Coleção 10 V - Livro 4 - Matemática - Aluno by Editora Elabore

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FRENTE

MATEMÁTICA Por falar nisso Quando os filósofos se referem aos valores absolutos ou princípios éticos universais, eles procuram destacar certos ideais comuns a todas as culturas, em todos os momentos e para a humanidade em seu conjunto. Consequentemente, esses ideais ou valores são universais. Assim, certas formas de comportamento são consideradas universais porque, apesar de alguns aspectos ou apreciações, pode-se afirmar que sempre estiveram presentes na condição humana. Fonte: https://conceitos.com/valor-absoluto/ Acesso: Junho de 2017

Já na Matemática, o valor absoluto de qualquer número x se refere à sua grandeza, independentemente se esse número é positivo ou negativo. Assim, por exemplo, os valores absolutos dos números −10 ou +10 são iguais e expressos, respectivamente por |−10| = 10 e |10| = 10. Cabe destacar que, em particular, |0| = 0. Portanto, em termos matemáticos, o valor absoluto (ou módulo) de um número é uma operação que, excetuando-se o 0 (zero), torna-o positivo. Várias são as aplicações do valor absoluto, tanto na própria Matemática, quanto nas outras ciências. Por exemplo: nn Na Estatística, para calcular o desvio médio de um grupo de dados em relação à sua média. nn Na Física, para encontrar a intensidade da força eletrostática entre

cargas pontuais, devemos utilizar o valor absoluto das cargas. nn Na Geografia, para definir a amplitude térmica de uma região

tomamos o valor absoluto da diferença entre as temperaturas extremas. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

A13 A14 A15 A16

Funções definidas por várias sentenças........................................298 Módulo (ou valor absoluto) de um número real..........................302 Funções modulares: definição e gráficos......................................305 Equações modulares......................................................................310

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO A13

ASSUNTOS ABORDADOS nn Funções definidas por várias

sentenças

nn Função definida por várias sentenças

FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS No início da década de 1990, começou a história da telefonia celular no Brasil. A primeira rede de telefonia celular do país foi lançada pela TELERJ, na cidade do Rio de Janeiro. O que nessa época era um privilégio de poucos, atualmente são duzentas e sessenta e sete milhões de linhas de celular ativas (dados divulgados pela Anatel em agosto de 2013). Por outro lado, em um relatório divulgado pela ONU sobre o uso das Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs), o Brasil aparece como um dos países em desenvolvimento cujo preço da ligação de celular é o mais caro. Assim, considere que uma empresa de telefonia celular oferece o seguinte plano aos seus clientes: Custo fixo de R$ 60,00 para até 80 minutos em ligações locais e R$ 1,50 para cada minuto excedente. A partir desses dados, pode-se estabelecer uma relação entre o valor pago y, em reais, e a quantidade x de minutos de ligações locais, a partir da seguinte lei de formação composta por duas sentenças. 60, se 0 ≤ x ≤ 80 y= 60 + 1,5 ⋅ (x − 80), se x > 80

Desenvolvendo, a segunda sentença, temos que:

Fonte: Por Antonio Guillem / shutterstock.com

Figura 01 - Ilustração de três amigos utilizando os seus celulares.

298

60, se 0 ≤ x ≤ 80 y= 1,5x − 60, se x > 80

Essa lei de formação é um exemplo de função definida por duas sentenças. Nesta aula, vamos abordar esse tipo de função que será muito utilizado no estudo das funções modulares.

Matemática e suas Tecnologias

Função definida por várias sentenças

nn f(x)

= 1, se x > 2

Uma função real pode ser definida por várias sentenças, sendo que cada uma delas possui um domínio contido no domínio de f. Por exemplo:

x − 1, se x ≤ 2 A função f: IR → IR definida por f(x) =  é 1, se x > 2 composta por duas sentenças.

Para construir o seu gráfico, vamos esboçar separadamente os gráficos referentes às duas partes respeitando os seus domínios e, em seguida, fazer a união desses dois gráficos em um só. nn f(x)

Fazendo a união desses gráficos, temos: y

= x – 1, se x ≤ 2 y

-1 1

-1

EXEMPLOS −2, se x < 0  01. Dada a função real f(x) =  2 construa o seu gráfico.  3 x − 2, se x ≥ 0

Fazendo a união dos dois gráficos, temos:

RESOLUÇÃO

f(x) = −2, se x < 0. Daí, temos essa parte do gráfico é dada por:

-2

 −x, se x < −1 02. Dada a função f: IR → IR definida por f(x) =  2 , calcule:  x − 1, se x ≥ −1 a) f(2) b) f(−4) c) x, para f(x) = 0

dada por:

RESOLUÇÃO

A13  Funções definidas por várias sentenças

−2, se x < 0  , se x ≥ 0. Daí, temos essa parte do gráfico é f(x) =  2  3 x − 2, se x ≥ 0

a) Para x = 2, temos que f(2) = 22 –1 = 3. b) Para x = −4, temos que f(−4) = −(−4) = 4. c) Para f(x) = 0, temos que: Se x < −1, então f(x) = −x. Daí, quando f(x) = 0, temos que:

−x = 0 ⇒ x = 0 (não convém, pois a sentença é válida para x < −1).

Se x ≥ −1, então f(x) = x2 – 1. Daí, quando f(x) = 0, temos que: x2 – 1 = 0 ⇒ x = ±1.

-2

Portanto, f(x) = 0 para x = ±1.

299

Matemática Gabarito: 01

Gabarito: 04 −x + 3, se x < 1 4, se x ≤ 3 b) y =  a) y =  x + 1, se x ≥ 3 x + 2, se x ≥ 1 

4,5x, sex ≤ 8 a) R$ 18,00; b) R$ 57,00; c) y =  3,5x + 8, sex > 8

Exercícios de Fixação 01. Considere a seguinte situação:

R$ 750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para cada produto vendido, a partir do 101º produto vendido. Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o número de produtos vendidos é

nn Na compra de até 8 litros de suco, o valor pago é de

R$ 4,50 por litro. nn Para compras acima de 8 litros de suco, o preço pago

pelo litro excedente é R$ 3,50.

Responda: a) Qual o valor pago por 4 litros de suco? b) Qual o valor pago por 14 litros de suco? c) Qual a função que relaciona o preço total y pago, em reais, e a quantidade x de suco, em litros?

Salário (R$)

4 − x 2 , se x ≤ 1 02. Dada a função f(x) =  , calcule o valor de 2 ⋅ (x + 1), se x > 1 f(6) – f(-3) + f(1).

25 50 75 100 125 150 175 200 250 Produtos vendidos

Gabarito:22

03. Construa o gráfico das funções a seguir:

Salário (R$)

1, se 0 < x < 2 a) f(x) =  3, se 2 ≤ x < 5 1, se x ≤ 2 b) f(x) =  x − 2, se x > 2

04. Determine as leis das funções representadas pelos gráficos a seguir: Gabarito: 03 a) y

Salário (R$)

2 x , se x ≤ 0 d) f(x) =  − x, se x > 0

c) -1

3 1

2 1 2

-1

2 1 2

1 -2

-1

25 50 75 100 125 150 175 200 250 Produtos vendidos

-2 -3

5 x

-1

2500 2000 1750 1500 1250 1000 750 x 500 250

1 1

1 -2

Salário (R$)

A13  Funções definidas por várias sentenças

a) y

Salário (R$)

25 50 75 100 125 150 175 200 250 Produtos vendidos

-2 -3d)

5 x

2500 2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250

1 1

2500 2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250 25 50 75 100 125 150 175 200 250 Produtos vendidos

x − 2, se x < 0 c) f(x) =  − x + 1, se x ≥ 0

05. (Enem Mec) Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de

300

2500 2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250

2500 2000 1750 1500 1250 1000 750 500 250 25 50 75 100 125 150 175 200 250 Produtos vendidos

Matemática e suas Tecnologias 8

4 2

Exercícios Complementares

-5

01. (Uerj RJ) Uma panela, contendo um bloco de gelo a 40 °C, é colocada sobre a chama de um fogão. A evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo do tempo x, em minutos, é descrita pela seguinte função real: T(x) = 20x – 40 se 0 ≤ x < 2 T(x) = 0 se 2 ≤ x ≤ 10 T(x) = 10x – 100 se 10 < x ≤ 20 T(x) = 100 se 20 < x ≤ 40

-7

O número de peças produzidas durante a quinta hora de trabalho é: a) 40 d) 1 200 b) 200 e) 2 200 03 Gabarito: y a) c) 1 000

180 171 148 51

Altura (cm)

50 ⋅ (t2 + t), 0 ≤ t ≤ 4 f(t) =  200 ⋅ (t + 1), 4 < t ≤ 8

Altura (cm)

05. (Enem MEC) Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas. Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade?

02. (Puc RS) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por:

03. Construa o gráfico das funções a seguir:

em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde 5 2 o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for-248 2°C3 e re-4 tirada quando a temperatura for 200 °C. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a: y Questão 03 c) a) 100 11 9 b) 108 8 c) 128 -4 d) 130 -3 -1 -4 e) 150

O tempo necessário para que a temperatura da água atinja 50 °C, em minutos, equivale a: a) 4,5 c) 15,0 b) 9,0 d) 30,0

180 171 148 51

10 17 Idade (anos)

-5

10 17 Idade (anos)

5 2 -2

2 3

180 171 148 51 10 17 Idade (anos)

180 171 148 51

-4

10 17 Idade (anos)

06. (UFV MG) Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por: x

5 + x ⋅ (12 − x), se 0 ≤ x ≤ 10  C(x) =  3 − 2 x + 40, se 10 < x ≤ 20

a) Se, em um dia, foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o custo de produção das 24 unidades. b) Determine a produção que corresponde a um custo máximo. Gabarito: a) R$ 49,50

b) 6 unidades

301

A13  Funções definidas por várias sentenças

04. (Enem Mec) Nos processos industriais, como na indúsy c) tria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de 11 9 produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o 8 tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a-4economia -3 -1 -4 no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de -7 acordo com a função

7  t + 20, para 0 ≤ t < 100 T(t) =  5  2 t2 − 16 t + 320, para t ≥ 100 125 5

Altura (cm)

−7 se x < −4  c) f(x) = − x 2 + 9, se − 4 ≤ x ≤ 1 x + 7, se x > 1 

180 171 148

Altura (cm)

-1

Altura (cm)

4 2

−5, se x ≤ −1  a) f(x)= 3x + 2, se − 1 < x ≤ 2 4, se x > 2 

− x, se x ≤ −2  b) f(x)= x 2 − 4, se − 2 < x ≤ 3 5, se x > 3 

-1

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO A14

ASSUNTOS ABORDADOS nn Módulo (ou valor absoluto) de

um número real

nn Definição de módulo nn Propriedades do módulo

MÓDULO (OU VALOR ABSOLUTO) DE UM NÚMERO REAL A falta de infraestrutura nas rodovias nacionais é um dos grandes problemas do Brasil. Além de matar milhares de pessoas ao ano, o mau estado das estradas brasileiras gera prejuízos de bilhões de reais. A falta de recursos e o descumprimento dos projetos são fatores que contribuem para essa precariedade. A BR-163 é uma amostra das piores estradas brasileiras. De Mato Grosso até a divisa com Santarém são 980 km de extensão. Dessa dimensão, 460 km ainda são de terra. No estado do Pará, em um trecho de 112 km, que vai de Itaituba a Rurópolis, foi aberta uma estrada no início dos anos de 1970. No entanto, apenas recentemente a pavimentação da via começou a ser feita. Nesses locais citados, os viajantes, principalmente os caminhoneiros, têm enorme dificuldade para fazer o transporte de cargas. A situação se agrava ainda mais quando chove. Nesse período, forma-se muito barro, prejudicando a locomoção. Bastam poucos minutos de chuva intensa para alagar as estradas. Fonte: https://nacionaltransportes.com Acesso: Junho de 2016

Assim, suponha que dois carros A e B estão se deslocando na BR-163 e no momento em que o carro A se encontra 4 km à frente do carro B, uma pizzaria localizada nessa rodovia está a mesma distância desses dois carros. Associando um eixo real a essa situação, na qual a pizzaria é a origem O, temos a figura a seguir:

B -2

-1

Nesse caso, apesar do carro A (em x = 2) e o carro B (em x = -2) estarem em locais diferentes, eles estão a mesma distância da pizzaria (em x = 0) e que essa distância é dada por um número positivo (2 km). A distância de um número real à origem (zero) é denominada módulo desse número. Nesta aula, abordaremos a definição e as propriedades de módulo. Fonte: Por elleon / shutterstock.com

Figura 01 - Ponte de madeira na famosa estrada de terra da Transpantaneira.

302

Matemática e suas Tecnologias

Definição de módulo

Propriedades do módulo

Dado um número real x, o módulo ou valor absoluto de x, indicado por |x|, é definido por:

Dados os números reais x e y, temos as seguintes propriedades envolvendo os seus módulos:

x, se x ≥ 0 |x| =  −x, se x ≤ 0

nn O

módulo de zero é o próprio zero. |x| = 0 ⇔ x = 0

nn O

módulo do produto de dois números reais é igual ao produto dos seus módulos. |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y|

Observações: nn O módulo de um número real nunca é negativo. nn Geometricamente, o módulo de um número real x é dado pela distância de x à origem (x = 0) da reta real. Por exemplo: nn A distância do número 5 à origem da reta real é o módulo de 5, ou seja, |5| = 5. nn A distância do número −3 à origem da reta real é o módulo de −3, ou seja, |−3| = 3. Observe a figura a seguir:

nn O

módulo da divisão de dois números reais é igual à divisão dos seus módulos.

x = y

x y

, para y ≠ 0

nn O módulo da soma de dois números reais é menor ou

igual à soma dos seus módulos.

|x + y| ≤ |x| + |y|. nn O quadrado do módulo de um número é igual ao mó-

dulo do seu quadrado.

|x|2 = |x2| = x2 nn A

raiz quadrada do quadrado de um número real é igual ao seu módulo.

|5|

-3

módulo de um número real nunca é negativo. |x| ≥ 0

Por exemplo: nn |5| = 5, pois 5 ≥ 0. nn |−3| = −(−3) = 3, pois −3 < 0. nn |0| = 0.

|-3|

nn O

x2 = x

5 x

EXEMPLOS 01. Calcule o valor de:

RESOLUÇÃO

a) |4| b) |–9| c) |4 – π|

x + 3, se x + 3 ≥ 0 x + 3, se x ≥ −3 y= ⇒y=  −(x + 3), se x + 3 < 0 −x − 3, se x < −3 RESOLUÇÃO

04. Calcule o valor de y= 5 +

a) |4| = 4, pois 4 ≥ 0. b) |–9|= –(–9) = 9, pois –9 < 0. d) |4 – π| = 4 – π, pois 4 – π ≥ 0.

(

)

c) 1 − 2 = − 1 − 2 =2 − 1, pois 1 − 2 < 0 02. Escreva a expressão y = |x – 5| sem o módulo, para x <5. RESOLUÇÃO Para x <5, temos que x – 5 < 0. Daí, para x < 5, temos que |x – 5| = –(x – 5) = –x + 5. 03. Utilizando a definição de módulo, reescreva a expressão y = |x + 3| sem o módulo.

x 2 − 4x + 4 para x >2. x −2

A14  Módulo (ou valor absoluto) de um número real

d) 1 − 2

RESOLUÇÃO x −2 ( x − 2) x 2 − 4x + 4 y= 5+ = 5+ = 5+ x −2 x −2 x −2 2

Para x > 2, temos que x – 2 > 0. Daí, para x > 2, temos que |x – 2| = x – 2. Portanto, temos que: y =5+

x −2 = 5+1 =6 x −2

303

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de: a) 6;

04. Reescreva as expressões a seguir sem os módulos.

d) −5.

b) 4; c) 11;

a) |4 – 10| b) |–5 + 9| c) |–6 – 5| d) |–3| – |–8|

b) π − 4 − 1 − π b) 17;

b) |3x + 12|, para x < –4. c) |x + 4| + |x – 5|, para x > 8.

a) |x| = x, para todo x ∈ IR.

b) |x2| = x2, para todo x ∈ IR. c) |x – 6| = x – 6, para x < 6.

03. Calcule o valor das expressões a seguir: a) 5;

c) 2x – 1.

E-C-E-E-C

b) 3.

a) 4 − 10 + 2 − 10

b) –3x – 12;

05. Julgue os itens a seguir como certo (C) ou errado (E).

02. Calcule o valor de: a) 2;

a) x – 5;

a) |x – 5|, para x > 6.

c)−2.

d) |x + y| = |x| + |y|, para todo x, y ∈ IR. e)

x 2 = |x| para todo x ∈ IR.

a) |4x + 3|, para x = –2. b) |–2x| + |3 – 2x|, para x = 5. c) |x2 + 3x| – |x2 + 5|, para x = –1.

Exercícios Complementares 01. (UFPE) Sejam x e y números reais tais que x > y e x(x – y) = 0. Analise a veracidade das afirmações a seguir. V-V-F-F-V 01. x = 0 02. y < 0 03. x – y < 0 04. │x│ > │y│ 05. |x – y │ > 0 01. (Puc MG) O valor de 2 − 5 + 3 − 5 é:

A14  Módulo (ou valor absoluto) de um número real

a) 5 – 2 5 b) 5 + 2 5 c) 5 d) 1 + 2 5 e) 1

b) 7;

304

b) –3x;

c) –x + 9.

b) |x + 4| +|2x – 4|, para x < –4. c) ||x – 2| – 7|, para 3 < x < 8. 05. (Acafesc SC) Considerando as afirmações: 1.

x2 − 9 = x + 3, para todo x real. x −3

2. |a – 3| = a – 3, para todo a real.

(1 − x )

=− 1 x , para todo x real.

Está correto afirmar que: a) somente a 2 é falsa. b) todas são verdadeiras.

03. Escreva a expressão |x| + |x – 7| sem os módulos para os seguintes valores de x: a) –2x + 7;

a) 3x;

a) |2x – 3| + |x + 3|, para x > 3.

|n|   = A = x|x ,sendo n ∈ Z* 02. (Puc Campinas SP) O conjunto n   é dado por: a) {…,-3, -2, -1, 1, 2, 3, …} b) {-1, 0, 1} c) {-1,1} d) {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} e) {-2, -1, 1, 2}

a) x ≤ 0. b) 0 ≤ x ≤ 7. c) x ≥ 7.

04. Escreva as expressões a seguir sem os módulos.

c) 2x – 7.

c) todas são falsas. d) somente a 3 é verdadeira. e) somente a 1 é falsa. 06. (CFTCE) y=

Para

< -3,

simplificando

9 − 6x + x + 9 + 6x + x , tem-se:

a) y = 6 b) y = 6 – 2x c) y = 2x d) y = –2x e) y = 3x – 1

expressão

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO A15

FUNÇÕES MODULARES – DEFINIÇÃO E GRÁFICOS O cansaço é responsável por 20% dos acidentes nas estradas e por 30% das vítimas fatais. Um motorista cansado demora mais a identificar uma situação de risco e reagir. Por isso, o ideal é que a cada duas horas de viagem o motorista programe uma parada de pelo menos 20 minutos para recuperar os reflexos, tirar um cochilo ou fazer um lanche.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Funções modulares – definição

e gráficos

nn Função modular

Segundo o Movimento SOS Estradas, existem pelo menos 155 000 vagas para estacionamento de carretas em 2 500 postos de rodovia, sem contar os 5 500 postos restantes dos mais de 8 000 registrados nas estradas brasileiras. Para ajudar a escolher os melhores pontos de parada que oferecem infraestrutura, atendimento e localização estratégica para uma boa viagem, o SOS Estradas preparou uma lista de postos, baseada na qualidade e na segurança dos locais. Postos de combustível, muitas vezes, são excelentes paradas para a viagem. Quem usa iPhone ou iPad pode baixar o aplicativo mobile da Iveco e encontrar os postos de diferentes bandeiras que estão na rota de viagem. Fonte: http://www.blogiveco.com.br/os-melhores-pontos-de-parada-para-sua-viagem/ Acesso: Julho de 2017

km 0

km 100

Fonte: Por Carolyn Franks / shutterstock.com

Assim, considere que um posto de gasolina encontra-se localizado no quilômetro 100 de uma estrada retilínea. Um caminhão parte do quilômetro 0, no sentido indicado na figura a seguir, dirigindo-se a uma cidade a 250 km do ponto de partida.

km 250

Se em um dado instante, x denota a distância (em quilômetros) do caminhão ao quilômetro 0, nesse instante, qual seria a distância D (em quilômetros) do caminhão ao posto de gasolina? nn Se nn Se

o caminhão estiver à direita do posto, temos que D = x – 100. o caminhão estiver à esquerda do posto, temos que D = 100 – x. Figura 01 - Posto de gasolina e sua loja de conveniência.

305

Matemática

Podemos obter uma forma equivalente de escrever essas expressões utilizando o módulo. Observe: x − 100, se x ≥ 100 ⇔ D = |x – 100| D= 100 − x, se x ≤ 100 Nesta aula, abordaremos funções como essa, ou seja, que possuem a variável dentro do módulo. Tais funções são denominadas de funções modulares.

Função modular Cada número real x tem apenas um módulo. Assim, podemos definir uma função f: IR → IR que associa cada número real x a seu módulo por meio da expressão f(x) = |x|. Note que f pode ser expressa como uma função definida x, se x ≥ 0 por duas sentenças, ou seja, f(x) = |x| =  . − x, se x ≤ 0 Para construir o seu gráfico, basta fazer separadamente os gráficos das duas partes respeitando os seus domínios e, em seguida, fazer a união desses dois gráficos em um só. Observe: nn f(x)

= x, se x ≥ 0.

De maneira geral, funções modulares são aquelas que apresentam a variável x no interior de pelo menos um módulo. Por exemplo: nn f(x) = |x| nn f(x) = 2|x| – 1 nn f(x) = |x| + |x – 3| nn f(x) = |x2 – 1| + 2 Agora, vamos construir o gráfico de g: IR → IR, dada por g(x) = 2|x| – 1. Note que f é uma função definida por duas sentenças, ou 2x − 1, se x ≥ 0 seja, f(x) = 2|x| – 1 =  . −2x − 1, se x ≤ 0 Para construir o seu gráfico, basta fazer separadamente os gráficos das duas partes respeitando os seus domínios e, em seguida, fazer a união desses dois gráficos em um só. Observe: nn f(x)

= 2x – 1, se x ≥ 0. y

1/2

1 1

x nn f(x)

nn f(x)

-1

= -2x, se x ≤ 0. y

= -x, se x ≤ 0. y -1/2

x -1

1 nn Fazendo

a união dos dois gráficos, temos:

-1 A15  Funções modulares - definição e gráficos

y nn Fazendo

a união dos dois gráficos, temos: -1/2

1 -1

306

1/2 -1

Daí, para se construir o gráfico de uma função modular, basta expressá-la como uma função de duas ou mais sentenças e, em seguida, construir o seu gráfico.

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Esboce o gráfico da função f(x) = |x + 2| + x.

-x

RESOLUÇÃO

|x|

(x + 2) + x, se x + 2 ≥ 0 ⇒ f(x) = f(x) =  −(x + 2) + x, se x + 2 ≤ 0

2x + 2, se x ≥ −2  −2, se x ≤ −2

Assim, para x ≥ -2, temos uma semirreta crescente e para x ≤ -2, temos uma semirreta paralela ao eixo das abscissas. Observe o gráfico a seguir:

-x + 3

x- 3

-3

2x- 3

|x-3|

A função f(x) = |x + 2| + x pode ser expressa como uma função de duas sentenças. Observe:

f(x) 0

Logo, f(x) pode ser expressa pela seguinte função de três sentenças.

−3, se x ≤ 0  f(x) = 2x − 3, se 0 ≤ x ≤ 3 3, se x ≥ 3 

Assim, o gráfico de f(x) é dado por: y 3

2 1

2 -2

-1

-1 -2

-1 -2 -3

02. Esboce o gráfico da função f(x) = |x2 – 1|. RESOLUÇÃO Escrevendo f(x) = |x2 – 1|, como uma função de duas sentenças por meio da definição de módulo, temos: x 2 − 1, se x 2 − 1 ≥ 0  f(x) =  2 ⇒ f(x) = 2  −(x − 1), se x − 1 ≤ 0

2 x − 1, se x ≥ 1 ou x ≤ −1  2 −x + 1, se − 1 ≤ x ≤ 1

Assim, o gráfico de f(x) é dado por:

04. Esboce os gráficos das seguintes funções modulares: a) b) c) d)

f(x) = -|x| f(x) = |x| + 2 f(x) = |x – 2| f(x) = |x– 2| + 2 RESOLUÇÃO

a) Escrevendo f(x) = -|x|, como uma função de duas sentenças por meio da definição de módulo, temos:

−x, se x ≥ 0 f(x) =  x, se x ≤ 0

3 2

Assim, o gráfico de f(x) é dado por:

1 y -1

Note que esse gráfico também poderia ser obtido a partir do gráfico de y = x2 – 1 por meio de uma reflexão da parte negativa em torno do eixo x. 03. Esboce o gráfico da função f(x) = |x| – |x – 3|.

-1

x -1

RESOLUÇÃO Escrevendo f(x) = |x| – |x – 3|, como uma função de duas sentenças por meio da definição de módulo, temos: A expressão |x| se anula para x = 0. A expressão |x – 3| se anula para x = 3. Assim, para escrever a expressão sem os módulos vamos considerar três intervalos para x. Observe:

Note que esse gráfico também poderia ser obtido a partir do gráfico de y = |x| por meio de reflexão em torno do eixo x. b) Escrevendo f(x) = |x| + 2, como uma função de duas sentenças por meio da definição de módulo, temos:

x + 2, se x ≥ 0 f(x) =  −x + 2, se x ≤ 0 Assim, o gráfico de f(x) é dado por:

307

A15  Funções modulares - definição e gráficos

-2

Matemática

Note que esse gráfico também poderia ser obtido a partir do gráfico de y = |x| por meio de uma translação horizontal para direita de duas unidades.

y 4 3

d) Escrevendo f(x) = |x – 2| + 2, como uma função de duas sentenças por meio da definição de módulo, temos:

x, se x ≥ 2 f(x) =  −2x + 4, se x ≤ 2

1 -2 -1

Assim, o gráfico de f(x) é dado por: Note que esse gráfico também poderia ser obtido a partir do gráfico de y = |x| por meio de uma translação vertical para cima de duas unidades. c) Escrevendo f(x) = |x – 2|, como uma função de duas sentenças por meio da definição de módulo, temos:

y 4 3

x − 2, se x ≥ 2 f(x) =  −x + 2, se x ≤ 2

2 1

Assim, o gráfico de f(x) é dado por:

Note que esse gráfico também poderia ser obtido a partir do gráfico de y = |x| por meio de uma translação vertical para cima de duas unidades e uma translação horizontal para direita de duas unidades.

2 1 1

Questão 03.

Questão 04.

4 2

-1/2

1/2

2 3 x

-2

3 4

-1

-3 -2

1 2

1 2 3

Exercícios de Fixação 01. O lucro L, em centenas reais, de quantidade x (10 ≤ x ≤ 50) de unidades comercializadas de certo produto é dado por:

A15  Funções modulares - definição e gráficos

L(x) = 800 –40⋅|x – 30| Responda aos itens a seguir: a) Quantas unidades desse produto devem ser comercializadas para que se tenha o lucro máximo? b) Quantas unidades desse produto devem ser comercializadas para que não se tenha lucro? a) 30 unidades b) 10 unidades ou 50 unidades

02. Esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir:

Questão 05.

y 5

308

a) f(x) = |x| + |x – 3| b) f(x) = |x + 2| + |x – 1| c) f(x) = ||x – 2| – 1|

04. Construa o gráfico e determine a imagem das funções a seguir:

a) f(x) = |x2 – 4| b) f(x) = x2 – 3|x| + 2 c) f(x) = x⋅|x| – 4x + 5

Questão 02. y

a) f(x) = –|2x| + 1 b) f(x) = |–x + 2| + x c) f(x) = |x – 3| – x + 1

05. Esboce o gráfico das funções a seguir:

a) f(x) = |x – 4| b) f(x) = |x| + 1 c) f(x) = |x – 4| + 1 a)

03. Esboce o gráfico de cada uma das funções a seguir:

9 2 1

1 4 5

-2

4 5

5 4

5 2 -2 -1

-3 -2

2 3

1 2

x -2

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (FGV SP) Considere a função dada por f(x) = a) Calcule f 3 + 2 + f 3 − 2 . b) Esboce o gráfico da função.

) (

)

f(x) = │x│ + │x – 1│, é correto afirmar que: a) o gráfico de f é a reunião de duas semirretas. b) o conjunto imagem de f é o intervalo [1, +∞[.

02. (UFGO) Considere a função f: IR → IR, definida por f(x) = x + |x| a) demonstração b) S = {−3, −1} e faça o que se pede:

0, se x ≤ 0 . a) Mostre que f(x) =  2x se x ≥ 0 b) Resolva a equação f(x + 2) – x = 3.

06. (Unesp SP) Sejam a e b dois números reais positivos tais a < b e a + b = 4. Se o gráfico da função y = |x – a| + |x – b|

6 5 4 3 2 1

tempo, de acordo com a função definida por V(t) = 30 – |2 – 2t| – |2t – 8|, com t∈ R+. Sabendo que o volume é medido em m3, após t horas, con-

1 2 3 4 5 6

tadas a partir das 7 horas da manhã (t = 0), analise as seguintes proposições:

Gabarito 01: a) 2 2 b) y

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

1 3 4

04. (FSP SP) O módulo |x| de um número real x é definido por |x| = x, se x ≥ 0, e |x| = -x, se x ≤ 0. Das alternativas a seguir, a que melhor representa o gráfico da função f(x) = x⋅|x| – 2x + 2 é: a) y

d) y

O volume de água na piscina permanece constante entre 8 horas e 11 horas da manhã.

II.

O volume constante é de 24 m3 de água.

III.

O volume da piscina também pode ser representado

IV.

Às 12 horas a piscina se encontra com 20 m3 de água.

Das proposições acima, tem-se exatamente: a) 1 correta. b) 2 corretas. c) 3 corretas. d) 4 corretas. 08. (UFGO) Seja IR o conjunto dos números reais. Considere a função g: IR → IR, definida por g(x) = |1 – |x||. Assim: E-C-E-C 01. g(–4) = 5.

pela função V(t) = 40 – 4t, se t > 0.

b) y

a=1eb=3

07. (Acafe SC) O volume de água de uma piscina varia com o

O número de elementos do conjunto solução da equação f(x) = 1 , resolvida em IR é igual a:

coincide com a função y = 2 no intervalo a ≤ x ≤ b, calcule os valores de a e b.

1 2 3

d) f é decrescente para todo x ∈ IR e x ≥ 0. e) o valor mínimo de f é 0.

03. (Insper RJ)A figura a seguir mostra o gráfico da função f(x).

5 4 3 2 1

c) f é crescente para todo x ∈ IR.

A15  Funções modulares - definição e gráficos

(

05. (FGV SP)Relativamente à função f, de IR em IR, dada por

(x − 3)².

02. o valor mínimo de g é zero. 03. g é crescente para x no intervalo [0, 1].

04. a equação g(x) = 1 possui três soluções reais distintas.

1 1 x

y 1 1

309

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO A16

ASSUNTOS ABORDADOS nn Equações modulares nn Equações modulares

EQUAÇÕES MODULARES O aço para construção civil é produto indispensável, pois esse metal está presente em todas as obras como material principal, tanto em estruturas metálicas como em estruturas de concreto armado. Sua utilização no Brasil ocorreu de maneira bem tardia em relação aos vários outros países. Um dos principais motivos que levaram a esse atraso foi a necessidade de se obter altas temperaturas no processo de sua fabricação. Isso o encarecia muito, dificultando sua comercialização e, consequentemente, sua popularização. Assim, considere uma indústria que produz barras de aço de 500 centímetros de comprimento. De acordo com o departamento de controle de qualidade dessa indústria, para que o comprimento dessas barras esteja dentro da especificação, o erro no comprimento deve ser de no máximo 0,6% para mais ou para menos. Assim, o comprimento x, em centímetros, máximo e mínimo que essas barras podem ter para ficarem dentro da especificação é a solução da seguinte equação: |x – 500| = 3 Nesta aula, abordaremos a resolução de igualdades com as equações modulares.

Equações modulares Equações modulares são aquelas que contêm a incógnita em módulo em pelo menos um dos seus membros. Por exemplo: nn |3x – 2| = 19 nn x2 –|x| + 6 = 0 nn |3x + 5| = x – 1 nn |2x – 1| = |x + 3| Para resolver as equações modulares, vamos utilizar as seguintes propriedades: nn Sendo

k um número real positivo, temos que:

nn Sendo

x e y dois números reais, temos que: |x| = |y| ⇔ x = y ou x = −y

Figura 01 - Barras de aço utilizadas em estruturas de concreto armado.

310

Fonte: Por Jackthumm / shutterstock.com

|x| = k ⇔ x = k ou x = −k

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Resolva a equação |2x + 9| = 15

05. Resolva a equação |x – 2| + |x + 1| = 3.

RESOLUÇÃO |2x + 9| = 15 ⇔ 2x + 9 = 15 ou 2x + 9 = −15. 2x + 9 = 15 ⇒ x = 3

RESOLUÇÃO A expressão |x – 2| se anula para x = 2. A expressão |x + 1| se anula para x = -1. Para x > 2, temos que x–2>0⇒ |x – 2| = x – 2.

2x + 9 = −15 ⇒ x = −12 Portanto, S = {-12, 3}.

Para x < 2, temos que x–2<0⇒ |x – 2| = –x + 2.

02. Resolva a equação |2x – 3| = |x + 6| RESOLUÇÃO

Para x > –1, temos que x+1>0⇒ |x + 1| = x + 1.

|2x – 3| = |x + 6| ⇔ 2x – 3 = x + 6 ou 2x – 3 = –(x + 6) 2x – 3 = x + 6 ⇒ x = 9

Para x < –1, temos que x+1<0⇒ |x + 1| = –x – 1.

2x – 3 = –x – 6 ⇒ x = –1 Portanto, S = {–1, 9}

Assim, para escrever a equação sem os módulos, temos que considerar três intervalos para x.

03. Resolva a equação |3x – 4| = x – 2

Observe a figura a seguir:

RESOLUÇÃO Inicialmente, devemos ter x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 |3x – 4| = x – 2 ⇔ 3x – 4 = x – 2 ou 3x – 4 = –(x – 2) 3x – 4 = x – 2 ⇒ x = 2/3 (não convém) 3x – 4 = –x + 2 ⇒ x = 3/2 (não convém) Assim:

04. Resolva a equação x2 + |x| – 6 = 0. RESOLUÇÃO

Para x ≤ −1, temos: −2x +1 = 3 ⇒ x = −1 Para −1 ≤ x ≤ 2, temos: 3=3⇒ −1 ≤ x ≤ 2

Inicialmente, temos que x = |x| . 2

x2 + |x| – 6 = 0 ⇒ |x|2 + |x| – 6 = 0

Para x ≥ 2, temos: 2x – 1 = ⇒ x=2

Fazendo |x| = y, com y ≥ 0, temos: y2 + y – 6 =0 ⇒ y’ = -3 (não convém) e y” = 2 Daí, temos que: |x| = y ⇒ |x| = 2 ⇒ x = ±2.

A solução dessa equação é dada pela união das soluções obtidas em cada um dos intervalos. Portanto, S = [−1, 2].

Portanto, S = {±2}.

311

A16  Equações modulares

Portanto, S = ∅.

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Resolva as seguintes equações modulares: a) S = {2, 14}; b) S = {−1, 4};

c) S = {±1, 5, 7}.

a) |x – 8| = 6

04. Determine o conjunto solução das seguintes equações modulares:

a) S = {1}; b) S = {-4, 1, 3, 8}.

b) |2x – 3| = 5

a) |x2 + 2x – 3| – x + 1 = 0

c) |x2 – 6x – 1| = 6

b) |x – 2|2 – 7|x – 2| + 6 = 0

02. Resolva as seguintes equações modulares: a) S = {−5/4, 1/2};

b) S = ∅;

c) S = {±2, ±3}.

05. Determine o conjunto solução das equações modulares a seguir:

a) |5x + 1| = |–x + 4|

a) S = [−4, 3];

b) |2x – 5| = x – 3

a) |x – 3| + |x + 4| = 7

c) x2 – 5|x| + 6 = 0

b) |x + 1| + |x – 5| = 8

03. Resolva as seguintes equações modulares: a) S = {−10, −2, 6, 14};

b) S = {±2, ±5};

c) S = {±7}.

a) ||x – 2| – 8| = 4 b) ||2x| – 7| = 3 c) x⋅|x| – 6x = 7

b) S = {−2, 6}.

06. (Acafe SC) A média aritmética das raízes da equação modular |2x – 4| + |x + 1| = 4 é igual a: a) 17/3 b) 13/3 c) 5/3 d) 2/3

Exercícios Complementares 01. (UFMS) Sejam p e q raízes da equação |6x + 15| = 18. Encontre o valor de |p + q|.

Gab 5

02. Determine o conjunto solução das seguintes equações modulares:

a) S = {−5, −7/3};

b) S = {±12}.

x +1 a) = 2, para x ≠ −3 x +3

Sendo x = 1, 2, ..., 365 corresponde a cada dia do ano e L é dado em reais, determine em que dias (x) do ano o lucro foi de R$10.000,00.

Gab 50 e 250

06. Quantas soluções inteiras possui a equação modular a seguir? Gab 11

(x + 4)

( x − 6)

= 10

b) x2 – 10|x| – 24 = 0 03. (UFAL) Determine, no universo IR, o conjunto solução da 5 5 1 equação x 2 − x + =. S = {1/2, 3/4} 4 8 4 04. Determine o conjunto solução das equações modulares a

A16  Equações modulares

seguir:

a) S = {1};

b) S = [−1, 0].

aproximado de Q, obtido através de certa medição. O erro relativo E desta medição é definido por E =

Q −M

. ConsiQ dere ainda um instrumento com uma precisão de medida tal que o erro relativo de cada medição é de, no máximo,

a) |x – 3| + |x| = 3x

0,02. Suponha que certa quantidade Q foi medida pelo ins-

b) |x + 1| – |x| = 2x + 1

trumento e o valor M = 5,2 foi obtido.

05. (UFRJ) Durante o ano de 2007 uma empresa teve seu lucro diário L dado pela função: L(x) = 50⋅(| x – 100| + |x – 200|)

312

07. (UFRJ) Considere uma quantidade Q > 0 e seja M um valor

Determine o menor valor possível de Q.

Gab 5,098

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Enem Mec) Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.

No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante. O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é:

03. (Fuvest SP) Qual o conjunto dos valores assumidos pela expressão: a b c abc + + + a b c abc

Quando a, b e c variam no conjunto de todos os números reais não nulos? a) {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} b) {−4, −3, −2, 0, 2, 4} c) {−4, 0, 4} d) {4} 04. (Puc RJ) A inequação −|x|< x a) nunca é satisfeita b) é satisfeita em x = 0. c) é satisfeita para x negativo. d) é satisfeita para x positivo. e) é sempre satisfeita

y 2 1 1

05. (UEGO) Dada a função f(x) = |x – 1| + 1, x ∈ [−1, 2], a) esboce o gráfico da função f. b) calcule a área da região delimitada pelo gráfico da função f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = −1 e x = 2. 5,5 ua 06. (FGV SP) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que satisfazem a equação x + y = 2 determinam um polígono cujo perímetro é:

02 Gabarito: a) O maior número de sócios foi 104, que ocorreu em fevereiro.

f(x) 104 103 100

1 2

12 x

b) 100,5

02. (FGV SP) A evolução mensal do número de sócios de uma revista de Matemática durante o ano de 2015 está expressa pela função: 100 − x ⋅ (x − 4), se 1 ≤ x ≤ 4  = f(x) 100, se 4 < x ≤ 9 100 + (x − 9) ⋅ (x − 12), se 9 < x ≤ 12 

em que x = 1 representa janeiro de 2015, x = 2 representa fevereiro de 2015, e assim por diante. a) Faça um esboço do gráfico da função. Qual foi o maior número de sócios nesse período? b) Qual foi a média aritmética do número de sócios nos doze meses de 2015?

a) b) c) d) e)

2 2 4 +2 2 4 2 8+4 2 8 2

07. (Uerj RJ) O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação: V = 10 – |4 – 2t| – |2t – 6|, t ∈ IR+ Nela, V é o volume médio em m3 após t horas, contadas a partir de 8 horas de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante. 10 h e 11 h 08. (UFT) Resolva a equação |x – 2| + |x + 1| – 5x = 0, no conjunto dos números reais. O intervalo que contém a solução dessa equação é: 2 4   1 1 a)  ,  d)  − ,  5 5  3 7   1 2  b)  ,  7 7  1 1 c)  − ,   3 5

 4 2 e)  − , −   5 5

313

Por stavklem/shutterstock.com

FRENTE

MATEMÁTICA Por falar nisso Basicamente, a variação do valor do dólar ao redor do mundo é uma consequência do fluxo internacional de negócios, ou seja, uma relação entre a oferta (dólares que estão à venda) e demanda (pessoas ou empresas que desejam comprar dólares). Assim, se a credibilidade da economia de um país está em cheque, os investidores retiram seus dólares do país causando uma escassez da moeda, fazendo com que ela valorize em relação à moeda local. Porém, quando a economia do país inspira confiança, os investidores trazem seus dólares ao país causando um excesso da moeda, fazendo com que ela desvalorize em relação à moeda local. Os governos até tentam influenciar as cotações do dólar por meio de intervenções no mercado, porém essa relação entre oferta e demanda da moeda é o que tem maior peso no seu valor. No caso do Brasil, outro fenômeno que vale a pena ressaltar é que quando o dólar sobe, a bolsa de valores cai. Isso acontece porque no nosso caso, há uma grande dependência dos investidores internacionais (cerca da metade do volume de negociações) por parte do nosso mercado de ações. No gráfico a seguir, temos a variação do dólar nos meses de janeiro a maio de 2015.

De maneira geral, um gráfico é a representação resumida de dados, ou informações, utilizando-se de recursos visuais tais como: diagramas, desenhos, figuras, imagens. Tudo com objetivo de fornecer ao leitor uma interpretação rápida e objetiva desses dados. Esse recurso é bastante utilizado pelos meios de comunicação (jornais, revistas, televisão etc.) por se tratar de uma ferramenta bastante ágil e de fácil compreensão. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

B13 B14 B15 B16

Funções – Gráficos.........................................................................316 Funções – Classificações................................................................322 Funções – Função composta.........................................................328 Funções – Função inversa..............................................................331

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B13

nn Funções - gráficos nn Gráfico cartesiano nn Domínio e imagem de uma função no gráfico cartesiano nn Reconhecimento do gráfico de uma função nn Raízes e sinais de uma função nn Função estritamente crescente

FUNÇÕES - GRÁFICOS De acordo com relatório da Organização Mundial da Saúde (OMS), apenas em 2013, mais de 41 mil pessoas morreram nas estradas e ruas brasileiras. Ainda de acordo com esse relatório, no ano de 2009 a quantidade de acidentes de trânsito no Brasil alcançou a triste marca de 23,4 por 100 mil habitantes. Em termos absolutos, o Brasil é o quarto país do mundo com maior número de mortes no trânsito, atrás somente da China, Índia e Nigéria. O gráfico, a seguir, mostra a evolução do número de mortos em acidentes de trânsito nas rodovias federais que cortam o Estado de Goiás no período de 2007 a 2011.

nn Função estritamente decrescente nn Função constante

Mortos em acidentes de trânsito nas rodovias federais - GO 600

nn Função crescente nn Função decrescente

457

500

516

502

2010

2011

Opirus/Arte

ASSUNTOS ABORDADOS

392

400 337 300 200 100 0

2007

2008

2009

Analisando os dados desse gráfico, é possível perceber que a quantidade de mortos em acidentes de trânsito varia de acordo com o ano. Assim, se estabelecermos uma função que associa cada ano de 2007 a 2011 com o número de mortos de acidentes de trânsito, essa função seria crescente de 2007 a 2010 e decrescente de 2010 a 2011. No estudo do comportamento das funções, trataremos basicamente dos gráficos cujo sistema de referência é o plano cartesiano. Nesta aula, abordaremos esse tipo de gráfico denominado gráfico cartesiano.

Fonte: shutterstock.com/Por f11photo

Figura 01 - Trânsito caótico de São Paulo, a maior cidade do Brasil.

316

Matemática e suas Tecnologias

Gráfico cartesiano Gráfico cartesiano é um conjunto de pontos do sistema cartesiano ortogonal que satisfaz a uma determinada lei matemática a qual associa a abscissa x a uma ordenada y de todos os pontos que pertencem a esse gráfico. Portanto, o gráfico cartesiano de uma função f: A → B é a representação geométrica de um conjunto de pontos (x, y) que satisfaz à lei y = f(x), tais que x ∈ A (domínio de f) e y ∈ B (contradomínio de f). Observe a figura a seguir:

se, cada x ∈ A estiver associado a um único y ∈ B. Geometricamente, isso significa que toda reta paralela ao eixo das ordenadas traçada no domínio dessa função f intercepta seu gráfico em exatamente um ponto. Observe os exemplos a seguir: 1º exemplo: y y = f(x)

C (xC yC)

B (xB yB)

yC xA

Opirus/Arte

domínio x

Observação: nn Os

pontos A, B e C também podem ser escritos na forma A(xA, f(xA)), B(xB, f(xB)) e C(xC, f(xC)). Portanto, todos os pontos que pertencem ao gráfico da função y = f(x) podem ser escritos na forma (x, f(x)).

Note que toda reta paralela ao eixo das ordenadas traçada no domínio de f intercepta seu gráfico em exatamente um ponto, ou seja, cada elemento do domínio possui exatamente uma imagem. Portanto, esse é um gráfico de função. 2º exemplo: y

Domínio e imagem de uma função no gráfico cartesiano Dado o gráfico cartesiano de uma função f, temos que seu domínio é obtido por meio da projeção ortogonal desse gráfico no eixo das abscissas e sua imagem é obtida por meio da projeção ortogonal desse mesmo gráfico no eixo das ordenadas. Observe a figura a seguir. y B imagem A xA domínio xB

y = f(x)

domínio

Note que existem retas paralelas ao eixo das ordenadas traçadas no domínio de f que interceptam seu gráfico em mais de um ponto, ou seja, existem elementos do domínio com mais de uma imagem. Portanto, não é um gráfico de função. 3º exemplo:

y = f(x)

Opirus/Arte

y = f(x)

A (xA yA)

y y = f(x)

Portanto, temos que: domínio da função f é D(f) = {x ∈ IR |xA ≤ x ≤ xA} = [xA, xB].

Reconhecimento do gráfico uma função Já sabemos que a relação binária f de A em B, expressa pela lei matemática y = f(x), é uma função se, e somente

domínio

Note que existem retas paralelas ao eixo das ordenadas traçadas no seu domínio que não interceptam o gráfico de f, ou seja, existem elementos do domínio sem imagem. Portanto, não é um gráfico de função. 317

B13  Funções - gráficos

imagem da função f é Im(f) = {x ∈ IR |yB ≤ x ≤ yB} = [yA, yB].

nn A

Opirus/Arte

nn O

Matemática

Raízes e sinais de uma função

Portanto, zeros (ou raízes) de uma função são as abscissas dos pontos em que o seu gráfico intercepta o eixo das abscissas.

f(x1) f(x2)

Opirus/Arte

Considere uma função f: A → B, dizemos que zeros (ou raízes) dessa função são os valores de x que tornam f(x) = 0.

Os pontos do gráfico situados acima do eixo das abscissas possuem ordenadas positivas. Assim, dizemos que nessa região do gráfico, temos valores de x tais que f(x) > 0.

Função constante

Os pontos do gráfico situados abaixo do eixo das abscissas possuem ordenadas negativas. Assim, dizemos que nessa região do gráfico, temos valores de x tais que f(x) < 0.

A função f: [a, b] → IR é constante em [a, b] se, e somente se, x1< x2 ⇒ f(x1) = f(x2) para todo x1 e x2 pertencentes a [a, b]. Observe a figura a seguir:

Observe a figura a seguir:

(+) x1 (-)

x3 (-) x

Opirus/Arte

(+)

a x1

Opirus/Arte

f(x1) = f(x2)

Função crescente

Note que, nesse gráfico, temos: nn f(x1) = f(x2) = f(x3) = 0, ou seja, x1, x2 e x3 são raízes de f. nn f(x)

> 0 para x < x1 ou x2< x < x3.

nn f(x)

< 0 para x1< x < x2 ou x > x3.

A função f: [a, b] → IR é crescente (ou não decrescente) em [a, b] se, e somente se, x1< x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) para todo x1 e x2 pertencentes a [a, b]. Observe a figura a seguir: y

Função estritamente crescente

x3 b x

A função f: [a, b] → IR é estritamente decrescente em [a, b] se, e somente se, x1< x2 ⇒ f(x1) > f(x2) para todo x1 e x2 pertencentes a [a, b]. Observe a figura a seguir:

A função f: [a, b] → IR é decrescente (ou não crescente) em [a, b] se, e somente se, x1< x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2) para todo x1 e x2 pertencentes a [a, b]. Observe a figura a seguir: y f(x1)

f(x2) = f(x3) 0

x2 x3

Opirus/Arte

a x1

Função estritamente decrescente

318

Função decrescente

f(x1)

B13  Funções - gráficos

f(x1) = f(x2)

f(x2)

f(x3)

Opirus/Arte

A função f: [a, b] → IR é estritamente crescente em [a, b] se, e somente se, x1< x2 ⇒ f(x1) < f(x2) para todo x1 e x2 pertencentes a [a, b]. Observe a figura a seguir:

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. O gráfico a seguir apresenta os investimentos anuais em transportes feitos por certa prefeitura do Brasil.

Considere o gráfico a função f a seguir para resolver as questões 3 e 4.

bilhões de dólares

y 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

5 f

2 -8 -7

-4

-2

-2 -4

2010

2011

2012

2013

2014

De acordo com esse gráfico, sobre o investimento em transporte dessa prefeitura, podemos afirmar que: a) Ele vem decrescendo de maneira constante ao longo do tempo. b) A maior taxa de decrescimento ocorreu entre os anos de 2010 e 2011. c) De 2011 para 2012 diminui em menos de 200 milhões. d) A menor diferença de investimentos entre dois anos consecutivos foi de 2013 para 2014. e) Em 2014 foi menor que a décima parte do que foi investido em 2011. RESOLUÇÃO Resolução: (letra D) a) F, pois, a maior taxa de decrescimento ocorreu entre 2012 e 2013 e a menor entre 2013 e 2014. b) F, pois, a maior taxa de decrescimento ocorreu entre 2012 e 2013. c) F, pois de 2011 para 2012 diminui mais de 200 milhões. d) V, pois de 2013 a 2014 é a menor taxa de decrescimento. e) F, pois em 2014 (2,4 bilhões) foi maior que a décima parte do que foi investido em 2011 (0,2 bilhões). 02. Na figura a seguir, temos o gráfico da função f.

03. Responda: a) b) c) d) e)

Qual o valor máximo de f(x)? Qual o valor mínimo de f(x)? Quais os valores de x para f(x) = 0? Quais os valores de x para f(x) > 0? Quais os valores de x para f(x) < 0? RESOLUÇÃO

a) O valor máximo da função f é dado pela maior ordenada do conjunto imagem, ou seja, y = 5. b) O valor mínimo da função f é dado pela menor ordenada do conjunto imagem, ou seja, y = -4. c) Os valores de x para os quais f(x) = 0 são aqueles que possuem imagem igual a zero, ou seja, x = −7, x = −2 e x = 5. d) Os valores de x para os quais f(x) > 0 são as abscissas dos pontos do gráfico que estão acima do eixo das abscissas, ou seja, no intervalo ]−7, 2[ ∪ ]5, 7]. e) Os valores de x para os quais f(x) < 0 são as abscissas dos pontos do gráfico que estão abaixo do eixo das abscissas, ou seja, no intervalo ]−8, −7[ ∪ ]−2, 5[. 04. Responda:

a) Quais os valores de x para que f(x) seja crescente? b) Quais os valores de x para que f(x) seja decrescente? c) Qual o número de soluções da equação f(x) = 1?

3 2 1

RESOLUÇÃO

-3 Determine seus conjuntos domínio e sua imagem. RESOLUÇÃO Sabemos que o domínio e a imagem de uma função são obtidos por meio da projeção ortogonal no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas, respectivamente. Portanto, temos que

a) Os valores de x para que f(x) seja crescente são as abscissas dos pontos do intervalo contido no domínio de f tais que: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2), ∀ x1 e x2 pertencentes a esse intervalo, ou seja, ]−8, 4] ∪ [0, 7]. b) Os valores de x para que f(x) seja decrescente são as abscissas dos pontos do intervalo contido no domínio de f tais que: x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) ∀ x1 e x2 pertencentes a esse intervalo, ou seja, [−4, 0]. c) O número de soluções da equação f(x) = 1 é dado pela quantidade de pontos do gráfico da função f que possuem imagem f(x) = 1, ou seja, três pontos de ordenada igual a 1. Portanto, essa equação possui três soluções.

D(f) = ]−7, 8] e Im = ]−3, 1] ∪ ]2, 3].

319

B13  Funções - gráficos

-7

Matemática

Exercícios de Fixação 01. (UFF RJ) O gráfico a seguir:

y 3 2

y d c

-3 -1

1 2

-2 -4

a) Representa uma função f: [a, b] → IR. b) Não representa uma função de [a, b] em IR porque existe y ∈ IR que não é imagem de qualquer x ∈ [a, b]. c) Não representa uma função de [a, b] em IR porque existe elemento x ∈ [a, b] com mais de uma imagem. d) Representa uma função f: [a, b] → [p, d]. 02. Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções a seguir:

a) D(f) = [-7, 3[ e Im(f) = [-3, 4[; b) D(f) = ]-6, 8] e Im(f) = ]-2, 5]; c) D(f) = [-5, 6[ - {0} e Im(f) = [-4, 7].

a) D(f) = ]-3, 6]; b) Im(f) = ]-4, 3]; Determine: a) O domínio de f. b) A imagem de f. c) A imagem de x = 1. d) O valor de x domínio tal que f(x) = 3.

d) x = 6.

04. Considere a função f: [0, 2] → IR representada no gráfico abaixo. y

1 0

Gabarito: C E E C C

-7 3

-3

c) y = 2;

Julgue os itens a seguir como certo (C) ou errado (E). a) A imagem de f é Im(f) = [0, 3]. b) Existem 3 valores de x ∈ [0, 2], tais que f(x) = 1. c) As raízes de f são x = 1 e x = 2. d) f é crescente para 1 < x < 2. e) f é decrescente para 0 < x < 1. 05. Considere a função f: IR → IR representada no gráfico abaixo.

y 12

-6 8

-2

y -4

-2

7 8 10

B13  Funções - gráficos

-4 a) {-2, 3, 8}; b) ]-2, 3[ ∪ ]8, ∞[;

-5

-4

03. Na figura a seguir, temos o gráfico da função f.

320

c) ]-∞, -2[ ∪ ]3, 8[ ; d) 3; e) 1. Responda aos itens a seguir. a) Para quais valores de x, temos f(x) = 0? b) Para quais valores de x temos f(x) > 0? c) Para quais valores de x temos f(x) < 0? d) Quantas soluções possui a equação f(x) = 3? e) Quantas soluções possui a equação f(x) = −5?

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (UFMG) Das figuras a seguir, a única que representa o gráfico de uma função real y = f(x), x ∈ [a, b], é: a) y

d) y

b) y

Valor (R$)

e) y

Colocou os resultados obtidos em um mesmo gráfico, pois os veículos foram comprados juntos.

55 000 50 000 45 000 40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000

x y

x 0

c) y

6 8 10 Tempo de uso (ano)

Disponível em: www.carrosnaweb.com.br. Acesso em: 3 ago. 2012 (adaptado).

02. (CFT MG) O gráfico abaixo mostra a Intenção de Consumo das Famílias (ICF) de Janeiro a Maio de 2015. y (ICF) 120 118 116 114 112 110 108 106 104 102 100 jan/15

fev/15

mar/15

abr/15

mai/15 t (meses)

Se esse gráfico representa uma função f que mostra o valor da ICF em função do tempo, de janeiro a maio, então seu conjunto imagem é: a) Im (f) = [107,1; 118] b) Im (f) = [jan/15; mai/15] c) Im (f) = {107,1; 109,3; 117,6; 118} d) Im = {jan/15; mar/15; abr/15; mai/15} 03. (Enem MEC) Alguns brasileiros têm o hábito de trocar de carro a cada um ou dois anos, mas essa prática nem sempre é um bom negócio, pois o veículo desvaloriza com o uso. Esse fator é chamado de depreciação, sendo maior nos primeiros anos de uso. Uma pessoa realizou uma pesquisa sobre o valor de mercado dos dois veículos (X e Y) que possui.

Após a pesquisa, ela decidiu vender os veículos no momento em que completarem quatro anos de uso. Considerando somente os valores de compra e de venda dos veículos por essa pessoa, qual a perda, em reais, que ela terá? a) 10 000,00 d) 35 000,00 b) 15 000,00 e) 45 000,00 c) 25 000,00 04. (Enem MEC) A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que, em contato com a umidade do ar, fixa água em sua superfície formando uma camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta de acordo com o tempo de permanência no ar, propriedade que pode ser utilizada para medir sua idade. O gráfico ao lado mostra como varia a espessura da camada hidratada, em mícrons (1 mícron = 1 milésimo de milímetro) em função da idade da obsidiana. 15 10 5 0

20 000 40 000 60 000 80 000 100 000120 000140 000 Idade (em anos)

Com base no gráfico, pode-se concluir que a espessura da camada hidratada de uma obsidiana a) é diretamente proporcional à sua idade. b) dobra a cada 10 000 anos. c) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais jovem. d) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais velha. e) a partir de 100 000 anos não aumenta mais.

321

B13  Funções - gráficos

Espessura hidratada (microns)

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B14

ASSUNTOS ABORDADOS

FUNÇÕES – CLASSIFICAÇÕES

nn Funções – classificações

Assim como nas outras ciências, o desenvolvimento da Matemática se deu a partir da necessidade de resolver problemas do cotidiano. Sobre isso, leia a narrativa a seguir:

nn Função sobrejetora nn Função injetora nn Função bijetora nn Função par nn Função ímpar

Há muito tempo, os pastores que levavam suas ovelhas para o pasto tinham necessidade de saber, ao final do dia, se alguns dos seus animais haviam sido roubados ou se perdido. Então, ele colocava uma pedrinha dentro de um saquinho de couro, para cada ovelha que levava consigo no início do dia. Logo, cada ovelha correspondia a uma pedrinha. Ao final do dia, quando ele recolhia as ovelhas no pasto, fazia o processo inverso, ou seja, para cada ovelha do pasto ele retirava uma pedrinha do saco. Assim, para cada pedrinha que sobrava dentro do saco, uma ovelha a menos se encontrava presente. Esse foi um dos primeiros métodos de contagem (cálculo) utilizados pela humanidade. Intuitivamente, ao colocar em correspondência as quantidades de elementos de dois conjuntos (pedras e ovelhas) os pastores estabeleciam um processo de contagem. A esse tipo de correspondência entre dois conjuntos com a mesma quantidade de elementos damos o nome de correspondência biunívoca.

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Assim, de maneira geral, dados dois conjuntos A e B, se cada elemento do conjunto A corresponder a um só elemento de B e cada elemento do conjunto B corresponder a um só elemento do conjunto A, dizemos que fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre A e B. Também podemos dizer que a função que relaciona dois conjuntos mediante uma correspondência biunívoca é chamada de função bijetora.Nesta aula, iremos abordar as funções sobrejetoras, injetoras, bijetoras, pares e ímpares.

Figura 01 - Pastor e seu rebanho de ovelhas.

322

Matemática e suas Tecnologias

Função sobrejetora Uma função f: A → B é sobrejetora se, e somente se, para todo y ∈ B, existe um x ∈ A tal que y = f(x). Observe a figura a seguir:

Gráfico No gráfico de uma função f injetora, toda reta paralela ao eixo das abscissas traçada no seu contradomínio que intercepta o seu gráfico, o intercepta em exatamente um ponto. Na figura a seguir, temos o gráfico de uma função injetora f: IR → IR.

Note que, em funções sobrejetoras, os conjuntos contradomínio e imagem da função f são iguais. Gráfico No gráfico de uma função f sobrejetora, toda reta paralela ao eixo das abscissas traçada no seu contradomínio intercepta o seu gráfico em pelo menos um ponto. Na figura a seguir, temos o gráfico de uma função sobrejetora f: IR → IR.

Função bijetora Uma função f: A → B é bijetora se, e somente se, for sobrejetora e injetora. Observe a figura a seguir:

Note que, nas funções bijetoras, os conjuntos A e B estão em correspondência biunívoca, ou seja, cada elemento do conjunto A corresponde a um único elemento do conjunto B e cada elemento do conjunto B corresponde a um único elemento de A.

Uma função f: A → B é injetora se, e somente se, para todo x1 e x2 ∈ A, temos x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2). Observe a figura a seguir:

No gráfico de uma função f bijetora, toda reta paralela ao eixo das abscissas traçada no seu contradomínio que intercepta o seu gráfico em exatamente um ponto. Na figura a seguir, temos o gráfico de uma função bijetora f: IR → IR.

B14  Funções – classificações

Função injetora

Gráfico

Note que, em funções injetoras, elementos diferentes do domínio possuem imagens diferentes. 323

Matemática

Função par

Função ímpar

Uma função f: A → B é par se, e somente se, valores simétricos de x ∈ A possuírem imagens iguais. Simbolicamente: f é par se, e somente se, f(-x) = f(x), ∀ x ∈ A.

Uma função f: A → B é ímpar, se, e somente se, valores simétricos de x ∈ A possuírem imagens simétricas. Simbolicamente: f é ímpar se, e somente se, f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ A.

Por exemplo: Dada a função f: IR → IR definida por f(x) = x2 - 1, temos que: nn f(-x)

= (-x)2 – 1 = x2 – 1 = f(x), logo f é par.

Gráfico O gráfico de uma função par é simétrico ao eixo das ordenadas do sistema cartesiano ortogonal.

Por exemplo: Dada a função f: IR → IR definida por f(x) = 3x, temos que: nn f(-x)

= 3(-x) = -3x = -f(x), logo f é ímpar.

Gráfico O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal. Dada a função f(x) = 3x, temos que:

Por exemplo:

nn f(-2)

Para a função f(x) = x2 – 1, temos que: nn f(-2) = (-2)2 – 1 = 3 e f(2) = 22 – 1 = 3. nn f(-1) = (-1)2 – 1 = 0 e f(1) = 12 – 1 = 0. nn f(0) = 02 – 1 = -1.

nn f(-1)

= 3 ⋅ (-2) = -6 e f(2) = 3 ⋅ 2 = 6. = 3 ⋅ (-1) = -3 e f(1) = 3 ⋅ 1 = 3. nn f(0) = 3 ⋅ 0 = 0. O esboço do seu gráfico é dado por:

O esboço do seu gráfico é dado por:

Note que o gráfico de f(x) = x2 – 1 é simétrico em relação ao eixo das ordenadas do sistema cartesiano ortogonal.

Note que o gráfico de f(x) = 3x é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal.

EXEMPLOS 02. Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, mostre que a função f: A → B definida por f(x) = x + 2 é injetora.

RESOLUÇÃO

B14  Funções – classificações

01. Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {1, 2, 5}, mostre que a função f: A → B definida por f(x) = x2 + 1 é sobrejetora.

324

Utilizando o diagrama de flechas, temos que:

Note que, todo y ∈ B é imagem de algum x ∈ A tal que y = f(x), ou seja, CD(f) = Im(f). Portanto f é uma função sobrejetora.

Note que, para todo x1 ≠ x2 ∈ A, temos que f(x1) ≠ f(x2) ∈ B tal que y = f(x), ou seja, elementos diferentes do domínio possuem imagens diferentes. Portanto f é uma função injetora.

Matemática e suas Tecnologias

03. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 3, 5}, mostre que a função f: A → B definida por f(x) = 2x – 1 é bijetora.

c) Note que todas as retas horizontais esboçadas no contradomínio de f interceptam o seu gráfico em apenas um ponto. Assim, a função f é sobrejetora e injetora. Portanto, f é uma função bijetora.

RESOLUÇÃO Utilizando o diagrama de flechas, temos que:

Note que: Todo y ∈ B é imagem de algum x ∈ A tal que y = f(x). Logo f é uma função sobrejetora. Para todo x1 ≠ x2 ∈ A, temos que f(x1) ≠ f(x2) ∈ B tal que y = f(x). Logo f é uma função injetora. Portanto, f é bijetora. 04. Classifique as funções a seguir em sobrejetora, injetora ou bijetora. a) f: IR → IR+ definida por f(x) = x2. b) f: IR+ → IR definida por f(x) = x2. c) f: IR+ → IR+ definida por f(x) = x2.

05. Verifique se as funções a seguir são funções pares ou ímpares: a) f: IR → IR definida por f(x) = 3x4 – 7x2 + 2 b) f: IR → IR definida por f(x) = x3 – 6x RESOLUÇÃO a) f(-x) = 3(-x)4 – 7(-x)2 + 2 = 3x4 – 7x2 + 2 = f(x). Portanto f é par. b) f(-x) = (-x)3 – 6(-x) = -x3 + 6x = -(x3 – 6x) = -f(x). Portanto, f ímpar. 06. Observe os gráficos a seguir e classifique as funções f e g em par ou ímpar.

RESOLUÇÃO a) Note que todas as retas horizontais esboçadas no contradomínio de f interceptam o seu gráfico. Assim, a imagem e contradomínio de f são iguais. Portanto, f é uma função sobrejetora.

RESOLUÇÃO O gráfico da função f é simétrico ao eixo das ordenadas do sistema cartesiano ortogonal, portanto f é par. O gráfico da função g é simétrico à origem do sistema cartesiano ortogonal, portanto g é ímpar.

325

B14  Funções – classificações

b) Note que as retas horizontais esboçadas no contradomínio de f que interceptam o seu gráfico, o interceptam em apenas um ponto. Assim, para todo x1 ≠ x2 ∈ IR+, temos que f(x1) ≠ f(x2) ∈ IR. Portanto, f é uma função injetora.

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Verifique se cada uma das funções a seguir é sobrejetora, injetora ou bijetora.

y 5

a) sobrejetora b) bijetora c) injetora d) não sobrejetora e não injetora

3 –1

04. Verifique se as funções reais a seguir são pares ou ímpares a) É par

b) É ímpar c) Não é par e não é ímpar d) É ímpar

a) f(x) = x2 – 5 b) g(x) = x3 – 7x c) f(x) = x4 – 3x2 + x 1 d) g(x) = 5x 05. Observando os gráficos a seguir, classifique as funções em par ou ímpar:

02. Verifique se a função f: ]-∞, 4] → [-4, ∞[ cujo gráfico está esboçado a seguir é sobrejetora. É sobrejetora

a) Função par b) Função ímpar c) Função ímpar d) Função par a) Sim, pois se trata de uma função ímpar b) Sim, pois se trata de uma função par

03. Verifique se a função f: IR → IR cujo gráfico está esboçado a seguir é injetora. É injetora

Exercícios Complementares 01. Verifique se cada uma das funções a seguir é sobrejetora, injetora ou bijetora.

B14  Funções – classificações

a) sobrejetora b) bijetora c) injetora

d) não sobrejetora e não injetora

02. (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E → P é a função que a cada escola associa seu número de professores, então: a) f não pode ser uma função bijetora. b) f não pode ser uma função injetora. c) f é uma função sobrejetora. d) f é necessariamente uma função injetora. 03. (Acafe SC) Dadas as funções f: IR → IR e g: IR → IR definidas por f(x) = x2 + 3 e g(x) = -2x, qual alternativa tem afirmação correta? a) f é uma função par e g é ímpar. b) f e g são funções pares. c) f e g são ímpares. d) f é uma função ímpar e g é par. e) f e g não são funções pares nem ímpares.

326

Matemática e suas Tecnologias

04. (UFF RJ) Em sistema de coordenadas cartesianas retangulares R3 Oxy, a curva plana de equação y = 2 2 , sendo R uma consx +R tante real positiva, é conhecida como feiticeira de Agnesi em homenagem à cientista Maria Gaetana Agnesi. Pode-se afirmar que esta curva: a) Está situada abaixo do eixo x. b) É simétrica em relação ao eixo y. c) É simétrica em relação à origem. d) Intercepta o eixo x em dois pontos. e) Intercepta o eixo y em dois pontos.

07. (Unitau SP) Sabendo-se que f(x) = x2, g(x) = 3sen(x) e h(x) = x5, é CORRETO afirmar que a) f(x) é uma função ímpar. b) g(x) é uma função par. c) f(x) ⋅ g(x) resulta em uma função par. d) h(x) + g(x) resulta em uma função par. e) g(x) ⋅ h(x) resulta em uma função par. 08. (Unimontes MG) Considere r um número real positivo. Uma função f :] − r , r[→ IR é par quando, para todo x ∈] − r , r[ , f(− x) = f(x) . Entre os gráficos abaixo, o único que tem o aspecto do gráfico de uma função par é

05. Verifique se a função f: IR+ → IR cujo gráfico está esboçado a seguir é bijetora. É bijetora

1. 2. 3. 4.

A função é crescente no intervalo aberto (4, 6). A função tem um ponto de máximo em x = 1. Esse gráfico representa uma função injetora. Esse gráfico representa uma função polinomial de terceiro grau.

Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.

09. (Unimontes MG) Considere as funções f: [0, +∞[ → [0, +∞[ e g: IR → IR, definidas por f(x) = x2 e g(x) = x2. É CORRETO afirmar que a) g é injetora e sobrejetora. b) f é injetora e sobrejetora. c) f é injetora e g é sobrejetora. d) f é sobrejetora e g é injetora. 10. (Uem PR) Acerca das funções com domínio e contradomínio x −1 , assinale o reais, f e g, dadas por f(x) = 2x e g(x) = 2 x + 2x + 3 que for correto. 26 01. Para todo real negativo a, f (a) < g(a) . 02. A função g está definida para todo x real. 04. A função f é sobrejetora. 08. A função f é crescente em todo seu domínio. 16. A imagem de g está contida no intervalo ]–∞, 1[ da reta real. 11. (ITA SP) Sejam a, b, c reais não nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por: ax + b , –c < x < c f(x) = x+c então f(x), para –c < x < c, é constante e igual a a) a + b b) a + c c) c d) b e) a 327

B14  Funções – classificações

06. (UFPR) A respeito da função representada no gráfico abaixo, considere as seguintes afirmativas:

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B15

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função composta nn Função composta

FUNÇÃO COMPOSTA Você sabe a diferença entre custo e despesa de uma empresa? Sob a luz da contabilidade, os custos de uma empresa estão necessariamente ligados à atividade de produção dos bens e da efetiva prestação de serviços. Já as despesas, em linhas gerais, englobam todos os gastos relacionados à administração da empresa. Conhecer os custos e despesas de uma empresa é de extrema importância para se definir os preços de suas mercadorias e serviços. A seguir, temos duas definições importantes que fazem parte do cotidiano dos administradores de empresas: nn Custo: todo e qualquer gasto que esteja relacionado à aquisição de matéria-pri-

ma, mão de obra, gastos gerais de fabricação, depreciação de equipamentos e máquinas, consumo de energia elétrica e material de limpeza. nn Despesas: são constituídas dos demais gastos necessários ao perfeito funciona-

mento da empresa, mas que não estão ligados à produção ou comercialização dos bens e mercadorias.

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Assim, considere que em uma pequena fábrica, o custo C, em reais, para a fabricação de x peças durante o horário de expediente é dado por C(x) = x2 + x + 200. Já a quantidade Q de unidades de peças fabricadas nas primeiras t horas do dia é dada por Q(t) = 10t.

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Matemática e suas Tecnologias

Nessas condições, é possível expressar o custo de fabricação C, em reais, em função do tempo t, em horas. Para isso, devemos fazer uma composição das funções C(x) e Q(t). Nesta aula, abordaremos as funções obtidas por meio de composição de outras funções, denominadas funções compostas.

Função composta Dadas as funções f: A → B e g: B → C, a função h: A → C tal que h(x) = g[f(x)] = gof(x) (lê-se g “bola” f) é chamada de função composta de f e g. Observe o esquema a seguir:

Na função f: A → B definida por f(x) = 2x, temos que: nn f(1)

=2⋅1=2

nn f(2)

=2⋅2=4

nn f(3)

=2⋅3=6

Na função g: B → C definida por g(x) = x2 – 12, temos que: nn g(f(1)) = g(2) = 22 – 12 = -8. nn g(f(2)) = g(4) = 42 – 12 = 4. nn g(f(3)) = g(6) = 62 – 12 = 24 Na função h: A → C dada por h(x) = g[f(x)], temos que h(x) = [f(x)]2 – 12 = (2x)2 – 12 ⇒ h(x) = 4x2 – 12. nn h(1) = 4 ⋅ 12 – 12 = -8. nn h(2) = 4 ⋅ 22 – 12 = 4. nn h(3) = 4 ⋅ 32 – 12 = 24.

Por exemplo: Considere: nn Os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6} e C = {-8, 4, 24}

função f: A → B definida por f(x) = 2x e g: B → C definida por f(x) = x2 – 12.

nn A

Vamos obter uma função h: B → C dada h(x) = gof(x) = g(f(x)). Observe a figura a seguir:

por

Daí, conclui-se que: nn h(1)

= g(f(1)) = -8.

nn h(2)

= g(f(2)) = 4.

nn h(3)

= g(f(3)) = 24.

Portanto, h(x) = g(f(x)) = gof(x) para todo x ∈ A.

EXEMPLOS 01. Dadas as funções f(x) = 3x + 2 e g(x) = x2 – 1, determine:

Como f(g(x)) = 8x + 15, temos que: 2 ⋅ g(x) – 5 = 8x + 15 ⇒ g(x) = 4x + 10

fog(x) gof(x) fof(x) gog(x)

Portanto, g(x) = 4x + 10. 03. Dadas as funções g(x) = 2x + 3 e f(g(x)) = 6x + 14, determine f(x). RESOLUÇÃO

a) b) c) d)

fog(x) = f(g(x)) = 3 ⋅ (x2 – 1) + 2 = 3x2 – 1 gof(x) = g(f(x)) = (3x + 2)2 – 1 = 9x2 + 12x + 3 fof(x) = f(f(x)) = 3.(3x + 2) + 2 = 9x + 8. gog(x) = g(g(x)) = (x2 – 1)2 + 1 = x4 – 2x2 + 2

02. Dadas as funções f(x) = 2x – 5 e f(g(x)) = 8x + 15, determine g(x). RESOLUÇÃO Substituindo x por g(x) em f(x) = 2x – 5, temos que:

RESOLUÇÃO Fazendo g(x) = t, temos que:

g ( x ) = 2x + 3 ⇒ t = 2x + 3 ⇒ x =

B15  Função composta

a) b) c) c)

t −3 2

Substituindo em f(g(x)) = 6x + 14, temos que:  t −3 f(t) = 6⋅  + 14 ⇒ ( t ) = 3t + 5 ⇒ ( x ) = 3x + 5  2  Portanto, f(x) = 3x + 5.

f(g(x)) = 2 ⋅ g(x) – 5

329

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Dadas as funções f(x) = 3x + 2 e g(x) = x2 – 1, determine: a) fog(x) fog(x) = 3x2 – 1 b) gof(x) gof(x) = 9x2 + 12x + 3 c) fof(x) fof(x) = 9x + 8 d) gog(x) gog(x) = x4 – 2x2

b) Dadas as funções g(x) = 2x – 5 e f(g(x)) = 6x – 33, determine f(x)? f(x) = 3x – 18 05. (Puc MG) Na figura, está o gráfico da função f.

02. Dadas as funções f(x) = x – 1 e g(x) = x2 – 4x + 3, determine: a) A função g(f(x)). g(f(x)) = x2 – 6x + 8 b) Os valores de x de modo que g(f(x)) = 0. S = {2, 4} 03. Responda aos itens a seguir: a) Dadas as funções f(x) = 2x – 5 e f(g(x)) = 4x + 3, determine g(x)? g(x) = 2x + 4 b) Dadas as funções g(x) = 3x + 4 e g(f(x)) = 9x – 8, determine f(x)? f(x) = 3x – 4 04. Responda aos itens a seguir: a) Dadas as funções f(x) = 3x + 4 e g(f(x)) = 12x + 14, determine g(x)? g(x) = 4x – 2

O total de elementos x tais que f(f(x)) = 4 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Exercícios Complementares 01. (UERJ) Admita os seguintes dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em milhares de habitantes: nn C é a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, em partes por milhão e corresponde a C(p) = 0,5p +1; nn Em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p(t) = 10 + 0,1t2. Em relação à taxa C, a) expresse-a como uma função do tempo; C = 0,05t2 + 6 b) calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 partes por milhão. 12 anos 02. (Uel PR) Observe o gráfico da função f: IR → IR a seguir:

03. (Mackenzie SP) As funções f(x) = 3 – 4x e g(x) = 3x + m são tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. O valor de m é: a) 9/4 c) -6/5 e) -2/3 b) 5/4 d) 9/5 04. (UFSC) Considere as funções f, g: IR → IR tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7). 56 05. (UECE) Considere a função f: IR → IR definida por: O valor de f(f(f(5))) é: a) 0,100 b) 0,120

c) 0,125 d) 0,150

06. (Mackenzie SP) Se f(x) = mx + n e f(f(x)) = 4x + 9, a soma dos possíveis valores de n é: a) 6 c) 12 e) -18 b) -6 d) -12 07. (Ufscar SP) Seja f: IN → Q uma função definida por

B15  Função composta

x + 1, se x é ímpar  f(x) =  x  2 , se x é par

A respeito dessa função é correto afirmar: a) (fof)(-2) = 1 d) (fof)(-1) = 0 b) (fof)(-1) = 2 e) f(-2) = 1 c) (fof)(-2) = -1

330

Se n é ímpar e f(f(f(n))) = 5, a soma dos algarismos de n é igual a: a) 10 c) 8 e) 6 b) 9 d) 7

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B16

FUNÇÃO INVERSA A vacinação é a maneira mais eficaz de prevenir doenças. O Brasil tem evoluído nos últimos anos nessa área, especialmente com a criação do Programa Nacional de Imunizações (PNI), em 1973, que facilitou o acesso da população às vacinas.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função inversa nn Função inversa nn Gráfico da função inversa

O cidadão tem que estar atento às campanhas e ao calendário de vacinação, que corresponde ao conjunto de vacinas prioritárias para o país. Todas elas são disponibilizadas gratuitamente nos postos da rede pública. São quatro os calendários de vacinação, voltados para públicos específicos: criança, adolescente, adulto, idosos e população indígena. Crianças, adolescentes e adultos precisam comparecer aos postos de saúde nos períodos de campanha e tomar todas as vacinas previstas. “Só com todas elas o cidadão estará devidamente imunizado”, explica a coordenadora do Programa Nacional de Imunizações do Ministério da Saúde, Carla Domingues. “As campanhas seguem essas datas pela necessidade da imunidade de um grupo, para que todos sejam vacinados naquele momento. Mas a vacina contra poliomielite, por exemplo, pode ser administrada em seguida”, explica.

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Os avanços tecnológicos na produção e a introdução de novas vacinas no calendário de campanhas de imunização fazem do trabalho de pesquisa uma das prioridades do Estado brasileiro. Estudos avançados contribuem para o desenvolvimento de novos produtos, já que o Brasil tem o domínio tecnológico das mais modernas gerações de vacina. No país, os principais produtores oficiais de vacina e soro são Fiocruz, Fundação Ataulpho de Paiva, Fundação Ezequiel Dias, Instituto de Tecnologia do Paraná, Instituto Vital Brazil, Instituto Butantan e Centro de Produção e Pesquisa de Imunobiológicos do Paraná. Fonte: http://www.brasil.gov.br/saude/2009/12/campanhas-de-vacinacao-2. Acesso: 03/2017

331

Matemática

Suponha que os técnicos da Secretária da Saúde de um pequeno município do Estado de Goiás verificaram que o custo C da vacinação de x por cento da população local era, em milhares de reais, dado pela função a seguir: C(x) =

200x 300 − x

Note que: nn O

domínio de f é a imagem de f-1. nn A imagem de f é o domínio de f-1. nn (a, b) ∈ f se, e somente se, (b, a) ∈ f-1. Vamos obter a expressão que define a inversa da função f(x) = 2x + 1. Para isso, devemos:

A partir dessa função, é possível determinar outra que nos informa a porcentagem P de pessoas vacinadas em função do custo x em milhões de reais. Trata-se da função inversa de C(x), assunto que iremos abordar nesta aula.

Função inversa Dada a função bijetora f: A → B, a função inversa de f, indicada por f-1, é a função f-1: B → A que associa cada y ∈ B a um único x ∈ A, tal que f-1(y) = x.

nn Na

Em f(x) = 2x + 1, temos que: f(x) = 2x + 1 ⇒ y = 2x + 1 ⇒ x = 2y + 1 nn Isola-se

y na expressão assim obtida.

Em x = 2y + 1, temos que: x = 2y + 1 ⇒ x – 1 = 2y ⇒ y = nn Troca-se

Por exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 5, 7, 9} e a função f: A → B dada por f(x) = 2x + 1, temos que:

lei y = f(x), troca-se x por y e y por x.

Em y =

x −1 2

y por f-1(x) na expressão obtida.

x −1 , temos: 2 y=

x −1 x −1 −1 ⇒ f (x) = 2 2

Gráfico da função inversa Os gráficos de uma função f e sua inversa f-1 são simétricos em relação à reta y = x chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares. Por exemplo: Daí, temos que: nn f(1) nn f

No esboço dos gráficos das funções f(x) = 2x + 1 e x −1 , temos: f (x) = 2 nn Na função f, vamos destacar os seguintes valores: −1

= 3, f(2) = 5, f(3) = 7 e f(4) = 9.

= {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}.

Como a função f é bijetora, podemos associar todo y ∈ B com um único x ∈ A tal que f-1(y) = x. Assim, temos que:

B16  Função inversa

nn Na

f(x) = 2x + 1

(x, y)

-1

f(-1) = -1

(-1, -1)

-1/2

f(-1/2) = 0

(-1/2, 0)

f(0) = 1

(0, 1)

função f-1 , vamos destacar os seguintes valores:

Daí, temos que: (3) = 1, f (5) = 2, f (7) = 3 e f (9) = 4. -1 nn f = {(3, 1), (5, 2), (7, 3), (9, 4)}. nn f

332

-1

f −1 (x) =

x −1 2

(x, y)

-1

f-1(-1) = -1

(-1, -1)

f-1(0) = -1/2

(0, -1/2)

f-1(1) = 0

(1, 0)

Matemática e suas Tecnologias

No plano cartesiano, temos que: y f(x) y=x f–1(x) 1 –1/2 x

1 –1/2 (–1, –1)

Observe a simetria dos gráficos de f e f -1 em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares).

EXEMPLOS 01. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 5, 8} e a função f: A → B definida por f(x) = 3x – 1, determine: a) Os pares ordenados de f. b) Os pares ordenados da inversa de f. c) A lei que define a inversa de f. RESOLUÇÃO a) Utilizando o diagrama de flechas, temos que:

x + 1 = 3y ⇒ y =

x +1 x +1 ⇒ f −1 (x) = 3 3

Portanto, a inversa de f é f −1 (x) =

x +1 . 3

02. Dada a função bijetora f: A → B definida por f(x) =

2x + 3 , determine: x −5

a) A lei que define a inversa de f. b) Os conjuntos A e B. RESOLUÇÃO a) Como a função g é bijetora, dizemos que g admite inversa (inversível) indicada por g-1. Assim, temos que:

= f(x)

xy – 2y = 5x + 3 ⇒ y(x – 2) = 5x + 3

Portanto, f -1 = {(2, 1), (5, 2), (8, 3)} c) Como a função f é bijetora, dizemos que f admite inversa. Essa inversa é indicada por f-1. Daí, temos que:

5x + 3 5x + 3 ⇒ f −1 (x) = x −2 x −2

b) Para o conjunto A, temos que: O conjunto A é domínio da função f. Portanto, A = {x ∈ IR | x ≠ 5}. Para o conjunto B, temos que: Como a função f é bijetora, o seu contradomínio B é igual à sua imagem. O domínio da função f -1 é igual à imagem da função f. Portanto, B = {y ∈ IR | y ≠ 2}.

f(x) = 3x – 1 ⇒ y = 3x – 1 ⇒ x = 3y – 1 ⇒ x + 1 = 3y

333

B16  Função inversa

Portanto, f = {(1, 2), (2, 5), (3, 8)} b) Utilizando o diagrama de flechas, temos que:

2x + 3 2y + 3 = ⇒x ⇒ xy – 5x = 2y + 3 x −5 y−5

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Dados os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2} e B = {-1/3, 1, 3, 9} e a função f: A → B definida por f(x) = 3 , a função f é inversível? x

05. Esboce o gráfico da inversa de cada uma das funções bijetoras a seguir.

Justifique. É inversível, pois é bijetora 02. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7, 9} e a função f: A → B definida por f(x) = 2x + 3, determine: a) Os pares ordenados de f. f = {(1, 5), (2, 7), (3, 9)} b) Os pares ordenados da inversa de f. f-1 = {(5, 1), (7, 2), (9, 3)} 03. Determine a lei de formação que define a inversa das seguintes funções: a) f(x) = x + 2 f-1 (x) = x – 2

x+7

b) f(x) = 4x – 7 f −1 (x) = 2x + 11 −1 43x − 11 f (x) = c) f(x) = 2 3 04. Determine a lei de formação que define a inversa das seguintes funções: 4x + 6 ,x ≠ 0 f −1 (x) = 6 5x 5x − 4 x +2 b) = f(x) ,x ≠ 3 f −1 (x) = 3x + 2 x −3 x −1

a) f(x) =

c) f(x) =

5x + 1 ,x ≠ −6 x +6

f −1 (x) =

6x − 1 5−x

Exercícios Complementares 01. A lei matemática mostrada a seguir fornece o custo C, em reais, da produção de determinada peça em função do número n de peças produzidas com 0 ≤ n ≤ 100. C(n) =

100 1 + n2

C −1 (n) =

04. (UFMT) Observe com atenção o gráfico abaixo. Nele está representado o número de mortes de mães a cada 100 mil bebês nascidos vivos anualmente, na cidade do Rio de Janeiro, entre 1990 e 1995. C-C-C-E

100 − n n

Determine a lei que define a inversa de C(n). 02. Dada a função bijetora definida por f(x) =

3x + 2 , determine: 5x − 1

x +2

B16  Função inversa

a) A lei que define a inversa de f. f −1 (x) = 5x − 3 b) O conjunto imagem de f. Im(f) = IR – {3/5} 3x + 1 03. (Furg RS) O domínio da função inversa f-1(x) de f(x) = é: 2−x a) {x ∈ IR | x ≠ 2} b) {x ∈ IR | x ≠ -1/3 e x ≠ 2} c) {x ∈ IR | x ≠ -1/3} d) {x ∈ IR | x ≠ -3} e) {x ∈ IR | x ≠ -3 e x ≠ -1/3}

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(Adaptado do Jornal do Brasil - 29/09/96)

Considere agora que o esboço acima (Padrão da OMS) represente o gráfico de uma função real de variável real y = f(t), com t ∈ [1990, 1995]. Com base nessas informações, julgue os itens. 01. A função f é crescente no intervalo [1992,1993]. 02. Em 1993 a função f assume seu valor máximo. 03. A imagem de f é o conjunto {y ∈ IR | 48,1 ≤ y ≤ 70,8}. 04. A função f é inversível.

Matemática e suas Tecnologias

05. (UFSM) Com relação à função f: IR – {1/3} → IR – {1/3}, x x → f(x) = , afirma-se o seguinte: 3x + 1 I. A função f é injetora. II.

A função inversa da f é f-1(x) = x/(3x - 1).

III.

O elemento do domínio de f que tem 2 como imagem é 1/2.

O gráfico da função inversa y = f–1(x) é dado por

Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas II e III. e) I, II e III.

e g(f(x)) = 4x. Nessas condições, a função inversa de g é dada por: 6+x a) g-1(x) = 2 6−x b) g-1(x) = 2

c) g-1(x) =

6+x 4

d) g-1(x) =

2 6 − 2x

e) g-1(x) =

2 6 + 2x

07. (UFF RJ) Considere as funções reais bijetivas f e g tais que:

-1

f(x)

-1

g(x)

-1

Determine, justificando, os valores de: a) 1

b) -1 c) 1

d) 1

a) (f o g) (1) b) (f –1 o g–1) (-1) c) (g o f –1) (2) d) (f –-1 o g) (2) 08. (Unicamp SP) Considere o gráfico da função y = f(x) exibido na figura a seguir.

09. (UECE) A função real de variável real definida por x +2 é invertível. Se f–1 é sua inversa, então, o valor de f(x) = x −2 [f(0) + f–1(0) + f–1(–1)]2 é a) 1. b) 4. c) 9. d) 16. 10. (IF GO) Considere as funções f(x) = – x + 4 e g(x) = x + 1 e analise as seguintes afirmações sobre f e g. I. A função f é inversível e sua inversa é a própria f. II. A área delimitada por f, g e a parte positiva dos eixos x e y vale 5,75. III. A área limitada por f e os eixos coordenados vale 1. IV. Os gráficos de f e g são perpendiculares. Assinale a alternativa correta. a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas I e II são verdadeiras. c) Apenas I, II e III são verdadeiras. d) Apenas I, II e IV são verdadeiras. e) Todas são verdadeiras. 11. (UECE) Seja R+ o conjunto dos números reais positivos e f : R → R+ a função definida por f(x) = 2x. Esta função é invertível. Se f–1 : R+ → R é sua inversa, então, o valor de f–1(16) – f–1(2) – f–1(1) é a) 3. c) 7. b) 8. d) 5. 2x + 3 12. (UECE) A função real de variável real definida por f(x) = , 4x + 1 1 para x ≠ − é invertível. Sua inversa g pode ser expressa na forma 4 ax + b , onde a, b, c e d são números inteiros. Nessas condig(x) = cx + d ções, a soma a + b + c + d é um número inteiro múltiplo de a) 6. b) 5. c) 4. d) 3.

335

B16  Função inversa

06. (Unifor CE) Sejam f e g funções de IR em IR, tais que f(x) = -2x + 3

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Unicamp SP) O gráfico adiante fornece a concentração de CO2 na atmosfera, em “partes por milhão” (ppm), ao longo dos anos. 360 340

320 300

1930

1950

1970

1990

a) Qual foi a porcentagem de crescimento da concentração de CO2 no período de 1870 a 1930? 3,8% b) Considerando o crescimento da concentração de CO2 nas últimas décadas, é possível estimar uma taxa de crescimento de 8,6% para o período 1990-2010. Com esta taxa, qual será a concentração de CO2 em 2010? 380,1 02. (Enem MEC) Um investidor inicia um dia com x ações de uma empresa. No decorrer desse dia, ele efetua apenas dois tipos de operações, comprar ou vender ações. Para realizar essas operações, ele segue estes critérios: Vende metade das ações que possui, assim que seu valor fica acima do valor ideal (Vi). II. Compra a mesma quantidade de ações que possui, assim que seu valor fica abaixo do valor mínimo (Vm). III. Vende todas as ações que possui, quando seu valor fica acima do valor ótimo (V0). O gráfico apresenta o período de operações e a variação do valor de cada ação, em reais, no decorrer daquele dia e a indicação dos valores ideal, mínimo e ótimo.

Valor da ação (R$)

0 10 11 12 13 14 15 16 17

V0 Vi Vm

tempo (hora)

Quantas operações o investidor fez naquele dia? a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

Quan dade de Substância A

1910

tempo

Quan dade de Substância A

1890

Quan dade de Substância A

1870

tempo

Quan dade de Substância A

260

Quan dade de Substância A

280

336

03. (Enem MEC) Muitas vezes o objetivo de um remédio é aumentar a quantidade de uma ou mais substâncias já existentes no corpo do indivíduo para melhorar as defesas do organismo. Depois de alcançar o objetivo, essa quantidade deve voltar ao normal. Se uma determinada pessoa ingere um medicamento para aumentar a concentração da substância A em seu organismo, a quantidade dessa substância no organismo da pessoa, em relação ao tempo, pode ser melhor representada pelo gráfico:

tempo

04. (UFPE) Sejam A e B conjuntos com m e n elementos respectivamente. Analise as seguintes afirmativas: V-V-V-F-V Se f: A → B é uma função injetora então m ≤ n. Se f: A → B é uma função sobrejetora então m ≥ n. Se f: A → B é uma função bijetora então m = n. Se f: A → B é uma função bijetora então o gráfico de f é um subconjunto de A × B com m × n elementos. 05. Se m = n o número de funções bijetoras f: A → B é m! 01. 02. 03. 04.

05. (ITA SP) Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X ⊂ Y e X ≠ Y. Considere as seguintes afirmações: I. Existe uma bijeção f: X → Y. II. Existe uma função injetora g: X → Y. III. O número de funções injetoras f: X → Y é igual ao número de funções sobrejetoras g: Y → X. É (são) verdadeira(s) a) nenhuma delas. b) apenas I. c) apenas III.

d) apenas I e II. e) todas.

Matemática e suas Tecnologias

06. (ITA SP) Dadas as funções f ( x ) =

Se f: R → R é uma função ímpar e inversível, então f-1: R → R é uma função ímpar.

III.

1 + ex , x ∈ IR – {0} e g(x) = x ⋅ sen x, 1 − ex

x ∈ IR, podemos afirmar que: a) ambas são pares. b) f é par e g é ímpar. c) f é ímpar e g é par. d) f não par e nem ímpar e g é par. e) ambas são ímpares.

Então: a) apenas a afirmação (I) é falsa. b) apenas as afirmações (I) e (II) são falsas. c) apenas a afirmação (III) é verdadeira. d) todas as afirmações são falsas. e) n.d.a.

07. (ITA SP) Mostre que toda função f: IR – {0} → IR, satisfazendo f(x ⋅ y) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par. demonstração

14. (IF MA) Dada a função f :R + → [1; + ∞ ) , onde R+ representa o conjunto dos números reais não negativos, definida por

08. (UFMA) Seja f um polinômio tal que f(x2 + 2) = 4x4 + 4. Então f(x2 – 2) é igual a:

f(x)= x 2 + 1 , sua inversa f–1 é definida por:

a) 4x – 4x – 4 b) 4x4 – 4 c) 4x4 + 20x2 + 20 d) 4x4 + 20x2 – 12 e) 4x4 – 32x2 + 68 4

a) f −1 (x) =

x −1

b) f −1 (x) =

x +1

−1

c) f = (x)

2x − 1

d) f −1 (x) =

x +2

−1

e) f (x) =

x −2

15. (Acafe SC) Dadas as função f e g, com funções reais

09. (ITA SP) Sejam f, g: IR → IR funções tais que g(x) = 1 – x e f(x) + 2f(2 – x) = (x – 1)3, para todo x ∈ IR. Então f(g(x)) é igual a:

f(2x + 1) = 4x + 12 e g(x + 2) = 2x – 1 definidas para todo x ∈R , então, pode-se afirmar que f(g(x)) = 2 é um número:

a) (x – 1)3 b) (1 – x)3 c) x3 d) x e) 2 – x

a) divisor de 10. b) múltiplo de 4. c) fracionário. d) primo. 16. (Cefet MG) Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = x2 + 3x + c, o

10. Dada a função bijetora f(x) = x 2 + 2x + 13 , calcule o valor numérico de k para que se tenha f-1(k) = -3. 4

maior valor inteiro de c tal que a equação g(f(x)) = 0 apresente raízes reais é a) 1.

−1 a) Determine a lei de formação que define a função f –1. f ( x ) = b) Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f e f –1, o eixo dos y e a reta de equação x = 1. 9/4

12. (ESPCEX) Sabendo que “c” e “d” são números reais, o maior valor de “d” tal que a função f :IR → IR definida por − x + c, para x ≥ d f(x) =  2 x − 4x + 3, para x < d seja injetora é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 13. (ITA SP) Considere as afirmações: I. Se f: R → R é uma função par e g: R → R é uma função qualquer, então a composição gof é um função par. II. Se f: R → R é uma função par e g: R → R é uma função ímpar, então a composição fog é uma função par.

x −1 2

b) 2. c) 3. d) 4. 17. (IF MA) Considere as funções afins f(x) e p(x), definidas de re= 2x + 4 e p(x) = 6x − 2m , sendo m uma ais em reais, onde f(x) constante real. O valor de m para que p(f(x)) = f(p(x)) é: a) –7 b) 1/3 c) 5 d) 7 e) –10 18. (Unicamp SP) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) = ax + 3a e g(x) = 9 – 2x, definidas para todo número real x. a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x) > 0. 7 b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) = g(f(x)) para todo número real x. a = 1/2 337

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

11. (Unirio RJ) Considerando-se a função f: IR → IR, x → 2x + 1.

Por aabeele / shutterstock.com

FRENTE

Molusco marinho chamado Nautilus, cuja concha tem o formato de uma curva denominada espiral logarítmica.

MATEMÁTICA Por falar nisso Os logaritmos são operações matemáticas que foram introduzidas pelo matemático escocês Jonh Napier (1550-1717) e aperfeiçoadas pelo matemático inglês Henry Briggs (15611630). A princípio, sua criação tinha como objetivo simplificar cálculos transformando produtos em somas e divisões em subtrações por meio de tábuas de logaritmos. Atualmente, com o desenvolvimento das calculadoras, os logaritmos perderam a importância como ferramentas de cálculo. Porém, eles ainda são muito importantes, pois as funções logarítmicas e exponenciais (uma inversa da outra) estão presentes em várias fórmulas matemáticas, como por exemplo: nn Para se determinar o tempo de desintegração de um elemento radioativo. nn Para se determinar a acidez das soluções químicas. nn Para se determinar a magnitude e a quantidade de energia

liberada por um terremoto (Escala Richter). nn Para se determinar o nível sonoro (em dB) a partir da inten-

sidade sonora (em W/m2). nn Para se determinar a quantidade de uma droga presente na

corrente sanguínea após um tempo da sua ingestão. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

C13 C14 C15 C16

Equações exponenciais..................................................................340 Inequações exponenciais...............................................................343 Logaritmos – definição..................................................................346 Logaritmos – consequências da definição....................................349

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C13

ASSUNTOS ABORDADOS nn Equações exponenciais

Um dos grandes problemas das grandes cidades é o excesso de barulho, causando irritabilidade e problemas auditivos em pessoas e animais.

Fonte: Por Ong.thanaong/shutterstock.com

nn Equações exponenciais

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Figura 01 - Foto da barulhenta Times Square, importante destino turístico localizado na ilha de Manhattan - Nova York.

Atualmente, existem várias fontes desse ruído intenso. São veículos automotores, aparelhos de som, sirenes de ambulâncias, britadeiras, buzinas etc. A situação se agravou de tal forma que a Organização das Nações Unidas aponta que a poluição sonora causa tanto mal quanto a poluição do ar e da água por produtos químicos. De acordo com especialistas, o limite aceitável de ruído para o ouvido humano é de 65 decibéis (dB). Quando esse ruído ultrapassa 85 decibéis, há o risco de lesões temporárias ou permanentes no nosso sistema auditivo. Assim, suponha que a potência P, em W/cm2, e a intensidade N, em decibéis, do som estão relacionadas pela expressão a seguir: P = 10 −16+0,1N

Nessas condições, qual seria a intensidade sonora N de 10-3 W/cm2 provocada por uma turbina de avião? Para tanto, basta fazer P = 10-3 na expressão e, em seguida, resolver a seguinte equação: 10 −3 = 10 −16+0,1N

Nesta aula, abordaremos a resolução de igualdades denominadas equações exponenciais.

340

Matemática e suas Tecnologias

Equações exponenciais

Equação exponencial na variável x é toda equação que possui a variável x no expoente de pelo menos uma potência. Por exemplo: nn 2x = 256 nn 3x – 1 = 93x

– 2x –7 = 0 Para resolver as equações exponenciais, temos que transformá-las em uma igualdade de potências de mesma base, e em seguida, utilizar a seguinte propriedade: nn 4x

ax1 = ax2 ⇔ x1 = x 2 , com a ∈ IR*+ e a ≠ 1

EXEMPLOS 01. Resolva as seguintes equações exponenciais: a) 2x = 128 b) 125x = 5x + 8 c)

(

)

= 0,001 RESOLUÇÃO

a) 2 = 128 ⇒ 2 = 2 ⇒ x = 7 ⇒ S = {7} b) 125x = 5x + 8 ⇒ (53) x = 5x + 8 ⇒ 53x = 5x + 8 ⇒ 3x = x + 8 ⇒ x = 4 ⇒ S = {4} x

(

)

= 0,001 ⇒ (101/2)x = 10-3 ⇒ 10x/2 = 10-3 ⇒ x/2 = -3 ⇒ x = -6

⇒ S = {-6}

RESOLUÇÃO a) 3x + 1 – 3x – 1 = 72 ⇒ 3x ⋅ 31 – 3x ⋅ 3-1 = 72 3x ⋅ 8  1 = 72 ⇒ 3x = 27 ⇒ 3x = 33 ⇒ x = 3 3x. 3 −  = 72 ⇒ 3 3  Portanto, S = {3}. b) 22x + 5 ⋅ 2x – 24 = 0 ⇒ (22)x + 5 ⋅ 2x – 24 = 0 ⇒ (2x)2 + 5 ⋅ 2x – 24 = 0 Fazendo 2x = y, temos: y2 + 5y – 24 = 0 ⇒ y’ = -5 e y” = 8. Na variável x, temos que: 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3

02. Resolva, em IR, as seguintes equações exponenciais: a) 3x + 1 – 3x – 1 = 72 b) 22x + 5 ⋅ 2x – 24 = 0

2x = -5 (não convém) Portanto, S = {3}

Exercícios de Fixação 01. Resolva as seguintes equações exponenciais: b) S = {-4}

c) S = {3/2}

a) 2x = 32 b) 10x + 1 = 0,001 c) 36x = 216 d) 52x – 8 = 1

d) S = {4}

A(t) = 2 ⋅ 105 ⋅ (1,6)t e B(t) = 4 ⋅ 105 ⋅ (0,4)t

02. Resolva as seguintes equações exponenciais: a) S = {5/3}

b) S = {1/20}

c) S = {5}

d) S = {2, -1}

a) 5x−1 = 3 25 b) 162x = 5 4 c) 4 ⋅ 5x – 3 = 100 d) (6x)x – 1 = 36 03. Resolva as seguintes equações exponenciais: a) S = {5}

b) S = {2/3}

d) S = {0, -2}

c) S = {1}

a) 2x + 2x – 4 = 34 3x 1 b)   = 0,25 2

c) 5x + 3 – 5x + 2 – 11 ⋅ 5x = 445 x2

7 9 d)   =   3  49  04. Resolva as seguintes equações exponenciais: a) S = {2, 3}

b) S = {3, 0}

c) S = {8}

a) 22x – 12 ⋅ 2x + 32 = 0 b) 32x – 28 ⋅ 3x + 27 = 0 c) 32x-1 ⋅ 9x+4 = 27x+5 3x

d)  1  :  1   5   25 

05. (UERJ) Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções:

x +2

 1  =   125 

2x −3

d) S = {1}

Considere as estimativas corretas em que t = 0 refere-se ao dia 1 de janeiro de 2 000. a) Calcule o numero de eleitores dos candidatos A e B em 1 de janeiro de 2 000. A: 200 000 eleitores e B: 400 000 eleitores b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores. 6 meses c) Mostre que,em 1 de outubro de 2 000, a razão entre os números de eleitores de A e B era maior que 1. demonstração 06. (UFPR) A análise de uma aplicação financeira ao longo do tempo mostrou que a expressão V(t) = 1000 20,625t fornece uma boa aproximação do valor V (em reais) em função do tempo t (em anos), desde o início da aplicação. Depois de quantos anos o valor inicialmente investido dobrará? a) 8 b) 12 c) 16 d) 24 e) 32

341

C13  Equações exponenciais

a) S = {5}

Matemática

Exercícios Complementares 01. Resolva os sistemas a seguir:

a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β. b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas (2/3)°C superior à temperatura ambiente. a) α = 54 e β = -1/90 b) 360 minutos

2x+y = 1  a)  x+2y S = {(-3, 3)}  3 = 27  x y 1 8 ⋅ 4 = b)  4 S = {(0, -1)} 9x ⋅ 3− y = 3 

02. (Puc RJ) A equação 2x

−14

07. (UFG GO) Determine os valores de x no sistema =

1 tem duas soluções reais. A 1024

soma das duas soluções é:

2x −2

1 . 27

04. (Cefet CE) O conjunto verdade da equação 2x - 2-x = 5 (1 - 2-x) é: a) {1, 4} b) {1, 2} c) {0, 1} d) {0, 2} e) { } 05. (UEFS BA) Considerando-se que, sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a cultura, pode ser dado pela função N(t)= 9t – 2 ⋅ 3t + 3, t ≥ 0, pode-se estimar que o tempo mínimo necessário para esse número ultrapassar 678 colônias é de: 02

C13  Equações exponenciais

01. 02. 03. 04. 05.

2 horas. 3 horas. 4 horas. 5 horas. 6 horas.

06. (Unicamp SP) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = TA + α ⋅ 3β.t onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e α e β são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de -18°C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0°C após 90 minutos e chegou a -16°C após 270 minutos.

342

08. (IF MA) A soma das raízes da equação ( 2x )

x −1

= 4 é:

a) 1 e -2 b) -1 c) 2 d) -1 e 2 e) 1

a) -5 b) 0 c) 2 d) 14 e) 1 024  3 03. (Mackenzie SP) O valor de x na equação    9  a) tal que 2 < x < 3 b) negativo c) tal que 0 < x < 1 d) múltiplo de 2 e) 3

a x −1 2 − 7 = 9 , para os quais a = b. S = {1, 2}  b−2 3x−1 2 − 1 =

09. (UniRV GO) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alternativas. F-F-F-F a) 4 ⋅ 2x = 8 x , para qualquer que seja o valor de x. x b) Se 5 = 0,2, então x é irracional. c) Se π2 =πx , então x é um número irracional. d) b2 + bπ = b2+π . 10. (ESPM SP) A soma das raízes da equação 4x + 25 = 3 ⋅ 2x + 2 é igual a: a) 5 b) 3 c) 8 d) 12 e) 7 11. (Unimontes MG) O produto das soluções reais da equação 4x – 11.2x – 2 = -3/2 é igual a: a) 3/2 b) log2 3/4 c) 3/4 d) log2 3/2 12. (FGV) A raiz da equação 3x – 1 + 4 ⋅ 3x + 3x + 1 = 22 3 é um número a) inteiro positivo. b) inteiro negativo. c) irracional. d) racional positivo não inteiro. e) racional negativo não inteiro.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C14

INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

ASSUNTOS ABORDADOS

Várias são as doenças causadas por alimentos contaminados que têm como principais sintomas vômitos, diarreias e inchaços abdominais.

nn Inequações exponenciais nn Inequações exponenciais

De maneira geral, não é muito difícil identificar quando alimentos frescos estão estragados, pois apresentam cores, cheiros ou sabores alterados. Já os alimentos industrializados nem sempre apresentam essas alterações devido à presença de substâncias que ajudam a aumentar, ao máximo, a validade desses produtos. Daí, a importância de se estar sempre atento ao prazo de validade e não consumir alimentos vencidos. Há um grande risco de estarem estragados. Assim, sabendo que certo micro-organismo se prolifera rapidamente, dobrando sua população a cada 20 minutos, qual o tempo necessário para que uma população inicial de 100 micro-organismos seja maior que 3 200 indivíduos? A expressão que relaciona a população P desses micro-organismos e o tempo t, em minutos, é dada por: P = 100 ⋅ 2t/20 Assim, para que se tenha uma população maior que 3 200, basta fazer P > 3 200 e, em seguida, resolver a seguinte inequação:

Por Tatiana Shepeleva/Shutterstock.com

100 ⋅ 2t/20 > 3 200 Nessa aula, abordaremos a resolução de desigualdades denominadas inequações exponenciais.

Figura 01 - Ilustração mostra a cultura de uma bactéria denominada Salmonella.

343

Matemática

Inequações exponenciais Inequação exponencial na variável x é toda inequação que possui a variável x no expoente de pelo menos uma potência. Por exemplo: São exemplos de inequações exponenciais: nn 3x nn 5

> 729 ≤ 125

x+1

Nesse caso, observe que a função f é crescente, assim, temos que:

ax2 > ax1 ⇔ x 2 > x1 Portanto, para resolver uma inequação de base a > 1, basta conservar a desigualdade. nn 2º

caso: Para a função exponencial f(x) = ax, com 0 a < 1, temos o seguinte gráfico:

-x

32 2   ≥  3  243

Para resolver as equações exponenciais, temos que transformá-las em uma igualdade de potências de mesma base, e em seguida, utilizar uma das seguintes propriedades: nn 1º caso: Para a função exponencial f(x) = ax, com a > 1,

temos o seguinte gráfico:

Nesse caso, observe que a função f é decrescente, assim, temos que:

ax2 > ax1 ⇔ x 2 < x1 Portanto, para resolver uma inequação de base 0 < a < 1, basta inverter a desigualdade.

EXEMPLOS 01. Resolva as seguintes inequações exponenciais: a) 2

3x – 1

1 b)   3

02. Determine o conjunto solução da inequação 22x + 2 – 5 ⋅ 2x + 1 ≤ 0.

2x + 9

5x +7

1 ≤  3

RESOLUÇÃO

3x −11

22x + 2 – 5 ⋅ 2x + 1 ≤ 0 ⇒ 22x ⋅ 22 – 5 ⋅ 2x + 1 ≤ 0 ⇒ 4 ⋅ (2x)2 – 5 ⋅ 2x + 1 ≤ 0 RESOLUÇÃO a) Como a base da inequação (a = 2) é um número a > 1, temos: C14  Inequações exponenciais

23x – 1 > 22x + 9 ⇒ 3x - 1 > 2x + 9 ⇒ x > 5 Portanto, S = {x ∈ IR | x > 5}. b) Como a base da inequação (a = 1/3) é um número 0 < a < 1, temos: 1   3

5x +7

1 ≤  3

3x −11

⇒ 5x + 7 ≥ 3x – 11 ⇒ x ≥ 9.

Portanto, S = {x ∈ IR | x ≥ 9}.

344

Fazendo 2x = y, temos que: 4y2 – 5y + 1 ≤ 0 ⇒ 1/4 ≤ y ≤ 1 ⇒ 1/4 ≤ 2x ≤ 1 2-2 ≤ 2x ≤ 20 ⇒ -2 ≤ x ≤ 0 Portanto, S = [-2, 0].

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Resolva as seguintes inequações exponenciais: a) S = ] -∞, 5[

b) S = ] -∞, 8]

a) 32x – 3 > 3x + 2

1 b)   5

4x −1

1 ≤  5

c) S = ]-5, 5[

 1  >   125  1 c) 4 x+1 ⋅ 16 x−1 < 256 b) ( 5x−1 )

5x −9

x 25 c) 7 < 7

02. Resolva as seguintes inequações exponenciais: a) S = ]20, ∞[ b) S = ] -∞, 4] ∪ [6, ∞[

c) S = ]1, 5[

a) 25x > 16x + 5 x

1 1 b)   ≤   3 9

c) πx

− 6x +5

5x −12

x +1

−1

04. Resolva as seguintes inequações exponenciais: a) 3x + 1 + 3x + 3x – 1 < 351 S = ]-∞, 4[ b) 5x + 1 – 3 ⋅ 5x – 1 + 5x – 2 ≥ 555 S = [3, ∞[ 05. Resolva as seguintes inequações exponenciais:

03. Resolva as seguintes inequações exponenciais: a) S = [5, ∞[

9x 81

a) 3x+1 ≤

b) S = ]-∞, -2[ ∪ ]2, ∞[

c) S = ] -∞, -1[

a) 4x – 6 ⋅ 2x + 8 ≤ 0 S = [1, 2] b) 9x – 4 ⋅ 3x + 3 > 0 S = ]-∞, 0[ ∪ ]1, ∞[

Exercícios Complementares

1   2

4/m

m+1

1 >  4

02. A população de pássaros de uma área urbana está diminuindo devido à construção de um condomínio. Suponha que a quantidade Q de pássaros após t semanas do início das obras seja dada por: 5 semanas Q(t) = 1.024 – 16 ⋅ 2

t–1

Qual o número mínimo de semanas necessárias para que a população de pássaros não seja maior que 768 pássaros? 03. (UFPB) O total de indivíduos, na enésima geração, de duas populações P e Q, é dado respectivamente, por P(n) = 4n e Q(n) = 2n. Sabe-se que, quando P(n)/Q(n) ≥ 1024, a população Q estará ameaçada de extinção. Com base nessas informações, essa ameaça de extinção ocorrerá a partir da: a) décima geração. b) nona geração. c) oitava geração. d) sétima geração. e) sexta geração.

5 04. (UEPB) O valor de x na inequação exponencial   ≥ 0,16 2 é dado por: a) x ≥ -2 b) x ≤ -2 c) x ≥ 2

d) x ≤ 2 e) x < 1/2

05. (UEFS BA) O conjunto solução da inequação 2x

−1

≤

a) {x ∈ IR |-2 ≤ x ≤ 3/2} b) {x ∈ IR | x ≤ -2 ou x ≥ 5/2} c) {x ∈ IR | -5/2x ≤ x ≤ 2} d) {x ∈ IR | x ≤ 5/2 ou x ≥ 2} e) IR

4 2x

é:

06. (Ufu MG) O conjunto dos números reais x que satisfazem a 3x +1

2 1 1 inequação:  x  ⋅ 41 +2x−x ≥   2  8 a) {x ∈ IR | 1/5 ≤ x ≤ 1} b) ∅ c) {x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 5} d) {x ∈ IR | x ≤ 1 ou x ≥ 5} e) {x ∈ IR | x ≤ 1/5 ou x ≥ 1}

x −1

é:

07. (Udesc SC) O conjunto solução da inequação  3 ( 2x−2 )    é:

x +3

> 4x

a) S = {x ∈ IR | -1 < x < 6} b) S = {x ∈ IR | x < -6 ou x > 1} c) S = {x ∈ IR | x < -1 ou x > 6} d) S = {x ∈ IR | -6 < x < 1} e) S = {x ∈ IR | x < -√6 ou x > √6}

345

C14  Inequações exponenciais

01. (UFF RJ) a) José manteve o sentido da desigualdade. b) 2 a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio: 2 3 1 1 1 1 “Como > tem-se   >   e conclui-se que 2 > 3.” 4 8 2 2 Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão absurda. b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação:

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C15

ASSUNTOS ABORDADOS nn Logaritmos - definição nn Definição

No estudo das ondas sonoras, destacamos as seguintes características do som: a altura, a intensidade e o timbre. No caso da intensidade I, medida em W/m2, esse índice físico representa a potência de uma onda sonora por unidade de área. Para o ouvido humano duas intensidades sonoras são muito importantes:

Fonte: Por Fotos593/Shutterstock.com

nn Sistemas de logaritmos

LOGARITMOS - DEFINIÇÃO

Figura 01 - Mulher andando na rua de uma cidade com intensidade sonora próxima ao limiar de dor.

limiar de audibilidade I0 = 1 ⋅ 10-12 W/m2 que é a intensidade mínima que o ouvido humano pode perceber.

nn O nn O

limiar de dor IM = 1 W/m2 que é a intensidade máxima que o ouvido humano suporta sem que haja dor e danos.

Já o nível sonoro N, medido em decibel (dB), é uma comparação, em escala logarítmica, entre uma intensidade sonora I e o limiar de audibilidade (I0) definida pela expressão a seguir:

I = 10 ⋅ log   N  I0  A expressão do nível sonoro é um exemplo de expressão na qual as variáveis N e I se relacionam por meio de uma operação matemática denominada logaritmos. Nesta aula, abordaremos sua definição e condições de existência.

Definição Sendo a e b números reais e positivos, com b ≠ 1, dá-se o nome de logaritmo de a na base b ao número real x ao qual se eleva a base b para se obter a. Simbolicamente, temos:

logb a =x ⇔ bx =a

346

Matemática e suas Tecnologias

Sendo:

Sistema de logaritmos decimais

nn a um número real positivo chamado de logaritmando.

É um sistema de logaritmos cuja base é 10, ou seja, da forma log10 x. Nesse sistema, temos que log x = log10 x.

nn b

um número real positivo diferente de 1 chamado de base.

nn x

um número real chamado de logaritmo.

Por exemplo: nn log2

32 = x ⇔ 2 = 32 ⇒ 2 = 2 ⇒ x = 5. Portanto, x

nn log10

12 = log 12.

nn log10

0,004 = log 0,04.

Sistema de logaritmos naturais

log2 32 = 5.

1  1  x x −4 nn log3   =x ⇔ 3 = ⇒ 3 =3 ⇒ x =−4. Portanto, 81  81   1  log3   = −4.  81  nn

Por exemplo:

( 5)

log 5 625 = x ⇔

= 625 ⇒ 5x/2 = 54 ⇒ x = 8. Portan-

to, log 5 625 = 8.

É um sistema de logaritmos cuja base é e = 2,1782... (número de Euler), ou seja, da forma loge x. Nesse sistema, temos que ln x = loge x. Por exemplo: nn ln

29 = loge 29.

nn ln

0,037 = loge 0,037.

Sistemas de logaritmos Chamamos de sistema de logaritmos de base b, o conjunto de todos os logaritmos escritos na forma logb x, com b > 0 e b ≠ 1. Vamos destacar dois desses sistemas devido a sua grande aplicabilidade.

EXEMPLOS 01. Calcule o valor de:

02. Calcule o valor de x tal que logx 36 = 2.

a) log5 125

RESOLUÇÃO

b) log10 0,01 Condição de existência: x > 0 e x ≠ 1.

c) log 2 128

logx 36 = 2 ⇔ x2 = 36 ⇒ x = ±6 ⇒ x = 6.

1 d) log81   3

Portanto, x = 6. RESOLUÇÃO

03. Calcule o valor de x tal que log3 x = -4. RESOLUÇÃO

a) log5 125 =x ⇒ 5x =125 ⇒ 5x =53 ⇒ x =3. Portanto, log5 125 = 3.

Condição de existência: x > 0.

b) log10 0,01 = x ⇒ 10 x = 0,01 ⇒ 10 x = 10 −2 ⇒ x = −2.

( 2)

C15  Logaritmos - definição

Portanto, x = 1/81.

Portanto, log10 0,01 = −2. c) log 2 128 = x⇒

log3 x = -4 ⇔ x = 3-4 ⇒ x = 1/81.

=⇒ 128 ( 21/2 ) = 128 x

2x/2 = 27 ⇒ x = 14. Portanto, log 2 128 = 14. x 1 1 d) log81   =⇒ x 81x =⇒ ( 34 ) = 3−1 3 3

1 1 1 34x =3−1 ⇒ x =− . Portanto, log81 = − . 4 3 4

347

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de: a) 4 a) log2 16 b) log5 125 c) log 1/3 243 d) log10 1 000000 02. Calcule o valor de: a) -3 1 a) log2 8 b) log25 125

b) 3

c) -5

04. (UFG GO) As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois terremotos estão relacionados pela fórmula:

d) 6

M  R2 − R1 = log10  2   M1  b) 3/2

c) 1/6

d) -4

c) log 49 3 7 d) log 2 0,25 03. Calcule: a) 15/2 b) -3/5 c) -1/3 a) O logaritmo de 32 na base 3 4 . b) O logaritmo de 0,125 na base 32. c) O logaritmo de 3 100 na base 0,01.

M2 = 100 M1

onde M1 e M2 medem as energias liberadas pelos respectivos terremotos, sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Considerando que ocorreram dois terremotos, um correspondente a R1 = 6 e outro correspondente a R2 = 4, determine a razão entre as energias liberadas pelos mesmos. 05. A quantidade Q de micro-organismos de uma cultura daqui a t horas é dada por Q = 1000 ⋅ 2t. Sendo log 2 = 0,30; determine o tempo necessário para que a cultura tenha um milhão de micro-organismos. 10 horas

Exercícios Complementares 01. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule o valor de x nas equações a seguir: a) 0,78 b) 0,18 c) 1,6 a) 10x = 6 b) 10x = 1,5 c) 2x = 3 02. (UFMA) Aumentando um número x em 16 unidades, o logaritmo do número obtido na base 3 excede o logaritmo de x na base 3 em duas unidades. Então o valor de x é: a) 6 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4 03. A quantidade Q, em gramas, de certo isótopo radioativo cuja massa inicial é 1 000 g, daqui a t anos é dada por: Q(t) = 1000 ⋅ e-0,1t

C15  Logaritmos - definição

Sendo ln 0,2 = -1,6; após quantos anos, a massa desse isótopo se reduzirá a 200 g? 16 anos 04. (Mackenzie SP) A expressão log1/2 32 + log10 0,001 − log0,1 10 10 é igual a: a) 13/2 b) -13/2 c) 0 d) 5/4 e) -19/2

348

05. (Unirio RJ) Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de uma determinada cidade, com idades que variavam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula h = log (100,7 ⋅ i), onde h é a altura (em metros) e i é a idade (em anos). Pela fórmula, uma criança de 10 anos desta cidade terá de altura: a) 170 cm b) 123 cm c) 125 cm d) 128 cm e) 130 cm 06. (ESPM SP) Se log 2 = a e log 3 = b , o valor de x na expressão 9x = 5 é igual a: 1−a a) 2b 1 −b b) a a−2 c) b a−b d) 2 b −1 e) 2a 07. (IF RS) O número log3 30 está entre: a) 0 e 1 b) 1 e 2 c) 3 e 4 d) 4 e 9 e) 9 e 11

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C16

LOGARITMOS – CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

ASSUNTOS ABORDADOS

O pH é uma escala muito utilizada na Química para indicar o grau de acidez das soluções por meio dos teores dos íons H+ livres por unidade de volume da solução.

nn Logaritmos – consequências da

A sigla pH significa potencial hidrogeniônico e indica o teor de íons hidrônio (H3O (aq)) livres por unidade de volume da solução. Quanto mais hidrônios houver no meio, mais ácida será a solução. +

definição

nn Consequências da definição nn Cologaritmo

Na figura a seguir, temos algumas soluções comuns e o seu pH.

Note que o pH é um índice que varia de 0 a 14, sendo: nn pH

entre 0 e 7, a substância é acida. nn pH igual a 7, a substância é neutra. nn pH entre 7 e 14, a substância é básica. Para o cálculo do pH pode-se usar a expressão a seguir: Figura 01 - Suco de limão, o qual é bastante ácido.

Fonte: Por MaraZe/ shutterstock.com

pH = colog [H+]

349

Matemática

Sendo:

Demonstração:

nn pH

Fazendo logb bm = x, temos que:

um número que varia de 0 a 14 nn [H ] é a concentração de íons de hidrogênio em mol/ litro. +

Nesta aula, abordaremos as consequências diretas da definição de logaritmos e o significado do termo colog x (lê-se: cologaritmo de x)

Consequências da definição Sendo a e b números reais e positivos, com b ≠ 1, temos as seguintes consequências imediatas da definição de logaritmos. O logaritmo de 1 na base b é igual a zero. logb 1 = 0

logb bm = x ⇔ bx = bm ⇒ x = m.

O número b elevado ao logb a é igual a a.

blogb a = a Demonstração: Fazendo logb a = x, temos que: logb a = x ⇒ bx = a ⇒ blogb a = a. O logaritmo de a na base b é igual ao logaritmo de c na base b se, e somente se, a = c.

Demonstração: Fazendo logb 1 = x, temos que: logb 1 = x ⇔ bx = 1 ⇒ bx = b0 ⇒ x = 0. O logaritmo do número b na base b é igual a 1.

logb= a logb c ⇔= a c Demonstração: Fazendo logb a = logb c = x, temos que: logb a = x ⇔ bx = a.

logb b = 1

logb c = x ⇔ bx = c. Portanto, a = c.

Demonstração:

Cologaritmo

Fazendo logb b = x, temos que: logb b = x ⇔ bx = b ⇒ bx = b1 ⇒ x = 1. O logaritmo da potência bm na base b é igual a m.

Sendo a e b números reais e positivos, com b ≠ 1, dá-se o nome de cologaritmo de a na base b ao oposto do logaritmo de a na base b. 1 cologb a = logb a−1 = logb   − logb a = a

logb b = m m

EXEMPLOS C16  Logaritmos – consequências da definição

01. Calcule o valor de A =log3 1 + log 4 4 − log5 52 + 6log6 7.

03. Calcule o valor de C = 5 ⋅ ln e2 – 3 ⋅ ln e4.

RESOLUÇÃO

A = log3 1 + log 4 4 − log5 52 + 6log6 7 = 0 + 1 − 2 + 7

C = 5 ⋅ ln e2 – 3 ⋅ ln e4 = 5⋅loge e2 – 3 ⋅ loge e4 = 5 ⋅ 2 – 3 ⋅ 4 Portanto, C = -2.

Portanto, A = 6.

04. Calcule o valor de D = colog2 32 – colog5 625

02. Calcule o valor de B = 3log3 5.log5 4 .

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO 54 = B 3log3 5.log =

Portanto, B = 4.

350

(3 )= log3 5 log5 4

log5 4 5= 4.

D = colog2 32 – colog5 625 = -log2 32 – (-log5 625) D = -log2 32 + log5 625 = -5 + 4 = -1. Portanto, D = -2.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor da expressão a seguir: 5

2 ⋅ log3 81 − log 4 64 log0,001 + log5 625

02. Calcule o valor de: a) 7 a) b) c) d)

b) 36

c) 40

d) 25/3

log5 7

5 9log3 6 23+log2 5 52−log5 3

04. Calcule o valor de: a) -6 a) b) c) d)

b) -3

c) 4

d) 1

colog2 64 colog3 27 colog10 0,0001 colog5 0,2

05. Ao analisar uma determinada solução aquosa, um estudante verificou que a concentração de íons de hidrogênio dessa solução era de 10-4,3 mol/L. Para se calcular o pH dessa solução pode-se usar a expressão a seguir: pH = colog [H+]

03. Calcule o valor de: a) 12

b) 1/9

c) 25

log2 5⋅log5 12

a) 2 b) 3−log3 4 ⋅log4 9 c) e2.log4 5⋅ln4

Sendo: nn pH um número que varia de 0 a 14 nn [H+] é a concentração de íons de hidrogênio em mol/litro.

Qual é o pH dessa solução? 4,3

Exercícios Complementares 01. (UEGO) Seja f(x) = log3 x a função real definida para todo x > 0, determine: a) 327 b) -9 a) O valor x de modo que f(x) = 27.

1  1   1  b) f(1) + f   + f   + f  .  3   27   243 

80,666 − log2 0,5 é igual a:

a) 4 b) 2 c) 1 d) 3 e) 5

(

)

06. (Unicamp SP) Calcule o valor da expressão logn logn n n n , onde n é um número inteiro, n ≥ 2. Ao fazer o cálculo, você verá que esse valor é um número que não depende de n. -2 07. (UFMG) Seja n = 82log2 15 −log2 45 . Então, o valor de n é:

03. (Unitau SP) Sabendo-se que = A log 3 7 7 + log0,001, é correto afirmar que: a) A = 7 b) A = 3 c) A = 1 d) A = 0 e) A = -1

a) 52 b) 83 c) 25 d) 53 08. (UECE) Se f: IR → IR é a função definida por f(x) = 101 – ln x, então, o valor de log (f(e)) é igual a:

04. (Uerj RJ) O valor de 4log2 é: a) 81 b) 64 c) 48 d) 36 e) 9

a) 1/3 b) 3 c) 7 d) 1/7 e) 1/5

ATENÇÃO! e = base do logaritmo natural log = logaritmo na base 10 ln = logaritmo natural a) 1/2 b) 0 c) 1/3 d) 1

351

C16  Logaritmos – consequências da definição

02. (UEPB) O valor de

05. (FGV SP) O valor 5−log5 3 ⋅ log3 7 é:

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. Resolva as equações exponenciais: a) S = {0}

b) S = {-1, 0} c) S = {1/2}

a) 4x + 6x = 2 ⋅ 9x b) 22x + 1 + 32x + 1 = 5 ⋅ 6x c) 32x + 3 – 32x + 2 + 2 ⋅ 32x = 22x + 5 – 22x + 1 02. (UFPR) Uma pizza a 185 °C foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir 65 °C será possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, em minutos, pela expressão T = 160 ⋅ 2–0,8 ⋅ t + 25. Qual o tempo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? a) 0,25 minutos b) 0,68 minutos c) 2,5 minutos d) 6,63 minutos e) 10,0 minutos 03. (ITA SP) Seja á um número real, com 0 < α < 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais  1  que α2x ⋅   <1 :  α a) ]-∞, 0] ∪ [2, ∞[ b) ]-∞, 0[ ∪ ]2, ∞[ c) ]0, 2[ d) ]-∞, 0[ e) ]2, ∞[

06. (FGV-SP) Considere a seguinte tabela, em que ln (x) representa o logaritmo natural de x:

In(x)

0,69

1,10

1,39

1,61

O valor de x que satisfaz a equação 6x = 10 é aproximadamente igual a: a) 1,26 b) 1,28 c) 1,30 d) 1,32 e) 1,34 07. (Integrado RJ) Um professor propôs aos seus alunos o seguinte exercício: “Dada a função f: IR*+ → IR, f(x) = log2 64x 3 , determine a imagem de x = 1024.”

04. (ESPM SP) Se ( 4 x= ) 16 ⋅ 2x , o valor de xx é: 2

a) 27 b) 4 c) 1/4 d) 1 e) -1/27 05. (Unicastelo SP) O pH de uma solução é determinado pelo oposto do logaritmo decimal da concentração dos íons H+ presentes na solução. Em linguagem matemática, pH = -log[H+]. Um aluno de Ensino Médio leu na internet que um refrigerante de pH = 3 não deveria ser ingerido porque é muito ácido e poderia causar problemas de acidez no estômago. Tal aluno sabia que no estômago há uma solução predominante de ácido clorídrico com pH = 1 e, dessa forma, concluiu que a informação da internet era: a) contestável, pois a concentração de H+ do estômago é 100 vezes maior que a do refrigerante. 352

b) contestável, pois a concentração de H+ do estômago é 1 000 vezes maior que a do refrigerante. c) razoável, pois a concentração de H+ do refrigerante é 1 000 vezes maior que a do estômago. d) razoável, pois a concentração de H+ do refrigerante é 3 vezes maior que a do estômago. e) contestável, pois a concentração de H+ do estômago é 3 vezes maior que a do refrigerante.

Qual não foi sua surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a imagem era: a) 30 b) 32 c) 33 d) 35 e) 36 08. (Uerj RJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função: f(x) = log5 3 5 x 4

Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a: a) 3 b) 4 c) 300 d) 400

Matemática e suas Tecnologias

09. (Unicamp SP) Considere as funções f(x) = 3x e g(x) = x3, definidas para todo número real x. O número de soluções da equação f(g(x)) = g(f(x)) é igual a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 10. (Uem PR) Em relação a equações e inequações exponenciais, assinale o que for correto. E-E-E-C-C 01. O conjunto solução da equação 3x

− 3x

02. O conjunto solução da equação 5 ⋅ 4

x+1

= 81 é S = {2, -4}.

= 40 é S = {2}.

04. O conjunto solução da inequação S = [ −1, + ∞) .

1   3

x +5

x2 −2x +3

≥ 9x−1

1 1 08. O conjunto solução da inequação   <  2 2 S =∈ {x IR |x ≠ 1}. 6 2 1 16. A inequação 5x +6x+3 <   não tem solução real. 5

é 2

11. (Udesc SC) O conjunto solução da inequação x 3 −4

( )

− 7 ⋅ 7x

2x −1

≥0

1  −   25 

x +2

≥0

O número de conjuntos de 3 elementos cada um, que podemos formar com os elementos obtidos em S é igual a: a) 10 b) 120 c) 64 d) 20 13. (FGV) Se m/n é a fração irredutível que é solução da equação exponencial 9x – 9x – 1 = 1 944, então, m – n é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

a) 28 b) 29 c) 40 d) 51 e) 52 16. (UniRV GO) Assinalar V se a afirmativa for verdadeira e F se for falsa. V-F-F-F a) Para 3x > 27, o conjunto verdade é {x∈ IR | x > 3}. b) Para

( 5)

x +2

< 1 , o conjunto verdade é {x∈ IR | x < –1}.

c) Sendo b > b2x + 1, então o conjunto verdade é {x∈ IR | x > 2}. d) Se os números pertencentes ao conjunto dos números inteiros x e y satisfazem a equação 2x + 3 – 5y + 3 = 3 ⋅ 5y – 2x+1, logo, yx = 3. 4x – 1

 log (a + b + c) = 0  2 log(a + 2b) = 1   a b  2 ⋅4 = 2 c  8

12. (Acafe SC) O conjunto S é formado pela solução da inequação dada a seguir, com x ∈ Z . x(x +5)

a 15. (Espcex) Fazendo x = ln 5 temos que y =ex − e− x = , a ∈ Z e b b ∈ Z* , a e b primos entre si. Logo a + b é igual a:

17. (Udesc SC) Sejam a, b e c valores que satisfazem simultaneamente as equações

é: a) [-2, -1] b) [0, 1] c) ]- ∞, -2] ∪ [ -1, 0] ∪ [1, ∞ [ d) [0, ∞[ e) [-2, -1] ∪ [0, 1]

1   5

a) ] -∞; 1] b) [1; ∞[ c) [ 0; 1] d) [-1; ∞[ e) [0; ∞[

Analise as proposições em relação a a, b e c. I. Um dos valores é um número primo. II. Todos os valores são números reais não negativos. III. Dois dos valores são números naturais. IV. Todos os valores são números racionais não inteiros. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. d) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. 18. (UFRGS) Se 10x = 20y, atribuindo 0,3 para log 2, então o valor de x/y é: a) 0,3 b) 0,5 c) 0,7 d) 1,0 e) 1,3 353

FRENTE C  Exercícios de Aprofundamento

1  x 7 

14. (Mackenzie SP) O conjunto solução, em R, da inequação 3 2 Mx −1 ≤ Mx −1 , com M real e M > 1, é:

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FRENTE

Instrumentos utilizados para obtenção da homoteia.

MATEMÁTICA Por falar nisso Homotetia significa ampliação, positiva ou negativa, de qualquer figura geométrica plana (triângulos, quadriláteros, hexágonos, circunferências etc.) ou espacial (prismas, pirâmides, cones, esferas etc.). A utilização do termo homotetia, derivado do grego homo (similar) e tetia (posição), deve-se ao matemático francês Michel Charles (1793-1880). Para definir homotetia, necessitaremos de um ponto fixo denominado centro de homotetia e de um número real denominado razão de homotetia. Na figura a seguir, há uma ilustração que nos dá a ideia do que vem a ser uma homotetia de centro O.

Note que a sequência de figuras que iremos obter a partir da homotetia tem o mesmo formato. Nessa situação, temos que: nn A medida de cada segmento que compõe a figura 2 é igual m vezes a medida do segmento OB correspondente na figura 1, assim temos que = m. OA nn A medida de cada segmento que compõe a figura 3 é igual n (n > m) vezes a medida do OC = n. segmento correspondente na figura 1, assim temos que OA As figuras 1, 2 e 3, obtidas nesse processo, possuem uma importante característica comum que é estudada principalmente em triângulos. Elas são todas semelhantes entre si. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

D13 D14 D15 D16

Semelhança de triângulos – parte I ��356 Semelhança de triângulos – parte II ��360 Relações métricas nos triângulos retângulos ��364 Teorema de Pitágoras......................................................................................................................368

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D13

ASSUNTOS ABORDADOS nn Teorema de Tales e teorema das

TEOREMA DE TALES E TEOREMA DAS BISSETRIZES

bissetrizes

nn Teorema de Tales nn Teorema da bissetriz interna

Fonte: Chris Herzog / Shutterstock.com

nn Teorema da bissetriz externa

Alguns fenômenos luminosos podem ser estudados sem a necessidade de se conhecer previamente a natureza da luz. Para isso, bastam a noção de raio de luz, alguns princípios fundamentais e considerações de geometria. O estudo desses fenômenos constitui a Óptica Geométrica. Entre os fenômenos estudados na Óptica Geométrica, está a formação de sombra como consequência da propagação retilínea da luz. Assim, podemos, por exemplo, obter a altura de um edifício a partir da comparação entre os comprimentos de sua sombra e a sombra de uma pequena haste vertical. Existe uma relação de proporcionalidade entre esses elementos que foi percebida pelo matemático grego Tales de Mileto ao determinar a altura de uma pirâmide a partir do comprimento das sombras da própria pirâmide e de uma vareta colocada em um local próximo. Nesta aula, vamos abordar relações de proporcionalidade por meio de um dos teoremas mais importantes da geometria, o teorema de Tales.

Teorema de Tales Um feixe de três ou mais retas paralelas interceptadas por retas transversais formam segmentos de retas correspondentes e proporcionais. Observe a figura a seguir: a A B

356

b D E

Matemática e suas Tecnologias

A partir dessa figura, podemos estabelecer várias proporções.

AB BC

EF DF

Teorema da bissetriz externa A bissetriz externa de um triângulo divide o lado oposto externamente, em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC e uma bissetriz externa AS .

Teorema da bissetriz interna

A bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC e uma bissetriz interna AS . C

Daí, por meio do teorema de Tales, podemos obter a seguinte relação: B

Daí, por meio do teorema de Tales, podemos obter a seguinte relação: AB BS

AB BS

AC CS

EXEMPLOS 01. Na figura a seguir, as retas r, s e t são paralelas. a

RESOLUÇÃO

b r

2x – 3

5 s

Pelo Teorema de Tales, temos:

3x − 1 x + 3 = ⇒ 27x − 9= 12x + 36∴ x= 3 12 9

x+2

Calcule o valor de x, sabendo que as medidas estão em metros.

A medida do lado AB é: 3 ⋅ 3 + 12 = 21. Portanto, a medida do lado AB é 21 cm. 03. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC com medidas indicadas em centímetros.

RESOLUÇÃO

Pelo Teorema de Tales, temos: 6

Portanto, o valor de x é 4 m.

02. Na figura a seguir, DE é paralelo a BC .

D 12

Calcule o valor de x, sabendo que AS é uma bissetriz interna do ânˆ gulo BAC.

A 3x – 1

x+3

RESOLUÇÃO

E 9

Pelo Teorema da bissetriz interna, temos: C

Calcule a medida de AB , sabendo que as medidas estão em centímetros.

6 8 = ⇒ 6x = 24 ⇒ x = 4 3 x Portanto, o valor de x é 4 cm.

357

D13  Teorema de Tales e teorema das bissetrizes

2x − 3 5 = ⇒ 12x − 18 = 5x + 10 ⇒ x = 4 x +2 6

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de x, nos casos a seguir, sabendo que as retas r, s e t são paralelas. a) 10 b) 24 c) 6

b) r r

6 r

x s

b) r

x s 6

s 16

x t

ˆ 04. Na figura a seguir, temos que AS é bissetriz do ângulo BAC, AC = 12 cm, BS = 27 cm e CS = 18 cm. A

r x

x+6

s x+3

Calcule a medida do lado AB . 18 cm 02. Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos consecutivos que medem 10 cm, 12 cm, 18 cm. Calcule os comprimentos dos segmentos determinados pelo mesmo feixe em outra transversal, sabendo que o segmento dessa transversal, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, é 60 cm. 15 cm, 18 cm e 24 cm

05. No triângulo ABC da figura a seguir, temos que AS é a bissetriz ˆ AB = 20m, AC = 12m e BC = 8m. externa do ângulo BAC, A

03. Determine o valor de x, nos casos a seguir, sabendo que as retas r, s e t são paralelas. a) 6 b) 10/3

Calcule a medida de CS . 12 cm

D13  Teorema de Tales e teorema das bissetrizes

Exercícios Complementares 01. (Unicamp SP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD' . A

B’ B’ D’

Determine, em cm, os comprimentos dos segmentos AB' , B'C' e C'D' . 2,6 cm, 3,9 cm e 6,5 cm 02. (UFSM) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia

358

elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações.

Matemática e suas Tecnologias

Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede: a) 33 m b) 38 m c) 43 m d) 48 m e) 53 m 03. (Unirio RJ) No desenho anterior apresentado a seguir, as frentes para a rua A dos quarteirões I e II medem, respectivamente, 250 m e 200 m, e a frente do quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do que a frente do quarteirão II para a mesma rua.

Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é: a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240

A diferença x – y é a) 2 b) 4 c) 6 d) 10 e) 12 07. (FURG RS) Definimos a escala H para medida de temperatura por uma função do primeiro grau da escala Celsius junto com a condição de que 36 graus Celsius e 40 graus Celsius correspondem, respectivamente, a 0 grau H e 10 graus H. Nesse caso, as temperaturas de 34 graus Celsius e 37 graus Celsius correspondem, respectivamente, a a) 2 graus H e 5 graus H. b) -5 graus H e 2.0 graus H. c) -5,5 graus H e 2 graus H. d) -5 graus H e 2.5 graus H. e) 2,5 graus H e 5 graus H. 08. (UFRN) A figura abaixo é a representação de seis ruas de uma cidade. As ruas R1, R2 e R3 são paralelas entre si.

04. No triângulo ABC da figura a seguir, temos que AS e AD são, respectivamente, bissetriz interna e a bissetriz externado ânguˆ AB = 20 m, BC = 15 m e AC = 10 m. lo BAC, A

05. No triângulo ABC da figura a seguir, temos que AS e AD são, respectivamente, bissetriz interna e bissetriz externado ângulo ˆ BS = 4 cm e SC = 3 cm. BAC, A

Calcule a medida de CD . 21 cm 06. (UFRRJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura a seguir. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas.

Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir para a rua R2 até a posição B. Se a escala de representação for de 1:50.000, a distância, em metros, que Paulo vai percorrer será de, aproximadamente, a) 1 333. c) 945. b) 750. d) 3 000. 09. (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN. 11/30 359

D13  Teorema de Tales e teorema das bissetrizes

Calcule a medida do segmento SD . 20 m

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D14

ASSUNTOS ABORDADOS nn Semelhança de triângulos – parte I nn Figuras semelhantes nn Semelhança de triângulos

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS – PARTE I O Palácio do Planalto é a sede do poder executivo do Governo Federal do Brasil. Nele se encontram: o Gabinete Presidencial, a Casa Civil, a Secretaria Geral e o Gabinete de Segurança Institucional da Presidência da República. O edifício está localizado na Praça dos Três Poderes, em Brasília. A construção do Palácio começou em 10 de julho de 1958, obedecendo ao projeto arquitetônico de Oscar Niemeyer e ao cálculo estrutural de Joaquim Cardoso. Essa grandiosa obra foi concluída a tempo de tornar o Palácio o centro das festividades da inauguração de Brasília, em 21 de abril de 1960.

Fonte: Shutterstock.com/ R.M. Nunes

Sua fachada é composta por dois elementos marcantes: a rampa, que dá acesso ao salão nobre, inspirada por Niemeyer na escadaria do Palácio do Catete e nos castelos medievais, e o parlatório, espaço idealizado para que os chefes de Estado, autoridades ou celebridades convidadas pelo Presidente se dirijam ao público da Praça dos Três Poderes. Assim, considere uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, que tem 4 m de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 m sobre a rampa está a 1,5 m de altura em relação ao solo. Portanto, quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto dessa rampa? Para se determinar essa altura, temos que utilizar um dos conceitos mais importantes da Geometria Plana envolvendo a proporcionalidade existente entre as medidas citadas. Nesta aula, abordaremos as proporcionalidades por meio de um conceito denominado semelhança de triângulos.

Figura 01 - Palácio do Planalto e sua grande rampa, localizado em Brasília, DF.

360

Matemática e suas Tecnologias

Figuras semelhantes Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma e medidas correspondentes proporcionais, ou seja, quando uma figura é uma ampliação ou redução de outra. Se não houver deformação alguma nessa ampliação ou redução, então existe uma proporção fixa entre os elementos lineares correspondentes. Observe a figura a seguir:

tâncias entre São Paulo e Rio de Janeiro nas figuras 01 e 02 (nessa ordem). Simbolicamente, temos que:

a c = = constante b d

Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuírem três ângulos congruentes e lados homólogos (opostos a ângulos congruentes) proporcionais. Observe a figura a seguir:

Nos triângulos ABC e DEF, temos que: Note que os mapas do Brasil estão em escalas diferentes, ou seja, o mapa da figura 02 é uma ampliação do mapa da figura 01. Assim, vamos supor que: nn Ao medir com a régua a distância entre as figuras 01 e 02, encontramos a e b, respectivamente. nn Ao

medir com a régua a distância entre São Paulo e Rio de Janeiro nas figuras 01 e 02, encontramos c e d, respectivamente.

Nessas condições, temos que: A razão entre as distâncias entre Goiânia e Brasília nas figuras 01 e 02 (nessa ordem) é igual à razão entre as dis-

ˆ Bˆ ≡ Eˆ e Cˆ ≡ Fˆ Aˆ ≡ D,  ∆ABC ~ ∆DEF ⇔ BC AC AB = = = k  EF DF DE A razão k entre os lados homólogos é chamada de razão ou constante de semelhança. Observação nn É possível verificar a semelhança nos triângulos de uma

forma mais simples, ou seja, para que dois triângulos sejam semelhantes basta que possuam dois ângulos correspondentes congruentes.

EXEMPLOS

RESOLUÇÃO Considerando que os raios solares são paralelos, temos que os triângulos ABC e DEF possuem três ângulos congruentes entre si, logo são semelhantes. Observe a figura a seguir:

Estabelecendo a proporção entre os lados homólogos, temos que: H 10 = ⇒ H= 75 6 0,8

Portanto, a altura desse prédio é 75 m. 02. Na figura a seguir, temos que AB é paralelo a DE , AB = 20 cm, D14  Semelhança de triângulos – parte I

01. Uma pessoa observa que um alto edifício projeta uma sombra de 10 m de comprimento no mesmo instante em que um poste de 6 m projeta uma sombra de 80 cm. Nessas condições, determine a altura do edifício.

DE = 10 cm, CD = 14 cm e CE = 12 cm.

Calcule a medida de AC .

361

Matemática

RESOLUÇÃO Os lados AB e DE são paralelos, assim temos que: ˆ e CDE ˆ são alternos internos, logo são congruentes. nn Os ângulos CBA ˆ e CED ˆ são alternos internos, logo são congruentes. nn Os ângulos CAB ˆ e DCE ˆ são opostos pelo vértice, logo são connn Os ângulos ACB gruentes.

Logo, os triângulos ABC e CDE são semelhantes. Estabelecendo a proporção entre os lados homólogos, temos que: AC 20 = ⇒ AC = 24 12 10

Portanto, a medida de AC é 24 cm.

Calcule a medida do segmento AD , sabendo-se que AB = 3 m e AE = 2,4 m.

RESOLUÇÃO Como BE e CD são paralelos, assim, temos que: ˆ e ACD ˆ são correspondentes, logo são congruentes. nn Os ângulos ABE ˆ e ADC ˆ são correspondentes, logo são congruentes. nn Os ângulos AEB ˆ é um ângulo comum aos triângulos ABE e ACD. nn O ângulo DAC

Logo, os triângulos ABE e ACD são semelhantes. Estabelecendo a proporção entre os lados homólogos, temos que:

03. Um cabo de aço AC de 7 m de comprimento foi utilizado para sustentar um muro, e uma barra de aço EB , paralela ao chão, foi fixada nesse cabo, perpendicularmente ao muro, como mostra a figura a seguir.

3 2,4 = ⇒ AD = 5,6 7 AD

Portanto, a medida de AD é 5,6 m.

Exercícios de Fixação 01. Na figura a seguir, temos os triângulos ABC e DEF.

03. Considere dois triângulos semelhantes ABC e DEF. Os lados do triângulo ABC medem 12 cm, 15 cm e 18 cm. Determine as medidas dos lados do triângulo DEF sabendo que: a) A razão de semelhança do triângulo ABC para o triângulo DEF é 3/4. b) O maior lado do triângulo DEF mede 24 cm. Os lados medem 24, 20 e 16 cm.

04. Na figura a seguir, temos que DE é paralelo a BC , AD = 10 cm, BD = 25 cm, CE = 12 cm e BC = 30 cm.

D14  Semelhança de triângulos – parte I

Calcule os valores de x e y. x = 24 cm e y = 4,5 cm. ˆ ≡ AED ˆ , BC = 4 cm, 02. Na figura a seguir, temos que ACB AB = 8 cm, DE = 12 cm e AE = 18 cm.

Calcule as medidas de AE e DE .

Calcule as medidas de AC e AD . AC = 6 e AD = 24

362

8 e 12, respectivamente.

05. (Unirio) Consideremos um ponto de luz no chão a 12 m de um edifício. Numa posição entre a luz e o edifício, encontra-se um homem de 2 m de altura, cuja sombra projetada no edifício, pela mesma luz, mede 8 m. Diante do exposto, calcule a distância entre o homem e o edifício. 9 m.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Fuvest SP) Na figura adiante, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 a 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D.

Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento CD , para que CÊA = DÊB? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 02. (Insper RJ) Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z.

Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, o perímetro do quadrilátero BCED, em cm, é: a) 32,6 b) 36,4 c) 40,8 d) 42,6 e) 44,4 04. (Unesp SP) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra. 4,08 m 05. (Mackenzie SP) Observe a figura a seguir:

área do quadrado assinalado na figura é igual a: a) 15 c) 12 e) 16 b) 20 d) 18

O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é: a) 250 b) 240 c) 225 d) 200 e) 180 03. (Puc Campinas SP) Os triângulos ABC e AED, representados ˆ é na figura a seguir, são semelhantes, sendo o ângulo ADE ˆ . congruente ao ângulo ACB

Se AD = 6 dm, AC = 11 dm e EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB , em dm, são: a) 4,5 e 6,5. d) 7 e 4. b) 7,5 e 3,5. e) 9 e 2. c) 8 e 3.

363

D14  Semelhança de triângulos – parte I

06. (Unesp SP) Na figura a seguir, B é um ponto de AC e os ˆ DBE ˆ e BCE ˆ são retos. ângulos DAB,

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D15

ASSUNTOS ABORDADOS nn Semelhança de triângulos – parte II nn Propriedades nn Relação entre as áreas de triângulos semelhantes

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS – PARTE II Segundo a Organização das Nações Unidas (ONU), a construção civil é uma das grandes responsáveis pela emissão de carbono e gases que agravam o efeito estufa. Adaptar-se ao contexto de desenvolvimento sustentável é imprescindível para o sucesso futuro desse importante setor. O conceito de construção sustentável está ligado a uma série de metodologias e produtos utilizados antes, durante e após as construções, para que o empreendimento não agrida o meio ambiente, proporcione um uso racional dos recursos naturais e promova melhora na qualidade de vida das pessoas.

Fonte: Microgen / Shutterstock.com

Logicamente, a otimização dos processos de construção contribui de forma significativa nesse conceito de construção sustentável. Por exemplo, nos canteiros de obras de construção civil espalhados pelo mundo é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra vai se desenvolver.

Figura 01 - Engenheiros analisando os projetos a serem executados.

364

Assim, suponha que em um desses canteiros foram feitas seis marcações no chão plano de tal forma que três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo. Na figura a seguir, essas marcações estão representadas pelas letras A, B, C, M, N e P.

Matemática e suas Tecnologias

polígonos são semelhantes se, e somente se, possuírem ângulos congruentes e lados homólogos proporcionais.

Relação entre as áreas de triângulos semelhantes Na figura a seguir, os triângulos ABC e DEF são semelhantes. Sabendo que a região demarcada pelos pontos A, B, M e N deveria ser calçada com concreto, a área a ser calçada corresponde a quantos por cento da área do triângulo ABC? Para se determinar essa porcentagem, temos que utilizar a relação existente entre as áreas de figuras que possuem lados ordenadamente proporcionais. Nesta aula, abordaremos essas e outras relações envolvendo triângulos semelhantes. Assim, temos que:

Propriedades

b1 h1 = = k b2 h2

Na figura a seguir, temos os triângulos semelhantes ABC e DEF cuja razão de semelhança é igual a k.

Fazendo a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF, nessa ordem, temos que: b1 ⋅ h1 A ABC b ⋅h = 2 = 1 1 = k ⋅ k = k2 ADEF b2 ⋅ h2 b2 ⋅ h2 2

Nessa situação, temos as seguintes propriedades: nn Se

a razão de semelhança de dois triângulos é k = 1, então esses triângulos são congruentes.

nn Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então

a razão entre dois elementos lineares (lados, bases, alturas, medianas, bissetrizes, perímetros etc.) homólogos também é k. nn Podemos estender o conceito de semelhança de triângu-

los para demais polígonos. Assim, de maneira geral, dois

Portanto, se a razão de semelhança entre eles é igual a k, então a razão entre suas áreas é igual a k2. Observação: nn De

maneira geral, se dois polígonos são semelhantes e a razão de semelhança entre eles é igual a k, então a razão entre suas áreas é igual a k2.

EXEMPLOS 01. Na figura a seguir, temos dois triângulos ABC e EFG semelhantes, AB = 4 cm, BC = 7 cm e CA = 5 cm.

A razão entre os lados homógolos de EFG e ABC é igual à razão entre seus perímetros. Assim, temos que:

D15  Semelhança de triângulos – parte II

EF EG FG 48 = = = = 3 4 5 7 16 EF =3 ⇒ EF =12 4

Calcule as medidas dos lados do triângulo EFG sabendo que seu perímetro é o triplo do perímetro do triângulo ABC. RESOLUÇÃO O perímetro do triângulo ABC é 4 + 5 + 7 = 16 cm, logo o perímetro do triângulo EFG é 48 cm.

EG =3 ⇒ EG =15 5 FG =3 ⇒ FG =21 7 Portanto, EF = 12 cm, EG = 15 cm e FG = 21 cm.

365

Matemática

02. Na figura a seguir, temos dois triângulos ABC e EFG semelhantes, AB = 4 cm, BC = 7 cm e CA = 5 cm.

A2 = k2 = 4 ⇒ k = 2 A1

Assim, podemos estabelecer a seguinte proporção entre os elementos homólogos. EF EG FG = = = 2 4 5 7 EF =2 ⇒ EF =8 4 Calcule as medidas dos lados do triângulo EFG sabendo que sua área é o quádruplo da área do triângulo ABC.

EG =2 ⇒ EG =10 5

RESOLUÇÃO Se a razão entre os lados homógolos de dois triângulos semelhantes é k, a razão entre suas áreas é k2. Sendo A1 a área do triângulo ABC e A2 a área do triângulo EFG, temos que:

FG =2 ⇒ FG =14 7 Portanto, EF = 8 cm, EG = 10 cm e FG = 14 cm.

Exercícios de Fixação 01. Na figura a seguir, DEFG é um quadrado inscrito no triângulo ABC. BC mede 10 cm e a altura relativa ao lado BC mede 15 cm.

Calcule o perímetro do quadrado.

Os lados medem 24, 16,5 e 13,5 cm.

04. (FGV SP) No triângulo retângulo abaixo, os catetos AB e AC medem, respectivamente, 2 e 3.

24cm.

02. Na figura a seguir, as bases do trapézio ABCD medem 24 m e 54 m e a altura mede 15 m. Prolongando-se os lados AD e BC , eles se interceptam num ponto P.

D15  Semelhança de triângulos – parte II

Calcule as medidas dos lados do triângulo DEF, semelhante ao triângulo ABC, cujo perímetro mede 54 cm.

A área do quadrado ARST é que porcentagem da área do triângulo ABC? a) 42% b) 44% c) 46% d) 48% e) 50% 05. Na figura a seguir, temos dois triângulos semelhantes tais que as medidas dos lados homógolos AC e DF são, respectivamente, 20 cm e 30 cm.

Calcule a distância do ponto P à base maior do trapézio, em metros. 27 cm. 03. No triângulo ABC da figura a seguir, temos que AB = 9 cm, AC = 16 cm e BC = 11 cm.

Calcule a área do triângulo DEF, sabendo que a área do triângulo ABC é 120 cm2. 270 cm2

366

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Puc RJ) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo:

Assumindo DE = GF = 12, EF = DG = 8 e AB = 15, a altura do triângulo ABC é: a) 35/4 d) 180/7 b) 150/7 e) 28/5 c) 90/7

04. (FMP) Os lados de um triângulo medem 13 cm, 14 cm e 15 cm, e sua área mede 84 cm2. Considere um segundo triângulo, semelhante ao primeiro, cuja área mede 336 cm2. A medida do perímetro do segundo triângulo, em centímetros, é: a) 42 b) 84 c) 126 d) 168 e) 336 05. (UFMG) Na figura a seguir, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e AN medem, respectivamente, m e n.

02. (Uel PR) Na figura a seguir, temos que: os ângulos ABC e EDC são congruentes, DE = 2,5 cm, AB = 6 cm, BC = 9 cm e AC = 12 cm. Então, o lado do quadrado mede: m⋅n a) m+n m2 + n2 8 m+n c) 4

03. (Unirio RJ) Observe os dois triângulos anteriormente representados, onde os ângulos assinalados são congruentes.

O perímetro do menor triângulo é: a) 3 b) 15/4 c) 5 d) 15/2 e) 15

m⋅n 2

06. (Insper SP) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB = b e AD = h, que foi dividido em três regiões de áreas iguais pelos segmentos EF e GH.

   As retas EF,BD e GH são paralelas. Dessa forma, sendo x AE = x e AF = y, a razão é igual a: b

2 2 3

3 2

2 2

6 4

6 3

367

D15  Semelhança de triângulos – parte II

O perímetro do triângulo EDC é, em cm: a) 11,25 d) 12,25 b) 11,50 e) 12,50 c) 11,75

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D16

ASSUNTOS ABORDADOS nn Relações métricas nos triângulos

retângulos

nn Relações métricas nos triângulos retângulos

RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

#TÁ NA MÍDIA

Fonte: Por sharptoyou / Shutterstock.com

Situado no centro da capital argentina, o Obelisco é um dos cartões-postais da cidade. Esse enorme pilar de pedra, cercado por luzes e telões elétricos, é, muitas vezes, comparado à famosa Times Square, em Nova York. A coluna em si lembra o Monumento a Washington.

Ela foi construída em 1936 para comemorar os quatrocentos anos de fundação da cidade. No total, o Obelisco tem cerca de 67,5 metros de altura. Durante o ano, ele quase sempre é decorado para celebrar as festas e eventos da cidade. Erguendo-se sobre os edifícios ao seu redor, essa enorme estrutura pode ser observada de várias partes do centro da cidade. É possível descobrir os eventos que estão acontecendo na cidade a partir das decorações temporárias desse marco da capital. Por exemplo, em 2005, o Obelisco foi coberto com um enorme preservativo para comemorar o Dia Mundial da Luta Contra a AIDS. Ele também é regularmente modificado para celebrar aniversários históricos e outros eventos. Fonte: https://www.expedia.com.br/ Obelisco-Buenos-Aires.d6060857.Guia-de-Viagem. Acesso: Abril de 2017

Suponha que um arquiteto vá construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir:

Sabendo que o ponto O é o centro dessa circunferência de raio 2 m e que os ângulos ˆ e BHA ˆ são iguais a 90°, qual a medida do segmento BH? ABC 368

Matemática e suas Tecnologias

Para se determinar essa medida, temos que utilizar as relações métricas existentes entre os segmentos do triângulo ABC, chamadas de relações métricas nos triângulos retângulos. Nesta aula, iremos abordar tais relações.

Relações métricas nos triângulos retângulos Na figura a seguir, temos um triângulo ABC, retângulo em A.

Tais relações podem ser demonstradas por: ∆ACH ∼ ∆ABC ⇒

∆ABH ∼ ∆ABC ⇒

CH b m = ⇒ = ⇒ b2 =a ⋅ m a b BC AC AB BC

c n ⇒ = ⇒ c2 =a ⋅ n AB a c

2ª relação: O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto da medida das projeções dos catetos sobre a hipotenusa, ou seja: h2 = m ⋅ n

Para esse triângulo podemos destacar os seguintes elementos:

Tal relação pode ser demonstrada por: AH

h m ⇒ = ⇒ h2 = m ⋅ n AH n h

BC é a sua hipotenusa.

AC é um dos seus catetos.

AB é um dos seus catetos.

3ª relação:

AH é a altura relativa a sua hipotenusa.

CH é a projeção do cateto AC sobre a sua hipotenusa.

BH é a projeção do cateto AB sobre a sua hipotenusa.

O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa a ela é igual ao produto das medidas dos catetos, ou seja:

Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-o em dois triângulos semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre si. Observe a figura a seguir:

∆ABH ∼ ∆ACH ⇒

a⋅h=b⋅c Tal relação pode ser demonstrada por: ∆ABH ∼ ∆ABC ⇒

AH AB

AC BC

h b ⇒ = ⇒ a⋅h = b ⋅ c c a

4ª relação: (Teorema de Pitágoras) O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos, ou seja: a2 = b2 + c2

D16  Relações métricas nos triângulos retângulos

Note que a altura AH relativa à hipotenusa BC divide o triângulo ABC nos triângulos ABH e ACH , os quais são semelhantes ao triângulo ABC e entre si. Assim, a partir das proporções entre seus lados homólogos, podemos obter as seguintes relações métricas: 1ª relação: O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa. Assim, temos que: b2 = a ⋅ m c2 = a ⋅ n

369

Matemática

EXEMPLOS 01. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC retângulo em A.

Sendo y, a medida da altura relativa à hipotenusa, utilizando a 3ª relação métrica (a ⋅ h = b ⋅ c), temos: 50 ⋅ y = 30 ⋅ 40 ⇒ y = 24 Portanto, a medida da altura relativa à hipotenusa é 24 cm. 03. Calcule as medidas dos catetos de um triângulo retângulo, sabendo que as medidas de suas projeções na hipotenusa são iguais a 9 cm e 16 cm.

RESOLUÇÃO Sendo AH a altura relativa à hipotenusa BC , calcule os valores de x, y, z e t. RESOLUÇÃO Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:

Sendo x a medida da altura relativa à hipotenusa, utilizando a 2ª relação (h2 = m ⋅ n), temos que: x2 = 9 ⋅ 16 ⇒ x2 = 144 x = 12

x2 = 52 + 122 ⇒ x = 13 Utilizando as relações métricas no triângulo retângulo ABC, temos:

Observe a figura a seguir:

5 = 13 ⋅ y ⇒ y = 25/13 2

122 = 13 ⋅ z ⇒ z = 144/13 13 ⋅ t = 5 ⋅ 12 ⇒ t = 60/13 Portanto, os valores são x = 13, y = 25/13, z = 25/13 e t = 60/13. 02. Calcule a medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 30 cm e 40 cm. RESOLUÇÃO

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos: b2 = 122 + 92 = 144 + 81 ⇒ b2 = 225 ⇒ b = 15 c2 = 122 + 162 = 144 + 256 ⇒ c2 = 400 ⇒ c = 20 Portanto, as medidas dos catetos são 15 cm e 20 cm.

Sendo x a medida da hipotenusa, temos que: x2 = 302 + 402 ⇒ x2 = 900 + 1 600 = 2 500 x = 50

Exercícios de Fixação

D16  Relações métricas nos triângulos retângulos

01. Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 15 cm e 20 cm, determine:

03. O triângulo RST da figura a seguir é retângulo em S e os catetos RS e ST medem, respectivamente, 3 cm e 4 cm.

a) A medida da sua hipotenusa. 25 cm b) A medida da altura relativa à sua hipotenusa. 12 cm c) As medidas das projeções dos catetos sobre a sua hipotenusa. 9 cm e 16 cm 02. Calcule o valor de x em cada uma das figuras a seguir. a) 16

b) 6

c) 2

d) 3 5

Nessas condições, calcule, em cm, a medida da hipotenusa RT e da altura SH . RT = 5 cm e SH = 12 / 5 cm 04. No retângulo ABCD da figura a seguir, os lados CD e BC medem, respectivamente, 8 m e 15 m.

Calcule a medida de BE . 64/17 cm 370

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares

02. (Ufop MG) Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa e a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa são, respectivamente, 4 e 2 2 . O produto dos catetos é: a) 24 2 b) 12 2 c) 12 d) 6 3 e) 10 03. (IF CE) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, mede 12 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros, iguais a: a) 10, 15 e 20 d) 16, 21 e 26 b) 12, 17 e 22 e) 18, 23 e 28 c) 15, 20 e 25 04. Em um triângulo ABC, retângulo em A, a altura relativa à hipotenusa mede 1,2 cm e a hipotenusa mede 2,5 cm. Sendo m e n, respectivamente, as projeções do maior e do menor cateto sobre a hipotenusa, calcule m/n. 16/9 05. Observe o esquema a seguir, que representa certo trecho do Oceano Atlântico na costa brasileira. Um navio de pesquisas, situado inicialmente no ponto B, deve seguir rumo ao ponto C, em linha reta. Sabe-se que a distância BC é igual a 10 km. No ponto A, encontra-se uma ilha e o navio deve parar, na sua trajetória, em um ponto o mais próximo possível dessa ilha, para que uma equipe de biólogos siga em um barco auxiliar a fim de coletar algumas espécies de plantas nativas para análise. Considere que a região limitada ˆ = 90°. por AB , AC e BC seja plana e que o ângulo BAC

Se a distância do navio à ilha, ao iniciar sua trajetória em B, era de 8 km, podemos afirmar que, nesse percurso, a menor distância do navio à ilha será igual a: a) 5,2 km b) 5,0 km c) 4,8 km d) 3,6 km 06. (Mackenzie SP) Num triângulo, retângulo, um cateto é o dobro do outro. Então a razão entre o maior e o menor dos segmentos determinados pela altura sobre a hipotenusa é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 3/2 e) 5 07. (FGV SP) Um triângulo ABC isósceles tem os lados AB e AC congruentes. As medidas da projeção ortogonal do lado AC sobre a base BC , da altura relativa à base e a do lado AC formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se o perímetro do triângulo ABC for 32, a medida do lado AC será igual a: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 12 08. Na figura a seguir temos uma circunferência de centro O, AC = 6 cm e AH = 4 cm.

D16  Relações métricas nos triângulos retângulos

01. (UFMA) Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 4 cm e 1 cm respectivamente. A área desse triângulo mede, em cm2: a) 2 b) 5 2 c) 4 d) 5 e) 10

Calcule o diâmetro dessa circunferência. 9 cm

371

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (CPS) Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura.

Considere que: nn os pontos A, B, C e D estão alinhados; nn os pontos H, G, F e E estão alinhados; nn os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, paralelos

entre si; nn AB = 500 m, BC = 600 m, CD = 700 m e HE = 1980 m.

Nessas condições, a medida do segmento GF é, em metros: a) 665 b) 660 c) 655 d) 650 e) 645 02. (FGV SP) Na figura a seguir, ABC é um triângulo com AC = 20 cm, AB = 15 cm e BC = 14 cm.

03. (Vunesp SP) Na figura adiante, o triângulo ABD é reto em B̂ e AC é a bissetriz de BÂD.

Se AB= 2 ⋅ BC, fazendo BC = b e CD = d, então: a) d = b 5 b) d = b 2 5 c) d = b 3 6 d) d = b 5 5 e) d = b 4 04. (CPS) As ruas Amor, Bondade e Caridade são paralelas e as avenidas Paz e Felicidade são transversais a essas ruas. Av. Felicidade

ciente a) 0,30 b) 0,35 c) 0,40 d) 0,45 e) 0,50 372

QR é igual a: AR

R. Amor 120 m

80 m 200 m

R. Bomdade

120 m C

Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quo-

Av. Paz

360 m

R. caridade

Arthur mora na esquina da Rua Amor com a Avenida Paz indicada na figura pelo ponto A. a) Para ir à videolocadora situada na esquina da Rua Caridade com a Avenida Paz, indicada pelo ponto B, quantos metros, no mínimo, Arthur percorre? 300 m b) Arthur faz uma caminhada de 200 metros em 3 minutos. Para ir à sua escola, situada na esquina da Rua Caridade com a Avenida Felicidade, indicada pelo ponto C, ele anda pela Avenida Paz e vira na Rua Caridade. Quanto tempo Arthur demora a chegar à escola? 9 minutos e 54 segundos 05. (UFGO) Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular de 28 cm de diâmetro, conforme figura a seguir.

Matemática e suas Tecnologias

maior do primeiro retângulo está para o lado maior do segundo retângulo assim como o lado menor do primeiro retângulo está para o lado menor do segundo retângulo. Veja a figura abaixo.

Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do centro da esfera até a parede, em cm, é: a) 35 b) 32 c) 28 d) 25 e) 23 06. (FGV SP) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA.

Assim, podemos afirmar que a razão da medida da base do Parthenon pela medida da sua altura é uma raiz do polinômio: a) x2 + x + 1 b) x2 + x – 1 c) x2 – x – 1 d) x2 – x + 1 09. (FGV SP) Um triângulo tem lados medindo 1 cm, 2 cm e 2,5 cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado. O valor de h2 expresso em cm2 é, aproximadamente, igual a:

O comprimento de PC é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

a) 0,54 b) 0,56 c) 0,58 d) 0,60 e) 0,62 10. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC retângulo em A tal que: AB = c, AC = b e AH = h.

07. (Mackenzie SP) Na figura a seguir, pelo ponto O, foram traçadas retas paralelas aos lados do triângulo ABC, obtendo-se os triângulos assinalados com áreas 1, 4 e 9.

Mostre que

1 1 1 + =. b2 c2 h2

Demonstração

FRENTE D  Exercícios de Aprofundamento

11. (UFPE) Na ilustração a seguir, as retas a, b e c são paralelas. Então á área do triângulo ABC é: a) 25 b) 36 c) 49 d) 64 e) 81 08. (UFRN) Phidias, um arquiteto grego que viveu no século quinto a.C., construiu o Parthenon com medidas que obedeceram à proporção áurea, o que significa dizer que EE’H’H é um quadrado e que os retângulos EFGH e E’FGH’ são semelhantes, ou seja, o lado

Assinale o inteiro mais próximo de x + y. 26 373

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Selo impresso na Alemanha de Johann Carl Friedrich Gauss em comemoração ao seu 200º aniversário de nascimento.

MATEMÁTICA Por falar nisso Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nasceu na cidade de Braunschweig, Alemanha, no dia 30 de abril. Foi matemático, astrônomo e físico com várias contribuições nessas áreas, tais como: Teoria dos números, Estatística, Análise Matemática, Geometria Diferencial, Eletrostática, Astronomia, Óptica, dentre outras. Alguns se referem a ele como “o príncipe da matemática” por ser um dos mais influentes matemáticos da história. Para Gauss, a Matemática era considerada a rainha das ciências. Atribuem-se a Gauss, alguns feitos matemáticos ocorridos mesmo em sua infância. Durante uma aula de aritmética do terceiro ano primário de uma escola do interior da Alemanha, um professor pediu aos seus alunos que calculassem o valor da soma: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 Imediatamente após o problema ter sido proposto, um aluno chamado Johann Carl Friedrich Gauss escreveu em sua pequena lousa o número 5 050 deixando o seu professor muito impressionado. Observe a justificativa usada por Gauss para resolver tal questão com tanta rapidez. Escrevendo novamente a soma S, temos que: S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

A soma de 1 com 100, de 2 com 99, de 3 com 98, de 4 com 97, e assim por diante, é sempre o mesmo número 101, ou seja: (1 + 100) = (2 + 99) = (3 + 98) = ... = 101 Como na soma desejada este número aparece 50 vezes, temos que: S = 101 ⋅ 50 = 5050. Intuitivamente, Gauss utilizou a ideia de que a soma de dois termos equidistantes dos termos extremos é constante e igual à soma dos termos extremos que é uma das propriedades de uma sequência numérica chamada progressão aritmética. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

E13 E14 E15 E16

Sequências numéricas...................................................................376 Progressões aritméticas – termo geral..........................................379 Progressões aritméticas – propriedades.......................................382 Progressões aritméticas – soma dos n primeiros termos.............385

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E13

ASSUNTOS ABORDADOS nn Sequências numéricas nn Definição nn Lei de formação de uma sequência

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS Leonardo de Pisa (1170-1240), também conhecido como Fibonacci, nasceu na cidade italiana de Pisa. Seu pai era um importante comerciante que tinha negócios no norte da África. Por sempre acompanhar seu pai em suas viagens pelo Egito, Síria e Grécia, Leonardo entrou em contato com os métodos matemáticos orientais, árabes e com os numerais indo-arábicos. Ao retornar à Itália, ele publicou sua obra mais famosa intitulada Liber abaci, um tratado sobre os métodos e problemas algébricos com a utilização dos numerais indo-arábicos. Atribui-se a Fibonacci o seguinte problema: Em um pátio fechado, coloca-se um casal de coelhos. Supondo que em cada mês, a partir do segundo mês de vida, cada casal dá origem a um novo casal de coelhos, ao fim de um ano, quantos casais de coelhos estão no pátio? Tal problema originou uma sequência numérica, conhecida como sequência de Fibonacci e construída de tal forma que cada número é igual à soma dos dois que lhe antecedem. Nesta aula abordaremos as sequências numéricas.

Definição

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Geralmente quando queremos determinar certos elementos de um conjunto, nós seguimos um determinado padrão de ordem. Dizemos que esse conjunto corresponde a uma sequência ou sucessão. Elementos de uma sequência podem ser de vários tipos. Veremos alguns exemplos propostos a seguir:

Figura 01 - Vários coelhos. Animais que possuem notável capacidade de se reproduzirem.

376

Sequência (ou sucessão) é um conjunto no qual há uma ordenação de seus elementos, que podem ser objetos, números, eventos etc.

Matemática e suas Tecnologias

Cotidianamente nos deparamos com situações em que enumeramos elementos de um conjunto seguindo uma determinada ordenação. Por exemplo: nn A sequência de presidentes do Brasil após o regime militar: José Sarney, Fernando Collor, Itamar Franco, Fernando Henrique Cardoso, Luiz Inácio Lula da Silva, Dilma Roussef, Michel Temer.

Por recorrência Caracteriza-se por duas condições: a primeira identifica o primeiro termo (a1) e a segunda relaciona cada termo an com seu antecessor an – 1. Por exemplo: Considere uma sequência cujos termos obedecem à seguinte lei de recorrência: a1 = 4 , para todo n ∈ IN*.  an + 3 1 an+=

nn A escalação de um time de futsal de uma de aula em ordem

alfabética: (Abelardo, Carlos, Francisco, Marcelo, Victor).

nn Anos em que aconteceram os jogos olímpicos no período

de 1990 a 2013: (1992, 1996, 2000, 2004, 2008, 2012)

Lei de formação de uma sequência Uma sequência composta apenas por números é denominada sequência numérica. Nesse tipo de sequência, os termos que se sucedem, obedecem a uma determinada lei. Tal lei é chamada de lei de formação da sequência e com ela, podemos determinar qualquer um de seus termos. De maneira geral, podemos representar as sequências numéricas (finitas ou infinitas) por: (a1, a2, a3, ..., an) Sendo: nn a1 o primeiro termo da sequência. nn a2 o segundo termo da sequência. nn a3 o terceiro termo da sequência. nn an o n-ésimo termo da sequência. Por exemplo: Na sequência numérica (4, 8, 12, 16, ...) de múltiplos positivos de 4, temos que: nn a1 = 4 ⋅ 1 = 4. nn a2 = 4 ⋅ 2 = 8. nn a3 = 4 ⋅ 3 = 12. nn a4 = 4 ⋅ 4 = 16. A lei de formação de uma sequência numérica pode ser apresentada de três formas.

nn Para

n = 1, temos que a2 = a1 + 3 = 4 + 3 = 7. nn Para n = 2, temos que a3 = a2 + 3 = 7 + 3 = 10. nn Para n = 3, temos que a4 = a3 + 3 = 10 + 3 = 13. nn Para n = 4, temos que a5 = a4 + 3 = 13 + 3 = 16. nn Para n = 5, temos que a6 = a5 + 3 = 16 + 3 = 19. Assim, essa sequência é dada por (7, 10, 13, 16, 19, ...) Pelo termo em função de sua posição Caracteriza-se por uma fórmula que expressa an em função de n. Por exemplo: Considere uma sequência cujos termos obedecem à seguinte lei: an = 3n + 1, para todo n natural positivo. nn Para n = 1, temos que a1 = 31 + 1 = 4. nn Para n = 2, temos que a2 = 32 + 1 = 10. nn Para n = 3, temos que a3 = 33 + 1 = 28. nn Para n = 4, temos que a4 = 34 + 1 = 82. Assim, essa sequência é dada por (4, 10, 28,82, ...) Por uma propriedade dos termos Caracteriza-se por uma propriedade comum aos termos da sequência. Por exemplo: Considere a sequência infinita cujos termos são os números primos escritos em ordem crescente. Assim, essa sequência é dada por (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)

EXEMPLOS a = 4 02. Escreva os seis primeiros termos da sequência que  1 , an + 6 1 an+= para todo n ∈ IN*.

RESOLUÇÃO

Para n = 1, temos a1 = 3 – 5 ⋅ 1 = -2. Para n = 2, temos a2 = 3 – 5 ⋅ 2 = -7. Para n = 3, temos a3 = 3 – 5 ⋅ 3 = -12. Para n = 4, temos a4 = 3 – 5 ⋅ 4 = -17. Para n = 5, temos a5 = 3 – 5 ⋅ 5 = -22.

Para n = 1, temos a2 = a1 + 6 = 4 + 6 = 10. Para n = 2, temos a3 = a2 + 6 = 10 + 6 = 16. Para n = 3, temos a4 = a3 + 6 = 16 + 6 = 22. Para n = 4, temos a5 = a4 + 6 = 22 + 6 = 28. Para n = 5, temos a6 = a5 + 6 = 28 + 6 = 34.

Portanto, a sequência numérica é dada por (-2, -7, -12, -17, -22).

Portanto, sequência numérica é (4, 10, 16, 22, 28, 34).

E13  Sequências numéricas

01. Escreva os cinco primeiros termos da sequência numérica an = 3 – 5n, para todo n ∈ IN*.

377

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Escreva os cinco primeiros termos das sequências definidas para todo n ∈ IN*. a) an = 2n – 1 (1, 3, 5, 7, 9) b) an = 2n + 1 (3, 5, 9, 17, 33) c) an = n ⋅ (n + 1) (2, 6, 12, 20, 30) 02. Escreva os cinco primeiros termos das sequências definidas para todo n ∈ IN*.

a1 = 7 a)  an an−1 + 5 =

(7, 12, 17, 22, 27)

a1 = 5 b)  an an−1 + 2n =

(5, 9, 17, 33, 55)

a1 = −3 c)  (−1)n ⋅ an−1 an =

03. Determine a posição do número 1 875 na sequência definida por an = 3 ⋅ 5n, para todo n ∈ IN*. 4ª posição 04. A sequência numérica definida pela fórmula de recorrência

a= 1 a= 1 2 , para n ≥ 3, é conhecida como sequência de  = a a +  n n−1 an−2 Fibonacci. Escreva os oito primeiros termos da sequência. (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21)

05. (UFBA) Considere a sequência (an) = (a1, a2, a3, ...) com a seguinte lei de formação: “cada termo excede de uma unidade o dobro do anterior”. Sabendo-se que o quinto termo é 191, determine o primeiro termo. 11

(-3, 3, -3, 3, -3)

Exercícios Complementares 01. Utilize a igualdade

n ⋅ ( 2n − 1 ) ⋅ ( 2n + 1 ) 2 12 + 32 + 52 + ... + ( 2n − 1 ) = 3 para calcular o valor de: 91 881 S = 12 + 32 + 52 + ... + 812 Fig 01

02. A senha de meu cofre é dada por uma sequência de seis números, todos menores que 100, que obedece à determinada lógica. Esqueci o terceiro número dessa sequência, mas lembro-me dos demais. São eles: (32, 27, __, 30, 38, 33). Assim, qual o terceiro número da sequência? 35 03. Considere a seguinte sequência infinita: IBGEGBIBGEGBIBGEG… Qual é a 2019ª letra dessa sequência? G

Fig 02

Fig 03

Quantos palitos serão usados para fazer a 10ª figura da sequência? 220 palitos 06. (UFF-RJ) Considere a sequência (a1, a2, a3,...) em que an + 1 – an = 2, para todo n ∈ IN*, e a2 = 5. Determine o valor de a100. 201 07. Observe a sequência de espaços identificados por letras 6 a

5 i

04. Na sequência numérica (a1, a2, a3,…, an), a soma dos n pri-

E13  Sequências numéricas

meiros termos é dada por Sn = n² + 6n. Qual é o quarto termo dessa sequência? 13 05. (UFMS) Uma sequência é construída com palitos de forma que, a partir de um quadrado, é construído o quadrado seguinte com acréscimos de mais palitos, como mostra a figura a seguir. Na primeira figura, são gastos 4 palitos, na segunda, 12 palitos, na terceira 24 palitos e assim por diante.

378

Cada espaço vazio deverá ser preenchido por um número inteiro e positivo, de modo que a soma dos números de três espaços consecutivos seja sempre igual a 15. Nessas condições, qual o número escrito no espaço identificado pela letra g? 6

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E14

PROGRESSÃO ARITMÉTICA – TERMO GERAL Nos últimos anos, as corridas de rua no Brasil caíram no gosto de muita gente. Independentemente da idade e dos objetivos, muitas pessoas estão procurando praticar esse esporte. O que inicialmente seria apenas uma forma eficaz de perder peso ou melhorar o condicionamento físico, com o passar do tempo, acabou se tornando uma rotina de treinos e provas de final de semana.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Progressão aritmética – termo

geral

nn Definição nn Classificação nn Termo geral

Assim, considere que um iniciante nesse esporte decida correr todos os dias da semana antes de ir para o trabalho. No primeiro dia de treino, ele corre uma distância de 1 500 metros. No segundo dia ele corre uma distância de 1 700 metros. No terceiro dia, corre uma distância de 1 900 metros, e assim por diante sempre correndo 200 metros a mais que o dia anterior. A essa situação, podemos associar a seguinte sequência numérica: (1 500, 1 700, 1 900, 2 100, ...) Note que, nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado a um mesmo número. A essa sequência numérica, dá-se o nome de progressão aritmética, ou, abreviadamente, PA. Nesta aula, iremos abordar uma expressão muito importante no estudo das progressões aritméticas chamada de termo geral.

Definição Figura 01 - Várias pessoas participando de uma corrida de rua.

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De maneira geral, progressão aritmética é toda sequência numérica que cada termo, a partir do segundo, é o anterior somado a uma constante chamada razão da progressão.

379

Matemática

Por exemplo: Na sequência (2, 5, 8, 11, 14, ...), cada termo, a partir do segundo, é o anterior somado ao número 3, que é a razão dessa progressão. Note que para obter a razão de uma progressão aritmética, basta subtrair de qualquer termo, partir do segundo, o termo anterior. Assim, na PA genérica (a1, a2, a3, a4, ..., an) de razão r, temos que: a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... = r.

Por exemplo: nn (5, 2, -1, -4, -7, ...) é uma PA decrescente, pois sua razão é r = -1 – 2 = -3 < 0. Progressão aritmética constante É uma progressão aritmética em que todos os termos são iguais. Para que isso ocorra, basta que sua razão seja nula. Por exemplo: nn (4, 4, 4, 4, 4, ...) é uma PA constante, pois sua razão é r = 4 – 4 = 0.

Termo geral

Classificação As progressões aritméticas podem ser classificadas em crescentes, decrescentes ou constantes. Progressão aritmética crescente É uma progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo imediatamente anterior. Para que isso ocorra, basta que sua razão seja positiva. Por exemplo: nn (6,

10, 14, 18, 22, ...) é uma PA crescente, pois sua razão é r = 14 – 10 = 4 > 0.

Progressão aritmética decrescente É uma progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo imediatamente anterior. Para que isso ocorra, basta que sua razão seja negativa.

O termo geral de uma progressão aritmética é uma fórmula que relaciona cada um dos seus termos a sua respectiva posição. Considerando a PA genérica de razão r a seguir, temos que: (a1, a2, a3, a4, ..., an) = a1 + r nn a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r nn a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r nn a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4r Note que, o termo que ocupa a posição n é igual ao primeiro termo adicionado a (n – 1) vezes a razão, ou seja: nn a2

an = a1 + (n – 1) ⋅ r Sendo que: nn a1 é o 1º termo. nn an é o n-ésimo termo. nn n é a posição do n-ésimo termo. nn r é a razão.

EXEMPLOS 01. Escreva os cinco primeiros termos das progressões aritméticas sujeitas às seguintes condições: a) O primeiro termo é -2 e a razão é 3. b) O segundo termo é 13 e a razão é -6. RESOLUÇÃO

A14  Progressão aritmética – termo geral

a) (-2, 1, 4, 7) b) (19, 13, 7, 1)

a) A razão da PA é r = 17 – 10 = 7. Fazendo n = 10 em an = a1 + (n – 1)⋅r, temos que: a10 = a1 + 9r = 10 + 9 ⋅ 7 = 73 Portanto, o décimo termo é 73. b) Fazendo an = 143 em an = a1 + (n – 1) ⋅ r, temos que: 143 = 10 + (n – 1) ⋅ 7 ⇒ n = 20 (posição do último termo)

02. Dada a progressão aritmética (x + 1, 3x + 1, x + 13, ...) determine o valor de x e, em seguida, a sua razão. RESOLUÇÃO Em uma PA, temos que a2 – a1 = a3 – a2. Daí, temos que: (3x + 1) – (x + 1) = (x + 13) – (3x + 1) ⇒ x = 3. Substituindo na PA, temos que: (4, 10, 16, ...) e sua razão é r = 10 – 4 = 6. Portanto, x = 3 e razão r = 6. 03. Dada a PA (10, 17, 24, ..., 143), determine. a) O seu décimo termo. b) A quantidade de termos.

380

RESOLUÇÃO

Portanto, a PA tem 20 termos. 04. Escreva a PA em que a8 = 43 e a15 = 85. RESOLUÇÃO Fazendo n = 8 em an = a1 + (n – 1) ⋅ r , temos que: a8 = a1 + 7r Fazendo n = 15 em an = a1 + (n – 1) ⋅ r, temos que: a15 = a1 + 14r Daí, obtemos o sistema a seguir: 43 a1 + 7r =  a + 14r = 85  1

Resolvendo o sistema, obtém-se a1 = 1 e r = 6. Portanto, a PA é (1, 7, 13, 19, ...).

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Dada a PA (x + 3, 2x – 4, 39 – 2x), determine: a) O valor numérico de x. 10 b) A sua razão. 3 02. (UEGO) Sabendo que o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em progressão aritmética, calcule a medida do lado do quadrado.

04. Responda aos itens a seguir: a) Qual é o 32º termo da PA (an) tal que r = 2 e a17 = 49? 79 b) Qual é a razão da PA (an) tal que a5 + a6 = 17 e a10 + a13 = 53? 3 05. Na figura a seguir, temos três quadrados construídos com palitos de fósforo idênticos.

03. Responda aos itens a seguir: a) Qual o 21º termo da PA (3, 9, 15, ...)? 123 b) Quantos termos tem a PA (1, 5, 9, ..., 97)? 25

Nessas condições, quantos palitos são necessários para construir 150 quadrados? 451

Exercícios Complementares 01. (Ufu MG) Três terrenos quadrados de lados, medindo x – 4, x e x + 3 metros, respectivamente, são tais que suas áreas estão em progressão aritmética. Determine a soma dos perímetros, em metros, desses três terrenos. a) 142 b) 106 c) 146 d) 102 02. (UPF) Num laboratório está sendo realizado um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. A seguinte sequência de figuras representa os três primeiros minutos da reprodução do vírus (representado por um triângulo).

nn o primeiro salto atingiu a marca de 7,04 m, o terceiro

a marca de 7,07 m, e assim sucessivamente cada salto válido aumentou sua medida em 3 cm; nn o último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca

de 7,22 m. Calcule o valor de n. 13 04. (UFGO) A figura abaixo representa uma sequência de cinco retângulos e um quadrado, todos de mesmo perímetro, sendo que a base e a altura do primeiro retângulo da esquerda medem 1 cm e 9 cm, respectivamente. Da esquerda para a direita, as medidas das bases desses quadriláteros crescem, e as das alturas diminuem, formando progressões aritméticas de razões a e b, respectivamente.

03. (Uerj RJ) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olímpica de ouro na modalidade salto em distância. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho: nn todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par inválidos;

Calcule as razões dessas progressões aritméticas. a = 0,8 e b = -0,8 05. (FGV SP) As prestações de um financiamento imobiliário constituem uma progressão aritmética na ordem em que são pagas. Sabendo que a 15ª prestação é R$ 3 690,00 e a 81ª prestação é R$ 2 700,00, o valor da 1ª prestação é: a) R$ 3.800,00 b) R$ 3.850,00 c) R$ 3.900,00 d) R$ 3.950,00 e) R$ 4.000,00

381

A14  Progressão aritmética – termo geral

Supondo que se mantém constante o ritmo de desenvolvimento da população de vírus, qual o número de vírus após uma hora? a) 140 b) 180 c) 178 d) 240 e) 537

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E15

ASSUNTOS ABORDADOS nn Progressão aritmética – proprie-

dades

nn Propriedades nn Interpolação aritmética

PROGRESSÃO ARITMÉTICA – PROPRIEDADES Atualmente, algumas rodovias paulistas que cobram pedágios contam com telefones de emergência para seus usuários a cada quilômetro. Para as concessionárias que administram essas rodovias, instalar pontos de energia elétrica para esses aparelhos ao longo da estrada seria inviável por causa do alto custo. Para isso, foi desenvolvido um equipamento que funciona com energia solar. As placas solares captam os raios do sol e a energia solar é transformada em energia elétrica, que é transferida para uma bateria capaz de manter os telefones conectados com uma central, por até 48 horas, por meio de fibras ópticas. Tal solução garante o funcionamento do sistema, mesmo em dias nublados. Assim, suponha que nos quilômetros 39 e 186 de uma determinada rodovia estão instalados telefones de emergência. Ao longo da mesma rodovia e entre esses quilômetros, pretende-se instalar 48 outros telefones de emergência. Se os pontos adjacentes de instalação dos telefones estão situados à mesma distância, qual seria essa distância, em quilômetros?

Fonte: Shutterstock.com

Note que a sequência obtida com as posições dos telefones seria uma progressão aritmética como a mostrada seguir: (39, __, ___, ___, ___, ...., ___, ___, 186) Entre 39 e 186 devemos ter 48 termos que possuem a mesma distância entre si. Assim, nessa PA, temos que o 1º termo é igual a 39 e o 50º termo é igual a 186. Para obtermos as posições dos demais telefones de emergência, basta determinar a razão dessa PA.

Fonte: Shutterstock.com

Figura 01 - Telefone de emergência localizado às margens de uma rodovia.

382

Nessa situação, inserimos 48 termos entre os números 39 e 186 a fim de se obter uma progressão aritmética. Essa operação é denominada interpolação aritmética. Nesta aula, abordaremos as propriedades das progressões aritméticas.

Matemática e suas Tecnologias

Propriedades

3ª propriedade: Toda progressão aritmética de três termos e razão r pode ser expressa por:

1ª Propriedade: Em uma progressão aritmética, cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética entre seus termos vizinhos.

(x – r, x, x + r)

Por exemplo:

4ª propriedade:

Na PA (3, 8, 13, 18, 23), temos que:

Toda progressão aritmética de quatro termos e razão 2r pode ser expressa por:

3 + 13 8 + 18 13 + 23 =8, = 13 e = 18 2 2 2

2ª Propriedade: Em uma progressão aritmética, a soma de dois termos equidistantes dos termos extremos é constante e igual à soma dos termos extremos. Por exemplo: Na PA (3, 8, 13, 18, 23), temos que: 3 + 23 = 8 + 18 = 13 + 13 = 26

(x – 3r, x – r, x, x + r, x + 3r)

Interpolação aritmética Interpolar ou inserir n meios aritméticos entre dois números reais a e b significa obter uma progressão aritmética com n + 2 termos e extremos a e b. Por exemplo: Vamos inserir três meios aritméticos entre 14 e 22. Isso significa obter a progressão aritmética (14, __, __, __, 22). Para isso, basta determinar o valor da razão.

EXEMPLOS 01. Obtenha três termos em PA crescente cuja soma é 18 e o produto é 66.

Daí, temos que: a1 + a13 = 2a7 ⇒ 42 = 2a7 ⇒ a7 = 21.

Três termos em PA: (x – r, x, x + r) Daí, temos que:

18 (x − r) + x + (x + r) =  66 (x − r) ⋅ x ⋅ (x + r) = Na 1ª equação, temos que: 3x = 18 ⇒ x = 6 Substituindo na 2ª equação, temos que: (6 – r) ⋅ 6 ⋅ (6 + r) = 66 ⇒ 36 – r2 = 11 ⇒ r = ± 5. Para uma PA é crescente, x = 6 e r = 5. Substituindo em (x – r, x, x + r), temos:

Portanto, o sétimo termo é 21. 03. Insira quatro meios aritméticos entre 3 e 23.

RESOLUÇÃO Inserir três meios aritméticos entre 3 e 19, significa obter uma PA da forma: (3, __, __, __, __, 24) Nessa PA, temos que a1 = 3 e a6 = 24. Fazendo n = 6 em an = a1 + (n – 1)⋅r, temos: a6 = a1 + 5r ⇒ 23 = 3 + 5r ⇒ r = 4. Portanto, a PA é (3, 7, 11, 15, 19, 23).

E15  Progressão aritmética – propriedades

RESOLUÇÃO

(6 – 5, 6, 6 + 5) ⇒ (1, 6, 11) Portanto, os termos são (1, 6, 11). 02. Dada uma progressão aritmética (an) de 13 termos tal que a1 + a13 = 42, obtenha o seu 7º termo.

RESOLUÇÃO Dada a PA (a1, a2, a3, ...., a11, a12, a13), temos que: a1 + a13 = a2 + a12 = a3 + a11 = ... = a7 + a7

383

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Dada uma progressão aritmética (an) de 11 termos tal que o sexto termo é igual a 30, obtenha: a) a1 + a11 60 b) a3 + a9 60 c) a4 + a6 + a7 90 02. Obtenha três termos em PA cuja soma é 6 e o produto deles é -10. -1, 2, 5 03. Obtenha quatro termos em PA tal que: -8, -2, 4, 10

nn A soma dos quatro termos é 4. nn O produto do terceiro pelo quarto termo é 40.

04. Interpole 10 meios aritméticos entre 4 e 37. (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37)

05. Dada uma PA tal que o primeiro termo é 15 e o último termo é 51, determine a quantidade mínima de meios aritméticos que devemos inserir entre 15 e 51 para obter uma PA de razão menor que 3. 12 termos

Exercícios Complementares 01. (Vunesp SP) As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética crescente de razão r. a) Mostre que as medidas dos lados do triângulo, em ordem crescente, são 3r, 4r e 5r. demonstração b) Se a área do triângulo for 48, calcular r. 2 2

E15  Progressão aritmética – propriedades

02. (Ufal AL) As idades de três pessoas são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 5. Se daqui a 3 anos a idade da mais velha será o dobro da idade da mais jovem, nessa época, a soma das três idades será: a) 36 anos b) 38 anos c) 42 anos d) 45 anos e) 48 anos 03. (UFRJ) Senhor MM, o Mágico da Matemática, apresentou-se diante de uma plateia com 50 fichas, cada uma contendo um número. Ele pediu a uma espectadora que ordenasse as fichas de forma que o número de cada uma, excetuando-se a primeira e a última, fosse a média aritmética do número da anterior com o da posterior. Senhor MM solicitou a seguir à espectadora que lhe informasse o valor da décima sexta e da trigésima primeira ficha, obtendo como resposta 103 e 58 respectivamente. Para delírio da plateia, Senhor MM adivinhou então o valor da última ficha. Determine você também este valor. 1 04. (UEPG PR) Em 4 provas bimestrais, um aluno obteve a média 7,2. Sendo X a menor nota e Y a maior nota e sabendo que essas notas formam uma progressão aritmética de razão 1,2, assinale o que for correto. E-C-E-C 01. X + Y = 12,4 02. Y – X = 3,6 04. Y < 9,0 08. X > 5,0

384

05. (Puc MG) Uma empresa deve instalar telefones de emergência a cada 42 quilômetros, ao longo da rodovia de 2 184 km, que liga Maceió ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses telefones é instalado no quilômetro 42 e o último, no quilômetro 2 142. Assim, a quantidade de telefones instalados é igual a: a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 06. (Furg RS) Em uma progressão aritmética de n termos sendo n ímpar, o termo central é: a) A diferença entre os termos extremos divididos por n. b) A média aritmética entre todos os termos multiplicada por dois. c) O dobro da soma dos termos dividido por n. d) A média aritmética de qualquer par de termos equidistantes dos extremos. e) A soma dos n termos dividida por 2. 07. (Fuvest SP) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A(-a, 0), B(0, b) e C(c, 0), é igual a b, então o valor de b é: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E16

PROGRESSÃO ARITMÉTICA – SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS

#TÁ NA MÍDIA

ASSUNTOS ABORDADOS nn Progressão aritmética – soma dos

n primeiros termos

nn Soma dos n primeiros termos

Uma gincana escolar é um ambiente perfeito de aprendizagem. Esse tipo de atividade estimula o trabalho em grupo e a socialização das crianças, ao mesmo tempo em que lhes apresenta possibilidades de brincadeiras com movimentos muito parecidos com as brincadeiras de rua realizadas no passado. A típica gincana escolar inclui tarefas que exigem muitas habilidades, como força, equilíbrio, velocidade e raciocínio rápido. São uma excelente oportunidade das crianças estarem menos presas a atividades individuais e sedentárias, como TV, computador e videogame. Em atividades como o cabo de guerra, por exemplo, alunos mais fortes e até mais gordinhos podem ser mais importantes que aqueles mais magros e rápidos. Com a participação em uma gincana escolar, a criança que se sentia péssima nas aulas de Educação Física pode descobrir que é importante para o grupo e começa a se gostar muito mais, ao passo que aquela que se sentia o máximo e era até individualista demais percebe que precisa dos outros.

Assim, considere que uma das provas de uma gincana escolar consiste em vinte caixinhas que estão distribuídas ao longo de uma pista retilínea, distante 4 m uma da outra. O competidor, que se encontra a 5 m da primeira caixinha, deve correr até a primeira caixinha, pegar um objeto e retornar ao local de partida. Em seguida, ele deve ir até a segunda caixinha, pegar outro objeto e retornar ao ponto de partida, e assim sucessivamente, até atingir a vigésima caixinha e voltar ao ponto de partida. Quantos metros esse competidor deverá percorrer para realizar a prova?

Fonte: Robert Kneschke / Shutterstock.com

http://www.parquerodadagua.com.br/gincana-escolar-no-ensino-fundamental/. Acesso: Julho de 2017

Figura 01 - Crianças participando de uma das provas (cabo de guerra) da gincana em sua escola.

385

Matemática

nn Para pegar a 1ª caixinha e retornar ao ponto de partida,

o competidor vai percorrer: 5 m na ida + 5 m na volta = 10 m nn Para pegar a 2ª caixinha e retornar ao ponto de partida,

o competidor vai percorrer: 9 m na ida + 9 m na volta = 18 m nn Para pegar a 3ª caixinha e retornar ao ponto de partida,

o competidor vai percorrer: 13 m na ida + 13 m na volta = 26 m nn Para pegar a 4ª caixinha e retornar ao ponto de partida,

o competidor vai percorrer: 17 m na ida + 17 m na volta = 34 m E assim sucessivamente até a 20ª caixinha. Note que as distâncias percorridas formam a PA (10, 18, 26, 34, ...) de razão 8. Daí, para se obter a distância total percorrida pelo competidor, basta somar os 20 primeiros termos dessa PA. Nesta aula, iremos abordar a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética.

nn an nn n

é o último termo somado.

é a quantidade de termos somados.

Demonstração: Sabemos que a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Assim, podemos escrever que: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an – 1 + an (1) Sn = an + an – 1 + an – 2 + ... + a3 + a2 + a1 (2) Somando (1) e (2), membro a membro, temos: 2 ⋅ Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + .... + (an – 2 + a3) + (an – 1 + a2) + (an + a1) Já que a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos, podemos escrever que: 2Sn = ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + ... + ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + ( a1 + an )  n parcelas

Daí, temos que: 2Sn = (a1 + a2) ⋅ n ⇒ Sn =

( a1 + an ) ⋅ n

Soma dos n primeiros termos

Dada a PA (a1, a2, a3, a4, ..., an) de razão r a seguir, a soma Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an dos seus n primeiros termos é dada por: Sn =

( a1 + an ) ⋅ n 2

E16  Progressão aritmética – soma dos n primeiros termos

Sendo que: nn Sn

é a soma dos n primeiros termos.

nn a1

é o 1º termo.

EXEMPLOS 01. Calcule a soma dos 60 primeiros termos da PA (2, 10, 18, ...). RESOLUÇÃO Determinando o último termo a ser somado, temos: a60 = a1 + 59r ⇒ a60 = 2 + 59.8 ⇒ a60 = 474 A soma dos 60 primeiros termos é dada por:

= S60

(a1 + a60 ) ⋅ 60 (2 + 474) ⋅ 60 = = 14280 2 2

Portanto, a soma dos 60 primeiros termos é 14 280. 02. Sabendo que a soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn = n2 – n para n = 1, 2, 3, ..., determine o seu 11º termo.

386

RESOLUÇÃO Sabemos que Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an. Para n = 10, temos que: S10 = a1 + a2 + a3 + ... + a10 = 102 – 10 = 90 Para n = 11, temos que: S11 = a1 + a2 + a3 + ... + a10 + a11 = 112 – 11 = 110. Note que S11 = S1o + a11. Daí, temos que: 110 = 90 + a11 ⇒ a11 = 20. Portanto, o 11º termo dessa PA é 20.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Responda aos itens a seguir:

travessa mede 0,80 m, e a última mede 0,40 m.

a) Qual é a soma dos 40 primeiros termos da progressão aritmética (6, 10, 14, ...). 3 360 b) Qual é a soma 100 primeiros termos da progressão aritmética (4, 11, 18, 25, ...)? 35 050 02. Dada uma progressão aritmética cuja soma dos n primeiros termos é dada por Sn = n2 – 2n, determine: a) O seu primeiro termo. -1 b) O seu décimo termo. 17 03. (UFGO) Um carpinteiro deseja construir uma escada para ser usada por eletricistas. O modelo está na figura abaixo. As travessas da escada são de madeira, seus comprimentos são decrescentes e estão em progressão aritmética. A primeira

Sabendo-se que, para as travessas, o carpinteiro tem a sua disposição 13,2 metros lineares de madeira, e não havendo desperdício algum, quantas travessas conterá a escada? 22 travessas 04. Em um teatro composto por 40 fileiras, temos que: na 1ª fileira há 25 poltronas, na 2ª fileira há 27 poltronas, na 3ª fileira há 29 poltronas e assim sucessivamente até a 40ª fileira. Nessas condições, determine: a) A quantidade de poltronas apenas na 40ª fila. 103 poltronas b) A quantidade total de poltronas. 2 560

Exercícios Complementares

Ano

Projeção da produção (t)

2012

50,25

2013

51,50

2014

52,75

2015

54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de a) 497,25 d) 558,75 b) 500,85 e) 563,25 c) 502,87 02. (UFPB) Um produtor rural teve problema em sua lavoura devido à ação de uma praga. Para tentar resolver esse problema, consultou um engenheiro agrônomo e foi orientado a pulverizar, uma vez ao dia, um novo tipo de pesticida, de acordo com as seguintes recomendações: nn No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida. nn A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros à dosagem

anterior e, assim, sucessivamente.

Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 litros de pesticida, conclui-se que esse produto foi aplicado durante: a) 18 dias c) 20 dias e) 22 dias b) 19 dias d) 21 dias 03. (UERJ) Na figura, está representada uma torre de quatro andares construída com cubos congruentes empilhados, sendo sua base formada por dez cubos.

Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construída com cubos iguais e procedimento idêntico. 5 050 cubos 04. (UFRJ) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$ 300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$ 300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$ 1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$ 1,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$ 300,00. Justifique. R$ 165,00

387

E16  Progressão aritmética – soma dos n primeiros termos

01. (Enem MEC) As projeções para a produção de arroz no período de 2012 – 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (FGV SP) Considere a sequência cujo termo geral é an = (-1)n ⋅ (2 + 3n), onde n = 1, 2, 3, ... a) Escreva os seis primeiros termos dessa sequência. b) Calcule a soma dos 2007 primeiros termos dessa a) (-5, 8, -11, 14, -17, 20)

b)-3 014

02. (Enem MEC) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir:

Figura I

Figura II

Figura III

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C = 4Q d) C = Q + 3 b) C = 3Q + 1 e) C = 4Q – 2 c) C = 4Q – 1 03. (UTFPR) A quantidade de números inteiros entre 50 e 100 que sejam múltiplos dos números 3 e 4 ao mesmo tempo é: a) 3 c) 5 e) 17 b) 4 d) 13 04. (ESPM SP) A figura abaixo mostra uma série de painéis formados por uma faixa de ladrilhos claros envoltos em uma moldura de ladrilhos escuros.

Num desses painéis, o número de ladrilhos escuros excede o número de ladrilhos claros em 50 unidades. A quantidade total de ladrilhos desse painel é igual a: a) 126 d) 224 b) 172 e) 138 c) 156 05. (Ufscar SP) A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa sequência vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 388

06. (UECE) As medidas, em metro, dos comprimentos dos lados de um triângulo formam uma progressão aritmética cuja razão é igual a 1. Se a medida de um dos ângulos internos deste triângulo é 120°, então, seu perímetro é: a) 5,5 c) 7,5 b) 6,5 d) 8,5 07. (Fuvest SP) Um fazendeiro plantou 3 960 árvores em sua propriedade no período de 24 meses. A plantação foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro mês foram plantadas x árvores, no mês seguinte (x + r) árvores, r > 0, e assim sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo-se que ao término do décimo quinto mês do início do plantio ainda restavam 2 160 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro mês foi: a) 50 c) 100 e) 165 b) 75 d) 150 08. (UnB DF) No projeto urbanístico de uma cidade, o paisagista previu a urbanização do canteiro central de uma das avenidas, com o plantio de 63 mudas de Flamboyant, todas dispostas em linha reta e distantes 5 m uma da outra. No dia do plantio, o caminhão descarregou as mudas no início do canteiro central, no local onde seria plantada a primeira muda. Um jardineiro foi designado para executar o serviço. Para isso, partindo do lugar onde as mudas foram colocadas, ele pegou três mudas de cada vez, plantou-as nos locais designados, enfileirando-as uma após a outra. Calcule, em hectômetros, a distância total mínima percorrida pelo jardineiro após finalizar o trabalho. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 64 09. (UFRJ) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de construção de castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma mesa. Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. Determine o número de cartas que ele vai utilizar. 2 420 cartas