Coleção 10 V - Livro 5 - Matemática - Professor by Editora Elabore

FRENTE

Templo de Filas (Templo de Ísis) na Ilha Agilkia, no Rio Nilo.

shutterstock.com/Por Jose Ignacio Soto

MATEMÁTICA Por falar nisso O Antigo Egito foi uma civilização muito próspera da Antiguidade oriental do norte da África concentrada às margens do rio Nilo. O rio Nilo assumiu um papel de destaque no desenvolvimento dessa civilização por situar-se em uma região desértica. Os egípcios usavam as águas desse rio para beber, para transportar mercadorias, para pescar pescar e irrigar a agricultura por meio de canais. Após as cheias do Nilo, ficavam depositadas em suas margens, matérias orgânicas que fertilizavam o solo para o plantio. A necessidade de remarcar os limites dos terrenos ao baixar o nível das águas do Nilo após as inundações anuais impulsionou o desenvolvimento da geometria e de instrumentos para calcular áreas. A palavra geometria é composta de duas palavras gregas: geos (terra) e metron (medida). Essa denominação deve a sua origem à necessidade que, desde os tempos remotos, o homem teve de medir terrenos. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

A17 A18 A19 A20

Inequações modulares..................................................................284 Área de quadriláteros....................................................................287 Área de triângulos..........................................................................291 Área do círculo e suas partes.........................................................295

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO A17

ASSUNTOS ABORDADOS nn Inequações modulares

#TÁ NA MÍDIA

Fonte: shutterstock.com/Por hobbit

nn Inequações modulares

INEQUAÇÕES MODULARES

POR QUE OS RESULTADOS DAS PESQUISAS NÃO SÃO EXATOS? Ainda que as pesquisas sejam feitas com vários critérios, dados confiáveis e a supervisão de um estatístico, as pesquisas eleitorais não se baseiam em valores absolutos, mas sim em estimativas. Além disso, a validade das pesquisas eleitorais depende da opinião pública, que varia constantemente. Por isso os resultados não são exatos, e são acompanhados sempre da chamada margem de erro. A margem de erro é o índice que determina a estimativa máxima de erro que o resultado de uma pesquisa pode ter. Ela vem sempre acompanhada do nível de confiança, que é o número de vezes que a pesquisa pode ser repetida e o resultado será sempre um valor próximo. Vamos supor que um candidato apareça com 23% das intenções de voto. Levando em consideração a margem de erro padrão de 2 pontos percentuais, ele terá entre 21% e 25% dos votos. Se repetirmos tal pesquisa, ela deverá apresentar esse mesmo resultado em 95% das vezes em que for realizada, já que este é o percentual padrão do nível de confiança. A margem de erro também determina quantas pessoas deverão ser entrevistadas. Quanto mais se desejar uma pesquisa com um maior nível de confiança e uma menor margem de erro, mais pessoas deverão ser ouvidas. A única forma de uma pesquisa não apresentar margem de erro é através da realização de um censo. Fonte: http://www.politize.com.br/pesquisas-eleitorais-como-sao-feitas/ Acesso: Junho de 2017

Com base no texto acima, considere que em uma pesquisa a respeito dos candidatos à prefeitura de um município, o candidato A lidera com 35%, 15 pontos porcentuais à frente do candidato B, que tem 20%. Já o candidato C aparece com apenas 5%. A margem de erro dessa pesquisa é de 2,5 pontos percentuais para mais ou para menos. 284

Matemática e suas Tecnologias

Assim, os percentuais máximo e mínimo do candidato que lidera a pesquisa são: nn 35%

+ 2,5% = 37,5% (máximo) nn 35% – 2,5% = 32,5% (mínimo) Nessa situação, as possíveis percentagens x de votos do candidato que lidera as pesquisas são as soluções da seguinte inequação: |x – 35| ≤ 2,5

Por exemplo: nn |x

– 4| < 11 nn |2x + 9| < 15 nn x2 – 6|x| + 5 ≥ 0 nn |x2 + 2x| > |x| Para resolver as inequações modulares, vamos utilizar as seguintes propriedades: nn Sendo

Nesta aula, abordaremos a resolução de desigualdades como essas, que são denominadas inequações modulares.

Inequações modulares Inequações modulares são aquelas que contêm a incógnita em módulo em pelo menos um dos seus membros.

k um número real positivo, temos que: |x| < k ⇔ -k < x < k |x| ≤ k ⇔ -k ≤ x ≤ k |x| > k ⇔ x > k ou x < -k |x| ≥ k ⇔ x ≥ k ou x ≤ -k

EXEMPLOS 01. Resolva a inequação |2x – 7| ≤ 11.

03. Quantos números inteiros são soluções da desigualdade 2 ≤ |x – 3| < 7?

RESOLUÇÃO

Utilizando a desigualdade |x| ≤ k ⇔ -k ≤ x ≤ k, temos que:

Separando as inequações, temos:

|2x – 7| ≤ 11 ⇒ -11 ≤ 2x – 7 ≤ 11 Assim, temos que:

|x – 3| ≥ 2 e |x – 3| < 7 Na primeira inequação, temos que:

2x - 7 ≤ 11 x ≤ 9 ⇒  2x 7 ≥ 11  x ≥ -2

x - 3 ≥ 2 ⇒ x ≥ 5 ou x – 3 ≤ -2 ⇒ x ≤ 1

Fazendo a interseção entre esses resultados, temos que:

-7 < x – 3 < 7 ⇒ -4 < x < 10.

9 x

-2

x 9

-2

Na segunda inequação, temos que:

Fazendo a intersecção entre as soluções da primeira e da segunda inequações, temos que: 1

5 10 x x

-4

Portanto, S = [-2, 9]. 02. Resolva a inequação |3x – 8| > 4.

-4

10 x

Os números inteiros desse intervalo são -3, -2, -1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9. Portanto, são 10 números inteiros.

RESOLUÇÃO Utilizando a desigualdade |x| > k ⇔ x > k ou x < -k, temos que: |3x – 8| > 4 ⇒ 3x – 8 > 4 ou 3x – 8 < -4 Assim, temos que:

A17  Inequações modulares

3x – 8 > 4 ⇒ x > 4 ou 3x – 8 < -4 ⇒ x < 4/3 Fazendo a união entre as soluções das duas inequações, temos que: 4 4/3 4/3

x x

Portanto, S = ]-∞, 4/3[ ∪ ]4, ∞[.

285

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Resolva as seguintes inequações modulares: a) |x – 3| < 7 S = {x ∈ IR | -4 < x < 10} b) |2x + 1| ≥ 5 S = {x ∈ IR | x ≤ -3 ou x ≥ 2} c) |x2 + 2x| ≤ 3 S = {x ∈ IR | -3 ≤ x ≤ 1} d) |x2 – x| > 2 S = {x ∈ IR | x < -1 ou x > 2} 02. De acordo com o fabricante, o preço de venda x, em reais, de certo produto deve ser tal que |x – 141| ≤ 15. Assim, qual a diferença entre o maior e o menor preço de venda desse produto? R$ 30,00 03. Resolva as seguintes inequações modulares a) |3x – 4| ≤ x S = {x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 2} b) |5 – x| > x + 1 S = {x ∈ IR | x < 2} c) 2 < |x| ≤ 6 S = {x ∈ IR | -6 ≤ x < -2 ou 2 < x ≤ 6} d) 4 ≤ |x + 1| < 7 S = {x ∈ IR | -8 < x ≤ -5 ou 3 ≤ x < 6}

04. (Acafe SC) Sejam os conjuntos A = {x ∈ Z | x2 – 3x + 2 = 0} e B = {x ∈ Z | |x – 1| < 3}. O número de elementos do conjunto (B – A) será: a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 05. (Unitau SP) Sendo x um número real, o conjunto solução da inequação 4x - 6 - 2 < 3 é: a) S = ∅ b) S = {x ∈ IR | 1/4 < x < 11/4} c) S = {x ∈ IR | x < 1/4 ou x > 11/4} d) S = {x ∈ IR | x > 11/4} e) S = {x ∈ IR | -11/4 < x < -1/4}

Exercícios Complementares

01. (UFRJ) Resolva a inequação 1 S = {x∈IR | x < -5/2 ou x > 5}

08. (Unitau SP) O conjunto de todos os valores de x pertencentes aos números reais, para os quais 3x - 2 > x , é

4x > 3. 5

02. (FGV SP) Seja f(x) = |2x2 – 1|, x ∈ IR. Determinar os valores de x para os quais f(x) < 1. S = {x ∈ IR | -1 < x < 1 ∪ x ≠0} 03. Determine o domínio das funções reais a seguir: a) f(x) = |x + 3| -7 b) f(x) =

5-|x + 1|

D = {x ∈ IR | x ≤ -10 ou x ≥ 4} D = {x ∈ IR | -6 ≤ x ≤ 4}

04. (EEM SP) Determine os valores reais de x para os quais 1 < |x – 1| < 2. S = {x ∈ IR | -1 < x < 0 ou 2 < x < 3} 05. (UnB DF) Julgue os itens abaixo em certo (C) ou errado (E). 1. Se |x| < 2, então x < 2.

C-E-E-E

2. Se x < 2, então |x| < 2. 3. Na reta real, a solução da desigualdade 2 ≤ |x – 7| ≤ 4 é um segmento de reta de comprimento 2. A17  Inequações modulares

a2 = a, para todo número real a.

06. (UFPE) O conjunto dos números reais x tais que 4 ≤ |x – 8| ≤ 20 é formado por dois intervalos. Indique a soma dos comprimentos destes. 32 07. (Cesgranrio RJ) Determine o conjunto solução da desigualdade |x + 1| – | x | ≤ x + 2. S = {x ∈ IR | x ≥ -3}]

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1  a)  < x < 1 2    1 b) x < ou x > 1  2  2  c)  < x < 1 3    2 d) x < ou x > 1 3    2 e) x <   3 09. (UniRV GO) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as alternativas. V-V-F-V a) Existem números reais a e b, tais que a + b = a + b . b) Existem números reais a e b, tais que a + b < a + b . c) Existe um número real x, tal que x ≠ x 2 . d) Existem números reais a e b, tais que a ⋅ b = a ⋅ b . 10. (UEPG PR) Sobre os conjuntos P = {x ∈ Z | |x + 2| < 3} e Q = {x ∈ Z | |2x| > 6}, assinale o que for correto. 12 01. P – Q = {–3, –2} 02. P ⊂ Q 04. P ∩ Q é um conjunto unitário. 08. P ∪ Q é um conjunto infinito. 16. Q – P = {4, 5, 6}

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MATEMÁTICA

MÓDULO A18

ÁREA DE QUADRILÁTEROS Entre os dias 07 e 24 de outubro de 2010 a 27ª Oktoberfest recebeu 578 870 mil pessoas nos setores do Parque Vila Germânica. O consumo de chope surpreendeu a organização do evento, 583 681 mil litros foram consumidos, número superior ao registrado nos últimos 20 anos, quando, em 1990, a festa teve a marca de 774 672 mil litros. O público da Oktoberfest 2010 está mais qualificado do que nos anos anteriores. A organização da festa notou, ainda, um aumento de 30% a mais no consumo de chope. Os tickets de refrigerante e água vendidos na festa somaram 182 mil, 30% a mais do que em 2009.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Área de quadriláteros nn Ideia intuituva de área nn Quadrado (unidade de área) nn Retângulo nn Paralelogramo nn Trapézio nn Losango

Fonte: http://www.oktoberfestblumenau.com.br

Suponha que a figura a seguir (sem escala) represente um esboço de parte do trajeto do desfile realizado durante a Oktoberfest, pela rua XV de Novembro. A área em alaranjado foi ocupada pelo público que assistia ao desfile. Segundo a polícia militar, em média, havia 2 espectadores para cada metro quadrado ocupado.

Fonte: yari2000 / Shutterstock.com

Figura 01 - Ilustração mostra as comidas típicas consumidas durante a Oktoberfest.

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Matemática

Baseando-se nesses dados, é possível fazer uma estimativa do total de pessoas presentes nesse local do desfile. Para isso, basta calcular a área total e, em seguida, multiplicá-lo por 2. Nesta aula, vamos abordar as áreas delimitadas por quadriláteros.

Ideia intuituva de área Quando utilizamos o termo área, estamos nos referindo a um número real positivo que mede uma região ou superfície. Para determinar esse número, temos que, inicialmente, adotar como unidade de área uma região quadrada de lado 1. Ao comparar a área de uma região plana com a região quadrada unitária, obteremos o número que indica a área da região plana. Observe a figura a seguir:

Portanto, para o retângulo ABDC, temos que: A= b⋅h

Paralelogramo A área (A) de um retângulo é dada pelo produto da base (b) pela sua altura (h). Observe a figura a seguir.

Portanto, para o paralelogramo ABDC, temos que:

A = b⋅h

Trapézio Admitindo como unidade de medida a área do quadrado da figura 03, a área da região destacada na malha quadriculada da figura 02 é igual a 12 unidades de área.

A área (A) de um trapézio é dada pelo produto da semissoma das bases maior e menor (B e b) pela sua altura (h). Observe a figura a seguir.

Quadrado (unidade de área) A área (A) de um quadrado é dada pelo quadrado do seu lado. Observe a figura a seguir.

Portanto, para o trapézio EFGH, temos que:

Portanto, para o quadrado ABDC, temos que: A = L2

(B + b) ⋅ h 2

Losango A área (A) de um losango é dada pelo semiproduto das suas diagonais maior e menor (D e d). Observe a figura a seguir.

A18  Área de quadriláteros

Retângulo A área (A) de um retângulo é dada pelo produto da base (b) pela sua altura (h). Observe a figura a seguir.

Portanto, para o losango EFGH, temos que: A=

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D⋅d 2

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Calcule a área do trapézio ABCD isósceles da figura a seguir.

Daí, a área do trapézio é dada por:

(24 + 12) ⋅ 8 = 144m2 2

= A

Portanto, a área do trapézio é 36 m2. 02. Quantos ladrilhos quadrados de lado 30 cm são necessários para revestir uma área retangular de 3,30 m de comprimento e 1,80 m de largura? RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO Inicialmente, vamos traçar duas alturas (h) a partir dos vértices C e D. Observe a figura a seguir:

A área (A1) a ser revestida é dada por: A1 = 330 ⋅ 180 = 59 400 cm2 A área (A2) de cada ladrilho é dada por: A2 = 302 = 900 cm2 O número (n) de ladrilhos necessários é dado por:

= n Nos dois triângulos retângulos formados temos que: 102 = 62 + h2 ⇒ h = 8 m.

59400 = 66 900

Portanto, são necessários 66 ladrilhos.

Exercícios de Fixação 01. Na figura a seguir, temos a planta baixa de uma casa.

04. (Faap SP) A projeção vertical da cobertura de uma churrascaria tem a forma de um quadrilátero equilátero cujas diagonais são perpendiculares entre si e medem 20 metros e 25 metros. Calcule, em metros quadrados, a área da projeção. 250 m2 05. Calcule a área de cada um dos trapézios das figuras a seguir, sabendo que as medidas estão em metros. a) 40√2 m2

b) 196 m2

Considere que: nn Duas paredes consecutivas são sempre perpendiculares. nn AB = 5 m, BC = 2,4 m, EF = 8 m, FG = 1,6 m, HG = 7,5

m e AH = 9 m. Calcule, em m2, a área dessa casa. 127,1 m2 02. Para um quadrado cuja medida da diagonal é 4 cm, calcule: A18  Área de quadriláteros

a) A medida do lado desse quadrado. 2√2 cm b) A área desse quadrado. 8 cm2 03. Um artista plástico fez um trabalho de madeira que utiliza, dentre outros materiais, 12 chapas em forma de paralelogramo de base 40 cm e altura 25 cm. Qual a área total de chapas que foram gastas nesse trabalho? 12 000 cm2

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Matemática

Exercícios Complementares 01. (UFG GO) Considere um terreno retangular de largura igual a 3/5 do comprimento. Nesse terreno, foi construído um campo de futebol em forma retangular, cujo comprimento é igual à largura do terreno, e a largura do campo é 3/5 de seu comprimento. Determine, em porcentagem, a área do terreno que foi ocupada pelo campo. 36% 02. (UnB DF) Uma casa possui salas retangulares A, B e C, de mesma largura, sendo A quadrada. Os comprimentos B e C são, respectivamente, 5 m e 4 m. Se as 3 salas juntas formam uma área de 36 m2, qual é a área, em m2, da sala quadrada? 9 m2

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) 2xy b) 15 – 3x c) 15 – 5y d) –5y – 3x e) 5y + 3x – xy 06. (IBMEC RJ) O mosaico da figura adiante foi desenhado em papel quadriculado 1 x 1.

03. A figura a seguir mostra um mosaico formado por losangos.

Sabendo que os quadrados pontilhados têm lado medindo 1 cm, calcule a área da região hachurada, em cm2. 27 cm2 04. Na figura a seguir temos um trapézio escaleno com medidas em centímetros.

A razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a a) 1/2 b) 1/3 c) 3/5 d) 5/7 e) 5/8 07. (UFRN) Uma empresa de publicidade foi contratada para confeccionar um outdoor com a sigla RN, conforme as medidas determinadas na figura a seguir.

A18  Área de quadriláteros

Nessas condições, calcule: a) A medida da sua altura. 2√3 cm b) A sua área. 15√3 cm2 05. (Enem MEC) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y). Para estimar a quantidade de tinta a ser utilizada na pintura, a empresa precisa calcular as áreas das letras. Sabendo que as medidas acima estão em centímetros, determine, em metros quadrados, a área de cada uma das letras. R = N = 0,64 m2

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MATEMÁTICA

MÓDULO A19

ÁREA DE TRIÂNGULOS O Principado de Mônaco é uma cidade-estado soberana, está situado no sul da França a menos de vinte quilômetros da cidade de Nice e faz costa com o mar Mediterrâneo. O Principado é um dos seis microestados da Europa e um dos vinte e quatro do mundo. Sua área é de aproximadamente 2 km2 e é o segundo menor Estado do mundo (atrás apenas do Vaticano).

ASSUNTOS ABORDADOS nn Área de triângulos nn Triângulos nn Polígono regular

Foi fundado em 1287 pela Casa de Grimaldi e é governado por ela até hoje. Sua economia baseia-se no turismo, com destaque para a realização do Grande Prêmio do Mônaco de Fórmula 1, para o cassino de Monte-Carlo e por ser a sede do World Music Awards. Também não se pode deixar de destacar o fato de Mônaco ter a fama de “paraíso fiscal" uma vez que os vestidores não estão sujeitos aos impostos sobre a renda.

Fonte: Dmitrijs Mihejevs / Shutterstock.com

Supondo que o território do Principado de Mônaco tivesse a forma de um triângulo equilátero, qual seria a medida dos seus lados? Nesta aula, vamos abordar as áreas delimitadas por triângulos e por polígonos regulares.

Figura 01 - Ilustração mostra uma vista panorâmica da baía do Principado de Mônaco.

291

Matemática

Triângulos

Portanto, para o triângulo ABC, temos que:

Em função do lado da altura relativa a esse lado A área (A) de um triângulo é dada pelo semiproduto da base (b) pela altura (h). Observe a figura ao lado.

p ⋅ (p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - c)

Sendo:

a+b+c (semiperímetro do triângulo) 2

Em função do raio da circunferência inscrita A área (A) de um triângulo, em função do raio da circunferência inscrita, é dada pelo produto do semiperímetro (p) pelo raio da circunferência inscrita (r). Observe a figura a seguir. Portanto, para o triângulo ABC, temos que:

b ⋅h 2

Em função de dois lados e do ângulo compreendido entre eles A área (A) de um triângulo é dada pelo semiproduto de dois lados (a e b) pelo seno do ângulo (θ) formado entre eles. Observe a figura a seguir.

Portanto, para o triângulo ABC, temos que: A= p ⋅ r

Sendo:

a+b+c (semiperímetro do triângulo) 2

Em função do raio da circunferência circunscrita Portanto, para o triângulo ABC, temos que:

b ⋅ a ⋅ senθ 2

A área (A) de um triângulo, em função do raio da circunferência circunscrita, é dada pelo produto das medidas dos três lados (a, b, c) dividido pelo quádruplo do raio da circunferência circunscrita (R). Observe a figura a seguir.

Em função dos lados (Fórmula de Heron)

A19  Área de triângulos

A área (A) de um triângulo é dada em função dos lados (a, b, c), por uma expressão conhecida como fórmula de Heron. Observe a figura a seguir.

Portanto, para o triângulo ABC, temos que:

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a⋅b ⋅ c 4 ⋅R

Matemática e suas Tecnologias

Triângulo equilátero A área (A) de um triângulo equilátero, em função da medida de seu lado (L), é dada pelo produto do quadrado do lado (L) por

Polígono regular A área de um polígono regular (A) é dada pelo produto do semiperímetro (p) pelo apótema (aP). Observe a figura a seguir.

3 . Observe a figura a seguir. 4

Portanto, para o pentágono regular ABCDE, temos que:

A= p ⋅ aP Portanto, para o triângulo ABC, temos que:

L2 ⋅ 3 4

Sendo:

a+b+c +d+e (semiperímetro do polígono regular) 2

EXEMPLOS 01. Na figura a seguir, os pontos M e N dividem o lado BC em três segmentos congruentes.

b) Utilizando a fórmula da área de um triângulo em função do raio da circunferência inscrita, temos que: A = p ⋅r ⇒ 6 6 = 9 ⋅r ⇒ r =

2 6 cm 3

2 6 cm. 3 c) Utilizando a fórmula da área de um triângulo em função do raio da circunferência circunscrita, temos que: Portanto, o raio da circunferência inscrita é igual a

= A

RESOLUÇÃO As áreas desses triângulos são iguais, pois todos eles têm bases de mesma medida e a mesma altura. 02. Considerando um triângulo ABC cujos lados medem 5 cm, 6 cm e 7 cm, calcule: a) Sua área, em cm2. b) O raio da circunferência inscrita. c) O raio da circunferência circunscrita. RESOLUÇÃO a) Utilizando a fórmula de Heron, temos que:

= p A=

5+6+7 = 9cm 2

9 ⋅ (9 - 5) ⋅ (9 - 6) ⋅ (9 - 7) = 6 6 cm2

Portanto, a área desse triângulo é 6 6 cm2 .

Portanto, o raio da circunferência circunscrita é igual a

35 6 cm. 24

03. Responda aos itens a seguir: a) Qual é a área de um triângulo equilátero de lados medindo 12cm? b) Qual é a área de um hexágono regular de lados medindo 12cm? RESOLUÇÃO a) Utilizando a fórmula da área de um triângulo equilátero, temos que: = A

122 3 = 36 = 3 36 3 cm2 4

Portanto, a área do triângulo equilátero é 36 3 cm2 . b) Todo hexágono regular é composto por seis triângulos equiláteros. Assim, temos que: A= 6 ⋅ 36 3 cm2 = 216 3 cm2 Portanto, a área do hexágono regular é 216 3 cm2 .

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A19  Área de triângulos

Qual é a relação entre as áreas dos triângulos ABM, AMN e ANC? Justifique.

a⋅b ⋅ c 5⋅6 ⋅7 35 6 ⇒ 6= ⇒ = 6 R cm 4 ⋅R 4 ⋅R 24

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule a área dos triângulos das figuras a seguir sabendo que as medidas estão em decímetros: a) 117 dm2

b) 24 dm2

c) 64√3 dm2

d) 12√5 dm2

03. (UEGO) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e ABEK, FGJK e HIJD são quadrados com lados medindo respectivamente 5 cm, 4 cm e 3 cm. Qual é a medida da área do polígono BEFGHID? 20 cm²

04. Considere um triângulo ABC cujos lados medem 5 cm, 7 cm e 8 cm. Assim, para esse triângulo, calcule: a) 10√3 cm2

b) √3 cm

c) 7√3/3 cm

a) A sua área. b) O raio da circunferência nele inscrita. c) O raio da circunferência nele circunscrita.

02. (UFSC) A base de um triângulo mede 132 m e sua altura, em metros é h. Se a base for aumentada em 22 m e a altura, em 55 m, obtém-se um novo triângulo cuja área é o dobro da área do primeiro. Calcule o valor de h. 77 m

05. Responda aos itens a seguir: a) Qual a área de um triângulo isósceles cuja base mede 6 cm e a altura relativa a essa base mede 16 cm? b) Qual a área de um hexágono regular cujo lado mede 6 cm? c) Qual a área de um pentadecágono regular cujo lado mede 6 cm e apótema mede 16 cm? a) 48 cm2 b) 54√3 cm2 c) 720 cm2

Exercícios Complementares

A19  Área de triângulos

01. Na figura a seguir, temos um polígono cujos lados medem 6 cm na forma de uma estrela. Tal polígono foi obtido a partir da sobreposição de dois triângulos equiláteros congruentes de lados medindo 18 cm.

Nessas condições, calcule a área dessa estrela, em cm2. 108√3 cm2 02. (Unicamp SP) a) Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centímetros. 84 m2 b) Calcule o comprimento da altura relativa ao lado que mede 21 centímetros. 8 cm

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03. (Unesp SP) A área de um triângulo retângulo é 12 dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da hipotenusa desse triângulo. 2√13 dm 04. (Mackenzie SP) Os lados do retângulo da figura, de área 48, foram divididos em partes iguais pelos pontos assinalados.

A área do quadrilátero destacado é: a) 32 b) 24 c) 20 d) 16 e) 22

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MATEMÁTICA

MÓDULO A20

ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES A pizza hoje tão disseminada no território brasileiro é atualmente um elemento fundamental da gastronomia italiana.Mas esse saboroso prato não nasceu na Itália, como muitos imaginam. Essa iguaria é elaborada com massa fermentada de farinha de trigo, banhada com molho de tomates e revestida de produtos diversos, geralmente alguma espécie de queijo, carnes defumadas ou não, ervas e até legumes e doces, inclusive o próprio sorvete. Por último, um toque de orégano ou de manjericão, e finalmente tudo é assado ao forno. Mas nem sempre ela foi assim.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Área do círculo e suas partes nn Círculo nn Coroa circular nn Setor circular nn Segmento circular

A história da pizza tem início há pelo menos seis mil anos, provavelmente entre os egípcios e os hebreus. Ela não era, é claro, como é conhecida hoje, mas apenas um delgado estrato de massa – farinha mesclada com água -, chamado na época de ‘pão de Abrahão’, semelhante ao moderno pão sírio. Era também conhecida como ‘piscea’, termo que futuramente derivaria para pizza. Outros estudiosos afirmam que ela era consumida pelos gregos, os quais produziam suas massas com farinha de trigo, arroz ou grão-de-bico, assando-as depois em tijolos ardentes. Fonte: http://www.infoescola.com/historia/pizza/ Acesso: Junho de 2017

Para servir uma pizza, devemos cortá-las em fatias menores. Essas fatias constituem as partes de um círculo denominadas setores circulares. Nesta aula, abordaremos as áreas do círculo e de suas partes.

Fonte: shutterstock.com/Por Africa Studio

Figura 01 - Ilustração de uma pizza feita com tomates, queijo e cogumelos.

295

Matemática

Círculo Na figura a seguir temos um hexágono regular, um octógono regular, um decágono regular e um dodecágono regular, nessa ordem.

Note que, quanto mais lados tem o polígono regular, temos que: nn O

perímetro do polígono mais se aproxima do perímetro da circunferência.

nn O

apótema do polígono mais se aproxima do raio da circunferência.

Logo, quando a quantidade de lados desse polígono aumenta indefinidamente, temos que: nn O

apótema (aP) do polígono se aproxima cada vez mais do raio (R) da circunferência circunscrita.

nn O

perímetro do polígono se aproxima cada vez mais do comprimento (2πR) da circunferência circunscrita.

nn A área do polígono regular se aproxima cada vez mais da área da circunferência

circunscrita. Daí, temos que: A = p ⋅ aP = π⋅ R ⋅ R = π⋅ R2 A área (A) do círculo de raio (R) é dada pelo produto da constante π pelo quadrado do raio. Observe a figura a seguir

A20  Área do círculo e suas partes

Portanto, para o círculo de centro O e raio R, temos que: A = π ⋅ R2

Coroa circular Denomina-se coroa circular a região limitada por duas circunferências concêntricas. Sendo R o raio da circunferência maior e r o raio da circunferência menor, a área (A) da coroa circular é dada pela diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. Observe a figura a seguir: 296

Matemática e suas Tecnologias

Portanto, para o setor circular de centro O, raio R e ângulo central α, temos que:

π⋅ R2 ⋅α 360°

Segmento circular Portanto, para a coroa circular de centro O e raios R e r, temos que: A = π ⋅ R2 – π ⋅ r2 = π ⋅ (R2 – r2)

Denomina-se segmento circular a região do círculo delimitada por um arco e uma corda que possuem as mesmas extremidades. Sua área (A) é dada pela diferença entre a área do setor circular do triângulo.

Setor circular Denomina-se setor circular a região do círculo delimitada por dois raios e um arco. Sua área (A) é proporcional ao ângulo central (α) e raio (R) do círculo. Daí, podemos obtê-la por meio de uma regra de três simples. Observe a figura a seguir:

Portanto, para o segmento circular AB, de centro O, raio R e ângulo central α, temos que: A = ASETOR – ATRIÂNGULO

EXEMPLOS 01. Durante uma campanha eleitoral, o candidato de um determinado partido realizou um comício que lotou uma praça circular com 100 m de raio. Supondo que, em média, havia 4 pessoas/m², aproximadamente, quantas pessoas estavam presentes nesse comício? Adote π = 3,14 RESOLUÇÃO A área ocupada pelas pessoas presentes é dada por: A = π ⋅1002 = 10 000 ⋅ 3,14 = 31 400 m2

RESOLUÇÃO A área restante da chapa é dada pela diferença entre a área do quadrado de lado 80 e 4 vezes a área de um círculo de raio 20 cm. Daí, temos que: A = 802 – 4⋅ π ⋅202 = 6 400 – 1 600π = 1 600 ⋅ (4 - π) Portanto, a área restante é 1 600 ⋅ (4 – π) cm2. 03. Na figura a seguir temos uma circunferência de centro O e raio 12cm e uma região destacada denominada segmento circular.

O número aproximado de pessoas presentes é dado por: 31 400 ⋅ 4 = 125 600 Portanto, o número aproximado de pessoas presentes é 125 600.

Calcule, em cm2, a área desse segmento circular. RESOLUÇÃO A área de um segmento circular é dada pela diferença entre a área do setor circular AOB e do triângulo AOB. Daí, temos que: A= Qual a área, em cm2, da parte restante da chapa?

π ⋅ 122 ⋅ 30 12 ⋅ 12 ⋅ sen30° = 12π - 36= 12(π - 3) 360 2

Portanto, a área do segmento circular é 12 ⋅ (π – 3) cm2.

297

A20  Área do círculo e suas partes

02. Na figura a seguir temos uma chapa metálica quadrada de lados medindo 80 cm, na qual recortam-se 4 discos.

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule a área destacada nas figuras a seguir, sabendo que as medidas estão em centímetros: a) 9π cm2 b) 20π cm2 c)16π cm2

04. Calcule a área da região hachurada nos seguintes casos: a) Área delimitada por um quadrado de lado 16 cm e por um arco de circunferência centrado em um dos vértices. Observe a figura a seguir: 64(4 – π)

b) Área delimitada por um quadrado de lado 12 cm e por dois arcos de circunferência centrados em dois vértices. Observe a figura a seguir: 36(4 – π)

02. Na figura a seguir temos três semicírculos de centros A, B e C, tangentes dois a dois. Os raios dos dois semicírculos menores medem 12 cm e 20 cm.

c) Área delimitada por um quadrado de lado 8 cm e por dois arcos de circunferência centrados nos pontos médios de dois lados. Observe a figura a seguir: 16(4 – π) Calcule a área hachurada em cm2. 240π cm2 03. Calcule a área dos setores circulares de centro O das figuras a seguir, sabendo que as medidas estão em centímetros: a) 36π cm2 b) 75π cm2 c) (6π -9√3)/4 cm2

A20  Área do círculo e suas partes

d) Área delimitada por um quadrado de lado 4 cm e por quatro arcos de circunferência centrados nos pontos médios dos quatro lados. Observe a figura a seguir: 8(π – 2)

298

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Uel PR)Observe a simetria do corpo humano na figura acima e considere um quadrado inscrito em um círculo de raio

03. (UFG GO) O limpador traseiro de um carro percorre um ângulo máximo de 135°, como ilustra a figura a seguir. Use π = 3,14.

R, conforme a figura a seguir.

Sabendo-se que a haste do limpador mede 50 cm, dos quais 40 cm corresponde à palheta de borracha, determine a área da região varrida por essa palheta. 2 826 cm2

a) A= R2 (π - 2) b) A =

R2 (π - 2) 2

c) A =

R2 (π2 - 4) 2

d) A =

R2 (π - 2) 4

e) A =

R2 (π2 - 2) 4

02. (Ufu MG) Uma indústria de embalagens fabrica, em sua linha de produção, discos de papelão circulares conforme indicado na figura abaixo. Os discos são produzidos a partir de uma folha quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 – 25π) cm2.

04. (UFTMMG) A figura mostra uma circunferência de centro O e raio igual a 2 e um pentágono regular ABCDO, cujos vértices A e D pertencem à circunferência.

A região hachurada tem área igual a: 6π 9π a) c) 5 4 8π 10π b) d) 3 3

12π 5

05. (UFG GO) Alguns agricultores relataram que, inexplicavelmente, suas plantações apareceram parcialmente queimadas e a região consumida pelo fogo tinha o padrão indicado na figura a seguir, correspondendo às regiões internas de três círculos, mutuamente tangentes, cujos centros são os vértices de um triângulo com lados medindo 30, 40 e 50 metros.

Com base nas informações acima, é correto afirmar que o valor de L é: a) primo b) divisível por 3 c) ímpar d) divisível por 5

Nas condições apresentadas, a área da região queimada, em m2, é igual a: a) 1 100p c) 1 300p e) 1 550p b) 1 200p d) 1 400p

299

A20  Área do círculo e suas partes

A área da região sombreada é dada por:

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (ITA SP) Os valores de x ∈ R, para os quais a função real dada por f(x) =

5 - 2x - 1 - 6 está definida, formam o conjunto:

a) [0, 1] b) [-5, 6] c) [-5, 0] U [1, ∞) d) (-∞, 0] U [1, 6] e) [-5, 0] U [1, 6] 02. (UFMG) Quantos números inteiros satisfazem a desigualdade n - 20 n-2 a) 8

≥1 ?

b) 11 c) 9 d) 10 03. (UFRJ) Os 18 retângulos que compõem o quadrado a seguir são todos congruentes.

Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. 05. (Insper RJ) Movendo as hastes de um compasso, ambas de comprimento L, é possível determinar diferentes triângulos, como os dois representados a seguir, fora de escala.

Sabendo que a medida da área do quadrado é 12 cm2, determine o perímetro de cada retângulo. 2√3 cm 04. (Enem MEC) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio). 300

Se a área do triângulo T1 é o triplo da área do triângulo T2, então o valor de cos θ é igual a: a) 1/6 b) 1/3 c) √3/3 d) 1/2 e) √6/6 06. (Fuvest SP) A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é: a) 5√3 b) 6√3 c) 7√3 d) 8√3 e) 9√3

Matemática e suas Tecnologias

07. (Enem MEC) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme figura.

A área da região S, em unidades de área, é igual a: a)

2πR2 3R2 3 2

(2π - 3 3)R2 12

πR2 R2 12 8

πR2 2

πR2 3

Sabendo que CD = CX e BE = BX, a área do trapézio BCDE é igual a: S +S a) 1 2 c) S1S2 2 b)

S1 + S2 3

(S1 )2 + (S2 )2

10. (Uni-FaceF SP) Uma placa de borracha, na forma de um triângulo retângulo PQR com 45 cm2 de área e lado QP = 6 cm, será dividida em três pedaços, A, B e C, conforme mostra a figura.

08. (Fuvest SP) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. Sabendo que a área do pedaço B é 9 cm2 e que a área do pedaço C tem 6 cm2 a mais que a área do pedaço A, é correto afirmar que a medida do segmento SR é a) 4 cm. c) 6 cm. e) 8 cm. b) 5 cm. d) 7 cm. 11. (Faculdade Baiana de Direito BA)

a) 1 -

π 3 + 6 4

d) 1 +

π 3 3 2

b) 1 -

π 3 + 3 2

e) 1 -

π 3 3 4

c) 1 -

π 3 6 4

nn o triângulo retângulo ABC;

O retângulo PQRT, na figura, representa uma praça, na qual se instalou uma câmera de segurança, no ponto P, capaz de monitorar a região equivalente a do triângulo isósceles PRS. Nessas condições, pode-se afirmar que a área da região monitorada pela câmera mede, em m2,

nn o trapézio retângulo BCDE, construído sobre a hipotenusa

a) 75 3

c) 45 3

b) 90

d) 30 3

09. (Uerj RJ) Considere na imagem abaixo: nn os quadrados ACFG e ABHI, cujas áreas medem, respectivamente, S1 e S2;

BC, que contém o ponto X.

e) 15

301

FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

Logo, a área da região hachurada é:

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FRENTE

MATEMÁTICA Por falar nisso O termo apneia significa interrupção da comunicação do ar atmosférico com as vias aéreas e pulmões, ou seja, é o ato de prender a respiração. Mergulhar em apneia é uma das formas mais livres de mergulho. O mergulhador não faz uso de cilindros de ar comprimido para respirar sob a água. Aí é só puxar o ar, segurá-lo, mergulhar e contemplar, de maneira única, as belas paisagens submersas. Quanto mais se treina, maior fica o tempo de imersão e maiores são as profundidades atingidas. Porém, nem só de beleza é feito o mergulho. É preciso estar atento aos cuidados da prática e às reações do corpo. Cada imersão exige um tempo de descanso na superfície. Mergulhos em sequência aumentam, significativamente, o risco do mergulhador “envenenar-se” com o próprio dióxido de carbono gerado pelo consumo do oxigênio. Outro problema que os mergulhadores enfrentam está no fato de que, ao se emergir de grandes profundezas de forma brusca, o nitrogênio dissolvido no sangue pode retornar à sua forma gasosa criando bolhas no sangue, o que leva o mergulhador a ter um infarto ou até mesmo um acidente vascular cerebral. Quanto maior a profundidade alcançada pelo mergulhador, maior a pressão exercida pela água e, obviamente, maior o risco do mergulho. Essa relação entre profundidade e pressão é linear, ou seja, o gráfico que descreve essa relação é uma reta ascendente. Muitas situações do nosso dia a dia podem ser modeladas por meio de funções desse tipo, denominadas funções polinomiais do 1º grau, ou simplesmente, função afim. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

B17 B18 B19 B20

Função polinomial do 1º grau – Definição e raiz..........................304 Função polinomial do 1º grau – Gráficos......................................307 Função polinomial do 1º grau – Estudo do sinal...........................312 Função polinomial do 1º grau – Inequações.................................316

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B17

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função polinomial do 1º grau –

definição e raiz

nn Função polinomial do 1º grau nn Zeros ou raízes

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU – DEFINIÇÃO E RAIZ Durante o período de férias ou em feriados prolongados muitas pessoas utilizam os serviços de locação de carro para deslocar-se em suas viagens. Assim, considere que uma dessas empresas alugue determinado modelo de carro cobrando R$ 180,00 de taxa fixa, mais R$ 70,00 por dia de aluguel com quilometragem livre. A partir desses dados, pode-se estabelecer uma relação entre o valor pago y, em reais, e a quantidade x de dias de locação desse carro, pela lei de formação y = 70x + 180. A lei de matemática dada por y = 70x + 180 é um exemplo de função polinomial do 1º grau, ou simplesmente, função afim. Nesta aula, abordaremos esse tipo de função e suas aplicações em várias situações no nosso cotidiano.

Função polinomial do 1º grau Uma função f: IR → IR é denominada função polinomial do 1º grau, ou função afim se, e somente se, for expressa por:

Fonte: Nong Mars / Shutterstock.com

f(x) = ax + b, com a ∈ IR* e b ∈ IR

304

Exemplos: = 2x – 9, com a = 2 e b = -9. nn f(x) = -3x + 18, com a = -3 e b = 18. nn f(x)

Observações: nn A

constante a é denominada coeficiente angular. nn A constante b é denominada coeficiente linear.

Matemática e suas Tecnologias

Zeros ou raízes

Por exemplo:

A raiz (ou zero) da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b é o valor de x que torna f(x) = 0. Assim, temos que: f(x) = ax + b = 0 ⇒ x = -b/a

A raiz de f(x) = -3x + 15 é o valor de x que torna f(x) = 0, ou seja: -3x + 15 = 0 ⇒ -3x = -15 ⇒ x = 5

EXEMPLOS 06. Verifique quais das funções a seguir são polinomiais do 1º grau. a) b) c) d)

f(x) = 2x + 6 f(x) = x2 + 5 f(x) = 6x f(x) = 7

a) A lei que fornece o valor P, em reais, pago pela companhia em função do número x de dias que a ela esteve fora das referidas normas. b) O valor da multa paga por 15 dias. c) O número de dias que corresponde a uma multa de R$ 43.000,00. RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO Uma função f é polinomial do 1º grau se, e somente se, estiver na forma f(x) = ax + b, com a ≠ 0. Assim, temos que: a) É uma função polinomial do 1º grau. b) Não é uma função polinomial do 1º grau. c) É uma função polinomial do 1º grau. d) Não é uma função polinomial do 1º grau. 07. Dada a função afim f(x) = 3x – 5, determine: a) O valor de f(3). b) A expressão de f(x + 2). b) O valor de x para que f(x) = 7. RESOLUÇÃO a) f(3) = 3 ⋅ 3 – 5 = 9 – 5 = 4. b) f(x + 2) = 3 ⋅ (x + 2) – 5 = 3x + 6 – 5 = 3x + 1. c) 3x – 5 = 7 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4. 08. O órgão responsável pela conservação dos rios e lagos de uma cidade detectou que certa empresa estava poluindo o Rio Vidal. Essa empresa foi multada em R$ 25.000,00, mais R$ 300,00 por dia até que ela se ajustasse às normas que regulamentam os índices de poluição. Assim, determine:

a) A lei é dada por P(x) = 25 000 + 300x. b) P(15) = 25 000 + 300 ⋅ 15 = 25 000 + 4 500 = 29 500 reais. c) 25 000 + 300x = 43 000 ⇒ 300x = 18 000 ⇒ x = 60 dias. 09. Determine os valores de a e b na função afim f(x) = ax + b, sabendo-se que f(-1) = -12 e f(2) = 3. RESOLUÇÃO Na função f(x) = ax + b, temos que: f(-1) = a ⋅ (-1) + b = -12 ⇒ -a + b = -12. f(2) = a ⋅ 2 + b = 3 ⇒ 2a + b = 3. Daí temos o seguinte sistema:

-a + b = - 12  3 2a + b = Subtraindo as equações membro a membro, temos: 2a + b – (-a + b) = 3 – (-12) ⇒ 3a = 15 ⇒ a = 5. Substituindo a = 5 na 1ª equação, temos: -5 + b = -12 ⇒ b = -7. Portanto, a = 5 e b = -7.

01. De uma folha de cartolina de 100 cm por 40 cm, foram retirados seis quadrados de lado x cm.

Qual é a expressão que relaciona o perímetro P e medida x, ambos em centímetros, da parte restante? P = 4x + 280 02. O preço P, em reais, pago por uma corrida de taxi é composto de duas partes: uma parte fixa chamada de bandeirada e uma parte variável que depende da distância percorrida x, em quilômetros. Supondo que a bandeirada seja R$ 16,00 e o custo por quilômetro rodado seja R$ 3,50, determine: a) A expressão que relaciona o preço P e a quantidade x de quilômetros percorridos. P = 16 + 3,5x

b) O valor pago por uma corrida de 20 km. R$ 86,00 c) A quantidade de quilômetros percorridos com R$ 58,00. 12 km 03. O salário mensal S, em reais, do vendedor de uma loja é composto de R$ 900,00 fixos mais 5% do valor total das vendas x, em reais, feitas por ele durante o mês. Nessas condições, determine: a) A expressão que relaciona o salário S e total de vendas x, ambos em reais. S = 900 + 0,05x b) O salário recebido em um mês em que o total de vendas tenha sido de R$ 22.000,00. R$ 2.000,00 c) O valor total de vendas em um mês em que o salário tenha sido de R$ 2.900,00. R$ 40.000,00 04. Determine os valores numéricos de a e b na função afim f(x) = ax + b, sabendo-se que f(-1) = 13 e f(2) = 4. a = -3 e b = 10 05. Obtenha a função afim f(x) = ax + b, sabendo-se que x = -3 é raiz e f(-2) = 6. f(x) = 6x + 18 305

B17  Função polinomial do 1º grau – definição e raiz

Exercícios de Fixação

Matemática

Exercícios Complementares 01. (Cefet MG) Sabendo-se que f(x) = ax + b, que f(– 1) = 4 e que

05. (FGV SP) Um terreno vale hoje R$ 40.000,00 e estima-se

f(2) = 7, deduz-se que f(8) vale:

que daqui a 4 anos seu valor seja R$ 42.000,00. Admitindo

a) 0

que o valor do imóvel seja função do 1º grau do tempo (me-

b) 3

dido em anos e com valor zero na data de hoje), seu valor

c) 13

daqui a 6 anos e 4 meses será aproximadamente:

d) 23

a) R$ 43.066,00

e) 33

b) R$ 43.166,00

02. (UFG GO) Um lápis apontado mede 18 cm. A cada vez que se aponta esse lápis, o seu comprimento diminui 0,25 cm. Quantas vezes esse lápis ser apontado até que seu comprimento atinja 4,75 cm? 53 03. (UEPB) Em um telefone residencial, a conta mensal para as ligações locais é dada pela função y = ax + b, em que x é o número de chamadas mensais e y é o total a ser pago em reais. No mês de abril, houve 100 chamadas e a conta mensal foi de 170 reais. Já no mês de maio, houve 120 chamadas, e a conta mensal foi de 198 reais. Qual o total a ser pago no mês com 180 chamadas? a) R$ 320,00

c) R$ 43.266,00 d) R$ 43.366,00 e) R$ 43.466,00 06. (Puc MG) O custo C de uma corrida de táxi é dado pela função linear C(x) = b + mx, em que b é o valor inicial (bandeirada), m é o preço pago por quilômetro e x, o número de quilômetros percorridos. Sabendo-se que foram pagos R$ 9,80 por uma corrida de 4,2 km e que, por uma corrida de 2,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,40, pode-se afirmar que o valor de b + m é: a) 5,00 b) 6,00 c) 7,00 d) 8,00

b) R$ 282,00 c) R$ 222,00

07. (Vunesp SP) Um operário ganha R$ 30,00 por hora de traba-

d) R$ 251,00

lho por sua jornada semanal regular de trabalho, que é de

e) R$ 305,00

40 horas. Eventuais horas extras são pagas com um acrésci-

04. (Enem MEC) As curvas de oferta e de demanda de um pro-

mo de 50%. Encontre uma fórmula algébrica para expressar

duto representam, respectivamente, as quantidades que

seu salário bruto semanal, S, para as semanas em que traba-

vendedores e consumidores estão dispostos a comerciali-

lhar h horas, com h ≥ 40. S = 45h – 600

zar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, B17  Função polinomial do 1º grau – definição e raiz

respectivamente, representadas pelas equações: QO = –20 + 4P QD = 46 – 2P Sendo QO a quantidade de oferta, QD a quantidade de demanda e P o preço do produto. A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? a) 5 b) 11 c) 13 d) 23 e) 33

306

08. (IF SC) Ao começar a chover em uma pequena cidade do interior de Santa Catarina, um açude tinha, inicialmente, certo volume de água. Após 30 minutos de chuva, o volume de água do açude estava em 160 m3 e, passados mais 12 minutos, o volume foi para 208 m3. Sabendo-se que o volume de água cresceu a uma taxa constante, determine qual era o volume de água do açude, em metros cúbicos, no instante em que começou a chover. Assinale a alternativa correta. a) 120 b) 112 c) 48 d) 40 e) Zero

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B18

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU - GRÁFICOS O teatro foi uma das primeiras manifestações culturais no Brasil e teve início já no século XVI. Esse tipo de manifestação cultural foi utilizada pelos jesuítas para instruir e catequizar índios e colonos. O padre Anchieta foi um dos principais jesuítas a utilizar essa arte em apresentações chamadas de teatro de catequese. Com um enfoque muito mais religioso do que artístico, os atores eram amadores e as peças, que eram encenadas em ruas, praças e escolas por não haver espaços próprios para tal.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função polinomial do 1º grau -

gráficos

nn Gráfico no plano cartesiano nn Função constante nn Determinação de uma função afim a partir do seu gráfico

Com a vinda da Família Real para o Brasil, em 1808, várias melhorias ocorreram e uma delas foi o desenvolvimento do teatro. A partir de um decreto de 28 de maio de 1810, o rei D. João VI reconhecia a necessidade da construção de “teatros decentes”. Isso serviu de estímulo para que vários espaços fossem inaugurados e com isso, as companhias teatrais que iam surgindo traziam um público cada vez maior. Por vários motivos, no Brasil de hoje, o acesso ao teatro é restrito à pequena parte da população. Dentre os motivos para essa situação, podemos destacar o preço elevado dos ingressos.

nn Se

cada pessoa pagasse R$ 80,00 pelo ingresso, então 240 espectadores estariam presentes na peça. nn A cada aumento de R$ 10,00 no preço do ingresso, 15 espectadores a menos estariam presentes na peça.

Fonte: Rocksweeper / Shutterstock.com

De olho nessa condição, a equipe responsável pela organização de uma determinada peça teatral observou que:

307

Matemática

Considerando essas observações, é possível estabelecer uma função do tipo y = ax + b, sendo y o número de pessoas presentes na peça e x o preço cobrado por ingresso. Note que, nessa situação, ao aumentar o valor de x (preço de ingresso), o valor de y (número de espectadores) diminui, ou seja, trata-se de uma função decrescente. Portanto, o gráfico dessa função seria uma reta descendente. Nesta aula, abordaremos os gráficos das funções polinomiais do 1º grau.

Gráfico no plano cartesiano O gráfico cartesiano de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua em relação aos eixos coordenados. Para esboçar esse gráfico, pode-se montar uma tabela numérica escolhendo valores arbitrários para x, calcular os correspondentes valores de y = f(x) e, em seguida, traçar a reta que passa por esses pontos. Contudo, já sabemos que em geometria uma reta fica determinada por apenas dois pontos distintos. Assim, para esboçar o gráfico de uma função polinomial do 1º grau, basta atribuir dois valores arbitrários para x, calcular seus correspondentes valores y = f(x) e traçar uma reta passando por esses dois pontos. Para simplificar os cálculos, vamos utilizar, sempre que possível, as intersecções da reta com os eixos coordenados. Daí, temos que:

Função constante A função f: IR → IR é chamada de função constante se, e somente se, for expressa pela seguinte lei de formação.

= f ( x ) k, sendo k ∈ IR Assim, a função f associa todo número real x a uma mesma imagem k. Portanto, seu gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas passando pelos pontos de ordenada y = k. Por exemplo: A função f(x) = 6 é constante e seu conjunto imagem é Im(f) = {6}. Observe o gráfico a seguir:

A função f(x) = -2 é constante e seu conjunto imagem é Im(f) = {-2}.

nn Para

obter a intersecção com o eixo das abscissas, basta fazer y = 0. nn Para obter a intersecção com o eixo das ordenadas, basta fazer x = 0. Por exemplo: Vamos esboçar o gráfico da função afim f(x) = 4x – 8. nn Para f(x) =

0 ⇒ 4x – 8 = 0 ⇒ x = 2. Portanto, o gráfico de f intercepta o eixo das abscissas no ponto (2, 0). nn Para x = 0 ⇒ f(0) = 4 ⋅ 0 – 8 = -8. Portanto, o gráfico de f intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, -8). Assim, o gráfico cartesiano de f(x) = 4x – 8 é dado por:

Observação importante: Em relação à função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, temos que: nn Se

o coeficiente angular é positivo (a > 0), a função é crescente. Portanto, seu gráfico é uma reta ascendente.

B18  Função polinomial do 1º grau - Gráficos

nn Se

o coeficiente angular é negativo (a < 0), a função é decrescente. Portanto, seu gráfico é uma reta descendente.

nn Se

o coeficiente angular é nulo (a = 0), a função é constante (não é do 1º grau).

Determinação de uma função afim a partir do seu gráfico Note que, para a função f(x) = 4x – 8, o coeficiente linear (b = -8) é a ordenada do ponto que o gráfico intercepta o eixo das ordenadas. 308

Pode-se obter a função polinomial do 1º grau dado seu gráfico no plano cartesiano. Para isso, basta observar as coordenadas de dois pontos quaisquer que pertencem à reta que representa essa função.

Matemática e suas Tecnologias

Por exemplo:

nn O

Vamos determinar a função f(x) = ax + b que corresponde ao gráfico a seguir.

ponto (2, 4) pertence ao gráfico, logo f(2) = 4.

Daí, substituindo em f(x) = ax + b, temos: nn f(-1) nn f(2)

= a ⋅ (-1) + b = -5 ⇒ -a + b = -5.

= a ⋅ 2 + b = 4 ⇒ 2a + b = 4.

Logo, obtemos o seguinte sistema: -a + b = -5  4 2a + b =

Subtraindo as equações membro a membro, temos: nn 2a

+ b – (-a + b) = 4 – (-5) ⇒ 3a = 9 ⇒ a = 3.

Substituindo a = 3 na 1ª equação, temos: Observando o gráfico, temos que: nn O ponto (-1,

-5) pertence ao gráfico, logo f(-1) = -5.

nn -3

+ b = -5 ⇒ b = -2.

Portanto, a função é f(x) = 3x – 2.

EXEMPLOS 01. Esboce o gráfico de cada uma das funções polinomiais a seguir: a) b) c) d)

f(x) = 2x + 4 f(x) = -3x + 6 f(x) = 6x f(x) = -5

c) Para f(x) = 6x, temos que: nn Para f(x) = 0, temos 6x = 0 ⇒ x = 0. Logo, a reta passa pelo ponto (0, 0). nn Para x = 1, temos f(1) = 6 ⋅ 1 = 6. Logo, a reta passa pelo ponto (1, 6).

RESOLUÇÃO

No plano cartesiano, temos:

a) Dada a função f(x) = 2x + 4, temos que: nn Para f(x) = 0, temos 2x + 4 = 0 ⇒ x = -2. Logo, a reta passa pelo ponto (-2, 0). nn Para x = 0, temos f(0) = 2 ⋅ 0 + 4 = 4. Logo, a reta passa pelo ponto (0, 4). No plano cartesiano, temos:

d) Para f(x) = -5, temos que: nn Para todo valor de x o valor y = f(x) é constante e igual a -5.

b) Dada a função f(x) = -3x + 6, temos que: nn Para f(x) = 0, temos -3x + 6 = 0 ⇒ x = 2. Logo, a reta passa pelo ponto (2, 0). nn Para x = 0, temos f(0) = -3 ⋅ 0 + 6 = 6. Logo, a reta passa pelo ponto (0, 6). No plano cartesiano, temos: 02. Determine o valor de k para que o gráfico da função f(x) = (4k – 3)x + 11 seja uma reta decrescente. RESOLUÇÃO Para que o gráfico da função f(x) = (4k – 3)x + 11 seja uma reta decrescente, basta que o seu coeficiente angular seja negativo. Assim, temos que: 4k – 3 < 0 ⇒ k < 3/4. Portanto, os valores {k ∈ IR | k < 3/4}.

309

B18  Função polinomial do 1º grau - Gráficos

No plano cartesiano, temos:

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Determine os valores numéricos de a e b para que os gráficos das funções f(x) = ax + 1 e g(x) = bx + 4 se interceptem no ponto P(1, 6). a = 5 e b = 2 02. Determine a lei de formação da função f expressa em cada um dos gráficos a seguir. a) f(x) = -4x + 8

b) f(x) = 4x c) f(x) = 2x + 1 d) f(x) = -3x + 4

Mantendo-se essa relação entre massa e dosagem, pode-se concluir que a dosagem diária recomendada para um paciente com 70 kg é, em mL, igual: a) 12 d) 25 b) 14 e) 28 c) 16 04. (Unesp SP) Ao ser inaugurada, uma represa possuía 8 mil m3 de água. A quantidade de água da represa vem diminuindo anualmente. O gráfico mostra que a quantidade de água na represa 8 anos após a inauguração é de 5 mil m3.

03. (Uncisal AL) A dosagem (em mL) diária recomendada de certo medicamento varia em função da massa corporal (em kg) do paciente, conforme indicado no gráfico.

Se for mantida essa relação de linearidade entre o tempo e a quantidade de água em m3, determine em quantos anos, após a inauguração, a represa terá 2 mil m3. 16 anos 05. Esboce o gráfico das seguintes funções reais no sistema cartesiano ortogonal. Gabarito questão 05 (Fixação) a) f(x) = 2x – 3 b) f(x) = -3x + 7 c) f(x) = 4x d) f(x) = 2

B18  Função polinomial do 1º grau - Gráficos

Exercícios Complementares 01. (Unesp SP) Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fixa de 0 °C.

Baseado nos dados do gráfico determine: a) A lei da função apresentada no gráfico; y = 1,25x b) Qual é a massa (em gramas) de 30 cm3 de álcool. 24 g 02. (IF AL) Os pontos de um plano de coordenadas (2, 2) e (4, -2) pertencem ao gráfico da função f: IR → IR, definida por f(x) = ax + b. Qual o valor de a + b? a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

310

Gabarito questão 05 (Fixação)

Matemática e suas Tecnologias

03. (Enem MEC) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008, pela primeira vez na história das civilizações, a maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico a seguir mostra o crescimento da população urbana desde 1950, quando essa população era de 700 milhões de pessoas, e apresenta uma previsão para 2030, baseada em crescimento linear no período de 2008 a 2030.

com telefone. Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa? a) A b) B c) C d) D e) E 05. (Enem MEC) Certo município brasileiro cobra a conta de água de seus habitantes de acordo com o gráfico. O valor a ser pago depende do consumo mensal em m3.

04. (Enem MEC) No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico.

Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por mês

Se um morador pagar uma conta de R$ 19,00, isso significa que ele consumiu: a) 16 m3 de água. b) 17 m3 de água. c) 18 m3 de água. d) 19 m3 de água. e) 20 m3 de água. 06. (UFPE) O gráfico a seguir ilustra o peso p, em gramas, de uma carta, incluindo o peso do envelope, em termos do número x de folhas utilizadas. O gráfico é parte de uma reta e passa pelo ponto com abscissa 0 e ordenada 10,2 e pelo ponto com abscissa 4 e ordenada 29,4.

B18  Função polinomial do 1º grau - Gráficos

De acordo com o gráfico, a população urbana mundial em 2020 corresponderá, aproximadamente, a quantos bilhões de pessoas? a) 4,00 b) 4,10 c) 4,15 d) 4,25 e) 4,50

Qual o peso de uma folha? a) 4,2 g b) 4,4 g c) 4,6 g d) 4,8 g e) 5,0 g 311

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B19

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função polinomial do 1º grau –

Estudo do sinal e inequações nn Estudo do sinal nn Inequações do 1º grau

nn Sistemas de inequações do 1º grau nn Inequações simultâneas

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU – ESTUDO DO SINAL E INEQUAÇÕES

#TÁ NA MÍDIA

Em toda a Europa, as francesas são as mais apaixonadas por bolsas. É o que comprova uma pesquisa publicada no site Fashion Mag, que, além de descobrir o primeiro ‘item desejo’ das francesas, também apurou que as alemãs querem loucamente um casaco de couro, as inglesas matam e morrem por um casaco de alta costura vintage, e as italianas e espanholas sonham com um par de sapatos Louboutin. De olho na paixão das mulheres de sua pátria, o sociólogo e professor da Universidade Paris V – Sorbonne, Jean-Claude Kaufmann, escreveu o livro Le sac. Un petit monde d’amour, lançado este mês na França, pela Editora Lattes, ainda sem previsão de lançamento no Brasil. Como sociólogo que é, Kaufmann vai além da ideia de simples acessório e penetra no significado das bolsas para suas donas, e como elas participam da construção da identidade dessas mulheres. Afinal, uma bolsa nunca é só uma bolsa.

Fonte: Viktoria Minkova / Shutterstock.com

Fonte: http://ffw.uol.com.br/noticias/moda/sociologo-lanca-estudo-sobre-velho-caso-de-amor-entre-bolsas-e-mulheres/. Acesso: fevereiro de 2017

312

Ciente de toda essa paixão por parte das mulheres, uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 50.000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 250,00 e é vendida por R$ 450,00. A partir de quantas bolsas vendidas, mensalmente, essa fábrica começa a ter lucro? Sendo x a quantidade de bolsas fabricadas e vendidas e L o lucro da fábrica, para se determinar os intervalos para os quais a fábrica apresenta lucro e prejuízo é necessário fazer o estudo do sinal da função lucro, que é dada por: L = 450x – (250x + 50 000) ⇒ L = 200x – 50 000.

Matemática e suas Tecnologias

Os valores de x que tornam L(x) > 0 representam as quantidades de bolsas produzidas e vendidas para os quais a fábrica tem lucro. Já os valores de x que tornam L(x) < 0 representam as quantidades de bolsas produzidas e vendidas para os quais a fábrica tem prejuízo. Nesta aula, abordaremos o estudo do sinal e as inequações de uma função polinomial do 1º grau.

Estudo do sinal Estudar o sinal de uma função f(x) significa determinar os valores de x para os quais f(x) é positivo, negativo e zero. Assim, na função f(x) = ax + b, devemos inicialmente determinar sua raiz, que é dada por x = -b/a e, em seguida, esboçar o seu gráfico verificando, se o coeficiente angular é uma reta crescente ou decrescente. 1º caso: Se a > 0, o gráfico de f(x) = ax + b é uma reta crescente. Observe a figura a seguir.

Portanto, S = {x ∈ IR | x > 6} Resolva a inequação -2x + 5 ≤ 17 -2x – 5 ≤ 17 ⇒ -2x ≤ 22 ⋅ (-1) ⇒ 2x ³ - 22 ⇒ x³ - 11. Portanto, S = {x ∈ IR | x ≥ -11}. Note que ao multiplicar ambos os lados da segunda inequação por -1 obtemos outra inequação equivalente, mudando o sentido da desigualdade.

Sistemas de inequações do 1º grau Denomina-se sistema de inequações do 1º grau um conjunto de inequações do 1º grau que deve ser simultaneamente satisfeito. Para obter a solução desse sistema de inequações, basta resolver, separadamente, cada uma das inequações do sistema e, em seguida, fazer a intersecção das soluções encontradas. Por exemplo

Logo, temos que: x < -b/a, temos f(x) < 0. nn Para x > -b/a, temos f(x) > 0. nn Para x = -b/a, temos f(x) = 0. nn Para

2x - 1 < 9 Resolva o sistema de inequações  3x + 2 ≥ -1 2x – 1 < 9 ⇒ 2x < 10 ⇒ x < 5 (1)

3x + 2 ≥ -1 ⇒ 3x ≥ -3 ≥ x ≥ -1 (2) Fazendo (1) ∩ (2), temos:

2º caso: Se a < 0, o gráfico de f(x) = ax + b é uma reta decrescente. Observe a figura a seguir: Portanto, S = {x ∈ IR | -1 ≤ x < 5}.

x < -b/a, temos f(x) > 0. nn Para x > -b/a, temos f(x) < 0. nn Para x = -b/a, temos f(x) = 0. nn Para

Inequações do 1º grau Denomina-se inequação do 1º grau na variável a toda inequação redutível a uma das formas a seguir, sendo a e b números reais e a ≠ 0. + b > 0. nn ax + b ≥ 0. nn ax + b < 0. nn ax + b ≤ 0. nn ax

A solução de uma inequação do 1º grau é obtida isolando a variável x e aplicando-se as propriedades da desigualdade.

Inequações simultâneas Inequações simultâneas são aquelas compostas por duas desigualdades. Para obter a solução dessas inequações, basta separá-las em duas com apenas uma desigualdade e, em seguida, montar um sistema de inequações com elas. Por exemplo: Resolva a inequação simultânea -1 < 3x + 5 ≤ 2x + 13. -1 < 3x + 5 Essa inequação é equivalente ao sistema  3x + 5 ≤ 2x + 13 Daí, temos que:

-1 < 3x + 5 ⇒ 3x + 5 > -1 ⇒ 3x > -6 ⇒ x > -2 (1) 3x + 5 ≤ 2x + 13 ⇒ x ≤ 8 (2) Fazendo (1) ∩ (2), temos:

Por exemplo: Resolva a inequação 3x – 13 > 5. 3x – 13 > 5 ⇒ 3x > 18 ⇒ x > 6

Portanto, S = {x ∈ IR | -2 < x ≤ 8}. 313

B19  Função polinomial do 1º grau – Estudo do sinal e inequações

Logo, temos que:

Matemática

EXEMPLOS 01. Estude a variação do sinal da função f(x) = 5x – 10. RESOLUÇÃO A raiz de f(x) = 5x – 10 é dada por 5x – 10 = 0 ⇒ x = 2. O coeficiente angular (a = 5) é positivo, logo seu gráfico é uma reta crescente.

Daí, temos que: nn Para x < 2, temos f(x) < 0. nn Para x > 2, temos f(x) > 0. nn Para x = 2, temos f(x) = 0. 02. Estude a variação do sinal da função f(x) = -3x + 18. RESOLUÇÃO A raiz de f(x) = -3x + 18 é dada por -3x + 18 = 0 ⇒ x = 6. O coeficiente angular (a = -3) é negativo, logo seu gráfico é uma reta decrescente.

Daí, temos que: nn Para x < 6, temos f(x) > 0. nn Para x > 6, temos f(x) < 0. nn Para x = 6, temos f(x) = 0.

B19  Função polinomial do 1º grau – Estudo do sinal e inequações

Para x < -4, temos f(x) < 0. a) Para x > -4, temos f(x) > 0.

Para x < 2, temos f(x) < 0. b) Para x > 2, temos f(x) > 0. Para x = 2, temos f(x) = 0. Para x < 7, temos f(x) > 0.

30 + 0,4x > 40 + 0,3x ⇒ 0,1x > 10 ⇒ x > 100 Portanto, após 100 kWh o valor da conta na cidade B fica mais caro do que a conta na cidade A.

04. Resolva, em IR, os seguintes sistemas de inequações:

Para x = -4, temos f(x) = 0.

c) Para x > 7, temos f(x) < 0. Para x = 7, temos f(x) = 0.

8x ≥ 2 - x a)  x + 2 < 5x

Para x < 2, temos f(x) < 0. b) Para x > 2, temos f(x) > 0. Para x = 2, temos f(x) = 0.

Para x < 0, temos f(x) > 0. d) Para x > 0, temos f(x) < 0. Para x = 0, temos f(x) = 0.

4x + 11 > 6x + 5 b)  -5x + 10 ≤ -2x + 4

02. Resolva, em IR, as inequações a seguir: Para x < 7, temos f(x) > 0. c) Para x > 7, temos f(x) < 0. 3x 7x a) -4[ - > 1 ]-∞,Para x = 7, temos f(x) = 0. 2 4 x + 2 2x - 7 Para x < 0, temos f(x) > 0. b) ≤ 2 [5/2, ∞[ 3 4 d) Para x > 0, temos f(x) < 0. Para x = 0, temos f(x) = 0.

03. Resolva, em IR, as seguintes inequações simultâneas: a) -5 ≤ 4x + 3 < 11 [-2, 2[ b) x ≤ 2x – 3 ≤ x + 6 [3, 9] 314

04. A conta de energia residencial é calculada por meio de uma taxa fixa por residência correspondente à iluminação pública acrescida de um valor de acordo com o consumo de kWh. Suponha que duas companhias de energia distintas prestam serviço às cidades A e B com taxas diferenciadas. Tais valores são expressos por: nn Companhia da cidade A: R$ 40,00 fixos mais R$ 0,30 por kWh consumido. nn Companhia da cidade B: R$ 30,00 fixos mais R$ 0,40 por kWh consumido. Após quantos kWh de consumo, a conta paga na cidade B fica mais cara do que na cidade A?

Para x = -4, temos f(x) = 0.

01. Estude a variação do sinal de cada uma das funções a seguir: a) f(x) = 3x + 12 b) f(x) = 5x – 10 c) f(x) = -2x + 14 d) f(x) = -5x

c) 20 – 6x – 8 + 6 – 14x > -2x + 10 – 7x + 9 -6x – 14x + 2x + 7x > 10 + 9 – 20 + 8 – 6 9x – 20x > 27 – 26 -11x > 1 ⋅ (-1) 11x < -1 x < -1/11 Portanto, S = {x ∈ IR | x < -1/11}.

Sendo x essa quantidade de kWh, temos que: Na cidade A o valor cobrado é 40 + 0,3x Na cidade B o valor cobrado é 30 + 0,4x Daí, temos a seguinte desigualdade:

a) 2x + 5 < -3x + 40 b) 6 ⋅ (x – 5) – 2 ⋅ (4x + 2) ≥ 80 c) 20 – 2 ⋅ (3x + 4) + 2 ⋅ (3 – 7x) > 2 ⋅ (-x + 5) – 7x + 9

Para x < -4, temos f(x) < 0. a) Para x > -4, temos f(x) > 0.

b) 6x – 30 – 8x – 4 ≥ 80 6x - 8x ≥ 80 + 30 + 4 -2x ≥ 114 ⋅ (-1) 2x ≤ -114 x ≤ -114/2 x ≤ -57 Portanto, S = {x ∈ IR | x ≤ -57}.

RESOLUÇÃO

03. Resolva as inequações a seguir:

Exercícios de Fixação

RESOLUÇÃO a) 2x + 3x < 40 – 5 5x < 35 x < 35/5 x<7 Portanto, S = {x ∈ IR | x < 7}.

]1/2, ∞[

[2, 3[

05. (UFCE) Uma cidade é servida por duas empresas de telefonia. A empresa X cobra, por mês, uma assinatura de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utilizado. A empresa Y cobra, por mês, uma assinatura de R$ 26,00 mais R$ 0,65 por minuto utilizado. A partir de quantos minutos de utilização o plano da empresa X passa a ser mais vantajoso para os clientes do que o plano da empresa Y? 60 minutos

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura y, em graus Celsius, de uma barra de ferro em função do tempo x, em minutos.

04. (UFGO) Para organizar uma competição esportiva tem-se um custo de R$ 2.000,00. Se a taxa de inscrição por participante para essa competição é de R$ 30,00 determine a quantidade mínima de inscritos nessa competição, para que o valor arrecadado com a taxa de inscrição cubra o custo do evento.

05. (Puc MG) O número p de barris de petróleo produzidos diariamente por uma empresa é tal que 3(p – 2500) ≤ 2(p + 2400). A maior produção diária dessa empresa, em barris de petróleo, é: a) 10 000 b) 11 500 c) 12 300 d) 12 310 06. (Unirio RJ) Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as desigualdades 2x + 3 ≤ x + 7 e x + 5 ≤ 3x + 1? a) 0 b) x > 4

a) Para quais valores x a temperatura da barra está negativa? b) Para quais valores x a temperatura da barra está positiva? 02. (Mackenzie SP) Examine o gráfico da função f abaixo, que é uma reta.

Podemos concluir que: a) Se f(x) < 0, então x > 3. b) Se x > 2, então f(x) > f(2). b) Se x < 0, então f(x) < 0. d) Se f(x) < 0, então x < 0. e) Se x > 0, então f(x) > 0. 03. (UFCE) A função f(x) = ax + b é tal que f(3) = 0 e f(4) > 0. Pode-se afirmar que: a) a < 0 b) f é crescente em todo seu domínio. c) f(0) = 3. d) f é constante. e) f(2) > 0.

b) 1 c) 2 d) 3 e) infinitos 07. (Uea AM) Uma pequena empresa que fabrica camisetas verificou que o lucro obtido com a venda de seus produtos obedece à função L(x) = 75x – 3000, sendo L(x) o lucro em reais e x o número de camisetas vendidas, para 40 < x ≤ 120. Para que o lucro da empresa chegue a R$ 4.000,00, o menor número de camisetas a serem vendidas é: a) 97 b) 96 c) 95 d) 94 e) 93 08. (FPS PE) Uma clínica médica tem capacidade máxima para 40 pacientes. O custo médio diário da clínica C(x), em milhares de reais, em função do número x de pacientes inter8x + 288 nados por dia, é dado por C(x) = . Qual o número x mínimo de pacientes internados na clínica, para que o custo diário seja de, no máximo, 20.000 reais? a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

315

B19  Função polinomial do 1º grau – Estudo do sinal e inequações

Responda os itens a seguir: a) 0 < x < 4

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B20

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função polinomial do 1º grau –

Inequações II

nn Inequações produto do 1º grau nn Inequações quociente do 1º grau

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU – INEQUAÇÕES II A palavra economia tem sua origem nas palavras gregas oikos (fortuna, riqueza, propriedade) e nomos (regra, lei, administração), ou seja, a economia envolve a administração de atividades relacionadas à riqueza (produção e distribuição de bens e serviços necessários à vida humana em sociedade). Um importante conceito usado em economia para analisar o quanto uma variação do preço unitário p > 0 influencia na variação da receita é o de elasticidade da demanda, denotado por E(p), uma vez que a elasticidade E é dada em função de p. Se E(p) > 1, então se diz que a demanda é elástica, o que significa que um pequeno aumento do preço unitário resulta em uma diminuição da receita, ao passo que um pequeno decréscimo do preço unitário irá causar um aumento da receita. -p2 - 2p + 1 Admitindo a elasticidade da demanda dada por E(p) = , podemos deter-4p + 1 minar o intervalo de p para o qual a demanda é elástica por meio da resolução da ine-p2 - 2p + 1 > 1. Essa inequação é um exemplo de inequação-quociente, que, -4p + 1 juntamente com as inequações-produto, serão abordadas nesta aula.

Fonte: MaxxiGo / Shutterstock.com

quação

316

Matemática e suas Tecnologias

Inequações produto do 1º grau Considerando as funções polinomiais do 1º grau f(x) e g(x), denomina-se inequação produto do 1º grau a inequação com uma das formas a seguir. ⋅ g(x) > 0. ⋅ g(x) ≥ 0. nn f(x) ⋅ g(x) < 0. nn f(x) ⋅ g(x) ≤ 0. nn f(x) nn f(x)

Para resolver essas inequações, temos que estudar o sinal de cada uma das funções separadamente e, em seguida, obter o sinal de f(x) ⋅ g(x) por meio de um quadro de sinais. Por exemplo: Determinar o conjunto da inequação produto (2x + 6) ⋅ (-x + 2) < 0.

f(x) < 0, com g(x) ≠ 0. g(x)

f(x) ≤ 0, com g(x) ≠ 0. g(x)

Para resolver essas inequações, temos que estudar o sinal de cada uma das funções separadamente e, em seguida, obf(x) ter o sinal de por meio de um quadro de sinais. g(x) Por exemplo: -2x + 10 ≥ 0. 3x - 18 Inicialmente, temos que 3x – 18 ≠ 0 ⇒ x ≠ 6.

Determinar o conjunto da inequação quociente

Para f(x) = -2x + 10, temos que: f(x) = -2x + 10 = 0 ⇒ x = -5

Para f(x) = 2x + 6, temos que: f(x) = 2x + 6 = 0 ⇒ x = -3

Para g(x) = 3x –18, temos que: g(x) = 3x –18 = 0 ⇒ x = 6

Para a função g(x) = -x + 2, temos que: g(x) = -x + 2 = 0 ⇒ x = 2

Note que: Note que as bolinhas estão cheias, pois queremos saber os valores de x para que f(x) ⋅ g(x) < 0, ou seja, as raízes (valores de x que anulam o produto) não devem fazer parte da solução. No quadro a seguir, temos os sinais de f(x) e g(x).

A bolinha em x = -5 está cheia, pois queremos saber os f(x) valores de x para que ≥ 0, ou seja, a raiz (valor de x que g(x) anula o quociente) deve fazer parte da solução.

No quadro a seguir, temos os sinais de f(x) e g(x). Daí, temos que f(x) ⋅ g(x) <0 para x < -3 ou x > 2, portanto seu conjunto solução é S = {x ∈ IR | x < -3 ou x > 2}.

Inequações quociente do 1º grau Considerando as funções polinomiais do 1º grau f(x) e g(x), denomina-se inequação quociente do 1º grau a aquela com uma das formas a seguir. f(x) > 0, com g(x) ≠ 0. nn g(x) nn

Daí, temos que

f(x) ≥ 0 para -5 ≤ x < 6, portanto seu g(x)

conjunto solução é S = {x ∈ IR | -5 ≤ x < 6}.

f(x) ≥ 0, com g(x) ≠ 0. g(x) 317

B20  Função polinomial do 1º grau – Inequações II

A bolinha em x = 6 está vazia porque esse valor de x anula f(x) o denominador de ≥ 0. g(x)

Matemática

EXEMPLOS Portanto, seu conjunto solução é S = {x ∈ IR | -4 ≤ x ≤ -1 ou x > 2}. 01. Resolva a inequação

( x + 1) ⋅ ( x + 4 ) ≥ 0 . x -2

02. Determine o conjunto solução de (x – 1)3 ⋅ (x + 2)2 ⋅ (-x + 6)5 > 0.

RESOLUÇÃO Fazendo f(x) = x + 1, g(x) = x + 4 e h(x) = x – 2, temos que:

Note que: As bolinhas em x = -1 e x = -4 estão cheias, pois queremos saber f(x) ⋅ g(x) ≥ 0 , ou seja, a raiz (valor de x que os valores de x para que h(x) anula o quociente) deve fazer parte da solução. A bolinha em x = 2 está vazia porque esse valor de x anula o denomif(x) ⋅ g(x) ≥0 . nador de h(x) f(x) ⋅ g(x) ≥0 . No quadro a seguir, temos os sinais de f(x), g(x), h(x) e h(x)

RESOLUÇÃO Fazendo f(x) = x – 1, g(x) = x + 5 e h(x) = -x + 3, temos que:

Note que: As bolinhas em x = 1, x = 5 e x = -3 estão vazias, pois queremos saber os valores de x para que[f(x)]3 ⋅ [g(x)]2 ⋅ [h(x)]5> 0. No quadro a seguir, temos os sinais de f(x), g(x), h(x) e [f(x)]3 ⋅ [g(x)]2 ⋅ [h(x)]5.

Portanto, seu conjunto solução é S = {x ∈ IR | x < -3 ou 1 < x < 5}.

B20  Função polinomial do 1º grau – Inequações II

Exercícios de Fixação 01. Resolva, em IR, as inequações: a) (x – 3) ⋅ (x – 8) > 0 S = {x ∈ IR I x < 3 ou x > 8} b) (-x + 2) ⋅ (x + 1) ≥ 0 S = {x ∈ IR I -1 ≤ x ≤ 2} 02. Resolva, em IR, as inequações: a) (x – 4) ⋅ (x – 5) ⋅ (x + 3) ≤ 0 S = {x ∈ IR I x ≤ -3 ou 4 ≤ x ≤ 5} b) (2x + 8) ⋅ (-3x + 1) ⋅ (-x + 7) > 0 S = {x ∈ IR I -4 < x < 1/3 ou x > 7} 03. Resolva, em IR, as inequações: a) (x – 2)3 ⋅ (-x + 5)2 ≤ 0 S = {x ∈ IR I x ≤ 2 ou x = 5} b) (x – 2)8 ⋅ (-x + 6)5 ⋅ (3x – 4)9 > 0 S = {x ∈ IR I 4/3 < x < 6 e x ≠ 2}

318

04. Resolva, em IR, as inequações: x -2 ≥ 0 S = {x ∈ IR I x < 8 ou x ≥ 2} x+8 -x + 5 b) ≤ 0 S = {x ∈ IR I x < -4 ou x ≥ 5} x-4

05. Determine o conjunto solução das seguintes inequações quociente: a)

5x - 3 ≤2 2x + 1

S = {x ∈ IR I -1/2 < x ≤ 5}

4x + 1 >1 3x - 2

S = {x ∈ IR I x < -3 ou x > 2/3}

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares

02. Quantos números inteiros satisfazem a inequação-quocien-3x + 5 te ≤ -2 ? 8 2x + 2 03. Resolva as seguintes inequações: (x - 12).(- x + 9) ≥ 0 S = {x ∈ IR I x < -7 ou 9 ≤ x ≤ 12} x+7 (x - 2).(x + 5)3 b) ≤ 0 S = {x ∈ IR I -5 ≤ x ≤ 2 e x ≠ -2} (x + 2)6

04. (Cefet RJ) Dada a função f(x) = x ⋅ (x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 3), para que f(x) < 0, deve-se ter: a) x < 0 ou x > 3. b) x < 0 ou 2 < x < 3. c) 0 < x < 1 ou 2 < x < 3. d) 0 < x < 1 ou x > 3. e) x < 1 ou x > 2. 05. (UFPI) No conjunto dos números reais, o conjunto solução x -1 da inequação < 1 é: x +1 a) b) c) d) e)

S= {x ∈IR|x < 0} S = {x ∈IR| -1 < x < 0} S= {x ∈IR|x > 1} S= {x ∈IR|x > -1} S = {x ∈IR|0 < x < 3}

a) f(x) =

(x + 4) ⋅ (- x + 8) ⋅ (x - 5)

b) f(x) =

x -6 (- x + 3) ⋅ (x + 2)

D(f) = {x ∈ IR | x ≤ -4 ou 5 ≤ x ≤ 8}

D(f) = S = {x ∈ IR | x < -2 ou 3 < x ≤ 6}

07. (UFJF MG) Dadas as desigualdades, em IR: I. 3x + 1 < - x + 3 ≤ -2x + 5 4x - 1 II. ≤1 x -2 o menor intervalo que contém todos os valores de x que satisfazem, simultaneamente, às desigualdades I e II é: 1 3 a)  ,  3 5

 1 1 d)  - ,   3 2 4 3 e)  ,  3 5

“Observe a seguinte pergunta e a solução proposta: Quais os valores reais de x que tornam verdadeira a senten-2x ça ≥ 4? -3 Solução: 1. Multiplicando ambos os membros por -3, encontramos -2x ≥ (-3) ⋅ 4 =-12; 2. Dividindo ambos os membros de -2x ≥ -12 por -2 ob-12 temos x ≥ ; -2 3. Os valores procurados são os que atendem à desigualdade x ≥ 6. Discuta com seus colegas as afirmações 1, 2 e 3 analisando se cada uma delas é ou não verdadeira”. O número de afirmações verdadeiras na discussão proposta pelo professor é a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 09. (Puc RJ) Considere a inequação

06. Determine o domínio das funções reais a seguir:

3  b)  -2, -  2  3  c)  -∞,  5 

08. (Cefet RJ) Antes de iniciar o estudo das inequações do 1º grau, o professor de Matemática propôs a seguinte atividade para seus alunos:

x +1 ≤ 0, com x ∈� . -x - 5

Qual é o conjunto solução da inequação? a) ] - ∞,1] ∪ [5, ∞[ b) ] - ∞, - 5[∪[ -1, ∞[ c) [0, ∞[ d) [ -5, ∞[ e) ] - 1, ∞[ 10. (Unicamp SP) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) = ax + 3a e g(x) = 9 – 2x, definidas para todo número real x. a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x) × g(x) > 0. 7 soluções inteiras b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) = g(f(x)) para todo número real x. a = 1/2 11. (Udesc SC) Se f(x) = x – 2 e g(x) x + 1 são funções reais, então o f(x) ⋅ g(x) - 3g(x) + 6 -1 conjunto solução da inequação ≤ f (x) é: (f  g)(x) a) S = {x ∈ � |x ≤ 3 / 5 ou x ≥ 1} b) S = {x ∈ � |x ≤ 3 / 5 ou x > 1} c) S = {x ∈ � |3 / 5 ≤ x < 1} d) S = {x ∈ � |x ≤ 3 / 5} e) S = {x ∈ � |x > 1} 319

B20  Função polinomial do 1º grau – Inequações II

01. Quantos números inteiros satisfazem a inequação produto x ⋅ (x – 4) ⋅ (x + 2) ⋅ (-x + 6) ≥ 0? 6

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Ufes ES) Um fabricante de bonés opera a um custo fixo de R$ 1.200,00 por mês (correspondente a aluguel, seguro e prestações de máquinas). O custo variável por boné é de R$ 2,00. Atualmente são comercializadas 1 000 unidades mensalmente, a um preço unitário de R$ 5,00. Devido à concorrência no mercado, será necessário haver uma redução de 30% no preço unitário de venda. Para manter seu lucro mensal, de quanto deverá ser o aumento na quantidade vendida? 1 000 02. (Enem MEC) Um produtor de maracujá usa uma caixa-d’água, com volume V, para alimentar o sistema de irrigação de seu pomar. O sistema capta água através de um furo no fundo da caixa a uma vazão constante. Com a caixa-d’água cheia, o sistema foi acionado às 7 h da manhã de segunda-feira. Às 13 h do mesmo dia, verificou-se que já haviam sido usados 15% do volume da água existente na caixa. Um dispositivo eletrônico interrompe o funcionamento do sistema quando o volume restante na caixa é de 5% do volume total, para reabastecimento. Supondo que o sistema funcione sem falhas, a que horas o dispositivo eletrônico interromperá o funcionamento? a) Às 15 h de segunda-feira. b) Às 11 h de terça-feira. c) Às 14 h de terça-feira. d) Às 4 h de quarta-feira. e) Às 21 h de terça-feira.

04. O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta profissional em corridas de longa distância como a maratona (42,2km), a meia-maratona (21,1km) ou uma prova de 10 km. Para saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para completar uma corrida devido ao excesso de peso, muitos atletas utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico:

Altura (m)

Peso (Kg) ideal para atleta masculino de ossatura grande, corredor de longa distância

1,57

56,9

1,58

57,4

1,59

58,0

1,60

58,5

03. (Fatec SP) Na figura a seguir, tem-se o gráfico da função f, em que f(x) representa o preço pago em reais por x cópias de um mesmo original, na Copiadora Reprodux. Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando 63 kg e com altura igual a 1,59m, que tenha corrido uma meia-maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria melhorado seu tempo na prova em: a) 0,32 minuto. b) 0,67 minuto. c) 1,60 minuto. d) 2,68 minutos. e) 3,35 minutos. De acordo com o gráfico, é verdade que o preço pago nessa copiadora por: a) 228 cópias de um mesmo original é R$ 22,50. b) 193 cópias de um mesmo original é R$ 9,65. c) 120 cópias de um mesmo original é R$ 7,50. d) 100 cópias de um mesmo original é R$ 5,00 e) 75 cópias de um mesmo original é R$ 8,00. 320

05. (FGV SP) Seja a função f, de IR em IR, dada por f(x) = kx + t, onde k e t são constantes reais. Se os pontos (-1, 3) e (0, -1) pertencem ao gráfico de f, então: a) f é crescente, ∀ x ∈R. b) 3/4 é raiz da equação f(x) = 0. c) o ponto (-10, 41) pertence ao gráfico de f. d) f(x) < 0 se x < 1/4. e) f(x) ≤ 0 se x ≥ - 1/4.

Matemática e suas Tecnologias

06. (Puc SP) Seja a função de IR em IR, definida por f(x) = ax + b, com a, b ∈ IR e a ≠ 0. Se os pontos (-1, 3) e (2, -1) pertencem ao gráfico de f, então f(x) ≥ 0 se, e somente se: a) a ≤ 0 b) x ≤ 5/4 c) x ≥ 0 d) x ≥ 5/4 e) x ≥ 5

13. (Uerj RJ) Os veículos para transporte de passageiros em determinado município têm vida útil que varia entre 4 e 6 anos, dependendo do tipo de veículo. Nos gráficos está representada a desvalorização de quatro desses veículos ao longo dos anos, a partir de sua compra na fábrica.

07. (Ufu MG) Um vendedor comprou n bolsas por d reais cada uma. Ele vendeu 2 bolsas para um bazar escolar beneficente pela metade do preço de custo. O restante ele vendeu para uma loja com um adicional de 8 reais por bolsa. Se após as vendas para o bazar e para a loja o lucro total foi de 72 reais, determine o menor valor possível para n. 12

09. (UFF RJ) Resolva, em IR – {-4, -2}, a inequação S = {x ∈ IR I x < -4 ou x > -2}

x -4 x -2 . < x +2 x +4

10. (Udesc SC)Se n é um número inteiro, então a quantidade de 2n números racionais da forma , que são estritamente 3n + 15 menores que 7/13, é: a) 21 b) 25 c) 20 d) infinita e) 27

Com base nos gráficos, o veículo que mais desvalorizou por ano foi: a) I c) III b) II d) IV 14. (EBMSP BA) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, IBGE, o segmento populacional que mais tem aumentado no Brasil é o de idosos – pessoas com 60 anos ou mais. Em 2000, 14,2 milhões de brasileiros tinham 60 anos ou mais. Em 2010, eram 19,6 milhões e estima-se para 2030, 41,5 milhões. O gráfico foi esboçado, considerando-se uma aproximação do número de idosos P, em milhões, como função de t, em que t = 0, …, 30 corresponde a 2000, …, 2030, respectivamente.

11. (FDS SP) Sejam f e g funções afim tais que g(0) – f(0) = 12 e f(3) = g(3) = 3. Sabendo-se que f(2) = 0, a solução da inequação g(x) < 0 é dada por a) {x ∈ R | x > 6} d) {x ∈ R | x < – 3} b) {x ∈ R | x > 3} e) {x ∈ R | x < – 6} c) {x ∈ R | x < 2} 12. (IF SP) Um espião de guerra enviou ao seu comando a seguinte mensagem: 5n + 25 > 5 500 -8n + 3 501 > 210 - 5n O comando sabia que a letra n representava o número de foguetes do inimigo. Fazendo os cálculos, é correto afirmar que o total de foguetes que o comando descobriu foi de a) 3 000 foguetes. d) 1 096 foguetes. b) 2 192 foguetes. e) 195 foguetes. c) 1 097 foguetes.

Com base no gráfico e considerando que em cada intervalo de tempo destacado na figura a razão de aumento dessa população é constante, pode-se afirmar que de 2000 a 2020 houve um aumento aproximado do número de idosos, em milhões, de: a) 24,5 b) 22,8 c) 20,4 d) 18,6 e) 16,5 321

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

08. (FGV SP) Uma locadora A de automóveis cobra R$ 90,00 por dia de aluguel de um certo carro. Uma outra locadora B cobra, pelo mesmo modelo de carro, um valor fixo de R$ 210,00, mais R$ 80,00 por dia de aluguel. Seja n o número de dias que um cliente pretende alugar este carro. a) Para que valores de n é preferível a empresa A? n < 21 b) Qual deveria ser o valor fixo cobrado pela locadora B, para que B fosse preferível para n > 27 dias? Um valor real x tal que 270 ≤ x < 280

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FRENTE

Ilustração da definição do número de Euler em um quadro negro.

MATEMÁTICA Por falar nisso No cotidiano da sala de aula, frequentemente, deparamo-nos com algumas confusões em situações envolvendo definições de elementos matemáticos. Uma dessas situações envolve o nome do logaritmo de base por ser o número irracional de valor aproximado 2,7182 (número de Euler). A esse logaritmo damos o nome de logaritmo natural. Porém, muitos o têm chamado de logaritmo neperiano. Apesar de existir o logaritmo neperiano, um é diferente do outro. O logaritmo natural é o logaritmo de base e, que é expresso por In. Daí, dado um número real positivo x, temos que o logaritmo natural de x é expresso por ln x. O logaritmo neperiano (atribuído a John Neper) é o logaritmo cuja 107 1 . Assim, dado um base é o número a, sendo a = (1 - 107 ) = e número real positivo x, temos que o logaritmo neperiano de x é  x  expresso por 107 ⋅ log1/e  7  .  10  Note que a base logaritmo neperiano é o inverso do número, enquanto que o logaritmo natural é o próprio e. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

C17 C18 C19 C20

Logaritmos – Propriedades............................................................324 Logaritmos – Gráficos....................................................................328 Logaritmos – Equações..................................................................332 Logaritmos – Inequações...............................................................335

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C17

ASSUNTOS ABORDADOS nn Logaritmos – Propriedades nn Propriedades nn Mudança de base

LOGARITMOS – PROPRIEDADES De acordo com um estudo divulgado pela Proteste (Associação Brasileira de Consumidores), o Brasil aparece na liderança em cobrança de juros de cartão de crédito quando comparado a outros seis países – Argentina, Chile, Colômbia, Peru, México e Venezuela. De acordo com a pesquisa, os brasileiros pagaram em setembro 436% de rotativo na média anual. O Peru aparece em seguida, com a cobrança de 43,7% no mesmo período. Na sequência, aparecem a Argentina (43,29% na média anual), a Colômbia (30,45% de média cobrada), a Venezuela (29%), o Chile (24,90%) e, por fim, o México (23%). Os dados são referentes a dezembro de 2015. Para o levantamento, foram considerados os dados oficiais dos bancos centrais de cada país e o mesmo período, setembro de 2016. Foram comparados dados de 108 cartões de crédito de 12 instituições financeiras. Fonte: http://www.brasil.gov.br. Acesso: Julho de 2017

Assim, suponha que uma pessoa tenha, atualmente, uma dívida de R$ 4 000,00 com a administradora de um cartão de crédito que cobra juros de 15% ao mês. Se essa pessoa não abater nenhuma parte dessa dívida, o valor V, em reais, devido por ela à administradora do cartão após n meses é dado pela expressão a seguir: V = 4 000 ⋅ 1,15n Considerando que log 1,15 = 0,06 e log 3 = 0,48, após quantos meses a dívida de João será de R$ 12 000,00? Para determinar essa quantidade de meses, devemos resolver uma equação exponencial utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos. Nesta aula, abordaremos essas propriedades.

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Figura 01 - Ilustração de uma pessoa utilizando o cartão de crédito para compras.

324

Matemática e suas Tecnologias

Propriedades

Daí, temos que:

Sendo a,b e c números reais e positivos, com b ≠ 1, temos as seguintes propriedades: Logaritmo do produto O logaritmo do produto de a e c na base b é igual à adição dos logaritmos de a e c na base b, ou seja:

y = nx ⇒ logb an = n ⋅ logb a

Mudança de base Sendo a, b e c números reais e positivos, com b ≠ 1 e c ≠ 1, o logaritmo de a na base b é igual à razão do logaritmo de a na base c pelo logaritmo de b na base c, ou seja:

logb (a ⋅ c) = logb a + logb c

logb a =

Demonstração: Fazendo logb a = x, logb c = y e logb (a ⋅ c) = z, temos que: logb a = x ⇔ b = a x

Fazendo logb a = x, logc a = y elogc b = z, temos que: logb a = x ⇔ bx = a ⇒ b= a1/x (1) logc a = y ⇔ cy = a ⇒ c = a1/y (2)

logb c = y ⇔ by = c logb (a ⋅ c) = z ⇔ bz = a ⋅ c ⇒ bz = bx ⋅ by ⇒ bz = bx + y Daí, temos que: z = x + y ⇒ logb (a.c) = logb a + logb c Logaritmo do quociente

logc b = z ⇔ cz = b (3) Substituindo as equações (1) e (2) na equação (3), temos que: z 1 (a1/y)z = a1/x ⇒ az/y = a1/x ⇒ = . y x Daí, temos que:

O logaritmo do quociente de a e c na base b é igual à subtração dos logaritmos de a e c na base b, ou seja:

logc a y ⇒ logb a = logc b z

1ª consequência

a logb =   logb a - logb c c

O logaritmo de a na base b é igual ao inverso do logaritmo de b na base a, ou seja:

Demonstração:

a Fazendo logb a = x, logb c = y e logb   = z, temos que: c logb a = x ⇔ bx = a logb c = y ⇔ by= c a bx a logb   = z ⇔ bz = ⇒ bz = y ⇒ bz = bx – y c b c Daí, temos que:

a c

z = x – y ⇒ logb =   logb a - logb c

logb a =

1 loga b

Demonstração: Mudando a base de logb a para a base a, temos: log = ba

loga a 1 = loga b loga b

2ª consequência

O logaritmo da potência an na base b é igual a n vezes o logaritmo de a na base b, ou seja:

O logaritmo de a na base bm é igual 1/m vezes o logaritmo de a na base b, ou seja: C17  Logaritmos – Propriedades

Logaritmo da potência

1 log= a   ⋅ logb a bm m

logb an = n ⋅ logb a

Demonstração:

Mudando a base de log bm a para a base b, temos:

Fazendo logb a = x, logb an = y, temos que: logb a = x ⇔ bx = a logb a = y ⇔ b = a ⇒ b = (b ) ⇒ b = b . n

logc a logc b

x n

log= a bm

logb a logb a  1  = =   ⋅ logb a logb bm m m 325

Matemática

EXEMPLOS 01. Sendo logb a = 3 e logb c = 7, calcule: a) logb (a ⋅ c)

RESOLUÇÃO log x = 3 ⋅ log a + 2 ⋅ log b – log c log x = log a3 + log b2 – log c

c b) logb   a c) logb a4 RESOLUÇÃO a) logb (a ⋅ c) = logb a + logb c = 3 + 7 = 10 c b) logb   = logb c - logb a = 7 - 3 = 5 a

 a3 ⋅ b2  a3 ⋅ b2 log x = log  ⇒x= c  c  a3 ⋅ b2 Portanto, o valor de x é . c 04. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, resolva a equação exponencial 2x = 9. RESOLUÇÃO

c) logb a4 = 4 ⋅ logb a = 4 ⋅ 3 = 12 02. Sabendo-se que log 2 = a e log 3 = b, calcule o valor de cada um dos logaritmos a seguir: a) b) c) d)

log 6 log 1,5 log 36 log 5

2x = 9 ⇒ log 2x = log 32 ⇒ x ⋅ log 2 = 2 ⋅ log 3 = x

2 ⋅ log3 0,96 16 = ⇒= x log2 0,30 5

Portanto, S = {16/5}. 05. Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule: RESOLUÇÃO

a) log 6 = log (2 ⋅ 3) = log 2 + log 3 = a + b 3 b) log 1,5 = log   = log 3 – log 2 = b – a 2 c) log 36 = log 62 = 2 ⋅ (log 2 + log 3) = 2(a + b)  10  d) log 5 = log   = log 10 – log 2 = 1 – a  2 03. Sendo a, b e c números reais positivos, obtenha o valor de x na igualdade a seguir: log x = 3 ⋅ log a + 2 ⋅ log b – log c

a) log2 3 b) log2 6 c) log3 1,5 RESOLUÇÃO = a) log 23

log3 0,48 8 = = . log2 0,30 5

b) log= 26

log6 log2 + log3 0,30 + 0,48 13 = = = . log2 log2 0,30 5

= c) log 3 1,5

log1,5 log3 - log2 0,48 - 0,30 3 = = = . log3 log3 0,48 8

Exercícios de Fixação 01. Sendo logb a = 5 e logb c = 8, calcule: a) logb ( a ⋅ c ) 13  a b) logb   -3 c c) logb ( a2 ⋅ c3 )

04. Dados log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70, calcule: 34

C17  Logaritmos – Propriedades

 b  d) logb   -8  a⋅ c  02. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule:

a) log 18 1,26 b) log 2,25 0,36 c) log 60 1,78 d) log 125 2,1 03. Um automóvel custa atualmente R$ 20.000,00 e daqui a t anos seu valor V é dado pela expressão a seguir: 3 anos V = 20000 ⋅ 0,8t

326

Utilizando as aproximações log 2 = 0,30e log 0,8 = -0,10, após quantos anos o valor do veículo será R$ 10.000,00?

a) b) c) d)

log2 3 8/5 log3 5 35/24 log5 6 39/35 log2 25 14/3

05. Sendo a e b números reais positivos e diferentes de 1, tais que logb a = k, calcule: a) b) c) d)

loga b 1/k loga3 b 1/3k logb2 a5 5k/2 log1/b a -k

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Ufal AL) Nas entrevistas admissionais, a Coordenação Pedagógica de uma escola, além das perguntas usuais sobre aspectos didático-pedagógicos, procura avaliar a postura dos candidatos a docentes diante de questões relativas à sua área de conhecimento. Em uma entrevista para o cargo de professor de Matemática, a coordenadora, disponibilizando de um notebook com a calculadora ativada, pediu ao postulante que lhe fornecesse o valor de log 8.

04. Determine o valor de k na igualdade a seguir. 250 3 4 5  k  log5   + log5   + log5   + ... + log5  3 = 2 3 4  k -1  05. (UFRN) Os habitantes de certo país são apreciadores dos logaritmos em bases potências de dois. Nesse país, o Banco Zig oferece empréstimos com a taxa (mensal) de juros T = log8 225, enquanto o Banco Zag trabalha com a taxa mensal S = log2 15. Com base nessas informações: a) Estabeleça uma relação entre T e S. a) T = 2S/3 b) T b) Determine em qual dos bancos um cidadão desse país, buscando a menor taxa de juros, deverá fazer empréstimo. 06. (Ufal AL) Uma pessoa necessitava saber o valor do logaritmo decimal de 450, mas não tinha calculadora. Em uma busca na internet, encontrou a tabela a seguir e, a partir dela, pôde calcular corretamente o que precisava.

Verificando que o mouse e a tecla 8 do notebook estavam inoperantes e sabendo que o acionamento da tecla L pressiona o botão log da calculadora, o candidato forneceu o valor solicitado calculando: a) (log 2)3 b) log 10 – log 2 c) log 2 + log 6

02. (Unesp SP) Sejam α e β constantes reais, com α > 0 e β > 0, tais que log10α = 0,5 e log10β = 0,7. a) 1,2 b) 12 a) Calcule log10 (α ⋅ β) , onde α ⋅ β indica o produto de α e β. x  α ⋅β  2 b) Determine x ∈ IR que satisfaz a equação   = (α ⋅β) .  10  03. (Unifesp SP) Uma droga na corrente sanguínea é eliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, partindo de uma quantidade inicial de Q0 miligramas, após t horas a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t) = Q0 ⋅ (0,64)t miligramas. Determine: a) A porcentagem da droga que é eliminada pelos rins em 1 hora. a) 36% b) 1 hora e 30 minutos b) O tempo necessário para que a quantidade inicial da droga fique reduzida à metade. (Utilize log 2 = 0,30)

log x

0,30

0,48

0,85

1,04

Determine o valor encontrado. 2,66 07. (UFSC) Sabendo que log a = 6 log b, 2 log b = log c e que log c = 45, calcule o valor numérico de y na expressão y = log 5

a3 ⋅ b4 . c2

08. (Uece CE) Se loge2 = 0,6931, loge = 1,0986, pode-se afirmar corretamente que loge ritmo natural de x. a) 0,4721. b) 0,3687. c) 0,1438. d) 0,2813.

12 é igual a: Dado: loge x é o loga3

327

C17  Logaritmos – Propriedades

d) 3 ⋅ log 2 log 16 e) log 2

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C18

ASSUNTOS ABORDADOS nn Logaritmos – Gráficos nn Função logarítmica nn Gráfico cartesiano

LOGARITMOS – GRÁFICOS Cotidianamente, os agentes da Operação Lei Seca realizam, em todo o país, fiscalizações em pontos estratégicos das cidades com o objetivo de coibir motoristas que insistem em dirigir após consumir bebidas alcoólicas. Mesmo assim, há uma grande quantidade de vítimas de acidentes de trânsito com sinais de embriaguez, principalmente nos fins de semana. É sabido por todos que, com uma lata de cerveja, a capacidade de avaliação já está afetada. No caso dos ciclistas e motociclistas, o efeito é pior, pois eles ainda precisam ter equilíbrio para manter o veículo em determinada velocidade para que não caiam. No Brasil, as leis de trânsito consideram que o limite de álcool no sangue permitido para dirigir com segurança é 0,6 grama de álcool por litro de sangue. Um modelo matemático que serve para estimar o tempo de desaceleração do nível de álcool no sangue é dado por:  0,6  T(x) = log1/2   , sendo T o tempo, em horas,  x  e x o nível de álcool no sangue, em grama/litro. Assim, considere que o nível de álcool no sangue de uma pessoa que acabou de sair de uma balada atingiu 1,5 grama/litro. De acordo a Lei Brasileira de Trânsito, após quanto tempo essa pessoa poderá dirigir com segurança? Dado: log 2 = 0,30. Note que a expressão que relaciona o nível de álcool no sangue e o tempo é uma função cuja variável x está presente no logaritmando. Nesta aula, abordaremos sobre os gráficos desse tipo de função que é denominada função logarítmica.

Fonte: Tom Wang / Shutterstock.com

Figura 01 - Ilustração de uma pessoa que bateu seu carro após ter ingerido bebida alcoólica.

328

Matemática e suas Tecnologias

Função logarítmica

nn Passa

Uma função f: IR*+ → IR é chamada de função logarítmica de base b se for expressa pela seguinte lei de formação. f(x) = logb x, com b ∈ IR*+ e b ≠ 1.

pelo ponto (1, 0). nn Quando x aumenta indefinidamente, f(x) também aumenta indefinidamente. nn Quando x se aproxima cada vez mais de zero, f(x) diminui indefinidamente. 2º caso: 0 < b < 1

Exemplos:

Como exemplo, vamos esboçar o gráfico da função f(x) = log1/2 x.

nn f(x)

= log5 x, com b = 5. nn f(x) = log1/2 x, com b = 1/2. A partir das funções logarítmicas do tipo f(x) = logb x, podemos obter outras funções logarítmicas mais complexas.

Para esboçar esse gráfico podemos montar uma tabela numérica escolhendo alguns valores arbitrários para x e calculando os correspondentes valores de y.

Exemplos: = log5 (4x) nn f(x) = 4 + log1/2 x nn f(x) = 3log2 (2x + 1)

1 4

1 2

f(x) = log1/2 x

-1

-2

-3

nn f(x)

Gráfico cartesiano O formato do gráfico cartesiano de uma função do tipo f(x) = logb x, com b ∈ IR*+ e b ≠ 1 é chamado de curva logarítmica. Para ilustrá-lo, vamos considerar dois casos: 1º caso: b > 1 Como exemplo, vamos esboçar o gráfico da função f(x) = log2 x. Para esboçar esse gráfico, podemos montar uma tabela numérica escolhendo alguns valores arbitrários para x e calculando os correspondentes valores de y.

Por meio do gráfico de f(x) = log1/2 x, podemos concluir que: seu domínio é o conjunto D(f) = IR*+ . nn A sua imagem é o conjunto Im(f) = IR. nn É uma função decrescente e bijetora. nn Passa pelo ponto (1, 0). nn Quando x aumenta indefinidamente, f(x) diminui indefinidamente. nn Quando x se aproxima cada vez mais de zero, f(x) aumenta indefinidamente. nn O

1 4

1 2

f(x) = log2 x

-2

-1

C18  Logaritmos – Gráficos

Assim, de maneira geral, os gráficos de funções do tipo f(x) = logb x se comportam de acordo com as ilustrações a seguir:

Por meio do gráfico de f(x) = log2 x, podemos concluir que: seu domínio é o conjunto D(f) = IR*+ . nn A sua imagem é o conjunto Im(f) = IR. nn É uma função crescente e bijetora. nn O

329

Matemática

Daí, para a função logarítmica f: IR*+ → IR expressa por f(x) = logb x são válidas as seguintes propriedades: nn O

gráfico de f é crescente para b > 1 e decrescente para 0 < b < 1.

nn O gráfico de f intercepta o eixo das abscissas no ponto

(1, 0), pois f(1) = logb 1 = 0.

nn O

gráfico de f não intercepta o eixo das ordenadas, pois o domínio de f é IR*+ . nn Para b > 1, os valores de f(x) diminuem indefinidamente para valores de x cada vez mais próximos de zero. nn Para 0 < b < 1, os valores de f(x) aumentam indefinidamente para valores de x cada vez mais próximos de zero. nn A imagem de f é o conjunto Im(f) = IR.

EXEMPLOS 01. Na figura a seguir, temos o gráfico da função logarítmica f(x) = logb x.

b) Na f(x) = log4 x, temos que: log4 x = 1/4 ⇒ x = 41/4 ⇒ x=

4 ⇒ x=

portanto, x = 2. 02. Determine o domínio de cada uma das funções reais a seguir:

f(x) log3 (4x - 16) a)= b) f(x) = log(x -5) 7 f(x) log(x +2) (-x + 9) c) = RESOLUÇÃO

Determine: a) O valor de b. b) O valor de x para que f(x) = 1/4. RESOLUÇÃO a) Do gráfico, temos que f(0,25) =-1. Substituindo em f(x) = logb, temos: f(0,25) = logb0,25 = -1 ⇒ b-1 = 1/4 ⇒ b = 4. portanto, b = 4

As condições de existência de logb a são: a > 0, b > 0 e b ≠ 1. a) Para a função f(x) = log3(4x - 16), temos que: 4x – 16> 0 ⇒ x > 4 portanto, D(f) = {x ∈ IR | x > 4}. b) Para a função f(x) = log(x-5)7, temos que: x – 5> 0 ⇒ x > 5 x – 5≠ 1 ⇒ x ≠ 6 portanto, D(f) = {x ∈ IR | x > 5 e x ≠ 6}. c) Para a função f(x) = log(x+2)(-x + 9), temos que: -x + 9 > 0 ⇒ x < 9 x + 2 > 0 ⇒ x > -2 x + 2 ≠ 1 ⇒ x ≠ -1. portanto, D(f) = {x ∈ IR | -2 < x < 9 e x ≠ -1}.

Exercícios de Fixação 01. Determine o domínio de cada uma das funções reais a seguir:

f(x) log6 (2x - 10) D(f) = {x ∈ IR | x > 5} a)= b) f(x) = log(x+3) 10 D(f) = {x ∈ IR | x > -3 e x ≠ -2} c) = f(x) log(x-5) (- x + 12) D(f) = {x ∈ IR | 5 < x < 12 e x ≠ 6}

Determine: a) O valor de b. 1/2 b) O valor de x para que f(x) = 6. 1/64 03. Observe a figura a seguir:

C18  Logaritmos – Gráficos

02. A seguir, temos o gráfico da função f(x) = logb x.

Calcule a área do triângulo ABC, sabendo-se que os vértices A e B pertencem à curva definida pela função f(x) = log2 x e o vértice C pertence ao eixo das abscissas. 4 u.a.

330

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (UFRRJ) O gráfico que melhor representa a função f(x) = 2log2 x é:

Utilizando log 2 = 0 ,301 e log 3 = 0,477 , a área do trapézio ABCD é: a) 5,857 d) 4,823 b) 5,556 e) 6,158 c) 5,732 05. (UFSCar SP) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 + log3(t + 1), com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: a) 9 d) 4 b) 8 e) 2 c) 5 06. (UFUMG) Considere a representação gráfica abaixo, em que f(x) = loga x e g(x) = 2ax são funções reais de variável real, AB e AC são, respectivamente, paralelos aos eixos coordenados Ox e Oy.

02. (UECE) O domínio da função real de variável real definida por f(x) = log7(x2 – 4x) ⋅ log3(5x – x2) é o intervalo aberto cujos extremos são os números a) 3 e 4 c) 5 e 6 b) 4 e 5 d) 6 e 7

04. (FGV SP) No trapézio ABCD da figura abaixo, os ângulos em A e B são retos e os vértices C e D estão sobre o gráfico da função y = 1 + log x.

Sabendo-se que o perímetro do retângulo ABDC é igual a 24, determine o valor de a. 3 07. (Fei SP) Quantas raízes reais possui a equação log│x│ = x2 – x – 20? a) Nenhuma d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 08. (UFGO) Suponha que o total de sapatos produzidos por uma pequena indústria é dado, aproximadamente, pela função S(t) = 1000 ⋅ log2 (1 + t), em quet é o número de anos e S o número de sapatos produzidos, contados, a partir do início de atividade da indústria. Determine: a) O número de sapatos produzidos no primeiro ano de atividades da indústria. 1 000 b) O tempo necessário para que a produção total seja o triplo da produção do primeiro ano. 7 anos

331

C18  Logaritmos – Gráficos

03. (Fuvest SP) Considere as funções f(x) = x2 + 4 e g(x) = 1 + log1/2x, em que o domínio de f é o conjunto dos números reais e o domínio de g é o conjunto dos números reais maiores do que 0. Seja h(x) = 3f(g(x)) + 2g(f(x)), em que x > 0. Então, h(2) é igual a: a) 4 c) 12 e) 20 b) 8 d) 16

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C19

ASSUNTOS ABORDADOS nn Logaritmos – Equações nn Equações logarítmicas

LOGARITMOS – EQUAÇÕES As ondas de radiofrequência são aquelas que possuem frequências compreendidas no intervalo de 3 kHz até 300 GHz. Elas não precisam de um meio de propagação e estão muito presentes em nosso dia a dia nas transmissões de áudio (AM e FM), televisão (VHF e UHF), internet etc. nn As

ondas do tipo AM (Amplitude Modulation) possuem amplitude variável enquanto se propagam e são utilizadas em transmissões de rádio. ondas FM (Frequency Modulation) possuem frequência variável enquanto se propagam e são também utilizadas em transmissões de rádio.

nn As

ondas VHF (Very High Frequency) possuem frequência muito alta enquanto se propagam. Elas são, geralmente, utilizadas nas transmissões de rádio FM e televisão.

nn As

ondas UHF (Ultra High Frequency) possuem uma frequência ultra-alta enquanto se propagam e são utilizadas nas transmissões de TV em alta definição, bluetooth e wireless.

nn As

Um modelo da perda (L) de propagação de sinais entre a antena transmissora e a receptora em espaço livre de obstáculos é, em decibel (dB), expresso por: L = 32,44 + 20 ⋅ log10 f + 20 ⋅ log10 d Sendo que: nn f

é a frequência de transmissão em megahertz (MHz)

nn d é a distância entre as antenas de transmissão e recepção em quilômetros (km).

Fonte: SSokolov / Shutterstock.com

Figura 01 - Ilustração da transmissão de ondas eletromagnéticas por uma antena.

332

Matemática e suas Tecnologias

Assim, considerando que um sinal de radiofrequência de 600 MHz é enviado de uma antena transmissora para uma antena receptora que está a 20 km de distância, em espaço livre, qual seria o valor da perda de propagação desse sinal? Adote: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Para obter esse valor, devemos resolver uma equação cujas as variáveis f e d são logaritmadas. Nesta aula, abordaremos a resolução dessas equações, chamadas equações logarítmicas.

Equações logarítmicas Equações logarítmicas na variável x são aquelas cuja incógnita x se apresenta no logaritmando ou na base de, pelo menos, um dos logaritmos dessa equação. Para resolver essas equações, temos que: nn Estabelecer as condições de existência de cada um dos logaritmos da equação; nn Resolver a equação; nn Verificar se as soluções obtidas nessa resolução satisfazem as condições de existência.

EXEMPLOS 01. Resolva as equações logarítmicas a seguir: a) log4 (x – 5) = 3 b) logx (3x2 – x) = 2

RESOLUÇÃO a) 2 ⋅ log5 x = log5 (x – 3) + log5 (x – 2) estabelecendo a condições de existência:

RESOLUÇÃO

x>0

a) log4 (x – 5) = 3 estabelecendo a condição de existência:

x–3>0 x–2>0

x–5>0 resolvendo a equação:

resolvendo a equação:

log5 x2 = log5 [(x – 3).(x – 2)]

x – 5 = 43 ⇒ x – 5 = 64 ⇒ x = 69 verificando a solução encontrada: 69 – 5 > 0 (Verdadeiro)

x2 = x2 - 2x – 3x + 6 ⇒ x = 6/5 verificando a solução encontrada: 6/5 > 0 (Verdadeiro)

portanto, S = {69}. b) logx (3x2 – x) = 2 estabelecendo a condições de existência: 3x2 – x > 0 x>0 x≠1

6/5 – 3 > 0 (Falso) 6/5 – 2 > 0 (Falso) portanto, S = { } b) log2 x = logx 2 estabelecendo a condições de existência: x>0

resolvendo a equação: 3x – x = x ⇒ 2x – x = 0 ⇒ x’ = 0 e x” = 1/2 2

verificando as soluções encontradas: para x = 0:

resolvendo a equação:

1 2 log2 x = ⇒ (log2 x ) = 1 log2 x

2 ⋅ 02 – 0 > 0 (Falso) 0 > 0 (Falso) 0 ≠ 1 (Verdadeiro)

x≠1

log2 x = 1 ⇒ x = 2 ou log2 x = -1 ⇒ x = 1/2 verificando as soluções encontradas:

para x = 1/2: 2⋅(1/2)2 – 1/2 > 0 (Verdadeiro)

para x = 2: 2 > 0 (Verdadeiro)

1/2 > 0 (Verdadeiro) 1/2 ≠ 1 (Verdadeiro) portanto, S = {1/2}. 02. Resolva as equações logarítmicas a seguir: a) 2 ⋅ log5 x = log5 (x – 3) + log5 (x – 2) b) log2 x = logx 2

C19  Logaritmos – Equações

2 ≠ 1 (Verdadeiro) para x = 1/2: 1/2 > 0 (Verdadeiro) 1/2 ≠ 1 (Verdadeiro) portanto, S = {2, 1/2}.

333

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Resolva: a) b) c) d)

c) log11 ( x - 3) + log11 ( x + 3) = log11 16

log2 ( x + 1 ) = 4 S = {15} log3 ( x - 1 ) = -2 S = {10/9} log x 64 = 3 S = {4} log6 x 2 - x = 1 S = {3, -2}

(

04. Resolva:

)

a) log3 ( x - = 2) log9 ( x + 4 )

S = {5}

6 S = {256} b) log 4 x + log16 x =

02. Resolva: 1 a) log9 (log5 x ) = 2

c) log2 xlog2 x = 3log3 25

S = {125}

d) log64 8x = log x 8

b) (log2 x ) - 3 ⋅ log2 x - 4 = 0 2

S = {5}

d) log2 ( x + 2) - log2 ( x - 4 ) = 2 S = {6}

3 + log3 x 8 = 2 - log3 x 3

S = {1/2, 16}

S = {243}

d) log7 ( 2x - = 5) log7 ( x + 4 )

S = {9}

03. Resolva: a) log9 ( x 2 + = 2) log9 ( - x + 4 )

S ={-2, 1}

b) 2 ⋅ log8 ( x += 3) log8 ( x 2 + 45)

S = {6}

S = {1/32, 32}

S = {1/64, 8}

05. (UFG GO) A capacidade de produção de uma metalúrgica tem aumentado em 10% a cada mês em relação ao mês anterior. Assim, a produção no mês m, em toneladas, tem sido de 1 800⋅1,1m – 1. Se a indústria mantiver este crescimento exponencial, quantos meses, aproximadamente, serão necessários para atingir a meta de produzir, mensalmente, 12,1 vezes a produção do mês um? Dado: log 1,1 = 0,04. 28

Exercícios Complementares 01. Resolva os sistemas de equações:

3 log6 x + log6 y = a)  S = {(36, 6)} log x log y = 1 6  6 2 x - y = b)  S = {(4, 6)} log2 log x - log y = 26 x + y = c)  S = {(1, 25), (25, 1)} 2 log5 x + log5 y =

C19  Logaritmos – Equações

02. (Fuvest SP) O número real x que satisfaz a equação logarítmica log2 (12 – 2X) = 2x é: a) log2 5 b) log2 3 c) 2 d) log2 5 e) log2 3 03. (Puc RS) Uma turma de uma escola central de Porto Alegre recebeu a seguinte questão em sua primeira prova no Ensino Médio: Um dos valores de x que soluciona a equação log2 (- x 2 + 32) = 4 é igual ao número de centros culturais localizados nas proximidades do centro da cidade. Esse número é: a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

334

04. (Fuvest SP) Se x é um número real, x > 2 e log2(x – 2) – log4 x = 1, então o valor de x é: a) 4 - 2 3 d) 4 + 2 3 b) 4 - 3 e) 2 + 4 3 c) 2 + 2 3 05. (Unicamp SP) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740 °C. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40 °C. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função T ( t ) =( T0 - TAR ) × 10 -t 12 + TAR , sendo t o tempo em minutos, T0 a temperatura inicial e TAR a temperatura do ar. Com essa função, concluímos que o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140 °C é dado pela seguinte expressão, com o log na base 10: a) 12 log ( 7 ) - 1 minutos. b) 12 1 - log ( 7 )  minutos. c) 12log ( 7 ) minutos. d) 1 - log ( 7 )  12 minutos. 06. (Mackenzie SP) Observe o sistema a seguir: log5 4 5 ⋅ log5 x - log5 xy =  2 x  log5 y = 0  O valor de (x + y), com x e y reais positivos, que satisfaz esse sistema é igual a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C20

LOGARITMOS – INEQUAÇÕES

ASSUNTOS ABORDADOS

De acordo com dados atribuídos pelo Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (PNUD), os rendimentos de 1% das pessoas mais ricas do mundo equivalem aos rendimentos de 57% da população mais pobre do planeta. Dados como esses confirmam a enorme diferença na concentração de renda entre ricos e pobres. Essa diferença tem reflexos diretos no cotidiano dessas classes no que se refere à alimentação, aos bens de consumo e aos serviços.

nn Logaritmos – Inequações nn Inequações logarítmicas

O Índice de Theil, em homenagem ao economista holandês Henri Theil (1924-2000), é uma medida estatística que indica o grau de desigualdade na distribuição de renda de uma determinada região. Seu valor é dado pelo logaritmo natural da razão entre as médias aritméticas e geométricas das rendas de cada um dos N indivíduos da população na mesma unidade monetária. Simbolicamente, temos: M  T = ln  A   MG  Sendo: nn T

o índice de Theil. média aritmética das rendas. nn MG a média geométrica das rendas. nn MA a

Se a razão entre as médias for igual a 1, Theil será igual a zero, indicando perfeita distribuição. Quanto maior a razão entre as médias, maior será o valor para o índice de Theil, e pior será a distribuição de renda. Assim, considerando os países cujo índice de Thiel pertence ao intervalo 0,7 < T < 0,9, M obtenha o intervalo ao qual pertence a razão A . Adote: ln 2,014 = 0,7 e ln 2,459 = 0,9. MG

Fonte: shutterstock.com/Por OlegD

Figura 01 - Ilustração de uma área pobre perto do rio em Phnom Penh, no Camboja.

335

Matemática

Para obter esse intervalo, devemos resolver uma inequaM ção cuja variável A é um logaritmada . Nesta aula aborMG daremos a resolução dessas inequações, chamadas inequações logarítmicas.

Inequações logarítmicas Inequações logarítmicas na variável x são aquelas que a incógnita x se apresenta no logaritmando ou na base de, pelo menos, um dos logaritmos dessa inequação. Para resolver essas inequações, temos que:

Observando que a função f é crescente, temos que:

logb x 2 > logb x1 ⇔ x 2 > x1 Portanto, para resolver uma inequação logarítmica de base b > 1, temos que conservar a desigualdade ao comparar os logaritmandos. 2º caso: Para a função logarítmica f(x) = logb x, com 0 < b < 1, temos o seguinte gráfico:

nn Estabelecer

as condições de existência de cada logaritmo da inequação. nn Resolver a inequação utilizando um dos casos mostrados a seguir. 1º caso Para a função logarítmica f(x) = logb x, com b > 1, temos o seguinte gráfico:

Observando que a função f é decrescente, temos que:

logb x 2 < logb x1 ⇔ x 2 > x1 Portanto, para resolver uma inequação logarítmica de base 0 < b < 1, temos que: nn inverter a desigualdade ao comparar os logaritmandos. nn Verificar se as soluções obtidas na resolução satisfazem

as condições de existência.

EXEMPLOS 01. Resolva: a) log7 (2x – 8) < log7 14 b) log1/2 (-x + 1) > log1/2 13 c) log2 (5x – 2) ≥ 3 RESOLUÇÃO a) log7 (2x – 8) < log7 14 estabelecendo a condição de existência: 2x – 8 > 0 ⇒ x > 4 (1) resolvendo a inequação: log7 (2x – 8) < log7 14 ⇒ 2x – 8 < 14 ⇒ x < 11 (2) C20  Logaritmos – Inequações

Note que a desigualdade foi mantida. A solução da inequação por (1) ∩ (2). Portanto, S = {x ∈ IR | 4 < x < 11}. b) log1/2 (-x + 1) > log1/2 13. estabelecendo a condição de existência: -x + 1 > 0 ⇒ x < 1 (1) resolvendo a inequação: log1/2 (-x + 1) < log1/2 13 ⇒ -x + 1 > 13 ⇒ x < -12. (2) Note que a desigualdade foi invertida. A solução da inequação é dada por (1) ∩ (2). Portanto, S = {x ∈ IR | x < -12}.

336

c) log2 (5x – 2) ≥ 3 estabelecendo a condição de existência: 5x – 2 > 0 ⇒ x > 2/5 (1) resolvendo a inequação: log2 (5x – 2) ≥ 3 ⇒ 5x – 2 ≥ 23 ⇒ x ≥ 2 (2) Note que a desigualdade foi mantida. A solução da inequação é dada por (1) ∩ (2). Portanto, S = {x ∈ IR | x ≥ 2}. 02. Determine o conjunto solução de log2 (x – 5) + log2 (x – 4) ≤ 1 RESOLUÇÃO estabelecendo as condições de existência: x – 5 > 0 ⇒ x > 5 (1) x – 4 > 0 ⇒ x > 4 (2) resolvendo a inequação: log2 (x – 5) + log2 (x – 4) ≤ 1 log2 [(x – 5) ⋅ (x – 4)] ≤ 1 ⇒ (x – 5) ⋅ (x – 4) ≤ 21 x2 – 9x + 18 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ x ≤ 6 (3) Note que a desigualdade foi mantida. A solução da inequação é dada pela intersecção de (1) ∩ (2) ∩ (3). Portanto, S = {x ∈ IR | 5 < x ≤ 6}.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Julgue os itens a seguir como certo (C) ou errado (E). C-E-E-C a) log6 5 > log6 2 b) log1/3 10 > log1/3 8 c) log2x - log4x - 3 < 0 d) log0,318 < log0,315 02. Resolva: a) log2 (3x - 9) < log2 12

S = ]3, 7[

b) log0,4 (2x - 7) ≤ log0,4 9 c) log 4 (3x - 2) ≥ 2

S = [8, ∞[

S = [6, ∞[

d) log1/3 (x + 1) > -2

S = ]-1, 8[

03. Resolva: log5 12 < log5 9 a) log10 (x - 3) + log10 (x - 2) ≥ log10 2

S =[4, ∞[

b) log0,8 (x - 2) + log0,8 x ≥ log0,8 (x + 10) c) log 4 (x + 6) - log 4 x < log 4 (2x + 1) 2

d) 2 ⋅ (log 4 x ) - log 4 x > 6 2

S = ]2, 5]

S = ]2, ∞[

S = ]0, 1/8[ ∪ ]16, ∞[

04. (Mackenzie SP) A equação do 2º grau x2 + x ⋅ log t + 0,5 ⋅ log t = 0 tem duas raízes reais distintas, se: a) t > 0 b) t > 1 c) t = 0 ou t = 2 d) 0 < t < 2 e) 0 < t < 1 ou t > 100 05. (Unicamp SP) As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log8 (1 + t)6 e B(t) = log2 (4t + 4), em que a variável t representa o tempo em anos. a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7? A(1) = 2, A(7) = 6, B(1) = 3 e B(7) = 5 b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante. Após 3 anos a população de A será maior que a de B.

Exercícios Complementares

02. (Udesc SC) Considere a função f(x) = 3

x2 +5x

05. (UDESC SC) O conjunto solução da desigualdade 1 ln   2

. Os valores de

x ∈ R que satisfazem a inequação log1/9 f(x) ≥ -12 pertencem ao conjunto: a) {x ∈ IR | 3 ≤ x ≤ 8} b) {x ∈ IR | –8 ≤ x ≤3} c) {x ∈ IR | x ≤ –8 ou x ≥ 3} d) {x ∈ IR | x < –3 ou x > 8} e) {x ∈ IR | x < –8 ou x > –3} 03. (Fuvest SP) Seja f(x) = log3 (3x + 4) – log3 (2x – 1). Os valores de x, para os quais f está definida e satisfaz f(x) > 1, são: a) x < 7/3 d) -4/3 < x b) 1/2 < x e) -4/3 < x < 1/2 c) 1/2 < x < 7/3 04. (UEPB) A solução da inequação 0,05 log2 (x-1)- 1 ≥ 0 é: a) 1 < x ≤ 3 b) 1 < x ≤ 2 c) 0 ≤ x ≤ 2 d) x ≤ 2 e) x > 1

2x +2

1 < ln   2

x2 -1

é o intervalo: a) S = {x ∈ IR | -1 < x < 3} b) S = {x ∈ IR | -1 ≤ x ≤ 3} c) S = {x ∈ IR | x < -1 ou x > 3} d) S = {x ∈ IR | -3 < x < 1} e) S = {x ∈ IR | 1 < x < 3} 06. (FMABC SP) Seja Sn a soma dos n primeiros termos da sequência (1, 2, 22, 23, …). O menor número inteiro n, que satisfaz 26 a sentença log8 (1 + Sn ) > , está compreendido entre: 3 a) 0 e 10 d) 30 e 40 b) 10 e 20 e) 40 e 50 c) 20 e 30 07. (Ufu MG) O conjunto solução da inequação

C20  Logaritmos – Inequações

01. Resolva: a) log5 (x 2 - 5x) ≤ log5 6 S = [-1, 0[ ∪ ]5, 6] b) log1/4 (x 2 + 4x - 5) < -2 S = ]-∞, -7[ ∪ ]3, ∞[ c) log2 x - log 4 x - 3 < 0 S = ]0, 4[ d) log3 (log1/2 x ) ≤ 1 S =[1/8, 1[

log2 (3 - x) - log2 (2x + 1) ≥ 1 no conjunto dos números reais é: a) {x ∈ IR | -1/2 < x ≤ 1/5} b) {x ∈ IR | x < -1/2 ou x ≥ 1/5} c) {x ∈ IR | x < 3 ou x ≥ -1/2} d) {x ∈ IR | -1/2 ≤ x < 3}

337

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (ESPM SP) Se log15 2 = a e log10 2 = b, o valor de log10 3 é: a a) a + - 1 b

b c) a + + 1 a

b b) b + - 1 a

a d) b + + 1 b

04. (Unesp SP) A figura representa o gráfico de y = log10x.

a e) a + + b b

02. (Fuvest SP) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão: S=

1 1 1 + + 2 ⋅ log2 2016 5 ⋅ log3 2016 10 ⋅ log7 2016

O valor de S é: a) 1/2 b) 1/3

c) 1/5 d) 1/7

e) 1/10

03. (Enem MEC) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log x, conforme a figura.

Sabe-se que OA = BC. Então pode-se afirmar que: a) loga b = c b) a + b = c c) ac = b d) ab = c e) 10a + 10b = 10c 05. (UFSM) Suponha que um campo de futebol seja colocado em um sistema cartesiano ortogonal, conforme mostra a figura.

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros. A expressão algébrica que determina a altura do vidro é:  n + n2 + 4   n - n2 + 4   - log   a) log      2 2      n  n b) log  1 +  - log  1 -   2  2  n  n c) log  1 +  + log  1 -  2    2  n + n2 + 4   d) log    2    n + n2 + 4   e) 2log    2   338

Para que o ponto A (log10 (x + 1) + 1,log10 (x 2 + 35)) tenha abscissa e ordenada iguais, é necessário e suficiente que: a) x > -1. b) x = 5. c) x < -1. d) x = -5. e) x > 5. 06. (UFF RJ) Resolva, em IR, a inequação log10 |1 - x| > log0,1 7 . S = {x ∈ IR | x < 6/7 ou x > 8/7}

07. (Fuvest SP) É dada a função f definida por f(x) = log2 x – log4 (x – 3). a) Determine os valores de x para os quais f(x) ≤ 2. b) Determine os valores de x para os quais f(x) > 2. a) S = {x ∈ IR | 4 ≤ x ≤ 12} b) S = {x ∈ IR | 3 < x < 4 ou x > 12}

08. (UNESP) O cálculo aproximado da área da superfície externa de uma pessoa pode ser necessário para a determinação da

Matemática e suas Tecnologias

log A = 0,425 log P + 0,725 log H + 1,84 (Delafield Du Bois e Eugene Du Bois. A formula to estimate the approximate surface area if height and weight be known, 1916. Adaptado.)

Rafael, uma criança com 1 m de altura e 16 kg de “peso”, precisa tomar uma medicação cuja dose adequada é de 1 mg para cada 100 cm2 de área externa corporal. Determine a dose adequada dessa medicação para Rafael. Adote nos seus cálculos log 2 = 0,30 e a tabela a seguir. 63,1 mg x

3,3

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

10x

1 995

2 512

3 162

3 981

5 012

6 310

7 943

09. (Unipê PB) Sabe-se que certa bactéria tem sua população reduzida em 25% a cada hora, em presença de um determinado antibiótico. Usando-se log 2 ≅ 0,3 e log 3 ≅ 0,48, se preciso, é correto estimar que sua população se reduz a um oitavo do seu valor inicial em, aproximadamente, a) 7h b) 7h30min c) 8h d) 8h30min e) 9h 10. (Ifal AL) O potencial de hidrogênio (pH) das soluções é dado pela função: pH = –log[H+], onde [H+] é a concentração do cátion H+ ou H3O+ na solução. Se, em uma solução, a concentração de H+ é 2 × 10-8, qual o pH dessa solução? Adote: log 2 = 0,3. a) 2,4. b) 3,8. c) 6,7. d) 7,7. e) 11. 11. (UFPR) Suponha que a quantidade Q de um determinado medicamento no organismo t horas após sua administração possa ser calculada pela fórmula: 1  Q= 15 ⋅    10 

b) t =

15 Q

log15 2logQ

Q c) t = 10 log    15 

13. (Uel PR) Leia o texto a seguir. Precisamos de um nome para o novo replicador, um substantivo que comunique a ideia de unidade de transmissão cultural. “Mimeme” vem do grego “aquilo que é replicado”, mas eu quero um monossílabo que se pareça com gene. Eu espero que meus amigos clássicos me perdoem por abreviar mimeme para meme. Se uma ideia se alastra, é dita que se propaga sozinha. (Adaptado de: DAWKINS, R. O gene egoísta. Trad. Geraldo H. M. Florsheim. Belo Horizonte: Itatiaia, 2001. p.214.)

Diversos segmentos têm utilizado serviços de marketing para criação e difusão de memes de seu interesse. Um partido político com P0 = 20 filiados encomendou um anúncio que se tornou um meme em uma rede social, sendo que 5% dos K = 2 × 109 usuários ativos visualizaram o anúncio no instante t = 1. Sejam e > 1, r > 0 constantes e suponha que a função P(t) dada por: P(t) =

1 Q d) t = log 2 15

e) t = log

Q2 225

K ⋅ P0 ⋅ er⋅t K + P0 (er⋅t - 1)

representa a quantidade de usuários da rede social que visualizaram o meme no instante t. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da constante r para essa rede social.  108 - 1  a) loge    19   109 - 1  b) loge    19   109 - 1  c) loge    20  d)

108 - 1 19

109 - 1 20

sendo Q medido em miligramas. A expressão que fornece o tempo t em função da quantidade de medicamento Q é: a) t = log

12. (Fuvest SP) Considere as funções f(x) = x2 + 4 e g(x) = 1 + log1/2x, em que o domínio de f é o conjunto dos números reais e o domínio de g é o conjunto dos números reais maiores do que 0. Seja h(x) = 3f(g(x)) + 2g(f(x)), em que x > 0. Então, h(2) é igual a: a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20

14. (Uerj RJ) Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B. Quando a tecla A é digitada, o número que está no visor é substituído pelo logaritmo decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, o número do visor é multiplicado por 5. Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, e obteve no visor o número 10. Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte número: a) 20 c) 40 b) 30 d) 50 339

FRENTE C  Exercícios de Aprofundamento

dosagem de algumas medicações. A área A (em cm2) da superfície externa de uma criança pode ser estimada por meio do seu “peso” P (em kg) e da sua altura H (em cm) com a seguinte fórmula, que envolve logaritmos na base 10:

FRENTE

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MATEMÁTICA Por falar nisso A invenção da roda: A roda é, sem dúvida, uma das invenções mais importantes da humanidade. Imagine a quantidade de máquinas que existem no mundo que possuem, no seu funcionamento, algum tipo de componente de formato circular, que gira em torno de um eixo central. As engrenagens de relógios e de motores dos carros são exemplos claros dessa afirmação. De acordo com algumas hipóteses, a roda teria sido inventada na Ásia, há 6 000 anos. A mais antiga que se tem notícia foi encontrada na Mesopotâmia e, provavelmente, data de 3 500 a.C. E como teria nascido a ideia de se criar a roda? Provavelmente, dos troncos que muitos povos antigos colocavam sob grandes pedras, a fim de transportá-las de maneira mais fácil pelo terreno. Como vários outros objetos do nosso cotidiano, a roda tem o formato de uma circunferência, um importantíssimo elemento da geometria plana. A circunferência possui características bastante próprias. Dentre essas propriedades podemos destacar o fato de ser a única figura plana que pode ser girada em torno de um eixo, sem modificar sua posição aparente, bem como ser simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. Em consequência disso, temos sua larga utilização nas várias áreas do conhecimento, nas indústrias e nas nossas residências. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

D17 D18 D19 D20

Comprimento de um arco de circunferência................................342 Ângulos na circunferência.............................................................346 Tangência.......................................................................................350 Relações métricas na circunferência.............................................356

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D17

ASSUNTOS ABORDADOS nn Teorema de Pitágoras e suas

aplicações

Pitágoras nasceu na ilha de Samos, no mar Egeu, e passou parte de sua vida no sul da Itália. Ele e seus alunos fizeram várias descobertas na Matemática, Astronomia e Filosofia. Eles sabiam, por exemplo, que a Terra era redonda e se movia em torno do Sol.

Fonte: askib / Shutterstock.com

nn Teorema de Pitágoras

TEOREMA DE PITÁGORAS E SUAS APLICAÇÕES

Figura 01 - Ilustração de Pitágoras demonstrando o teorema que leva o seu nome.

Pitágoras e seus seguidores, conhecidos como pitagóricos, diziam que "O número dirige o Universo” por acreditarem que tudo na natureza poderia ser explicado por meio dos números naturais. Apesar de todo o misticismo, os pitagóricos fizeram algumas descobertas interessantes sobre os números. Números triangulares

Números quadrados

342

Matemática e suas Tecnologias

Números perfeitos São números para os quais a soma dos seus divisores naturais, com exceção dele mesmo, é o próprio número. Por exemplo: nn Os

divisores naturais de 6 são: 1, 2, 3 e 6. 1+2+3=6

nn Os

divisores naturais de 28 são: 1, 2, 4, 7, 14 e 28. 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

O termo Matemática, que significa tudo se aprende, foi criado por Pitágoras e seus seguidores. Nesta aula, abordaremos várias aplicações do teorema de Pitágoras.

Demonstração: Considerando um quadrado ABCD de lados medindo b + c, vamos marcar sobre os lados desse quadrado os pontos M, N, P e Q de modo que AM = BN = CP = DQ = b e MB = NC = PD = QA = c. Observe a figura a seguir:

Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras é, sem dúvida, uma das principais descobertas do mundo matemático. Esse teorema leva o nome do matemático grego que viveu entre 570 a.C. e 495 a.C., tradicionalmente considerado o seu descobridor. Entretanto, estudiosos afirmam que o conhecimento desse teorema é anterior a ele, havendo evidências de que os matemáticos chineses e babilônicos já o conheciam, mas desconheciam a possibilidade de aplicá-lo a todo triângulo retângulo. Portanto, Pitágoras foi o primeiro a provar isso com sólidos argumentos matemáticos. O teorema de Pitágoras pode assim ser enunciado: “Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.” Dado um triângulo retângulo de hipotenusa medindo a e catetos medindo b e c, simbolicamente, temos:

Como os triângulos retângulos AMQ, BMN, CNP e DPQ são congruentes, temos que MN = NP = PQ = QM = a, ou seja, o quadrilátero MNPQ é um losango. Como α + β = 90°, temos que todos os ângulos internos do quadrilátero MNPQ medem 90°, portanto MNPQ é um quadrado. Note que a área do quadrado ABCD é igual à soma da área do quadrado MNPQ com as áreas dos triângulos AMQ, BMN, CNP e DPQ. Daí, temos que:

a2 + 4 ⋅

b⋅c 2 = (b + c ) ⇒ a2 + 2bc =b2 + 2bc + c2 ⇒ a2 = b2 + c2 2

EXEMPLOS RESOLUÇÃO Transportando a medida de 1,5 m, vamos obter um triângulo ABC, retângulo em C. Observe a figura a seguir:

Qual a diferença entre a altura da maior estaca e a altura da menor estaca?

343

D17  Teorema de Pitágoras e suas aplicações

01. Duas estacas de madeira perpendiculares ao solo e de alturas diferentes estão distantes, uma da outra, 1,5 m. Entre essas duas estacas foi colocado um tirante de 1,7 m de comprimento, que ficará apoiado nos pontos A e B. Observe a figura a seguir:

Matemática

Fazendo BC = x , note que x é a diferença pedida. Assim, temos que:

Calcule o valor de x. RESOLUÇÃO

x2 + 1,52 = 1,7² ⇒ x2 = 2,89 – 2,25 x² = 0,64 ⇒ x = 0,8 Portanto, a diferença entre a maior e a menor estaca é igual a 0,8 m.

Fazendo BC == xy, e utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos que:

(4 5 )

02. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC retângulo em B e com AB = 4 m , AC = 4 5 m e AD = DC = x.

= y2 + 42 ⇒ 80 = y2 + 16 y2 = 64 ⇒ y = 8

Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, temos que: x2 = (8 – x)2 + 42 ⇒ x2 = 64 – 16x + x2 + 16 16x = 80 ⇒ x = 5 Portanto, o valor de x é 5 m.

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de x nas figuras a seguir, sabendo que todas as medidas estão em decímetros. a) 24 b) 8 c) 3 6 d) 10

Calcule a distância, em metros, entre os pontos B e P. 105 m 04. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC retângulo em A, AB = 12 m, BD = 7 m e CD = 5 2 m.

D17  Teorema de Pitágoras e suas aplicações

02. No paralelogramo ABCD da figura a seguir, temos que a medida do lado AB é 9 m, a medida da diagonal AC é 17 cm e a altura relativa ao lado AB mede 8 cm.

Calcule as medidas de AC e BC . AC = 5 m e BC = 13 m. 05. (UFMG) Na figura a seguir, estão representadas três circunferências, tangentes duas a duas, e uma reta tangente às três circunferências:

Calcule a medida do lado AD . 10 cm 03. (UFG GO) Uma pista retangular para caminhada mede 100 por 250 metros. Deseja-se marcar um ponto P, conforme figura a seguir, de modo que o comprimento do percurso ABPA seja a metade do comprimento total da pista.

344

Sabe-se que o raio de cada uma das duas circunferências maiores mede 1 centímetro. Então, é correto afirmar que a medida do raio, em centímetros, da circunferência menor é: a) 1/3

2 /2

b) 1/4

2/4

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. Observe a figura a seguir:

05. (Espm SP) A figura mostra um quadrado, dois círculos claros de raios R e dois círculos escuros de raios r, tangentes entre si e aos lados do quadrado.

Calcule o valor de x, sabendo que as medidas indicadas estão em centímetros. 86 cm 02. Na figura a seguir, temos a seção transversal de uma caixa de lápis de cor na forma de um retângulo que acomoda exatamente 20 lápis.

Se o raio de cada lápis é 8 mm, adote 3 = 1,7 e determine as dimensões desse retângulo. 29,6 mm x 112 mm

A razão entre R e r é igual a: a) 2 b) 3 c) 3/2 d) 2 e) 5 / 2 06. (Unicamp SP) Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras a seguir:

03. (Fuvest SP) Uma escada de 25 dm de comprimento se apoia num muro do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da escada se pela extremidade superior da escada? 4 dm 04. (Uerj RJ) A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (figura 1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfície da água no ponto B, situado a 10 3 cm do local em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se encontrava inicialmente (figura 2). Considere OA , OB e BC segmentos � uma trajetória do movimento da planta. de retas e o arco AB

Determine a profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta. 10 cm

a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique. Sim b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique. Não 07. (UnB DF) Duas placas metálicas, com os comprimentos indicados, são soldadas formando um ângulo reto, como mostra a figura adiante.

Uma formiga, situada inicialmente no vértice A, move-se ao longo das placas, em direção ao vértice B, seguindo o caminho de menor comprimento. Calcule, em centímetros, o comprimento desse caminho, desconsiderando a parte fracionária do resultado, caso exista. 65 cm

345

D17  Teorema de Pitágoras e suas aplicações

afastar mais 8 dm do muro, qual o deslocamento verificado

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D18

ASSUNTOS ABORDADOS nn Comprimento de um arco de cir-

cunferência

nn Definição e elementos nn Arco de circunferência nn Corda nn Comprimento de uma circunferência nn Comprimento de um arco

COMPRIMENTO DE UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA Os primeiros Jogos Olímpicos de que se tem notícia aconteceram na Grécia por volta de 776 a.C. em um vilarejo chamado Olímpia. Uma das finalidades dos Jogos Olímpicos era homenagear Zeus que, segundo a mitologia grega, era a maior divindade do Olímpio. Após um longo período de esquecimento, os Jogos Olímpicos voltaram a acontecer graças ao esforço do pedagogo e esportista francês, Barão Pierre de Coubertin. Dentre os símbolos dos Jogos Olímpicos, certamente, os mais importantes são os aros. Os cinco aros interligados, nas cores azul, amarelo, preto, verde e vermelho representam a união dos cinco continentes. Na figura a seguir, temos os anéis olímpicos na praia de Copacabana no Rio de Janeiro.

Fonte: Leonard Zhukovsky

Note que esses aros são delimitados por um elemento geométrico muito importante chamado circunferência.

346

Matemática e suas Tecnologias

Definição e elementos

Nessa figura, temos que:

Dados um ponto O e uma distância r, denomina-se circunferência ao conjunto de pontos do plano distantes r do ponto O. Observe a figura a seguir:

CD é uma corda determinada pelos pontos C e D.

AB é uma corda definida pelos pontos A e B.

AB = 2r, ou seja, a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio.

Comprimento de uma circunferência A razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência é constantemente representada pela letra grega π (inicial da palavra perímetro de um círculo em grego). Assim, temos que:

nn O

segmento OP de medida r é o seu raio.

nn O

ponto O é o seu centro. nn A região do plano limitada por essa circunferência é chamada de círculo.

Arco de circunferência Denomina-se arco de circunferência uma parte da circunferência que fica dividida por dois de seus pontos. Observe a figura a seguir:

Nessa figura, temos que: � nn AB é um arco de circunferência determinado pelos pontos A e B. � = med AOB ˆ = α. nn med AB

( )

(

)

Corda Denomina-se corda de uma circunferência qualquer segmento de reta que liga dois de seus pontos. Se a corda passar pelo centro da circunferência, ela terá comprimento máximo e será chamada de diâmetro. Observe a figura a seguir:

π=

C C ⇒ π= d 2r

Daí, temos que o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por: C = 2πr

Comprimento de um arco O comprimento de um arco é proporcional à sua medida e à medida do seu raio. Observe a figura a seguir:

Para determinar comprimento L de um arco de medida α graus e raio r, pode-se estabelecer a seguinte regra de três simples: 360° ____________ 2πr α ______________ L Isolando L, temos que o comprimento L desse arco é dado por: L=

πrα 180°

347

D18  Comprimento de um arco de circunferência

Nessa figura, temos que:

Matemática

EXEMPLOS � = 6π cm 01. Na figura a seguir, temos uma circunferência de centro O, AB e r = 8 m.

= L

πrα π⋅8⋅α ⇒= 6π 180° 180°

Isolando α, temos que:

= α

6π ⋅ 180° ⇒= α 135° 8π

Portanto, o valor de α é igual a 135°. 02. Qual o comprimento de uma circunferência de raio 40 cm? Adote π = 3,14. RESOLUÇÃO

Assim, determine o valor α, em graus.

O comprimento C de uma circunferência de raio r é dado por:

RESOLUÇÃO

C = 2πr = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 40 = 251,2

O comprimento de um arco de circunferência é dado por:

Portanto, o comprimento é 251,2 cm.

Exercícios de Fixação 01. Qual é o comprimento, em metros, de uma circunferência que tem 60 m de raio. Adote π = 3,14. 376,8 m

04. Na figura a seguir, temos duas circunferências concêntricas (mesmo centro). A medida de OA é 10 cm, a medida do � é 45 cm. segmento AB é 8 cm e de BD

02. Na figura a seguir, temos duas rodas de 12 dm de raio acopladas a uma correia perfeitamente ajustada.

D18  Comprimento de um arco de circunferência

Calcule o comprimento dessa correia sabendo que a distância entre os centros dessas rodas é igual a 40 dm. 8(3π + 10) dm 03. Na figura a seguir, temos uma circunferência de raio r = 18 m e ângulo central α = 50°.

� Calcule o comprimento, em metros, de AC.

25 cm

05. (UFG GO) Para se traçar uma circunferência de comprimento 40π cm, usa-se um compasso de “pernas” iguais. Considerando que o ângulo de abertura do compasso é 60o, pede-se: a) O esboço de um desenho que ilustre a situação descrita; a)

� , em metros, adotando π = 3,1. Calcule o comprimento de AB

15,5 m

348

b) Qual a medida de cada “perna” do compasso? 20 cm

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (Enem MEC) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.

04. Suponha que as rodas dianteira e traseira de uma antiga bicicleta tenham raios medindo 30 cm e 20 cm, respectivamente. Adotando π = 3,1, responda os itens a seguir. a) Quantos metros essa bicleta percorre quando a roda traseira der 5 000 voltas? 6 200 m b) Quantas voltas deve dar a roda dianteira para a bicicleta percorrer 7 440 m? 4 000 05. (UFMG) “Os primeiros Jogos Olímpicos da Era Moderna, em 1896, já incluíam o ciclismo em seu programa oficial - com uma prova de 87 km entre Atenas e Marathon. Os Jogos Pan-Americanos também incluem o esporte desde sua primeira edição, em Buenos Aires-1951.” (fonte: Globo Esporte)

Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 02. (UFRJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.

Um ciclista percorre uma pista circular de 15 metros de raio, para cumprir esta prova de 87 km. Considerando π = 3,14, o número aproximado de voltas a serem dadas por esse ciclista é equivalente a: a) 675 b) 923 c) 1 087 d) 776 06. (UFG GO) O conjunto roda/pneu da figura abaixo tem medida 300/75-R22. O número 300 indica a largura L, em mm, da banda de rodagem, 75 refere-se à porcentagem que a altura H do pneu representa da banda de rodagem e 22 refere-se ao diâmetro D, em polegadas, da roda.

03. Na figura a seguir, temos um pentágono ABCDE regular de lados medindo 10 cm. Tomando-se os pontos médios dos lados � com centro em E. AE e DE podemos construir um arco FG Nessas condições, determine o número de voltas necessárias para que o conjunto roda/pneu descrito acima percorra, sem derrapagem, 3,14 km. 1 000 voltas

Adotando π = 3,1, calcule o comprimento, em centímetros, � . 6,2 cm do arco FG

07. (UEGO) Duas importantes cidades estão localizadas sobre a linha do Equador: uma é a capital do Amapá e a outra é a capital do Equador, ambas na América do Sul. Suas longitudes são, respectivamente, 78° Oeste e 52° Oeste. Considerando que a Terra é uma esfera de raio 6 400 km, qual é a distância, em km, entre essas duas cidades? 2 903 km

349

D18  Comprimento de um arco de circunferência

Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m. 32

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D19

ASSUNTOS ABORDADOS nn Ângulos na circunferência nn Ângulo central nn Ângulo inscrito nn Ângulo de segmento nn Ângulo excêntrico interior nn Ângulo excêntrico exterior nn Triângulo inscrito numa semicircunferência nn Quadrilátero inscrito numa circunferência

ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

#TÁ NA MÍDIA

O hóquei no gelo é um esporte pouco conhecido no Brasil, porém reconhecido internacionalmente desde 1920, quando passou a compor o quadro de disputas dos Jogos Olímpicos de Inverno. O jogo é dado a partir de doze jogadores – seis em cada time – que deslizam com patins sobre uma superfície de gelo. Cada equipe disputa a posse de um pequeno disco de metal (puck), para finalmente acertá-lo no gol. Assistir a um jogo de hóquei sobre o gelo é uma experiência interessantíssima. Isso porque é um jogo em que os atletas se deslocam muito rapidamente e suas tacadas no “puck” chegam a atingir 160 quilômetros por hora. Além disso, a possibilidade de substituir os atletas infinitas vezes também contribui para a sensação de rapidez que o jogo proporciona. Há duas vertentes bastante distintas sobre o surgimento desse esporte. Uma delas sugere que a origem tenha se dado na Escócia, a partir de uma adaptação de outro jogo denominado “hurley”. A partir do hurley, teria surgido o ice hurley e sua evolução finalmente desembocaria no hóquei no gelo. A outra corrente afirma que o hóquei no gelo tenha origem no Canadá, país com tradição nesse esporte, o qual é praticado comumente pela população, assim como aqui no Brasil praticamos o futebol.

Figura 01 - Foto de um jogo da NHL, a liga profissional americana de hóquei no gelo

350

Na figura a seguir, temos o esquema de uma quadra de hóquei no gelo com as traves do gol nos pontos A e B. Considerando a circunferência que passa pelos pontos A e B, identifique qual dos pontos indicados (C, D, E, F e G) deveria ser escolhido para se colocar o disco para que o jogador tenha maior “ângulo” para acertar o gol.

Fonte: Matthew Jacques / Shutterstock.com

Fonte: http://brasilescola.uol.com.br/educacao-fisica/hoquei-no-gelo.htm Acesso: Abril de 2017

Matemática e suas Tecnologias

Para se determinar esse ponto, devemos utilizar alguns conceitos envolvendo ângulos e arcos em uma circunferência. Nesta aula, abordaremos os vários tipos de ângulos na circunferência e suas aplicações.

Ângulo central Ângulo central é aquele que tem como vértice o centro da circunferência e como lados dois raios da circunferência. Observe a figura ao lado. A medida do ângulo central é igual à medida de seu arco correspondente, ou seja: α=β

Ângulo inscrito Ângulo inscrito é aquele que tem como vértice um ponto da circunferência e como lados, duas cordas da circunferência. Observe a figura ao lado. A medida do ângulo inscrito é igual à metade de seu arco correspondente, ou seja:

α=

β 2

Ângulo de segmento ângulo de segmento é aquele que tem como vértice um ponto da circunferência e como lados uma corda e uma tangente à circunferência. Observe a figura ao lado.

α=

D19  Ângulos na circunferência

A medida do ângulo de segmento é igual à metade de seu arco correspondente, ou seja:

β 2

Ângulo excêntrico interior Ângulo excêntrico interior é aquele que tem como vértice um ponto do interior na circunferência (não coincidente com o centro) e como lados duas cordas da circunferência. Observe a figura a seguir. 351

Matemática

A medida de um ângulo excêntrico exterior é igual à semidiferença positiva das medidas dos seus arcos correspondentes, ou seja: α=

β-θ 2

Triângulo inscrito numa semicircunferência A medida do um ângulo excêntrico interior é igual à semissoma das medidas dos seus arcos correspondentes, ou seja: α=

β+θ 2

Um triângulo está inscrito numa semicircunferência se, e somente se, seus três vértices pertencerem à circunferência, sendo que dois deles pertencem a um dos seus diâmetros. Observe a figura a seguir:

Ângulo excêntrico exterior Ângulo excêntrico exterior é aquele que tem como vértice um ponto exterior da circunferência e como lados duas secantes, uma secante e uma tangente ou duas tangentes. Observe as figuras a seguir. Nessa figura, temos que: � é 180°, pois BC é diâmetro. nn A medida do arco BDC nn BÂC

é um ângulo inscrito. Logo, sua medida é a metade de 180°.

Portanto, temos que: Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é um triângulo retângulo.

Quadrilátero inscrito numa circunferência

D19  Ângulos na circunferência

Um quadrilátero está inscrito numa circunferência se, e somente se, seus quatro vértices pertencerem à circunferência. Observe a figura a seguir:

Nessa figura, temos que: � = 2α e ˆ = β , temos que BCD ˆ = α e BCD nn Como BAD � = 2β . BAD nn 2α

+ 2β = 360° ⇒ α + β = 180°.

Portanto, temos que: Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos opostos são suplementares. 352

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Calcule o valor de x na circunferência de centro O da figura a seguir:

RESOLUÇÃO

(

)

ˆ = med CED

( )

( =)

� + med CD � med AB 2

35° + 75° = 55° 2

Portanto, o valor de x é 55°. 04. Calcule o valor de x na circunferência de centro O da figura a seguir:

RESOLUÇÃO

( )

(

)

� = med BOC ˆ = 80° med BC

(

( =)

� med BC

)

ˆ = med BAC

80° = 40° 2

Portanto, o valor de x é 40°. RESOLUÇÃO

02. Calcule o valor de x na circunferência de centro O da figura a seguir:

(

)

ˆ = med CAE

( )

( =)

� - med BD � med CE 2

126° - 36° = 45° 2

Portanto, o valor de x é 45°. 05. Na figura a seguir, temos um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência de centro O.

RESOLUÇÃO

(

)

ˆ = med BAC

( =)

� med BC 2

160° = 80° 2

Portanto, o valor de x é 80°.

Calcule o valor de x, em graus. RESOLUÇÃO Os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência são suplementares. Assim, no quadrilátero ABCD os ângulos BAD de medida 75° e BCD de medida 180° – x são suplementares. Daí, temos que: 75° + 180° – x = 180° ⇒ x = 75° Portanto, o valor de x é 75°.

353

D19  Ângulos na circunferência

03. Calcule o valor de x na circunferência de centro O da figura a seguir:

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de x, em graus, nas circunferências de centro O a seguir: a) 32° b) 114° c) 76° d) 42°

  04. Na figura a seguir, as semirretas BA e BC são tangentes à circunferência de centro O.

� ? 235° Qual é a medida, em graus, do arco ADC

02. Calcule o valor de x, em graus, nas circunferências de centro O a seguir: a) 100° b) 39° c) 64° c) 38°

05. Na figura a seguir, temos um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro O.

Calcule o valor de α, em graus. 40° 06. Na figura a seguir, temos duas circunferências de centros B e C.

D19  Ângulos na circunferência

� 03. Na figura a seguir, a medida do arco ABC excede em 30° a � medida do arco DEF.

Sabendo que os pontos A, B, C e D estão alinhados, calcule o valor de x, em graus. 20°

Assim, qual é a medida, em graus, do arco ABC? 65°

354

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. (UFMG) Observe a figura a seguir.

04. (UFJF MG) De um ponto M, exterior a um círculo de centro O, traçam-se as tangentes MA e MB de acordo com a figura abaixo.

Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência circunscrita ˆ e AÊD medem, respectivaao triângulo ABC, e os ângulos ABD ˆ mede: mente, 20° e 85°. Assim sendo, o ângulo CBD a) 25° b) 35° c) 30° d) 40° 02. (Unifor CE) Considere a figura abaixo.

Se a corda AB é um lado do triângulo equilátero inscrito ˆ é: nesse círculo, então a medida do ângulo AMB a) 40° c) 90° e) 150° b) 60° d) 120° 05. (UFPE) Sejam AB e AC cordas de mesma medida em uma � conforme circunferência e D um ponto no arco maior BC, figura abaixo.

e) 70°

03. (Ufes ES) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tan� mede 110 graus e o gentes à circunferência, o arco ABC ângulo CÂD mede 45 graus.

ˆ é: A medida, em graus, do ângulo APD a) 15 d) 30 b) 20 e) 35 c) 25

Se o ângulo BÂC mede 150° assinale a medida, em graus, do ˆ 15° ângulo BDA. 06. (Cescem SP) Seja o pentágono PQRST da figura, inscrito na circunferência de centro O.

Sabe-se que o ângulo POQ mede 70°; chamando-se de x e y os ângulos PTS e QRS, respectivamente, quanto vale x + y? a) 145° c) 215° e) nda b) 180° d) 270°

355

D19  Ângulos na circunferência

A medida x do ângulo assinalado é: a) 90° c) 80° b) 85° d) 75°

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D20

ASSUNTOS ABORDADOS nn Relações métricas na circunfe-

rência

nn Relação entre duas cordas nn Relação entre dois segmentos secantes nn Relação entre um segmento secante e um segmento tangente nn Relação entre segmentos tangentes nn Quadrilátero circunscrito (teorema de Pitot)

Figura 01 - Pintura - O carnaval de Arlequim, de Joan Miró.

RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA No centro de eventos na cidade espanhola de Madri, encontra-se um mural de um importante pintor, escultor e ceramista espanhol. Esse mural tem 60 m de comprimento por 10 m de altura e foi colocado no alto da parede frontal externa do prédio. Se a borda inferior do mural está a 8 m acima do nível do olho de uma pessoa, a que distância da parede deveria ficar essa pessoa para ter a melhor visão, no sentido de que o ângulo vertical que subtende o mural, a partir de seu olho, seja o maior possível? O matemático Regiomontanus (1436-1476) propôs um problema semelhante em 1471 que foi resolvido da seguinte maneira: Imagine uma circunferência passando pelo olho O do observador e por dois pontos P e Q, verticalmente dispostos nas bordas superior e inferior do mural. O ângulo α será máximo quando esta circunferência for tangente à linha do nível do olho, que é perpendicular à parede onde se encontra o mural. Observe a figura a seguir:

Com essas informações, é possível calcular a que distância OC da parede deve ficar o observador para ter a melhor visão do mural de Joan.

Fonte: Wikimedia Commons

Para se determinar essa distância, basta utilizar uma das relações métricas que podemos estabelecer entre os elementos lineares de uma circunferência. Nesta aula, abordaremos as denominadas relações métricas nas circunferências.

356

Matemática e suas Tecnologias

Relação entre duas cordas A seguir, temos uma circunferência e um ponto P no seu interior.

Nessa figura, o ponto P é o ponto de intersecção do segmento secante PB e do segmento tangente PC . Assim, por meio da semelhança entre os triângulos PBC e PCA, é possível obter a seguinte relação:

( )

PA ⋅ PB = PC

Relação entre segmentos tangentes

Nessa figura, o ponto P é o ponto de intersecção das cordas AB e CD . Assim, por meio da semelhança entre os triângulos PAC e PBD, é possível obtemos a seguinte relação:

Se de um ponto P exterior a uma circunferência traçarmos duas retas tangentes à mesma nos pontos A e B, então as medidas dos segmentos PA e PB são iguais. Observe a figura a seguir:

PA ⋅ PB = PC ⋅ PD

Relação entre dois segmentos secantes A seguir, temos uma circunferência e um ponto P no seu exterior. Note que os triângulos retângulos POA e POB são congruentes. Assim, temos que: nn Os nn O

segmentos PA e PB são congruentes.

ˆ segmento PO é a bissetriz do ângulo APB.

Note que o ângulo formado pela reta tangente e o raio no ponto de tangência é 90°. Nessa figura, o ponto P é o ponto de intersecção dos segmentos secantes PB e PD . Assim, por meio da semelhança entre os triângulos PBC e PDA, é possível obtemos a seguinte relação:

PA ⋅ PB = PC ⋅ PD

Quadrilátero circunscrito (teorema de Pitot) Dizemos que um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência. Observe a figura a seguir:

Na figura a seguir, temos uma circunferência e um ponto P no seu exterior.

Nessa situação, temos que a soma das medidas dos lados opostos é constante, ou seja:

AB + CD = AD + BC 357

D20  Relações métricas na circunferência

Relação entre um segmento secante e um segmento tangente

Matemática

EXEMPLOS 01. Na figura a seguir, observamos as cordas AB e CD da circunferência de centro O que se interceptam no ponto P.

RESOLUÇÃO Fazendo AD = x , temos o seguinte esquema:

Daí, temos que: 6 – x + 8 – x = 10 ⇒ x = 2 Calcule a medida de PC sabendo que PA = 6 cm, PB = 8 cm e PD = 12 cm.

Portanto, o segmento AD mede 2 cm. 04. Na figura a seguir, temos um segmento secante PB e um segmento

RESOLUÇÃO

tangente PC à circunferência de centro O.

Sendo x a medida de PC , temos que: PA ⋅ PB = PC ⋅ PD ⇒ 6 ⋅ 8 = x ⋅ 12 ⇒ x = 4

Portanto, a medida de PC é igual a 4 cm. 02. Na figura a seguir, temos dois segmentos PB e PD secantes à circunferência de centro O.

Calcule a medida de PC sabendo que PA = 4 cm e AB = 12 cm. RESOLUÇÃO Sendo x a medida de PC , temos que: = PA ⋅ PB

Calcule a medida de PC sabendo que PA = 6 cm, AB = 8 cm e CD = 5 cm. RESOLUÇÃO

(PC )

⇒ 4 ⋅ 16 = x2 ⇒ x = 8

Portanto, a medida de PC é igual a 8 cm. 05. Na figura a seguir, o quadrilátero ABCD é circunscritível à circunferência de centro O. As medidas dos segmentos AB = 9 m, BC = 4 m, CD = 5 m.

Sendo x a medida de PC , temos que:

D20  Relações métricas na circunferência

PA ⋅ PB = PC ⋅ PD ⇒ 6 × 14 = x ⋅ ( x + 5) ⇒ x = 7 Portanto, a medida de PC é igual a 7 cm. 03. Na figura a seguir, determine a medida do segmento AD, sabendo que a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC, e que os lados AB , AC e BC medem, respectivamente 6 cm, 8 cm e 10 cm. Calcule a medida de AD . RESOLUÇÃO Fazendo AD = x , temos que: AB + CD = AD + BC ⇒ 9 + 5 = x + 4 ⇒ x = 10

Portanto, a medida de AD é 10 m.

358

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de x nas circunferências a seguir: a) 6

b) 9 c) 4

04. Na figura a seguir, temos uma circunferência de centro O que tangencia os lados AB , BC e AC nos pontos E, D e F, respectivamente.

Sabendo que as medidas de AB , BC e AC são, respectivamente 15 cm, 26 cm e 21 cm, calcule a medida x do segmento BD . 10 cm 05. Na figura a seguir, temos duas circunferências de centros A e B tangentes entre si no ponto T e tangentes a uma reta r 02. Calcule o valor de x nas circunferências a seguir: a) 11

nos pontos C e D.

b) 20 c) 24

Calcule a medida de CD , sabendo que os raios dessas circunferências medem 18 cm e 8 cm. 24 cm 06. Na figura a seguir, temos um quadrilátero circunscrito a uma circunferência de centro O. As medidas dos seus lados são AB = 17 cm, BC = 15 cm e CD = 12 cm.

D20  Relações métricas na circunferência

03. Na figura a seguir, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC, AD = 6 m, BE = 4 m e CF = 3 m.

Calcule a medida do lado AD . 14 cm Qual é o perímetro do triângulo ABC? 26 m

359

Matemática

Exercícios Complementares 01. Na figura a seguir, temos uma circunferência de centro O.

Sabendo que as cordas AB e CD se interceptam no ponto P, calcule o valor de x. 4 02. (Cesgranrio RJ) Na figura a seguir, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AD = 4 cm e o ponto O é o centro da circunferência.

04. (UFCE) Duas tangentes são traçadas a um círculo de um ponto exterior A e tocam o círculo nos pontos B e C, respectivamente. Uma terceira tangente intercepta o segmento AB em P e AC em R e toca o círculo em Q.

Se AB = 20 cm, então o perímetro do triângulo APR, em cm, é igual a: a) 39,5 c) 40,5 e) 41,5 b) 40 d) 41 05. Na figura seguir, temos um quadrilátero ABCD circunscrito a uma circunferência de centro O. As medidas dos lados desse quadrilátero são dadas, em metros, por AB = 16, CD = 13, BC = 2x + 1 e AD = 3x + 8.

O perímetro do triângulo AOC mede, em cm: a) 36 d) 50 b) 45 e) 54 c) 48 03. (Ibmec SP) Na figura, AB é diâmetro da circunferência de  centro O e raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa circunferência.

Calcule: a) O valor de x. 4 cm b) O perímetro do quadrilátero ABCD. 58 cm

D20  Relações métricas na circunferência

06. (UFF RJ) Seja MNPQ um quadrado de lado igual a 2 cm. Considere C o círculo que contém os vértices P e Q do quadrado e o ponto médio do lado MN (ponto T). Veja a figura a seguir:

Se a medida do segmento PQ é 3 cm, então o segmento BQ mede, em centímetros: a) 4 2

d) 6

b) 3 6

e) 5

c) 2 10

360

Determine o raio do círculo C. 5/4 cm

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Enem MEC) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada: a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada. c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada. d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.

04. (Cesgranrio RJ) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que ˆ é 20° e a passa por R. Sabendo-se que a medida do ângulo ORP ˆ ˆ mede: medida do ângulo ROQ é 80°, tem-se que o ângulo PQO a) 20° c) 70° e) 60° b) 40° d) 50° 05. (FGV SP) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente.

02. (UFRN) No protótipo antigo de uma bicicleta, conforme figura abaixo, a roda maior tem 55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de raio.

� na circunferência construída é: A medida do menor arco BE a) 72° c) 120° e) 144° b) 108° d) 135°

O número mínimo de voltas completas da roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é: a) 5 voltas c) 9 voltas b) 7 voltas d) 11 voltas

06. (Ufu MG) Um polígono circunscreve um círculo, conforme figura a seguir.

03. (UFGO) Deseja-se marcar nas trajetórias circulares concêntricas, representadas na figura abaixo, os pontos A e B, de modo que dois móveis partindo, respectivamente, dos pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem.

Sabendo-se que AB = 4 cm, CD = 5 cm, DE = 6 cm e FA = 3 cm, então, BC - EF é igual a: a) 2 cm b) 1 cm c) 0 cm d) 3 cm

Considerando que o ponto A deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m do centro, o valor do ângulo α, em graus, será igual a: a) 30 c) 45 e) 72 b) 36 d) 60

07. (ITA SP) Num trapézio retângulo circunscritível, a soma do dois lados paralelos é igual a 18 cm e a diferença dos dois outros lados é igual a 2 cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio, então a soma a + r (em cm) é igual a: a) 12 c) 10 e) 8 b) 11 d) 9 361

shutterstock.com/Por zapomicron

FRENTE

Ilustração da frase, em inglês, “Só sei que nada sei”, às vezes chamada de paradoxo socrático.

MATEMÁTICA Por falar nisso O filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático. Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: “Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.” É obvio que Aquiles vai alcançar a tartaruga. Tal paradoxo surge ao supor intuitivamente que a soma de infinitos intervalos de tempo é infinita, de tal forma que seria necessário passar um tempo infinito para que Aquiles alcance a tartaruga. A solução clássica desse paradoxo envolve a utilização do conceito de limite e convergência da soma dos infinitos termos de uma sequência denominada progressão geométrica. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

E17 E18 E19 E20

Progressões geométricas – Termo geral...........................................................364 Progressões geométricas – Propriedades.........................................................367 Progressões geométricas – Soma dos n primeiros termos ��370 Progressões geométricas – Soma dos termos de uma PG infinita ..................373

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E17

ASSUNTOS ABORDADOS nn Progressão geométrica – Termo

geral

nn Definição nn Classificação nn Termo geral

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – TERMO GERAL O cartão de crédito é uma forma de pagamento eletrônico de bens e serviços pelo valor à vista em estabelecimentos comerciais credenciados. É inegável a comodidade, segurança e agilidade que as compras com o cartão de crédito proporcionam. Porém, é preciso usá-lo com responsabilidade. Incorporar o limite do cartão à renda familiar pode trazer consequências bastante desagradáveis. O fato de pagar apenas uma parte da fatura implica arcar com juros extremamente altos, por volta de 400% ao ano. Assim, suponha que uma pessoa use o cartão de crédito para fazer uma compra no valor de R$ 100,00 e não pague nenhuma fatura referente à essa dívida. Se os juros e encargos financeiros cobrados pela administradora do cartão fazem a dívida quintuplicar a cada ano, temos que a dívida será: um ano: 100 ⋅ 5 = 500 reais. dois anos: 500 ⋅ 5 = 2 500 reais. nn Após três anos: 2 500 ⋅ 5 = 12 500 reais. nn Após quatro anos: 12 500 ⋅ 5 = 62 500 reais. nn Após nn Após

A essa situação, podemos associar a seguinte sequência numérica:

Fonte: shutterstock.com/Por Syda Productions

(500, 2 500, 12 500, 62 500, ...)

364

Nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por um mesmo número. A essa sequência numérica, dá-se o nome de progressão geométrica, ou abreviadamente, PG. Nesta aula, iremos abordar uma expressão muito importante no estudo das progressões geométricas chamada de termo geral.

Matemática e suas Tecnologias

Definição

nn (24,

De maneira geral, progressão geométrica é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma constante chamada razão da progressão. Por exemplo: Na sequência (2, 6, 18, 54, 162, ...) cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado pelo número 3, que é a razão dessa progressão. Note que para obter a razão de uma progressão geométrica basta dividir qualquer termo, a partir do segundo, pelo termo anterior. Assim, na PG genérica (a1, a2, a3, a4, ..., an) de razão q, temos que: a2 a3 a4 = = = ...= q. a1 a2 a3

12, 6, 3, ...) é uma PG decrescente com a1 > 0 e 0 < q < 1.

Progressão geométrica constante É uma progressão geométrica em que todos os termos são iguais. Para que isso ocorra, basta que sua razão seja igual a 1. Por exemplo: nn (2, 2, 2, 2, ...) é uma PG constante pois sua razão é q = 1.

Progressão geométrica alternante (ou oscilante) É uma progressão geométrica em que todos os termos são, alternadamente, de sinais contrários. Para que isso ocorra, basta que sua razão seja negativa. Por exemplo: nn (3, -6, 12, -24, ...) é uma PG alternante pois sua razão

é q = -2 < 0.

Termo geral

Classificação As progressões geométricas podem ser classificadas em crescentes, decrescentes, constantes ou alternantes. Progressão geométrica crescente É uma progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo imediatamente anterior. Para que isso ocorra podemos ter duas situações. Por exemplo: nn (3, 6, 12, 24, ...) é uma PG crescente com a1 > 0 e q > 1.

-12, -6, -3, ...) é uma PG crescente com a1 < 0 e 0 < q < 1.

nn (-24,

O termo geral de uma progressão geométrica é uma fórmula que relaciona cada um dos seus termos e sua respectiva posição. Considerando a PG genérica de razão q a seguir, temos que: (a1, a2, a3, a4, ..., an) = a1 ⋅ q = a2 ⋅ q = (a1 ⋅ q) ⋅ q = a1 ⋅ q2 nn a4 = a3 ⋅ q = (a1 ⋅ q2) ⋅ q = a1 ⋅ q3 nn a5 = a4 ⋅ q = (a1 ⋅ q3) ⋅ q = a1 ⋅ q4 nn a2 nn a3

Note que o termo que ocupa a posição n é igual ao primeiro termo multiplicado (n – 1) vezes a razão, ou seja:

Progressão geométrica decrescente É uma progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo imediatamente anterior. Para que isso ocorra podemos ter duas situações.

an = a1 ⋅ qn – 1

Sendo que: nn a1

é o 1º termo. é o n-ésimo termo. nn n é a posição do n-ésimo termo. nn q é a razão. nn an

Por exemplo: -6, -12, -24, ...) é uma PG decrescente com a1 < 0 e q > 1.

nn (-3,

01. Escreva os quatro primeiros termos das progressões geométricas a seguir, tais que: a) O primeiro termo é 1 e a razão é 6. b) O terceiro termo é -24 e a razão é 3. RESOLUÇÃO a) (1, 6, 36, 216) b) (-8/3, -8, -24, -72) 02. Dada a PG (x + 1, x + 4, x + 10, ...) determine o valor de x e, em seguida, a sua razão.

E17  Progressão geométrica – Termo geral

EXEMPLOS RESOLUÇÃO Em uma PG, temos que:

a2 a3 = . Daí, temos que: a1 a2

x + 4 x + 10 = ⇒ x2 + 4x + 4x + 16 = x2 + 10x + x + 10 x +1 x + 4 8x + 16 = 11x + 10 ⇒ x = 2. Substituindo na PG, temos que: (3, 6, 12, ...) e sua razão é q=

6 = 2. 3

365

Matemática

04. Escreva a PG em que a3 = 16 e a6 = 1 024.

Portanto, x = 2 e razão q = 2. 03. Dada a PG (5, 10, 20, ..., 1 280), determine. a) O seu sétimo termo. b) A quantidade de termos.

RESOLUÇÃO Fazendo n = 3 em an = a1 ⋅ qn – 1, temos que:

RESOLUÇÃO a) A razão da PG é q = 10/5 = 2. Fazendo n = 7 em an = a1 ⋅ qn – 1, temos que: a7 = a1 ⋅ q = 5 ⋅ 2 = 320 6

a3 = a1 ⋅ q2 ⇒ a1 ⋅ q2 = 16 Fazendo n = 6 em an = a1 ⋅ qn – 1, temos que: a6 = a1 ⋅ q5 ⇒ a1 ⋅ q5 = 1 024 Daí, obtemos o sistema a seguir:

Portanto, o sétimo termo é 320. b) Fazendo an = 1 280 em an = a1 ⋅ qn – 1, temos que: 1 280 = 5⋅2n – 1 ⇒ 256 = 2n – 1 ⇒ 28 = 2n – 1 ⇒ n = 9 (posição do último termo) Portanto, a PG tem 9 termos.

2 16 a1 ⋅ q =  5 1024 a1 ⋅ q =

Resolvendo o sistema, obtém-se a1 = 1 e q = 4. Portanto, a PG é (1, 4, 16, 64, ...)

Exercícios de Fixação 01. Dada a PG (x – 5, x – 3, x + 3, ...), determine: a) O valor numérico de x. 6 b) A sua razão. 3 02. As sequências (x, y, 9) e (x, y, 12) são, respectivamente, uma progressão aritmética e uma progressão geométrica, ambas decrescentes. Determine os valores numéricos de x e y. x = 27 e y = 18

03. Responda aos itens a seguir: a) Qual é o 12° termo da PG (256, 128, ...)? 1/8 b) Quantos termos tem a PG (3, 6, 12, ..., 1 536)? 10

04. Na sequência de triângulos a seguir, cada novo triângulo tem seus vértices nos pontos médios do triângulo anterior.

Sabendo-se que a área do 1º triângulo é 72 cm2, calcule: a) A área do terceiro triângulo. 9/8 cm2 b) A área do n-ésimo quadrado. 72 ⋅ 0,25n – 1 05. Responda aos itens a seguir: a) Qual é 6º termo da PG (an) tal que a3 = 32 e a8 = 1 024? b) Qual é a razão e o primeiro termo de PG (an) em que a3 + a5 = 180 e a2 + a4 = 60? a) 256 b) a1 = 2 e q = 3

E17  Progressão geométrica – Termo geral

Exercícios Complementares 01. (Puc RJ) João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos a mais que a do meio que por sua vez tem sete anos mais que a caçula. João observou que as idades delas formam uma progressão geométrica. Quais são as idades delas? 49 anos, 56 anos e 64 anos

02. (UnB DF) Os números a1, a2, a3, ..., an estão em progressão aritmética e b1, b2, b3, ..., bm estão em progressão geométrica de razão q. Ambas estritamente crescentes. a1 = b1  Sabendo que a3 = b2 calcule a soma 1 + q2 + q4. 91 a = b 3  9

03. (UFBA) Em uma progressão geométrica, o primeiro termo é igual a 7 500, e o quarto termo é igual a 20% do terceiro. Determine o quinto termo da progressão. 12

366

04. (UFRJ) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da progressão. 10 05. Qual o primeiro termo e a razão de uma PG tal que

-6 a1 + a2 + a3 = ?  48 a4 + a5 + a6 =

a1 = q = -2

06. (Enem MEC) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000° C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 minutos. Use 0,477 como aproximação para log 3 e 1,041 como aproximação para log 11. O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30° C é mais próximo de: a) 22 c) 100 e) 400 b) 50 d) 200

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E18

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – PROPRIEDADES

#TÁ NA MÍDIA

A Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel) registrou, em abril de 2017, um total de 18.761.356 assinantes de TV paga no Brasil, o que corresponde a uma diminuição de 171.233 (-0,90%) em comparação com março de 2017. Nos últimos doze meses, a redução foi de 147.471 assinantes (-0,78%). Dos grupos acompanhados pela Agência, a Oi apresentou o maior crescimento de março a abril e nos últimos doze meses, 1,63% e 15,78% respectivamente. Claro/NET e Vivo apresentaram redução em ambos os períodos. Em relação às tecnologias, entre março e abril de 2017, a fibra ótica apresentou crescimento de 0,14%. Todas as outras tecnologias apresentaram redução. No entanto, em doze meses a fibra ótica registrou crescimento de 20,60% e o número de usuários receptores de satélites se manteve praticamente estável (+0,19%). Todos os estados brasileiros apresentaram, entre março e abril de 2017, redução no número de assinantes de TV paga. No entanto, na comparação entre abril deste ano e abril de 2016, Piauí, com 9,66%, Maranhão, com 7,32% e Rio Grande do Norte, com 6,26% lideraram o crescimento. A Agência disponibiliza informações mais detalhadas sobre os acessos dos Serviços de TV por Assinatura na área de Dados do portal da Anatel (http://ftp.anatel.gov.br/dados/) e no endereço dados.gov.br. Há planilhas contendo dados por empresa, grupo econômico, município, região, tecnologia e unidade da federação. Os dados foram divulgados em 13 de junho de 2017 e podem sofrer alterações.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Progressão geométrica – Pro-

priedades

nn Propriedades nn Interpolação geométrica

Fonte: http://www.anatel.gov.br/dados/destaque-1/215-destaque-3 Acesso: Julho de 2017

Figura 01 - Ilustração do controle remoto utilizado pelos usuários de TV paga.

367

Matemática

Assim, suponha que a quantidade de assinantes de TV paga em um determinado bairro diminui mês a mês segundo uma taxa constante (progressão geométrica). Na tabela a seguir, temos o número de assinantes nos meses de fevereiro e abril. Mês

Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Número de assinantes

......

1.728

.....

1.00

Por exemplo: Na PG (1, 3, 9, 27, 81), temos que: 1 ⋅ 81 = 3 ⋅ 27 = 9 ⋅ 9 = 81 3ª Propriedade: Toda progressão geométrica de três termos e razão q pode ser expressa na forma: x   , x, xq  q 

Qual o número de assinantes nos meses de janeiro e março? Para determinar essas quantidades podemos utilizar uma das propriedades das progressões geométricas. Nesta aula, iremos abordar essas propriedades.

4ª Propriedade:

Propriedades

Toda progressão geométrica de quatro termos e razão q2 pode ser expressa na forma:

1ª Propriedade: Em uma progressão geométrica, cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica entre seus termos vizinhos. Por exemplo: Na PG (2, 4, 8, 16, 32), temos que: 42 = 2 ⋅ 8, 82 = 4 ⋅ 16 e 162 = 8 ⋅ 32

 x x 3  3 , , xq, xq  q q 

Interpolação geométrica Interpolar, ou inserir n meios geométricos entre dois números reais a e b, significa obter uma progressão geométrica com n + 2 termos e extremos a e b.

2ª Propriedade:

Por exemplo:

Em uma progressão geométrica, o produto de dois termos equidistantes dos termos extremos é constante e igual ao produto dos termos extremos.

Vamos inserir 4 meios geométricos entre 2 e 32. Isso significa obter uma progressão geométrica (2, __, __, __, __, 32). Para isso, basta determinar o valor da razão.

EXEMPLOS 01. Obtenha três termos em PG crescente de três termos cuja soma é 26 e o produto é 216. RESOLUÇÃO

x  Três termos em PG:  ,x,x ⋅ q  q  Daí, temos que: E18  Progressão geométrica – Propriedades

6   , 6, 6 ⋅ 3  ⇒ ( 2, 6, 18 ) 3  Portanto a PG é (2, 6, 18) 02. Inserir 2 meios geométricos entre 3 e -24.

x 26  q + x + x ⋅ q =  x ⋅ x ⋅ x ⋅q = 216  q Na 2ª equação, temos que: x3 = 216 ⇒ x = 6 Substituindo na 1ª equação, temos que: 6 + 6 + 6q = 26 ⇒ 6q2 – 20q + 6 ⇒ q’ = 3 e q” = 1/3. q Para uma PG é crescente, x = 6 e q = 3.

368

x  Substituindo em  ,x,x ⋅ q  temos: q 

RESOLUÇÃO Inserir 2 meios geométricos entre 3 e -24, significa obter uma PG da forma: (3, __, __, -24) Nessa PG, temos que a1 = 3 e a4 = -24. Fazendo n = 4 em an = a1 ⋅ qn – 1, temos: a4 = a1 ⋅ q3 ⇒ -24 = 3 ⋅ q4 ⇒ q3 = -8 ⇒ q = -2 Portanto, a PG é (3, -6, 12, -18).

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Determine três termos em PG tais que: a) (2, 4, 8) b) (3, 9, 27) a) A soma desses termos é 14 e o produto é 64. b) A soma desses termos é 39 e o produto é 729. 02. Calcule o produto xy em cada PG. a) 243

b) 256

a) (3, x, y, 81) b) (x, 4, 8, 16, 32, 64, y) 03. Insira quatro meios geométricos entre -10 e -320. (-10, -20, -40, -80, 160, -320)

04. Insira três meios geométricos entre 36 e 4/9. (36, 12, 4, 4/3, 4/9) ou (36, -12, 4, -4/3, 4/9)

05. (UFRGS) Para fazer a aposta mínima na megassena uma pessoa deve escolher 6 números diferentes em um cartão de apostas que contém os números de 1 a 60. Uma pessoa escolheu os números de sua aposta, formando uma progressão geométrica de razão inteira. Com esse critério, é correto afirmar que: a) essa pessoa apostou no número 1. b) a razão da PG é maior do que 3. c) essa pessoa apostou no número 60. d) a razão da PG é 3. e) essa pessoa apostou somente em números ímpares.

Exercícios Complementares

02. (Mackenzie SP) Se numa progressão geométrica a1 ⋅ a4 ⋅ a16 = 312, então o produto a5 ⋅ a9 vale: a) 3² b) 310 c) 34 d) 38 e) 36 03. (UFRN) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Aos 10 anos de idade, ele apresentou uma solução genial para somar os números inteiros de 1 a 100. A solução apresentada por Gauss foi 5 050, obtida multiplicando-se 101 por 50, como sugere a figura abaixo.

04. (Fuvest SP) Em um bloco retangular (isto é, paralelepípedo reto retângulo) de volume 27/8, as medidas das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é: a) 7/8 c) 9/8 e) 11/8 b) 8/8 d) 10/8 05. (UEPG PR) Entre 5 e 20 são inseridos três meios geométricos. Sobre a PG resultante, assinale o que for correto. C-C-E-E-E 01. O termo central da PG é um número inteiro. 02. a2 ⋅ a4 = 100. 03. A razão da PG é um número racional. 04. A soma dos termos da PG é um número inteiro. 05. a2 + a4 = 15. 06. (FGV SP) Três números formam uma progressão geométrica. A média aritmética dos dois primeiros é 6, e a do segundo com o terceiro é 18. Sendo assim, a soma dos termos dessa progressão é igual a: a) 18 c) 39 e) 48 b) 36 d) 42 07. (UFGO) No triângulo retângulo mostrado na figura abaixo, os lados a, b, c nesta ordem, formam uma progressão geométrica de razão q.

Usando a ideia de Gauss como inspiração, responda quanto vale o produto a seguir: 1 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 8 ⋅ 16 ⋅ 32 ⋅ 64 ⋅ 128 a) 4129 b) 4128 c) 1294 d) 1284

Mostre que q =

1+ 5 . Demonstração 2

369

E18  Progressão geométrica – Propriedades

01. (Uniube MG) O número que deve ser somado aos termos da sequência (-2, 2, 14) para que esta se transforme numa progressão geométrica é: a) 5 d) -2 b) 4 e) -4 c) 2

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E19

ASSUNTOS ABORDADOS nn Progressão geométrica – Soma

dos n primeiros termos

nn Soma dos n primeiros termos

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS Conta uma antiga lenda sobre a invenção do jogo de xadrez que o rei de certo país ficou tão impressionado ao conhecer o jogo que quis recompensar seu inventor, dando-lhe qualquer coisa que ele pedisse. O inventor, então, disse ao rei: Dê-me simplesmente 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos pela segunda casa, 4 grãos pela terceira casa, 8 grão pela quarta e assim sucessivamente, até a 64a casa do tabuleiro. O rei considerou o pedido bastante simples e ordenou que fosse cumprido. Seria possível pagar tal recompensa? Observe: A quantidade total de grãos de trigo da recompensa é dada pela soma: S = 1 + 2 + 4 + 8 + ... Observe que se trata da soma de 64 termos em progressão geométrica de razão 2. Chamando essa soma de S64, temos que: S64 = 20 + 21 + 22 + ... + 262 + 263 (01) Multiplicando toda equação por 2 (razão da PG), temos que: 2S64 = 21 + 22 + 23 + ... + 263 + 264 (02)

Fonte: shutterstock.com/Por sergign

Figura 01 - Ilustração de uma pessoa mexendo em uma das peças do jogo de xadrez.

370

Matemática e suas Tecnologias

Subtraindo as equações (02) e (01) membro a membro, temos que:

2S64 – S64 = (2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 ) – (2 + 2 + 22 + ... + 262 + 263) 1

Daí, temos que:

Sendo que: nn Sn

é a soma dos n primeiros termos. nn a1 é o 1º termo. nn n é a quantidade de termos somados. Demonstração:

2S64 – S64 = 264 – 20 ⇒ S64 = 264 – 1 grãos de trigo. É evidente que é impossível pagar essa recompensa, pois 64 2 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615*.

A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an Essa soma também pode ser expressa por: Sn = a1 + a1q + a1q2 + ... + a1qn – 1 (1)

*Lê-se: 18 quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos

Multiplicando todos os termos da equação (1) por q, temos:

e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil, seiscentos e quinze.

Soma dos n primeiros termos Dada a PG (a1, a2, a3, a4, ..., an) de razão q ≠ 1, a soma Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an dos seus n termos é dada por: Sn =

a1 ⋅ ( qn - 1 ) q-1

q ⋅ Sn = a1q + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn (2) Subtraindo (2) e (1), nessa ordem, membro a membro, temos: qSn – Sn = (a1q + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn) – (a1 + a1q + a1q2 + ... + a1qn–1) Daí, temos que: qSn – Sn = a1q – a1 ⇒ Sn⋅(q – 1)= a1⋅(q – a1) ⇒ Sn = n

a1 ⋅ ( qn - 1 ) q-1

EXEMPLOS 02. Dada a PG (1, 3, 9, ...), calcule o número de termos que devem ser somados para que a soma seja igual a 29 524.

RESOLUÇÃO

Fazendo n = 20 em Sn =

a1 ⋅ ( qn - 1 ) q-1

, temos:

1 ⋅ ( 220 - 1 ) 20 = 2 -1 2 -1

S= 20

Portanto, a soma dos 20 primeiros termos é 220 – 1.

RESOLUÇÃO Fazendo Sn = 29 524 em Sn =

29 524 =

1 ⋅ ( 3n - 1 ) 3 -1

a1 ⋅ ( qn - 1 ) q-1

, temos:

⇒ 3n = 59 049 ⇒ 3n = 310 ⇒ n = 10

Portanto, devemos somar 10 termos.

Exercícios de Fixação 01. Calcule: a) A soma dos 10 primeiros termos da progressão geométrica (2, 4, 8, ...). 2 046 b) A soma dos 10 primeiros termos da progressão geométrica (1, -3, 9, ...). 1 + 3

02. Considere a PG (5, 50, ..., 500 000) para responder aos itens a seguir: a) 6 b) 555 555 a) Qual o número de termos dessa PG? b) Qual a soma de todos os seus termos? 03. (Acafe SC) O vazamento em um tanque de água provocou a perda de 2 litros de água no primeiro dia. Como o orifício

responsável pela perda ia aumentando, no dia seguinte o vazamento foi o dobro do dia anterior. Se essa perda foi dobrando a cada dia, o número total de litros de água perdidos, até o 10º dia, foi de: a) 2 046 b) 1 024 c) 1 023 d) 2 048 e) 512 04. Resolva a equação 10x + 20x + 40x + ... 1 280x = 5 100, sabendo que o primeiro membro é uma soma de PG. S = {2} 371

E19  Progressão geométrica – Soma dos n primeiros termos

01. Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PG (1, 2, 4, ...).

Matemática

Exercícios Complementares 01. (Uerj RJ) Numa reserva florestal foram computados 3 645 coelhos. Uma determinada infecção alastra-se de modo que, ao final do primeiro dia, há cinco coelhos infectados e, a cada cinco dias, o número total de coelhos infectados triplica. a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao final do 21º dia. 405 coelhos b) Calcule o número mínimo de dias necessário para que toda a população de coelhos esteja infectada. 31 dias 02. (UEGO) A fim de divulgar um evento para jovens, o grupo responsável pela organização resolveu utilizar torpedos- mensagens pelo celular. Para isso, no primeiro dia, enviou mensagens para três jovens e cada um deveria retransmiti-la, no dia seguinte, a outros três e assim por diante. Determine: a) 243 mensagens b) 1 092 mensagens

a) Quantas mensagens deverão ser enviadas no quinto dia. b) O número total de mensagens enviadas até o sexto dia. 03. (Unesp SP) No dia 1 de dezembro, uma pessoa enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia 1 enviou a mesma para outras duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também enviou a mesma para outras duas novas pessoas. E, assim, sucessivamente. Se, do dia 1 até o final do dia 6 de dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é:

E19  Progressão geométrica – Soma dos n primeiros termos

a) 12 b) 24 c) 52 d) 63 e) 126 04. (Uepa PA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24.000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4.000,00 e a quarta parcela de R$ 1.000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro? R$ 8.500,00 05. (Mackenzie SP) Numa progressão geométrica de 50 termos, a soma dos termos de ordem impar é o triplo da soma dos termos de ordem par. Se o primeiro termo é 9, o terceiro termo é: a) 1 b) 3 c) 9 d) 18 e) 27

372

06. (Unicamp SP) Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule: a) O número total de questões da referida prova. 8 questões b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas as questões da prova. 127, 5 minutos 07. (Uniube MG) Considere a sequência ordenada de números reais 101/12, 102/12, 103/12, ...10n/12, .... O menor número natural n, tal que o produto dos primeiros n termos dessa sequência seja maior que 100 000, é igual a: a) 11 b) 10 c) 120 d) 121 08. (UFBA) Um jogador faz uma série de apostas e, na primeira vez, perde R$ 1,00; na segunda, duplica a aposta e perde R$ 2,00; na terceira, duplica a aposta anterior e perde R$ 4,00; e assim, sucessivamente, até ter perdido um total de R$ 255,00. Calcule quantas vezes o jogador apostou. 8 vezes

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E20

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA – SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA O Bungee jumping, também conhecido como ioiô humano, é um esporte radical praticado por várias pessoas corajosas em todo o mundo. Nesse esporte, o atleta executa saltos de pontes, balões, torres, helicópteros ou guindastes amarrado pelos tornozelos ou cintura a um cabo elástico.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Progressão geométrica – Soma

dos termos de uma pg infinita

nn Soma dos termos de uma pg infinita

A ideia que originou o Bungee jumping surgiu a partir de um ritual milenar praticado pelos nativos da ilha de Pentecostes, em Vanuatu, em comemoração à colheita de inhames. Eles se atiravam de grandes alturas presos a um tipo de cipó amarrado nos seus tornozelos. No Brasil, uma boa alternativa pra quem quer pular de Bungee jumping é a Ponte Férrea, Mairinque – SP, onde se pode fazer um salto de 50 metros de altura diante de uma bela vista para a cidade de Mairinque. Assim, suponha que um indivíduo salta de um Bungee jumping e percorre na primeira descida 80 metros, em seguida, cada vez que o cabo elástico é esticado ao máximo, o atleta sobe 3/4 de sua altura anterior. Sabendo que esse movimento será realizado uma infinidade de vezes até parar, qual a distância total percorrida por esse atleta? nn Na

primeira descida, ele percorre 80 m.

3 3 ⋅ 80 + ⋅ 80 = 60 + 60 = 120 m. 4 4 3 3 nn Na segunda subida e posterior descida, ele percorre ⋅ 60 + ⋅ 60 = 45 + 45 = 90 m. 4 4 nn Na terceira subida e posterior descida, ele percorre nn Na primeira subida e posterior descida, ele percorre

Fonte: shutterstock.com/Por Pumpchn

3 3 ⋅ 45 + ⋅ 45 = 33,75 + 33,75 = 67,50 m. 4 4 nn E

assim, sucessivamente.

Figura 01 - Ilustração

de uma pessoa praticando Bungee Jumping na Nova Zelândia.

373

Matemática

Assim, a distância total percorrida será dada pela soma dos infinitos termos:

Daí, quando n cresce indefinidamente, tem-se a seguinte situação:

S = 80 + 120 + 90 + 67,50 + ...  

  1 n  Sn =8 ⋅ 1 -    =8 ⋅ (1 - 0 ) =8   2  

Note que 120 + 90 + 67,50 + ... é a soma de infinitos dos termos de uma PG de razão 3/4. Nesta aula, iremos abordar a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita.

De maneira geral, em uma PG com infinitos termos de razão q, tal que-1 < q < 1, a soma desses infinitos termos convergem para um valor finito. Esse valor é dado por:

PG inf inita

Soma dos termos de uma pg infinita 1   Considere a progressão geométrica  4, 2, 1, , ...  na 2   qual temos a1 = 4 e q = 1/2. Já sabemos que a soma de seus n primeiros termos é dada por:

a1 1-q

Sendo que: nn S∞

é a soma dos infinitos termos. nn a1 é o 1º termo. nn q é a razão. Demonstração:

 1 n  4.   - 1  n  2   =8 ⋅ 1 -  1   Sn =      1   2   -1 2

Já sabemos que a soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por:

Calculando a soma dos 8, 9, 10 e 11 primeiros termos, com aproximação até os milésimos, temos os seguintes valores:

Nessa expressão, para -1 < q < 1, quando n cresce indefinidamente, ou seja, tende ao infinito (n → ∞), o termo qn se aproxima cada vez mais de zero, ou seja, tende a zero (qn → 0).

nn Soma

dos 8 primeiros termos é S8 = 7,969. dos 9 primeiros termos é S9 = 7,984. nn Soma dos 10 primeiros termos é S10 = 7,992. nn Soma dos 11 primeiros termos é S10 = 7,996. nn Soma

E20  Progressão geométrica – Soma dos termos de uma pg infinita

S∞ =

Note que os resultados obtidos sugerem que quanto maior a quantidade de termos somados, mais próximo de 8 é o resultado da soma. Tal fato realmente ocorre, pois quanto maior n 1 o valor de n, mais o termo   se aproxima de zero. 2

Sn =

a1 .( qn - 1 ) q-1

Daí, temos que: Sn =

a1 .( qn - 1 ) q-1

⇒ S∞ =

a1 ⋅ ( 0 - 1 ) q-1

Portanto, temos que:

S∞ =

a1 , com -1 < q < 1. 1-q

EXEMPLOS 3 3 3 01. Calcule o valor da soma S =6 + + + + ... 2 8 16 RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO Trata-se da soma dos termos de uma PG infinita em que a1 = x e q = 1/3 e S∞ = 84. Daí, temos: S∞ =

S é a soma dos termos de uma PG infinita em que a1 = 6 e q = 1/4. Seu valor é dado por: = S

a1 6 6 = = = 8 1-q 1- 1 3 4 4

x 3x = 84 ⇒ = 84 ⇒ x = 56 2 2 3

Portanto, S = 8.

x x x 84 02. Resolva a equação x + + + + ... = 3 9 27

374

a1 x ⇒ =84 1-q 1-1 3

Portanto, S = {56}.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Responda aos itens a seguir: a) Qual é a soma dos termos da progressão geométrica (12, 4, 4/3, ...)? 18 b) Qual é a soma dos termos da progressão geométrica (60, 15, 15/4, ...)? 80 02. Calcule o valor de: a) 20 – 4 + 4/5 + ... 50/3 b) 4 – 2 + 1 – 1/2 + ... 8/3 c) -9 + 6 – 4 + ... -27/5 03. (UFRRJ) O motorista de um automóvel, dirigindo-se para a Universidade Rural, avistou um quebra-molas a 50 metros de distância. Imediatamente começou a frear. Após o início da freada, o veículo percorreu 30 metros no primeiro segun-

do e, a cada segundo seguinte, percorreu 1/5 da distância percorrida no segundo anterior, até parar. A que distância do quebra-molas o veículo parou? 12,5 m 04. Resolva as equações: a) 80x + 40x + 20x + ... = 320 S = {2} x x x b) x - + - + ... = 36 S = {48} 3 9 27 c) x +

x2 x3 x 4 4 + + + ... =S = {4/7} 2 4 8 5

05. (Puc MG) S = 2 + 3/2 + 9/8 + 27/32 + ... é a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica. O valor de 3 S é: a) 2 c) 6 e) n.d.a. b) 4 d) 8

Exercícios Complementares 01. (IF RS) O quadrado ABCD abaixo tem 6 cm de lado e E, F, G e H são pontos médios de seus lados.

03. (UFJF MG) Uma bola de borracha cai de uma altura de 30 m. Após o choque com o solo, a bola sobe a uma altura igual a 1/3 da altura anterior. Se deixarmos a bola subir e descer sem interrupção, qual será a distância total, em metros, percorrida por ela? 60 m 04. (UFF RJ) Considere 2

Considerando os quadrados hachurados, se o padrão de construção dos mesmos seguir infinitamente (com cada lado sempre igual à metade do lado do quadrado imediatamente maior), então a área da região hachurada seria dada por: a) 9 cm2 d) 15 cm2 2 b) 10 cm e) 16 cm2 2 c) 12 cm 02. (UFRRJ) Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água? 1 minuto

( x - 1)

+ ...

Determine os valores de x que tornam S = 2. a) 1 e 0 b) 1 e 3 c) 3 e 0 d) 2 e 0 e) 2 e 3 05. (Mackenzie SP) Numa sequência infinita de círculos, cada círculo, a partir do segundo, tem raio igual à metade do raio do círculo anterior. Se o primeiro círculo tem raio 4, então a soma das áreas de todos os círculos é: a) 12π d) 32π b) 15π/4 e) 32π/3 c) 64π/3 06. (Uepi PI) A sequência S = (1, -2/3, 1/2, -1/3, 1/4, -1/6, 1/8, -1/12, ...) tem soma de valor: a) zero b) 1/3 c) 1/2 d) 2/3 e) infinito

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E20  Progressão geométrica – Soma dos termos de uma pg infinita

S= ( x - 1) +

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Enem MEC) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥ 1? -1

a) P(t) = 0,5 ⋅ t + 8 000 b) P(t) = 50 ⋅ t -1 + 8 000 c) P(t) = 4.000 ⋅ t -1 + 8 000 d)= P(t) 8 000 ⋅ (0,5)t-1 e)= P(t) 8 000 ⋅ (1,5)t-1 02. (Puc RJ) Um senhor tem a anos de idade, seu filho tem f anos de idade e seu neto, n. Sobre estes valores, podemos afirmar: a) É impossível que a, f e n estejam em progressão aritmética. b) É impossível que a, f e n estejam em progressão geométrica. c) É impossível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão aritmética e geométrica. d) É possível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão aritmética e geométrica. e) É possível que a, f e n estejam em progressão aritmética, mas é impossível que estejam em progressão geométrica. 03. (Uel PR) Leia o texto a seguir. Por que não dividir um segmento unitário em duas partes iguais? A resposta é que, simplesmente, com a igualdade não existe diferença, e sem diferença não há universo perceptivo. O “número de ouro” é uma razão constante derivada de uma relação geométrica que os antigos chamavam de “áurea” ou de divisão perfeita, e os cristãos relacionaram este símbolo proporcional com o Filho de Deus. (Adaptado de: LAWLOR, R. Mitos – Deuses – Mistérios – Geometria Sagrada. Madrid: Edições del Prado, 1996. p.46.)

O número de ouro, denotado pela letra grega ϕ , é definido como a única raiz positiva da equação a seguir. x2 = x + 1 Com base no texto e na definição do número de ouro, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmativas a seguir. 01. 2φ = 1 + 5 02. O número de ouro φ pode ser expresso como um quociente de números inteiros não nulos. 376

03. Os números φ, φ + 1, 2φ + 1 estão em progressão geométrica de razão φ. 04. φ-1 = φ – 1. 05. φ não pode ser expresso através de uma equação, por ser derivado de uma relação geométrica. Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta. a) V, V, V, F, F. c) V, F, F, F, V. e) F, V, F, V, F. b) V, F, V, V, F. d) F, V, V, F, V. 04. (Unicamp SP) Seja (a, b, c) uma progressão geométrica de números reais com a ≠ 0. Definindo s = a + b + c, o menor valor possível para s/a é igual a: a) 1/2 c) 3/4 b) 2/3 d) 4/5 05. (UFSM) No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas cooperativas. Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir na compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são depositados, no primeiro dia de cada mês, R$ 600,00 em uma aplicação financeira que rende juros compostos de 0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao final de n meses, é: n a) 100 600 ⋅ (1,006 ) - 1 n b) 100 000 ⋅ (1,06 ) - 1 n c) 10 060 ⋅ (1,006 ) - 1 n d) 100 600 ⋅ (1,06 ) - 1 n e) 100 000 ⋅ (1,006 ) - 1

06. (Uerj RJ) Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm3. Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa. Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível. Considerando 210 = 1 000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é: a) 15 b) 16 c) 17 d) 18