo, eram, respectivamente, a) 3,0 × 1010 e 9,0 × 1010 b) 9,0 × 1010 e 4,5 × 1010 c) 9,0 × 1010 e 3,0 × 1010 d) 3,0 × 1010 e 4,5 × 1010 e) 4,5 × 1010 e 3,0 × 1010 05. (Unitau SP) A figura abaixo mostra um bloco (de massa m), que está em repouso. O bloco está preso a uma mola cuja constante elástica é k, e o comprimento natural L. Para esse sistema mecânico (massa-mola), é CORRETO afirmar que

a) possui apenas energia potencial gravitacional. b) possui apenas energia potencial gravitacional e elástica. c) possui apenas energia potencial elástica. d) possui apenas energia cinética. e) não possui nenhuma forma de energia. 06. (Udesc SC) Analise as proposições em relação à informação: duas esferas sólidas, uma de massa m1 = m e outra de massa m2 = 2 m, estão em repouso a uma altura H do solo.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Os trabalhos realizados para deslocar as duas esferas do solo até a altura H são iguais. II. A energia potencial das duas esferas é igual. III. A energia potencial da esfera 2 é o dobro da energia potencial da esfera 1. IV. Nada se pode afirmar sobre a energia cinética das duas esferas. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras. b) Somente a afirmativa III é verdadeira. c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. d) Somente a afirmativa II é verdadeira. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 07. (UCB DF) Determinado atleta usa 25% da energia cinética obtida na corrida para realizar um salto em altura sem vara. Se ele atingiu a velocidade de 10 m/s, considerando g = 10 m/s2, a altura atingida em razão da conversão de energia cinética em potencial gravitacional é a seguinte: a) 1,12 m b) 1,25 m c) 2,5 m d) 3,75 m e) 5 m 08. (Unitau SP) Duas partículas de massas mA e mB estão em repouso, apoiadas sobre os blocos C e D, respectivamente. Sabendo que esse sistema está sobre a superfície da Terra, onde a aceleração local da gravidade pode ser considerada uniforme, é CORRETO afirmar que

a) a energia do bloco A é maior que a do bloco B, mesmo que a massa mB > mA. b) a energia do bloco B é menor que a do bloco A, mesmo que a massa mB > mA. c) o sistema, quando supostamente isolado do resto do Universo, não possui qualquer forma de energia. d) a energia do bloco A pode ser igual à energia do bloco B, se a razão entre a mA pela mB for igual à razão entre a altura do bloco D pela altura do bloco C, medidas com relação ao solo. e) as energias dos blocos A e B nunca podem ser iguais. 09. (Unicamp SP) Andar de bondinho no complexo do Pão de Açúcar no Rio de Janeiro é um dos passeios aéreos urbanos mais famosos do mundo. Marca registrada da cidade, o Morro do Pão de Açúcar é constituído de um único bloco de granito, despido de vegetação

em sua quase totalidade e tem mais de 600 milhões de anos. O passeio completo no complexo do Pão de Açúcar inclui um trecho de bondinho de aproximadamente 540 m, da Praia vermelha ao Morro da Urca, uma caminhada até a segunda estação no Morro da Urca, e um segundo trecho de bondinho de cerca de 720 m, do Morro da Urca ao Pão de Açúcar. A altura do Morro da Urca é de 220 m e a altura do Pão de Açúcar é de cerca de 400 m, ambas em relação ao solo. A variação da energia potencial gravitacional do bondinho com passageiros de massa total M = 5000 kg, no segundo trecho do passeio, é (Use g = 10 m/s2.) a) 11 x 106 J. b) 20 x 106 J. c) 31 x 106 J. d) 9 x 106 J. 10. (Udesc SC) Na realização de um experimento verificou-se a existência de uma constante de proporcionalidade entre a energia potencial gravitacional e a altura até onde um objeto era erguido. Nesse caso, em termos dimensionais, essa constante de proporcionalidade é equivalente ao (à): a) trabalho b) potência c) velocidade d) aceleração e) força 11. (UCS RS) A calça legging é uma peça de roupa elástica que usualmente cobre da cintura até as canelas do usuário. Atualmente, seu uso tornou-se muito popular. Suponha uma calça legging cujas propriedades de elasticidade a façam equivalente a uma mola de constante elástica k = 4 N/m, com deslocamento máximo, a partir do comprimento de relaxamento, de 1 metro, acima do qual a mola rompe. Se uma pessoa, ao vestir a calça, a coloca nesse limite, qual a energia potencial elástica armazenada na calça legging? a) 2,0 J b) 6,0 J c) 8,0 J d) 12,0 J e) 16,0 J 12. (Unicamp SP) As eclusas permitem que as embarcações façam a transposição dos desníveis causados pelas barragens. Além de ser uma monumental obra de engenharia hidráulica, a eclusa tem um funcionamento simples e econômico. Ela nada mais é do que um elevador de águas que serve para subir e descer as embarcações. A eclusa de Barra Bonita, no rio Tietê, tem um desnível de aproximadamente 25 m. Qual é o aumento da energia potencial gravitacional quando uma embarcação de massa m = 1,2×104 kg é elevada na eclusa? a) 4,8 × 102 J b) 1,2 × 105 J c) 3,0 × 105 J d) 3,0 × 106 J 165

B19  Energia potencial

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO B20

ASSUNTOS ABORDADOS nn Energia mecânica nn Princípio da conservação da energia nn Princípio da conservação da energia mecânica nn Sistema dissipativo nn Diagramas de energia

ENERGIA MECÂNICA A energia mecânica pode ser definida como a capacidade de um corpo de realizar trabalho. Quando essa capacidade de realizar trabalho está relacionada com o movimento, ela é chamada de energia cinética. Porém, se a capacidade de realizar trabalho estiver relacionada com a posição de um corpo, ela é chamada de energia potencial. A energia mecânica total de um sistema é a soma da energia cinética com a energia potencial, podendo ser gravitacional ou elástica. Vale lembrar que de acordo com o SI (Sistema Internacional) a unidade de medida da energia mecânica é o joule (J). EM= EC + EP

Princípio da conservação da energia Podemos entender melhor os processos e transformações que ocorrem na natureza se os analisamos em termos de transformações de energia de uma forma para outra ou de transferências de um lugar para outro. O estudo das diversas formas de energia e suas transformações levou a uma das maiores generalizações da Física, a Lei da Conservação da Energia. A energia não pode ser criada ou destruída; pode apenas ser transformada de uma forma para outra, com sua quantidade total permanecendo constante.

Princípio da conservação da energia mecânica Se apenas forças conservativas atuam sobre um objeto em movimento, a soma da energia cinética do objeto com sua energia potencial permanece constante para qualquer ponto da trajetória.

Figura 01 - Energia mecânica da bola de basquete sendo transformada, ora, em energia potencial gravitacional, energia cinética ou energia potencial elástica. A cada quique da bola parte da energia é dissipada na forma de energia térmica e energia sonora.

166

Forças dissipativas ou não conservativas são aquelas cujo trabalho depende da trajetória seguida pelo corpo. Como exemplo, temos a força de atrito cinético e a força de resistência do ar.

Fonte: shutterstock.com/Por RealCG Animation Studio

Forças conservativas são aquelas cujo trabalho não depende da trajetória. Como exemplo, podemos citar a força gravitacional, a força elástica e a força elétrica.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Se o sistema for conservativo, a energia mecânica em (a) será igual à energia mecâE= E= EMD nica em (b), em (c) e em (d). EM= MB MC A

Sistema dissipativo Se atuarem forças dissipativas, haverá energia dissipada correspondente ao trabalho realizado por essas forças. Nesse caso, a energia mecânica diminui ao longo da trajetória, isto é, a energia mecânica inicial é diferente da energia mecânica final. A diferença entre a energia mecânica inicial e a final é exatamente igual à energia dissipada. A energia dissipada é igual ao módulo do trabalho realizado pelas forças dissipativas. EMI − EMF = EMD EMD = tFdissipativas

Diagramas de energia nn Energia

potencial elástica e energia cinética

A energia potencial elástica é uma função do 2º grau em relação à elongação x da k.x 2 mola: EPE = , portanto, sua representação gráfica será uma parábola de concavida2 de para cima. Para que a energia mecânica permaneça constante, a representação gráfica da energia cinética deve ser uma parábola de concavidade voltada para baixo.

Na posição central (x = 0) a energia potencial é nula e a energia cinética é igual à energia mecânica total. Nos extremos, (+x) ou (−x), a energia cinética é nula e a energia potencial é igual à energia mecânica total. nn Energia

potencial gravitacional e energia cinética B20  Energia mecânica

Considere um corpo em queda livre (fig. A) e lançado verticalmente para cima (Fig. B). A altura do corpo em relação ao solo é uma função quadrática em relação ao 1 tempo: h = gt2 . 2 Assim, a representação gráfica da energia potencial em função do tempo será uma parábola. Em consequência, a energia cinética será uma parábola invertida para que a energia mecânica total permaneça constante. 167

Física

nn Observe

que, quando a energia cinética é nula, a energia potencial é máxima e vice-versa. nn Em qualquer instante de tempo, a energia mecânica total será a soma das energias cinética e potencial.

EXEMPLOS 01. (Espcex SP) Um corpo de massa 300 kg é abandonado, a partir do repouso, sobre uma rampa no ponto A, que está a 40 m de altura, e desliza sobre a rampa até o ponto B, sem atrito. Ao terminar a rampa AB, ele continua o seu movimento e percorre 40 m de um trecho plano e horizontal BC com coeficiente de atrito dinâmico de 0,25 e, em seguida, percorre uma pista de formato circular de raio R, sem atrito, conforme o desenho abaixo. Calcule o maior raio R que a pista pode ter, para que o corpo faça todo trajeto, sem perder o contato com ela. Dado: intensidade da aceleração da gravidade g=10 m/s2

Para não perder contato com a pista, no ponto mais alto da trajetória a ve⇒ vMIN = 10R locidade mínima deve ser igual a vMIN = Rg Aplicando novamente o Princípio da Conservação da Energia Mecânica entre o ponto C e o ponto de altura máxima, temos: ECC + EPC = ECD + EPD

⇒

300 = 5R + 20R

⇒

300.600 300.10R + 0= + 300.10.2R 2 2 25R = 300

⇒

R = 12 m

02. (UFPE) Um corpo de massa 1 kg é preso a uma mola e posto a oscilar sobre uma mesa sem atrito, como mostra a figura. Sabendo que, inicialmente, o corpo foi colocado à distância de 20 cm da posição de equilíbrio e, então, solto, determine a velocidade máxima do corpo ao longo do seu movimento, em m/s. Considere que quando o corpo é pendurado pela mola e em equilíbrio, a mola é alongada de 10 cm

RESOLUÇÃO O sistema é conservativo de A até B, portanto vamos utilizar o Princípio da Conservação da Energia Mecânica entre A e B. EMA = EMB

⇒

ECA + EPA = ECB + EPB

vB2 2

⇒

vB2 = 800

10.40 =

⇒

mvB2 0 + mgh = +0 2

vB = 20 2 m/s

B20  Energia mecânica

De B até C, o sistema é dissipativo, portanto não haverá conservação da energia mecânica. Vamos então calcular o trabalho realizado pela força de atrito.

tAT = −FAT .d = −µc .FN .d = −0,25.300.10.40 = −30000 J Quando o sistema é dissipativo, temos: mvB2 mv2C 300.800 300v2C − = tAT ⇒ − = 30000 2 2 2 2 120000 − 30000 = 150v2C ⇒ v2C = 600 ⇒ v C = 10 6 m/s

tAT EMB − EMC =

168

⇒

RESOLUÇÃO A força elástica é uma força conservativa, portanto, podemos aplicar o Princípio da Conservação da Energia Mecânica para o sistema massa-mola. Mas, antes disso, vamos calcular a constante elástica (k) da mola. FEL = Peso

⇒

kx= mg

⇒

1.10 0,1

⇒

k= 100 N/m

A velocidade do bloco será máxima quando a sua energia cinética for máxima e isso acontece quando a energia potencial é mínima, nesse caso, nula. Então toda a energia potencial elástica será transformada em energia cinética do bloco. ECMAX = EPMAX

⇒

2 mvmax k.x 2 = max 2 2

2 = vmax 4

⇒

2 1.vmax 100.(0,2)2 = 2 2

vmax = 2 m/s

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. (Enem MEC) Um automóvel, em movimento uniforme, anda por uma estrada plana, quando começa a descer uma ladeira, na qual o motorista faz com que o carro se mantenha sempre com velocidade escalar constante.

03. (Mackenzie SP) Uma partícula de massa m é lançada com  uma velocidade inicial v0 , vertical e para cima. O gráfico que melhor representa a energia cinética (Ec) em função do tempo (t) é

Durante a descida, o que ocorre com as energias potencial, cinética e mecânica do carro? a) A energia mecânica mantém-se constante, já que a velocidade escalar não varia e, portanto, a energia cinética é constante. b) A energia cinética aumenta, pois a energia potencial gravitacional diminui e quando uma se reduz, a outra cresce. c) A energia potencial gravitacional mantém-se constante, já que há apenas forças conservativas agindo sobre o carro. d) A energia mecânica diminui, pois a energia cinética se mantém constante, mas a energia potencial gravitacional diminui. e) A energia cinética mantém-se constante, já que não há trabalho realizado sobre o carro. 02. (UFPB) Em uma estação ferroviária, ao final do trilho da linha do trem, é colocada uma mola de segurança para evitar o choque do trem com a parede, caso ocorra um problema com os freios do trem. Na ocorrência de uma colisão do trem com a mola, considera-se que: nn O trem se desloca com velocidade constante antes do choque com a mola; nn O trilho e a mola estão dispostos horizontalmente; nn Os atritos envolvidos são desprezíveis.

04. (Ufscar SP) Um homem manejou seu trator, descendo por

Nessas circunstâncias, o engenheiro responsável pela segurança da estação faz as seguintes afirmações: I. A compressão máxima da mola, com o trem cheio de passageiros, é menor do que com o trem vazio. II. A compressão máxima da mola é maior quanto maior for a velocidade do trem. III. A compressão máxima da mola é menor quanto maior for a constante elástica da mola. IV. A compressão máxima da mola é a mesma, se a velocidade do trem e a constante elástica da mola forem duplicadas. Estão corretas apenas as afirmativas: a) I, II e IV b) I, III e IV c) I e II d) III e IV e) II e III

a) manteve-se constante, com aumento da energia cinética

uma estrada retilínea. Ele observou que, mesmo acionando os freios, o trator manteve constante sua velocidade durante o deslocamento. É correto afirmar que, entre os pontos inicial e final do deslocamento, a energia mecânica do trator e diminuição da energia potencial gravitacional. b) diminuiu, com diminuição das energias cinética e potencial gravitacional. c) diminuiu, com diminuição da energia potencial gravitacional e manutenção da energia cinética. d) aumentou, pois o aumento da energia cinética foi maior do que a diminuição da energia potencial gravitacional. e) aumentou, pois a diminuição da energia potencial gravitacional foi menor do que a manutenção da energia

05. (Fuvest SP) A figura abaixo mostra o gráfico da energia potencial gravitacional U de uma esfera em uma pista, em função da componente horizontal x da posição da esfera na pista.

169

B20  Energia mecânica

cinética.

Física

sonda de 2000 kg passa, por aerofrenagem, de uma órbita, onde sua velocidade é de 8 km/s, para outra, onde sua velocidade é de 4 km/s, quanto de energia cinética ela perdeu por atrito dinâmico para a atmosfera? Considere que todo o processo de perda de energia cinética foi somente pelo referido atrito. a) 13,4 × 109 J A esfera é colocada em repouso na pista, na posição de abscissa x = x1, tendo energia mecânica E < 0. A partir dessa condição, sua energia cinética tem valor Note e adote: desconsidere efeitos dissipativos. a) máximo igual a |U0|. b) igual a |E| quando x = x3. c) mínimo quando x = x2. d) máximo quando x = x3. e) máximo quando x = x2. 06. (UFTM MG) Um automóvel percorre o trecho de uma estrada

b) 26,0 × 109 J c) 29,5 × 109 J d) 48,0 × 109 J e) 52,4 × 109 J 08. (Ufscar SP) Para a distribuição de mantimentos, um helicóptero sobrevoa uma aldeia indígena que se encontra isolada do acesso terrestre. A certa altura do solo, o piloto deixa cair, a partir do repouso, um pacote de mantimentos de massa 250 kg. A energia potencial do pacote no instante em que o piloto o larga é de 250 000 J. Considerando desprezíveis todas as resistências, é correto afirmar que a energia cinética do pacote

mostrado em corte na figura. Entre os pontos A e B, ele desce

ao atingir o solo tem valor, em joules, igual a

uma ladeira em movimento uniforme; entre C e D, sobe um

a) 500 000

plano inclinado em movimento acelerado; e, entre E e F, movi-

b) 350 000

menta-se em um plano horizontal, em movimento retardado.

c) 250 000 d) 200 000 e) 100 000 09. (Puc RS) Considere figura abaixo, que representa o trecho de uma montanha-russa pelo qual se movimenta um carrinho com massa de 400 kg. A aceleração gravitacional local é de 10 m/s2.

É correto afirmar que a energia mecânica do automóvel nos trechos AB, CD e EF, respectivamente, a) aumenta, aumenta e mantém-se constante. b) aumenta, aumenta e diminui. c) diminui, aumenta e diminui. d) diminui, aumenta e mantém-se constante. e) mantém-se constante, aumenta e diminui. 07. (UCS RS) Faz parte da exploração espacial o envio de sondas a outros planetas. Mas, colocar um veículo desses em sua posição final apresenta inúmeros desafios. As sondas orbitais (que não pousam) ao serem capturadas pela gravidade do Planeta possuem grande velocidade. Para chegar mais B20  Energia mecânica

perto da superfície, os veículos precisam reduzi-la. Uma técnica para isso é a aerofrenagem, na qual a velocidade da sonda é reduzida de forma controlada pelo atrito dinâmico da nave com a atmosfera do Planeta, como foi o caso da sonda norte-americana Mars Reconnaissance Orbiter, que entrou na órbita em torno de Marte, em 2006. Se uma

170

Partindo do repouso (ponto A), para que o carrinho passe pelo ponto B com velocidade de 10 m/s, desprezados todos os efeitos dissipativos durante o movimento, a altura hA, em metros, deve ser igual a a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios Complementares

02. (IME RJ) Um bloco, que se movia à velocidade constante v em uma superfície horizontal sem atrito, sobe em um plano inclinado até atingir uma altura h, permanecendo em seguida em equilíbrio estável. Se a aceleração da gravidade local é g, pode-se afirmar que a) v2 = 2gh b) v2 > 2gh c) v2 < 2gh 1 d) v2 = gh 2 e) v2 = 4gh 03. (Fuvest SP) Uma bola de massa m é solta do alto de um edifício. Quando está passando pela posição y = h, o módulo de sua velocidade é v. Sabendo-se que o solo, origem para a escala de energia potencial, tem coordenada y = h0, tal que h > h0>0, a energia mecânica da bola em y = (h – h0)/2 é igual a a)

1 1 mg(h − h0 ) + mv2 2 4

1 1 mg(h − h0 ) + mv2 2 2

1 mg(h − h0 ) + 2mv2 2

1 d) mgh + mv2 2 1 e) mg(h − h0 ) + mv2 2

Note e adote:Desconsidere a resistência do ar. g é a aceleração da gravidade. 04. (UEPG PR) A montanha-russa é um brinquedo no qual é possível explorar conceitos físicos na prática e com muita emoção. Das mais modernas às mais antigas, aventurar-se nos sobressaltos planejados requer encarar os medos e aproveitar a adrenalina. Sobre os conceitos físicos envolvidos no funcionamento da montanha-russa, assinale o que for correto. Gab: 03

01. No ponto mais alto da trajetória circular do trecho de um trilho que apresenta um looping, as forças que atuam nos carrinhos, na ausência de ventos, são a força peso e a reação normal do apoio, ambas verticais e orientadas para baixo. 02. Durante a descida dos carrinhos, na ausência de forças dissipativas, a energia cinética e a velocidade aumentam. 04. A energia potencial dos carrinhos diminui na medida em que estes forem subindo pelos trilhos, devido à baixa velocidade. 08. No ponto de maior altura da montanha-russa, a energia mecânica dos carrinhos é maior do que no ponto de menor altura. 05. (Puc RS) Analise a situação a seguir e a figura que a representa. Um pêndulo simples e de massa m oscila, a partir do repouso na posição 1, livre de qualquer tipo de força dissipativa. A figura abaixo representa algumas das posições ocupadas pela massa m durante um ciclo de seu movimento oscilatório, em um campo gravitacional constante e vertical para baixo.

Sobre as energias cinética (EC), potencial gravitacional (EP) e mecânica (EMEC), medidas para a massa m em relação ao referencial h, é correto afirmar: a) EC2 = EP1 b) EC2 = EC3 c) EMEC1 = EMEC2 d) EP3 = EP1 e) EP2 = EP3 06. (Mackenzie SP) B20  Energia mecânica

01. (UEG GO) Em um experimento que valida a conservação da energia mecânica, um objeto de 4,0 kg colide horizontalmente com uma mola relaxada, de constante elástica de 100 N/m. Esse choque a comprime 1,6 cm. Qual é a velocidade, em m/s, desse objeto, antes de se chocar com a mola? a) 0,02 b) 0,40 c) 0,08 d) 0,13

171

Física

Um jovem movimenta-se com seu “skate” na pista da figura acima desde o ponto A até o ponto B, onde ele inverte seu sentido de movimento. Desprezando-se os atritos de contato e considerando a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s2, a velocidade que o jovem “skatista” tinha ao passar pelo ponto A é a) entre 11,0 km/h e 12,0 km/h b) entre 10,0 km/h e 11,0 km/h c) entre 13,0 km/h e 14,0 km/h d) entre 15,0 km/h e 16,0 km/h e) menor que 10,0 km/h

a) 0,625 cm b) 6,25 cm c) 62,5 cm d) 6,25 m e) 62,5 m

07. (IF SC) Considere somente as forças conservativas que atuam

09. (Enem MEC) Para irrigar sua plantação, um produtor rural construiu um reservatório a 20 metros de altura a partir da barrafigura a seguir mostra o gráfico de energia cinética em função gem de onde será bombeada a água. Para alimentar o motor da posição ocupada pela laranja. elétrico das bombas, ele instalou um painel fotovoltaico. A potência do painel varia de acordo com a incidência solar, chegando a um valor de pico de 80 W ao meio-dia. Porém, entre as 11 horas e 30 minutos e as 12 horas e 30 minutos, disponibiliza uma potência média de 50 W. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e uma eficiência de transferência energética de 100%. Qual é o volume de água, em litros, bombeado para o reservatório no intervalo de tempo citado? a) 150 Sabendo-se que a energia mecânica da laranja é 1000 J, marque b) 250 no cartão-resposta a soma da(s) proposição(ões) CORRETA(S). Gab: 13 c) 450 01. Na posição x = 10 m, a velocidade da laranja é igual a d) 900 360 km/h. e) 1 440 02. Na posição x = 20 m, a velocidade da laranja é igual a 50 m/s. sobre uma laranja em movimento e de massa igual a 200 g. A

04. Na posição x = 30 m, a energia potencial da laranja é máxima. 08. Na posição x = 40 m, a energia potencial da laranja é igual à energia cinética. 16. A energia potencial da laranja será máxima sempre que a energia mecânica for máxima. 32. A energia potencial da laranja é igual à soma da energia cinética e da energia mecânica.

10. (Unimontes MG) A figura a seguir mostra o projeto de um trecho de uma montanha russa. Nessa montanha russa, pretende-se que o ‘loop’ tenha um diâmetro de 6 m de altura. O carrinho, que parte do repouso no ponto A, passa pelo ponto B na iminência de perder o contato com o trilho. Suponha que não exista atrito entre o carrinho e o trilho e que a aceleração da gravidade no local possui módulo g = 10 m/s2. A altura H, em m, é

08. (FPS PE) A figura abaixo mostra um bloco de massa 1 kg abandonado do repouso no ponto A, que está a uma altura H em relação ao nível inferior, onde se encontra uma mola ideal com constante elástica 50 N/m. Assuma que não há atrito considerável entre a superfície inferior do bloco e a superfície da calha ao longo de toda a trajetória do bloco e que a aceleB20  Energia mecânica

ração da gravidade local vale 10 m/s2. O bloco desce a calha, atinge a mola e a comprime por uma distância x = 0,5 m, antes de parar totalmente e retomar seu movimento de retorno, do ponto B para o ponto A. Com base nesses dados, a altura H deve ser igual a:

172

a) 12,0 b) 7,5 c) 10,5 d) 18,0

FRENTE

FÍSICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Mackenzie SP) Certo corpo de massa 10,0 kg está suspenso por uma pequena argola, que pode deslizar, sem atrito, por um fio, supostamente ideal. Em uma primeira situação, o corpo encontra-se na posição ilustrada na figura 1 e, depois de certo tempo, encontra-se na posição ilustrada na figura 2. O trabalho realizado pela força peso, entre a posição 1 e

A altura da carroceria em relação ao solo é igual a 1,0 m, e o

a posição 2, foi

funcionário aplica a cada caixa uma força constante de 60 N,

 Considere: |g|= 10m / s2 e

paralela à rampa. Se considerarmos que cada caixa tem massa

6 ≅ 2,45

igual a 30 kg, que o coeficiente de atrito mc da caixa com a rampa vale 0,20, e que a extensão da rampa é de 2,0 m, pergunta-se: (Use g = 10 m/s2 ) a) Quanto vale o trabalho realizado pela força aplicada à caixa? b) Quanto vale o trabalho realizado pela força de atrito? 04. (Enem MEC) Um carro solar é um veículo que utiliza apenas a energia solar para a sua locomoção. Tipicamente, o carro contém um painel fotovoltaico que converte a energia do

a) 2,40 × 10–1 J

Sol em energia elétrica que, por sua vez, alimenta um motor

b) 2,45 × 10 J

elétrico. A imagem mostra o carro solar Tokai Challenger, de-

c) 5,00 × 10–1 J

senvolvido na Universidade de Tokai, no Japão, e que venceu

d) 2,40 J

o World Solar Challenge de 2009, uma corrida internacional

e) 2,45 J

de carros solares, tendo atingido uma velocidade média acima de 100 km/h.

–1

02. (Unesp SP) A tabela relaciona as massas que foram dependuradas na extremidade de uma mola e os diferentes comprimentos que ela passou a ter, devido à deformação que sofreu. Massas (g)

Comprimento da mola (cm)

100

200

300

Determine o trabalho, em joules, realizado pela força elástica da mola quando deformada de 20 cm. Considere a mola ideal e admita a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2.

τmola = −0,40 J

Disponível em: www.physics.hku.hk. Acesso em: 3 jun. 2015.

Considere uma região plana onde a insolação (energia solar por

03. (UFRRJ) Um funcionário de uma transportadora, desejando co-

unidade de tempo e de área que chega à superfície da Terra)

locar várias caixas na carroceria de um caminhão, desenvolve

seja de 1 000 W/m2, que o carro solar possua massa de 200 kg e

um dispositivo que consiste em uma rampa de madeira apoia-

seja construído de forma que o painel fotovoltaico em seu topo

da na extremidade do veículo, conforme ilustra a figura.

tenha uma área de 9,0 m2 e rendimento de 30%.

a) τF = 120 J b) τfat = −60 3 J

173

Física Questão 06. a) De acordo com o gráfico, a partir da velocidade 8,5 km/h, o atleta passa a gastar menos energia correndo do que andando. b) Em 12 h, o consumo energético dele será de: 720 kcal. c) 1200 W. d) 70 min.

Desprezando as forças de resistência do ar, o tempo que esse carro solar levaria, a partir do repouso, para atingir a velocidade de 108 km/h é um valor mais próximo de a) 1,0 s

a) a velocidade a partir da qual ele passa a gastar menos energia correndo do que andando; b) a quantidade de energia por ele gasta durante 12 horas de repouso (parado);

b) 4,0 s

c) a potência dissipada, em watts, quando ele corre a 15 km/h;

c) 10 s

d) quantos minutos ele deve andar, a 7 km/h, para gastar a quan-

d) 33 s

tidade de energia armazenada com a ingestão de uma barra

e) 300 s

de chocolate de 100 g, cujo conteúdo energético é 560 kcal.

05. (UFG GO) Há dez anos, foi lançado no Brasil o primeiro carro flex, capaz de funcionar com dois combustíveis: gasolina e etanol hidratado. Atualmente, mais de 90% dos carros leves vendidos no Brasil são dessa categoria. Os engenheiros brasileiros desenvolveram um inovador software automotivo para regulagem da injeção do combustível, que melhorou a eficiência dos motores e proporcionou o sucesso comercial dos veículos flex. Considere um carro flex, abastecido com etanol, que viaja em uma rodovia com velocidade constante

NOTE E ADOTE 1 cal = 4 J. 07. (Fuvest SP) No desenvolvimento do sistema amortecedor de queda de um elevador de massa m, o engenheiro projetista impõe que a mola deve se contrair de um valor máximo d, quando o elevador cai, a partir do repouso, de uma altura h, como ilustrado na figura a seguir. Para que a exigência do projetista seja satisfeita, a mola a ser empregada deve ter constante elástica dada por

igual a 100 km/h. Para manter essa velocidade, o motor desenvolve uma potência de 22 kW. Sabendo que o rendimento típico de um motor flex é η = 36% e que o poder calorífico do etanol hidratado é aproximadamente q = 5500 cal/cm3, calcule, nas condições indicadas no texto, Dado: 1 cal = 4 J

a) J = 1320 kJ; b) 10 km/litro.

a) a energia necessária para manter a velocidade do carro constante durante um minuto; b) o consumo de combustível em quilômetros por litro. 06. (Fuvest SP) A energia que um atleta gasta pode ser determinada pelo volume de oxigênio por ele consumido na respiração. Abaixo está apresentado o gráfico do volume V de oxigênio, em litros por minuto, consumido por um atleta de massa corporal de 70 kg, em função de sua velocidade, quando ele anda ou corre.

Note e adote: forças dissipativas devem ser ignoradas; a aceleração local da gravidade é g. a) 2mg(h + d) / d2 b) 2mg(h – d)/d2 c) 2mgh/d2 d) mgh/d e) mg/d 08. (Unesp SP) Um rapaz de 50 kg está inicialmente parado sobre a extremidade esquerda da plataforma plana de um carrinho em

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

repouso, em relação ao solo plano e horizontal. A extremidade direita da plataforma do carrinho está ligada a uma parede rígida, por meio de uma mola ideal, de massa desprezível e de constante elástica 25 N/m, inicialmente relaxada. O rapaz começa a caminhar para a direita, no sentido da parede, e o carrinho move-se para a esquerda, distendendo a mola. Para manter a mola distendida de 20 cm e o carrinho Considerando que para cada litro de oxigênio consumido são gastas 5 kcal e usando as informações do gráfico, determine, para esse atleta,

174

em repouso, sem deslizar sobre o solo, o rapaz mantém-se em movimento uniformemente acelerado.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Questão 10 ∆S 4,5 × 1012 m = = 15,8 × 103 m / s a) V = ∆t 3 × 107 × 9,5s

1 τ = mv2 2

b) v =

2τ 2 × 768 × 1011 = = 1,6 × 104 m / s m 6 × 105

b) A sonda New Horizons foi lançada da Terra pelo veículo espacial Atlas V 511, a partir do Cabo Canaveral. O veículo, com massa total m = 6 × 105 kg, foi o objeto mais rápido a ser lançado da Terra para o espaço até o momento. O trabalho realizado pela força resultante para levá-lo do repouso à sua velocidade máxima foi de t = 768 × 1011 J. Considerando que a massa total do veículo não variou durante o lançamento, calcule sua velocidade máxima. (www.ebanataw.com.br. Adaptado.)

11. (UFG GO) Para fazer um projeto da barragem de uma usina hidrelétrica de 19,8 m de altura, o projetista considerou um

Considerando o referencial de energia na situação da mola re-

pequeno volume de água ∆V caindo do topo da barragem a

laxada, determine o valor da energia potencial elástica armaze-

uma velocidade inicial de 2 m/s sobre as turbinas na base da

nada na mola distendida de 20 cm e o módulo da aceleração

barragem. Considerando o exposto, calcule:

do rapaz nessa situação.

Ee = 0,50 J e a = 0,10 m/s2

09. (Unesp SP) O assento horizontal de uma banqueta tem sua altura ajustada pelo giro de um parafuso que o liga à base da banqueta. Se girar em determinado sentido, o assento sobe 3 cm na vertical a cada volta completa e, no sentido oposto, desce 3 cm. Uma pessoa apoia sobre o assento uma lata de refrigerante de 360 g a uma distância de 15 cm de seu eixo de rotação e o fará girar com velocidade angular constante de 2 rad/s.

a) 20 m/s; b) 7,2 MW.

Dados: Densidade da água: ρ = 1 g/cm3 g = 10m/s2 a) a velocidade do volume de água ∆V ao chegar à turbina na base da barragem. b) a potência útil da usina, se sua eficiência em todo o processo de produção de energia elétrica for de 30%, para uma vazão de água de 120 × 106 cm3/s. 12. (Fuvest SP) Duas pequenas esferas, cada uma com massa de 0,2 kg, estão presas nas extremidades de uma haste rígida, de 10 cm de comprimento, cujo ponto médio está fixo no eixo de um motor que fornece 4 W de potência mecânica. A figura abaixo ilustra o sistema. No instante t = 0, o motor é ligado e o sistema, inicialmente em repouso, passa a girar em torno do eixo. Determine

Se a pessoa girar o assento da banqueta por 12 s, sempre no módulo da força de atrito, em newtons, que atua sobre a lata enquanto o assento gira com velocidade angular constante, e o módulo da variação de energia potencial gravitacional da lata, em joules.

Fat = 0,216 N ∆Epot = 0,432 J

10. (Unicamp SP) Recentemente, a sonda New Horizons tornou-se a primeira espaçonave a sobrevoar Plutão, proporcionando imagens espetaculares desse astro distante. a) A sonda saiu da Terra em janeiro de 2006 e chegou a Plutão em julho de 2015. Considere que a sonda percorreu uma distância de 4,5 bilhões de quilômetros nesse percurso e que 1 ano é aproximadamente 3 × 107 s. Calcule a velocidade escalar média da sonda nesse percurso.

12Gab: a) E = 20 J b) ω = 2,0 . 102 rad/s c) F ≅ 4,0 . 102 N d) α = 40 rad/s2

a) a energia cinética total E das esferas em t = 5 s; b) a velocidade angular ω de cada esfera em t = 5 s; c) a intensidade F da força entre cada esfera e a haste, em t = 5 s; d) a aceleração angular média α de cada esfera, entre t = 0 e t = 5 s. Note e adote: As massas da haste e do eixo do motor devem ser ignoradas. Não atuam forças dissipativas no sistema.

175

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

mesmo sentido, e adotando g = 10 m/s2 e π = 3, calcule o

FRENTE

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FÍSICA Por falar nisso Brasília – 20 de junho de 2014 – O primeiro nanossatélite brasileiro NanosatC-Br1, lançado ontem (19) às 16h11, já mantém contato com as bases de monitoramento. Desenvolvido com recursos da Agência Espacial Brasileira (AEB) e lançado na base de Yasny – Rússia, o cubesat está operando em modo de segurança e envia a sua localização por código Morse. As informações enviadas são recebidas pelas Estações Terrenas de Rastreio e Controle de Nanossatélite do Programa NanosatC-BR da Universidade Federal de Santa Maria e a do Ita/Inpe. O objetivo do cubesat é monitorar a intensidade e mapear o campo magnético sobre a América do Sul, explica Jean Batana, coordenador de Pesquisa, Desenvolvimento e Inovação da Diretoria de Satélites e Aplicação da AEB. “Os nanossatélites são importantes para o desenvolvimento da tecnologia espacial brasileira, além de motivar estudantes. É uma forma de congregar entre eles o trabalho na área espacial” fomenta José Raimundo Coelho, presidente da AEB. O NanosatC-Br1 foi desenvolvido pelo Centro Regional Sul de Pesquisas Espaciais (CRS/INPE), é também o primeiro cubesat universitário brasileiro a ser lançado. “Estamos felizes com o sucesso do projeto e que a AEB pode apoiar este marco na história” comemora o diretor de Satélites, Aplicações e Desenvolvimento da AEB, Carlos Gurgel. Juntamente com o NanosatC-Br-1, foram lançados na órbita terrestre outros 36 nanossatélites, todos liberados parcialmente. O cubesat brasileiro mandou seu primeiro contato às 21h23 desta quinta. O lançamento foi acompanhado presencialmente pelos coordenadores do projeto, Otávio Durão e Nelson Jorge Schuch. Coordenação de Comunicação Social (CCS-AEB)

Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

C17 C18 C19 C20

Movimento de satélites.................................................................178 Aceleração da gravidade................................................................185 A gravitação no interior da Terra...................................................190 Energia no campo gravitacional....................................................197

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO C17

ASSUNTOS ABORDADOS nn Movimento de satélites nn Newton e os satélites nn Como colocar um satélite em órbita nn Cálculo da velocidade do satélite nn Período de revolução do satélite

Um satélite terrestre é simplesmente um projétil que cai ao redor da Terra, ao invés de cair para o centro dela. A velocidade do satélite deve ser suficientemente grande para garantir que sua distância de queda se ajuste à curvatura da Terra. Um fato interessante sobre a curvatura da Terra é que sua superfície desce a uma altura de 5 metros para cada 8 000 metros tangentes à sua superfície. Isso significa que se você estivesse flutuando no oceano calmo, com seus olhos próximos à superfície da água, seria capaz de avistar apenas o topo de um mastro de 5 metros de altura de um navio a 8 quilômetros de distância.

Fonte: Wikimedia Commons

nn Satélite geoestacionário

MOVIMENTO DE SATÉLITES

Fonte: Wikimedia Commons

Figura 01 - A essa altitude, pode-se ver a curvatura da Terra.

Figura 02 - O Concorde era uma aeronave que voava a uma altitude de 6 230 quilômetros

178

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Newton e os satélites O movimento de satélites foi compreendido por Isaac Newton, o qual afirmava que a Lua era simplesmente um projétil circundando a Terra sob atração da força da gravidade. Ele comparou o movimento da Lua a uma bala de canhão disparada a partir do topo de uma alta montanha. Se essa bala fosse disparada com uma pequena velocidade horizontal, descreveria uma trajetória curva e logo atingiria a Terra. Se fosse disparada com uma velocidade maior, sua trajetória seria menos curva e ela atingiria a Terra em um ponto mais afastado. Se a bala de canhão fosse disparada com velocidade suficiente, Newton pensou:“a trajetória curva se tornaria um círculo e a bala de canhão circularia a Terra indefinidamente. Ela estaria em órbita”. “Quanto maior é a velocidade[...] com a qual (uma pedra) é lançada, mais longe ela irá, antes de cair sobre a Terra. Podemos supor, portanto, que se a velocidade fosse tão aumentada que ela descrevesse um arco de 1, 2, 5, 10, 100, 1 000 milhas até alcançar a Terra, finalmente excederia os limites do planeta e passaria ao espaço sem tocá-lo.” — Isaac Newton, em O Sistema do Mundo.

Como colocar um satélite em órbita Para se colocar um satélite em órbita, é necessário levá-lo, por meio de foguetes, até a altura desejada. O valor da altura varia muito de um satélite para outro, dependendo de vários fatores. Entretanto, a altura não deve ser inferior a 150 km para que, na região onde o satélite se movimentará, a atmosfera terrestre já esteja rarefeita e, dessa forma, a força de resistência do ar não perturbe o movimento do satélite.

179

C17  Movimento de satélites

Fonte: Wikimedia Commons

Atingindo-se a altura desejada, o satélite, ainda por meio de foguetes, é lançado horizontalmente com certa velocidade. Para que a trajetória do satélite seja uma órbita aproximadamente circular em torno do centro da Terra, essa velocidade horizontal deverá ter um determinado valor. Uma vez colocado em órbita, e desprezando as perturbações, o satélite continuará girando, indefinidamente, em torno da Terra.

Física

Cálculo da velocidade do satélite Consideremos um satélite de massa m em órbita circular, em torno da Terra, a uma altitude h. Seja R o raio e M a massa da Terra e, r o raio da órbita do satélite. De acordo com a Lei de Newton para a gravitação, o satélite ficará submetido a uma  força F que aponta na direção do centro da Terra. O módulo dessa força é dado por:

GMm , em que r= R + h e G é a constante gravitacional. r2 Mas, essa força gravitacional desempenha o papel da força centrípeta do movimento mv2 circular uniforme do satélite, cujo módulo é dado por: F = r F=

M.m mv2 = r2 r GM 2 ⇒ v= r

Igualando as duas equações, temos: G

= v

GM r

Período de revolução do satélite Período é o tempo que o satélite leva para completar uma volta em torno da Terra. Como o satélite desenvolve um movimento circular uniforme, temos que: v=

∆S ∆t

⇒

2πr T

Mas a velocidade do satélite é dada por: v2 = Igualando as duas equações, temos:

v2=

4 π2r2 T2

GM r

4 π2r2 GM = T2 r

T 2 .GM = 4 π2r3 C17  Movimento de satélites

⇒

T 2 4 π2 = r3 GM

G é a constante de gravitação universal e M é a massa da Terra, também constante,  4 π2  então, o termo   também é constante.  GM  Fazendo

180

4 π2 = Ě�� ⇒ GM

T2 = que é a expressão da Terceira Lei de Kepler. r3

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Satélite geoestacionário São assim denominados por serem colocados em uma órbita sobre o Equador de tal forma que o satélite tenha um período de rotação igual ao do nosso planeta Terra, ou seja, 24 horas. Com isso, a velocidade angular de rotação do satélite se iguala à da Terra e tudo se passa como se o satélite estivesse parado no espaço em relação a um observador na Terra. Para que um satélite entre em órbita, é necessário que ele atinja uma velocidade de pelo menos 28 800 Km/h. Com essa velocidade, se posicionarmos o satélite a 36 000 Km de altitude, acima do Equador. Ele ficará em uma órbita geoestacionária. Sabendo que o raio da Terra é da ordem de 6 000 km, teremos, para o raio da órbita do satélite geoestacionário, um valor de aproximadamente 42 000 km. Os satélites de comunicação são, na sua grande maioria, do tipo geoestacionários. Se a Terra fosse perfeitamente esférica, a única posição geoestacionária seria sobre o Equador. No caso real, a assimetria na distribuição das massas entre os hemisférios faz com que os satélites geoestacionários devam ser posicionados levemente fora do Equador.

Fonte: Wikimedia Commons

Como a altitude dos satélites geoestacionários é muito grande, eles têm um largo campo de visão, mas, mesmo assim, eles veem a Terra como um disco cuja área é menor do que a de um hemisfério terrestre.

EXEMPLOS

RESOLUÇÃO Inicialmente vamos transformar as unidades que não estão no Sistema Internacional (SI).

O raio da órbita é a soma do raio da Terra com a altura do satélite.

R h Portanto: r =+

⇒

r= 6,4.106 + 1,04.106 = 7,44.106 m

Aplicando a fórmula para o cálculo da velocidade orbital do satélite, temos: = v = v

GM r 5,4.107

⇒ = v

6,7.10 −11 ⋅ 6.1024 = 7,44.106

⇒= v

54.106

40,2.1013 7,44.106

⇒= v 7,3.103 m/s

h = 1 040 km = 1040 . 103 m = 1,04 . 106 m R = 6 400 km = 6400 . 103 m = 6,4 . 106 m

181

C17  Movimento de satélites

Pretende-se lançar um satélite artificial que irá descrever uma órbita circular, a 1 040 km de altura. Sabendo que a constante gravitacional G = 6,7 . 10-11 unidades do SI, que a massa e o raio da Terra são M = 6 . 1024 kg e R = 6 400 km, determine a velocidade tangencial que deve ser imprimida ao satélite, naquela altura, para se obter a órbita desejada.

Física

Exercícios de Fixação 01. (Enem MEC) Dois satélites artificiais, S1 e S2, de massas M e 2M, respectivamente, estão em órbita ao redor da Terra

a) não se comporta - não age

e sujeitos ao seu campo gravitacional. Quando o satélite S1

b) não se comporta - age

passa por um determinado ponto do espaço, sua aceleração

c) se comporta - não age

é de 7,0 m/s2.

d) se comporta - age

Qual será a aceleração do satélite S2, quando ele passar pelo mesmo ponto?

tes informações a respeito desse planeta anão. Ela orbitou a

b) 7,0 m/s2

uma distância d do centro de Plutão, cuja massa é 500 vezes

c) 9,8 m/s2

menor que a da Terra, com uma velocidade orbital VP. Se or-

d) 14 m/s2

bitasse ao redor da Terra, a uma distância 2d de seu centro,

e) 49 m/s2

sua velocidade orbital seria VT. A relação VT/VP entre essas

02. (Unitau SP) Um satélite B, cuja massa é mB, gira numa órbita

velocidades valeria

perfeitamente circular de raio R em torno de planeta A, cuja

a) 2

massa é mA. A distância R entre os centros de massa dos cor-

b) 3

pos A e B é muito maior do que as dimensões do planeta e

c) 4

do satélite. Em relação ao descrito, é CORRETO afirmar que

d) 5

a) a velocidade do satélite depende apenas da massa do

e) 10

satélite. b) a velocidade do satélite é diretamente proporcional à distância entre centros desses corpos. c) a velocidade do satélite é de

GmB / R , onde G é a Cons-

tante de Gravitação Universal. d) a velocidade do satélite é de

GmA / R , onde G é a Cons-

tante de Gravitação Universal. e) a força que mantém o satélite em órbita é a força nuclear entre o planeta e o satélite. 03. (Acafe SC) Após o lançamento do primeiro satélite artificial Sputnik I pela antiga União Soviética (Rússia) em 1957, muita coisa mudou na exploração espacial. Hoje temos uma Estação Espacial internacional (ISS) que orbita a Terra em uma órbita de raio aproximadamente 400 km. A ISS realiza sempre a mesma órbita ao redor da Terra, porém, não passa pelo mesmo ponto fixo na Terra todas as vezes que completa sua trajetória. Isso acontece porque a Terra possui seu movimento de rotação, ou seja, quando a ISS finaliza sua órbita, a Terra girou, posicionando-se em outro local sob a C17  Movimento de satélites

04. (FGV) A nave americana New Horizons passou, recentemente, bem perto da superfície de Plutão, revelando importan-

a) 3,5 m/s2

Estação Espacial. Considere os conhecimentos de gravitação e o exposto acima e assinale a alternativa correta que completa as lacunas das frases a seguir. A Estação Espacial Internacional __________ como um satélite geoestacionário. Como está em órbita ao redor da Terra

182

pode-se afirmar que a força gravitacional ________ sobre ela.

10 multiplicada pelo fator

05. (UEL PR) A posição média de um satélite geoestacionário em relação à superfície terrestre se mantém devido à a) sua velocidade angular ser igual à velocidade angular da superfície terrestre. b) sua velocidade tangencial ser igual à velocidade tangencial da superfície terrestre. c) sua aceleração centrípeta ser proporcional ao cubo da velocidade tangencial do satélite. d) força gravitacional terrestre ser igual à velocidade angular do satélite. e) força gravitacional terrestre ser nula no espaço, local em que a atmosfera é rarefeita. 06. (UEMG) Imagine que, num mesmo instante, uma pedra seja abandonada por uma pessoa, na Terra, e por um astronauta, na Lua, de uma mesma altura. Sabe-se que a gravidade na Lua é 6 vezes menor do que na Terra. Na Terra, despreze a resistência do ar no movimento da pedra. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a) as duas pedras chegarão juntas ao solo. b) as duas pedras chegarão ao solo com a mesma velocidade. c) o tempo gasto pela pedra para atingir o solo será maior na Terra do que na Lua. d) a velocidade com que a pedra atinge o solo na Terra é maior do que na Lua.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios Complementares

Note e adote: raio da Terra = 6 × 103 km massa da Terra = 6 × 1024 kg constante de gravitação universal G = 6,7 × 10–11 m3/(s2 kg) a) 61 km/s b) 25 km/s c) 11 km/s d) 7,7 km/s e) 3,3 km/s 02. (Udesc SC) Um satélite artificial, em uma órbita geoestacionária em torno da Terra, tem um período de órbita de 24 h. Para outro satélite artificial, cujo período de órbita em torno da Terra é de 48 h, o raio de sua órbita, sendo RGeo o raio da órbita geoestacionária, é igual a: a) 3 ⋅ RGeo b) 31/4 ⋅ RGeo c) 2 ⋅ RGeo d) 41/3 ⋅ RGeo e) 4 ⋅ RGeo 03. (UFG GO) As estações do ano devem-se basicamente à inclinação do eixo de rotação da Terra, a qual possui um período de precessão próximo de 26 000 anos. Na época atual, os solstícios ocorrem próximos ao afélio e ao periélio. Dessa maneira, o periélio ocorre no mês de dezembro, quando a distância Terra-Sol é de 145 × 106 km, e a velocidade orbital da Terra é de 30 km/s. Considere que, no afélio, a distância Terra-Sol é de 150 × 106 km. Nesse sentido, a velocidade de

04. (Unimontes MG) Um satélite será lançado para o espaço, com o objetivo de emitir sinais para antenas receptoras colocadas em uma determinada região da superfície da Terra. Para tanto, o movimento circular do satélite deverá ter o mesmo período que o da rotação da Terra em torno do seu próprio eixo. Assim, o satélite permanecerá sempre sobre um mesmo ponto da superfície terrestre. Para realizar esse movimento, o satélite deverá ser lançado com uma velocidade de 3 km/s na direção tangente à sua trajetória circular. A altura, com relação à superfície terrestre em que estará o satélite, é, aproximadamente: Dados: GMTm FG = d2 Considere: GMT = 37,8 × 1013 N ⋅ m2/kg e RT = 6,40 × 106 m a) 42 × 106 m b) 30 × 106 m c) 46 × 106 m d) 36 × 106 m 05. (UFSC) Quer subir de elevador até o espaço? Apesar de esta ideia já ter surgido há mais de 100 anos, um avanço em nanotecnologia pode significar que iremos de elevador até o espaço com um cabo feito de diamante ou de carbono. A empresa japonesa de construção Obayashi investiga a viabilidade de um elevador espacial, visando a uma estação espacial ligada ao equador por um cabo de 96000 quilômetros feito de nanotecnologia de carbono, conforme a figura abaixo. A estação espacial orbitaria a Terra numa posição geoestacionária e carros robóticos com motores magnéticos levariam sete dias para alcançar a estação espacial, transportando carga e pessoas até o espaço por uma fração dos custos atuais.

translação da Terra no afélio e o momento astronômico que caracteriza o início da respectiva estação do ano devem ser: a) 28 km/s durante o solstício de verão do hemisfério Norte. b) 29 km/s durante o solstício de inverno do hemisfério Sul. c) 29 km/s durante o equinócio de outono do hemisfério Sul. d) 31 km/s durante o equinócio de primavera do hemisfério Sul. e) 31 km/s durante o solstício de verão do hemisfério Norte.

Disponível em: <http://ovnihoje.com/2014/10/14/elevador-cosmico-podealcancar-o-espaco-em-cabos-feitos-de-diamante/>. [Adaptado]. Acesso em: 29 jul. 2015.

Considerando que, fisicamente, seja possível a implementação desse elevador espacial, é CORRETO afirmar que: Gab: 84

183

C17  Movimento de satélites

01. (Fuvest SP) A notícia “Satélite brasileiro cai na Terra após lançamento falhar”, veiculadas pelo jornal O Estado de S. Paulo de 10/12/2013, relata que o satélite CBERS-3, desenvolvido em parceria entre Brasil e China, foi lançado no espaço a uma altitude de 720 km (menor do que a planejada) e com uma velocidade abaixo da necessária para colocá-lo em órbita em torno da Terra. Para que o satélite pudesse ser colocado em órbita circular na altitude de 720 km, o módulo de sua velocidade (com direção tangente à órbita) deveria ser de, aproximadamente,

Física

01. a estação espacial japonesa deve possuir movimento circular ao redor da Terra com velocidade linear igual à velocidade linear de rotação da superfície da Terra. 02. as pessoas que visitarem a estação espacial poderão flutuar no seu interior porque lá não haverá atração gravitacional. 04. a velocidade angular da estação espacial deve ser igual à velocidade angular de rotação da Terra. 08. um carro robótico terá, no trajeto da Terra até a estação espacial, vetor velocidade constante. 16. o período do movimento da estação espacial ao redor da Terra deve ser igual ao período de rotação diária da Terra. 32. a força de atração gravitacional da Terra será a força centrífuga, responsável por manter a estação espacial em órbita. 64. o valor da aceleração da gravidade (g) na posição da estação espacial terá um módulo menor que seu valor na superfície da Terra. 06. (UFTM) Foi divulgado pela imprensa que a ISS (sigla em inglês para Estação Espacial Internacional) retornará à Terra por volta de 2020 e afundará no mar, encerrando suas atividades, como ocorreu com a Estação Orbital MIR, em 2001. Atualmente, a ISS realiza sua órbita a 350 km da Terra e seu período orbital é de aproximadamente 90 minutos.

C17  Movimento de satélites

Considerando o raio da Terra igual a 6 400 km e π ≅ 3, pode-se afirmar que a) ao afundar no mar o peso da água deslocada pela estação espacial será igual ao seu próprio peso. b) a pressão total exercida pela água do mar é exatamente a mesma em todos os pontos da estação. c) a velocidade linear orbital da estação é, aproximadamente, 27 × 103 km/h. d) a velocidade angular orbital da estação é, aproximadamente, 0,25 rad/h. e) ao reingressar na atmosfera a aceleração resultante da estação espacial será radial e de módulo constante. 07. (UEPA) Com 82 anos, morreu, em 25 de agosto de 2012, aquele que reescreveu a história da humanidade no século XX, o primeiro homem a pisar na Lua. O astronauta americano Neil Armstrong, comandante da missão Apollo 11, pisou em solo lunar em 20 de julho de 1969, quando cunhou a célebre frase: “É um pequeno passo para um homem, mas um grande salto para a humanidade”. A nave Apollo 11 orbitou em torno da Lua em uma órbita circular de raio aproximadamente igual a 1850 km, movendo-se a uma velocidade constante de aproximadamente 5800 km/h. (Adaptado de www.g1.globo.com –acessado em 25/08/2012)

Sobre o texto são feitas as seguintes afirmações: I. Se Armstrong, após descer na Lua, tivesse lançado uma moeda verticalmente para cima, o tempo gasto pela moeda para atingir a altura máxima seria menor do que o tempo gasto na Terra. 184

II.

Sabendo-se que a órbita circular da Apollo 11 foi mantida por meio da aplicação da força gravitacional lunar, a aceleração centrípeta da nave foi aproximadamente igual a 18 m/s2.

III.

A força aplicada pelo solo nos pés de Armstrong, ao pisar pela primeira vez na Lua, foi menor do que a força exercida pela superfície terrestre em seus pés antes dele subir na nave.

IV.

Sabendo-se que a Apollo 11 deu 12 voltas completas em torno da Lua, descrevendo um movimento circular uniforme, o período do movimento orbital da nave foi aproximadamente igual a 115 minutos.

Dado: π = 3 A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: a) I e II b) I e III c) II e III d) I e IV e) III e IV 08. (Espcex SP) Um satélite esférico, homogêneo e de massa m, gira com velocidade angular constante em torno de um planeta esférico, homogêneo e de massa M, em uma órbita circular de raio R e período T, conforme figura abaixo. Considerando G a constante de gravitação universal, a massa do planeta em função de R, T e G é:

4 π2R3 TG

4 π2R2 TG

4 π2R2 T 2G

4 π2R T 2G

4 π2R3 T 2G

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO C18

A interação entre dois corpos que possuem massa ocorre devido a um campo que eles geram ao seu redor. Esse campo é chamado de campo gravitacional, ou seja, o campo gravitacional é a região de perturbação gravitacional que um corpo gera ao seu redor. A Terra define uma região do espaço onde qualquer objeto fica sujeito a uma força atrativa. Representamos essa propriedade por meio de um conjunto de linhas denominado linhas de força do campo gravitacional. Veja a figura abaixo.

Linhas de força de um campo gravitacional são linhas que representam, em cada ponto, a orientação da força que atua em uma partícula submetida exclusivamente aos efeitos desse campo. Quando um corpo chega próximo ao campo gravitacional, ele sofre variação em sua velocidade, porque adquire aceleração, aqui chamada de vetor aceleração da gravida de, representada pela letra g . O vetor aceleração da gravidade tem a mesma direção e o mesmo sentido das linhas de força do campo gravitacional e seu módulo depende da distância entre o corpo e o centro da Terra.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Aceleração da gravidade nn Cálculo da aceleração da gravidade na superfície da Terra. nn Cálculo da aceleração da gravidade em um ponto externo à Terra.

Fonte: shutterstock.com/Por eva cool

ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

185

Física

Cálculo da aceleração da gravidade na superfície da Terra. Um corpo de massa m, situado sobre a superfície da Terra,  receberá uma força ( F ) de origem gravitacional,conforme mostra a figura abaixo. (Desprezaremos o efeito de rotação e consideraremos a Terra como sendo uma esfera perfeita).

Utilizando o mesmo raciocínio anterior, e lembrando que a distância entre o centro da Terra e o corpo é (R+h) temos:

GMm

(R + h )

= mg

⇒

(R + h )

A intensidade da aceleração da gravidade calculada anteriormente não leva em consideração o movimento de rotação da Terra. Variação da aceleração da gravidade devido à rotação da Terra.

Sendo G a Constante de Gravitação, podemos expressar a  intensidade da força ( F ) utilizando a Lei de Newton para a gravitação: GMm F= 2 R

Mas a força de atração do planeta sobre o corpo é a força peso do próprio corpo. F= P= mg

Um objeto localizado em qualquer ponto da superfície da Terra, exceto nos polos, descreve uma circunferência em torno do eixo de rotação, que passa pelos polos Norte e Sul do planeta. Esse objeto possui uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da circunferência. Para vermos de que forma a rotação da Terra faz com que a aceleração da gravidade seja diferente, vamos analisar uma situação bem simples na qual um tijolo de massa m esteja sobre uma balança no Equador terrestre. A figura abaixo mostra a situação observada de um ponto do espaço acima do Polo Norte.

Igualando as duas expressões, temos: GMm = mg R2

⇒

GM R2

A equação acima mostra que a aceleração da gravidade não depende da massa do corpo como afirmava Galileu Galilei.

Cálculo da aceleração da gravidade em um ponto externo à Terra

C18  Aceleração da gravidade

Vamos supor agora que o corpo esteja a uma certa altitude h, em relação à superfície daTerra, conforme mostra a figura abaixo.

186

 O tijolo está submetido a duas forças: a força normal ( FN )  e a força gravitacional ( FG ) , conforme mostra o diagrama:

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Como se move em uma circunferência por causa da rotação da Terra, o tijolo possui  uma aceleração centrípeta ( aC ) dirigida para o centro da Terra. Assim podemos escrever a Segunda Lei de Newton para as forças atuantes no tijolo.   = FR maC

⇒

FG = − FN maC

A aceleração centrípeta pode ser calculada pela expressão: v2 = ω2R aC = R g AP = g − ω2R

⇒

mg − mg AP = mω2R

Sendo que: g AP é a intensidade da aceleração da gravidade aparente devido à rotação da Terra. g é a aceleração da gravidade sem levar em consideração o movimento de rotação da Terra. ω é a velocidade angular da Terra. R é o raio da Terra. nn Se

o objeto estiver localizado sobre os polos, o efeito da rotação é nulo. Neste caso g AP = g

nn Se o objeto estiver localizado na linha do equador, o efeito será máximo. Neste

caso g AP < g nn Concluímos então que a aceleração da gravidade terrestre é máxima nos polos

e mínima no Equador. nn A diferença entre a aceleração da gravidade nos polos e no equador é de apenas

0,034 m/s2 (um valor muito pequeno comparado com 9,8 m/s2). Assim, desprezar a diferença entre as duas acelerações constitui, na maioria dos casos, uma aproximação razoável.

EXEMPLOS = gJ

GMJ = mas MJ 300M = T e R J 10R T R2J

Substituindo esses valores, temos: g J = RESOLUÇÃO Desprezando o efeito de rotação, a aceleração da gravidade na superfície de Júpiter é dada por:

gJ =

300GMT 100R2T

⇒

g J = 3g

C18  Aceleração da gravidade

Calcule o valor da aceleração da gravidade em Júpiter, sabendo que sua massa é cerca de 300 vezes maior que a massa da Terra e seu diâmetro 10 vezes maior que o da Terra. Adote g = 9,8 m/s2 para a aceleração da gravidade terrestre.

G.300MT

(10RT )

⇒

g J = 29,4 m/s2

187

Física

Exercícios de Fixação 01. (Puc MG) Um estudante, ao medir seu peso, ficou em dúvida quanto à leitura da balança, pois sabia que, na posição em que se encontrava na Terra, o valor encontrado era o menor possível. Assinale a opção que indica a posição do aluno. a) Latitude de 45°. b) Em qualquer ponto do Equador. c) Latitude de 90°. d) A leitura independe da localização da balança, já que a massa do objeto é invariável. 02. (Fuvest SP) A Estação Espacial Internacional orbita a Terra em uma altitude h. A aceleração da gravidade terrestre dentro dessa espaçonave é a) nula. h b) g T    RT 

 R −h  c) g T  T   RT 

 R  d) g T  T   RT + h 

 R −h  e) g T  T   RT + h 

C18  Aceleração da gravidade

Note e adote: gT é a aceleração da gravidade na superfície da Terra. RT é o raio da Terra. 03. (Puc Campinas SP) A força de atração gravitacional entre dois corpos, de massas m1 e m2 e separados pela distância r, m ⋅m é dada pela expressão F= G ⋅ 1 2 2 , sendo G a constante r universal de gravitação. Na superfície da Terra, a aceleração de queda livre tem intensidade g. Na superfície de outro corpo celeste, de massa igual à metade da massa da Terra e de raio igual ao dobro do raio terrestre, a aceleração da gravidade terá intensidade: a) 2.g g b) 4 c) g g d) 2 g e) 8 04. (Unemat MT) Diversas empresas vêm anunciando que esta será a década da implantação do turismo espacial, o qual deve ser inaugurado em 2014, tanto que, neste ano, pela

188

primeira vez, uma nave comercial atingiu a estratosfera ao chegar a 25 mil metros de altura e rompeu a barreira do som. Mas, o que mais impressionou foi a passagem do vácuo para a atmosfera: com um sistema de desaceleração, o veículo concluiu em temperaturas espantosamente baixas a fase crítica do voo. Em voos de 2,5 horas valerão, para os futuros turistas, cinco minutos de gravidade zero. Disponível em: http://www.brasilturismo.blog.br/turismoespacialvoos-ocorrerao-antes-de-2013-pela-empresa-deturismovirgin-galactic.html. (adaptado) Acesso em: 31 out. 2013.

A respeito do assunto, assinale a alternativa correta. a) A espaçonave entra na atmosfera em movimento de queda livre, a mesma de um corpo ao ser largado de nossas mãos, pois o campo gravitacional terrestre não varia com altitude. b) O conceito de vácuo, transmitido no texto, refere-se a uma região de diferentes pressões, tanto que, ao sair dele e entrar na atmosfera, é preciso usar desacelerador. c) A afirmação de que atingiu a gravidade zero é errônea, pois ela fica ligeiramente baixa, fazendo com que os corpos flutuem na espaçonave, o que denominamos de imponderabilidade. d) Caso não houvesse os desaceleradores, a temperatura externa da espaçonave tenderia a zero. e) Fora da estratosfera existe somente vácuo. 05. (FCM MG) Um astronauta leva um objeto de 10 kg da Terra para o planeta extra solar Pan. Sabe-se que a massa da Terra é cerca de oitenta vezes maior que a do planeta Pan e o raio da Terra é, aproximadamente, quatro vezes maior que o raio de Pan. Considere a aceleração gravitacional na Terra igual a 10 m/s2. O peso desse objeto em Pan será de: a) 2,0 newtons. b) 5,0 newtons. c) 20 newtons. d) 50 newtons. 06. (Unievangélica GO) Recentemente o astronauta brasileiro Marcos Cesar Pontes esteve em Anápolis, onde relatou a experiência vivenciada em 2006, quando passou alguns dias na Estação Espacial Internacional (EEI) em um ambiente de microgravidade. Dentro da EEI, Marcos Cesar Pontes a) ficava ausente da aceleração da gravidade. b) realizava apenas movimentos uniformes. c) estava livre da ação das forças da natureza. d) caía indefinidamente em direção à Terra.

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Exercícios Complementares

02. (UEFS BA) Os homens sempre foram fascinados pelo céu noturno, pela infinidade de estrelas e pelos planetas brilhantes. A Lei da Gravitação Universal de Newton, juntamente com suas três leis do movimento, revelou que a natureza seguia as mesmas regras, qualquer que seja o lugar, e essa revelação teve um efeito profundo no modo se ver o universo. Considere um planeta X cuja massa seja trinta vezes maior que a massa M da Terra e cujo diâmetro seja o dobro do diâmetro D da Terra. Um corpo de massa m lançado verticalmente para cima com velocidade V da superfície da Terra atinge uma altura H, muito menor do que o diâmetro da Terra. Esse corpo, quando lançado com a mesma velocidade V, a partir da superfície do planeta X, atinge uma altura nH, em que o valor de n é igual a a)

1 3

2 15

15 4

3 5

7 9

03. (UFU MG) Um objeto sobre a superfície da Terra tem como força de atração gravitacional seu próprio peso, desde que desprezemos a ação do Sol, da Lua e dos demais planetas, assim como a própria rotação do planeta. Considere que o módulo da aceleração da gravitação na superfície da Terra é gs, e que o raio de nosso planeta é R. Qual passa a ser o módulo da aceleração da gravidade que age em um objeto (gob) levado a uma altura da superfície da Terra igual ao raio do próprio planeta, quando comparado com o módulo de gs?

a) gob = gs b) gob = 0.gs c) gob = gs/4 d) gob = 4.gs 04. (UFU MG) A Estação Espacial Internacional (ISS), que teve sua construção iniciada em 1988, é uma realização humana que tem propiciado ao homem ocupar um lugar fora da Terra e desenvolver diversos tipos de estudos. Ela se encontra a, aproximadamente, 400 km da superfície de nosso planeta, que possui raio aproximado de 6 x 106 m e massa de 6 x 1024 Kg. Sobre a presença dos astronautas no interior da ISS, é correto afirmar que: a) a aceleração da gravidade à qual estão sujeitos é de, aproximadamente, 8,7 m/s2. b) eles estão o tempo todo flutuando, uma vez que se encontram em uma região de gravidade nula. c) a força da gravidade somente atuaria sobre eles se a ISS estivesse dentro da atmosfera da Terra. d) na ISS existe uma força gravitacional atuando, menor que na superfície da Terra, fazendo com que o peso dos astronautas se torne nulo e eles flutuem. 05. (IME RJ)

A figura acima apresenta um pequeno corpo de massa m em queda livre na direção do centro de um planeta de massa M e de raio r sem atmosfera, cujas superfícies distam D. É correto afirmar que, se D >> r e M >> m, a aceleração do corpo a) é constante. b) não depende da massa do planeta. c) diminui com o tempo. d) aumenta com o tempo. e) depende da massa do corpo.

189

C18  Aceleração da gravidade

01. (ITA SP) Numa dada balança, a leitura é baseada na deformação de uma mola quando um objeto é colocado sobre sua plataforma. Considerando a Terra como uma esfera homogênea, assinale a opção que indica uma posição da balança sobre a superfície terrestre onde o objeto terá a maior leitura. a) Latitude de 45° b) Latitude de 60° c) Latitude de 90° d) Em qualquer ponto do Equador e) A leitura independe da localização da balança já que a massa do objeto é invariável

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO C19

ASSUNTOS ABORDADOS nn A gravitação no interior da Terra nn Cálculo da aceleração da gravidade nn A Teoria da Gravitação de Einstein nn Buracos negros

A GRAVITAÇÃO NO INTERIOR DA TERRA O campo gravitacional terrestre existe tanto no interior da Terra como fora dela. Imagine que se cave um buraco que atravesse a Terra do polo Norte ao polo Sul. Esqueça os fatores que tornam isso impossível e considere o movimento que você descreveria se saltasse dentro desse buraco.

Poderíamos simplesmente entrar nele e esperar que a força gravitacional fizesse seu trabalho. A força gravitacional nos puxaria para baixo até chegarmos ao centro da Terra. Nessa primeira parte da viagem, a velocidade aumentaria. A partir do centro da Terra, a força gravitacional nos puxaria de volta, fazendo com que perdêssemos velocidade paulatinamente, de tal forma que chegaríamos ao lado oposto do planeta com velocidade nula. Se não nos agarrássermos à borda do buraco, nós cairíamos de volta em direção ao centro e retornaríamos novamente para a posição inicial, e assim sucessivamente.

Cálculo da aceleração da gravidade Segundo Isaac Newton “uma casca homogênea de matéria não exerce força gravitacional sobre um corpo localizado no seu interior”. Essa afirmação é conhecida como Teorema das Cascas de Newton.

A aceleração da gravidade em um ponto interno, distante r do centro da Terra, é calculada admitindo-se que esse ponto pertença a uma superfície esférica de raio r (r<R) com uma massa (m < M). R é o raio da Terra e M a sua massa. De acordo com o Teorema das Cascas de Newton, a aceleração da gravidade nesse ponto do interior da Terra é devida somente à massa m. Então podemos escrever: 190

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

gint =

Gm r2

Considerando que a densidade da Terra seja constante e igual a µ e lembrando que 4 3 m 4 πr , temos: µ= ⇒ m= πr3µ o volume de uma esfera é V= 3 V 3 Substituindo esse valor na primeira equação, temos:

g= int O termo

G 4 3 . πr µ r2 3

⇒

g= int

4 Gπµr 3

4 Gπµ é uma constante que chamaremos de k 3

Logo, gint = k.r = Quando r R (raio da Terra)= ⇒ gint gsup (gravidade na superfície da Terra)

Gráfico g X r De acordo com a expressão g = k.r , concluímos que, para pontos do interior da Terra, o valor de g é diretamente proporcional à distância do ponto considerado ao centro da Terra. Podemos ilustrar isso por meio de um gráfico mostrando a variação da aceleração da gravidade em função da distância ao centro da Terra.

EXEMPLOS a) no polo Norte b) no centro da Terra c) no ponto M, médio entre o centro da Terra e o polo Sul. RESOLUÇÃO a) A aceleração da gravidade no polo Sul tem o mesmo valor da aceleração da gravidade no polo Norte. Portanto, o peso do objeto no polo Norte será igual a 50 N. b) No centro da Terra, a aceleração da gravidade é nula. Portanto, o peso do objeto também será nulo. c) A aceleração da gravidade varia de acordo com a expressão: g = k.r , sendo k uma constante de proporcionalidade e r a distância do ponto M até a superfície, polo Sul.

r 1 gM =k = gpolo 2 2

⇒

P =mg

P ⇒ PM = polo 2

⇒

PM =25N

191

C19  A gravitação no interior da Terra

Considere a Terra como um corpo homogêneo e esférico de raio R = 6 400 km. Imagine que fosse construído um túnel hipotético, ligando o polo Sul ao polo Norte e passando pelo centro da Terra. Um objeto, no polo Sul, tem peso 50 N. Determine o seu peso:

Física

A Teoria da Gravitação de Einstein

Fonte: Wikimedia commons

Em sua Teoria Geral da Relatividade, Einstein concebeu um campo gravitacional como uma curvatura geométrica no espaço-tempo tetradimensional. Ele percebeu que os corpos produzem deformações no espaço-tempo, analogamente a uma bola massiva localizada no meio de um grande colchão d’água, que deforma a sua superfície bidimensional.

Em Física, espaço-tempo é o sistema de coordenadas utilizado como base para o estudo da Teoria da Relatividade Restrita e Teoria da Relatividade Geral. O tempo e o espaço tridimensional são concebidos, em conjunto, como uma única variedade de quatro dimensões a que se dá o nome de espaço-tempo. Um ponto, no espaço-tempo, pode ser designado como um “acontecimento”. Cada acontecimento tem quatro coordenadas (t, x, y, z) que dizem o local e a hora em que ele ocorreu, ocorre ou ocorrerá. Pontos no espaço-tempo são chamados de eventos e são definidos por quatro números, por exemplo, (x, y, z, ct), em que c é a velocidade da luz e pode ser considerada como a velocidade que um observador se move no tempo. Isto é, eventos separados no tempo por apenas 1 segundo estão a 300.000 km um do outro no espaço-tempo.

C19  A gravitação no interior da Terra

Assim como utilizamos as coordenadas x, y e z para definir pontos no espaço em 3 dimensões, na relatividade especial utilizamos uma coordenada a mais para definir o tempo de acontecimento de um evento. Em geometria em três dimensões os valores para as coordenadas x, y, z e t dependem do sistema de coordenadas escolhido, e isso inclui escolher a direção do eixo de tempo. Isso porque dois observadores em sistemas de referência em movimento possuem eixos de tempo em direções diferentes. O que para um observador em repouso em um dos referenciais é apenas direção temporal, para o outro em movimento relativo é uma mistura de espaço e de tempo. Esse é um dos pontos fundamentais da Relatividade Especial. No entanto, essa mistura não é percebida no dia a dia devido à escala de velocidades a que estamos acostumados. Figura 01 - Deformação do espaço-tempo provocada pelo Sol

192

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

A lei da Gravitação Universal, proposta por Isaac Newton (1642-1727), no século XVII, foi fundamental para o desenvolvimento não só da Astronomia, mas da Física de uma forma geral. Atualmente, as ideias sobre a gravitação foram ampliadas pela teoria da gravitação proposta por Einstein (1879-1995), em 1915, conhecida como Teoria da Relatividade Geral. É com base nessa teoria que, ainda hoje, cientistas interpretam fenômenos que ocorrem não só no sistema solar, mas em todo o Universo. A teoria gravitacional tornou-se muito mais abrangente, envolvendo distâncias fantásticas e novos objetos astronômicos, tais como buracos negros, estrelas de nêutrons, galáxias e quasares.

Buracos negros De forma simplificada, buraco negro é uma região do espaço que possui uma quantidade tão grande de massa concentrada que nada consegue escapar da atração de sua força de gravidade, nem mesmo a luz, e é por isso que são chamados de “buracos negros”. Segundo a teoria de Einstein, a força da gravidade seria uma manifestação da deformação no espaço-tempo causada pela massa dos corpos celestes, como os planetas ou estrelas. Essa deformação seria maior ou menor de acordo com a massa ou a densidade do corpo. Portanto, quanto maior a massa do corpo, maior a deformação e, por sua vez, maior a sua força de gravidade. Consequentemente, maior é a velocidade de escape, velocidade mínima que deve ser empregada para que um objeto possa vencer a gravidade desse corpo. Por exemplo, para que um foguete saia da atmosfera terrestre para o espaço, ele precisa de uma velocidade de escape de 40 320 km/h. Em Júpiter, essa velocidade teria de ser 214 200 km/h. É isso que acontece nos buracos negros. Há uma concentração de massa tão grande que a velocidade de escape nesse local é maior que a da luz. Por isso, nem mesmo mesmo a luz consegue escapar de um buraco negro. E, já que nada consegue se mover mais rápido que a velocidade da luz, nada pode escapar de um buraco negro.

C19  A gravitação no interior da Terra

Fonte: Wikimedia commons/ NASA/JPL-Caltech

Figura 02 - Buraco negro (concepção artística).

193

Física

Exercícios de Fixação 01. (Enem MEC) Observações astronômicas indicam que no centro de nossa galáxia, a Via Láctea, provavelmente exista um buraco negro cuja massa é igual a milhares de vezes a massa do Sol. Uma técnica simples para estimar a massa desse buraco negro consiste em observar algum objeto que orbite ao seu redor e medir o período de uma rotação completa, T, bem como o raio médio, R, da órbita do objeto, que supostamente se desloca, com boa aproximação, em movimento circular uniforme. Nessa situação, considere que a força resultante, devido ao movimento circular, é igual, em magnitude, à força gravitacional que o buraco negro exerce sobre o objeto. A partir do conhecimento do período de rotação, da distância média e da constante gravitacional, G, a massa do buraco negro é a)

4 π2R2 GT 2

π2R3 2GT 2

2π2R3 GT 2

4 π2R3 GT 2

π2R5 GT 2

16. A teoria da gravitação universal, de Newton, é válida para situações nas quais as velocidades envolvidas sejam muito grandes (próximas à velocidade da luz) e o movimento não ocorra em campos gravitacionais muito intensos. 32. A teoria da relatividade geral de Einstein propõe que a presença de uma massa deforma o espaço e o tempo nas suas proximidades, sendo que, quanto maior a massa e menor a distância, mais intensos são seus efeitos. Por isso a órbita de Mercúrio não pode ser explicada pela gravitação de Newton. 03. (UFRN) A Lei de Hubble fornece uma relação entre a velocidade com que certa galáxia se afasta da Terra e a distância dela à Terra. Em primeira aproximação, essa relação é linear e está mostrada na figura abaixo, que apresenta dados de seis galáxias: a nossa, Via Láctea, na origem, e outras ali nomeadas. (No gráfico, um ano-luz é a distância percorrida pela luz, no vácuo, em um ano.)

02. (UFSC) “Eu medi os céus, agora estou medindo as sombras. A mente rumo ao céu, o corpo descansa na terra.”

C19  A gravitação no interior da Terra

Com esta inscrição, Johannes Kepler encerra sua passagem pela vida, escrevendo seu próprio epitáfio. Kepler, juntamente com outros grandes nomes, foi responsável por grandes avanços no que se refere à mecânica celeste. No que se refere à história e à ciência por trás da mecânica celeste, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). Gab: 33 01. O astrônomo Cláudio Ptolomeu defendia o sistema geocêntrico, com a Terra no centro do sistema planetário. Já Nicolau Copérnico defendia o sistema heliocêntrico, com o Sol no centro do sistema planetário. TychoBrahe elaborou um sistema no qual os planetas giravam em torno do Sol e o Sol girava em torno da Terra. 02. Galileu Galilei foi acusado de herege, processado pela Igreja Católica e julgado em um tribunal por afirmar e defender que a Terra era fixa e centralizada no sistema planetário. 04. Kepler resolveu o problema das órbitas dos planetas quando percebeu que elas eram elípticas, e isso só foi possível quando ele parou de confiar nas observações feitas por TychoBrahe. 08. O movimento de translação de um planeta não é uniforme; ele é acelerado entre o periélio e o afélio, e retardado do afélio para o periélio.

194

Da análise do gráfico, conclui-se que: a) Quanto mais distante a galáxia estiver da Terra, maior a velocidade com que ela se afasta da Terra. b) Quanto mais próxima a galáxia estiver da Terra, maior a velocidade com que ela se afasta da Terra. c) Quanto mais distante a galáxia estiver da Terra, menor a velocidade com que ela se afasta da Terra. d) Não existe relação de proporcionalidade entre as distâncias das galáxias à Terra e as velocidades com que elas se afastam da Terra. 04. (Ufu MG) Um dos avanços na compreensão de como a Terra é constituída deu-se com a obtenção do valor de sua densidade, sendo o primeiro valor obtido por Henry Cavendish, no século XIV. Considerando a Terra como uma esfera de raio médio 6.300 Km, qual o valor aproximado da densidade de nosso planeta? Dados: g = 10 m/s2, G = 6,6 × 10–11 Nm2/Kg2 e π = 3 a) 5,9 × 106 Kg/m3 b) 5,9 × 103 Kg/m3 c) 5,9 × 1024 Kg/m3 d) 5,9 × 100 Kg/m3

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios Complementares IV.

Se considerarmos que após o Big Bang todas veloci-

ção universal, Newton demonstrou que uma distribuição

dades permaneceram constantes podemos estimar

esférica homogênea de massa surte o mesmo efeito que

que a idade do universo é de aproximadamente 14

uma massa concentrada no centro da distribuição. Se no centro da Terra fosse recortado um espaço oco esférico

bilhões de anos. V.

Se considerarmos que após o Big Bang todas veloci-

com metade do raio da Terra, o módulo da aceleração da

dades permaneceram constantes podemos estimar

gravidade na superfície terrestre diminuiria para (g é o mó-

que a idade do universo é de aproximadamente 140

dulo da aceleração da gravidade na superfície terrestre sem a cavidade): 3 a) g 8

bilhões de anos. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e IV são corretas. b) Somente as afirmativas II e III são corretas.

1 b) g 2

c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.

5 c) g 8

e) Somente as afirmativas I, II e IV são corretas.

d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.

3 g 4

03. (ITA SP) Desde os idos de 1930, observações astronômicas

7 g 8

não emite luz, mas a sua presença é inferida pela influência

02. (UEL PR) Leia o texto a seguir:

indicam a existência da chamada matéria escura. Tal matéria gravitacional que ela exerce sobre o movimento de estrelas no interior de galáxias. Suponha que, numa galáxia, possa ser removida sua matéria escura de massa específica ρ > 0 ,

A análise do espectro de muitas galáxias distantes, conduziu

que se encontra uniformemente distribuída. Suponha tam-

Edwin Hubble a uma importante descoberta:

bém que no centro dessa galáxia haja um buraco negro de

A velocidade de recessão v de uma galáxia é proporcional a

massa M, em volta do qual uma estrela de massa m descre-

sua distância r à Terra. Esta relação linear conhecida como

ve uma órbita circular. Considerando órbitas de mesmo raio

lei de Hubble é escrita como v =rH0, onde H0 é a constante

na presença e na ausência de matéria escura, a respeito da  força gravitacional resultante F exercida sobre a estrela e

de Hublle cujo melhor valor já obtido (utilizando-se o telescópio Hubble) é H0 = 2,3 × 10-18 s-1. Esta lei sugere que em algum tempo no passado toda matéria do universo estava concentrada numa pequena região ou mesmo num ponto e que posteriormente uma grande explosão, conhecida como Big Bang, forneceu à matéria luminosa que atualmente observamos, a velocidade de recessão que medimos. Com base no texto e nos conhecimentos de física básica, considere as seguintes afirmativas. I.

A lei de Hubble não é uma equação linear.

II.

A análise dimensional da lei de Hubble afirma que a variável calculada deve ser a aceleração e não velocidade.

III.

De acordo com a lei de Hubble, para uma galáxia que se encontra a uma distância r da terra o tempo t necessário para percorrer esta distância a velocidade r constante v é t= = 1,4 × 1010 anos. v

seu efeito sobre o movimento desta, pode-se afirmar que  a) F é atrativa e a velocidade orbital de m não se altera na presença da matéria escura.  b) F é atrativa e a velocidade orbital de m é menor na presença da matéria escura.  c) F é atrativa e a velocidade orbital de m é maior na presença da matéria escura.  d) F é repulsiva e a velocidade orbital de m é maior na presença da matéria escura.  e) F é repulsiva e a velocidade orbital de m é menor na presença da matéria escura. 04. (Udesc SC) Recentemente, um grupo de astrônomos brasileiros da Universidade de São Paulo (USP) e da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) em parceria com o Observatório Europeu do Sul (ESO) descobriram a estrela gêmea do Sol mais velha já identificada, com 8,2 bilhões de anos – quase o dobro da idade do Sol, o qual tem 4,6 bi-

195

C19  A gravitação no interior da Terra

01. (Olimpíada Bras. de Física) Em seu trabalho sobre gravita-

Física

lhões de anos. A estrela Hipparcos 102152 fica a 250 anos-luz da Terra, na constelação de Capricórnio. Considerando esta informação, analise as proposições. I. A luz gasta 250 anos para percorrer a distância entre Hipparcos 102152 e a Terra. II. A idade da estrela Hipparcos 102152 é de 250 anos. III. Qualquer fenômeno que ocorra, hoje, na estrela Hipparcos 102152, será percebido na Terra somente daqui a 250 anos. IV. Uma foto da estrela Hipparcos 102152 tirada hoje mostra como ela será daqui a 250 anos. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. b) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 05. (UESB) Um “Buraco negro” é uma das criações extremas do Universo: uma estrela morta de alta densidade que escava para dentro a sua massa, formando um ponto denominado singularidade. Ele é capaz de absorver matéria que passaria a ter a sua densidade. O planeta Terra, com massa da ordem de 1025 kg, se fosse absorvido por um “Buraco negro” com densidade de 1028 kg/m3, passaria a ocupar um volume comparável ao de um cubo com aresta de 01. 1 km 02. 1 hm 03. 1 dam 04. 1 m 05. 1 dm

C19  A gravitação no interior da Terra

06. (UECE) Duas cascas esféricas concêntricas, de densidades uniformes, têm massas M1 (raio r1 ) e M2 (raio r2 ) , como mostra a figura.

Assinale a alternativa que contém o valor da forca gravitacional sobre uma partícula de massa m localizada entre as cascas, a uma distância d dos seus centros.

196

 M +M  a) Gm 1 2 2   d  M M  b) Gm 21 + 22  r2   r1  M −M  c) Gm 1 2 2   d  d) G

mM1 d2

07. (Unimontes MG) Um buraco negro é o que sobra quando morre uma gigantesca estrela, no mínimo 10 vezes maior que o nosso Sol. Uma estrela é um imenso e incrível reator de fusão. As reações de fusão, que ocorrem no núcleo, funcionam como gigantescas bombas, cujas explosões impedem que a massa da estrela se concentre numa região pequena. O equilíbrio entre as forças oriundas das explosões e as de origem gravitacional define o tamanho da estrela. Quando o combustível para as reações se esgota, a fusão nuclear é interrompida. Ao mesmo tempo, a gravidade atrai a matéria para o interior da estrela, havendo compressão do núcleo, que se aquece muito. O núcleo finda por explodir, arremessando para o espaço matéria e radiação. O que fica é o núcleo altamente comprimido e extremamente maciço. A gravidade em torno dele é tão forte que nem a luz consegue escapar. Esse objeto literalmente desaparece da visão. O diâmetro da região esférica, dentro da qual toda a massa de uma estrela deveria ser concentrada, para que ela começasse a se comportar como um buraco negro, pode ser calculado utilizando-se a equação para a velocidade de escape, que permite encontrar a velocidade mínima, v, para que um corpo maciço escape do campo gravitacional de uma estrela ou planeta. a. A equação = / R , em que G 6,67 x 10-11 (m3 / s2 ⋅ kg) é a consé v2 = 2GM tante gravitacional, M é a massa e R o raio do planeta. Nesse caso, a velocidade de escape deveria ser igual à da luz, ou seja, 3 x 108 m/s . Considerando ser possível a Terra transformar-se num buraco negro, o diâmetro da região esférica, dentro da qual toda a sua massa, igual a 5,98 x 1024kg , deveria ser concentrada, seria, aproximadamente,

a) 1,8 m b) 0,9 km c) 1,8 cm d) 0,9 m

FRENTE

FÍSICA

MÓDULO C20

ENERGIA NO CAMPO GRAVITACIONAL Sabemos que um objeto em movimento possui energia cinética (Ec) devido a sua velocidade. Um objeto acima da superfície da Terra possui energia potencial gravitacional (Ep) em virtude da sua posição. Em qualquer ponto de sua órbita, um satélite tem energia cinética e também energia potencial gravitacional. A soma das duas energias é constante durante a órbita inteira. O caso mais simples dessa conservação da energia acontece numa órbita circular, vejamos por quê.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Energia no campo gravitacional nn Cálculo da energia potencial gravitacional nn Cálculo da energia cinética nn Velocidade de escape

Em uma órbita circular, a distância entre o satélite e o centro da Terra não se altera, o que significa que a energia potencial gravitacional do satélite é a mesma em qualquer ponto da órbita. Então, pela conservação da energia, a energia cinética deve ser constante. Assim, podemos afirmar que um satélite em órbita circular move-se com a energia potencial gravitacional, a energia cinética e a velocidade escalar inalteradas.

Em uma órbita elíptica a situação é diferente. Tanto a velocidade como a distância variam. A energia potencial gravitacional é máxima quando o satélite está mais afastado (no afélio) e mínima quando se encontra o mais próximo possível da Terra, (nesse periélio). Como a energia cinética depende da velocidade escalar, ela será mínima no afélio e máxima no periélio, isto é, quando a energia potencial gravitacional é máxima a energia cinética é mínima, e vice-versa. Em cada ponto da órbita, a soma da energia cinética com a energia potencial gravitacional é constante.

197

Física

Cálculo da energia potencial gravitacional Para pontos próximos da superfície terrestre, a força gravitacional pode ser considerada constante e, nesse caso, a energia potencial gravitacional aumenta com a distância entre a partícula e a superfície da Terra. A energia potencial gravitacional para pontos próximos é dada por: Ep = mgh

em que h é a distância da partícula até um referencial adotado, g é a aceleração da gravidade local e m é a massa da partícula. Vamos agora ampliar nossa visão e considerar a energia potencial gravitacional Ep de duas partículas, de massas m e M, separadas por uma distância r. Vamos adotar uma configuração de referência com Ep igual a zero. Entretanto, a distância r na configuração de referência agora é tão grande que podemos considerá-la infinita. Do mesmo modo que antes, a energia potencial gravitacional diminui quando a distância diminui. Como r = ∞ implica em Ep = 0, a energia potencial gravitacional é negativa para qualquer distância finita e se torna mais negativa à medida que as partículas se aproximam. Considerando esses fatos, calculamos a energia potencial gravitacional do sistema de duas partículas através da expressão:

Ep = −

GMm r

Cálculo da energia cinética A energia cinética de um corpo de massa m que se desloca com velocidade v é dada mv2 por: Ec = 2 GM No caso específico de satélites em órbita, a velocidade orbital v é dada por: v = r Então, podemos escrever uma fórmula específica da energia cinética para os satélites em órbita:

m GM Ec = ⋅ 2 r

⇒

GMm Ec = 2r

energia cinética do corpo que está em órbita é sempre positiva. Ela diminui à medida que o raio da órbita do corpo aumenta, tendendo a zero quando o raio tende ao infinito. nn A energia potencial gravitacional do corpo em órbita é negativa em relação a um referencial no infinito. Se o corpo fosse levado para o infinito, sua energia potencial gravitacional seria nula. nn A energia mecânica total do corpo, soma da energia cinética com a energia potencial gravitacional, é constante, pois o sistema é conservativo.

C20  Energia no campo gravitacional

nn A

GMm GMm EM = Ec + Ep = − 2r r nn Para

⇒

GMm EM = − 2r

os corpos em órbitas elípticas, haverá variação da energia potencial gravitacional e da energia cinética, mas mesmo assim a energia mecânica será constante.

198

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Velocidade de escape É a menor velocidade que devemos imprimir a um objeto, a partir da superfície da Terra, para que ele escape da gravidade terrestre, isto é, atinja o infinito com velocidade nula. Quando o projétil atinge o infinito, ele para e, portanto, não possui mais energia cinética. Também não possui energia potencial gravitacional, pois a uma distância infinita entre dois corpos a energia potencial gravitacional é nula. A energia mecânica total do objeto no infinito é, portanto, nula. De acordo com o princípio da conservação da energia, a energia mecânica do objeto na superfície da Terra também deve ser nula.

Ec + Ep = 0

⇒

GM r

⇒

= v2 2

mv2 GMm mv2 GMm − = 0 ⇒ = 2 r 2 r 2GM GM = ⇒ = v v 2. r r

vE = 2.v Em que:

vE é a velocidade de escape

V é a velocidade orbital do corpo

Note que a velocidade de escape não depende da direção em que o projétil é lançado. Entretanto, por causa da rotação do planeta, é mais fácil atingir essa velocidade se o projétil for lançado na direção para a qual o local de lançamento está se movendo. Por isso, as bases de lançamento de foguetes, geralmente, são localizadas próximo do Equador terrestre.

EXEMPLOS

RESOLUÇÃO Primeiramente vamos uniformizar as unidades dadas. h = 3 600 km = 3,6 . 106 m R = 6 400 km = 6,4 . 106 m r = R+h = 10 . 106 m mv2 2 A velocidade escalar do satélite não foi fornecida, mas podemos GM calculá-la através da expressão: v2 = r

a) A energia cinética é dada por:

Ec =

Substituindo os valores dados, temos: v2 =

6,7.10 −11.6.1024 40,2.107 = = 4.107 m/s . 10.106 10

Ec A energia cinética será: =

103.4.107 = 2.1010 2

⇒ = Ec 2.1010 J

b) A energia potencial gravitacional é obtida através da expressão: GMm Ep = − r Substituindo os valores, temos: 6,7.10 −11.6.1024.1.103 Ep = − 10.106

⇒

Ep = − 4.1010 J

c) A energia mecânica é a soma das duas energias, logo: EM = 2.1010 − 4.1010 ⇒ EM = −2.1010 J

199

C20  Energia no campo gravitacional

Um satélite está em órbita circular em torno da Terra a uma altitude de 3 600 km. A massa do satélite é de 1 000 kg. Considerando a massa da Terra igual a 6,0 . 1024 kg, seu raio igual a 6 400 km, a constante de gravitação G = 6,7 . 10-11N.m2/kg2 e desprezando outras forças sobre o satélite, determine: a) a energia cinética do satélite; b) a energia potencial gravitacional do satélite; c) a energia mecânica do satélite.

Física

Exercícios de Fixação 01. (UEPA) Recentemente foi noticiado que o asteroide Apophis, uma rocha de 2,7 x 1010 kg de massa que orbita o Sol, estaria ameaçando a Terra com uma colisão no ano de 2036. Admita que a velocidade de deslocamento do Apophis seja de 4,0 x 104 m/s quando a sua distância até o Sol for de 1,5 x 1011 m. Nesse sentido, afirma-se que a energia cinética do asteroide, em um ponto de sua órbita situado a uma distância de 1,6 x 1011 m do Sol é, em J, aproximadamente igual a: Dados: Constante de gravitação universal = 6,7 x 10–11 m3/kg.s2 Massa do Sol = 2,0 x 1030 kg a) 2 x 1019 b) 3 x 1019 c) 4 x 1019 d) 5 x 1019 e) 6 x 1019 02. (Uespi PI) Uma partícula é lançada verticalmente, a partir da superfície de um planeta, com velocidade igual à velocidade de escape, ve, daquele planeta. Desprezando os atritos e a influência de outros planetas e estrelas, o módulo da velocidade desta partícula a uma distância infinita do planeta de origem é igual: a) a zero. b) a ve/2 c) à velocidade da luz. d) a 2ve e) a infinito.

C20  Energia no campo gravitacional

03. (UFPR) Dois satélites, denominados de SA e SB, estão orbitando um planeta P. Os dois satélites são esféricos e possuem tamanhos e massas iguais. O satélite SB possui uma órbita perfeitamente circular e o satélite SA uma órbita elíptica, conforme mostra a figura abaixo.

Em relação ao movimento desses dois satélites, ao longo de suas respectivas órbitas, considere as seguintes afirmativas: 1. Os módulos da força gravitacional entre o satélite SA e o planeta P e entre o satélite SB e o planeta P são constantes. 2. A energia potencial gravitacional entre o satélite SA e o satélite SB é variável.

200

3. A energia cinética e a velocidade angular são constantes para ambos os satélites. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 04. (Unir RO) Para que um satélite se afaste definitivamente da Terra, é necessário atingir uma velocidade de escape de:

Considere: • Constante gravitacional universal = 6,7 × 10-11 Nm2 /kg2 • Massa da Terra = 6,0 × 1024 kg • Raio da Terra = 6,4 × 106 m a) 8 km/s b) 13 × 104 km/s c) 8 m/s d) 11 km/s e) 1 m/s 05. (IME SP) Um corpo estava em órbita circular em torno da Terra a uma distância do solo igual à 2 RT, sendo RT o raio da Terra. Esse corpo é colocado em órbita de outro planeta que tem 1/20 da massa e 1/3 do raio da Terra. A distância ao solo deste novo planeta, de modo que sua energia cinética seja 1/10 da energia cinética de quando está em torno da Terra é: a) 5/6 RT b) RT c) 7/6 RT d) 4/3 RT e) 3/2 RT 06. (Udesc SC) Um satélite está em uma órbita circular em torno de um planeta de massa M e raio R a uma altitude H. Assinale a alternativa que representa a velocidade escalar adicional que o satélite precisa adquirir para escapar completamente do planeta. a)

2GM R

2GM R +H

GM R +H

d) e)

(

2 −1 GM R

)

GM R +H

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Exercícios Complementares

02. (Unicisal AL) Uma nave espacial, de 2 000 kg de massa, desloca-se em órbita circular ao redor da Terra a 13 600 km acima da superfície terrestre. Considere o raio terrestre com o valor 6 400 km, a massa da Terra 6.1024 kg e a constante de gravitação universal 6,7 . 10-11 N.m2 /kg2 . A energia cinética dessa nave vale, em joules, aproximadamente, a) 2 × 109. b) 2 × 1010. c) 4 × 109. d) 4 × 1010. e) 8 × 109. 03. (UFG GO) Considere que a Estação Espacial Internacional, de massa M, descreve uma órbita elíptica estável em torno da Terra, com um período de revolução T e raio médio R da órbita. Nesse movimento, a) o período depende de sua massa. b) a razão entre o cubo do seu período e o quadrado do raio médio da órbita é uma constante de movimento. c) o módulo de sua velocidade é constante em sua órbita. d) a energia mecânica total deve ser positiva. e) a energia cinética é máxima no perigeu. 04. (IME SP) Uma nave em órbita circular em torno da Terra usa seus motores para assumir uma nova órbita circular a uma distância menor da superfície do planeta. Considerando desprezível a variação da massa do foguete, na nova órbita: a) a aceleração centrípeta é menor. b) a energia cinética é menor. c) a energia potencial é maior. d) a energia total é maior. e) a velocidade tangencial é maior.

05. (UEPA) A empresa HyperV está propondo uma nova tecnologia para substituir os foguetes: o Slingatron - uma pista em espiral que gira a uma frequência constante. Um objeto posto no centro do aparelho segue pela pista descrevendo uma trajetória de raio crescente, até ser lançado pela extremidade da pista. O objetivo é construir um Slingatron de 5 metros de diâmetro, para gerar velocidades de 10.000 m/s, abrindo caminho para um Slingatron de tamanho prático, capaz de lançar, por exemplo, um satélite de 50 kg a 11 km/s rápido o suficiente para que entre em órbita. Sobre essa situação são feitas as seguintes afirmações: I.

Para entrar em órbita, desprezando a resistência do ar, a velocidade do satélite lançado não irá depender de sua massa.

II.

A energia cinética de um satélite de 50 kg ao deixar o Slingatron de tamanho prático será de aproximadamente 3 × 108 J.

III.

A frequência angular máxima atingida pelo Slingatron de 5 m, ao lançar um satélite, será igual a 4 × 103rad/s.

IV.

Um satélite lançado pelo Slingatron, ao entrar em órbita, ficará submetido a uma aceleração gravitacional nula.

A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: a) I e II b) I e III c) II e III d) II e IV e) I e IV 06. (UFMS) Os quasares, objetos celestes semelhantes às estrelas, são os corpos mais distantes da Terra já observados. Verificou-se, através de medidas astronômicas, que a distância entre um determinado quasar e a Terra é de 9 x 1022 km. Sabendo-se que a velocidade da luz no vácuo é de 3 x 108 m/s e que 1 ano-luz é a distância percorrida pela luz no vácuo durante 1ano (365 dias), é correto afirmar que:

Gab: E-E-C-C

01. 1 ano-luz é igual a aproximadamente 9,5 x 1015 km. 02. a luz emitida pelo quasar leva aproximadamente 9 x 109 anos para chegar à Terra. 04. a distância do quasar à Terra é igual a aproximadamente 1 x 1010 anos-luz; isso significa que, se esse quasar desaparecer, o evento será percebido na Terra somente após 1 x 1010 anos. 08. 1 ano-luz é igual a aproximadamente 9,5 x 1015 m.

201

C20  Energia no campo gravitacional

01. (Uespi PI) Quando uma estrela originalmente com massa entre oito e vinte massas solares explode em um evento do tipo supernova, o núcleo colapsado remanescente é denominado “estrela de nêutrons”. Tipicamente, as estrelas de nêutrons possuem massa de 2 × 1030 kg esfericamente distribuída num raio de apenas 10 km. Considerando a constante da gravitação universal G = 6,67 × 10–11 Nm2/kg2 e a velocidade de escape da Terra vT = 11,2 km/s, a ordem de grandeza da razão vn/vT, onde vn denota a velocidade de escape da estrela de nêutrons típica, é igual a: a) 108 b) 106 c) 104 d) 102 e) 100

FRENTE

Questão 01:

GMS a) ωT = R3

FÍSICA

M   MS − 2T  b) ωA = 2,0.10 rad / s c) Fr = Gm   (R − d)2 d  −7

Questão 02: 2 FgT mT dP2 6 × 1024  0,15  GMP v2 GMP −2 = 2 = = 2 × 102 m / s = 2 v= a) b)   = 1,5 × 10 22 FgP dTmP 10  30  rP rP rP

Exercícios de Aprofundamento 01. (Fuvest SP) Há um ponto no segmento de reta unindo o Sol à Terra, denominado “Ponto de Lagrange L1”. Um satélite artificial colocado nesse ponto, em órbita ao redor do Sol, permanecerá sempre na mesma posição relativa entre o Sol e a Terra. Nessa situação, ilustrada na figura abaixo, a velocidade angular orbital ωA do satélite em torno do Sol será igual à da Terra, ωT Para essa condição, determine

a) ωT em função da constante gravitacional G, da massa MS do Sol e da distância R entre a Terra e o Sol; b) o valor de ωA em rad/s; c) a expressão do módulo Fr da força gravitacional resultante que age sobre o satélite, em função de G, MS, MT, m, R e d, sendo MT e m, respectivamente, as massas da Terra e do satélite e d a distância entre a Terra e o satélite. Note e adote: 1 ano ≈ 3,14 x 107 s. O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas M1 e M2, sendo r a distância entre eles, é dado por F = G M1 M2/r2. Considere as órbitas circulares. 02. (Unicamp SP) Plutão é considerado um planeta anão, com massa MP = 1 × 1022 kg, bem menor que a massa da Terra. O módulo da força gravitacional entre duas massas m1 e m2 é dado por mm Fg = G 1 2 2 , em que r é a distância entre as massas e G é a r constante gravitacional. Em situações que envolvem distâncias astronômicas, a unidade de comprimento comumente utilizada é a Unidade Astronômica (UA). a) Considere que, durante a sua aproximação a Plutão, a sonda se encontra em uma posição que está dP = 0,15 UA distante do centro de Plutão e dT = 30 UA distante do centro da Terra. F  Calcule a razão  gT  entre o módulo da força gravitacional F   gP  com que a Terra atrai a sonda e o módulo da força gravitacional com que Plutão atrai a sonda. Caso necessário, use a massa da Terra MT = 6 × 1024 kg. b) Suponha que a sonda New Horizons estabeleça uma órbita circular com velocidade escalar orbital constante em torno de Plutão com um raio de rP = 1 × 10–4 UA. Obtenha o mó202

dulo da velocidade orbital nesse caso. Se necessário, use a constante gravitacional G = 6 × 10–11N.m2/kg2. Caso necessário, use 1 UA (Unidade astronômica) = 1,5 × 108 km. 03. (Unicamp SP) Satélites de comunicações são retransmissores de ondas eletromagnéticas. Eles são operados normalmente em órbitas cuja velocidade angular ωT é igual à da Terra, de modo a permanecerem imóveis em relação às antenas transmissoras e receptoras. Essas órbitas são chamadas de órbitas geoestacionárias. a) Dados ωT, a distância R entre o centro da Terra e o Satélite, determine a expressão de sua velocidade em órbita geoestacionária. b) Dados ωT, o raio da Terra RT e a aceleração da gravidade na superfície da Terra g,determine a distância R entre o satélite e o centro da Terra para que ele se mantenha em órbita geo2 estacionária. a) V = ωTR; b) R = 3 gR2T ωT

04. (Unesp SP) Desde maio de 2008 o IBAMA recebe imagens do ALOS (satélite de observação avançada da Terra) para monitorar o desmatamento na floresta Amazônica. O ALOS é um satélite japonês que descreve uma órbita circular a aproximadamente 700 km de altitude. São dados o raio e a massa da M 6,0 ⋅ 1024 kg , respectivamente, e a Terra, rT = 6.400 km e = 6,7 10 −11 N ⋅ m2 / kg2 . constante gravitacional, G =⋅ Determine o módulo da aceleração da gravidade terrestre, em m/s2, na altitude em que esse satélite se encontra. 8,0 m/s2 05. (UFG GO) Um satélite de massa 450 kg órbita, em torno da Terra, numa trajetória circular de raio r conforme a figura:

a) 3,2 . 106m; b) 9,6 . 109J.

a) determinar a altura, h, da órbita do satélite sabendo-se que nesta órbita g’= 49 g; sendo g a gravidade na superfície da Terra; b) determinar a energia cinética do Satélite nesta órbita.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

06. (Uerj RJ) As comunicações entre o transatlântico e a Terra são realizadas por meio de satélites que se encontram em órbitas geoestacionárias a 29 600 km de altitude em relação à superfície terrestre, como ilustra a figura a seguir.

Para essa altitude, determine: a) 0,3 m/s2; a) a aceleração da gravidade; b) a velocidade linear do satélite.

b) 2.500 m/s.

07. (Uerj RJ) Leia as informações a seguir para a solução desta questão. O valor da energia potencial, Ep, de uma partícula de massa m sob a ação do campo gravitacional de um corpo celeste de massa M é dado pela seguinte expressão:

09. (IME RJ) Considere um túnel retilíneo que atravesse um planeta esférico ao longo do seu diâmetro. O tempo que um ponto material abandonado sobre uma das extremidades do túnel leva para atingir a outra extremidade é

GmM r

Nessa expressão, G é a constante de gravitação universal e r é a distância entre a partícula e o centro de massa do corpo celeste. A menor velocidade inicial necessária para que uma partícula livre-se da ação do campo gravitacional de um corpo celeste, ao ser lançada da superfície deste, é denominada velocidade de escape. A essa velocidade, a energia cinética inicial da partícula é igual ao valor de sua energia potencial gravitacional na superfície desse corpo celeste. Buracos negros são corpos celestes, em geral, extremamente densos. Em qualquer instante, o raio de um buraco negro é menor que o raio R de um outro corpo celeste de mesma massa, para o qual a velocidade de escape de uma partícula corresponde à velocidade c da luz no vácuo. Determine a densidade mínima de um buraco negro, em funM 3c2 ção de R, de c e da constante G. ρ = = 2 V

8πGR

08. (Unicamp SP) O GPS (Global Positioning System) consiste em um conjunto de satélites que orbitam a Terra, cada um deles carregando a bordo um relógio atômico. A Teoria da Relatividade Geral prevê que, por conta da gravidade, os relógios atômicos do GPS adiantam com relação a relógios similares na Terra. Enquanto na Terra transcorre o tempo de um dia (tTerra = 1,0 dia = 86 400 s), no satélite o tempo transcorrido é tsatélite = tTerra + ∆t, maior que um dia, e a diferença de tempo ∆t tem que ser corrigida. A diferença de tempo causada pela gravidade é dada por (∆t /tTerra) = (∆U /mc2), sendo ∆U a diferença de energia potencial gravitacional de uma massa m entre a altitude considerada e a superfície da Terra, e c = 3,0 × 108 m/s, a velocidade da luz no vácuo. a) ∆t = 46080 ns; b) 0,9 m.

Dados: nn constante de gravitação universal: G; nn massa específica do planeta: ρ; nn período de um corpo oscilando: T = 2π

m k

Consideração: Para efeito de cálculo do campo gravitacional, desconsidere a presença do túnel. a)

3 πρG

3π 4ρG

2π ρG

2 πρG

2π 3ρG

FRENTE C  Exercícios de Aprofundamento

Ep =

a) Para o satélite podemos escrever ∆U = mgRT(1−RT/r), sendo r ≈ 4 RT o raio da órbita, RT = 6,4 × 106 m o raio da Terra e g a aceleração da gravidade na superfície terrestre. Quanto tempo o relógio do satélite adianta em tTerra= 1,0 dia em razão do efeito gravitacional? b) Relógios atômicos em fase de desenvolvimento serão capazes de medir o tempo com precisão maior que uma parte em 1016, ou seja, terão erro menor que 10–16 s a cada segundo. Qual é a altura h que produziria uma diferença de tempo ∆t = 10–16 s a cada tTerra= 1 0 s? Essa altura é a menor diferença de altitude que poderia ser percebida comparando medidas de tempo desses relógios. Use, nesse caso, a energia potencial gravitacional de um corpo na vizinhança da superfície terrestre.

203

Física

10. (Unicamp SP) “As denúncias de violação de telefonemas e

nado, separando N de A. A nave N passa a percorrer, em torno

transmissão de dados de empresas e cidadãos brasileiros

da Terra, uma órbita circular de raio R0, com velocidade VN (a

serviram para reforçar a tese das Forças Armadas da ne-

ser determinada). A nave auxiliar A adquire uma velocidade VA

cessidade de o Brasil dispor de seu próprio satélite geoes-

(a ser determinada).

tacionário de comunicação militar” (O Estado de São Paulo,

Suponha que a Terra esteja isolada no espaço e em repouso.

15/07/2013). Uma órbita geoestacionária é caracterizada por estar no plano equatorial terrestre, sendo que o satélite que a executa está sempre acima do mesmo ponto no equador da superfície terrestre. Considere que a órbita geoestacionária tem um raio r = 42000 km.

a) ac = 2625 km/h2; b) ∆E = 4,8 × 109J

a) Calcule a aceleração centrípeta de um satélite em órbita circular geoestacionária. b) A energia mecânica de um satélite de massa m em órbita GMm , em que circular em torno da terra é dada por E = − 2r r é o raio da órbita, M = 6 × 1024 kg é a massa da Terra e Nm2 G = 6,7 × 10–11 kg2 . O raio de órbita de satélites comuns de observação (não geoestacionários) é tipicamente de 7 000 km. Calcule a energia adicional necessária para colocar um satélite de 200 kg de massa em uma órbita geoestacionária, em comparação a colocá-lo em uma órbita comum de observação. 11. (UFRJ) Em sua sátira História dos Estados Lunares e Impérios, o escritor francês do século XVII Cyrano de Bergerac afirma ter sido, um dia, elevado por um sopro de ar que o manteve pairando acima da superfície da Terra durante várias horas. Ao pôr os pés no chão, Cyrano, para seu espanto, não estava mais na França, mas sim no Canadá. Evidentemente, isso é fruto da imaginação do autor, pois sabemos que a atmosfera gira junto com a Terra. Caso a atmosfera ficasse parada enquanto a Terra gira, todos nós, que giramos com ela, sentiríamos um “vento” que, dependendo da latitude, poderia ser absurdamente forte. Supondo que o raio da Terra seja 6400 km, calcule em km/h, a velocidade desse “vento” em relação a um ponto fixo no Equador terrestre.

V = 1675 km /h

12. (Fuvest SP) Alienígenas desejam observar o nosso planeta. FRENTE C  Exercícios de Aprofundamento

Para tanto, enviam à terra uma nave N, inicialmente ligada a uma nave auxiliar A, ambas de mesma massa. Quando o conjunto de naves se encontra muito distante da Terra, sua energia cinética e sua energia potencial gravitacional são muito pequenas, de forma que a energia mecânica total do conjunto pode ser considerada nula. Enquanto o conjunto é acelerado pelo campo gravitacional da Terra, sua energia cinética aumenta e sua energia potencial fica cada vez mais negativa, conservando a energia total nula. Quando o conjunto N-A atinge, com velocidade V0 (a ser determinada), o ponto P de máxima aproximação da Terra, a uma distância R0de seu centro, um explosivo é acio204

a) V0 =

2GM

b) VN =

c) VA = (2 2 − 1)

R0 R0 R0 NOTE/ADOTE 1. A força de atração gravitacional F, entre um corpo de massa m e o planeta Terra, de massa M, é dada por GMm = F = mgR . R2 2. A energia potencial gravitacional Ep do sistema formado pelo corpo e pelo planeta Terra, com referencial de poten−GMm cial zero no infinito, é dada por: Ep = . R G: constante universal da gravitação. R: distância do corpo ao centro da Terra. gR = aceleração da gravidade à distância R do centro da Terra.

Determine, em função de M, G e R0,

a) a velocidade V0com que o conjunto atinge o ponto P. b) a velocidade VN, de N, em sua órbita circular. c) a velocidade VA, de A, logo após se separar de N. 13. (ITA SP) Suponha que na Lua, cujo raio é R, exista uma cratera de profundidade R/100, do fundo da qual um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial v igual à de escape. Determine literalmente a altura máxima alcançada pelo projétil, caso ele fosse lançado da superfície da Lua com aquela R mesma velocidade inicial v. h = 98

14. (Ufop MG) No século XVIII, cientistas franceses criaram o sistema métrico, definindo a distância de 1 (um) metro como “uma parte em quarenta milhões da circunferência da Terra”. Sabendo disso e considerando que g = 10m/s2, π ≅ 3,1 e π ≅ 1,8 , a) Ve = 11,1 x 103 m/s; b) Fc = 2,3 N calcule aproximadamente: a) A velocidade de escape da Terra. b) A “força centrífuga” que um observador de massa igual a 70 kg experimenta no equador terrestre.