Coleção 10 V - Livro 1 - Matemática - Professor by Editora Elabore

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MATEMÁTICA Por falar nisso O papiro de Rhind O papiro de Rhind é um documento egípcio de cerca de 1650 a.C. com, aproximadamente, 550 centímetros de comprimento e 32 centímetros de largura, escrito pelo escriba Ahmes. Esse documento esteve perdido durante muitos séculos até ser encontrado pelo advogado escocês Alexander Rhind que o comprou, por volta de 1850, em Luxor, no Egito. Atualmente, está exposto no Museu Britânico, em Londres. Nele, há vários problemas matemáticos que, na sua maioria, estão ligados ao cotidiano da época e têm o objetivo de apresentar métodos e fórmulas para resolver as situações que ocorriam no dia a dia. São problemas resolvidos a respeito de aritmética, frações, sequências numéricas, grandezas proporcionais, geometria, trigonometria, cálculo de áreas, cálculo de volumes e, é claro, de equações. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

A01 A02 A03 A04

Equações polinomiais do 1º grau.................................................. 264 Sistemas de equações do 1º grau................................................. 267 Equações polinomiais do 2º grau.................................................. 270 Sistemas de equações do 2º grau................................................. 274

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MATEMÁTICA

MÓDULO A01

ASSUNTOS ABORDADOS nn Equações polinomiais do 1º grau nn O que é uma equação? nn Equação polinomial do 1º grau

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 1º GRAU Ao observarmos ao nosso redor, podemos perceber que, a todo o momento, as pessoas estão contando alguma coisa. Contamos o número de alunos em uma turma ou escola, a quantidade de materiais escolares, o dinheiro, entre outros. No passado, não havia o hábito de contar, porque não existia a necessidade. No entanto, a Matemática se desenvolveu, ao longo dos tempos, como uma linguagem que partiu da necessidade de o ser humano de manter-se vivo e confortável. Assim, por exemplo, apenas observando os peixes que havia pescado, ele sabia se seriam ou não suficientes para a refeição de seu grupo; da mesma forma que, ao colher mais frutos, ele percebia se estes supririam sua fome. Isso acontecia sem que existissem números e sem uma contagem como conhecemos hoje. Com o passar do tempo, o ser humano passou a lidar com quantidades que lhe exigiam a realização de comparações e determinações de quantidades precisas para responder a perguntas, como: “Onde tem mais?”, “Onde tem menos?”, “Quanto você terá?”, ou se tem “Tantos quantos?”. Situações como essas eram bastante difíceis de serem resolvidas. Contudo, hoje, resolvemos problemas bem mais complexos e, às vezes, problemas simples como a determinação da idade de uma pessoa em relação à outra. Por exemplo, considere a seguinte situação hipotética (imagem abaixo) de determinação de idade. No dia 7 de setembro de 2016, Bruna fez 40 anos e sua filha Mariana fez 14 anos. Daqui a quantos anos, a idade de Bruna será o dobro da idade de Mariana? Podemos esquematizar esse problema por meio da seguinte tabela: Idades em 2016

Idades daqui a x anos

Bruna

40 + x

Mariana

14 + x

Assim, daqui a x anos, temos que: 40 + x = 2 ⋅ (14 + x)

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Esse é um exemplo de equação polinomial do 1º grau na variável x e sua solução (raiz) é a resposta do problema proposto.

264

Matemática e suas Tecnologias

O que é uma equação? Inicialmente, vamos analisar cada uma das sentenças a seguir: 5 ⋅ 4 – 2 = 17. Essa afirmação é falsa, pois 5 ⋅ 4 – 2 = 20 – 2 = 18. 5 ⋅ 4 – 2 = 18. Essa afirmação é verdadeira, pois 5 ⋅ 4 – 2 = 20 – 2 = 18. 5x – 2 = 18. Essa afirmação não é verdadeira nem falsa, pois a letra x, chamada de variável, pode assumir qualquer valor. Esse tipo de sentença é chamada de sentença aberta.

Assim, na equação 5x – 2 = 18, o valor de x que a torna uma sentença verdadeira é x = 4. Portanto, sua solução (ou raiz) é x = 4 e seu conjunto solução (ou verdade) é S = {4}.

Equação polinomial do 1º grau Equação polinomial do 1º grau na variável x é toda equação redutível à equação ax + b = 0, sendo a e b números reais e a ≠ 0. A raiz de ax + b = 0 com a ≠ 0, é obtida isolando a variável x, ou seja:

x= -

b a

Toda sentença aberta na forma de igualdade é chamada de equação.

Logo, o conjunto solução (ou verdade) de uma equação do tipo ax + b = 0 é dado por:

O valor de x que torna essa sentença verdadeira é chamado de solução (ou raiz) e o conjunto formado por todas as suas raízes é chamado de conjunto solução (ou verdade).

 b S=  -   a

EXEMPLOS 01. Resolva, em IR, as seguintes equações:

RESOLUÇÃO a)

5(x + 1) – 3(x + 2) – 1 = 10 5x + 5 – 3x – 6 – 1 – 10 = 0 2x – 12 = 0 Note que se trata de uma equação polinomial do 1º grau, pois ela é redutível à forma ax + b = 0, com a ≠ 0. Nesse caso, a = 2 e b = -12. Daí, temos que: 2x – 12 = 0 ⇒ 2x = 12 x = 12/2 ⇒ x = 6

Portanto, seu conjunto solução é S = {6}. 2x – 4 = 5x – 3(x + 1) – 1 2x – 4 = 5x – 3x – 3 – 1 2x – 5x + 3x = 4 – 3 – 1 0x = 0

3.(3x - 4) + 2.(1 - 4x) 36 3x - 4 1 - 4x = + = 6 ⇒ 6 6 2 3 9x – 12 + 2 – 8x = 36 9x – 8x = 36 + 12 – 2 x = 46 Portanto, seu conjunto solução é S = {46}. 02. Dada a equação 3⋅(2x – 5) + m⋅(x – 2) = 2m, na variável x, determine o valor de m para que x = 1 seja raiz dessa equação. RESOLUÇÃO Como x = 1 é raiz dessa equação, temos que: 3⋅(2x – 5) + m⋅(x – 2) = 2m ⇒ 3⋅(2⋅1 – 5) + m⋅(1 – 2) = 2m 3⋅(2 – 5) + m⋅(–1) = 2m ⇒ 3⋅(–3) + m⋅(–1) = 2m –9 – m = 2m ⇒ –m – 2m = 9 –3m = 9 ⇒ 3m = –9 ⇒ m = –3 Portanto, o valor de m = –3.

Note que: Não se trata de uma equação polinomial do 1º grau, pois ela não é redutível à forma ax + b = 0, com a ≠ 0. A igualdade 0x = 0, é verdadeira para qualquer valor de x que pertença ao conjunto dos reais. Portanto, seu conjunto solução é S = IR.

03. Na classe de João, dois terços dos alunos são mulheres e 18 são homens. Quantos alunos a classe de João possui?

2x + 4 = 5x – 3(x + 1) ⇒ 2x + 4 = 5x – 3x – 3 2x – 5x + 3x = –3 – 4 0x = –7 Note que: Não se trata de uma equação polinomial do 1º grau, pois ela não é redutível à forma ax + b = 0, com a ≠ 0.

2x + 18 = x ⇒ 2x + 54 = 3x 3 3 3 2x + 54 = 3x ⇒ 2x – 3x = –54 –x = –54 ⇒ x = 54

RESOLUÇÃO Sendo x a quantidade de alunos dessa classe, temos que:

Portanto, a classe de João possui 54 alunos.

265

A01  Equações polinomiais do 1o grau

a) 5(x + 1) – 3(x + 2) – 1 = 10 b) 2x – 4 = 5x – 3(x + 1) – 1 c) 2x + 4 = 5x – 3(x + 1). 3x - 4 1 - 4x d) + = 6. 2 3

A igualdade 0 x = –7 é falsa para qualquer valor de x que pertença ao conjunto dos reais. Portanto, seu conjunto solução é S = ∅.

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Resolva, em IR, as seguintes equações: a) 13x – (6x + 6) = 22 b) 4(x – 2) = 4x + 6 – 14 c) 3(x + 4) = 2(x – 7) + x + 20 a) S = {4}; b) S = IR; c) S = ∅.

02. Resolva, em IR, as equações a seguir:

04. Dos alunos do Ensino Médio matriculados em uma escola, 1/3 são da primeira série, 1/5 da segunda série e 210 são da terceira série. Quantos alunos de Ensino Médio tem essa escola? 450 alunos 05. (IF SP) Um garoto foi a uma loja e comprou um CD, um DVD

3x 3 -2 = x 8 4

e um Blu-Ray. Ao chegar a sua casa, perguntaram-lhe qual

x 1 2x 1 - = 2 6 3 4

“O DVD foi R$ 20,00 mais caro que o CD, o Blu-Ray foi R$ 9,00

foi o preço de cada item, e ele respondeu:

mais caro que o DVD, e o total da compra foi R$ 100,00”.

x - 5 1 - 2x 3 - x + = c) 10 5 4 a) S = {-2};

b) S = {1/2};

O valor pago pelo DVD foi: a) R$ 17,00.

c) S = {-21}.

03. Maria vai dividir entre seus filhos Marcos, Marcelo e Márcio

b) R$ 22,00.

a quantia de R$ 3.000,00. Sabendo-se que Marcos e Marce-

c) R$ 27,00.

lo receberão a mesma quantia e Márcio R$ 600,00 a mais

d) R$ 32,00.

que cada um dos outros dois, calcule a quantia que Marcos

e) R$ 37,00.

e Marcelo receberão.

R$ 800,00

Exercícios Complementares 01. Resolva, em IR, as equações a seguir: a) 7x + 4 = 2x + 34 b) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 c) 2x – [5 + 3.(x + 8) – 11] = 5x d) 5(7x – 2) – 10x = 46 + 2(x – 5) a) S = {6};

b) S = {2};

c) S = {-3};

d) S = {2}.

02. Resolva, em IR, as equações a seguir: x 10 a) x + = 4 b)

x 1 3x 3 - = 2 3 4 5

A01  Equações polinomiais do 1o grau

c) x - 3 = x + 1 4 3 d)

x - 2 x 2x - 5 x -= + 2 3 4 3

a) S = {8};

b) S = {16/15};

c) S = {-13};

d) S = {3/8}.

03. Quando adicionamos 2 aos dois termos de uma fração, ela se torna equivalente a 5/6. Quando subtraímos 2 aos dois termos da mesma fração, ela se torna equivalente a 1/2. Determine essa fração. 3/4 04. (UFT TO) Um produtor estava vendendo ovos de galinha na feira de seu bairro em uma cesta. O primeiro cliente que o vendedor atendeu fez o seguinte pedido:

266

“Quero a metade dos ovos que estão na cesta mais meio ovo.” O vendedor prontamente o atendeu e lhe entregou a quantidade solicitada. Sabendo-se que o feirante não quebrou nenhum ovo para atender seu cliente e que restou apenas um ovo na cesta, pode-se afirmar que o cliente levou: a) 2 ovos. b) 3 ovos. c) 4 ovos. d) 5 ovos. e) 6 ovos. 05. (Enem MEC) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual a 2/3 do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? a) 5X – 3Y + 15 = 0 b) 5X – 2Y + 10 = 0 c) 3X – 3Y + 15 = 0 d) 3X – 2Y + 15 = 0 e) 3X – 2Y + 10 = 0

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MATEMÁTICA

MÓDULO A02

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU Quem nunca teve vontade de provar um delicioso pastel, muitas vezes deixando o regime de lado e caindo em tentação? Na feira, em um bar ou até mesmo em nossa casa, a massa recheada com ingredientes diversos está lá, servindo de acompanhamento ou como prato principal.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Sistemas de equações do 1º grau nn Sistemas de equações do 1º grau

Segundo dados históricos, o pastel teve origem na China. Contudo, no Brasil, foram os japoneses que se destacaram na comercialização desse produto por meio das pastelarias. Devido à semelhança física, os japoneses se passavam por chineses. A estratégia dos japoneses era livrar-se da discriminação que sofriam na época em razão do posicionamento do País na Segunda Guerra Mundial, ou seja, o Brasil não era aliado dos japoneses no conflito. Independentemente da origem, o pastel caiu no gosto do brasileiro. O preço e a combinação de recheios agradam a todas as classes sociais. Nas feiras, a criatividade prevalece e hoje temos vários tipos, salgados ou doces. As inovações são muitas, passando por diversas formas, tamanhos e sabores. Além, é claro, de combinações (os chamados “combos”) que aumentam as vendas e a lucratividade dos comerciantes. Nesse sentido, o conhecimento matemático é uma ferramenta importante para não cair na tentação e não consumir mais do que o bolso permite. Por exemplo, em uma pastelaria, um combo de dois pastéis mais três sucos de laranja custam 22 reais. Já o combo de cinco pastéis mais dois sucos de laranja custam 33 reais. Qual o preço de cada pastel e de cada suco de laranja? Representando por x o preço, em reais, do pastel e por y o preço, em reais, do suco de laranja, podemos obter as seguintes sentenças: Dois pastéis mais três sucos de laranja custam 22 reais. 2x + 3y = 22 Cinco pastéis mais dois sucos de laranja custam 33 reais. 5x + 2y = 33 Essas duas equações juntas formam um sistema de duas equações do 1º grau com duas variáveis, que é indicado por:

Fonte: shutterstock.com / Por Paulo Vilela

22 2x + 3y =  33 5x + 2y =

267

Matemática

A solução desse tipo de sistema é dada pelo par ordenado (x, y) que satisfaz ambas as equações. Já seu conjunto solução (ou verdade) é dado por S = {(x, y)}. Note que, para x = 5 (preço do pastel) e y = 4 (preço do suco de laranja), obteremos as duas sentenças verdadeiras a seguir:

22 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 4 =  33 5 ⋅ 5 + 2 ⋅ 4 = Portanto, a solução desse sistema é o par ordenado (5, 4) e seu conjunto solução (ou verdade) é S = {(5, 4)}.

Sistemas de equações do 1º grau Muitos problemas matemáticos são resolvidos por meio das soluções comuns a duas ou mais equações. Se as equações envolvidas nesse problema forem polinomiais do 1º grau, dizemos então que elas formam um sistema de equações do 1º grau. Nesta aula, trataremos apenas dos sistemas de equação do 1º grau com duas variáveis. Para resolver esses sistemas, podemos utilizar três métodos diferentes: o método da substituição, o método da comparação e o método da adição. Observe os exercícios resolvidos a seguir.

EXEMPLOS 6 3x + y = de duas equações do 1º grau com 01. Resolva o sistema  17 5x + 2y = duas variáveis. RESOLUÇÃO Vamos resolver esse sistema utilizando três processos diferentes: 1º processo: por substituição. Esse método consiste em isolar uma variável em uma das equações e, em seguida, substituir a expressão obtida na outra equação. Isolando y na primeira equação, temos: y = 6 – 3x Substituindo na segunda equação, temos: 5x + 2(6 – 3x) = 17 ⇒ 5x + 12 – 6x = 17 5x – 6x = 17 – 12 ⇒ –x = 5 ⇒ x = –5 Substituindo na primeira equação, temos: 3.(-5) + y = 6 ⇒ –15 + y = 6 ⇒ y = 6 + 15 ⇒ y = 21 Portanto, seu conjunto solução é S = {(-5, 21)}. 2º processo: por comparação. Esse método consiste em isolar a mesma variável nas duas equações e, em seguida, igualar as expressões assim obtidas. Isolando y na primeira equação, temos: y = 6 – 3x Isolando y na segunda equação, temos: A02  Sistemas da equações do 1o grau

17 - 5x 2

Igualando essas novas equações, temos:

17 - 5x ⇒ 12 – 6x = 17 – 5x 6 - 3x = 2 –6x + 5x = 17 – 12 ⇒ –x = 5 ⇒ x = –5 Substituindo na primeira equação, temos: 3.(–5) + y = 6 ⇒ –15 + y = 6 ⇒ y = 6 + 15 ⇒ y = 21 Portanto, seu conjunto solução é S = {(–5, 21)}.

268

3º processo: por adição. Esse método consiste somar as equações membro a membro previamente multiplicadas (ou não) por um número diferente de zero de modo a anular uma das incógnitas. Multiplicando a primeira equação por -2 e mantendo a segunda equação, temos:

6 -12 3x + y = -6x - 2y = ⇒   17 17 5x + 2y = 5x + 2y = Adicionando membro a membro as duas do novo sistema, temos: –6x – 2y + 5x + 2y = –12 + 17 ⇒ –x = 5 ⇒ x = –5 Substituindo na primeira equação do sistema inicial, temos: 3.(–5) + y = 6 ⇒ –15 + y = 6 ⇒ y = 6 + 15 ⇒ y = 21 Portanto, seu conjunto solução é S = {(–5, 21)}. 02. No estacionamento de um shopping, há carros e motos, um total total de 30 veículos e 86 rodas. Quantas motos e quantos carros têm nesse estacionamento? RESOLUÇÃO Sendo x a quantidade de carros e y a quantidade de motos, temos que:

30  x + y =  4x 2y 86 + =   Dividindo a segunda equação por -2 e mantendo a primeira equação, temos:

30 x + y =  -2x - y =-43 Adicionando membro a membro as duas do novo sistema, temos: x + y – 2x – y = 30 – 43 -x = -13 ⇒ x = 13 Substituindo na primeira equação do sistema inicial, temos: 13 + y = 30 y = 30 – 13 y = 17 Portanto, nesse estacionamento temos 13 carros e 17 motos.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Resolva os sistemas a seguir, utilizando o processo indicado. 6 3x - 2y = a)  utilizando o método da substituição. 2 x - 3y = 7 4x + y = b)  utilizando o método da comparação. 2x 5y = 9 

3 x - y = c)  utilizando o método da adição. 9 2x + y = a) S = {(2, 0)};

b) S = {(2, -1)};

respondida de forma errada, o aluno perderá 3 pontos. Determine o número de acertos e erros de um aluno que, ao responder a todas as questões, obteve um total de 62 pontos. 19 acertos e 11 erros

05. (UFV MG) Em uma urna vazia são colocadas 20 bolas nas cores vermelha e branca.

c) S = {(4, 1)}.

02. Determine dois números tais que, a diferença entre os dois é 10 e o triplo do maior, aumentado do menor, é igual a 110. 30 e 20

03. Foram vendidos 100 ingressos para uma festa gerando uma arrecadação de R$ 1.900,00. O preço do ingresso para os meninos é R$ 25,00 e para as meninas é R$ 15,00. Quantos meninos e quantas meninas compraram ingressos? 40 meninos e 60 meninas

04. Considere uma prova em que os alunos devem responder a um total de 30 questões. Cada questão respondida de forma correta o aluno ganhará 5 pontos e para cada questão

Se acrescentássemos uma bola vermelha à urna, o número de bolas brancas passaria a ser igual à metade do número de bolas vermelhas. Quantas bolas vermelhas e quantas bolas brancas existem na urna? 13 vermelhas e 7 brancas

Exercícios Complementares

0 x - 2y = a)  3x + 5y = 55 

15 5x - 3y = b)  6 2x + 3y =

 x - y x + 3y 7  2 + 3 = 6 c)   2x + y - x - 2y = -1  3 2  7 - 2x 4 - 3y 1  3 - 2 = 6 d)  11 1 - x + 5 - y =  4 3 4

03. (Uerj RJ) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras, por apenas 2 pessoas, um total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 04. (FGV SP) Um motorista abasteceu seu carro flex num posto com 10 litros de álcool e 30 litros de gasolina pagando R$ 90,00. Na semana seguinte, no mesmo posto, abasteceu com 30 litros de álcool e 20 litros de gasolina pagando R$ 102,00. Se não houve alteração nos preços, calcule o preço do álcool nesse posto.

R$ 1,80

a) S = {(10, 5)}; b) S = {(3, 0)}; c) S = {(2, -1)}; d) S = {(-2, -1)}.

02. Durante uma partida de basquete da NBA (National

05. (Fuvest SP) João diz a Pedro: se você me der 1/5 do dinheiro

Basketball Association), o time vencedor acertou, entre

que possui eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do

cestas de dois e três pontos, um total de 46 cestas marcando

que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6.000,00

117 pontos. Quantas cestas de três pontos foram marcadas

do meu dinheiro nós ficaremos com quantias iguais. Quanto

25 pelo time vencedor?

possui cada um?

Pedro: R$ 30.000,00 e João: R$ 42.000,00

269

A02  Sistemas da equações do 1o grau

01. Resolva os sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis a seguir:

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MATEMÁTICA

MÓDULO A03

ASSUNTOS ABORDADOS nn Equações polinomiais do 2º grau nn Equação polinomial do 2º grau nn Soma e produto das raízes nn Equação polinomial do 2º grau a partir das raízes

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2º GRAU Vivemos em um mundo de formas e imagens. Elas estão presentes na natureza, na arquitetura e nas artes. O estudo das formas é um dos mais importantes ramos da Matemática, a Geometria. Quando observamos as obras artísticas (imagem abaixo), podemos perceber que foram aplicados diversos princípios matemáticos em suas construções, como: proporção entre as tintas, cálculo de área da tela, largura e altura da moldura a ser utilizada e outros. A maneira como o artista constrói a sua obra, na busca de algo novo, inusitado, inédito, é muito particular. Contudo, independente da forma artística e do momento histórico de produção, ele jamais poderá desconsiderar os conceitos matemáticos. Por exemplo, um artista acabou de pintar um quadro em uma tela de 30 cm por 50 cm. Ele quer colocar, nessa tela, uma moldura de largura constante de tal forma que todo quadro ocupe uma área de 2 400 cm2. Qual deve ser a largura dessa moldura? Representado por x a largura, em centímetros, da moldura, podemos esquematizar o problema por meio da ilustração a seguir.

Fonte: wikipedia/Leonardo da Vinci (1452–1519)

O comprimento total do quadro é dado por: 50 + 2x A largura total do quadro é dada por: 30 + 2x A área total do quadrado é dada por: (50 + 2x) ⋅ (30 + 2x) = 2.400 Esse é um exemplo de equação polinomial do 2º grau na variável x e sua solução (raiz) é a resposta do problema proposto.

Figura 01 - Foto ilustrativa do quadro Mona 270 Lisa e suas proporções áureas.

Matemática e suas Tecnologias

Equação polinomial do 2º grau Equação polinomial do 2º grau na variável x é toda equação redutível à equação ax2 + bx + c = 0, sendo a, b e c números reais e a ≠ 0. As raízes de ax2 + bx + c = 0 com a ≠ 0 são obtidas isolando a variável x por meio da fórmula de Bhaskara, ou seja: x=

-b ± ∆ 2a

b , ou seja, essa 2a equação tem duas raízes reais e iguais.

nn Se

∆ = 0, suas raízes são x' = x" = -

nn Se ∆ < 0, essa equação não tem raízes reais.

Demonstração: Multiplicando todos os termos de ax2 + bx + c = 0 por 4a, temos: 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 ⇒ 4a2x2 + 4abx = – 4ac

Logo, o conjunto solução da equação ax2 + bx + c = 0 é dado por:

Adicionando b2 a ambos os membros da igualdade obtida, temos:

 -b + ∆ -b - ∆  S= ,  2a   2a

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac ⇒ (2ax + b)2 = b2 – 4ac Fazendo ∆ = b2 – 4ac, temos:

(2ax + b )

O termo ∆ = b2 – 4ac é chamado de discriminante da equação ax2 + bx + c = 0. Em relação a esse termo, temos que:

-b - ∆ -b + ∆ e x" = , 2a 2a ou seja, essa equação tem duas raízes reais e distintas.

nn Se ∆ > 0, suas raízes são

x' =

= ∆ ⇒ 2ax + b = ± ∆ ⇒ 2ax = -b ± ∆

Isolando a variável x, temos: 2ax = -b ± ∆ ⇒ x =

-b ± ∆ 2a

EXEMPLOS 01. Resolva, em IR, as equações a seguir:

–9x2 + 6x – 1 = 0 ⇒ ∆ = 62 – 4⋅(–9)⋅(–1) = 36 – 36 = 0

2x + 30x = 0 –3x2 + 48 = 0 2x2 – 5x + 2 = 0 –9x2 + 6x – 1 = 0 4x2 + 5x + 2 = 0

= x

-6 ± 0 -6 ± 0 = -18 2 ⋅ (-9) x’ = x” = 1/3

RESOLUÇÃO

Portanto, seu conjunto solução é S = {1/3}.

a) 2x2 + 30x = 0 ⇒ 2x⋅(x + 15) = 0 2x = 0 ou x + 15 = 0 x’ = 0 e x” = –15 Portanto, seu conjunto solução é S = {0, -15}. b) –3x2 + 48 = 0 ⇒ –3x2 = –48 ⇒ 3x2 = 48

e) 4x2 + 5x + 2 = 0 ∆ = 52 – 4⋅4⋅2 = 25 – 32 = –7 < 0 Portanto, seu conjunto solução é S = ∅. 02. Para quais valores de m, a equação polinomial do 2º grau x2 + 6x + (m – 2) = 0 tem duas raízes reais e iguais? RESOLUÇÃO

x2 = 16 ⇒ x = ± 4 Portanto, seu conjunto solução é S = {± 4}. c) 2x2 – 5x + 2 = 0 ⇒ ∆ = (−5)2 – 4⋅2⋅2 = 25 – 16 = 9 = x

Para que x2 + 6x + (m – 2) = 0 tenha duas raízes reais e iguais, seu discriminante (∆) deve ser igual a zero. Assim, temos: ∆ = 0 ⇒ 62 – 4⋅1⋅(m – 2) = 0 ⇒ 36 – 4m + 8 = 0

-(-5) ± 9 5 ± 3 ⇒ x’ = 2 e x” = 1/2 = 2⋅2 4

Portanto, seu conjunto solução é S = {2, 1/2}.

–4m = –36 – 8 ⇒ –4m = -44 m = 11 Portanto, m = 11.

271

A03  Equações polinomiais do 2o grau

a) b) c) d) e)

Matemática

Soma e produto das raízes Sendo x’ e x”, as raízes da equação polinomial do 2º grau ax2 + bx + c = 0, temos que:

= P = P

A soma S dessas raízes é dada por: b S =+ x' x" = a

Demonstração:

-b + ∆ -b - ∆ + S =x'+ x" = 2a 2a S=

-b + ∆ - b - ∆ -2b b = = 2a 2a a

( -b )

b2 - (b2 - 4ac ) 4ac c = = 4a2 4a2 a

Equação polinomial do 2º grau a partir das raízes Uma equação polinomial do 2º grau que as raízes têm soma S e produto P é dada por:

x2 - Sx + P = 0 Demonstração: Dividindo todos os termos de ax2 + bx + c = 0 por a, temos:

O produto P dessas raízes é dado por:

c P =x'⋅ x" = a

( )

- ∆ b2 - ∆ = 4a2 4a2

ax2 + bx + c = 0 b c x2 +   x +   = 0  a a Daí, temos que:

Demonstração:

 b c x2 -  -  x +   =0  a a 2 x - Sx + P = 0

-b + ∆ -b - ∆ ⋅ P =x'⋅ x" = 2a 2a

EXEMPLOS 03. Determine o valor de k para que a soma das raízes da equação 3x2 – (2k + 1)x + 5 = 0 seja igual a 7.

Multiplicando todos os termos dessa equação por 2, temos:

RESOLUÇÃO

Portanto, uma possível equação é dada por 2x2 – 7x + 3 = 0.

A soma S das raízes de uma equação polinomial do 2º grau é dada b por S = - . a Assim, temos que: -(2k + 1) = 7 ⇒ 2k + 1 = 21 2k = 20 ⇒ k = 10 3 Portanto, k = 10.

2x2 – 7x + 3 = 0

05. Sejam x1 e x2 as raízes da equação x2 – 6x + 10 = 0, determine: a) x1 + x2 b) x1 ⋅ x2 c) x12 + x22 d)

1 1 + x1 x 2 RESOLUÇÃO

04. Escreva uma equação polinomial do 2º grau cujas raízes são 1/2 e 3. RESOLUÇÃO A03  Equações polinomiais do 2o grau

Sendo S a soma e P o produto das raízes, temos que x2 – Sx + P = 0. Assim, temos que: S=

1 1+6 7 +3= = 2 2 2

-6 b - = = 6 a) x1 + x2 = a 1 c 10 b) x1 ⋅ x2 = = =10 a 1 c) Elevando ao quadrado ambos os membros de x1 + x2 = 6, temos que:

(x1 + x2)2 = 62

1 3 P = ⋅3 = 2 2

x + 2x1 ⋅ x2 + x22 = 36 2 1

x12 + 2 ⋅ 10 + x22 = 36

Daí, temos que: x – Sx + P = 0 7 3 x2 - x + = 0 2 2 2

272

x12 + x22 = 36 - 20 = 16 d)

1 1 x 2 + x1 6 3 = = + = x1 x2 x1 ⋅ x2 10 5

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Resolva, em IR, as equações a seguir: a) S = {±9}; b) S = {0, -4}; c) S = {1, 3}.

a) x2 – 81 = 0 b) 3x2 + 12x = 0 c) 3x2 – 4x + 1 = 0

02. Resolva os problemas a seguir: a) 4;

b) 5.

a) Qual é o número inteiro que três vezes o seu quadrado menos o seu dobro é igual a 40? b) Qual é o número inteiro que o seu quadrado aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número? 03. Determine os valores reais de k para que: a) {k ∈ IR / k < 11};

b) k = 1 ou k = -1/3.

a) A equação x2 – 6x + (k – 2) = 0 tenha duas raízes reais e distintas? b) A equação kx2 – (k – 1)x + (k – 1) = 0 tenha duas raízes reais e iguais?

04. Determine o valor de k para que a soma das raízes da equação 2x2 + (2k – 2)x + 1 = 0 seja – 3. 4 05. Sejam x1 e x2 as raízes da equação x2 + 2x + 14 = 0, determine: a) -2; b) 14; c) -24; d) -1/7.

a) x1 + x2 b) x1 ⋅ x2 c) x12 + x22 d)

1 1 + x1 x2

06. Obtenha uma equação polinomial do 2º grau de coeficientes inteiros cujas raízes são: a) x2 + 5x – 6 = 0; b) x2 + 12x + 32 = 0; c) 2x2 – 9x + 4 = 0.

a) 1 e –6 b) –4 e –8 c) 1/2 e 4

Exercícios Complementares

03. (Epcar SP) Um grupo de n alunos sai para lanchar e vai a uma pizzaria. A intenção do grupo é dividir igualmente a conta entre os n alunos, pagando, cada um, p reais. Entretanto, 2 destes alunos vão embora antes do pagamento da referida conta e não participam do rateio. Com isso, cada aluno que permaneceu teve que pagar (p + 10) reais. Sabendo que o valor total da conta foi de 600 reais, marque a opção incorreta. a) O valor que cada aluno que permaneceu pagou a mais corresponde a 20% de p.

b) n é um número maior que 11. c) p é um número menor que 45. d) O total da despesa dos dois alunos que saíram sem pagar é maior que 80 reais. 04. Dois operários juntos executam certa tarefa em 6 dias. Trabalhando sozinho, o primeiro gasta 5 dias a mais que o segundo se o mesmo executasse tal tarefa sozinho. Quantos dias gastaria o segundo para executar tal tarefa sozinho? 10 dias 05. Determine o valor de k para que as raízes x1 e x2 da equação x2 – 3x + k = 0 sejam números tais que 2x1 + 3x2 = 11. 06. (IF SP) Considere a equação do 2º grau, em x, dada por 2x2 + bx + c = 0. Se as raízes dessa equação são r1 = 2 e r2 = –3, então a diferença b – c é igual a: a) 8 b) 14 c) 19 d) 23 e) 27 07. (Espm SP) Se as raízes da equação 2x2 – 5x – 4 = 0 são m e 1 1 n, o valor de + é igual a: m n a) –5/4 b) –3/2 c) 3/4 d) 7/4 e) 5/2

273

A03  Equações polinomiais do 2o grau

01. Resolva, em IR, as equações a seguir: x2 3 a) S = {3/2}; a) x - = 3 4 b) S = {−1 ± 3}; x -2 x c) S = {1, 4}; = 1+ b) x x -1 d) S = {2, 5}. 3( x - 1) 9-x 4 c) + = 2 x -2 2 8 x 2 d) = x + 1 x - 1 ( x + 1) ⋅ ( x - 1) 02. (Puc MG) Os 120 alunos de uma academia militar estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de alunos em cada fila supere em 7 o número de filas. Com base nessas informações, pode-se estimar que o número de alunos em cada fila e igual a: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO A04

ASSUNTOS ABORDADOS nn Sistemas de equações do 2º grau nn Sistemas de equações do 2º grau

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU O Dia das Crianças é uma data comemorada em diferentes países. De acordo com a história e o significado da comemoração, cada país escolhe uma determinada data. Contudo, o Fundo das Nações Unidas para a Infância (UNICEF) convencionou o dia 20 de novembro para se comemorar o dia das crianças. A escolha dessa data deu-se porque nesse mesmo dia, no ano de 1959, o UNICEF oficializou a Declaração dos Direitos da Criança. Nesse documento, estabeleceu-se uma série de direitos válidos a todas as crianças do mundo, como alimentação, amor e educação. No caso do brasileiro, a tentativa de padronizar uma data para as crianças aconteceu em 1923, na cidade do Rio de Janeiro, então capital do Brasil, ao sediar o 3º Congresso Sul-Americano da Criança. No ano seguinte, aproveitando a recente realização do evento, foi elaborado o projeto de lei que estabelecia a data de 5 de novembro como sendo o dia das crianças. Contudo, o decreto nº 4867, instituiu 12 de outubro como data oficial para comemoração do Dia das Crianças. Aproveitando essas datas comemorativas, as lojas implementam promoções e outros meio de mídia para aumentar suas vendas. Nesse contexto, é importante o emprego da matemática. Por exemplo, uma loja de brinquedos obteve um total de R$ 900,00 pelas vendas de certo brinquedo. No mês de novembro, a loja decidiu dar um desconto para estimular as vendas, baixando o preço desse brinquedo em R$ 10,00. Com isso, vendeu em novembro 5 brinquedos a mais do que em outubro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas vendas de novembro. Qual o preço desse brinquedo em outubro? Representando por x a quantidade de brinquedos vendidos e por y o preço unitário do brinquedo, podemos obter as seguintes sentenças: nn No mês de outubro, foram vendidos x brinquedos por y reais cada um, gerando

uma receita de R$ 900,00.

x ⋅ y = 900 nn No

mês de novembro, foram vendidos x + 5 brinquedos por y – 10 reais cada um, gerando uma receita de R$ 1.000,00. (x + 5) ⋅ (y – 10) = 1.000

Essas duas equações juntas formam um sistema de duas equações do 2º grau com duas variáveis, que é indicado por:

Fonte: Philip Lange / Shutterstock.com

900 x ⋅ y =  1.000 ( x + 5 ) ⋅ ( y - 10 ) =

274

Matemática e suas Tecnologias

As soluções desse tipo de sistema são dadas pelos pares ordenados (x, y) que satisfazem ambas as equações. Já seu conjunto solução (ou verdade) é formado por esses pares ordenados. Note que, para x = 15 (quantidade de brinquedos) e y = 60 (preço de cada brinquedo), obteremos as duas sentenças verdadeiras a seguir:

900 15 ⋅ 60 =  1.000 (15 + 5 ) ⋅ ( 60 - 10 ) = Portanto, a solução desse sistema (no contexto da questão) é o par ordenado (15, 60) e seu conjunto solução (ou verdade) é S = {(15, 60)}.

Sistemas de equações do 2º grau Muitos problemas matemáticos são resolvidos por meio das soluções comuns a duas ou mais equações. Se as equações envolvidas recaem em equações polinomiais do 2º grau, então dizemos que elas formam um sistema de equações do 2º grau. Nesta aula, trataremos apenas dos sistemas de equação do 2º grau com duas variáveis. Para resolver esses sistemas, vamos utilizar o método da substituição.

EXEMPLOS

RESOLUÇÃO Vamos resolver esse sistema por substituição. Isolando y na primeira equação, temos: y=4–x Substituindo na segunda equação, temos: (4 – x)2 – x⋅(4 – x) = 6 ⇒ 16 – 8x + x2 – 4x + x2 = 6 2x2 – 12x + 10 = 0 ⇒ x2 – 6x + 5 = 0 ∆ = (−6)2 – 4⋅1⋅5 = 36 – 20 = 16 -(-6) ± 16 6 ± 4 ⇒ x’ = 5 e x” = 1 = x = 2 ⋅1 2 Substituindo na primeira equação, temos: Para x = 5 ⇒ 5 + y = 4 ⇒ y = 4 – 5 ⇒ y = −1 Para x = 1 ⇒ 1 + y = 4 ⇒ x = 4 – 1 ⇒ y = 3 Portanto, seu conjunto solução é S = {(5, -1), (1, 3)}. 02. Determine as dimensões de uma fazenda na forma de um retângulo sabendo-se que sua divisa (perímetro) tem 32 km de extensão e sua área é 60 km2. RESOLUÇÃO Sendo x a medida do comprimento e y a medida da largura da fazenda, temos que: 32 16 2x + 2y = x + y = ⇒   xy = 60 xy = 60

Vamos resolver esse sistema por substituição. Isolando y na primeira equação, temos: y = 16 – x Substituindo na segunda equação, temos: x⋅(16 – x) = 60 16x – x2 = 60 –x2 + 16x – 60 = 0 ∆ = (16)2 – 4⋅(–1)⋅(–60) = 256 – 240 = 16

= x

-(16) ± 16 -16 ± 4 = -2 2 ⋅ (-1) x’ = 10 e x” = 6

Substituindo na primeira equação, temos: Para x = 10 ⇒ 10 + y = 16 ⇒ y = 16 – 10 ⇒ y = 6 Para x = 6 ⇒ 6 + y = 16 ⇒ x = 16 – 6 ⇒ y = 10 Portanto, as dimensões do terreno são 10 km e 6 km. 03. A quantidade de pares sapatos que Joaquim possui é um número tal que seu quadrado subtraído de 14 resulta no quíntuplo dessa quantidade. A04  Sistema de equações do 2° grau

4 x + y = 01. Resolva o sistema com  2 de duas equações do 2º grau 6 y - xy = duas variáveis.

RESOLUÇÃO Sendo x a quantidade de sapatos que Joaquim possui, temos que: x2 – 14 = 5x x2 – 5x – 14 = 0 ∆ = (–5)2 – 4⋅1⋅(–14) = 25 + 56 = 81 -(-5) ± 81 5 ± 9 = x = 2 ⋅1 2 x’ = 7 e x” = –2 Portanto, Joaquim possui 7 pares de sapatos.

275

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Resolva os sistemas de equações do 2º grau com duas variáveis a seguir: 4 x - y = a)  2 2 80 x + y = 9 x + y = b)  2 2 67 x + xy + y = 5 x - y = c)  2 91 3x - 4xy = a) S = {(8, 4), (-4, -8)}; b) S = {(2, 7), (7, 2)}; c) S = {(7, 2), (13, 8)}.

02. Um segmento de medida 20 cm foi dividido em duas partes, de modo que, o produto das medidas dessas partes foi igual

Determine, em metros, a diferença entre as dimensões que o estande deve ter: a) 2,0 b) 1,5 c) 3,0 d) 2,5 e) 1,0 04. Obtenha dois números reais tais que sua soma seja 27 e a soma dos seus inversos seja 1/6. 18 e 9

05. (UFG GO) Uma loja vende Q caixas de certo tipo de buchas

a 96. Determine a medida de cada uma das partes.

plásticas por R$ 480,00. Para acabar com o estoque dessas

12 cm e 8 cm

buchas, a loja anuncia um desconto de R$ 8,00 no preço

03. (UTF PR) Fulano vai expor seu trabalho em uma feira e rece-

de cada caixa, de modo que o preço de Q + 2 caixas des-

beu a informação de que seu estande deve ocupar uma área

sas buchas ainda é R$ 480,00. Diante do exposto, calcule

retangular de 12 m2 e perímetro igual a 14 m.

o valor de Q.

Exercícios Complementares 01. Resolva os sistemas de equações do 2º grau com duas variáveis a seguir: 2 x + y = a)  4xy = 3 4 x + y = b)  2 6 x - xy =

88 ( x + 2) ⋅ ( y + 2) = c)  xy 54 =  a) S = {(3/2, 1/2), (1/2, 3/2)}; b) S = {(3, 1), (-1, 5)}; c) S = {(6, 9), (9, 6)}.

02. Um fazendeiro quer construir um galinheiro no formato

A04  Sistema de equações do 2° grau

a 30. Já a diferença entre os quadrados desses mesmos números é igual a −120. Logo, o produto desses dois números inteiros é igual a: a) 154 b) 108 c) 80 d) −105 e) −221

retangular aproveitando um muro já existente em sua fa-

05. (Espm SP) Uma costureira pagou R$ 135,00 por certa quan-

zenda. Sabendo que ele tem 14 m de tela para fazer o ga-

tidade de metros de um tecido. Ao passar pela loja vizinha,

linheiro com 24 m2 de área, quanto deve medir cada lado

notou que o metro desse mesmo tecido estava R$ 2,00 mais

desse galinheiro?

barato que na anterior. Comprou, então, um metro a mais

3me4m

03. (Unicamp SP) Uma transportadora entrega, com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas operacionais, em certo dia cada caminhão foi carregado com 500 kg a menos que o usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões. a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia? b) Quantos quilogramas transportou cada caminhão naquele dia?

a) 24 caminhões; b) 2.500 kg

276

04. (Ibmec SP) A diferença entre dois números inteiros é igual

do que na primeira compra, gastando R$ 130,00. Considerando-se as duas compras, o total de metros de tecido que ela comprou foi: a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (UFRJ) Maria faz hoje 44 anos e tem dado um duro danado para sustentar suas três filhas: Marina, de 10 anos, Marisa, de 8 anos e Mara, de 2 anos. Maria decidiu que fará uma viagem ao Nordeste para visitar seus pais, no dia do seu aniversário, quando sua idade for igual à soma das idades de suas três filhas. Com que idade Maria pretende fazer a viagem? 56 anos 02. (Enem MEC) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre: a) 4,0 m e 5,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m. 03. (OBEP) Carlos poderá aposentar-se quando a soma de sua idade com o número de anos que ele trabalhou for 100. Quando Carlos fez 41 anos, ele já havia trabalhado 15 anos. Qual é a idade mínima que ele deverá ter para poder se aposentar? a) 59 b) 60 c) 61 d) 62 e) 63 04. (UECE) Num certo instante, uma caixa-d’água está com um volume de líquido correspondente a um terço de sua capacidade total. Ao retirarmos 80 litros de água, o volume restante na caixa corresponde a um quarto de sua capacidade total. Nesse instante, o volume de água, em litros, necessário para encher totalmente a caixa-d’água é: a) 720 b) 740 c) 700 d) 760

05. (IF PE) Cristina resolveu empilhar seus 48 livros de duas coleções, de Matemática e de História. Seus livros de Matemática possuem 8 cm de espessura cada um, enquanto que os livros de História possuem 5 cm de espessura cada um. No fim da organização, Cristina viu que a pilha de livros tinha 321 cm de altura. Quantos livros de Matemática Cristina possui? a) 27 b) 25 c) 23 d) 22 e) 21 06. (Enem MEC) Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco. Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos. Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão, respectivamente. a) 58 g e 456 g b) 200 g e 200 g c) 350 g e 100 g d) 375 g e 500 g e) 400 g e 89 g 07. (Uespi PI) João e Maria são irmãos. Se o número de irmãs de João é o dobro do número de irmãos (sexo masculino), e Maria tem igual número de irmãos (sexo masculino) e irmãs, quantos são os filhos da família? a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 08. (Puc Campinas SP) Certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. 277

Matemática

O total de alunos que fazia prova nessa sala era: a) 96 b) 98 c) 108 d) 116 e) 128 09. (UTF PR) A equação 3x – 5x + c = 0 admite o número 2 como raiz, então o valor de c é igual a: a) 26 b) -22 c) -2 d) 6 e) 1 2

10. (Unicamp SP) Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel. Somados, os homens despendem R$ 2.400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem. Denotando por x o número de homens do grupo, uma expressão que modela esse problema e permite encontrar tal valor é: a) 2400x = (2400 + 64x)⋅(40 – x) b) 2400 (40 – x) = (2400 – 64x)x c) 2400x = (2400 − 64x)⋅(40 − x) d) 2400 (40 – x) = (2400 + 64x)x 11. (Obmep) No dia de seu aniversário em 2006, o avô de Júlia disse a ela: “Eu nasci no ano x2 e completei x anos em 1 980. Quantos anos eu completo hoje?”.

13. (UFCE) Os reais não nulos p e q são tais que a equação x2 + px + q = 0 tem raízes ∆ e 1 – ∆, sendo que ∆ denota o discriminante dessa equação. Assinale a opção que corresponde ao valor de q: a) -1 b) -1/2 c) 1/4 d) 3/16 e) 7/8 14. (Unifoa MG) Se y e z são as raízes da equação polinomial x2 – mx + n = 0 calcule, em função de m e n, y2 + z2: a) y2 + z2 = m + n b) y2 + z2 = m – 2n2 c) y2 + z2 = m.n d) y2 + z2 = m2 + n2 e) y2 + z2 = m2 – 2n 15. (Espm SP) As raízes da equação 3x2 + 7x – 18 = 0 são α e β. O valor da expressão α2β + αβ2 – α – β é: a) 29/3 b) 49/3 c) 31/3 d) 53/3 e) 26/3 16. (IF CE) Se x1 e x2 são as raízes da equação 3x2 – 5x + (p – 2) = 0, onde p é um número real, e sabendo-se que

1 1 5 + =, pox1 x2 2

FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

de-se concluir corretamente que: a) p = –2 b) p = –8/5 c) p = 0 d) p = 2 e) p = 4

A resposta certa é: a) 61 b) 64 c) 67 d) 70 e) 72 12. (Cefet RJ) Para qual valor de a, a equação (x – 2) (2ax – 3) + (x – 2) ⋅ (–ax + 1) = 0 tem duas raízes reais e iguais? a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 278

17. Uma grande empresa de publicidade, responsável pela divulgação de um show de rock, recebeu 180 convites da organização geral do evento para distribuir entre seus funcionários. Decidiu-se que, somente, os setores de Atendimento e de Planejamento da empresa receberiam, cada um, 90 convites. Dentro de cada setor, os convites seriam divididos igualmente pelos respectivos funcionários. Feita a distribuição, cada funcionário do atendimento acabou recebendo 4 convites a mais do que cada funcionário do planejamento. Sabendo que os dois setores da empresa possuem, juntos, 60 funcionários, podemos afirmar que: a) cada funcionário do atendimento recebeu 6 convites. b) cada funcionário do planejamento recebeu 4 convites. c) o setor de atendimento possui mais de 20 funcionários. d) o setor de planejamento possui menos de 40 funcionários.

Matemática e suas Tecnologias

19. (IF BA) Um produtor de cinema faz um documentário sobre os mistérios da natureza, composto por 60 curtas metragens de 8 minutos cada. Se ele resolvesse colocar cada curta metragem com duração de 3 minutos, o número de curtas metragens que comporiam o documentário seria de: a) 23 b) 60 c) 90 d) 160 e) 260 20. (UCB DF) Como funciona a aposentadoria por tempo de contribuição com a fórmula 85/95? A fórmula 85/95 é uma alternativa ao fator previdenciário. Quem se enquadra nessa regra para se aposentar tem direito a receber a aposentadoria integral, sem precisar do fator previdenciário. Os números 85 e 95 representam a soma da idade da pessoa e do tempo de contribuição dela para o Instituto Nacional do Seguro Social (INSS), sendo que 85 é para mulheres, e 95 para homens. Isso não quer dizer que a mulher precise ter 85 anos de idade e o homem, 95 anos. É a soma da idade com o tempo de contribuição. Disponível em: <http://economia.uol.com.br/empregos-e-carreiras/noticias/ redacao/2015/07/04/entenda-como-funciona-a-regra-8595.htm>. Acesso em: 18 set. 2016, com adaptações.

Considere hipoteticamente que o casal Paulo e Renata começará no primeiro emprego esta semana. Coincidentemente eles fazem aniversário no mesmo dia. Ao fazer os cálculos, chegaram corretamente à conclusão de que poderão se aposentar, de acordo com a regra 85/95, na mesma data. Sabendo que Renata tem hoje 19 anos, qual será, em anos, a idade de Paulo à época da aposentadoria? a) 52 b) 57 c) 62 d) 67 e) 70

21. (UEPG PR) Uma loja de cosméticos comprou 60 vidros de esmalte da marca M e 40 vidros da marca R, pagando no total R$ 190,00. Se a razão entre os preços unitários dos esmaltes M e R é de 3 para 5, nessa ordem, assinale o que for correto. Gab: 06 01. A diferença entre os preços unitários das duas marcas é de R$ 1,50. 02. Se a loja tivesse comprado 50 vidros de cada marca, teria pago R$ 10,00 a mais. 04. Se a loja tivesse comprado todos os 100 vidros de esmalte da marca M, teria pago R$ 40,00 a menos. 08. Se a loja tivesse comprado todos os 100 vidros de esmalte da marca R, teria pago R$ 40,00 a mais. 22. (Fuvest SP) João tem R$ 150,00 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja A, as canetas são vendidas em dúzias, cada dúzia custa R$ 40,00 e há apenas 2 dúzias em estoque. Na loja B, as canetas são vendidas em pares, cada par custa R$ 7,60 e há 10 pares em estoque. Na loja C, as canetas são vendidas avulsas, cada caneta custa R$ 3,20 e há 25 canetas em estoque. O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas A, B e C utilizando no máximo R$ 150,00 é igual a a) 46 b) 45 c) 44 d) 43 e) 42 23. (Unicesumar SP) Juliana e Isabela jogaram 11 partidas de um jogo de tabuleiro, a primeira valendo 13 pontos e cada partida seguinte valendo 4 pontos a mais que o da partida anterior. Nesse jogo não há empates e quem vence uma partida ganha os pontos correspondentes. Quantos pontos fez Juliana, sabendo que depois das 11 partidas ela ganhou 5 pontos a mais do que Isabela? a) 185 b) 184 c) 183 d) 182 e) 181 24. (Unicesumar SP) Para a aplicação de uma prova de proficiência em língua estrangeira, o comitê organizador tem a sua disposição todas as salas de aula de um prédio. Pensou-se inicialmente em colocar 27 alunos por sala, exceto uma sala, que ficaria com apenas 12 alunos. Finalmente, ficou decidido que duas salas não seriam utilizadas e todas as demais receberiam grupos de 30 alunos. O número de alunos que irão prestar essa prova é múltiplo de a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 17 279

FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

18. (IF BA) Feita uma pesquisa com três clubes de futebol, em certo campeonato, com relação aos números de gols, foi verificado que juntos totalizaram 96 gols. O clube “Vamos Nessa” marcou a metade dos gols que o clube “Vamos com Tudo” e o clube “Só Alegria” marcou o triplo de gols que o clube “Vamos Nessa”. Sendo assim, o número de gols marcados pelo clube “Só Alegria” foi: a) 48 b) 45 c) 38 d) 35 e) 28

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FRENTE

MATEMÁTICA Por falar nisso Em busca de uma definição Ao longo da História, grandes matemáticos tentaram definir o termo “conjunto”. Dentre as tentativas de definição, podemos destacar: • Nicolas Bourbaki: “Um conjunto é formado de elementos suscetíveis de possuírem certas propriedades e de terem entre si, ou com elementos de outros conjuntos certas relações.” • Georg Cantor: “Chama-se conjunto o agrupamento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados os elementos do conjunto.” Grandes esforços foram despendidos em busca de tal definição, porém sem muito sucesso. Para pôr fim a essa discussão, chega-se ao consenso de que o termo “conjunto” (assim como o ponto e a reta) é um conceito primitivo, ou seja, não passível de definição. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

B01 B02 B03 B04

Conjuntos - definição, classficação, representação e igualdade.. 282 Relações de pertinência, relações de inclusão e igualdade.......... 286 Conjuntos - operações.................................................................. 291 Problemas sobre conjuntos finitos – parte I................................. 297

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B01

ASSUNTOS ABORDADOS nn Conjuntos - definição, classfica-

ção, representação e igualdade

nn A Linguagem simbólica matemática nn O que é um conjunto? nn Representações nn Classificação nn Conjuntos iguais

CONJUNTOS - DEFINIÇÃO, CLASSFICAÇÃO, REPRESENTAÇÃO E IGUALDADE Segundo os profissionais de Educação Física, os jogos esportivos coletivos se caracterizam-se pelo confronto por equipes, sendo delimitados pelo espaço, tempo e situação, contendo um sistema de referências com vários componentes, como colegas, adversários, bola, campo de jogo etc. Em se tratando de jogos escolares, para se formar as equipes, normalmente formam-se grupos de alunos utilizando como critério de escolha alguma característica comum; por exemplo, serem da mesma classe, da mesma série etc. Na Matemática, também se utiliza a ideia de agrupar elementos segundo alguma característica comum. Intuitivamente, ao agrupar tais elementos na Matemática, iremos formar conjuntos.

A Linguagem simbólica matemática

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Na teoria dos conjuntos, utilizaremos determinados símbolos em algumas definições. Observe-os no quadro abaixo.

282

Símbolo

Significado

tal que

∃

existe pelo menos um

∃|

existe um único

∀

qualquer que seja ou para todo

⇒

implica

⇔

equivalente

∴

portanto

menor

maior

≤

menor ou igual

≥

maior ou igual

Matemática e suas Tecnologias

O que é um conjunto? Conjunto é um conceito primitivo (não tem definição) que indica agrupamento de elementos (outro conceito primitivo) sob determinadas condições. Por exemplo: nn Um

time de futebol é um conjunto de jogadores e cada um desses jogadores é um elemento desse conjunto.

Representações Podemos representar os conjuntos de três maneiras: por enumeração, por propriedade ou por diagramas. Para nomear os conjuntos, vamos utilizar as letras maiúsculas do nosso alfabeto. Por enumeração: O conjunto é expresso por meio da citação dos seus elementos separados por vírgula e entre chaves. Por exemplo: nn A = {janeiro, fevereiro, março}. Por propriedade: O conjunto é expresso por meio de uma propriedade que caracteriza seus elementos. Por exemplo: nn B = {x | x é uma letra da palavra estudo}. Por diagramas de Venn-Euler: O conjunto é expresso por meio de uma linha fechada de modo que seus elementos estejam localizados no seu interior.

B01  Conjuntos − definição, classificação, representação e igualdade

Por exemplo:

Classificação Os conjuntos podem ser classificados em: Conjunto vazio: É aquele conjunto que não possui elemento algum. Os símbolos utilizados para indicar conjunto vazio são ∅ ou { }. Por exemplo: nn D = {x | x é um dia da semana que começa com a letra A}. Conjunto unitário: É aquele conjunto que possui exatamente um elemento. Por exemplo: nn E = {x | x é um dia da semana que começa com a letra D}. 283

Matemática

Conjunto universo: É aquele que possui todos os elementos necessários para a realização de determinado estudo. Vamos utilizar a letra U para indicar o conjunto universo. Por exemplo: nn Ao se realizar uma pesquisa entre os alunos do 3a série A

sobre quais áreas do conhecimento (exatas, humanas e natureza) eles têm maior afinidade, o conjunto universo é aquele formado apenas pelos alunos do 3a série A. Conjunto finito: É aquele que é possível contar todos os seus elementos um a um. Simbolicamente, indicamos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Por exemplo: nn A = {1, 2, 3, ..., 19, 20} é um conjunto finito com 20 elementos, ou seja, n(A) = 20.

Conjunto infinito: É aquele que não é possível contar todos os seus elementos um a um. Por exemplo: nn B = {1, 3, 5, 7, ...} que possui infinitos elementos, ou seja, é um conjunto infinito.

Conjuntos iguais Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuírem os mesmos elementos. Por exemplo: nn C = {1, 2, 3, 4, 5} e D = {3, 2, 1, 4, 2, 3, 5} possuem os mesmos elementos, portanto são iguais. Note que n(C) = 5 e n(D) = 5. Assim, o fato de alguns elementos se repetirem no conjunto D não o alteram, portanto D = {3, 2, 1, 4, 2, 3, 5} = {3, 2, 1, 4, 5} = C.

EXEMPLOS 01. Escreva os conjuntos a seguir enumerando seus elementos. a) A = {x | x é um estado da região Sul}. b) B = {x | x é um dia da semana que começa com a letra s}. c) C = {x | x é uma nota musical natural da escala natural}. RESOLUÇÃO a) A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}. b) B = {segunda-feira, sexta-feira, sábado}. c) C = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}. 02. Escreva os conjuntos a seguir utilizando uma propriedade. a) A = {São Paulo, Palmeiras, Corinthians, Santos}. b) B = {verde, branco, vermelho}. c) C = {a, e, i, o, u}.

B01  Conjuntos − definição, classificação, representação e igualdade

RESOLUÇÃO a) A = {x | x é time de futebol do estado de São Paulo}. b) B = {x | x é cor da bandeira da Itália}. c) C = {x | x é vogal}. 03. Escreva os conjuntos a seguir enumerando seus elementos.

04. Dado o conjunto U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}, escreva os conjuntos a seguir enumerando seus elementos e, em seguida, classifique-os em finito e infinito. a) b) c) d)

A = {x é um elemento de U| 2 < x < 6}. B = {x é um elemento de U |x é ímpar e x ≤ 9}. C = {x é um elemento de U | x é par e x ≥ 8}. D = {x é um elemento de U | x é primo e menor que 15}. RESOLUÇÃO

a) b) c) d)

A = {3, 4, 5} é um conjunto finito e n(A) = 3. B = {1, 3, 5, 7, 9} é um conjunto finito e n(B) = 5. C = {8, 10, 12, 14, 16, ...} é um conjunto infinito. D = {2, 3, 5, 7, 11, 13} é um conjunto finito e n(D) = 6.

05. Classifique cada um dos conjuntos a seguir em unitário ou vazio. a) A = {x | x é um número real e x2 + 9 = 0}. b) B = {x | x é o ponto de intersecção de duas retas paralelas}. c) C = {x | x é um número natural, par e primo}. RESOLUÇÃO a) x2 + 9 = 0 ⇒ x2 = −9. Logo, não existe o real x. Portanto, A = ∅, ou seja, é um conjunto vazio. b) Não há ponto de intersecção entre duas retas paralelas. Portanto, B = ∅, ou seja, é um conjunto vazio. c) O único número natural, par e primo é o 2. Portanto, C = {2}, ou seja, é um conjunto unitário. 06. Considere os conjuntos A = {2, 3, 7}, B = {6, 11, x}, C = {2, y, 7} e D = {6, 11}. Para quais valores de x e y temos que A = C e B = D? RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO A = {1, 2, 4, 7, 9}. B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. C = {7, 8, 9, 10}.

284

A = C ⇒ {2, 3, 7} = {2, y, 7} ∴ y = 3. B = D ⇒ {6, 11, x} = {6, 11} ∴ x = 6 ou y = 11.

Matemática e suas Tecnologias Gabarito questão 03 a) A = {x | x é fase da lua} b) B = {x é elemento de U | x < 8}

c) A = {x | x é cor da bandeira do Brasil} d) D = {x é elemento de U | x é primo e 7 ≤ x ≤ 23} e) E = {x | x2 é elemento de U e 1 ≤ x ≤ 7}

Exercícios de Fixação Para resolver as questões de 1 a 5, considere o conjunto universo U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. 01. Expresse os conjuntos a seguir enumerando os seus elementos.

03. Expresse os conjuntos a seguir utilizando uma propriedade que caracteriza os seus elementos. a) A = {nova, crescente, cheia, minguante}. b) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. c) C = {verde, amarelo, azul, branco}. d) D = {7, 11, 13, 15, 17, 19, 23}. e) E = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}. 04. Classifique cada um dos conjuntos a seguir em vazio ou unitário. a) unitário; b) vazio; c) unitário; d) vazio; e) unitário

a) A = {x | x é vogal da palavra mala}. b) B = {x | x é polígono que possui 2 lados}. c) C = {x | é um elemento de U e x2 = 25}. d) D = {x | x é um elemento de U, primo e 25 < x < 28}. e) E = {x | x é medida dos lados de um quadrado}.

A = {0, 1, 3, 7, 8, 9} B = {2, 4, 6, 7, 8, 10} C = {-8, -4, -2, 8, 9, 10}

02. Expresse os conjuntos a seguir enumerando os seus elea) A = {7, 8, 9, 10, 11, 12} d) D = {0, 5, 10, 15} mentos. b) B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} e) D = {5} c) C = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

a) A = {x | x é elemento de U e 7 ≤ x ≤ 12}. b) B = {x | x é elemento de U, primo e x < 23}. c) C = {x | x é elemento de U e divisor de 18}. d) D = {x | x é elemento de U, múltiplo de 5 e x < 19}. e) E = {x | é um elemento de U e x2 + x – 30 = 0}.

05. Classifique cada um dos conjuntos a seguir em finito ou infinito. a) A = {x | x é algarismo do numeral 1 567 765}. b) B = {x é um elemento de U | x é natural primo}. c) C = {x é um elemento de U | x é maior que 4}. d) D = {x | x é vogal da palavra paralelogramo}. e) E = {x | x é número da face de um dado comum}.

a) finito; b) infinito; c) infinito; d) finito; e) finito.

Para resolver as questões 01 e 02, considere o conjunto IN = {0,1, 2, 3, 4, ...} 01. Expresse cada um dos conjuntos a seguir enumerando seus elementos. a) A = {x é um elemento de IN | x ≥ 8}. b) B = {x é um elemento de IN | x ≤ 6}. c) C = {x é um elemento de IN | 4 < x < 11}. d) D = {x é um elemento de IN | x < 5}. a) A = {8, 9, 10, 11, ...} c) C = {5, 6, 7, 8, 9, 10} b) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} d) D = {0, 1, 2, 3, 4}

02. Indique os elementos dos conjuntos a seguir por uma propriedade comum a todos os seus elementos: a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. b) B = {8, 12, 16, 20}

a) A = {x | x é elemento de IN e x < 6} b) B = {x | é elemento de IN, múltiplo de 4 e 8 ≤ x ≤ 20} c) C = {x | x3 é elemento de IN e 1 ≤ x ≤ 6} d) D = {x | x é elemento de IN, ímpar e x < 10}

c) C = {1, 8, 27, 64, 125, 216} d) D = {1, 3, 5, 7, 9} 03. (Fatec-SP) Considere a sentença: Para qualquer elemento x, do conjunto M, tem-se x2 > x.

Assinale a alternativa que apresenta um possível conjunto M. a) {-2, -1/2, 1/2} d) {-1, 1, 2} b) {-1/2, 0, 2} e) {0, 1/2, 1} c) {-2, -1/2, 2} 04. Dado o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}, escreva, enumerando seus elementos, os seguintes conjuntos. a) A = {1, 4}; b) B = {1}; c) C = ∅

a) A = {x | x é elemento de U e (x – 1)⋅(x – 4)⋅(x + 6) = 0}. b) B = {x | x é elemento de U e x2 + 4x – 5 = 0}. c) C = {x | x é elemento de U e 2x – 5 = 0}. 05. (Puc RJ) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que: a) x = 0 e y = 5. b) x + y = 7. c) x = 0 e y = 1. d) x + 2y = 7. e) x = y.

285

B01  Conjuntos − definição, classificação, representação e igualdade

Exercícios Complementares

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B02

nn Relações de pertinência, relações

de inclusão e igualdade nn Relações de pertinência nn Relações de inclusão nn Conjuto das partes

RELAÇÕES DE PERTINÊNCIA, RELAÇÕES DE INCLUSÃO E IGUALDADE

#TÁ NA MÍDIA

Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Historicamente, a matemática é extremamente eficiente na descrição dos fenômenos naturais. O prêmio Nobel Eugene Wigner escreveu sobre a “surpreendente eficácia da matemática na formulação das leis da física, algo que nem compreendemos, nem merecemos”. Toquei outro dia na questão de a matemática ser uma descoberta ou uma invenção humana. Aqueles que defendem que ela seja uma descoberta creem que existem verdades universais inalteráveis, independentes da criatividade humana. Nossa pesquisa simplesmente desvenda as leis e teoremas que estão por aí, existindo em algum metaespaço das ideias, como dizia Platão. Nesse caso, uma civilização alienígena descobriria a mesma matemática, mesmo se a representasse com símbolos distintos. Se a matemática for uma descoberta, todas as inteligências cósmicas (se existirem) vão obter os mesmos resultados. Assim, ela seria uma língua universal e única. Os que creem que a matemática é inventada, como eu, argumentam que nosso cérebro é produto de milhões de anos de evolução em circunstâncias bem particulares, que definiram o progresso da vida no nosso planeta. Conexões entre a realidade que percebemos, como e abstrações geométricas e algébricas são resultado de como vemos e interpretamos o mundo. Em outras palavras, a matemática humana é produto da nossa história evolutiva e, nesse contexto, os conjuntos numéricos são uma das grandes invenções humanas. Marcelo Gleiser, Beleza e verdade Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br/fsp/ciencia/fe3105200902.htm>. Acesso em 14 fev.2017.

Por exemplo, em um levantamento com 60 alunos de uma classe, verificou-se que 40 alunos estudaram Matemática, 30 estudaram Física e 10 não estudaram Matemática nem Física. Sendo A o conjunto formado pelos alunos que estudaram Matemática e B o conjunto formado pelos alunos que estudaram Física, podemos estabelecer que: nn Se a aluna Duda estudou Matemática, então

Duda pertence ao conjunto A. nn Se o aluno Paulo não estudou Física, en-

tão Paulo não pertence ao conjunto B. A essa relação, que foi estabelecida entre um elemento e um conjunto, denomina-se relação de pertinência. 286

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ASSUNTOS ABORDADOS

Matemática e suas Tecnologias

Relações de pertinência Dizemos que um elemento x pertence ao conjunto A (x ∈ A) quando x é um elemento do conjunto A. Por outro lado, dizemos que um elemento x não pertence ao conjunto A (x ∉ A) quando x não é um elemento do conjunto A. Por exemplo: nn No conjunto A = {a, b, c, d, e}, temos que f

∉ A e a ∈ A.

Observação: nn Os

símbolos ∈ e ∉ são utilizados para relacionar elemento com conjunto.

Relações de inclusão

Dizemos que A ⊂ B (A está contido em B) ou B ⊃ A (B contém A) quando todo elemento do conjunto A também for elemento do conjunto B. Simbolicamente: A ⊂ B ou B ⊃ A ⇔ ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B. Por outro lado, dizemos que A ⊄ B (A não está contido em B) ou B ⊃ A (B não contém A) quando algum elemento do conjunto A não for elemento do conjunto B. Simbolicamente: A ⊄ B ou B ⊃ A ⇔ ∃ x ∈ A ⇒ x ∉ B. Por exemplo: Nos conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e C = {1, 2, 8, 9}, temos que: A ⊂ B ou B ⊃ A, pois todo elemento do conjunto A também é elemento do conjunto B. Nessa situação, dizemos que o conjunto A é um subconjunto ou parte do conjunto B. Graficamente, essa situação pode ser representada por meio do diagrama de Venn-Euler a seguir:

B 5

1 3

2 A 4

B02  Relações de pertinência, relações de inclusão e igualdade

7 7

C ⊄ B ou B ⊃ C, pois nem todo elemento de C também é elemento de B. Graficamente, essa situação pode ser representada por meio do diagrama de Venn-Euler a seguir:

C 1

8 3

287

Matemática

Por exemplo:

Observação: Os símbolos ⊂, ⊄, ⊃ e ⊃ são utilizados para relacionar conjunto com conjunto. Propriedades: nn Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente, se A ⊂ B e B ⊂ A. nn Dados os conjuntos A, B e C, temos que se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.

Conjuto das partes O conjunto das partes do conjunto A, indicado por P(A), é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A.

O conjunto das partes de A = {1, 2, 3} é dado por: nn P(A)

= {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅}.

Propriedades: nn O número de elementos do conjunto das partes de um conjunto A com n elementos é dado por n[P(A)] = 2n. nn Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, ou seja, A ⊂ A qualquer que seja o conjunto A. nn O conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto, ou seja, ∅ ⊂ A qualquer que seja o conjunto A. nn Um conjunto B é subconjunto de um conjunto A se, e somente se, B é um elemento do conjunto das partes de A. Simbolicamente, temos: B ⊂ A ⇔ B ∈ P(A).

EXEMPLOS 01. Dados conjuntos A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 3, 9, 12, 15}, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). a) 1 ∈ A. b) 5 ∉ B. c) 7 ∈ B. d) 3 ∉ A. RESOLUÇÃO a) b) c) d)

C, pois 1 é elemento do conjunto A. C, pois 5 não é elemento do conjunto B. E, pois 7 não é elemento do conjunto B. E, pois 3 é elemento do conjunto A.

RESOLUÇÃO a) E, pois ⊂ relaciona conjunto com conjunto. b) C, pois todo elemento do conjunto {3, 7} também é elemento do conjunto B. c) E, pois {4} não é elemento do conjunto A. d) C, pois existe elemento do conjunto {3, 4, 7} que não é elemento do conjunto B. e) C, pois todo elemento do conjunto {1, 2, 4} também é elemento do conjunto A. 04. Dado o conjunto A = {a, {b}, {b, c}, ∅}}, com a ≠ b ≠ c, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E).

02. Dado o diagrama de Venn-Euler, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E).

a) {b} ∈ A. b) {∅, a} ∈ A. c) {a, {b}} ⊂ A.

d) ∅ ∈ A. e) {b, c} ⊂ A. RESOLUÇÃO

7 8

5 2

3 4

B02  Relações de pertinência, relações de inclusão e igualdade

a) b) c) d)

1 ∈ A. 5 ∉ B. 2 ∈ B. 6 ∉ A.

05. Escreva o conjunto das partes de A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}. RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO

a) b) c) d)

C, pois 1 é elemento do conjunto A. E, pois 5 é elemento do conjunto B. E, pois 2 não é elemento do conjunto B. E, pois 6 é elemento do conjunto A.

03. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 5, 7}, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). a) b) c) d) e)

288

2 ⊂ A. {3, 7} ⊂ B. {4} ∈ A. {3, 4, 7} ⊄ B. A ⊃ {1, 2, 4}.

a) C, pois {b} é elemento do conjunto A. b) E, pois {∅, a} não é elemento do conjunto A. c) C, pois todo elemento do conjunto {a, {b}} também é elemento do conjunto A. d) C, pois ∅ é elemento do conjunto A. e) E, pois existe elemento no conjunto {b, c} que não é elemento do conjunto A.

P(A) = {{1}, {2}, {1, 2}, ∅} P(B) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅} 06. Responda ás questões a seguir: a) Quantos subconjuntos possui um conjunto com 6 elementos? b) Quantos elementos possui um conjunto com 128 subconjuntos? RESOLUÇÃO Sabe-se que um conjunto A com n elementos possui n[P(A)) = 2n subconjuntos. Logo: a) Para n = 6, temos que: n[P(A)] = 26 ∴ n[P(A)] = 64 subconjuntos. b) Para n[P(A)] = 128, temos que: 128 = 2n ⇒ 27 = 2n ∴ n = 7 elementos.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Dados os conjuntos:

04. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, com-

A = {x | x é país da América do Sul}.

plete as afirmações a seguir com os símbolos ∈, ∉, ⊂ e ⊄ de

B = {x | x é mês do ano}.

modo a torná-las verdadeiras. ∈-⊄-⊂-⊂-∉

C = {x | x é letra da palavra matemática}.

a) 4 ___ A.

Julgue os itens a seguir em (C) ou errado (E): C-C-E-E-C-C a) Brasil ∈ A.

b) {1, 3} ___ B. c) {1} ___ A. d) {2, 6} ___ B.

b) quinta-feira ∉ B.

e) 6 ___ A.

c) m ∈ C. d) Inglaterra ∈ A.

05. Dados os conjuntos A = {3}, B = {3, 5} e C = {3, 5, 7}, de-

e) t ∈ C.

termine:

f) janeiro ∈ B.

a) P(A) = {{3}, ∅} a) P(A).

b) P(B).

02. Dados os conjuntos:

b) P(B) = {{3}, {5}, {3, 5}, ∅} c) P(C) = {{3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}, ∅}

c) P(C).

A = {3, 4, 5}.

06. Responda aos itens a seguir:

B = {2, 3, 5, 6, 7}. C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

a) Quantos subconjuntos possui um conjunto com 5 ele-

D = {3, 4, 6, 7}.

mentos?

Julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). E-E-C-C-C a) A ⊂ B. c) D ⊃ A.

b) Um conjunto que possui 256 subconjuntos, possui quantos elementos? a) 32; b) 8 07. Dado o conjunto D = {0, 1, {1}, 3}, julgue os itens a seguir em

b) B ⊂ C.

certo (C) ou errado (E).

d) C ⊄ A.

E-C-C-E-C

a) 1 ⊂ D.

e) C ⊃ D.

b) 0 ∈ D.

03. No diagrama a seguir, temos os conjuntos A, B e C não vazios.

c) {1} ∈ D. d) {0, 1} ∈ D. e) {0, {1}} ⊂ D.

seguir em certo (c) ou errado (E). C-E-E-E

a) ∃ x ∈ B | x é ímpar.

b) ∃| x ∈ B | x é primo. c) ∀ x ∈ B ⇒ (x + 1) ∈ B. d) ∃ x ∈ B | x3 ∈ B. 09. Dado conjunto U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, escreva: a) {2, 4, 6, 8, 10}; b) {2, 3, 5, 7}; c) {1, 2, 4, 8}.

a) O maior subconjunto de U constituído apenas de númeJulgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). a) B ⊂ A. b) A ⊃ C. c) B ⊄ C. d) ∅ ⊂ A.

C-C-C-C-C

ros pares. b) O maior subconjunto de U constituído apenas de números primos. c) O maior subconjunto de U constituído apenas de divisores de 8.

e) A ⊄ C.

289

B02  Relações de pertinência, relações de inclusão e igualdade

08. Dado o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, julgue os itens a

Matemática

Exercícios Complementares 01. Considere o diagrama de Venn-Euler abaixo que mostra os conjuntos A, B, C e D.

Nessa ordem, a afirmativa correta é: a) F, V, V, F, F b) V, F, F, V, F c) F, V, V, F, V d) V, F, F, V, V e) n.d.a. 06. Considere um conjunto B com n subconjuntos. Acrescentamos a esse conjunto cinco elementos distintos entre si e aos já existentes. Nessas condições, quantos elementos o novo conjunto de partes do conjunto B passará a ter?

Julgue os itens a seguir, em certo (C) ou errado (E). a) 5 ∈ B. b) 8 ∉ D. c) 1 ∈ A e 1 ∉ B. d) 2 ∉ B e 4 ∈ C. E-E-C-C

02. Dados os conjuntos: A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. B = {xy | x ∈ A, y ∈ A e x ≠ y}. Quantos elementos do conjunto B são pares?

28 elementos

B02  Relações de pertinência, relações de inclusão e igualdade

03. Dados os conjuntos: A = {3, 4}. B = {3, 4, 5, 6, 7}. C = {5, 6, 7}. D = {2, 3, 4, 5, 6}. Julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). C-E-E-C-E a) A ⊂ B. b) B ⊂ D. c) C ⊂ A. d) C ⊄ A. e) D ⊂ B. 04. Dado o conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9, 10}, escreva: a) Quatro conjuntos X, tais que n(X) = 3 e X ⊂ A. b) Três conjuntos X, tais que n(X) = 4 e X ⊂ A. b) Dois conjuntos X, tais que n(X) = 5 e X ⊂ A. a) {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {1, 3, 9} e {1, 3, 10}; b) {1, 3, 5, 7}, {1, 3, 5, 9} e {1, 3, 5, 10} c) {1, 3, 5, 7, 9} e {1, 3, 5, 7, 10}.

05. (UFG GO) Nas sentenças abaixo, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas: 01. {2} ∈ {0, 1, 2}. 02. ∅ ⊂ {5, 6, 7}. 03. ∅ ∈ {∅, 4}. 04. 5 ∈ {3, {5, 1}, 4}. 05. {5, 6} ⊃ {5, 6, 7}.

290

a) n + 5 b) n + 32 c) n5 d) 5 n e) 32 n 07. Sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}, considere os seguintes conjuntos: nn A = {x ∈ U | 2 ≤ x ≤ 5}. nn B = {x ∈ U | x = 2k + 3, com k ∈ A}. nn C = {x ∈ U | x = k2 – 1, com k ∈ A}.

Julgue os itens a seguir, em certo (C) ou errado (E). a) 4 ∈ A. b) 13 ∉ B. c) 2 ∈ A e 8 ∉ C. d) 15 ∉ B e 15 ∈ C.

C-E-E-C

08. Dados os conjuntos B = {1, 3} e P(B) = {{1}, {3}, {1, 3}, ∅}, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). C-E-E-C-C a) 3 ∈ B. b) 3 ∈ P(B). c) {1, 3} ⊄ B. d) ∅ ∈ P(B). e) B ∈ P(B). 09. (UFF RJ) Dado o conjunto P = {{0}, 0, ∅, {∅}}, considere as afirmativas: I. {0} ∈ P II. {0} ⊂ P III. ∅ ∈ P Com relação a essas afirmativas conclui-se que: a) Todas são verdadeiras. b) Apenas a I é verdadeira. c) Apenas a II é verdadeira. d) Apenas a III é verdadeira. e) Todas são falsas.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B03

CONJUNTOS - OPERAÇÕES Os alunos da turma do 1º ano do curso de Engenharia Civil foram consultados a respeito da leitura de dois artigos científicos A e B. Verificou-se que exatamente 60% dos alunos leram artigo A, 50% o artigo B e 20% não leram nenhum dos dois artigos.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Conjuntos - Operações nn União nn Intersecção nn Diferença

Nessas condições, podemos fazer as seguintes indagações: a) Qual a porcentagem de alunos que leram o artigo A ou leram o artigo B? b) Qual a porcentagem de alunos que leram o artigo A e leram o artigo B?

nn Complementar nn Complementar em relação ao conjunto universo nn Leis de Morgan

c) Qual a porcentagem de alunos que leram o artigo A e não leram o artigo B? d) Qual a porcentagem de alunos que não leram o artigo A e leram o artigo B?

Fonte: Shutterstock.com / I Believe I Can Fly

Sendo A e B os conjunto dos alunos que leram os artigos A e B, respectivamente, podemos associar operações entre esses conjuntos para responder a cada uma dessas perguntas.

291

Matemática

Operações Dados os conjuntos não vazios A e B, podemos definir as seguintes operações:

União A união entre o conjunto A e o conjunto B é definida, simbolicamente por: A ∪ B={x|x ∈ A ou x ∈ B} Assim, um elemento x pertence ao conjunto A ∪ B se, e somente se, x pertence ao conjunto A ou x pertence ao conjunto B. Por exemplo: nn Dados

os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f}, temos que: nn A ∪ B = {a, b, c, d, e, f}. Podemos representar essa operação por meio do diagrama a seguir: A

B a b

c d

e f

Propriedade: Dados os conjuntos A e B, temos que: nn A

∪ B = B ⇔ A ⊂ B.

Intersecção A intersecção entre o conjunto A e o conjunto B é definida, simbolicamente por:

A  B={x|x ∈ A ou x ∈ B} Assim, um elemento x pertence ao conjunto A ∩ B se, e somente se, x pertence ao conjunto A e x pertence ao conjunto B. Por exemplo: nn Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f}, temos que: nn A ∩ B = {c, d}. Podemos representar essa operação por meio do diagrama a seguir: A

B a b

c d

e f

Propriedades: Dados os conjuntos A e B, temos que: ∩ B = B ⇔ B ⊂ A. e B são chamados de conjuntos disjuntos e, e somente se, A ∩ B = ∅. nn n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).

B03  Conjuntos - Operações

nn A nn A

Diferença A diferença entre o conjunto A e o conjunto B, nessa ordem, é definida simbolicamente por: A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B} 292

Matemática e suas Tecnologias

Assim, um elemento x pertence ao conjunto A – B se, e somente se, x pertence ao conjunto A e x não pertence ao conjunto B. Por exemplo: nn Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f}, temos que: nn A – B = {a, b}

Complementar em relação ao conjunto universo Dado um conjunto A, contido em um conjunto universo U, o complementar do conjunto A, em relação ao conjunto U, é formado pelos elementos que não pertencem ao conjunto A. Simbolicamente, temos que:

Podemos representar essa operação por meio do diagrama a seguir: A

B a

c d

CUA= A'= A= AC Podemos representar essa operação por meio do diagrama a seguir:

f U A

Propriedade:

Dados os conjuntos A e B, temos que: nn (A

– B) ∪ (B – A) ∪ (A ∩ B) = A ∪ B.

Complementar O complementar do conjunto A em relação ao conjunto B, nessa ordem, é simbolicamente definido por: CBA = B - A se, e somente se, A ⊂ B Assim, caso se tenha A ⊂ B, um elemento x pertence ao conjunto CAB se, e somente se, x pertence ao conjunto B e x não pertence ao conjunto A.

Note que: nn Se

x ∈ A, então x ∉ AC.

nn Se

x ∉ A, então x ∈ AC.

Leis de Morgan Dados os conjuntos A e B, contidos em um conjunto universo U, temos que: nn O complementar da união de A e B é igual à intersecção

dos seus complementares. Simbolicamente, temos: AC  BC ( A ∪ B )C =

Por exemplo: nn Dados

os conjuntos A = {a, b, c} e B = {a, b, c, d, e, f}, temos que:

nn Como

A ⊂ B, CAB = B – A = {d, e, f}.

Podemos representar essa operação por meio do diagrama a seguir:

Demonstração: AC ∩ BC = {x | x ∈ AC e x ∈ BC} = {x | x ∉ A e x ∉ B} = = {x | x ∉ A ∪ B} = (A ∪ B)C nn O complementar da intersecção de A e B é igual à união

B d

a b

dos seus complementares. Simbolicamente, temos: C ( A  B )=

AC ∪ BC

c f

Observações: nn CAA = A – A = ∅. nn CAB

Demonstração:

B03  Conjuntos - Operações

AC ∪ BC = {x | x ∈ AC ou x ∈ BC} = {x | x ∉ A ou x ∉ B} = = {x | x ∉ A ∩ B} = (A ∩ B)C

não existe nos casos em que B ⊄ A.

293

Matemática

EXEMPLOS 01. Dados os conjuntos:

RESOLUÇÃO

nn U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}, nn A = {x ∈ U | x é ímpar}. nn B = {x ∈ U | 3 <x ≤ 8}. nn C = {x ∈ U | x < 6}. Determine os seguintes conjuntos: a) B ∪ C b) A ∩ C c) C – A d) (B∩ C) – A RESOLUÇÃO A = {1, 3, 5, 7, 9,...}, B = {4, 5, 6, 7, 8} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5} a) B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. b) A ∩ C = {1, 3, 5}. c) C – A = {0, 2, 4}. d) (B ∩ C) – A = {4, 5} – {1, 3, 5, 7, 9,...} = {4}. 02. Dados os conjuntos: nn U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} nn A = {2, 3, 4, 5} nn B = {4, 5, 6, 7, 8} Determine os seguintes conjuntos: a) CUA b) CUB c) CUA∪B d) CBA RESOLUÇÃO a) CUA = U – A = {0, 1, 6, 7, 8, 9, 10}. b) CUB = U – B = {0, 1, 2, 3, 9, 10}. c) CUA∪B = U – (A ∪ B) = U – {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {0, 1, 9, 10}. d) CBA não existe, pois A ⊄ B. 03. Considere o diagrama de Venn-Euler a seguir:

04. Considere os conjuntos abaixo A = {1,2,3,4,5}; B = {2,4,5, 7} e U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Sendo U o conjunto universo, determine: a) (A ∪ B)C b) (A∩ B)C RESOLUÇÃO Utilizando as leis de Morgan, temos que: B03  Conjuntos - Operações

a) (A ∪ B)C = AC ∩ BC = {6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 6, 8, 9, 10} = {6, 8, 9, 10} b) (A ∩ B)C = AC ∪ BC = {6, 7, 8, 9, 10} ∪ {1, 3, 6, 8, 9, 10} = {1, 3, 6, 7, 8, 9, 10}

Destaque a região que representa graficamente cada uma das operações com conjuntos a seguir: a) B ∪ (A ∩ C) b) A ∩ (B ∪ C) c) A – (B ∪ C) d) C ∩ (A – B)

294

05. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 5, 7, 9, 11}, determine o conjunto A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B). RESOLUÇÃO A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11} – {3, 5}= = {1, 2, 4, 7, 9, 11}.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Dados A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 5, 6, 8, 9} e C = {1, 3, 4, 6, 9, 10}, determine: a) A ∪ B b) B ∩ C c) C – A d) B – C

a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}; b) {4, 6, 9}; c) {6, 9, 10}; d) {2, 5, 8}

02. Dados A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {2, 3, 6, 12} e C = {4, 6, 7, 9, 10}, determine: a) A – (B ∪ C) b) (A ∩ B) – C c) (A – B) ∩ (C – B) d) A ∪ (B – C)

c) (A ∪ B) – (A ∩ B) d) U – (A ∩ B) 04. Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5} e C = {3, 4, 5, 6, 7}, determine: a) O complementar de B em relação a A. b) O complementar de C em relação a A. c) O complementar de A em relação a A. d) O complementar de C em relação a B. a) {6, 7, 8, 9, 10}; b) {1, 2, 8, 9, 10}; c) ∅; d) ∃

05. Considere o diagrama de Venn-Euler a seguir:

a) {8}; b) {2, 12}; c) {4, 10}; d) {2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}

03. Considere o diagrama de Venn-Euler a seguir:

Destaque a região que representa graficamente cada uma das operações com conjuntos a seguir: a) (A – B) ∪ (B – A) b) U – (A ∪ B)

Destaque a região que representa graficamente cada uma das operações com conjuntos a seguir: a) AC ∪ B a) A ∩ BC c) AC ∪ BC d) AC ∩ BC 06. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, determine a diferença simétrica entre A e B, ou seja, o conjunto: A ∆ B= (A ∪ B) – (A ∩ B).

{1, 2, 3, 6, 7}

Exercícios Complementares

nn A = {x ∈ P | x é par} nn B = {x ∈ P | x é divisor de 48} nn C = {x ∈ P | x é múltiplo de 5}

O número de elementos do conjunto (A – B) ∩ C é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 02. (UEPB) Seja U o conjunto universo de todos os alunos de uma classe composta por menino e meninas. Considere agora os seguintes subconjuntos de U:

nn A: conjunto formado pelos meninos. nn B: conjunto formado pelos alunos aprovados.

Assinale a alternativa que representa o conjunto A – B. a) Meninas reprovadas. b) Meninas aprovadas. c) Alunos reprovados. d) Meninos reprovados. e) Meninos aprovados. 03. (Ufal AL) No universo IN (naturais), sejam A o conjunto dos números pares, B o conjunto dos números múltiplos de 3 e C o conjunto dos números múltiplos de 5. Determine os 10 menores números que pertencem ao conjunto B – (A ∪ C). {3, 9, 21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69}

04. (UFRR) Em relação aos conjuntos M2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …} e M4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, …}, dos múltiplos inteiros positivos de 2 e de 4, respectivamente, é correto afirmar que:

295

B03  Conjuntos - Operações

01. (Puc MG) Considere os seguintes subconjuntos de números naturais  = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. nn P = {x ∈  | 6 ≤ x ≤ 20}

Matemática

a) M4 ∩ M2 = M4 b) M2 ⊂ M4 c) M4 ⊂ M2 d) M4 ⊄ M2 e) 64 ∉ M4

a) B = {1, 2, 3} Gabarito 09. a) não é mulher; b) não nasceram no Rio de Janeiro; c) não é maior de idade; d) não é mulher ou não é maior de idade; e) não é mulher que nasceu no Rio de Janeiro.

b) B = {1, 2, 4} c) B = {1, 2, 3, 4} d) B = {1, 2, 3, 5} e) B = {1, 2, 3, 4, 5}

05. (Cesgranrio RJ) Considere os conjuntos A, B e C a seguir:

09. Considerando o conjunto universo U de todas as pessoas que vivem na cidade do Rio de Janeiro, definem-se os seguintes

conjuntos: nn A = {x ∈ U | x é mulher}. nn B = {x ∈ U | x nasceram no Rio de Janeiro}. nn C = {x ∈ U | x é maior de idade}.

Sabendo-se que A’, B’ e C’ são os complementares de A, B e C em relação à U, respectivamente, escreva cada um dos conjunC

tos a seguir por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos. a) A’ = {x ∈ U| x __________________________ }.

A região hachurada no diagrama abaixo representa:

b) B’ = {x ∈ U| x __________________________ }.

a) A ∪ (C – B)

c) C’ = {x ∈ U| x __________________________ }.

b) A ∩ (C – B)

d) A’ ∪ C’ = {x ∈ U | x ______________________ }.

c) A ∩ (B – C)

e) (A ∩ B)’ = {x ∈ U | x _____________________ }.

d) A ∪ (B – C) e) (A ∪ B) – C

C AA∩B ∩ CBA∪B ∩ é o conjunto:

06. (Mackenzie SP) Se A = {x ∈ N / x é divisor de 60} e B = {x ∈ N / 1

a) A

≤ x ≤ 5}, então o número de elementos do conjunto das partes

b) B

de A ∩ B é um número

c) ∅

a) múltiplo de 4, menor que 48.

d) A ∩ B

b) primo, entre 27 e 33. c) divisor de 16. d) par, múltiplo de 6. e) pertencente ao conjunto {x ∈ R / 32 < x ≤ 40}. 07. (IF CE) Considere os conjuntos: nn A = {0, 1, 3, 5, 9} nn B = {3, 5, 7, 9} nn X = {x∈ |x ≤ 13}, sendo  o conjunto dos números naturais.

O conjunto CXA∪B é igual a: a) {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}. B03  Conjuntos - Operações

10. (FGV RJ) Sejam A e B dois conjuntos tais que A ∩ B = ∅, então

b) {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}. c) {2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13}. d) {2, 5, 7, 8, 12, 13}. e) {0, 1, 7, 8, 9, 10, 12, 13}. 08. (Puc RJ) Considere o conjunto A = {3, 5}. Sabendo que B ∩ A = {3} e B ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5}, determine o conjunto B.

296

e) A ∪ B 11. (Fuvest SP) Seja A∆B a diferença simétrica dos conjuntos A e B, definida pela igualdade: A∆B = (A – B)∪(B – A) Se A = {a, b, c} e B = {b, c, d, e, f}, então A∆B é o conjunto: a) {a,d,e,f} b) {a,c,d, f} c) ∅ d) {a} e) A ∩ B 12. Dados os conjuntos A, B e C, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E):

E-C-E-C

a) Se A ⊂ B, então A ∪ B = A. b) Se B ⊂ C, então B ∩ C = B. c) Se A = C, então A ∪ C = ∅. d) Se A – B = C ⇒ C ⊂ A e C ⊄ B.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B04

PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS FINITOS – PARTE I A ciência, normalmente, é cumulativa, isto é, constroem-se instrumentos mais poderosos, efetuam-se medidas mais exatas, fazem-se melhores precisões e ampliam-se os conceitos das teorias, e assim por diante. Embora os paradigmas possam mudar, as pessoas, normalmente, evoluem com base em resultados do passado, que se constituem em fundamentos de um desenvolvimento posterior. O cientista estará mais seguro em suas pesquisas e mais preparado para novos desafios se souber como seu assunto específico evoluiu historicamente, quais as dificuldades maiores, as soluções encontradas e os problemas pendentes.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Problemas sobre conjuntos fini-

tos – Parte I

Da mesma forma, na matemática, nossa noção de contagem, de funções, de conjuntos e de outros temas também evolui. À medida que aprofundamos em um determinado assunto, passamos a conhecê-lo melhor. E, claro, temos uma noção mais correta de como propor soluções para o problema. Por exemplo, mil monitores de computador foram examinados depois de cinco anos de uso e constatou-se que 430 deles apresentavam problemas de imagem, 340 tinham problemas de som e 350 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Quantos monitores apresentaram problemas de imagem e problemas de som?

Fonte: Shutterstock.com / Por zhu difeng

A melhor forma de resolver problemas como esse é associar conjuntos às quantidades de tipos de defeitos descritos, observando a intersecção entre eles por meio dos diagramas de Venn-Euler.

297

Matemática

EXEMPLOS 01. Em uma empresa 70 funcionários praticam futebol, 45 funcionários praticam tênis, 20 praticam futebol e tênis e 15 funcionários não praticam nem futebol, nem tênis. Nessas condições, calcule: a) b) c) d) e)

O número total de funcionários. O número de funcionários que praticam apenas futebol. O número de funcionários que praticam apenas tênis. O número de funcionários que não praticam futebol. O número de funcionários que não praticam tênis.

02. Em uma pesquisa sobre preferências a canais de TV, foram consultadas 900 pessoas, com o seguinte resultado: nn 460 preferem o canal A. nn 520 o canal B. nn 140 preferem canais diferentes de A e B. Nessas condições, calcule o número de pessoas que preferem os canais A e B. RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO Para esse problema, vamos estabelecer que: nn F é o conjunto formado pelos funcionários que praticam futebol. nn T é o conjunto formado pelos funcionários que praticam tênis. Vamos distribuir as quantidades de elementos de cada conjunto em um diagrama de Venn-Euler, começando pela intersecção

Pelo diagrama, temos que: a) O número total de funcionários é dado por 50 + 20 + 25 + 15 = 110. b) O número de funcionários que praticam apenas futebol é 50. c) O número de funcionários que praticam apenas tênis é 25. d) O número de funcionários que não praticam futebol é dado por 110 – 70 = 40. e) O número de funcionários que não praticam tênis é dado por 110 – 45 = 65.

Para esse problema, vamos estabelecer que: nn A é o conjunto formado pelas pessoas que preferem o canal A. nn B é o conjunto formado pelas pessoas que preferem o canal B. Devemos começar a distribuir as quantidades de elementos de cada conjunto em um diagrama de Venn-Euler, começando pela intersecção. Sendo x o número de elementos da intersecção, temos que:

Pelo diagrama, temos que: 460 – x + x + 520 – x + 140 = 900 ⇒ x = 220 Portanto, 220 pessoas assistem aos canais A e B.

Exercícios de Fixação

B04  Problemas sobre conjuntos finitos – Parte I

01. Numa escola há 460 que gostam de Matemática, 350 que gostam de Física, 130 que gostam de Matemática e Física e 210 gostam de outras disciplinas. Nessas condições, qual é o número total de alunos dessa escola? 890 02. Em uma festa de aniversário, dos 110 convidados, 65 gostaram dos salgados, 75 gostaram dos doces e o que 10 pessoas não gostaram nem dos salgados, nem dos doces. Quantos convidados gostaram dos salgados e dos doces? 40 03. Numa pesquisa feita entre as pessoas de uma cidade do sul do Brasil, foram obtidos os seguintes resultados: nn 27% nasceram em outro país. nn 46% têm ensino superior completo. nn 15% nasceram em outro país e têm ensino superior

completo. Assim, dentre as pessoas entrevistadas, quantos por cento nasceram no Brasil e não possuem curso superior completo? 42% 298

04. (UFT TO) Uma Instituição de Ensino Superior oferece os cursos A e B. Em seu processo seletivo, o candidato pode optar por inscrever-se nos dois cursos ou apenas em um curso. Ao final, o número de inscrições por curso e o número total de candidatos inscritos pode ser observado no quadro que segue: Número de inscrições no Curso A

Número de inscrições no Curso B

Número total de candidatos inscritos

480

392

560

Com base nas informações acima e nas possibilidades de inscrições, pode se afirmar que o número de candidatos que optaram por se inscrever somente no curso A foi: a) 80 b) 168 c) 312 d) 480 e) 560

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares

nn Tipo O: pessoas que não têm A nem B.

Em 70 amostras de sangue, observou-se que 40 apresentam o antígeno A, 30 apresentam o antígeno B e 15 apresentaram ambos os antígenos. Nessas condições, em quantas amostras teremos sangue tipo O? 15 02. Em um bairro existem 1 800 pessoas associadas a um clube de futsal ou ao clube de voleibol sendo que, 1 200 são sócios do clube de futsal e 800 são sócios do clube de voleibol. Assim, quantos são os sócios do clube de futsal que não são sócios do clube do voleibol? 1 000 03. De 150 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferências em relação às corridas de Fórmula 1, foram colhidos os seguintes dados: nn 115 disseram que torcem pelos pilotos da Ferrari. nn 80 disseram torcem pelos pilotos do seu próprio país. nn 55 disseram não torcem por ninguém, mas assistem as corridas. Nessas condições, quantas pessoas disseram que torcem pela equipe Ferrari e por pilotos do seu próprio país? 100 04. (UFTM MG) Em uma amostra de indivíduos, 40% foram afetados pela doença A, 20% foram afetados pela doença B e 5% foram afetados por ambas as doenças. Dos indivíduos da amostra que não foram afetados nem por A nem por B, 2% morreram. A porcentagem de indivíduos da amostra que morreram sem terem sido afetados por quaisquer das duas doenças analisadas é de: a) 0,7% b) 0,8% c) 0,9% d) 1,0% e) 1,1% 05. Um conjunto U de números naturais tem exatamente 18 múltiplos de 4, 13 múltiplos de 6, 7 múltiplos de 12 e 5 números ímpares. Nessas condições, quantos elementos possui o conjunto U? 29 06. A prova de Matemática do professor Marcelo era constituída de dois problemas. Sabe-se que: nn 290 alunos acertaram somente um dos problemas. nn 250 acertaram o segundo problema. nn 90 acertaram os dois problemas. nn 200 erraram o primeiro problema.

Assim, quantos alunos fizeram essa prova? 420 07. (UEPG PR) Os N alunos de uma turma realizaram uma prova com apenas duas questões. Sabe-se que 37 alunos acertaram somente uma das questões, 33 acertaram a primeira questão, 18 erraram a segunda e 20 alunos acertaram as duas questões. Se nenhum aluno deixou questão em branco, assinale o que for correto. 12 01. N é um número múltiplo de 4. 02. 30 alunos erraram a primeira questão. 04. N > 60. 08. 5 alunos erraram as duas questões. 08. (Uerj RJ) Crianças de uma escola participaram de uma campanha de vacinação contra a paralisia infantil e o sarampo. Após a campanha, verificou-se que 80% das crianças receberam a vacina contra a paralisia, 90% receberam a vacina contra o sarampo, e 5% não receberam nem uma, nem outra. Determine o percentual de crianças dessa escola que receberam as duas vacinas. 09. (Espm SP) Em uma aula de Matemática, o professor propôs 2 problemas para serem resolvidos pela turma. 76% dos alunos resolveram o primeiro problema, 48% resolveram o segundo e 20% dos alunos não conseguiram resolver nenhum dos dois. Se apenas 22 alunos resolveram os dois problemas, pode-se concluir que o número de alunos dessa classe é: a) maior que 60 b) menor que 50 c) múltiplo de 10 d) múltiplo de 7 e) ímpar 10. (Unemat MT) Em um grupo de 30 pessoas, 21 gostam de dançar. Três homens não gostam de dançar e 12 mulheres gostam de dançar. Quantas mulheres do grupo não gostam de dançar? a) 03 mulheres. b) 09 mulheres. c) 08 mulheres. d) 06 mulheres. e) 12 mulheres. 11. (Ibmec SP) Em um grupo de 2 000 pessoas, 70,0% possuem geladeira, 85,0% possuem aparelho celular e 45,2% possuem automóvel. O menor número possível de pessoas desse grupo que possuem geladeira, aparelho celular e automóvel é igual a a) 4. Gabarito Questão 08. Total de crianças = 100% b) 6. Total de crianças não vacinadas = 5% Logo, 100% − 5% = 95% receberam pelo menos uma das vacinas. c) 8. Conjunto de crianças que se vacinaram contra a paralisia infantil = P d) 10. Conjunto de crianças que se vacinaram contra o sarampo = S Conjunto de crianças que receberam as duas vacinas = P ∩ S e) 12. n(P ∪ S) = n(P) + n(S) − n(P ∩ S) 95% = 80% + 90% − n(P ∩ S) n(P ∩ S) = 75%

299

B04  Problemas sobre conjuntos finitos – Parte I

01. O tipo sanguíneo de uma pessoa é classificado de acordo com a presença no sangue dos antígenos A e B, podendo ser: nn Tipo A: pessoas que têm só o antígeno A. nn Tipo B: pessoas que têm só o antígeno B. nn Tipo AB: pessoas que têm os antígenos A e B.

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Uel PR) O “Sudoku” é um jogo de desafio lógico inventado pelo Matemático Leonhard Euler (1707- 1783). Na década de 1970, esse jogo foi redescoberto pelos japoneses que o rebatizaram como Sudoku, palavra com o significado “número sozinho”. É jogado em um quadro com 9 por 9 quadrados, que é subdividido em 9 submalhas de 3 por 3 quadrados, denominados quadrantes. O jogador deve preencher o quadro maior de forma que todos os espaços em branco contenham números de 1 a 9. Os algarismos não podem se repetir na mesma coluna, linha ou quadrante. Fonte: LEÃO, S. Lógica e estratégia. Folha de Londrina, Especial 14, 17 de setembro de 2006.

03. (Enem MEC) Uma escola de Ensino Médio tem 250 alunos que estão matriculados na 1ª, 2ª ou 3ª séries. 32% dos alunos são homens e 40% dos homens estão na 1ª série. 20% dos alunos matriculados estão na 3ª série, sendo 10 alunos homens. Dentre os alunos da 2ª série, o número de mulheres é igual ao número de homens. A tabela a seguir pode ser preenchida com as informações dadas: 1ª

2ª

3ª

Total

Mulher

a+b+c

Homem

d+e+f

Total

a+d

b+e

c+f

250

O valor de a é: a) 10 b) 48 c) 92 d) 102 e) 120 04. (Uespi PI) Seja o conjunto A abaixo: A = {0, {0}, 1, {1}, {0,1}} Com base nessas informações, o algarismo a ser colocado na casa marcada com O no quadro a seguir é: a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 02. (Insper RJ) Dizemos que um conjunto numérico C é fechado pela operação ⋆ se, e somente se, para todo c1, c2 ∈ C, tem-se (c1 ⋆ c2) ∈ C. A partir dessa definição, avalie as afirmações seguintes. I. O conjunto A = {0, 1} é fechado pela multiplicação. II. O conjunto B de todos os números naturais que são quadrados perfeitos é fechado pela multiplicação. III. O conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é fechado pela adição. Está(ão) corretas(s) a) apenas a afirmação I. b) apenas as afirmações I e II. c) apenas as afirmações I e III. d) apenas as afirmações II e III. e) as três afirmações. 300

É correto afirmar que: a) 0 ∉ A b) {0, 1} ∈ A c) {0, 1} ⊄ A d) os elementos de A são 0 e 1. e) o número de subconjuntos de A é 22 = 4. 05. (Ibmec SP) No diagrama a seguir, U representa o conjunto de todos os alunos de uma escola. Estão também representados os seguintes subconjuntos de U: Q: alunos da escola que gostam de quiabo; D: alunos da escola com mais de dezesseis anos de idade; P: alunos da escola que gostam do professor Pedro; M: alunos da escola que gostam de Matemática.

Matemática e suas Tecnologias

Em todas as regiões do diagrama, identificadas com um número de 1 a 8, há pelo menos um aluno representado. Então, é correto concluir que: a) Se um aluno gosta de quiabo, então ele não tem mais do que dezesseis anos. b) Pelo menos um aluno que gosta de Matemática tem mais do que dezesseis anos e gosta de quiabo. c) Se um aluno gosta do professor Pedro, então ele gosta de Matemática. d) Todo aluno que gosta de Matemática e tem mais do que dezesseis anos gosta do professor Pedro. e) Se um aluno com mais de dezesseis anos não gosta do professor Pedro, então ele não gosta de quiabo. 06. (Insper RJ) Dentro de um grupo de tradutores de livros, todos os que falam alemão também falam inglês, mas nenhum que fala inglês fala japonês. Além disso, os dois únicos que falam russo também falam coreano. Sabendo que todo integrante desse grupo que fala coreano também fala japonês, pode-se concluir que, necessariamente, a) todos os tradutores que falam japonês também falam russo. b) todos os tradutores que falam alemão também falam coreano. c) pelo menos um tradutor que fala inglês também fala coreano. d) nenhum dos tradutores fala japonês e também russo. e) nenhum dos tradutores fala russo e também alemão.

09. (Puc PR) As afirmações a seguir são verdadeiras: nn Todo maratonista gosta de correr na rua. nn Existem maratonistas que são pouco disciplinados.

Dessa forma, podemos afirmar que: a) Algum maratonista pouco disciplinado não gosta de correr na rua. b) Algum maratonista disciplinado não gosta de correr na rua. c) Todo maratonista que gosta de correr na rua é pouco disciplinado. d) Todo maratonista pouco disciplinado não gosta de correr na rua. e) Algum maratonista que gosta de correr na rua é pouco disciplinado. 10. (Ufla MG) Um modo prático e instrutivo de ilustrar as relações entre conjuntos é por meio dos chamados diagramas de linhas. Observe as figuras a seguir:

Outra forma de expressar tais relações é o diagrama de Venn-Euler. Nas alternativas a seguir, o diagrama de Venn-Euler está relacionado ao diagrama de linhas. Assinale a opção incorreta.

07. (Espm SP) Considere os seguintes subconjuntos de alunos de uma escola: A: alunos com mais de 18 anos B: alunos com mais de 25 anos C: alunos com menos de 20 anos Assinale a alternativa com o diagrama que melhor representa esses conjuntos:

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

11. (UFG GO) A afirmação “Todo jovem que gosta de Matemática adora esportes e festas” pode ser representada segundo o diagrama: M = {jovens que gostam de matemática} E = {jovens que adoram esportes} F = {jovens que adoram festas}

08. Uma pessoa é diagnosticada como doente para uma determinada enfermidade se ela apresentar pelo menos dois dos cinco sintomas designados pelos elementos do conjunto S = {x1, x2, x3, x4, x5}. De quantas maneiras uma pessoa pode ser diagnosticada como doente para essa enfermidade? 26 301

FRENTE

MATEMÁTICA Por falar nisso “Há quem pense, Rei Gelão, que o número de grãos de areia é infinito. Quando menciono areia, refiro-me não só àquela que existe em Siracusa e no resto da Sicília, mas também àquela que se encontra nas outras regiões, sejam elas habitadas ou desabitadas. Mais uma vez, há quem, sem considerá-lo infinito, pense que nenhum número foi ainda nomeado que seja suficientemente grande para exceder a sua multiplicidade. É claro que aqueles que têm essa opinião, se imaginassem uma massa de areia tão grande como a massa da terra, incluindo nessa todos os mares e depressões da terra preenchidas até uma altura igual à mais alta das montanhas, estariam muito longe ainda de reconhecer que qualquer número poderia ser expresso de tal forma que excedesse a multiplicidade da areia aí existente. Mas eu tentarei mostrar-vos, por meio de provas geométricas, que conseguireis acompanhar que, dos números nomeados por mim e que constam no trabalho que enviei a Zeuxipo, alguns excedem, não só o número da massa de areia igual em magnitude à da terra preenchida da maneira que atrás referi, mas também da massa igual em magnitude à do Universo.” [Trecho retirado do livro O contador de areia, de Arquimedes de Siracusa]

Pelo texto introdutório, percebemos que a primeira tentativa de se representar números muito grandes que se tem notícia foi feita pelo matemático e filósofo grego Arquimedes (287 – 212 a.C.) para estimar a quantidade de grãos de areia existentes no Universo em seu livro, O contador de areia. Após muito estudo e dedicação, Arquimedes conseguiu encontrar uma representação numérica gigantesca para tal quantidade e percebeu que seria impossível que outras pessoas conseguissem compreendê-la. Motivo pelo qual, ao mesmo tempo e paralelamente, ele desenvolveu um sistema de numeração capaz de exprimir os valores encontrados nesse cálculo. Nesse livro, Arquimedes estimou que a quantidade de grãos de areia no Universo era, expressa na notação moderna, 1063 grãos. A ideia de potência é bastante antiga. Com várias aplicações no cotidiano, seu uso tornou possível várias representações matemáticas e auxiliou na resolução de complexos problemas. Conjuntamente com a utilização das equações, permitiu a expansão dos conhecimentos humanos em campos abstratos da matemática e instrumentalizando outras ciências, como a Astronomia, Física, Química e Biologia. Por fim, cabe ainda ressaltar que a notação moderna que se tem das potências se deve ao matemático francês René Descartes (1596 - 1650), no século XVII. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

C01 C02 C03 C04

Potenciação.................................................................................... 304 Sistema decimal de numeração.................................................... 308 Sistema métrico decimal............................................................... 312 Radiciação – parte I....................................................................... 318

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FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C01

ASSUNTOS ABORDADOS nn Potenciação nn Definições nn Propriedades

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nn Notação científica

POTENCIAÇÃO O processo de contagem é algo sofisticado e não se trata de algo instintivo ou inato. Seu início aconteceu quando o homem desenvolveu a capacidade de comparar conjuntos de objetos e estabelecer, entre eles, uma correspondência um a um. Por exemplo, um pastor podia ter a noção do tamanho de seu rebanho ao comparar suas ovelhas com os dedos de suas mãos. Partes do corpo, como os dedos das mãos ou dos pés, funcionaram como instrumentos de contagem naturais. Pedregulhos, conchas ou grãos, bem como marcas no chão, na areia, em ossos ou madeira, poderiam ser empregados para quantificar o número de pessoas em uma população, de animais em um rebanho, ou ainda o número de dias decorridos desde um determinado evento. No entanto, esse primeiro passo ainda não é suficiente para construir um sistema de contagem. Para tal, seria ainda necessário incorporar a noção de ordem. Contudo, no decorrer do tempo, nossa noção de contagem evoluiu e hoje podemos resolver problemas como o que destacamos a seguir: “Em um terreno temos 9 aterros; cada aterro tem 9 árvores, cada árvore tem 9 ramos, cada ramo tem 9 ninhos, cada ninho tem 9 pássaros, cada pássaro tem 9 filhotes, cada filhote tem 9 penas, cada pena tem 9 cores.” Quantos elementos foram citados no texto? A quantidade de cada um dos elementos citados no texto é dada por: nn Aterros: 9 = 91 nn Árvores: 9 ⋅ 9 = 92 nn Ramos: 9 ⋅ 92 = 93 nn Ninhos: 9 ⋅ 93 = 94 nn Pássaros: 9 ⋅ 94 = 95 nn Filhotes: 9 ⋅ 95 = 96 nn Penas: 9 ⋅ 96 = 97 nn Cores: 9 ⋅ 97 = 98 Sendo N a quantidade total desses elementos citados, então temos que: N = 9 1 + 92 + 9 3 + 94 + 9 5 + 96 + 97 + 98 A operação matemática utilizada para se determinar cada uma das quantidades é chamada de potenciação. Nesta aula, abordaremos as definições envolvendo as potências, bem como suas propriedades operatórias e a notação científica.

304

Matemática e suas Tecnologias

Definições Potenciação é uma operação matemática que representa uma multiplicação de fatores iguais. Assim, dado o número real a e o número natural n ≥ 2, temos que as seguintes definições: nn

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a , para n ≥ 2 nvezes

nn a1

=a 0 nn a = 1, a ≠ 0 n

1 a-n =   , a ≠ 0 a

Propriedades

Dados os números reais a e b, e os números inteiros m e n, temos as seguintes propriedades: Produto de potência de mesma base

an ⋅ am = an + m Exemplos: ⋅ 34 = 35 + 4 = 39 nn 23 ⋅ 22 ⋅ 26 = 23 + 2 + 6 = 211 nn 35

Divisão de potência de mesma base an = an-m , com a ≠ 0 am Exemplos: 415 15-12 4= 43 nn= 412 79 9-15 nn = 7= 4 -6 715 Potência do produto (a ⋅ b)n =⋅ an bn Exemplos: ⋅ 3)6 = 26 ⋅ 36 nn (3 ⋅ 5)4 = 34 ⋅ 54 nn (2

Potência da divisão n

n a a   = n , com b ≠ 0 b b

C01  Potenciação

Exemplos: 6 6 2 2 nn   = 6 5 5 4 34  3 nn   = 4  11  11 Potência de uma potência:

(a )

n m

= an⋅m 305

Matemática

Exemplos: nn (2

N = a ⋅ 10n, sendo a ∈ IR, 1 ≤ a < 10 e n ∈ Z

) =2 =2 nn (3 ) = 32 ⋅ 6 = 312 4⋅5

4 5

Exemplos:

2 6

nn Para

Potências sucessivas: m

(an )m ≠ an nn Na

potência (an)m, m é expoente da potência an.

converter o número 0,000000000126, é preciso deslocar a vírgula para depois do algarismo 1. Para isso, a vírgula deve ser deslocada 10 posições para a direita. Assim, o expoente da potência será igual a -10. Portanto, temos que:

an , m é expoente do expoente n. Nesse caso, temos potências sucessivas.

nn Na potência

nn Para converter o número 527 900 000, é preciso des-

Exemplo: nn

0,000000000126 = 1,26 ⋅ 10-10

(23 )4 ≠ 23 , pois (23 )4 = 212 e 23 = 281

Notação científica Uma maneira muito útil de se expressar números muito grandes ou muito pequenos é a chamada notação científica. Dizemos que um número N está em notação científica se e, somente se, estiver na forma:

locar a vírgula para depois do algarismo 5. Para isso, a vírgula deve ser deslocada 8 posições para esquerda (em um número inteiro, subentende-se que a virgula se encontra no final do número). Assim, o expoente da potência será igual a 8. Portanto, temos que: 527 900 000 = 5,279 ⋅ 108

EXEMPLOS -2

1 03. Calcule o valor da expressão numérica A= 50 + (-2)2 -   - 43. 3

01. Calcule o valor das potências a seguir:

a) 23 b) −23 c) (−2)3

d) 34 e) −34 f) (−3)4

RESOLUÇÃO -2

1 A= 50 + (-2)2 -   - 43 3

RESOLUÇÃO a) b) c) d) e) f)

A = 1 + 4 – 32 – 64 A = 1 + 4 – 9 – 64

23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 −23 = −(2 ⋅ 2 ⋅ 2) = −8 (−2)3 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = −8 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 −34 = −(3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) = −81 (−3)4 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81

A = −68 04. Reduzir cada uma das expressões a uma única potência: 4

a) 163 :  1  ⋅ 32-2 ⋅  1  8 2

-3

3 b)  -   2

c) -  2  3 -2

-3

RESOLUÇÃO 3

  3   3   3   3  27 a)  2=  =   . .=  3 2 2 2 2 8 -2

b)  - 3  =  - 2  =  - 2  ⋅  - 2  = 4  2  3  3  3 9 C01  Potenciação

-4

16 2 2 2 2 c) -  2  = -   .  .  .  = 81 3 3 3 3 3 -3

d) -  - 3  =-  - 3  ⋅  - 3  ⋅  - 3  =-  - 27  =27  2  2  2  2  8  8

306

-6

a) 163 :  1  ⋅ 32-2 ⋅  1  = (24 )3 :(2-3 )4 .(25 )-2 .(2-1 )-6     8 2

-4

d) -  - 3   2

-3

1  5 b) 25-2 ⋅   :625  125 

RESOLUÇÃO

02. Calcule o valor das potências a seguir: a)  2  3

-6

-10 12)-10+6 212 :2-12 ⋅ 2= ⋅ 26 212-(-= 220 6

b) 25-2. 1  :6255 = (52 )-2 .(5-3 )6 :(54 )5  125 

5-4 ⋅ 5-18 :520 = 5-4-18-20 = 5-42 05. Escreva os números a seguir em notação científica: a) 3 678 000

b) 0,0000001496 RESOLUÇÃO

a) Para converter 3 678 000, temos que deslocar a vírgula para depois do algarismo 3. Para isso, a vírgula deve ser deslocada 6 casas para a esquerda. Portanto, 3 678 000 = 3,678 ⋅ 106. b) Para converter 0,0000001496, temos que deslocar a vírgula para depois do algarismo 1. Para isso, a vírgula deve ser deslocada 7 casas para a direita. Portanto, 0,0000001496 = 1,496 ⋅ 10−7.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor das seguintes potências: a) 52 a) 25; d) −52 d) −25; 2 b) (−5) b) 25; e) −5−3 e) −1/125; 3 c) −5 c) −125; f) (−5)−2 f) 1/25.

04. Reduza as expressões a seguir a uma única potência: a) (55: 52) ⋅ (58 : 5−11) a) 522; b) 72 : ( 73 )

02. Calcule o valor das seguintes potências: 4 a)  -   3

4 b)  -   7

-2

 3 c)  -   7

b) 720;

c) (2 ) ⋅ (2 : 22)−3 c) 228. 8 5

a) 16/9;

05. Reduza as expressões a seguir a uma única potência: a) 310; b) 55. b) 49/16;

 3  1  -4  2 4 a) 9 :    . ( 3 )   3  

-3

 3 d)  -   4

-24 + 32 + 4 0 33 - 22

c) −343/27;

 1  -1 5   3  1 4  b)   ⋅ 5  : 25 .     5    25   

d) −27/64.

03. Calcule o valor de: a) −27/4; 3 2 a) ( -3) ⋅ 9-1 ⋅   3

06. Escreva os números a seguir em notação científica: a) 1 500 000 a) 1, 5 ⋅ 106; b) 0,000928 b) 9,28 ⋅ 10−4; c) 328 ⋅ 105 c) 3,28 ⋅ 107; d) 0,00368 ⋅ 10−5 d) 3,68 ⋅ 10−8.

b) −6/23.

-2

Exercícios Complementares 01. (Unicamp SP) a) Calcule as seguintes potências: a = 3 , b = (−2) , c = 3 e 3

−2

de a, é igual a:

d = (−2)−3. b) Escreva os números a, b, c e d em ordem crescente. b) b < d < c < a.

02. (Unesp SP) O valor da expressão 5-1 -

1 é: 2

a) 0,3

0,1 ⋅ 0,001 ⋅ 10 -1 , em função 100 ⋅ 0,0001

a) 100a b) 10a c) a d) a/10 07. (Cefet MG) Nos trabalhos científicos, números muito grandes ou próximos de zero são escritos em notação científica, que consiste em um número x, tal que 1 < x < 10 multiplicado por uma potência de base 10.

b) −0,3 c) −0,2 d) 0,2 e) 0

Assim sendo, 0,00000045 deve ser escrito da seguinte forma: a) 0,45 ⋅ 10−7 b) 4,5 ⋅ 10−7 c) 45 ⋅ 10−6 d) 4,5 ⋅ 10−8

03. (Puc SP) Se 33 ⋅ 25 = 4 ⋅ 6k, o valor de k é: a) 15 b) 8 c) 6 d) 3 e) nda 2

2 04. Sabendo-se que a = (72)3, b = 73 e c = 7 , calcule o valor

de x na igualdade a ⋅ b ⋅ c = 7x. Gabarito: 23 05. Sabendo-se que a2 = 195, b3 = 197 e c6 = 1911, calcule o valor de x na igualdade (abc)12 = 19x. Gabarito: 80

08. (Cesgranrio RJ) O número de algarismos do produto 517⋅49 é igual a: a) 17 b) 18 c) 26 d) 34 e) 35

307

C01  Potenciação

a) a = 27, b = −8, c = 1/9 e d = −1/8;

06. (UFMG) Se a = 10−3, o valor de

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C02

ASSUNTOS ABORDADOS nn Sistema decimal de numeração nn Sistema decimal de numeração

SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO Dispositivos eletrônicos, tais como os computadores, armazenam e movimentam as informações internamente por meio da utilização de apenas dois estados físicos distintos, ou seja, eles conseguem processar apenas duas informações: a presença ou ausência de energia. Como os computadores modernos representam as informações? Para os sistemas digitais, tudo são números e, normalmente, as informações que são processadas estão na forma numérica ou texto. Essas informações são codificadas internamente por meio de um código numérico. O mais comum é aquele composto somente pelos algarismos zero e um com o qual se faz as seguintes associações: ⇒ desligado ou falso. nn 1 ⇒ ligado ou verdadeiro. nn 0

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Assim, podemos dizer que a linguagem computacional utiliza basicamente um tipo de sistema de numeração composto pelos dígitos (ou algarismos) 0 e 1 chamado sistema binário de numeração. Nesta aula, abordaremos outro sistema de numeração chamado sistema decimal de numeração, extremamente importante, pois é o mais utilizado pelo homem no seu cotidiano.

308

Figura 01 - Os microprocessadores usam o sistema binário de numeração para tratamento de dados. No sistema binário, cada dígito (0 ou 1) denomina-se bit (binary digit).

Matemática e suas Tecnologias

Sistema decimal de numeração Para expressar quantidades ou enumerar objetos, o sistema de numeração mais utilizado hoje em dia é o sistema decimal de numeração, também conhecido como hindu-arábico. Esse sistema tem as seguintes características: nn Todos os numerais (nome de qualquer representação simbólica de um número),

são formados pela combinação dos 10 dígitos – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 – também chamados de algarismos. nn O valor de um dígito depende da sua posição no numeral. nn As contagens são feitas em grupos de 10. Observe: nn 10 unidades = 1 dezena. nn 10 dezenas = 1 centena. nn 10 centenas = 1 milhar. Em relação às ordens dos numerais, temos o seguinte quadro posicional: 5ª ordem

4ª ordem

3ª ordem

2ª ordem

1ª ordem

dezena de milhares

unidade de milhares

centena de unidades

dezena de unidades

unidades

Por exemplo: Para o numeral 3 267, temos que: nn O

algarismo 7 representa 7 unidades e vale 7 (1ª ordem). algarismo 6 representa 6 dezenas, ou seja, 6 grupos de 10 unidades e vale 60 (2ª ordem). nn O algarismo 2 representa 2 centenas, ou seja, 2 grupos de 100 unidades e vale 200 (3ª ordem). nn O algarismo 3 representa 3 milhares, ou seja, 3 grupos de 1 000 unidades e vale 3 000 (4ª ordem). nn O

Portanto, o numeral 3 267 é igual a 3 000 + 200 + 60 + 7, o qual se lê: três mil, duzentos e sessenta e sete. A cada três ordens, formam-se as classes. Em relação às classes dos numerais, temos o seguinte quadro posicional: 5ª classe

4ª classe

3ª classe

2ª classe

1ª classe

trilhões

bilhões

milhões

milhares

unidades

Por exemplo: Para o numeral 19 238 375, temos que: nn Os

algarismos 3, 7 e 5 pertencem à classe das unidades. algarismos 2, 3 e 8 pertencem à classe dos milhares. nn Os algarismos 1 e 9 pertencem à classe das milhões.

C02  Sistema decimal de numeração

nn Os

Portanto, o numeral 19 238 375 é igual a 19 000 000 + 238 000 + 375, o qual se lê: dezenove milhões, duzentos e trinta e oito mil, trezentos e setenta e cinco. De maneira geral, podemos escrever um numeral N no sistema de numeração decimal, das seguintes formas: nn Se

N possui dois algarismos, temos que N = ab = 10a + b. nn Se N possui três algarismos, temos que N = abc = 100a + 10b + c. nn Se N possui quatro algarismos, temos que N = abcd = 1000a +100b + 10c + d. nn E assim, sucessivamente. 309

Matemática

EXEMPLOS 01. Dado o número 24 769, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E): a) b) c) d)

O valor posicional do algarismo 6 é 69. O valor posicional do algarismo 7 é 700. O valor posicional do algarismo 4 é 400. O valor posicional do algarismo 2 é 20 000. RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO O número formado por exatamente 2 centenas de milhares, 5 unidades de milhares e 8 dezenas de unidades é dado pela soma: 200 000 + 5 000 + 80 = 105 080 Portanto, letra C 03. Beatriz escreveu a sequência de números naturais de 1 a 250. Quantos algarismos Beatriz escreveu?

a) E, pois 6 ocupa a posição das dezenas de unidades, logo vale 60. b) C, pois 7 ocupa a posição das centenas de unidades, logo vale 700. c) E, pois 4 ocupa a posição das unidades de milhares, logo vale 4 000. d) C, pois 2 ocupa a posição das dezenas de milhares, logo vale 20 000.

RESOLUÇÃO De 1 a 9, temos 9 números. Assim, foram utilizados 9 algarismos. De 10 a 99, temos 90 números. Assim, foram utilizados 2 ⋅ 90 = 180 algarismos.

02. O número formado por exatamente 2 centenas de milhares, 5 unidades de milhares e 8 dezenas de unidades é: a) b) c) d)

250 080 205 800 205 080 250 800

De 100 a 250, temos 151 números. Assim, formam utilizados 3 ⋅ 151 = 453 algarismos. Assim, de 1 a 250 foram utilizados 9 + 180 + 453 = 642 algarismos. Portanto, foram utilizados 642 algarismos.

Exercícios de Fixação 01. Responda aos itens a seguir: a) 20; b) 603.

a) Escrevendo todos os números naturais de 1 a 100, quantas vezes escrevemos o algarismo 5? b) Quantos algarismos são necessários para escrever todos os números naturais de 1 a 237? 02. A seguir está representada uma multiplicação cujos algarismos a, b e c são desconhecidos.

Determine esse número, sabendo-se que a soma dos seus algarismos é 12. Gabarito: 57 05. (Enem MEC) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura. A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por quatro algarismos. milhar

1 a b c x 3 a b c 4

C02  Sistema decimal de numeração

Qual é o valor da soma a + b + c?

1 0 9 2 3 Gabarito: 14

03. Um número N é formado por dois algarismos cuja soma é 7. Se invertermos a ordem dos algarismos de N obteremos um outro número 27 unidades maior. Nessas condições, determine N. Gabarito: 25 04. Ao somar 18 unidades a um número de dois algarismos, obteremos um número com os mesmos algarismos, porém em ordem inversa.

310

centena 9 0 1 8 7

4 5 6

dezena 1 0 9

2 3

8 7 6 5 4

unidade

2 3

9 0 1 8 7

4 5 6

2 3

8 7 6 5 4

Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é: a) 2 614 b) 3 624 c) 2 715 d) 3 725 e) 4 162

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares

ABC ABC ABC BBB

Entre as alternativas abaixo, qual delas apresenta respectivamente os algarismos relativos a A, B e C? a) 1, 4 e 8 b) 2, 3 e 5 c) 4, 5 e 6 d) 1, 3 e 9 e) 1, 6 e 5 02. (Fuvest SP) Um estudante terminou um trabalho que tinha n páginas. Para numerar todas essas páginas iniciando com a página 1, ele escreveu 270 algarismos. Então o valor de n é: a) 99 b) 112 c) 126 d) 148 e) 270 03. (Fuvest SP) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 04. (UFTM MG) XYZ4 e X4YZ representam dois números inteiros positivos de quatro algarismos. Se X4YZ excede XYZ4 em 288 unidades, então Z–Y é igual a: a) –3 b) –1 c) 1 d) 3 e) 5 05. (FGV SP) Considere, no sistema de numeração decimal, o número n formado por 3 algarismos distintos e diferentes de zero. Se triplicarmos o algarismo das centenas e dobrarmos o das dezenas, obteremos outro número, p, tal que p = n + 240.

O número de possíveis valores de n é: a) 5 b) 8 c) 7 d) 4 e) 6 06. (Unicamp SP) Um número inteiro positivo de três algarismos termina em 7. Se este último algarismo for colocado antes dos outros dois, o novo número assim formado excede de 21 o dobro do número original. Qual é o número inicial?

Gabarito: 357

07. (Enem MEC) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual.

Nessa disposição, o número que está representado na figura é: a) 46 171 b) 147 016 c) 171 064 d) 460 171 e) 610 741

311

C02  Sistema decimal de numeração

01. As letras A, B e C representam algarismos distintos na adição a seguir.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C03

ASSUNTOS ABORDADOS nn Sistema métrico decimal nn Unidades de comprimento nn Unidades de área nn Unidades de volume nn Unidades de capacidade nn Unidades de massa

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Desde a antiguidade, devido às necessidades comerciais, os povos foram adotando unidades para medir grandezas de forma independente.Obviamente, essas diferentes unidades de medida produziam erros, fraudes e desavenças entre os povos de regiões distintas. Há registros de que a primeira ideia de se criar um sistema de medidas unificado surgiu na Inglaterra, porém a ideia não saiu do papel. Até o final do século XVIII, todos os países empregavam em suas medições sistemas particulares nos quais suas unidades tinham valores arbitrários. Para medir comprimentos, por exemplo, na Inglaterra se utilizava a JARDA (aproximadamente 91, 4 cm), na Espanha se utilizava a VARA (aproximadamente 86,6 cm) e na França se utilizava a TOESA (aproximadamente 195 cm). Com o objetivo de facilitar a comunicação entre as várias culturas, no século XVII, a comunidade científica sinalizou a necessidade de uniformizar os vários sistemas de medidas. Em 1791, época da Revolução Francesa, representantes de vários países se reuniram para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia assim, o sistema métrico decimal. Um sistema constituído inicialmente de três unidades básicas: o metro, o litro e o quilograma.

Fonte: Shutterstock.com / Chubykin Arkady

Atualmente, utilizamos cotidianamente esse sistema de medidas para resolver diversos problemas. Observe o exemplo a seguir:

312

Paula possui um aquário e deseja fazer um tratamento na água. O volume do aquário é dado produto da área de sua superfície por sua profundidade. Assim, considere que seu aquário tem 2 m2 de área de superfície e 80 cm de profundidade. Se desejarmos dissolver nesse aquário certa substância de modo que cada centímetro cúbico de água contenha 0,05 g da substância, qual deveria ser a quantidade total dessa substância, em gramas, no aquário? Para determinar essa quantidade, precisamos realizar conversões entre as unidades e, em seguida, utilizar a proporcionalidade entre a massa da substância e o volume de água. Nesta aula, abordaremos as conversões de unidades do sistema métrico decimal.

Figura 01 - Desde operações simples como a escolha de um aquário adequado até operações complexas como a determinação da quantidade de princípio ativo de um medicamento, fazemos uso do sistema decimal de unidades.

Matemática e suas Tecnologias

Unidades de comprimento A principal unidade do comprimento é o metro, cujo símbolo é m. Segundo a Conferência Geral de Pesos e Medidas, temos que: “Metro é a unidade de comprimento do Sistema Internacional igual 1.650.763,73 comprimentos de onda de radiação da linha alaranjada correspondente à transição entre dois níveis específicos de energia do isótopo de Krípton 86 no vácuo.” Existem situações em que temos que medir grandes comprimentos e o metro é pequeno, assim como existem situações nas quais temos que medir comprimentos muito pequenos e o metro é grande. Em situações como essas, podemos utilizar as unidades secundárias de comprimento conhecidas como múltiplos e submúltiplos do metro. Na tabela a seguir, temos as unidades de comprimento, seus símbolos e os seus valores correspondentes em metros. Quilômetro (km)

Hectômetro (hm)

Decâmetro (dam)

Metro (m)

Decímetro (dm)

Centímetro (cm)

Milímetro (mm)

1 000 m

100 m

10 m

0,1 m

0,01 m

0,001 m

Note que: nn Cada

unidade de comprimento corresponde a 10 vezes a unidade de comprimento imediatamente inferior (à direita).

nn Cada unidade de comprimento corresponde a 1/10 da unidade de comprimento

imediatamente superior (à esquerda). Daí, temos que: Para se transformar determinada unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazer uma multiplicação por 10. Por exemplo: nn 1

m = 10 dm = 102 cm = 103 mm.

Para se transformar determinada unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 10. Por exemplo: nn 1

m = 10-1 dam = 10-2 hm = 10-3 km.

Outras medidas de comprimento milha (mi) ≅ 1,609 km. nn 1 polegada (in) = 2,54 cm. nn 1 pé (ft) = 30,48 cm. nn 1 jarda (yd) = 91,44 cm. nn 1

Unidades de área

Quilômetro quadrado (km2)

Hectômetro quadrado (hm2)

Decâmetro quadrado (dam2)

Metro quadrado (m2)

Decímetro quadrado (dm2)

Centímetro quadrado (cm2)

Milímetro quadrado (mm2)

106 m2

104 m2

102 m2

1 m2

10-2 m2

10-4 m2

10-6 m2

C03  Sistema métrico decimal

A principal unidade de área é o metro quadrado, cujo símbolo é m2. Na tabela a seguir, temos as unidades de área, seus símbolos e seus valores correspondentes em metros quadrados.

313

Matemática

Note que: nn Cada

unidade de comprimento corresponde a 100 vezes a unidade de comprimento imediatamente inferior (à direita).

nn Cada unidade de comprimento corresponde a 1/100 da unidade de comprimento

imediatamente superior (à esquerda). Então, temos que: Para se transformar determinada unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazer uma multiplicação por 100. Por exemplo: nn 1

m2 = 102 dm2 = 104 cm2 = 106 mm2. Para se transformar determinada unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 100. Por exemplo: nn 1

m2 = 10-2 dam2 = 10-4 hm2 = 10-6 km2.

Outras medidas de área: nn 1

are (a) = 100 m2. nn 1 hectare (ha) = 10.000 m2. nn 1 alqueire mineiro = 48.400 m2. nn 1 alqueire paulista = 24.200 m2.

Unidades de volume A principal unidade de área é o metro cúbico, cujo símbolo é m3. Na tabela a seguir, temos as unidades de volume, seus símbolos e os seus valores correspondentes em metros cúbicos. Quilômetro cúbico (km3)

Hectômetro cúbico (hm3)

Decâmetro cúbico (dam3)

Metro cúbico (m3)

Decímetro cúbico (dm3)

Centímetro cúbico (cm3)

Milímetro cúbico (mm3)

109 m3

106 m3

103 m3

1 m3

10-3 m3

10-6 m3

10-9 m3

Note que: nn Cada

unidade de comprimento corresponde a 1 000 vezes a unidade de comprimento imediatamente inferior (à direita). nn Cada unidade de comprimento corresponde a 1/1 000 da unidade de comprimento imediatamente superior (à esquerda). Então, temos que: C03  Sistema métrico decimal

Para se transformar determinada unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazer uma multiplicação por 1 000. Por exemplo: nn 1

m3= 103 dm3= 106 cm3= 109 mm3.

Para se transformar determinada unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 1000. Por exemplo: nn 1

314

m3 = 10-3 dam3 = 10-6 hm3 = 10-9 km3.

Matemática e suas Tecnologias

Unidades de capacidade Quando enchemos um recipiente com um líquido, ele assume a sua forma . Assim, a capacidade desse recipiente é dada pela quantidade de líquido no seu interior, ou seja, é igual ao seu volume interno. A principal unidade de capacidade é o litro, cujo símbolo é L. Na tabela a seguir, temos as unidades de capacidade, seus símbolos e os seus valores correspondentes em litros. Quilolitro (kL)

Hectolitro (hL)

Decalitro (daL)

Litro (L)

Decilitro (cL)

Centilitro (cL)

Mililitro (mL)

1 000 L

100 L

10 L

0,1L

0,01L

0,001L

Note que: nn Cada

unidade de capacidade corresponde a 10 vezes a unidade de capacidade imediatamente inferior (à direita). nn Cada unidade de capacidade corresponde a 1/10 da unidade de capacidade imediatamente superior (à esquerda). Então, temos que: Para se transformar determinada unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazer uma multiplicação por 10. Por exemplo: nn 1

L = 10 dL = 102 cL = 103 mL.

Para se transformar determinada unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 10. Por exemplo: nn 1

L = 10-1 daL = 10-2 hL = 10-3 kL.

Relação importante: De acordo com o Comitê Internacional de Pesos e Medidas, um litro é a capacidade equivalente ao volume de um decímetro cúbico, ou seja: 1 litro = 1 dm3 Outras medidas de capacidade: onça líquida (fl Oz) ≅ 29,57 mL. nn 1 galão (gal) ≅ 4,40 L. nn 1

Unidades de massa C03  Sistema métrico decimal

Massa de um corpo está ligada à quantidade de matéria que esse corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar do planeta Terra ou fora dela. A unidade principal de massa é o quilograma, cujo símbolo é kg. A definição de quilograma, dada na Conferência Geral de Pesos e Medidas, é a seguinte: “Quilograma é a unidade de massa do Sistema Internacional de Unidades e é definido como a massa do International Prototype Kilogram (protótipo internacional do quilograma). Esse protótipo é composto por irídio e platina e encontra-se sob custódia do Escritório Internacional de Pesos e Medidas (BIPM) em Sèvres, França.”

315

Matemática

Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental, na tabela a seguir, temos as unidades de massa, seus símbolos e os valores seus correspondentes em gramas. Quilograma (kg)

Hectograma (hg)

Decagrama (dag)

Grama (g)

Decigrama (dg)

Centigrama (cg)

Miligrama (mg)

1 000 g

100 g

10 g

0,1 g

0,01 g

0,001 g

Note que: nn Cada

unidade de massa corresponde a 10 vezes a unidade de massa imediatamente inferior (à direita). nn Cada unidade de massa corresponde a 1/10 da unidade de massa imediatamente superior (à esquerda). Daí, temos que:

Por exemplo: nn 1

g = 10-1 dag = 10-2 hg = 10-3 kg.

Outras medidas de massa:

Para se transformar determinada unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazer uma multiplicação por 10. Por exemplo: nn 1

Para se transformar determinada unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 10.

tonelada (t) = 1 000 kg. libra (Lbs) ≅ 0,45 kg. nn 1 onça troy (oz) ≅ 31,10 g. nn 1 nn 1

g = 10 dg = 102 cg = 103 mg.

EXEMPLOS 01. Marcela fará laços para fazer alguns enfeites de aniversário. Para isso, ela precisa recortar uma peça de fita que mede 48,6 m em pedaços de 27 cm. Supondo não haver desperdício, quantos laços Marcela conseguirá obter? RESOLUÇÃO Para se transformar de centímetros para metros, basta dividir por 10 ⋅ 10 = 102 (deslocar duas unidades de comprimento para a esquerda). Assim, temos que: 27 cm = 27/102 m = 0,27 m. A quantidade de laços é dada por: 48,6/0,27 = 180 Portanto, ela conseguirá obter 180 laços. 02. Joaquim comprou um terreno no formato retangular de medidas 28 m por 50 m. Qual a área desse terreno em hectares? Lembre-se que 1 ha = 1 hm2.

140 dm3 = 140 ⋅ 103 cm3 = 140 000 cm3 A quantidade de recipientes é dada por: 140 000/400 = 350 Portanto, foram obtidos 350 recipientes. 04. Muitas substâncias que compõem os remédios devem ser tomados em doses menores do que 1,0 mg. Um desses remédios, na forma de comprimido, tem 0,75 mg de uma certa substância. Assim, quantos comprimidos podem ser feitos com 0,6 dag dessa substância? RESOLUÇÃO Para se transformar de decagramas para miligramas, basta multiplicar por 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 104 (deslocar quatro unidades de massa para direita). Assim, temos que: 0,6 dag = 0,6 ⋅ 104 mg = 6 000 mg. A quantidade de comprimidos é dada por: 6 000/0,75 = 8 000 Portanto, seria possível fazer8 000comprimidos.

C03  Sistema métrico decimal

RESOLUÇÃO A área desse terreno, em m2, é dada por: 28 ⋅ 50 = 1 400 m2 Para se transformar de m2 para hm2, basta dividir por 102 ⋅ 102 = 104 (deslocar duas unidades de área para a direita). Assim, temos que: 1 400 m2 = 1 400 : 104 = 0,14 hm2 Portanto, a área do terreno é 0,14 ha. 03. Uma indústria produziu um volume de 140 dm3 de certo produto, que foram acondicionados em recipientes de 400 cm3. Quantos desses recipientes que foram obtidos? RESOLUÇÃO Para se transformar de dm3 para cm3, basta multiplicar por 103 (deslocar uma unidade de volume para a direita). Assim, temos que:

316

05. Uma indústria produz 90 litros de vinho por dia. Sabendo que, todo o vinho produzido é distribuído em garrafas de 720 mL, quantas garrafas são utilizadas diariamente? RESOLUÇÃO Para se transformar de mililitros para litros, basta dividir por 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 103 (deslocar três unidades de capacidade para esquerda). Assim, temos que: 720 mL = 720/103 L = 0,72L. A quantidade de garrafas é dada por: 90/0,72 = 125 Portanto, são utilizadas 125 garrafas por dia.

Matemática e suas Tecnologias a) 41 000 dm; b) 6 500 mm; c) 0,239 hm; d) 0,36 dam; e) 390 mm2; f) 0,0352 km2; g) 0,0076 ha; h) 30 480cm2; i) 2 358 dam3; j) 1,81 km3; k) 5 200 cm3; l) 0,00053 m3.

Exercícios de Fixação 01. Transforme: a) 4,1 km em dm. b) 0,65 dam em mm. c) 2 390 cm em hm. d) 36 dm em dam. e) 0,039 dm2 em mm2. f) 35 200 m2 em km2.

g) 7 600 dm2 em ha. h) 3,048 m2 em cm2. i) 2,358hm3 em dam3. j) 1 810 000 dam3 em km3. k) 0,0052 m3 em cm3. l) 530 000 mm3 em m3.

02. Vera possui um terreno retangular de dimensões 125 m por 80 m. Ela quer utilizar parte desse terreno para fazer um pomar, porém, 78 dam2 do terreno já estão ocupados com construções. Assim, qual a área que lhe sobra, em ha?

Gabarito: 0,22 ha

Gabarito: 18 250 mL

05. Um caminhão consegue transportar 5,4 toneladas de carga. Sabendo que um limão tem massa igual a 90 gramas, quantos limões esse caminhão poderia carregar? Gabarito: 60 000 limões

06. A embalagem de um produto apresenta as seguintes informações: nn Massa bruta:6,45 hg.

03. Converta cada uma das medidas de volume a seguir em litros: a) 4,9 L; b) 230 L; c) 0,47 L; d) 1 500 L.

a) 4,9 dm3 b) 0,23 m3

04. Em um recipiente, cuja capacidade é de 20 L, coloca-se certo volume de água. Em seguida, coloca-se um objeto cujo volume equivale a 0,45 da L. Sabendo que, nessa operação, transbordaram 275 cL de água, calcule o volume de água que foi colocada nesse recipiente, em mililitros.

c) 470 cm3 d) 0,0015 dam3

nn Massa líquida 63,80 dag.

Sabendo que a massa líquida é a diferença entre a massa bruta e a massa da embalagem, nessa ordem, qual a massa, em kg, da embalagem de 100 unidades desse produto? Gabarito: 0,7 kg

Exercícios Complementares

to mede a sua área em centímetros quadrados? Justifique. Gabarito: 1 500 cm2

02. (UFRJ) Um grande ato público em favor da Educação foi organizado em certa cidade. Uma avenida de 1,25 km de extensão e 40 m de largura foi totalmente tomada pelo público. Supondo que quatro pessoas ocupam 1metro quadrado, calcule quantas pessoas foram ao evento. Gabarito: 200 000 pessoas

03. (Enem MEC) A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno de 8 hectares de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado. Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da piscina? a) 8 b) 80 c) 800 d) 8 000 e) 80 000 04. (Unirio RJ) Uma área de 2104 km2, numa certa região do Estado do Rio, possui 20% de terras cultiváveis e improdutivas. Essas terras cultiváveis e improdutivas deverão ser usadas no assentamento de famílias de agricultores sem-terra. Considerando que cada família receba 40 hectares (1ha = 104 m2), o número total de famílias será de:

a) 40 000 b) 20 000 c) 10 000 d) 4 000 05. (UFPE) Acomodando cada seis pessoas em uma região com 1 m2 de área, qual a área da região necessária para acomodarmos a população de 6 bilhões de pessoas da Terra? a) 1 000 km2 b) 10 000 km2 c) 100 000 km2 d) 1 000 000 m2 e) 10 000 000 m2 06. (Cefet MG) Um laboratório dispõe somente de frascos com volume de 175 000 mm3. Quantos frascos serão necessários para acomodar 4 200 dL de certa substância? a) 24 000 b) 7 350 c) 2 400 d) 240 07. (Fatec SP) Em um recipiente contendo 5 decilitros de água, foram colocados 300 centigramas de açúcar, obtendo-se, assim, uma mistura homogênea. Quantos miligramas de açúcar existem em uma amostra de 1 cm3 dessa mistura? a) 0,06 d) 60 b) 0,6 e) 600 c) 6

317

C03  Sistema métrico decimal

01. (UFRJ) Uma chapa de vidro tem 0,15 metros quadrados. Quan-

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C04

ASSUNTOS ABORDADOS nn Radiciação – parte I nn Definições nn Propriedades

RADICIAÇÃO – PARTE I Leonardo de Pisa (1170 – 1250), também conhecido como Fibonacci, foi um matemático de grande influência na Idade Média. Ele nasceu na cidade italiana de Pisa, um importante centro comercial, na Itália. Seu pai era um próspero comerciante com grande influência no comércio do Mediterrâneo. Como Fibonacci sempre acompanhava seu pai em suas viagens, entrou em contato com a matemática oriental, em especial, com os numerais indo-arábicos. No ano de 1202, publicou sua obra mais famosa intitulada Liber Abaci. Trata-se de um estudo a respeito de métodos e problemas algébricos utilizando-se os numerais indo-arábicos. Em uma das passagens desse livro, encontra-se a seguinte afirmação: “Radix quadratum 16 aequalis 4”. Traduzindo para o português, teríamos “O lado do quadrado 16 é igual a 4”. Observe que o termo quadrado 16 refere-se a um quadrado de área 16 e que a palavra radix não tem nada a vez com raiz, pois sua correta tradução é lado. Assim, a palavra que usamos hoje para designar, por exemplo, a raiz quadrada de 16 tem origem a partir de uma tradução errada da palavra radix. Por fim, o símbolo , que é utilizado atualmente, é o resultado de várias mudanças sofridas pela abreviação da palavra radix por meio dos tempos.

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Figura 01 - Ilustração de uma curva que possui em várias de suas partes proporcionais a um número irracional denominado número de ouro.

318

Matemática e suas Tecnologias

Definições Dizemos que a raiz enésima aritmética do número real não negativo a é igual ao número real não negativo b se, e somente se, b elevado a n, for igual a a, sendo n um número natural maior que 1. Simbolicamente, temos: n

Na igualdade

nn O

a =b ⇔ bn =a

a = b , temos que:

símbolo a é denominado radical. número n é denominado índice do radical. nn O número a é denominado radicando. nn O número b é denominado raiz. nn O

Por exemplo: nn 9 = 3, pois 32 = 9. nn

125 = 5, pois 53 = 125.

Ainda em relação à igualdade n a = b, no conjunto dos números reais, temos as seguintes situações conforme n seja par ou ímpar. Observe: 1º caso: Se n for par, então a ∈ IR*+ e b ∈ IR*+ . Por exemplo. 2 nn 4 = 2, pois 2 = 4. 4 4 nn 0 = 0, pois 0 = 0. nn -4 não existe no conjunto dos reais, pois não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -4. 2º caso: Se n for ímpar, então a ∈ IR e b ∈ IR. Por exemplo: 3 nn 8 = 2 pois 23 = 8. 3 nn -8 =-2 pois (-2)3 = -8.

Propriedades Dados os números reais positivos a e b, e o número natural n > 1, temos: Produto de radicais de mesmo índice Nessa situação, basta multiplicar os radicandos e manter o índice. n

a ⋅ n b = n a⋅b

Por exemplo: nn

5⋅3 6 =

5⋅6 =

Divisão de radicais de mesmo índice

n a = n b

Por exemplo: 5

20 = 5 4

20 = 4

C04  Radiciação - parte I

Nessa situação, basta dividir os radicandos e manter o índice. a , para b ≠ 0 b

319

Matemática

Radical de um radical

Potência de um radical

Nessa situação, basta multiplicar os índices e manter o radicando.

Nessa situação, podemos transportar o expoente para dentro do radical, tornando-o expoente do radicando.

m n

= 10

3 4

= n am

Por exemplo:

Por exemplo: nn

( a)

a = mn⋅ a

3⋅4

( 2) 4

= 4 23

Simplificação do expoente do radicando e do índice da raiz

Introdução de um fator positivo na raiz

Nessa situação, basta dividir pelo mesmo número o expoente do radicando e o índice da radical.

Nessa situação, podemos transportar um fator para dentro do radical elevando-o ao índice desse radical.

np ⋅

amp⋅ = n am

Por exemplo: nn

15 9 = 7

3⋅5

= 73⋅3

k⋅ n a =

kn ⋅ a

Por exemplo: 5

5⋅ 3 2 =

53 ⋅ 2

EXEMPLOS 01. Calcule o valor de: a) 25 b) - 25 c) ± 25 d) -25 e) 3 27 f) 3 -27

125 = 1000

= 0,125

54=

625 = 16

3 125 5 = = 0,5 1000 10

27 ⋅ 2=

27 ⋅ 3 2= 3 3 2

625 5 = 4 16 2

03. Calcule o valor da expressão numérica 2 45 - 4 20 + 7 80 - 3 125 . RESOLUÇÃO

a) 25 = 5 -5 b) - 25 = ±5 c) ± 25 = d) -25 não existe nos reais e) 3 27 = 3 -3 f) 3 -27 = 02. Simplifique os seguintes radicais:

C04  Radiciação - parte I

320

2 9 ⋅ 5 - 4 4 ⋅ 5 + 7 16 ⋅ 5 - 3 25 ⋅ 5 2⋅3 5 - 4 ⋅2 5 + 7⋅ 4 5 - 3⋅5 5 6 5 - 8 5 + 28 5 - 15 5 11 5 4536 .

RESOLUÇÃO Decompondo 4 536 num produto de fatores primos, temos que: 4 536 = 23 x 34 x 71. Daí, temos: RESOLUÇÃO

2 9 ⋅ 5 - 4 4 ⋅ 5 + 7 16 ⋅ 5 - 3 25 ⋅ 5

04. Simplifique o radical

48 0,125 3 54 625 4 d) 16 a) b) c)

RESOLUÇÃO

48=

16 ⋅ 3=

16 ⋅ 3= 4 3

4536 =

23 ⋅ 34 ⋅ 71 =

22 ⋅ 21 ⋅ 34.71

4536 =21 ⋅ 32 21 ⋅ 71 =18 14

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de: 121

a) b)

b) - 121

-11

c) ± 121

±11

-121

03. Calcule o valor de:

-32

289 - 3 -64 - 5 243 18 81 - 5 32 + 3 -125 -4

04. Calcule o valor de:

não existe nos reais

a) 5 50 + 3 98 - 10 4 4 b) 2 6 16 + 3 -108 - 9 64

2 -2

36 2 43 4

05. Calcule o valor de:

02. Simplifique: a)

2 160

12 15

3024

6 3 14

4 + 23 + 1 + 9

44 + 3 155 - 5 30 + 3 4 16

3 7

Exercícios Complementares 01. (Unemat) O número a) 4 7 b) 4 21 c) 28 3 d) 28 21 e) 56 3

05. Considere as seguintes definições:

2352 corresponde a:

nn Quadrado perfeito é um número inteiro não negativo

cuja raiz quadrada também é um número inteiro não negativo. nn Cubo perfeito é um número inteiro cuja raiz cúbica tam-

bém é um número inteiro.

02. Calcule o valor da seguinte expressão numérica: 18/33 441 - 3 64 + ( -7 )

(-4)2 - 5 -243 + 196

06. (Uem PR) Assinale o que for correto.

03. (UFMG) O valor da expressão

)(

8 +3 5 -7 2 ⋅

Baseando-se nessas definições, responda aos itens a seguir: a) Qual o menor número natural que se deve multiplicar 1 260 para que o produto obtido seja um quadrado perfeito? 35 b) Qual o menor número natural que se deve multiplicar 1 800 para que o produto obtido seja um cubo perfeito? 15

72 + 20 - 4 2

)

C-C-E-E-C

23 2 25 + > 01. . 2 23 25

02. 25 ⋅ 36 = 900 . é:

04. 120 ⋅ 169 = 289 .

a) 6

5 2 25 4 08.  +  = + .

b) 6 2

2 3

c) 16

 8  2  8  7

b) 10,5 c) 1,05 d) 0,105 e) 0,0105

9 ⋅ 10 -6 ⋅ 0,0049 ⋅ 2,5 ⋅ 103 , ob-

07. (ESPM SP) O valor da expressão igual a:

1 x + + 2 para x = 400 é x C04  Radiciação - parte I

e) 12 5

a) 105

49 7 49 2 16.   ÷   =   ⋅   .

d) 18

04. (UFMG) Simplificando tém-se:

a) 20,05 b) 20,50 c) 20,10 d) 20,01 e) 20,15

321

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento Assim sendo, a quantidade total dessa substância, em gramas, no lago é de: a) 6.108 b) 6.109 c) 6.1010 d) 6.1011

0,375 ⋅ 10 -12 01. (Unifor CE) A expressão equivale a: 0,0125 ⋅ 10 -8 a) 0,03% b) 0,15% c) 0,3% d) 1,5% e) 3% 02. (UFMA) Qual o valor numérico 35-1 ⋅ 40 -1 ⋅ 102 ⋅ 5 ⋅ 100 ? Gabarito: 1/2 23 ⋅ 14 -1 ⋅ 5 ⋅ 25

expressão

03. (Puc SP) A soma dos quatro algarismos distintos do número N = abcd, é 16. A soma dos três primeiros algarismos é igual ao algarismo da unidade e o algarismo do milhar é igual à soma dos algarismos da centena e da dezena. O produto dos algarismos da dezena e da centena é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 04. (UECE) No sistema de numeração decimal, a soma dos dígitos do número inteiro 1025 – 25 é igual a: a) 625 b) 453 c) 219 d) 75 05. (UFG GO) As medidas agrárias mais utilizadas em Goiás são o alqueire, que corresponde a, aproximadamente, 4,8 hectares, a quarta, que é equivalente a um quarto de alqueire, e o litro, que é a vigésima parte de uma quarta. Se um agricultor plantar arroz em uma área de um alqueire e 60 litros, com uma produtividade esperada de 65 sacas por hectare, ele deverá colher, em sacas, a) 234 b) 312 c) 499 d) 546 e) 780 06. (UFMG) Um lago tem superfície de área 12 km2 e 10 m de profundidade média. Sabe-se que o volume do lago é dado pelo produto da área de sua superfície por sua profundidade média. Certa substância está dissolvida nesse lago, de modo que cada metro cúbico de água contém 5 g da substância. 322

07. (UFG GO) Em uma cidade com três mil habitantes, cada morador escova os dentes, em média, três vezes ao dia durante três minutos. Considerando que cada habitante deixa a torneira parcialmente aberta durante a escovação e desperdiça, em média, cinco gotas de água por segundo, quantos litros de água, em média, são desperdiçados a cada 30 dias nessa cidade? Dado: 1 mL = 20 gotas Gabarito: 12 150 L

08. (Mackenzie SP) Na construção de um dique, foram utilizadas 90 toneladas de terra, acondicionada sem sacos plásticos de 5 litros. Considerando que cada cm3 de terra pesa 3 gramas, a menor quantidade necessária de sacos para a construção do dique foi de: a) 4 000 b) 6 000 c) 8 000 d) 9 000 e) 10 000 09. (Puc Campinas SP) Efetuando-se a)

14 3 11 , obtém-se: + 125 5 25

14 + 2 5

114 5 c) 6/5 d) 4/5 e) 3/5

10. (UFTM MG) O conjunto de todos os números inteiros n que satisfazem a condição 5 3 < n < 8 2 possui exatamente: a) 1 elemento. b) 2 elementos. c) 3 elementos. d) 4 elementos. e) 5 elementos. 11. (Ufop MG) Considerando x =

3-1 + 6 -1

1 + 9 ⋅ 16 -1 os valores de x e y são, respectivamente:

e y=

3-2 + 2-1 3

1 - 7 ⋅ 2-3

Matemática e suas Tecnologias

16. (Faculdade Santo Agostinho BA) Sendo as células individuais de um organismo muito pequenas para serem vistas a olho nu, é preciso usar microscópios para ampliá-las. Sabendo-se que um organismo unicelular visto através de um microscópio com campo de visão de 4 × 10–4 metros ocupa 1/5 desse campo de visão e que um micrômetro equivale a 10–6 m, é correto afirmar-se que o comprimento, em micrômetros, do organismo é igual a Gabarito: 05 01. 40 02. 50 03. 60 04. 70 05. 80

a) 2/5 e 11/9 b) 2/45 e 11/25 c) 2/5 e 8/11 d) 5/8 e 11/36 e) 8/5 e 36/11 12. (IF MA) Nas alternativas abaixo 3

II.

III.

22 = 8 22

IV.

10 < 12 4 10

4 3

VI.

18 = 6 18 42 = 5 3 42

56 = 12 56

74 = 3

3 4

17. (IF RS) A metade de um número natural, denominado por a, somado ao dobro do sucessor de a, resulta 42.

Estão corretas:

a) I, II e V b) III, IV e VI c) II e VI d) III e V e) IV 13. (UECE) No sistema de numeração decimal, a soma dos dígitos do número inteiro 1025 – 25 é igual a a) 625. b) 453. c) 219. d) 75. 14. (Ibmec SP) Se x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz = 6, então um possível valor para a soma x + y + z é a) 6 . b) 2 2 . c) 2 3 . d) 3 2 . e) 3 3 . 4

 1 2  1 3  1  1  -3 15. (IF MA) O valor da expressão= x   ⋅    ⋅ ⋅   , es 2   3   2  3 

crita na forma da potência de base

1 a)   6

1 b)   6

1 c)   6 1 d)   6

1 e)   6

1 vale: 6

Determine o valor de (a - 31 ⋅ a-1 )2 1 a) 4 5 b) 15 15 c) 16 25 d) 16 15 e) 4 18. (Unifap AP) Ezequiel comenta com Marta sobre os conteúdos de 8ª série ou nono ano do Ensino Fundamental relativo à radiciação e cálculo com raízes. E resolvem se prepararem resolvendo alguns exercícios sobre este conteúdo, então eles percebem que é simples o seguinte problema: Qual é o valor de

16 + 4 + 4 + 4 .

Qual é a alternativa que eles marcaram como correta: a) 2 b) 8 c) 2 2 d) 2 e)

19. (Unimontes MG) A expressão a) b) c) d)

(

)

5 -1 +

20 é igual a 5- 5

9+ 5 -11 + 5 11 - 5 9- 5

20. (UECE) O número de elementos do conjunto formado pelos inteiros positivos x que satisfazem à desigualdade 4 ≤ x ≤ 17 é a) 136. b) 143. c) 273. d) 274. 323

FRENTE C  Exercícios de Aprofundamento

FRENTE

Iluminura do século XIV, em uma tradução latina dos Elementos de Euclides, atribuída a Adelardo de Bath. A figura feminina no papel de professora é provavelmente uma personificação da geometria — The British Library.

MATEMÁTICA Após a construção da cidade de Alexandria, esta se tornou berço de grandes cientistas, tais como Euclides. Ele foi o responsável por escrever um tratado matemático composto por treze volumes chamado Os Elementos (300 a.C.) que é provavelmente o livro mais reproduzido e estudado no mundo ocidental depois da Bíblia. Segundo Euclides, na geometria, ao definir diversos conceitos e objetos, temos que utilizar termos que já foram previamente definidos. Para definir esses termos, por sua vez, temos que novamente utilizar outros termos previamente definidos e assim, sucessivamente. Em seguida, ele resolveu esse impasse criando conceitos que, por convenção, não precisam de definição. Tais conceitos são chamados de entes (ou conceitos) primitivos. Os conceitos primitivos da geometria plana definidos por Euclides são: o ponto, a reta e o plano. Para designar pontos e retas, utilizaremos, respectivamente, letras maiúsculas e minúsculas do nosso alfabeto. Já para designar os planos, utilizaremos letras do alfabeto grego. A respeito do ponto, da reta e do plano, são feitas algumas afirmações iniciais, denominadas postulados (ou axiomas). Tais afirmações matemáticas, aceitas sem uma demonstração formal, são os pilares sobre os quais a toda geometria foi sistematizada. A partir deles, foram demonstradas todas as demais afirmações chamadas de teoremas. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

D01 D02 D03 D04

Ângulos.......................................................................................... 326 Paralelismo..................................................................................... 331 Triângulos – definição e classificação............................................ 335 Triângulos – relações angulares.................................................... 339

Fonte: wikimedia commons

Por falar nisso

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D01

ASSUNTOS ABORDADOS nn Ângulos nn Definição e elementos nn Unidade de medida nn Classificação quanto à posição nn Classificação quanto à medida nn Classificação quanto à soma nn Ângulos opostos pelo vértice (OPV) nn Bissetriz de um ângulo

ÂNGULOS Muitos atribuem ao brasileiro Alberto Santos Dumont a invenção e popularização do relógio de pulso. Ele requisitou, ao joalheiro e amigo Louis Cartier um relógio que ficasse preso ao pulso para que ele pudesse cronometrar melhor as suas experiências aéreas sem correr o risco de tirar as mãos dos controles do avião. No final dessa página, temos um moderno relógio de pulso marcando 10 horas. Os ponteiros desse relógio formam um elemento fundamental da geometria chamado ângulo.

Definição e elementos Ângulo geométrico é a união de duas semirretas de mesma origem. Observe a figura a seguir:

  O ângulo AÔB é dado pela união das semirretas não coincidentes OA e OB de mesma origem. Simbolicamente, temos:   ˆ= OA ∪ OB AOB

No ângulo AÔB, podemos destacar os seguintes elementos: nn O

é o seu vértice.   semirretas OA e OB são seus lados. nn α = m(AÔB) é a sua medida.

Fonte: shutterstock.com / Nor Gal

nn As

326

Matemática e suas Tecnologias

Unidade de medida

Observe as figuras a seguir:

A unidade de medida que iremos utilizar para medir os ângulos é o grau. Assim, dizemos que o número de graus de um ângulo é a sua medida. O instrumento utilizado para medir ângulos é o transferidor. Observe a figura a seguir: A 60

ˆ e AOC ˆ são consecutivos, pois possuem o mesmo BOC  vértice O e o lado OC comum.

01 14

0 10 2 0 3 0

ˆ e AOC ˆ são consecutivos, pois possuem o mesmo AOB  vértice O e o lado OA comum.

80 90 100 110 12

160

170 180 190 2

Ângulos Adjacentes Dois ângulos consecutivos são adjacentes quando possuem um lado comum entre os outros dois lados. Observe a figura a seguir:

3 03

0 34

00 2 1

0 350

250

260 270 280 290

30 0

Note que a circunferência do transferidor foi dividida em 360 partes iguais compondo uma escala circular com 360 marcações. Assim, 1 grau (1°) corresponde a 1/360 dessa circunferência. Observações: nn Da figura, temos que a medida de AÔB é igual a 50°. nn A medida α, em graus, de um ângulo geométrico é tal que 0o < α ≤ 180o. nn Dois ângulos que possuem a mesma medida são chamados de congruentes (símbolo: ≡).

ˆ e BOC ˆ AOB  possuem o mesmovértice   O e o lado comum OB está entre os lados OA e OC .

Classificação quanto à medida Ângulo Reto Um ângulo é reto quando sua medida for um número α, tal que α = 90o. Observe a figura a seguir:

Submúltiplos do Grau Dividindo-se 1 grau (1°) em 60 partes, obtém-se um minuto (1’). Assim, temos que: 1° = 60’ Dividindo-se 1 minuto (1’) em 60 partes, obtém-se um segundo (1”). Assim, temos que:

Ângulo Agudo Um ângulo é agudo quando sua medida for um número α, tal que 0° < α < 90°. Observe a figura a seguir:

1’ = 60”

D01  Ângulos

Classificação quanto à posição Ângulos Consecutivos Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum. 327

Matemática

Ângulo Raso Um ângulo é raso quando sua medida for um número α, tal que α = 180°. Nesse caso, dizemos que os lados do ângulo são duas semirretas opostas. Observe a figura a seguir: ˆ e COD ˆ são opostos pelo vértice AOB ˆ e BOC ˆ são opostos pelo vértice nn AOD nn

Propriedade: Ângulo obtuso Um ângulo é agudo quando sua medida for um número α, tal que 90° < α < 180°. Observe a figura a seguir:

Ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. Demonstração: Observe a figura a seguir:

Classificação quanto à soma Ângulos complementares

Note que: ˆ e AOC ˆ são ângulos rasos, logo temos que: BOD

θ 180° α +=  β + = θ 180° 

Dois ângulos são complementares quando somam 90°. Observe a figura a seguir:

Subtraindo as equações, membro a membro, temos: (α + θ) – (β + θ) = 180° – 180° α –β=0 α=β Os ângulos de medidas α e β são complementares, pois α + β = 90°. Ângulos suplementares Dois ângulos são suplementares quando somam 180°. Observe a figura a seguir:

D01  Ângulos

Os ângulos de medidas α e β são complementares, pois α + β = 180°.

Ângulos opostos pelo vértice (OPV) Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são as semirretas opostas dos lados do outro. Observe a figura a seguir:

328

Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo é uma semirreta que divide o ângulo em dois ângulos de mesma medida (congruentes). Observe a figura a seguir:

 Se a semirreta OX é bissetriz do ângulo AOB, temos que: nn α

=β ˆ ˆ AOX ≡ BOX nn

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Efetue as operações indicadas a seguir: a) b) c) d)

15°42’47” + 12°28’38” 88°23’37” – 35°31’40” 9°17’28” ⋅ 4 34°15’12” : 3

RESOLUÇÃO

 ˆ e BOC ˆ são congruenˆ temos que AOB Sendo OB bissetriz de AOC, tes. Então, temos que: 3x – 30° = 2x + 6° ⇒ x = 36°

RESOLUÇÃO

ˆ é 2 ⋅ 36 + 6 = 78°. A medida de AOB ˆ A medida de BOC é 3 ⋅ 36 – 30 = 78°. ˆ e BOC ˆ medem 78°. Portanto, AOB

a) 15°42’47” + 12°28’38” 27°70’85”

27°71’25” = 28° 11’25”

04. Calcule os valores de x e y, em graus, na figura a seguir:

b) 88°23’37” – 35°31’40”

87°82’97” ⇒

– 35°31’40” 52°51’57”

c) 9°17’28” RESOLUÇÃO

x 4 36° 68’112”

36°69’52” = 37°09’52”

Os ângulos de medidas 7x + 14° e 17x – 6° são opostos pelo vértice. Assim, temos que:

31°16’12” 3

17x – 6° = 7x + 14° ⇒ 10x = 20° ⇒ x = 2°

– 30° 10° 25’ 24” 1°16’12”

Os ângulos de medidas 7x + 14° e 6y + 8° são suplementares. Assim, temos que:

76’12” – 75’

7x + 14° + 6y + 8° = 180° ⇒ 7 ⋅ 2 + 14° + 6y + 8° = 180° ⇒ y = 24°.

1’12” 72”

Portanto, os valores são x = 2° e y = 24°.

– 72” 0 02. A medida de um ângulo é igual ao dobro da medida do seu complemento. Qual é medida desse ângulo, em graus?

05. Mostre que a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes é igual a metade da soma das medidas desses dois ângulos. RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO

Observe figura a seguir:

Sendo x a medida do ângulo, temos que: x = 2 ⋅ (90° – x) ⇒ x = 180° – 2x ⋅ x = 60°. Portanto, a medida do ângulo é 60°.

 ˆ 03. Na figura a seguir, a OB é a bissetriz do ângulo AOB.

Dois ângulos adjacentes AÔB e BÔC cujas medidas são, respectivamente, 2α e 2β.   Duas semirretas OX e OY que são, respectivamente, bissetrizes de AÔB e BÔC.

ˆ e BOC. ˆ Calcule a medida dos ângulos AOB

Note que medida de AÔC é 2α + 2β e a medida de XÔY é α + β, ou seja, a metade da medida de AÔC.

329

D01  Ângulos

Nessa figura, temos:

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Com base na figura a seguir, julgue os itens que se seguem em certo (C) ou errado (E).

04. Calcule o valor de x, em graus, nas figuras a seguir sabendo -se que OC é bissetriz do ângulo AOB. a) Os ângulos b) Os ângulos c) Os ângulos d) Os ângulos e) Os ângulos

ˆ AOB ˆ AOB ˆ BOC ˆ BOC ˆ AOB

ˆ e BOC ˆ e BOC ˆ e BOD ˆ e BOD ˆ e COD

são consecutivos. são adjacentes. são consecutivos. são adjacentes. são adjacentes.

C-C-C-E-E

02. Efetue as operações a seguir: a) 127°51’42” + 48°27’39” b) 25°16’33” – 12°25’15” c) 3 ⋅ (46°26’44”) d) (16°12’11”) : 7 a) 176° 19’ 21”;

b) 12° 51’ 18”;

c) 139 20’ 12” ; d) 2° 18’ 53”.

03. Calcule o valor de x, em graus, nas figuras a seguir: a) 12°;

b) 15°.

a) 42°;

b) 3042°.

05. Responda às perguntas a seguir: a) Qual é a medida de um ângulo que mede o triplo do seu complemento? b) Qual é a medida de um ângulo que mede a quarta parte do seu suplemento? c) Qual é a medida de um ângulo que o triplo da medida do complemento aumentado em 30° é igual à medida do seu suplemento. a) 67,5°;

b) 36°;

c) 60°.

Exercícios Complementares 01. Julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). a) Dois ângulos consecutivos são sempre adjacentes. b) Dois ângulos adjacentes são sempre consecutivos. c) Dois ângulos opostos pelo vértice podem ser consecutivos. d) Dois ângulos suplementares são sempre adjacentes. e) Dois ângulos adjacentes podem ser complementares.

 ˆ é 140°, AX é 04. Na figura a seguir, a medida do ângulo BAC  ˆ e AY é bissetriz do ângulo CAD. ˆ bissetriz do ângulo BAD

E-C-E-E-C

02. Calcule o valor de x, em graus, nas figuras a seguir:

ˆ Calcule a medida do ângulo XAY. 70°

05. Resolva os problemas a seguir: a) 7°;

b) 56°.

03. Calcule os valores de x, y e z, em graus, na figura a seguir: x = 20°, y = 60° e z = 120°.

a) Qual é a medida de um ângulo que excede o seu suplemento em 36°? b) Qual é a medida de um ângulo que o complemento da

D01  Ângulos

sua terça parte excede o seu complemento em 30°? c) Qual é a medida do ângulo que soma ao dobro do seu complemento resulta em 152°. a) 108°;

330

b) 45°;

c) 28°.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D02

PARALELISMO O mundo dispõe de diversos meios de transportes. Como exemplo, podemos citar o aéreo, o hidroviário, o fluvial, o marítimo, o rodoviário e o ferroviário. A viabilidade de utilização dessas diversas modalidades depende das características e das exigências do material a ser transportado, distância a ser percorrida e outros fatores.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Paralelismo nn Retas paralelas e transversais nn Ângulos em retas transversal e paralelas

Contudo, no contexto do transporte ferroviário, temos um bom exemplo do estudo do paralelismo. A disposição dos trilhos, das bitolas, batentes e outros dispositivos que compõem uma estrada de ferro permitem aos engenheiros a aplicação de diversos recursos matemáticos, como por exemplo, as retas ou segmentos de retas paralelas.

Retas paralelas e transversais

Fonte: shutterstock.com / Africa Studio

Na ilustração abaixo, temos uma ferrovia em que os trilhos são perfis de ferro paralelos e fixados em peças transversais de madeira chamadas de travessas. Nessas estruturas, estão presentes dois conceitos muito importantes da geometria, o de retas paralelas e o de retas transversais.

331

Matemática

De maneira geral, temos as seguintes definições: nn Duas

retas são paralelas quando, contidas no mesmo plano, não possuem ponto em comum.

nn Uma reta é transversal a duas retas distintas quando intercepta essas retas em

dois pontos distintos. Na figura a seguir, temos duas retas paralelas r e s sendo interceptadas por uma reta transversal t.

Note que a transversal t determina oito ângulos nas retas paralelas r e s. Os quatro ângulos da reta r e os quatro ângulos da reta s formam pares de ângulos chamados de:

Ângulos em retas transversal e paralelas Ângulos correspondentes São ângulos que ocupam a mesma posição na transversal, ou seja: a e e, b e f, c e g, d e h Ângulos alternos internos São ângulos que ocupam lados alternados da transversal e na região interior às paralelas, ou seja: c e e, d e f Ângulos alternos externos São ângulos que ocupam lados alternados da transversal e na região exterior às paralelas, ou seja: a e g, b e h Ângulos colaterais internos São ângulos que ocupam o mesmo lado da transversal e na região interior às paralelas, ou seja: c e f, d e e Ângulos colaterais externos São ângulos que ocupam o mesmo lado da transversal e na região exterior às paralelas, ou seja: D02  Paralelismo

a e h, b e g Propriedades nn Ângulos correspondentes e alternos são congruentes, ou seja, possuem a mes-

ma medida. nn Ângulos colaterais são suplementares, ou seja, somam 180°. 332

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas interceptadas pela transversal t.

Calcule os valores de x e y, em graus. RESOLUÇÃO Os ângulos de medida 2x e 3x – 20° são alternos internos. Assim, temos que:

03. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.

Calcule o valor de α, em graus. RESOLUÇÃO Traçando uma reta t pelo vértice do ângulo α paralela às retas r e s, temos:

3x – 20° = 2x x = 20°. Os ângulos de medida y + 10° e 2x são correspondentes. Assim, temos que: y + 10° = 2x y + 10° = 40° y = 30°. Portanto, temos x = 20° e y = 30°. 02. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas interceptadas pelas transversais t e u.

Os ângulos de medida x e 30° são alternos internos, logo x = 30°. Os ângulos de medida y e 50° são alternos internos, logo y = 50°. α = a + b = 30° + 50° = 80°. Portanto, temos α = 80°. 04. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.

Calcule os valores de x e y, em graus. RESOLUÇÃO

y + 20° = 120° y = 100° Os ângulos de medida x + 20° e y são opostos pelo vértice, logo temos que: x + 20° = y x + 20° = 100° x = 80° Portanto, temos x = 80° e y = 100°.

Calcule os valores de a e b, em graus. RESOLUÇÃO O ângulo de medida 2a + 3a é correspondente ao ângulo de medida 100°. Logo, temos que: 2a + 3a = 100° ⇒ 5a = 100° ⇒ a = 20° O ângulo de medida 3a é colateral interno do ângulo de medida b. Logo, temos que: 3a + b = 180° ⇒ 3 ⋅ 20° + b = 180° ⇒ b = 120° Portanto, temos que a = 20° e b = 120°.

333

D02  Paralelismo

Os ângulos de medida y + 20° e 120° são alternos internos, logo temos que:

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Nas figura a seguir, as retas r e s são paralelas interseptadas pela transversal t.

02. Na figura a seguir, as restas r e são paralelas.

Calcule o valor de α, em graus.

Calcule o valor numérico de α, em graus.

35°

03. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.

a) 15°;

b) 30°.

Calcule o valor de θ, em graus.

90°

Exercícios Complementares 01. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.

03. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.

Calcule o valor de α + β, em graus. 100°

Calcule os valores de x e y, em graus.

04. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.

x = 17° e y = 140°

D02  Paralelismo

02. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.

Calcule os valores α e β, em graus. α = 100° e β = 40°

334

Calcule o valor de θ, em graus. 60°

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D03

TRIÂNGULOS – DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO O emprego da geometria na arquitetura estrutural produz verdadeiras obras de arte. A cúpula geodésia, em formato esférico, é um bom exemplo disso. Criada pelo arquiteto americano Richard Buckminster Fuller (1895 - 1983), sua utilização está no fato de ela ter grande estabilidade e resistência mecânica. Observe que a cúpula é formada por quadros em forma de triângulo, conferindo-lhe bastante rigidez.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Triângulos – Definição e classi-

ficação

nn Definição e elementos nn Classificação quanto aos lados nn Classificação quanto aos ângulos

Após ser desligado da universidade de Havard, prestar serviço militar na marinha norte-americana e ver sua filha, Alexandra Fuller, morrer de pneumonia, Buckminster Fuller, aos 32 anos de idade, decidiu o quanto poderia um único indivíduo contribuir para mudar o mundo com um largo espectro de ideias, projetos e invenções, que visavam essencialmente à eficiência e ao baixo custo de habitações e de transportes. E assim, ele o fez atuando em diversos projetos. Fuller documentou sua vida, filosofia e ideias em um diário pessoal e em vinte e oito publicações. Foi condecorado nos Estados Unidos por vinte e cinco vezes e agraciado com cinquenta doutoramentos "honoris causa". Em 16 de Janeiro de 1970, Fuller recebeu a Medalha de Ouro do American Institute of Architects. A sua carreira internacional deu um salto com o sucesso das suas enormes cúpulas geodésicas, nos anos 1950. Desenhando, pesquisando, desenvolvendo projetos e escrevendo, ensinou design nas várias partes do mundo. Richard Buckminster Fuller faleceu em 1 de julho de 1983 aos 88 anos.

Fonte: shutterstock.com / meunierd

Figura 01 - Cúpula geodésica formada por quadros cujo elemento geométrico principal é o triângulo.

335

Matemática

Definição e elementos Dados três pontos A, B e C não colineares. Dá-se o nome de triângulo à união dos segmentos AB , BC e CA. Observe a figura a seguir: A

Observação: nn O perímetro de um triângulo, indicado por 2p, é a soma das medidas dos seus três lados.

No triângulo ABC, temos que: nn A,

B e C são os seus vértices. nn AB , BC e CA são os seus lados. nn a, b e c são as medidas dos seus lados. nn α, β e θ são as medidas dos seus ângulos internos. nn x, y e z são as medidas dos seus ângulos externos.

Classificação quanto aos lados Quanto aos lados, os triângulos se classificam em: Escaleno Triângulo escaleno é aquele que possui três lados de medidas diferentes. Observe a figura a seguir: A b

No triângulo ABC, temos que: nn As

medidas dos lados são diferentes, ou seja, a ≠ b ≠ c. nn As medidas dos ângulos internos são diferentes, ou seja, α ≠ β ≠ θ. Isósceles

D03  Triângulos − Definição e classificação

Triângulo isósceles é aquele que possui dois lados de mesma medida. Observe a figura a seguir:

No triângulo ABC, temos que: medidas dos lados AB e AC são iguais, ou seja, c = b. ˆ e ACB ˆ são iguais, ou seja, β = θ. nn As medidas dos ângulos ABC nn O lado BC (lado de medida diferente) é chamado de base. ˆ (fora da base) é chamado de ângulo do vértice. nn O ângulo BAC nn As

336

Matemática e suas Tecnologias

Equilátero Triângulo equilátero é aquele que possui três lados de mesma medida. Observe a figura a seguir: Observações: nn Todo triângulo equilátero (lados iguais) também é equiângulo (ângulos iguais). nn Todo triângulo equilátero é isósceles. No triângulo ABC, temos que: medidas dos lados BC , AC e AB são iguais, ou seja, a = c = b. ˆ , CBA ˆ e ACB ˆ são iguais, ou seja, α = β = θ. nn As medidas dos ângulos BAC nn As

Classificação quanto aos ângulos Quanto aos lados, os triângulos se classificam em: Acutângulo Triângulo acutângulo é aquele que possui três ângulos agudos. Observe a figura a seguir: A c

b C

No triângulo ABC, temos que: nn Os ângulos

ˆ , CBA ˆ e ACB ˆ são todos agudos, ou seja, α < 90°, β < 90° e θ < 90°. BAC

Retângulo Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto. Observe a figura a seguir:

No triângulo ABC, temos que: ˆ é reto, ou seja, tem medida de 90°. nn O ângulo BAC

BC é chamado de hipotenusa e os lados AB e AC são chamados de catetos.

D03  Triângulos − Definição e classificação

nn O lado

Obtusângulo Triângulo obtusângulo é aquele que possui um ângulo obtuso. Observe a figura a seguir:

No triângulo ABC, temos que: ˆ é obtuso, ou seja, 90° < α < 180°. nn O ângulo BAC 337

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E): a) Todo triângulo isósceles é triângulo acutângulo. b) Todo triângulo retângulo é triângulo escaleno. c) Todo triângulo isósceles é equilátero. d) Todo triângulo equilátero é isósceles. E-E-E-C

02. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC equilátero. Sabendo que as medidas dos lados estão em centímetros, determine: a) O valor de x. b) A medida do lado BC . a) 10 cm;

b) 18 cm.

05. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC isósceles de base BC. Sabendo que as medidas dos lados estão em centímeros, determine os valoresde x e y.

x = 12 cm e y = 11 cm

03. Considere um triângulo isósceles cujo perímetro é 60 centímetros. Calcule as medidas dos lados desse triângulo, sabendo que a soma das medidas dos lados congruentes é o quádruplo da medida da base. 12 cm, 24 cm e 24 cm

04. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC isósceles de base BC.

Determine os valores de x e y, em graus. x = 15° e y = 35°

Exercícios Complementares 01. Julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E): a) Todo triângulo acutângulo ou é isósceles ou é equilátero. b) Todo triângulo escaleno é retângulo ou acutângulo. c) Existe triângulo isósceles e retângulo.

Sabendo que as medidas estão em centímetros, determine: a) O valor de k. b) O perímetro do triângulo ABC a) m = 9 cm, n = 3 cm;

b) 45 cm.

04. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC equilátero.

d) Existe triângulo obtusângulo e equilátero. E-E-C-E

02. Os ângulos dabase de um triângulo isósceles têm medidas,

D03  Triângulos − Definição e classificação

em graus, dadas por 3x – 36 e x + 20. Calcule as medidas desses ângulos. 48O

03. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC isósceles de base AB.

Sabendo que as medidas dos lados estão em centímetro, determine: a) Os valores e m e n. b) O perímetro do triângulo ABC. a) 6 cm;

b) 49 cm.

05. Um triângulo cujo perímetro mede 100 cm possui lados de medidas proporcionais aos números 6, 7 e 12. Determine as medidas dos lados desse triângulo. 24 cm, 28 cm e 48 cm;

338

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D04

TRIÂNGULOS – RELAÇÕES ANGULARES O teodolito é um instrumento óptico de medição de posições relativas. É muito utilizado na navegação, construção civil, agricultura e meteorologia para medir ângulos horizontais e verticais, em medições diretas e indiretas de distâncias. Para determinar essas distâncias, muitas vezes, são utilizadas relações entre ângulos e lados de triângulos.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Triângulos – Relações angulares nn Soma dos ângulos internos nn Soma dos ângulos externos nn Ângulo externo

Nesta aula, veremos as relações angulares existentes entre os ângulos dos triângulos.

Soma dos ângulos internos A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Observe a figura a seguir.

No triângulo ABC, temos que: α + β += θ 180°

Demonstração: Pelo ponto A, vamos traçar uma reta paralela ao lado CB . Observe a figura a seguir:

Note que: ˆ e BCA ˆ são alternos internos, logo DAC ˆ também tem medida θ. Os ângulos DAC ˆ e CBA ˆ são alternos internos, logo EAB ˆ também tem medida β. Os ângulos EAB

Fonte: shutterstock.com / Dmitry Kalinovsky

Portanto, no vértice A do triângulo ABC, temos α + β + θ = 180°.

Figura 01 - Foto ilustrativa de um engenheiro analisando o perfil de um terreno com o auxílio de um teodolito.

339

Matemática

Soma dos ângulos externos A soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360°. Observe a figura a seguir. A

z B C

No triângulo ABC, temos que:

x + y + z=

360°

Demonstração: Vamos somar os ângulos adjacentes em cada um dos vértices do triângulo ABC. Observe a figura a seguir:

Obtendo assim, o seguinte sistema de equações: x + α =180o  o y + β =180  o z + θ =180

Somando as três equações desse sistema, membro a membro, temos que: (x + α) + (y + β) + (z + θ) = 180° + 180° + 180° (x + y + z) + (α + β + θ) = 540° x + y + z + 180° = 540° ⇒ x + y + z = 360° Portanto, para o triângulo ABC, temos que x + y + z = 360°. D04  Triângulos − Relações angulares

Ângulo externo A medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. Observe a figura a seguir.

340

Matemática e suas Tecnologias

No triângulo ABC, temos que:

x = β+θ Demonstração: Vamos estabelecer as relações angulares no triângulo ABC. Observe a figura a seguir:

Obtendo assim, o seguinte sistema de equações:

x + α =180o  o α + β + θ =180 Isolando α na primeira equação, temos que: α = 180° – x Substituindo na segunda equação, temos que: 180° – x + α + β = 180° –x=–α–β Portanto, para o triângulo ABC, temos que x = α + β.

EXEMPLOS 01. Determine o valor de x nos triângulos a seguir:

02. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC isósceles de base BC .

Calcule, em graus, o valor de x.

RESOLUÇÃO Como o triângulo é isósceles de base BC , temos que os ângulos dos vértices B e C possuem a mesma medida. Assim, temos a seguinte soma dos ângulos internos. 3x + (x + 25)° + (x + 25)° = 180° ⇒ 5x + 50 = 180° ⇒ x = 65° Portanto, o valor de x é 26°.

a) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Assim, temos que: x + 75° + 50° = 180° x + 125° = 180° x = 55° b) A medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. Assim, temos que: x = 80° + 45° x = 125°

03. Classifique quanto aos lados e quanto aos ângulos, um triângulo cujas medidas dos ângulos internos estão na proporção 3 : 3 : 4. RESOLUÇÃO Os ângulos internos na proporção 3 : 3 : 4 podem ser expressos por 3x, 3x e 4x. Assim, temos a seguinte soma dos ângulos internos: 3x + 3x + 4x = 180° 10x = 180° x = 18°. Logo, as medidas dos ângulos internos são: 54°, 54° e 72°. Portanto, o triângulo é isósceles e acutângulo.

341

D04  Triângulos − Relações angulares

RESOLUÇÃO

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de x, em graus, em cada um dos triângulos a seguir:

03. Na figura a seguir, duas retas r e s não paralelas, interceptadas pelas retas t e u, formando dois triângulos.

Nessas condições, determine x, em função de α. x = 2α

a) 60°;

b) 30°;

c) 40°;

d) 20°.

02. Calcule o valor de x no triângulo ABC da figura a seguir: 50°

04. (Vunesp SP) O triângulo ABC da figura é equilátero. Os pontos M e N e os pontos P e Q dividem os lados a que pertencem em três segmentos de reta de mesma medida. Nessas condições, calcule:

a) A medida do ângulo MPQ. b) A medida do ângulo BMQ. a) 120°;

b) 90°.

Exercícios Complementares 01. Determine as medidas dos ângulos externos de um triângulo sabendo-se que os mesmos estão na proporção 4:5:6.

03. Na figura a seguir, temos um quadrilátero não convexo.

96°, 120° e 144°

02. (Fuvest SP) Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY.

D04  Triângulos − Relações angulares

Calcule o valor de x, em graus. 140°

04. Na figura a seguir, temos que o triângulo ABC é isósceles de base BC. E os segmentos AE,ED,DB , , eeeBC AE,ED,DB AE,ED,DB ŽŽŽŽŽ BC BC são congruentes.

ˆ mede 40°, então o ângulo XYZ ˆ mede: Se o ângulo BAC a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 90°

Calcule o valor de x, em graus. 180°/7

342

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Uel PR) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente.

O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a: a) 144° b) 128° c) 116° d) 82° e) 54° 02. (Cefet SC) Na figura abaixo, OP é bissetriz do ângulo AÔB.

Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na rua Marechal Hermes no número igual a nove vezes o valor do ângulo Â da figura a seguir:

Se a equipe resolver corretamente o problema, irá fotografar a construção localizada no número: a) 990 b) 261 c) 999 d) 1 026 e) 1 260 06. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.

Determine o valor de x e y. a) x = 13° e y = 49° b) x = 15° e y = 35° c) x = 12° e y = 48° d) x = 17° e y = 42° e) x = 10° e y = 50° 03. (Puc PR) Dois ângulos complementares A e B, sendo A < B, têm medidas na razão de 13 para 17. Consequentemente, a razão da medida do suplemento do ângulo A para o suplemento do ângulo B vale: a) 43/47 b) 17/13 c) 13/17 d) 119/48 e) 47/43

Calcule o valor de θ, em graus. 70°

07. (Ufes ES) As retas r e s da figura são paralelas.

04. Da medida de um ângulo retira-se a sua terça parte. Em seguida, retira-se a metade do suplemento do que restou obtendo-se 60°. Qual é medida desse ângulo? 150°

05. (Cefet PR) Em uma gincana, a equipe “Já Ganhou” recebeu o seguinte desafio: 343

Matemática

O valor da expressão 3α + β é: a) 225° b) 195° c) 215° d) 175° e) 185° 08. (Ufes ES) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.

A soma α + β + γ + δ das medidas dos ângulos indicados na figura é: a) 180° b) 270° c) 360° d) 480° e) 540° 09. Assinale a alternativa verdadeira. a) Um triângulo escaleno não pode ter um ângulo obtuso. b) Um triângulo retângulo nunca possui dois ângulos congruentes. c) Todo triângulo isósceles é acutângulo. d) Um triângulo equilátero possui dois lados congruentes. e) Um triângulo obtusângulo pode possuir dois ângulos obtusos. 10. O triângulo ABC, da figura a seguir, é isósceles de base BC.

Assinale a alternativa que representa corretamente o valor de x. a) 15° b) 20° c) 30° d) 40° e) 45° 12. (UFT TO) No triângulo ABC, da figura a seguir, o ângulo externo β mede o triplo do ângulo α.

Considerando-se essas informações, é correto afirmar que, na mesma figura, o ângulo θ mede: a) a metade do ângulo α. b) o dobro do ângulo α. c) o mesmo que o ângulo α. d) o triplo do ângulo α. ˆ = 36°. 13. (Fuvest SP) Na figura abaixo, AB = AC, CB = CD e BAC

ˆ e ADC. ˆ a) Calcule os ângulos DCB b) Prove que AD = BC. a) DCB = 36° e ADC = 108°;

b) demonstração.

14. (ITA SP) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere um ponto D tal que os segmentos AD,BD e BC são todos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a: a) 23°

FRENTE D  Exercícios de Aprofundamento

b) 32° Sabendo que as medidas estão em centímetros, determine: a) O valor de x. b) O perímetro do triângulo ABC. a) 4 cm;

b) 71 cm.

11. (UE MS) Uma folha de papel retangular foi dobrada conforme a figura.

c) 36° d) 40° e) 45° 15. (Puc RJ) No triângulo ABC, o ângulo CÂB supera em 30° o ânˆ D é o um ponto sobre o lado BC tal que AC = CD. gulo ABC; Então, a medida do ângulo DÂB é: a) 30° b) 20° c) 22,5° d) 10° e) 15°

344

Matemática e suas Tecnologias

16. Nas figuras a seguir, as retas r e s são paralelas interseptadas pela transversal t. Calcule o valor de α, em graus.

Assinale a opção que contém a expressão correta de β em termos de α. a) β = 3α. b) β = 2α c) β = α/2. d) β = 2α/3. e) β = 3α/2. 20. Na figura a seguir, calcular o valor, em graus, de a + b + c + d + e. 180°

a) 40°;

b) 34°.

21. (Espm SP) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas e

17. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.

Calcule o valor de α, em graus. 110°

18. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.

o valor de x é igual a: a) 120° b) 135° c) 140° d) 150° e) 165°

Calcule o valor de α, em graus. 32°

19. (UFCE) Na figura abaixo, os segmentos de reta AB, AC e CD são congruentes, β é um ângulo externo, e α um ângulo interno do triângulo ABD.

Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma reta e as retas CB e ED são paralelas. Assim sendo, o ângulo ABC mede: a) 39° b) 44° c) 47° d) 48°

345

FRENTE D  Exercícios de Aprofundamento

22. (UF MG) Observe a figura a seguir:

Fonte: shutterstock.com

FRENTE

MATEMÁTICA Por falar nisso A comunicação entre os homens é uma atividade vital à sua sobrevivência e, nesse contexto, a arte de cifrar e decifrar mensagens assume um papel extremamente importante em diversas áreas no nosso dia a dia. A criptografia estuda métodos e processos que têm como objetivo, criar e enviar mensagens codificadas com o propósito de ocultar informações importantes. Dessa maneira, apenas os destinatários seriam capazes de ler a mensagem original. Ou seja, se uma terceira pessoa intercepta a mensagem enviada, essa pessoa não conseguirá compreendê-la em virtude da codificação elaborada. O processo de transformar o texto original em texto codificado é chamado de codificação. Já o processo de transformar o texto codificado em texto original, é chamado de decodificação. Muitas são as aplicações atuais da criptografia: nos cartões de crédito, nas senhas dos caixas eletrônicos, nas senhas de computadores, e-comerce etc. O desenvolvimento e segurança, da maioria desses processos modernos, estão intimamente ligados à teoria dos números inteiros, especialmente aos números primos. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

E01 E02 E03 E04

Divisibilidade - divisão euclidiana, mútiplos e divisores................ 348 Critérios de divisibilidade e quantidade de divisores.................... 351 Divisibilidade - problemas de mmc e mda..................................... 356 Razão e proporção......................................................................... 359

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MATEMÁTICA

MÓDULO E01

ASSUNTOS ABORDADOS nn Divisibilidade -Divisão Euclidiana,

mútiplos e divisores nn Divisão euclidiana

nn Múltiplos e divisores nn Número par e número ímpar

DIVISIBILIDADE - DIVISÃO EUCLIDIANA, MÚTIPLOS E DIVISORES O professor Mário precisa dividir os 60 alunos do 1a série A em grupos de mesma quantidade de alunos para fazer um trabalho de Geometria Plana. Sabendo que cada grupo deve ter, no mínimo, 11 e no máximo, 14 alunos, quais seriam as possíveis maneiras que o professor poderia distribuir os alunos para formar esses grupos? Como ele quer distribuir todos os 60 alunos em grupos, não poderá ter aluno sobrando. Logo, basta dividir 60 por 11, 12, 13 e 14 e considerar apenas as divisões exatas. Como única divisão exata é a de 60 por 12, então ele só poderia formar 5 grupos com 12 alunos. Nessa situação, naturalmente, surgem os conceitos de múltiplos e divisores, assunto que será abordado nesta aula.

Divisão euclidiana Dados os números inteiros a, b, q e r (b ≠ 0), dividir a por b, significa obter q e r tais que a = b ⋅ q + r e 0 ≤ r < |b|. Tal relação também pode ser representada da seguinte maneira:

Os termos a, b, q e r, dessa divisão são chamados, respectivamente, de dividendo, divisor, quociente e resto.

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Por exemplo:

348

Note que o resto é sempre não negativo e menor que o módulo do divisor.

Matemática e suas Tecnologias

Múltiplos e divisores Dados dois números inteiros a e b, dizemos que a é múltiplo de b se, e somente se, existir um inteiro q tal que: a= q ⋅ b

Nessas condições, também podemos dizer que: nn b

é divisor (ou fator) de a. nn a é divisível por b. nn b divide a. Note que, nesse caso, o resto da divisão de a por b é igual a zero (divisão exata). Por exemplo: nn Podemos dizer que 20 é múltiplo de 4 (ou 4 é divisor de 20), pois 20 = 4 ⋅ 5. nn Podemos dizer que 21 é múltiplo de 7 (ou 7 é divisor de 21), pois 21 = 7 ⋅ 3. nn O conjunto dos múltiplos inteiros de 3 é dado por {0, ±3, ±6, ±9, ±12, ±15, ...} nn O conjunto dos divisores de 12 é dado por {±1, ±2, ±3,±4, ±6, ±12}.

Número par e número ímpar Um número inteiro a é par se, e somente se, a for múltiplo de 2. Se o número inteiro a não for, é par, então a é denominado número ímpar. nn O

conjunto dos números pares é dado por {0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ...} nn O conjunto dos números ímpares é dado por {±1, ±3, ±5, ±7, ±9, ±11, ...}

EXEMPLOS 01. Qual é o menor número natural que se deve subtrair de 576 para se obter um número divisível por 19?

a + b + c = (x + y) + (x + z) + (y + z) a + b + c = 2x + 2y + 2z a + b + c = 2⋅(x + y + z)

RESOLUÇÃO

Portanto, para qualquer valor de x, y e z, a + b + c é sempre par. 03. Na divisão de x por y, temos quociente 2 e resto 3. Na divisão de x + 2 por y, temos quociente 3 e resto zero. Determine x e y sabendo-se que eles são números naturais. E01  Divisibilidade - divisão euclidiana, múltiplos e divisores

Dividindo-se 576 por 19 obtém-se resto 6.

RESOLUÇÃO

Para que um número seja divisível por 19, o resto de sua divisão por 19 deve ser zero. Portanto, basta subtrair 6. 02. Sendo x, y e z números inteiros positivos tais que:

a x + y =  b x + z = y + z = c 

⇔ x = 2y + 3

Igualando as equações, temos: 3y – 2 = 2y + 3 y = 5 e x = 13.

Mostre que a + b + c é sempre par. RESOLUÇÃO

⇔ x + 2 = 3y + 0 ⇒ x = 3y – 2

Portanto, x = 13 e y = 5.

Somando as três equações membro a membro, temos que:

349

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Na divisão do número natural x pelo número natural y, obtêm-se quociente 15 e resto 9.

04. Responda os itens a seguir: a) A soma de dois números pares consecutivos é 266. Quais

Qual é o menor valor do dividendo dessa divisão? 159

02. Determine os números inteiros x e y tais que: nn Na divisão de x por y, obtiveram-se quociente 5 e resto 2. nn Na divisão de x por y + 1, obtiveram-se quociente e

resto iguais a 4. x = 32 e y = 6

03. Escreva cada um dos conjuntos a seguir, enumerando seus elementos: a) Conjunto dos múltiplos positivos de 5. b) Conjunto dos múltiplos inteiros de 6.

são esses números? b) A soma de três números ímpares consecutivos é 189. Quais são esses números? a) 132 e 134; b) 61, 63 e 65.

05. (Unifesp SP) O 2007º dígito na sequência 123454321234543... é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

c) Conjunto dos divisores negativos de 18. d) Conjunto dos divisores inteiros de 20. a) {5, 10, 15, 20, 25, ...}; b) {0, ±6, ±12, ±18, ±24, ...}; c) {-1, -2, -3, -6, -9, -18}; d) {±1, ±2, ±4,±5, ±10, ±20}

Exercícios Complementares 01. (Unicamp SP) a) Quais são o quociente e o resto da divisão de 3 785 por 17? b) Qual o menor número natural, maior que 3 785, que é múltiplo de 17?

a) quociente: 222 e resto: 11 b) 3791

02. (UFMG) O quadrado da diferença entre o número natural x e 3 é acrescido da soma de 11 e x. O resultado é, então, dividido pelo dobro de x, obtendo-se quociente E01  Divisibilidade - divisão euclidiana, múltiplos e divisores

8 e resto 20.

5, 10, 25, e 50 centavos em um cofre durante certo tempo. Todo dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente. Se a primeira moeda foi depositada numa segunda-feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$ 95,05 após depositar a moeda de: a) 1 centavo no 679º dia, que caiu numa segunda-feira. b) 5 centavos no 186º dia, que caiu numa quinta-feira.

A soma dos algarismos de x é:

c) 10 centavos no 188º dia, que caiu numa quinta-feira.

a) 3

d) 25 centavos no 524º dia, que caiu num sábado.

b) 4

e) 50 centavos no 535º dia, que caiu numa quinta-feira.

c) 5 d) 2 e) 6 03. Julgue os itens as seguir em certo (C) ou errado (E).

05. (Unifor CE) Considere três números naturais e múltiplos sucessivos de 3, tais que o quádruplo do menor seja igual ao triplo do maior. A soma desses três números é:

a) 3 é múltiplo de 15.

a) par.

b) 20 é divisível por4.

b) menor do que 50.

c) 6 é divisor de 30.

c) quadrado perfeito.

d) 21 é divisor de7.

d) divisor de 124.

e) 24 é múltiplo de 3 e 6.

e) múltiplo de 21.

E-C-C-E-C

350

04. (Enem MEC) Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1,

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MATEMÁTICA

MÓDULO E02

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE E QUANTIDADE DE DIVISORES O Natal é a data em que comemoramos o nascimento de Jesus Cristo. Na antiguidade, o Natal era comemorado em várias datas diferentes, pois não se sabia com exatidão a data do nascimento de Jesus. Somente no século IV que se convencionou o dia 25 de dezembro como data oficial de comemoração. Em relação ao dia da semana, se o Natal de certo ano fosse comemorado em um domingo, em que dia da semana se festejaria o Natal quatro anos depois?

ASSUNTOS ABORDADOS nn Critérios de divisibilidade e quan-

tidade de divisores

nn Critérios de divisibilidade nn Números primos nn Teorema fundamental da aritmética nn Quantidade de divisores

Para obter essa resposta, é necessário notar a existência de dois tipos de anos: os anos não bissextos que possuem 365 dias e os anos bissextos que possuem 366 dias. Quais os anos bissextos? nn Os

anos que são divisíveis por 4 e que não são divisíveis por 100.

nn Os

anos que são divisíveis por 400.

Perceba que, devemos avaliar quais os anos que são divisíveis por 4, por 100 e por 400. Para fazer essa avaliação de forma mais ágil, podemos utilizar os chamados critérios de divisibilidade, conteúdo que será abordado nessa aula.

Critérios de divisibilidade Os critérios de divisibilidade são regras que permitem verificar se um número inteiro x é divisível (ou múltiplo) de um número inteiro y, com base em sua representação decimal. Divisibilidade por 2 Um número inteiro é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6, ou 8. Verificar se o inteiro 2 476 é divisível por 2. nn O algarismo das unidades de 2 476 é igual a 6. nn Portanto, 2 476 é divisível por 2.

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Por exemplo:

351

Matemática

Divisibilidade por 3 Um número inteiro é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3.

256 (divisível por 8) nn Portanto, 6 256 é divisível por 8.

Por exemplo:

Divisibilidade por 9

Verificar se o inteiro 1 251 é divisível por 3.

Um número inteiro é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for divisível por 9.

nn A

soma dos algarismos de 1 251 é 1 + 2 + 5 + 1 = 9 (divisível por 3). nn Portanto, 1 251 é divisível por 3. Divisibilidade por 4 Um número inteiro é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem iguais a zero ou quando o número formado por seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Por exemplo: Verificar se o inteiro 4 524 é divisível por 4. nn Os dois últimos algarismos de 4 524 formam o número

24 (divisível por 4). 4 524 é divisível por 4.

nn Portanto,

Por exemplo: Verificar se o inteiro 7 569 é divisível por 9. nn A

soma dos algarismos de 7 569 é 7 + 5 + 6 + 9 = 27(divisível por 9). nn Portanto, 7 569 é divisível por 9. Divisibilidade por 10 Um número inteiro é divisível por 10 quando o algarismo das unidades é zero. Por exemplo: Verificar se o inteiro 5 480 é divisível por 10. nn O algarismo das unidades de 5 480 é igual a zero. nn Portanto, 5 480 é divisível por 10.

Divisibilidade por 5

Divisibilidade por 11

Um número inteiro é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é zero ou 5.

Um número inteiro é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par for divisível por 11.

Por exemplo: Verificar se o inteiro 8 125 é divisível por 5. nn O

algarismo das unidades de 8 125 é igual a 5. nn Portanto, 8 125 é divisível por 5. Divisibilidade por 6 Um número inteiro é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente. Por exemplo: E02  Critérios de divisibilidade e quantidade de divisores

nn Os três últimos algarismos de 6 256 formam o número

Verificar se o inteiro 2 214 é divisível por 6. nn A soma dos seus algarismos de 2 214 é 2 + 2 + 1 + 4 = 9

(divisível por 3). algarismo das unidades de 2 214 é igual a 4 (divisível 2). nn Portanto, 2 214 é divisível por 6. nn O

Divisibilidade por 8 Um número inteiro é divisível por 8 quando os três últimos algarismos forem iguais a zero, ou quando o número formado por seus três últimos algarismos for divisível por 8. Por exemplo: Verificar se o inteiro 6 256 é divisível por 8. 352

Por exemplo: Verificar se o inteiro 2 904 é divisível por 11. Enumerando as casas decimais desse número da direita para esquerda, temos que: nn O

algarismo 4 ocupa a 1ª ordem. algarismo 0 ocupa a 2ª ordem. nn O algarismo 9 ocupa a 3ª ordem. nn O algarismo 2 ocupa a 4ª ordem. nn A soma dos algarismos de ordem ímpar é 4 + 9 = 13. nn A soma dos algarismos de ordem par é 0 + 2 = 2. nn A diferença entre essas somas é 13 – 2 = 11 (divisível por 11). nn Portanto, 2 904 é divisível por 11. nn O

Divisibilidade por 12 Um número inteiro é divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4 simultaneamente. Por exemplo: Verificar se o inteiro 1 548 é divisível por 12. nn A

soma dos algarismos de 1 548 é 1 + 5 + 4 + 8 = 24 (divisível por 3). nn Os dois últimos algarismos 1 548 formam o número 48 (divisível 4). nn Portanto, 1 548 é divisível por 12.

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Verifique se o número 252 489 076 254 é divisível por 6.

02. Considerando o número de quatro algarismos 147n, qual deve ser o valor de n para que ele seja divisível por 11?

RESOLUÇÃO

Verificamos facilmente que 252 489 076 254 é divisível por 2, pois o algarismo das unidades é igual a 4 (divisível por 2). Agora, vamos verificar se 252 489 076 254 é divisível por 3 somando os seus os algarismos.

Para que um número seja divisível por 11 é necessário que a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar (SI) e a soma dos algarismos de ordem par (SP) seja divisível por 11. Assim, temos que: SP = 7 + 1 = 8 SI = n + 4 SI – SP = n + 4 – 8 = n – 4

2 + 5 + 2 + 4 + 8 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 + 5 + 0 = 54 (divisível por 3). Como 54 é divisível por 3, então 252 489 076 254 também é.

Para n = 4, temos que 4 – 4 = 0 (divisível por 11).

Portanto, 252 489 076 254 é divisível por 6.

Portanto, o valor de n é igual a 4.

Números primos Um número inteiro p é denominado número primo se, e somente se, possuir exatamente 4 divisores inteiros. Esses divisores são ± 1 e ± p. Os números inteiros que não são primos são chamados de números compostos. nn O conjunto dos números primos é dado por P = { ±

3, ± 5, ± 7, ± 11, ± 13, ...}.

2, ±

Observações: nn Os únicos primos que são pares são ± 2. nn Existem infinitos números primos. Como exemplo, vamos verificar se o número 163 é um número primo. nn Primeiramente,

deve-se obter todos os números primos maiores que 1 cujos quadrados não superem o número 163. Como 163 < 132, esses números primos são 2, 3, 5, 7 e 11. nn Em seguida, basta verificar se 163 é divisível por algum desses números primos. nn Como 163 não é divisível por nenhum deles, dizemos que 163 é um número primo.

Teorema fundamental da aritmética Todo número composto pode ser expresso por um produto de fatores primos, sendo essa decomposição única, exceto pela ordem dos fatores primos. Por exemplo: nn 528 = 24 ⋅ 31 ⋅ 111 nn 1 750 = 21 ⋅ 53 ⋅ 71

Essa forma de representar um inteiro é chamada de fatoração completa (ou decomposição canônica) do número. Como exemplo, vamos obter a fatoração completa do número 2 520 dividindo-o sucessivamente pelos menores divisores primos até que se obtenha o quociente 1. Observe o esquema a seguir: 2 520 2 (menor primo que divide 2 520) 1 260 2 (menor primo que divide 1 260) 630 2 (menor primo que divide 630) 315 3 (menor primo que divide 315) 105 3 (menor primo que divide 49) 35 5 (menor primo que divide 5) 7 7 (único primo que divide 7) 1

Quantidade de divisores Para determinar a quantidade de divisores de um número inteiro, devemos: 1) Expressar esse número por meio da fatoração completa. 2) Somar 1 a cada um dos expoentes dos fatores primos da fatoração completa. 3) Multiplicar os resultados obtidos no item anterior. O resultado do produto é a quantidade de divisores positivos ou negativos do número.

353

E02  Critérios de divisibilidade e quantidade de divisores

Para que um número seja divisível por 6, ele deve ser divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

Matemática

Por exemplo: Determinar o número de divisores de 1 200. 1 200 2 600 2 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 nn Expressando 1 200 por meio da fatoração completa, temos seguinte igualdade:

1 200 = 24 ⋅ 31 ⋅ 52 nn Somando 1 a cada um dos expoentes, temos os seguintes números:

+ 1 ) , (1 + 1 ) e ( 2 + 1 ) .

nn Multiplicando esses números, temos a quantidade de divisores positivos de 1 200:

(4 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (2 + 1) = 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = 30 Observações: nn A quantidade de divisores positivos é igual à quantidade de divisores negativos. nn A quantidade de divisores inteiros é igual ao dobro da quantidade de divisores positivos.

EXEMPLOS 03. Determine os divisores positivos de 120. 2

120 2

3, 6, 12, 24

60 2

5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120

30 2

RESOLUÇÃO 1º) Fazer a decomposição completa de 120.

15 3 5

Portanto, os divisores positivos de 120 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 e 120.

1 2º) Traçar uma linha vertical e escrever o número 1 (divisor de qualquer número) no canto superior direito.

E02  Critérios de divisibilidade e quantidade de divisores

1 120

1 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 3º) Multiplicar sucessivamente cada fator primo que está à esquerda da linha vertical pelos números que estão à sua direita e acima, colocando os resultados nas linhas correspondentes sem repetir resultados.

04. Determine o valor de k, sabendo-se que o número inteiro N = 2k ⋅ 32 ⋅ 73 possui 24 divisores positivos. RESOLUÇÃO A quantidade de divisores positivos de 2k ⋅ 32 ⋅ 73 é dada por: (k + 1)⋅(2 + 1)⋅(3 + 1) = 24 ⇒ k + 1 = 2 ⇒ k = 1. Portanto, k = 1. 05. Qual o número de divisores naturais ímpares de 210? RESOLUÇÃO Note que 210 = 21 ⋅ 31 ⋅ 51 ⋅ 71. Para determinar a quantidade total de divisores ímpares de 210, basta acrescentar um aos expoentes dos fatores primos diferentes de 2 e, em seguida, multiplicar o resultado. Assim, temos: (1 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) = 8 Portanto, 210 possui 8 divisores naturais ímpares.

354

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Utilizando os critérios de divisibilidade, escreva o menor e o maior número inteiro de 3 algarismos distintos que seja divisível por: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 a) 102 e 986;

b) 102 e 981;

c) 104 e 984;

d) 105 e 985.

02. Considere o número de quatro algarismos N = 5 37u, sendo u o algarismo das unidades. Determine o(s) valor(es) de u para que N seja divisível por: a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 a) 0, 3, 6 ou 9;

b) 0 ou 5;

c) 0 ou 6;

d) 3.

03. Utilizando o critério de divisibilidade, um aluno do professor Henrique verificou que há pelo menos um múltiplo de 11 entre os números a seguir. Determine-os. a) 50 623

b) 40 194

c) 71 819

04. (Cefet CE) O algarismo que se deve intercalar entre os algarismos do número 76 para o numeral obtido seja divisível por 4 e 9, simultaneamente, é: a) 1 b) 7 c) 5 d) 6 05. Verifique quais números inteiros a seguir são primos. 191 e 257

a) 143 b) 191 c) 169 d) 257

06. (UFMG) O número 2a ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 20 tem 48 divisores naturais. O valor de a é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

40 194 e 71 819

Exercícios Complementares

O valor de n a fim de que esse número seja divisível por 6 é: a) 2 ou 8 d) 2 ou 7 b) 0 ou 6 e) 3 ou 9 c) 4 02. (Unifor CE) Seja o número inteiro 6X3Y, em que X e Y substituem os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. O total de pares de valores (X;Y) que tornam tal número divisível por 15 é: a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 03. (UFF RJ) Shophie Germain introduziu em seus cálculos matemáticos um tipo especial de número primo descrito abaixo. Se p é um número primo e se 2p + 1 também é um número primo, então o número primo p é denominado primo de Germain. Pode-se afirmar que é primo de Germain o número: a) 7 d) 19 b) 17 e) 41 c) 18

04. (UFG GO) Dois números são ditos “amigáveis”, se um é a soma dos divisores próprios do outro. Divisores próprios são todos os divisores positivos do número, exceto o próprio número. Verifique se os números 220 e 284 são amigáveis. São amigáveis

05. (UFU MG) Se p é um número natural primo e a soma de todos os divisores positivos de p2 é igual a 31, então p é igual a: a) 5 b) 7 c) 3 d) 2 e) 11 06. (Ufes ES) Deseja-se acondicionar 2 004 bolas de tênis em caixas de mesma capacidade, de modo que cada caixa contenha o número de bolas determinado por sua capacidade. Dispõe-se de vários tipos de caixas, desde o tipo com capacidade para apenas uma bola até o tipo com capacidade para todas as bolas. Nessas condições, o número de todos os possíveis tipos de caixas para acondicionar as 2 004 bolas é: a) 12 b) 15 c) 24 d) 25 e) 30

355

E02  Critérios de divisibilidade e quantidade de divisores

01. (FCC SP) Considere-se o número de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são iguais a 2, isto é, o número 222 222 22n.

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MATEMÁTICA

MÓDULO E03

ASSUNTOS ABORDADOS nn Divisibilidade - Problemas de

mmc e mda

nn Mínimo múltiplo comum (mmc) nn Máximo divisor comum (mdc) nn Números primos entre si

DIVISIBILIDADE - PROBLEMAS DE MMC E MDA João possui, em sua marcenaria, duas toras de madeira cujos comprimentos são 56 dm e 48 dm. Ele deseja cortá-las em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em um número inteiro de decímetros e sem que haja perda de material. Qual deve ser o comprimento, em decímetros, de cada pedaço? Para se determinar o máximo tamanho, em decímetros, de cada um dos pedaços, basta obter o máximo divisor comum entre os números 56 e 48. Nesta aula, abordaremos os conceitos e as aplicações do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum.

Mínimo múltiplo comum (mmc) O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois ou mais números naturais é o menor número natural, excluindo o zero, que é múltiplo desses números. Por exemplo: Determinar o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6. nn O conjunto dos múltiplos positivos de 4 é dado por {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...}. nn O conjunto dos múltiplos positivos de 6 é dado por {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...}. nn O conjunto dos múltiplos de 4 e 6 simultaneamente é dado por {12, 24, 36, ...}. nn Portanto,

o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6 é 12. Simbolicamente, temos mmc (4, 6) = 12.

Podemos também utilizar um processo prático denominado decomposição simultânea para obter o mmc entre dois ou mais números. Por exemplo: Determinar o mínimo múltiplo comum entre 36, 48 e 56. nn Aplicando

a decomposição simultânea desses números, utilizando os fatores primos que dividem pelo menos um deles, temos que: 36 – 48 – 56 2 18 – 24 – 28 2 9 – 12 – 14 2 9 – 6 – 7 2 9 – 3 – 7 3 3 – 1 – 7 3 1 – 1 – 7 7 1 – 1 – 1

nn O

mínimo múltiplo comum é dado pelo produto desses fatores primos. nn Portanto, mmc (36, 48, 56) = 24 ⋅ 32 ⋅ 71 = 1 008.

356

Matemática e suas Tecnologias

Observação: nn No exemplo resolvido nº 1, apresentaremos outro método para determinar o mínimo múltiplo comum.

Máximo divisor comum (mdc) O máximo divisor comum (mdc) de dois ou mais números naturais é o maior número natural que é divisor desses números.

nn O máximo divisor comum é dado pelo produto desses

fatores primos. nn Portanto, mdc(48, 60, 168) = 22 ⋅ 3 = 12.

Observação: nn No exemplo resolvido, nº 2, apresentaremos outro método para determinar o máximo divisor comum. Propriedade: Dados dois números inteiros positivos a e b, temos que:

Por exemplo: Determinar o máximo divisor comum entre 12 e 20. conjunto dos divisores positivos de 12 é dado por {1, 2, 3, 4, 6, 12}. nn O conjunto dos divisores positivos de 20 é dado por {1, 2, 4, 5, 10, 20}. nn O conjunto dos divisores de 12 e 20 simultaneamente é dado por {1, 2, 4}. nn Portanto, o máximo divisor comum entre 12 e 20 é 4. Simbolicamente, temos mdc (12, 20) = 4.

mmc(a, b) ⋅ mdc(a, b) = a⋅b

nn O

Podemos também utilizar um processo prático denominado decomposição simultânea para obter o mdc entre dois ou mais números. Por exemplo: Determinar o máximo divisor comum entre 48, 60 e 168. nn Aplicando a decomposição simultânea desses números,

utilizando os fatores primos que dividem todos eles simultaneamente, temos que: 48 – 60 – 168 2 24 – 30 – 84 2 12 – 15 – 42 3 4 – 5 – 14

Números primos entre si Dados dois números inteiros não nulos a e b, diz-se que a e b são primos entre si se, e somente se, os únicos divisores comuns entre a e b forem ±1. Por exemplo: Verificar se 20 e 63 são primos entre si. nn O

conjunto dos divisores inteiros de 20 é dado por {±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20}. nn O conjunto dos divisores inteiros de 63 é dado por {±1, ±3, ±7, ±9, ±21, ±63}. nn O conjunto dos divisores 20 e 63 simultaneamente é dado por {1}. nn Portanto, 20 e 63 são primos entre si. Observações: nn Dois números primos são sempre primos entre si. nn Dois números consecutivos são sempre primos entre si. nn Se os inteiros positivos a e b são primos entre si, então mmc(a, b) = a ⋅ b e mdc(a, b) = 1.

01. Dados os números a = 23 ⋅ 32 ⋅ 51 e b = 21 ⋅ 33 ⋅ 73, determine o mmc (a, b).

02. Dados os números a = 23 ⋅ 32 ⋅ 51 e b = 21 ⋅ 33 ⋅ 73, determine o mdc (a, b).

RESOLUÇÃO

A partir da decomposição completa dos números, podemos utilizar a seguinte regra prática para obter o mínimo múltiplo comum: nn Tomar os fatores primos comuns de maior expoente. nn Tomar os fatores primos não comuns. nn Efetuar o produto desses fatores. Então, temos que: Fatores primos comuns de maior expoente: 23 e 33. Fatores primos não comuns: 51 e 73.

A partir da decomposição completa dos números, podemos utilizar a seguinte regra prática para obter o máximo divisor comum: nn Tomar os fatores primos comuns de menor expoente. nn Efetuar o produto desses fatores. Então, temos que: Fatores primos comuns de menor expoente: 21 e 32. Portanto, mdc(a, b) = 21 ⋅ 32.

Portanto, mmc(a, b) = 23 ⋅ 33 ⋅ 51 ⋅ 73.

357

E03  Divisibilidade - problemas de mmc e mmd

EXEMPLOS

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Um ônibus parte do terminal rodoviário de Goiânia de 30 em 30 minutos, outro de 45 em 45 minutos e outro de 50 em 50 minutos. Se partirem juntos agora, após quantos minutos vão partir juntos pela primeira vez? 450 minutos

02. (Unesp SP) Uma parede de 350 cm de altura e 500 cm de comprimento será revestida de azulejos quadrados iguais. Desprezando-se a necessidade de deixar espaço entre os azulejos e supondo-se que não haverá perdas provenientes do corte deles, a) determine o número de azulejos de 20 cm de lado necessários para revestir a parede; b) encontre a maior dimensão de cada peça de azulejo para que não haja necessidade de cortar nenhum deles. a) 438 azulejos; b) 50 cm.

03. (UFF RJ) a) Escreva o número 306 como produto de números primos. b) Considere os números naturais a = 217 ⋅ 328 ⋅ 710 e b = 29 ⋅ 52 ⋅ 716. Escreva o maior divisor comum e o menor múltiplo comum de a e b como produto de potências de números primos.

c) Quantos divisores inteiros positivos o número b = 29 ⋅ 52 ⋅ 716 possui? a) 2 ⋅ 32 ⋅ 17; b) mdc (a, b) = 29 ⋅ 710 e mmc (a, b) = 217 ⋅ 328 ⋅ 52 ⋅ 716; c) 510.

04. (Unesp SP) A tabela mostra aproximadamente a duração do ano (uma volta completa em torno do Sol) de alguns planetas do sistema solar, em relação ao ano terrestre. Planeta

Duração do ano

Júpiter

12 anos terrestres

Saturno

30 anos terrestres

Urano

84 anos terrestres

Se, em uma noite, os planetas Júpiter, Saturno e Urano são observados alinhados, de um determinado local na Terra, determine, após essa ocasião, quantos anos terrestres se passarão para que o próximo alinhamento desses planetas possa ser observado do mesmo local. 420 anos

Exercícios Complementares 01. (Fuvest SP) No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltaram a piscar simultaneamente? a) 12 b) 10 c) 20 d) 15

E03  Divisibilidade - problemas de mmc e mmd

e) 30 02. (UFMG) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou entre 500 e 1 500 unidades. Se essas laranjas fossem colocadas em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam 12 laranjas e, se fossem colocadas em sacos com 36 unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas. Assim sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem colocadas em sacos com 35 unidades cada um? a) 4 b) 6 c) 7 d) 2

358

03. (UFG GO) Uma confecção atacadista tem no seu estoque 864 bermudas e 756 calças e deseja vender toda essa mercadoria dividindo-se em pacotes, cada um n1 bermudas e n2 calças, sem sobrar nenhuma peça no estoque. Deseja-se montar o maior número de pacotes nessas condições. Nesse caso, o número de peças, em cada pacote, deve ser igual a: a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20 04. (Uel PR) Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar grupos que tenham iguais quantidades de alunos e de modo que em cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 1 350 rapazes e 1 224 garotas e cada grupo deverá ser acompanhado de um único professor, o número mínimo de professores necessários para acompanhar todos os grupos nessa visita é: a) 18 b) 68 c) 75 d) 126 e) 143

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E04

RAZÃO E PROPORÇÃO Razão De acordo com a ABIC (Associação Brasileira da Indústria do Café) o consumo de café no Brasil aumentou 3,48% entre novembro de 2015 e fevereiro de 2016. Apesar da crise econômica que afeta o país, essa indústria conseguiu avançar no consumo interno devido ao fato de que o tradicional “cafezinho” é um hábito diário e de custo baixo.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Razão e proporção nn Razão nn Proporção

O café em pó ainda é o mais consumido no Brasil, porém, em 2016, o consumo de café em cápsulas dobrou em relação ao ano anterior, de acordo com pesquisa feita pela consultoria Euromonitor. Márcio, um apaixonado por café, comprou uma máquina de café expresso para colocar em sua casa. Nessa máquina, essa bebida é preparada automaticamente e pode ser servida de três maneiras diferentes, variando a quantidade de café e a quantidade de açúcar. nn Opção

1: xícara de 50 mL e 2 g de açúcar. 2: xícara de 70 mL e 3 g de açúcar. nn Opção 3: xícara de 90 mL e 4 g de açúcar. nn Opção

Em qual das opções o café se encontra mais doce? Esse é um exemplo de situação na qual o cálculo da razão resolve o problema, ou seja, o café mais doce é aquele que a razão entre a quantidade de açúcar pela quantidade de café é a maior.

359

Matemática

Razão Dados dois números reais a e b, com b ≠ 0, a razão entre a e b, nessa ordem, é dada por:

a = a:b b Os termos a e b são chamados de antecedente e, consequente, respectivamente. Por exemplo: nn A

razão entre 36 e 4 é dada por

nn A

razão entre 6 e 8 é dada por

36 = 9. 4

6 = 0,75. 8

Em várias situações do nosso cotidiano temos que comparar duas grandezas por meio da razão nn O consumo de combustível de um automóvel é a razão

entre a distância total percorrida pelo carro e quantidade de combustível que se gastou para percorrer tal distância. nn O

número de candidatos por vaga de um vestibular é dado pela razão entre o número de candidatos inscritos nesse curso e o total de vagas fornecidas do mesmo.

Observação:

18 cm 18 cm 1 = = = 1 : 350. (lê-se: 1 para 350). 63 m 6.300 cm 350

Proporção Denomina-se proporção a igualdade de duas razões. Assim, os números a, b, c e d (b ≠ 0 e d ≠ 0), formam uma proporção se, e somente, se a razão entre a e b é igual à razão entre c e d. Simbolicamente, temos: a c = = ou a:b c : d Lê-se: a está para b, assim como c b d está para d.

Os termos a e d são chamados de extremos, já os termos b e c são chamados de meios. Por exemplo: nn Os números 20, 4, 45 e 9 formam, nessa ordem, uma 20 45 proporção, pois = = 5. 4 9 Propriedades Considerando que os números a, b, c e d com (b ≠ 0 e d ≠ 0) formam, ordenadamente uma proporção, temos que: nn O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Simbolicamente, temos:

razão inversa entre a e b, com a ≠ 0, nessa ordem, é dada por:

nn A

b =b:a a Escalas Nem sempre conseguimos representar em uma folha de papel um objeto no seu tamanho natural devido às limitações de espaço. Então, a necessidade de reduzir uniformemente todas as dimensões do objeto para que não haja distorções. De maneira geral, denominamos escala de um desenho a razão entre o comprimento representado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.

a c = ⇔ a⋅d = b ⋅c b d nn A

soma (ou diferença) dos dois primeiros está para o primeiro, assim como a soma (ou diferença) dois últimos está para o último. Simbolicamente, temos: a c a±b c ±d =⇔ = b d b d

nn A

soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente. Simbolicamente, temos:

E04  Razão e proporção

Simbolicamente, temos que:

a c a±c = = b d b±d

comprimento no desenho Escala = comprimento real Observação: Por exemplo: nn A escala adotada em um desenho que uma distância de

63 m está representada por um segmento de 18 cm é dada por: 360

nn Podemos

ter proporções com igualdade de mais de duas razões.

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Calcular a razão entre as grandezas 4 km e 200 m.

1 9 = ⇒ x = 360 cm = 3,6 m. 40 x

RESOLUÇÃO

Portanto, as dimensões reais são 4,8 m e 3,6 m.

Em razões de grandezas da mesma espécie, as medidas devem ser expressas na mesma unidade e, nesse caso, a razão é apenas um número.

04. Calcule o valor de x na proporção

4 km 4.000 m = = 20 200 m 200 m

x +3 x +9 = . 4 7

RESOLUÇÃO x +3 x +9 ⇒ 7x + 21 = 4x + 36 = 4 7

Portanto, a razão é igual a 20. 02. Karen recebeu 48 exercícios para resolver e acertou 36. Já Kellen recebeu 60 exercícios para resolver e acertou 45. Mostre que as duas tiveram o mesmo desempenho.

7x – 4x = 36 – 21 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 Portanto, o valor de x é 5. 05. Determine dois números naturais na razão 4 para 7 cuja soma é 88.

RESOLUÇÃO Karen acertou 36 exercícios num total de 48, assim, ela acertou 36/48 = 0,75.

RESOLUÇÃO Sendo x e y, os números naturais, temos que:

Kellen acertou 45 exercícios num total de 60, assim, ela acertou 45/60 = 0,75.

x 4  = y 7 x + y = 88 

Assim, as duas acertaram 0,75 do total. Portanto, as duas tiveram o mesmo desempenho. 03. A sala de um apartamento, desenhada na escala 1:40, está representada por um retângulo cujas medidas são 12 cm e 9 cm. Quais são as dimensões reais dessa sala?

Isolando y na segunda equação, temos: y = 88 – x Substituindo na primeira equação, temos que: x 4 = ⇒ 7x = 352 - 4x ⇒ x = 32 88 - x 7

RESOLUÇÃO Sendo x e y as medidas reais dessa sala, e utilizando o conceito de escala, temos que:

Substituindo na segunda equação, temos que: 32 + y = 88 ⇒ y = 56

1 12 = ⇒ x = 480 cm = 4,8 m. 40 x

Portanto, os números são 32 e 56.

Exercícios de Fixação 05. Resolva os sistemas a seguir:

Gabarito: a) 1,25; b) 0,625; c) 0,02; d) 70.

108 x + y =  a)  x 11 y = 7 

a) 15 e 12 b) 5 e 8 c) 14 cm e 7 m d) 63 L e 900 mL

 119 187   , a) S =   ;  6 6  

02. Em uma escala de 1:300, uma distância de 45 m deve ser representada por um segmento de quantos centímetros?

130 x + y + z =  b)  x y z b) S = {(26, 39, 65)};  2= 3= 5

03. Com o auxílio de uma régua, Bruna mediu a distância entre duas cidades em um mapa na escala 1:600000 e encontrou 9 cm. Qual distância real, em km, entre essas duas cidades?

28 x - y + z =  c)  x y z c) S = {(16, 24, 36)}.  4= 6= 9

Gabarito: 15 cm

Gabarito: 54 km

04. Calcule o valor de x nas proporções a seguir:

x -3 1 a) = 6-x 2

x +1 4 b) = 6 x -1

a) 4; b) ±5; c) 7/6.

1 5 2=6 3 3 5 4

06. Uma mistura de álcool e gasolina tem 72 litros. Sabe-se que a mistura foi feita na razão de 4 partes de álcool para 5 partes de gasolina. Quantos litros de gasolina há nessa mistura? Gabarito: 40 L

361

E04  Razão e proporção

01. Calcule a razão entre os termos seguintes:

Matemática

Exercícios Complementares 01. Na figura a seguir, temos parte de uma parede revestida com alguns azulejos. Os espaços em branco representam os azulejos que caíram.

Sabendo que todos os azulejos são quadrados do mesmo tamanho, calcule a razão entre o número de azulejos que já caíram e os que ainda estão na parede. Gabarito: 3/5

02. (Enem MEC) Cinco marcas de pão integral apresentam as seguintes concentrações de fibras (massa de fibra por massa de pão): nn Marca A: 2 g de fibras a cada 50 g de pão; nn Marca B: 5 g de fibras a cada 40 g de pão; nn Marca C: 5 g de fibras a cada 100 g de pão; nn Marca D: 6 g de fibras a cada 90 g de pão; nn Marca E: 7 g de fibras a cada 70 g de pão. Recomenda-se a ingestão do pão que possui a maior concentração de fibras. A marca a ser escolhida é: a) A b) B c) C d) D e) E 03. (UFRJ) O painel de um automóvel indica o consumo médio de combustível da seguinte forma: 12,5 L / 100 km Determine quantos quilômetros esse automóvel percorre, em média, com 1 litro desse combustível.

E04  Razão e proporção

Gabarito: 8 km

04. (Unesp SP) Um técnico de laboratório manipula dois recipientes que contêm misturas das substâncias A e B. Embora os volumes das misturas sejam iguais, em um dos recipientes a proporção de A para B é de 1/2 (uma parte de A para duas partes de B) e no outro é 3/4(três partes de A para quatro partes de B). Se ele juntar os dois conteúdos num único recipiente, qual passará a ser a proporção de A para B? Gabarito: 8/13

05. (Enem MEC) Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.

362

Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? a) I d) IV b) II e) V c) III 06. (FGV SP) Em uma escola, a razão entre o número de alunos e o de professores é de 50 para 1. Se houvesse mais 400 alunos e mais 16 professores, a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 40 para 1. Podemos concluir que o número de alunos da escola é: a) 1 000 b) 1 050 c) 1 100 d) 1 150 e) 1 200 07. (Enem MEC) No tanque de certo carro de passeio cabem até 50 L de combustível, e o rendimento médio deste carro na estrada é de 15 km/L de combustível. Ao sair para uma viagem de 600 Km, o motorista observou que o marcador de combustível estava exatamente sobre uma das marcas da escala divisória do medidor, conforme figura a seguir. 1/2 1/1

Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até a chegada a seu destino, cinco postos de abastecimento de combustível, localizados a 150 km, 187 km, 450 km, 500 km e 570 km do ponto de partida. Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorrer até ser necessário reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem combustível na estrada? a) 570 d) 187 b) 500 e) 150 c) 450 08. (FGV SP) Em uma sala de aula, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4. Seja N, o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é: a) 46 d) 49 b) 47 e) 50 c) 48

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Uerj RJ) No Brasil, a rapadura surgiu no século XVII com os primeiros engenhos de cana-de-açúcar. Logo ganhou estigma de comida de pobre. No passado, era predominantemente consumida pelos escravos e mesmo hoje só eventualmente frequenta as mesas mais fartas. Apesar disso, seu valor calórico é riquíssimo. Cada 100 gramas têm 132 calorias – ou seja, 200 gramas equivalem em energia a um prato de talharim com ricota. (FERNANDES, Manoel. Revista Terra, ago/96.)

Triunfo, cidade do interior de Pernambuco, produz em rapadura por ano o equivalente a 1,98 bilhões de calorias. Isso re-

04. (UEG GO) Dois combustíveis são obtidos por meio da mistura de álcool e gasolina. O combustível A contém 4 partes de seu volume de álcool para cada 7 partes de gasolina, enquanto que o combustível B contém 3 partes do seu volume de álcool para cada 2 partes de gasolina. Com base nos dados, responda: a) Qual combustível possui maior concentração de álcool? b) Qual a razão, entre álcool e gasolina, de uma mistura de 1 litro do combustível A e 1 litro do combustível B? a) combustível B; b) 53/57.

05. (Enem MEC) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.

presenta, em toneladas, uma produção de rapadura correspondente a: a) 2 000 b) 1 500 c) 200 d) 150 e) 50 02. (Unicamp SP) Em uma sala há uma lâmpada, uma televisão [TV] e um aparelho de ar condicionado [AC]. O consumo da lâmpada equivale a 2/3 do consumo da TV e o consumo do AC equivale a 10 vezes o consumo da TV. Se a lâmpada, a TV e o AC forem ligados simultaneamente, o consumo total de energia será de 1,05 quilowatts por hora [kWh]. Pergunta-se: a) Se um kWh custa R$ 0,40, qual será o custo para manter a lâmpada, a TV e o AC ligados por 4 horas por dia durante 30 dias? b) Qual é o consumo, em kWh, da TV? a) R$ 50, 40; b) 10,8 kWh.

03. (UEG GO) Renata vai ao supermercado comprar exatamente 1 quilo de determinado produto que é vendido em embalagens de diferentes conteúdos, conforme apresenta a tabela a seguir. Embalagem

250 gramas

500 gramas

750 gramas

Preço

R$ 2,70

R$ 5,10

R$ 7,40

Renata pagará o menor preço por 1 quilo desse produto se comprar: a) 4 embalagens de 250 gramas. b) 2 embalagens de 500 gramas. c) 2 embalagens de 250 gramas e 1 de 500 gramas. d) 1 embalagem de 750 gramas e 1 de 250 gramas. e) 3 embalagens de 500 gramas

Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil. Esse número é: a) menor que 10. b) maior que 10 e menor que 20. c) maior que 20 e menor que 30. d) maior que 30 e menor que 40. e) maior que 40. 06. (Unifesp SP)A heparina é um medicamento de ação anticoagulante prescrito em diversas patologias. De acordo com indicaçãomédica, um paciente de 72 kg deverá receber 100 unidades de heparina por quilograma por hora (via intravenosa).No rótulo da solução de heparina a ser ministrada, consta a informação 10 000 unidades/50 mL. a) 36 mL; b) 5. a) Calcule a quantidade de heparina, em mL, que esse paciente deverá receber por hora. b) Sabendo que 20 gotas equivalem a 1 mL, esse paciente deverá receber 1 gota a cada x segundos. Calcule x. 07. (Puc RJ) Um retângulo de lados a e b, onde b é o menor lado, é tal, que, se cortarmos um quadrado de lado b do interior deste retângulo, o retângulo que sobra tem seus lados na mesma proporção que o retângulo original. Qual o valor da proporção a/b? 5 + 1 2

363

Matemática

08. (Uefs BA) Uma herança de 80 milhões de reais deveria ser repartida pelo patriarca, entre os herdeiros da família, constituída por sua filha, que estava grávida, e a prole resultante dessa gravidez, de modo que, cada criança nascida receberia o dobro do que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino, e o triplo do que caberia à mãe, se fosse do sexo feminino. Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma menina. Nessas condições, pode-se afirmar que, pela divisão da herança, em milhões, entre mãe, cada menino e a menina, couberam, respectivamente, Gab: 03 01. 15, 15 e 35. 02. 15, 20 e 25. 03. 10, 20 e 30. 04. 5, 25 e 25. 05. 5, 30 e 15.

FRENTE E  Exercícios de Aprofundamento

09. (Uncisal AL) Dados da série histórica de uma universidade indicam que a relação entre o número de alunos matriculados e o número de alunos reprovados em Anatomia I é de 11 para 9. Em um período em que trinta alunos lograram aprovação e não houve desistências, o número de alunos matriculados nessa disciplina foi de a) 15. b) 18. c) 30. d) 135. e) 165. 10. (FM Petrópolis RJ) A Maratona é uma prova olímpica das mais famosas. Trata-se de uma corrida em uma distância de 42,195 km, normalmente realizada em ruas e estradas. Na Alemanha, ao vencer a Maratona de Berlim, o queniano Dennis Kimetto quebrou o recorde mundial completando o percurso no tempo de duas horas, dois minutos e 57 segundos. Tal façanha correspondeu a uma velocidade média com valor próximo de: a) 2,1 m/s b) 5,7 m/s c) 21 m/s d) 2,1 km/h e) 5,7 km/h 11. (Unifor CE) Quando o fim de ano se aproxima, as vendas nas lojas aumentam bastante por conta das datas comemorativas. O crescimento de compras pela internet faz com que lojas que aderem a vendas on-line contratem transportadoras para que os produtos cheguem ao cliente. Para transportar uma carga de 20 kg para uma cidade a 120 km de distância, uma transportadora cobrou de uma loja R$ 60,00. Para ser contratada pela loja, a transportadora propôs fazer todas as entregas nas mesmas condições feitas para transportar a carga de 20 kg. 364

Quanto a transportadora cobraria da loja para transportar 40 kg para uma cidade que está a 70 km de distância? a) R$ 50,00 b) R$ 60,00 c) R$ 70,00 d) R$ 80,00 e) R$ 90,00 12. (Puc Campinas SP) No mundo da gastronomia, muitas vezes, é necessário ampliar ou reduzir receitas devido a alterações no número de participantes de determinada refeição. Uma receita propõe a utilização de 280 mL de leite na execução de uma sobremesa para 5 pessoas, e há a necessidade de executá-la exatamente para 54 pessoas. Se as embalagens de leite contêm 500 mL cada, então, é necessário ter em mão pelo menos a) 2,5 L de leite. b) 3,5 L de leite. c) 5,0 L de leite. d) 4,0 L de leite. e) 3,0 L de leite. 13. (Espm SP) Um município de 250 km2 de área total tem uma população estimada de 30 000 habitantes, dos quais 40% moram na zona rural, que abrange 60% de sua superfície. A densidade demográfica da zona rural desse município é de: a) 80 hab/km2 b) 60 hab/km2 c) 70 hab/km2 d) 90 hab/km2 e) 50 hab/km2 14. (FPS PE) Um laboratório produz uma solução do antibiótico estreptomicina, diluído em água, com concentração de 25 mg/ mL. Pretende-se obter 250 mL de um composto com concentração de 2,0 mg/mL de estreptomicina diluindo em água a solução do laboratório. Quantos ml de água e da solução do laboratório são necessários, respectivamente? a) 230 mL e 20 mL b) 225 mL e 25 mL c) 220 mL e 30 mL d) 215 mL e 35 mL e) 210 mL e 40 mL