Coleção 10 V - Livro 2 - Matemática - Professor by Editora Elabore

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MATEMÁTICA Por falar nisso Durante a Antiguidade, as expressões literais eram muito pouco usadas na representação de números e de suas relações. De acordo com algumas publicações, os gregos Euclides e Aristóteles usaram letras para representar números. Foi a partir do século XIII que o matemático italiano Leonardo Fibonacci, em seu livro Liber Abaci sobre a arte de calcular, começa a observar alguns cálculos algébricos. O uso de letras para se resumir o cálculo algébrico começou a ser sistematizado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567) e pelos matemáticos italianos Girolamo Cardano (1501-1576) e Rafael Bombelli (1526-1572). Posteriormente, foi o matemático francês François Viéte (15401603) que introduziu o uso ordenado de letras em analogias matemáticas. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

A05 A06 A07 A08

Equações redutíveis a equações de 1º e 2º graus........................ 276 Expressões algébricas.................................................................... 280 Produtos notáveis.......................................................................... 283 Fatoração....................................................................................... 286

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MATEMÁTICA

MÓDULO A05

ASSUNTOS ABORDADOS nn Equações redutíveis a equações

de 1º e 2º graus

nn Equação biquadrada nn Equação irracional

EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS Ao ser perguntado sobre a idade atual dos seus dois filhos, o professor Francisco deu a seguinte resposta:

nn Equação produto

A soma dos quadrados das suas idades é 58 e o produto das suas idades é igual a 21.

nn Equação quociente

Quais as idades atuais dos filhos do professor Francisco? Representando as idades por x e y, podemos obter as seguintes sentenças. nn Soma

dos quadrados das idades: x2 + y2 = 58

nn Produto

das idades: x ⋅ y =21

Essas duas equações juntas formam um sistema de duas equações com duas variáveis, que é indicado por: 2 2 58 x + y =  21 x ⋅ y =

nn Isolando

a variável y na 2ª equação temos que: 2

441  21  x2 +   = 58 ⇒ x2 + 2 = 58 x  x  nn Multiplicando

todos os termos dessa equação por x2 temos: x 4 + 441 = 58x2

nn E

finalmente, obtemos a seguinte equação: x4 – 58x2 + 441 = 0

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Esse é um exemplo de equação biquadrada na variável x e sua solução (ou raiz) é a solução do problema proposto. Nesta aula, vamos abordar o estudo das equações do tipo biquadradas, irracionais, produto e quociente.

276

Matemática e suas Tecnologias

Equação biquadrada Equação biquadrada na variável x é toda equação redutível à equação ax4 + bx2 + c = 0, sendo a, b e c números reais e a ≠ 0. Por exemplo: nn A equação 4x4 – 17x2 + 4 = 0 é uma equação biquadrada em que a = 4, b = –17 e c = 4. Para resolver uma equação desse tipo, basta transformá-la em uma equação polinomial do 2º grau substituindo x2 por y e, consequentemente, x4 por y2. Observação: nn Cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes opostas para ax4 + bx2 + c = 0. nn A raiz negativa da equação ay2 + by + c = 0 não dá origem a nenhuma raiz real para ax4 + bx2 + c = 0.

Equação irracional Dizemos que uma equação é irracional quando nela há uma ou mais incógnitas sob um ou mais radicais. Por exemplo: 2x 9x − 2 é uma equação irracional, pois a expressão 9x – 2 ennn A equação = contra-se sob uma raiz quadrada. Para resolver essas equações, devemos eliminar tais radicais elevando ambos os membros dessas igualdades a potências convenientes, observando as condições de existência dos radicais.

Equação produto Equação produto é uma equação do tipo a ⋅ b = 0, sendo a e b números reais. Por exemplo: – 5) ⋅ (2x + 15) = 0 é uma equação produto, pois temos um produto de expressões igual a zero.

nn (x

Para resolver as equações desse tipo, basta observar a seguinte equivalência:

A05  Equações redutíveis a equações de 1° e 2° graus

a ⋅ b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0

Equação quociente Equação quociente é uma equação do tipo

a = 0, sendo a e b números reais. b

Por exemplo: nn

3x − 12 = 0 é uma equação quociente, pois temos um quociente de expressões x +1 igual a zero.

Para resolver as equações desse tipo, basta observar a seguinte equivalência: a = 0⇔a= 0 e b≠0 b 277

Matemática

EXEMPLOS 01. Resolva, em IR, a equação biquadrada x4 + 3x2 – 4 = 0.

4 – 4 = 0 ⇒ 0 = 0 (sentença verdadeira) Logo, x = 4 também é solução de x − 3x + 4 = 0.

RESOLUÇÃO

Para x = –1 ⇒ 4 − 3 ⋅ (−1) + 4 =0 ⇒ 4 − −3 + 4 =0 4 – 1 = 0 ⇒ 3 = 0 (sentença falsa)

Fazendo x2 = y, temos: y2 + 3y – 4 = 0 ∆ = 32 – 4⋅1⋅(-4) = 9 + 16 = 25 −3 ± 25 −3 ± 5 = 2 ⋅1 2

= y

y’ = –4 e y” = 1

0. Logo, x = -1 não é solução de x − 3x + 4 =

Portanto, seu conjunto solução é S = {4}. 03. Resolva, em IR, a equação produto (x – 2)⋅(x + 5) = 0.

Voltando na variável original, temos que: Para y = –4 ⇒ x2 = –4 (não convém) Para y = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1

RESOLUÇÃO (x – 2)⋅(x + 5) = 0 x – 2 = 0 ou x + 5 = 0

Portanto, seu conjunto solução é S = {±1}. 0. 02. Resolva a equação irracional x − 3x + 4 =

Daí, temos que: x–2=0⇒x=2 x + 5 = 0 ⇒ x = –5

RESOLUÇÃO

Portanto, seu conjunto solução é S = {2, –5}. x − 3x + 4 = 0 ⇒ x = 3x + 4

Elevando ambos os membros ao quadrado para eliminar a raiz quadrada, temos: = x2

(

3x + 4

RESOLUÇÃO

)

x2 = 3x + 4 2 x – 3x – 4 = 0 ∆ = (–3)2 – 4⋅1⋅(–4) = 9 – 16 = 25 = x

2 04. Resolva, em IR, a equação quociente x − 4 = 0. x+2

−(−3) ± 25 3 ± 5 = 2 ⋅1 2 x’ = 4 e x” = –1

Substituindo na equação original, temos: Para x = 4 ⇒ 4 − 3 ⋅ 4 + 4 =0 ⇒ 4 − 12 + 4 =0

x2 − 4 =0 x+2 x2 – 4 = 0 e x + 2 ≠ 0

Daí, temos que:

x2 – 4 = 0 x=±2 x+2≠0 x ≠ –2

Portanto, seu conjunto solução é S = {2}.

A05  Equações redutíveis a equações de 1° e 2° graus

Exercícios de Fixação 01. Resolva, em IR, as equações biquadradas a seguir: a) x4 – 7x2 + 12 = 0

a) {−2}

b) 16x4 – 40x2 + 9 = 0

b) {−2, −1}

c) x4 – 14x2 – 32 = 0

c) {2, -1}

{

}

a) S = ±2, ± 3 ; b) S = {±3/2, ±1/2}; c) S = {±4}.

02. Resolva, em IR, as equações irracionais a seguir:

2x − 3 − x + 11 = 0

a) b)

2 x c) x − 3 =

b) S = {11};

c) S = {9}.

03. Resolva, em IR, as equações quociente a seguir: a)

3x − 5 =0 x +1

a) S = {5/3};

b) {3};

x2 − 9 =0 2x + 6

c) S = {2}.

x +2 2 1 + = − é: 2 x −2 2

d) ∅ e) {−2, 1} 05. Resolva, em IR, as equações irracionais a seguir:

11x + 4 = 5

a) S = {14};

278

04. (Fuvest SP) A solução da equação

x2 − 3x + 2 =0 x2 − 1

x− x+2 = 2

2x + 3 − x + 1 = 1

2 + x − 5 − 13 − x = 0

a) S = {7};

b) S = {-1, 3};

c) S = {9}.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. Resolva, em IR, as equações biquadradas a seguir:

07. (IF SP) A soma das soluções inteiras da equação (x2 + 1) ⋅ (x2 – 25) ⋅ (x2 – 5x + 6) = 0 é:

a) 9x4 – 13x2 + 4 = 0

a) 1

b) x4 – 9x2 – 36 = 0

b) 3

c) (x + 2)⋅(x – 2)⋅(x + 1)⋅(x – 1) + 5x2 = 20 d) x(x + 1)⋅(x – 1)⋅(x + 3) – 2 = 3x⋅(x2 – 1)

{

}

c) 5

{ }

d) 7

a) S = {±1, ±2/3}; b) S = ±2 3 ; c) S = {±2}; d) S = ± 2 .

02. (FMSC SP) A diferença entre o cubo de um número real positivo e o seu quádruplo é igual a 45 vezes o seu inverso. O referido número é:

e) 11 08. No conjunto dos reais, o conjunto solução da equação x2 + 1 1 3 + 2 =é: 4 x 2

a) divisível por 3. b) divisível por 5. c) múltiplo de 4.

a) S = {±1, ±2}

d) múltiplo de 7.

b) S = {±1, ±4}

e) múltiplo de 15.

c) S = {±1}

03. (UTF PR) Se x1, x2, x3 e x4 são as raízes da equação x4 – 10x2 + 9 = 0, então o valor da expressão x12 + x22 + x32 + x 42 é igual a:

e) S = {±2, ±4} x2 − 4x − 12 = 0 , possui exatamente: x2 − 36 a) duas raízes negativas e uma raiz positiva. b) duas raízes de sinais contrários. c) duas raízes negativas e distintas. d) duas raízes positivas e distintas.

09. A equação

a) 0

c) 1 d) 2 5 e) 9

e) um única raiz.

04. Resolva, em IR, as equações irracionais a seguir: a)

10. (Puc SP) Resolver a equação

x2 + x + 4 = 2

2x + 1 − x − 3 = 2

a) V = {0}

x2 + 3 x + 5 − 1 = x

b) V = ∅

a) S = {-4, 3}; b) S = {12, 4}; c) S = {4}.

05. (Colégio

Naval)

solução

real

x + 4 + x −1 = 5 é: a) múltiplo de 3. b) par e maior do que 7. c) ímpar e não primo. d) um divisor de 130. e) uma potência de 2. 06. Resolva, em IR, as equações produto a seguir:

15   4x 8   1  a)  x −  ⋅  5x −  ⋅  +  = 0 3 4   3 15     x  b) 2x ⋅  − 1  ⋅ ( x2 + 11x ) = 0 3  a) S = {1/3, 3/4, -2/5};

b) S = {-11, 0, 3}.

equação

1 − x 2x − = 1. 1+x 1−x

c) V = {−1, 0} d) V = {0, 1} e) V = {±1} 11. Determine, em IR, o conjunto solução da equação 2x 2 + 3x + 9 + 2x 2 + 3x − 3 = 30.

S = {-9/2, 3}

12. (Epcar MG) A equação x= 3x + a2 + 3a, em que x é a incógnita e a ∈ IR tal que a < -3, possui conjunto solução S, S ⊂ IR. Sobre S tem-se as seguintes proposições: I. Possui exatamente dois elementos. II. Não possui elemento menor que 2. III. Possui elemento maior que 3. Sobre as proposições acima, são verdadeiras: a) apenas I e II. b) apenas I e III. c) apenas II e III. d) I, II e III.

279

A05  Equações redutíveis a equações de 1° e 2° graus

d) S = {±4}

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MATEMÁTICA

MÓDULO A06

ASSUNTOS ABORDADOS nn Expressões algébricas nn Definição nn Valor numérico

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS A pequena metalúrgica do Sr. Antônio de Lima produz três tipos de peças utilizadas em motores de pequenos barcos. Os preços de venda das peças do tipo 1, 2 e 3 são, respectivamente, iguais a 37 reais, 48 reais e 95 reais. Sendo x a quantidade de peças vendidas do tipo 1, y a quantidade de peças vendidas do tipo 2 e z a quantidade de peças vendidas do tipo 3, determine a expressão que fornece o valor, em reais, obtido na venda dos três tipos de peças. A expressão pedida é dada por 37x + 48y + 95z, que é um exemplo de expressão formada por números e letras ligadas pelas operações matemáticas. Nesta aula, abordaremos as expressões desse tipo, que são chamadas de expressões algébricas.

Definição Expressões algébricas (ou literais) são conjuntos de números e letras ligadas entre si pelas operações de multiplicação, divisão, adição, subtração, potenciação e radiciação. Por exemplo: nn x2 – 2y é uma expressão algébrica composta por dois termos.

Fonte: Zhao jian kang / Shutterstock.com

nn 7x +

280

2 x − 9 é uma expressão algébrica composta por três termos. 5y

Matemática e suas Tecnologias

Observação: nn Termo é o elemento fundamental de qualquer expressão algébrica. É composto

por números e letras ligados entre si pelas operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. As expressões algébricas são extremamente importantes, pois são capazes de sintetizar situações matemáticas de maneira bastante simples e precisa. Por exemplo: nn O

triplo de um número: 3x.

nn O

quadrado da diferença de dois números: (x – y)2.

nn A

soma dos cubos de dois números: x3 + y3.

nn A

razão entre a soma e a diferença de dois números distintos:

x+y . x−y

Valor numérico O valor numérico de uma expressão algébrica é o número que se obtém ao atribuir números às letras que a compõem. Por exemplo: Obter o valor numérico da expressão algébrica x2 + y2 + 2xy para x = 5 e y = 3. nn Substituindo

os valores numéricos das variáveis, temos: 52 + 32 + 2 ⋅ 5 ⋅ 3 = 25 + 9 + 30 = 64

EXEMPLOS 01. Represente por meio de uma expressão algébrica as sentenças a seguir: O produto da soma pela diferença de dois números. A ordem dos fatores não altera o produto. O cubo de um número é maior que o dobro do quadrado do outro. O quádruplo de um número aumentado de 6 é igual ao triplo do quadrado de outro.

03. Simplifique: a) x2 – [2xy + x2 – (y2 + 3xy) + 2y2] – xy b) 2x + [-5y + 2z – (x + 2y – z)] – (4y – 2z)

RESOLUÇÃO a) b) c) d)

RESOLUÇÃO

(x + y) ⋅ (x – y) x⋅y=y⋅x x3 > 2y2 4x + 6 = 3y2

a) x2 – [2xy + x2 – (y2 + 3xy) + 2y2] – xy = x2 – [2xy + x2 – y2 – 3xy + 2y2] – xy x2 – [–xy + x2 + y2] – xy = x2 + xy – x2 – y2 – xy = –y2

x + 2y 02. Determinar o valor numérico da expressão algébrica para 4x − y2 x = 2 e y = –1. 3

RESOLUÇÃO

Substituindo x = 2 e y = –1 na expressão algébrica

b) 2x + [–5y + 2z – (x + 2y – z)] – (4y – 2z) = 2x + [–5y + 2z – x – 2y + z] – 4y + 2z 2x + [–x –7y + 3z] – 4y + 2z = 2x – x – 7y + 3z – 4y + 2z = x – 11y + 5z

x 3 + 2y , temos: 4x − y2

281

A06  Expressões algébricas

a) b) c) d)

23 + 2 ⋅ (−1) 8 − 2 6 = = 4 ⋅ 2 − (−1)2 8 − 1 7

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Simplifique:

04. Considere as seguintes expressões algébricas denominadas de polinômios:

a) −2x+7; b) 4x2 + 4x + 2; c) a3 + b3.

a) 2x + 3 ⋅ (3 – 2x) – 2 ⋅ (1 – x) b) 3 ⋅ (x² + x + 1) + 2 ⋅ (x² + 2x – 2) – (x² + 3x – 3) c) a ⋅ (a² – ab + b²) + b ⋅ (a² – ab + b²) 7

x3 − 3x + 1

nn A = 2x3 + 4x2 – 6x + 9 nn B = 3x3 – 2x2 + 3x – 7 nn C = 2x2 – 1

02. Simplifique: a) x3 + x2; b) 12x 5y6z; c) 4x-1y. 6 6 2 2 2 1 a) x 3 + x 2 + x 3 − x 2 3 3 4 2 6   b) ( −4x 4 y3z ) ⋅  − xy3  2   c) 24x 3y 4 : 6x 4 y3

(

)(

Obtenha A + B – C. 05. (UFCE) Simplificando a expressão a seguir, obteremos: x3 – {4x2 – x – [–2x + x2 – (5x2 – x) – 8x] – 5x2}

)

a) x3– 3x2– 8x b) x3 – 3x2 + 8x c) x3 + 3x2 – 8x d) x3 + 3x2 + 8x

03. Calcule o valor numérico das expressões: a) 16; b) −22; c) 0.

a) x² – 5x + 2, para x = –2. b) x³ + y³ – 2x² + xy + 1, para x = 3 e y = –2. x 2 − y2 c) , para x = –3 e y = 3. x−y

Exercícios Complementares 01. (UTF

PR) Simplificando a expressão  −1 −12  5 x y  2 2 2 −4 x y ⋅   − 2xy , temos:  −2  a) x b) y c) 1 d) 0 e) x2

(

algébrica

)

02. Qual o valor numérico da expressão algébrica a seguir para a = –1 e b = 1? Gabarito: Demonstração E=

a2 ⋅ b−1 − a−1 ⋅ b2 a−1 − b−1

A06  Expressões algébricas

03. (Cefet SC) Se a = 1/2, b = 1/3 e c = 1/6, então o valor de m = b2 – 4ac é: a) 1/6 b) 0 c) 1 d) −2/9 e) −1 04. (Uerj RJ) Nicole pediu a seu irmão João que pensasse em um número e efetuasse as seguintes operações, nesta ordem:

282

1a) multiplicar o número pensado por 5 2a) adicionar 6 ao resultado 3a) multiplicar a soma obtida por 4 4a) adicionar 9 ao produto 5a) multiplicar a nova soma por 5 João comunicou que o resultado é igual a K. As operações que Nicole deve efetuar com K, para “adivinhar” o número pensado, equivalem às da seguinte expressão: a) (K – 165) : 100 b) (K – 75) : 100 c) K : 100 + 165 d) (K + 165) : 100

1 1 e z= 1 − . Assinale a opção que x y apresenta o valor de z.

05. (Puc RJ) Seja y= 1 −

a) z = −

1 x

b) z = −

1 x −1

1 x d) z = 1 – x e) z = x c) z =

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MATEMÁTICA

MÓDULO A07

PRODUTOS NOTÁVEIS

ASSUNTOS ABORDADOS

O método de completar quadrados utilizado pelos babilônios consiste em utilizar um dos mais conhecidos produtos notáveis chamado de quadrado da soma.

nn Produtos notáveis

Nesta aula, abordaremos os produtos notáveis mais comuns que são utilizados no desenvolvimento e simplificação das expressões algébricas.

nn Definição nn Principais produtos notáveis

Definição Produtos notáveis são produtos muito importantes devido à grande frequência com que aparecem no desenvolvimento das expressões algébricas.

Principais produtos notáveis A seguir, vamos apresentar os principais produtos notáveis. Quadrado da soma de dois termos (a + b)2 = (a + b) ⋅ (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Portanto, temos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Por exemplo: nn (2x + 5y)2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 5y + (5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2 Quadrado da diferença de dois termos (a – b)2 = (a – b) ⋅ (a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 Portanto, temos que: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses. O primeiro registro das equações polinomiais do 2° grau foi feito pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvida e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes aos atuais ou pelo método de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretadas geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVIII.

Fonte: http://www.matematica.br/historia/ requacoes.html. Acesso: Março de 1017

Fonte: Jukka Palm / Shutterstock.com

Por exemplo: nn (3x – 2y)2 = (3x)2 – 2 ⋅ 3x ⋅ 2y + (2y)2 = 9x2 – 12xy + 4y2

#TÁ NA MÍDIA

Figura 01 - Ruínas restauradas da Babilônia Antiga, atual Iraque.

283

Matemática

Produto da soma pela diferença de dois termos (a + b) ⋅ (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 Portanto, temos que: (a + b) ⋅ (a – b) = a2 – b2 Por exemplo: nn (4x + 7y) ⋅ (4x – 7y) = (4x)2 – (7y)2 = 16x2 – 49y2 Cubo da soma de dois termos (a + b)3 = (a + b) ⋅ (a + b)2 = (a + b) ⋅ (a2 + 2ab + b2) = a + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 3

Portanto, temos que: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Por exemplo: nn (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3 ⋅ (3x)2 ⋅ (2y) + 3 ⋅ (3x) ⋅ (2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3 Cubo da diferença de dois termos (a – b)3 = (a – b) ⋅ (a – b)2 = (a – b) ⋅ (a2 – 2ab + b2) = a – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 3

Portanto, temos que: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Por exemplo: nn (2x – 3y)3 = (2x)3 – 3 ⋅ (2x)2 ⋅ (3y) + 3 ⋅ (2x) ⋅ (3y)2 + (3y)3 = 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3

EXEMPLOS 01. Desenvolva:

02. Efetue: a) (x + 2y)2 + (2x – y)2 b) (2x – 3y)2 – (x + 5y) ⋅ (x – 5y) c) (x3m + 4) ⋅ (x3m – 4)

a a)  − b  2   a b a b b)  +  ⋅  −  3 2 3 2 a c)  + 2b  2 

RESOLUÇÃO

a) RESOLUÇÃO

b) 2

A07  Produtos notáveis

a a a a a a)  − b  =   − 2 ⋅ ⋅ b + b2 = − ab + b2 = − ab + b2 4 2 4 2  2 2

284

(x3m + 4)⋅(x3m – 4) = (x3m)2 – 42 = x6m – 16

03. Desenvolva (2x + y – 3)2.

a 2 3  a a c)  a + 2b =    + 3 ⋅   ⋅ 2b + 3 ⋅ ⋅ ( 2b ) + ( 2b ) 2 2  2 2 a3 3a2b = + + 6ab2 + 8b3 8 2

(2x – 3y)2 – (x + 5y) ⋅ (x – 5y) = 4x2 – 12xy + 9y2 – (x2 – 25y2) = 3x2 – 12xy + 34y2

2 2 b)  a + b  ⋅  a − b =  a  −  b  = a − b 9 4 3 2 3 2 3 2        

(x + 2y)2 + (2x – y)2 = x2 + 4xy + 4y2 + 4x2 – 4xy + y2 = 5x2 + 5y2

RESOLUÇÃO (2x + y – 3)2 = [(2x + y) – 3)]2 = (2x + y)2 – 2 ⋅ (2x + y) ⋅ 3 + 32 = 4x2 + 4xy + y2 – 12x – 6y + 9

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Desenvolva os produtos notáveis a seguir:

a) 16x2 + 24xy + 9y2; b) x4 – 8x2 + 16; c) 25x8 + 30x4y3 + 9y6.

04. Reduza as expressões a seguir à sua forma mais simples: a) 2x2 + 2y2;

b) –10x + 50; c) 9x² + 9x + 7.

a) (4x + 3y)2

a) (x + y)² + (x – y)²

b) (x2 – 4)2

b) (x – 5)² – (x + 5).(x – 5)

c) (5x4 + 3y3)2

c) (x + 2)³ – (x – 1)³

02. Desenvolva os produtos notáveis a seguir: a) 1 – 9x2; b) 36x2 – 49y2; c) x6 – 121.

05. Dados os números reais a e b, responda aos itens a seguir: a) 32;

b) 40.

a) (1 + 3x) ⋅ (1 – 3x)

a) Se a + b = 6 e ab = 2, qual o valor numérico de a2 + b2?

b) (6x + 7y) ⋅ (6x – 7y)

b) Se a + b = 4 e ab = 2, qual o valor numérico de a3 + b3?

c) (–x + 11) ⋅ (–x – 11) 3

03. Desenvolva os produtos notáveis a seguir:

a) 8x3 + 60x2 + 150x + 125; b) x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3; c) x12 + 12x8 + 48x4 + 64.

a) (2x + 5)3 b) (x – 2y)3 c) (x4+ 4)3

06. (Unicamp SP) Sejam a e b números inteiros e seja N(a, b) a soma do quadrado da diferença entre a e b com o dobro do produto de a por b. a) Calcule N(3, 9). 90 b) Calcule N(a, 3a) e diga qual é o algarismo final de N(a, 3a) para qualquer a ∈ Z. zero

Exercícios Complementares 01. Dados os números reais a, b e c tais que a + b + c = 10 e

a) 12

ab + ac + bc = 20, calcule o valor numérico de a2 + b2 + c2.

b) 6

Gab: 60

c) 4

02. (UFSC) Calcule (a – b)2, sendo a e b números reais positivos, sabendo que a + b = 117 e ab = 54. 2

Gab: 9

03. (Mackenzie SP) Se (x – y)2 – (x + y)2 = –20, então xy é igual a: a) –1 b) 0

d) 2 e) 9 06. (Obmep)

a) 10/125

d) 5

b) 5/9

e) 1/5

c) 3/5

ímpares, positivos e consecutivos é 40. Esses números pertencem ao intervalo:

valor

produto

1   1   1  1   1 −  ⋅  1 −  ⋅  1 −  ...  1 − ?  4   9   16   225 

c) 10

04. (Puc MG) A diferença entre os quadrados de dois números

Qual

d) 8/15 e) 1/120 07. (UFPI) Desenvolvendo a expressão

(

)

27 + 3 − 1 , encon-

traremos um número no formato a + b 3 , com a e b núme-

b) [4, 10]

ros inteiros. O valor de a + b é:

c) [8, 14]

a) 59

d) [10, 15]

b) 47

e) [11, 14]

c) 41

05. (Unimep SP) A diferença entre o quadrado da soma de dois números inteiros e soma de seus quadrados não pode ser:

A07  Produtos notáveis

a) [3, 9]

d) 57 e) 17

285

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO A08

ASSUNTOS ABORDADOS nn Fatoração nn Definição nn Principais casos de fatoração

FATORAÇÃO Planta baixa é o nome que se dá ao desenho de uma construção feita, em geral, a partir de um corte horizontal à altura de 1,5 m a partir da base. Nela devem estar detalhadas em escala as medidas das paredes, portas, janelas, nome dos ambientes e seu respectivo nível em relação a uma determinada marca de referência tomada no terreno. Em geral, as dimensões fornecidas são aquelas entre as paredes para se verificar facilmente tamanhos de salas, quartos, banheiros etc. As plantas baixas também incluem detalhes de alguns componentes hidráulicos e elétricos, possíveis localizações de mobiliário, especificações de acabamentos etc.

kelttt / Shutterstock.com

Na figura a seguir, temos a planta baixa de um pequeno apartamento composto de um quarto, uma sala, uma cozinha, um banheiro e uma área de serviço.

Figura 01 - Ilustração da planta de um pequeno apartamento de um quarto.

Note que o comprimento e a largura da sala e do quarto estão expressas no desenho. Assim, há duas formas de se calcular a área da região ocupada pelo quarto e pela sala (sem descontar as áreas de paredes). nn 1ª

maneira:

Área total = Área de dois retângulos, ou seja, ac + bc. nn 2ª

maneira:

Área total = Área do retângulo único, ou seja, c ⋅ (a + b). Quando escrevemos a expressão algébrica ac + bc na forma c ⋅ (a + b), estamos efetuando uma operação chamada de fatoração, ou seja, estamos transformando uma soma em produto. 286

Matemática e suas Tecnologias

Nesta aula, abordaremos os casos mais comuns de fatoração que são utilizados na simplificação das expressões algébricas.

Definição

Soma de cubos A partir do desenvolvimento do cubo da soma de dois termos, podemos obter a seguinte igualdade envolvendo a soma dos cubos de dois termos.

Fatorar uma expressão algébrica significa transformá-la numa outra equivalente que esteja na forma de produto.

Principais casos de fatoração A seguir, vamos apresentar os principais casos de fatoração.

a3 + b3 = (a + b) ⋅ (a2 – ab + b2) Por exemplo: nn x3 + 8 = x 3 + 23 = (x + 2) ⋅ (x 2 – x ⋅ 2 + 22) = (x + 2) ⋅ (x2 – 2x + 4)

Fator comum

Diferença de cubos

Basta identificar o termo comum a todas as expressões e, em seguida, colocá-lo em evidência.

A partir do desenvolvimento do cubo da diferença de dois termos, podemos obter a seguinte igualdade envolvendo a diferença de cubos de dois termos.

ax + bx = x ⋅ (a + b) Por exemplo: nn 4x2 + 12xy = 4x ⋅ (x + 3y) Agrupamento Basta escrever a expressão de modo que se formem dois ou mais grupos com um termo comum e, em seguida, colocar esse termo comum em evidência.

a3 – b3 = (a – b) ⋅ (a2 + ab + b2) Por exemplo: nn x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3) ⋅ (x 2 + x ⋅ 3 + 32) = (x – 3) ⋅ (x2 + 3x + 9) Trinômio do 2º grau Sendo x’ e x” as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), podemos obter a igualdade a seguir.

ax + bx + ay + by = x ⋅ (a + b) + y ⋅ (a + b) = (a + b) ⋅ (x + y) Por exemplo: nn x4 + x2 – 4x2 – 4 = x 2 ⋅ (x2 + 1) – 4 ⋅ (x 2 + 1) = (x2 + 1) ⋅ (x2 – 4)

ax2 + bx + c = a ⋅ (x – x’) ⋅ (x – x”) Por exemplo: nn 2x2 – 10x + 12 = 2 ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 3), pois x’ = 2 e x” = 3 são as raízes da equação 2x2 – 10x + 12 = 0.

EXEMPLOS 01. Fatore as expressões a seguir: x 6 + y6 64x6 – 1 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3 2x2 + x – 1 RESOLUÇÃO a) x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3 = (x2 + y2) ⋅ (x4 – x2y2 + y4) b) 64x6 – 1 = (2x2)3 – 13 = (2x2 – 1) ⋅ (4x4 + 2x2 + 1) c) 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3 = (3x – 2y)3 1  d) 2x2 + x – 1 = 2 ⋅  x −  ⋅ ( x + 1 ) , pois x’ = 1/2 e x” = −1 são as raízes 2  de 2x2 + x – 1 = 0

RESOLUÇÃO a)

x 3 − 125 (x − 5) ⋅ (x 2 + 5x + 25) x 2 + 5x + 25 b) 2 = = x − 25 (x − 5) ⋅ (x + 5) x+5

03. Fatore as expressões a seguir: a) b) c) d)

6x 2 − 12xy + 6y2 3x − 3y

3 b) x − 125 x 2 − 25

6x7 + 18x4 – 36x3 xy – y – x + 1 x4 – 16 9x2 – 12xy + 4y2 RESOLUÇÃO

02. Simplifique as frações a seguir: a)

6x 2 − 12xy + 6y2 6(x 2 − 2xy + y2 ) 6(x − y)2 = = = 2(x − y) 3x − 3y 3(x − y) 3(x − y)

a) b) c) d)

6x7 + 18x4 – 36x3 = 6x3 ⋅ (x4 + 3x – 6) xy – y – x + 1 = y ⋅ (x – 1) – 1 ⋅ (x – 1) = (x – 1) ⋅ (y – 1) x4 – 16 = (x2)2 – 42 = (x2 – 4) ⋅ (x2 + 4) = (x + 2) ⋅ (x – 2) ⋅ (x2 + 4) 9x2 – 12xy + 4y2 = (3x)2 – 2 ⋅ 3x ⋅ 2y + (2y)2 = (3x – 2y)2

A08  Fatoração

a) b) c) d)

287

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Fatore as expressões a seguir:

a) 4xy ⋅ (5y2 – 4x3); b) 6xyz ⋅ (3x + y – 2z); c) (x – y) ⋅ (5 + a); d) (x + y) ⋅ (x2 – y).

a) 20xy3 – 16x4y

04. Simplifique as frações a seguir: a)

(x + y)2 − 4xy 8x − 8y

x 2 + 7x + 12 x 2 + 4x + 3

x3 − 8 2x + 4x + 8

b) 18x2yz + 6xy2z – 12xyz2 c) 5x – 5y + ax – ay d) x3 + x2y – xy – y2 02. Fatore as expressões a seguir:

a) (2x + 7)2; b) (5b – 2)2; c) (x – 2) ⋅ (x – 7); d) –(x – 7) ⋅ (x – 8).

a) 4x² + 28x + 49 b) 25b – 20b + 4 c) x2 – 9x + 14 d) –x2 + 15x – 56

2ax + ay + 2bx + by ax − ay + bx − by

5ax + 5by a2x 2 + 2abxy + b2y2

x 4 + x 3y − xy3 − y 4 x 2 − y2

03. Fatore as expressões a seguir:

a) (x – 3y) ⋅ (x2 + 3xy + 9y2); b) 2 ⋅ (x + 3) ⋅ (x2 – 3x + 9).

a) x3 – 27y3 b) 2x3 + 54

x−y x+4 x −2 ; b) ; c) . 8 x +1 2

05. Simplifique as frações a seguir:

a) 2x + y ; b) 5 ; c) x2 + xy + y2 x−y ax + by

Exercícios Complementares 01. (Espm SP) Fatorando a expressão x3 + x2 – 4x – 4, obtém-se: a) x(x2 + x + 4) + 4 b) (x2 + 4) c) x3 + x2 + 4(x + 1) d) (x + 1) ⋅ (x + 2) ⋅ (x – 2) e) (x + 4)3 02. (Puc MG) Se a e b são números reais inteiros positivos tais

A fração a) 0

a3 − b3 , quando a = 193 e b = 192, é igual a: a + ab + b2 2

b) 1932 – 1922 c) 1 d) 101 e) 385

que a – b = 7 e a2b – ab2 = 210, o valor de ab é: a) 7 b) 10 c) 30 d) 37 03. (Puc Campinas SP) Fatorando-se a expressão 9x2 – 16y2 – 8y – 1 obtém-se: a) (3x – 4y + 1) ⋅ (3x + 4y – 1) b) (3x + 4y + 1) ⋅ (3x – 4y + 1) c) (3x – 4y + 1) ⋅ (3x – 4y – 1)

− 2x ) ⋅ ( x 2 − 1 )

( x − 2) ⋅ ( x3 + x2 )

, ob-

c) x3 – 2x2 – x + 2 d) x – 1 x −1 e) x 06. (Ufam AM) Sabendo-se que 3x2 + 4xy + y2 + x + y = 30 e a) 9

meçou a empregar os símbolos + e – como sinais das operações usadas atualmente.

b) x2 – 3x + 2

e) (3x + 4y + 1) ⋅ (3x – 4y – 1)

Michael Stifel (1487-1567), que no início do século XVI co-

a) x2 + 3x – 2

3x + y = 5. Então o valor de x + y é:

identificação e aplicação graças ao grande mestre alemão

A08  Fatoração

temos:

d) (3x – 4y – 1) ⋅ (3x – 4y + 1)

04. (UEPB) Os sinais das operações aritméticas são hoje de fácil

288

05. (Puc SP) Simplificando a expressão

b) 6 c) 10 d) 5 e) 7

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (UTF PR) Adriana e Gustavo estão participando de uma gincana na cidade de Curitiba e receberam a seguinte tarefa: Trazer a fotografia da construção localizada na rua XV de Novembro, número N, tal que: N = (a2 + b2 + 13)2 + (a + b) 4 – 10 Sendo a e b são as raízes da equação irracional 2x 2 + 3x + 5 = x + 3 . a) 1 515 b) 1 296 c) 971 d) 775 e) 535 a b − = 5, com a e b nú1 − x2 x − 1 2 meros inteiros positivos. Das afirmações:

02. (ITA SP) Considere a equação

I. II. III.

Se a = 1 e b = 2, então x = 0 é uma solução da equação. Se x é solução da equação, então x ≠ 1/2, x ≠ −1 e x ≠ 1. x = 2/3 não pode ser solução da equação.

É (são) verdadeira(s): a) Apenas II. b) Apenas I e II. c) Apenas I e III. d) Apenas II e III. e) I, II e III. 03. (UnB DF) Calcule x ∈ IR tal que

3 x 3 x x 13 − + =. 2 4 9 3

04. (Espm SP) A solução da equação

Gabarito: 16

x −2 3 1 x + = + x + 1 x2 − 1 x − 1 x2 − 1

pertence ao intervalo: a) [−3, −1[ b) [−1, 1[ c) [1, 3[ d) [3, 5[ e) [5, 7[ 05. (Epcar MG) Considere os números positivos q, m e n, tais que m m =2 e = 3 . Ordenando-os, tem-se a sequência corn+q n−q reta em: a) m > n > q b) m > q > n c) n > m > q d) q > n > m

06. (Ufu MG) Sejam p e q dois números inteiros para os quais tem−1

 1 1  1 1 -se que  1 − −  ⋅  1 + +  = 1 e p ⋅ q =-16. Assim, temos  p q  p q que |p – q| é igual a: a) 0 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 x +1 −1 07. (UECE) Considere a expressão algébrica x − 1 , x ≠ 0 e x ≠ 1. x +1 1− 1−x Seu valor numérico para x = 2/5 é: a) 5–1 b) negativo c) 2,5 d) 5,2 08. (FGV SP) Um grupo de alunos do Ensino Técnico realizou um trabalho de pesquisa para determinar a área da superfície do corpo humano de jovens de 15 a 20 anos. Chegaram a uma conclusão que a área varia, aproximadamente, de acordo com a fórmula matemática= S 0,12 ⋅ 3 m2 , em que S é a área (m2) e m a massa do corpo humano (kg). A área da superfície do corpo de um aluno de massa 70 kg, em m2, aproximadamente, é: a) 3,0 b) 2,5 c) 2,0 d) 1,5 e) 1,0 09. (Mackenzie SP) Um dos fatores de x4 + 4 é: a) x2 + 2 b) x + 1 c) x2 – 2x + 2 d) x2 – 4 e) nda

1 14 , o 10. (FGV SP) Sendo x um número positivo tal que x 2 + 2 = x 1 3 valor de x + 3 é: x a) 52 b) 54 c) 56 d) 58 e) 60 289

Matemática

m2 + m , obtém-se 11. (FGV SP) Simplificando-se a fração 2 5m + 10m + 5 o resultado:

16. (UFCE) Assinale a alternativa na qual consta um número real positivo x ≥ 1 que satisfaz a equação: 3

m 5 (m + 1 )

m 5 (m − 1 )

m+1 5m

m −1 e) 5 (m + 1 )

4x + 8 3x − 3 + , para x ≠ ±1 e x ≠ –2 12. (Unesp SP) A expressão 2 x + 3x + 2 x 2 − 1 é equivalente a:

pertence ao intervalo: a) [-3, -1[ b) [-1, 1[ c) [1, 3[ d) [3, 5[ e) [5, 7[

1 x +1

7 x +1

u v w + + é: v ⋅ w u⋅ w u⋅ v

4 3 + x +1 x −1

a) 23/27 b) 17/135

1 x −1

a) 1 b) 2 c) 4 d) 10 e) 20 14. (Uel PR) Se o polinômio f = 2x 2 − 12 2 x + 4k é um trinômio quadrado perfeito, então a constante k é um número: a) quadrado perfeito. b) cubo perfeito. FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

17. (Espm SP) A solução da equação

4 3 − x −1 x −1

com a, b e c números reais. Então o valor de a + b + c é igual a:

c) irracional. d) divisível por 8. e) primo 15. Dado o conjunto B = {x ∈ Z | (5x – 15) ⋅ (12x + 24) ⋅ (3x – 10) ⋅ (x + 11)}, pode-se afirmar que: a) O conjunto B possui dois elementos negativos. b) O conjunto B possui dois elementos positivos. c) O conjunto B possui apenas dois elementos. d) O conjunto B possui o zero como elemento. e) O conjunto B é o conjunto vazio. 290

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. (Fatec SP) Sabe-se que a2 – 2bc – b2 – c2 = 40 e a – b – c = 10

1   1  125   x +1 −  ⋅ x −1 −  =64 x  x 

1 a) 11

x −2 3 1 x + 2 = + 2 x +1 x −1 x −1 x −1

18. (UECE) Se u, v e w são números reais tais que u + v + w = 17, u.v.w = 135 e u.v + u.w + v.w = 87, então, o valor da soma

c) 27/87 d) 16/27

19. (IF AL) Determine o valor do produto (3x + 2y)2, sabendo que 9x2 + 4y2 = 25 e xy = 2. a) 27 c) 38 e) 54 b) 31 d) 49 20. (Fuvest SP) A igualdade correta para quaisquer a e b, números reais maiores do que zero, é: a) b)

a3 + b3 =a + b 1

= −

a − a2 + b2

(

1 1 1 = + a+b a b

a3 − b3 = a−b a + ab + b2

a− b

)

1 b

= a−b

21. (Puc Campinas SP) No conjunto dos números naturais são dadas as razões: r1 =

a−b a2 − b2 e r2 = 2 2 (com a > b) a+b a +b

Podemos afirmar que: a) r1 > r2 b) r1 < r2 c) r1 = r2 d) nda

Matemática e suas Tecnologias

22. (UFMG) No conjunto dos números reais para os quais as expressões a seguir estão definidas, a única alternativa verdadeira é: xy + 1 a) = y +1 x 1 x −1 = x −1 x −1 2x

y, a expressão a)

23. (Puc RJ) Se a = 2a - 1, o valor de a é igual a: a) 4a2 + 1 b) 2a + 1 c) 3a - 2 d) 4a + 3 e) 4a2 - 1 4

02.

a3 + b3 =a + b , para a e b números reais. 4a4 − 8a2 + 4 = 2|a − 1|, para a ≠ -1. a2 + 2a + 1

03.

1 1 − < 0, para todo número real x. 2 2 1 2 x +1 a + b 2b − x −3 25. (UFPA) Se na identidade fazemos a = 2 e b = , = a 2x 2 temos a – b + x igual a a) -2 b) 0,5 c) 1,5 d) 3 e) 3,2 04.

 x4 − 1  26. (Puc RJ) Quando simplificada, a expressão 1 +  2   2x  igual a

x 4 + 2x 2 − 1 2x 2

x4 − 1 2x 2

y x + 2 y2 x

e) x y

3 + 15 = −1 3 − 15 3

y x + y x

d) y2 y + x 2 x

24. (UnB DF) Julgue os itens abaixo em certo (C) ou errado (E). E-E-C-C 01.

x x +y y é equivalente a xy xy

b) y y + x y

1 xa = a −a 1+x x +1 2

x −1 10

28. (Unifor CE) Quaisquer que sejam os números reais positivos x e

a a = = a x a a x 28 x 4 4 d) = ⇒ = ⇒x= 7 5 1 5 5 c)

b) x = 10(1 + y)5 y = 5

(

x +

)

29. (Unifor CE) A forma mais simples de se expressar o número real c  1 1  − −  ⋅ (a − b + c) b a ab  y =  é: 1 2 1 c2 − + − b2 ab a2 a2b2 a) ab b) 1/ab c) a − b + c d) a + b - c e) a − b – c 30. (Unifor CE) Nas sentenças abaixo, a, b, c, x, y representam números reais não negativos. I.

a2 − b2c2 = (a − bc).(a + bc)

II.

x 4 y10 − a8b6c14 = (x 2y 5 − a4b3c7 ).(x 2y 5 + a4b3c7 )

III.

4 y x− = 9 64

2 y   2. y x+  . x −  .   8  3 8  3

Sobre essas sentenças é correto afirmar que: a) somente I é verdadeira. b) somente II é verdadeira. c) somente III é verdadeira. d) somente I e II são verdadeiras. e) I, II e III são verdadeiras. FRENTE A  Exercícios de Aprofundamento

27. (FGV SP) Na expressão abaixo, obtenha y em função de x; 2y x 2x y= = a) , com x ≠ 1, x ≠ 2/3 e y ≠ 2 3x − 2 y −2 1− x

x2 + 1 2

x2 2

x2 1 + 2 2x 2

291

PavleMarjanovic / Shutterstock.com

FRENTE

MATEMÁTICA Por falar nisso O número de ouro é um elemento matemático, segundo os gregos, ligado ao equilíbrio, harmonia e beleza na natureza. Euclides no seu livro “Elementos” chama-o de “divina proporção”. Ele é aplicado desde a Antiguidade em muitas construções gregas e obras artísticas. O número de ouro, representado pela letra grega phi (em homenagem ao arquiteto grego Phidias), é um número irracional dado por φ=

1+ 5 = 1,61803399... 2

Essa proporção é observada, por exemplo, em várias partes da fachada do Parthenon na cidade de Atenas. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

B05 B06 B07 B08

Conjuntos – Problemas com conjuntos finitos – parte II.............. 294 Conjuntos numéricos – Definições e relações de inclusão........... 297 Conjuntos numéricos – Determinação da fração geratiz.............. 301 Conjuntos numéricos – Intervalos reais........................................ 304

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B05

ASSUNTOS ABORDADOS nn Conjuntos problemas sobre con-

juntos finitos – parte II

CONJUNTOS PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS FINITOS – PARTE II Depois de quase 600 anos, uma invenção que revolucionou o mundo tem finalmente um concorrente forte. Os livros digitais já existem há algum tempo, mas a enxurrada de novos e-readers confirma uma tendência: eles querem fazer parte da sua vida, tal como os livros de papel fazem desde o século XV. Apesar de estarem na moda, muitas pessoas ainda torcem o nariz para os e-books e se valem de todos os argumentos a favor dos livros de papel. É claro que ambos os formatos possuem suas vantagens e desvantagens e é exatamente isso que vamos abordar neste módulo. A chegada livros digitais É possível afirmar que a chegada de livros digitais ao leitor foi um marco na briga entre os e-books e os livros de papel. Com o e-book fica mais fácil o transporte e a organização de livros, mas sua maior contribuição é o conforto ao ler em uma tela. Quem já experimentou, afirma que os e-books parecem mesmo uma folha de papel. Para não correr risco de prejuízo, uma editora resolveu relançar um livro no mercado em três formatos diferentes: livro de papel (A), audiobook e e-books. Para isso, fez uma pesquisa de mercado com 150 pessoas e chegou aos resultados da tabela abaixo. Leram A

Leram B

Leram C

Leram AeB

Leram AeC

Leram BeC

Leram A, B e C

Quantas pessoas não leram nenhum dos três formatos?

Fonte: Victoria 1 / Shutterstock.com

A melhor forma de resolver problemas como esse é associar conjuntos às quantidades de pessoas que leram esses formatos, observando as intersecções entre eles por meio dos diagramas de Venn-Euler. Observe a seguir exercícios resolvidos.

294

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Uma pesquisa foi realizada para verificar a preferência em relação a três programas de televisão A, B e C. Os resultados obtidos nessa pesquisa estão na tabela a seguir. Programa

Número de pessoas

200

180

120

AeB

AeC

BeC

A, B e C

Nenhum dos três

02. Dentre os 120 funcionários de uma empresa, sabe-se que: 70 são mulheres, 45 praticam atividades físicas regularmente e 19 são homens que não praticam atividades físicas regularmente. Assim, qual o número de mulheres dessa empresa que praticam atividades físicas regularmente?

Nessas condições, calcule: a) O total de pessoas consultadas. b) O total de pessoas que preferem apenas o programa B. c) O total de pessoas que não preferem o programa C. d) O total de pessoas que preferem exatamente um dos três programas. e) O total de pessoas que preferem exatamente dois dos três programas. RESOLUÇÃO Vamos distribuir as quantidades de elementos de cada conjunto em um diagrama de Venn-Euler, começando pela intersecção dos três conjuntos. A

B 25

155

Pelo diagrama, temos que: a) O total de pessoas consultadas é dado por 155 + 140 + 95 + 25 + 10 + 5 + 10 + 65 = 505. b) O total de pessoas que preferem apenas o programa B é 140. c) O total de pessoas que não preferem o produto C é 505 – 120 = 385. d) O total de pessoas que preferem exatamente um dos três programas é dado por 155 + 140 + 95 = 390. e) O total de pessoas que preferem exatamente dois dos três programas é dado por 25 + 10 + 5 = 40.

RESOLUÇÃO Vamos distribuir as quantidades de elementos de cada conjunto na tabela a seguir. Homens

Mulheres

Total

Praticam atividades físicas regularmente

Não praticam atividades físicas regularmente

120

140

Assim, podemos obter as seguintes relações: 45 + d = 120 ⇒ d = 75 19 + c = d ⇒ c = 56 b + c = 70 ⇒ b = 14 a + b = 45 ⇒ a = 31 e + 70 = 120 ⇒ e = 50

10 10

95 C 65

Portanto, 14 mulheres dessa empresa praticam atividades físicas regularmente.

01. Uma escola está oferecendo três modalidades esportivas aos seus alunos. As inscrições nessas modalidades se deram de acordo com a seguinte tabela: Modalidade

Número de alunos

AeB

AeC

BeC

A, B e C

Nessas condições, qual a quantidade total de alunos que foram inscritos? 135

02. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: nn 40% dos entrevistados leem o jornal A. nn 55% dos entrevistados leem o jornal B. nn 35% dos entrevistados leem o jornal C. nn 12% dos entrevistados leem os jornais A e B. nn 15% dos entrevistados leem os jornais A e C. nn 19% dos entrevistados leem os jornais B e C. nn 7% dos entrevistados leem os três jornais. nn 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais. Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o número total de entrevistados foi: a) 1 200 c) 1 250 b) 1 500 d) 1 350 295

B05  Conjuntos problemas sobre conjuntos finitos – parte II

Exercícios de Fixação

Matemática

Exercícios Complementares 01. Uma pesquisa sobre a preferência de três marcas de carros A, B e C com 450 entrevistados revelou que: Marcas

Número de entrevistados

190

180

210

AeB

AeC

BeC

100

A, B e C

Assim, determine: a) Quantas pessoas não preferem nenhuma das três marcas? b) Quantas preferem somente a marca A? c) Quantas não preferem a marca B? d) Quantas preferem somente uma das três marcas? e) Quantas preferem somente duas das três marcas?

B05  Conjuntos problemas sobre conjuntos finitos – parte II

a) 125; b) 25; c) 270; d) 60; e) 245

02. (Uel PR) Um grupo de estudantes resolveu fazer uma pesquisa sobre as preferências dos alunos quanto ao cardápio do Restaurante Universitário. Nove alunos optaram somente por carne de frango, 3 somente por peixes, 7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de carne. Considerando que 20 alunos manifestaram-se vegetarianos, 36 não optaram por carne bovina e 42 não optaram por peixe, assinale a alternativa que apresenta o número de alunos entrevistados. a) 38 b) 42 c) 58 d) 62 e) 78 03. (Ufop MG) Três frutas são consumidas por um grupo de 400 pessoas: laranja, banana e maçã. Dessas pessoas, 185 consomem laranja, 125 consomem laranja e banana, 130 consomem banana e maçã, 120 consomem laranja e maçã e 100 consomem laranja, banana e maçã. O número de pessoas que consomem banana é igual ao número de pessoas que consomem maçã. O número de pessoas que consomem maçã e não consomem laranja é de: a) 95 b) 125 c) 195 d) 245

296

04. (Unifei MG) Dos alunos de uma escola infantil, 60 são meninas, 37 crianças são loiras, 20 meninos são não loiros e 13 meninas são loiras. Quantos alunos existem nessa escola? 104 05. (FGV SP) Em certo ano, ao analisar os dados dos candidatos ao concurso vestibular para o curso de graduação em Administração, nas modalidades Administração de Empresas e Administração Pública, conclui-se que: nn 80% do número total de candidatos optaram pela modalidade Administração de Empresas; nn 70% do número total eram do sexo masculino; nn 50% do número de candidatos à modalidade Administração Pública eram do sexo masculino; nn 500 mulheres optaram pela modalidade Administração Pública. O número de candidatos do sexo masculino à modalidade Administração de Empresas foi: a) 4 000 b) 3 500 c) 3 000 d) 1 500 e) 1 000 06. Numa pesquisa sobre as preferências das pessoas em relação aos produtos A, B e C mostrou que 135 pessoas preferem o produto A, 150 preferem o produto B, 95 preferem o produto C, 65 preferem A e B, 35 preferem A e C, 25 preferem B e C, 12 preferem A, B e C e 40 preferem produtos diferentes de A, B e C. Nessas condições, responda: a) Quantas pessoas preferem exatamente um dos três produtos? 166 b) Quantas pessoas preferem exatamente dois dos três produtos? 89 07. (UFRJ) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis. Quantos associados se inscreveram, simultaneamente, para aulas de futebol e natação? 23 08. Das 35 crianças de uma creche, 23 são meninos, 15 crianças usam óculos e 6 são meninas que não usam óculos. Assim, quantos meninos não usam óculos? 14

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B06

CONJUNTOS NUMÉRICOS - DEFINIÇÕES E RELAÇÕES DE INCLUSÃO Para o homo sapiens de épocas remotas, por exemplo, os números eram aplicados apenas na contagem daquilo que era caçado, ou coletado como alimento. Assim, para esse homem rudimentar, bastavam os números naturais. Em algumas culturas antigas, só os números 1, 2 e 3 possuíam nomes específicos. Qualquer quantidade acima de três era tratada genericamente como “muitos”. Por outro lado, os egípcios, há milhares de anos, já possuíam hieroglifos particulares para representar números entre 1 e 9.999.999 na forma decimal.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Conjuntos numéricos – Definições

e relações de inclusão

nn Conjunto dos números naturais (IN) nn Conjunto dos números inteiros (Z) nn Conjunto dos números racionais (Q) nn Conjunto dos números irracionais (I) nn Conjunto dos números reais (IR)

O hieroglifo é provavelmente a escrita organizada mais antiga do mundo. O maior uso dessa forma de escrita aconteceu com o povo egípicio, que a utilizou por quase 3500 anos. Hoje em dia, essa forma de escrita é considerada morta. O que utilizamos hoje (escrita, simbologia, representação) não era utilizado da mesma forma no passado. Até porque em épocas remotas o emprego dos números era feito para atender necessidades bem diferentes das atuais. Os números usados rotineiramente em nossas vidas são chamados números reais. Esses números são divididos em diversos conjuntos, cada qual com uma origem e um emprego específico. Como exemplo, podemos citar o conjunto dos números reais, conjunto dos números naturais, conjunto dos números inteiros, conjunto dos números racionais, e conjunto dos números irracionais que estudaremos nesse módulo. Por meio do uso dos conjuntos numéricos podemos resolver situações-problemas como a exigida pela produção industrial a seguir: Por exemplo, o expediente da gerência de uma indústria é feito por Maria e Rogério. Maria trabalha das 7 horas às 18 horas e Rogério das 12 horas às 20 horas. o intervalo de tempo em que Maria ou Rogério estão na indústria trabalhando? nn Qual o intervalo de tempo em que Maria e Rogério estão na indústria trabalhando? nn Qual o intervalo de tempo em que Maria está na indústria trabalhando e Rogério não?

Fonte: shutterstock.com / bernatets photo

nn Qual

Cada uma dessas perguntas pode ser respondida por meio de operações de união, intersecção e diferença, nessa ordem, entre conjuntos cujos elementos são números, ou seja, entre conjuntos numéricos.

297

Matemática

Conjunto dos números naturais (IN)

Conjunto dos números racionais (Q)

O conjunto dos números naturais é um conjunto numérico dado por:

O conjunto dos números racionais é um conjunto numérico dado por:

IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Um subconjunto notável do conjunto dos naturais é dado por: nn IN*

= IN – {0} = {1, 2, 3, 4, ...}.

Observação: nn A adição e a multiplicação de dois números naturais é sempre um número natural. Já a diferença entre dois números naturais nem sempre é um número natural. Assim, é necessário ampliar esse conjunto acrescentando-se nele os números negativos.

Conjunto dos números inteiros (Z) O conjunto dos números inteiros é um conjunto numérico obtido a partir do conjunto dos naturais acrescendo-se a cada natural x o seu oposto - x. Esse é dado por: Z = {0, ±1, ±2, ±3, ±4...}. Os subconjuntos notáveis do conjunto dos inteiros são dados por: não nulos: Z* = {±1, ±2, ±3, ...}. nn Inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. * nn Inteiros positivos: Z + = {1, 2, 3, 4, ...}. nn Inteiros não positivos: Z − = {0, -1, -2, -3, ...}. * nn Inteiros negativos: Z − = {-1, -2, -3, -4, ...}.

B06  Conjuntos numéricos − Definições e relações de inclusão

nn Inteiros

Podemos associar a cada número inteiro um ponto em uma reta orientada chamada reta real. Inicialmente, marca-se um ponto da reta e associamos a esse ponto o número inteiro 0 (zero). Essa será a origem da reta real. A seguir, marca-se à direita do zero os inteiros positivos, e a esquerda do zero os inteiros negativos. Observe a figura a seguir:

Observações: nn Como todo número natural é um número inteiro, temos que IN ⊂ Z. nn A adição, a multiplicação e a subtração de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Já a divisão entre dois números inteiros nem sempre é um número inteiro. Assim, é necessário ampliar esse conjunto acrescentando-se nele as frações não aparentes (frações que não indicam números inteiros). 298

Q ={x | x =a / b, com a ∈ Z e b ∈ Z*} Os subconjuntos notáveis do conjunto dos racionais são dados por: não nulos: Q * . nn Racionais não negativos: Q + . * nn Racionais positivos: Q + . nn Racionais não positivos: Q − . * nn Racionais negativos: Q − . nn Racionais

São números racionais: nn Todos

os números inteiros, pois eles podem ser expressos por meio das frações aparentes. nn Todos os números decimais exatos (quantidade finita de casas decimais), pois todos podem ser expressos por meio das frações não aparentes. nn Todos os números decimais periódicos, ou dízimas periódicas (quantidade infinita de casas decimais que se repetem periodicamente), pois todos podem ser expressos por meio das frações não aparentes. Observações: nn Como todo número inteiro é um número racional, temos que IN ⊂ Z ⊂ Q. n n A adição, a multiplicação, subtração e divisão de dois números racionais é sempre um número racional. Já na igualdade x 2 = 2, não existe um número racional x = a/b, com a∈ Z e b∈ Z* tal que (a/b) 2 = 2. Assim, o valor de x que torna essa igualdade verdadeira não é um racional.

Conjunto dos números irracionais (I) O conjunto dos números irracionais é formado pelos números que não podem ser expressos na forma a/b, com a∈ Z e b ∈ Z*. São números irracionais, aqueles que apresentam infinitas casas decimais não periódicas (dízimas não periódicas). Observe os exemplos a seguir: número 2 = 1,41421356... e todas as raízes não exatas são números irracionais. nn O número π = 3,141592653... que é a razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência é um número irracional. nn O número e = 2,718281828... conhecido como número de Euler é um número irracional. nn O número φ = 1,618033988... conhecido como número de ouro é um número irracional. nn O

Matemática e suas Tecnologias

Observações:

nn Ao efetuarmos uma das quatro operações fundamentais

nn Como todo número racional é um número real, temos

(adição, subtração, multiplicação e divisão) de dois números racionais o resultado é sempre um número racional. nn Ao efetuarmos uma das quatro operações fundamen-

tais (adição, subtração, multiplicação e divisão) de um número racional (não nulo) e um número irracional o resultado é sempre um número irracional.

que IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR. nn Oportunamente, estudaremos outro conjunto numérico

chamado conjunto dos números complexos. nn Pode-se resumir as relações de inclusão entre os con-

juntos numéricos por meio do diagrama a seguir.

nn Ao efetuarmos uma das quatro operações fundamentais

(adição, subtração, multiplicação e divisão) de dois números irracionais o resultado pode ser um número racional ou irracional.

Conjunto dos números reais (IR) O conjunto dos números reais é um conjunto numérico obtido através da união do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais, ou seja, é dado por:

IR = {x | x ∈ Q ou x ∈ I}

EXEMPLOS

a) A = {x ∈ IN | x ≤ 5}. b) B = {x ∈ Z | x2 – 6x + 5 = 0}. c) C = {x ∈ Q | x2 – 6 = 0}.

03. Sendo x e y números irracionais distintos, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). a) b) c) d)

x + y é irracional. x ⋅ y pode ser racional. x – y é racional. x/y pode ser irracional.

RESOLUÇÃO a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. b) x2 – 6x + 5 = 0 ⇒ x’ = 2 e x” = 3 ∴ B = {2, 3}. c) x2 – 6 = 0 ⇒ x = ± 6 ∴ C = ∅. 02. A respeito da classificação dos números, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). −8 ∈ IN 2 ∉Q 5∈Z 1,6 ∈I 0,222... ∈ Q 9 f) ∉Q 4 a) b) c) d) e)

RESOLUÇÃO a) b) c) d)

04. Julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). a) b) c) d) e) f)

RESOLUÇÃO E, pois −8 é um número inteiro negativo. C, pois 2 é um número irracional. C, pois 5 é um número inteiro. E, pois 1,6 é um número racional (decimal exato). C, pois 0,222... é um número racional (dízima periódica). 9 3 E, pois = é um número racional positivo. 4 2

E, pois x + y pode ser racional ou irracional. C, pois x ⋅ y pode ser racional ou racional. E, pois x – y pode ser racional ou irracional. C, pois x/y pode ser racional ou irracional. B06  Conjuntos numéricos − Definições e relações de inclusão

01. Reescreva cada um dos conjuntos a seguir enumerando seus elementos.

Q ∪ IN ⊂ IR. Z ∩ Q = Q. IR ∪ Z = Z. IR ∩ Q = ∅. (IN ∩ Z) ∪ Q = Q. Q+ ∩ Q– = {0}. RESOLUÇÃO

C, pois Q ∪ IN = Q ⊂ IR. E, pois Z ∩ Q = Z. E, pois IR ∪ Z = IR. E, pois IR ∩ Q = Q. C, pois (IN ∩ Z) ∪ Q = IN ∪ Q = Q. C, pois o elemento comum de Q+e Q– é o zero.

299

Matemática

Exercícios de Fixação 01. A respeito da classificação dos números, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). a) 2 ∈ IN b) 0 ∈ IN* c) −4 ∉ IN

d) 3 ∉ Z+ e) −5 ∈ Z*− f) −12 ∉ IN*

C-E-C-E-C-C

02. A respeito da classificação dos números, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). a) 0,333... ∈ Q+ b) −2,5 ∉ Qc)

9 ∈Q

C-E-C-E-C-E

d) 0 ∈ Q* e) 2,2361... ∉ Q 3 f) − ∉ Q *− 4

03. A respeito das relações entre os conjuntos numéricos, julgue os itens a seguir em certo (C) ou errado (E). a) IN ∪ Z = Z b) IN ∩ Q = Q c) (IN ∪ Z) ∩ Q = IN d) Z+ ⊂ (Q ∩ IN) e) IN ∩ Z ∩ Q = Z f) Z+ ∩ Z– = ∅

04. Considere os seguintes conjuntos numéricos: nn A = {x ∈ IN | 1 < x < 8}. nn B = {x ∈ Z | −2 ≤ x ≤ 4}. nn C = {x ∈ IN | x ≤ 6}.

Determine D = C – (A ∩ B). {0, 1, 5, 6}

05. (UEPB) Em 1872, o matemático alemão Richard Dedekind (1831-1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais, que a geometria sugerira há mais de vinte séculos. Os números racionais se opõem aos números irracionais. Qual é a alternativa verdadeira? a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional. b) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. c) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional. d) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. e) O quadrado de um número irracional é um número racional.

C-E-E-C-E-E

Exercícios Complementares 01. (UTF PR) Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído somente de números racionais.

{

}

a) −1,2, 2, π

{ {

2 3

{

3, 64 , π, 2}

1 b) −5, 0, , 9 2

B06  Conjuntos numéricos − Definições e relações de inclusão

c) −2, 0, π, d)

}

1  e) −1, 0, 3,  3 

Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar: I. A ∩ B = ∅. II. A é o conjunto dos números pares. III. B ∪ A = Z. Está correto o que se afirma em: a) I e II, apenas. d) III, apenas. b) II, apenas. e) I, II e III. c) II e III, apenas. 04. Identifique que tipo de número que está localizado em cada uma das regiões destacadas em azul mostradas a seguir.

02. (UECE) Dados os números racionais 3/7, 5/6, 4/9 e 3/5, a divisão do menor deles pelo maior é igual a: a) 27/28 b) 18/25 c) 18/35 d) 20/27 03. (UFG GO) Sejam os conjuntos: nn A = {2n| n ∈ Z} nn B = {2n – 1| n ∈ Z} a) racionais não inteiros; b) inteiros não naturais; c) irracionais; d) reais não inteiros.

300

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B07

CONJUNTOS NUMÉRICOS – DETERMINAÇÃO DA FRAÇÃO GERATRIZ Uma das características mais importantes dos serem humanos é a capacidade de abstração. Exercitamos essa capacidade o tempo inteiro, sem nos darmos conta disso. Quando alguém diz “flor”, imediatamente reconhecemos do que se trata. Compreendemos o significado desse termo porque já vimos muitas flores, e somos capazes de associar palavras aos objetos que conhecemos, sem dar importância, por exemplo, à espécie da planta (begônia, rosa, antúrio, calanchoe, orquídea, cravo, hortênsia, gerânio, margarida, violeta etc). Se não empregássemos essa generalização, escolhendo uma única palavra para representar a estrutura reprodutora de várias plantas, seríamos incapazes de dizer frases como “darei flores no dia das mães”.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Conjuntos numéricos – Determi-

nação da fração geratriz

nn Fração geratriz de uma dízima periódica

Na matemática, e na linguagem matemática, a abstração ocorre em vários níveis, e em várias situações. O uso de números naturais para contar objetos diferentes é a forma mais simples e antiga de abstração. Além disso, esses números podem ser agrupados em conjuntos, como o conjunto dos números naturais, reais, racionais e outros. Por meio do uso desses conjuntos de números podemos resolver as mais diversas situações-problema do nosso dia a dia. Por exemplo, Patrícia está sendo contratada para trabalhar na floricultura do senhor Carlos por um período indeterminado de tempo. No acerto salarial, senhor Carlos fez-lhe a seguinte proposta: O seu salário inicial será R$ 800,00. Após um mês, seu salário será reajustado em 1/10 do salário inicial. Nos meses seguintes, seu salário será reajustado novamente em 1/10 do aumento concedido no mês anterior. Note que nesse acerto salarial, os aumentos serão cada vez menores, ou seja, em longo prazo essa proposta não será vantajosa para Patrícia. Vejamos. nn Ao

final do 1º mês, ela receberá 800 reais. final do 2º mês, ela receberá 800 + 80 = 880 reais. nn Ao final do 3º mês, ela receberá 800 + 80 + 8 = 888 reais. nn Ao final do 4º mês, ela receberá 800 + 80 + 8 + 0,8 = 888,8 reais. nn Ao final do 5º mês, ela receberá 800 + 80 + 8 + 0,8 + 0,08 = 888,88 reais. nn Ao

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Assim, se o real pudesse ser fracionado infinitas vezes, o valor recebido por ela ao final de uma “quantidade infinita de meses”, seria 888,888... reais. Logo, seu salário nunca chegaria nem a 889 reais. É possível escrever o número 888,888... na forma de uma fração irredutível. Nessa aula, abordaremos como determinar essa fração denominada fração geratriz.

301

Matemática

Fração geratriz de uma dízima periódica Sabemos que todos os números cuja representação decimal tem infinitos algarismos dispostos de maneira periódica (dízimas periódicas) são números racionais. Como determinar uma fração geratriz? Para facilitar o entendimento do processo, vamos dividir as dízimas periódicas em dois casos. Dízimas periódicas simples São aquelas que todos os algarismos após vírgula se repetem periodicamente.

nn Em uma dízima periódica que três algarismos se repe-

tem periodicamente após a vírgula, devemos multiplicar os dois membros da 1ª equação por 103, e assim sucessivamente. Dízimas periódicas compostas São aquelas que nem todos os algarismos após vírgula se repetem periodicamente. Por exemplo: Para a dízima periódica 1,01313..., que também pode ser escrita na forma 1,013 , o seu período é 13.Chamando a fração geratriz de x, temos: x = 1,01313... (1)

Por exemplo: Para a dízima periódica 1,444..., que também pode ser escrita na forma 1,4 , o seu período é 4.Chamando a fração geratriz de x, temos: x = 1,444... (1) Como apenas um algarismo se repete periodicamente após a vírgula, devemos multiplicar os dois membros da equação (1) por 101, obtendo-se: 10x = 14,444... (2) Fazendo (2) – (1), temos: 9x = 13 ∴ x = 13/9 Observação:

Primeiramente, devemos transformar a dízima periódica composta em uma dízima periódica simples. Assim, devemos multiplicar os dois membros da equação (1) por 101, obtendo-se: 10x = 10,1313... (2) Como dois algarismos se repetem periodicamente após a vírgula, devemos multiplicar os dois membros da equação (2) por 102, obtendo-se: 1000x = 1013,1313... (3) Fazendo (3) – (2), temos:

nn Em uma dízima periódica que dois algarismos se repe-

B07  Conjuntos numéricos − Determinação da fração geratriz

tem periodicamente após a vírgula, devemos multiplicar os dois membros da 1ª equação por 102.

990x = 1 003 ∴ x = 1 003/990

EXEMPLOS 01. Determine a fração geratriz da dízima periódica simples 0,123123123...

02. Determine a fração geratriz da dízima periódica composta 0,45111...

RESOLUÇÃO

x = 0,123123... (1)

x = 0,45111... (1)

1 000x = 123,123123... (2) Fazendo (2) – (1), temos: 999x = 123 ⇒ x = 123/999 Portanto, a fração geratriz é 123/999.

302

100x = 45,111... (2) 1000x = 451,11... (3) Fazendo (3) – (2), temos: 900x = 406 ⇒ x = 203/450 Portanto, a fração geratriz é 203/450.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Classifique os números decimais a seguir em: decimal exato, decimal infinito periódico (dízima periódica) ou decimal infinito não periódico (dízima não periódica). a) 1,2424 b) 2,12354.... c) 3,777... d) 0,231212...

a) decimal exato; b) dízima não periódica; c) dízima periódica; d) dízima periódica.

02. Determine a fração geratriz de cada uma das dízimas periódicas a seguir.

b) 2,3232...

b) 230/99;

b) 2,333...;

c) 1,444...;

d) 2,8333...

407/90

c) 0,3555... a) 4/9;

a) 2,375;

04. Mostre que o número decimal infinito 4,5222... é um número racional.

a) 0,444...

d) 2,12333...

03. Qual é a representação decimal de cada um dos números racionais a seguir. 19 a) 8 7 b) 3 13 c) 9 5 d) 2 6

05. Mostre que o número decimal infinito 5,999... é um número inteiro. 6 c) 16/45;

d) 637/300.

Exercícios Complementares

é correto afirmar que: a) Apenas dois desses números, em sua forma decimal, são representados por dízimas periódicas. b) Apenas um desses números, em sua forma decimal, é representado por uma dízima periódica simples. c) Os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas tais que o período de cada uma delas é um número primo. d) Os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas tais que o período de cada uma delas é um número divisível por 3. 02. (Usp SP) Seja a/b a fração geratriz da dízima 0,1222... com a e b primos entre si. Nessas condições, temos: a) ab = 990

03. (UFRGS) Se x = 0,949494... e y = 0,060606..., então x + y é igual a: a) 1,01 b) 1,11 c) 10/9 d) 100/99 e) 110/9 04. (Unirio RJ) A fração geratriz de 3,741515... é: a) 37 415/10 000 b) 3 741 515/10 000 c) 37 041/9 900 d) 37 041/9 000 e) 370 415/99 000 05. (UFMG) Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y, obtêm-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representação decimal de x/y é a dízima periódica 7,363636…

b) ab = 900

Então, o valor de x + y + z é:

c) a – b = 80

a) 190

d) a + b = 110 e) b – a = 79

b) 193 c) 191 d) 192

303

B07  Conjuntos numéricos − Determinação da fração geratriz

01. (Cefet MG) Sobre os números racionais 1/11, 7/33 e 14/55,

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B08

ASSUNTOS ABORDADOS nn Conjuntos numéricos – Intervalos

reais

nn Números reais e a reta real nn Relação de ordem entre números reais nn Intervalos reais

CONJUNTOS NUMÉRICOS – INTERVALOS REAIS Antes da eleição para governador, foi feita uma pesquisa sobre a intenção de votos em um número significativo de eleitores. O resultado obtido foi o seguinte: nn 37%

responderam que iriam votar no candidato A. responderam que iriam votar no candidato B. nn 28% responderam que iriam votar no candidato C. nn 33%

Se a margem de erro estimada para cada um desses valores é de 3% para mais ou para menos, seria possível garantir, de acordo com a pesquisa, que o candidato A seria eleito? Observe que a porcentagem x de votos que os candidatos receberiam, de acordo com a pesquisa, satisfaz às seguintes desigualdades: A: 34% ≤ x ≤ 40%. nn Candidato B: 30% ≤ x ≤ 36%. nn Candidato B: 25% ≤ x ≤ 31%. nn Candidato

Assim, de acordo com a pesquisa, não há garantia da eleição ao candidato A.

304

Fonte: shutterstock.com / Rawpixel.com

Note que, nas três situações, x pode assumir uma infinidade de valores reais. Denominam-se intervalos reais, todo subconjunto dos números reais.

304

Matemática e suas Tecnologias

Números reais e a reta real

nn Intervalo

Já sabemos que a reta real é uma reta sobre a qual estabelecemos um sentido positivo (para direita) e uma origem associada ao zero. A cada número real podemos associar um ponto da reta e vice-versa. Assim, seguiremos os seguintes passos para preenchê-la: os números inteiros positivos à direita da origem e os inteiros negativos à esquerda da origem estabelecendo arbitrariamente a medida do segmento que será a distância entre dois números inteiros consecutivos. nn Marcam-se os números racionais, fracionando-se as distâncias entre dois inteiros consecutivos. nn Marcam-se todos os irracionais, por meio de construções geométricas utilizando régua e compasso juntamente com o Teorema de Pitágoras.

fechado de extremos a e b

{x ∈ IR / a ≤ x ≤ b} = [a, b] nn Intervalo

aberto de extremos a e b

nn Marcam-se

{x ∈ IR / a < x < b} = ]a, b[ nn Intervalo

fechado à esquerda e aberto à direita de extremos a e b

{x ∈ IR / a ≤ x < b} = [a, b[ nn Intervalo

aberto à esquerda e fechado à direita de extremos a e b

{x ∈ IR / a < x ≤ b} = ]a, b] –2

–1,5

–1

1 3 0

nn Intervalo ilimitado à direita e fechado à esquerda em a

Relação de ordem entre números reais Dados os números reais a e b, podemos ter exatamente uma das seguintes relações de ordem entre eles:

{x ∈ IR / x ≥ a} = [a, +∞[ nn Intervalo ilimitado à direita e aberto à esquerda em a

a = b ou a < b ou a > b desigualdade a < b significa que o número real a é menor que o número real b. Geometricamente, temos que a está à esquerda de b na retal real. Observe a figura a seguir.

{x ∈ IR / x > a} = ]a, +∞[

nn A

nn Intervalo ilimitado à esquerda e fechado à direita em a

{x ∞ IR / x ≤ a} = ]−∞, a] nn Intervalo ilimitado à esquerda e aberto à direita em a

{x ∈ IR / x < a} = ]−∞, a[ nn Intervalo

Observações: nn Podemos ter também as desigualdades a ≤ b (a é menor ou igual a b) e a ≥ b (a é maior ou igual a b). nn Para indicar que um número c entre a e b, temos que c > a e c < b ou simplesmente a < c < b.

Intervalos reais Dados dois números reais a e b com a < b, intervalos reais são subconjuntos do conjunto dos números reais definidos por:

ilimitado à esquerda e à direita IR = ]−∞, +∞[

Observações: nn A bolinha cheia  indica que os extremos pertencem ao intervalo. nn A bolinha vazia indica que os extremos não pertencem ao intervalo. nn Nos intervalos reais, o conjunto Universo é toda a reta real. 305

B08  Conjuntos numéricos − intervalos reais

desigualdade a > b significa que o número real a é maior que o número real b. Geometricamente, temos que a está à direita de b na retal real. Observe a figura a seguir.

nn A

Matemática

EXEMPLOS 01. Utilizando desigualdades, escreva as seguintes relações de ordem. a) um real número x está à direita do número 6 na reta real. b) um número real x está à esquerda do número 3 na reta real. c) um número real x está entre os números −1 e 9 na reta real. RESOLUÇÃO

04. Dados os conjuntos A = ]−5, 2[ e B = [0, 4], determine os seguintes conjuntos. a) b) c) d)

A–B B–A AC BC RESOLUÇÃO

a) x >6 b) x <3 c) −1< x <9 02. Represente na reta real os seguintes intervalos: a) Aberto de extremos −1 e 4. b) Fechado à esquerda e aberto à direita de extremos 3 e 8. c) Ilimitado à direita e fechado à esquerda em 7. RESOLUÇÃO

03. Dados os conjuntos A = [3, 6], B = ]5, 9] e C = [2, 8[, determine: a) A ∪ B b) B ∩ C c) (A ∪ B) ∩ C

Portanto, A – B = ]–5, 0[.

Portanto, B – A = [2, 4]. Lembre-se que A C e B C são os complementares de A e B, respectivamente, em relação ao conjunto universo, nesse caso toda a reta real.

RESOLUÇÃO

Portanto, AC = ]−∞, −5] ∪ [2, ∞[.

Portanto, A ∪ B = [3, 9].

B08  Conjuntos numéricos − intervalos reais

Portanto, BC = ]−∞, 0[ ∪ ]4, ∞[.

Portanto, B ∩ C = ]5, 8[.

Portanto, (A ∪ B) ∩ C = [3, 8[.

306

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Represente os seguintes intervalos na reta real. a) Fechado de extremos −3 e 4. b) Aberto à esquerda e fechado à direita de extremos −1 e 6. c) Ilimitado à esquerda e aberto à direita em 2. 02. Reescreva cada um dos conjuntos a seguir utilizando a notação de intervalos e, em seguida, represente-os na reta real. a) ]−∞, 7[;

b) [9, +∞[;

c) ]−3, 9]; d) [−1, 2] ∪ ]4, 8];

a) A = {x ∈ IR | x < 7}. b) B = {x ∈ IR | x ≥ 9}. c) C = {x ∈ IR | −3 < x ≤ 9}. d) D = {x ∈ IR | −1 ≤ x ≤ 2 ou 4 < x ≤ 8}. e) E = {x ∈ IR | 0 ≤ x < 11 e x ≠ 7}.

e) [0, 11[ – {7}.

03. Dados os conjuntos: A = {x ∈ IR | 1 < x ≤ 5} B = {x ∈ IR | 3 ≤ x < 7}

Determine: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A – B d) AC

a) ]1, 7[;

b) [3, 5];

c) ]1, 3[;

d) ]−∞, 1] ∪ ]5, +∞[.

04. Dados os conjuntos A = [−4, 6[ e B = [−∞, −2[ determine: a) ]−∞, 6];

a) A ∪ B b) A ∩ B c) B – A d) BC

b) [−4, −2[;

d) [2, ∞[.

c) ]−∞, 4[;

Questão 01

05. Dados os conjuntos: A = {x ∈ IR | 2 < x < 8} B = {x ∈ IR | x ≤ 10} Determine: a) A ∪ B a) ]−∞, 10];

b) ]2, 8[;

b) A ∩ B c) ]−∞, 2] ∪ [8, 10[.

c) CBA

Exercícios Complementares 01. (Enem MEC) Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta numérica e o jogador deve posicionar

02. (Fuvest SP) Na figura adiante estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1.

as fichas contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de Clara recebe as seguintes fichas:

Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é:

Qual a posição do número xy? a) À esquerda de 0. b) Entre 0 e x. c) Entre x e y. d) Entre y e 1. e) À direita de 1. 03. (UECE) Se x e y são números reais que satisfazem, respectivamente, as desigualdades 2 ≤ x ≤ 15 e 3 ≤ y ≤ 18, então todos os números da forma x/y, possíveis, pertencem ao intervalo: a) [5, 9] b) [2/3, 5/6] c) [3/2, 6] d) [1/9, 5] 04. (FGV SP) Dados os conjuntos A = {x ∈ IR | −1 ≤ x < 3} e B = {x ∈ IR | 2 < x ≤ 6} assinale a alternativa correta. a) A ∪ B = {x ∈ IR | −1 < x < 6} b) B – A = {x ∈ IR | 3 ≤ x ≤ 6} c) A ∩ B = {x ∈ IR | 2 ≤ x ≤ 3} d) A – B = {x ∈ IR | −1 ≤ x < 2} e) nda

307

B08  Conjuntos numéricos − intervalos reais

medida. Cada acerto vale 10 pontos. Na sua vez de jogar,

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (ITA SP) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A ∪ B) = 8, n(A ∪ C) = 9, n(B ∪ C) =10, n(A ∪ B ∪ C) = 11 e n(A ∩ B ∩ C) = 2. Então, pode-se afirmar que n(A) + n(B) + n(C) é igual a: a) 11 b) 14 c) 15 d) 18 e) 25 02. (UFPE) Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo que: nn o numero de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam as três disciplinas; nn existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física; nn existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática nn o numero de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas e 150; nn o numero de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas e 190.

Quantos alunos cursam as três disciplinas?

Gabarito: 22

03. (Ibmec SP) Os 120 funcionários da empresa Glota S/A, falam Inglês ou Francês ou Português. Sabe-se ainda que: nn Todo funcionário que fala Inglês também fala Francês. nn Nenhum funcionário que fala Português, fala Inglês ou Francês. nn O número de funcionários que falam Francês é o quíntuplo do número de funcionários que falam Inglês. nn A quantidade de funcionários que não fala Português é menor que um terço e maior que um quarto do número total de funcionários dessa empresa. nn Nenhum funcionário é mudo. Quantos funcionários da empresa Glota S/A falam Português?

05. (UFT TO) Foi aplicado um teste contendo três questões para um grupo de 80 alunos. O gráfico abaixo representa a porcentagem de acerto dos alunos por questão. Acertos 70% 60% 40%

1ª

2ª

3ª

Questões

Suponha que 52 alunos acertaram pelo menos duas questões e 8 alunos não acertaram nenhuma. O número de alunos que acertaram as três questões é: a) 44 b) 40 c) 12 d) 20 e) 30 06. Os gregos elegeram um determinado retângulo como o das mais belas proporções. Se, desse retângulo, chamado de retângulo áureo, retirarmos um quadrado, o retângulo que restar será semelhante ao retângulo original. Observe a figura a seguir.

Gabarito: 17

04. (Enem MEC) André, Carlos e Fábio estudam em uma mesma escola e desejam saber quem mora mais perto da escola. André mora a cinco vinte avos de um quilômetro da escola. Carlos mora a seis quartos de um quilômetro da escola. Já Fábio mora a quatro sextos de um quilômetro da escola. A ordenação dos estudantes de acordo com a ordem decrescente das distâncias de suas respectivas casas à escola é: a) André, Carlos e Fábio. b) André, Fábio e Carlos. c) Carlos, André e Fábio. d) Carlos, Fábio e André. e) Fábio, Carlos e André. 308

A partir dessa figura, a seguinte relação: b a−b = a b

Fazendo

a = x mostre que: b

Gabarito: demonstrações

a) x2 – x – 1 = 0. b) x=

a 1+ 5 = . (Esse número é o número áureo). b 2

Matemática e suas Tecnologias

07. Segundo Leopold Kronecker: “Deus criou os números inteiros, tudo o resto é obra do homem.”

a) 1/5 b) 8/15 c) 17/30 d) 7/10

A respeito desses números, responda os itens a seguir. a) 20; b) 639. a) Escrevendo todos os números naturais de 1 a 100, quantas 14. (Fuvest SP) Se −4 < x < −1 e 1 < y < 2 então xy e 2/x estão no vezes escrevemos o algarismo 6? intervalo: b) Quantos algarismos são necessários para escrever todos os números naturais de 1 a 249? a) ]−8, −1[ b) ]−2, −1/2[ 08. Mostre que o número x = 2 + 2 + 2 + 2 + ... é um númec) ]−2, −1[ ro racional. Gabarito: demonstrações d) ]−8, −1/2[ e) ]−1, −1/2[ 09. (Enem MEC) Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse 15. (UFJF MG)Define-se o comprimento de cada um dos intervalos índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o [a, b], ]a, b[, ]a, b] e [a, b[ como sendo a diferença (b – a). Dados número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar os intervalos M = [3, 10], N = ]6, 14[ e P = [5, 12[o comprimento seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de podo intervalo resultante de (M ∩ P) ∪ (P – N) é igual a: pularidade é 0,3121212... O índice revela que as quantidades a) 1 relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam b) 3 seu perfil são: c) 5 a) 103 em cada 330. d) 7 b) 104 em cada 333. e) 9 c) 104 em cada 3.333. d) 139 em cada 330. 16. (UFJF MG) Dados os conjuntos A = [–1, 3[, B = [1, 4], C = [2, 3[, e) 1.039 em cada 3.330. D = ]1, 2] e E = ]0, 2], consideremos que P = [(A ∪ B) – (C ∩ D)] – E. a) 0,71428571...

b) 1

a) Qual é a sua forma decimal? b) Contando da esquerda para direita, qual o sexagésimo algarismo de sua forma decimal? 11. (Puc RJ) O valor de 2,777... é: a) 1,2. b) 1,666... . c) 1,5. d) um número entre 1/2 e 1. e) 3,49. 12. (Unesp SP) Seja R o número real representado pela dízima 0,999...Pode-se afirmar que: a) R é igual a 1. b) R é menor que 1. c) R se aproxima cada vez mais de 1 sem nunca chegar. d) R é o último número real menor que 1. e) R é um pouco maior que 1. 13. (Uerj RJ) O segmento XY , indicado na reta numérica abaixo, está dividido em dez segmentos congruentes pelos pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I.

Admita que X e Y representem, respectivamente, os números 1/6 e 3/2. O ponto D representa o seguinte número:

Marque a alternativa incorreta: a) P ⊂ [–1, 4] b) ]3, 4] ⊂ P c) 2 ∈ P d) O ∈ P 17. (Uesc SC) O monitoramento do número de batimentos cardíacos por minuto, relacionando-o com a idade do indivíduo, não só pode evitar enfartes fulminantes como também auxiliar na determinação dos limites a serem respeitados na prática de atividades físicas. A fórmula clássica utilizada na determinação do número máximo de batimentos cardíacos por minuto (bpm), FMAX = 220 – i, em que i é a idade, é bastante controversa, pois pode errar de duas maneiras — os mais jovens podem extrapolar seus limites e os mais velhos ficarem aquém dos que poderiam atingir. Estudos mostraram que se utilizando a fórmula F = 60 + k(FMAX – 60), em que 55% ≤ K ≤ 70%, se pode determinar uma faixa de batimentos cardíacos por minuto dentro da qual é possível conseguir benefícios através dos exercícios, evitando sobrecargas. Nessas condições, um indivíduo com 50 anos de idade pode fazer exercícios físicos, com segurança, dentro da faixa de batimentos por minuto, entre: a) 108 e 125. b) 121 e 136. c) 130 e 142. d) 138 e 153. e) 150 e 166. 309

FRENTE B  Exercícios de Aprofundamento

10. A respeito do número racional 5/7, responda os itens a seguir.

FRENTE

Escadas de acesso através do vale para caverna Pitágoras na ilha de Samos, Grécia.

MATEMÁTICA A incomensurabilidade entre duas grandezas quaisquer se refere ao fato de sua razão não poder ser expressa por um número racional e, consequentemente, é necessário recorrer a outros tipos de números para se descrever a realidade dessa razão. Por exemplo, a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é um número irracional, que se convencionou chamar de p. As primeiras demonstrações matemáticas da existência de grandezas incomensuráveis se fizeram presentes na Grécia Antiga, por meio da demonstração da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do quadrado. Tal descoberta deixou a comunidade grega, em especial a pitagórica, em uma situação delicada já que para Pitágoras, tudo era número. Os gregos sabiam da existência desse número por meio de construções geométricas, porém não conseguiram mostrar sua existência segundo conceitos da aritmética. Ao estabelecermos uma razão a/b entre dois números a (racional) e b (irracional), nos deparamos com uma incomensurabilidade entre esses números. Assim, temos uma situação em que é impossível se obter um número decimal equivalente a essa fração. Desse modo, se for necessário obter esse número na forma decimal, devemos tomar um valor aproximado para o número irracional e, em seguida, fazer efetuar a divisão. Para tornar mais simples a divisão entre esses números, é possível se obter uma fração equivalente de sorte que o número irracional deixe de figurar no denominador da fração e passe a figurar no numerador da mesma. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

C05 C06 C07 C08

Radiciação – parte II...................................................................... 312 Racionalização de denominadores................................................ 315 Função quadrática - Definição, raízes e forma fatorada.............. 320 Função quadrática – Gráficos........................................................ 324

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Por falar nisso

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C05

ASSUNTOS ABORDADOS nn Radiciação – parte II nn Redução de radicais ao mesmo índice nn Potência de expoente racional

RADICIAÇÃO – PARTE II A duplicação do cubo ou problema de Delos é um problema clássico de geometria que consiste em criar um método para obter a medida da aresta de um cubo cujo volume é o dobro do cubo inicial. De acordo com uma lenda, a cidade de Delos (ilustração abaixo), na Grécia Antiga, estava sendo assolada por uma peste que ameaçava matar toda a população. Para erradicar a doença, os sacerdotes consultaram o Oráculo e esse ordenou que o altar do Deus Apolo tivesse seu volume duplicado. Sabendo-se que o altar tinha forma cúbica com aresta medindo 1 m, para que seu volume fosse duplicado seria necessário aumentar as medidas das arestas desse cubo em 3 2 metros, que é um número expresso por meio de radicais. Isso obviamente não foi conseguido pelos matemáticos da época.

Figura 01 - Terraço dos Leões na ilha de Delos, um dos mais importantes sítios arqueológicos da Grécia.

312

Fonte: Anastasios71 / Shutterstock.com

Após cerca de 2 000 anos, seria provado que esse problema não teria como ser resolvido utilizando apenas uma régua graduada e um compasso, pois o aumento de cada uma das arestas do cubo tratava-se de um número irracional transcendente (expresso por meio de radicais). Nesta aula, iremos abordar mais alguns aspectos do estudo dos radicais.

Matemática e suas Tecnologias

Redução de radicais ao mesmo índice Considere os seguintes números expressos por meio de radicais:

Utilizando a propriedade

4 e

Para responder a essa pergunta, temos que reduzir essas raízes ao mesmo índice. Esse índice comum, será dado pelo mínimo múltiplo comum (mmc) entre os índices 3 de 3 4 e 4 de

4.3

amp⋅ = n am , temos que:

256

53 = 12 125

Como

Qual deles é o maior?

= 44

nn 3

3.4

4 nn=

np ⋅

256 >

125 , temos que

4 >

Potência de expoente racional Dado um número real a (positivo), um número natural n (maior que 1) e um número inteiro m, temos que: m

a n = n am

5 . Assim, esse índice comum é mmc (3, 4) = 12.

EXEMPLOS 01. Simplifique as expressões a seguir: a)

54 ⋅ a4 ⋅ b7 c3

b2 6 a ⋅ a b

RESOLUÇÃO Inicialmente, vamos expressar a e b por meio de radicais com o mesmo índice. Esse é dado por mmc (3, 2) = 6. Assim, temos: = a

= b

RESOLUÇÃO a)

54 ⋅ a4 ⋅ b7 = c3

b2 6 a ⋅ = a b

3⋅2

 b2  a   ⋅6 = a b  

b4 6 a ⋅ = a2 b

3.2

2 4=

= 3

2.3

3 3=

Daí, temos que:

2 ⋅ 33 ⋅ a3 ⋅ a ⋅ b6 ⋅ b 3 ⋅ a ⋅ b2 3 3ab2 3 = = 2 ⋅ a⋅b 2ab c3 c c

= 4

b4 a ⋅ = a2 b

a ⋅ b= 03. Escreva o radical

64 ⋅ 6 27=

64 ⋅ 27=

1728

5 ⋅ 4 53 na forma de expoente racional.

b3 a

RESOLUÇÃO

02. Sendo a = 3 4 e b = 3 , calcule a ⋅ b.

5 ⋅ 4 53 =

6 4

54 ⋅ 53 =

59 = 524 = 58

Exercícios de Fixação

( b) ( 3

)( 3 ) ⋅ (2

a) 5 2 + 3 ⋅ 2 − 3 2

)

3− 2

7 + 24 ⋅ 7 − 24

2 − 24

)56

02. Escreva os seguintes radicais em ordem crescente: a)

2, 3 e 5 4 ,10 8 e 2

03. Efetue:

2<65<43

8 < 5 4< 2

04. Escreva as expressões a seguir sob a forma de um único radical: a)

4⋅ 3

a) b)

15 : 3

72 : 4 12

432 6

75 12

2⋅ 4 2⋅ 3 2

05. Escreva na forma de radical cada uma das potências de expoentes fracionários: 2

a) 33 b) 2 c) 5

3⋅ 5

d) 4

4 5

3 4

125

2 − 3

C05  Radiciação – parte II

01. Calcule o valor de:

1 16

313

Matemática

Exercícios Complementares 01. (Fei SP) Calcular o valor numérico da expressão: -23/16 −

−3 −8 + 16 4 − ( − 12 ) + 8 −2

−

4 3

a−1/9 ⋅ ( a−1/3 )  1 2 02. (UFMG) A expressão :  −  , com a ≠ 0, é −a2  a equivalente a: 2

a) b) c) d) e)

−a5 9 5 a 9 −a7 9 7 a 9 −7 a

03. Calcule o valor de: 2 5

1 3

a) 32 − 216 + 343

2 3

09. (IF MA) Sobre os itens abaixo I.

Se 2 < 3 < 5, então 2 < 10 25

II.

III.

64 < 23

IV.

125 < 10 1000

Podemos afirmar que: a) Apenas III está falso b) Somente I e II estão falsos c) Apenas II está correto d) Apenas I está correto e) Apenas IV é falso 10. (IF MA) Nas alternativas abaixo I.

II.

04. (Puc SP) Se a = 16 e x = 1,25 quanto vale aX? a) 2 d) 16 2 b) 32 e) 64 c) 20

III.

22 = 8 22

IV.

10 < 12 4 10

4 3

05. (Cefet CE) Simplifique a expressão (a + b) ⋅ (a − b) ⋅ (a2 − b), com a e b positivos e a > b. a2 – b

VI.

1 2

1  0,25 b) (1,21) + 81 −    27 

−

2 3

-4,9

06. (Espm SP) O inverso multiplicativo do número 7 + x é o número 7 − x . O valor de x + 1 é igual a: a) 7 c) 12 e) 5 b) 3 d) 8 07. (Espm SP) A equação

x+ x 5 = em que x é um número x −1 4

real apresenta: a) uma única raiz, que é maior que 10. b) uma única raiz, que é menor que 10. c) duas raízes cuja soma é 26. d) duas raízes, mas só uma é maior que 10. e) duas raízes, que são quadrados perfeitos.

C05  Radiciação – parte II

08. (Uem PR) Assinale o que for correto. C-C-C-E-E-C 23 2 25 01. . + > 2 23 25 02.

25 ⋅ 36 = 900 .

04.

120 ⋅ 169 = 289 . 2

08.  5 + 2  =25 + 4 . 4 9 2 3  49   7   49   2  16.   ÷   =   ⋅   .  8  2  8  7

314

2< 3< 5

18 = 6 18 42 = 5 3 42

56 = 12 56 74 = 3

3 4

Estão corretas: a) I, II e V b) III, IV e VI c) II e VI d) III e V e) IV 11. (IF SC) Leia e analise as seguintes afirmações: I. (a + b)2 = a2 + b2, para quaisquer a e b reais. II. III. IV.

a2 + b2 =a + b , para quaisquer a e b reais.

a ⋅ b = a ⋅ b , para quaisquer a e b naturais. a a a = + , para quaisquer a, b e c racionais difeb+c b c rentes de zero. a c ad + bc , para quaisquer a, b, c e d racionais + = b d bd diferentes de zero.

Assinale a alternativa correta. a) Apenas as afirmações II, III, IV e V são verdadeiras. b) Apenas as afirmações II, III e V são verdadeiras. c) Apenas as afirmações I, III e IV são verdadeiras. d) Apenas as afirmações III e V são verdadeiras. e) Todas as afirmações são verdadeiras.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C06

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

ASSUNTOS ABORDADOS

O número de ouro, expresso por meio de radicais, é um número bastante enigmático que nos surge em uma grande quantidade de elementos da natureza na forma de razão. Há muito tempo, os gregos já reconheciam esse número atribuindo a ele grande importância no que se refere à beleza e harmonia. Uma das áreas de estudo de Leonardo da Vinci (1452 – 1519) foi a das proporções do corpo humano e, nesse estudo, observa-se a grande presença da razão de ouro. Observe a ilustração a seguir que mostra uma de suas obras, “O homem Vitruviano”.

nn Racionalização de denominadores nn Racionalização de denominadores nn Principais casos

De acordo com os estudos de Leonardo da Vinci, tem-se a presença do número de ouro no corpo humano nas seguintes razões: nn A

altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão. nn A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça. nn A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax. nn A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo. nn O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta. nn A medida da dobra central até a ponta dividida e da segunda dobra até a ponta. nn A medida do quadril ao chão e a medida do joelho ao chão. Assim, de acordo com os estudos de da Vinci, qual seria a altura, em metros, de uma pessoa cuja distância do umbigo até o chão é dada por d =

22 ⋅

(

5 −1 25

) metros.

h =φ⇒h=φ⋅d d

Fonte: Janaka Dharmasena / Shutterstock.com

De acordo com o exposto, para obter a altura h, em metros, dessa pessoa, devemos montar a seguinte razão:

Figura 01 - "Homem Vitruviano" obra de Leonardo Da Vinci.

315

Matemática

Daí, temos que:

(

)

(

)

5 + 1 22 ⋅ 5 − 1 22 ⋅ h= ⋅ = 2 25

(

)(

5 +1 ⋅

5 −1

)

Finalmente, temos que:

22 ⋅   = h Na expressão numérica

(

( 5)

− 12   22 ⋅ 4 = = 1,76 m 25 25 2

)(

5 +1 ⋅

)

5 − 1 , temos o produto de dois termos cha-

mados de conjugados. O resultado desse produto é dado por número não expresso por meio de radicais.

( 5)

− 12 = 4, que é um

Nesta aula, abordaremos produtos como esse, que tem como objetivo final expressar frações de denominadores livres de números expressos por meio de radicais.

Racionalização de denominadores Alguns números são representados por frações cujo denominador é expresso por meio de radicais. Nesses casos, é possível obter uma fração equivalente, multiplicando o numerador e o denominador por um radical conveniente com objetivo de eliminar o radical do denominador. Tal procedimento é conhecido como racionalização de denominadores e tem como finalidade simplificar a execução de cálculos, tornando-os mais rápidos de se efetuar. Por exemplo:

Vamos efetuar a divisão

. 2 Como 2 é aproximadamente 1,41, seria possível efetuar essa divisão de duas maneiras. Observe: 1 1 = nn 1ª maneira: 2 1,41 nn 2ª

maneira:

⋅

2 1,41 = 2 2

2 2 2 Obviamente, a 2ª maneira de efetuar essa divisão (sem o radical no denominador) é mais simples e rápida.

Principais casos Denominadores do tipo

Basta multiplicar o numerador e o denominador da fração por a (fator racionalizante). C06  Racionalização de denominadores

Por exemplo: nn

15 3

3 15 ⋅ 3 15 ⋅ 3 ⋅ = = = 5 3 3 3 32

Denominadores do tipo

Basta multiplicar o numerador e o denominador da fração por n an−m (fator racionalizante). Por exemplo: nn

316

48 3

⋅

43−1

48 ⋅ 3 42 3

4 ⋅ 3 42

48 ⋅ 3 42 3

48 ⋅ 3 42 3 12 16 4

Matemática e suas Tecnologias

Denominadores do tipo

a± b

Esse caso de racionalização se baseia no seguinte produto notável: (x + y) ⋅ (x – y) = x2 – y2 Caso o denominador seja lizante).

a + b , basta multiplicar o numerador e o denominador da fração por

a − b (fator raciona-

Caso o denominador seja lizante).

a − b , basta multiplicar o numerador e o denominador da fração por

a − b (fator raciona-

Por exemplo: 4

7− 5

⋅

(

) ( ) ( 7 + 5) = 2⋅( 2 ( ) ( ) 3 ⋅ ( 4 − 11 ) 3 ⋅ ( 4 − 11 ) 3 ⋅ ( 4 − 11 ) = = 16 − 11 5 4 − ( 11 )

4⋅ 7 + 5 4⋅ 7 + 5 4⋅ = 2 = 2 7−5 7+ 5 7 − 5 7+ 5

4 − 11 = 4 + 11 4 − 11 3

⋅

Denominadores do tipo

)

7+ 5

a±3b

Esse caso de racionalização se baseia nos seguintes produtos notáveis: (x + y) ⋅ (x2 – xy + y2) = x3 + y3 (x – y) ⋅ (x2 + xy + y2) = x3 – y3 Caso o denominador seja

a + 3 b , basta multiplicar o numerador e do denominador da fração por

( a)

− 3 ab +

( b)

a − 3 b , basta multiplicar o numerador e do denominador da fração por

( a)

+ 3 ab +

( b)

(fator racionalizante). Caso o denominador seja

(fator racionalizante). Por exemplo:

1 3

5−3

( ⋅ 2 ( ( ⋅ 3 (

3 3

) 3) 5) 5) 3

2 2

( 3⋅2 + ( 5⋅3 + ( 5⋅3 + (

− 3 3⋅2 + −3 +3 +3

3 3

)= ( 3) − 3⋅2 + ( 2) 2) ( 3) + ( 2) 3) ( 5) + 5⋅3 + ( 3) = 3) ( 5) − ( 3) 2

2 3 9−36+34 39−36+34 = = 3+2 5

2 3 25 − 3 15 + 3 9 3 25 − 3 15 + 3 9 = = 5−3 2

C06  Racionalização de denominadores

317

Matemática

EXEMPLOS 01. Racionalize os denominadores das frações a seguir: 12 18 15 a) b) 3 c) 4 6 3 3 RESOLUÇÃO a)

12 6 12 6 12 6 = = = 2 6 . 6 6 6 62

18 3 32 18 3 32 18 3 9 .= = = 6 3 9 3 3 3 3 3 3 32 3

15 4 33 15 4 27 15 4 27 = = = 5 4 27 . 4 4 4 3 3 4 33 3

02. Racionalize os denominadores das frações a seguir: 4 24 a) b) c) 2+ 3 5− 2

2 3 −1

RESOLUÇÃO

(

)

(

)

(

( ) ( ) ( )

(

)

4 2− 3 4⋅ 2− 3 4⋅ 2− 3 4⋅ 2− 3 = = = = 4⋅ 2− 3 . 2 4 −3 1 2 + 3 2 + 3 22 − 3

( )

)

(

) )

24 5 + 2 24 ⋅ 5 + 2 24 ⋅ 5 + 2 24 ⋅ 5 + 2 = = = 8⋅ .= 2 2 5−2 3 5− 2 5+ 2 5 − 2

2 c) 3 = 3 −1

( 3) ( 3) 3

2 2

+ 3 3 ⋅ 1 + 12 2 ⋅ = + 3 3 ⋅ 1 + 12

9 + 3 + 1) 2 ⋅ ( (= ( 3) −1 3

)

9 + 3 3 +1 2⋅ = 3 −1

(

5+ 2

) )

9 + 3 3 +1 = 2

9 + 3 3 +1

Exercícios de Fixação 01. Racionalize os denominadores das frações a seguir: 42 a) 7 6 6 24 b) 3

C06  Racionalização de denominadores

20 7

8 3

20 7 7

54 4 3

60 c) 5 8

18 4 27

15 5 4 2

03. Racionalize os denominadores das frações a seguir: 6 a) 2 ( 7 + 2) 7 −2 b)

318

2 3+ 2

6 −2

(

11 + 3

)

04. Racionalize os denominadores das seguintes frações: 3 3 4 − 3 2 +1 a) 3 2 +1 b)

02. Racionalize os denominadores das frações a seguir: 12 a) 3 3 3 16 4

24 11 − 3

1 5−3 4

25 + 3 20 + 3 16

20 5+ 2− 7

(

5+ 2+ 7

)

05. (Fuvest SP) A expressão numérica a)

5 + 3 +3 4

5 + 3 −3 2

5 − 3 −3 2

5 + 3 −3 4

5 − 3 −3 4

2 2 − é igual a: 5− 3 3 2

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 5− 2 7− 3 e b= . Qual é o maior? b > a 7+ 3 5+ 2

02. (Puc RJ) Quanto vale

03. (UFCE) Seja A = igual a: a) −2 2 b) 3 2 c) −2 3 d) 3 3 e) 2 3

d) 1 + 3 9 e) 2 ⋅ 3 3 1 eB= 3+ 2

1 , então, A + B é 3− 2

1 1 1 − − 04. (Uel PR) O valor da expressão é igual a: 2 1+ 2 2+ 2 a) − 2

b) -1/2 c) 0 2 d) 2 e) 2

5+ 3+3 4

5+ 3−3 2

5− 3−3 2

5+ 3−3 4

5− 3−3 4

a) b) c) d)

9+ 5 −11 + 5 11 − 5 9− 5

1 é igual a: 3 −1

(

9 + 3 2 −1

)

(

9 − 3 2 +1

)

1 2

(

9 − 3 2 +1

)

3 −1

3 4

3 2

(

9 − 3 3 +1 3

)

9 + 3 3 +1

1 é igual a: 3 +1 1 d) 3 +1 2 1 e) 3 −1 2

09. (Unitau SP) A expressão

(

)

(

)

1 , com 5 casas 2 −1 decimais, é 2,41421. Considere os seguintes métodos para se fazer essa conta sem o auxílio da calculadora: nn Método A: usa-se um valor aproximado para 2 e faz-se a divisão;

10. (Ibmec SP) O valor exato da expressão

valor aproximado para 2 2 − é igual a: 5− 3 3 2

06. (Unifap AP) Eles sabem que racionalizar é assunto do nono ano e não cai com frequência em provas, mas resolvem por via das dúvidas treinarem um pouco. E uma das questões que eles resolveram e acertaram é: 1 A fração − 3 é igual a: 2− 3 Qual é a alternativa que eles marcaram: a) 0 d) 3 b) 1 e) 3 c) 2 07. (Unimontes MG) A expressão

nn Método B: racionaliza-se o denominador e usa-se um

05. (Fuvest SP) A expressão numérica a)

1 2 1 b) 2 1 c) 3

3+3 9 ? 3 3

a) 3 3 b) 3 9 c) 1 + 3 3

08. (Unitau SP) A expressão

(

)

5 −1 +

20 é igual a: 5− 5

Ao se fazer uma aproximação, comete-se um erro, que é definido como a diferença, em módulo, entre o valor aproximado e o valor exato. Usando a melhor aproximação para 2 com uma única casa decimal, a razão entre os erros (em relação ao valor exato) obtidos nos métodos A e B, respectivamente, é de cerca de: a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 11. (Unitau SP) A expressão a) b) c) d) e)

( 7)

4 é igual a: 7

4 4 4 4

C06  Racionalização de denominadores

01. Sejam a =

( 7) ( ( (

7 49

)

7 3

343 7

)

319

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C07

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função quadrática - definição,

raízes e forma fatorada

nn Função polinomial do 2º grau nn Raízes ou zeros nn Soma e produto das raízes nn Forma fatorada

FUNÇÃO QUADRÁTICA - DEFINIÇÃO, RAÍZES E FORMA FATORADA “Uma das principais funções da nossa arte é tornar conscientes esses espetáculos da vida diária onde os atores são os próprios espectadores, o palco é a plateia e a plateia, o palco. Somos todos artistas: fazendo teatro, aprendemos a ver aquilo que nos salta aos olhos, mas que somos incapazes de ver, tão habituados estamos apenas a olhar. O que nos é familiar torna-se invisível: fazer teatro, ao contrário, ilumina o palco da nossa vida cotidiana.” [Fonte: Augusto Boal (1931-2009) Criador do Teatro do Oprimido]

O dono de um teatro nota que, se cobrar R$ 40,00 por um ingresso, poderia contar com 100 espectadores, arrecadando um total de R$ 4.000,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$ 4,00 no preço do ingresso, receberia um espectador a menos. A partir desses dados, pode-se estabelecer uma relação entre o valor arrecadado y, em reais, e a quantidade x de espectadores a menos, através da lei de formação y = (40 + 4x) ⋅ (100 – x) que, após ser desenvolvida, resulta em y = -4x2 + 360x + 4000. A lei de matemática dada por y = -4x2 + 360x + 4000 é um exemplo de função polinomial do 2º grau, ou simplesmente, função quadrática.

Função polinomial do 2º grau Uma função f: IR → IR é denominada função polinomial do 2º grau, ou função quadrática se, e somente se, for expressa por: Exemplos:

f(x) = ax2 + bx + c, com a ∈ IR*, b ∈ IR e c ∈ IR

= 3x2 – 10x + 1, com a = 3, b = -10 e c = 1. nn f(x) = -x2 + 12, com a = -1 e b = 0 e c = 12.

Fonte: Fer Gregory / Shutterstock.com

nn f(x)

320

Matemática e suas Tecnologias

Observações:

Produto das raízes

constante a é denominada coeficiente dominante. nn A constante c é denominada termo independente.

O produto P dessas raízes da equação ax2 + bx + c = 0 é dado por:

nn A

Raízes ou zeros

As raízes (ou zeros) da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x que tornam f(x) = 0. Assim, temos que: f(x) = 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0 Multiplicando todos os termos de ax2 + bx + c = 0 por 4a, temos: 4a x + 4abx + 4ac = 0 ⇒ 4a x + 4abx = –4ac 2 2

Adicionando b2 a ambos os membros da igualdade obtida, temos: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac ⇒ (2ax + b)2 = b2 – 4ac Fazendo ∆ = b2 – 4ac, temos: (2ax + b)2 = ∆ ⇒ 2ax + b = ± ∆ ⇒ 2ax = -b ± ∆

= P

c b2 − ∆ b2 − (b2 − 4ac) 4ac ⇒P= = = 2 2 2 a 4a 4a 4a

Forma fatorada A função f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, também pode ser expressa na forma fatorada (forma de produto). Assim, se essa função tem como raízes x’ e x”, temos que: Colocando a ≠ 0, em evidência em f(x) = ax2 + bx + c, temos: b c  2  b c  = a x 2 + x + = f(x)  a x −  −  x +  a a  a   a

Utilizando a soma e o produto das raízes, temos: f(x)= a  x 2 − ( x'+ x") x + x'.x"

Isolando a variável x, temos: 2ax = -b ± ∆ ⇒ x =

−b ± ∆ 2a

Essa fórmula é conhecida como fórmula de Báskara em homenagem ao matemático indiano Bhaskara Akaria. Observação:

Desenvolvendo, temos: f(x) = a( x 2 − x'x − x"x + x'.x")

Fatorando por agrupamento, temos:

f(x)= a[ x(x − x') − x"(x − x')]

A letra grega ∆ (delta) é chamada de discriminante da equação ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Daí, temos que: nn Se ∆

> 0, a equação ax2 + bx + c = 0 possui duas raízes reais e distintas. nn Se ∆ = 0, a equação ax2 + bx + c = 0 possui duas raízes reais e iguais. nn Se ∆ < 0, a equação ax2 + bx + c = 0 não possui raízes reais.

Soma e produto das raízes Sendo x’ e x” as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, temos que:

Finalmente, temos: f(x) = a(x – x’) ⋅ (x – x”) Essa é a forma fatorada de uma função polinomial do 2º grau. Por exemplo: Vamos escrever na forma fatorada a equação função f(x) = -2x2 + 10x - 12. Calculando as raízes de f(x), temos:

Soma das raízes A soma S dessas raízes da equação ax2 + bx + c = 0 é dada por:

−b + ∆ −b − ∆ −2b b + = S =x'+ x" = ⇒S= − 2a 2a 2a a

-2x2 + 10x – 12 = 0 ⇒ x’ = 2 e x” = 3 Assim, a forma fatorada de f(x), pode ser expressa na forma: f(x) = -2 ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 3)

321

C07  Função quadrática - definição, raízes e forma fatorada

2 2

( )

−b + ∆ −b − ∆ ( −b ) − ∆ ⋅ = P =x'⋅ x" = 2 2a 2a (2a)

Matemática

EXEMPLOS 01. Determine os valores de b e c na função quadrática f(x) = x2 + bx + c, sabendo-se que f(1) = 2 e f(-2) = -13.

RESOLUÇÃO Para que uma função quadrática tenha duas raízes reais e distintas, seu discriminante deve maior que zero, ou seja, ∆ > 0. Assim, temos que:

RESOLUÇÃO

∆ > 0 ⇒ (-4)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ (-3m) > 0 ⇒ 16 + 12m > 0 m > -16/12 ⇒ m > -4/3

Na função f(x) = x2 + bx + c, temos que: f(1) = 1 + b.1 + c = 2 ⇒ b + c = 1.

Portanto, m deve ser maior que -4/3.

f(-2) = (-2)2 + b.(-2) + c = -13 ⇒ -2b + c = -17. Daí, obtemos seguinte sistema de equações:

03. Escreva a função polinomial f(x) = 3x2 – 7x + 2 na forma fatorada.

b + c = 1  −2b + c = −17

RESOLUÇÃO

Subtraindo as equações membro a membro, temos: b + c – (-2b + c) = 1 – (-17) ⇒ 3b = 18 ⇒ b = 6. Substituindo b = 6 na 1ª equação, temos:

A forma fatorada de f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 é dada por f(x) = a ⋅ (x – x’) ⋅ (x – x”), sendo x’ e x” as suas raízes. Assim, para a função f(x) = 3x2 – 7x + 2, temos que: 3x2 – 7x + 2 = 0 ⇒ ∆ = (-7)2 – 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 25

6 + c = 1 ⇒ c = -5.

Portanto, b = 6 e c = -5. 02. Para quais valores reais de m, a função quadrática f(x) = x2 – 4x – 3m tem duas raízes reais distintas?

−(−7) ± 25 7 ± 5 = ⇒ x’ = 2 e x“ = 1/3 6 2⋅3

1 Portanto, f(x) = 3( x − 2) ⋅  x − . 3 

Exercícios de Fixação 01. Considere a função quadrática f(x) = 2x2 – x + 3m. Calcule o valor de m para que f(2) = 12. 2 02. Para a função quadrática f(x) = x2 + bx + c, temos que f(1) = -5 e f(3) = 11. Calcule os valores de b e c. b = 4 e c = -10 03. De uma folha de cartolina de 120 cm por 80 cm foram retirados quatro quadrados de lado x cm.

05. Escreva a forma fatorada das funções a seguir: a) f(x) = -x2 + 4x – 3 f(x) = -(x – 1) ⋅ (x – 3) b) f(x) = 3x2 – 8x + 4 f(x) = 3(x – 2/3) ⋅ (x – 2) c) f(x) = -2x2 + 32 f(x) = -2(x – 4) ⋅ (x + 4) 06. (UEMG) Seja p(x) um polinômio do 2º grau, satisfazendo as seguintes condições: nn -1 e 4 são raízes de p(x). nn p(5) = –12. O maior valor de x para o qual p(x) = 8 é: a) 0 b) 3 c) 6

d) 12

C07  Função quadrática - definição, raízes e forma fatorada

80 cm

120 cm

Qual é a função que expressa a área A, em cm2, em função da medida x, em cm, da parte restante? A = -4x2 + 9 600 04. O preço P, em reais, do ingresso de uma sessão de cinema relaciona-se com a quantidade x de pagantes pela lei P = -0,3x + 90. Sabendo que a receita do cinema é dada pelo produto do número de pagantes pelo preço do ingresso, responda aos itens a seguir. a) Qual a receita, em reais, para 40 pagantes? R$ 3.120,00 b) Qual a função que expressa a receita R de uma sessão, em reais, em função da quantidade x de pagantes? R = -0,3x2 + 90x

322

07. (Uncisal AL) Os dois principais produtos fabricados por uma empresa são o refringente de laranja e o de uva. Os custos de produção desses produtos são dados pelas funções C1(x) = 2x2 + 158 e C2(x) = 3x2 + 70, respectivamente, onde x representa o número de produtos fabricados. Se todos os produtos fabricados são vendidos e as receitas com as vendas são dadas pelas funções R1(x) = 85x – 60 e R2(x) = 120x – 80, ainda respectivamente, que funções descrevem os lucros sobre as vendas do refrigerante de laranja e o de uva, também respectivamente? a) L1(x) = 85x – 60 e L2(x) = 120x – 80 b) L1(x) = 2x2 + 158 e L2(x) = 3x2 + 70 c) L1(x) = 2x2 + 85x + 98 e L2(x) = 3x2 + 120x – 10 d) L1(x) = 5x2 + 205x + 88 e L2(x) = 5x2 + 205x + 88 e) L1(x) = –2x2 + 85x – 218 e L2(x) = –3x2 + 120x – 150

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. Dada a função quadrática f(x) = ax2 – 2x + c, determine os valores de a e c de modo que-6 e 4 sejam suas raízes. a = -1 e c = 24 02. (UFPB) Diz-se que a ∈ IR é um ponto fixo de uma função f: IR → IR quando f(a) = a. Determine, caso exista(m), o(s) ponto(s) fixo(s) da função f: IR → IR definida por f(x) = x2 – 3x + 3.

Distância (m)

Altura (m)

2,0

2,7

3,2

S = {1, 3}

04. (Enem MEC) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) = -2t2 + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia. A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. A segunda dedetização começou no a) 19º dia. d) 30º dia. b) 20º dia. e) 60º dia. c) 29º dia. 05. Um posto de gasolina vende 4000 litros de gasolina por dia a R$ 3,50 o litro. Assim, a receita diária desse posto apenas com a venda de gasolina é R$ 14.000,00. O gerente percebeu que cada aumento de um centavo do preço do litro da gasolina correspondia a uma redução diária de 20 litros vendidos. Nessas condições, determine: a) A receita do posto se o preço do litro de gasolina fosse R$ 4,00. R$ 12.000,00 b) A função que fornece a receita diária R, em reais, do posto em função do número x de centavos de aumento.

R = -0,2x2 – 30x + 14 000

06. (Puc RJ) Uma solução da equação ax2 + bx + c = 0 é o dobro da outra. Então: a) 4b2 = 9c b) 2b2 = 9ac c) 2b2 = 9a

d) b2 = ac e) 9b2 = 2ac

07. (Unicamp SP) Durante um torneio paralímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo. Seja y(x) = ax2 + bx + c a função que descreve a trajetória do peso.

a) Determine os valores de a, b e c. a = -0,1, b = 1 e c = 1,1 b) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso. 11 m 08. (Uniube MG) Um experimento utiliza duas plantas que crescem de uma forma tal que, t dias após serem plantadas, a planta 1 tem h1 (t) = t centímetros de altura e a planta 1 2 tem h2 (t) = t2 centímetros de altura. Com base no ex8 posto, a velocidade média de crescimento da planta 1 e da planta 2, entre os dias t = 0 e t = 4, em cm / dia, foi de: ∆h , sendo Dh, a variação ∆t da altura em centímetros, e Dt, a variação do tempo em dias.

Nota: a velocidade média é dada por

a) 1/2 cm/dia b) 2 cm/dia c) 4 cm/dia d) 6 cm/dia e) 3/5 cm/dia 09. (Ibmec SP) Representantes de diversos cursos de uma universidade decidiram contratar uma empresa para organizar uma festa de formatura conjunta desses cursos. Para conseguir um melhor preço, os 400 alunos interessados aprovaram um pré-contrato, no qual cada aluno pagaria R$ 1.200,00 na assinatura do contrato definitivo. Contudo, se na assinatura do contrato definitivo houver desistências, o valor previamente acordado a ser pago por cada aluno sofrerá um acréscimo de R$ 50,00 para cada aluno desistente. Ou seja, se houver 1 aluno desistente, os demais terão que pagar R$ 1.250,00, se houver 2 alunos desistentes, os demais terão que pagar R$ 1.300,00, e assim sucessivamente. A receita da empresa é calculada a partir do produto entre o número de alunos que assinarem o contrato e o valor pago por cada um deles. Dado que o lucro da empresa corresponderá a 1/20 da receita, a função que descreve o lucro L(x) da empresa em função do número x de alunos desistentes é: a) L(x) = –2,5x2 + 940x + 24 000 b) L(x) = –5x2 + 1 150x + 24 000 c) L(x) = –10x2 + 375x + 48 000 d) L(x) = –20x + 48 000 e) L(x) = –350x + 24 000

323

C07  Função quadrática - definição, raízes e forma fatorada

03. Determine o menor valor inteiro para k para que a função quadrática f(x) = (k – 1)x2 + 2kx + (k + 6) não tenha raízes reais. 2

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C08

ASSUNTOS ABORDADOS nn Função quadrática - gráficos nn Gráfico no plano cartesiano nn Sinais dos coeficientes e o gráfico

FUNÇÃO QUADRÁTICA - GRÁFICOS As antenas parabólicas são objetos muito utilizados na nossa comunicação por meio da transmissão via satélite, da telefonia móvel e do GPS (Global Positioning System). A forma geométrica da antena é um paraboloide de revolução, de forma que feixes paralelos de ondas eletromagnéticas se concentrem em seu foco. Apesar de não refletirem luz, as antenas parabólicas são espelhos. Elas são construídas de modo a refletir ondas de radiofrequências, que têm comprimento de onda muito maior do que o da luz. Aliás, para esses comprimentos de onda, quase todas as superfícies são espelhos. As ondas eletromagnéticas emitidas por um satélite que atingirem a antena parabólica serão refletidas a um ponto chamado foco da parábola, onde está um aparelho receptor (chamado LNB) que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a TV transformará em ondas. A curva que representa graficamente uma função polinomial do 2º grau é a curva denominada parábola. Nesta aula, abordaremos as relações existentes entre as parábolas e as funções quadráticas.

Gráfico no plano cartesiano

Fonte: gyn9037 / Shutterstock.com

O gráfico cartesiano de uma função polinomial do 2º grau é uma parábola cujo eixo de simetria (reta que divide a parábola em duas partes que se coincidem ao serem sobrepostas) é paralelo ou coincidente com o eixo das ordenadas.

324

Para esboçar esse gráfico podemos montar uma tabela numérica escolhendo alguns valores arbitrários para x (no mínimo três) e calculando os correspondentes valores de y.

Matemática e suas Tecnologias

Exemplos:

eixo de simetria y

Esboçar o gráfico da função f(x) = x2 – 2x – 3. Inicialmente, vamos atribuir alguns valores para a variável x e obter os correspondentes valores de y. Observe a tabela de valores a seguir: x

-2

-1

-3

-4

-3

Localizando cada um dos pontos obtidos na tabela no plano cartesiano e, em seguida, ligando-os, temos o gráfico a seguir.

1 –1

1 2 3

–3

A partir desse gráfico, podemos concluir que: nn O termo independente (c = 0) é a ordenada do ponto

de interseção do gráfico com o eixo das ordenadas. raízes (x’ = 0 e x” = 2) são abscissas dos pontos de intersecção do gráfico com o eixo das abscissas.

nn As

eixo de simetria

coeficiente dominante (a = -1) é negativo, logo o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

nn O

y 5

nn O

conjunto imagem é {y ∈ IR | y ≤ 1}.

Sinais dos coeficientes e o gráfico –2 –1

Vamos agora observar a influência das constantes a, b e c no gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c.

1 2 3 4

–3 –4

Coeficiente a O coeficiente a da função quadrática indica a concavidade da parábola. Assim, temos que:

A partir desse gráfico, podemos concluir que: nn O termo independente (c = -3) é a ordenada do ponto

de interseção do gráfico com o eixo das ordenadas.

a > 0, temos uma parábola com a concavidade voltada para cima.

nn Se

raízes (x’ = -1 e x” = 3) são abscissas dos pontos de intersecção do gráfico com o eixo das abscissas.

nn As

nn O coeficiente dominante (a = 1) é positivo, logo o gráfico

é uma parábola com a concavidade voltada para cima. conjunto imagem é {y ∈ IR | y ≥ -4}.

Esboçar o gráfico da função f(x) = -x2 + 2x.

a < 0, temos uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

nn Se

Inicialmente, vamos atribuir alguns valores para a variável x e obter os correspondentes valores de y. Observe a tabela de valores a seguir: x

-1

-3

Localizando cada um dos pontos obtidos na tabela no plano cartesiano e, em seguida, ligando-os, temos o gráfico a seguir.

nn Quanto maior o valor absoluto de a, menor será a aber-

tura da parábola independentemente da concavidade. 325

C08  Função quadrática - gráficos

nn O

Matemática

y (1) (2) (3)

Supondo que as leis matemáticas representadas pelas parábolas (1), (2) e (3) sejam, respectivamente, y = a1x2, y = a2x2 e y = a3x2, temos que a1> a2> a3.

Coeficiente c O coeficiente c na função quadrática indica a ordenada do ponto que a parábola intercepta o eixo das ordenadas. Assim, temos que:

Coeficiente b

nn Se

c > 0, a parábola intercepta o eixo das ordenadas num ponto de ordenada positiva.

O coeficiente b na função quadrática indica se a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ramo crescente ou decrescente. Assim, temos que:

nn Se

b > 0, temos que a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ramo crescente. y

y x nn Se

c < 0, a parábola intercepta o eixo das ordenadas num ponto de ordenada negativa.

x y

y x

c = 0, temos que a parábola intercepta o eixo das ordenadas na origem.

nn Se

b < 0, temos que a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ramo decrescente.

nn Se

C08  Função quadrática - gráficos

b = 0, temos que a parábola intercepta o eixo das ordenadas no vértice.

nn Se

326

x y

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Dada a função f(x) = (2m – 8)x2 + 2x – 10, sendo m uma constante real, determine m para que o gráfico de f seja:

c) f(x) = x2 – 4x + 5

a) Uma parábola com a concavidade voltada para cima. b) Uma parábola com a concavidade voltada para baixo. RESOLUÇÃO a) A parábola terá concavidade voltada para cima, para 2m – 8 > 0 ⇒ k > 4. b) A parábola terá concavidade voltada para baixo, para 2m – 8 < 0 ⇒ k < 4. 02. Esboce o gráfico das funções a seguir. a) b) c) d)

f(x) = x2 – 6x + 5 f(x) = -x2 – 4x – 4 f(x) = x2 – 4x + 5 f(x) = -x2 + 1

RESOLUÇÃO a) f(x) = x2 – 6x + 5

-3

-4

-3

b) f(x) = -x2 – 2x – 1

d) f(x) = -x2 + 1

-2

-3

-1

-3

03. Um projétil é lançado da origem do sistema cartesiano ortogonal percorrendo a trajetória parabólica descrita no gráfico a seguir, no qual a altura h, em metros, está em função do tempo t, em segundos. h(m)

2,4 1,5

-3

-4

-2

-1

-4

t(s)

Se a função representada pelo gráfico é do tipo h(t) = at2 + bt + c, determine os valores de a, b e c. RESOLUÇÃO

Observando o gráfico, temos que: nn O ponto (0, 0) pertence ao gráfico, ou seja, quando x = 0, temos y = 0. nn O ponto (1; 1,5) pertence ao gráfico, ou seja, quando x = 1, temos y = 1,5.

327

C08  Função quadrática - gráficos

Matemática

nn O ponto (4; 2,4) pertence ao gráfico, ou seja, quando x = 4, temos y = 2,4. Substituindo esses três pares de valores na função f(x) = ax2 + bx + c, temos: nn h(0) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = 0 ⇒ c = 0. nn h(1) = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 = 1,5 ⇒ a + b = 1,5. nn h(4) = a ⋅ 42 + b ⋅ 4 = 2,4 ⇒ 16a + 4b = 2,4. Daí, obtemos seguinte sistema de equações:

a + b = 1,5  2,4 16a + 4b =

Multiplicando a 1ª equação por -4, temos:

−4a − 4b= − 6  2,4 16a + 4b = Adicionando a 1ª e a 2ª equações membro a membro, temos: -4a - 4b + (16a + 4b) = -6 + 2,4 ⇒ -12a = -3,6 ⇒ a = -0,3. Substituindo a = -0,3 em a + b = 1,5, temos: -0,3 + b = 1,5 ⇒ b = 1,8. Portanto, os valores são a = -0,3; b = 1,8 e c = 0.

Exercícios de Fixação 01. Responda aos itens a seguir: a) Dada a função f(x) = x2 – 9x + (2m + 5), determine m para que o gráfico de f intercepte o eixo das ordenadas no ponto C(0, -11). -8 b) Dada a função f(x) = 2x2 – mx –12, determine m para que o gráfico de f intercepte o eixo das abscissas no ponto C(2, 0). -2

a) a > 0, b > 0, c > 0 e ∆ > 0

c) a < 0, b = 0, c > 0 e ∆ > 0

02. Determine a função polinomial do 2º grau cujo gráfico passa pelos pontos A(-1, -3), B(2, 6) e C(3, 17). y = 2x2 + x – 4 03. Determine a função polinomial do 2º grau representada pelos gráficos a seguir: a) y = 3x2 – 15x + 12 b) y = -x2 + 2x + 3 c) y = x2 – 4x + 4

b) a > 0, b < 0, c > 0 e ∆ < 0

d) a < 0, b < 0, c < 0 e ∆ = 0

06. Na figura a seguir, temos um quadrado ABCD de lado 6 cm. Desse quadrado são retirados os triângulos retângulos AEG e BEF. A

G F D

C08  Função quadrática - gráficos

Gabarito questão 04

04. Esboce o gráfico das funções a seguir: a) f(x) = x2 + 2x b) f(x) = -x2 + 1 c) f(x) = x2 – 4x + 3 05. As parábolas a seguir, são a representação gráfica da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c com ∆ = b2 – 4ac. Determine o sinal dos coeficientes a, b, c e ∆ nos casos a seguir.

328

Sendo AE = x cm, AG = 2x cm e BF = 4 cm, esboce o gráfico da área A do polígono CDGEF, em cm2, em função da medida x, em cm, para 0 ≤ x ≤ 6. 07. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, o gráfico da função f: IR → IR definida por f(x) = x2 + 2mx + 9 é uma parábola que tangencia o eixo das abscissas, e um de seus pontos com ordenada igual a 9 tem abscissa negativa. Nessas condições, o valor do parâmetro m está entre: a) 1,5 e 2,5. b) 2,5 e 3,5. c) 3,5 e 4,5. d) 4,5 e 5,5.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares Gabarito questão 02

01. Esboce o gráfico das funções a seguir:

Gabarito questão 01

a) f(x) = -x2 - 4x – 5 b) f(x) = -x2 + 4x – 4 c) f(x) = x2 – 2x + 3 x’

02. (UFG GO) Um homem-bala é lançado de um canhão e sua trajetória descreve uma parábola. Considerando que no instante do lançamento (t = 0) ele está a 2 m do solo, 1 s após ele atinge a altura de 5 m, e 2 s após o lançamento ele atinge o solo, pede-se: a) A equação h(t) da altura em relação ao tempo, descrita pela sua trajetória. h(t) = -4t2 + 7t + 2 b) O esboço do gráfico de h(t). 0,5 s e 1,25 s c) Quais os instantes, após o lançamento, ele atinge 9/2 m?   03. (UFMS) No plano cartesiano de eixos Ox e Oy da figura abaixo, encontra-se representado o gráfico da função quadrática f, definida no conjunto dos números reais e dada por f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são constantes reais.

x’’ x

Assim sendo, podemos afirmar que: a) a = b = c > 0. b) a > 0, b > 0 e c < 0. c) a > 0, b > 0 e c = 0. d) a > 0, b < 0 e c > 0. e) a > 0, b < 0 e c < 0. 06. (UFMA) Os cabos da ponte pênsil, indicada na figura abaixo, tomam a forma de arcos de parábola do segundo grau. As torres de suporte têm 24 m de altura e há um intervalo entre elas de 200 m. O ponto mais baixo de cada cabo fica a 4 m do leito da estrada. y Torre

50m A

24m

Torre B

x Estrada 2

–1

04. (FGV SP)Observe a parábola a seguir: y

07. (Puc RS) O morro onde estão situadas as emissoras de TV em Porto Alegre pode ser representado graficamente, com algum prejuízo, em um sistema cartesiano, através de uma 2 função polinomial de grau 2 da forma y = ax + bx + c , com a base da montanha no eixo das abscissas.

200 m

Considerando o plano horizontal do tabuleiro da ponte contendo o eixo dos x e o eixo de simetria da parábola como sendo o eixo dos y, perpendicular a x, determine o comprimento do elemento de sustentação BA, que liga verticalmente o cabo parabólico ao tabuleiro da ponte, situado a 50 m do eixo y. 9 m

Calcular o valor de 2a – 3b – c. 17

–3

Estrada

A equação dessa parábola é: a) y = -2x2 + 4x – 6 b) y = -2(x + 3) ⋅ (x – 1) c) y = 2(x + 3) ⋅ (x – 1) d) y = -2(x + 3) ⋅ (x – 1) + 6 e) y = -2x2 – 4x + 6 05. (UFPA) A parábola abaixo representa graficamente a função quadrática y = ax2 + bx + c.

Para que fique mais adequada essa representação, devemos ter: a) a > 0 e b2 – 4ac > 0 d) a < 0 e b2 – 4ac > 0 b) a > 0 e b2 – 4ac < 0 e) a < 0 e b2 – 4ac = 0 c) a < 0 e b2 – 4ac < 0

329

C08  Função quadrática - gráficos

ta bu lei ro

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (UFCE) Dentre as alternativas a seguir, marque aquela que contém o maior número. a)

b) c)

5⋅6

6⋅ 3 5

5⋅ 3 6

c) 1 + 3 3

5⋅ 6

d) 1 + 3 9

6⋅ 5

e) 2 ⋅ 3 3

02. (Ufla MG) O resultado da divisão a)

a2 6 a : 5 é: b b

a5 ⋅ b7 a5 b7

a⋅b

a b

b a

07. (UFCE) Seja A = a) b) c) d) e)

 0,0052 ⋅ 0,000075   5 ⋅ 10 −4 ⋅ 2−1/3  3 :     10 3−1/3   

5+ 3+3 4

5+ 3−3 2

5− 3−3 2

5+ 3−3 4

5− 3−3 4

c) 1 d) 2 e) 0,1 04. (Efoa MG) Calculando o valor da expressão  −1 −1 −1   a⋅ a ⋅ a ⋅ a  ,   encontraremos:

-se que

Assim o valor da soma

1 1 1 1 + + + ... + 1+ 2 2+ 3 3+ 4 999 + 1000 é:

c) a-1

a) 10 10 − 1

b) 10 10

05. Sejam a =

c) 99 5− 2 7− 3 e b= . Qual é o maior? b > a 7+ 3 5+ 2

2 2 − 3 é igual a: 5− 3 2

1 b− a = . b−a a+ b

1 a b) 4 ⋅ a-1

−1

1 1 1 é igual a: − − 2 1+ 2 2+ 2

10. (Unifesp SP) Se 0 < a < b, racionalizando o denominador, tem-

1 , então, A + B é igual a: 3− 2

09. (Fuvest SP) A expressão numérica

1 eB= 3+ 2

a) − 2 b) -1/2 c) 0 d) 2 2 e) 2

3+3 9 ? 3 3

−2 2 3 2 −2 3 3 3 2 3

08. (Uel PR) O valor da expressão

03. (Mackenzie SP) O valor da expressão a seguir é:

330

06. (Puc RJ) Quanto vale

d) 100 e) 101

Matemática e suas Tecnologias

11. (Mackenzie SP) Se k é um número real maior que zero, então 1 : 2 k +1 −k a) diminui quando k aumenta. b) é menor que 0. c) está entre 0 e k. d) está entre k e 2k. e) é maior que 2k. 12. (CM RJ) Racionalizando o denominador da expressão encontramos: a)

b) c)

2 −1 3

2 −1

2 −1 3

2 +1

2 +1 3

13. (Mackenzie SP) Se k é um número real positivo, então

3 6

4 −1 , 4 −1

16. (Unioeste PR) Se (x0, y0) e (x1, y1) são os pontos onde os gráficos de y = x2 + 5x - 14 e y = 4x - 2 se interceptam, então é correto afirmar que a = x0 + y0 e b = x1 + y1 são: a) -13/2 e 5/2 b) 3 e 10 c) -9 e 2 d) 3 e -4 e) -22 e 13 17. (UFRJ) Calcule a de modo que a soma dos quadrados das raízes da função f(x) = x2 + (a – 5)x – (a + 4) seja igual a 17. 4 18. (Enem MEC) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

1 : k² + 1 − k

a) diminui quando k aumenta. b) é menor que 0. c) está entre 0 e k. d) está entre k e 2k. e) é maior que 2k. 14. Um posto de gasolina vende 1 000 litros de gasolina por dia a R$ 3,90 o litro. Assim, a receita diária apenas com a venda de gasolina é R$ 3.900,00. O gerente do posto percebeu que a cada aumento de um centavo do preço do litro correspondia a uma redução diária de 20 litros vendidos. Assim, determine: a) A receita do posto se o preço do litro de gasolina fosse R$ 4,00. b) A expressão que fornece a receita diária R, em reais, do posto em função do número x de centavos de aumento. a) R$ 3.200,00; b) R(x) = -0,2x2 – 68x + 3 900

15. (Enem MEC) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira: nn A nota zero permanece zero.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 3x2/2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6 19. O gráfico a seguir representa a função quadrática f(x) = 4x2 + bx + c.

FRENTE C  Exercícios de Aprofundamento

nn A nota 10 permanece 10. nn A nota 5 passa a ser 6.

A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é: 1 7 a) y = − x2 + x 25 5 1 2 b) y = − x + 2x 10 1 2 7 c) = y x + x 24 12 4 d) = y x +2 5 e) y = x

b = -24 e c = 36

Sabendo-se que f(2) = 1, determine os valores de b e c.

331

pisaphotography / Shutterstock.com

FRENTE

MATEMÁTICA Por falar nisso É possível verificar por meio de princípios da geometria que o triângulo é o único elemento geométrico que não pode alterar as medidas dos seus ângulos sem igualmente alterar as medidas dos seus lados. Assim, qualquer sistema articulado plano formado apenas por triângulos será chamado de rígido. Na construção civil, os triângulos desempenham um importantíssimo papel nos chamados sistemas treliçados. As treliças são estruturas formadas por elementos indeformáveis, unidos entre si por articulações, consideradas perfeitas quando sujeitas apenas a cargas aplicadas nas articulações (ou nós). Na figura a seguir, temos uma ponte treliçada (Sydney Harbor Bridge), localizada na Baía de Sidney (Austrália), formada por estruturas triangulares com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas nas articulações. Os triângulos são as figuras centrais da Geometria Plana, visto que os demais polígonos sempre podem ser decompostos em triângulos. Além disso, há diversas aplicações importantes dos triângulos, tais como: Na Topografia, medimos distâncias, por vezes inacessíveis; ou áreas em terrenos por sua decomposição em triângulos. Um sistema conhecido como triangulação auxilia na determinação da posição de um móvel por meio do GPS (Global Positioning System). Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

D05 D06 D07 D08

Triângulos – Desigualdades........................................................... 334 Triângulos – Pontos notáveis......................................................... 337 Triângulos – Congruência.............................................................. 344 Quadriláteros – parte I................................................................... 349

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D05

ASSUNTOS ABORDADOS nn Triângulos - desigualdades nn O maior lado está oposto ao maior ângulo nn O maior ângulo está oposto ao maior lado nn Condição de existência nn Síntese de Clairaut

TRIÂNGULOS - DESIGUALDADES Vimos na página de abertura desse módulo que uma das aplicações geométrica dos triângulos é na construção de pontes treliçadas. As primeiras pontes treliçadas totalmente feitas em aço foram construídas nos Estados Unidos (1840), Inglaterra (1845), Alemanha (1853) e Rússia (1857). Entre 1850 e 1880, foram construídas as primeiras pontes em aço no Brasil. A treliça pode ser descrita como um conjunto de triângulos formados por peças retas e articuladas entre si. O sistema de treliças tem duas grandes vantagens: a primeira é a dos elementos só serem solicitados por cargas axiais, a segunda é permitir alturas maiores com menor peso. Por outro lado, a desvantagem econômica das pontes em treliça é o custo maior de fabricação, pintura e manutenção e, às vezes, o fator estético, pelo cruzamento visual dos elementos. Para entender o comportamento das treliças, em termos de esforços estruturais, é necessário compreender as diversas propriedades dos triângulos. A partir de agora, faremos o estudo dessas propriedades. Começaremos com o estudo das desigualdades dos triângulos e, para isso, utilizaremos a seguinte problematização: Joaquim possui uma caixa cheia de palitos de fósforo idênticos. Destes, escolheu 14 palitos e resolveu formar um único triângulo por vez, usando os 14 palitos sem quebrá-los. Ele verificou que é possível formar x triângulos escalenos, y triângulos isósceles e z triângulos equiláteros.

Fonte: Pamela Loreto Perez / Shutterstock.com

Nessas condições, quais os valores de x, y e z?

334

Para que possamos obter essa resposta com segurança, devemos utilizar as desigualdades presentes nos triângulos, assunto que será abordado nessa aula.

Matemática e suas Tecnologias

O maior lado está oposto ao maior ângulo

Condição de existência

Em todo triângulo, se dois de seus lados não são congruentes, então os ângulos opostos a eles também não serão congruentes e o maior desses lados está oposto ao maior ângulo. Observe otriângulo ABC da figura a seguir:

Em todo triângulo, a medida do maior lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Observe o triângulo ABC da figura a seguir:

Supondo que a > b > c, temos que α > β > θ.

O maior ângulo está oposto ao maior lado Em todo triângulo, se dois de seus ângulos não são congruentes, então os lados opostos a eles também não serão congruentes e o maior desses ângulos está oposto ao maior lado. Observe o triângulo ABC da figura a seguir:

Supondo que a medida do lado BC seja a maior dentre os lados, temos que a < b + c.

Síntese de Clairaut São regras utilizadas para classificar um triângulo quanto aos ângulos, conforme o quadrado da medida do maior lado seja menor, igual ou maior do que a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados. Assim, dado um triângulo ABC cujos lados medem a, b e c, com a ≥ b e a ≥ c, temos que: nn Se

Supondo que α > β > θ, temos que a > b > c.

a2 < b2 + c2, então o triângulo é acutângulo. nn Se a2 = b2 + c2, então o triângulo é retângulo. nn Se a2 > b2 + c2, então o triângulo é obtusângulo.

EXEMPLOS 01. As medidas dos ângulos internos de um triângulo ABC da figura a seguir são expressas, em graus, por: Â = 3x – 48, B̂ = 2x + 10 e Ĉ = x – 10.

RESOLUÇÃO Sendo x a medida do terceiro lado, a medida do maior lado deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Assim, temos que: x < 14 + 29 x < 43 ⇒ ⇒ 15 < x < 43  29 < x + 14 x > 15 Portanto, as possíveis medidas do terceiro lado são valores reais entre 15 cm e 43 cm.

RESOLUÇÃO

03. Um triângulo cujos lados medem 18 cm, 25 cm e 28 cm é acutângulo, retângulo ou obtusângulo? RESOLUÇÃO

a) Â + B̂ + Ĉ = 180° ⇒ 3x – 48 + 2x + 10 + x – 10 = 180° ⇒ x = 38°

Utilizando a síntese de Clairaut, temos que:

b) Â = 3 ⋅ 38 – 48 = 66°; B̂ = 2x + 10 = 2 ⋅ 38 + 10 = 86° e Ĉ = x – 10 = 38 – 10 = 28°.

O quadrado da medida do maior lado é: 282 = 784.

Como B̂ é o ângulo de maior medida, o lado AC , oposto a ele, é o lado de maior medida. 02. Dois lados de um triângulo medem 14 cm e 29 cm. Quais as possíveis medidas, em centímetros, do terceiro lado?

D05  Triângulos - desigualdades

Assim, responda aos itens a seguir: a) Qual o valor de x? b) Qual o maior lado do triângulo?

A soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados é: 182 + 252 = 949. Assim, temos que 282 < 182 + 252. Portanto o triângulo é acutângulo.

335

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Com os segmentos de medidas 20 cm, 12 cm e 35 cm podemos construir um triângulo? Por quê? Não, pois o maior lado deve ser menor que a soma dos outros dois.

02. As medidas dos lados AB e AC de um triângulo ABC são, respectivamente, 14 cm e 27 cm. Quais as possíveis medidas do lado BC , sabendo que medida é um número inteiro múltiplo de 9? 18 cm, 27 cm e 36 cm. 03. As medidas dos lados do triângulo ABC são expressas por AB = x – 1, BC = 2x + 3 e AC = 14 com x ∈ IN. Determine o número de possibilidades para x. 5

04. Classifique em acutângulo, retângulo ou obtusângulo, cada um dos triângulos cujas medidas dos lados estão indicadas a seguir: a) 4 cm, 5 cm e 6 cm. acutângulo b) 5 cm, 12 cm e 13 cm. retângulo c) 5 cm, 10 cm e 12 cm. obtusângulo d) 8 cm, 13 cm e 15 cm. acutângulo 05. Considere um triângulo ABC tal que: nn Os lados AB e AC medem, respectivamente 30 cm

e 17 cm.

ˆ > Bˆ > Aˆ . nn Os ângulos internos satisfazem à desigualdade C Quais as possíveis medidas do lado BC ? {x ∈ IR | 13 < x < 17}

Exercícios Complementares 01. Em um triângulo, dois lados medem, respectivamente, 7 cm e 12 cm. Quantos valores inteiros, em centímetros, podem ser as medidas do terceiro lado? 13 02. Considere um triângulo ABC tal que: nn Os lados AB e BC medem, respectivamente 13 cm

e 24 cm.

 > B > C . nn Os ângulos internos satisfazem à desigualdade A Quais as possíveis medidas do lado AC ? {x ∈ IR | 11 < x < 24} 03. (UFMG) Observe a figura a seguir:

Com base nos dados dessa figura, pode-se afirmar que o segmento de maior medida é: a) AB b) AE

D05  Triângulos - desigualdades

c) EC d) BC e) ED 04. (Puc RJ) O triângulo cujos lados medem 10 cm, 24 cm e 26 cm é: a) Acutângulo b) Retângulo c) Equilátero d) Isósceles e) Obtusângulo 336

05. (Puc RJ) O número de valores inteiros de x, para os quais existe um triângulo acutângulo de lados 10, 24 e x, no qual 24 é a medida do maior lado, é igual a: a) 2 b) 3 c) 7 d) 5 e) 6 06. (Fuvest SP) No quadrado ABCD da figura a seguir tem lado 12 temos: AE = 13 e CF = 3.

Nessas condições, o ângulo AÊF é agudo, reto ou obtuso? Justifique. agudo 07. (UFPE) Na figura abaixo determine o ângulo que é oposto ao lado de menor comprimento. 58°

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D06

TRIÂNGULOS - PONTOS NOTÁVEIS Ana Paula, Bernardo e Carlos comparam juntos uma chácara em um condomínio fechado. Para melhor aproveitar o espaço com suas respectivas famílias, cada um deles construiu a sua casa. Por fim, pretendem furar um poço artesiano em um local equidistante às três casas. Supondo que as três casas estejam em uma região plana e não alinhadas, onde deveria ser furado esse poço para satisfazer a condição imposta por eles? Sendo A, B e C os pontos associados aos locais das casas de Ana Paula, Bernardo e Carlos, respectivamente, o lugar em que o poço será perfurado equidistante às três casas é ponto notável do triângulo ABC chamado circuncentro. Nesta aula, iremos abordar os pontos notáveis nos triângulos.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Triângulos - Pontos notáveis nn Cevianas de um triângulo nn Baricentro nn Incentro nn Circuncentro nn Ortocentro nn Pontos notáveis no triângulo isósceles nn Pontos notáveis no triângulo equilátero

Cevianas de um triângulo

Fonte: ollirg / Shutterstock.com

Ceviana de um triângulo é um segmento que tem extremidades no vértice e na reta suporte do lado oposto a esse vértice. A ceviana de um triângulo pode ser interna e externa, e coincidir com o lado. As principais são: a mediana, a bissetriz e a altura.

337

Matemática

Mediana

Triângulo retângulo

A mediana de um triângulo é um segmento que tem extremidades em um vértice e no ponto médio do lado oposto a esse vértice. Observe a figura a seguir:

No triângulo retângulo ABC, temos que:

No triângulo ABC, temos que: nn M

é o ponto médio do lado BC.

nn O

segmento AM é uma mediana.

BC e AH são perpendiculares.

AH é uma altura coincidente ao lado AC .

Triângulo obtusângulo

Bissetriz interna A bissetriz interna de um triângulo é um segmento de reta que divide o ângulo interno em dois ângulos de mesma medida. Ela tem extremidades em um vértice e no lado oposto a esse vértice. Observe a figura a seguir:

No triângulo obtusângulo ABC, temos que:  nn BC e AH são perpendiculares. nn

AH é uma altura exterior ao triângulo obtida prolongando-se o lado BC .

Baricentro No triângulo ABC, temos que: ˆ e CAS ˆ são iguais. nn As medidas dos ângulos BAS nn O segmento AS é uma bissetriz interna.

Baricentro de um triângulo é o ponto de intersecção das suas três medianas. Observe a figura a seguir:

Altura A altura de um triângulo é um segmento perpendicular à reta suporte de um dos seus lados. Ela tem extremidades em um vértice e na reta suporte do lado oposto a esse vértice. Observe as figuras a seguir: Triângulo acutângulo

No triângulo ABC, temos que: nn M, N e P são os pontos médios dos lados

respectivamente. nn AM, BN e CP são medianas. nn G é o baricentro.

BC, AC e AB,

D06  Triângulos - Pontos notáveis

Propriedades nn O baricentro é sempre um ponto interior ao triângulo. nn As medianas dividem o triângulo ABC em seis triângulos

No triângulo acutângulo ABC, temos que: nn

BC e AH são perpendiculares.

AH é uma altura interior ao triângulo.

338

de mesma área. nn O baricentro divide as três medianas na proporção 2:1, ou seja:

AG BG CG 2 = = = GM GN GP 1

Matemática e suas Tecnologias

Incentro

No triângulo DEF, temos que:

Incentro de um triângulo é o ponto de intersecção das suas três bissetrizes internas. Observe a figura a seguir:

nn M,

N e P são os ponto médios dos lados EF, DF e DE , respectivamente. retas r, s e t são mediatrizes dos lados EF, DF e DE , respectivamente.

nn As nn C

é o circuncentro.

Propriedades No triângulo ABC, temos que: nn

Observe o triângulo DEF da figura a seguir:

AS, BT e CV são bissetrizes. é o incentro.

nn I

Propriedades Observe o triângulo ABC da figura a seguir:

nn O

nn O incentro é equidistante aos lados do triângulo, por-

tanto é o centro da circunferência nele inscrita.

Circuncentro Mediatriz é uma reta perpendicular a um segmento passando pelo seu ponto médio. Observe a figura a seguir:

No segmento AB, temos que: nn M nn r

é o seu ponto médio. é a reta mediatriz.

Circuncentro de um triângulo é o ponto de intersecção das três mediatrizes dos seus lados. Observe a figura a seguir:

Ortocentro Ortocentro é o ponto de intersecção das suas três alturas. Observe a figura a seguir.

No triângulo obtusângulo ABC, temos que: nn HA, HB e HC são os pontos de intersecção das alturas com os lados BC, AC e AB, respectivamente. nn

AHA , BHB e CHC são as suas alturas. é o ortocentro.

nn O

Propriedades: nn O ortocentro pode ser um ponto interior (triângulo acutângulo), exterior (triângulo obtusângulo) ou pertencer a um dos vértices (triângulo retângulo) do triângulo. nn O triângulo de vértices H A , H B e H C é chamado de triângulo órtico. nn O ortocentro do triângulo ABC é o incentro do triângulo órtico. 339

D06  Triângulos - Pontos notáveis

nn O incentro é sempre um ponto interior ao triângulo.

circuncentro pode ser um ponto interior (triângulo acutângulo), exterior (triângulo obtusângulo) ou pertencer a um dos lados (triângulo retângulo) do triângulo. nn O circuncentro é equidistante aos vértices do triângulo, portanto ele é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Matemática

Pontos notáveis no triângulo isósceles Todos os pontos notáveis no triângulo isósceles são colineares. Observe a figura a seguir:

No triângulo isósceles PQR de base QR, temos que: nn PH é mediana, bissetriz, mediatriz e altura relativa nn r é mediatriz, QM é mediana, QS é bissetriz e QH

ao lado QR. é altura. nn C é o circuncentro; G é o baricentro; I é o incentro e O é o ortocentro.

Pontos notáveis no triângulo equilátero Todos os pontos notáveis no triângulo equilátero são coincidentes. Observe a figura a seguir:

No triângulo equilátero PQR, temos que: nn AD, BE, CF são medianas, bissetrizes, mediatrizes e alturas. nn O baricentro, o incentro, o circuncentro e o ortocentro são coincidentes. Note também que:

D06  Triângulos - Pontos notáveis

h= R + r  R = 2r Daí, temos que:

= r

340

h 2h = eR 3 3

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Como se classifica um triângulo que satisfaz a condição dada em cada um dos itens a seguir? a) b) c) d)

o incentro e o baricentro são coincidentes. o ortocentro localiza-se em um dos vértices do triângulo. o circuncentro é um ponto exterior ao triângulo. o ortocentro é um ponto interno. RESOLUÇÃO

a) b) c) d)

Triângulo equilátero. Triângulo retângulo. Triângulo obtusângulo. Triângulo acutângulo.

Sendo AG = x + 12, GD = y + 4, BG = 13 – y, e GE = 7 – x, calcule os valores de x e y. RESOLUÇÃO Como G é o baricentro do triângulo ABC, temos que AG= 2 ⋅GD e BG= 2 ⋅GE. Assim, obtemos o seguinte sistema de equações: 2 (y + 4) x − 2y = −4 x + 12 =⋅ ⇒  13 − y = 2 ⋅ (7 − x) 2x − y = 1  

Multiplicando a 1ª equação por −2, temos:

02. Num triângulo acutângulo ABC da figura a seguir temos que Ĉ = 42° e O é o seu ortocentro.

8 −2x + 4y =  1 2x − y =

Adicionando ambas as equações membro a membro, temos: (-2x + 4y) + (2x – y) = 8 + 1 y=3 Substituindo y = 3 na 2ª equação, temos: 2x – y = 1 2x – 3 = 1 x=2 Portanto, x = 2 e y = 3.

Assim, calcule a medida de BÔD.

04. Na figura a seguir, o ponto I é o ponto de intersecção das bissetrizes BI e CI do triângulo escaleno ABC.

RESOLUÇÃO Observe a figura a seguir:

Nessas condições, calcule a medida de BÂC. RESOLUÇÃO

ˆ = ICB ˆ =c Como os segmentos BI e CI são bissetrizes, temos que ACI ˆ ˆ e ABI = IBC = b. Observe a figura a seguir: No triângulo BCE, temos que: Bˆ + Cˆ + 90= ° 180° B̂ = 48°

No triângulo BDO, temos que: 48° + x + 90° = 180° x = 42°. No triângulo BIC, temos que:

D06  Triângulos - Pontos notáveis

Portanto a medida de BÔD é igual a 42°.

b + c + 118° = 180° b + c = 62°.

03. Na figura a seguir, G é o baricentro do triângulo escaleno ABC. No triângulo ABC:

2c + 2b + x = 180° 2 ⋅ (c + b) + x = 180° 2 ⋅ 62° + x = 180° x = 56°.

Portanto, a medida de BÂC é 56°.

341

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Na figura a seguir, G é o baricentro do triângulo ABC.

Sendo AM = 24 cm; BN = 27 cm e CP = 33 cm, calcule os valores de x, y e z. x = 8 cm, y = 18 cm e z = 11 cm. 02. Na figura a seguir, temos um triângulo ABC tal que: D, E e F são os pontos médios dos lados a que pertencem e a sua área é 240 cm2.

Assim, determine a medida do ângulo EÔD, em graus. 113° 06. (UFG GO) Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos anos 1980, envolveu-se com o estudo dos misteriosos círculos que apareceram em plantações na Inglaterra. Ele verificou que certos círculos seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos congruentes, com centros nos vértices de um triângulo equilátero, tinham uma reta tangente comum.

Nessas condições, determine a área do quadrilátero não convexo ABCG. 160 cm2 03. Na figura a seguir, temos um triângulo escaleno ABC. Nessas condições, e considerando-se uma circunferência maior que passe pelos centros dos três círculos congruentes, calcule a razão entre o raio da circunferência maior e o raio dos círculos menores. 4/3 Sabendo que o ponto I é o seu incentro, calcule o valor de α, em graus. 140°

D06  Triângulos - Pontos notáveis

04. Na figura a seguir, o ponto C é o circuncentro do triângulo isósceles MNP de base NP.

ˆ Assim, determine a medida do ângulo NMP.

80°

05. Na figura a seguir, O é o ortocentro do triângulo CÂB = 41° ˆ = 72°. e ABC

342

07. (Unifacs BA) Para imobilizar a cabeça de um paciente, foi usada uma estrutura em formato de triângulo equilátero, cujos lados se encaixam perfeitamente na cabeça numa posição em que o corte transversal dela é um disco de 20 cm de diâmetro, como na figura.

O perímetro dessa estrutura mede, em cm: a) 20 2 b) 20 3 c) 40 2 d) 60 2 e) 60 3

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios Complementares 01. Julgue os itens abaixo em certo (C) ou errado (E). E-C-E-C-E-E 01. As medianas de um triângulo se encontram em um ponto chamado ortocentro. 02. O centro da circunferência inscrita em um triângulo é o ponto de intersecção de suas bissetrizes internas. 03. No triângulo obtusângulo, o circuncentro pertence à hipotenusa do triângulo.

a) 2 3 b) 2 5 c) 3 d) 5 e) 26 04. Na figura a seguir, a circunferência de centro D está inscrita no triângulo ABC.

04. No triângulo retângulo, o ortocentro é o ponto de intersecção dos seus catetos. 05. Em um triângulo qualquer, a circunferência inscrita e a circunferência circunscrita são necessariamente concêntricas. 06. Os vértices de um triângulo são equidistantes do centro da circunferência inscrita. 02. (Cesgranrio RJ) Na figura abaixo, os pontos A, B e C representam as posições de três casas construídas numa área plana de um condomínio.

ˆ = 35° e CBD ˆ = 30°, determine a medida Sabendo que ACD ˆ do ângulo ADB. 125° 05. (Unesp SP) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda.

Um posto policial estará localizado num ponto P situado à mesma distância das três casas. Em Geometria, o ponto P é conhecido com o nome de: a) Baricentro b) Ortocentro d) Incentro e) Ex-incentro 03. (Puc MG) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio 2 cm. AD é altura do triângulo.

Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 5 06. Em um triângulo acutângulo ABC, AD, BE e CF são suas três alturas. Sabendo-se que a medida do ângulo Â é 60° e a medida do ângulo B̂ é 70°, calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo órtico DEF. 40°, 60° e 80°

Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em centímetros, é:

343

D06  Triângulos - Pontos notáveis

c) Circuncentro

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D07

ASSUNTOS ABORDADOS nn Triângulos - Congruência nn Congruência de triângulos

TRIÂNGULOS - CONGRUÊNCIA A gangorra é um brinquedo formado por uma tábua longa e estreita fixada em um ponto. Para movimentar esse brinquedo, duas pessoas sentam-se em cada uma das extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta. Na figura a seguir, temos um exemplo de gangorra de extremidades A e B no qual a haste se encontra apoiada numa mureta no ponto P.

Nessa situação, note que a extremidade A está tocando o chão, fazendo com que a haste e o chão determinem um ângulo. Sabendo que, ao tocar no chão, as extremidades A e B formam ângulos congruentes com a horizontal, mostre que o ponto P, no qual a haste se apoia na mureta, está no meio da mesma.

Fonte: Gabor Tinz / Shutterstock.com

Para mostrar que o ponto P é o ponto médio do segmento AB , basta verificar se o triângulo formado no momento em que a extremidade A toca o solo é congruente com o triângulo formado no momento em que a extremidade B toca o solo. Nesta aula abordaremos os casos ou critérios de congruência de triângulos.

344

Matemática e suas Tecnologias

Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes se, e somente se, seus lados e seus ângulos são ordenadamente congruentes. Observe a figura a seguir:

Simbolicamente, temos: AB ≡ DE Aˆ ≡ Dˆ   ∆ABC ≡ ∆DEF ⇔ BC ≡ EF e Bˆ ≡ Eˆ ˆ ˆ  AC ≡ DF C ≡ F

Apesar da definição da congruência de triângulos exigir seis congruências (três lados e três ângulos), existem casos em que a congruência de dois triângulos fica garantida com apenas três congruências. Tais casos são chamados de critérios ou casos de congruência. Critério LAL (lado, ângulo, lado) Dois triângulos são congruentes se possuírem dois lados e um ângulo entre eles ordenadamente congruentes. Observe a figura a seguir:

Simbolicamente, temos:

AB ≡ DE  Bˆ ≡ Eˆ ⇒ ∆ABC ≡ ∆DEF ⇒  BC ≡ EF

Aˆ ≡ Dˆ  AC ≡ DF ˆ ˆ C ≡ F

Critério LLL (lado, lado, lado)

D07  Triângulos − Congruência

Dois triângulos são congruentes se possuírem três lados ordenadamente congruentes. Observe a figura a seguir:

Simbolicamente, temos: AB ≡ DE  AC ≡ DF ⇔ ∆ABC ≡ ∆DEF ⇒  BC ≡ EF

Aˆ ≡ Dˆ  Bˆ ≡ Eˆ ˆ ˆ C ≡ F 345

Matemática

Critério ALA (ângulo, lado, ângulo)

Simbolicamente, temos:

Dois triângulos são congruentes se possuírem dois ângulos e um lado entre eles ordenadamente congruentes. Observe a figura a seguir:

BC ≡ EF  Cˆ ≡ Fˆ ⇒ ∆ABC ≡ ∆DEF ⇒ ˆ ˆ A ≡ D

AB ≡ DE  Bˆ ≡ Eˆ  AC ≡ DF

Caso especial (triângulo retângulo) Dois triângulos retângulos são congruentes se possuírem um cateto e a hipotenusa ordenadamente congruentes. Observe a figura a seguir: Simbolicamente, temos:

Bˆ ≡ Eˆ  BC ≡ EF ⇒ ∆ABC ≡ ∆DEF ⇒ ˆ ˆ C ≡ F

AB ≡ DE  Aˆ ≡ Dˆ  AC ≡ DF

Critério LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto) Dois triângulos são congruentes se possuírem um lado, um ângulo adjacente a esse lado e um ângulo oposto a esse lado ordenadamente congruentes. Observe a figura a seguir:

Simbolicamente, temos: AC ≡ DF  BC ≡ EF ⇒ ∆ABC ≡ ∆DEF ⇒ ˆ ˆ A= D= 90°

AB ≡ DE  Bˆ ≡ Eˆ ˆ ˆ C ≡ F

A congruência de triângulos é muito útil na demonstração de diversos teoremas importantes na geometria. Nos exercícios resolvidos iremos abordar algumas delas.

EXEMPLOS 01. Utilizando a congruência de triângulos, demonstre o seguinte teorema.

02. Utilizando a congruência de triângulos, demonstre o seguinte teorema.

Se dois lados de um triângulo são congruentes, então os ângulos opostos a eles também são congruentes.

Em um triângulo isósceles a mediana, a bissetriz e a altura relativas à base são coincidentes.

RESOLUÇÃO

D07  Triângulos − Congruência

Em um triângulo ABC, vamos considerar que AB ≡ AC e traçar a altura relativa ao vértice A. Observe a figura a seguir:

Nessa situação temos que: nn Os triângulos ABD e ADC são retângulos. nn AB ≡ AC . nn AD é um lado comum. Assim, pelo caso especial de congruência do triângulos retângulos, temos que ∆ABD ≡ ∆ADC. Daí, concluímos que: nn Bˆ ≡ Cˆ (teorema do triângulo isósceles).

346

RESOLUÇÃO Em um triângulo ABC, vamos considerar que AB ≡ AC e traçar a mediana relativa ao vértice A. Observe a figura a seguir:

Nessa situação, temos que: nn AB ≡ AC (triângulo isósceles). nn Bˆ ≡ Cˆ (ângulos da base). nn BM ≡ MC (M é ponto médio). Assim, pelo caso LAL, temos que ∆ABM ≡ ∆ACM. Daí, concluímos que: nn BM ≡ CM ⇒ AM é mediana. ˆ ≡ CAM ˆ nn BAM ⇒ AM é bissetriz. ˆ = AMC ˆ = 90° ⇒ AM é mediatriz. nn AMB

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Em cada grupo de triângulos, verificar os congruentes e indicar o caso de congruência. a) II e III (LAL); b) I e II (caso especial); c) I e III (ALA); d) II e III (LAAO); e) I e II (LLL)

c) seus três ângulos sejam respectivamente congruentes. d) seus três lados sejam respectivamente proporcionais. e) seus três lados sejam respectivamente congruentes. 05. Na figura, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA.

Determine os valores de x e y. x = 10 e y = 11 06. (Unimontes MG) Na figura abaixo, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA, onde P ↔ P, C ↔ B e D ↔ A é a correspondência que define essa congruência.

02. Na figura a seguir, o triângulo ABC é congruente ao triângulo CDE.

Assim, o perímetro do triângulo ADP é igual a: a) 64 b) 70 c) 121

d) 126

07. Na figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles de base BC e EÂB ≅ CÂF.

Determine os valores de x e y. x = 5 e y = 9 03. Na figura a seguir, o ∆ABC é congruente ao ∆EDC. Determine x, y e α. x = 15, y = 8 e α = 20°

D07  Triângulos − Congruência

08. Observe a figura a seguir:

ALA, x = 9 e y = 12

Determine o caso de congruência e o valor de x e y. 04. (Uel PR) Para que dois triângulos sejam congruentes, é suficiente que: a) dois de seus lados sejam respectivamente congruentes. b) os dois sejam triângulos retângulos.

Prove que PA é congruente a PB.

Demonstração

347

Matemática

Exercícios Complementares ˆ ≡ FDE ˆ e 01. Na figura a seguir, temos que BF ≡ CD, ABC ˆ ˆ BAC ≡ DEF.

Nessas condições, prove que AC ≡ EF.

05. (Santa Casa SP) Os triângulos ABC e DEC são congruentes. Os lados do último medem 5 cm, 4 cm e 3 cm.

Demonstração

02. Em cada grupo de triângulos, verificar os congruentes e indicar o caso de congruência. a) II e II (LAAo) b) I e III (LAL)

O perímetro da figura ABDECA mede: a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24 06. (Fuvest SP) Os quadrados da figura têm lados medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente.

03. Na figura a seguir temos um triângulo equilátero. Sobre os lados desse triângulo, tomam-se três pontos D, E e F, sendo AD ≡ BE ≡ CF. Demonstração

Nessas condições, prove que o triângulo DEF é equilátero.

D07  Triângulos − Congruência

04. Na figura a seguir, temos um triângulo isósceles ABC. Os segmentos BD e CE sobre a base BC são congruentes entre si.

Se C é o centro do quadrado de menor lado, o valor da área hachurada, em cm2, é: a) 25 b) 27 c) 30 d) 35 e) 40 07. Dado um triângulo isósceles ABC de base BC , considere as bissetrizes internas BD e CE desse triângulo. Prove que BD ≡ CE . Demonstração 08. Na figura abaixo, temos que AB = AC . C

Nessas condições, prove que o triângulo ADE é isósceles.

Demonstração

348

São congruentes pelo caso LAL.

Os triângulos PAB e PAC são congruentes? Justifique.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D08

QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS – PARTE I O Quadrilátero Ferrífero é uma região de Minas Gerais, localizada a poucos quilômetros da capital, Belo Horizonte. É a principal área produtora de minério de ferro do Brasil (mais de 70%). Possui uma produção que abastece tanto o mercado nacional quanto os EUA e União Europeia e é exportada por meio do porto de Tubarão, em Vitória (ES). Seus vértices estão nas cidades de Sabará, Santa Bárbara, Mariana e Congonhas do Campo, cobrindo uma área de 7 500 km² e formando uma figura geométrica chamada quadrilátero. Observe a figura a seguir: MINAS GERAIS

ASSUNTOS ABORDADOS nn Quadriláteros notáveis – parte I nn Definição e elementos nn Trapézio nn Paralelogramo nn Base média de um triângulo nn Base média de um trapézio

ESPÍRITO SANTO

USIMINAS

Belo Horizonte Vitória Porto de Vitória

CSN

SÃO PAULO

RIO DE JANEIRO

OCEANO ATLÂNTICO

Rio de Janeiro São Paulo

COSIPA Porto de Santos

Belo Horizonte Sabará Nova Lima

Santa Bárbara

Itabirito Mariana Ouro Preto Congonhas

kaband / Shutterstock.com

Fonte: http://geografiadoalfredo.blogspot.com.br

Nesta aula começaremos a abordar um tipo especial de quadriláteros denominados quadriláteros notáveis.

349

Matemática

Definição e elementos

Trapézio escaleno

Dados quatro pontos distintos do plano não pertencentes a uma mesma reta (não colineares) A, B, C e D. Denomina-se quadrilátero a figura plana obtida pela união dos segmentos de reta AB, BC, CD e DA. Observe a figura a seguir.

É aquele que as medidas dos lados transversais são diferentes. Observe a figura a seguir. D

C A

No trapézio ABCD, temos que: A

nn Os

dois ângulos da base maior possuem medidas diferentes. nn Os dois ângulos da base menor possuem medidas diferentes.

Nesse quadrilátero podemos destacar que: nn Os

pares de vértices A e C, B e D são opostos. nn Os pares de vértices A e B, B e C, C e D, D e A são consecutivos. nn A soma dos seus ângulos internos e externos é 360°. nn Apresenta exatamente duas diagonais. Quadriláteros notáveis são aqueles quadriláteros convexos que apresentam pelo menos um par de lados paralelos. São eles: o trapézio, o paralelogramo, o retângulo, o losango e o quadrado. Nesta aula iremos abordar o trapézio e o paralelogramo.

Trapézio

Trapézio isósceles: É aquele que as medidas dos lados transversais são iguais. Observe a figura a seguir: D

No trapézio ABCD, temos que: nn Os dois ângulos da base maior possuem medidas iguais. nn Os dois ângulos da base menor possuem medidas iguais. nn As

Definição e elementos

diagonais AC e BD possuem medidas iguais.

Trapézio retângulo:

Trapézio é um quadrilátero notável que possui exatamente um par de lados paralelos. Observe a figura a seguir.

É aquele que um dos lados transversais é perpendicular às duas bases. Observe a figura a seguir:

No trapézio ABCD, podemos destacar que: lados AB, e CD são suas bases, sendo AB, a base maior e CD a base menor. nn nn Os lados AD e BC são seus lados não paralelos. nn A medida h, dada pela distância entre as bases, é a altura do trapézio. nn Dois ângulos de vértices consecutivos em bases diferentes são suplementares, ou seja, α + γ = 180° e β + θ = 180°.

D08  Quadriláteros notáveis − parte I

nn Os

Classificação e propriedades Os trapézios podem ser classificados em:

350

No trapézio ABCD, temos que: nn A

medida do lado BC é mesma medida da altura.

Paralelogramo Paralelogramo é um quadrilátero notável que possui exatamente dois pares de lados paralelos. Observe a figura a seguir. D

Matemática e suas Tecnologias

No paralelogramo ABCD, temos que: AB, BC, CD e DA. nn Os lados AB, e CD são paralelos. nn Os lados AD e BC, são paralelos. nn Dois ângulos de vértices opostos são congruentes, ou seja, α = θ e β = γ. nn Dois ângulos de vértices adjacentes são suplementares, ou seja, α + γ = 180° e β + θ = 180°. nn Os lados opostos são congruentes. nn As diagonais se interceptam no ponto M (ponto médio dos segmentos

AC e BD ).

Base média de um triângulo A base média de um triângulo é o segmento que liga os pontos médios dos seus lados. Observe a figura a seguir.

No triângulo ABC, temos que: nn M nn N

é ponto médio do lado AB. é o ponto médio do lado AC.

nn O

segmento MN é uma base média.

Em relação à base média MN , demonstra-se que: MN//BC e MN =

BC 2

Base média de um trapézio A base média de um trapézio é o segmento que liga os pontos médios dos seus lados transversais. Observe a figura a seguir.

D08  Quadriláteros notáveis − parte I

No trapézio ABCD, temos que: nn M

é ponto médio do lado AD. nn N é o ponto médio do lado BC. nn O segmento MN é sua base média. Em relação à base média MN , temos que: MN // AB // CD e MN =

AB + CD 2

351

Matemática

EXEMPLOS 01. Calcule as medidas do maior e menor ângulo de um trapézio retângulo, sabendo que medida do menor é 7/8 da medida do maior.

RESOLUÇÃO

C 105°

Na figura a seguir, temos que os ângulos x e y são suplementares e a razão entre eles é 7/8.

RESOLUÇÃO Num paralelogramo temos que:

Dois ângulos opostos são congruentes. Assim, os ângulos do vértice B mede 105°. Dois ângulos consecutivos são suplementares. Assim, os ângulos dos vértices A e C medem 75°.

Assim, temos que:

Portanto, os ângulos internos do paralelogramo medem 105° e 75°.

180º x + y =  x 7  y = 8 

04. No triângulo ABC da figura a seguir, os pontos M e N são pontos médios dos lados AB e AC , respectivamente.

Resolvendo o sistema, temos x = 84° e y = 96°. Portanto, o maior ângulo mede 96° e menor ângulo mede 84°. 02. Calcule a altura de um trapézio isósceles que tem 56 cm de perímetro e bases medindo 20 cm e 10 cm.

Nessas condições, calcule o valor x. RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO Na figura a seguir, temos que os triângulos retângulos formados são congruentes.

Como M e N são os pontos médios dos lados AB e AC, temos que MN é uma base média do triângulo ABC. Assim, temos que:

10 x

BC 4x − 10 ⇒ ⇒ x + 2= 2 2 4x – 10 = 2x + 4 ⇒ 2x = 14 ⇒

Assim, temos que:

x=7 Portanto, o valor de x é 7.

56 x + 20 + x + 10 =  2 2 2 x= h + 5

D08  Quadriláteros notáveis − parte I

MN=

05. Calcule o comprimento da sua base média de um trapézio ABCD de bases AB e CD medindo, 36 cm e 24 cm.

Resolvendo o sistema, temos RESOLUÇÃO

x = 13 e h = 12. Portanto, a altura do trapézio mede 12 cm. 03. Calcule a medida dos ângulos internos do paralelogramo indicado na figura.

352

O comprimento x da base média é dado por:

= x

AB + CD 36 + 24 60 = = = 30cm 2 2 2

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. A pista de corrida representada na figura tem a forma de um trapézio retângulo com dimensões em metros. 150

04. Em um paralelogramo, a medida de um lado é 2/3 da medida de outro. Sabendo que seu perímetro é 120 cm, calcule o comprimento de cada lado. Gabarito: 36 cm e 24 cm

100

05. Nas figuras a seguir, M, N, P e Q são os pontos médios dos lados a que pertencem. Assim, calcule os valores de x e y em cada um dos casos: Gabarito: a) x = 5; b) x = 9,5 e y = 6

225

Um atleta que queira percorrer 12 km deverá dar quantas voltas completas nessa pista? Gabarito: 20

= 3x − 5 a) MN = x e AB

02. (FGV SP) As bases de um trapézio isósceles medem 20 m e 36 m, e a soma das medidas dos lados não paralelos é 20 m. A medida da altura desse trapézio é: a) 6 m b) 3 m c) 8 m d) 4 m e) 10 m 03. Determine os valores de x e y, em graus, no paralelogramo ABCD da figura a seguir: Gabarito: x = 23° e y = 85° B

3x + 16°

5x – 20°

b) MN = x, NP = y, AB= 2x − 7 e BC= 3y + 1

Exercícios Complementares

Calcule a medida de α, em graus. Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de α e β é reto. Gabarito: a) 30°

b) demonstração

02. As medidas dos lados do paralelogramo ABCD da figura a seguir são dadas, em metros, por: AB = 3x + 4, BC = y – 6, CD = y + 1 e DA = 2x + 1. B

ˆ em graus. Calcule a medida do ângulo ADC,

Gabarito: 130°

04. (Unifesp SP) Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1:3. O ângulo menor desse paralelogramo mede: a) 45°

b) 50°

c) 55°

d) 60°

e) 65°

05. Na figura a seguir, os pontos M, N, P e Q são pontos médios dos segmentos OA, OB, OC e OM, respectivamente. A partir do ponto A, uma formiga se desloca sobre os segmentos AB, BC, CM, MN, NP e PQ a procura de comida.

Calcule os valores de x e y, em metros.

Gabarito: x = 4 m e y = 15 m

03. No trapézio retângulo ABCD da figura a seguir, a bissetriz de ˆ forma, com a bissetriz do ângulo DAB, ˆ um um ângulo ABC ângulo de medida 110°. D

Calcule a distância total percorrida pela formiga, sabendo que as medidas da figura estão em centímetros. Gabarito: 84 cm 353

D08  Quadriláteros notáveis − parte I

01. (Unicamp SP) Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo α e um ângulo obtuso β. Suponha que, em tal trapézio, a medida de β seja igual a cinco vezes a medida de α.

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Uniube MG) Natanias e Reinaldo moram na mesma rua e prestam serviços a uma determinada empresa, de tal forma que os trajetos percorridos, embora distintos, para se deslocarem de suas casas até a empresa, formam uma região triangular. Sabendo que a casa de Natanias está sendo representada pelo vértice A, com ângulo medindo (3x – 10) graus; a casa de Reinaldo, representada pelo vértice B, com ângulo medindo (2x + 20) graus; e a empresa representada pelo vértice C, com ângulo externo de 110 graus, podemos afirmar que: a) Natanias mora do lado direito da empresa. b) Reinaldo mora do lado direito da empresa. c) Ambos moram à mesma distância da empresa. d) Natanias mora mais perto da empresa. e) Reinaldo mora mais perto da empresa. 02. (Ibmec SP) A desigualdade triangular é um princípio da geometria que estabelece o seguinte: “Qualquer lado de um triângulo é sempre menor do que a soma dos outros dois”. Considere que A, B, C e D são vértices de um quadrilátero. Se AC é uma das diagonais desse quadrilátero, a única afirmação que não é necessariamente verdadeira é: a) AC < AB + BC b) AC < AD + DC c) AB < AC + BC d) DC < AC + DC e) DC < AB + BC 03. (Enem MEC) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é: a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 04. (Mackenzie SP) Observe a figura a seguir:

No triângulo dessa figura, a soma das medidas x, y e z pode ser: a) 25 b) 27 c) 29 d) 31 e) 33 05. (Colégio Naval RJ) Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é k, pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será: a)

5k 2

4k 3

4k 5

k 2

k 3

06. (Ibmec SP) Na figura a seguir, feita fora de escala, considere os triângulos ABC e BCD. M é ponto do lado AC , P é o ponto do lado BC tal que os segmentos BC e DP são perpendiculares, e Q é o ponto onde os segmentos BM e AP interceptam-se.

354

Matemática e suas Tecnologias

Sabendo que EM = 16 cm, calcule a medida de EB.

Gabarito: 32 cm

09. (Unifor CE) Observe as figuras abaixo:

Sabendo que AM = MC , BQ = 2 ⋅ QM, CD = 6 cm e BP = 4 cm , pode-se concluir que o perímetro do triângulo BCD, em centímetros, vale: a) 20 c) 22 e) 24 b) 21 d) 23 07. (Enem MEC) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil

Marque a opção que indica qual(is) dela(s) está(ão) com as medidas erradas. a) A figura 1. b) A figura 2. c) A figura 3. d) Todas as figuras. e) Nenhuma das figuras.

manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre

10. (Uel PR) Sobre propriedades de triângulos, considere as afirmativas a seguir. rantida por um espaçador de metal, conforme a figura: I. Todo triângulo possui pelo menos dois ângulos internos agudos. II. Dados dois triângulos ABC e EFG se AB ≅ EF, Aˆ ≅ Eˆ ee Bˆ ≅ Fˆ AB ≅ EF, Aˆ ≅ Eˆ e Bˆ ≅ Fˆ , então o triângulo ABC é congruente ao triângulo EFG. III. Se dois triângulos têm os três ângulos correspondentes congruentes, então os triângulos são congruentes. IV. Sejam ABC e A’B’C’ dois triângulos retângulos cujos ânˆ . Se AB ≅ A'B' e Aˆ ≅ A' ˆ , então os gulos retos são Cˆ e C' triângulos são congruentes. Estão corretas apenas as afirmativas: a) I e II. b) II e III. c) III e IV. d) I, II e IV. Utilize 1,7 como aproximação para 3 . O valor de R, em cene) I, III e IV. tímetros, é igual a os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é ga-

b) 65,5 c) 74,0 d) 81,0 e) 91,0 08. Na figura a seguir, ABCD é retângulo, M é o ponto médio de CD e o triângulo ABM é equilátero.

11. (Fuvest SP)Um avião levanta voo para ir da cidade A à cidade B, situada a 500 km de distância. Depois de voar 250 km em linha reta, o piloto descobre que a rota está errada e, para corrigi-la, ele altera a direção de voo de um ângulo de 90°. Se a rota não tivesse sido corrigida, a que distância ele estaria de B após ter voado os 500 km previstos?

500 km

12. (UECE) No retângulo PQRS, a medida dos lados PQ e QR são respectivamente 3 m e 2 m. Se V é um ponto do lado PQ tal que a medida do segmento VQ é igual a 1 m e U é o ponto méˆ é: dio do lado PS , então, a medida, em graus, do ângulo VUR a) 40 b) 35 c) 50 d) 45

355

FRENTE D  Exercícios de Aprofundamento

a) 64,0

Matemática

13. (Udesc SC) No paralelogramo ABCD, conforme mostra a figura ˆ . seguir, o segmento CE é a bissetriz do ângulo DCB A

Sabendo que AE = 2 e AD = 5 , então o valor do perímetro do paralelogramo ABCD é: a) 26 b) 16 c) 20 d) 22 e) 24 14. No trapézio escaleno ABCD da figura a seguir, temos que AB e CD são suas bases e que os segmentos AE e BE são bissetriˆ e CBA ˆ , respectivamente. zes dos ângulos DAB

C x

140°

x + 10°

Calcule o valor de x, em graus.

120°

15. (UFV MG) Em um trapézio isósceles,uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à base maior. Isso significa que: a) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes. b) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos. c) as diagonais se interceptam formando ângulo reto. d) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos. e) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio. 16. (Unesp SP) Certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WX e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. 9,4 km

FRENTE D  Exercícios de Aprofundamento

b 2b X

5,7 km

356

As entradas A e B com o quiosque “F” formam bissetrizes dos ângulos A e B. As distâncias AD e BE medem, respectivamente, 300 e 350 metros e o seguimento DE é paralelo ao lado AB . Qual a medida da distância do seguimento DE? a) 500 b) 650 c) 600 d) 700 e) 315 18. (Puc MG) Sabe-se que, em um triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados. Uma afirmativa equivalente a essa é: a) A menor distância entre dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta que os une. b) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior dos lados. c) Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo. d) Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento. 19. (Uneb BA) Nos modelos de estruturas moleculares de alguns compostos químicos, os átomos se colocam como vértices de poliedros ou de polígonos. No modelo molecular do composto químico SO3 (trióxido de enxofre), por exemplo, os três átomos de oxigênio (O) formam um triângulo equilátero e o átomo de enxofre (S) se localiza no centro desse triângulo. Nesse exemplo, a distância entre os átomos de oxigênio é de 248 picômetros (pm), sendo que 1pm = 10-12 m. A distância entre o núcleo de enxofre (S) e qualquer um dos núcleos de oxigênio é chamada comprimento da ligação. Considerando-se essas informações, pode-se afirmar que o comprimento da ligação do SO3 é igual a: a)

248 3 pm 3

164 3 pm 3

124 3 pm 3

82 3 pm 3

62 3 pm 3

rio

ˆ é o dobro do ângulo XWZ ˆ , a medida, em km, Se o ângulo XYZ do lado YZ que fica à margem do rio é: a) 7,5 b) 5,7 c) 4,7 d) 4,3

e) 3,7

17. (Unemat MT) Um espaço fechado para eventos culturais está disposto em forma de um triângulo irregular ABC. Possui 4 portões de entrada para público e um quiosque (F) está localizado dentro do espaço do evento, conforme figura abaixo:

Matemática e suas Tecnologias

20. Dois lados de um triângulo são iguais a 4cm e 6cm. O terceiro lado é um número inteiro expresso pro x2 + 1, com x ∈ Z. O seu perímetro é: a) 13cm b) 14cm c) 15cm

d) 16cm e) 20cm

21. Na figura a seguir, temos que AB ≅ AD e α ≅ β .

Prove que BC ≅ CD . Demonstração 22. (UFG GO) Um aluno tinha como tarefa esboçar vários triângulos e produziu as cinco figuras abaixo, onde os comprimentos dos lados estão indicados em uma mesma unidade de comprimento.

Com base nos números acima, é correto afirmar que: V-V-V-V-F 01. Exatamente dois deles são triângulos isósceles. 02. Exatamente dois deles são triângulos retângulos. 03. Exatamente dois deles possuem ângulo obtuso. 04. Exatamente dois dos triângulos acima são semelhantes. 05. Uma das figuras acima está errada, pois não se pode construir um triângulo com tais medidas.

Com base nessas informações, julgue os itens: C-C-C-E 01. Os triângulos ABM e AMC têm áreas iguais. 02. O centro da circunferência que circunscreve o triângulo ABC pertence à reta r. 03. sen β. EM = sen α. AM , onde EM e AM indicam as medidas dos segmentos EM e AM, respectivamente. 04. O raio da circunferência que circunscreve o triângulo ABD mede BA / 3 , onde BA indica a medida do segmento BA. 25. (Uem PR) Em um plano α , a mediatriz de um segmento de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. Assinale a alternativa incorreta. a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B. b) A interseção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em α é o circuncentro do triângulo. c) Qualquer ponto do plano α que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB. d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos. e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em α . 26. (Mackenzie SP) Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190o. O maior dos ângulos formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede: a) 105o b) 100o c) 90o d) 95o e) 85o 27. (Unifesp SP) Numa circunferência de raio R > 0 consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito.

23. (UFG GO) Determine um triângulo isósceles, cujo perímetro é 18 cm e a área é 12cm2, sabendo que a medida de seus lados são números inteiros. 8 cm, 5 cm e 5cm FRENTE D  Exercícios de Aprofundamento

24. (UFG GO) No triângulo ABC da figura abaixo, os segmentos AD e BC são perpendiculares, os ângulos BÂC e EÂC são iguais, as medidas dos segmentos BM e MC são iguais e r é uma reta perpendicular ao segmento BC, passando por M. A razão entre a altura de T2 e a altura de T1 é: a) 4. b) 3. c) 5/2 d) 2/3 e) 2

357

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FRENTE

MATEMÁTICA Por falar nisso Na ilustração, temos uma balança que possui seis pedras de um lado e apenas uma pedra do outro. Para se estabelecer esse equilíbrio, foi necessário que a massa das seis pedras do lado direito fosse equivalente à massa da única pedra da esquerda. Nesse caso, existe uma relação de proporcionalidade entre as massas e a quantidade das pedras. A definição de grandeza está ligada a tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Por exemplo: o comprimento, a área, o volume, o tempo, a temperatura, a massa, o preço, a produtividade, a idade etc. Grande parte dos problemas que se apresentam no nosso cotidiano envolve duas grandezas, de forma que, quando uma delas varia, a outra também varia. Assim, podemos enumerar várias situações nas quais ocorre tal relação, tais como: nn A quantidade de tecido gasto por uma costureira na confecção de uma calça depende do número de calças que serão confeccionadas. nn A quantidade de combustível gasto por um carro depende da quantidade de quilômetros rodados por esse carro. nn A quantidade de impressos feitos por uma gráfica depende da produtividade das máquinas utilizadas na impressão. nn A quantidade de dias de construção de uma casa depende do número de pedreiros que a estão construindo. De acordo com a relação entre essas duas grandezas variáveis, podemos estabelecer uma lei matemática de variação dos valores de uma delas em relação aos valores da outra. De acordo com essa lei, podemos perceber se tais grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

E05 E06 E07 E08

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais................ 360 Grandezas proporcionais - regra de três simples......................... 364 Grandezas proporcionais - regra de três composta..................... 367 Porcentagem - definição............................................................... 370

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E05

ASSUNTOS ABORDADOS nn Grandezas diretamente e inver-

samente proporcionais

nn Grandezas diretamente proporcionais nn Grandezas inversamente proporcionais

GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS O concreto é basicamente uma mistura de cimento, areia, brita e água, em determinadas proporções, denominada traço. O traço de um concreto varia de acordo com a finalidade de uso e com as condições de aplicação. A maneira mais simples de entender os traços é compará-los às receitas culinárias. Por exemplo, para obter uma massa de bolo, utilizamos uma determinada mistura de farinha, água, fermento e sal. Já para obtermos um concreto com determinada resistência e finalidade, temos que utilizar um traço preestabelecido, que é a proporção entre areia, cimento, brita e água. Havendo erro na mistura desses “ingredientes”, pode-se obter um concreto menos resistente do que o esperado, ou seja, não adequado para suportar os esforços aos quais estará sujeito. Assim, suponha que o concreto utilizado na construção de uma casa tenha traço 1:4:5:2, ou seja, uma parte de cimento, quatro partes de areia, cinco partes de brita e duas parte de água. Que quantidade, de cada um desses materiais, seria necessária para obter 60 m3 de concreto?

Fonte: Vadim Ratnikov / Shutterstock

Figura 01 - Processo de concretagem de uma laje.

Para obter essas quantidades, devemos utilizar o fato de que partes de um dos componentes do concreto são diretamente proporcionais aos seus respectivos volumes, em m3. Nesta aula, vamos abordar as relações entre as grandezas diretamente e as inversamente proporcionais.

360

Matemática e suas Tecnologias

Grandezas diretamente proporcionais

Grandezas inversamente proporcionais

Dadas as grandezas A de valores (a1, a2, a3, ... an) e B de valores (b1, b2, b3, ..., bn), dizemos que A e B são grandezas diretamente proporcionais se, e somente se:

Dadas as grandezas A de valores (a1, a2, a3, ... an) e B de valores (b1, b2, b3, ..., bn). Dizemos que A e B são grandezas inversamente proporcionais se, e somente se:

a1 a2 a3 an = = = ... = = k b1 b2 b3 bn

a1 ⋅ b1 = a2 ⋅ b2 = a3 ⋅ b3 = ... = an ⋅ bn = k O número k é chamado de constante de proporcionalidade.

O número k é chamado de constante de proporcionalidade. Por exemplo: Considere três barras de ferro (A, B e C) com as seguintes características: A: 20 cm de volume e massa 160 g.

nn Barra

B: 40 cm3 de volume e massa 320 g.

nn Barra

C: 80 cm3 de volume e massa 640 g.

Considere que certa distância pode ser percorrida por três trens (A, B e C) nas seguintes condições: nn Trem

A: Velocidade média de 40 km/h em 8 horas.

nn Trem

B: Velocidade média de 80 km/h em 4 horas.

nn Trem

C: Velocidade média de 160 km/h em 2 horas.

Colocando esses dados em uma tabela, temos:

Colocando esses dados em uma tabela, temos: Massa (g)

160

320

640

Volume (cm3)

Note que ao dobrar o volume do objeto sua massa também dobra. Assim, temos que:

160 320 640 = = = 8 20 40 80 Observe que a razão entre os elementos das grandezas massa e volume é constante. Nessa situação, dizemos que massa e volume são grandezas diretamente proporcionais e a constante obtida é a densidade do ferro em g/cm3.

Velocidade (km/h)

160

Tempo (h)

Note que ao dobrar a velocidade do trem, o tempo gasto para percorrer a mesma distância se reduz à metade. Assim, temos que: 40 ⋅ 8 = 80 ⋅ 4 = 160 ⋅ 2 = 320

Observe que o produto entre os elementos das grandezas velocidade média e tempo é constante. Nessa situação, dizemos que velocidade média e tempo são grandezas inversamente proporcionais e a constante obtida é a distância total percorrida em quilômetros. Gráfico O gráfico de duas grandezas inversamente proporcionais é uma hipérbole equilátera. Observe a ilustração a seguir:

Gráfico O gráfico de duas grandezas diretamente proporcionais é uma semirreta crescente que passa pela origem. Observe a ilustração a seguir:

A a1 a3 a2 a3

a2 a1

361

E05  Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

nn Barra

Por exemplo:

Matemática

EXEMPLOS 01. Sabendo que (10, b, 8) e (a, 48, 32) são sucessões de números diretamente proporcionais, determine os valores a e b. RESOLUÇÃO

Na segunda equação, temos que: x = 2k; y = 3k e z = 4k Substituindo na segunda equação, temos que: 2k + 3k + 4k = 180 ⇒ k = 20

Como (10, b, 8) e (a, 48, 32) são diretamente proporcionais, temos que:

10 b 8 1 = = = a 48 32 4 Daí, temos que:

10 1 = ⇒ a = 40 a 4 b 1 = ⇒ b = 12 48 4 Portanto, a = 40 e b = 12.

Daí, temos que: x = 2 ⋅ 20 = 40 y = 3 ⋅ 20 = 60 z = 4 ⋅ 20 = 80 Portanto, os números são 40, 60 e 80. 04. Divida o número 124 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. RESOLUÇÃO Dividir 124 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5 significa determinar três números x, y e z, tais que: 124 x + y + z =  x ⋅ 2 = y ⋅ 3 = z ⋅ 5 =k 

02. Sabendo que (a, 12, 8) e (3, b, 6) são sucessões de números inversamente proporcionais, determine os valores de a e b. RESOLUÇÃO

Na segunda equação, temos que:

= x

Como (a, 12, 8) e (3, b, 6) são inversamente proporcionais, temos que: a ⋅ 3 = 12 ⋅ b = 8 ⋅ 6 = 48

Daí, temos que:

k k k = ;y = ez 2 3 5

Substituindo na segunda equação, temos que:

k k k + + = 124 ⇒ k= 120 2 3 5

3a = 48 ⇒ a = 16 12b = 48 ⇒ b = 4 Daí, temos que:

Portanto, a = 16 e b = 4. 03. Divida 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4. RESOLUÇÃO

= x

120 = 60 2

= y

120 = 40 3

= z

120 = 24 5

Dividir 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4 significa determinar três números x, y e z, tais que:

E05  Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

180 x + y + z =  x y z  2= 3= 4= k

Portanto, os números são 60, 40 e 24.

Exercícios de Fixação 01. Determine os valores de x e y: a) Sendo (2, x, 8) e (y + 1, 12, 20) sucessões de números diretamente proporcionais x = 4,8 e y = 4 b) Sendo (26, 34, x – 2) e (y, 51, 57) sucessões de números diretamente porporcionais. x = 40 e y = 39 c) Sendo (x – 3, 4, 12) e (24, 54, y) sucessões de números inversamente porporcionais. x = 12 e y = 18 d) Sendo (70, 35, x) e (4, y + 2, 10) sucessões de números inversamente porporcionais. x = 28 e y = 6

362

02. (FGV SP) Na tabela a seguir, x é diretamente proporcional ao quadrado de y. x

Sendo y > 0, os valores de m e p são, respectivamente: a) 1/4 e 1/16 d) 1/16 e 1 b) 4 e 16 e) 4 e 8 c) 16 e 4

Matemática e suas Tecnologias

03. Faça o se pede em cada um dos itens a seguir: a) Divida o número 90 em partes diretamente proporcionais a 11 e 7. 55 e 35 b) Divida o número 105 em partes inversamente proporcionais a 6 e 8. 60 e 45 c) Divida o número 340 em partes diretamente proporcionais a 6 e 4 e inversamente proporcionais a 8 e 6. 180 e 160 04. (Unicamp SP) A quantia de R$ 1.280,00 deverá ser dividida entre 3 pessoas. Quanto receberá cada uma, se:

a) A divisão for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7? R$ 512,00; R$ 320,00 e R$ 448,00 b) A divisão for feita em partes inversamente proporcionais a 5, 2 e 10? R$ 320,00; R$ 800,00 e R$ 160,00 05. (UEG GO) Uma sociedade constituída por três sócios obteve um lucro de R$ 1.002,00. Um dos sócios aplicou R$ 200,00 durante cinco meses; o outro aplicou R$ 240,00 durante seis meses e o terceiro R$ 180,00 durante cinco meses. Considerando que o lucro de cada um é proporcional ao capital aplicado e ao tempo de aplicação, determine o lucro de cada sócio. R$ 300,00; R$ 432,00 e R$ 270,00

Exercícios Complementares

2 000

3 000

Então x vale: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 02. (Enem MEC) A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.

d b

Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é: a) S = k ⋅ b ⋅ d b) S = b ⋅ d2 c) S = k ⋅ b ⋅ d2 d) S = k ⋅ b/d2 e) S = k ⋅ d2/b

cional ao seu tempo de serviço. Sabendo que o lucro que será dividido é de R$ 18.500,00 e que o tempo de serviço de cada um deles é, respectivamente 5, 7 e 8 anos, podemos afirmar que o mais antigo na empresa receberá: a) R$ 4625,00 b) R$ 5125,00 c) R$ 6475,00 d) R$ 7400,00 e) R$ 9250,00 04. (UFV MG) As prefeituras das cidades A, B e C construíram uma ponte sobre o rio próximo a estas cidades. A ponte dista 10 km de A, 12 km de B e 18 km de C. O custo da construção, R$ 8.600.000,00, foi dividido em partes inversamente proporcionais às distâncias das cidades à ponte. Com a construção, a prefeitura da cidade A teve um gasto, em milhões de reais, de: a) 3,2 b) 3,6 c) 3,0 d) 3,8 e) 3,4 05. (Ufu MG) Paulo, Ana e Luís formaram uma sociedade e investiram, respectivamente, R$ 2.500,00; R$ 3.500,00 e R$ 4.000,00 num fundo de investimentos. Após um ano, a aplicação estava com um saldo de R$ 12.500,00. Se os três investidores resgatarem somente o rendimento e dividirem-no em partes diretamente proporcionais aos valores investidos, a diferença entre os valores recebidos por Ana e Paulo, em reais, será igual a: a) 125 b) 1.000 c) 250 d) 500

03. (Puc RJ) Os sócios de uma empresa decidem dividir o lucro de um determinado período, pelos seus três gerentes, de modo que cada um receba uma parte diretamente propor-

363

E05  Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

01. (Mackenzie SP) Na tabela a seguir, de valores positivos, F é diretamente proporcional ao produto de L pelo quadrado de H.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E06

ASSUNTOS ABORDADOS nn Grandezas proporcionais nn Regra de três simples

GRANDEZAS PROPORCIONAIS - REGRA DE TRÊS SIMPLES Está pensando em trabalhar com criação de galinha caipira? Veja aqui como começar uma criação de galinha caipira com informações sobre manejo, cuidado e montagem de estrutura. A galinha caipira é um dos pratos mais apreciados porque sugere ser uma carne mais saudável, o que realmente é. Ela recebe esse nome por receber uma alimentação natural e por ser criada em campo livre. Desse modo, qualquer galinha pode ser chamada de galinha caipira, pois o que determina essa nomenclatura é a forma como ela é criada e não a raça a que pertence.

Fonte: Andre Nery / Shutterstock.com

As galinhas caipiras são as preferidas para alimentação pelos naturalistas, aqueles que curtem um alimento saudável, pois elas não recebem alimento industrializado nem bombas de hormônio para ganhar peso. Sua criação envolve um processo natural que mais lembra as criações em sítios e casas do interior. Por isso, elas têm um preço mais elevado para a venda, uma vez que a alimentação é livre de agrotóxicos, hormônios e alcançam pouco peso, mas possuem uma carne mais saudável para a alimentação humana.

364

O preço de um quilo de galinha caipira é cerca de 20% mais alto que o das aves brancas de criação em granja com fim industrial e mais de 30% se comparada às pré-prontas para a alimentação. Mas segundo os seus compradores, esse custo vale a pena pelo sabor diferenciado e pela qualidade do alimento que está sendo levado para casa. Fonte: http://www.novonegocio.com.br/criacoes/ como-montar-uma-criacao-de-galinhas-caipiras/ Acesso: 02/2017

Matemática e suas Tecnologias

Suponha que um pequeno criador de galinha caipira tenha ração para alimentar suas 42 galinhas durante 30 dias e que após 6 dias compre mais 30 galinhas. Quanto tempo durará o alimento, se a quantidade dessa ração diária para cada ave for constante? Esse é um exemplo de problema envolvendo duas grandezas proporcionais, o qual se pode resolver utilizando um processo prático chamado regra de três. Nesta aula, iremos abordar as regras de três que envolvem apenas duas grandezas denominadas regras de três simples.

Regra de três simples Dadas duas grandezas proporcionais A de valores (a1, a2) e B de valores (b1, b2), a regra de três simples é um processo prático para se determinar um desses valores (incógnita do problema) conhecendo-se os outros. Para se resolver uma regra de três simples, basta fazer uma tabela colocando-se os elementos de uma mesma grandeza na mesma coluna. Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna que contém a incógnita (a2) com a ponta voltada para cima. Se as grandezas forem diretamente proporcionais colocamos a segunda seta vertical também para cima na outra coluna. Observe o esquema a seguir:

Grandeza A a1

Grandeza B b1

Assim, para se determinar a2, basta montar a proporção a seguir:

a1 b1 = (conserva-se a segunda razão) a2 b2 Se as grandezas forem inversamente proporcionais colocamos a segunda seta vertical para baixo na outra coluna. Observe o esquema a seguir: Grandeza A a1

Grandeza B b1

Assim, para se determinar a2, basta montar a proporção a seguir:

a1 b2 = (inverte-se a segunda razão) a2 b1 Observação: nn Se uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, então a grandeza A é diretamente proporcional ao inverso da grandeza B. Motivo pelo qual invertemos uma das razões ao montar as proporções envolvendo grandezas inversamente proporcionais.

EXEMPLOS

RESOLUÇÃO Note que se aumentarmos a quantidade de dias trabalhados, o valor recebido também aumenta na mesma proporção. Logo, as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.

RESOLUÇÃO Note que se aumentarmos quantidade de operários, a quantidade de dias se reduz na mesma proporção. Logo, as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais.

Nesse caso para se determinar x, basta montar a proporção a seguir: Nesse caso, para se determinar x, basta montar a proporção a seguir:

2.400 25 (conserva-se a segunda razão) = x 40

35 25 (inverte-se a segunda razão) = x 15 Isolando a variável x, temos que:

Isolando a variável x, temos que:

2.400 ⋅ 40 = x = 3.840 25 Portanto, o operário receberia R$ 3.840,00. 02. Se 35 operários fazem uma tarefa em 15 dias, quantos operários seriam necessários para fazer a mesma tarefa em 25 dias?

= x

15 ⋅ 35 = 21 25

Portanto, seriam necessários 21 operários. 03. Uma torneira enche um tanque em 2 duas horas. Outra torneira enche o mesmo tanque em 3 horas. Estando inicialmente vazio, em quantos minutos as duas encheriam o mesmo reservatório?

365

E06  Grandezas proporcionais- Regra de três simples

01. Se um pedreiro recebe R$ 2.400,00 por 25 dias de trabalho, quanto ele receberia por 40 dias?

Matemática

RESOLUÇÃO Se a primeira torneira enche o tanque em 2 horas, então ela enche 1/2 do reservatório em 1 hora. Se a segunda torneira enche o tanque em 3 horas, então ela enche 1/3 do reservatório em 1 hora. Assim, em uma hora, as duas juntas enchem:

1 1 5 + = do tanque 2 3 6 Note que se aumentarmos o volume do reservatório, o tempo para enchê-lo aumenta na mesma proporção. Logo, as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.

Nesse caso, para se determinar x, basta montar a proporção a seguir:

1 5/6 (conserva-se a segunda razão) = x 1 Isolando a variável x, temos que: x=

6 = 1,2 5

Em minutos, temos: 1,2 ⋅ 60 = 72 Portanto, o tempo seria de 72 minutos.

Exercícios de Fixação 01. Em um dia de trabalho de 8 horas, um operário executou 60 m2 de um piso. Quantas horas ele levaria para executar 90 m2 do mesmo piso? 12 h 02. Com 50 kg de farinha de trigo, pode-se obter 75 kg de pão francês. Quantos kg são necessários para obter 120 kg de pão francês? 80 kg 03. (Uem PR) Embalando alimentos doados para o programa “Fome Zero”, 4 voluntários gastaram 75 horas. Se fosse possível contar com 12 voluntários, trabalhando no mesmo ritmo daqueles 4, em quanto tempo o trabalho teria sido feito? 25 horas

04. Uma lebre está a 90 m na frente de um cachorro que a persegue. Enquanto a lebre percorre 16 m, o cachorro percorre 20 m. Quantos metros deverá percorrer o cachorro para alcançar a lebre? 450 m 05. (UFR RJ) Um tanque de volume V é abastecido por duas torneiras A e B. A torneira A sozinha enche o tanque em 10 minutos e a torneira B, também sozinha, em 20 minutos. Calcule o tempo que as torneiras A e B juntas levam para encher o tanque. 6 minutos e 40 segundos

Exercícios Complementares

E06  Grandezas proporcionais- Regra de três simples

01. (UFG GO) Um feirante vende uma dúzia de laranjas por R$ 1,50. Se um cliente comprar 20 laranjas, quanto ele irá pagar ao feirante? R$ 2,50 02. (Enem MEC) Nos Estados Unidos, a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (cL). Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 mL. Assim, o volume da lata de refrigerante de 355 mL, em onça fluida (fl oz), é mais próximo de: a) 0,83 b) 1,20 c) 12,03 d) 104,73 e) 120,34 03. (Ufu MG) Um maratonista calcula que, se correr a uma velocidade constante de 10 km por hora, chega ao fim da corrida às 10 horas. Contudo, se sua velocidade constante for de 15 km por hora, ele chegará às 8 horas. Para que ele chegue

366

exatamente às 9 horas, sua velocidade deverá ser, em km/h, de: a) 12,0 b) 12,5 c) 11,0 d) 11,5 e) 13,0 04. (Ibmec SP) Estima-se que um grupo de 8 digitadores, trabalhando de forma homogênea, consiga digitar determinada obra literária em 15 dias. Qual seria o número de pessoas necessárias para digitar a obra, se o prazo for reduzido para 10 dias? 12 digitadores 05. (UFG GO) Para encher um reservatório de água, usam-se três torneiras. Se usadas separadamente, a primeira enche o tanque em duas horas, a segunda em três horas e a terceira em seis horas. Pergunta-se: a) Que fração do reservatório a primeira torneira enche em uma hora? 1/2 b) Em quanto tempo as três torneiras juntas enchem o reservatório? 1 h

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E07

GRANDEZAS PROPORCIONAIS - REGRA DE TRÊS COMPOSTA Os operadores de caixa estão presentes em vários estabelecimentos comerciais, tais como: supermercados, farmácias, lotéricas etc.

ASSUNTOS ABORDADOS nn Grandezas proporcionais - regra

de três composta

nn Regra de três composta

Dentre as atribuições desses funcionários, destacam-se: o recebimento de pagamento de compras de produtos e serviços; recebimento de contas de água, luz e energia; emissão de cupons fiscais; abertura e fechamento diário do caixa etc. Para ser um operador de caixa, é necessário ter muita responsabilidade, boa capacidade de relacionamento e disponibilidade de horários. O Supermercado Barato Demais dispõe de cinco operadores de caixa trabalhando oito horas por dia, a um custo de R$ 8.500,00 por mês. Com o intuito de conter despesas sem comprometer a qualidade do serviço prestado, o proprietário do supermercado decide aumentar o número de operadores de caixa e diminuir o número de horas trabalhadas por eles. Assim, quanto o proprietário gastará por mês se passar a ter oito operadores caixa trabalhando seis horas por dia?

Fonte: Paolo Bona / Shutterstock.com

Esse é um exemplo de problema envolvendo três grandezas proporcionais o qual se pode resolver utilizando um processo prático chamado regra de três. Nesta aula, iremos abordar as regras de três que envolvem mais de duas grandezas denominadas regras de três compostas.

367

Matemática

Regra de três composta Dadas as grandezas proporcionais A de valores (a1, a2), B de valores (b1, b2) e C de valores (c1, c2). A regra de três composta é um processo prático para se determinar um desses valores (incógnita do problema) conhecendo-se os outros. Para resolver uma regra de três composta, basta fazer uma tabela colocando-se os elementos de uma mesma grandeza na mesma coluna. Em seguida, coloca-se uma seta vertical na coluna que contém a incógnita (a2) com a ponta voltada para cima. Após analisar separadamente as grandezas B e C em relação à grandeza A (a que contém a incógnita), vamos supor que ocorra o seguinte: nn B

é diretamente proporcional a A. nn C é inversamente proporcional a A. Daí, colocamos uma segunda seta vertical também para cima na grandeza B (diretamente proporcional a A) e uma

terceira seta vertical para baixo na grandeza C (inversamente proporcional a A). Observe o esquema a seguir: Grandeza A a1

Grandeza B b1

Grandeza C C1 C2

Assim, para se determinar a2, basta montar a proporção a seguir: a1 b1 c2 = . (inverte-se apenas a terceira razão) a2 b2 c1

Observação: nn Se uma grandeza é diretamente proporcional a outras

duas ou mais grandezas, então ela será diretamente proporcional ao produto dessas grandezas. Motivo pelo qual multiplicamos duas ou mais razões ao montar as proporções nas regras de três compostas.

EXEMPLOS 01. Em 45 dias, 18 operários construíram 54 m de um muro. Quantos dias seriam necessários para que 12 operários construíssem 60 m do mesmo muro? RESOLUÇÃO

E07  Grandezas proporcionais - regra de três composta

Adotando a quantidade de dias como grandeza de referência, temos que: Se aumentarmos a quantidade de operários, o número de dias diminui na mesma proporção. Logo, a quantidade de operários é inversamente proporcional ao número de dias. Se aumentarmos a quantidade de muro a ser construído, o número de dias aumentam na mesma proporção. Logo, a quantidade de operários é diretamente proporcional ao número de dias. Assim, podemos montar o seguinte esquema:

RESOLUÇÃO Adotando a quantidade de pessoas como grandeza de referência, temos que: Se aumentarmos a quantidade de dias, a quantidade de pessoas diminui na mesma proporção. Logo, a quantidade de dias é inversamente proporcional à quantidade de pessoas. Se aumentarmos a quantidade de tapete a ser produzido, a quantidade de pessoas aumenta na mesma proporção. Logo, a quantidade de tapete produzido é diretamente proporcional à quantidade de pessoas. Se aumentarmos a quantidade de horas trabalhadas por dia, a quantidade de pessoas diminui na mesma proporção. Logo, a quantidade de horas trabalhadas por dia é inversamente proporcional à quantidade de pessoas. Assim, podemos montar o seguinte esquema:

Nesse caso, para se determinar x, basta montar a proporção a seguir: 45 12 54 = ⋅ (inverte-se a segunda razão) x 18 60

Isolando a variável x, temos que: = x

45 ⋅ 18 ⋅ 60 = 75 12 ⋅ 54

Portanto, seriam necessários 75 dias. 02. Em 90 dias de trabalho, 12 pessoas produzem 36 m de tapete com uma jornada diária de 8 horas. Quantas pessoas com a mesma produtividade seriam necessárias para produzir, em 64 dias, 24 m de tapete trabalhando 6 horas por dia?

368

Nesse caso, para se determinar x, basta montar a proporção a seguir: 12 64 36 6 = ⋅ ⋅ (inverte-se a segunda razão) x 90 24 8

Isolando a variável x, temos que: = x

12 ⋅ 90 ⋅ 24 ⋅ 8 = 45 64 ⋅ 36 ⋅ 6

Portanto, seriam necessárias 45 pessoas.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Trinta operários, trabalhando 8 horas por dia, levam 27 dias para concluir uma obra. Quantos dias levariam 18 operários para fazer a mesma obra, trabalhando 9 horas por dia? 40 dias 02. (Faap SP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 000 impressões. Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 000 impressões? a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 e) 5 03. Se 10 carros de um determinado modelo consomem em 6 dias 1 000 litros de gasolina, quantos carros desse mesmo

modelo devemos usar para consumir somente 500 litros de gasolina em 2 dias? 15 04. (Unioeste PR) Numa fábrica de bebidas, 15 funcionários produzem 10 000 latas de refrigerante em 9 dias, funcionando 9 horas por dia. Se ela aumentar seu horário de funcionamento diário em 6 horas, quantos dias serão necessários para produzir 200 000 latas com 20 funcionários? 81 dias 05. (UFPE) Certa tarefa seria executada por 15 operários trabalhando 8 horas por dia, durante 20 dias. Se 5 trabalhadores foram transferidos quando completados 13 dias do início da tarefa, em quantos dias os 10 trabalhadores restantes concluirão a tarefa, se, agora, eles trabalharão 7 horas por dia? 12 dias

Exercícios Complementares 01. (Fuvest SP) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-la durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas? a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5 02. Se 8 lâmpadas de certa potência, permanecendo acesas por 13 noites e 3 horas por noite, consomem 18 kW, quantos kW seriam consumidos se 5 lâmpadas com o dobro da potência, permanecessem acesas 16 noites e 4 horas por noite? 36,92 kW

04. (Espm SP) Em 10 minutos, 27 secretárias com a mesma habilidade digitou o equivalente a 324 páginas. Nas mesmas condições, se o número de secretárias fosse 50, em quantos minutos teoricamente elas digitaram 600 páginas? a) 10 minutos b) 45 minutos c) 5 minutos d) 5 minutos e 24 segundos e) 34 minutos e 29 segundos 05. (UFPE) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto? a) 7 horas e 42 minutos b) 7 horas e 44 minutos c) 7 horas e 46 minutos d) 7 horas e 48 minutos e) 7 horas e 50 minutos

369

E07  Grandezas proporcionais - regra de três composta

com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 03. (Enem MEC) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Essa indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a: a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E08

ASSUNTOS ABORDADOS nn Porcentagem - definição nn Definição nn Porcentagem de um valor

PORCENTAGEM - DEFINIÇÃO A Taxa Selic ou taxa básica de juros da economia é a taxa referencial para as operações financeiras da economia brasileira. Quem a define é o COPOM (Comitê de Política Monetária) a cada 45 dias. Por exemplo, após a reunião em 09/10/2013 ficou estabelecido pelo COPOM que a taxa Selic seria de 9,5% ao ano. Basicamente, é a partir dessa taxa que os bancos definem a remuneração de aplicações financeiras e dos juros de empréstimos feitos a seus clientes. Já o governo utiliza bastante essa taxa como ferramenta de controle do consumo, da inflação e do câmbio. No que se refere ao consumo e à inflação, sua elevação torna os financiamentos mais caros, diminuindo o consumo e, consequentemente, freando a inflação. Já em relação ao câmbio, sua elevação torna os juros mais atrativos ao capital estrangeiro, aumentando sua remuneração. Com o aumento da quantidade de dólares no país, essa moeda acaba se desvalorizando em relação ao real. Assim, é inegável a importância e a influência das taxas percentuais e dos juros na vida das pessoas no mundo capitalista moderno.

Definição

Fonte: isak55 / Shutterstock.com

A tabela a seguir mostra a variação do valor das mensalidades de duas escolas da cidade de São Paulo para a educação infantil nos anos de 2011 e 2012.

370

2011

2012

Aumento

Escola A

800

1 008

208

Escola B

600

768

168

Matemática e suas Tecnologias

nn Para

a escola A, a razão entre o aumento do preço

208 . 800 nn Para a escola B, a razão entre o aumento do preço 168 da mensalidade e o valor de 2011 é dada por . 600

da mensalidade e o valor de 2011 é dada por

Para saber qual escola teve o maior aumento relativo da mensalidade, basta escrever essas frações utilizando o mesmo denominador. Escolhendo o denominador 100, temos que: 208 26 nn Para a escola A: = 800 100 nn Para

a escola B:

168 28 = 600 100

nn O aumento absoluto da mensalidade da escola B é de

R$ 168,00 e o relativo de

28 = 28%. 100

Portanto, de maneira geral, para um número real p, temos que: p% =

p 100

Porcentagem de um valor Suponha que o preço normal da bicicleta comprada por Marcelo é R$ 900,00. Como ele comprou à vista, conseguiu um desconto de 15%.

O símbolo utilizado para indicar uma taxa percentual ou porcentagem é % (lê-se: por cento).

Para se obter, em reais, o valor do desconto de 15% sobre R$ 900,00, basta dividir 900 em 100 partes e tomar 15 das 100 partes, ou seja: 900 nn 15% de 900 = 15 ⋅ = 135 reais. 100

Daí, temos que: nn O aumento absoluto da mensalidade da escola A é de 26 R$ 208,00 e o relativo de = 26%. 100

Portanto, de maneira geral, temos que p% de um valor V é dado por: p p% = ⋅V 100

As razões em que os denominadores são iguais a 100 são chamadas de taxas percentuais, ou simplesmente, porcentagens.

EXEMPLOS 01. Quanto é 30% de 420?

RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO

Utilizando a definição de porcentagem um valor, temos:

30 ⋅ 420 = 126 100 Portanto, o valor é 126.

O preço à vista é dado por: 12 4000 − ⋅ 4000 = 4000 − 480 = 3520 100 O preço a prazo é dado por:

4000 +

02. 24% de um valor é igual a 768. Qual é esse valor? RESOLUÇÃO Sendo x o valor procurado, temos: 24 ⋅ x= 768 ⇒ x= 3200 100 Portanto, o valor é 3 200.

Portanto, o preço à vista é R$ 3.520,00 e a prazo é R$ 4.320,00. 05. Uma melancia de 10 kg tem 95% de sua massa constituída de água. Essa fruta foi submetida a um processo de desidratação (elimina apenas água) até que a participação da água em massa total se reduza a 90%. Qual a massa da melancia após o processo de desidratação?

RESOLUÇÃO Utilizando a definição de porcentagem de um valor, temos:

55 ⋅ 80 = 44 100

Portanto, o vencedor teve 44 votos. 04. O preço de um álbum de telefone celular é R$ 4.000,00. Se o celular for comprado pagando à vista, o cliente tem direito a um desconto de 12%, porém se for comprado a prazo há um acréscimo de 8%. Assim, qual o valor do celular à vista e a prazo?

Inicialmente, temos que: Massa total: 10 kg Massa de água: 0,95 ⋅ 10 = 9,5 kg Massa de polpa: 10 – 9,5 = 0,5 kg. Após o processo de desidratação, x kg de água é eliminado. Assim, temos que: Massa total: (10 – x) kg Massa de água: (9,5 – x) kg Massa de polpa: 0,5 kg. A massa de água deve ser 90% da massa total. Assim, temos que: 9,5 – x = 0,90 ⋅ (10 – x) ⇒ 9,5 – x = 9 – 0,9x -x + 0,9x = 9 – 9,5 ⇒ -0,1x = -0,5 ⇒ x = 5 kg Portanto, a massa da melancia após o processo de desidratação será 5 kg.

371

E08  Porcentagem - definição

RESOLUÇÃO

03. Para eleger o presidente da comissão de formatura, 80 alunos de determinado curso votaram e o vencedor teve 55% do total de votos. Quantos votos o vencedor obteve?

40% de 80 é igual a

8 ⋅ 4000 = 4000 + 320 = 4320 100

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule: a) 20% de R$ 680,00. R$ 136,00 b) 8% de R$ 720,00. R$ 57,60 c) 28 centavos equivale a 35% de quantos centavos? 80 centavos d) Que porcentagem 825 m2 é de 1 500 m2? 55% 02. Marina acertou 28 exercícios de Matemática dos 32 que respondeu. Qual a porcentagem de acertos de Marina? 87,5% 03. Em uma mistura de 80 kg de areia e cimento, 20% é cimento. Se acrescentarmos mais 20 kg de cimento, qual será a

04. (UFRJ) O trecho a seguir foi retirado de matéria publicada na primeira página de um jornal de grande circulação: “Levantamento feito (...) revela que 12 dos 50 vereadores eleitos no Rio – o equivalente a 22% – respondem a processos criminais e cíveis”. O percentual citado na matéria está correto? Não, o percentual correto é 24%

05. José colocou em uma jarra, três litros de água e um litro de suco composto de 20% de polpa de fruta e 80% de água. Depois de misturar tudo, qual a porcentagem de polpa de fruta no volume final? 5%

porcentagem de areia na nova mistura? 64%

Exercícios Complementares 01. Responda: a) Qual a representação de 0,28 na forma de taxa percentual? b) Qual a representação de 2/5 na forma de taxa percentual? c) Qual a representação de 45% na forma decimal? d) Qual a representação de 22,5% na forma de fração irredutível? a) 28%

b) 40%

c) 0,45

d) 9/40

02. Em certa competição esportiva, a equipe de Ricardo ganhou 60 medalhas, sendo 20% de ouro, 25% de prata e o restante de bronze. Quantas medalhas de bronze a equipe de Ricardo ganhou? 33 03. (Unicamp SP) Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em ações. No primeiro mês ela perdeu 40% do total investido e no segundo mês ela recuperou 30% do que havia perdido. a) Com quantos reais ela ficou após os dois meses? R$ 2.160,00 b) Qual foi seu prejuízo após os dois meses, em porcentagem, sobre o valor do investimento inicial? 28% 04. (UFSC) Um reservatório contendo 120 litros de água apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à evapoE08  Porcentagem - definição

ração, esse índice subiu para 15%. Determinar, em litros, o volume de água evaporada. 24 L 05. (Enem MEC) O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações. Disponível em. www.folha.uol.com.br. Acesso em. 26 abr. 2010 (adaptado)

372

Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de: a) R$ 900,00 d) R$ 3.900,00 b) R$ 1.200,00 e) R$ 5.100,00 c) R$ 2.100,00 06. (Fuvest SP) Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200 litros, dos quais 25% são de leite natural. Qual é a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada a esta mistura para que ela venha a conter 20% de leite natural? 50 L 07. (UFSC) Um reservatório contendo 120 litros de água apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à evaporação, esse índice subiu para 15%. Determinar, em litros, o volume de água evaporada. 24 L 08. (Fuvest SP) Um reservatório, com 40 litros de capacidade, já contém 30 litros de uma mistura gasolina/álcool com 18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova mistura gasolina/álcool de modo que a mistura resultante tenha 20% de álcool. A porcentagem de álcool nessa nova mistura deve ser de: a) 20% c) 24% e) 28% b) 22% d) 26% 09. (UFG GO) Um tonel contém 72 L de uma mistura homogênea de água e vinho, na proporção de 20% de água e 80% de vinho. Após retirar-se um balde cheio dessa mistura e, em seguida, completar-se o volume inicial do tonel com água pura, constatou-se que a quantidade de água existente no tonel é de 19,6 L. Qual a capacidade do balde? 6,5 L

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de Aprofundamento 01. (Puc SP) Certo dia, Adilson, Bento e Celso, funcionários de uma mesma empresa, receberam um lote de documentos para arquivar e dividiram o total de documentos entre eles, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Se, ao completarem tal tarefa, foi observado que a soma dos documentos arquivados por Adilson e Celso excedia a quantidade arquivada por Bento em 26 unidades, então o total de documentos do lote era um número: a) primo. b) quadrado perfeito. c) múltiplo de 4. d) divisível por 6. e) maior do que 60.

06. (UFMG) Dois nadadores, posicionados em lados opostos de uma piscina retangular e em raias adjacentes, começam a nadar em um mesmo instante, com velocidades constantes. Sabe-se que, nas duas primeiras vezes em que ambos estiveram lado a lado, eles nadavam em sentidos opostos: na primeira vez, a 15 m de uma borda e, na segunda vez, a 12 m da outra borda. Baseando-se essas informações, é coreto afirmar que o comprimento, em metros, dessa piscina é: a) 21 b) 27 c) 33 d) 54

02. (UFG GO) João fundou uma empresa em 1º de janeiro, com o capital de US$ 1.500,00; em 1º de março, Carlos tornou-se sócio da empresa empregando US$ 1.000,00. Para que a firma crescesse, os dois sócios convidaram Geraldo para participar da sociedade. Geraldo investiu a quantia de US$ 1.200,00, em 1º de maio. Em 1º de setembro, os sócios fizeram um balanço da firma e verificaram um rendimento de US$ 7.980,00. Se os sócios dividiram o lucro proporcionalmente ao número de meses de participação na sociedade e ao capital empregado, qual foi o lucro de cada sócio? US$ 4.200,00; US$ 2.100,00 e US$ 1.680,00

07. (Mackenzie SP) Cada um dos 15 quartos da ala pediátrica de um hospital tem 40 m2 de paredes a serem pintadas. Trabalhando 8 horas de um sábado e mais 4 horas do domingo, 5 voluntários decidem pintar todos os quartos, pintando, cada um, o mesmo número de m2. Supondo que todos trabalhem numa mesma velocidade, e que a velocidade de trabalho no domingo seja 2/3 da velocidade do sábado, a área, em m2 a ser pintada, por voluntário, no domingo, será: a) 15 b) 20 c) 35 d) 25 e) 30

03. (Faap SP) Dois guindastes, trabalhando juntos, descarregam um navio em 6 horas. Trabalhando em separado, sabendo-se que um deles pode descarregar o navio em 5 horas menos que o outro, quantas horas levaria cada um? a) 5 e 10 b) 11 e 16 c) 10 e 15 d) 3 e 8 e) 6 e 11 04. (UFRN) Duas velas, cada uma com 1 m de comprimento, são feitas de modo que uma queima completamente em 6 horas depois de acesa e a outra leva 4 horas para queimar. Se as velas forem acesas simultaneamente, o tempo necessário para que uma atinja duas vezes o comprimento da outra será: a) 2 horas c) 4 horas b) 3 horas d) 1 hora 05. (Unicamp SP) Duas torneiras são abertas juntas, a 1ª enchendo um tanque em 5 horas, a 2ª enchendo outro tanque de igual volume em 4 horas. No fim de quanto tempo, a partir do momento em que as torneiras são abertas, o volume que falta para encher o 2º tanque é 1/4 do volume que falta para encher o 1º tanque? 3h e 45min

08. (UFG GO) Na construção de um edifício, trabalham 30 operários que constroem 2% do edifício a cada 10 dias. Se após 30 dias do início da obra foram contratados mais 15 operários, se eles trabalharem no mesmo ritmo, que porcentagem do edifício será construída 10 dias após esta contratação? Em quantos dias a obra será concluída? 9% e 344 dias 09. (Epcar MG) Para a reforma do Ginásio de Esportes da EPCAR foram contratados 24 operários. Eles iniciaram a reforma no dia 19 de abril de 2010 (2ª feira) e executaram 40% do trabalho em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. No final do 10º dia, 4 operários foram dispensados. No dia seguinte, os operários restantes retomaram o trabalho, trabalhando 6 horas por dia e concluíram a reforma. Sabendo-se que o trabalho foi executado nos dois momentos sem folga em nenhum dia, o dia da semana correspondente ao último dia do término de todo o trabalho é: a) domingo. b) segunda-feira. c) terça-feira. d) quarta-feira. 373

Matemática

10. (Cesgranrio RJ) Três profissionais fazem 24 peças em duas horas, e 4 aprendizes fazem 16 peças em 3 horas. Em quantas horas 2 profissionais e 3 aprendizes farão 48 peças? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. (UFG GO) Do total de alunos de uma escola, 40% estão matriculados na 1a série, 30%, na 2a série e 30%, na 3a série. Ao final do ano letivo, 80% do total de alunos da escola foram aprovados. Entre os alunos da 1a série, a provação foi de 70% e, entre os alunos da 2a série, a aprovação foi de 75%. Determine o tal de alunos da escola, sabendo que na 3a série foram aprovados 59 alunos. 200 12. (UFCE) Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 100 alunos. Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação. Dentre os que ficaram em recuperação, 70% foram aprovados. Determine o percentual de alunos aprovados nessa disciplina. 79% 13. (Fuvest SP) Em certa população 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual é a porcentagem de homens na população? 40% 14. (UFMS) O tanque de um carro tem 40 litros de uma mistura de álcool e gasolina, e o álcool representa 25% dessa mistura. A fim de que essa mistura apresente uma porcentagem de 60% de álcool, deve-se substituir x litros da mistura original por x litros de álcool. Assim, o valor de x, em litros é de:

1 3 2 b) 12 3

FRENTE E  Exercícios de Aprofundamento

a) 8

1 3 2 d) 14 3 c) 18

e) 18

2 3

15. (UEFS BA) Uma herança de 80 milhões de reais deveria ser repartida pelo patriarca, entre os herdeiros da família, constituída por sua filha, que estava grávida, e a prole resultante dessa gravidez, de modo que, cada criança nascida receberia o dobro do que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino, e o triplo do que caberia à mãe, se fosse do sexo feminino. Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma menina. Nessas condições, pode-se afirmar que, pela divisão da herança, em milhões, entre mãe, cada menino e a menina, couberam, respectivamente: a) 15, 15 e 35. d) 5, 25 e 25. b) 15, 20 e 25. e) 5, 30 e 15. c) 10, 20 e 30. 16. (Uerj RJ) Um anel contém 15 gramas de ouro 16 quilates. Isso significa que o anel contém 10 g de ouro puro e 5 g de uma liga metálica. Sabe-se que o ouro é considerado 18 quilates se há a proporção de 3 g de ouro puro para 1 g de liga metálica. Para transformar esse anel de ouro 16 quilates em outro de 18 quilates, é preciso acrescentar a seguinte quantidade, em gramas, de ouro puro: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 374

17. (FGV SP) Duas velas do mesmo tamanho são acesas no mesmo instante. A primeira é consumida totalmente em 4 horas e a segunda, em 3 horas. Suponha que cada uma das velas seja consumida a uma velocidade constante. Após serem acesas, o tamanho da primeira vela será o triplo do tamanho da segunda, decorridas: a) 2 horas e 45 minutos d) 2 horas e 52 minutos b) 2 horas e 40 minutos e) 2 horas e 30 minutos c) 2 horas e 48 minutos 18. (IF BA) Fulano, Ciclano e Beltrano resolveram doar duas cadeiras de rodas para o Orfanato “Me Acolha”. Eles contribuíram com valores relativos aos seus respectivos salários. Fulano contribuiu com 15% do seu salário, Ciclano com 25% do seu salário e Beltrano contribuiu com o restante do valor. Sabendo que o valor das duas cadeiras de rodas foi de R$ 1.000,00, e o salário de Fulano é de R$ 800,00; o salário de Ciclano é R$ 1.200,00 e o salário de Beltrano é R$ 2.320,00, então o percentual do salário dado por Beltrano para aquisição da doação, corresponde a: a) 20% d) 35% b) 25% e) 40% c) 30% 19. (UCB DF) Pedro é hipertenso e, por isso, necessita tomar um comprimido diariamente. Ao pesquisar o preço na farmácia, o atendente informou que o medicamento estava em superpromoção e que ele compraria quatro caixas pelo preço de uma. Considerando essa situação, é correto afirmar que o desconto concedido pela farmácia é igual a: a) 80% d) 40% b) 75% e) 25% c) 50% 20. (UCB DF) Considere hipoteticamente que certo laboratório farmacêutico recebeu encomenda de 50 litros de uma solução de ácido nítrico a 25%, ou seja, 25% do volume é ácido. O laboratório dispõe de soluções a 18% e a 29%, e o técnico irá misturar essas duas soluções para obtenção da solução da encomenda. Assim, a quantidade de solução de maior concentração é: a) menor que 28 litros. b) maior que 28 litros e menor que 29 litros. c) maior que 29 litros e menor que 30 litros. d) maior que 30 litros e menor que 31 litros. e) maior que 31 litros. 21. (UEG GO) Um empresário determinou que o orçamento de sua empresa fosse dividido em setores, sendo 30% para o setor de produção, 50% para o setor de publicidade e o restante para os outros setores. No setor de produção ele determinou que se use 1/8 para os custos, 1/2 para o pagamento de funcionários e o restante para a manutenção das máquinas. Sabendo-se que o orçamento da empresa é de R$ 1.200.000,00, o valor do orçamento destinado à manutenção das máquinas é de: a) R$ 90.000,00 d) R$ 360.000,00 b) R$ 135.000,00 e) R$ 450.000,00 c) R$ 150.000,00